Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………….. [601294]
CUPRINS
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 3
Capitolul I. Prezentarea general ă a programului Mathcad ………………………….. ………………………….. ….. 4
1.1 Descrierea ferestrei principale ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 4
1.2 Principalele noțiuni cu care operează Mathcad ………………………….. ………………………….. …………. 5
1.2.1 Operatori în Mathcad ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 6
1.2.2 Identificatori în Mathcad ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 8
1.2.3 Tipuri de date în Mathcad ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 8
1.3 Fișiere Mathcad ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 14
Capitolul II. Rezolvarea ecuațiilor și sistemelor în Mathcad ………………………….. ………………………….. 16
2.1 Rezolvarea unei ecuații algebrice ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 16
2.2 Rezolvarea sistemelor algebrice de n ecuații liniare cu n necunoscute ………………………….. …… 18
2.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de n ecuații neliniare cu n necunoscute ………………………….. .. 19
2.4 Obținerea coeficienților unui polinom ………………………….. ………………………….. …………………….. 20
Capitolul III. Calcul vectorial în Mathcad ………………………….. ………………………….. ………………………… 23
3.1 Produsul scalar și vectorial a doi vectori ………………………….. ………………………….. …………………. 23
3.2 Modali tăți de calcul pentru transpusa, determinantul și inversa unei matrice ……………………… 24
3.3 Adăugarea/ștergerea de linii și colane ………………………….. ………………………….. …………………….. 25
3.4 Extragerea și alipirea matricelor ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 25
3.5 Determinarea valorilor și vectorilor proprii ale u nei matrice ………………………….. …………………. 26
3.5.1 Prin intermediul funcțiilor EIGENVALS( ) și EIGENVEC( ) ………………………….. ………… 26
3.5.2 Prin metodele Krylov și Leverrier ………………………….. ………………………….. ……………………. 27
3.5.2.1 Metoda Krylov ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 27
3.5.2.2 Metoda Leverrier ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 31
3.5.2.3 C alculul valorilor proprii ………………………….. ………………………….. ………………………….. 32
3.5.2.4 Calculul vectorilor proprii ………………………….. ………………………….. ………………………… 33
Capitolul IV. Rezovarea ecuațiilor diferențiale ordinare în Mathcad ………………………….. ………………. 35
4.1 Ecuația diferențială cu variabile separabile ………………………….. ………………………….. ……………… 35
4.2 Ecuația diferențială omogenă ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 36
4.3 Ecuația diferențială exactă ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 37
4.4 Ecuația diferențială liniară de ordinul I ………………………….. ………………………….. …………………… 39
4.5 Ecuația diferențială a lui Bernoulli ………………………….. ………………………….. …………………………. 40
4.6 Ecuația diferențială Riccati ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 42
4.7 Ecuația diferențială a lui Lagrange ………………………….. ………………………….. …………………………. 42
Capitolul V. Reprezentări grafice în Mathcad ………………………….. ………………………….. …………………… 45
5.1 Funcții de o variabilă ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 45
5.1.1 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate carteziene ………………………….. ………. 45
5.1.2 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate polare ………………………….. ……………. 47
5.1.3 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate parametrice ………………………….. ……. 49
5.2 Funcții de două variabile ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 50
Capitolul VI. Aplicații statistice și economice ………………………….. ………………………….. ………………….. 55
6.1 Intervale de încredere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 55
6.1.1 Calculul intervalului de încredere pentru medie, când se cunoaște dispersia ………………… 55
6.1.2 Calculul intervalului de încredere pentru media populației
, când nu se cunoaște
dispersia
2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 56
6.1.3 Calculul intervalului de încredere pentru dispersia
2 ………………………….. …………………… 58
6.2 Verificarea ipotezelor statistice prinvind mediile de sondaj ………………………….. ………………….. 60
6.2.1 Testul U ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 60
6.2.1.1 Testarea ipotezei privind media populației generale
0 pentru eșantioane de volum
redus ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 60
6.2.1.2 Testarea ipotezei privind diferen ța dintre două medii pentru eșantioane de volum
redus ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 64
6.2.2 Testul T ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 66
6.2.2.1 Testarea ipotezei privind media populației generale
0 pentru eșantioane de volum
redus ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 66
6.2.2.2 Testarea ipotezei privind diferen ța dintre două medii pentru eșantioane de volum
redus ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 69
6.3 Verificarea ipotezelor statistice prinvind dispersia colectivității statistice ………………………….. 71
6.3.1 Testul
2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 71
6.3.2 Testul F (Fischer) ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………….. 74
6.4 Corelație și regresie ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………… 76
6.4.1 Corelație și regresie liniară simplă ………………………….. ………………………….. ……………………. 76
6.4.2 Corelație neliniară ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 79
3
INTRODUCERE
Produsul Mathcad are rolul de a ușura lucrul cercetătorilor, inginerilor, matematicienilor și a
tuturor persoanelor care, în activitatea lor, au nevoie de rezolvarea unor probleme complexe de
matematică.
Lucrarea de față își propune să prezinte atât modu l de utilizare al programului, cât și
facilitățile acestuia, având scopul de a îndruma utilizatorii în folosirea programului.
Lucrarea este structurată pe șase capitole, realizate pe înțelesul tuturor. Fiecare capitol
conține exemple simple, care lămuresc noțiunile teoretice.
Primul capitol face o prezentare generală a programului, pornind de la descrierea ferestrei
principale și continuând cu prezentarea submeniurilor meniului principal. Tot în acest capitol sunt
enunțate și noțiunile cu care operează Ma thcad.
În capitolul doi sunt prezentate modurile în care pot fi rezolvate ecuațiile algebrice și
sistemele liniare și neliniare.
Capitolul trei detaliază modul de lucru cu vectori și matrice : produsul scalar și vectorial a doi
vectori, modalități de calcul pentru transpusa, inversa și determinantul unei matrice, adăugarea și
ștergerea liniilor și a coloanelor, alipirea și extragerea matricelor, deteminarea valorilor și a
vectorilor proprii prin diverse metode.
În capitolul patru sunt prezentate modurile de rezolvare a diferitelor tipuri de ecuații
diferențiale ordinare (ecuația cu variabile separabile, ecuația omogenă, ecuația exactă, ecuația lui
Bernoulli, etc.).
Capitolul cinci detaliază modul de reprezentare grafică atât a funcțiilor de o var iabilă, date în
coordonate polare, carteziene sau parametrice, cât și a funcțiilor de două variabile.
În ultimul capitol sunt detaliate rezolvările unor ap licații statistice și economice, ce cuprind
intervale de încredere, testarea ipotezelor statistice și corelație și regresie.
4
CAPITOLUL I
PREZENTAREA GENERAL Ă A PROGRAMULUI MATHCAD
Mathcad -ul este un program de calcul utilizat în aplicațiile matematice, tehnice și
economice. Produsul Mathcad a fost realizat de firma Mathsoft în mai multe variante, începând de la
variantele rulate sub sistemul de operare DOS până la cele sub Windows, ultima variantă fiind
Mathcad 14.0.
La început, Mathcad nu a avut decât o singură variantă, iar astăzi este disponibil în trei:
Mathcad Standard (utilizat pentru calcule inginerești uzuale);
Mathcad Professional Academic (are scopul de a veni în ajutorul studenților și
profesorilor) și
Mathcad Professional (dezvoltat pentru a efectua calcule și aplicații profesionale).
Fiind o aplicație care rulează pe sisteme de operare Windows, pornirea și părăsirea aplicației
Mathcad se fac la fel ca pentru orice com ponentă MS Office.
Mathcad -ul este ușor de învățat și de folosit și nu sunt necesare cunoștințe speciale de
programare.
Mathcad -ul este un pachet de programe ce oferă un mediu de lucru prietenos, complex, ușor
de utilizat și util pentru ingineri, cercet ători, matematicieni, studenți, pentru toți cei care folosesc
matematica. Cu ajutorul lui se poate calcula orice formulă matematică, se pot reprezenta grafice de
funcții, se poate programa, se pot rezolva ecuații și multe alte operații.
Permite scrierea d e ecuații așa cum utilizatorul este obișnuit să le vadă pe tabla, pe foaie, sau
într-o carte. Nu trebuie învățată nicio sintaxă dificilă (pur și simplu sunt tastate ecuațiile și afișate
rezultatele). În Mathcad se utilizează notația matematică obișnuită. T extul poate fi plasat oriunde în
foaia de lucru, iar tot ce apare pe ecran se poate imprima în aceeași formă.
Documentele MathCad sunt evaluate automat la fiecare modificare a structurii lor, astfel
rezultatele afișate reflectă întotdeauna starea curentă a documentului.
1.1 Descrierea ferestrei principale
Fereastra principală a aplicației Mathcad are aceeași structură ca și cea a componentelor MS
Office. Cei care sunt familiarizați cu produsele Microsoft se vor obișnui foarte repede cu modul de
lucru din Mathcad.
Când porniți Mathcad -ul veți vedea o fereastră ca cea prezentată în Figura 1.1. În mod
implicit, zona din foaia de lucru are culoarea albă. Pentru a selecta o alta culoare care vă facilitează
lucrul cu acest program, selectați meniul Format → Col or → Background, alegeți culoare dorita și
apăsați OK.
Se pot deschide atâtea foi de lucru cât sistemul de resurse disponibil permite.
5
Figura 1.1 Fereastra principală a aplicației Mathcad
Pentru a economisi spațiu pe ecran, puteți afișa sau ascunde barele de unelte, format, dar și
bara de instrumente de matematică. Această setare se face din meniul View → Toolbars, unde se
bifează/ debifează butoa nele: Standard, Formatting, Math. Acestea se pot rearanja astfel încât să
ușureze lucrul, ținând apăsat butonul mouse -ului pe ele și trăgându -le în zona în care dorim.
1.2 Principalele noțiuni cu care operează Mathcad
Principalele noțiuni utilizate în Mathcad sunt:
Operatori
Identificatori
Tipuri de date.
Bara de meniu Bara standard
Bara de format
Bara de
instrumente de
matematic ă
6
1.2.1 Operatori în Mathcad
a. Operatorul de atribuire sau operatorul de definire ( := )
Este utilizat pentru a atribui elementului din membrul stâng valoarea expresiei din membrul
drept.
Acest operator se obține tastând : sau se ia din una din paletele Evaluation (figura 1.12) și
Calculator (figura 1.13).
Sintaxă: variabilă := expresie
funcție (listă de variabile) := expresie
b. Operatorul de afișare (= )
Este folosit pentru afișarea unui rezultat calculat., adică afișează valoarea membrului stâng.
Acesta se obține tastâ nd =, sau se găsește în paletele Evaluation și în Calculator.
Sintaxă : variabilă =
expresie =
funcție ( listă de variabilă ) =
c. Operatorul de definire globală ( ≡ )
Are domeniul de valabilitate pe tot documentul, permițând fixarea și modificarea unor
parametrii la nivel global.
Se obține tastând ~ sau se găsește în paleta Evaluation.
Sintaxă : variabilă = expresi e
Figura 1.2 – Paleta Evaluation
Figura 1.3 – Paleta Calculator
Mathcad utilizează operatorii uzuali ( +, –, *, /, ^) pentru introducerea expresiilor aritmetice,
afișarea pe ecran fiind cea din matematică. Rezultatul expresiei este afișat dupa tastarea operatorului
de afișare.
Mathcad permite atât efectuare unor calcule numerice simple, cât și efectuarea unor operații
cu vectori, matrice, etc.
7
Exemplu :
Expresia (3.8 * 5 ) ^ 2 – 17.8 / 2 = o să apară pe ecran sub forma :
1.35228.1758.32
Operatorii aritmetici sunt:
a. Adunarea +
b. Scăderea –
c. Înmulțirea *
d. Împărțirea /
e. Produsul vectorial ×
f. Ridicarea la putere ^
Exemplu l 1:
Definim 2 vectori cu 4 linii și 1 coloană astfel :
a :=
3142 b :=
6521
Cu aceștia vom efectua operațiile de adunare, scădere și înm ulțire, utilizând operatorul de
atribuire :
c := a + b d := a – b e := a ∙ b
Rezultatele se vor afi șa utilizând operatorul de evaluare :
c =
9663 d =
3421 e = 33
Exemplu l 2:
Vom face acela și lucru pentru două matrice cu 3 linii și 3 coloane :
A :=
510256301 B :=
352845321
C := A + B D := A – B E := A ∙ B
8
C :=
86210911622 D :=
24 26 1 102 0 E :=
23 29 1564 42 3512 177
1.2.2 Identificatori Mathca d
Identificatorii în Mathcad sunt, de fapt, numele date variabilelor, constantelor și funcțiilor.
Aceștia pot fi :
a. Litere latine mari și mici (se face distincție între literele mari și mici )
b. Cifre
c. Litere grecești ( α, β, γ, δ…)
d. Caractere speciale ( _, %, `, ., ∞)
e. Caractere internaționale
Exemple de identificatori :
x_151, α, functie `, x_%_12 .
