Istoria Matematicii 1 [630066]

ISTORIA MATEMATICII
Domeniul de studiu cunoscut sub numele istoria matematicii reprezint ă o
investigare a originii descoperirilor în matematic ă și într-un sens mai larg, o
investigare a metodelor matematice și a notațiilor din trecut.
Înainte de perioada modern ă, când a avut loc o r ăspândire a cuno ștințelor
matematice și nu numai în întreaga lume, dovezi ale descoperirilor matematice
au fost g ăsite doar în câteva locuri. Cele mai vechi texte matematic sunt
Plimpton 332 (text babilonian din 1900 I.C.), Rhind Mathematical Papyrus (text
egiptean 2000-1800 I.C.) si Moscow Mathematical Papyrus (text egiptean 1890
I.C.). Aceste texte se refer ă la teorema lui Pitagora, care pare a fi cea mai veche
și mai difuzat ă descoperire matematic ă după aritmetica de baz ă și geometrie.
Contribuția greacă în matematic ă a constat într-o rafinare a metodelor (în special
prin introducerea de ra ționamente deductive și de rigoare matematic ă în
demonstra ții) și a extins subiectul de studiu al matematicii. Studiul matematicii
ca și subiect propriu-zis începe cu secolul al 6-lea I.C. cu școala pitagoreic ă,
care a introdus cuvântul matematic ă de la cuvântul grec μάθημα (mathema ),
însemnând ”subiect de instrucț ie.”
Matematica chinez ă a avut contribu ții timpurii, incluzând scrierea într-un sistem
numeric. Sistemul numeric indiano-arabic și regulile de folosire a opera țiilor,
așa cum le utiliză m astăzi, au evoluat de-a lungul primului mileniu în India și a
fost transmis în vest prin matematicienii islamici. Ace știa, la rândul lor, au
dezvoltat și extins matematicile cunoscute pân ă atunci. Multe texte matematice
greceș ti și arabe au fost traduse in latin ă, care au contribuit la o dezvoltare
ulterioară a matematicii în Europa medieval ă.
Din timpuri stră vechi până la Evul Mediu, perioade le de înflorire a creativit ății
matematice au fost urmate de secole de stagnare. Începind cu Rena șterea italian ă
din sec. al 16-lea, noi dezvolt ări matematice, interac ționând cu noi descoperiri
științifice, au fost reali zate într-un ritm cresc ător, care continu ă și astăzi.

Matematica preistoric ă
Originile matematicii sunt strâns legate de conceptele de num ăr, mărime și
formă. Studiile moderne asupra animalelor au ară tat că aceste concepte nu sunt
specifice doar speciei umane. Astfel de concepte au facut parte din via ța de zi cu
zi a societ ăților preistorice, care se ocupau cu vânatul și culesul. Conceptul de
număr a evoluat în timp, astfel c ă în limbajele de ast ăzi se face distinc ție între
 1

unu și mai mul ți, dar nu pentru numere mai mari ca doi, conform acordului
verbelor.
Cel mai vechi obiect matematic este Osul Lebombo, descoperit in mun ții
Lebombo din Africa de Sud și datează din anii 35.000 I.C. El are 29 de incizii
realizate intr-un per oneu de babuin. Exist ă oase sau pietre cu 28-30 de incizii, pe
care femeile le foloseau pentru a urm ări ciclul menstrual. De asemenea, artefacte
preistorice descoperite în Africa și Franța, datând din perioa da 35.000 – 20.000
I.C. sugereaz ă tentative primitive de mă surare a timpului.

Osul Ishango datând din perioada 18.000 – 20.000 I.C.
Osul Ishango, descoperit în apropierea iz voarelor Nilului ( în nord-estul statului
Congo) are în jur de 20.000 ani vechime și prezintă o serie de incizii pentru
numărare dispuse pe trei coloane de-a lungul osului. Interpret ări ale acestui os
sunt legate de șiruri de numere prime sau de calendarul de șase luni.
În timpul predinastiilor egiptene din cel de-al 5-lea mileniu I.C. apar unele
picturi geometrice. S-a afirmat c ă monumente importante din Anglia și Scoția,
datând din mileniul al 3-lea I.C., incorporau în construc ția lor idei geometrice ca
cea de cerc, elips ă sau de numere pitagoreice.

Orientul apropiat antic
Mesopotamia Matematica babilonian ă se referă la matematica locuitorilor Mesopotamiei
(Irakul modern) din perioada timpurie sumerian ă, trecând prin perioada
elenistică, până aproape de începuturile cre știnismului. Numele de matematic ă
babiloniană se datoreaz ă Babilonului, ca centru de studiu. Mai târziu, sub
imperiul arab, Mesopotamia, în special Bagdadul, a devenit, odat ă în plus, un
centru important de studiu pentru matematicienii islamici.
 2

