Ion GOlAN Raisa GRIGOR Vasile MARIN Aorentm SMARANDACHE [612307]
Ion GOlAN Raisa GRIGOR Vasile MARIN Aorentm SMARANDACHE
Algebra
În exercilii ,; probleme
pentru liceu
fi'l
J.I (h 2t-. t ;1" E Z) -It J
MulJimi, opera1ii cu multimi
Relații, funqii
Elemente de combinatorică
;.\ Ion GOlAN Raisa GRIGOR Vasile MARIN Florentin SMARANDACHE
Algebra
În exerciJii și probleme
pentru liceu
Mulțimi, operații cu mulțimi
Relatii, fundii , ,
Elemente de combinatorică
CARTIER
Editura Cartier SRL, str. București, nI. 68, Chișinău, MD2012.
TeL/fax: 24 83 68. E-mail: cartier@mdLnet
Editura Cadex 2000 SRL, str. Paul Ionescu, nI. 6, sectorul 1, București.
TeL/fax: 01/223 44 88. GSM: 094 30 4915.
Difuzare:
București: str. Paul Ionescu, nI. 6, sectorul 1.
TeL/fax: 01/223 44 88. GSM: 094 30 4915.
Gtișinău: bd. Mircea cel Bătrîn, nI. 9, sectorul Ciocana. Tel.: 34 64 61.
ALGEBRA ÎN EXEROȚII ȘI PROBLEME PENTRU LICEU
(Mulțimi, operații cu mulțimi. Relații, funcții. Elemente de combinatorică.)
Autori: Ion Goian, Raisa Grigor, Vasile Marin, Florentin Smarandache.
Coperta: Vitalie Coroban
Prepress: Centrul de Matematică Aplicată și Informatică
© Ion Goian, Raisa Grigor, Vasile Marin, Florentin Smarandache, 2000,
pentru prezenta ediție.
Această editie a apărut în 2000 la Editura Cartier.
Toate drepturile rezervate.
Cărțile CARTIER pot fi procurate în toate librăriile bune
din Romănia și Republica Moldova.
LIBRĂRIILE CARTIER
Casa Cărții, bd. Mircea cel Bătrîn, nI. 9, sectorul Ciocana, Chișinău. Tel.: 34 64 61.
Librăria din Hol, str. București, nI. 68, Chișinău, MD2012.
Tipărit în Republica Moldova de Concernul Presa. Comanda 1147
ISBN 9975-79-040-2
Cuvânt înainte
Prezenta lucrare conține exerciții §i probleme de algebră, grupate
pe capitole, pentru clasele superioare de licee §i §coli medii de cultură
generală. Scopul ei este pregătirea matematică a elevilor din liceele de
toate categoriile §i va fi utilă în lucrul de sine stătător. De asemenea,
lucrarea poate fi folosită pentru lucrul extra§colar, deoarece cititorul
va găsi în ea teoreme §i formule importante, noțiuni §i definiții de bază
care nu întotdeauna sunt incluse în manualele §colare.
A.utorii
Notații
egal;
do diferit; I
E aparține;
cf nu aparține;
C inclus în;
:::> include pe;
U reuniune;
n intersecție;
el mulțimea vidă;
V (sau) disjuncție;
1\ (§i) conjuncție;
clef p .ț} q prin definiție peste q;
ffi,~ ={0,1,2,3,4, … } mulțimea numerelor naturale;
Z = { … , -2, -1, 0,1,2, … } mulțimea numerelor întregi;
Q = {: I m, n E Z, n:l O} mulțimea numerelor raționale;
IR mulțimea numerelor reale;
C = {a + bila,b E R, i2 = -1} mulțimea numerelor complexe;
A-+ = {x E Alx > O}, A E {Z,Q,IR};
A_ = {y E Aly < O}, A E {Z, Q,IR};
A* = {z E Alz :1 O} = A \ {O},
A E {LV, Z, Q, IR, C};
Ixl
[xl
4 modulul (valoarea absolută)
lui x E IR;
partea întreagă a lui x E IR;
{;r}
(a, b)
(a,b.c)
A X B = {(a, b)ja E A, b E B} partea fracționară a lui x E IR,
O::;{x}<l;
cuplul având ca prim element
pe a §i ca al doilea element pe b
(se mai zice "pereche ordona
tă");
triplet cu elementele respective
a, b, c;
produsul cartezian dintre mulți
mea A §i mulțimea B;
A X B X C = {(a,b,c)ja EA, b E B, produsul cartezian dintre mulți-
cEC} mile A, B, C;
E
P(E) = {XjX C;;; E} mulțimea universală;
mulțimea părților (submulțimi
lor) mulțimii E;
A = B ~ (V)x E E( x E A {:? x E B) egalitatea mulțimilor A §i B;
A C;;; B ~ (V)x E E( x E A {:? x E B) A se include în B;
.4 U B = {x E Ejx E A V x E B} reuniunea mulțimilor A §i B;
An B = {x E Ejx E A 1\ x E B} intersecția mulțimilor A §i B;
A \ B = {x E Ejx E A 1\ x rț B} diferența dintre mulțimile A §i
B;
zi b B = (A \ B) U (B \ A)
CE(A) = A = E \ A
aC;;;AxB
f: .4 ––+ B
DU)
EU)
5 diferența simetrică;
compliment ara mulțimii A în
raport cu mulțimea E;
relația a definită pe mulțimile
A §i B;
funcție (aplicație) definită pe A
cu valori în B;
domeniul de definiție al funcției
f:
domeniul de valori ale funcției f.
CAPITOLUL I
Mulțimi. Operații cu mulțimi
1.1. Definiții §i notații
Teoria axiomatică a mulțimilor este foarte dificilă pentru a fi expusă
la un nivel elementar, de aceea, intuitiv, prin mulțime vom înțelege
o colecție de obiecte pe care le vom numi elemente sau puncte ale
acestei mulțimi. O mulțime este definită dacă sunt date elementele sale
sau dacă se dă o proprietate pe care o au toate elementele sale, propri
etate care le deosebe§te de elementele altei mulțimi. Ulteror mulțimile
le vom nota cu majuscule: A, E, e, … , X, Y, Z, iar elementele lor cu
minuscule: a, b, e, … , x, y, z etc.
Dacă a este un element al mulțimii A, vom scrie a E A §i vom citi
"a aparține lui A" sau "a este element din A". Pentru a exprima că
a nu este un element al mulțimii A, vom scrie a 1. A §i vom citi "a nu
aparține lui A".
Printre mulțimi admitem existența unei mulțimi notate 0, numită
mulțime vidă, care nu conține nici un element.
~1ulțimea ce conține un singur element a o notăm cu {a}. Mai
general, mulțimea ce nu conține alte elemente decât elementele
al, a2,···, an o notăm prin {al, a2,···, an}.
Dacă A este o mulțime toate elementele căreia posedă proprietatea
P, atunci vom scrie A = {xix verifică P} sau A = {xIP(x)} §i vom
citi: A constă din acele §i numai acele elemente ce posedă proprietatea
P (pentru care predicatul P( x) este adevărat).
Vom folosi notațiile:
IN = {O, 1,2,3, … } -mulțimea numerelor naturale;
IN" = {1, 2, 3, … } -mulțimea numerelor naturale nenule:
Z = { … , -2, -1,0, 1,2, … } -mulțimea numerelor întregi;
6
Z~ = {±I, ±2, ±3, … } -mulțimea numerelor întregi nenule;
Q = { : I m E Z, n E ]N* } -mulțimea numerelor raționale;
Q* -mulțimea numerelor raționale nenule;
IR -mulțimea numerelor reale;
IR* -mulțimea numerelor reale nenule;
IR+ = {x E IRlx ~ O}; IR+ = {x E IRlx > O}; c = {a + bila, b E IR} -mulțimea numerelor complexe;
C* -mulțimea numerelor complexe nenule;
m E {I,2, … ,n} {:} m = I,n;
D( a) = {c E Z* la:c} -mulțimea tuturor divizorilor întregi al
numărului a E Z;
n( A) = lAI -numărul elementelor mulțimii finite A.
Notă. Vom considera cititorul familiarizat cu simbolurile logice:
conjuncția /\ ( … și … ), disjuncția V ( … sau … ), implicația ~, cuan
tificatorul existențial (3) și cuantificatorul universal (V).
Fie A §i B două mulțimi. Dacă toate elementele mulțimii A sunt §i
elemente ale mulțimii B, atunci spunem că A este inclusă în B sau
că A este o parte a lui B, sau că A este o submulțime a mulțimii
B §i notăm A ~ B. Deci
A. ~ B {:} (V) x (x E A ~ x E B).
Proprietățile incluziunii: a) (V) A, A ~ A (refiexivitate);
b) (A ~ B /\ B ~ C) ~ A. ~ C (tranzitivitate); c) (V) A, 0 ~ A.
Dacă A nu este o parte a mulțimii B, atunci scriem A Cf:. B, adică
A Cf:. B {:} (3) x (x E A /\ x ti. B).
Vom spune că mulțimea A este egală cu mulțimea B, pe scurt
A = B, dacă ele constău din unele §i acelea§i elemente, adică
A = B {:} (A ~ B /\ B ~ .4).
Proprietățile egalității. Oricare ar fi mulțimile ~4, B §i C, avem:
a) A = A (refiexivitate); b) (A = B) ~ (B = A) (simetrie);
c) (A = B /\ B = C) ~ (A = C) (tranzitivitate).
Prin P(A) vom nota mulțimea tuturor părților mulțimii A,
adică X E P(A) {:} X ~ A.
Evident, 0, A E P(A).
Mulțimea universală, mulțimea ce conține toate mulțimile exa
minate în continuare, natura elementelor cărora este una §i aceea§i, o
vom nota prin E.
7
Operații cu mulțimi
Fie A §i B două mulțimi, A, B E P(E).
1. Intersecția.
adică An B = {x E Elx E A!\ x E B},
x E An B <=? (x E A !\ x E B),
x rț A n B <=? (x rț A V x rț B).
2. Reuniunea.
adică
3. Diferența.
adică Au B = {x E Elx E A V x E B},
x EA u B <=? (x E A V x E B),
x rț A u B <=? (x rț A !\ x rț B).
A \ B = {x E Elx E A!\ x rț B},
x E A \B <=? (x E A!\x rț B),
x rț A \ B <=? (x rț A V x E B). (1)
(1')
(2)
(2')
(3)
(3')
4. Complementara unei mulțimi. Fie A E P(E). Diferența
E \ A este o submulțime a lui E, notată CE(A) §i numită comple
mentara lui A în raport cu E, adică
Cu alte cuvinte, CE(A) = E\ A = {x E Elx rț A}.
x E CE(A) <=? x rț A,
x rț CE(A) <=? x E A.
Proprietăți ale operațiilor cu mulțimi
.4 n A = A, A u A = A (legile de idempotență). (4)
( 4')
An B = B n A, Au B = B u A (legile de comutativitate).
(A n B) n C = An (B n C), (1 '1 d … ) (.4 u B) u C = Au (B U C) egi e e aSOCiativItate.
AU (B n C) = (A U B) n (A U C), (1 '1 d d' 'b .. ) An (B U C) = (A r B) U (A n C) egi e e Istn utivitate .
AU (A n B) = A. (1 '1 d b b') A n (A U B) = A egi e e a sor țIe .
8
CE(AUB) = CE(A)nCE(B), . .
CE(A n B) = CE(A) U CE(B) (legIle lUI de Morgan).
Două submulțimi "privilegiate" ale lui E sunt 0 și E. Pentru orice
A E P(E), avem:
o ~ A ~ E,
Au 0 = A, An 0 = 0, CE(0) = E,
AuE=E, AnE=A, CE(E) = 0,
Au CE(A) = E, An CE(A) = 0,
CE(CE(A)) = A (principiul reciprocității).
Ulterior vom folosi notația CE(A) = A.
5. Diferența simetrică.
A /), B = (A \ B) U (B \ A).
Proprietăți. Oricare ar fi mulțimile A, B și C, avem:
a) A /), A = 0; b) A/), B = B /), A (comutativitatea);
c) A/),0 = 0 /), A = A; d) A /), (A /), B) = B:
e) (A /), B) /), C = A /), (B /), C) (asociativitatea);
f) An (B /), C) = (A n B) /), (A n C): g) A /), B= (A U B) \ (A n B).
6. Produs cartezian. Fie x și Y două obiecte. Mulțimea
{ {x}, {x, y} } ale cărei elemente sunt mulțimile {x} și {x, y} se numește
pereche ordonată (sau cuplu ordonat) cu prima componentă x și
a doua componentă y și se notează cu (x, y). Având trei obiecte x, y
și z, notăm (x,y.z) = ((x,y),z) și numim triplet ordonat.
În general, având n obiecte Xl, X2, … , Xn, notăm
(XI,X2,""X n) = ( … ((Xl,X2),X3),"'X n)
și numim sistem ordonat de n elemente (sau cortej de lungimea n).
Avem
(Xl, X2,···. xn) = (YI, Y2,···, Yn) {:} (Xl = YI /\X2 = Y2 /\ .. ,/\Xn = Yn)'
Fie A, B E P(E). Mulțimea
A X B = {(a,b)[a EA /\ b E B}
se numește produs cartezian al mulțimilor A și B. Evident, putem
defini
A x B X C = {(x, y, z)[x E A /\ Y E b /\ z E C}.
Mai general, produsul cartezian al mulțimilor Al, A2, … , An
Al X A2 X … X An = {(Xl,X2, … ,Xn)[Xi E Ai,i = I,n}.
Pentru A = B = C = Al = A2 = … = An, avem
def 2 def 3 def A X A = A , A X A X A = A ,A X A X '" X A = An.
" V' ;/
non
De exemplu 1R3 = {(x,y,z)[x,y,z E 1R}. Submulțimea
9
/:::.= {(a,a)la E A} ~ A2
poartă numele de diagonală a mulțimii A2•
Exemple. 1. Fie A = {1, 2} §i B = {1, 2, 3}. Atunci
A X B = {(1, 1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3)}
§i
B X A = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2)}.
Observăm că A X B :1 B x A.
2. Produsul cartezian JR2 = JR X JR se poate reprezenta ge
ometric ca mulțimea tuturor punctelor unui plan în care s-a fixat
un sistem rect angular de coordonate xOy, asociind fiecărui element
(x, y) E JR2 punctul P(x, y) din plan de abscisă x §i ordonată y.
Fie A = [2; 3] §i B = [1; 5](A, B ~ JR). Atunci A X B are ca
reprezentare în plan dreptunghiul ha§urat K LM N (fig. 1.1), unde
1{(2,1), L(2,5), M(3,5), N(3,1).
y
5 L M – – –
/ /
~<
1
O 1 2 3
Fig. 1.1
Se verifică U§Of proprietățile:
a) (A ~ C 1\ B ~ D) =? A X B ~ C X D;
b) A X (B U C) = (A X B) U (A xC),
A X (B n C) = (A X B) n (A xC);
c) A X B = 0 {:} (A = 0 V B = 0),
A X B:I 0 {:} (A :1 01\ B :1 0). x
7. Intersecția §i reuniunea unei familii de mulțimi. O
familie de mulțimi este o mulțime {Ai li E I} = {A;}iEl ale cărei
10
elemente sunt mulțimile Ai, iEI, Ai E P(E). Spunem că {Aili E I}
este o familie de mulțimi indexate cu mulțimea I.
Fie o familie de mulțimi {Ai I iEI}. Reuniunea sa (sau reuniunea
mulțimilor Ai, i E 1) este mulțimea U Ai = {x E EI (3) iEI: x E Ai}.
iEI
Intersecția familiei date (sau intersecția mulțimilor Ai, i E 1) este
mulțimea
nAi = {x E Elx E Ai, (V)i EI}.
iEI
În cazul I = {I, 2, … , n}, scriem
n U Ai = Al U A2 U … U An = U Ai,
iEI i=l
n
nAi = Al nA2 n … nAn = nAi.
iEI i=l
8. Diagramele Euler-Wenn. Diagrame ale lui Euler (în SU A
-ale lui \Venn) se numesc figurile cu ajutorul cărora se interpretează
mulțimile (cercuri, pătrate, dreptunghiuri etc.) §i se demonstrează
ilustrativ unele proprietăți ale operațiilor cu mulțimi. Vom folosi cer
curile lui Euler.
Exemplu. Folosind diagramele lui Euler, să se demonstreze legea
lui de Morgan
Soluție.
E
><: (x (x (x ?9< (x
><: (x /x ~ ~~~ >;.?<
x~~~ ~~
~ / / / ~~:;,,@ ><~
Xx
/x xxx xxxx x:
)< »«»«x (x ~
b)
Fig. 1.2
11
În fig. 1.2,a) partea ha§urată este A n B; cea neha§urată (cea în
afara An B) reprezintă CE(A n B).
În fig. 1.2,b) partea pătratului ha§urată cu \ \ \ \ este egală cu
CE(A), iar cea ha§urată cu / / / / este egală cu CE(B). Toată partea ha
§urată formează C E(A) U C E(B) (partea neha§urată este exact An B).
Din aceste două figuri se vede că CE(A n B) (partea pătratului
neha§urată în fig. 1.2,a) coincide cu CE(A) U CE(B) (partea oricum
ha§urată din fig. 1.2,b). adică
CE(.4 n B) = CE(A) U CE(B).
1.2. Exerciții rezolvate
1. Pentru orice două mulțimi A §i B, avem
An B = A \ CA \ B).
Soluție. Folosind definițiile operațiilor cu mulțimi, obținem succe-
SlV:
x E A \ (A \ B) W (x E A 1\ x rț (A \ B)) ~
~ (x E A 1\ (x rț A V x E B)) ~ (( x E A 1\ x rț A) V (x E A 1\ x E B)) ~
~ (x E A 1\ x E B) W x E An B.
Din acest §ir de echivalențe rezultă
A \ (A \ B) ~ A n B §i A n B ~ A \ (A \ B),
ceea ce demonstrează egalitatea cerută.
Remarcă. Egalitatea poate fi demonstrată §i cu ajutorul diagra
melor lui Euler.
E E
A(lB A\B A\ (A\ B)
Deci An B = A \ (A \ B).
12
2. Oricare ar fi A, B <;;;; E, are loc egalitatea
(A n B) U (A n B) = (A U B) n (A n B).
Soluție. Metoda analitică. Folosind definițiile operațiilor cu
mulțimi, obținem:
x E (A n B) U (A n B) ~ (x E (A n B) V x E (A n B)) <=?
W ((x E AAx E B)V(x E A/\x E B)) <=? ((x E AVx E A)A(x E Av
Vx E B) A (x E B V x E A) A (x E B V x E B)) (~)
<=? (x E (AUB)A(x ti. AVx ti. B)) W (x E (AUB)Ax ti. (AnB)) <=?
~ (x E (A U B) A x E (A n B)) ~ x E (A U B) n (A n B).
Acest §ir de echivalențe demonstrează că egalitatea din enunț este
adevărată.
Metoda grafică. Folosind cercurile lui Euler, avem
-L.
A
Q 1\
1." -r-
'–(AftEJ)U(AÎ1B)
a) E
Fig. 1.3 (AUB)Î1(AÎ1B)
b)
În fig. 1.3,a) avem (A n B) U (A n B), ceea ce reprezintă partea
ha§urată a pătratului. Din fig. 1.3 se vede că (A n B) U (A n B) =
= (A U B) n (A n B).
3. Pentru oricare două mulțimi A, B <;;;; E, este adevărată
echivalența
A \ B = B \ A <=? A = B.
Soluție. Fie .4 \ B = B \ A. Presupunem că A i= B. Atunci există
a E A cu a ti. B sau b E B cu b ti. A.
În primul caz, obținem a E A \ B §i a ti. B \ .4, ceea ce contrazice
egalitatea A \ B = B \ A. În al doilea caz, obținem aceea§i contradicție.
13
Deci dacă A \ B = B \ A => A = B.
Reciproc, evident.
4. Sunt date mulțimile A = {1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10}, B = {2,4,
6,8, 10} §i C = {3, 6, 9}. Să se verifice egalitățile:
a) A \ (B U C) = (A \ B) n (A \ C);
b) A \ (B n C) = (A \ B) U (A \ C).
Soluție. a) Avem B U C = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10}, A \ (B U C) =
{1,5,7}, A \ B = {1,3,5,7,9}, A \ C = {1,2,4,5,7,8,10},
(A \ B) n (A \ C) = {1, 5, 7} = A \ (B U C).
b) Pentru egalitatea a doua, avem
B n C = {6}, A \ (B n C) = {1, 2, 3,4, 5, 7, 8, 9, 10},
(A \ B) U (A \ C) = {1,2,3,4,5, 7,8,9, 10} = A \ (B n C).
5. Să se determine mulțimile A §i B ce satisfac simultan condițiile:
1) AU B = {1, 2, 3, 4, 5};
2)AnB={3,4,5};
3) 1 rț A \ B;
4) 2 rț B \ A.
Soluție. Din 1) §i 2) rezultă {3, 4, 5} ~ A ~ A U B §i
{3,4,5} ~ B ~ AU B. Din 3) rezultă 1 rț A sau 1 E B. Dacă
1 rț .4, atunci din AUB = {1,2,3,4,5} rezultă 1 E B. Însă dacă
1 E B, atunci 1 rț A, deoarece în caz contrar 1 E An B = {3, 4, 5}.
Deci rămâne 1 E B §i 1 rț A. În mod analog, din 4) urmează 2 rț B §i
deci 2 E A. Cu alte cuvinte,
{3,4,5} ~ A ~ {2,3,4,5} §i {3,4,5} ~ B ~ {1,3,4,5}
cu 2 E AuB, 1 E AUB §i de aceea A = {2,3,4,5}, iar B = {1,3,4,5}.
Răspuns: A = {2,3,4,5}, B = {1,3,4,5}.
6. Fiind date mulțimile A = {11k + 81k E Z}, B = {4mlm E Z}
§i C = {11(4n + 1) -31n E Z}, să se arate că An B = C.
Soluție. Pentru a obține egalitatea cerută, vom demonstra adevă
rul echivalenței
x E An B {:} x E C.
Fie x E A n B. Atunci x E A §i x E B §i de aceea există
două numere întregi k, m E Z, astfel încât x = 11k + 8 = 4m {:}
{:} 11k = 4( m -2). În această egalitate membrul drept este divizibil
prin 4, iar 11 (u 4 sunt primi între ei. Deci din 11k:4 rezultă k:4, adică
14
k = 4t pentru un t E Z. Atunci
x = llk + 8 = 11· 4t + 8 = 11· 4t + 11-3 = 11(4t + 1) -3,
ceea ce implică x E e, adică am demonstrat implicația
x E An B ~ x E e. (1)
Reciproc, fie y Ee. Atunci există 8 E Z cu
Y = 11 ( 48 + 1) – 3 = 11 . 48 + 11 – 3 = 11 . 48 + 8 = 4( 11 8 + 2).
Luând 48 = U E Z și 118 + 2 = v E Z, obținem
y = 11 u + 8 = 4v E A n B,
ceea ce demonstrează adevărul implicației
y E e ~ y E An B.
Din (1) și (2) rezultă egalitatea cerută.
7. Sunt date mulțimile (2)
A { IRI { 2x S; 4x -6
= x E 4x _ 11 < 2x + 1 } și B = An lN.
Să se determine:
a) toate mulțimile X cu B u X = {3,4,5,6, 7,8,9};
b) toate mulțimile Y = {y E ZIy2 E B u X},
B n Y = {3}. astfel încât
Soluție. ~terminăm mU{imea A:
{ 2x < 4x -6, 2x > 6, { x > 3,
4x = 11 < 2x + 1 <=> 2x ~ 12 <=> x ~ 6 <=> x E [3; 6).
Atunci B = [3; 6) n lN = {3, 4, 5}.
a) Toate su bmulțimile posibile ale lui B sunt
0, {3}, {4}, {5}, {3,4}, {3,5}, {4,5}, {3,4,5} = B.
Mulțimile căutate X sunt astfel, încât XuB = {3,4,5,6, 7,8,9} și deci
vor fi de forma X = eU {6, 7,8, 9}, unde e E P(B), adică mulțimile
cerute în p. a) sunt:
Xl = {6, 7, 8, 9}, X2 = {3, 6, 7,8, 9}, X3 = {4, 6, 7,8, 9},
X4 = {5,6, 7,8,9}, Xs = {3,4,6,7,8,9},X 6 = {3,5,6,7,8,9},
X7 = {4,5,6, 7,8,9}, X8 = {3,4,5,6, 7,8,9}.
b) Deoarece y E Z, atunci y2 E lN și viceversa. Ținând cont
de y2 E B u X = {3,4,.5,6,7,8,9}, obținem y2 E {4,9}, adică
y E {-3, -2,2, 3} = M. Părțile mulțimii M sunt:
0, {-3}, {-2}, {2}, {3}, {-3, -2}, {-3, 2}, {-3, 3}, {-2, 2},
{-2,3}, {2,3}, {-3,-2,2}, {-3,-2,3}, {-3,2,3}, {-2,2,3}, M.
Din condiția B n Y = {3} rezultă că Y este una din mulțimile
YI = {3}, Y2 = {-3, 3}, Y3 = {-2, 3}, Y4 = {2, 3}, Ys = {-3, -2, 3},
15
Y6 = {-3, 2, 3}, Y, = {-2, 2, 3} §i Ys = M = {-3, -2,2, 3}.
Răspuns: a) X E {XI, X2, X3, X4, Xs, X6, X,. Xs};
b) Y E {Y}, Y2, Y3, Y4, Ys, Y6, Y" Ys}.
8. Să se determine A, B, C ~ T §i ALB, dacă
T = {1,2,3,4,5,6}, A L C = {1,2}, B L C = {5,6},
An C = B n C = {3,4}.
Soluție. Din AnC = BnC = {3,4} rezultă că {3,4} ~ AnBnC.
Știm că
AL C = (A \ C) u (C \ A) = (A u C) \ (A n C),
B L C = (B \ C) u (C \ B) = (B u C) \ (B n C).
Atunci
1 EAL C {:> (1 E AUC Al ti. AnC) {:> ((1 E AV1 E C)A1 ti. AnC).
Sunt posibile cazurile:
a) 1 ti. A §i 1 E C;
b) 1 E A §i 1 ti. C
(cazul trei, 1 E A §i 1 E C ~ 1 E .4 n C = {3, 4}, este imposibil).
În primul caz, 1 ti. A §i 1 E C, din B L C = {5,6} rezultă 1 E B,
fiindcă în caz contrar 1 ti. B §i 1 E C ~ 1 E C \ B ~ B L C = {5,6}.
Deci, în acest caz avem 1 E B n C = {3, 4}, ceea ce este imposibil
§i rămâne 1 E A, 1 ti. C. În mod analog obținem 2 E A, 2 ti. B §i
2 ti. C, 5 E B §i 5 ti. A, 5 ti. C. 6 E B §i 6 ti. A, 6 ti. c.
Cu alte cuvinte, am obținut:
.4 = {1,2,3.4}, B = {3,4,5,6}, C = {3,4} §i ALB = {1,2,5,6}.
Răspuns: .4 = {1,2,3,4}, B = {3,4,5,6}, C = {3,4} §i
ALB = {1,2,5,6}.
9. Se dau mulțimile A = {1,2}, B = {2,3}. Să se determine
mulțimile:
a) A X B;
d) B2: b) B X A; c) A2;
e) (A X B) n (B X A); f) (A U B) X B;
g) (.4 X B) u (B X B).
Soluție. Folosind definiția produsului cartezian a două mulțimi,
obținem:
a) .4 X B = {(1, 2), (1,3), (2,2), (2,3)};
b) B X A = {(2,1), (2,2), (3,1), (3,2)};
c) ,42 = {(1, 1), (1,2), (2,1), (2. 2)};
16
d) B2 = {(2, 2), (2,3), (3,2), (3, 3)};
e) (A x B) n (B x A) = {(2,2)};
f) Au B = {1, 2, 3}; (A U B) x B = {(1, 2), (1,3), (2,2), (2,3),
(3,2), (3,3)}:
g) (A x B) U (B x B) = {(1,2), (1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3, 3)} =
= (.4 U B) x B.
10. Se dau mulțimile A = {1, 2, x}, B = {3, 4, y}. Să se determine
x §i y, §tiind că {1,3} x {2,4} s;: A x B.
Soluție. Formăm mulțimile A x B §i {1,3} X {2,4}:
.4xB = {(1,3), (1,4), (l,y), (2,3), (2,4), (2,y), (x,3), (x,4), (x,y)}:
C = {1,3} x {2,4} = {(1,2), (1,4), (3,2), (3,4)}.
Deoarece {I, 3} X {2,4} s;: A X B, obținem
(1,2) E C ~ (1,2) E A X B ~ (1, y) = (1, 2) ~ Y = 2;
(3,4) E C ~ (3,4) E A X B ~ (3,4) = (x,4) ~ x = 3.
Pentru x = 3 §i y = 2, avem (3,2) E A X B.
Răspuns: x = 3, y = 2.
11. Dacă A 2 B, atunci
A X B = ((A \ B) X B) U B2•
Demonstrați.
Soluție. B s;: A =? (A \ B) U B = A §i de aceea
Ax B = ((A \B)UB) x B = ((A \B) X B)U(B X B) = ((A \B) X B)UB2
(am utilizat egalitatea (A U B) xC = (A X C) U (B xC)).
12. Câte elemente are mulțimea
A={XEQlx= ;2+1 ,n=1,1000}? 2n + n + 1
Soluție. Mulțimea A are atâtea elemente câte valori diferite are
fracția (n2+1)/(2n2+n+1), când n ia valorile 1,2,3, … ,1000. Alegem
valorile lui n pentru care fracția ia valori egale.
m2 + 1 12 + 1 Fie m,l E IN*, m < I cu 2 = 212 I . Atunci 2m + m+ 1 + + 1
(m2+ 1)(212 +1 + 1) = (12+ 1)(2m2+ m+ 1) {:} (m-I)(m+l- mi + 1) =
m=F/ 1+1 = O {:} m + I-mi + 1 = O {:} m(l -1) = I + 1 {:} m = 1 _ 1 {:}
(l-1)+2 2 {:} m = {:} m = 1 + __ o 1-1 1-1
17
Însă m E IN* și de aceea
IN* 2 IN'" 2'([ ) [ [ – 1 = 1, [ [ = 2, m E {:} [_ 1 E {:}: -1 {:} [ _ 1 = 2 {:} [= 3.
