Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 4 Cap. I Interpolare și… [621800]

UNIVERSITATEA ,, LUCIAN BLAGA” DIN SIBIU
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ ȘI
INFORMATICĂ
MATEMATICĂ INFORMATICĂ

LUCRARE DE LICENȚĂ

Student: [anonimizat]
2015

2 FACULTATEA DE ȘTIINȚE
DEPARTAMENTUL DE MATEMATICĂ ȘI INFORMATICĂ
MATEMATICĂ INFORMATICĂ

PROCEDEE DE APROXIMARE
A FUNCȚIILOR

Coordonator științific:
Lector univ. dr. Ioan Țincu
Student: [anonimizat]
2015

3
CUPRINS

Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 4

Cap. I Interpolare și funcții spline ………………………….. ………………………….. …. 5
1.1. Procedee de interpolare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 5
1.2. Interpolare polinomială . ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 9
1.2.1. Interpolare Lagrange. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 9
1.2.2. Interpolare Hermite. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 26
1.2.3. Interpolare Birkhoff. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 35
1.3. Interpolare trigonometrică . ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 40
1.4. Interpolare rațională. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 43
1.5. Funcții spline ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 48
1.5.1. Funcții spline cubice ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 50

Cap. II Aproximarea prin operatori liniari și pozitivi ………………………….. .. 54
2.1.Operatori liniari și pozitivi ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 54
2.2. Modulul de continuitate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 57
2.3. Operatorii Bernstein ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 63
2.4. Curbe Bézier ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 71

BIBLIOGRA FIE ………………………….. ………………………….. …………………………. 75

4 Introducere

Analiza numerică este ramura matematicii care se ocupă de studiul metodelor
numerice pentru rezolvarea unor probleme formulate și studiate î n cadr ul altor discipline
matematice și a unor discipline tehnice.
Înrududit ă cu informatica, mai ales sub aspectu l algoritmicii, analiza numerică a
contribuit esenț ial la dezvoltarea acesteia dar, î n acelaș i timp, progresele realizate în cadrul
informaticii au condus la aprofundarea ș i diversificarea de ramuri ale analizei numerice
precum și la consolidarea de ramuri noi cum ar fi complexitatea calculului, calcul î n paralel,
etc.
În modelarea fenomenelor (fizice, tehnice, economice, soc iale, etc.) suntem adesea
puși în situația de a manipula funcții necunoscute ca expresii și definite doar prin valorile din
anumite puncte (valori care, în general, sunt “date experimentale”, respectiv provin din
experimente, măsurători, sondaje, etc.). Pe ntru a putea efectua diferite calcule numerice pe
baza “datelor experimentale” (estimarea valorii în puncte diferite de cele cunoscute,
evaluarea unor operații matematice standard precum derivarea sau integrarea) este necesară
găsirea unei funcții de aprox imare, cu o formă analitică simplă, ușor de manevrat într -un
algoritm de calcul.
Aproximarea unei funcții poate fi utilă și dacă funcția cu care trebuie să operăm este
cunoscută dar are o formă complicată, greu de “manipulat” numeric. În acest caz, prin
calculul valorilor funcției originale într -o serie de puncte se ajunge la o situație similară
cu cea precedentă (funcție cunoscută într -un număr finit de puncte).
Lucrarea este structurată pe doua capitole. În primul capitol sunt expuse une le
procedee de interpolare și câ teva chestiuni legate de funcții spline. A doua secțiune cuprinde
o introducere în aproximarea prin operatori liniari și pozitivi, se continuă cu operatori
Bernstein iar în încheiere este expusă o aplicație importantă a operatorilor Bernst ein și anume
Curbele Bézier.
Menționez faptul că toate noțiunile teoretice sunt luate din materialele [1], [2], [4],
[6], [7] expuse in bibliografie.
Contribuția noastră la această lucrare constă în elaborarea exemplelor și aplicați ilor
din fiecare capi tol.
În concluzie tema tratată în această lucrare poate să -mi ofere posibilitatea de a cerceta
în viitor probleme matematice și informatice.

5 Capitolul I
1. Interpolare și funcții spline
1.1. Procedee de interpolare
Fie B un spa țiu lini ar n-dimensional peste corpul K , A
 B, 𝑓∈ B, 𝜆𝑖 : B→K,
𝑖=1,…,𝑛, funcționale liniare.
Definiția 1.1. Problema determinării unei funcții 𝑔∈ A astfel încât
(1.1) 𝜆𝑖𝑔=𝜆𝑖𝑓,𝑖=1,…,𝑛
se numește pr oblemă de interpolare. Funcția 𝑔 determinată în condițiile ( 1.1), dacă există, se
numește funcția de interpolare a lui f în raport cu funcționalele 𝜆𝑖,𝑖=1,…,𝑛, iar aplicația
𝑃: B → A cu proprietatea că 𝑃𝑓=𝑔 se num ește operator de interpolare.
Formula 𝑓=𝑃𝑓+𝑅𝑓 se numește formulă de interpolare, Rf fiind termenul rest
(funcția eroare).
Teorema 1.1. Fie B un spa țiu liniar n -dimensional și 𝜆𝑖𝜖 B* (conj ugatul algebric al
spațiului B),𝑖=1,…,𝑛. Se consideră propozițiile :
i) 𝜑1,…,𝜑𝑛∈ B sunt liniar independente
ii) 𝜆1 ,…,𝜆𝑛∈ B* sunt liniar independente
iii) |𝜆𝑖𝜑𝑗|≔|𝜆1𝜑1…𝜆1𝜑𝑛
⋮…⋮
𝜆𝑛𝜑1…𝜆𝑛𝜑𝑛|≠0.
Atunci, dacă oricare două dintre aceste propoziții sunt adevărate rezultă că și a treia
propoziție este adevarată.
Demonstraț ie: Consideră m propoziț iile i) și ii) adevărate. Trebuie demonstrat că |𝜆𝑖𝜑𝑗|≠0.
Presupunem că |𝜆𝑖𝜑𝑗|=0. Atunci ș i |𝜆𝑗𝜑𝑖|=0,|𝜆𝑗𝜑𝑖| fiind determinantul obț inut din |𝜆𝑖𝜑𝑗|
prin schimbarea lini ilor în coloane. Rezultă că sistemul
(1.2) ∑𝐴𝑗𝑛
𝑗=1𝜆𝑗𝜑𝑖=0,𝑖=1,…,𝑛
(cu determinantul |𝜆𝑗𝜑𝑖|=0 ) admite soluție nebanală .
Fie 𝐴̃1,…,𝐴̃𝑛 o astfel de soluție, adică |𝐴̃1|+⋯+|𝐴̃𝑛|≠0.
Ca urmare,
(1.3) (∑ 𝐴̃𝑗𝑛
𝑗=1𝜆𝑗)𝜑𝑖=0,𝑖=1,…,𝑛.
Din i) rezultă că elmentele 𝜑1,…,𝜑𝑛 formează o bază pentru spaț iul B, deci

6 (1.4) (∑ 𝑛
𝑗=1𝐴̃𝑗𝜆𝑗)𝜑=0,(∀) 𝜑∈ B,
ceea ce implic ă
(1.5) ∑ 𝐴̃𝑗𝑛
𝑗=1𝜆𝑗=0.
Cum |𝐴̃1|+⋯+|𝐴̃𝑛|≠0, rezultă că 𝜆𝑗,𝑗=1,…,𝑛 sunt liniar dependente, ceea ce
contrazice ii). Prin urmare, |𝜆𝑖𝜑𝑗|≠0. ∎
Observația 1. 1. Dacă i) și iii) sunt adevă rate atunci și ii) este adevarată. Într -adevă r,
dacă ii) ar fi falsă, adică 𝜆𝑖,𝑖=1,…,𝑛 ar fi liniar dependente, atunci ar rezulta succesiv ( 1.5)
cu 𝐴̃1,…,𝐴̃𝑛 nu toate nule, ( 1.4), ( 1.3) și deci sistemul ( 1.2) ar admite soluție nebanală ,
contrar ipotezei iii).
Un raționament analog justifică și a treia implicație, adică ii) ș i iii) implică i).
Teorema 1.2. Fie B un spaț iu liniar n -dimensional, 𝜑∈ B și 𝜆1 ,…,𝜆𝑛∈ B*.
Problema de interpolare
(1.6) 𝜆𝑖 𝜑=𝑘𝑖,𝑖=1,…,𝑛
are soluție unică pentru orice (𝑘1,…,𝑘𝑛)∈𝐾𝑛 dacă și numai dacă funcț ionalele 𝜆𝑖,
𝑖=1,…,𝑛 sunt liniar independente.
Demonstraț ie: Fie 𝜑1,…,𝜑𝑛 o baza a spatiului B.
Se presupune că problema de interpolare ( 1.6) are soluț ie pentru orice valori (𝑘1,…,𝑘𝑛)∈
𝐾𝑛. Rezultă că sistemul
(1.7) ∑𝐴𝑗𝑛
𝑗=1𝜆𝑖𝜑𝑗=𝑘𝑖,𝑖=1,…,𝑛
în necunoscutele 𝐴1,…,𝐴𝑛 are soluț ie pentru orice (𝑘1,…,𝑘𝑛)∈𝐾𝑛, deci |𝜆𝑖𝜑𝑗|≠0. Cum
𝜑1,…,𝜑𝑛∈ B sunt liniar ind ependente, pe baza Teoremei 1.1 rezultă că 𝜆1,…,𝜆𝑛 sunt liniar
independente.
Reciproc, fie 𝜆1,…,𝜆𝑛∈ B* liniar indepen dente. Tot conform Teoremei 1.1 rezultă că
|𝜆𝑖𝜑𝑗|≠0, deci sistemul ( 1.7) admite soluție unică pentru orice (𝑘1,…,𝑘𝑛)∈𝐾𝑛. Fie
aceasta 𝐴̃1,…,𝐴̃𝑛. Rezultă că funcț ia
𝜑=∑𝐴̃𝑖𝜑𝑖𝑛
𝑖=1
este soluț ie a problemei de interpolare.
Unicitatea soluției problemei ( 1.6) rezultă din unicitatea soluț iei 𝐴̃1,…,𝐴̃𝑛 a
sistemului ( 1.7). ∎

7 Observaț ia 1.2. Conform teoremei 1.2, exis tența și unicitatea soluț iei problemei de
interpolare ( 1.6) este determinată de liniar independența funcț ionalelor liniare 𝜆1,…,𝜆𝑛∈ B*.
Ca urmare, se spune că un sistem de funcționale liniare 𝜆1,…,𝜆𝑛∈ B*, liniar independente,
posedă proprietatea de interpolare.
Teorema 1.3. Fie B un spaț iu liniar n -dimensional . Dacă 𝜆1,…,𝜆𝑛∈ B* sunt l iniar
independente atunci există în mod unic n funcț ii 𝜑̃1,…,𝜑̃𝑛∈ B, liniar independente, astfel
încât
i) 𝜆𝑖𝜑̃𝑗=𝛿𝑖𝑗,𝑖,𝑗=1,…,𝑛.
ii) 𝜑=∑𝜑̃𝑗𝜆𝑗𝜑, 𝜑∈𝑛
𝑗=1 B.
iii) φ =∑𝜑̃𝑗𝑘𝑗𝑛
𝑗=1
este soluț ie a problemei de interpolare
𝜆𝑖𝜑=𝑘𝑖,𝑖=1,…,𝑛
oricare ar fi (𝑘1,…,𝑘𝑛)∈𝐾𝑛.
Demonstrație : Fie 𝜑1,…,𝜑𝑛 o bază a lui B. Liniar independența funcț ionalelor
𝑘1,…,𝑘𝑛 implică, conform teoremei 1.1, |𝜆𝑖𝜑𝑗|≠0.
Considerând
𝜑̃𝑗=∑𝐴𝑗𝑘𝑛
𝑘=1𝜑𝑘,𝑗=1,…,𝑛
din i) , se obț ine
𝜆𝑖𝜑̃𝑗≔∑𝐴𝑗𝑘𝑛
𝑘=1𝜆𝑖𝜑𝑘=𝛿𝑖𝑗,𝑖=1,…,𝑛,
sistem care, avî nd determinant ul diferit de zero, admite soluție unică pentru fiecare
𝑗=1,…,𝑛. Ca urmare 𝜑̃1,…,𝜑̃𝑛 care verifică i) există î n mod unic.
Liniar independenț a elementelor 𝜑̃1,…,𝜑̃𝑛 rezultă din liniar independenț a elementel or
𝜑1,…,𝜑𝑛, afirmația i) fiind complet demonstrată .
Pentru a demonstra afirmația ii) observăm, mai î ntâi că ii) are loc pentru orice 𝜑∈ B.
Într-adevăr din ii) se obț ine
𝜆𝑘𝜑=∑𝜆𝑘𝜑̃𝑗𝑛
𝑗=1𝜆𝑗𝜑=∑𝛿𝑘𝑗𝜆𝑗𝜑=𝜆𝑘𝜑, 𝑘=1,…,𝑛.𝑛
𝑗=1
În al doilea rând, dacă consideră m
𝜑̅=∑𝜑̃𝑗𝜆𝑗𝜑𝑛
𝑗=1

8 se obț ine
𝜆𝑘𝜑̅=∑𝜆𝑘𝜑̃𝑗𝑛
𝑗=1𝜆𝑗𝜑=𝜆𝑘𝜑,
deci 𝜆𝑘𝜑̅=𝜆𝑘𝜑,𝑘=1,…,𝑛. Cum problema de interpolare ( 1.6) are soluție unică , 𝜆1,…,𝜆𝑛
fiind liniar independente, rezultă că 𝜑̅=𝜑.
Afirmaț ia iii) se verifică analog, adică
𝜆𝑖𝜑=∑𝜆𝑖𝑛
𝑗=1𝜑̃𝑗𝑘𝑗=𝑘𝑖,𝑖=1,…,𝑛. ∎
Definiț ia 1.2. Funcț iile 𝜑̃𝑘,𝑘=1,…,𝑛 se numesc funcț ii fundamentale de inter –
polare.
Teorema 1.4. Fie B un spaț iu liniar de dimensiune n, 𝜆1,…,𝜆𝑛∈ B* liniar indepen –
dente ș i 𝜑1,…,𝜑𝑛 o bază a lui B. Dacă 𝑘∈𝐾𝑛, atunci
(1.8) 𝜑=−1
𝐺|0 𝜑1 …𝜑𝑛
𝑘1𝜆1𝜑1…𝜆1𝜑𝑛
⋮
𝑘𝑛⋮
𝜆𝑛𝜑1…
…⋮
𝜆𝑛𝜑𝑛|
unde
𝐺=|𝜆1𝜑1…𝜆1𝜑𝑛
⋮…⋮
𝜆𝑛𝜑1…𝜆𝑛𝜑𝑛|
este soluț ie a problemei de interpolare ( 1.6).
Demonstrație: Se observă că 𝜑 este o combinație liniară a elementelor 𝜑1,…,𝜑𝑛, deci
𝜑∈ B. Din ( 1.8) rezultă că
𝜆𝑖𝜑=−1
𝐺|0𝜆𝑖𝜑1 … 𝜆𝑖𝜑𝑛
𝑘1𝜆1𝜑1…𝜆1𝜑𝑛
⋮
𝑘𝑛⋮
𝜆𝑛𝜑1…
…⋮
𝜆𝑛𝜑𝑛|.
Dezvoltând determinantul după elementele primei coloane, se obț ine
𝜆𝑖𝜑=(−1)𝑖+1𝑘𝑖
𝐺
|||𝜆𝑖𝜑1 …𝜆𝑖𝜑𝑛
𝜆1𝜑1 …𝜆1𝜑𝑛
⋮ …⋮
𝜆𝑖−1𝜑1…𝜆𝑖−1𝜑𝑛
⋮ …⋮
𝜆𝑖+1𝜑1…𝜆𝑖+1𝜑𝑛
⋮ …⋮
𝜆𝑛𝜑1 …𝜆𝑛𝜑𝑛 |||
,
restul minorilor, avâ nd două linii identice, sunt nuli. Î n continuare, avem

9 𝜆𝑖𝜑=(−1)𝑖+1𝑘𝑖
𝐺(−1)𝑖−1𝐺,
deci
𝜆𝑖𝜑=𝑘𝑖,𝑖=1,…,𝑛. ∎
Exemplu 1.1. Fie 𝐵
 𝐶(ℝ),
𝐵=𝑆𝑝𝑎𝑛{𝑒𝑥,𝑒2𝑥,…,𝑒𝑛𝑥}={∑𝛼𝑘𝑒𝑘𝑥|𝑛
𝑘=1𝛼𝑘∈ℝ,𝑘=1,𝑛̅̅̅̅̅}.
Corolar 1.1. Pentru func țiile fundamentale de interpolare avem
(1.9) 𝜑̃𝑖=(−1)𝑖+1
𝐺
||𝜑1
𝜆1𝜑1
⋮…
…
…𝜑𝑛
𝜆1𝜑𝑛
⋮
𝜆𝑖−1𝜑1
⋮
𝜆𝑖+1𝜑1…
…
…𝜆𝑖−1𝜑𝑛
⋮
𝜆𝑖+1𝜑𝑛
⋮
𝜆𝑛𝜑1…
…⋮
𝜆𝑛𝜑𝑛||
,𝑖=1,…,𝑛.
Demonstra ția rezultă imediat lu ând în ( 1.8) 𝑘𝑗=𝛿𝑖𝑗,𝑗=1,…,𝑛 și dezvoltând
determinantul obținut după elementele primei coloane. ∎
În funcție de natura elementelor mulțimii A și a funcț ionalelor 𝜆𝑖,𝑖=1,…,𝑛 se
obțin diverse tipuri de probleme de interpolare.

1.2. Interpolare polinomial ă.

Se obț ine pentru A = P.
În continuare vor fi prezentate cele mai importante tipuri de pro cedee de interpolare
polinomială .

1.2.1. Interpolare Lagrange.
Fie [𝑎,𝑏]
ℝ,𝑥𝑖∈[𝑎,𝑏],𝑖=0,1,…,𝑚 astfel încâ t 𝑥𝑖≠𝑥𝑗 pentru 𝑖≠𝑗 și 𝑓:[𝑎,𝑏]→ℝ.
Definiț ia 1.3. Problema de interpolare relativă la spaț iul Pm și la funcț ionalele liniare
𝜆0,…,𝜆𝑚 definite prin 𝜆𝑖𝑓=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚, se numeș te problema de interpolare
Lagrange.
Observaț ia 1.3. Problem a de interpolare Lagrange constă, deci, î n determinarea
polin omului P de grad minim, astfel încâ t
(1.10) 𝑃(𝑥𝑖)=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚
adică a polinomului de grad minim care trece prin punctele distincte

10 (𝑥𝑖,𝑓(𝑥𝑖)),𝑖=0,1,…,𝑚.
Definiț ia 1.4. O soluț ie a probleme i de interpolare Lagrange , dacă există, se numeș te
polinom de interpolare Lagrange și se notează prin 𝐿𝑚𝑓,𝐿𝑚 fiind operatorul de interpolare
Lagrange.
Având în vedere teorema 1.2, problema existenței și unicităț ii polinomului de inter –
polare Lagra nge se reduce la a stabilii dacă funcț ionalele 𝑓(𝑥𝑖), 𝑖=0,1,…,𝑚 posedă
proprietatea de interpolare.
Să arătăm că funcț ionalele 𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚 sunt liniar independente. Într -adevăr,
dacă presupunem că acestea ar fi liniar dependente, ar rezulta că
∑𝛼𝑖𝑚
𝑖=0𝑓(𝑥𝑖)=0,𝛼𝑖∈ℝ, ∑|𝛼𝑖|𝑚
𝑖=0≠0,
oricare ar fi 𝑥𝑖∈[𝑎,𝑏],𝑖=0,1,…𝑚 puncte distincte, ceea ce implică 𝑓=0 pe intervalul
[a,b].
Prin urmare, problema d e interpolare Lagrange are soluție unică , deci polinoamel e de
interpolare Lagrange există î n mod unic.
Pentru determinarea polino mului lui Lagrange, apelă m din nou la Teorem a 1.3.
Afirmația ii) a aceste ia conduce la
(1.11) (𝐿𝑚𝑓)(𝑥)=∑𝑒𝑖(𝑥)𝑓(𝑥𝑖),𝑚
𝑖=0
unde prin 𝑒𝑖,𝑖=0,1,…,𝑚 s-au notat polinoamele fundamentale de interpolare Lagrange.
Conform lui ( 1.9) avem
𝑒𝑖(𝑥)=(−1)𝑖+1
𝑉(𝑥0,…,𝑥𝑚)
||1
1
…𝑥
𝑥0
… …
…
⋮𝑥𝑚
𝑥0𝑚
…
1
1
…𝑥𝑖−1
𝑥𝑖+1
……
…
⋮𝑥𝑖−1𝑚
𝑥𝑖+1𝑚
…
1𝑥𝑚 …𝑥𝑚𝑚||

=(−1)𝑖+1𝑉(𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑖−1,𝑥𝑖+1,…,𝑥𝑚)
𝑉(𝑥0,…,𝑥𝑚).
Având î n vedere exprimarea determinantului lui Vandermonde sub forma
𝑉(𝑥0,…,𝑥𝑚)=∏(𝑥𝑖−𝑥𝑗)𝑚
𝑖,𝑗=0
după simplificările posibile, se obț ine

11 (1.12) 𝑒𝑖(𝑥)=(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖+1)…(𝑥−𝑥𝑚)
(𝑥𝑖−𝑥0)…(𝑥𝑖−𝑥𝑖−1)(𝑥𝑖−𝑥𝑖+1)…(𝑥𝑖−𝑥𝑚)
sau
(1.13) 𝑒𝑖(𝑥)=𝑢(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑖)𝑢′(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚
unde
(1.14) 𝑢(𝑥)=(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑚).

Teorema 1.5. Operatorul 𝐿𝑚 este un proiector adică este liniar ș i idempotent, iar
‖𝐿𝑚‖=max
𝑎≤𝑥≤𝑏∑|𝑚
𝑖=0𝑒𝑖(𝑥)|.
Demonstraț ie: Liniaritatea rezultă imediat din (1.11) ș i anume
𝐿𝑚(𝛼𝑓+𝛽𝑔)(𝑥)=∑𝑒𝑖(𝑥)[𝛼𝑓(𝑚
𝑖=0𝑥𝑖)+𝛽𝑔(𝑥𝑖)]=𝛼(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)+𝛽(𝐿𝑚𝑔)(𝑥),
deci
𝐿𝑚(𝛼𝑓+𝛽𝑔)= 𝛼𝐿𝑚𝑓+𝛽𝐿𝑚𝑔
oricare ar fi 𝑓,𝑔:[𝑎,𝑏]→ℝ și 𝛼,𝛽∈ℝ.
Privind norma operatorului 𝐿𝑚, avem
‖𝐿𝑚‖=
1sup
f ‖𝐿𝑚𝑓‖
=
1sup
f max
𝑎≤𝑥≤𝑏|∑𝑒𝑖(𝑥)𝑓(𝑥𝑖)𝑚
𝑖=0|
=max
𝑎≤𝑥≤𝑏
1sup
f|∑𝑒𝑖(𝑥)𝑓(𝑥𝑖)𝑚
𝑖=0|
=max
𝑎≤𝑥≤𝑏∑|𝑚
𝑖=0𝑒𝑖(𝑥)|.
Amintim că 𝑒𝑘este funcția definită prin 𝑒𝑘(𝑥)=𝑥𝑘, din (1.8), rezultă că
(𝐿𝑚𝑒𝑘)(𝑥)=−1
𝑉(𝑥0,…,𝑥𝑚)|0 1 𝑥…𝑥𝑘…𝑥𝑚
𝑥0𝑘 1𝑥0…𝑥0𝑘…𝑥0𝑚
⋮
𝑥𝑚𝑘 ⋮ ⋮…
1𝑥𝑚…⋮ … ⋮
𝑥𝑚𝑘…𝑥𝑚𝑚|
Scăzând din prima coloană a determinantului, coloana a (𝑘+2)−𝑎, se obț ine

12 (𝐿𝑚𝑒𝑘)(𝑥)=−1
𝑉(𝑥0,…,𝑥𝑚)|−𝑥𝑘1
0 1𝑥 …
𝑥1 …𝑥𝑚
𝑥1𝑚
⋮ ⋮⋮ ⋮⋮
0 1𝑥𝑚…𝑥𝑚𝑚|=𝑥𝑘.
Prin urmare, 𝐿𝑚𝑒𝑘=𝑒𝑘,𝑘=0,1,…,𝑚.
𝐿𝑚 fiind un operator liniar rezultă că 𝐿𝑚𝑓=𝑓, oricare ar fi 𝑓∈ Pm, deci 𝐿𝑚2=𝐿𝑚. ∎
Polinomul de interpolare a lui Lagrange generează formula de aproximare
(1.15) 𝑓=𝐿𝑚𝑓+𝑅𝑚𝑓
unde prin 𝑅𝑚𝑓 s-a notat termenul rest.
Definiț ia 1.5. Formula de aproximare (1.15) se numeș te formula de interpolare
Lagrange iar 𝑅𝑚 se numeș te operatorul rest.
Teorema 1.6. 𝑅𝑚 este, de asemenea, un proiector.
Demonstraț ie: Liniaritatea rezultă imediat din proprietatea de liniaritate a operatorului
𝐿𝑚. Pe de altă parte, pentru orice 𝑓∈𝑃𝑚, avem 𝑅𝑚𝑓=𝑓−𝐿𝑚𝑓=𝑓−𝑓=0, deci
𝑅𝑚(Pm)=0. Prin urmare, 𝑅𝑚(𝑅𝑚𝑓)=𝑅𝑚(𝑓−𝐿𝑚𝑓)=𝑅𝑚𝑓, adică 𝑅𝑚2=𝑅𝑚. ∎
Vom demonstra în continuare câteva reprezentă ri ale termenului rest al formulei de
interpolare Lagrange.
Teorema 1.7. Fie 𝛼=min{𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚} și 𝛽=max{𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚}.
Dacă 𝑓∈𝐶𝑚[𝛼,𝛽] și 𝑓(𝑚) este derivabilă pe intervalul (𝛼,𝛽) atunci există
∈(𝛼,𝛽) astfel
încât
(1.16) (𝑅𝑚𝑓)(𝑥)=𝑢(𝑥)
(𝑚+1)! 𝑓(𝑚+1)(
),
unde u este polinomul definit î n (1.14).
Demonstraț ie: Fie 𝐹 funcția definită prin
𝐹(𝑧)=|𝑢(𝑧)(𝑅𝑚𝑓)(𝑧)
𝑢(𝑥)(𝑅𝑚𝑓)(𝑥)|.
Din ipotezele teoremei asupra lui 𝑓 rezultă că 𝐹∈𝐶𝑚[𝛼,𝛽] și există 𝐹(𝑚+1) pe
(𝛼,𝛽). De asemenea, se observă că
𝐹(𝑥)=0,𝑓(𝑥𝑖)=0,𝑖=0,1,…,𝑚.
Deci, 𝐹 are pe intervalul [𝛼,𝛽],(𝑚+2) zerouri distincte. Aplicâ nd suc cesiv teorema
lui Rolle, rezultă că 𝐹(𝑚+1) are cel puț in un zerou
 în acest interval. Derivând funcț ia 𝐹 de
(𝑚+1) ori și punând condiț ia 𝐹(𝑚+1)(
)=0, se obț ine
(1.17) 𝐹(𝑚+1)(
)≔|(𝑚+1)!𝑓(𝑚+1)(
)
𝑢(𝑥)(𝑅𝑚𝑓)(𝑥)|=0
unde s -a avut în vedere că (𝑅𝑚𝑓)(𝑚+1)=𝑓(𝑚+1)−(𝐿𝑚𝑓)(𝑚+1)=𝑓(𝑚+1).