Spre deosebire de dovezile pu ține ale matematicii egiptene, cuno ștințele noastre
despre matematica babilonian ă provin din cele aproximativ 400 de t ăblițe din
argilă , descoperite de arheologi începând cu 1850. Scrise în cuneiforme, t ăblițele
au fost inscrip ționate în timp ce argila era înc ă moale și arse apoi în cuptoare sau
la soare.
Dovezile timpurii ale textelor matematice dateaz ă din perioada sumeriană , în
care au aparut primele civilizatii în Me sopotamia. Atunci s-a dezvoltat un sistem
complex de metrologie, datând din an ii 3000 I.C. În jur de anii 2500 I.C.,
sumerienii au scris tabele de multiplicare pe t ăblițe de argil ă, făceau exerci ții
geometrice și probleme de divizibilitate. Primele dovezi ale numerelor
babiloniene dateaz ă de asemenea din aceasta perioad ă.
Majoritatea t ăblițelor din argil ă descoperite dateaz ă din perioada 1800-1600 I.C.
și în ele se trateaz ă subiecte care includ frac ții, ecuații pătratice și cubice,
calculul unor numere rema rcabile. De asemenea, tă blițele includeau tabele de
înmulțire și metode de rezolvare a ecua țiilor liniare și pătratice. T ăblița
babiloniană YBC 7289 d ă o aproximare a lui √2 cu 5 cifre zecimale.
Matematicienii babilonieni foloseau sist emul numeric sexazecimal (cu baza 60).
De aici provine împ ărțirea în zilele noastre a unui minut în 60 de secunde, a unei
ore în 60 de minute și faptul c ă un cerc are 360 de grade, iar secundele și
minutele unui grad indic ă fracț iile acelui grad. Progresele babilonienilor în
matematică au fost facilitate de faptul c ă numărul 60 are mul ți divizori. În
sistemul numeric babilonian, cifrele sc rise pe coloana din stânga reprezentau
valori mult mai mari decât în sistem ul numeric zecimal. Le lipsea îns ă
echivalentul unei zecimi.
Egipt
Matematicienii egipteni scriau pentru început textele mate matice în egiptean ă,
iar începând cu perioada elenistic ă, în greac ă. Studiul matematicii în Egipt a
continuat sub Imperiul Arab, ca pa rte a matematicii islamice, când limba
utilizată de egipteni în matematic ă era araba.
Unul dintre cele mai importa nte texte egiptene este Rhind papyrus (numit și
Ahmes Papyrus, dup ă autorul să u) și datează din anii 1650 I.C. Foarte probabil
acesta reprezint ă o copie a unui document mai vechi din perioada 2000-1800
I.C. El este un manual pentru studen ți în aritmetică și geometrie ș i oferă formule
pentru arii și metode pentru înmul țiri, împă rțiri și calcul cu frac ții, dar și
informații privind numerele prime și compuse, media aritmetic ă, geometric ă și
armonică, Ciurul lui Eratostene, teoria numerel or perfecte, în particular a lui 6,
serii aritmetice și geometrice. În plus, în acest papirus se arată cum se rezolv ă
ecuațiile de gradul întâi.
 3

Un alt text matematic eg iptean important este Moscow papyrus, datând din 1890
I.C. O problem ă important ă din acest papirus o reprezint ă determinarea
volumului unui trunchi de piramid ă.
În final, Berlin papyrus din 1300 I.C. arat ă că vechii egipteni puteau rezolva o
ecuație algebric ă de ordinul al doilea.
Matematica greac ă și elenistic ă
Începând cu perioada vie ții lui Thales din Milet (~600 I.C.) și până la închiderea
Academiei din Atena în 529 D.C., matema ticienii greci scriau în limba greacă .
Aceștia locuiau în ora șe situate de-a lungul p ărții estice a Mediteranei, de la
Italia, pân ă la Africa de Nord, unite prin cultură și limbaj. Matematica greac ă
din perioada ce a urmat lui Alex andru cel Mare este uneori numit ă matematic ă
elenistică.

Matematica greac ă a fost cu mult mai sofisticat ă decât matematicile provenite de
la culturile anterioare. Toate dovezile r ămase din perioada premerg ătoare celei
greceș ti ne arat ă folosirea unui ra ționament inductiv, care const ă în observa ții
repetate care duc ulterior la stabilirea unor afirma ții. Spre deosebire,
matematicienii greci foloseau ra ționamentul deductiv. Ace știa foloseau logica
pentru a trage concluzii din definiț ii și axiome folosind rigoarea matematic ă în
demonstrarea afirma țiilor.

Matematica greac ă este cunoscut ă în special începând cu Thales din Milet (c.
624–c.546 I.C.) și Pitagora din Samos (c. 582–c. 507 I.C.), ca re au fost probabil
inspirați de matematica egiptean ă și babilonian ă. Conform legendei, Pitagora
călătorea în Egipt pentru a înv ăța matematicile, geometria și astronomia de la
sacerdoț ii egipteni.

Pitagora din Samos.
 4

Thales folosea geometria pentru a rezo lva probleme, cum ar fi calculul înal țimii
unei piramide sau distan ța de la o nav ă până la mal. El a fost primul care a
folosit raționamentul deductiv aplicat în geomet rie. De aceea este recunoscut ca
primul matematician cu adev ărat și primul c ăruia i se atribuie o descoperire
matematică .
Pitagora a întemeiat Școala Pitagoreic ă, a cărei doctrină era bazat ă pe ideea că
matematica guverna universul și al cărei motto era Totul este num ăr. Școala
Pitagoreic ă a introdus termenul de matematic ă și a început studiul matematicii
ca obiect în sine. La aceast ă școală s-a dat prima demonstra ție a Teoremei lui
Pitagora, de și teorema fusese cunoscut ă ca enunț cu mult înainte; totodat ă s-a
demostrat existenț a numerelor ira ționale.
Eudoxus (408–c.355 I.C.) a dez voltat metoda exhaustiv ă, ce constituie un
precursor al no țiunii de integral ă. Aristotel (384—c.322 I.C.) a fost primul care a
scris legile logicii, iar Euclid (c. 300 I.C.) este primul care utilizeaz ă un format
folosit în matematic ă și astă zi, și anume definiț ie, axiom ă, teorem ă și
demonstra ție. El a studiat de asemenea conicele. Cartea sa, Elemente , era
cunoscută pe scară largă în Vest pân ă la mijlocul secolului al 20-lea. Pe lâng ă
teoreme de geometrie, El ementele includ demonstra ția faptului c ă rădăcina
pătrată a lui 2 este iraț ională și faptul că există o infinitate de numere ira ționale.
Ciurul lui Eratostene (c. 230 I.C.) era folosit pentru a ob ține numere prime.
Arhimede (c.287–212 I.C.) din Siracuza folosea metoda exhaustiv ă pentru a
calcula aria suprafe ței situate sub un arc de parabol ă, prin sumarea unor serii. El
a mai studiat și spirala care îi poart ă numele, formule pentru volumul
suprafețelor de revoluț ie, cât ș i un sistem ingenious de exprimare a numerelor
foarte mari.