Pentru [ = 2, obținem m = 3, iar pentru [ = 3, avem m = 2.
Ținând cont de faptul că m < l, obținem m = 2 și l = 3. Deci
numai pentru n = 2 și n = 3, se obține același element al mulțimii
A: x = 5/11.
Răspuns: mulțimea A are 999 de elemente, adică n(A) = 999.
13. Să se determine numerele întregi x, y pentru care afirmația
(x -1) . (y -3) = 13 este adevărată.
Soluție. Notăm
A = {(x,y) E Z2IP(x): (x -1)' (y -3) = 13}.
Deoarece 13 este număr prim, iar x, y E Z, sunt posibile cazurile:
{X -1 = 1, {x -1 = -1, {x -1 = 13, { x -1 = -13,
Y – 3 = 13, y -3 = -13, Y – 3 = 1, y -3 = -1,
adică propoziția P( x) este adevărată numai în situațiile:
{x:: 2, {x:: 0, {x:: 14, { x:: .-12,
y -16, y –10, y -4, y -2.
Răspuns: A = {(2, 16), (O, -10), (14,4), (-12, 2)}.
14. Să se determine mulțimea
A = {x E lRly(îȚX + v1J+x + v'c+X = 0, a,b,c E lR}.
Soluție. Deoarece y(îȚX 2:: 0, v1J+x 2:: 0, JC+x 2:: 0, rezultă că
egalitatea y"QȚX + Jb+X + JC+x = ° este posibilă, dacă și numai
dacă avem simultan:
a + x = b + x = c + x = ° {:} x = -a = -b = -c.
Atunci:
a) dacă cel puțin două dintre numerele a, b și c sunt diferite, nu
putem avea egalitatea y(îȚX + Jb+X + yCȚX = 0, adică în acest
caz A = 0;
b) dacă a = b = c. atunci x = -a și A = {-a}.
Răspuns: 1) pentru a = b = c, avem A = {-a}; 2) dacă cel puțin
două din numerele a, b și c sunt diferite, atunci A = 0.
15. Să se determine mulțimea
A = {x E ZI min(x + 2, 4 -x/3) 2:: 1}.
Soluție. Sunt p0sibile situațiile:
18
x + 2 S; 4 -x/3 sau x + 2 > 4 -x/3.
Examinăm fiecare caz aparte:
1) x + 2 S; 4 -x/3 <ț} 3x + 6 S; 12 -x <ț} 4x S; 6 <ț} x S; 3/2.
În acest caz, avem:
min(x + 2,4 -x/3) :2 1 <ț} x + 2:2 1 <ț} x :2 -l.
Toate numerele întregi x pentru care -1 S; x S; 3/2 sunt: -1,0,l.
2) x + 2> 4 -x/3 <ț} x > 3/2. Atunci
min( x + 2,4 -x /3) :2 1 <ț} 4 -x /3 :2 1 <ț} 12 -x :2 3 <ț} x S; 9.
Toate numerele întregi x pentru care 3/2 < x S; 9 sunt: 2,3,4,5,
6.7.8.9.
Am obținut astfel:
A = {-1,0, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9}.
Răspuns: A = {-1, 0, 1,2,3,4,5,6,7,8, 9}.
16. Să se determine valorile parametrului real m pentru care
mulțimea
A = {x E IRI(m -l)x2 -(3m + 4)x + 12m + 3 = O}
are:
a) un element;
b) două elemente;
c) este vidă.
Soluție. Mulțimea A coincide cu mulțimea soluțiilor ecuației
pătrate
(m -1 )x2 -(3m + 4)x + 12m + 3 = ° (1)
§i rezolvarea problemei s-a redus la determinarea valorilor parametru
lui m E IR pentru care ecuația are o soluție, două soluții diferite §i nu
are soluții.
a) Ecuația (1) are o singură (două egale) soluție, dacă §i numai
dacă D = ° pentru a = m – 1 -# ° sau în cazul când a = m – 1 = O.
Examinăm aceste cazuri:
1) D = (:3m +4)2 -4( m -1)(12m + 3) = -39m2 + 60m + 28 = ° <ț}
[ 30 -2V498
<ț} 39m2 -60m -28 = ° <ț} m = 39 1Ai\O'
30 + 2y498 m= . 39
2) Pentru m = 1, ecuația (1) ia forma -5x + 15 = ° <ț}
<ț} x = 3. Deci mulțimea A constă dintr-un singur element pentru
19
{30 -2V498 30 + 2J498}
m E 39 ,1, 39 .
b) Ecuația (1) are două rădăcini diferite, dacă §i numai dacă D > O,
adică
D O 39 2 60 28 O (30 -2V498 30 + 2V498) > <ț} m – m – < <ț} m E 39 ' 39 .
c) Ecuația (1) nu are rădăcini <ț} D < O <ț} 39m2 -60m -28 >
O ( 30 – 2V498) U (30 + 2V498 ) > <ț} m E -00, 39 39' +00 .
W ) {30 -2V498 1 30 + 2V498} aspuns: a m E 39 " 39 ;
b) m {30 -2V498 30 + 2V498}.
E 39 ' 39 '
) ( 30 – 2V498) U (30 + 2V498 ) c mE -00, 39 39 ,+00.
17. Fie multimile A = {3, 4, 5} §i B = {4, 5, 6}. Să se scrie ele
mentele mulțimilor A2 n B2 §i (A \ (B \ A)) X (B n A).
Soluție. a) Pentru prima mulțime avem:
A2 = {(3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (4,4), (4,5), (5,3), (5,4), (5,5)},
B2 = {(4,4), (4,5), (4,6), (.5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5), (6,6)},
A2 n B2 = {(4A), (4,5), (5,4), (5,5)}.
b) Pentru mulțimea a doua avem:
B \ A = {6}, A \ (B \ A) = A, B n A = {4,5}.
Atunci A x (B n A) = {(3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}.
Răspuns: A2 n B2 = {(4,4), (4,5), (5,4), (5,5)};
A \ (B \ A) x (B n A) = {(3,4), (3,5), (4,4), (4,5), (5,4), (5,5)}.
18. Fiind date mulțimile A = {1, 2,3,4,5,6, 7} §i B = {2, 3, 4}, să
se rezolve ecuațiile A 1::, X = A \ B §i (A 1::, Y) 1::, B = CA(B).
Soluție. Pentru a rezolva ecuațiile din enunț, folosim proprietățile
diferenței simetrice: A 1::, (A 1::, B) = B, asociativitatea §i comutativi
tatea ei.
a) A 1::, X=A\B=?A 1::, (A 6 X)=A 6 (AnB)=?X =A 6 (A \B).
Însă A \ B = {1,5,6, 7}, A \ (A \ B) = {2,3,4}, (A \ B) \A = 0 §i de
aceea
X = A 6 (A \ B) = (A \ (.4 \ B)) U ((A \ B) \ A) =
= A \ (A \ B) = {2, 3, 4} = B.
20
b) (A b. Y) b. B = A \ B {:} (A 6. B) 6. Y = A \ B {:}
{:} (A 6. B) 6. ((A 6. B) 6. Y) = (A 6. B) 6. (A \ B) '*
{:} Y = (A 6. B) 6. (A \ B).
Calculam
A 6. B = (A \ B) U (B \ A) = {1,5,6, 7} U 0 = {1,5,6, 7}.
Deci
Y = (il. \ B) 6. (A \ B) = 0.
Răspuns: X = B, Y = 0.
19. Sunt date mulțimile
A = {x E IRI Ix -11 + 12 -xl > 3 + x}, B = {x E IRI(x2 -4) X
x(x + 3)(x + 2)2 ::; O}. Să se determine mulțimile AU B, An B, A,
B, A \ B, B \ A, (A U B) \ (B \ A) §i A X (B \ A).
Soluție. 1) Determinăm mulțimile A §i B.
a) x E A {:} Ix -11 + 12 -xl> 3 + x {:} Ix -11 + Ix -21> 3 + x (*)
X-l~ x-2 – – +
o 1 2 )
x
Inecuația * este echivalenta cu totalitatea a trei sisteme de inecuații:
{X E (-00,1), { x E (-00,1),
1 -x + 2 -x > 3 + x, x < O, ( ) { x E [1;2), {:} {x E [1;2), {:} * {:} x -1 + 2 -x > 3 + x, x < -2,
{X E [2, +(0), { x E [2, +(0),
x -1 + x -2> 3 + x, x > 6
[X E (-00, O),
{:} x E 0, {:} x E (-00,0) U (6, +(0).
xE(6,+00)
Deci
A = (-oo,O)U (6,+00).
b) x E B {:} (x2 -4)( x + 3)( x + 2)2 ::; O {:} (x + 2)3( x + 3)( x -2) ::;
::; O {:} x E (-00, -3] U [-2; 2].
Cu alte cuvinte,
B = (-00, -3] U [-2; 2].
21
2) Determinăm mulțimile cerute cu ajutorul reprezentării grafice
~/A//;2.@~_ ~ ~ &/2L) –~~~~~~~~illi42~–-~6 x -3 -2 O
a) Au B = (-00,2] U (6,+00)
b) An B = (-00, -3] U [-2;0)
c) A = ClR(A) = [0;6]
d) B = ClR(B) = (-3, -2) U (2,+00)
e) A \B = (-3,-2)U(6,+00)
f) B \ A = [O; 2]
g) (A U B) \ (B \ A) = 0
h) A X (B \ A) = {(x,y) E JR21x E [0;6], y E [0;2]
-72?>.,–,/~"~–<~ ) 2 6 x
L?:?>. /Z6,
-3 -2 O ) x y ~ O 6 ) x
/Z6, ) -3 -2 2 x
-o 6 x -3 -2
O 2 ) x
20. 40 de elevi au scris o lucrare de control la matematică, care
conține o problemă, o inecuație §i o identitate. Trei elevi au rezolvat
corect numai problema, 5 elevi numai inecuația, 4 elevi au demonstrat
numai identitatea, 7 elevi nu au rezolvat numai problema, 6 elevi -numai inecuația, 5 elevi nu au demonstrat numai identitatea. Ceilalți
elevi au rezolvat totul corect. Câți elevi de ace§tea sunt?
Soluție. Fie A mulțimea elevilor care au rezolvat corect numai
22
problema. B -numai inecuația, C -au demonstrat numai identitatea,
D -mulțimea elevilor care au rezolvat numai problema și inecuația,
E -mulțimea elevilor care au rezolvat numai problema și au demon
strat identitatea, F -mulțimea elevilor care au rezolvat numai
inecuația și au demonstrat identitatea, iar G -mulțimea elevilor care
au rezolvat totul corect.
Din condițiile puse rezultă că n(A) = 3, n(B) = 5, n(C) = 4,
n(D) = 8, n(E) = 7, n(F) = 9.
Dar deoarece fiecare din elevii care au scris lucrarea a rezolvat cel
puțin un punct al lucrării corect și Întrucât mulțimile A,B,C,D,E,
F, G au ca elemente comune numai elementele mulțimii vide, reuniunea
mulțimilor A, B, C, D, E, F, G este mulțimea elevilor care au scris luc
rarea.
Prin urmare, n(AUBUCUDUEUFuG) = n(A)+n(B)+n(C)+
+n(D)+n(E)+n(F)+n(G). Deci n(G) = n(AUBUCUDuEUFuG)
-n(A)-n(B)-n(C)-n(D)-n(E)-n(F) = 40-3-5-4-8-7 -9 = 4.
Răspuns: Deci 4 elevi dintre cei care au scris lucrarea au rezolvat
totul corect.
21. (Problema matematicianului Dodjson.)
Într-o luptă încordată 72 din 100 de pirați au pierdut un ochi, 75
– o ureche, 80 -o mână și 85 -un picior. Ce număr minim de pirați
au pierdut în același timp ochiul, urechea, mâna și piciorul?
Soluție. Notăm prin A mulțimea piraților cu un ochi, prin B –
mulțimea piraților cu o ureche, prin C -mulțimea piraților cu o mână
și prin D -mulțimea piraților cu un picior.
În problemă se cere de apreciat mulțimea A n B n C n D.
Este evident că mulțimea universală E este alcătuită din mulțimea
A. n B n C n D și din numărul piraților care au păstrat ori ambii ochi,
ori amândouă urechi, ori amândouă mâni, ori amândouă picioare.
De aceea E = (A n B n C n D) U AU B U C U D. De aici reiese
că mulțimea E nu este mai mică (nu are un număr mai mic de ele
mente) decât suma numerelor de elemente ale mulțimilor A, B, C, D și
An B n C n D (egalitatea ar fi avut loc numai în cazul când mulțimile
A, B, C și D două câte două nu se intersectează).
Dar n( A) = 30, n( B) = 25, n( C) = 20, și n( D) = 15. Deci
substituind, avem n(E) = 100, adică 100 :S n(A n B n C n D) + 30 +
+25+20+15. Prin urmare, n(AnBnCnD) ~ 100-30-25-20-15 =
23
= 10.
A§adar, nu mai puțin de 10 pirați au pierdut în acela§i timp ochiul,
urechea, mâna §i piciorul.
Răspuns: Nu mai puțin de 10 pirați.
22. Din 100 de elevi 28 studiază limba engleză, 8 -limbile engleză
§i germană, 10 -limbile engleză §i franceză, 5 -limbile franceză §i
germană, 3 elevi studiază toate trei limbi. Câți elevi studiază numai
o limbă? Câți elevi nu studiază nici o limbă?
Soluție. Fie A mulțimea elevilor care studiază limba engleză, B –
limba germană, C -limba franceză.
Atunci mulțimea elevilor care studiază limbile engleză §i germană
este An B, engleză §i franceză -A n C, franceză §i germană -B n C,
engleză, germană §i franceză -A n B n C, mulțimea elevilor care stu
diază cel puțin una din aceste trei limbi este A U B U C.
Din condițiile de mai sus rezultă că elevii care studiază numai limba
engleză alcătuiesc mulțimea A \ (A n B) U (A n C), numai germana –
B \ (A n B) U (B n C), numai franceza -C \ (A n C) U (B n C).
Dar deoarece AnB ~ A, avem n(A \((AnB)U(AnC))) = n(A)
-n((AnB)U(AnC)) = n(A)-(n(AnB)+n(AnC)-n(AnBnC)) =
= n(A) -n(A n B) -n(A n C) + n(A n B n C).
În mod analog, n(B \ ((A n B) U (B n C))) = n(B) -n(A n B)
-n(B n C) + n(A n B n C);
n(C\((AnC)U(BnC))) = n(C)-n(AnC)-n(BnC)+n(AnBnC).
Fie D mulțimea elevilor care studiază numai o limbă, atunci
n(D) = n(A \ ((A n B) U (A n C))) + n(B \ ((A n B) U (B n C)))+
+n(C \ ((A n C) U (B n C))).
Prin urmare, n(D) = n(A) -n(A n B) -n(An C) + n(A n B n C) +
+n(B) -n(A n B) -n(B n C) + n(A n B n C) + n(C) -n(A n C)
-n(B n C) + n(A n B n C) = n(A) + n(B) + n(C) -2n(A n B) –
-2n(AnC)-2n(BnC)+3n(AnBnC) = 28+30+42-2·8-2·10-2·5+
+3·3= 63. n(D) =63.
Numărul elevilor care nu studiază nici o limbă este egal cu diferența
dintre numărul total de elevi §i numărul elevilor care studiază cel puțin
una din aceste limbi, adică n(H) = n(T) -n(A U B U C), unde H este
mulțimea elevilor care nu studiază nici o limbă, iar T -mulțimea celor
100 de elevi.
Din problema 20 avem n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) –
24
-n(A n C) -n(B n C) -n(A n B) + n(A n B n C) = 28 + 30 + 42-
-8 -10 – 5 + 3 = 80. Deci n(H) = 100 -80 = 20.
Răspuns: 63 de elevi studiază numai o limbă, 20 de elevi nu stu
diază nici o limbă.
1.3. Exerciții propuse
1. Care din afirmațiile următoare sunt adevărate §i care sunt false?
a)xE{x}; b)x={x};
c) x f-{x}: d) 0 E {0};
e) 0 = {0}: f) 0 E {0};
g)0={a}; h)0E{a};
i)0C::;;{a}; j){x}C::;;{x};
k) 0 c::;; {0}; 1) {1, 3, 3} = {1, {2, 3}, 3};
m) {1,2,3,4,5}={4,1,3,5,2,4,5}; n) {3-1, 6+3}={2, 5+3};
o) {a + a} = {2a}, a E lR.
2. Care din următoarele afirmații sunt adevărate §i care sunt false
(A, B §i C sunt mulțimi arbitrare)?
a) (A E B §i BEC) => A E C;
b) (A c::;; B §i BEC) => A E C;
c) (A f-B §i B f-C) =? .4 f-C;
d) (A n B c::;; C §i A U C c::;; B) => .4 n C = 0;
e) (.4 c::;; ( B u C ) §i B c::;; ( A u C )) => B = 0;
f) (A c::;; B §i B c::;; C §i C c::;; .4) => A = B = C;
g) P(A u B) = {Al U BIIAI E P(A), BI E P(B)};
h) P(A n B) = P(.4) n P(B);
i) A c::;; 0 => A = 0;
j) A c::;; B u C => An B c::;; C;
k) E c::;; A=? .4 = E;
1) AC::;; B =? B u C c::;; Au C;
m) A c::;; B => B c::;; A;
n) .4 c::;; B => (A n B = 0 §i A U B = E).
3. Fie A = {x E Qlx2 -12x + 3.) = O},
B = {x E Qlx2+2x-35 = O}, C = {x E QI(x2+1)(7x-1) = O}.
a) Să se determine mulțimile A, B §i C.
b) Să se precizeze dacă numerele 1/5, 5, 7, 1/2 aparțin sau nu aces
tor mulțimi.
25
4. Să se determine mulțimile
A={XE1Y*lx=2n, n=1,9},
B = {y E .liV"ly = 4m + 6n, m = 1,3, n = -1, O}.
5. Fie A = {x E iNlx = 4n + 6m, n, m E .liV*}.
a) Să se scrie trei elemente ale mulțimii A.
b) Stabiliți dacă 26,28,33 sunt elemente din A.
6. Să se indice proprietățile caracteristice ale elementelor
mulțimilor: A = {4,7,10}, B = {3,6,12}, C = {1,4,9,16,25},
D = {1,8,27,64,125}.
7. Câte elemente au mulțimile:
A={xEQlx=3n/(n+2), n=1,50},
B = {y E Qly = (n -1)/(2n+l), n = 1,10},
C={z E iRlz=(an + b)/(cn + d), a,b,c,d E iR, cd>O, n=l,p}?
8. Fie dată mulțimea A = {-3,-2,-1,1,2,3}. Să se determine
submulțimile lui A:
Al = {x E AIP(x): 2x+ 1 = x},
A2 = {y E AIQ(y): lyl = y},
A3 = {z E AIR(x): Izi = -z}.
9. Să se determine mulțimile:
a) A = {x E ZI min(x + 1, 4 -0.5x) ~ 1};
b) B = {x E Zlmax(x -2,13- 2x) ~ 6};
c) C = {x E iN*1 min(3x -1, 2x + 10) ~ 20};
d) D = {x E .liV"1 max(20 -x, (45 -2x)/3) > 13};
e) E= {x E ZI min(2x + 7,16 -3x) > O};
f) F = {x EZI max( x -1, 1 -x) ~ 4};
g) G = {x E iRI min(x -1, (13 -x)/2) < 3};
h) H = {x E iR I max( x + 1, 7 -x) > 5};
i) 1 = {x EZI max(x + 1,4 -0.5x) ~ 1};
j) J = {x E .liV*1 min(20 -x, (45 -2x)/3) ~ 20};
k) J( = {x E Zlmin(x+2, 10-x) > -2};
1) L = {x E ZI Ix -41 < 8}.
10. Să se compare (e, :=>, =, ct, 1;) mulțimile A și B, dacă:
{ I 2n+ 1 } a) A = x E Q x = n + 4 ' nE iN* , B = {x E Alx < 2};
26
b) A={X E QIX= ~~2:~, nEW'"}' B={x E AI2 ~ x < 3};
c) A = {x E Zlx2 + 5x + 10 = n2, nEW}, B = {-6, -3, -2, 1};
d)A={XEZlx2+3x-3=n2, nEW}, B={-7,-4,1,4};
e) A = {x E ZIx2 + llx + 20 = n2, nEW}, B = {-16,5};
f) A = {x E Rllx-11+lx-21 > 5}, B = {x E lRl(5/(x-4)) > -1};
g) A = {x E Rllxl + 11-xl ~ 2}, B = {x E lRI4x2 -4x -3 ~ O};
h) A = {x E RI4x2 -4x -3 ~ O}, B = {x E lRl(3/(x + 1)) < 1}.
11. Fie A = {1,2,3,4,5,6,7}, B = {5,6,7,8,9,10}. Folosind
simbolurile u, n, \, C (complementara), exprimați cu ajutorul lui A, B
§i W* mulțimile:
a) Al = {5,6, 7};
b) A2 = {1,2,3,4};
c) A3 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10};
d) _4.4 = {8, 9,10, … };
e) As = {8,9,10};
f) A6 = {1,2,3,4,1l,12,13, … };
g) A7 = {1,2,3,4,8,9,10}.
12. Să se determine mulțimea E, în caz că nu este indicată, §i
părțile sale A, B, C care satisfac concomitent condițiile:
a) Au B = {1,2,3,4,.5,6, 7}, An B = {1,2}, A \ B = {5};
b) A = {2, 5, 9,13, ] 8, 20}, B = {2, 6,18, 20},
Au B = {1, 5, 6, 9,13, 14};
c) An B = {1,3}, A = {5, 6, 7, 9, 10}, A l':. B = {2,4, .5, 8, 9, 10};
d) Au B = {1,2,3,4,5}, A \ B = {1,4}, An B ~ {3,4,5},
E = {1,2,3,4,5};
e) AUBUC = {1,2,3,4,5}, AnBnC = {4}, A \B = {1,2},
A \ C = {1,3}, 5 ~ A u B, E = {1,2,3,4,5};
f) E = {1,2,3,4}, 1 E A, {2,4}nB = 0, 3 E AnBnC, 4 E AnC,
An B ~ C, B u C ~ A, Au B u C = E;
g) E = {1,2,3,4,5}, AuB = E, AnB = {2,3}, {2,3,4,5}nB ~ A,
{1,4} n _4. ~ B;
h) E = {1,2,3}, AuBuC = E, AnB ct C, AnC ct B, BnC = {2},
1 E B \ C;
i) E = {1,2,3,4,.5}, Au B = E, An B = {1,2}, 5 ~ A \ B,
A are mai multe elemente ca B;
j) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, AU B u C = E, An B n C = {5},
27
A \ B = {1,3,6}, A \ C = {1,2,4};
k) E = {1,2,3,4}. AnB = {1,2}, A \B = {1,2,4}, {1,2,3} rt B,
A are mai puține elemente ca B;
1) A = {1,2,3,4,5,6}, B = {1,5,6, 7}, AU B = {2,3,4, 7,8,9,10},
AnB={8,9,10};
m) E = {a,b,c,d,e.J,g,h,i}, AnB = {d,f,i},
AU{c,d,e} = {a,c.d,e,f,h,i}, BU{d,h} = {b,c,d,e,f,g,h,i};
n) E = {1,2,3, … ,9}. An B = {4,6,9},
AU {3, 4, 5} = {1, 3, 4, 5,6,8, 9}, B U {4, 8} = {2, 3, … , 9}.
13. Să se determine mulțimile A, B. Au B, An B, A \ B, B \ A, A b, B, A U (B \ A), A \ (B \ A), A X B, B X A, (A U B) X A, B X (A \ B), dacă:
4 { ~ I 8n -18 I!vT} a). = x E l!V x =. n E 2n -9 ' ,
{ 1 9n2 -48n + 16 } B= xEZx= ,nElN ; 3n -8
b)A= xEQx=–,nElN , { I 2n + 1 }
2n -3
{ I 3k + 1 ~} B= YEQy=–. kEIN . :3k -2' ,
c) A = {x E lNlx = ~. n E lN} I n+2 '
{ I 6n + 7 ~} B= YEZ,Y=3n+1,nElV ;
{ ~12X + 5 T} d) A = x E IN ~ EIA,
{ I 2n2 + 4n + 2 } B = x E lN Y = n2 + 1 ' n E lN :
28
e) A = {x E Zi ~ ~ ~ ~ O}, B = {x E Zi x2
: ~x1+ 6 E Z};
f) A = { x Ezi ~ ~ : ~ 1 }, B = { x E Fv'! ~ ~ : ~ 1 }:
g) A = { x Ezi : = ~ E Z }, B = { x E IN I : = ~ E Z };
h) A = { x Ezi x 2 : 😡 3+ 6 E Z },
B = {1: E IN I x2
-5x + 6 E Z}; x+3
i).4 = {x E .LV"'lx = 2n,n = 1,10},
B = {y E lV*ly = 4m + 6n, m = 1,3, n E {-1,0}};
j) A = {x E iRI Ix -7\ + Ix + 71 = 14}.
B = {x E ZI Ix + 31 + Ix -91 = 14};
k) A = {n2 -51n E IN}, B = {n2 + Sin E IN}:
1) A = {n2 -50ln E LV}, B = {n2 + 50ln E IN};
m) A = {n2 -500ln E Fv'}, B = {n2 + 500ln E iN};
n) A={x E iRlx-vx2-1=V2}, B={x E iRI8x2-2V2x+3=0}.
{ I 7n -4 } 14. Fie M = x E Q x = n + 3 ' n E N* .
a) Să se determine mulțimile:
A = {x {:} AIlx ~ 6}, B = {x E Mlx < 7}, C = {x E Mlx E Z}.
b) Câte elemente are mulțimea D = {x E ..:'v[lx ~ (699/100)}?
15. Să se determine mulțimile A, B ~ E, dacă
.46. B = {2,4,5,8,9,1O}, An B = {1,3}, A = {5,6,7,9,10},
E = {1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10}.
16. Să se determine mulțimea E §i părțile sale A §i B, dacă
A = {2, 5, 9,13,18, 20}, B = {2, 6, 18, 20}, AU B = {1, 5, 6, 9,13,14}.
17. Comparați mulțimile A §i B, dacă:
a) A = {.r E iRlvx2 -25 < x + 1},
B = { x E iRI { :/_\~ ~' (x + 1)2 };
b) A = {x E iRlvx2 -16· (x2 -80) ~ V~x2c–1-6},
B = {x E iRI { :~ = ~~x~ ~0'1 }:
29
e) A = {x E lRIV6 + x -x2 > 2x -1},
B = {X E lRl { ~X+:1-:~.~ O, };
6 + x –x2 '> (2x -1)2,
d) A = {X E lRI2x -3 -_1_ < x -4 -~}, x-05 X-;)
B = {x E lRI2x -3 < x -4};
{
105 2 05 2 } e)A= xElR-2(x-x -1)(x+4)<-2(x-x -1)(3x+1) ,
B = {x E lRlx + 4 < 3x + 1};
f) A = {x E lRI vx2+ 1 < O}, B = {x E lRl (vx2+ 1) 2 < O};
g) A = {x E lRIVxTI· vX=3 < 1/2},
B = {x E lRl2J(x + 3)(x -3) < 1}.
18. Să se determine valorile parametrului real m pentru eare
mulțimea A are un element, două elemente sau este vidă, daeă:
a) A = {x E lRlx2 + mx + 1 = O};
b) A = {x E Dllmx2 -5x + m = O};
e) A = {x E lRlx2 -mx + 3 = O};
d) A = {x E Dllx2 -2( m -2)x + m2 -4m + 3 = O};
e) A = {x E DlI(m + 1)x2 -(5m + 4)x + 4m + 3 = O};
f) A = {x E Dllx2 -mx + 36 = O};
g) A = {x E lRl(2m -1)x2 + 2(1 -m)x + 3m = O};
h) A = {x E lRlmx2 -(m + l)x + m -1 = O}.
19. Să se determine numărul de elemente ale mulțimii A:
a) A = {x E Qlx = (n2 + 3)/(n2 + n), n = 1,o50};
b) A = { x E Q Ix· = (z + 6 ~ z + 5)' Z E Z, Iz I ::; 45 };
e) A = {x E ZI(x2 + 1)(5 -x2) ~ O};
d) A = {x E ZI(x2 -3)(x2 -33)(x2 -103)(x2 -203) < O};
e) A = {x E zlx = ;:~, z E Z };
f) A = {x E wlx = ;:~, z E Z }.
30
20. Se consideră mulțimile A, B, C. Să se determine A n B n C.
a) A = {lOx + 31x E IN}, B = {12y + 71y E IN},
C = {15z + 131z E IN};
b) A = {15n -700ln E IN}. B = {270 -lOmlm E IN},
C = {48k + 561k E IN}.
21. Să se determine An B, dacă:
a) A = {6n + 71n E IN}. B = {1l4 -7mlm E IN};
b) A = {3p + 281p E LV}, B = {107 -14qlq E IN};
c) A = {3n -21n E IN}. B = {1003 -2mlm E IN}.
22. Să se demonstreze proprietățile operațiilor cu mulțimi
(vezi p. 1.1).
23. Să se demonstreze egalitățile (A, B, C etc. mulțimi arbitrare):
a) A \ B = A \ (A n B) = (A U B) \ B;
b) A \ (B U C) = (A \ B) n (A \ C);
c) A \ (B n C) = (A \ B) U (A \ C);
d) (A n B) \ C = (A \ C) n (B \ C);
e) (A \ B) n C = (A n C) \ (B n C) = (A n C) \ B;
f) (A U B) \ C = (.4 \ C) U (B \ C);
g) (A \ B) \ C = A \ (B U C);
h) A \ (B \ C) = (A \ B) U (A n C);
i) An (B !::. C) = (A n B) !::. (A n C);
j) (A n B) !::. A = A \ B;
n T,
k) Au (n B;) = n(A U B;);
;=1 ;=1
n n
;=1 ;=1
n n
m) A \ (U Bi) = n(A \ Bi)'
i=l i=l
24. Fiind date mulțimile A = {1,2,3}, B = {2,3,4}, C = {3,4,5}
§i D = {4, 5, 6}, să se scrie elementele următoarelor mulțimi:
a) (A X A) n (B X B);
b) A2 X C2;
c) (A \ B) X (C \ D);
d) (A n B) X (C n B);
e) (A U B) X (B UD);
31
f)(AxB)\(CxD);
g) (A \B) x (CnB);
h) (A \ e) x (B \ D);
i) (A \ (C \ D)) x ((D \ B) U A);
j) (A /:; B) x (D /:; B).
