LECT. DR . DAN CHRISTINA THERESIA ILINA CARMEN -TASIELA [609157]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
SPECIALIZAREA MATEMATICĂ

LUCRARE DE LICENȚĂ

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC: ABSOLVENT: [anonimizat]. DR . DAN CHRISTINA THERESIA ILINA CARMEN -TASIELA

CRAIOVA
2020

2
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
SPECIALIZAREA MATEMATICĂ

ELEMENTE DE TEORIE MATRICEALĂ

COORDONATOR ȘTIINȚIFIC: ABSOLVENT: [anonimizat] -TASIELA

CRAIOVA
2020

3
Cuprins
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 4
1. Matrice cu elemente într -un inel comutativ unitar ………………………….. ………………………….. … 7
1.1. Generalitați ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 7
1.2. Inelul matricelor cu elemente într -un inel comutativ, unitar ………………………….. ……… 21
1.3. Spațiul vectorial ………………………….. ………………………….. ………………………….. 23
2. Determinanți ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………. 28
2.1. Determinantul unei matrice ………………………….. ………………………….. ……………………….. 28
2.2. Rangul unei matrice ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 39
2.3. Matrice inversabile ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 42
3. Vectori și valori proprii ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 46
3.1. Generalități ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 46
3.2. Subspații invariante ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 48
3.3. Teorema Cayley –Hamilton ………………………….. ………………………….. ………………………… 50
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 51

4
Introducere

Începuturile studiului matricelor și determinanților datează încă din al doilea secol
î.H. Aceste noțiuni au apărut din necesitatea rezolvării de sisteme de ecuații liniare. Astfel,
conform unor tăblițe din argilă , babilonienii studiau probleme care conduc eau la rezolvarea
simultană a unor ecuații liniare. În timpul dinastiei Han, chinezii au dezvoltat studiul
babilonienilor, existând dovezi care atestă că rezolvarea sistemelor este făcută așezând
coeficienții într -un tablou și aplicând transformări care se amănă cu metoda de eliminare a
lui Gauss .
În Ars Magna , Cardan stabilește o metodă de rezolvare a sistemelor de două ecuații
liniare cu două necunoscute care este de fapt regula lui Cramer pentru , fără a
introduce noțiunea de determinant.
Ideea de det erminant apare întâi în Japonia. În 1683, Seki a găsit metode de
rezolvare matriceale bazate pe studiile chinezești antice. Cu toate că nu a denumit
noțiunea, el a putut găsi determinantul unor matrice pătratice de ordin maxim 5.
În Europa, în 1673, Leibniz a utilizat pentru prima dată determinanți, pornind de la
studiul coeficienților unui sistem de ecuații liniare. El este cel care a folosit denumirea de
rezultant pentru anumite sume de termeni ai unui determinant și a demonstrat numeroase
rezultate printre care și regula lui Cramer, dezvoltarea unui determinant după o coloană.
Studiul său referitor la coeficienții sistemelor de forme pătratice a condus, în mod natural,
la teoria matriceală .
MacLaurin, în lucrarea sa Tratat de algebră , a demonstrat regula lui Cramer pentru
și și a indicat modul de lucru pentru . În 1750, în lucrarea Introducere în
analiza curbelor algebrice , Cramer a demonstrat regula ce îi poartă numele pentru cazul
general. Alte rezultate privind determinanții au fost of erite de Bézout (în 1764),
Vandermonde (în 1771), Laplace (în 1773).
Denumirea de determinant (chiar dacă nu corespunde cu conceptul actual) este
introdusă de Gauss în Disquitiones arithmeticae (1801), în studiul formelor pătratice. El a
folosit acest term en deoarece determinantul stabilește ( determină ) proprietățile formei
pătratice. În aceeași lucrare, el așează coeficienții formei pătratice în tablouri și descrie, în
acest context, ceea ce este de fapt înmulțirea matricelor și înversa unei matrice.
În studiul orbitei asteriodului Pallas, Gauss obține un sistem de șase ecuații liniare
cu șase necunoscute pe care î l rezolvă folosind metoda cunoscută ca eliminarea gaussiană .

5
Noțiunea de determinant, în sens modern, este folosită pentru prima dată de
Cauchy, în 1812. El a redemonstrat rezultatele anterioare și a oferit rezultate noi privind
minorii și adjuncții. Privind înmulțirea determinanților, Cauchy și Binet au oferit,
independent, demonstrații ale teoremei.
În 1826, în studiul formelor pătratice de n variabile, Cauchy folosește termenul de
tablou pentru matricea coeficienților, a găsit valori proprii și a introdus matricele asemenea
(nu și terminologia), arătând că două matrice sunt asemenea dacă au aceeași ecuație
caracteristică. În același cadru , a arătat că orice matrice reală simetrică este
diagonalizabilă.
În contextul studierii transformărilor liniare, Jacobi, Kronecker și Weierstrass , au
oferit rezultate noi privind matricele. Jacobi a publicat în 1841 trei lucrări în care, pentru
prima dată , definiția determinantului este făcută algoritmic și natura elementelor sale nu
este specificată (deci rezultatul se poate aplica numerelor, funcțiilor, etc).
În 1841, în lucrările publicate, Cayley folosește două bare verticale de ambele părți
ale tablou lui ca notație a determinantului, notație valabilă și astăzi.
Pentru prima dată, în 1850, Sylvester folosește denumirea de matrice. Cayley a
înțeles semnificația acestui concept și, în 1853, a găsit inversa unei matrice. În lucrarea
Memorii despre teoria m atricelor , din 1858, el oferă o algebră matriceală, definind
adunarea, înmulțirea, înmulțirea cu scalari și inversa unei matrice. Teorema cunoscută
acum sub denumirea Cayley – Hamilton, este demonstrată în această lucrare pentru matrice
pătratice de ordin 2 (pentru cele de ordin 4, demonstrație este datorată lui Hamilton).
Alte rezultate importante în teoria matriceală sunt găsite de Jordan (forma canonică
a unei matrice în 1870), Frobenius (definirea rangului unei matrice, a matricelor
ortogonale, demonstr area teoremei Cayley – Hamilton pe caz general, în 1878) .
Publicațiile lui Wieirstrass și Kronecker privind determinanții au fundamentat
teoria modernă a determinanților. Spre deosebire de aceasta, teoria matricelor a fost
acceptată mai târziu. Aceasta s -a datorat lucrărilor lui Bôcher ( Introducere în algebra
superioară , în 1907), Turnbull, Aitken, Mirsky ( O introducere în algebra liniară , în 1955).
Algebra matriceală are multiple aplicații în domenii diferite (mecanică cuantică
economie, proiectare, analiza rețele lor, etc). Datorită dezvoltării computerelor digitale,
importanța practică a teoriei matriceale a crescut foarte mult.
Lucrarea este structurată în trei capitole. Primul capitol introduce noțiunea de
matrice, operații cu matrice și proprietăț ile acestora. Pe baza acestora, se stabilesc structuri
algebrice pentru mulțimi de matrice.

6
Capitolul al doilea studiază determinanții unor matrice pătratice cu elemente într -un
inel comutativ, unitar sau într -un corp comutativ, precizând proprietăți ale a cestora și
modalități de calcul. Se introduce rangul unei matrice și se stabilesc condiții ca o matrice
pătratică să fie inversabilă (pentru cele două situații: cu elemente într -un inel, respectiv,
corp comutativ).
Ultimul capitol se referă la vectorii și valorile proprii ale unei matrice pătratice cu
elemente reale sau complexe. Legat de acestea, sunt studiate subspațiile invariante
corespunzătoare valorilor proprii și este demonstrată teorema lui Cayley – Hamilton.

