INTRODUCERE pag. 2 [604362]
1
CUPRINS
INTRODUCERE pag. 2
CAPITOLUL 1:
INELE. PROPRIETĂȚILE ARITMETICE ALE INELELOR
1.1 Inele, subinele, ideale pag. 4
1.1.1 Structura algebrică de monoid pag. 4
1.1.2 Structura algebrică de grup pag. 5
1.1.3 Morfisme și izomorfisme de grupuri pag. 6
1.1.4 Structura algebrică de inel pag. 6
1.1.5 Reguli de calcul într-un inel pag. 9
1.1.6 Subinele pag. 11
1.1.7 Ideal pag. 12
1.2 Morfisme și izomorfisme de inele pag. 1 6
1.3. Divizibilitatea într -un inel integru pag. 19
1.3.1. Relația de divizibilitate pag. 19
1.3.2. Elemente ireductibile și elemente prime pag. 20
1.3.3. Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun pag. 21
1.4. INELE DE POLINOAME pag. 24
1.4.1. INELUL DE POLINOAME ÎNTR -O SINGURĂ NEDETERMINATĂ pag. 24
1.4.2. INELUL DE POLINOAME IN MAI MULTE NEDETERMINATE pag. 29
CAPITOLUL 2
ARITMETICA INELELOR DE POLINOAME
2.1.1. Teorema împărțirii cu rest pag. 34
2.1.2. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid pag. 36
2.1.3. Polinoame ireductibile pag. 40
2.1.4. Descompunerea polinoamelor pag. 42
2.2. POLINOAME SIMETRICE pag. 52
2.3. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE pag. 56
2.3.1. Criteriul de ireductibilitate al lui Schönemann pag. 56
2.3.2. Criteriul lui Eisenstein pag. 56
2.4. TEOREMA FUNDAMENTALA A ALGEBREI pag. 57
2.5. REZOLVAREA ECUATIILOR DE GRAD 4 pag. 58
CAPITOLUL 3
PROBLEME
2
INTRODUCERE
"Matematica este regina științelor, iar aritmetica este regina matematicilor" spunea
marele matematician Karl Friedrich Gauss.
Matematica contribuie la for marea spiritului științific caracterizat prin: precizie,
corectitudine, rigoare, profunzime, dinamism, creativitate.
Încă din antichitate se știe că orice număr întreg nenul se poate descompune ca un produs
finit de numere prime. Această afirmație este enunțată și demonstrată în „Elementele lui
Euclid”, iar astăzi este cunoscută ca „Teorema fundamentală a Aritmeticii”. Tot Euclid a
demonstrat că reprezentarea unui număr na tural ca un produs de numere prime este unică, dar
demonstrația sa a fost considerată nesatisfăcătoare. O demonstrație com pletă a unicității a fost
dată de Gauss în anul 1801, după care au urmat și alte de monstraț ii.
Teorema fundamentală a Aritmeticii împreună cu Teorema de uni citate stau la baza a
numeroase demonstrații din aritmetică. Generalizând proprietatea exprimată de aceste două
teoreme la clasa inelelor integre, se obțin progrese semnificative în studiul problemelor
aritmetice de tip multiplicativ sau în aplicații ale algebrei la probleme de geometrie algebrică.
Noțiunile de inel și de corp s-au concretizat în a doua jumătate a se colului al XIX -lea,
forma definitivă a acestor concepte fiind datorată lui D. Hilbert (1897). Inelul este un cadru
matematic în care ne putem desfășura relativ trei operații : adunare, înmulțire, scădere, în timp
ce corpul este un cadru matematic în care ne put em desfășura relativ la toate cele patru
operații uzuale: adunare, înmulțire, scădere, împărțire prin elementele nenule.
Conceptul de polinom a fost întâlnit la Euclid, iar denumirea a fost adoptată de T.F.
Lagny in 1697.
În prezenta lucrare intitulat ă “Aritmetica inelelor de polinoame” sunt prezentate
principalele proprietăți aritmetice ale ine lelor de po linoame. Lucrarea este structurat ă pe trei
capitole:
Capitolul 1: Inele. Propriet ățile aritmetice ale inelelor
Capitolul 2: Inele de polinoame. A ritmetica inelelor de polinoame
Capitolul 3: Aplica ții
Primul capitol începe prin a prezenta anumite no țiuni introductive legate de conceptele:
monoid și grup, apoi pune în eviden ță anumite structuri algebrice: inel, sub inel, ideal,
domeniu de integritate, corp. De asemenea, sunt prezentate conceptele de morfism și
izomorfism de inele și se încheie prin noțiuni și rezultate legate de divizibilitatea într -un inel
integru. Sunt amintite chestiuni generale de aritmetică într -un do meniu de in tegritate:
elemente prime și elemente ireductibile, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două ele mente și
proprietățile lor înt -un inel.
În capitolul al doilea, sunt definite conceptele de polinom, de funcție polinomială, care
adesea sunt confu ndate, și notiunea de inele de polinoame. Se prezintă construcția inelului de
polinoame cu o nedeterminată având co eficienții într -un inel co mutativ și cu element -unitate,
apoi inductiv și a ine lului de polinoame în mai multe nedeterminate. Apoi se men ționează
3
câteva rezultate importante legate de un caz particular de polinoame – polinoamele simetrice.
Se arată că aritmetica inelului de polinoame K[X], unde K este corp comutativ, este analoagă
cu aritmetica inelului al numerelor întregi. Apro pierea celor două inele se realizează prin
teorema împărțirii cu rest, algoritmul lui Euclid, numere prime – polinoame ireductibile,
c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și teorema de descompunere în factori ireductibili (respectiv primi). În
acest capitol este tratat u n rezultat remarcabil, și anume Teorema fundamentală a algebrei.
Capitolul se încheie prin prezentarea unor metode de rezolvare a ecuațiilor algebrice de grad
4.
Lucrarea se încheie cu capitolul al treilea în cadrul c ăruia sunt prezentate o serie de
probleme, enun țuri și rezolv ări, cu diferite grade de dificultate în care se reflect ă noțiunile
teoretice tratate în prezenta lucrare. Se începe cu o serie de probleme în vederea preg ătirii
pentru Bac alaureat, pretabile și la faza pe școală a Olimpiadei de Matematic ă. Continu ăm cu
exerci ții din Gazeta Matematic ă și exerciții date la Olimpiada de matematică , iar spre final
rezolv ăm probleme de algebr ă superioar ă din car țile de specialitate.
4
CAPITOLUL 1.
INELE. PROPRIETĂȚILE ARITMETICE ALE INELELOR
În cadrul acestui capitol vom începe prin a prezenta anumite noțiuni introductive cum ar fi
definirea structurilor algebrice de monoid și grup cu toate no țiunile care deriv ă din acestea.
Apoi vom vorbi despre structurile de inel, subinel, ideal, corp și despre noțiunile de morfism
și izomorfism. Vom încheia acest capitol prin tratarea divizibilită ții într-un inel integru.
1.1 INELE, SUBINELE, IDEALE
1.1.1. Structura algebrică de monoid
Defini ție: O mulțime nevidă M, inzestrată cu o operație algebrica asociativă și cu element
neutru se numește monoid . Dacă, în plus, operația algebrică este comutativă, monoidul se
numește comutativ.
(Becheanu și colaboratorii – Algebră pentru perfecționarea
profesorilor – Editura Didactic ă si Pedagogică București 1983 )
Exemple:
1) (N, +), ( Z,+), ( Q,+), (R,+), ( C,+) – monoizi comutativi.
2) (N,), (Z,), (Q,), (R,), (C,) – monoizi comutativi.
3) Dacă A este o mulțime nevidă, (P(A), U) – monoid comutativ.
4) Dacă A este o mulțime nevidă, (P(A), ∩) – monoid comutativ.
5) (Ϻm,n(C),+) – monoid comutativ.
Observa ții:
1) (ℤ𝑛,+) – monoid comutativ.
2) (ℤ𝑛, .) – monoid comutativ.
Defini ție:Fie M o mul țime nevid ă și fie „ *” o lege de compozi ție pe M astfel încât (M, *) este
monoid. Mul țimea elementelor simetrizabile din M în raport cu legea „ *” se nume ște mulțimea
unităților monoidului și se noteaz ă cu U(M).
Exemple:
1. Pentru monoidul (C,.) avem U( C)= C*.
2. Pentru monoidul (ℤ4,.) avem U(ℤ4)={1̂, 3̂}.
3. Pentru monoidul (Z,) avem U( Z)={-1,1}.
5
1.1.2. Structura algebrică de grup
Defini ție: Se numește grup o multime nevida G, inzestrată cu o operație algebrica, care
satisface urmatoarele condiții:
1) este asociativă,
2) are elementul neutru,
3) orice element din G este simetrizabil
Se mai spune că, în acest caz, pe G s-a dat o structură de grup.
Dacă în plus, operația este comutativă, se spune câ grupul G este comutativ sau abelian.
(Becheanu și colaboratorii – Algebră pentru perfecționarea
profesorilor – Editura Didactică si Pedagogică București 1983 )
Defini ție: Dacă G este o mulțime finit ă cu n elemente și (G, *) este grup, atunci acesta se
nume ște grup finit , iar num ărul n se nume ște ordinul grupului G și se noteaz ă cu ord(G).
Exemple :
1) (Z,+) este grup comutativ și se numește grupul aditiv al numerelor întregi.
2) (Q ,+) este grup comutativ și se numește grupul aditiv al numerelor ra ționale.
3) (R,+) este grup comutativ și se numește grupul aditiv al numerelor reale.
4) (C,+) este grup comutativ și se numește grupul aditiv al numerelor complexe.
5) (Q*,.) este grup comutativ și se numește grupul multiplicativ al numerelor ra ționale.
6) (R*,.) este grup comutativ și se numește grupul multiplicativ al numerelor reale.
7) (C*,.) este grup comutativ și se numește grupul multiplicativ al numerelor complexe.
8) (Ϻm,n(C),+) este grup comutativ și se numește grupul aditiv de matrice .
9) (GL n(C),.) este grup necomutativ și se numește grupul multiplicativ al matricelor pătratice
nesingulare de ordinul n sau grupul general liniar de ordinul n.
10) (S n, °) este grup necomutativ și se numește grupul permutărilor de gradul n.
11) (ℤ𝑛,+) este grup comutativ și se numește grupul aditiv al claselor de resturi modulo n.
12) (U n,.) este grup comutativ și se numește grupul rădăcinilor de ordinul n ale unității.
13) (K, °) este grup comutativ și se numește grupul lui Klein unde K={1 A,u,v,w}inclus în
F(A)={f| f:A A}, 1A(x,y)=(x,y); u(x,y)=(x, -y); v(x,y)=( -x,y); w(x,y)=( -x,-y) și „°” este
compunerea funcțiilor.
Defini ție:Fie (G, *) un grup și H o submulțime nevidă a lui G. Cuplul (H, *) se numește
subgrup al lui (G, *) dacă „ *” este o lege de compoziție pe H și determină pe H o structură de
grup.
Exemple :
1. Grupul multiplicativ ({ -1,1},.)este un subgrup al lui (R*,.).
2. Grupul (Q*,.) este subgrup al lui (R*,.).
Defini ție:Dacă (H, *) este un subgrup cu m elemente al grupului (G, *), atunci numărul m se
numește ordinul subgrupului H și se notează cu ord(H).
Defini ție:Elementul x G, unde (G,.) este un grup, are ordinul pN dacă xp=e și p este cel mai
mic număr natural nenul cu această proprietate.
6
1.1.3. Morfisme și izomorfisme de grupuri
Defini ție: Fie grupurile ( G, *) si (G’,°). Funcția f:G ->G’ se numește morfism (omomorfism) de
grupuri dacă f(x *y)=f(x) °f(y);(∀) x,y G.
Dacă f este morfism de la grupul G la el însuși, atunci se mai nume ște endomorfism .
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII-a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion Pătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Exemple :
1. Fie (Z,+) grupul aditiv al numerelor întregi și (G,+) un grup aditiv oarecare. Dacă
aG este fixat, atunci func ția f:ZG, f(n)=na este morfism de grupuri
2. Fie (Z,+) grupul aditiv al numerelor întregi ș i (G,.) un grup multiplicativ oarecare.
Dacă aG este fixat, atunci func ția f:ZG, f(n)=an este morfism de grupuri.
Defini ție:Fie grupurile (G, *) si (G’,°). Morfismul f:G G’ se numește izomorfism dacă funcția
f este bijectiv ă.
Dacă între dou ă grupuri exist ă un izomorfism, spunem c ă grupurile G și G’ sunt izomorfe și
scriem G ≈ G’.
Dacă G=G’, atunci funcția f se mai numește si automorfism .
Exemple :
1. Funcția radical este automorfism al grupului multiplic ativ al numerelor reale strict
pozitive.
2. Funcția identic ă 1G este un automorfism al lui G, unde G este un grup oarecare.
1.1.4. Structura algebric ă de inel
Defini ție: Se numește inel un triplet (A, +, ·), A
Ø, unde + și · desemnează două
opera ții pe A, numite prin extensie de limbaj adunare și înmul țire, opera ții ce satisfac
următoarele trei axiome:
A1) Cuplul (A, +) este un grup abelian.
A2) Cuplul (A, ·) este un semigrup.
A3) Înmul țirea este distributivă fa ță de adunare.
Dacă în loc de a xioma A 2) apare axioma mai tare:
A2’) Cuplul (A, ·) este un monoid, atunci (A, +, ·) se numește inel cu element -unitate .
Dacă în plus, un inel satisface și axioma:
A4) Înmul țirea este comutativă, atunci inelul este inel comutativ .
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Observa ții:
1) De obicei, se folose ște pentru inel, ca mul țime, litera A de la cuvântul anellus , din
limba latin ă, care înseamnă inel.
2) Structura ( A, +) se numește grupul aditiv al inelului. Elementul neutru al grupului
(A, +), notat cu simbolul 0, se nume ște elementul nul al inelului.
Structura ( A, ·) este un semigrup numit semigrupul multiplicativ al inelului.
7
Se observ ă că mul țimea A are o structură mai săracă fa ță de cea de -a doua opera ție, cea
multiplicativă. Pentru un inel unitar, elementul neutru în raport cu înmul țirea va fi notat cu
simbolul 1, numit elementul -unitate al inelului.
Legătura dintre cele două structuri ale inel ului este realizată de axioma de distributivitate a
înmul țirii fa ță de adunare.
Defini ție: Dacă inelul (A,+,.) are elementul neutru al înmul țirii 1, atunci inelul se numește
unitar .
Defini ție: Dacă inelul (A,+,.) este un inel unitar și 0 = 1 atunci inelul (A,+,.) este inelul nul ,
în caz contrar spunem că inelul (A,+,.) este inel nenul . (Algebr ă Ion.D.Ion, Nicolae Radu)
Exemple:
1) Inelul numerelor întregi (, +, ·) este un inel cu element -unitate, comutativ.
Elementul nul este nu mărul întreg 0, i ar elementul -unitate este numărul întreg 1.
2) Inelul numerelor raționale ( Q,+,.) este un inel comutativ cu elemental nul 0 și
elementu l unitate 1.
3) Inelul numerelor reale (R,+,.)este comutativ cu elementul nul 0 și elementul
unitate 1.
4) Inelul numerelor complexe (C,+,.) este un inel comutativ.
5) (n, +, ·) cu n
2, număr natural, este un inel fără element -unitate, comutativ.
Elementul nul este numărul întreg 0.
6) ( [i], +, ·) este un inel cu element -unitate, comutativ, numit inelul în tregilor lui
Gauss. Elementul nul este 0 =0+0·i iar elementul -unitate este 1 =1+0·i.
7) Dacă d este un întreg liber de patrat e ( nu se divide prin pătratul nici unui
numar natural diferit de 1), atunci ( [d], +, ·) este un inel cu element -unitate, comutativ,
numit inelul de întregi pă tratici. Elementul nul este
, 000 d iar elementul -unitate este
. 011 d
Cazul particular d = -1, corespunde inelului întregilor lui Gauss.
8) Pentru n
, n≥ 2, (n, +, ·) este un inel cu element -unitate, co mutativ, numit inelul
claselor de returi modulo n. Elementul nul este
,0ˆ iar elementul -unitate este
1ˆ .
9) Pentru n*, n
2, fiecare dintre tripletele ( Mn(), +, ·), ( Mn(Q), +, ·), ( Mn(R),+, ·),
(Mn(C), +, ·) sunt inele cu element -unitate, necomutative , numite inelul matricelor pătratice
de ordin n cu elemente din , Q, R sau C. Elmentul nul este O n (matricea nulă), iar elementul –
unitate este matricea I n.
Defini ție: Într-un inel (A, +, ·) cu element -unitate, grupul (U(A), ·) al ele mentelor inversabile
din monoidul (A, ·) se nume ște grupul elementelor in versabile (grupul unită ților) din inelul
A.
Observa ție:
În orice inel, relativ la opera ția de adunare orice element este simetrizabil, deoarece ( A, +)
este grup, pe cand, relativ la opera ția de înmul țire, numai anumite elemente sunt inversabile,
deoarece ( A, ·) este doar un monoid și aceste elemente inversabile constituie grupul ( U(A), ·).
Exemple:
1. Pentru inelul comutativ (C,+,.) avem U( C)= C*.
2. Pentr u inelul comutativ ( R,+,.) avem U( R)= R*.
3. Pentru inelul comutativ (Z,+,) avem U( Z)={-1,1}.
8
4. U(Mn(C)) = GL n(C) = {A Mn(C)det A 0}. Grupul ( GL n(C), ·) îl numim grupul
general liniar de ordin n pe C.
Propozi ție:
Un element
xˆ
n este inversabil dacă si numai dacă x este prim cu n.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana Niculescu,
Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstra ție:
Să presupunem, mai întâi, că
xˆ este inversabil în n. Atunci există
yˆ n astfel încât
1ˆˆˆyx ,
adică
),1 (|xyn de unde
, 1nk xy k, rezultă
,1)( knxy de unde este clar că
.1),(nx
Reciproc: dacă
,1),(nx există h și k astfel încât
.1nk nx Trecând la clase,
avem
,ˆˆˆ0ˆˆˆ 1ˆ hxkhx nkxh nkxh
deci
xˆ este inversabil în n.
Observa ție:
În inelul n avem U(n)={
xˆ | (x, n)=1 }. În particular dacă n este pri m, orice element nenul
din n este inversabil.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana Niculescu, Ion
Pătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Defini ție: Fie (A, +, ·) un inel.
1) Spunem că un element x A,
0x este divizor al lui zero la stânga (respectiv la dreapta)
dacă există y A,
0y cu x.y=0 (respectiv există y A,
0y cu
).0yx Elementul x A,
0x
se numește divizor al lui zero dacă este divizor al lui zero la stânga sau divizor al lui zero la
dreapta.
2) Spunem că inelul A are divizori al lui zero dacă A con ține cel pu țin un divizor al lui zero,
în caz contrar, spunem că A nu are divizori ai lui zero .
Observa ție:
1) Dacă xA,
0x este divizor al lui zero la stânga (respectiv la dreapta), atunci yA
corespunzător este un divizor al lui zero la dreapta (respectiv la stânga).
2) Într -un inel comutativ no țiunile de divizor al lui zero la stânga respectiv la dreapta coincid.
Exemplu :
Inelul (6, +, · ) are divizori ai lui zero.
.0ˆ3ˆ2ˆ întrucât zero, lui ai divizorisunt 3ˆ și 2ˆ
Propozi ție:
Fie (A, +, .) un inel și a,b,c A.
i) Dacă (A, +, .) este unitar și a U(A), atunci a nu este divizor al lui zero (ni ci la dreapta,
nici la stânga)
ii) Dacă a nu este divizor al lui z ero la stânga (dreapta) și ab=ac (ba= ca), atunci b = c.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
9
Demonstra ție:
i) Dacă a U(A), atunci există b A astfel încât ab = ba = 1.
Dacă a ar fi divizor al lui zero, de exem plu la stânga, atunci există c A* astfel înc ât ac = 0.
Rezultă că b(ac) = b.0 = 0 (ba)c = 0 1.c = 0 c = 0, contradic ție.
Analog dacă a este divizor al lui zero la dreapta.
ii) Din ab = ac rezultă că a(b -c) = 0 și pentru că a nu este divizor al lui zero la stânga,
rezultă c ă b – c = 0, adică b = c.
Defini ție: Într-un inel (A, +, ·) cu element -unitate, comutativ și fără divizori ai lui zero se
numește domeniu de integritate sau inel integru .
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana Niculescu, Ion
Pătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Exemple:
1) (, +, ·), ( Q, +, ·), ( R, +, ·) sunt domenii de integritate.
2) (
][d , +, ·) cu d nefiind pătrat perfect este un domeniu de integritate.
Defini ție: Fie a un element, cu a A. Elementul a se numește nilpotent dacă există n N*
astfel încât an= 0.
Defini ție:
Un element a al unui inel se nume ște idempotent dacă a2=a.
Defini ție:
Un inel A se nume ște boolean dacă pentru orice a A avem a2=a.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, D ănuț Drăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Teoremă:
Într-un inel finit orice element este inversabil sau divizor al lui zero.
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Fie a un non -divizor al lui zero al inel ului finit A. Atunci aplicația f : A → A, f(x) = a . x este
injectivă și surjectivă pentru că A este finit.
Există bA cu a . b = 1. Analog, există c A cu c . a = 1. Rezultă că c = c . a . b = b.