25. Fiind date mulțimile A, B §i C, rezolvați ecuatiile
(A f B) /:; X = C, unde f E {U, n, \, /:;}:
a) A = {L 4, 6}, B = {5, 7, 9}, C = {1, 2,3,4,5,6,7,8, 9};
b) A = {4,5,6}, B = {1,2,3,4,5,6, 7}, C = {1,5,6, 7}.
26. Să se determine mulțimile An B, Au B, A, B, A \ B, B \ A,
Au (B \ A ), An ( A \ B), dacă:
a) A={x E iR/(x-3)(2+x)(4-x) > O}, B={x E iR/x2-7x+12 ~ O};
b) A = {x E iR/4×2 -12x + 5 < O}, B = {x E iR/1/2 < x < 5/2};
c) .4 = {x E iR/x2 -5x + 6 ~ O}, B = {x E iRl1 ~ 2x + 7 ~ 3}:
d) A = {x E iRl(x2-4)(x+1) > O}, B = {x E iRlx2-2x-3 > O};
e) il = {x E iR/2x(x+7) = x2+3x}, B = {x E iRI [ ~~2+=4 6:'0 };
f) A = {x E iRl(x2-4x)(x+1) < O}, B = {x E iRlx2-2x-3 < O};
g) A = {x E iR/3X(.T -2) -(x + l)(x -13) = O},
B = {x E iRI [ ~:x~ ~ ~4; + 9 = O };
h) il = {x E iR13( x -9)2 -2( x -9) -16 = O},
B = {x E iRI [ x2
-91
(4X + !9)=_039 }; x–x+–5 3 2
i) A = {x E iR 14( 2x -3? -4( 2x -3) + 1 = O},
B = {x E iRI [ ~:2_-7)(!22+=1~'= O };
j) A={x E iR112x-11 < 14x+11}, B={x E iRI13x-11-12x+31 ~ O};
k) il = {x E iR114-3xl ~ 2-x}, B = {x E iR112x-31 ~ 2x-3};
1) A = {x E iRI6x2 -2x+ 1 ~ 1}, B = {x E iRlx2 +2Ixl-3 ~ O};
m) il = {x E iRllxl+lx-ll < 5}, B = {x E iRllx+11+lx-21 > 5};
n) A = {x E iRlllx -31 + 11 ~ 2}, B = {x E iRlllx -11 + xl < 3}.
J
CAPITOLUL II
Relații, funcții
2.1. Definiții §i notații
1. Relații, tipurile lor. Compunerea relațiilor.
Fie A §i B două mulțimi nevide, iar A x B produsul cartezian al
lor. O submulțime R ~ A x B se nume§te relație între elementele
lui A §i elementele lui B. În cazul când A = B, o relație R ~ A X A
se nume§te relație binară definită pe mulțimea A.
Dacă există o relație R ~ A X B, atunci pentru o pereche ordonată
(a,b) E A X B putem avea (a,b) E R sau (a,b) rt. R. În primul caz
scriem aRb §i citim "a este în relația R cu b", iar în al doilea caz –
aR-b, care se cite§te "a nu este în relația R cu b". Reținem deci că
aRb ~ (a,b) E R.
Prin domeniul de definiție al relației R ~ A X B vom înțelege
submulțimea bR ~ A ce constă din acele §i numai acele elemente ale
mulțimii A ce se află în relația R cu un element din B, adică
bR = {x E AI(:J) y E B, (x, y) E R}.
Prin domeniul de valori al relației R ~ A X B vom înțelege
submulțimea PR ~ B ce constă din acele §i numai acele elemente ale
mulțimii B care se alfă în relația R cel puțin cu un element din .4,
adică
PR = {y E BI(3)x E A, (x,y) E R}.
Relația inversă. Dacă avem o relație R ~ A X B, atunci prin
relație inversă a relației R vom înțelege relația R-1 ~ B X A definită
de echivalența
(b, a) E R-1 ~ (a, b) E R,
adică
R-1 = {(b,a) E B X AI(a,b) E R}.
33
Exemplul 1. Fie A = {1, 2}, B = {4, 5, 6} și relațiile
a = {(1,5), (2,4), (2,6)} ~ A X B, /3 = {(2,4), (2,5), (2,6)} ~ A X B
și , = {( 4, 1), (4, 2), (5, 1), ( 5, 2)} ~ B X A.
Să se determine domeniul de definiție și domeniul de valori ale aces
tor relații și relațiile inverse respective.
Soluție. a) 00. = {1,2} = A, Pa: = {4,5,6} = B; a-l =
= {(5,1), (4,2), (6,2)}; 0a:-1 = B, Pa:-1 = A;
b) 0/3 = {2}, Pf3 = {4,5,6} = B; /3-1 = {(4,2), (5,2), (6,2)};
0/3-1 = B, P/3-1 = {2};
c) O, = {4,5}, P, = {1,2} = A; ,-1 = {(1,4), (2,4), (1,5), (2,5)};
0,-1 = A, P,-l = {( 4, 5)}.
Compunerea relațiilor. Fie A, B, C trei mulțimi și să con
siderăm relațiile R ~ A X B, S ~ B X C. Relația RoS ~ A X C
construită în conformitate cu echivalența
(a,c) E Ro S {:> (::J)b E B ((a,b) E R 1\ (b,e) E S),
adică
RoS = ((a,e) E A X CI(::J)b E B((a,b) E R 1\ (b,e) E S)} ~ A X C,
se numește compunerea relațiilor R și S.
Exemplul 2. Fie A, B, a, /3" cele din exemplul!. Să se determine
/3 {3 /3-1 /3-1 {3 {3-1 -1 {3-1 . (/3 )-1 a o a, a o , a o l' , o , , o a, o, , o " o ȘI o l' .
Soluție. Atragem atenție că compusul relațiilor a ~ C X D cu
j3 ~ E X E există, dacă și numai dacă D = E.
a) Deoarece o: ~ A X B, /3 ~ A X B, rezultă că a o o: și o: o (3 nu
există.
b) o: ~ A X B și , ~ B X A =? a o, E A X A. Determinăm a o ,:
(1,5) E a și (5, 1) E l' =? (1, 1) E a o 1',
( 1, 5) E a și (5, 2) E , =? (1, 2) E o: o , ,
(2,4) E a și {( 4,1), (4, 2)} ~ , =? {(2, 1), (2, 2)} ~ a 01';
(2,6) E a, Însă în, nu avem nici o pereche cu prima componentă 6.
Rezultă a o, = {(1, 1), (1,2), (2,1), (2,2)}.
c) /3 ~ A X B, , ~ B X A=?/3 o, există. Repetând raționamentele
din p. b), obținem
/3 01'= {(2, 1), (2,2)}.
d) 8-1 ~ B X A și a ~ A X B =? /3-1 o a ~ B X B și
/3-100: = {(4,4), (4,6), (5,4), (5,6), (6,4), (6,6)}.
e) /3-1 ~ B X A și ;3 ~ A X B =? /3-1 o /3 ~ B X B și
34
;3-10;3 = {(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,4), (6,5),
(6,6)}=B2.
f) f3 ~ A x B §i f3-1 ~ B x A =? 13 o 13-1 ~ A x A §i
13 o 13-1 = {(2,2)}.
g) Î-1 ~ A x B §i 13-1 ~ B X A=? Î-1 o 13-1 ~ A X A §i
Î-1 013-1 = {(1,2), (2,2)}.
h) (13 o Î )-1 = {(l, 2), (2, 2)} = Î-1 013-1.
Relația de egalitate. Fie A o mulțime. Relația
IA = {(x,X)IX E A} =/:0. ~ A X A
se nume§te relație de egalitate pe A. Adică
xlAY {:} x = y.
De un real folos este
Teorema 1. Fie A,B,C,D mulțimi și R ~ A X B, S ~ B X C,
T ~ C X D relații. Atunci
1) (R o S) o T = Ro (S o T) (asociativitatea compunerii relațiilor),-
2) IA o R = R o lE = R,-
3) (R o S)-l = S-l o R-1,-
4) (R-1 )-1 = R.
Relații de echivalență. Relația binară R ~ A 2 se nume§te:
a) reflexivă, dacă xRx oricare ar fi x E A;
b) simetrică, dacă (xRy =? yRx), (V)x,y EA;
c) tranzitivă, dacă ((xRy /\ yRz) =? xRz), (V) x, y, z E A;
d) antisimetrică, dacă ((xRy /\ yRx) =? x = y), (V) x, Y EA;
e) relație de echivalență pe A, dacă ea este reflexivă, simetrică
§i tranzitivă;
f) antireflexivă, dacă x R-. x oricare ar fi x E A.
Fie R o relație de echivalență pe mulțimea A. Pentru fiecare ele
ment x E A, mulțimea
Rx = {y E AlxRy}
se nume§te clasa de echivalență a lui x modulo R (sau în raport cu
R), iar mulțimea
AjR = {Rxlx E A}
se nume§te mulțime factor (sau mulțime cât) a lui A prin R.
Proprietățile claselor de echivalență. Fie R o relație de
echivalență pe o mulțime A §i x, y E A. Atunci au loc următoarele
afirmații:
1) x E Rx;
2) Rx = Ry {:} xRy {:} y E Rx;
35
3) Rx 1= Ry <-=> Rx n Ry = 0;
4) U Rx = A.
xEA
Partiții pe o mulțime. Fie A o mulțime nevidă. O familie de
submullimi {Ai/i E I} ale lui A se nume§te partiție pe A (sau a lui
A), dacă sunt satisfăcute următoarele condiții:
1) iEI::::} Ai 1= 0;
2) Ai 1= Aj ::::} Ai n Aj = 0;
3) U Ai = A.
iEI
Teorema 2. Pentru orice relație de echivalență R pe mulțimea A,
mulțimea factor A/ R = {Rx/x EA} este o partiție a lui A.
Teorema 3. Pentru orice partiție S = {Ai/i E I} a lui A, există o
unică relație de echivalență as pe A, astfel ca
A/as = {Ai/i E I}.
Relația as ~ .42 se construie§te după regula
xasY? (3) iEI (x E Ai 1\ Y E Ai).
Se stabile§te u§or că as este relatie de echivalență pe A §i egalitatea
cerută.
Exemplul 3. Definim pe mulțimea Z relația binară a în conformi-
tate cu echivalenta aab? (a-b):n, unde nE JN*, n fixat, (V) a,b E Z.
a) Să se demonstreze că a este relație de echivalență pe Z.
b) Să se determine structura claselor de echivalență.
c) Să se construiască mulțimea factor Zia. Aplicație: n = 5.
Soluție. a) Fie a, b, cE Z. Atunci:
1) refiexivitatea a -a = O:n ::::} aaa;
2) simetria aab::::} (a -b):n::::} -(b -a):n ::::} (b -a):n ::::} baa;
3) tranzitivitatea (aab 1\ bac) ::::} ((a -b):n 1\ (b -c):n) ::::}
::::} ((a -b) + (b -c)):n::::} (a -c):n::::} aac.
Din 1) -3) urmează că a este relație de echivalență pe Z.
b) Fie a E Z. Atunci
aa={b E Z/aab}={b E Z/(b-a):n}={b E Z/(3)t E Z: b-a=nt}=
= {b E Z/(3) tE Z: b = a + nt} = {a + nt/t E Z}.
În conformitate cu teorema împărțirii cu rest pentru numerele
întregi a §i n, obținem
a = nq + r a, O ~ r a ~ n -1.
36
Atunci
a + nt = nq + ra + nt = ra + (nt + nq) = ra + ns,
unde s = t + q E Z, §i de aceea
O:a = {ra + nsls E Z},
unde r a este restul de la împărțirea lui a prin n. Însă
a = nq + ra {:} a -ra = nq {:} (a -ra):n {:} ao:ra {:} O:a = O:ra.
Cu alte cuvinte, clasa de echivalență a lui a E Z coincide cu clasa
restului de la împărțirea lui a prin n.
c) Deoarece prin împărțirea la n se pot obține numai resturile
0,1,2, … , n -1, din p. b) rezultă că avem exact n clase de echivalență
diferite:
0:0,0:1,0:2,···,O:n-l·
De obicei se folose§te notația O:i = ~, i = ~O-, ·-n––:;-l. Atunci
Zjo: = {a, î, 2, … , n=-1},
unde 7 constă din acele §i numai acele numere întregi care la împărțirea
prin n dau restul i, i = 0, n -l.
Pentru n = 5, obținem
Zjo: = {a,î,2,:3,4},
cu a = {±O, ±5, ±10, ±15, … } = {5tlt E Z},
î = {1 + 5qlq E Z} = { … ,-9,-4,1,6,1l, … },
:2 = {2 + .5sls E Z} = { … , -8, -3,2,7,12, … },
:3 = {3+ 5ulu E Z} = { … ,-7,-2,3,8,13, … },
4= {4+5vlvE Z} = { … ,-6,-1,4,9,14, … }.
Definiție. Relația o: se numește relație de congruență modulo
n pe Z, iar clasa â = O:a se numește clasă de rest modulo n și
elementele ei se numesc reprezentanții acestei clase.
Notația obi§nuită:
ao:b {:} (a -b):n {:} a == b( mod n) (a este congruent cu b modulo n),
Iar
Zjo: = Zn = {a,î,2, … ,n-=-1}
este mulțimea tuturor claselor de resturi modulo n.
Exemplul 4 (geometric). Fie il un plan §i L mulțimea tuturor
dreptelor din plan. Definim pe L relația binară (3 în conformitate cu
d1(3d2 {:} d1 II d2, (V) dl, d2 E L.
a) Să se arate că (3 este o relație de echivalență pe L.
b) Să se descrie clasele de echivalență modulo (3.
c) Să se indice mulțimea factor.
37
Soluție. a) Este evident că f3 este relație de echivalență (fiecare
dreaptă este paralelă cu ea însă§i; dacă dl II d2 ::::} d2 II dl §i
(dl II d2 1\ d2 II d3) ::::} dl II d3).
b) Fie d E L. Atunci clasa
f3d = {l E Lilad} = {l E Llllld}
constă din acele §i numai acele drepte din L care sunt paralele cu
dreapta d.
c) L / f3 = {f3d I d EL} este o mulțime infini tă, deoarece în planul 1i
avem o infinitate de direcții.
Exemplul 5. Se dă mulțimea A = {1,2,3,4,5,6, 7,8,9} §i părțile
ei Al = {1,2}, A2 = {3, 4, 6}, A3 = {5, 7, 8}, A4 = {9}, BI = {1,2,
4}, B2 = {2,5,6}, B3 = {3,7,8,9,10}.
a) Să se arate că S = {AI, A2, A3, A4} este partiție a lui A.
b) Să se determine relația de echivalență as pe A.
c) Este T = {BI, B2, B3} o partiție pe A?
Soluție. a) 1) Observăm că Ai E S::::} Ai :1 0, i = 1,4;
.2) Al n A2 = Al n A3 = Al n A4 = A2 n A3 = A2 n A4
= A3 n A4 = 0.
3) Al U A2 U A3 U A4 = A,
adică sistemul S de submulțimi ale mulțimii A define§te o partiție pe
A.
b) În conformitate cu teorema 3, avem
(x,y) E as {::} xasY {::} (3)i E {1,2,3,4} (x E Ai 1\ Y E Ai)'
Deci
as = {( 1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,4), (3,6), (4,3), (4,4), (4,6), (6,3),
(6,4),(6,6),(5,5),(5,7),(5,8),(8,5),(8,8),(8,7),(7,5),(7,7),(7,8),(9,9)}.
c) 1) Bi E T ::::} Bi :1 0; i = 1,3;
2) BI U B2 U B3 = A;
3) BI n B2 = {2} :1 0,
ceea ce demonstrează că sistemul T nu define§te o partiție pe A.
Relatii de ordine. O relație binară R pe mulțimea A se nume§te
relatie de ordine pe A, dacă este reflexivă, antisimetrică §i tranzi·
tivă.
Dacă R este o relație de ordine pe A, atunci §i R-I este de asemenea
o relație de ordine pe A (verificați!). De obicei, se notează relația R
cu ,,~" §i relația R-I cu "~", astfel că
x ~ y {::} y ~ x.
38
Cu această notație, condițiile că "S;" este o relație de ordine pe mul
țimea A se scriu:
reftexivitatea x EA::::} x S; x;
antisimetria (x S; y 1\ Y S; x) ::::} x = y;
tranzitivitatea (x S; y 1\ Y S; z) ::::} x S; z.
Exemplul 6. Pe mulțimea IN definim relația binară Î în conformi
tate cu
a-yb <:} (3) k E IN(a = b· k).
Să se arate că I este o relație de ordine pe IN.
Soluție. Verificăm condițiile din definiția relației de ordine.
1) Reflexivitatea
a = a . 1 ::::} ala, ('Ii) a E IN.
2) AntÎsÎmetrÎa. Fie a, b E IN cu alb §i ha. Rezultă că există
numerele naturale c, dE IN cu a = b . c §i b = a . d. Atunci
a = b . c = (a . d) . c = a . (d . c) ::::} d . c = 1 ::::} d = c = 1,
ceea ce implică
a = b . c = b . 1 = b.
3) Tranzitivitatea. Fie a, b, c E IN cu alb §i blc. Atunci există
u, v E IN cu a = bu §i b = cv §i de aceea
a = bu = (cv)u = c(vu)::::} alc.
Deoarece v . u E IN, este adevărată implicația
(alb 1\ blc)::::} alc,
ceea ce demonstrează că I este o relație de ordine pe mulțimea IN .
Remarcă. Relația de ordine I se numește relație de divizibilitate
pe IN și se notează a:b, adică
alb::::} a:b<:} (3) k E IN(a = b· k) <:} bla
(bla se citeșt€ "b divide pe a", iar a:b "a este divizibil prin b").
II. Relații fU1lcționale. Fie A §i B două mulțimi. O relație
R ~ A X B se nume§te aplicație sau relație funcțională, dacă sunt
satisfăcute condițiile:
1) ('Ii)x E A(3)y E B, astfel Încât xRy;
2) (xRy.ft XRYl) ::::} y = Yl·
O -apijcație (sau funcție) este un triplet f = (A, B, R), unde A
§Î B s_(dou~ mulțimi §i R ~ A X B este o relație funcțională.
Dacă R ~ A X B este o aplicație, atunci pentru fiecare element
x E A există, conform condițiilor 1) §i 2) de mai sus, un singur element
y E,B, astfel că xRy; notăm acest element y cu f(x). Deci
39
I(x) = y {:> xRy.
Elementul I( x) E B se nume§te imaginea elementului x E A prin
aplicația 1, mulțimea A se nume§te domeniul de definiție al lui I
notat prin D(J) = A, iar mulțimea B se nume§te codomeniul lui I
§i spunem, de obicei, că I este o aplicație definită pe A cu valori în
B. Relația funcțională R se nume§te §i graficul aplicației (funcției) 1,
notat, ulterior, prin Cf. Pentru a arăta că I este o aplicație definită
pe A cu valori în B, scriem 1: A –+ B sau A -L B, iar în loc de a
descrie care este graficul lui R (al lui J), indicăm pentru fiecare x E A
imaginea sa I( x). Atunci
y = I(x) {:> xRy {:> xRI(x) {:> (x,/(x)) E R = Cj,
adică
Cf = {x,/(x))lx E A} ~ A X B.
Egalitatea aplicațiilor. Două aplicații I = (A, B, R) §i
9 = (C, D, S) se numesc egale dacă §i numai dacă au acela§i dome
niu A = C, acela§i codomeniu B = D §i acela§i grafic R = S.
În cazul când 1, g: A –+ B, egalitatea I = 9 este echivalentă cu
I(x) = g(x),(V)x E A, adică
1= 9 {:> (V)x E A (J(x) = g(x)).
Aplicația identică. Fie A o mulțime. Tripletul (A, A, IA) este,
evident, o aplicație, care se notează cu acela§i simbol IA (sau E) §i se
nume§te aplicație identică a mulțimii A.
Avem
lAx) = y {:> (x,y) EIA {:> X = y.
Prin urmare,
IA: A –+ A §i lA(x) = x pentru (V)x E A.
Prin F(A, B) vom nota mulțimea funcțiilor definite pe A cu valori
în B. Pentru B = A, vom folosi înscrierea F(A) în loc de F(A, A).
În cazul unei mulțimi finite A = {al,a2, … ,an}, o funcție
i.p: A –+ A se dă uneori cu ajutorul unui tablou de forma
în care în prima linie se trec elementele al, a2, … , an ale mulțimii A,
iar în a doua linie se trec imaginile respective ale acestora prin i.p,
anume r(al),r(a2),"" r(an).
În cazul când A = {l, 2, … , n}, vom folosi pentru a determina
aplicația i.p: A –+ A §i notația
40
y=(yt1) y~2) yt3) y~n–\) Y0L))'
mai frecvent folosită pentru înscrierea aplicațiilor bijective ale mulțimii
A în ea însă§i. De exemplu, dacă A = {1,2}, atunci elementele lui
F(A) sunt:
( 1 2) P = 1 1 ' ( 1 2) 1 = 2 2 .
Dacă f: A –-+ B, X ~ A, Y ~ B, atunci introducem notațiile:
f(X) = {b E BI(3)x E X: f(x) = b} = {f(x)lx E X} ~ B
-imaginea submulțimii X prin aplicația f.
În caz particular, 1'(A) = Im1', imaginea aplicației 1';
f-1(y) = {a E AI(3) y E Y: f(a) = y} = {a E Alf(a) E Y} ~ A
este preimaginea submulțimii Y prin aplicația f.
În caz particular, pentru y E B, vom scrie în loc de f-1 ( {y} )
simplu f-1(y), adică
f-1(y) = {a E Alf(a) = y}
-mulțimea tuturor preimaginilor lui y prin aplicația f, iar
f-1(B) = {a E Aly(a) E B}
-preimaginea completă a mulțimii B prin aplicația f.
Compunerea aplicațiilor. Considerăm aplicațiile f = (A, B, R)
§i g = (B,C,S), deci codomeniul lui f să coincidă cu domeniul lui g.
Formăm tripletul g of = (A, C, RoS).
Atunci g o f este de asemenea o aplicație, numită campusul
aplicației g cu aplicația f, iar operația "o " se nume§te compunerea
aplicațiilor. Avem
(g o 1)( x) = z {:} (x, z) E RoS {:} (3) y E B( (x, y) E R 1\ (y, z) E 5) {:}
{:} (3) y E B: xRy 1\ ySz {:} (3) y E B: (J(x) = y 1\ g(y) = z) {:}
{:} g(J(x)) = z,
adică
(g o J)(x) = g(J(x)), (\1) x E A.
Teorema 4. Fie date aplicațiile A .J….. B ~ C ~ D. Atunci
a) (h o g) o f = h o (g o J) (asociativitatea compunerii aplicațiilor);
b) f o IA = 1B o f = f·
Exemplul 7. Considerăm relațiile R ~ IR X IR §i 5 ~ [O,+oo)x
x [O, +(0), T ~ IR X IR, definite astfel: xRy {:} x2 = y,
xSy {:} x = y2, xTy {:} y = x + 1.
41
A. Să se determine care din relațiile R, R-l, 5,5-1, T, T-l sunt
relații funcționale.
B. Să se găsească funcțiile determinate în p. A.
C. Săse calculeze Jog,goJ, Joh, hoJ, hoh-1, h-1 oh (J,g,h
funcțiile din p. B.)
D. Să se calculeze (J o h)( -3), (h-l o h)(1/2), (h o 1)(1/3).
Soluție. Rezolvăm A §i B concomitent.
a) Examinăm relația R.
x E IR :::} x2 E IR :::} Y E IR, adică
1) (V) x E IR (3) y = x2 E IR, astfel încât xRy;
2) (xRy /\ XRY1) :::} (y = x2 /\ Yl = x2) :::} Y = yt, adică R
este relație funcțională. Notăm aplicația determinată de R prin J,
J = (IR, IR, R).
b) Examinăm relația R-l.
yR-lx <:} xRy <:} y = x2,
adică dacă y E IR = {a E IRla < O}, atunci nu există nici un
x E IR, astfel încât yR-1x, ceea ce demonstrează că R-1 nu este
relație funcțională.
c) Pentru relația 5, avem: 5 §i 5-1 sunt relații funcționale. Notăm
prin 9 = ([O, +00), [O, +00), 5) §i g-l = ([O, +00), [O, +00), 5-1)
funcțiile (aplicațiile) definite de 5 §i 5-1, respectiv.
d) Examinăm relația T:
1) x E IR :::} x + 1 E IR §i deci
(V)x E IR (3) y = x + 1 E IR, astfel că xTy;
2) (xTy /\ XTY1) :::} (y = x + 1 /\ Yl = X + 1) :::} y = Yl, ce
demonstrează că T este relație funcțională.
e) Pentru relația T-1, obținem:
yT-1x <:} xTy <:} y = x + 1 :::} x = y -1.
1) (V) Y E IR (3) x = y -1 E IR, astfel încât yT-1x;
2) (yT-lx /\ yT-1×1) :::} (xTy /\ x1Ty) :::} (y = x + 1 /\ Y =
= Xl + 1) :::} Xl + 1 = x + 1 :::} Xl = x, adică T-1 este de asemenea
relație funcțională. Notăm prin h = (IR, IR, T) §i h -1 = (IR, IR, T-l ).
C. Din A §i B rezultă
J(x) = x2,x E IR, g(x) = .jX,x E [O, +00), h(x) = x + 1,
x E IR, h-l(x) = X -l,x E IR.
a) Atunci Jog, goJ §i goh nu există, fiindcă domeniile §i codomeni
ile nu coincid (J = (IR, IR, R), 9 = ([O, +00), [O, +00), 5), h = (IR,
IR, T»).
42
b) Calculăm f o h, h o f, h o h-1 §i h-1 o h.
(f o h)(x) = f(h(x)) = f(x + 1) = (x + 1)2;
(h o J)(x) = h(f(x)) = h(x2) = x2 + 1;
(h o h-1 )(x) = h(h-1(x)) = h(x -1) = (x -1) + 1 = x = 11R(x);
(h-1 o h)(x) = h-1(h(x)) = h-1(x + 1) = (x + 1) -1 = x = 11R(x).
Deci f o h 1: h o f §i h o h-1 = h-1 o h = 11R•
D. Calculăm: (f o h)( -3) = (x + 1)2/x=_3 = 4, (h-1 o h)(1/3) =
= 1/2, (h o J)(1/3) = (x2 + 1)/ x=I/3 = 1/9 + 1 = 10/9.
Aplicații injective, surjective §i bijective. O aplicație
f: A –+ B se nume§te:
1) injectivă, dacă f( ad = f( a2) ~ al = a2, (\1) al, a2 E A
(echivalent: al 1: a2 ~ f(a1) 1: f(a2));
2) surjectivă, dacă (\1) b E B (3) a E A: f( a) = b
(orice element din B are cel puțin o preimagine în A);
3) bijectivă, dacă f este injectivă §i surjectivă.
Remarca. Pentru a demonstra că o funcție f: A –+ B este sur
jectivă, trebuie ca ecuația f( x) = b să fie rezolva bilă în A pentru orice
b E B.
De un real folos sunt
Teorema 5. Fiind date aplicatiile A ~ B ~ e, avem:
a) dacă f și 9 sunt injective, atunci 9 o f este injectivă;
b) dacă f și 9 sunt surjective, atunci 9 o f este surjectivă;
c) dacă f și 9 sunt bijective, atunci 9 o f este bijectivă;
d) dacă 9 o f este injectivă, atunci f este injectivă;
e) dacă 9 o f este surjectivă, atunci 9 este surjectivă.
Teorema 6. Aplicatia f: A –+ B cu graficul G f = R este
aplicatie bijectivă, dacă și numai dacă relatia inversă R-1 este o relatie
functională (f-1 este aplicatie).
Această teoremă rezultă imediat din
(y, x) E R-I {:} yR-1x {:} f-l(y) = X {:} xRy {:} y = f(x).
Aplicația inversă. Fie f: A –+ B o aplicație bijectivă cu grafi
cul G f = R. Din teorema 6 rezultă că tripletul f-1 = (B, A, R-1) este
o aplicație (funcție). Această funcție se nlH'n~te inversa funcției f.
Avem
f-1: B –+ A, iar pentru y E R,
f-l(y) = X {:} yR-1x {:} xRy {:} f(x) = y,
43
/ adică
Teorema 7. Aplicalia f: A –+ B este bijectivă, dacă și numai
dacă există o aplicalie g: B –+ A cu g o f = IA și f o g = lB. În acest caz, avem g = f-1.
III. Funcții reale. Funcția f: A –+ B se numește funcție de
variabilă reală, dacă A = DU) ~ IR. Funcția de variabilă reală f: A –+ B se numește funcție reală, dacă B ~ IR. Cu alte cuvinte,
funcția f: A –+ B se numește funcție reală, dacă A ~ IR și B ~ IR. Graficul funcției reale f: A –+ B este submulțimea G f a lui IR2,
formată din toate perechile (x, y) E IR2 cu x E A și y = f(x), adică
Gf = {(x,f(x))lx EA}.
Dacă funcția f este inversabilă, atunci
(y,x) E Gf-l {:} (x,y) E Gf.
Tradițional, în loc de f-1(y) = X se scrie y = f-1(x). Atunci graficul
funcției inverse f-1 este simetric cu graficul functiei f în raport cu bisectoarea y = x.
Exemplul 8. Pentru funcția
f: [0,(0) –+ [0,(0), y = f(x) = x2,
funcția inversă este
f-1: [0,(0) –+ [0,(0), y = f-1(x) = Vi.
Graficul functiei f este ramura parabolei y = x2 cuprinsă în cadranul 1, iar graficul funcției f-1 este ramura parabolei x = y2 cuprinsă
în cadranul 1 (fig. 2.1).