7
1. Matrice cu elemente într -un inel comutativ unitar

Acest capitol este realizat în urma studierii materialelor [1] – [5] men ționate în
bibliografie.
1.1. Generalitați

Definiție 1.1.1 . Fie * +, * + mulțimea primelor m,
respectiv n, numere naturale nenule. Numim matrice de tipul ( m,n) o func ție

unde este multimea numerelor complexe. Dac ă notăm ( ) , , ,
putem nota pe A de forma
(

, (1)
adică printr -un tablou cu m linii și n coloane ce cuprinde valorile funcției A. Datorită
notației (1), în loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice de m linii și n coloane.
Numerele se numesc elementele matricei A. Pentru matricea A se mai folosesc și
notațiile:
( )
sau
( )
Putem observa c ă o matrice cu m linii și n coloane are m elemente.
Cazuri particulare :
1. Dacă , o matrice de tipul ( m, 1) se nume ște matrice coloan ă și este de
forma:
(

,
2. Dacă , o matrice de tipul (1, n) se numește matrice linie și este de forma:

8
( )
3. Dacă , o matrice de tipul ( n, n) se numește matrice patratică de ordinul n
și este de forma:
(

,
În acest caz, matricea A este o matrice pătratică de ordinul n iar sistemul ordonat de
elemente ( ) se nume ște diagonala pri ncipală a matricei A și suma
acestor elemente se nume ște urma matricii A notat ă Tr(A) iar sistemul ordonat de elemente
( ) se nume ște diagonala secundară a matricei A.
Se noteaz ă cu ( ) mulțimea tuturor matricelor de tipul ( m, n) av ând
elem entele numere complexe. În cazul , vom nota în loc de ( ), mai simplu
( ) (unde ( ) este mulțimea matricelor pătratice de ordinul n. Elementele mulțimii
( ) se noteaz ă cu litere mari: A, B, C etc.
În mulțimea ( ) distingem submul țimile:
 ( ) reprezintă mulțimea matricelor de tip (m, n) cu elemente numere
reale;
 ( ) reprezintă mulțimea matricelor de tip (m, n) cu elemente numere
raționale;
 ( ) reprezintă mulțimea matricelor de tip (m, n) cu elemente numere
întregi.
Au loc incluziunile:
( ) ( ) ( ) ( )
Exemple :
1) Matricea .
/ este o matrice de tipul (2,3) cu elemente
numere întregi, deci ( ). Elementele acestei matrice sunt

2) Matricea (

, este o matrice p ătratic ă de ordinul 3 cu
elemente numere ra ționale, deci ( ).

9
Observa ție 1.1.2. Uneori pentru o matrice A de tipul ( m, n) se mai folose ște și
notația
‖

‖,
unde ( ) sunt elementele matricei.
Fie A și B două matrice de tipul (m, n) adică ( ). Știind c ă A și B sunt
două funcții și , matricele A și B sunt egale dacă ele sunt
egale ca funcții.
Deci dacă și numai dacă oricare ar fi și , ( ) ( ).
Folosind notația (1) și presupun ând că
(

, și (

,
atunci dacă și numai dacă , oricare ar fi , .

Operații cu matrice
1) Adunarea matricelor.
Fie ( ).
Dacă ( ) și ( ) , definim
matricea ( ) ale cărei elemente sunt date de egalitățile

oricare ar fi , . Matricea C se numește suma dintre matricele A și B și
se notează .
Operația prin care oric ăror două elemente A, B din ( ) li se asociază suma lor,
se numește adunare.

Exemple :
1) Dacă .
/ și .
/, atunci suma lor este
.
/

10
2) Dacă (

) și (

) atunci suma lor este
(

+
Trebuie s ă mențion ăm că are sens s ă vorbim de suma a două matrice numai dacă
ele sunt de același tip.
Prop oziție 1.1.3. Operația de adun are a matricelor are următoarele proprietăți:
1. Adunarea matricelor este comutativă, adică oricare ar fi ( ) avem

2. Adunarea matricelor este asociativă, adică oricare ar fi ( ) avem
( ) ( )
3. Operația de adunare a matricelor are element neutru.
4. Orice matrice are un simetric față de operația de adunare.
( ) ( )
Demonstrație . 1. Într-adev ăr, dacă avem ( )
, ( )
, atunci
( )
și ( )
.
Cum adunarea numerelor complexe este comutativă, avem , oricare ar
fi . Deci .
Pentru a verifica 2., dacă ( )
, ( )
și ( )
atunci
( )
și deci ( ) (( ) )
. În același fel
obținem că ( ) ( ( ))
. Cum operația de adunare a
numerelor complexe este a sociativă, avem ( ) ( ), oricare ar
fi eci (A + B , . Deci, ( ) ( ).
Pentru a stabili 3., notăm m atricea de tipul ( m, n) ale cărei elemente sunt toate nule
cu și o numim matricea zero. Matricea este element neutru pentru adunarea
matricelor, în sensul c ă, oricare ar fi ( ), avem

Verificarea acestei proprietăți este evidentă.
Pentru 4., arătăm că, oricare ar fi ( ), există o matrice notată cu ,
numită opusă, astfel încât

11
( ) ( )
Într-adevăr, dacă ( )
, atunci ( )
deoarece
( ) ( ( ))
( )

De exemplu , pentru .
/ avem .
/.
Dacă ( ), suma ( ) se notează simplu și se numește
diferența dintre A și B. Operația prin care oricăror două matrice A și B li se asociază
diferența se numește scădere.
De exemplu , pentru .
/ și .
/, atunci
.
/

Teorema 1.1.4. Mulțimea ( ( ) ) formează în raport cu operația de adunare
un grup aditiv abelian.

2) Înmulțirea matricelor
Fie ( )
, o matrice de tipul ( m, n), ( )
o matrice de tipul
(n,p). Definim matricea C= ( )
, de tipul ( m, p) ale c ărei elemente sunt date de
egalitățile:
∑

oricare ar fi .
Matricea C se numește produsul dintre A și B (în această ordine) și not ăm .
Operația prin care oricărui element ( ) și oricărui element ( ) se
asociază produsul lor se numește înmulțire.
Prin urmare, pentru a obține elem entul din matr icea AB de pe linia i și coloana k, se
face suma produselor elementelor corespunzătoare de pe lina i a matricei A cu cele de pe
coloana k a matricei B. Fie
(

, (

,

12
Dacă
(

,
este produsul lor, atunci

Observați e 1.1. 5. Referitor la operația de înmulțire a matricelor, trebuie să facem
câteva sublinieri:
1) Are sens să vorbim de produsul matricei A cu matricea B (în această ordine)
numai dacă num ărul de coloane ale lui A este eg al cu numărul de linii ale lui B.
2) Înmulțirea matricelor nu este în general o operație definită pe mulțimea tuturor
matricelor, așa cum rezultă din 1); ea este asemănătoare compunerii funcțiilor.
3) Dacă ( ), atunci are sens produsul ( ) și în acest caz
înmulțirea matricelor este o operație definită pe mulțimea ( ) a matricelor.
Observăm că în cazul matricelor pătratice (de ordinul n) are sens să facem atât
produsul cât și produsul .
4) Definirea produsul ui matricelor A și B înmulțind liniile lui A cu coloanele lui B
pare la prima vedere arbitrară . De fapt, ac eastă construcție se justifică ținând
cont că fiecărei transformări geometrice i se asociază o matrice. Matricea
asociată compunerii a două transformări geometrice este exact produsul
matricelor asociate fiec ărei transformări în parte.

De exempl u, fie

13
.
/ și (

+
Cum A este de tipul (2,3) și B este de tipul (3,2), are sens să facem produsul lor, care va fi
o matrice de tipul (2,2) . Să presupunem că , deci C este de forma .
/,
unde
= 31
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
Deci .
/.
Dacă considerăm acum .
/, .
/, cum A este de tipul
(2,2) și B este de tipul (2,3), are sens să facem produsul lor, care va fi o matrice de tipul
(2,3). Să presupunem că , deci C este de forma .
/, unde

( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
și atunci, .
/.

