INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………….. [629814]

1
CUPRINS

INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 2
CAPITOLUL 1. Noțiuni și rezultate preliminare ………………………….. ………………………….. ………………. 4
1.1. Definiții și notații ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 4
1.2. Verificarea eterogenității unui portofoliu de contracte de asigurare non -viață prin metode statice . 7
CAPITOLUL 2. Modelul de credibilitate original al lui Bühlmann ………………………….. ………………. 20
2.1. Estimatorul exact de cre dibilitate și estimatorul liniar neomogen de credibilitate …………………… 20
2.2. Calcule de credibilitate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 42
2.3. Estimatorul de credibilitate al lui Buhlman ………………………….. ………………………….. ……………….. 47
CAPITOLUL 3. Estimarea recursivă a credibilității din modelul original al lui Bühlmann ……….. 59
BIBLIOG RAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 77

2
INTRODUCERE

Este binecunoscut faptul că matematica s -a constituit și s -a dezvoltat ca știință în pas cu
evoluția societății umane, contribuin d la realizarea progresului ace steia și la îmbunătățirea
calității vieții . Apropierea ei de unul din domeniile sistemului general al activităților financiare și
anume asigurările non -viață a însemnat pe de o parte dezvo ltarea ei și apariția unor noi ramuri
ale matematicii, iar pe de altă parte introducerea rigurozității matematice în analiza unor situații
concrete și mai ales în luarea unor decizii în domeniul asigurărilor non -viață.
Lucrarea de față abordează problemele teoretice și practice din domeniul asigurărilor non –
viață, folosind așa -numita teorie a credibilității. Teoria credibilității este o tehnică de e valuare
bazată pe experiență, u tilizată pentru a evalua prime de asigurări pentru contractele dintr -un
portofo liu eterogen, în situația în care există o experiență limitată pentru fiecare contract în parte,
dar o experiență extinsă pentru portofoliu . Este știința de a utiliza cele două tipuri de experiențe
pentru ajustarea primei de asigu rare, în vederea îmbunătăț irii acurateței ei .
Teoria credibilității a fost inițiată și treptat perfectată, de actuari de marcă, precum Mr.
Mowbray , Whitney, Bühlmann, Straub, Jewell, Gerber și Witting din dorința de a pătrunde din
ce în ce mai mult în taina asigurărilor non -viață.
Un aspect important al lucrării îl consti tuie modul în care matematica intervin e în
soluționarea problemelor dificile cu care se confruntă actua rii în analiza și soluționarea
asigurărilor non -viațăși totodată întărește convinge rea că, instrumentul matemat ic se extinde la
problemele practice de viață și ajută l a rezolvarea lor cu maximum de eficiență .
Lucrarea este structurată în trei capitole echilibrate ca și conținut. Noțiunile teoretice sunt
complete, prezentate cu acuratețe și rigurozitate.
În primul capitolul am realiza t o descriere a unui portofoliu eterogen de contracte de
asigurări non -viață , dat fiind că modelele de credibilitate au fost proiectate pentru a lucra cu un
astfel de concept, după care am prezentat un exemplu practic de verificare a e terogenității unui
portofoliu.

3
Al doilea capitol dezbate, din punct de vedere teoretic și practic , modelul de credibilitate
original al lui Bühlmann . În prima parte se introdu c doi estimatori foarte utili î n teoria
credi bilității și anume estimatorul exact de credibilitate ș i estimatorul de credibilitate optimizat în
cadrul clasei de estimatori liniari -neomogeni . În partea a doua se ilustrează, prin câteva exemple
de calcul numeric modelul de credibilitate exactă și modelul de credibilitate liniară. În part ea a
treia a capitolului doi se definește estimatorul credibilității în sens Bühlmann și se prezintă o
serie dintre proprietățile matematice ale acestuia.
Capitolul trei reprezintă o extensie a modelului original al lui Bühlmann. Practic se
construiește un model îmbunătățit al modelului prezentat în capitolul anterior, care să amelioreze
o parte din neajunsurile de ordin practic ale acestuia. Acest model este foarte util în calculul
primelor nete de risc ale contractelor diverselor portofolii, din cadrul as igurărilor non -viață. În
modelul original al lui Bühlmann, riscul pe care îl implică o poliță de asigurare non -viață a fost
considerat stabil în timp. Acest model însă, tratează cazul în care riscul nu rămâne același în
timp. Atunci se consideră proceduri recursive, formule de tip actualizator, adică se apelează la
estimarea recursivă a credibilității

4

CAPITOLUL 1. N oțiuni și rezultate preliminare

1.1. Definiții și notații
Fie un portofoliu de
k polițe de asigurare non -viață, fiecare dintre ele implicând un risc
i de
parametru
i , unde
1, .ik Riscul atașat unei polițe este un risc de variabilă aleatoare
nenegativă. Așadar, parametrul de risc al unei polițe este o variabilă aleatoare reală, care conține
caracteristicile riscului luat în considerație. Vom presupune în co ntinuare că parametrul de risc al
unei polițe reprezintă toate caracteristicile de risc care nu pot fi direct observabile, tocmai de
aceea devenind aproape imposibil de evaluat, precum și pe cele ale căror folosire nu este admisă
de societate.
Parametrii de risc
i , unde
1,ik generează eterogenitatea colectivului de contracte,
datorită modului în care aceștia au fost definiți. Eterogenitatea este modelată din punct de vedere
probabilistic, prin introducerea unei variabile aleatoare
 , dând o valoare diferită parametrului
de risc pentru fiecare contract. Dacă
 dă valoarea
i parametrului de risc
i , atunci afirmația
făcută anterior spune că:
12 k      (adică valoarea dată de
 parametrului de risc diferă
de la un contract la altul).
 se numește variabilă de structură a portofoliului sau parametrul de
risc de bază implicat de portofoliul eterogen pentru riscurile individuale, iar
12, , ,k    sunt
parametrii abstracți ai riscurilor
1,2, , k , sau, concret, realizările diferite ale parametrului de
risc
 pentru fiecare poliță a portofoliului.
În concluzie, portofoliul este eterogen, deoarece parametrii abstracți
i ai fiecărui risc
i ,
1,ik
sunt diferiți; variația lui
 în portofoliu se manifestă prin aceea că:
12 k      se
datorează parametrilor de risc
, 1, .iik
În aceste condiții, pentru riscul
X al unui contract individual (X variabilă aleatoare
nenegativă) se consideră repartiția sa condiționată, dată fiind valoarea
 a parametrului de risc

Deci, este vorba de repartiția variabilei aleatoare condiționate
(X | ) .

5
Presupunem că
X se află sub observație și că studiul statistic efectuat a durat un număr
de
t ani, iar acum dispunem de un trecut statistic asupra lui
X concretizat în variabile aleatoare
observabile:
12, , , .t X X X
Prin urmare, contractul individual constă dinparametrul aleator de structură
corespunzător, car e este o variabilă aleatoare, precum și din variabilele aleatoare de observație:
12, , , .t X X X
Prin
'X voi nota vectorul observațiilor efectuate asupra lui
X , adică
'
12(X , X , , X )t X 
, astfel încât contractul poate fi reprezentat printr -un vector aleatoriu de
componente:
 =variabila de structură a contractului și
'X . Componentele vectorului
'X sunt
variabile aleatoare dependente, în sensul că depind de valoarea
 dată de
 parametrului de risc
al contractului, fiind independente de și identic distribuite condițional, adică dată fiind valoarea

atribuită de
 parametrului de risc al contractului respectiv.
Admitem că parametrul de risc al unui contract individual rămâne același în timp, se
spune că acesta este stabil (constant) în timp sau că vo lumul riscului este același pentru toți anii.
Descrierea realizată pentru portofoliul eterogen de
k contracte cu riscuri stabile în timp
poate fi redată prin următoarea diagramă:

6

Contract
1 jk 

Variabila de
structură a
j
contractului

Variabila de
observație asupra durata (ani)
1
2
t

1
2j
j
jtX
X
X

contractului

Figura 1: Portofoliul eterogen de
k contracte cu riscuri stabile în timp

7
Contractul
j este compus din variabilele
j (variabila aleatoare structurală a sa) și
12, , ,j j jtX X X
(variabilele aleatoare observabile ale riscului implicat de contractul
j ), unde
1,jk
; cu alte cuvinte contractul
j este vectorul aleator de componente
j și
'
jX , adică
perechea
', ( )j jX , unde
'
12 ( , , , ).not
j j j jt X X X X  Pentru fiecare contract
j și pentru
( fixat)j j j
, variabilele aleatoare
12, , ,j j jtX X X sunt independente și identic
distribuite, pentru
1,jk . Indepe ndența condițională a variabilelor
12, , ,j j jtX X X , dat fiind că
jj
se scrie astfel:
 
1 1, , 1, , 1, fixatt t
jr j j jr jr j j jr jr
r rP X x P X x x R r t j k 
              

Egalitatea de mai sus descrie independența de la an la an (independența de timp) a riscurilor
condiționate
(X | ), 1,jr j j rt   ale contractului
(j 1, fixat).jk
Portofoliul este eterogen datorită realizărilor diferite ale parametrului de risc
 pentru fiecare
contract.

1.2. Verificarea eterogenității unui portofoliu de contracte de asigurare non -viață prin
metode statice
Acest subcapitol ilustrează printr -un exemplu practic, datorat actuarilor Hogg și Klumann,
modul în care statistica clasică poate verifica eterogenitatea unui portofoliu de polițe de asigurare
non-viață. Aceștia consideră două contracte, ale căror riscuri
X , respectiv
Y urmează o
repartiție de tip Pareto.
X
are densitatea de repartiție:
11
1 1 1, 1 , 0, 0f x x x     
(1.2.1)
iar densitatea de repartiție a lui Y este:

8

21
2 2 2(y, ) (1 ) , y 0, 0fy      (1.2.2)
cu
12 (unde
12,  reprezintă parametrii abstracți ai celor două riscuri).
Să presupunem că riscurile implicate de cele două contracte se află sub observație
statistică și că studiul statistic efectuat asupra lui
X a durat
m ani , iar cel efectuat asupra lui
Y
n
ani, astfel încât, în acest moment dispunem de un trecut statistic referitor la
X constând în
variabilele aleatoare observabile
12, , , ,m X X X respectiv un trecut statistic referitor la
Y ,
constând în variabile aleatoare observabile
12, , , .n Y Y Y
În continuare, cu ajutorul statisticii clasice, vom verifica dacă cele două riscuri sunt sau
nu omogene.
Ipoteza omogenității riscurilor se formulează astfel:
12 . Notăm ipoteza pe care o
avem de verificat cu
0H și o numim ipoteză nulă sau fundamentală. Ipoteza contrară ipotezei
0H
se formulează astfel:
12 ,numindu -se ipoteza alternativă ipotezei
0H .Așadar, avem de
testat cuplul de ipoteze
01(H , H ) , unde
0 1 2:H , iar
2 1 2:.H
Acceptarea ipotezei nule
0H înseamnă că riscurile implicate de cele două contracte sunt
omogene, sau că parametrii abstracți
i pentru fiecare risc
i ,
1, 2i sunt aceiași; cu alte cuvinte
ambele contracte pot fi grupate împr eună într -un portofoliu omogen. Respingerea ipotezei nule
0H
înseamnă că riscurile implicate de cele două contracte nu sunt omogene, sau că parametrii
abstracți
i pentru fiecare risc
i ,
1, 2i sunt diferiți; altfel spus portofoliul format din cele două
contracte este eterogen, datorită realizărilor diferite ale parametrului de risc pentru fiecare
contract
i ,
1, 2i .
Verificarea cuplului de ipoteze
01(H , H ) se face la un plan de semnificație
0 foarte
mic, dat și pe baza testului statistic clasic, cunoscut sub denumirea de ”testul raportului de
verosimilitate”.
În vederea aplicării acestui criteriu decizional vom parcurge următoarele etape:

9
Etapa I: Se determină estimațiile de verosimilitate maximă ale parametrilor abstracți de risc
12,
notate cu
^^
12, respectiv  precum și estimația de verosimilitate maximă a parametrului
comun
 notată cu
^
 , aceasta din urmă având sens dacă ipoteza
0H este adevărată, caz în care
12  
. În acest sens construim funcțiile de verosimilitate notate cu
12( , )L , respectiv
()L
, dar
()L este
12( , )L când
0H este adevărată. Astfel , ținând cont de independența
observațiilor
, 1,iX i m față de observațiile
, 1,jY j n , independența între ele a observațiilor
, 1,iX i m
, respectiv a observațiilor
, 1,jY j n , precum și definițiile ( 1.2.1) și ( 1.2.2) obținem:


112
1 1 1 1
12
1 1 1 1
1( , ) ,
, ,
(1 x )m n m n def
i i j j i i j j
i j i j
m n m n
i i j j i j
i j i j
iL P X x Y y P X x P Y y
P X x P Y y f x f y


   
   
                  
                        
      
2 1 2 1 1 1 1
2 1 2
1 1 1 1(1 ) (1 x ) (1 )m n m n
mn
j i j
i j i jyy         
                              

În concluzie,
1211
1 2 1 2
11( , ) (1 x ) (1 )mn
mn
ij
ijLy      
      
(1.2.3)
de unde, făcând
12   , îl obținem pe
()L :
11
11( ) (1 x ) (1 )mn
mn
ij
ijLy    
      
(1.2.4)
Observația 1.2.1 : În construcția funcției de verosimilitate
12( , )L au intervenit valorile
numerice concrete
12, , ,m x x x la care au condus variabilele aleatoare independente
12, , ,m X X X
și respectiv
12, , ,n y y y la care au condus variabilele aleatoare independente
12, , , .n Y Y Y