1.2.3 Tipuri de date în Mathcad
În Mathcad sunt folosite următoarele tipuri de date :
a. Variabile numerice reale și complexe
O variabilă se definește în felul următor :
– Se tastează numele e i
– Se tastează operatorul de definiție
– Se introduce expresia care definește variabila
Exemplu :
Pentru a calcula valoarea expresiei y =
2×5 x3 x2 3 în punctul x = 1, se definește:
x := 1
y :=
2×5 x3 x2 3
Rezultatul se va afi șa utilizând operatorul de evaluare y =
y = 1
Pentru a defini o constantă complexă se utilizează forma algebrică a + bi. În locul lui i ca
unitate imaginară se poate folosi j. Mathcad utilizează i la afișarea rezultatelor complexe, dar se
poate schimba parametrul în j de la Format → Imaginary Unit.
b. Variabile șir
O progresie aritmetic ă se poate defini în felul următor:
9
variabilă_șir := val_inițială,val_următoare..val_finală,
unde rația progresiei aritmetice este : val_următoare – val_inițială .
Pentru a introduce .. se tastează simbolul “;”.
Exemplu:
Șirul x := 0, 0.7 .. 6 (se tastează x: 0, 0.7 ; 6) definește progresia aritmetică. Pentru afișarea
rezultatului se tastează x =
x := 0, 0.7 ..6
O metodă mai simplă de definire a acestui șir este selectarea din meniul Matrix a iconiței m ..
n. Pasul de incrementare, care implicit este 1, se poate schimba tastând virgulă după introducerea
valorii inițiale, apoi pasul de incrementare.
Exemplu :
Șirurile definite prin:
i := 0.3 .. 6
j := 6 .. 0.6 sunt:
O variabilă șir ale cărei valori sunt numere natural consecutive se numește variabilă indice ( j
este o variabil ă indice ).
Exemplu :
Pentru a defini un indice i care ia succesiv toate valorile 3,4,5,6,7, se tastează i : 3;7.
Pe ecran va ap ărea: i := 3..7
x
0
0.7
1.4
2.1
2.8
3.5
4.2
4.9
5.6
i
0.3
1.3
2.3
3.3
4.3
5.3
j
6
5
4
3
2
1
10
Prin intermediul unei variabile indice se poate defini o variabilă șir oarecare prin sintaxa :
variabilă_șirvariabilă_indice := expresie. Pentru a obține indicele, după variabila_șir se tastează [.
Dacă numele variabilei_șir este x, iar variabila indice este i =
k 0i,…,i , cu
k 0ii și , ϵR,
atunci
ix definește șirul
ik 10i0i x,…, x,x .
Exemplu :
Fie i variabila_indice definit ă în exemplul anterior, pentru definirea șirului
2
ii x se
tastează : x [ i : i ^ 2, iar pe ecran va ap ărea
2
ii:x
Pentru i ϵ [3,7], valorile șirului
2
ii x se află efectuând următorii pași :
i := 3..7
2
ii x
x =
493625169000
c. Variabile tablou (array): vectori și matrice
O variabilă devine o variabilă tablou dacă i se atribuie o constantă de tip tablou sau o
expresie a cărei valoare este de tip tablou.
Pentru a crea o constantă de tip tablou se parcurg pașii :
– Se tasteaz ă Ctrl + M sau se alege iconița din meniul Matrix.
– Se aleg dimen siunile tabloului în fereastra care s -a deschis ( Insert Matrix ).
– Se afișează un vector sau o matrice cu dimensiunile specificate, elementele fiind indicate
printr -o poziție marcată.
i
3
4
5
6
7
11
Exemplu :
Dacă numărul liniilor este 3, iar numărul coloanelor este 4, pe ecran va apărea :
După aceea se vor completa pozițiile marcate cu expresii numerice, iar trecerea de la o
componentă la alta se face acționând tasta Tab.
Componentele unui vector sau ale unei matrice se obțin tastând numele vectorului sau
matricei urmat de indici inferiori ( indicii inferiori se obțin tastând [ ).
În cazul matricelor, pentru a obține perechea de indici, aceasta trebuie inclusă în paranteze.
Dacă după indicatorul de in dice [ tastăm ‘, atunci pe ecran apare o pereche de paranteze deschise,
între care inserăm cei doi indici.
Exemplul 1 :
Dacă v :=
152 , atunci :
2 v0
5 v1
1 v2
Exemplul 2 :
Dacă A :=
0112 , atunci :
2 A 0,0
1 A 1,0
1 A0,1
0 A1,1
În lucrul cu vectori și matrice, în Mathcad, indexul începe întotdeauna de la 0. Dacă dorim să
modificăm valoarea inițială a indicilor în 1, trebuie să atribuim parametrului Mathcad ORIGIN
valoarea 1. Aceasta se obține prin definiția globală:
ORIGIN ≡ 1.
Exemplu :
Dacă în exemplul anterior modificăm valoarea inițială a indicilor în 1, atunci :
2 v1
5 v2
13v
Pentru a defini șiruri de vectori sau de matrice se utilizează indici superiori. Un indice
superior se se obține tastând Ctrl + 6.
12
Exemplu :
Dacă
12: u0 și A :=
1110 , atunci pentru i := 0..5 calcul ăm:
i := 0..5
i 1iuA: u
1211 2 1 1211 2 1 12:u
11: u4
2 u6,0
1 u4,1
d. Funcții
Definirea structurilor nu se poate realiza decât prin utilizarea paletei de butoane
Programming (figura 1. 4), deci nu prin scrierea directă a instrucțiunilor. Pentru a fi funcționale,
toate secțiunile trebuie să aibă completate corect toate marcatoarele.
Figura 1. 4 – Paleta Programming
Toate structurile de programare trebuie să apară în dreapta unei secțiuni de tip Add Line.
Inserarea unui program în document trebuie să înceapă cu apăsarea acestui buton (Add
Line), în urma căruia va apărea o linie verticală cu do uă marcatoare, ca în figura 1. 5. fiecare
marcator corespunde unei linii d e program. Se pot insera oricâte marcatoare sunt necesare,
apăsându -se din nou pe butonul Add Line.
În cadrul programelor Mathcad nu se mai folosește operatorul de atribuire obișnuit ( :=), ci
operatorul ← , care se obține tastând Shift + {.
Figura 1. 5 Marcatori inserați de secvența Add Line
13
Funcții condiționate
Secvența IF funcționează în felul următor : expresia din stânga cuvântului IF este evaluată
numai dacă expresia din dreapta lui IF este adevărată.
Pentru executarea mai multor instrucțiuni, în cazul în care con diția de după IF este adevărată,
se apasă butonul Add Line , dupa selectarea marcatorului din stânga c uvântului IF.
Exemplu:
Pentru o funcție care are expresii diferite pe intervale se folosește OTHERWISE.
Exemplu :
Ciclarea
Ciclurile cu un număr cunoscut de repetări se realizează cu ajutorul comenzii FOR. Se
precizează variabila de ciclare, valoare inițială și valoare finală a acesteia, iar cu linia următoare
începe corpul ciclului.
gx() 5 x2 if
0 0x 5 if
2x x0 if
10 5 0 5 102010010
gx()
x
fx() 0 x5 if
x22otherwise
10 5 0 5 10050100150
fx()
x
14
Exemplu :
j := for i ϵ 0..5
s ← i + 2
Programul va afișa : j = 7.
Exemplu : (Suma primelor n numere naturale)
Pentru n = 7, programul va afi șa: suma(7) = 28.
Ciclurile cu un număr necunoscut de repetări se realizează cu WHILE. Se precizează doar
condiția, iar cu linia următoare începe corpul ciclului. Atâta timp cât condiție este adevărată, se vor
executa instrucțiunile, iar pentru a ieși din WHILE treb uie să se ajungă la o condiție falsă.
Exemplu : (Calculul lui n!)
Pentru n = 5, programul va afișa : f(5) = 120 .
1.3 Fișiere Mathcad
Mathcad gestionează fișierele nestructurate ca fiind fișiere structurate.
Înregistrarea unui fișier nestructurat constă dintr -o singură valoare numerică. Dacă în fișierul
nestructurat se află n înregistrări, pentru a le citi pe toate se folosește un ciclu și valorile citite se
depun într -un vector sau se face citirea direct într -un vector cu dimensiunea n.
Tabloul care se adaugă la un fișier PRN trebuie să aibă același număr de coloane ca și tabloul
deja existent în fișier.
Fișierele structurare sunt proprii lucrului cu vectori și matrice. Pentru a lucra cu astfel de
fișiere se folosesc următoarele comenzi :
– Scrierea se fa ce cu WRITEPRN( “nume_extern.dat”) := variabil ă
– Citirea se face cu variabil ă := READPRN(“nume_extern.dat”)
– Adăugarea de înregistrări noi la sfârșitul unui fișier existent se face cu
APPENDPRN( “nume_extern.dat”) := variabilă
sn() s 0
s sii1n for
s
fn() f 1
f fn1( )n n1 while
f
15
Exemplu :
Se crează fișierul de date:
A :=
572 214 0 841 5437 2 1 b :=
8115 n := 4
WRITEPRN(“f.prn”) := A
APPENDPRN(“f.prn”) :=
Tb
Se citește informația din fișierul f :
X := READPRN (“f.prn”)
X =
81 1 5572 214 0 841 5437 2 1
16
CAPITOLUL II
REZOLVAREA ECUAȚIILOR ȘI A SISTEMELOR ÎN MATHCAD
2.1 Rezolvarea unei ecuații algebrice
În Mathcad, rezolvarea unei ecuații algebrice se face cu ajutorul funcției ROOT.
Aproximația inițială trebuie dată de la început.
Pentru a rezolva ecuația f(x) = 0 cu aproximația inițială x = a, programul Mathcad este :
x := a
f(x) := expresia
y := root(f(x), x)
y =
Soluția poate fi afișată și direct, prin root(f(x), x) =
Exemple :
1. Să se afle soluția ecuației x + 5 = 0
x := 0
f(x) = x + 5
y := root(f(x), x)
y = – 5
2. Să se găsească soluția ecuației
xe ∙ sin(x) + x – 1 = 0
x := 0
f(x) :=
xe ∙ sin(x) + x – 1
y := root(f(x), x)
y = 1.268
Ecuația de gradul doi se poate rezolva prin utilizarea funcției POLYROOTS sau prin
vectorizare , iar ecuația de ordin ≥ 3 se rezolvă prin intermediul funcției polyroots sau prin
determinarea succesivă a rădăcinilor.
Funcția Polyroots returnează rădăcinile polinomului care are coeficienții puși într -un vector
v. În vectorul coeficienților , pe prima poziție se află termenul liber, apoi coeficienții lui
.x,x2
Programul Mathcad pentru rezolvarea ecuației prin intermediul funcției polyroots este :
v := vectorul coeficienților
r := polyroots(v)
r =
17
Exemplu :
Să se afle soluțiile ecuației de gradul doi :
2×2 + x – 1 = 0
Se creează vectorul coeficienților :
v :=
211
r := polyroots(v)
r =
5.01
Pentru a obține simbolul vectorizării se poziționează cursorul oriunde pe numele funcției și
se tastează Ctrl – sau se selectează iconița din meniul Matrix. Dacă expresia este mai
complicată, aceasta se închide între paranteze și, cu cursorul pe paranteza stângă, se tastează
Ctrl – .
Exemplu :
Se consideră ecuațiile de gradul doi cu coeficienții a, b, c definiți ca vectori:
a :=
1111 b :=
2103 c :=
1012
Formulele de calcul vectorizate sunt :
Programul Mathcad returnează următoarele rezultate :
x :=
11i1 y :=
10i2
Exemplu :
Să se rezolve ecuația
1z z z3 4 = 0 cu rădăcini complexe.
Metoda I :
Vom determina succesiv rădăcinile
polinomului. Dacă a este o rădăcină a Metoda II:
Prin intermediul funcției Polyroots.
xb b24ac
2a
yb b24ac
2a
18
polinomului P(z), atunci se va rezolva ecuația:
0az)z(P
.
x := 0
f(x) :=
1x x x3 4
a := root (f(x), x)
a = – 1
g(x) :=
ax)x(f
b := root (g(x), x)
b = 1
h(x) :=
bx)x(g
c := root (h(x), x)
c = – 0.5 – 0.866i
k(x) :=
cx)x(h
d := root (k(x), x)
d = – 0.5 + 0.866i v :=
11011
r := polyroots(v)
r :=
1i866.05.0i866.05.01
2.2 Rezolvarea sistemelor algebrice de n ecuații liniare cu n necunoscute
Fie un sistem liniar de n ecuații cu n necunoscute: A ∙ x = b , unde matricea asociată
sistemului este A :=
nn 1nn1 11
a aa a
și matricea termenilor liberi este b :=
bn2b1b
.
O metodă de rezolvare a sistemului algebric liniar este calcularea relației:
x =
1A ∙ b,
iar cea de -a doua metodă presupune folosirea func ției LSOLVE.
