Joinpdf C6b77b9cc3551be7ba4b596d757e6b74 [630037]

1. Convertorul DC -DC de putere

1.1 Generalități. Clasificare

Convertoarele statice curent continuu – curent continuu sunt echipamente electronice care
realizează conversia energiei de c.c. având parametrii constanți tot în energie de c.c., dar cu
parametrii reglabili (se poate regla valoarea medie a tensiunii livrată de convertor). Din această
cauză, acest tip de convertoare mai este cunoscut și sub denumirea de variatoare de tensiune
continuă (VTC). În literatura de specialitate de limbă engleză, dar nu numai, pentru aceste
echipamente se folosește denumirea de chopper (de la englezescul chop – a tăia). [2]
Chopper -ul se intercalează între sursa de tensiune continuă constantă și sarcina care se
dorește a se alimenta la o tensiune având valoarea med ie reglabilă (Fig. 1 .1).

Figura 1.1 Chopper

Chopper -ele sunt convertoare cu comutație comandată (forțată) care folosesc în partea de
forță fie tiristoare prevăzute cu circuite auxiliare de stingere, fie dispozitive complet comandate
(tiristoare cu blo care pe poartă GTO, tranzistoare de putere bipolare sau MOSFET, tranzistoare
bipolare cu poartă izolată IGBT etc.). Comanda acestor dispozitive, atât pentru intrarea în
conducție cât și pentru blocarea lor se realizează numai la momente de timp bine determ inate, de
unde și denumirea de convertoare cu comutație comandată (forțată).
Principiul de funcționare al variatoarelor de tensiune continuă este următorul: ele
transformă o tensiune continuă constantă într -un tren de impulsuri, de obicei dreptunghiulare, a
căror durată și/sau frecvență pot fi modificate prin comandă, astfel încât valoarea medie a tensiunii
rezultate este reglabilă.[2]
În funcție de raportul dintre tensiunea de intrare 𝑼𝒊 și cea de ieșire 𝑼𝒔,
convertoarele DC -DC se pot clasifica în:
o convertoare coborâtoare (step -down converter) sau convertoare serie (buck
converter), la care tensiunea de ieșire este mai mică sau cel mult egală cu tensiunea
de intrare;
o choppere ridicătoare (step -up converter) sau choppere paralel (boost converter), la
care tensiunea de ieșire este mai mare sau cel mult egală cu tensiunea de intrare;
o choppere coborâtoare -ridicătoare (buck -boost converter), la care tensiunea de
ieșire poate fi mai mică sau mai mare decât tensiunea de intrare.
 După cadranul din planul ( 𝑼𝒔, 𝑰𝒔) în care funcționează, convertoarele DC -DC se pot
clasifica în:
o convertoare care funcționează într-un singur cadran , numai în cadranul I al
planului (𝑈𝑠, 𝐼𝑠);

o convertoare care funcționează în 2 cadrane , în cadranele I -II sau I -IV ale planului
(𝑈𝑠, 𝐼𝑠);
o convertoare care funcționează în 4 cadrane .
 În funcție de modul în care se realizează transferul energiei către sarcină,
convertoarele DC -DC se pot clasifica în:
o convertoare cu legătură directă , la care nu există un element de stocare ( acumulare)
a energiei între intrarea și ieșirea chopper -ului;
o convertoare cu legătură indirectă (cu acumulare), la care există un element de
stocare a energiei între intrarea și ieșirea chopper -ului.

1.2 Convertorul de tip buck cu funcționare în două cadr ane

Topologia convertorului cu funcționare în două cadrane i nclude două dispozitive de putere
controlabile (tranzistoare) cu diode în antiparalel formând binecunoscuta structură " braț de punte "
(half bridge – semipunte) . Modul în care brațul de punte se conectează la sursa 𝑈𝑑 și la sarcina
activă reprezentată de motorul de c.c. este prezentat în Fig. 1.2. [1]

Figura 1.2 Topologia convertorului DC -DC cu funcționare în două cadrane

În comparație între chopper -ul de un cadran și chopper -ul de două cadrane evidențiază o
investiție suplimentară minimă la acesta din urmă: un tranzistor de putere în plus. Avantajele de
funcționare însă compensează cu prisosință această cheltuială. Un argu ment în acest sens îl
constituie și posibilitatea utilizării unui modul de putere integrat (PIM – Power Integrated Module)
care implementează exact structura braț de punte. Asemenea module sunt ofertate de numeroase
firme, sunt ieftine și ușor de utilizat deoarece toate legăturile între dispozitive sunt realizate în
interiorul capsulei. [1]
O problemă de care trebuie ținut cont la acest tip de convertor constă în modalitatea de
comandă a celor două tranzistoare din structura brațului. Semnalele de comandă pentru cele două
tranzistoare sunt, de obicei, modulate în lățime (PWM) și complementare . Pentru o înțelegere mai

ușoară, analiza fun cționării convertorului se face în condițiile ideale, considerând că tranzistoarele
de putere comută instantaneu. În consec ință, semnalele de comandă PWM pot fi complementare,
fără timp mort, așa cum se prezintă în Fig. 1.3. Cu această aproximare, se obține următoarea relație
de legătură între duratele relative de conducție ( 𝐷𝑅𝐶) ale celor două tranzistoare:

𝑡𝑜𝑛(𝑇1)+𝑡𝑜𝑛(𝑇2)=𝑇𝑐⇔𝑡𝑜𝑛(𝑇1)
𝑇𝑐+𝑡𝑜𝑛(𝑇2)
𝑇𝑐=1⇔𝐷𝑅𝐶(𝑇1)+𝐷𝑅𝐶(𝑇2)=1 (1.1)

În realitate dispozitivele semiconductoare de putere nu comută instantaneu. Pentru a evita
o suprapunere a conducției dispozitivelor controlabile din structura brațu lui (ceea ce este
echivalent cu un scurt cicuit la bornele sursei 𝑈𝑑) în practică sunt utilizate semnale PWM
complementare cu timp mort pentru comanda tranzistoarelor 𝑇1 și 𝑇2. Analiza influenței timpului
mort asupra relației de calcul a tensiunii medii de la ieșirea convertorului poate fi realizată ulterior
atunci când se tratează funcționarea convertorului în aplicații pretențioase cum ar fi în schemele
de control automat unde precizia de reglare este esențială. [1]
Formele de undă ale tensiunii d e ieșire 𝑢𝑒(𝑡) și a curentului 𝑖𝑒(𝑡) corespunătoare unui
convertor DC -DC cu funcționare în două cadrane sunt prezentate în Fig. 1.3.

Figura 1.3 Formele de undă corespunzătoare unui convertor DC -DC cu funcționare în două
cadrane

În ceea ce privește media curentului de ieșire (componenta continuă) 𝐼𝑒 se situează
aproximativ la jumătatea distanței dintre 𝐼𝑚𝑎𝑥 și 𝐼𝑚𝑖𝑛 pe diagrama corespunzătoare din Fig 1.3 și
poate fi calulată cu relația:

𝐼𝑒≈𝐼𝑚𝑎𝑥 +𝐼𝑚𝑖𝑛
2 (1.2)

În funcție de cum se plasează cele două extreme 𝐼𝑚𝑎𝑥 și 𝐼𝑚𝑖𝑛 curentul mediu de ieșire poate
fi pozitiv sau negativ. [1]
Iar expresia valorii medie a tensiunii poate fi calculată cu ajutoru l relației:

𝑈𝑒=𝑈𝑑∙𝐷𝑅𝐶≥0 (1.3)

1.3 Tranzistorul MOSFET de putere

Acest tip de tranzistoare s -a dezvoltat rapid după 1980, înlocuind treptat tranzistoarele
bipolare BPT, în special în aplicațiile de putere de frecvență înaltă.