Operații algebrice cu funcții reale. Fie f, g: D –+ IR două
funcții reale definite pe aceeași multime D. Considerăm funcțiile:
s = f + g: D –+ IR, definită prin s(x) = f(x) + g(x), (V) x E D;
s = f + g -funcția-sumă.
p = f· g: D –+ IR, definită prin p(x) = f(x)· g(x), (V) x E D;
p = f . g -funcția-produs.
d = f -g: D –+ IR, definită prin d(x) = f(x) -g(x), (V) x E D;
d = f -g -funcția-diferență.
q = L: D1 –+ IR, definită prin q( x) = f(( x)), (V) x E D1' g g x unde D1 = {x E Dlg(x) i= O};
q = L -funcția cât. g
44
Ifl:D -+ IR, definită prin Ifl(x) = If(x)1 = { f(x),dac~ f(x) 2: 0, -f(x),daca f(x) < 0,
pentru (V)x E D;
Ifl -funcția modul.
y
x
Fig. 2.1
Exemplul 9. Fie f,g: [0,+(0) -+ IR cu f(x) = x2 §i g(x) = .;x.
Să se determine f ± g, f· 9 §i fig·
Soluție. Deoarece funcțiile f, 9 au acela§i domeniu de definiție,
funcțiile f ± g, f . 9 §i f j 9 au sens §i
sex) = (J + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 +.;x, (V)x E [0,+(0);
d(x) = (J -g)(x) = f(x) -g(x) = x2 -.;x, (V)x E [0,+(0);
p(x) = f(x)· g(x) = x2 • .;x, (V)x E [0,+(0);
q(x) = f(x)jg(x) = x2j.;x = x.;x, (V)x E D1 = (0,+00).
Exemplul 10. Fie f: IR -. [O, +(0), f(x) = x2 §i
g: [O, +(0) -+ IR, g(x) = .;x. Să se determine a) 9 o f §i b) f o g.
Soluție. a) 9 o f = r.p are sens §i obținem funcția r.p: IR -+ IR cu
r.p(x) = (g o J)(x) = g(J(x)) = g(x2) = R = Ixl, (V) x E IR.
b) De asemenea are sens 1j; = f o g: [0,(0) -+ [0,(0), cu
l,iJ(X) = (J og)(x) = f(g(x)) = f(.;x) = (.;x? = x, (V)x E [O, (0).
45
2.2. Exerciții rezolvate
1. Fie A = {2,4,6,8} §i B = {1,3,5,7}, a ~ A X B,a
= {(x,y)lx ~ 6 sau y ~ 1}:
a) care este graficul relației a?
b) să se alcătuiască schema relației a.
Soluție. a) Deoarece x E A, iar y E B, rezultă că
x ~ 6 {::} x E {6,8}, y ~ 1 {::} Y = 1.
Deci
a = {(6, 1), (6,3), (6,5), (6,7), (8,1), (8,3), (8,5), (8,7), (2,1), (4, 1)}.
b) (Vezi fig. 2.2).
A B
Fig. 2.2
2. Fie A = {1,2,3,4} §i B = {1,3,5,7,8}. Să se scrie graficul
relației a = {(x, y)13x + 4y = 1O} ~ A X B.
Soluție. Observăm că 3x + 4y = 10 {::} 3x = 2(5 -2y) ~ x este
par §i (5 -2y):3. Ținând cont de faptul că x E A §i y E B, obținem:
x E {2,4}, y E {1,7}. Egalitatea 3x + 4y = 10 este satisfăcută numai
de x = 2 §i y = 1. Deci Ca = {(2,1)}.
3. Fie A = {1,3,4,5} §i B = {1,2,5,6}. Să se scrie relația a cu
ajutorul literelor x E A §i y E B, dacă se cunoa§te graficul relației a.
Ca = {(1, 1), (1,2), (1,5), (1,6), (3,6), (5,5)}.
Soluție. (x, y) E Ca {::} y:x.
4. Considerăm pe mulțimea numerelor naturale IN relațiile
a,j3,~/,w ~ IN2, definite în felul următor (x,y E IN): a = {(3,5),
(5,3), (3,3), (5,5)}; xj3y {::} x ~ y;x,y {::} y -x = 12;xwy {::} x = 3y.
46
a) Să se determine 8a, Pa, 8(3, P(3, 8" P" 8w, PW.
b) Ce proprietăți posedă fiecare din relațiile 0:, (3, , , w ?
c) Să se determine relațiile 0:-1, (3-1, ,-1 §i W-1.
d)Săsedeterminerelațiile(3o" ,0(3, ,-10(3-1, ((30,)-\ ,OW
§i W-1 ° W.
Soluție. a) 1) 8a = {3,5} = Pa.
2) 8(3={x E lVl(3)y E lV: x(3y}={x E lV\(3)y E lV: x:S y}=lV
(pentru orice număr natural există numere naturale ce-l întrec).
P(3 = {y E lVl(3)x E lV: x(3y} = {y E lV(3)x E lV: x:s y} = lV
(pentru orice număr natural există cel puțin un număr natural ce nu-l
întrece).
3) 8,={x E lVl (3)y E lV: x,y}={x E lVl(3)y E lV: y -x=12}=
= {x E lVl(3) y E lV: x = y -12} = lV
(de exemplu, O = 1f -12, 1 = 13 -12 etc.).
P, = {y E lVl(3)x E lV: y = x + 12} = lV \ {0,1,2, … ,1l}
(de exemplu, ecuația 2 = x + 12 nu are soluții în lV).
4) 8w = {x E lVl(3)y E lV: xwy} = {x E lVl(3)y E lV: x =
= 3y} = {x E 1'Vlx:3} = {0,3,6,9, … } = {3klk E lV}.
Pw={y E lVl(3) x E lV: x=3y}={y E lVl(3) x E lV: y=x: 3}=lV
(pentru orice n E lV, avem n = 3n/3).
b) 1) o: este simetrică, tranzitivă, dar nu este reflexivă. De exem
plu, (2,2) rt 0:; deoarece (3,3) E 0:, rezultă că o: nu este nici
antireflexivă.
2) (3 este reflexivă (x < x, (V) x E lV), antisimetrică
((x(3y 1\ y,6x) => (x :S y 1\ Y :S x) => x = y), tranzitivă
(( x :S y 1\ Y :S z) => x :S z). Deci (3 este o relație de ordine pe
mulțimea lV.
3) , este antireflexivă (x -x -=1 12, (V) x E lV), antisimetrică
((x,y 1\ y,x) => (y-x = 12 §i x-y = 12) => x-y = y-x => x = y),
dar nu este simetrică (x,y => y -x = 12 => x -y = -12 => x.:r-y), nu
este tranzitivă ((x,y 1\ y,z) => (y -x = 12 1\ z -Y = 12) => z -x =
= 24 => x.:r-z).
4) W nu este antireflexivă (x -=1 3x, (V) x E lV*, O = 3· O), este
antisimetrică ((xwy 1\ ywx) => (x = 3y 1\ Y = 3x) => x = 9x => x =
= O = y, iar pentru x -=1 O -=1 y, egalitățile x = 3y §i y = 3x nu pot
avea loc), nu este reflexivă (de exemplu, 1 -=1 3 . 1 => 1-w.. 1), nu este
tranzitivă ((xwy 1\ ywz) => (x = 3y 1\ Y = 3z) => x = 9z -=1 3z, în
general => x-w.. z).
47
c) 1) a-l = {(5,3), (3,5), (3,3), (5,5)} = 0:.
2) {3-1 = ((y,x) E ]V21(x,y) E {3} = {(y,x) E ]V2Ix{3y} = = {(y,x) E ]V21x ~ y} = {(y,x) E ]Vly ~ x}. Deci
(1)
3) (y,x) E ,-1 {:} (X,y) E, {:} x,y {:} y -x = 12 {:} x = Y -12,
adică
4) (y,x) E w-1 {:} (x,y) E W {:} x = 3y {:} y = x/3,
adică
d) 1) (x, y) E {3 o, {:} (3) z E IN: (x, z) E ,6 /\ (z, y) E ,{:}
{:} (3) z E ]V: x ~ z /\ Y -z = 12 {:} (3) z E IN: x ~ z /\ z = = y -12 {:} x ~ y -12 {:} x + 12 ~ y,
adică
{3o, = {(x,y) E lV2lx+ 12 ~ y}. (2)
(3)
(4)
2) (x,y) E, o{3 {:} (3)z E lV: (x,z) E, /\ (z,y) E 6 {:} (3)z E
E lV: z-x=12/\ z ~ Y {:} (3)z E lV: z = x+12 /\ z ~ Y {:} x+12 ~ y. ceea ce implică ,o ,6 = {(x, y) E lV21x + 12 ~ y}.
3) (u,v) E ,-1 o{3-1 {:} (3) w E lV: (u,v) E ,-1 /\ (W,V) E {3-1 {:}
(1),(2) (::1) Tl\' ~ ::1 W E 11\: w = u -12 /\ w ~ v {:} u -12 ~ v {:} u ~ v + 12,
adică
(5)
Cu alte cuvinte,
({3 o ,)-1 = ,-1 o (3-1.
5) (x,y) E ~/ ow {:} (3)z ElAT: (X,Z) E, /\ (Z,y) E W {:} (3)z E
E lV: z -x = 12 /\ z = 3y {:} (3) zEN: z = x + 12 /\ z = 3y {:}
{:} x + 12 = 3y, ceea ce implică
,OW = {(x,y) E lV21x + 12 = 3y}.
6) (u,v) E w-1 ow {:} (3)w E lV: (u,w) E w-1 /\ (w,v) E W {:} (3) {:} (3)w E lV: u = w/3 /\ w = 3v {:} u = v {:} (u,v) E IN,
48
~.' ceea ce implică
5. Considerăm relația binară definită pe IR în felul următor
xay <=> (x = y V x + y = 2).
a) Să se demonstreze că a este relație de echivalență.
b) Să se determine mulțimea factor IRI a.
Soluție. a) 1) Deoarece x = x, (V) x E IR, avem xax, (V) x E IR.
2) aab =* (a = b V a + b = 2) =* (b = a V b + a = 2) =* baa.
3) Fie aab §i bac, a, b, cE IR. Atunci
(aab /\ bac) =* ((a = b V a + b = 2) /\ (b = c V b + c = 2) =*
=* ((a = b /\ b = c) V (a = b /\ b+c = 2) V (a+b = 2/\ b = c) V (a+b =
= 2 /\ b + c = 2)) =* (a = c V a + c = 2) =* aac.
Cu alte cuvinte, relația binară a este refiexivă, simetrică §i tranzitivă,
ceea ce demonstrează că a este relație de echivalență pe IR.
b) Fie a E IR. Determinăm clasa aa de echivalență a lui a în raport
cu a.
aa = {x E IRlxaa} = {x E IRlx = a V x + a = 2} =
={xEIRlx=a V x=2-a}={a,2-a}.
Atunci mulțimea factor este
IRla = {axlx E IR} = {{x, 2 -x}lx E IR}.
Observăm că
laal = 1 <=> a = 1: laal = 2 <=> a i= 1; (a i= b =* (aa = ab <=> a+b = 2)).
Cu alte cuvinte, pentru a i= 1, avem a i= 2 -a §i de aceea aa = a2-a,
iar mulțimea factor mai poate fi scrisă
IRla = {aala E IR, a 2 1} = {{a, 2-a}la 2 1}.
6. Fie A = {1,2,3,4,5} §i B = {a,b,c,d,e}. Care din diagramele
din fig. 2.3 reprezintă o funcție definită pe A cu valori în B §i care nu?
Soluție. Prin diagramele a), c), e) sunt date funcțiile definite pe A
cu valori în B. Diagrama b) nu reprezintă o funcție definită pe A cu
valori în B, deoarece nu este indicată imaginea lui 2. Diagrama d) de
asemenea nu define§te o funcție pe A cu valori în B, deoarece lui 1 îi
corespund două elemente din B, anume a, d.
7. Fie A = {1, 2, 3} §i B = {a, b}. Să se scrie toate funcțiile defi
nite pe A cu valori în B, indicându-se diagrama respectivă.
Soluție. Există opt funcții definite pe A cu valori în B. Diagramele
lor sunt reprezentate în fig. 2.4.
49
A B
Fig. 2.3
Fig. 2.4
50 A B
8. Fie A = {1,2,3,4}, B = {a,b,e}, C = {x,y,z,t} §i D = {1,2}.
a) Să se facă diagramele respective pentru două funcții surjective
defini te pe A cu valori în B.
b) Să se facă diagrama funcțiilor injective definite pe D cu valori
în B.
c) Să se facă diagrama unei funcții definite pe B cu valori în C,
care nu este injectivă.
d) Să se facă diagramele respective a două funcții bijective definite
pe A cu valori în C.
Soluție. a) Diagramele a două funcții surjective §i două funcții
nesurjective definite pe A cu valori în B sunt reprezentate în fig. 2.5
a) §i b).
a) b)
Fig. 2.5
b) Diagrama funcțiilor injective definite pe D cu valori în B sunt
reprezentate în fig. 2.6.
c) Diagrama unei funcții neinjective definite pe B cu valori în C
este reprezentată în fig. 2.7.
d) Diagramele a două funcții bijective definite pe A cu valori în C
sunt reprezentate în fig. 2.8.
51
B
Fig. 2.6
Fig. 2.7
Fig. 2.8
9. Fie A = {O, 1,5, 6}, B = {O, 3, 8, 15} și funcția f: A –+ B.
definită de egalitatea f( x) = x2 -4x + 3, (V) x E A.
52
a) Este funcția J surjectivă?
b) Este J injectivă?
c) Este J bijectivă?
Soluție. a) Calculăm J(A) = {J(O), J(I), J(5),J(6)} = {3,0,
8, 1.5} = E. Deci J este surjectivă.
b) Funcția J este și injectivă, fiindcă J(O) = 3, J(I) = 0, J(5) = 8
și J(6) = 15, adică Xl =J X2 =} J(Xl) =J J(X2).
c) Fun.cția J este bijectivă.
10. Utilizându-se graficul funcției J: A –+ E, J: IR –+ IR, să se
arate că funcția J este injectivă, surjectivă sau bijectivă.
a)J(x)={ x-2, dacăxE(-x,2),
. 3x -6, dacă X E [2,+00).
b) J: [1;5]–+ [-1;3], J(x) = Ix2 -6x + 81.
{ -3x, dacă -1 < x ::S 0,
c) J: [-1,+00]–+ IR, J(x) = -x, dacă ° < x ~ 1,
-0.5(x + 1), daca x> l.
d) J: IR –+ [0,+00), J(x) = max(x + 1,1-x).
Soluție. Dacă oricare paralelă la axa absciselor taie graficul funcției
în cel mult un punct (adică îl taie într-un singur punct sau nu-l taie
deloc), atunci funcția este injectivă. Dacă există o paralelă la axa
absciselor care intersectează graficul funcției în două sau mai multe
puncte, funcția nu este injectivă. Dacă EU) este mulțimea valorilor
funcției J și orice paralelă la axa absciselor, dusă prin punctele axei
ordonatelor ce se conțin în EU), taie graficul funcției J cel puțin într
un punct, funcția este surjectivă. Rezultă că o funcție J este bijectivă,
dacă oricare paralelă la axa absciselor, dusă prin punctele lui EU),
intersectează graficul lui J într-un singur punct.
a) Graficul funcției J este reprezentat în fig. 2.9.
Avem EU) = (-00, +00) și orice paralelă y = m, m E IR, la axa
absciselor intersectează graficul funcției J într-un singur punct. Deci
J este funcție bijectivă.
b) Observăm că J(x) 2:: 0, (V)x E [1;5]. Explicit, funcția J(x):
{ x2 -6x + 8, dacă x2 -6x + 8 2:: 0,
J( x) = -x2 + 6x _ 8, dacă x2 -6x + 8 < °
= { x2 -6x + 8, dacă x E (-00,2] U [4,+00),
_x2 + 6x -8, dacă x E (2,4).
53
y
x
Fig. 2.9
Graficul funcției f este reprezentat În fig. 2.10.
Avem EU) = [O; 3] C [-1; 3]. Orice paralelă y = m, m E (0,1),
intersectează graficul funcției f în patru puncte; paralela y = 1 in
tersectează graficul în trei puncte; orice paralelă y = m, m E (1; 3J,
intersectează graficul lui f în două puncte. Deci funcția f nu este nici
surjectivă, nici injectivă.
c) Graficul funcției este reprezentat în fig. 2.11. Avem
DU) = [-1,+00), EU) = (-00,3].
Orice paralelă y = m la axa absciselor taie graficul funcției f( x) în cel mult un punct (y = -3,y = 2,y = 4) §i de aceea f(x) este
injectivă. Ecuația f(x) = rE 1R are soluție numai pentru r:S 3, deci f( x) nu este funcție surjectivă.
d) Explicităm funcția f:
{X + 1, dacă 1 -x :S x + 1, f(x) = max(x + 1,1-x) = 1 -x, dacă x + 1 < 1 -x
= { x + 1, dacă x 2: O,
1 -x, dacă x < O.
54
y
3
– – – – –y=3/2 3/2 I
1 –y=l
–y=1/2
O 1 2 3 4 5 x
Fig. 2.10
y
– – – – – – – – – – – y=4
3
– – –––y=2
3
-1 x
-2
-3
Fig. 2.11
Graficul funcției f este reprezentat în fig. 2.12.
55
Avem DU) = IR, EU) = [1,+(0). Orice paralelă y = m, m E
E (1, +(0), intersectează graficul în două puncte §i de aceea j nu este
injectivă. Dreapta y = 1/2 E [O, +(0) nu intersectează graficul funcției
j, deci j nu este nici surjectivă.
y
-l o 1 x
Fig. 2.12
11. Să se determine care din următoarele relații sunt aplicații;
care din aplicații sunt injective, surjective, bijective?
a) <.p = {(x, y) E IN21x -y = 3};
b) j = {(x, y) E [-1; O] X [-1; 1]lx2 + y2 = 1};
c) g = {( x, y) E [O, +(0) X (-00, +00 )Iy = x2};
d) 1jJ = {(x,y) E [0,+(0)2Iy = x2}.
Pentru funcția bijectivă să se indice inversa ei.
Soluție. a) (x, y) E <.p {::? x -y = 3 {::? x = y + 3. Deoarece
D(<.p) = D<p = {x E.LVI (3)y E.LV: x = y+ 3} ~.LV
(ecuația 2 = y + 3 nu are soluții în .LV), rezultă că <.p nu este relație
funcțională.
b) (x, y) E j {::? x2 + y2 = 1. Atunci, deoarece DU) = Of =
= [-l;OJ,iar
(_~)2+(~)2=1, (-~,~)Ej,
::::}
(_~_J3)Ej
2' 2
cu J3/2 ~ -J3/2, §i j nu este relație funcțională.
c ) Avem: (x, y) E g {::? xgy {::? Y = g( x) = x2. Atunci:
1) x E [O,+oo)::::} y = x2 E IR::::} (x,x2) E g;
.56
2) (xgY1 1\ xgY2) ~ Y1 = x2 = Y2;
3) g(X1) = g(X2) ~ xi = x~ ~ IX11 = IX21 ~ Xl = X2, deoarece
Xl, X2 E [O, +(0);
4) ecuația g(x) = rE IR are soluții în [0,+00), dacă §i numai dacă
r ~ O, ceea ce demonstrează că 9 nu este surjecție (numărul -2, de
exemplu, nu are preimagine în [O, +00 )).
d) Avem: (x, y) E 1jJ {:? x1jJy {:? y = 1jJ(x) = x2. Repetând
raționamentele din p. c), obținem că 1jJ este injecție. Mai mult, ecuația
ț6( x) = r E [O, +00) are soluția x = Vi E [O, +00) §i de aceea 1jJ este
aplicație surjectivă. Atunci 1jJ este aplicație bijectivă §i, în conformi
tate cu teorema 6, relația 1jJ-1 este de asemenea aplicație (funcție).
În conformitate cu aceea§i teoremă 6, âvem
1jJ-1(X) = ..;x, x E [O, +00).
12. Fie {A = 1,2,3,4,5,6,7,8,9} §i <p E F(A) dată cu ajutorul
tabelului
a) Să se determine <p({2,3,5}); <p({1,3, 7,9}); Im<p.
b) Să se determine <p-1({1,2,3,4,5}); <p-1({2,3}); <p-1({7,8,9}).
c) Să se calculeze <p-1(1); <p-1(4); <p-1(7).
Soluție. a) <p({2,3,5}) = {so(2), <p(3), <p(5)} = {2,1,4};
<p({1,3,7,9}) = {<p(l), <p(3), <p(7), <p(9)} = {2,1,3,1} = {1,2,3};
Im<p = <p(A) = {<p(l), <p(2), <p(3), <p(4), <p(5), <p(6), <p(7), <p(8), <p(9)} =
= {l, 2, 3, 4, 5}.
b) <p-1({1,2,3A,5}) = {y E AI<p(y) E {1,2,3,4,5}} = A;
<p-1({2,3}) = {a E AI<p(a) E {2,3}} = {1,2,4,7,8};
<p-1({7,8,9}) = {b E AI<p(b) E {7,8,9}} = 0.
c) <p-1(1) = {a E AI<p(a) = l} = {3,9};
<p-1(4) = {b E AI<p(b) = 4} = {5};
<p-1(7) = {e E AI<p(e) = 7} = 0.
13. Fie A. = {1,2,3} §i B = {a,b,e}. Examinăm relațiile
ac = {(La),(2,b),(3,a),(3,e)},j3 = {(l,b), (2,a),(3,e)},
'Y = {(2,a),(3,e),(1,e)}.
a) Să se determine Oa, 0(3, O, §i Pa,Pt3,p,.
b) Care din relațiile ac, j3 §i 'Y sunt aplicații? Indicați tipul aplicației.
57
c) Determinati relațiile a-l, 13-1 și 1-1. Care din ele este functie?
d) Determinati relatiile a o 13-1,13 o a-l, a o 1-1, 10 a-l, 13 ° 1-1
și 1 013-1. Care din ele sunt aplicatii?
Soluție. a) Oa = {1,2,3} = A = 0{3 = 0"(; Pa = {a,b,e} = B = P{3;
P"( = {a, c}.
b) a nu este aplicatie, deoarece elementul 3 are două imagini a
și c. 13 este aplicație bijectivă; Î este aplicație, nici injectivă (elementele 3 =1-1 au aceeași imagine c), nici surjectivă (b nu are preimagine).
c) a-l = {(a,1),(b,2),(a,3),(c,3)},j3-1 = {(b,1),(a,2),(e,3)},
1-1 = {(a,2),(c,3),(c,1)}.
Avem 0a-1 = B = 0{3-1, 0"(-1 = {a, c} =1 B, Pa-1 = A = Pr1 = P"(-1. a-l nu este aplicatie, fiindcă elementul a are două imagini 1 și 3; ,8-1 este aplicatie bijectivă; Î-1 nu este aplicație, fiindcă 0"(-1 =1-B (elementul b nu are imagine);
d) ao;3-1 = {(1,2),(2,1),(3,2),(3,3)};
j3oa-1 = {(1,2),(2,1),(2,3),(3,3)};
a01-1 = {(1,2),(3,2),(3,3),(3,1)};
10 a-l = {(2,1),(3,3),(1,3),(2,3)};
801-1 = {(2,2),(3,3),(3,1)};
1013-1 = {(2, 2), (3, 3), (1, 3)}.
Este aplicatie numai relatia 1 013-1, nici injectivă, nici surjectivă.
14. Se dau funcțiile: I,g: lR –+ lR,
I(x) = { 3 -x, dac~ x ~ 2, g(x) = max(x _ 1,3 -x). x -1, daca x > 2,
Să se arate că I = g.
Soluție. Funcțiile I și 9 sunt definite pe lR și au valori în lR. Să
arătăm că I(x) = g(x), (V)x E lR.
Explicităm funcția g:
g(x)= {3 -x, dac~ x -1 ~ 3 -x, x -1, daca 3 -x < x -1 = { 3 -x, dac~ x ~ 2, = I ( x )
x -1, daca x > 2 oricare ar fi x E lR. Deci 1= g.
15. Fiind date funcțiile 1, g: lR –+ lR,
{X + 2, dacă x ~ 2, { x _ 2 I( x)= x + 10 d ~ 2 g( x)= 2 ; -3-' aca x > , x – ,
a) Să se arate că I și 9 sunt funcții bijective.
58 dacă x < 3,
dacă x ~ 3.
b) Să se reprezinte grafic funcțiile /§i j-1 în acela§i reper de coor-
donate.
c) Să se determine funcțiile: s = j + g, d = j -g, p = j. g, q = j / g.
d) Funcția d este oare bijectivă?
Soluție. a), b) Graficul funcției j este reprezentat în fig. 2.13
cu o linie continuă, iar graficul lui j-1 este reprezentat printr-o linie
întreruptă.
x
Fig. 2.13
j-1(X)_{ x-2, dacă x S; 4,
-3x-l0, dacă x> 4; g-1(X)= 1 v { x+2, dacă x < 1,
. 2(x+5), daca x 2: 1.
c) Compunem tabloul următor:
59
x
f
9
f+g
f-g
f·g
f/g
Avem (-00,2] (2,3) [3, +(0)
x+2 (x + 10)/3 (x + 10)/3
x-2 x-2 2x -5
2x 4(x + 1)/3 (7x -5)/3
4 (16-2x)/3 (25 -5x )/3
x2 -4 (x2 + 8x -20)/3 (2×2 + 15x -50)/3
x+:l.xi2 x + lU x + lU
x -2' 3(x -2) 3(2x -5)
{ 2x, dacă x ~ 2,
sex) = i(x+ 1), dacă 2 < x < 3,
-(7x -5). dacă x > 3. 3 . –
d(x) = i(8-X), dacă2<x<3,
{ 4, dacă x ~ 2,
:3 (.5 -x), dacă x 2: 3.
{ x2 -4, dacă x ~ 2,
p(x) = f(X2 + 8x -20), dacă 2 < x < 3,
:3(2×2 + 15x -50), dacă x 2: 3.
x + 2 d v –, aca x ~ 2, x-2
x + 10 v
q( x) = 3( x _ 2)' daca 2 < x < 3,
x + 10
3(2x _ 5)' dacă x 2: 3.
d) Avem d(x) = 4, (V)x E (-00,2], §i de aceea d nu este injec
tivă, adică d nu este bijectivă. Aceasta ne demonstrează că diferența
(suma) a două funcții bijective nu este neapărat o funcție bijectivă.
16. Se consideră funcția f: IR \ {-d/ c} –-+ IR \ {a/ c},
f(x) = (ax + b)/(cx + d), ad -bc i O, ci o.
a) Să se arate că funcția f este inversabilă.
b) Să se determine f-1.
c) În ce caz avem f = f-1?
60
S 1· ) 1) f( ) -f() aX1 + b _ aX2 + b o uțle. a Xl -X2 {::} – {::}
eX1 + d eX2 + d
{::} aex1 X2 + adx1 + bex2 + bd = aex1 X2 + bex1 + adx2 + bd {::}
{::} adx1 + bex2 = adx2 + bex1 {::} ad(x1 -X2) -be(x1 -X2) = O {::}
{::} (ad -be)( Xl -X2) = O {::} Xl = X2 =} f este injectivă.
2) Fie rE lR \ {ale}. Examinăm ecuația f(x) = r. Atunci
f(x) = l' {::} (ax + b)/(ex + d) = r {::} ax + b = erx + dr {::}
T=ft !!
{::} (a -er)x = dr -b ~ X = (dr -b)/(a -er).
Dacă X = (dr-b)/(a-er) = -d/e {::} edr-be = -ad+cdr {::} ad-be =
= o. Imposibil. Deci (dr -b)/(a -er) E lR \ {-d/e}, ceea ce demon
strează că ecuația f(x) = r are soluții în lR \ {-d/e} pentru orice
l' E lR \ {ale}. Aceasta ne demonstrează că f este funcție surjectivă.
Din 1) -2) rezultă că f este funcție bijectivă, deci §i inversabilă.
b) Determinăm f-1: lR \ {ale} -+ lR \ {-d/e}:
f(x) = ax +db {::} (ef(x) -a)x = b _ df(x/~.z x = -j/~) + b =} ex + . e x -a
=} f -1 ( x) = -dx + b.
ex -a
c) Pentru a avea f = f-1, este necesar ca funcțiile f §i f-1 să aibă
acela§i domeniu de definiție §i deci d = -a. Această condiție este §i su
ficientă pentru egalitatea funcțiilor f §i f-1. În adevăr, dacă d = -a,
funcțiile f §i f-1 sunt definite pe lR \ {ale}, iau valori în lR \ {ale}
§i f-1 (x) = (ax + b) / (ex + d) = f( x), (\1') x E lR \ {a / e}, adică f-1 = f.
17. Să se reprezinte funcția f( x) = v5x2 -2x + 8 ca o compoziție
a două funcții.
Soluție. Punem u(x) = x2 -2x + 8 §i v(x) = yIX. Atunci
f(x) = V.sx2 -2x + 8 = v(5×2 -2x + 8) = v(u(x)) = (v o u)(x).
Răspuns: f(x) = (1' o u)(x) cu u(x) = 5×2 -2x + 8, v(x) = yIX.
18. Să se calculeze f o g, 9 o f, (J o g)(4) §i (g o J)(4), unde:
a) f(x) = _3_ §i g(x) = yIX;
x -1
b) f(x) = VX + 3 §i g(x) = x2 -4;
C)f(x)={X2+6X, dacăvx<-3, §i9(X)={5X-2, dacăx~l,
-2x -5, daca x 2: -3 x2 -2x +4, daca x> l.
Indicați D(J o g) §i D(g o J).
Soluție. a) Avem (J o g)(x) = f(g(x)) = f(yIX) = ylX3 ; x-1
61
3 (f o g)(4) = V4 _ 1 = 3; D(f o g) = [O; 1) U (1, +00).
(gol)(X)=g(f(X))=g(_3_) =V 3 ; (gOf)(4)=V 3 =1; x-1 x-1 4-1
D(g o 1) = (1, +00).
