Invatamantul Romanesc

INTRODUCERE

România deschide o cale largă unui învățământ care să stimuleze și să educe spiritul creator, să aplice metodele euristice apte de a stimula și forma o gândire flexibilă creativă, care să genereze soluții originale, de înaltă valoare și eficiență. Valorificarea inteligenței ,,interne” la cel mai înalt nivel constituie și va constitui un obiectiv de maximă importanță pentru învățământul românesc, pentru economia națională. Existența umană, viața presupun elaborarea unor multiple și complexe relații, aprecieri de diferite niveluri, presupun activitatea gândirii care este în mare măsură ajutată și stimulată de matematică.

Matematica dispune de un potențial educativ – formativ deosebit. Valorificat cu pricepere, acesta acționează asupra dezvoltării tuturor componentelor personalității: intelectuale, morale, estetice, caracteriale, asupra intereselor și motivațiilor acțiunii de învățare fiind în același timp o importantă cale de orientare profesională a tinerii generații. Cu prioritate trebuie avută în vedere contribuția acestei discipline la dezvoltarea capacităților creatoare. Omul viitorului, indiferent de domeniul în care va lucra, trebuie să posede solide cunoștințe matematice, să fie înarmat cu algoritmi și scheme logice-matematice care să-i permită orientare adecvată în lumea valorilor științifice și tehnologice. Sfera cunoștințelor științifice crește foarte repede. Timpul de trecere de la o descoperire științifică la aplicarea ei în tehnică devine din ce în ce mai scurt. Pentru a-și îndeplini rolul de formare a omului, școala nu trebuie să pună pe elev în postura unui simplu receptor de cunoștințe statice, trebuie să-l stimuleze să gândească și să lucreze prin eforturi personale. Eforturi personale stimulate și organizate prin problematizare: în loc de a se da soluții, a pune pe elev în situația de a le descoperi, ,,mai degrabă un cap bine construit decât plin” și să nu apreciem progresul prin mărturiile memoriei, ci prin ale judecății.

Ritmul și amploarea cuceririlor matematice, bogăția și varietatea metodelor de lucru impun și dezvoltarea culturii matematice a oamenilor. Datorită specificului ei, matematica se învață pentru a se aplica în practică. Este de fapt știința cea mai operativă care are cele mai complexe legături cu viața. Pătrunderea matematicii în toate domeniile vieții contemporane, contribuția pe care o aduce în dezvoltarea tuturor științelor, precum și contribuția adusă în studierea și dirijarea științifică a procesului de învățământ,sunt argumente incontestabile privind asimilarea ei la un

nivel superior chiar la vârsta fragedei copilării.

,,Intrarea în țara cunoașterii se face pe podul matematicii”, spunea profesorul Ștefan Bârsănescu. De aceea, cultura științifică matematică a devenit un element de baz al culturii omului modern. Desfășurăm o activitate prestigioasă-aceea a înnobilării omului prin educație și mai ales noi, învățătorii, punem temelia unui edificiu măreț-personalitatea omului, un om format și informat,racordat la cele mai noi cuceriri ale inteligenței umane în toate domeniile.

Angajat în această nobilă misiune și răspunzând unei probleme de suflet în ceea ce privește matematica, cunoscându-i importanța, contribuția acestei științe asupra formării omului viitorului, m-am orientat în studierea efectelor formative-creative ale învățării matematicii în ciclul primar, mai precis ale activității de rezolvare și compunere a problemelor matematice.

Având în vedere că învățarea de tip creativ face obiectul unor ample cercetări, experimente, preocupări, materialul elaborat de mine caută să aducă o modestă contribuție la perfecționarea activității metodico-științifice din școala noastră. De asemenea, mi-am propus să ofer un experiment pedagogic pentru o problemă controversată: modul de instruire și transferul învățării orizontale, pe grupe valorice de nivel , în fucție de aptitudinea matematică specială.

MOTIVAȚIA ȘI ACTUALITATEA TEMEI ALESE

În ultimile decenii, sursele care furnizează mesaje pentru cultura generală și de specialitate s-au multiplicat, ele modificând și amplificând cu rapiditate informațională.Prin ritmul și cantitatea de informații, prin transformările structurale și metodologice, prin aplicații spectaculoase și eficiente, dezvoltarea științei și relațiilor interumane contemporane îmbogățește sfera și conținutul educației cu noi domenii. Caracterul creator al activității în orice domeniu, nevoia omului de a se adapta continuu la situații, la procese și probleme de muncă mereu noi impun ca școala, odată cu funcția ei informativă, să dezvolte și aptitudinile intelectuale ale elevilor.O contribuție esențială la realizarea acestei sarcini o dă studiul matematicii în manieră modernă, aspect urmărit în cadrul acestei cercetări psihopedagogice.

Motivația alegerii temei ,,Strategii didactice de rezolvare a problemelor de matematică în ciclul primar” rezidă în dezideratul că Învățarea matematicii trebuie concepută ca o structură a proceselor esențiale de însușire a cunoștințelor, de prelucrare și utilizare a lor astfel încât să permită rezolvarea, în continuare, de sarcini noi.Se impune renunțarea la stocarea unor cunoștințe insuficient selectate, prelucrate, accentul trecând pe elaborarea tehniciilor intelectuale ale învățării. Rezultatele deosebite,chiar cele mai bune în însușirea cunoștințelor de matematică, se pot obține într-un cadru problematic, într-o atmosferă menită să dezvolte gândirea, spiritul critic, să susțină interesul și curiozitatea.A-i pune elevului probleme de gândire, dar mai ales, a-l pregăti să-și pună singur întrebări , este mult mai important decât a-l conduce spre rezolvarea lor prin modalități stereotipe.

În lucrarea de față voi cuprinde atât aspectele metodologice ale rezolvării problemelor de matematică în ciclul primar cât și modalități de implementare a noilor strategii didactice în cadrul orelor de matematică care să crească randamentul școlar și de aceea am încercat să folosesc în activitatea desfășurată acele metode și strategii care să îi activeze pe elevi, să obțină progrese școlare vizibile, monitorizând permanent activitatea lor și încurajându-i. Am încercat să promovez o muncă intelectuală permanentă care să sprijine în fiecare treaptă a evoluției, pe o schelă din ce în ce mai solidă, care o reprezintă cunoștințele și automatismul. Privită astfel, lucrarea de față nu este un scop în sine ci va deveni o pasionantă cale prin care elevul va redescoperi adevăruri fundamentale și își va însuși multiple metode pentru a soluționa probleme de viață, probleme ale științei. Matematica se învață deci gândind, imaginând, creând situații problematice și probleme în ideea că astfel, gândirea se formează pe sine, se dezvoltă în activitatea de cultivare a curiozității științifice, a frământării și preocupării pentru descifrarea necunoscutului.

Deoarece rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, consider imperios necesară preocuparea deosebită în această direcție în cadrul activității didactice reliefată prin această lucrare științifică.

Am supus cercetării tema aleasă ,,Strategii didactice de rezolvare a problemelor de matematică în ciclul primar” pe parcursul anului școlar 2013 – 2014 pe două eșantioane, un grup experimental în cadrul Liceului Tehnologic ,,Petru Rareș” Bacău și un grup martor în cadrul Școlii cu cls. I – VIII ,,G. M. Cancicov” Bacău, perioadă în care au fost aplicate și interpretate teste care au cuprins itemi diverși printre care și rezolvarea și compunerea de probleme.

CAPITOLUL I

METODOLOGIA REZOLVĂRII PROBLEMELOR DE ARITMETICĂ

I.1. Obiectul metodicii predării matematicii

În sistemul științelor pedagogice, didactica are ca obiect procesul de învățământ, studiind într-un mod sistemic componentele acestuia și principiile didactice care guvernează predarea-învățarea, conținuturile, strategiile de învățare și evaluare.

Ca ramură a pedagogiei școlare, didactica se ocupă cu studiul conceperii, organizării și desfășurării eficiente a procesului de învățământ.Didacticile speciale sau metodicile sunt particularizări interdisciplinare ale didacticii la anumite discipline de învățământ.

Astfel, metodica predării matematicii are ca obiect studierealegităților și conturarea celor mai eficiente modalități utilizabile în procesul de predare – învățare – evaluare al acestei discipline. Ea încorporează achiziții din domeniul matematicii, pedagogiei, psihologiei, sociologiei, statisticii, care au o semnificație de natură metodică.

Zona de interes a metodicii matematice se plasează în două planuri:

• teoretic, de fundamentare logico-științifică și didactică a procesului învățării matematice;

• practic-aplicativ, de stabilire a normelor privind organizarea și desfășurarea activității de învățare a matematicii, de creare și ameliorare a demersurilor didactice specifice acestei activități.

Ca intersecție a matematicii cu pedagogia, ,,metodica predării învățării matematicii abordează problematica obiectivelor, conținuturilor, strategiilor didactice (metode și procedee, mijloace de învățământ, forme de activitate și de organizare a elevilor) menite să conducă fiecare elev în zona proximei dezvoltări, prin cultivarea motivației pentru învățarea matematicii” (Neacșu, Ioan, București, 1988, p.54).

Funcție de nivelul sistemului de învățământ vizat, se conturează câte o metodică specifică fiecărui palier: al activităților matematice din grădinița de copii, al predării-învățării matematicii la clasele I- IV, în ciclul gimnazial, liceal sau în învățământul superior. Fiecare dintre ele se conectează cu celelalte, condiționându-se reciproc.

Metodica predării matematicii claselor I – IV urmărește să ofere alternative metodologice și modele posibile de lucru, care să asigure optimizarea învățământului matematic în ciclul primar. Cum predarea învățarea matematicii este o activitate cu dublă determinare, organizare științifică și realizare eficientă, termenul de metodică nu trebuie înțeles ca o sumă de metode pe care le folosește învățătorul în procesul de învățământ.

În acest sens, în locul termenului de metodică poate fi folosit cel de metodologie a didacticii matematicii, cu sensul de structură științifică și normativă, care studiază demersurile de cunoaștere în domeniul respectiv.

Reușita asimilării și aplicării metodologiei predării-învățăriimatematicii la clasele I – IV este condiționată de nivelul cunoașterii matematicii școlare, a fundamentelor acesteia, precum și a psihopedagogiei procesului instructiv-educativ.

I.2. Obiectivele predării-învățării matematicii

Obiectivele educaționale sunt induse de idealul educațional și de finalitățile sistemului de învățământ, care conturează, într-o etapă istorică dată, profilul de personalitate dorit la absolvenții sistemului de învățământ.Finalitățile sistemului se concretizează în finalitățile pe niveluri de școlaritate (preșcolari, primar, gimnazial și liceal), care descriu specificul fiecărui nivel de școlaritate din perspectiva politicii educaționale.

Finalitățile învățământului primar sunt:

• asigurarea educației elementare pentru toți copiii;

• formarea personalității copilului respectând nivelul și ritmul său de dezvoltare;

• înzestrarea copilului cu acele cunoștințe, capacități și atitudini care să stimuleze raportarea efectivă și creativă la mediul social și naturalși să permită continuarea educației.

Curriculum-ul național, elaborat în anul 1998, realizează o periodizare a școlarității prin gruparea mai multor niveluri de clase, care au în comun anumite obiective. Aceste cicluri curriculare au scopul de a evidenția obiectivul major al fiecărei perioade școlare și de a regala procesul de învățământ din acea perioadă.

Astfel, s-a format ciclul achizițiilor fundamentale, ce cuprinde copiii de 6-8 ani, aflați în grădiniță și în clasele I – II, ciclul de dezvoltare, cuprinzând copiii de 9-12 ani, corespunzător claselor II – VI și ciclul de bservare și orientare, ce include copiii de 13-14 ani, din clasele a VII-a și a III-a.

La nivelul învățământului primar, ciclul achizițiilor fundamentale are ca obiective majore acomodarea la cerințele sistemului școlar și alfabetizarea inițială. Acest ciclu urmărește:

􀀹 asimilarea elementelor de bază ale principalelor limbaje convenționale (scris, citit, calcul);

􀀹 stimularea copilului în vederea perceperii, cunoașterii și adaptării la mediul apropiat;

􀀹 formarea motivării pentru învățare.

Ciclul de dezvoltare are ca obiectiv major formarea capacităților de bază necesare pentru continuarea studiilor. Acest ciclu urmărește:

􀀹 dezvoltarea achizițiilor lingvistice, a competențelor de folosire a limbii române, a limbii materne și a limbilor străine, pentru exprimarea corectă și eficientă în situații variate de comunicare;

􀀹 dezvoltarea capacității de a comunica, folosind diferite limbaje specializate;

􀀹 dezvoltarea gândirii autonome și a responsabilității față de integrarea în mediul social.

Studiul matematicii în ciclul primar urmărește ca toți elevii să-și formeze competențele de bază vizând: numerația, calculul aritmetic, noțiuni intuitive de geometrie și măsurarea mărimilor.

