Introducere … … … … 5 [621274]
3
Cuprins
Cuprins ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 3
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 5
Capitolul 1. Direcții ale învățământului moder n ………………………….. ………. 7
1.1 Despre programa la matematică ………………………….. ………………………. 7
1.2 Sinteză a elementelor de măsurare a suprafețelor în programă la
matematică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 11
Capitolul 2. Metode didactice ………………………….. ………………………….. …….. 13
2.1. Conceptul de didactică ………………………….. ………………………….. ……… 13
2.2. Metode tehnici și procedee de predare -învățare ……………………….. 14
2.3 Clasificarea metodelor de predare -învățare ………………………….. ……. 15
2.3.1 Metoda conversației ………………………….. ………………………….. …….. 17
2.3.2 Demonstrația ………………………….. ………………………….. ……………….. 18
2.3.3 Observația ………………………….. ………………………….. …………………… 18
2.3.4 Metoda exercițiului ………………………….. ………………………….. ……… 19
2.3.5 Metoda problematizării (instruirea prin problematizare) …….. 21
2.4 Metode moderne utilizate în predarea matematicii ……………………. 25
2.4.1 Brainstormingul ………………………….. ………………………….. ………….. 25
2.4.2 Metoda Mozaic ………………………….. ………………………….. ……………. 27
2.4.3 Ciorchinele ………………………….. ………………………….. ………………….. 28
2.4.4 Metoda cubului ………………………….. ………………………….. …………… 29
Capitolul 3. Noțiuni de teoria măsurii ………………………….. …………………….. 30
3.1 Măsura unui interval ………………………….. ………………………….. …………. 30
3.1.1 Măsura unui interval plan ………………………….. ……………………….. 31
4
3.1.2 Aria mulțimilor plane ………………………….. ………………………….. ….. 33
3.1.3 Criterii de măsurabilitate ………………………….. …………………………. 34
3.1.4 Măsura unui interv al din spațiu. Poliedre ………………………….. .. 36
3.1.5 Volumul mulțimilor din spațiu ………………………….. ………………… 37
3.1.6 Mulțimi din ℝ𝒏 măsurabile în sens Jordan ………………………….. . 38
Capitolul 4. Metode didactice folosite la predarea -învățarea noțiunii de
suprafață ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 47
4.1 Primul experiment ………………………….. ………………………….. …………….. 49
4.2 Experimentul al doilea ………………………….. ………………………….. ………. 52
4.3 Probleme de matematică în care intervine noțiunea de suprafață . 55
Anexa1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 64
Anexa 2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 75
Anexa 3 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 82
Anexa 4 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 89
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 96
5
Introducere
Matematica este ca urcușul la munte. Efortul este răsplătit de priveli ști mărețe. Ca
și pe munte, ascensiunile în matematică sunt frumoase dacă nu e ști obsedat doar de locul
unde vrei să ajungi și dacă ești în stare să savurezi tot ceea ce întâlne ști pe parcurs.
(Solomon Mar cus)
Matematica este în general definită ca știința ce studiază modelele de
structură, schimbare și spațiu. Ȋn conversa ții amicale, poate fi descris ă ca analiza
cifrelor și a numerelor, în timp ce cu alte ocazii poate fi utilizat ă o descriere
pedantă de g enul cercetarea axiomatic ă a structurilor abstracte folosind
raționamente logice și notații matematice. Un compromis se ob ține prin studiul
obiectelor sau no țiunilor a căror existen ță este independentă de această
investiga ție științifică. Datorită utilizăr ii sale în majoritatea celorlalte discipline
științifice, matematica a fost numită limbajul științei sau limbajul universului.
Importan ța matematicii face ca predarea acestei discipline să fie una aparte.
Astfel, putem spune că metodica predării matematici i se situează la grani ța între
psihologie, pedagogie, didactică și matematică. Ea studiază con ținutul
învățământului matematic elementar, structura acestuia și metodele adecvate de
predare -învățare-evaluare. Pe scurt, metodica predării matematicii încearcă să
ofere un răspuns la întrebările: Ce? Cât? Cum?
Prin această lucrare, intitulată Metode didactice folosite în gimnaziu la
măsurarea suprafe țelor, voi răspunde, într -o anumită măsură, la aceste întrebări ,
având ca subiect principal no țiunea de suprafa ță.
Lucrarea este structurată în patru capitole , iar la final sunt incluse câteva
anexe care con țin proiecte de tehnologie didactică ce vin să exemplifice ideile
conturate pe parcursul lucrării.
Primul capitol are ca temă direcțiile învățământului modern. Mai exact, aici
este inclusă o scurtă prezentare a programei la matematică, din care este elaborată
o sintetiză a elementelor care vizează no țiunea de suprafa ță, cea de arie și
diversele tehnici de lucru cu aceste noțiuni. În continuarea acestui capitol, vine
capitolul al doilea în care sunt prezentate în detali u sau succint câteva metode
didactice care pot fi utile la predarea -învățarea noțiunilor de matematică, în
special cele referitoa re la teoria măsurii.
Partea științifică a lucrării o constituie capitolul al treilea, unde sunt
prezentate no țiuni de teoria măsurii. Se porne ște de la no țiunea de interval al axei
6
reale și se ajunge la cea de interval 𝑛-dimensional , cu accente puse pe rezultatele
referitoare la mă surabilitatea acestor mul țimi.
Cel de al patrulea capitol al lucrării este dedicat metodelor didactice folosite
la predarea -învățarea noțiunii de suprafa ță. Aici sunt descrise în detaliu modalită ți
de a efectua cu diverse grupuri de elevi experimente matema tice axate pe tema
măsurării unor suprafe țe concrete. La finalul capitolului sunt incluse și câteva
probleme, împreună cu re zolvările lor, această parte a fost inclusă pentru a întări
aspectul practic al acestor no țiuni.
În final, sunt convins că m atematica cere muncă, răbdare și dorință de a
face, de a nu te da bătut, de a relua unele lucruri până crezi că sunt clare. Poate , de
aceea , este uneori dată la o parte de unii elevi . Totuși matematica se învață și se
exersează zi de zi , și asta pentru a dobândi c unoștințe și deprinderi noi, care mai
târziu vor putea fi aplicate în diferite domenii.
7
Capitolul 1.
Direc ții ale învățământului modern
1.1 Despre programa la matematică
Sistemul de educație reprezintă contextul cel mai larg în care se desfășoară
activitățile, acțiunile și influențele educative într-un cadru organizat sau
neorganizat. În cadrul sistemului de educație sunt implicate o multitudine de
fenomene și acțiuni pedagogice integrate în structuri instituționalizate de tip
formal și nonformal sau exprimate spontan, sub formă de influențe informale
incidentale.
Sistemul de învățământ constituie contextul specializat în care are loc
educația în cadrul instituțiilor organizate formal, dar și nonformal, în funcție de
finalitățile macrostructurale stabilite la nivel de politică a educației.
Procesul de învățământ reprezintă contextul specific în care este realizată
activitatea de educație-instruire, proiectată în funcție de finalitățile
microstructurale.
Activitatea concretă de educație/instruire este realizată în contextul
procesului de învățământ, fiind organizată formal, dar și nonformal în diferite
forme: lecții, activități de laborator, activități de cabinet, ore de dirigenție,
consu ltații individuale/de grup. Obiectivele sale sunt realizate prin acțiuni
specifice (predare, învățare, evaluare). Toate aceste aspecte sunt creionate în
programa școlară.
Programa școlară este un document curricular reglator, în care este
prevăzută într-o organizare coerentă, oferta educațională a unei discipline, în
concordan ță cu statutul pe care aceasta îl are în planul cadru de învățământ.
Intens contestată și blamată pentru că ar promova un sistem educațional rigid,
adesea considerată principalul vinovat pentru ca ar îngrădi creativitatea și spiritul
critic atât al profesorilor cât mai ales al elevilor, programa școlară este principalul
document curricular care programează demersul didactic către îndeplinirea
obiectivelor.
Programa școlară este principalul instrument de lucru aflat la dispoziția
profesorului, prin care este stabilită oferta educațională a unei discipline pentru un
an școlar, este documentul curricular care are rolul de a ajuta și de a ghida
8
eforturile profesorului în asigurarea atingerii obiectivelor și a finalităților
procesului educațional.
Structura unei programe școlare concepută din structura curriculară și
adaptată actualei reforme curriculare din țara noastră se compune, dintr -o
compon entă general valabilă pentru toate ariile curriculare și una una
particularizată la o o arie curriculară anume. Construc ția programei șscolare are la
bază modelul pedagogic al disciplinei din care pot fi derivate următoarele
elemente:
a) obiectivele generale ale domeniului descries sub forma competen țelor și
capacităților finale;
b) standardele de performan ță ale unităților de învățare și modalita țile de
testare ale acestora;
c) unitățile de conținut care descriu succesiunea în care trebuie parcurse,
însoțite eventual de sugestii priviind organizarea experien țelor de învățare
pentru atingerea obiectivelor fiecarei unități.
Programa școlară de matematică reprezintă o componentă esențială a
curriculumului național, în acord cu Planul -cadru de învățământ pentru
învățământul gimnazial, aprobat prin OMENCS nr. 3590/05.04.2016 urmărind
respectarea caracteristicilor ciclurilor de dezvoltare cognitivă a elevului și
utilizarea eficientă a resurselor didactice disponibile. Disciplina este inclusă în aria
curriculară Matematică și științe ale naturii din trunchiul comun și este prevăzută
în planul -cadru de învățământ cu un buget de timp de 4 ore/săptămână.
După o analiză sumară a programei la matematică, putem concluziona că în
procesul de proiectare curriculară s-au avut în vedere: profilul de formare al
elevului de gimnaziu, programele școlare pentru ciclul primar la disciplina
Matematică, competen țele-cheie pentru învățarea pe tot parcursul vieții din cadrul
european de referință, rezultatele înregistrate la evaluările naționale și
internaționale pentru învățământul gimnazial și principiile de construc ție
curriculară.
Procesul de proiectare curriculară a programei școlare de matematică
pentru învățământul gimnazial s-a realizat ținând cont de:
• adaptarea curriculumului la așteptările societății și la realitățile
sistemului de învățământ, având ca obiectiv pregătirea elevului
pentru viață și profesie;
• echilibrarea ponderii domeniilor disciplinei și integrar ea/organizarea
acestora într-un sistem coerent;
9
• flexibilizarea curriculumului în sensul respectării diferențelor între
elevii de aceeași vârstă (ritm de învățare, nivel de achiziții anterioare,
motivație internă, specific cultural și comunitar);
• asigurarea unei tranziții optime de la un ciclu de învățământ la altul
și de la un an de studiu la altul, cu introducerea unor secvențe de
inițiere a procesului de instruire la nivelul achizițiilor de bază în
termeni de conținuturi -ancoră;
• corelarea activităților de învățare propuse prin programă cu
dimensiunea axiologică a idealului educației referitoare la formarea
personalită ții autonome creative.
Prin specificul său, disciplina Matematică este esențială în formarea și
dezvoltarea competen țelor necesare pentru învățarea pe tot parcursul vieții și
constituie un fundament solid pentru argumentare, dezvoltare de raționament
logic, spirit și gândire critică, analizare, interpretare și rezolvare de probleme.
Atitudinile promovate de programa școlară de matematică sunt cele
prevăzute în documentele europene pentru educația matematică: respectul pentru
adevăr și perseveren ța pentru găsirea celor mai eficiente soluții, dezvoltarea de
argumente și evaluarea validității acestora. Abordarea în spirit matematic a
situațiilor cotidiene solicită un tip de gândire deschisă și creativă, precum și un
spirit de observație dezvoltat, matematica fiind modelul perfect pentru exersarea
și implementarea gândirii critice la elevi. Prezenta programă școlară își propune să
formeze la elevi inițiativa și capacitatea decizională, independen ța în gândire și în
acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda situații variate, precum și
capacitatea de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura modelării unei
situații date, a rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii. Programa
școlară de matematică promovează exersarea obișnuinței de a recurge la modele
matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor
probleme practice.
Demersul de predare -învățare-evaluare poate fi organizat individual,
frontal sau pe grupe, cultivând astfel la elevi calități precum spiritul de echipă,
încrederea în sine și respectul pentru ceilalți, toleranța, curajul de a prezenta o
opinie personală și spiritul de inițiativă. Încrederea în sine și autonomia personală
sunt susținute la nivel metodologic prin utilizarea erorii ca sursă de învățare, prin
încurajarea unor abordări din perspective multiple și prin aplicarea matematicii în
viața de zi cu zi. Astfel se dezvoltă motivația elevilor pentru a reuși în învățare și,
implicit, pentru continuarea studiului disciplinei. Programa școlară de matematică
pentru gimnaziu se concentrează pe formarea și pe dezvoltarea gradată și
10
continuă a competen țelor matematice, astfel încât, la sfârșitul gimnaziului, elevii
devin capabili să rezolve situații problematice diverse, utilizând atât corelații
intradisciplinare, cât și interdisci plinare.
Programa școlară de matematică pentru gimnaziu propune o ofertă flexibilă
de activități de învățare. Profesorul poate să modifice, să completeze sau să
înlocuiască aceste activități cu altele adecvate clasei. Devine astfel posibil să se
realizeze un demers didactic personalizat, care să asigure formarea/dezvoltarea
competen țelor prevăzute de programă, în contextul specific al fiecărei clase.
Conținuturile reprezintă decupaje didactice relevante pentru matematică,
structurate și abordate astfel încât să fie accesibile elevilor de gimnaziu. Ele sunt
mijloace informaționale prin care se formează și se dezvoltă competen țele
specifice. Conținuturile au fost selectate pe baza principiului continuită ții și al
coerenței și sunt puternic interconectate, astfel încât, după parcurgerea lor
integrală, elevul să fie capabil să realizeze conexiuni între idei, texte cu conținut
matematic, reprezentări grafice și formule, în scopul rezolvării unor probleme
diverse, de natură teoretică sau practic -aplicativă.
Sugestiile metodologice reprezintă o componentă a programei care propune
modalită ți și mijloace pentru realizarea demersului didactic. Note definitorii ale
acestei programe
Programa școlară de matematică delimitează, pentru fiecare clasă a
învățământului gimnazial, un nivel de pregătire matematică necesar elevilor
pentru continuarea studiilor disciplinare și, pe baza acestuia, trasarea
posibilită ților de avansare în învățare.
Programa școlară de matematică a fost gândită astfel încât să poată fi
parcursă în 75% din timpul alocat orelor de matematică, restul orelor (25%) fiind la
dispoziția profesorului pentru activități remediale, de fixare sau de progres.
O caracteristică a acestei programe școlare este că, în clasele a V-a și a VI-a,
noțiunile sunt prezentate intuitiv, evitându -se abuzul de notații sau de
abstractizare. Spre finalul clasei a VI-a, așteptările sunt ca elevul să poată deja
dezvolta raționamente deductive simple, utilizând, dacă este cazul,
contraexemple. Elevul devine capabil să folosească diferite mijloace de învățare,
inclusiv softuri matematice. De asemenea, poate folosi în mod adecvat regulile de
calcul pentru a investiga idei matematice și pentru a rezolva diverse situații
problematice. Pașii către dezvoltarea unei gândiri structurate, teoretizările sau
raționamentele mai ample, orientate spre formarea unor competen țe de transfer al
matematicii în practică și al cotidianului în modele matematice, precum și
familiarizarea cu o abordare pluridisciplinară a domeniilor cunoașterii, se
realizează treptat, mai accentuat în ultimii doi ani din gimnaziu. Extinderea
11
spațiului numeric la acest nivel de școlaritate impune înțelegerea și dezvoltarea
unor competen țe de operare cu numere reale. De asemenea, aprofundarea unor
noțiuni de geometrie și de măsurare devine o premisă în înțelegerea unor noțiuni
specifice altor discipline prevăzute în planul -cadru.
1.2 Sinteză a elementelor de măsurare a
suprafe țelor în programă la matematică
Noțiunea de arie este o noțiune elementară a matematicii introdusă încă din
antichitate. Noțiunea de arie este prezentă în programă la matematică pentru
ciclul gimnazial încă din clasa a V-a după care reapare în următoarele cicluri ale
învățământului pe trepte superioare de studiu. Ea se regăsește și în clasele
superioare ale învățământului preuniversitar, respectiv clasa a XI-a unde apare
formula pentru aria unui triunghi exprimată cu ajutorul determinan ților, precum
și în clasa a XII-a unde aria unei figuri plane este studiată cu ajutorul integralelor
Riemann.
În cele ce urmează vom prezenta câteva extrase din programa de gimnaziu
la matematică referitoare la noțiunea de arie.
La clasa a V-a, una din competen țele specifice este Interpretarea unei
configura ții geometrice în sensul recunoașterii elementelor ei și a relaționării cu unitățile
de măsură studiate cu conținutul Unități de măsură pentru arie; aria pătratului și a
dreptunghiului; transform ări. Dintre activitățile alocate acestor competen țe amintim:
• Activități care evidențiază exprimarea, ca rezultat al unei măsurări, a
lungimii segmentelor în unități standard (metru cu multiplii și submultiplii
lui) sau unități nestandard
• Activități care evidențiază exprimarea, ca rezultat al unei măsu rători , a ariei
suprafețelor în unitățile standard (metru pătrat cu multiplii și submultiplii
lui) sau unități nestandard, pornind de la aria pătratului de latură 1.
În clasa a VI-a nu este prevăzut studiul ariei figurilor plane, deși unele
probleme referitoare la triunghiul dreptunghic apar cerințe care implică calculul
ariei.
La clasa a VII-a ca și competen țe specifice sunt incluse
• Exprimarea proprietăților elementelor unui cerc în limbaj matematic
12
• Deducerea unor proprietăți ale cercului și ale poligoanelor regulate
folosind reprezent ări geometrice și noțiuni studiate.
Conținutul competen țelor specifice de mai sus este: Calculul elementelor
(latură, apotemă, arie, perimetru) în următoarele poligoane: triunghi (scalen,
dreptunghic, echilateral), pătrat, dreptunghi, paralelogram, romb, trapez.
Lungimea cercului și aria discului.
Pentru clasa a VIII -a, programa la matematică, referitor la noțiunea de arie,
este mult mai bogată. Competen țele specifice prezentate sunt:
• Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în
configura ții geometrice spațiale date . Calcularea ariilor și volumelor
corpurilor geometrice studiate;
• Analizarea și interpretarea condițiilor necesare pentru ca o
configura ție geometric ă să verifice anumite cerințe;
• Transpunerea unor situații-problemă în limbaj geometric, rezolvarea
problemei obținute și interpretarea rezultatului.
Pentru aceste competen țe, conținutul specific problematizării referitoare la
noțiunea de arie este
Calcularea de arii și volume
• Paralelipipedul dreptunghic, cubul: descriere, desfășurare, aria laterală, aria
totală și volum;
• Prisma dreaptă cu baza: triunghi echilateral, pătrat, dreptunghi, hexagon
regulat: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală și volum. Piramida
triunghiular ă regulată, tetraedrul regulat, piramida patrulater ă regulată,
piramida hexagonal ă regulată: descriere, desfășurare, aria laterală, aria
totală și volum;
• Trunchiul de piramidă triunghiular ă regulată, trunchiul de piramidă
patrulater ă regulată: descriere, desfășurare, aria laterală, aria totală, volum;
• Cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept:
descriere, desfășurare, secțiuni paralele cu baza și secțiuni axiale; aria
laterală, aria totală și volumul;
• Sfera: descriere, aria, volumul.
Toate aspectele evidențiate mai sus reflectă diversitatea problemelor ridicate de
tematica Aria figurilor plane . Totodată, tematica Aria figurilor plane oferă un câmp
larg de posibilită ți a aplicării metodelor didactice clasice și moderne.
13
Capitolul 2.
Metode didactice
2.1. Conceptul de didactică
Didactica este o ramură a pedagogiei care se ocupă cu studiul procesului de
învățământ, principal a modalitate de realizare a instruirii și educației. Din punct
de vedere etimologic, cuvântul „didactică” provine din termenii grecești didaskein
= a învăța, didactikos = instrucție, instruire, didasko = învățare, învățământ,
didactike = arta învățării. Conceptul de didactică a fost consacrat de Jan Amos
Comenius (1592 – 1670) în lucrarea sa „Didactica Magna”, publicată în anul 1657.
Prin principiile inovatoare pe care le susținea, Comenius a produs modificări
revoluționare în teoria și practica învățământului și este considerat „părintele
didacticii moderne.” Conform părerii sale, învățământul reprezenta principala
formă de realizare a educației. „Arta de a-i învăța pe toți de toate” constă în opinia
sa în introducerea metodică, sistematică, după anumite principii, a tinerilor în
tainele cunoașterii, ale științei, bunelor moravuri și pietății.
Din punct de vedere etimologic , termenul "metodă " provine din limba greacă
("metha" = "spre"; "odos" = "cale") și desemnează o cale eficientă de urmat pentru
atingerea anumitor scopuri.
Metodica predării matematicii arată cum se realizează în mod eficient
procesul de predare -învățare-evaluare a tuturor ramurilor matematicii: aritmetica,
algebra, geometria, trigonometria, analiza, selectând din matematică conținuturile,
conceptele, rezultatele și ideile fundamentale ce vor fi predate elevilor.
Metodologia didactică desemnează sistemul metodelor utilizate în procesul
de învățământ precum și teoria care stă la baza acestuia. Sunt luate în considerare:
natura, funcțiile, clasificarea metodelor de învățământ, precum și caracterizarea,
descrierea lor, cu precizarea cerințelor de utilizare.
Metodele de învățământ sunt un element de bază al strategiilor didactice, în
strânsă relație cu mijloacele de învățământ și cu modalită țile de grupare a elevilor.
De aceea, opțiunea pentru o anumită strategie didactică condiționează utilizarea
unor metode de învățământ specifice.
14
Totodată, metodele de învățământ fac parte din condițiile externe ale
învățării, care determină eficiența acesteia. De aici decurge importan ța alegerii
judicioase a metodelor corespunzătoare fiecărei activități didactice.
Sistemul metodelor de învățământ conține:
– metode tradiționale , cu un lung istoric în instituția școlară și care pot fi
păstrate cu condiția reconsiderării și adaptării lor la exigențele învățământului
modern;
– metode moderne , determinate de progresele înregistrate în știință și tehnică,
unele dintre acestea de exemplu, se apropie de metodele de cercetare științifică,
punându -l pe elev în situația de a dobândi cunoștințele printr -un efort propriu de
investiga ție experimentală; altele valorifică tehnica de vârf (simulatoarele,
calculatorul).
În școala modernă , dimensiunea de bază în funcție de care sunt considerate
metodele de învățământ este caracterul lor activ adică măsura în care sunt capabile
să declanșeze angajarea elevilor în activitate, concretă sau mentală, să le stimul eze
motivația, capacitățile cognitive și creatoare.
Un criteriu de apreciere a eficienței metodelor îl reprezintă valențele
formative ale acestora, impactul lor asupra dezvoltării personalită ții elevilor.
