LECT. UNIV. DR. FLORIN GABRIEL IORGULESCU CANDIDAT, ROIBU (DANCU) MIHAELA LICEUL TEHNOLOGIC CRUCEA SERIA 2019 -2021 MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI… [622820]
MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI CERCETĂRII
UNIVERSITATEA ”OVIDIUS’’ CONSTANȚA
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
LUCRARE METODICO -ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI
DIDACTIC I
COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
LECT. UNIV. DR. FLORIN GABRIEL IORGULESCU
CANDIDAT: [anonimizat] 2019 -2021
MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI CERCETĂRII
UNIVERSITATEA ”OVIDIUS’’ CONSTANȚA
FACULTATEA DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
DIVIZIBILITATE ÎN MULȚIMEA
NUMERELOR ÎNTREGI
COORDONATOR ȘTIINȚIFIC:
LECT. UNIV. DR. FLORIN GABRIEL IORGULESCU
CANDIDAT: [anonimizat] 2019 -2021
CUPRINS
ARG UMENT …………………………………………………………………………………………… 5
CAPITOLUL 1 ARITMETICA ÎN INELE . NOȚIUNI DE
DIVIZIBILITATE ÎN INELE
1. Divizibilitate a în inele… ……………………………. …………………… 8
2. Elemente prime. Elem ente ireductibile.………….. ……………………………. .. 14
3. Inele euclidiene, principale, factoriale
3.1. Inele euclidiene………………………………………………… ….. 18
3.2. Inele principale…………………………………………………… .. 22
3.3. Inele factoriale…………………………………………………… … 25
4. Particularizare -inelul numerelor întregi ……………………………………………. 29
CAPITOLUL 2 DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE .
DIVIZIBILITATEA NUMERELOR ÎNTREGI
1. Relația de divizibilitate pe ℤ studiată în școală…………….. ………………. 3 8
2. Divizibilitatea în clasele gimnaziale…………………………………………………. . 45
2.1. Divizibilitatea în manualele din anii ’90………………. ………… ……… 45
2.1.1. Proprietăți ale relației de divizibilitate…………………… … 4 7
2.1.2. Criterii de divizibilitate………………………………… ….. 50
2.1.3. Numere prime………………………………………………… 57
2.1.4. Cel mai mare divizor comun . Cel mai mic multiplu comun … 61
2.1.5. Divizor ii unui număr întreg…………………………… …. 66
2.2. Divizibilitatea în programele școlare actuale………………… .. 6 7
2.2.1. Clasa a V -a……………………………………………… .. 6 7
2.2.2. Clasa a VI -a……………………………………………… . 7 2
2.3. Concluzii…………………………………………………………… 77
CAPITOLUL 3 PROIECTAREA UNEI PROGRAME DE OPȚIONAL
1. Programa pentru un opțional……………… ……… …………………………………… 87
2. Tipuri de opționale……………………………………………………… .. 88
3. Proiectarea și avizarea ofertei de CDȘ…………………………………… 90
4. Opționalul ”Cunoștințe vechi și noi despre divizibilitate ”……………… .. 94
CAPITOLUL 4 DIVIZIBILITATEA ÎN CONCURSURI , OLIMPIADE
ȘCOLARE ȘI PROBLEME INTERESANTE
1. Probleme date la concursuri și olimpiade școlare………………….. ……………… 107
2. Probleme interesante de divizibilitate………………………… ………………. . 117
CONCLUZII ……………………………………………………………………1 21
BIBLIOGRAFIE …………………………………………………………………………………. 123
ANE XE
5
ARGUMENT
”Matemati ca este regina științelor, iar Teoria Numerelor este regina Matematicii”
(Gauss). Teoria numerelor este considerată o parte importantă a matematicii , iar de -a
lungul timpului a fascinat prin frumsețea ei pe mulți matematicieni, printre care: Euclid,
Arhime de, Fibonacci, Fermat, Euler, Gauss, Dirichlet, Mersene. Acest domeniu a atras
de asemenea și pe alți iubitori de științe exacte, problemele mai dificile fiind o adevărată
provocare pentru aceștia.
Divizibilitate a reprezintă un capitol important al aritme ticii și teoriei numerelor, iar
iubitorii de matematică au fost incitați spre cercetare, descoperindu -se astfel noi reguli,
criterii, proprietăți, teoreme și demonstrații. Lucrul acesta poate fi realizat nu doar p rin
asimilarea bazei teoretice, dar și prin capacitatea de aplicare a noțiunilor teoretice în
rezolvarea problemelor din acest domeniu.
Abordarea acestei lucrări exprimă dorința de a împleti partea științifică tratată în
cărțile de specialitate cu noțiuni le teoretice existente în manualele școlare și cu
aplicațiile divizibilității , atât la nivel de program ă școlară, cât și a l aplicațiilor întâlnite
la examene le naționale, concursuri le și olimpiade le școlare.
Scopul temei pentru care am optat este atât per fecționarea profesională, cât și
posibilita tea de a oferi elevilor cu care lucrez, răs punsuri și completări la întrebări,
privite dintr -o perspectivă generalizatoare . Am ales această tem ă din dorința de a crea
o ”unealtă” didactică, un document școlar care să îi poată ajuta pe elevi în procesul de
cunoaștere. Această temă corelează cu progr ama școlară și are corespondențe în
activitatea didactică, cuprinzând multiple aplicații atât în viața cotidiană, cât și la
examene, concursuri și olimpiade școlare. Nume rele întregi au fost și vor fi în
continuar e studiate, permanent descoperindu -se ceva nou, însemnând că acest domeniu
este practic inepuizabil.
Aritmetica are ca scop principal dezvoltarea proceselor intelectuale la elevi, încă
din primele clase, dezvoltând gândirea logică, creativ ă, capacitatea d e analiză și sinteză
și antrenând memoria. Studiind diferite adevăruri matematice , dar prezentate sub forma
unor aplicații directe din viața cotidiană, putem să atingem competențele generale ale
matematici i, să dezvoltăm interesul elevilor prin încurajarea lor, prin stimularea
încrederii în propriile forte , în privința creativității și spontaneității și , de asemenea , le
6
putem crește motivația pentru studiul matematicii și formarea unei gândiri logice și
flexibile.
Problemele legate de divizibilitate acoper ă la nivelul clasei forme mai tipice, dar
ele nu lipsesc de la examene și concursuri , unde, de obicei, au un nivel mai crescut de
dificultate. Problemele date la examene, concursuri și olimpiadele școlare presupun
anumite tehnici și cunoștințe, care, fără a depăși cadrul programei școlare, nu sunt
formulat e special în manual e. Legat de rezolvarea problemelor de divizibilitate și de
utilitatea acestora, este recomandată și alegerea unor probleme din viața co tidiană,
răspunzând astfel întrebărilor pe care și le pun elevii în mod natural. Aceste aplicații îi
ajută să își construiască o imagine întemeiată despre noțiunile de divizibilitate pe care
le studiază.
Urmărind programa actuală la nivel de gimnaziu și l iceu, vom regăsi următoarele
aspecte:
➢ numerele natu rale se studiază de la cele mai fragede vârste, mai târziu
descoperindu -se noțiunea de mulțime (mulțimea numerelor naturale, mulțimea
numerelor întregi etc) și operațiile de adunare, scădere, înmulțire, împărțire,
ridicare la putere cu proprietățile lor sp ecifice;
➢ la clasa a V -a, în cadrul domeniului de conținut ”Numere”, regăsim
capitolul ”Divizibilitatea numerelor naturale”, unde elevii află de existența
numerelor prime și compuse, de divizib ilitate (divizor, multiplu, divizori
comuni, multiplii comuni), criterii simple de divizibilitate (cu 2, 5 , 10𝑛, 3 și 9)
și foarte puține proprietăți ale relației de divizibilitate;
➢ la clasa a VI -a, în cadrul domeniului de conținut ”Mulțimi. Numere”, elev ii vor
studia și alte criterii de divizibilitate, vor afla ce l mai mare divizor comun și cel
mai mic multiplu comun pri n descompunerea în factori primi, vor afla de
existența numerelor prime între ele și de alte proprietăți ale relației de
divizibilitate. Odată cu introducerea numerelor întregi, se vorbește și despr e
divizibilitatea numerelor întregi;
➢ la liceu, noțiunea de divizibilitate se introduce abea în clasa a XII -a la
divizibilitatea polinoamelor, descompunerea unor polinoame în factori
ireductibili. Tot în clasa a XII -a se studiază noțiunile de inel, polinoam e și
descompunerea în factori ireductibili a polinoamelor cu coeficienți în ℤ,ℚ,ℝ,ℂ.
Lucrarea este structurat ă în patru capitole, primul capitol cuprinzând noțiuni de
aritmetică în inele, divizibilitatea în inele, elemente prime, elemente ireductibile, i nele
7
euclidiene, principale și factoriale, precum și particularizarea pentru inelul numerelor
întregi.
Capitolu l al doilea se referă la studiul divizibilității în clasele gimnaziale, în
conformitate cu programele școlare actuale, orientate pe formarea și d ezvoltarea
competențelor elevilor. Este prezentată, pe scurt, structura programei școlare de
matematică, precum și conținuturile, competențele specifice și activități le de învățare
recomandate în studiul divizibilității , pentru clasele a V -a și a VI -a. Tot în cadrul acestui
capitol, m -am refe rit la divizibilitatea în manualele școlare din anii ’90 și cele din
preze nt, precum și la structurarea conținuturilor (însoțite de teorie și exemple) în ambele
cazuri.
În cel de -al treilea capitol am prezentat pe scurt metodologia actuală referitoare la
proiectarea și avizarea ofertei de curriculum la decizia școlii, clasificar ea
curriculum ului la decizia școlii, precum și structura unui curs opțional. De asemenea,
am proiectat opționalul cu titlul ” Cunoștințe vechi și noi despre divizibil itate” ,
respectând noua structură a acestuia. Acest opțional se adresează elevilor din clasa a
VI-a, el putând fi utilizat atât pentru îmbogățirea ofertei educaționale a curriculumului
la decizia școlii, la cercurile de elevi din școală , dar și pentru studiul individual al
elevilor, oferind posibilitatea aprofundării cunoștințelor legate de divizibilitate și
lărgirea capacității de aplicare și transfer al cunoștințelor, dar și dezvoltarea unor
capacități cognitive superioare. Acest opțio nal joacă un rol important în formare a
absolventului de gimnaziu, prin formarea și dezvoltarea unor compet ențe care au la
bază gândirea critică, logico -divergentă și creativă. Opționalul este însoțit și de suportul
de curs, iar printre noțiunile studiate se pot enumera: alte criterii de divizibilitate (cu 7,
8, 11, 13, 19), algoritmul lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun ,
numărul divizorilor unui număr natural, suma divizorilor unui număr natural, numere le
prietene și numere le perfecte, ciurul lui Eratostene, curiozități matematice, exerciții ,
probleme și teste.
Lucrarea se încheie cu capito lul de probleme de divizibilitate date la concursuri și
olimpiade școlare, dar și alte probleme interesante, care pot fi rezolvate împreună cu
elevii atât în cadrul opționalului propus, dar și în condițiile înființării unui cerc de
matematică la nivelul șc olii.
8
CAPITOLUL 1
ARITMETICA ÎN INELE. NOȚIUNI DE DIVIZIBILITATE
ÎN INELE
1. DIVIZIBILITATEA ÎN INELE
Pe parcursul acestui capitol, notația R va indica un inel comutativ și unitar. Așadar,
vom defini mai întâi această noțiune, precum și noțiunea de ideal:
Definiția 1.1 . Un inel reprezintă o mulțime nevidă, notată cu R, care, împreună cu
două operații algebrice (una notată de obicei aditiv ” +”, iar cealaltă notată de obicei
multiplicativ ”
• ”) are următoarele proprietăți:
a) (R,+) este grup abelian (operația algebrică ”+” este asociativă, are element
neutru, orice element din R este inversabil și totodată este și comutativă);
b) (R,
•) este semigrup (operația algebrică ”
• ” este asociativă);
c) x(y+z)=xy+xz , (y+z)x=yx+zx, oricare x,y,z
R (operația notată multiplicativ
este distributivă față de operația notată aditiv).
Inelul R este comutativ, dacă oper ația notată multiplicativ este comutativă. Inelul
R se numește unitar sau cu element unitate dacă operația notată multiplicativ are
element u nitate.
Definiția 1.2. Fie R un inel. O submulțime I a lui R se numește ideal stâng (drept)
dacă:
a)
IyxIyx −, ;
b)
Ix și
R
Ix (respectiv
I x ).
I se numește ideal bilateral dacă este ideal la stânga și la dreapta, deci orice ideal stâng
sau drept al inelului R este un subinel al inelului R.
Definiția 1.3. Fie R inelul comutativ și unitar definit m ai sus. Spunem că un
element
Rx divide un element
Ry (sau se mai poate spune că y este un multiplu
al lui x) și notăm
yx/ (
xy ) dacă există un element
Rz , astfel încât
xyz= . (dacă
0y
, spunem că x este un divizor al lui y).
Relația de divizibilitate pe R este o relație bina ră ref lexivă (
1 ,/=xxxx ) și
tranzitivă (dacă
yx/ și
zy/ , atunci
axy= ,
,ayz= , deci
,xaaz= , adică
zx/
). Deci, relația de divizibilitate este o relație de cvasiordine pe inelul R, nefiind în
9
general o relație de ordine. De exemplu, în inelul ℤ al întregilor:
1/1− și
1/1− , dar
1 1−
.
Din definiție putem deduce și următoarele proprietăți:
i) dacă
Rzyx,, și
yx/ , atunci
zyx/ ;
ii) dacă
) /( zyx+ și
yx/ , atunci
zx/ (sau dacă
) /( zyx+ și
zx/ , atunci
yx/
).
Definiția 1.4. Dacă x și y sunt elemente din R, astfel încât
yx/ și
xy/ , atunci
vom spune că x este asociat în divizibilitate cu y și vom nota x ~y.
Relația de asociere este o relație de echivalență, pentru că este reflexivă ( x ~x),
simetrică (dacă x ~y
y ~x) și tranzitivă (dacă x ~y și y ~z
x ~z). Această relație de
echivalență asociată relației de divizibilitate este o relație de cvasiordine.
Dacă vom considera mulțimea factor în raport cu ace astă relație de echivalență,
atunci divizibilitatea introduce o relație de ordine pe această mulțim e. Dacă x ~y și z ~t,
atunci xz ~yt și atunci, pe mulțimea factor se poate introduce o operație dedusă din
operația multiplicativă din R și cu care, această mulțime factor devine semigrup. Unele
din proprietățile divizibil ității în inelul R se vor reduce l a studiul divizibilității în acest
semigrup. Din acest motiv, se poate considera că acest lucru reprezintă o generalizare
a faptului că studiul aritmeticii în ℤ se reduce la studiul aritmeticii în ℕ.
Dacă am amintit de noțiunea de semigrup, vom da și defin iția acestuia:
Definiția 1.5. O mul țime M nevidă, împreună cu o operație algebrică asociativă se
numește semigrup sau monoid. Dacă în plus, operația algebrică are element neutru, vom
spune că este vorba despre semigrupul unitate sau unitar. Dacă operația a lgebrică este
și comutativă, atunci semigrupul este comutativ sau abelian.
Mulțimea numerelor întregi ℤ împreună cu operația de adunare sau cea de
înmulțire formează semigrup comutativ cu element unitate. De asemenea, mulțimea
numerelor naturale ℕ cu opera ția de adunare și respectiv de înmu lțire formează
semigrup unitar, cu 0 elementul nul pentru adunare, iar 1 elementul unitate la înmulțire.
Mulțimea numerelor întregi pare cu operația de înmulțire formează semigrup abelian,
însă fără element unitate. Mulți mea numerelor întregi ℤ împreună cu operația de
scădere nu formează semigrup, deoarece această operație algebrică nu este asociativă.
Lema 1.6. Fie R un inel și x, y elemente din R. Atunci
yR xR yx / (sau, în
particular x și y sunt asociate dacă și numai dacă
yR xR= ).
10
Demonstrație : Presupunem că
yx/ , adică există
Rz , astfel încât
zxy= .
Dacă
yRa , atunci există
Rb , astfel încât
yba= . Cum
zxy= , atunci
bxza )(=
,
)(zbxa= , deci
xRa , adică
xR yR .
Reciproc, dacă
xR yR , cum
yRy , atunci
xRy , deci există
Rz , astfel
încât
xzy= , deci
yx/ .
Propoziția 1.7. Fie R un inel și
Rx . Atunci următoarele afirmații sunt
echivalente:
a)
1~x ;
b) x este element inversabil în R;
c)
R xR= ;
d) x divide orice element al inelului R.
Demonstrație :
) )b a Dacă
1/ 1~ x x , adică ex istă
Rx, , astfel încât
,1xx= ,
deci x este inversabil în R.
) )c b
pentru că, dacă R este un inel unitar și xR este un ideal, atunci
xRR= dacă
și numai dacă xR conține un element inversabil al lui R (adică pe x, conform punctului
b).
) )d c
rezultă din lema 1.6, iar
) )a d este evidentă.
Această propoziție ne arată că el ementele inversabile ale inelului se comportă în raport
cu divizibilitatea la fel ca și elementul unitate al inelului, de aici provenind denumirea
lor de unități.
Popoziția 1.8. Fie R un inel integru. Atunci două elemente x și y din R sunt asociate
dacă și numai dacă
ayx= , a fiind element inversabil în R.
Demonstrație : Dacă
ayx= și a – element inversabil în R, atunci x și y sunt asociate.
Reciproc, dacă x și y sunt asociate, atunci există
Ryx, ,, , astfel încât
,yxy=
și
,xyx= , de unde rezultă că
,,yyxy= , deci
0) 1(,,=−yx y . Dacă
0=y , atunci
este clar că și
0=x și demonst rația este finalizată. Dacă
0 1,,=−yx (pentru că R
este inel integru), atunci
,x și
,y sunt elemente inversabile în R.
Definiția 1.9. Fie R un inel și x,y elemente din R. Un element
Rz se numește
divizor comun al lui x și y dacă
xz/ și
yz/ . Elementul
Rd se numește cel mai
mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al elementelor x și y (notație
()yx; ), dacă d este un
11
divizor comun al elementelor x și y și pentru orice a lt divizor comun
,d al elementelor
x și y să avem
dd/, .
Un element
Rt se numește multiplu comun al elementelor x și y din R, dacă
tx/
și
ty/ . Elementul
Rm se numește cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)
al elementelor x și y (notație
yx; ), dacă m este multiplu comun al elementelor x și y
și pentru orice alt multiplu comun
,m al elementelor x și y să avem
,/mm .
Se poate observa că pentru orice element x din inelul R, avem:
()00;0= ;
()aa=;0
;
00;0= și
aa=;0 .
Dacă cel mai mare divizor comun a două numere x și y din inelul R este egal cu 1,
atunci elementele x și y sunt relativ prime (sau prime între ele ).
Definițiile anterioare pot fi generalizate la un număr finit sau chia r infinit de
elemente din inelul R și vor avea proprietăți asemănătoare celor din cazul a două
elemente. Se poate preciza faptul că se poate să nu existe c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
pentru două elemente arbitrare dintr -un inel oarecare. Dar, dacă c.m.m.d.c. ș i c.m.m.m.c.
a două elemente există, atunci ele vor exista pentru un număr finit de elemente.
Propoziția 1.10. Fie R un inel integru și două elemente
Ryx, .
a) Dacă
dR yR xR=+ , atunci d este c.m.m.d.c. al elementelor x și y. În particular,
dacă în R suma oricăror două ideale principale este ideal principal, atunci în R orice
două elemente au c.m.m.d.c.
b) Un ele ment
Rm este c.m.m.m.c. al elementelor x și y, dacă și numai dacă
mR yR xR=
. În particular, dacă intersecția oricăror două ideale principale din R este
ideal principal, atunci în R orice două e lemente au c. m.m.m.c.
Observație : În cazul în care există un singur element c are generează un ideal I se
spune că I este ideal principal. În ℤ orice ideal este principal.
Demonstrație : a) Din
xR dR dR yR xR =+ , adică
xd/ . La fel, din
yR dR dR yR xR =+
, adică
yd/ . Relația
dR yR xR=+ ne mai spune că există
Rba,
, astfel încât
d yb xa=+ . Deci, dacă
xd/, și
ddyd / /, , , ceea ce
înseamnă că d este cel mai mare divizor comun al elementelor x și y.
b) Fie m cel mai mic multiplu comun al elementelor x și y. Atunci
mx/ și
my/ ,
deci
mR xR și
mR yR , de unde rezultă că
mR yR xR (1)
12
Fie
, ,/mx yR xR m și
,/my , deci
,/mm , adică
mR m, , prin urmare
mR yR xR
(2)
Din relațiile (1) și (2) se obține astfel egalitatea cerută.
Reciproc, dacă
mR xR mR yR xR = , deci
mx/ și
my/ . Dacă
R m,
astfel încât
,/mx și
,/my , atunci
xRRm, și
yRRm, , deci
mR yR xRRm =,
, deci
,/mm . Astfel, m este cel mai mic multiplu comun al
elementelor x și y.
Propoziția 1.11 . Fie R un inel integru și x și y două elemente din acest inel.
a) Dacă
Rd este cel mai mare divizor comun al elementelor x și y, atunci un
element
Rd, este cel mai mare divizor c omun al elementelor x și y dacă și numai
dacă este asociat cu d.
b) Dacă m este cel ma i mic multiplu comun al elementelor x și y, atunci un element
R m,
este cel mai mic multiplu comun al elementelor x și y dacă și numai dacă este
asociat cu m.
Demonstrație : a) Dacă d este cel mai mare divizor comun al elementelor x și y, iar
,d
este cel mai mare divizor comun al elementelor x și y , rezultă
dd/, (pentru că
,d
este în p articular divizor comun al elementelor x și y) și
,/dd (pentru că d este în
particular divizor comun al elementelor x și y), adică d și
,d sunt aso ciate. Reciproc,
dacă presupunem că
,d este asociat cu d, atunci din faptul că
xd/ ,
yd/ și
,/dd
rezultă că
,d este divizor comun al elementelor x și y. Acum, fie z un divizor comun
arbitrar al elmentelor x și y; atunci
dz/ (căci d este cel mai mare divizor comun al
elementelor x și y) și pentru că
, ,/ / dz dd , adică
,d este cel mai mare divizor
comun al elementelor x și y.
b) Din faptul că m este cel mai mic multiplu comun al elementelor x și y, iar
,m
este cel m ai mic multiplu comun al elementelor x și y, rezultă
,/mm (pentru că
,m
este în particular multiplu comun al elementelor x și y) și
mm/, (pentru că în partic ular
m este multiplu comun al elementelor x și y), adică m și
,m sunt asociate. Reciproc,
dacă presupunem că
,m este asociat cu m, atunci din faptul că
mx/ ,
my/ și
,/mm ,
rezultă că
,m este multiplu comun al elementelor x și y. Acum, fie t un multiplu comun
arbitrar al elementelor x și y; atunci,
tm/ (căci m este cel mai mic multiplu comun al
13
elementelor x și y) și deoarece
tm mm / /, , , adică
,m este cel mai mic multiplu
comun al elementelor x și y.
Din această pro poziție rezultă că cel mai mare divizor comun și cel mai mic
multiplu comun a două (sau a mai multor) elemente dintr -un inel R sunt determinate
până la o asociere.
Lema 1.12. Fie R un inel integru și
Ryx, . Dacă
0d este cel mai mare
divizor comun al elementelor x și y și
,dxx= ,
,dyy= , atunci
, ,,yx sunt relativ
prime.
Demonstrație : Este suficient s ă arătăm că orice divizor comun al elementelor
, ,,yx
este inversabil. Fie u un astfel de divizor; atunci du este divizor comun al lui x și
y, deci
ddu/ , adică
,duud= ,
Ru, . Deoarece
,10 uu d= , deci u este
inversabil.
Lema 1.13. Fie R un inel integru, x, y două elemente din R și d un cel mai mare
divizor comun al elementelor x și y. Dacă pentru un elemen t
Rz , există cel mai mare
divizor comun al elementelor zx și zy, atunci acesta este asociat cu zd. (deci și zd este
cel mai mare divizor comun al e lementelor zx și zy).
Demonstrație : Dacă
0==yx sau
0=z afirmația propoziției este imediat
verificată. Așadar, vom presupune că
0z și cel puțin unul dintre elementele x sau y
este nenul. Atunci și
0d . Fie
,d cel mai mare divizor comun al elementelor zx și
zy. Atunci, din faptul că
zazd/ și
zbzd/ , rezultă că
,/dzd , deci
Ruzdud = ,, .
Din ipoteză rezultă că există
Ryxyx , ,
1 1 ,,, , astfel încât:
1,xdzx=
,
,dxx=
1,ydzy=
,
,dyy= ,
din care deduc em relațiile:
,
1zdx zdux=
,
,
1zdy zduy=
și, pentru că
0zd , rezultă:
,
1x ux=
,
,
1y uy=
,
deci u este divizor comun al elementelor
,x și
,y , iar din lema precedentă rezultă că
u este element inversabil în R.
14
Corolar 1.14. Fie R un inel integru, în care orice două elemente au cel m ai mare
divizor comun. Dacă x, y, z sunt elemente din R astfel încât
yzx/ și x este prim cu y,
rezultă că
zx/ .
Într-adevăr, din
()1 ;=yx și din lema anterioară rezultă
(). ; z yzxz= Dar cum
xzx/
și
yzy/
zx/ .
Propoziția 1.15. Fie R un inel integru. Dacă orice două elemente di n R au cel mai
mare divizor comun, atunci orice două elemente din R au cel mai mic multiplu comun
și produsul
()yxyx ; ; este asociat cu
yx .
Demonstrație : Presupunem că x și y sunt elemente nenu le. Fie d un cel mai mare
divizor comun al elementelor x și y și
,dxx= ,
,dyy= , cu
Ryx, ,, . Atunci relațiile
yxydx, ,,=
ne arată că
,,ydxm= este multiplu comun al lui x și y. Fie
,m un alt
multiplu comun al elementelor x și y. Deci,
1,
1,xdx xx m== ,
1,
1,ydy yy m== , cu
Ryx1 1,
. De aici rezultă că
m este divizor comun al elementelor
,,xm și
,,ym , deci
divide pe cel mai mare divizor comun al acestor elemente, care este conform lemei 1.13,
egal cu
,m (pentru că
()1 ;, ,=yx ). Deci, am arătat că m este cel mai mic multiplu
comun al elementelor x și y și avem relația
.xy md=
2. ELEMENTE PRIME. ELEMENTE IREDUCTIBILE
Definiția 2.1. Fie x un element nenul și neinversabil din inelul integru R. Se spune
că elementul x este ireductibil dacă orice divizor al lui x este fie asociat cu x, fie este
inversabil, adică asociat cu 1. În c az contrar, elementul x este reductibil .
Din definiția de mai sus deducem că dacă x este un element ireductibil din inelul
integru R și y este un element oarecare, atunci cel mai mare divizor comun al
elementelor x și y există și este asociat cu x sau este element inversabil.
Propoziția 2.2 . Într -un inel integru R, un element asociat cu un element ireductibil
este ireductibil.
Demonstrație : Fie
Rx , x element ireductibil și
Ry , y un elemen t asociat cu
x. Atunci
0y și y nu este inversabil. Fie z un divizor al lui y. Rezultă că
xz/ , deci
este fie asociat cu x, deci și cu y, sau z este inversabil (ceea ce trebuia demonstrat).
Propoziția 2.3 . Fie R un inel integru și
Rx un element nenul și neinversabil în
acest inel. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
15
a) x este ireductibil în R;
b) dacă x=yz, atunci x este asociat cu cel puțin unul dintr e elementele y sau z;
c) dacă x=yz , atunci x este asociat cu cel puțin unul dintre elementele y sau z, iar
celălalt element este inversabil.
Demonstrație :
) )b a x=yz
y este fie inversabil, fi e asociat cu x; analog, z este
fie inversabil, fie asociat cu x. Dar, nu se poate ca ambele elemente să fie inversabile,
pentru că ar rezulta că și x este inversabil, ceea ce contrazice punctul a), deci x este
asociat cu cel puțin unul dintre elementele y sau z.
) )c b
Fie x=yz. Din b) rezultă că unul dintre elementele y sau z este asociat cu
x. Presupunem că acest element ar fi y (asociat cu x). Deci, conform propoziției 1.8,
y=xu , cu u inversabil în R. Atunci, din x=xuz și din faptul că
0x
uz=1 , deci z
este element inversabil.
) )a c
este evidentă.
Observație : Datorită proprietăților b) și c) din propoziția anterioară, uneori
elementele ireductibile sunt numite nedecompozabile.
Definiția 2.4. Un element neinversabil și nenul p din inelul integru R se numește
prim dacă din relația
xyp/ , cu
Ryx,
xp/ sau
yp/ .
Observație : Orice element asociat cu un element prim este și el prim.
Propoziția 2.5. Dacă R este un inel integru, orice element prim din R este
ireductibil.
Demonstrație : Fie
Rp element prim. Atunci, dacă p=xy
xp xyp / / sau
yp/
. Dacă
xp/ p este asociat cu x, iar dacă
p yp/ este asociat cu y. Conform
propoziției 2.3 . rezultă că p este ireductibil.
Observație : Reciproca teoremei nu este mereu adevărată. Propoziția următoare ne
dă o condiție în care acest lucru are loc.
Propoziția 2.6. Fie R un inel integru în care orice două elemente au un cel mai
mare divizor comun. Atunci, în R orice element ireductibil este prim.
Demon strație : Fie q un element ireductibil și presupunem că
xyq/ . Dacă q nu
divide pe x, atunci
()1 ;=qx , pentru că sin gurii divizori ai lui q sunt elementele asociate
cu q și elementele inversabile din R. Atunci, din corolarul 1.14 ., deducem că
yq/ , deci
q este prim.
16
Propoziția 2.7. Fie R un inel integru și
Rp un element nenul. Atunci p este
element prim dacă și numai dacă idealul principal pR este prim.
Demonstrație : Fie p un element prim în R și x, y două elemente din R, astfel încât
pR xy
. Atunci
xyp/ , deci
xp/ sau
yp/ . Dacă
pRxxp/ , iar dacă
pRy yp/
. Deoarece p este prim rezultă că este nei nversabil, deci
R pR .
Presupunem acum că
pR este ideal prim. Atunci
R pR , deci p este
neinversabil. Fie
Ryx, cu
pR xy xyp / , deci
pRx sau
pRy . Dacă
/ x pR p x
, iar dacă
/ y pR p y . Deci p este element prim în R.
Exemplu : În inelul ℤ al întregilor raționali, numărul 2 este prim, deci și ireductibil.
Într-adevăr, dacă
xy/2 , atunci trebuie ca cel puțin unul dintre numerele x sau y să se
dividă cu 2, altfel produsul lor nu se divide cu 2, căci dacă
,21xx=+ ,
,21yy=+ ,
atunci
, , , ,4 2( ) 1xy x y y x= + + + , care se observă că nu se divide cu 2. La fel se arată
că 3, 5, 7 etc sunt numere prime, deci și ireductibile. Analog se obține că -2, -3, -5 etc
sunt și ele ireductibile, fiind asociate cu cele anterioare.
Propoziț ia 2.8 . Fie R un inel integru și p un element prim din R. Atunci p este
element prim și în inelul
XR .
Demonstrație : Fie
0p și p neinversabil în
XR . Fie
fgp/ , cu
XRgf, .
Trebuie să arătăm că
fp/ sau
gp/ . Vom presupune că p nu divide nici pe f, nici pe
g și vom arăta că p nu divide nici produsul fg. Fie:
01
1 …a Xa Xafm
mm
m ++ +=−
−
01
1 …b Xb Xbgn
nn
n ++ +=−
−
.
Deoarece p nu divide pe f, rezultă că există
ia ,
mi0 , care nu se divide cu p. Fie
ka
coeficientul lui f cu k minim, pentru care
ka nu se divide cu p. La fel, pentru g
există
lb ,
ml0 , cu l minim, pentru care
lb nu se divide cu p. Atunci coeficientul
lkc+
al produsului fg este egal cu
lk j
ljkilkjii j
lkjii lk baba ba c + = =
+=+ +=++
,
și se observă că
lkba nu se divide cu p, deoarece p este prim în R, iar prima sumă se
divide cu p , deoarece fiecare termen conține un
ia ,
ki sau un
jb ,
lj , sau
suma este 0. Deci p nu divide pe
lkc+ și nici pe fg.
17
În continuare ne vom referi la inelul întregilor lui Gauss
i
.
Pentru ușurarea studiului divizibilității în
i
, vom considera funcția
:N→
,
definită prin relația: N(x+yi)=(x+yi)(x-yi)=
2 2yx+ . (N se num ește funcția normă , iar
()N
se numește norma numărului complex
).
Dacă
și
, atunci are loc relația:
()()() N N N=
.
Într-adevăr, fie
ixx,+= și
iyy,+= , atunci:
() ( )()()2, ,2,, , , ,,)( yx xy yxxyiyx xy yxxyN N ++−=++−=
și
()()()()2, 22, 2y yxx N N ++=
și este verificată egalitatea cerută.
Restricția lui N la
i
are imaginea cuprinsă în ℤ, chiar în ℕ și o să o notăm tot cu
N.
Vom studia mai întâi elementele inversabile în
i
. Considerăm
un element
inversabil. Atunci există
1i−
, astfel încât are loc relația
11=− , de unde
rezultă că
)()( )1( 11−== N N N și pentru că
)(N și
()1−N sunt numere
naturale mai mari sau egale cu 1, va rezulta că
()1=N . Reciproc, dacă
i
este
un element astfel încât
()1=N , atunci
va fi inversabil în
i
, pentru că
== )( 1N
, unde
i
este conjugatul lui
, deci
este inversul lui
.
Fie acum
yix+= ,
,xy
. Din relațiile de mai sus rezultă că
este element
inversabil în
i
dacă și numai dacă
1 )(2 2=+= yx N și de aici rezultă că
elementele inversabile în
i
sunt 1, -1, i, -i.
Observație : Dacă
și
sunt elemente asociate în
i
, atunci
() N N=)( ,
iar dacă
/ , atunci
)(/)(N N . Reciproc, este adevărată următoarea lemă:
Lema 2.9. Dacă
, i
astfel încât
/ și
)( )( N N= , atunci
este
asociat cu
.
Demonstrație : Dacă
0= , afirmația este clară. Pentru
0 , din relația
(),/ i
astfel încât
,= . Deci,
(), ,)( )( )( N N N N == , dar
cum
)( )( N N= , va rezulta că
1)(,=N , adică elementul
, este inversabil în
i
și am demonstrat lema.
18
Observații : În
i
numărul 2 este reductibil, pentru că el se scrie sub forma
()()i i−+= 1 12
, iar 1+i și 1-i nu sunt inversabile pentru că
2)1( )1( =−=+ i Ni N . Vom
arăta acum că 1+i și 1-i sunt elemente ireductibile în
i
. Considerăm
=+i1 .
Atunci
()() N N Ni N ==+= )( )1( 2 și avem în felul acesta o descompunere în
ℤ a lui 2, de unde rezultă că
1)(=N și
2)(=N sau invers. Așadar, conform lemei
anterioare, fie
este asociat cu 1+i în
i
, fie
este asociat cu 1+i. Deci, 1+i
este element ireductibil în
i
. La fel putem demonstra și pentru 1-i.
În
i
numărul 3 este ireductibil. Într -adevăr, dacă 3 ar fi reductibil în
i
, ar
exista o descompunere a sa de forma
=3 , cu
și
neinversabile. Atunci vom
obține că
()() N N N N === )( )3( 9 , de unde rezultă că
3)(=N și
()3=N ,
pentru că am presupus că
și
sunt neinversabile. Fie
() 32 2=+=+= yx N yix
și se observă că nu există numere întregi x,y care să
verifice egalitatea, deci nu există un astfel de număr
, deci 3 este ireductibil în
i
.
3. INELE EUCLIDIENE. INELE PRINCIPALE. INELE
FACTORIALE
3.1. INELE EUCLIDIENE
Definiția 3.1. Un inel integru R se numește inel euclidian, dacă există o funcție
N→−0 :R
astfel încât pentru orice
Ryx, ,
0y să îndeplinească
următoarele proprietăți:
a)
()()y x yx / ;
b) există
Rrq, astfel încât
ryqx+= , unde
0=r sau
)()( y r .
Exemple de inele euclidiene :
⚫
(),,+
, cu
() , n n n=
– inelul întregilor ℤ, pentru care funcția
este
valoarea absolută a numărului întreg:
−=0,0,)(nnnnn . În acest caz,
proprietatea b) se numește teorema împărțirii întregi .
Observație : i) În ℤ, pentru
0 ,yx ,
,xy
, există
,qr
astfel încât
ryqx+=
, unde
qr0 , numită teorema împărțirii întregi.
19
ii) Orice corp este inel euclidian. Într -adevăr, dacă K este un corp și
:0K−→
,
1)(=x
, pentru orice
0, xKx .
⚫ Inelul
XK al polinoamelo r într -o nedeterminată cu coeficienți într -un corp
comutativ K este euclidian pentru funcția
=gradul unui polinom nenul.
Într-adevăr, dacă
XKgf, sunt polinoame nenule și
1 / ffg gf= , cu
XKf1
. Deci, grad g=grad f+grad
1f și cum
1 0 grad f grad g grad f (adică
condiția a)).
Verificăm acum condiția b): Fie f, g două polinoame din
XK ,
0g . Dacă grad
g=0, rezultă că
()fggf1−= pentru că
0g în
XK , deci inversabil și atunci
afirmația este adevărată.
Presupunem acum că
0 grad g și vom demonstra afirma ția prin inducție după
gradul lui f. Dacă
grad f grad g , caz particular pentru grad f=0, atunci din
f gf+=0
, rezultând afirmația b).
Presupunem afirmația adevărată pentru polinoamelor de grad inferior lui n și o
demonstrăm pentru polinomul f. Fixăm f un polinom de grad n:
0 , …01
1 0 +++=−aa Xa Xafnn n
și presupunem că g este un polino m de grad m:
0 , …01
1 0 +++=−bb Xb Xbgmm m
și că
nm .
Construim polinomul
g Xbaffmn−−−=1
00 1
cu gradul cel mult n-1 și din ipoteza inductivă, rezultă că există
XKrq, , astfel
încât
rgqf+=1 , r=0 sau grad r <grad g. Atunci avem :
rq Xbagf g Xbar gqfmn mn++ = ++=−− −−) (1
001
00
și polinoamele
q Xbamn+−−1
00
și r satisfac condiția b).
⚫ Alt exemplu de inel euclidian este inelul î ntregilor lui Gauss,
i
, în care rolul lui
din definiție îl joacă norma N. Deci,
(),,i+
cu
2 2) ( yx iyxN +=+ , oricare
,xy
, este inel euclidian.
Pentru că
()() N N N =)( , deci condiția a) este satisfăcută. Verificăm acum
condiția b). Fie
ixx,+= și
iyy,+= , cu
, i
,
0 . Fie elementul din
i
:
20
()
+−
++=−i
y yy
y yyixx2 2, 2,
, 2, 1,
care se scrie
nim+=−1 , cu
,mn
. Fie
izz,+= , z și
,z fiind cele mai
apropiate numere întregi de m și n și
(), m z n z i= − + − . Atunci, vom avea relația
+=
și pentru că
, i
(
i
), rezultând
1 i =
.
() ()()()() )(21)( )(2, 2
1 N Nzn zm N N N N −+−= ==
, pentru că
21−zm
și
21,−zn . De aici rezultă că este îndep linită și condiția b).
Propoziția 3.2. ( Algoritmul lui Euclid) Într-un inel euclidian, orice două elemente
au un cel mai mare divizor comun și un cel mai mic multiplu comun.
Demonstrație : Fie R un inel euclidian și
Ryx, . Dacă unul dintre elementele x
sau y este 0, atunci celălalt element este cel mai mare divizor comun al lor. Deci,
presupunem că
0 ,0y x . Vom aplica teorema împărțirii întregi pentru elemen tele x
și y și obținem că
1 1r yqx+= , unde
01=r sau
()()y r1 .
Dacă
01r , vom aplica aceeași teoremă pentru elementele y și
1r și obținem
2 21 rqry+=
, unde
02=r sau
()()1 2 r r .
Dacă
02r , aplicând din nou teorema împărțirii înt regi pentru
1r și
2r vom
obține
3 32 1 rqrr+= , cu
03=r sau
()()2 3 r r și vom continua acest procedeu dacă
restul obținut este diferit de zero.
Pentru că
()()…2 1r r este un șir descrescător de numere naturale și cum
();
este bine ordonată, șirul se termină după un număr finit de pași (adică obținem
neapărat un rest nul) și atunci avem relațiile de forma:
1 1r yqx+=
2 21 rqry+=
(1)
3 32 1 rqrr+=
……………….
n n n n r qr r +=+−− 1 1 2
2 1 + −=nn n qr r
,
21
unde
0ir ,
n i ,…,2,1= . Vom arăta că
nr este cel mai mare divizor comun al
elementelor x și y. Din relațiile (1) observăm că
1/−n nrr ,
2/−n nrr ,
3/−n nrr și așa mai
departe , deci
nr divide pe x și pe y. Fie z un divizor comun al lui x și y. Atunci, din
relațiile (1), obținem că
1/rz ,
2/rz și așa mai departe, adică
nrz/ .
A doua afirmație a propoziției rezultă din cea precedentă și din propoziția 1.15. Din
propoziția anterioară și din propoziția 2.6 . avem următorul cor olar:
Corolar 3.3. Într-un inel euclidian, orice element ireductibil este prim.
Observație : Inelul
5i
nu este inel euclidian, pentru că am arătat în
subcapitolul 2 că 3 este ireductibil, însă nu este prim în acest ine l.
Propoziția 3.4. Orice ideal al unui inel euclidian este principal.
Demonstrație : Fie R un inel euclidian si I un ideal în R. Dacă
0=I , atunci
()0=I
și atunci I este ideal principal.
Dacă
0I , mulțimea
() 0 :−= Ixx A este o submulțime nevidă a
mulțimii numerelor naturale, iar acea sta este bine ordonată. Deci, există cel mai mic
element din A, adică
() 0, , inf = aIaAa A .
aRI= , deci I este ideal principal.
Observație : Din propoziția 3.4 . rezultă că dacă R este inel integru care nu este corp,
atunci
XR nu este euclidian.
Propoziția 3.5. Fie R un inel și
XR inelul polinoamelor de o nedeterminată cu
coeficienți în R. Fie :
01
1 …a Xa Xafm
mm
m ++ +=−
−
01
1 …b Xb Xbgn
nn
n ++ +=−
−
două polinoame din
XR cu gradele m și n
0 ,
0nb și
()0,1 max +−= nm k .
Atunci, există polinoamele q și r din
XR , astfel încât
rgqfbk
n+= , gradul lui r<n.
În plus, dacă
nb este nondivizor al lui zero, atunci q și r sunt unic determinate.
Demonstrație : Pentru m<n, considerăm
0, 0, q k r f= = = . Pentru
1 0=== k nm
și putem lua
, 0n q a r== . Pentru
1, 1 m n k m n − = − + și
demonstrăm prima afirmație prin inducție după m. Pentru
1, 0 m n k= − = putem lua
0q=
și r=f. Fie
nm , atunci polinomul
g Xafbfnm
m n−−=1 are gradul cel mult
m-1, deci există polinoamele
11, qr astfel încât
1 1 1 rgqfbnm
n +=− ,
1 grad r <n. Atunci,
22
pentru f este suficient să considerăm
1q Xbaqnm nm
nm + =−− și
1rr= . Presupunem că
, ,rgqfbk+=
. Atunci va rezulta că
() rrgqq −=−, , . Dacă
rrqq ==, , . Dar dacă
qq,
și pentru că
nb este nondivizor al lui zero, atunci gradul polinomului din
membrul stâng este
n , iar gradul polinomului din membrul drept este < n, ceea ce
este absurd .
3.2. INELE PRINCIPALE
Defini ția 3.6. Se numește inel principal sau inel cu ideal principal un inel integru
în care orice ideal este principal.
Din definiție deducem că : corpurile comutative sunt inele principale. De asemenea,
inelul întregilor ℤ este un inel principal.
Din propoziția 3.4 . rezultă că orice inel euclidian este principal.
Exemple : Pe lângă inelul întregilor ℤ, mai putem da exemple de inele principale
următo arele inele euclidiene: inelul întregilor lui Gauss
i
, inelul
() 13
2i+
și
orice inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într -un corp.
Propoziția 3.7. Fie R un inel integru care nu este corp. Atunci inelul polinoamelor
de o nedeterminată
RX nu este inel principal.
Demonstrați e: Dacă R nu este corp, atunci există un element
0,aRa , a
neinversabil. Vom demons tra că idealul generat de a și de X nu este principal. Vom
presupune că
()f XXR XaR =+ , cu
Rf . Din relația
, a fg g R X f R= ,
iar din relația
f XRgfg X =, ,, este inversabil în R, deci
, 1X a XR XXR XaR +==+
cu
XR, , contradicție cu
0 ,
deoarece a nu este inversabil.
Observație : Această propoziție ne permite să dăm exemple de inele care nu sunt
principale, de exemplu in elul
X
și orice inel de polinoame cu n>1 nedeterminate
cu coeficienți într -un corp nu este inel principal, deci nu este nici inel euclidian.
23
Proprietăți aritmetice a le inelelor principale
Propoziția 3.8. În orice inel principal R, au loc următoarele afirmații:
a) Oricare ar fi
Ryx, ,
dR yR xR=+ dacă și numai dacă
()dyx=, .
b) Oricare ar fi
Ryx, ,
mR yR xR= dacă și numai dacă
myx=, .
Demonstrație : a) Suma a două ideale este tot un ideal, iar acesta este principal, deci
există
Rd , astfel încât
dR yR xR=+ .
””
Cum
dRx și
xd dRy / și
yd/ . Fie
Rd, astfel încât
xd/, și
yd/,
. Cum
ybxad yR xRd +=+ , cu
()yxd dd Rba , / ,,= .
””
Dacă
() dd Rd dR yR xR Rdyx yx d / , ,1 1 1 1 =+= . Dar
xd/ și
yd/
, rezultând astfel că
Rd yR xR dd1 1/ =+ , deci
1d este asociat cu d.
b)
”” Fie
mx mR xR mR yR xR /= și
my/ . Dacă
R m, , astfel încât
,/mx
și
,/my , atunci:
xRRm, și
yx m mm mR yR xRRm yRRm , /, , ,== .
””
Dacă
mx yx m / ,= și
mR xR my / și
mR yR xR mR yR (1)
Fie
, ,/mx yR xR m și
mR yR xR mRm mm my , , ,/ / (2).
Din relațiile (1) și (2)
mR yR xR= .
Consecințele propoziției 3.8 . sunt date în următorul corolar.
Corolar 3.9. a) În orice inel principal R, orice două elemente au cel mai mare
divizor comun și cel mai mic multiplu comun.
b) În orice inel principal R, orice element ireductibil este prim.