Programul Mathcad pentru rezolvarea sistemului este:
A := matricea asociat ă sistemului
b := matricea termenilor liberi
x :=
1A ∙ b / x := lsolve(A, b)
x =
19
Exemplu :
Să se rezolve sistemul :
2 2 61 2
y xyx
Metoda I :
Se scrie matricea asociată sistemului :
A :=
2612
și matricea termenilor liberi :
b :=
21
Soluția sistemului se obține din relația:
x :=
1A ∙ b
x =
52 Metoda II:
A :=
2612
b :=
21
x := lsolve(A,b)
x =
52
Exemplu :
Să se rezolve sistemul liniar de 3 ecuații și 3 necunoscute:
1 3 20 31 2
z y xz yxzy x
Se definesc cele două matrice : A :=
32131 112 1 , b :=
101
x :=
1A ∙ b / x := lsolve(A,b)
x =
011
2.3 Rezolvarea sistemelor algebrice de n ecuații neliniare cu n necunoscute
Pentru rezolvare sistemelor algebrice neliniare sunt folosite funcțiile FIND sau MINERR.
Aproximația inițială trebuie dată de la început, iar succesul rezolvării depinde de alegerea adecvată a
acesteia.
Programul Mathcad pentru rezolvarea sistemului este :
20
x := a
y := b
f(x, y) := expresia func ției f
g(x, y) := expresia funcției g
Given
f(x, y) = 0
g(x, y) =0 ( = Boolean → se tastează Ctrl + = )
Find(x, y) = / Minerr(x, y) =
Exemplu :
Să se rezolve sistemul :
3 z2yx3z yx210z3y x
222
Metoda I (funcția FIND)
x := 1
y := 1
z := 1
f(x, y, z) :=
z3y x2
g(x, y, z) :=
z yx22
h(x, y, z) :=
2z2yx
Given
f(x, y, z) = 10
g(x, y, z) = 3
h(x, y, z) = 3
find(x, y, z) =
123 Metoda II ( funcția MINERR)
x := 1
y := 1
z := 1
Given
z3y x2 = 10
z yx22
= 3
2z2yx
= 3
minerr(x, y, z) =
123
2.4 Obținerea coeficienților unui polinom
Coeficienții unui polinom se pot obține sub forma unui vector, cu termenul liber pe prima
poziție, prin următoarele metode :
21
1. Se scrie polinomul, se selectează variabila în raport cu care se ordonează vectoru l
coeficienților, apoi din sub meniul Symbolics se selectează opțiunea Polynomial C oefficients, ca în
figura 2.1.
Figura 2.1 – Submeniul Symbolics
În urma aplicării comenzii Polynomial Coefficients obținem :
1028
2. Se scrie polinomul, după care se alege comanda coeffs din paleta Symbolic, ca în
Figur a 2.2 .
Figura 2. 2 – Paleta Symbolic
22
Exemplu :
3x + 2x – 8 coeffs →
1028
23
CAPITOLUL III
CALCUL MATRICEAL ȘI VECTORIAL ÎN MATHCAD
Calculul vectorial și matriceal este bine implementat în Mathcad. Pentru a crea un vector sau
o matrice se tastează Ctrl + M, sau se alege iconița din meniul Matrix, iar în fereastra care s -a
deschis ( Insert Matrix – Figura 3.1) se aleg dimensiunile tabloului.
Figura 3.1 – Fereastra Insert Matrix
Pe ecran va apărea matricea sau vectorul dorit. După aceea , se vor completa pozițiile marcate
cu valori numerice, trecerea de la o componentă la alta făcându -se cu tasta Tab.
Exemplu :
Dacă numărul liniilor este 3, iar numărul coloanelor este 4, pe ecran va apărea :
3.1 Produsul scalar și vectorial a doi vectori.
Produsul scalar a doi vectori:
Se precizează cei doi vectori, iar rezultatul se obține fie prin comanda x*y=, fie cu operatorul
din meniul Matrix, urmat de = .
Exemplu :
Să se calculeze produsul scalar al vectorilor : x = ( 3 8 1 2 ), y = ( 1
5 3 4 ).
24
x :=
2183 y :=
4351 x ∙ y =
26
Produsul vectorial a doi vectori:
Se precizează cei doi vectori, iar rezultatul se obține cu operatorul din meniul Matrix,
urmat de = .
Exemplu :
Să se calculeze produsul vectorial al vectorilor : x = ( 5 2 4 ), y = ( 3
4 1 ).
x :=
425 y :=
143 x × y =
26718
3.2 Modali tăți de calcul pentru transpusa, determinantul și inversa unei matrice
Pentru a determina transpusa, inversa și determinantul matricei M se folosesc operatorii
1 TM,M
, respectiv │M│din paleta Matrix (Figura 3.2 ).
Figura 3.2 – Paleta Matrix
Exemplu :
Să se calculeza transpusa, inversa și determinantul matricei A =
123512132 .
A :=
123512132
TA =
151213322
1A =
182.0 227.0 045.0364.0 045.0 591.0636.0 045.0 409.0
│A│= 22
25
3.3 Adăugarea/ștergerea de linii și colane
Adăugarea de linii sau coloane se face prin intermediul paletei Insert Matrix. Cursorul se
plasează pe ultima poziție, iar în meniu Matrix se tastează numărul de linii/coloane dorite și se alege
butonul “Insert”.
Ștergerea liniilor/coloanelor se face în mod asemănător, din pa leta Insert Matrix alegându -se
butonul “Delete”, după ce s -a tastat numărul de linii/coloane care vor fi șterse .
3.4 Extragerea și alipirea matricelor
Extragerea unei submatrice dintr -o matrice se face cu funcția SUBMATRIX( ), precizând
matricea, linia de început și sfârșit, coloana de început și sfârsit .
Exemplu :
Din matricea A=
70121025841232152 să se extragă matricea B formată din liniile 2 și 3 și
coloanele 1,2 și 3 din matricea A.
submatrix(A, 1, 2, 0, 2) =
258123
Alipirea a două matrice se face fie cu funcția AUGMENT( ), fie cu funcția STACK( ).
Pentru a adăuga matricea B la dreapta matricei A se folosește funcția AUGMENT(A,B), cu
condiția ca cele două matrice să aibă același număr de linii.
Pentru a adăuga matricea B sub matricea A se folosește funcția STACK(A,B), cu condiția ca
cele două matrice să aibă același număr de coloane.
Exemplu :
Fie matricele: A =
184212 și B =
371521
A1
84
2
26
augment(A, B) =
371184521212 stack(A, B) =
371521184212
augment(B, A) =
184371212521 stack(B, A) =
184212371521
3.5 De terminarea valorilor și vectorilor proprii ale unei matrice
3.5.1 Prin intermediul funcțiilor EIGENVALS( ) și EIGENVEC( )
Valorile și vectorii proprii pentru o matrice se obțin prin intermediul funcțiilor
EIGENVALS( ) și EIGENVEC( ). Aceste funcții se găsesc în meniul Insert, submeniul Function.
Figura 3.3 – Caseta de dialog pentru alegerea funcției eigenvals
Se numește valoare proprie a unei matrice A orice rădăcină a polinomului caracteristic:
P(
) = det(A –
).
Vectorul propriu corespunzător valorii proprii este orice vector nenul, care este o soluție a
sistemului.
27
Exemplu :
Fie matricea A =
42 263 321 1 . Să se determine valorile proprii și vectorii proprii
corespunzători.
A :=
42 263 321 1
v := eigenvals(A)
v =
002
i := 0..2
ivec
:= eigenvec(A, )
0vec
=
535.0802.0267.0
1vec =
276.0897.0345.0
2vec =
277.0897.0344.0
3.5.2 Prin metodele Krylov și Leverrier
Valorile proprii ale unei matrice pătratice de ordin n le obținem calculând rădăci nile
polinomului caracteristic :
D(
) =
n 1n2n
21n
1nk k… k k
Coeficienții polinomului caracteristic se pot afla prin metoda Krylov sau prin metoda
Leverrier.
3.5.2.1 Metoda Krylov
Metoda Krylov are la bază determinarea valorilor și vectorilor proprii prin rezolvarea unui
sistem de ecuații având vectorii Krylov drept coloane ale matricei caracteristice și ale matricei
coloană a termenilor liberi:
)0(}Y{ ,
)1(}Y{, … ,
)1n(}Y{ respectiv
)n(}Y{ . Acești vectori se
determină prin iterații cu ajutorul matricei A
Etapele de rezolvare sunt :
1. Se alege un vector Krylov ini țial oarecare
)0(}Y{ .
2. Se calculează vectorii lui Krylov prin i terații successive, folosind relațiile:
28
)1(}Y{ = A
)0(}Y{
)2(}Y{
= A
)1(}Y{
)3(}Y{
= A
)2(}Y{
………………..
)n(}Y{
= A
)1n(}Y{ .
Se rezolvă sistemul de ecuații scrise cu ajutorul vectorilor Krylov :
)0(
n)1(
n)2n(
n)1n(
n)0(
3)1(
3)2n(
3)1n(
3)0(
2)1(
2)2n(
2)1n(
2)0(
1)1(
1)2n(
1)1n(
1
y y ….. y y….. ….. ….. ….. …..y y ….. y yy y …. y yy y …. y y
∙
n321
k…kkk = –
)n(
n)n(
3)n(
2)n(
1
y…yyy
3. Coeficienții polinomului caracteristic al matricei A sunt necunoscutele sistemului.
Polinomul se scrie : D(
) =
)k… k k ()1( n2n
21n
1nn .
Rădăcinile acestui polinom sunt valorile proprii ale matricei A .
Pentru a demonstra această proprietate se consideră determinantul caracteristic al
matricei A :
D(
) = det(A –
nI ) =
)k… k k ()1( n2n
21n
1nn .
Folosind Hamilton -Cayley :
0 Ik… Ak Ak A nn2n
21n
1n
și multiplicând ecuația cu un vector
)0(}Y{ oarecare, obținem:
0 }Y{k… }Y{ Ak }Y{ Ak }Y{A)0(
n)0( 2n
2)0( 1n
1)0( n
(1)
Dacă notăm
)k( )0( k}Y{ }Y{A obținem :
relația (1)
)n( )0(
n)2n(
2)1n(
1 }Y{ }Y{k… }Y{k }Y{k
)n(
n)0(
nn)2n(
n2)1n(
n1)n(
2)0(
2n)2n(
22)1n(
21)n(
1)0(
1n)2n(
12)1n(
11
y yk… yk yk. ………. ………. ………. ………. ………. ……….y yk… yk yky yk… yk yk
,
29
unde coeficienții
)k(
iy sunt elementele vectorilor lui Krylov :
)1(}Y{
= A
)0(}Y{
)2(}Y{
= A
)1(}Y{ =
)0( 2}Y{A
………………..
)n(}Y{
= A
)1n(}Y{ =
)0( n}Y{A .
Aceștia se mai pot scrie în felul următor:
)1n(
iin)1n(
i2i)1n(
i1i)n(
i)1(
iin)1(
i2i)1(
i1i)2(
i)0(
iin)0(
i2i)0(
i1i)1(
i
ya… ya ya y…. ………. ………. ………. ………. ……….ya… ya ya yya… ya ya y
, i =
n,…,1
Se face ipoteza că toate rădăcinile polinomului caracteristic :
D(
) =
)k… k k ()1( n2n
21n
1nn
sunt distincte
1 ≠
2≠
3≠ … ≠
n .
Vectorii Krylov folosiți la determinarea coeficienților polinomului caracteristic
n 21 k,…,k,k
se scriu :
)0(}Y{
)1(}Y{
= A
)0(}Y{
)2(}Y{
= A
)1(}Y{
)3(}Y{
= A
)2(}Y{
………………..
)n(}Y{
= A
)1n(}Y{ .
Cum vectorul ini țial
)0(}Y{ este ales arbitrar, el se poate lua ca o combinație liniară de
vectori proprii
)i(}X{ ai matricei A :
)0(}Y{
=
n
1i)i(
i}X{c .
Vectorii proprii au proprietatea că:
30
)i( n
i)i( n)i( 2
i)i( 2)i(
i)i(
}X{ }X{A………. ………. ……….}X{ }X{A}X{ }X{A , i =
n,…,1
vectorii Krylov se pot scrie sub forma următoarelor combinații liniare de vectori proprii
)i(}X{ ai
matricei A:
)n( 1n
nn)2( 1n
22)1( 1n
11)1n()n(
nn)2(
22)1(
11)1()n(
n)2(
2)1(
1)0(
}X{ c… }X{ c }X{ c }Y{… ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ……….}X{ c… }X{ c }X{c }Y{}X{c… }X{c }X{c }Y{
(2)
Fie funcțiile polinomiale
)(i de grad n – 1 definite în felul următor :
)(i
=
i,1n i,2n2n
i,11nq q… q , cu i =
n,…,1 . (3)
Înmulțim ecuațiile (2) cu coeficienții
1,q,q,…, q,qi,1 i,2 i,2n i,1n și le însumăm membru cu
membru
)n(
nin)1(
1i1)0(
i,1n)2n(
i,1)1n(}X){( c… }X){(c }Y{ q… }Y{q }Y{
,
i =
n,…,1 . (4)
Dacă funcțiile polinomiale
)(i au aceleași rădăcini cu cele alea polinomului caracteristic
D(
) cu excepția rădăcinii
i , atunci :
)(i
=
i)(D
,
i .
Deci:
0)(ji,0)(
iiji
(5)
Din (5)
relațiile (4)
)i(
iii)0(
i,1n)2n(
i,1)1n(}X){(c }Y{ q… }Y{q }Y{
,
deci vectorii proprii se pot scrie sub forma unor combinații liniare ale vectorilor Krylov.