Archimedes (c.287–212 I.C.), consid erat cel mai mare matematician din
antichitate.
 5

Matematica chinez ă
Matematica chinez ă timpurie difer ă substanț ial de cea din alte pă rți ale lumii ș i
în consecin ță a cunoscut o dezvoltare independent ă. Cel mai vechi text
matematic chinezesc este the Chou Pei Suan Ching , despre care nu se știe exact
de când dateaz ă, undeva între 1200 I.C. și 100 I.C.
Este de remarcat faptul c ă matematicienii chinezi foloseau un sistemul numeric
zecimal, a șa-numitul rod numerals, în care erau folosite simboluri distincte
pentru numerele între 1 și 10 ș i alte simboluri pentru puteri ale lui 10. Astfel,
numărul 123 poate fi scris folosind simbolul pentru 1, urmat de cel pentru 100,
apoi simbolul pentru 2, urmat de cel pentru 10 și apoi simbolul pentru 3. Acesta
era cel mai avansat sistem numeric din acea perioad ă, folosit deja cu câteva
secole I.C. ș i cu mult înainte de dezvoltarea sistemului numeric indian. Acest
sistem permitea reprezentare a numerelor foarte mari și calculele puteau fi f ăcute
cu ajutorul unei num ărători chineze ști (abacus), numite suan pan. Nu se
cunoaște exact data când a fost inventat ă această numărătoare, dar a fost
menționată în anul 190 D.C. de c ătre Xu Yue în cartea sa Supplementary Notes
on the Art of Figures .
Cea mai veche lucrare de geometrie din China dateaz ă din anii 330 I.C. și
provine din filozofia chinez ă Mohism, dezvoltat ă de către discipolii lui Mo Tzu,
numit și Mozi (470–390 I.C.). Mohism este bine cunoscut pentru conceptul de
iubire universal ă sau de grijă imparțială. În canonul Mo Jing sunt descrise
diverse aspecte ale unor câmpuri asociate fizicii și au fost me ționate câteva
teoreme geometrice.
În anul 212 I.C., împ ăratul Qin Shi Huang (Shi Hu ang-ti) a dat ordin ca toate
cărțile neoficiale din Imperiul Qin sa fie arse. Ordinul s ău nu a fost îndeplinit cu
desavârșire, totuș i datorită acestuia cunoa ștem astăzi puț in din matematica
chineză dinaintea acestei perioade.
În perioada dinastiei Ha n (202 I.C.–220 D.C.) au ap ărut lucrări de matematic ă,
ce extindeau probabil studiile din lu crarile arse. Cea mai importantă lucrare este
Cele nouă capitole despre Arta Matematic ă (179 D.C.).
 6

Cele nouă capitole despre Arta Matematic ă
Părți ale sale ap ăruseră anterior sub alte titluri. Lucrarea con ține 246 de
probleme inspirate din agricultur ă, afaceri, folosirea geom etriei pentru realizarea
arcurilor sau turnurilor pagodelor chineze ști, inginerie, topografie, dar include și
material referitor la triunghiurile dreptunghice și aproxim ări ale lui π. De
asemenea este folosit principiul lui Cav alieri, relativ la volum, cu mai mult de
1000 de ani înainte de moment ul în care Cavalieri l-a enun țat. În plus, se d ă o
demonstra ție matematic ă a teoremei lui Pitagora și o formul ă pentru metoda
elimină rii lui Gauss. În secolul al 3-lea D.C., Liu Hui editeaz ă și publică o carte
cu soluțiile problemelor matematice prezentate în Cele nou ă capitole despre
Arta Matematic ă și dă o aproximare a lui π cu 5 zecimale. În secolul al 5-lea
D.C. Zu Chongzhi aproximeaz ă numărul π cu 7 zecimale, aproximare care a
rămas ca cea mai bun ă pentru urm ătorii 1000 de ani.
Cel mai important text al secolului al 13-lea, marcat de dezvoltarea algebrei
chinezeș ti, este Precious Mirror of the Four Elements scrisă de Chu Shih-chieh
(1280-1303), în care se prezintă soluții ale unor ecua ții algebrice de ordin
superior, folosind o metoda similar ă metodei lui Horner ș i este menț ionată o
diagrama a triunghiului lui Pascal, de și ambele metode apă ruseră deja in lucr ări
înainte de 1100. Chinezii foloseau diag rame combinatoriale complexe precum
pătratul magic sau cercurile magice, descrise în trecut ș i perfecț ionate apoi de
Yang Hui (1238–1298).
Chiar dup ă înflorirea matematicii eu ropene din perioada Rena șterii, matematica
chineză a avut un drum separat fa ță de cea european ă și a cunoscut un declin
după secolul al 13-lea. Misionarii iezui ți, precum Matteo Ricci au contribuit la
conectarea ideilor ma tematice ale celor dou ă culturi, între secolele 16 ș i 18, deși
în această etapă mai multe idei matematice intrau în cultura chinez ă, decât
proveneau din aceasta.