Prop oziție 1. 1.6. Operația de înmulțir e a matricelor are următoarele proprietăți:
1. Înmulțirea matricelor este asociativă, adică, d acă ( ), ( )
și ( ), atunci are loc egalitatea ( ) ( )
2. Înmulțirea matricelor este distributivă la stânga față de adunare în sensul că,
dacă ( ), ( ) și ( ), atunci ( )

3. În mulțimea ( ) există un element neutru față de înmulțire .
Demonstrație . 1. Mai întâi verificăm dacă are sens să facem produsele ( ) și
( ). Fie ( )
; ( )
; ( )
. Să notăm ( )

14
care este o matrice de tipul ( m, p) și ( ) ( )
care este o matrice de tipul ( m,
q). Atunci ∑
și ∑
. Deci
∑(∑
)
∑∑

Fie (
)
și ( ) (
)
. Atunci
∑
și

∑

, deci

∑
∑
∑∑

∑∑

Să observăm că
oricare ar fi , ; prin urmare ( )
( ).
Pentru 2., fie ( )
; ( )
și ( )
, atunci
( )

Notăm ( ), unde ( )
. Atunci
∑ ( )

Dacă notăm , unde (
)
și (
)
. Atunci

∑
și
∑
.
Rezultă că
(

)

Pentru că

∑
∑
∑ ( )

rezultă că ( ) .
Pentru a arăta 3., considerăm m atricea pătratică de ordinul n
(

,

15
care are pe diagonala principală numerele 1 și restul elem entelor sunt 0 . Să arătăm că ea
are proprietatea că oricare ar fi ( ), . Într-adevăr, dacă introducem
notația
{

unde este simbolul lui Kronecker , atunci ( )
. Fie ( )
, o
matrice pătratică de ordinul n. Dacă notăm cu ( )
, atunci
∑
. Deci . În mod analog se arată că .

Observație 1.1.7 . Procedând la fel ca în demonstrația subpunctului 2 al propoziției
anterioare, obținem că înmulțirea este distributivă la dreapta față de adunare în sensul
următor: dacă ( ), ( ) și ( ), atunci
( )
Am văzut că dacă ( ), atunci are sens să facem produsele și . În
general, cele două matrice sunt disticte , adică .
De exemplu, f ie .
/ și .
/. Atunci
.
/ .
/

3) Înmulț irea cu scalari a matricelor
Fie ( )
o matrice de tipul ( m, n) și a, un număr complex. Definim
matricea ( )
de tipul ( m, n) ale cărei elemente sunt date de , oricare
ar fi , . Matricea B se numește produsul dintre numărul a (sau scalarul
a) și matricea A și se notează . Operația prin care oricărui elemnt și oricărui
element ( ) li se asociază produsul se numește înmulțirea cu scalari (la
stânga) .
Observăm că matricea este de același tip cu matricea .
De e xemplu , fie și .
/ care este o matrice de tipul (2,3).
Avem .
/.

Prin calcul direct, se obțin imediat rezultatele:

16

Propoziția 1.1.8 . Înmul țirea cu scalari a matricelor are următoarele proprietăți:
1. Dacă ( ), atunci .
2. Dacă ( ) și a, b , atunci ( ) .
3. Dacă ( ) și , atunci ( ) ( ).
4. Dacă ( ) și , atunci ( )
5. Dacă ( ) ( ) și , atunci ( ) ( ) ( ).

Tipuri speciale de matrice
Definiția 1.1.9 Fie ( )
o matrice de tipul ( m, n). Matricea
(
)

unde

pentru orice , se numește transpusa matricei A.
Se observă că este o matrice de tipul ( n, m) și se obține din A luând liniile,
respectiv coloanele lui A, drept coloane, respectiv linii, pentru (mai precis prima linie a
matricei este prima coloană a matricei A, a doua lin ie a matricei este a doua coloană
a lui A etc.).
În particular, dacă A este o matrice pătratică de ordinul n, atunci transpusa sa
este de asemenea o matrice pătratică de ordinul n. Dacă , atunci
și deci
diagonala principală a matricei este aceeași cu diagonala principală a matricei A.
De e xempl u, .
/ este matrice de tipul (2,3). T ranspusa acestei
matric e este (

+.
Dacă .
/, atunci transpusa sa este matricea .
/.

Din modul în care se defin ește transpus a unei m atrice, rezultă imediat următoarele
proprietăți:

Propoziți e 1.1.10.
1. Dacă ( ), atunci ( ) .

17
2. Dacă ( ) ( ), atunci ( ) .
3. Dacă ( ) și , atunci ( ) .

Definiția 1.1.11. Spunem că matricea pătratică A este simetrică daca și
antisimetrică dacă .
Notăm cu ( ) mulțimea matricelor pătratice simetrice și cu ( )
mulțimea matricelor pătratice antisimetrice.

Definiția 1.1.12 Orice matrice pătratică de tipul
(

,
se numește matrice diagonală .

Definiția 1.1.13 Spunem că matricea pătratică L este inferior triunghiulară dacă
este de forma

(

) .

Definiția 1.1.14 Spunem că matricea pătratică U este superior triunghiulară dacă
este de forma

(

) .
Transformări elementare
Orice matrice ( ) se poate scrie în una din formele:
(

+, cu ajutorul liniilor ( ), ̅̅̅̅̅̅ sau ( ), cu
ajutorul coloanelor , unde (

+, ̅̅̅̅̅.

18
Definiția 1.1.15 Numim transformări elementare asupra liniilor matricei A:
( ) transformarea prin care se înmulțește o linie cu un scalar nenul;

(

)
(

)
( ) transformarea prin care se schimbă două linii între ele;

(

)

(

)
.
( ) transformarea prin care se adună la elementele unei linii elementele
corespunzătoare altei linii înmulțite cu un scalar.

(

)

(

)
.
Definiția 1.1.16 Două matrice de același tip se numesc echivalente pe lin ii dacă una
se obține din cealaltă printr -un număr finit de transformări elementare ale liniilor.

Observația 1.1.17 Transformările elementare asupra liniilor se realizează înmulțind
la stânga matricea A cu una din matricele:
. Transformarea prin care se înmulțește o linie a unei matrice cu un scalar
diferit de zero se realizeaz ă înmulțind la stâ nga matricea A cu matricea
( )
(

)

i

19
. Transformarea prin care se schimbă între ele două linii se realizează înmulțind
la stânga matricea A cu matricea

(

)

. Transformarea prin care se adună la o linie o altă linie (coloană) înmulțită cu un
scalar β ≠ 0 se realizează înmulțind la stânga matricea A cu matricea

( )
(

)

Observația 1.1.17 Matricele introduse mai sus ( ) ( ) poartă
denumirea de matrice elementare . Aplicând transformările elementare se obțin sisteme
echivalente (sisteme care au aceleași soluții).
De exemplu , fie sistemul:
{

Matricea (

+ se numește matricea coeficienților sistemului , (

+
este vectorul coloană al termenilor liberi.
Matricea ( | ) ( |
|
| + este matricea extinsă a sistemului.
Asupra acestei matrice vom aplica transformările elementare care vor conduce la
forma sistemului obținută prin eliminarea lui Gauss.
 Înmulțim cu -2 linia întâi și o adunăm la linia a doua

20
( |
|
| + ( |
|
| +
Acest lucru se realizează înmulțind la stânga matricea extinsă cu matricea
( )( | ) (

+ ( |
|
| + ( |
|
| +
 Adunăm linia întâi la linia a treia
( |
|
| + ( |
|
| +
Acest lucru se realizează înmulțind la stânga matricea extinsă cu matricea
( ) ( )( | ) (

+ ( |
|
| +
( |
|
| +
 Adunăm linia a doua la linia a tre ia
( ) ( ) ( )( | ) (

+ ( |
|
| +
( |
|
| +
S-a obținut un sistem echival ent de forma
{

pentru care obținem soluția ( ) ( ).
Matricea noului sistem este (

+ care este o matrice triunghiulară
superior, .
Produsul
( ) ( ) ( ) (

+(

+(

+ (

+
este o matrice triunghiulară inferior cu 1 pe diagonala principală.

21
(

+(

+ (

+ ,
(

+(

+ (

+.
Sistemul liniar se reduce la rezolvarea sistem ului cu matrice triunghiular ă

1.2. Inelul matricelor cu elemente într-un inel comutativ , unitar

Un inel unitar este un triplet ( ) format dintr -o mulțime nevidă A și două
operații algebrice definite pe A, prima notată cu + (numită adunare ), a doua notată cu
(numită înmulțire ) astfel încât:
(1) ( ) este grup abelian ;
(2) ( ) este monoid ;
(3) înmulțirea este distributivă față de adunare, adică , pentru orice , avem
( ) și ( ) .
Elementul neutru al adunării se notează cu 0 și se numeș te elemental nul. Opusul unui
element (față de adunare) se notează cu .
Grupul ( ) se numește grupul aditiv subiacent al lui A.
Elementul neutru al înmulțirii se notează cu 1 și se numeș te element unitate.
Un element se zice inversabil dacă este inversabil față de înmulțire ; inversul
său se notează cu . Mulț imea elementelor inversabile (încă zisă a unităților) lui A se
notează cu U(A).
Inelul * +se nume ște inelul nul. Un inel se numește inel comutativ dac ă înmulțirea
este comutativă .
Un inel nenul se numește corp dacă orice element n enul este inversabil.
Fie A un inel. Un element se numește divizor al lui zero la stânga (dreapta)
dacă există , , astfel încât (sau ). În orice inel nenul, 0 este
divizor al lui zero.
Un element inversabil nu este divizor al lui zero, deoarece dacă și
obținem ( ) ( ) .
Spunem că inelul A are divizori ai lui zero dacă există cu .