În acest context, obiectivele cu cel mai mare grad de generalitate, numite obiective cadru, sunt:

1. cunoașterea și utilizarea conceptelor specifice matematicii;

2. dezvoltarea capacităților de explorare/investigare și de rezolvare a problemelor;

3. formarea și dezvoltarea capacității de a comunica utilizând limbajul matematic;

4. dezvoltarea interesului și a motivației pentru studiul și aplicarea matematicii în contexte variate.

La nivelul fiecărei clase, aceste obiective sunt detaliate și precizate prin obiectivele de referință.

Astfel, la clasa I, primul obiectiv cadru se materializează în următorul set de obiective de referință, exprimate în termeni de capacități dorite la elevi:

1.1 să înțeleagă sistemul pozițional de formare a numerelor din zeci și unități;

1.2 să scrie, să citească și să compare numerele naturale de la 0 la 100;

1.3 să efectueze operații de adunare și scădere în concentrul 0-30, fără trecere peste ordin;

Cel de-al doilea obiectiv cadru se regăsește în următoarele obiective de referință:

2.1 să stabilească poziții relative ale obiectelor în spațiu;

2.2 să recunoască forme plane și forme spațiale, să sorteze și să clasifice după formă, obiecte date;

2.3. să sesizeze asocierea dintre elementele a două categorii de obiecte, desene sau numere mai mici ca 20, pe baza unor criterii date, să continue modelele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere mai mici decât 10;

2.4. să se continue modelele repetitive reprezentate prin obiecte, desene sau numere mai mici decât 10;

2.5. să exploreze modalități de a descompune numere mai mici ca30, în sumă sau diferență folosind obiecte, desene sau numere;

2.6. să rezolve probleme care presupun o singură operație dintre cele învățate;

2.7. să compună oral exerciții și probleme cu numere de la 0 la 30.

2.8. să măsoare dimensiunile, capacitatea sau masa unor obiecte folosind unități de măsură nestandard aflate la îndemâna elevilor;

2.9. să recunoască orele fixe pe ceas;

2.10. să estimeze numărul de obiecte dintr-o mulțime și să verifice prin numărare estimarea făcută;

Al treilea obiectiv cadru se reflectă în obiectivul de referință

3.1. să verbalizeze în mod constant modalitățile de calcul folosite în rezolvarea unor probleme practice și de calcul;

Cel de-al patrulea obiectiv cadru se regăsește în obiectivele de referință:

4.1. să manifeste o atitudine pozitivă și disponibilitate în a utilizarea numerelor;

4.2. să conștientizeze utilitatea matematicii în viața cotidiană.

Toate aceste obiective sunt valabile pentru curriculum-ul nucleu, trunchiul comun ce corespunde numărului minim de ore din planul de învățământ.

I.3. Conținuturi ale matematicii școlare

Curriculum-ul nucleu prevede următoarele conținuturi ale învățării la clasa I:

• elemente pregătitoare pentru înțelegerea conceptului de număr natural;

• numere naturale de la 0 la 100: citire, scriere, comparare, adunare;

• adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-30, fără trecere peste ordin;

• figuri geometrice: triunghi, dreptunghi, pătrat, cerc;

• măsurări cu unități nestandard pentru lungime, capacitate, masă;

măsurarea timpului (unități de măsură: ora, ziua, săptămâna, luna; recunoașterea orelor fixe pe ceas)

La clasa a II-a sunt prevăzute următoarele noi conținuturi ale învățării:

• numere naturale până la 1000 (formare, scriere, citire, comparare, ordonare);

• adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-100, fără și cu trecere peste ordin; înmulțirea numerelor naturale în concentrul 0- 30; împărțirea dedusă din tabla înmulțirii (se transferă în clasa a III-a începând cu anul școlar 2004-2005);

• elemente intuitive de geometrie: punct, segment, linie dreaptă, linie frântă, linie curbă; interiorul și exteriorul unei figuri geometrice; exerciții de observare a obiectelor cu formă de paralelipiped dreptunghic;

• măsurarea mărimilor și unităților de măsură pentru lungime (metrul), capacitate (litrul), masă (kilogramul), timp (minutul); monede;

utilizarea instrumentelor de măsură adecvate: metrul, rigla gradată, cântarul, balanța;

Clasa a III-a are următoarele noi conținuturi ale învățării:

• numere naturale până la 1000000;

• adunarea și scăderea numerelor naturale în concentrul 0-1000;

înmulțirea numerelor naturale în concentrul 0-100; împărțirea (inclusiv cea cu rest) în același concentru; ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor rotunde;

• elemente intuitive de geometrie: poligon; exerciții de observare a obiectelor cu forme de cilindru sau de con;

• măsurarea mărimilor și a unităților de măsură pentru lungime (multiplii și submultiplii metrului), capacitate (multiplii și submultiplii litrului), masă (multiplii și submultiplii kilogramului), timp (anul), monede și bancnote.

În clasa a IV-a sunt următoarele noi conținuturi ale învățării:

• numere naturale: clase (unități, mii, milioane, miliarde); caracteristicile sistemului de numerație folosit (zecimal și pozițional); scrierea cu cifre romane;

• adunarea și scăderea numerelor naturale fără și cu trecere peste ordin; înmulțirea când un factor are cel mult două cifre sau este 10, 100, 1000; împărțirea la un număr de o cifră (diferență de 0) sau la 10, 100, 1000 ( a numerelor a căror scriere se termină cu cel puțin

unul, două sau trei zerouri); ordinea efectuării operațiilor și folosirea parantezelor;

• fracții: noțiunea de fracție; fracții egale, reprezentări prin desene; fracții echiunitare, subunitare, supraunitare; compararea fracțiilor; adunarea și scăderea fracțiilor cu același numitor; aflarea unei fracții dintr-un întreg;

• elemente intuitive de geometrie: unghi, drepte paralele; rombul; perimetrul (dreptunghiului și pătratului); aria;

• măsurarea mărimilor și unități de măsură, cu transformări ale multiplilor și submultiplilor unităților principale pentru lungime, capacitate, masă; unități de măsură pentru timp (deceniul, secolul, mileniul); monede și bancnote

I. 4. Formarea conceptelor matematice

Fiecare disciplină de învățământ trebuie să construiască în structurile mintale ale elevului un sistem de cunoștințe, care să se apropie de logica disciplinei respective. Matematica școlară se fundamentează pe logica internă a științei matematice, dar se construiește ținând seama de particularitățile psihice ale elevilor.

I.5. Baza psihopedagogică a formării noțiunilor matematice

Specificul dezvoltării stadiale a inteligenței se manifestă printr-o proprietate esențială: aceea de a fi concret-intuitivă. Conform concepției lui Piaget, la vârsta școlară mică, copilul se află în stadiul operațiilor concrete, ce se aplică obiectelor cu care copilul acționează efectiv. Școlarul mic (mai ales în clasa I) gândește mai mult operând cu mulțimile de obiecte concrete, deși principiile logice cer o detașare progresivă de baza concretă, iar operațiile cer o interiorizare, o funcționare în plan mintal. Desigur, nu obiectele în sine poartă principiile matematice, ci operațiile cu mulțimi concrete. În acest cadru, se înscrie necesitatea ca proiectarea ofertei de cunoștințe matematice pentru școlarul mic să ia în considerare particularitățile psihice ale acestei vârste. Dintre principalele caracteristici ale dezvoltării cognitive specifice acestei vârste, reținem:

gândirea este dominată de concret;

perceperea lucrurilor este încă globală;

este perceput întregul încă nedescompus;

lipsește dubla acțiune de disociere-recompunere;

comparația reușește pe contraste mari, stările intermediare fiind greu sau deloc sesizate;

domină operațiile concrete, legate de acțiuni obiectuale;

apare ideea de invarianță, de conservare (a cantității, masei, volumului);

apare reversibilitatea, sub forma inversiunii și compensării;

puterea de deducție imediată este redusă;

concretul imediat nu este depășit decât din aproape în aproape, cu extinderi limitate și asociații locale;

intelectul are o singură pistă;

școlarul mic nu întrevede alternative posibile;

posibilul se suprapune realului.

Spre sfârșitul micii școlarități se pot întâlni, evident diferențiat și individualizat, manifestări ale stadiului preformal, simultan cu menținerea unor manifestări intelectuale situate la nivelul operațiilor concrete.

Caracteristicile acestui stadiu determină și variantele metodologice destinate formării noțiunilor matematice. În acest sens, prioritate va avea nu atât stadiul corespunzător vârstei, cât, mai ales, zona proximei dezvoltări a capacităților intelectuale ale elevilor.

Înainte de a se aplica propozițiilor logice, operațiile logice (negația, disjuncția, conjuncția, implicația, echivalența), se exersează în planul acțiunilor obiectuale, ale operațiilor concrete. De aceea, ,,procesul de predare-învățare a matematicii în ciclul primar implică mai întâi efectuarea unor acțiuni concrete, operații cu obiectele, care apoi se structurează și se interiorizează, devenind operații logice abstracte” (Dumitriu, Gheorghe, 1997, p.154).

Formarea noțiunilor matematice se realizează prin ridicarea treptată către general și abstract, la niveluri succesive, unde relația dintre concret și logic se modifică în direcția esențializării realității. În acest proces, trebuie valorificate diverse surse intuitive: experiența empirică a copiilor, matematizarea realității înconjurătoare, limbajul grafic.

Un material didactic foarte potrivit pentru a demonstra conceptele matematice de bază (mulțime, apartenență, incluziune, intersecție, reuniune ș.a.), care conduc la conceptul de număr natural și apoi la operații cu numere naturale, este constituit din trusa de piese geometrice (blocurile logice ale lui Dienes, Logi I, Logi II). Datorită faptului că atributul după care se constituie mulțimile (proprietatea caracteristică) de piese geometrice este precis determinat (formă, culoare, mărime, grosime), structurile logice se pot demonstra riguros. În operarea cu aceste piese, copiii se găsesc foarte aproape de operarea cu structuri logice.

Limbajul grafic, materializat în reprezentările grafice, este foarte apropiat de cel noțional. El face legătura între concret și logic, între reprezentare și concept, care reprezintă o reflectare a proprietăților relațiilor esențiale ale unei categorii de obiecte sau fenomene. Între aceste niveluri, interacțiunea este legică și continuă. Ea este mijlocită de formațiuni mixte de tipul conceptelor figurale, al imaginilor esențializate sau schematizate, care beneficiază de aportul inepuizabil al concretului.

Imaginile mintale, ca modele parțial generalizate și reținute într-o formă figurativă, de simbol sau abstractă, îi apropie pe copii de logica operației intelectuale, devenind astfel sursa principală a activității gândirii și imaginației, mediind cunoașterea realității matematice. Pentru elevul clasei I, primele noțiuni matematice sunt cele de număr natural și operații cu numere naturale (adunare și scădere). Formarea acestor noțiuni parcurge următoarele etape :

sesizarea mulțimilor și a relațiilor dintre acestea în realitateaobiectivă (mulțimi de obiecte din mediul ambiant, experiența de viață a elevilor, imagini ale mulțimilor de obiecte concrete);

operații cu mulțimi de obiecte concrete (cu mulțimi de obiecte reale, cu mulțimi de obiecte simbol, cu piesele geometrice, cu rigletele ș.a.);

operații cu simboluri ale mulțimilor de obiecte (imagini șireprezentări grafice);

operații cu simboluri numerice (cifre, semne de operație, de egalitate și inegalitate).

I.6. Particularitățile gândirii școlarului mic și accesibilitatea noțiunilor matematicii moderne

Perioada școlară mică se caracterizează printr-o permanentă solicitare a gândirii, a cunoașterii sistematice a calității sau adevărurilor acceptate și verificate social. Odată devenit școlar, copilului i se impune o serie de cerințe spirituale și relații competiționale care acționează profund asupra psihicului său; activitatea școlară exercită o influență care se face simțită prin anumite reglementări care se exercită asupra orelor de muncă și odihnă, prin modelarea intereselor, preferințelor, prin diversificarea preocupărilor.

Dezvoltarea intereselor, mai ales a celor intelectuale, se manifestă prin curiozitatea vie a copilului față de tot ceea ce îl înconjoară; el vrând să știe, să înțeleagă tot ceea ce vede, tot ce aude, caută răspunsuri și-și dă răspunsuri în activitate, în joc, pe stradă, peste tot, este atent la tot ceea ce se petrece în jurul său, având curiozitatea totdeauna trează, iar puterea de concentrare asupra a tot ceea ce-l captivează este mare.

Potrivit prevederilor programei școlare, în clasele I – IV se pun bazele însușirii întregului sistem de cunoștințe matematice prin însușirea noțiunilor fundamentale ale acestei discipline, însă trebuie să acordăm mare atenție felului cum prezentăm aceste cunoștințe pentru a putea fi accesibile copilului de vârstă școlară mică încă de la primele lecții.