Propoziția 3.10. În orice inel principal R, un element nenul și neinversabil admite:
a) cel puțin un divizor prim;
b) o descompunere f inită în produs de elemente prime, descompunere care este unică
dacă se face abstracție de o asociere în divizibilitate și de ordinea factorilor în produs;
Demonstrație : a) Fie
0−Rx , x neinversabil. Dacă x este reductibil î n R, atunci
există
Rxx,
1 1, , neinversabile, astfel încât
,
11xxx= . Dacă
1x este prim în R, atunci
e demonstrat punctul a). Dacă
1x nu este prim în R, atunci există
Rxx,
2 2, ,
neinversabile, astfel încât
,
22 1 xxx= , pentru că
1x este reductibil. Obținem astfel
24
lanțul de divizori
…2 1xxx care se termină după un număr finit de pași, cu un divizor
prim
nx a lui x, deci punctul a) este demonstrat.
b) Aplicând punctul a)
11xpx= cu
Rxp1 1, . Dacă
1x este prim, atunci am
demonstrat punctul b). Dacă
1x nu este prim, atunci
22 1 xpx= , cu
Rxp2 2, ,
2p
prim și se continuă procedeul, iar după un număr finit de pași obținem
nn n xp x=−1 , cu
nx
inversabil,
np prim, pentru că lanțul de divi zori
…2 1xx se termină. Obținem
astfel descompunerea în factori primi a lui x,
nnxpppx …21= , cu
nx asociat cu 1.
Unicitatea descompunerii o vom demonstra prin metoda reducerii la absurd. Fie
elementul cu o descompunere de lungime minimă n printre elementele care au mai
multe descompuneri în produs de fac tori primi,
= ==m
jjn
ii q p
1 1
,
j iqp, primi,
n i,1= ,
m j,1=
=m
jjq p
11/
,
1p prim, rezultă că există j astfel încât
jqp/1 .
După renumerotarea indicilor, putem lua j=1. Cum
1p și
1q sunt prime, atunci
upq qp1 1 1 1~=
, u inversabil în R. Deci,
()m n qqup ppp … …2 1 21= , iar dacă
simplificăm cu
1p , obținem
m n q uqpp … …2 2= descompuneri în factori primi ale
aceluiași element din R, una dintre ele de lungime n-1. Atunci descompunerea este
unică, adică
nm n m =−=− 1 1 , iar
i iqp~ ,
n i,2= .
Propoziția 3.11. Fie R un inel principal care nu este corp și p un element nenul și
neinversabil din R. Atunci idealul pR este maximal dacă și numai dacă p este ireductibil.
Demonstrație : R inel princip al
orice element ireductibil este prim. Dacă p este
ireductibil
R pR . Fie I un ideal al lui R astfel încât
pRIR . Pentru că R este
inel principal, atunci ex istă
Ix astfel încât
xRI= . Din
pR xR există
Rx,
astfel încât
,xxp= și pentru că p este iredu ctibil, atunci p este fie asociat cu x,
fie x este inversabil în R. În primul caz
pR xR= , iar în al doilea caz
R xR= și am
demonstrat astfel prima afirmație a propoziției.
Fie A un ideal maxima l în R. Pentr u că R este inel principal, există
Rx astfel
încât A=xR . Vom arăta că x este ireductibil. Din propoziția 3.10 ., rezultă că există un
25
element ireductibil p al inelului R astfel încât
xp/ . Atunci
xR pRR și pentru
că
x xR pR R pR = ireductibil.
3.3. INELE FACTORIALE
Defini ția 3.12. Un inel integru R se numește inel factorial dacă orice element nenul
și neinversabil se descompune într-un produs finit de elemente prime.
Din propoziția 3.10 . rezultă că orice inel principal este inel factorial.
Exemple :
,
i
,
() 13
2i+
și orice inel de polinoame de o nedetrminată cu
coeficienți într -un corp.
Lema 3.13. Fie R un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente:
a) R este inel factorial;
b) Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de elemente
ireductibile și orice element ireductibil este prim;
c) Orice element nenul și neinversabil din R se descompune în produs finit de elemente
ireduct ibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și
de asociere ;
d) Orice elem ent nenul și neinversabil din R este produs finit de elemente ireductibile
și orice două elemente din R au un cel mai mare divizor comun.
Demonstraț ie: Pentru a demonstra implicația
) )b a , folosim următoarea lemă:
Lema 3.14. Într-un inel factorial orice element ireductibil este prim.
Demonstrația lemei : Fie x un element ireductibil din inelul R. Din faptul că x este
produs de elemente prime, deducem că el se divide cu un element prim p. Dar cum p
este neinversabil, este asoci at cu x.
Ne întoarcem acum la demonstrarea lemei 3.13.
Implicația
) )a b este evidentă, iar din a) și b) obținem c). Pentru a demonstra că
) )b c
e suficient să observăm că din c) rezultă că oric e element ireduc tibil din R
este prim. Fie q un element ireductibil și presupunem că
xyq/ . Atunci
,qqxy= . Dacă
considerăm descompuneri ale lui x, y și
,q în factori ireductibili, atunci din relația
xq qqxy /,=
sau
yq/ . Am demonstrat până acum că a), b), c) sunt echivalente.
26
Din propoziția 2.6 ., avem că
) )b d . Pentru ter minarea demonstrației, vom
demonstra următoarea lemă:
Lema 3.15. Într-un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor
comun.
Demonstrație : Fie
Ryx, , R inel factorial. Dacă unul din elementele x sau y este
nul, afirmația este clară. Deci, presupunem că
0,yx și fie
Iiip un sistem de
reprezentanți de elemente prime. Fie
=
Iim
iip ux1 ,
=
Iin
iip uy2 descompunerile lui
x și y în produs de elemente prime și
ir
Iiip d
= unde
()Iinm rii i = ,, min . Este clar
atunci că d este divizor comun al lui x și y, iar dacă
,d este un divizor comun al
elementelor x și y,
is
Iiip ud
=, , , atunci din relația
Iimsxdi i , /, , iar din
relația
Iinsydi i , /, . Deci,
ddIirsi i / ,, . Așadar d este cel mai mare
divizor comun pentru x și y și lema este demonstrată.
Din această lemă rezultă că într -un inel factorial există și cel mai mic multiplu a
două elemente, dacă se ține seama de propoziția 1.15. Se observă imediat, cu notațiile
de mai sus, că elementul
ig
Iiip m
= , unde
), max(ii i nm g= este cel mai mic
multiplu comun al elementelor x și y.
Propoziția 3.16. Fie R un inel factorial și
n iRyxi ,1, ,= . Dacă
() n i yxi ,1,1 ,==
, atunci
1
1=
=n
iiy x .
Demonstrație : Este suficient să arătăm că nu există niciun element prim în R care
să dividă pe x și pe
=n
iiy
1 . Fie p prim un astfel de element din R, atunci există j,
nj1
, astfel încât
jbp/ , contradicție cu ipoteza.
Teorema 3.17. (Gauss) Dacă R este un inel factorial, atunci
XR este un inel
factorial.
Demonstrație : Dacă R este inel integru și
XR este inelul polinoamelor de o
nedeterminată cu coeficienți în R, atunci
XR este inel integru, iar elementele
inversabile din
XR sunt num ai elementele inversabile din R
două polinoame din
XR
sunt asociate dacă și numai dacă se obțin unul din celălalt prin înmulțirea cu un
27
element inversabil din R. Un element
Rx divide un polinom din
XR dacă și
numai dacă toți coeficienții polinomului se divid cu x. Fie deci R un inel integru și f un
polinom din
XR . Spunem că f este un polinom primitiv dacă coeficienții lui f nu se
divid cu același element prim din R. Dacă R este inel factorial, vom nota cu c(f) cel mai
mare divizor comun al coeficienților lui f care există, conform lemei 3.15. Acest c(f) se
numește conținutul polinomul ui f. Polinomul f va fi primitiv dacă și numai dacă c(f)= 1.
Este clar că orice polinom
XRf se poate scrie sub forma
,)(ffcf= , unde
,f
este polinom primitiv.
Lema 3.18. Dacă R este inel factorial și f, g sunt două polinoame din
XR , atunci
c(fg) este asociat cu c(f)c(g). În particular, produsul a două polinoame primiti ve este tot
un polinom primitiv.
Demonstrație : Fie
,)(ffcf= și
,)(ggcg= . Atunci
,,)()( gfgcfcfg= . Fie f,
g polinoame primitive. Dacă fg nu e polinom primitiv, există p prim,
Rp astfel
încât
fp fgp / / sau
gp/ , ceea ce este absurd.
Lema 3.19. Fie R un inel factorial ,
0,xRx și
XRgf, , g polinom
primitiv. Dacă
fg xfg / / . În particular, dacă
XRgf, , cu f, g polinoame
primitive astfel încât
yf xg= ,
Ryx, ,
0 ,yx f și g sunt asociate.
Demo nstrație :
XRg xfg , / astfel încât
,gg xf= . Din lema 3.18 .
)()( )()()(, ,gcfxc gcgcfxc = =
pentru că
fg ggfxc xf gc / )( 1)(,, == .
Lema 3.20. Fie R un inel factorial și
XRf ,
1 f grad . Atunci următoarele
afirmații sunt echivalente:
a) f este ireductibil în
XR ;
b) f este primitiv și ireductibil în
XK , K este c orpul de fracții al lui R.
Demonstrație : a)
)b f ireductibil în
XR , atunci f este polinom primitiv.
Presupunem că f este reductibil în
XK
f gradg grad ghf 1 , = ,
XKhgf,,
. Dacă înmulțim relaț ia cu
Rx ,
,,0 hg xf x = în
XR cu
g gradg grad ,=
și
h gradh grad ,= . Fie
fg ggcg / )(,, ,, , ,= în
XR ,
conform lemei 3.19. Dar,
f g grad g grad = ,, este reductibil în
XR , ceea ce
contrazice ipoteza. Implicația
) )a b este evidentă.
28
Lema 3.21. Dacă R este inel factorial , orice polinom ireductibil din
XR este
prim.
Demonstrație : Fie f un polinom ireductibil din
XR . Dacă
0 =f grad
f
ireductibil în R și atunci f este prim în R, adică va fi prim și în
XR . Dacă
0 f grad ,
atunci f este polinom primitiv și presupunem
ghf/ . Din lema 3.20 ., f este element
prim în
XK și atunci în
XK
gf/ sau
hf/ . Vom presupune că
0 , , /, ,= xRx XKfffg gf
astfel încât
xgf XR xf /, în
XR
, iar din lema 3.19 .
gf/ în
XR .
Vom demonstra acum teorema 3.17 . (Gauss) . Conform lemei 3.21 . este suficient
să arătăm că orice element neinversabil și nenul din
XR este produs finit de
polinoame ireductibile. Vom demonstra prin i nducție după gradul polinomului. Dacă
0 =f grad
, f neinv ersabil, atunci f este produs finit de elemente prime în R, care sunt
ireductibile în
XR . Dacă
,)( 1 ffcf f grad = ,
,f este polinom primitiv și
vom demonstra afirmația pentru polinoame primitive. Dacă f este primitiv și ireductibil,
afirmația este clară. Dacă f nu este primitiv, f=gh , g și h sunt polinoame de grad strict
mai mic decât gra dul lui f și din ipoteza inductivă, afirmația este demons trată.
Această teoremă a lui Gauss are următorul corolar:
Corolar 3.22. Dacă R este inel factorial, atunci
nX XXR ,…,,2 1 (inelul
polinoamelor de n nedeterminate cu coeficienți în R) este factorial. În p articular, orice
inel de polinoame de n nedeterminate cu coeficienți într -un corp este inel factorial.
Propoziția 3.23. (Criteriul lui Eisenstein) Fie R inel factorial, K corpul său de
fracții. Oricare ar fi f un polinom din
XR de forma
n
nXa Xaaf +++= …1 0 și un
număr
Rp element prim cu proprietățile:
1)
iap/ ,
1 0− ni ,
2)
nap/ ,
3)
02/ap ,
atunci f este polinom ireductibil în
XK . Mai mult, dacă f este primitiv, atunci f este
ireductibil și în
XR .
Demonstrație : Presupunem că f este polinom prim. Dacă f este polinom reductibil
în
XK , atunci f va fi reductibil și în
XR .
29
Fie f=gh,
XRhg, ,
m
mXb Xbbg +++= …1 0 și
r
rXc Xcch +++= …1 0 ,
0 ,0 ,0 ,0 r m c br m
. Din
0 00 acb= și
02/ap rezultă că fie
0/bp sau
0/cp .
Presupunem că
0/bp și
0/cp . Pentru că
nap/ , înseamnă că nu to ți coeficienții lui g
se divid cu p, adică există un indice minim i cu proprietatea că
ib nu se divide cu p.
Atunci
jii
jj i i cb bca−−
=+=1
10 nu se divide cu p, ceea ce contrazice ipoteza, adică f este
ireductibil.
4. PARTICULARIZARE – INELUL NUMERELOR ÎNTREGI
Defin iția 4.1. Pe
definim relația notată ”
~ ” prin:
()1 1 2 2, , ( , )a b a b
,
),(~),(2 2 11 ba ba dacă
2 1 2 1 abba +=+ .
Propoziția 4.2. ”~” este relație de echival ență pe
.
Demonstrație: Reflexivitatea: Fie
() () , , ~ ( , )a b a b a b
deoarece
a+b=b+a.
Simetria: Fie
()11,ba și
()22,ab
.
),(~),(2 2 11 ba ba implică
2 1 2 1 abba +=+
, iar
),(~),(11 2 2 ba ba implică
1 2 1 2 abba +=+ , ceea ce este adevărat
pentru
1 2 1 2, , ,a a b b
.
Tranzitivitat ea: Fie
()()()1 1 2 2 3 3, , , , ,a b a b a b
astfel încât
),(~),(2 2 11 ba ba
și
),(~),(3 3 2 2 ba ba , deci
2 1 2 1 abba +=+ și
3 2 3 2 abba +=+ . Vom aduna membru
cu membru u ltimele egalități
3 2 2 1 3 2 2 1 aabbbbaa +++=+++ și vom reduce pe
2a
și pe
2b
3 1 3 1 abba +=+ , adică
),(~),(3 3 11 ba ba , deci ” ~” este tranz itivă.
Notăm în continuare cu Z mulțimea claselor de echivalență:
Z=
()() / ~ , : , a b a b =
Observații : i) Dacă
()0, ~),( ba ba ba − și
()0,ba− este singura pereche de
forma
()0,n în clasa lui
()ba, .
ii) Oricare ar fi
a
, atunci
()()0,0 ,=aa
iii) Dacă
()()ab ba ba − ,0~, și
()ab−,0 este singura pereche de forma
()n,0
în clasa lui
()ba, .
30
Definiție 4.3. Vom defini adunarea pe Z,
Z ZZ→+:”” , prin :
()()( )2 1,2 1 2 2 11 , , bbaa ba ba ++=+
Vom demonstra că ”+” este bine definită. Pentru aceasta trebuie să demonstrăm că,
dacă:
()()1 1 11 , , yx ba= și
()()2 2 2 2 , , yx ba= , atunci:
()()()()2 2 1 1 2 2 11 , , , , yx yx ba ba +=+ .
Într-adevăr,
()()()()1 1 1 1 1 1 11 1 1 11 ,~, , , xbya yx ba yx ba +=+ = și
()()()()2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 , ~, , , xby a yx ba yx ba +=+ =
.
Vom aduna membru cu membru ultimele două egalități și vom avea:
2 1 2 1 2 1 2 1 xxbbyyaa +++=+++ , adică:
( )( )( )( )++=++++ ++2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 , , , ~ , yyxx bbaa yyxx bbaa
()()()()2 2 1 1 2 2 11 , , , , yx yx ba ba +=+
.
Propoziția 4.4.
()+,Z este grup comutativ.
Demonstrație :
⚫ Asociativitate: Fie
()()()Z bababa 3 3 2 2 11 ,,,,, . Atunci:
()() ()( )()( )3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 2 1 3 3 2 2 11 , , , , , , bbbaaa ba bbaa ba ba ba ++++=+++=++
, iar
()()() ()( )( )3 2 1 3 2 1 3 2,3 2 11 3 3 2 2 11 , , , , , bbbaaa bbaa ba ba ba ba ++++=+++=++
,
deci ”+” este aociativă.
⚫ Comutativitate: Fie
()()Z baba 2 2 11 ,,, . Atunci:
()()( )2 1 2 1 2 2 11 , , , bbaa ba ba ++=+
, iar
()()( )( )2 1 2 1 1 2 1 2 11 2 2 , , , , bbaa bbaa ba ba ++=++=+
, pentru că
1 2 1 2, , ,a a b b
și
adunarea este comutativă în ℕ. Deci ”+” este comutativă pe Z.
⚫
()()aa, 0,0= pentru orice
a
este element neutru pentru ”+” pe Z:
()()()()()ba ba ba , , 0,0 0,0 , =+=+
, oricare
()Zba, .
⚫ Orice
()Zba, este simetrizabil în raport cu ”+” pe Z, deci exis tă
()Zba−,
adică
()()ab ba , ,=− este simetricul (opusul) lui
()ba, . Într -adevăr:
()()()()()()0,0 , , , , , =++=+=+ abab ba ab ab ba
.
Propoziția 4.5. Aplicația ”
”
Z ZZ→: , definită prin:
()()( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1, . , ,a b a b a a b b a b a b = + +
este o operație binară pe Z,
31
înmulțirea, iar tripletul
(),,Z+ este un inel comutativ unitar. Am arătat deja că
()+,Z
este grup comutativ.
Demonstrație :
⚫ Asociativitatea. Fie
()()()Z bababa 3 3 2 2 11 ,,,,, . Atunci:
()() ()( )()=+ +=3 3 12 21 21 21 3 3 2 2 11 , , , , , babababbaa ba baba
( )312 321 321 321 312 321 321 321 , abaababbbbaabbabbaabbaaa +++ +++
, iar
()()() ()( )=+ +=32 32 32 32 11 3 3 2 2 11 , , , , , abbabbaaba ba ba ba
( )321 321 321 321 321 321 321 321 , bbbaabababaaabbbabbbaaaa +++ +++
, deci ”∙” este
asociativă pe Z.
⚫ Comutativitatea. Fie
()()Z baba 2 2 11 ,,, . Atunci:
()()( )12 21 21 21 2 2 11 , , , bababbaa baba + +=
și
()()( )21 12 12 12 11 2 2 , , , bababbaa ba ba + += ,
adică ”
” este comutativă pe Z (pentru că ”
” este comutativă pe ℕ și
1 2 1 2, , ,a a b b
).
⚫
()0,11= este elementul unitate din Z:
()()()()()()ba b a ba ba , 0,0 , 0,1 0,1, =++==
.
⚫ Înmulțirea numerelor întregi este o operație distributivă în raport cu adunarea.
Fie
()()()Z bababa 3 3 2 2 11 ,,,,, . Atunci:
(1)
()()() ()( )
( )31 21 31 21 31 21 31 213 2 3 2 11 3 3 2 2 11
,, , , , ,
ababbababbbbaaaabbaaba ba ba ba
+++ +++=++=+ și
()()()()( )
( )=+ +++ +=+
31 31 31 3121 21 21 21 3 3 11 2 2 11
,, , , , ,
abbabbaaabbabbaa baba baba
( )31 31 21 21 31 31 21 21 , abbaabbabbaabbaa +++ +++ (2)
Din relațiile (1) și (2) rezultă că ”
” este distributivă față de ”+”.
Deci
),,(+Z este u n inel comutativ și unitar.
Propoziția 4.6. Funcția
() : , ( ) ,0 Z n n→=
este morfism injectiv de monoizi.
Demonstr ație: Fie
12,nn
.
()()()() ()2 1 2 1 2 1 2 1 )( 0, 0, 0, n n n n nn nn +=+=+=+ și
este morfism de
monoizi.
32
Fie
12,nn
astfel încât
()()()()()()0, ~0, 0, 0,2 1 2 1 2 1 n n n n n n == . Atunci
=2 1nn
este injectivă.
Observație :
()()() , ,0 , , , n m n m n m n m n m = − = −
Vom nota cu
()() ,0 : , : , , Z n n n m n m n m+= =
. Mulțimea
+Z se
numește mulțimea numerelor întregi pozitive , o putem identifica cu ℕ (prin
, din
propoziția 4.6 .).
Vom nota cu
() *0, : Z n n−=
. Mulțimea
−Z se numește mulțimea numerelor
întregi strict negative.
Observație:
() , : , , Z n m n m n m−=
.
Vom nota
0*−=Z Z .
Observație:
Z Z Z=−+ și
=−+Z Z , deci
+Z și
−Z constituie o partiție a lui
Z
.
Vom înlocui clasele de forma
()0,n cu n, adică scufundăm ℕ în Z, înlocuind
+Z
cu ℕ. De asemenea, înlocuim
−Z cu
*nn− = −
și vom nota cu ℤ noua
mulțim e, care est e un inel izomorf cu Z, iar
.
În continuare, vom nota
)(b a−+ prin a-b.
Numerele întregi din
−
sunt numere negative, care se notează c u semnul ” -” în
fața lor ( -3,-4,-5 etc).
*a+
dacă și numai dacă
a−−
, iar
(), a a a− − =
.
Propoziția 4.7. Mulțimea ℤ este numărabilă.
Demonstrație : Funcți a
2 , 0: , ( )2 1, 0x dacăxf f xx dacăx →= − −
este bijectiv ă,
deci ℤ este numărabilă.
Relația de ordine pe ℤ
Definiția 4.8. Fie
,ab
. Dacă b-a=b+( -a)
+=
, atunci vom spune că a
este mai mic s au egal cu b și vom nota
ba . Spunem că a este strict mai mic decât b
și vom nota
ba , dacă
baba , .
Propoziția 4.9.
( , )
este mulțime ordonată.
33
Demonstrație : Fie
,ab
Reflexivitatea:
, a a a
Antisimetria:
ba și
ab , atunci
ba=
Tranzitivitatea:
ba și
cb , atunci
ca .
Propoziția 4.10.
(),
este mulțime total o rdonată.
Demonstrație : Fie
,ab
. Vom arăta că
ba sau
ab .
a b a b+ − + − = −
sau
ab−−
.
Dacă
a b b a+−
, iar dacă
a b a b−−
.
Observa ție: Dacă
,,abc
astfel încât
cbcaba ++ (relația ”
” este
compatibilă cu relația ”+” pe ℤ).
Înmulțirea pe ℤ extinde înmulțirea pe ℕ:
”
”
:→
,
() ba ba→, , unde
()(), dac ă ,
( ), dac ă ,
, dac ă ,a b a b
a b a b a b
a b a b−
−
= − −
− −
Propo ziția 4.11. i)
(),,+
este domeniu de integritate.
ii) Dacă
,ab
astfel încât
0=ba , atunci
0=a sau
0=b .
iii) Dacă
,,abc
astfel încât
ba și
0c , atunci
cbca .
iv) Dacă
,,abc
astfel încât
cbca și
0c , atunci
ba .
v) Dacă
,,abc
astfel încât
ba și
0c , atunci
cbca .
Demonstrație : i) Am demonstrat în propoziția 4.5 . că
(),,+
este inel comutativ
și unitar. Vom mai demonstra acum că ℤ nu admite divizori propr ii ai lui 0.
Fie
()()1 1 2 2, , ,a b a b
astfel încât
()()()0,0 , ,2 2 11 =baba . Atunci:
( )()12 21 21 21 12 21 21 21 0,0 , bababbaa bababbaa +=+=+ +
.
Fie
1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 sau } S a a a b b a b a b a b a b= + = + = =
Este clar că
S a=01 , pentru că am avea:
deci ,01 1 1 12 21 ba b babb = == sau
01b
și atunci
2 2ba= .
Dacă
S as a Sa =+ )(11 1 1 .
Într-adevăr, dacă avem
()()1 1 12 2 1 21 2 1 1 1 1 b a bab a bba a =+++=++ sau
2 2ba= ,
arătând prin inducție că mulțimea:
34
()() 2 2 1 1 12 2 1 21 2 1 1 sau 1 1 1 : ba b a bab a bba a b = =+++=++N coincide cu ℕ.
Așadar
S=
.
ii) Fie
,ab
astfel încât
0=ba ,
()()1 1 2 2, , , a x y b x y= =
.
Dacă
()()()( )()0,0 , 0,0 , , 012 21 21 21 2 2 1 1 =+ +== yxyxyyxx yx yx ba
1 1yx=
sau
02 2 == a yx sau
0=b .
iii) Fie
,,abc
astfel încât
ba și
0c . Dacă
0 a b a b a b− − −
, iar dacă
0cc
. Atunci
()()() () bcac bacbcacc ba cba −=−=−−−=− 0
.
iv) Fie
,,abc
astfel încât
cbca și
0c . Din
0− bcac bcac
()0− bac
, iar cum
0c
ba ba − 0 .
v) Fie
,,abc
astfel încât
ba și c
0 . Din
0 a b a b a b− − −
,
iar pentru că
0cc−
.
Atunci
()()() bcac bacbcacc ba cba −=−=−−−=− 0) ( .
Definiția 4.12. Funcția
:→
,
()aa a −= , max se numește funcția modul
sau valoare absolută .
−=0 dacă ,0 dacă ,
a aa aa
.
Observa ții: i)
0 0== a a . Dacă
aa a =0 , dac ă
a a a −=0 , deci
0=a
, astfel încât
0=a .
ii)
ba ab=
◆ Dacă
ba ab ab ab ba == ,0 0,
◆ Dacă
()() ba ba ab ab ab ba =−−== ,0 0,
◆ Dacă
() ba ba ab ab ab b a =−=−= 0 0,0
◆ Dacă
ba ab ab ab ab b a =−=−= 0 0,0 .
iii)
baba++ (egalitatea are loc dacă a și b au același semn sau unul dintre
ele este 0)
◆ Dacă
baba ba ba +=++ 0 0,
◆ Dacă
baba ba ba ba +=−−=++ 0 0,
35
◆ Dacă
0 sau 0 0,0 ++ ba ba b a .
Dacă
baaababa ba +=+=++ 0 ,
Dacă
babb ba ba ba +=−−−=++ 0 .
Defini ția 4.13. Fie
,ab
. Spunem că a divide pe b dacă există
c
astfel
încât
cab= .
Notați e:
ba/ sau
ba
și vom spune că a este un divizor al lui b și b este un
multiplu al lui a sau că b este divizibil cu a.
Obse rvație: Relația de divizibilitate ”/” pe ℤ are următoarele pr oprietăți:
a) este reflexivă:
() / , a a a
, pentru că
1=aa
b) este tranzitivă: dacă
,,abc
astfel încât
ba/ și
cb/ , atunci
ca/ , pentru că
din
/,a b b ax x =
și din
/,b c c by y =
. Deci
ca xyac / )(= .
c) nu este antisimetrică: dacă
,ab
astfel încât
ba/ și
ba ab=/ .
Deci, ”/” este o relație de cvasiordine (preordine) pe ℤ.
Dacă
*,,abc
și
ba ba cacab bacab === / / .
Dacă
ba/ și
ba ab=/ și reciproc, deci
a b= . Spunem atunci că a este
asociat în divizibilitate cu b.
Teorema 4.14. ( Teorema împărțirii cu r est în ℤ ) Fie
,ab
cu
0b . Atunci
există unice
,qr
astfel încât
rbqa+= și
br0 .
Dem onstra ție: Vom demonstra mai întâi existența.
I) Dacă
00 00 +== b a și
b=00 și putem lua
0,0==r q .
II) Dacă
0a și
0b vom aplica Teorema împărțirii cu rest în ℕ, deci
() ,qr
astfel încât
rbqa+= și
bbr=0 .
III) Dacă
0a și
0b , atunci
,ab−
și aplicând Teorema împărțirii cu rest în
ℕ
(),, ,qr
astfel încât
, ,r bqa+=− și
bbr=,0 .
Avem
(), , , ,rqba r bqa −−=+=− , iar dac ă
0,r
, ,)1 ( rb qba −+−−= .
Atunci
bbrb=−,0 . Luăm
, , ,1 rbr q q −=−−= . Dacă
0,=r , cum
)(,qba−= ,
luăm
,q q−= și
0=r .
IV) Dacă
0a și
0,b a b −
și aplicând Teorema împărțirii cu rest în ℕ,
obținem că
(),, ,qr
astfel încât
, ,)( rqb a+−= și
, , ,)( 0 r qbab r +−=−
36
și
bb r=−,0 . Luăm
,q q−= și
,rr= .
V) Dacă
0a și
0,b a b − −
. Aplic ând Teorema împărțirii cu rest în ℕ,
rezultă că
(),, ,qr
, astfel încât
, ,)( rqb a+−=− și
bb r=−,0 , deci
, ,r bqa−=
și
bb r=−,0 . Atunci
(), ,) 1( rb q ba −−++= și
b rb−−−,0 .
Dacă
0,r , cum
) () 1(, ,rb q ba −−++= și
b rb−−−,0 , luăm
,1q q+= și
,rb r−−=
. Dacă
, , ,)( 0 bqa qb a r =−=−= , luăm
,qq= și
0=r .
Vom demonstra acum unicitatea.
Presupunem că există alte numere
,,,qr
astfel încât
, ,r bqa+= , cu
br,0 .
Fără a restrânge generalitatea, presupunem că
, , ,r bqrbqrr +=+ , deci obținem
) (, ,qqbrr −=−
,
qqbrr −=−, , . Din alegerea celor patru numere rez ultă că
brrrrr brr −=−, , , ,0 , 0
. Dac ă am avea
0 0, ,−− rr qq ,
adică
b rr−, , contradicție cu alegerea lui
r și
,r, deci
qq qq ==−, ,0 și
rr=,
.
Corolar 4.15. Inelul ℤ al întregilor raționali este un inel euclidian, deci principal,
deci factorial.
Observație: Orice ideal din ℤ este principal, deci de forma nℤ, cu
n
. Mai
mult, putem alege
n
, pentru că n și -n generează același ideal.
Definiția 4.16. Fie
,ab
. Spunem că
d
este un cel mai mare divizor
comun (c.m.m.d.c.) pentru a și b, dacă sunt respectate condițiile:
a)
ad/ și
bd/
b) dacă
,d
astfel încât
ad/, și
bd/, , atunci
dd/, .
Notăm cu (a,b) =c.m.m.d.c.( a,b).
Observație: Dacă
()1 ,=ba , numerele a și b se numesc relativ prime.
Definiția 4.17. Fie
,ab
. Spunem că
m
este cel mai mic multiplu comun
(c.m.m.m.c.) pentru a și b, dacă sunt respectate condițiile:
a)
ma/ și
mb/
b) dacă
,m
astfel încât
,/am și
,/mb , atunci
,/mm .
Notăm cu
ba, =c.m.m.m.c.
()ba, .
37
Observație: Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun a două
numere întregi sunt unice până la asocierea în divizibilitate, adică până la semn.
Corolarul 4.15 . ne permite să aflăm cel mai m are divizor comun a două numer e
întregi cu ajutorul algoritmulu i lui Euclid.
Algoritmul lui Euclid
Fie
, , 0a b b
. Aplicând succesiv Teorema împărțirii cu rest, dacă
ba/ și
ab/ ,
găsim șirul de împărțiri:
0 0 0 0 0 , 0 , , a bq r r b q r= +
0 1 1 1 0 1 1 , 0 , , b r q r r r q r= +
0 1 2 2 2 1 2 2 , 0 , , r rq r r r q r= +
1 2 3 3 3 2 3 3 , 0 , , r r q r r r q r= +
….………………………………
2 1 1 , 0 , ,n n n n n n n nr r q r r r q r− − −= +
Dar la nțul descendent de numere naturale
1 2 1… … rr rrn n − se termin ă
după un număr finit de pași, deci există
*n
astfel încât
0nr și
01=+nr , ultima
împărțire fiind
1 1 + −=nn n qr r , unde
01=+nr .
Acest rest
nr este cel mai mare divizor comun al numerelor a și b. Mai mult,
deoarece ple când de la orice rest, se obține algoritmul lui Euclid, pentru două resturi
succesive avem:
1,0 ),,(),(),(1 0 −= ===+ n i rr rb ba rii n .
Observație : Utilizând relațiile din acest algori tm, găsim scrierea lui (a,b) ca o
combinație liniară cu coeficienți în ℤ de numerele a, b.
38
CAPITOLUL 2
DIVIZIBILITATEA NUMERELOR NATURALE.
DIVIZIBILITATEA NUMERELOR ÎNTREGI
1. RELAȚIA DE DIVIZIBILITATE PE ℤ STUDIATĂ ÎN ȘCOALĂ
Începând cu anii 80-90 în sistemel e de educație au apărut schimbări majore , pentru
o educație ca litativă pentru toți elevii , care să mulțumescă tot mai mult nevoile și
solicitările individului .
Începând cu anul școlar 2017 au fost realizate noile programe școlare pentru
învățământul gimnazial, iar aceste programe se aplică în prezent la clasele a V -a, a VI –
a și a VII -a, iar din anul școlar 2020 -2021 vor putea fi aplica te și la clasa a VIII -a.
Noile programe școlare sunt orientate pe formarea și dezvoltarea competențelor
elevilor; au o structură care pornește de la un profil de formare, construit pe b aza
competențelor -cheie europene ( comunicare în limba maternă, comunicare în limbi
străine, competențe matematice și competențe de bază în științe și tehnologii,
competența digi tală, a învăța să înveți, competențe sociale și civice, spirit de inițiativă
și antreprenoriat, sensibilizare și exprimare culturală ), aceste competențe referindu -se
la produse ale învățării, fiind sisteme de cunoștințe, atitudini și abilități care vor fi
formate tuturor elevilor ca mijloace culturale pentru învățarea de-a lungul întregii vieți.
Programa școlară la disciplina matematică cuprinde:
1. Nota de prezentare – Ce urmărim?
– Abilități: argumentare, dezvoltare de raționament logic, spirit și gândire critică,
analizare, interpretare de probleme .
– Atitudini: respect pentru ad evăr, perseverență pentru găsirea celor mai eficiente soluții,
dezvoltarea de argumente și evaluarea validității acestora, gândire deschisă și creativă,
spirit de observați e dezvoltat, inițiativă și capacitate decizională, independență în
gândire, capacit atea de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța presupuse de
raționamente, exersarea obișnuinței de a recurge la modele matematice în abordarea
unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice.
– Calități: spirit de echipă, încredere în sine, respect pentru ceilalți, toleranță, curaj de a
prezenta o opinie personală, spirit de inițiativă, autonomie în învățare, automotivație.
39
Prin ce abordări?
– individua le;
– frontale;
– pe grupe.
2. Competențe generale :
– achiziții de cunoaștere și de comportament ale elevului;
– sunt comune întregului ciclu de învățământ gimnazial;
– sunt repere de orientare generală a procesului educațional.
3. Competențe specifice:
– provin din competențele generale;
– sunt redate prin verbe de acțiune , ce pot fi ev aluate ;
– sunt indicatori pentru proiect area didactice și constituie țeluri ce trebuiesc atinse.
Exemple de activități de învățare:
– pun în valoare experiența reală a elev ului;
– se referă strict la activitatea elevului și nu la cea a profesorului;
– definesc contexte de învățare variate;
– reprezintă o ofertă flexibilă;
– profesorul poate să modifice, să înlocuiască sau să completeze aceste activită ți cu
altele adecvate clasei de elevi;
– oferă posibilitatea de a se realiza un demers didactic personalizat , care să asigure
formarea sau dezvoltarea competențelor prevăzute de programă, în contextul specific
al fiecărei clase.
4. Conținuturi:
– reprezintă mijloacele prin care se formează și se dezvoltă competențele specifice;
– sunt selectate pe principiul contin uității și al coerenței;
– sunt puternic interconectate, parcurgerea lor integrală permite elevului să realizeze
conexiuni între idei, texte cu con ținut matematic, reprezentări grafice și formule, în
scopul rezolvării de probleme de natură teoretică sau pr actic -aplicativă.
5. Sugestii metodologice:
A) Formarea, exersarea și dezvoltarea competențelor matematice:
– mai mult decât a învăța concepte;
– implică numeroase procese cognitive și metacognitive;
– prin experiențe de învățare din cadrul procesului de predare -învățare -evaluare;
– crearea de contexte pentru conexiuni intradisciplinare, între abstract și practic;
40
– mijloacele TIC reprezintă un avantaj important în explorarea de concepte și relații
matematice .
B) Proiectarea și desfășurarea activităților de învăț are:
– cu valorificarea și dezvoltarea experiențelor anterioare și a modului de gândire
formată;
– sarcinile de învățare eșalonate după grad de dificultate;
– nivelul de aprofundare și complexitatea conținuturilor corelate cu nivelul de
dezvoltare cognitiv ă;
– introducerea conceptelor implicând un proces intuitiv, pornind de la exemple din
realitatea înconjurătoare, de la experiența anterioară a elevilor și de la conexiunile
intradisciplinare și interdisciplinare.
Observație: 75% din timpul alocat orelor vi zează programa, iar 25% din timpul
alocat o relor reprezintă ore la dispoziția profesorului pentru activități remediale, de
fixare sau de progres.
◆ Abordarea intuitivă – Gândirea structurată
– la clasele a V-a și a VI -a la bază este intuiția , nu se insistă p e notații, nu se folosesc
abstractizări
– la clasele a VII -a și a VIII -a contextele de învățare permit dezvoltarea gând irii
structurate, teoretizări sau raționamente mai ample, corelarea cu domenii conexe sau
situații practice, inclusiv familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor
cunoașterii.
◆ Adaptabilitate și actualitate
– utilizarea diferitelor mijloace de învățare, inclusiv softuri matematice;
– utilizarea adecvată a regulilor de calcul pentru a investiga idei matematice și pentru a
rezol va diverse situații problematice;
– manifestarea competenței matematice în viața de zi cu zi, pen tru a face față situațiilor
standard și non -standard.
În programa școlară de matematică pentru gimnaziu, competențele generale (CG)
vizate la nivelul disciplin ei, încadrează achizițiile de cunoaștere și de comportament ale
elevului, fiind comune întregului ciclu de învățământ gimnazial și redând, într -un mod
particularizat pentru această disciplină, orientarea generală a procesului educațional.
Acestea sunt urmă toarele:
CG 1: Identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în contextul în care
aceste a apar
41
CG 2: Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural,
cuprinse în diverse surse informaționale
CG 3: Utilizarea conceptelor ș i a algoritmilor specific i în diverse contexte
matematice
CG 4: Exprimarea în limbajul specific m atematicii a informațiilor, concluziilor și
demersurilor de rezolvare pentru o situație dată
CG 5: Analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații da te
CG 6: Modelarea matematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din
diferite dom enii
Competențele specifice (CS) sunt competențe derivate din competențele generale
și reprezintă etape măsurabile în formarea și dezvoltarea acestora. Pentru formarea și
dezvoltarea competențelor specifice , în programă sunt propuse exemple de activități
de învățare care valorifică experiența concretă a elevului și care definesc contexte de
învățare variate.
Conținuturile reprezintă decupaje didactice relevante pentru matematică,
structurate și abor date astfel încât să fie accesibile elevilor de gimnaziu. Ele sunt
mijloace informaționale prin care se formează și se dezvoltă competențele specifice.
La clasa a V -a, la domeniul de conținut ”Numere” regăsim în capit olul 1
intitulat ”NUMERE NATURALE”, subcapitolul ”Divizibilitatea numerelor
naturale” , care cupri nde următoarele noțiuni: ”Divizor; multiplu; multipli comuni”
și ”Criterii de divizibilitate cu: 2, 5,
n10 , 3 și 9; numere pr ime; numere compuse ”.
De asemenea, la domeniul de conținut ”Numere. Organizarea datelor” regăsim în
capitolul 2 intitulat ”FRACȚII ORDINARE. FRACȚII ZECIMALE”,
subcapitolul ”Fracții ordinare”, care cuprinde următoarele noțiuni: ”Cel mai mare
divizor comun a două numere naturale (fără algoritm); amplificarea și simplificarea
fracțiilor; fracții ireductibile” și ”Cel mai mic multiplu comun a două numere
naturale (fără algoritm); aducerea fracțiilor la un numitor comun ”.
Competențele specifice asociate conținu turilor de mai s us, da r și activitățile de
învățare sugerate în programa școlară sunt următoarele:
CS 1.1: Identificarea numerelor naturale în contexte variate , activitatea de
învățare: identificarea unui număr natural pe baza unor condiții impuse cifrelor sale.
42
CS 2.2: Efectuarea de calcule cu fracții folosind proprietăți ale operațiilor
aritmetice , activitatea de învățare: simplificarea unei fracții ordinare în vederea
obținerii unei fracții ireductibile (prin simplificări succesive, dacă este cazul) .
CS 3.1: Utilizarea regulilor de calcul pentru efectuarea operațiilor cu numere
naturale și pentru divizibilitate , activitatea de învățare: determinarea unui număr
natural pe baza unor condiții impuse cifrelor sale .
CS 4.1. Exprimarea în limbaj matematic a uno r propr ietăți referitoare la
comparări, aproximări, estimări și ale operațiilor cu numere naturale , activitatea de
învățare: exprimarea unor numere naturale de două cifre ca produs de numere prime .
CS 5.1. Analizarea unor situații date în care intervin num ere naturale pentru a
estima sau pentru a verifica validitatea unor calcule , activități de învățare:
determinarea unor numere naturale care respectă anumite condiții (de exemplu,
determinați numerele prime a și b, știind că 3a+2b=16 ); aplicarea criter iilor de
divizibilitate a numerelor naturale pentru situații cotidiene.
La clasa a VI -a, la domeniul de conținut ”Mulțimi. Numere” regăsim în capitolul
1 intitulat ”MULȚIMI. MULȚIMEA NUMERELOR NATURALE” următoarele
noțiuni: ”Descompunerea numerelor naturale î n produs de puteri de numere prime;
aplicație: determinarea celui mai mare divizor comun ( c.m.m.d.c. ) și a celui mai mic
multiplu comun ( c.m.m.m.c. ) ; numere prime între ele” și ”Proprietăți ale
divizibilității în ℕ:
aa/ , unde
a
;
ba/ și
cacb / / , unde
,,abc
;
ba/
și
) /( / cbaca unde
,,abc
;
bca/ și
() ca ba / 1 ;= , unde
,,abc
.
Tot în programa clasei a VI -a, la domeniul de conținut ”Mulțimi. Numere” regăsi m
în capitolul 3 intitulat ”MULȚIMEA NUMERELOR ÎNTREGI” următoarele
noțiuni: ”Mulțimea numerelor întregi; opusul unui număr întreg; rep rezentarea pe
axa numerelor; modulul unui număr întreg; compararea și ordonarea numerelor
întregi”, ”Adunarea numerelor î ntregi, proprietăți; scăderea numerelor
întregi”, ”Înmulțirea nmerelor întregi, proprietăți”, ”Împărțirea numerelor între gi
când deîmpă rțitul este multiplu al împărțitorului”, ”Puterea cu exponent număr
natural a unui număr întreg nenul; reguli de calcul c u puteri”, ”Ordinea efectuării
operațiilor și folosirea parantezelor”, ”Ecuații, inecuații, probleme care se rezolvă cu
ajutorul ecuați ilor/inecuațiilor în contextul numerelor întregi”.
43
Competențele specifice asociate conținuturilor de mai sus, dar și activitățile de
învățare sugerate în programa școlară sunt următoarele:
CS 1.1: Identificarea unor noțiuni specifice mulțimilor și relației de divizibilitate
în ℕ, activitățile de învățare: recunoașterea unor mulțimi finite sau infinite (mulțimea
numerelor nat urale, mulțimea numerelor naturale pare/impare, mulțimea cifrelor unui
număr , mulțimea divizorilor/multiplilor unui număr natural); recunoașterea unor
numere prime; identificarea, dintr -o mulțime de numere, a unui număr compus;
identificarea unui divizor a l unui număr dat; scrierea unui număr natural de două cifre
ca produs de put eri de numere prime, prin observare directă; scrierea mulțimii
divizorilor unui număr natural folosind descompunerea în produs de numere prime;
recunoașterea unor perechi de numere prime între ele .
CS 1.3: Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate , cu
activitățile de învățare: identificarea unui număr întreg în situații practice sau
interdisciplinare ( de exemplu: temperaturi, altitudini, golaveraje, debi t/credit );
reprezentarea pe axa numerelor a opusului unui număr întreg; mod ulul ca distanță pe
axa numerelor de la origine la reprezentarea numărului; identificarea unor contexte
practic -aplicative sau teoretice care folosesc ecuații sau inecuații în mulț imea
numerelor întregi .
CS 2.1: Evidențierea în exemple a relațiilor de apar tenență, de incluziune, de
egalitate și a criteriilor de divizibilitate cu 2, 5,
n10 , 3 și 9 în ℕ, cu activitățile de
învățare: identificarea unor numere naturale care se divid cu 2, 5,
n10 , 3 sau 9,
utilizând criteriile de divizibilitate; scrierea unui număr natural ca produs de puteri de
numere prime folosind descompunerea în factori primi; selectarea dintr -o enum erare
a numeelor naturale prime/compuse .
CS 2.3: Utilizarea operațiilor cu numere întregi pentru rezolvarea ecuațiilor și a
inecuațiilor , cu activitățile de învățare: compararea numerelor întregi, pornind de la
reprezentările acestor a pe axa numerelor; ord onarea elementelor unei mulțimi finite
de numere întregi; utilizarea regulilor specifice pentru efectuarea operațiilor cu
numere întregi: adunare, scădere, înmulțire, împărțire și ridicare la putere cu exponent
natural; validarea (pr in probă) a soluției un ei ecuații sau a unei i necuații în mulțimea
numerelor întregi .
CS 3.1: Utilizarea unor modalități adecvate de reprezentare a mulțimilor și de
determinare a c.m.m.d.c . și a c.m.m.m.c. cu activitățile de învățare: determinarea
44
c.m.m.d. c./c.m.m.m.c. prin desc ompunerea numerelor naturale în produs de puteri de
numere prime; verificarea, prin exemple, a proprietății
() bababa =; ; , unde a și b
sunt numere naturale ( de exemplu, calcularea c.m.m.m.c. pentru numere prime între
ele ); utiliza rea unor exemple pentru deducerea unor proprietăți ale relației de
divizibilitate în mulțimea numerelor naturale .
CS 3.3: Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea
operațiilor cu numere întregi , cu activitățile de învățare: aplicarea unor proprietăți ale
operațiilor cu numere întregi pentru optimizarea calculelor numerice; utilizarea
regulilor de calcul cu puteri ( calcule numerice ); utilizarea eficientă a metodelor de
determinare a unei necunosc ute dintr -o ecuație sau inecuație ( metoda mersului invers,
metoda balanței, transformări ale relațiilor de egalitate ).
CS 4.1: Exprimarea în limbaj matematic a unor situații concrete care se pot
descrie utilizând mulțimile și divizibilitatea în ℕ, cu activitățile de învățare: utilizarea
terminologiei specifice divizibilității; redactarea rezolvării unor probleme referitoare
la relația de divizibilitate în ℕ.
CS 4.3: Redactarea etapelor de rezolvare a ecuațiilor și inecuațiilor studiate în
mulțimea numerelor întregi , activitățile de învăț are: formularea unor răspunsuri
logice în raport cu cerințe de calcul numeric (corelații intradisciplinare; de exemplu:
apartenența rezultatului unui calcul la o mulțime, estimarea rezultatului unui calcul la
o mulț ime, estimarea rezultatului, utilizarea l ui 0 ca factor în produse de numere);
scrierea unei ecuații/inecuații echivalente cu o ecuație/inecuație dată; redactarea
demersului de rezolvare a unor ecuații sau inecuații în mulțimea numerelor întregi
(inclusiv verificarea soluțiilor); transpunerea une i probleme într -o ecuație care se
rezolvă în mulțimea numerelor întregi; exprimarea unor caracteristici ale modulului,
derivate din definiția acestuia (
ax= ,
ax ,
ax , unde a și x sunt numere
întregi ).
CS 5.1: Analizarea unor situații date în contextul mulțimilor și al divizibilității
în ℕ cu activitățile de învățare: analizarea și compararea unor metode diferite de
rezolvare a unei probleme de divizibilita te; aplicarea proprietăților divizibilității în ℕ
pentru rezolvarea exercițiilor cu fracții .