10
Se știe că estimația unui parametru necunoscut ce figurează într -o repartiție statistică
clasică dată, prin metoda verosimilității maxime corespunde acelei valori a sa, care maximizează
funcția de verosimilitate
L , sau care maximizează logaritmul natural al lui
L , deoarece
maximul funcției
L are loc în aceleași condiții cu maximul funcției
lnL . În continuare vom
înlocui rezolvarea problemei
[max] L cu rezolvarea problemei
[max]lnL , aceasta din urmă
având avantajul de a se preta la cal cule mai ușoare.
Aplicând funcția logaritm natural în relația ( 1.2.3), deducem că:
  1 2 1 2 1 2
11ln ( , ) ln ln ( 1) ln 1 x ( 1) ln 1mn
ij
ijL m n y     
        
(1.2.5)
iar de aici, punând
12   , obținem:
 
11ln ( ) ( )ln ( 1) ln 1 x ( 1) ln 1mn
ij
ijL m n y   
        
(1.2.6)
Pentru simplificarea scrierii, vom nota
1 2 1 2 ln ( , ) ( , ),not
L     iar
ln ( ) ( ).not
L  
Deoarece punctele de extrem ale unei funcții de două variabile se află printre punctele ei
staționare, însă nu toate punctele staționare sunt puncte de extrem ale funcției respective, în cele
ce urmează vom rezolva sistemul
(S) al ecuațiilor de verosimilitate:
1
2'
12
'
12( , ) 0
(S)
( , ) 0
  
    
(1.2.7)
în raport cu necunoscutele
12,. Ținând cont de ( 1.2.5), sistemul devine:
1 1
1 2ln(1 x ) 0
(S) :
ln(1 ) 0m
i
i
n
i
jm
ny

  
  

(1.2.8)
Introducem următoarele notații:
1ln(1 x )m not
i
iU
 (1.2.9) și
1ln(1 )n not
j
jVy
 (1.2.10)

11
Ținând cont de notațiile făcute, sistemul ( 1.2.8) dev ine:
1
20
(S) :
0mU
mV


(1.2.11)
Prin rezolvarea lui (S) în raport cu necunoscutele
12, obținem soluțiile:
1
2m
U
n
V


(1.2.12)
Așadar, punctul staționar al funcției
12( , )   este
12( , ) ,mn
UV (1.2.13)
În continuare, voi verifica dacă acest punct staționar maximizează funcția
(.,.) .
Deoarece matricea hesiană a funcției
(.,.) , calculată în punctul
12( , ) ,mn
UV , notată
,mnHUV

este negativ definită, rezultă că:
^
1
^
2m
U
n
V


(1.2.14)
Într-adevăr:
2121
2122
122
""
1 2 1 2
"" 2
1 2 1 2
( , ) ,0( , ) ( , )
,
( , ) ( , )0mn
UVU
mn mHUV V
n 

      
           

12
de unde se vede că
,mnHUV
 este negativ definită, deci punctul staționar dat de ( 1.2.13) este
punct de maxim al funcției
(.,.) , adică au loc egalitățile ( 1.2.14).
Deoarece punctele de extrem ale unei funcții de o variabilă se află printre punctele ei
critice, însă nu toate punctele critice sunt puncte de extrem ale funcției respective, în continuare
rezolvăm ecuația de verosimilitate:
'( ) 0
(1.2.15)
în raport cu necunoscuta
 . Ținând cont de ( 1.2.6), (1.2.9) și ( 1.2.10), ecuația ( 1.2.15) devine:
(U V) 0mn
  
(1.2.16)
și ea conduce la soluția:
mn
UV
(1.2.17)
Mai departe verificăm dacă punctul critic ( 1.2.17) al funcției
(.) maximizează această funcție.
2
"
2(U V)( ) 0m n m n
U V U Vmn
mn   
,de unde deducem că
^
.mn
UV (1.2.18)
Etapa a II -a: Se construiește statistica testului raportului de verosimilitate; aceasta este notată
cu
 și este definită ca raportul dintre valoarea maximă a funcției de verosimilitate
12( , ),L
adică
^^
12( , ),L și valoarea maximă a funcției de verosimilitate
()L adică
^
()L ;facem
mențiunea că
 fiind statistică este variabilă aleatoare, astfel încât acum interpretăm estimatorii
^^
12,
și
^
 drept variabile aleatoare:
^
1
1, unde ln(1 X )m
i
imUU
   
(1.2.19)

13

^
2
1, unde ln(1 )n
j
jnVYV
    (1.2.20)
^1
1ln(1 X ),
, unde
ln(1 Y ),m
i
i
n
i
jU
mn
UVV
  

(1.2.21)
Prin urmare:
^^
12
^^^^11^^ 12
1112
^^11
11
11
11(1 x ) (1 )
( , ):
()(1 x ) (1 )
(1 x ) (1 )
=
(1 xmn mn
ij
ij
mn mn
ij
ij
mn mn mn
UV
ij mn
ij
mny
L
Ly
mnyUV
mn
UV


   


   

   

        
     
 
 


 1 1
11
11
11
1 1
11
) (1 )
(1 x ) (1 ) (U V)
=
(m n) (1 x ) (1 )m n m n mn
U V U V
ij
ij
mn mn
m n m n UV
ij
ij
m n m n mn
m n m n U V U V
ij
ij
mn
m m n U V UVy
m n y
y U V
m n e e U V   

   

    

   
 
     
      
 










,n mn mn m m n n m n
UV U U V V U V
m n m n m n mnmn U V m n U V U V
m n m n m n m n nU mV mV nU
U V U V
m n m n m n m nm n U Vee
m n U Vm n e e U V
m n U V m n U Vee
m n U V m n U V   
   







șir de egalități în care s -a ținut se ama de următoarele:
 expresia ( 1.2.3) a lui
12( , ),L unde am înlocuit
1 cu
^
1 și
2 cu
^
2 ;
 expresia ( 1.2.4) a lui
()L unde am înlocuit
 cu
^
 ;

14
 definiția lui
U :
1ln (1 X ) ,m
i
iU
 scrisă echivalent
1(1 X )m
U
i
ie
 ;
 definiția lui
V :
1ln (1 ) ,n
j
jVY

 scrisă echivalent
1(1 )n
V
j
jYe
 .
Etapa a III -a: Definim statistica:
nUFmV (1.2.22)
cu
1ln(1 )m
i
iUX
 și
1ln(1 )n
j
jVY
 (1.2.23)
Variabila aleatoare
F se scrie echivalent astfel:
U
mFV
n (1.2.24)
Dacă ipoteza
0H este adevărată atunci
12   ; în aceste condiții putem rescrie
statistica
F sub următoarea formă:
2
2
2
2U
mFV
n
 (1.2.25)
Expresia ( 1.2.25) a lui
F , variabilă când
0H este adevărată, permite identificarea
repartiției lui
F . În vederea stabilirii repartiției voi proceda astfel:
 observațiile
12, , ,m X X X asupra lui
X sunt variabile aleatoare independente și identic
repartizate cu
X ; (1.2.26)
 introducem notația
ln(1 X)Z (1.2.27)
 determinăm repartiția variabilei aleatoare
Z :
  (z) Z z P ln(1 X) z 1 1 e 1 , .def def
z z z
ZXF P P X e P X e F z R              

În concluzie
 (z) e 1 , .z
ZXF F z R    (1.2.28)

15
În continuare voi calcula funcția de repartiție a lui
X ținând seama de definiția ( 1.2.1), în cazul
1
(deoarece se presupune ipoteza
0H adevărată):
0
1
00 , daca 00, daca 0( ) (t, )dt
1 (1 x) , daca 00 (1 t) , daca 0x
x
Xxdt xxF x f
xdt dt x



 
           


(1.2.29)
Scriind acum funcția de repartiție a variabilei
Z , obținem:
0, daca 0, 0, daca 1 0()
1 , daca 0. 1 (1 1) , daca 1 0z
Z z zzz eFz
ez ee             
(1.2.30)
Din relația precedentă, prin derivare, se obține densitatea de repartiție a lui
Z :
'0, daca z 0(z) ( )
, daca z 0ZZ zf F x
e  
(1.2.31)
dar se observă că
()Zfz este tocmai densitatea de repartiție a unei variabile aleatoare exponențial
negative de parametru
0 (necunoscut); prin urmare
Z ere o distribuție exponențial negativă
de parametru

( 0 fixat).
 Știm că
1ln(1 )m
i
iUX
 , iar din relația ( 1.2.26) avem că
 , 1,P
iX X i m   , de unde
deducem că
 , 1,P
iZ Z i m   , ceea ce înseamnă că variabilele aleatoare
, 1,iZ i m au o
repartiție exponențial negativă de parametru
. Așadar,
U poate fi rescris în următorul mod:
1, unde , 1,m
ii
iU Z Z i m

sun variabile aleatoare distribuite exponențial negativ, cu parametrul

și, în plus, variabile aleatoare independente, deoarece
, 1,iX i m sunt independente.
 Determinăm repartiția variabilei
U folosind funcția sa caracteristică și avem, pentr u
tR
, arbitrar, dar fixat, că:

16


11(i)
111( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 ,mi
i
immmm
U Z Z
Z it t t t it it   

                  
șir de egalități în care am ținut seama de următoarele:
 , 1,P
iZ Z i m  
, implică faptul că variabilele aleatoare
, 1,iZ i m au aceeași funcție
caracteristică cu
Z , iar funcția caracteristică a variabilei aleatoare exponențial -negative, adică a
lui
Z este egală cu
111.it În concluzie:
1( ) 1 , m
Ut it t R    (1.2.32)
care este funcția caracteristică corespunzătoare unei variabile aleatoare repartizate
1Gamma , . m


Deoarece funcția caracteristică determină în mod unic repartiția variabilei aleatoare pentru
care a fost calculată , deducem că
U are o repartiție Gamma de parametri
1, a m b .
Reamintim că dacă o variabilă aleatoare urmează o repartiție Gamma
( , ), cu , 0a b a b  densitatea
ei de repartiție este egală cu:
1 1( ; , ) , 0, , 0()x
a b
af x a b x e x a bba   fixați și atunci funcția ei
caracteristică este
 1 , ;aitb t R
 Determinăm repartiția variabilei aleatoare
(2 U) folosind tot funcția caracteristică a ei.
Pentru
tR fixat, dar arbitrar, avem că:
 2 (32) t 2 U (2t )U22 ; ( ) (e ) M (2 ) 1 2 1 2m def defm ii
UUt M e t it it
        

adică tocmai funcția caracteristică a repartiției hi -pătrat cu
(2 )m grade de libertate, deci conform
teoremei de unicitate, variabila aleatoare
(2 U) are repartiția hi -pătrat cu
(2 )m grade de
libertate .
 În mod analog se arată că variabila aleatoare
(2 )V are o repartiție hi -pătrat cu
(2 )n

17
grade de libertate.
În concluzie, dacă ipoteza
0H este adevărată, atunci statistica
F , dată de relația ( 1.2.25)
are repartiția Fisher – Snedecor cu
(2 ,2 )mn grade de libertate, conform următorului rezultat:
„Fie
X și
Y două variabile aleatoare independente, repartizate
2 cu
1n respectiv
2n
grade de libertate. Definim variabila aleatoare
Z astfel:
1
2.X
nZY
n Rezultă că
Z este repartizată
Fisher – Snedecor cu
12(n , )n grade de libertate”, cunoscut de la teoria probabilităților.
Remarcă: Independența observațiilor
, 1,miXi față de observațiile
, j 1,jXn , atrage după
sine independența variabilei aleatoare
(2 U) de variabila aleatoare
(2 )V .
La finalul etapei a II -a am obținut următoare expresie pentru statistica
 :

,mn mn
mn mnm n U V
m n U V


(1.2.33)
cu
U și
V variabile aleatoare date de relația ( 1.2.23).
Testul raportului de verosimilitate respinge ipoteza nulă
0H a omogenității riscurilor,
adică acceptă ipoteza alternativă
1H , ceea ce înseamnă că portofoliul de două contracte nu poate
fi considerat omogen, deci este eterogen (datorită realizărilor diferite ale parametrului de risc
, 1,2jj
pentru fiecare contract), dacă

,mn mn
calc mn mnm n U V
m n U V


(1.2.34 )
unde
U și
V dați de ( 1.2.9) și respectiv ( 1.2.10), depășește un anumit prag
( c)calcc . Din
relația ( 1.2.34) se observă că
calc are o relație complicată, motiv pentru care recurgem la
calcF în
luarea deciziei referitoare la ipoteza nulă
0H . În aceste condiții, decizia de respingere a ipotezei

18

0H și anume
ccalc se înlocuiește cu
1,calcFc dacă
2 0 1, sau ,calc calcF F c   dacă
1,calcF
întrucât
 descrește pentru
(0,1)F și crește pentru
(1, ).F Afirmațiile făcute anterior au
următoarea justificare:
– în primul rând
 poate fi scrisă sub forma următoare:
 1m m n
mn mn mmm n m n F Fnn
            
(1.2.35 )
Într-adevăr, din ( 1.2.33) și ( 1.2.22) rezultă că:
 
11
1m n m m n
m n m n m n m n m n m n
m m n
mn mnU m n U mm n m n U V V m n m n FV n m V n
mmm n m n F Fnn  
      

                      
            

– pentru a studia monotonia lui
 în raport cu
F , interpretăm
 dat de ( 1.2.35 ) ca funcție
de
 FF și prin derivarea lui
 obținem:

 

'
1
1
1
1 1 (m n) 1
1 1 1 (m n)
=m m n m n
mn m n m m
m m n
mn m n m
m
mn m n mFF
m m m mm n m n m F F F Fn n n n
m m mm n m n mF F F Fn n n n
mm n m n mFn  
   
   
  
 

   
                               
                      

 1
1
1
11
0, pentru 0 1 1 10, pentru 1mn
m m n
mn m n mm n mF mF nFFnn
F mmm n m n mF F FF nn
  
     
                    

Deci
 strict descrescătoare dacă
0 1,F respectiv
 este strict crescătoare dacă
1.F Prin
urmare, dacă
01F  
calc calcF
1 ,not
cc iardacă
1F
calc calcF

19

2not
cc și reciproc, dacă
11
1 atunci, pentru 0 1 ,not
calc calc c F c c         adică
1 calcFc
, iar pentru
11
2 1not
calc F c c      , adică
2.calcFc
Numerele
1c și
2c se determină folosind criteriul cozilor egale și definiția pragului de
semnificație
 . Se știe că

=P (de a respinge
00|HH este adevărată) =
1 2 1 2 , P F c F c P F c P F c      
Considerând că
1 2 2 1;2 ,22(F c ) / 2, deci
mnP F c P F c P c F         și
21 ;2 ,2n2.
mcF
Remarcă: Pentru calculul valorilor variabilei
F corespunzătoare ordonatelor, care închid sub
curbă o arie egală cu
1 dat, trebuie determinate valorile (limitele)
12,cc , astfel încât să
avem:
12 1 P c F c      . În ipoteza că
 este suficient de mic, deci
1 suficient de
aproape de unitate, putem considera că ariile lăsate afară sunt aproximativ egale cu
/2
(criteriul cozilor egale).
Pentru valorile lui
calcF din intervalul
 12,cc , ipoteza nulă
0H se acceptă, deci se poate
presupune că ambele riscuri au același parametru. Așadar, are sens gruparea împreună a
contractelor deoarece sunt caracterizate prin parametru de risc egal.