 7

Matematica indian ă
Cea mai timpurie civiliza ție de pe subcontinentul indian este civiliza ția de pe
valea Indului, care a cunoscut o înflorire între anii 2600 ș i 1900 I.C. Ora șele
ridicate de aceast ă civilizație prezint ă o anumit ă regularitate geometric ă, dar nici
un document matematic nu a r ămas de la aceast ă civilizație.
Cele mai vechi dovezi mate matice din India sunt Shatapatha Brahmana (secolul
al 9-lea I.C., dar estimarea datei variaz ă).
În Sulba Sutras (c. 800 I.C.–200 D.C.), pe lâng ă texte religioase, sunt
menționate reguli simple pentru construc ția altarelor de diverse forme, cum ar fi
pătrate, dreptunghiuri, paralelograme și altele. Se prezint ă metode pentru
construirea unui cerc cu aproximativ aceea și arie ca cea a unui p ătrat dat, în care
apar diverse aproximă ri ale lui π. Mai mult, se calculeaz ă rădăcina pătrată a lui 2
cu câteva zecimale, se dau tr iplete de numere pitagoreice și un enunț al teoremei
lui Pitagora. Probabil c ă la acest nivel a avut loc o influen ță mesopotamian ă.
Pāṇini (c. secolul al 5-lea I.C.) a formul at reguli pentru gramatica sanscrit ă.
Notațiile sale sunt similare cu notaț iile din matematica modern ă și a folosit
metareguli, precum transform ările și recursia.
Pingala (aproximativ din secolul al 5-lea I.C.) a folosit un sistem corespunz ător
sistemului numeric binar într-un tratat de al s ău. Comentariile sale despre
combinatorica metricilor corespunde un ei versiuni elementare a teoremei
binomiale, care prezint ă dezvoltarea unui binom la o putere. Lucrarea lui
Pingala con ține și idei de baz ă legate de numerele lui Fibonacci.
În Surya Siddhanta (c. 400 D.C.) sunt introduse func țiile trigonometrice sinus și
cosinus și funcția invers ă sinusului, se prezint ă reguli legate de miș carea
stelelor, plecând de la pozi țiile inițiale ale acestora pe cer. Aceast ă lucrare a fost
tradusă în arabă și latină în Evul Mediu.
În secolul al 5-lea, Aryabhata a scris Aryabhatiya , un volum sub țire, scris în
versuri, v ăzut ca supliment al regulilor de calcul folosite în astronomie și în
măsurările matematice, de și nu se distinge în acest volum prezen ța unei logici
sau a unei metodologii deductive. De și conține multe gre șeli, în Aryabhatiya
este menționat pentru prima dat ă sistemul numeric zeci mal. Câteva secole mai
târziu, matematicianul musulman Abu Rayhan Biruni a descris Aryabhatiya ca
fiind un amestec de pietre comune ș i cristale pre țioase.
Brahmagupta a fost un matematician și un astronom important al secolului al 7-
lea. Principala lucrar e a lui Brahmagupta, Brahmasphuta-siddhanta
(Deschiderea Universului), scris ă în anul 628, con ține câteva idei remarcabile,
 8

incluzând o bun ă înțelegere a rolului matematic a lu i zero, reguli de folosire a
numerelor negative și pozitive, o metod ă pentru calcularea r ădăcinilor pătratice,
metode de rezolvare a ecuaț iilor liniare și a unora p ătratice, reguli de calcul
pentru sumele seriilor, identitatea lui Brahmagupta și teorema lui Brahmagupta.
Tot în aceast ă carte, Brahmagupta explic ă sistemul numeric zecimal indo-arab.
Cartea a fost scris ă complet în versuri. Dintr-o tr aducere a acestui text (în anul
770), matematicienii islamici au cunoscut acest sistem zecimal, pe care ei l-au
adaptat în ceea ce numim ast ăzi numere arabe .
Discipolii islamici au transmis acest sist em de numere în Europa în secolul al
12-lea și el a înlocuit toate sist emele numerice existente pân ă atunci în întreaga
lume. În secolul al 10-lea, comentariile lui Halayudha la tratatul lui Pingala
conțin un studiu al șirului lui Fibonacci ș i al triunghiului lui Pascal.
În secolul al 12-lea, Bh āskara II, care a tr ăit în sudul Indiei, a studiat toate
ramurile matematicii cunoscute la acel timp. În lucr ările sale apar obiecte
matematice echivalente sau aproximativ echivalente cu numerele infinitezimale,
derivatele, teorema de medie, derivata func ției sinus.
În secolul al 14-lea, Madhava din Sangamagrama, fondatorul școlii de
matematică Kerala , a folosit 21 de termeni din seriile Madhava–Leibniz pentru a
determina valoarea lui π ca fiind 3.14159265359. Totodat ă, folosind seriile
Madhava-Gregory a determinat arctangenta, apoi a folosit seriile de puteri
Madhava-Newton pentru determinarea sinusului și cosinusului și aproximarea
Taylor pentru func țiile sinus ș i cosinus.
În secolul al 16-lea, Jyesthadeva a consolidat multe din rezultatele școlii Kerala
în Yukti-bhasa . Totuși școala Kerala nu a formulat o teorie pentru derivare și
integrare. Progresul în matematic ă și în alte științe a stagnat în India odat ă cu
instaurarea regimului musulman.
Matematica islamic ă
Imperiul Islamic, stabilit de-a lungul Persiei, Orientului Mijlociu, Asiei
Centrale, Africii de Nord, Peninsulei Iberice și în unele p ărți ale Indiei, a avut
contribuții semnificative în matematic ă în secolul al 8-lea. De și majoritatea
textelor islamice matema tice erau scrise în arab ă, autorii lor nu erau arabi,
pentru că în acea perioad ă limba arab ă era folosit ă ca limbă scrisă pretutindeni
în lumea islamic ă. Perșii au contribuit la dezvo ltarea lumii matematice al ături de
arabi.
 9

Muḥammad ibn M ūsā al-Ḵwārizmī și alături o pagin ă din cartea sa The
Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing
În secolul al 9-lea, matematicianul persan Muhammad ibn Musa Khw ārizmī a
scris mai multe c ărți importante despre cifre indo-arabe ș i despre metode de
rezolvare a ecua țiilor. Cartea sa On the Calculation with Hindu Numerals , scrisă
în jurul anilor 825, împreun ă cu lucrarea omului de știință arab Al-Kindi , au avut
un rol în r ăspândirea matematicii indiene și cifrelor indiene c ătre vest. Cuvântul
algoritm este derivat din latinizarea numelui s ău, Algoritmi, și cuvântul algebră
provine de la titlul uneia dintre lucrarile sale, The Compendious Book on
Calculation by Completion and Balancing . Khwarizmi este adesea numit
"părintele algebrei", pentru contribu țiile sale fundamentale la no țiunea de corp
comutativ. El a prezentat în detaliu rezolvarea algebric ă a ecuațiilor pă tratice cu
rădăcini pozitive și a fost primul care a predat algebra într-o form ă elementară .
El a introdus, de asemenea, transfer ul termenilor dintr-o parte a unei ecua ții în
cealaltă și reducerea termenilor asem enea. Aceasta este opera ția pe care
Khwarizmi a descris-o iniț ial ca fiind Al-jabr. Algebra sa nu se mai referea doar
la o serie de probleme care trebuiau rezolvate. Khwarizmi a studiat ecua țiile în
sine și într-un mod generic, nu doar în m ăsura în care ele apar în rezolvarea unei
probleme.
Alte progrese în algebr ă a u f o s t f ăcute de Al-Karaji în tratatul s ău al-Fakhri.
Prima demonstra ție ce folose ște principiul induc ției matematice a ap ărut într-o
carte a lui Al-Karaji, scrisă în jurul anilor 1000, pentru a demonstra teorema
binomială, cât și pentru a construi triunghiul lui Pascal. Istoricul în matematici
 10