Figura 1.4 Tranzistorul MOSFET de putere : simboluri și caracteristica de transfer pentru
un tranzistor cu canal "n"

Tehnologia de fabricare a tranzistoarelor de putere MOSFET cu canal n este mai simplă și
de aceea în electronica de putere se folosește aproape în exclusivitate acest tip de tranzistoare.
Pentru conducție, un tranzistor MOSFET cu canal n are nevoie de o tensiune de poartă pozitivă
mai mare decât o tensiune de prag (threshold):

𝑈𝐺𝑆>𝑈𝐺𝑆𝑃 (1.4)

Timpii de conducție sunt de ordinul 102ns, deci frecvența de lucru este în plaja (30 ÷ 100)
KHz.
Pe lângă avantajul că purtătorii de sarcină sunt de un singur tip și datorită acestui fapt nu
apar probleme legate de evacuarea sarcinii în exces stocate, tranzistoarele MOS de putere au, față
de tranzistoarele bipolare și alte avantaje :
 fiabilitate mai mare
 reproductibilitate mai bună a parametrilor
 comanda se face în tensiune, puterea nec esară fiind mult mai mică

 timpii de comutație sunt mai reduși, deci frecvența de lucru este mai mare
 absența fenomenului de străpungere secundară și a așa numitelor “puncte fierbinți”
 capabilitate mai mare de supraîncărcare în curent
Dintre dezavantaje trebuie menționate următoarele:
 costuri mai mari pentru aceeași putere
 rezistența echivalentă în blocare (stare off) mai mică decât în cazul tranzistoarelor
bipolare
 rezistența echivalentă în stare de saturație (stare on) mai mare decât în cazul
tranzistoarelor bipolare
 căderea de tensiune pe dispozitiv în stare de conducție este mai mare decât
tensiunea corespunzătoare de saturație a tranzistoarelor bipolare

1.4 Aplicații de bază

Aplicațiile convertoarele statice acoperă tot domeniul inginerie i electrice. Cele mai
importante sunt:
 acționările electrice
 tracțiunea electrică
 aplicațiile casnice
Alte aplicații:
 surse de putere în comutație
 transmisia energiei electrice în c.c. (puteri mai mari de 1GW)
 încălzirea prin inducție

1. Surse de putere
În aceste aplicații se folosesc în special convertoare rezonante. Densitatea de putere a depășit
2000W/cm3, iar frecvența de comandă PWM – 40KHz.

2. UPS – surse de alimentare neîntreruptă
Acest tip de echipamente sunt destinate în special alimentării calculatoa relor personale. Pentru
puteri sub 200KVA se folosesc convertoare statice echipate cu IGBT. În prezent s -a ajuns până la
puteri de ordinul MVA.

3. Transportul energiei în c.c. și înaltă tensiune
Pentru acest tip de aplicații, în stațiile linilor de transport al energiei în c.c. și înaltă tensiune
se folosesc cele mai mari convertoare statice, puterile instalate depășind 1GW.

4. Servoacționări electrice
Pentru multe aplicații casnice (cel mai bun exemplu fiind cel al mașinilor de spălat automate)
se folosesc convertoare statice de puteri mici, echipate cu tranzistoare MOSFET, în care se
utilizează comanda PWM.

5. Acționări industriale
Pentru obținerea de performanțe energetice bune, în acest tip de aplicații de putere mare (peste
10KW) se utilizează invertoar e cu 3 nivele. Convertoarele statice se folosesc atât în acționări de
c.c. cât și de c.a.

6. Încălzirea prin inducție
Până în 1990, generatoarele pentru încălzire prin inducție au folosit mașini rotative sau tuburi
electronice de mare putere (la înaltă frecvență). În prezent în aceste aplicații, până la frecvențe de
10 – 20KHz se folosesc tiristoare rapide. Folosind convertoare echipare cu SIT și MOSFET s -a
ajuns până la frecvențe de 400KHz.

2. Modelarea convertorului DC -DC de putere

2.1 Metode de modelare a proceselor

Cunoașterea științifică se bazează pe două categorii de metode: metode experimentale și
metode de modelare . Metodele experimentale implică interacțiunea directă cu obiectul de studiu
și au, în unele situații, aplicabilitate limitată. Sistemele reale asupra cărora se pot face observații
experimentale sunt, principial, modelabile. Experimentele care nu pot fi realizate cu sistemele
reale, pot fi făcute pe modelele respectivelo r sisteme.
În scopul înțelegerii funcționării sistemelor dinamice , atât sub aspect fenomenologic cât
și sub aspect relațional -cantitativ, trebuie să se cunoască modelele lor matematice . În consecință
este necesar să se analizeze relațiile dintre variabi lele unui sistem dat și să se scrie ecuațiile
corespunzătoare. Deoarece sistemele care vor fi avute în vedere evoluează în timp, adică sunt
sisteme dinamice, relațiile dintre variabile au forma unor ecuații diferențiale și/sau integro –
diferențiale. Adesea aceste ecuații sunt liniare. În această situație se aplică transformarea Laplace
fie în scopul soluționării ecuațiilor diferențiale și / sau integro -diferențiale (liniare sau liniarizate),
fie pentru analize mai profunde ale sistemului [7].
Setul de ecuați i diferențiale și / sau integro -diferențiale care descriu un sistem dinamic real
se numește modelul matematic al respectivului sistem. Aceste ecuații se obțin pe baza legilor
generale ale naturii. Pe baza caracterului relațiilor dintre variabilele caracter istice pentru sistemele
fizico -tehnice uzuale se ajunge la concluzia că ele pot fi împărțite (în mod natural) în două mari
clase:
 variabile longitudinale
 variabile transversale.
Pentru un sistem electric avem urm ătoarea variabilă longitudinală și transvers ala(Tabelul 2.1) :

Variabilă longitudinală Variabil ă transversală
curentul i tensiunea u
Tabel ul 2.1 Sumar al variabilelor fizico -tehnice

Din punct de vedere energetic se disting următoarele clase de sisteme:
 sisteme disipative
 sisteme cu acumulare inductivă
 sisteme cu acumulare capacitivă.
Ecuațiile pentru un sistem electric de tipul celor enumerate anterior avem (Tabelul 2.2):

Sistem de tip: Parametrul fizic Ecuația
Disipativ Rezistența electrica R 𝑖=1
𝑅𝑢
Acumulator inductiv Inductanța electri ca L 𝑢=𝐿𝑑𝑖
𝑑𝑡
Acumulator capacitiv Capacitatea electrică C 𝑖=𝐶𝑑𝑢
𝑑𝑡
Tabelul 2.2 Sumar al ecua țiilor sistemelor

1
2.1.1 Transferul intrare -ieșire în timp continuu

În general un sistem dinamic neted, cu parametri concentrați, liniar și invariant în timp, cu
o singură mărime de intrare și o singură mărime de ieșire este descris de o ecuație diferențială
ordinară, liniară, cu coeficienți constanți, de forma :