20
CAPITOLUL 2.Modelul de credibilitate original al lui Bühlmann

2.1.Estimatorul exact de credibilitate și estimatorul liniar neomogen de credibilitate
Considerăm un contract de asigurare non -viață, al cărui risc îl notăm cu
X și îl asimilăm
cu o variabilă aleatoare nenegativă; parametrul riscului va fi notat cu
 . Dacă
X s-a aflat sub
observație, iar studiul statistic efectuat a înregistrat
t ani, atunci dispunem de un trecut statistic
asupra l ui
X constând în variabile aleatoare observabile
12, , , .t X X X Variabila aleatoare de
structură a contractului, adică
 este presupusă a avea legea de distribuție
()u . Admitem că,
pentru
 dat, observațiile
12, , ,t X X X sunt independente și identic distribuite cu funcția
de repartiție comună
..XF Presupunem că funcțiile
()u și
.XF sunt cunoscute.
Deoarece
(P)
, 1,rX X r t     rezultă că putem reprezenta valorile medii ale
acestor variabile aleatoare condiționate prin aceeași funcție
 depinzând de
 , dar
independentă de
, 1,r r t și anume:
 | , 1,r M X M X r t        
(2.1.1)
Șirul de egalități ( 2.1.1) dă o cantitate ce semnifică prima netă de risc a contractului considerat,
dacă parametrul de risc al acestuia,
 , este egal cu
 . Pentru acest model, implicând un singur
risc izolat, teoria credibilității, în sensul celei mai mari acuratețe , are drept scop estimarea primei
nete:
, 1,rr M X M X r t       (2.1.
'1 )
dacă parametrul de risc al contractului este
 , precum și a riscului (pagubei rambursate sau
despăgubirii) din anul
1t :
1tX al aceluiași contract.
Estimatorii ce urmează a fi folosiți sunt funcții de variabile observabile, adică de
componentele vectorului aleator
 '
12, , , ,t X X X X  determinate astfel încât să minimizeze

21
eroarea medie pătratică. Prin urmare, estimarea lui
 necesită rezolvarea următoarei
problemei de minim:
   2
12, , ,tgMin M g X X X

(2.1.2)
unde
g este o funcție de observațiile
12, , ,t X X X , arbitrară.
O primă alegere posibilă pentru funcția
g este:
''g X M X 
(2.1.3)
și ea reprezintă funcția de
'X care estimează pe
 cu o eroare medie pătratică minimă.
Justificarea acestei afirmații se bazează pe următorul rezultat :
Teorema 2.1.1 . (Minimizarea erorii medii pătratice de către distribuții le condiționate)
Dacă
X ș..i
Y sunt două variabile aleatoare, atunci funcția de
X :
g , care estimează pe
Y cu
o eroare medie pătratică minimă este:
 g X M Y X
(2.1.4)
Funcția
g se numește estimatorul Bayes al primei nete de risc
 , bazat pe
'X , pentru care
eroarea medie pătratică este
 2', M g X este minimizată între toți estimatorii
'gX
ai lui
 , care sunt funcții de
'X . Alegerea ( 2.1.3) conduce la funcția optimă
g , care
este numită rezultatul exact de credibilitate sau estimatorul exact de credibilitate.
În cazul în care se consideră funcțiile de densitate
.Xf , pentru fiecare din anii de
valabilitate ai contractului, estimatorul exact de credibilitate poate fi scris astfel:

22


' 1
1t
i X
i
t
i X
if x u
g X d
f x u d

  
  






 (2.1.5)
Într-adevăr, variabila aleatoare condiționată
'X are repartiția:

 '''
' :
XxXfx



(2.1.6)
unde
 '''
Xxfx s-a notat densitatea de repartiție a variabilei aleatoare condiționate:
 ' ' 'X X x   
iar
 ''' ' ',def
Xxg X M X f x d       
(2.1.7)
De la teoria probabilităților se cunoaște fiecare rezultat:
Teorema 2.1.2 . Fie
X și
Y două variabile aleatoare cu densitățile de repartiție
1(x) și
2(y) .
Atunci densitatea de repartiție a lui
not
X Y X Y y , notată cu
xy ,este egală cu:

1
2y x x
xyy

(2.1.8)
unde
xy este densitatea de repartiție a lui
not
Y X Y X x .
Aplicând formula ( 2.1.8) în cazul densității repartiției ( 2.1.6), se obține:

'
''
''
'
'X
Xx
Xf x f
fx
fx 
  
 

(2.1.9)

23
unde cu
 ''
Xfx s-a notat densitatea de repartiție a vectorului
 '
12 , , ,not
t X X X X        
, respectiv cu
 f s-a notat densitatea
de repartiție a variabilei aleatoare
 , iar
 ''
Xfx s-a notat densitatea de repartiție a
vectorului aleator
 '
12, , , .t X X X X 
Deoarece vectorul observațiilor
'X are componente care sunt independente condițional,
dat fiind că
 , rezultă:
 
 '(i)'
1 1
11
it t def def
i i i i X
i i
tt def
ii XX
iiF x P X x P X x
F x F x
  

 
 
        


(2.1.10)
unde
 ''def
XFx funcția de repartiție a vectorului aleator
'. X
Din șirul de egalități de mai sus, care descrie independența de la an la an (independența
de timp) a riscurilor condiționate
 1,rX r t  pentru un contract cu parametrul de risc

dat, în ipoteza de independență condiționată a variabilelor aleatoare
, 1,rX r t când

, reținem prima și ultima egalitate și anume:

  ''
1t
i X X
iF x F x  
 (2.1.11)
iar de aici, prin derivare de
t ori în raport cu variabilele
12, , , ,t x x x găsim densitatea de
repartiție corespunzătoare vectorului aleator
': X

24



 '
''
'
1 1 2 1 2
12
12
12
1 =
=tt t defX
i X X
i tt
t X X X
t
t
ti X X X X
iFx
f x F xx x x x x x
F x F x F x
x x x
f x f x f x f x
 
  
   

  
   
 

  
   
         
  
  



 (2.1.12)
unde
not
Xf densitatea de repartiție a variabilei aleatoare condiționate
. X
Din șirul de egalități ( 2.1.12) reținem
  ''
1t
i X X
if x f x  
 (2.1.13)
Evident
 fu (2.1.14)
În vederea demonstrării relației ( 2.1.5), amintim următorul rezultat de la teoria probabilităților:
Teoremă 2.1.3 . Fie
X și
Y două variabile aleatoare, cu funcțiile de repartiție
(x),F respectiv
(y)G
și densitățile de repartiție
1x , respectiv
2y . Atunci
1 G y G y x x dx 

(2.1.15)
unde
 G y x este funcția de repartiție condiționată a lui
Y față de
X .
Aplicăm formula ( 2.1.15) și obținem:
 ''''
XXF x F x d
(2.1.16)
Ținând seama de ( 2.1.11), relația de mai sus devine:
  ''
1t
i X X
iF x F x u d  

(2.1.17)

25
iar de aici, prin derivare de
t ori în raport cu variabilele
12, , ,t x x x obținem densitatea de
repartiție a variabilei
'X :
  ''
1( )dt
i X X
if x f x u  

(2.1.19)
Înlocuind în relația ( 2.1.9) pe ( 2.1.13), ( 2.1.14) și ( 2.1.19), deducem că

''' 1
1()
( )dt
i X
i
t Xx
i X
if x u
fx
f x u



  







(2.1.20)
astfel că ( 2.1.7) devine:

' 1
1()
( )dt
i X
i
t
i X
if x u
g X d
f x u

  
  






 ,
adică tocmai expresia estimatorului exact de credibilitate din relația ( 2.1.5).
Presupunând că
1tX și
'X sunt independente condiționat, dată fiind variabila aleatoare

și introducând:
 1t MX   
(2.1.21)
rezultă că:
  ' ' ' ' ' '
1 1 1 ,t t t g X M X M M X X M M X X X M X X                     
(2.1.22)
ceea ce înseamnă că estimatorul ”Bayes” pentru prima netă de risc
 a contractului, bazat pe
'X
este și estimator ”Bayes” pentru riscul
1tX din anul
1t , bazat pe
'X .
Observați a 2.1.1 . Chiar dacă funcțiile
u și
.Xf sunt cunoscute, formula ( 2.1.5) nu dă,
în general, un estimator ușor de calcula t.

26
Prin urmare, soluția pentru problema de minim ( 2.1.2) tinde să producă, mai degrabă un
estimator nefavorabil, motiv pentru care este practic să se determine o aproximație a soluției
optime, prin restrângerea clasei de funcții admisibile
g . În acest fel se obține un estimator
care este mai puțin exact, dar mai ușor de calculat.
O a doua alegere posibilă pentru funcția
g , care să determine pentru primă un
estimator mai ușor de calculat, este:
'
0
1t
rr
rg X a a X

(2.1.23)
unde constantele
, 1,ia i t se obțin din condiția ca ( 2.1.23) să mini mizeze eroarea medie
pătratică:
  2'M g X , între toți estimatorii
'gX ai lui
 , care sunt funcții
liniare și neomogene de
'X . Alegerea ( 2.1.23) conduce la estimatorul liniar și neomogen de
credibilitate.
În cele ce urmează, clasa de funcții
g este limitată la mulțimea funcțiilor liniare și
neomogene. Fie
D mulțimea de combinații liniare și neomogene
g ale variabilelor aleatoare
observabile
12, , , :t X X X
'
0
1t
rr
rg X c c X

(2.1.24)
unde
, 1,ic i t sunt constante, iar despre
12, , ,t X X X presupunem că au variația finită, adică
 0 , 1, .i Var X i t   
În aceste condiții, soluția problemei de minim:
  2'
gDMin M g X

(2.1.25)
este:
'1 g X z X z m  
(2.1.26)

27
unde:

2atzs at este factorul de credibilitate rezultat (2.1.27)
(adică o pondere a înregistrărilor, ce indică de câtă credibilitate se bucură acestea)

11t
i
iXXt este estimatorul individual al lui
 (2.1.28)
(adică media de selecție corespunzătoare solicitărilor de despăgubire), iar
2,as și
m sunt
parametrii structurali definiți în modul următor:

, 1,r a Var M X Var M X Var r t                  (2.1.29)

22, 1,r s M Var X M Var X M r t                  (2.1.30)

  (X) M , 1,r m M X M M X M r t          (2.1.31)
Observații 2.1.2.
1) Deoarece
(P)
, 1,rX X r t     rezultă că putem reprezenta dispersiile
acestor variabile aleatoare condiționate prin aceeași funcție notată cu
2 , depinzând de
 , dar
independentă de
, 1,r r t și anume:

2
r Var X Var X       (2.1.32)
ceea ce este același lucru cu
2
r Var X Var X   
(2.1.33)
2) Folosim următoarea proprietate cunoscută la teoria probabilităților sub denumirea de
proprietate iterativă a mediei condiționate:

28

 M X M M X  (2.1.34)
În continuare voi arăta că ( 2.1.26) este soluția problemei ( 2.1.25). Avem de rezolvat următoarea
problemă:

012
0, , ,1tt
rrc c crMin M c c X 
  
(2.1.35)
Deoarece relația precedentă exprimă minimul unei forme pătratice pozitiv definite, este suficient
să determinăm o soluție, anulând toate derivatele ei de ordinul întâi. Pentru aceasta, eroarea
medie pătratică din problema ( 2.1.35) o notăm cu
01, , ,t f c c c și o dezvoltăm astfel:
 
  22
22
0 1 0 0
11
00
11, , , =
2 2 2tt
t r r r r
rr
tt
r r r r
rrf c c c M c c X M c c X
c M c M X c c M X

                              
          

(2.1.36)
Punând condiția ca
01
0, , ,0t f c c c
c (2.1.37)
se obține
 0
12 2 2 0t
rr
rc M c M X
    , sau împărțind cu 2 și ținând seama de ( 2.1.31):
0
10t
r
rc m m c
  
(2.1.38)
adică o ecuație în necunoscuta
0c , care rezolvată conduce la următoarea expresie pentru
0c :
0
11t
r
rc m c

(2.1.39)
Înlocuindu -l pe
0c în problema ( 2.1.35), aceasta devine echivalentă cu următoarea problemă :
 
12
,,1tt
rrccrMin M m c X m 
   
(2.1.40)

29
Funcția
01, , ,t f c c c din ( 2.1.35) devine
 2
1
1, , .t
t r r
rf c c M m c X m 
     
Dezvoltând expresia de mai sus, obținem:
   