1.1.5. Reguli de calcul într-un inel
Propozi ție:
Într-un inel A următoarele afirma ții sunt echivalente:
1) A este integru;
2) ()
, , Ayx
0x și
0y , atunci
;0xy
3) ()
Ayx, cu
0xy , atunci
0x sau
.0y
10
Demonstra ție:
1)⇒2) Presupunem că A este un inel integru. Dacă prin absurd, ( )
, , Ayx
0x și
0y cu
,0xy
înseamnă că x și y sunt divizori ai lui zero, contradic ție cu faptul că A este inel integru.
2)⇒3) Presupunem că ( )
, , Ayx
0x și
0y
.0xy Deoarece im plica ția „ p q ”
este echivalentă cu „ q p” rezultă că ipoteza 2) în care lucrăm este echivalentă cu ( )
, , Ayx
0xy
0x sau y = 0 , adică 3).
3) ⇒1) Presupunem că ( )
, , Ayx
0xy
0x sau
.0y Dacă prin absurd A ar avea
divizor al lui zero x, să zicem la stânga, atunci ar exista y A, y 0 cu
,0xy dar atunci
0x
sau
0y , contradic ție cu faptul că x și y sunt nenule.
Observa ție:
Într-un inel integru, dacă un produs este nul, rezultă că unul dintre factorii produsului este nul.
Teorem ă:
Într-un inel A au loc egalită țile:
1)
,0 00 x x () x A (se spune că 0 este „absorbant”);
2) i)
xy yx yx )()( ;
ii)
, ))(( xyyx () x,y A („regula semnelor” la înmul țire);
3) i)
; ) ( xzxyzyx
ii)
, ) ( zxyxxzy () x,y,z A (înmul țirea este distributivă fa ță de „scădere”).
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII-a, DănuțDrăcea, Liliana Niculescu, Ion
Pătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonst rație:
1) Avem
.0 0 )00( 0 x x x x În grupul (A,+) putem re duce în ambii membrii termenul
0x
și ob ținem
.0 0x Analog arătăm
.0 0x
2) Avem
,0 ) ( )( xyyx xyyx de unde rezultă că în grupul (A,+) avem
. )( xy yx
Analog arătăm că
. )( xy yx
De asemenea, avem
. )( )]([))(( xy xy yx yx
3)Avem
. )( )( )]([) ( xzxy xz xyzxxy z yxzyx
Analog arătăm că
. ) ( zxyxxzy
Observa ții:
Într-un inel A comutativ au loc egalită țile:
k
nC
1. an-bn=(a-b)( an-1+ an-2b+…+ bn-1), n
2. a+b)n=∑
k
nC 𝑎𝑘𝑏𝑛−𝑘𝑛
𝑘=0( binomul lui Newton).
Propozi ție:
Dacă A este un inel cu element -unitate, următoarele afirma ții sunt echivalente:
1) Inelul A con ține cel pu țin două elemente.
2) 0 1.
11
Demonstra ție:
1) ⇒2) Presupunem că inelul A are cel pu țin două elemente. Dacă prin absurd 0 = 1, atunci
() x A, rezulta
01xx , de unde A={0} , con tradicție cu ipoteza în care lucrăm, deci 0
1.
2) ⇒1)Evident.
Propozi ție:
Dacă A este un inel cu element unitate și 0 1. Atunci:
1) Elementul nul 0 nu este inversabil, adică 0U(A).
2) Dacă xU(A), atunci și xU(A).
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră,
2002)
Demonstra ție:
Presupunem prin absurd că 0 U(A), deci () x = 0-1A astfel încât
.1 00 x x Cum însă
,0 00 x x
obținem 0 = 1, contradic ție.
Dacă xU(A), vom arăta că xU(A), arătând că –x are drept invers pe –x-1.
Într-adevăr (x)( –x-1) = x x-1 =1 și ( –x-1) (x) = x-1x =1.
Propozi ție:
Fie A un inel cu element -unitate. Dacă elementul x A este inversabil, atunci x nu este un
divizor al lui zero (altfel spus, dacă x este divizor al lui zero, atunci x este neinversabil).
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Fie xU(A). Dacă prin absurd x ar fi divizor al lui zero, de exemplu la stânga, ar exista yA, y
0 astfel încât xy = 0. Înmul țind la stânga cu
0 )(1 1 x xyx
0 ) (1yxx
0 1y
,0y contradic ție.
Propozi ție:
Fie A un inel integru. Pentru orice trei elemente a, x, y cu a 0 avem echivalen țele:
1)
;yx ayax
2)
.yx ya xa
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, D ănuț Drăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstrație:
1)⇒2) Avem succesiv:
0 ayax ayax
,0) (yxa adică
0a sau
.0yx
Dar
,0a deci trebuie ca
,0yx adică x = y.
2) ⇒1) Evident.
1.1.6. Subinele
Defini ție: Fie (A, +, ·) un inel și B o mul țime nevidă a lui A. Spunem că B este subinel al lui
A dacă B este o parte stabilă fa ță de opera țiile din A și împreună cu opera țiile induse este un
inel.
12
Observa ție:
Dacă ( A, +, ·) este un inel și B A, rezultă că B este un sub inel al lui A dacă și numai dacă
sunt îndeplinite condi țiile:
1) (B, +) este subgrup al grupului ( A, +).
2) (B, ·) este subsemigrup al semigrupului ( A, ·).
Exemple:
1) (, +, ·) (Q, +, ·) (R, +, ·) (C, +, ·) sunt subinele unele în altele.
2) (, +, ·) este subinel al lui ( [i], +, ·).
3) Subinelele lui ( , +, ·) coincid evident cu subgrupurile grupului aditiv ( , +) adică
sunt de tipul ( n, +, ·) cu n .
Observa ție:
Orice inel A are cel pu țin două subinele și anume {0} și A, numite subinele improprii ; orice
alt subinel (dacă există) se numește propriu.
Propozi ție:
Fie (A, +, ·) un inel (respectiv un inel cu element – unitate și B o submul țime nevidă a lui A).
Următoarele afirma ții sunt echivalente:
1) B este un subinel (respectiv un subinel unitar) al lui A.
2) () x, y B, atunci
,Byx atunci și
Bxy (respectiv 1 AB și () x, y B
atunci
Byx și
).Bxy
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Cele două condi ții spun că opera țiile de pe A induc pe B operații algebrice. Faptul că B
împreună cu acestea formează un inel este ușor de verificat, axiomele de inel de pe B fiind
adevărate deoarece B este o submul țime a inelului A.
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
1.1.7. Ideal
Defini ție: Fie (A, +, ·) un inel. O submul țime nevidă I A se numește ideal stâng (respectiv
ideal drept ) al inelului A dacă îndeplinește condi țiile:
1) () x, y I x y I.
2) () x I, () a A ax I (respectiv ( ) x I, () a A xa I).
O submul țime I A care este atât ideal stâng cât și ide al drept se numește ideal bilateral .
(Algebr ă Ion.D.Ion, Nicolae Radu)
Vom nota prin Ids(A) (Idd(A)) mulțimea idealelor stângi (drepte) ale lui A iar prin Idb(A)
mulțimea i dealelor bilaterale ale lui A.
În cazul când A este comutativ, în mod evident Ids(A) = Idd(A) = Idb(A) și convenim să
notăm prin Id(A) mulțimea idealelor lui A.
13
Observații :
Orice ideal (stâng, drept sau bilateral) este în particular un subgrup al grupului (A, +).
Orice ideal este subinel. Reciproca nu este adevărată.
Exemple :
1.În inelul ( , +, ·) orice submul țime I = n, cu n , este un ideal bilateral.
2. În orice inel A submul țimile {0} și A, sunt ideale bilaterale numite ideale improprii .
3. Dacă A este un inel și x A un element fixat, submul țimea ( x)s = Ax = {axa A} este un
ideal stâng, numit idealul principal stâng generat de x, (x)d = xA = { xaa A} este un ideal
drept, numit idealul principal drept generat de x.
Într-un inel comu tativ orice ideal este bilateral și este un sub inel al inelului respectiv. De
aceea, într -un inel comutativ vom spune simplu ideal, în loc de ideal stâng, drept sau ideal
bilateral. Justificarea observa ției este simplă: dacă A este un inel comutativ, iar I un ideal
stâng al acestui inel, atunci ( ) x I, () a A xa = ax I, deci I este și ideal drept. De
asemenea, ( ) x, y I avem xy A și xy I ceea ce arată că I este și subinel al inelului A.
Reciproca ob servației nu este adevărată, mai precis nu orice subinel al unui inel comutativ
este ideal.
Contraexemplu : Subinelul al inelului Q nu este ideal, deoarece luând
2x și
31aQ,
avem
32ax .
Observa ție:
Orice ideal al inelului comutativ ( ,+,·) este un ideal principal.
Teoremă:
Fie (A, +, .) un inel. Atunci o intersec ție de subinele respectiv ideale stângi, drepte,
bilaterale) este tot un subinel (respectiv ideal stâng, drept, bilateral).
(T. Dumitrescu, Algebra1, 2006)
Demonstra ție:
Fie o familie (I α)α de ideale drepte. Pentru celelalte cazuri demonstra țiile sunt asemănătoare.
Fie x, y ∩αIα și a A. A tunci x, y Iα , pentru orice α. Cum fiecare I α este ide al drept,
rezultă că x – y, xa Iα pentru orice α. Deci x – y, xa ∩αIα.
Defini ție: Fie x A, A inel comutativ. Atunci Ax = {ax | a A} se numește idealul principal
generat de x.
Defini ție: Fie P un ideal al lui A. Spunem că P este prim dacă P A și dacă avem a,b A
astfel încât ab P, atunci a P sau b P.
Exemple:
1. Dacă A este un domeniu de integritate, atunci idealul nul (0) este prim.
2. Pentru inelul Z idea lele prime sunt (0) și pZ cu p ≥ 2 număr prim .
Propozi ție:
Un ideal P al lui A este prim dacă și numai dacă A/ P este domeniu de integritate.
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Dacă P A este ideal p rim, atunci P ≠ A, deci A/ P este inel nenul și
14
cum A este comutativ și unitar deducem că și A/ P este comutativ și unitar.
Fie acum 𝑎̂ = a + P, 𝑏̂ = b + P A/ P astfel încât 𝑎̂ 𝑏̂ = 0̂ dacă și numai dacă ab P .
Cum P este prim deducem că a P dac ă și numai dacă 𝑎̂ =0̂ sau b P dacă și numai dacă
𝑏̂ =0̂, adică A/ P nu are divizori ai lui zero nenuli.
Reciproc, dacă A/P este domeniu de integritate, atunci A/ P este nenul și deci P A.
Dacă a, b A astfel încât ab P, atunci 𝑎𝑏̂ = 0̂ dacă și n umai dacă 𝑎̂ 𝑏̂ =0̂ .
Pentru că A/P nu are divizori nenuli ai lui zero deducem că 𝑎̂ =0̂ dacă și numai dacă a P sau
𝑏̂ =0̂ dacă și numai dacă b P.
Defini ție:
O mulțime ordonată ( A,≤ ) se numește latice dacă pentru orice două elemente x,y A , există
inf {x, y}(notat x ˄ y) și există sup{x, y}(notat x ˅ y).
O latice se zice completă dacă pentru orice submul țime B a lui A există inf B și sup B.
Defini ție: Un ideal M inclus in A se zice maximal dacă M ≠ A și M este element maximal în
laticea Id(A) (adică oricare ar fi I Id(A) astfel încât M inclus in I inclus in A rezultă că M =
I sau I = A). (Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002) .
Defini ție: Se numește corp un triplet (K, +, ·), în care K este o mul țime cu cel pu țin 2
elemente, unde + și · desemnează dou ă opera ții pe K, numite prin extensie de limbaj adunare
și înmul țire, opera ții ce satisfac următoarele axiome:
K1) Cuplul (K, +) este un grup abelian, cu elementul neutru 0.
K2) Cuplul (K \0, ·) este un grup cu elementul neutru 1.
K3) Înmul țirea este distributivă fa ță de adunare.
Dacă în plus este satisf ăcută ș i axioma
K4) Înmul țirea este comutativă,
atunci tripletul (K, +, ·) se numește corp comutativ .
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Observa ție:
Grupul (K, +) se mai numește grupul aditiv al corpului, iar (K \0, · ) grupul multiplicativ al
elementelor nenule ale corpului.
Exemple:
1) (Q, +, ·) și ( R, +, ·) sunt corpuri comutative.
2) Dacă d \1 este liber de pătrate, notam Q(
d ) ={a+b
d | a,b Q}, unde
d este o
solutie fixata a ecuatiei x2 = d, atunci (Q(
d ),+, ·) este un corp co mutativ, numit corp
pătratic .
3) Dacă p este număr prim, atunci inelul ( p, +, ·) al claselor de resturi mo dulo p este un corp
comutativ finit.
Observa ție:
Orice corp este domeniu de integritate.
Defini ție:Fie (K, +, ·) un corp și L o submul țime nevidă a lui K. Spu nem că L este subcorp al
lui K dacă L este p arte stabilă fa ță de opera țiile din K și relativ la aplica țiile induse este un
corp.
15
Exemple:
1) (Q, +, ·) este subcorp al lui ( R, +, ·).
2) Pentru d 0, corpul pătratic (Q(
d ),+, ·) este subcorp al lui ( R,+,·).
Propozi ție:
Fie M inclus in A un ideal maximal astfel încât M ≠ A. Următoarele afirma ții sunt
echivalente: i) M este ideal max imal
ii) Pentru orice a A\ M avem M + < a > = A
iii)A / M este corp.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
i) =>ii)
Deoarece pentru a A\ M avem M inclus in M + < a > , iar M este maximal , deducem cu
necesitate că M + < a > = A.
ii) => iii)
Fie 𝑎̂ = a + M (A/ M)*, adică a M. Atunci a A\ M și deci M + < a > = A,
adică 1 = x + ba , cu x M și b A. Deducem imediat că 𝑎̂ 𝑏̂ = 1̂, adică 𝑎̂ este inversabil.
Deci A/ M este corp.
iii) => i)
Să presupunem prin absurd că M n u este maximal, adică există I Id(A) astfel încât I ≠ A și
M inclus in I. Există deci a I astfel încât a nu apartine M. Atunci 𝑎̂ (A/ M)* și cum A/ M
este presupus corp deducem existența unui b A\ M astfel încât 𝑏̂ 𝑎̂ = 1̂ dacă și numai dacă
ab -1 M . Pentru că M inclus in I, deducem că ab -1 I și cum a I rezultă că 1 I , adică
I = A – imposibil. Atunci M este maximal.
Teoremă (Krull):
Orice ideal I ≠ A al inelului A este con ținut într -un ideal maximal.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Să considerăm mu lțimea P I ={J Id(A) | I inclus in J și J ≠ A}. Pentru că I PI deducem
că P I ≠ Ø. Se verifică imediat că P I este o mul țime inductiv ordonată.
Conform Lemei lui Zorn , care spune că: Orice mul țime nevidă inductiv (coinductiv)
ordonată are cel pu țin un element maxim al (minimal), rezultă că P I are cel pu țin un element
maximal M. Atunci M este ideal maximal al lui A ce conține pe I.
Defini ție: Fie A un inel și Y o submul țime a lui A. Numim idealul stâng (respectiv drept)
generat de Y mulțimea de for ma: AY = { a1y1+…+a nyn | ai A, yi Y, n≥0} ,
respectiv YA = { y1 a1+…+y nan| ai A, yi Y, n≥0} pentru idealul drept.
Idealul bilateral al lui A este de forma AYA ={ a1y1b1+…+a nyn bn| ai ,bi A, yi Y, n≥0} .
Fie A un inel comutativ. Atunci AY = YA = AYA se numește idealul generat de Y .
Fie y A, numim mulțimea Ay = {ay| a A} idealul principal generat de y , pe care îl
notăm (y) sau < y˃.
16
1.2. MORFISME SI IZOMORFISME DE INELE
Defini ție: Fie (A, +, ·) și (A, +, ·) două inele. O aplica ție f : A A cu propietă țile:
1)
),()( ) ( yfxf yxf () x, y A;
2)
),()( )( yfxf xyf () x, y A
3) f(1 A)=1 A’ se numește morfism de inele (omomorfism) .
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana Niculescu, Ion
Pătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Observa ție:
Un morfism de inele de la un inel la el însuși se numește endomorfism al inelului respectiv.
Pentru ușurin ța scrierii am notat ambele “adunări” cu simbolul “+” și ambele “înmul țiri” cu
simbolul “ · ”. Este evident că în general, ope rațiile corespunzătoare din cele două inele sunt
distincte, chiar dacă se notează la fel.
Observa ție:
Defini ția precedentă arată că func ția f : A A este morfism de inele dacă și numa i dacă
f : (A, +) (A, +) este morfism de grupuri și f : (A, ·) (A, ·) este morfism de semigrupuri.
Exemple:
1) Fie (A, +, ·) și ( A, +, ·) două inele arbitrare. Aplica ția f : A A cu
,0)(xf () xA este
un morfism de inele, numit morfismul nul (constant).
2) Fie n 2 un număr întreg. Aplica ția f :(, +, ·) (n, +, ·) cu f(x) =
xˆ este un morfism de
inele, numit morfismul canonic .
Defini ție: Fie (A, +, ·) și (A , +, ·) două inele cu element -unitate. Un mor fism de inele
f : A A cu propietatea f (1)=1 se numeste morfism unitar de inele .
Exemplu:
Morfismul canonic f :(, +, ·) (n, +, ·) cu f (x) =
xˆ este unitar căci f (1) =
1ˆ .
Defini ție:
1) Fie (A, +, ·) și (A , +, ·) două inele. O aplic ție f : A A se nu mește izomorfism de inele
dacă este morfism de inele și este o aplica ție inversabilă.
2) Un izomorfism de inele de la un inel la el însuși se numește automorfism al inelului
respectiv.
3) Dacă între două inele A și A există (cel pu țin) un izomorfism de inele spunem că inelele
sunt izomorfe , și se notează A A.
Observații :
1. f(0A)=0 A’
2. f(-x)=-f(x) , oricare ar fi x din A.
3. Dacă un element x din A este inversabil, atunci (f(x))’=f(x’)
4. Compunerea a două morfisme de inele este un morfism de inele .
5. Din defini ția anterioară rezultă că dacă f : A A este un izo morfism de inele atunci
17
f 1: A A este un izomorfism de inele numit izomorfismul invers al lui f.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana Niculescu, Ion
Pătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Defini ție: Dacă A : V −→ W este o aplicație liniar ă atunci Ker A = { x ∈ V | Ax = 0 }
(Elemente de algebr ă liniar ă-Nicolae Cotfas Editura Universitatii din
Bucure ști 2009)
Defini ție: Notăm prin Hom(A,B) mulțimea morfismelor de inele de la A la B. Spunem că
inelele A și B sunt izomorfe și notăm A B, dacă există f Hom(A,B), g Hom(A,B) astfel
încât f ◦g = 1B și g◦ f = 1A. În acest caz spunem despre f și g că sunt izomorfisme de inele.
Teoremă:
Fie f: A B un morfism de inele.
i) Dacă C este un subinel al lui A, atunci f(C) este un subinel al lui B.
În particular, Im( f) este un subinel al lui B.
ii) Dacă J este un subinel (respectiv ideal stâng, drept, bilateral) al lui B, atunci
f-1(J) este un subinel (respectiv ideal stâng, drept, bilateral) al lui A numit pre -imaginea
inversă a lui J.
iii) Ker(f) = f-1(0) este un ideal bilateral al lui A numit nucleul lui f și f este injectiv
Ker (f) = {0}.
Demonstra ție:
i) La fel ca la morfismele de grupuri f(C) este un subgrup al lui ( B, +). Fie x,y C. Atunci
fx fy = f xy f(C). În plus, 1 = f(1) f(C).
ii) Presupunem că J este ideal stâng al lui ( B, +) și conform proprietă ți morfismelor de
grupuri f-1(J) este un subgrup al lui ( A, +). Fie a A și x f-1(J), atunci f(x) J și a(ax)
= f(a)f(x) J. Deci ax f-1(J).
Celelalte cazuri se rezolvă analog.
iii) Ker(f) este pre -imaginea idealului trivial al lui ( B, +), deci este ideal bilateral al lui ( B,+) ,
conform punctului ii).
Propozi ție:
Fie A și B două inele iar f Hom (A,B).
i) Dacă A’ A este subinel al lui A, atunci f(A’) este subinel al lui B.
ii) Dacă B’ este subinel al lui B, atunci f-1(B’) este subinel al lui A.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
i) Fie a,b f(A’), atunci a = f(a’), b = f(b’) cu a’, b’ A’. Cum a – b = f(a’- b’) și ab =
f(a’ b’) iar a’- b’, a’ b’ A’ se deduce că a – b, ab f(A’), adică f(A’) este subinel al lui B.
ii) Dacă a’, b’ f-1(B’), atunci f(a’), f(b‟) B’ și cum f(a’) – f(b’) = f(a’ b’),
f(a’) f(b’) = f(a’ b’) iar B’ este presupus subinel al lui B, se deduce că a’- b’, a’ b’ f-1(B’),
adică f-1(B’) este subinel al lui A.
Observa ție:
În particular, din propozi ția precedentă f(A) = Im( f) (imaginea lui f) este subinel al lui B și
f-1(0) = Ker f (nucleul lui f) este subinel al lui A.
Defini ție: Fie A un inel nenul. Caracteristica lui A este numărul natural definit prin
18
𝑐𝑎𝑟(𝐴)={𝑜𝑟𝑑(1),𝑑𝑎𝑐ă 𝑜𝑟𝑑(1)<∞
0 ,𝑑𝑎𝑐ă 𝑜𝑟𝑑(1)=∞
unde ord(1) este ordinul lui 1 în grupul aditiv al lui A. Un subinel are aceeași caracteristică cu
inelul.