F. Woepcke l-a apreciat pe Al-Karaji ca fiind primul care a introdus teoria
calculului algebric.
Tot în secolul al 10-lea Abul Wafa a tradus lucr ările lui Diophantus în arab ă și a
studiat funcț ia tangent ă. Ibn al-Haytham a avut contribu ții în teoria numerelor,
studiind numerele perfecte, a dezvoltat geometria analitic ă și a stabilit conexiuni
între algebr ă și geometrie. A avut contribu ții importante la principiile opticii. El
a efectuat o integrare pentru a determina volumul unui paraboloid și a
generalizat rezultatul s ău calculând integrale din polinoame pân ă la gradul al
patrulea. Nu a fost preocupat îns ă de orice polinoame de grad mai mare decât
patru. Spre sfâr șitul secolul al 11-lea, Omar Khayyam a scris Discussions of the
Difficulties in Euclid , o carte despre imperfec țiunile din Elementele lui Euclid,
în special despre postulatul paralelelor și a pus bazele geometriei analitice și
geometriei neeuclidiene. De asemenea, a fost primul care a determinat solu ția
geometric ă generală a ecuațiilor cubice. În plus, a avut o influen ță important ă în
reforma calendarului. Spre sfârșitul secolul al 12-lea, Sharaf al-D īn al-Tūsī a introdus conceptul de
funcție și a descoperit derivata polinoa melor cubice. În tratatul s ău Treatise on
Equations, a dezvoltat concepte lega te de calculul diferen țiar, cum ar fi func ția
derivată și minimul și maximul curbelor, cu scopul de a rezolva ecua ții cubice
care ar putea sa nu aib ă soluții pozitive.
În secolul al 13-lea, Nasir al-Din Tusi a realizat progrese în geometria sferic ă. A
scris de asemenea o lucrare important ă despre postulatul paralelelor al lui
Euclid. În secolul al 15-lea, Ghiyath al-Kashi a calculat valoarea lui π până la a
16-a zecimal ă
Printre alte realiz ări ale matematicienilor musulmani în aceast ă perioadă
menționăm adăugarea virgulei zecimale la numerelor arabe, descoperirea tuturor
funcțiilor trigonometrice în afar ă de sinus, introducerea criptanalizei și analizei
frecvențelor de către al-Kindi, începuturile geometriei algebrice de c ătre Omar
Khayyam , prima tentativ ă de abordare a geometriei neeuclidiene de c ătre Sadr
al-Din și dezvoltarea nota țiilor algebrice de c ătre al-Qalasā dī.
În timpul Imperiului Otoman începând cu secolul al 15-lea, dezvoltarea
matematicii islamice a început s ă stagneze.

 11

Matematica Europei medievale
Interesul Europei medievale în matematic ă s-a manifestat prin preocup ări destul
de diferite de cele al e matematicienilor modern i. Exista convingerea c ă
matematica furnizeaz ă cheia pentru în țelegerea ordinii create de natură .

Evul Mediu timpuriu
Boethius a inventat termenul quadrivium pentru a descrie studiul aritmeticii,
geometriei, astronomiei și muzicii. El a scris De institutione arithmetica , o
traducere liber ă din limba greac ă a că rții lui Nicomachus, Introduction to
Arithmetic, De institutione musica, precum și o serie de extrase din Elemente
lui Euclid. Lucr ările lui au fost mai degrab ă teoretice decât practice și au fost
baza studiului matematic, pân ă la recuperarea lucr ărilor matematice grece ști și
arabe.
Renaș terea
În secolul al 12-lea, oamenii de știință europeni au c ălătorit în Spania și Sicilia
în căutarea de texte științifice arabe, inclusiv cartea lui Khwarizmi, The
Compendious Book on Calculation by Completion and Balancing , tradusă în
latină de către Robert de Chester, cât ș i textul complet al Elementelor lui Euclid,
tradus în diferite versiuni de Adel ard din Bath, Herman de Carinthia, și Gerard
de Cremona.
Aceste noi surse au produs o reînnoire a matematicii. Fibonacci a scris Liber
Abaci în 1202, actualizat ă în 1254, prima matematic ă semnificativ ă în Europa de
la Eratostene, dup ă mai mult de o mie de ani. Lu crarea a introdus cifrele indo-
arabe în Europa și a prezentat multe alte probleme matematice.
Secolul 14 a cunoscut dezvoltarea a noi concepte matematice pentru a investiga
o gamă largă de probleme. O contribu ție important ă a fost dezvoltarea
mecanicii. Thomas Bradwardine a studiat varia ția vitezei. Fă ră ajutorul
calculului diferenț ial și a conceptului de limit ă, Heytesbury și alții au determinat
matematic distan ța parcurs ă de un organism în mi șcare uniform accelerat ă
(rezolvată astăzi prin integrare).
Cea mai important ă lucrare scris ă de Nicole Oresme de la Universitatea din Paris
este Tractatus de configurationibus qualitatum et motuum. Contribuțiile sale
matematice au dus la dezvoltarea conceptului de reprezentare grafic ă a funcțiilor
și la investigarea seriilor infinite. Se consider ă ca prin studiile sale Oresme a
anticipat descoperirile lui Galileo.
 12

Italianul Giovanni Casali a prezentat o analiză grafică a mișcării corpurilor
accelerate în tratatul s ău On the Velocity of th e Motion of Alteration (1346),
imprimat succesiv în Vene ția în 1505. Lec țiile sale de fizic ă matematic ă au
influenț at studenții Universităț ii din Padova, și se consider ă că ideile sale ar fi
influenț at ideile prezentate dou ă secole mai târziu de Galileo Galilei.
Matematica Europei moderne timpurii
Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (1446/7, Sansepolcro – 1517) a fost un
matematician italian ș i un călugăr franciscan, colaborator cu Leonardo da Vinci
și a contribuit esen țial la domeniul cunoscut ast ăzi sub numele de contabilitate,
el fiind adesea considerat ca "Tat ăl contabilit ății". El a fost numit, de asemenea,
Luca di Borgo dup ă orașul său natal, Borgo Santo Sepolcro, Toscana.