Coeficienții
i,jq se determină din relațiile (3) și (5), folosind schema lui Horner:
, j =
n,…,1
j i,1ji i,ji,0in 1n1n
1n
i,1n i,2n1n
i,11n
i,0
k q q1 qk k… kq q… q q
31
Exemplu :
Programul Mathcad corespunz ător matricei A =
110125011 este:
A :=
110125011
0y
:=
001
n := rows(A)
i := 0..n 1
i 1iYA Y
j := 0..n 1
j1n,i j,i Y:b
n,i i Y:c
c b:p1
p =
414
3.5.2.2 Metoda Leverrier
Prin această metodă se calculează valorile proprii ale unei matrice A pe baza dezvoltării
polinomului caracteristic D(
), folosind formulele lui Newton pentru sumele puterilor rădăcinilor
unei ecuații polinomiale.
Determinarea valorilor proprii se face calculând primele n puteri ale matricei A și sumele
termenilor aflați pe diagonala principală (urma) a acestor matrice.
Determinantul caracteristic al matricei A se scrie :
D(
) = det(A –
nI ) =
)k… k k ()1( n2n
21n
1nn .
Notăm cu :
m
nm
2m
1 m … s
=
n
1i)m(
iia ,
suma puterilor de ordinal m ale rădăcinilor polinomului caracteristic, unde
)m(
iia sunt termenii de pe
diagonala principală a matricei A , m =
n,…,1 .
32
Formulele lui Newton pentru sumele puterilor de ordin m ale rădăcinilor sunt:
m 11m 2m2 1m1 m k s k… sk sk s
, m =
n,…,1
Dacă se cunosc sumele puterilor rădăcinilor, atunci coeficienții
n 21 k,…,k,k sunt:
1n 1n2 1n1 n n12 21 3 311 2 21 1
sk… sk sk s nk……. ………. ………. ……….sk sk s k3sk s k2s k
Exemplu :
Pentru aceeași matrice A, programul Mathcad este :
A :=
110125011
n := rows(A)
k := 1..n
)A(tr:sk
k
1 1 s:p
1k
1iiki k k sp sk1:p
p =
414
3.5.2.3 C alculul valorilor proprii
Pornind de la polinomul caracteristic, putem găsi valorile proprii, determinând succesiv
rădăcinile polinomului. Dacă a este o rădăcină a polinomului P(x), atunci se va rezolva ecuația :
0ax)x(P
.
Exemplu :
Pornind de la polinomul caracteristic ai cărui coeficienți sunt elementele vectorului p de mai
sus, putem determina valorile proprii utilizând secvența Mathcad următoare :
P(x) :=
4pxp xp x2 12
03 este următoarea :
P(x) :=
4x x4 x2 3
33
x := 0
a := root(P(x), x)
a = 4
Q(x) :=
ax)x(P
b := root(Q(x), x)
b = 1
R(x) :=
bx)x(Q
c := root(R(x), x)
c = –1
3.5.2.4 Calculul vectorilor proprii
În cazul în care valorile proprii sunt distincte două câte două, vectorii proprii
1v
,
2v , … ,
nv corespunzători sunt liniari independenți și are loc o egalitate de forma :
0y
=
1
1vc + … +
n
nvc
n k
n n1 k
11kvzc… vzc y
Dacă ф este un polinom, atunci :
n
n n1
1 10v)z( c… v)z( c y)A(
În particular, pentru polinoamele :
)x(1
=
izx)x(P
=
n
1j1jj)zx( obținem :
i
i i0
i v)z('Pc y)A(
sau
)z('Py)A(vc
i0
i i
i
Exemplu :
Pentr u exemplul considerat, programul Mathcad este
D(f, x) :=
)x(Pdxd
i := 1..3
X :=
jif (j ≠ 1, A – ∙identity(3), identity(3))
Y :=
jif (j ≠ 2, A – ∙identity(3), identity(3))
34
Z :=
jif (j ≠ 3, A – ∙identity(3), identity(3))
:= D(P, )
u :=
11
∙ X ∙
0y v :=
21
∙ Y ∙
0y w :=
31
∙ Z ∙
0y
u =
302.0905.0302.0 v =
408.0816.0408.0 w =
981.00196.0
35
CAPITOLUL IV
REZOLVAREA ECUAȚIILOR DIFERENȚIALE ORDINARE
4.1 Ecuația diferențială cu variabile separabile
Fie f(t), g(x) funcții continue, cu g(x) ≠ 0. Ecuația de forma :
x’(t) = f(t) ∙ g(x)
se numește ecuație diferențială cu variabile separabile.
Dacă g(x) admite soluțiile
n 2 1 x,…,x,x ϵ R, atunci ecuația diferențială admite soluții
staționare : x(t) =
ix .
Separând variabilele și integrând obținem :
dt)t(f dx)x(g1
Exerciții :
1. Să se rezolve ecuația : x ∙ x’ + t = 0.
x ∙ x’ + t = 0
x’ = – t ∙
x1
Programul Mathcad pentru rezolvarea ecuației este:
f(t) := – t
g(x) :=
x1
dt)t(f)x(gdx
2x
2t2 2
Utilizând comanda solve obținem soluția:
2x
2t2 2
solve,x
itit
2. Să se rezolve ecuația x’∙ ctg(t) + x = 2.
x’∙ ctg(t) + x = 2
x’ =
)t(ctgx2
x’ = (2 – x) ∙ tg(t)
Programul Mathcad este:
f(t) = tan(t)
g(x) = 2 – x
)2xln())t ln(cos( dt)t(f dx)x(g1
36
ln(cos(t)) – ln(x – 2) solve,x
cos(t) + 2
3. Să se rezolve ecuația x ’ =
)x23(t)5t2(x
.
x’ =
)x23(t)5t2(x
x’ =
t5t2
x23x
Programul Mathcad este:
f(t) :=
t5t2
g(x) :=
x23x
)xln(3t2x2)tln(5 dt)t(f)x(gdx
4.2 Ecuația diferențială omogenă
Presupunem că f este o funcție continuă pe intervalul I, care satisface condiția f(y) ≠ y ,
pentru
y.
Ecuația :
x’(t) = f(
tx ), x ϵ I
se numește ecuație diferențială omogenă.
Efectuând substituția :
y(t) =
t)t(x
deducem că y(t) este soluția ecuației diferențiale cu variabile separabile :
y’(t) =
t1 (f(y) – y).
Separând variabilele și integrând obținem:
dyy)y(f1
=
dtt1 .
Exerciții :
1. Să se rezolve ecuația : x’ =
txx t2 2 .
37
x’ =
txx t2 2
x’ =
txx
txt2 2
x’ =
tx
xt
Dacă notăm
yxt
f(y) := y +
y1
Programul Mathcad este:
f(y) := y +
y1
)tln(2ydtt1dyy)y(f12
Utilizând comanda solve obținem soluția :
)tln(2)tln(2
y, solve)tln(2y2
2. Să se rezolve ecuația : t ∙ x’ – x = t ∙ tan(
tx ).
t ∙ x’ – x = t ∙ tan(
tx )
x’ = tan(
tx ) +
tx
Dacă notăm
tx = y
Programul Mathcad este:
f(y) := tan(y) + y
dtt1dyy)y(f1
ln(sin(y)) – ln(t)
4.3 Ecuația diferențială exactă
Fie funcțiile P(t, x), Q(t, x) continue într -un domeniu D, în care Q(t, x) ≠ 0
Ecuația diferențială :
x’(t) =
)x,t(Q)x,t(P (1)
scrisă sub forma :
P(t, x)dt + Q(t, x)dx = 0 (2)
se numește ecuația diferențial ă exactă dacă există o funcție F (t, x) astfel încât diferențiala ei să
coincidă cu membrul stâng al ecuației :
dF(t, x)(dt, dx) = P(t, x)dt + Q(t, x)dx
38
)x,t(QxF)x,t(PtF (3)
O soluție a ecuației (1) sau (2) se obțin e din ecuația în necunoscuta x
F(t, x) = C,
unde C este o constantă arbitrară din R.
Dacă funcția
)t( verifică egalitatea
F(t,
)t( ) = C,
atunci
)t( este soluție pentru ecuația (2).
Condiția necesară și suficientă ca (2) să fie ecuație diferențială exactă este :
tQ
xP
Utilizând (3) obținem :
F(t, x) =
t
0tx
0x0 k du)u,t(Q ds)x,s(P ,
unde ( , ) ϵ D și k ϵ R constantă.
Soluția ecuației ( 3) se obține rezolvând ecuația :
F(t, x) =
t
0tx
0x0 du)u,t(Q ds)x,s(P = C
Exerciții :
1. Să se rezolve ecuația (x – t)dt + (t + x)dx = 0
P(t, x) := x – t
Q(t, x) := t + x
0t
:= 0
0x
:= 1
0)x,t(Qt)x,t(Px
(deci condiția necesară și suficientă ca ecuația să fie diferențială exactă este satisfăcută)
t
tx
x0
0 0du)u,t(Q ds)x,s(P
→
21
2t
2)xt2(x2
2. Să se rezolve ecuația : (2t + 3
2t x)dt + (
3t-3
2x)dx = 0
P(t,x) := 2t + 3
2t x
39
Q(t,x) :=
3t – 3
2x
0t
:= 0
0x
:= 1
0)x,t(Qt)x,t(Px
t
0tx
0x0 du)u,t(Q ds)x,s(P
→
1xtxt3 2 3
4.4 Ecuația diferențială liniară de ordinul I
Fie funcțiile f(t), g(t) continue în I.
Ecuația diferențială liniară (afină) de ordinul I are forma:
x’(t) = f(t) ∙ x + g(t) (1).
Ecuația omogenă corespunzătoare este :
x’(t) = f(t) ∙ x.
Fie F o primiti vă a lui f, atunci funcția : I’(
I ) → R este soluție a ecuației afine (1)
(
) C(∙) : I’→ R o primi tivă a funcției t, astfel încât :
)t(
= C(t) ∙
dt)t(fe (2).
Substituind (1) se ob ține:
C’(t) = g(t)
dt)t(fe ,
iar după integrarea și substituirea relației (2) se obține :
)t(
= C∙
dt)t(fe +
dt)t(fe)t(g dt,
cu C constantă.
Soluția generală a ecuației (1) se poate scrie și
)t(
=
dt)t(fe (C +
)dt e)t(gdt)t(f
Exerciții :
1. Să se rezolve ecuația : t x’ – 2x = 2
4t
t x’ – 2x = 2
4t
x’ = 2
3t +
tx2
Programul Mathcad pentru rezolvarea ecuației este :
40
f(t) :=
t2
g(t) := 2
3t
)dt e)t(g C( edt)t(f dt)t(f
→
2t (
2t+ C)
2. Să se rezolve ecuația: x’ =
tx + t ∙ sin(t)
f(t) :=
t1
g(t) := t ∙ sin(t)
)dt e)t(g C( edt)t(f dt)t(f
→ t ∙ (C + sin(t))
4.5 Ecua ția diferențială a lui Bernoulli
Fie funcțiile f și g : I (
R) → R continue și ϵ R\{0,1}, ecuația diferențială a lui Bernoulli
este de forma :
x’(t) = f(t) ∙ x + g(t) ∙
x .
Dacă = 0 ecuația este afină, iar dacă = 1 este liniară cu variabile separabile.
Schimbarea de variabilă :
0
=
1x
ne conduce la ecuația :
0
’(t) = (1 – α) ∙ f(t) ∙
0(t) + (1 – α) ∙ g(t),
unde:
x(t) =
11
0)t(
Soluția generală a ecuației diferențiale a lui Bernoulli se află cu formula :
k11
t
0tt
uds)s(At
0tds)s(A
0 )du e)u(B e (
.
Exerciții :
1. Să se rezolve ecuația : x’ =
31 x +
31t
2x ( În rezolvare vom înlocui α = k și
41
0 =
0z pentru ușurarea scrierii) .
Programul Mathcad este:
f(t) :=
31
g(t) :=
31t
k := – 2
0t
:= 0
0x
:= 1
0z
:=
k1
0x
A(t) := (1 – k) ∙ f(t)
B(t) := (1 – k) ∙ g(t)
k11
t
0tt
uds)s(At
0tds)s(A
0 )du e)u(B ez(
→ (3
te
31
)2t
2. Să se rezolve ecuația : x’ = x cos(t) +
2x cos(t).
f(t) := cos(t)
g(t) := cos(t)
k := 2
0t
:= 0
0x
:= 1
0z
:=
k1
0x
A(t) := (1 – k) ∙ f(t)
B(t) := (1 – k) ∙ g(t)
k11
t
0tt
uds)s(At
0tds)s(A
0 )du e)u(B ez(
→
1 e21
)tsin(
42
4.6 Ecua ția diferențială Riccati
Fie funcțiile f,g și h : I (
R) → R continue , ecuația diferențială Riccati are forma:
x’(t) = f(t) ∙
2x + g(t) ∙ x + h(t).