   
 ''
'
'2
2 2 2 2
1
11
11 ,
222,,
2 2 2 2
2tt
t r r r r
rr
t t t
r r r r r rrr
rr rr
rr
q q q rf c c M m c X m M m c M X m
c c M X m X m mM m c M X m c M X m
M c M X m c c M



              
                       
         
  
   
    1
2 2 2t
rq
r
rq
q q q qX m X m
mM m c M X m c M X m

     
               
   
(2.1.41)
Impunând ca
01, , ,0, 1,t
qf c c cqtc (2.1.42)
obținem
 2
12 2 2 2 0t
q q r r q q q
r
rqc M X m c M X m X m mM X m M X m 

                      

sau împărțind cu 2 și grupând convenabil termenii obținem:

 
1, 1,t
q r r q
rM m X m c M X m X m q t
             

sau, ținând seama și de ( 2.1.31) rezultă:
       
1, 1,t
q q r r r q q
rM M X M X c M X M X X M X q t
              

adică:
 
1, , , 1,t
q r r q
rCov X c Cov X X q t
  
(2.1.43)

30
adică un sistem de ecuații în necunoscutele
, 1, .qc q t
Au loc următoarele egalități:
 , , 1,q Cov X a q t   
(2.1.44)
relații ce exprimă covarianțele dintre prima de risc a contractului și observații
 2, , ,q 1,r q rq Cov X X a s r t    
(2.1.45)
relații ce exprimă covarianțele riscurilor independente condițional, astfel că sistemul de ecuații
(2.1.43) devine echivalent cu următorul sistem:
2
1, q 1,t
r rq
ra c a s t 
   
(2.1.46)
care se rezolvă cu ușurință, conducând la următoarea expresia comună a necunoscutelor:
(2.1.27)
12 2 tazc c cs at t    
(2.1.47)
Din relațiile ( 2.1.39) și ( 2.1.47) obținem că:
0
11 1 1t
rzzc m m t m ztt         
(2.1.48)
În concluzie, soluția optimă a problemei ( 2.1.25), adică estimatorul liniar și neomogen de
credibilitate este:
  (2.1.35) (2.1.47) (2.1.28)'
0(2.1.48)1 1 111 1 (1 ) 1t t t
r r r r
r r rzg X c c X m z X z m z X z X z mtt               
,
adică ceea ce trebuia demonstrat.
În continuare vom stabili veridicitatea relațiilor ( 2.1.44) și ( 2.1.45), relații ce au intervenit
în cadrul rezolvării sistemului ( 2.1.43).
Vom folosi următoarele două rezultate cunoscute :

31

 , , , Cov X Y M Cov X Y Cov M X M Y            (2.1.49)
 Var X M Var X Var M X          
(2.1.50)
primul privind covariația a două variabile aleatoare
X și
Y, rezultat ce folosește condiționarea
celor două variabile aleatoare, iar cel de -al doilea fiind binecunoscuta proprietate a varianței unei
variabile aleatoare, obținută în condițiile în care se utilizează condiționarea acestei variabile
aleatoare cu altă variabilă aleatoare.
Fie
1, ;qt are loc următorul șir de egalități:
    
   
   (2.1.49)
, , ,
= ,
= q q q
qq
qqCov X M Cov X Cov M M X
M M X M M X Cov
M M M X M M X Var  
   
                       
                        
                       
 = 0 , M a M a a   
        

Așadar, relația ( 2.1.44) este adevărată , oricare ar fi
1, .qt Fie acum
r astfel încât
1, , qt și
;rq
are loc următorul șir se egalități, în care ținem seama de independența variabilelor
aleatoare
, 1, :rX r t



, , ,
= ,
=
= 0r q r q r q
r q r q
r q r qCov X X M Cov X X Cov M X M X
M M X X M X M X Cov
M M X M X M X M X Var
M a M

              
          
          
       , aa

Dacă
 1, r q r q t   atunci:
 ( 502.1 )
2.
, , .r q q q q q q Cov X X Cov X X Var X M Var X Var M X s a               

Din cele de mai sus rezultă că, oricare ar fi
, 1,r q t , relația ( 2.1.45) este adevărată.

32
Observația 2.1. 3. Soluția optimă ( 2.1.26) a problemei de credibilitate lin iară (2.1.25), permite
calculul estimatorului primei nete de risc
 a contractului, numai dacă parametrii
2,ms și
a
sunt cunoscuți, iar în cazul nostru acești parametrii conținuți de estimatorul liniar și neomogen de
credibilitate ( 2.1.26) sunt cunoscuți, deoarece funcțiile
u și
f au fost presupuse cunoscute.
În continuare vom studia cazul în care
u și
f sunt necunoscute – situație care apare cel
mai adesea. În acest caz procedura prin care s -a determinat estimatorul liniar și neomogen de
credibilitate pentru pr im netă de risc,
 , nu permite calculul acestuia, deoarece rezultatul
conține parametrii necunoscuți
2,ms și
.a Pentru a obține estimatori ai respectivilor parametrii,
există un model de credibilitate specific, numit modelul de credibilitate clasic al lui Bühlmann ,
model ce va fi redat în continuare.
Pentru a determina estimatori ai parametrilor
2,ms și
a introducem contractul într -un
colectiv de contracte, toate oferind informații independente între ele despre distribuția lui
 .
Deoarece contractele sunt incluse într -un colecti v de contracte identice și independente, vom
avea mai multe observații disponibile privind parametrul de risc
 , astfel încât vom putea înlocui
parametrii necunoscuți
2,ms și
acu estimațiile acestora.
Considerăm nu portofoliu de
k polițe identice și independente, care s -au aflat sub
observație un număr de
2t ani; fie
, 1,jrX r t observațiile efectuate asupra poliței
, 1,j j k
în anii
, 1,r r t . Introducem următoarele notații:
.
11, 1,t
jjr
rX X j kt
(2.1.51)
1 1 111k t k
jjr
j r jX X Xkt k
   
(2.1.52)
Presupunem că fiecare contract
j ,din portofoliul considerat, implică un risc
jX de
parametru
, 1,jjk ; variabilele observabile ale riscului
jX s-au notat cu
, 1,jrX r t sunt
independente și identic repartizate (condițional). Definițiile ( 2.1.1), (2.1.1’), (2.1.29), ( 2.1.30),

33
(2.1.31), ( 2.1.32) respectiv ( 2.1.33) se aplică acum, înlocuind peste tot unde apare
 cu
j , iar
unde apare
jX cu
, 1, , 1, ,jrX j t j k astfel că obținem:
, 1,j jr j j j j jM X M X r t         
(2.1.53)
respectiv
, 1,j jr j j jM X M X r t      (2.1.54)

, 1,jr j j j j a Var M X Var M X Var r t                  (2.1.55)

22, 1,jr j j j j s M Var X M Var X M r t                  (2.1.56)

, 1,jr j j m M X M X M r t       (2.1.57)
2, 1,j jr j j j j jVar X Var X r t         
(2.1.58)
2, 1,j jr j j jVar X Var X r t     
(2.1.59)
Observația 2.1.4 .
.jX semnifică media aritmetică a observațiilor efectuate asupra poliței
, cu 1, ,j j k
iar
..X semnifică media aritmetică globală (totală), adică media aritmetică a
tuturor observațiilor, sau media aritmetică a observațiilor efectuate pentru întregul portofoliu.
Pentru
m propunem estimatorul nedeplasat:
ˆmX  (2.1.60)
Într-adevăr,
ˆM m m (2.1.61)
deoarece:
 ^
1 1 1 1 1 11 1 1 1k t k t k t
jr jr
j r j r j rM m M X M X M X m ktm mkt kt kt kt
                

Pentru fiecare poliță
, cu 1, ,j j k varianța empirică:
2
11
1k
jjr
jXXt

(2.1.62)

34
este un estimator nedeplasat al lui
 jr j Var X și astfel:
22
111
(t 1)kt
jjr
jrs X Xk

(2.1.63)
este un estimator nedeplasat al lui
2.s
Într-adevăr,
( 59) 22
12.1.1
t1t
jjr j jr j
rM X X Var X  
       (2.1.64)
deoarece

  
 ( 54)22 2 2
11
( 54).1.
2.1 22
1.11
1 tt
jjjr jr jr jr j
rr
t
jjr j j
rX X X M X X M Xtt
XXt


          
           
 (2.1.65)
așa după cum rezultă din următorul șir de egalități:
  
   
   22 2
1 1 1
22
1 1 1
2 2
1 1 11 1 1
2 1 1
2 1 1
2t t t
jjjr jr j j jr j
r r r
t t t
jjj jr j j jr j
r r r
t t t
jjj jr j j jr j
r r rX X X X Xt t t
X X X Xt t t
X X t X Xt t t
t     
       
       
  

  

                
                
          
  
  
  
  
  
  2 2
1
2 2 2 2
1
2 22
11
212
1.
t
j j jj j j jr j
r
t
j j jj j jr j j
r
t
jjj jr j j
rX t X t X Xt
t X X X Xtt
X X Xt       
       
       

  


       
         
      



În consecință

35

 
 2.1.( 65) 22 2
11
22
111
1 ,tt
jjjr j jr j j j
rr
t
jjr j j j j
rM X X M X Xtt
M X M Xt



                    
                
 (2.1.66)
Însă,
     2.1. 2.1.( 67) ( 59) 2 22,jr j j jr jr j j jr j j M X M X M X Var X              
unde s -a ținut seama de definiția varianței condiționate și anume:
”
  2Var X Y M X M X Y Y  ” (2.1.67)
Din egalitățile de mai sus, reținem:

22
jr j j j MX      (2.1.68)
De asemenea:
 2.1. 2.( 51) ( 54) .
111
11 1 1 1;t t t
j j jr j jr j j j j
r r rM X M X M X tt t t t  
               

(2.1.69)
deci
    
 ( 69) ( 67) ( 51) 2 2
. . . .
1
( 59)
2 2 2
22.1. 2.1. 2.1
22.
2. .
21
1 1 11
1 1 1 1 1 ,t
j j j jj j j j j jr j
r
t t t
jr j jr j j j j
r r rM X M X M X Var X Var Xt
Var X Var X tt t t t t
  
                    
         
  

Prin urmare
  22
.1
jj j j j j Var X M Xt      
(2.1.70)
Ținând seama de ( 2.1.68) și ( 2.1.70), relația ( 2.1.66) devine:

36

 22 2 2 2 2
111 1 1 1 1 1tt
jjr j j j j j j
rrtM X X tt t t t t t     
             ,
iar de aici obținem că:
  2222
111 1 1
1 1 1tt
jjjr j jr j j j
rrt t tM X X M X Xt t t t t 
                     

de unde deducem veridicitatea relației ( 2.1.64).
În continuare vom demonstra că estimatorul
2s este nedeplasat, adică
2ˆˆM s s (2.1.71)
Are loc, în mod evident, următoarea egalitate:
22
111ˆ
1kt
jjr
jrM s M X Xkt
 
(2.1.72)
Dar, ținând seama de definiția echivalentă a variației condiționate, anume:
22Var X Y M X Y M X Y 
(2.1.73)
obținem:
    

 2.1.
2.1( 34) 2 2222
2222
( 34.)
2 2 2
.1.( 51)222
2
2j j j j jjr jr jr jr jr j
j j jjr j j jr j jr j j
jjr j jr j jr j jr jM X X M X X X X M M X X X X
M M X M X M X X M M X M M X
M M X X M M X M X M M X    
  
           
                     
                   

    
 2
(2.1.
2.173)22 2 2
( 54)1
( 56)22 2 2 2 2
1
2.
2.1.12
2
2,j
t
jjr jr j jr j j jr
s
t
jjjr j j j j
s
j j jjr j
sMX
M M X X M Var X M M X M Xt
M X M M X X s M M Mt
Var X M X M M X Xt
  




  
                
                       
    

1t


sir de egalități pe care îl vom nota cu ( 2.1.74).
Este evident că

37

2 2 2
j j j M M Var a              (2.1.75)
precum și că
22
j Mm (2.1.76)
De asemenea,
 2
2
. . .1
j j jj j j jsVar X M Var X Var M X M Var att                    

(2.1.77)
Din relația ( 2.1.51) rezultă că:
 ( 57)
.
112.1.
11 1 1 1t t t
jjr jr
r r rM X M X M X m tm mt t t t        
(2.1.78)
Are loc următorul șir de egalități:
 

  2
11
22
2.1.
222
1
( 73)
22
( 54)1.1.tt
jr js j jr jr j jr js j jr j
ss
sr
t
jr j jr j jr j jr j jr j
s
sr
t
j j jr j j j
s
srM M X X M M X X M M X X M M X
M M X M X M M X M X M M X
M M Var X M M   




                      
                   
                 


 
    2.1.
2.1.
2.1. 2.( 56)
1
( 56)
2 2 2 2 2
( 57) ( 55)
2 2 2 2 21.
2 2 21
,t
s
sr
j j j
j j j js M t M s tM
s t M M M s t Var m s t a m  
   

                    
                          

din care reținem
22
1.t
jr js j
sM M X X s t a m 
    (2.1.79)
Ținând seama de relațiile ( 2.1.75), ( 2.1.76), ( 2.1.77), (2.1.78) și ( 2.1.79), relația ( 2.1.74) devine:

38

 222 2 2 2 2 2 2
22
2 2 2 2222
21 + 2 2jjrsM X X s a m a m s t a m s a mtt
s s ts a m s st t t t                
     
adică
221
jjrtM X X st  (2.1.80)
Din ( 2.1.72) și ( 2.1.80) deducem că:
 2 2 2 2
111 1 1 1ˆ
11kt
jrttM s s kt s sk t t k t t    ,
ceea ce înseamnă că relația ( 2.1.71) este adevărată, adică
2ˆˆM s s .
Varianța empirică:
2
. ..
11
1k
j
jXXk (2.1.81)
este un estimator nedeplasat pentru
.j Var X , afirmație ce are la bază următorul rezultat din
statistica matematică:
Teoremă: Fie
12, , ,n X X X variabile aleatoare independente și identic repartizate, iar
2
11n
nni
iX X Xn
. Atunci varianța empirică (varianța eșantionului
 12, , ,n X X X ), adică
2
11
1n
ni
iXXn
(2.1.82)
este un estimator nedeplasat pentru
i Var X .
Acest rezultat este adevărat și pentru scrierea echivalentă a lui
..X :
.. .
11k
j
jXXk (2.1.83)
Deoarece
2
.jsVar X at , rezultă că :
2
.jsa Var Xt (2.1.84)
deci, poate fi introdus următorul estimator nedeplasat pentru
a :

39

2 2
. ..
11ˆ
1k
j
jsa X Xkt   (2.1.85)
În continuare vom demonstra faptul că
^
M a a (2.1.86)
  2.1. 2.1. 2.1.
2.122 2 ( 85) ( 87) ( 84)
2
..
(7…
1)111ˆˆ ;1k
jj
jssM a M X X M s Var X ak t t t      

În demonstrație am ținut seama de faptul că ( 2.1.81) fiind un estimator nedeplasat pentru
.j Var X
implică
2
. .. .
11
1k
jj
jM X X Var Xk  (2.1.87)
Estimatorul ( 2.1.85) prezintă inconvenientul că poate lua și valori negative, în timp ce
a este
negativ. Din acest motiv îl vom înlocui pe
a cu estimatorul:
*ˆ max 0, aa
(2.1.88)
Din definiția lui
*a rezultă că acest estimator nu mai rămâne nedeplasat pentru
a însă obține
admisibilitatea (devine acceptabil). Fie acum
2ska (2.1.89)
Se deduce că estimația lui
k este:
2
*ˆˆska (2.1.90)
Introducând estimatorii
ˆm și
ˆk în expresia primei de credibilitate
'1 g X z X z m   ,
obținem prima empirică de credibilitate:
ˆ
ˆˆtkXmtk tk
(2.1.91)
Într-adevăr, înlocuind în expresia primei de credibilitate,
'1 g X z X z m   , pe

40

(2.1.27) (2.1.89)
2 2at at tzs at t k sata   (2.1.92)
cu estimația sa, care este :
(2.1.92)
ˆˆtz
tk
 (2.1.93)
respectiv pe
ˆ cu mm , deducem că
ˆ ˆˆ 1 zX z m sau
ˆ
ˆˆtkXmtk tk , reprezintă prima
empirică de credibilitate din relația ( 2.1.91).
Din expresia( 2.1.91) remarcăm faptul că prima empirică de credibilitate este o combinație
liniară omogenă a tuturor variabilelor observabile.
Până acum s -a relevat, din perspectiva prelucrării datelor statistice a datelor
experimentale, calitatea de nedeplasare a estimatorilor
2ˆˆ, ms și
ˆ.a Trebuie remarcat faptul că,
dacă
k atunci
2ˆˆ, ms și
*a devin estimatori consistenți pentru parametrii
2,ms și
a, ceea ce
din punct de vedere practic este foarte satisfăcător. Această afirmație are la bază teorema lui A. I.
Hincin.
Teorema lui Hincin: Fie
 * nnNX un șir de variabile aleatoare independente și identic
repartizate cu valori medii finite:
, 1,2 .k M X a k  Atunci:
11lim 1n
knkP X an
  


Într-adevăr:
11ˆk
j
jm X Xk
 este media aritmetică a variabilelor aleatoare
independente
.jjZX , care urmează aceeași lege de repartiție având valoarea medie
. , 1, jj M Z M X m j k  
; deci, potrivit teoremei lui A. I. Hincin, șirului
12, , ,k Z Z Z îi
putem aplica Legea numerelor mari, ceea ce înseamnă ca
ˆm converge în probabilitate către
m
(
ˆ ,P
mm când
k ).

41
În mod analog,
(2.1.63)
2
11ˆk
j
jsZk , unde acum:
2
.
11, 1, ,1t
jj jr
rZ X X j kt  
cu
22, 1,j j j j M Z M M Z M s j k          
converge în probabilitate către
2s (
22ˆP
ss ) când
k .
Are loc identitatea :

 222
. .. . ..
1111kk
jj
jjX X X Xkk   (2.1.94)
deoarece
  
 2 2 222
. .. . .. . .. . .. .. .
1 1 1 1 1
2 2 2 22 2 2
. .. .. .. . .. .. . ..
1 1 11 1 1 1 122
1 1 1 1 2 2k k k k k
j j j j j
j j j j j
k k k
j j j
j j jX X X X X X X X X Xk k k k k
X k X X X X X X X Xk k k k    
             
           
  

Prin urmare
2 2
. ..
11
1k P
j
kjsX X akt   (2.1.95)
deoarece

22 ( 94)
. .. . ..
11
22 2222
. ..2.
11.11 11
111kk
jj
jj
k P
j
kjkX X X Xk k k
k s sX X a m m ak k t t
   
               

aceste egalități având loc datorită convergențelor în probabilitate pentru
k :
11 1P
k k
(2.1.96)
222
.
11k P
j
kjsX a mkt   

(2.1.97)

42
unde s -a ținut seama de Legea numerelor mari, cu
2
. , 1,jjZ X j k și
2.1.
2.1.2 ( 77)222
. . .
( 78), 1, j j jjsM Z M X Var X M X a m j kt      
, care implică, în aceste
condiții, convergența în probabilitate ( 2.1.97), dacă
k .
ˆ Xm
și s-a arătat înainte că
P
kXm
 , de unde deducem că
2
2P
kXm

(2.1.98)
În concluzie,
2 2 2 2 (82. 5)
.1
..
.
11ˆ
1k P
j
kjs s sa X X a ak t t t       . Dacă avem în vedere ( 2.1.95)
și ceea ce s -a demonstrat mai înainte, adică faptul că
22ˆP
kss
 , de unde rezultă că
22ˆP
kss
tt ,
deci, în concluzie,
22ˆP
kss
tt  . Așadar:
ˆP
kaa
 (2.1.99)

2.2. Calcule de credibilitate
Prob lema 1.
Fie un contract, al cărui risc este asociat cu o variabilă aleatoare
X nenegativă; parametrul
riscului este asociat cu o variabilă aleatoare
 reală. P resupunem că
 ~X Poisson  , iar

este o variabilă aleatoare, continuă, cu distribuția de tip Gamma.
Așadar, densitatea de repartiție a variabilei aleatoare
 X este:
 , !x
Xf x e x Nx


(2.2.1)
Dacă dist ribuția Gamma este de paramet rii
și
, cu
,0 , atunci densitatea de repartiție a
parametrului de risc
 este:

43

1
, 0eu  
 (2.2.2)
Estimatorul de credibilitate, descri s în formula ( 2.1.5) , se calculează astfel:



12
12
1
11
'' 12 0
1
120
11
0
1
1
11
! ! !
1
! ! !
11
!

11
!t
t
t
i
i
t
i
ix xx
t
x xx
t
x
t
t
i
i
x
t
t
i
ie e e e dx x xM X x
e e e e dx x x
ed
x
ed
x     
     

 

      
    
  


    

    
  




   












0
1
0
0t v
t ved
ed





 



(2.2.3)
unde s -a ținut seama de faptul că
 MX      (2.2.4)
și
1t
i
ivx
 (2.2.5)
În integralele din relația ( 2.2.3) efectuăm schimbarea de variabilă:

ty
y
 (2.2.6)
Dacă
0, atunci
0;y dacă
 , atunci
. y Din relația ( 2.2.6), rezultă că:
y
t
(2.2.7)
deci
dydt (2.2.8)
astfel încât ultima egalitate a lui ( 2.2.3) devine:

44






1
000
1
11
00 01
1
1 11v
v
v
vv
yt vy
v
t vy yy dyy e dy e d et tt
y dye d y e dy ett t
v v v v
t v t v t





 

 
   
    


 
    
       
 
               
  (2.2.9)
Din ( 2.2.3) și ( 2.2.9) se obține că:
 ''11vv
v t t tM X x zx z zx z mt tt
tz
         
(2.2.10)
șir de egalități în care s -a ținut seama de următoarele:

2 2defat at t tzs at t t sata      (2.2.11)
deoarece


2
2defM Var X M s
a VarVar M X

       (2.2.12)
Relațiile ( 2.2.11) și ( 2.2.12) sunt adevărate deoa rece:
 s-au avut în vedere definițiile ( 2.1.27), ( 2.1.29) ș i (2..30) ;

 M X Var X      (2.2.13)

 M
 (2.2.14)

2Var (2.2.15)

2( 5)
1.2.t
idef
ixvxtt (conform definiției ( 2.1.28) (2.2.16)

45

2.2. 2.2. 2.2( 11) ( 11) ( 18) .
11tz z z mt t t t   
         (2.2.17)
unde

2.2( 13.2) ( 14) .2. def
m M M X M
     (2.2.18)
Din relația ( 2.2.10) reținem că
 ''1vM X x zx z mt      
(2.2.19)
Prin urmare, estimatorul exact de credibilitate coincide cu estimatorul liniar și neomogen de
credibilitate, iar expresia lor comună este dată de ultima egalitate din relația ( 2.2.19), ceea ce
face din aces t caz, unul aparte în calculele de credibilitate.
Problema 2 .
Fie un contract de asigura re non -viață, al cărui risc este o vari abilă aleatoare
X nenegativă;
parametrul de risc pentru respectivul contract este o variabilă aleatoare
 reală. Presupunem că
X
este repartizată Bernoulli standard de parametru
 , care este la rândul său o variabilă
aleatoare continuă cu distribuția de tip Beta.
Prin urmare, funcția de probabilitate a variabilei aleatoare
 X este:
11 , 0,1x x
Xf x x  
  
(2.2.20)
Dacă distribuția Beta de parametri
 și

,0 , atunci densitatea de repartiție a variabilei
structurale
 este:

1 11, 0,1,u  
(2.2.21)
În acest caz, estimatorul de credibilitate se calcule ază astfel:

46






1212
1212
1
1
11 1 1
1 1 1
( 23)'' 0
1 1 1
12.2.
2.211
0
1111
( 23) 0 .
111 1 1,
11 1 1,
11,
1tt
tt
t
t
i
ii
i
t
i
iix x x x xx
x x x x xx
xtx
xtxd
M X x
d
d 
 

        
      
  


 
  
 
  
    
       
   









  

  

11
11
0
1
1 11 11
0
01
1 1
,
11
11 1, 1
, 1 1
1
1t
itx tx
tx txd
dd
t x t x
t x t x t x t x
t x t x t x t x
t x t x
t x t x t x
tt 
   
  

 
   

  
     
   
  
 
      
                           
    
      
   



 1t x txt t t t x t x
t 
      
              
  
(2.2.22)
șir de egalități în care am ținut seama de faptul că:
2.22.( 0) def
MX     
(2.2.23)
Pentru exemplul considerat:
2.2.( 20 2.22. ) ( 1) def
m M M X M
    
(2.2.24)
iar:

47









222 ( 20) (2.2. 2.2.
2.221)
( 21)
22.1
1
11
11defM Var X M M M M s
a Var Var VarVar M X
  
          
                       
         
      (2.2.25)
Din relația precedentă rezultă că:
( 25)
2 22.2. defat at tzs at t sata    
(2.2.26)
Ținând seama de ( 2.2.24) și ( 2.2.26), obținem că:
1zmtt   
           
(2.2.27)
Din relațiile ( 2.2.26) și ( 2.2.27), deducem că ultima egalitate a lui ( 2.2.22) devine:
1tx zx z mtt
         
(2.2.28)
În concluzie, din relațiile ( 2.2.22) și ( 2.2.28), obținem:
 ''1tM X x zx z m xtt            
(2.2.29)
ceea ce demonstrează că exemplul prezentat constituie, de ademenea, un caz special de
credibilitate exactă și liniară -neomogenă.