2.2. Metode tehnici și
procedee de predare -învățare
Procesul de predare -învățare reprezintă un sistem constituit dintr -un
ansamblu de elemente componente și interacțiuni între acestea, care se află într -o
conexiune func țională și care de -alungul timpului au fost supuse unor
transformări, m ai mult sau mai pu țin radicale, privind con ținuturile și scopurile
cărora i -au fost subordonate, adaptându -se mereu schimbărilor din societate.
Principalele elemente componente ale procesului de instruire sunt:
▪ Caracteristicile elevilor: momentul ini țial al procesului de instruire trebuie
să se bazeze pe o investigare obiectivă a nivelului anterior pe care îl au elevii. În
acest sens, un ansamblu relativ simplu de instrumente de evaluare, poate să pună
în eviden ță acest nivel ini țial.
▪ Caracteristicile medi ului educa țional: aceste caracteristici, foarte diferite de
la o unitate școlară la alta, privesc elemente legate de societate, familie, baza
materială a școlii, sursele multimedia, colectivitatea didactică a școlii,
managementul școlar.
15
▪ Programa școlară: acest element determinant al procesului de instruire are
o valoare func țională deosebită, deoarece reprezintă elementul central după care
se produce predarea la clasă. Activitatea centrală a cadrelor didactice constă în
transpunerea cât mai fidelă a prog ramei în lec ții, activită ți, cunoștințe, rezultate la
învățătură.
▪ Activitățile de învă țare: există tendin ța de a diversifica activită țile
tradiționale în forme noi, influen țate de multimedia și mijloacele auxiliare. Astfel,
activitatea preponderentă a elev ului nu mai este de a asculta, a lua noti țe, a
transcrie, a copia, ci de a interac ționa cu suporturi construite, de a investiga
individual sau în grup, adică de a se implica activ în procesul formării sale.
▪ Activitățile de predare ale profesorului: elementul principal îl reprezintă
trecerea cadrului didactic din postura de "emi țător de cuno ștințe", în cea de
"organizator de instruire"; această tendin ță, realizată în propor ții tot mai mari,
reprezintă un deziderat spre care trebuie să se îndrepte toate cadrele didactice. În
acest sens se folosesc tot mai mult metode interactive de predare centrate pe elev.
▪ Evaluarea: evaluarea rezultatelor instruirii a început să aibă transformări
sesizabile în ultimii ani, datorită modelelor de evaluare practicate la examenele
naționale, ceea ce reprezintă premisa realizării în perspectivă a unei rela ții reale
între instruire și evaluare.
▪ Resursele instruirii: acestea se află într -un proces de extindere și
diversificare (materiale auxiliare, manuale și ma teriale alternative, emisiuni TV,
reviste, alte surse complementare, mijloacele informatice și altele).1
2.3 Clasificarea metodelor de predare -învățare
La o primă analiză, o clasificare a metodelor de învă țământ poate să pară
ușoară. Totu și, datorită ritmului crescut al evolu ției metodologiei didactice
clasificarea acestora s -a dovedit a fi un demers deloc facil. Mereu apar procedee și
tehnici noi, iar domeniile de intersec ție dintre metodele existente creează noi
metode mai complexe.
Literatura de specialitate oferă mai multe taxonomii ale metodelor de
învățământ, operând cu mai multe criterii de clasificare:
Foarte mult folosit este criteriul istoric care clasifică metodele în două
grupe: metode tradiționale (clasice) și metode moderne .
1 MÂNDRUȚ OCTAVIAN, MÂNDRUȚ MARILENA, CATANĂ LUMINIȚA, Instruirea centrată
pe competențe, Cercetare -Inovare -Formare -Dezvoltare, „Vasile Goldi ș” University Press, ARAD, 2012
16
Tradiționale sunt considerate a fi metodele centrate pe profesor (ca sursă de
informații), bazate pe comunicarea unidirec țională, având ca scop transmiterea de
cunoștințe, care induc elevilor o atitudine pasivă și care, în general, cultivă
autoritatea profesoru lui.
Prin compara ție, metodele moderne sunt centrate pe elevi și pe activitate, se
bazează pe comunicarea multidirec țională și pun accentul pe dezvoltarea gândirii,
a formării de aptitudini și deprinderi. Acestea încurajează implicarea elevilor în
actul ed ucativ, precum și inițiativa și creativitatea acestora.
Un alt criteriu de clasificare este gradul de dirijare a învă țării care împarte
metodele în:
– metode algoritmice (în care activitatea de învă țare este dirijată);
– metode semialgoritmice (activitate cu p osibilități de autoorganizare);
– metode euristice (activitate creativă, prin investiga ții personale și căutări
independente).
Din punct de vedere al modalităților de învă țare promovate metodele au fost
clasificate în:
– metode de învă țare prin receptare;
– metode de învă țare prin descoperire;
– metode de învă țare prin ac țiune practică;
– metode de învă țare prin crea ție.
După modul de realizare a activită ții metodele pot fi clasificate în:
– metode frontale;
– metode de învă țare în grup;
– metode de activitate în perechi;
– metode individuale.
După func ția didactică principală metodele pot fi:
– metode de predare și comunicare;
– metode de fixare și consolidare;
– metode de verificare și apreciere a rezultatelor activită ții școlare.
În funcție de gradul de generalita te și de sfera de aplicabilitate metodele sunt
clasificate în metode generale (precum expunerea, prelegerea, conversa ția,
lucrările practice, etc.) valabile în predarea celor mai multe discipline și metode
particulare (speciale) restrânse la predarea unor discipline de învă țământ.
17
2.3.1 Metoda conversa ției
Conversa ția didactică rezidă în dialogul dintre profesor și elev, rolul
profesorului fiind cel al unui partener care pune întrebări, dar care și răspunde la
întrebări.
Deși este considerată ca fiind o metodă tradi țională, metoda conversa ției
implică o participare activă a elevilor, ace știa fiind solicita ți să răspundă
întrebărilor profesorului și, de asemenea, să pună întrebări în legătură cu tema
predată. Astfel gândirea elevilor este stimulată în vederea însu șirii de noi
cunoștințe, de fixare sau de sistematizare a acestora, etc.
Clasificarea formelor de conversa ție
a). După numărul de persoane cărora li se adresează întrebările, conversa ția
poate fi: individuală (dialogul se poartă între profesor și un singur elev) sau frontală
(întrebările sunt adresate întregii clase).
b). După obiectivele urmărite putem avea:
– conversa ție introductivă, folosită în momentele captării aten ției și
reactualizarea cuno ștințelor anterior dobândite;
– conversa ția în cadrul prezentării materialului nou ;
– conversa ția pentru fixarea cuno ștințelor;
– conversa ția pentru recapitularea cuno ștințelor;
– conversa ția pentru evaluarea cuno ștințelor.
c). După tipul de ra ționament pe care -l face elevul când răspunde la întrebări,
conversa ția poate fi euristică sau catehetică .
Dacă întrebările profesorului se adresează gândirii și sunt astfel formulate
încât conduc la efectuarea unor raționamente în urma cărora să rezulte, ca o
concluzie, adevărul pentru elev, sau prin analiza mai multor posibilită ți să
identifice și alte solu ții, atunci este vorba despre conversa ție euristică.
În cadrul conversa ției euristice, profesorul oriente ază în permanen ță
gândirea elevului, astfel încât prin formularea întrebărilor ”din aproape în
aproape” să ajungă la descoperirea noilor cuno ștințe.
Utilizarea conversa ției euristice este condi ționată de cuno ștințele anterioare
ale elevului, care să -i permită să dea răspuns la întrebările ce i se pun.
În conversa ția catehetică întrebările se adresează memoriei, răspunsurile
constituind reproduceri ale no țiunilor învă țate anterior. Func ția principală a
conversa ției catehetice este constatarea nivelului cuno ștințelor elevilor la un
moment dat.
18
2.3.2 Demonstra ția
Demonstra ția este metoda învățării pe baza contactului cu materialul
intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul
percepției și reprezentării. Demonstra ția este una din metodele de bază în
activitățile matematice și valorifică noutatea cunoștințelor și a situațiilor de
învățare. Ca metodă intuitivă, ea este dominantă în activitățile de dobândire de
cunoștințe și valorifică caracterul activ, concret senzorial al percepției copilului.
O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate și
explicate de învățător. Nivelul de cunoștințe al copiilor și vârsta acestora
determină raportul optim dintre demonstra ție și explicație. Eficiența
demonstra ției, ca metodă, este sporită dacă sunt respectate anumite cerințe de
ordin psihopedagogic: demonstra ția trebuie să se sprijine pe diferite materiale
didactice demonstrative ca substitute ale realității, în măsură să reprezint e o
susținere figurativă, indispensabilă gândirii concrete a copilului, noțiunile fiind
prezentate în mod intuitiv prin experien țe concret -senzoriale; demonstra ția
trebuie să respecte succesiunea logică a etapelor de învățare a unei noțiuni sau
acțiuni; demonstra ția trebuie să păstreze proporția corectă în raport cu explicația,
funcție de scopul urmărit; demonstra ția trebuie să favorizeze învățarea prin
crearea motivației specifice (trezirea interesului).
Demonstra ția, ca metodă specifică învățării matematicii la vârsta preșcolară,
valorifică funcțiile pedagogice ale materialului didactic.
2.3.3 Observa ția
Metoda observa ției constă din urmărirea sistematică de către elev a
obiectelor și fenomenelor ce constituie conținutul învățării, în scopul surprinderii
însușirilor semnificative ale acestora. Ion Cerghit apreciază observarea ca una
dintre metodele de învățare prin cercetare și descoperire. Este practicată de elevi
în forme mai simple sau complexe, în raport cu vârsta.
Funcția metodei nu este în primul rând una informativă, ci mai accentuată
apare cea formativă, adică de introducere a elevului în cercetarea științifică pe o
cale simplă. Dacă întâi elevul doar recunoaște, descrie, analizează, progresiv, el
trebuie învățat să explice cauzele, să interpreteze datele observate, să reprezinte
grafic rezultatele, să arate dacă corespund sau nu cu unele idei, să le aplice și în
alte situații, create prin analogie. Elevul trebuie să-și noteze, să-și formuleze
întrebări, deci să aibă un caiet de observație, putând face ușor transferul la caietul
de studiu.
19
Observația științifică însoțită de experiment atinge cote maxime în
învățarea matematicii. Observația este o activitate perceptivă, intenționată,
orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic,
conștient și voluntar. Formularea unui scop în observație impune sarcina de a
dirija atenția copilului spre sesizarea unor elemente esențiale, astfel încât, treptat,
reprezentările să se structureze, să se clarifice și să se fixeze. Prin scop este
concentrată atenția copilului spre observarea unor anumite elemente și sunt
activizate mecanisme discriminative.
Observația, ca metodă, asigură baza intuitivă a cunoașterii, asigură
formarea de reprezentări clare despre obiecte și însușirile caracteristice ale
acestora. Îmbogățirea bazei senzoriale a copilului se realizează în mare măsură
prin observație dirijată, copilul învață prin explorare perceptivă, ce depinde în
mare măsură de calitatea observației. Calitatea observației poate fi sporită prin
respectarea următoarelor condiții: organizarea unor condiții materiale propice
observației; acordarea timpului necesar pentru observație; dirijarea prin cuvânt
(explicație, conversa ție); acordarea libertății de a pune întrebări în timpul
observației; valorificarea cunoștințelor obținute prin observație; reluarea
observării însoțite de explicații, de câte ori se impune.
Observația, ca metodă, apare însoțită de explicație, ultima fiind elementul
de dirijare a observației spre scopul propus.
2.3.4 Metoda exerci țiului
Metoda exerci țiului constă în efectuarea unor ac țiuni și operații în mod
conștient și repetat, cu scopul de a forma deprinderi și priceperi, precum și de a
consolida anumite cuno ștințe.
Învățarea prin ac țiune este foarte importantă în formarea tinerilor, de aceea
metoda exerci țiului este o metodă comună tuturor disciplinelor, tuturor ciclurilor
școlare și tuturor formel or de organizare a activită ții. Astfel, în utilizarea metodei
exercițiului, activitatea poate fi organizată pe grupe, folosind fi șe de lucru, sau
frontal, cu clasa, dar și individual.
În cazul muncii independente, se pot folosi exerci ții cu grad de dificultate
diferențiat, în func ție de achizi țiile anterioare ale fiecărui elev. Dacă activitatea se
desfășoară frontal, atunci un elev va lucra la tablă, iar ceilal ți vor lucra
independent, comparând doar rezultatele ob ținute cu cele de la tablă. În acest caz
profesorul trebuie să urmărească activitatea elevilor din bănci pentru a se evita ca
aceștia să devină simpli copiatori, caz în care ace știa încetează să mai gândească.
20
Practica școlară folosește o gamă largă de tipuri de exerci ții. Astfel, după
funcțiile îndeplinite exerci țiile pot fi introductive , operatorii , aplicative, de observa ție,
de asociere, de formare a automatismelor, de dezvoltare, de consolidare, de evaluare, de
exprimare con cretă sau de exprimare abstractă, etc.
După gradul de interven ție al profesorului, exerci țiile pot fi dirijate,
semidirijate sau autodirijate sau combinate.
După subiec ți, exercițiile se împart în exerci ții individuale , de echipă sau
frontale .
După sarcina didactică, există exerci ții de comunicare, euristice, de
problematizare, de algoritmizare, etc.
Indiferent de tipul de exerci ții utilizate calitatea învă țării va cre ște dacă sunt
respectate câteva norme:
– profesorul trebuie să cunoască structura, valoarea și limitele exerci țiului
înainte de a -l propune elevilor;
– elevii să fie con știenți de scopul în care se efectuează exerci țiul și să
conștientizeze modelul ac țiunii ce trebuie să o înve țe;
– succesiunea exerci țiilor să fie gradual în func ție de dificultate;
– exercițiile să aibă continuitate în timp, folosindu -se un ritm optim pentru a
înlesni formarea automatismelor, fără a se omite alternan ța exersării cu pauzele
necesare refacerii poten țialului neurofiziologic;
– exercițiile trebuie să fie variate și clar formu late, urmărindu -se
corectitudinea efectuării acestora pentru a evita formarea unor deprinderi gre șite;
– controlul și autocontrolul trebuie făcute în a șa fel încât interven ția
profesorului să scadă treptat, iar gradul de independen ță a elevilor în realizarea
exercițiilor să crească.
Foarte importantă în predarea no țiunilor teoretice de matematică este
folosirea exemplelor. Un exemplu prezentat convingător asigură re ținerea
noțiunilor predate, înlăturând eventualele nelămuriri.
În matematică se folosesc mult și contraexemplele cu ajutorul cărora se
demonstrează că o anumită proprietate nu este întotdeauna adevărată.
De exemplu, ”Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este pătrat.”
este o propozi ție falsă, întrucât perpendicularitatea diagonalelor nu este o condiție
suficientă pentru ca un paralelogram să fie pătrat. Acest fapt se poate demonstra
cu ajutorul unui contraexemplu: rombul este un paralelogram cu diagonalele
perpendiculare fără a fi pătrat.
Gama exercițiilor este extrem de variată și de nuanțată. Astfel, după
funcțiile îndeplinite, acestea pot fi: introductive, de bază, de creație, reproductive,
de operaționalizare, de dezvoltare, de aplicare, extensive, paralele, operatorii,
21
structurale, de evaluare, corective. În raport cu alte criterii pot fi: individuale, de
echipă, colective, frontale sau orale, scrise, practice și combinate. Se vorbește și
despre exerciții în întregime dirijate, semidirijate, autodirijate sau libere. Precizăm
că prin toate aceste tipuri de exerciții se poate studia limba în școală. În acest
proces, metoda învățării prin exerciții constă, în esență, în efectuarea de acțiuni
repetate de către elevi pentru aplicarea cunoștințelor teoretice.
2.3.5 Metoda problematizării (instruirea prin problematizare)
Învățarea prin rezolvarea de probleme ( problem -solving ) sau, altfel spus, prin
explorarea alternativelor, este o variantă a euristicii, o altă modalitate, mai
complexă, de aplicare a teoriei învă țării prin descoperire. Premisele teoretice,
psihopedagogice de la care se porne ște, rezultatele pozitive ob ținute în cadrul
studiilor și cercetărilor experimentale întreprinse (Rubinstein , Leontiev, Polya,
Gagne, Bruner, Katona, Klinberg ș.a.), precum și cele înregistrate în practica școlii,
anunță instruirea problematizată ca una din cele mai active și valoroase metode
ale didacticii moderne.
Ca tehnică de instruire, problematizarea î și găsește utilizarea pretutindeni
unde se pot crea situa ții-problemă care urmează a fi solu ționate prin gândire
comună și căutare, prin cercet are și descoperirea unor noi adevăruri, a unor noi
reguli și invenția unor solu ții de ordin superior care devin parte integrantă a
repertoriului individual de achizi ții (Gagne). Ea poate fi aplicată în predarea
tuturor disciplinelor de învă țământ (în matem atică fiind preponderentă ), în toate
etapele procesului didactic și la nivelul tuturor ciclurilor școlare; intră u șor în
combina ție cu alte metode ( expunerea, lucrările practice, exerci țiul etc).
Sensul principal al aplicării acestei metodologii este de a încuraja activitatea
mintală a elevilor, de a provoca facultatea de combinare (asociere) și de a dezvolta
invenția și creativitatea, rezolvarea de probleme și creativitatea reprezentând,
după D.P. Ausubel, culmi ale performan ței cognitive. Rezolvarea de p robleme și
creativitatea ar fi, în opinia aceluia și autor, un fel de învă țare prin descoperire
complexă -situată în ierarhia comportamentală deasupra aplica țiilor de rutină a
unor propozi ții de -a gata și mai jos de creativitate.
La baza teoriei învă țământului problematizat stă no țiunea de problemă,
mai exact de “situa ție-problemă” și de proces al acesteia. În țelegerea justă a
specificacită ții metodei problematizării ne determină să facem de la bun început o
distincție clară între conceptul de problemă, a șa cum este el cunoscut și folosit în
mod obi șnuit în activitatea didactică și conceptul de problemă sau de “situa ție-
22
problemă”, a șa cum este el văzut și implicat în această nouă modalitate de
instruire.
În primul caz, ”problema” și rezolvarea de probleme est e privită ca o
chestiune de aplicare, de întărire (confirmare) sau de verificare a unor reguli
învățate mai înainte (Gagne). Astfel, fie că se indică elevilor rezultatul pe care
vrem să -l obțină și apoi li se cere să afle mijloacele prin care ar putea să a fle
rezultatul a șteptat, conceptul de problemă are aici semnifica ția unui exerci țiu de
aplicare a unor reguli sau principii cunoscute asupra unui ansamblu de cuno știnte
însușite și ele anterior.
O “problemă” obi șnuită de matematică nu constituie în mod rea l o
“situație-problemă” deoarece drumul spre ob ținerea rezultatului este dinainte
determinat în mod necesar, cu probabilitate maximă, fiind riguros previzibil. Aici,
găsirea răspunsului nu cere decât un efort de reactualizare a unor scheme însu șite
anterio r, de aplicare a lor. Fire ște, asta nu înseamnă că matematica nu oferă
elevilor și foarte multe situa ții-problematice, dimpotrivă, multe dintre
experimentele problematizării, s -au efectuat tocmai pe terenul matematicii.
O întrebare devine problemă atunci când generează o stare psihică de curiozitate, de
nedumerire, de uimire sau de incertitudine, de nelini ște în fața unui obstacol ce trebuie
învins, a unor dificultă ți teoretice sau practice greu de depă șit, de rezolvat, î n fața noutății,
a necunoscutului.
Subiectul trăiește această situa ție discrepantă dintre propriile -i cunoștințe și
noutatea care nu se mai potrive ște acestora, care cere o alta explica ție, ca pe un
“conflict” lăuntric de natură epistemică, ca pe o situa ție paradoxală și pe care
caută să o rezolve prin căutarea și găsirea de solu ții adecvate, prin demonstra ții și
argumenta ții raționale. Prin defini ție (subliniază R.M. Gagne) rezolvarea
problemei implică o descoperire ce are la origine o “provocare” (cum în săși
etimologia cuvântului “probleme” (gr) o trădează ). Este o provocare sau o stare
conflictuală pe care subiectul o trăie ște atunci când încearcă o explorare a
necunoscutului care -i stă în fa ță, din cauză că structurile sale cognitive, mintale,
existente până în acel moment se dovedesc insuficiente. Nemaiputându -se baza pe
ele, subiectul va fi nevoit să construiască alte noi structuri, alte noi imagini și
modele, solu ții etc.
Rezolvarea de probleme este cu totul altceva decât un simplu exercițiu de
aplicare a unor achizi ții anterioare. În concep ția problematizării, expresia
“rezolvarea de probleme” înseamnă un efort de gândire consacrat descoperirii
unor noi combina ții de reguli, învățate anterior, cu ajutorul cărora se poate ajunge
la o regulă nouă, de ordin superior, la o solu ție adecvată noilor situa ții
23
problematice care s -au ivit. Acest tip de comportament (relevă Gagne) este
denumit uneori rezolvarea productivă de probleme.
Pentru profesor, cons trucția unei situa ții-problemă nu este nicidecum un
lucru ușor de realizat. De ce? Pentru că:
– situația-problemă necesită o foarte bună structurare în plan cognitiv și
metodologic;
– profesorul trebuie să aibă clar în minte obiectivul cognitiv pe care dor ește
să-l atingă elevii;
– situația-problemă trebuie să fie în a șa fel concepută încât să permită
fiecăruia să pună în ac țiune și să efectueze opera ții mintale însu șite deja;
– profesorul trebuie să aibă, prin urmare, o idee relativ clară asupra
operațiilor mintale pe care le reclamă situa ția-problemă și cu care elevii s -ar putea
implica în rezolvarea acesteia;
– situația-problemă trebuie să fie în a șa fel gândită încât să permită elevilor
libertate de ac țiune și de investiga ție personală și în comun, ceea ce face ca
alegerea îndrumărilor, indica țiilor și interzicerilor, care uneori au un rol decisiv, să
se facă cu multă grijă și măsură.
Adeseori este însă nevoie să -i determinăm pe elevi să găsească ei în șiși
problemele, să le identifice pe cât posibil prin eforturi proprii și prin activitate
independentă, bineîn țeles sub îndrumarea și, la nevoie, cu sprijinul profesorului.
Urmează, apoi, o a doua fază, aceea a formulării problemei, elevii fiind pu și în
deplină cunoștință de cauză cu ceea ce vor avea de căuta t și în care direc ție trebuie
să-și îndrepte aten ția. Adică este un moment de explicare și de adâncire a
înțelesului prin conversa ții, prin discu ții.
Construc ția și emiterea tuturor solu țiilor cade în sarcina proprie a elevilor și
aceasta corespunde unui a ct de “descoperire”, unui moment de intuire, de
reorganizare a datelor, de op țiune pentru solu ția cea mai bună și de verbalizare a
generalizărilor noi la care ei ajung. Eventual, procesul se poate continua, cu
verificarea în practică a cuno ștințelor, solu țiilor, răspunsurilor elaborate. Fire ște,
profesorul are datoria să încurajeze elevii să emită cât mai multe ipoteze posibile,
să le ceară să justifice căile alese, pe cale logică, solu țiile descoperite, să verifice
ipotezele. În final, elevii trebuie să do vedească însu șirea regulii noi, superioară
celor precedente, a capacită ții de a rezolva un nou tip de probleme generalizat
acum la o clasă de asemenea situa ții.