Fie A un inel. Dacă car( A) = 0, atunci A conține o copie izomorfă a inelului ( Z,+,) și anume
subinelul P = {k1 A| k Z }, iar dacă car( A) = n 0, atunci A conține o copie a inelului
(Zn,+,) și anume subinelul P = {k1 A| 0 k n-1}.În ambele cazuri P se numește subinelul
prim al lui A.
Un subinel al unui inel integru este tot inel integru, iar caracteristica unui inel integru este
zero sau un număr prim.
Observa ție:
Dacă inelul (A, +, ) este domeniu de integritate de caracteristică p, atunci p este număr prim.
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Dacă p nu ar fi prim, atunci putem scrie p = p1p2 cu p1, p2 numere naturale mai mici decât p și
diferite de 1 și p. Pentru că p1 = 0 iar ( p1p2)1 = ( p11)(p21) ob ținem că ( p11)(p21) = 0 și
cum A este domeniu de integritate deducem că p11 = 0 sau p21 = 0, fapt ce contrazice
minimalitatea lui p cu proprietatea că p 1 = 0.
Teoremă:
Fie A un inel comutativ de caracteristică p număr prim. Atunci func ția f : A → A, f(x) = xp este
un morfism de inele.
Demonstra ție: Fie x,y A. Avem f(xy) = (xy)p = xpyp = f(x)f(y). Fie 1 k p -1. Atunci k! și
(p – k)! nu se divid cu p, deci numărul 𝐶𝑝𝑘=𝑝!
𝑘!(𝑝−𝑘)! se divide cu p, deoarece numărătorul p!
se divide cu p. Dacă z A și s este un multiplu de p, atunci sz = 0, deoarece car( A) = p. Deci
f(x+y) = (x+y)p = xp + Cp1 xp-1y + …+ Cpp-1xyp-1 + yp = xp + yp = f(x) + f(y).
Teoremă (Teorema fundamentală de izomorfism pentru inele):
Fie f : A B un morfism de inele. Atunci aplica ția F: A/Ker(f) B, F(𝑥̂) = f(x), xA este un
izomorfism de inele. Deci A/Ker(f) ≃ Im( f).
( T. Dumitrescu, Algebră1, 2006)
Demonstra ție:
Conform teoremei corespunzătoare la grupuri, care spune astfel: Dacă ( G ,) și ( G’ ,) sunt
grupuri și f : G G’ un morfism de grupuri atunci G/Ker( f) ≃ Im( f). Adică există un
izomorfism F între grupurile aditive ale inelelor A/Ker(f) și Im( f).
Dacă a,b A, atunci F(𝑎𝑏̂) = f(ab) = f(a)f(b) = F(𝑎̂)F(𝑏̂). În plus, F(1̂) = f(1) = 1 B. Deci F este
izomorfism de inele.
19
1.3.DIVIZIBILITATEA ÎNTR -UN INEL INTEGRU
1.3.1. Rela ția de divizibilitate
Defini ție:Fie A un domeniu de integritate. Spunem că un element aA divide elementul b
A și scriem a b dacă există c A astfel încât b=ac.
Observa ție:
1) Dacă ab spunem că a este un divizor al lui b, iar b este un multiplu al lui a.
2) Dacă a nu este un divizor al lui b, scriem a b.
Propozi ție:
Relația de divizibilitate are proprietă țile:
1) ab dacă și numai dacă (b) (a);
2) aa oricare ar fi a A (simetrică);
3) dacă ab și bc, atunci ac (tranzitivă);
4) dacă abi,
,,1ni atunci a(c1b1+c2b2+ · · · +c nbn), oricare ar fi ciA,
n i,1 .
(M. Becheanu, C. Ni ță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Purdea, I.D. Ion, N.
Radu, C. Vraciu, Algebră pentru perfec ționarea profesorilor, 1983)
Demonstra ție:
1) Presupunem că a b, deci există c A astfel încât b=ac. Dacă x (b), atunci există A
astfel încât x = b. Cum b = ac atunci x = ( c)a, deci x (a) adică (b) (a).
Reciproc, fie (b) (a), cum b (b) atunci b (a), deci există c A astfel încât b = ac, adică
ab.
2) Rela ția aa se obține din faptul că a = 1·a.
3) Dacă ab și bc atunci există elementele , A astfel încât b = a și c = b.
Deci c = (a) = ()a, adică ac.
4) Cum abi, ()
n i,1 atunci există i A astfel încât bi = ia,
n i,1 Deci c 1b1 + c 2b2 + · ·
· + c nbn = c11a + c 22 a +· · ·+ c nn a = (c 11+ c22 +· · ·+ c nn )a, de unde a (c1b1+c2b2+ · · ·
+cnbn ), oricare ar fi c iA,
n i,1 .
Observații :
Propietă țile 2) și 3) ne arată că rela ția de divizibilitate pe A este o rela ție binară.
Relația de divizibilitate nu este simetrică (exemplu în inelul , 24, dar 4 2).
Relația de divizibilitate nu este nici antisimetrică (exemplu în inelul , 22 și 22, dar
2 2).
Defini ție:Fie A un domeniu de integritate. În A definim rela ția notată „~” astfel: a ~ b ab
și ba. Această rela ție o vom numi relația de asociere în divizibilitate , iar dacă a ~ b se spune
că a și b sunt asociate .
Propozi ție:
Fie A un domeniu de integritate a, b A. Atunci a ~ b dacă și numai dacă există u U(A)
astfel încât b = au.
(M. Becheanu, C. Ni ță, M. Ștefănescu, A. Dincă, I. Purdea, I.D. Ion, N.
Radu, C. Vraciu, Algebră pentru perfec ționarea profesorilor, 1983)
20
Demonstra ție:
Presupunem a ~ b, adică a b și ba de unde există u,v A astfel încât b = ua și a = bv.
Dacă a = 0, ob ținem că b = 0 și putem considera u = 1.
Dacă b = 0, ob ținem că a = 0, în mod similar putem lua u = 1.
Dacă a, b 0, atunci din rela țiile de mai sus ob ținem a = (uv)a și cum a 0, rezultă uv = 1,
adică uU(A).
Reciproc, dacă b = ua unde u U(A) atunci a b. Cum a = u1b, atunci avem și b a.
Exemplu:
În inelul avem U() = {1}, de unde m ~ n dacă și numai dacă m = n.
Propozi ție:
Relația „~” are proprietă țile:
1) a ~ b (a) = (b);
2) a ~ 1 a U(A) (a) = A.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
1) Avem ab implică (b) (a) și ba implică (a) (b), deci (a) = (b).
2) Dacă a ~ 1 atunci a 1, deci există b A astfel încât 0 = ab, deci a U(A). Invers, dacă
aU(A), atunci există b A astfel încât 1 = ab și a1. Cum evident 1 a avem a ~ 1.
Echivalen ța aU(A) (a) = A este evidentă.
Observa ție:
Într-un inel A unitar elementele inversabile ale inelului se mai numesc unită ți deoarece ele
sunt asociate prin divizibilitate cu unitatea inelului.
1.3.2.Elemente ireductibile și elemente prime
Noțiunea de număr întreg prim se poate defini prin oricare din proprietă țile de mai jos.
Fie p , p 1.
1) p nu are divizori diferi ți de 1 și p
sau
2) a, b, pab pa sau pb.
Proprietățile 1) și 2) nu sunt echivalente în orice domeniu de in tegritate.
Deci într -un inel integru oarecare A, proprietă țile 1) și 2) ne vor con duce la două no țiuni
diferite.
Pentru oricare a A elementele inversabile și ele mentele asociate cu a sunt divizori ai lui a.
Un divizor al lui a diferit de acest a se numește divizor propriu .
Defini ție:Un element p A nenul și neinversabil se numește ireductibil dacă p nu are divizori
proprii. În caz contrar p se numește reductibil .
Observa ție:
Dacă un element p este ireductibil, atunci orice element asociat cu p este ireductibil.
Observa ție:
Fie pA un element nenul și neinversabil. Sunt echivalente următoarele afirma ții:
21
i) p este ireductibil;
ii) din p = ab, rezultă că unul dintre elementele a sau b este inversabil, iar ce lălalt
asociat cu p.
Exemplu:
În inelul 6 elementul
5ˆ este ireductibil, iar
4ˆ este reductibil.
Defini ție:Un element p A nenul și neinversabil se numește prim dacă () a, bA astfel încât
pab pa sau pb.
Observa ție:
1) Dacă p este prim, atunci orice element asociat cu p este prim.
2) Dacă p este prim și p divide produsul a 1 a2 a3· · ·a n, ai A,
,,1ni atunci p divide cel pu țin
unul dintre factorii a i ,
n i,1 .
Teoremă:
Orice element prim este ireductibil.
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Demonstra ție:
Dacă p este prim și p = ab ap sau bp. Din pab și din ipo teza că p este prim, rezultă că
pa sau pb. Dacă pa, atunci având și a p urmează că p este sociat cu a.
Deci există un element inversabil u A astfel încât a = p.u ceea ce împreună cu p = a.b
implică p = p.u.b, de unde u.b = 1.
Deci, p este ireductibil.
Observa ție:
Într-un domeniu de integritate oarecare, no țiunile de element prim și element ireduc tibil sunt
în general distincte.
1.3.3. Cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun
Defini ție:Fie a,bA. Un element d A se numește cel mai mic di vizor comun (prescurtat
c.m.m.d.c.) al elementelor a și b dacă are următoarele proprietă ți:
i) da sau db, adică d este un divizor comun al elementelor a și b;
ii) d a sau d b atunci d d, adică condi ția de cel mai mare.
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Observații :
Dacă există cel mai mare divizor comun d al elementelor a și b, atunci unul dintre elementele
asociate cu d va fi notat (a,b).
Dacă (a, b) = 1, atunci spunem că elementele a și b sunt relativ prime .
Propozi ție:
Fie A un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru orice două elemente există un
c.m.m.d.c. Atunci următoarele afirma ții sunt adevărate:
1) (a,b) = a ab;
2) (a,0)=a;
3) dacă a,bA, unde a,b 0 și scriem a = da , b =db, atunci (a,b) = 1;
4) (ac,bc) = c(a,b);
22
5) (a,(b,c)) = ((a,b),c).
Demonstra ție:
Afirma țiile 1) și 2) sunt evidente.
3) Fie d = (a,b) Cum d a și d b, atunci evident d da și d db. Cum d 0, atunci d
1, adică d ~ 1 ceea ce ne arată că (a , b) = 1.
4) Fie d = (a,b) și d = (ac,bc). Evident putem presupune a 0 și c 0. Cum d = (a,b), atunci a
= da și b=db, deci ac = (dc)a și bc = (dc)b ceea ce im plică dcd , adică d = (dc)d .
Deoarece d = (ac,bc), ob ținem că ac = d și bc = d , de unde rezultă că ac = dcd și
bc = dcd sau dca = dcd și dcb = dcd . Cum dc 0, atunci a = d și b = d , ceea
ce implică d a și d b. Cum (a,b) = 1, atunci d 1, adică d este inversabil, deci d ~
dc
5) Această afirm ație rezultă din definiția c.m.m.d.c.
Observa ție:
Dacă a 1,a2,,an A, atunci definim c.m.m.d.c. astfel:
(a1,a2,,an) = (( ((a1,a2), a 3),,an).
Defini ție:Fie a,bA. Un element m A se numește cel mai mic mul tiplu comun (prescuratat
c.m.m.m.c.) al elementelor a și b dacă are următoarele proprietă ți:
i) am și bm, adică m este un multiplu comun al elementelor a și b;
ii) dacă am și bm, atunci mm, adică condi ția de cel mai mic.
Vom nota [a,b] orice element care este cel mai mic multiplu comun.
Observa ții:
1. [a,b] = b ab;
2. [a,0] = 0;
3. [a,[b,c]] = [[a,b],c].
Observa ție:
Dacă a 1,a2,,an A atunci definim c.m.m.m.c. astfel:
[a1,a2,,an] = [[ [[a1,a2], a 3],,an].
Teorema:
Fie A un domeniu de integritate. Atunci următoarele afir mații sunt adevărate:
1) pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c.;
2) pentru orice două elemente există un c.m.m.m.c.;
3) intersec ția oricăror două ideale principale este un ideal principal.
În plus, dacă este verificată una dintre condi țiile echivalente de mai su s, atunci pentru
orice a,b A avem a·b = (a,b) · [a,b].
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Demonstra ție:
Arătăm mai întâi afirma țiile 2) 3).
Dacă m = [a,b], atunci (m) (a) și (m) (b), adică (m ) (a) (b).
23
Dacă m (a) (b), atunci a m și bm, deci mm, adică m (m), deci avem și
incluziunea (a) (b) (m), deci (m) = (a) (b). Invers se arată ușor că dacă (m) = (a) (b),
atunci
m = [a,b].
1) 2)
Fie a,b A. Dacă a = 0 sau b = 0, atunci [a,b] = 0. Deci pre supunem că a 0 și b 0 și fie
d = (a, b), înseamnă că a = da și b=db, unde (a,b)=1. Să notăm cu
' 'abbadabm și să
dovedim că m = [a,b]. Se vede că a m și bm. Fie acum m A astfel încât a m și bm,
deci există , A astfel încât m = a = b. Deci da = db și cum d 0, rezultă că a =
b. Cum (a,b)=1, atunci din propozi ția precedentă, rezultă că = (a,b) = (b, b), deci
b, adică = b1. Deci m= a = ab1 = m1, adică mm.
2) 1)
Evident putem presupune a 0 și b 0 și fie m = [a,b], atunci există a ,b A astfel încât m =
aa = bb. Deoarece a ab și bab, atunci m ab și deci există d A astfel încât ab = md. Să
dovedim că d = (a,b). Deoarece ab = aa d = bbd, ob ținem prin simplificare că b = a d și a =
bd, deci da și db. Fie da și db, avem a = d a1 și b = d b1. Punem m = da1b1 = ab 1=
ba1. Deci am și bm, de unde rezultă că mm, adică m = mc, deci d m = d mc, cum d
m =
d 2a1b1 = (d a1)(d b1) = ab, ob ținem ab = d mc sau md = d mc și prin simplificare, rezultă
d = d c, adică d d.
Teorema:
Dacă pentru orice pereche de elemente din A există un c.m.m.d.c., atun ci în A orice element
ireductibil este prim.
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Demonstra ție:
Fie p A un element ireductibil și a,b A. Dacă pab și p nu divide pe a, atunci (a,p) = 1 și
(ab, p) = p.
Deci (b, p) = (b(a, p)), p) = ((ba, bp),p) = (ba, (bp, p)) = (ba, p) = p, de unde re zultă că pb.
Prin urmare p este prim.
Propozi ție:
Dacă în inelul A orice pereche de elemente au un c.m.m.d.c. și a,b,c A astfel încât a bc, iar
(a,b) = 1, atunci a c.
Demo nstra ție: Din (a,b) = 1, rezultă (ac,bc) = c și cum a ac, iar abc se ob ține ac.
24
1.4. INELE DE POLINOAME
1.4.1. INELUL DE POLINOAME ÎNTR -O SINGUR Ă NEDETERMINAT Ă
Fie A un inel comutativ și cu element -unitate. Se va da mai întâi o construc ție a inelului de
polinoame într -o nedeterminată pe A.
Fie A(N) mulțimea șirurilor f = (a0, a1, ,an,), ai A care au un număr fi nit de termeni ai
nenuli.
Deci un șir ai cărui termeni sunt elemente din A aparține lui A(N) dacă și numai dacă există un
număr natural m astfel încât ai = 0 pentru orice i m.
Pe mul țimea A(N) definim două opera ții algebrice, adunarea și înmul țirea în raport cu care
A(N) devine un corp comutativ și cu element -unitate.
Dacă f, g A(N), f = (a0, a1, ,an,) și g = (b0, b1, ,bn,) adunarea se de finește astfel f + g
= (a0+ b0, a1 + b1, , an+bn,).
Înmul țirea pe A(N) se definește astfel: fie f = (a0, a1, ,an,) și g = (b0, b1, ,bn,) A(N),
atunci f g = (c0, c1, c2,), unde
ck = a0bk + a1bk-1 +…+ akb0 =
kjijiba pentru orice k = 0,1,.
Propozi ție:
(A(N), +,.) este inel unitar comutativ, numit inelul polinoamelor peste inelul A.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Faptul că ( A(N), +) este grup comutativ este imediat.
Avem că f + g A(N). Într -adevăr fie numerele naturale m și n astfel încât ai = 0 pentru i m și
bj = 0 pentru j n. Atunci ak + bk = 0 pentru orice k max( m,n). Se verifică ușor că A(N)
împreună cu adunarea formează un grup abe lian, adică adunarea este asociativă, comutativă
are element nul și orice element are un opus. Elementul nul (zero) este (0,0,0, ), iar dacă f =
(a0, a1, ,an,)A(N), atunci opusul său este f = (a0, a1, ,an,).
Să arătăm că f g A(N). Într -adevăr, dacă ai = 0, pentru orice i m și bj = 0 pentru orice j n,
atunci c k = 0 pentru orice k m + n.
Înmul țirea pe A(N) este asociativă, comutativă și are element -unitate (1,0,0,…).
Să demonstrăm asociativitatea înmul țirii. Fie f, g, h A(N), unde f = (a0,a1,a2,…), g =
(b0,b1,b2,…), h = (c0,c1,c2,…) și să arătăm ( fg)h = f(gh).
Dacă fg = (d0,d1,d2, ), atunci
kjiji k ba d și fie ( fg)h = (e0,e1,e2,…), unde
mlklk m cd e .
Avem
mlkl
kjiji m cba e
.
mkjilji
kjimlklji cba cba
Dacă gh = (d0,d1,), unde
, '
kljljcb d iar f(hg) = (e0,e1,), unde
,
mkiki m da e avem
.
mkjilji
kljmkilji
mki kljlj
mkiki m cba cba cb da e
Deci em = em pentru orice m, adică ( fg)h = f(gh).
Comutativitatea înmul țirii se ob ține imediat. Mai mult, înmul țirea este dis tributivă fa ță
de adunare. Într -adevăr, cu nota țiile de mai înainte, rezultă f(g + h) = ( d0,d1,d2,), unde
25
,) (
kjij ji k cba d iar fg + fh = (d0,d1,d2,), unde
.
kjij
kjii ji k ca ba d Cum opera ția de
înmul țire pe A este distributivă fa ță de adunare, rezultă că ( f + g)h = fh + gh.
Deci proprietatea este demonstrat ă.
Observa ții:
1) Inelul A este un subinel unitar al inelului de polinoame A(N).
2) Elementele inelului A(N) se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficien ți în A .
Defini ție:Dacă f = (a 0,a1,,an,) A(N) care este un polinom nenul, nu mim gradul
polinomului f, notat cu grad ( f ) cel mai mare număr natural n cu proprietatea a n 0.
Dacă f = (0,0,0,), atunci convenim grad ( f ) = –∞.
Remarcă:
1) Dacă f = (a0,a1,,an,) și grad ( f ) = n atunci, a0, a1, , an, se numesc coeficien ții
polinomului f , iar coeficientul an îl numim coeficientul dominant al polinomului f.
2) Adoptăm conven țiile uzuale
–∞ n, –∞ + n = –∞ și –∞ + ( –∞) = –∞, n N.
Forma algebrica a unui polinom
Scrierea unui polinom din A(N) și opera țiile introduse pe aceast ă mulțime în maniera
precedent ă se utilizeaz ă cu dificultate.
Vom introduce în continuare o alt ă form ă de sciere a polinoamelor, form ă în care operațiile
introduse sunt mai usor de utilizat.
Dacă vom considera i A : A A(N), iA(a)=(a, 0, 0,…,0,…) pentru orice a A, atunci i A este
morfism injectiv de inele unitare, astfel că putem identifica orice element a A cu elementul
(a, 0,…, 0, …) din A(N) și astfel putem privi pe A ca subinel unitar al inelului A(N).
(Bușneag D., Piciu D., Le cții de algebră, 2002)
Pe baza acestui izomorfism, vom identifica orice polinom de forma (a,0,0,…)cu elementul a,
ceea ce motiveaz ă denumirea de polinom constant.
Notăm X=(0,1,0,0,…). Se arat ă prin inducție c ă Xi=(0,0,…,0,1,0,0,…), 1 fiind pe pozitia i+1,
unde i este un numar natural.
Notăm X0=(1,0,0,…).
Observ ăm ca (0,0,…,0,a i,0,0,…)=(a i,0,0,…).(0,0,…0,1,0,0,…)=a iXi.
Teoremă:
Polinomul f A(N), f=(a 0,a1,…,a n,0,0,…) admite urmatoarea forma algebrica:
f=a 0+a1X+…+a nXn.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstratie:
Avem f=( a0,a1,…,a n,0,0,…)= (a 0,0,…,0,0,0,…)+(0,a 1,…,0,0,0,…)+…+(0,0,…,a n,0,0,…)=
a0+a1X+…+a nXn.
Defini ție: Inelul A(N) se numește inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficien ți în
inelul A și se notează cu A[X].
26
Inelul A[X] cu coeficien ți în inelul A se mai numește inelul polinoamelor într -o
nedeterminată .
Exemple:
Pentru A Q, R, C, Zpse ob țin mul țimile de polinoame:
ZX= mul țimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficien ți în Z,
ZnX= mul țimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficien ți în Zn,
QX= mul țimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficien ți în Q,
RX= mul țimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficien ți în R,
CX= mul țimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficien ți în C,
ZpX= mul țimea polinoamelor de nedeterminată X cu coeficien ți în Zp, cu p prim.