𝑎𝑛𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑡𝑛+𝑎𝑛−1𝑑𝑛−1𝑦
𝑑𝑡𝑛−1+⋯+𝑎0𝑦=𝑏𝑚𝑑𝑚𝑢
𝑑𝑡𝑚+𝑢𝑚−1𝑑𝑚−1𝑢
𝑑𝑡𝑚−1+⋯𝑏0𝑢, 𝑡𝜖𝑅, (2.1)

în care 𝑎𝑖𝜖𝑅,𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ ,𝑎𝑛≠0,𝑏𝑗𝜖𝑅,𝑗=1,𝑚̅̅̅̅̅̅. Numerele naturale m și n sunt corelate cu
numărul de elemente acumulatoare de energie, independente între ele, conținute de sistem.
Pentru fixarea cadrului tratării și în conformitate cu definiția transformării Laplace, care se
utilizează în continuare, se admite că până la momentul inițial 𝑡0=0 sistemul descris de ecuația
(2.1) se află în repaus, ceea ce analitic se exprimă prin:

𝑢(𝑡)≡0,𝑦(𝑡)≡0,𝑡<0. (2.2)

Aplicând ecuației (2.1) transformarea Laplace, cu condițiile inițiale care rezultă din (2.2)
, se obține:

(𝑎𝑛𝑠𝑛+𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+⋯+𝑎0)𝑌(𝑠)=(𝑏𝑚𝑠𝑚+𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1+⋯+𝑏0)𝑈(𝑠), (2.3)

în care 𝑈(𝑠)=𝐿{𝑢(𝑡)},𝑌(𝑠)=𝐿{𝑦(𝑡)}.
Raportul dintre transformatele Laplace ale mărimilor de ieșire și de intrare ale
sistemului dinamic (modelului matematic) (2.1) se numește funcția de transfer [7].
Se notează funcția de transfer cu 𝐺(𝑠)=𝑌(𝑠)𝑈(𝑠)⁄ și conform ecuației (2.3) rezultă:

𝐺(𝑠)=𝑏𝑚𝑠𝑚+𝑏𝑚−1𝑠𝑚−1+⋯+𝑏0
𝑎𝑛𝑠𝑛+𝑎𝑛−1𝑠𝑛−1+⋯+𝑎0. (2.4)

2.1.2 Transferul intrare -stare -ieșire în timp discret

Se presupune ca ecuația diferențială a sistemului monovariabil și variabilele de stare 𝑥(𝑡)
sunt date.
Ecuația de stare este:

𝑥̇(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡)+𝐵𝑢(𝑡) (2.5)

iar ecuația ieșirii este:

𝑦(𝑡)=𝐶𝑥(𝑡)+𝐷𝑢(𝑡). (2.6)

Ecuația diferențiala de stare poate fi rezolvată cu ajutorul transformatei Laplace:

𝑠𝑋(𝑠)−𝑋(0+)=𝐴𝑋(𝑠)+𝐵𝑢(𝑠) (2.7)

2
unde 𝑋(0+) reprezintă starea inițială. Se obține:

𝑋(𝑠)=(𝑠𝐼−𝐴)−1𝑋(0+)+(𝑠𝐼−𝐴)−1𝐵𝑈(𝑠). (2.8)

Cu ajutorul transformatei Laplace inverse se obțin e:

𝑋(𝑡)=𝜙(𝑡)𝑋(0+)+∫𝜙(𝑡−𝜏)𝐵𝑈(𝜏)𝑑𝜏𝑡
0 (2.9)

unde:
𝜙(𝑡)=𝐿−1{[𝑠𝐼−𝐴]−1}=𝑒𝐴𝑡. (2.10)

𝜙(𝑡) este numită matricea tranzițiilor de stare [5].
Pentru sisteme cu intrări și ieșiri eșantionate, reprezentarea pe stare poate fi obținută simplu
din (2.9) și (2.10) considerând că procesul liniar este prevăzut cu extrapolator de ordin 0 pe intrări:

𝑢(𝑡)=𝑢(𝑘𝑇), 𝑘𝑇≤𝑡<(𝑘+1)𝑇 (2.11)

și cu starea inițială 𝑥(𝑘𝑇) pentru 𝑘𝑇≤𝑡<(𝑘+1)𝑇 :

𝑥(𝑡)=𝜙(𝑡−𝑘𝑇)𝑥(𝑘𝑇)+𝑢(𝑘𝑇)∫𝜙(𝑡−𝜏)𝐵𝑑𝜏𝑡
𝑘𝑇. (2.12)

Daca ne interesează numai soluția la 𝑡=(𝑘+1)𝑇, atunci:

𝑥((𝑘+1)𝑇)=𝜙(𝑇)𝑥(𝑘𝑇)+𝑢(𝑘𝑇)∫𝜙((𝑘+1)𝑇−𝜏)𝐵𝑑𝜏(𝑘+1)𝑇
𝑘𝑇 (2.13)

și cu substituția 𝑞=(𝑘+1)𝑇−𝜏;𝑑𝑞=−𝑑𝜏 rezultă:

𝑥(𝑡+1)=𝜙(𝑇)𝑥(𝑘)+𝑢(𝑘)∫𝜙(𝑞)𝐵𝑑𝑞𝑇
0. (2.14)

Se introduc notațiile prescurtate:

{𝜙=𝜙(𝑇)=𝑒𝐴𝑇
𝛤=∫𝜙(𝑞)𝐵𝑑𝑞𝑇
0 (2.15)

Se obține ecuația cu diferențe vectorială împreună cu ecuația ieșirii din (2.6) :

𝑥(𝑘+1)=𝜙𝑥(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘) (2.16)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘)+𝐷𝑢(𝑘). (2.17)

3
2.1 Model ul de tip funcție de transfer al convertorului DC -DC în timp
continuu

După cum s -a menționat anterior, setul de ecuații diferențiale care descriu un sistem
dinamic se obțin pe baza legilor generale ale naturii. Deoarece convertorul DC -DC este un
dispozitiv electric, pentru determinarea setului de ecuații diferențiale se aplica Legea lui Ohm și
Legile I și II ale lui Kirchhoff . Schema circuitului electric a convertorului DC -DC este dată în Fig.
2.1.

Fig. 2.1 Circuitul electric al convertorului DC -DC de putere

Circuitul electric al convertorului DC -DC este compus din următoarele componente:
bateria 𝐸, rezistențele 𝑅1, 𝑅2 bobinele 𝐿1, 𝐿2 condensatoarele 𝐶1, 𝐶2 sursa de
curent 𝐼, tranzistoarele MOSFET 𝑀𝑂𝑆1 și 𝑀𝑂𝑆2. Valorile parametrilor fizici ale componentelor
enumerate mai sus sunt prezentate in Tabelul 2.3.

