January 6, 2017 [606145]

Numere Proth
January 6, 2017
1 Istoric
Franois Proth a fost un autodidact fermier francez n ascut ^ n anul 1852 ^ ntr-
o mic a comuna a numit a Vaux-devant-Damloup ^ n nord-vestul Frant ei  si a
decedat in anul 1879 la doar 27 de ani cauza mortii neind cunoscut a.
2 Divzibilitatea numerelor
2.1 Divizibilitatea numerelor naturale
Denitie:
Un num ar natural x este divizibil cu un num ar natural y daca exist a un
num ar natural z astfel ^ ncat x = y
z.
Se mai spune c a x este un multiplu al lui y.
Not am yjx  si citim y divide x sau y este divizor al lui x.
x se divide cu y
y divide pe x
y este divizor al lui x
x este multiplu al lui y
Proprietile relaiei de divizibilitate
1. Oricare ar  num arul natural x, atunci x jx, unde x este diferit de zero.
2. Oricare ar  num arul natural x, atunci x j0, unde x diferit de zero  si
1jx.
1

3. Oricare ar  numerele naturale x  si y, atunci x jx
y  si yjx
y (produsul
a 2 numere naturale este divizibil cu ecare factor al produsului), unde
x  si y diferite de zero.
4. Oricare ar  numerele naturale x, y, z, dac a x jy  si yjz, atunci xjz,
unde x  si y diferite de zero.
5. Oricare ar  numerele naturale x, y, z, dac a x jy  si xjz, atunci xj(y
z), unde z diferit de zero.
6. Oricare ar  numerele naturale x, y, z, dac a x jy, atunci xjz
y, unde
x diferit de zero.
Criterii de divizibilitate
Criteriul de divizibilitate cu 2
Un num ar natural este divizibil cu 2 dac a ultima cifr a a sa este cifr a
par a (0,2,4,6,8)
Exemplu: 150, 4552, 8484, 976, 958.
Criteriul de divizibilitate cu 3
Un num ar natural este divizibil cu 3 dac a suma cifrelor sale se divide
cu 3.
Exemplu: 1359 se divide cu 3; 1+3+5+9=18
Criteriul de divizibilitate cu 4
Un num ar natural este divizibil cu 4 dac a num arul format din ultimele
dou a cifre ale num arului este divizibil cu 4.
Exemplu: 4j193224 pentru c 4 j24
4j15436 pentru c a 4 j36.
Criteriul de divizibilitate cu 5
Un num ar natural este divizibil cu 5 dac a ultima cifr a a sa este 0 sau
5.
Exemlu 5j1460 sau 5j15485
Criteriul de divizibilitate cu 9
Un num ar natural este divizibil cu 9 dac a suma cifrelor sale se divide
cu 9.
Exemplu. 719352 se divide cu 9; 7+1+9+3+5+2=27
2

Criteriul de divizibilitate cu 11
Un num ar natural este divizibil cu 11 dac a diferent a dintre suma cifrelor
situate pe locurile impare  si suma cifrelor situate pe locurile pare este
multiplu al lui 11.
Exemplu: 5709; (7+9)-(5+0)=11
1474; (1+7)-(4+4)=0
Criteriul de divizibilitate cu 25
Un num ar natural este divizibil cu 25 dac a num arul format din ultimele
dou a cifre ale num arului este divizibil cu 25.
Exemplu. 25j8850 pentru c a 25 j50
Criteriul de divizibilitate cu 10, 100, 1000, 10.000, 100.000 etc.
Un num ar natural este divizibil cu 10 dac a ultima cifr a a sa este 0, cu
100 dac a ultimele dou a cifre ale sale sunt 00, cu 1000 dac a ultimele trei
cifre ale sale sunt 000, cu 10.000 dac a ultimele patru cifre ale sale sunt
0000, cu 100.000 dac a ultimele cinci cifre ale sale sunt 00000 s.a.m.d.!
2.2 Divizibilitatea numerelor ^ ntregi
Denit ie
Un num ar ^ ntreg p este divizor al unui num a ^ ntreg q dac a exist a un num a
^ ntreg r, astfel ^ nc^ at q=p
r.
^In cazul ^ n care exist a un r t, spunem c a p este un divizor al lui q  si q este
un multiplu de t. ^In acest caz mai spunem c a q se ^ mparte exact cu p sau c a
p ^ l divide pe q  si se scrie: p jr.
Relat ia de divizibilitate ^ n mult imea numerelor ^ ntregi este o relat ie binar a,
pe aceast a mult ime.
2.2.1 Proprietile relaiei de divizibilitate
1. Relat ia de divizibilitate este re
exiv a, adic a: q Z: q=q
1, deci qjq.
2. Relat ia de divizibilitate este antisimetric a, adic a: dac a p jq  si qjp,
atunci p=q.
Avem: q=p r1 si p=qr1, deci q=qr1r2, de unde 1= r1r2, deci:r1=r2=1.
3. Relat ia de divizibilitate este tranzitiv a:
pjq, qjn)pjn
p=nq, r=pq1)r=n(qq1)
3

4. Orice num ar ^ ntreg divide pe zero.
0=p
0)pj0
5. Zero nu este divizorul nici unui num ar ^ ntreg q 6= 0.
Nu exist a: q=r
0 c^ and q=o.
6. Numerele 1  si q sunt ^ ntotdeauna divizori ai lui q.
Un num ar ^ ntreg diferit de 1 care nu admite divizori proprii se nume ste
num ar nedecompozabil. Un num ar ^ ntreg care admite divizori proprii
se nume ste num ar compus.
Numerele 1 i p se numesc divizori improprii ai lui p, orice alt divizor n
diferit de 1 se numete divizor propriu.
7. Orice divizor al unui numr ntreg p, diferit de zero, este cel mult egal
cu p.
Generalitatea propoziiei nu se restrnge n ceea ce privete relaia de di-
vizibilitate dac vom considera ntregii pozitivi.
Dac: p0 i q0, avem q1 i nqn, sau pn.
8. Dac np i nq, atunci oricare ar  ntregii x i y, n(px+qy).
Dac: n|p, n|q p=hn i q=kn
Avem: px+qy=hnx+kny=n(kx+ky)
n particular: n|(p+q) i n|(pq).
4