Au loc incluziunile ZXQXRXCX
Definiții:
Polinomul X este numit nedeterminata X.
Termenii aiXi se numesc monoame .
Polinomul unitar este polinomul care are coeficientul dominant 1.
(T. Dumitrescu,Algebra1, 2006)
Exemple:
i) Fie f X3 X RX. Avem: grad( f) = 3 și coeficientul
dominant este 5 .
ii) Fie f= 2̂X2 2̂X1̂ Z3X. Avem: grad( f) = 2 și coeficientul dominant este 2̂.
Propozi ție:
Fie A un inel și f, g A[X]. Atunci:
1) grad( f + g) max(grad( f), grad( g));
2) grad( f g) grad( f ) + grad( g).
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Dacă cel pu țin unul dintre polinoamele f și g este nul, atunci 1) și 2) rezultă evident având în
vedere conven țiile uzuale n, + n = , () n N și + () = .
Vom demonstra dacă f și g sunt nenule.
Fie grad( f ) = m și grad( g) = n,
,X
1
m
ii
ia f
,X
1
n
ii
ib g am 0, bn 0 și k = max( m,n). Atunci
ai = bi = 0, deci i k, deci grad( f +g) este cel mult egal cu k.
Observații :
1. Dacă A este un domeniu de integritate și f, g A[X], atunci
grad(f g) = grad( f ) + grad(g).
2. Dacă A este un domeniu de integritate atunci A[X] este un domeniu de integritate.
Propozi ție:
27
Fie f = a0 + a1X + … + anXn AX. Atunci:
i) f U(AX) a0 U(A) iar a1, …, an N(A) , unde prin N( A) am notat mulțimea
elementelor nilpotente din A,
ii) f este divizor al lui zero în AXexistă a Aastfel încât af = 0.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
i) ”” Dacă f U(AX) atunci există g = b0 + b1X + … + bmXm AX,
astfel încât fg = 1
(∗)
{ 𝑎0𝑏0=1
𝑎0𝑏1+ 𝑎1𝑏0=0
𝑎0𝑏2+ 𝑎1𝑏1+ 𝑎2𝑏0=0
………………………………
𝑎𝑛−1𝑏𝑚+ 𝑎𝑛𝑏𝑚−1=0
𝑎𝑛𝑏𝑚=0
Din prima egalitate din ( ) deducem că a0 U(A). Înmul țind ambii membri ai penultimei
egalită ți din () cu an și ținând cont de ultima egalitate deducem că an2bm-1 = 0. Se observă că
anm +1b0 = 0, de unde anm +1 = 0 pentru că b0 U(A), adică an N(A). Atunci anXn N(AX)
și
cum f U(AX) deducem că f1 = f – anXn U(AX). Pentru că f 1 = a0 + a1X + … + an-1Xn-1
deducem că an-1 N(A). Ra ționând inductiv deducem că an-2,…,a2, a1 N(A).
”” Presupunem că a0 U(A) și an,…,a2, a1 N(A). Atunci an,…,a2, a1 N(AX), dar
N(AX) este ideal în AXadică a1X, …, anXn N(AX).
Deci a1X + … + an-1Xn-1+ anXn N(AX).
Pentru că a0 U(AX) și f = a0 + (a1X + … + anXn) atunci f U(AX).
ii) ”” Se arată ușor.
”” Presupunem că f este divizor al lui zero în AX.
Fie g = b0 + b1X + … + bmXm AXun polinom nenul de grad minim pentru care fg = 0.
Atunci anbm = 0 și pentru că g1 = ang = a nb0 + a nb1 + … + a nbm-1 Xm-1 are gradul mai mic sau
egal
cu m-1 < m și g1f = 0, datorită minimalită ții lui m deducem că g1 = 0, adică anb0 = anb1 = … =
=anbm-1 = 0. Inductiv se arată ușor că an-kg = 0 pentru 0 k n și deci aibj = 0 pentru orice
0 i n, 0 j m. Pentru că g 0 există 0 j m astfel încât bj 0.
Pentru că bjai = 0 pentru orice 0 i n deducem că bjf = 0.
Propozi ție:
28
Dacă A este domeniu de integritate atunci:
i) f = a0 + a1X + … + anXn U(AX) dacă și numai dacă a1= …= an = 0 iar a0 U(A),
ii) AXeste domeniu de integritate.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
i) Pentru că A fiind domeniu de integritate rezultă că N( A) = 0.
ii) Să arătăm că dacă f AXeste divizor al lui 0 în AX, atunci f = 0.
Alegem f = a0 + a1X + … + anXn AX Există b A* astfel încât bf = 0 dacă și numai dacă
bai = 0, pentru orice 0 ≤ i ≤ n. Cum b A* iar A este domeniu de integritate deducem că
ai = 0 pentru orice 0 ≤ i ≤ n, adică f = 0.
Defini ție: Aplica ția iA : AAX, i A aa pentru orice a A este morfism injectiv de inele
unitare, numit morfismul de scufundare al lui A în AX.
Teoremă (proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame într -o
nedeterminată):
Pentru orice inel unitar, comutativ B, orice element b B și orice morfism de in ele f Hom
(A, B), există un unic morfism de inele unitare f ‘ Hom (AX, B), astfel încât f ‘ (X) = b iar
diagrama:
este comutativă, adică unitare f ‘ ◦ iA = f.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demon strație:
Fie P = a0 + a1X + … + anXn AXși să arătăm că dacă definim
f ’ (P) = f(a0) + f(a1)b + … + f(an)bn, atunci f ‘ este imorfismul de inele căutat.
Avem f ‘ (1) = f (1) = 1, iar dacă mai avem Q = b0 + b1X + … + bmXm AX, cu m n,
atunci scriind și pe Q sub forma Q = b0 + b1X + … + bnXn cu bm+1 = … = bn = 0, avem
P + Q = ∑(𝑎𝑖+ 𝑏𝑖)𝑋𝑖 𝑛
𝑖=1 , PQ = ∑𝑐𝑖𝑋𝑖 𝑚+𝑛
𝑖=0 cu c i = ∑𝑎𝑘𝑏𝑖−𝑘𝑖
𝑘=0 (0 ≤ i ≤ m + n) astfel că
f ’ (P + Q) = ∑𝑓(𝑎𝑖+ 𝑏𝑖)𝑏𝑖 𝑛
𝑖=0 = ∑(𝑓(𝑎𝑖)+ 𝑓(𝑏𝑖))𝑏𝑖 𝑛
𝑖=0 = ∑𝑓(𝑎𝑖)𝑏𝑖 𝑛
𝑖=0 + ∑𝑓(𝑏𝑖)𝑏𝑖 𝑛
𝑖=0 = f ‘
(P) + f ‘ (Q) iar f ‘(PQ) = ∑𝑓(𝑐𝑖)𝑏𝑖 𝑚+𝑛
𝑖=0 . A A[X]
B iA
f f’’
29
Pentru că ci = ∑𝑎𝑘𝑏𝑖−𝑘𝑖
𝑘=0 pentru orice (0 ≤ i ≤ m + n) avem f(ci) = ∑𝑓(𝑎𝑘) 𝑓(𝑏𝑖−𝑘)𝑖
𝑘=0
rezultă că f ‘(PQ) = ∑(∑𝑓(𝑎𝑘) 𝑓(𝑏𝑖−𝑘)𝑖
𝑘=0 )𝑏𝑖 𝑚+𝑛
𝑖=0 = f ‘ (P) f ‘ (Q), adică f ‘ Hom (AX, B).
Dacă a A, atunci ( f ‘ ◦ iA )(a) = f ‘ ( iA (a)) = f ‘ (a), adică f ‘ ◦ iA = f.
Să presupunem acum că mai avem f ‘’ Hom (AX, B) astfel încât f ‘’( X) = b și f ‘’ ◦ i = f.
Atunci, pentru P = a0 + a1X + … + anXn AXavem f ‘’ (P) = f ‘’ ( a0 + a1X + … + anXn) = f ‘’ (
a0) + f ‘’(a1) f ‘’ (X) + … + f ‘’ ( an) (f ‘’ (X))n = f(a0) + f(a1)b + … + f(an)bn = f ‘ (P), adică f ‘’ = f ‘.
Defini ție: Fie f = a0 + a1X + … + anXn AX, un polinom.
Func ția 𝑓̃: AA, 𝑓̃ (x) a0 a1 x …an xn pentru orice x A se numește funcția
polinomială atașată lui f.
Spunem despre o func ție g : A A că este polinomială dacă există f AX,astfel încât g 𝑓̃.
Gradul func ției polinomiale este dat de gradul polinomului iar coeficien ții
polinomului devin coeficien ții func ției polinomiale.
Trebuie să precizăm că polinomul și func ția asociată lui sunt două no țiuni distincte.
Astfel, polinomul este o expresie, pe când func ția polinomială este definită pe un domeniu,
are un codomeniu și o lege de coresponden ță care este determinată de expresia polinomului.
Observa ții:
i) Dacă f, g AXși f = g (ca polinoame), atunci se observă că 𝑓̃ = 𝑔̃
ca func ții.
ii) Reciproca observa ției i) nu este adevărată pentru orice inel A.
Exemplu: Fie A = Z2 , f = 1̂ + X , g 1̂X2, atunci 𝑓̃ (0̂) = 𝑔̃ (0̂) = 1̂, 𝑓̃ (1̂) = 𝑔̃ (1̂) = 0̂, deci ,
𝑓̃=𝑔̃, dar f g.
iii) Se arată ușor că dacă f, g AXatunci 𝑓±g ̃ = 𝑓̃ ± 𝑔̃ și 𝑓𝑔̃ = 𝑓̃𝑔̃
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
1.4.2. INELUL DE POLINOAME IN MAI MULTE NEDETERMINATE
Definim prin induc ție, inelul polinoamelor de un număr finit de ne determinate.
Fie A un inel și n , n 2. Atunci A[X1,X2,,Xn] inelul polinoamelor în nedeterminatele
X1,X2,,Xn cu coeficien ți în inelul A se definește inductiv astfel: A[X1] este inelul
polinoamelor în nedeterminata X 1 cu coeficien ți în inelul A; A[X1,X2] este inelul polinoamelor
în nedeterminata X 2 cu coeficien ți în inelul A[X1] și în general A[X1,X2,,Xn] este inelul
polinoamelor în nedeterminata X n cu co eficien ți în inelul A[X1,X2,,Xn–1].
30
Deci A[X1] l-am construit și atunci A[X1,X2] = A[X1][X 2]== A[X1,X2,,Xn] =
A[X1,X2,,Xn–1][X n].
Dacă f este un polinom din inelul A[X1,X2,,Xn], atunci el este un po linom în
netedeterminata Xn cu coeficien ți în A[X1,X2,,Xn-1], deci
n
nk
n k n f fff X … X1 0
, unde fi A[X1,X2,,Xn], pentru orice i = 0,1,,kn. Este clar că
din aproape în aproape f se scrie ca o sumă finită de forma
n 2 1
21i
ni
2i
1 … X…XX
niiia
în care elementele
niiia21 din A se numesc coeficien ții polinomului f.
Teoremă:
Orice polinom f A[X1,…,Xn] se scrie în mod unic ca sumă de
monoame (mutual neasemenea). Această scriere se numește forma canonică a lui f.
( T. Dumitrescu, Algebra1, 2006)
Demonstra ție: Facem induc ție după n.
n = 1 este cunoscut
n = 2 Înlocuim pe X1 cu X și pe X2 cu Y. Fie f A[X,Y] . Atunci 𝑓= ∑𝑓𝑗𝑌𝑗 𝑛
𝑗=0 cu 𝑓𝑗=
∑𝑎𝑖𝑗𝑋𝑖 𝑚
𝑖=0 , aij A, pentru j 0,…, n . Rezultă că
𝑓= ∑(∑𝑎𝑖𝑗𝑋𝑖𝑚
𝑖=0)𝑌𝑗=∑∑𝑎𝑖𝑗𝑋𝑖𝑌𝑗𝑚
𝑖=0𝑛
𝑗=0 𝑛
𝑗=0
Deci f se scrie ca sumă de monoame. Pentru a proba unicitatea scrierii, fie 𝑓=
∑∑𝑏𝑖𝑗𝑋𝑖𝑌𝑗 𝑚
𝑖=0𝑛
𝑗=0 , bij A, o altă reprezentare a lui f ca sumă de monoame. Din egalitatea de
polinoame în Y , ∑(∑𝑎𝑖𝑗𝑋𝑖 𝑚
𝑖=0)𝑌𝑗 𝑛
𝑗=0 = ∑(∑𝑏𝑖𝑗𝑋𝑖 𝑚
𝑖=0)𝑌𝑗 𝑛
𝑗=0 rezultă că ∑𝑎𝑖𝑗𝑋𝑖 𝑚
𝑖=0=
∑𝑏𝑖𝑗𝑋𝑖 𝑚
𝑖=0 pentru j 0,…, n deci aij = bij pentru orice i și j .
Defini ție: Fie f A[X1,…,Xn] care se poate scrie ca sumă finită de monoame nenule
din A[X1,…,Xn], cu ajutorul ordonării lexicografice de pe A[X1,…,Xn]. Numim termenul
principal al polinomului f monomul nenul cel mai mare în ordonarea lexicografică și îl notăm
cu t p(f).
Exemplu:
Fie f1, f2, f3 Z[X1,X2,X3], cu f1 = X1 + X2 + X3 , f2= X1X2 + X2X3 + X3X1 și
f3 = X12X2 X3 – 4 X1X22 X34. Avem t p(f1) = X1, tp(f2) = X1X2 și tp(f3) = – 4 X1X22 X34.
Observăm că orice coeficient
niiia21 apare drept coeficient al unuia dintre po linoamele fi, 0 i
kn. Atunci din f = 0, ținând seama că f este polinom în ne determinata X n cu coeficien ți
,,,,1 0nkf ff
se ob ține
01 0
nkf f f . Dar fie care fi este polinom în n1 nedete rminate,
deci conform presupunerii inductive, re zultă că to ți coeficien ții acestora sunt nuli. Dar cum
orice coeficient
niiia21 al po linomului f este coeficient al unuia dintre polinoamele fi, rezult ă
că to ți coeficien ții polinomului f sunt nuli, adică unicitatea scrierii lui f sub forma indicată.
31
Dacă f este un polinom din inelul A[X1,X2,,Xn], gradul lui f relativ la nedeterminata X i, i =
1,2,…, n este cel mai mare exponent la care figurează X i în expresia lui f. Când acesta este ze ro
înseamnă că nedeterminata X i nu poate apărea în expresia lui f. Un polinom de forma
ni
ni ia X XX2 1
2 1
cu a 0 se numește monom, iar prin gradul său în țelegem suma i1 + i2 +…+
in și scriem
. X XX2 1 2 12 1
ni
ni ii ii a gradn
Fie acum
n
nn
nk kk
i iii
ni i
iiia f
21
212 1
21,
0,,,2 1 X XX un polinom care se scrie în mod unic ca o sumă de
monoame, numite termenii polinomului . Gradul po linomului f, notat prin grad( f ) se definește
prin
.0 dacă , sai ermenilor gradelor t maximul0 dacă,)(fff grad
Observăm că în scrierea lui f pot să apară termeni diferi ți care să aibă același grad. Dacă to ți
termenii unui polinom f din A[X1,X2,,Xn] au același grad, atunci f se numește polinom
omogen sau formă . Fiind date două polinoame omo gene, atunci fg este sau polinomul nul sau
un polinom omogen nenul de grad egal cu grad( f ) + grad( g).
Polinomul f 0 de grad n se scrie în mod unic sub forma f = f1 + f2 +…+ fn unde fiecare fi este
sau nul sau un polinom omogen de grad i și fn 0.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Exemplu:
Astfel, dacă f =2X 12 -3X1X 22 +4X 1X2X3ℤ[X1, X2, X3], atunci grad(f)=max{2, 1+2, 1+1+1}
= max{2, 3, 3}=3.
Defini ție: Dacă to ți termenii unui polinom f din A[X1,…,Xn] au același grad, vom
spune despre f că este polinom omogen sau formă.
Fie f și g A[X1,…,Xn], două polinoame omogene, atunci produsul lor fg este sau
polinomul nul sau un polinom omogen de grad egal cu grad ( f) + grad ( g).
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Observa ție: Fie f A[X1,…,Xn], un polinom nenul de grad n . f se poate scrie în
mod unic sub forma f = g0 + g1 +…+ gn unde fiecare gi, 0 i n este nul sau polinom omogen
de grad i. Polinoamele omogene nenule gi, cu 0 i n din scrierea lui f de mai sus se numesc
componentele omogene ale polinomului f.
Teoremă:
Fie A un inel comutativ, n 1 și f, g A[X1,…,Xn]. Atunci:
i) grad( f+g) max(grad( f), grad( g)),
ii) grad( fg) grad( f) + grad( g) cu egalitate dacă A este domeni u.
( T. Dumitrescu,Algebra1, 2006)
Demonstra ție:
i) Se arată ușor.
ii) Presupunem că f și g sunt nenule, altfel afirma ția reiese ușor. Fie k = grad( f) și
l = grad( g). Scriem pe f și g ca sumă de componente omogene: f = f0 + f1 +…+ fk și forma
g = g0 + g1 +…+ gl cu fk, gl nenule. Atunci 𝑓𝑔= ∑∑𝑓𝑖𝑙
𝑗=1𝑔𝑗𝑘
𝑖=1 unde fiecare termen nenul figj
32
este un polinom de grad i + j k + l. Deci grad ( fg) k + l. Dacă, în plus, A este domeniu,
atunci
fkgl este un polinom omogen de grad k + l și grad ( figj) k + l pentru price ( i,j) (k,l). Deci
grad ( fg) = k + l.
Defini ție: Se numeste morfism canonic de scufundare a lui A în A[X1,…,Xn] func ția
iAA A[X1,…,Xn], definită prin iA aa pentru orice a A.
Teoremă (proprietatea de universalitate a inelelor d e polinoame în mai multe
nedeterminate):
Fie n N, n 2, B un inel unitar comutativ f : A B un morfism de inele unitare și
b1,…,bn B. Atunci există un unic morfism de inele unitare f ’: A[X1,…,Xn] B astfel încât
f ’(Xi) = bi pentru orice 1 i n iar diagrama:
este comutativă, adică f ’ ◦ iA = f.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Vom demonstra prin induc ție matematică după n.
Pentru n = 1 avem adevărată.
Presupunem afirma ția adevărată pentru n – 1 și o demonstrăm pentru n.
Avem un unic morfism de inele unitare f1 : A[X1,…,Xn-1] B astfel încât f1 (Xi) = bi pentru
orice 1i n1 iar diagrama:
este comutativă, adică f 1 ◦ i ’A = f, unde i’A este morfismul canonic de la A la A[X1,…,Xn-1].
Pentru că A[X1,…,Xn] = A[X1,…,Xn-1]Xn avem un morfism de inele unitare
f’: A[X1,…,Xn] B astfel încât f’(Xn) = bn și diagrama: A A[X1, …, Xn-1]
B i’A
f f1 A A[X1, …, Xn]
B iA
f f’’
33
este comutativă, adică f’◦ i’’A = f1, unde i’’A este morfismul canonic de la A[X1,…,Xn-1] la
A[X1,…,Xn-1]Xn = A[X1,…,Xn].
În mod evident iA = i’’A ◦ i’A și obținem din cele două diagrame comutative de mai sus
următoarea diagram comutativă:
Se arată ușor că f’(Xi) = bi pentru orice 1 i n .
Unicitatea lui f’ rezultă din unicitatea lui f1 și a faptului că f’ ◦ i’’A = f 1.
Conform principiului induc ției matematice teorema este adevărată pentru orice n N, n 1.
A A[X1, …, Xn]
B iA
f f’’ A[X1, …, Xn] A[X1, …, Xn-1]
B i’’A
f1 f’
34
CAPITOLUL 2
În cadrul acestui capitol se vor prezenta polinoamele, care împreună cu opera țiile de
adunare și înmul țire formează structuri algebrice de inele.
De asemenea, vom vedea că aritmetica inelului de polinoame K[X], unde K este un
corp comutativ este analogă cu aritmetica inelului al numerelor întregi.
Vom vorbi si aici despre teorema împăr țirii cu rest, algoritmul lui Euclid, numere prime,
polinoame ireductibile, c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. si teorema de descompu nere în factori
ireductibili (primi). De asemenea, vom men ționa Criteriul de ireductibilitate al lui
Schönemann și Criteriul lui Eisenstein .
Spre finalul capitolului vom trata rezolvarea ecua țiilor de grad mai mic sau egal cu 4.
2. ARITMETICA INELELOR DE POLINOAME
2.1. POLINOAME IREDUCTIBILE. DESCOMPUNEREA POLINOAMELOR
Fie K un corp comutativ și K[X] inelul polinoamelor cu coeficien ți în K.
2.1.1. Teorema împăr țirii cu rest
Teoremă (Teorema împăr țirii cu rest a polinoamelor) :
Fie A un do meniu de integritate f, g polinoame din A[X] cu g 0 și coeficientul ter menului
de grad maxim a lui g să fie inversabil. Atunci există polinoame unice q și r din A[X] astfel
încât f = gq + r și grad(r) grad(g).
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstra ție:
Procedăm prin induc ție după gradul lui f.
Fie m = grad( f ) și n = grad( g). Dacă grad( f ) = m n = grad( g), atunci q = 0 și r = f . Dacă
m n și am, bn sunt coeficien ții termenilor de grad maxim ai lui f respectiv g. Prin ipoteză bn
este inversabil. Atunci fie f1 = f (ambn-1)Xm–ng; deoarece coeficien ții lui Xm în f și (ambn-1)Xm–
ng sunt egali, este clar că grad( f1 ) grad( f ).