Tabelul 2.3 Valorile parametrilor componentelor fizice

Aplicând Kirchhoff I pentru nodul 𝑁1 și Kirchhoff II pentru buclele I și II din circuit se
obține următorul sistem cu ecuații diferențiale:

{ 𝑉𝑖𝑛=𝑅1𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙+𝐿1𝑑𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
𝑑𝑡+𝑉𝑐
𝑉𝑐=𝑅2𝑖𝑒𝑚𝑖+𝐿2𝑑𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑡+𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙=𝑖𝐶1+𝑖𝑒𝑚𝑖 (2.18)
Parametrul
fizic Valoarea Parametrul
fizic Valoarea
𝐸 48 𝑉 𝐶1 120∙10−6 𝐹
𝑅1 3∙10−3 Ω 𝐶2 300∙10−6 𝐹
𝑅2 0.2∙10−3 Ω 𝐿1 1.6∙10−6 𝐻
𝐼 100 𝐴 𝐿2 0.1∙10−6 𝐻
𝐿2
𝐿1
𝑅1
𝑅2
𝐶1
𝐶2
𝑉𝑖𝑛
𝐸
𝑀𝑂𝑆1
𝑀𝑂𝑆2
𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
𝑖𝑒𝑚𝑖
𝐼
𝑖𝑙𝑜𝑎𝑑
I
II
𝑁1
𝑁2
𝑉𝑐

4
Aplicând transformata Laplace pentru sistemul (2.18) și pentru ecuațiile din Tabelul 2.2
obținem:

{ 𝑉𝑖𝑛(𝑠)−𝑉𝑐(𝑠)=(𝐿1𝑠+𝑅1)𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
𝑉𝑐(𝑠)−𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)=(𝐿2𝑠+𝑅2)𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)=𝑖𝐶1(𝑠)+𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)
𝑖𝐶1(𝑠)=𝐶1𝑠∙𝑉𝑐(𝑠)
𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)=𝐶2𝑠∙𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠) (2.19)

Schema bloc care redă dinamica și funcți onarea unui convertor DC -DC reiese din (2.19)
după cum urmează :

Figura 2.2 Schema bloc a convertorului DC -DC

Pentru reglarea în cascadă cu două bucle de reglare (Capitolul 3), funcția de transfer a
procesului trebuie să poată fi împărțită în două funcții de tra nsfer, care sa aibă ca ieșiri mă rimi
măsurabile. Pentru cazul nostru, marim ile măsurabile sunt 𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑡) și 𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑡). Din păcate, fără
cunoașterea mărimilor 𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑡) și 𝑉𝑐(𝑡), s-a dovedit a fi complicat atingerea obiectivului de mai
sus.
O soluție ar fi aproximarea circuitului din Fig. 2.2, cu un circuit care are d oar o singură
buclă RLC serie cu următoarele considerente:

Figura 2.3 Modelul simplificat al convertorului DC-DC

Aproximarea din Fig. 2.3 a fost facută din ipoteza că deoarece 16𝐿2=𝐿1 și 15𝑅2=𝑅1,
𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑡) este aproximativ egal cu 𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑡). Din această presupunere, rezultă ca condensatoarele 𝐶1
și 𝐶2 pot fi considerat e ca fiind conectate în paralel, iar bobinele 𝐿1 și 𝐿2, și rezistențele 𝑅1 și 𝑅2
conectate în serie.

𝑉𝑖𝑛(𝑠)
1
𝐿1𝑠+𝑅1
+
−
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
𝑖𝐶1(𝑠)
1
𝐶1𝑠

1
𝐿2𝑠+𝑅2
1
𝐶1𝑠

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
𝑉𝑐(𝑠)
𝑖𝑖𝑒𝑚𝑖(𝑠)
+
−
−
+
𝑉𝑖𝑛(𝑠)=𝐸∙𝐷(𝑠)
𝐿𝑡
𝑅𝑡
𝐶𝑡
𝑉𝑖𝑛
𝐸
𝑀𝑂𝑆1
𝑀𝑂𝑆2
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
I
𝑉𝑜𝑢𝑡
൞𝐿𝑡=𝐿1+𝐿1
𝑅𝑡=𝑅1+𝑅2
𝐶𝑡=𝐶1+𝐶2
𝑉𝑜𝑢𝑡=𝑉𝐶𝑡

5
Schema bloc care rezultă din Fig. 2.3 este:

Figura 2.4 Schema bloc a convertorului DC-DC simplificat

Validarea modelului din Fig. 2.4 se va face cu ajutorul mediului de simulare SIMULINK.
Se va urmări diferența dintre raspusul indicial al sistemului din Fig. 2.1 și cu cel din Fig. 2.3.

Figura 2.5 Eroarea de modelare a convertorului DC -DC simplificat

Eroarea de modelare poate părea inadmisibilă la prima vedere, d ar pentru controlul care
urmează a fi făcut (Capitolul 3), aceasta nu reprezintă o mare problemă. Deoarece în primele sute
de 𝜇𝑠, timp în care se dorește a f i regimul trazitoriu, eroare a de modelare ia valori între
[−7.5,4.2]∙10−2V, iar frecvența oscilațiilor ce urmează este în jur de 6𝑘𝐻𝑧, care este de 22 de
ori mai mic ă decât frecvența de control. Prin urmare, eroarea de modelare în intervalul în care s e
presupune a fi regimul trazitoriu este neglijabilă, iar frecvența ridicată de control va rejecta cu
ușurință impreciziile ce urmează.

2.2 Model ul de tip intrare -stare -ieșire al convertorului DC -DC în timp discret

Modelul (2.5) împreuna cu (2.6) poate fi obținut calculând matricile 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷. Dar,
mai întai de toate trebuie sa construim vectorul de stare 𝑥(𝑡). Stările sistemului se aleg în funcție
𝑉𝑖𝑛(𝑠)
1
𝐿𝑡𝑠+𝑅𝑡
+
−
𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙(𝑠)
1
𝐶𝑡𝑠

𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑠)
E
𝐷(𝑠)

6
de câte elemente inductive(bobine) și capacitive(condensatoare) avem în sistem. Deci, vectoru l
𝑥(𝑡) va fi:

𝑥(𝑡)=[𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥4]𝑇=[𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙 𝑉𝑐 𝑖𝑒𝑚𝑖 𝑉𝑜𝑢𝑡]𝑇 (2.20)

Având în vedere sistemul (2.18) și Tabelul 2.2, putem cu ușurința obține variațiile
stărilor în funcție de timp :

{ 𝑑𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙
𝑑𝑡=−𝑅1
𝐿1𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙−1
𝐿1𝑉𝑐+1
𝐿1𝑉𝑖𝑛
𝑑𝑉𝑐
𝑑𝑡=1
𝐶1𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙−1
𝐶1𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑡=1
𝐿2𝑉𝑐−1
𝐿2𝑉𝑜𝑢𝑡−𝑅2
𝐿2𝑖𝑒𝑚𝑖
𝑑𝑉𝑜𝑢𝑡
𝑑𝑡=1
𝐶2𝑖𝑒𝑚𝑖 (2.21)

Din (2.23) considerând intrarea 𝑢(𝑡)=𝑉𝑖𝑛(𝑡) și ieșire 𝑦(𝑡)=𝑉𝑜𝑢𝑡(𝑡) matricile 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷
devin:

𝐴=
[ −𝑅1
𝐿1−1
𝐿100
1
𝐶10−1
𝐶10
01
𝐿2−𝑅2
𝐿2−1
𝐿2
001
𝐶20]
, 𝐵=
[ 1
𝐿1
0
0
0]
(2.22)

𝐶=[0001], 𝐷=0 (2.23)

Pentru discretizarea modelului (2.24) și (2.25), trebuie să fixam o perioada de
eșantionare care sa repecte teorema lui Shannon . Deoarece perioada de eșantionare este data de
producatorii convertorului DC -DC, ramâne doar sa verificam daca satisface teor ema menționată
mai sus.