13 Din (1.17), explicâ nd pe (𝑅𝑚𝑓)(𝑥) se obț ine (4.3.16). ∎
Corolar 1.2. Dacă 𝑓∈𝐶𝑚+1[𝑎,𝑏], atunci
(1.18) |(𝑅𝑚𝑓)(𝑥)|≤|𝑢(𝑥)|
(𝑚+1)!‖𝑓(𝑚+1)‖∞,𝑥∈[𝑎,𝑏]
iar
(1.19) ‖𝑅𝑚𝑓‖∞≤(𝑏−𝑎)𝑚+1
(𝑚+1)!‖𝑓(𝑚+1)‖∞.
Într-adevăr, ambele inegalități rezultă imediat din (1 .16). ∎
Delimitarea (1 .18) a restului formulei de interpolare Lagrange, generează în mod
natural următoarea problemă : pentru 𝑚∈𝑵∗ dat, în ce condiț ii ‖𝑅𝑚𝑓‖∞ pe [𝑎,𝑏], ia
valoarea minimă .
Corolar 1.3. Fie 𝑚∈𝑵∗ fixat ș i 𝑓∈𝐶𝑚+1[𝑎,𝑏]. Restul ‖𝑅𝑚𝑓‖∞ ia valoarea minimă
pe [𝑎,𝑏] dacă nodurile de interpolare sunt rădăcinile polinomului lui Cebî șev 𝑇̃𝑚+1 relativ la
intervalul [𝑎,𝑏] și în acest caz avem
(1.20) ‖𝑅𝑚𝑓‖∞≤(𝑏−𝑎)𝑚+1
(𝑚+1)!22𝑚+1‖𝑓(𝑚+1)‖∞.
Demonstrație : Numă rul 𝑚 și funcț ia 𝑓 fiind date, rezultă că factorul 1
(𝑚+1)!‖𝑓(𝑚+1)‖∞
din (1 .18) este fixat, deci ‖𝑅𝑚𝑓‖∞ ia valoarea minimă atunci câ nd ‖𝑢‖∞ pe [𝑎,𝑏], ia
valoarea minimă în mulț imea 𝑃̃𝑚+1 a polinoamelor de gradul (𝑚+1) cu coeficinetul lui
𝑥𝑚+1 egal cu unitatea.
Se știe însă că acest minim este realizat atunci câ nd 𝑢=𝑇̃𝑚+1, polinomul lui Cebî șev
relativ la intervalul [𝑎,𝑏]. Cum nodurile de interpolare sunt rădă cinile polinomului 𝑢 deci ale
lui 𝑇̃𝑚+1 prima afirmație este demonstrată .
Notâ nd prin 𝑇̃𝑚+1( ∙ ;𝑎,𝑏) polinomul 𝑇̃𝑚+1 relativ la intervalul [𝑎,𝑏], avem
𝑇̃𝑚+1( 𝑥 ;𝑎,𝑏)=(𝑏−𝑎)𝑚+1
2𝑚+1𝑇̃𝑚+1(2𝑥−𝑎−𝑏
𝑏−𝑎).
Întrucâ t
‖𝑇̃𝑚+1( ∙ ;−1,1)‖∞=1
2𝑚
se obț ine
‖𝑇̃𝑚+1( ∙ ;𝑎,𝑏)‖∞=(𝑏−𝑎)𝑚+1
22𝑚+1
egalitate care împreună cu (1.18) implică (1 .20). ∎
Teorema 1.8. Dacă 𝑓∈𝐶𝑚+1[𝑎,𝑏] atunci

14 (1.21) (𝑅𝑚𝑓)(𝑥)=∫𝜑𝑚(𝑥;𝑠)𝑓(𝑚+1)(𝑠)𝑑𝑠𝑏
𝑎
unde
(1.22) 𝜑𝑚(𝑥;𝑠)=1
𝑚![(𝑥−𝑠)+𝑚−∑𝑒𝑘(𝑥)(𝑥𝑘−𝑠)+𝑚𝑚
𝑘=0].
Demonstrație : Pentru 𝑥∈[𝑎,𝑏] fixat
(𝑅𝑚𝑓)(𝑥)=𝑓(𝑥)−(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)
este o funcțională liniară cu proprietatea 𝑅𝑚(Pm)=0.
Teorema lui Peano. Fie 𝐿:𝐻𝑚[𝑎,𝑏]→ℝ o funcțională liniară de forma
𝐿(𝑓)=∑∫𝑓(𝑖)(𝑥)𝑑𝜇𝑖(𝑥),𝑏
𝑎𝑚−1
𝑖=0
unde 𝜇𝑖 sunt funcții cu variație marginită pe [𝑎,𝑏].
Dacă 𝐾𝑒𝑟(𝐿)=𝑃𝑚−1, atunci
𝐿(𝑓)=∫𝑘𝑚(𝑡)𝑓(𝑚)𝑏
𝑎(𝑡)𝑑𝑡,
unde

𝑘𝑚(𝑡)=𝐿𝑥((𝑥−𝑡)+𝑚−1
(𝑚−1)!),
cu 𝑧+=𝑧 dacă 𝑧≥0 și 𝑧+=0 dacă 𝑧<0, iar 𝐿𝑥 inseamnă că 𝐿 se aplică funcției din
paranteză î n raport cu variabila 𝑥.
Se poate a plica, teorema lui Peano. Se obț ine
(𝑅𝑚𝑓)(𝑥)=∫𝑅𝑚[(𝑥−𝑠)+𝑚
𝑚!]𝑏
𝑎𝑓(𝑚+1)(𝑠)𝑑𝑠.
Cum
𝑅𝑚[(𝑥−𝑠)+𝑚
𝑚!]=1
𝑚![(𝑥−𝑠)+𝑚−∑𝑒𝑘(𝑥)(𝑥𝑘−𝑠)+𝑚𝑚
𝑘=0]
teorema este demonstrată . ∎
Observaț ia 1.4. Dacă 𝜑𝑚(𝑥; ∙ ) păstrează semnul pe [𝑎,𝑏] și dacă se aplică teorema
de medie, atunci
(1.23) (𝑅𝑚𝑓)(𝑥)=1
(𝑚+1)![𝑥𝑚+1−∑𝑒𝑘(𝑥)𝑥𝑘𝑚+1𝑚
𝑘=0]𝑓(𝑚+1)(
),
𝑎≤
≤b.

15 Teorema 1.9. Dacă 𝑓 este definită pe intervalul [𝑎,𝑏], atunci
(1.24) (𝑅𝑚𝑓)(𝑥)=𝑢(𝑥)[𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚;𝑓],𝑥∈[𝑎,𝑏].
Demonstrație : Presupunâ nd 𝑥≠𝑥𝑘,𝑘=0,1,…,𝑚 condiție naturală întrucâ t
(𝑅𝑚𝑓)(𝑥𝑘)=0,𝑘=0,1,…,𝑚 se obț ine
[𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚;𝑓]=𝑓(𝑥)
𝑢(𝑥)+∑𝑓(𝑥𝑘)
(𝑥𝑘−𝑥)𝑢′(𝑥𝑘).𝑚
𝑘=0
Înmulț ind fiecare membru a acestei egalităț i cu 𝑢(𝑥) și explicitâ nd termenul 𝑓(𝑥) se obține
relația (1 .24). ∎
Observaț ia 1.5. Repreze ntarea (1 .24) a termenului rest din formula de inter polare
Lagrange prezintă dezavantajul că în diferența divizată apare 𝑓(𝑥), valoare care dorim să o
aproximăm, deci necunoscută .
Observaț ia 1.6. Dacă nodurile de inte rpolare sunt echidistante, adică 𝑥𝑖=𝑥0+𝑖ℎ,
𝑖=0,1,…,𝑚,ℎ∈ℝ+, atunci polinomul de interp olare Lagrange ș i termenul rest cores pun-
zător pot fi scrise sub o formă mai simplă .
Într-adevă r, folosind schimbarea de variabilă 𝑥=𝑥0+𝑡ℎ avem
𝑢(𝑥0+𝑡ℎ)=ℎ𝑚+1𝑡[𝑚+1], iar din (1.11) și (1 .13) respectiv (1.16), se obț ine
(1.25) (𝐿𝑚𝑓)(𝑥0+𝑡ℎ)=𝑡[𝑚+1]
𝑚!∑(−1)𝑚−𝑖(𝑚
𝑖)1
𝑡−𝑖𝑓(𝑥𝑖)𝑚
𝑖=0
și
(𝑅𝑚𝑓)(𝑥0+𝑡ℎ)=ℎ𝑚+1𝑡[𝑚+1]
(𝑚+1)!𝑓(𝑚+1)(
).
O metodă mult mai practică este metoda lui Aitken. Această metodă cons tă în
generarea urmă torului tablou:
𝑥0 𝑓00
𝑥1 𝑓10 𝑓11
𝑥2 𝑓20 𝑓21 𝑓22
𝑥3 𝑓30 𝑓31 𝑓32 𝑓33
⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮
𝑥𝑚 𝑓𝑚0 𝑓𝑚1 𝑓𝑚2 𝑓𝑚3 …. 𝑓𝑚𝑚

unde 𝑓𝑖0=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚, iar
𝑓𝑖,𝑗+1=1
𝑥𝑖−𝑥𝑗|𝑓𝑗𝑗𝑥𝑗−𝑥
𝑓𝑖𝑗𝑥𝑖−𝑥|,
pentru 𝑖=1,…,𝑚; 𝑗=0,1,…,𝑖−1. Se observă că

16 𝑓11=𝑥−𝑥1
𝑥0−𝑥1𝑓(𝑥0)+𝑥−𝑥0
𝑥1−𝑥0𝑓(𝑥1)=(𝐿1𝑓)(𝑥)
adică 𝑓11 este valoarea polinomului lui Lagrange relativ la nodurile 𝑥0,𝑥1 pe punctul 𝑥.
În mod asemănă tor, se poate verifica egalitatea
𝑓𝑖𝑖=(𝐿𝑖𝑓)(𝑥𝑖)
𝐿𝑖𝑓 fiind polinomul de interpolare Lagrange relativ la modurile 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑖.
Prin urmare,
(1.26) 𝑓11,𝑓22,…,𝑓𝑖𝑖,…,𝑓𝑚𝑚
este un șir de aproximaț ii ale lui 𝑓(𝑥), constâ nd din valorile polinomului Lagrange respectiv
de gradul 1,2,…,𝑚, pe punctul 𝑚, nodur ile de interpolare fiind luate î n ordinea 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑚.
Dacă procedeul de interpolare converge, șirul (1.26 ) converge și el, adică
(1.27) lim
𝑚→∞𝑓𝑚𝑚=𝑓(𝑥).
Pe baza criteriului de convergență a lui Cauchy , din (1.27 ) rezultă că
lim
𝑖→∞(𝑓𝑖𝑖− 𝑓𝑖−1,𝑖−1)=0
și reciproc.
În conseci nță este justificată folosirea î n aplicaț ii practice a diferen ței |𝑓𝑖𝑖−𝑓𝑖−1,𝑖−1|,
pentru mă surarea eror ii absolute de aproximare, a condiț iei
(1.28) |𝑓𝑖𝑖−𝑓𝑖−1,𝑖−1|≤𝜀
numită î n limbajul teoriei algoritmilor, crite riu de convergență a metodei respective.
Astfel, calculul elementelor 𝑓11,𝑓22,…,𝑓𝑖𝑖 situate pe diagonala tabloului se continuă
până când condiția (1.28 ) este satisfăcută. În acel moment, se apreciază că 𝑓𝑖𝑖 aproximează pe
𝑓(𝑥) cu precizia dorită .
Această metodă necesită numai cunoaște rea valorilor funcț iei 𝑓 pe punctele
𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑚.
Întrucât, eroarea absolută de aproximare a lui 𝑓(𝑥) prin (𝐿𝑚𝑓)(𝑥) este cu atât mai mică
cu câ t nodurile de interpolare 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑚 se află într -o vecină tate a lui 𝑥 de rază cât mai
mică , este natural ca inaintea aplică rii metodei lui Aitken nodurile să se ordoneze în funcț ie
de di stanț a lor la numă rul 𝑥, adică astfel încât să fie î ndeplinită condiț ia |𝑥𝑖−𝑥|≤|𝑥𝑗−𝑥|
dacă 𝑖<𝑗,𝑖,𝑗=1,…,𝑚.
Avantajele prezentate de metoda lui Aitken, mai ale s din punct de vedere a
programării la calculator, justifică prezența ei î n bibliotecile matematice ale calculatoarelo r
electronice, evident, descrisă î ntr-un limbaj de programare evoluat.

17 Observaț ia 1.7. O reprezentare utilă , mai ales din punct de vedere al calculatorului,
pentru polinomul de interpolare Lagrange a fost dată de Newton ș i anume
(𝑁𝑚𝑓)(𝑥)=𝑓(𝑥0)+∑(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑖−1)[𝑥0,…,𝑥𝑖;𝑓].𝑚
𝑖=1
𝑁𝑚𝑓 se numeș te polinomul de interpolare a lui Newton, iar 𝑓=𝑁𝑚𝑓+𝑅𝑚𝑓 formula de
interpolare a lui Newton, 𝑅𝑚𝑓 fiind termenul rest.
Pentru a obț ine polinomul 𝑁𝑚𝑓 se pleacă de la diferența divizată [𝑥,𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑚;𝑓]
care se exprimă cu ajutorul diferenț elor de ordin inferior. Avem succesiv
[𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚;𝑓]= [𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚−1;𝑓]−[𝑥0,…,𝑥𝑚;𝑓]
𝑥−𝑥𝑚,
[𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚−1;𝑓]= [𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑚−2;𝑓]−[𝑥0,…,𝑥𝑚−1;𝑓]
𝑥−𝑥𝑚−1,
[𝑥,𝑥0,𝑥1;𝑓]=[𝑥,𝑥0;𝑓]−[𝑥0,𝑥1;𝑓]
𝑥−𝑥1,
[𝑥,𝑥0 ;𝑓]=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0.
Eliminâ nd din aceste (𝑚+1) relații diferențe le divizate [𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑘;𝑓],𝑘=0,1,…,𝑚−1
și explicitâ nd termenul 𝑓(𝑥) se obți ne formula lui Newton cu restul expri mat sub forma
(1.24).
Eliminarea se poate face simplu, înmulț ind a doua egalitate cu 1/(x -xm), pe cea de a
treia cu 1/(x -xm-1)(x-xm) și aș a mai d eparte, ultima fiind î nmulțită cu 1/(x -xm)… (x -xm).
Adunând membru cu membru egalitățile astfel obținute, toți termenii care conțin diferenț ele
divizate amintite se reduc.
Se observă că î n expresia poli nomului lui Newton apar diferenț ele divizate de pe
latura superioară a tabelului cu diferențe divizate, calculul lor putând fi deci uș or realizat pe
baza acestui tabel.
Avem, de asemenea,
(𝑁𝑘𝑓)(𝑥)=(𝑁𝑘−1𝑓)(𝑥)+(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑘−1)[𝑥0,…,𝑥𝑘;𝑓]
deci polinoamele lui Newton de g radul 1, 2, …, pot fi generate în mod iterativ, asemănător
generă rii polinoamelor lui Lagrange cu procedeul lui Aitken.
În încheierea acestei secțiuni vom fac e câteva considerații privind convergenț a
procedeului de interpolare Lagrange.
Fie 𝑓∈𝐶[𝑎,𝑏] și 𝐿𝑚𝑓 polinomul de interpolare Lagrange relativ la modurile distincte
𝑥𝑖∈[𝑎,𝑏],𝑖=0,…,𝑚 și funcț ia 𝑓.

18 Se pune urmă toarea problemă : dacă m crește nemă rginit, astfel încâ t
max
1≤𝑖≤𝑚|𝑥𝑖−𝑥𝑖−1|→0,
polinomul L mf converge la funcț ia f pe intervalul [a,b] ?
Răspunsul este că, în general, convergenț a nu are loc. Ma i întâ i, au fost date exemple
izolate, cum ar fi exemplul dat de C. Runge și anume: fie f definită prin 𝑓(𝑥)=1
1+𝑥2,
𝑥∈[−5,5] și 𝐿𝑚𝑓 polinomul lui Lagrange relativ la nodurile 𝑥𝑖=−5+10
𝑚𝑖, 𝑖=0,…,𝑚
care divid intervalul [−5,5] în 𝑚 părți egale. Runge a demonstrat că 𝐿𝑚𝑓 converge la 𝑓 când
𝑚→∞ numai, pe intervalul [−ℎ,ℎ], unde ℎ=3,6334…, iar pe intervalele [−5,−ℎ) și (ℎ,5]
diverge.
Problema considerată a fost soluționată, în cazul general, î n perioada anilor 1914 –
1916 de către G. Faber ș i S. N. Bernstein.
G. Faber a demonstrat că oricum s -ar alege un tablou triungh iular infinit de noduri ce
aparț in intervalului [𝑎,𝑏];

𝑥00
𝑥01 𝑥11
… …
𝑥0𝑚 𝑥1𝑚 … 𝑥𝑚𝑚
… …
există o funcț ie 𝑓∈𝐶[𝑎,𝑏], încât ș irul 𝐿𝑚𝑓 relativ la nodurile 𝑥𝑖𝑚,𝑖=0,…,𝑚 (de pe linii)
să nu conveargă uniform la 𝑓 pe [𝑎,𝑏].
S. N. Berstein a demonstrat că oricum s -ar alege un as tfel de tablou de noduri, există o
funcț ie 𝑓∈𝐶[𝑎,𝑏] pentru care ș irul 𝐿𝑚𝑓 corespunză tor este divergent.
Aplicaț ia 1.1. Fie 𝑃(𝑥)∈ Pn(ℝ) astfel încâ t 𝑃(𝑘)=𝑘
𝑘+1,𝑘=0,1,…,𝑛.
Să se calculeze P(n+1).
Rezolvare: Cum polinomul lui Lagrange este proiector rezultă
𝑃(𝑥)=∑𝜔(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑘)∙𝜔′(𝑥𝑘)∙𝑃(𝑥𝑘) 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑘=𝑘,𝑘=0,𝑛̅̅̅̅̅,𝑛
𝑘=0
𝜔(𝑥)=(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥𝑛),
𝜔′(𝑥)=(𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥𝑛)+(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥2)…(𝑥−𝑥𝑛)+⋯+(𝑥−𝑥0)…∙
∙(𝑥−𝑥𝑘−1)(𝑥−𝑥𝑘+1)…(𝑥−𝑥𝑛)+⋯+(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥𝑛−1),

19 𝜔′(𝑥𝑘)=(𝑥𝑘−𝑥0)…(𝑥𝑘−𝑥𝑘−1)(𝑥𝑘−𝑥𝑘+1)…(𝑥𝑘−𝑥𝑛),
𝜔′(𝑘)=(𝑘−0)(𝑘−1)…(𝑘−𝑘−1̅̅̅̅̅̅̅)(𝑘−𝑘+1̅̅̅̅̅̅̅)…(𝑘−𝑛)=
=𝑘!∙(−1)𝑛−𝑘∙(𝑛−𝑘)!,
𝜔(𝑛+1)=1∙2∙…∙𝑛∙(𝑛+1)=(𝑛+1)!,
𝑃(𝑛+1)=∑𝜔(𝑛+1)
(𝑛+1−𝑘)∙𝜔′(𝑥𝑘)∙𝑃(𝑛
𝑘=0𝑥𝑘)=∑(𝑛+1)!∙(−1)𝑛−𝑘
(𝑛+1−𝑘)∙𝑘!(𝑛−𝑘)!∙𝑘
𝑘+1=𝑛
𝑘=0
=∑(𝑛+1)!∙(−1)𝑛−𝑘
(𝑛−𝑘+1)!(𝑘−1)!∙1
𝑘+1=(𝑛+1)∑𝑛!(−1)𝑛−𝑘
(𝑛−𝑘+1)!(𝑘−1)!∙1
𝑘+1𝑛
𝑘=1𝑛
𝑘=1=
=(𝑛+1)∑(−1)𝑛−𝑘
𝑘+1∙𝐶𝑛𝑘−1=(𝑛+1)∑(−1)𝑛−𝑘−1
𝑘+2∙𝐶𝑛𝑘=𝑛−1
𝑘=0𝑛
𝑘=1
=(𝑛+1)∑(−1)𝑛−𝑘−1
𝑘+2𝑛
𝑘=0𝐶𝑛𝑘−(𝑛+1)∙(−1)−1
𝑛+2𝐶𝑛𝑛=−(𝑛+1)∑(−1)𝑛−𝑘
𝑘+2𝑛
𝑘=0𝐶𝑛𝑘+𝑛+1
𝑛+2.
𝐹𝑖𝑒 𝑆(𝑥)=∑(−1)𝑛−𝑘
𝑘+2𝑛
𝑘=0𝐶𝑛𝑘∙𝑥𝑘+2.𝑆𝑒 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣ă 𝑐ă 𝑆(1)=𝑆,
𝑆′(𝑥)=∑(−1)𝑛−𝑘𝑛
𝑘=0𝐶𝑛𝑘∙𝑥𝑘+1=𝑥∑(−1)𝑛−𝑘𝑛
𝑘=0𝐶𝑛𝑘∙𝑥𝑘=𝑥(𝑥−1)𝑛.
Prin integrare vom obține 𝑆(𝑥)+𝑘=∫𝑥(𝑥−1)𝑛𝑑𝑥,
𝑆(𝑥)+𝑘=∫𝑥((𝑥−1)𝑛+1)′
𝑛+1𝑑𝑥=𝑥∙(𝑥−1)𝑛+1
𝑛+1−∫(𝑥−1)𝑛+1
𝑛+1𝑑𝑥=
=𝑥(𝑥−1)𝑛+1
𝑛+1−(𝑥−1)𝑛+2
(𝑛+1)(𝑛+2)+𝑘′,
𝑆(𝑥)=𝑥∙(𝑥−1)𝑛+1
𝑛+1−(𝑥−1)𝑛+2
(𝑛+1)(𝑛+2)+𝐶,𝑘,𝑘ț,𝐶∈ℝ.
Determinăm constanta C:
𝑆(0)=0,0=−(−1)𝑛+2
(𝑛+1)(𝑛+2)+𝐶,𝐶=(−1)𝑛+2
(𝑛+1)(𝑛+2),
𝑆(1)=𝐶=(−1)𝑛
(𝑛+1)(𝑛+2),
În concluzie
𝑃(𝑛+1)=−(−1)𝑛
𝑛+2+𝑛+1
𝑛+2=𝑛+1−(−1)𝑛
𝑛+2,
𝑃(𝑛+1)={𝑛
𝑛+2, 𝑛 𝑝𝑎𝑟
1, 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

20
Aplicaț ia 1.2. Fie 𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 cu |𝑓(𝑥)≤1,(∀)𝑥∈[0,1]. Să se arate c ă:
|𝑓(𝑥)|≤1921,(∀)𝑥∈[15,16].
Rezolvare: Fie 𝑥0=0,𝑥1=1
2,𝑥2=1. Cum 𝑓∈ P2 rezultă
𝑓(𝑥)=𝐿2(𝑥0,𝑥1,𝑥2;𝑓(𝑥))=∑𝜔(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑘)𝜔′(𝑥)𝑓(𝑥𝑘) 𝑢𝑛𝑑𝑒2
𝑘=0
𝜔(𝑥)=(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2).
Scriem s uma desfăș urat:
𝑓(𝑥)=(𝑥−𝑥1)(𝑥−𝑥2)
(𝑥0−𝑥1)(𝑥0−𝑥2)𝑓(𝑥0)+(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥2)
(𝑥1−𝑥0)(𝑥1−𝑥2)𝑓(𝑥1)+(𝑥−𝑥0)(𝑥−𝑥1)
(𝑥2−𝑥0)(𝑥2−𝑥1)𝑓(𝑥2),
𝑓(𝑥)=(𝑥−1
2)(𝑥−1)
1
2𝑓(0)−𝑥(𝑥−1)
1
4𝑓(1
2)+𝑥(𝑥−1
2)
1
2𝑓(1),
𝑓(𝑥)=(2𝑥−1)(𝑥−1)𝑓(0)−4𝑥(𝑥−1)𝑓(1
2)+𝑥(2𝑥−1)𝑓(1),(∀)𝑥∈[0,1].
Consideră m transformarea
𝑥=15+𝑡,𝑡∈[0,1].
Prin urmare,
𝑓(15+𝑡)=(29+2𝑡)(14+𝑡)𝑓(0)−4(15+𝑡)(14+𝑡)𝑓(1
2)+(15+𝑡)(29+2𝑡)𝑓(1),
|𝑓(15+𝑡)|≤|(2𝑡+29)(𝑡+14)|𝑓(0)|+4|(𝑡+15)(𝑡+14)|∙|𝑓(1
2)|+
+|(𝑡+15)(2𝑡+29)|∙|𝑓(1)|≤|(2𝑡+29)(𝑡+14)|+4|(𝑡+15)(𝑡+14)|+
+|(𝑡+15)(2𝑡+29)|≤31∙15+4∙16∙15+16∙31,
|𝑓(15+𝑡)|≤1921,(∀)𝑡∈[0,1],
|𝑓(𝑥)|≤1921,(∀)𝑥∈[15,16].
Aplicaț ia 1.3. Dac ă 𝑓(𝑥)=𝑥𝑛+𝑐1,𝑛𝑥𝑛−1+..+𝑐𝑛,𝑛,(𝑛≥2) satisface (−1)𝑘𝑓(cos𝑘𝜋
𝑛)≥0,
𝑘=1,2,…,𝑛, atunci 𝑓(1)≤𝑛
2𝑛−2.
Rezolvare: Consider ăm nodurile 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑛 unde 𝑥𝑘=cos𝑘𝜋
𝑛,𝑘=0,𝑛̅̅̅̅̅.
Are loc egalitatea:
[𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑛;𝑓]=∑𝑓(𝑥𝑘)
𝜔′(𝑥𝑘)=1,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑛
𝑘=0𝜔(𝑥)=∏(𝑥−𝑥𝑖)𝑛
𝑖=0