Problema vârstei la care se poate începe formarea noțiunilor matematice a preocupat mult specialiștii din domeniul pedagogiei și psihologiei, iar rezultatele au stabilit că primele noțiuni abstracte se pot forma începând cu vârsta preșcolară care este caracterizată de necesitatea aplicării în domeniul predării matematice de unul din cele mai importante principii pedagogice și anume, continuitatea influențelor formative.

La grădiniță copilul este pregătit pentru școală, iar învățătorul preia sistematic rolul muncii educatoarelor în vederea înțelegerii noțiunilor matematice și pot porni de la o bază aperceptivă care nu numai că le ușurează munca, dar le indică și procedeele metodice pe care le pot folosi mai departe în formarea conștientă a noțiunilor.

În momentul intrării copilului în clasa I, acesta trebuie să fi atins un anumit nivel fizic, volitiv, adică să posede acea “maturitate” de școlarizare, iar școala are sarcina de a-l introduce în sistemul organizatoric al activităților școlare, de a pune ordine în percepțiile copiilor, de a le îmbogăți și orienta spre activități creatoare.

Nu se poate afirma că orice copil are o anumită înclinație pentru matematică începând cu cea mai frecventă vârstă, dar el poate fi înzestrat cu unele premie psihologice ale ei. Aptitudinea matematică se structurează pe baza acelor premise, dar numai în contact activ și repetat cu matematica, adică în urma activității susținute și repetate.

,,Ereditatea determină doar potențialitățile unor procese cognitive, ale unor particularități ale proceselor de gândire. În contactul activ cu lumea obiectelor și a fenomenelor, cu societatea și cultura, cu știința și tehnica, posibilitățile native se transformă în “realități psihologice” (Cucoș, Constantin, 1998, p.132) în funcții și operații mintale (analiză-sinteză, abstractizare si generalizare, clasificare și seriere), formând condițiile interne, subiective ale receptivității matematicii. Condițiile interne, la rândul lor în cazul apropierii active și sistematice ale copilului de matematică se modelează după natura și structura activității matematice, depind de gradul de dezvoltare a funcțiilor mintale necesare pentru formarea aptitudinii, de felul contactului cu matematica, de măsura în care acest contact are un caracter activ sau pasiv, de metodele învățământului matematic, de factori motivaționali ca: interesul, aspirațiile, perseverența elevului, precum și de satisfacțiile pe care acesta le găsește în preocupările sale matematice, de personalitatea educatorului care, prin măiestrie pedagogică poate contribui Ia formarea calităților intelectuale necesare în activitatea matematică a elevilor, dar și la crearea interesului, prin încurajare, adică Ia geneza factorilor afectiv-motivaționali care dinamizează capacitățile cognitive ale elevului.

Asimilarea matematicii, prevăzută în programele școlare pentru clasa I, presupune trecerea gândirii intuitive, caracteristică preșcolarului, Ia stadiul operațiilor concrete. La această vârstă copilul trece de Ia acțiunea imediată, la operație. Funcția semiotică sau simbolică (înțelegerea și memorarea simbolurilor, operarea cu simboluri) permite copilului interiorizarea acțiunii, iar intuiția articulată este înlocuită cu operația dominată de percepție.

Reușita la matematică presupune capacitatea elevului din clasa I de a reprezenta mintal, de a imagina rezultatul unor acțiuni, adică de a anticipa prin reprezentare, desfășurarea unor situații simple.

Odată cu apariția gândirii operatorii, copilul devine capabil să clasifice și să sesizeze obiectele după un anumit criteriu (culoare, formă, lungime). Clasificarea și serierea permit copilului sa treacă Ia numerație, nu ca o enumerare mecanică a denumirii primelor unități, fără a raporta numărul Ia un conținut obiectual, ci în mod conceptual, adică să desprindă relații cantitative existente în seria numerică, fiecare număr devenind un element suficient de articulat al seriei. Astfel, copilul ajunge să înțeleagă aspectul cantitativ, respectiv faptul că numărul obiectelor este o caracteristică independentă de așezarea lor în spațiu. Întrucât el înțe1ege ordonarea crescătoare și descrescătoare, îi este accesibilă construcția mintală a numerelor prin adăugarea succesivă a unei unități.

Conceptualizarea numărului și a operațiilor matematice presupune “gruparea” operațiilor mintale concrete, adică organizarea, compunerea noțiunilor în unități ierarhice mobile, ca urmare a dobândirii reversibilității gândirii (negație și reciprocitate). Astfel, copilul înțelege că operația inversă adunării este scăderea, sau a înmulțirii este împărțirea.

Gândirea școlarului mic este însă în mare măsură legată de acțiunea nemijlocită cu obiectele. Din această cauză, la orele de matematică el trebuie pus în situația de a rezolva problemele în mod practic. El înțelege prin propria sa activitate numerele și tot prin aceasta cunoaște sistemul zecimal și numerele lui, își însușește unitățile de măsură, se familiarizează cu sistemul monetar, învață numerele întregi, fracțiile.

,,Dobândirea cunoștințelor nu se rezumă la o simplă înmagazinare pe baza memoriei formale, ci acesta este un proces de reconstituire”(Dumitriu,Gheorghe,1997, p.156) de trecere prin toate fazele pe care gândirea le-a parcurs. Trebuie să știm că tot ceea ce se află în conștiință a trecut prin simțuri. Gândirea ajunge să posede materialul faptic necesar elaborării noțiunilor numai prin cunoașterea senzorială. La vârsta școlarului mic însușirea corectă și conștientă a unei noțiuni este determinată de multitudinea de percepții și reprezentări asupra realității și de căile pe care gândirea lui este condusă să desprindă esențialul dintr-o categorie sau alta de obiecte.

În concluzie, orice noțiune abstractă poate fi accesibilă dacă:

– în transmiterea ei se respectă particu1aritățile de vârstă și individuale ale celor ce trebuie să și le însușească;

– dacă la formarea primelor noțiuni matematice se va opera mai întâi cu obiecte concrete, apoi cu obiecte reprezentative, schițe și numai după aceea cu simboluri;

– dacă se folosește un limbaj familiar copiilor;

Continuând activitatea matematică din grădiniță într-o manieră specifică particularităților de vârstă ale elevilor din clasa I, învățătorul are posibilitatea să evite folosirea unui limbaj matematic abstract, obositor, inaccesibil copilului, putând să introducă cât mai natural și accesibil unele activități și cunoștinte noi.

Dacă învățătorul tradițional tinde să formeze o serie de mecanisme de calcul și realizează acest lucru cu prețul unui efort susținut, matematica modernă, deși pledează pentru un învătământ abstract, cere să fie ordonată într-un mod cu totul concret, îndeosebi pentru vârstele mici. Once noțiune abstractă, inclusiv noțiunea de număr, devine accesibilă și poate fi susținută conștient și temeinic dacă este clădită pe elemente de teoria mulțimilor și de logică.

Prin activitățile cu conținut matematic (grupare, ordonare, comparare, punere în corespondență), copiii sunt antrenați în acțiuni operatorii cu diferite materiale (obiecte, imagini schematice ale acestora și simboluri – cerc, linie, punct, etc.).

Aceasta nu înseamnă că deprinderile de calcul și-ar pierde însemnătatea, ele având aceeași ordine de prioritate în activitatea didactică. Calculul scris devine foarte simplu după ce s-a fundamentat cel mintal, iar exercițiile de acest gen dezvoltă procesele psihice la elevi: memonia, judecata logica, atenția, capacitatea de analiză, sinteză și flexibilitatea gândirii.

Toate acestea constituie o bază reală prin care se realizează dezvoltarea intelectuală a copiilor și asigură pregătirea lor pentru învățarea matematicii moderne.

CAP. II

METODE DE REZOLVARE A PROBLEMELOR DE MATEMATICĂ ÎN CICLUL PRIMAR

II.1. Noțiunea de ,,problemă”

Noțiunea de problemă are un conținut larg și cuprinde o gamă largă de preocupări și

acțiuni din domenii diferite. În sens pshihologic, ,,o problemă” este orice situație , dificultate,

obstacol întâmpinat de gândire în activitatea practică sau teoretică pentru care nu există un răspuns gata formulat .

În general , orice chestiune de natură practică sau teoretică care reclamă o soluționare , o

rezolvare, poartă numele de problemă. Noțiunea de problemă nu este întâlnită numai în matematică.

După cum afirma G. Polya ,,a avea ( sau a-ți pune) o problemă înseamnă în mod conștient o acțiune adecvată pentru a atinge un scop clar conceput, dar nu imediat accesibil”.(Polya, George, 1971, p. 97). A rezolva o problemă înseamnă a găsi o asemenea acțiune. Referindu-ne la matematică, prin problemă se înțelege o situație a cărei soluționare se poate obține esențial prin procese de gândire și calcul.

,,Problema de matematică reprezintă transpunerea unei situații practice sau a unui complex de situații practice în relații cantitative” (Dinuța, Neculae, 2003, p.67) și în care, pe baza valorilor numerice date și aflate într-o anumită dependență unele față de altele și față de una sau mai multe valori numerice necunoscut , se cere determinarea acestor valori necunoscute. În activitatea teoretică și practică omul întâlnește atât situații identice, în a căror rezolvare aplică metode și procedee standardizate de tip algoritmic, dar și situații noi pentru care nu găsește soluții în experiența dobândita sau între mijloacele deja învățate. Când situația poate fi rezolvată pe baza cunoștințelor sau deprinderilor anterior formate, deci a unor soluții existente în experiența câștigată, elevul nu mai este confruntat cu o problema nouă. În cazul situațiilor problemă este nevoie de explorarea situației prin aplicarea creatoare a cunoștințelor și tehnicilor de care dispune rezolvitorul în momentul respectiv, scopul fiind acela al descoperirii implicației ascunse, a necunoscutei, a elaborării raționale a soluției .

Rezolvarea problemelor se face fie prin metode euristice, fie prin metode algoritmice. Metodele cu ajutorul cărora se descoperă noi mijloace de rezolvare, se construiesc planuri și programe nestereotipice, sunt cunoscute sub denumirea de metode euristice. Activitatea de rezolvare a problemelor de matematică se înscrie atât în zona unor rezolvări stereotipice (aplicarea aceleiași metode de rezolvare în situații identice, cum este cazul la problemele tipice), cât mai ales în aceea a rezolvării euristice. Rezolvarea problemelor cu ajutorul algoritmilor ușurează mult munca rezolvitorului, aceasta reducându-se la recunoașterea tipului de problemă și la aplicarea algoritmului corespunzător. În felul acesta, gândirea și activitatea rezolvitorului se pot concentra asupra altor aspecte, care solicită creativitatea în mai mare măsură. Abordarea algoritmică a problemelor are avantajul că ne permite accesul la calculatorul electronic . Pentru a rezolva o problemă cu un sistem de prelucrare automată a datelor trebuie parcurse următoarele etape:

– formularea problemei ;

precizarea datelor de intrare / ieșire ;

elaborarea schemei logice ;

elaborarea programului în conformitate cu schema logică.

Odată introduse datele și programul în calculator, acesta va opera asupra informațiilor și va comunica omului rezultatul. Evident că o astfel de cale pentru rezolvarea problemelor este ușoară, comodă, dar ea nu se poate aplica decât unui numar infim de probleme, pentru care se poate elabora un algoritm de rezolvare . Dintre acestea , unele probleme tip de aritmetică .

Din cele arătate mai sus rezultă că majoritatea problemelor trebuie rezolvate pe cale euristică. Rezolvitorul trebuie ca, ținând seama de ceea ce cunoaște, să afle soluția problemei. Procesul gândirii în activitatea de rezolvare a problemelor este deosebit de complex și cu greu se pot obține date despre desfășurarea lui.

1. O primă etapă este aceea de clarificare a enunțului, o trecere a acestuia prin prisma experienței anterioare a rezolvitorului .

2. Urmează o a doua etapă, în care rezolvitorul, folosindu-se de experiența anterioară, caută mijloacele de rezolvare a problemei.

3. În starea de tensiune care se crează, apare ideea nouă care conduce la rezolvare.

4. Această etapă este urmată de o alta și ultima, în care ideea este concretizată, detaliată și verificată.

Viziunea asupra problemei evoluează în timp. În acest sens, G. Polya reprezintă evoluția viziunii asupra problemei: maturizarea subconștientă a problemei; din punctul C începe activitatea conștientă de rezolvare a problemei, urmează un punct de stagnare momentană, S. Punctul I care este un punct de inflexiune al curbei și în care panta are un maxim, corespunde apariției ideii decisive, momentul de inspirație .

În cursul rezolvării problemei, în funcție de experiența anterioară și de aptitudinile rezolvitorului, acesta poate aprecia stadiul în care se află rezolvarea, modul în care ea evoluează.