Teorema lui Shannon. Oscilația de frecvență maximă 𝜔𝑚𝑎𝑥, de perioadă 𝑇𝑝=2∙𝜋𝜔𝑚𝑎𝑥⁄
trebuie eșantionată de cel puțin 2 ori pe perioadă .[5]

7

Aducând modelul intrare -ieșire la o formă ZPK(Zero -Pole-Gain) de tipul:

𝐺𝑍𝑃𝐾(𝑠)=𝜔12∙𝜔22
(𝑠2+2𝑑1𝜔1𝑠+𝜔12)∙(𝑠2+2𝑑2𝜔2𝑠+𝜔22), (2.24)

oscilația de frecvență maximă poate fi calculată în felul urmator: 𝜔𝑚𝑎𝑥=max{𝜔1, 𝜔2}.
Prin urmare, obținem:

𝐺𝑍𝑃𝐾(𝑠)=1.7362∙1020
(𝑠2+1879𝑠+1.442∙109)∙(𝑠2+1996𝑠+1.204∙1011), (2.25)

cu 𝜔𝑚𝑎𝑥=max{𝜔1, 𝜔2}=√𝜔22=3.4699∙105 𝑟𝑎𝑑/𝑠.

Perioada de eșantionare impusa de proiectanții conver torului DC -DC este:

𝑇𝑠=1
𝐹𝑠=1
133𝑘𝐻𝑧=7.5188𝜇𝑠 (2.26)

iar 𝑇𝑚𝑎𝑥=1
𝐹𝑚𝑎𝑥=2∙𝜋
𝜔𝑚𝑎𝑥=18.108𝜇𝑠, de unde rezultă ca teorema lui Shannon este respectată:

𝑇𝑠≤𝑇𝑚𝑎𝑥
2. (2.27)

Utiliz ând mediul MATLAB, matricile 𝜙, 𝛤, 𝐶, 𝐷 care compun modelul (2.16) și (2.17) se pot
determina folosind relațiile (2.15) sau funcția c2d care returnează o structura ce conț ine
matricile de mai sus . Urmând una din aceste două cai, obținem următorul model:

𝑥(𝑘+1)=[0.8888−1.89860.0789 −2.5875
0.0253−0.3677−0.0115 1.2700
1.262213.7987−0.7996−16.3862
0.01380.5080 0.0055 0.4737]𝑥(𝑘)+[4.4862
0.0977
2.5875
0.0183]𝑢(𝑘) (2.28)

𝑦(𝑘)=[0001]𝑥(𝑘). (2.29)

Validarea modelului (2.30) și (2.31) se va face la fel cu ajutorul mediului de simulare
SIMULINK. Se va urmări eroare de modelare data de diferența dint re ieșirea modelului și ieșirea
parții fixate la aplicarea unui semnal de tip treapta unitară la intrare(Anexă Fig.2). Deoarece partea
fixată are la ieșire un semnal continuu, pentru a calcula eroarea de modelare acesta va fi discretizat
cu ajutorul extrap olatorului de ordin zero. Eroarea de modelare poate fi urmărită în Fig. 2.3:

8

Figura 2.6 Eroare a de modelare

9

3. Reglarea convențională a convertotului DC -DC
de putere

3.1 Regulatoare . Caracteristici generale

Acestea sunt aparate le care prelucrează informația 𝜀(𝑡), despre abaterea valorii mărimii
interesate (măsurată direct din proces), față de valoarea aceleași mărimi, stabilită ca valoare de
referință (valoare impusă), prin programul de conducere. Regulatorul stabilește, în baza
algoritmului propriu de reglare a procesului, strategia de acțiune a elementului de execuție, prin
comanda aplicată acestuia. Strategia de acțiu ne este în funcție de abaterea 𝜀(𝑡), ce apare în siste m,
intre valoarea impusă 𝑟(𝑡) și cea reală 𝑦(𝑡), măsurată direct la ieșirea din proces . Această strategie
constă în elaborarea, de către regul ator, a unui semnal de comandă 𝑢(𝑡), emis către elementul de
execuție , în vederea anulării abaterii 𝜀(𝑡). Algoritmul de reglare, conținut sau elaborat de regulator,
este legea de depend ență impusă , între 𝑟(𝑡) și 𝑦(𝑡), care sunt variabile în timp Fig. 3.1 .

Figura 3.1 Stru ctura de reglare automată

În practică este necesar a se stabili:
– legile după care trebuie prelucrată abaterea (de tip P, PI, sau PID);
– parametri de reglare (K R , TI , TD).

Clasificarea regulatoarelor se poate face după mai multe criterii, impuse de:
I. Tipul și caracteristicile procesului reglat :
a. regulatoare pentru procese invariante, a căror funcționare este caracterizată de
valoarea constantă a parametrilor de reglare;
b. regulatoare adaptive, pentru procese variabile în timp, respectiv cu parametrii de
reglare variabili;
II. Caracteristicile de funcționare ale regulatorului:
a. regulatoare liniare și neliniare , clasificate după dependența între mărimea de
comandă 𝑢(𝑡), și abaterea aplicată la intrare 𝜀(𝑡));
b. regulatoare cu acțiune continuă (semnalul 𝑢(𝑡) este continuu în timp) și acțiune
discretă (semnalul 𝑢(𝑡) este disconti nuu, de tip ieșire pe releu sau numeric);
c. regulatoare convenționale (tip P, PI, PID) și cu caracteristici speciale (adaptive,
optimale, estimatoare de stare), în clasificare după algoritmul de lucru;
d. regulatoare electronice, pneumatice, hidraulice și mixte , clasificate după natura
semnalelor (ex. la electronice, semnalele de intare/ieșire sunt numai de natură
electrică);
e. regulatoare unificate și specializate , clasificate după caracterul semnalului de
intrare.
𝑟(𝑡)
+
−
Proces
,,,,,
Regulator

+
+
𝜀(𝑡)
𝑢(𝑡)
𝑝(𝑡)
𝑦(𝑡)

Cele mai răspândite regulatoare, în practică, su nt regulatoarele electronice cu acțiune
continuă sau discretă, liniare, de tip proporțional (P), proporțional -integral (PI), proporțional –
derivativ (PD) și proporțional -integral -derivativ (PID).

3.1.1 Regulatorul proporțional – integral (PI)

Acest regul ator combină efectul proporțional, cu un efect integral (integrează abaterea 𝜀(𝑡)
în timp) și este descris de următoarea relație:

𝑢(𝑡)=𝐾𝑅𝜀(𝑡)+𝑇𝐼∫𝜀(𝑡)∙𝑑𝑡𝑡
0 (3.1)

unde, K R – este un parametru den umit factorul de proporțion alitate , iar T I – este un parametru
denumit timp ul de integrare al regulatorului .
Aplicând transformata Laplace relației (3.1), obținem funcția de transfer a regulatorului PI
în forma paralelă :

𝑈(𝑠)=(𝐾𝑅+𝑇𝐼1
𝑠)Ε(𝑠)𝑈(𝑠)=𝐸(𝑠)
𝑌(𝑠)=𝑈(𝑠)⇒ 𝐺(𝑠)=𝐾𝑅+𝑇𝐼1
𝑠 (3.2)

Acești factori K R, TI, constituie parametrii de acordare ai regulatorului de tip PI și ei pot fi
modificați în limite largi, în funcție de performanțele impuse sistemului de reglare automată. Un
regula tor de tip PI este o combinație între un regulator P, completat cu un regulator I, efectul
integrator este cel care determină panta de unghi α, pentru răspunsul 𝑢(𝑡) al regulatorului de tip
PI. Creșterea factorului de amplificare K R, determină o reducere a erorii staționare 𝜀 (deci o
creștere a preciziei) și o reducere a constantei de timp T (timpul necesar intrării în regim staționar)
a sistemului.