21 𝑓(𝑥0)
𝜔′(𝑥0)+∑𝑓(𝑥𝑘)
𝜔′(𝑥𝑘)=1𝑛
𝑘=1
𝑥0=1 |⇒𝑓(1)=𝜔′(1)−𝜔′(1)∙∑𝑓(𝑥𝑘)
𝜔′(𝑥𝑘)𝑛
𝑘=1
𝜔′(𝑥𝑘)=(𝑥𝑘−𝑥0)(𝑥𝑘−𝑥1)…(𝑥𝑘−𝑥𝑘−1)(𝑥𝑘−𝑥𝑘+1)…(𝑥𝑘−𝑥𝑛)=
=∏(𝑥𝑘−𝑥𝑖)∙∏(𝑥𝑘−𝑥𝑖)=𝑛
𝑖=𝑘+1𝑘−1
𝑖=0∏(cos𝑘𝜋
𝑛−cos𝑖𝜋
𝑛)∙𝑘−1
𝑖=0∏(𝑐𝑜𝑠𝑛
𝑖=𝑘+1𝑘𝜋
𝑛−𝑐𝑜𝑠𝑖𝜋
𝑛)=
=∏(−2)sin𝑘+𝑖
2𝑛𝜋sin𝑘−𝑖
2𝑛𝜋𝑘−1
𝑖=0∙∏2sin𝑖+𝑘
2𝑛𝜋𝑛
𝑖=𝑘+1∙sin𝑖−𝑘
2𝑛𝜋=
=(−1)𝑘∙2𝑛∙∏sin𝑘+𝑖
2𝑛𝜋sin𝑘−𝑖
2𝑛𝜋𝑘−1
𝑖=0∙∏sin𝑖+𝑘
2𝑛𝜋𝑛
𝑖=𝑘+1∙sin𝑖−𝑘
2𝑛𝜋=(−1)𝑘∙𝐴𝑘,𝑛.
Observaț ie: 𝐴𝑘,𝑛≥0
(1) 𝜔′(1)=(1−𝑥1)(1−𝑥2)…(1−𝑥𝑛)>0
𝑓(1)=𝜔′(1)−𝜔′(1)∙∑(−1)𝑘
𝐴𝑘,𝑛𝑛
𝑘=1𝑓(𝑥𝑘)|⇒𝑓(1)≤𝜔′(1)
Observaț ie: Nodurile 𝑥𝑘=cos𝑘𝜋
𝑛,𝑘=1,𝑛−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ sunt rădăcinile polinomului lui Cebîșev de
speța a doua 𝑈𝑛−1(𝑥)=𝑅𝑛−1(1
2,1
2)(𝑥)=sin𝑛arccos𝑥
𝑛√1−𝑥2.
𝑅𝑛−1(1
2,1
2)(𝑥)=∑(−1)𝑘∙(𝑛−1
𝑘)∙(𝑛−1+𝛼+𝛽+1)𝑘
(𝛼+1)𝑘∙(1−𝑥
2)𝑘
𝑢𝑛𝑑𝑒 𝛼=𝛽=1
2,𝑛−1
𝑘=0
𝑈𝑛−1(𝑥)=𝑅𝑛−1(1
2,1
2)(𝑥)=(𝑛+1)𝑛−1
2𝑛−1∙(3
2)
𝑛−1 ∙𝑥𝑛−1+⋯=(𝑛+1)𝑛−1
2𝑛−1∙(3
2)
𝑛−1 (𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥𝑛−1),
(𝑛+1)𝑛−1=(𝑛+1)(𝑛+1+1)…(𝑛+1+𝑛−2)=(2𝑛−1)!
𝑛!,
(3
2)
𝑛−1 =3
2(3
2+1)…(3
2+𝑛−2)=(2𝑛−1)!
2𝑛−1∙2𝑛−1∙(𝑛−1)!,
𝑈𝑛−1(𝑥)=2𝑛−1
𝑛(𝑥−𝑥1)…(𝑥−𝑥𝑛−1)
𝑈𝑛−1(1)=𝑅𝑛−1(1
2,1
2)(1)=1 |⇒(1−𝑥1)…(1−𝑥𝑛−1)=𝑛
2𝑛−1.
Se observă că
(2) 𝜔′(1)=𝑛
2𝑛−1∙(1−𝑥𝑛)=𝑛
2𝑛−2
Din (1) și (2) se obț ine
𝑓(1)≤ 𝑛
2𝑛−2

22 Aplicaț ia 1.4. Fie 𝑓∈ Pn cu pr oprietatea |𝑓(𝑥)|≤1,(∀)𝑥∈[−1,1]. Să se arate că
|𝑓(𝑥)
𝑇𝑛(𝑥)|≤1,(∀)𝑥∈ℝ−[−1,1].
Rezolvare: Fie 𝑈𝑛−1(𝑥)=sin𝑛arccos𝑥
𝑛√1−𝑥2 cu rădă cinile 𝑥𝑘=𝑐𝑜𝑠𝑘𝜋
𝑛,𝑘=1,𝑛−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅,
𝜔(𝑥)=𝜆(𝑥2−1)𝑈𝑛−1(𝑥).
Consideră m nodurile 𝑥𝑘=𝑐𝑜𝑠𝑘𝜋
𝑛,𝑘=0,𝑛̅̅̅̅̅,
𝑓(𝑥)=𝐿𝑛(𝑥0,…,𝑥𝑛;𝑓)=∑𝜔(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑘)𝜔′(𝑥𝑘)𝑓(𝑥𝑘)𝑛
𝑘=0,
𝜔′(𝑥)=2𝜆𝑥𝑈𝑛−1(𝑥)+𝜆(𝑥2−1)𝑈𝑛−1′(𝑥),
𝜔′(𝑥𝑘)=𝜆(𝑥𝑘2−1)𝑈𝑛−1′(𝑥𝑘),𝑘=1,𝑛−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅,
𝑈𝑛−1′(𝑥𝑘)=(−1)𝑘
𝑥𝑘2−1,
𝜔′(1)=2𝜆𝑈𝑛−1(1)=2𝜆,
𝜔′(−1)=−2𝜆𝑈𝑛−1(−1)=−2𝜆(−1)𝑛−1=2𝜆(−1)𝑛;
𝑓(𝑥)=∑𝜔(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑘)𝜔′(𝑥𝑘)𝑛−1
𝑘=1𝑓(𝑥𝑘)+𝜔(𝑥)
𝑥−1∙𝑓(1)
2𝜆+𝜔(𝑥)
𝑥+1∙(−1)𝑛∙𝑓(−1)
2𝜆=
=𝜔(𝑥)[∑𝑓(𝑥𝑘)
(𝑥−𝑥𝑘)𝜆(𝑥𝑘2−1)𝑈𝑛−1′(𝑥𝑘)+𝑓(1)
2(𝑥−1)+(−1)𝑛𝑓(−1)
2(𝑥+1)𝑛−1
𝑘=1],
(1) 𝑓(𝑥)=(𝑥2−1)𝑈𝑛−1(𝑥)[∑𝑓(𝑥𝑘)(−1)𝑘
(𝑥−𝑥𝑘)+𝑓(1)
2(𝑥−1)+(−1)𝑛𝑓(−1)
2(𝑥+1)𝑛−1
𝑘=1].
Avem :
(2) {𝑇𝑛′(𝑥)=𝑛2𝑈𝑛−1(𝑥)
𝑇𝑛′′(𝑥)=𝑛2𝑈𝑛−1′(𝑥)
(1−𝑥2)𝑇𝑛′′(𝑥)−𝑥𝑇𝑛′(𝑥)+𝑛2𝑇𝑛(𝑥)=0.
Din (2) se obț ine
(3) 𝑇𝑛(𝑥)=𝑥𝑈𝑛−1(𝑥)+(𝑥2−1)𝑈𝑛−1′(𝑥).
Din (1) avem
(4) |𝑓(𝑥)|≤|(𝑥2−1)𝑈𝑛−1(𝑥)|∙[∑1
|𝑥−𝑥𝑘|+1
2|𝑥−1|+1
2|𝑥+1|𝑛−1
𝑘=1].
Caz I. Fie 𝑥>1
Inegalitatea (4) devine

23 (5) |𝑓(𝑥)|≤(𝑥2−1)|𝑈𝑛−1(𝑥)|∙[∑1
𝑥−𝑥𝑘+1
2(𝑥−1)+1
2(𝑥+1)𝑛−1
𝑘=1],
𝑅𝑛(𝛼,𝛽)(𝑥)=∑(−1)𝑘(𝑛
𝑘)∙(𝑛+𝛼+𝛽+1)𝑘
(𝛼+1)𝑘(1−𝑥
2)𝑘
𝑛
𝑘=0,
𝑈𝑛−1(𝑥)=𝑅𝑛−1(1
2,1
2)(𝑥)=∑(𝑛−1
𝑘)(𝑛+1)𝑘
(3
2)𝑘∙(𝑥−1
2)𝑘
,𝑛
𝑘=0
𝑇𝑛(𝑥)=𝑅𝑛(−1
2,−1
2)(𝑥)=∑(𝑛
𝑘)(𝑛)𝑘
(1
2)𝑘∙(𝑥−1
2)𝑘
.𝑛
𝑘=0
Se observă că 𝑈𝑛−1(𝑥)≥0,𝑇𝑛(𝑥)>0,(∀)𝑥>1.
Inegalitatea (5) devine
|𝑓(𝑥)|≤(𝑥2−1)|𝑈𝑛−1(𝑥)|[𝑈𝑛−1′(𝑥)
𝑈𝑛−1(𝑥)+𝑥
𝑥2−1]
|𝑓(𝑥)|≤(𝑥2−1)𝑈𝑛−1′(𝑥)+𝑥𝑈𝑛−1(𝑥)
Din (3) rezultă |𝑓(𝑥)|≤𝑇𝑛(𝑥)⇒|𝑓(𝑥)
𝑇𝑛(𝑥)|≤1,(∀)𝑥>1 (𝑐.𝑐.𝑡.𝑑.)
Caz II. Fie 𝑥<−1
Din (1) se obț ine:
|𝑓(𝑥)|≤(𝑥2−1)|𝑈𝑛−1(𝑥)|∙[∑1
|𝑥−𝑥𝑘|+1
2|𝑥−1|+1
2|𝑥+1|𝑛−1
𝑘=1].
Fie 𝑥=−𝑡,𝑡>1,
|𝑓(−𝑡)|≤(𝑡2−1)|𝑈𝑛−1(−𝑡)|∙[∑1
𝑡+𝑥𝑘+𝑡
𝑡2−1𝑛−1
𝑘=1].
Se demonstrează că 𝑈𝑛(−𝑡)=(−1)𝑛𝑈𝑛(𝑡),
𝑈𝑛−1′(−𝑡)=(−1)𝑛−2𝑈𝑛−1′(𝑡).
Așadar,
|𝑓(−𝑡)|≤(𝑡2−1)𝑈𝑛−1(𝑡)[−𝑈𝑛−1′(−𝑡)
𝑈𝑛−1(−𝑡)+𝑡
𝑡2−1]=
=(𝑡2−1)𝑈𝑛−1(𝑡)[−(−1)𝑛−2𝑈𝑛−1′(𝑡)
(−1)𝑛−1𝑈𝑛−1(𝑡)+𝑡
𝑡2−1]=
=(𝑡2−1)𝑈𝑛−1′(𝑡)+𝑡𝑈𝑛−1(𝑡)=𝑇𝑛(𝑡)=(−1)𝑛𝑇𝑛(−𝑡),
Rezultă |𝑓(−𝑡)
𝑇𝑛(−𝑡)|≤1. (𝑐.𝑐.𝑡.𝑑).

24 Aplicaț ia 1.5. Dacă 𝑓∈ Pn, 𝑓=𝑥𝑛+⋯ si |𝑓(𝑥)|≤1,(∀)𝑥∈[𝑎,𝑏] atunci (𝑏−𝑎
4)𝑛
<1.
Rezolvare:
𝑈𝑛(𝑥)=sin(𝑛+1)arccos𝑥
(𝑛+1)∙√1−𝑥2=𝑅𝑛(1
2,1
2)(𝑥)=∑(−1)𝑘∙(𝑛
𝑘)∙(𝑛+2)𝑘
(3
2)
𝑘∙(1−𝑥
2)𝑘
=𝑛
𝑘=0
=(𝑛+2)𝑛
(3
2)
𝑛∙𝑥𝑛
2𝑛+⋯=(𝑛+2)𝑛
(3
2)
𝑛2𝑛(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑛−1),𝑈𝑛(𝑥𝑘)=0,𝑘=0,𝑛−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅.
Considerăm transformarea
[−1,1]→[𝑎,𝑏] prin 𝑡=𝑏−𝑎
2𝑥+𝑏+𝑎
2
Din ipoteză rezultă
1=∑𝑓(𝑡𝑘)
𝜔′(𝑡𝑘),𝑡𝑘∈[𝑎,𝑏],𝜔(𝑡)=∏(𝑡−𝑡𝑘)𝑛
𝑘=0.𝑛
𝑘=0
Fie 𝑡𝑘=𝑏−𝑎
2𝑥𝑘+𝑏+𝑎
2 unde 𝑈𝑛+1(𝑥𝑘)=0,𝑘=0,𝑛̅̅̅̅̅.
Avem
𝜔′(𝑡𝑘)=(𝑡𝑘−𝑡0)…(𝑡𝑘−𝑡𝑘−1)(𝑡𝑘−𝑡𝑘+1)…(𝑡𝑘−𝑡𝑛)=∏(𝑡𝑘−𝑡𝑖)∙∏(𝑡𝑘−𝑡𝑖)=𝑛
𝑖=𝑘+1𝑘−1
𝑖=0
=(𝑏−𝑎
2)𝑛
∙∏(𝑥𝑘−𝑥𝑖)∙∏(𝑥𝑘−𝑥𝑖),𝑛
𝑖=𝑘+1𝑘−1
𝑖=0
𝑈𝑛+1′(𝑥𝑘)=(𝑛+3)𝑛+1
(3
2)
𝑛+1∙2𝑛+1∙∏(𝑥𝑘−𝑥𝑖)∙∏(𝑥𝑘−𝑥𝑖)𝑛
𝑖=𝑘+1𝑘−1
𝑖=0,
𝜔′(𝑡𝑘)=(𝑏−𝑎
2)𝑛
∙(3
2)
𝑛+1∙2𝑛+1
(𝑛+3)𝑛+1∙𝑈𝑛+1′(𝑥𝑘),
𝑟𝑒𝑧𝑢𝑙𝑡ă 1=(2
𝑏−𝑎)𝑛∙(𝑛+3)𝑛+1
(3
2)
𝑛+1∙2𝑛+1∙∑𝑓(𝑡𝑘)
𝑈𝑛+1′(𝑥𝑘).𝑛
𝑘=0
Din ipoteză rezultă
(1) 1<(2
𝑏−𝑎)𝑛∙(𝑛+3)𝑛+1
|(3
2)
𝑛+1|∙2𝑛+1∙∑𝑓(𝑡𝑘)
|𝑈𝑛+1′(𝑥𝑘)|,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑛
𝑘=0
𝑈𝑛+1(𝑥)=sin(𝑛+2)arccos𝑥
(𝑛+2)∙√1−𝑥2,

25 𝑈𝑛+1(𝑥)=0 𝑟𝑒𝑧𝑢𝑙𝑡ă 𝑥𝑘=cos𝑘𝜋
𝑛+2,𝑘=𝑜,𝑛̅̅̅̅̅,
𝑈𝑛+1′(𝑥)=cos(𝑛+2)arccos𝑥
√1−𝑥2∙(−1)
√1−𝑥2+sin(𝑛+2)arccos𝑥
𝑛+2∙−1
1−𝑥2∙−2𝑥
2√1−𝑥2,
(2) 𝑈𝑛+1′(𝑥𝑘)=𝑈𝑛+1′(cos𝑘𝜋
𝑛+2)=(−1)𝑘+1
1−𝑐𝑜𝑠2𝑘𝜋
𝑛+2 .
Din (1) ș i (2) se obține
1<(2
𝑏−𝑎)𝑛∙(𝑛+3)𝑛+1
|(3
2)
𝑛+1|∙2𝑛+1∙∑𝑠𝑖𝑛2𝑘𝜋
𝑛+2𝑛
𝑘=0,𝑢𝑛𝑑𝑒
(𝑥)𝑚=𝑥(𝑥+1)…(𝑥+𝑚−1̅̅̅̅̅̅̅̅),
(𝑛+3)𝑛+1=(𝑛+3)(𝑛+4)…(𝑛+3+𝑛)=(2𝑛+3)!
(𝑛+2)!.
(3
2)
𝑛+1=3
2(3
2+1)…(3
2+𝑛)=3∙5∙7∙…∙(2𝑛+3)
2𝑛+1=2∙3∙4∙…∙(2𝑛+2)(2𝑛+3)
2𝑛+1∙2∙4∙…∙(2𝑛+2)
=(2𝑛+3)!
2𝑛+1∙2𝑛+1∙(𝑛+1)!.
Avem
∑𝑠𝑖𝑛2𝑘𝜋
𝑛+2=1
2∑(1−cos𝑘∙2𝜋
𝑛+2)=𝑛
𝑘=0𝑛
𝑘=01
2[𝑛+1−(1
2+sin2𝑛+1
2∙2𝜋
𝑛+2
2sin1
2∙2𝜋
𝑛+2)]=
=1
2[𝑛+1−1
2(1+sin2𝑛+1
𝑛+2𝜋
sin𝜋
𝑛+2)]=1
2[𝑛+1−1
2∙(1−sin3𝜋
𝑛+2
sin𝜋
𝑛+2)]=
=1
2[𝑛+1−1
2(1−3+4𝑠𝑖𝑛2𝜋
𝑛+2)].
Prin urmare
1<2𝑛
(𝑏−𝑎)𝑛∙(2𝑛+3)!
(𝑛+2)!∙2𝑛+1∙2𝑛+1∙(𝑛+1)!
(2𝑛+3)!∙2𝑛+1∙∑𝑠𝑖𝑛2𝑘𝜋
𝑛+2𝑛
𝑘=0,
(𝑏−𝑎)𝑛<4𝑛∙2
𝑛+2∙∑𝑠𝑖𝑛2𝑘𝜋
𝑛+2=4𝑛∙2
𝑛+2∙1
2(𝑛+2−2𝑠𝑖𝑛2𝜋
𝑛+2𝑛
𝑘=0),
(𝑏−𝑎)𝑛<4𝑛
𝑛+2∙(𝑛+2),𝑟𝑒𝑧𝑢𝑙𝑡ă (𝑏−𝑎
4)𝑛
<1.

26 1.2.2. Interpolare Hermite.
Fie 𝑥𝑘∈[𝑎,𝑏],𝑘=0,1,…,𝑚 astfel încâ t 𝑥𝑖≠𝑥𝑗 pentru 𝑖≠𝑗 și 𝑟𝑘∈𝑁,𝑘=0,1,…,𝑚.
Fie, de asemenea 𝑓:[𝑎,𝑏]→ℝ o funcție pentru care există 𝑓(𝑗)(𝑥𝑘),𝑘=0,1,…,𝑚;
𝑗=0,1,…,𝑟𝑘 și 𝑛=𝑚+𝑟0+⋯+𝑟𝑚.
Definiț ia 1.6. Problema de interpolare relat ivă la spaț iul Pn și la funcț ionalele liniare
𝐿𝑘𝑗 definite prin 𝐿𝑘𝑗𝑓=𝑓(𝑗)(𝑥𝑘),𝑘=0,…,𝑚; 𝑗=0,…,𝑟𝑘, se numeș te problema de
interpolare Hermite sau Lagrange -Hermite.
Observaț ia 1.8. Proble ma de interpolare Hermite constă î n determinarea polinomului
𝑃 de grad minim, în condiț iile
(1.29) 𝑃(𝑗)(𝑥𝑘)=𝑓(𝑗)(𝑥𝑘),𝑘=0,…,𝑚;𝑗=0,…,𝑟𝑘.
Definiț ia 1.7. O soluț ie a proble mei de interpolare Hermite, dacă există, se numeș te
polinom de interpolare Hermite și se notează prin 𝐻𝑛𝑓 (𝐻𝑛 se mai numeș te operatorul de
interpolare Hermite ).
Numărul condițiilor (1 .29) fiind (𝑛+1) este natural să consideră m un polinom 𝑃 cu
(𝑛+1) coeficienț i, deci de gradul 𝑛 și anume:
𝑃(𝑥)=𝑎0𝑥𝑛+⋯+𝑎𝑛.
Relațiile (1.29 ) constitue î n acest caz un siste m algebric liniar de (n+1) ecuații cu
(n+1) necunoscute, al că rui determinant este determinantul Vandermonde generalizat
𝑉(𝑥0,…,𝑥0,…,𝑥𝑚,…,𝑥𝑚), unde 𝑥𝑘 are ordinul de multiplicitate 𝑟𝑘+1,𝑘=0,1,…,𝑚.
Nodurile de interpolare 𝑥𝑘,𝑘=0,1,…,𝑚, fiind distincte rezultă
𝑉(𝑥0,…,𝑥0,…,𝑥𝑚,…,𝑥𝑚)≠0
deci polinom ul de interpolare Hermite există ș i este unic.
Din Teorema 1.3, obț inem
(1.30) (𝐻𝑛𝑓)(𝑥)=∑∑ℎ𝑘𝑗(𝑥)𝑟𝑘
𝑗=0𝑚
𝑘=0𝑓(𝑗)(𝑥𝑘)
unde ℎ𝑘𝑗 sunt polinoamele fundamentale de i nterpolare Hermite, ele verificând relaț iile
(1.31) ℎ𝑘𝑗(𝑃)(𝑥𝑣)=0, 𝑣≠𝑘, 𝑝=0,1,…,𝑟𝑣
ℎ𝑘𝑗(𝑃)(𝑥𝑘)=𝛿𝑗𝑝, 𝑝=0,1,…,𝑟𝑘
pentru 𝑗=0,1,…,𝑟𝑘 și 𝑣,𝑘=0,1,…,𝑚.
Expresiile polinoamelor ℎ𝑘𝑗 pot fi obținute folosind relațiile (1.9). Preferăm însă să le
deducem pe baza relațiilor (1 .31).
Astfel, notâ nd de data aceasta prin 𝑢 și 𝑢𝑘 respect iv polinoamele definite de relaț iile

27 (1.32) 𝑢(𝑥)=∏(𝑥−𝑥𝑘)𝑟𝑘+1𝑚
𝑘=0
și
(1.33) 𝑢𝑘(𝑥)=𝑢(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑘)𝑟𝑘+1,
din (1.31 ) rezultă că
(1.34) ℎ𝑘𝑗(𝑥)= 𝑢𝑘(𝑥)(𝑥−𝑥𝑘)𝑗𝑔𝑘𝑗(𝑥),𝑔𝑘𝑗∈𝑃𝑟−𝑗.
Folosind formula lui Taylor, avem
(1.35) 𝑔𝑘𝑗(𝑥)=∑(𝑥−𝑥𝑘)𝑣
𝑣!𝑟𝑘−𝑗
𝑣=0𝑔𝑘𝑗(𝑣)(𝑥𝑘),
problema reducâ ndu-se la determinarea valorilor 𝑔𝑘𝑗(𝑣)(𝑥𝑘),𝑣=0,…,𝑟𝑘−𝑗. Pent ru acesta
scriem egalitatea (1 .34) sub forma
(𝑥−𝑥𝑘)𝑗𝑔𝑘𝑗(𝑥)=ℎ𝑘𝑗(𝑥)1
𝑢𝑘(𝑥)
și aplicând formula lui Leibnitz fiecărui membru, calculă m derivata de ordinul 𝑗+𝑣. Se
obține
∑(𝑗+𝑣
𝑠)[(𝑥−𝑥𝑘)𝑗](𝑗+𝑣−𝑠)𝑗+𝑣
𝑠=0𝑔𝑘𝑗(𝑠)(𝑥)=∑(𝑗+𝑣
𝑠)ℎ𝑘𝑗(𝑗+𝑣−𝑠)(𝑥)[1
𝑢𝑘(𝑥)](𝑠)
.𝑗+𝑣
𝑠=0
Luând în ace astă egalitate 𝑥=𝑥𝑘, rămâne î n fiecare membru un singur termen de zero, cel
corespunză tor lui 𝑠=𝑣. Avem, deci
(𝑗+𝑣
𝑣)𝑗!𝑔𝑘𝑗(𝑣)(𝑥𝑘)=(𝑗+𝑣
𝑣)[1
𝑢𝑘(𝑥)]
𝑥=𝑥𝑘(𝑣)
,𝑣=0,1,…,𝑟𝑘−𝑗.
Prin urmare,
𝑔𝑘𝑗(𝑣)(𝑥𝑘)=1
𝑗![1
𝑢𝑘(𝑥)]
𝑥=𝑥𝑘(𝑣)
,
iar din (1 .35) respectiv (1.34 ), obținem î n final
(1.36) ℎ𝑘𝑗(𝑥)=(𝑥−𝑥𝑘)𝑗
𝑗!𝑢𝑘(𝑥)∑(𝑥−𝑥𝑘)𝑣
𝑣![1
𝑢𝑘(𝑥)]
𝑥=𝑥𝑘(𝑣)𝑟𝑘−𝑗
𝑣=0
expresia polinomului 𝐻𝑚𝑓 fiind complet determinată .
Observaț ia 1.9. Operatorul 𝐻𝑛 este un proiector.
Definiț ia 1.8. 𝑅𝑛=𝐼−𝐻𝑛 se numeș te operatorul rest, iar
(1.37) 𝑓=𝐻𝑛𝑓+𝑅𝑛𝑓

28 se numeș te formula de interpolare Hermite, 𝑅𝑛𝑓 fiind termenul rest.
Teorema 1.10. Operatorul 𝑅𝑛 este, de asemenea, un proiector.
Demonstra ție: Liniaritatea lui 𝑅𝑛 rezultă imediat din liniaritatea lui 𝐻𝑛.
Întrucâ t 𝑅𝑛𝑓=𝑓−𝐻𝑛𝑓=0 dacă 𝑓∈Pn deci
(1.38) 𝑅𝑛(Pn)=0,
avem
𝑅𝑛(𝑅𝑛𝑓)=𝑅𝑛𝑓−𝑅𝑛(𝐻𝑛𝑓)=𝑅𝑛𝑓, adică 𝑅𝑛2=𝑅𝑛. ∎
Analog cazulului interpolă rii Lagrange, termenul ui rest din formula de interpolare
Hermite, 𝑅𝑛𝑓, i se pot da mai multe reprezentă ri.
Teorema 1.11. Dacă 𝑓∈𝐶𝑛[𝛼,𝛽] și există 𝑓(𝑛+1) pe intervalul (𝛼,𝛽), unde
𝛼=min{𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑛} și 𝛽=max{𝑥,𝑥0,…,𝑥𝑛}, atunci
(1.39) (𝑅𝑛𝑓)(𝑥)=𝑢(𝑥)
(𝑛+1)!𝑓(𝑛+1)(
),𝛼<
<𝛽.
Demonstrație : Analog demonstra ției Teoremei 1.7 se consideră funcția ajutătoare F
definită prin
𝐹(𝑧)=|𝑢(𝑧)(𝑅𝑛𝑓)(𝑧)
𝑢(𝑥)(𝑅𝑛𝑓)(𝑥)|
cu proprietăț ile 𝐹∈𝐶𝑛[𝛼,𝛽] și (∃) 𝐹(𝑛+1) pe (𝛼,𝛽) iar 𝐹(𝑥)=0,𝐹(𝑗)(𝑥𝑘)=0,
𝑘=0,…,𝑚; 𝑗=0,…,𝑟𝑘. Rezultă că 𝐹 are (𝑛+2) zerouri, lu ând în considerare ș i ordinele
de multiplicitate. Aplicâ nd teorema lui Rolle generalizată, î n mod succesiv, se ajunge la
concluzia că există cel puț in un punct
 ∈(𝛼,𝛽) încât 𝐹(𝑛+1)(
)=0. Folosind această
ultimă relație se deduce (1 .39). ∎
Observaț ia 1.10. Din (1.39 ) rezultă că pentru 𝑓∈𝐶𝑛+1[𝛼,𝛽] avem
|(𝑅𝑛𝑓)(𝑥)|≤|𝑢(𝑥)|
(𝑛+1)‖𝑓(𝑛+1)‖∞,𝑥∈[𝛼,𝛽].
Teorema 1.12. Dacă 𝑓∈𝐶𝑛+1[𝑎,𝑏], atunci
(1.40) (𝑅𝑛𝑓)(𝑥)=∫𝜑𝑛(𝑥;𝑠)𝑓(𝑛+1)(𝑠)𝑑𝑠𝑏
𝑎
unde
(1.41) 𝜑𝑛(𝑥;𝑠)=1
𝑛!{(𝑥−𝑠)+𝑛−∑∑ℎ𝑘𝑗(𝑥)[(𝑥−𝑠)+𝑛](𝑗)𝑟𝑘
𝑗=0𝑚
𝑘=0},
[𝑎,𝑏] fiind un interval care conț ine nodurile 𝑥𝑘,𝑘=0,1,…,𝑚.
Deomnstrație : Pe baza teoremei lui Peano, avem