În rezumat, profesorul nu predă elevilor cuno ștințe gata elaborate ci îi pune
în situația de a le descoperi plecând de la ceea ce știu deja. Metoda se aplică în
toate etapele procesului didactic, alături de experiment, studiu de caz, expunere
ș.a.
24
La baza acestei metode se află no țiunea de problemă/situa ție problemă și
procesul de rezolvare a acest eia. Situa ția-problemă este o situa ție contradictorie,
conflictuală, care rezultă din trăirea simultană a două realită ți: experien ța
anterioară cognitiv -emoțională și elementul de noutate, necunoscutul cu care se
confruntă subiectul. Acest conflict incită la căutare și descoperire, la intuirea unor
soluții noi, a unor rela ții aparent inexistente între ceea ce este cunoscut și ceea ce
este nou pentru subiect.
Problematizarea poate fi utilizată cu succes dacă se face bine distinc ția între
etapa de “punere a p roblemei” și etapa de “solu ționare a problemei”. Etapa de
“punere a problemei” se poate concretiza în variante diferite:
a) se distribuie elevilor un material conflictual și li se pretinde să găsească
problema și să o enun țe;
b) profesorul enun ță problema, iar elevii trebuie să găsească modalită ți de
rezolvare a ei;
c) se distribuie elevilor un material care con ține o problemă ascunsă și li se
cere să o găsească;
Etapa de “solu ționare a problemei” constă în:
1) definirea problemei;
2) caracterizarea proble mei (profesorul va ajuta discret elevii, pentru
identificarea contradic țiilor);
3) luarea deciziei – alegerea solu ției optime și eventual, verificarea solu ției
elaborate;
Profesorul trebuie să încurajeze elevii să emită cât mai multe ipoteze, să le
solic ite argumente pentru solu țiile găsite și să verifice ipotezele. Utilizarea
problematizării presupune o antrenare a personalită ții elevilor, a componentelor
intelectuale stimulând spiritul de explorare, formarea unui stil activ de muncă, cultivă
autonomia și curajul în afi șarea unor pozi ții proprii.
Dezvoltarea și complicarea treptată a problemelor stimulează și dirijează
elevii spre compunerea de probleme care de care mai ingenioase, mai subtile, mai
operaționale începând cu clasa I, continuând gradat spre compunerea de probleme
mai dificile în clasa a IV -a.
Ioan Neac șu în Metodica predării matematicii la clasele I – IV, sugerează că, se
pot compune și crea probleme în următoarele forme și următoarea succesiune
gradată:
• probleme de ac țiune sau de punere în s cenă;
• compunerea de probleme după tablouri și imagini;
25
• compunerea de probleme după modelul unei probleme rezolvate anterior;
• compunerea de probleme cu indicarea opera țiilor care trebuie efectuate;
• compunerea de probleme după un plan stabilit;
• compunerea de probleme cu mai multe întrebări posibile;
• compunerea de probleme cu o întrebare dată și cu mai multe con ținuturi
date precum și relațiile dintre date;
• compunerea de probleme cu întrebări probabile;
• compunerea de probleme cu un început dat, cu sprijin de limbaj;
• compunerea de probleme cu mărimi date, cu valori numerice date;
• compunerea de probleme după un exerci țiu simplu sau compus;
• compunerea de probleme după un model simbolic;
• compunerea de probleme cu modificarea con ținutului și datelor;
• crearea liberă de probleme ;
• probleme de perspicacitate și rebusistice etc.
Rezolvarea și, mai ales, compunerea problemelor constituie activitatea cea
mai bogată în valen țe formative, necesitând întreaga experien ță dobândită de către
elevi în studierea cunoa șterii numerelor și a calculului.
2.4 Metode moderne utilizate în predarea
matematicii
2.4.1 Brainstormingul
Brainstormingul este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte
creative și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile
suspendate vor fi puse de-o parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și
participan ții la un proces de brainstorming își vor spune ideile și părerile fără
teama de a fi respinși sau criticați. Se expune un concept, o idee sau o problemă și
fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin
minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile.
O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la
dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele:
❖ deschiderea sesiunii de brainstorming în care se prezintă scopul acesteia și se
discută
tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate;
26
❖ perioada de acomodare durează 5-10 minute și are ca obiectiv introducerea
grupului în
atmosfera brainstormingului, unde participan ții sunt stimulați să discute
idei generale pentru a putea trece la un nivel superior;
❖ partea creativă a brainstormingului are o durată de 25-30 de minute. Este
recomandabil ca în
timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să amintească
timpul care a trecut și cât timp a mai rămas, să “preseze” participan ții și în finalul
părții creative să mai acorde câte 3-4 minute în plus. În acest interval de timp
grupul participant trebuie să fie stimulați să-și spună părerile fără ocolișuri.
❖ la sfârșitul pâ rții creative coordonatorul brainstormingului clarifică ideile
care au fost notate și
puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute.
Este momentul în care se vor elimina sugestiile prea îndrăzne țe și care nu sunt
îndeajuns de pertinente. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a
contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în considerare
pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele
care au reușit să fie atinse.
❖ pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își
vor spune părerea și
vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de brainstorming
trebuie să stabilească singuri care au fost ideile care s-au pliat cel mai bine pe
conceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participan ților nu li se vor cere
explicații pentru ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare
prematură a ideilor și o îngreunare a procesului în sine.
Brainstormingul funcționează după principiul: asigurarea calității prin
cantitate și își propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică .
Vă recomandăm 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei
ședințe reușite de brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Nașteți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
27
Este important de reținut că obiectivul fundamental al metodei
brainstorming constă în exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de orice
prejudecă ți. De aceea, acceptăm toate ideile, chiar trăsnite , neobișnuite, absurde,
fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor, indiferent dacă acestea conduc sau
nu la rezolvarea problemei.
2.4.2 Metoda Mozaic
Este o metodă prin care se promovează învățarea prin colaborare și cooperare
între elevi. Acesta tehnică de predare -învățare presupune parcurgerea următorilor
pași:
1. construirea grupurilor de lucru inițiale. Clasa de elevi se împarte în
grupuri de câte 4-5 elevi. Se utilizează diverse criterii de grupare a
elevilor. Unul dintre acestea poate fi următorul: elevii numără de la 1 la
5, astfel încât fiecare elev să aibă un număr cuprins între 1 și 5.
2. Profesorul împarte textul pe care îl vor studia în tot atâtea părți câte
grupuri au fost constituite inițial.
3. Se constituie grupurile de „experți” și se trece la rezolvarea sarcinilor de
lucru. Elevii cu numărul 1 vor forma un grup, cei cu numărul 2 alt grup
ș.a.m.d.
Fiecare grup de experți are sarcina de a studia o anumită parte din text,
repartizată de profesor. Elevii din fiecare grup trebuie să discute mai întâi
conținutul de idei al părții din text care le revine, s-o înțeleagă cât mai bine și mai
adecvat pentru a fi capabili ca, ulterior, sa o predea celorlalți colegi. Ei hotărăsc
împreună, prin discuții, dezbateri, care sunt ideile principale ale textului studiat și
cum vor proceda pentru a le preda colegilor astfel încât aceștia să înțeleagă cât mai
bine.
4. Revenirea elevilor în grupurile inițiale și predarea conținutului pregătit
celorlalți colegi. Prin predarea reciprocă se realizează cea mai bună
învățare a unui conținut informațional. La sfârșitul lecției fiecare elev
trebuie să stăpânească conținutul întregului text și nu doar a părții la
învățarea căreia a participat ca expert.
Când se realizează predarea reciprocă, elevii pot cere expertului lămuriri
suplimentare în legătură cu fragmentul pus în discuție. Dacă mai există nelămuriri
și neclarită ți, cei în cauză pot adresa întrebări și celorlalți experți din grup. Dacă
persistă anumite dubii referitoare la o problemă, acestea trebuie cercetate până la
lămurirea lor adecvată.
28
Profesorul monitorizează predarea, asigurându -se că informația este
transmisă și asimilată corect. Dacă elevii se împotmolesc, profesorul îi ajută să
depășească situația.
2.4.3 Ciorchinele
Ciorchinele este o metodă care presupune identificarea unor conexiuni
logice între idei, poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru
reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de
recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor. Ciorchinele este o tehnică de căutare
a căilor de acces spre propriile cunoștințe evide nțiind modul de a înțelege o
anumită temă, un anumit conținut.
Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care
încurajează elevii să gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape :
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a
unei foi de hârtie.
2. Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele
pe care le au în minte
în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându -se
linii între acestea și cuvântul inițial.
3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective,
elevii vor trage linii
între toate ideile care par a fi conectate.
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins
limita de timp acordată.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii
ciorchinelui:
▪ Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în
discuție.
▪ Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
▪ Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu
expiră timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra
temei până ce vor apărea unele idei.
▪ Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați
nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
Avantajele acestei tehnici de învățare sunt:
29
• În etapa de reflecție vom utiliza “ciorchinele revizuit” în care elevii vor fi
ghidați prin intermediul unor întrebări, în gruparea informațiilor în funcție
de anumite criterii.
• Prin această metodă se fixează mai bine ideile și se structurează infomațiile
facilizându -se reținerea și înțelegerea acestora.
• Adesea poate rezulta un “ciorchine” cu mai mulți “sateliți”.
Utilizarea acestor metode antrenează elevii într-o continuă participare și
colaborare, crește motivarea intrinsecă deoarece li se solicită să descopere fapte, să
aducă argumente pro și contra. Lucrul în echipă dezvoltă atitudinea de toleranță
față de ceilalți și sunt eliminate motivele de stres iar emoțiile se atenuează.
2.4.4 Metoda cubului
Metoda cubului presupune explorarea unui subiect, a unei situații din mai
multe perspective, permițând abordarea complexă și integratoare a unei teme.
Sunt recomandate următoarele etape:
▪ Realizarea unui cub pe ale cărui fețe sunt scrise cuvintele: descrie, compară,
analizează, asociază, aplică, argumentează.
▪ Anunțarea temei, subiectului pus în discuție.
▪ Împărțirea clasei în 6 grupe, fiecare dintre ele examinând tema din
perspectiva
cerinței de pe una din fețele cubului.
• Descrie : culorile, formele, mărimile, etc.
• Compară : ce este asemănător? Ce este diferit?
• Analizează : spune din ce este făcut, din ce se compune.
• Asociază : la ce te îndeamnă să te gândești?
• Aplică : ce poți face cu aceasta? La ce poate fi folosită?
• Argumentează : pro sau contra și enumeră o serie de motive care vin în
sprijinul afirmației tale.
▪ Redactarea finală și împărtășirea ei celorlalte grupe.
▪ Afișarea formei finale pe tablă sau pe pereții clasei.
30
Capitolul 3.
Noțiuni de teoria măsurii
Noțiunea de arie este strâns legată de teoria măsurii. În acest capitol sunt
prezentate elemente de teoria măsurii pentru mulțimi din spațiul bidimensional
ℝ2, precum și din spațiul ℝ3.
3.1 Măsura unui interval
Fie 𝐼=(𝑎,𝑏),−∞<𝑎<𝑏<+∞, un interval oarecare. Se numește măsură
intervalului 𝐼 numărul pozitiv 𝑏−𝑎 și se notează:
𝑚(𝐼)=𝑏−𝑎.
Măsura intervalului 𝐼 este lungimea sa.
Intervalele [𝑎,𝑏],(𝑎,𝑏],[𝑎,𝑏) au aceeași măsură ca și intervalul deschis
(𝑎,𝑏). Dacă 𝑥 și 𝑦 sunt două numere reale, cărora le corespund două puncte 𝑀,𝑁
pe o dreaptă, atunci măsura segmentului 𝑀𝑁 este
𝑚(𝑀𝑁)=|𝑥−𝑦|,
adică modulul diferenței 𝑥−𝑦.
Dacă punctele 𝑀 și 𝑁 sunt confundate, deci 𝑥=𝑦, atunci
𝑚(𝑀)=0.
Măsura unui punct este numărul zero. Spunem că punctul este o mulțime
de măsură nulă.
Fie 𝐼1,𝐼2,…,𝐼𝑃 un număr finit de intervale disjuncte; măsura lor 𝐺 este prin
definiție
𝐺=𝑚(𝐼1)+𝑚(𝐼2)+⋯+𝑚(𝐼𝑝).
O mulțime finită de puncte este o mulțime de măsură nulă.
Teorema 3.1.1 Dacă 𝐼1 și 𝐼2 sunt două intervale, deschise, mărginite, conținute în același
interval 𝐼, atunci
𝑚(𝐼1∪𝐼2)≤𝑚(𝐼1)+𝑚(𝐼2)
Dacă intervalele 𝐼1,𝐼2 sunt disjuncte, 𝐼1∩𝐼2=∅, atunci avem egalitatea
𝑚(𝐼1∪𝐼2)=𝑚(𝐼1)+𝑚(𝐼2).
Demonstra ție. Să presupunem că intervalele sunt disjuncte:
𝐼1=(𝑎,𝑏),𝐼2=(𝑐,𝑑); 𝑎<𝑏,𝑐<𝑑,𝑏<𝑐,
𝑚(𝐼1∪𝐼2)=𝑏−𝑎+𝑑−𝑐=𝑚(𝐼1)+𝑚(𝐼2).
31
Dacă intervalele deschise 𝐼1 și 𝐼2 nu sunt disjuncte atunci au comun
intervalul 𝐼3=(𝑐,𝑏),𝑐<𝑏. Avem
𝑚(𝐼1)=𝑏−𝑎,𝑚2(𝐼2)=𝑑−𝑐,
𝑚(𝐼1∪𝐼2)=𝑑−𝑎, dacă 𝑑>𝑏,
𝑚(𝐼1∪𝐼2)=𝑏−𝑎, dacă 𝑏>𝑑.
În toate cazurile studiate, avem
𝑚(𝐼1∪𝐼2)<𝑚(𝐼1)+𝑚(𝐼2)=𝑏−𝑎+𝑑−𝑐.
□
Teorema este adevărată pentru o reuniune finită sau numărabilă de
intervale conținute într-un interval mărginit 𝐼.
Dacă 𝐼2⊂𝐼1, din relația de mai sus rezultă imediat că
𝑚(𝐼2)≤𝑚(𝐼1).
3.1.1 Măsura unui interval plan
Fie 𝐼=𝐼1×𝐼2={(𝑥,𝑦)|𝑥∈(𝑎,𝑏),𝑦∈(𝑐,𝑑)}un interval plan.
Se numește măsură intervalului 𝐼 numărul pozitiv (𝑏−𝑎)(𝑑−𝑐) și se
notează
𝑎(𝐼)=(𝑏−𝑎)(𝑑−𝑐).
Măsura intervalului 𝐼 este aria dreptunghiului 𝐼.
Aria unui interval plan este nulă dacă unul sau ambele intervale ce intervin
în produsul cartezian 𝐼1×𝐼2 se reduce la un punct. De aici deducem:
a) un segment este o mulțime de arie nulă,
b) un punct este o mulțime de arie nulă.
Fie 𝐼1,𝐼2,…,𝐼𝑃 un număr finit de intervale plane, disjuncte; aria lor 𝐺 este
𝐺=𝑎(𝐼1)+𝑎(𝐼2)+⋯+𝑎(𝐼𝑝).
Teorema 3.1.1.1. Dacă 𝐼′ și 𝐼′′ sunt două intervale conținute în același interval 𝐼⊂ℝ,
atunci
𝑎(𝐼′∪𝐼′′)≤𝑎(𝐼′)+𝑎(𝐼′′).
Demonstra ție.
a’) Dacă intervalele sunt disjuncte sau intersecția lor este o mulțime de arie nulă
𝑎(𝐼′∪𝐼′′)=𝑎(𝐼′)+𝑎(𝐼′′).
32
Figura 1. 𝑎(𝐼′∩𝐼′′)=0.
b’) Dacă 𝐼′∩𝐼′′=𝐼′′′, atunci
𝑎(𝐼′∪𝐼′′)=𝑎(𝐼′)+𝑎(𝐼′′)−𝑎(𝐼′′′)<𝑎(𝐼′)+𝑎(𝐼′′).
Figura 2.𝑎(𝐼′∩𝐼′′)=𝑎(𝐼′′′).
□
Numim poligon domeniul plan mărginit de o linie poligonală închisă , fără
puncte multiple. Vom spune că măsura mulțimii de puncte interioare unui contur
poligonal 𝐿 este aria mărginită de conturul poligonal, adică aria poligonului
mărginit de 𝐿.
Dacă o figură 𝑃 este reuniunea unui număr finit de poligoane, disjuncte
două câte două, figura formată o vom numi tot poligon
𝑃=𝑃1∪𝑃2∪…∪𝑃𝑠,
Aria𝑃=aria 𝑃1+aria 𝑃2+…+aria 𝑃𝑠
sau
𝑎(𝑃)=𝑎(𝑃1)+𝑎(𝑃2)+⋯+𝑎(𝑃𝑠).
Punctele, segmentele de dreaptă le vom considera tot poligoane
(degenerate). Ele sunt poligoane de arie nulă.
Dacă într-un poligon 𝑃1 decupăm un poligon 𝑃2⊂𝑃1,
33
Figura 3. 𝑃=𝑃1−𝑃2
figura rezultată 𝑃 o vom numi tot poligon
𝑃=𝑃1−𝑃2
și
𝑎(𝑃)=𝑎(𝑃1)−𝑎(𝑃2).
În fine, dacă considerăm 𝑃1=𝑃2, poligonul rezultat 𝑃 este mulțimea vidă ∅.
Aria unui poligon în clasa poligoanelor, definite mai sus, are următoarele
proprietăți :
1) 𝑎(𝑃)≥0,
2) 𝑎(𝑃∪𝑄)≤𝑎(𝑃)+𝑎(𝑄) (avem egalitatea dacă 𝑃∩𝑄 este o mulțime de
arie nulă),
3) 𝑎(𝑃−𝑄)=𝑎(𝑃)−𝑎(𝑄), dacă 𝑄⊂𝑃,
4) 𝑎(𝑃)≥𝑎(𝑄), dacă 𝑄⊂𝑃.
3.1.2 Aria mulțimilor plane
Fie 𝐴 o mulțime plană oarecare, mărginită. Fiind mărginită, există
poligoane 𝑃 care conțin toate punctele mulțimii 𝐴,𝑃⊃𝐴. Vom numi un astfel de
poligon, poligon exterior . Există de asemenea poligoane 𝑄 ale căror puncte aparțin
toate mulțimii 𝐴,𝑄⊂𝐴. Vom numi un astfel de poligon, poligon interior .
Figura 4.
34
Un poligon interior poate fi eventual chiar un punct, dacă mulțimea 𝐴 este
formată din puncte izolate.
Oricare ar fi poligonul exterior 𝑃 și poligonul interior 𝑄 avem incluziunile
𝑃⊃𝐴⊃𝑄,
deci
𝑎(𝑃)≥𝑎(𝑄).
Dacă notăm
𝑎𝑖(𝐴)=sup
𝑄⊂𝐴𝑎(𝑄),
𝑎𝑒(𝐴)=inf
𝑃⊃𝐴𝑎(𝑃)
avem inegalită țile
𝑎(𝑃)≥𝑎𝑒(𝐴)≥𝑎𝑖(𝐴)≥𝑎(𝑄).
Definiția 3.1.2.1.
1) Numărul 𝑎𝑒(𝐴) se numește aria exterioară a mulțimii 𝐴.
2) Numărul 𝑎𝑖(𝐴) se numește aria interioară a mulțimii 𝐴.
Definiția 3.1.2.2. Dacă numerele 𝑎𝑖(𝐴)și 𝑎𝑒(𝐴) sunt egale, spunem că mul țimea
𝐴 are o arie sau că este măsurabilă Jordan . Valoarea comună a celor două arii se
num ește aria mul țimii 𝐴 și se notează 𝑎(𝐴), prin urmare
𝑎(𝐴)=𝑎𝑖(𝐴)=𝑎𝑒(𝐴).
Dacă mul țimea 𝐴 este măsurabilă și are aria 𝑎(𝐴), atunci oricare ar fi
poligoanele 𝑃 și 𝑄 avem inegalită țile
𝑎(𝑃)≥𝑎(𝐴)≥𝑎(𝑄),
de unde rezultă că
𝑎(𝐴)≥0.
Există mul țimi pentru care aria interioară este diferită de aria exterioară, deci care
nu sunt măsurabile Jordan.
3.1.3 Criterii de măsurabilitate
În continuare sunt prezentate rezultate care asigură măsurabilitatea
mulțimilor plane. Mai exact sunt amintite câteva criterii de măsurabilitate.
Teorema 3.1.3.1. O mulțime 𝐴 este măsurabilă dacă
pentru orice număr 𝜀>0 există un poligon 𝑃𝜀⊃𝐴 și 𝑄𝜀⊂𝐴 astfel încât
𝑎(𝑃𝜀)−𝑎(𝑄𝜀)<𝜀.
Demonstra ție. Condiția este necesară. Să presupunem că𝐴 este măsurabilă,
deci 𝑎𝑖(𝐴)=𝑎𝑒(𝐴)=𝑎(𝐴), însă
35
𝑎𝑖(𝐴)=sup
𝑄⊂𝐴𝑎(𝑄),𝑎𝑖(𝐴)=inf
𝑃⊃𝐴𝑎(𝑃)
prin urmare pentru orice număr 𝜀>0 există două poligoane 𝑃𝜀 și 𝑄𝜀 astfel încât
𝑎(𝐴)<𝑎(𝑄𝜀)+𝜀
2
𝑎(𝑃𝜀)<𝑎(𝐴)+𝜀
2
de unde prin adunare, se obține
𝑎(𝑃𝑒)−(𝑄𝑒)<𝜀.
Condiția este suficientă. Să presupunem că pentru orice număr 𝜀>0 există două
poligoane exterior și interior 𝑃𝜀 și 𝑄𝜀 astfel încât 𝑎(𝑃𝜀)−𝑎(𝑄𝜀)<𝜀; însă avem
𝑎(𝑄𝜀)≤𝑎𝑖(𝐴)≤𝑎𝜀(𝐴)≤𝑎(𝑃𝜀),
deci
𝑎𝑒(𝐴)−𝑎𝑖(𝐴)≤𝑎(𝑃𝜀)−𝑎(𝑄𝜀)<𝜀
sau
𝑎𝑒(𝐴)−𝑎𝑖(𝐴)<𝜀
și pentru că 𝜀>0 este arbitrar, iar 𝑎𝑒(𝐴) și 𝑎𝑖(𝐴) sunt două numere, diferența lor
nu poate fi arbitrar de mică decât dacă 𝑎𝑒(𝐴)=𝑎𝑖(𝐴).
□
Teorema 3.1.3.2. O mulțime 𝐴 este măsurabilă dacă există un șir de polinoame exterioare
𝑃𝑛 și un șir de polinoame interioare 𝑄𝑛 astfel încât șirurile ariilor lor
𝑎(𝑃1),𝑎(𝑃2),…,𝑎(𝑃𝑛),…
𝑎(𝑄1),𝑎(𝑄2),…,𝑎(𝑄𝑛),…
să aibă aceea și limită
lim
𝑛→∞𝑎(𝑃𝑛)=lim
𝑛→∞𝑎(𝑄𝑛)=𝑎(𝐴);
limita comună 𝑎(𝐴) este egală cu aria mul țimii 𝐴.