Figura 3.2 Graficul de funcționare al regulatorului de tip PI

Răspunsul indicial ideal al regulatorului PI este prezentat în Fig. 3.2. Curba continuă
reprezintă răspunsul indicial ideal, iar curba punctată reprezintă răspunsul indicial, real, pentru un
semnal de in trare de tip treaptă unitară ( 𝜀(𝑡)=1).
Eroarea staționară este 𝜀=0, iar anularea acesteia, în timp, este determinată de efectul
integral. La alegerea unui regulator PI, pentru un proces dat, se vor avea în vedere frecvența
𝑡
𝜀(𝑡),𝑢(𝑡)
𝜀(𝑡)=1
𝑢(𝑡)=𝐾𝑅𝜀(𝑡)
𝑢(𝑡)
𝛼
𝛼
𝐾𝑅<1
𝑇𝐼
𝜀
0

perturbațiilor asupra desfășurării procesului, precum și modul de variație al mărimii de intrare în
regulator (de obicei 𝜀(𝑡)), unde T I, și K R se vor alege, ținând seama de necesitatea realizării unui
răspuns dorit. Pentru procese rapide, cu schimbări rapide ale intrării și fre cvențe mari ale
perturbațiilor, nu se recomandă regulator PI.

4. Controlul conver torului DC -DC prin reglarea
după stare

4.1 Prezentarea metodei

Se consideră un proces tehnologic monovariabil descris de modelul intrare -stare -ieșire de
forma:

{𝑥(𝑘+1)=𝜙𝑥(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘) (4.1)

unde: 𝑥∈𝑅𝑛, 𝑢∈𝑅𝑚, 𝑦∈𝑅𝑝, 𝜙∈𝑅𝑛×𝑛, 𝛤∈𝑅𝑛×𝑚, 𝐶∈𝑅1×𝑝.

Automatizarea procesului constă în construirea unui sistem decizional adecvat, genererator
al comenzilo r 𝑢(𝑘) care produc o anumită evoluție a sistemului. Această evoluție se definește în
sensul obținerii unor traiectorii temporale ale ieșirilor tehnologice (reglate), exprimate prin
vectorul 𝑦(𝑘), cât mai apropiate de traiectoriile impuse tehnologic prin ve ctorul referință 𝑟(𝑘).
Pentru procesele reprezentate în forma intrare – stare – ieșire (modelul (4.1)), cel mai simplu
algoritm decizional constă în utilizarea unei reacții proporționale după starea sistemului. Legea de
reglare, de tipul reacție după stare , este de forma:

𝑢(𝑘)=𝐾0𝑟(𝑘)−𝑓𝑇𝑥(𝑘) (4.2)

Structura sistemului automat obținut este reprezentată în Fig. 4.1:

Figura 4.1. Str uctura sistemului de reglare automat ă

Înlocuind (4.2) în (4.1) se obține modelul sistemului în circuit închis:

{𝑥(𝑘+1)=(𝜙−𝛤𝑓𝑇)𝑥(𝑘)+𝛤𝐾0𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘) (4.3)

Se observă că utilizarea reacției după stare permite modificarea localizării valorilor proprii
ale sistemului (valorile proprii asociate matricii de evoluție, 𝜙, ale procesului reglat sunt translate
în pozițiile determinate de valorile proprii asociate matri cii de evoluție 𝜙−𝛤𝑓𝑇 ale sistemului
automat). Acest lucru este benefic în cazul în care procesul reglat este instabil sau în cazul în care

𝑓𝑇
+
−
𝑥(𝑘+1)=𝜙𝑥(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥(𝑘)
𝐾0
𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)
𝑥(𝑘)
𝑢(𝑘)

acesta este stabil , dar configurația spectrului matricii 𝜙 este nefavorabilă, implicând o evoluție
neconvenabil ă în regim tranzitoriu.
Alocarea completă a valorilor proprii ale sistemului automat este posibilă numai în situația
în care procesul este complet controlabil . Condiția care trebuie îndeplinită este:

𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑅=𝑟𝑎𝑛𝑔 [𝛤 𝜙𝛤 𝜙2𝛤… 𝜙𝑛−1𝛤]=𝑛 (4.4)

Determinarea matricii 𝑓𝑇 se realizează utilizând procedura de alocare Ackermann :
 Se verifică controlabilitatea perechii (𝜙,𝛤) și se determină 𝑅−1;
 Se reține ultima linie a matricii 𝑅−1 în ℎ𝑇;
 Se construiește pe baza performanțelor polinomul caracteristic al sistemului de reglare în
circuit închis:
𝑃𝑐(𝑧)=(𝑧2+𝛼1𝑧+𝛼2)∏(𝑧−𝛼𝑖)𝑛
𝑖=3=𝑎1+𝑎2𝑧+⋯+𝑎𝑛𝑧𝑛−1+𝑧𝑛, (4.5)
cu:
𝛼1=−2𝑒−𝜁𝜔𝑛𝑇𝑠cos(𝜔𝑛𝑇𝑠√1−𝜁2); 𝛼2=𝑒−2𝜁𝜔𝑛𝑇𝑠; 𝛼𝑖=𝑒−(3÷5)𝜔𝑛𝑇𝑠; (4.6)

unde 𝜁 și 𝜔𝑛 se obțin din Tabelul 4.1.

Indice de performanță Simbol Formula de calcul Regim tranzitoriu Suprareglarea 𝜎
𝜎=𝑒−𝜋𝜁
√1−𝜁2

Durata regimului tranzitoriu
𝑡𝑡 𝑡𝑡=ln0.05√1−𝜁2
−𝜁𝜔𝑛, pentru
0.5 ≤𝜁≤0.8⇒ 𝑡𝑡≅4
𝜁𝜔𝑛
Gradul de amortizare 𝛿
𝛿2=𝑒−2𝜋𝜁
√1−𝜁2
Lărgimea de bandă 𝜔𝑏 𝜔𝑏=𝜔𝑛√1−2𝜁2+√2−4𝜁2+4𝜁4 Regim
staționar Eroare staționară 𝜀𝑝 𝜀𝑝=0⇒𝐺0(1)=1
Eroare de viteză 𝜀𝑣 𝜀𝑣=1
𝑝1+1
𝑝2=2𝜁
𝜔𝑛
Tabelul 4.1 Performanțele de regim tranzitoriu și staționar

 Se determină matricea de reacție după stare:

𝒇𝑻=𝒉𝑻𝑷𝒄(𝝓) (4.7)

Problema reglă rii se rezolva impunând condiția 𝐺0(1)=1, de unde rezultă parametrul
𝐾0:
𝐾0=1
𝐺(1) (4.8)

4.2 Proiectarea legii de reglare după stare

Pornind de la modelul validat (2.28) și (2.29), legea de reglare după stare (4.2) se
determină urmând algoritmul Ackermann. Da r mai întâi de toate, trebuie să verificam condiția
(4.4) și anume – sistemul să fie complet controlabil:

𝑅=[4.48623.95873.40212.2007
0.09770.07110.19130.2433
2.58754.64200.06513.9365
0.01830.13440.17980.2296]⇒𝑟𝑎𝑛𝑔 𝑅=𝑛=4 (4.9)

În continuare, urmea za să determinam 𝑓𝑇 cu procedura de alocare Ackermann :
 Matricea 𝑅−1:

𝑅−1=[0.0998 5.6178 0.0571−7.8879
0.1116−7.88450.0600 6.2568
0.1618−1.8791−0.24204.5887
−0.19995.6360 0.1498−2.2692] (4.10)

 Vectorul ℎ𝑇:

ℎ𝑇=[−0.19995.63600.1498−2.2692] (4.11)

 Polinomul car acteristic se construiește pe baza următoarelor performanțe:

{𝜎≤4.3%
𝑡𝑡≤0.1𝑚𝑠
𝜀𝑝=0 ⟹ {𝜁=0.707
𝜔𝑛=56.577∙103𝑟𝑎𝑑𝑠⁄
𝐺0(1)=1 (4.12)

𝑃𝑐(𝑧)=(𝑧2+𝛼1𝑧+𝛼2)∙(𝑧−𝛼𝑖)2=(𝑧2+1.414∙𝑧+0.548)∙(𝑧−0.1192)2 (4.13)

 Matricea de reacție după stare 𝑓𝑇:

𝑓𝑇=ℎ𝑇𝑃𝑐(𝜙)=[−0.3548−15.22960.523914.5795] (4.14)

Toate calculele au fost facute cu ajutorul MATLAB -ului(Anexă Fig.3 -5). De a semenea,
MATLAB pune la dispoziț ie determina rea matricii de reacție după stare prin intermediul funcției
acker , care are ca parametrii de intrare matricile 𝜙, 𝛤 și vectorul valorilo r proprii (polii doriți).
Dupa cum a fost menționat anteri or, problema reglarii se rezolvă introducând un parametru
𝐾0, care ponderează referința astfel încâ t să obținem eroare staționară nulă . Valoare 𝐺(1) poate fi
determinată pe cale experimentală , analizând raspunsul indicial al sistemului în bucla închisă
(Fig.4.2).

Figura 4.2 Ră spunsul indicia l al sistemului în bucla închisă

Din Fig.4.2 putem observa că valoare de regim staționar este 𝐺(1)=2.858, deci:

𝐾0=1
2.858=0.3499 (4.15)

Având calculte 𝑓𝑇 și 𝐾0, structura de reglare automată poate fi construită ca în Fig. 4.3:

Figura 4.3 Implementarea legii de reglare după stare

Deoarece modelul redă dinamica unui convertor DC-DC electronic de putere d e tip buck,
referința trebuie să fie strict mai mică decâ t tensiunea la intrare ( 𝑉𝐼𝑁). Drept exemplu, vom aplica
o referință 𝑟(𝑘)=12𝑉, aplicată la momentul 𝑡0=10𝜇𝑠(Fig.4.4).

Figura 4.4 Răspunsul sistemului (Fig. 4.3) la o referință de tip treapta

După cum bine se observă din Fig. 4.4, performanțele de regim tranzitoriu și cele de regim
staționar sunt echivalente cu cele impuse prin metoda de alocare a polilor( 𝜎≤4.3% ,𝑡𝑡≤
0.1𝑚𝑠 ,𝜀𝑝=0).
Având aceste rezultate favorabile, putem aplica legea de reglare pe un model m ai realist
(compus din modele de condesantoare, rezistențe, bobine, etc). În continuare vom numi acest
model mai realist, generic, parte fixată (Anexă Fig. 6). Înlocuind modelul de tip intrare -stare -ieșire
cu această parte fixată, trebuie introduse și niște modificări î n structura de reglare, și anume:
1. Deoarece partea fixată are la intrare un semnal PWM (Pulse Width Modulation), va trebui
să transformăm comanda calculată la un anumit moment de timp 𝑢(𝑘), într -un semnal cu
un factor de umplere corespunzător (Anexă Fig. 7);
2. Având la ieșire mă rimi continue și oscilante, v a trebui să discretiză m semnalele (folosind
un extrapolator de ordin zero) și să le facem o medie la sfârșitul fiecărei perioade de
eșantionare;
Considerând aceste obs ervații, sistemul reglat devine asemănator cu cel din Fig. 4.5:

Figura 4.5. Legea de reglare după stare aplicată părții fixate

După aplicarea aceluiași semnal de tip treaptă 𝑟(𝑘)=12𝑉, la momentul 𝑡0=10𝜇𝑠
obținem următorul răspuns(Fig.4.6):

Figura 4.6 Răspunsul sistemului (Fig. 4.5) la o referință de tip treapta

Mica diferență dintre ră spunsul din Fig.4.4 și c el din Fig.4.5 este de faptul că în sistemul
din Fig.4.5 avem la ieșire o marime continue și discretizarea acesteia introduce o mica întârziere
în răspuns. Cu toate acestea, diferen ța poate fi neglijată, pentru că performanțele răspunsului
corespund celor prestabilite.
În continuare, vom simula apariția unui consumator conectat la ieșirea convertorului DC –
DC. Acest consumator va fi dat de o sursa de curent, care va descarca condesatorul 𝐶2 cu o variație
de tip treapta unitară, incepând cu momentul 𝑡0=0.2𝑚𝑠(Anexă Fig. 8), după ce sistemul s -a
stabilit în regim staționar. Acest consumator poate fi privit și ca o perturbație pentru sistemul

reglat, deoarece influențe ază mărimea de ieșire la un moment necunoscut și cu o valoare
impredictibilă. Rezultatul acestei simulări este reprezentat în Fig. 4.7:

Figura 4.7. Răspunsul sistemului la apariția unui consumator

Se obse rvă foarte bine din Fig. 4.7, că după introducerea perturbației la momentul 𝑡0=
0.2𝑚𝑠, mărimea de ieșire trece și se stabilește într -o altă stare, cu alte cuvinte, apare o eroare
staționar ă nenulă . Astfel, una din performanțele impuse nu este respectată( 𝜀𝑝=0) și acest fapt nu
poate f i neglijat, deoa rece consumatorul este un factor care inevitabil va apă rea. Problema care a
intervenit implică modificarea structurii de reglare, astfel încât această eroare la poziție să fie
sesizată și eliminata.