Dacă
0: I’→ R este o soluție particular ă a ecuației Riccati, atunci funcția
: I’(
I ) → R este soluție a ecuației Riccati
y(t) :=
)t(–
0(t),
unde t ϵ I’ este solu ție a ecuației Bernoulli : y’(t) = (2 ∙ f(t) ∙
0 (t) + g(t)) ∙ y(t) + f(t) ∙
2y (t).
Soluția ecuației Riccati se obține din formula :
0
(t) +
)dt e)t(b C( e1
dt)t(a dt)t(a .
Exemplu :
Să se rezolve ecuația : x’ = 2t
2x – x –
t1t , cu soluția particulară z(t) =
t1 ( notăm
0
(t) = z(t) pentru ușurarea scrierii).
Programul Mathcad pentru rezolvarea ecuației este :
f(t) := 2t
g(t) := – 1
z(t) :=
t1
2 ∙ f(t) ∙ z(t) + g(t) → 3
a(t) := 2
b(t) := 2t
z(t) +
)dt e)t(b C( e1
dt)t(a dt)t(a simplify →
)et2C2 e(tC2 e
t2 t2t2
4.7 Ecua ția diferențială a lui Lagrange
Fie funcțiile f și g : I (
R) → R de clas ă
1C (I), ecuația diferențială a lui Lagrange are forma:
x(t) = t ∙ f(x’) + g(x’) (1).
Metoda de rezolvare:
1. Se derivează ecuația (1) în raport cu t :
x’(t) = f ∙ (x’) + t ∙ f’(x’) ∙ x’’ + g’(x’) ∙ x’’ (2).
43
2. Notăm x’ = p
(2)
p’(t ∙ f’(p) + g’(p)) = p – f(p)
)p('g)p('ft)p(fp
dtdp
(3).
3. Admițând că :
dtdp
≠ 0
f(p) ≠ p,
pentru p și inversând rolul variabilelor obținem :
dpdt
=
)p(fp)p('g
)p(fp)p('ft (ecuație afină în t)
4. Dacă notăm :
)p(A)p(fp)p('f
și
)p(B)p(fp)p('g
,
atunci curbele integrale ale ecuației lui Lagrange sunt date de ecuațiile parametrice :
t(p) =
)dp e)p(B C( edp)p(A dp)p(A
x(p) = f(p) ∙ t(p) + g(p).
Exemplu :
Să se rezolve ecuația : x = 2tx’– 4
3'x
Dacă notăm x ’ = p
f(p) := 2p și
g(p) := – 4
3p
Programul Mathcad pentru rezolvarea ecua ției este :
f(p) := 2p
g(p) := – 4
3p
A(p) :=
)p(fp)p(fdpd
B(p) :=
)p(fp)p(gdpd
)dp e)p(B C( edp)p(A dp)p(A
→
24
pC p3
24
pC p3
expand →
2
2p3
pC
44
t(p) :=
2
2p3
pC
x(p) := f(p) ∙ (
2
2p3
pC ) + g(p)
f(p) ∙ (
2
2p3
pC ) + g(p) → 2p ∙ (
2
2p3pC ) – 4
3p
2p ∙ (
2
2p3
pC ) – 4
3pexpand →
3p2pC2
45
CAPITOLUL V
REPREZENTĂRI GRAFICE
5.1 Funcții de o variabilă
5.1.1 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate carteziene
Pentru a reprezenta grafic o funcție de o variabilă se alege butonul X -Y Plot (@ ) din paleta
Graph (Figura 5.1). Pe ecran apare un dreptunghi ca cel din figura 5 .2
Figura 5.1 – Paleta Graph
Figura 5.2
Pe latura de jos se completează locul din mijloc cu numele variabilei, iar cele două locuri
care apar la colțuri se completează cu capetele intervalului pe care se dorește reprezentarea grafică.
Pe latura verticală se completează locul din mijloc cu numele funcției sau c u expresia
acesteia, iar locurile care apar in colțuri se lasă necompletate.
Exemplu :
Graficul func ției sinus pe ( -2
,2
)
Pentru apariția axelor de coordonate se dă dublu clic pe grafic, iar în fereastra care apare,
numită Formatting Currenty Selected X -Y Plot, la rubrica Axis Style se selectează Crossed în loc de
Boxed.
Astfel, graficul funcției va arăta în felul următor :
5 0 510.500.51
sinx()
x
46
Putem atașa și un nume graficului, făcând dublu clic pe grafic , unde va aparea din nou
fereastra numită Formatting Currenty Selected X -Y Plot. În această fereastră, selectând Labels, la
rubrica Title se completează titlul dorit.
Tot în acea fereastră, găsim butonul Trace, de unde putem modifica tipul, grosimea și
culoarea liniei.
Exemplu :
Astfel, punând un titlu graficului și modificându -i tipul liniei în linie întreruptă, grosimea 3
și culoare albatră, aceasta va arăta în felul următor :
Pe aceleași axe se pot reprezenta mai multe funcții, putându -se compara comportamentul lor.
Pentru a reprezenta două sau mai multe funcții în același sistem de axe, după ce s -a scris
numele primei funcții se pune virgulă și se scrie numele celei de -a doua funcții.
Exemplu :
5 0 5
10.50.51
sinx()
x
5 0 5
10.50.51Graficul functiei sinus
sinx()
x
5 0 5
10.50.51Graficele functiilor sinus si cosinus
sinx()
cosx()
x
47
Exemple :
1. Graficul func ției ln(x).
2. Reprezenta ți grafic funcția f(x) =
2x 2x + 4.
3. Reprezentați funcțiile
xe și
xeîn același sitem de axe.
f(x) :=
xe
g(x) :=
xe
5.1.2 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate polare
Pentru a reprezenta grafic o curbă dată în coordonate polare se alege butonul Polar Plot (Ctrl
+ 7) din paleta Graph. Pe ecran o să apară un cerc, la fel ca în figura 5. 3, care se complează la fel ca
în cazul anterior.
0 2 4 6 8 10
4224
lnx()
x
10 5 0 5 1050100150
fx()
x
4 2 0 2 450100150
fx()
gx()
x
48
Figura 5.3
Exemple :
1. Lemniscata lui Bernoulli :
p( ) := 2
2. Roza cu patru bucle :
p( ) := 3∙sin (2
0306090
120
150
180
210
240
2703003300.5 11.5 2p()
0306090
120
150
180
210
240
2703003300 1 2 3p()
49
3. Spirala lui Arhimede :
p( := 4
5.1.3 Reprezentarea grafică a curbelor date în coordonate parametrice
Pentru a reprezenta grafic o o curbă dată în coordonate parametrice se alege butonul X -Y
Plot (@ ) din paleta Graph, la fel ca în cazul curbelor date în coordonate carteziene.
Pe latura de jos se completează locul din mijloc cu funcția x(t) , iar cele două locuri care apar
la colțuri se completează cu capetele intervalului pe care se dorește reprezentarea grafică.
Pe latura verticală se completează locul din mijloc cu funcț ia y(t), iar locurile care apar in
colțuri se lasă necompletate.
Exemple :
1. Astroida
x(t) :=
3)tcos(4
y(t) :=
3)tsin(4
0306090
120
150
180
210
240
2703003300 10 20p()
4 2 0 2 4
4224
yt()
xt()
50
2. Cicloida
x(t) := 3 ∙ (t – sin(t))
y(t) := 3 ∙ (1 – cos(t))
3. Cercul de centru (a, b) și rază r.
a := 2
b := 1
r := 4
x(t) := a + r ∙ cos(t)
y(t) := b + r ∙ sin(t)
Pentru reprezentarea centrului cercului: (a, b) am ales simbolul “
”.
5.2 Funcții de două variabile
Pentru a reprezenta grafic o suprafață se definește funcția de două variabile a cărei suprafață
dorim să o reprezentăm, apoi folosim butonul Surface Plot (Ctrl + 2) din paleta Graph. Pe ecran o să
apară graficul următor ( Figura 5.4) :
10 0 10
105510
yt()
xt()
10 5 0 5 10
105510
yt()
b
xt()a
51
Figura 5.4
În locul marcat din partea stângă jos a graficului se scrie numele funcției. Pentru realizarea
reprezentării grafice se apasă tast a Enter sau se dă clic în afara zonei.
Exemple :
1. Paraboloidul eliptic
f(x, y) :=
9y
4×2 2
i := 0 .. 80
j := 0 .. 180
ix
:= – 4 + 0.1 i
iy
:= – 9 + 0.1 j
j,ia
:= f(
)y,xii
52
2. Paraboloidul hiperbolic
f(x, y) :=
9y
4×2 2
i := 0 .. 80
j := 0 .. 180
ix
:= – 4 + 0.1 i
iy
:= – 9 + 0.1 j
j,ia
:= f(
)y,xii
a
a
53
3. Hiperboloidul cu o pânză
f(x, y) :=
19y
4×2 2
i := 0 .. 80
j := 0 .. 180
ix
:= – 4 + 0.1 i
iy
:= – 9 + 0.1 j
j,ia
:= f(
)y,xii
b := – a
Ca și în cazul curbelor se poate da un nume graficului, axelor, se poate colora graficul, dând
dublu clic pe grafic și modificând setările dorite în fereastra care apare, numită 3 -D Plot Format.
Deasemenea, se pot reprezenta mai multe suprafețe pe aceleași axe, separând numele
funcțiilor prin virgu lă.
Graficul poate fi rotit astfel încât să avem o poziție mai avantajoasă a figurii, prinzând
graficul cu mouse -ul.
Hiperboloidul cu o panza
ab
54
Exemplu :
Paraboloidul eliptic
a
55
CAPITOLUL VI
APLI CAȚII STATISTICE ȘI ECONOMICE
6.1 Intervale de încredere
Intevalele de încredere pentru un parametru l
necunoscut al unei distribuții sunt intervalele
(Vmin, Vmax), ce conțin parametrul
, nu cu certitudine, și cu anumită probabilitate 1 –
, unde
valoarea lui
se numește nivel de încredere, iar Vmin și Vmax se numesc limita de încredere
inferioară și superioară.
Un astfel de interval (Vmin, Vmax) este calculat folosind o selecție din populație. Pentru a
determina capetele intervalului de încredere, considerăm un eșantion
n 21 x,…,x,x din populația
dată. Aceste valori sunt valorile observate ale unei variabile aleatoare X (reprezintă populația
studiată), dar ele pot fi privite ca valori ale n variabile aleatoare independente
n 2 1 X,…,X,X având
aceeași distribuție cu variabila aleatoare X.
Condiția ca intervalul (Vmin, Vmax) să -l conțină parametrul
cu o probabilitate
se poate
scrie sub forma :
P(Vmin ≤
≤ Vmax) =
.
6.1.1 Calculul intervalului de încredere pentru medie, când se cunoaște dispersia
Dacă populația X
),(N2 este repartizată normală cu medie
necunoscută și dispersie
2
cunoscută, atunci se folosește variabila aleatoare :
),(N
nmZ2
,
care este o variabilă aleatoare repartizată N(0,1).
Intervalul de încredere pentru media necunoscută
a populației este:
(Vmin, Vmax) = ( m –
21z∙
n , m +
21z ∙
n ),
Exemplu :
Să se determine un interval de încredere de 95% pentru media necunoscută
a unei populații
normale cu dispersie cunoscută
2 = 9, folosind un eșantio n de volum n = 100 cu medie
m = 5.
n := 100
56
m := 5
:= 3
Se determină intervalul de încredere pentru media populației, cu risc bilateral, considerând
pragul de semnificație :
:= 5%
Secvența de program Mathcad este :
Utilizarea riscului bilateral va conduce la o precizie de estimare a mediei reprezentat ă de
probabilitatea p:
p :=
21
p = 0.975
Valoarea variabilei normale
2U se va determina fie din tabelul distribuției normale, fie folosind
funcția Mathcad corespunzătoare :
U := 2
TU
:= root(cnorm(u) – p, u)
TU
= 1.96
Cu această valoare, putem acum calcula intervalul de încredere pentru media necunoscută
a unei
populații normale :
Vmin := m –
TU∙
n
Vmin = 4.412
Vmax := m +
TU∙
n
Vmax = 5.588
Media necunoscută
a unei populații normale se va situa în intervalul [Vmin, Vmax] =
[4.412, 5.588], cu o eroare posibilă de 5%, în accepțiunea riscului bilateral.
Pentru a sesiza influența valorii asupra mărimii intervalului de încredere, se pot schimba
declarațiile inițiale.
6.1.2 Calculul intervalului de încredere pentru media populației
, când nu se cunoaște
dispersia
2
În cazul în care dispersia
2 populației este necunoscută nu mai putem utiliza formula din
exemplul anterior pentru a determina un interval de încredere.
Folosim variabila aleatoare (statistica) :
57
nsmt,
unde:
s =
1n)m x(n
1i2
i
este dispersia de selecție.
T nu mai este o variabilă aleatoare normală, ci este o variabilă aleatoare t -student cu n – 1
grade de libertate.
Intervalul de încredere pentru media necunscută
a populației este :
(Vmin, Vmax) = ( m –
21,1nt ∙
ns , m +
21,1nt ∙
ns ),
cu eroarea
21,1nt ∙
ns .
Exemplu :
Cinci măsurători pentru temperatura de aprindere a motorinei (în grade Fahrenheit) sunt :
144, 147, 146, 142, 144 (cu media m = 144.6), iar abaterea me die pătratică este s = 1.95.