Demonstra ție.
Condiția este necesară. Presupunem mul țimea 𝐴 măsurabilă.
Pentru 𝜀=1
𝑛(𝑛=1,2,…) există două polinoame 𝑃𝑛 și 𝑄𝑛 astfel încât
𝑃𝑛⊃A⊃𝑄𝑛,𝑎(𝑃𝑛)≥𝑎(𝐴)≥𝑎(𝑄𝑛)și𝑎(𝑃𝑛)−𝑎(𝑄𝑛)<1
𝑛
din care rezultă
𝑎(𝐴)−𝑎(𝑄𝑛)<𝑎(𝑃𝑛)−𝑎(𝑄𝑛)<1
𝑛,
𝑎(𝑃𝑛)−𝑎(𝐴)<𝑎(𝑃𝑛)−𝑎(𝑄𝑛)<1
𝑛,
deci
lim
𝑛→∞[𝑎(𝐴)−𝑎(𝑄𝑛)]=0,
lim
𝑛→∞[𝑎(𝑃𝑛)−𝑎(𝐴)]=0,
sau
lim
𝑛→∞𝑎(𝑃𝑛)=lim
𝑛→∞𝑎(𝑄𝑛)=𝑎(𝐴).
36
Condiția este suficientă. Să presupunem că există două șiruri de poligoane 𝑃𝑛 și
𝑃𝑛 astfel încât pentru orice n natural avem 𝑃𝑛⊃A⊃Qși
lim
𝑛→∞𝑎(𝑃𝑛)=lim
𝑛→∞𝑎(𝑄𝑛).
Avem șirul de inegalită ți
𝑎(𝑃𝑛)≥𝑎𝑐(𝐴)≥𝑎𝑖(𝐴)≥𝑎(𝑄𝑛)
pentru orice 𝑛,de unde rezultă că
𝑎𝑖(𝐴)=𝑎𝑒(𝐴)=lim
𝑛→∞𝑎(𝑃𝑛)=lim
𝑛→∞𝑎(𝑄𝑛),
Deci 𝐴 este măsurabilă și aria sa 𝑎(𝐴) este egală cu limita comună a celor două
șiruri.
3.1.4 Măsura unui interval din spațiu. Poliedre
Fie 𝐼=𝐼1×𝐼2×𝐼3 cu 𝐼1=(𝑎,𝑏),𝐼2=(𝑐,𝑑),𝐼3=(𝑒,𝑓) un interval
tridimensional.
Se numește măsură intervalului 𝐼 numărul pozitiv (𝑏−𝑎)(𝑑−𝑐)(𝑓−𝑒) și
se notează
𝑣(𝐼)=(𝑏−𝑎)(𝑑−𝑐)(𝑓−𝑒).
Măsura intervalului 𝐼 este volumul paralelipipedului 𝐼.
Volumul unui interval tridimensional este nul dacă cel puțin unul din cele
trei interval ce intervin în produsul cartezian 𝐼1×𝐼2×𝐼3 se reduce la un punct,
prin urmare
a) o mulțime plană are volumul nul,
b) un segment este o mulțime de volum nul,
c) un punct este o mulțime de volum nul.
Fie 𝐼2,𝐼2,…,𝐼𝑝,𝑝 intervale spațiale disjuncte; volumul lor 𝐺 este
𝐺=𝑣(𝐼1)+𝑣(𝐼2)+⋯+𝑣(𝐼𝑝)
La fel ca și în cazul plan avem următoarele rezultate.
Teorema 3.1.4.1. Dacă 𝐼′ și 𝐼′′sunt două intervale conținute în același interval 𝐼, atunci
𝑣(𝐼′∪𝐼′′)≤𝑣(𝐼′)+𝑣(𝐼′′).
Dacă considerăm acum un poliedru(o figură mărginită de fe țe plane), vom
spune că măsura mul țimii de puncte inferioare unei suprafe țe poliedrale 𝑆 este
volumul corpului mărginit de suprafa ța poliedrală, adică volumul poliedrului
mărginit de 𝑆.
Dacă o fig ură 𝑃 este reuniunea unui număr finit de poliedre, disjuncte două
câte două, figura formată o vom numi tot poliedru
37
𝑃=𝑃1∪𝑃2∪…∪𝑃𝑠
și
𝑣(𝑃)=𝑣(𝑃1)+𝑣(𝑃2)+⋯+𝑣(𝑃𝑠).
Punctele, segmentele de dreaptă, figurile plane le vom considera tot
poliedre (degenerate) de volum nul.
Dacă dintr -un poliedru 𝑃1 scoatem un poliedru 𝑃2⊂𝑃1, figura rezultată
𝑃 se nume ște tot poliedru 𝑃=𝑃1−𝑃2 și 𝑣(𝑃)=𝑣(𝑃1)−𝑣(𝑃2), iar dacă 𝑃1=𝑃2,
poliedrul 𝑃 este mulțimea vidă
Din cele de mai sus rezultă că volumul poliedrelor are proprietă țile stabilite
pentru poligoane.
3.1.5 Volumul mulțimilor din spațiu
Fie 𝐴 o mulțime spațială mărginită. Există un poliedru 𝑃, numit poliedru
exterior, care conține toate punctele mulțimii 𝐴, și un poliedru 𝑄, numit poliedru
interior, ale cărui puncte sunt toate conținute de mulțimea 𝐴, deci 𝑃⊃A⊃Q și
𝑣(𝑃)≥𝑣(𝑄).
Dacă notăm 𝑣𝑖=sup
𝑄⊂A𝑣(𝑄), …, 𝑣𝑒=inf
𝑃⊃A𝑣(𝑃), avem inegalită țile
𝑣(𝑃)≥𝑣𝑒(𝐴)≥𝑣𝑖(𝐴)≥𝑣(𝑄)
oricare ar fi poliedrul exterior 𝑃 și oricare ar fi poliedrul interior 𝑄. Numerele
𝑣𝑒(𝐴)și 𝑣𝑖(𝐴) se numesc respectiv volumul exterior și volumul interior al mulțimii
spațiale 𝐴.
Definiția 3.1.5.1. O mulțime spațială 𝐴 are un volum sau este măsurabilă J ordan
dacă volumul exterior este egal cu volumul interior
𝑣𝑖(𝐴)=𝑣𝑒(𝐴)=𝑣(𝐴).
Numărul 𝑣(𝐴) se numește volumul mul țimii 𝐴.
Observa ție. Dacă mul țimea 𝐴 este măsurabilă, deci are un volum 𝑣(𝐴), atunci
oricare ar fi poliedrele 𝑃 și 𝑄,𝑄⊂𝐴⊂𝑃, avem inegalită țile
𝑣(𝑃)≥𝑣(𝐴)≥𝑣(𝑄),
de unde rezultă că
𝑣(𝐴)≥0.
Teoremele următoare constituie criterii de măsurabilitate pentru mul țimile
tridimensionale.
Teorema 3.1.5.1. O mulțime 𝐴 are un volum dacă pentru orice număr 𝜀>0 există un
poliedru 𝑃𝜀 și un poliedru 𝑄𝜀 astfel încât
𝑣(𝑃𝜀)−𝑣(𝑄𝜀)<𝜀.
Teorema 3.1.5.2. O mulțime tridimensională 𝐴 are un volum dacă există un șir de
poliedre exterioare 𝑃𝑛 și un șir de poliedre interioare 𝑄𝑛 astfel încât șirurile volumelor lor
38
𝑣(𝑃1),𝑣(𝑃2),…,𝑣(𝑃𝑛),…
𝑣(𝑄1),𝑣(𝑄2),…,𝑣(𝑄𝑛),…
să aibă aceea și limită
lim
𝑛→∞𝑣(𝑃𝑛)=lim
𝑛→∞𝑣(𝑄𝑛)=𝑣(𝐴);
limita comună 𝑣(𝐴) este egală cu volumul mul țimii 𝐴.
Teorema precedentă se demonstrează la fel ca în cazul mul țimilor plane.
Proprietă țile referitoare la măsura mul țimilor plane se men țin și pentru volumul
mulțimilor tridimensionale.
3.1.6 Mulțimi din ℝ𝒏 măsurabile în sens Jordan
În cele ce urmează introducem noțiunea de măsură Jordan a unei mulțimii
din ℝ𝑛 și proprietă țile sale.
Definiția 3.1.6.1 (Noțiunea de interval închis 𝒏−dimensional)
Dacă 𝑎=(𝑎1,𝑎2,…,𝑎𝑛)∈ℝ𝑛 și 𝑏=(𝑏1,𝑏,…,𝑏𝑛)∈ℝ𝑛 atunci se numește interval
închis 𝑛−dimensional determinat de vectorii 𝑎 și 𝑏 (sau hiperparalelipiped
𝑛–dimensional închis ) mulțimea
𝐷(𝑎,𝑏)={ 𝑥∈ℝ𝑛⃓ 𝑎≤𝑥≤𝑏}
={𝑥=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∈ℝ𝑛 ⃓𝑎𝑖≤𝑥𝑖≤𝑏𝑖, oricare ar fi 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅}.
Se observă imediat că 𝐷(𝑎,𝑏)≠∅ dacă avem 𝑎𝑖≤𝑏𝑖, pentru orice 𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ și
𝐷(𝑎,𝑏)=∅ dacă există cel puțin un 𝑘∈{1,2,…,𝑛} astfel ca 𝑎𝑘>𝑏𝑘.
Dacă 𝑛=1,𝐷(𝑎,𝑏) coincide cu intervalul închis [𝑎,𝑏]⊂ℝ, dacă 𝑛=2
atunci 𝐷(𝑎,𝑏) este un interval închis bi-dimensional numit dreptunghi , iar dacă
𝑛=3 interval închis tri-dimensional numit paralelipiped .
Definiția 3.1.6 .2 (Volumul unui interval 𝒏 dimensional închis).
Numărul nenegativ notat 𝑣𝑜𝑙(𝐷(𝑎,𝑏)) sau 𝑚 (𝐷(𝑎,𝑏)) definit prin
𝑣𝑜𝑙(𝐷(𝑎,𝑏))≔ (𝐷(𝑎,𝑏))=(𝑏1−𝑎1)(𝑏2−𝑎2)…(𝑏𝑛−𝑎𝑛),
se numește volumul sau măsura intervalului închis 𝑛−dimensional 𝐷(𝑎,𝑏).
Dacă 𝐷(𝑎,𝑏)=∅ atunci se ia 𝑣𝑜𝑙(𝐷(𝑎,𝑏))≔0.
În continuare vom nota
𝒟𝑛≔{𝐷(𝑎,𝑏)⃓ 𝑎,𝑏∈ℝ𝑛}
mulțimea tuturor intervalelor 𝑛−dimensionale, închise (mulțimea tuturor
hiperparalelipipedelor închise) din ℝ𝑛.
Definiția 3.1.6.3 (Mulțimea elementară). O mulțimea 𝐸∈ℝ𝑛 se numește mulțime
elementară dacă ea este o reuniune finită de intervale închise 𝑛−dimensionale cu
interioarele disjuncte, adică
𝐸=⋃𝒟𝑖𝑝
𝑖=1
39
unde 𝐷𝑖∈𝒟𝑛 și 𝐷𝑖̇⋂𝐷𝑗̇=∅,𝑖≠𝑗.
În continuare, vom nota cu 𝔼𝑛 familia mulțimilor element are din ℝ𝑛.
Definiția 3.1.6.4 Definim măsura mulțimilor elementare ca o funcție
𝑚:𝔼𝑛→[0,+∞) care satisface condiția de aditivitate
𝑚(𝐸)=∑𝑚(𝐷𝑖)𝑝
𝑖=1
dacă 𝐸=⋃ 𝐷𝑖𝑝
𝑖=1 cu 𝐷𝑖∈𝒟𝑛 și având 𝐷𝑖̇⋂𝐷𝑗̇=∅,𝑖≠𝑗.
Se verifică, fără dificultate, că avem
Teorem a 3.1.6.1 Dacă 𝐸1,𝐸2∈𝔼𝑛, atunci
10. 𝑚(𝐸1)≤𝑚(𝐸2) dacă 𝐸1⊂𝐸2;
20. 𝑚(𝐸2∖𝐸2)=𝑚(𝐸2)−𝑚(𝐸1), dacă 𝐸1⊂𝐸2;
30. 𝑚(𝐸1∪𝐸2)≤𝑚(𝐸1)+𝑚(𝐸2).
Demonstra ție. Să demonstrăm întâi că 𝑚(∅)=0. Deoarece 𝑚(∅∪∅)=
𝑚(∅) și măsura 𝑚 este aditivă, avem 𝑚(∅)+𝑚(∅)=𝑚(∅), iar de aici rezultă
𝑚(∅)=0.
Să demonstrăm, de exemplu, 20.
Fie 𝐸1,𝐸2∈𝔼𝑛, cu 𝐸1⊂𝐸2. Atunci putem scrie relațiile
𝐸2=𝐸1∪(𝐸2∖𝐸1),𝐸1⋂(𝐸2∖𝐸1)=∅
Aplicând condiția de aditivitate, avem 𝑚(𝐸2)=𝑚(𝐸1)+𝑚(𝐸2∖𝐸1), adică
𝑚(𝐸2∖𝐸1)=𝑚(𝐸2)−𝑚(𝐸1).
Cum 𝑚(𝐸2∖𝐸1)≥0, de aici de deduce și 10.
Pentru a demonstra 30, fie 𝐸1=⋃ 𝐷𝑖𝑝
𝑖=1, 𝐷𝑖̇⋂𝐷𝑗̇=∅, 𝐷𝑖,𝐷𝑗∈𝒟𝑛,
𝐸2=⋃𝐷𝑗′,𝐷𝑗′̇∩𝐷𝑘′=∅̇̇𝑝
𝑗=1𝐷𝑗′,𝐷𝑘′∈𝒟𝑛.
Atunci
𝐸1∪𝐸2=(⋃𝐷𝑖𝑝
𝑖=1)∪(⋃𝐷𝑗′𝑝
𝑗=1).
Dacă 𝐸1̇⋂𝐸2̇=∅, atunci avem și 𝐷𝑖̇⋂𝐷𝑗̇=∅, 𝑖=1,𝑝̅̅̅̅̅, 𝑗=1,𝑞̅̅̅̅̅ și atunci
𝑚(𝐸1∪𝐸2)=∑𝑚(𝐷𝑖)+∑𝑚(𝐷𝑗′)=𝑞
𝑗=1𝑝
𝑖=1𝑚(𝐸1)+𝑚(𝐸2).
Dacă 𝐸1̇⋂𝐸2̇≠∅, putem scrie
𝐸1∪𝐸2=𝐸1∪(𝐸2∖𝐸1)
𝐸1∩(𝐸2̇̇∖𝐸1̇)=∅
și atunci
𝑚(𝐸1∪𝐸2)=𝑚(𝐸1)+𝑚(𝐸2∖𝐸1).
Cum 𝐸2−𝐸1⊂𝐸2, cu 10 se obține că
𝑚(𝐸2∖𝐸1)≤𝑚(𝐸2)
40
și atunci din egalitatea precedentă găsim
𝑚(𝐸1∪𝐸2)≤𝑚(𝐸1)+𝑚(𝐸2).
□
Dorim acum să definim noțiunea de măsură Jordan a unei mulțimi 𝐴⊂ℝ𝑛,
mărginită. Considerăm familiile de mulțimi din ℝ𝑛
{𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐴} și {𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐴⊂𝐹}.
Acestor două familii de mulțimi le corespund mulțimile de numere
nenegative (măsurile mulțimilor elementare corespunzătoare)
{𝑚(𝐸);𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐴} și {𝑚(𝐹); 𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐴⊂𝐹}.
Dacă 𝐴 este mărginită atunci prima mulțime este mărginită superior
deoarece există un hiperparalelipiped 𝑛−dimensional închis 𝐷(𝑎,𝑏) care conține
pe 𝐴 și deci dacă 𝐸⊂𝐴 avem 𝑚(𝐸)≤𝑚 (𝐷(𝑎,𝑏)). Așadar, există numărul pozitiv
𝑠𝑢𝑝{𝑚(𝐸);𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐴}=𝑚𝑖(𝐴)
numit măsură interioară a mulțimii 𝐴∈ℝ𝑛.
Analog, mulțimea {𝑚(𝐹); 𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐴⊂𝐹} este mărginită inferior deoarece
va exista un hiperparalelipiped 𝑛−dimensional 𝐷′(𝑎,𝑏)⊂𝐴⊂𝐹 și atunci
𝑚(𝐷′(𝑎,𝑏))≤𝑚(𝐹) pentru orice 𝐹∈𝔼𝑛 cu proprietatea 𝐹⊃𝐴. Deci există un
număr nenegativ
𝑖𝑛𝑓{𝑚(𝐹);𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐴⊂𝐹}=𝑚𝑒(𝐴)
numit măsură exterioară a mulțimii 𝐴⊂ℝ𝑛.
Din definiția numerelor 𝑚𝑖(𝐴) și 𝑚𝑒(𝐴) se deduce următoarea
Teorem a 3.1.6.2 Dacă 𝐴∈ℝ𝑛 au loc următoarele afirmații:
10. 𝑚𝑖(𝐴)≤ 𝑚𝑒(𝐴);
20. 𝑚(𝐸)≤𝑚𝑖(𝐴), pentru orice 𝐸∈𝔼𝑛,𝐸⊂𝐴;
30. 𝑚𝑒(𝐴)≤𝑚(𝐹), pentru orice 𝐹∈𝔼𝑛,𝐴⊂𝐹;
40. Pentru orice 𝜀>0, există 𝐸∈𝔼𝑛,𝐸⊂𝐴 astfel încât
𝑚𝑖(𝐴)−𝜀
2<𝑚(𝐸)≤𝑚𝑖(𝐴);
50. Pentru orice 𝜀>0, există 𝐹∈𝔼𝑛,𝐴⊂𝐹 astfel încât
𝑚𝑒(𝐴)≤𝑚(𝐹)<𝑚𝑒(𝐴)+𝜀
2.
Teorem a 3.1.6.3 Dacă 𝐴⊂ℝ𝑛 și 𝐵⊂ℝ𝑛 sunt mulțimi mărginite, atunci avem
10. 𝑚𝑖(𝐴)≤ 𝑚𝑖(𝐵), dacă 𝐴⊂𝐵;
20. 𝑚𝑒(𝐴)≤ 𝑚𝑒(𝐵), dacă 𝐴⊂𝐵;
30. 𝑚𝑒(𝐴∪𝐵)≤𝑚𝑒(𝐴)+𝑚𝑒(𝐵), dacă 𝐴∩𝐵=∅;
40. 𝑚𝑖(𝐴∪𝐵)≥𝑚𝑖(𝐴)+𝑚𝑖(𝐵), dacă 𝐴∩𝐵=∅.
Demonstra ție. Fie 𝐴⊂𝐵, atunci
{𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐴}⊂{𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐵},
și de asemenea
41
{𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐴⊂𝐹}⊃{𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐵⊂𝐹}.
Din aceste incluziuni se deduc relațiile
{𝑚(𝐸);𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐴}⊂{𝑚(𝐸);𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐵},
{𝑚(𝐹);𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐴⊂𝐹}⊃{𝑚(𝐹);𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐵⊂𝐹}
și încă
𝑠𝑢𝑝{𝑚(𝐸);𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐴}≤𝑠𝑢𝑝{𝑚(𝐸);𝐸∈𝔼𝑛⃓ 𝐸⊂𝐵},
𝑖𝑛𝑓{𝑚(𝐸);𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐴⊂𝐹}≥𝑖𝑛𝑓{𝑚(𝐸);𝐹∈𝔼𝑛⃓ 𝐵⊂𝐹}
ceea ce exprimă chiar afirmațiile 10 și 20.
Să demonstrăm 40. Cu Teorema 3.1.6.2 punctul 40, se deduce că există
𝐸1∈𝔼𝑛,𝐸1⊂𝐴, astfel încât 𝑚𝑖(𝐴)−𝜀
2<𝑚(𝐸1),
𝐸2∈𝔼𝑛,𝐸2⊂𝐵, astfel încât 𝑚𝑖(𝐵)−𝜀
2<𝑚(𝐸2).
Cum 𝐴∩𝐵=∅, rezultă că 𝐸1∩𝐸2=∅ și 𝐸1∪𝐸2⊂𝐴∪𝐵. Atunci din inegalitățile
precedente se obține pentru orice 𝜀>0
𝑚𝑖(𝐴∪𝐵)≥𝑚(𝐸1∪𝐸2)=𝑚(𝐸1)+𝑚(𝐸2)>𝑚𝑖(𝐴)+𝑚𝑖(𝐵)−𝜀.
Cum 𝜀>0 este arbitrar rezultă că pentru 𝐴∩𝐵=∅, avem
𝑚𝑖(𝐴∪𝐵)≥𝑚𝑖(𝐴)+𝑚𝑖(𝐵).
□
Definiție 3.1.6.5 (Mulțime măsurabilă în sensul lui Jordan)
Dacă mulțimea 𝐴⊂ℝ𝑛 este mărginită, atunci spunem că 𝐴 este măsurabilă Jordan
dacă 𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴). Valoarea comună se notează cu 𝑚(𝐴) sau 𝑣𝑜𝑙(𝐴) și se
numește măsură Jordan (sau volumul) mulțimii 𝐴⊂ℝ𝑛 și scriem
𝑚(𝐴)=𝑣𝑜𝑙(𝐴)≔𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴).
Teorem a 3.1.6.3 Condiția necesară și suficientă ca mulțimea mărginită 𝐴⊂ℝ𝑛 să fie
măsurabilă Jordan este ca pentru orice 𝜀>0 să existe mulțimile 𝐸𝜀,𝐹𝜀∈𝔼𝑛 așa încât să
avem relațiile
𝐸𝜀⊂𝐴⊂𝐹𝜀,
𝑚(𝐹𝜀−𝐸𝜀)<𝜀.
Demonstra ție. Necesitatea. Fie 𝐴⊂ℝ𝑛 mărginită și măsurabilă Jordan.
Deci 𝑚(𝐴)=𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴). Dacă 𝜀>0 , cu Teorema 3.1.6.2 punctele 40 și 50
rezultă că 𝐸𝜀 și 𝐹𝜀 mulțimi elementare, astfel încât să avem 𝐸𝜀⊂𝐴⊂𝐹𝜀 și
𝑚𝑖(𝐴)−𝜀
2=𝑚(𝐴)−𝜀
2<𝑚(𝐸𝜀)<𝑚(𝐹𝜀)<𝑚𝑒(𝐴)+𝜀
2=𝑚(𝐴)+𝜀
2.
De aici, se deduce
𝑚(𝐹𝜀−𝐸𝜀)=𝑚(𝐹𝜀)−𝑚(𝐸𝜀)<𝑚(𝐴)+𝜀
2−(𝑚(𝐴)−𝜀
2)=𝜀.
Suficiența. Presupunem că există mulțimile elementare satisfăcând din ipoteza
teoremei. Atunci
𝑚(𝐸𝜀)≤𝑚𝑖(𝐴)≤𝑚𝑒(𝐴)≤𝑚(𝐹𝜀).
