Jocuri de noroc [601035]

Jocuri de noroc
0.1 Problema lui Pascal
Schema lui Pascal: Se consider a urn a Ucont in^ and bile albe  si bile negre ^ n
proport ii necunoscute. Not am cu p  si q probabilitatea de extragere a unei
bile albe, respectiv a unei bile negre din urna U. Probabilitatea ca ^ n urma
(n+k) extrageri cu revenire s a obt inem nbile albe, kbile negre astfel ^ nc^ at
la ultima extragere s a obt inem o bil a alb a este:
Pq
n+k:n;k=Cn1
n+kpnqk:
Problema lui Pascal: Se arunc a un zar de 4 ori. Care este probabilitatea
de a se obt ine cifra 6 cel put in o dat a? Dar dac a zarul se arunc a doar de 3
ori?
Generalizare:S a se determine probabilitatea Pna evenimentului ment ionat
mai sus dac a se arunc a zarul de n ori.
S a se arate c a n <1(8n)  si s a se calculeze lim n!1Pn:
n= 4
k2f1;2;3;4g
"="aruncarea zarului"

=f1;2;3;4;5;6g
A-se obt ine cifra 6 dintr-o singur a aruncare a zarului.
A=f6gnk= 3
p=P(A) =cardA
card
=1
6
q= 1p= 11
6=5
6
Bk=evenimentul prin care se obt ine 6 de nori ^ n 4 arunc ari
B=evenimentul cerut
B=B1[B2[B3[B4
P(B) =P(B1[B2[B3[B4) =P(B1) +P(B2) +P(B3) +P(B4)
P(B1) =C1
41
6)15
6)3=4!
1!3!
1
6
53
63=3!4
3!
1
6
53
63=125
6
63
4 =500
64
n= 4
k= 2
nk= 2
P(B2) =C2
41
6)25
6)2=4!
2!
2!
1
36
25
36=150
64
n= 4
k= 3
nk= 1
PB3 =C3
41
6)35
6) =20
64
1

n= 4
k= 4
nk= 0
P(B4) =C4
41
6)45
6)0=1
64
P(B) =500
64+150
64+20
64+1
64=671
64= 0;5177
n= 3
k2f1;2;3g
Ck-evenimentul prin care se obt ine 6 din 3 arunc ari .
C-evenimentul cerut
C=C1[C2[C3
P(C) =P(C1[C2[C3) =P(C1) +P(C2) +P(C3)
n= 3
k= 1
nk= 2
P(C1) =C1
31
6)5
6)2= 3
25
63=75
63
n= 3
k= 2
nk= 1
P(C2) =C2
31
6)25
6)1= 3
5
63=15
63
n= 3
k= 3
nk= 0
P(C3) =C3
31
6)35
6)0=1
63
P(C) =75
63+15
63+1
63=91
63= 0;4212
0.2 LOTO-6/49
Unul dintre cele mai vechi  si cunoscute jocuri de noroc este loteria. Forma
cea mai popular a de loterie de ast azi este cea cu numere extrase dintr-o urn a
iar categoriile de c^ a stig se bazeaz a pe num arul numerelor prezise corect pe
biletul de joc. Una din formele de organizare a jocului este loteria nat ional a.
Loteria numeric a se desf a soar a ^ n ordinea urm atoare:
1. Juc atorii cump ar a bilete de joc pe care noteaz a numerele ce presupun
c a vor  c^ a stig atoare ^ nainte de extragere.
2. Are loc extragerea numerelor c^ a stig atoare la un moment stabilit.
3. Compania loto  si juc atorii confrunt a numerele de la extragere cu nu-
merele ^ nscrise pe biletele de joc.
4. Este declarat c^ a stig ator cine posed a biletul de joc ce cont ine numerele
c^ astig atoare conform regulilor loteriei respective.
2