Deci (g o 1)(4) t= (f o g)( 4), ceea ce demonstrează că legea comutativă
a compunerii funcțiilor, în general, nu are loc: f o g t= g o f.
b) (f o g)(x) = f(g(x)) = J(x2 -4) + 3 = vX2=1;
x E D(fog) <ț} x2 -1 ~ O <ț} x E (-00,-1] U [1,+00) = D(fog).
(g o f)(x) =g(f(x ))=g( vX+3) = (vX+3)2 -4=x -1; D(go f) =IR. (fog)(4) = ~ = v'lS, (go 1)(4) = 4 -1 = 3.
c) Pentru a determina funcțiile f o g §i g of, în acest caz procedăm
în modul următor:
(f o )(x) = f( (x)) = { g2(x) + 6g(x), dac~ g(x) < -3, = g g -2g(x) -5, daca g(x) ~ -3
{ g2(x)+6g(x), dacăg(x)<-3,
= -2g(x) -5, dacă g(x) ~ -3 §i x ~ 1, = -2(x2-2x+4)-5, dacăg(x)~-3§ix>1
{ (5x -2)2 + 6(5x -2), dacă 5x -2 < -3,
= -2(5x -2) -5, dacă 5x -2 ~ -3 §i x ~ 1, = -2(x2 -2x + 4) -5, dacă 5x -2 ~ -3 §i x > 1
{ 25×2 + 10x -8, dacă x < -1/5,
= -10x -1, dacă -1/5 ~ x ~ 1,
-2×2 + 4x -13, dacă x > 1.
(fog)(4) = -2.42 +4·4-13 = -29.
{ 5f(x) -2, dacă f(x) ~ 1, (g o f)(x) = g(f(x)) = f2(x) _ 2f(x) + 4, dacă f(x) > 1.
Observăm că
[ { x2 + 6x ~ 1,
x <-3
f(x)~l<ț} {-2X-5~1,
x ~-3
<ț} [ x E [-3 -vIo; -3),
x ~-3 [{ x E [-3 -vIo, -3 + vIo],
x <-3
<ț} <ț}
{-2X ~ 6,
x ~-3
<ț} x E [-3 -vIo; -3) U [-3, +00).
Deci pentru f(x) ~ 1, obținem
( o I)(x) _ { 5(x2 + 6x) -2, dacă x E [-3 -vIo, -3) g -5( -2x -5) -2, dacă x E [-3, +00).
62
În mod analog,
[ { X2 + 6x > 1,
x < -3 ……. [{ x E (-00,-3-/10),
f(x) > 1 {:} {-2X _ 5> 1, ,…., x E 0
x ~-3
§i de aceea pentru f( x) > 1, obținem
(g o f)(x)=(x2 + 6x)2 -2(x2 + 6x) + 4=x4 + 12×3 + 34×2 -12x + 4
pentru x E (-00, -3 -JlO).
Totalizând, avem
{ x4 + 12×3 + 34×2 -12x + 4, dacăx E (-00, -3 -/10),
(g o f)(x)= 5×2 + 30x -2, dacă x E [-3 -/10, -3),
-10x -7, dacă x ~ -3.
(gof)(4) = -10·4-27= -67.
19. Să se rezolve ecuațiile:
a) (g o f o f)(x) = (f o g o g)(x), dacă f(x) = 3x + 1, g(x) = x + 3;
v ax + 1
b) (f o f o f)(x) = x, daca f(x) = –, a E IR, x E IR \ {-a};
x+a
c) (f o g)(x) = (g o f)(x), dacă f(x) = 2×2 -1, g(x) = 4×3 -3x.
Soluție. a) Determinăm funcțiile (g o f o f)(x) §i (f o g o g)(x):
(g o f o f)(x) = g(f(f(x))) = g(f(3x + 1)) = g(3(3x + 1) + 1) =
= g(9x + 4) = 9x + 4 + 3 = 9x + 7;
(f o g o g)(x) = f(g(g(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3) + 3) =
= f(x + 6) = 3(x + 6) + 1 = 3x + 19.
Ecuația devine
9x + 7 = 3x + 19 {:} x = 2.
Răspuns: x = 2.
b) Calculăm (f o f o f)( x):
(f o f o f)(x) = f(f(f(x))) = f(f( a; :a1)) =
ax + 1
=f(a. x+a +1) =f(ax2+x+2a) =
ax + 1 2ax + 1 + a2 –+a x+a
a2x + x + 2a
a· +1 3 2
_ 2ax + 1 + a2 = a x + 3ax + 3a + 1 =
a2x+x+2a 3a2x+x+3a+a3
––,-+a
2ax + 1 + a2
= ((a3 + 3a)x + (3a2 + 1))/((3a2 + l)x + (a3 + 3a)).
63
Ecuația devine
(a3+3a)x+(3a2+1) 2 2 2
(3a2 + l)x + (a3 + 3a) = x {:} (3a + l)x = 3a + 1 {:}
{:} x2 = 1 {:} [ x = -1,
x = 1.
Răspuns: x E {-1,1}.
c) Determinăm (f o g)( x) §i (g o J)( x):
(f o g)(x) = f(g(x) = f(4×3 -3x) = 2(4×3 -3x)2 -1 =
= :32×6 -48×4 + 18×2 -1.
(g o J)(x) = g(f(x)) = g(2×2 -1) = 4(2×2 -1? -3(2×2 -1) =
= 4(8×6 -12×4 + 6×2 -1) -6×2 + 3 = 32×6 -48×4 + 18×2 -1.
Ecuația devine
32×6 -48×4 + 18×2 -1 = 32×6 -48×4 + 18×2 -1 {:} O = O,
adică egalitatea este adevărată pentru orice x E lR.
Răspuns: x E lR.
20. Fie f, g: lR ––'. lR date de f( x) = x2 + x + 12 §i
g( x) = x2 -x + 2. Să se arate că nu există nici o funcție <p: lR ––'. lR,
astfel Încât
(<poJ)(x)+(<pog)(x)=(goJ)(x), (V)XElR. (A)
Sol uție. Relația (A) mai poate fi scrisă
Presupunem că există o funcție <p: lR ––'. lR ce satisface relația
(A'). Punem În (A') x = 1 §i x = -1. Obținem:
'P( 4) + <p(2) = 14, <p(2) + <pe 4) = 4,
ceea ce implică <p(4) + 'P(2) i= <p(2) + <p(4), contradicție cu ipoteza.
Deci nu există o funcție <p cu proprietatea din enunț.
21. Să se determine toate valorile parametrilor a, b E lR pen
tru care U o g)(x) = (g o J)(x), (V) x E lR, unde f(x) = x2 -x §i
g( x) = x2 + ax + b.
Soluție. Determinăm f o 9 §i g o f:
U o g)( x) = f(g( x») = f( x2 + ax + b) = (x2 + ax + b)2 -(x2 + ax + b) =
= x4 + 2ax3 + (2b -1)x2 + a2x2 + b2 -ax -b + 2abx =
= x4 + 2ax3 + (a2 + 2b -1)x2 + (2ab -a)x + b2 -b.
64 •
(g o f)(x) = g(J(x)) = g(X2 -x) = (X2 -x)2 + a(x2 -x) + b =
= X4 -2×3 + (a + 1 )x2 -ax + b.
Atunci
(J o g)(x) = (g o f)(x), (V) x E R {:> x4 + 2ax3 + (a2 + 2b -l)x2+
+(2ab -a)x + b2 -b = x4 -2×3 + (a + l)x2 -ax + b {:>
('v'~R a2 + 2b -=-1 = a + 1, {:> { a: -1,
{ 2a = -2,
2ab -a –a, b -O.
b = b2 -b
Răspuns: a = -1, b = O, g(x) = x2 -X = f(x).
22. Sunt date funcțiile f,g, h: lR –+ lR,
f(x) = x4 + 4×3 + 3, g(x) = x3 + x + 3 §i h(x) = x3 + 8.
Să se arate că:
a) f nu este injectivă;
b) g este ingectivă;
c) h este bijectivă §i să se determine h-l.
Soluție. a) Fie f(XI) = f(X2). Atunci
xi + 4x{ + 3 = xi + 4x~ + 3 {:> (xi -x~)(xi + xD + 4(XI -X2)X
x(xi + XIX2 + x~) = O -:ț Xl = X2·
De exemplu, f( x) = x3( x + 4) + 3, luând Xl = O §i X2 = -4,
obținem f(O) = f( -4) = 3, Xl i-X2·
b) g(xJ) = g(X2) {:> xi + Xl + 3 = x~ + X2 + 3 {:>
{:> (Xl -x2)(xi + XIX2 + x~ + 1) = O {:> Xl = X2,
deoarece
xi + xIX2 + x~ + 1 > O, (V) xI,x2 E lR.
c) h(XI) = h(X2) {:> xi + 8 = x~ + 8 {:> xi = x~ {:> Xl = X2,
adică h este funcție injectivă.
Demonstrăm că h este surjectivă. Fie r E lR. Rezolvăm ecuația
h( x) = r {:> x3 + 8 = r {:> x3 = r -8 {:> x = ~ r – 8 (rădăcina de ordin
impar există din orice număr real). Deci h este surjecție, prin urmare,
h este funcție bijectivă.
Determinăm h-l:
(y,x) E Gh-l {:> (x,y) E Gh {:> h(x) = y = x3 + 8 {:> x3 = Y -8 {:>
{:> x = ~y -8 {:> h-l(x) = ~x -8.
23. Fie f: [1, +00) –+ [1, +00) cu
f(x) = x6 -3×5 + 6×4 -7×3 + 6×2 -3x + 1.
a) Să se demonstreze că f este funcție bigectivă.
65
b) Să se determine f-1.
Soluție. a) Avem f(x) = (x2 -x + 1? Reprezentăm această
funcție ca compoziție a două funcții:
u,v: [1,+00) –+ [1,+00), unde u(x) = x3, v(x) = x2 -x + l.
Atunci f( x) = (u o v)( x), ce implică f = u o v, este bijectivă fiind
compoziție a dOl.iă funcții bijective.
b) f-1 = (u o V)-1 = v-1 o u-1. Determinăm v-l §i u-l.
u-l: [1,+00) –+ [1,+00), u-l(x) = ijX.
Deoarece v(x) = x2 -x + 1 = y ::::} x2 -x + 1 -y = o. Re
zolvăm în raport cu x E: [1, +00) această ecuație. Discriminantul este
D = 1 -4(1 -y) = 4y -3 §i Xl,2 = (11= J4y -3)/2
(y ~ 1 {} 4y -3 ~ O!).
Ecuația are o singură rădăcină în [1, +00):
x = (1 + J4y -3)/2.
Atunci
v-l(x) = (1 + J4x -3)/2.
A§adar,
f-l(X) = (v-l ou-l)(x) = v-l(u-l(x)) = v-l(ijX) =
= (1 + J4ijX -3)/2, cu f-l: [1,+00) –+ [1,+00).
24. Se consideră funcția f: lR –+ lR cu proprietățile:
1) f(Xl + X2) = f(Xl) + f(X2), (V) Xt,X2 E lR;
2) f(l) = 1;
3) f(1/x) = 1/x2. f(x), (V)x E lR*.
a) Să se determine funcția f.
b) Să se calculeze f( J1998).
Soluție. a) Pentru X2 = O din 1), rezultă f(X1) = f(xd + f(O),
ceea ce implică f(O) = O. Pentru X2 = -xl din 1), obținem
f(O) = f(Xl) + f( -Xl) = O ::::} f( -Xl) = -f(xt} ::::} f(X2) =
= -f( -X2) ::::} f( -X2) = -f(X2).
Atunci
f(Xl -X2) = f(X1 + (-X2)) ~ f(xd + f( -X2) =
= f(Xl) -f(X2), (V) Xl,X2 E lR.
Fie X rJ. {O, 1}. Atunci (1)
f(_l_)' ~ 1 .f(1_x)~f(l)-f(x). (2)
1 -X (1-x)2 (1 -X)2
66
P d Iv 1 1-x+x x v e e a ta parte, –= = 1 + –implica 1-x 1-x 1-x
f(1~X) =f(1+ 1~X) ~f(1)+f(1~X) =1+f(1~X) =
~ 1 + (1 ~ x) 2 . f (1: x) = 1 + (1 ~ x) 2 • [f (t -1)] =
~ 1 + ( 1 ~ x) 2 . (f (t) -f( 1)) = 1 + ( 1 ~ x) 2 . (:2 . f( x) -1) =
1 x2 1-2x+f(x) = 1+ (1–x)2 ·f(x)-(1-x)2 = (1-x)2
Din (2) §i (3) urmează
f(1)-f(x) _1-2x+f(x) f()-
(1-x)2 -(1-x)2 {::} X -x.
Deci f(x) = x, (V) x E lR.
b) f( ,/1998) = v!1998.
Răspuns: a) f(x) = x; b) f(v!1998) = v!1998. (3)
25. Folosind proprietățile funcției caracteristice, să se demonstreze
egalitatea
Au (B n C) = (A U B) n (A U C), A, B, CE P(M).
Soluție. Folosind proprietățile A = B {::} fA = fB, vom demonstra
egalitatea cerută calculând cu ajutorul lui fA, f B §i f e funcțiile carac
teristice ale mulțimilor Au (B n C) §i (A U B) n (A U C):
6) 4) fAU(Bne) = fA + fBne -fA· fBne = fA + fB· fe -fA(fB . fe) =
= fA + fB . fe -fA . fB . fe.
6)
f(AUB)n(AUe) = fAUB . fAue = (fA + fB -fA· fB)(fA + fe -fA· fe) =
= f~ + fA· fe -f~ . fe + fB· fA + fB . fe -fB· fA· fe -n . fB-
2 3) f -1. … fB . fe + fA . fB . fe = fA + fB . fe -fA . fB . fe = AU(BnC),
ceea ce implică AU (B n C) = (A U B) n (A U C).
2.3. Exerciții propuse
1. Determinați domeniile de definiție §i de valori ale relațiilor:
1) a = {(2,4),(3,1),(2,-4),(O,27)};
2) ~ = {(100,10),(200,20),(300,30),(400,40)};
3) I = {(1,5),(2,7),(3,9),(4,1l)};
4) b = {(1/2,5)};
67
5) p = {( -2, -5), (-2, O), (7, -2), (9, O)};
6) w = {(-1,2),(-5,-2),(0,-2),(0,9)}.
2. Fie A = {2,4,6,8} și B = {1,3,5,7}, a ~ A X B.
a) Să se determine graficul relației a.
b) Să se construiască schema relației a:
1) a = {(x,y)lx < 3 și y> 3};
2) a = {( x , y) Ix> 2 și Y < 5};
3) a = {(x,y)lx > 6 sau Y > 7};
4) a = {(x, y)1 max(x, Y):S 3};
5) Q = {( x , y) I min ( x , y) :S 2};
6) Q = {(x,y)lmin(x,y) > 6};
7) Q = {(x,y)lmin(x,5) > max(y,3)};
8) Q = {(x, y)1 max( x, 6) > max(y,5)}.
3. Fie A = {1,2,3,4} și B = {1,3,5,7,8}. Să se scrie graficul
relației Q ~ A X B, dacă:
1) Q = {(x, y)lx + y = 9};
2) a = {(x, y)12x -y = l};
3) Q = {(x, y)lx2 -y2 = 8};
4) a = {(x,y)lx -y ~ 3}:
5) a = {(x,y)ly:x};
6) Q = {(x,y)14x + y = lI};
7) Q = {(x, y)l(x + y):3};
8) Q = {(x,y)lx ~ y}.
4. Fie A = {l, 3, 4, 5}, B = {l, 2, 5, 6} și G graficul relației Q. Să se scrie relația Q prin propoziții conținând literele x și y, cu x E A și y E B:
1) Ga = {(1,5),(4,2),(5,1)};
2) Ga = {(1,2),(4,5),(5,6)};
3) Ga = {(1,2),(1,5),(1,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)};
4) Ga = {(1,5),(1,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,5),
(5,6)};
5) Ga = {(3,2),(4,2),(5.2)};
6) Ga = {(4,2),(4,6)};
7) Ga = {(4,1),(4,2),(4,5),(4,6),(1,6),(3,6),(5,6)};
8) Ga = {(l, 1), (4, 2)}.
68
5. Fie A = {l,2.3,4}. Să se cerceteze proprietățile relației
a ~ A2(var. 1-6) §i a ~ JR2 (var. 7-14):
1) a = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4),(3,4)};
2) 0'= {(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(3,4),(4,3)};
3) a = {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};
4) a = {(1,1),(1,2),(2,2),(3,3),(4,4)};
5) a = {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4)};
6) 0'= {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,4)};
7) 0'= {(x,y) E JR21x > 1 §i y > l};
!{ x>O {x<O 8)a={(x,y)EJR2 y>O' sau y<O'};
9) a = {(x, y) E JR21x 2': O sau y < O};
10) a = {(x, y) E JR21x 2': 1 sau y > l};
11) a = {(x, y) E JR21x2 + x = y2 + y};
12) a = {(x, y) E JR21x2 -3x + 2 = y2 -3y + 2};
13) a = {(x,y) E JR21x2 + x = y2 -y};
14) a = {(x, y) E JR21x2 = y2}.
6. Pentru fiecare din relațiile binare a definite pe mulțimea IN:
a) să se determine domeniul de definiție Da §i domeniul de valori Pa;
b) să se stabilească proprietățile (refiexivitatea, irefiexivitatea,
simetria, antisimetria, tranzitivitatea);
c) să se determine relația inversă a-l (x, Y E IN):
1) xay <=} c.m.m.d.c. (x,y) = 1; 2) xay <=} y < 2x;
3) xay <=} Iy -xl = 12; 4) xay <=} x = y2;
5) xay <=} (x -y):3; 6) xay <=} x . Y = 30;
7) xay <=} y = 2x + 1; 8) xay <=} x < y + 1;
9) xay <=} x < y -1; 10) xay <=} y = 2x;
11) xay <=} y2 = x2; 12) xay <=} x . Y = O.
7. Este dată mulțimea A §i relația binară a ~ A 2. Să se demon
streze că a este relație de echivalență §i să se determine mulțimea
factor A/a.
1) A = {1,2,3}, 0'= {(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(3,3)};
2) A = {1,2,3,4}, 0'= {(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),(2,2),
(3,3),(4,4),(3,2),(2,3)};
3) A = {1,2,3,4}, 0'= {(1,4),(1,1),(4,1),(1,2),(2,1),(3,3),
(2,2),(2,4),(4,2),(4,4)};
4) A = {1,2,3}, 0'= {(1,1),(2,2),(3,3)};
5) A = {l, 3, 5, 6}, 0'= {(1, 6), (6, 1), (1,1), (6, 6), (3, 3), (5, 5)};
69
6) A = {1,2,3,4}, a = {(1,3),(L4),(1,1),(3,3),(3,1),(4,1),
(4,4),(2,2),(3,4),(4,3)};
7) A = JN2, (a, b )a( e, d) {:} a + d = b + e;
8) A = Z x Z*, (a, b )a( e, d) {:} a . d = b . e;
9) A = {L2,3,4,6,9}, a = {(1,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,2),
(4,4),(3,3),(2,1),(6,6),(9,9)};
10) A = {1,2,3,5}, a = {(1,3),(1,1),(3,1),(1,2),(2,1),(2,2),
(3,3),(3,2),(2,3),(5,5)}.
8. Fie dată mulțimea A = {1, 2,3,4,5,6,7,8, 9} și sistemul de
submultimi S = {Ai ~ A, i = 1, n}. Demonstrați că S definește o
partiție pe A și construiți relația de echivalentă as.
1) Al = {1,2,3,8,9}, A2 = {4}, A3 = {5,6, 7};
2) Al = {1,2}, A2 = {3,4}, A3 = {5,6}, A4 = {7,8}, As = {9};
3) Al = {1}, A2 = {2,3,4}, A3 = {5,6}, A4 = {7,8,9};
4) Al = {1}, A2 = {3,4,5}, A3 = {2,7}, A4 = {6,9}, A5 = {8};
5) Al = {1,2}, A2 = {3,9}, A3 = {4,8}, A4 = {5,6, 7};
6) Al = {1, 2}, A2 = {3, 8, 9}, A3 = {4, 5, 6}, A4 = {7};
7) Al = {1, 9, 7}, A2 = {2, 8, 6}, A3 = {3, 4, 5};
8) Al = {7,8}, A2 = {1,9}, A3 = {2,3,4,5,6};
9) Al = {1, 8, 9}, A2 = {2, 7}, A3 = {4}, A4 = {5}, As = {3, 6};
10) Al = {l, 3, 5, 7, 9}, A2 = {2, 4, 6, 8}.
9. Definim pe IR relatia binară a:
xay {:} In2 x -In x = In2 y -In y.
a) Să se arate că a este o relatie de echivalență pe IR.
b) Să se determine clasele de echivalentă.
10. Definim pe IR relația binară ;3:
x;3y {:} sin2 x -2 sin x = sin2 y -2 sin y.
a) Să se arate că ;3 este o relatie de echivalență.
b) Să se determine clasele de echivalență.
11. Fie a ~ A2, unde A = {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,
7,8} cu
xay {:} x2 -y2 = 2(x -y).
a) Este a o relatie de echivalentă?
b) În caz afirmativ, să se determine clasele de echivalentă.
70
12. Să se determine Da, Pa, a-l, a o a, a o a-l, a-Ioa, dacă:
1) a = {(x,y) E ]V2Iy:x};
2) a = {(x,y) E ]V2/x:y};
3) a = {(x,y) E JR21x + y ~ O};
4) a = {(x, y) E JR2/2x ~ 3y};
5) a = {(x,y) E [-7r/2,-7r/2Fly ~ sinx}.
13. Să se determine relațiile a o (3, (3 o a, a-l, (3-1,
a-l 0(3-1, ((3 o a)-l:
1) a = {(x,y) E JR21x ~ y}, (3 = {(x,y) E JR2/x ~ y};
2) a = {(x, y) E JR21x > y}, (3 = {(x, y) E JR21x < y};
3) a = {(x,y) E JR21x + y < 2}, (3 = {(x,y) E JR212x -y > O};
4) a={(x,y) E JR21(x-l)2+y2>1}, (3={(x,y) E JR21x2+y2 ~ 2};
5) a = {(x, y) E Z21x-y este par}, (3 = {( x, y) E Z2lx-y este impar};
6) a = {(x, y) E Z211xl = Iyl}, (3 = {(x, y) E Z2/y = 2X};
7) a = {(x,y) E ]V2Ix:y}, (3 = {(x,y) E ]V2Iy:x};
8) a = {(x, y) E ]V21xY = 1}, (3 = {(x, y) E ]V2/x . Y = 1}.
14. Fie A = {1,2,3,4}, B = {a,b,e,d}. Să se determine domeniul
de definiție §i domeniul de valori ale fiecărei din următoarele relații
a, (3. Care din aceste relații sunt aplicații? Determinați tipul aplicației.
Determinați relațiile a-Ioa, ao(3-I, (3oa-l, (30(3-1. Sunt ele aplicații?
1) a = {(I,a),(2,e),(3,e),(4,d)}, (3 = {(1,d),(2,a),(3,e),(4,b)};
2) a = {(I,a),(I,e),(2,b),(3,e),(4,d)},
/3 = {(I,a),(2,a),(3,a),(4,a)};
3) a = {(2,a),(3,e),(4,d),(I,b),(2,b)},
f3 = {(I,a),(I,b),(I,e),(I,d)}.
15. Considerăm aplicația <.p: JR ~ JR, <.p( x) = sin x. Să se deter
mine <.p(JR), <.p((O,7r», y-I([-I,O)), <.p-1(1/2), <.p-1([I, 2)), <.p-I((I, 2]).
16. Aplicația <.p: A ~ B, unde A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} §i
B = {a, b, e, d, e, i}, este dată de tabelul
Să se determine <.p(A), <.p({2,3,5}), <.p({5,6,7,8}), <.p({1,3,7,9}),
<.p-l({b,j,e}), <.p-l({e,e}), <.p-l(d).
71
17. Considerăm aplicația <p: 1R ––+ Z, <p( x) = [x J ([x J este partea
întreagă a lui x). Să se determine <p( {2, 4,6, 7}), <p( (1,5)), <p([ -2.5; 2]),
<p -1 ( {2. 4, 5} ) și <p -1 ( -1).
18. Se dă aplicatia <p: IN –+ IN, <p(x) = x2• Determinati <p(A) și y-l(A), dacă A = {1,2,3,4,5,6, 7,8,9,10}.
19. Fie A și E două mulțimi finite, lAI = m. IEI
aplicații surjective <p: A –+ E există, dacă: n. Câte
1) n = 1; 2) n = 2; 3) m = 4, n = 3; 4) m = 5, n = 3;
5) m = 5, n = 4; 6) m = n = 5?
20. Fiind dat graficul relației a, stabiliti dacă a este funcție.
Determinați oa și Pa. Schimbând Oa și Pa, faceti ca a să devină
aplicație injectivă, surjectivă și bujectivă. Construiti graficul relatiei a-l. Relatia a-l este functie? Care este tipul ei?
1) a: x + y = 2
y
x
3) a: (x -2)2/4 + (y -2)2 = 1
y
3
2
1
o 1 2 4 x
72 y
2
-2 2 x
4) a: y = x2 + 1
y
1
-1 O 1 x
.)) cr: y = _x2 + 1
1
" y
i)cr:y=4-x2
y
2
9) cr: y = Ix -11
1 x
-3
x
x y
-1 O 1 3 x
8) cr: y = -VX+3
y
-1 1
x
10) cr: y = x3
x
21. Fie A = {1,2,3,4}, B = {0,1,5,6} §i C = {7,8,9}.
a) Să se facă diagramele a două funcții injective §i a două funcții
neinjective defini te pe C cu valori în B.
b) Să se facă diagramele a două funcții surjective §i a două aplicații
nesurjective definite pe A cu valori în C.
c) Să se facă diagramele a două funcții bijective §i a două funcții
nebijective definite pe A cu valori în B.
22. Fie A = {1,3,5,6} §i B = {0,1,2,3,5}, x E A, y E B. Care
dintre relațiile de mai jos reprezintă o funcție definită pe A cu valori în
B? Dar o funcție definită pe B cu valori în A? Pentru funcții, indicați
73
tipul lor:
1) a: x + y = 6; 2) a: y = x + 1; 3) a: x = y;
4) a: y = x2; 5) a: y = x3 -9×2 + 23x -15;
6) a: y5 -lly4 + 41y3 -61y2 + 30y -x + 1 = O.
23. Utilizându-se graficul funcției f: A –+ E, să se arate dacă
f este injectivă, surjectivă, bijectivă. În cazul funcției bijective, să
se determine f-1 §i să se construiască graficele lui f §i f-1 în acela§i
reper de coordonate.
1) f: (-2;0) U [2,+x) –+ [O,+x), f(x) = Ixl;
2) f: lR –+ [2, +x), f(x) = Ixl + Ix -21;
{ -x/2, -2:S x:s 0, 3) f: [-2,+(0) –+ [0,+(0), f(x) = 1 O' x+ , x> ,
4) f: lR _. ro +x) f(x) = { Ix2
-11, x:s 1,
– " 0, x> 1;
5)f: {0,1,3}–+{-2,0,4}, f(x)=2x-2;
6) f: {-3,0,2} –+ {1,11/5,3,4}, f(x) = 0.2(2x+ 11).
24. Care din următoarele relații a <;;; lR2 sunt funcții? Indicați
domeniul de definiție al funcțiilor. Stabiliți tipul funcției:
1) a: 2y -3x = 19; 2) a: x· y = 9; 3) a: 3x -7 + 5y = O;
4) a: 2×2+3y-6= O; 5) a: y = Jx-2; 6) a: xy-2y+5x-7=0;
7)00: x2-(y-2)2=0; 8)00: 3(4-5x)+4(y+5)=1;
9) a: (x -1)2 + (y + 3)2 = 4; 10) a: x2 -y + 7x = 3;
11) a: 4x -2y = 9x + y; 12) a: y2 + xy + 1 = O;
13) a: x2+y2 = 16; 14) a: y = x2-3x+1; 15) a: 2xy = y2+5.
25. Este dată relația a cu Da = [-3; 5J §i Pa = [-4; 7J.
a) Perechea (-4,5) aparține relației a? De ce?
b) Indicați toate perechile ordonate (x, y) E a cu x = O. Explicați.
26. Fiind dată funcția f( x), calculați valorile ei în punctele indi-
cate.
1) f(x) = -7; f(4), f(-3), f(c), cE lR;
2) f(x) = Ix3 -2xl; f(5), f( -2), f( -7), f(1,4);
3) f(x) = x4 -x3 -X -3; f(O), f( -1), f(2 + c);
4) f(x) = { x2 -5, dacă x > 0, f( -2), f(O), f(5);
2x + 3, dacă x :S 0,
74
{ X2 + 1, dacă x > O,
5) f(x) = -4, dacă x = O, f(5), f(-l), f(1/2);
1 -2x, dacă x < O,
6) f(x) = x2 -5x + 2; (f(1 + c) -f(l))/c, cE IR*.
27. Determinați D(f), dacă:
1) f(x) = (2x + 3)/(lx -41);
3) f(x) = 5/(x2 + x + 1);
5) f(x) = ij6x2 + 13x -5;
7) f(x) = (5x)/h/4 -3x); 2) f(x) = JI2x + 11;
4) f(x) = 3 -2/(5 -x);
6) f(x) = (4x)/(9 -4×2);
8)f(x) = 11";
9) f(x) = (5x)/(x2 -2x -15).
28. Fiind date funcțiile f( x) §i g( x), determinați funcțiile
f + g, f -g, f· 9 §i f / g, indicând domeniul de definiție al acestora.
2 l)f(x) = JX=5, g(x) =~; 2)f(x)= x-3' g(x)=2x+1;
3) f(x) = x -5, g(x) = x2 + 1; 4) f(x) = x -3, g(x) = 2/x;
.5) f(x) = x2 -4, g(x) = 1 -x2; 6) f(x) = 3/x, g(x) = 4/x;
7) f(x) = x -1, g(x) = x2 -5x + 6; 8) f(x) = ~,g(x) = x;
9)f(x) = 5, g(x) = -3; 10)f(x) = 1-x2, g(x) = 4x.