22
Mulțimile de numere , , , sunt inele comutative față de operațiile uzuale de
adunare și înmulțire, ultimele trei fiind chiar corpuri. E ste clar că ( ) * + iar
( ) * +, pentru * +.

Propoziți e 1.2.1. Fie R un inel comutativ, unitar și m, n, numere naturale nenule.
Atunci,
1. ( ( ) ) este grup abelian.
2. ( ( ) ) este inel necomutativ cu divizori ai lui zero.
Demonstrație . Din propozi ția 1.1.3., rezultă că ( ( ) ) este grup abelian. În
particular, ( ( ) ) este grup abelian. Propoziția 1.1.5 arată că ( ( ) ) este monoid
și înmulțirea matricelor din ( ) este distributivă față de adunare. Astfel, ( ( ) )
este inel. Am observat că înmulțirea matricelor nu este comutativă, deci inelul matricelor
este necomutativ. Pentru , observăm că în ( ) există divi zori ai lui zero:
.
/.
/ .
/
În plus, cum
.
/.
/ .
/
obținem și necomutativitatea inelului.

( ) este un inel numit inelul matricelor pătratice de ordinul n cu elemente din
inelul R.
Unitățile inelului ( ) se numesc matrice inversabile și acestea formează grup
față de î nmulț irea matricelor. Acest grup este notat cu G ( ) și este numit grupul general
liniar de ordin n peste .

Fie A un inel. O submulțime nevidă I a lui A se numește ideal stâ ng (resp ectiv ideal
drept) dacă
(i) pentru orice
(ii) (respectiv ) pentru orice și .
Un ideal stâng și drept se numeș te ideal bilateral. * + și A sunt ideale bilaterale
numite idealul trivial respectiv idealul impropriu.
Dacă un ideal stâng sau drept I conține un element inv ersabil x, atunci
deoarece, dacă , atunci .

23
Să arătăm, de e xempl u, că
{.
/| }
este ideal la dreapta al lui ( ( ), +, ·) și nu e la stânga.
1. Fie .
/ .
/ . Rezultă
.
/
2. Fie .
/ și .
/ ( ). Atunci,
.
/.
/ (
*
Din
.
/.
/ .
/
rezultă că , pentru orice ( , de
exemplu).
Să arătăm acum că
{.
/| }
este ideal la stânga al lui ( ( ), +, ·) și nu e la dreapt a.
1. Fie .
/ .
/ . Rezultă
.
/
2. Fie .
/ și .
/ ( ). Atunci,
.
/.
/ .
/
Din
.
/.
/ .
/
rezultă că , pentru orice ( , de
exemplu).

1.3. Spați ul vectorial ( )

Fie V o mulțime nevidă și K un corp comutativ. O structură de spațiu vectorial pe
mulțimea V, peste corpul comutativ K, (un K – spațiu vectorial) este definită de un triplet

24
(V, +, ), unde ( V, +) este un grup, iar este o lege de compoziție externă
care verifică propr ietățile:
(V1) ( )
(V2) ( )
(V3) ( ) ( )
(V4) ,
pentru orice , .
Elementele mulțimii V se numesc vectori, legea de compoziție internă ,,+” pe V se
numește adunarea vectorilor, iar legea de compoziție externă ,, ” pe V este numită produs
cu scalari. Dacă nu există pericol de confuzie, notăm cu simbolul uzual al înmulțirii.
Un spațiu vectorial peste corpul numerelor reale ( ) se numește s pațiu
vectorial real, iar un spațiu vectorial peste corpul numerelor complexe ( ) se numește
spațiu vectorial complex.

Propoziți e 1.3.1. Fie K corp c omutativ și m, n numere naturale nenule. ( )
este un spațiu vectorial peste K, de dimensiune mn.
Demonstrație . Structura de K spațiu vectorial este dovedită în propozițiile 1.1.3. și
1.1.7. Rămâne să arătăm că dimensiunea sa este egală cu mn. Pentru ,
definim matricele ( ) ale căror elemente sunt nule, cu excepția celui de p e
poziția ( ) care este egal cu 1. Sunt astfel de matrice.
Ținând cont de operațiile cu matrice definite anterior, pentru
( )
( )
avem scrierea
∑∑

deci { | } este un sistem de generatori pentru ( ).
Să arătăm acum că acest sistem este liniar independent. Astfel, el devine o bază a
spațiului vectorial , numită bază canonică.
Fie , , astfel încât
∑∑

Obținem ( )
și astfel, , pentru orice .

25

Să considerăm acum cazul particular iar K un corp de caracteristică diferită
de 2. Obținem K spațiul vectorial ( ) numit spațiul vectorial al matricelor pătratice de
ordin n.
Considerăm s ubmulți mile
( ) * ( )| + ( )
( ) * ( )| + ( )
formate din toate matricelor simetrice , respectiv, antisimetrice din ( ).
Să arătăm că ele sunt subspați i vectorial e ale lui ( ) de dimensiune ( )
,
respectiv ( )
. În plus , vom demonstra că
( ) ( ) ( )
Fie . Ținând cont de propoziția 1.1.8, dacă ( ) rezultă
( ) ( ) ( )
iar pentru ( ),
( ) ( ) ( ) ( )
În subspațiul ( ) considerăm matricele care au pe pozițiile ( ) și ( )
elementul 1 și în rest zero, pentru orice , și , cu 1 pe poziția ( ) și în
rest zero, pentru fiecare . Sunt
matrice și n matrice . În total, mulțimea
{ ( )| } * ( )| +
are

( )
elemente.
Orice matrice simetrică ( ) este de forma
(

, ∑
∑

Rezultă că este o bază a subspațiului ( ).
Fie acum o matrice antisimetrică din ( )
(

, ∑

unde, pentru , matricea are pe poziția ( ), , pe poziția ( ) și
zero, în rest. Mulțimea

26
{ ( )| }
are
( )
elemente și fo rmează o bază a subspațiului ( )
Fie ( ). Notăm

( ) ( ),
( ) ( ).
Este evident că , deci ( ) ( ) ( ). Dacă considerăm
( ) ( ) ( )
obținem și , deci . Astfel,
( ) ( ) ( )

Aplicație 1.3.2. Considerăm
{.
/| }
Să arătăm că V este subspa țiu vectorial al lui ( ) iar apoi s ă determin ăm o baz ă și
dimensiunea lui V.
Rezolvare . Pentru a arăta c ă V este subspa țiu vectorial al lui ( ), trebuie s ă
demonstrăm că, pentru orice și .
/ .
/ , obținem

Obținem
.
/ (
* (
( )*
Matricele din V se pot scrie astfel:
.
/ .
/ .
/ .
/
și deducem că
{.
/ .
/ .
/ }
formează o bază în V, deci

Aplicație 1.3.3. Fie spațiul vectorial real ( ).
i) Să se arate c ă mulțimea
{ ( )
( )| }
este un subspațiu vectorial al lui ( );
ii) Să se determine o bază pentru și ;

27
iii) Să se găsească câte o bază pentru subspațiile
( ) și ( ) .
Rezolvare . i) O matrice din este de forma (

+. Vom arăta c ă
o combinație liniară de astfel de matrice este de aceeași form ă. Fie și .
Atunci:
(

+ (

+
(

+
Pentru ii), notăm cu matricea care are 1 pe poziția ( ) și 0 în rest pentru
fiecare . Atunci , { }
este o bază pentru și deci .
Pentru iii), notăm ( ). Vom avea:
( ) {(

+| }
și deducem că matricele
(

+ (

+ (

+
formează o bază pentru , deci .
( ) ( )
iar o bază pentru este dată de
* +
unde este matricea ce are pozițiile ( ) și ( ) 1, iar în rest 0, iar au fost definite
la subpunctul i).