Portetul lui Pacioli, o pictur ă de Jacopo de' Barbari, 1495

În Italia, pe la mijlocu l secolului al 16-lea , Scipione del Ferro și Niccolò
Fontana Tartaglia au descoperit solu țiile pentru ecua țiile cubice. Gerolamo
Cardano le-a publicat în cartea sa Ars Magna, ap ărută in 1543, împreun ă cu
soluțiile pentru ecua țiile de gradul al 4-lea, descoperite de studentul să u
Lodovico Ferrari . În 1572 Rafael Bombelli a publicat cartea L'Algebra în care a
explicat cum se lucreaz ă cu cantit ățile imaginare care apar în formula lui
Cardano pentru rezolvarea ecua țiilor cubice.
Cartea De Thiende (arta zecimilor), scris ă de Simon Stevin a fost mai întâi
publicată în olandez ă în 1585 și conținea prima prezentare a nota ției zecimale,
care a influen țat studiul ulterior al sistemului numeric real.
Ca urmare a cererilor de naviga ție și de nevoia tot mai mare de h ărți exacte
pentru zone extinse, trigonometria devine o ramur ă important ă a matematicii.
Bartholomaeus Pitiscus a fost primul care a folosit termenul de trigonometrie, în
cartea sa Trigonometria publicată în 1595. Tabelul Regiomontanus de sinusuri și
cosinusuri a fost publicat în 1533.
 13

Secolul al 17-lea
Secolul al 17-lea a adus o explozie f ără precedent a ideilor matematice și
științifice în Europa. Italianul Galileo a observat lunile lui Jupiter în orbita
acestei planete, folosind un telescop bazat pe o juc ărie importat ă din Olanda.
Danezul Tycho Brahe a adunat o cantitate imens ă de date matematice, descriind
poziț iile planetelor pe cer. Studentul s ău german Johannes Kepler a început s ă
investigheze aceste date. Dorind sa îl aj ute pe Kepler la calculele sale, sco țianul
John Napier a fost primul care a investigat logaritmii naturali. Kepler a reu șit să
formuleze legile matematice ale mi șcarii planetelor. Geometria analitic ă
dezvoltată de matematicianul și filosoful francez René Descartes (1596–1650) a
permis reprezentarea grafic ă a orbitelor într-un sistem de coordonate carteziene.
Simon Stevin (1585) a creat bazele pentru nota ția zecimal ă modernă , cu ajutorul
căreia se descriu toate numerele, ra ționale sau ira ționale.
Bazându-se pe lucr ările predecesorilor s ăi, englezul Isaac Newton a descoperit
legile fizicii explicând legile lui Kepler ș i a unit conceptele pe care astă zi le
cunoaștem astăzi sub numele de calcul infinit ezimal. Independent, germanul
Gottfried Wilhelm Leibniz a descoperit calcul infinitezimal și multe dintre
notațiile folosite astă zi. Știința și matematica au devenit o provocare pentru
cercetare în întreaga lume.
Matematica aplicată a început s ă se extind ă și în alte dome nii, nu doar în
astronomie. Pierre de Fermat și Blaise Pascal au pus fundamentele teoriei
probabilit ăților și au stabilit legile combinatoriale ale teoriei hazardului.

Secolul al 18-lea
Se poate spune c ă mai de influent matematician al secolul al 18-lea a fost
Leonhard Euler. Contribu țiile sale pornesc de la studiul teoriei grafurilor cu
problema celor șapte poduri din Königsberg pân ă la standartizarea mai multor
termeni și notații matematice moderne.
El a notat cu simbolul i r ădăcina pătrată a lui -1 și a popularizat folosirea literei
greceș ti π ca fiind raportul dintre circumferin ța cercului și diametrul s ău. A adus
numeroase contribu ții la studiul topologiei, teor iei grafurilor, calculului
matematic, în combinatoric ă și analiză complex ă, dovedite prin multitudinea
teoremelor si nota țiilor care poart ă numele s ău.

 14

Leonhard Euler de Emanuel Handmann.
Alți doi matematicieni de marc ă a acestui secol sunt Joseph Louis Lagrange ,
care a avut lucr ări de pionierat în teoria numerelor, algebră , calcul diferen țiar și
calculul varia țional și Pierre Simon Laplace , care pe vremea lui Napoleon, a
avut contribuț ii remarcabile în mecanica cereasc ă și în statistic ă.

Secolul al 19-lea

Comportamentul dreptelor, cu o perpendicular ă comună în fiecare din cele trei
tipuri de geometrie
De-a lungul secolului al 19-lea, matematica a devenit tot mai abstract ă. Un nume
de marcă în istoria matematicii îl reprezint ă Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
A avut contribu ții numeroase în știință, iar în matematica pur ă a revolu ționat
studiul func țiilor de variabil ă complex ă, a avut rezultate remarcabile în
geometrie și în convergenț a seriilor. El a demonstrat teorema fundamental ă a
algebrei.
Acest secol a cunoscut dezvoltarea celor două tipuri de geometrie neeuclidien ă,
pentru care postulatul paralele lor din geometria euclidienă nu mai are loc.
 15