Presupunând că temperatura de aprindere a motorinei este o variabilă aleatoare normală, să se
determine un interval de 99% încredere pentru temperatura medie
de aprindere a motorinei.
n := 5
m := 144.6
s := 1.95
Se determină intervalul de încredere pentru media colectivității, cu risc bilateral, considerând
pragul de semnificație :
:= 1%
Secvența de program Mathcad este:
Utilizarea riscului bilateral va conduce la o precizie de estimare a mediei reprezentat ă de
probabilitatea p:
p :=
21
p = 0.995
Integrala funcției de distribuție pentru repartiția “t” (Student) este definită în continuare, pentru a
putea fi determinată prin calcul :
58
P(t,
t
021
2
dtt1
221
15.0:)
Distribuția este dependentă de numărul gradelor de libertate :
:= n – 1
= 4
Valoarea variabilei
Tt se va determina astfel :
t := 2.5
Tt
:= root (P(t,
) – p, t)
Tt
= 4.604
Cu valoarea criteriului t putem calcula intervalul de încredere pentru media colectivității :
Vmin := m –
Tt∙
ns
Vmin = 1.406
Vmax := m +
Tt∙
ns
Vmax = 1.486
Temperatura medie de aprindere a motorinei se va situa în intervalul [Vmin, Vmax] =
[1.406, 1.486], cu o eroare posibilă de 1% în accepțiunea riscului bilateral.
6.1.3 Calculul intervalului de încredere pentru dispersia
2
Cosiderăm o selecție de volum n dintr -o populație normală
),(N2 .
Variabila aleatoare
Y =
22s)1n(
are o repartiție
2 cu n – 1 grade de libertate.
Intervalul de încredere pentru dispersie este :
(Vmin, Vmax) =
)s1n,s1n(2
2
2,1n2
2
21,1n
, unde
n
1i2
i2)m X(1n1s
este estimatorul dispersiei.
59
Exemplu :
Să considerăm un eșantion de valori ale rezistenței la rupere Rm, pentru oțelul OL32 .
Numărul de valori n, media m și abaterea medie pătratică
ale eșantionului sunt :
n := 30
m := 340
s := 30
Să se determine intervalul de încredere pentru dispersia colectivității, cu risc bilateral,
considerând pragul de semnificație :
:= 5%
Secvența de program Mathcad este :
Integrala funcției de distribuție pentru repartiția
2 este definită în continuare, pentru a putea fi
determinată prin calcul:
P(
2 ,
) :=
2
02 22122
2d e
221
Distribuția este dependentă de numărul gradelor de libertate :
:= n – 1
= 29
Se vor determina acum dou ă valori pentru variabila
2 , una pentru probabilitatea p:
p :=
21
2
:= 45
1T2
:= root (P(
2 ,
) – p,
2 )
1T2
= 45.7, iar cealalt ă corespunzând probabilității
2 :
2
:= 15
2T2
:= root (P(
2 ,
) –
2,
2)
2T2
= 16
Cu aceast ă valoare putem calcula intervalul de încredere pentru dispersia colectivității :
Vmin :=
1Tsn
22
Vmin = 591.1
1v
:=
minV
60
1v = 24.313
Vmax :=
2Tsn
22
Vmax = 1687.3
2v
:=
maxV
2v
= 41.076
Dispersia colectivi tății
2 se va situa în intervalul [Vmin, Vmax] = [591.1, 1687.3], în
accepțiunea riscului bilateral, cu o eroare posibilă de maxim 5%.
Abaterea medie pătratică s se situează în intervalul [
1v,
2v] = [24.313, 41.076].
6.2 Verificarea ipotezelor statistice prinvind mediile de sondaj
Verificarea ipotezelor este legată de compararea diferitelor ipoteze cu datele obținute prin
observare. Dacă datele observate sunt compatibile cu o ipoteză atunci aceasta este acceptată ; în caz
contrar este respinsă.
Ipoteza statistică este o presupunere cu privire la parametrul unei repartiții, care este supusă
unui proces de verificare statistică.
Ipoteza nulă
0H este presupunerea prin care se formuleză supoziția conform căreia nu
există diferență semnificativă între parametri comparați, iar ipoteza alternativă
1H este presupunerea
conform căreia există o diferență semnificativă între parametri comparați.
Testul statistic este o metodă după care ipoteza de verificat se acceptă sau se respinge. El
stabilește, după natura observațiilor, pentru care selecții ipoteza se acceptă și pentru care se respinge.
Datorită caracterului întâmplător al selecției, la verificarea unei ipoteze statistice, există
întotdeauna riscul de a lua o decizie eronată. Probabilitatea erorii se numește risc (prag sau nivel de
semnificație) și îl notăm cu
.
Sunt trei tipuri de teste statistice: test unilateral stânga, test bilateral și test unilateral dreapta.
6.2.1 Testul U
6.2.1.1 Testarea ipotezei privind media populației generale
0 pentru eșantioane de
volum redus
Se consideră caracteristica X supusă cercetării, repartizată normal de parametrii : media m
necunoscută și dispersia
2 cunoscută.
61
Fie
n 21 x,…,x,x o selecție de volum n cu ajutorul căreia ne propunem să determinăm cel
mai puternic test al ipotezei
0H : m =
0, față de alternativa
1H : m ≠
0 ,
fiind dat și
reprezentând pragul de semnificație.
Statistica :
U =
nm0
este repartizată normal de medie 0 și dispersie 1.
În tabelul 6.1 se prezintă regiunile critice corespunzătoare diferitelor ipoteze alternative,
ipotezei
0H : m =
0 .
0H
: m =
0
1H
Regiune critică
m ≠
0
(test bilateral)
0 +
21U
n < m <
0 –
21U
n
m <
0
(test unilateral stânga)
m <
0 +
U
n
m >
0
(test unilateral dreapta)
m >
0 +
1U
n
Tabelul 6.1
Exemplul 1 :
Conducerea unei companii apelează la 5 experți pentru a previziona profitul companiei în
anul curent. Valorile previzionate sunt : 2.60, 3.32, 1.80, 3.34, 2.00 (miliarde de lei), cu abaterea
medie pătratică
= 0.74 miliarde de lei.
Știind că profitul companiei în anul anterior a fost de 2.01 miliarde de lei, sunt suficiente
dovezi pentru a concluziona că media previziunilor experților este semnificativ mai mare decât cifra
anului anterior, considerând o eroare admisă de 5%?
Secvența de program Mathcad este :
Verificarea se face prin testare statistică și în acest caz ipoteza zero (
0H ) și alternativă (
1H ) au
formele :
0H
: m =
0
1H
: m ≠
0
Definim vectorul cu valorile obținute experimental :
62
Valori_ previzionate := (2.60 3.32 1.80 3.34 2.00 )
x := Valori_ previzionate
T
Identificăm din datele de mai sus parametrii :
0
:= 2.01
= 0.74
n := length(x)
Ținând cont de ipotezele lansate vom folosi testul U cu risc bilateral, considerând o eroare admisă de
5%:
= 5%
U := 2, ceea ce implic ă o probabilitate de estimare corectă :
p :=
21
Valoare variabilei normale U(
/2) se determină prin integrarea funcției de repartiție a distribuției
normale, U fiind reprezentată de soluția ecuației:
cnorm(U) – p = 0
TU
:= root(cnorm(U) – p, U)
TU
= 1.96
(
TU poate fi luat direct din tabel , fără a mai fi calculat ).
Media eșantionului este :
mean(x) = 2.63
Ipoteza
0H se acceptă deoarece această valoare se încadrează între limitele :
0
–
TU
n = 1.361
0
+
TU
n = 2.659
Același rezultat se obține și calcul ând valoarea efectivă :
cU
:=
n)x( mean0
cU
= 1.873
Ipoteza
0H se acceptă, deoarece este respectată condiția
cU ≤
TU .
Exemplul 2 :
Conținutul maxim admis de nitrați în apă este de 5 mg/l . Pe baza analizelor efectuate pe 9
probe, să se stabilească dacă șarja corespunde calitativ, știind că eroarea admisă la determinarea
conținutului de nitrați în apă este de 1.45 mg/l.
63
Valorile determinate la analizele probelor sunt : 4.9, 4.6, 5.0, 6.32, 3.36, 3.23, 3.0, 2.98, 3.23
(mg/l).
Secvența de program Mathcad este :
Verificarea se face prin testare statistică și în acest caz ipoteza zero (
0H ) și alternativă (
1H) au
formele :
0H
: m =
0
1H
: m <
0 sau
1H
: m >
0 ,
unde m = media valorilor determinate
Definim vectorul cu valorile obținute experimental :
Valori_experimentale := ( 4.9 4.6 5.0 6.32 3.36 3.23 3.0 2.98 3.23)
x := Valori_experimentale
T
Identificăm din datele de mai sus parametrii :
0
:= 5
= 1.45
n := length(x)
Ținând cont de ipotezele lansa te vom folosi testul U cu risc unilateral, considerând o eroare admisă
de 5% :
= 5%
U := 2,
ceea ce implic ă o probabilitate de estimare corectă :
p := 1 –
Valoare variabilei normale U(
/2) se determină prin integrarea funcției de repartiție a distribuției
normale, U fiind reprezentată de soluția ecuației:
cnorm(U) – p = 0
TU
:= root(cnorm(U) – p, U)
TU
= 1.645
Media eșantionului este :
mean(x) = 4.069
Ipoteza
0H se respinge (se acceptă
1H ), deoarece această valoare nu se încadrează între limitele :
0
–
TU
n = 4.205
0
+
TU
n = 5.795
Același rezultat se obține și calcul ând valoarea efectivă :
64
cU:=
n)x( mean0
cU
= 1.926
Se accept ipoteza
1H , deoarece este respectată condiția
cU >
TU .
6.2.1.2 Testarea ipotezei privind diferen ța dintre două medii pentru eșantioane de
volum redus
Dacă
1 este valoarea medie a unei selecții de volum
1n dintr -o populație normală
N(
1m ,
2
1), iar
2 este aloarea medie a unei selecții de volum
2n dintr -o populație normală
N(
2m ,
2
2), atunci
1m –
2m este repartizată normal :
N(
1m –
2m ,
22
2
12
1
n n ).
Știind că
2
1s și
2
2s sunt cunoscute, ne propunem să verificăm ipoteza
0H :
1m-
2m =
0, față
de alternativa
1H :
1m-
2m =
1, folosind statistica :
U =
22
2
12
10 2 1
n n
care are o repartiție normală N(0,1).
Pentru testul bilateral (
1 ≠
0) regiunea critică este :
22
2
12
1
210n nU
<
1 –
2 <
22
2
12
1
210n nU
Exemplu :
Considerăm ipoteza că între două mărci de apă plată nu există diferențe semnificative privind
conținutul de nitrați.
La un laborator s-au analizat cele două mărci , folosindu -se 8 și respectiv 9 probe, cu
următoarele rezultate : pentru marca Borsec: 4.7, 2 .34, 4.9, 5.32, 6.16, 4.0, 3.28, 6.0 (cu abaterea
medie pătratică
1 =1.69), iar pentru Dorna : 4.9, 4.6, 5.0, 6. 32, 3.36, 3.23, 3.0, 2.98, 3.23 (cu
2 =
1.45).
Să se testeze această ipoteză, considerând pragul de semnificație
= 5% .
Secvența de program Mathcad este :
65
Verificarea se face prin testare statistică și în acest caz ipoteza zero (
0H ) și alternativă (
1H ) au
formele :
0H
:
1m =
2m
1H
:
1m ≠
2m
Definim vectorii cu valorile obținute experimental pe mărci:
Valori_borsec := (4.7 2.34 4.9 5.32 6.16 4.0 3.28 6.0 )
Valori_dorna := ( 4.9 4.6 5.0 6.32 3.36 3.23 3.0 2.98 3.23)
1x
:= Valori_borsec
T
2x
:= Valori_dorna
T
Identificăm din datele de mai sus parametrii :
1
= 1.69
2
= 1.45
1n
:= length(
1x )
2n
:= length(
2x )
Ținând cont de ipotezele lansate vom folosi testul U cu risc bilateral, considerând o eroare admisă de
5%:
= 5%
U := 2,
ceea ce implic ă o probabilitate de estimare corectă :
p :=
21
Valoare variabilei normale U(
/2) se determină prin integrarea funcției de repartiție a distribuției
normale, U fiind reprezentată de soluția ecuației:
cnorm(U) – p = 0
TU
:= root(cnorm(U) – p, U)
TU
= 1.96
Media eșantioanelor este :
mean(
1x ) = 4.588
mean(
2x ) = 4.069
Calculând valoarea efectivă :
cU
:=
22
2
12
12 1
n n)x( mean)x( mean
cU
= 0.566
Ipoteza
0H se acceptă, deoarece este respectată condiția
cU ≤
TU .
66
6.2.2 Testul T
În acest paragraf vom analiza cazul când dispersia
2 populației normale nu este cunoscută.
Pe baza datelor de selecție calculăm media m și determinăm pentru
2 o estimație nedeplasată,
definită prin :
2s
n
1i2
i )m x(1n1
.