29 (𝑅𝑛𝑓)(𝑥)=∫𝑅𝑛[(𝑥−𝑠)+𝑛
𝑛!]𝑏
𝑎𝑓(𝑛+1)(𝑠)𝑑𝑠,
iar
𝑅𝑛[(𝑥−𝑠)+𝑛
𝑛!]=𝜑𝑛(𝑥;𝑠). ∎
Observaț ia 1.11. În cazul 𝑚=0 deci 𝑛=𝑟0, problema de interpolare Hermite se
reduce la problema de interpolare Taylor, 𝐻𝑛 devenind 𝑇𝑛, operatorul de interpolare Taylor.
Astfel,
(𝑇𝑛𝑓)(𝑥)=∑(𝑥−𝑘)𝑘
𝑘!𝑓(𝑘)(𝑎)𝑛
𝑘=0
este polinomul binecunoscut al lui Taylor, iar
𝑓=𝑇𝑛𝑓+𝑅𝑛𝑓
este formula lui Taylor, termenul rest 𝑅𝑛𝑓 putând fi reprezentat conform lui (1 .39) respecti v
(1.40) sub forma
(𝑅𝑛𝑓)(𝑥)=(𝑥−𝑎)𝑛+1
(𝑛+1)!𝑓(𝑛+1)(
),
sau
(𝑅𝑛𝑓)(𝑥)=∫𝜑𝑛(𝑥;𝑠)𝑏
𝑎𝑓(𝑛+1)(𝑠)𝑑𝑠
unde
𝜑𝑛(𝑥;𝑠)=1
𝑛!(𝑥−𝑠)+𝑛.
Observaț ia 1.12. Dacă 𝑟0=⋯=𝑟𝑚=0 problema de interpolare Hermite se reduce
la problema de interpolare Lagrange.
Observaț ia 1.13. Dacă 𝑟0=⋯=𝑟𝑚=1, se obț ine formu la lui Hermite cu noduri
duble ș i anume.
𝑓=𝐻2𝑚+1𝑓+𝑅2𝑚+1𝑓
unde
(𝐻2𝑚+1𝑓)(𝑥)=∑ℎ𝑘0(𝑥)𝑓(𝑥𝑘)+∑ℎ𝑘1(𝑥)𝑓′(𝑥𝑘)𝑚
𝑘=0𝑚
𝑘=0
iar
ℎ𝑘0(𝑥)=𝑢𝑘(𝑥)
𝑢𝑘(𝑥𝑘)[1−(𝑥−𝑥𝑘)𝑢𝑘′(𝑥𝑘)
𝑢𝑘(𝑥𝑘)]
ℎ𝑘1(𝑥)=(𝑥−𝑥𝑘)𝑢𝑘(𝑥)
𝑢𝑘(𝑥𝑘)

30 cu
𝑢𝑘(𝑥)=1
(𝑥−𝑥𝑘)2∏(𝑥−𝑥𝑖)2.𝑚
𝑖=0
Observaț ia 1.14. Dacă 𝑚=1,𝑥0=𝑎,𝑥1=𝑏 și 𝑟0=𝑟1=𝑛 avem:
(𝐻2𝑛+1𝑓)(𝑥)=∑[ℎ0𝑗(𝑥)𝑓(𝑗)(𝑎)+ℎ1𝑗(𝑥)𝑓(𝑗)(𝑏)]𝑛
𝑗=0
unde
ℎ0𝑗(𝑥)=(𝑥−𝑏
𝑎−𝑏)𝑛+1(𝑥−𝑎)𝑖
𝑖!∑(𝑛+𝑣
𝑣)(𝑥−𝑎
𝑏−𝑎)𝑣𝑛−𝑖
𝑣=0
ℎ1𝑗(𝑥)=(𝑥−𝑎
𝑏−𝑎)𝑛+1(𝑥−𝑏)𝑖
𝑖!∑(𝑛+𝑣
𝑣)(𝑥−𝑏
𝑎−𝑏)𝑣
.𝑛−𝑖
𝑣=0
În închiere menționăm că pentru calculul valorii polinomului lui Hermite cu noduri
duble, 𝐻2𝑚+1𝑓, există procedeul lui Aitken analog celui prezentat în cazul interpolă rii
Lagrange.
Aplicaț ia 1.6. Fie 𝑃∈P2n-1, 𝑃(𝑥)=𝑎0𝑥2𝑛−1+⋯ și ‖𝑓‖=max𝑡∈[−1,1]|𝑔(𝑡)|
Să se arate că :
|𝑎0|≤1
𝑛(‖𝑃‖+‖𝑃′‖).
Rezolvare : Fie 𝑥1,…,𝑥𝑛∈[−1,1]
𝑃(𝑥)=𝐻2𝑛−1(𝑥1,𝑥1,𝑥2,𝑥2,…,𝑥𝑛,𝑥𝑛)𝑓(𝑥)=
=∑{𝑓(𝑥𝑖)[1
0!∙0!∙(𝑥−𝑥𝑖)2
𝜔(𝑥)|
𝑥=𝑥𝑖∙𝜔(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑖)2+1
1!∙0!∙[(𝑥−𝑥𝑖)2
𝜔(𝑥)]
𝑥=𝑥𝑖′
∙𝜔(𝑥)
𝑥−𝑥𝑖]𝑛
𝑖=1+
+𝑃′(𝑥𝑖)1
1!∙0!(𝑥−𝑥𝑖)2
𝜔(𝑥)|
𝑥=𝑥𝑖∙𝜔(𝑥)
𝑥−𝑥𝑖} 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝜔(𝑥)=(𝑥−𝑥1)2…(𝑥−𝑥𝑛)2=𝜑2(𝑥),
rezultă 𝑎0=∑{𝑓(𝑥𝑖)∙[(𝑥−𝑥𝑖)2
𝜔(𝑥)]
𝑥=𝑥𝑖′
+𝑃′(𝑥𝑖)(𝑥−𝑥𝑖)2
𝜔(𝑥)|
𝑥=𝑥𝑖}𝑛
𝑖=1
Notație: 𝜑(𝑥)=(𝑥−𝑥𝑖)∙𝑄(𝑥).
Avem
𝜑′(𝑥)=𝑄(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑖)∙𝑄′(𝑥),
𝜑′′(𝑥)=𝑄′(𝑥)+𝑄′(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑖)∙𝑄′′(𝑥)=2𝑄′(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑖)𝑄′′(𝑥),
[(𝑥−𝑥𝑖)2
𝜑2(𝑥)]
𝑥=𝑥𝑖′
=[1
𝑄2(𝑥)]
𝑥=𝑥𝑖′
=−2𝑄′(𝑥)
𝑄3(𝑥)|
𝑥=𝑥𝑖=−𝜑′′(𝑥𝑖)
[𝜑′(𝑥𝑖)]3,

31 (𝑥−𝑥𝑖)2
𝜔(𝑥)|
𝑥=𝑥𝑖=1
𝑄2(𝑥𝑖)=1
[𝜑′(𝑥𝑖)]2,
𝑎0=∑{𝑃(𝑥𝑖)∙−𝜑′′(𝑥𝑖)
[𝜑′(𝑥𝑖)]3+𝑃′(𝑥𝑖)∙1
[𝜑′(𝑥𝑖)]2}𝑛
𝑖=1,
|𝑎0|≤∑1
[𝜑′(𝑥𝑖)]2∙[‖𝑃‖∙|𝜑′′(𝑥𝑖)
𝜑′(𝑥𝑖)|+‖𝑃′‖]𝑛
𝑖=1,
|𝑎0|≤‖𝑃‖∙∑1
[𝜑′(𝑥𝑖)]2∙|𝜑′′(𝑥𝑖)
𝜑′(𝑥𝑖)|+‖𝑃′‖∙∑1
[𝜑′(𝑥𝑖)]2𝑛
𝑖=1𝑛
𝑖=1.
Fie 𝜑(𝑥)=𝑇𝑛(𝑥)=cos𝑛arccos𝑥,𝑥∈[−1,1].
Polinomul 𝑇𝑛 este soluție a ecuației diferenț iale
(1−𝑥2)𝑦′′−𝑥𝑦′+𝑛2𝑦=0.
Deci, (1−𝑥2)𝜑′′−𝑥𝜑′+𝑛2𝜑=0,
(1−𝑥𝑖2)𝜑′′(𝑥𝑖)−𝑥𝑖𝜑′(𝑥𝑖)=0 unde 𝑥𝑖−𝑟ă𝑑𝑎𝑐𝑖𝑛ă 𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑢𝑙𝑢𝑖 𝑇𝑛,
𝜑′′(𝑥𝑖)
𝜑′(𝑥𝑖)=𝑥𝑖
1−𝑥𝑖2.
Cum 𝜑′(𝑥)=𝑇𝑛′(𝑥)=sin𝑛arccos𝑥∙𝑛
√1−𝑥2,
[𝜑′(𝑥)]2=𝑛2
1−𝑥2∙(1−𝑐𝑜𝑠2𝑛arccos𝑥)=𝑛2
1−𝑥2[1−𝑇𝑛2(𝑥)] 𝑟𝑒𝑧𝑢𝑙𝑡ă
[𝜑′(𝑥𝑖)]2=𝑛2
1−𝑥𝑖2,
|𝑎0|≤‖𝑃‖∙∑|𝑥𝑖|
𝑛2+‖𝑃′‖𝑛
𝑖=1∙∑1−𝑥𝑖2
𝑛2𝑛
𝑖=1.
Deoarece, |𝑥𝑖|≤1, 1−𝑥𝑖2≤1 atunci
|𝑎0|≤‖𝑃‖∙1
𝑛+‖𝑃′‖∙1
𝑛,|𝑎0|≤1
𝑛(‖𝑃‖+‖𝑃′‖).
Aplicaț ia 1.7. Fie 𝑅𝑛(𝛼,𝛽)(𝑥)=2𝐹1(−𝑛,𝑛+𝛼+𝛽+1;𝛼+1;1−𝑥
2),𝛼>1,𝛽>−1
polinomul lui Jacobi de grad n cu 𝑅𝑛(𝛼,𝛽)(1)=1.
În 1950, P. Turán a ar ătat că pentru 𝑛≥1
|𝑃𝑛(𝑥)𝑃𝑛−1(𝑥)
𝑃𝑛+1(𝑥)𝑃𝑛(𝑥)|>0,(∀)𝑥∈(−1,1),
unde 𝑅𝑛(0,0)(𝑥)=𝑃𝑛(𝑥)=1
2𝑛𝑛!((𝑥2−1)𝑛)(𝑛).
Mai tâ rziu G. Gaseper [3 ] a studiat o inegalitate de acest tip pentru polinomul Jacobi
𝑅𝑛(𝛼,𝛽)(𝑥).

32 Consideră m 𝛼=𝛽>−1 și notă m 𝑅𝑛(𝑥)=𝑅𝑛(𝛼,𝛼)(𝑥).
Următoarele formule ( vezi [10] ) sunt cunoscute: dacă 𝑦(𝑥)=𝑅𝑛(𝑥), atunci
(1) (1−𝑥2)𝑦′′(𝑥)−(2𝛼+2)𝑥𝑦′(𝑥)+𝑛(𝑛+2𝛼+1)𝑦(𝑥)=0,
(2) 𝑅𝑛+1(𝑥)=2𝑛+2𝛼+1
𝑛+2𝛼+1𝑥𝑅𝑛(𝑥)−𝑛
𝑛+2𝛼+1𝑅𝑛−1(𝑥),
(3) (1−𝑥2)𝑑
𝑑𝑥𝑅𝑛(𝑥)=−𝑛𝑥𝑅𝑛(𝑥)+𝑛𝑅𝑛−1(𝑥),
(4) (1−𝑥2)𝑑
𝑑𝑥𝑅𝑛(𝑥)=(𝑛+2𝛼+1)𝑥𝑅𝑛(𝑥)−(𝑛+2𝛼+1)𝑅𝑛+1(𝑥).
Teorema 1. Dacă 𝛼>−1 și 𝑛≥1, atunci
|𝑅𝑛(𝑥)𝑅𝑛−1(𝑥)
𝑅𝑛+1(𝑥)𝑅𝑛(𝑥)|≥0,(∀)𝑥∈[−1,1],
cazul de egalitate fiind valid dacă 𝑥=−1, sau 𝑥=1.
Demonstraț ie: Consideră m ∆2𝑛(𝑥)=𝑅𝑛2(𝑥)−𝑅𝑛+1(𝑥)𝑅𝑛−1(𝑥) și observăm că
∆2𝑛(1)=∆2𝑛(−1)=0. Să definim polinomul 𝑓(𝑥)=𝑥+2
1−𝑥2∆2𝑛(𝑥). Potrivit interpolă rii lui
Hermite formula
(5) 𝑓(𝑥)=𝐻2𝑛−1(𝑥1,𝑥1,𝑥2,𝑥2,…,𝑥𝑛,𝑥𝑛;𝑓|𝑥)=∑𝜑𝑘(𝑥)𝐴𝑘𝑛
𝑘=1(𝑓;𝑥)
unde 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 sunt rădă cini ale lui 𝑅𝑛(𝑥) și
𝜑𝑘(𝑥)=[𝑅𝑛(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑘)∙𝑅𝑛′(𝑥𝑘)]2
,
𝐴𝑘(𝑓;𝑥)=𝑓(𝑥𝑘)+(𝑥−𝑥𝑘)[𝑓′(𝑥𝑘)−𝑅𝑛′′(𝑥𝑘)
𝑅𝑛′(𝑥𝑘)𝑓(𝑥𝑘)].
Dacă demonstrăm că 𝐴𝑘(𝑓;𝑥)>0,(∀)𝑥∈(−1,1), atunci urmează
𝐻2𝑛−1(𝑥1,𝑥1,𝑥2,𝑥2,…,𝑥𝑛,𝑥𝑛;𝑓|𝑥)>0,
adică 𝑅𝑛2(𝑥)−𝑅𝑛+1(𝑥)𝑅𝑛−1(𝑥)>0,𝑥∈(−1,1).
Mai departe investigă m 𝐴𝑘(𝑓;𝑥). Observăm că
𝑓(𝑥𝑘)=2+𝑥𝑘
1−𝑥𝑘2∆2𝑛(𝑥𝑘)=−2+𝑥𝑘
1−𝑥𝑘2𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)𝑅𝑛−1(𝑥𝑘).
Din (2) avem 𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)=−𝑛
𝑛+2𝛼+1𝑅𝑛−1(𝑥𝑘),
(6) 𝑓(𝑥𝑘)=2+𝑥𝑘
1−𝑥𝑘2∙𝑛+2𝛼+1
𝑛𝑅𝑛+12(𝑥𝑘)>0
𝑓′(𝑥)=𝑥2+4𝑥+1
(1−𝑥2)2∆2𝑛(𝑥)+

33 +𝑥+2
1−𝑥2(2𝑅𝑛(𝑥)𝑅𝑛′(𝑥)−𝑅𝑛+1′(𝑥)𝑅𝑛−1(𝑥)−𝑅𝑛+1(𝑥)𝑅𝑛−1′(𝑥))
𝑓′(𝑥𝑘)=−𝑥𝑘2+4𝑥𝑘+1
(1−𝑥𝑘2)2𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)𝑅𝑛−1(𝑥𝑘)+
+𝑥𝑘+2
1−𝑥𝑘(−𝑅𝑛+1′(𝑥𝑘)𝑅𝑛−1(𝑥𝑘)−
−𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)𝑅𝑛−1′(𝑥𝑘))=𝑅𝑛+12(𝑥𝑘){−𝑥𝑘2+4𝑥𝑘+1
(1−𝑥𝑘2)2𝑅𝑛−1(𝑥𝑘)
𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)+
+𝑥𝑘+2
1−𝑥𝑘(−𝑅𝑛+1′(𝑥𝑘)
𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)∙𝑅𝑛−1(𝑥𝑘)
𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)−𝑅𝑛−1′(𝑥𝑘)
𝑅𝑛−1(𝑥𝑘)∙𝑅𝑛−1(𝑥𝑘)
𝑅𝑛+1(𝑥𝑘))}.
Folosind (3) și (4) gă sim
𝑅𝑛+1′(𝑥𝑘)
𝑅𝑛+1(𝑥𝑘)=−(𝑛+1)∙𝑥𝑘
1−𝑥𝑘2,𝑅𝑛−1′(𝑥𝑘)
𝑅𝑛−1(𝑥𝑘)=(𝑛+2𝛼)∙𝑥𝑘
1−𝑥𝑘2.
Prin urmare
(7) 𝑓′(𝑥𝑘)=𝑅𝑛+12(𝑥𝑘)
(1−𝑥𝑘2)2∙𝑛+2𝛼+1
𝑛 ∙[2𝛼𝑥𝑘2+2(2𝛼+1)𝑥𝑘+1].
Din (1), (6) și (7) obț inem
(8) 𝑓′(𝑥𝑘)
𝑓(𝑥𝑘)=2𝛼𝑥𝑘2+2(2𝛼+1)𝑥𝑘+1
(𝑥𝑘+2)(1−𝑥𝑘2)
și
(9) 𝑅𝑛′′(𝑥𝑘)
𝑅𝑛′(𝑥𝑘)=(2𝛼+2)𝑥𝑘
1−𝑥𝑘2.
Cu ajutorul lui (8) – (9) avem
𝐴𝑘(𝑓;𝑥)=𝑓(𝑥𝑘){1+(𝑥−𝑥𝑘)[𝑓′(𝑥𝑘)
𝑓(𝑥𝑘)−𝑅𝑛′′(𝑥𝑘)
𝑅𝑛′(𝑥𝑘)]}=
=𝑓(𝑥𝑘){1+(𝑥−𝑥𝑘)[2𝛼𝑥𝑘2+2(2𝛼+1)𝑥𝑘+1
(𝑥𝑘+2)(1−𝑥𝑘2)−(2𝛼+2)𝑥𝑘
1−𝑥𝑘2]}=
=𝑓(𝑥𝑘)[1+(𝑥−𝑥𝑘)(−2𝑥𝑘2−2𝑥𝑘+1)
(𝑥𝑘+2)(1−𝑥𝑘2)].
Dacă 𝑔𝑘(𝑥)=(𝑥𝑘+2)(1−𝑥𝑘2)+(𝑥−𝑥𝑘)(−2𝑥𝑘2−2𝑥𝑘+1), putem scrie
(10) 𝐴𝑘(𝑓;𝑥)=𝑓(𝑥𝑘)𝑔𝑘(𝑥)
(𝑥𝑘+2)(1−𝑥𝑘2).
Deoarece
(11) 𝑔𝑘(𝑥)=1−𝑥
2(1+𝑥𝑘)(𝑥𝑘2+𝑥𝑘+1)+1+𝑥
2(1−𝑥𝑘)(3+𝑥𝑘−𝑥𝑘2),

34 putem concluziona cu 𝑔𝑘(𝑥)>0,(∀)𝑥∈[−1,1]. Cu alte cuvinte, conform (10) avem
𝐴𝑘(𝑓;𝑥)>0,(∀)𝑥∈(−1,1). Deci, (5) termină demonstraț ia, exemplu 𝑓(𝑥)>0,
(∀)𝑥∈(−1,1).
În concluzie
|𝑅𝑛(𝑥)𝑅𝑛−1(𝑥)
𝑅𝑛+1(𝑥)𝑅𝑛(𝑥)|>0,(∀)𝑥∈(−1,1).
Corolar 1. Pentru 𝛼>−1,𝑥∈[−1,1], avem
|𝑅𝑛(𝛼,𝛼)(𝑥)𝑅𝑛−1(𝛼,𝛼)(𝑥)
𝑅𝑛+1(𝛼,𝛼)(𝑥)𝑅𝑛(𝛼,𝛼)(𝑥)|=
=1−𝑥2
𝑛(𝑛+2𝛼𝛼+1)(𝑥+2)∑(𝑅𝑛(𝛼,𝛼)(𝑥)
𝑥−𝑥𝑘)2
𝑔𝑘(𝑥)≥0𝑛
𝑘=1
unde 𝑔𝑘(𝑥) este cel din (11).
Această identitate poate fi comparată cu un rezultat stabilit mai tarziu de A. Lupaș [5 ].
Aplicaț ia 1.8. Fie 𝐿𝑛(𝑥)≡𝐿𝑛(𝛼)(𝑥)=𝜏(𝛼+1)
𝜏(𝑛+𝛼+1)𝑒𝑥𝑥−𝛼(𝑒−𝑥𝑥𝑛+𝛼)(𝑛),𝛼>−1 polinomul
Laguerre de grad n cu 𝐿𝑛(𝛼)(0)=1. Avem nevoie de următoarele formule cunoscute [9 ] :
(1) 𝑥𝑦′′(𝑥)+(1+𝛼−𝑥)𝑦′(𝑥)+𝑛𝑦(𝑥)=0, 𝑦(𝑥)=𝐿𝑛(𝑥),
(2) (𝑛+𝛼+1)∙𝐿𝑛+1(𝑥)+(𝑥−𝛼−2𝑛−1)𝐿𝑛(𝑥)+𝑛𝐿𝑛−1(𝑥)=0,
(3) 𝑥𝑑
𝑑𝑥𝐿𝑛(𝑥)=𝑛𝐿𝑛(𝑥)−𝑛𝐿𝑛−1(𝑥),(∀)𝛼>−1,(∀)𝑥≥0.
Teorema 1 . Dacă 𝛼>−1 și 𝑛≥1, atunci
(4) |𝐿𝑛(𝑥)𝐿𝑛−1(𝑥)
𝐿𝑛+1(𝑥)𝐿𝑛(𝑥)|≥0,(∀)𝑥≥0,
cazul de egalitate fiind valabil dacă 𝑥=0.
Demonstraț ie: Consideră m ∆2𝑛(𝑥)=𝐿𝑛2(𝑥)−𝐿𝑛+1(𝑥)−𝐿𝑛−1(𝑥) și observăm că
∆2𝑛(0)=0. Conform formulei de interpolare Hermite
(5) ∆2𝑛(𝑥)≡∆2𝑛(𝑥;𝑐)=𝐻2𝑛(𝑥1,𝑥1,𝑥2,𝑥2,…,𝑥𝑛,𝑥𝑛,𝑐;𝑓|𝑥)=
=(𝐿𝑛(𝑥)
𝐿𝑛(𝑐))2
∆2𝑛(𝑐)+(𝑥−𝑐)∑𝜑𝑘(𝑥)
𝑥𝑘−𝑐∙𝐵𝑘(∆2𝑛;𝑥)𝑛
𝑘=1
unde 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 sunt rădă cini ale lui 𝐿𝑛(𝑥) și
𝜑𝑘(𝑥)=(𝐿𝑛(𝑥)
(𝑥−𝑥𝑘)𝐿𝑛′(𝑥𝑘))2
,
𝐵𝑘(∆2𝑛;𝑥)=∆2𝑛(𝑥𝑘)+

35 +(𝑥−𝑥𝑘)(∆2𝑛′(𝑥𝑘)−𝐿𝑛′′(𝑥𝑘)
𝐿𝑛′(𝑥𝑘)∙∆2𝑛(𝑥𝑘)−1
𝑥𝑘−𝑐∙∆2𝑛(𝑥𝑘)).
În cele ce urmează vom demonstra că 𝐵𝑘(∆2𝑛;𝑥)>0,(∀)𝑥>0, care implică
𝐻2𝑛(𝑥1,𝑥1,𝑥2,𝑥2,…,𝑥𝑛,𝑥𝑛,𝑐;∆2𝑛|𝑥)>0,
adică 𝐿𝑛2(𝑥)−𝐿𝑛+1(𝑥)𝐿𝑛−1(𝑥)>0 pentru 𝑥>0.
Acum, găsim că ∆2𝑛(𝑥𝑘)= −𝐿𝑛+1(𝑥𝑘)𝐿𝑛−1(𝑥𝑘) și din (2) avem
𝐿𝑛+1(𝑥𝑘)=−𝑛
𝑛+𝛼+1𝐿𝑛−1(𝑥𝑘),
(6) ∆2𝑛(𝑥𝑘)=𝑛
𝑛+𝛼+1𝐿𝑛−12(𝑥𝑘)
∆2𝑛′(𝑥𝑘)=−𝐿𝑛+1′(𝑥𝑘)𝐿𝑛−1(𝑥𝑘)−𝐿𝑛+1(𝑥𝑘)𝐿𝑛−1′(𝑥𝑘).
Folosind (2) și (3) gă sim
𝐿𝑛+1′(𝑥𝑘)=𝑛+1
𝑥𝑘𝐿𝑛+1(𝑥𝑘), 𝐿𝑛−1′(𝑥𝑘)=𝑥𝑘−𝛼−𝑛
𝑥𝑘𝐿𝑛−1(𝑥𝑘).
Deci ∆2𝑛′(𝑥𝑘)=𝑛(𝑥𝑘−𝛼−𝑛)
(𝑛+𝛼+1)𝑥𝑘𝐿𝑛−12(𝑥𝑘) și folosind (1) și (6) obț inem
(7) ∆2𝑛′(𝑥𝑘)
∆2𝑛(𝑥𝑘)=𝑥𝑘−𝛼−1
𝑥𝑘, 𝐿𝑛′′(𝑥𝑘)
𝐿𝑛′(𝑥𝑘)=−1+𝛼−𝑥𝑘
𝑥𝑘 .
În acest fel, din (7) avem
𝐵𝑘(∆2𝑛;𝑥)=∆2𝑛(𝑥𝑘){1+(𝑥−𝑥𝑘)(∆2𝑛′(𝑥𝑘)
∆2𝑛(𝑥𝑘)−𝐿𝑛′′(𝑥𝑘)
𝐿𝑛′(𝑥𝑘)−1
𝑥𝑘−𝑐)}.
Pentru 𝑐=0 avem 𝐵𝑘(∆2𝑛;𝑥)=∆2𝑛(𝑥𝑘)𝑥
𝑥𝑘. Cu alte cuvinte, avem 𝐵𝑘(∆2𝑛;𝑥)>0,
(∀)𝑥>0. Conform (5) rezultă că toț i 𝑥>0 avem ∆2𝑛(𝑥)>0, adică (4). Î n [8], [9], [12 ]
există și alte rezultate î n ceea ce priveș te inegalitatea lui Turán pentru polinoamele ortogonale
clasice.
1.2.3. Interpolare Birkhoff.
Fie 𝑥𝑘∈[𝑎,𝑏],𝑘=0,1,…,𝑚,𝑥𝑖≠𝑥𝑗 dacă 𝑖≠𝑗,𝑟𝑘∈𝑁 si 𝐼𝑘
{0,1,…,𝑟𝑘},
𝑘=0,1,…,𝑚. Fie, de aseme nea, o funcț ie 𝑓:[𝑎,𝑏]→ℝ pentru care există 𝑓(𝑗)(𝑥𝑘),
𝑘=0,…,𝑚,𝑗∈𝐼𝑘 și 𝑛=|𝐼0|+⋯+|𝐼𝑚|−1,|𝐼𝑘| fiind cardinalul mulț imii 𝐼𝑘.
Definiț ia1.9. Problema de interpolare corespunzătoare spațiului Pn și funcț ionalelor
liniare 𝐿𝑘𝑗 definite prin 𝐿𝑘𝑗𝑓=𝑓(𝑗)(𝑥𝑘),𝑘=0,1,…,𝑚; 𝑗∈𝐼𝑘 se numeș te problema de
interpolare Birkhoff.
Observaț ia 1.15. Dacă 𝐼𝑘={0,1,…,𝑟𝑘},𝑘=0,…,𝑚 problema de interpolare
Birkhoff se reduce la o problemă de interpolare Hermite , deci ea este o generalizare a a cesteia
din urmă . Dacă există un 𝑘0∈{0,1,…,𝑚} încât 𝐼𝑘0
 {0,1,…,𝑟𝑘0} dar 𝑟𝑘0∈𝐼𝑘0, înseamnă că