Matematicianul rus Nikolai Ivanovici Lobacevski și matematicianul maghiar
János Bolyai au definit și studiat independent geometria hiperbolic ă, în care
unicitatea paralelei dus ă printr-un punct la o dreapt ă nu mai are loc. În aceast ă
geometrie suma unghiurilor într-un triunghi este mai mic ă de 180 °. Geometria
eliptică a fost dezvoltat ă mai târziu în secolul al 19-lea de c ătre matematicianul
german Bernhard Riemann . În geometria eliptic ă nu există nici o paralel ă la o
dreaptă dată și suma unghiurilor unui triunghi dep ășește 180 °. Riemann a
introdus a șa numita geometrie riemannien ă, care unific ă și totodat ă
generalizeaz ă cele trei tipuri de geometrie și a definit conceptul de varietate
diferențiabilă , care generalizeaz ă noțiunile de curb ă și de suprafa ță.
Secolul al 19-lea reprezint ă un secol important în dezvo ltarea algebrei abstracte.
În Germania, Hermann Grassmann a dat o prim ă versiune noț iunii de spa țiu
vectorial, iar în Irlanda William Rowan Hamilton a dezvoltat algebra
necomutativ ă. Matematicianul britanic George Boole a conceput o algebr ă, care
a evoluat curând în ceea ce acum se nume ște algebra boolean ă, în care singurele
numere sunt 0 și 1 și în care 1 + 1 = 1. Algebra boolean ă este punctul de plecare
al logicii matematice și are aplica ții importante în informatic ă.
În aceea și perioad ă, Augustin-Louis Cauchy, Bernhard Riemann și Karl
Weierstrass au reformulat calculul matematic într-un mod mai riguros.
Norvegianul Niels Henrik Abel a demonstrat c ă nu exist ă o metodă generală
algebrică pentru rezolvarea ecua țiilor polinomiale de grad mai mare decât patru.
Francezul Evariste Galois a determinat condi ția necesar ă și suficient ă ca o astfel
de ecuație sa poată fi rezolvabilă prin radicali. Al ți matematicieni ai acestui
secol au ar ătat că doar cu rigla ș i compasul nu se poate realiza trisec ția unui
unghi arbitrar, nici nu se poate constr ui latura unui cub cu volumul de dou ă ori
volumul unui cub dat, nici nu se poate construi un p ătrat cu aria egal ă cu cea a
unui cerc dat. Men ționăm că încă din timpul vechilor greci, matematicienii au
încercat în zadar s ă rezolve toate aceste probleme. Studiile lui Galois au pus
bazele pentru dezvolt ările ulterioare ale teoriei grupurilor și domeniilor conexe
ale algebrei abstracte. Fi zicienii secolului al 20-lea și alți oameni de știință au
văzut în teoria grupurilor modul ideal de a studia simetria.
Spre sfâr șitul secolului al 19-lea, Georg Cantor a stabilit bazele teoriei
muțimilor, ceea ce a permis prezentarea riguroas ă a noțiunii de infinit și a
devenit limbajul comun al tuturo r matematicienilor. Teoria Mul țimilor lui
Cantor și dezvoltarea logicii matematice de c ătre Peano, L.E.J.Brouwer, David
Hilbert, Bertrand Russell și A.N.Whitehead a iniț iat o lung ă dezbatere pe tema
bazelor matematicii. Câteva societ ăți naționale matematice au fost înfiin țate în acest secol: London
Mathematical Society în 1865, Sociét é Mathématique de France în 1872,
 16

Circolo Mathematico di Pa lermo în 1884, Edinburgh Ma thematical Society în
1883 și American Mathematical Society în 1888. Prima societate internaț ională
de un inters special a fost Societatea pe ntru promovarea studiului cuaternionilor,
care a luat fiin ță în 1899.
Secolul al 20-lea
În secolul al 20-lea matema tica a devenit o profesie. În fiecare an, mii de noi
doctorate sunt acordate în matematic ă, iar locurile de munc ă sunt disponibile
atât în predare, cât și în industrie. În nici unul dint re secolele anterioare nu au
existat atât de mul ți matematicieni prolifici.
Într-un discurs din 1900 la Congresul Interna țional al Matematicienilor, David
Hilbert a stabilit o listă de 23 probleme nerezolvate în matematică . Aceste
probleme, care acoper ă multe ramuri ale matematic ii, au constituit un interes
major pentru o mare parte din mate maticienii secolului al 20-lea. Pân ă astăzi, 10
au fost rezolvate, 7 sunt rezolvate parț ial și 2 sunt înc ă deschise. Restul de 4 sunt
prea vag formulate pentru a fi decl arate ca rezolvate sau nerezolvate.
Conjecturi istorice notabile în cele din urm ă au fost dovedite. În 1976, Wolfgang
Haken și Kenneth Appel au folosit un computer pentru a demonstra teorema
celor patru culori.

Un desen ce ilustreaza Problema celor patru culori

Andrew Wiles este recunoscut oficial ca fiind cel care a rezolvat ultima teorem ă
a lui Fermat în anul 1995. Paul Cohen și Kurt Gödel au demonstrat c ă ipoteza
continuului este independent ă de axiomele standard din teoria mul țimilor. În
1998, Thomas Callister Hales a demonstrat conjectura lui Kepler.
 17