Deci, după ipo teza de induc ție, există polinoamele q1 și r1 din A[X] astfel încât f = gq 1 + r1 și
grad( r1) grad( g). Atunci,
f = (ambn-1)Xm–ng + gq 1 + r1 = g((ambn-1)Xm–n + q 1) + r1,
unde grad( r1) grad( q). Deci f = gq + r și grad( r) grad( g), q = (ambn-1)Xm–n + q 1, iar r = r 1.
Să demonstrăm unicitatea lui q și r.
Într-adevăr dacă f = gq+rși grad( r) grad( g), atunci rezultă că g(q – q) = r – r, unde
grad( r r) grad( g) și g 0. Cum bn este inversabil, deci nu este divizor al lui zero în A, și
dacă q q1, rezultă grad( r r) grad( g) contradic ție. Deci q = q1, de unde ob ținem r = r 1.
Observa ție:
35
Polinomul f se numește deîmpăr țit, iar po linomul g se numește împăr țitor.
Polinomul q se numește câtul , respectiv polinomul r se numește restul împăr țirii polinomului
f la g.
Consecin ța 1(Teorema restului):
Pentru orice f A[X] și orice a A, există q A[X] astfel încât f = (X a)q + f (a).
Demonstra ție:
Aplicăm teorema împăr țirii cu rest pentru f și X a, există q, r A[X], unice, pentru care f =
(X a)q + r și grad( r) 1.
Fie aplica ția f : A A. Cum polinoamele f și (X a)q + f (a) sunt e gale, ele definesc aceeași
funcție polinomială. Deci f(x) = (x a)q + f (a), () x A. Punând x = a , rezultă f(a) = r.
Consecin ța 2:
Fie K corp comutativ și f, g K[X] cu g 0. Atunci există po linoamele q, r K[X], unic
determinate astfel încât f = gq + r și grad( r) grad( g).
Defini ție: Un domeniu de integritate A se numește inel euclidian dacă există o func ție
: A cu proprietă țile:
i) oricare ar fi elementele a,bA, astfel ca a să dividă pe b, rezultă (a) (b);
ii) pentru oricare a,bA, b 0, există q ,r A astfel încât a = b q + r , unde r = 0 sau
(r) (b).
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Observație:
(a) = 0 a = 0.
Exemple:
1) Inelul este euclidian relativ la func ția modul
: ,
0. dacă ,0 dacă ,)(x xx xx x
2) Inelul [i] este euclidian relativ la func ția normă
: [i] , (z) = N(z) =
.||2z
Defini ție: Un domeniu de integritate A se numește inel principal ( sau inel cu ideale
principale) dacă orice ideal al lui A este principal .
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Exemple:
1) Inelul este inel principal.
2) Inelul [i] este un inel principal.
Observație:
Orice inel euclidian este principal.
Propozi ție: Inelul de polinoame într -o singură variabilă K[X] cu co eficienți în corpul
comutativ K, este inel euclidian.
Demonstra ție:
36
Din consecinta 2, dacă f, g K[X] cu g 0, atunci există po linoamele q, r K[X], unic
determinate astfel încât f = gq + r și grad(r) grad(g) .
Fie funcția : K[X] \0 cu ( f ) = grad( f ) care satisface condi ția a doua din defini ția
inelului euclidian. Deci K[X] este inel euclidian.
2.1.2. Cel mai mare divizor comun. Algoritmul lui Euclid
Defini ție: Fie f și g două polinoame din A[X] . Spunem că polinomul f divide polinomul g sau
polinomul g se divide cu f în inelul A[X] dacă există h A[X] astfel încât g = fh și scriem
fg sau echivalent
.fg
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănut Dr ăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Propozi ție:
Relația de divizibilitate pe A[X] are proprietă țile:
1) ff, oricare ar fi f A[X] (reflexivă);
2) dacă fg și gf, atunci fh oricare ar fi f, g ,h A[X] (tranzitivă).
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănut Dr ăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstra ție:
1) Avem ff, deoarece f = 1 f.
2) Din fg se deduce că există f, g A[X] astfel încât g = f f1 și din gh se deduce că
există g1 A[X] astfel încât h = gg 1. Din cele de mai sus, rezultă h = gg 1 = ff 1g1 = f(f 1g1).
Cum f 1, g1 A[X] f1, g1 A[X], deci fh.
Propozi ție:
Fie f și gi,
,,1m i două polinoame din A[X] . Dacă fgi, atunci
1|m
ii
if q g
cu qiA[X],
.,1m i
Demonstra ție:
Propozi ția spune că dacă f divide polinoamele gi,
,,1m i atunci f divide orice combina ție de
aceste polinoame, adică
m
iiigq f
1| . Într -adevăr din fgi se deduce că există fi A[X] pentru
care gi = ff i,
1, .im Atunci
1 1 1.m m m
i i i i i i
i i iq g q ff f q f
Din această rela ție și din faptul că
1m
ii
iqf
A[X], rezultă
. |
1
m
iiigq f
Propozi ție:
Fie f și g două polinoame din A[X], cu fg. Atunci f 0 și grad( f ) grad(g).
Demonstra ție:
37
Din fg, rezultă că există f1 A[X] astfel încât g = ff 1. Evident f 0, f1 0, deci grad( f ) 0,
grad( f1 ) 0. Cum A[X] este un domeniu de integritate, avem ff1 = g, grad(g)= grad( f ) +
grad( f1 ), iar de aici deducem grad( f ) grad(g)
.
Defini ție: Fie f și g două polinoame din A[X]. Spunem că polinoamele f și g sunt asociate în
divizibilitate dacă fg și gf (se divid reciproc) și scriem f g.
Observație:
Relația de asocia ție în divizibilitate este evident o rela ție de echi valen ță (reflexivă, simetrică,
tranzitivă).
Observa ție:
Un polinom f A[X] este inversabil dacă și numai dacă f 1. Altfel spus, polinoamele
inversabile sunt asociate elementului unitate 1, motiv pentru care le mai numim și unită ți.
Defini ție: Spunem că polinoamele f și g din A[X] au cel mai mare di vizor co mun (prescurtat
c m.m.d.c. ) dacă există polinomul d A[X] cu următoarele condi ții:
i) df sau dg, adică d este un divizor comun al polinoamelor f și g;
ii) orice alt divizor comun d pentru care d f sau d g atunci d d, adică condi ția de
cel mai mare.
Notăm (f, g) c. m m. d. c. al polinoamelor f și g.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Observa ție:
Dacă d 1 este un alt polinom din A[X] care are proprietă țile i) și ii), atunci d d1, d1d, deci d
d1. După propozi ția precedentă, avem că există a A inversabil cu d1 = ad. Așadar c.m.m.d.c.
a două polinoame din A[X], în cazul în care există, este unic mai pu țin o asociere în
divizibilitate.
Fie K un corp comutativ. Printre polinoamele din K[X] asociate în di vizibilitate cu un
polinom dat există unul singur care este unitar , adică are coeficientul ter menului de grad
maxim egal cu 1. În acest caz, f și g fiind polinoame din K[X] vom nota (f, g) acel polinom
unitar care este cel mai mare divizor comun al lor. Cum pentru f = g = 0, polinomul (f, g) nu
poate fi diferit ca mai sus, convenim să pu nem în acest caz (0, 0) = 0. Dacă fg, atunci (f, g) =
f, în particular ( f, 0) = f.
Lemă:
Dacă f, g, q, r K[X] astfel încât f = gq + r și dacă există
(g, r) atunci există (f, g) și mai mult (f, g) = (g, r) .
Demonstra ție:
Fie d = (g, r). Deci dg și dr, de unde dgq + r (com binație de q și r). Prin urmare df,
adică d este un divizor comun pentru f și g. Dacă d este un alt divizor comun pentru f și
atunci
f f – gq, adică d r. Deci d este un di vizor comun pentru g și r. Cum d = (g, r), rezultă că
d d și în final f = (f, g).
Știm că inelul K[X] este inel euc lidian. În cazul unui inel euclidian se poate determina
c.m.m.d.c. a două elemente prin algoritmul lui Euclid.
38
Teoremă (Algoritmul lui Euclid):
Orice două polinoame din K[X] au un c.m.m.d.c.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana
Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstra ție:
Fie f, g K[X] . Dacă f = 0, atunci (0, g) = g, deoarece g0, gg, iar dacă d este un divizor
pentru 0 și g, atunci evident dg. Deci am arătat că (0, g) = g. Analog dacă f 0, g = 0, ( f, 0)
= f. Presupunem acum că f 0 și g 0. Apli când teorema împăr țirii cu rest polinoamelor f și
g găsim polinoamele q1 și r1 astfel încât f = gq 1 + r1, cu grad(r 1) grad(g).
Dacă r1 0, apli căm teorema împăr țirii cu rest polinoamelor g și r1, obținem
polinoamele q2 și r2 astfel încât g = r 1q2 + r2 cu grad(r 2) grad(r 1). Repetând acest procedeu,
obținem polinoamele q 3, q4,,qn și r3, r4,,rn astfel încât
r1 = r2q3 + r3 cu grad(r 3) grad(r 2)
rn-2 = rn-1qn + rn cu grad(r n) grad (r n-1)
rn-1 = rnqn+1 + rn+1 cu grad(r n+1) grad (r n).
Cum grad(r 1) grad(r 2) grad(r 3) … grad(r n) grad(r n+1) …, există un număr
natural n astfel încât rn 0 și r n+1 = 0. Să arătăm că ultimul rest nenul rn reprezintă cel mai
mare divizor comun al polinoamelor f și g. Aplicând lema în mod repetat (de jos în sus în
lanțul de rela ții) avem
rn = (rn, 0) = (r n-1, rn) = (r n-2, rn-1) =… = (r 1, r2) = (g, r 1) = (f, g).
Exemplu:
Fie polinoamele f = X4 – 2X3 + 4X2 – 4X + 4 și g = 2X3 – 3X2 + 4X – 6. Aplicând algoritmul
lui Euclid avem:
Prima împăr țire
2f = 2X4 – 4X3 + 8X2 – 8X + 8
2X4 – 4X3 + 8X2 – 8X + 8
̶ 2X4 + 3X3 – 4X2 + 6X 2X3–3X2+4X–6
/ – X3 + 4X2 – 2X + 8
3 2X X23X2 3
21x
/
2X25 / + 5
A doua împăr țire: noul rest îl înmul țim cu 2 și ob ținem 5X2 + 10, iar noul de împăr țit îl
înmul țim cu 5 și avem 10X3 – 15X2 + 20X – 30.
10X3 – 15X2 + 20X – 30
–10X3 – 20X 5X2 + 10
/ –15X2 / – 30
15X2 + 30 2X – 3
/ /
Ultimul rest nenul este 5X2 + 10 care este c.m.m.d.c.
39
Observa ții:
1) Dacă f, g K[X] , f, g 0 (cazul interesant) pentru a determina c.m.m.d.c. al
polinoamelor f și g se realizează lan țul de împăr țiri cu rest de mai sus dacă grad( f ) grad(g).
Dacă grad(g) grad( f ), atunci se inversează rolul lui f cu g.
2) Cel mai mare divizor comun a două polinoame f și g este unic până la o aso ciere în
divizibilitate, în sensul că dacă d = (f, g) și d = (f, g), atunci d d , adică există a K\0,
astfel încât d = ad .
3) Dacă în lan țul de împăr țiri o egalitate se înmul țește cu a K\0, atunci, în final,
c.m.m.d.c. nu se modifică, acesta fiind unic până la o constantă ne nulă din K, adică (f, g) =
(af, ag), a K\0.
Consecin ță:
Fie f, g K[X] cu d = (f, g) . Atunci există u, v K[X] astfel încât d = uf + vg.
Demonstra ție:Este evidentă începând de jos în sus din lan țul de împăr țiri cu exprimarea
ultimului rest nenul rn.
Defini ție: Un domeniu de integritate A se numește factorial dacă orice element nenul și
neinversabil al lui A este un produs finit de elemente prime ale lui A.
Teorem ă :
Dacă A este un inel principal, atunci A este factorial.
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Demonstra ție:
Este suficient să do vedim că orice lan ț ascendent de ideale es te sta ționar. Fie pentru aceasta
lanțul ascendent de ideale I 1 I2 … In …..
Vom nota
.
1
nnI I Este evident că I este un ideal. Cum inelul A este prin cipal, atunci există a
A astfel încât I = Aa. Cum a I, atunci
,
1
nnI a deci există un număr r 1 astfel încât a
Ir. Deci Aa I, adică I Ir și în particular I k Ir, oricare ar fi k 1. În particular, dacă k r,
obținem I k Ir Ik, deci I k = Ir. De unde I r = Ir+1 = …..
Observa ție:
În particular, ținând cont că orice inel euclidian este principal, rezultă că orice inel euclidian
este un inel factorial.
Observa ție:
Fie A un inel factorial. Atunci inelul de polinoame A[X] este factorial.
Defini ție: Fie f, g K[X] . Spunem că polinoamele f și g sunt prime între ele dacă (f, g)= 1.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Observație:
Dacă două polinoame f și g sunt prime între ele, atunci există u, v K[X] astfel încât
1 = uf + vg .
40
Propozi ție:
Fie f, g K[X] astfel încât fgh și (f, g)= 1. Atunci fh.
Demonstra ție:
Cum (f, g)= 1, atunci există u, v K[X] astfel încât 1 = uf + vg . Înmul țind această rela ție cu h,
obținem h = ufh + vgh . Deoarece fgh există f1 K[X] astfel încât gh = ff1, iar egalitatea
precedentă devine h = ufh + vff 1 sau h = f(uf + vf 1). De aici fh.
Observa ție:
Dacă f, g Q[X], atunci (f, g)Q[X]. Dacă f, g R[X], atunci (f, g) R[X] etc.
Defini ție: Spunem că polinoamele f și g din A[X] au cel mai mic mul tiplu comun (prescurtat
c.m.m.m.c. ) dacă există polinomul mA[X] cu următoarele condi ții:
i) m este multiplu a lui f și g, adică fm sau gm;
ii) orice alt multiplu comun m al lui f și g este multiplu al lui m, dacă fm și gm,
atunci mm.
Notăm [f, g] c.m.m.m.c. al polinoamelor f și g.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Propozi ție:
Fie polinoamele f, g K[X] dintre care cel pu țin unul este ne nul. Dacă d este c.m.m.d.c. al lui f
și g, atunci polinomul m = fg/g este c.m.m.m.c. al lui f și g (fg/d înseamnă câtul împăr țirii
polinomului fg prin d).
2.1.3 . Polinoame ireductibile
Defini ție:Un polinom pK[X] nenul și neinversabil(echivalent spus de grad 1) se numește
ireductibil în inelul K[X] sau ireductibil peste corpul K dacă, abstrac ție făcând de asocieri,
singurii divizori în K[X] sunt 1 și p. Aceasta înseamnă că ( ) qK[X] , qp q 1 sau q p.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Defini ție:Un polinom nenul și neinversabil care nu este ireductibil se mai nu mește reductibil
în K[X].
Observa ții:
1) Dacă pK[X] este ireductibil, atunci orice polinom asociat cu p este de asemenea
ireductibil.
2) pK[X] este ireductibil dacă și numai dacă nu se poate scrie ca pro dusul a două polinoame
din K[X], ambele având gradul mai mic decât gradul lui p.
Propozi ție:
În orice inel K[X] polinoamele de grad 1 sunt ireductibile.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstra ție:
41
Fie pK[X] un polinom de grad 1 și qK[X] un di vizor al lui p. Vom arăta că q 1 sau q p.
Avem p = qs sau sK[X]. Trecând la gra de, rezultă că 1 = grad(q) + grad(s), deci grad(q)
0,1. Dacă grad(q) = 0, atunci qK\0, deci q 1, iar dacă grad(q) = 1, atunci grad(s) = 0,
deci sK\0 și prin urmare q p.
Propozi ție:
Fie p K[X] un polinom de grad 2.
1) O condi ție necesară ca polinomul p să fie ireductibil în K[X] este ca el să nu aibă
rădăcini în corpul K (dacă p este ireductibil, atunci p nu are rădăcini în K).
2) Dacă grad(p) 2,3 condi ția necesară de la 1) este și suficientă
(p este ireductibul dacă și numai dacă nu are rădăcini în K).
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea, Liliana Niculescu,
Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Demonstra ție:
1) Presupunem că p este ireductibil și arătăm că nu are ră dăcini în corpul K. Presupunem prin
absurd că p are o rădăcin ă x0 K. Conform te oremei lui Bézout, rezultă p = (X – x0)q cu q
K[X]. Atunci q p, deci q ~ p. Nu putem avea q ~ p, deoarece ar rezulta că X – x0 este
inversabil. Prin urmare, q ~ 1 și atunci p ~ X – x0, deci grad(p) = 1, ceea ce contrazice ipoteza
grad(p) 2. Prin ur mare, p este ireductibil, în mod necesar nu are rădăcini în K.
2) Presupunem că gradul lui p este 2 sau 3 și că p nu are rădăcini în K. Vom arăta că p este
ireductibil în K[X] . Pentru ace asta fie qK[X] un divizor oa recare al lui p și să arătăm că q
1 sau q p. Avem p = qh cu h K[X] și trecând la grade avem grad(p) = grad(q) + grad(h)
(1). Deoarece orice polinom de grad 1 din K[X] are o rădăcină în K (căci aX + b are rădăcina
x0 = b/aK), rezultă că niciunul dintre factorii q și h ai polinomului p nu poate avea gradul 1.
Aceasta în trucât o eventuală rădăcină în K a lui q sau h ar fi o rădăcină în K a lui p, contrar
ipotezei că p nu are rădăcini în K. Atunci analizând egalitatea ( 1) și ținând seama că membrul
stâng este 2 sau 3, iar termenii din membrul drept sunt numere na turale diferite de 1, rezultă
posibilită țile:
a) grad(p) = 2 grad(q) 0,2 q 1 sau q p;
b) grad(p) = 3 grad(q) 0,3 q 1 sau q p.
Deci, pentru orice q K[X], qp q 1 sau q p, ceea ce înseamnă că polinomul p este
ireductibil în K[X].
Exemplu:
Polinomul p = X2 + 2 R[X] este ireductibil, întrucât este de grad 2 și nu are rădăcini în
corpul R.
Defini ție:Un polinom q K[X] nenul și neinversabil se numește prim dacă () f, g K[X]
din qfg qf sau qg.
Lemă:
Fie p K[X] un polinom ireductibil și f K[X] un polinom oarecare. Dacă p nu divide f,
atunci (f, p)= 1.
Demonstra ție:
Fie d (f, p) . Cum dp iar p ireductibil, avem d 1 sau d p.
Dacă d p, cum df, ar însemna pf , contrar ipotezei. Prin urmare, d 1, adică (f, p)= 1.
42
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae
Radu )
Propozi ție:
Fie p K[X] un polinom nenul și neinversabil. Următoarele afirma ții sunt echivalente:
1) p este ireductibil în K[X];
2) p este prim în K[X].
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Demonstra ție:
1) ⇒2) Presupunem că p este ireductibil și fie f, g K[X] astfel încât pfg. Pentru a arăta că
p divide f sau p divide q procedăm astfel: ad mitem, de exemplu, că p nu divide f și
demonstrăm că atunci neapărat p divide pe g. Într -adevăr dacă p nu divide f din lema
precedentă avem (p, f ) = 1. Așadar, pfg și (p, f ) = 1, ceea ce conduce la pg.
2) ⇒1) Presupunem că p este prim, adică oricare ar fi f, g K[X] cu pfg, rezultă că p f sau
pg. Pentru a arăta că p este ireductibil, considerăm un divizor arbitrar q K[X] al lui p și
arătăm că q 1 sau q p. Avem p = qs cu s K[X], deci p qs și atunci conform ipotezei în
care lucrăm, avem p q sau ps. Dacă pq cum și q p înseamnă q p. Dacă ps cum sp
înseamnă s p, deci q 1.
2.1.4. Descompunerea polinoamelor
Teorem ă:
Orice polinom nenul și neinversabil din K[X] se descompune în mod unic într -un produs finit
de polinoame ireductibile din K[X]. Unicitatea este în țeleasă, abstrac ție făcând de asocieri și
de ordinea factorilor.
(G. Bercu, L. Dăuș, A. Pletea, D. Roșu, M. Vlădoiu, C. Voica, Algebră liniară, geometrie
analitică, geometrie diferen țială și elemente de algebră tensorială, 2013 )
Demonstra ție:
Existenta descompunerii :
Fie f K[X] n enul și neinversabil. Aceasta este echivalent cu a spune că l = grad( f ) 1.
Procedăm prin induc ție după l. Pentru l = 1 polinomul f este ireductibil în K[X] și
descompunerea este asi gurată, mai precis f are un singur factor ireductibil în descompunere a
sa. Să pre supunem acum că toate polinoamele de grad mai mic decât un l fixat se descompun
în factori ireductibili și să dovedim că polinomul f de grad l se descompune în factori
ireductibili.
Dacă f este el însuși ireductibil, descompunerea este asigu rată. Adică f nu este ireductibil și
avem f = gh cu g, h K[X] grad(g) l și grad(h) l. Conform ipotezei de induc ție q = p 1 p2
… p s, h = p s+1 ps+2 … p t, unde p 1, p2,,ps, ps+1, ps+2,,pt K[X] sunt polinoame ireductibile
nu neapărat distincte. Atunci f = gh = p1 p2…ps ps+1 ps+2…pt, deci f se descompune în factori
ireductibili.