Operațiile implicate în rezolvarea unei probleme sunt sintetizate de G. Polya într-o schemă :

Izolare

recunoastere regrupare

mobilizare previziune organizare

reamintire suplimentare

combinare

Rezolvarea începe cu mobilizarea în vederea găsirii soluției . Ea este însoțită de recunoașterea unor aspecte cunoscute și de reamintirea unor definiții, teoreme. Are loc izolarea unui detaliu, precum și combinarea detaliilor dispărute. Urmează regruparea datelor și suplimentarea viziunii asupra problemei. În centrul acestor operații se află previziunea, întrucât toate operațiile menționate urmăresc să ne conducă spre soluție. În final se realizează organizarea, adică corelarea elementelor care contribuie la rezolvarea problemei.

Pentru a putea defini cât mai concret noțiunea de problemă trebuie stabilită o diferențiere clară între problemă și exercițiu. În general, între un exercițiu și o problemă distincția se face

în funcție de prezența sau absența textului prin care se dau date și corelații între ele și se cere, pe baza acestora, găsirea unei necunoscute. Exercițiul oferă elevului datele (numerele cu care operează și semnele operațiilor respective), sarcina lui constând în efectuarea calculelor după tehnici și metode cunoscute. Problema impune în rezolvarea ei o activitate de descoperire.Textul problemei indică datele, condiția problemei (relațiile dintre date și necunoscute) și întrebarea problemei, care se referă la valoarea necunoscută. Pe baza înțelegerii datelor și a condiției problemei, raportând datele cunoscute la valoarea necunoscută, elevul trebuie să construiască șirul de judecăți care conduce la găsirea soluției .

Deci, matematic vorbind, distincția între exercițiu și problemă nu trebuie facută după forma exterioară a acestora, ci după natura rezolvării. Clasificarea unor enunțuri matematice în exerciții și a altora în probleme nu se poate face, însă, în mod tranșant, fără a ține seama și de experiența de care dispune și pe care o poate utiliza cel care rezolvă. Un enunț poate fi o problemă pentru un copil din clasa I, un exercițiu pentru cel din clasa a IVa și doar ceva perfect cunoscut pentru un matematician.

Pe măsură ce elevul îsi însușește modalități de rezolvare mai generale și mai unitare, pe măsură ce crește experiența lui în rezolvarea problemelor, treptat, enunțuri care constituiau pentru el probleme devin simple exerciții. Efortul pe care îl face elevul în rezolvarea conștientă a unei probleme presupune o mobilizare a proceselor pshice de cunoaștere, volitive și, firesc, motivațional – afective.

Dintre procesele cognitive cea mai solicitată și antrenată este gândirea , prin operațiile logice de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare. Rezolvând probleme, formăm la elevi priceperi și deprinderi de a analiza situația dată de problemă, de a intui și descoperi calea prin care se obține ceea ce se cere în problemă. În acest mod, rezolvarea problemelor contribuie la cultivarea și dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii, la sporirea flexibilității ei, a capacităților anticipativ – imaginative, la educarea perspicacității și spiritului de inițiativă, la dezvoltarea încrederii în forțele proprii.

Rezolvarea de probleme de matematică contribuie la clarificarea, aprofundarea și fixarea cunoștințelor învățate la acest obiect de studiu. În același timp, explicarea multora dintre problemele teoretice se face prin rezolvarea uneia sau mai multor probleme în cadrul cărora se subliniază o proprietate, o definiție sau o regulă ce urmează a fi învățate . În cadrul complexului de obiective pe care le implică predarea – învățarea matematicii în ciclul primar, rezolvarea problemelor reprezintă o activitate de profunzime, cu caracter de analiză și sinteză superioară . Ea îmbină eforturile mintale de înțelegere a celor învățate și aplicare a algoritmilor cu structurile conduitei creative, inventive, totul pe fondul stăpânirii unui repertoriu de cunoștinte matematice solide (noțiuni, definiții, reguli, tehnici de calcul), precum și deprinderi de aplicare a acestora.

Valoarea formativă a rezolvărilor de probleme sporește pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare și soluția, să formeze ipoteze și apoi să le verifice, să facă asociații de idei și corelații inedite. Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motive pentru care și în ciclul primar programa de matematică acordă problemelor o mare atenție.

Prin rezolvarea problemelor de matematică elevii își formează deprinderi eficiente de muncă intelectuală, care se vor reflecta pozitiv și în studiul altor discipline de învățământ. În același timp, activitățile matematice de rezolvare și compunere de probleme contribuie la îmbogățirea orizontului de cultură generală al elevului prin utilizarea în conținutul problemelor a unor cunoștinte pe care nu le studiază la alte discipline de învățământ. Este cazul informațiilor legate de distanță, viteză, timp, preț de cost, plan de producție, normă de producție, cantitate, dimensiune, greutate, arie, durata unui fenomen etc.

Problemele de aritmetică, fiind strâns legate prin însuși enunțul lor de viață, de practică, dar și de rezolvarea lor, generează la elevi un simț al realității de tip matematic, formându-le deprinderea de a rezolva și alte probleme practice pe care viața le pune în fața lor. Rezolvarea sistematică a problemelor de orice tip sau gen are drept efect formarea la elevi a unor seturi de priceperi, deprinderi și atitudini pozitive care le dau posibilitatea de a rezolva în mod independent probleme, de a compune ei înșiși probleme.

Prin conținutul lor, prin tehnicile de abordare și soluționare utilizate, rezolvarea problemelor de matematică conduce la formarea și educarea unei noi atitudini față de muncă, a spiritului de disciplină conștientă, dar și a spiritului emulativ, a competiției cu sine însuși și cu alții. Nu putem omite nici efectele benefice pe planul valorilor autoeducative, al conduitei rezolutive .

Introducerea elevilor în activitatea de rezolvare a problemelor se face progresiv, antrenându-i în depunerea de eforturi mărite pe măsură ce înaintează în studiu și pe măsură ce experiența lor rezolutivă se îmbogățește. Astfel, odata cu învățarea primelor operații aritmetice (de adunare și scădere) se începe rezolvarea pe cale orală și pe baza de intuiție, a primelor probleme simple. Treptat, elevii ajung să rezolve aceste probleme și în formă scrisă. Un moment de salt îl costituie trecerea de la rezolvarea problemelor simple la rezolvarea problemelor compuse. Varietatea problemelor pe care le rezolvă elevii sporește efortul mintal și eficiență formativă a activității de rezolvare a problemelor. Trebuie să delimităm însă două situații în rezolvarea problemelor, situații care solicită în mod diferit mecanismele intelectuale ale elevilor :

a) Când elevul are de rezolvat o problemă asemănătoare cu cele rezolvate anterior sau o problemă -tip (care se rezolvă prin aceeași metodă, comună tuturor problemelor de tipul respectiv). În acest caz elevul este solicitat să recunoască tipul de problemă căruia îi aparține problema dată. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, același raționament, în mintea elevilor se fixează principiul de rezolvare a problemei, schema mintală de rezolvare; în cazul problemelor tipice, această schemă se fixează ca un algoritm de calcul , algoritmul de rezolvare a problemei.

b) În cazul când elevul întâlnește probleme noi, necunoscute, unde nu mai poate aplica o schemă mintală cunoscută, gândirea sa este solicitată în găsirea căii de rezolvare; experiența și cunoștințele de rezolvare, deși prezente, nu mai sunt orientate și mobilizate spre determinarea categoriei de probleme și spre aplicarea algoritmului de rezolvare. Elevul trebuie ca, pe baza datelor și a condiției problemei, să descopere drumul spre aflarea necunoscutei. În felul acesta realizează un act de creație, care constă în restructurarea datelor propriei sale experiențe și care este favorizat de nivelul flexibilității gândirii sale, de capacitatea sa combinatorică și anticipativă. În rezolvarea unei probleme, lucrul cel mai important este construirea raționamentului de rezolvare, adică a acelui șir de judecăți orientate către descoperirea necunoscutei.

Rezolvarea oricărei probleme trece prin mai multe etape. În fiecare dintre aceste etape, datele problemei apar în combinații noi, reorganizarea lor la diferite nivele ducând către soluția problemei. Este vorba de un permanent proces de analiză și sinteză (prin care elevul separă și reconstituie, desprinde și construiește raționamentul care conduce la soluția problemei), de o îmbinare aparte a analizei cu sinteza, caracterizată prin aceea că diferitele elemente luate în considerație își dezvăluie mereu noi aspecte (analiza) în funcție de combinațiile în care sunt plasate (sinteza).

Procesul de rezolvare a unei probleme presupune deducerea și formularea unor ipoteze și verificarea lor. Dar formularea acestor ipoteze nu este rezultatul unei simple inspirații, ci presupune atât un fond de cunoștinte pe care elevul le aplică în rezolvarea problemelor, cât și o gamă variată de deprinderi și abilități intelectuale necesare în procesul rezolvării problemelor. Diferitele ipoteze (enunțuri ipotetice care ne vin în minte în legătură cu problema pusă) nu apar la întâmplare. Ele iau naștere pe baza asociațiilor, pe baza cunoștintelor asimilate anterior. Cu cât cunoștințele sunt mai profunde, cu atât șansele ca ipotezele care se nasc în mintea rezolvitorului îl conduc mai repede la o soluție, cu cât fondul din care sunt alese ipotezele este mai bogat cu atât soluția este mai bună. De aceea, în orice domeniu, capacitatea de a rezolva probleme complexe este condiționată de o solidă pregătire de specialitate, dar și de cultura generală.

În rezolvarea problemelor intervin o serie de tehnici, procedee, moduri de acțiune, deprinderi și abilități de muncă intelectuală independentă. Astfel sunt necesare unele deprinderi și abilități cu caracter mai general cum sunt: orientarea activității mintale asupra datelor problemei, punerea în legătură logică a datelor, capacitatea de a izola ceea ce este cunoscut de ceea ce este necunoscut, extragerea acelor cunoștinte care ar putea servi la rezolvarea problemei precum și unele deprinderi specifice referitoare la detaliile acțiunii (cum sunt cele de genul deprinderilor de calcul).

Cu toată varietatea lor, problemele de matematică nu sunt independente, izolate, ci fiecare problemă se încadrează într-o anumită categorie. Prin rezolvarea unor probleme care se încadrează în aceeași categorie, având același mod de organizare a judecăților, deci același raționament, în mintea copiilor se conturează schema de rezolvare, ce se fixează ca un algoritm sau un semialgoritm de lucru, care se învață, se transferă și se aplică la fel ca regulile de calcul. Aflarea căii de rezolvare a unei probleme este mult mai ușurată în cazul în care elevul poate subsuma problema nouă unei categorii, unui tip determinat de probleme, deja cunoscute. Dar această subsumare se poate face corect numai dacă elevul a înțeles particularitățile tipice ale categoriei respective, raționamentul rezolvării ei, dacă o poate descoperi și recunoaște în orice condiții concrete s-ar prezenta problema (domeniul la care se referă, mărimea și natura datelor etc).

De o mare importanță în rezolvarea problemelor este înțelegerea structurii problemei și a logicii rezolvării ei. Elevul trebuie să cuprindă în sfera gândirii sale întregul ,,film” al desfășurării raționamentului și să-l rețină drept element esențial, pe care apoi să-l generalizeze la întreaga categorie de probleme. Pentru a ajunge la generalizarea raționamentului comun al unei categorii de probleme, elevii trebuie să aibă formate capacitățile de a analiza și de a înțelege datele problemei, de a sesiza condiția problemei și de a orienta logic șirul de judecăți către întrebarea problemei.

Când se rezolvă o problemă compusă, aparent elevul rezolvă pe rând mai multe probleme simple. În esență, nu este vorba de probleme simple care se rezolvă izolat. Acestea fac parte din structura problemei compuse, rezolvarea fiecăreia dintre ele făcându-se în direcția aflării necunoscutei, fiecare problemă simplă rezolvată reprezentând un pas înainte, o verigă pe calea raționamentului problemei compuse, de natură să reducă treptat numărul datelor necunoscute.

În activitatea de rezolvare a unei probleme se parcurg mai multe etape. În fiecare etapă are loc un proces de reorganizare a datelor și de reformulare a problemei, pe baza activității de orientare a rezolvitorului pe drumul și în direcția soluției problemei. Aceste etape sunt :

cunoașterea enunțului problemei

înțelegerea enunțului problemei

analiza problemei și întocmirea planului logic

alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii judecăților din plan logic

activități suplimentare :

verificarea rezultatului

scrierea sub formă de exercițiu

găsirea altei căi sau metode de rezolvare

generalizare

compunerea de probleme după o schemă asemănătoare

Cunoașterea enunțului problemei

,,O problema bine înțeleasă este pe jumătate rezolvată” Eugen Rusu

Este etapa de început în rezolvarea oricărei probleme. Cunoașterea enunțului problemei se realizează prin citire de către învățător sau de elevi sau prin enunțare orală. Se va repeta problema de mai multe ori, pâna la însușirea de către toți elevii. Se vor scoate în evidență anumite date și legăturile dintre ele, precum și întrebarea problemei. Se vor scrie pe tablă și pe caiete datele problemei (folosindu-se scrierea pe orizontală sau pe verticală) .