28
2. Determinanți

Acest capitol este realizat în urma studierii materialelor [1], [4], [5 ] men ționate în
bibliografie.
2.1. Determinantul unei matrice

1. Determinanți de ordinul 2 și 3

Fie sistemul de două ecuații liniare cu două necunoscute cu coeficienți într -un inel
comutativ unitar R.
{
. (1)
Vom nota cu A matricea coeficienților sistemului (1), adică
.
/ ( )
Rezolvarea sistemului (1) este bine cunoscută. Aplicând metoda reducerii obținem
sistemul echivalent
{( )
( )
Presupunem că atunci soluția sistemului (1) este

,
(2)
Se observă că numitorul din egalitățile (2) se exprimă simplu: el este egal cu
produsul elementelor de pe diagonala principală a matricei A din care se scade produsul
elemntelor de pe diagonala secundară a matricei A.
Acest număr îl notăm cu și îl numim determinantul matricei A sau
determinant de ordinul doi (deoarece matricea A este de ordinul doi). Acest număr se
notează de obicei astfel:
|
|.
Deci avem egalitatea

29
|
|
Produsele se numesc termenii determinantului de ordinul doi.

De exemplu , pentru matricea .
/, avem
|
|
Să revenim la formulele (2) care dau soluțiile sistemului (1). Se observă că
numărătorul formulei care dă valorea lui este tot un determinant de ordinul doi, anume
determinantul matricei
(
*.
Această matric e se obține din A înlocuind prima coloană cu coloana formată din
elemntele și . Analog, numărătorul formulei care dă valoarea lui este un
determinant de ordinul doi, și anume determinantul matricei
(
*.
Deci formulele (2) se pot rescrie sub forma
|
|
|
|, |
|
|
| (3)
Formulele (3) poartă denumirea de formulele lui Cramer.
Să considerăm acum un sistem de trei ecuații liniare cu trei necunoscute.
{

(4)
și să notăm cu A matricea coeficienților , adică
(

+
Rezolvarea sistemului (4) o vom face prin metoda reducerii. Dacă înmulțim prima ecuație
din (4) cu și a doua cu și le adunăm obținem ecuația
( ) ( ) (5)
Analog, înmulțind prima ecuație cu și a treia cu și apoi adunând, obținem ecuația
( ) ( ) (6)
Cu ecuațiile (5) și (6) obținem sistemul

30
{( ) ( )
( ) ( ) (7)
care este un sistem de două ecuații cu două necunoscute. Dacă în sistemul (7) înmulțim
prima ecuație cu și a doua cu ( ) și apoi le adunăm
obținem
,( )( ) ( )( )-
( )( ) ( )( ).
Desfăcând parantezele, avem
( )
. (8)
Numărul care este coeficientul lui în ecuația (8) îl notăm cu și îl numim
determinatul matricei A sau determinant de ordinul trei (deoarece matricea A este o matrice
de ordinul trei). Acest număr se notează de obicei și astfel:
|

|.
Deci avem egalitatea
|

|
(9)
Din (9) se vede că formula care dă formula determinantului d e ordinul trei are șase
termeni, numiți termenii determinantului de ordinul trei.
De exemplu , pentru matricea
(

+
aplicând formula (9), avem:
( ) ( )
Observăm că formula (9) care dă valoarea determinantului de ordinul trei este greu de ținut
minte. Pentru aceasta se stabilește o regulă simplă pentru calculul determinantului de
ordinul trei. Se formează următorul tablou: se scriu mai întâi liniile matric ei A și apoi
dedesubt se scrie mai întâi prima linie și apoi a doua linie a matricei A. În felul acesta se
obține un tablou cu cinci linii

31

Termenii cu semnul (+) în dezvoltarea determinantului de ordinul trei sunt cei care se obțin
prin înmulțirea elementelor în sensul săgeților continu e, adică:
iar termenii cu semnul ( -) sunt cei care se obțin prin înmulțirea elementelor în
sensul săgeților punctate, adică: .
Regul a expusă mai înainte după care se face dezvoltarea determinantului de ordinul
trei se numește Regula lui Sarrus.
De exemplu , pentru matricea
(

+
formăm tabloul pentru aplicarea regulii lui Sarrus

Deci ,
( ) ( )
Să ne întoarcem la ecuația (8) care dă valoarea lui . Se observă că membrul doi
este tot un determinant de ordinul trei și anume este determinantul matricei de ordinul trei
care se obține din matricea A, matricea coeficienților, prin înlocuirea primei col oane cu
coloana termenilor liberi din sistemul (4). Deci formula (8) se poate scrie astfel:
|

| = |

|.
Procedând exact așa cum am făcut pentru obținerea ecua ției (8), avem și ecuațiile care dau
valorile lui și :
|

| = |

|

32
|

| =|

|.
Dacă
|

|
Atunci valorile lui sunt:
|

|
|

|, |

|
|

|, |

|
|

| (10)
Formulele (10) se numesc, formulele lui Cramer de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare
cu trei necunoscute.

2. Determinantul de ordinul n
În cele ce urmează vom defini determinantul unei matrice pătratice de ordinul n în așa fel
încât pentru și să obținem determinanții de ordinul 2 și 3.
Să considerăm o matrice pătratică de ordinul n
(

,; A ( )
Vom forma toate produsele posibile de n elemente aparținând la linii și coloane
distincte. Un astfel de produs este de forma
, (11)
unde sunt toate elementele mulțimii * +, eventual în altă ordine.
Înseamnă că putem considera permutarea de gradu l n
(
*
și deci produsul (1 1) se scrie
( ) ( ) ( ) ( )
Numărul total al produselor de forma (1 1) este egal cu numărul tuturor
permutătorilor de grad n, deci n!.
Ținând cont de formulele determinanților de ordinul 2 și 3, în mod natural formula
determinantului de ordinul n trebuie să conțină toate produsele
( ) ( ) ( ) ( )

33
unde parcurge toate permutările lui . Mai rămâne de aflat semnul cu car e apare
produsul ( ) ( ) ( ) ( ).
Revenim la formulele determinanților de or dinul 2 și 3. Să luăm de exemplu din
formula determinantului de ordinul trei termenii cu semnul (+) :
. Se observă că permut ările asociate acestor termeni:
.
/, .
/, .
/
sunt permutari pare, deci semnul lor este +1.
Dacă alegem acum termenii cu semnul ( -): ,
vedem că permutările asociate acestor termeni:
.
/, .
/, .
/
sunt permutări impare, deci semnul lor este -1.
Aceste observații ne sugerează că în definiția determinantului de ordinul n ,
produsul ( ) ( ) ( ) ( ) trebuie să aibă semnul (+) sau ( -) după cum
permutarea are signatura (semnul) +1 sau -1.
Acum suntem în măsură să definim determinantul de ordinul n.

Definiție 2.1.1 .
Numărul
∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (12)
unde este mulțimea tuturor permutărilor de gradul n și ( ) este signatura permutării
se numește determinantul matricei A sau, mai simplu, determinant de ordin n și se
notează de obicei astfel:
|

|
Produsul ( ) ( ) ( ) ( ) se numește termen al determinantului de
ordinul n.
Se obișnuiește să se spună despre elem entele , liniile si coloanele matricei A că sunt
elementele, liniile, respectiv coloanele determinantului det A. Uneori numărul det A se mai
notează prescurtat și | | sau | | .

34
Observați e 2.1.2 .
1) Noțiunea de determinant al unei matrice are sens numai pentru matricele
pătratice. Este deosebire între matrice și determinantul său: matricea este o
funcție, iar determinantul matricei este un element al inelului în care matricea
are elementele .
2) În formula determinantului unei matrice există n! termeni dintre care
au
semnul (+) iar
au semnul ( -).
3) Definiția determinantului se aplică și matricelor de ordinul 1, când ( ).
În acest caz, .
4) Așa cum a fost definit determinantul de ordinul n, pentru și
obținem determinantul de ordinul 2, respectiv de ordinul 3.