2.3.Estimatorul de credibilitate al lui Buhlman
Primul studiu efectuat de Buhlman referitor la credibilitatea asigurărilor non -viața
vizează un singur contract de asigurare. Riscul implicat este considerat a fi unul și același în
fiecare dintre anii de valabilitate ai contractului. Așadar, numărul riscu rilor din oricare an de

48
valabilitate al contractului este egal cu unu și riscul este stabil (constant) în timp. Parametrul de
risc (parametrul structural) al contractului este notat cu
 și este definit ca variabilă aleatoare ce
descrie caracteristicile riscului luat în considerație.
Fie
t perioada de observație, exprimată în ani, a studiului statistic efectuat asupra
contractului respectiv și
12, , ,t X X X variabilele aleatoare observabile ale lui
X , unde cu
X s-
a notat riscul contractului. Presupunem că pentru
 dat (adică
,  valoarea dată, fixată a lui

), observațiile anuale
, 1,rX r t sunt independente și identic distribuite (condițional).
Teoria credibilității, în sensul celei mai mari exactități, așa cum a fost dezvoltată de
Bühlmann , are ca scop principal estim area riscului (pagubei rambursate) din anul
1t , adică a
lui
1tX , pentru contractul cu parametrul de risc
 .
Estimatorul care va fi folosit este funcție de variabile observabile, mai precis de
componentele vectorului aleator multidimensional:
 '
12, , ,t X X X X  , determinată astfel
încât să minimizeze ”eroarea medie pătratică”.
Prin urmare, pentru estimarea lui
1tX , vom rezolva următoarea problemă de minim:
 2'
1 MintgM X g X
(2.3.1)
unde
g este o funcție de observațiile
12, , ,t X X X arbitrară.
Soluția pentru problema de minim, în cazul în care poate fi determinată, tinde să producă
o estimare nefavorabilă, motiv pentru care este preferabil să se obțină aproximări ale soluției
optime prin restrângerea clasei de funcții admisibile
g . Atunci când mulțimea de funcții
admisibile
g este limitată, obținem un estimator mai puțin exact, dar mai ușor de calculat.
O posibilă alegere, care conduce la un estimator ușor de calculat, este următoarea:
'
0
1t
rr
rg X c c X

(2.3.2)

49
și ea implică bine -cunoscutul rezultat liniar și neomogen de credibilitate.
În studiul de credibilitate efectuat de Bühlmann , clasa de funcții
g este limitată la
mulțimea de funții liniare și ne omogene.
Observația 2.3.1 .
12, , ,t X X X sunt variabile aleatoare cu variația finită
 0 , 1,r Var X r t   
.
Riscurile cu o dispersie mai mare sunt periculoase, în comparație cu riscurile care au aceeași
valoare medie și dispersie mică, întrucât cele dintâi conduc la prime mari.
Fie
1tX estimatorul neliniar și omogen de credibilitate al lui
1tX bazat pe
'X , ceea ce
înseamnă că
1tX este, prin definiție, estimatorul liniar și neomogen al lui
1tX bazat pe
'X ,
adică un estimator de tipul:
0
1t
ii
ia a X

(2.3.3)
determinat astfel încât să minimizeze eroarea medie pătratică:
 2'
1t M X g X
(2.3.4)
între toți estimatorii
'gX liniari și neomogeni ai lui
1tX , sau, altfel spus, soluția problemei de
minim:

12
11 Min
tttXDM X X

(2.3.5)
este
1tX , unde
D semnifică mulțimea de combinații liniare și neomogene
g , ale variabilelor
aleatoare observabile
12, , ,t X X X :

'
0
1t
rr
rg X c c X

(2.3.6)

50
În continuare vom prezenta un rezultat semnificativ referitor la
1tX , deoarece:
 exprimă condiția necesară și suficientă ca un estimator liniar și neomogen al lui
1tX ,
bazat pe
'X să fie estimator al credibilității pentru
1tX , bazat pe
'X ;
 stabilește unicitatea estimatorului liniar și neomogen de credibilitate al lui
1tX , bazat pe
'X
, adică unicitatea lui
1tX ;
 relevă proprietăți ale lui
1tX , dând două definiții echivalente pentru dispersia sa.
Teorema 2.3.1.
i. Un estimator liniar și neomogen al lui
1tX , bazat pe
'X , de forma
10
1t
t r r
rX a a X

(2.3.7)
este un estimator al credibilității pentru
1tX , bazat pe
'X , dacă și numai dacă satisface ecuațiile
normale:

11
11 ( 8)
, , 1, 2.3.
tt
t t rM X M X
Cov X Cov X X r t

  

2.3 9 . ( )


ii. Dacă atât
1tX cât și
1tX sunt estimatori liniari -neomogeni ai lui
1tX , bazați pe
'X , ce
verifică ecuațiile normale ( 2.3.8), respectiv ( 2.3.9) (deci estimatori liniari și neomogeni ai
credibilității pentru
1tX , bazați pe
'X ), atunci:
11 (a.s.)ttXX 
(2.3.10)
iii. Variația lui
1tX se poate calcula în două moduri:

11
1
1 1 1, , ( 11)
, 2.3
.
tt
t
t t tCov X X
Var X sau
Var X Var X X

  


 ( 12) 2.3.




51
Demonstrație:
Punctul i. „
 ”: Fie
10
1t
trr
rXX
 (2.3.13)
Deoarece
 0 1 0 1, , , , , ,tt g g g    minimizează:
 2
0 1 1 0
1: , , , :t
t t r r
rQ Q g g g M X g g X
     
(2.3.14)
trebuie ca
   0 1 0 1, , , , , ,0, 0,
ttjg g gQjtg
  
 (2.3.15)
ceea ce implică

11
11, ( 16)
, 1, 2.3.
tt
tt j jM X M X
M X X M X X j t

 ( 17) 2.3. 


Într-adevăr:
,,
,2( 14)
22
1 0 0 1 1 0
1 1 1
22
2 2 2
1 0 0 1 1 0
1 1 1 1
2
1.3.
2 2 2
2 2 2 2t t t
t r r t t r r r r
r r r
t t t
t r r r r t t r r r r rr
r r r r r t
tQ M X g g X g X X g X g g X
M X g g X g g X X g X X g X g g X
MX  
  
  
     
                        
                   
  
   
  
  
      ,,
,2 2 2
0 0 1 1
11 1
2 2 2 2
0 1 0
11
0 1 1 02 2 2
22
2 2 2 tt
r r r r t r t r rr
rr r r t
tt
r r t q q q r r q
rr
t q t q q qg g M X g g M X X g M X g M X X
g g M X M X g g M X g g M X X
g M X g M X X g g M X
   


     
                  
        
    
    2 . 3 ( .18)

Din ( 2.3.15) și ( 2.3.18), rezultă că:

52

0 ; 0,
; 0,0,
0, q 0,jj
jjg j t
qg j tQ
g
Qtg

 
, adică
 01
1; 0,2 2 2 0
jjt
t r r
rg j tg M X g M X

  
și, respectiv
2
10
1
1; 0,2 2 2 2 0, 1, ,
jjt
q q r r q t q q
r
rg j tg M X g M X X M X X g M X q t



    

și
 1 0 1 0
110, 1, sau tt
r r q t q q t r r
rrM X X M X X M X q t M X M X   
     
, iar
 10
1, 1, ,t
t q t r q
rM X X M X X q t 
  
deci:
11tt M X M X 
și, respectiv
 11 , 1, tt q q M X X M X X q t  (2.3.19)
ceea ce demonstrează faptul că ( 2.3.16) și ( 2.3.17) au loc.
Înmulțind ecuația ( 2.3.16) cu
j MX și apoi scăzând -o din ( 2.3.17), obținem:
 1111 , 1, ttt j t j j j M X X M X M X M X X M X M X j t    
,
ceea ce este echivalent cu:

 11, , , 1, tt j j Cov X X Cov X X j t  (2.3.20)
Punctul i. „
 ”: Fie
1tX și
1tX doi estimatori liniari -neomogeni ai lui
1,tX bazați pe
'X .
Presupunem că
1tX satisface ecuațiile normale. Are loc următorul șir de egalități:

53

  
2 2
1 1 1 1 1 1
22
1 1 1 1 1 1 1 1 2t t t t t t
t t t t t t t tM X X M X X X X
M X X M X X X X M X X     
               
                     
      (2.3.21)
Deoarece
1tX și
1tX sunt liniari -neomogeni în
1,,t XX , rezultă că putem scrie:
10
1t
t r r
rX a a X

(2.3.22)
și, respectiv
10
1t
t r r
rX b b X
 (2.3.23)
unde
, , 1, .rra b R i t
Deci
( 22)
1 1 0 02
0( 23)11.3.
2.3.tt
t t r r r r r
rrX X a b a b X d d X
         (2.3.24)
unde
0 0 0not
d a b (2.3.25)
, 1,r r rd a b r t  
(2.3.26)
Se obține
 
   ( 24)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0
1
1 1 0 1 1 1 1
13
12.
1.
,,
, , 0 ,
0 0 0t
t t t t t t t t t t r r
r
tt
t t r t t r r t r t r
rr
t
r
rM X X X X Cov X X X X Cov X X d d X
Cov X X d d Cov X X X d Cov X X Cov X X
d         

     

         
         
   

      
  
(2.3.27)
șir de egalități în care s -a ținut cont de următoarele:
 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t tCov X X X X M X X X X M X X M X X
M X X X X X X M X X M X X X X           
                    
                          
        
(2.3.28)

54
Deoarece am presupus că
1tX satisface ecuațiile normale, obținem:
 11tt M X M X
(2.3.29), relație echivalentă cu
 11 0tt M X M X (2.3.30)
 proprietățile covarianței:
,a 0 Cov X 
(2.3.31),
' '' ' '', , , Cov X X X Cov X X Cov X X    (2.3.32)
 ,, Cov X aY aCov X Y 
(2.3.33
 , , , Cov X Y Z Cov X Z Cov Y Z   (2.3.34)
unde
' '', , , ,X X X Y Z sunt variabile aleatoare, iar
aR este o constantă .
 presupunerea că
1tX verifică ecuațiile normale, ceea ce implică:
11, , , 1,t r t r Cov X X Cov X X r t  
(2.3.35)
deci,
 1 1 1 1 0t t t t M X X X X        (2.3.36)

Înlocuind acum relația ( 2.3.36) în relația ( 2.3.21), obținem:
2 2 2
1 1 1 1 1 1t t t t t t M X X M X X M X X                           
(2.3.37)
iar de aici rezultă că:
22
1 1 1 1t t t t M X X M X X               
(2.3.38)
Deoarece
1tX este un estimator liniar și neomogen al lui
1tX , bazat pe
'X , deducem, din
(2.3.38), că
1tX este un estimator liniar și neomogen al lui
1tX , bazat pe
'X , despre care s -a
presupus că satisface ecuațiile normale, deci
1tX este un estimator al credibilității pentru
1tX ,
bazat pe
'X . Astfel s -a demonstrat echivalenț a de la punctul i).
Demonstrația punctului ii):

55
Dacă atât
1tX cât și
1tX satisfac ecuațiile normale, atunci
22
1 1 1 1  t t t t M X X M X X               
(2.3.39)
precum și
22
1 1 1 1  t t t t M X X M X X                (2.3.40)
Din ( 2.3.39) și ( 2.3.40) rezultă că
22
1 1 1 1  t t t t M X X M X X                (2.3.41)
și, întrucât are loc egalitatea ( 2.3.37), deducem că:
2
11 0  tt M X X 
(2.3.42)
ceea ce implică
11 ttXX  aproape sigur (2.3.43)
Demonstrația punctului iii):
Ecuațiile normale din relația ( 2.3.20) conduc la:
 
 13
1 1 1 1 1 100
11
1 1 0 1
1.3.
12
, , , ,
0 , , ,tt
t t t t t tr r r r
rr
tt
r t r t r t r
rrVar X Cov X X Cov X X Cov X Cov X X
Cov X X Cov X Cov X X   
       

  
     
    

( 13)
11 0 1
12.3.
,,t
tt r r t
rCov X X Cov X X 
  
(2.3.44)
șir de egalități în care s -a ținut seama de proprietatea covarianței unei variabile aleatoare cu ea
însăși, sau de definiția echivalentă a dispersiei unei varianțe aleatoare și anume:
 , Cov X X Var X 
(2.3.45)
Deci
 111, ttt Var X Cov X X  (2.3.46)

Deasemenea:

56

  

22 222
1 1 1 1 11 1 1 1 1
2 22 2 2
1 1 11 1 1 1 1( 19)
22 2 2
1 1 1 1 111..
132
2
2
 t t t t tt t t t t
t t tt t t t t
t t t t tt t tVar X X M X X M X X M X X X X
M X M X M X M X M X X M X M X
M X X M X M X M X X M X M X        
      
              
          
         

22
1 1 1 1 11 1 1( 19)
22
1 1 1 111(42.3.
2. )36.2 2 ,
22t t t t tt t t
t t t tttM X M X Var X M X Var X M X Cov X X
M X Var X Var X Var X Var X Var X      
         
      (2.3.47)
șir de egalități în care s -au avut în vedere următoarele:
 definiția echivalentă a varianței unei variabile aleatoare
X și anume cea legată de
momentele inițiale de ordinul I și II ale respectivei variabile aleatoare, adică:
2 2 2
21def
Var X M X M X M X M X   
(2.3.48)
 definiția echivalentă a covarianței dintre două variabile aleatoare
X și
Y:
 ,Y Cov X M XY M X M Y 
(2.3.49)
Prin urmare
 1111tttt Var X X Var X Var X    (2.3.50)
de unde se obține:
 1111tttt Var X Var X Var X X    (2.3.51)
În concluzie, relațiile ( 2.3.46) și ( 2.3.51) exprimă veridicitate egalităților ( 2.3.11) și
respectiv ( 2.3.12).
Q.E.D.
Observații privind teorema precedentă:
i) Deoarece
 ''1vM X x zx z mt      , rezultă că eroarea medie

57
pătratică de estimare a lui
1tX prin
1tX și anume:
2
1111tttt M X X Var X X    .
Demonstrație:

( 48) 22
1 1 11 1 1
( 19)2 22
1 1 11 1 12.3.
2.3.t t tt t t
t t tt t tVar X X M X X M X X
M X X M X M X M X X    
         
                 
ii) Presupunem că
1tX și
'X sunt independente condițional, d ată fiind o variabilă
aleatoar e
(
 = parametrul de risc aleator neobservabil). Introducem:
 1t MX   
(2.3.52)
Formula ( 2.3.52) definește prima de risc a contractului, dacă parametrul de risc al său este
 .
În aceste condiții, pentru toți estimatorii liniari și neomogeni
1tX al lui
1tX , bazați pe
'X , are
loc:
        
       
       2 22
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1
2
1 1 1 12
2t t t t t t
t t t t
t t t tM X X M M X X M M X X
M M X X X X
M Var X M X M M X M X
   
       
   
                             
            
                          


2
11tt M Var X M X       

(2.3.53)
șir de egalități în care s -a ținut seama de următoarele:
 definiția ( 2.1.67) a dispersiei condiționate, din care se obține, în cazul
nostru, că:
     2 2
1 1 1 1t t t t Var X M X M X M X               (2.3.54)

1tX și
'X sunt independente condițional, d ată fiind o variabilă aleatoare
 , de unde:

58

          
   
   2
1 1 1 1
11
1
0 0t t t t
tt
tM M X X M M X M X
M M X M M X
M M X M   

     

                  
          
          


 proprietatea iterativă a valorii medii condiționate, dată în secțiunea 2.1.
Din ( 2.3.53) rezultă că:
 22
1 1 1 1t t t t M X X M Var X M X                      (2.3.56)
Primul termen al sumei din membrul drept al relației ( 2.3.56) nu depinde de alegerea lui
1tXD
, astfel că minimizarea lui
2
11tt M X X după toți
1tXD (rezolvarea problemei
de minim:

12
11
tttXDMin M X X
 )
este echivalentă cu minimizarea lui
2
1t MX după toți
1tXD (adică, c u rezolvarea
problemei de minim

12
1
ttXDMin M X
 ), iar al doilea termen al sumei din membrul drept
al lui ( 2.3.56) fiind minimizat prin considerarea lui:
1 1tX zX z m  
(2.3.57)
(soluția optimă a problemei

12
1
ttXDMin M X
 ), de unde deducem că estimatorul liniar și
neomogen de credibilitate al lui
1tX , bazat pe
'X , adică
1tX coincide cu estimatorul liniar și
neomogen de credibilitate al lui
 bazat pe
'X , adică cu
 ˆ 1 zX z m    , unde
, zX
și
m au definițiile date în relațiile ( 2.1.27), ( 2.1.28) și respectiv ( 2.1.31).