Înțelegerea enunțului problemei

Nu este posibil ca elevul să formuleze ipoteze și să construiască raționamentul rezolvării problemei decât în măsura în care cunoaște termenii în care se pune problema. Enunțul problemei conține un minim necesar de informații. Datele și condiția problemei reprezintă termenii de orientare a ideilor, a analizei și sintezei, precum și a generalizărilor ce se fac treptat pe măsură ce se înaintează spre soluție. Întrebarea problemei indică direcția în care trebuie să se orienteze formularea ipotezelor. Acest minimum de informații trebuie recepționat în mod optimal de către elevi prin citirea textului problemei, prin ilustrarea cu imagini sau chiar cu acțiuni când este cazul.

Analiza problemei și întocmirea planului logic

Este etapa în care se produce eliminarea aspectelor ce nu au semnificație matematică și se elaborează reprezentarea matematică a enunțului problemei. Aceasta este etapa în care se construiește raționamentul prin care se rezolvă problema, adică drumul de legătură dintre datele problemei și necunoscută. Prin exercițiile de analiză a datelor, a semnificației lor, a relațiilor dintre ele și a celor dintre date și necunoscute se ajunge să ne ridicăm de la situațiile concrete pe care le prezintă problema la nivelul abstract care vizează relațiile dintre parte și întreg .

Transpunând problema într-un desen, într-o imagine sau într-o schemă evidențiem esența matematică a problemei, adică reprezentarea matematică a conținutului ei. În momentul în care elevii au transpus problema în relații matematice, soluția este ca și descoperită.

Alegerea și efectuarea operațiilor corespunzătoare succesiunii din planul logic

Această etapă constă în alegerea și efectuarea calculelor din planul de rezolvare, în conștientizarea semnificației rezultatelor parțiale ce se obțin prin calculele respective și, evident, a rezultatului final.

Activități suplimentare după rezolvarea problemei

Ea constă în verificarea soluției problemei, în găsirea și a altor metode de rezolvare și de alegere justificată a celei mai bune. Este etapa prin care se realizează și autocontrolul asupra felului în care s-a însușit enunțul problemei, asupra raționamentului realizat și a demersului de rezolvare parcurs.

După rezolvarea unei probleme se recomandă – pentru a se scoate în evidență categoria din care face parte problema – fixarea algoritmului ei de rezolvare, scrierea (transpunerea) datelor problemei și a relațiilor dintre ele într-un exercițiu sau, după caz, în fragmente de exercițiu. Prin rezolvarea de probleme asemănătoare, prin compunerea de probleme, cu aceleași date sau schimbate dar rezolvabile după același exercițiu, învățătorul descoperă cu elevii schema generală de rezolvare a unei categorii de probleme. Este o cerință care nu duce la schematizarea, la fixitatea sau rigiditatea gândirii, ci, din contră, la cultivarea și educarea creativității, la antrenarea sistematică a intelectului elevilor.

Procesul de rezolvare a problemelor antrenează în sistem elementele ajunse la automatizare, dar mai ales corelează elemente a căror acțiune trebuie să rămână în permanență sub controlul conștiinței. Abilitățile matematice de care depinde rezolvarea problemelor sunt fie cu caracter general, adică intră în acțiune la rezolvarea oricărei probleme, fie specifice și se aplică la probleme tipice, ori la detaliile acțiunilor (procedee de calcul) și, în acest caz, au statut de deprinderi.

Sarcina principală a învățătorului când pune în fața elevilor o problemă este să-i conducă pe aceștia la o analiză profundă a datelor, analiză care să le permită o serie de reformulări care să-i apropie de soluție. E necesară analiza datelor în special datorită lipsei unei vederi de ansamblu (a perspectivei) asupra problemei și conștientizării întregului raționament de rezolvare a acesteia. O problemă este cu atât mai dificilă cu cât ea diferă mai mult de problemele rezolvate anterior, deci cu cât situația nouă cere o restructurare mai profundă a experienței anterioare.

Retorica etapelor rezolvării unei probleme :

1.Înțelegerea problemei

a) Înțelegerea enunțului problemei în ansamblul său, fără a avea în vedere detaliile.

b) Separarea părților principale ale problemei și reprezentarea lor (dacă este posibil) printr-un desen convențional .

După G. Polya, părțile principale ale unei ,,probleme de aflat” sunt: datele, necunoscuta și condiția iar ale unei ,,probleme de demonstrat” sunt: ipoteza (ceea ce se dă) și concluzia (ceea ce trebuie demonstrat) .

c) Examinarea fiecărei date, fiecărei componente a necunoscutei, fiecărei clauze a condiției.

Avansarea unor ipoteze asupra soluției :

– Poate fi satisfacută condiția?

– Este condiția suficientă pentru a determina necunoscuta?

– Sau este insuficientă?

– Sau redundantă?

– Sau contradictorie?

Puneți-vă aceste întrebări pentru problemele :

1. ,,Cât costă 1 kg de orez și cât costă 1 kg de făină, dacă 2 kg de orez și 3 kg de făină costă 1840 lei , iar 3 kg de orez și 2 kg de făină costă 1835 lei ?"

2. ,,2 kg de orez și 3 kg de făină costă 1840 lei. S-a cumpărat orez și făină în valoare de 1835 lei . Cât costă 1 kg din fiecare produs ?”

3. ,,Cât costă 1 kg de orez și cât costă 1 kg de făină dacă 2 kg de orez și 3 kg de făină costă 1840 lei, iar 4 kg de orez și 6 kg de făină costă 2940 lei ?”

4. ,, Prețul unui kg de orez este cu 5 lei mai mic decât al unui kg de făină. Pentru 2 kg de orez și 3 kg de făină s-au plătit 1840 lei. Cât costă 1 kg din fiecare produs, dacă altă dată pentru 3 kg de orez și 2 kg de făină s-au plătit 1835 lei ?"

În prima problemă condiția este suficientă pentru determinarea soluției; în a doua problemă condiția este insuficientă pentru determinarea soluției (problema are o infinitate de soluții, este nedeterminată); în a treia problemă condiția este contradictorie, iar în a patra, condiția este redundantă (conține date de prisos).

2.Întocmirea unui plan

– Problema se încadrează într-unul din tipurile studiate?

Dacă da, trebuie să ne amintim metoda prin care se rezolvă problemele de tipul respectiv. Dacă nu, recurgem la metodele generale de raționament : analiza și sinteza.

a)Metoda analizei constă în a face raționamentul problemei pornind de la necunoscută la date.

– Să cercetăm necunoscuta!

– Din ce mărimi rezultă ea?

– Cum pot fi deduse aceste mărimi ? (și așa mai departe până ajungem la datele problemei).

b) Metoda sintezei constă în a face raționamentul problemei pornind de la date spre necunoscută.

– Am putea deduce ceva util din datele problemei ?

– putem folosi rezultatul obținut pentru a afla noi mărimi utile în rezolvarea problemei? (

și așa mai departe pâna ajungem la necunoscută).

Indiferent prin ce metodă facem raționamentul problemei, planul rezolvării se face de la date spre necunoscută. Planul rezolvării unei probleme de aritmetică trebuie să constituie o înlănțuire de probleme simple, astfel încât soluția ultimei dintre ele să fie soluția problemei date.

3 . Realizarea planului

Se efectuează succesiv operațiile care conduc la soluțiile problemelor simple cuprinse în

planul de rezolvare .

– Au fost utilizate toate datele?

4 . Privire retrospectivă

a) Apreciere generală asupra rezultatului .

– Poate constitui aceasta soluția problemei?

b) Verificarea rezultatului: Se înlocuiește soluția în problemă și se verifică enunțul .

c) Cătarea altor că de rezolvare a problemei:

– Se putea rezolva problema pe altă cale?

– Există o cale mai directă de rezolvare?

d) Concluzii :

– Ce am învățat rezolvând problema ?

– Ce-mi poate fi de folos în rezolvarea altor probleme ?

– Pot face generalizări ?

– Sunt particularizări ?

II.2. Taxonomia strategiilor utilizate în rezolvarea problemelor

Proiectarea, organizarea și realizarea performantă a activității instructiv-educative sunt dependente de modalitățile de dimensionare și articulare a resurselor metodologice, curriculare, umane, materiale, organizatorice, ce imprimă sens și eficiență pragmatică formării elevilor. Formele și mijloacele strategice pot fi circumscrise terminologic prin intermediul sintagmelor de metodă și procedeu didactic, metodologie didactică, tehnologie didactică.

Strategie didactică

Ioan Cerghit în lucrarea ,, Perfecționarea lecției “, EDP, Buc., 1983 subliniază trei accepțiuni ale conceptului de strategie didactică:

ca adoptare a unui anumit mod de abordare a învățării ( prin problematizare, euristică, experimental faptică etc. );

ca opțiune asupra modului de combinare a metodelor, mijloacelor și formelor de organizare a actului didactic;

ca mod de programare ( selectare, ordonare, ierarhizare ) într-o succesiune optimă a fazelor și etapelor ( evenimentelor ) proprii procesului desfășurat în lecție , cu delimitarea timpului și respectarea principiilor și regulilor didactice. Acest ultim unghi de abordare extinde conceptul de strategie didactică în afara sferei ansamblului metodelor, procedeelor și mijloacelor didactice ( metodologia didactică ), trecând-o pe planul mai larg al proiectării de ansamblu, prin programare riguroasă, dar nu rigidă, plan ce implică organic și ceea ce anterior a fost definit ca metodologie didactică.

Pornind astfel de la înțelegerea ,, strategiei “ ca ,, arta de a combina operații în vederea realizării unui obiectiv “( Grande Dictionnaire Hachette – Enciclopedique Illustre , Paris, 1993) și de la cele trei unghiuri de vedere în care ea apare în prezentarea anterioară, definim strategia didactică astfel: demersul proiectiv al cadrului didactic care vizează adoptarea unui anumit mod de abordare a învățării, prin combinarea eficientă a unor metode , procedee, mijloace didactice ( reunite logic și funcțional într-o anume metodologie ), în contextul unei anumite forme de organizare a procesului didactic, având ca rezultat un anume mod de programare într-o succesiune optimă a evenimentelor proprii procesului didactic pe secvențe de timp estimate anticipat.

Strategia didactică este un demers proiectiv ce dă un răspuns complex, corelativ, următoarelor întrebări, stabilind calea generală pe care cadrul didactic dorește s-o urmeze în realizarea lecției:

DE CE ? / PENTRU CE ?: cu ce obiective se pornește și în direcția cărui scop, corelat tipului de lecție ales.

CE ? conținut urmează a fi abordat, cu ce specific;

CU CINE ? particularitățile elevilor concreți cu care se va lucra;

CÂND ? în ce moment al anului / semestrului / săptămânii / zilei ?

ÎN CÂT TIMP ? o oră de 45 – 50 minute, două sau mai multe ore;

CUM ? cu ce metode și procedee didactice ;

CU CE ? mijloace didactice își propune să lucreze ;

În categoria strategiilor destinate preponderent actului de predare – învățare sunt încadrate :

strategii clasice

S-au dezvoltat de-a lungul istoriei societății odată cu recunoașterea învățământului ca subsistem deosebit de important al sistemului social global.

Pornind de la aspectele surprinse de definirea conceptului de strategie didactică, ele se caracterizează prin:

accent pe predare, învățarea fiind vizată a se realiza prin receptare ( relativ pasivă ) a conținutului expus de profesor;

în combinatorica metodelor și procedeelor didactice intră îndeosebi metodele care pun în plan central cadrul didactic, elevul rămânând obiect al actului educațional ;

programare riguroasă, până la nuanțe de rigiditate, a succesiunii etapelor procesului didactic, momentele evaluative fiind plasate, în special, la finele demersului didactic și fiind preponderent sumative.

Metodele didactice ce aparțin ansamblului reprezentat de aceste strategii sunt:

metodele expozitive ( explicația, povestirea, expunerea ) la care se adaugă metode de evaluare de tip sumativ.

strategii moderne

Se caracterizează prin încercarea de a transforma elevul din obiect în subiect activ al propriei formări, prin încercarea de conjugare funcțională a educației cu autoeducația pentru a da perspectiva reală acțiunii principiului educației permanente.

b.1.) strategiile euristice au următoarele caracteristici:

reprezintă o orientare modernă în didactică, la baza căreia stă o concepție unitară și globală care preconizează folosirea în procesul de învățământ a unor strategii mentale de explorare, care stimulează operațiile gândirii, judecățile și raționamentele elevilor, dându-le acestora posibilitatea să dobândească cunoștințele descoperindu-le singuri sub îndrumarea atentă a cadrului didactic; învățarea, în acest caz, este activă, conștientă.

metodele și procedeele utilizate vizează activitatea elevului, descoperirea , căutarea, imaginarea de soluții. Ele se reunesc într-un ansamblu complex care prin intermediul procedurilor de tip euristic dezvoltă gândirea divergentă a elevilor, le determină independența în gândire și le formează atitudini pozitive față de muncă și creație.