36 pe punctul 𝑥𝑘0 pot lipsi unele dintre valorile 𝑓(𝑗)(𝑥𝑘0),0≤𝑗<𝑟𝑘0 motiv pentru care
interpolarea Birkhoff se mai numeș te interpolare Hermite lacunară .
Studiul problemei de interpolar e Birkhoff se poate reduce, ca și î n cazurile anterioare,
la studiul sistemului algebric liniar de (𝑛+1) ecuaț ii cu (𝑛+1) necunoscute
(1.42) 𝑃(𝑗)(𝑥𝑘)=𝑓(𝑗)(𝑥𝑘),𝑘=0,1,…,𝑚; 𝑗∈𝐼𝑘,
necunoscutele fiind coeficienț ii polinomului P
𝑃(𝑥)=𝑎0𝑥𝑛+⋯+𝑎𝑛.
Ca urmare, dacă determinantul s istemului (1 .42) este diferit de zero problema de
interpolare Birkhoff corespu nzătoare are soluție și ea este unică .
Definiț ia 1.10. O soluț ie a problem ei de interpolare Birkhoff, dacă există, se numeș te
polinom de interpolare Birkhoff ș i se va nota prin 𝐵𝑛𝑓, iar 𝐵𝑛, se numeș te operatorul de
interpolare Birkhoff.
Conform Teor emei 1 .3, 𝐵𝑛𝑓, dacă există , se poate reprezenta sub forma
(1.43) (𝐵𝑛𝑓)(𝑥)=∑∑𝑏𝑘𝑗(𝑥)𝑓(𝑗)(𝑥𝑘)
𝑗∈𝐼𝑘𝑚
𝑘=0
unde 𝑏𝑘𝑗 sunt polinoame fundamentale de inter polare și satisfac condiț iile
(1.44) {𝑏𝑘𝑗(𝑝)(𝑥𝑣)=0,𝑣≠𝑘,𝑝∈𝐼𝑣
𝑏𝑘𝑗(𝑝)(𝑥𝑘)=𝛿𝑖𝑝, 𝑝∈𝐼𝑘
pentru 𝑗∈𝐼𝑘,𝑘,𝑣=0,1,…,𝑚.
Definiț ia 1.11. Operatorul 𝑅𝑛=𝐼−𝐵𝑛 se numeș te operatorul rest, iar formula
(1.45) 𝑓=𝐵𝑛𝑓+𝑅𝑛𝑓
se numeș te formula de interpolare Birkhoff.
Teorema 1.13. Atât operatorul 𝐵𝑛 cât și operatorul 𝑅𝑛 sunt proiectori.
Justificarea acestei proprietăț i se face analog cazului interpolarii Hermi te.
Relativ l a termenul rest al formulei (1 .45) avem:
Teorema 1 .14. Dacă 𝑓∈𝐶𝑛+1[𝑎,𝑏], atunci
(1.46) (𝑅𝑛𝑓)(𝑥)=∫𝜑𝑛(𝑥;𝑠)𝑏
𝑎𝑓(𝑛+1)(𝑠)𝑑𝑠
unde
𝜑𝑛(𝑥;𝑠)=1
𝑛!{(𝑥−𝑠)+𝑛−∑∑𝑏𝑘𝑗(𝑥)[(𝑥𝑘−𝑠)+𝑛](𝑗)
𝑗∈𝐼𝑘𝑚
𝑘=0}.
Demonstrația rezultă imediat din teorema lui Peano, pe baza Teoremei 1.13. ∎

37 Determinarea polinomului 𝐵𝑛𝑓 se poate face fie prin rezolvare a sistemului (1.42 ), fie
prin obț inerea polinoamelor fundamentale de interpolare, 𝑏𝑘𝑗, în condițiile (1 .44).
Atunci câ nd polinomul 𝐵𝑛𝑓 este folosit î n scopul ap roximării funcț iei 𝑓, deci se cere
și eroarea de aproximare, este recomandată scrierea sub forma (1 .43), polinoamele
fundamentale 𝑏𝑘𝑗 fiind necesare și la reprezentarea (1. 46) a termenului rest.
Exprimarea sub o formă mai explicită a restului p resupune studiul funcț iei 𝜑𝑛. În
cazul în care funcț ia 𝜑𝑛 nu-și schimbă semnul pe intervalul [𝑎,𝑏], cum 𝑓∈𝐶𝑛+1[𝑎,𝑏], se
obține
(𝑅𝑛𝑓)(𝑥)=𝐸(𝑥)𝑓(𝑛+1)(
),𝑎≤
≤b
unde
𝐸(𝑥)=𝑥𝑛+1
(𝑛+1)!−∑∑𝑏𝑘𝑗(𝑥)
(𝑛−𝑗+1)!𝑥𝑘𝑛−𝑗+1.
𝑗∈𝐼𝑘𝑚
𝑘=0
Dacă 𝜑𝑛 schimbă de semn pe [𝑎,𝑏], se pot determin a intervalele pe care aceasta
păstrează semnul în vederea aplică rii formulei de medie pe fiecare dintre intervalele
respective.
De asemenea, din (1.46 ) se obț ine
|(𝑅𝑛𝑓)(𝑥)|≤∫|𝜑𝑛(𝑥;𝑠)|𝑏
𝑎|𝑓(𝑛+1)(𝑠)|𝑑𝑠
de unde
|(𝑅𝑛𝑓)(𝑥)|≤‖𝑓(𝑛+1)‖∞∫|𝜑𝑛(𝑥;𝑠)|𝑏
𝑎𝑑𝑠,
ce constituie o delimitare a erorii absolute com isă în aproximarea lui 𝑓(𝑥) prin (𝐵𝑛𝑓)(𝑥).
Pentru concretizare vom prezenta două exemple.
Exemplu 1 .2. Fie 𝑓∈𝐶2[0,ℎ],ℎ∈ℝ+,𝑚=1,𝑟0=0, 𝑟1=1, 𝐼0={0}, 𝐼1={1}.
Se cere formula de interpolare Birkhoff corespunză toare.
Cum 𝑛=1, soluț ia problemei de inter polare Birkhoff respective, dacă există este un
polinom de gradul întâ i, 𝑃(𝑥)=𝑎0𝑥+𝑎1, iar sistemul (1 .42) devine
{𝑃(0)=𝑓(0)
𝑃′(ℎ)=𝑓′(ℎ).
Întrucâ t determinantul acestui sistem
|01
10|=−1≠0
problema de interpolare Birkhoff considerată are soluție unică .

38 Să determină m acum polinoamele fundamentale 𝑏00 și 𝑏11, care sunt tot polinoame de
gradul întâi, de exemplu
𝑏00(𝑥)=𝐴𝑥+𝐵 și 𝑏11(𝑥)=𝐶𝑥+𝐷
și care verifică condiț iile
{𝑏00(0)=1
𝑏00′(ℎ)=0 {𝑏11(0)=0
𝑏11′(ℎ)=1.
Rezolvând aceste sisteme, se obț ine
𝑏00(𝑥)=1 și 𝑏11(𝑥)=𝑥.
Prin urmare,
(𝐵1𝑓)(𝑥)=𝑓(0)+𝑥𝑓′(ℎ).
Pentru rest avem
(𝑅1𝑓)(𝑥)=∫𝜑1(𝑥;𝑠)𝑓′′(𝑠)𝑑𝑠ℎ
0
unde
𝜑1(𝑥;𝑠)=(𝑥−𝑠)+−𝑥
sau
𝜑1(𝑥;𝑠)={−𝑥, 𝑥≤𝑠
−𝑠, 𝑥>𝑠.
Deci 𝜑1(𝑥;𝑠)≤0,𝑥,𝑠∈[0,ℎ], așa încâ t
(𝑅1𝑓)(𝑥)=𝐸(𝑥)𝑓′′(
),0≤
≤h,
cu
𝐸(𝑥)=𝑥2
2−ℎ𝑥.
Avem, de asemenea,
‖𝑅1𝑓‖∞≤ℎ2
2‖𝑓′′‖∞.
Exemplu 1.3. Pentru 𝑓∈𝐶3[0,ℎ],ℎ∈ℝ+,𝑛=2,𝑟0=1,𝑟1=0, 𝑟2=1 și
𝐼0= 𝐼1={1},𝐼1={0} să se construiscă formula de interpolare Birkhoff corespunză toare.
Deoarece 𝑛=2, se caută soluț ia acestei probleme de interpolare Birkhoff sub forma
unui polinom P de gradul al doilea. Considerâ nd 𝑃(𝑥)=𝑎0𝑥2+𝑎1𝑥+𝑎2 și scriind sistemul
corespunzător lui (1 .42), avem
{ 𝑃′(0)≔𝑎1=𝑓′(0)
𝑃(ℎ
2)≔ℎ2
4𝑎0+ℎ
2𝑎1+𝑎2 =𝑓(ℎ
2)
𝑃′(ℎ)≔2ℎ𝑎0+𝑎1=𝑓′(ℎ).
Rezolvând acest sistem, se obț ine

39 (𝐵2𝑓)(𝑥)=(2𝑥−ℎ)(3ℎ−2𝑥)
8ℎ𝑓′(0)+𝑓(ℎ
2)+4𝑥2−ℎ2
8ℎ𝑓′(ℎ).
Pe de altă parte
(𝐵2𝑓)(𝑥)=𝑏01(𝑥)𝑓′(0)+𝑏10(𝑥)𝑓(ℎ
2)+𝑏21(𝑥)𝑓′(ℎ)
𝑏01,𝑏10 și 𝑏21 fiind polinoame fund amentale de interpolare. Rezultă deci că
𝑏01(𝑥)=(2𝑥−ℎ)(3ℎ−2𝑥)
8ℎ,𝑏10(𝑥)=1,𝑏21(𝑥)=4𝑥2−ℎ2
8ℎ
ceea ce consti tuie o altă cale de obț inere a polinoamelor fundamentale de int erpolare, uneori
mai avantajoasă decât prin folosirea condițiilor corespunzătoare lui (1 .44).
Pentru studiul restul ui folosim forma integrală (1.46 ) și obț inem
(𝑅2𝑓)(𝑥)=∫𝜑2(𝑥;𝑠)𝑓′′′(𝑠)𝑑𝑠ℎ
0
unde
𝜑2(𝑥;𝑠)=1
2{(𝑥−𝑠)+2−𝑏01(𝑥)[(0−𝑠)+2]′−𝑏10(𝑥)(ℎ
2−𝑠)
+−
− 𝑏21(𝑥)[(ℎ−𝑠)+2]′=1
2[(𝑥−𝑠)+2−(ℎ
2−𝑠)
+2
−4𝑥2−ℎ2
4ℎ(ℎ−𝑠)].
Studiind semnul acestei funcții, se obț ine:
𝜑1(𝑥;𝑠)≥0 dacă 𝑥∈[0,ℎ
2] și 𝑠∈[0,ℎ], iar
𝜑2(𝑥;𝑠)≤0 pentru 𝑥∈[ℎ
2,ℎ] și 𝑠∈[0,ℎ].
Rezultă deci, că pentru 𝑥∈[0,ℎ] fixat, 𝜑2(𝑥; ∙ ) nu-și schimbă semnul pe [0,ℎ]. Ca urmare,
pe baza formulei de medie, avem
(𝑅2𝑓)(𝑥)=𝑓′′′(
)∫𝜑2(𝑥;𝑠)𝑑𝑠𝑏
𝑎
=(2𝑥−ℎ)(2𝑥2−2ℎ𝑥−ℎ2)
24𝑓′′′(
),0≤
≤h,
sau, având în vedere că
max
0≤𝑥≤ℎ|(2𝑥−ℎ)(2𝑥2−2ℎ𝑥−ℎ2)|=ℎ3,
‖𝑅2𝑓‖∞≤ℎ3
24‖𝑓′′′‖∞.
Observaț ia 1.16. Problema de interpolar e Birkhoff este cea mai generală problemă
de interpolar e prin polinoame algebrice. După cum s -a remarcat, ea cuprinde ca un caz
particular problema de interpolare Hermite deci interpo lare Taylor sau Lagrange. Există, însă

40 și alte tipuri de pro bleme de interpolare care se obțin ca ș i cazuri particulare ale problemei de
interpolare Birkhoff.
Două dintre acestea sunt:
i) Interpolarea Abel -Gonciarov, corez punzătoare funcț ionalelor liniare 𝐿𝑖 definite prin
𝐿𝑖𝑓=𝑓(𝑖)(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑛, cu 𝑥𝑖≠𝑥𝑗 pentru 𝑖≠𝑗. Un as tfel de caz avem î n exemplul 1
de mai sus.
ii) Interpolarea Lidstone, obținută pentru 𝐿𝑖 definite prin 𝐿2𝑖+1𝑓=𝑓(2𝑖)(𝑥0),𝐿2𝑖+2𝑓=
𝑓(2𝑖)(𝑥1),𝑖=0,1,…,𝑛 și 𝑥0≠𝑥1. Evident spațiul polinoamelor este aici P2n+1.
În ambmele cazuri funcț ionalele 𝐿𝑖 considerate posedă proprietatea de interpolare.

1.3. Interpolare trigonometrică .
În cazul în care funcț ia 𝑓 este periodică este natural ca funcția interpolatoare să fie un
polinom trigonometric.
Fie
𝑚 mulțimea polinoamelor trigonometrice de ordinul 𝑚, de forma
𝑇𝑚(𝑥)=𝑎0+∑(𝑎𝑘 cos𝑘𝑥+𝑏𝑘sin𝑘𝑥), |𝑎𝑚|+|𝑏𝑚|>0,𝑚
𝑘=1
𝑓 o funcț ie 2𝜋 periodică ș i 𝑥𝑖∈[−𝜋,𝜋),𝑖=0,1,…,2𝑚 astfel încâ t
−𝜋≤𝑥0<𝑥1<⋯<𝑥2𝑚<𝜋.
Definiț ia 1.12. Problema de interpolare corespunzătoare spaț iului
𝑚 și
funcționalelor 𝐿𝑖 definite prin 𝐿𝑖𝑓=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,2𝑚 se numeș te proble ma de
interpolare trigonometrică. O soluție a acestei probleme, dacă există, se numeș te polin om de
interpolare trigonometrică .
Cum funcț ionalele 𝑓(𝑥𝑖), pentru 𝑥𝑖≠𝑥𝑗 dacă 𝑖≠𝑗 sunt liniar independente rezultă că
ele posedă propri etatea de interpolare, deci proble ma de interpolare trigonometrică are, în
condițiile date, soluție unică .
Notâ nd prin 𝑇𝑚𝑓 aceas tă soluție, pe baza Teoremei 1 .4 avem
(1.47)
(𝑇𝑚𝑓)(𝑥)=−1
𝐷|01cos𝑥
𝑓(𝑥0)1cos𝑥0
⋮
𝑓(𝑥2𝑚)⋮
1⋮
cos𝑥2𝑚 sin𝑥…cos𝑚𝑥
sin𝑥0…cos𝑚𝑥0
⋮
sin𝑥2𝑚…
…⋮
cos𝑚𝑥2𝑚 sin𝑚𝑥
sin𝑚𝑥0
⋮
sin𝑚𝑥2𝑚|
unde

41 𝐷= |1cos𝑥0sin𝑥0
⋮⋮ ⋮
1cos𝑥2𝑚sin𝑥2𝑚 …cos𝑚𝑥0sin𝑚𝑥0
⋮⋮ ⋮
…cos𝑚𝑥2𝑚sin𝑚𝑥2𝑚|
Determinantul 𝐷 se poate scrie sub forma
(1.48) 𝐷=4𝑚2∏∏sin𝑥𝑝−𝑥𝑞
2.𝑝−1
𝑞=02𝑚
𝑝=1
Într-adevăr, având î n vedere identitatea cos𝑥+𝑖sin𝑥=𝑒𝑖𝑥, înmulț ind coloanele lui
𝐷 care conțin funcț ia 𝑠𝑖𝑛 cu 𝑖 și adunâ nd rezultatul respectiv la coloana precedentă , se obț ine
𝐷=|1𝑒𝑖𝑥0sin𝑥0
⋮⋮⋮
1𝑒𝑖𝑥2𝑚sin𝑥2𝑚 …𝑒𝑚𝑖𝑥0sin𝑚𝑥0
⋮⋮ ⋮
…𝑒𝑚𝑖𝑥2𝑚sin𝑚𝑥2𝑚|
Înmulțind acum aceleaș i coloane cu (−2𝑖) și ținând seamă de relaț ia
−2𝑖sin𝑥=𝑒−𝑖𝑥−𝑒𝑖𝑥, avem
𝐷=1
(−2𝑖)𝑚|1𝑒𝑖𝑥0𝑒−𝑖𝑥0
⋮⋮⋮
1𝑒𝑖𝑥2𝑚𝑒−𝑖𝑥2𝑚 −𝑒𝑖𝑥0…𝑒𝑚𝑖𝑥0
⋮⋮⋮
−𝑒𝑖𝑥2𝑚…𝑒𝑚𝑖𝑥2𝑚 𝑒−𝑚𝑖𝑥0−𝑒𝑚𝑖𝑥0
⋮ ⋮
𝑒−𝑚𝑖𝑥2𝑚−𝑒𝑚𝑖𝑥2𝑚|
sau adunâ nd coloanele de ra ng par la cele de rang impar obț inem
𝐷=1
(−2𝑖)𝑚|1𝑒𝑖𝑥0𝑒−𝑖𝑥0
⋮⋮⋮
1𝑒𝑖𝑥2𝑚𝑒−𝑖𝑥2𝑚 …𝑒𝑚𝑖𝑥0𝑒−𝑚𝑖𝑥0
⋮⋮ ⋮
…𝑒𝑚𝑖𝑥2𝑚𝑒−𝑚𝑖𝑥2𝑚|
Înmulț ind liniile respective prin 𝑒𝑚𝑖𝑥𝑗,𝑗=0,1,…,2𝑚, avem
𝐷=𝑒−𝑚𝑖(𝑥0+⋯+𝑥2𝑚)
(−2𝑖)𝑚|𝑒𝑚𝑖𝑥0𝑒(𝑚+1)𝑖𝑥0…
⋮ ⋮⋮
𝑒𝑚𝑖𝑥2𝑚𝑒(𝑚+1)𝑖𝑥2𝑚… 𝑒𝑖𝑥0𝑒2𝑚𝑖𝑥01
⋮ ⋮⋮
𝑒𝑖𝑥2𝑚𝑒2𝑚𝑖𝑥2𝑚1|
sau
𝐷=𝑒−𝑚𝑖(𝑥0+⋯+𝑥2𝑚)
(−2𝑖)𝑚|1𝑒𝑖𝑥0…
⋮⋮⋮
1𝑒𝑖𝑥2𝑚… 𝑒2𝑚𝑖𝑥0
⋮
𝑒2𝑚𝑖𝑥2𝑚|
adică
(1.49) 𝐷=(−1)𝑚𝑒−𝑚𝑖(𝑥0+⋯+𝑥2𝑚)
(−2𝑖)𝑚𝑉(𝑒𝑖𝑥0,…,𝑒𝑖𝑥2𝑚)
𝑉 fiind determinantul lui Vandermonde.
Folosind reprezentarea.
𝑉(𝑒𝑖𝑥0,…,𝑒𝑖𝑥2𝑚)=∏∏(𝑒𝑖𝑥𝑝−𝑒𝑖𝑥𝑞)𝑝−1
𝑞=02𝑚
𝑝=1
și relaț iile

42 𝑒𝑖𝑥𝑝−𝑒𝑖𝑥𝑞=2𝑖𝑒𝑖(𝑥𝑝+𝑥𝑞)
2sin𝑥𝑝−𝑥𝑞
2
respectiv
𝑖
2∑∑(𝑥𝑝+𝑥𝑞)=𝑚𝑖(𝑥0+⋯+𝑥2𝑚)𝑝−1
𝑞=02𝑚
𝑝=1
avem
𝑉(𝑒𝑖𝑥0,…,𝑒𝑖𝑥2𝑚)=(2𝑖)𝑚(2𝑚+1)𝑒𝑚𝑖(𝑥0+⋯+𝑥2𝑚)∏∏sin𝑥𝑝−𝑥𝑞
2.𝑝−1
𝑞=02𝑚
𝑝=1
Substituind expresia lui 𝑉(𝑒𝑖𝑥0,…,𝑒𝑖𝑥2𝑚) în (1.49 ) se obț ine
𝐷=(−1)𝑚(2𝑖)2𝑚2∏∏sin𝑥𝑝−𝑥𝑞
2.𝑝−1
𝑞=02𝑚
𝑝=1
adică (1 .48).
Dezvolt ând acum determinantul din (1.47 ) după elementele primei coloane, se obț ine
(𝑇𝑚𝑓)(𝑥)=−1
𝐷∑(−1)𝑘+1𝐷𝑘𝑓2𝑚
𝑘=0(𝑥𝑘)
unde
𝐷𝑘=
||1
1
⋮
1
1cos𝑥
cos𝑥0
⋮
cos𝑥𝑘−1
cos𝑥𝑘+1sin𝑥
sin𝑥0
⋮
sin𝑥𝑘−1
sin𝑥𝑘+1
⋮⋮ ⋮
1cos𝑥2𝑚sin𝑥2𝑚 …
…
⋯…
…cos𝑚𝑥
cos𝑚𝑥0
⋮
cos𝑚𝑥𝑘−1
cos𝑚𝑥𝑘+1sin𝑚𝑥
sin𝑚𝑥0
⋮
sin𝑚𝑥𝑘−1
sin𝑚𝑥𝑘+1
… ⋮ ⋮
…cos𝑚𝑥2𝑚sin𝑚𝑥2𝑚||

este un determinant de forma lui 𝐷.
Având în vedere (1.48 ) și reprezentarea analoagă a lui 𝐷𝑘, după simplifică rile posibile
avem
(1.50) (𝑇𝑚𝑓)(𝑥)=∑𝑡𝑘(𝑥)𝑓(𝑥𝑘)2𝑚
𝑘=0
unde 𝑡𝑘 sunt definite prin
𝑡𝑘(𝑥)=sin𝑥−𝑥0
2…sin𝑥−𝑥𝑘−1
2sin𝑥−𝑥𝑘+1
2…𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑥2𝑚
2
sin𝑥𝑘−𝑥0
2…sin𝑥𝑘−𝑥𝑘−1
2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑘−𝑥𝑘+1
2…𝑠𝑖𝑛𝑥𝑘−𝑥2𝑚
2
și se numesc polinoame le fundamenta le de interpolare trigonometrică .
Observaț ia 1.17. Expresia (1 .50) a polinomul ui de interpolare trigonometrică po ate fi
simplificată atunci când f este o funcție pară sau impară .

43
1.4. Interpolare rațională .
Fie [𝑎,𝑏]
ℝ și 𝑓:[𝑎,𝑏]→ℝ. În anumite cazu ri, cum ar fi de exemplu, situația în
care o dreaptă de ecuaț ie 𝑥=𝑎−𝜀 sau 𝑥=𝑏−𝜀,𝜀>0, este asimptotă a funcț iei 𝑓,
alegerea unei aproximante din mulțimea funcțiilor raț ionale poate duce la rezult ate mult mai
bune decât aproximarea polinomială. Chiar și în cazul unor funcții elementare, ca funcția
exponențială, întrucât nu există polinom a le cărui valori să varieze puțin î n raport cu x, pent ru
valori mari ale lui x, iese în evidență utilitatea func țiilor raționale, funcț ii care pot avea o
astfel de comportare. Prezintă interes deci, problema aproximă rii funcților prin funcții
raționale.
Fie 𝐹=𝑃𝑟
𝑃𝑠, unde 𝑃𝑘∈𝑃𝑘. Cum 𝐹 nu se schimbă dacă se înlocuieș te 𝑃𝑟 și 𝑃𝑠 respectiv
prin 𝐶𝑃𝑟 și 𝐶𝑃𝑠, unde 𝐶 este o constantă nenulă, rezultă că 𝐹 depinde de (𝑟+𝑠+1)
parametri, determinarea cărora necesită tot atâtea condiții. Î n acest paragraf vom folosi pentru
determinarea lui 𝐹 condiț ii de interpolare.
Introducâ nd notaț ia 𝑚=𝑟+𝑠, se consideră 𝑥𝑖∈[𝑎,𝑏],𝑖=0,1,…,𝑚,𝑥𝑖≠𝑥𝑗, dacă
𝑖≠𝑗.
Definiț ia 1.13. Problema determinării funcț iei 𝐹 în condiț iile
(1.51) 𝐹(𝑥𝑖)=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚
se numește problemă de interpolare rațională .
Fără a face alte comentarii referitoare la alegerea gradelor 𝑟 și 𝑠 ale polinoamelor care
definesc funcția rațională 𝐹, vom prrezenta u n procedeu iterativ de construcție a funcț iei 𝐹
bazat pe reprezentarea ei sub formă de fracț ii continue limitate.
Să considerăm pentru î nceput șirurile de funcț ii 𝑢𝑘 și 𝑣𝑘,𝑘=0,1,…, definite prin
relațiile de recurență :
(1.52) 𝑢𝑘(𝑥)=𝑢𝑘(𝑥𝑘)+(𝑥−𝑥𝑘)𝑢𝑘+1(𝑥)
𝑣𝑘(𝑥)=𝑣𝑘(𝑥𝑘)+𝑥−𝑥𝑘
𝑣𝑘+1(𝑥).
Notâ nd prin 𝑢0=𝑣0=𝑓 și aplicând succesiv relațiile (1.52 ) se obțin dezvoltă rile
(1.53) 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)+(𝑥−𝑥0)𝑢1(𝑥1)+⋯+(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑢𝑘(𝑥𝑘)+
+(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑘)𝑢𝑘+1(𝑥),
respectiv
(1.54) 𝑓(𝑥)= 𝑓(𝑥0)+𝑥−𝑥0
𝑣1(𝑥1)+𝑥−𝑥1
𝑣2(𝑥2)+⋯+𝑥−𝑥𝑘−1
𝑣𝑘(𝑥𝑘)+𝑥−𝑥𝑘
𝑣𝑘+1(𝑥).
Dacă î n (1.53) se ia