Unicitatea descompunerii :
Presupunem că f are două descompuneri
f = p1 p2…p n= q 1q2…q m,
unde p 1, p2,, pn, q1, q2,, qm sunt polinoame ireductibile din K[X]. Vom arăta că m = n și
după o eventuală renotare, avem p1 q1, p2 q2 ,, pn qn. Procedăm prin induc ție după n.
43
Dacă n = 1, avem p1 = q 1q2…q m (1). Atunci p 1q1q2…qm și p 1 divide unul dintre factorii
q1,q2,,qm. După o eventuală renotare, pu tem presupune p 1q1. Din rela ția (1) avem q 1p1 și
astfel p 1 q1. Dacă am avea m 2, din (1) ar rezulta q 2…qm 1 ceea ce ar însemna că
polinoamele q 2,,qm sunt polinoame inversabile, contrar faptului că ele sunt ireductibile.
Așadar m = 1 = n și afirma ția este probată în cazul n = 1.
Presupunem acum că afirma ția este adevărată pentru n – 1 și arătăm că este va labilă și pentru
n. Din egalitatea p 1p2…pn= q 1q2…qm (2), rezultă că p nq1q2…qm. Avem: pn divide unul dintre
factorii q 1, q2, …, qm. După o eventuală re notare, putem presupune pnqm. Cum q m este
ireductibil, iar pn nu este asociat cu 1, rezultă că pn qm, deci q m = u · p n, cu u K\0.
Înlocuind în relația (2) și sim plificând prin p n 0, lucru posibil într -un domeniu de integritate
K[X], ob ținem p 1p2…pn-1 = (uq 1)q2…qm-1 (3), unde uq 1 este tot un polinom ireductibil, căci
este aso ciat cu q 1. În baza ipotezei de induc ție din (3), rezultă n – 1 = m – 1, adică n = m, iar
după o eventuală renotare, avem p1 uq1, p2 q2,…, p n-1 qn-1. Cum p n qm = q n teorema este
complet demonstrată.
Exemplu:
Fie polinomul f Q[X], f=X(X+1)(X+3 ). Această scri ere a polinomului f reprezintă
descompunerea lui f în factori ireductibili, în trucât polinoamele de gradul 1 sunt ireductibile.
Pe de altă parte, putem scrie evident f = (3X + 6) ·
12X · (4X + 12) scriere ce reprezintă tot o
descompunere în factori ire ductibili în inelul Q[X]. Cele “ două” descompuneri sunt de fapt
una și aceeași .
Observa ție:
In K[X], calculul c.m.m.d.c. a două polinoame se poate face în mod al goritmic cu ajutorul
algoritmului lui Euclid, dar ținând cont de teorema pre cedentă și cu ajutorul descompunerii în
factori ireductibili.
Propozi ție(Bézout):
Fie A un inel comutativ unitar, f A[X] și a A. Atunci următoarele afirmații sunt
echivalente: (i) a este rădăcină a lui f (adică f ~ (a)=0)
(ii) X -a | f.
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
(i)=>(ii).
Fie f=a0+a1X+…+anX n ŒA[X] și să presupunem că f ~ (a)=0 a0+a1a+…+a nan =0.
Putem deci scrie f=(a 0+a1X+…+a nXn )-(a0+a1a+…+a nan )=a 1(X-a)+a 2(X2 -a2 )+…+a n(Xn -an ) și
cum pentru orice k ℕ, Xk -ak =(X-a)(Xk-1+aXk-2+…+ak-2X+ak-1) (adică X -a|Xk -ak ) deducem
imediat că X -a| f.
(ii)=>(i).
Dacă X -a| f atunci putem scrie f=(X -a)g cu gA[X] și cum f ~ = ( x – a) g ~ ,deducem că
f ~ (a)=(a -a) g ~ (a)= =0· g ~ (a)=0.
Propozi ție:
Fie K[X] un polinom de grad n 1.
Următoarele afirma ții sunt echivalente:
1) Factorii liniari, presupuși nu neapărat distinc ți din descompunerea lui f în factori
ireductibili în inelul K[X], sunt X – x1, X – x2, X – x3, …, X – xq, (q n).
44
2) Rădăcinile polinomului f în corpul K presupuse nu neapărat distincte sunt x 1, x2,
x3,…, x n.
3) Există scrierea f = (X – x1)(X – x2)…(X – xn)g, unde g K[X] este un po linom
care nu are rădăcini în corpul K.
Observa ție:
Dacă q = n, atunci polinomul se descompune numai în produs de factori liniari sau polinomul
are toate rădăcinile în corpul K sau f se scrie sub for ma f = an(X – x1)(X – x2)…(X – xn), unde
an este coeficientul dominant al po linomului f.
Defini ție:Fie fA[X], f ≠ 0 și a A. Vom spune despre a că este rădăcină multiplă de ordin i
pentru f dacă (X -a)i |f și (X -a)i+1∤ f. Numărul i poartă numele de ordinul de multiplicitate al lui
a (a spune că i=0 revine de fapt la a spune că a nu este rădăcină pentru f).
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Observa ție:
Atunci când numărăm rădăcinile unui polinom și nu facem specificarea expresă că sunt sau nu
distincte, vom număra fiecare rădăcină, de atâtea ori cât este ord inul său de multiplicitate.
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Propozi ție:
Fie f K[X] un polinom de grad n care are în corpul K ră dăcinile x 1, x2, x3,…, x n multiple
respectiv de ordin n1, n2,…, n k, cu n 1 + n 2 +…+ n = n. Atunci descompunerea lui f în factori
ireductibili în inelul K[X] este
,) X…() X() X(2 1
2 1kn
kn n
n x x x af
unde an este coeficientul termenului dominant al lui f.
Teoremă (Teorema lui Bézout):
Fie A un inel comutativ unitar, f A[X] și A.
Atunci următoarele afirma ții sunt echivalente:
ieste rădăcină a lui f , adică 𝑓̃() = 0
iiX – f.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
i) ii) Fie f = a0 + a1X + … + anXn A[X] și presupunem că 𝑓̃() = 0 dacă și numai dacă a0
+ a1+ … + ann = 0.
Deci f = (a0 + a1X + … + anXn) – (a0 + a1+ … + ann) = a1 (X – ) + a2 (X2 – 2) +…+ an(Xn –
n). Pentru orice j N, avem Xj – j = (X – ) (X j-1+Xj-2+…+j-2X+j-1) , de unde rezultă că
X – f.
ii)i) Dacă X – f atunci putem scrie f = (X – )g cu g A[X]. Pentru că 𝑓̃ = (𝑥− α ̃ )𝑔̃,
deducem că 𝑓̃() = ()𝑔̃(𝑔̃(
45
Defini ție: Fie un polinom f A[X], de forma: f = a0 + a1X + … + anXn ,
B un subinel al inelului A și un element A.
Numim valoarea lui f în expresia f a0 + a1+ … + ann.
Defini ție: Fie A un domeniu de integritate, f A[X], f 0 și A. Spunem că
este rădăcină multiplă de ordin n, n 1 pentru f dacă ( X – )n f și (X – )n+1 nu divide pe f.
Numărul n se numește ordinul de multiplicitate al lui .
Propozi ție:
Fie A un domeniu de integritate și f A[X], un polinom de grad 1.
Dacă 1,2, … ,r sunt elemente distincte din A care sunt rădăcini multiple de ordine de
multiplicitate respectiv n1,n2, …, n r ale lui f atunci
(1) f = (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟𝑔 , unde g A[X] și 1,2, … ,r nu sunt
rădăcini ale lui g.
În plus, f se divide cu (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟𝑔 în A[X].
Demonstra ție:
Vom demonstra folosind induc ția matematică după r.
Cazul r = 1. Rela ția (1) rezultă din faptul că 1 este rădăcină multiplă de ordin n1.
Presupunem afirma ția adevărată pentru r – 1, r 2.
Avem: (2) f = (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟−1)𝑛𝑟−1𝑔′, unde gA[X].
Pentru că r este rădăcină multiplă de ordin nr al lui f , rezultă că (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟f .
Atunci obținem că (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟gadică g= (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟𝑔. Înlocuim în relația (2) și ob ținem
relația (1) dacă arătăm că:
((𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟,∑(𝑋− 𝜆𝑖)𝑛𝑖𝑟−1
𝑖=1)=1
Pentru a termina demonstra ția propozi ției, ținem seama de faptul că într -un inel factorial
A un element relativ prim cu elementele b1,b2, …, b r este relativ prim și cu produsul lor,
fiind suficient să demonstrăm lema următoare:
Lemă : Fie A un domeniu de integritate și a, b A, cu a b. Atunci polinoamele
X – a și X – b din A[X] sunt relativ prime.
Demonstra ție: Pentru că ( X – a) – (X – b) 0 este element inversabil în A[X] rezultă că
X – a și X – b sunt relativ prime.
Deci f = (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟𝑔, cu g A[X].
46
Pentru a demonstra că f se divide cu (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟𝑔 în A[X], facem
induc ție matematică după r și avem:
Dacă r = 1, afirma ția rezultă din defini ție.
Presupunem afirma ția adevărată pentru r − 1 și fie f ca în enun ț. Din ipoteza de induc ție,
f = (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟−1)𝑛𝑟−1𝑔, cu g A[X] .
Polinoamele X − i, cu 1 ≤ i ≤ r, sunt ireductibile și neasociate două câte două, deci (𝑋−
𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟𝑔 sunt două câte două relativ prime.
Ținând cont de faptul că dacă într -un inel A un element a este prim cu orice element bi, 1 ≤ i ≤
n, n N* și a, b1, …, bn R atunci elementul este prim a și cu produsul b1…bn, rezultă că
(𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟 este prim cu produsul (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟−1)𝑛𝑟−1.
Dar (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟 divide pe (𝑋− 𝜆1)𝑛1(𝑋− 𝜆2)𝑛2… (𝑋− 𝜆𝑟−1)𝑛𝑟−1𝑔, deci (𝑋− 𝜆𝑟)𝑛𝑟 | g.
Observa ție:
Orice polinom din C[X], se scrie în mod unic, în func ție de rădăcinile
lui 1,2,…,nC, distincte două câte două, sub forma
b(𝑋1− 𝜆1)𝑚1(𝑋2− 𝜆2)𝑚2… (𝑋𝑛− 𝜆𝑛)𝑚𝑛 , unde b este coeficientul său dominant.
Corolar:
Fie A un inel integru și f A[X], grad( f) = n. Atunci f are cel mult n
rădăcini în A.
(A. Volf, Structuri algebrice și aplica ții, 2004)
Demonstra ție:
Fie K corpul de frac ții al lui A. Interpretând pe f ca polinom în K[X],
afirma ția decurge din rezultatele de mai sus.
Propozi ție (Rela țiile lui Viète):
Fie A un domeniu de integritate și f A[X], un
polinom de grad n, f = a0 + a1X + … + anXn, an 0. Dacă x1, x2, …, x n sunt rădăcinile lui f în
A, atunci:
𝑎𝑛(𝑥1+⋯+ 𝑥𝑛)=−𝑎𝑛−1
𝑎𝑛(𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛)=𝑎𝑛−2
………………………………..
𝑎𝑛(𝑥1𝑥2…𝑥𝑘+𝑥1𝑥2…𝑥𝑘−1𝑥𝑘+1+⋯+ 𝑥𝑛−𝑘+1𝑥𝑛−𝑘+2…𝑥𝑛)=(−1)𝑘𝑎𝑛−𝑘
………………………………..
𝑎𝑛(𝑥1𝑥2…𝑥𝑛)=(−1)𝑛𝑎0
47
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Putem scrie :
f = (X – x1) (X – x2)… ( X – xn)g , identificând coeficientul lui Xn în ambii membrii deducem că
g = an, astfel încât
f = an (X – x1) (X – x2)… ( X – xn) = anXn – an(x1 + … + xn)Xn-1 + an(x1x2 + x1x3 + … + x n-
1xn)Xn-2 + … + (-1)k an(x1x2…x k + x1x2…x k-1xk+1 + xn-k+1xn-k+2…xn) + … + ( -1)nanx1x2…x n
Identificând coeficien ții lui Xk , cu 0 k n din cele două scrieri ale lui f obținem
relațiile din enun ț dintre rădăcinile și coeficien ții lui f.
Corolar:
Fie A un corp comutat iv, atunci relațiile lui Viète devin:
{ 𝑥1+⋯+ 𝑥𝑛=−𝑎𝑛−1𝑎1−1
𝑥1𝑥2+𝑥1𝑥3+⋯+ 𝑥𝑛−1𝑥𝑛=𝑎𝑛−2𝑎1−1
……………………………………………………………………………………………
𝑥1𝑥2…𝑥𝑘+𝑥1𝑥2…𝑥𝑘−1𝑥𝑘+1+⋯+ 𝑥𝑛−𝑘+1𝑥𝑛−𝑘+2…𝑥𝑛=(−1)𝑘𝑎𝑛−𝑘 𝑎1−1
……………………………………………………………………………………………
𝑥1𝑥2…𝑥𝑛= (−1)𝑛𝑎0𝑎1−1
Propozi ție:
Fie K un corp. Atunci următoarele afirma ții sunt echivalente:
i) Orice polinom f K[X], cu grad f 1 are cel pu țin o rădăcină în K.
ii) Orice polinom f K[X], cu grad f = n 1 are n rădăcini în K.
iii) Orice polinom f K[X], cu grad f 1 este produs de polinoame de gradul 1.
iv) Orice polinom ireductibil din K[X] este de gradul 1.
(M. Becheanu și colaboratorii,Algebră pentru perfec ționarea profesorilor, 1983)
Demonstra ție:
i) ii) Rezultă prin induc ție matematică după grad f = n.
Pentru n = 1 afirma ția ii) este evidentă.
Pentru n 1 din afirma ția i) rezultă că f are o rădăcină x1 K. Atunci există g K[X],
astfel încât f = (X – x1)g. Pentru că grad g este n – 1 din ipoteza inductivă rezultă că g are n –
1 rădăcini în K. Fie acestea x2, …, x n . Atunci x1, x2, …, x n sunt n rădăcini ale lui f în K.
ii) iii) Este evidenta .
iii) iv) Este evidentă.
iv) i) Pentru că în K[X] orice polinom de grad 1 se divide cu un polinom ireductibil,
48
care fiind de gradul întâi are o rădăcină în K . Deci polinomul are o rădăcină în K .
Corolar (Teorema lui Wilson):
Dacă p este un număr prim, atunci p 1!1(mod p).
Demonstra ție: Considerăm corpul Zp. Grupul său multiplicativ Zpare p -1 elemente, deci
ap-1=1̂ pentru orice a Zp. Altfel spus, polinomul Xp-1- 1̂ Zp[X] are rădăcinile 1̂, … 𝑝−1̂ .
Din ultima rela ție a lui Viète rezultă că ( 𝑝−1̂ )! = – 1̂, deci p 1!1(mod p).
Scheme de tip Horner
Fie A un inel integru, iar A[X] inelul de polinoame cu coeficien ți în inelul A. Schema lui
Horner este bine cunoscută, ea ne dă câtul și restul împăr țirii unui polinom la binomul X – a.
Dacă f = a0+ a1X + a2X2 +…+ anXn și g = X – a, atunci schema arată astfel:
Xn Xn–1 Xn–2 X1 X0
an an–1 an–2 a1 a0
x = a bn–1 = an bn–2 = abn–1 + an–1 bn–3 = abn–2 + an–2 b0 = ab1 + a1 r = ab0 + a0
Coeficien ții bn–1, bn–2,,b0 sunt coeficien ții câtului, adică
q = b0 + b1X + b2X2 +…+ bn-1Xn-1, iar r = ab0 +a0 (r = f (a)).
În continuare vom da scheme de tip Horner pentru înmul țirea unui polinom cu binomul
X – a, înmul țirea și împăr țirea cu/la trinomul de gradul doi X2 – aX ̶ b.
Înmul țirea unui polinom cu binomul X – a
Fie polinomul f = a0 + a1X + a2X2 +…+ anXn și binomul g = X – a. Ne pro punem să
aflăm polinomul produs h = f (X – a).
Avem f (X – a) = (a0 + a1X + a2X2 +…+ anXn)(X – a) =
= an Xn+1 + an-1 Xn + an-2 Xn–1 +…+ a2 X3 + a1 X2 + a0 X
– aan Xn – aan-1 Xn–1 –…– aa3 X3 – aa2 X2 – aa1 X – aa0
bn+1 Xn+1 + bn Xn + bn–1 Xn–1 +…+ b3 X3 + b2 X2 + b1 X + b0
Schema lui Horner pentru înmul țire este
Xn+1 Xn Xn–1 … X1 X0
0 an an–1 a1 a0
x = –a bn+1 = an bn = an–1 – aan bn–1 = an–2 – aan–1 … b1 = a0 – aa1 b0 = –aa0
Coeficien ții bn+1, bn,,b0 sunt coeficien ții polinomului produs, adică
h = b0 + b1X + b2X2 +…+ bn+1Xn+1,
observăm că fa ță de împăr țire în loc de x = a s-a luat x = –a.
49
Exemple :
1) Afla ți polinomul h = fg, unde f = 2X5 – 3X4 + 2X3 – X2 + X – 3, iar g = X – 3.
X6 X5 X4 X3 X2 X1 X0
0 2 –3 2 –1 1 –3
–
3 b6 =
2 b5 = –3 –3·
2= –9 b4=2 –3·(̶
3)=11 b3= –1 –3
·2= –7 b2=1̶
3·( ̶1)= 4 b1= –3 –
3·1= –6 b0 = ̶
3·( ̶3)=9
Deci h = 2X6 – 9X5 + 11X4 – 7X3 + 4X2 – 6X + 9.
2) Afla ți polinomul cu coeficien ți reali în formă algebrică de grad minim care are
rădăcinile 1, i simple și 2 rădăcină dublă.
Cum f R[X] și x0 = i rădăcină, rezulta că și
i0x (conjugata complexă) este și ea
rădăcină. Așadar rădăcinile lui f sunt –1; 1; 2; 2; i; –i și cum vrem un polinom de grad minim,
rezultă grad( f ) = 6.
X6 X5 X4 X3 X2 X1 X0 Polinomul
0 0 0 0 0 0 1
x = 1 0 0 0 0 0 1 1 X + 1
x = –1 0 0 0 0 1 0 –1 X2 – 1
x = –2 0 0 0 1 –2 –1 2 X3 – 2X2 – X + 2
x = –2 0 0 1 –4 3 4 –4 X4 – 4X3 + 3X2 + 4X – 4
x = –i 0 1 –4–i 3+4i 4–3i –4–4i 4i X5 – (4 + i)X4 + (3 + 4i)X3
+ (3 – 4i)X2 – (4 + 4i)X + 4i
x = i 1 –4 4 0 –1 4 –4 X6 – 4X5 + 4X4 – X2 + 4X – 4
Așadar polinomul căutat este f = X6 – 4X5 + 4X4 – X2 + 4X – 4.
Împăr țirea unui polinom la trinomul X2 – aX – b
Fie polinomul f = a0 + a1X + a2X2 +…+ anXn și trinomul de gradul doi g = X2 – aX
– b. Ne propunem să determinăm polinomul cât q și polinomul rest r împăr țind pe
f la g.
anXn + an–1Xn–1 + an–2Xn–2 +…+ a1X + a0
– anXn + aanXn–1 + banXn–2 X2 – aX – b
/ bn-3Xn–1 + cn-3Xn–2 + an-3Xn–3
–bn-3Xn–1 + abn-3Xn–2 + bbn-3Xn–3 anXn-2 + bn–3Xn–3 +…
+ b1X + b0
/ bn-4Xn–2 + cn-4Xn–3 + an-
4Xn–4
b1X3 + c1X2 + a1X
–b1X3 + ab1X2 + bb1X
/ b0X2 + c0X +
a0
–b0X2 + ab0X + bb0
/ d1X +
d0
50
Schema este următoarea:
Xn Xn–1 Xn–2 X1 X0
an an–1 an–2 a1 a0
a bn–2 = an bn–3 = cn–2 + abn–2 bn–4 = cn–3 + abn–3 d1 = c0 + ab0 –
b cn–2 = an–1 cn–3 = an–2 + bbn–2 cn–4 = an–3 + bbn–3 d0 = a0 + bb0 –
Câtul este q = b0 + b1X + b2X2 +…+ bn-2Xn-2, iar restul r = d1X + d0.
Exemplu : Fie f = 2X5 – 3X4 + 2X3 – 4X2 + X – 1, iar g = X2 – 3X – 2. Se cere câtul și
restul împăr țirii lui f la g.
X5 X4 X3 X2 X1 X0
2 –3 2 –4 1 –1
3 b3 =
2 b2 = –3 + 3
·2 = 3 b1 = 6 + 3 · 3
= 15 b0 = 2 + 3 · 15
= 47 d1 = 31 + 3 · 47
= 172 –
2 c3 =
–3 c2 = 2 + 2 ·2
= 6 c1 = –4 + 2 · 3
= 2 c0 = 1 + 2 · 15
= 31 d0 = –1 + 2 · 47
= 95 –
Așadar q = 2X3 + 3X2 + 15X + 47, iar r = 172X + 95.
Înmul țirea unui polinom cu trinomul X2 – aX – b
Fie polinomul f = a0 + a1X + a2X2 +…+ anXn și trinomul de gradul doi g = X2 – aX –b.
Ne propunem să determinăm polinomul h = fg.