Statistica :
t =
nsm0
urmează o repartiție Student cu n – 1 grade de libertate.
Pentru diferitele ipoteze alternative ipotezei
0H : m =
0 , în tabelul 6.2 sunt trecute
regiunile critice testului T :
0H
: m =
0
1H
Regiune critică
m ≠
0
(test bilateral)
0 +
1n,21t
ns < m <
0 –
1n,21t
ns
m <
0
(test unilateral stânga)
m <
0 +
1n,21t
ns
m >
0
(test unilateral dreapta)
m >
0 –
1n,21t
ns
Tabelul 6.2
6.2.2.1 Testarea ipotezei privind media populației generale
0 pentru eșantioane de
volum redu s
Exemplu l 1:
Vrem să cumpărăm un cablu cu condiția ca acesta să aibă rezistență la rupere
0 = 620 kg.
Selectând în mod aleator 9 role de cablu și măsurând rezistența la rupere (pentru o bucată de cablu
tăiată din rolă), obținem rezistența medie de rupere m = 340 kg și abaterea medie pătratică
= 25 kg.
N := 45
m := 340
67
Se determină intervalul de încredere pentru media colectivității, cu risc bilateral, considerând
pragul de semnificație :
:= 5%
Secvența de program Mathcad este :
Verificarea se face prin testare statistică și în acest caz ipoteza zero (
0H ) și alternativă (
1H ) au
formele :
0H
: m =
0
1H
: m ≠
0
Definim vectorul cu valorile obținute experimental :
Valori_experimentale := (650 670 645 630 650 638 580 650 610)
x := Valori_experimentale
T
Identificăm din datele de mai sus parametrii :
0
:= 620
n := length(x)
Ținând cont de ipotezele lansate vom folosi testul t cu risc bilateral, considerând o eroare admisă de
5%, ceea ce implic ă o probabilitate de estimare corectă :
p :=
21
Valoare corespunz ătoare, cu risc bilateral și
grade de libertate, este:
:= n – 1
= 8
P(t,
t
021
2
dtt1
221
15.0:)
t := 2.5
Tt
:= root (P(t,
) – p, t)
Tt
= 2.306
Calculând valoarea efectivă :
ct
:=
1n)x( stdev)x( mean0
ct
= 1.789
0H
este acceptată, deoarece
ct ≤
Tt (lotul corespunde calitativ deoarece media valorilor obținute
din eșantion este statistic egală cu media colectivității).
68
Exemplul 2:
Conținutul maxim admis de nitrați în apă este de 5 mg/l. Pe baza analizelor efectuate pe 9
probe, să se stabilească dacă șarja corespunde calitativ, știind că eroarea admisă la determinarea
conținutului de nitrați în apă este de 1.45 mg/l.
Valorile d eterminate la analizele probelor sunt : 4.9, 4.6, 5.0, 6.32, 3.36, 3.23, 3.0, 2.98, 3.23
(mg/l).
Secvența de program Mathcad este :
Verificarea se face prin testare statistică și în acest caz ipoteza zero (
0H ) și alternativă (
1H ) au
formele :
0H
: m =
0
1H
: m <
0 sau
1H
: m >
0 ,
unde m = media valorilor determinate
Definim vectorul cu valorile obținute experimental :
Valori_experimentale := (4.9 4.6 5.0 6.32 3.36 3.23 3.0 2.98 3.23)
x := Valori_experimentale
T
Identificăm din datele de mai sus parametrii :
0
:= 5
n := length(x)
Ținând cont de ipotezele lansate vom folosi testul U cu risc unilateral, considerând o eroare admisă
de 5% :
= 5%,
ceea ce implic ă o probabilitate de estimare corectă :
p := 1 –
Valoare corespunzătoare, cu risc bilateral și
grade de libertate este:
:= n – 1
= 8
P(t,
t
021
2
dtt1
221
15.0)
t := 2.5
Tt
:= root(P(t,
) – p, t)
Tt
= 1.86
Calcul ând valoarea efectivă :
69
ct :=
1n)x( stdev)x( mean0
ct
= 2.367
Se accept ă ipoteza
1H , deoarece este respectată condiția
ct >
Tt .
6.2.2.2 Testarea ipotezei privind diferen ța dintre două medii pentru eșantioane de
volum redus
Fie
2
111 s,,n respectiv
2
222 s,,n volumul, media și dispersia selecțiilor dintr -o populație N(
1m
,
2
1) respectiv N(
2m ,
2
2), selecții de volum mic.
Dispersiile
2
1 ,
2
2 sunt necunoscute, dar
2
1 =
2
2 =
2 și
2 este estimată prin dispersia :
2 n ns)1 n( s)1n(s
2 12
2 22
1 1 2
,
unde:
1s
=
1n
1i2
1 i1
1) x(1n1 și
2s
=
2n
1i2
2 i2
2) x(1 n1 .
Se folosește un rezultat demonstrat în statistica matematică conform căruia statistica :
t =
2 12 1
n1
n1s
are o repartiție Student cu
2 n n2 1 grade de libertate.
Folosind testul bilateral , ne propunem să verificăm ipoteza
0H :
1m-
2m= 0, față de
alternativa
1H :
1m-
2m =
≠ 0.
Regiunea critică constă din perechile
2121 s,s,, pentru care :
2 122n1n;21 n1
n1s t
<
2 1 <
2 122n1n;21 n1
n1s t
.
70
Exemplu :
Considerăm ipoteza că între două mărci de apă plată nu există diferențe semnificative privind
conținutul de nitrați.
La un laborator s -au analizat cele două mărci , folosindu -se 8 și respectiv 9 probe, cu
următoarele rezultate : pentru marca Borsec: 4.7, 2 .34, 4.9, 5.32, 6.16, 4.0, 3.28, 6.0, iar pentru
Dorna : 4.9, 4.6, 5.0, 6.32, 3.36, 3.23, 3.0, 2.98, 3.23 .
Să se testeze această ipoteză, considerând pragul de semnificație
= 5% .
Secvența de program Mathcad este :
Verificarea se face prin testare statistică și în acest caz ipoteza zero (
0H ) și alternativă (
1H ) au
formele :
0H
:
1m =
2m
1H
:
1m ≠
2m
Definim vectorii cu valorile obținute experimental pe mărci:
Valori_borsec := ( 4.7 2.34 4.9 5.32 6.16 4.0 3.28 6.0 )
Valori_dorna := ( 4.9 4.6 5.0 6.32 3.36 3.23 3.0 2.98 3.23)
1x
:= Valori_b orsec
T
2x
:= Valori_dorna
T
Identificăm din datele de mai sus parametrii :
1n
:= length(
1x )
2n
:= length(
2x )
Ținând cont de ipotezele lansate vom folosi testul U cu risc bilateral, considerând o eroare admisă de
5%:
= 5% ,
ceea ce implic ă o probabilitate de estimare corectă :
p :=
21
Valoare corespunzătoare, cu risc bilateral și
grade de libertate este:
:=
1n +
2n –2
= 15
P(t,
t
021
2
dtt1
221
15.0)
t := 2.5
Tt
:= root(P(t,
) – p, t)
Tt
= 2.131
71
Calculând valoarea efectivă :
ct
:=
2 2 1 12 12 1 2 1
n)xvar( n)xvar(n nnn)x( mean)x( mean
ct
= 0.855
Ipoteza
0H se acceptă, deo arece este respectată condiția
ct ≤
Tt .
6.3 Verificarea ipotezelor statistice prinvind dispersia colectivității statistice
6.3.1 Testul
2
Dacă
n 21 x,…,x,x este o selecție de volum n din populația N(m,
2 ), atunci statistica :
222 s)1n(
,
unde:
2s
n
1i2
i )m x(1n1
,
are o repartiție
2 cu n – 1 grade de libertate.
Pentru diferitele ipoteze alternative ipotezei
0H , în tabelul 6.3 sunt trecute regiunile critice
testului
2 :
02H
:
2s =
2
0
12H Regiune critică
2s
≤
2
0
(test bilateral)
2
1n,212
0
1n <
2s <
2
1n,22
0
1n
2s
<
2
0
(test unilateral stânga)
2s <
2
1n,2
0
1n
2s
>
2
0
(test unilateral dreapta)
2s >
2
1n,12
0
1n
Tabelul 6.3
72
Exemplu :
Rezistența la rupere Rm după laminare și răcire controlată a unor sârme este impusă de
norma de produs la 1550
40 Mpa. S ă se verifice, pe baza datelor obținute din 5 colaci (pentru care
probele au fost prelevate de la ambele capete și de la mijloc), dacă lotul este corespunzător (pentru
un prag de semnificație de 5%). Se va proceda atât la testarea mediei de sondaj cât și a disp ersiei
corespunzătoare.
n := 15
0
:= 1550
0
:= 40
Colac nr. :1 2 3 4 5
Rm =
sfârsitmijlocînceput
1510 1520 1590 1630 16101560 1550 1580 1650 16701510 1490 1530 1580 1470
Rm =
TRm
Pentru a putea folosi mai eficient funcțiile Mathcad, matricea Rm va fi prelucrată convenabil pentru
a putea fi transformată în vector R.
R =
T0Rm
R = augment [R,
T1Rm ]
R = augment [R,
T2Rm ]
R =
TR
Secvența de program Mathcad este :
Pentru aprecierea calității se vor lansa următoarele ipoteze de zero și alternativ :
– pentru medie:
01H : m =
0
11H: m ≠
0
– pentru dispersie:
02H :
2s =
2
0
12H :
2s >
2
0
Definim matricea Rm cu valorile prelevate pe loturi :
val_exp :=
1510 1520 1590 1630 16101560 1550 1580 1650 16701510 1490 1530 1580 1470
x := augment
) ) exp_val(, ) exp_val((T2TT1T
73
x := augment(x,
) ) exp_val((T3T
x :=
Tx
Numărul de valori analizate :
n := length(x)
Testul pentru medie va fi U cu risc bilateral, iar pentru dispersie va fi
2 cu risc unilateral, iar pragul
de semnificație are valoarea :
= 5%
Se determină mărimile necesare calculului:
p
:= 1 –
2
p
:= 1 –
:= n – 1
= 14
Efectuând calculul variabilei normale U, constatăm că media eșantionului este, din punct de vedere
statistic, egală cu
0 .
U := 2
2
:= 10
TU
:= root(cnorm(U ) –
p,U)
TU
:= 1.96
Calculăm valoarea efectivă a lui U :
cU
:=
n)x( mean
00
cU
= 1.291
Integrala funcției de distribuție pentru repartiția
2 este dată de relația:
2P
(
2,
) :=
2
02 22122
2d e
221
Valoarea variabilei
2 este:
T2
:= root(
),p),(P2 22
T2
= 23.7
Calculăm efectiv valoarea variabilei
2 :
74
c2 :=
2
01nn)xvar(n
c2
= 33.304
Se constat ă că dacă pentru medie se verifică ipoteza
01H , pentru dispersie se verifică
02H ,
deoarece :
T2 <
c2 .
6.3.2 Testul F (Fischer)
Se consideră două selecții independente , de volum
1n respectiv
2n , din două populații
normale: N(
1m ,
2
1) și N(
2m ,
2
2) pe baza cărora se calculează mediile și dispersiile de selecție.
Problema care trebuie rezolvată constă în verificarea ipotezei
0H :
2
1 =
2
2 de egalitate a
dispersiilor față de ipotezele alternative.
Statistica :
F =
2
22
1
2
22
2
2
12
1
ss s:s
are o repartiție F cu (
1n – 1,
2n – 1) grade de libertate.
Pentru diferitele ipoteze alternative ipotezei
0H , în tabelul 6.4 sunt trecute regiunile critice
testului F:
02H
:
2
1 =
2
2
12H
Regiune critică
2
1
≠
2
2
(test bilateral)
2
22
1
12n,11n;21 ssF
12n,11n;2F
2
1
<
2
2
(test unilateral stânga)
2
22
112n,11n;1ssF
2
1
>
2
2
(test unilateral dreapta)
2
22
112n,11n;1ssF
Tabelul 6.4
75
Exemplu :
Rezistența la rupere Rm după laminare și răcire controlată a unor sârme este impusă de
norma de produs la 1550
40 Mpa. S ă se verifice, pe baza datelor obținute din 5 colaci (pentru care
probele au fost prelevate de la ambele capete și de la mijloc), dacă lotul este corespunzător (pentru
un prag de semnificație de 5%). Se va proceda atât la testarea mediei de sondaj cât și a dispersiei
corespunzătoare.
n := 15
m:= 1550
:= 40
Colac nr. :1 2 3 4 5
Rm =
sfârsitmijlocînceput
1510 1520 1590 1630 16101560 1550 1580 1650 16701510 1490 1530 1580 1470
Rm =
TRm
Pentru a putea folosi mai eficient funcțiile Mathcad, matricea Rm va fi prelucrată convenabil pentru
a putea fi transformată în vector R.