44 𝑢𝑖(𝑥𝑖)=[𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑖;𝑓],
adică difer ența divizată a funcț iei 𝑓 pe punctele 𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑖, obținem
𝑓(𝑥)= 𝑓(𝑥0)+∑(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑖−1)𝑚
𝑖=1[𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑖;𝑓]+(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑚)𝑢𝑚+1(𝑥),
care este formula de interpolare a lui Newton, unde
(𝑁𝑚𝑓)(𝑥)=𝑓(𝑥0)+∑(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑖−1)𝑚
𝑖=1[𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑖;𝑓]
este polinomul lui Newton. Prin urmare,
(𝑁𝑚𝑓)(𝑥𝑖)=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚.
Se pune problema definirii numerelor 𝑣𝑖(𝑥𝑖), încât și funcț ia 𝐹𝑚 definită prin
𝐹𝑚(𝑥)=𝑓(𝑥0)+𝑥−𝑥0
𝑣1(𝑥1)+𝑥−𝑥1
𝑣2(𝑥2)+⋯+𝑥−𝑥𝑚−1
𝑣𝑚(𝑥𝑚)
să satisfacă condiț iile de interpolar e
(1.55) 𝐹𝑚(𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘),𝑘=0,1,…,𝑚.
Definiț ia 1.14. Fie 𝑀={𝑥𝑖| 𝑥𝑖∈ℝ,𝑖=0,…,𝑚} și 𝑓:𝑀→ℝ. Mărimea
{𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑘−1,𝑥𝑘;𝑓}=𝑥𝑘−𝑥𝑘−1
{𝑥0,…,𝑥𝑘−2,𝑥𝑘;𝑓}−{𝑥0,…,𝑥𝑘−1;𝑓}
cu {𝑥0,𝑥1;𝑓}=[𝑥0,𝑥1;𝑓]−1, se numește diferență divizată inversă de ordinul k.
Observaț ia 1.18. Diferența divizată inversă de ordinul 𝑘>1 diferă de inversa
diferenț ei divizate. De asem enea, spre deosebire de diferența divizată, diferenț a diviza tă
inversă depinde de ordinea noduri lor.
Teorema 1.15. Fie 𝑓:𝑀→ℝ. Dacă 𝑣𝑘(𝑥𝑘)={𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑘;𝑓},𝑘=1,…𝑚, atunci
𝐹𝑚(𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘),𝑘=0,1,…,𝑚.
Demonstrație: Se reduce la o verificare directă. Într -adevă r, pentru fiecare 𝑘=
0,1,…,𝑚, avem
𝐹𝑚(𝑥𝑘)=𝑓(𝑥0)+𝑥𝑘−𝑥0
{𝑥0,𝑥1;𝑓}+⋯+𝑥𝑘−𝑥𝑘−2
{𝑥0,…,𝑥𝑘−1;𝑓}+𝑥𝑘−𝑥𝑘−1
{𝑥0,…,𝑥𝑘;𝑓}.
Substituind diferența divizată inversă de ordin maxim {𝑥0,…,𝑥𝑘;𝑓} prin expresia
obținută pe baza definiț iei,
{𝑥0,…,𝑥𝑘;𝑓}=𝑥𝑘−𝑥𝑘−1
{𝑥0,…,𝑥𝑘−2,𝑥𝑘;𝑓}−{𝑥0,…,𝑥𝑘−1;𝑓}
se obț ine
𝐹𝑚(𝑥𝑘)=𝑓(𝑥0)+𝑥𝑘−𝑥0
{𝑥0,𝑥1;𝑓}+⋯+𝑥𝑘−𝑥𝑘−2
{𝑥0,…,𝑥𝑘−2,𝑥𝑘;𝑓}.
Continuând în acest mod, după 𝑘−2 substituiri, se deduce că

45 𝐹𝑚(𝑥𝑘)=𝑓(𝑥0)+𝑥𝑘−𝑥0
{𝑥0,𝑥𝑘;𝑓}.
Cum {𝑥0,𝑥𝑘;𝑓}=𝑥𝑘−𝑥0
𝑓(𝑥𝑘)−𝑓(𝑥0), rezultă că 𝐹𝑚(𝑥𝑘)=𝑓(𝑥𝑘). ∎
Observaț ia 1.19. Funcț ia 𝐹𝑚 este o fracție continuă limitată .
Vom prezenta acum un proce deu iterativ pentru scrierea lui 𝐹𝑚 sub formă de funcție
rațională .
În acest scop se scrie relaț ia
(1.56) 𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)+𝑥−𝑥0
𝑣1(𝑥1)+⋯+𝑥−𝑥𝑘−1
𝑣𝑘(𝑥)
sub forma echivalentă
(1.57) 𝑓(𝑥)=𝑣𝑘(𝑥)𝐺𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑃𝑘(𝑥)
𝑣𝑘(𝑥)𝐻𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑄𝑘(𝑥).
Pentru determinarea funcț iilor 𝐺𝑘,𝐻𝑘,𝑃𝑘, și 𝑄𝑘 observăm mai întâi că avem, de
asemenea,
(1.58) 𝑓(𝑥)=𝑣𝑘+1(𝑥)𝐺𝑘+1(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘)𝑃𝑘+1(𝑥)
𝑣𝑘+1(𝑥)𝐻𝑘+1(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘)𝑄𝑘+1(𝑥)
Relație obținută din (1 .54).
Pe de altă parte, înlocuind în (1 .57), se obț ine
(1.59) 𝑓(𝑥)=𝑣𝑘+1(𝑥)[𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐺𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑃𝑘(𝑥)]+(𝑥−𝑥𝑘)𝐺𝑘(𝑥)
𝑣𝑘+1(𝑥)[𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐻𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑄𝑘(𝑥)]+(𝑥−𝑥𝑘)𝐻𝑘(𝑥).
relație identică cu (1 .58).
Din (1.58) și (1.59 ) rezultă că

𝑃𝑘+1(𝑥)=𝐺𝑘(𝑥),
𝑄𝑘+1(𝑥)=𝐻𝑘(𝑥)
și
𝐺𝑘+1(𝑥)=𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐺𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑃𝑘(𝑥),
𝐻𝑘+1(𝑥)=𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐻𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑄𝑘(𝑥),
deci au loc relațiile de recurenț ă
(1.60) {𝐺𝑘+1(𝑥)=𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐺𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝐺𝑘−1(𝑥)
𝐻𝑘+1(𝑥)=𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐻𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝐻𝑘−1(𝑥).
Prin urmare,
(1.61) 𝑓(𝑥)=𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐺𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝐺𝑘−1(𝑥)
𝑣𝑘(𝑥𝑘)𝐻𝑘(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑘−1)𝑄𝑘−1(𝑥)

46 iar relațiile (1.60 ), permit determinarea funcț iilor 𝐺𝑘,𝐻𝑘,𝑘>1, dacă se cunosc 𝐺0,𝐺1 și
𝐻0,𝐻1.
Pentru obținerea acestor funcții, se consideră
𝑓(𝑥)=𝑣1(𝑥)𝐺1(𝑥)+(𝑥−𝑥0)𝐺0(𝑥)
𝑣1(𝑥)𝐻1(𝑥)+(𝑥−𝑥0)𝐻0(𝑥)
expresie obținută din (1 .61) pentru 𝑘=1. Pe de alt ă parte,
𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)+𝑥−𝑥0
𝑣1(𝑥)=𝑣1(𝑥)𝑓(𝑥0)+𝑥−𝑥0
𝑣1(𝑥).
Identificând aceste ultime două expresii ale lui f, se obț ine
(1.62) 𝐺0(𝑥)=1; 𝐺1(𝑥)=𝑓(𝑥0)
𝐻0(𝑥)=0; 𝐻1(𝑥)=1.
` Din (1.60) și (1.62 ), rezultă că 𝐺𝑘 și 𝐻𝑘 sunt polinoame ș i anume:
𝐺𝑘∈P[k/2] , 𝐻𝑘∈ P[(k-1)/2], 𝑘=1,2,…
S-a demonstrat astfel:
Teorema 1.16. Dacă 𝑓:𝑀→ℝ,𝑣𝑘(𝑥𝑘)={𝑥0,…,𝑥𝑘;𝑓},𝑘=1,…,𝑚 și
(1.63) 𝐹𝑚=𝐺𝑚+1
𝐻𝑚+1
atunci
𝐹𝑚=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,1,…,𝑚.
Prin urmare, 𝐹𝑚 este o funcție rațională , 𝐹𝑚=𝑃𝑟
𝑄𝑠, unde 𝑟=(𝑚+1)/2 și 𝑠=𝑟−1
dacă 𝑚 este impar ș i 𝑟=𝑠=𝑚/2 pentru 𝑚 par.
Putem deci considera următoarea formulă de interpolare rațională
𝑓=𝜌𝑚𝑓+𝑟𝑚𝑓,
unde 𝜌𝑚 definit prin 𝜌𝑚𝑓=𝐹𝑚, este un operator de interpolare rațională iar 𝑟𝑚𝑓 este
termenul rest.
Teorema 1 .17. Termenul rest are expresia
(1.64) (𝑟𝑚𝑓)(𝑥)=(−1)𝑚𝑢(𝑥)
𝐻𝑚+1(𝑥)[𝑉𝑚+1(𝑥)𝐻𝑚+1(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑚)𝐻𝑚(𝑥)]
unde
𝑢(𝑥)=(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑚).
Demonstraț ie: Avem
(𝑟𝑚𝑓)(𝑥)=𝑉𝑚(𝑥)𝐺𝑚(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑚−1)𝐺𝑚−1(𝑥)
𝑉𝑚(𝑥)𝐻𝑚(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑚−1)𝐻𝑚−1(𝑥)−𝐺𝑚+1(𝑥)
𝐻𝑚+1(𝑥).
Aducând la același numitor și reducând termenii asemenea, se obț ine

47 (𝑟𝑚𝑓)(𝑥)=(𝑥−𝑥𝑚−1)[𝑉𝑚(𝑥)−𝑉𝑚(𝑥𝑚)][𝐺𝑚(𝑥)𝐻𝑚−1(𝑥)−𝐻𝑚(𝑥)𝐺𝑚−1(𝑥)]
[𝑉𝑚(𝑥)𝐻𝑚(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑚−1)𝐻𝑚−1(𝑥)]𝐻𝑚+1(𝑥).
Folosind (1.52 ) rezultă
𝑉𝑚(𝑥)−𝑉𝑚(𝑥𝑚)=(𝑥−𝑥𝑚)/𝑉𝑚+1(𝑥)
și
𝑉𝑚(𝑥)𝐻𝑚(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑚−1)𝐻𝑚−1(𝑥)=𝐻𝑚+1(𝑥)+𝑥−𝑥𝑚
𝑉𝑚+1(𝑥)𝐻𝑚(𝑥).
Prin urmare,
(𝑟𝑚𝑓)(𝑥)=(𝑥−𝑥𝑚−1)(𝑥−𝑥𝑚)[𝐺𝑚(𝑥)𝐻𝑚−1(𝑥)−𝐻𝑚(𝑥)𝐺𝑚−1(𝑥)]
[𝑉𝑚+1(𝑥)𝐻𝑚+1(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑚)𝐻𝑚(𝑥)]𝐻𝑚+1(𝑥).
Având în vedere că
𝐺2(𝑥)𝐻1(𝑥)−𝐻2(𝑥)𝐺1(𝑥)=(𝑥−𝑥0)
și
𝐺𝑚(𝑥)𝐻𝑚−1(𝑥)−𝐻𝑚(𝑥)𝐺𝑚−1(𝑥)=−(𝑥−𝑥𝑚−2)[𝐺𝑚−1(𝑥)𝐻𝑚−2(𝑥)−𝐻𝑚−1(𝑥)𝐺𝑚−2(𝑥)]
rezultă că
𝐺𝑚(𝑥)𝐻𝑚−1(𝑥)−𝐻𝑚(𝑥)𝐺𝑚−1(𝑥)=(−1)𝑚−2(𝑥−𝑥0)…(𝑥−𝑥𝑚−2).
Deci (1 .64) este demonstrată .
Observaț ia 1.20. Pentru eroarea absolută de aproximare avem
(1.65) |(𝑟𝑚𝑓)(𝑥)|=|𝑢(𝑥)|
|𝐻𝑚+1(𝑥)||𝑉𝑚+1(𝑥)𝐻𝑚+1(𝑥)+(𝑥−𝑥𝑚)𝐻𝑚(𝑥)|
pentru 𝑥∈[𝑎,𝑏], dat.
Pentru calculul valorii aproximantei 𝜌𝑚𝑓 pe un punct 𝛼∈ℝ, vom considera
(𝜌𝑚𝑓)(𝛼)=𝐺𝑚+1(𝛼)
𝐻𝑚+1(𝛼),
și relațiile de recurență (1.60 ) cu valorile de pornire (1 .62).
Calculul diferenț elor divizate inverse, care int ervin î n expresiile polinoamelor 𝐺𝑘 și
𝐻𝑘 poate fi efectuat utilizâ nd tabloul:

𝑥0 𝑣00
𝑥1 𝑣10 𝑣11
𝑥2 𝑣20 𝑣21 𝑣22
… … … …
𝑥𝑖 𝑣𝑖0 𝑣𝑖1 𝑣𝑖2 … 𝑣𝑖𝑖
… … … … …
𝑥𝑚 𝑣𝑚0 𝑣𝑚1 𝑣𝑚2 … 𝑣𝑚𝑖 … 𝑣𝑚𝑚

48
unde
𝑣𝑖0=𝑓(𝑥𝑖),𝑖=0,…,𝑚
(1.66) 𝑣𝑖𝑘=𝑥𝑖−𝑥𝑘
𝑣𝑖,𝑘−1−𝑣𝑘−1,𝑘−1,𝑘=1,…,𝑖; 𝑖=1,…,𝑚.
Se observă că diferențele divizate inverse 𝑣𝑖𝑖 care intervin î n expresiile polinoamelor
𝐺𝑘,𝐻𝑘 sunt situate pe ip otenuza tabloului triunghiular și că calculul lor, conform relațiilor
(1.66), poate fi executat pe linii, fiecare linie furnizând diferenț a div izată inversă de ordin
imediat superior.
Astfel, utilizâ nd numerele 𝑣𝑖𝑖,𝑖=0,1,…, pot fi generate succesiv aproximantele
(1.67) (𝜌1𝑓)(𝛼),(𝜌2𝑓)(𝛼),…,(𝜌𝑖𝑓)(𝛼),…
calculul oprindu -se în mom entul în care distanța dintre două elemente consecutive ale șirului
(1.67) este mai mică sau egală decâ t un 𝜀>0, dat, adică
|(𝜌𝑖𝑓)(𝛼)−(𝜌𝑖−1𝑓)(𝛼)|≤𝜀.
În acel moment, se apreciază că (𝜌𝑖𝑓)(𝛼) aproximează pe 𝑓(𝛼) cu precizia dorită .
Ca și î n cazul algoritmului lui Aitken pentru calculul valorii polin omului de
interpolare Lagrange ș i aic i se impune ordonarea prealabilă a nodurilor de interpolare în
funcție de distanț a lor la punctul 𝛼, operație justificată și de (1.65).
Observaț ia 1.21. Privind convergenț a pro cedeului de interpolare raț ional ă prezentat,
fără a ne o pri la un studiu riguros remarcăm că unele considerații pot fi fă cute pe baza
reprezentării (1.64 ) a restului sau a evaluării (1.65 ) a mă rimii acestuia.

1.5. Funcț ii spline
Dându -se o funcție reală 𝑓∈𝐶[𝑎,𝑏],𝑎,𝑏∈ℝ, se pune problema aproximării ei prin
alte funcții care să fie mai simple, adică ale căror valori să poată fi calculate cât mai ușor și
care să fie câ t mai apropiate de valorile funcț iei 𝑓 date. Cu alte cuvinte, plecând de la valorile
funcț iei 𝑓 în anumite puncte 𝑥𝑖 date, numite noduri, 𝑎=𝑥1<𝑥2<⋯<𝑥𝑛=𝑏 se caută o
funcț ie 𝑔 cu proprietatea
(1.68) 𝑔(𝑥𝑖)=𝑓(𝑥𝑖)=:𝑟𝑖,𝑖=1,2,…,𝑁,
și care pentru orice 𝑥∈[𝑎,𝑏],𝑥≠𝑥𝑖,𝑖=1,2,…,𝑁, valorile 𝑔(𝑥) și 𝑓(𝑥) să fie apropiate.
Dintr -o seamă de motive, s -a ales funcț ia 𝑔 din mulț imea polin oamelor. Valoarea unui
polinom î n orice punct se calcul ează cu ușurință. Existența ș i unicitatea unui polinom 𝑃1 de

49 grad ≤𝑁−1 care să satisfacă condițiile (1.68 ) se poate demonstra elementar și se cunosc și
numeroase exprimări ale polinomului 𝑃1 numit de interpolare pentru funcț ia 𝑓, care indică ș i
algoritmul de calcul al acestui polinom de interpolare.
În practică, însă, difere nța dintre valorile 𝑓(𝑥) și 𝑃1(𝑥) în afara nodurilor {𝑥𝑖} poate
să fie foarte mare. Ideea de a alege mai multe noduri {𝑥𝑖} și de a construi un poli nom de
interpolare de grad mai î nalt nu conduce la rezultate satisfăcă toare. Aceasta se vede din
urmă torul exemplu construit de Runge î n anul 1901: d acă
𝑓(𝑥)≔1
1+𝑥2,𝑥∈[−5,5],
𝑥𝑖≔−5+10(𝑖−1)
𝑁−1,𝑖=1,2,…,𝑁,
iar 𝑃𝑓 este polinomul de grad 𝑁−1 de interpolare a acestei funcț ii pe nodurile date 𝑥𝑖, atunci
are loc urmatoarea relaț ie:
‖𝑓−𝑃𝑓‖∞≔max{|𝑓(𝑥)−𝑃𝑓(𝑥)|,𝑥∈[−5,5]}→∞, dacă 𝑁→∞.
Un alt exemplu, cu asemenea discrepanță î ntre valorile 𝑓(𝑥) și 𝑃𝑓(𝑥) a fost dat de Bernstein
în anul 1912 ș i anume:
𝑓(𝑥)≔|𝑥|,𝑥∈[−1,1],
𝑥𝑖≔−1+2(𝑖−1)
𝑁−1,𝑖=1,2,…,𝑁.
Dacă se notează cu {𝑃𝑓,𝑁−1}𝑁=1∞ șirul polinoamelor de interpolare de grad 𝑁−1, pentru
funcț ia 𝑓(𝑥)=|𝑥|, pe nodurile precizate mai sus, atunci, după cum a ară tat Bernstein pentru
orice 𝑥≠0,±1, acest șir este divergent. Divergența acestui șir nu este cauzată numai de
faptul că noduril e alese sunt echidistate. Î n anul 1914 Faber a demonstrat urmă torul rezultat
general cu caracter negativ.
Teorema 1.18 . Teorema lui Faber . Fie dat
{𝑥1(𝑛),𝑥2(𝑛),…,𝑥𝑛(𝑛)}𝑛=1∞
un șir arbitrar de sisteme de noduri cu proprietatea
𝑎≤𝑥1(𝑛)<𝑥2(𝑛)<⋯<𝑥𝑛(𝑛)≤𝑏.
Atunci există pentru sistemul de noduri {𝑥𝑖(𝑛)}𝑖=1𝑛 o funcț ie 𝑓∈𝐶[𝑎,𝑏], astfel încât dacă
𝑃𝑓,𝑛−1 este polinomul de grad 𝑛−1 de interpolare a funcț iei 𝑓 pe nodurile {𝑥𝑖(𝑛)}𝑖=1𝑛,
‖𝑓−𝑃𝑓,𝑛−1‖→∞, dacă 𝑛→∞.
Aceste rezultate negative cu privire la i nterpolarea prin polinoame arată că polinomul
nu este cel mai potrivit instr ument de aproximare a unei funcții date. S -a născut deci

50 problema găsirii unei alte funcții de interpolare care să înlă ture acest neajuns al polinoamelor
de interpolare.
Funcț ia de interpolare care are prorietatea de a converge către funcția continuă pe care
o interpolează (dacă numărul nodurilor crește indefinit) este așa -numita funcți e spline. Acestă
funcț ie spline este o funcție segmentar polinomială î n cazul cel mai simplu, segmentele de
polinoame racordându -se în noduri impreună cu un anumit numă r de derivate ale acestora.
Exemplul cel mai simplu îl constituie funcția spline cubică 𝑠 atașată problemei de
interpolare (1.68) și care se definește prin următoarele condiț ii:
𝑠∈𝐶2[𝑎,𝑏],
(1.69) 𝑠(𝑥𝑖)=𝑓(𝑥𝑖)=:𝑟𝑖,𝑖=1,2,…,𝑁,
𝐷4𝑠(𝑥)=0 pentru 𝑥∈[𝑎,𝑏]\{𝑥𝑖,𝑖=1,2,…,𝑁},
𝐷4≔𝑑4
𝑑𝑥4.
Această funcție spline cubică are proprietatea remarcabilă de a minimiza integrala
∫[𝑦′′(𝑥)]2𝑑𝑥,𝑏
𝑎 dintre toate funcț iile 𝑦:[𝑎,𝑏]→ℝ care interpolează funcția dată 𝑓 pe
nodurile {𝑥𝑖(𝑛)}𝑖=1𝑁. Ace astă proprietate este esențială și după cum se v a vedea ulterior are o
importanță crucială în problema de mecanică care a condus la adoptarea denumirii de spline.

1.5.1. Funcț ii spline cubice
Fie [𝑎,𝑏]
ℝ și fie date punctele 𝑥𝑖,𝑖=1,2,…,𝑁, din acest interval.
Notații:
1) ∆:𝑎=𝑥1<𝑥2<⋯<𝑥𝑁−1<𝑥𝑁=𝑏 o diviziune a acestui interval ,
2) 𝐼𝑖=(𝑥𝑖,𝑥𝑖+1),
3) P3(𝐼𝑖)={𝑓|𝑓∈∏,𝑓:𝐼→ℝ} 3 restricț ia tuturor polinoamelor de grad ≤𝑛 pe
intervalul (𝑥𝑖,𝑥𝑖+1),
4) ℎ𝑖≔(𝑥𝑖+1−𝑥𝑖),𝑖=1,2,…,𝑁−1,
5) 𝐷𝑖≔𝑑𝑖
𝑑𝑥𝑖,𝑖∈𝑁,𝐷0𝑓=𝑓 pentru 𝑓∈𝐶𝑖[𝑎,𝑏].
Definiț ia 1.15. Funcț ia 𝑠∆:[𝑎,𝑏]→ℝ se numește funcție spline cubică , relativ la diviziunea
∆ (cu nodurile 𝑥𝑖,𝑖=1,2,…,𝑁−1), dacă satisface următoarele două condiț ii:
(1.70) 𝑠∆|𝐼𝑖∈ P3(𝑥𝑖,𝑥𝑖+1),𝑖=1,2,…,𝑁−1,
(1.71) 𝑠∆∈𝐶2[𝑎,𝑏].
Vom nota cu 𝛿(4,∆)≔{𝑠∆|𝑠∆:[𝑎,𝑏]→ℝ și 𝑠∆ satisface (1.70) și (1.71 )}.

51 Condiția (1.70 ) este echivalentă cu cerinț a ca 𝑠∆ în (𝑥𝑖,𝑥𝑖−1) să fie soluția ecuației
diferenț iale 𝐷4𝑠∆=𝐷2(𝐷2𝑠∆)=0.
Aceasta înseamnă că funcț ia 𝑠∆, cu anumite condiții la limită, minimizează funcț ionala
∫(𝐷2𝑓)2𝑑𝑥,𝑏
𝑎 pe o mulțime de funcț ii care se va preciza mai târziu.
Fie 𝑚∈𝑁∪{0}. Definim funcția putere trunchiată astfel:
𝑥+𝑚≔{0, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑥<0,
𝑥𝑚, 𝑑𝑎𝑐ă 𝑥≥0 (𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑚=0,00=1 𝑝𝑟𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖ț𝑖𝑒).
Cu aceasta, se p oate pune în evidență o bază a spaț iului liniar 𝛿(4,∆).
Teorema 1 .19. Orice element 𝑠∆∈𝛿(4,∆) se poate reprezenta î n mod unic sub forma
(1.72) 𝑠∆(𝑥)=∑𝑏𝑗(𝑥−𝑥1)+𝑗+∑𝑐𝑖(𝑥−𝑥𝑖)+3. 𝑁−1
𝑖=12
𝑗=0
Demonstrație: Pentru 𝑥∈𝐼1, din (1.70 ) rezult ă
𝑠∆(𝑥)=∑𝑏𝑗(𝑥−𝑥1)+𝑗+𝑐1(𝑥−𝑥1)32
𝑗=0.
Dacă notă m cu 𝑝𝑖,𝑝𝑖+1∈ P3 funcț ia
𝑠∆(𝑥)≔𝑝𝑖(𝑥)≔𝛼𝑖+𝛽𝑖(𝑥−𝑥𝑖+1)+𝛾𝑖(𝑥−𝑥𝑖+1)2+𝛿𝑖(𝑥−𝑥𝑖+1)3
pentru 𝑥∈𝐼𝑖,
𝑠∆(𝑥)≔𝑝𝑖+1(𝑥)≔𝛼̅𝑖+1+𝛽̅𝑖+1(𝑥−𝑥𝑖+1)+𝛾̅𝑖+1(𝑥−𝑥𝑖+1)2+𝛿𝑖+1(𝑥−𝑥𝑖+1)3
pentru 𝑥∈𝐼𝑖+1, atunci rezultă după (1.71 ) că au loc egalităț ile
𝛼̅𝑖+1=𝛼𝑖,𝛽̅𝑖+1=𝛽𝑖, 𝛾̅𝑖+1=𝛾𝑖
și dacă punem 𝑐𝑖+1=𝛿̅𝑖+1−𝛿𝑖, atunci are loc relaț ia
𝑝𝑖+1(𝑥)=𝑝𝑖(𝑥)+𝑐𝑖+1(𝑥−𝑥𝑖+1)3=𝑝𝑖(𝑥)+𝑐𝑖+1(𝑥−𝑥𝑖+1)+ 3
pentru 𝑥∈𝐼𝑖+1. Dacă aplică m acest rezultat de 𝑁−2 ori, se obține formula (1.72 ). Unicitat ea
formulei de r eprezentare (1.72 ) rezultă nemijlocit din faptu l că restricț ia lui 𝑠∆ pe 𝐼𝑖 este un
polinom. ∎
Reprezentarea unei f uncții spline cubice cu ajutorul funcț iilor putere trunchiate are
multe avantaje în studiul unor proprietăți ale acestor funcții. În paragrafele următoare vom
introduce ș i o alt ă bază a spaț iului liniar 𝛿(4,∆).
Fie 𝑌∈ℝ𝑵,𝑌=(𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑁) un vector dat.
Definiția 1.16. O funcț ie spline cubică 𝑠∆ se numește funcție spline cubică de interpolare
pentru vectorul 𝑌, pe diviziunea ∆, dacă
𝑠∆(𝑥𝑖)=𝑦𝑖,𝑖=1,2,…,𝑁.