Avem f ( X2 – aX – b) = (a0 + a1X + a2X2 +…+ anXn)(X2 – aX – b) =
= an Xn+2 +an-1 Xn+1 +an-2 Xn +…+ a1 X3 +a0 X2
–aan Xn+1 –aan-
1 Xn –…– aa2 X3 –aa1 X2 –aa0 X
–ban Xn – ba3 X3 –ba2 X2 –ba1 X – ba0
bn+2 Xn+2 +bn+1 Xn+1 +bn Xn +…+ b3 X3 +b2 X2 +b1 X + b0
Schema este următoarea:
Xn+2 Xn+1 Xn+1 X2 X1 X0
0 0 an a2 a1 a0
–
a
–
b bn+2
=an bn+1=an–1–aan bn=an–2–
aan-1–ban b2=a0–
aa1–ba2 b1=aa0–
ba1 b0= –
ba0
Polinomul produs este h = bn+2Xn+2 + bn+1Xn+1 +…+ b2X2 + b1X + b0.
51
Exemplu : Aflați polinomul h = fg, unde f = 3X4 – 2X3 + X2 – X + 1, iar g = X2 – 2X –
1.
X6 X5 X4 X3 X2 X1 X0
0 0 3 –2 1 –1 1
–
2
–
1 b6=3 b5 = –
2–3·2
= –8 b4=1–2(–
2)–1·3
= 2 b3=–1–
2·1–1·3
= –1 b2=1–2(–
1)–1·1
= 2 b1=–2·1–
1(–1)
= 2 b0=-
1·1
= -1
Deci h = 3X6 – 8X5 + 2X4 – X3 + 2X2 + 2X – 1.
Derivata unui polinom
Fie A un inel și A[X] inelul polinoamelor cu coeficien ți în A. Vom ca racteriza rădăcinile
multiple pentru un polinom f A[X] cu ajutorul derivatei.
Defini ție: Se numește derivata formală în inelul A[X] aplica ția D: A[X] A[X] care asociază
fiecărui polinom
f A[X], f = anXn + an-1Xn-1 +…+ a2X2 + a1X + a0
polinomul D( f ), unde D( f ) = nan-1Xn-1 +…+ 2 a2X + a1.
Observa ții:
1) Pentru f dat, D( f ) se numește derivata formală a lui f .
2) Cum D( f ) A[X] are sens să calculăm derivata formală D(D( f )) pe care o notăm
pe scurt D2(f) și o numim derivata formală de ordinul doi a lui f. Analog putem introduce
derivata formală de ordinul m a lui f , notată Dm( f ) ca rezultat al derivării formale
succesive de m ori a polinomului f A[X].
Legătura dintre derivata formală și opera țiile interne de structură ale ine lului A[X] este
dată de următoarea propozi ție:
Propozi ție:
Pentru orice f, g A[X] avem:
1) D( f + g) = D( f ) + D(g) (derivata sumei este suma derivatelor );
2) D( f g) = D( f ) g + f D(g) (analoagă cu regula de derivare a pro dusului a două
funcții).
Să prezentăm acum caracterizarea rădăcinilor multiple cu ajutorul derivatei formale.
Teorem ă :
Fie corpul K = C, Rsau Q și a K rădăcină a lui f K[X]. Atunci a este rădăcină multiplă
de ordin k al lui f dacă și numai dacă
0))(( ))(( ))(( )(1 2 af D afD afD afk
și
.0))(()(af Dk
Demonstrație:
Presupunem că x = a este rădăcină multiplă de ordinul k, deci f (a) = 0,
,) ( gaX fk cu g
K[X] și g(a) 0. Atunci f (a) = 0,
52
, ) X()() ( ) X()() X( ) X( ))((
111 1
h agDaX kg a gDa g a k afD
kk k k
unde
.0)( ),() (1 1 ahgDaX kgh Este clar că D( f )(a) = 0. Calculând D2( f ), avem
22 2) X()( h a fDk
pentru care D2( f ) = 0 și h2(a) 0. Din aproape în aproape găsim
11) X()(kkha f D
cu
0))((1af Dk și hk-10. În fine
) () X( )(1 1 k kkhDa hfD pentru
care
.0)( ))((1a h afDkk
Reciproc, să presupunem
0))(( ))(( ))(( )(1 2 af D afD afD afk
Din și
0)()(f Dk și să arătăm că în aceste condi ții
ga fk) X( cu g(a) 0. Din f (a) = 0
.) X(1ga f
Din
)() X( )(1 1 gDa gfD și
,0)( ))((1 agafD se deduce că
,) X(2 1 ga g
deci
.) X(22ga f Raționând asemănător, din
,0))(( ))(( )(2 af D afD afk
obținem
. ) X(11
kkg a f Utilizând și
,0))((1af Dk
găsim gk-1(a) = 0, adică
,) X(1 ga gk deci
.) X(2ga f Cum
,0)()(f Dk se deduce că
g(a) 0.
Exemple:
1) Să se arate că polinomul f = 2nX2n+1 + (2n + 1)X2n – 1 se divide cu ( X + 1)2.
Soluție. Trebuie arătat că f(1) = D( f )(–1) = 0 ceea ce este ușor de văzut. Putem
spune că a = 1 este rădăcină dublă pentru f.
2) Să se afle restul împăr țirii polinomului f = X20 + X19 +…+ X2 + X + 1 la X(X – 1)2.
Soluție. Conform teoremei împăr țirii cu rest a polinoamelor avem
X20 + X19 +…+ X2 + X + 1 = X(X – 1)2q + aX2 + bX + c.
Trecând la func țiile polinomiale asociate avem
x20 + x19 +…+ x2 + x + 1 = x(x – 1)2q(x) + ax2 + bx + c, x . ()
Se face x = 0 și se ob ține c = 1. Punând acum x = 1, rezultă 21 = a + b + c (1). Se de rivează
egalitatea ( ) și apoi se face x = 1. Avem
20×19 +…+ 2 x + 1 = ( x – 1)2q(x) + 2 x(x – 1)q(x) + x(x – 1)2q(x) + 2 ax + b,
de unde 210 = 2 a + b (2). Rezolvând sistemul format de rela țiile (1) și (2), găsim a = 190, b =
–170. Deci r = 190X2 – 170X + 1.
2.2. POLINOAME SIMETRICE
Fie Sn este o permutare pentru n 2.
Atunci conform proprietă ții de universalitate a inelului de polinoame A[X1,…,Xn], există un
unic morfism de inele unitare : A[X1,…,Xn] A[X1,…,Xn] astfel încât
i i XiXi)pentru orice 1 i n iar diagrama:
53
este comutativă, adică pentru orice a A, (a) = a.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Exemplu:
Fie f X132X1X2 X22X32Z[X1, X2, X3] și (12
23 3
1)S3, atunci
fX23 2X2X3 X23X12.
Defini ție: Un polinom f A[X1,…,Xn] (n 2) este simetric dacă pentru orice Sn ,
( f ) f, adică oricum am permuta variabilele lui f acesta rămâne neschimbat.
Pentru că orice permutare din Sn este un produs de transpozi ții atunci un polinom din
A[X1,…,Xn] este simetric dacă și numai dacă f rămâne invariant la orice transpozi ție din Sn.
Vom nota prin S(A[X1,…,Xn]) mulțimea polinoamelor simetrice din A[X1,…,Xn].
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Observa ție: Polinoamele:
𝑆1= 𝑋1+⋯+ 𝑋𝑛
𝑆2= 𝑋1𝑋2+𝑋1𝑋3+⋯+ 𝑋𝑛−1𝑋𝑛
…
𝑆𝑛= 𝑋1𝑋2…𝑋𝑛
sunt simetrice pentru că Sk este suma tuturor produselor de k nedeterminate distincte din
mulțimea X1,…,Xn și se numesc polinoamele simetrice fundamentale.
Exemple:
În R[X1, X2, X3], polinoamele următoare sunt simetrice: X1 + X2 + X3, X1X2X3,
X12X2 + X12X3 + X22X1 + X22X3 + X32X1 + X32X1.
Polinomul X1 + X2 nu este simetric în R[X1, X2, X3], dar este simetric în R[X1, X2].
Propozi ție: S(A[X1,…,Xn]) este un subinel unitar al inelului A[X1,…,Xn].
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Se observă ușor că polinoamele constante din A[X1,…,Xn] fac parte din
S(A[X1,…,Xn]), iar dacă f,g S(A[X1,…,Xn]) și Sn , cum este morfism de inele unitare
avem (f-g) = (f) – (g) = f – g și (fg) = (f) (g) = f g, de unde deducem că f –
g și f g S(A[X1,…,Xn]), adică S(A[X1,…,Xn]) este un subinel unitar al inelului A[X1,…,Xn].
Observa ție:
Orice polinom f A[X1,…,Xn] se scrie în mod unic sub forma f = g0 + g1 +…+ gk unde fiecare
gi este un polinom omogen de grad i(0 i k) din A[X1,…,Xn]. Fie Sn , atunci avem:
(f) = ( g0 + g1 +…+ gk ) =(g0) + (g1)+…+ (gk ). Pentru că (gi ), 0 i k A[X1,…,Xn
] [X1, …,
Xn A[X1, …, Xn]
A[X1,…,Xn] iA
iA
54
este tot un polinom omogen de grad i, deducem din unicitatea scrierii lui f sub forma f = g0 +
g1 +…+ gk că (f) = f (gi) = gi,pentru orice 0 i k.
Rezultă că un polinom f A[X1,…,Xn] este simetric dacă și numai dacă fiecare componentă
omogenă a sa este un polinom simetric.
Propozi ție:
Polinoamele simetrice fundamentale S1 , S2 ,…, Sn S(A[X1,…,Xn]).
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Fie polinomul g = (X – X1)(X – X2)…(X – Xn) din A[X1,…,Xn, X] care se mai
poate scrie și sub forma g = Xn – S1Xn-1+ S 2Xn-2-…+ (-1)nSn.
Pentru Sn avem morfismul de inele unitare : A[X1,…,Xn, X] A[X1,…,Xn, X] cu
(Xi) = X(i) = (Xi) pentru orice 1 i n , (X) = X și (a) = a oricare ar fi a A.
Fie permutarea ’ din Sn+1 cu proprietatea că ’ (i) = (i) pentru orice 1 i n și
(n+1) = n+1, atunci numerotând eventual pe X prin Xn+1, **este de fapt ’*.
Atunci **(g) = **(( X – X1)…( X – Xn)) = **( X – X1)… **( X – Xn) =
(X – X(1))… ( X -X(n)) = (X – X1)…(X – Xn) = g dar **(g) = **( Xn – S1Xn-1+ S 2Xn-2-…+ (-
1)nSn)= Xn – *( S1) Xn-1+…+ ( -1)n *(Sn).
Comparând cele două expresii ale lui **(g) deducem că *(Si) = Si pentru orice
1i n , adică Si S(A[X1,…,Xn]), pentru orice 1 i n .
Observații :
3. Fie 𝑎𝑋1𝑖1𝑋2𝑖2…𝑋𝑛𝑖𝑛 termenul principal al unui polinom simetric, atunci avem următoarea
ordine: i1 i2 … in.
4. Fie f, g A[X1,…,Xn] două polinoame nenule. Dacă produsul termenilor
principali ai lui f și g este diferit de zero, atunci avem t p(fg) = t p(f)tp(g).
Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice :
Fie f S(A[X1,…,Xn]), atunci există un unic g A[X1,…,Xn] astfel încât
f = g ( S1 , S2 ,…, Sn ), unde S1 , S2 ,…, Sn sunt polinoamele simetrice fundamentale.
(Bușneag D.,Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Putem presupune că f este și omogen. Fie grad ( f) = m . Dacă tp( f) = 𝑎𝑋1𝑖1𝑋2𝑖2…𝑋𝑛𝑖𝑛 atunci
avem i1 i2 … in. Ținând cont de faptul că pentru orice 1 i n , tp(Si) = X1…Xi deducem
că:
tp(𝑆1𝑖1−𝑖2𝑆2𝑖2−𝑖3…𝑆𝑛−1𝑖𝑛−1−𝑖𝑛𝑆𝑛𝑖𝑛) = 𝑋1𝑖1−𝑖2(𝑋1𝑋2)𝑖2−𝑖3…(𝑋1𝑋2…𝑋𝑛−1)𝑖𝑛−1−𝑖𝑛(𝑋1𝑋2…𝑋𝑛)𝑖𝑛 =
𝑋1(𝑖1−𝑖2)+⋯+(𝑖𝑛−1−𝑖𝑛)+𝑖𝑛𝑋2(𝑖2−𝑖3)+⋯+(𝑖𝑛−1−𝑖𝑛)+𝑖𝑛…𝑋𝑛𝑖𝑛 = 𝑋1𝑖1𝑋2𝑖2…𝑋𝑛𝑖𝑛 = tp(f)
Astfel, dacă vom considera 𝑓1=𝑓−𝑎𝑆1𝑖1−𝑖2𝑆2𝑖2−𝑖3…𝑆𝑛−1𝑖𝑛−1−𝑖𝑛𝑆𝑛𝑖𝑛, tp(f1) tp(f) în ordinea
lexicografică.
Continuăm acum procedeul pentru f1 . Dacă 𝑎𝑋1𝑗1𝑋2𝑗2…𝑋𝑛𝑗𝑛 = tp(f1) atunci j1 j2 … jn și
considerăm 𝑓2=𝑓1−𝑏𝑆1𝑗1−𝑗2𝑆2𝑗2−𝑗3…𝑆𝑛−1𝑗𝑛−1−𝑗𝑛𝑆𝑛𝑗𝑛, atunci tp(f2) tp(f1) tp(f) și astfel
procedeul va continua. Acest procedeu se va sfârși după un număr finit de pași.
Deci 𝑓=𝑎𝑆1𝑖1−𝑖2𝑆2𝑖2−𝑖3…𝑆𝑛−1𝑖𝑛−1−𝑖𝑛𝑆𝑛𝑖𝑛 + 𝑓1 = 𝑎𝑆1𝑖1−𝑖2𝑆2𝑖2−𝑖3…𝑆𝑛−1𝑖𝑛−1−𝑖𝑛𝑆𝑛𝑖𝑛 +
𝑏𝑆1𝑗1−𝑗2𝑆2𝑗2−𝑗3…𝑆𝑛−1𝑗𝑛−1−𝑗𝑛𝑆𝑛𝑗𝑛 + 𝑓2 … și alegând g = 𝑎𝑆1𝑖1−𝑖2𝑆2𝑖2−𝑖3…𝑆𝑛−1𝑖𝑛−1−𝑖𝑛𝑆𝑛𝑖𝑛 +
𝑏𝑆1𝑗1−𝑗2𝑆2𝑗2−𝑗3…𝑆𝑛−1𝑗𝑛−1−𝑗𝑛𝑆𝑛𝑗𝑛 + … A[X1,…,Xn], avem f = g (S1, S2, … , Sn).
55
Mai trebuie să arătăm unicitatea lui g, adică demonstrăm că dacă g A[X1,…,Xn],
𝑔= ∑𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑛𝑋1𝑖1𝑋2𝑖2…𝑋𝑛𝑖𝑛 și g (S1, S2, … , Sn) = 0, atunci to ți coeficien ții 𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑛 = 0.
Presupunem prin absurd că există un coeficient 𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑛0. Atunci polinomul 𝑆1𝑖1𝑆2𝑖2…𝑆𝑛𝑖𝑛 are
ca termen principal t p(𝑆1𝑖1𝑆2𝑖2…𝑆𝑛𝑖𝑛) = 𝑋1𝑗1𝑋2𝑗2…𝑋𝑛𝑗𝑛 cu j1 i1 …in, j2 i2 …in,…, jn in
iar grad (tp) = ∑𝑗𝑘𝑛
𝑘=1 = ∑𝑘𝑖𝑘𝑛
𝑘=1 .
Deducem că dacă 𝑆1𝑖1𝑆2𝑖2…𝑆𝑛𝑖𝑛𝑆1𝑗𝑆2𝑗2…𝑆𝑛𝑗𝑛 atunci tp(𝑆1𝑖1𝑆2𝑖2…𝑆𝑛𝑖𝑛) tp(𝑆1𝑗𝑆2𝑗2…𝑆𝑛𝑗𝑛). Deci
termenii principali în X1,…,Xn ai diferitelor monoame distincte în S1 , S2 ,…, Sn care apar în
expresia lui g nu se reduc.
Dacă 𝑋1𝑡1𝑋2𝑡2…𝑋𝑛𝑡𝑛este c el mai mare termen principal, atunci înlocuind S1 , S2 ,…, Sn prin
expresiile lor în X1,…,Xn apare un polinom în X1,…,Xn egal cu zero dar care are un termen
𝑎𝑖1𝑖2…𝑖𝑛𝑋1𝑡1𝑋2𝑡2…𝑋𝑛𝑡𝑛 nenul, ceea ce contrazice ipoteza .
Teoremă (Formulele lui Newton ):
Dacă A este un domeniu de integritate atunci pentru orice n, k Nau loc formulele:
(−1)𝑘−1𝑃𝑘+ (−1)𝑘−2𝑃𝑘−1𝑆1+⋯+𝑃1𝑆𝑘−1=𝑘𝑆𝑘
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Pentru k n convenim să alegem Sk0.
Arătăm că formulele din enunț sunt adevărate pentru k n, adică pentru orice k n avem:
(1) 𝑃𝑘− 𝑃𝑘−1𝑆1+𝑃𝑘−2𝑆2+⋯+(−1)𝑛−1𝑃𝑘−𝑛+1𝑆𝑛−1+ (−1)𝑛𝑃𝑘−𝑛𝑆𝑛=0
Fie 𝑓 = 𝑓(𝑋)= ∏(𝑋−𝑋𝑖)𝑛
𝑖=1 =𝑋𝑛−𝑆1𝑋𝑛−1+𝑆2𝑋𝑛−2+⋯+(−1)𝑛𝑆𝑛.
Înlocuim pe X cu Xi, 1i n și obținem:
𝑋𝑖𝑛−𝑆1𝑋𝑖𝑛−1+𝑆2𝑋𝑖𝑛−2+⋯+(−1)𝑛𝑆𝑛=0pentru 1i n. Înmulțim cu 𝑋𝑖𝑘−𝑛 și rezultă:
𝑋𝑖𝑘−𝑆1𝑋𝑖𝑘−1+𝑆2𝑋𝑖𝑘−2+⋯+(−1)𝑛𝑆𝑛𝑋𝑖𝑘−𝑛=0, pentru 1i n.
Făcând suma după i = 1,2,…, n se obțin relațiile (1).
Demonstrăm relațiile (1) pentru k n și acest lucru îl vom arăta prin inducție matematică
după m = n – k .
Polinomul 𝑓𝑘=𝑓𝑘(𝑋1,…𝑋𝑛)=(−1)𝑘−1𝑃𝑘+ (−1)𝑘−2𝑃𝑘−1𝑆1+⋯+𝑃1𝑆𝑘−1+ 𝑘𝑆𝑘este
nul.
Cazul m = 0 rezultă din (1) pentru că P0 n.
Pentru că fk este simetric în X1,…,Xn atunci și polinomul fk (X1,…,Xn-1,0) va fi simetric în
X1,…,Xn-1.
Notăm polinoamele simetrice fundamentale în nedeterminatele X1,…,Xn-1 cu S’1, S’2, … S’n-1
și atunci Sk (X1,…,Xn-1,0) = S’k(X1,…,Xn-1).
Deoarece fk (X1,…,Xn-1,0) = f’k (X1,…,Xn-1) atunci 𝑓′𝑘(𝑋1,…𝑋𝑛−1,0)=(−1)𝑘−1𝑃′𝑘+
(−1)𝑘−2𝑃′𝑘−1𝑆′1+⋯+𝑃′
1𝑆′
𝑘−1+ 𝑘𝑆′
𝑘=𝑓′
𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛). Din ipoteza de inducție
avem 𝑓𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛)=0 adică 𝑓𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛) este divizibil prin Xn , dar fiind și polinom
simetric deducem că fk este divizibil prin X1,…,Xn-1, ceea ce înseamnă că este divizibil și prin
produsul X1…Xn.
Obținem relația: (2) 𝑓𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛)=𝑆𝑛(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛)𝑓′
𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛)
Pentru că 𝑓𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛) este un polinom de grad k, k n și 𝑆𝑛(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛) este omogen
de grad n , egalitatea (2) este posibilă doar dacă 𝑓′𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛)=0, adică
𝑓𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛)=0.
Conform principiului inducției matematice avem că pentru orice k n, 𝑓𝑘(𝑋1,𝑋2…𝑋𝑛)=0 și
astfel relațiile lui Newton sunt probate și pentru k n.
56
2.3.CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
2.3.1.Criteriul de ireductibilitate al lui Schönemann:
Fie p > 0 un număr prim și h = f n + pg [X] un polinom unitar, unde n , iar f, g
[X]. Dacă în ine lul p[X] polinomul
fˆ este ireductibil și nu divide polinomul
gˆ , atunci po –
linomul h este ireductibil în [X], deci și în Q[X].