CS 5.3: Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utiliz ând numerele
întregi , cu activitățile de învățare: analizarea unor situații practice în care se utilizează
numere întregi; analizarea unor consecințe posibile ce decurg din modificarea unui set
45
de ipoteze în probleme referitoare la numere întregi; încadrarea so luției unei ecuații
într-o mulțime de numere întregi, fără a efectua calcule .
CS 6.1: Tran spunerea, în limbaj matematic, a unor situații date utilizând
mulțimi, operații cu mulțimi și divizibilitatea în ℕ, cu activitățile de învățare:
identificarea în situ ații practice a unor intersecții, reuniuni sau diferențe de mulțimi
( de exemplu: criterii de divizibilitate, numere de două cifre ); rezolvarea unor
probleme practice utilizând proprietățile divizibilității în ℕ.
CS 6.3: Transpunerea, în limbaj algebric, a unei situații date, rezolvarea ecuației
sau inecuației obținute și interpretarea rezulta tului , cu activitățile de învățare:
trans punerea unei situații date în limbaj matematic, utilizând ecuații sau inecuații;
formularea de probleme cu numere întregi pe baza unei scheme date sau a unui
exercițiu dat; formularea unor probleme echivalente cu o problemă dată în contextul
numerelor într egi.
2. DIVIZIBILITATEA ÎN CLASELE GIMNAZIALE
2.1. Divizibilitatea în manualele din anii ‘90
Actualele programe școlare au fost elaborate din perspectiva trecerii de la modelul
de proiectare curriculară centrat pe ob iective – elaborat și implementat în sistemul
românesc de învățământ la mijlocul anilor ’90 – la modelul centrat pe competențe.
Manua lele opționale au fost introduse începând din anul 1997 la gimnaziu și din
anul 1999 la liceu, ca o expresie a pluralismulu i dintr -o societate democratică.
Astfel, în manualul pentru clasa a V -a , realizat pe baza programei școlare
aprobate cu nr. 39197/1. VII.1983 ( autori: prof. univ. dr. C.P. Popovici , prof. I.C. Ligor ,
prof. dr. I.G. Borca, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1990 ), conținuturile
sunt structurate astfel:
• Capitolul I: Numere naturale , capitol ce cuprinde următoarele subcapitole:
Recapitularea materiei din clasele I -IV și completări ; Reprezentarea numerelor
naturale pe o dreaptă ; Adunarea ; Scăderea ; Înmulțirea ; Ordinea efectuării
operațiilor ; Împărțirea ; Teorema împărțirii întregi ; Factor comun ; Ordinea
efectuării oper ațiilor ; Puterea unui număr natural ; Înmulțirea de puteri cu
aceeași bază ; Puterea unei puteri ; Puterea unui produs ; Împărțirea de pute ri cu
aceeași bază ; Ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor ; Metode de
46
rezolvare a problemelor de aritme tică; Sisteme de numerație ; Exerciții și
probleme .
• Capitolul II: Utilizarea literelor în calcule , cu subcapitolele: Mulțimi ;
Simboluril e ∈, ∉; Diagrame Venn -Euler ; Mulțimea vidă ; Incluziune.
Submulțimi ; Mulțimi egale ; Operații cu mulțimi ; Utilizarea literelor în calcule ;
Propoziții adevărate. Propoziții false ; Operații cu numere naturale și relația de
ordine pe ℕ; Noțiunile de ecuație, i necuație și mulțimea so luțiilor ; Exerciții și
probleme .
• Capitolul III: Divizibilitatea numerelor naturale, ce cuprinde subcapitolele:
Chestiuni pregătitoare ; Definiția divizibilității. Divizor. Multiplu ; Proprietăți
ale divizibilității numerelor naturale ; Criterii de divizibilitate ; Mulțimea
divizorilor unui număr natural ; Numere prime ; Cum recunoaștem dacă un
număr natural este prim ; Ciurul lui Eratostene ; Scrierea unui număr natural ca
produs de puteri de numere prime ; Înmulțirea și împărțirea numerelor n aturale
scrise ca produse de puteri de numere prime ; Divizor comun. Cel mai mare
divizo r comun al mai multor numere naturale ; Aflarea celui mai mare divizor
comun prin descompunere în factori primi ; Numere prime între ele ; Multiplu
comun. Cel mai mic multi plu comun al mai multor numere naturale ; Aflarea
celui mai mic multiplu comun prin desc ompunere în factori primi ; Numere pare.
Numere impare ; Exerciții și probleme .
• Capitolul IV: Numere raționale pozitive
În capitolul al III -lea, Divizibilitatea numerelor naturale , la Chestiuni pregătitoare
se reamintesc următoarele noțiuni: cifre pare, cifre impare, scrierea numerelor naturale
în baza zece, distributivitatea înmulțirii față de adunare, asociativitatea înmulțirii și
proprietatea că suma a două numere natura le este tot un număr natural.
Pentru subcapitolul al doilea, Definiția divizibilită ții. Divizor. Multiplu , după
câteva exemple, regăsim definiția divizibilității :
Un număr natural a este divizibil cu un număr natural b, dacă există un număr
natural c astf el încât a=b ⋅𝒄. (spunem că ”a se divide cu b”, ”b divide pe a”, ”b este
divizor al lui a”, ”a este multiplu al lui b”).
Exemplu: 8 este divizibil cu 4, pentru că există numărul natural 2, astfel încât 8=4 ∙
2. Notăm 8 ⋮4 sau 4∕8 (8 se divide cu 4, sau 4 îl divide pe 8, 4 este divizor al lui 8, 8
este multiplu al lui 4).
47
Fiecare definiție, proprietate sau observație este însoțită atât de exemple, cât și de
contraexemple. Propoziția ”orice număr natural par este divizibil cu 4”, este o
propoziție falsă, deoar ece 6 este un număr par, dar e l nu este divizibil cu 4. S -a arătat
acest lucru folosin d un contraexemplu.
2.1.1. Proprietăți ale relației de divizibilitate
Subcapitolul al treilea, Proprietăți ale divizibilității numerelor natural e,
debutează de asemenea cu ex emple: numărul 5 este divizib il cu 1, pentru că există un
număr natural, anume 5, astfel încât 5=1 ∙5 sau 4 este divizibil cu 1, pentru că există
numărul natural 4, astfel încât 4=1 ∙4. Se pune astfel problema dacă orice număr natural
are proprietatea de a f i divizibil cu 1.
(1) Orice număr natural este divizibil cu 1.
Fie 𝑎∈ℕ. Atunci există 𝑎∈ℕ, astfel încât a=1⋅𝑎. Deci, a este divizibil cu 1, iar
această proprietate mai poate fi enunțată astfel:
(1’) 𝟏∕𝒂, oricare ar fi 𝒂∈ℕ.
Numărul 0 este divizibil cu 2, pentru că există un număr natural, anume 0, astfel
încât 0=2⋅0.
(2) 0 este divizibil cu orice număr natural.
Fie 𝑎∈ℕ. Atunci există 0∈ℕ, astfel încât 0=𝑎∙0. Deci, 0 este divizibil cu a,
proprietate care mai poate fi enunțată și astfel:
(2’) a∕𝟎, oricare ar fi 𝑎∈ℕ.
Numărul 7 este divizibil cu 7, pentru că există un număr na tural, și anume 1, astfel
încât 7=7∙1.
(3) Orice număr natural se divide cu el însuși.
Fie 𝑎∈ℕ. Există atunci 1∈ℕ, astfel încât 𝑎=𝑎∙1, deci a este divizibil cu a,
iar alt enunț al proprie tății ar fi următorul:
(3’) 𝒂∕𝒂, oricare ar fi 𝒂∈ℕ.
(4) Fie a și b două numere naturale. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil
cu a, atunci a=b.
Pentru demonstrarea acestei propoziții putem scrie 𝑎=𝑏⋅𝑐 și 𝑏=𝑎⋅𝑑. Vom
considera cazul 𝑎≠0 ,𝑏≠0 și vom înmulți membru cu membru cele două egalități
de mai sus, obținând: 𝑎⋅𝑏=𝑏∙𝑎∙𝑐∙𝑑, iar dacă împărțim ambii membrii cu ab,
48
obținem 1=𝑐⋅𝑑. Dar , dacă produsul a două numere naturale este 1, atunci fiecare
factor va fi egal cu 1, deci c=1, d=1, de unde deducem că 𝑎=𝑏∙1, adică a=b. Dacă
a=0 sau b=0, propoziția este adevărată. Proprietatea (4) mai poate fi enunțată și astfel:
(4’) Dacă 𝒂∕𝒃 și 𝒃∕𝒂, atunci a=b, oricare ar fi 𝑎,𝑏∈ℕ.
Numărul 9 este divizibil cu 3, iar 18 este divizibil cu 9. Atu nci și 18 este divizibil cu 3.
(5) Fie a ,b, c trei numere naturale. Dacă b se divide cu a, iar c se divide cu b,
atunci c se divide cu a.
Dacă b se divide cu a înseamnă, conform definiției , că există un număr natural m,
astfel încât 𝑏=𝑎∙𝑚, iar dacă c se divide cu b înseamnă că există un număr natural n,
astfel încât 𝑐=𝑏⋅𝑛. Putem scrie atunci că 𝑐=𝑏⋅𝑛=(𝑎∙𝑚)⋅𝑛=𝑎⋅(𝑚⋅𝑛),
adică c se divide cu a. ( s-a aplicat proprietatea de asociativitate a înmulțirii numerelor
naturale ). Alt enunț al proprietății:
(5’) Dacă 𝒂/𝒃 și 𝒃/𝒄, atunci 𝒂/𝒄, oricare ar fi 𝑎,𝑏,𝑐∈ℕ.
3/6 și 6/12. Atunci 3/12. Observăm că 12 se divide cu toți divizor ii lui 6, adică cu
1, 2, 3 și 6.
Observație : Dacă un număr natural se divide cu alt număr natural, atunci primul
număr se divide cu toți divizorii celui de -al doilea număr.
Fie numerele naturale 4 și 10. Fiecare dintre ele se divide cu 2. Se observă că și
suma lor, adică 4+10 se divide cu 2.
(6) Dacă fiecare termen al unei sume de două numere naturale se divide cu un
număr natu ral, atunci și suma acestor numere se divide cu acel număr natural.
Această proprietate mai poate fi enunțată și astfel:
(6’) Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural n și dacă un număr
natural b se divide cu același număr natural n, atunci și suma lor a+b se divide cu
numărul natural n.
Vom demonstra că această propoziție este adevărată.
Dacă a se divide cu n, atunci există un număr natural m, astfel încât 𝑎=𝑛⋅𝑚,
iar dacă b se divide cu n, atunci există un număr natural p, astfel încât 𝑏=𝑛∙𝑝. Putem
scrie atunci că 𝑎+𝑏=𝑛𝑚+𝑛𝑝=𝑛(𝑚+𝑝), unde am folosit distributivitatea
înmulțirii față de adunare. Dac ă m și p sunt numere naturale , atunci m+p este un număr
natural; a+b se divide cu n, deci propoziția este adevărată.
(6”) Dacă n/a și n /b, atunci n/ a+b, oricare ar fi a, b, n ∈ℕ.
49
Fie suma 6+8. După cum se observă, 6 se divide cu 3, dar 8 nu se divide cu 3. Nici
suma 6+8 nu se divide cu 3.
(7) Dacă unul din termenii unei sume de două numere naturale se divide cu un
număr natural și celălalt te rmen nu se divide cu acel nu măr natural, atunci suma nu
se divide cu acel număr natural.
(7’) Fie numerele naturale a și b. Dacă numărul a se divide cu numărul natural
n și dacă numărul b nu se divide cu numărul natural n, atunci suma lor a+b nu se
divide cu n.
Vom demonstra că această propoziție este adevărată.
Dacă a se divide cu n, atunci există un număr natural m, astfel încât 𝑎=𝑛∙𝑚.
Trebuie să demonstrăm că suma a+b nu se divide cu n. Vom presupune că suma a+b
se divide cu n. În acest caz există u n număr natural p, astfel încât 𝑎+𝑏=𝑛∙𝑝. Putem
scrie deci np=nm+ b. Dar noi șt im că b nu se divide cu n. Deci, presupunerea noastră
că a+b se divide cu n ne-a condus la o concluzie absurdă, deci este adevărat că a+b nu
se divide cu n, ceea ce trebuia să demonstrăm. Această propoziție se mai poate enunța
și astfel:
(7”) Dacă n /a și n∤𝒃, atunci 𝒏∤𝒂+𝒃, oricare ar fi a, b, n ∈ℕ.
Considerăm acum diferența 12 -4. Observăm că 12≥4, 12 se divide cu 2 și 4 se
divide cu 2 . Și diferența lor 12 -4, adică 8 se divi de cu 2.
(8) Fie a, b și n numere naturale, 𝒂≥𝒃. Dacă a se divide cu n și b se divide cu
n, atunci și a -b se divide cu n.
Vom demonstra că această propoziție este adevărată. Dacă a se divide cu n și b se
divide cu n, conform definiției avem: 𝑎=𝑛∙𝑝 (𝑝∈ℕ) și 𝑏=𝑛⋅𝑞 (𝑞∈ℕ). Deci,
diferența 𝑎−𝑏=𝑛𝑝−𝑛𝑞=𝑛(𝑝−𝑞). Dar p-q este u n număr natural mai mare sau
egal cu zero, deci a-b se divide cu n. Această propoziție se mai poate enunța astfel:
(8’) Dacă n/a și n/b, atunci n/a -b, oricare ar fi 𝑎,𝑏,𝑛∈ℕ, 𝑎≥𝑏.
Numărul natural 6 se divide cu 3. Produsul lui 6 cu orice număr natural se divide
cu 3, de exemplu 6∙7 se divide cu 3.
(9) Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural n, atunci produsul
lui a cu orice număr natural se divide cu n.
Vom demons tra că ac eastă pr opoziție este adevărată.
Se știe că numărul natural a se divide cu numărul natural n, deci există un număr
natural m, astfel încât 𝑎=𝑛∙𝑚. Fie 𝑎∙𝑏 produsul numărului natural a cu un număr
50
natural oarecare b. Trebuie să demonstrăm că 𝑎⋅𝑏 se divide cu n. Putem scrie că :
𝑎∙𝑏=(𝑛∙𝑚)∙𝑏=𝑛∙(𝑚∙𝑏), unde am folosit asociativitatea înmulțirii. Numerele n
și b sunt numere naturale și produsul 𝑛∙𝑏 este număr natural, deci 𝑎∙𝑏 se divide cu
n, propoziția fiin d adevărată. Propoziția (9) se mai poate e nunța astfel:
(9’) Dacă n/a, atunci n/ab, oricare ar fi 𝒂,𝒃,𝒏∈ℕ.
Probleme rezolvate:
1. Să se afle valoarea de adevăr a propoziției: ”Dacă suma mai multor numere
naturale se divide cu un număr natural, atunci fiecare termen al sumei se divi de cu acel
număr natural” .
Vom lua un exemplu: 15=8+7; 15 se divide cu 3 și totuși 8 și 7 nu sunt divizibile
cu 3. Deci o sumă de numere naturale poate fi divizibilă cu un număr natural, fără ca
fiecare termen al sumei să fie divizib il cu acel număr natura l. Așadar, propoziția d e mai
sus este falsă, am arătat acest lucru printr -un contraexemplu .
2. Să se afle valoare de adevăr a propoziției: ” Dacă fiecare termen al unei sume
de numere naturale nu se divide cu un același număr natural, at unci nici suma nu se
divide cu acel număr natural.”
Vom lua un exemplu: 3+7=10; 3 nu se divide cu 2, 7 nu se divide cu 2 și totuși suma
lor, adică 10 se divide cu 2. Așadar, propoziția de mai sus este falsă, am arătat acest
lucru printr -un contraexemplu .
Subcapitolul 4 se refer ă la Criterii de divizibilitate .
2.1.2 . Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 10
Cercetăm mai înt âi dacă numărul 480 se divide cu 10. Putem scrie 480=48∙10,
deci n umărul natural 480 se divide cu 10. Un alt exemplu: numărul 3870= 387∙10, deci
și numărul natural 3870 se divide cu 10. Observăm că numerele 480 și 3870 au ca ultima
cifră pe 0. Vom arăta că d acă ultima cifră a unui număr natural este 0, atunci acel număr
natural este divizibil cu 10.
Fie un număr natural oarecare, de tre i cifre 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅.
Putem scrie: 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅=𝑎⋅100+𝑏⋅10+𝑐=(𝑎∙10+𝑏)∙10+𝑐=𝑎𝑏̅̅̅⋅10+𝑐.
Dacă c=0, atunci 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅=𝑎𝑏̅̅̅⋅10, care este un număr natural divizibil cu 10, conform
proprietății (9) și atunci și 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ este un număr natural divizibil cu 10. D acă 𝑐≠0,
adică c este o cifră diferită de 0, 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ nu este divizibil cu 10, conform proprietății 7.
51
Se poate enunța astfe l, criteriul de divizibilitate cu 10 :
Un număr natural care are ultima cifră zero este un număr divizibil cu 10.
Un număr natural care nu are ultima cifră zero nu este divizibil cu 10.
Se știe că dacă un număr natural se divide cu alt număr natural, atunci primul se
divide cu toți divizorii celui de -al doilea. Conform acestei propoziții, dacă un număr
natural se divide cu 10, acesta se divide și cu 2 și cu 5. Deci, un număr natural care
are ultima cifră pe 0 se divide și cu 2 și cu 5. De exemplu, numărul natural 680 are
ultima cifră 0 și el se divide și cu 2 și cu 5.
Criteriile de divizibilitate cu 10, 100 etc
Un număr natural care are ultima cifră zero se divide cu 10, adică cu 𝟐∙𝟓. Altfel,
numărul natural nu se divide cu 10. (exemplu: 560 se divide cu 2∙5, dar 563 nu se
divide cu 10).
Un număr natural care are ultimele două cifre zerouri se divide cu 100, adică cu
𝟐𝟐∙𝟓𝟐. Altfel, numărul natural nu se divide cu 100. (exemplu: 9600 se divide
cu 22∙52, dar numărul 9602 nu se divide cu 100)
Observație: Un număr natural care are ult imele trei cifre zerouri se divide cu
1000, adică cu 𝟐𝟑∙𝟓𝟑. Altfel, numărul natural nu se divide cu 1000. (exemplu:
24000 se divide cu 23∙53, dar 24006 nu se divide cu 1000).
Criteriul de divizibilitate cu 2
Știm că dacă ultima cifră a unui număr natural este 0, atunci acel număr natural
este divizibil cu 2.
Efectuând împărțirile, observăm că și numerele naturale 642, 82614, 3586, 958 se
divid cu 2. Avem: 642= 2⋅321, 82614=2∙41307 , 3586=2∙1793 , iar 958= 2∙479.
Toate numerele de mai sus au ca ultimă cifră , o cifră pară. Vom lua numărul :
958=9∙100+5∙10+8=(9∙10+5)∙10+8=95∙10+8; 95⋅10 se divide
cu 2, 8 se divide cu 2, deci și numărul 958 se divide cu 2. Considerăm acum numărul:
675=67⋅10+5; 67∙10 se divide cu 2, dar 5 nu se divide cu 2, deci numărul 675
nu se divide cu 2.
Acum vom lua un număr natural oarecare, de tr ei cifre 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅. Vom avea:
52
𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅=a∙100+𝑏∙10+𝑐=(𝑎∙10+𝑏)∙10+𝑐=𝑎𝑏̅̅̅∙10+𝑐; 𝑎𝑏̅̅̅∙10 se divide
cu 2, conform proprietății (9). Dacă c este 0 sau 2 sau 4 sau 6 sau 8, atunci numărul
natural 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ este divizibil cu 2, conform proprietății (6). D acă c este diferit de 0, 2, 4,
6 sau 8, atunci numărul considerat nu este divizibil cu 2, conform proprietății (7).
Putem enunța acum criteriul de divizibilitate cu 2 :
Un număr natural este divizibil cu 2 dacă ultima cifră a acestui număr natural
este o cifră pară.
Un număr natur al nu este divizibil cu 2 dacă ultima cifră a acestui număr
natural nu este o cifră pară .
( Dacă ultima cifră a unui număr natural este una din cifrele 0, 2, 4, 6, 8, atunci
acel număr natural se divide cu 2 ).
( Dacă ultima ci fră a unui num ăr natural este diferită de una din cifrele 0, 2, 4,
6, 8, atunci acel număr natural nu se divide cu 2 ).
Exempl e: Numărul 648 ⋮2, pentru că are ultima cifră 8, adică o cifră pară.
Numărul 975 nu este divizibil cu 2, pentru că are ultima cif ră 5, adică o cif ră
impară.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Am văzut că un număr natural care are ultima cifră 0 se divide cu 5.
Efectuând împărțirea 18365 la 5, vom observa că 18365 ⋮5. Fie acum numărul 3245 ,
putem scrie: 3245=3∙1000+2⋅100+4⋅10+5=(3⋅100+2⋅10+4)⋅10+
5=324∙10+5 și 324⋅10⋮5, 5⋮5, deci și numărul 3245 ⋮5.
Dacă luăm numărul 6732= 673⋅10+2, 673∙10⋮5, dar 2 nu se divide cu 5, deci
nici numărul 6732 nu se divide cu 5.
Vom lua acum un număr oarecare de patru cifre, 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ și vom scrie:
𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅=𝑎⋅1000+𝑏⋅100+𝑐⋅10+𝑑=(𝑎⋅100+𝑏⋅10+𝑐)⋅10+𝑑=𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅⋅
10+𝑑; 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅⋅10 se divide cu 5, deoarece 10 se divide cu 5, iar dacă d=5 sau d=0,
atunci și numărul natural 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ este divizibil cu 5. Dacă 𝑑≠0 sau 𝑑≠5, atunci
numărul natural 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ nu este divizibil cu 5.
Putem enunța acum criteriul de divizibilitate cu 5 :
Un număr natural este divizibil cu 5 dacă ultima cifră a acelui număr natural
este 0 sau 5.
53
Un număr natural nu este divizibil cu 5 dacă ultima cifră a acelui număr natural
este diferită de 0 sau 5.
Exempl e: 935⋮5, pentru că are ultima cifră 5.
2930⋮5, pentru că are ultima cifră 0.
17482 nu este divizibil cu 5, pentru că nu are ultima cifră 0 sau 5.
Criteriul de divizibilitate cu 4
Fie numerele naturale 327, 6500, 946, 1 8624, 9536.
327 nu se divide cu 2, deci nu se divide nici cu 4.
6500 se divide cu 100, deci se divide și cu 4.
Efectuând, pe rând, împărțirea numerelor 946, 18624 și 9536 la 4, constatăm că
946 nu se divide cu 4, 18624 se divide cu 4, iar 9536 se divide cu 4.
Numerel e naturale 18624 și 9536 au următoarea proprietate comună: dacă
considerăm numerele naturale formate din ultimele două cifre ale lor, adică 24,
respectiv 36, acestea sunt numere naturale divizibile cu 4.
Fie acum numărul natural 23724= 2∙10000+3∙1000+7∙100+2∙10+
4=(2∙100+3∙10+7)∙100+24=237∙100+24 și 237∙100 se divide cu 4, 24
se divide cu 4, deci și numărul natural 23724 se divide cu 4.
Fie numărul natural 85946=85900+46, 859 ∙100 se divide cu 4, 46 nu se divide cu
4, deci numărul natural 85946 nu s e divide cu 4.
Fie acum un număr natural oarecare de cinci cifre, 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅. Putem scrie:
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅=𝑎∙10000+𝑏∙1000+𝑐∙100+𝑑∙10+𝑒=
=(𝑎∙100+𝑏∙10+𝑐)∙100+𝑑∙10+𝑒=𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅∙100+𝑑𝑒̅̅̅
Dacă d=0, atunci 𝑑𝑒̅̅̅ se înlocuiește cu e. Dar 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅∙100 este divizibil cu 4. Dacă
numărul natural 𝑑𝑒̅̅̅ este divizibil cu 4, atunci și numărul natural 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅ este divizi bil
cu 4. Dacă numărul natural 𝑑𝑒̅̅̅ nu este divizibil cu 4, atunci nici numărul natural
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅ nu este divizibil cu 4.
Putem enunț a deci, criteriul de divizibilitate cu 4 :
Dacă ultimele două cifre ale unui număr natural formează un număr natural
divizibil cu 4, atunci numărul natural considerat este divizibl cu 4.
Dacă ultimele două cifre ale unui număr natural formează un număr natu ral
care nu este divizibil cu 4, atunci numărul natural considerat nu este divizibil cu 4.
54
Exemple: Numărul natural 8936 este divizibil cu 4, pentru că 36⋮4.
Numărul natural 39872 este divizibil cu 4, pentru că 72⋮4.
Numărul natural 96535 nu este div izibil cu 4, pentru că 35 nu se divi de
cu 4.
Observație 1: Dacă ultimele două cifre ale unui număr sunt zerouri, atunci
numărul respectiv este divizibil cu 100, deci și cu 4. (exemplu: 9800 ⋮4)
Observație 2: Orice număr natural divizibil cu 4 este divizibi l și cu 2. Putem să
ne într ebăm dacă orice număr natural care este divizibil cu 2 este divizibil și cu 4? Nu!
De exemplu, 34 este divizibil cu 2, dar 34 nu este divizibil cu 4.
Criteriul de divizibilitate cu 25
Fie numerele naturale 6200, 43625 , 87650, 147975.
Numărul natural 6200 se divide cu 25, pentru că el se divide și cu 100.
Număr ul natural 43625=43600+25, 43600 se divide cu 25, 25 se divide cu 25,
deci și suma lor, adică 43625 se divide cu 25.
Analog, se arată că numerele 87650, 147975 sunt div izibile cu 25.
Fie numărul natural 54651=54600+51, 54600 se divide cu 25, 51 nu se div ide cu
25, deci numărul natural 54651 nu se divide cu 25.
Considerăm acum un număr natural oarecare de cinci cifre, 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅. Vom scrie:
𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅=𝑎⋅10000+𝑏⋅1000+𝑐⋅100+𝑑⋅10+𝑒=𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅∙100+𝑑𝑒̅̅̅
Dacă d=0, atunci 𝑑𝑒̅̅̅ se înlocuiește cu e. 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅∙100 este divizibil cu 25. Dacă 𝑑𝑒̅̅̅ este
divizibil cu 25, atunci și numărul natural 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅ este divizibil cu 25, iar dacă 𝑑𝑒̅̅̅ nu
este divizibil cu 25, a tunci nici numărul natural 𝑎𝑏𝑐𝑑𝑒̅̅̅̅̅̅̅̅ nu este divizibil cu 25.
Putem enunța acum criteriul de divizibilitate cu 25 :
Dacă ultimele două cifre ale unui număr natural formează un număr natural
divizibil cu 25, atunci numărul natural considerat este divizib il cu 25.
Dacă ultimele două cifre ale unui număr natural formează un n umăr natural
care nu este divizibil cu 25, atunci numărul natural considerat nu este divizibil cu 25.
( Un număr natural este divizibil cu 25, dacă acel număr natural se termină cu
00, 25, 50 sau 75.)
( Un număr natural nu este divizibil cu 25, dacă acel număr natural nu se
termină cu 00, 25, 50 sau 75.)
55
Exemple: Numerele naturale 24600, 513725, 288950, 246575 se divid cu 25.
Numerele naturale 2805, 28655, 319870 nu se divid cu 2 5.
Criteriul de divizibilitate cu 3
Fie numărul natural 378. Pute m scrie:
378=3∙100+7∙10+8=3(99+1)+7(9+1)+8=3∙99+7∙9+7+8=
(3∙99+7∙9)+3+7+8
Suma 3∙99+7∙9 este divizibilă cu 3, pentru că fiecare termen al sumei este
divizibil cu 3. Dar și suma 3+7+8 este divizibilă cu 3, deci numărul natural 378 este
divizibil cu 3.
Fie acum numărul natural 847=8 ∙100+4∙10+7=8(99+1)+4(9+1)+
7=8∙99+8+4∙9+4+7=(8∙99+4∙9)+8+4+7. Suma 8⋅99+4⋅9 se
divide cu 3, dar 8+4+7 nu se divide cu 3, deci numărul natural 847 nu se divide cu 3.
Considerăm acum un număr natural oarecare de trei cifre 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅:
𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅=𝑎∙100+𝑏∙10+𝑐=𝑎(99+1)+𝑏(9+1)+𝑐=𝑎∙99+𝑎+𝑏∙9+𝑐=
(𝑎∙99+𝑏∙9)+𝑎+𝑏+𝑐.
Suma 𝑎∙99+𝑏∙9 este divizibilă cu 3. Dacă și suma a+b+c este divizibilă cu 3,
atunci numărul natu ral 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ este divizibil cu 3, iar dacă suma a+b+c nu este divizibilă
cu 3, atunci nici numărul natural 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ nu este divizibil cu 3.
Se poate enunța atunci criteriul de divizibilitate cu 3 :
Un număr natural este divizibil cu 3, dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 3.
Un număr natural nu este divizibil cu 3, dacă suma cifrelor sale nu este divizibilă
cu 3.
Exemple: Numărul natu ral 24174 este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale,
adică 2+4+1+7+4=18 este un număr natural divizibil cu 3.
Numărul natural 4135 nu este divizibil cu 3, pentru că suma cifrelor sale,
adică 4+1+3+5=13 nu este divizibilă cu 3.
Criteriul de div izibilitate cu 9
Vom urma aceeași pași ca la divizibilitatea cu 3.
56
Fie numărul natural 792= 7∙100+9∙10+2=7(99+1)+9(9+1)+2=7∙
99+7+9∙9+9+2=(7∙99+9∙9)+7+9+2. Suma 7∙99+9∙9 se
divide cu 9 și 7+9+2 se divide cu 9, deci și numărul natural 792 se divide cu 9.
Fie acum numărul natural 523=5 ∙100+2∙10+3=5(99+1)+2(9+1)+
3=5∙99+5∙1+2∙9+2+3=(5∙99+2∙9)+5+2+3. Suma 5⋅99+2⋅
9 se divi de cu 9, dar suma 5+2+3=10 nu se divide cu 9, deci nici numărul ntural 523
nu se divide cu 9.
Fie ac um un număr natural oarecare de patru cifre 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅:
𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅=𝑎⋅1000+𝑏⋅100+𝑐⋅10+𝑑=𝑎(999+1)+𝑏(99+1)+𝑐(9+1)+
𝑑=𝑎⋅999+𝑎+𝑏⋅99+𝑏+𝑐⋅9+𝑐+𝑑=(𝑎⋅999+𝑏⋅99+𝑐⋅9)+𝑎+𝑏+
𝑐+𝑑.
Suma a∙999+𝑏∙99+𝑐∙9 se divide cu 9. Dacă a+b+c+d se divide cu 9, atunci
numărul natural 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ se divide cu 9, iar dacă suma a+b+c+d nu se divide cu 9, atunci
nici numărul natural 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅ nu se divide cu 9.
Vom enunț a acum criteriul de divizibilitate cu 9 :
Un număr natural este divizibil cu 9, dacă suma cifrelor sale este divizibilă cu 9.
Un număr nat ural nu este divizibil cu 9, dacă suma cifrelor sale nu este divizibilă
cu 9.
Exemple: Numărul natural 27423 este di vizibil cu 9, pentru că suma
2+7+4+2+3=18 este divizibilă cu 9.
Numărul natural 349 nu este divizibil cu 9, pentru că suma 3+4+9=16 nu
este divizibilă cu 9.
Observație: Un număr natural care este divizibil cu 9 este diviz ibil și cu 3. Ne
putem întreba dacă orice număr natural care este divizibil cu 3 este divizibil și cu 9?
Nu! De exemplu, 21 este divizibil cu 3, dar 21 nu este divizibil și cu 9.
Subcapitolul 5 este numit Mulțimea divizorilor unui număr natural și prezintă
următoarele noțiuni: divizor i proprii, divizori improprii , însoțite de exemple și câteva
observații.
Știm că numărul 12 se divide cu numerele 1, 2, 3, 4, 6 și 12 și numai cu acestea.
Deoarece noțiunea de ”mulțime” a fost deja introdusă în cap itolul II din manual, se
stabilește faptu l că mulțimea divizorilor lui 12 este mul țimea {1,2,3,4,6,12}, notată cu
𝐷12. Analog, 𝐷7={1,7}, 𝐷14={1,2,7,14}, 𝐷24={1,2,3,4,6,8,12,24}.
57
Orice număr natural se divide cu el însuși. De exemplu, mulțimea divizorilor lui 18
este 𝐷18={1,2,3,6,9,18}, iar 1 și 18 se numesc divizori improprii ai lui 18 și 2, 3, 6 și
9 se numesc divizori proprii ai lui 18.
Observație: Orice număr natural n are ca divizori improprii pe 1 și pe n , iar
orice alt divizor al lui n se numește divizo r propriu.
Pentru că în capitolul II din manual s -au introdus și operațiile cu mulțimi, se poate
face următoarea observație:
Observație: Fie 𝐷15={1,3,5,15} și 𝐷27={1,3,9,27}. Atunci:
𝐷15∩𝐷27={1,3} este mulțimea divizorilor comuni ai numerelor naturale 15 și 27.
𝐷15∪𝐷27={1,3,5,9,15,27} este mulțimea numerelor care au proprietatea că fiecare
element în parte este un divizor pentru cel puțin unul dintre cele două numere 15 și 27.
Dacă M= mulțimea d ivizorilor proprii ai lui 15 și N= mulțimea divizo rilor
improprii a i lui 27, atunci 𝑀∩𝑁=∅, adică cele două mulțimi sunt disjuncte.
Subcapitolul 6 prezintă Mulțimea multiplilor unui număr natural , prin exemple
concrete de determinare a multiplilor unui n umăr natural, cu precizarea că aceste
mulțimi ai m ultiplilor unui număr natural sunt infinite (spre deosebire de mulțimile
divizorilor unui număr natural, care sunt mulțimi finite).
Să aflăm multiplii lui 3: 3 ⋅0=0; 3∙1=3; 3∙2=6; 3∙3=9; 3∙4=12 etc.
Deci, mulțimea multiplilor lui 3 este mulțimea {0;3;6;9;12;…;3𝑛;…}, care se
notează cu 𝑀3 și este o mulțime infinită. Analog, mulțimea multiplilor lui 5 este
notată 𝑀5={0;5;10;15;20;…;5𝑛;…}.
Subcapitolul 7 se referă la Numere prime , punând accentul pe numere prime și
numere compuse și câteva o bservații importante.
2.1.3. Numere prime
Numărul natural 2 se divide numai cu 1 și cu 2. Numărul natural 5 se divide numai
cu 1 și cu 5 , iar numărul natural 11 se divide numai cu 1 și cu 11.
Definiție: Un număr natural, diferit de 1, se numește număr prim , dacă are ca
divizori pe 1 și pe el însuși.
( Un număr natural diferit de 1 se numește număr prim , dacă admite numai
divizori improprii) .
Exemple: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47… această mulțime a
numerelor prime fiind infinită.
58
Observație: Cel mai mic număr prim este 2 și este singurul număr prim par.
Celelalte numere prime sunt numere impare.
Orice număr natural care nu e ste prim se numește număr neprim . Numerele
neprime, diferite de 1 se numesc numere compuse (exemple: 0, 4, 6, 8 , 10, 34, 1520…)
Observație: Numărul 1 nu admite decât un divizor, deci el nu este nici prim,
nici compus.
În subcapitolul 8, Cum recunoaștem dacă un număr natural este prim , se explică
detaliat și prin exemple cum se depistează dacă un număr natural es te prim : se împarte
numărul, pe rând, la toate numerele naturale prime în ordinea lor crescătoare, începând
cu 2, până când se obține un cât mai mic sau egal cu împărțitorul. Dacă numărul este
divizibil cu unul dintre aceste numere prime, atunci el nu este prim. Dacă, însă,
numărul considerat nu este divizibil cu niciunul dintre aceste numere prime, atunci el
este un număr prim.
Exemplu: Fie numărul natural 167. 167 nu este divizibil cu 2, nici cu 3, nici cu
5. Verificăm acum dacă numărul 167 se împarte la 7, 167:7=23 rest 6, deci 167 nu
este divizibil nici cu 7. Verificăm acum dacă numărul 167 se împarte la 11, 167:11=15
rest 2, deci 167 nu este divizibil nici cu 11. Deoarece câtul 15 este mai mare decât
împărțitorul 11, continuăm să facem împărțiri: 167:1 3=12 rest 1, deci 167 nu este
divizibil nici cu 13. Ne oprim aici pentru că, câtul 12 este mai mic decât împărțitorul.
Am arătat că num ărul 167 nu se divide cu niciun număr prim mai mic sau egal decât
13. Vom afirma că el nu se divide nici cu numerele comp use mai mici sau egale decât
13. Dacă 167 nu se divide cu 2, el nu se divide nici cu următorii multiplii ai lui 2: 4,
6, 8, 10, 12, iar dacă 167 nu se divide cu 3, el nu se divide nici cu următorii multiplii
ai lui 3: 6, 9, 12. Deci, numărul 167 nu se divi de cu niciun număr natural diferit de 1
și mai mic sau egal decât 13. Nu este posibil ca 167 să se dividă cu un număr nat ural
a mai mar e decât 13, pentru că atunci el ar fi fost divizibil și cu câtul împărțirii lui 167
la numărul natural a, acest cât fiind un număr mai mic decât 13. Dar, am arătat că 167
nu este divizibil cu niciun număr natural, diferit de 1, mai mic sau egal decât 13. D eci,
numărul 167 nu se divide nici cu un număr natural diferit de 1, mai mic sau egal decât
13, nici cu un număr natural mai mare decât 13. Deci, numărul natural 167 este un
număr prim.
La sfârșitul manualului găsim un tabel cu numerele prime până la 1000 :
59
2 61 149 239 347 443 563 659 773 887
3 67 151 241 349 449 569 661 787 907
5 71 157 251 353 457 571 673 797 911
7 73 163 257 359 461 577 677 809 919
11 79 167 263 367 463 587 683 811 929
13 83 173 269 373 467 593 691 821 937
17 89 179 271 379 479 599 701 823 941
19 97 181 277 383 487 601 709 827 947
23 101 191 281 389 491 607 719 829 953
29 103 193 283 397 499 613 727 839 967
31 107 197 293 401 503 617 733 853 971
37 109 199 307 409 509 619 739 857 977
41 113 211 311 419 521 631 743 859 983
43 127 223 313 421 523 641 751 863 991
47 131 227 317 431 541 643 757 877 997
53 137 229 331 433 547 647 761 881
59 139 233 337 439 557 653 769 883
În subcapitolul 9 este prezentat Ciurul lui Eratostene , învățat grec, care a trăit în
secolul al III -lea î.e.n. și care a indicat o metodă pentru a alcătui un tabel care să conțină
toate numerele prime mai mici decât un numă r natural dat. În manual, este redată tabela
care conține numerele prime mai mici decât 100 și modul cum se obțin aces te numere.
Scriem mai întâi toate numerele naturale până la 100, începând cu numărul natural
2.
2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
60
Se pornește de la numărul natural 2. Îl lăsăm pe 2 pe tablă și, pornind de la el tăiem
numerele din doi în doi. Următorul număr pe care nu îl tăiem este 3, pe care îl lăsăm pe
tablă și începând de la el, tăiem numerele naturale care nu au fost tăiate deja, din trei în
trei. Primul număr tăiat va fi 9= 32. Următorul număr pe care nu îl tăiem este 5, pe care
îl vom lăsa pe tablă, și începând de la el, vom tăia toate numerele care n u au fost tăiate
deja, din cinci în cinci. Primul tăiat va fi 25= 52. Deci, p ractic am tăiat multiplii lui 2,
ai lui 3, ai lui 5. Multiplii lui 4 i -am tăiat atunci când am tăiat multiplii lui 2. Trecem la
numărul 7 și procedăm asemănător, primul număr tăiat fiind 49= 72. Apoi urmează
numărul natural 11, dar primul număr tăiat ar trebui să fie 112=121, dar acest număr
nu este în tabel, deci ne oprim. Astfel, numerele rămase în tabel sunt numere prime mai
mici decât 100. Acestea sunt: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,
59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 .
Subcapito lul 10 conține Scrierea unui număr natural ca produs de puteri de
numere prime .
Fie numărul natural 6=2 ∙3, unde 2 și 3 sunt numere prime. Deci, numărul natural
6 a fost scris ca produs de numere prime sau spunem că a fost descompus în factori
primi. Analog, numărul natural 18=2 ∙32.
Fie acum numărul natural 8316=2∙4158=2⋅2⋅2079=2⋅2⋅3⋅693=2⋅2⋅
3⋅3⋅231=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅77=2⋅2⋅3⋅3⋅3⋅7⋅11=22⋅33∙7∙11.
Observație: 10=2⋅5; 100=22⋅52; 1000=23⋅53 etc.
8316 2
4158 2 30600 22∙52 30600=23∙32∙52∙17
2079 3 306 2
693 3 1533
231 3 513
77 7 1717
11 11 1
1
150000 23∙53 150000=24⋅3∙55
15 3
5 5
1
61
În subcapitolul 11, intitulat Înmulțirea și împărțirea nu merelor naturale scrise ca
produse de puteri de numere prime , se reiau regulile de calcul cu puteri (înmulțirea și
împărțirea puterilor care au aceeași bază), studiate în capitolul I, la ”Numere naturale”.
Subcapitolul 12, Divizor comun. Cel mai mare divi zor comun al mai multor
num ere naturale , se explică cum poate fi calculat cel mai mare divizor comun pentru
două sau mai multe numere naturale , prin intersecția mulțimilor divizorilor acelor
numere.
2.1.4. Cel mai mare divizor comun . Cel mai mic multiplu comun
Fie numerele naturale 12 și 40. D 12={1,2,3,4,6,12} și D 40={1,2,4,5,8,10,20,40}.
Atunci, D 12∩𝐷40={1,2,4}. Deci, cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al numerelor
12 și 40 este 4.
Definiție : Cel mai mare divizor comun a două sau al mai multor numere na turale,
nu toate nule, este cel mai mare număr natural care divide numerele date.
Exemplu: c.m.m.d.c. pentru numerele 5, 10, 30, 45 se mai notează (5,10,30,45)=5 .
Subcapitolul 13 se referă la Aflarea celui mai mare divizor comun prin
descompunere în fact ori primi , subcapitol în care se prezintă algoritmul de determinare
a celui mai mare divizor comun pentru două sau mai multe numere naturale.
Fie numerele naturale 1260 și 1512 . Mai întâi se descompun aceste numere în
factori primi.
1260 2∙5 1512 2 1260=22∙32∙5⋅7
126 2 756 2 1512= 23⋅33⋅7
63 3 3782
21 3 1893
7 7 63 3
1 21 3
77
1
Pentru a afla cel mai mare divizor comun al numerelor 1260 și 1512 procedăm
astfel:
– descompunem numerele în factori primi;
– c.m.m.d.c. este produsul factorilor primi comuni, luați o singură dată, cu
exponenții cei mai mici .
62
Deci, cel mai mare divizor comun al numerelor 1260 și 1512 este 22⋅32⋅7=4∙
9∙7=252. Putem scrie ( 1260,1512)=252, 252 divide în același timp numerele 1260
și 1512.
Subcapitolul 14 se numește Numere prime între ele . În această lecție se definesc
numerele prime între ele, câteva exemple, observații și exerciții.
Numerele naturale 5 și 9 a dmit un singur divizor comun și anume pe 1. Spunem că
numerele 5 și 9 sunt prime între ele și putem da definiția :
Două numere naturale se numesc prime între ele dacă admit un singur divizor
comun și anume pe 1.
Două numere naturale se numesc prime între ele dacă cel mai mare divizor
comun al l or este 1.
Observație: Două numere naturale pot fi prime între ele fără ca fiecare în parte să
fie prim. (exemplu: (4,9)=1).
Observație : Dacă un număr natural este divizibil cu două numere naturale prime
între ele, atunci el este div izibil cu produsul acestora. (exemplu: 12⋮2 ș𝑖 12⋮
3,𝑖𝑎𝑟 (2,3)=1,𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 12⋮6).
Exercițiu: Să se afle toate numerele de forma 45𝑥𝑦̅̅̅̅̅̅̅ (𝑥≠𝑦) divizibile cu 18.
Pentru ca numerele de forma 45𝑥𝑦̅̅̅̅̅̅̅ să fie divizibile cu 18, ele trebuie să fie
divizibile cu 2 și cu 9. Pentru ca numerele de forma 45𝑥𝑦̅̅̅̅̅̅̅ să fie divizibile cu 2, trebuie
ca aceste numere să aibă ultima cifră 0, 2, 4, 6, 8, adică îl putem determina pe y, iar
aceste numere naturale vor fi d e forma: 45𝑥0,̅̅̅̅̅̅̅ 45𝑥2̅̅̅̅̅̅̅, 45𝑥4̅̅̅̅̅̅̅, 45𝑥6̅̅̅̅̅̅̅, 45𝑥8̅̅̅̅̅̅̅. Numerele
naturale de această formă, cu 𝑥≠𝑦, divizibile cu 9 sunt: 4590, 4572, 4554, 4536 și
4518.
În subcapitolul 15, se vorbește despre Multiplu comun. Cel mai mic multiplu
comun al mai multor numere natural e, determinarea lui prin enumerarea m ultiplilor
numerelor naturale considerate.
Fie mulțimea multiplior lui 6 și mulțimea multiplilor lui 8:
M6={0,6,12,18,24,30,36,42,48,…,6𝑛,…}
M8={0,8,16,24,32,40,48,56,64,…,8𝑛,…}
Se observă că 0 este un multiplu c omun al numerelor 6 și 8, 24 este un multiplu
comun al numerelor 6 și 8, 48 este un multiplu comun al numerelor 6 și 8 și am putea
continua.
63
M6∩M8={0,24,48,…}. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 8, diferit de
0, este 24. Cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) a două sau al ma i multor numere
naturale, diferite de 0, este cel mai mic număr natural, diferit de 0, care se divide cu
numerele date.
Notați e: [6,8]=24.
Următorul subcapitol, 16, se referă la Aflarea celui mai mic multiplu comun prin
descompunere în factori primi , prez entând algoritmul de aflare a celui mai mic
multiplu comun prin descompunere în factori primi, pornind de la un exemplu concret.
Fie numerele naturale 660 și 1800. Mai întâi se descompun numerele în factori
primi.
660 2⋅5 1800 22∙52 660=22⋅3⋅5⋅11
66 2 18 2 1800=23⋅32⋅52
33 3 9 3
11 11 3 3
1 1
Pentru a afla cel mai mic multiplu comun al numerelor 660 și 1800, procedăm astfel:
– descompunem numerele în fac tori primi;
– cel mai mic multiplu comun este produsul factorilor primi comuni și
necomuni, luați o singură dată, cu exponenții cei mai mari.
Deci, cel mai mic multiplu comun al numerelor 660 și 1800 este 23∙32⋅52∙11=
8∙9∙25∙11=19800 . Putem scrie [660,1800]=19800 , deci 19800 este cel mai
mic număr natural, diferit de 0, care se divide cu numerele 660 și 1800.
Ultimul subcapitol, al 17-lea se referă la Numere pare. Numere impare , forma lor
și modul de obținere al acestora, precum și câteva proprietăți ale lor.
Următorul șir de numere naturale 0, 2, 4, 6, 8, …se numește șirul numerelor naturale
pare, iar șirul de numere naturale 1, 3, 5, 7, 9,…se numește șirul numerelor naturale
impare.