De aici se obține
42
0≤𝑚𝑒(𝐴)−𝑚𝑖(𝐴)≤𝑚(𝐹𝜀)−𝑚(𝐸𝜀)=𝑚(𝐹𝜀−𝐸𝜀)<𝜀.
Cum 𝜀>0 este arbitrar, 𝑚𝑒(𝐴)−𝑚𝑖(𝐴)=0, adică 𝐴 este măsurabilă Jordan.
□
Corolar 3.1.6.1. Dacă ∈𝔼𝑛 atunci interiorul său 𝐸 ̇este o mul țime măsurabilă Jordan și
𝑚(𝐸̇)=𝑚(𝐸)(măsura mul țimii elementare 𝐸).
Demonstra ție. Fie 𝐸=𝐷1∪𝐷2∪…∪𝐷𝑝, unde 𝐷𝑖∈𝒟𝑛, 𝑖=1,𝑝. Evident
𝑚(𝐸)=∑𝑚(𝐷𝑖)𝑛
𝑖=1
Fie 𝐸̇ interiorul lui 𝐸, deci 𝐸̇⊂𝐸 și fie 𝜀>0. Dacă acum 𝐸′∈𝔼𝑛 astfel ca 𝐸′⊂𝐸̇ și
definită astfel
𝐸′=𝐷1′∪𝐷2′∪…∪𝐷𝑝′,𝐷𝑗′∈𝒟𝑛,𝑖=1,𝑝 și 𝐷𝑗′⊂𝐷𝑗̇,
pentru fiecare 𝑗=1,2,…,𝑝, și în plus
𝑚(𝐷𝑖)<𝑚(𝐷𝑗′)+𝜀
2,𝑗=1,𝑝.
Este clar că această alegere a hiperparalelipipedelor 𝐷𝑗′ este posibilă pentru
orice 𝜀>0. Așadar, 𝐸′⊂𝐸̇⊂𝐸 și
𝑚(𝐸)=∑𝑚(𝐷𝑗)<∑[𝑚(𝐷𝑗′)+𝜀
2]𝑝
𝑗=1=∑𝑚𝑝
𝑗=1𝑝
𝑗=1(𝐷𝑗′)+𝜀=𝑚(𝐸′)+𝜀.
De aici, obținem 𝑚(𝐸)−𝑚(𝐸′)<𝜀 și atunci mulțimea 𝐸̇ este măsurabilă
Jordan și 𝑚𝑖(𝐸̇)=𝑚𝑒(𝐸̇)=𝑚(𝐸̇). Cum 𝐸′⊂𝐸̇, pentru 𝜀>0 avem
𝑚(𝐸)−𝜀<𝑚(𝐸′)
deci
𝑚𝑖(𝐸̇)=𝑚(𝐸)=𝑚(𝐸′)
și de aici
𝑚(𝐸̇)=𝑚(𝐸).
□
Teoremă 3.1.6.4 . Mulțimea mărginită 𝐴⊂ℝ𝑛 este măsurabilă Jordan atunci și numai
atunci când există două șiruri de mulțimi elementare (𝐸𝑛) și (𝐹𝑛) cu proprietatea
𝐸𝑛⊂𝐴⊂𝐹𝑛
pentru orice 𝑛∈ℕ∗, astfel încât
lim
𝑛→∞𝑚(𝐸𝑛)=lim
𝑛→∞𝑚(𝐹𝑛)=𝑚(𝐴).
Demonstra ție. Necesitatea: Dacă 𝐴 este măsurabilă atunci avem 𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴)=
𝑚(𝐴), și cu teorema 5.1.9 pentru 𝜀=1
𝑛,𝑛∈ℕ∗, există mulțimile 𝐸𝑛∈𝔼𝑛 și 𝐹𝑛∈𝔼𝑛
astfel încât 𝐸𝑛⊂𝐴⊂𝐹𝑛 și 𝑚(𝐹𝑛)− 𝑚(𝐸𝑛)<1
𝑛. Așadar lim
𝑛→∞𝑚(𝐹𝑛)=lim
𝑛→∞𝑚(𝐸𝑛).
Însă 𝑚(𝐸𝑛)≤𝑚(𝐴)≤𝑚(𝐹𝑛). Atunci, pentru 𝑛→∞, rezultă că
𝑚(𝐴)=lim
𝑛→∞𝑚(𝐸𝑛)=lim
𝑛→∞𝑚(𝐹𝑛).
43
Suficiența: Să presupunem că există șiruri de mulțimi elementare (𝐸𝑛) și cu 𝐸𝑛⊂
𝐴⊂𝐹𝑛 și satisfăcând condiția lim
𝑛→∞𝑚(𝐸𝑛)=lim
𝑛→∞𝑚(𝐹𝑛)=𝑙.
În aceste condiții, vom avea
𝑚(𝐸𝑛)≤𝑚𝑖(𝐴)≤𝑚𝑒(𝐴)≤𝑚(𝐹𝑛); 𝑛∈ℕ∗.
Lim
𝑛→∞𝑚(𝐸𝑛)=𝑙≤𝑚𝑖(𝐴)≤𝑚𝑒(𝐴)≤lim
𝑛→∞𝑚(𝐹𝑛)=𝑙,
de aici 𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴)=𝑙=𝑚(𝐴), deci 𝐴 este măsurabilă.
Definiția 3.1.6.6 Spunem că mulțimea mărginită 𝐴⊂ℝ𝑛, are măsura Jordan nulă
sau este neglijabilă și scriem 𝑚(𝐴)=0, dacă pentru orice 𝜀>0 există mulțimea
elementară 𝐹𝜀,𝐸𝜀∈𝔼𝑛 așa ca 𝐴⊂𝐹𝜀 și 𝑚(𝐹𝜀)<𝜀.
Teorem a 3.1.6.5 Mulțimea 𝐴⊂ℝ𝑛 este neglijabilă dacă și numai dacă pentru orice 𝜀>0
există un număr finit de hiperparalelipipede 𝑛−dimensionale închise 𝐷1,𝐷2,…,𝐷𝑝 care
acoperă pe 𝐴, adică
𝐴⊂𝐷1∪𝐷2∪…∪𝐷𝑝
și în plus
∑𝑚(𝐷𝑝)<𝑝
𝑗=1𝜀.
Demonstra ție. Să presupunem mai întâi că 𝐴⊂ℝ𝑛 este neglijabilă, adică 𝑚(𝐴)=
0. Din 0≤𝑚𝑖(𝐴)≤𝑚𝑒(𝐴) și 𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴)=𝑚(𝐴), rezultă că 𝑚𝑒(𝐴)=0. Deci va
exista mulțimea 𝐹∈𝔼𝑛 astfel încât 𝐴⊂𝐹 și 𝑚(𝐹)<𝑚𝑒(𝐹)+𝜀=𝜀.
Fie 𝐹=𝐷1∪𝐷2∪…∪𝐷𝑝, unde 𝐷𝑗∈𝒟𝑛, 𝑗=1,𝑝. Atunci avem
𝐴⊂⋃𝐷𝑗,𝑚(⋃𝐷𝑗𝑝
𝑗=1)<∑𝑚(𝐷𝑗)<𝜀𝑝
𝑗=1𝑝
𝑗=1
adică sunt satisfăcute relațiile din teoremă .
Reciproc, să presupunem că există hiperparalelipipede închise 𝐷𝑗, 𝑗=1,𝑝 care
satisfac relațiile din teoremă . Fie 𝐹=⋃ 𝐷𝑗𝑝
𝑗=1. Atunci 𝐹∈𝔼𝑛, 𝐴⊂𝐹 și
𝑚(𝐹)=∑𝑚(𝐷𝑗)<𝜀𝑝
𝑗=1
astfel că 𝑚𝑒(𝐴)=0. Dacă 0≤𝑚𝑖(𝐴)≤𝑚𝑒(𝐴), atunci rezultă că și 𝑚𝑖(𝐴)=0 și deci
𝑚(𝐴)=𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴)=0.
□
Teorem a 3.1.6.6 Orice submulțime a unei mulțimi neglijabile din ℝ𝑛 este o mulțime
neglijabilă.
Demonstra ție. Fie 𝐴⊂ℝ𝑛 neglijabilă și mărginită și 𝐴1⊂𝐴.
Atunci pentru orice 𝜀>0, există 𝐹𝜀 elementară astfel încât 𝐴⊂𝐹𝜀 și 𝑚(𝐹𝜀)<𝜀.
Însă, atunci avem și 𝐴1⊂𝐹𝜀 cu aceeași proprietate, 𝑚(𝐹𝜀)<𝜀.
□
44
Teorem a 3.1.6.7 Dacă mulțimile 𝐴 și 𝐵 sunt mărginite și măsurabile din ℝ𝑛 și 𝐴∩𝐵=
∅, atunci 𝐴∪𝐵 este măsurabilă Jordan și avem
𝑚(𝐴∪𝐵)=𝑚(𝐴)+𝑚(𝐵)
Demonstra ție. Cum 𝐴 și 𝐵 sunt măsurabile Jordan, avem
𝑚𝑖(𝐴)=𝑚𝑒(𝐴)=𝑚(𝐴), 𝑚𝑖(𝐵)=𝑚𝑒(𝐵)=𝑚(𝐵),
și atunci avem
𝑚(𝐴)+𝑚(𝐵)=𝑚𝑖(𝐴)+𝑚𝑖(𝐵)≤𝑚𝑖(𝐴∪𝐵)≤𝑚𝑒(𝐴∪𝐵)≤𝑚𝑒(𝐴)+𝑚𝑒(𝐵)
=𝑚(𝐴)+𝑚(𝐵)
Din aceste inegalită ți obținem
𝑚𝑖(𝐴∪𝐵)=𝑚𝑒(𝐴∪𝐵)=𝑚(𝐴)+𝑚(𝐵)
adică 𝐴∪𝐵 este măsurabilă Jordan.
□
Observa ție. Acest rezultat se poate extinde imediat la un număr finit sau
numărabil de mulțimi măsurabile și mărginite, două câte două disjuncte, deci
având 𝐴𝑖⊂ℝ𝑛 , 𝑖=1,𝑘, măsurabile și mărginite cu 𝐴𝑖∩𝐴𝑗=∅, pentru orice 𝑖,𝑗=
{1,2,…,𝑛},𝑖≠𝑗, atunci reuniunea lor este măsurabilă și are loc
𝑚(⋃𝐴𝑖 𝑘
𝑖=1)=∑𝑚(𝐴𝑖)𝑘
𝑖=1
Corolar 3.1.6.2 O reuniune finită de mulțimi neglijabile este o mulțime neglijabilă.
Demonstra ție. Fie 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑘 mulțimi neglijabile din ℝ𝑛. Atunci pentru 𝜀>0,
există mulțimile elementare 𝐹𝜀1,𝐹𝜀2,…,𝐹𝜀𝑘 astfel încât 𝐴𝑗⊂𝐹𝜀𝑗, 𝑗=1,𝑘 și 𝑚(𝐹𝜀𝑗)<𝜀
𝑘.
Deci
𝐴1∪𝐴2∪…∪𝐴𝑘⊂𝐹𝜀1∪𝐹𝜀2∪…∪𝐹𝜀𝑘=𝐹𝜀,
unde 𝐹𝜀∈𝔼𝑛 și cu teorema 5.1.5.,30, rezultă că
𝑚(𝐹𝜀)=𝑚(⋃𝐹𝜀𝑗𝑘
𝑗=1)≤∑𝑚(𝐹𝜀𝑗)<∑𝜀
𝑘=𝜀𝑘
𝑗=1𝑘
𝑗=1.
Deducem că ⋃ 𝐴𝑗𝑘
𝑗=1 este o mulțime neglijabilă.
Teorem a 3.1.6.8 Dacă 𝐴 și 𝐵 sunt mărginite și măsurabile Jordan și 𝐵⊂𝐴, atunci
mulțimea 𝐴∖𝐵 este măsurabilă Jordan și avem
𝑚(𝐴∖𝐵)=𝑚(𝐴)−𝑚(𝐵).
Demonstra ție. Dacă 𝐴 și 𝐵 sunt mulțimi mărginite și măsurabile în ℝ𝑛, atunci
pentru 𝜀>0, există mulțimile elementare 𝐸1,𝐹1,𝐸2,𝐹2 astfel ca
𝐸1⊂𝐴⊂𝐹1, 𝐸2⊂𝐵⊂𝐹2
și încă
𝑚(𝐹1∖𝐸1)=𝑚(𝐹1)−𝑚(𝐸1)<𝜀
2, 𝑚(𝐹2∖𝐸2)=𝑚(𝐹2)−𝑚(𝐸2)<𝜀
2.
Deoarece este evident că 𝐸1∖𝐹2⊂𝐴∖𝐵⊂𝐹1∖𝐸2 și
45
(𝐹1∖𝐸2)∖( 𝐸1∖𝐹2)=(𝐹1∩∁𝐸2∩∁𝐸1)∪(𝐹1∩∁𝐸2∩𝐹2)⊂
⊂(𝐹1∩∁𝐸1)∪(∁𝐸2∩𝐹2)=(𝐹1∖𝐸1)∪(𝐹2∖𝐸2).
De aici se obține
𝑚(𝐹1∖𝐸2)−𝑚(𝐸1∖𝐹2)=𝑚((𝐹1∖𝐸2)∖(𝐸1∖𝐹2))≤𝑚((𝐹1∖𝐸1)∪(𝐹2∖𝐸2))≤
≤𝑚(𝐸1∖𝐹1)+𝑚(𝐸2∖𝐹2)<𝜀
2+𝜀
2=𝜀,
și astfel mulțimea 𝐴∖𝐵 este măsurabilă Jordan. Cum 𝐵⊂𝐴, are loc egalitatea
𝐴=(𝐴∖𝐵)∪𝐵, cu (𝐴∖𝐵)∩𝐵=∅ și atunci avem
𝑚(𝐴)=𝑚[(𝐴∖𝐵)∪𝐵]=𝑚(𝐴∖𝐵)+𝑚(𝐵),
care conduce la concluzia teoremei.
Teore ma 3.1.6.9 Dacă 𝐴,𝐵⊂ℝ𝑛 sunt mărginite și măsurabile Jordan, atunci mulțimile
𝐴∪𝐵 și 𝐴∩𝐵 sunt măsurabile Jordan.
Demonstra ție. Dacă scriem identitățile
𝐴∪𝐵=(𝐴∖𝐵)∪𝐵, cu (𝐴∖𝐵)∪𝐵=∅,
𝐴∩𝐵=𝐴∖(𝐴∖𝐵), cu 𝐴∖𝐵⊂𝐴,
atunci se pot aplica teorem ele precedente și se obține concluzia.
□
Definiția 3.1.6.7 (Mulțime neglijabilă în sensul lui Lebesque).
Spunem că mulțimea 𝐴⊂ℝ𝑛 este neglijabilă în sensul lui Lebesque dacă pentru
orice 𝜀>0, există o mulțime numărabilă de hiperparalelipipede 𝑛−dimensionale
închise (𝐷𝑛),𝑛∈ℕ∗,𝐷𝑛∈𝒟𝑛,𝑛∈ℕ∗ care să îndeplinească condițiile
𝐴⊂⋃𝐷𝑛∞
𝑛=1
∑𝑚(𝐷𝑛)<𝜀∞
𝑛=1
Observa ție. Pentru mulțimile neglijabile în sensul lui Lebesque se păstrează
teoremele precedente și, evident, orice mulțime neglijabilă în sensul lui Jordan este
neglijabilă și în sensul lui Lebesque.
Exemplu. O mulțime de puncte cel mult numărabilă din ℝ𝑛 este mulțime
neglijabilă în sensul lui Lebesque. Justificarea este imediată.
Teorem a 3.1.6.10 O mulțime mărginită 𝐴⊂ℝ𝑛 este măsurabilă Jordan dacă și numai
dacă frontiera sa este neglijabilă.
Demonstra ție. Necesitatea: Fie 𝐴⊂ℝ𝑛, mărginită. Atunci pentru orice 𝜀>0 există
mulțimile 𝐸,𝐹∈𝔼𝑛 astfel ca 𝐸⊂𝐴⊂𝐹 și 𝑚(𝐹∖𝐸)=𝑚(𝐹)−𝑚(𝐸)<𝜀.
Având 𝐸̇⊂𝐸⊂𝐴⊂𝐹 și 𝑚(𝐸̇)=𝑚(𝐸), pe baza corolarului precedent ,
avem 𝑚(𝐹)−𝑚(𝐸̇)<𝜀. Se poate observa că 𝐹𝑟 𝐴⊂∁𝐸̇ și 𝐹𝑟 𝐴⊂𝐹, și astfel 𝐹𝑟 𝐴⊂
𝐹∩∁𝐸̇=𝐹∖𝐸̇ cu 𝑚(𝐹∖𝐸̇)=𝑚(𝐹)−𝑚(𝐸̇)<𝜀. Deoarece 𝐹∖𝐸̇ este o mulțime
46
elementară, deci o reuniune finită de hiperparalelipipede 𝑛−dimensionale care
acoperă mulțimea 𝐹𝑟 𝐴, rezultă că 𝐹𝑟 𝐴 este o mulțime neglijabilă și deci
𝑚(𝐹𝑟 𝐴)=0.
□
47
Capitolul 4 .
Metode didactice folosite la predarea –
învățarea no țiunii de suprafa ță
În cadrul aces tui capitol am făcut apel la metoda învă țării prin descoperire
pentru a exemplifica modul în care anumite metode didactice pot fi folosite la
predarea -învățarea noțiunilor legate de măsurarea suprafe țelor.
Învățarea prin descoperire este o metoda de învă țare prin investiga ție,
evidențiată de Jerome Bruner2, psiholog american specializat în învă țare și
psihologie educa țională. Învă țarea prin descoperire îi încurajează pe elevi să î și
folosească experien țele și cunoștințele anterioare, intui ția, imagina ția și
creativitatea pentru a căuta noi informa ții, pentru a descoperi fenomene, corelații
și noi adevăruri .
Descoperirea constă în găsirea de către elev, printr -un procedeu personal de
analiză, inducție, generalizare o teorem ă, o demonstra ție, un procedeu de calcul.
Elevul are rolul principal, activ, dar trebuie s ă aibă și o pregătire anterioar ă solidă,
să fie obișnuit să exerseze rezolvări de probleme . Scopul învă țării prin descoperire
este de a permite o în țelegere mai profundă, de a ajuta elevul să își dezvolte
abilități metacognitive și de a -l încuraja să se implice mai mult în propria învă țare.
Există trei condi ții care trebuie îndeplinite pentru ca învă țarea prin
descoperire să fie eficientă:
• Subiectele învățate trebuie s ă se refere la domenii și probleme care îi
interesează pe copii, astfel încât aceștia să fie dispuși să învețe
• Experien ța de învățare trebuie s ă fie structurat ă astfel încât copilul s ă poată
parcurge etapele ei și să le înțeleagă
• Experien ța de învățare trebuie s ă faciliteze extrapolarea și să permită ca
elevii să completeze lacunele de cunoaștere (învățarea prin descoperire duce la
informații dincolo de informațiile prezentate inițial).
Există trei modalită ți de învă țare prin descoperire:
1) descoperirea inductivă , când elevii analizează o serie de cazuri
particulare, deducând de aici o regulă generală care apoi este demonstrată atunci
2 https://en.wikipedia.or g/wiki/Jerome_Bruner
48
când cuno ștințele elevilor o permit; în clasele mici se preferă folosirea intui ției și
evitarea demonstra țiilor; de exemplu, în cla sa a V -a, inducția incomplet ă este
utilizată în predarea proprietă ților numerelor naturale (comutativitatea,
asociativitatea, elementul neutru 0); de abia la liceu, folosindu -se metoda induc ției
complete, s -ar putea demonstra aceste proprietă ți, dar și atu nci ar necesita
definirea riguroas ă a numărului natural, care presupune un grad mare de
abstractizare (aceast ă construc ție a mulțimii numerelor naturale se face în general
in facultate);
2) descoperirea deductiv ă, când elevii descoperă rezultate noi cu ajutorul
raționamentelor asupra cunoștințelor anterioare, combin ându-le între ele sau cu
noi informații; de exemplu, folosind definiția derivatei unei funcții se descoperă
regulile de derivare ale funcțiilor elementare; sau relațiile metr ice în triunghiul
dreptunghic se ob țin aplic ând cunoștințe legate de triunghiurile asemenea;
3) descoperirea prin analogie, const ă în transpunerea unor relații, algoritmi
la contexte diferite dar analoage într-un mod bine precizat.
Pentru învă țarea prin pr oblematizare sau prin descoperire, literatura de
specialitate con ține o serie destul de largă de exemple. De exemplu3, pentru
descoperirea de către elevi a formulelor de calcul a ariilor pentru patrulatere se
poate formula o problema concreta.
Peretele une i sere trebuie făcut dintr -un material rezistent vântului . Există mai
multe materiale cu pre țuri diferite: 20 lei, 30 lei și 50 lei pentru fiecare m2. Suma maxim ă
care poate fi cheltuită este 1800 lei. Ce material trebuie cumpărat pentru a alege unul c ât
mai rezistent și să ne încadrăm în această sumă? Peretele are forma unui trapez isoscel cu
un triunghi isoscel deasupra. (Dimensiunile acestora sunt date. )
Elevii vor observa c ă nu cunosc formula ariei pentru trapez și profesorul le
cere să încerce să calculeze aria trapezului cu ceea ce cunosc pan ă atunci. Se
permite colaborarea între elevi. Dup ă ce găsesc soluția, se scrie calea de rezolvare
pe tablă, elevii o transcriu. Apoi profesorul discut ă procedeul și pentru un
dreptunghi, întrebându -i pe elevi cum au procedat în cazul anterior, c ând trapezul
a fost împărțit într-un dreptunghi și două triunghiuri dreptunghice congruente.
Acest procedeu merge la un dreptunghi oarecare, de laturi 𝑙 și 𝐿? Elevii
rezolvă, ducând o diagonal ă. Dar dac ă am fi dus cealaltă diagonal ă? (căci nu toți
elevii au făcut aceeași alegere). Se obține același rezultat. Se scrie formula pe tabl ă.
La fel se procedează cu un trapez oarecare, formula ariei obținând -se în
moduri diferite. Analog pentru paralelogram.
3 Exemplu preluat de la
https://www.math.uaic.ro/~oanacon/depozit/Curs_7_Strat_didactice(I).pdf
49
Pornind de la astfel de exemple, în continuare voi descrie două experimente
în urma cărora elevii au descoperit moduri prin care să calculeze câteva suprafe țe.
4.1 Primul experiment
Pentru consolidarea cuno ștințelor, priceperilor și deprinderilor elevilor cu
privire la aflarea ariilor figurilor geometrice plane (pătrat, dreptunghi, trapez),
pentru cunoa șterea și mânuirea instrumentelor de măsură pentru lungime (am
folosit o ruleta de 5𝑚), dar și pentru formarea competen țelor specifice acestui
conținut, de a aplica și efectua calcule aplicând formula ariei, în cazuri practice,
am desfă șurat în acest sens, cu copiii, o activitate concretă desfășurată pe
parcursul a două ore.