în funcție de natura metodelor și procedeelor implicate în complexul reprezentat de strategie, etapizarea momentelor ( evenimentelor ), procesului didactic, cu delimitarea timpului necesar fiecărei etape, este mai mult sau mai puțin dificil de realizat. Când spiritul este ,, ajutat “ să-și caute noi sensuri și prin ele să descopere noul este mai greu de estimat și de respectat eșalonarea pe unități rigide de timp.

accentul este pus pe învățarea activă, predarea fiind un aspect coordonator al învățării. Uneori, în contextul anumitor metode ( conversația euristică, modelarea, problematizarea ) rolul și activitatea cadrului didactic au o pondere mai mare, el fiind cel ce structurează planul conversației, cel ce creează situația – problemă. Alteori, când în structura strategiei sunt incluse metode ca descoperirea, asaltul de idei . dezbaterea, chiar dacă rolul cadrului didactic rămâne prioritar ( coordonator ) acțiunea lui didactică este mai mult implicită, actorii principali fiind elevii.

Metodele ce se pot antrena, conjuga ( adesea o metodă putând fi procedeu în cadrul altei metode ) în elaborarea strategiilor euristice sunt:

conversația euristică;

dezbaterea în toate formele ei ( dialog, masă rotundă, asaltul de idei, studiu

de caz );

problematizarea;

munca cu manualul ( sub forma reflecției individuale asupra materialelor citite, prin corelare cu alte informații din domeniu );

modelarea prin aspectele sale care facilitează învățarea prin descoperire.

Strategiile euristice au o deosebită importanță datorită rolului lor formativ, al influenței pe direcția transformărilor educației în autoeducație, autoformare.

b.2.) strategiile didactice de tip algoritmizat

Se caracterizează prin:

succesiune stabilă a operațiilor antrenate în procesul de învățare; există o programare externă a acestor operații, care este prezentată în actul de predare și care, interiorizată, dă o anume specificitate actului de învățare;

dirijarea pașilor învățării nu ține atât de cadrul didactic cât de structura specifică algoritmului. Algoritmizarea nu trebuie înțeleasă ca o modalitate de încorsetare a spiritului ci ,mai degrabă, ca o posibilitate de disciplinare a acestuia. Ea oferă instrumente care pot fi utile și actului creator, rezultat din combinatorica originală a unor algoritmi. Înțelegerea unui material cognitiv complex presupune, în ultimă instanță, aplicarea unor algoritmi de descifrare, de decodificare, gândirea convergentă intră în acțiune , ordonează materialul cognitiv, îi pătrunde sensurile și creează astfel câmp de manifestare a gândirii divergente, imaginative etc.

Fără a fi o formă ideală a relației dintre predare și învățare, strategiile algoritmice sunt necesare în procesul de învățământ și utile chiar și din perspectiva celorlalte strategii didactice.

Metodele ce pot fi integrate în structura strategiilor de tip algoritmizat sunt:

algoritmizarea;

instruirea programată;

exercițiul;

Acest tip de strategii dacă nu sunt integrate într-o concepție cu adevărat modernă privind utilizarea lor, dacă se cantonează doar în perimetrul dezvoltării gândirii convergente, fără o corelare cu gândirea divergentă, aparțin mai degrabă strategiilor de tip clasic.

b.3.) strategiile didactice experimental faptice și de învățare prin cercetare

Caracteristicile acestei categorii de strategii didactice sunt:

elevul este integrat într-o activitate directă de percepere și chiar de acțiune ( în anumite situații ) asupra lumii înconjurătoare;

învățarea poate fi:

dirijată de către profesor, în cazul utilizării unor metode ca : observația sistematică, demonstrarea frontală pe viu sau cu ajutorul exemplelor, partea demonstrativă a lucrărilor practice etc. ;

coordonată de către cadrul didactic indirect și realizată prin efortul explicit al elevului, în cazul utilizării unor metode ca : observația independentă, proiectul / tema de cercetare, lucrările practice / partea executivă, lucrările de laborator executate individual sau pe grupuri mici, învățarea pe simulator, metoda ludică;

învățarea se realizează prin descoperire , elevul asimilând cunoștințe în urma acțiunii proprii și elaborându-și treptat deprinderi și priceperi în plan cognitiv:

deprinderea de a întocmi și urmări planul unei observații independente;

deprinderea de a întocmi și urmări planul unei teme de cercetare;

deprinderea de a întocmi proiecte ;

deprinderea de a transpune în plan ludic un anumit conținut;

plan psihomotor:

deprinderea de a utiliza instrumente, unelte, aparatură, material didactic, de a lucra pe simulator etc;

În acest context, datorită implicării directe a elevului în activitatea de învățare, participarea afectivă este mult accentuată.

II.3. Criterii de clasificare a problemelor de matematică

Adoptăm, după G.Polya, o primă clasificare a problemelor în probleme ,,de aflat” și probleme ,,de demonstrat”. Această clasificare este inspirată dintr-o tradiție care durează încă de la Euclid, termenul de problemă ,,de aflat" corespunzând celui de problemă, iar cel de problemă ,,de demonstrat" corespunzând termenul de teoremă.

Scopul unei probleme ,,de aflat” este de a găsi necunoscuta problemei. Scopul unei probleme ,,de demonstrat” este de a arăta că o anumită aserțiune este adevărată sau falsă. Uneori, cele două operații: de aflare și de demonstrare se pot întâlni în aceeași problemă. În matematicile elementare predomină ,,problemele de aflat” .

După numărul operațiilor necesare aflării soluției, problemele de aritmetică se clasifică în două mari grupe: probleme simple și probleme compuse. Se numesc simple problemele în care soluția se obține printr-o singură operație aritmetică, iar compuse problemele a căror rezolvare se face cu două sau mai multe operații aritmetice.

După scopul imediat pe care îl urmăresc (aplicarea unei reguli sau teoreme, dezvoltarea judecății, formarea deprinderilor de calcul) problemele se clasifică în:

1 . Exerciții;

2 . Probleme teoretice;

3 . Probleme practice;

4 . Probleme artificiale;

5 . Probleme recreative.

Exercițiile sunt probleme ușoare, formulate de obicei cu date mici, care servesc pentru aplicarea unei reguli, a unei teoreme demonstrate la ora de curs, sau pentru a pune în evidență unele proprietăți ale numerelor și operațiilor. De fapt, dacă ținem seama că rezolvarea unei probleme implică o dificultate, exercițiile n-ar trebui să fie încadrate printre probleme .

Probleme teoretice. ,,Problemele care sunt mai grele decât exercițiile și care urmăresc prin rezolvarea lor dezvoltarea puterii de judecată, asimilarea temeinică a cunoștintelor teoretice din

aritmetică, aflarea diferitelor proprietăți ale numerelor și formarea gustului pentru studiul matematicilor, se numesc probleme teoretice.

Probleme practice. ,,Problemele care conțin date luate din lumea înconjurătoare legate de procesul de producție, așa cum se desfășoară el în realitate în uzine, pe ogoare, în laboratoare, aplicații tehnice, din calcule financiare, din comerț etc., se numesc probleme practice.

Probleme artificiale. Aceste probleme sunt compuse de autor cu scopul de a da posibilitatea elevilor să aplice o metodă, să folosească anumite reguli sau procedee de calcul. Autorul unei asemenea probleme se străduiește ca datele și problema însăși să fie cât mai aproape de realitate.

Citez din lucrarea lui Gh.A.Chiței o problemă artificială: ,,O vulpe urmărită de un ogar are un avans de 49 sărituri înaintea lui. După câte sarituri ogarul va ajunge vulpea, știind că el face șase sărituri în timp ce vulpea face șapte sărituri, iar trei sărituri ale ogarului fac cât patru ale vulpii?

De ce este artificială această problemă? Pentru că o persoană nu poate număra în același timp numărul săriturilor făcute de vulpe și ogar, iar pe de altă parte acestea nu au o mărime constantă. Totuși, problema este instructivă, prin raționamentul care conduce la rezolvare.

Probleme recreative. ,,Problemele care conțin chestiuni distractive, cu toate că în rezolvarea lor cer raționamente riguroase din punct de vedere matematic, se numesc probleme recreative.

CRITERII :

a) după numărul de operații – simple

– compuse

b) după gradul de generalitate – generale

– tipice

– recreative

c) după sfera de aplicabilitate – teoretice

– practice

d) după conținut – de mișcare

– amestec și aliaj

– geometrie

– algebră

e) după modul de implicare al creativității – demonstrativ-aplicative

– reproductiv creative

– euristic creative

– de optimizare

f) după rolul de implicare în procesul didactic – formativ

– informativ

II. 4. Metode simple

Primele probleme simple sunt acelea pe care și le pune copilul zilnic în școală, în familie, în timpul jocului și care sunt ilustrate cu exemple familiare lui. Pentru a-i face să vadă încă din clasa I utilitatea activității de rezolvare a problemelor este necesar ca micii școlari să înțeleagă faptul că în viața de toate zilele sunt situații când trebuie găsit un răspuns la diferite întrebări. În această perioadă de început, activitatea de a rezolva și compune probleme se face numai pe cale intuitivă. De aceea primele probleme sunt legate de introducerea lor sub formă de joc și au caracter de probleme-acțiune și cărora li se asociază un bogat și variat material didactic intuitiv. Rezolvarea lor se realizează la un nivel concret, ca acțiuni de viață ( au mai venit …,s-au spart …. , au plecat …., i-a dat…, au mâncat ….). Activitatea de rezolvare se află aproape de aceea de calcul, dificultatea principală pe care o întâmpină elevii constă în transpunerea acțiunilor concrete în relații matematice. Acum elevii sunt familiarizați cu termenul de ,,problema”, ,,întrebarea problemei”, ,,rezolvarea problemei”, ,,rezultatul problemei”.

Introducerea în rezolvarea problemelor simple se face încă din perioada pregătitoare primelor operații. Învățătorul se folosește de ,,probleme acțiune" care după ce au fost puse în scenă vor fi ilustrate cu un desen schematic. Deși rezolvările de probleme simple par ușoare învățătorul trebuie să aducă în atenția copiilor toate genurile de probleme care se rezolvă printr-o operație aritmetică.

Probleme simple bazate pe adunare pot fi :

de aflare a sumei a doi termeni;

de aflare a unui număr mai mare cu un număr de unități decât un număr dat;

probleme de genul ,,cu atât mai mult” .

Probleme simple bazate pe scădere pot fi :

de aflare a diferenței , a restului;

de aflare a unui număr care să aibă un număr de unități mai puține decât un număr dat ;

de aflare a unui termen atunci când se cunosc suma și un termen al sumei;

probleme de genul ,,cu atât mai puțin” ;

probleme de aflare ,,cu cât este mai mare / mai mic” un număr decât altul .

Probleme simple bazate pe înmulțire sunt , în general:

de repetare de un număr de ori a unui număr dat ;

de aflare a produsului;

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mare decât un număr dat .

Probleme simple bazate pe împărțire pot fi :

de împărțire a unui număr dat în părți egale ;

de împărțire prin cuprindere a unui număr prin altul ;

de aflare a unui număr care să fie de un număr de ori mai mic decât un număr dat ;

de aflare a unei părți dintr-un întreg ;

de aflare a raportului a două numere ;

de câte ori este mai mare / mai mic un număr față de altul .

În general dificultatea frecventă consta în confundarea operației ce trebuie efectuată. Se recomandă abordarea unei mari varietăți de enunțuri.

II.5. Metode compuse

Rezolvarea acestor probleme nu înseamnă rezolvarea succesivă a unor probleme simple. Nu rezolvarea problemelor simple la care se reduce problema compusă constituie dificultatea principală într-o problemă cu mai multe operații, ci legătura dintre verigi, construirea raționamentului.

Examinarea unei probleme compuse se face, de regulă, prin metoda analitică sau sintetică. Cele două metode se pot folosi simultan sau poate să predomine una sau alta, caz în care metoda care predomină își impune specificul asupra căilor care duc la găsirea soluției. Atât o metodă cât și cealaltă constau în descompunerea problemei date în probleme simple care, prin rezolvare succesivă, duc la găsirea soluției finale. Deosebirea dintre ele constă, practic, în punctul de plecare al raționamentului. Prin metoda sintezei se pleacă de la datele problemei spre găsirea soluției ei, iar prin metoda analizei se pleacă de la întrebarea problemei spre datele ei și stabilirea relațiilor matematice între ele .