^In unele variat ii ale loteriei, extragerea principal a este urmat a de o a doua
extragere iar regulile de c^ a stig iau ^ n considerare numerele c^ a stig atoare din
prima extragere.
Orice loterie are un sistem propriu de acordare a premilor (stabilirea
fondului de c^ a stig, distribut ia pe categorii de c^ a stig, stabilirea premilor).
Fondul de c^ a stiguri reprezint a de regul a un procent x din ^ ncas arile
rezultate din v^ anzarea biletelor.
Fiec arui joc i se poate ata sa ni ste parametrii numerici de baz a prin care
acesta se identic a ^ n mod unic. Ace sti parametrii sunt:
– m=num arul total al numerelor din urn a,
– n=num arul numerelor unei extrageri,
– p=num arul numerelor de pe un bilet simplu de joc,
– q=num arul categoriilor de c^ a stig,
-n1; n2:::nq=num arul minim de numere c^ a stig atoare (pragurile),
– c=pret ul unui bilet simplu,
– f= procentul de ^ ncas ari al fondului de c^ a stiguri,
-f1; f2; :::f q=procentele de distribut ie a fondului de c^ a siguri c atre ecare
categorie de c^ a stig.
^In formulele probabilistice generale se i-au ^ n calcul parametrii care iden-
tic a desf a surarea tehnic a efectiv a a jocului ( m; n; p; q; n 1; n2; nq).
Se identic a orice sistem loto cu cei mai important i parametrii( m; n; p; q ).
Sistemul loto(49 ;6;6;3) reprezint a loteria 6 =49 adic a o extragere a 6 nu-
mere din totalul de 49, cu 6 numere ele unei variante simple  si 3 categorii de
c^ a stig.
Sistemele loto 6 =49;6=42;6=52;5=40, etc. sunt considerate sisteme loto
individuale.
Un bilet de joc are una sau mai multe variante simple, grupate ^ n variante
compuse sau scheme particulare. Biletul devine c^ a stig ator dac a cel put in
una din variantele simple pe care le cont ine este c^ a stig atoare adic a numerele
c^ a stig atoare ( n1; n2; :::n q) se a
 a printre cele p numere ale acestui bilet.
Consider am o variant a simpl a jucat a. Fie wp si evenimentul Aw-exact
w numere din cele p sunt extrase.
Aplic am schema bilei nerevenite folosind echivalent a: identic am nume-
rele extrase cu bilele unei urne, care au dou a "culori"-bilele cu prima culoare
sunt cele corespunz atoare numerelor a
ate ^ n varianta dat a (p bile),iar bilele
cu a doua culoare corespund restului numerelor (m-p bile). Probabilitatea
de aparit ie a exact w numere cu prima "culoare" dup a n extrageri va
P(Aw) =P(n; w; mw) =Cw
pCnw
mp
Cwm
3

Aceasta se nume ste formula general a a probabilit at ii de c^ a stig a variantelor
simple.
Pentru varianta 6 =49 avem q= 3; n1= 6; n2= 5; n3= 4. ^Inlocuind ^ n
formul a pe r^ and w= 6; w= 5  si w= 4 t inem probabilit at ile de c^ a stig pentru
cele trei categorii:
– 1=13983816 pentru categoria I(6 numere c^ a stig atoare);
– 0;00184% pentru categoria II(5 numere c^ a stig atoare);
– 0;9686% pentru categoria III (4 numere c^ a stig atoare).
^In majoritatea sistemelor loto avem p=n , formula general a devenind
astfel:
P(Aw) =Cw
nCnw
mn
Cwm
^In cadrul sistemului loto juc atorii sunt interesat i de probabilit at ile de
c^ a stig cumulate,specice aparit iei unui num ar variabil de numere jucate la
extragere. Acest eveniment este de tipul "cel put in w numere".
Dorim s a evalu am probabilitatea de aparit ie a cel put in w numere din
cele p ale variantei jucate: 1 ;2; :::; p1.
Evenimentele Aw-exact w numere extrase, w= 0;1; :::; p sunt incompati-
bile dou a c^ ate dou a  si:
P[
wAw) =X
wP(Aw)
Consider am evenimentul BW"cel put in w numere din cele p sunt extrase"  si
Bw=Aw[Aw+1[:::[Ap si:
P(Bw) =Ppw[
i=0Aw+i) =pwX
i=0P(Aw+i)
Probabilitatea evenimentului Bwo calcul am ^ nsum^ and probabilit at ile eveni-
mentelor Awdin care este compus.
La sistemul 6 =49 ^ n care o variant a simpl a de c^ a stig la categoria I are
probabilitatea de 1 =13983816. Dac a juc am dou a variante simple probabi-
litatea de c^ a stig se dubleaz a devenind 2 =13983816. Dac a juc am svariante
simple probabilitatea de c^ a stig cre ste de sori. Deci probabilitatea de c^ a stig
a schemei cre ste proport ional cu num arul sde variante jucate.
Acest lucru este valabil numai pentru prima categorie de c^ a stig,pentru
orice loterie ^ n care ni=n.
Not am cu V1; V2; :::; V , variantele simple ale unei scheme date( s > 1),
Visunt combinat ii de dimensiune p. Consider am evenimentul "varianta Vi
cont ine minim knumere c^ a stig atoare", notat cu Vk
i, pentru i= 1;2; :::; s  si
1kn.
4