3. Proprietățile determinanților
Formula determinantului de ordinul 2 este simplă, formula determinantului de
ordinul 3 este deja complicată. Aici avem avantajul că avem o regulă simplă, regula lui
Sarrus, care ne permite să calculăm destul de ușor un determinant de ordinul 3. Dacă în
schimb avem determinanți de ordin , formula prin care este definit determinantul de
ordinul n, in general este aproape imposibil de aplicat, datorită calculelor laborioase care
apar. Din aceste motive se caută s ă se scoată în evidență o serie de proprietă ți ale
determinanților de ordinul n, care simplifică de multe ori calculul determinanților.

Propoziție 2.1.3 .
1. Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse.
Adică dac ă ( ) atunci
2. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) dintr -o matrice sunt nule, atunci
determinantul matricei este nul.
3. Dacă într-o matrice schimbăm două linii (sau coloane) între ele, obținem o
matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei inițiale.
4. Dacă o matric e are două linii (sau coloane) identice, atunci determinantul său
este nul.
5. Dacă toate elementele unei linii (sau coloane) ale unei matrice sunt înmulțite cu
un număr α, obținem o matrice al cărei determinant este egal cu α înmulțit cu
determinantul matricei inițiale.

35
6. Dacă elementele a două linii (sau coloane) ale unei matrice sunt proporționale,
atunci determinantul matricei este nul.
7. Fie ( )
o matrice pătratică de ordinul n. Presupunem că elem entele
liniei i sunt de forma , cu . Dacă , respectiv ,
este matricea care se obține din A înlocuind elementele de pe linia i cu
elementele (respectiv ), , atunci .
8. Dacă o linie (sau o coloană) a unei matrice pătratice este o combinație liniară
de celelalte linii (sau coloane), atunci determinantul matricei este zero.
9. Dacă la o linie (sau coloană) a matricei A adunăm elementele altei linii (sau
coloane) înmulțite cu același număr, atunci această matrice are ace lași
determinant ca și matricea A.

4. Calculul determinanților
În cele ce urmează, vom prezenta un procedeu prin care calculul unui determinant
de ordinul n se reduce la calculul unui anumit număr de determinanți de ordinul . Fie
|

|
un determinant de ordinul n. Determinantul de ordinul care se obține suprimâ nd
linia i și coloana j din determinantul d se numește minorul elementului și se notează cu
. Numărul
( )
se numește complementul algebric al elemntului în determinantul d.
Evident, unui determinant de ordinul n, i se pot asocia minori de ordinul
și respectiv complemenți algebrici.

De exemplu , fie determinantul de ordinul 3
|

|
Minorii elementelor din d sunt în în număr de 9:
|
| ; |
| ; |
| ;

36
|
| ; |
| ; |
| ;
|
| ; |
| ; |
| .
Complemenții algebrici ai elem entelor din d sunt:
( ) ; ( ) ; ( ) ;
( ) ; ( ) ; ( )
( ) = – 6; ( ) ; ( ) .

Teoremă 2.1.4. (Laplace) Determinantul matricei A este egal cu suma produselor
minorilor de ordin p ce se pot construi cu elemntele a p linii (coloane) fixate ale matricei
A și complemenții lor algebrici.
Teorem ă 2.1.5. Fie determinantul de ordinul n, | | . Atunci pentru
orice 1 are loc egalitatea:
. (13)
Egalitatea (1 3) poart ă denumirea de dezvoltarea determinantului d dupa linia i, care
reprezintă un caz particular, pentru p=1, și pentru oricare ar fi * + fixat, al
teoremei lui Laplace.
Demonstrație . Vom nota suma
(14)
Să considerăm termenul ( ) din suma ( 14). Să presupunem mai întâi
că . În acest caz , un termen oarecare din dezvoltarea determinantului de
ordinul este de forma unde sunt numerele ,
eventual scrise în altă ordine. Rezultă că produsul este un termen al
determinantului d. Semnul lui provenit din dezvoltarea determinantului
este egal cu ( ) unde l este num ărul de inversiuni ale permutării
(
*
Deci semnul termenului provenit din produsul este
( ) ( ) ( )
Dar, semnul termenului în dezvoltarea determinantului d este
egal cu ( ) unde r este num ărul de inversiuni ale permutării
(
*

37
Cum , permutările și au același num ăr de inversiuni; astfel,
. Prin urmare termenul , provenit din produsul , are
același semn cu cel provenit din dezvoltarea determinantului d.
Trecem la cazul general. Vom pro ceda în modul următor: vom schimba liniile și
coloanele în așa fel încât elementul să vină în locul elementului și minorul să
rămână neschimbat. În acest fel linia i și coloana j devin linia 1 și coloana 1; linia 1 devine
linia 2, linia 2 devine linia 3, … , linia devine linia i; coloana 1 devine coloana 2, …,
coloana devine coloana j.
Determinantul obținut prin aceste schimbări îl notăm cu . Aplicând proprietate a
3 a determinanților, avem
( ) (15)
În plus, . Dacă este un termen
oarecare din dezvoltarea determinantului din egalitatea ( 15) și ținând seama de prima
parte a demonstrației, rezultă că semnul termenului
( )
provenit din produsul este același cu cel dat de dezvoltarea determinantului d. În
concluzie, fiecare termen din produsul luat cu semnul său este un termen cu același
semn, al determinantului d. Cum produsul conține ( ) termeni, atunci toți
termenii care apar în suma ( 14) sunt în număr de ( ) . Deci în suma ( 14) se
găsesc toți termenii (inclusiv semn ul) determinantului d. Deci are loc egalitatea .

În mod analog, se arată următorul rezultat:

Teorem ă 2.1.6. Fie determinantul de ordinul n, | | . Atunci , pentru
orice 1 are loc egalitatea:
. (16)
Egalitatea (1 6) poart ă denumirea de dezvoltarea determinantului d după coloana j, care
reprezintă un caz particular, pentru p=1, și pentru oricare ar fi * + fixat, al
teoremei 2.1.4.

După cum se observă, teorem ele 2.1.5 și 2.1.6 dau procedee prin care calculul unui
determinant de ordinul n se reduce la calculul unui anumit număr de determinanți de

38
ordinul . Pentru a simplifica calculele, în aplicații, vom face dezvoltarea unui
determinant după acea linie sau coloană care are cel mai mare număr de elem ente egale cu
zero. Din aceste motive, la calculul unui determinant vom aplica sistematic cele 9
proprietăți ale determinanților pentru ca, pe o anumită linie sau coloană, să obținem cât
mai multe elemente egale cu zero.
Exemple:
1) Să calculăm determinantul de ordinul 4 conform teoremei 2.1.5 :
|

|
Cum linia a treia conține un element nul, vom face mai multe elemente egale cu zero pe
această linie, aplicând proprietățile de terminanților, astfel:
 Din prima coloană vom scădea a treia coloană înmulțită cu doi;
 La a 4 a coloană vom aduna a treia coloană.
În acest moment, determinantul va fi egal cu
|

|
Vom face dezvoltarea după linia 3, astfel:
( ) |

| ( )( )

2) Să se calculeze valoarea determinantului
|

|
folosind regula lui Laplace și dezvoltându -l după primele două linii.
|
|( ) |
| |
|( ) |
|
|
|( ) |
| |
|( ) |
|
|
|( ) |
| |
|( ) |
|

39
Teorema 2.1.7. Detereminantul produsului a două matrice A și B p ătratice de
același ordin este egal cu produsul determinanților celor două matrice, adică
( )

Observația 2.1.9. Determinantul unei matrice triunghiulare inferior respectiv
superior este egal cu produsul elem entelor de pe diagonala principală.

Definiția 2.1.10 Spunem că matricea pătratică A este ortogonală dacă

Determinantul matrice lor elemen tare și efectul transformărilor elementare asupra
valorii determinantului matricei A
Fie B o matrice obținută din matricea ( ) asupra căreia s -a aplicat o
transformare elementară.
1. . Transformarea prin care se înmulțește o linie a unei matrice cu un scalar
diferit de zero se realizează înmulțind la stânga matricea A cu matricea ( ).
( )
Observăm că ( ( )) , ( ) ( )
2. . Transformarea prin care se schimbă între ele două linii i și j se realizează
înmulțind la stânga matricea A cu matricea .