În practică s-a stabilit că metoda sintezei este mai accesibilă, dar nu solicită prea mult gândirea elevilor. Mai mult, se constată că unii elevi pierd din vedere întrebarea problemei și sunt tentați să calculeze valori de mărimi care nu sunt necesare în găsirea soluției problemei. ,,Metoda analitică pare mai dificilă, dar solicită mai mult gândirea elevilor” (Neacșu, Ioan, 1988, p. 76) și, folosind-o, îi ajută pe copii să privească problema în totalitatea ei, să aibă mereu în atenție întrebarea ei.

Odată cu analiza logică a problemei se formulează și planul de rezolvare. Planul trebuie scris de învățător pe tablă și de elevi pe caiete, mai ales la rezolvarea primelor probleme. În clasa I, planul problemei se întocmește la început oral, treptat se scrie. Forma în care se scrie planul este variată.

O atenție deosebită trebuie să acorde învățătorul problemelor ce admit mai multe procedee de rezolvare, deoarece se cultivă mobilitatea gândirii, creativitatea, se formează simțul estetic al elevilor. Formarea priceperilor de a găsi noi procedee de rezolvare constituie o adevărată gimnastică a minții, educându-se astfel atenția, spiritul de investigație și perspicacitate al elevilor. De multe ori elevii nu sesizează de la început existența mai multor căi de rezolvare. Sarcina învățătorului este aceea că prin măiestria sa pedagogică, prin analiza întreprinsă cu clasa, prin întrebări ajutătoare, să-i determine pe elevi sa gândească și alte modalități de rezolvare .

Alt procedeu are la bază ca modalitate de rezolvare folosirea modelului logico-matematic obținut prin etape succesive: ,,Modelul oferă elevului posibilitatea să vadă unitar structura unei probleme, sesizând organizarea internă a conținutului ei. Elaborarea modelului în forme și modalități dintre cele mai variate – cu cerculețe, cu pătrate, cu litere, cu cuvinte, cu prescurtări, este un instrument ajutător în rezolvarea problemei. Prin alcătuirea modelului, elevul parcurge o etapă de gândire, pătrunde în procesul de rezolvare, probează că a înțeles structura logică a conținutului problemei, își exersează gândirea divergentă, creatoare, precum și abilitățile de compunere de probleme .”

O categorie de probleme căreia învățătorul trebuie să-i acorde o atenție deosebită este aceea în care datele sunt în relații de ,,cu atât mai mare /mai mic” sau ,,de atâtea ori mai mare / mai mic”. Pentru elevii din clasa a II – a în special , aceste noțiuni au caracter abstract și dacă nu face o analiză foarte atentă a problemei ele pot fi luate ca valori numerice cunoscute. Dificultatea constă mai ales în faptul că o mărime se ia de mai multe ori : a+(a+b) ; a – (a – b); a+a x b ; a – a:b ; a+(a+b)+(a+c) și dacă elevul nu și-a însușit noțiunile respective le va neglija, deci nu le va mai lua în calcul a doua sau, după caz, a n-a oară, sau, elevul în aceste situații nu știe cum să procedeze.

În aceste cazuri se recomandă descompunerea problemei compuse în probleme simple și apoi recompunerea din acestea a problemei inițiale. În analiza problemelor este bine să nu se folosească totdeauna datele concrete așa cum sunt ele prezentate, explicându-se copiilor că acestea pot fi altele într-o altă problemă sau situație-problemă.

Rezolvarea problemelor dupa un plan de rezolvare necesită de multe ori folosirea schemelor, desenelor, graficelor, iar pentru formarea unei gândiri sintetice, formule numerice sau literale. Dacă atunci când se predau operațiile aritmetice se insistă asupra notării cu litere a termenilor și factorilor, dacă operațiile aritmetice sunt scrise la modul general și se cere elevilor să rezolve și să compună probleme simple de aflare a unui termen, a unui factor, a sumei, diferenței, produsului, câtului, să mărească, să micșoreze o cantitate de atâtea ori – folosind formule literale, elevii nu vor mai întâmpina greutăți mari în acțiunile de schematizare și generalizare a unei probleme compuse printr-un exercițiu numeric sau formulă literală.

II.3. Rezolvarea metodelor tip/ standard

II.3.1. Metoda figurativă

O încercare de a pune ,,ordine” în multitudinea problemelor de aritmetică, o posibilă

clasificare a problemelor de aritmetică:

I – Probleme cu operațiile relativ evidente

Sunt problemele cel mai des întâlnite în manualele din clasele I-IV. Acestea sunt:

A.Probleme simple

B.Probleme compuse

Ca metode de rezolvare sunt, în principal, două:

– metoda analitică și metoda sintetică

II – Probleme care se rezolvă prin metoda figurativă

III – Probleme de egalare a datelor ( metoda reducerii la același termen al comparației )

IV – Probleme de presupunere ( metoda falsei ipoteze )

V – Probleme gen rest din rest ( metoda mersului invers )

VI – Probleme de amestec și aliaje cu două variante :

A. De categoria I

B.De categoria aII-a

VII – Probleme de mișcare ( bazate pe relația d=vxt ), cu două variante:

A. În același sens

B. În sensuri contrare

VIII – Probleme cu mărimi proporționale, cu două variante:

A. Împărțirea unui număr în părți direct proporționale

B. Împărțirea unui număr în părți invers proporționale

C. Împărțirea unui număr în părți care luate perechi formează rapoarte date

IX – Probleme care, depinzând de alcătuirea întrebării și de date, rezolvate și încadrate la

categoriile specificate mai sus, dar cu conținut specific :

A.Probleme cu conținut geometric

B.Probleme cu conținut de fizică

C.Probleme asupra acțiunii și muncii în comun

X.Probleme nonstandard ( recreative, rebusistice, de perspicacitate, probleme – joc etc.)

Prin problemă tip înțelegem acea construcție matematică a cărei rezolvare se realizează pe baza unui anumit algoritm specific fiecărui tip. O asemenea problemă se consideră teoretic rezolvată în momentul în care i-am stabilit tipul și suntem în posesia algoritmului de rezolvare.

Voi prezenta în continuare o clasificare a problemelor tipice și pentru fiecare tip o metodă de rezolvare. Pentru identificarea metodei (algoritmului) voi rezolva ,,model” unele dintre cele mai semnificative probleme aparținând unui anumit tip.

Problemele pentru fiecare tip urmăresc în primul rând consolidarea metodei (algoritmului), iar la alte probleme care sunt mai complexe și pot conține în enunțul lor două sau mai multe tipuri diferite de probleme, rezolvitorul trebuie să stabilească ce tipuri anume apar în enunț și apoi să le rezolve corespunzător.

Nu suntem adepții unor șabloane, pentru că rezolvitorii s-ar putea transforma în niște roboți, posesori ai unor cartele pe care sunt imprimați algoritmii și sarcina lor ar fi doar să stabilească tipul, să ,,tragă” cartele corespunzătoare și să le adapteze datelor problemei. Însă un rezolvitor de probleme trebuie sa fie, pe lângă un bun specialist al matematicii, și un tip creator, inovator, întreprinzător – calități disjuncte ale ,,robotului”, în sensul clasic al cuvântului.

Rezolvarea problemelor tip pe cale aritmetică presupune cunoașterea metodei specifice aplicabilă tipului respectiv .

Să trecem în revistă principalele probleme tip :

a)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște suma și diferența lor

Aceste probleme sunt de forma:

Suma a doua numere a și b ( a >b ) , este s, iar diferența lor este d. Să se afle cele două numere.

Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative, reprezentându-se prin segmente cele două numere și punându-se în evidență suma și diferența lor .

d

a |––––––-|–––|

} s

b |––––––-|

Se ajunge la concluzia că numărul mai mare este egal cu semisuma dintre s și d, iar numărul mai mic este egal cu semidiferența lor:

a = s+d , b = s – d

2 2

Aceste formule nu trebuie să se aplice mecanic, ci să se facă apel la imaginea intuitivă a relației dintre cele două numere.

Probleme de sumă și diferență sunt și problemele de forma: Suma a două numere este S , dacă din primul se scade a și din al doilea b, se obțin numere egale. Care sunt cele două numere?

a

a |–––––|–––––––|

} s

b |–––––|––|

b

În cazul acesta diferența celor două numere este egală cu a ± b. Pentru problemele de sumă și diferență se poate face și următoarea generalizare: Suma a n numere este s, diferența dintre al doilea și primul este d1, diferența dintre al treilea și primul este d2 , diferența dintre ultimul număr și primul este d n-1 . Care sunt numerele ?

Folosind metoda figurativă,

Obținem a1 = ( d1 + d2 + …. + dn-1)

n

a1 |–––––|

d1

a2 |–––––|––|

d2

a3 |–––––|–––––|

…………………………………………………..

dn-1

an |–––––|–––––––––|

b)Probleme de aflare a doua numere când se cunoaste suma si raportul lor

Aceste probleme sunt de forma: suma a două numere a și b este s, iar raportul lor este r. Să se afle aceste două numere. Rezolvarea se face cu ajutorul metodei figurative, reprezentând prin segmente cele două numere și punând în evidență relațiile dintre ele.

a |––|

} s

b |––|––|––|––|––|

Se obține : b = s , a = s

r+1 r+1

c)Probleme de aflare a două numere când se cunoaște diferența și raportul lor

Enunțul problemelor de acest tip este de forma :

Diferența a două numere a și b ( a > b ) este d, iar raportul dintre ele este r . Care sunt cele două numere ?

Rezolvăm problema facând apel la metoda figurativă.

b |––|

a |––|––|––|––|

|___________|

d

Observăm: b = d , a = d . r

r – 1 r – 1

pentru r = 1 considerăm cazurile :

1) d= 0, atunci numerele sunt egale

avem nedeterminare

2) d = 0 , imposibilitate

d)Probleme de eliminare a necunoscutei prin sumă sau diferență

Rezolvarea acestor probleme revine la rezolvarea unui sistem de forma:

(1) x + y = a x-y = a

265

b |–––-|

I . Rezolvarea explicativă inițială

a ) Primul mod : prin eliminarea părții neegale din suma dată

1p+1p = 2părți egale

265 – 17= 248 (reprezintă mărimea a două părți egale)

248 : 2 = 124 (mărimea unei părți)

124 x 1 = 124 (mărimea lui b)

124 x 1 + 17 = 141 ( a )

b ) Rezolvarea tipică ( propunere )

265 – 17 = 248 ( 2p egale )

248 : 2 = 124 ( 1p)

b = 124 x 1

b= 124

a= 124 x 1 + 17

a = 141

Verificare

a + b = 141 + 124 = 265 ( suma )

a – b = 141 – 124 = 17 ( diferența )

II.6.2. Metoda comparației

Problemele de acest tip prezintă două variante de rezolvare:

A. Eliminarea unei necunoscute prin înlocuirea ei

Andreea a cumpărat 3 pixuri și două creioane, plătind în total 2200 lei.Un pix costă de 3 ori mai mult decât un creion.Află cât costă un creion și cât costă un pix.

Cum gândesc?

Ce știu: * Cât costă 3 pixuri si 2 creioane.

* Un pix costă de 3 mai mult decât un creion.

Ce nu știu: * Prețul creionului și prețul pixului.

Cum procedez:

Prețul unui pix este de 3 ori mai mare decât prețul unui creion.Deci 3 pixuri costă cât 3×3=9(creioane).

Andreea putea să cumpere cu 2200 lei :9+2=11(creioane).Acum pot afla prețul unui creion:

2200:11=200(lei).

Un pix costă de 3 ori mai mult:

3×200=600(lei).

Răspuns: Un creion costă 200 lei, iar un pix costă 600 lei.

Verificare: 3 X 600 + 2 X 400 = 2200 (lei).

Un pix costă de 600:200 = 3 ori mai mult decât un creion.

Să analizăm împreună cum am procedat:

Sunt două marimi necunoscute: prețul unui pix și prețul unui creion.

Cunosc o relație între ele: prețul pixului este de 3 ori mai mare decât prețul creionului.

Am eliminat necunoscuta „prețul pixului”, înlocuind-o cu „de 3 ori prețul unui creion”.

Deci, mai întâi am comparat cele două mărimi și apoi am eliminat o necunoscută prin înlocuirea ei.

B. Eliminarea unei necunoscute prin scădere

Într-un depozit sunt 2 tone de grâu și 3 tone de porumb, în valoare de 8 100 000 lei. În alt depozit sunt 2 tone de grâu și 7 tone de porumb, în valoare de 14 900 000 lei. Cât costă o tonă de grâu și cât costă o tonă de porumb?

Ce știm: Cantitatea de grâu, de porumb și costul total din fiecare depozit.

Ce nu știm: Prețul unei tone de grâu și al unei tone de porumb.

Cum procedăm:

Așezăm datele problemei astfel:

2 tone grâu și 3 tone porumb costă 8 100 000 lei;

2 tone grâu și 7 tone porumb costă 14 900 000 lei.