Numerele naturale pare sunt de forma 2 k, unde k este număr natu ral. Pentru a
observa cum se obțin numerele naturale pare facem un tabel:
K 0 1 2 3 4 …
2k 2∙0 2∙1 2∙2 2∙3 2∙4 …
64
sau
K 0 1 2 3 4 …
2k 0 2 4 6 8 …
Numerele naturale impare sunt de forma 2 k+1, unde k este număr natural. Pentru a
observa cum s e obțin numerele naturale impare, facem un tabel:
K 0 1 2 3 4 …
2k+1 2∙0+1 2∙1+1 2∙2+1 2∙3+1 2∙4+1 …
sau
K 0 1 2 3 4 …
2k+1 1 3 5 7 9 …
Propoziția 1 : Suma a două numere naturale pare este un număr par.
Fie cele d ouă numere naturale pare de fo rma 2 m și 2n, cu 𝑚,𝑛∈ℕ. Suma lor este
2m+2n=2(m+n) și m+n ∈ℕ. Notăm m+n=p și avem 2m+2n=2p , adică un număr par.
Exemplu: 8⏟
𝑝𝑎𝑟+4⏟
𝑝𝑎𝑟=12⏟
𝑝𝑎𝑟
Propoziția 2 : Suma a două numere naturale impare este un număr par.
Fie cele două numere nat urale impare de forma 2m+1 și 2n+1, cu 𝑚,𝑛∈ℕ. Suma
lor este (2m+1)+(2n+1)=(2m+2n)+(1+1)=2m+2n+2=2(m+n+ 1)=2p, unde am notat
m+n+ 1=p∈ℕ. Deci, 2p este număr par.
Exemplu: 7⏟
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟+9⏟
𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟=16⏟
𝑝𝑎𝑟
Propoziția 3 : Suma dintre un număr na tural par și un număr n atural impar este
un număr impar.
Fie primul număr natural de forma 2m, m∈ℕ și al doilea număr natural de forma
2n+1, n∈ℕ. Suma lor este 2m+(2n+1)=(2m+2n)+1=2(m+n)+ 1=2p+1, unde am notat
p=m+n . Deci, 2p+1 este un număr impar.
Exerci țiile din acest capitol de Divizibilitatea numerelor naturale se referă la:
– recunoașterea numerelor naturale divizibile cu 2, 3, 4, 5, 9, 10, 25, 100, dintr –
un șir de numere dat;
– exemple de numere divizibile/nedivizibile cu anumite numere naturale;
– determi narea unor numere naturale care respectă anumite condiții date;
– enumerarea divizorilor sau multiplilor unui număr natural;
65
– determinarea unor mulțimi, prin enumerarea elementelor acestora, care veri fică
anumite proprietăți de divizibilitate;
– descompunerea n umerelor naturale în produs de factori primi;
– calculul celui mai mare divizor comun și a celui mai mic multiplu comun pentru
două sau mai multe numere naturale;
– verificarea valorii de adevăr a unei propoziții legată de divizibilitate;
– aplicații diverse cu numere prime, numere pare sau impare.
La sfârșitul capitolului regăsim 60 de exerciții și probleme cu diferite grade de
dificultate, dar și o lucrare pentru verificarea însușirii unor cunoștințe de bază, ce
cuprinde 9 exerciții.
În manualul de clasa a VI -a (autori: Prof. univ. dr. Constantin P. Popovici, Prof.
Ion C. Ligor, Prof. Valentina Alexianu, Editura Didactică și Pedagogică, R.A.,
București, 1996), materia este structurată în 7 capitole: Reca pitularea materiei din clasa
a V-a, Rapoarte și proporții, Procente, Numere întregi, Numere raționale, Rădăcina
pătrat ă, Exerciții și probleme diverse și recapitulative.
Noțiunile legate de divizibilitate le regăsim la primul capitol de recapitulare a
mate riei de clasa a V -a. Se reamintesc următoarele chestiuni st udiate în clasa a V -a:
definiția divizibilității cu notațiile aferente acesteia, divizor, multiplu, numere prime,
numere prime între ele, cel mai mare divizor comun, cel mai mic multiplu comun,
teorema împărțirii întregi (teorema împărțirii cu rest) și o s erie de exemple și exerciții
coresp unzătoare acestor noțiuni.
Capitolul al IV -lea (Numere întregi ) cuprinde următoarele teme: numere întregi,
mulțimea de numere întregi, ℤ, reprezentarea pe o dreaptă, valoarea absolută a unui
număr întreg (modul), adunare a numerelor întregi (comutativitate, asociativitate,
element neutru), opusul unui număr întreg și opusul unei sume, scăderea numerelor
întregi, desfacerea parantezelor, relațiile <,>,≤,≥ între numere întregi, rezolvarea
ecuației x+a=b, 𝑎,𝑏∈ℤ, înmulțirea numerelor înt regi (comutativitate, asociativitate,
distributivitatea înmulțirii față de adunare și scădere, element neutru), împărțirea
numerelor întregi, factor comun, divizorii unui num ăr întreg , puterea cu exponent
număr natural a unui număr întreg, înm ulțirea de puteri av ând aceeași bază, puterea
unei puteri, puterea unui produs, împărțirea de puteri având aceeași bază. Toate temele
sunt însoțite de exemple și exerciții rezolvate sau p ropuse spre rezolvare.
Ne vom opri asupra subcapitolului XIV, Divizor ii unui număr întreg .
66
2.1.5. Divizorii unui număr întreg
Fie numerele întregi -24 și 6. Există numărul întreg -4, astfel încât înmulțindu -l cu
6 să obținem pe -24. Spunem că numărul întreg 6 divide numărul întreg -24 și scriem
6/-24. În cazul numerelor întregi 15 și -3, există numărul întreg -5, astfel încât
înmulțindu -l cu -3 să obținem pe 15 și scriem -3/15. Se mai poate spune că 15 este
divizibil cu -3 sau că 15 se divide cu -3. Numărul întreg -3 se numește divizor al
numărului întreg 15. Numărul întreg 15 se numește multiplu al numărului întreg -3.
Definiție : Un număr întreg a este divizibil cu un număr întreg b, dacă există un
număr întreg c, astfel încât a=b ⋅𝒄.
Se notează b/a și se citește ”b divide pe a” sau ”a se divide cu b” .
Numărul întreg -11 nu es te divizibil cu numărul î ntreg -2, pentru că nu există niciun
număr întreg astfel încât înmulțindu -l cu -2 să obținem -11. Scriem -2∤−11 și citim :
”-2 nu divide pe -11”.
Divizorii lui 8 sunt: 1, -1, 2, -2, 4, -4, 8, -8, iar divizorii lui 5 sunt: 1, -1, 5, -5.
Dacă a este număr natural, n umărul 5a este multiplu de a. De asemenea, el este un
multiplu de 5. Se mai poate spune că numărul 5a este divizibil cu 5 sau numărul 5a este
divizibil cu a.
Dacă a și b sunt numere întregi, putem spune că numărul 5a+5b este divizibil cu
5, pentru că 5a+5b=5(a+b) , iar 5(a+b) este un număr divizibil cu 5 .
Un număr întreg par este de forma 2k, k∈ℤ, iar un număr întreg impar este de
forma 2k+1 sau 2k-1, k∈ℤ. Orice număr întreg este de una din formele 3k, 3k+1, 3k+2,
k∈ℤ. Mai putem spune că orice număr întreg este de una din formele 3k-1, 3k, 3k+1,
k∈ℤ.
k 3k-1 3k 3k+1
-2 -7 -6 -5
-1 -4 -3 -2
0 -1 0 1
1 2 3 4
2 5 6 7
67
În tabelul de mai sus, vom observa cum s -au obținut numerele întregi mai mari
decât -8 și mai mici decâ t 8. Numerele -7, -4, -1, 2, 5 sunt de forma 3k-1, k∈ℤ, numerele
-6, -3, 0, 3, 6 sunt de forma 3k, k∈ℤ, iar numerele -5, -2, 1, 4, 7 sunt de forma 3k+1,
k∈ℤ.
Orice număr întreg este de una din formele 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3. Se mai poate
spune că orice numă r întreg este de una di n formele 4k-1, 4k, 4k+1, 4k+2, k∈ℤ.
Exemple de exerciții:
1. Care sunt divizorii numărului -12? Dar ai numărului 12?
Răspuns : Divizorii lui -12 sunt 1, -1, 2, -2, 4, -4, 6, -6, 12, -12. Divizorii lui 12 sunt 1,
-1, 2, -2, 4, -4, 6, -6, 12, -12.
2. Care este cel mai mic număr întreg de patru cifre divizibile cu 5?
Răspuns : -9995.
3. Care este cel mai mic număr întreg de trei cifre divizibil cu 18?
Răspuns : -990.
4. Să se arate că numerele de forma 𝑎(𝑎+1)
2, 𝑎∈ℕ sunt numere naturale.
Răspuns : a, a+ 1 sunt numere consecutive, deci a(a+ 1) este multiplu de 2 și atunci
𝑎(𝑎+1)
2∈ℕ∗ .
Programele școlare au mai suferit mici modificări, deci manualele școlare folosite
după anul 2000 au fost realizate și revizuite în conformitate cu program ele analiti ce
aprobat e de Ministerul Educației Naționale, prin următoarele Ordine: nr. 4493 din
19.07.1995, nr. 4258 din 2.07.1996 , nr. 5654 din 23.12.1997, nr. 4999 din 12.11.1998
sau nr. 4237 din 23.08.1999.
Astfel, în manual ele de clasa a VII -a, din anii 2000, noțiunea de divizibilitate
în ℤ , apare ca extindere la programa școlară, restul noțiunilor legate de divizibilitate
studiindu -se în clasele a V -a și a VI -a.
2.2. Divizibilitatea în programele școlare actuale
2.2.1. Clasa a V -a
În anul 2017, manuale le au fost concepute în conformitate cu Programa școlară
aprobată prin O.M. nr. 3393 din 28.02.2017. Unele manualele cuprind atât varianta
tipărită, cât și varianta digitală.
Dacă ne referim la manualul de matematică pentru clasa a V -a, de la editura Art
(autori: Marius Perianu, Cătălin Stănică și Ștefan Smărăndoiu), acesta prezintă pentru
68
început un ghid de utilizare al manualului: ” manualul propune o viziune inspirată dintr –
o pegagogie deschisă, conform căreia matematica este o lume vie, dinamică, în str ânsă
legătură cu toat e domeniile de activitate, capabilă să formuleze, să descrie și să explice
situații, probleme, fenomene sau procese.”
Legat de organizarea manualului, acesta este structurat în șapte unități de învățare:
Operații c u numere naturale, Me tode aritmetice de rezolvare a problemelor,
Divizibilitatea numerelor naturale, Fracții ordinare, Fracții zecimale, Elemente de
geometrie, Unități de măsură . Aceste unități acoperă integral cele trei domenii de
conținut specificate în programa școlară: Num ere naturale, Numere. Organizarea
datelor, Geometrie. La fiecare unitate de învățare este prezentată, pe scurt, o
personalitate din istoria matematicii sau un eveniment matematic, dar și structura
unității respective: teme de predare -învățare, fișe de reca pitulare/evaluare, precum și
domeniul de conținut din care face parte unitatea de învățare respectivă.
Structura unei lecții de predare conține: situația -problemă – pe baza căreia se
introduc noile noțiuni, de reținut – conținuturile noi, exemple – exerciț ii și prob leme
rezolvate, mate practică – activități de învățare pentru formarea/dezvoltarea
competențelor specifice, probleme reprezentative – exerciții și probleme cu noile
conținuturi, moduri de rezolvare diferite, probleme propuse – diverse aplicații t eoretice
sau practice -aplicative, gândire critică – sarcini individuale sau de grup (calcule
mentale, jocuri, miniteste).
Legat de evaluare, pe lângă metode le clasice de evaluare se recomandă și metodele
complementare de evaluare (proiecte, portofolii, inv estigații, jocuri), multe dintre ele
aplicabile în viața de zi cu zi. Fiecare unitate de învățare se încheie cu o fișă de evaluare
în care itemii sunt obiec tivi, semiobiectivi și subiectivi. Nu lipsesc din manual nici
competențele generale, nici competențe le specifice matematicii.
Unitatea a III -a din acest manual , domeniul de conținut Numere naturale, este
Divizibilitatea numerelor natura le, ce cuprinde următoarele lecții: Divizibilitatea
numerelor naturale, Criterii de divizibilitate, Numere prime, numere compuse,
Exerciții și probleme recapitulative.
În prima lecție din această unitate de învățare sunt definite și exemplificate
noțiunile: divizibilitate, divizor, multiplu , divizori comuni, multipli comuni . Exemplele
care însoțesc aceste noțiuni sunt despr inse din viața cotidiană. La fel și problemele
reprezentative, ideile, metodele și tehnicile de rezolvare. Până la introducerea criteriilo r
de divizibilitate, se verifică divizibilitatea unui număr natural cu alt număr natural prin
69
împărțire. Divizorii și multiplii comu ni pentru două sau mai multe numere naturale se
determină prin enumerarea divizorilor/multiplilor numerelor considerate, deo arece
noțiunea de mulțime, dar și operațiile cu mulțimi se introduc abia în clasa a VI -a. Noua
programă școlară vizeaz ă studierea următoarelor criterii de divizibilitate: cu 2, 5, 10,
10n, 3 și 9 . Prin crearea unei situații -problemă, ce presupune scrierea divizorilor tuturor
numerelor de la 1 la 20 și exprimarea acestora ca produs al cât mai multor numere
naturale diferit e de 1, se introduc noțiunile de număr prim și număr compus . De
asemenea, este prezentat algoritmul de recunoaștere a numerelor prime, iar capitolul se
încheie cu o serie de probleme propuse, teme de proiect, miniteste și fișe de evaluare.
Exemple de exerc iții și probleme – clasa a V -a
1. Verificați dacă: a) 72 se divide cu 8; b) 6 divide pe 90
a) 72:8=9 rest 0, deci 72 se divide cu 8
b) 90:6=15 rest 0, deci 6 divide pe 90
2. Scrieți toți divizorii numărului: a) 18; b) 63
a) Divizorii numărului 18 sunt 1, 2, 3, 6, 9, 18
b) Divizorii numărului 63 sunt 1, 3, 7, 9, 21, 63
3. Scrieți multiplii numerelor 6, 15 și 2 7, mai mar i decât 19 și mai mici decât 98.
Multiplii lui 6 sunt: 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96
Multiplii lui 15 sunt: 30, 45, 60, 75, 90
Multiplii lui 27 sunt: 2 7, 54, 81
4. Aflați divizorii lui 35 și determinați numerele naturale n, știind că 3 5 este
divizibil cu 3n-1.
Divizorii lui 3 5 sunt: 1, 5, 7, 35.
3n-1=1, n nu este număr natural
3n-1=5, n=2
3n-1=7, n nu este număr natural
3n-1=35, n=12
5. Determinați n umerele natur ale n pentru care 55 este un divizor al lui 2n+1 și
0≤𝑛≤120.
2n+1 este un multiplu al lui 45, adică 0, 55, 110, 165… Deci, valorile lui n sunt
27 și 82
6. Fie a, b, c trei numere naturale.
a) Dacă x=42∙𝑎+77∙𝑏, arătați că x este divizibil cu 7.
70
b) Dacă x=3∙𝑎+2∙𝑏+5⋅𝑐 și y=6∙𝑎+7⋅𝑏+4⋅𝑐, arătați că x+y este
multiplu de 9.
a) x=7∙6∙𝑎+7∙11∙𝑏=7(6𝑎+11𝑏)⋮7
b) x+y= 9a+9b+9c=9(a+b+c)⋮9
7. Restul împărțirii numărului natural a la 15 este 6. Arătați că a se divide cu 3.
a=15c+6=3(5c+2)⋮3
8. Arătați că numărul A=40+41+42+…+42019 se divide cu 5.
Grupând termenii sumei câte doi putem scrie: A=(40+41)+(42+43)+…+(42018+42019)=
=(1+4)+42(1+4)+…+42018(1+4)=5+42∙5+…+42018∙5=5(1+42+…+42018)⋮5.
9. Mihai și Alex parcurg un circuit, Mihai cu trotineta, iar Alex cu bicicl eta.
Mihai face un tur în 18 minute, iar Alex face un tur în 12 minute. Dacă pleacă în
același timp , aflați câte ture face fiecare până când se întâlnesc din nou la start.
Multiplii lui 18 sunt: 0, 18, 36, 54, 72, 90…
Multiplii lui 12 sunt: 0, 12, 24, 36 , 48, 60,…
Cel mai mic multiplu comun al numerelor 18 și 12 (diferit de 0) este 36. Deci, cei
doi băieți se vor întâlni la start după 36 de minute. Mihai va face 2 ture, iar Alex va
face 3 ture.
10. Alina are 60 de caise, 48 de nectarine și 36 de prune. Ea v rea să facă pachete ,
astfel încât fiecare pachet să aibă același număr de fructe, toate de același fel.
a) Poate pune Alina câte 6 fructe în fiecare pachet? Dar câte 8?
b) Care este cel mai mare număr de fructe care ar putea fi pus într -un pachet? De
câte pachet e are nevoie Alina în acest caz?
a) 60⋮6,48⋮6,36⋮6, deci se pot pune câte 6 fructe în fiecare pachet .
Deoarece 8∤60,8∤36, nu se pot pune câte 8 fructe în fiecare pachet .
b) Divizorii lui 60 sunt: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60
Divizorii lui 48 sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48
Divizorii lui 36 sunt: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
Cel mai mare divizor comun al numerelor 60, 48 și 36 este 12, deci n umărul de
pachete este 12, iar Alina poate pune în fiecare pachet câte 5 caise, 4 nectarine și 3
prune .
11. Folosind cifrele 0, 2, 5, 6 și 9 scrieți numerele de trei cifre distincte care
verifică următoarele condiții:
a) sunt divizibile 5, dar nu sunt divizibile cu 10 ;
71
b) au prima cifră 5 și se divid cu 2 ;
c) se divid cu 3, dar nu se divid cu 2 ;
d) se divid și cu 3, dar ș i cu 5 ;
a) 205, 605, 905, 265, 625, 695, 965, 295, 925
b) 502, 506, 520, 526, 560, 562, 590, 592, 596
c) 609
d) 690, 960
12. Scrieți toate numerele de forma:
a) 𝑎7𝑎̅̅̅̅̅⋮2; b) 7𝑎𝑎̅̅̅̅̅⋮5; c) 𝑎34𝑎̅̅̅̅̅̅̅⋮3; d) 21𝑎𝑏0̅̅̅̅̅̅̅̅⋮9; e) 𝑎3𝑏̅̅̅̅̅⋮10 (a≠𝑏)
a) 272, 474, 676, 878
b) 700, 755
c) 1341, 43 44, 7347
d) 21150, 21510, 21240, 21420, 21060, 21600
e) 130, 230, 330, 430, 530, 630, 730, 830, 930
13. Determinați numerele naturale n pentru care numărul A=4∙6𝑛+9⋅5𝑛+1 se
divide cu 10.
Ultima cifră a lui 6n este 6, deci ultima cifră a lui 4∙6𝑛 este 4.
Ultima cifră a lui 5n este 5, deci ultima cifră a lui 9∙5𝑛 este 5.
Ultima cifră a numărului A este 0, deci numărul A se divide cu 10.
14. O sală de festivități are 4275 de locuri pe scaune. Husele s caunelor trebuie să
fie colorate, astfel încât fiecare cul oare să aibă același număr de scaune. Fără să se
efectue ze calcule, să se stabilească dacă acest lucru e ste posibil, folosindu -se:
a) 3 culori; b) 5 culori; c) 9 culori; d) 10 culori
a) Deoarece numărul 4275 ⋮3, husele pot fi colorate în 3 culori.
b) Deoarece 4275 ⋮5, husele pot fi colorate în 5 culori.
c) Deoarece 4275 ⋮9, husele pot fi colorate în 9 culori.
d) Deoarece 4275 nu este divizibil cu 10, husele nu pot fi colorate în 10 culori.
15. Scrieți toate numerele de forma 6𝑎9𝑏̅̅̅̅̅̅̅, care sunt atât multiplii de 3, cât și
multip lii de 5.
Dacă 6𝑎9𝑏̅̅̅̅̅̅̅⋮5, atunci ultima cifră este 0 sau 5.
Dacă b=0, numărul are forma 6𝑎90̅̅̅̅̅̅̅, iar suma cifrelor sale este15+ a, care se divide
cu 3 dacă a=0, 3, 6, 9. Vom obține numerele: 6090, 6390, 6690, 6990.
72
Dacă b=5, numărul are forma 6𝑎95̅̅̅̅̅̅̅, iar suma cifrelor sale este 20+ a, care se divide
cu 3 dacă a=1, 4, 7. Vom o bține numerele: 6195, 6495, 6795.
Deci, soluțiile sunt: 6090, 6195, 6390, 6495, 6690, 6795, 6990.
16. Aflați cifrele a, b, c, d, e, f pentru care următoarele numere sunt prime:
a) 5𝑎̅̅̅̅; b) 6𝑏̅̅̅; c) 𝑑1̅̅̅̅; d) 17𝑒̅̅̅̅̅; e) 𝑓91̅̅̅̅̅
a) Numerele sunt: 53, 59
b) Numerele sunt: 61, 67
c) Numerele sunt: 11, 31, 41, 61, 71
d) Numerele sunt: 173, 179
e) Numerele sunt: 191, 491, 691, 991.
17. Scrieți următoarele numere ca suma, diferența sau produsul a două numere
compuse:
a) 37=…+…; b) 17=… -…; c) 48=… ∙ …
a) 37=15+22; b) 17=25 -8; c) 48=6 ⋅8
18. Determi nați numerele prime care verifică relația 5 a+3b=72.
Numerele sunt: a=3, b=19
19. Temă de proiect : Găsiți un număr perfect. (numărul perfect este egal cu suma
tuturor divizorilor să i mai mici decât el însuși)
De exemplu, 6=1+2+3 sau 28=1+2+4+7+14
20. Determinați numerele prime a și b, cu a<𝑏, știind că suma lor este 2031.
Suma numerelor a și b este un număr impar, deci unul dintre numere este par, iar
celălalt număr este impar. Dar, sin gurul număr prim par este 2, adică a=2. Efectuând
diferența 2031 -2, obținem b=2029. Se verifică prin împărțiri, că numărul 2029 este
număr prim. Așadar, soluția problemei este a=2, b=2029.
2.2.2. Clasa a VI -a
În manualul de clasa a VI -a, Editura Didactic ă și Pegdagogică, (autori: Niculae
Ghiciu, Emilia Iancu, Florentina Amalia Enea, Vicențiu Rusu, Maria Popescu)
conținuturile sunt organizate pe unități de învățare și lecții. La partea de Algebră,
regăsim următoarele unități de învățare: Mulțimi, Mulțimea numerelor naturale ,
Rapoarte și proporții, Mărimi, Numere întregi 1, Numere întregi 2, Numere raționale,
73
Ecuații. Fiecare unitate de învățare are la final teme pentru portofoliul elevului, teste de
autoevaluare, teste pentru determinarea nivelului de compe tențe și cunoștințe dobândite.
Noua programă prevede studiul mulțimilor (prima unitate de învățare) în clasa a
VI-a. Această unitate de învățare este urmată de Mulțimea numerelor naturale , ce
cuprinde următoarele lecții: Descompunerea num erelor naturale în produs de puteri
de numere prime, Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c; numere prime, Proprietăți
ale divizibilității în ℕ.
În cadrul primei lecții se amintesc noțiunile de număr prim, număr compus , este
prezentat ciurul lui Eratosten e, pentru numerele prime și compuse cel mult egale cu
100, se explică algoritmul pentru identificarea unui număr natural prim și printr -un
exemplu concret se arată că ”orice număr natural compus se poate scrie ca produs de
puteri de numere prime, scrierea fiind unică, abstr acție făcând de ordinea fac torilor”.
Pentru lecția a doua se propun două situații -problemă, a căror rezolvare conduce
spre aflarea celui mai mare divizor comun și a celui mai mic multiplu comun pentru
două sau mai multe numere na turale. De asemenea, se rea mintesc noțiunile de numere
prime între ele , dar și următoarele proprietăți:
– Dacă a, b, c sunt numere naturale, astfel încât b/a, c/a și (b,c)=1, atunci b ⋅c/a.
– Cel mai mic multiplu comun pentru două sau mai multe numere naturale,
oricare două prime între ele, este produsul lor.
– Dacă a și b sunt d ouă numere naturale diferite de zero, astfel încât a/b, atunci
c.m.m.m.c. al numerelor a și b este b.
– Relația dintre c.m.m.d.c și c.m.m.m.c. pentru numerele a și b este:
(a,b)∙[a,b]=a∙b.
În cea de a treia lecție su nt redate proprietățile divizibilității numerelor naturale ,
însoțite de exemple și observații.
Exemple de exerciții și probleme – clasa a VI -a
1. Se consideră mulțimea A={2,5,8,15,29,33,56,69,97}.
a) Să se determine mulțimea B={𝑥/𝑥∈𝐴,𝑥 𝑛𝑢𝑚ă𝑟 𝑝𝑟𝑖𝑚}
b) Să se determine mulțimea C={𝑥/𝑥∈𝐴,𝑥 𝑛𝑢𝑚ă𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑢𝑠}
a) B={2,5,29,97}
b) C={8,15,33,56,69}.
2. Scrieți ca produs de două numere prime numerele: 14, 26, 35, 55, 62, 87
14=2∙7; 26=2∙13; 35=5∙7; 55=5∙11; 62=2⋅31; 87=3∙29.
74
3. Descompune ți în produs de pu teri de numere prime următoarele numere: 42,
364, 5834.
42 2 364 2 6750 2 42=2∙3∙7
21 3 182 2 3375 5 364=22⋅7⋅13
7 7 91 7 675 5 6750=2 ∙33∙53
1 13 13 135 5
1 27 3
9 3
3 3
4. Scrie ți mulțimea divizorilor și apoi aflați c.m.m.d.c al numerelor 18 și 42.
D18={1,2,3,6,9,18}, D 42={1,2,3,6,7,14,21,42}. Cel mai mare divizor comun al
numerelor 18 și 42 este 6.
5. Aflați c.m.m.d.c. al numerelor 216 și 420, folosind descompunerea numerelor
în factori primi.
216 2 420 2 216=23∙33
108 2 210 2 420=22∙3⋅5⋅7
54 2 105 5 (216,420)=22∙3=12
27 3 21 3
9 3 7 7
3 3 1
1
6. Scrieți mulțimea primilor zece multiplii ai lui 6 și ai lui 8, calculați apoi
intersecția celor două mulțimi și aflați c.m.m.m.c.
M6={0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,…}
M8={0,8,16,24,32,40,48,56,64,72,…}
M6∩M8={0,24,48,…}. Cel mai mic multiplu comun al numerelor 6 și 8 este
24.
7. Aflați c.m.m.m.c. al numerelor 126 și 270, folosind descompunerea numerelor
în factori primi.
75
126 2 270 2 126=2∙32∙7
63 3 135 5 270=2 ∙33∙5
21 3 27 3 [126,270]=2⋅33∙5∙7=1890
7 7 9 3
1 3 3
1
8. Determinați numerele de forma 7𝑎3𝑏̅̅̅̅̅̅̅ divizibile cu 45.
Pentru ca numerele de forma 7𝑎3𝑏̅̅̅̅̅̅̅ să fie divizibile cu 45, ele trebuie să fie
divizibile cu 5 și cu 9 . Dacă sunt divizibile cu 5, atunci obținem numere de forma 7𝑎30̅̅̅̅̅̅̅
și 7𝑎35̅̅̅̅̅̅̅. Numărul de forma 7𝑎30̅̅̅̅̅̅̅ divizibil cu 9 este 7830, iar numărul de forma
7𝑎35̅̅̅̅̅̅̅ divizibil cu 9 este 7335. Deci, numerele de forma 7𝑎3𝑏̅̅̅̅̅̅̅ divizibile cu 45 sunt
7335 și 7830.
9. Aflați cifra necunoscută, astfel încât numerele din fiecare pereche să fie prime
între ele.
a) 37𝑎̅̅̅̅̅ și 2; b) 2𝑎6̅̅̅̅̅ și 3; c) 64𝑎̅̅̅̅̅ și 5; d) 8𝑎4̅̅̅̅̅ și 18
a) a∈{1,3,5,7,9}; b) a∈{0,2,3,5,6,8,9} c) a∈{1,2,3,4,6,7,8,9} d) 𝑎∈∅
10. Aflați cel mai mic număr natural care , împărțit pe rând la 15, 35 și 63 dă de
fiecare dată restul 11.
n:15=C1 rest 11⇒𝑛=15𝐶1+11⇒𝑛−11=15𝐶1
n:35=C2 rest 11⇒𝑛=35𝐶2+11⇒𝑛−11=35𝐶2
n:63=C3 rest 11⇒𝑛=63𝐶3+11⇒𝑛−11=63𝐶3
Deci, n-11=[15,35,63]
15=3∙5, 35=5⋅7, 63=32∙7, adică [15,35,63]=32∙5∙7=315.
Atunci n=315+11=326.
11. Aflați cel mai mic număr natural care, împărțit pe rând la 6, 7, 8, 9 dă resturile
5, 6, 7, respectiv 8.
n:6=C1 rest 5⇒𝑛=6𝐶1+5⇒𝑛+1=6(𝐶1+1)
n:7=C2 rest 6⇒𝑛=7𝐶2+6⇒𝑛+1=7(𝐶2+1)
n:8=C3 rest 7⇒𝑛=8𝐶3+7⇒𝑛+1=8(𝐶3+1)
n:9=C4 rest 8⇒𝑛=9𝐶4+8⇒𝑛+1=9(𝐶4+1)
Deci, n+1=[6,7,8,9]
6=2⋅3, 7=7, 8=23, 9=32, adică [6,7,8,9]=23∙32∙7=504.
Atunci n=504 -1=503.
76
12. Verificați dacă (60,450) ∙[60,450]=60⋅450.
60=22∙3∙5 (60,450)=2 ∙3∙5=30
450= 2∙32∙52 [60,450]=22∙32⋅52=900
(60,450)∙ [60,450]=27000 și 60 ∙450=27000, deci egalitatea este adevărată.
13. Determinați numerele naturale a și b știind că ( a,b)=15 și [𝑎,𝑏]=2145 .
(a,b)∙[𝑎,𝑏]=a⋅𝑏⇒𝑎⋅𝑏=15⋅2145=32175
(a,b)=15⇒𝑎=15⋅𝑚, 𝑏=15∙𝑛, (m,n)=1
𝑎∙𝑏=15⇒15𝑚⋅15𝑛=32175⇒225𝑚⋅𝑛=32175⇒𝑚∙𝑛=143
(m,n)=1⇒𝑚=1,𝑛=143 sau 𝑚=11,𝑛=13
În primul caz, 𝑎=15,𝑏=2145 , iar în al doilea caz 𝑎=165,𝑏=195.
14. Determinați numerele naturale a și b, știind că ( a,b)=12 și 2 a+3b=180.
(𝑎,𝑏)=12⇒𝑎=12∙𝑚,𝑏=12⋅𝑛,(𝑚,𝑛)=1
2𝑎+3𝑏=180⇒24𝑚+36𝑛=180⇒2𝑚+3𝑛=15,(𝑚,𝑛)=1
m=6, n=1, deci a=72, b=12.
15. Aflați numărul divizorilor naturali ai numărului 7875.
7875=32∙53∙7, deci numărul 7875 are (2+1)(3+1 )(1+1)=24 divizori .
16. Arătați că numerel e n+4 și 3 n+13, 𝑛∈ℕ, sunt prime între ele.
Presupunem că numerele n+4 și 3 n+13 nu sunt prime între ele. Atunci
(n+4,3n+13)= d. Deci d/n+4 și d/3n+13.
d/n+4⇒𝑑/3𝑛+12 și cum d/3n+13, înseamnă că d/(3n+13) -(3n+12), adică d/1,
deci d=1 și atunci numerele n+4 și 3n+13 sunt prime între ele.
17. Să se arate că număru l 𝐴=2𝑛+1⋅5𝑛+2+2𝑛+2∙5𝑛+1−10𝑛 este divizibil
cu 23.
𝐴=2𝑛⋅2⋅5𝑛⋅52+2𝑛∙22⋅5𝑛⋅5−10𝑛
𝐴=50⋅10𝑛+20⋅10𝑛−10𝑛
𝐴=10𝑛(50+20−1)=10𝑛∙69=(10𝑛⋅3)⋅23, deci numărul A este divizibil
cu 23.
18. Determin ați numerele naturale x, dacă : a) x/x+5; b) 2x/(x+7); c) x+2/2x+8;
d) 2x+1/3x+5
a) x/x+5 și x/x, deci x/x+5-x, adică x/5. 𝑥∈{1,5}
b) 2x/(x+7), deci 2x/2x+14 și 2x/2x. Atunci 2x/2x+14-2x, adică 2x/14; 𝑥∈
{1,7}
77
c) x+2/x+2, deci x+2/2x+4 și x+2/2x+8. Atu nci x+2/(2 x+8)-(2x+4), adică x+2/4,
x∈{2}
d) 2 x+1/2x+1, deci 2 x+1/6x+3, iar 2 x+1/3x+5, deci 2 x+1/6x+10. Atunci
2x+1/(6 x+10) -(6x+3), 2 x+1/7, x∈{3}
19. Determinați elementele mulțimilor:
a) A={𝑛∈ℕ/12
𝑛+1∈ℕ}; b ) B={𝑛∈ℕ/12𝑛+15
𝑛+1∈ℕ}
a) 12
𝑛+1∈ℕ⇒𝑛+1∈𝐷12⇒𝑛+1∈{1,2,3,4,6,12}⇒𝑛∈{0,1,2,3,5,11}
b) n+1/n+1⇒𝑛+1/12𝑛+12 și dacă 12𝑛+15
𝑛+1∈ℕ⇒𝑛+1/12𝑛+15. Atunci,
n+1/(12 n+15) -(12n+12)⇒𝑛+1/3. Deci, n ∈{0,2}.
20. Aflați numerele naturale prime de trei cifre care au produsul cifrelor egal cu 36.
36=1∙4∙9 și numerele prime sunt 149, 419, 491, 941.
2.3.Concluzii
Manualele școlare – manualul unic / manualele alternative
Manualele școlare au avut un drum delicat de-a lungul anilor. Înainte de anul
1989, fiecare d iscipl ină avea un manual școlar unic, după care au învățat multe generații
de elevi. Povestea manualelor alternative a început după Revoluție, când s -a renunțat la
manualul unic, acest lucru reprezentând c ea mai semnificativă reformă din viața școlii
român ești. Înainte de 1989 exista doar o singură editură de stat care realiza manualele
școlare, viziunea era una unitară, dar destul de monotonă. Apariția manualelor
alternative dar și a multitudinii surselor de informare a servit nevoilor diversității,
fiecar e elev având propriul ritm de învățare. Accentul este pus pe creativitate, pe
exerciții care solicită atenția, interpretarea elevului și comunicarea dintre cadrul
didactic și elev.
Manualul școlar este un document curricular oficial de politică educațional ă, în
strânsă legătură cu programa școlară, care vizează egalitatea șanselor, prezentând
cunoștințele în mod sistematic, prin diverse unități didactice, care pot fi operaționalizate
din perspectiva elevulu i și este structurat în: părți, capitole, subcapito le, lecții ce cuprind
secvențe diferite de învățare, comentarii, explicații, observații, corelații intra și inter –
disciplinare, exerciții, întrebări, teste de evaluare sau autoevaluare, referințe
bibliogra fice.
78
În ultimii ani, o nouă schimbare importantă a apărut pe piața manualelor și
anume – apariția manualelor digitale interactive, publicate de Ministerul Educației.
Alături de manualul școlar, tipărit sau digital, mai există și alte resurse ce fac parte din
curriculum suport: auxiliare curriculare, ghidu ri metodice pentru profesori, materiale
didactice, norme metodologice, îndrumătoare pentru elevi, caiete speciale, softuri
educaționale, resurse educaționale deschise.
Noua programă școlară urmărește dezvo ltarea competențelor de comunicare ale
elevilor, fo rmarea valorilor și atitudinilor care să contribuie la formarea personalității
elevilor, aceștia devenind capabili să -și exprime argumentat propriile acțiuni și opinii.
Deci, accentul a fost mutat de pe as imilarea de cunoștințe pe formarea de competențe,
un manual școlar de calitate trebuind să ofere un cadru favorabil formării și dezvoltării
competențelor prestabilite și să dirijeze efortul elevilor în acest scop. Conținuturile
trebuie să fie clare, atract ive, armonizate cu viața și trăirile elevilor. Învă țarea trebuie
să fie centrată pe elev, să răspundă nevoilor de dezvoltare personală și să asigure accesul
la educație pentru toți elevii.
Pentru manualele școlare din anii ‘90 se pot face următoarele obser vații:
conținuturile sunt corelate cu programa școl ară și sunt legate de achizițiile anerioare ale
elevilor; sunt suficient de obiective și redau adevărurile specifice matematicii;
conceptele sunt explicate clar (prin exemple și contraexemple); exercițiile sunt variate
și adaptate conținuturilor capitolulu i; lungimea capitolelor sau lecțiilor este în
concordanță cu importanța temelor tratate; limbajul manualelor este ușor de înțeles;
vocabularul utilizat corespunde nivelului cognitiv al elevilor, ținând con t de achizițiile
anterioare ale lor; lecțiile expli citează elementele esențiale ale temei abordate; metodele
de învățare corespund unei pedagogii constrângătoare și directive; la sfârșitul
manualului regăsim o serie de exerciții și probleme recapitulative, lucrări pentru
verificarea cunoștințelor de bază, exerciții și probleme date la olimpiade și concursuri
de matematică.
Manualele alternative prezintă următoarele caracteristici: conținuturile sunt
corelate cu programa școlară și sunt legate de achizițiil e anerioare ale elevilor;
conținuturile sunt sufici ent de bogate, raportate la cele indicate de programa școlară;
informațiile aduse oferă aplicații concrete, activitățile de învățare ajută la întărirea
învățării, iar ele pot fi realizate de către elevi și fără ajutorul profesorului; metodele de
învățare c orespund unei pedagogii deschise, active, care îi conferă elevului suficientă
autonomie în activitățile de învățare; sunt propuse activități de căutare, care îmbie la
79
observații, anchete, informări sau inv estigări; sunt introduse aspecte ce motivează elevi i
(teme variate, mediul familiar, ilustrații sugestive); exercițiile și temele sunt concepute
astfel încât elevul să se poată autoevalua; organizare logică în redactare (prezentare,
capitole, subcapitole, rezumate, exerciții, recapitulări, evaluări); capit olele sunt
prezentate într -o manieră diversificată, care sparge monotonia; limbajul este adaptat
nivelului elevilor; tabla de materii este precisă și detaliată; ilustrațiile sunt sugestive și
trezesc inter esul elevilor; există activități care dezvoltă gând irea critică; ideile mai
importante sunt evidențiate sugestiv prin componente grafice; aplicațiile sunt ordonate
după gradul de dificultate; în introducere sau în prezentarea inițială sunt expuse clar
obiectivele manualului și semnificația materiei tratate ; sunt prezente anexe, un index
sau alte elemente informaționale suplimentare cu caracter instrumental; manualele sunt
însoțite de un ghid de utilizare și precizează competențele generale și specifice
disciplinei; la sfârșitul manualelor regăsim teste de e valuare cu itemi obiectivi,
semiobiectivi și subiectivi, modele de evaluare finală și teme pentru portofoliile elevilor;
în clasele a V -a și a VI -a, noțiunile sunt prezentate intuitiv, evitându -se abuzul d e notații
sau de abstractizare.
Conținuturile preze ntate în manuale reprezintă mijloace prin care se formează
și se dezvoltă competențe specifice, ele fiind selectate pe principiul continuității și al
coerenței, sunt puternic interconectate, iar parcurgere a lor integrală permite elevului să
realizeze conex iuni între idei, texte cu conținut matematic, reprezentări grafice și
formule, în scopul rezolvării de probleme, de natură teoretică sau practic -aplicativă.
MANUALUL DE CLASA A V -A
Manualul anilor ‘90 Man ualul actual
I. NUMERE NATURALE
I. OPERAȚII CU NUMERE
NATURALE
1. Scrierea și citirea numerelor
naturale 1. Scrierea și citirea numerelor
naturale
2. Reprezentarea numerelor
naturale pe o dreaptă 2. Reprezentarea pe axa numerelor.
Compararea și ordonarea
numerelor naturale
3. Adunarea 3. Adunarea numerelor naturale
4. Scăderea 4. Scăderea numerelor naturale
5. Înmulțirea 5. Înmulțirea numerelor naturale
6. Ordinea efectuării operațiilor 6. Factor comun
7. Împărțirea 7. Împărțirea cu rest 0 a numerelor
naturale
8. Teorema împărțirii întregi 8. Împărțirea cu rest a numerelor
naturale
80
9. Factor comun 9. Puterea cu exponent natural a
unui număr natural. Pătratul unui
număr natural
10. Ordinea efectuării operațiilor 10. Reguli de calcul cu puteri
11. Puterea unui număr natural 11. Compararea puterilor
12. Înmulțirea de puteri cu aceeași
bază 12. Scrierea în baza 10. Scrierea în
baza 2
13. Puterea unei puteri 13. Ordinea efectuării operațiilor,
utilizarea parantezelor: rotunde,
pătrate și acolade
14. Puterea unui produs
15. Împărțirea de puteri cu aceeași
bază
16. Ordinea efectuării operațiilor și
folosirea parantezelor
17. Metode de rezolvare a
problemelor de aritmetică
18. Sisteme de numerație
II. UTILIZAREA
LITERELOR ÎN
CALCULE II. METODE ARITMETICE
DE REZOLVARE A
PROBLEMELOR
1. Mulțimi 1. Metoda reducerii la
unitate
2. Simbolurile ∈ și ∉ 2. Metoda comparației
3. Diagrame Venn -Euler 3. Metoda figurativă
4. Mulțimea vidă 4. Metoda mersului invers
5. Incluziune. Submulțimi 5. Metoda falsei ipoteze
6. Mulțimi egale
7. Operații cu mulțimi
8. Utilizarea literelor în
calcule
9. Propoziții adevărate.
Propoziții false
10. Operații cu numere
naturale și relația de
ordine pe ℕ
11. Noțiunile de ecuaț ie,
inecuație și mulțimea
soluțiilor
III. DIVIZIBILITATEA
NUMERELOR
NATURALE III. DIVIZIBILITATEA
NUMERELOR
NATURALE
1. Chestiuni pregătitoare 1. Divizibilitatea numerelor
naturale
2. Definiția divizibilității.
Divizor. Multiplu 2. Criterii de divizibilitate
3. Proprietăți al e
divizibilității numerelor
naturale 3. Numere prime. Numere
compuse
81
4. Criterii de divizibilitate
5. Mulțimea divizorilor
unui număr natural
6. Mulțimea multiplilor
unui număr natural
7. Numere prime
8. Cum recunoaștem dacă
un număr natural este
prim
9. Ciurul lui Eratostene
10. Scrierea unui număr
natural ca produs de
puteri de numere prime
11. Înmulțirea și împărțirea
numerelor naturale scrise
ca produse de puteri de
numere prime
12. Divizor comun. Cel mai
mare divizor comun al
mai multor numere
naturale
13. Aflarea celui mai mare
divizor comun prin
descompunere în factori
primi
14. Numere prime între ele
15. Multiplu comun. Cel mai
mic multiplu comun al
mai multor numere
naturale
16. Aflarea celui mai mic
multiplu comun prin
descompunere în factori
primi
17. Numere pare. Numere
impare
MANUALUL DE CLASA A VI -A
Manualul anilor ‘90 Manualul actual
I. RECAPITULAREA
MATERIEI DIN CLASA A
V-A
I. MULȚIMI. MULȚIMEA
NUMERELOR
NATURALE
1. Divizibilitate 1. Mulțimi; mulțimea
numerelor naturale
82
2. Operații cu numere
raționale și cu fracții
zecimale 2. Relații între mulțimi
3. Rezolvarea ecuației 𝑎𝑥=
𝑏,𝑎∈ℚ,𝑏∈ℚ 3. Operații cu mulțimi
4. Descompunerea
numerelor naturale în
produs de puteri de
numere prime
5. Determinarea celui mai
mare divizor comun și a
celui mai mic multiplu
comun; numere prime
între ele
6. Proprietăți ale
divizibilității în ℕ
IV. NUMERE ÎNTREGI III. MUL ȚIMEA
NUMERELOR ÎNTREGI
1. Numere întregi. Mulțimea
de numere întregi, ℤ.
Reprezentarea pe o
dreaptă 1. Mulțimea numerelor
întregi
2. Valoarea absolută a unui
număr întreg (modul) 2. Adunarea numerelor
întregi; proprietăți
3. Adunarea numerelor
întregi 3. Scăderea numerelor
întregi
4. Comutativitate,
asociativitate, element
neutru 4. Înmulțirea numerelor
întregi; proprietăți
5. Opusul unui număr
întreg. Opusul unei sume 5. Împărțirea numerelor
întregi
6. Scăderea 6. Puterea cu exponent
număr natural a unui
număr întreg ne nul
7. Desfacerea parantezelor 7. Ordinea efectuării
operațiilor și folosirea
parantezelor
8. Relațiile <,≤,>,≥ între
numere întregi 8. Ecuații și inecuații în
mulțimea numerelor
întregi
9. Rezolvarea ecuației 𝑥+
𝑎=𝑏,𝑎∈ℤ,𝑏∈ℤ 9. Probleme care se rezolvă
cu ecuații / inecuații în
contextul numerelor
întregi
10. Înmulțirea
11. Comutativitate,
asociativitate,
distributivitatea înmulțirii
83
față de adunare și scădere,
element neutru
12. Împărțirea
13. Factor comun
14. Divizorii unui număr
întreg
15. Puterea cu exponent
număr natural a unui
număr întreg
16. Înmulțirea de puteri
având aceeași bază
17. Puterea unei puteri
18. Puterea unui produs
19. Împărțirea de puteri
având aceeași bază
De-a lungul timpului, în țara noastră, programele școl are au cuprins finalități de
tip: ”scopuri” (până în 1970), ”obiective instructiv -educative” (între 1970 –
1992), ”obiective generale și obiective specifice” (între 1992 -2000) și ”obiective -cadru
și obiective de referință” (du pă anul 2000), iar începînd din anul 2009 – ”competențe
generale și competențe specifice”. Obiectivele reprezintă ceea ce ne propunem noi și
nu ceea ce va realiza elevul, iar competența reprezintă ceea ce va realiza elevul după
asimilarea cunoștințelor din tr-un anumit domeniu.
Programă școlară veche pentru gimnazi u avea la bază obiectiv ele-cadru și cele
de referință. Celelalte componente a veau ca scop principal realizarea obiectivelor de
către elevi. Obiectivele cadru erau următoarele: cunoașterea și înțelegerea conceptelor,
a terminolog iei și a procedurilor de calcul specifice matematicii, dezvoltarea
capacităților de explorare/investigare și rezolvare de probleme, dezvoltarea capacității
de a comuni ca, utilizând limbajul matematic, dezvoltarea motivației și interesului
pentru studiul și aplicarea matematicii în contexe variate . Aceste obiective cadru aveau
o structură comun ă pentru toate disciplinele ce aparțineau unei arii curriculare și
asigurau co erența în cadrul acesteia. Obiectivele de referință specificau rezultatele
așteptate ale învățării la finalul unui an de studiu și urmăreau progresul în formarea de
capacități și achiziția de cunoștințe ale elevului, iar exemplele de activități de învățare
aveau rol în organizarea activității la clasă. Conținuturile învățării erau mijloace pri n
care se urmărea realizarea obiectivelor cadru și a obiectivelor de referință, iar
standardele curriculare de performanță constitui au precizări legate de performanț a
legată de cunoștințe, deprinder i și comportament e obținute de elevi.