29. Reprezentați funcția f( x) sub formă de compoziție a unor
funcții:
1) f(x) = 7(4x -9)5 + 4;
3) f(x) = 1/vx2 -3;
5) f(x) = -2(x + 5)4 + 10;
7) f(x) = vx2 + x -2; 2) f(x)=(x2+3x)t +(x2+3x)t -7;
4) f(x) = 4(x2 -3)6 -7;
6) f(x) = (2x -3)2 -(2x -3) + 1;
4 2 8) f(x) = (x -1)3" + (x -1)3" -4;
2 1 9) f(x) = (3x + 5)3 + 3(3x + 5)3" + 7; 6 10) f(x) = 7tN~~ ~ yu -3x
30. Fiind date funcțiile f (x) §i g( x ), să se determine funcțiile f o 9
§i 9 o f §i să se calculeze (f o 9 )(3) §i (g o 1)(3) în variantele 1) -6) §i
(f o g)( -1) §i (g o 1)( -1) în variantele 7) -12).
1) f(x)=x+2, g(x)=x-1; 2) f(x)=x2+8, g(x)=x -3;
3) f(x)=g(x)=x; 4) f(x)=x2-1, g(x)=x+1;
5) f(x)=2×2+1, g(x)=x2-1; 6) f(x)=x2, g(x)=x3;
7) f(x)=x2+2x+l, g(x)=-2×2-1; 8) f(x)=3×2+2, g(x)=x-3;
9) f(x)=2×4+4×3+1, g(x)=x2+1; 10) f(x) = x -8, g(x)= Ixl;
11) f(x)=lx+11=g(x); 12) f(x)=x-1, g(x)=x+l.
75
31. Fiind date funcțiile f(x) = x2, g(x) = 3x §i h(x) = x -1, să se calculeze:
1) (fog)(l);
4) (f o h)(3):
7) (goh)(-2); 2) (g o f)(1);
5) (gof)(-2);
8) (hog)(-2); 3) (hof)(3);
6) (f o h)( -3);
9) (f o h)( -1/2);
12) (f o g)(l + y2);
15) (f o (g o h))(c); 10) (gof)(-1/2);
13) (f o g)(c); 11) (f o h)(y2 + 3);
14) (g o h)(c);
16) ((fog)0h)(c).
32. Determinați dacă în perechile de funcții f §i 9 una este inversa celeilalte:
x-1 1) f(x)=2x+1, g(x)=-2-;
3) f(x)=x+4, g(x)=x-4:
1" ) x+5 5) J(x)=4x-5,g(x =-4-;
7) f(x)=x, g(x)=-x; 2) f(x)=-2x+3, g(x)=2x-3;
4) f(x)=x+1, g(x)=x-1;
1 6) f(x)=x-2, g(x)=2x+1;
8) f(x) = -2x+3, g(x) = -2x-3.
33. Se dă valoarea funcției f. Să se calculeze valoarea functiei f-1, dacă:
1) f(3) = 4; 2) f(1/2) = 6; 3) f(a) = b;
4)f(a+1)=2; 5)f(m+n)=p.
34. Să se determine f-1, dacă:
1) f(x) = (x + 2)/2;
3) f(x) = l/VX + 2;
5) f(x) = (x/(x + 4))2;
7) f(x) = J(x -l)/(x + 1);
9) f(x) = ((x -3)/(x + 1))2; 2) f(x) = (2x + l)/x;
4) f(x) = (l/x )2;
6) f ( x) = Ji-x /-f-;-( x-_-1-:"7);
8) f(x) = JJX+2 -2;
10) f(x) = (Jx/(x + 4) -2)2.
35. Este dată funcția: f: E lR –1R,
f(X)={ x2-2x-2, x 2:: 1,
2x -1, x < l.
a) Să se demonstreze că f este bijectivă.
b) Să se determine f-1.
c) Să se calculeze f o f-1 §i f-1 of.
36. Fiind date funcțiile f( x) §i g( x), să se determine funcțiile (f o g)(x) și (g o f)(x) (f,g: lR –1R):
1) f(x) = Ix -11 + 2; g(x) = Ix -21 + 1;
2) f(x) = { x2
-1, x::; O, g(x) = { 4x
2 -2; x < O, -5x -1, x > O; 3x -2, x > O.
76
37. Să se demonstreze egalitatea funcțiilor f §i g:
1) J,g: {-1,0, 1,2} –+ lR, f(x) = x4 -2×3 -x2 + 2x + 1;
g( x) = x5 -x4 -3×3 + x2 + 2x + 1;
2) f,g: {-1,0,1} –+ lR, f(x) = x3 -x, g(x) = sin7rx;
3) f, g: [1; 3] –+ lR, f( x) = max( -t2 + 4t -3), 1 ~ t ~ x;
(x) = {_x2 + 4x -3,1 ~ x ~ 2,
g 1 2 < x ~ 3;
4) f,g: [-1; 1] –+ lR, f(x) = {-x + L -1 ~ x ~ O,
x + 1, O < x ~ 1;
g(x) = max(-x + 1, x + 1);
5) f,g: {-1,0} –+ lR, f(x) = l+x, g(x) = v1=X2;
6) f,g: {-1,0} –+ lR, f(x) = -1 + V4+ 2x -x2;
g(x) = 1-V-2x -x2;
7) f,g: {0,2} –+ lR, f(x) = 2 -x, g(x) = V4 -x2;
8) f,g: {0,2} –+ lR, f(x) = V4 -x2;
g( x) = 2 -y"'4x-_-x-;C2;
9) f,g: [1,+(0) -. lR,f(x)=vx+2vx-1+Vx-2JX=1;
) { 2, 1 ~ x ~ 2,
g(x = 2~,x > 2;
7r 10)f,g: {k7r,2k7r±3IkEZ}–+lR, f(x)=sinx, g(x)=sin2x.
38. Să se determine funcțiile s= f+g, d= f-g, p = j-g §i q = flg:
1) f: {1, 2, 3,4} –* {O, 1,3,5, 6}, f(l)=O, f(2)=1, f(3)=3, f( 4)=6;
g: {1,2,3,5} –* {1,3,4,5},g(1)=1, g(2)=4, g(3)=3, g(5)=4;
2)f,g:lR–*lR, f(x)={ x+'32,x~33: g(X)={X-21'x~00: -x + ,x > , x + ,x > ,
{X, x ~ -1, {X-1 x < O
3) f,g: lR –* lR, f(x) = -x,-l < x < 1, g(x)= '> O:
O x> l' x, x – , , -,
) f [ ) lR f(x) = {2X + 1, O ~ x ~ 2, 4 : O, +00 –* • 1 2 , x>';
{-x, x < O,
g: (-00,5] –* lR, g(x) = 1, x = O,
x, O < x ~ 5.
5) f,g: lR –* lR, f(x) = max(x + 1, x2); g(x) = min(-x,x).
39. Fie A = {1,2,3,4}, E = {0,1,3,4} §i funcțiile
f: A –+ E, f(l) = O, f(2) = O, f(3) = 1, f(4) = 3;
77
g: B –-+ A, g(O) = 2, g(l) = 1, g(3) = 4, g(4) = 1.
Pot fi definite funcțiile J o g, 9 o J? Dacă da, determinați aceste
funcții. Faceți diagramele lor.
40. a) Să se arate că funcția J este bijectivă.
b) Să se determine J-1.
c) Să se reprezinte grafic funcțiile J §i J-1 în acela§i reper de co-
ordonate.
1) J: lR –-+ lR, ,J(x) = 6x -2;
2) J: [O, +(0) –-+ [1, +(0), J( x) = 3x + 1;
3) J: (-oo,O)U [2;4] –-+ (-00,4], J(x) = _x2 +4x;
{X + 3, x ~ 0,
4)J:lR–-+(-00,3)U[4,+00), J(x)= 2 4 O. "3x + , x> ,
5) J: [O, 7r] –+ [-1, 1], J ( x) = { sin x, ° ~ x ~ 7r /2,
cos x, 7r /2 < x ~ 7r.
41. Să se arate că funcția J: lR –-+ lR, J( x) = x2 -6x + 2 admite
restricții inversabile pe:
a) (-00,3]; b)[3,+00); c)(-00,0]U[3,6).
Să se determine inversele acestor funcții §i să se reprezinte grafic
în acela§i reper de coordonare.
42. Folosind proprietățile funcției caracteristice, să se demonstreze
egalitățile (afirmațiile):
1) An (B U C) = (A n B) U (A n C);
2) (A U B = B n A) ~ (A = B);
3) An B = An C} (B = C). AuB=AuC ~ ,
4) (A t; B) t; C = A t; (B t; C);
5) An (B t; C) = (A n B) t; (A n C);
6) A t; B = (A U B) n (A U B);
7) A' t; E' = A t; B;
8) A' t; B = A t; B';
9) A t; B = 0 {:} A = B;
10) A t; B = Au B ~ An B = 0;
11) An B = A \ B {:} A = 0;
12) Au B = A \ B {:} B = 0;
13) (A \ B) \ C = (A \ C) \ B;
14) A \ B = B \ A {:} A = B.
CAPITOLUL III
Elemente de combinatorică
3.1. Permutări. Aranjamente. Combinări.
Binomul lui Newton
Pentru rezolvarea multor probleme practice (§i nu numai) este nece-
sar:
1) de a putea evalua numărul diferitelor combinații, compuse cu
elementele unei mulțimi sau cu elementele a mai multor mulțimi;
2) de a alege dintr-o mulțime de obiecte submulțimi (a face selecții)
de elemente care posedă anumite proprietăți;
3) de a dispune elementele unei sau ale mai multor mulțimi într-o
anumită ordine etc.
Domeniul matematicii care studiază probleme de felul acesta §i
metodele de rezolvare a lor se nume§te combinat ori că. Altfel spus,
combinat ori ca studiază unele operații asupra mulțimilor finite. Aceste
operații conduc la noțiunile de permutări, aranjamente §i combinări.
Fie M = {al, a2," ., an} O mulțime finită care are n elemente.
Mulțimea M se nume§te ordonată, dacă fiecare element al său se
asociază cu un anumit număr de la 1 la n, numit rangul elementului,
astfel încât elemente diferite ale lui M se asociază cu numere diferite.
Definiția 1. Toate mulțimile ordonate care pot fi formate cu n
elemente ale mulțimii date M (n( M) = n) se numesc permutări de
n elemente.
Numărul tuturor permutărilor de n elemente se notează cu simbolul
Pn §i se calculează conform formulei
Pn=n!(n!=1·2·3· … ·n), nEJN. (1)
Prin definiție, se consideră Pa = O! = 1 = 1! = Pl'
79
Definiția 2. Toate submulțimile ordonate care conțin m ele
mente ale mulțimii Al cu n elemente se numesc aranjamente de n
elemente luate câte m.
~umărul tuturor aranjamentelor de n elemente luate câte m se
notează cu simbolul A~ §i se calculează conform formulei
n!
A~ = ( , = n(n-1)· … ·(n-m+1); O::; m::; n; n,m E IN. (2) n-m).
Definiția 3. Toate submulțimile care conțin m elemente ale
mulțimii .Al cu n elemente se numesc combinări de n elemente luate
câte m.
N umărul tuturor combinărilor de n elemente luate câte m se
notează cu simbolul C;;' §i se calculează conform formulei , cm- n.
n -m!(n-m)! n(n-1)· … · (n -m + 1)
m! (3)
unde m, nE IN; O ::; m ::; n.
Remarcă. În toate submulțimile din definițiile 1 -3, fiecare element
al mulțimii inițiale M figurează o singură dată.
Paralel cu combinațiile în care fiecare din cele n elemente diferite
ale unei mulțimi participă numai o singură dată, pot fi considerate §i
combinații cu repetiții, adică combinații în care unul §i acela§i element
poate participa mai mult decât o singură dată.
Fie date n grupe de elemente. Fiecare grupă conține câteva ele
mente de acela§i fel.
Definiția 1'. Permutări de n elemente fiecare din ele conținând
0:1 elemente ai], 0:2 elemente ai2, ••• , O:k elemen te aik, unde 0:1 + 0:2 +
+ … + O:k = n, se numesc permutări de n elemente cu repetiții.
N umărul tuturor permutărilor cu repetiții se notează cu simbolul
Pa] ,a2 , … ,ak §i se calculează conform formulei
p _ (0:1 + 0:2 + … + O:k )!
a],a2,···,ak -0:1!0:21 .•••• O:k! n! (4)
Definiția 2' .. 4ranjamentele de n elemente fiecare din ele conținând
m elemente, iar unul și același element se poate repeta în fiecare aran
jament de un număr arbitrar de ori, dar nu mai mult de m ori, se
80
numesc aranjamente de n elemente luate câte m cu repetiții.
Numărul tuturor aranjamentelor cu repetiții de n elemente luate
câte m în fiecare se notează cu simbolul A~ §i se calculează conform
formulei
A~ = nm, n,m E lN*. (5)
Definiția 3'. Combinări de n elemente fiecare din ele conținând m
elemente, iar unul și același element se poate repeta de mai multe ori,
dar nu mai mult de m ori, se numesc combinări de n elemente luate
câte m cu repetiții.
N umărul tuturor combinărilor cu repetiții se notează cu simbolul
C:-§i se calculează conform formulei
– m (n+m-1)! C:-=C m+n_1= m!.(n-l)!; n,mEIN*. (6)
În procesul de rezolvare a problemelor de combinatorică este impor
tant de a stabili mai întâi tipul (forma) combinației. Una din regulile
de stabilire a tipului combinației ar putea fi §i următorul tablou
l Se atrage atenție la ordinea aranjării elementelor: I
1
I dacă ordinea dacă ordinea importă,
I nu importă, atunci atunci avem aranja-avemcomb/ mente sau permutări
aranjamente, dacă nu permutări, dacă parti-
participă toate elemen- cipă toate elementele
tele mulțimii inițiale mulțimii inițiale
Deseori este utilă folosirea următoarelor două reguli:
Regula sumei. Dacă obiectul A poate fi ales în m moduri, iar
obiectul B în n moduri, atunci alegerea "sau A, sau B" poate fi efec
tuată în m + n moduri.
Regula înmulțirii. Dacă obiectul A poate fi ales în m moduri
§i după fiecare alegere de acest fel obiectul B poate fi ales, la rândul
81
său, în n moduri, atunci alegerea "A și E" în această ordine poate fi
efectuată în m . n moduri.
Vom menționa, de asemenea, câteva proprietăți ale combinărilor,
și anume:
1. C: = c;::-m.
II Cm-l + Cm -Cm . n n -n+l'
III. Ck = Ck-1 + Ck-1 + Ck-1 + … + Ck-1 n n-l n-2 n-3 k-l
(Cn-k = Cn-k + Cn-k-1 + Cn-k-2 + + CO ) n n-l n-2 n-3 . . . k-l .
IV. C~ + C~ + C~ + … + C;:: = 2n. Formula
(x+at = C~·xn+C~·xn-l.a+C;·xn-2·a2+ … +C;::-1.x.an-1+C;::·a n (7)
se numește formula binomului lui Newton (n E 1N*).
Coeficienții C~, C~, C;, … , C;:: din formula binomului lui Newton se numesc coeficienți binomiali; ei posedă următoarele proprietăți:
V. Coeficienții binomiali din dezvoltarea (7), egal depărtați de termenii extremi ai dezvoltării, sunt egali Între ei.
VI a. Suma tuturor coeficienților binomiali este egală cu 2n. VI b. Suma coeficienților binomiali care se află pe locuri pare este
egală cu suma coeficienților binomiali care se află pe locuri impare.
VII. Dacă n este un număr par (adică n = 2k), atunci coeficientul
binomial al termenului din mijloc al dezvoltării (adică C~) es~ cel mai mare. Dacă n este impar (adică n = 2k + 1), atunci coeficienții
binomiali ai celor doi termeni de la mijloc sunt egali între ei (adică
C~ = C~+l) și sunt cei mai mari.
VIII. Termenul C~xn-kak, adică al (k+ 1 )-lea termen din egalitatea
(7), se numește termenul de rang k+ 1 (termenul general al dezvoltării)
și se notează cu Tk+l' Așadar,
T Ck n-k k k+l = n' X • a , k = O,1,2, … ,n. (8)
IX. Coeficientul termenului de rangul k + 1 în dezvoltarea binomului lui Newton este egal cu produsul coeficientului termenului de rangul k înmulțit cu exponentul lui x în acest termen și împărțit la k,
adică
Ck = n -k + 1 . Ck- 1
n k n' (9)
82
x. Ck++11 = n + 1 . Cnk.
n k + 1 (10)
3.2. Probleme rezolvate
1. În câte moduri se pot a§eza pe un raft patru cărți?
Soluție. Cum în problemă ordinea are importanță §i, în plus, par
ticipă toate elementele mulțimii date, este vorba despre permutări.
Deci
P4 = 4! = 1 . 2 . 3 ·4 = 24.
Răspuns: 24.
2. Un tren de persoane are zece vagoane. În câte moduri pot fi
a§ezate vagoanele pentru formarea trenului?
Soluție. Ca §i în problema precedentă, este vorba de permutări de
10 elemente ale mulțimii care are 10 elemente. Atunci numărul modu
rilor în care poate fi format trenul este
PlQ = 10! = 3628800.
Răspuns: 3628800.
3. În câte moduri §apte elevi pot fi a§ezați în §apte bănci, astfel
încât toate băncile să fie ocupate?
Soluție. P7 = 7! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 ·6 . 7 = 5040.
Răspuns: 5040.
4. Câte numere de telefon a câte §ase cifre pot fi formate:
1) cifra participă în numărul de telefon numai o singură dată;
2) cifra participă mai mult de o singură dată?
(Numărul de telefon poate începe §i cu cifra O.)
Soluție. În total avem 10 cifre: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Cum numă
rul de telefon poate începe §i cu cifra O, avem:
1) aranjamente din 10 cifre luate câte 6, adică
A~o = 10·9·8· 7 . 6 . 5 = 151200;
2) deoarece cifra în număr se poate repeta, avem aranjamente cu
repetiții, adică
A~o = 106 = 1000000.
Răspuns: 1) 151200; 2) 1000000.
83
5. Echipa de volei este formată din 6 sportivi. Câte echipe de volei
poate forma un antrenor având 10 voleibali§ti la dispoziție?
Soluție. Deoarece la formarera echipei antrenorul este preocupat
numai de componența acesteia, este suficient să determinăm numărul
combinărilor de 10 elemente luate câte 6, adică
10! 10 . 9 . 8 . 7 e6 -e4 – – -210 10 -10 -4!. 6! -1· 2 . 3 . 4 – .
Răspuns: 210.
6. Câte numere de câte cinci cifre pot fi formate cu cifrele O §i 1?
Soluție. Cum cifrele se repetă §i ordinea are importanță, este vorba
de aranjamente cu repetiții. Aici m = 5, n = 2.
Din cifrele O §i 1 pot fi formate A~ = 25 numere a câte cinci cifre.
Însă trebuie de luat în considerație că numărul nu poate începe cu cifra
zero. Deci din numărul A~ trebuie scăzut numărul acelor numere care
încep cu zero. Numere de felul acesta sunt A~. Prin urmare, numărul
căutat este
Răspuns: 16.
7. Câte numere de câte trei cifre pot fi formate cu cifrele 1,2,3,4,5,
dacă cifrele se pot repeta?
Soluție. Cum cifrele se repetă, evident este vorba despre aranja
mente cu repetiții de 5 cifre luate câte trei. Prin urmare, pot fi formate
A~ = 53 numere a câte trei cifre.
Răspuns: 125.
8. Din 10 trandafiri §i 8 gheorghine trebuie să se formeze buchete
care conțin 2 trandafiri §i 3 gheorghine. Câte buchete de felul acesta
pot fi formate?
Soluție. Doi trandafiri din cei 10 care îi avem pot fi ale§i în efo
moduri, iar trei gheorghine din 8 pot fi luate în e~ moduri. Aplicând
regula înmulțirii, avem: numărul total de buchete care pot fi formate
este efo . e~ = 1 890.
Răspuns: 1890.
9. La o serată dansantă participă 12 domni§oare §i 15 cavaleri. În
câte moduri pot fi alese patru perechi pentru a dansa?
84
Soluție. Cele 12 domni§oare pot fi repartizate în grupuri a câte
patru persoane în Ct2 moduri, iar cei 15 cavaleri -în Ct5 moduri.
Deoarece în fiecare grup format de domni§oare (sau de cavaleri) ordinea
are importanță, fiecare din acest grup poate fi ordonat în P4 moduri.
Ca rezultat (aplică.m regula înmulțirii), vom avea Ct2 . P4 • Ct5 =
= Ai2 . Ct5 = Ct2 . Ai5 = 16216200.
Răspuns: 16216200.
10. Pentru efectuarea unui zbor cosmic pe Marte este necesar de
a forma echipajul navei cosmice în următoarea componență: căpitanul
navei, primul adjunct al că.pitanului, al doilea adjunct al căpitanului,
doi ingineri de bord §i un medic. Tripletul de comandă poate fi selectat
din cei 25 de piloți care se pregătesc de zbor, doi ingineri de bord
din numărul de 20 de speciali§ti care cunosc la perfecție construcția
corabiei cosmice, iar medicul -din numărul de 8 medici.
În câte moduri poate fi format echipajul navei cosmice?
Soluție. Alegând căpitanul §i adjuncții săi, este important de de
terminat cine din piloți ar face față mai bine unor funcții oarecare de
dirijare a navei. Deci este important §i modul de distribuire a funcțiilor
între membrii triplet ului format. A§adar, tripletul de dirijare poate fi
format în A~5 moduri.
Funcțiile ambilor ingineri de bord sunt cam acelea§i. Ei pot
îndeplini aceste funcții cosecutiv. Deci perechea de ingineri poate fi
formată în Cia moduri. Referitor la medic -situația este aceea§i, adică
medicul poate fi ales în CJ moduri.
Utilizând regula înmulțirii, avem: fiecărui triplet de dirijare i se
poate asocia un cuplu de ingineri în Cia moduri. În total vom avea
A~5,Cia cvintete. Fiecărui cvintet i se asociază un medic în CJ moduri.
Ca rezultat, echipajul navei cosmice poate fi format în A~5 . Cia . CJ
moduri, sau
A~5 . Cia' CJ = 20976000.
Răspu ns: 20976000.
11. În câte moduri diferite pot fi alese cinci prăjituri de acela§i
fel sau diferite într-o cofetărie unde există 11 feluri diferite de prăjituri?
Soluție. Cele cinci prăjituri pot fi toate de un fel sau patru de un
fel §i una de alt fel, sau trei de un fel §i două de altfel, •… etc. sau
85
toate de feluri diferite.
Numărul căutat al seturilor posibile a câte cinci prăjituri de cele
11 feluri este egal cu numărul combinărilor cu repetiții de 11 elemente
luate câte cinci, adică
-(11+5-1)! 15!
CfI = 5!(11 _ 1)! = 5!10! = 3003.
Răspuns: 3003.
12. Într-un grup de 10 sportivi sunt doi vâsla§i, trei înotători, iar
ceilalți sunt atleți. Trebuie de format o echipă din 6 persoane pentru
competițiile care se apropie în a§a mod, încât în echipă să fie cel puțin
câte un reprezentant al celor trei feluri de sport nominalizate.
În câte moduri poate fi formată această echipă?
Soluție. a) În echipă poate fi un vâsla§, un înotător §i patru atleți.
Vâsla§ul poate fi ales în C~ moduri, înotătorul în C~ moduri, iar atleții
-în Ci moduri. Utilizând regula înmulțirii, avem C~ . C~ . Ci moduri.
b) În echipă poate fi un vâsla§, doi înotători §i trei atleți. Conform
raționamentelor anterioare, numărul echipelor de componența aceasta
va fi C~ . Cj . C~ .
c) În echipă poate fi un vâsla§, trei înotători §i doi atleți. Numărul
echipelor în cazul acesta va fi Ci . C~ . CJ.
d) În echipă pot fi doi vâsla§i, un înotător §i trei atleți. Vom avea
Ci . C~ . C~ de aceste echipe.
e) În echipă pot fi doi vâsla§i, doi înotători §i doi atleți. Numărul
de echipe va fi Ci . Cj . CJ.
f) În echipă pot fi doi vâsla§i, trei înotători §i un atlet. Echipe vor
fi în număr de Ci· C~· Cg.
U tilizând regula sumei, numărul total de echipe care pot fi formate
este
C~ ·C~ ·ct+C~ ·Cj-C~ +Ci ·C~ ·Cg +Ci ·Cj ·Cl +Ci ·Cj ·Cg +Ci ·Cl·cg =
= 175.
Răspuns: 175.
13. Sunt date k = 15 litere mari, m = 10 vocale §i n = 11 consoane
(în total k + m + n = 36 litere). Câte cuvinte diferite pot fi formate
din aceste litere, dacă în fiecare cuvânt pe primul loc trebuie să fie o
literă mare, printre celelalte litere trebuie să fie ți = 4 vocale diferite
(din numărul celor m = 10 date) §i v = 6 consoane diferite (din cele
n = 11 date).
86
Soluție. Alegem o literă mare. Această alegere poate fi efectuată
în k moduri. Apoi din m vocale alegem J.L litere. Acest lucru poate
fi făcut în C::.. moduri. În sfâr§it, alegem v consoane, ceea ce poate
fi realizat în C~ moduri. Utilizând regula înmulțirii, alegerea literelor
necesare pentru formarea cuvânt ului poate fi efectuată în k . C::.. . C~
moduri.
După ce am plasat litera mare pe primul loc, cu celelalte J.L + v
litere pot fi formate (J.L + v)! permutări. Fiecare permutare de felul
acesta furnizează un cuvânt nou. A§adar, în total pot fi formate
k • C::.. . C~(J.L + v)! cuvinte diferite, adică 15· CtoCfl ·10!
Răspuns: 15· CtOCfl ·10!
14. Într-o alimentară. sunt trei feluri de bomboane. Bomboanele
sunt ambalate în trei cutii diferite, pentru fiecare denumire cutia sa.
În câte moduri poate fi comandat un set de cinci cutii?
" 5 (3 + 5 -1)! 7!
Soluție (vezI problema 11). C3 = '( )' = -,-, = 21. 5.· 3 -1. 5.·2.
Răspuns: 21.
15. Pentru a forma garda de onoare de 10 persoane, sunt invitați
ofițeri ai trupelor: de infanterie, aviație, grăniceri, artilerie; ofițeri ai
flotei maritime §i ai trupelor de rachete.
În câte moduri poate fi aleasă componența gărzii de onoare?
Soluție. Avem 6 categorii de ofițeri. Repetând raționamentele din
problema 10, avem de calculat combinări cu repetiții de 6 elemente
luate câte 10, adică
-(6+10-1)! 15! 15·14·13·12·11 CIO – – – -3003 6 – – – -. (6-1)!.1O! 5!·10! 1·2·3·4·5
Răspuns: 3003.
16. Pe un raft sunt m + n cărți diferite. Printre ele m sunt cu
coperte albastre, iar n cu coperte galbene. Cărțile sunt permutate în
toate modurile posibile. Câte poziții diferite ale cărților sunt, dacă:
a) cărțile în coperte albastre ocupă primele m locuri;
b) cărțile în coperte albastre stau alături?
Soluție. a) Cărțile în coperte albastre pot fi plasate pe primele m
locuri în Pm = m! moduri. Cu fiecare repartizare de a§a fel, cărțile în
coperte galbene pot fi repartizate în Pn = n! moduri. Utilizând regula
87
înmulțirii, avem în total m!·n! poziții în care cărțile în coperte albastre
ocupă primele m locuri.
b) Fie cărțile în coperte albastre aranjate alături. Atunci după ele
pe raft pot fi sau n cărți în coperte galbene, sau n-1, sau n-2, … , sau
nici o carte în coperte galbene. A§adar, putem plasa cărțile în coperte
albastre, astfel încât ele să urmeze una după alta în n + 1 moduri. În
fiecare din aceste poziții, cărțile în coperte galbene pot fi permutate în
orice mod, de asemenea §i cărțile în coperte albastre pot fi permutate
în orice mod. Drept rezultat, vom avea m! . n! . (n + 1) poziții diferite
ale cărților.
Răspuns: a) m!· n!; b) m!· n!· (n + 1).
17. Aflați termenul al patrulea al dezvoltării binomului lui New
ton (2xyX _ ijX )8.
Soluție. Conform formulei (9), termenul de rangul 4 are forma
T4 = CJ(2xyX)8-3 . (_x1/3)3 = -CJ .25. x15/2 . X =
= _ 8·7·6 .25.×17/2 = -256.7.×17/2 = -1792.x 17/2.
1·2·3
Răspuns: -1792· X17/2•
18. Aflați coeficientul cel mai mare în dezvoltarea binomului
[(1 + x)(l/x -l)]m.
Soluție. [(1+X)(~-l)]m = ((1+X~l-X))m
m
= x-m. LC~(-l)k ·x2k.
k=O
Dacă m este număr par, adică m = 28, 8 E IN*, atunci dezvoltarea
binomului conține 28 + 1 termeni, iar în baza proprietății VII, coefi
cientul C:Îs este cel mai mare.
Dacă m este număr impar, adică m = 28 + 1, 8 E IN, în baza
aceleia§i proprietăți VII, dezvoltarea binomului conține doi termeni
care au coeficienții cei mai mari C:Îs+!, C;:;1.
R" CS d v t v CS cs+1 d v aspuns: 2s' aca m es e numar par; 2s+1' 2s+1' aca m este
număr impar.
19. Aflați termenii care nu-l conțin pe x în dezvoltarea binomului
, [(1 + x)(l + l/x)]n.
88
[ ( l)]n (1+x)2n
Soluție. (1 + x) 1 + -; = xn . Termenul de rangul k + 1
în dezvoltarea acestui binom are forma
TI Ck k Ck k-n k+ 1 = -2n X = 2n' X • xn
Acest termen nu conține x numai dacă k -n = O {::} k n. Deci
termenul care nu-l conține pe x este Tn+1'
Răspuns: Tn+1.
I 20. În dezvoltarea binomului
(aț1af3 -b/~)n
aflați termenul care conține pe a la puterea a treia, dacă suma
coeficienților binomiali care se află pe locuri impare în dezvoltarea
binomului este egală cu 2048.