59
CAPITOLUL 3. Estimarea recursivă a credibilității din modelul original al lui
Bühlmann

Acest capitol reprezintă o extensie a modelului original al lui Bühlmann . Practic se
construiește un model îmbunătățit al modelului prezenta t în capitolul anterior, care să amelioreze
o parte din neajunsurile de ordin practic ale acestuia. Acest model este foarte util în calculul
primelor nete de risc ale contractelor diverselor portofolii, din cadrul asigurărilor non -viață.
În modelul original al lui Bühlmann , riscul pe care îl implică o poliță de asigurare non –
viață a fost considerat stabil în timp. Acest model însă, tratează cazul în care riscul nu rămâne
același în timp. Atunci se consideră proceduri recursive, formule de tip actualizator, adică se
apelează la estimarea re cursivă a credibilității.
Faptul că riscul nu este constant în timp conduce la următoarea situație: pentru fiecare an
1i
există un parametru de risc
i , care conține caracteristicile de risc ale poliței din anul
i .
Ipotezele modelului de estimare recursivă sunt:
 observațiile anuale:
12,X , ,X efectuate asupra contractului sunt independente
(condițional), dată fiind o secvență aleatoare necunoscută
1 ii
  ; mai exact, pentru orice
1, i iX
depinde de
 doar prin
i ; aceasta înseamnă că, pentru fiecare
i există, separat, un
parametru de risc
i , conținând caracteristicile de risc ale poliței din acel an.
Observații 2.3.2.
1.
1 ii
  reprezintă șirul parametrilor de risc anual i diferiți .
2. Modelul original al lui Bühlmann este un caz special al modelului de estimare recursivă
și anume, cazul în care
1, 1i i     (3.1)

60
În modelul original al lui Bühlmann s-a presupus că volumul riscului este același pentru toți anii;
în modelul recursiv se admite variația volumului riscului.
 prima netă de risc a contractului
i este definită astfel:
 | , 1i i i M X i     
(3.2)
unde
 este o funcție cu valori reale.

 | , 1 0not
ii M Var X i      (3.3)

 , 1not
i Mi    (3.4)
Observația 3.1 :
 = | = , 1i i i i M M M X M X i          (3.5)
În egalitățile precedente am ținut seama de proprietatea iterativă a valorii medii condiționate,
dată în secțiunea 2.1. din capitolul 2 (
 M X M M X  ). Din ( 3.4) și ( 3.5), deducem:
, 1i M X i  
(3.6)

  , , , 1ij
ij Cov i j        (3.7)
unde
01 (3.8), iar
0 (3.9)
Se constată că parametrul
 din modelul de estimare recursivă coincide cu parametrul
m
din modelul original al lui Bühlmann , dar
 din noul model diferă de
2s din modelul
original. Ipoteza ( 3.7) afirmă că
i și
j sunt corelate, iar corelația între primele nete
din ani diferiți crește în timp.
Modelul introdus prin ipotezele de mai sus, are ca obiectiv estimarea primei nete de risc
din fiecare an al contractului. Fie, în acest sens,
1tX estimatorul liniar și neomogen de

61
credibilitate al lui
1tX sau al lui
1t bazat pe
'X și
1t eroarea medie pătratică de
estimare a lui
1t prin
1tX .
Observația 3.2. Deoarece
1tX verifică ecuațiile normale, rezultă că:
11tt M X M X
(3.10)
deci,
 2
1 1 1def
t t t MX       (3.11)
devine:
1 1 1t t tVar X       (3.12)
Demonstrație relația ( 3.12):
   
  
  ( 11) ( 6) 2 22
1 1 1 1 1 1 1( 10)
( 4)22 2
1 1 1 1 1
23. 3.
23
1 1 1 1 1 1.
3.t t t t t t t
t t t t t
def
t t t t t tM X M X M X M X
M X M X M M X
M X M X Var X
  
        
    
                       
                 
                    
  
  
.
Q.E.D.
Pentru a calcula valoarea lui
1tX se folosește o relație de recurență pe care o satisface
1tX
. Un rezultat secundar este obținerea unei recursivități pentru
1t .
În continuare voi prezenta cele două recursivități pe care le verifică
1tX și
1t , împreună cu
demonstrațiile aferente.
Teorema 3.1. Oricare ar fi
1,2,3,t au loc relațiile:
1 1tttt
ttX X X      
(3.13)
și respectiv:

62

2
1 1t
t
t      (3.14)
cu
1X (3.15), iar
1 (3.16)
Demonstrație.
Estimatorul liniar și neomogen de credibilitate
1X al lui
1X este, prin definiție, estimatorul liniar
și neomogen al lui
1X , care în acest caz revine la o constantă de forma
** unde g g R  ,
constantă cu proprietatea că minimizează pe:
2
1not
M X g Q g
(3.17)
între toți estimatorii liniari și neomogeni ai lui
1X , mai precis între toți
gR (sau,
1X este, prin
definiție, soluția problemei de minim:
2
1gRMin M X g

(3.18))
Condiția necesară ca funcția
.Q să aibă puncte critice este ca:
'0 Qg (3.19)
Însă
 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 2 2 2 Q g M X g X g M X g gM X M X g g           (3.20)
deci
'0 Qg (3.21), devine echivalentă cu
2 2 0g (3.22), de unde
g (3.23).
Condiția necesară și suficientă pentru ca acest punct critic să fie de minim pentru
Q este ca:

"0g Qg (3.24)
condiție ce este îndeplinită, deo arece:
"2 2 2 2 0gg Q g q      .
Prin urmare
g este punct de minim pentru funcția
Q (
Q ia valoarea minimă când
g
). În concluzie,
1X , ceea ce dovedește veridicitatea relației ( 3.15).
De asemenea, știm că
 Var X a Var X (3.25)

63
unde
X este variabilă aleatoare, iar
a este constantă reală. D eci:
  11
1 1 1 1 1 1 1 , Var X Var Var Cov                                 

Așadar,
1 , ceea ce justifică veridicitatea relației ( 3.16).
În continuare, fie
1t și
1 0 1 2 1ttX a a X a X   (3.26)
unde
0 1 2, , a a a sunt constante. Pentru ca egalitatea ( 3.26) să aibă sens trebuie demonstrată
existența numerelor
0 1 2, , a a a .
Necunoscutele
0 1 2, , a a a se determină din condiția ca ecuațiile normale să fie satisfăcute
de
1tX Impunând condiția ca
1tX să verifice ecuațiile normale ( 3.20), adică:
11, , , 1,t j t j Cov X X Cov X X j t  
(3.27)
obținem, înlocuind expresia lui
1tX cu (3.26), că:
 
0 1 2 0 1 2
1 2 1, , , ,
0 , , , , 1,t t j j t j t j
t j t j t jCov a a X a X X Cov a X a Cov X X a Cov X X
a Cov X X a Cov X X Cov X X j t     
    

(3.28)
deoarece
 ,, Cov X Y Cov Y X  (3.29)
iar

(29), , 0 Cov a X Cov X a  (3.30),
unde
,XY sunt variabile aleatoare oarecare, iar
aR constantă.
Pentru
1,jt are loc următorul șir de egalități:
 
 
1 1 1 1 1 1 1
( 2) ( 2)
1 1 13. 3
1
(7.
3)1 1
1.
1, | , |
| | |
,t j t j t j t j t j t t
j j t t j j t j t j
tj tj
t j t jCov X X M X X M X M X M M X X M M X
M M X M M X M X M M M
M M Cov   
             
   
 
          
                             
               
În concluzie:
1
1, , 1,tj
tj Cov X X j t 
   (3.31)

64
Ținând seama de ( 3.31), egalitatea ( 3.28) devine:
1
12 , , , 1,tj
t j t j a Cov X X a Cov X X j t     
(3.32)
Deoarece
tX semnifică estimatorul liniar și neomogen de credibilitate pentru
tX bazat
pe
11,,t XX , rezultă, conform te oremei prezentate în capitolul 2, secțiunea 2.3 , că
tX verifică
ecuațiile normale și în particular relația ( 2.3.20) , care se scrie în modul următor:
 , , , 1, 1t j t j Cov X X Cov X X j t    
(3.33)
Deoarece relațiile ( 3.32) sunt adevărate pent ru
1,jt , deducem că ele sunt adevărate
și pentru
1, 1jt astfel că putem scrie egalitățile:
1
12 , , , 1, 1tj
t j t j a Cov X X a Cov X X j t      
, sau
1
12 , , 1, 1tj
tj a a Cov X X j t     
(3.35)
Fie
1, 1jt fixat. Avem:
 

  , , , | ,
| | | |
,t j t j t j t j t j
t t j j t t j j t j
tj tj
t j t j t jCov X X M X X M X M X M M X X
M M X M X M M X M X M M
M M M Cov
                
                    
                  

Deci
 , , 1, 1tj
tj Cov X X j t     (3.36)
Ținând seama de ( 3.36), egalitățile ( 3.35) devin:
  1
12
12, 1, 1 /t j t j t ja a j t
aa     
       

(3.37)
sau
12aa (3.38)
Punând
jt în (3.32) și înlocuind
1a prin expresia acestuia, rezultă că:

65

 1
2 2 2 2 , , ,tt
t t t t t t t a Cov X X a Cov X X a Var X a Cov X X           (3.39)
Însă:
 
||
,t t t t t t
tt
ttVar X Var M X M Var X Var
Cov
                        
        (3.40)
De asemenea:
   
     
    
22 2 2
1
2 2 2 2
2222
2
2,t t t t t t t t
t t t t t t t t
t t t t t t t t
tVar X M X M X M M X
M X M M X M M X M M
M X M X M X M M X Var Var X
Cov X   
    
  
                        
                          
                    
   
  
    
   
 , , 2 , ,
2 , , 2 ,tt
t t t t t t t t t
t t t t t tCov Cov X X Cov X Cov X X
Cov X Cov X X Cov X    
                  
             
  
(3.41)
șir de egalități în care s -a ținut seama de expresia lui
t Var X , conținută în t eorema prezentată
în secțiunea 2 .3(respectiv formula ( 2.3.11)), care aici se scrie:
 ,,t t t t t Var X Cov X X Cov X X  
(3.42)
Din ( 3.41) reținem că
 1 , 2 ,t t t t Cov X X Cov X       (3.43)
însă:

  , , | |
|,t t t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t tCov X X M X X M X M X M M X X M X M M X
M X M X M X M M X M X M Cov X             
                               
    
(3.44)
Relațiile ( 3.43) și ( 3.44) conduc la:
 , 2 , ,t t t t t t t Cov X X Cov X X Cov X X        
(3.45)
de unde rezultă că:

66

,t t t Cov X X   (3.46)
Din ( 3.44) și ( 3.46) rezultă că:
  ,,t t t t t Cov X X Cov X     (3.47)
Înlocuind relațiile ( 3.40) și ( 3.47) în relația ( 3.39), obținem:
 2 2 1 2 2 2 2 1 2 t a a a a a a a                            
de unde îl determinăm pe
2a :
2
ta
 (3.48)
deci,
( 38)
13.
t
tta      (3.49)
Se impune ultima condiție asupra lui
1tX și anume ca acesta să verifice ecuația normală
(2.3.19), adică:
11tt M X M X (3.50)
Din relația ( 3.50), ținând seama de ( 3.26) și ( 3.6), deducem că:
    0 1 2 0 1 2 0 1 2 t t t t t M a a X a X a a M X a M X a a a M X                  
(3.51)
Deoarece
tX semnifică estimatorul liniar și neomogen de credibilitate pentru
tX , bazat
pe
11,,t XX , rezultă că el îndeplinește ace eași ecuație normală ( 3.50) ca și
1tX .
Așadar:
tt M X M X (3.52)
ceea ce implică:
t MX (3.53)
Introducând valoarea lui
t MX din (3.53), în ( 3.51), obținem:
0 1 2 0 1 2a a a a a a          
, sau, din relația ( 3.37), deducem că:
00 1 aa       
(3.54)

67
Din următoarele egalități:
1 0 1 2t t tX a a X a X   ,
00 1 aa        ,
( 38)
13.
t
tta     
și respectiv
2
ta
 , ded ucem că relația ( 3.13) este adevăr ată.
În cele ce urmează, vom stabili recursivitatea ( 3.14).
Are loc următorul șir de egalități:
   
  
2
1 1 1 1 0 1 2 1 0 1 2
2 2 2 2 2 2 2
1 0 1 2 1 0 1 2 0 1 1 1
2 1 0 1 0 2 1 222
2 2 2 2t t t t t t t t t
t t t t t t t t t
t t t t t t tVar X Var a a X a X M a a X a X
M a a X a X M a a X a X a a X
a X a a X a a X a a X X M  
   
    
   
                         
                  