84
Noua program ă școlar ă se bazează pe formarea și dezvoltarea treptată și
permanentă a competențelor matematice. Competențele generale din noua program ă
școlar ă sunt următoarele : identificarea unor date, mărimi și relații matematice, în
contextul în care acestea apar , prelucrar ea unor date matematice de tip cantitativ,
calitativ, structural, cuprinse în diverse surse informaționale , utilizarea conceptelor și
a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice , exprimarea în limbajul specific
matematicii a informațiilor, conc luziilor și demersurilor de rezolvare pentru o situație
dată, analizarea caracteristicilor matematice ale unei situații date , modelarea
matematică a unei situ ații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii ,
competențe ce încadrează achizițiile de cunoaștere și de comportament ale elevului.
Competențele specifice reprezintă etape măsurabile în formarea și dezvoltarea
competențelor generale, iar exem plele de activități de învățare valorifică experiența
concretă a elevului și definesc con texte de învățare variate. Conținuturile sunt
structurate și abordate , astfel încât să fie accesibile elevilor de gimnaziu, reprezentând
mijloace prin care se ating competențele specific e.
Referitor la conținuturile celor două programe, putem preciza :
• la clasa a V-a, la capitolul legat de numerele naturale, conținuturile nu au suferit
multe modificări, ci doar o reorganizare a lor ;
• metodele aritmetice de rezolvare a problemelor constituie în prezent o unitate
de învățare individuală ;
• după vechea programă școlară, noțiunea de mulțime era introdusă încă din
clasa a V -a, de asemenea și termenii de ecuație, inecuație și mulțimea soluțiilor ,
acestea studi indu-se acum în clasa a VI -a.
• după vechea programă școlară, la capitolul al III -lea, ”Divizibilitatea numerelor
naturale” erau incluse proprietățile relației de divizibilitate, care acum s e
regăsesc în programa clasei a VI -a;
• criteriile de divizibilitate studia te în prezent sunt cele cu 2, 5, 10, 10𝑛, 3 și 9,
iar după vechea programă, se mai adaugă criteriul de divi zibilitate cu 4 și cu 25 ;
• după vechea programă școlară, cel mai mare divizor comun și cel mai mic
multiplu comun se determinau fie folosind mulțimi le divizorilor, respectiv
multiplilor numerelor respective, fie prin descompunerea numerelor în factori
prim i;
85
• după noua programă școlară , se studiază doar divizorii/multiplii comuni prin
enumerarea divizorilor/ multiplilor numerelor considerate ;
• numerele prime între ele se studiază acum în clasa a VI -a;
• la clasa a VI -a, conform vechii programe școlare, în ca pitolul I se recapitulează
câteva noțiuni de divizibilitate, iar conform noii programe școlare, capitolul I
debutează cu unităț ile de învățare ”Mulțimi” și ”Mulțimea numerelor naturale”,
unde regăsim relații între mulțimi, operațiile cu mulțimi, proprietăț ile relației de
divizibilitate și determinarea celui mai mare divizor comun și a celui mai mic
multiplu comun ;
• în capitolul ded icat studiului numerelor întregi, conținuturile sunt reorganizate,
iar divizibilitatea numerelor întregi apare doar în vechea pro gramă, deși unele
manuale/auxiliare de matematică cuprind o gamă largă de exerciții bazate pe
divizibilitatea în ℤ.
Noua progra ma școlară de matematică pentru clasa a V -a realizează o
continuitate între ciclul primar și cel gimnazial, urmărind o construcț ie curriculară
logică și coerentă, care îmbină nivelul intuitiv cu rigoarea specifică matematicii,
construcție adaptată caracte risticilor elevilor în această etapă de dezvoltare. Abordarea
problemelor prin metode aritmetice (Numere naturale) are în vedere dezvoltarea
capacității de analizare și sintetizare a informațiilor dintr -o situație -problemă, a
raționamentului logico -matemat ic. Se vor evita abordările algebrice (noțiunea de
ecuație fiind introdusă abia în clasa a VI -a).
Noțiunile ”cel mai mare divizor comun” și ”cel mai mic multiplu comun” se vor
introduce prin enumerarea divizorilor, respectiv multiplilor, iar identificarea ”celui mai
mare divizor comun”, respectiv a ”celui mai mic multiplu comun” se realizează strict
cu scopul utilizării acestor noți uni în efectuarea operațiilor cu fracții.
Noua programă școlară de matematică pentru clasa a VI -a, continuă demersul
început în clasa a V -a din punct de vedere al prezentării intuitive/descriptive a
noțiunilor, urmărind ca în final să se treacă la definir ea riguroasă a unor concepte
matematice și la demonstrarea unor proprietăți.
Pentru formarea și dezvoltarea competențelor speci fice, la capitolul Mulțimi.
Mulțimea numerelor naturale prezentarea noțiunilor se va realiza fără exces de limbaj
formal sau de n otații, utilizând mulțimi date doar prin diagrame sau prin enumerări de
86
elemente, inclusiv în cazul operațiilor cu mulțimi, cu legături intradisciplinare,
urmărind și dezvoltarea gândirii combinatorice.
La capitolul Mulțimea numerelor întregi , accentul tr ebuie pus pe introducerea
numerelor din considerente și necesități practice, reprezentarea pe axa numerelor fiind
realizată cu scopul formării unor deprinderi de localizare. La utilizarea modulului, nu
se va folosi calculul literal, acordându -se o pondere mare exemplelor numerice care
utilizează distanțe măsurate pe axa numerelor. Pentru sprijinirea deprinderilor de calcul
mintal se vor utiliza jocuri didactice și se va limita calculul numeric la zona de exersare
relevantă.
Astfel, p rograma școlară de matem atică delimitează, pentru fiecare clasă a
învățământului gimnazial, un nivel de pregătire matematică necesar elevilor pentru
continuarea studiilor disciplinare și, pe baza acestuia, trasarea posibilităților de
avansare în învățare . O caracteristică a noii programe școlare este că, în clasele a V -a
și a VI -a, noțiunile sunt prezentate intuitiv, evitându -se abuzul de notați i sau de
abstractizare. Spre finalul clasei a VI -a, așteptările sunt ca elevul să poată deja dezvolta
raționamente deductive simple, utili zând, dacă este cazul, contraexemple .
În concluzie, manualul școlar este cel mai important instrument de lucru pentru
elevi, ce respectă programa școlară actuală și detaliază într -un limbaj corespunzător
ceea ce este necesar pentru ca elevii să poată ating e competențele specifice prevăzute
în programa școlară.
87
CAPITOLUL 3
PROIECTAREA UNEI PROGRAME DE
OPȚIONAL
1. Programa pentru un opțional
Profesorul care dorește să propună un curs opțional pentru o anumită clasă trebuie
să formuleze o programă ca re să respecte modelul programei școlare din trunchiul
comun pentru clasa respectivă. Programa trebuie să conțină:
– Notă de prezentare;
– Competențe generale;
– Competențe specifice și exemple de activități de învățare;
– Conținuturi;
– Sugestii metodologice;
– Bibli ografie.
Nota de prezentare trebuie să facă referire la statutul disciplinei respective , la
aportul disciplinei în formare a absolventului, argumentarea cursul ui propus ( nevoile
elevilor și ale comunității locale) . Se descrie pe scurt organizarea programei și se
explică termenii folosiți.
Competențele generale au în vedere competențele generale ale disciplinei din
trunchiul comun și se referă la ceea ce contribuie opționalu l propus pentru formarea
absolventului. Competențele generale vor constitui clase de o perare ce definesc
disciplina, temele sau conceptele abordat e.
Competențele specifice și exemplele de activități de învățare :
Competențele specifice se vor elabora după modelul c ompetențelor specifice din
programele școlare pentru disciplinele din trunchi ul comun, dar acestea nu se vor relua ,
pentru c ă atunci opționalul propus nu ar mai aduce nicio noutate referitor la rezultatel e
care se așteaptă în urma învățării. Dacă un opțional se derulează o oră pe săptămână,
este convenabil să se formuleze 5-6 compe tențe specifice. Competenț a specifică este
corect realizată dacă ea determină un efect așteptat al învățării care se poate verifica și
performa .
88
Exemplele de activități de învățare reprezintă sarcinil e de lucru care dezvoltă
competențele specifice la elev i.
Conținuturile cuprind aspecte ce oferă baza de operare pentru a se forma
competențele. Aceste conținuturi incluse în opțional nu sunt un scop în sine, ci doar
mijloace informaționale pentru formare a competențelor la elevi.
Sugestiile metodologice conțin recomandări cu privire la strategiile didactice
folosite, tipuri de exerciții și probleme, precum și modalitățile de evaluare.
Bibliografia trebuie să aibă relevanță pentru domeniul de studiu propus și în cadrul
ei ar trebui regăsite și lucrări recente .
Curriculum nucleu reprezintă 65 -70% din Curricu lum Național, iar Curriculum la
decizia școlii reprezintă aproximativ 30 -35% din Curriculum Național și este alcătuit
din curriculum extins, curriculum nucleu aprofundat, curriculum el aborat în școală.
CDȘ (curriculum la decizia școlii) reprezintă oferta educațională care este propusă
de școală, în strânsă legătură cu nevoile și interesele de învățare ale elevilor, cu
specificul școlii, dar și cu nevoile comunității locale. Curriculum la decizia școlii poat e
fi alcătuit atât din pachete disciplinare opțion ale ofertate la nivel național, regional și
local, cât și din pachete disciplinare opționale ofertate la nivelul unității de învățământ.
Stabilirea curriculumului la decizia școlii este un proces în care s unt implicați și
consultați elevii și părinții sau reprezentanții legali ai elevilor, atât în propunerea, cât și
în alegerea curriculumului la decizia școlii, prin exprimarea unor opțiuni.
2. Tipuri de opționale care pot fi incluse în
curriculum la decizia școlii
a) Aprofundare – este un tip de opțional care derivă dintr -o disciplină din trunchiul
comun /curriculum diferențiat și are ca scop realizarea unui parcurs suplimentar pentru
dezvoltarea competențelor specifice cuprinse în programa școlară de trunchi co mun,
prin noi activ ități de învățare. Aprofundarea urmărește cunoașterea în detaliu a tuturor
obiectivelor din curriculumul nucleu prin diferite mijloace, de exemplu: folosirea
diversificată a metodelor de predare și a activităților de învățare, dar și alo carea unui
număr ma xim de ore prevăzut disciplinei respective. Acest tip de opțional se recomandă
și se aplică elevilor care necesită ore suplimentare pentru aprofundarea competențelor
și conținuturilor prevăzute în programă.
89
Acest tip de opțional prezintă următoarele caract eristici:
– nu necesită o denumire nouă și nici o nouă programă;
– competențele specifice și conținuturile sunt aceleași din programa școlară de
trunchi comun;
– se elaborează un document care va fi anexă la programa școlară de trunchi
comun, care va cuprinde: justificarea propunerii acestui tip de opțional, în urma
unei analize de nevoi realizate la nivelul clasei respective, dar și o listă cu noi
activități de învățare pentru dobândirea competențelor specifice stipulate în
programa școlară de trunchi comun;
– nu are o nouă rubrică în catalog.
a) Extindere – este un tip de opțio nal care derivă dintr -o disciplină din trunchiul
comun/curriculum diferențiat, în care se urmărește lărgirea conținutului și plajei de
competențe dobândite prin curriculum, p rin adău garea de conținuturi înrudite, notate
cu asterisc (*) în numărul maxim de ore alocat disciplinei respective, cu obligativitatea
parcurgerii în întregime a programei din curriculum nucleu.
Acest tip de opțional prezintă următoarele caracteristici:
– urmărește extinderea competențelor generale și a conținuturilor din programa
de trunchi comun, prin competențele specifice și unitățile de conținut marcate
cu asterisc (*) ;
– are aceeași rubrică în catalog pentru clasele pregătitoare -VIII și rubrică nouă în
catalog p entru clasele IX -XII.
b) Opțional ca disciplină nouă/nou domeniu de studiu
b.1) Opțional integrat – este un tip de opțional structurat din perspectiva
domeniilor de cunoaștere, în jurul unei teme integratoare, pentru o singură arie
curriculară sau pen tru mai multe arii curriculare și vizează formarea unor competențe
de integrare și transfer .
Acest tip de opțional are următoarele caracteristici:
– necesită o nouă denumire și o nouă programă școlară;
– noua programă școlară se elaborează cu respectarea struc turii programelor de
trunchi comun;
– are o nouă rubrică în catalog.
b.1.1) Opțional la nivelul ariei curriculare – constă în alegerea unei teme care
implică cel puțin două discipline din aceeași arie curriculară. Se vor elabora competențe
specifice care vor fi subordonate competențelor generale ale disciplinelor din care
90
derivă, în acord cu lista de conținuturi propusă. Acest tip de opțional necesită o rubrică
nouă în catalog.
b.1.2) Opțional la nivelul mai multor arii curriculare (cross -curricular ) –
presup une mixarea informațiilor din cel puțin două discipline care aparțin unor arii
curricu lare diferite. Astfel, elevii vor beneficia de informații cu caracter complex, ce le
permit dobândirea de achiziții cognitive de ordin înalt, de tipul generalizării,
transferului etc. Acest tip de opțional necesită o rubrică nouă în catalog.
b.2) Opțional ca disciplină nouă – este un tip de opțional care introduce o nouă
disciplină față de cele care fac parte din trunchiul comun și/sau, după caz, în curriculum
diferențiat, sau poate introduce noi domenii ce corespund unei discipline din trunchiul
comun sau, după caz, din curriculum diferențiat, sau le dezvoltă pe cele existente deja.
Acest tip de opțional are următoarele caracteristici:
– necesită o nouă denumire și o nouă pr ogramă școlară;
– noua programă școlară se elaborează cu respectarea structurii programelor de
trunchi comun;
– are o nouă rubrică în catalog.
Disciplina opțională este o disciplină de învățamânt diferită de cele existente în
trunchiul comun, propusă elevilor, care are drept scop aprofundarea, extinderea,
integrarea și inovar ea cuno ștințelor elevului din unul sau mai multe domenii.
Proiectarea unui opțional trebuie să respecte anumite cerințe:
– continuitatea la nivelul claselor/ciclurilor;
– informațiile predate t rebuie să fie de actualitate;
– adaptarea informațiilor la nivelul de vârstă al elevilor;
– centrarea să fie făcută pe elev și pe aspectul formativ;
– obținerea de noi performanțe;
– centrarea competențelor pe rezultatele finale.
3. Proiectarea și avizarea oferte i de CDȘ
A. Constituirea ofertei de CDȘ la nivelul unității de învățământ
Proiectarea ofertei de CDȘ se face pe baza unei analize de nevoi care este efectuată
de Comisia pentru Curriculum din unitatea de învățământ, care vizează interesele
elevilor, resursel e unității de învățământ, specificul socio -economic și cultur al local.
91
Această analiză de nevoi conține analiza SWOT a implementării ofertei curriculare din
anul/anii anteriori și concluziile desprinse în urma consultării directe a elevilor,
părinților sau reprezentanților legali ai elevilor. Această consultare este realizată de
către cadre didactice sau diriginți, iar consultarea reprezentanților comunității locale
este realizată de conducerea unității de învățământ. Această analiză de nevoi este
prezentat ă apoi în Consiliul Profesoral.
Pentru clasele pregătitoare, a V-a și a IX -a, opționalele se propun pe baza analizei
de nevoi și a evaluării calității și eficienței opționalelor organizate în anii anteriori la
aceste clase.
Opționalele propuse vor avea în vedere și preferințele exprimate de elevi, părinți/
reprezen tanții legali și comunitatea locală, iar acestea vor include: denumirea și tipul
opționalului, clasa, nivelul de învățământ la care este propus, aria sau ariile curriculare
în cadrul cărora este organizat, precizări legate de durata de desfășurare (un an s au mai
mulți ani școlari), argumentarea relevanței opționalului, dar și o scurtă prezentare a
domeniilor de conținut.
Aceste propuneri de opționale se discută mai întâi în catedrele/comisiile met odice,
iar în cazul opționalelor integrate, discuția se va fa ce în toate ca tedrele/comisiile
metodice implicate. Opționalele propuse în cadrul catedrelor/comisiilor metodice vor
fi centralizate de Comisia pentru Curriculum a unității de învățământ, care re alizează
oferta CDȘ a școlii. Această ofertă va conține lista de opționale propuse care va fi
prezentată, dezbătută și avizată de Consiliul profesoral, iar forma finală va fi propusă
spre aprobare Consiliului de administrație al unității de învățământ.
B. Prezentarea ofertei de CDȘ elevilor, părinților/reprezentanților legali ai elevilor
și alegerea opționalelor
Prezentarea ofertei de CDȘ este coordonată de Comisia pentru curriculum a unității
de învățământ și este realizată în diverse forme: afișare pe site -ul și în incinta unității
de învăță mânt, discuții între părinți/reprezentanți legali și cadrele didactice de la clasă,
informare prin poșta electronică, distribuiri de pliante.
Pentru clasele care au o plajă orară alocată pentru CDȘ, alegerea numărului de
opționale se realizează pentru fiec are an școlar prin completarea unei fișe pentru
exprimarea opțiunilor, asumate prin semnătură (ANEX E). Dacă elevul nu are vârsta de
14 ani, fișa va fi semnată de către unul dintre părinți sau de reprezentantul legal. Dacă
92
elevul a împlinit vârsta de 14 ani , fișa e ste completată și semnată de către elev, iar
părintele semnează doar pentru luare la cunoștință.
Profesorul pentru învățământul primar, profesorul diriginte centralizează opțiunile
pentru CDȘ la nivelul fiecărei c lase, iar Comisia pentru curriculum primesște aceste
opțiuni centralizîndu -le pe fiecare nivel și prezentîndu -le apoi în Consiliul Profesoral.
Acesta întocmește și avizează lista de opționale ce va fi înaintată Consiliului de
administrație pentru aprobare.
În stabilirea listei de opționale, Consiliul profesoral va ține cont de următoarele
criterii: numărul și ordinea opțiunilor exprimate pentru un anumit titlu, respectarea
procedurilor referitoare la numărul minim de elevi dintr -o formațiune de studiu. Se
poate lua în calcul și pos ibilitatea organizării unui bloc orar care să permită participarea
la un opțional comun al elevilor din clase paralele sau de la niveluri diferite.
După aprobarea listei de opționale de către Consiliul de administrație, profesorii
diriginți vor informa el evii și părinții cu privire la opționalele clasei respective.
C. Proiectarea și avizarea programelor pentru disciplinele opționale alese
Cadrele didactice ale căror opționale au fost aprobate, elaborează proiectele acestor
programe șc olare, care trebuie să respecte modelul programelor școlare pentru
disciplinele din trunchiul comun sau din curriculum diferențiat din planurile cadru
pentru învățământul primar, gimnazial sau liceal.
Dacă se optează pentru opționalele incluse în oferta n ațională, se anexează
programele școlare respective (aprobate prin ordin al ministrului educației) atât la
dosarul catedrelor/comisiilor metodice, cât și la portofoliul cadrului didactic propunător .
În schimb, pentru opționalul de aprofundare, se elaboreaz ă un documen t, anexă la
programa școlară de trunchi comun, care să conțină justificarea propunerii acestui
opțional, pe baza unei analize de nevoi la nivelul clasei și o listă de noi activități de
învățare pentru dobândirea competențelor specifice din prog rama de trun chi comun.
Consiliul de administrație al unitații de învățământ transmite inspectoratului școlar
proiectele programelor de opțional, pentru obținerea avizului științific (care poate
conține și unele recomandări). Dacă nu se primește avizul ști ințific sau se primesc
recomandări din partea inspectoratului școlar, procedura va fi reluată până la obținerea
acestuia. Opționalele care primesc avizul științific din partea inspectorului școlar
(împreună cu fișa de azizare – ANEX E) vor fi aprobate în con siliul de ad ministrație al
unității de învățământ. Dacă se aleg opționale din oferta națională, nu mai este necesar
avizul inspectorului școlar . După aceste et ape, profesorul care va susține opționalul în
93
anul școlar următor, el aborează suportul de curs și planificare a calendaristică. (etapele
elaborării și aprobării curriculumului la decizia școlii, termene, participanți,
responsabili – ANEX E).
Opționalele aprobate vor fi incluse în schemele orare.
D. Monitorizarea și evaluarea implementării disciplinelor op ționale
Comp letarea corectă a cataloagelor și registrelor matricole cu denumirile
complete ale opționalelor va fi verificată de către conducerea unității de învățământ.
Comisia pentru curriculum a unității de învățământ este responsabilă de procesul de
monitorizare și evaluare a implementării CDȘ și realizează anual o analiză specifică a
calității și eficienței opționalelor , prelucrând și interpretând informațiile desprinse din
procesul de monitorizare , prin raportare la scopul și specificul opționalului im plementat.
Evaluarea se realizează prin diferite modalități, de exemplu:
– se evaluează portofoliul profesorului (produse ale activităților);
– se evaluează opiniile elevilor, ale părinților/reprezentanților legali sau alți
factori, prin discuții, dezbateri, chestionare.
După această evaluare, Comisia pentru curriculum întocmește raportul legat de
calitatea și eficiența opționalelor desfășurate și îl prezintă Consiliului profesoral, iar
concluziile și recomandările acestui raport vor fi valorificate în raportu l general privind
starea și calitatea învățământului din unitatea de învățământ și vor fundamenta analiza
de nevoi pentru proiectarea ofertei de CDȘ pentru următorul an școlar.
Inspectoratele școlare monitorizează și evaluează calitatea și eficiența CDȘ di ntr-o
unitate școlară cu ocazia inspecțiilor generale și de specialitate/tematice.
În concluzie, curriculumul la decizia școlii este un instrument prin care instituțiile
de învățământ au libertatea de a introduce un nou obiect de studiu, în afara celor din
trunchiul comun, la un anumit profil și specializare, adaptat la nevoile și aspirațiile
elevilor, părinților și comunității locale, astfel încât școala centrată pe profesor să
devină școala centr ată pe elev.
94
4. Opționalul ”Cunoștințe vechi ș i noi depre
divizibilitate”
TITLUL OPȚIONALULUI:
CUNOȘTINȚE VECHI ȘI NOI DESPRE DIVIZIBILITATE
LICEUL TEHNOLOGIC CRUCEA, JUD. CONSTANȚA
AUTOR: Profesor Dancu Mihaela
CLASA: a VI-a
NIVELUL DE ÎNVĂȚĂMÂNT: gimnazial
ARIA CURRICULARĂ: Matematică și Științe
TITLUL OPȚIONALUL UI: CUNOȘTINȚE VECHI ȘI NOI DESPRE
DIVIZIBILITATE
TIPUL DE OPȚIONAL: Opțional ca disciplină nouă
DURATA: 1 an școlar (2020 -2021)
NUMĂR DE ORE : 1 oră pe săptămână
CUPRINS
I. Notă de prezentare
II. Competențe generale
III. Competențe specifice și exemple de act ivități de învățare
IV. Conținuturi
V. Sugestii metodologice
VI. Bibliografie
95
I. Notă de prezentare
Teoria numerelor constituie cea mai veche și frumoasă ramură a matematicii, un
interes deosebit fiind reprezentat de propri etățile numerelor întregi și de operaț iile cu
aceste numere. Dintre operațiile aritmetice, cea mai delicată este împărțirea, ea
neputând fi mereu efectuată în domeniul numerelor întregi, natura ei delicată
manifestându -se doar față de zero. Toate aceste ca racteristici ale împărțirii au condus
la apariția unor noțiuni ca numere prime, cel mai mare divizor comun, cel mai mic
multiplu comun, criterii de divizibilitate, proprietăți ale divizibilității etc.
Opționalul ”Cunoștințe vechi și noi despre divizibilitate” se adresează elevilor din
clasa a VI-a, dar și profesorilor care predau la nivel gimnazial. El poate fi utilizat atât
pentru îmbogățirea ofertei educaționale a curriculumului la decizia școlii, la cercurile
de elevi din școală, dar și pentr u studiul individual al elevilor, oferind posibil itatea
aprofundării cunoștințelor legate de divizibilitate și lărgirea capacității de aplicare și
transfer al cunoștințelor, dar și dezvoltarea unor capacități cognitive superioare.
Opționalul propus răspun de nevoilor de dezvoltare a personalității elevil or,
contribuind la profilul de formare al absolventului de gimnaziu, prin formarea și
dezvoltarea unor competențe și atitudini care au la bază gândirea critică, logico –
divergentă și creativă, conținuturile r eprezentând mijloace educaționale pentru
formarea acestor competențe. Ele sunt corelate cu finalitățile educației propuse în
diverse documente naționale și europene. Reușita socio -profesională a elevului
înseamnă cultivarea responsabilității, a asumării de roluri și sarcini, implicare,
asertivitate, dori nță de cunoaștere și autocunoaștere, gândire critică și adaptabilitate,
stabilirea prioprităților, optimizare, discernământ, respectarea regulilor. Atingerea
acestor scopuri în dezvoltarea personală și deter minarea profesională a elevilor sunt
posibile pri n implicarea acestora în procesul instructiv -educativ, alături de profesor,
într-o relație de echivalență.
Strategiile didactice utilizate vor fi centrate pe lucrul în echipă, favorizând astfel
comunicarea și asumarea de către elevi a diferitelor roluri î n cadrul unui anumit grup,
realitatea societății actuale demonstrând că individul se integrează și reușește nu doar
prin ceea ce știe, ci și prin ceea ce este capabil să facă cu ceea ce știe.
Acest opțional îi pregătește pe elevi pentru rezolvarea unor pr obleme dificile din
viața cotidiană, prin cultivarea perseverenței, încrederii în forțele proprii și a voinței de
a duce la bun sfârșit un lucru început, constituind o cheie pentru succesul școlar.
96
Prin stu diul acestei disciplinei opționale, din cadrul c urriculumului la decizia
școlii, îmi propun să asigur pentru toți elevii clasei a VI -a, formarea competențelor de
bază în rezolvarea problemelor specifice acestui capitol din aritmetică și teoria
numerelor, divizibilitatea, capitol care îi va provoca pe ce i care îl descoperă, spre
cercetare, descoperind astfel noi reguli, criterii, proprietăți, demonstrații, teoreme.
Parcurgerea acestui capitol al matematicii urmărește conștientizarea naturii
matematicii ca o activitate de rezolvare de exerciții și problem e cu una dintre cele mai
importante invenții ale omenirii, adică numerele.
Abordarea flexibilă a conținuturilor va spori motivația pentru învățare. Funcția
formativă a evaluării va fi realiza tă constant prin participarea activă a elevilor la
proiecte, por tofolii, investigații, dar și prin familiarizarea acestora cu structura și
cerințele acestor metode și instrumente de evaluare specifice.
Noțiunile introduse vor respecta particularitățile de vârstă și individuale ale elevilor
clasei a VI -a, specificul cl asei, specificul local, resursele unității de învățământ și
așteptările elevilor, apropiindu -i pe aceștia de înțelegerea spiritului științific
contemporan, prin dezvoltarea unor capacități și atitudini necesare în parcurgerea
drumului dificil, dar frumos d e înțelegere al matematicii și perceperea ei ca o disciplină
dinamică, omniprezentă.
”Matematica este regina științelor, iar teoria numerelor este regina matematicii”
(Gauss)
Competențe -cheie
1. Comunicare în limba maternă
Activitățile de învățare asociate pr ogramei implică elevul la nivel part icipativ, cu
încurajarea propriilor opinii, într -un mod asertiv, critic și argumentat. Elevul trebuie să
înțeleagă enunțul problemei și să comunice soluția acesteia. Implicarea elevului în
activități de echipă este premi sa dezvoltării abilităților de comunicare interpersonală și
de interrelaționare.
2. Comunicarea în limbi moderne
Faptul că una dintre variabilele programei este reprezentată de conținuturi,
secvența de colectare și selectare a informațiilor va fi folosită în procesul de instruire
pentru dezvoltarea competențelor de comunicare în limbi moderne.
3. Competențe matematice în științe și tehnologii
Temele propuse implică dezvoltarea în sistem integrat a c ompetențelor matematice
științifice și tehnologice, dublate de d ezvoltarea competențelor de învățare ce presupun:
97
– a învăța să înveți ( learn to learn );
– a învăța să faci ( learn to do ).
Prin rezolvarea problemelor de divizibilitate se dezvoltă gândirea deschi să și
creativă , elevul adoptă un raționament matematic, înțelege o demonstrație matematică,
învață să comunice în limbaj matematic, manifestă curiozitate pentru aflarea adevărului
și pentru explorarea unor regularități și relații matematice întâlnite în si tuații familiare;
formulează explicații simple, utilizând termin ologia specifică matematicii.
4. Competențe digitale
Identificarea, selectarea, prelucrarea și prezentarea conținuturilor reprezintă
secvențe care pot fi optimizate prin implicarea tehnologiei informației și comunicări i:
prezentări Power -Point , baze de date, internet, fișiere media, e -mail, forum, platforme
educaționale, resurse educaționale deschise etc.
5. Competențe metacognitive (a învăța să înveți)
– acordăm atenție acestui domeniu -cheie prin activitățile de învățare propuse în
cadrul cursului, care au la bază abordarea sistematică a cunoașterii și înțelegerii
științifice ;
– identificarea/clarificarea elementelor pe care le presupune sarcina de lucru
înainte de începerea unei activități de învățare;
– formularea de întrebări pentru clarificarea unei sarcini de lucr u;
– utilizarea de tehnici, metode simple pentru a învăța, pentru a activa cunoștințe
anterioare și pentru a înregistra informații;
6. Competențe sociale și civice
– sunt bazate pe comunicarea asertivă și pe asumarea de roluri și responsabilități
în echipă, activ itățile de învățare favorizează dezvoltarea atitudinilor pozitive:
respectarea opiniei în relația de comunicare, recunoașterea muncii coechipierului,
oferirea de sprijin în r ezolvarea de sarcini, toleranță, asumarea reușitelor/nereușitelor ;
– identificarea l egăturilor dintre tema studiată și orizontul local, impactul temei
asupra colectivității;
– identificarea unor oportunități de îmbunătățire a vieții colectivității în relație
cu tema studiată .
7. Spirit de inițiativă și antreprenoriat
– asumarea de roluri și sarc ini în echipă, implicând diferite metode activ –
participative reprezintă premise ale dezvoltării unei personalități independente, critice
și autocritice , responsabile și adapt abile la nou;
98
– asumarea unor sarcini simple de lucru, care implică hotărâre, angaja ment în
realizarea unor obiective, inițiativă, creativitate .
8. Sensibilizare și exprimare culturală
– variabilitatea conținuturilor este factorul de implicare a specificului cultural al
grupului de educabili cărora li se adresează cursul;
– recunoașterea unor el emente ale contextului cultural local și ale patrimoniului
național și universal.
II. Competențe generale
CG1: Identificarea și corelarea unor date și re lații matematice în funcție de
context
CG2: Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual
cuprinse în enunțuri matematice
CG3: Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea
locală sau globală a unei situații concrete
CG4: Exprimarea, analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei
situații -problemă
CG5: Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin
integrarea c unoștințelor din diferite domenii
III. Competențe specifice și exemple de activități de învățare
1. Identificarea și corelarea unor date și realții matematice în funcție de context
1.1. Identificarea numerelor naturale care îndeplinesc proprietăți date
– Determinarea celui mai mare sau celui mai mic număr care îndeplinește
condiții date (număr de cifre, suma cifrelor)
– Identificarea divizorilor/multiplilor unui număr întreg
– Identif icarea unor numere când se cunosc: numărul de divizori, suma
divizorilor
– Determinarea unor numere naturale atunci când se cunosc resturile
împărțirilor la numere date
– Recunoașterea numerelor prime, compuse, numere prime între ele
99
1.2. Recunoașterea și utiliza rea elementelor de logică, de teoria mulțimilor și
de divizibilitate pentru a justifica etape în rezolvarea problemelor
– Identificarea numerelor divizibile cu anumite numere naturale/întregi
– Determinarea c.m.m.d.c. și a c.m.m.m.c.
– Verificarea corectitudin ii unor calcule, folosind ultima cifră sau criteriile de
divizibilitate
– Utilizarea proprietăților divizibilității în rezolvarea exercițiilor/problemelor
– Identificarea numerelor prime și a perechilor de numere prime între ele
2. Prelucrarea datelor de tip ca ntitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse
în enunțuri matematice
2.1. Explorarea modalității de descompunere a unui număr natural, folosind
operațiile studiate
– Descompunerea numerelor naturale, cu respectarea unor criterii
suplimentare date; cazuri speciale de descompunere, descompunerea în
produs de puteri de numere prime; descompunerea în baza zece
2.2. Analizarea pașilor utilizați în rezolvarea unor probleme
– Selectarea informațiilor și realizarea distincției dintre informații
relevante/irelevante și subiective/obiective
– Determinarea celui mai mare divizor comun, folosind algoritmul lui Euclid
– Determinarea numerelor prietene și a numerelor perfecte
– Determinarea sumei divizorilor unui număr natural
– Deducerea anumitor criterii de divizibilitate și aplic area lor
2.3. Investigarea valorii de adevăr a unei afirmații prin construirea unor
exemple sau contraexemple
– Verificarea validității unor afirmații pe cazuri particulare
– Aplicarea proprietăților d ivizibilității în diverse contexte
– Evidențierea în exemple și contaexemple a criteriilor de divizibilitate și a
proprietăților relației de divizibilitate
100
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea
locală sau globală a unei situații concrete
3.1. Identificarea informațiilor esențiale dint r-un enunț matematic prezentat
în diverse forme
– Dezvoltarea spiritului de observație, intui ția superioară, capacitatea de
analiză și sinteză, gândirea logică și abilitățile competiționale
– Identificarea datelor și a necunoscutelor; identificarea metodelor p rin care
se ajunge la rezolvarea problemei
– Utilizarea unor modalități adecvate de determinarea c.m.m.d.c. și a
c.m.m.m.c .
– Transpunerea problemelor din limbaj cotidian în lim baj matematic
3.2. Prezentarea clară, corectă și concisă, orală sau în scris, metodele și
operațiile folosite pentru rezolvarea unei probleme
– Dezvoltarea capacităților rezolutive prin exersare, cu exprimare orală și
scrisă a limbajului matematic științific, specific
– Argumen tarea demersului de rezolvare a unei probleme
– Redactarea rezolvării problemelor de divizibilitate
4. Exprimarea, analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei
situații -problemă
4.1. Exprimarea în limbajul matematic a unor situații reale și rezolvarea
problemelor obținute
– Utilizarea terminologiei specifice divi zibilității
– Rezolvarea problemelor textuale, utilizând divizibilitatea și proprietățile
acesteia
4.2. Redactarea etapelor de rezolvare a problememlor de divizibilitate
– Formularea unor răspunsuri logice în raport cu cerințele problemelor de
divizibilitate
– Reda ctarea demersului de rezolvare și verificarea soluțiilor
101
5. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii
5.1. Formarea deprinderilor de a modela matematic anumite fenomene sau
relații din viața c otidiană
– Exprimarea ideilor și angajarea în activități de învățare
– Descoperirea strategiilor comune de rezolvare ale unor probleme
asemănătoare, realizând conexiuni între problemel e de tip practic -aplicative
și modelele matematice
– Abordarea unor situații -problemă și transpunerea acestora din limbaj
curent în limbaj matematic
– Justificarea și argumentarea demersurilor, rezultatelor obținute și a
tehnologiei utilizate
5.2. Manifestarea pe rseverenței în rezolvarea problemelor de divizibilitate și
propunerea de sol uții sau metode alternative de rezolvare
– Manifestarea pe parcursul activităților a simțului practic, estetic și etic în
abordarea sarcinilor de lucru individuale, frontale, pe grupe, în perechi
– Utilizarea unor metode variate de rezolvare a problemelor de d ivizibilitate
– Formularea de probleme de divizibilitate
– Realizarea de conexiuni interdisciplinare
IV. Conținuturi
1. Generalități. Proprietăți
2. Criterii de divizibilitate ”vechi”
3. Criterii de divizibilitate ”noi”
3.1. Criteriul de divizibilitate cu 4
3.2. Criter iul de divizibilitate cu 25
3.3. Criteriul de divizibilitate cu 7
3.4. Criteriul de divizibilitate cu 8
3.5. Criteriul de divizibilitate cu 11
3.6. Criteriul de divizibilitate cu 13
3.7. Criteriul comun de divizibilitate cu 7, 11, 13
3.8. Criteriul comun d e divizibilitate cu 3, 7, 19
4. Numere prime
102
5. Cel mai mare divizor comun. Cel mai mic multiplu comun. Numere prime între ele
6. Exerciții rezolvat e (propuse)
7. Algoritmul lui Euclid
8. Numărul și suma divizorilor unui număr natural
9. Numere prietene (a miabile) și numere perfecte
10. Ciurul lui Eratostene
11. Curiozități
12. Exerciții propuse
13. Exerciții și probleme recapitulative
14. Teste
V. Suges tii metodologice
Raportate la competențele cheie și la competențele programei, activitățile de
învățare și evaluare vor avea la bază învățarea prin descoperire, investigația,
comunicarea asertivă și proiecte.
Strategiile didactice folosite vor fi în concordanță cu specificul clasei de elevi și cu
resursele didactice de care dispune școala. În proiectarea activi tăților se va urmări
integrarea experiențelor de învățare anterioare ale elevilor, abordarea fiind una intuitivă,
pornind de la exemple concrete, pentru ca apoi să se poată ajunge ușor la generalizări
și formalizări. Profesorul va avea rol de observator, m ediator și reglator al procesului
de învățare, iar elevul va avea rol de generator de conținuturi ale învățării și va fi
responsabil în derularea activităților de învățare. Cercetarea va fi una independentă sau
de grup, elevii vor primi responsabilități, v or structura și vor folosi informațiile noi, iar
învățarea și evaluarea pe bază de proiect vor dezvolt a abilități de documentare,
investigație, comunicare, relaționare și asumare de sarcini în cadrul unui grup. Așadar,
modalitățile de organizare ale activi tăților vor fi frontale, individuale sau pe grupe, iar
metodele și mijloacele didactice folosite vor f avoriza implicarea elevului în propriul
proces de învățare.
Evaluarea se va realiza prin raportare la competențele specifice vizate, se vor
combina formel e tradiționale de evaluare cu cele complementare ( proiectul, portofoliul,
autoevaluarea, referatul, evaluarea în perechi, observarea sistematică a activității și a
comportamentului elevului). De asemenea, pot fi utilizate fișe de lucru, mape tematice,
jocuri didactice, concursuri, teste individuale cu itemi deschiși, teste grilă ce conțin
itemi cu alegere multiplă, teste și teme repartizate pe echipe. Accentul va fi pus pe
103
legătura directă a rezultatelor evaluării cu competențele specifice vizate, valoriza rea
rezultatelor prin raportare la progresul școlar al fiecărui elev, folosirea diverselor
metode de c omunicare și interpretare a rezultatelor școlare și recunoașterea
competențelor dobândite în diverse contexte.
Pentru un demers didactic eficient, se pot folosi mijloace și materiale didactice
interactive, care să sporească atractivitatea din partea elevilor.
În majoritatea activităților s e va pune accent pe evidențierea laturii aplicative a
cunoștințelor matematice, pe situații concrete cât mai diversifica te, dar și utilizarea
mijloacelor TIC, stimulând și menținând astfel interesul elevului pentru s tudiul
matematicii.
PLANIFICARE ANUALĂ
Nr.
crt. Conținuturi Competențe
specifice Nr.
ore Săptamâna Obs.
1. Generalități; proprietăți 1.1, 1.2, 2.2,
2.3, 3.1,
3.2,4.1, 4.2 2 S1, S2
2. Criterii de
divizibilitate ”vechi” 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S3
3. Criterii de
divizibilitate ”noi”
Criteriul de divizibilitate cu
4 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S4
4. Criteriul de divizibilitate cu
25 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S5
5. Test de evaluare parțială 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 2.3, 3.1,
3.2, 4.1, 4.2,
5.1, 5.2 1 S6
6. Criteriul de divizibilitate cu
7 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S7
7. Criteriul de divizibilitate cu
8 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S8
8. Criteriul de divizibilitate cu
11 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S9
9. Criteriul de divizibilitate cu
13 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S10
10. Criteriul comun de
divizibilitate cu 7, 11, 13 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S11
11. Criteriul comun d e
divizibilitate cu 3, 7, 19 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S12
104
12. Exerciții aplicative –
recapitulare criteriile de
divizibilitate 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.2, 5.2 1 S13
13. Test de evaluare parțială 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 2.3, 3.1,
3.2, 4.1, 4.2,
5.1, 5.2 1 S14
14. Numere prime 1.1, 2.3, 3.2 1 S15
15. C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Numere prime între ele 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1 1 S16
16. Legătura dintre c.m.m.d.c. și
c.m.m.m.c. 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1 1 S17
17. Exerciții aplicative 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 1 S18 Sem.II
18. Algoritmul lui Euclid 1.1, 1.2, 2.2 1 S19
19. Numărul divizorilor unui
număr natural 1.1, 1.2, 2.1,
4.1 1 S20
20. Suma divizorilor unui
număr natural 1.1, 1.2, 2.1,
4.1 1 S21
21. Exerciții aplicative 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 1 S22
22. Test de evaluare parțială 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 1 S23
23. Numere prietene și numere
perfecte 2.1, 2.2, 3.2,
5.1 1 S24
24. Ciurul lui Eratostene 1.1, 3.2, 4.2 1 S25
25. Exerciț ii recapitulative 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 1 S26
26. Test de evaluare parțială 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 1 S27
27. Curiozități 3.1, 4.1, 5.1,
5.2 1 S28
28. Exerciții propuse 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 2 S29,S30
29. Divizibilitate, nu te vom
uita! (exerciții
recapitulative) 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 2 S31,S32
30. Divizibilitatea în concursuri
și olimpiade școlare 1.1, 1.2, 2.1,
2.2, 3.1, 4.1,
4.2, 5.1, 5.2 2 S33,S34
105
VI. Bibliografie
1. Bălăucă Artur – ”Aritmetică. Algebră. Geometrie ( 10000000000 2 de
probleme semnificative pentru olimpiade, concursuri și centre de excelență, Clasa a VI –
a” – Editura Taida, Iași 2008
2. Botan Ecaterina – ”Numere prime: curs opțional”, Editur a Europolis, Constanța
2006
3. Bușneag D., Boboc D., Piciu Fl. – „Aritmetica și teoria numerelor”, Ed itura
Universitaria , Craiova 1999
4. Cărbunaru C., Hărăbor C., Singer M., Cheșcă I., Trifu M., Gaiu L. – ”Culegere
de probleme de matematică (Din subiectel e date la etapele județene și republicane ale
olimpiadelor școlare pentru cla sele V -VIII, volumul I – Enunțuri și indicații” – Editura
Tehnică, București 1990
5. Cărbunaru C. , Hărăbor C., Singer M., Cheșcă I., Trifu M., Gaiu L. – ”Culegere
de probleme de matematică (Din subiectele date la etapele județene și republicane ale
olimpiadelor școlare pentru clasele V -VIII, volumul II – Rezolvări și rezultate” –
Editura Tehnică, București 1991
6. Cîmpan Florica T. – ”Cum au apărut numerele”, Editura Ion Creangă, București
1987
7. Constantinescu Dragoș – ”Olimpiada de Matematică 2000 ” (Subiecte date la
etapele locale, fazele județene și concursurile interjudețene, Editura Corint, București
2000
8. Cristescu Gheorghe , Dăneț Rodica -Mihaela – ”Matematică: aritmetică ș i
algebră, manual opțional pentru clasele V -VIII”, Editura Corint, Bucu rești, 2000
9. Dăncilă I. – „Matematică distractivă , clasele VII -VIII și licee ”, Ed itura Sigma ,
București 2000
10. Dincă Alexandru – „Introducere în teoria algebrică a numerelor”, Ed itura
Universitaria, Craiova 2005
11. Drugan Ghe. , Ghica I., Drugan A., Ghica M. – ”Matematica în concursurile
școlare pentru clasele V -VIII, algebră”, Editura Teora, București 1998
12. Dumitru George -Viorel , Galbură Adrian – „Matematică . Divizibilitate” ,
Editura Scorpion, București , 1997
13. Engel Artur – „Probleme de matematică”, Ed itura Gil, Zalău 2006
14. Gazeta Matematică seria B – 1980 -2010
106
15. Linț D., Linț M., Marinescu D. St. , Marinescu R. – „Matematică V” , Editura
Corvin , Deva 2005
16. Linț M., Linț D., Marinescu R., Marinescu D. Ș. , Monea M., Monea S., Stroe
M. – ”Matematică de excelență: pentru concursuri, olimpiade și centre de excelență:
clasa a V -a, Editura Paralela 45, Pitești 2013
17. Mignotte Maurice – „Computer Algebra”, Ed itura Universitate a, București
2000
18. Mihuț Petru și Simirad Cristina – „Numere prime – Numere prime speciale”,
Editura Matrix Rom , București 2005
19. Năstăsescu C., Niță C., Vraciu C. – „Aritmetica și algebra”, Ed itura
Didactică și Pedagogică, București 1993
20. Panait opol Laurențiu și Ghica Alex. – „O introducere în aritmetică și teoria
numerelor”, Ed itura Universitatea , București 2001
21. Panaitopol Laurențiu , Șerbănescu Dinu – „Probleme de teoria numerelor și
combinatorică pentru juniori”, Ed itura Gil Zalău, 1993
22. Pătrașcu Ion, Preda Constantin – „Complemente de matematică pentru
Gimnaziu”, Ed itura Cardinal, Craiova 1990
23. Perelman I. I. – ”Aritmetica distractivă”, Editura Tineretului, București,
1963
24. Popovici Constantin – „Aritmetica și teoria numerelor”, E ditura Didactică,
București 1963
25. Revista de matematică Cardinal, Craiova 2000 – 2010
26. Sierpinski W. – „Ce știm și ce nu știm despre numere prime” , Editura
Științifică , București, 1966
27. Vraciu Constantin și Vraciu Mariana – „Elemente de aritmetic ă”, Ed itura All,
București 1998
28. Zaharia Dan și Zaharia Maria – ”Matematică, Algebră, Geometrie: clasa a VI –
a”, Editura Paralela 45, Pitești 2015
Suport de curs al opționalului propus ”Cunoștințe vechi și noi despre divizibilitate”
(ANEXE)
107
CAPITOLUL 4
DIVIZIBILITATEA ÎN CONCURSURI, OLIMPIADE
ȘCOLARE ȘI PROBLEME INTERESANTE
1. PROBLEME DATE LA CONCURSURI ȘI OLIMPIADE ȘCOLARE
1. Fie numărul 𝐴=𝑎1𝑎2𝑎3…𝑎𝑛 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ cu n cifre, 𝑛≥2. Demonstrați că numărul natural
𝐴−𝑠(𝐴) este multiplu al l ui 9, 𝑠(𝐴) fiind suma cifrelor numărului A.
( Etapa locală, Galați 2003)
Soluție:
𝐴=𝑎1⋅10𝑛−1+𝑎2⋅10𝑛−2+…+𝑎𝑛−2⋅102+𝑎𝑛−1⋅10+𝑎𝑛 și 𝑠(𝐴)=𝑎1+
𝑎2+𝑎3+…+𝑎𝑛−2+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛.
Atunci: 𝐴=𝑎1⋅99…9⏟
(𝑛−1)𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒+𝑎2∙99…9⏟
(𝑛−2)𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒+…+𝑎𝑛−2⋅99+𝑎𝑛−1⋅9+(𝑎1+
𝑎2+…+𝑎𝑛−2+𝑎𝑛−1+𝑎𝑛) și:
𝐴−𝑠(𝐴)=𝑎1⋅999…9⏟
(𝑛−1)𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒+𝑎2⋅999…9⏟
(𝑛−2)𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒+…+𝑎𝑛−2⋅99+𝑎𝑛−1⋅9.