Evenimentul "schema dat a cont ine cel put in o variant a cu minim k nu-
mere c^ a stig atoare este reuniunea dup a ide la 1 la sa evenimentelor Vk
i:
s[
i=1Vk
i=Vk
1[
Vk
2[
:::[
Vk
s
Ca s a calcul am probabilitatea acestui eveniment aplic am principiul de includere-
excludere:
Ps[
i=1Vk
i) =sX
i=1P(Vk
1)X
16i1i2sP(Vk
i1\
Vk
i2)+X
16i1i2i3sP(Vk
i1\Vk
i2\Vk
i3):::
+(1)sP(Vk
1\Vk
2\:::\Vk
i)()
Toate intersect iile din formula ( ) sunt vide, ^ n acest caz
Ps[
i=1Vk
i) =sX
i=1P(Vk
1) =sP(Vk
1);
adic a probabilitatea reuniunii cre ste direct cu num arul variantelor simple din
schema jucat a.
Aceast a proprietate este util a pentru a evalua  sansele de c^ a stig pentru
orice categorie,^ n funct ie de num arul variantelor simple jucate  si de a stabili
o corelat ie ^ ntre probabilit at ile de c^ a stig  si investit ia ^ n biletele de joc.
O condit ie sucient a pentru ca evenimentele Vk
is a e incompatibile dou a
c^ ate dou a  si ca probabilitatea de c^ a stig a schemei s a creasc a direct proport ional
cu num arul variantelor jucate poate  dat a de num arul numerelor comune
prezente ^ n variantele simple luate dou a c^ ate dou a.
Condit ia sucient a se exprim a ca un num ar maxim al num arului cij,
num arul numerelor compuse din variantele Vi siVj, 1i < js, ca
oricare dou a variante ale schemei s a nu cont in a mai mult de 2 kn1
numere comune.
^In tabelul de mai jos prezent am valorile num arului maxim cijdin condit ia
sucient a g asit a, pentru cele mai des ^ nt^ alnite valori ale lui n(dimensiunea
extragerii)  si k(pragurile n1; n2; :::; n ale categoriilor de c^ a stig).
k n 34567
3210EE
4-3210
5–432
6–54
7–-6
5

Num arul maxim de numere comune( cij) pe care ^ l pot avea dou a variante
ale unei scheme astfel ^ nc^ at probabilitatea de c^ a stig cumulat a pentru minim
knumere c^ a stig atoare din cele nesxtrase s a creasc a proport ional cu num arul
de variante jucate, conform condit iei suciente g asite se a
 a la intersect ia
coloanei corespunz atoare unei valori ncu linia corespunz atoare unei valori k.
Exemplu de utilizare a tabelului
Care este num arul maxim de numere comune pe care ^ l cont ine oricare
dou a variante ale schemei de joc pentru  sistemul 6 =49 care s a asigure linia-
ritatea probabilit at ii de c^ a stig pentru minim categoria a treia?
Num arul maxim se a
 a la intersect ia coloanei n= 6 cu linia k= 4  si este
egal cu 1, deci vom alege variantele schemei astfel ^ nc^ at oricare dou a dintre
ele s a nu cont in a mai mult de un num ar comun.
Condit ia de exclusivitate asigur a probabilitatea maxim a la acela si num ar
de variante jucate. Prin urmare dac a alegem alte variante de joc ^ n acela si
num ar ca cel al schemei create sub condit ia de exclusivitate, probabilitatea
noii scheme este mai mic a sau egal a cu cea a schemei init ial a. O schem a
cu acela si num ar de variante dar care cont ine mai multe numere comune are
avantajul^ n cazul unui c^ a stig c a pot  mai multe variante simple c^ a stig atoare.
De exemplu num arul maxim de numere comune pe care ^ l pot cont ine
dou a variante ale schemei 6 =49 care s a asigure probabilitatea de c^ a stig pentru
categoria I (6 numere c^ a stig atoare) este 5. Vom alege variantele schemei astfel
^ nc^ at oricare dou a dintre ele s a cont in a maxim 5 numere comune.
Fiecare sistem de joc are o formul a ata sat a, prin care putem a
a num arul
c^ a stigurilor multiple posibile ^ n diferite situat ii.
6