         

      
  
  
2
1 0 1 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 0 0 1 2
0 0 1 1 1 2 1
1 0 1 0 1 0 2 0 2 1 22 2 2 2
2 2 2 2 2tt
t t t t t t
t t t t t t
tta a M X a X
M M a a a M X M X a M X M X
a a a M X M M X a M X
M M X a a a a a a a a a a
    
    

  
    
                
                 
      



  
22
1 1 2 1 1 2 1
122 , 2 ,
2,t t t t
t t t t t t t
ttM X X M X M X
Var a Var X a Var X a Cov X a Cov X
a a Cov X X     
                



(3.55)
Dar:
11
1 1 1 ,tt
t t t Var Cov       
              (3.56)
3.( 40)
t Var X 
(3.57)
3.( 42) ( 47) 3.
1 ,t t t Var X Cov X X    
(3.58)
    

1 1 1 1
1 1 1
1
1 1 1,|
||
,t t t t t t t t t
t t t t t t t t
tt
t t t t t tCov X M X M M X M M X
M M M X M M X M M
M M M Cov   
   
           
  

                        
                           
                        
(3.59)
Din relația ( 3.59), reținem că:
1,tt Cov X  (3.60)
Introducând relațiile ( 3.56), ( 3.57), ( 3.58) și ( 3.60), în relația ( 3.55), obținem:

68

  22
1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 , 2t t t t t a a a a Cov X a a                  (3.61)
Pentru orice
1, 1jt , avem:
    
 
 1 1 1 1
1 1 1
1
1 1 1
1,|
||
,t j t j t j t j j
t j j t j j t j
tj
t j t j t j
t j t jCov X M X M M X M M X
M M M X M M X M M
M M M Cov
C   
   
       
        
  

  
                      
                           
                      
      ,,t j t j ov Cov X         

(3.62)
șir de egalități în care s -a ținut seama de următoarele:
 , , , 1, 1t j t j Cov Cov X j t           
(3.63)
 1, , , 1, 1t j t j Cov X Cov X j t             
(3.64)
Deoarece
tX este o combinație liniară neomogenă a observațiilor
1,,n XX , de forma:
1
0
1t
t j j
jX a a X

(3.65)
deducem că are loc următorul șir de egalități:
    
  
11
1 1 0 1 0 1
11
11
0
11, , , ,
0 , ,a , (3.66)
,att
t t t j j t j t j
jj
tt
j t j t t j j
jj
tCov X Cov a a X Cov a a Cov X
a Cov X Cov Cov a X
Cov   
    

   


             
                


 1
0
1, , t
j j t t t t t
ja X Cov X Cov X     
               
Deci
1, t t t Cov X     (3.67)
Folosind relația precedentă, expresia lui
1t din (3.61) devine:

69

 
 
 
  22
1 1 2 1 2 1 2
22
1 2 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 1 1 2 1 1 22 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 1 2t t t t
t t t
t t t t
tta a a a a a
a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a a       
        
         
                  
           
            
             
  
 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
22 22
2 2 2 2
1 2 1 2 22
2 2 2 2
2 2 2 2 2
221 2 1 2
11
1 1 1tt
t
tt
tt
t t t t
t
t tta a a a a a a a a a a a a
a a a a   
     

                               
              
                  

Astfel că, relația ( 3.14) este demonstrată.
În continuare voi prezenta o concluzie referitoare la expresia lui
1tX , derivată din
recursivitatea din relația ( 3.13) și anume:
0 1
1t
t t tj i
jXX

(3.68)
unde coeficienții
, 1,tjjt sunt în următoarea relație de ordine:
12 01t t tt        (3.69)
Stabilirea veridicității relației ( 3.68):
Existența coeficienților
, 1,tjjt , cu proprietatea ( 3.69) rezultă aplicând recurența ( 3.13) de
t
ori, astfel:

70



 1
1 1 1( 13)11
12
12(13)11
2.
2
231
11
11t t t
t t t t t t
t t t t t t
t t t
t t t
t t t t t t
t
ttX X X X X X
X X X
X          
             
   
  



  

                       
                         
           
 

1
1
1
2
22
1 2 1 2 1
1
1
1
2
2
121
1
11tt
tt
t t t
t
tt
t t t t t t t
tt
tt
t t t t
t
t
t t t tXX
XX
XX
X     
           
        
   
   




    





         
                 
              
       

 
 1
1
1 2 1
2 2 1 1
1 1 21
1 1 1t
tt
t t t t tX    
              

       
                 

(3.70)
Din relația ( 3.70), deducem următoarele expresii pentru coeficienții
, 0, :itjt
 
22
0
1
11
12
1
1 2 1
2
,2
12
1
,1
11 1 1
1
t
t t t
tt
tt
t
tt
t
tt
t t t
t
tt
tt
t          
  
      
    










            
     
       
     
   



,t
t
t


















și de aici se observă că:

71

,1, 1, 1ij j t j jt      (3.71)
cu
1
1
1, 1, 1j
jj
j
j
jjt



     
 (3.72)
Se observă că
, 1 1 ,t t t t t   (3.73)
unde
1
(3.72)
1
1 ,t
tt
t
t
t



   
 (3.75)
Într-adevăr, relația ( 3.73) are loc deoarece este echivalentă cu următoarea egalitate :
1
1 1 1 1
1 1 1t
t t t t t t
t t t t t t t t
t       
      
   
  
                       

,
De asemenea,
, 2 2 , 1t t t t t     (3.76)
deoarece
2
( 72)
21
2
1
13.
,t
tt
t
t
t





   
 (3.77)
Relația ( 3.76) are loc deoarece:
2
2 2 1 1
1 1 2 1
1
22
1 2 1 2t
t t t t
t t t t t t
t
tt
t t t t t t      
    
    
     
   
   


   
               

           

În mod analog obținem:
,1 1 ,2tt  (3.78)

72
cu
3.1
( 72)
12
2
2
2,t

   
 (3.79)
deoarece ( 3.77) este echivalentă cu:
1
1 1 2 2
2 1 1 1 3 2
2
11
1 2 1 1 2 1t t t t
t t t t        
      
      
       

                   

               

.
Așadar, am demonstrat veridicitatea relațiilor ( 3.71).
Definiția ( 3.72) a lui
, 1, 1jjt se poate scrie sub forma echivalentă:
 1, 1, 1j
j
jjjt
  
  
(3.79)
Înlocuind în relația precedentă pe
1j cu recursivitatea ( 3.14), pe care acesta o satisface(( 3.14)
scrisă pentru
tj ), obținem:
22
22, 1, 1
11jj
j
jj j
j
jjt   
                     
(3.80)
Punând
1, tj relația de recurență ( 3.14) conduce la:
1 2 2 2
11 1 0j
j
j    
      
(3.81)
adică:
 0, j j    (3.82)
deoarece:
01 (conform relației ( 3.8)) (3.83),
0 (conform relației ( 3.9)) (3.84)

73

10j (conform relației ( 3.12)) ( 3.85) și
0 (conform relației ( 3.8)) (3.86)
Ținând seama de ( 3.82) și împărțind relația ( 3.80) cu
j , obținem:
22, 1, 1
11j
jjt
     
   
(3.87)
Estimatorul liniar și neomogen de credibilitate
tX pentru
j , bazat pe observațiile
11,,j XX
este, evident, un estimator al lui
j mai bun pentru
 , ceea ce înseamnă că:
22, 1, 1j j t jM X M j t                
(3.88)
Justificarea relațiilor ( 3.88):
Estimatorul liniar și neomogen de credibilitate
tX pentru
j bazat pe observațiile
11,,j XX
este, prin definiție, estimatorul liniar și neomogen al lui
j bazat pe observațiile
11,,j XX
, cu proprietatea că minimizează eroarea medie pătratică:
 2
jj MX
(3.89)
între toți estimatorii liniari și neomogeni
jX ai lui
j , bazați pe
1,,n XX , adică de forma:
1
0
1j
j r r
rX a a X

(3.90)
Așadar, soluția problemei de minim:
  1
01
0
121 ( 90)2
0,,13.

j
j
j r r
rj
j j j r raar X a a XMin M X Min M a a X 



          
(3.91)
este
jX , ceea ce înseamnă că:

74

    1
0
112 2 2
0
1 ,
j
j r r
rj
j j j j j j r r
r X a a XM X Min M X M X X a a X  


                     
   și, în particular, pentru
jX constantă, obținem:
 22
j j j M X M            

de unde rezultă că relațiile ( 3.88) au loc.
Dar,
  
   
  
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2222
22
,j j j j
j j j j j
j j j j
j j j j jM M M M M
M M M M M M
M M M M
M M Var Cov       
        
       
                             
                           
                        
                    jj  
Așadar:
2
j M     (3.92)
Relațiile ( 3.88) și ( 3.92) conduc la inegalitățile:
, 1, 1j jt   
(3.93)
care implică:
11, 1, 1
jjt   , deci
, 1, 1
jjt
   , de unde:
1 1 , 1, 1
jjt
    
și astfel:
 2 2 2 21 1 1 1 , 1, 1
jjt                      , iar de aici obținem:
 
( 87)
22
223
2.
22111 11
, 1, 1
1j
j
jt              

                    
   


75
Prin urmare:
2, 1, 1
1j jt
     
 (3.94)
Deoarece au loc următoarele inegalități:

01

3.
3.( 83)
2( 84)1
1
  
 (3.95)
relația ( 3.94) conduce la:
1, 1, 1j jt   (3.96)
Justificare:

32( 4).91 1 1, 1, 1
1j jt
        


de unde rezultă că au loc relațiile ( 3.96).
Deoarece:
( 80)
2.
23
, 1, 1
1j
j
jjjt
       
     și ținând seama de relațiile ( 3.83),
(3.82) și ( 3.86), obținem că :
 0, 1, 1j jt    
(3.97)
De asemenea se observă că
01tt (3.98)
dacă ținem seama de expresia lui
tt și anume:
( 83) ( 100)
( 82) ( 833. 3.
.) 3. 30 1 1 1tt
tt
tt        
, unde
1t
t (3.100)
Din relația ( 3.71) rezultă că:
,1, 1, 1tj
j
tjjt  
(3.101)

76
și cum
0 1, 1, 1j jt    , deducem că:
,10 1, 1, 1tj
tjjt
   
(3.102)
Însă:
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 1 0t t t t t tt                  , deci:

10t (3.103)
Analog
2 2 3 2 3 4 2 3 1 0t t t t tt               

1,20 (3.104)
, 1 1
0t t t tt  

deci
,1 0tt (3.105)
Condițiile de strict pozitivitate ale coeficienților
, 1,tjjt împreună cu relațiile ( 3.102),
determină următoarele duble inegalități:
, , 1 0 , 1, 1t j t j jt     
,
adică
,1 ,2 01t t tt        , ceea ce trebuia demonstrat.

77
BIBLIOGRAFIE

1. Azzalini A., Statistical Inference , World Scientific, Singapore, 2000
2. Banyar J., Life insurance , Dr. J. B, Budapesta, 2003
3. Bear R. E., Pentikaen T., Pesonen E., Risk Teory , Chapman and Hall, Londra, 1984
4. Beganu G., Matematică financiară , Ed. Meteora Press, București, 2001
5. Bowers N. L., Gerber H., Hickman J., Jones D., Nesbitt C. J., Actuarial Mathematics,
Society of Actuaries, Ithasca, 1986
6. Bühlmann H., Mathematical Methods in Risk Theory , Springer, Berlin, 1996
7. Burlacu V., Cenușă Gh., Bazele matematice ale asigurărilor , Teora, București 2000
8. Ciucu G., Tudor C., Teoria probabilităților și aplicații , Ed. Ștințifică și Enciclopedică,
București, 1983
9. Ciurel V., Asigurări și reasigurări , Ed. ALL BECK, București, 2000
10. Cuculescu I., Teoria probabilităților , Ed. ALL, București, 1998
11. Etienne De Vylder F., Advanced risc teory , Ed. de l ’Universit é de Bruxelles, 1996
12. Gerger H., Life Insurance Mathematics , Springer -Verlag, Berlin, 199
13. Goovaerts M.J., Effective actuarial methods, North -Holland, Amsterdam, 1990
14. Gourieroux C., Statistique de l ’assurance , Economica, Paris, 1999
15. Grandell J., Aspect of Risk Theory , Springer -Verlag, Berlin, 1992
16. Grandell J., Elements of risk theory, Springer -Verlag, Berlin, 1995
17. Iulian M., Matematici financiare și actuariale , Ed. Corint, București 2006
18. Huper P.S.U., Computer Intensive Statistical Methods , Chapman & Hall, Londra, 1994
19. Isac-Maniu A., Mitruț C., Voineagu V., Statistică , Ed. Universitară, București, 2003
20. Mihoc Gh., Craiu I., Craiu V., Matematici pentru economiști , Ed. Tehnică, București,
1971
21. Mircea I., ”On a credibility model”, The proceedings of 2nd international symposium of
economic informatics , Ed. ASE, București, 1995
22. Mircea I., Lazăr Gh., Purcaru I., Asigurări de persoane și bunuri , Ed. Economică,
București, 1998
23. Mircea I., Modele matematice în asigurări , Ed. Plus, București, 2004

78
24. Purcaru I., Matematică și asigurări , Ed. economică, București, 2006
25. Severini T., Likeliho od Methods in Statistics , Oxford University Press, Anglia, 2000
26. Tănăsescu P., Dobrin M., Teoria și practica asigurărilor , Ed. Economică, București,
2006
27. Văcărel M., Asigurări și reasigurări , Ed. Expert, București, 2006
28. Verejan O., Pârțachi I., Statistică actuarială în asigurări , Ed. economică, București 2004
29. Wasserman L., All of statistics , Springer, New York, 2004
30. Zbăganu Gh., Metode matematice în teoria riscului și actuariat , Ed. Universității din
București, 2004