𝐴−𝑠(𝐴)=9⋅(𝑎1⋅111…1⏟
(𝑛−1)𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒+𝑎2⋅111…1⏟
(𝑛−2)𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒+…+𝑎𝑛−2⋅11+𝑎𝑛−1), deci:
𝐴−𝑠(𝐴) este multiplu al lui 9.
2.Pentru n număr natural, notăm cu s(n) suma cifrelor sale. Demonstrați că dacă
s(n)= s(2⋅𝑛), atunci număru l n este divizibil cu 9.
(Etapa locală, Dolj 2013)
Soluție:
𝑛=𝑎𝑘𝑎𝑘−1…𝑎1𝑎0 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=10𝑘⋅𝑎𝑘+10𝑘−1⋅𝑎𝑘−1+…+10⋅𝑎1+𝑎0
=99…9⏟
𝑘 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒⋅𝑎𝑘+99…9⏟
(𝑘−1)𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒⋅𝑎𝑘−1+…+99⋅𝑎2+9⋅𝑎1+(𝑎𝑘
+𝑎𝑘−1+…+𝑎2+𝑎1+𝑎0)
Avem n=𝑀9+𝑠(𝑛).
Atunci, restul împărțirii numărului n la 9 este egal cu restul împărțirii lui s(n) la 9.
(1) 𝑛=9∙𝑐1+𝑟,𝑟∈{0,…,8}
𝑛=𝑀9+𝑠(𝑛)⇒2⋅𝑛=𝑀9+2⋅𝑠(𝑛)
108
Din enunț, avem 𝑠(𝑛)=𝑠(2∙𝑛), deci 2⋅𝑛=𝑀9+2∙𝑠(2⋅𝑛) și atunci restul
împărțirii numărului 2∙𝑛 la 9 este egal cu restul împărțirii numărului 𝑠(2∙𝑛) la 9.
(2) 2∙𝑛=9∙𝑐2+𝑟,𝑟∈{0,1,…,8}
Scăzând relația (1) din relația (2), obținem: 2∙𝑛−𝑛=9⋅𝑐2+𝑟−(9⋅𝑐1+𝑟)
𝑛=9∙(𝑐2−𝑐1), adică n este divizibil cu 9.
3. a) Determinați toate numerele de două cifre divi zibile cu 17 și apoi pe cele divizibile
cu 23.
b) Fie n un număr natural, având prima cifră 3, pentru care orice număr format cu două
cifre consecutive ale lui n, în ordinea în care apar, este divizibil fie cu 17, fie cu 23.
i) Aflați numărul n, cu proprie tățile date, știind că are șapte cifre.
ii) Știind că numărul n are 2013 cifre, găsiți ultima cifră a sa.
( Concurs interjudețean ”Unirea”, 2013 )
Soluție:
a) Numerele de două cifre divizibile cu 17 sunt: 17, 34, 51, 68, 85.
Numerele de două cifre divizibile cu 23 sunt: 23, 46, 69, 92.
b) i) Numerele de forma 3𝑎1𝑎2…𝑎6̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ care se formează din cerințele problemei și care
au șapte cifre sunt: 3468517 și 34 69234.
ii) Din a) observăm că nu există numere de forma 7𝑎̅̅̅̅ divizibile cu 17 sau cu 23,
de aceea di n 3468517 nu se poate forma un număr cu mai multe cifre având numărul
format cu două cifre consecutive divizibil cu 17 sau divizibil cu 23.
Formăm din 3469 234 numere cu cerințele problemei și care să aibă destul de multe
cifre.
Observăm că trebuie ”ocolit” numărul 68⋮17 și ales numărul 69⋮23. Astfel,
obținem 346923469234692346… , în care grupul de cinci cifre ”34692” se repetă.
Prin împărțirea lui 2013 la 5 obținem câtul 402 și restul 3.
A 2013 -a cifră a numărului este a treia cifră a grupului, adică 6.
4. Aflați numărul natural 𝑛=49𝑎4𝑏̅̅̅̅̅̅̅̅, știind că 28/𝑛 și 9/(𝑎𝑏̅̅̅+1).
( O.J. Brăila, 1992)
Soluție:
28=4∙7 și (4, 7)=1
Atunci, din 28/𝑛⇒4/𝑛 și 7/𝑛.
Dacă 4/𝑛⇒4/4𝑏̅̅̅⇒𝑏∈{0,4,8}
109
i) Pentru b=0, 49𝑎40̅̅̅̅̅̅̅̅̅⋮7⇔(49040+100𝑎)⋮7⇔(49035+98𝑎+5+2𝑎)⋮
7.
49035⋮7,98𝑎⋮7⇒(2𝑎+5)⋮7
2𝑎+5≥5,2𝑎+5≤23 ș𝑖 2𝑎+5 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟⇒2𝑎+5∈{7,21}
Vom obține a=1, care nu convine, deoarece 𝑎𝑏̅̅̅+1=10+1=11 ș𝑖 9∤11 și
𝑎=8 care este soluți e deoarece 80+1=81 ⋮9.
ii) Pentru b=4, 49𝑎44̅̅̅̅̅̅̅̅̅⋮7⇔(49044+100𝑎)⋮7⇔(49042+98𝑎+2𝑎+2)⋮
7.
49042⋮7,98𝑎⋮7⇒(2𝑎+2)⋮7
2𝑎+2≥2,2𝑎+2≤20 ș𝑖 2𝑎+2 𝑝𝑎𝑟⇒2𝑎+2=14⇒𝑎=6
Deoarece 𝑎𝑏̅̅̅+1=64+1=65 ș𝑖 9∤65, nu avem soluție.
iii) Pentru b=8, 49𝑎48̅̅̅̅̅̅̅̅̅⋮7⇔(49048+100𝑎)⋮7⇔(49042+98𝑎+6+2𝑎)⋮
7.
49042⋮7,98𝑎⋮7⇒(2𝑎+6)⋮7
2𝑎+6≥6,2𝑎+6≤24 ș𝑖 2𝑎+6 𝑝𝑎𝑟⇒2𝑎+6=14⇒𝑎=4.
𝑎𝑏̅̅̅+1=48+1=49 ș𝑖 9∤49, nu avem soluție.
Condițiile din enunț sunt îndeplinite pentru a=8, b=0 și n=49840.
5. Determinați numerele a, b, c, d astfel încât 2𝑎+3𝑏+2𝑐+6𝑑=56.
( O.J. Hunedoara, 1998)
Soluție:
Dacă a este prim, atunci 𝑎≥2 ș𝑖 2𝑎≥4, număr par;
2, 6d, 56 sunt numere pare și atunci 3 b va fi număr par, deci b este un număr par.
Cum b este număr prim, înseam nă că b=2.
Egalitatea se mai scrie: 2𝑎+2𝑐+6𝑑=50:2⇒2𝑎−1+𝑐+3𝑑=25.
Pentru 𝑎≥6,2𝑎−1≥25=32, nu sunt soluții. În aceste condiții distingem
cazurile:
I. a=2. Atunci c+3d=23. Pentru 𝑑≤7 și d prim verifică: d=2, c=17; d=7, c=2.
II. a=3. Atunci 4+ c+3d=25⇒𝑐+3𝑑=21; 3𝑑⋮3,21⋮3⇒𝑐⋮3,𝑐 prim⇒
𝑐=3 ș𝑖 𝑑=6, nu convine.
III. a=5. Atunci 16+ c+3d=25⇒𝑐+3𝑑=9; 𝑐⋮3,𝑑𝑒𝑐𝑖 𝑐=3 și obținem d=2.
Soluțiile sunt: (2, 2, 2, 7); (2, 2, 17, 2); (5, 2, 3, 2).
110
6. Determinați numerele de forma 𝑥𝑦𝑧̅̅̅̅̅, știind că 𝑥6̅̅̅∙𝑦7̅̅̅̅=𝑧𝑧22.̅̅̅̅̅̅̅
( O.J. Neamț, 1999)
Soluție:
𝑧𝑧22̅̅̅̅̅̅=𝑧𝑧00̅̅̅̅̅̅+22=𝑧⋅1100+22=11⋅(100⋅𝑧+2)⋮11
Egalitatea din enunț are loc dacă 11/𝑥6̅̅̅ sau 11/𝑦7̅̅̅̅, adică dacă x=6 sau y=7.
i) x=6. Avem 66∙𝑦7̅̅̅̅=11∙(100∙𝑧+2):11⇒ 6⋅𝑦7̅̅̅̅=100⋅𝑧+2
60∙𝑦+42=100∙𝑧+2⇒60⋅𝑦+40=100⋅𝑧:20⇒ 3∙𝑦+2=5⋅𝑧
Deoar ece (5∙𝑧)⋮5⇒3∙𝑦+2∈{5,10,…,45}.
Condiția este verificată de perechile y=1, z=1 și y=6, z=4.
ii) y=7. Avem 77⋅𝑥6̅̅̅=11⋅(100⋅𝑧+2):11⇒ 7∙𝑥6̅̅̅=100⋅𝑧+2
70⋅𝑥+42=100⋅𝑧+2⇒70⋅𝑥+40=100⋅𝑧:10⇒ 7∙𝑥+4=10∙𝑧
Deoarece 𝑢(10∙𝑧)=0⇒𝑢(7𝑥+4)=0.
Condiția este v erificată de perechea x=8, z=6.
Numerele 𝑥𝑦𝑧̅̅̅̅̅ care îndeplinesc cerințele problemei sunt 611, 664, 876.
7. Să se arate că toate numerele de forma 72𝑛+32𝑛+1∙23𝑛+1+8𝑛+1⋅9𝑛,𝑛∈ℕ∗ se
divid cu 1080.
( Etapa județeană, 1987, Timiș )
Vom f olosi regulile de calcul cu puteri și vom putea scrie:
72𝑛+3∙(32)n∙2∙(23)n+8⋅8𝑛⋅9𝑛=72𝑛+6∙72𝑛+8⋅72𝑛=
=72𝑛(1+6+8)=72𝑛⋅15
Dar 1080= 72∙15, deci cum 𝑛∈ℕ∗rezultă că 1080 divide numărul dat.
8. Aflați două numere naturale de trei cifre în baza zece, știind că sunt multiplii
consecutivi de 13 și că suma celor două numere are exact 9 divizori.
( Etapa județeană, Iași, 2000)
Soluție:
Fie a și b cele două numere, multiplii consecutivi de 13. Atunci a=13n și b=13( n+1).
Deci, 𝑎+𝑏=13𝑛+13(𝑛+1)=13(2𝑛+1)=13𝑘∙𝑝𝑞, unde 𝑘,𝑝,𝑞∈ℕ, p –
număr prim.
Suma a+b are exact nouă divizori, atunci (𝑘+1)(𝑞+1)=9∙1=3⋅3.
Deci, ( k,q)∈{(8,0);(2,2)}. Dar a și b sunt numere naturale de trei cifre în baza
zece, rezultă că k=q=2, adică 𝑎+𝑏=132⋅𝑝2=169⋅𝑝2.
111
a=13n, b=13n+13⇒𝑏=𝑎+13
p=2n+1: p=3⇒𝑎+𝑏=169⋅32=1521⇒2𝑎+13=1521⇒2𝑎=1508⇒
𝑎=754 și b=767
p=5⇒𝑎+𝑏=169∙52=4225⇒2𝑎+13=4225⇒2𝑎=4212⇒
𝑎=2106 , nu convine.
În concluzie, a=754 și b=767.
9. Aflați numerele natura le a și b, știind că [𝑎,𝑏]−(𝑎,𝑏)=175, [𝑎,𝑏]+(𝑎,𝑏)=
245,𝑎>𝑏 și a+b este minimă.
( Etapa locală, Botoșani, 1998)
Soluție :
[𝑎,𝑏]−(𝑎,𝑏)=175 și [𝑎,𝑏]+(𝑎,𝑏)=245⇒2(𝑎,𝑏)=70⇒(𝑎,𝑏)=35
[𝑎,𝑏]=245−35=210
Dacă (𝑎,𝑏)=35⇒35/𝑎 ș𝑖 35/𝑏⇒𝑎=35∙𝑚 ș𝑖 𝑏=35∙𝑛,(𝑚,𝑛)=1
a+b=35m+35n=35( m+n), (m, n)=1 și a+b minimă, iar [𝑎,𝑏]∙(𝑎,𝑏)=210⋅35=
7350 .
Deci, 35 m∙35𝑛=7350:35∙35⇒ 𝑚∙𝑛=6. Dar, a>𝑏⇒𝑚=3,𝑎𝑑𝑖𝑐ă 𝑎=105 și
n=2, adică b=70.
10. Se dau numerele 𝑎,𝑏,𝑐∈ℤ, care satisfac relația 9 a-6b-8c=0. Să se arate că
𝑎2(3𝑏−5𝑐) este divizibil cu 36.
( Etapa județeană, Constanța )
Soluție:
9a-6b-8c=0⇒9𝑎=6𝑏+8𝑐⇒9𝑎=2(3𝑏+4𝑐)⇒9/3𝑏+4𝑐 ș𝑖 2/𝑎
Din 2/𝑎⇒𝑎2=4𝑘,𝑘∈ℕ∗(1)
Din 9/3𝑏+4𝑐 ș𝑖 9/9𝑐⇒9/3𝑏+4𝑐−9𝑐⇒9/3𝑏−5𝑐⇒3𝑏−5𝑐=9𝑙,𝑙∈ℤ∗(2)
Din relațiile (1) și (2) ⇒𝑎2(3𝑏−5𝑐)=4𝑘⋅9𝑙=36𝑘𝑙⇒36/𝑎2(3𝑏−5𝑐).
11. Determinați un număr natural de patru cifre 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅, știind că sunt îndeplinite
simultan condițiile:
i) (𝑎𝑏̅̅̅,𝑐𝑑̅̅̅)=4;
ii) [𝑎𝑏,̅̅̅̅𝑐𝑑̅̅̅]=204.
( ”La ceas”, Râmnicu Vâlcea – concurs
interjudețean )
112
Soluție:
(𝑎𝑏̅̅̅,𝑐𝑑̅̅̅)=4⇒𝑎𝑏̅̅̅=4𝑘,𝑐𝑑̅̅̅=4𝑙; 𝑘,𝑙∈ℕ ș𝑖 (𝑘,𝑙)=1 (1)
𝑎𝑏̅̅̅∙𝑐𝑑̅̅̅=(𝑎𝑏̅̅̅,𝑐𝑑̅̅̅)⋅[𝑎𝑏,̅̅̅̅𝑐𝑑̅̅̅]=4∙204⇒𝑎𝑏̅̅̅∙𝑐𝑑̅̅̅=816 (2)
Din relațiile (1) și (2) ⇒4𝑘⋅4𝑙=816⇒16𝑘𝑙=816⇒𝑘𝑙=51; (𝑘,𝑙)=1.
Deci , (𝑘,𝑙)∈{(3,17);(17,3)} ( soluția k=51 nu convine).
Așadar, 𝑎𝑏̅̅̅∈{12,68} și 𝑐𝑑̅̅̅∈{68,12}, adică 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅∈{1268,6812}.
12. Determinați numărul natural n, știind că descompunerea lui în produs de numere
prime conține num ai factorii 2, 3 și 11, iar c.m.m .d.c. (𝑛,7𝑛
6)=297.
( Etapa județeană, Neamț )
Soluție:
𝑛=2𝑎⋅3𝑏∙11𝑐; 𝑎,𝑏,𝑐∈ℕ∗ (1)
Dacă 𝑑=(𝑛,7𝑛
6)=297⇒𝑑=33⋅111
𝑑=(2𝑎⋅3𝑏∙11𝑐,7⋅2𝑎⋅3𝑏∙11𝑐
6)=(2𝑎⋅3𝑏∙11𝑐,7⋅2𝑎⋅3𝑏∙11𝑐
2⋅3)=
=(2𝑎⋅3𝑏∙11𝑐,7∙2𝑎−1∙3𝑏−1∙11𝑐)⇒𝑑/ 7∙2𝑎−1∙3𝑏−1∙11𝑐.
Deci, 33⋅111=7∙2𝑎−1∙3𝑏−1∙11𝑐⇒𝑎−1=0,𝑎=1
b-1=3⇒𝑏=4
c=1.
În concluzie, n=21⋅34⋅11=1782 .
13. Să se arate că nu există niciun număr natu ral x, astfel încât 19871987=2𝑥+3.
( Etapa județeană, 1987, Tulcea )
Soluție:
Vom nota cu 𝑢(𝑎) ultima cifră a numărului a. Atunci vom avea:
𝑢(19871987)=𝑢(71987) și deoarece ultima cifră a lui 7𝑛,𝑛∈ℕ se repetă din
patru în patru, relați a mai poate fi scrisă: 𝑢(71987)=𝑢(7496⋅4+3)=𝑢(73)=3. Acest
lucru înseamnă că în membrul drept ar trebui să avem 𝑢(2𝑥+3)=3, relație
imposibilă, deoarece:
𝑢(2𝑥)∈{1,2,4,6,8}, pentru 𝑥∈ℕ.
În concluzie, nu există 𝑥∈ℕ care să verifice r elația din enunț.
14. O bunică are doi nepoți. Vârsta bunicii se exprimă pr intr-un număr de două cifre,
fiecare cifră fiind vârsta unuia dintre nepoți. Dacă la vârsta bunicii se adaugă vârstele
celor doi nepoți se obține 83 de ani. Ce vârstă are bunica?
( Etap a republicană, 1986, Râmnicu -Vâlcea )
113
Soluție:
Condițiile problemei co nduc la ecuația 𝑥𝑦̅̅̅+𝑥+𝑦=83⇔11𝑥+2𝑦=83 sau
𝑦=83−11𝑥
2
Se observă că x trebuie să fie cifră impară.
Se elimină cazurile x=1, 3, 5 care conduc la 𝑦>10 și cazul x=9, care cond uce la
𝑦<0. Rămâne x=7, de unde y=3.
În concluzie, vârsta bunicii este 73 de ani.
15. Să se afle pătratul perfect de patru cifre divizibil cu 44 și care la împărțirea prin 5
dă restul 1, iar la împărțirea prin 7 dă restul 2.
( Etapa județeană, 1987, Iași)
Soluție:
Numărul căutat se divide cu 4 și cu 11 și, cum este pătrat perfect, se divide și cu
112, numărul 11 fiind număr prim. Deci, 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅=4⋅112⋅𝑘2.
Din condiția 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅=5𝑝+1,𝑝∈ℕ∗⇒𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅-1 este multiplu de 5, deci 𝑑∈{1,6}
Din scri erea 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅=4⋅112⋅𝑘2⇒𝑘∈{2,3,4}. Pentru 𝑘>4 se obțin numere
care au mai mult de pa tru cifre.
Pentru k=4 rezultă d=4, dar 4∉{1,6}.
Pentru k=2 rezultă d=6, dar nu se verifică condiția 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅=7𝑞+2,𝑞∈ℕ.
Pentru k=3 se obține numărul 𝑎𝑏𝑐𝑑̅̅̅̅̅̅̅=4⋅112⋅9=4356 , care îndeplinește toate
condițiile problemei.
16. a) Demonstrați că 11111 /𝑎, unde a=1111055556;
b)Scrieți a ca produs de numere consecutive;
c) Demonstrați că numărul x=111…1⏟
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒0555…56⏟
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒 este divizibil cu 111…1⏟
𝑛+1 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒.
( Etapa locală, Botoșani )
Soluție:
a) a=1111100000 -44444=11111(100000 -4)⇒11111/𝑎;
b) a=11111⋅99996=33333∙33332;
c) x=111…1⏟
𝑛+1 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒(999…9⏟ 6)
𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑒.
17. Fie A={𝑥∈ℤ|15
2𝑥+1∈ℤ}, B={𝑦∈ℤ|𝑦3≤27} și C este mulțimea valorilor
expresiei :
114
E=2∙(−1)𝑚−3⋅(−1)𝑛+1; 𝑚,𝑛∈ℕ. Determinați elementele mulțimii :
(A-B)∩𝐶.
( Etapa județeană, Bacău, 1991)
Soluție:
15
2𝑥+1∈ℤ⇔(2𝑥+1)/15 și cum 2 x+1 este număr întreg impar
⇒2𝑥+1∈{−15,−5,−3,−1,1,3,5,15}−1⇒ 2𝑥∈{−16,−6,−4,−2,0,2,4,14}
:2⇒𝑥∈{−8,−3,−2,−1,0,1,2,7}⇒𝐴={−8,−3,−2,−1,0,1,2,7}.
Numărul :
𝑦3≤27⇒𝑦3≤33⇒𝑦≤3 ș𝑖 𝑦∈ℤ⇒𝐵={…,−3,−2,−1,0,1,2,3}.
Pentru m și n pare⇒𝐸=2−3+1=0
Pentru m și n impare⇒𝐸=−2+3+1=2
Pentru m par și n impar⇒𝐸=2+3+1=6
Pentru m impar și n par⇒𝐸=−2−3+1=−4
Deci, C={−4,0,2,6} și (A-B)∩𝐶={−8,7}∩{−4,0,2,6}=∅.
18. Împărțind același număr natural mai mic decât 200, la numerele prime impare
consecutive a, b, c se obțin resturi numere impare consec utive. Aflați deîmpărțitul,
împărțitorii și câturile acestor împărțiri.
( Etapa județeană, Harghita )
Soluție:
Fie n numărul căutat, n<200.
Numerele a, b, c prime, impare, consecutive, deci a=3, b=5, c=7.
Din teorema împărțirii cu rest, vom avea:
n=3k+1, n=5l+3, n=7p+5 (𝑘,𝑙,𝑝∈ℕ∗)⇒ n+2=3( k+1)
n+2=5( l+1), adică n+2=[3,5,7].
n+2=7( p+1)
Deci, n+2=105, adică n=103.
În concluzie, deîmpărțitul este 103, împărțitorii sunt 3, 5, 7, iar câturile sunt 34, 20,
14.
19. Este numărul A=113+223+…+993 divizibil cu 1331? Dar cu 5?
( Etapa județeană, 1987, Sălaj )
Soluție:
A=113+(11⋅2)3+(11⋅3)3+(11⋅4)3+…++(11⋅9)3=
115
=113+113⋅23+113⋅33+…+113⋅93=113(1+23+33+…+93)
=1331⋅(1+23+33+…+93), deci numărul A este divizibil cu 1331.
Pentru divizibilitatea cu 5, vom aduna ultima cifră a fiecărui număr din paranteză:
1+8+7+4+5+6+3+2+9, ultima cifră a sumei fiind 5, rezultă că A este divizibil cu 5.
20. Sunt numerele 139 și 3𝑥𝑦̅̅̅̅̅, scrise în baza zece, numere prime între ele, oricare ar fi
cifrele x și y?
( Etapa municipală, 1986, București )
Soluție:
Numărul 139 este un număr prim, deci numărul 3𝑥𝑦̅̅̅̅̅ trebuie să fie multiplul lui
139, pentru ca cele două numere să nu fie prime între ele.
Multiplii lui 139 sunt: 139⋅0,139⋅1,139⋅2,139⋅3,139⋅4,…, adică: 0,
139, 278, 417, 695, 834, 973… Niciunul di ntre acești multiplii de trei cifre nu are cifra
sutelor 3.
În concluzie, răspunsul este da.
21. Determinați mulțimile:
A={𝑥∈ℤ|−5
2𝑥+3∈ℤ}, B={𝑦∈ℤ|2𝑦+1
𝑦+3∈ℤ}, C={𝑛∈ℕ|2𝑛+1≥3𝑛+1}.
( Etapa județeană, Gorj)
Soluție:
−5
2𝑥+3∈ℤ⇒(2𝑥+3)/5⇒2𝑥+3∈{−5,−1,1,5}
−3⇒ 2𝑥∈{−8,−4,−2,2}:2⇒𝑥∈{−4,−2,−1,1}⇒𝐴={−4,−2,−1,1}
2𝑦+1
𝑦+3=2−5
𝑦+3∈ℤ⇔5
𝑦+3∈ℤ⇒𝑦+3∈{−5,−1,1,5}−3⇒ 𝑦∈{−8,−4,−2,2}
Deci, B={−8,−4,−2,2}.
23<32⇒(23)⋅2𝑛−2<(32)⋅3𝑛−2+1⇒2𝑛+1<3𝑛+1, oricare n≥2⇒
𝐶={0,1}.
22. Să se arate că numărul A=1−2−3+4−5−6+7−8−9+…+1999−
2000−2001 este multiplu de 1003.
( Etapa județeană, Prahova )
Soluție:
A=(1−2−3)+(4−5−6)+(7−8−9)+…+(1999−2000−2001)=
=−(4+7+10+…+1999+2002)=
=−(4+4+3+4+3∙2+⋯+4+3⋅666)=
116
=−[4⋅667+3⋅(1+2+…+666)]=
= – (4⋅667+3⋅666⋅667:2)=−667⋅1003 , deci A este muliplu de 1003.
23. Determinați cel mai mic număr natural care are 24 de divizo ri.
( Concurs intterjudețean ”Filoftea Preda”, Drăgășani )
Soluție:
Fie n numărul cerut. Atunci avem: 𝑛=𝑝1𝛼1∙𝑝2𝛼2∙…∙𝑝𝑘𝛼𝑘 și
(𝛼1+1)(𝛼2+1)⋅…∙(𝛼𝑘+1)=24=23∙3=4∙6=4∙3∙2=3∙2∙2∙2.
Soluția minimă este n=23⋅32⋅5=360.
24. Fie 𝑎,𝑏∈ℤ și numerele A=2𝑎+3𝑏,𝐵=9𝑎+5𝑏. Arătați că 17/𝐴⇔17/𝐵.
( București, 1996)
Soluție:
”⇒” 17/𝐴⇒17/2𝑎+3𝑏⇒17/13(2𝑎+3𝑏)⇒17/(26𝑎+39𝑏)⇒
⇒17/[17(𝑎+2𝑏)+(9𝑎+5𝑏)]⇒17/(9𝑎+5𝑏)⇒17/𝐵.
”⇐” 17/𝐵⇒17/(9𝑎+5𝑏)⇒17/4(9𝑎+5𝑏)⇒17/(36𝑎+20𝑏)⇒
⇒17/[17(2𝑎+𝑏)+(2𝑎+3𝑏)]⇒17/(2𝑎+3𝑏)⇒17/𝐴.
25. Găsiți un număr natural de forma 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅, știind că este divizibil cu 22, împărțit la 5
dă restul 2, iar cifra sutelor este cu 4 mai mare decât cifra unităților.
( Etapa județeană, 1987, Giurgiu )
Soluț ie:
Condițiile problemei pot fi transcrise astfel:
(1) 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅=22𝑘,𝑘∈ℕ∗;
(2) 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅=5𝑛+2,𝑛∈ℕ∗;
(3) 𝑎=𝑐+4.
Din relația (2) rezultă că 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅−2 este multiplu de 5, deci 𝑐∈{2,7}. Dar c=7 nu
convine (din relația (3)), rămâne c=2, deci a=6.
Din condiția (1) obținem b=8.
Numărul căutat este 682.
26. Să se determine numerele naturale 𝑎𝑏𝑐̅̅̅̅̅ astfel încât suma pătratelor cifrelor date să
fie pătratul unui număr prim de forma 3𝑘+2,𝑘∈ℕ.
( I. Coroian, etapa republicană, Baia Mare, 1989 )
117
Soluție:
Fie 𝐴2=𝑎2+𝑏2+𝑐2. Avem 𝑚𝑎𝑥 𝐴2 pentru 𝑎=𝑏=𝑐=9, adică 𝐴2<92+
92+92=243<256,𝑑𝑒𝑐𝑖 𝐴∈{2,3,5,7,11,13} (1)
Din condiția 𝐴2=(3𝑘+2)2 și din relația (1) rezultă că 𝐴∈{2,5,11}⇒𝐴2∈
{4,25,121}
Din 4=22+02+02, obținem numărul 200.
Din 25=32+42+02=52+02+02, obținem numerele 340, 304, 430, 403,
500.
Din 121=22+62+92=62+62+72, obținem numerele 269, 296, 629, 692,
926, 962, 667, 676, 766.
În concluzie, problema admite 15 soluții.
27. Un număr de trei cifre are suma cifrelor 7. Arătați că dacă numărul se divide cu 7,
atunci cifra zecilor este egală cu cifra unităților.
( Etapa republicană, Bacău, 1987 )
Soluție:
Din ipoteză avem: 𝑁=𝑥𝑦𝑧̅̅̅̅̅=100𝑥+10𝑦+𝑧, cu 𝑥+𝑦+𝑧=7 și 𝑥≥1.
Înlocu ind pe x în N, obținem: 𝑁=700−90𝑦−99𝑧=700−91𝑦−98𝑧+𝑦−𝑧=
7(100−13𝑦−14𝑧)+(𝑦−𝑧).
Din 7/𝑁⇒7/(𝑦−𝑧) și avem cazurile:
(1) 𝑦−𝑧=7, imposibil, deoarece 𝑦+𝑧≤6;
(2) 𝑦−𝑧=−7, imposibil, deoarece 𝑦+𝑧≤6;
(3) 𝑦−𝑧=0, deci 𝑦=𝑧.
2.PROBLEME INTERESANTE DE DIVIZIB ILITATE
28. Demonstrați că numărul 𝑛=661+662+…+6128 este divizibil cu 259.
( Gazeta matematică, 2/2011)
Soluție:
6+62+63=6+36+216=258, deci 1+6+62+63=259
Numărul n conține 128 -60=68 termeni puteri ale lui 6 și îi vom grupa câte 4.
𝑛=661(1+6+62+63+⋯+667)=
=661⋅[(1+6+62+63)+(64+65+66+67)+⋯+(664+665+666+667)]
118
=661[(1+6+62+63)+64(1+6+62+63)+⋯+664(1+6+62+63)]
=661⋅259(1+64+68+…+664)=𝑀259
29. Determinați num erele naturale n, n+2 și n+4, ș tiind că sunt simultan numere prime.
Soluție:
Dacă n este număr natural par, atunci n, n+2, n+4 sunt pare și nu pot fi simultan
prime.
Fie 𝑛∈ℕ,𝑛≥3. Atunci n are forma 3 k, 3k+1 sau 3 k+2, k∈ℕ∗.
Dacă n=3k și n este prim, r ezultă că n=3 și obținem tripletul 3, 5, 7 de numere prime.
Dacă n=3k+1, atunci n+2=3 k+3 este divizibil cu 3, mai mare decât 3, deci nu este
prim.
Dacă n=3k+2, atunci n+4=3 k+6=3( k+2) care este divizibil cu 3, mai mare decât 3,
deci nu este prim.
Observație :
1) Numerele prime a căror diferență este 2 se numesc numere prime gemene .
(exemple: 17 și 19, 29 și 31)
2) Problema de mai sus arată că există o singură formație de trei numere prime
trigemene , adică de forma n, n+2, n+4 și aceasta este formată din numerele
3, 5, 7.
30. Să se rezolve în ℤ ecuația: xy+3x+2y+5=0.
Soluție:
x(y+3)+2 y+5=0⇒𝑥(𝑦+3)=−2𝑦−5⇒𝑥=−2𝑦−5
𝑦+3⇒𝑥=−2𝑦+5
𝑦+3, 𝑥∈ℤ⇒
−2𝑦+5
𝑦+3∈ℤ
2𝑦+5
𝑦+3∈ℤ⇔𝑦+3/2𝑦+5 (1)
y+3/𝑦+3⇒𝑦+3/2𝑦+6 (2)
Din relațiile (1) și (2) ⇒𝑦+3/(2𝑦+6)−(2𝑦+5)⇒𝑦+3/1, deci:
i) y+3=1, adică y=-2
ii) y+3=-1, adică y=-4
În cazul i) x=−2⋅(−2)+5
−2+3=−1 și în cazul ii) x=−2∙(−4)+5
−4+3=−3.
În concluzie, soluțiile ecuației sunt: x=-1, y=-2 și x=-3, y=-4.
119
31. Aflați numerele de forma 2𝑚∙3𝑛,𝑚,𝑛∈ℕ∗ care au exact 15 divizori .
Soluție:
Numărul divizorilor numărului 2𝑚∙3𝑛 este ( m+1)(n+1). Atunci ( m+1)(n+1)=15.
𝑚,𝑛∈ℕ∗⇒𝑚+1≥2,𝑛+1≥2. Distingem cazurile:
𝑚+1=3 ș𝑖 𝑛+1=5⇒𝑚=2,𝑛=4;
𝑚+1=5 ș𝑖 𝑛+1=3⇒𝑚=4,𝑛=2.
În concluzie, numerele sunt 22⋅34 și 24⋅32, adică 324 și 144.
32. Determinați cifrele distincte x și y, știind că numărul 𝑛=1𝑥2𝑦3𝑥4𝑦 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ este divizibil
cu 33.
Soluție:
33=3∙11 ș𝑖 (3,11)=1. Atunci numărul n este divizibil cu 3 și cu 11.
𝑛⋮3⇒(1+𝑥+2+𝑦+3+𝑥+4+𝑦)⋮3⇔2(5+𝑥+𝑦)⋮3⇔(5+𝑥+
𝑦)⋮3.
Vom o bține (𝑥+𝑦)∈{1,4,7,10,13,16} (1)
𝑛⋮11⇒[(1+2+3+4)−(2𝑥+2𝑦]⋮11 𝑠𝑎𝑢 [(2𝑥+2𝑦)−(1+2+3+
4)]⋮11, adică [10−2(𝑥+𝑦)]⋮11 𝑠𝑎𝑢 [2(𝑥+𝑦)−10]⋮11
Vom obține 𝑥+𝑦=5 𝑠𝑎𝑢 𝑥+𝑦=16 (2)
Din relațiile (1) și (2) deducem că 𝑥+𝑦=16 și pentru 𝑥≠𝑦 avem soluț iile
𝑥=7,𝑦=9 sau 𝑥=9,𝑦=7.
33. Câte numere de forma 2𝑥𝑦5̅̅̅̅̅̅̅ sunt divizibile cu 7?
Soluție:
2𝑥𝑦5̅̅̅̅̅̅̅=2005+𝑥𝑦0̅̅̅̅̅=2003+3+10∙𝑥𝑦̅̅̅
=2⋅7⋅11⋅13+7𝑥𝑦̅̅̅+3⋅(𝑥𝑦̅̅̅+1)=
=𝑀7+3⋅(𝑥𝑦̅̅̅+1).
Numărul 7∤3 și atunci 2𝑥𝑦5̅̅̅̅̅̅̅⋮7 dacă și numai dacă (𝑥𝑦̅̅̅+1)⋮7.
Avem că 𝑥𝑦̅̅̅+1≥1,𝑥,𝑦 putînd fi și egale cu 0.
(𝑥𝑦̅̅̅+1)∈{7⋅1,7⋅2,…,7⋅14}
𝑥𝑦̅̅̅∈{06,13,20,…,97}
În concluzie, sunt 14 numere de forma 2𝑥𝑦5̅̅̅̅̅̅̅⋮7.
34. Arătați că numerele 3𝑛+1 și 9𝑛2+6𝑛 sunt prime între ele, oricare ar fi 𝑛∈ℕ∗.
Soluția I:
9𝑛2+6𝑛=3∙𝑛⋅(3⋅𝑛+2).
120
3𝑛+1 ș𝑖 3𝑛 sunt numere consecutive, deci nu au divizori comuni diferiți de 1.
3𝑛+1 ș𝑖 3𝑛+2 sunt numere consecutive, deci nu au divizori comuni diferiți de
1.
În concluzie, 3𝑛+1 și 3𝑛⋅(3𝑛+2) nu au divizori comuni difer iți de 1, ceea ce
arată că numerele 3𝑛+1 și 9𝑛2+6𝑛 sunt prime între ele.
Soluția II:
Fie 𝑑∈ℕ∗ astfel încât 𝑑/3𝑛+1 și 𝑑/9𝑛2+6𝑛⇒𝑑/3𝑛∙(3𝑛+1) și 𝑑/
9𝑛2+6𝑛⇒𝑑/9𝑛2+3𝑛 și 𝑑/9𝑛2+3𝑛+3𝑛.
Deci, 𝑑/3𝑛 și cum 𝑑/3𝑛+1 deducem că 𝑑=1. Acest lucru arată că numerele
sunt prime între ele.
35. Scrieți numărul 𝑎=169+171+173+…+1999 ca produs de numere prime.
Soluție:
𝑎=(1+3+5+…+1999 ⏟ −(1+3+…+167) ⏟
85 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑒
1000 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑒
𝑎=10002−852
𝑎=(1000−85)(1000+85)
𝑎=915∙1085=3⋅5⋅5⋅7⋅31⋅61
121
CONCLUZII
Matematica este considerată un element de cultură generală absolut necesar în orice
domeniu de activitate, ca un accesoriu prețios pentru formarea unei gândiri corecte și
consecvente. Matematica este privită ca o disciplină dificilă pentru majoritatea elev ilor.
Misiunea profesorului este aceea de a face matematica nai atractivă, descoperind alături
de elevi tainele și frumusețea acesteia. Această dorință poate fi realizată în cadrul
disciplinei opționale propu se, care, sper că va stimula învățarea matematic ii de către
elevi cu plăcere și interes. Reușita socio -profesională a elevilor înseamnă cultivarea
responsabilității, asumarea de roluri și sarcini, implicare, asertivitate, dorința de
cunoaștere și autocunoa ștere, gândire critică și adaptabilitate, stabil irea priorităților,
optimizare, discernământ, respectarea regulilor. Am propus acest opțional deoarece
școala noastră este deschisă, oferind elevilor oportunități pentru un demers didactic
modern, actual, con ectat în realitate, dar și pentru contribuția directă la dezvoltarea
cadrului curricular existent, prin promovarea competențelor cheie și profesionale pentru
integrarea viitoare a elevilor pe piața muncii.
În procesul de învățare sunt activate două catego rii de motivații:
– Motivația extrinsecă reprezintă elementul ce influențează învățarea din exterior,
fiind susținut de factori de recompensă (note bune, aprecieri pozitive din partea
profesorilor și a părinților, rezultate obținute la diverse activități
școlare/extrașcolare) sau de elemente de constrângere ( teama de părinți,
rezultate slabe, obligația de a învăța) ;
– Motivația intrinsecă reprezintă elementul ce influențează învățarea din interior,
fiind determinată și susținută de factori interni ( conștienti zarea lipsurilor,
necesitatea învățării).
Inițial, elevii învață din motive externe și, ca profesori, dorim să activăm și dorința
de a studia din plăcere, iar acest opțional prezintă activități plăcute și interesante cu o
mare aplicabilitate a no țiunilor t eoretice. Programa acestui opțional propune metode și
procedee adecvate la nivelul clasei de elevi, ține cont de personalitățile diferite pe care
le formează și recomandă activități care urmăresc: formarea gândirii logice, deschise,
creative, stimularea ca pacităților elevil or de a se exprima în limbaj matematic, liber și
coerent, manifestarea curiozității și imaginației în rezolvarea și compunerea de
122
probleme, dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea,
ordinea și eleganța î n demersul rezolvă rii de probleme, formularea deprinderilor cu
munca independentă și lucrul pe grupe, învățîndu -i în același timp să se și autoevalueze.
Curriculum la decizia școlii ca disciplină nouă permite îndrumarea elevilor
spre domenii și tematici c e răspund nevoilor de pregătire profesională a acestora și
cerințelor de pe piața muncii, dar și pregătirea viitorilor adulți. Spre deosebire de
disciplinele obligatorii, curriculum la decizia școlii acordă mai multă flexibilitate, astfel
încât elevii pot să-și însușească s au să -și dezvolte deprinderi emoționale și sociale, dar
și competențe transversale. Metodele didactice folosite la orele de opțional sunt
adoptate din educația non -formală, favorizând interacțiunea dintre profesor și elevi, dar
și lucrul în echipă. Resurse le materiale și dotările școlii permit derularea curriculumului
la decizia școlii într -un mod atractiv, stimulând astfel motivația elevilor pentru studiul
acestei noi discipline, acest lucru putându -se proba prin chestionare de evaluare a
satisfacției pent ru elevi și părinți.
În contextul actual, predarea divizibilității presupune o abordare centrată pe elev,
care implică un stil de învățare activ și integrarea programelor de învățare axate pe
ritmul propriu al elevului. Acesta trebuie să se implice și să fie responsabil pentru
progresul pe care îl face, în ceea ce privește propria educație. Cheia pentru succesul
școlar în predarea centrată pe elev depinde de abilitățile profesorului de a crea
oportunități optime de învățare pentru fiecare elev. Profesorul acționează adecvat și
adaptat grupului, în funcție de context. Metodele de învățare centrate pe elev fac ca
lecțiile să fie mai interesante, îi ajută pe elevi să înțeleagă conținutul, pe care îl pot
aplica apoi în diverse situații din viaț a cotidiană. Este recomandat ca profesorul să
folosească strategii activ -participative , care nu ar trebui să fie despărțite de cele
tradiționale, ci care ar putea moderniza strategiile de predare.
”Este remarcabil că oricine se ocupă serios de această știi nță este cuprins de o
adevărată pasiune ”, Gauss 1808, către prietenul său din tinerețe Bolyai, despre Teoria
Numerelor.
123
BIBLIOGRAFIE
Asaftei P., Chirilă C., Asaftei D. C. – Elemente de aritmetică și teoria numerelor –
pentru licee și colegii pedagogice , Editura Polirom, Iași, 1998
Basarab C., Basarab M., Catalina P. – Matematică, exerciții și probleme pentru clasa a
VI-a, Editura Delfin, București, 2015
Bălăucă Artur, Guriță M., Guriță C. – Aritmetică. Algebră. Geometrie : auxiliar la
manualele alternative de clasa a VI -a, Editura Taida, Iași, 2002
Bălăucă Artur – Aritmetică. Algebră. Geometrie – Olimpiade, concursuri și centre de
excelență, clasa a VI -a, Editura Taida, Iași, 2008
Becheanu M., Niță C., Ștefănescu M. și colabo ratorii – „Algebra pentru perfecționarea
profesorilor” – Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993
Boboc D., Piciu Fl. – „Aritmetica și teoria numerelor”, Ed itura Universitaria , Craiova
1999
Botan Ecaterina – Numere prime, curs optional, manual pent ru clasa a VI -a, Editura
Europolis, Constanța, 2006
Brânzei D., Brânzei R. – „Metodica predării matematicii” – Editura Paralela 45, 2008
Cărbunaru C., Hărăbor C., Singer M., Cheșcă I., Trifu M., Gai u L. – Culegere de
probleme de matematică: din subiectele date la etapele județene și republicane ale
olimpiadelor școlare pentru clasele V -VIII, Volumul 1 – Enunțuri și indicații , Editura
Tehnică, București, 1990
Cărbunaru C., Hărăbor C., Singer M., Cheșc ă I., Trifu M., Gaiu L. – Culegere de
probleme de matemati că: din subiectele date la etapele județene și republicane ale
olimpiadelor școlare pentru clasele V -VIII, Volumul 1I – Rezolvări și rezultate , Editura
Tehnică, București, 1991
Câmpan Florica T. – Cum au apărut numerele , Editura Ion Creangă, București, 198 7
Chirtop P., Roșu M., Radu V., Ross G. – Matematică, manual pentru clasa a V -a,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 2004
Cheșcă I., Cab a G. – Matematică, manual pentru clasa a VII -a, Editur a Teora,
București, 1999
Cîrjan Florin – Didactica matemat icii, Editura Corint, București, 2008
Constantinescu Dragoș – Olimpiada de Matematică 2000, clasele V -VIII, Editura
Corint, București, 2000
124
Cristescu Ghe., Dăneț R. M. – Matematică : aritmetică și algebr ă, manual optional
pentru clasele V -VIII, Editura Cori nt, București, 2000
Cucoș Constantin – Pedagogie , Editura Polirom, Iași, 2006
Cucurezeanu Ion – Probleme de aritmetică și teoria numerelor , Editura Tehnică,
București, 1976
Dăncilă Ioan – Matematică distractivă , disciplină opțională , Editura Sigma, Bucureșt i,
2000
Dăncilă Ioan – Matematică distractivă, pentru clasele V -VI, Editura Sigma, București,
2003
Dincă Alexandru – Introducere în teoria a lgebrică a numerelor , Editura Universitaria,
Craiova , 2005
Drugan Ghe, Drugan A., Ghica I., Ghica M. – Matematică: c ulegere de probleme
pentru concursurile școlare: clasele V -VIII: algebra , Editura Teora, București, 1998
Dumitru Viorel George – Cunoștințe vechi și noi despre divizibilitate , Editura
Științifică și Enciclopedică, București, 1990
Dumitru George -Viorel, Gal bură Adrian – Matematică. Divizibilitate , Editura Scorpion,
București , 1997
Engel Artur – Probleme de mat ematică , Editura Gil, Zalău , 2006
Fărcaș Gh. – Algebră , Editura Didactică și Pedagogică, București, 1979
Ganga Mircea – Matematică: manual pentru clasa a IX-a – profil 𝑀1, 𝑀2, Editura
Mathpress, Ploiești, 2003
Ghiciu N., Iancu E., Enea F. A., Rusu V., Popescu M. – Matematică: manual pentru
clasa a VI -a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 2018
Ion D., Nicolae Radu – Algebră , Editura Didac tică și Pedagogică, București, 1991
Ion D. Ion, Niță C., Năstăsescu C. – Complemente de algebra , Editura Științifică și
Enciclopedică, București, 1984
Linț D., Linț M., Marinescu D. St., Marinescu R. – Matematică V , Editura Corvin ,
Deva , 2005
Linț M., Lin ț D., Marinescu R., Marinescu D. Ș., Monea M., Monea S., Stroe M. –
Matematică de excelență: pentru concursuri, olimpiade și centre de excelență: clasa a
V-a, Editura Paralela 45, Pitești, 2013
Mignotte Maurice – Computer Algebra , Editura Universitatea , București 2000
Mihuț Petru și Simirad Cristina – Numere prime – Numer e prime speciale , Editura
Matrix Rom , București , 2005
125
Mitea M., Birta A. – Matematică, manual pentru clasa a V -a, Editura Didactică și
Pedagogică, București, 2000
Năstăsescu C., Niță C., Vraciu C. – Aritmetica și algebra , Ed itura Didactică și
Pedagogică, București , 1993
Năstăsescu C., Niță C, Vraciu C. – „Bazele Algebrei, Vol.I” , Editura Academiei,
București, 1986
Năstăsescu C., Țena M., Andrei G., Otărășanu I. – Probleme de structure al gebrice ,
Editura Academiei Republicii Socia liste România, București, 1988
Panaitopol L., Gica A. – „O introducere în aritmetică și teoria numerelor” – Editura
Universității din București , 2001
Panaitopol Laurențiu, Șerbănescu Dinu – Probleme de teoria num erelor și
combinatorică pentru juniori , Editura Gil Zalău, 1993
Pătrașcu Ion, Preda Constantin – Complemente de matematică pentru Gimnaziu ,
Editura Cardinal, Craiova 1990
Perelman I.I. – Aritmetica distractivă , Editura Tineretului, București, 1963
Perianu Marius, Stănică Cătălin, Smărăn doiu Ștefan – Matematică, manual pentru clasa
a V-a, Editura All, București, 2017
Petrică Ion, Bălășeanu V., Chebici I. – Matematică, manual pentru clasa a VI -a, Editura
Petrion, București, 2003
Popovici Constantin – Aritmetic a și teoria numerelor , Editura Didactică, București
1963
Popovici C., Ligor Ion C., Alexianu Valentina – Matematică, Aritmetică, Algebră,
manual pentru clasa a VI -a, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1996
Popovici C. P., Ligor I. C., Borca I. G. – Matematică, manual pentru clasa a V -a,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1990
Savin Diana, Ștefănescu Mirela – Lecții de aritmetică și teoria numerelor , Editura
Matrix Rom, București, 2008
Sierpinski W. – Ce știm și ce nu știm despre numere pr ime, Editura Științifică , București,
1966
Singer M., Radu M., Ghica I., Drugan Ghe., Puican F., Stănciulescu I. – Matematică,
manual pentru clasa a V -a, Editura Sigma, București, 2000
126
Smarandache Ștefan, Simion Petre, Bălșeanu Victor, Nicolae Victor, Basar abescu
Suzana, Vidovici Aurelia, Contanu Mihai, Marin Ion, Pândaru Victor, Niță Valerica –
Matematică. Exerciții și probleme , clasa a VI -a-2, Editura Niculescu, București, 2010
Ștefăne scu Mirela – Teoria lui Galois , Editura Ex Ponto, Constanța, 2002
Turcit u G., Ghiciu N., Basarab C., Rizea I., Mic D., Basarab M. – Matematică, manual
pentru clasa a VII -a, Editura Radical, Craiova, 2004
Udrea Tatiana, Nițescu Daniela – Matematică, manual pentru clasa a VI -a, Editura
Didactică și Pedagogică, București, 2004
Vraciu Constantin , Vraciu Mariana – Elemente de aritmetică , Editura Bic All,
București, 1998
Zaharia D., Zaharia M.– Matematică, Algebra, Geometrie: clasa a VI -a, Editura
Paralela 45, Pitești, 2015
Curriculum national, programe școlare pentru clasele a V -a și a VI -a
Gazeta Matematică seria B – 1980 -2010
Revista de matematică Cardinal, Craiova 2000 – 2010
Resursă elect ronică:
https://www.edu.ro/ sites/default/files/CRED_A1.2._proiect_Metodologie%20CDS_co
nsultare%20publica.pdf
http://programe.ise.ro/Portals/1/Curriculum/2017 -progr/24 -Matematica.pdf
https://formare.educred.ro/resurse/CRED_G_M1_suport_curs_Curriculum.pdf
https://formare.educred.ro/resurse/CRED_G_M1_suport_curs_Profil_de_formare_abs
olvent.pdf
http://formare.educred.ro/resurse/CRED_G_M2_suport_curs_Matematica.pdf
ANEXE
SUPORT DE CURS OPȚIONAL ”CUNOȘTINȚE VECHI ȘI NOI
DESPRE DIVIZIBILITATE ”
1. GENERALITĂȚI, PROPRIETĂȚI
Definiție: Un număr natural a se divide cu un număr natural b, dacă exista un
număr natural c astfel încât a = b
c.