R =
T0Rm
R = augment [R,
T1Rm ]
R = augment [R,
T2Rm ]
R =
TR
Secvența de program Mathcad este :
Pentru aprecierea calității se vor lansa următoarele ipoteze de zero și alternativ :
– pentru medie:
01H :
1m = m
11H :
1m ≠ m
– pentru dispersie:
02H :
2
1 =
2
12H :
2
1 >
2
Definim matricea Rm cu valorile prelevate pe loturi :
val_exp :=
1510 1520 1590 1630 16101560 1550 1580 1650 16701510 1490 1530 1580 1470
x := augment
) ) exp_val(, ) exp_val((T2TT1T
x := augment(x,
) ) exp_val((T3T
76
x :=
Tx
Numărul de valori analizate :
n := length(x)
= 5%
mp
:= 1 –
2
p
:= 1 –
Fiind vorba de testarea egalității unei dispersii de sondaj cu dispersia colectivității statisitice, gradele
de libertate sunt:
1 := n – 1
2 := ∞
Vom considera totuși valoarea de mai jos pentru gradul de libertate
2 al dispersiei colectivității,
din cauza apariției unei erori de depășire a posibilităților de calcul ale Mathcad -ului (overflow) :
2 := 230
Integrala funcției de distribuție Fischer – Snedecor este :
PF (F,
1,
2)
F
0221121
22
21
dF
)F12(F
22
2122 1
2 1
Valoarea F a pragului de semnificație
și gradele de libertate
1,
2 este:
:FT
root(PF(F,
1,
2) –
p, F)
TF
= 1.732
2c1nn)xvar(
:F
cF
= 2.22
Se constată deci că dacă pentru medie se verifică ipoteza
01H , pentru dispersie se verifică
alternativa
02H , deoarece :
TF <
cF
6.4 Corelație și regresie
6.4.1 Corelație și regresie liniară simplă
Regresia liniară este tehnica statistică ce permite modelarea relației liniare între o variabilă
explicativă (x) și variabila ce urmează a fi explicată (y).
77
Coeficientul de corela ție a două variabile aleatoare x și y ia valori în intervalul [-1, 1]. Dacă
variabilele sunt independente coeficientul de corelație este nul.
Legătura liniară dintre cele două variabile este descrisă de o ecuație liniară, așa -numita
ecuație de regresie, căreia îi corespunde geometric dreapta de regresie.
Dreapta de regresie este acea dreaptă ce trece prin norul de puncte format de perechile de
date ale celor două variabile și are ecuația : y = a + bx, und e a se nume ște interceptor, iar b se
numește coeficientul de regresie.
Exemplu :
Un cercet ător a făcut o serie de experiențe prin care a urmărit variația unei mărimi în raport
cu timpul. De exemplu, să zicem că a măsurat cum crește un copac, notându -și înălțimea h odată pe
an (mai exact, la 1 ianuarie al fiecărui an).
Să se determine dependența liniară a înălțimii în funcție de an.
Rezultate obținute (prima linie conține anul în care s -a realizat măsurătoarea, iar cea de -a
doua conține înălțimea h cop acului [m]) sunt:
Date :=
6.8 6.7 5.6 5.5 7.4 8.3 1.3 3.2 3.12008 2007 2006 2005 2004 2003 2002 2001 2000
an := (
1T) Date
h := (
2T) Date
an =
200820072006200520042003200220012000 h =
6.86.75.65.57.48.31.33.23.1
Numărul determinărilor experimentale este :
n := length(an)
n = 9
i := 1 .. n
Dependența h = f(an) este reprezentată grafic în figura 6.1:
78
Figura 6.1 Dependența h = f(an)
Se poate considera că dependența h = f(an) este liniară (y = a + bx). Variabilele de calcul utilizate în
continuare sunt:
x := an
y := h
Sumele necesare pentru rezolvarea sistemului de ecua ții normale
sx :=
iix sx = 18036
sx2 :=
i2
i)x( sx2 = 36144204
sy :=
iiy sy = 43.4
sy2 :=
i2
i)y( sy2 = 257.34
sxy :=
iiiyx
sxy = 87027.2
Mediile și dispersiile pentru x și y pot fi calculate:
– cu formulele cunoscute
mx :=
nsx mx = 2004
my :=
nsy my = 4.82222
x
:=
1nmxn2sx2
x:= 2.7386128
y
:=
1nmyn2sy2
y=2.4509069
– cu funcțiile Mathcad :
mean(x) = 2004 mean(y) = 4.82222
2000 2002 2004 2006 20082468
hi
ani
79
stdev(x)
1nn
= 2.7386128 stdev(y)
1nn
= 2.4509069
Calculăm coeficientul de corelație, folosind funcția Mathcad :
corr(x,y) = 0.9981995
Calculăm a și b prin intermediul funcțiilor slope și intercept . Prin intermediul acestora este
posibilă determinarea ecuaț iei dreptei care aproximează cu eroare minimă un set de date de forma
yi = y(xi).
Sintaxa funcțiilor slope și intercept este:
• slope (x, y) – funcția întoarce panta dreptei care aproximează cu eroare minimă setul de date;
• intercept (x, y) – întoarce ordonata la origine a dreptei care aproximează cu eroare minimă setul de
date.
Argumentele x și y, sunt doi vectori cu același număr de elemente.
b := slope(x,y)
b = 0.893333,
a := intercept(x,y)
a = – 1785.4177778
Dependența liniară are forma :
p(an) := a + b ∙ an
Valorile calculate, comparativ cu datele experimentale sunt reprezentate grafic în figura 6.2.
Figura 6.2 – Comparația între datele experimentale și datele calculate
6.4.2 Corelație și regresie neliniară
În cazul în care legătura dintre cele două variabile statistice nu este liniară și totuși există,
avem de a face cu o regresie neliniară , reprezentată grafic printr -o curbă de regresie. Variabila
dependent ă este o combinație neliniară a variabileleor independente.
Aceste legături neliniare se întâlnesc mai frecvent sub forma unei parabole de gradul 2, a
hiperbolei și a funcției exponențiale.
2000 2002 2004 2006 20080246810
hi
pani
ani
80
Pe baza reprezentării grafice se alege funcția care prezintă abateri minime de la linia
valorilor empirice însc rise în câmpul de corelație.
În cazul corelației neliniare, măsurarea gradului de intensitate a legăturii se face numai prin
raportul de corelație ; pentru legătura sub forma unei parabole :
i2
ii2
i i
))y( mean y())x(f y(
1:i
Exemplu :
Să se determine dependența limitei de curgere Rc [daN/mm
2 ] în funcție de reducerea
relativă de secțiune
[%] realizată prin deformarea plastică la rece (trefilare) a unor sârme din
cupru.
Datele experimentale, obținute pentru diferite valori ale reducerii relative de secțiune
(
= 1, 3, 7, 28), sunt următoarele :
28282828287777733333222111
3.377.353.406.428.417.351.335.344.304.322.262.241.24288.397.245.248.218.113.1313
Rc
81
Numărul perechilor de valori este :
N := length(
)
N = 21
i := 1 .. N
Trebuie de asemenea reamintită legătura dintre
și
, legătură ce reprezintă reducerea relativă de
secțiune.
100)11(:
ii
În figura 6.3 este reprezentată grafic evoluția dependenței Rc = f(
), iar în figura 6.4 este
reprezentată grafic evoluția dependenței Rc = f(
).
Figura 6.3 – Dependența grafică Rc = f(
)
Figura 6.4 – Dependența grafică Rc = f(
)
Având în vedere evoluția grafică a dependențelor Rc = f(
) și Rc = f(
), vom utiliza trei
tipuri de dependențe ce pot ilustra variația Rc = f(
), iar în final, după explicitarea în funcție de
,
vom determina și o formă neliniară (parabolică).
În continuare vom utiliza variabilele x și y :
x :=
y := Rc
Aceaste trei dependențe sunt :
1.
xb
ea:y 2.
bxa:y și 3. y :=
xbax
Pentru a putea liniariza dependența va trebui să facem următoarele schimbări de variabile:
)yln(:Yi i
)yln(:Yi i
iiy1:Y
iix1:X
)xln(:Xi i
iix1:X
Folosind funcția Mathcad obținem coeficientul de corelație liniară :
corr(X, Y) =
0.98 corr(X, Y) = 0.886 corr(X, Y) = 0.973
Constantele formelor liniarizate (A, B) sunt :
B := slope(X, Y) B := slope(X, Y) B := slope(X, Y)
10 20 3010203040
Rci
i
0 50 10010203040
Rci
i
82
A := intercept(X, Y) A := intercept(X, Y) A := intercept(X, Y)
Vom determina acum formele explicite ale funcțiilor (prin determinarea valorilor a, b) :
a :=
Ae a :=
Ae a := B
a = 39.954 a = 17.151 a = 0.054
b := B b := B b := A
b =
1.146 b = 0.285 b = 0.021
z(x) :=
xb
ea z(x) :=
bxa z(x) :=
xbax
Abaterile medii pătratice ale valorilor calculate față de cele experimentale sunt :
SP :=
i2
i i ))x(zy( SP :=
i2
i i ))x(zy( SP :=
i2
i i ))x(zy(
SP = 98.695 SP = 379.569 SP = 172.689
Sr :=
1NSP
Sr :=
1NSP
Sr :=
1NSP
Sr = 2.221 Sr = 4.356 Sr = 2.938
Indicele de corelație și graficul funcției sunt :
i2
i1))y( mean y(SP1:i
i2
i1))y( mean y(SP1:i
i2
i1))y( mean y(SP1:i
1i
= 0.96945
1i = 0.877
1i = 0.946
Pentru calculul formei parabolice :
2xcxba:y utilizăm variabila
în loc de
și
vom scrie coeficienții sistemului de ecuații normale, folosind matricea M :
x :=
10 20203040
yi
zxi
xi
10 20203040
yi
zxi
xi
10 20203040
yi
zxi
xi
83
M :=
ii2
i
i4
i
i3
i
i2
iiii
i3
i
i2
i
iiii
i2
i
ii
y)x( )x( )x( )x(yx )x( )x( xy )x( x N
4 1M: Y
1 1M: X
2 2M: X
3 3M: X
Constantele a, b, c ale parabolei sunt soluțiile ecuației :
)Y X()X X(:
cba
T 1 T
a = 12.476
b = 0.104
c = 0.002
2xcxba:)x(f
Abaterea medie pătratică față de datele experimentale și indicele de corelație pentru parabolă sunt :
i2
ii2
i i
2))y( mean y())x(f y(
1:i
2i
= 0.969
Se observă că
2i și
1i pentru prima funcție au valori foarte apropiate, ambele funcții putând
fi folosite cu o bună precizie.
Se poate observa că funcția y din primul caz are cel mai bun indice de corelație, chiar și în
raport cu parabola.
În concluzie, pe baza calculelor efectuate, se poate alege drept cel mai bun model funcția y
din cazul 1, ce reflectă cel mai bine datele experimentale Rc = f(
), observând însă că și parabol a
dă rezultate foarte apropiate de aceasta.
84
BIBLIOGRAFIE
1. Semenescu A., Lambadarie D., Tîrcolea M., Preda C.F., Voicu G.A., Florea B., Utilizarea
Mathcad în tehnică, matematică și economie , editura Matrix Rom, București , 2010.
2. Gaber C., Statistică , editura Universității din Ploieș ti, 2007, pag 200 -216, isbn 978 -973-719-
158-8
3. Gaber C., Statistică economică: teorie și aplicații , editura Universității din Ploieș ti, 2005,
pag 106 -117, 156 -183, isbn 973 -719-041-6
4. Pascu M., Ecuații diferențiale , editura editura Universității din Ploiești , 2004.
5. Hadăr A., Petre C., Marin C., Voicu A., Metode numerice în inginerie , editura Politehnica
Press, București, 2004 .
6. Lambrescu I., Mathcad , editura Universității din Ploieș ti, 2004 .
7. http://www.d.umn.edu/~rdavis/courses/che4601/computer/mcuser.pdf
8. http://documents.tips/documents/mathcad -5590a8f901b37.html
9. http://www.academia.edu/3105536/Metode_Numerice._Lucrari_Practice
10. https://www.scribd.com/doc/121357594/5/OPERATORI
11. http://civile.utcb.ro/cmat/cursrt/mmath.pdf
12. http://aparate.elth.ucv.ro/DOLAN/Discipline%20predate/Aplicatii%20in%20Mathcad%20si
%20Matlab/Laborator/Mathcad/Lucra rea%206.pdf
13. http://cfdp.utcb.ro/uploads/files/Utilizarea_Calculatoarelor –
Introducere_in_Mathcad_Partea3.pdf
14. http://www.unibuc.ro/prof/timofte_c/docs/2014/ian/10_19_42_56Ecuatii_diferentiale_I.pdf
15. http://www.om.ugal.ro/om/personal/Sorin%20Ciortan/desc/mcd/laborator/L4 –
Operatii%20cu%20matrici -2013.pdf
16. https://www.scribd.com/doc/121357594/MATHC AD-pentru -incep%C4%83tori#scribd
17. http://cs.unitbv.ro/~pascu/prob/Intervale%20de%20incredere.pdf
18. http://www.stiucum.com/finante/finante -generale/Testarea -ipotezelor -statistice34557.php
19. http://www.capisci.ro/articole/Regresie_%C5%9Fi_corela%C5%A3ie
20. http://math.ucv.ro/~gorunescu/courses/EDA/curs2EDA.pdf
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………….. [601294] (ID: 601294)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.