Soluție. Vom afla mai întâi exponentul n. În baza proprietății VI a,
suma coeficienților binomiali este 2n. Deoarece suma coeficienților care
se află pe locuri impare este egală cu 2048, iar în baza proprietății
VI b, ea este egală cu suma coeficienților care se află pe locuri pare în
dezvoltarea respectivă, avem
2048 = 2n-1 {::} 211 = 2n-1 {::} n = 12.
A§adar, gradul binomului este 12. Termenul de rangul k + 1 ia forma
Tk+1 = Cf2(a{!a73)12-k. (_l)k. (b/~)k =
= Cf2' (_l)k /(3(12-k)15). (a6/5)12-k. a-3k/7 . bk.
Ținând cont de cerințele problemei, avem
6(12-k) 3k 3 72 -6k 3k
a-s– Ț = a {::} – -= 3 {::} 5 7
{::} 24·7 -2· 7k -5k = 35 {::} 19k = 133 {::} k = 7,
iar
Ts = CI2' a3. 3-1 . (-1? . b7 = -264a3b7.
Răspuns: -264a3b7.
21. Pentru care valoare a lui n coeficienții binomiali ai termenilor
al doilea, al treilea §i al patrulea din dezvoltarea binomului (x + y)n
formează o progresie aritmetică?
Soluție. În baza formulei (8), avem
T2 = C~xn-1y, T3 = C~xn-2y2, T4 = C~xn-3y3,
iar din condițiile problemei rezultă relația
n(n -l)(n -2) n(n -1) C1 + C3 = 2C2 {::} n + = 2 . {::} n n n 6 2
89
{:} n(6+(n-1)(n-2)-6(n-1)) = o ng: n2-9n+14 = o {:} [ n = 2,
n = 7.
Condițiile problemei sunt verificate de valoarea n = 7.
Răspuns: n = 7.
22. Demonstrați că diferența coeficienților lui xHI §i xk în dez
voltarea binomului (1 + x )n+I este egală cu diferența coeficienților lui
xHI §i Xk-I în dezvoltarea binomului (1 + x)n.
Soluție. Coeficienții lui xHI §i xk în dezvoltarea binomului
(1 + x )n+I sunt e~t~ §i e~+I' respectiv. Evaluăm diferența
eHI _ ek ® (n + 1) -k ek _ ek _ (n + 1 -k _ 1) . ek _
n+I n+I -k + 1 n+I n+I -k + 1 n+I –
n+1-k-k-1
k+1 (n + 1)!
k!(n+1-k)! (n-2k)·(n+1)!
(k+1)!.(n+1-k)!
În dezvoltarea binomului (1 +x)n, coeficienții lui xHI §i Xk-I sunt
e~+I §i e~-I, respectiv. Evaluăm diferența
eHI _ ek-I ~ n -k ek _ ek-I ~ n -k . n -k + 1 . ek-1 _ ek-1 =
n n k+1 n n k+1 k n n
= ((n-k)(n-k+1) _ ) .ek-I =
(k+ l)k 1 n
(n-k)2+(n-k)-k2-k n!
(k + l)k (k -l)!(n -k + 1)!
(n+1)(n-2k)·n!
(k + l)!(n -k + 1)! (n -2k) . (n + 1)!
(k+1)!·(n-k+1)!
Cum membrii din dreapta în (*) §i (**) sunt egali, rezultă egali
tatea membrilor din stânga, adică
eHI _ ek -eHI _ ek-I n+I n+I -n n'
ceea ce trebuia demonstrat.
23. Comparând coeficienții lui x în ambii membri ai egalității
(1 + x)m. (1 + x)n = (1 + x)m+n,
demonstrați că
ekeO ek-Iel eOek ek n m + n m + … + n m = m+n· (A)
Soluție. (1+x)m·(l+x)n = (e~+e~x+e~x2+ … +e~xk+ … +
+e~-Ixm-l+xm).(e~+e;x+e;x2+ … +e~xk+ … +e~-lxn-l+xn).
90
În membrul drept al acestei egalități, coeficientul lui xk este
C~ . C~ + C!n . C~-l + C;, . C~-2 + … + C; . C~-l + C~ . C~,
iar în dezvoltarea binomului (1 + x )n+m , termenul de rangul k + 1 are
forma
Tk+l = C~+n . xk.
Cum polinoamele (1 + x r . (1 + x)n §i (1 + x )m+n sunt egale §i au
acela§i grad, rezultă egalitatea coeficienților pe lângă acelea§i puteri
ale lui x, or aceasta §i finalizează demonstrația egalității (A).
24. Demonstrați egalitatea
C~ C; C~ C;:: 2 (n 1) n+1 +-Z+ n-1 +···+T= n+1 2 -"2 .
CO CI C2 Cn V cn Cn-l
Soluție. Fie __ n_+~+ __ n_+ … +~ = A {:} __ n_+_n_+ n+1 n n-1 1 n+1 n cn-2 CO +_n_+ … + ~ = A.
n -1 1
Multiplicăm ambii membri ai ultimei egalități cu (n + 1). Obținem
n + 1Cn n + 1Cn-l n + 1Cn-2 n + 1Co = A( 1) (10) n+ n + n + … + n n+ {:} n+1 n n-1 1
{:} C~+l + C;+I + C~+I + … + C~.:t: A( n + 1) {:}
{:} C~+I + C~+I + C;+l + … + C~.:t: = C~+I + A( n + 1) <fb
{:} 2n+l = C~+l + A(n + 1) {:} 2n+l -C~+I = A(n + 1) {:}
2n+l
-1 2 ( 1)
{:} A = n + 1 {:} A = n + 1· 2n -"2 .
Revenind la expresia inițială, avem
C~ C; C~ C;:: 2 (n 1 ) n+1+-Z+n-1+'.'+T=n+1 2 -;,
ceea ce trebuia demonstrat.
25. Demonstrați că
nC~ -(n -l)C; + (n -2)C~ -(n -3)C~ + '" + (_l)n-lC;::-l = o.
Soluție. Scriem dezvoltarea binomului (x -l)n:
(X -l)n = COxn _ Clxn-l + C2xn-2 _ C3Xn-3+ n n n n
(A)
Derivăm ambii membri ai egalității (A) în raport cu x. Obținem
n(x -l)n-l = nC~xn-l -(n -1)C;xn-2 + (n -2)C~xn-3-
(**)
91
Punem în (**) x = 1. Atunci
O = nC~ -(n -I)C; + (n -2)C~ -(n -3)C~ + … + (_l)n-IC;;-I,
ceea ce trebuia demonstrat.
(Alte metode vezi pag. 54 în [2].)
26. Demonstrați că egalitatea
1 -lOCin + 102C5n -103C~n + … -102n-ICin + 102n = (81)n
este adevărată.
Soluție. Se observă că expresia
1 -lOCin + lo2Cin -103C~n + … -102n-ICin + 102n
reprezintă dezvoltarea binomului (1 -10)2n = 92n = (81)n, ceea ce
trebuia demonstrat.
27. Aduceți expresia PI + 2P2 + … + nPn la o formă mai simplă.
Soluție. Vom efectua transformările de rigoare aplicând metoda
inducției matematice. Fie
Pentru:
n = 1, avem PI = Al {:} Al = 1;
n = 2, avem PI + 2P2 = A2 {:} 1 + 2 . 2! = A2 {:} 5 = A2 {:}
{:} 3! – 1 = A2 {:} P3 -1 = A2•
n = 3, avem PI + 2P2 + 3P3 = A3 {:} A2 + 3P3 = A3 {:}
{:} 3! – 1 + 3 . 3! = A3 {:} 3!(1 + 3) – 1 = A3 {:} 4! – 1 =
= A3 {:} P4 -1 = A3.
Presupunem că pentru n = k egalitatea (*) ia forma
Calculăm valoarea expresiei (*) pentru n = k + 1. Avem
(**) PI +2P2+3P3+ … +kPk+(k+1)Pk+I = (k+1)!-1+(k+1)Pk+I =
= (k + 1)! – 1 + (k + l)(k + 1)! = (k + 1)!(1 + k + 1) – 1 =
= (k + 2)! – 1 = Pk+ 2 -1.
În baza principiului inducției matematice, ajungem la concluzia că
PI + 2P2 + … + nPn = (n + 1)! – 1 = Pn+I -1.
Răspuns: PI + 2P2 + … + nPn = Pn+I -1.
28. Să se arate că oricare ar fi m, nE IN, m! . n! divide (m + n)!
92
Soluție. Conform definiției 3, (m ,+ n t = C~+n este numărul m.·n.
submulțimilor care au n elemente ale unei mulțimi cu (m + n) ele-
d· v Cn t v l P' (m + n)! mente, a lca m+n es ,e un numar natura. nn urmare, , , m.·n.
este număr întreg, or aceasta §i arată că m! . n! divide (m + n)1
29. Să se deducă egalitatea
(n -k)C~+l -(k + l)C~ = (n -2k -l)C~ti.
Soluție. Gtilizăm proprietatea X. Avem
C~+I = (n -k)/(k + l)C~ti, C~ = (k + l)/(n + l)C~ti.
Ca rezultat,
(n _ k)Ck+ 1 _ (k + l)Ck = (n -k)2 Ck+1 _ (k + 1)2 Ck+1
n n n + 1 n+1 n + 1 n+l
_ (n -k)2 -(k + 1)2 .Ck+1 _ (n -k -k -l)(n -k + k + 1) Ck+1 _
– n + 1 n+l – n + 1 n+1 –
-(n -2k -l)(n + 1) . Ck+1 _ (n _ 2k _ 1). Ck+1 C t d – n + 1 n+1 – n+l' …
30. Să se calculeze suma
S _ 3 4 n+2.
n -11 + 2! + 3! + 2! + 3! + 4! + … + n! + (n + 1)! + (n + 2)!
Soluție. Se observă că termenul an al acestei sume poate fi trans
format în modul următor n+2 n+2
an= n!+(n+1)!+(n+2)! = n!(1+n+1+(n+1)(n+2)) =
n+2 1 n+1
n!(n+2)2 n!(n+2) n!(n+1)(n+2)
n+1 (n+2)-1 1 1
(n + 2)! (n + 2)! (n + 1)! (n + 2)!
Atunci suma Sn ia forma 1111 1 1 1 1
Sn = 2! -31 + 3! -4! + … -(k -1)! + k! + … -(n + 1)! + (n + 1)!-
1 1 1
(n+2)! 2 (n+2)!
Răspuns: Sn = 1/2 -1/( n + 2)!
31. Rezolvați ecuația
C~ + 6C; + 6C~ = 9×2 -14x.
Soluție. C~ + 6C; + 6C~ = 9×2 -14x {:}
93
x(x-l) x(x-l)(x-2) 2
{::} X + 6 . 1 . 2 + 6 . 1 . 2 . 3 = 9x -14x {::}
{::} x + 3x(x -1) + X(X -1)(x -2) = 9×2 -14x ..gg 1 + 3x -3 + x2_
-3x + 2 -9x + 14 = O {::} x2 -9x + 14 = O {::} [ : : ~:
Deoarece C~ are sens numai pentru x ~ 3, rezultă că soluție a
ecuației inițiale este x = 7.
Răspuns: x = 7.
32. Rezolvați ecuația
c:+i + 2C;_1 = 7(x -1).
Soluție. c:+i + 2CLl = 7(x -1) {::}
(x+l)! (x-l)!
{::} (x -2)!((x + 1) -(x -2))! + 2· (x _ 1 _ 3)! = 7(x -1) {::}
{::} (x-2)!(x-l)x(x+l) +2. (x-4)!(x-3)(x-2)(x-l) =7(x-l) ~
(x-2)!·3! (x-4)!· 3!
{::} (x-l)x(x+l)+2(x-3)(x-2)(x-l)-42(x-l) = O {::} x2-3x-l0 =
Răspuns: x = 5. = 0–>… [ X = -2, 5
-,r x=5 ~X=.
33. Rezolvați ecuația
(A~t~ . Px-y)/ Px-1 = 72. (A)
Soluție. Deoarece A~t~ = (x + 1)!/(x -y)!, PX-y = (x -y)!,
_ _ , (x + 1)! . (x -y)! _ ~ ( _
Px-l -(x 1)., avem (A) {::} ( )' ( )' -72 0< <x x x + 1) -x -y. x -1 . -Y –
_ 72 [ x = 8, xEN* -8 -{::} ::::::::} x-. x =-9
Cum y E IN §i y:S; x, avem y E {O, 1,2,3,4,5,6,7, 8}.
Răspuns: x = 8; y E {O, 1,2,3,4,5,6, 7,8}.
34. Să se determine valorile lui x care verifică egalitatea
(x + 2)! = -15(x -1)! + 5[x! + (x + 1)!].
Soluție. (x + 2)! = -15(x -1)! + 5[x! + (x + 1)!] {::}
{::} (x-l)!x(x+l)(x+2) = -15(x-l)!+5[(x-l)!x+(x-l)!x(x+l)] {::}
{::} (x -1)!x(x + 1)(x + 2) = (x -1)![-15 + 5x + 5x(x + 1)] ill
{::} x(x2 + 3x + 2) = -15 + 5×2 + lOx {::} x3 -2×2 -8x + 15 = O {::}
94
{:} [ ~2=+3; _ 5 = O => x = 3, deoarece soluțiile ecuației x2+x-5 = O
sunt numere iraționale.
Răspuns: x = 3.
35. Să se rezolve ecuația A~t~ . (x -n)! = 90(x -1)!
S I . An+1 ( )' _ ( )' (x + 1)! ( )' _ o uțle. x+1' x -n . -90 x -1 . {:} ( ),' x -n . -x-n.
= 90(x -1)! o~L (x -l)!x(x + 1) = 90(x -1)! {:} x2 + x -90 = O {:}
……….. [ x =-9~
"<-T x = -10 => x = 9. Atunci nE {0,1,2,3,4,5,6,7,8}.
Răspuns: x = 9, n E {O, 1,2,3,4,5,6,7, 8}.
36. Rezolvați sistemul de ecuații
{ A~: Px-l + Crx = 126,
Px+l = 720. (B)
Soluție. Din condițiile problemei, avem x, y E IN cu x ~ 1 §i x ~ y.
În baza formulelor (1) -(3), avem
{ y! . 1 + y! = 126, {y!( x + 1) = 126,
(B){:} (y-x)! (x-1)! (y-x)!x! {:} (y-x)!·x! {:}
(x+1)!=720 (x+1)! = 6!
{ ( ~! )~. 5' = 126, {(y-4)(y-3)(y-2)(y-1)y=5!. 21, ……….. {:} Y x.. {:} -5 "<-T
x+1=6 x-
{:} {~5 =-5~Oy4 + 35y3 -50y2 + 24y -2520 = O, (*)
Divizari ai termenului liber în (*) sunt numerele
±1; ±2; ±3; ±4; ±5; ±6; ±7; ±8; ±9; ±10; ….
Utilizăm schema lui Homer §i teorema Bezout pentru a selecta nu
merele care sunt soluții ale ecuației (*). Cum y E IN, vom verifica
numai numerele naturale. Se verifică: numerele {1, 2, 3, 4, 5, 6} nu sunt
soluții ale ecuației (*).
Verificăm y = 7.
11 -10 35 -50 24 -2520
7 1 -3 14 48 360 O
95
Deci
(*) <ț> (y -7)(y4 -3y3 + 14y2 + 48y + 360) = O <ț> Y = 7, deoarece pentru y> 7, expresia y4 -3y3 + 14y2 + 48y + 360> O. A§adar, soluția sistemului (B) este perechea (5,7).
Răspuns: {(5,7)}.
37. Aflați x §i y, dacă
Cy-l. (CY Cy-2+2Cy-l)'Cy+l_305'5 x . x-2 + x-2 x-2' x – . . .
Soluție. Vom aduce mai Întâi la o formă mai simplă expresia
Cy + Cy-2 + 2Cy-1 = (CY + CY-1) + (Cy-l + CY-2) Il x-2 x-2 x-2 x-2 x-2 x-2 x-2 = Cy + Cy-1 g Cy. x-l x-l x Ca rezultat, sistemul (C) ia forma
Cy-l . Cy . cy+I -3' 5'''' x: x = : 0, (3) {CY-1 cy 3-
x . X· x – . . ° <ț> cy . Cy+1 _ .'" :ț;> X· x -5.0,
<ț> 1 (y -1)!(:!-y + 1)! ; Y!(XX~ y)! =~, {}
x! x! –:-:–,-,. . – 1 y!(x -y)!' (x -y -l)!(y+ 1)! –
y"!–~ 3
~(x-y+1)"!– 5'
_~,-x_–,-_-,-!–-",( y_+-..–:1 )_""'-_. = 1
yt. (x -y)"!–
<ț> {5Y = 3x -3y + 3, <ț> {8Y = 6y + 3 + 3, <ț> {y = 3, y + 1 = x -y x = 2y + 1 x = 7.
Răspuns: {(7,3)}.
38. Să se determine valorile lui x, astfel Încât
(x(x + 1)!)/(2· x!) ~ 2x + 9.
Solutie. Din enunț rezultă x E IN. Atunci (C)
x(x+1}! x·x!(x+1) 2. x! ~ 2x + 9 <ț> 2. x! ~ 2x + 9 <ț> x2 + x ~ 4x + 18 <ț>
96
2 xEN
{:} x -3x -18 ~ O {:} (x + 3)(x -6) ~ O -<====:> x -6 ::; O {:} O ::; x ::; 6
~i x E IN. Deci x E {O, 1,2,3,4,5,6}.
Răspuns: x E {O. 1,2,3,4,5, 6}.
39. Să se găsească valorile lui x care verifică inecuația
x . ex-3 -7· ex-3 < 8(x -2). x-l x-2 –
Soluție. (*) are sens pentru x E IN ~i x 2: 3. Deoarece
(x -l)(x -2) ex-3 = e2 = .. ex-3 = el = x -2 rezultă că
x-l x-l 1.2' x-2 x-2 ,
x(x -l)(x -2)
(*){:} 2 -7(x-2)::;8(x-2){:}(x-2)[x(x-1)-301~
EN
::; O {:} (x -2)(x2 -X -30) ::; O {:} (x -2)(x + 5)(x -6) ::; 06
. lX = 3, x=4
{:} (x -2)(x -6) ::; O {:} 2 ~ x ~ 6 =} x = .5:
x = 6.
Răspuns: x E {3, 4, 5, 6}.
40. Să se rezolve sistemul de inecuații:
{ ex-2 _ ex-l < 100 x+l x+l – ,
e4 143· Px+5 (D)
x+5 -96. Px+3 < o.
{ (x+1)! _ (x+1)! <100. .. (x-2)!·3! (x-1)!·2!- .
Soluție. (D) {:} (x + 5)! _ 143· (x + 5)! < O {:}
4! . (x + 1)! 96· (x + 3)!
!(X-1)X(X+1) x(x+1) O -'–,– – 1 ::; 1 O,
~ (x + 2)~~ + 3)(x + 4)(:·+ 5) _ 143(x + 4)(" + 5) < O <>
4! 96
{:} {x(x+ 1)(x-4)::; 600, {:} {X3-3X2-4X -600::; O, {:}
(x+4)(x+5)( 4(x+2)(x+3)-143) < O 4×2+20x -119 < O
97
[{X3-3X2-4X-600 < o
x>2 x3-3×2-4x-600<0, x=2, – , <=> -{:} {:}
XElN{XE{2,3} {x3-3×2-4X-600::;0,
, x=3
[ { 8 -12. – 8 -600 ::; O,
x=2 {:} ,
{ 2.7 -27 -12 -600 ::; O,
x=3
Răspuns: x E {2,3}. =? [ x = 2,
x = 3.
3.3. Exerciții propuse
1. O comisie este formată din pre§edinte, adjunctul sau §i încă cinci persoane. În câte moduri membrii comisiei pot distribui funcțiile
între ei?
2. În câte moduri pot fi alese trei persoane dintr-un grup de 20 de persoane pentru a efectua o lucrare?
3. Într-o vază sunt 10 garoafe ro§ii §i 4 roze. În câte moduri pot
fi alese trei flori din vază?
4. Lacătul poate fi descuiat numai în cazul când a fost corect format un număr de trei cifre din cele cinci cifre fixate. Numărul este format la ghici, luând la întâmplare 3 cifre. S-a dovedit că numai la ultima încercare lacătul a fost descuiat. Câte încercări au precedat succesul?
5. Pe un raft sunt 30 de volume. În câte moduri pot fi aranjate
cărțile, astfel încât volumele 1 §i 2 să nu fie alături pe raft?
6. Patru trăgători trebuie să nimerească opt ținte (fiecare câte
două). În câte moduri pot fi repartizate țintele între trăgători?
7. Câte numere de patru cifre, formate cu cifrele O, 1,2,3,4,5,
conțin cifra 3, dacă: a) cifrele în număr nu se repetă; b) cifrele se pot repeta?
8. În secția de pian activează 10 persoane, în secția de declamatori 15 persoane, în secția de canto 12 persoane, iar în secția de fotografie -20 de persoane. În câte moduri poate fi formată o echipă
98
în care să fie 4 declamatori, 3 piani§ti, 5 cântăreți §i un fotograf?
9. Șapte mere §i trei portocale trebuie puse în două pungi în a§a
mod ca în fiecare din ele să fie cel puțin o portocală §i numărul de
fructe în pungi să fie acela§i. În câte moduri poate fi realizată această
repartizare?
10. Numărul de înmatriculare al unei remorci este compus din
două litere §i patru cifre. Câte numere de înmatriculare diferite pot fi
formate utilizând 30 de litere §i 10 cifre?
11. Pe o latură a unui triunghi sunt luate n puncte, pe latura a
doua sunt luate m puncte, iar pe latura a treia a acestui triunghi sunt
luate k puncte. În plus, nici unul din punctele considerate nu este vârf
al triunghiului. Câte triunghiuri există cu vârfuri în aceste puncte?
12. În jurul unei mese trebuie a§ezați cinci cavaleri §i cinci
domni§oare în a§a mod ca să nu stea alături nici două domni§oare,
nici doi cavaleri. În câte moduri poate fi făcut acest lucru?
13. Două variante ale unei lucrări de control la matematică tre
buie distribuite la 12 elevi. În câte moduri pot fi a§ezați elevii în două
rânduri astfel încât elevii de alături să aibă variante diferite, Iar cel
care stau unul după altul să aibă aceea§i variantă?
14. Șapte obiecte diferite trebuie distribuite la trei persoane. În
câte moduri poate fi făcută această distribuire, dacă uneia sau la două
persoane poate să nu le nimerească nici un obiect?
15. Câte numere de §ase cifre pot fi formate cu cifrele 1,2,3,4,5,6,
7, astfel încât cifrele să nu se repete, iar cifrele de la începutul
numărului §i de la sfâr§itullui să fie pare?
16. Câte numere diferite de patru cifre pot fi formate folosind
cifrele 1,2,3,4,5,6,7,8, dacă în fiecare din ele figurează cifra unu o
singură dată, iar celelalte cifre se pot întâlni de mai multe ori?
17. Pentru a acorda premii câ§tigătorilor la olimpiada de mate
matică, au fost puse la dispoziție trei exemplare ale unei cărți, două
exemplare ale altei cărți §i un exemplar al cărții a treia. Câte pre
mii pot fi acordate, dacă la olimpiadă au participat 20 de persoane §i
nimănui nu i se înmânează două cărți concomitent? Aceea§i problemă,
99
dacă nimănui nu i Se înmânează două exemplare ale uneia §i aceleia§i
cărți, dar pot fi înmânate două sau trei cărți diferite?
18. Literele alfabet ului Morze sunt alcătuite din simboluri (puncte
și liniuțe). Câte litere se pot desena, dacă vom cere ca fiecare literă să
conțină nu mai mult de cinci simboluri?
19. Pentru a găsi prietenul rătăcit, ni§te excursioni§ti s-au di
vizat în două grupuri egale. Printre ei sunt numai patru persoane
care cunosc împrejurimile. În câte moduri se pot diviza excursioniștii,
astfel încât în fiecare grup să nimerească două persoane care cunosc
împrejurimile, dacă în total sunt 16 persoane?
20. Fiecare din cei 10 radi§ti situați în punctul A se străduie să
ia legătura cu fiecare din cei douăzeci de radi§ti situați în punctul B.
Câte variante diferite de stabilire a acestor contacte pot fi?
Demonstrați egalitățile: .
21. cm+l + Cm-1 + 2Cm = Cm+1. n n n n+2 '
22 cm + Cm + + Cm -Cm+1 Cm+1. • nn-l . .. n-lO -n+l -n-lO'
23. C; + 2C~ + 3C~ + … + nC~ = n· 2n-t;
24. C~ + 2C; + 3C~ + … + (n + l)C~ = (n + 1)· 2n-1;
25. CO _ ~Cl + ~C2 _ … + (-It. C~ = _1_.
n 2 n 3 n n+1 n+1'
26 C~ 2C~ 3C~ nC~ _ n(n + 1) .
. C~ + CA + C; + … + C;;:-l -2
27. C~ + 2C; + 22C~ + … + 2nc~ = 3n;
22Cl 23C2 2n+1cn 28. 2Co + __ n + __ n + … + n
n 2 3 n+1 3n-1 -1
n+1
Ck Ck+.5 2Ck+1
29. n + n n
C~ + C~+l C~+2 + C~+3 -C~+l + C~+2
(unde n,k E IN, n > k + 3);
2n 2n-1 2n-2 20 3n
30. n! + l!(n -1)! + 2!(n -2)! + … + n! = n!;
100
n n
31. 2:= C~+k . 1/2k = 2n; 32. 2:=(pCP)2 = n . Cn-1 . n 2n-l'
k=O p=l
m m
33. 2:= Ck Cm-k -Cm . p' q -p+q' 34. 2:=(-l)kC~ = (-ltC:_ 1;
k=O k=O
n
35. L Cl: . C! = C: ·2n-m
k=m
(unde n,k,p,m,q E IN).
Să se rezolve ecuațiile §i sistemele de ecuații:
36. A~ :C~-I = 48; 37. C:+{ + 2CLI = 7(x -1);
38. A!: (A;+l -C~-4) = 24/23; 39. A~ + C~-2 = 14x:
40. A~ -2A! = 3A.~;
42. A~-3 = xPx-2;
44. A~+î + 2Px-1 = (30/7) . Px: 41 A5. cx-5 -336'
• X' x-l – ,
43. Px+2: (A~=i . P3) = 210;
45. C:-1 + C:-2 + C:-3 + … + C:-8 + C:-9 + C:-IO = 1023;
46. Px+3: (A~ . Px-5) = 720;
48. A;_I -C; = 79;
50. C;+I : C~ = 4/5;
52 .. 4~I+C;î=14(x+ 1);
54 Cx-4 -'"'/15 A3 . . x+1 -I . x+l'
56. C;+I . A~ -4×3 = (A~x)2; 47 Cx+l. cx-I 2/3' . 2x . 2x+l – ,
49. 3C;+1 -2A; = x;
51. 12C; + C;+4 = 162;
53. P x-t<3 : (A:ti . Px-n) = 240;
55. C~+I : Ci = 6: 5;
57. 3C;+1 + P2 • X = 4A;;
58. A;+3 = C~+2 + 20; 59. C~ + Ci = l1C;+1;
60. l1C; = 24C;+1; 61. (A~+1 + A~):A~_I = 99;
62. A~tî . (x -n)! = 90(x -1)!;63. C~ = C;;
66 A2 + cx-2 = 101' . x-2 x ,
68. 12C::j = .55A;+I;
70. A~ = 18A!_2;
101 65 A6 -24xC4 = llA4. . x x x'
1 1 (x -1)3
67. –- = ;
Px-I Fx Px+1
69. C~x_x2+5 = Cfl;
71. (A~O -A~): A~ = 109;
{A~ + 3C~ = 90, 72. (n + 2)!: (A~· (n -k)1) = 132; 73.
A~ -2C~ = 40;
74 Cy ·Cy+l·Cy-l_6·S·2· . x+l· x . x – . . ,
75. (A;_l + yA;=D: A~-l : C~-l = 10:2: 1;
76. A~-l : A;_l : (C;_2 + C;=~) = 21: 60: 10;
77 Cy-l ·cY ·Cy+1 -2·3 ·4· . x . X· x -.. ,
79. { A3y _ 8A3y-1 = O 2x 2x ,
9C3y -8C3y-1 = O· 2x 2x ,
xCn_2 + k -1 Y = n -l' 78 .
80. { xA;=i . PX-y = lSPx-1,
9C;+1 = 16C~+1;
{AY -7Ay-1 x -x ,
6C~ = SC~+l;
81.
{ k-l n -1 k
82. Ck-2 _ n -1 _ k -1 .
X n-2 k y -n -1 '
Să se rezolve inecuațiile §i sistemele de inecuații:
(x -1)1
83. (x _ 3)1 < 72;
85. x(x -3)1 < 108(x -4)1;
87. C~ > CZ;
89. Cfi2 > C16;
91. C13 < Cft2;
93. C~ < C~;
95. C:+: > 3/2; (n + 2)1
84. (n + l)(n + 2) < 1000;
86. C~ < C~;
88. C~O-l < C20;
90. C~ < C;;
92. Cf8"2 > Cf8;
94. SC; < C~+2;
96. 2C~ > l1C~_2;
97 cx-l < cx–3. 98 C2x-8> C2x-12. . x -x , . 2x -2x ,
99. xc:=i -7C:=~ ::; 8(x -2); 100. c:+i -C:+: ::; 100;
4 3 S 4 . 102. CX-1 -CX_1 -4Ax-2 < O,
A3 143 104. x+2 –< O; PX+2 4Px-1
102
{C~x > c~x,
105.
Cx cx+2 13 < 13 ,
107. Aflați terrcenul al 5-lea din dezvoltarea binomului
(2xylx _ ijX)8.
108. Aflați termenul de mijloc din dezvoltarea binomului
(2x + y/2)8.
109. Aflați valoarea exponentului m din dezvoltarea binomului
(l+a)m,
dacă coeficientul termenului al 5-lea este egal cu coeficientul termenu
lui al 9-lea.
110. Aflați A~, dacă termenul al 5-lea din dezvoltarea binomului
(Vx + l/x)n
nu depinde de x.
111. În dezvoltarea binomului
( VfȚX _ y'l-X)n
coeficientul termenului al treilea este egal cu 28. Aflați termenul de
mijloc din dezvoltarea binomului.