Scriem
ba sau
ab/ și citim ” a este divizibil cu b” (”a este multiplu de b”)
sau ” b îl divide pe a” (”b este divizor al lui a”).
Notația
ba (a nu este divizibil cu b sau a nu este multiplu de b) sau
ab/ (b nu
divide a sau b nu este divizor al lui a).
Exemplu : 3/24 sau
324 deoarece există 8∈ℕ, astfel încât 24 =
38
Mulțimea divizorilor numărului 24:
24,12,8,6,4,3,2,124=D
1 și 24 sunt divizorii improprii alui 24.
2, 3, 4, 6, 8, 12 sunt divizorii proprii ai lui 24.
Mulțimea multiplilor numărului 24:
24 0,24,48,72,…,24 ,… , M n n=
Proprietăți:
1)
,1| aa
Exemplu: 1| 12 deoarece
12
astfel încât 12 =
121
2)
,| a a a
Exemplu: 15 | 15 deoarece
1
astfel încât 15 =
115
3)
, | 0 aa
Exemplu: 19 | 0 deoarece
0
astfel încât 0=
019
4)
,,abc
,dacă a|b și b|c, atunci a|c (tranzitivitatea relației de divizibilitate)
Exemplu: 3|12 și 12|60
3|60
5)
,ab
, dacă a|b și b|a, atunci a = b
Exemplu: 17|17 și 17|17
17=17
6)
,,a b d
dacă d|a și d|b, atunci d|(a+b)
Exemplu: 2|10 și 2|24
2|(10+24), adică 2|34
7)
, , ,a b d a b
, dacă d | a și d | b atunci d | (a-b)
Exemplu: 2|18 și 2|14
2|(18 -14), adică 2|4
8)
,,a m k
dacă m|a
|m a k
Exemplu: 3|18
418/3 , adică 3|72
Conform proprietății 4:
Dacă numărul natural a se divide cu numărul natural b, atunci a se divide cu orice
divizor al lui b.
Exemplu:
45 9, 9 3 45 3
2. CRITERII DE DIVIZIBILITATE ”VECHI”
2.1. Criteriul de divizibilitate cu 2
Un număr natural se divi de cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară.
() 2 | 0,2,4,6,8 ,a u a a
Exercițiu: Determinați numerele de forma 57𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 2.
Soluție: 2/57𝑥̅̅̅̅̅⇔𝑥∈{0,2,4,6,8} , deci numerele sunt: 570, 572, 574,576,578.
2.2. Criteriul de divizibil itate cu 3
Un număr natural se divide cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este multiplu
de 3.
3/abcde
3|(a + b +c + d + e) sau a +b + c + d + e
3M
Exercițiu: Determinați numerele de forma 𝑥4𝑥̅̅̅̅̅ divizib ile cu 3.
Soluție: 3/𝑥4𝑥̅̅̅̅̅⇔3/(𝑥+4+𝑥) sau 2x+4
3M
2x + 4 par⇒2𝑥+4∈{6,12,18}.
2x + 4 = 6 2 x + 4 = 12 2 x + 4 =18
2x=2 2x=8 2x=14
x=1 x=4 x=7
Numerel e sunt: 141, 444, 747
2.3. Criteriul de divizibilitate cu 5
Un număr natural este divizibil cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
5/𝑎⇔𝑢(𝑎)∈{0,5},𝑎∈ℕ
Exercițiu: Determinați numerele de forma 27𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 5.
Soluție: 5/27𝑥̅̅̅̅̅⇔𝑥∈{0,5}
Numerele sunt: 270, 275.
2.4. Criteriul de divizibilitate cu 9
Un număr natural se divide cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor sale este multiplu
de 9.
( ) 9 | 9 |abcde a b c d e + + + +
Exercițiu: Determinați numerele de forma 52𝑥̅̅̅̅̅ divizibile cu 9.
Soluție: 9/52𝑥̅̅̅̅̅⇔9/(5+2+𝑥) adică 7+𝑥∈𝑀9
7 +x = 9, x < 9
x = 2
Numărul este 522.
Atentie! 9/432⇒3/432, deci un număr divizibil cu 9 este divizibil cu 3.
3|132
dar 9
| 132, deci NU orice număr divizibil cu 3 este divizibil cu 9.
2.5. Criteriul de divizibilitate cu 10
Un număr natural se divide cu 10 dacă ultima sa cifră este zero.
10|a⇔𝑢(𝑎)=0 ; Ex. 10|8760
Exercițiu: Determinați num erele de form a 𝐴=62𝑥̅̅̅̅̅⋮2, apoi pe cele divizibile cu 5.
Care dintre ele sunt divizibile cu 10?
Soluție: 2/62𝑥̅̅̅̅̅⇒𝑥∈{0,2,4,6,8}, deci 𝐴,={620,622,624,626,628}
5/62𝑥̅̅̅̅̅⇒𝑥∈{0,5}, deci 𝐴,,={620,625}
10/62𝑥̅̅̅̅̅⇒𝑥=0, deci A= 620
𝐴,⋂𝐴,,={620}={𝐴}
Atentie! Un număr este divizibil cu 10 dacă este divizibil cu 2 și 5 în același
timp.
NU orice număr divizibil cu 2 este divizibil cu 10.
Exemplu: 2| 712 și 10
| 712
NU orice număr divizibil cu 5 este divizibil cu 10.
Exemplu: 5| 365 și 10
| 365.
2.6. Criteriul de divizibilitate cu 10n, 𝒏∈ℕ∗
Un număr natural a se divide cu
10 ,nn
dacă ultimele sale n cifre sunt 0.
Ex. 100 | 7800; 103/729000 .
36. CRITERII DE DIVIZIBILITATE ”NOI”
3.1. Criteriul de divizibilitate cu 4
I. Un număr natural este divizibil cu 4 dacă și numai dacă ultimele sale două cifre
formează un număr multiplu de 4.
4 4|abcde de M
sau
4|de
Exercițiu: Care sunt numerele de forma 632𝑥̅̅̅̅̅̅̅ divizibile cu 4?
Soluție: 4/632𝑥̅̅̅̅̅̅̅⇔4/2𝑥̅̅̅⇔2𝑥̅̅̅∈{20,24,28}
Numerele sunt: 6320, 6324, 6328.
II. Un număr natural este divizibil cu 4 când cifra unităților adunată cu cifra
zecilo r mărită de două ori dă un număr divizibil cu 4.
Exercițiu: Arătați că numărul 179428 este divizibil cu 4.
Soluție: 2∙2=4
8+4=12
12 ste divizibil cu 4, deci și numărul 179428 este divizibil cu 4 .
3.2. Criteriul de divizibilitate cu 25
Un număr natural es te divizibil cu 25 dacă ultimele sale două cifre formează un
număr multiplu de 25.
25 25 |abcde de M
Exercițiu: Determinați numerele de forma 9𝑎𝑏̅̅̅̅̅ divizibile cu 25.
Soluție: 25/9𝑎𝑏̅̅̅̅̅⇒𝑎𝑏̅̅̅∈𝑀25
Numerele sunt: 900, 925, 950, 975.
Exercițiu: Există numere de forma 7𝑥3𝑦̅̅̅̅̅̅̅ divizibile cu 25?
Soluție:25/7𝑥3𝑦̅̅̅̅̅̅̅⇒3𝑦̅̅̅̅∈𝑀25, dar multiplii lui 25 sunt 0, 25, 50, 75 și niciunul
dintre ei nu începe cu cifra 3. Nu exista numere de forma 7𝑥3𝑦̅̅̅̅̅̅̅⋮25.
3.3. Criteriul de divizibilitate cu 7
Numărul 7 a fost pe placul poporului și de aceea a fost folosit în multe cântece și
zicători: măsoară de 7 ori și croiește o dată; șapte vineri pe săptămînă; șapte dintr -o
lovitură; copilul cu șapte doici rămâne fără ochi; unul la muncă, șapte la mâncare .
I. Un număr natural este divizibil cu 7 dacă suma dintre câtul și restul împărțirii
numărului dat la 50 este divizibilă cu 7.
Exercițiu: Arătați că numărul 1890⋮7
Soluție: 1890 : 50 = 3 7 rest 40
S = 37 + 40 = 77
𝑆⋮7⇒1890⋮7
Exercițiu: Să se arate că 695 nu este divizibil cu 7.
Soluție: 695 : 50 = 1 3 rest 45
S = 1 3 + 45 = 58
7∤𝑆⇒7∤695
II. Un număr natural
1 2 1 0… ,n n n N x x x x x n
−−=
se divide cu 7 dacă și numai dacă
numărul
1 2 1 0
1 2 1 0 3 3 3 … 3 3n n n
n n n P x x x x x−−
−− = + + + + + se divide cu 7.
Exercițiu: Arătați că numărul 1890 este divizibil cu 7.
Soluție: 𝑃=33∙1+32⋅8+31⋅9+30⋅0
𝑃=27+72+27+0=126
7/126⇒7/1890
Exercițiu: Să se arate că numărul 695 nu este divizibil cu 7.
Soluție: 𝑃=32⋅6+31⋅9+30∙5
𝑃=54+27+5=86
7∤86⇒7∤695
III. Un număr natural se divide cu 7 dacă suma produselor obținute prin înmulțirea
cifrei unităților c u 1, a cif rei zecilor cu 3, a cifrei sutelor cu 2, a cifrei miilor cu 6, a
cifrei zecilor de mii cu 4, a cifrei sutelor de mii cu 5, a cifrei milioanelor cu 1, a cifrei
zecilor de milioane cu 3 etc , este divizibil cu 7.
Exercițiu: Arătați ca numărul 1 890 este d ivizibil cu 7.
Soluție: 1⋅0+3⋅9+2⋅8+6⋅1=0+27+16+6=49
7/49⇒7/1890
Exercițiu: Să se arate ca numărul 695 nu este divizibil cu 7.
Soluție: 1⋅5+3⋅9+2⋅6=5+27+12=44
7∤44⇒7∤695.
Exerciții propuse : Să se ar ate că numerele 3843, 5236, 48916, 37184 sunt divizibile
cu 7.
3.4. Criteriul de divizibilitate cu 8
Un număr întreg este divizibil cu 8 dacă numărul format din ultimele sale trei cifre
este divizibil cu 8.
Regulă specială: Un număr de trei cifre este divizibi l cu 8 dacă numărul format
de primele sale două cifre adunat cu jumătatea numărului format de cifra unităților
(ultima cifră) este divizibil cu 4.
Exemplu: Se dă numărul 368.
36 + 8 : 2 = 36 + 4 = 40.
40 se divi de cu 4, deci numărul 368 se divide c u 8.
Exercițiu: Să se arate că numărul 15648 este divizibil cu 8.
Soluție: Se verific ă dacă 648 este divizibil cu 8.
64+ 8 : 2 = 64 + 4 = 68
68⋮4⇒648⋮8⇒15648⋮8
Exercițiu: Să se arate că numărul 59676 nu este divizib il cu 8.
Soluție: Se verific ă dacă 6 76 este divizibil cu 8.
67 + 6 : 2 = 6 7 + 3= 70
4∤70⇒8∤676⇒8∤59676
Observații : Un număr impar nu se divide cu 8.
În majoritatea cazurilor, suma dintre numărul de două cifre format de sute și
zeci și numărul format de jumătatea cifrei unităților va fi un număr de dou ă cifre. Suma
va fi de trei cifre numai pentru numerele cuprinse între 984 și 998, dar și în acest caz
nu este mai mare decât 103 (99 + 4 = 103).
Exerciții propu se: Să se arate că următoarele numere sunt divizibile cu 8: 376, 2032,
52384, 100768.
3.5. Criteriul de divizibilitate cu 11
I. Un număr întreg este divizibil cu 11 dacă suma dintre câtul și restul î mpărțirii
numărului dat la 100 este divizibilă cu 11.
Exercițiu : Arătați ca numărul 5753 este divizibil cu 11.
Soluție: 5753 : 100 = 57 rest 53
S = 57 + 53 =110
𝑆⋮11⇒5753⋮11
Exercițiu: Să se arate că numărul 697 nu este divizibil cu 11.
Soluție: 697: 100 = 6 rest 97
S = 6+ 97 =103
11∤103⇒11∤697
II. Un număr întreg este divizibil cu 11 dacă suma cifrelor numărului respectiv,
adunate din doi în doi este egală cu suma celorlalte cifre rămase sau dacă diferența
acestor sume (în cazul în care nu sun t egale) se divide cu 11.
Exercițiu: Arătați că numărul 5753 este divizibil cu 11.
Soluție: 𝑆1=5+5=10
𝑆2=7+3=10
𝑆1=𝑆2⇒11/5753
Exercițiu: Numărul 868285 este divizibil cu 11 ?
Soluție: 𝑆1=8+8+8=24
𝑆2=6+2+5=13
𝑆1−𝑆2=24−13=11
11/(𝑆1−𝑆2)⇒11/868285
Exercițiu: Să se arate că numărul 683 nu este divizibil cu 11.
Soluție: 𝑆1=6+3=9
𝑆2=8
𝑆1−𝑆2=9−8=1
11∤1⇒11∤683
Este ușor să aplicăm acest criteriu dacă vom observa că numerele:
10 +1, 100 –1, 1000 +1, 10000 –1,100000 +1, etc se divid cu 11.
Diferențele 100 – 1= 99, 10000 – 1= 9999, etc sunt alcătuite dintr -un număr par de
9, deci se divid cu 11.
Analog, sumele 10 +1=11, 1000 + 1 = 990 + 10 + 1= 99
10 + 11, 100000 + 1 =
9999
10 + 11, etc sunt divizibile cu 11 deoarece fiecare suma se descompune în doi
termeni divizibili fiecare cu 11 .
Exempl u:
2592469 =2∙1000000 +5∙100000+9∙10000+2∙1000+4∙100+
6∙10+9
Transformăm fiecare al doilea factor al înmulțirilor în sume și diferențe de tipul
celor arătate mai înainte.
2592469 =2∙(1000000 −1+1)+5∙(100000−1+1)+9∙(10000−1+1)
+2∙(1000−1+1)+4∙(100−1+1)+6∙(10−1+1)+9=
=2⋅(1000000 −1)+2+5⋅(100000+1)−5+9⋅(10000−1)+9+2
∙(1000+1)−2+4∙(100−1)+4+6∙(10+1)−6+9
=[2∙(1000000 −1)+5∙(100000+1)+9∙(10000−1)+2∙(1000+1)+4
∙(100−1)+6∙(10+1)]+(2−5+9−2+4−6+9)
Toți termenii din parantez a pătrată se divid cu 11 (2∙999999,5∙100001,9∙
9999,2∙1001,4∙99,6∙11). Divizibilitatea cu 11 a numărului analizat depinde de
divizibilitatea numărului din paranteza rotundă ; dacă aceasta se divide cu 11, atunci și
numărul analizat se divide cu 11.
2 – 5 +9 – 2 + 4 – 6+9 = 11| 11, deci numărul 2592469 se divide cu 11
În prima paranteză este scrisă diferența cifrelor numărului dat, ordonate din 2 în 2:
(2 + 9 + 4 + 9) – (5 + 2 + 6) =24-13=11
Dacă diferența sumelor cifrelor numărului analizat, adunate din 2 în 2, nu s -ar fi
împărțit exact la 11, nici n umărul nu s -ar fi împărțit exact la 11, deci nu ar fi fost
divizibil cu 11.
III.Un număr natural
1 2 1 0… ,n n n N x x x x x n
−−=
este divizibil cu 11 dacă și numai
dacă numărul
()0 1 2 … 1n
n P x x x x= − + − + − este divizibil cu 11.
Exercițiu: Arătați ca numărul 71753 este divizibil cu 11.
Soluție: P =3-5+7-1+7=11
11/11⇒11/𝑃⇒11/71753
Pentru o aplicare rapidă se efectuează diferența dintre suma cifrelor numărului de
pe poziții impare și suma cifrelor de pe poziții pare. Dacă această diferență se divide cu
11, atunci numărul se divide cu 11, deci se ajunge la criteriul II de divizibilitate cu 11.
Exercițiu: Să se afle cifra a care lipsește din numărul 28𝑎07696̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ și numărul x astfel
încât să aibă loc egalitatea: [11∙(673892+𝑥)]=28𝑎07696̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Soluție :11/[11⋅(673892+𝑥)], prin urmare 11/28𝑎07696̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ , a fiind cifră,
rezultă
09a .
Conform criteriului de divizibilitate cu 11, putem scrie:
2+ a + 7 + 9 = 8 + 0 + 6 + 6, adică a + 18 = 20, deci a = 2.
[11⋅(673892+𝑥)]=28207696 ⇒673892+𝑥=2564336 ⇒𝑥=1890444
3.6. Criteriul de divizibilitate cu 13
I.Un număr natural este divizibil cu 13 dacă suma dintre câtul și restul împărțirii
numărului dat la 40 este divizibilă cu 13.
Exercițiu: Arătați că numărul 8476 este divizibil cu 13.
Soluție : 8476 : 40 = 211 rest 36
S = 211+ 36 = 247
13/247⇒13/8476
Exercițiu: Să se arate că numărul 748 nu este divizibil cu 13.
Soluție: 748 : 40 = 18 rest 28
S = 18 + 28 = 46
13∤46⇒13∤748
II.Un număr natural
1 2 1 0… ,n n n N x x x x x n
−−=
se divide cu 13 dacă și numai
dacă numărul
()()1 2
0 1 2 13 3 … 3 3nn
nn P x x x x x−
− = − + − + − + − se divide cu 13.
Exercițiu: Arătați că numărul 3198 este divizibil cu 13.
Soluție: 𝑃=8−3⋅9+32⋅1−33⋅3=8−27+9−81=−91
13/−91⇒13/3198 .
Exercițiu: Să se arate ca numărul 957 nu este divizibil cu 13.
Soluție: 𝑃=7−3⋅5+32∙9=7−15+81=−73
13∤−73⇒13∤957.
3.7. Criteriul comun de divizibilitate cu 7, 11, 13
Produsul numerelor 7, 11 și 13 este 1001. 1001 = 1000 + 1, deci se divide cu 7, 11
și 13. Dacă vom înmulți cu 1001 orice număr de trei cifre, produsul se va scrie cu
aceleași cifre ca și deînmulțitul, repetate însă de dou ă ori.
Fie
abc un număr oarecare. Să -l înmulțim cu 1001 :
1001abc
abc
abc
abcabc
Deci toate numerele de tipul
abcabc se divid cu 7, 11 și 13. De asemenea se divide
cu 7, 11 și 13 și numărul 999999 = 1000000 – 1.
Aceste proprietăți ne permit să reducem rezolvarea p roblemei divizibilității unui
număr cu mai multe cifre cu 7, 11 și 13 la divizibilitatea cu aceste numere a unui
număr format din numai trei cifre.
Exemplu : Dacă vrem să stabilim divizibilitatea numărului 58684626 cu 7, 11 și 13,
despărțim acest număr de la dreapta spre stânga în grupe de câte trei cifre (ultimul grup
de cifre din stânga poate avea mai puțin de trei cifre).
58684626 =626+684∙1000+58∙1000000
58684626 =626+684⋅(1000+1−1)+58⋅(1000000 −1+1)
=(626−684+58)+[684⋅(1000+1)+58⋅(1000000 −1)]
=(626−684+58)+[684⋅1001+58⋅999999]
Numărul din paranteza pătrată este divizibil cu 7, 11 și 13, deci divizibilitatea
numărului dat cu 7, 11 și 13 este determinat ă de divizibilitatea cu 7, 11 și 13 a numărului
cuprins în paranteza rotundă .
626-684+58=0
Numărul 0 se divi de cu 11 și 13 și 7, deci numărul 42623295 se divi de cu 11 și cu
13 și cu 7 .
Se poate enunța următorul criteriu de divizibilitate cu 7, 11 și 13 a unui număr cu
mai multe cifre: dacă diferența sumelor grupelor numărului dat, adunate din 2 în 2, se
divide c u 7, 11 sau 13 , atunci și numărul respectiv se div ide cu 7, 11 sau 13.
Este evident că divizibilitatea cu 7, 11 și 13 a numerelor formate din 4, 5 sau 6 cifre,
adică a numerelor care pot fi despărțite numai în două grupe este determinat ă de
divizibilitatea cu 7, 11 și 13 a diferenței dintre grupele numărului respectiv.
Exemplu : Dacă se dă numărul 41496 , calculăm 496 – 41 = 455.
455 se divide cu 7 și 13, dar nu și cu 11, deci numărului 41496 se divide cu 7 și 13 ,
dar nu se divide cu 11.
Exemplu : Pentru număr ul 17210541593 calculăm :
(593 + 210)–(541+17) = 803 – 558 = 245
245 se divide cu 7, dar nu se divide cu 11 și 13, deci numărul 17210541593 se
divide cu 7 , dar nu se divide cu 11 și 13.
3.8. Criteriul comun de divizibilitate cu 3, 7, 19
Produsul numerelor 3, 7 și 19 este 399.
Un număr întreg este divizibil cu 3, 7 și 19 sau cu 399 , dacă numărul obținut prin
următorul procedeu, este divizibil cu 3, 7 și 19 sau 399: se despart ultimele două cif re
ale numărului dat, iar la numărul rămas se adună numărul despă rțit înmulțit cu 4; dacă
este necesar se va repeta procedeul până se va obține un rezultat a cărui divizibilitate
cu 3, 7 și 19 sau 399 este evidentă.
Dacă numărul obținut prin acest procedeu nu se împarte exact la 399 sau la factorii
săi, atunci nici numă rul dat nu este divizibil cu 3, 7 și 19 sau 399.
Exercițiu: Verificați dacă numărul 1 1382 este divizibil cu 3, 7 și 19.
Soluție: 82∙4=328
113+328=441
Se continu ă procedeul: 41∙4=164
4+164=168
168 se divide cu 3 și 7, dar nu se divide cu 19, deci numărul 11382 se divide cu 3 și 7 ,
dar nu se divide cu 19.
Exercițiu: Verificați dacă numărul 182343 este divizibil cu 3, 7 ș i 19.
Soluție: 43∙4=172
1823 + 172 = 1995
Se continu ă procedeul: 95⋅4=380
19+ 380 = 399
399 se divide cu 3, 7 și 19, deci numărului 182343 se divide cu 3, 7 și 19.
4. NUMERE PRIME
Orice număr natural diferit de 1, care are ca divizori numai pe 1 și pe el însuși
(divizori improprii) se numește număr p rim.
Exemplu : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,…
Singurul număr prim par este 2 . Toate celelalte numere prime sunt impare.
Oricare număr care nu este prim se numește neprim (compus).
Se numește număr compus orice număr natural care ar e cel puțin 3 divizori.
Exemplu : 24∈𝑀3 75∈𝑀5
Un număr compus nu este prim, ci este multiplul unui număr prim.
Exemplu : 35=5∙7, deci 35∈𝑀5 și 35∈𝑀7, 5 și 7 sunt prime.
Stabilim dacă un număr este prim sau nu, împărțindu -l la numerele prime în ordine
crescătoare. Dacă o împărțire se face exact, rezultă că numărul este neprim.
Dacă nicio împărțire nu s -a făcut exact și câtul este mai mic sau egal cu împărțitorul,
rezultă că numărul este prim.
Exemplu: 2∤1283, 3∤1283, 5∤1283 , 1283 : 7 = 18 3 rest2,
1283 : 11=11 6 rest 7, 1 283 : 13 = 98 rest 9, 1 283 : 17 = 7 5 rest 8,
1283 : 19 = 6 7 rest 10, 1283 : 23 = 5 5 rest 18, 1 283 : 29 = 4 4 rest 7,
1283 : 31= 4 1 rest 1 2, 1238 :37 = 3 3 rest 17;
S-a obținut câtul 33 < 37, deci n umărul 1238 este prim.
Alte exerciții propuse : Să se arate că următoarele numere sunt prime: 277, 919,
1061, 1997. 2039.
5. CEL MAI MARE DIVIZOR COMUN ( c.m.m.d.c.) și CEL MAI MIC
MULTIPLU COMUN(c.m.m.m.c.). NUMERE PRIME ÎNTRE ELE
C.m.m.d.c. al numerelor na turale a și b este cel mai mare număr care divide
numerele date .
Exemplu :𝐷10={1,2,5,10}, 𝐷15={1,2,3,5,15},𝐷10∩𝐷15={1,2,5} iar
c.m.m.d.c. al numerelor 1 0 și 15 este 5: (10,15) = 5.
Observație: c.m.m.d.c. al mai multor numere naturale este mai mic sau egal cu cel
mai mic dintre numere.
Pentru a afla c.m.m.d.c. al mai multor numere procedăm astfel:
• descompunem numerele în facto ri primi;
• scriem numerele sub formă de produse de puteri de numere prime;
• calculăm produsul factorilor primi comuni (luați o singură dată) cu
exponentul cel mai mic.
Exemplu :
22180 2 3 5=
()2275 5 11
180,275 5=
=
Numere prime intre ele
Se numesc numere prime între ele acele numere naturale diferi te de zero care au
c.m.m.d.c. egal cu 1.
Exemplu :
21 3 7=
()5160 2 5
21,160 1=
=
Oricare două numere naturale prime diferite sunt prime între ele.
Oricare două numere naturale consecutive sunt prime între e le.
()3|108
4 |108
3,4 1 3 4 |108=
Dacă a, b, c
b|a, c|a, (b,c) = 1, atunci
|b c a
C.m.m.m.c. al numerelor naturale a și b, diferite de zero, este cel mai mic număr
natural (diferit de zero) care se divide cu nu merele date .
C.m.m.m.c. al numerelor a și b se notează [ a,b].
5 100,5,10,15,20,… ; 0,10,20,30,40,… MM==
5 10 0,10,… 5,10 10 MM = =
Observație: C.m.m.m.c. al mai multor numere este mai mare sau egal cu cel mai
mare dintre numerele date.
Pentru a afla c.m.m.m .c. al mai multor numere procedăm astfel:
▪ descompunem numerele în factori primi;
▪ scriem numere le sub formă de produs de puteri de numere prime;
18025
182
93
33
1
275 5
555
1111
1
▪ calculăm produsul factorilor primi comuni și necomuni (luați o singură dată)
la exponentul cel mai mare.
Exemplu :
22180 2 3 5=
2
2 2 2275 5 11
180,275 2 3 5 11 9900=
= =
Exercițiu: Determinați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor 308, 420 și 728.
Soluție:
4308 2 13=
( )
6
4
4
6320 2 5
528 2 3 11
208,320,528 2 16
208,320,528 2 3 5 11 13 137280=
=
==
= =
Legătura dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Produsul a două numere naturale este egal cu produsul dintre c.m.m.d.c. și
c.m.m.m.c. al numerelor.
() ,, a b a b a b =
Exemplu :
218 2 3a= =
324 2 3b= =
()
32, 2 3 6
, 2 3 72ab
ab= =
= =
18 24 6 72
432 432 =
=
Observație: Dacă numerele naturale a și b sunt prime între ele, avem :
,a b a b=
6. EXERCITII REZOLVATE (propuse)
1. Se consideră numărul
0 1 2 953 3 3 … 3A= + + + + . Arătați că :
a) A este un număr natural par;
b) A este divizibil cu 13.
(Capacitate 2000)
Soluția 1:
0 1 2 953 3 3 … 3A= + + + + are 96 de termeni.
a) 96⋮2, deci putem grupa termenii c âte doi.
()()()0 1 2 3 94 953 3 3 3 … 3 3 A= + + + + + +
()()()0 1 2 0 1 94 0 13 3 3 3 3 … 3 3 3 A= + + + + + +
()( )0 1 2 943 3 1 3 … 3 A= + + + +
( )2 944 1 3 … 3A= + + +
4⋮2⇒𝐴⋮2, deci A este un număr par.
Soluția 2: A are 96 de termeni
()()()()4 4 1 4 2 4 33 1; 3 3; 3 9; 3 7,k k k ku u u u k+ + += = = =
Deci,
() 3 1,3,7,9 ;nun
Fiind 96 de term eni care au ultima cifră impară, adică 96 de numere impare, suma
lor este un număr care va fi un număr par. Adică, A este număr par.
b) 96⋮3, deci termenii lui A se pot grupa câte trei.
()()( )0 1 2 3 4 5 93 94 953 3 3 3 3 3 … 3 3 3 A= + + + + + + + + +
()()()0 1 2 3 0 1 2 93 0 1 23 3 3 3 3 3 3 … 3 3 3 3 A= + + + + + + + + +
( )3 9313 1 3 … 3A= + + +
13⋮13⇒𝐴⋮13
2. Să se arate că numerele de forma: A=
2 2 2 1 27 3 21 3 63 ,n n n n nn+ + + + − +
, se
divid cu 1 1.
Soluție:
2 2 2 1 2 2 1 1 27 7 3 3 (7 3) 3 3 63 7 (3 ) 49 9 7 3 3 3 63n n n n n n n n n n nA+ + += − + = − + =
27 9 441 7 7 3 3 3 9 63 63 441 7 (3 ) 189 63n n n n n n n n n n= − + = − + =
63 441 63 189 63 63 (441 189 1) 63 253 63 23 11n n n n n n= − + = − + = = , deci
A⋮11.
3. Să se arat e că numărul
51 19 N ab ab= + este divizibil cu 17.
Soluție:
51 19 100 51 19 119 51 N ab ab ab ab ab= + = + + = +
() 17 |119 ; 17 | 51 17 | 119 51 ab ab + ; deci 𝑁⋮17
4. Să se demonstreze că pentru orice n număr natural, expresia:
52 5 32nnE+= −
este divizibilă cu 18.
Soluție:
552 2 5 2nnE= −
()()5 5 5 52 2 5 1 2 10 1 2 100…00 1 2 99…99n n n
n zerouri n cifreE
= − = − = − =
52 9 11…11
n cifreE=
()5
52 / 2
9 / 9 2 9 / 2 9 11…11 18 /
2,9 1n cifreE
=
5. Să se arate că numărul
18 1897+ este divizibil cu 10.
Soluție: Aflăm ultima cifră a lui
18 1897+ .
()
()
()()2
21
18 29 1,
99
9 9 1k
k
kuk
u
uu+=
=
==
()
()
()
()
()()4
41
42
43
18 4 271
77
79
73
7 7 9k
k
k
k
ku
u
u
u
uu+
+
+
+=
=
=
=
==
()()() ()18 18 18 18 18 189 7 9 7 1 9 10 10 | 9 7u u u+ = + = + = +
6. Găsiți numerele de forma
8xy divizibile cu 45.
Soluție:
() 45 9 5; 9,5 1= =
45 | 8 5 9 | 8 5 | 8 xy xy xy și
9 | 8xy
5 | 8 0,5 8 0xy y x și
85x
()9 9 | 8 0 9 | 8 0 8 , 9 1 810x x x M x x + + + =
() 9 | 8 5 9 | 8 5 13 18 5 855x x x x + + +
Deci, numerele de forma
8 45xy
sunt 810 și 855.
7. Care este cel mai mare număr de forma
abab care sa aibă cel mai mic număr
de divizori ?
Soluție:
() 1000 100 10 1010 101 101 10 abab a b a b a b a b= + + + = + = +
Pentru ca
abab să fie cel mai mare număr și cu cel mai mic număr de divizo ri,
trebuie ca 10 a+b să fie număr prim și să fie cât mai mare. Cel mai mare număr prim de
două cifre este 97. (deci, a=9, b=7)
Deci număru l căutat va fi:
101 97 9797=
8. Să se găsească numerele naturale x pentru care numărul
472yx=+− este
natural, operațiile fiind definite în mulțimea numerelor naturale.
Soluție:
472yx= + −
dacă
4 2 2 1, 2, 4 / 2x D x− − +
3 11xy = = ;
13xy= =
49xy= = ;
05xy= =
68xy= = ;
26 xy=− =
.
9. Aflați două numere naturale diferite de zero știind că suma lor este 4 5, iar
c.m.m.d.c. al lor este 3.
Soluție: Notăm cu x și y cele două numere. Deo arece ele au ca divizor comun pe 3,
înseamnă că există
,ab
astfel încât x = 3a și y = 3b. Cum 3 este c.m.m.d.c. al lui
x și y, înseamnă că a și b sunt prime între ele.
Deci: x + y = 45
3a + 3b = 45
3(a + b ) = 45/:3
a + b = 15; (a,b) = 1, rezultă:
13
14 42ax
by====
sau
26
13 39ax
by==== sau
4 12
11 33ax
by==== sau
7 21
8 24ax
by====
sau
14 42
13ax
by==== sau
13 39
26ax
by==== sau
11 33
4 12ax
by====
sau
8 24
7 21ax
by====
10. Găsiți două numere naturale al căror prod us este 2700, iar c.m.m.d.c. al lor este 1 5.
Soluție: Notăm cu x și y numerele căutate. Deoarece 1 5 este c.m.m.d.c. al lor rezultă că
x = 15a și y = 15b, a și b numere prim e între ele.
Deci:
2700 xy=
15 15 2700ab=
225 2700/ : 225ab=
() 12; , 1 a b a b = = ;
rezultă:
1 15
12 180ax
by==== sau
3 45
4 60ax
by==== sau
12 180
1 15ax
by==== sau
4 60
3 45ax
by====
11. Să se afle perechile de numere care au c.m.m.d.c. al lor 6 și c.m.m.m.c. 1 50.
Soluție: Fie x și y numerele căutate. Folosim
() ,,x y x y x y = , adică
6 150 xy = .
Deci:
900 xy= și x = 6a, y = 6b; (a,b) = 1
6 6 900ab=
36 900/ :36ab=
() 25; , 1 a b a b = = ;
rezultă:
16
25 150ax
by==== sau
25 150
16ax
by====
12. Să se afle perechile de numere naturale care au c.m.m.m .c. al lor 420 și produsul
5880 .
Soluție: Folosim
() ,,x y x y x y =
(), 420 5880/ : 420xy=
() () , 14 14 ; 14 ; , 1x y x a y b a b= = = =
5880 xy=
14 14 5880ab=
196 5880/ :196ab=
() 30; , 1 a b a b = = ,
rezultă :
1 14
30 420ax
by==== sau
2 28
15 210ax
by==== sau
3 42
10 140ax
by==== sau
5 70
6 84ax
by====
sau
30 420
1 14ax
by==== sau
15 210
2 28ax
by==== sau
10 140
3 42ax
by====
sau
6 84
5 70ax
by====
13. Determinați numărul n, știind că descompunerea lui în produs de numere prime
conține factorii 2, 3 și 5 și în plus,
,13 5406nn= .
Soluție: Numărul n este de forma:
2 3 5a b cn=
11 13 13 2 3 5 1313 2 3 5 136 6 2 3 2 3a b c
a b c n n n−− = = = =
23540 2 3 5= , deci
1 1 2 32 3 5 2 3 5a b c−− =
1 2 3aa− = =
1 3 4bb− = =
1c=
342 3 5 3240nn= =
14. Într-o școală sunt mai puțin de 450 elevi. Formând grupe de câte 5 elevi, de câte 6
elevi sau de câte 7 elevi, rămâne mereu câte o grupă incompl etă de câte 4 elevi. Câți
elevi sunt în acea școală ?
Soluție: Numărul elevilor este un multiplu comun al numerelor 5, 6 și 7 plus 4.
[5, 6, 7] = 210, iar următorii multiplii sunt 420, 630,…
210+4=214; 420+4=424; 630+4=634;…
Dintre aces te numere 214 < 450, deci în școală pot fi 214 elevi , sau 424< 450, deci în
școală pot fi 424 elevi.
15. Numerele 6 3625 și 75903 împărțite la un număr natural x de două cifre dau resturile
13 și respectiv1 5. Aflați numărul x.
Soluție: Din teorema împărțirii cu rest, avem: 6 3625 = ax + 13
75903 = bx + 15, x > 15
Adică: 63625 – 13= ax, deci 6 3612 = ax
75903 – 15 = bx, deci 75888 = bx
x este divizor comun de două cifre, mai mare decât 15, al numerelor date.
Divizori i comuni ai celor două numere s e găsesc printre divizorii celui mai mare divizor
comun al celor două numere.
23
42
2263612 2 3 19 31
75888 2 3 17 31
(63612,75888) 2 3 31 1116=
=
= =
Deci , oricare din tre divizorii lui 1116 , mai mari decât 1 5, poate fi numărul x,
adică:
18,31,36,62,93,124,186,279,372,558,1116 .x
16. Determinați numerele naturale mai mici decât 900, știind că fiecare se împarte pe
rând la 5, 8, 10, 1 4 și se obțin resturile 3, 6, 8, 12.
Soluția 1: Observăm că resturile sunt cu 2 mai mici decât împărțitorii.
[5, 8, 10, 1 4] = 280, iar următorul multiplu mai mic decât 1000 este 840. Numerele
căutate sunt:
280 –2= 278 și 840 – 2= 838.
Soluția 2: Dacă x este un număr care îndeplinește cerințele problemei, înseamnă că:
5 8 10 14 3 ; 6 ; 8 ; 12x M x M x M x M− − − − , de unde:
5 8 10 14 2 ; 2 ; 2 ; 2x M x M x M x M+ + + +
, deci
5,8,10,14 2 2 280,840 278,838x M x x+ +
17. Care este cel mai mare număr
abc care împărțit, pe rând, la 5, 7, 11 să dea restul
3.
Soluție: Fie
abc x= . Avem:
5 7 11 3 ; 3 ; 3x M x M x M− − − , de unde
5 7 11 3 abc M M M−
, deci
5,7,113 abc M− ;
385 3 0,385,770,… abc M− = .
Cum
abc este cel mai mare număr cu aceste proprietăți, vom avea :
3 770 773 abc abc− = =
.
7. ALGORITMUL LUI EUCLID
Algoritmul lui Euclid este o metodă eficientă de calcul a celui mai mare divizor
comun (c.m.m.d.c.). Algoritmul poartă numele matematicianului grec Euclid, care l -a
descris în cărțile VII și X din „Elementele”.
C.m.m.d.c. a două numere este cel mai mare n umăr care le divide pe ambele
numere considerate și est e notat cu ( a,b).
Algoritmul se bazează pe principiul că c.m.m.d.c. nu se modifică dacă numărul cel
mai mic este scăzut din cel mai mare.
Exemplu : (135, 105) = 15 pentru că ( 135 = 15∙9 și
) 105 15 7=
135 – 105 = 30 și (30, 105) = 15
Cum c el mai mare dintre cele două numere este redus, repetarea acestui proce deu
va da numere din ce în ce mai mici, până când unul dintre ele este 0. Când se întâmplă
acest lucru , c.m.m.d.c. est e celălalt număr, cel nenul.
Inversând pașii algoritmului lui Eucli d, c.m.m.d.c. se poate exprima ca fiind suma
celor două numere inițiale, fiecare înmulțite cu un număr întreg pozitiv sau negativ.
Exemplu :
15 ( 5) 105 4 135= − +
Această proprietate importantă se numește identitatea lui Bézout .
Exercițiu : Aflați c.m. m.d.c. al numerelor a = 1029 și b = 483.
Soluție: Aplicăm algoritmul lui Euclid: 10 29 – 483 = 546
546 – 483 = 63
1029 =
2 483 63+
483 =
7 63 42+
Apoi se scad m ultipli lui 42 din 63 până când restul este mai mic decât 42. Se poate
scădea un singur multiplu și nu rămâne nici un rest :
63 3 21 0= +
Cum ultimul rest este 0, algoritmul se termină cu 21 = (1029 , 483) .
Euclid, în cartea a 7 -a din „Elem entele” (lucrare scrisă cam prin anul 300 î. Chr.,
cartea a VII -a se ocupă de teoria numerelor) a pornit de la ideea că împărțirea e o
scădere repetată, adică a – b – b – … – b = r deci
rqba=− sau
rqba+= ,
br0
și de aici
()()rb bad , ,==
Egalitatea
rqba+= ,
br0 este cunoscută a stăzi ca Teorema împărțirii
cu rest.
Este clar că se poate continua procesul de împărțire, de data aceasta a lui b la r,
ceea ce ne permite să definim algoritmul lui Euclid :
0 0rqba+= ;
br0 0
1 1 0 rqrb+= ;
0 10 rr
2 2 1 0 r qrr += ;
1 20 rr
…
k k k k rqr r +=−− 1 2 ;
1 0−k krr
n n n n rqr r +=−− 1 2
;
1 0−n nrr
11n n nr r q−+= ,
Deoarece șirul
1 2 1 0 …−n nrr rrrb este un șir de numere naturale
descrescător, după un număr finit de pași se va ajung e la un rest egal cu 0. Aplicând
succesiv relația la egalitățile din algoritmul lui Euclid, avem că:
()()()()()n n n n r r rr rr rb ba ======− 0, , … , , ,1 10 0
Exerciț iu: Să se afle, folosind algoritmul lui Euclid, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al
numerelor a = 3528 și b = 1260.
Soluție :
11 : 3528:1260 2 1008 2, 1008a b rest q r= = = =
1 2 2: 1260:1008 1 252 1, 252b r rest q r= = = =
1 2 3 3: 1008: 252 4 0 4, 0r r rest q r= = = =
Deci ultimul rest nenul este 252 deci ( a,b) = 252
()bababa,,= deci
3528 1260, 17640252ab== .
Algoritmul lui Euclid, fiind primul care a apărut în matematică, e ste considerat
străbunicul tuturor algoritmilor din matematică. Importanța și locul său în matematică
au ieșit în evidență odată cu dezvoltarea matematicii pentru că multe teorii au fost adu se
la lumină tocmai de acest celebru algoritm. Să amintim numai câ teva: teoria
divizibilității în
sau în
sau într -un inel oarecare R, teoria funcțiilor continue,
teoria convergenței, secțiunea de aur cu atâtea aplicații și implicații în științe, arte, etc.
Toate aceste dezvoltări iau naștere din analiza celor patru elemente constitutive ale
algoritmului lui Euclid a, b, q și r.
8. NUMĂR UL ȘI SUMA DIVIZORILOR UNUI NUMĂR NATURAL
Numărul divizorilor
Fie
rk
rk kp ppn = …2 1
2 1 descompunerea în factori primi distincți ai lui n, unde
rp pp ,…,,2 1
sunt numere prime distincte.
Numărul divizorilor naturali se poate calcula cu formula:
()()()()1 …1 12 1 +++=rk k k n
Exercitiu : Calculați numărul divizorilor numerelor: a) 63; b) 1 44.
Soluție: a)
()()()2163 3 7 ; 63 2 1 1 1 3 2 6 = = + + = = divizo ri
b)
()()()42144 2 3 ; 144 4 1 2 1 5 3 15 = = + + = = divizori
Suma divizorilor
Fie
rk
rk kp ppn = …2 1
2 1 descompunerea în factori primi distincți ai lui n, unde
rp pp ,…,,2 1
sunt numere prime distincte.
Suma divizorilor naturali ai lui n se poate calcula cu fo rmula:
()() () ()
−−−−−−==+ + +
11…11
111
21
2
11
1
/2 1
rk
rk k
nd pp
pp
ppd nr
Exercitiu : Calculați numărul și suma divizorilor numărului 2 4.
Soluție :
3124 2 3=
()()() 24 3 1 1 1 4 2 8= + + = = divizori
()3 1 1 12 1 3 1 820 15 15 4 602 1 3 1 2++−−= = = =−− .
9. NUMERE PRIETENE (AMIABILE) ȘI NUMERE PERFECTE
Numere prietene
Odată, cineva a fost la celebrul matematician Pitagora și l -a rugat să -i arate cum ar
trebui să fie doi oameni prieteni. Pitagora i -a răspuns: „ Să se comporte ca numerele
220 și 284!” , deoarece ele sunt alcătuite astfel încât fiecare e ste format din suma
părților celuilalt, adică fiecare este un „alt eu”. Analogia pornește de la condiția că unul
dintre numere este suma divizorilor celuilalt (excluzând numărul însuși).
Exemplu : 220 și 284
110,55,44,22,20,11,10,5,4,2,1220=D
(excluzând numărul )
142,71,4,2,1284=D
(excluzând numărul).
Pentru 220 :
284 1105544222011105421 =++++++++++
Pentru 284 :
220 14271421 =++++
Analogia cuprinde tot ce are celălalt mai intim în chiar „ființa” sa. Pe plan uman
asta ar însemna ca gândurile, temerile și bucuriil e, aspirațiile și preocupările unui
prieten să fie împărtășite și să -și găsească rezonanța în sufletul celuilalt. Ca să se
întâmple aceste lucruri oamenii nu pot fi luați la întâmplare după cum nici numerele nu
sunt altele decât 220 și 284.
Deci , două num ere sunt prietene dacă posedă proprietatea că suma divizorilor
unuia să fie egală cu suma divizorilor celuilalt (exceptând numerele).
După Pitagora, cu ajutorul calculatorului electronic, s -au mai descoperit și alte
numere prietene : 1184 și 1210; 2620 și 2924; 5020 și 5564 ; 6232 și 6368 și altele.
În anul 1636 d. Hr. Pierre Fermat descoperă o a doua pereche de numere prietene
(17296 și 18416).
În anul 1860 d. Hr. Nicollo Poganini, elev de 16 ani uluiește lumea matematică,
descoperind perechea (1184 și 12 10) de numere prietene.