52 Teorema 1.20 . Polinomul 𝑝𝑖∈ P3[𝑎,𝑏],𝑖=1,2,…,𝑁−1, determinat prin condiț iile
𝑝𝑖(𝑥𝑗)=𝑦𝑗,𝐷𝑝𝑖(𝑥𝑗)=𝑚𝑗,𝑗=𝑖,𝑖+1, se poate reprezenta în mod unic prin relaț ia
(1.73) 𝑝𝑖(𝑥)=𝑦𝑖+𝑚𝑖(𝑥−𝑥𝑖)+(3𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖2−𝑚𝑖+1+2𝑚𝑖
ℎ𝑖)(𝑥−𝑥𝑖)2+
+(−2𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖3+𝑚𝑖+1+𝑚𝑖
ℎ𝑖2)(𝑥−𝑥𝑖)3.
Condiț ia 𝐷2𝑝𝑖(𝑥𝑖+1)=𝐷2𝑝𝑖+1(𝑥𝑖+1) conduce la următorul sistem liniar î n
necunoscutele 𝑚𝑖:
(1.74) ℎ𝑖+1𝑚𝑖+2(ℎ𝑖+ℎ𝑖+1)𝑚𝑖+1+ℎ𝑖𝑚𝑖+2=3(ℎ𝑖𝑦𝑖+2−𝑦𝑖+1
ℎ𝑖+1+ℎ𝑖𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖),
𝑖=1,2,…,𝑁−2.
Demonstraț ie: Polinomul (1.7 3) satisface condițiile de interpolare cerute și aceasta se
vede prin simpla înlocuire și derivare. Dacă ar mai exista încă un polinom 𝑝̅𝑖 de gradul trei
care să satisfacă aceleași condiț ii de interpolare , atunci 𝑝̅𝑖−𝑝𝑖 ar avea rădă cinile duble
𝑥𝑖,𝑥𝑖+1, prin urmare 𝑝̅𝑖=𝑝𝑖. Derivând (1.73 ) de două ori, se obț ine
𝐷2𝑝𝑖(𝑥𝑖+1)=2(3𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖2−𝑚𝑖+1+2𝑚𝑖
ℎ𝑖)+6(−2𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖3+𝑚𝑖+1+𝑚𝑖
ℎ𝑖2)(𝑥−𝑥𝑖).
Egalitatea 𝐷2𝑝𝑖(𝑥𝑖+1)=𝐷2𝑝𝑖+1(𝑥𝑖+1) ne conduce la relaț ia
𝑚𝑖
ℎ𝑖+2𝑚𝑖+1(1
ℎ𝑖+1
ℎ𝑖+1)+𝑚𝑖+2
ℎ𝑖+1=3(𝑦𝑖+2−𝑦𝑖+1
ℎ𝑖+12+ℎ𝑖𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖2)
și prin î nmulț irea cu ℎ𝑖 ℎ𝑖+1, la relația (1.74 ) . ∎
Exemplu 1.4. Fie 𝑓:[−5,5]→𝐵,𝑓(𝑥)=1
1+𝑥2
𝑥𝑖≔−5+10(𝑖−1)
𝑁−1,𝑖=1,2,…,𝑁.
Consideră m 𝑁=4, 𝐼1=(𝑥1,𝑥2), 𝐼2=(𝑥2,𝑥3), 𝐼3=(𝑥3,𝑥4),
ℎ1=𝑥2−𝑥1,ℎ2=𝑥3−𝑥2,ℎ3=𝑥4−𝑥3.
Avem
𝑠∆(𝑥)={𝑝1(𝑥), 𝑥∈(𝑥1,𝑥2)
𝑝2(𝑥), 𝑥∈(𝑥2,𝑥3)
𝑝3(𝑥), 𝑥∈(𝑥3,𝑥4),
𝐷𝑝1(𝑥1)=𝑚1=𝑓′(𝑥1),
𝐷𝑝2(𝑥2)=𝑚2=𝑓′(𝑥2),
𝐷𝑝3(𝑥3)=𝑚3=𝑓′(𝑥3),
𝐷𝑝4(𝑥4)=𝑚4=𝑓′(𝑥4).

53 𝑝𝑖(𝑥)=𝑦𝑖+𝑚𝑖(𝑥−𝑥𝑖)+(3𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖2−𝑚𝑖+1+2𝑚𝑖
ℎ𝑖)(𝑥−𝑥𝑖)2+
+(−2𝑦𝑖+1−𝑦𝑖
ℎ𝑖3+𝑚𝑖+1+𝑚𝑖
ℎ𝑖2)(𝑥−𝑥𝑖)3,𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑖=1,2,…,𝑁−1.
În urma calculelor avem
𝑝1(𝑥)=45
442𝑥3+483
442𝑥2+125
34𝑥+846
221,
𝑝2(𝑥)=−9
34𝑥2+1,
𝑝3(𝑥)=−279
2210𝑥3+537
442𝑥2−1715
442𝑥+67
17.

54 Capitolu l II
2. Aproximarea prin operatori liniari și pozitivi

2.1.Operatori liniari și pozitivi

Definiția 2 .1. Fie X,Y spații vectoariale de funcții cu valori reale. O aplicație
𝐴∶𝑋→𝑌 se nume ște operator.
Operatorul A este liniar ⇔ A este aditiv și omogen, adică
(i) (∀) 𝑓∈𝑋,(∀) 𝑔∈𝑋,𝐴(𝑓+𝑔)=𝐴𝑓+𝐴𝑔;
(ii) (∀) 𝛼∈ R, (∀) 𝑓∈𝑋,𝐴(𝛼𝑓)=𝛼𝐴𝑓.
Operatorul A este pozitiv ⇔ (∀) 𝑓∈𝑋 astfel încât 𝑓≥0 rezultă 𝐴𝑓≥0.
Observația 2.1 . Mulțimea
L (X,Y) := {𝐴∶𝑋→𝑌 | 𝐴 aplica ție liniară }
formează un spațiu liniar real.
Imaginea lui A sau codomeniul operatorului A notat A(X) este subspațiu liniar în Y.
Nota ții 2.1. (𝐴𝑓)(𝑥) sau 𝐴(𝑓,𝑥) – imaginea unui argument 𝑥 prin funcția 𝐴𝑓.
Proprietăți 2.1 . Fie 𝐴∶𝑋→𝑌 un operator linear și pozitiv.
(i) dacă 𝑓,𝑔∈𝑋 astfel încât 𝑓≤𝑔 atunci 𝐴𝑓≤𝐴𝑔.
(ii) (∀) 𝑓∈𝑋 are loc |𝐴𝑓|≤𝐴|𝑓|.
Demonstrație: (i) Fie ℎ∶=𝑔−𝑓. Deoarece prin ipotez ă ℎ≥0, pozitivitatea operatorului A
implică 𝐴ℎ≥0. Liniaritatea lui A permite scrierea 𝐴ℎ=𝐴𝑔−𝐴𝑓 deci obținem 𝐴 𝑔≥𝐴𝑓.
(𝑖𝑖) (∀) 𝑓∈𝑋 putem scrie −|𝑓|≤𝑓≤|𝑓|. Aplic ăm operatorul A care este monoton
conform punctului precedent. Deducem −𝐴|𝑓|≤𝐴𝑓≤𝐴|𝑓| adică |𝐴𝑓|≤𝐴|𝑓|. ∎
Exemplu 2 .1 Considerăm F+ ={ 𝑓|𝑓∈𝐶[0,1],𝑓(𝑥)≥0,(∀) 𝑥∈[0,1] } și
operatorul
𝑇:F+→𝜋1,(𝑇𝑓)(𝑥)=∫(𝑥+𝑡)𝑓(𝑡)𝑑𝑡.1
0
Avem:
1) (𝑇(𝑓+𝑔))(𝑥)=(𝑇𝑓)(𝑥)+(𝑇𝑔)(𝑥);
2) (𝑇(𝛼𝑓))(𝑥)=𝛼(𝑇𝑓)(𝑥),(∀)𝛼∈ℝ;
3) |(𝑇𝑓)(𝑥)|≤(𝑇|𝑓|)(𝑥);
4) Pentru 𝑓(𝑥)=𝑥 obținem (𝑇𝑓)(𝑥)=∫(𝑥+𝑡1
𝑜)𝑡𝑑𝑡=∫𝑥𝑡𝑑𝑡1
0+∫𝑡2𝑑𝑡=𝑥
2+1
3.1
0

55 Nota ții 2.2. (i) Fie E o mulțime nevidă. Considerăm spațiul 𝐵(𝐸)≔{𝑓:𝐸→𝑹| 𝑓 mărginită}
înzestrat cu norma
(2.1) ||𝑓||≔
Exsup|𝑓(𝑥)|
numită norma uniformă sau sup-norma.
(ii) Fie E un spațiu topologic nevid. Considerăm spațiul
𝐶(𝐸)≔{𝑓:𝐸→𝐑| 𝑓𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢 ă 𝑝𝑒 𝐸}.
De asemenea fie
(2.2) 𝐶𝐵(𝐸)≔𝐶(𝐸)∩𝐵(𝐸).
Observația 2.2. (B(E),‖∙‖),(𝐶𝐵(𝐸),‖∙‖) sunt spații Banach în rapo rt cu norma
definită la (2.1 ).
H. Bohman și P.P. Korovkin au descoperit un rezultat de bază pentru convergen ța unui șir de
operatori liniari și pozitivi în spațiul C([a,b]). Prezentăm cu demonstrație acest rezultat.
Teorema 2.1. Fie 𝑚∈𝑁 ș𝑖 𝐿𝑚:𝐶([𝑎,𝑏])→𝐶([𝑎,𝑏]) un șir de operatori liniari și
pozitivi. Dacă
(𝐿𝑚𝑒0)(𝑥)=1+𝑢𝑚(𝑥),
(𝐿𝑚𝑒1)(𝑥)=𝑥+𝑣𝑚(𝑥),
(𝐿𝑚𝑒2)(𝑥)=𝑥2+𝑤𝑚(𝑥)
𝑎𝑠𝑡𝑓𝑒𝑙 î𝑛𝑐â𝑡 lim
𝑚→∞𝑢𝑚(𝑥)=lim
𝑚→∞𝑣𝑚(𝑥)=lim
𝑚→∞𝑤𝑚(𝑥)=0 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [𝑎,𝑏] 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖
(∀)𝑓∈𝐶([𝑎,𝑏]),lim
𝑚→∞(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)=𝑓(𝑥) 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [𝑎,𝑏].
(Prin 𝑒𝑗 s-au notat monoamele 𝑒𝑗:[𝑎,𝑏]→𝑹,𝑒𝑗(𝑥)=𝑥𝑗,𝑗=0,1,2.)
Demonstrație: Fie 𝑓∈𝐶([𝑎,𝑏]) fixată arbitrar. Deducem
(i) f este mă rginită deci
(2.3) (∃)𝑀≥0,𝑀≔max
𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓(𝑥)|,
(ii) f este uniform continuă deci (∀) 𝜖>0,(∃) 𝛿>0,
(2.4) (∀) 𝑥,𝑡∈[𝑎,𝑏],|𝑥−𝑡|<𝛿∶|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡)|<𝜀
2 .
Pentru acei 𝑥,𝑡∈[𝑎,𝑏] pentru care |𝑥−𝑡|≥𝛿 putem scrie
(2.5) |𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡)|≤|𝑓(𝑥)|+|𝑓(𝑡)|≤2𝑀=2𝑀∙12≤2𝑀(𝑥−𝑡)2
𝛿2;
Relațiile (2 .4) și (2.5) implică
(2.6) (∀) 𝑥,𝑡∈[𝑎,𝑏]∶|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡)|≤𝜀
2+2𝑀(𝑥−𝑡)2
𝛿2.

56 Avem (𝐿𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)=(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)((𝐿𝑚𝑒0)(𝑥)−𝑢𝑚(𝑥))=𝐿𝑚(𝑓−𝑓(𝑥)𝑒0,𝑥)+
𝑓(𝑥)𝑢𝑚(𝑥) de unde, folosind Proprietatea 2 .1 (ii), obținem
(2.7) |(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)|≤𝐿𝑚(|𝑓−𝑓(𝑥)𝑒0|,𝑥)+|𝑓(𝑥)||𝑢𝑚(𝑥)|≤
𝐿𝑚(𝜀
2+2𝑀(𝑥−𝑒1)2
𝛿2,𝑥)+𝑀|𝑢𝑚(𝑥)|=𝜀
2(𝐿𝑚𝑒0)(𝑥)+(2𝑀
𝛿2)𝐿𝑚((𝑥−𝑒1)2,𝑥)+
+𝑀|𝑢𝑚(𝑥)|.
La a doua ma jorare s -au folosit relațiile (2.3), (2. 6) și s -a avut în vedere liniaritatea
operatorului 𝐿𝑚.
Dar 𝐿𝑚((𝑥−𝑒1)2,𝑥)=𝑥2(𝐿𝑚𝑒0)(𝑥)−2𝑥(𝐿𝑚𝑒1)(𝑥)+(𝐿𝑚𝑒2)(𝑥)=𝑥2𝑢𝑚(𝑥)−
2𝑥𝑣𝑚(𝑥)+𝑤𝑚(𝑥) conform ipotezei. Înlocuită î n (2.7 ) va implica
|(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)|≤𝜀
2+(𝜀
2+2𝑀𝜃2
𝛿2+𝑀)|𝑢𝑚(𝑥)|
+4𝑀𝜃
𝛿2|𝑣𝑚(𝑥)|+2𝑀
𝛿2|𝑤𝑚(𝑥)|,
unde 𝜃≔max{|𝑎|,|𝑏|}.
Fie 𝑘1≔𝜀
2+2𝑀𝜃2
𝛿2+𝑀,𝑘2≔4𝑀𝜃
𝛿2,𝑘3≔2𝑀
𝛿2.
Cu aceste notații avem
(2.8) |(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)|
≤𝜀
2+𝑘1|𝑢𝑚(𝑥)|+𝑘2|𝑣𝑚(𝑥)|+𝑘3|𝑤𝑚(𝑥)|,(∀) 𝑥∈[𝑎,𝑏].
𝐷𝑒𝑜𝑎𝑟𝑒𝑐𝑒 lim
𝑚→∞𝑢𝑚(𝑥)=lim
𝑚→∞𝑣𝑚(𝑥)=lim
𝑚→∞𝑤𝑚(𝑥)=0 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [𝑎,𝑏],𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢
𝜀>0 ce apare în (2.7 ) deducem (∃)𝑚0∈𝑁 ce depinde de 𝜀 încât
(∀)𝑚≥𝑚0,|𝑢𝑚(𝑥)|≤𝑘4,|𝑣𝑚(𝑥)|≤𝑘4,|𝑤𝑚(𝑥)|≤𝑘4 unde 𝑘4=𝜀
2(𝑘1+𝑘2+𝑘3)−1. Din
(2.8) obținem (∀) 𝜀>0,(∃)𝑚0=𝑚0(𝜀),(∀)𝑚≥𝑚0:|(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)|<𝜀, adică
lim
𝑚→∞(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)=𝑓(𝑥) 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [𝑎,𝑏]. ∎
Corolar 2.1. Fie 𝑚∈𝑁 ș𝑖 𝐿𝑚:𝐶([𝑎,𝑏])→𝐶([𝑎,𝑏]) un șir de operatori liniari și pozitivi.
𝐷𝑎𝑐ă lim
𝑚→∞(𝐿𝑚𝑒0)(𝑥)=1 ș𝑖 lim
𝑚→∞(𝐿𝑚𝜑𝑥2)(𝑥)=0 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [𝑎,𝑏] 𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖
(∀) 𝑓∈𝐶([𝑎,𝑏]),lim
𝑚→∞(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)=𝑓(𝑥) 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [𝑎,𝑏].
( Prin 𝜑𝑥,𝑎≤𝑥≤𝑏, s-a notat funcția definită prin 𝜑𝑥(𝑡)=|𝑥−𝑡|,𝑡∈[𝑎,𝑏].)
Demonstrație: Relația (2.7 ) ded usă în demonstrația Teoremei 2 .1 poate fi scrisă și sub forma
|(𝐿𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)|≤𝜀
2(𝐿𝑚𝑒0)(𝑥)+2𝑀/𝛿2(𝐿𝑚𝜑𝑥2)(𝑥)
+𝑀|(𝐿𝑚𝑒0)(𝑥)−1|,𝑥𝜖[𝑎,𝑏].

57 Aceasta implică concluzia cerută pe baza celo r două ipoteze ale corolarului.
Observația 2.3. Funcțiile 𝑒𝑗,𝑗=0,1,2, se numesc funcții de probă sau funcții -test.
Exemplu 2.2. Considerăm operatorul lui J. Fovord și O. Szász 𝑆𝑛:𝐶[0,∞)→𝐶[0,∞), definit
prin
(𝑆𝑛𝑓)(𝑥)=𝑒−𝑛𝑥∑(𝑛𝑥)𝑘
𝑘!𝑓(𝑘
𝑛). ∞
𝑘=0
Verificăm ipoteza teoremei 2 .1
(𝑖) 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑓(𝑥)=1,𝑎𝑣𝑒𝑚 (𝑆𝑛𝑓)(𝑥)=𝑒−𝑛𝑥∑(𝑛𝑥)𝑘
𝑘!=𝑒−𝑛𝑥∙𝑒𝑛𝑥=1;∞
𝑘=0
(𝑖𝑖) 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑓(𝑥)=𝑥,𝑎𝑣𝑒𝑚 (𝑆𝑛𝑓)(𝑥)=𝑒−𝑛𝑥∑(𝑛𝑥)𝑘
𝑘!∙𝑘
𝑛=∞
𝑘=0𝑒−𝑛𝑥∑𝑛𝑘𝑥𝑘
𝑘!∙𝑘
𝑛=∞
𝑘=1
=𝑒−𝑛𝑥∑𝑛𝑘−1𝑥𝑘
(𝑘−1)!∞
𝑘=1=𝑒−𝑛𝑥∑𝑛𝑘𝑥𝑘+1
𝑘!=𝑒−𝑛𝑥∙𝑥∙∑(𝑛𝑥)𝑘
𝑘!=𝑥∙𝑒−𝑛𝑥∙𝑒𝑛𝑥∞
𝑘=0∞
𝑘=0=𝑥;
(𝑖𝑖𝑖) 𝑃𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑓(𝑥)=𝑥2,𝑎𝑣𝑒𝑚 (𝑆𝑛𝑓)(𝑥)=𝑒−𝑛𝑥∑(𝑛𝑥)𝑘
𝑘!∙𝑘2
𝑛2=𝑒−𝑛𝑥∑𝑛𝑘𝑥𝑘
(𝑘−1)!∙∞
𝑘=1∞
𝑘=0
𝑘−1+1
𝑛2=𝑒−𝑛𝑥[∑𝑛𝑘−2𝑥𝑘
(𝑘−1)!∞
𝑘=2(𝑘−1)+∑𝑛𝑘−2𝑥𝑘
(𝑘−1)!∞
𝑘=1]=
=𝑒−𝑛𝑥[∑𝑛𝑘−2𝑥𝑘
(𝑘−2)!+∑𝑛𝑘−2𝑥𝑘
(𝑘−1)!∞
𝑘=1∞
𝑘=2]=𝑒−𝑛𝑥[∑𝑛𝑘𝑥𝑘+2
𝑘!+∑𝑛𝑘−1𝑥𝑘+1
𝑘!∞
𝑘=0∞
𝑘=0]
=𝑒−𝑛𝑥[𝑥2∑(𝑛𝑥)𝑘
𝑘!+𝑥
𝑛∞
𝑘=0∑(𝑛𝑥)𝑘
𝑘!∞
𝑘=0]==𝑥2+𝑥
𝑛.

2.2. Modulul de continuitate
Definiție 2.2. Fie 𝑓∈𝐶𝐵(𝐼) unde I este un interval. Aplicația 𝜔𝑓:[0,∞)→ℝ,
(2.9) 𝜔𝑓(𝛿)≔sup{|𝑓(𝑥′)−𝑓(𝑥′′)|∶ 𝑥′,𝑥′′𝜖 𝐼,|𝑥′−𝑥′′|≤𝛿}
se numeș te modulul de continuitate al lui f .
Obesevația 2.4 . (i) Pentru 𝜔𝑓 se poate u tiliza și notația 𝜔(𝑓; ∙ ).
(ii) Definiția (2.9 ) poate fi scrisă și sub forma
𝜔𝑓(𝛿)≔sup{|𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)|∶𝑥,𝑥+ℎ∈𝐼,0≤ℎ≤𝛿}.

58 (iii) Fie 𝐼=[𝑎,𝑏] și 𝐿≔𝑏−𝑎. Evident, (∀) 𝛿≥𝐿,𝜔𝑓(𝛿) va avea aceeași valoare, și
anume 𝜔𝑓(𝛿)=𝑑𝑖𝑎𝑚(𝐼𝑚 𝑓). În acest caz putem considera ca domeniu de definiție al
modulului doar compactul [0,L].
Teor ema 2.2 . ( Propriet ățile modulului de continuitate) Fie 𝑓∈𝐶𝐵(𝐼). Atunci 𝜔𝑓 are
proprietățile:
1) 𝜔𝑓≥0,
2) 𝜔𝑓(0)=0,
3) 𝜔𝑓 este crescătoare,
4) 𝜔𝑓 este subaditivă,
5) 𝜔𝑓 este uniform continuă,
6) (∀) 𝛿≥0,(∀) 𝑛∈𝑁,𝜔𝑓(𝑛𝛿)≤𝑛𝜔𝑓(𝛿),
7) (∀) 𝛿≥0,(∀) 𝜆>0,𝜔𝑓(𝜆𝛿)≤(𝜆+1)𝜔𝑓(𝛿),
8) (∀) 𝛿>0,|𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥)|≤(1+𝛿−2(𝑦−𝑥)2)𝜔𝑓(𝛿),
9) (∀) 𝑓1,𝑓2∈𝐶𝐵(𝐼),𝜔(𝑓1𝑓2;𝛿)≤‖𝑓1‖𝜔(𝑓2;𝛿)+‖𝑓2‖𝜔(𝑓1;𝛿).
10) Dacă 𝐿𝑖𝑝𝑀𝛼 reprezintă clasa funcțiilor ce satisfac pe I condiția lui Lupschitz de exponent
𝛼 (0<𝛼≤1) și coeficient M ( M > 0) atunci
𝑓∈𝐿𝑖𝑝𝑀𝛼⇔𝜔𝑓(𝛿)≤𝑀𝛿𝛼.
Demonstrație: Din definiția (2.9 ) proprietatea 1 este evidentă.
De asemenea 2 se obți ne ușor.
𝜔𝑓(0)=
0|'''|'','sup

xxIxx |𝑓(𝑥′)−𝑓(𝑥′′)|=
Ixx''sup |𝑓(𝑥′)−𝑓(𝑥′′)|=0.
3) Fie 0≤𝛿1<𝛿2 și
𝐷𝑘={(𝑥′,𝑥′′)| 𝑥′,𝑥′′∈𝐼,|𝑥′−𝑥′′|≤𝛿𝑘},𝑘=1,2.
Evident 𝐷1
𝐷2. Fie 𝐷≔𝐷2\𝐷1. Deoarece
1sup
1sup sup
2 DD D D
 obținem
𝜔𝑓(𝛿2)≥𝜔𝑓(𝛿1) deci 𝜔𝑓 este crescătoare.
4) Fie 𝛿1≥0,𝛿2≥0 arbitrar fixate și 𝑥′,𝑥′′∈𝐼 astfel încât |𝑥′−𝑥′′|≤𝛿1+𝛿2. Fie x
arbitrar cuprins între 𝑥′ și 𝑥′′ astfel încât |𝑥−𝑥′|=𝛿1. Deducem |𝑥′′−𝑥|≤𝛿2 și putem
scrie |𝑓(𝑥′)−𝑓(𝑥′′)|≤|𝑓(𝑥′)−𝑓(𝑥)|+|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥′′)|≤𝜔𝑓(𝛿1)+𝜔𝑓(𝛿2). Trecem la
sup î n raport cu 𝑥′,𝑥′′ supuse condi ției |𝑥′−𝑥′′|≤𝛿1+𝛿2 și obținem 𝜔𝑓(𝛿1+𝛿2)≤
𝜔𝑓(𝛿1)+𝜔𝑓(𝛿2).

59 5) Fie 𝜀>0 fixat arbitrar. Vom arăta că (∃)𝛿>0,(∀) 𝑢≥0,(∀) 𝑣≥0,| 𝑢−𝑣|<𝛿
rezultă |𝜔𝑓(𝑢)−𝜔𝑓(𝑣)|<𝜀.
Deoarece 𝑓∈𝐶𝐵(𝐼) 𝑑𝑒𝑑𝑢𝑐𝑒𝑚 lim
𝑡→0+𝜔𝑓(𝑡)=0=𝜔𝑓(0) 𝑎𝑑𝑖𝑐ă 𝜔𝑓 este continuă în zero.
Pentru 𝜀 fixat anterior
(2.10) (∃) 𝛿>0,(∀) 𝑡∈[0,𝛿],|𝜔𝑓(𝑡)|<𝜀.
Pe de altă parte, din monotonia și subaditivitatea modulului deducem
0≤𝜔𝑓(𝑡1+𝑡2)−𝜔𝑓(𝑡1)≤𝜔𝑓(𝑡2),(∀) 𝑡1≥0,(∀) 𝑡2≥0.
Alegem 𝑢=𝑡1+𝑡2,𝑣=𝑡1 deci 𝑡2=𝑢−𝑣≥0 și inegalitatea precedentă implic ă
(2.11) |𝜔𝑓(𝑢)−𝜔𝑓(𝑣)|≤𝜔𝑓(|𝑢−𝑣|), 𝑢≥0,𝑣≥=0.
Alegem u,v încât |𝑢−𝑣|<𝛿, unde 𝛿 fixat la (2.10 ). Din (2 .11) și ( 2.10) știind că 𝜔𝑓 este
crescătoare rezultă |𝜔𝑓(𝑢)−𝜔𝑓(𝑣)|≤𝜔𝑓(|𝑢−𝑣|)≤𝜔𝑓(𝛿)<𝜀, ceea ce încheie
demonstrația.
6) Demonstrăm prin inducție. Pentru 𝑛=1 este evidentă. Presupunem 𝜔𝑓(𝑛𝛿)≤𝑛𝜔𝑓(𝛿)
pentru 𝑛>1 fixat. Din subaditivitatea modulului rezultă
𝜔𝑓((𝑛+1)𝛿)=𝜔𝑓(𝑛𝛿+𝛿)≤𝜔𝑓(𝑛𝛿)+𝜔𝑓(𝛿)
≤𝑛𝜔𝑓(𝛿)+𝜔𝑓(𝛿)=(𝑛+1)𝜔𝑓(𝛿).
7) Evident λ<[𝜆]+1≤𝜆+1 deci putem scrie
𝜔𝑓(𝜆𝛿)≤𝜔𝑓(([𝜆]+1)𝛿)≤([𝜆]+1)𝜔𝑓(𝛿)≤(𝜆+1)𝜔𝑓(𝛿).
Au fost folosite proprietățile 3, 6 (în care s -a luat 𝑛=[𝜆]+1) respectiv 1.
8) Fie 𝛿>0.|𝑓(𝑦)−𝑓(𝑥)|≤
| || |,sup
yxvuIvu
 |𝑓(𝑢)−𝑓(𝑣)|=𝜔𝑓(|𝑥−𝑦|).
Dacă |𝑦−𝑥|<𝛿, din monotonia funcției 𝜔𝑓 deducem
𝜔𝑓(|𝑥−𝑦|)≤𝜔𝑓(𝛿)≤(1+𝛿−2(𝑥−𝑦)2)𝜔𝑓(𝛿).
Dacă |𝑦−𝑥|≥𝛿 atunci vom aplica precedenta proprietate pentru 𝜆≔𝛿−1|𝑥−𝑦|
și observând că în acest caz 𝜆≤𝜆2 obținem
𝜔𝑓(|𝑥−𝑦|)=𝜔𝑓(𝛿−1|𝑥−𝑦|𝛿)≤(1+𝛿−1|𝑥−𝑦|)𝜔𝑓(𝛿)≤(1+𝛿−2(𝑥−𝑦)2)𝜔𝑓(𝛿).
9) Folosim identitatea
(𝑓1𝑓2)(𝑥+ℎ)−(𝑓1𝑓2)(𝑥)
=𝑓1(𝑥+ℎ)(𝑓2(𝑥+ℎ)−𝑓2(𝑥))+𝑓2(𝑥)(𝑓1(𝑥+ℎ)−𝑓1(𝑥)),
unde 𝑥,𝑥+ℎ aparțin intervalului I.
Din aceasta, pentru 0≤ℎ≤𝛿 obținem

60 |(𝑓1𝑓2)(𝑥+ℎ)−(𝑓1𝑓2)(𝑥)|≤|𝑓1(𝑥+ℎ)||𝑓2(𝑥+ℎ)−𝑓2(𝑥)|
|𝑓2(𝑥)||𝑓1(𝑥+ℎ)−𝑓1(𝑥)|≤‖𝑓1‖𝜔(𝑓2;𝛿)+‖𝑓2‖𝜔(𝑓1;𝛿),
vezi observația 2.4 (ii). Trecem la
hosup
și rezultă relația.
10) Reamintim
(2.12) 𝐿𝑖𝑝𝑀𝛼≔{𝑓:𝐼→𝑹| (∀) 𝑥1,𝑥2∈𝐼,|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑀|𝑥1−𝑥2|𝛼}
𝑀>0,𝛼>0. Dacă f satisface condiția lui Lipschitz de exponent 𝛼 și coeficient M pe
intervalul I evident f este uniform continuă pe I. Precizăm de asemenea că pentru 𝛼>1,
𝑓∈𝐿𝑖𝑝𝑀𝛼 implică 𝑓 constantă pe I (se arată că 𝑓′ este nulă pe I). În consecință studiul
acestei clase este interesant pentru 𝛼≤1.
Fie 𝑓∈𝐿𝑖𝑝𝑀𝛼. Alegem arbitrar două puncte 𝑥1,𝑥2 din I încât |𝑥1−𝑥2|≤𝛿. Avem
|𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤𝑀|𝑥1−𝑥2|𝛼≤𝑀𝛿𝛼
și trecând la

| |,sup
vuIvu obținem
𝜔𝑓(𝛿)≤𝑀𝛿𝛼.
Reciproc, fie 𝜔𝑓(𝛿)≤𝑀𝛿𝛼. Fie 𝑥1≠𝑥2 arbitrari aleși din I si 𝛿=|𝑥1−𝑥2|>0.
Putem scrie |𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)|≤

| |,sup
vuIvu |𝑓(𝑢)−𝑓(𝑣)|=𝜔𝑓(𝛿)≤𝑀𝛿𝛼𝑀|𝑥1−𝑥2|𝛼
ceea ce asigură 𝑓∈𝐿𝑖𝑝𝑀𝛼. Astfel, echivalența enunțată este demonstrată. ∎
Exemplu 2.3. Fie 𝐶[0,2] și 𝑓(𝑥)=𝑥2. Pentru 𝛿=1 obținem
𝜔𝑓(𝛿)=
1| |sup
yx |𝑥2−𝑦2|=
1| |sup
yx |𝑥−𝑦|∙|𝑥+𝑦|.
Vom determina mulțimea punctelor (𝑥,𝑦) pentru care |𝑥−𝑦|≤1∶
|𝑥−𝑦|≤1,−1≤𝑦−𝑥≤1,𝑥−1≤𝑦≤𝑥+1.
𝐷={(𝑥,𝑦)|𝑥,𝑦∈[0,2],|𝑥−𝑦|≤1}
Cum |𝑥−𝑦|≤1, vom considera |𝑦−𝑥|=1,𝑦−𝑥=1 sau 𝑦−𝑥=−1,𝑦=𝑥+1 sau
𝑦=𝑥−1.
Fie 𝑦=𝑥+1,𝑥∈[0,1]. Avem
𝜔𝑓(1)=
]1,0[sup
x |𝑦−𝑥|∙|𝑦+𝑥|=
]1,0[sup
x |2𝑥+1|=3.
Definiț ie 2.3. O aplicaț ie
:[0,∞)→ℝ cu proprietăț ile
(0)=0,
 este crescătoare,
subaditivă și continuă se numeș te modulul de continuitate.