Observăm că ( ) , ( ) ( ).
3. . Transformarea prin care se adună la o linie o altă linie (coloană) înmulțită cu
un scalar β ≠ 0 se realizează înmulțind la stânga matricea A cu matricea ( ).
( ) .
Observăm că . ( )/ , ( ) ( ).
2.2. Rangul unei matrice

Să conside răm un corp comutativ K, m, n două numere naturale nenule și

40
(

, ( )
Fie 1 * +.
Dacă în A alegem k linii: și k coloane: , elementele care se
găsesc la intersecția acestor linii și coloane formează o matrice pătratică de ordin k:
(

, ( )
al cărei determinant se numește minor de ordin k al matricei A.
Observăm că din matricea A se pot obține minori de ordinul k ai matricei
A.
În continuare ne va interesa să aflăm ordinele minorilor nenuli ai matricei A și în special
ordinul ce l mai mare al acestor minori (nenuli).
Să considerăm o matrice cu m linii și n coloane. Cum matricea A are
elemente nenule, există minori nenuli de un anumit ordin . Dar mulțimea minorilor
matricei A fiind finită este evident că există un num ăr natural r, 1 *( )+,
astfel încât să avem cel puțin un minor de ordin r nenu l iar toți minorii de ordin mai mare
decât r (dacă există) s ă fie nuli.

Definiție 2.2.1 . Fie ( ) o matrice nenulă , cu K corp comutativ . Spunem
că matricea A are rangul r și scriem , dacă A are un minor nenul de ordin r iar
toți minorii lui A de ordin mai mare decât r (dacă exis tă) sunt nuli.
Dacă A este matricea nulă, convenim să spunem că matricea A are rangul 0, adică
( ) .

Pentru calculul rangului unei matrice este utilă teorema următoare.

Teorem ă 2.2.2 . Fie o matrice cu elemente în corpul comutativ K.
Numărul natural r este rangul matricei A dacă și numai dacă există un minor de ordinul r
al lui A, nenul, iar toți minorii de ordinul (dacă există) sunt nuli.
Demonstrație . Dacă r este rangul matricei A, atunci toți minorii de ordin mai mare
decât r sunt nuli; deci și cei de ordin sunt nuli. Pentru a demonstra reciproca , este

41
suficient să ob servăm c ă, dacă toți minorii de un anumit ordin k ai matricei A sunt nuli,
atunci sunt nuli și minorii de ordin ai matricei. Într -adevăr, dezvoltând un minor de
ordin după elementele unei linii (sau unei coloane) obținem o sumă de produse,
fiecare produs fiind factor al unui minor de ordinul k al matricei. Aceștia fiind nuli rezultă
că suma este nulă, adică minorul de ordin este nul.

De exemplu , să calculăm rangul matricei
(

+
Calculăm minorii de ordinul al treilea ai matricei A și găsim că toți sunt nuli:
|

| |

| |

| |

|
Deoarece există minori de ordinul al doilea nenuli, ca de exemplu:
|
|
rezultă că .

Teoremă 2.2.3.
1. (Inegalitatea lui Sylvester) Dacă ( ) atunci
( ) ( ) ( )
2. Dacă ( ), ( ) atunci
( ) * ( ) ( )+
3. Dacă ( ), ( ) și ( ) , atunci
( ) ( )
adică prin înmulțirea unei matrice cu o matrice nesingulară, rangul matricei produs este
același cu al matricei inițiale.
Rangul unei matrice se mai poate determina și aplicând transformări elementare.
Prin transformări elementare reducem matricea A la o matrice eșalon care are următoarele
proprietăți:
1. pivoții sunt primele elemente diferite de zero de pe f iecare linie,
2. sub fiecare pivot este o coloană de zerouri obținută prin eliminare,
3. fiecare pivot se găsește la dreapta pivotului situat pe o linie mai sus.
De exemplu, s ă determin ăm matricea eșalon și rangul matricei

42
(

+
Matricea eșalon se obține scăzând din linia 3 linia 1 :
(

+ (

+
Observăm că r angul matricei A se obține mai ușor calculând rangul matricei eșalon (știm
că cele două sunt egale). Rezultă , rang (A) = 2.
2.3. Matrice inversabile

O matrice pătratică cu elemente într -un corp comutativ se numește singulară (sau
degenerată) dacă determinantul său este nul și se numește nesingulară (sau nedegenerată)
dacă determinantul său este nenul.
Amintim că am notat cu matricea unitate de ordinul n:
(

,

Definiție 2.3.1 . Fie A o matrice pătratică de ordin n cu elemente într -un inel
comutativ, unitar R. Se spune că A este inversabilă dacă este element inversabil al inelului
( ). Cu alte cuvinte, A este inversabilă dacă există o matrice ( ) astfel încât

Matricea B se numește inversa matricei A. Observăm, de asemenea, că și A este
inversa matricei B.

Teorem ă 2.3.2 . Inversa unei matrice pătratice, dacă există, este unică.
Demonstrație . Fie ( ). Să presupunem că și sunt două matrice d in
( ) astfel încât și . Folosind asociativitatea produsului
matrice lor, ave m
( ) ( )

Inversa matricei A, dacă există, se notează cu . Din relația ,
rezultă că ( ) .

43

În continuare vom studia existența inversei unei matrice pătratice date.

Teorem ă 2.3.3. Fie A o matrice pătratică de ordin n cu elemente într -un corp
comutativ . Atunci matricea A este inversabilă dacă și numai dacă det A este nenul (adică A
este nesingulară).
Demonstrație . Să presupunem că A este o matrice inversabilă de ordin n; atunci
există astfel încât .
Este evident că . Știind că rangul produsului a două matrice este mai
mic sau egal cu rangul fiecărei matrice, avem că
( )
Cum ( ) , rezultă că , de unde .
Așadar, ordinul celui mai mare min or nenul al lui A este n, acesta fiind tocmai . Deci
, adică A este nesingulară.
Reciproc, dacă A este o matrice nesingulară, adică , demonstrăm că
ea este inversabilă, construind efectiv inversa sa.
Definim mai întâi o matrice ajutătoare. Dacă A este matricea:
(

,
atunci matricea
(

,
al cărei element aparținând liniei j și coloanei i este complementul algebric al elementului
din matricea A, se numește matricea adjunctă matricei A.
Să calculăm produsele și .
Folosind formula de dezvoltare a unui determinant după elem entele uneia dintre
linii (sau coloane) și faptul că suma produselor dintre elem entele uneia dintre linii (sau
coloane) a le unui determinant și complemenții algebrici ai elementelor corespunzătoare
ale altei linii (sau coloane ) este nulă, obținem:
(

, (17)

44
unde d este determ inantul matricei A. Atunci,
(
* (
*
(

, (

,
Așadar, A este inversabilă și
sau explicit

(

)

Deci inversa unei matrice nesingulare A se obține împărțind elem entele matricei
adjuncte prin .

Procedând analog, obținem:

Teoremă 2.3.4. Dacă ( ) cu R inel comutativ, unitar , A este inversabilă
dacă și numai dacă ( ). În acest caz,

Observați e 2.3.5. Dacă A este o matrice nesingulară, deci inversabilă, atunci
este, de asemenea, inversabil ă (( ) ) și deci nesingulară.
Dacă A este o matrice nesingulară, atunci matricea sa adjunctă este nesingulară.
Într-adevăr, dacă A este o matrice de ordin n, nesingulară, din relația (17) rezultă că
este și ea nesingulară .