4.3 Introducerea componentei integrale

Problema reglării la apariția unei perturbații po ate fi rezolvată printr -o metodă elegantă, și
anume, prin introducerea u nui integrator pe calea directă ca în schema bloc de mai jos(Fig. 4.8):

Figura 4.8. Strucura de reglare automata cu componentă integrală

𝑓𝑓
+
−
𝑥𝑓(𝑘+1)=𝜙𝑥𝑓(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶𝑥𝑓(𝑘)
𝑓𝑖
𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)
𝑥𝑓(𝑘)
𝑢(𝑘)
𝑧
𝑧−1
+
−
𝑥𝑖(𝑘)

Modelul extins al părții fixate cu integratoare este de forma [4]:

{ [𝑥𝑓(𝑘+1)
𝑥𝑖(𝑘+1)]=[𝜙0
𝐶𝐼][𝑥𝑓(𝑘)
𝑥𝑖(𝑘)]+[𝛤
0]𝑢(𝑘)+[0
𝐼]𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)=[𝐶0][𝑥𝑓(𝑘)
𝑥𝑖(𝑘)]+𝑟(𝑘) (4.16)
Introducând notațiile:

𝑥′(𝑘)=[𝑥𝑓(𝑘)
𝑥𝑖(𝑘)],𝜙′=[𝜙0
𝐶𝐼],𝛤′=[𝛤
0],𝐶′=[𝐶0],𝑊=[0
𝐼] (4.17)

Modelul extins al părții fixate devine:

{𝑥′(𝑘+1)=𝜙′𝑥′(𝑘)+𝛤′𝑢(𝑘)+𝑊𝑟(𝑘)
𝑦(𝑘)=𝐶′𝑥′(𝑘)+𝑟(𝑘) (4.18)

Conform cu Fig.4.8, legea de reglare este descrisa de:

𝑢(𝑘)=𝑓𝑖𝑥𝑖(𝑘)−𝑓𝑓𝑥𝑓(𝑘)=𝑓′𝑥′(𝑘) (4.19)
Conside rând aceste schimbări, modelul extins al părții fixate reiese du pă cum urmează:

{
𝑥′(𝑘+1)=
[ 0.8888−1.89860.0789 −2.58750
0.0253−0.3677−0.0115 1.2700 0
1.262213.7987−0.7996−16.38620
0.01380.5080 0.0055 0.4737 0
0 0 0 11]
𝑥′(𝑘)+
[ 4.4862
0.0977
2.5875
0.0183
0]
𝑢(𝑘)
𝑦(𝑘)=[00010]𝑥′(𝑘) (4.20)

Iar vectorul 𝑓′ se calculeaz ă ca și în cazul precedent printr -o metodă de alocare Ackermann,
considerând aceleași performanțe (4.12) ca și în cazul precedent. Prin urmare, vectorul 𝑓′ rezult ă
de forma (Anexă Fig.9) :

𝑢(𝑘)=[−0.0901−10.04220.23510.97680.3082]𝑥′(𝑘) (4.21)

După cum s -a putut observa, structura de reglare a fost modificată astfel încât parametrul
de ponderare 𝐾0 să dispară. Acest parametru într -adevă r asigura eroare staționară nulă , dar nu
oferea o robustețe sistemului de reglare, întrucât la apariția unei perturbații sau la modificarea
parametrilor părții fixate (de ex. proces de îmbătrânire), a cesta fiind o constantă nu se putea adapta
la noile condiții ale sistemului. Pe cand exi stența unui integrator pe calea directă asigură eroare
staționară nul ă indiferent de apariția unor mă rimi exogene.

Schema bloc din Fig.4.8 implementată în SIMULINK va ară ta în felul următor:

Figura 4.9 Structura sistemului de reglare cu componentă integrală implementată în SIMULINK

Aplicând aceleași mă rimi de intrare, care s -au aplicat în a obține răspunsul din Fig.4.7
sistemului din Fig. 4.9, cu observația că perturbația este un se mnal de tip treaptă de amplitudine
5A și se va aplica la momentul 𝑡0=0.25𝑚𝑠, obținem:

Figura 4.10 Rejecția perturbației după introducerea componentei integrale

Din Fig. 4.10 se constată că în urma introducerii componentei integrale, perturbația a fost
rejectată cu succes iar performanțele au rămas în limitele stabilite.

4.4 Proiectarea estimatorului de ordin complet

În urma stabilirii modelului de tip intrare -stare -ieșire am constat că avem 4 stări. După cum
am văzut mai devreme, pentru a putea fi implementată legea de reglare după stare, v aloarea acestor
stări trebuie să fie cunoscută la fiecare moment de timp 𝑘, pentru a putea fi calculată comanda.
Cunoaș terea valorii unei stări impl ică ca această stare să fie măsurabilă. Din păcate, acest lucru nu

este mereu posibil sau rentabil din punct de vedere financiar. Din aceste considerente în continuare
vom recurge la un estimator de stare. Acesta va estima trei din cele patru stări 𝑖𝑐𝑜𝑖𝑙, 𝑉𝑐 și 𝑖𝑒𝑚𝑖.
Modelul esti matorului de ordin complet (Luenberger) este următorul [4]:

{𝑥̂(𝑘+1)=𝜙𝑥̂(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)+𝐿[𝑦(𝑘)−𝑦̂(𝑘)]
𝑦̂(𝑘)=𝐶𝑥̂(𝑘) (4.22)

iar structura acestuia este dată în Fig. 4.11:

Figura 4.11 Structura estimatorului de ordin complet

Din (4.22) se poate deduce ușor, prin substituție, următoarea relație:

{𝑥̂(𝑘+1)=(𝜙−𝐿𝐶)𝑥̂(𝑘)+𝛤𝑢(𝑘)+𝐿𝑦(𝑘)
𝑦̂(𝑘)=𝐶𝑥̂(𝑘) (4.23)

prin urmare, dinamica estimatorului este data de matricea (𝜙−𝐿𝐶). Astfel, matricea 𝐿 trebuie
determinată în așa mod, incât valorile proprii ale matricii de tranziție sa fie in interiorul cercului
de rază unitară (condiție de stabilitate).
Matricea L se obține cu procedura Ackermann , folosind substituțiile:

𝜙→𝜙𝑇, 𝑅→𝑂𝑇, 𝑓→−𝐿𝑇 (4.24)

pentru sistemele monovariabile rezultă:

−𝐿𝑇=−[0…01](𝑂𝑇)−1𝑃𝑐𝑒(𝜙𝑇)⇒𝐿=𝑃𝑐𝑒(𝜙)𝑂−1[0…01]𝑇 (4.25)

polinomul caracteristic al estimatorului 𝑃𝑐𝑒(𝑧) a fost ales de tip dead -beat, în așa fel, in cât să
asigure viteză maximă de convergență a valorilor estimate către cele ale modelului :

𝑃𝑐𝑒(𝑧)=𝑧𝑛=𝑧4 (4.26)

Utilizând mediu MATLAB(Anexă Fig.10) matricea L rezultă după cum urmează:

𝐿=[9.77112.1025.71640.1952]𝑇 (4.27)
Adăugând estimatorul de ordin complet în structura de reglare din Fig. 4.9, obținem:
𝜙

+
𝑦(𝑘)
+
−
𝐿
𝛤
𝑢(𝑘)
𝑧−1𝐼

+
+
𝐶

𝑦̂(𝑘)
𝑥̂(𝑘)
𝑥̂(𝑘+1)

Figura 4.12 Structura de reglare în urma introducerii estimatorului complet (Anexă Fig. 11)

În urma aplicării unui semnal treaptă cu caracteristicile din Fig. 4.12, rezultă următorul
răspuns:

Figura 4.13. Răspunsul sistemului (Fig.4.12) la un semnal de tip treaptă

Prin concluzie, după introducerea estimatorului de ordin complet structura de reglare în
continuare își atinge cele două obiective: sistemul este stabil și performațe le de regim tranzitori u
și de regim staționar corespund cu cele impuse. O diferență însă se poate observa în comportarea
semnalului în timpul rejecției perturbației. În cazul precedent, tensiunea doar scadea cu 0.41V,
după care revenea înapoi la referință. După introducerea est imatorului, tensiunea scade doar cu
0.15V , dar apare și o suprareglare de 0.11V , ceea ce nu cre ează probleme, dar e o chestiune care
merită atenție.