În cele două depozite este aceeași cantitate de grâu.

Valoarea cerealelor din al doilea depozit este mai mare datorită faptului că aici sunt cu 7-3 = 4 tone de porumb mai mult decât în primul depozit.

Deci: 4 tone de porumb costă 14900000-8100000=6800000 lei.

1 tonă de porumb costă 6800000:4=1700000 lei

Acum aflăm prețul grâului astfel:

3 tone porumb costă 1700000×3=5100000 lei

2 tone grâu costă 8100000-5100000=3000000 lei

Deci: 1 tonă grâu costă 3000000:2=1500000 lei

Răspuns: 1500000 lei/tona(grau);1700000 lei/t (porumb)

În ce a constat metoda de rezolvare?

După ce am așezat datele problemei am comparat, de la dreapta spre stânga: valorile totale, cantitățile de porumb din cele două depozite și cantitățile de grâu.

Ce am constatat? Având în ambele depozite aceeași cantitate de grâu, diferența de bani provenea de la faptul că existau cantități diferite de porumb.

Am aflat prețul grâului eliminând prin scădere necunoscuta „prețul a 3 tone de porumb”.

II.6.3. Metoda falsei ipoteze

Există mai multe tipuri de probleme a căror rezolvare se face prin metoda falsei ipoteze. Această  metodă  constă  în a presupune că  cerința problemei nu este cea corect  și necesită transformarea ei într-o ipoteză  nouă. Cel mai bine ar fi să  ilustrăm acest lucru cu câteva exemple reprezentative.

Problema II.1: În ograda unui țăran sunt găini și porci. Numărul capetelor este 20, iar numărul picioarelor este 50. Câte găini și câți porci sunt în ogradă?

Soluție: Cerința problemei este de a afla numărul de găini și numărul de porci. Asta înseamnă că în ogradă sunt și găini și porci. Noi vom presupune că  în ogradă  avem numai porci sau numai găini. Trebuie să  alegem una dintre situații. Să  zicem că  în ogradă  sunt numai porci. Astfel am adăugat ipoteza:

" În ogradă  sunt 20 de porci", deoarece sunt 20 de capete.

Atunci, știind 20 de capete, numărul de picioare va fi:

20 x 4 = 80

Dar în problemă  se spune că  sunt 50 de picioare. Ne punem întrebarea: " De unde apare diferența dintre 80 și 50, adică  30 de picioare?"

Înseamnă  că  în ogradă  sunt și găini nu numai porci.

Cum între numărul de picioare al unei găini și numărul de picioare al unui porc avem o diferență  de 2 picioare, înseamnă  că  la fiecare găină  am numărat 2 picioare în plus. Deci diferența de 30 de picioare vine de la numărul de găini. Dacă  la fiecare găină  am numărat 2 picioare în plus, atunci numărul

de găini va fi:

30 : 2 = 15

Deoarece în ogradă  sunt 20 de capete, iar 15 sunt capete de găină  rezultă  că  numărul de porci va fi:

20 – 15 = 5

În concluzie, în ogradă  sunt 15 găini și 5 porci.

Pentru cei care locuiesc la bloc problema ar putea fi formulată  astfel:

Problemă: Pe o scară  de bloc sunt 20 de apartamente cu două  și cu patru camere. În total, pe scară , sunt 50 de camere. Câte apartamente cu două  camere și câte apartamente cu patru camere sunt pe scara blocului?

Rezolvarea acestei probleme se face la fel ca la problema de mai sus numai că  în loc de porci și găini avem apartamente cu două  sau patru camere.

Problema II.2: Suma a șapte numere naturale, diferite de zero, este 27. Arătați că cel puțin două  dintre numere sunt egale.

Soluție: Problema cere să  arătăm că  între cele șapte numere, două  sunt egale. Noi vom presupune că  toate cele șapte numere sunt diferite. Mai mult, vom presupune că  ele sunt cele mai mici șapte numere naturale consecutive, adică  1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7.

Suma acestor numere este:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28

Dar în problemă  se spune că  suma celor șapte numere este 27.

Ne întrebăm: " De unde apare diferența de 1 între cele două  sume?" Înseamnă  că  unul dintre numerele: 2, 3, 4, 5, 6 sau 7 trebuie să fie mai mic cu 1. Dacă  2 ar fi cu 1 mai mic el ar deveni 1. Dar noi mai aveam un 1, deci două  dintre numere ar fi egale. Dacă  3 ar fi mai mic cu 1 el ar deveni 2. Dar noi mai avem un 2  și am avea două  numere egale. Același lucru s-ar întâmpla și atunci când 4, 5, 6 sau 7 ar fi mai mic cu 1. În concluzie, pentru ca suma să fie 27 trebuie să  avem două  numere egale.

ProblemaII.3 Într-o urnă  avem 7 bile albe și 9 bile roșii. Care este cel mai mic număr de bile pe care trebuie să  îl extragem din urnă , fără a ne uita la ele, pentru a fi siguri că  am scos o bilă  alb ?

Soluție: De această  dată , falsa ipoteză  înseamnă  să  ne gândim la cea mai proastă  situație care se poate întâmpla. În problema noastră  trebuie să  scoatem din urnă  o bilă  albă. În urnă  există  bile și de altă  culoare decât albă . Atunci situația cea mai proastă înseamnă  să  scoatem bile de orice culoare, dar nu de culoare albă.

În acest fel vom scoate mai întâi cele 9 bile negre. După  cele 9 extrageri în urnă  au rămas numai bile albe. Asta înseamnă  că  la următoarea extragere voi avea sigur o bilă  albă .

În concluzie, numărul minim de extrageri, pentru a fi siguri că  am scos o bilă  albă , este 10.

II.6.4. Metoda mersului invers

În cadrul problemelor care se rezolvă prin metoda mersului invers datele problemei sunt astfel prezentate încât se exprim  una în raport cu alta. De exemplu, dacă  datele problemei sunt A, B,C, D, atunci A este legat de B, B este legat de C, C este legat de D, iar D este cunoscut.

Iată  un exemplu de problemă  care se va rezolva prin metoda mersului invers:

Problema 1: Barbu are cu 40 de timbre mai mult decât Adriana, Carmen are cu 15 timbre mai puțin decât Barbu, Dinu are de două  ori mai puține timbre decât Carmen, Elena are de trei ori mai multe timbre decât Dinu, adică  150 de timbre. Câte timbre are fiecare copil?

Soluție: Să  observăm că  numărul de timbre al fiecărui copil este exprimat în raport cu numărul de timbre al altui copil.

Așa cum spune și numele metodei (mersul invers) putem inversa sensul. În această  situație se modifică  și afirmațiile prin care numărul timbrelor fiecărui copil sunt legate de numărul timbrelor altui copil. În acest fel problema devine foarte ușoară . Din enunț se știe că  Elena are 150 de timbre, iar din afirmația 4, așa cum a fost transformată  de noi, se știe că  " Dinu are de trei ori mai puține timbre decât Elena". Așadar, numărul de timbre pe care îl are Dinu va fi:

150 : 3 = 50 (timbre)

Cunoaștem acum numărul de timbre pe care îl are Dinu, iar afirmația 3, transformată  de noi ne spune: " Carmen are de două  ori mai multe timbre decât Dinu". Atunci, numărul de timbre pe care îl are Carmen va fi:

50 x 2 = 100 (timbre)

Mai departe, se știe că  " Barbu are cu 15 timbre mai mult decât Carmen",iar noi am aflat despre Carmen că  are 100 de timbre. Atunci, Barbu va avea:

100 + 15 = 115 (timbre)

În sfârșit, din afirmația 1 se știe că  "Adriana are cu 40 de timbre mai puțin decât Barbu", iar noi am aflat că  Barbu are 115 timbre. Așadar, numărul de timbre pe care îl are Adriana va fi:

115 + 40 = 75 (timbre)

În concluzie, Adriana are 75 de timbre, Barbu are 115 timbre, Carmen are 100 de timbre, Dinu are 50 de timbre și Elena are 150 de timbre așa cum știam de la început.

Metoda mersului invers se poate folosi cu succes și pentru a rezolva următorul tip de problemă:

Problema I.2: Aflați valoarea numărului x din egalitatea:

3 + 2 x (x : 4 – 12) = 15

Soluµie: Pentru rezolvare gândim astfel: "2 x (x : 4 – 12)" reprezintă un număr pe care îl notăm A și atunci relația devine:

3 + A = 15

De aici este evident că

A = 15 – 3

adică 

A = 12

Amintindu-ne cine era A, avem

2 x (x : 4 – 12) = 12

Acum, paranteza " x : 4-12 " o considerăm un număr pe care îl notăm, de exemplu, P și astfel ultima relație se va scrie:

2 – P = 12

De aici avem evident

P = 6

Cum P = x : 4 – 12 vom avea

x : 4 – 12 = 6

Dacă  vom nota numărul x : 4 cu B relația anterioară  se va scrie:

B – 12 = 6

de unde

B = 18

adică 

x : 4 = 18

În sfârșit, din această  ultimă  relație găsim

x = 18 x 4

adică

x = 72

II.6.5. Probleme de mișcare

Problemele de mișcare sunt acele probleme de matematică în care se află una dintre mărimile: spațiul (distanța), viteza sau timpul, când se cunosc două dintre ele sau diferite relații între acestea.

Spațiul (s) este lungimea drumului parcurs de un mobil (tren, autoturism, om, etc.) exprimat în unități de lungime (metri, multipli sau submultipli ai acestuia). Timpul (t) este numărul de unități de timp (secunde, minute, ore, zile) în care se parcurge

un spațiu. Viteza (v) este numărul de unități de lungime parcurse de un mobil într-o unitate de timp, exprimată prin unități de lungime pe unități de timp (exemplu: m/s, km/h).

În problemele de mișcare se va vorbi, în general, despre mișcarea uniformă a unui mobil. În acest caz se folosesc formulele:

s = v × t, v = t s, t = v s.

În scopul rezolvării problemelor de mișcare se pot folosi metodele aritmetice: figurativă, a comparației, a falsei ipoteze, a mersului invers, cât și cele algebrice, de cele mai multe ori aceste metode fiind întrepătrunse.

Problemele de mișcare se pot clasifica în mai multe grupe:

1) Probleme ce conduc direct la probleme simple de aflare a spațiului, vitezei sau

timpului;

2) Probleme de întâlnire, când deplasarea mobilelor se face în sensuri opuse;

3) Probleme de urmărire, când deplasarea mobilelor se face în același sens.
roblema

Un câine fuge după un iepure care este la 140 m de el. Iepurele fuge cu 370m/minut, iar câinele cu 405m/minut. După cât timp este iepurele prins de câine?

Rezolvare

La început, distanța dintre câine și iepure este de 140m. Cum viteza câinelui este de 405m/minut iar a iepurelui de 370m/minut, înseamnă că într-un minut câinele se apropie de iepure cu 405-370=35m.

Dacă într-un minut câinele recuperează 35m din distanță, în cât timp va recupera cei 140m?

140:35=4 minute.

Problemă

Un tren circulă de la București spre Timișoara cu 56km/h. După trei ore pornește alt tren cu o viteză de 70km/h. În cât timp îl va ajunge al doilea tren pe primul?

Rezolvare

Vom afla mai întâi ce distanță parcursese primul tren în momentul în care a pornit cel de-al doilea. Cum acesta merge cu 56km/h, in trei ore a facut: 56km x3=168km. Deci cel de-al doilea tren va trebui să recupereze o distanță de 168km. Într-o oră, distanța dintre cele două trenuri se micșorează cu 70km-56km=14km. Pentru a recupera 168km va fi deci nevoie de: 168:14=12 ore.

In concluzie, al doilea tren il va ajunge pe primul după 12 ore de la plecarea sa.

Mobile care merg in sens contrar

Problemă

Doi călători pornesc unul spre altul din două localitati, unul cu 4km/h, celalalt cu 5km/h. După cât timp se vor întâlni, știind că distanța dintre localități este de 18km?

Rezolvare

Vom calcula mai întâi cu cât se micșorează distanța într-o oră. Având în vedere că cei doi merg unul spre celălalt, înseamnă că distanța dintre ei se va micșora cu 4+5=9km în interval de o oră. Dar distanța este de 18km, deci de 2 ori mai mare decât cei 9km. Rezultă că cei doi se vor întâlni în 18:9=2ore de la pornire.

Problema

Un motociclist a pornit din localitatea A spre localitatea B cu 40km/h. Altul a pornit din B spre A cu 38km/h. Cei doi se întâlnesc după 4 ore. Ce distanță este între cele două localități?

Rezolvare

Mergând unul spre altul, cei doi se apropie în fiecare oră cu 40+38=78km. Dacă într-o oră se apropie cu 78km, atunci în 4 ore se vor apropia cu 78×4=312km. Rezultă că distanța dintre cele două orașe este de 312km.