De exemplu , fie matricea
(

+ ( )
Calculăm determinantul său și obținem
|

|
Determinantul său fiind nenul, matricea A este inversabilă. Avem
(

+

45
Să calculăm , 1 . De exemplu,
( ) |
| ; ( ) |
| .
Obținem
(

+
și astfel

(

)

(

)

46
3. Vectori și valori propri i

Pentru realizarea acestui c apitol, au fost studiate [1], [3], [4], [5 ], menționate în
bibliografie.
3.1. Generalități

Valorile și vectorii proprii joacă un rol fundamental în descrierea matematică a unor
categorii foarte largi de procese tehnice, economice, biologice etc. Astfel, proprietăți
esențiale ale modelelor matematice cunoscute sub denumirea de sisteme dinamice se
exprimă în raport cu valorile proprii ale unor matrice.
În acest context, calculul cât mai eficient și mai exact al valorilor și vectorilor
proprii se impune cu necesitate.
Cadrul cel mai natural de abordare a problemei este cel al matricelor complexe, în
care caz valorile și vectorii proprii sunt, în general, n umere complexe, respectiv vectori
complecși. Totuși, majoritatea problemelor tehnice conduc la necesitatea calculului
valorilor și vectorilor proprii pentru matrice reale. Deși valorile propria și vectorii proprii
asociați ai unei matrice reale pot fi nume re complexe, respectiv vectori complecși, calculul
cu numere complexe este sensibil mai puțin eficient și, din acest motiv, în cazul datelor
inițiale reale, dezvoltările procedurale vor urmări utilizarea, practic exclusivă, a calculului
cu numere reale.
Valorile și vectorii proprii pentru o matrice pătrată de ordinul n, sunt noțiuni
introduse în contextul unor algoritmi de calcul elementari. Problema determinării valorilor
și vectorilor proprii poate fi apreciată ca fiind simplă numai pentru matrice cu stru ctură
triunghiulară.

Definiție 3.1.1. Fie o matrice ( ). Un număr se numește valoare
proprie a matricei A, dacă există un vector nenul astfel încât
(1)
Un vector care satisface (1) se numește vector propriu al matricei A asociat
valorii proprii λ.

47
Valorile proprii ale matricei ( ) sunt zerourile polinomului characteristic
( ) ( ) (2)
care este un polinom de gradul n cu coeficienți complecși.
Ecuația ( ) se numește ecuația caracteristică a matricei A. În consecință,
orice matrice ( ) are exact n valori proprii complexe, nu neapărat distincte.
Dacă matricea are elemente reale , atunci polinomul caracteristic are coeficienți
reali și valorile proprii complexe apar în perechi complex -conjugate . Dacă
cu , este un vector propriu asociat valorii proprii , ,
, a unei matrice reale , atunci ̅ este un vector propriu asociat valorii proprii
̅ .
Ordinul de multiplicitate , al rădăcinii a polinomului caracteristic se numește
multiplicitate algebrică a valorii respective. Dacă , valoarea proprie se numește
simplă.
Mulțimea
( ) * + * | ( ) +
a valorilor proprii ale unei matrice ( ) se numește spectrul matricei A iar numărul
real nenegativ
( ) *| | | | | | | |+
se numește raza spectrală a matricei A. Deci , în planul complex , valorile proprii ale unei
matrice A sunt situate în discul închis de rază ( ) cu centrul în origine.
Vectorii proprii introduși prin definiția 3.1.1 sunt denumiți uneori vectori proprii la
dreapta ai matricei A și satisfac sistemul liniar omogen singular
( )
Deci fiecărei valori proprii îi corespunde cel puțin un vector propriu. Vectorii
proprii asociați valorilor proprii distincte sunt liniar independenți.
În acest context, vectorii proprii la stânga sunt vectorii nenuli ce satisfac
condiția

unde H reperezintă operatorul rezultat prin compunerea transpu sei cu conjugare a. Aplicând
operatorul H relației , obținem
̅
Cu alte cuvinte, vectorii proprii la stânga ai matricei A asociați valorii proprii sunt vectori
proprii (la dreapta) ai matricei asociați valorii proprii ̅ ( ) D z l

48
( ) ̅ ( )
adică valorile proprii ale matricei sunt conjugatele valorilor proprii ale matricei A.
Întrucât
( ) ( )
matricele A și au același polinom caracteristic și, deci, aceleaș i valori proprii dar
vectorii proprii, în general, diferă .
Cum un vector propriu y al matricei asociat valorii proprii λ satisface
sau , obținem că vectorii proprii reali ai matricei sunt vectori proprii la
stânga ai matricei A.
Dacă este un vector propriu al matricei A asociat valorii proprii , vectorul
este de asemenea un vector propriu al matricei A asociat aceleiaș i valori proprii ,
oricare ar fi , . Mai mult, este clar că mulț imea vectorilor proprii asociaț i unei
valori proprii împreună cu vectorul nul din formează subspaț iul linear
( )
numit subspaț iul propriu asociat valorii proprii . Dimensiunea subspaț iului propriu, cu
alte cuvinte , numă rul maxim de vectori proprii liniar independenți asociaț i lui , se
numeș te multiplicitate geometrică a valorii proprii . Este evident că .

3.2. Subspații invariante

Subspațiile proprii sunt subspații A-invariante în sensul definiției următoare :

Definiț ie 3.2.1. Fie o matrice ( ). Un subspaț iu liniar se numeș te
subspaț iu invariant al matricei A sau, pe scurt, subspaț iu A-invariant dacă sau
altfel spus , , pentru orice .

Cum , pot exista subspaț ii A-invariante î n pentru matrice a complexă A.
De asemenea, pentru matrice a reală A, pot exista subspaț ii A-invariante care nu sunt în .
Dintre proprietățile subspaț iilor A-invariante amintim urmă toarele.

Propoziți e 3.2.2. Fie matricea ( ).
1) Dacă , , …, sunt vectori proprii ai matricei A, atunci subspațiul

49
[ ]
este A-invariant.
2) Dacă S este un subspațiu A-invariant cu și coloanele matricei
(monice)
[ ] ( )
formează o bază a lui S, atunci există o matrice ( ) astfel încâ t . Mai
mult, avem ( ) ( ).
Matricea B se numeș te restricț ia matricei A la subspaț iul A-invariant S și se notează
B = A|S.
În particular, orice subspaț iu A-invariant nenul ( ) conține un vector propriu al
matricei A. Reciproc, dacă are loc o relaț ie de forma , atunci I este un
subspaț iu A-invariant.
3) Complementul ortogonal în al subspaț iului A-invariant S este un
subspaț iu -invariant.
În cazul real , un subspaț iu A-invariant generat de vectori proprii reali este, evident,
real. Dacă , cu , sunt vectori proprii asociaț i unei perechi de
valori proprii complex conjugate , unde , , atunci vectorii ,
sunt liniar independenți ș i , – este un subspaț iu A-invariant. Mai mult, dacă
are loc o relaț ie de forma , unde coloanele lui ( ) formează o bază a
unui subspaț iu A-invariant , atunci restricț ia ( ) a lui A la S satisface
( ) ( ) cu ( ) o mulțime simetrică. În sfârș it, complementul ortogonal în
al subspaț iului A-invariant real S este un subspaț iu -invariant.

De exemplu , să consideră m matricea

(

+
care are polinomul caracteristic
( ) ( )
și valorile proprii , . Vectorii
[

], [

] [

]
sunt vectorii proprii ai matricei A asociați valorilor proprii și respectiv .

50
Fie și , -. Avem urmatoarele relații de tipul :
cu ( ) și cu .
/
Prin urmare, și sunt subspații A-invariante .

3.3. Teorema Cayley –Hamilton

Teorema 3.3.1. (Cayley – Hamilton ) Orice matrice ( ) își anulează
propriul polinom carcteristic adică ( ) sau
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
Demonstrație . Dacă este reciproca matricei B, atunci
= det B ·
Luăm . Elementele matricei fiind minori de ordin din matricea B,
sunt polinoame de grad în X. Astfel că
( )
unde ( ). Din relația
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Identificând coeficienții puterilor lui X, obținem egalitățile matriceale:
, , , …,
, .
Înmulțind relațiile în dreapta respectiv cu obținem:
0 = ( ) ( )
deci ( ) .

51
Bibliografie
1. Bușneag, D., Piciu, D., Algebră liniară , Editura Universitaria, Craiova, 2001.
2. Bușneag, D., Chirteș, F., Piciu, D., Probleme de algebră liniară , Editura
Universitaria, Craiova, 2002.
3. Dumitrescu, B., Popeea, C., Jora, B., Metode de calcul numeric matriceal.
Algoritmi fumdamentali, Editura All, 1998.
4. Ion, D. I., Radu, N., Algebra , Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 1991.
5. Năstăsescu , C., Ni ță, C., Vraciu , C., Bazele algebrei , vol.1, Editura Academiei,
Bucure ști, 1986.