Împreună cu elevii clasei a 7 -a pe care o conduc, în data de 25.05.2018, în
ora a doua, alocată con ținutului de arie, am ie șit cu ace știa în curtea școlii și am
realizat o activitate practică pentru aflarea ariei terenului din curtea Școlii
Gimnaziale Botiza măsurând și efectuând calculele corespunzătoare, cu pixul, pe
caiețelele de matematică, apoi verific ăm împreună cu elevii dacă rezultatele
obținute erau corecte.
Înainte de măsurătoarea propriu -zisă, am împărțit clasa în 3 grupe:
Grupa 1 – formată din 8 elevi, care au măsurat terenul cu ajutorul ruletei de
5m;
Grupa 2 – formată din 6 elevi, care au notat în caie țelele lor dimensiunile
indicate;
Grupa 3 – formată din 4 elevi, care au calculat aria terenului.
Mai întâi am cerut elevilor să identifice forma geometrică a terenului și să
estimeze numărul metrilor corespunzător latur ilor, pe care îl scriau în caie țele,
apoi îl comparau cu rezultatul ob ținut în urma măsurătorii. În acest fel, și-au putut
dezvolta și capacitatea de estimare a unor mărimi, necesară în via ța cotidiană. Pe
rând, toți elevii au fost implica ți de mai multe o ri în activitatea de măsurare și
implicit în cea de aflare a perimetrului. Pentru o bună activizare a acestora, pentru
laturile mai mari de 10𝑚, am implicat mai mul ți elevi în procesul măsurătorii;
începea unul, continua altul, până se finaliza de măsurat respectiva latură, apoi
continuam cu cealaltă. În urma identificări formei terenului și a măsurătorilor au
realizat următoarea schi ță:
50
Figura 5.
Elevii au observat că terenul nu este un poligon regulat, așa că la
îndrumarea mea, au împăr țit terenul pe bucăți astfel:
Terenul 1 și 6 – trapeze dreptunghice;
Terenul 2,3,4 – dreptunghiuri;
Terenul 5 – pătrat.
Figura 6.
Pentru a obține unghiurile drepte, un elev s -a așezat la distan ța de 6m pe o
latura, iar altul pe cealaltă latură la distan ța de 8m, astfel încât distan ța dintre cei
doi elevi s ă fie de 10m.
Grupa 3 a început să calculeze ariile, obținând următoarele rezultate:
51
Teren 1
𝐴1=(100 +70)∙5
2=170 ∙5
2=425 𝑚2;
Teren 2
𝐴2=20∙17=340 𝑚2
Având în vedere că pe suprafa ța terenului 3 se află o anexă, elevii au
calculat aria întregului teren din care au scăzut suprafața pe care este a șezată
anexa. Anexa având forma unui dreptunghi de dimensiuni 3m, respectiv 4m.
Așadar aria Terenului 3 este
𝐴3=37∙9−3∙4=321 𝑚2
Teren 4
𝐴4=27∙32=864 𝑚2
Teren 5
𝐴5=144 𝑚2
Teren 6
𝐴6= (27+39)∙5
2=165 𝑚2
După aceste calcule elevii au adunat ariile celor 6 terenuri obținând astfel
aria întregului teren al Școlii Gimnaziale Botiza care are suprafața
𝐴=2259 𝑚2.
În urma rezultatului i -am rugat pe elevi s ă-mi spun ă câte hectare are
terenul școlii, bineînțeles au răspuns foarte repede, adică
𝐴=0,2259 ℎ𝑎
Elevii au fost încânta ți de activitate, manifestându -și dorința de a măsura,
apoi calcula suprafețele și altor obiective din apropierea școlii (terenul din fa ța
Căminului cultural și al bisericii).
La finalul activită ții, le-am adresat următoarele întrebări:
Ce ați învățat din această activitate?
Ce v -a plăcut cel mai mult?
Cu ce altă experien ță de viață asemăna ți această activitate?
Ați mai văzut pe cineva făcâ nd o activitate asemănătoare?
Ați dori să mai repeta ți această experien ță?,
iar răspunsurile au fost diverse:
Am învă țat să folosesc ruleta;
Am aflat lungimea, lă țimea și perimetrul aleii din fața școlii;
Cunoaștem aria locului de joacă;
Activitatea s -a desfășurat în natură;
52
Am măsurat cu tata lungimea terenului atunci când am construit un gard în
fața curții;
L-am văzut pe unchiul meu măsurând locul unde dorea să construiască un
solar. Am fost cu bunicul și am măsurat lă țimea și lungimea unui teren agricol
pentru a -i afla suprafa ța; Mai dorim să desfă șurăm asemenea activită ți.
Ca temă pentru acasă, au avut de calculat aria gospodărie de acasă.
Concluzionând, pot spune că a fost o activitate foarte utilă pentru elevi, corelând
activitatea teoret ică cu cea practică am putut forma competen țe temeinice, atât de
necesare pe parcursul întregii vie ți. Copiii aveau o relativă experien ță de viață cu
privire la măsurători, utilizarea instrumentelor de măsură, denumirile acestora,
datorată locului în care trăiesc (mediul rural).
Cu acest prilej, au putut consolida experien ța anterioară și conținutul nou
însușit pentru a adăuga o nouă competen ță la educa ție și cunoaștere.
Beneficii: Elevii au învă țat/fixat:
• să folosească/mânuiască corespunzător instrument ul de măsură
(ruleta);
• să identifice forma geometrică a unor suprafe țe de teren, amprenta la
sol a unor imobile;
• să măsoare laturile unor poligoane;
• să efectueze calcule pentru aflarea ariei;
• să aplice corespunzător formula ariei(pentru dreptunghi, pătrat,
trapez).
4.2 Experiment ul al doilea
După terminarea lecției Unități de măsură pentru arie , ne am propus
împreună cu clasa a V -a să ne cunoaștem clasa prin măsurare. La propunerea mea,
elevii au fost foarte încântați de idee și nerăbdători să înceapă măsurarea. La
început am pus câteva întrebări: Care este unitatea de măsură pentru lungime?
Care este unitatea de măsură pentru arie?
Care sunt suprafețele la care știm să calculăm aria?
Dați exemple din clasă care seamăn ă cu un pătrat sau un dreptunghi?
Elevii au răspuns pe rând la fiecare întrebare. Apoi am scris pe tablă
următoarea problemă:
Calculați suprafața pe care se poate călca din interiorul clasei?
53
Am pus un elev să analizeze clasa și să-mi spună obiectele din clasă care
acoperă suprafa ța clasei (catedra, băncile, scaunele, soba, măsuța de servicii și
dulapul cu proiectele elevilor).
Înainte de a măsura am împăr țit clasa pe 3 grupe: grupa 1 formată din 10
elevi care au măsurat și calculat aria catedrei, a dulapului, a sobei și a măsuței
pentru servicii; grupa 2 formată din 6 elevi care au măsurat și calculat aria băncilor
și grupa 3 form ată din 6 elevi care au calculat suprafața scaunelor, ca pe urmă
toată clasa să -și noteze în caiete rezultatele obținute și să rezolve cerin ța de pe
tablă.
Instrument ul folosit pentru măsurare a fost metrul. Așadar am început
activitatea, din fiecare grupă au ieșit pe rând câte doi elevi și au măsurat catedra
având pe podea de dreptunghi cu
𝐿=120 𝑐𝑚,𝑙=80𝑐𝑚,
ceilalți elevi și-au notat în caietele lor și au calculat aria:
Arie catedră
𝐴𝑐=𝐿∙𝑙=120 ∙80=9600 𝑐𝑚2=0,96𝑚2;
Dulapul are forma unui dreptunghi cu dimensiunile
𝐿=210 𝑐𝑚,𝑙=85𝑐𝑚.
Arie dulap
𝐴𝑑=210 ∙85=17850 𝑐𝑚2=1,785 𝑚2;
Soba are forma unui dreptunghi cu dimensiunile de
𝐿=110 𝑐𝑚,𝑙=80;
Arie sobă
𝐴𝑠=110 ∙80=8800 𝑐𝑚2=0,88𝑚2;
Măsuța pentru servicii are forma unui pătrat cu latura de
𝑙=70𝑐𝑚;
Arie măsu ță
𝐴𝑚=70∙70=4900 𝑐𝑚2=0,49𝑚2;
Grupa 2 a urmat să măsoare băncile. Elevii au constatat că toate cele 10
bănci au acelea și dimensiuni.
Băncile au forma unui dreptunghi cu dimensiunile de
𝐿=160 𝑐𝑚,𝑙=70𝑐𝑚.
Arie bancă
𝐴𝑏=160 ∙70=11900 𝑐𝑚2=1,19𝑚2.
Grupa 3 a măsurat cele 22 de scaune care au forma unui pătrat de latura
𝑙=30𝑐𝑚.
Arie scaun
𝑎=30 ∙30=900 𝑐𝑚2=0,09𝑚2.
54
Pe urmă s -au așezat toți în bănci și și-au transmis informa țiile, realizând în
caietele lor următorul tabel:
Mobilierul din clasă Numărul de mobiliere Aria mobilierului
Catedră 1 0,96 𝑚2;
Dulap 1 1,785 𝑚2
Bănci 10 11,9 𝑚2
Scaune 22 1,98 𝑚2
Masă servicii 1 0,49 𝑚2
Apoi am numit 2 elevi să măsoare întreaga suprafață a clasei având formă
dreptunghiulară, iar ceilalți elevi au ascultat și au notat în caietele lor:
𝐿=8𝑚,𝑙=4𝑚.
Elevii au fost foarte bucuro și că au aflat suprafa ța clasei (32 𝑚2), apoi au
calculate Suprafața pe care se poate călca
𝐴=𝐴𝑟𝑖𝑎 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒𝑖
−(𝐴𝑟𝑖𝑒 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑑𝑟 ă+𝐴𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑢𝑙𝑎𝑝 +𝐴𝑟𝑖𝑒 𝑚ă𝑠𝑢ță+𝐴𝑟𝑖𝑒 𝑏ă𝑛𝑐𝑖
+𝐴𝑟𝑖𝑒 𝑠𝑐𝑎𝑢𝑛𝑒 )
𝐴=32−(0,96+1,785 +0,49+11,9+1,98)=32−17,115
𝐴=14,885 𝑚2.
La sfârșitul orei am apreciat elevii care s -au descurcat foarte bine și am
propus ca temă să afle suprafața dormitorului lor de acasă.
În această oră elevii au învățat:
– cum să mânuiască metrul;
– au identificat figurile geometrice (pătratul, dreptunghiul);
– au calculat ariile unor figur i geometrice date;
– au lucrat cu operații cu fracții zecimale;
– au efectuat transformări cu unități de măsură.
55
4.3 Probleme de matematică în care intervine
noțiunea de suprafa ță
Metodele didactice pot fi privite ca modalită ți de conlucrare între cadrele
didactice și elevi în vederea realizării procesului de predare -învățare, în principal
axat pe însușirea cuno ștințelor. Un profesor de matematică are datoria să cunoască
performa nțele fiecărui elev din clasă , precum și ale grupului școlar respectiv, iar
aceste informații trebuie să fie puse ca temelie a sistemului metodologic care va fi
folosit.
Inde pendent de aceste variabile subiective, profesorul de matematică se
poate baza pe obiectivitatea problemelor de matematică. În acest sens, în cele ce
urmează este inclus un set de probleme de matematică în care intervine no țiunea
de suprafa ță, rămânând la latitudinea fiecărui cadru didactic modalitatea de
includere a lor în diverse strategii didactice.
Problema 1 .
În figura de mai jos 𝐴𝐵𝐶𝐷 reprezintă o bucată de tablă galvanizată înformă de dreptunghi
cu 𝐴𝐵=30 𝑐𝑚, și 𝐴𝐵=20 𝑐𝑚, iar 𝑀 este mijlocul lui 𝐵𝐶. Un fierar, do rește să decupeze
triunghiul 𝐷𝑀𝑁 .
a) Determina ți aria △𝐷𝑀𝑁 , în funcție de lungimea 𝑥 a segmentului 𝑁𝐵.
b) Determina ți 𝐴𝑁 știind că aria triunghiului decupat este o treime din aria
dreptunghiului.
c) Pentru 𝐵𝑁 =10 𝑐𝑚, determin ați natura triunghiului decupat.
Rezolvare
Figura 7.
Dacă 𝑀 este mijlocul segmentu lui 𝐵𝐶, deducem că 𝑀𝐵 =𝑀𝐶 =10 𝑐𝑚.
Știind faptul că 𝑁𝐵 =𝑥⟹𝐴𝑁 =30−𝑥.
56
𝐴△𝐷𝐴𝑁 =20(30−𝑥)
2=10(30−𝑥)=(300 −10𝑥)𝑐𝑚2;
𝐴△𝐷𝐶𝑀 =30∙10
2=150 𝑐𝑚2
𝐴△𝑀𝑁𝐵 =10∙𝑥
2=5𝑥𝑐𝑚2;
𝐴▭𝐴𝐵𝐶𝐷 =20∙30=600 𝑐𝑚2;
a) Aria 𝐴△𝐷𝐴𝑁 se află scăzând din aria 𝐴▭𝐴𝐵𝐶𝐷 ariile celor trei triunghiuri
dreptunghice . Se obține
𝐴△𝐷𝑀𝑁 =600 −(300 −10𝑥)−150 −5𝑥=600 −300 +10𝑥−150 −5𝑥
=150 +5𝑥=5(30+𝑥)𝑐𝑚2.
b) O treime din aria dreptunghiului este:
1
3∙𝐴▭𝐴𝐵𝐶𝐷 =600
3=200 𝑐𝑚2⟺25(6+𝑥)=200 ⟹6+𝑥=8⟹𝑥=2𝑐𝑚2
𝐴𝑁 =30−2=28.
c) Dacă 𝐵𝑁 =10 𝑐𝑚⇒𝐴𝑁 =20 𝑐𝑚. Aplicând teorema lui Pitagora în
cele trei triunghiuri dreptunghice, avem:
𝐷𝑁 =20√2𝑐𝑚,𝑀𝑁 =10√2𝑐𝑚,𝐷𝑀 =10√10 𝑐𝑚
Cu aceste informa ții se deduce că △𝐷𝑀𝑁 nu este nici echilateral, nici
isoscel. Verificăm dacă laturile sale îndeplinesc condițiile reciprocei teoremei lui
Pitagora:
𝐷𝑁2=800 ,𝑀𝑁2=200 ,𝐷𝑀2=1000 .
Cum 𝐷𝑁2+ 𝑀𝑁2=𝐷𝑀2⟹△𝐷𝑀𝑁 este dreptunghic în 𝑁.
Problema 2 .
Proprietarul bazei hipice Ecvestri a amenajat un manej4 pe terenul de formă pătrată de
latură a notat cu 1 pe figura de mai jos, un traseu cu obstacole pe terenul de formă pătrată
de latură a notat cu 2 și un padoc pe terenul de forma unui triunghi echilateral de latură a
notat cu 3. Terenurile 4 și 5 de forma unor triunghiuri dreptunghice isoscele de latură a au
fost semănate cu lucernă iar pe terenurile triunghiulare 6 și 7 care se ob țin unind vârfurile
triunghiurilor 4 și 5 cu vârfurile stânga jos, respectiv stânga sus ale pătratului 2, au fost
plantați morcovi. Grajduri le se găsesc în zonele 8 și 9 de formă triunghiulară, ob ținute
prin unirea vârfurilor triunghiurilor 5 și 3, respectiv 4 și 3. Care este suprafa ța întregii
baze sportive (calculată în func ție de a)?
4 manej sn [At: BUL. FIL. V, 167 / V: (înv) ~egi u, ~ă sf (reg) ~ni ș / Pl: ~uri, (rar) ~e / E: fr manège, it
maneggio] 1 Artă de a dresa și de a antrena un cal. 2 (Pex) Loc special amenajat unde se dresează caii și se fac
antrenamente sau demonstrații de călărie.
57
Figura 8.
Soluție:
Evident, pătratele 1 și 2 au suprafa ța egală cu 𝑎2 iar triunghiurile
dreptunghice isoscele 4 și 5 au suprafa ța egală cu jumătate din aria pătratului 1.
Deci zonele 1, 2, 4 și 5 au împreună aria egală cu
𝑎2+𝑎2+𝑎2
2+𝑎2
2+𝑎2
2=3𝑎2
Triunghiurile 6 și 7 sunt echivalente cu triunghiurile 4 și 5 (adică au aceea și
arie ca și acestea), având câte două laturi egale și unghiurile dintre ele
suplementare. Așadar, zonele 1, 2, 4, 5, 6 și 7 au împreună aria egală cu
3𝑎2+𝑎2
2+𝑎2
2=3𝑎2+𝑎2=4𝑎2 (1)
Triunghiul echilateral 3 de latură 𝑎 are suprafa ța de
𝑎2√3
4
iar triunghiul 8 care este echivalent cu triunghiul 3 are aceea și suprafa ță ca și
acesta. Așadar 3 și 8 au împreună aria
2∙𝑎2√3
4=𝑎2√3
2 (2)
Aria triunghiului 9 este egală cu diferen ța dintre suprafa ța patrulaterului 𝐴𝐵𝐶𝐷
58
(vezi desenul de mai jos) și aria triunghiului 𝐶𝐷𝐴 .
Figura 9.
Aria patrulaterului 𝐴𝐵𝐶𝐷 este compusă din aria triunghiului 𝐴𝐵𝐷
congruent cu triunghiul 8 și aria triunghiului 𝐵𝐶𝐷 congruent cu triunghiul 4. Prin
urmare patrulaterului 𝐴𝐵𝐶𝐷 este egală cu
𝑎2 √3
4+𝑎2
2=𝑎2 (2+√3)
4.
Triunghiul 𝐶𝐷𝐴 are 𝐶𝐷=𝑎 și 𝐷𝐴 dublul înăl țimii 𝐴𝑀 a triunghiului echilateral 3
(dublul catetei care se opune unghiului de 30° în triunghiul 𝐴𝑀𝐷 ). Cum 𝐴𝑀 are
lungimea de
𝑎2√3
4
aria triunghiului 𝐶𝐷𝐴 este egală cu
𝑎∙𝑎√3∙sin120°
2=𝑎2√3∙sin60°
2= 3𝑎2
4
În fin al, aria triunghiului 9 este egală cu
𝑎2(2+√3)
4−3𝑎2
4=𝑎2(√3−1)
4 (3)
Ținând seama de relațiile (1), (2) și (3), suprafa ța întregii baze sportive este egală
cu
59
4𝑎2+𝑎2√3
4+𝑎2(√3−1)
4=16𝑎2+2𝑎2√3+𝑎2√3−𝑎2
4=15𝑎2+3𝑎2√3
4
=3𝑎2
4(5+√3).
Problema 3.
În triunghiul 𝐴𝐵𝐶 se consideră punctele 𝑁∈[𝐴𝐶],𝑁∈[𝐴𝐵] și se notează cu 𝑃 intersecția
segmentelor [𝐵𝑀] și [𝐶𝑁]. Știind că ariile triunghiurilor 𝐵𝑁𝑃 , 𝐵𝑃𝐶 și 𝐶𝑀𝑃 sunt 2, 3,
respectiv 4, atunci aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 este:
A)102; B)103; C)104; D)105; E)106
Rezolvare:
Construim figura conform datelor problemei. În plus, adăugăm pe figură
următoarele:
Figura 10.
Unim punctul 𝑃 cu vârfurile triunghiului 𝐴𝐵𝐶 . Construim înălțimile
𝑃𝐴 1, 𝑃𝐵 2 și 𝑃𝐶1 în triunghiurile 𝑃𝐶𝐵 , 𝑃𝐴𝐵 și 𝑃𝐴𝐶 , deci
𝑃𝐴 1⊥𝐵𝐶
𝑃𝐵 1⊥𝐴𝐶
𝑃𝐶1⊥𝐴𝐵
De asemenea , construim înălțimile triunghiului 𝐴𝐵𝐶 notate 𝐵𝐵2 și 𝐶𝐶2, deci
𝐵𝐵 2⊥𝐴𝐶
𝐶𝐶2⊥𝐴𝐵
Am construit toate aceste înălțimi deoarece, având în minte cerința
problemei de a calcula aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 și faptul că sunt cunoscute valorile
ariilor unor triunghiuri, avem nevoie să exprimăm aceste arii folosind formula
ariei triunghiului:
60
𝐴∆=𝑏∙ℎ
2
unde b este latura triunghiului considerată ca bază și h este înălțimea coborâtă din
vârful triunghiului opus bazei.
Putem să scriem aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 ca suma ariilor celor trei triunghiuri
care se formează din punctul 𝑃 cu cele trei vârfuri ale triunghiului: 𝑃𝐴𝐵 , 𝑃𝐵𝐶 și
𝑃𝐶𝐴, adică
𝐴𝛥𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝛥𝑃𝐴𝐵 +𝐴𝛥𝑃𝐵𝐶 +𝐴𝛥𝑃𝐶𝐴 (1)
În triunghiul 𝑃𝐴𝐵, considerăm baza 𝐴𝐵 și înălțimea 𝑃𝐶1, în triunghiul 𝑃𝐴𝐶
consider ăm baza 𝐴𝐶 și înălțimea 𝑃𝐵 1, iar în triunghiul 𝑃𝐵𝐶 avem din datele
problemei aria egală cu 3. Atunci
𝐴∆𝑃𝐴𝐵 =𝐴𝐵∙𝑃𝐶1
2 (2)
𝐴∆𝑃𝐵𝐶 =3 (3)
𝐴∆𝑃𝐶𝐴 =𝐴𝐶∙𝑃𝐵 1
2 (4)
Aria triunghiului 𝑃𝐵𝑁 este egală cu 2, din datele problemei și totodată o
putem scrie folosind baza 𝐵𝑁 și înălțimea 𝑃𝐶1, iar aria triunghiului 𝑃𝐶𝑀 este egală
cu 4 și o putem scrie folosind baza 𝐶𝑀 și înălțimea 𝑃𝐵 1, deci
𝐴∆𝑃𝐵𝑁 =𝐵𝑁∙𝑃𝐶1
2=2 (5)
𝐴∆𝑃𝐶𝑀 =𝐶𝑀 ∙𝑃𝐵 1
2=4 (6)
Etapa1.
