Jocuri de noroc [600607]

Jocuri de noroc
0.1 Problema lui Pascal
Schema lui Pascal: Se consider a urn a Ucont in^ and bile albe  si bile negre ^ n
proport ii necunoscute. Not am cu p  si q probabilitatea de extragere a unei
bile albe, respectiv a unei bile negre din urna U. Probabilitatea ca ^ n urma
(n+k) extrageri cu revenire s a obt inem nbile albe, kbile negre astfel ^ nc^ at
la ultima extragere s a obt inem o bil a alb a este:
Pq
n+k:n;k=Cn1
n+kpnqk:
Problema lui Pascal: Se arunc a un zar de 4 ori. Care este probabilitatea
de a se obt ine cifra 6 cel put in o dat a? Dar dac a zarul se arunc a doar de 3
ori?
Generalizare:S a se determine probabilitatea Pna evenimentului ment ionat
mai sus dac a se arunc a zarul de n ori.
S a se arate c a n <1(8n)  si s a se calculeze lim n!1Pn:
n= 4
k2f1;2;3;4g
"="aruncarea zarului"

=f1;2;3;4;5;6g
A-se obt ine cifra 6 dintr-o singur a aruncare a zarului.
A=f6gnk= 3
p=P(A) =cardA
card
=1
6
q= 1p= 11
6=5
6
Bk=evenimentul prin care se obt ine 6 de nori ^ n 4 arunc ari
B=evenimentul cerut
B=B1[B2[B3[B4
P(B) =P(B1[B2[B3[B4) =P(B1) +P(B2) +P(B3) +P(B4)
P(B1) =C1
41
6)15
6)3=4!
1!3!
1
6
53
63=3!4
3!
1
6
53
63=125
6
63
4 =500
64
n= 4
k= 2
nk= 2
P(B2) =C2
41
6)25
6)2=4!
2!
2!
1
36
25
36=150
64
n= 4
k= 3
nk= 1
PB3 =C3
41
6)35
6) =20
64
1

n= 4
k= 4
nk= 0
P(B4) =C4
41
6)45
6)0=1
64
P(B) =500
64+150
64+20
64+1
64=671
64= 0;5177
n= 3
k2f1;2;3g
Ck-evenimentul prin care se obt ine 6 din 3 arunc ari .
C-evenimentul cerut
C=C1[C2[C3
P(C) =P(C1[C2[C3) =P(C1) +P(C2) +P(C3)
n= 3
k= 1
nk= 2
P(C1) =C1
31
6)5
6)2= 3
25
63=75
63
n= 3
k= 2
nk= 1
P(C2) =C2
31
6)25
6)1= 3
5
63=15
63
n= 3
k= 3
nk= 0
P(C3) =C3
31
6)35
6)0=1
63
P(C) =75
63+15
63+1
63=91
63= 0;4212
0.2 LOTO-6/49
Unul dintre cele mai vechi  si cunoscute jocuri de noroc este loteria. Forma
cea mai popular a de loterie de ast azi este cea cu numere extrase dintr-o urn a
iar categoriile de c^ a stig se bazeaz a pe num arul numerelor prezise corect pe
biletul de joc. Una din formele de organizare a jocului este loteria nat ional a.
Loteria numeric a se desf a soar a ^ n ordinea urm atoare:
1. Juc atorii cump ar a bilete de joc pe care noteaz a numerele ce presupun
c a vor  c^ a stig atoare ^ nainte de extragere.
2. Are loc extragerea numerelor c^ a stig atoare la un moment stabilit.
3. Compania loto  si juc atorii confrunt a numerele de la extragere cu nu-
merele ^ nscrise pe biletele de joc.
4. Este declarat c^ a stig ator cine posed a biletul de joc ce cont ine numerele
c^ astig atoare conform regulilor loteriei respective.
2

^In unele variat ii ale loteriei, extragerea principal a este urmat a de o a doua
extragere iar regulile de c^ a stig iau ^ n considerare numerele c^ a stig atoare din
prima extragere.
Orice loterie are un sistem propriu de acordare a premilor (stabilirea
fondului de c^ a stig, distribut ia pe categorii de c^ a stig, stabilirea premilor).
Fondul de c^ a stiguri reprezint a de regul a un procent x din ^ ncas arile
rezultate din v^ anzarea biletelor.
Fiec arui joc i se poate ata sa ni ste parametrii numerici de baz a prin care
acesta se identic a ^ n mod unic. Ace sti parametrii sunt:
– m=num arul total al numerelor din urn a,
– n=num arul numerelor unei extrageri,
– p=num arul numerelor de pe un bilet simplu de joc,
– q=num arul categoriilor de c^ a stig,
-n1; n2:::nq=num arul minim de numere c^ a stig atoare (pragurile),
– c=pret ul unui bilet simplu,
– f= procentul de ^ ncas ari al fondului de c^ a stiguri,
-f1; f2; :::f q=procentele de distribut ie a fondului de c^ a siguri c atre ecare
categorie de c^ a stig.
^In formulele probabilistice generale se i-au ^ n calcul parametrii care iden-
tic a desf a surarea tehnic a efectiv a a jocului ( m; n; p; q; n 1; n2; nq).
Se identic a orice sistem loto cu cei mai important i parametrii( m; n; p; q ).
Sistemul loto(49 ;6;6;3) reprezint a loteria 6 =49 adic a o extragere a 6 nu-
mere din totalul de 49, cu 6 numere ele unei variante simple  si 3 categorii de
c^ a stig.
Sistemele loto 6 =49;6=42;6=52;5=40, etc. sunt considerate sisteme loto
individuale.
Un bilet de joc are una sau mai multe variante simple, grupate ^ n variante
compuse sau scheme particulare. Biletul devine c^ a stig ator dac a cel put in
una din variantele simple pe care le cont ine este c^ a stig atoare adic a numerele
c^ a stig atoare ( n1; n2; :::n q) se a
 a printre cele p numere ale acestui bilet.
Consider am o variant a simpl a jucat a. Fie wp si evenimentul Aw-exact
w numere din cele p sunt extrase.
Aplic am schema bilei nerevenite folosind echivalent a: identic am nume-
rele extrase cu bilele unei urne, care au dou a "culori"-bilele cu prima culoare
sunt cele corespunz atoare numerelor a
ate ^ n varianta dat a (p bile),iar bilele
cu a doua culoare corespund restului numerelor (m-p bile). Probabilitatea
de aparit ie a exact w numere cu prima "culoare" dup a n extrageri va
P(Aw) =P(n; w; mw) =Cw
pCnw
mp
Cwm
3

Aceasta se nume ste formula general a a probabilit at ii de c^ a stig a variantelor
simple.
Pentru varianta 6 =49 avem q= 3; n1= 6; n2= 5; n3= 4. ^Inlocuind ^ n
formul a pe r^ and w= 6; w= 5  si w= 4 t inem probabilit at ile de c^ a stig pentru
cele trei categorii:
– 1=13983816 pentru categoria I(6 numere c^ a stig atoare);
– 0;00184% pentru categoria II(5 numere c^ a stig atoare);
– 0;9686% pentru categoria III (4 numere c^ a stig atoare).
^In majoritatea sistemelor loto avem p=n , formula general a devenind
astfel:
P(Aw) =Cw
nCnw
mn
Cwm
4