În acest secol a avut loc un num ăr fără precedent de colaborari matematice. De
exemplu, pentru clasificarea gr upurilor finite simple, realizat ă între anii 1955 și
1983 au fost necesare aproximativ 500 de articole matematice ale unui num ăr de
circa 100 de autori, pe o lungime de zeci de mii de pagini. Un grup de
matematicieni francezi, dintre care f ăceau parte Jean Dieudonné și André Weil
au publicat sub pseudonimul " Nicolas Bourbaki" și au încercat s ă expună
matematica cunoscut ă până atunci ca un întreg coerent și riguros prezentat. Cele
câteva zeci de volume realizate de ace știa au avut o influen ță controversat ă
privind educa ția matematic ă.
Geometria diferen țială a intrat în propriile sale drep turi odata cu folosirea ei de
către Einstein în teoria relativit ății generale. Noi domenii ale matematicii, cum
ar fi logica matematic ă, topologia, teoria jocurilor lui John von Neumann au
schimbat tipurile de întreb ări care ar putea gasi ră spuns prin metode matematice.
Toate tipurile de structuri au fo st abstractizate folosind axiome și au primit nume
ca spaț ii metrice, spa ții topologice etc. Conceptul de structuri abstracte a fost el
însuși abstractizat și a condus la teoria categoriilor . Grothendieck și Serre au
reformat geometria algebric ă, folosind teoria fascicolelor. Mari progrese au fost
făcute în studiul calitativ al sistemelor dinamice pe care Poincaré l-a inițiat în
1890. Teoria mă surii a fost dezvoltat ă la sfârșitul secolului al 19-lea și la
începutul secolului al 20-lea. Aplicaț iile teoriei m ăsurii includ integrala
Lebesgue , axiomatizarea dată de Kolmogorov teoriei probabilit ăților și teoria
ergodică. Mecanica cuantic ă a condus la dezvoltarea analizei func ționale . Apar
alte domenii noi precum teoria distribuț iei Laurent Schwarz, teoria punctului
fix, teoria singularit ăților și teoria catastofelor introdusă de René Thom, teoria
modelelor , și fractalii introduși de Mandelbrot . Teoria Lie împreun ă cu
grupurile Lie și algebrele Lie a devenit unul dintre principalele domenii de
studiu. Structurile algebrice, înzestrate cu cel pu țin o opera ție multivaluată au
fost introduse de F. Marty în 1934 și se numesc hiperstructuri algebrice .
Dezvoltarea și îmbunătățirea continu ă a calculatoarelor, la început ma șini
similare celor mecanice și apoi ma șini electronice digitale, a permis industriei
să se ocupe cu cantit ăți din ce în ce mai mari de date pentru a facilita produc ția
de masă, de distribu ție și de comunicare. În consecin ță, noi domenii ale
matematicii s-au dezvoltat: teoria calculabilit ății a lui Alan Turing , teoria
complexit ății, teoria informa ției introdus ă de Claude Shannon , teoria de
procesare a semnalului, analiza datelor, optimizare și alte domenii de cercetare
operațională . În secolele precedente matematica a pus accent pe calculul
matematic și pe func ții continue, dar cre șterea de re țele informatice și de
comunicaț ie a dus la o importan ță tot mai mare a conceptelor discrete și la
expansiunea combinatoricii, inclusiv a teoriei grafurilor . Viteza de prelucrare a
datelor și abilitățile calculatoarelor au permis o nou ă abordare a unor probleme
de matematic ă, care erau prea consumatoare de ti mp pentru realizarea calculelor
 18

cu creionul ș i hârtia și au condus la domenii cum ar fi analiza numeric ă și
calculul simbolic . Unele dintre cele mai importante metode și algoritmi
descoperi ți în secolul al 20-lea sunt: algoritmul simplex, transformata Fourier și
filtru Kalman.
În 1929 ș i 1930, s-a dovedit că pentru toate afirma țiile formulate în leg ătură cu
numerele naturale împreun ă cu adunarea sau cu înmul țirea putea fi determinat ă
valoarea de adev ăr de un anumit algoritm. In 1931, Kurt Gödel a constatat c ă
acest lucru nu mai are loc pentru numerele naturale, împreun ă cu adunarea ș i cu
înmulțirea, sistem cunoscut sub numele de aritmetică Peano. O consecin ță a
celor dou ă teoreme de incompletitudine ale lui Gödel este c ă în orice sistem
matematic care include aritmetica Peano (inclusiv toate de analiz ă și de
geometrie) exist ă declarații adevărate care nu pot fi dovedite în cadrul
sistemului. Prin urmare, matematica nu poate fi redus ă la logica matematică .
Una dintre cele mai interesante figuri al e matematicii secolului al 20-lea a fost
Aiyangar Srinivasa Ramanujan (1887-1920), un autodidact indian care a
conjecturat sau demonstrat peste 300 0 de teoreme, incluzând propriet ăți ale
numere compuse foarte mari, func ția de partiț ie și asimptotele sale, cât ș i
funcțiile mock theta. El a f ăcut, de asemenea, cercet ări majore asupra func țiilor
gamma, formelor modulare, seriilor di vergente, seriilor hipergeometrice și în
teoria numerelor prime.
Paul Erdős a publicat lucr ări mai mult decât oricare alt matematician din istorie,
lucrând cu sute de colaboratori. Exist ă în matematic ă un joc echivalent cu jocul
Kevin Bacon, care conduce la num ărul Erdős al unui matematician. Aceasta
descrie "distan ța de colaborare" între o persoan ă și Paul Erd ős, măsurată prin
numărul de colabor ări pentru elaborarea de articole științifice.
Ca și în majoritatea domeniilor de studiu, explozia de cuno ștințe științifice a
condus la specializare. Pân ă la sfârșitul secolului existau sute de domenii
specializate în matematică și Mathematics Subject Classification cuprindea deja
zeci de pagini. Au ap ărut din ce în ce mai multe jurnale matematice și, până la
sfârșitul secolului, dezvoltarea world wide web a condus la publicarea online.
Secolul al 21-lea
În 2000, Institutul de Matematică Clay anun ța cele șapte Probleme ale
Mileniului, iar în 2003 conjectur a lui Poincaré a fost rezolvat ă de Grigori
Perelman (care a refuzat s ă primeasc ă vreun premiu pentru aceasta).
Majoritatea jurnalelor matematice de astă zi au versiuni online, dar și versiuni
imprimate, iar pe de alt ă parte, au ap ărut multe jurnale publicate doar online.
 19

20Există astăzi un impuls din ce în ce mai mare spre accesul online nerestric ționat
la articole din jurnalele științifice.
Matematica in viitor
S-au remarcat multe trenduri in matematica actual ă, care a luat o amploare mai
mare ca niciodată , computerele sunt din ce in ce mai importante și mai
performante, se extind aplica țiile matematicii în bioinformatic ă, iar num ărul
lucrărilor științifice este intr-o real ă expansiune.
Acest text reprezin ă în mare parte traducerea în limba român ă de că tre
Violeta Fotea a paginii web:
http://en.wikipedia.org/wiki /History_of_mathematics ,
completat ă cu informa ții ale altor pagini din
http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page