Observăm că triunghiul 𝐶𝐵𝑁 este format din triunghiurile 𝑃𝐵𝐶 și 𝑃𝐵𝑁 care
au ariile cunoscute 3 și 2. Deci aria triunghiului 𝐶𝐵𝑁 este 5. Această arie se poate
scrie:
𝐴∆𝐶𝐵𝑁 =𝐶𝐶2∙𝐵𝑁
2 (7)
iar aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 , când luăm baza 𝐴𝐵, este egală cu:
𝐴∆𝐶𝐵𝑁 =𝐴𝐵∙𝐶𝐶2
2 (8)
Dacă împărțim relația (7) la relația (8) vom avea:
𝐴∆𝐶𝐵𝑁
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=𝐶𝐶2∙𝐵𝑁
2:𝐴𝐵∙𝐶𝐶2
2=𝐶𝐶2∙𝐵𝑁
𝐴𝐵∙𝐶𝐶2 (9)
de unde
5
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=𝐶𝐶2∙𝐵𝑁
2:𝐴𝐵∙𝐶𝐶2
2=𝐶𝐶2∙𝐵𝑁
𝐴𝐵∙𝐶𝐶2=𝐵𝑁
𝐴𝐵
61
⇒𝐴𝐵
𝐴𝑁=𝐴∆𝐴𝐵𝐶
5 (10)
Din relația (5) avem
𝐵𝑁∙𝑃𝐶1=4 (11)
iar din relația (2) avem
𝐴𝐵∙𝑃𝐶1=2∙𝐴∆𝑃𝐴𝐵 (12)
Împărțind relația (11) la relația (12) obținem:
𝐵𝑁∙𝑃𝐶1
𝐴𝐵∙𝑃𝐶1=4
𝐴∆𝑃𝐴𝐵⇒𝐵𝑁
𝐴𝐵=2
𝐴∆𝑃𝐴𝐵⇒
𝐴∆𝑃𝐴𝐵 =2∙𝐴𝐵
𝐵𝑁 (13)
Aici înlocuim valoarea raportului 𝐴𝐵
𝐵𝑁 pe care am obținut-o mai sus în relația
(10) și obținem aria triunghiului 𝑃𝐴𝐵 exprimată în funcție de aria triunghiului
𝐴𝐵𝐶, adică
𝐴∆𝑃𝐴𝐵 =𝐵𝐵 2∙𝐶𝑀
2 (14)
Etapa2.
Repetăm raționamentul care este descri s în Etapa 1 și pentru exprimarea
ariei triunghiului 𝑃𝐴𝐶 în funcție de aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 . Astfel:
Observăm că triunghiul 𝐵𝐶𝑀 este format din triunghiurile 𝑃𝐵𝐶 și 𝑃𝐶𝑀 care
au arii cunoscute 3 și 4. Deci aria triunghiului 𝐵𝐶𝑀 este 7. Această arie se poate
scrie:
𝐴∆𝐵𝐶𝑀 =𝐵𝐵 2∙𝐶𝑀
2 (15)
iar aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 , dacă considerăm baza AC, este egală cu:
𝐴∆𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝐶∙𝐵𝐵 2
2 (16)
Dacă împărțim relația (15) la relația (16) vom avea:
𝐴∆𝐵𝐶𝑀
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐵 2∙𝐶𝑀
2: 𝐴𝐶∙𝐵𝐵 2
2=𝐵𝐵 2∙𝐶𝑀
𝐴𝐶∙𝐵𝐵 2 (17)
7
𝐴∆𝐴𝐵𝐶=𝐵𝐵 2∙𝐶𝑀
2: 𝐴𝐶∙𝐵𝐵 2
2=𝐵𝐵 2∙𝐶𝑀
𝐴𝐶∙𝐵𝐵 2=𝐶𝑀
𝐴𝐶
⇒𝐴𝐶
𝐶𝑀=𝐴∆𝐴𝐵𝐶
7 (18)
Din relația (6) avem
𝐶𝑀 ∙𝑃𝐵 1=8 (19)
iar din relația (4) avem
𝐴𝐶∙𝑃𝐵1=2∙𝐴∆𝑃𝐶𝐴 (20)
Împărțind relația (19) la relația (20) obținem:
𝐶𝑀 ∙𝑃𝐵 1
𝐴𝐶∙𝑃𝐵1=8
2∙𝐴∆𝑃𝐶𝐴⇒𝐶𝑀
𝐴𝐶=4
𝐴∆𝑃𝐶𝐴⇒
62
𝐴∆𝑃𝐶𝐴 =4∙𝐴𝐶
𝐶𝑀 (21)
Aici înlocuim valoarea raportului 𝐴𝐶
𝐶𝑀 pe care am obținut-o mai sus în relația
(18) și obținem aria triunghiului 𝑃𝐶𝐴 exprimată în funcție de aria triunghiului
𝐴𝐵𝐶
𝐴∆𝑃𝐶𝐴 =4∙𝐴∆𝐴𝐵𝐶
7 (22)
Etapa3 .
Revenim la relația (1), în care am exprimat aria triunghiului 𝐴𝐵𝐶 ca sumă
de arii, înlocuim valo rile ariilor triunghiurilor cu expresiile obținute în relația (14)
și (22) și ținem cont că aria triunghiului 𝑃𝐵𝐶 este egală cu 3 din datele problemei.
Astfel obținem:
𝐴𝛥𝐴𝐵𝐶 =𝐴𝛥𝑃𝐴𝐵 +𝐴𝛥𝑃𝐵𝐶 +𝐴𝛥𝑃𝐶𝐴 =2∙𝐴∆𝐴𝐵𝐶
5+3+4∙𝐴∆𝐴𝐵𝐶
7
=14∙𝐴∆𝐴𝐵𝐶 +3∙35+20∙𝐴∆𝐴𝐵𝐶
35=34∙𝐴∆𝐴𝐵𝐶 +105
35⟹
35𝐴∆𝐴𝐵𝐶 =34∙𝐴∆𝐴𝐵𝐶 +105
𝐴∆𝐴𝐵𝐶 =105
Rezultatul problemei este varianta: D corespunzătoare valorii 105.
Problema 4.
Un dreptunghi are perimetrul de 300 cm și lățimea 3
7 din lungime. Afla ți aria
dreptunghiului exprimată în 𝑑𝑚2?
Soluție: Mai întâi ne folosim de informa țiile care ni le oferă problema de mai sus,
așadar știm perimetrul dreptunghiului
𝑃𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡𝑢𝑛𝑔 ℎ𝑖𝑢𝑙𝑢𝑖 =300 𝑐𝑚⟹2(𝐿+𝑙)=300 |:2 ⟹
𝐿+𝑙=150 𝑐𝑚
deci știm că lungimea plus lățimea dreptunghiului este de 150 cm, dar mai știm și
că
𝑙=3
7∙𝐿
Dacă înlocuim în rela ția găsită mai sus obținem
𝐿+𝑙=150 ⇒𝐿+3
7∙𝐿=150 |∙7 ⇒7∙𝐿+3
7∙𝐿∙7=150 ∙7⇒7∙𝐿+3∙𝐿=1050
⇒10∙𝐿=1050 ⇒𝐿=1050 :10⇒
𝐿=105 𝑐𝑚
63
Deci lungimea dreptunghiului este de 105 cm.
Acum să aflăm lă țimea , știm că
𝑙=3
7∙𝐿=3
7∙105 =315
7=45𝑐𝑚.
Deci lățimea dreptunghiului este de 45 𝑐𝑚.
Acum aria dreptunghiului este
𝐴𝑑𝑟𝑒𝑝𝑡𝑢 𝑛𝑔ℎ𝑖=𝐿∙𝑙=105 ∙45=4725 𝑐𝑚2
Dar noi trebuie să exprimă m aria dreptun ghiului î n 𝑑𝑚2, deci transformă m
4725 𝑐𝑚2=47,25𝑑𝑚2
64
Anexa1
PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ
DATE GENERALE
Unitatea de învă țământ: …………….
Profesor: ……………………………..
Data: ……………………………….
Clasa : a VII -a
Disciplina: Matematică – Geometrie
Titlul lec ției: Ariile patrulaterelor -extindere
Tipul lec ției: Lecție mixtă
Durata: 50min
Compe tențe generale:
CG1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite;
CG2. Prelucrarea datelor de t ip cantitativ, calitativ, struct ural, contextual c uprinse
în enunțuri matematice;
CG3 . Utiliza rea algoritmilor și a conceptelor matematice pentr u caracterizarea locală
sau globală a u nei situații concrete;
CG4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei
situații concrete și a algoritmilor de prelucrarea a acestora;
CG5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații
problemă;
CG6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii.
Compe tențe specifice lecției:
C.S.1. Recunoa șterea și descrierea patrulaterelor în configura ții geometrice date;
C.S.2. Identificarea patrulaterelor particulare utilizând proprietă ți precizate;
C.S.3. Utilizarea proprietă ților calitative și metrice ale patrulaterelor în rezolvarea
unor probl eme;
C.S.4. Exprimarea prin reprezentări geometrice a no țiunilor legate de patrulatere
C.S.5. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea optimizării
calculelor de lungimi de segmente, de măsuri de unghiuri și de arii;
65
C.S.6. Interpretarea informa țiilor deduse din reprezentări geometrice în corela ție
cu anumite situa ții practice.
Compe tențe derivate:
C.1. Să explice oral diferen ța dintre perimetru și arie a unui patrulater;
C.2. Să utilize ze formulele pentru perimetru și arie în probleme;
C.3 Să calculeze lungimi de segmente folosind aria sau perimetrul unui
patrulater;
C.4. Sǎ-și aminteasc ǎ proprietǎțile triunghiului dreptunghic și sǎ le foloseasc ǎ în
rezolvarea problemelor;
C.5. Să-și amintească defini țiile funcțiilor geometrice și valorile cor espunzătoare
unghiurilor de 30°, 45° și 60°;
C.6. Să determine și să cunoască aria unui triunghi cunoscând două laturi și sinusul
unghiului dintre ele.
C.7. Să utilizeze instrumentele geometrice pentru a reprezenta prin desen rela ții
între elementele unor figuri sau configura ții geometrice (congruen ță, paralelism,
perpendicularitate).
Metode si procedee: expunerea, conversa ția, explica ția, demonstra ția, munca
independentă, exerci țiul aplicativ, lucrul pe grupe, jocul didactic.
Resurs e:
a)materiale:
– Manual clasa a VII-a, Dana Radu, Eugen Radu, ed. Teora
– Mate 2000+consolidare, Anton Negrilă, Maria Negrilă, ed. Paralela 45,2016
-cretă albă, colorată, caiete de notițe, instrumente pentru tablă, trusă
geometrică, fi șe de lucru, fi șe de muncă independentă, coșuleț cu întrebări
b)umane:- clasă omogenă cu cunoștințe ce necesită consolidare;
– activități frontale, individuale și pe grupe;
c)timp:50min.
66
Desfășurarea lec ției
Secvențele
lecției Comp.
spec. Activitățile lecției Timp Metode Evaluare
Moment
organizatoric -verificarea prezenței elevilor și notarea absențelor în
catalog;
-verificarea ținutei elevilor și celor necesare desfășurării orei;
-asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfășurare
a orei;
1’
Captarea
atenției si
verificarea
temei -verificar ea tem ei elevil or prin son daj, uti lizând d ialogul
prof esor–elev, elev-elev, prin confruntarea rezultatelor. În
cazul în care apar diferențe mari la rezultat se rezolvă
exercițiul la tablă;
2’ Activitate
comună Observare
sistematică
Reactualizarea
cunoștințelor
C.S.4.
C.S.5. Voi adresa o serie de întrebări elevilor:
Cum putem determina aria unui triunghi?
Dar a unui triunghi dreptu nghic?
Dar a unui triunghi echilateral?
Elevii vor răspunde la întrebările profesorului.
Aria unui triunghi se poate calcula folosind una dintre
următoarele formule:
–
2hbA=
–
()
2, sin ba abA= 5’ Conv ersația
euristică Analiza
răspunsuri
lor
67
–
()()()cpbpapp A −−−=
Aria unui triunghi dreptunghic se calculează folosind
formula
2hipA=
sau
22 1ccA=
Aria triunghiului echilateral are formula
432lA=
Precizarea
temei si a
obiectivelor
operaționale Profesorul anun ță tema de astăzi și enunță competen țele.
Profesorul notează titlul pe tablă. „ Ariile patrulaterelor –
extindere”
Elevii ascultă și notează în caiete titlul lec ției. 1’ Explicația
Dirijarea
învățării
C.S.1.
C.S.2.
C.S.3.
Profesorul reaminte ște elevilor cum se calculează aria unui
patrulater oarecare și propune un exerci țiu în care se dore ște
să se calculeze aria unui patrulater ortodiagonal.
Aria unui patrulater convex.
Aria unui patrulater convex este egală cu suma ariilor
triunghiurilor în care acesta se descompune.
Aria unui patrulater ortodiagonal.
Aria unui patrulater ortodiagonal este egală cu semi
produsul diagonalelor.
24’
Explicația
Conv ersația
euristică
Explicați
Observ
are
sistem
atică
Analiza
răspunsuri
lor
68
L l
Pentru determinarea ariilor patrulaterelor particulare
învățate profesorul împarte clasa în 4 grupe și oferă fiecărei
grupe câte o fi șă de lucru unde se vor completa formulele de
arie deja cunoscute și care vor con ține și probleme propuse
pentru calcule de arii.
Aria paralelogramului
Înălțimea paralelogramului este distan ța dintre o latură și
latura opusă ei, h.
Aria se calculează cu formula
hl A=
O altă formulă pentru aria paralelogramului:
Dacă notăm cele doua laturi cu l si L, mai putem scrie aria
paralelogramului și astfel:
()lL lLA ; sin=
Obs. În formula ariei se va folosi unghiul ascu țit al
paralelogramului.
Aria dreptunghiului.
lLA=
a
Demonstra ți
a
Conv ersația
euristică
Învățarea
prin
descoperire
Brainstormi
ng
Observare
sistematic
ă
Analiza
Răspunsuri
lor
69
l l C.S.4.
C.S.5.
C.S.6.
Aria pătratului
2lllA==
O altă formulă pentru aria pătratului:
22dA=
Aria rombului.
Aria rombului se poate calcula cu una dintre formulele:
-rombul fiind un paralelogram putem folosi formula de la
aria paralelogramului.
hlA= sau
()ll lA ; sin2=
-rombul fiind un patrulater ortodiagonal putem folosi
formula de la patrulaterul ortodiagonal
22 1ddA=
70
Aria trapezului
()
2hbBA+=
sau
Știind că linia mijlocie a trapezului este
2bB+
putem să
scriem că
hmlA= ..
Asigurarea
feed-back
C.S.3.
C.S.5.
De la fiecare grupă, se va desemna câte un reprezentant ce va
rezolva la tablă probleme de pe fi șa de lucru primită. Colegii
din grupă î și vor ajuta reprezentantul când e nevoie.
15’ Explicația
Demonstra ți
a
Conversa ția
euristică
Lucrul pe
grupe
Aprecieri
asupra
modului de
rezolvare al
fiecărei
grupe
Evaluare Voi face aprecieri individuale și colective asupra activită ții
desfășurate. Elevii care s -au remarcat în mod deosebit vor fi
notați. 1’ Conversa ția
Tema pent ru
acasă Se propune ca temă exerci țiile rămase din Fi șa de lucru 1’
71
FIȘA DE LUCRU
GRUPA I – Aria paralelogramului
PARTEA I :
Completa ți spațiile punctate:
– Laturile opuse ale unui paralelogram sunt…………………. și …………………….două câte
două.
– Unghiurile opuse ale unui paralelogram sunt…………………………, iar cele alăturate
sunt………………………….
– Diagonalele unui paralelogram se……………………………………………
– Înălțimea paralelogramului este ……………………………..
– Aria paralelogramului se calculează folosind formula……………………………
– O diagonală a paralelogramului împarte paralelogramul în două
triunghiuri…………………….
– Cele două diagonale ale paralelogramului îm parte paralelogramul în 4
triunghiuri……………..
PARTEA a II -a :
1. Calcula ți:
a) Aria unui paralelogram cu baza 12 cm și înălțimea corespunzătoare de 5 cm.
b) Aria unui paralelogram cu laturile de
212 cm și 8 cm și măsura unui unghi de
45 .
c) Aria unui paralelogram cu laturile de
310 cm și 6 cm și măsura unui unghi de
120 .
2. Paralelogramul ABCD are perimetrul de 88 cm. Știind că diagonala BD=AD= 20cm,
calculați înălțimea paralelogramului și aria sa.
FIȘA DE LUCRU
GRUPA II – Aria dreptunghiului și a pătratului
PARTEA I :
Completa ți spațiile punctate:
– Laturile dreptunghiului se numesc …………………………… și…………………………
– Dreptunghiul are toate unghiurile……………………………
72
– Diagonalele dreptunghiului sunt……………………….. și
se…………………………………….
– Aria dreptunghiului se calculează cu formula……………………………………
– Perimetrul dreptunghiului se calculează cu formula……………………………………
– Laturile pătratului sunt………………….
– Diagonalele pă tratului sunt………………………………,
………………………………….……, se…………………………. și
sunt………………………………..unghiurilor.
– Formula de calcul a diagonalei pătratului este…………………………..
– Aria pătratului se calculează cu formula……………………………………
– Perimetrul pătratului se calculează cu formula……… ……………………………
PARTEA a II -a :
1.Calculați:
a) Aria unui dreptunghi cu dimensiunile de 10cm și 12cm.
b) Aria unui pătrat cu latura de 8 cm .
c) Aria unui pătrat cu diagonala de 7cm.
2. Calcula ți aria dreptunghiului ABCD, dacă AC=24cm și
75,0 cos = ADB .
3. Fie ABCD un dreptunghi cu CD=12cm. Știind că AE
⊥ BD,
()BD E astfel încât
,36cm AE=
aflați aria dreptunghiului.
FIȘA DE LUCRU
GRUPA a III -a – Aria rombului
PARTEA I :
Completa ți spațiile punctate:
– Rombul are toate laturile………………..
– Unghiurile opuse ale unui romb sunt …………………………, iar cele alăturate
sunt………………………….
– Diagonalele rombului sunt………………………….., ……………..…….unghiurilor și
se……………………………
– Aria rombului se calculează fol osind………………………. sau………………..
73
PARTEA a II -a:
1.Calculați:
a) Aria unui romb cu diagonalele de 15cm și 18cm.
b) Aria unui romb cu latura de 8 cm și măsura unui unghi de
60 .
c) Aria unui romb cu latura de 7cm și înălțimea de 9cm.
2. Un romb are latura de 30cm și o diagonală de 36cm. Afla ți aria rombului și distanța
dintre două laturi paralele ale acestuia.
3. Fie rombul ABCD, cu AB=36cm și
() 30= BCAm . Calcula ți:
a) lungimile diagonalelor rombului
b)perimetrul și aria rombului
c)distanța dintre două laturi opuse ale rombului.
FIȘA DE LUCRU
GRUPA a IV -a – Aria trapezului
PARTEA I :
Completa ți spațiile punctate:
– Trapezul are două laturile……………….. și două…………………………….
– Laturile paralele ale trapezului se numesc…………………………………..
– Trapezul isoscel are laturile neparalele……………………… , unghiurile
……………………………………….. și diagonalele…………………………………
– Trapezul dreptunghic are………………………………….
– Aria trapezului se calculează cu formula………………………..
– Linia mijlocie a trape zuluieste…………………….cu bazele și are formula……….
– Aria trapezului se mai calculează și cu formula………………………..
PARTEA a II -a:
1.Calculați:
a) Aria unui trapez cu bazele 14cm și 8cm și înălțimea de 6cm.
b) Aria unui trapez dreptunghic cu baza mică de 8cm, iar l aturile neparalele egale cu 9cm
și, respectiv, 15cm .
c) Aria unui trapez isoscel cu baza mică de
36 cm, una dintre laturile neparalele egale
cu 12cm și măsura unui unghi de
30 .
74
2. În trapezul dreptunghic ABCD cu
CDAB , AB>CD,
() 90=A m , cunoaștem AD=8cm,
AB=18cm și BC=10cm. Afla ți:
a)aria trapezului;
b) distan ța de la M la BC, dacă
()AD M ,
MD AM
3.Trapezul
ABCD cu
CD AB// are
112====ABCB DC AD cm . Afla ți raportul dintre
aria triunghiului ABC și aria trapezului ABCD.
75
Anexa 2
PROIECT DE TEHNOLOGIE DIDACTICĂ
Data: …………………
Unitatea de învățământ: ………………
Clasa: a VIII-a
Profesor:
Disciplina: Matematică/Geometrie
Unitatea de învățare: Calculul de arii și volume
Titlul lecției: Piramida patrulateră regulată
Tipul lecției : Lecție de sistematizare și consolidare a cunoștințelor
Obiectivele opera ționale ale lec ției:
1. Obiective cognitive:
OC1. Să utilizeze instrumentele geometrice adecvate pentru a reprezenta prin desen corpurile
studiate
OC2. Să utilizeze corect în exprimare terminologia aferentă ;
OC3. Să descrie corpurile, să identifice elementele lor;
OC4. Să calculeze aria și volumul unei prism e;
OC5. Să argumenteze oral demersul de rezolvare al unei probleme;
OC6. Să utilizeze în rezolvarea de probleme noțiunile teoretice învățate.
2. Obiective afective:
OA 1. să participe activ la lecție.
OA 2. să-și dezvolte interesul pentru studiul matematicii.
OA3. Să-și dezvolte spiritul de observație;
OC4. Să-și dezvolte spiritul de echipă.
Mijloace și strategii didactice
1. Materiale suport: tabla, marker diverse culori , coli flipchart, cubul (pt. metoda cubului),
corpuri geometrice, planșe, fișe de lucru .
2. Metode: conversa ția, învățarea prin descoperire, lucrul pe grupe, metoda cubului, turul
galeriei, exercițiul.
3. Forme de evaluare : chestionarea orală
4. Forme de organizare a activită ții: frontal, individual, pe grupe .
5. Etapele lec ției
76
1. Moment organizatoric .
2. Verificarea temei .
3. Captarea atenției.
4. Recapitularea și consolidarea cunoștințelor.
5. Tema pentru acasă .
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
ETAPA CONȚINUTUL METODE FORME DE
ORGANIZARE
Moment
organizatoric
(2 min) Se pun absențele, elevii își pregătesc
materialele Conversa ția Frontal
Verificarea
temei
(3 min) Elevii au avut ca temă de realizat un mic
proiect: clasa fiind împărțită în cinci
grupe – fiecare grupă a avut de realizat
din carton trei corpuri geometrice: cub,
paralelipiped dreptunghic și prismă
dreaptă cu baza triunghi echilateral
Conversa ția
Frontal
Captarea
atenției
(3 min) Prezint pe scurt elevilor în ce constă
metoda cubului – având un cub cu fețele
divers colorate, pe fiecare față fiind
inscripționat un „verb”, prin tragere la
sorți fiecare grupă va primi ca sarcină
una din cele 6 scrise pe fețele cubului. Conversa ția Frontal
77
Recapitularea
și
consolidarea
cunoștințelor
(40 min) Se aplică metoda cubului
Fața 1: Albastru – verbul descrie
Fața 2:Roșu – verbul compară
Fața 3:Verde – verbul asociază
Fața 4:Galben – verbul analizează
Fața 5:Portocaliu – verbul argumentează
Fata 6: Violet – verbul aplică
Elevii sunt împărțiți în 6 grupe eterogene,
nu neapărat egale numeric, după cum
este cazul. Fiecare grupă primește o coală
și un marker. Liderul trage la sorți
sarcina.
Se anunță tema de discutat și timpul de
lucru alocat fiecărei grupe.
Se anunță obiectivele lecției de
consolidare.
Se împart fișele cu sarcinile de lucru în
grup
Timp de 10-15 minute elevii lucrează în
echipă la sarcina de lucru primită.
Profesorul supraveghează activitatea
elevilor și dă indicații acolo unde este
nevoie. Soluționează eventual și situațiile
în care nu toți elevii se implică în cadrul
activității de grup sau atunci când un elev
monopolizează toate activitățile.