Numere perfecte
Un număr N este perfect dacă suma S a divizorilor săi (exceptând numărul îns uși)
este egală cu numărul dat : S=N.
Exemplu :
3,2,16=D ‚ exceptând numărul însuși ; S = 1 + 2 + 3 = 6
3216++=
6 este singurul număr pentru care suma divizorilor săi este egală cu produsul
acestora.
Alte numere perfecte (de verificat) sunt 28, 496, 8128, 33550336 (întâlnit prima
dată într -un manuscris medieval din secolul al XV -lea), 8589869056 și 13743 8691328
(au fost descoperite în anul 1588 de către matematicianul italian Pietro Cataldi).
În anul 300 î. Hr. Eu clid (330 -275 I. Hr.) prezintă o formulă a numerelor perfecte:
()12 21−− p p
unde p și
12−p sunt numere prime .
6=1+2+ 3=21(22−1)
28=1+2+4+7= 22(23−1)
33550336= 212(213−1)
8589869056= 216(217−1)
137438691328= 218(219−1)
Până în prezent se cunosc 47 de numere perfecte. Deocamdată, nu se știe dacă
există și numere perfecte impare.
Un număr N este supraperfect dacă suma S a divizorilor săi (exceptând numărul
însuși) este mai mare decât numărul dat : S > N.
Exemplu :
12 1 2 3 4 6 + + + +
24 1 2 3 4 6 8 12 + + + + + +
Un număr N este imperfect dacă suma S a divizorilor săi (exceptâ nd numărul însuși)
este mai mică decât numărul dat N: S < N.
Exemplu:1 5 > 1 + 3 + 5
26 1 2 13 + +
Exercițiu : Verificați care din tre numerele de mai jos sunt perfecte, care sunt
supraperfecte și care sunt imperfecte.
a) 45; b) 14; c) 28.
Soluție : a) 45>1+3+5+9+15 supraperfect; b) 14<1+2+7 imperfect;
c) 28=1+2+4+7+14 perfect.
10.
CIURUL LUI ERATOSTENE
Eratostene din Cyrene (cca 276 -cca 195 î. Hr.) a fost matematician, poet, atlet,
geograf și asto nom antic grec, care a aparținut școlii din Alexandria (Egipt) și a fost
membru al Academiei din Alexandria, fiind considerat fondatorul geografiei
matematice.
În aritmetică, Ciurul lui Eratostene, este un algoritm simplu și vechi de
descoperire a tuturor numerelor prime până la un număr întreg specificat , procedeu ce
presupune eliminarea numerelor compuse dintr -un tabel ce conține în ordine numerele
naturale nenule mai mari decât 1. Este predecesorul algoritmului modern, Ciurul lui
Atchin, un algoritm mai rapid, dar mai compl ex.
Algoritmul:
1. Se scrie o listă a numerelor de la 2 la cel mai mare număr ce urmează a fi testat
pentru a vedea dacă este prim. 2 este număr prim – se marchează.
2. Se taie din listă toți multipli i lui 2. Primul număr nemarcat este 3 car e este
prim -se marchează.
3. Se taie din listă toți multipl ii lui 3. Primul număr nemarcat este 5 care este
prim -se marchează.
4. Se taie din listă toți multipli i lui 5. Tăierea multiplilor poate să înceapă de la
pătratul numărului, întrucât multipli mai mici a u fost deja marcați în pașii
anteriori.
Se repetă pașii 3 și 4 până la epuizarea numerelor din listă și rămân doar cele
marcate care sunt prime.
O ingenioasă aranjare a șirului numerelor naturale, astfel încât desco perirea
numerelor prime folosind ciurul lui Erastotene devine o simplitate .
2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25
M5 26 27 28 29 30 31
32 33 34 35 36 37
38 39 40 41 42 43
44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 M7
M5
56 57 58 59 60 61
62 63 64 65 66 67
68 69 70 71 72 73
74 75 76 77 78 79
80 81 82 83 84 85
M5 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 M7
98 99 100 101 102 103
104 105 106 107 108 109 Multipli
de 2
Multipli
de 3
Multipli
de 2
Multipli
de 2
Șirul numerelor prime este următorul :2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,…
11. CURIOZITĂȚI
• Multiplii lui 37 și multiplii lui 3
111373=
222 376=
333 379=
444 3712=
555 3715=
666 3718=
777 3721=
888 3724=
999 3727=
Observăm că primii factori sunt multipli lui 3, al doilea este 37, iar produsele sunt
multipl ii de 3 și 37.
• O egalitate interesantă:
111.111.111
111.111.111 = 12.345.678.987.654.321
(Revista de Matematică nr. 5/2009 Șc. Oinacu)
• O raritate aritmetică
111=3×37
1111=11×101
11111=41 ×271
111111=3 ×7×11×13×37
1111111=239 ×4649
11111111=11 ×73×101×137
111111111=9 ×37×333667
1111111111=11 ×41×271×9091
11111111111=21649 ×513239
111111111111=3 ×7×11×13×37×101×9901
• Piramidele numerice
1×9+2=11
12×9+3=111
123×9+4=1111
1234×9+5=11111
12345×9+6=111111
123456×9+7=1111111
1234567×9+8=11111111
12345678 ×9+9=111111111
(Prima piramidă numerică)
1×8+1=9
12×8+2=98
123×8+3=987
1234×8+4=9876
12345×8+5=98765
123456×8+6=987654
1234567×8+7=9876543
12345678 ×8+8=98765432
123456789 ×8+9=987654321
(A doua piramidă numerică)
9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888
98765432 ×9+0=888888888
(A treia piramidă numerică)
• Cazuri interesante de înmulțire
12345679 ×9=111111111
12345679 ×18=222222222
12345679 ×27=333333333
12345679 ×36=444444444
12345679 ×45=555555555
12345679 ×54=666666666
12345679 ×63=777777777
12345679 ×72=888888888
12345679 ×81=99999999
• Numărul Șeherazadei (1001)
1001=7∙11∙13
Atunci când înmulțim un număr format din trei cifre cu 1001, rezultatul este
format din deînmulțit scris de două ori.
Exemplu: 893×1001 =893893
• Numărul 365
365=10×10+11×11+12×12=102+112+122
365=132+142
• 25∙92=2592
• 100=123+45−67+8−9
100=123 -45-67+89
100=(1+2 -3-4)⋅(5-6-7-8-9)
100=12+3 -4+5+67+8+9
100=12 -3-4+5-6+7+89
100=123+4 -5+67 -89
100=1+2+3+4+5+6+7+8 ×9
100=1+2×3+4×5−6+7+8×9
100=1+2×3+4+5+67+8+9
100=1×2+34+56+7−8+9
• În anul 1909 au fost editate tabele cu numerele prime mai mici decât 10000000,
în care apar și cei mai mici divizori primi pentru fiecare număr natural ≤10170600
care nu sunt divizibile cu 2, 3, 5 sau 7.
• În anul 1951 au fost editate tabele de numere prime pînă la 11000000. Jacob
Philipp Kulik (1793 -1863) a realizat tabelele de numere prime până la 100000000
( manuscrisul fiind păstrat la Academia Austriacă de Științe din Viena ).
• C. L. Baker și J. F. Grunberger au rea lizat în anul 1959 un microfilm care
conține primele 6000000 de numere prime, adică până la 104395301. Datorită avansării
științei, cu ajutorul calculatoarelor moderne se descoperă șiruri de numere prime din ce
în ce mai mari.
12. EXERCIȚII PROPUS E
Divizor . Multiplu. Proprietățile relației de divizibilitat e
1. a) Scrieți mulțimea divizorilor pentru numerele: 8; 1 6; 27; 62; 72.
b) Scrieți mulțimea primilor cinci multipli ai numerelor: 7; 12; 25; 78.
2. Aflați mulțimile
12 12DM
;
64 64DM
Ce observați?
3. Scrieți numerele naturale de o cifră care au exact doi divizori.
4. Scrieți multiplii lui 2 de o cifră care au divizori proprii.
5. Scrieți divizorii numărului 48. Care sunt divizorii proprii? Dar improprii?
6. Stabiliți valoarea de adevăr a următoarelor propoziții:
1P
: 7 este divizor al lui 9 1
2P
: 19 este multiplu de 1
3P
:
5 / 0 ;
4: 3/ 564P
:5P
12 divide 1 68
:6P
289 nu se divide cu 1 7
33
7: 2 / 8P
:8P
4023 este multiplu de 2 3
:9P
Mulțimea divizorilor lui 10 este {1, 2, 5, 10}
:10P
Mulțimea divizorilor unui număr natural este nevidă.
7. Numă rul 7 este divizor pentru:
a) 24 ; b) 35 ; c) 47.
8. Mulțimea divizorilor lui 11 are:
a) 1 element; b) 3 elemente; c) 2 elemente .
9. Cel mai mic număr de două cifre care are exact 2 divizori este:
a) 10 ; b) 1 7 ; c) 1 1 .
10. Determinați mulțimile:
() , 2 3 A x x cifr ă x x = +
, 14 55 ; 5 B x x x x=
, 18 ; 14 C a a a a =
, 31 D n n n=
11. Aflați cel mai mic număr natural care se divide simultan cu 5, 7, 19.
Alcătuiți un exercițiu asemănător.
12. Aflați
x
, astfel încât:
a)
() 5 4 / 21x−
b)
()4 /12x+ și
/6x
c)
() 13 2 / 65x+ și
() 2 3 9x+
13. Determinați mulțimile:
, 5 25 24 A x x x si x=
, 2 3 20 48 B x x x si x= +
Calculați:
; ; ; ; A B A B A B B A A B − −
; card A; numărul
submulțimilor lui A.
14. Arătați că numerele de forma
abcabc se divid cu 7, 11, 13.
15. Multiplul comun al numerelor
125 , 5 , 5n n n++ este…
16. Numărul
x1 este diviz or al lui 19 pentru x = …
17. Arătați că numărul:
a)
213 3 3n n n+++− se divide cu 11,
n
;
b)
1135 5 7 5 7n n n n n +++ + se divide cu 1 3,
n
;
c)
122 3 5 2 15 11 3 10 5 17n n n n n n n++ + +
, pentru
n
.
18. Arătați că numărul 734 este divizor pentru
7 6 6 95 9 5 9n n n n+ + + + + pentru orice
n
.
19. Arătați că numărul
2 1 2 15 4 25 2n n n n++ − este multiplu de 300 pentru orice
n
.
20. Arătați că nu merele de forma
5 005abc abc+ sunt divizibile cu 7, 11, 13.
Criterii de divizibilitate
1. Fie șirul de numere 1 4, 19, 20, 24, 28, 31, 32, 35, 3 6, 40, 72.
a) scrieți numerele din șir divizibile cu 2 ;
b) scrieți numerele din șir divizibile cu 5 ;
c) scrieți numerele din șir divizibile cu 4 ;
d) scrieți numerele din șir divizibile cu 1 ;.
e) Scrieți numerele din șir divizibile cu 3.
2. Determinați numerele de forma:
a)
37a divizibile cu 5;
b)
29x divizibile cu2;
c)
43x divizibile cu 3;
d)
374 4b
;
e)
63x divizibile cu 9.
3. Determinați mulțimile:
A
2cu dividese xxx= ;
B
37 2x x se divide cu= ;
C
1 7 3x x se divide cu= ;
D
6 2 5a a a se divide cu si= .
4. Determina ți mulțimile:
/ 3 6 A x x= +
;
() / 1 30 B x x x= +
.
5. Care este cel mai mare număr par de forma
3 60ab divizibil cu 5 ?
6. Care este cel mai mic număr impar de forma
85 5xy
?
7. Găsiți numerele de forma
45xy
, strict mai mici decât 450.
8. Să se arate că x = 6a + 18b este divizibil cu 3.
9. Stabiliți dacă suma a 7 numere naturale consecutive este divizibilă cu 7.
10. Să se arate că produsul a 5 numere naturale consecutive este divizibil cu 1 2.
11. Deter minați mulțimile:
, 2 2 A x x ab x si a b= = =
;
,5 B y y baa y si a b= =
.
12. Determinați toate numerele naturale pare de forma
abcd , care sunt divizibile
cu 3 și au cifrele consecutive.
13. Aflați toate pătratele perfecte divizibile cu 3, de for ma
abc , cu a, b, c cifre
nenule.
14. Arătați că următoarele numere se divid cu 10 :
a)
2020 2021275 65− ;
b)
2022 2022152 78− ;
c)
2020 2021824 156− .
15. Arătați că următoarele numere se divid cu 5 :
a)
9336 48244758 3259− ;
b)
7528 18756532 397− .
16. Arătați că numărul :
2 4 2 2 12 5 4 5 ,n n n nn+ + + + +
, este divizibil cu 2, 3, 5,10.
17. Determinați a, b pentru care
71 4ab
.
18. Determinați numerele de forma
93xy divizibile cu 6.
19. Dete rminați numerele de forma
71xy divizibile cu 18 .
20. Determinați numerele de forma
62xy divizibile cu 45 .
21. Determinați numerele de forma
ba32 divizibile cu 8 .
22. Arătați că numărul
2 2 2 3 2 3 49 121 5 34 5 81 11n n n n n n++ − este divizibil cu 11 și
cu 1991 ,
n
.
Numere prime. Numere compuse .
1. Scrieți toate numerele prime mai mici decât 50.
2. Scrieți numerele prime mai mari decât 80 și mai mici decât 150 .
3. Găsiți numerele prime mai mici decât 100 , folosind Ciurul lui Eratostene.
4. Din șirul de numere de mai jos, stabiliți care sunt prime și care sunt compuse:
2, 7, 9, 11, 1 6, 17, 19, 21, 2 3, 31, 35, 43, 67, 81, 95, 97, 121, 169 , 173, 256.
5. Determinați cardinalul mulțim ii:
, 47 98, . A x x x x nr prim=
6. Determ inați cel mai mic și cel mai mare număr prim de două cifre distincte.
7. Aflați numerele naturale prime x dacă:
)4 28; )2 7 38; )9 7 74a x b x c x + −
8. Aflați cinci numere prime consecutive știind că suma lor este un număr prim
mai mic decât 70.
9. Demonstrați că numerele de forma
26 6 4nn++ ,
n
, nu sunt prime.
10. Arătați că numerele de forma:
a)
28 nn−+ ; b)
45 1n− ; c)
1 32−n sunt compuse,
n
.
Descompunerea num erelor naturale în factori primi
1. Descompuneți în factori primi următoarele numere naturale : 28; 36; 44; 72; 8 7;
91; 3 60; 225; 631; 1 69; 800; 3001; 8 4000; 14743; 38 4000.
2. Calculați , folosind descompunerea în factori primi:
a)
() 36 48 :96 ; b) (1 80
50) :30 ; c)
() 52 169 :338
3. Scrieți mulțimea divizorilor numerelor : 1 8, 28, 36, 45, 1 69, folosind
descompunerea în factori primi.
4. Descompuneți numerele următoare în factori primi și aflați cel mai mic nu măr
natural cu care trebuie înmulțit fiecare pentru a obține un pătrat perfect.
a) 32; b) 121; c) 108; d) 39; e) 162;
5. Descompuneți numerele următoare în factori primi și aflați cel mai mic număr
natural cu care trebuie înmulțit fiecare pentru a o bține un cub perfect.
a) 12; b) 4 5; c) 64; d) 432;
6. Determinați
Nn astfel încât
272 nn+= .
7. Determinați
Nn astfel încât
()12 2 1 496nn+−= .
8. Aflați cel mai mic număr natural care are e xact 10 divizori .
9. Determinați numerele naturale a și b știind că:
a)
3216bab= ; b)
3 300ba= ; c)
32 7 448a= .
10. Determinați numerele prime x și y știind că:
13 4 38xy+=
.
C.m.m.d.c. și c.m.m .m.c
1. Scrieți mulțimea divizorilor, apoi aflați c.m.m.d.c. al numerelor:
a) 12 și 27; b) 14 și 35; c) 6, 12, 24 și 54.
2. Enumerați divizorii comuni ai numerelor:
a) 7 și 11; b) 4 și 1 8; c) 5 și 40; d) 12; 24; 36 , 48
3. Aflați c.m.m.d.c. al numerelor:
a) 24 și 35; b) 10 și 25; c) 1 9 și 31; d) 4; 2 4; 36.
4. Precizați dacă următoarele numere sunt prime între ele:
a) 7 și 1 3; b) 12 și 21; c) 20 și 29; d) 30 și 42.
5. Folosind descompunerea în factori primi, aflați c.m.m.d.c. al numerelor:
a) 24 și 40 ; b) 4 0 și 56; c) 36 și 72; d) 2 4; 32 și 48.
6. Aflați c.m.m.d.c. al numerelor:
a) 180; 320; 480; b) 250; 125; 375; c)2 4000; 5 6000;
d) 1440; 288; 1296 .
7. Aflați c.m.m.d.c. al numerelor:
a) 121 și
211 ; b)
3 3 324 ;12 ; 48 ; c)
2214 ; 28 ;196 .
8. Există x natural pentru care numerele 1 5 și
3x sunt prime între ele?
9. Aflați numărul maxim de pachete care se pot forma pentru un grup de copii
dacă avem 180 napolitane , 270 ciocolat e și 300 portocale (pachetele conțin cantități
egale din fiecare sortiment) .
10. Aflați două numere naturale, nenule, știind că suma lor este 50 și cel mai mare
divizor comun al lor este 5.
11. a) Aflați perechile de numere a și b știind că suma lor este 90, iar c .m.m.d.c.
al lor este 1 8.
b) Aflați perechile de numere a și b știind că suma lor este 120, iar c.m.m.d.c. al
lor este 1 5.
12. Găsiți două numere naturale diferite de zero, știind că diferența lor este 40 și
c.m.m.d.c. al lor este 8.
13. Împărțind numerele 3388 , 6711 și 7631 la un număr natural a, obținem
respectiv resturile 13, 15 și 17. Aflați numărul a.
14. Scrieți primii 5 multiplii c omuni ai numerelor:
a) 3 și 6; b) 5 și 7; c) 5 și 13; d) 7 și 11.
15. Aflați c.m.m.m.c. al numerelor:
a) 9 și 45; b) 7 și 9; c) 3 și 18; d) 4 și 25; e) 15, 24, 31.
16. Calculați c.m.m.m.c. al numerelor:
a) 3 și 7; b) 9 și 12; c) 9 și 24; d) 1 4 și 20; e) 9 și 81; f) 5, 7 și
33; g) 10, 12, 18 și 24; h) 1 9, 38 și 95.
17. Calculați c.m.m. m.c. al numerelor următoare, folosind d escompunerea în
factori primi:
a) 24 și 36; b) 5 4 și 72; c) 77 și 91; d) 5 20 și 84; e) 320
și 560; f) 1 80; 360 și 720; g) 240; 720; 360 0.
18. Stabiliți perechile de numere naturale care au c.m.m.m.c. egal cu:
a)17; b)1 8; c)1 3; d)15; e)16 ; f)1 2.
19. Scrieți câte 3 perechi de numere naturale care au c.m.m. d.c. egal cu:
a) 11; b) 12; c) 1 5.
Le puteți scrie toate? Justificați răspunsul dat.
20. Calculați c.m.m.m.c. al numerelor:
a) 1350, 1800 și 3240 ; b) 5250, 11025 și 20580.
21. Aflați c.m.m. d.c. și c.m.m.m.c al numerelor:
a) 720, 1176 și 2700 ; b) 495, 825 și 1815 .
22. Elevii unei școli pot fi așezați la o festivitate în coloane complete de 9, 15, 24.
Știind că a fost cel mai mic număr posibil, aflați câți elevi au participat la festivitate .
23. La o manif estație sportivă au participat un număr de oameni cuprins între 1 100
și 1300. Aflați câți oameni au participat știind că numărul lor poate fi împărțit în coloane
complete de câte 3, 7, 18 sau 21 de oameni.
24. Aflați cel mai mic număr natural nenu l, știind că împărțit pe rând la 7, 9 și 10 dă,
de fiecare dată restul 1.
25. a) Aflați cel mai mic număr natural care împărțit pe rând la 8, 9, 10, 11 dă
respectiv resturile 7, 8, 9, 10.
b) Enunțați și rezolvați un exercițiu asemănător.
26. Andrei și Dragoș vor să măsoare distanța dintre 2 pomi cu pasul. Pasul lui
Andrei are lungimea de 35cm, iar al lui Dragoș de 40 cm. Ei pornesc din dreptul
primului pom, în linie dreaptă, spre celălalt. Ce distanță este între pomi, dacă urmele
pașilor lor coincid după pornire de 150 ori, ultima oară în dreptul celui de -al doilea pom ?
Exerciții și probleme recapitulative
1. Arătați că numărul
2 2 1 1 23 2 3 2 3 2n n n n n na+ + + + += + − este divizibil cu 13,
n
.
2. Arătați că numărul
2 2 25 6 5 2 3 10 3n n n n n n nA+ + += − + este divizibil cu 10,
n
.
3. Arătați că numărul
2 1 2 121 3 7 3 63n n n n n+ + + + − este un multiplu al lui 29.
4. Arătați că numerele
4231n++ și
4 3 4 123nn++− sunt multiplii de 5,
n
.
5. Să se arate că numărul
1 2 32015 2016 2021n n n+ + ++− este multiplu al lui 10.
6. Arătați că numărul
2 3 20205 5 5 … 5+ + + + este divizibil cu 30.
7. Arătați că numărul
0 1 2 3 202113 13 13 13 … 13+ + + + + se divide cu 1 4.
8. Arătați că numărul
2 3 20203 3 3 … 3A= + + + + este multiplu de 40.
9. Arătați că num ărul
0 2 20197 7 7 … 7B= + + + + este divizibil cu 400.
10. Determinați numerele de forma
abc divizibile cu 3 știind că
ab este pătrat
perfect.
11. Numerele de forma
984ab sunt divizibile cu 2. Precizați c are este cel mai
mic și care este cel mai mare număr în condițiile date.
12. Stabiliți dacă: a)
() 2 / 100 17ab+ ;
b)
( ) 5 / 1 2 3 … 399+ + + + ;
c)
( ) 10 / 1 2 3 … 2020+ + + + .
13. Să se arate că numărul
32 1 N ab ba=+ este divizibil cu 11.
14. Determinați mulțimile : a)
5 / 5 3 ; 5 10 M xy xy xy=
;
b)
2 / 2 18 N ab ab=
.
15. Arătați că numărul 10 este divizor al numărului
40 4051 37− .
16. Să se demonstreze că numărul
104 9632− se divide cu 5.
17. Arătați că numărul
2 25 6nn+ nu este prim,
n
.
18. Arătați că numărul
2 2 15 4 2nn+++ ,
n
, nu este pătrat perfect.
19. Demonstrați că d acă numărul natural d divide numărul natural de forma
ab ,
atunci d divide numărul natural
abab .
20. Determi nați produsul dintre cel mai mic număr de forma
29x , divizibil cu 2
și cel mai mare număr de forma
21a , divizibil cu 3.
21. Aflați numerele de for ma
4aab , divizibile cu 2 și care au suma cifrelor
numărul 20.
22. Arătați că numerele de forma
2 5 23nn+ , se divid cu 3,
n
.
23. Să se afle cifrele a și b consecutive astfel încât
231ab , să fie divizibil cu 6.
24. Să se arate că dacă unui număr oa recare
ab , de două cifre , i se adaugă de 5
ori suma cifrelor sale se obține un număr divizibil cu 3.
25. a) Aflați numele de forma
4xy divizibile cu 15.
b) Aflați numele de forma
32xy divizibile cu 45.
c) Aflați numele de forma
12 8xy știind că au ca divizor numărul 36.
26. Să se găsească un număr prim de trei cifre, știind că produsul cifrelor sale este
84.
27. a) Aflați două numere naturale știind că suma lor este 221, iar c.m.m.d.c. al lor
este 17.
b) Aflați două numere naturale știind că suma lor este 99, iar c.m.m.d.c. al lo r este
11.
28. a) Găsiți două numere naturale care au produsul 29400 , iar c.m.m.d.c. al lor
este 35.
b) Găsiți două numere naturale al căror produs este 12348 , iar c.m.m.d.c. al lor este 14.
29. Găsiți numerele naturale a și b al căror produse este 9408 iar c.m.m.m.c. al
lor 1176.
30. Aflați perechile de numerele naturale care au c.m.m.d.c. 20 și c.m.m.m.c. al
lor 900.
31. Determinați cel mai mic număr natural
abab care să aibă cel mai mare număr
de divizori.
32. Care este cel mai mic număr natural, care împărțit pe rând la 7, 11, 13 să dea
resturile 3, 7, 9 .
33. a) Aflați cel mai mic număr natural, știind că împărțindu -l pe rând la 6, 8, 10
obținem de fiecare dată restul 3 și câtul nenul.
b)Aflați cel mai mic număr natural, știind că împărțindu -l pe rând la 12, 14, 18
obținem de fiecare dată restul 5 și câtu l nenul.
TESTE
TESTUL 1
1. Determinați cel mai mi c și cel mai mare număr de forma
35ab divizibile cu:
a) 2; b) 5; c) 4; d) 25.
2. Determinați numerele de forma
946x divizibile cu 8.
3. Demonstrați că numărul
10 53, nNn= +
, este divizibil cu 9.
4. Să se arate că
2020 202097− este divizibil cu 10.
5. Să se arate că numărul
1 2 2 2 13 2 3 4n n n nN+ + + += + este divizibil cu 16.
TESTUL 2
1. Determinați
x
astfel încât: a)
6
2x+
; b)
9
1x
x++
;
c)
6
21x
x++
; d)
5 12
23x
x++
.
2. Determinatți
x
astfel încât: a)
7
3x+
; b)
6
2x
x++
;
c)
37
4x
x++
; d)
58
43x
x++
.
3. Arătați că fracțiile:
6 3 5,,72xxxxx+−+−
, sunt ireductibile.
4. Determinați fracțiile de forma
32
54ab
cd care se simplifică prin 55.
5. Arătați că dacă x+3/3x+7 si x+3/2x+5, atunci x+3/21x+50.
TESTUL 3
1. A. Calculați c.m.m.d.c. al numerelor: a) 252,360; b) 8 40, 990, 3600 .
B. Calculați c.m.m.m.c. al numerelor: a) 245, 315 ; b) 48, 140, 300 .
2. Care din tre următoarele numere sunt prime: 281, 256, 467, 1024 , 3061 , 1001 ,
2625 , 881, 4091, 1999 ?
3. a) Aflați două numere știind că suma lor este 1 44 și ele au c.m.m.d.c. 12.
b) Să se găseasc ă două numere știind că c.m.m.m.c. al lor este 2 25, iar produsul
lor este 3375 .
4. a) Să se afle numerele naturale cuprinse între 2000 și 3000 , care împărțite la 2 8,
30, 18 dau de fiecare dată restul 5.
b) Să se afle toate nu merele cuprinse între 700 și 1500 care împărțite la 5, 7, 11
dau resturile 1, 3, respectiv 7.
5. Numerele 4615, 5453, 7471 împărțite la același număr dau resturile 7, 19,23 . Să
se afle împărțitorul.
TESTUL 4
1. Aflați n dacă n+4, n+6, n+12 și n+16, n+22 sunt si multan numere prime.
2. Determinați numerele prime a, b, c știind că 4a+6b+c=72.
3. Scrieți numerele prime cuprinse între1 25 și 200.
4. Arătați că numerele 5 n+3 si 3n+2, n număr natural, sunt prime între ele.
5. Fie
12 5 3nna+= + si
12 5 1, nnbn+= +
. Arătați că a și b sunt numere
prime între ele.
TESTUL 5
1. Fie numerele 1 680, 13013 , 32032 , 4804 , 9009 , 8608 , 149149 . Găsiți -le pe cele
divizibile cu
7 11 13 .
2. Aflați c.m.m.d.c. si c.m.m.m.c. al numerelor 2940, 4200, 5040.
3. Într-o șco ală sunt mai puțin de 200 elevi. Dacă se formează grupe de câte 4, 6
sau 8 elevi , rămâne o grupă incompletă formată din 3 elevi. Care este numărul
maxim de elevi din școală?
4. Aflați to ate numerele de forma
2xy divizibile cu 6.
5. Să se arate că fracția
1 2 2
2 1 23 5 3 5 3 5,2 5 10 18 2 5n n n n n n
n n n n nFn+ + +
+ + + − − = + −
se simplifică
prin 1 3.
Rezolvări. Indicații. Răspunsuri.
Divizor. Multiplu. Proprietățile relației de divizibilitate
1.
81, 2, 4, 8 D= ;
16 1, 2, 4, 8,16 D= ;
27 1,3,9,27 D= ;
62 1, 2,31,62 D= ;
72 1, 2,3, 4,6, 8,9,12,18,24, 36,72 D=
. 2.
70,7,14, 21, 28 M= ;
12 0,12,24,36, 48 M=
;
25 0,25,50,75,100 M= ;
78 0,78,156, 234,312 M= . 3. 2,
3, 5, 7 . 4. 4, 6, 8. 5.
48 1, 2,3, 4,6, 8,12,16, 24, 48 D= ;
32 1, 48iD=
32 2,3, 4,6, 8,12,16, 24pD=
. 6.
AP:1 ;
AP:2 ;
AP:3 ;
4:PA ;
AP:5 ;
FP:6 ;
AP:7 ;
FP:8
;
9:PA ;
AP:10 . 7. b; 8. c. 9. c. 10.
0,1,3, 4,6,7,9 A= ;
15, 20, 25,30,35, 40, 45,50,55 B=
;
4,5,7,8,10,11,12,13,14 C= ;
1,31 D= . 11.
5⋅7⋅19=665 . 12. a) x∈{1,5}; b) 𝑥∈{0,2,8}∩{1,2,3,6}={2}; c) 𝑥=3.13.
1, 2, 3, 4 A=
; B = {1,2,3,4,6 } ;
A B B=
;
A B A=
; A – B =∅; B – A ={6};
𝐴∆𝐵=(𝐴−𝐵)∪(𝐵−𝐴)={6}; card A = 4; numărul submulțimilor lui A este
1624=
. 14.
() 1000 1000 1 1001 7 11 13 abcabc abc abc abc abc abc= + = + = = . 15.
5n
. 16. x = 9. 17. a)
()23 3 3 1 3 11 11nn+ − =
; b)
() 35 1 7 5 35 13 13nn+ + =
;
c)
() 2 3 5 18 11 5 30 2 17 17n n n n + + =
.
18.
()()6 6 6 3 65 9 5 9 5 9 (5 729) 45 734 734n n n n + + + + + = + =
.
19.
()125 4 5 25 4 2 25 4 5 2 100 3 100 300 300n n n n n n n n − − = − = =
.
20.
() 5000 1000 5 1 1000 5005 1001 5005 abc abc abc abc+ + + = + + = + =
=
() () 1001 5 1001 7 11 13 5 abc abc+ = +
.
Criterii de divizibilitate
1. a) 14, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 72; b) 20, 35, 40; c) 20, 24, 28, 32, 36, 40, 72; d)20,
40; e) 24, 36, 72. 2. a) 370, 375 ; b)290, 292, 294, 296, 298; c) 423, 453, 483; d) 3740,
3744, 3748; e) 630, 639. 3. A={2,4,6,8}; B={0,2,4,6,8}; C={1,4,7}; D=∅. 4. A={0,3};
B={0,1,2,5}. 5. 39600. 6. 8505. 7. 405, 415, 425, 435, 445, 400, 410, 420, 430, 440. 8.
3/6a și 3/18 b, deci 3/ x. 9. S=n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6=7 n+21=7( n+3)⋮7. 10.
n(n+1)(n+2)⋮6 și (n+3)(n+4)⋮2, deci n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)⋮12. 11. A={42,84};
B={155,255,355,455}. 12. 3456 . 13. 144, 225, 324, 441, 576, 729, 900. 14. a)
( )2020 2021275 65 5 5 0u− = − =
. Analog b și c – se calculează ultima cifră. 15. Se
calculează ultima cifră.
16.
4 16 5 25 4 16 5 5 20 (400 80) 20 480 ( 2,3,5,10)n n n n n n + = + =
.
17.
4 71 4 1 1 12,16 4 712a b b b a ;
4 716a și
9,…,3,2,1a .
18.
() 6 2 3, 2,3 1 6 93 2 93 3 93 xy xy si xy = =
2 93 0, 2, 4, 6, 8 3 93 0; 3 93 2; 3 93 4; 3 93 6; 3 93 8.xy y x x x x x
Numerele sunt: 9300, 9330,9360, 9390, 9312, 9342, 9372, 9324, 9354, 9384, 9306,
9336, 9366, 9396, 9318, 9348, 9378. 19.
18 7 1 2 9 7 1 2 7 1x y x y x y și
9 7 1xy
2 7 1 0, 2, 4, 6, 8 9 7 10; 9 7 12; 9 7 14; 9 7 16; 9 7 18;x y y x x x x x
9 7 1 0 9 8 1 7110 x x x+ + + + =
. Analog p entru celelalte numere.
20.
45 6 2 5 6 2x y x y și
9 6 2xy (5, 9) = 1. Numerele sunt 6120 și 6525. 21.
2336 . 22.
()4 2 4 4 23 11 125 3 25 34 3 11 125 1991; 1991 11 181n n n n n n − = = .
Numere prime . Numere compuse
37. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 , 47. 2. 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,
113, 127, 131, 137, 139, 149. 4. nr. prime: 2, 7, 11, 17, 19, 23, 31, 43, 67, 97, 173 .
5. A = { 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 , 97}; card A = 11. 6.
ab prim – cel mai
mare 97; cel mai mic 13. 7. a) x ≤ 7, x prim , deci x
{2, 3, 5, 7}; b)
31
2x ,
x prim => x
{2, 3 , 5, 7, 11, 13 }; c)
9x , x prim => x
{2, 3, 5, 7} . 8. 7, 11, 13,
17, 19 . 9.
()26 6 4 6 1 4;n n n n+ + = + + n(n+1) nr. par, 2 par => 6n (n + 1) + 4 nr. par
deci, nu este prim. 10.a)
()() ()22 1 2,2 1 ,2 2 2 1 2 n n n n n n n n− + = − + − − + deci
este compus ; b) u
() 45 1 4n−= deci
() 45 1 2;n−
c) u
()()1 32 8,0 1 32 2−−n n .
Descompunerea numerelor naturale în factori primi
1.
2 2 2 2 3 228 2 7; 36 2 3 ; 44 2 11 ; 72 2 3 ; 87 3 29; 91 7 13;= = = = = =
3 2 2 2 2 5 2360 2 3 5; 225 3 5 ; 631 ; 169 13 ; 800 2 5 ; 3001 ; prim prim = = = =
5 3 10 384000 2 3 7 5 ; 14743 23 641 ; 384000 2 3 5 .= = =
2. a)
22 3 ; b)
222 3 5 ;
c)
2 13. 3.
22
18 1; 2; 3; 2 3; 3 ;2 3 D= ;
22
28 1; 2; 2 ; 7; 2 7;2 7 ; D=
2 2 2 2 2 2
36 1; 2; 3; 2 ; 3 ; 2 3; 2 3 ; 2 3 D=
;
22
45 1; 3; 5; 3 ; 5 3 D= ;
2
169 1;13;13 D= .
4. a)
52 32= îl înmulțim cu 2. b) 1; c) 3; d) 39; e)2. 5. a) 18; b) 75; c) 1; d) 4 . 6.
()()21 ; 1 8 9 n n n n n n+ = + + =
; n = 8. 7.
()142 2 1 2 31 4nnn+− = = . 8. 48. 9. a)
3 3 32 3 2; 3ba b a b = = =
;b)
23 3 10 10, 2ba a b = = = ; c)
3 3 22 7 2 7 2aa = =
. 10. 13x + 4y nr. par pentru că 38 este nr. par. 4y par => 1 3 x
nr. par, x prim => x = 2,
13 2 4 38 3 yy + = = .
C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
1.
12 1; 2; 3; 4; 6;12 D= ,
27;9;3;127=D ;(12, 27)= 3; b)(14, 35) = 7; c) (6, 12, 24,
54) = 6. 2. a) 1; b) 1, 2; c) 1, 5; d)1, 2, 4 . 3. a) 1; b) 5; c) 1; d) 4 . 4. a), b), c) prime
între ele; d) nr. compuse . 5.a) 8; b) 8; c) 36; d) 8. 6. a) 20; b) 125; c) 8000; d) 144; 7. a)
112 b) 26⋅33; c) 22⋅72. 8.
1, 2,4,7,8 x . 9. (180; 270; 300) = 30 pachete . 10.
() 5 , 5 , , 1a x b y x y= = =
și
5 5 90 18x y x y+ = + = deci:
1
17x
y=
=
atunci
15
17 5a
b=
= sau
3
15x
y=
= =>
15
75a
b=
= sau
5
13x
y=
= =>
25
65a
b=
=
sau
7
11x
y=
= =>
35
55a
b=
= sau (a=85,b=5); (a=75,b=15); (a=65, b=25); (a=55,b=35).
11. a) Analog cu soluția ex. 10 : a) (a=18, b=72); (a=36, b=54); (a=72, b=18); (a=54,
b=36); b) (a=15, b=105), (a=45, b=75), (a=105, b=15), (a=75, b=45). 12. a = 8x, b =
8y, (x, y) = 1; a – b = 40 deci 8x – 8y = 40 => x – y = 5 =>
6,7,8, 9 ; 1, 2,3, 4xy= ;
a = 48; b = 8 sau a = 56, b=16 sau a=64, b=24 sau a=72, b=32;
1
13388 13
3375ac
ac− =
=;
2
26711 15
6696ac
ac− =
= ;
3
37631 17
7614ac
ac− =
= ;=>a=27 .
14. a) 0, 6, 12, 18, 24,30, 36 ; b) 0, 35 , 70, 105, 140; c) 0, 65, 130, 195, 260; e) 0, 7, 77,
154, 231. 15. a) 45; b) 63; c) 18; d) 100; e)
32 5 3 31 3720 = . 16. a) 21; b) 36; c) 72;
d) 140; e) 81; f) 1155; g) 360. 17. a) 72 b) 216; c) 1001; d) 10920; e) 2240; f) 720; g)
3600 . 18. a) [1, 13 ] ; b) [1, 18]; [2, 9]; [6, 9]; [2, 18]; [3, 18]; [6, 18]; [9,18]; c) [1,13];
d) [1,15]; [3,5]; [3,15]; [5,15]; e) [1,16]; [2,16]; [4,16]; [8,16]; f) [1,12]; [3,4]; [2,12];
[3,12]; [4,12]; [6,12]. 19. a) ex. (1 1, 22); (11, 33); (22, 33); (22, 121); (33, 143); etc.
Nu pot fi scrise toate deoarece
11M este o mulțime infinită . 20) a) 16200; b) 1543500.
21) a) 529000; b) 27225. 22. Numărul elevilor n, n = [9, 15, 24]
360n= . 23. n = [3,
7, 18, 21]
, 1100 1300an ,
*126 9 1134 an = =
sau
126 10 1260n= = .
24. n-1=[7, 9, 10]=630, deci n=631 . 25. a) Notăm cu x numărul. Aplicăm Teorema
Împărțirii cu rest:
()87
1 8 1xp
xp=+
+ = +
;
()98
1 9 1xq
xq=+
+ = + ;
()10 9
1 10 1xt
xt=+
+ = + ;
()11 10
1 11 1xy
xy=+
+ = + ;
p, q, t , y
. Atunci x +1 = [ 8, 9, 10, 11] = 3960 => x = 3959 .
26. 420 m. 150[35, 40] = 150
280 = 42000(cm) = 420 m.
Exerciții și probleme recapitulative
1.
( )13 3 2 9 4 2 3 4 6 2 13n n naM= + − = .
2.
()2
10 5 6 5 4 9 30 3 10n n nA A M= − + = . 3.
63 (9 7 3 1) 63 29 29nn+ − =
.
4.
()()423 1 9 1 0nuu++ = + = ;
()()4 3 4 12 3 8 3 5nnuu++− = − = .
5.
( )1 2 32015 2016 2021 0n n nu+ + ++ − = . 6. Se grupează câte doi termeni :
()()()( )3 2019 2 2018
30 5 1 5 5 1 5 … 5 1 5 6 5 1 6 … 6 M + + + + + + = + + +
. 7. Se grupează câte
doi ter meni i:
()() ()( )2 2020 2 2020
14 1 13 13 1 13 … 13 1 13 14 1 13 … 13 M + + + + + + = + + + .
8. Se grupează câte 4 termeni:
( )( )2 3 2017 2 3 5 2017
40 3 1 3 3 3 … 3 1 3 3 3 40(3 3 … 3 M + + + + + + + + = + + +
. 9. Grupăm
termenii câte 4 și obținem:
( )( )( )0 2 3 4 2016 4 2016
400 7 7 7 7 1 7 … 7 400 1 7 … 7 M + + + + + + = + + + . 10.
ab {16, 25,
36, 49, 64, 81};
3 2, 0,9,5,8,3,6abc c . 11.
984 2 0, 2, 4, 6, 8ab b
,
a
{ 0, 1, 2,…,9} cel mai mic este 98400; cel mai mare este 98498. 12. a)
2 / 100ab și
2 / 17
, deci
2 / ( 10 17)ab+ ; b)
5/ 399 400: 2 5/ 79800 ; c)
10 / 2020 2021: 2 10 / 2041210
.
13.
32 1 1001 110 132 11(91 10 12) 11ab ba a b b+ = + + = + +
.
14.
510,540,570 ; 270,252,234,216,298 MN== . 15.
()40 4051 37 0u−= .
16.
()104 963 2 5u−= . 17.
2 25 6 50 6 (50 6) 6n n n nu + = + + = , deci nu este prim .
18.
125 25 4 4 2 100 2n n n + + = + , ultima cifră este 2, deci nu este p rim.
19.
ab ab ab abab =+= 101 100 ,
ab d abd 101 . 20.
290 219 63510= .
21.
2 4 0, 2, 4, 6, 8 ,aab b
4 2 20 8,7,6,5, 4 a b a+ + = , numerele sunt:
4880, 4772, 4664, 4556, 4448. 22.
22 5 23 10 23 1 00…0 23 3n n n
n zerouri− + = + =
. 23.
231 6 231 2ab ab
și
231 3ab
, a și b consecutive, numerele sunt: 23112, 23154,
23178 . 24.
() ()3 5 10 5 5 15 6 3 5 2ab a b a b a b a b a b M+ + = + + + = + = + .
25. a)
15 / 4 5 / 4 ;3 / 4 xy xy xy . Numerele sunt: 420, 450, 480, 405, 435, 465, 495; b)
4320, 8325; c) 12808, 12528, 12348, 12168, 12888. 26.
3 4 7 84 = , numărul căutat
este 347. 27. a)
() 17 17 17 a b x y x y+ = + = + , adică
() () 221 17 13; , 1 x y x y x y= + + = =
. Numerele sunt: (34,187); (51,170); (68,153);
(85,136); (102,119); b) (11,88), (22,77), (44,55). 28. a)
() 29400, 35 , 35 , , 1 a b a x b y x y = = = =
;
35 35 29400xy =
() 24; , 1 x y x y = =
. Deci
1
24x
y=
= sau
24
1x
y=
= sau
3
8x
y=
= sau
8
3x
y=
=
și
35
840a
b=
= sau
840
35a
b=
= sau
105
280a
b=
= sau
280
105a
b=
= ; b) a=14,
b=282 sau a=282, b=14 sau a=98, b=126 sau a=126, b=98. 29.
9408 ab= și [a, b]
= 1176, folosim teorema
()bababa , ,= =>
()bababa,,= deci:
()9408, 8 81176a b a x= = = și b = 8y; ( x, y) = 1.
8 8 9408 64 9408x y xy = = deci:
940814764xy = =
Dacă
147 xy= ,
(x, y) = 1 atunci
1
147x
y=
= și
8
1176a
b=
= sau
147
1x
y=
= și
1176
8a
b=
=
sau
3
49x
y=
= și
24
392a
b=
= sau
49
3x
y=
= și
392
24a
b=
= .
30.
20 900 18000 ab = = și ( a, b ) =20 deci
20
20ax
by=
= , (x, y ) = 1.
20 20 18000 45, a b x y x y = = =
(x, y) = 1 =>
1
45x
y=
=
și
20
900a
b=
= sau
45
1x
y=
= și
900
20a
b=
= sau
5
9x
y=
= și
100
180a
b=
=
sau
9
5x
y=
= si
180
100a
b=
= . 31.
ab ab ab abab 101 100=+= să aibă cel mai mare număr
de divizori =>
ab trebuie să aibă cel mai mare număr de divizori
ab = 72 sau 90
sau 60 sau 84. 32.
1
17 3 ;
4 7 7;ac
ac=+
+ = +
2
211 7 ;
4 11 11;ac
ac=+
+ = +
3
313 9 ;
4 13 13;ac
ac=+
+ = + deci:
7 4aM+
,
11 4aM+ ,
13 4aM+ =>
4 7,11,13 4 1001aa+ = + = , deci
a=997. 33. a)
16 3;ac=+
28 3 ;ac=+
310 3;ac=+
3 6,8,10a − =
3 120 123aa− = =
; b)
112 5;nc=+
214 5 ;nc=+
318 5;nc=+ deci
5 12,14,18n−=
; n – 5= 252 => n = 257.
TESTE . TESTUL 1
1. a) 3050,3958; b) 3050, 3955; c) 3052,3956; d) 3050, 3950.
2. 9464.
3.
21 0…0 43 1 0…0 53
nzerouri n zerouriN
−= + =
21 0 … 0 5 3 9
n zerouri−+ + + + + =
, deci 9/ N.
4.
()()()2020 2020 2020 20209 1, 7 1 9 7 0u u u= = − = .
5.
12 (12 36) 12 3 16nnN= + = .
TESTUL 2
1. a)
0,1, 4x ; b)
0,1,3,7x ; c)
5x ; d)
0,3x .
2. a)
2, 4, 4, 10 x − − − ; b)
1, 3,0, 4,2, 6 x − − − − ;
c)
3, 5,1, 9 x − − − ;d)
1, 5 x − − .
3. (x+6, x+7)=1; ( 3x-5, x-2)=1.
4.
3520 3025,5940 5445 ,
3520 3025,5445 5940 .
5. x+3/3x+7, rezult ă x+3/15x+35; x+3/2x+5, rezult ă x+3/6x+15;
6x+15+ 15x+35=21x+50 .
TESTUL 3
38. A. a) ( 252, 360)=36; b) ( 3600 , 840, 990)=30;
B. a) [ 245, 315]=2205 ; b) [ 48, 140, 300]=8400.
2. 281, 467, 3061, 881, 4091, 1999.
3. a) (11,132); (60,84); (84,60 ); (132,11); b) (15,225 ); (45,75); (75,45 ); (225,15 ).
4. a) 2525;
b) 766, 1151.
5.38.
TESTUL 4
1. 7.
2. a=7, b=7, c=2.
3. 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
4. d/5n+3 si d/3n+2, rezultă d/15n+9 și d/15n+10, rezultă d/1, deci d=1.
5.
10 5 3na= + si
10 2 1nb= + ; d/2a-5b, deci d/1, adică d=1.
TESTUL 5
1. 13013, 32032, 9009, 149149.
2. (2940, 4200 , 5040 )=60; [2940, 4200 , 5040]=176400.
3. [4,6,8]=24; 192+3=195.
4. 210, 240, 270, 222, 252, 282, 204, 234, 264, 294, 216, 246, 276, 228, 258, 288.
5.
3 5 5 13
2 5 13nn
nnF = .
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: LECT. UNIV. DR. FLORIN GABRIEL IORGULESCU CANDIDAT, ROIBU (DANCU) MIHAELA LICEUL TEHNOLOGIC CRUCEA SERIA 2019 -2021 MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI… [622820] (ID: 622820)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.