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Demonstra ție:
Presupunem prin absurd că h = h 1h2 (1), cu h 1, h2 [X] po linoame neinversabile ( adică
diferite de ±1). Nu se poate ca vreunul dintre po linoamele h 1 și h 2 să aibă gradul 0 căci dacă,
de exemplu, grad(h 1) = 0, atunci h 1 și ar însemna că h 1 divide to ți coeficien ții polinomului
unitar h, deci h 1 = ±1, ceea ce este exclus. Așadar grad(h 1) 1 și grad(h 2) 1. Deoarece h = f n
+ pg egalitatea (1) se mai scrie f n + pg = h 1h2 (2). Trecând în (2) la polinoamele reduse
modulo p avem
(3). ˆˆ ˆ
21hh fn În inelul p[X] este valabilă teorema de descompunere unică în
factori ireductibili și atunci din (3), deducem
,ˆ~ˆ
11h fn
,ˆ~ˆ
22h fn unde n 1, n2 cu n 1 + n 2 =
n. Cum h este un polinom unitar, din (1), rezultă că polinoamele h 1 și h2 au co eficien ții
dominan ți egali cu 1. Atunci
1)(grad)ˆ(grad1 1 h h și
1)(grad)ˆ(grad2 2 h h . Deoarece
,ˆ~ˆ
11h fn
rezultă
),(grad )ˆ(grad
1 1 f n h deci nu putem avea n 1 = 1. Prin urmare, n 1 1 și analog
n2 1. Deoarece
,ˆ~ˆ
11h fn
2ˆ~ˆ2h fn și
,ˆˆ ˆ
212 1hh fnn rezultă că
1ˆ ˆ
1nfah și
,ˆ ˆ 2
2nfbh unde
*
p baˆ,ˆ
și
.1ˆˆˆba Prin urmare,
1 11pg afhn ,
2 22pg bfhn cu g 1, g2 [X]. Din
,1ˆˆˆba
obținem ab 1(mod p), adică ab = sp + 1, cu s . Rezultă
212
2 1 2 1 211 2 2 1 2 1) )( ( ggp g apfg bpf f abf pg bf pg af hhn n n n n n
). ( )1 (21 1 2 212
2 12 1 1 2gpggbfgaf sfp f ggp g apfg bpff spn n n n n n n
Înlocuind această expresie a lui h 1h2 în egalitatea (2), rezultă
21 1 22 1gpg gbf gaf sfgn n n
,
trecând din nou la polinoamele reduse modulo p, ob ținem
1 2ˆˆˆˆˆˆ ˆˆˆ2 1gfbgfafsgn n n și cum n 1
1, n 2 1, iar n = n 1 + n 2, rezultă că
gˆ se divide cu
fˆ , contradic ție cu ipo teza. Așadar h este
ireductibil în inelul [X] și conform teoremei lui Gauss rămâne ireductibil și în Q[X].
Exemplu:
Polinomul h = (X2 + 2)n + 5(X2n-1 + 10Xn + 5) [X] este ireductibil în [X].
Soluție: Într-adevăr să considerăm f = X2 + 2 și g = X2n-1 + 10Xn + 5, atunci
2ˆ Xˆ 2f este
ireductibil în 5[X] (neavând rădăcini în 5[X]), iar
12Xˆng nu se divide cu X2 + 2 în 5[X].
Conform criteriului lui Schönemann avem că h este ireductibil în [X].
2.3.2.Criteriul lui Eisenstein:
Fie f = a 0 + a 1X + a 2X2 +…+ a nXn [X]. Pre supunem că există un element prim p cu
proprietă țile:
i) pa0, pa1, , pan–1;
ii) p an și p2 a0.
În aceste condi ții f este un polinomul ireductibil în [X], deci și în inelul Q[X].
(Algebr ă Ion D.Ion, Nicolae Radu)
Demonstra ție:
57
Fie a i = pb i, cu b i,
.1,1n i Deoarece p2 nu divide a 0, rezultă că p nu divide pe b 0. Evident
h = p(b 0 + b 1X + a 2X2 +…+ b n-1Xn-1) + Xn = f n + pg,
unde f = X [X], g = b 0 + b 1X + a 2X2 +…+ b n-1Xn-1 [X].
Polinomul redus
][ˆX Xfp este ireductibil căci este de gradul 1. De asemenea
fˆ
nu divide
,ˆg deoarece dacă am presupune contrariul ar însemna că
gˆ se divide cu X și din
teorema lui Bézout ar rezulta
,0ˆ)0ˆ( g adică
,0ˆˆ
0b deci b 0 ar fi divizibil cu p, ceea ce nu este
adevărat.
Conform criteriului lui Schönemann, rezultă că h este ireductibil în [X], deci și în
Q[X].
Exemplu :
Fie f = X5 + 15X4 + 20X3 – 40X + 35 [X]. Acest polinom este ire ductibil în [X],
deoarece luând numărul prim p = 5, avem 5 15, 520, 540, 535 și 5 1, 25 35, adică
suntem în condi țiile criteriului lui Eisenstein.
2.4. TEOREMA FUNDAMENTALA A ALGEBREI
Teorem ă (D'Alembert – Gauss):
Orice polinom de grad ≥1 din ℂ[X] are cel puțin o rădăcină în ℂ (adică corpul numerelor
complexe ℂ este algebric închis).
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Fie f=a 0+a1X+…+a nXn ℂ[X] cu n ≥1 și a n ≠ 0. Considerând
f =
n
nXa XaXaa …2
2 1 0
(unde pentru z ℂ prin
z desemnăm conjugatul său) atunci f
.f =b0+b1X+…+b 2nX2n unde
j
kkjk j nj aa b
0.2 0,
Deoarece
b j=
j
kkjk j nj aa b
0.2 0, , deducem că bj ℝ
(0≤j≤2n) astfel că f
.f ℝ[X].
Dacă admitem teorema adevărată pentru polinoamele din ℝ[X], atunci există α ℂ a.î.
sunt sau că concluzia undede),(~)(~
deoarece,0)(~)(~0)(~
)(~0))(~
(
f ff f f f ff
rădăcini ale lui f. În concluzie, putem presupune f ℝ[X].
Dacă grad(f) este impar, cum
:~f este funcție continuă iar la ± ∞ ia valori de semne
contrarii deducem că există a ℝ a.î.
f~ (α)=0.
Să presupunem acum că grad(f)=2 nr cu nℕ și rℕ*, r impar
Prin inducție matematică după n vom arăta că există a ℂ a.î.
f~ (α)=0.
Dacă n=0, atunci grad(f) este impar și după cum am văzut mai înainte există α ℝ a.î.
f~
(α)=0. Să presupunem afirmația adevărată pentru toate polinoamele g ℝ[X] cu proprietatea
că n-1 este exponentul maxim al lui 2 în descompunerea în factori primi a gr adului lui g și fie
fℝ[X] cu grad(f)=2n r cu n, rℕ, r impar.
Atunci există o extindere K a lui ℂ în care f are toate rădăcinile x 1, …, x m (unde m=grad(f)).
Pentru aℝ arbitrar considerăm z ij a =xixj+a(x i+xj), 1≤i< j ≤m.
58
Dacă vom considera polinomul g a=
mjia
ijzX
1) ( ,atunci grad(g a)=
2
mC =m(m−1)
2 și cum
m=grad(f)=2k r (cu k, rℕ, r impar) avem că grad (g a)=
2)1 2(2rrk k = 2k-1r (2kr-1)=2k-1 r′
unde r′=r (2kr-1) este număr natural impar.
Să observăm că coeficienții lui ga sunt polinoame simetrice fundamentale de z ija .
Mai mult, având în vedere expresiile lui z ija , 1≤i<j≤m rezultă că acești coeficienți, ca
polinoame de x 1, …, x m sunt simetrice deoarece orice permutare a acestora are ca efect
schimbarea elementelor z ija între ele (1≤i<j≤m). Deducem că g aℝ[X].
Aplicând ipoteza de inducție lui g a deducem că există o pereche (i, j) cu 1≤i<j≤m a.î. z ija ℂ.
Făcând pe a să parcurgă mulțimea infinită ℝ a numerelor reale, cum mulțimea perechilor (i, j)
cu 1≤i<j≤m este fini tă, deducem că există a, b ℝ, a ≠ b a.î. z ija , zijbℂ.
Din z ija =xixj+a(x i+xj) și z ijb =xixj+b(x i+xj) deducem că z ija -zijb =(a-b) (x i+xj) ℂ, adică
xi+xjℂ. Atunci și x ixjℂ, adică x i , xjℂ și cu aceasta teorema este demonstrată.
Propozi ție:
1) Un polinom f C[X] este ireductibil dacă și numai dacă
f = aX + b, a, b , a 0.
2) Un polinom f R[X] este ireductibil dacă și numai dacă
f = aX + b,a, b R, a 0 sau f = aX2 + bX + c, a, b, c R, a 0, b2 – 4ac 0.
(Bușneag D., Piciu D., Lecții de algebră, 2002)
Demonstrație:
Fie f C[X] un polinom ireductibil. Deoarece grad( f ) 1 din teorema fundamentală a
algebrei (D’Alambert -Gauss), rezu ltă că f admite o ră dăcină x0 C.
Conform teoremei lui Bézout, avem f = (X – x0)g, g C[X].
De aici gf și cum f este ireductibil, rezultă că divizorul g este de forma a sau af, unde a C.
Dacă g ar fi de forma af (deci g este asociat cu f, g f), atunci f = (X – x0)af sau 1 = (X – x0)a,
adică X – x0 ar fi inversabil, adică ar avea gradul zero (fals). Prin ur mare, g = a C, adică
grad( f ) = 1.
Cum știm că polinoamele de gradul unu sunt ireductibile, demonstra ția este încheiată.
2.5. REZOLVAREA ECUATIILOR DE GRAD 4
Definiție: Fie K un corp comutativ și f [X], f=a nXn+an-1Xn-1+…+a 1X+a 0 de grad n≥1.
Numim ecua ție algebric ă de grad n (asociat ă polinomului f) cu coeficien ți in K ecua ția de forma
f
(x)=0, adic ă anxn+an-1xn-1+…+a 1x+a 0 =0.
Elementul a se nume ște rădacina sau solu ție a ecua ției algebrice anxn+an-1xn-1+…+a 1x+a 0=0
de grad n cu coeficienți in K dac ă anan+an-1an-1+…+a 1a+a 0=0. În acest caz spunem c ă a verific ă
ecuația algebric ă.
Exemple:
1. Ecua ția algebric ă de gradul 3 cu coeficien ți complec și 2z3+iz2-(i+1)z+4i -1=0 admite
rădăcina z=i.
2. Ecua ția algebric ă de gradul patru 2̂x4+3̂x3+4̂x2+2̂x+4̂=0̂ cu coeficienți în ℤ5 are
rădăcinile x 1=2̂, x2=4̂.
59
Observa ții:
1. Elementul a este r ădăcina a ecua ției
f (x)=0 dac ă și numai dac ă (X-a)|f.
2. Elementul a este r ădăcina multipl ă de ordinal s pentru ecua ția algebric ă
f(x)=0 dac ă
si numai dac ă (X-a)s|f si (X -a)s+1f.
3. O ecua ție algebric ă de grad n cu coeficien ții intr -un corp comutativ are cel mult n
rădăcini in acel corp.
Definiție:
Fie două corpuri K 1, K astfel încât K1 este subcorp al lui K vom spune că K este o extindere a
lui K1.
O extindere K a lui K1 se numeste de tip finit dacă există o submulțime finită M inclusa in K
astfel încât K1(M) = K ; dacă exist ă un element x ∈ K astfel încât K = K1 (x) atunci K spunem
că este extindere simplă a lui K1.
Dacă K1 inclus in K este o extindere de corpuri, vom spune despre un elem ent α ∈ K că este
algebric peste K1dacă există un polinom nenul f ∈ K1 [X] astfel încât
f (α)=0.
Dacă
f(α)≠0 spunem că α este transcendent peste K1.
Exemplu:
Numerele transcendente celebre e și π sunt cel mai des utilizate în algebră.
Defini ție: O extindere K a unui corp K1 se numește algebrică dacă orice element al lui K este
algebric peste K1. Dacă orice element dintr -o extindere a lui K1, care este algebric peste K1,
aparține lui K1, vom spune despre K1 că este algebric închis .
Propozi ție:
Fie K un corp comutativ iar f K[X] cu grad ( f ) 1. Atunci există o
extindere K a lui K astfel încât f să aibă cel puțin o rădăcină în K .
(Bușneag D., Piciu D.,Lecții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Cum grad ( f ) 1 deducem că f U(K[X]).
Atunci idealul < f > este diferit de K[X] și conform teoremei lui Krull, există un ideal maximal
M al lui K[X] astfel încât < f > M. Considerând
𝐾𝑖𝑘→𝐾[𝑋]𝑝→𝐾[𝑋]/ M ≝ 𝐾̅
(unde ik este morfismul canonic de scufundare a lui K în K[X] iar p este morfismul surjectiv
canonic de inele). Cum M este i deal maximal în inelul K[X], K este corp.
Notând 𝑝̅ = p ◦ ik obținem un morfism de corpuri 𝑝̅ : K 𝐾̅. Dacă
alegem , f = a0 + a1X + … + anXn și notăm 𝑝̅(f) = 𝑝̅(a0) + 𝑝̅(a1)X + … + 𝑝̅(an)Xn 𝐾̅X atunci
pentru a = p(X) = 𝑋̂ 𝐾̅ avem 𝑝̅(𝑓̃)(a) = 0 adică a 𝐾̅este o rădăcină a lui 𝑝̅(𝑓)
Cum p este în particular o funcție injectivă, K poate fi privit ca subcorp al lui 𝐾̅ (K fiind
de fapt izomorf cu 𝑝̅ (K) ), deci în mod canonic și f poate fi privit ca făcând parte din 𝐾̅ [X].
Corolar:
Dacă K este un corp comutativ iar f K[X] este un polinom de grad (f ) ≥1, atunci există o
extindere k a lui K în care f are toate rădăcinile.
(Bușneag D., Piciu D., Lec ții de algebră, 2002)
Demonstra ție:
Se face induc ție matematică după n = grad(f) ținând cont la pasul de induc ție de la propozi ția
de mai sus.
60
Defini ție: O rădăcină a polinomului f dintr -o extindere a lui K se numește soluție sau
rădăcină a ecua ției (algebrice) asociate
f(x) = 0.
(M. Becheanu și colaboratorii, Algebră pentru perfec ționarea profesorilor, 1983)
Defini ție: Fie ecuația de forma xn – a = 0, a ∈ K, a ≠ 0. O rădăcină a unei astfel de ecua ții se
numește radical peste K sau radical de grad n (ordin n) p este K .
(M. Becheanu și colaboratorii, Algebră pentru perfec ționarea profesorilor, 1983)
Cazuri particulare de ecuații
Ecua ții algebrice cu coeficien ți întregi
Fie ecuația algebric ă de grad n, n≥1 cu coeficienți întregi: anan+an-1an-1+…+a 1a+a 0=0.
Dacă x0 =𝑥=p
q cu p,qq≠p,q=1, este o r ădăcină rațional ă a ecua ției, atunci p|a 0 și q|a n.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Exemplu:
Ecua ția x4+x3-6×2-x+2=0 are coeficientii întregi și căutăm rădăcinile întregi printre divizorii
termenului liber. Deci, dac ă α este o r ădăcina a ecua ției, atunci α {-2,-1,1,2}.
Se arat ă usor c ă singura r ădăcină întreag ă este α=2.
Ecua ții algebrice cu coeficien ți raționali
Fie ecuația algebric ă de grad n, n≥2 cu coeficienți raționali: anan+an-1an-1+…+a 1a+a 0=0 și fie
x1=p+q√𝑑 o rădăcina a sa, p,q,d Q, d>0, q≠0 astfel încât √𝑑 nu este rational.
Atunci:
1. Ecuația admite și rădăcina x 2= p-q√𝑑.
2. Rădăcinile x 1 și x2 au acelasi ordin de multiplicitate.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Exemplu:
Să se rezolve în C ecuația: x3+x2-2x-2=0.
Ecua ția x3+x2-2x-2=0 admite r ădăcina x 1=√2.
Atunci, ecua ția admite și rădăcina x 2= -√2.
Fie f= x3+x2-2x-2 polinomul asociat ecua ției. Împărțind polinomul f la polinomul
(X-√2 )(X+√2 )=X2-2, ob ținem c âtul X+1 și restul 0.
Atunci avem f=( X2-2)(X+1). De aici deducem c ă a treia r ădăcină a ecua ției este x 3=-1.
Ecua ții algebrice cu coeficien ți reali
Fie ecuația algebric ă de grad n, n≥2 cu coeficienți reali: anan+an-1an-1+…+a 1a+a 0=0 și fie
z=a+ib, o r ădăcina a sa, a,b R, b≠0. Atunci:
1. z- =a-ib este o r ădăcină a ecua ției algebrice
2. z si z- au acela și ordin de multiplicitate.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Seclăman, Editura Cardinal)
Observa ție:
Orice ecua ție algebric ă cu coeficien ți reali av ând gradul impar are cel putin o r ădăcină reală.
61
Exemplu:
Ecuația x3-5×2+x+3=0 având coeficien ți reali și având gradul impar are cel putin o rădăcină
reală. Observam ca x 1=1 este radacina. Fie f= x3-5×2+x+3 polinomul asociat ecua ției.
Împărțind polinomul f la polinomul X -1, ob ținem c âtul X2-4X-3 și restul 0.
De aici deducem c ă avem r ădăcinile x2=2+√7 și x3=2-√7 .
Ecua ții algebrice cu coeficien ți complec și
Orice ecuație algebric ă de grad n are n r ădăcini complexe.
Observa ție:
Dacă o ecuație algebric ă, care nu are toți coeficienții reali, are o r ădăcină complex ă nereal ă,
nu rezult ă că ecuația admite ca r ădăcină si conjugata acesteia.
(Matematic ă-Manual pentru clasa a XII -a, Dănuț Drăcea,
Liliana Niculescu, Ion P ătrașcu, Dan Secl ăman, Editura Cardinal)
Exemplu:
Ecuația x3+(1-i)x2+(2-i)x+2=0 are r ădăcina z=2i, dar nu admite r ădăcina -2i.
Rezolvarea ecua țiilor de gradul I
O ecuație de gradul I de forma ax+b=0 (a≠0), a, b numere complexe are soluție unica x=−𝑏
𝑎
Rezolvarea ecua țiilor de gradul II
O ecuație de gradul al doilea de forma ax2 + bx + c = 0 cu a, b, c ∈ R, a ≠ 0, se rezolv ă cu
ajutorul formulei:
x1,2=−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Aceeași formulă este valabilă și în cazul în care a, b, c ∈ C, a ≠ 0:
x1,2=−𝑏±i√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
Rezolvarea ecua țiilor de gradul II I
Fie ecuația algebrică de grad 3 cu coeficien ți din C scrisă sub forma:
(3) x3 + ax2 + bx + c = 0 cu a, b, c C.
Dacă în (3) înlocuim pe x cu y = x + a/3 obținem o ecuație algebrică în y de forma:
(4) y3 + py + q = 0 cu p, qC.
(M. Becheanu și colaboratorii, Algebră pentru perfecționarea profesorilor, 1983)
Fie acum θ o rădăcină a lui (4) (eventual într -o extindere K a lui C), iar x1, x2 rădăcinile
ecuației:
(5) x2 – θx – p/3 = 0.
Conform relațiilor lui Viète, avem:
(6) x1 + x2 = θ și x1 x2 = – p/3.
Înlocuind pe θ în (4) avem că θ3 + pθ + q = 0 astfel că dacă ținem cont de (6) ob ținem
𝑥13+ 𝑥23=(𝑥1+𝑥2)3−3𝑥1𝑥2(𝑥1+𝑥2)= 𝜃3+𝑝𝜃=−𝑞
și cum 𝑥13𝑥23 = −𝑝3
27 obținem că 𝑥13 și 𝑥23 sunt rădăcinile ecuației 𝑥2+𝑞𝑥− −𝑝3
27=0, adică
𝑥13= −𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
27 și 𝑥23= −𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
27 de unde deducem:
𝑥1(𝑖)= 𝜀𝑖√−𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
273
și 𝑥2(𝑖)= 𝜀𝑖√−𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
273
, i = 0,1,2, în care
62
,,sunt rădăcinile ecua ției x3 – 1 = 0. Pentru că rădăcinile ecuaț iei x3 – 1 = 0 sunt 1 și ,
cu −1+𝑖√3
2deducem că rădăcinile ecuației (4) sunt:
{
𝜃1= √−𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
273
+√−𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
273
𝜃2=𝜀 √−𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
273
+ε2√−𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
273
𝜃1= 𝜀2√−𝑞
2+√𝑞2
4+𝑝3
273
+ε√−𝑞
2−√𝑞2
4+𝑝3
273
Astfel, rădăcinile lui (3) vor fi 𝑥𝑖=𝜃𝑖−𝑎
3, 1 ≤ i ≤ 3.
Rezolvarea ecua țiilor de gradul IV
Să considerăm acum ecuația algebrică de grad 4 cu coeficienți din C:
(7) x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 ( a, b, c, d C ).
Notăm y = x + a/4 și obținem că y verifică o ecuație de forma
(8) y4 + py2 + qy + r = 0 cu p, q, r C.
Fie un element dintr -o extindere K a lui C astfel încât scriind pe (8) sub forma
(9) (y2 + p/2 + )2 – [2y2 – qy + (2 + p- r + p2/4)] = 0 și cel de al doilea termen să fie
pătrat perfect, adică să verifice ecuația de gradul 3:
q2 – 8(2 + p– r + p2 /4) = 0
(10) 83 + 8p2 + (2p2-8r)- q2 = 0.
Pentru ce verifică ecuația (10), ecuația (9) devine:
(11) ( y2+ p/2 + )2 – 2(y – q/4)2 = 0
iar rădăcinile lui (11) sunt rădăcinile ecua țiilor y2 – θy + (p/2 + + q/2) = 0, y2 + θy + (p/2
+ - q/2) = 0 cu θ rădăcină a ecua ției x2 -2= 0.
Astfel, rezolvarea unei ecuații algebrice de grad 4 se reduce la rezolvarea unei ecuații de
gradul 3 și a două ecuații algebrice de grad 2.
63
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: INTRODUCERE pag. 2 [604362] (ID: 604362)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.