După expirarea timpului liderul grupei
expune coala la tablă. Elevii din fiecare
grup își vor prezenta mai întâi sarcina de
lucru și modul de realizare a ei, apoi, la
semnalul dat de profesor, vor trece, pe
rând pe la fiecare poster al colegilor de la
altă grupă și vor acorda acestora o notă.
După ce fiecare grup a vizitat „galeria” și
Metoda
cubului
Exercițiul
Exercițiul
Pe grupe
Individual
78
a notat corespunzător producțiile
colegilor, se vor discuta notele primite și
obiectivitatea acestora, se vor face
aprecieri și se vor corecta eventualele
erori.
Dacă timpul permite se trece la
rezolvarea aplicațiilor din fișa de lucru ,
la care elevii vor lucra în perechi, cu
colegul de bancă, comunicând la cererea
profesorului rezultatele, când este cazul
neclarită țile se rezolvă la tablă.
Tema pentru
acasă și
notarea
elevilor
(2 min) Fișa de lucru
Se notează elevii care s-au remarcat și se
răsplătesc, după caz, grupele , cu buline
roșii. Conversa ția Frontal
79
FIȘA 1
VERBUL „DESCRIE ”
Sarcini de lucru:
1. Enumera ți prismele studiate.
2. Realizați câte un desen corespunzător pentru: cub, paralelipiped dreptunghic
și prisma triunghiulară regulată, punând în evidență elementele lor.
FIȘA 2
VERBUL „COMPARĂ”
Sarcini de lucru:
1. Compara ți o prismă patrulateră regulată cu un cub, evidențiați deosebirile și
asemănările. Este cubul o prismă regulată?
2. Evidențiați asemănările și deosebirile dintre cub și prisma patrulateră
regulată.
3. Compara ți lungimea diagonalei unui cub cu muchia de 3 cm cu lungimea
diagonalei unui paralelipiped dreptunghi cu dimensiunile de 2 cm, 3 cm, 4
cm.
FIȘA 3
VERBUL „ASOCIAZĂ”
Sarcini de lucru:
1. Asociați pentru prismele de mai jos formulele pentru perimetrul bazei și aria
bazei:
a) prisma patrulateră regulată;
b) prisma triunghiulara regulată ;
c) prisma hexagonala regulata.
2. Asociați prismele studiate cu obiecte din mediul cunoscut vouă (dați
exemple).
3. Asociați cubul, paralelipipedul dreptunghic și prisma regulată cu formulele
pentru arie totală și volum.
FIȘA 4
VERBUL „ANALIZEAZĂ”
Sarcini de lucru:
1. Care este prisma cu cel mai mic număr de vârfuri?
2. Ce se poate spune despre paritatea numărului de vârfuri al unei prisme? De
ce?
3. Desenați o prismă patrulateră regulată și puneți în evidență, cu culori diferite,
o diagonală a bazei, o diagonală a unei fețe laterale și o diagonală a prismei
80
FIȘA 5
VERBUL “ARGUMENTEAZĂ”
Sarcini de lucru:
1. Din câte cuburi cu muchia de 1 cm, pot construi un cub cu muchia de 2 cm?
Argumentează .
2. Fie ABCA1B1C1 o prismă triunghiulară regulată cu aria bazei de √3 cm2 și
înălțimea de 2√3 cm. Argumentează modul de calcul al Al, At, V , precum si al
tangentei unghiului diedru dintre planele (C1AB) și (ABC).
FIȘA 6
VERBUL “APLICĂ”
Sarcini de lucru:
1. Calculați aria laterală, aria totală ,diagonala și volumul prismei regulate din
figura 1.
2. Calculați aria laterală, aria totală și volumul cubului din figura 2.
FfFFFFFFigura 1. Figura 2.
81
FIȘĂ DE LUCRU
1. O piscină ale 6 m lungime, 5 m lățime și 1,8 m adâncime.
a) Ce volum are piscina?
b) Ce capacitate are piscina?
c) Care este masa apei din piscină?
2. Un vas de sticlă are forma unui cub cu muchia de lungime 20 cm. Încap în vas 6 l
de apă? Dacă da, până la ce nivel (înălțime) se ridică apa ?
3. Un vas de sticlă de forma unui paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile, L=22
cm, l= 15 cm, h= 30 cm se umple cu apă până la jumătate din înălțime. Punând o
piatră în vas nivelul apei se ridică cu 5 cm.
a) Ce volum de apă se află în vas?
b) Care este volumul pietrei ?
c) Câți centimetri pătrați de sticlă sunt necesari pentru confecționarea vasului
ținând cont de faptul că vasul nu are capac?
4.Calculați aria laterală, aria totală și volumul pentru prismele drepte cu baza
triunghi echilateral din figurile:
a) b)
5. O grindă din lemn are forma de prismă triunghiulară regulată. Latura bazei este de
60 cm, iar înăl țimea de 3,6 m. Afla ți volumul și masa acestei grinzi, știind că
densitatea lemnului este de 600 kg /m3.
6. Fie o prismă hexagonală regulată, ABCDEFA'B'C'D'E'F' în care secțiunea ADD'A'
este un pătrat cu lungimea laturii de 8 cm. Calculați aria laterală și volumul.
82
Anexa 3
Proiect didactic
Obiectul : Matematica
Clasa: a V-a
Subiectul : Unități de măsură pentru aria unei suprafețe
Tipul lecției: mixtă
I. Obiective de referința:
1. Să efectueze transformări între multiplii și submultiplii principalelor unități
din sistemul internațional de măsuri
2. Să recunoască veridicitatea unor rezultate obținute prin măsurare sau calcul;
3. Să interpreteze date obținute prin măsurare sau calcul
4. Să-și formeze obișnuința de a exprima prin operații matematice anumite
probleme practice;
5. Să manifeste perseveren ța în rezolvarea de probleme ;
6. Să participe cu idei noi la găsirea unor soluții.
II. Obiective operaționale :
A. formative :
1. elevii sa cunoască multiplii și submultiplii metrului pătrat ;
2. elevii sa efectueze transformări dintr -o unitate de măsură în alta;
3. elevii sa efectueze evaluări folosind unități de măsură adecvate .
B. afective :
1. stimularea curiozită ții si imaginației;
2. dezvoltarea simțului estetic si critic ;
3. dezvoltarea atenției concentrate si a spiritului de observație.
III. Strategii didactice :
1. mijloace si materiale didactice: fise de lucru, planșa cu desene, creta colorata
2. metode de învățământ : conversa ția euristica, metoda exercițiului, transferarea
cunoștințelor, compara ția
3. moduri de activitate cu elevii: instruire in grupuri, instruire reciproca,
consolidarea teoriei prin practica
83
Conținutul lecției
Etapele lecției Obi
ecti
ve
Strategii didactice
Metode,
procedee Forme
de
activita
te
I. Moment
organizatoric
Se asigura condițiile optime pentru desfășurarea lecției conversa ția în grup
II. Verificarea
cunoștințelor
din lecția
anterioara
II.A
II.B.
1
II.B.
3 Verific frontal următoarele noțiuni : perimetrul pătratului , perimetrul dreptunghiului
Fișe de lucru: ex 1,2
conversa ția în grup
III. Titlul lecției
si obiectivele II.B.
2
II.B.
3 Anunț titlul lecției : ”Unități de măsură pentru aria unei suprafețe. Transformări.”
precum si obiectivele operaționale
conversa ția în grup
84
IV. Dirijarea
învațării
II.A
II.B
II.A 1. Suprafața unui poligon este formată din reuniunea dintre
mulțimea punctelor interioare și mulțimea punctelor ce aparțin
laturilor poligonului. Aria reprezintă o măsură a suprafeței, deci un
număr ce arată câte unități de măsură are suprafața respectivă.
Având un pătrat cu latura u, numărul de astfel de pătrate
necesar pentru a acoperii o suprafață, reprezintă aria ei, iar suprafața pătratului
respectiv reprezintă unitatea de măsură a suprafeței.
2. Aria unității de măsură este de 1u2.
D C
u
u
A B
A= 10 u2
u 2- este un simbol pentru unitatea de măsură aleasă
3. Unitatea principală de măsură pentru lungime este metrul pătrat . Simbolul ce
precizează metrul este m2.
1 m2 este suprafața unui pătrat cu latura de 1m.
Se folosesc: multiplii pentru suprafețe mari și submultiplii pentru suprafețe mici.
(planșe )
metoda
exercițiului
conversa ție
frontala
metoda
exercițiului în grup
85
Submultipli Unitatea
principală Multipli
mm2 cm2 dm2 m2 dam2 hm2 km2
Multiplii și submultiplii m2 cresc și descresc din 100 în 100.
Alte untăți de măsura pentru arii (agrare): – hectarul (ha) 1ha = 1hm2 =10000m2
– arul (ar) 1ar = 100m2 = 1dam2
4. Transformarea unităților de măsură se face:
– din unități mai mari prin înmulțire cu 102n în unități mai mici
– din unități mai mici prin împărțire cu 102n în unități mai mari.
(n – numărul de ”segmente”, ”trepte” dintre două unități)
∙100 ∙100 ∙100 ∙100 ∙100 ∙100
m
𝒎𝒎𝟐 c
cm2 d
dm2 m
𝒎𝟐 d
𝒅𝒂𝒎𝟐Type equation here .
a
ar h
hm2
h
ha k
km2
:100 100 : 100 :100 :100 :100
conversa ția
în grup
86
V. Asigurarea
feedback -ului
VI. Evaluarea
progresului
realizat
VII. Tema
pentru acasă II.A
Manual pag.184, ex. 1; 3
Repetarea noțiunilor studiate, Fișe de lucru: ex 3
Culegere Mate 2000+, clasa a V-a pag.69, ex.14,15,18 metoda
exercițiului
discuția
liberă
87
Fișa de lucru
1. Completa ți următorul rebus:
1. Dreptunghiul cu toate laturile egale
2. Unitatea principală pentru lungime
3. Suma lungimilor laturilor unui poligon
4. Zece metri
A
2. Comparați latura pătratului colorat cu latura pătratului mare.
Măsurați laturile celor două pătrate.Câte pătrate mici sunt în pătratul mare?
2
2.
3
3.
4
4.
1.
88
3.Găsiți perechi de noțiuni echivalente scrise în pătratul de mai jos.
Exemplu :
hectometru pătrat – hectar ( A – B )
A
Hectometrul
pătrat B
hectar C
4,8 dam2
E
480m2 F
unitatea de
măsură
principala
pentru
suprafete
G
Submultiplu
al metrului
pătrat
I
suprafață D
arie
H
100m2
J
Centimetru
pătrat K
10dm2 L
ar
M
1000cm2 P
km2 N
kilometru
pătrat O
metrul pătrat
89
Anexa 4
PROIECT DIDACTIC
Clasa: a VIII -a
Data: ………………
Profesor: …………….
Disciplina : Matematică (Geometrie)
Unitatea de învă țare: Calcul de arii si volume
Subiectul : Paralelipipedul dreptunghic. Probleme
Tipul lec ției: Lecție de formare de priceperi și deprinderi
Locul de desfă șurare : Sala de clasă
Competen țe generale:
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în func ție de
contextul în care au fost definite;
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural , contextual
cuprinse în enun țurile matematice;
3. Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea
locală sau globală a unei situa ții concrete;
4. Analiza și prelucrarea caracteristicilor matematice ale unei situa ții
problemă.
Competen țe specifice:
1. Identificarea unor elemente ale figurilor geometrice plane în configura ții
geometrice spa țiale date;
2. Calcularea ariilor și volumelor corpurilor geometrice studiate;
3. Clasificarea corpurilor geometrice după anumite criterii date sau alese;
4. Exprimarea proprietă ților figurilor și corpurilor geometrice în limbaj
matematic (axiome, teoremă directă, teoremă reciprocă, ipoteză, concluzie,
demonstra ție);
5. Analizarea și interpretarea condi țiilor necesare pentru ca o configura ție
geometrică să verific e anumite cerin țe;
6. Transpunerea unor situa ții-problemă în limbaj geometric, rezolvarea
problemei ob ținute și interpretarea rezultatului.
Obiectivele opera ționale ale lec ției:
La sfârșitul orei elevii vor fi capabili:
90
O1 : Să se foloseas că corect de formu lele ariilor și a volumului în rezolvarea
problemelor ;
O2: Să rezolve probleme practice făcând apel la cuno ștințele teoretice;
O3 : Să aplice corect teoreme și proprietă ți din geometria plană în geometria în
spațiu;
Mijloace și strategii didactice
Materiale suport: tabla, creta, marker , caiete, fișe de lucru, instrumente geometrice
Metode : conversația, expunerea, conversa ția, exerci țiul, aprecierea verbala
Forme de evaluare : conversa ția orală, observarea sistematică
Forme de organizare a act ivității: frontal, individual
Bibliografie:
Culegere de probleme de matematică clasa a VIII – a –Sorin Peligrad, Dan Zaharia,
Maria Zaharia, Editura Paralela 45;
Manual pentru clasa a VIII -a, autori: Corneliu Savu, Gina Caba, Emil Teodorescu,
Dan Popoiu, Ed itura: Teora;
Culegere de Evaluare Națională -Gheorghe Iurea, Maria Zaharia, Adrian Zanoschi,
etc., Editura Paralela 45.
www.mateinfo.ro , www.mate30.lx.ro , www.didactic.ro ,
91
DESFĂȘURAREA LEC ȚIEI
ETAPA OB. CON ȚINUTUL METODE FORME
DE
ORGANIZARE
Moment
organizatoric
(2 min) Asigur ordinea și disciplina
Se pun absen țele in catalog
Se as igură o atmosferă
adecvată pentru buna
desfășurare a orei; Conversa ția frontal
Captarea
atenției
(5 min) Solicit titlul lec ției pregătite
si tema de acasă .
Tema se verifică cantitativ și
calitativ (prin citirea
rezultatelor); sunt efectuate
la tablă exerci țiile și
problemele la care elevii au
întâmpinat dificultă ți.
Elevii sunt aten ți și rețin
explica țiile oferite în vederea
soluționării exerci țiilor și
probl emelor.
Conversa ția
Explica ția
Frontal
Individual
Reactualizarea
cuno ștințelor
(5 min)
Elevii vor răspunde la
întrebări de tipul:
1. Care este ultima lec ție
studiata?
2.Ce este o prismă dreapta?
3.Ce este un paralelipiped
dreptunghic?
4.Care sunt dimensiunile
paralelipipedului?
5.Ce se ob ține prin
desfă șurarea
paralelipipedului
dreptunghic?
6.Ce se nume ște diagonală a
paralelipipedului?
7.Cum calculam diagonala
parale lipipedului
dreptunghic in func ție de
lungimile laturi lor? Conversa ția
Exerci țiul
Frontal
92
8.Care este formula de calcul
a ariei laterale a
paralelipipedului (ariei
totale, volumului)? Scrie ți
formula.
9. Care este unitatea de
măsură pentru arie si pentru
volum?
Anun țarea
subiectului și
a obiectivelor
(1 min) Scriu titlul pe tablă:
Paralelipipedul
dreptunghic. Probleme
Anun ț obiectivele lec ției
Frontal
Desfă șurarea
lecției
(25 min)
O1
O2
O3
Se propun spre rezolvare
elevilor o serie de probleme
practice cu aplica ții ale
noțiunilor de teorie învă țate.
Elevii vor primi fi șa de lucru
pe care o vor rezolva pe
caietele lor de noti țe.
Profesorul monitorizează
activitatea fiecărui elev,
observă și intervine ori de
câte ori este nevoie. Pe rând,
se rezolvă și la tablă, de câ ți
mai mul ți elevi problemele
propuse.
Elevii care ră spund corect
sunt aprecia ți.
Explica ția
Conversa ția
Expunerea
Exerci țiul
Frontal
Obținerea
performan ței și
asigurarea
feedback -ului
(10 min) O1
O3
Se realizează prin
intermedi ul unei fi șe de
lucru cu exerci ții.(fișa de
lucru)
Explica ția
Conversa ția
Frontal
Individual
Încheierea
lecției
(2 min) Profesorul evaluează elevii
care au răspuns la lecție și au
participat cât mai activ (se
pun și note elevilor care au o
activitate mai deosebită).
Se anun ță tema pentru ora Conversa ția
Aprecierea
verbală Frontal
93
viitoare .
Fișă de lucru –exerci țiile
nerezolvate î n clasă.
Elevii sunt aten ți la
aprecierile făcute de către
profesor și notează tema
pentru ora viitoare.
94
FIȘĂ DE LUCRU
1. Se consideră paralelipipedul dreptunghic ABCDA`B`C`D`cu dimensiunile
AB = 8m , BC = 6 m și AA` = 10 m.
a)Diagonala paralelipipedului dreptunghic are …. m..
b)Aria laterala are…….. 𝑐𝑚2.
c)Dacă paralelipipedul se umple cu apă , în el încap ….
litri.
2.În figura 2 este reprezentat ambalajul unei cutii de lapte care are forma unui
paral elipiped dreptunghic ABCDMNPQ, în care , AM=10cm, AB=6cm și BC=5cm.
a)Calculați volumul de lapte, exprimat î n litri.
b)Calculați aria, exprimată în centimetri pătra ți, a
suprafeței de material necesar pentru un ambalaj, știind că
pierderile la îmbinări reprezintă 10% din aria totală a
cutiei.
c)Se introduce în cutie un pai, prin vârful M, până în
punctul S ∈ (AC), fără să cadă în cutie, astfel încât AS =7,5
cm . Arăta ți că lungimea paiului este mai mare de 12 cm.
3.Intr-un bazin in forma de paralelipiped drep tunghic cu lungimea de 10 m, lățime
de 8 m si înălțimea de 2 m s e introduce 40.000 l de apa . Până la ce înălțime se
ridică apa in bazin? De câ ta apa este nevoie pentru ca aceasta să se ridice la
înălțimea de 1,8 m?
4.Un vas în formă de paralelipiped dreptunghic are grosimea pere ților de 1 cm și
dimensiunile exterioare: L = 2 dm, l = 1,8 dm și h = 1,2 dm. Încap în vas 3 litri de
apă?
5.Un țăran gospodar sapă o pivni ță cu lungimea de 6 m, lă țimea de 4 m și
adâncimea d e 3,75 m. Afla ți volumul pământului scos din pivni ță. Dacă pământul
scos este a șternut peste o gradină dreptunghiulară cu dimensiunile de 0,4 hm și
2,5 dam, afla ți cu cât se va înăl ța nivelul pământului în această grădină.
6.O sală de clasă are lungimea d e 12 m, lă țimea de 6 m și înălțimea de 3 m.
Ferestrele și ușa ocupă 15% din suprafa ța zidurilor, iar tabla ocupă 5% din
suprafața zidurilor. Care este suprafa ța ușii și a ferestrelor la un loc?
Care este suprafa ța tablei? Ce suprafa ță trebuie zugrăvită?
95
Dacă unui elev îi sunt necesari 2,5 𝑚2, câți elevi ar putea învă ța în această sală de
clasă?
6.Figura alăturată reprezintă schematic un
acvariu in forma de paralelipiped dreptunghic
cu AB=12 dm, BC=6 dm, AA` = 8 dm
a)Aflați aria totală a paralelipipedulu i
dreptunghic.
b)Aflați lungimea maximă a unei tije care
poate fi introdusă î n paralelipipedul
dreptunghic.
c)Verificați dacă în acvariu încap 600 l de apă .
7. Aflați aria totala și volumul unui paralelipiped dreptunghi c cu l =3cm, L = 4 cm
și h = 5 cm.
8. Calculați aria lateral ă, aria total ă și diagonala unui paralelipiped dreptunghic
care are lungimea de 8 cm, aria bazei de 40 cm² și volumul de 240 cm³.
9. Aflați aria totala a unu i paralelipiped dreptunghic dacă se cunosc următoarele
date: l = 4 cm, Ab = 24 cm² și V = 168 cm³.
96
Bibliografie
[1] Achim Florina, Boja Alina, Ignat Olimpia, Maier Monica, Pirău Maria –
Tereza, Prelegeri de didactică generală – în sprijinul candida ților la examenele de
definitivat și gradul II din învă țământ , Editura Universită ții de Nord, Baia Mare, 2009
[2] Bulboacă M., Alecu M., Metodica activită ților matematice, Editura Sigma, 2000
[3] Cerchez M., Aplicații ale matematicii în practică , Editura Didactică și
Pedagogică, Bucure ști, 1970
[4] Cozac E . (cord.) , Horvat -Marc, A., Teste de evaluare a competen țelor
matematice: învă țarea prin teste predictive, formative și sumative: clasa a VIII -a,
Editura paralela 45, Pite ști, 2014
[5] Cucoș, C., Pedagogie , Editura Polirom 2014
[6] Horvat -Marc, A. Ta șcu, I., Ghid pentru red actarea unei lucrări în vederea
obținerii gradului didactic I , Didactica Matematică, Anul VII, Nr. 2, 2017
[7] Iurea G., Zanoschi A.. coord. Gologan R., Matematică, algebra,
geometrie: clasa a VII – a, Editura Paralela 45, 2012.
[8] Mândruț, O., Mândru ț M., Catană L., Instruirea centrată pe competen țe,
cercetare -inovare -formare -dezvoltare , „Vasile Goldiș” University Press, Arad, 2012
[9] Morar, D.,Baicu, V., O călătorie prin lunile anului ,Edidura Delfinu,2014
[10] Perianu M., Balica I., Săvule scu D., Matematică clasa a VII – a, Editura Art
Educational, 2018
[11] Perianu, M.,Stănică, C.,Smărăndoiu, Ș., Matematică, clasa a V -a, Editura
Art,2017
[12] Roco M., Creativitatea și inteligen ța emoțională , Ed. Polirom, Ia și , 2004
[13] Sanda N., Berende M., Chiciudean N, Matematică, Exerci ții și probleme,
clasa a V – a, Editura Booklet, 2016
[14] Sanda N., Chilom I., Sas M., Matematică, Exerci ții și problem, clasa a VII –
a, Editura Booklet, 2016
[15] Săndulescu F., Nica C., Solymo și M., Matematică, Evaluarea Na țională
pentru clasa a VIII – a, Editura Booklet , 2016
[16] Solomon Marcus, Ȋntâlnirea extremelor , Editura Paralela 45, Pite ști, 2005
[17] Simion P., Nicolae V., Matematică, Breviar Teoretic, Exerci ții și probleme
propuse și rezolvate, clasa a VII – a, Editura Niculescu, 2016.
97
[18] Ștefan R., Radu D. – M., Baibarac V., Buduianu V., Evaluarea Na țională, clasa a
VIII- a, 66 de teste rezolvate după modelul MEN, Editura Nicul escu 2015
[19] Vălcan D., Metodologia rezolvării problemelor de aritmetică , Casa Căr ții de
Știință , Cluj Napoca , 2007
[20] Vălcan D, Didactica matematicii, Editura Matrix Rom, 2013
[21] Văideanu George, Educația la frontiera dintre milenii , Editura Politică,
București, 1988
[22] Zaharia Dan, Zaharia Maria, Culegere de probleme de matematică, Editura
Paralela 45, 2014
[23] *** Colec ția Gazeta Matematică
[24] https://ro.wikipedia.org
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Introducere … … … … 5 [621274] (ID: 621274)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.