112. Aflați cea mai mică valoare a exponentului m din dezvoltarea
binomului
(l+a)m,
dacă raportul coeficienților a doi termeni vecini arbitrari este egal cu
7:15.
113. Aflați termenul din dezvoltarea binomului
(yIx + 1/ijX)16
care conține x3.
114. Aflați termenul din dezv~tatea binomului
(ifii" + a-l )15
care nu depinde de a.
115. Aflați termenul din dezvoltarea binomului
((aifii")/6 + 1/ ~)n
care nu conține a, dacă suma coeficienților primilor trei termeni din
dezvoltare este egală cu 79.
103
116. Aflați termenul din dezvoltarea binomului
(l/VaI + ~)17
care nu conține a.
117. Aflați termenul liber din dezvoltarea binomului
( -,fȚx + 2/ {Ix )1989.
118. Aflați termenul al 3-lea din dezvoltarea binomului
(z2 + l/z· {IZ)m,
dacă suma coeficienților binomiali este 2048.
119. Aflați termenul din dezvoltarea binomului
(l/W -Vb/{/(;3)n
care conține b6, dacă raportul coeficienților binomiali ai termenilor al
patrulea către al doilea este egal cu 187.
120. Aflați termenul din dezvoltarea binomului
(xVx -l/Vx5)n
care nu conține x. dacă suma coeficienților termenului al doilea de la
începutul dezvoltării §i termenului al treilea de la sfâr§itul dezvoltării
este egal cu 78.
121. Raportul coeficientului termenului al treilea către coeficien
tul termenului al 5-lea din dezvoltarea binomului
(x-3/2 -{Ix)n
este egal cu 2/7. Aflați termenul din dezvoltarea binomului care
conține x-S/2•
122. Aflați x, y §i z, dacă se §tie că termenii al 2-lea, al 3-lea §i al
4-lea din dezvoltarea binomului
(x + yY
sunt egali cu 240, 720, 1080, respectiv.
123. Pentru ce valoare a exponentului n coeficienții termenilor al
2-lea, al 3-lea §i al 4-lea din dezvoltarea binomului
(x + y)n
formează o progresie aritmetică?
124. Aflați termenii din dezvoltarea binomului
(~+ 0)24
care nu conțin iraționalități.
104
125. Câți termeni raționali conține dezvoltarea binomului
(v'2 + ~)lOO?
126. Aflați rangurile a trei termeni consecutivi din dezvoltarea
binomului
(a + b)23
coeficienții căruia formează o progresie aritmetică.
127. Aflați termenul din dezvoltarea binomului
(v'x + V"x-3)n
care conține X6.5, dacă termenul al 9-lea are cel mai mare coeficient.
128. Termenul al 3-lea din dezvoltarea binomului
(2x + 1/x2)m
nu conține x. Pentru ce valoare a lui x acest termen este egal cu ter
menul al 2-lea din dezvoltarea binomului
(1 + x3?O?
129. Pentru care valori pozitive ale lui x cel mai mare termen din
dezvoltarea binomului
(5+3x)lO
este termenul al 4-lea?
130. În dezvoltarea binomului
(v'x+ 2~)n
pnmll trei termeni formează o progresie aritmetică. Aflați toți ter
menii raționali din dezvoltarea acestui binom.
131. Aflați valorile lui x pentru care diferența termenilor al 4-lea
§i al 6-lea din dezvoltarea binomului
(ffx + lV32)m
l~ ffx
este egală cu 56, dacă se §tie că exponentul m al binomului este cu
20 mai mic decât coeficientul binomial al termenului al 3-lea din dez
voltarea acestui binom.
132. Stiind că n este cel mai mare număr natural cu condiția
logl/3 n + logn/3 n > O, determinați termenul care conține b2 din dez
voltarea binomului (Va -ifb)n.
105
133. Să se determine x pentru care suma dintre termenul al 3-lea
și al 5-lea din dezvoltarea binomului (V2x + V21-x)n este egală cu 135, știind că suma ultimilor trei coeficienți binomiali este 22.
134. Să se determine x, știind că termenul al6-lea din dezvoltarea binomului
(a + b)n, unde a = V2Ig(1O-3X), b = «2(x-2)Ig3,
este 21, iar coeficienții binomului ai termenilor de rang 2, 3 și 4 sunt respectiv 1, al III-lea și al V-lea termen ai unei progresii aritmetice. ~
135. Există termeni independenți de x în dezvoltarea binomului
J {fx2 + 2/ VX ? ( )1988
Să se scrie acești termeni.
136. Câți termeni din dezvoltarea binomului ({13 + ij7 )36 sunt
termeni întregi?
137. În dezvoltarea binomului
(vY+2~)n
primii trei coeficienți formează o progresie aritmetică. Să se determine
toți termenii din dezvoltarea binomului care conțin puterile lui y cu exponent natural.
138. Aflați x, dacă termenul al 3-lea din dezvoltarea binomului
(x + XIgx)5
este egal cu 106.
139. În dezvoltarea (1+x_x2)25 să se găsească termenul la care exponentullui x este de 3 ori mai mare decât suma tuturor coeficienților
d ezvol t ării.
140. Să se determine rangul termenului cel mai mare din dezvoltarea binomului (p + q)n după puterile descrescătoare ale lui p, presupunând că p > O; q > O; p + q = 1. Pentru care condiții:
a) termend cel mai mare va fi primul?
b) termenul cel mai mare va fi ultimul?
c) dezvoltarea va conține doi termeni consecutivi egali care sunt
mai mari decât toți ceilalți termeni ai dezvoltării?
Răspunsuri
Capitolul 1
3. a) A = {S,7}; B = {-7,2}; C = {1/7}.
4. A = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16, 18}; B = {2, 4, 6,8, 12}.
5. a) A = {10, 22, 24, … }; b) 26,28 E A, 33 rt. A (deoarece A
constă din numere naturale pare).
6. A = {x E .flV*lx = 1+3n, n = 1,3}; B = {x E .flV*lx =
= 3· 2n-1, n = 1,3}; C = {y E lI\l*ly = n2, n = 1,S}; D = {z E
E .flV*lz = n3, n = 1,S}.
7. n(A.) = SO; n(B) = 9; a) dacă ad -bc = ° => C = {b/d};
b) dacă ad -bc #-° => Care p elemente.
8. Al = {-1}; A2 = {1,2,3}; A3 = {-1,-2,-3}.
9. A = {O, 1,2,3,4, S, 6}; B = {4, S,6, 7,8}; C = {1,2,3,4,S,6, 7};
D={1,2,3,4,S,6}; G=(-00,4) U (7,+00); H=(-00,2)U(4,+00) etc.
10. a) BeA, B #-A etc.
11. A6 = ClN*(B); A7 = A.!J. B.
12. a) A = {1,2,5}, B = E = Au B; b) A = {1,6,14}, B =
= {1,S,9,13,14}, E = {1,2,S,6,9,13,14,18,20}; c) A = {1,2,3,4,8},
B = {1,3,S,9,10}, E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; d) A = {1,2,4},
B = {2, 3, S}; e) A = {1, 2, 3,4}, B = {3,4}, C = {2, 4, .S};
f) A = {1,3,4}, B = {1,3}, C = {2, 3, 4}; g) 1) ~4. = {1, 2, 3},
B = E \ {1,2}; 2) A = {1,2,3,S}, B = {2,3,4}; 3) A = {2,3,4},
107
B = E \ {4}; 4) A = E \ {5}, B = {2, 3, 5}; h) 1) A = E,
B = {1,2}, C = {2,3}; 2) A = {1,3}, B = {1,2}, C = {2,3};
i) A = {1,2,3,4}, B = {1,2,5};j) A = E, B = {2,4,5}, C = {3,5,6};
k) A = {1,2}, B = {1,2,4}; 1) E = {1,2, … 10}, A = {7,8,9,10},
B = {2,3,4,8,9,10}; m) A = {a,d,f,h,i}, B = {b,c,d,e,j,g,i};
n) A = {1,4,6,8,9}, B = {2,3,4,5,6, 7,9}.
13. a) A = {6,10,20}, B = {-47,-8,13,22} etc.; b) AnB = 0
etc.; c) A = {0,2,3}, B = {-5,-1,1,5}etc.; d) A = {0,2}, B = {2,4}
etc.; e) A = {-1,0,1,2}, B = {0,2} etc.; f) A = {-4,-3,-2,-1},
B = 0 etc.; g) A = {-1,1,2,4,5,7}, B = {1,2,4,5,7} etc.;
h) A = {-33, -18, -13, -9, -8, -6, -5, -4, -2, -1, 0, 2, 3, 7,12, 27},
B = {O, 2, 3, 7, 12, 27} etc.; i) A = {2, 4, 6, 8,10,12,14,16,18, 20},
B = {2,4,6,8,12} etc.; j) A U B = [-7;7] U {10},
A \B = [-7;-4)U(-4;7], B\A = {10} etc.; k) AnB = 0 etc.;
{ v'2 3v'2} 1) An B = {626} etc.; n) Au B = 4' -4-etc.
14. a) A = {x E Qlx = (7n -4)/(n + 3), n ~ 22, n E IN}, B=M,
C={2,6}; b) n(D)=2497.
15. A = {1,2,3,4,8}; B = {1,3,5,9,1O}.
16. A = {1,6,14}; B = {1,5,9,13,14}; E = {1,2,5,6,9,13,14,
18,20}.
17. a) A=[5,+(0), B=(l,+oo), A c B; b) A=B=[-9;-4]U
U[4;9]; c) A = [-2;0.5(1 + vis)), B = [0.5;0.5(1 + vis)), B ~ A;
d) A = (-00,-1), B = A; e) A = B = (3/2,+00); f) A = B = 0;
g) A = [3; V37/2], B = (-V37/2; -3] U [3; V37/2).
18. a) m E {-2,2}, m E (-00,-2) U (2,+00), m E (-2;2);
b) m E {-5/2, 5/2}, m E (-5/2,5/2), m E (-00, -5/2) U (5/2, +(0);
c) m E {-2V3,2V3}, m E (-00,-2V3) U (2V3,+00); d) m E
E 0, m E IR, m E 0; e) m = -2/3, m i–2/3, m E 0;
f) m E {-12,12}, m E (-00,-12) U (12,+00), m E (-12;12);
{ 1-V33 1 + V33} m E (1-V33 1 + V33)
g) m E 6' 6' 6 ' 6 '
108
( 1-v'33) (1+v'33 ). h) {3-2v'3 3+2v'3} m E -00, 6 U 6' +00, m E 3' 3 '
(3 -2v'3 3 + 2v'3) ( 3 – 2v'3) (3 + 2v'3 ) m E 3' 3 ' m E – 00, 3 U 3 ' +00 .
19. a) neA) = 47; b) neA) = 82; c) neA) = 4; d) neA) = 16;
e) n(A) = 4; f) neA) = 2.
20. a) An B n C = {60t -17lt E JN*}; b) An B n C = {200}.
21. a) AnB = {37, 79}; b) AnB = {37, 79}; c) AnB = {6k+1Ik E
E Z, k E [O; 166]}.
24. a) {(2, 2), (2,3), (3,2), (3,3)}; b) {(3,3)}; c) {(1,3)};
d) {(2,4), (3,4), (2,.5), (3,5)}; e) {(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)}; f) {(1,2),
(1,;3), (1,4),(4,4)}; g) {(1,4)} etc.
26. a) A = (-00,-2) U [3;4), B = [3;4] etc.; b) A = B etc.;
c) A = [2;3], B = [-3;-2] etc.; d) A = (-2;-1) U (2,+00), B =
= (-00, -1) U (3,+00) etc.; e) A = {O, -lI}, B = {-4/5,0,6/5} etc.;
f) A = (-oo,-I)U (0;4), B = (-1;3) etc.; g) A = 0, B = 0 etc.;
h) A = {7,35/3}; B = {-219/8, 7} etc.; i) A = {7/4} = B etc.;
j) A = (-oo,-l)U (0,+00), B = (-00,-2/5)U [4,+(0) etc.; k) A =
= (-00,1] U [3/2,+00), B = 1R etc.; 1) A = [0,1/3], B = [-1; 1] etc.;
m) A = (-2;3), B = (-00,-2) U (3,+00) etc.; n) A = (-00,2] U
U[4, +(0), B = (-00,2) etc.
Capitolul II
2. 1) Ca = {(2,5),(2,7)}; 2) Ca = {(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),
(8, 1),(8,3)}; 3) Ca={(8, 1),(8,3),(8,5),(8, 7)}; 4) Ca={(2, 1), (2,3)};
5) Ca={(2, 1),(2,3),(2,5),(2,7),(4,1),(6,1),(8, 1)}; 6) Ca={(8, 7)};
7)Ca = {(4,1),(4,3),(6,1),(6,3),(8,1),(8,3)};8) Ca = {(2,1),(2,3),
(2,5),(4,1),(4,3),(4,5),(6,1),(6,3),(6,5),(8,1),(8,3),(8,5),(8,7)}.
3. 1) Ca = {(1,8),(2,7),(4,5)}; 2) Ca = {(1,1),(2,3),(3,5),
(4, 7)}; 3) Ca = {(3, 1)}; 4) Ca = {(4, 1)}; 5) Ca = {(1, 1), (1, 3), (1, 5),
(1,7),(1,8),(2,8),(3,3),(4,8)}; 6) Ca = {(1,7),(2,3)}; 7) Ca =
109
= {(1,5),(1,8),(2,1),(2, 7),(3,3),(4,5),(4,8)}; 8) Ga = {(1, 1),(2,1),
(3,1),(3,3),(4,1),(4,3)}.
4. 1) x + y = 6; 2) y = x + 1; 3) x < y; 4) max(x,y) > 4;
5) min(x, y) = 2; 6) cmmdc (x, y) = 2; 7) x este par sau y = 6;
8) x = y2.
5. 1) tranzitivă; 2) simetrică; 3) simetrică §i tranzitivă; 4) refle
xivă, tranzitivă; 5) refiexivă; 6) refiexivă, simetrică; 7), 8) reflexivă,
simetrică, tranzitivă; 9) refiexivă, tranzitivă; 10) tranzitivă etc.
6. 1) oa = Pa = IN, simetrică; 2) oa = Pa = IN, refiexivă; 3) oa =
= Pa = IN, simetrică, antirefiexivă; 4) oa = {1,4,9, … ,n2, … },
Pa = IN, antisimetrică; 5) Oa = Pa = IN, refiexivă, simetrică, tranzi
ti vă etc. 6) oa = Pa = {1, 2, 3, 5, 6,10,15, 30}, antirefiexivă, simetrică;
7) oa = IN, Pa = {3, 4, 5, … }, antirefiexivă, simetrică; 8) oa = pa =
=IN, refiexivă, antisimetrică, tranzitivă; 9) oa=IN, Pa={3,4,5, … },
antirefiexivă, antisimetrică, tranzitivă; 10) oa = IN, Pa = {O, 2, 4, … },
antisimetrică; 11) oa = Pa = IN, refiexivă, simetrică, tranzitivă;
12) oa = Pa = IN, simetrică.
9. 1) â = {a,e/a}, a E JR, a =F ela; 2) a = ve, avem â = {ve}.
10. â = {x E JRlx = a + 2k7r sau x = 7r -a + 2m7r, k, m E Z}.
11. a) da; b) â = {a, 2 -a}, î = {1}, 8 = {8}.
12. 1),2) oa = Pa = IN, a o a = a, a o a-l = a-Ioa = IN2;
3) oa = pa = JR, a-l = a, a o a = a-Ioa = a o a-l = JR2;
4) oa = Pa = JR, a o a = {(x, y) E JR214x ~ 9y}, a o a-l = a-Ioa =
= JR2; 5) oa = [-~;~], Pa = [-1;~], a o a = {(x,y) E
E JR2Isin(sinx):S y}, aoa-l = [-~;~r, a-Ioa = {(x,y) E
E JR21x, y E [ -1; 7r/2]}.
15. ip(R) = [-1; 1]; ip((O; 7r)) = (O; 1]; ip-l([-l; O]) = U [(2k –
kEZ
-1)7r,2k7r]; {( -l)ni + n7rln E Z}; {7r /2 + 2k7rlk E Z}; 0.
16. E; {b, d}; {b, e, d}; {a, b, e}; {3, 5,7,4, 6}; {6,9}; {2,8}.
18. {1,4,9,16,25,36,49,64,81,100}; {1,2,3}.
110
23. 1) bijectivă; 2) nu este bijectivă; 3) bijectivă; 4) nu este bijec
tivă; 5) bijectivă: 6) nu este bijectivă; 7) bijectivă; 8) nu este bijectivă;
9) injectivă; 10) nu este injectivă; 11) injectivă; 12) surjectivă; 13) nu
este surjectivă; 14) surjectivă; 15) surjectivă.
29.1) u(x) = 4x -9, v(x) = 7×5 +4, f(x) = (vou)(x); 2) u(x) =
= x2 + 3x, v(x) = x2/3 + x1/3 -7, f(x) = (vo u)(x); 3) u(x) = x2 -3,
v(x) = l/vx, f(x) = (v o u)(x) etc.
30. 1) (f o g)(x) = x + 1 = (g o f)(x); 4; 4; 2) (f o g)(x) =
= (x-3)2+8, (gof)(x) = x2+5; 8; 14; 3) (fog)(x) = f(x) = g(x); 3;
3; 4) (f o g)(x) = x2 + 2x, (g o f)(x) = x2; 12; 9; 5) (f o g)( x) = 2×4 –
-4×2+3, (gof)(x) = 2×4+4×2; 129; 360; 6) (fog)(x) = x6 = (gof)(x);
729; 729; 7) (f o g)(x) = 4×4, (go f)(x) = -2×4 -8×3 -12×2 -8x -3;
4; -1; 8) (f o g)(x) = 3×2 -18x + 29, (g o f)(x) = 3×2 -1; 50; 2 etc.
31. 1) 9; 2) 3; 3) 8; 4) 4; 5) 12; 6) 16; 7) -9; 8) -7; 9) 2.25;
10) 0,75; 11) 6+4V2; 12) 27+18V2; 13) 9c2; 14) 3c-3; 15) 9c2-18c+9;
16) 9c2 -18c + 9.
32. 1) da; 2) nu; 3) da: 4) da; 5) da; 6) nu; 7) nu; 8) nu.
33. 1) f-1(4) = 3; 2) f-1(6) = 0.5; 3) f-1(b) = a; 4) f-1(2) =
= a + 1; 5) f-1(p) = m + n. 211
34. 1) f-1(X) = –; 2) f-1(X) = –; 3) f-1(x) = ; x-1 x-2· (x-2)2
1 4VX x2
4) f-1(x) = -; 5) f-1(X) = ; 6) f-1(x) = –;
VX 1-VX x2 -1
x2 + 1 3 +..;x
7) f-1(X) = -1 2; 8) f-1(x) = (x2 + 2)2 -2; 9) f-1(X) = 1 ..;x; -x -X
-1 _ 4(y'X + 2?
10)f (x)-1-(VX+ 2)2'
{X, x > 2, {x, x> 1,
36. 1) (f o g)( x) = – (g o f)( x) = –
4 -x, x < 2, 2 -x, x < l.
{ (4x -2)2 -1, x S O,
2) (f o g)(x) = (3×2 -2)2 -1, x E (O; J2/3],
-5(3x -2)2 -1, x > fi73;
111
{ 3(x2-1)-2,
(g o f)(x) = 4(x2 -1) -2,
4( -5x -1) -2, x < -1,
-1:::; x:::; O,
x> O.
Capitol ul III
1. 42. 2. 1140. 3. 364. 4. 124. 5. 30! – 2 . 29! 6. 2520.
7. 204. 8. 2027025. 9. 105. 10. 302. 104. 11. n· m . k.
12. 2(P5)2 = 2· (120? 13. 2(P6)2 = 2· (720)2. 14. A~ = 37 ·15.
15. A§· Ag = 120. 16. 4.73 = 1372. 18. C~o· P6; C~o . Cio . Cio.
19. 62. 20. 0.5Cl· Cf2 = 2772. 36. 4. 37. 5. 38. 5. 39. 5.
40. 3. 41. 14. 42. 7. 43. 5. 44. 7. 45. 10. 46. 7. 47. 4.
48. 11. 49. 5. 50. 7. 51. 8. 52. 4. 53. 10. 54. 10. 55. 8. 56. 9.
57. 3. 58. 3. 59. 13. 60. 10. 61. 9. 62. 9. 63. 8. 64. 8. 65. 9.
66. 10. 67. 1; 3. 68. 0. 69. 3. 70. 9; 10. 71. 19. 72. 10. 73. (5,3).
74. (8,3). 75. (7,3). 76. (7,3). 77. (34,14). 78. (15,7).
( 2 k(k-1)(2k-n)) 79. (8,3). 80. (10,4). 81. Ck' ( )2 . 82. 0. n n n-1 83. {3,4,5,6,7,8,9}. 84. {1,2,3,4,5,6}. 85. {4,5,6,7,8,9,10,11}.
86. {x> 11lx E IN}. 87. {7:::; x < 11lx E IN}. 88. {1 :::; x :::; 10lx E
E IN}. 89. {9 < x < 18, x E IN}. 90. {5,6,7}. 91. {0,1,2,3,4,5}.
92. {11,12,13,14,15,16,17,18}. 93. {6,7,8,9}. 94. {x > 141x E
E IN}. 95. {x ~ 21x E IN}. 96. {x ~ 121x E IN}. 97. {5, 6, … }.
98. {10}. 99. {3,4, … ,13}. 100. {2,3,4, … ,9}. 101. {n ~ 81n E
E IN}. 102. {5,6,7,8,9,10}. 103. {1,2,3,}. 104. {2:::; x:::; 361x E
E IN}. 105. 0. 106. 0. 107. 1120×7. {IX. 108. 70x4y4. 109. •. 2 2 22k + 15 . 12. 110. 240. 111. 70(1 -x ). 112. m = _ , cea mal
(
mică valoare k = 6, atunci m = 21. 113. Cf6· x3. 114. T6 = Cf5.
115. T5 = Cf2 . 6-7. 116. Tg = C~7. 117. T1378 = CU~; . 21377.
118. T3 = 55z50/3. 119. C5gb6a-12. 120. Ct2 = T4.
121. 84x-,5/2. 122. (2,3,5). 123. 7. 124. T1H1 = 36Cig. 125. 26.
126. {Tg, TIO, Tll} §i {T14, T15, T16}. 127. T2 = Cf8 . x6.5 = 153×6.5.
112
128. 2. 129. 5/8 < x < 20/21. 130. {To, T4, Ts}. 131. 1.
132. T7 = 28ab2. 133. {-1, 2}. 134. {0,2}. 135. T1421
= CUgg·21420. 136. {Ti,T 16,T3ț}. 137. n = 8, avem T1 = y4,
35 2
T~ = -Y' n = 4 avem T1 = Y . 138. 10.
o, 8' ,
Notă o Pentru capitolele 1 §i II au fost indicate doar răspunsurile
mai puțin "voluminoase" §i cele care se obțin relativ mai complicat (la
părerea noastră).
Bibliografie
1. Goian 1., Grigor R., Marin V. Bacalaureat "Matematică" 1993 -1995. Republica Moldova. -Chișinău: "Amato" S.R.L., 1996.
2. Goian 1., Grigor R., Marin V. Bacalaureat "Matematică" 1996. Republica Moldova. -Chișinău: Evrica, 1997.
3. Ionescu-Tău C., M ușat Șt. Exerciții și probleme de matematică pentru clasele IX -X. -București: Editura didactică și pedagogică, 1978.
4. Militaru C. "Algebra", Exerciții §i probleme pentru liceu §i admitere în facuItate. -București: Editura "Alux" S.R.L, 1992.
5. Năstăsescu C., Niță C., Popa S. Matematică "Algebra", manual pentru clasa X-a. -Bucure§ti: Editura didactică și pedagogică, 1994.
6. Petrică 1., Lazăr 1. Teste de matematică pentru treapta I-a și a II-a de liceu. -București: Albatros, 1981.
7. Sader O. Culegere de probleme de matematică propuse Ia examenele scrise de maturitate §i de admitere în institute și facultăți. -București: Editura
tehnică, 1963.
8. Stamate 1., Stoian 1. Culegere de probleme de algebră pentru licee. -Bu
curești: Editura didactică și pedagogică, 1971.
9. Șahno C.I. Culegere de probleme de matematică elementară I Traducere din limba rusă de 1. Cibotaru. -Chișinău: Lumina, 1968.
10. llumr:uH A.r., IIuHclw A.H. CnpaBOQHOe noco6He TIO MeTOJlaM peIlIeHHH 3aJlaQ TIO MaTeMaTHKe JlJIH cpeJlHeH IlIKOJIbl. -M.: HaYKa, 1983.
11. JIHnuH G.E. BapaHoBa H.B., BOp'lyzoBa 3.r. C60PHHK 3aJlaQ TIO 3,'IeMeHTapHoH aJIre6pe -M.: IIpocBeilleHHe, 1973.
CUPRINS
Prefață
Notații
Capitolul 1. Mulțimi. Operații cu mulțimi
1.1. Definiții §i notații
1.2. Exerciții rezolvate
1.3. Exerciții propuse
Capitolul II. Relații, funcții
2.1. Definiții §i notații
2.2. Exerciții rezolvate
2.3. Exerciții propuse
Capitolul III. Elemente de combinatorică 3
4
6
6
12
25
33
33
46
67
79
3.1. Permutări. Aranjamente. Combinări. Binomul lui Newton 79
3.2. Probleme rezolvate 83
3.3. Exerciții propuse 98
Răspunsuri 107
Bibliografie 114
Colecția CARTIER ENCICLOPEDIC
Dicționar enciclopedic ilustrat
Horia Zava -Dicționar Eminescu
Colecția ALEEA CLASICILOR
Mihai Eminescu -Poezii
George Coșbuc -Poezii
Octavian Goga -Poezii
Ion Minulescu -Poezii
Ion Creangă -Scrieri
Eugen Lungu -Poeți de pe vremea lui Eminescu
Alexandru Macedonski -Poezii
Colecția CĂRȚI CELEBRE
Emil Gârleanu -Din lumea celor cari nu cuvîntă
Plutarh -Oameni iluștri ai Greciei
Plutarh -Oameni iluștri ai Romei
Colecția POESISjCARTIER CLASIC
Esenin -Opera poetică. Traducere de George Lesnea (casetă, 2 volume)
Eminescu -Opera poetică (casetă, 4 volume)
Macedonski -Versuri, Petică -Versuri, Pillat -Versuri (casetă, 3 volume)
Urmuz -Pagini bizare, Fundoianu -Versuri, Voronca -Versuri (casetă, 3
volume)
Topîrceanu -Versuri, Minulescu -Versuri (casetă, 2 volume)
Ibrăileanu -Spiritul critic în cultura românească, Adela (casetă, 2 volume)
Colecția PRIMA MEA BIBLIOTECĂ
H.Ch.Andersen -Cele mai frumoase povești
Vasile Alecsandri -Serile la Mircești
Ion Creangă -Punguța cu doi bani
Ion Creangă -Povestea lui Harap-Alb
Alexandru Donici -Grierul și furnica
Mihai Eminescu -Crăiasa din povești
Seria CARTIER ISTORIC
Constantin Stere: Singur împotriva tuturor
Constantin Stere: Victoria unui înfrînt
Ion Chirtoagă -Istoria românilor. Epoca medievală
Eric Hobsbawm – O istorie a secolului Xx. Era extremelor
Octavian Șofransky -Republica Moldova: capital geopolitic
Dinu Poștarencu – O istorie a Basarabiei (1812 -1940)
Andrei Țurcanu -Sabatul sau Noaptea vrăjitoarelor politicii moldovenești.
Seria ROTONDA
Paul Goma -Altina. Grădina scufundată
Alexandru Mușina -Eseu asupra poeziei moderne
Em. Galaicu-Păun -Poezia de după poezie. Ultimul deceniu
Ghenadie Postolache -Sezonul cerșetorilor
Doru Ciocanu -Dicționar auafed
Constantin Cheianu -Totul despre mine!
Irina Nechit -Godot eliberatorul
Vladimir Bulat -Artă și ideologie
Cristina Cîrstea -Ceva care să-mi amintească de mine
Ghenadie Postolache -Rondul
Seria CARTIER EDUCAȚIONAL
An Anthology of American Literature and Culture.
Editor: Hamilton Beck (2 volume)
English Home-Reading
(jar universities, high and secondary schools)
English. Manual de limbă și literatură engleză pentru clasa a X-a
Le ';:-'n<;ais. Exercices et tests de grammaire. Bacalaureat
Limba română. Teste la limba și literatura română, școlile alolingve.
Bacalaureat
Vasile Marin (coordonator) -Algebră. Ecuații și inecuații. Val. I.
Bacalaureat
Muzica. Manual pentru clasa I
Muzica. Crestomație pentru clasa I
Limba română. Culegere de texte pentru clasa I
L' arc-en-ciel. Manual de limbă franceză pentru clasele a III-a, a IV-a, a V-a
Lumina gîndului. Manual de limbă română pentru clasa a XI-a a școlii
alolingve
Albinuțe. Manual de limbă română pentru clasa a III-a a școlii alolingve
Făguraș. Manual de limbă română pentru clasa a IV-a a școlii alolingve
Limba română. Ghidul învățătorului pentru clasele a III-a și a IV-a, școala
alolingvă
Limba bulgară. Manual pentru clasa a III-a
Literatura română. Material didactic pentru clasa a VIII-a a școlii alolingve
Eugenia Gondiu -Atestarea cadrelor didactice
Nicolae Bucun (coordonator) -Tehnologii educaționale. Ghid metodologic
ÎN AFARA COLECȚIILOR
Thrainn Eggertsson -Economia neoinstituțională
Coranul
Republica Moldova 1n imagini (album)
George Meniuc sau Intoarcerea în Itaca
Alexandru Burlacu -Proza basarabeană: fascinația modelelor (anii '20-'30)
rJCARTIER
edXo)iorO
III~II~~I~I~I~ I 9 789975 790406
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Ion GOlAN Raisa GRIGOR Vasile MARIN Aorentm SMARANDACHE [612307] (ID: 612307)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.