61 Definiția este justificată de faptul că orice astfel de funcție este propriul să u modu l de
continuitate, adică
(2.13)
(𝛿)=𝜔
(𝛿),(∀) 𝛿≥0.
Într-adevăr, conform cu Observaț ia 2.4 (ii) avem
𝜔
(𝛿)=

hx
00sup |
(x+h)−
(x)|. Proprietăț ile lui
 (monotonia și subaditivitatea)
asigură 0≤
(x+h)−
(x)≤
(h)≤
(δ) ceea ce implică 𝜔
(𝛿)≤
(𝛿). Pe de
altă parte,
 (𝛿)=
(0+δ)−
(0)≤sup{|
(x+h)−
(x)|: x≥0,0≤h≤δ}=
𝜔
(𝛿).
Astfel ajungem la (2.13 ).
În anumite ipoteze suplimentare asupra lui 𝑓, modulul 𝜔𝑓 poate fi calculat uș or.
Teorema 2.3. Fie 𝑓∈𝐶([𝑎,𝑏]) convexă pe [a,b] ș i 𝛿∈[0,𝑏−𝑎].
(i) Dacă 𝑓 este crescă toare pe [a,b] atunci
𝜔𝑓(𝛿)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑏−𝛿).

(ii) Dacă 𝑓 este descrescă toare pe [a,b] atunci
𝜔𝑓(𝛿)=𝑓(𝑎)−𝑓(𝑎+𝛿).
Demonstrație: (i) Funcț ia 𝑓 fiind crescătoare, obț inem

(1) 𝜔𝑓(𝛿)=sup{𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥):𝑥,𝑥+𝛿∈[𝑎,𝑏]}
Dacă 𝛿=0 sau 𝛿=𝑏−𝑎 egalitatea 𝜔𝑓(𝛿)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑏−𝛿) este evidentă . Fie 𝛿∈
[0,𝑏−𝑎]. Vom folosi urmă torul rezultat
Lemă . Fie 𝐼
R interval ș i 𝑓:𝐼→𝑹 convexă . Atunci 𝑓 are der ivate laterale finite î n fiecare
punct 𝑥0∈𝐼𝑛𝑡(𝐼) și avem 𝑓𝑠′(𝑥1)≤𝑓𝑑′(𝑥1)≤𝑓𝑠′(𝑥2)≤𝑓𝑑′(𝑥2),(∀)𝑥1,𝑥2∈𝐼𝑛𝑡(𝐼),𝑥1<𝑥2,
deci funcț iile 𝑓𝑠′,𝑓𝑑′ sunt crescă toare
În cazul nost ru 𝐼=[𝑎,𝑏]. Definim 𝐻:[𝑎,𝑏−𝛿]→𝑹,𝐻(𝑥)=𝑓(𝑥+𝛿)−𝑓(𝑥) și
deducem din Lemă că
𝐻𝑑′(𝑥)=𝑓𝑑′(𝑥+𝛿)−𝑓𝑑′(𝑥)≥0,(∀) 𝑥∈((𝑎,𝑏−𝛿)).
H fiind crescă toare pe (𝑎,𝑏−𝛿) și contin uă pe [𝑎,𝑏−𝛿] devine crescă toare pe
[𝑎,𝑏−𝛿]. De aici obț inem (∀)𝑥∈[𝑎,𝑏−𝛿],
𝑓(𝑥+𝛿)−𝑓(𝑥)=𝐻(𝑥)≤𝐻(𝑏−𝛿)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑏−𝛿).
Având în vedere (1), afirmația (i) este demonstrată .

62 (ii) Definim 𝐹:[𝑎,𝑏]→𝑹,𝐹(𝑥)=𝑓(𝑏+𝑎−𝑥);𝑓 fiind convexă și descrescă toare pe [a,b]
implică faptul că F este convexă și crescă toare pe [a,b]. Dar 𝜔𝐹(𝛿)=𝜔𝑓(𝛿),(∀) 𝛿∈
[0,𝑏−𝑎]. Din (i) obț inem 𝜔𝑓(𝛿)=𝐹(𝑏)−𝐹(𝑏−𝛿)=𝑓(𝑎)−𝑓(𝑎+𝛿) ceea ce încheie
demonstraț ia. ∎
Consecință 2.1. Fie 𝑓∈𝐶([𝑎,𝑏]) concavă pe [a,b] ș i 𝛿∈[0,𝑏−𝑎].
(i) Dacă 𝑓 este descrescă toare pe [a,b] atunci
𝜔𝑓(𝛿)=𝑓(𝑏−𝛿)−𝑓(𝑏).
(ii) Dacă 𝑓 este crescă toare pe [a,b] atunci

𝜔𝑓(𝛿)=𝑓(𝑎+𝛿)−𝑓(𝑎).
Demonstrație: Deoarece 𝑓 conc avă pe [a,b] rezultă că (–𝑓) este convexă p e [a,b]. Se aplică
Teorema 2 .3 funcț iei (–𝑓) și se are în vedere că 𝜔−𝑓=𝜔𝑓. ∎
Exemplu 2.4. Pe baza teoremei 2 .3 și a Consecinț ei 2.1 deducem
a) 𝜔(𝑠𝑖𝑛;𝛿)=sin𝛿,0≤𝛿≤𝜋
2;
b) 𝜔(𝑐𝑜𝑠;𝛿)=cos(𝜋
2−𝛿)=sin𝛿,0≤𝛿≤𝜋
2;
c) 𝜔(𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛;𝛿)=𝜋
2−arcsin(1−𝛿)=arccos(1−𝛿),0≤𝛿≤1;
d) 𝜔(𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠;𝛿)=arccos(1−𝛿),0≤𝛿≤1.
Teorema 2.4. Pentru orice funcț ie 𝑓∈𝐶([𝑎,𝑏]) monotonă și convexă ( sau concavă ) pe
[a,b], modulul de continuitate 𝜔𝑓 este concav.
Demonstrație: Pentru fixarea ideilor presupunem că 𝑓 este crescătoare și convexă pe [a,b].
Conform Teoremei 2.3 . (i) are loc 𝜔𝑓(𝛿)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑏−𝛿). Fie 𝛼∈[0,1] și 𝛿1,𝛿2∈
[0,𝑏−𝑎] fixați arbit rari; din identitatea precedentă obț inem
(2.9) 𝛼𝜔𝑓(𝛿1)+(1−𝛼)𝜔𝑓(𝛿2)=𝑓(𝑏)−𝛼𝑓(𝑏−𝛿1)−(1−𝛼)𝑓(𝑏−𝛿2),
(2.10) 𝜔𝑓(𝛼𝛿1+(1−𝛼)𝛿2)=𝑓(𝑏)−𝑓(𝑏−𝛼𝛿1−(1−𝛼)𝛿2).
Dar 𝑓 fiind convexă, rezultă
(2.11) 𝑓(𝑏−𝛼𝛿1−(1−𝛼)𝛿2)=𝑓(𝛼(𝑏−𝛿1)+(1−𝛼)(𝑏−𝛿2))
≤𝛼𝑓(𝑏−𝛿1)+(1−𝛼)𝑓(𝑏−𝛿2).
Înlocuind (2.11 ) în (2 .10) și folosind (2.9 ) putem scrie
𝛼𝜔𝑓(𝛿1)+(1−𝛼)𝜔𝑓(𝛿2)≤𝜔𝑓(𝛼𝛿1+(1−𝛼)𝛿2),
adică 𝜔𝑓 este concavă pe [0,𝑏−𝑎].
Dacă 𝑓 este descrescătoare și convexă se va folosi punctul (ii) al Te oremei 2 .3 și
demonstrația urmează acelaș i curs.

63 Dacă 𝑓 monotonă și concavă pe [a,b] rezultă că (−𝑓) este monotonă și convexă deci conform
celor demonstrate mai sus 𝜔−𝑓 este aplicație concavă . Identitatea 𝜔−𝑓=𝜔𝑓 încheie
demonstraț ia.

2.3. Operatorii Bernstein

Definiție 2.4. Fie 𝑚∈𝑁. Operatorii 𝐵𝑚:𝐶([0,1])→𝐶([0,1]),𝑓
𝐵𝑚𝑓, definiț i prin
(2.12) (𝐵𝑚𝑓)(𝑥)=∑𝑝𝑚,𝑘(𝑥)𝑓(𝑘
𝑚), 𝑚
𝑘=0
unde
(2.13) 𝑝𝑚,𝑘(𝑥)=(𝑚
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘,𝑘=0,𝑚̅̅̅̅̅̅,𝑥∈[0,1],
se numesc operatorii Bernstein.
𝐵𝑚𝑓 este po linomul de grad m al Bernstein ș i (𝑝𝑚,𝑘)𝑘=0,𝑚̅̅̅̅̅ reprezintă polinoamele
fundamentale de gradul m ale lui Bernstein.
Teorema 2.5. Operatorii 𝐵𝑚 (𝑚∈𝑁) definiți la 2 .4. au următoarele proprietăț i:
1.Sunt liniari ș i pozitivi;
2.∑𝑝𝑚,𝑘𝑚
𝑘=0(𝑥)=1;
3.(𝐵𝑚𝑒0)(𝑥)=1,(𝐵𝑚𝑒1)(𝑥)=𝑥,(𝐵𝑚𝑒2)(𝑥)=𝑥2+𝑥(1−𝑥)
𝑚;
4.lim
𝑚→∞(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)=𝑓 (𝑥) 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [0,1],(∀) 𝑓∈𝐶([0,1]);
5.|(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥)|≤3
2𝜔𝑓(1
√𝑚),(∀) 𝑥∈[0,1];
Demonstrație: 1. Av ând în vedere (2.12.), cerințele Definiției 2 .4 sunt verificate î n mod
evident de 𝐵𝑚.
2. Folosind dezvoltarea binomială avem
∑𝑝𝑚,𝑘𝑚
𝑘=0(𝑥)=(𝑥+(1−𝑥))𝑚=1.
3. Proprietatea precedentă implică (𝐵𝑚𝑒0)(𝑥)=1.
Deoarece 𝑘
𝑚(𝑘
𝑚)=(𝑚−1
𝑘−1),𝑘=1,𝑚̅̅̅̅̅̅, putem scrie
(𝐵𝑚𝑒1)(𝑥)=∑𝑘
𝑚𝑚
𝑘=0𝑝𝑚,𝑘(𝑥)=∑𝑘
𝑚𝑝𝑚,𝑘(𝑥)𝑚
𝑘=1

64 =∑(𝑚−1
𝑘−1)𝑥𝑘𝑚
𝑘=1(1−𝑥)𝑚−𝑘=𝑥(𝑥+(1−𝑥))𝑚−1=𝑥.
Pentru 𝑚=1 și 𝑚=2 un calcul simplu arată că
(𝐵𝑚𝑒2)(𝑥)=𝑥2+𝑥(1−𝑥)
𝑚.
Fie 𝑚≥3. Deoarece
𝑘2
𝑚2(𝑚
𝑘)=𝑘
𝑚(𝑚−1
𝑘−1)=𝑘−1
𝑚(𝑚−1
𝑘−1)+1
𝑚(𝑚−1
𝑘−1)=𝑚−1
𝑚(𝑚−2
𝑘−2)+1
𝑚(𝑚−1
𝑘−1),
𝑘=2,𝑚̅̅̅̅̅̅,
obținem
(𝐵𝑚𝑒2)(𝑥)=∑𝑘2
𝑚2𝑚
𝑘=0𝑝𝑚,𝑘(𝑥)=∑𝑘2
𝑚2𝑝𝑚,𝑘(𝑥)𝑚
𝑘=1=1
𝑚2𝑝𝑚,1(𝑥)+
+∑{𝑚−1
𝑚𝑥2(𝑚−2
𝑘−2)𝑥𝑘−2(1−𝑥)𝑚−𝑘+𝑥
𝑚(𝑚−1
𝑘−1)𝑥𝑘−1(1−𝑥)𝑚−𝑘}𝑚
𝑘=2
=𝑥
𝑚(1−𝑥)𝑚−1+𝑚−1
𝑚𝑥2(𝐵𝑚−2𝑒0)(𝑥)
+𝑥
𝑚((𝐵𝑚−1𝑒0)(𝑥)−(1−𝑥)𝑚−1)
=𝑚−1
𝑚𝑥2+𝑥
𝑚= 𝑥2+𝑥(𝑥−1)
𝑚.
Astfel devine adevărată ș i a treia identitate.
4. Se aplică Teorema 2.1 știind că
(𝐵𝑚𝑒0)(𝑥)=1,(𝐵𝑚𝑒1)(𝑥)=𝑥,(𝐵𝑚𝑒2)(𝑥)=𝑥2+𝑥(1−𝑥)
𝑚;
5. 𝜔(𝑓;𝛿)=max
|𝑥−𝑡|≤𝛿|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑡)|.
Se observă că :
i) pentru 𝛿1<𝛿2 𝑎𝑣𝑒𝑚 𝜔(𝑓;𝛿1)≤𝜔(𝑓;𝛿2)
ii) 𝜔(𝑓;𝛿1+𝛿2)≤𝜔(𝑓;𝛿1)+𝜔(𝑓;𝛿2),𝜔(𝑓;𝑛𝛿)≤𝑛𝜔(𝑓;𝛿).
Din i) + ii) avem
𝜔(𝑓;𝜆𝛿)≤𝜔(𝑓;1+[𝜆]𝛿)≤(1+[𝜆])𝜔(𝑓;𝛿)≤
≤|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑘
𝑛)|≤max
|𝑥−𝑘
𝑛|=|𝑥−𝑘
𝑛|
𝛿|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑘
𝑛)|.
Notaț ie: 𝜆=|𝑥−𝑘
𝑛|
𝛿 unde 𝛿∈(0,1).
Avem:

65 |𝑓(𝑥)−𝑓(𝑘
𝑛)|≤max
|𝑥−𝑘
𝑛|=𝜆𝛿|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑘
𝑛)|≤max
|𝑥−𝑘
𝑛|≤𝜆𝛿|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑘
𝑛)|= 𝜔(𝑓;𝜆𝛿)≤
≤(1+𝜆)𝜔(𝑓;𝛿)=(1+|𝑥−𝑘
𝑛|
𝛿)𝜔(𝑓;𝛿).
|𝑓(𝑥)−𝐵𝑛𝑓(𝑥)|=|∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘∙[𝑓(𝑥)−𝑓(𝑘
𝑛)]|≤𝑛
𝑘=0
≤∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘𝑛
𝑘=0∙|𝑓(𝑥)−𝑓(𝑘
𝑛)|=
=[∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘∙(1+|𝑥−𝑘
𝑛|
𝛿)𝑛
𝑘=0]𝜔(𝑓;𝛿)
=[1+∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘∙|𝑥−𝑘
𝑛|
𝛿𝑛
𝑘=0]𝜔(𝑓;𝛿)=[1+1
𝛿(𝐵𝑛ℎ𝑥)(𝑥)]∙𝜔(𝑓;𝛿),
unde ℎ𝑥(𝑡)=|𝑥−𝑡|.
Aplică m inegalitatea Cauchy -Buniakovski -Schwarz și obținem:
∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘∙|𝑥−𝑘
𝑛|=∑√(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘∙√(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘∙|𝑥−𝑘
𝑛|=𝑛
𝑘=0𝑛
𝑘=0
≤[∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘𝑛
𝑘=0]∙[∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘∙|𝑥−𝑘
𝑛|2𝑛
𝑘=0]=
=∑(𝑛
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑛−𝑘𝑛
𝑘=0∙[𝑥2−2𝑘
𝑛𝑥+(𝑘
𝑛)2
]=𝑥(1−𝑥)
𝑛.
Deci ,
(𝐵𝑛ℎ𝑥)(𝑥)≤√𝑥(1−𝑥)
𝑛,
|𝑓(𝑥)−𝐵𝑛𝑓(𝑥)|≤(1+1
𝛿√𝑥(1−𝑥)
𝑛)∙𝜔(𝑓;𝛿)≤(1+1
𝛿∙1
2√𝑛)𝜔(𝑓;𝛿).
Pentru 𝛿=1
√𝑛 avem
|𝑓(𝑥)−𝐵𝑛𝑓(𝑥)|≤3
2𝜔(𝑓;1
√𝑛). ∎

66 Teorema 2.6 . Fie 𝑓∈𝐶([0,1]) de două ori derivabilă î ntr-un punct
𝑥∈[0,1]. Atunci
lim
𝑚→∞𝑚((𝐵𝑚𝑓)(𝑥)−𝑓(𝑥))=𝑥(1−𝑥)
2𝑓′′(𝑥).
Teorema 2.7. (Asupra derivatelor polinoamelor Bernstein)
Cu notațiile cunoscute au loc relaț iile
1.𝑝𝑚,𝑘′=𝑚(𝑝𝑚−1,𝑘−1(𝑥)−𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥))=𝑘−𝑚𝑥
𝑥(1−𝑥)𝑝𝑚,𝑘(𝑥),𝑘=0,𝑚̅̅̅̅̅̅,
(∀) 𝑥∈(0,1).(𝑝0,0≔1 ș𝑖 𝑝𝑠,−1=𝑝𝑠,𝑠+1≔0,𝑠∈𝑁0).
2.(𝐵𝑚′𝑓)(𝑥)=𝑚∑∆1
𝑚𝑚−1
𝑘=0𝑓(𝑘
𝑚)𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥)=∑𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥)[𝑘
𝑚,𝑘+1
𝑚;𝑓].𝑚−1
𝑘=0
3.(𝐵𝑚(𝑗)𝑓)(𝑥)=𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑗+1)∑𝑝𝑚−𝑗,𝑘(𝑥)∆1
𝑚𝑗𝑓(𝑘
𝑚),𝑗≤𝑚.𝑚−𝑗
𝑘=0
Cu 𝐵𝑚(𝑗)𝑓 s-a notat derivata de ordinul j a polinomului 𝐵𝑚𝑓.
Demonstrație: 1. 𝑝𝑚,𝑘(𝑥)=(𝑚
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘
𝑝𝑚,𝑘′(𝑥)=(𝑚
𝑘)[𝑘𝑥𝑘−1(1−𝑥)𝑚−𝑘−𝑥𝑘(𝑚−𝑘)(1−𝑥)𝑚−𝑘−1]=
=(𝑚
𝑘)𝑥𝑘−1(1−𝑥)𝑚−𝑘−1[𝑘(1−𝑥)−𝑥(𝑚−𝑘)]=
=(𝑚
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘𝑘−𝑚𝑥
𝑥(1−𝑥)=𝑘−𝑚𝑥
𝑥(1−𝑥)𝑝𝑚,𝑘(𝑥).
Putem scrie:
𝑝𝑚−1,𝑘−1(𝑥)−𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥)=(𝑚−1
𝑘−1)𝑥𝑘−1(1−𝑥)𝑚−𝑘−(𝑚−1
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘−1=
(𝑚−1)!
(𝑘−1)!(𝑚−𝑘)!𝑥𝑘−1(1−𝑥)𝑚−𝑘−(𝑚−1)!
𝑘!(𝑚−𝑘−1)!𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘−1=
(𝑚−1)!
(𝑘−1)!(𝑚−𝑘−1)!𝑥𝑘−1(1−𝑥)𝑚−𝑘−1(1−𝑥
𝑚−𝑘−𝑥
𝑘)=
1
𝑚(𝑚
𝑘)𝑥𝑘−1(1−𝑥)𝑚−𝑘−1[𝑘−𝑘𝑥−(𝑚−𝑘)𝑥]=1
𝑚(𝑚
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘𝑘−𝑚𝑥
𝑥(1−𝑥)
𝑚[𝑝𝑚−1,𝑘−1(𝑥)−𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥)]=𝑘−𝑚𝑥
𝑥(1−𝑥)𝑝𝑚,𝑘(𝑥)=𝑝𝑚,𝑘′(𝑥) .

2. Folosim prima identitate d edusă la precedentul punct.

67 (2.14) (𝐵𝑚′𝑓)(𝑥)=∑𝑝𝑚,𝑘′𝑚
𝑘=0(𝑥)𝑓(𝑘
𝑚)=
=𝑚∑𝑝𝑚−1,𝑘−1(𝑥)𝑓(𝑘
𝑚)−𝑚∑𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥)𝑓(𝑘
𝑚). 𝑚
𝑘=0𝑚
𝑘=0
La prima sumă de mai sus, primul termen ( 𝑘=0) este nul; în continuare, în acest ă sumă
notăm 𝑘−1≔𝑘 și obți nem
∑𝑝𝑚−1,𝑘−1(𝑥)𝑓(𝑘
𝑚)=∑𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥)𝑓(𝑘+1
𝑚).𝑚−1
𝑘=0𝑚
𝑘=0
Relativ la a doua sumă de la (2.14 ), ultimul termen ( 𝑘=𝑚) este nul, deci rămâ ne ∑.𝑚−1
𝑘=0
Astfel, din (2.14) rezultă
(𝐵𝑚′𝑓)(𝑥)=𝑚∑𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥)∆1
𝑚𝑓(𝑘
𝑚).𝑚−1
𝑘=0
Dar 𝑚∆1
𝑚𝑓(𝑘
𝑚)=[𝑘
𝑚,𝑘+1
𝑚;𝑓] ceea ce închieie demonstraț ia.
3. Utiliză m recursiv formula găsită la punctul 2. Fie 1<𝑗≤𝑚.
(𝐵𝑚(𝑗)𝑓)(𝑥)=𝑑
𝑑𝑥{(𝐵𝑚(𝑗−1)𝑓)(𝑥)}
=𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑗+2)∑𝑝𝑚−𝑗+1,𝑘′(𝑥)∆1
𝑚𝑗−1𝑓(𝑘
𝑚)𝑚−𝑗+1
𝑘=0
.1

(∏(𝑚−𝑘) 𝑗−1
𝑘=0)∑(𝑝𝑚−𝑗,𝑘−1(𝑥)−𝑝𝑚−𝑗,𝑘(𝑥))∆1
𝑚𝑗−1𝑓(𝑘
𝑚).𝑚−𝑗+1
𝑘=0
În prima sumă primul termen (𝑘=0) este nul. Notă m 𝑘−1≔𝑘.
În a doua sumă ultimul termen (𝑘=𝑚−𝑗+1) este nul. Obț inem
(𝐵𝑚(𝑗)𝑓)(𝑥)=𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑗+1)
×{∑𝑝𝑚−𝑗,𝑘(𝑥)𝑚−𝑗
𝑘=0∆1
𝑚𝑗−1𝑓(𝑘+1
𝑚)−∑𝑝𝑚−𝑗,𝑘(𝑥)∆1
𝑚𝑗−1𝑓(𝑘
𝑚)𝑚−𝑗
𝑘=0}
=𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑗+1)∑𝑝𝑚−𝑗,𝑘(𝑥)∆1
𝑚𝑗𝑓(𝑘
𝑚).𝑚−𝑗
𝑘=0 ∎
Consecinț a 2.2.
(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)=∑(𝑚
𝑗)𝑚
𝑗=0∆1
𝑚𝑗𝑓(0)𝑥𝑗.

68 Demonst rație: Aplică m polinomul 𝐵𝑚𝑓 de grad 𝑚 formula lui Taylor
(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)=∑(𝐵𝑚𝑓)(𝑗)(0)
𝑗!𝑚
𝑗=0𝑥𝑗,
și ară tăm că (𝐵𝑚𝑓)(𝑗)(0)=𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑗+1)∆1
𝑚𝑗𝑓(0). Pentru aceasta vom lua 𝑥=0
în Teorema 2.7 . punctul 3; deoarece 𝑝𝑚−𝑗,0(0)=1 și (∀)𝑘≥1,𝑝𝑚−𝑗,𝑘(0)=0, din ∑ 𝑚−𝑗
𝑘=0
rămâ ne doar primul termen, ceea ce demonstrează relaț ia. ∎
Teorema 2.8. Dacă 𝑓∈𝐶𝑗([0,1]) atunci
lim
𝑚→∞(𝐵𝑚(𝑗)𝑓)(𝑥)=𝑓(𝑗)(𝑥) 𝑢𝑛𝑖𝑓𝑜𝑟𝑚 𝑝𝑒 [0,1].
Demons trație:
Observaț ie. Atât O cât și o reprezintă simbol urile Landau ce se definesc după cum urmează.
Dacă 𝑓,𝑔 sunt funcții reale definite pe un spațiu topologic X ș i 𝑥0 este un punct de acumulare
al lui X atunci
𝑓(𝑥)=𝑜(𝑔(𝑥)) (𝑥→𝑥0)⇔lim
𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)=0.
𝑓(𝑥)=O (𝑔(𝑥)) (𝑥→𝑥0)⇔(∃) 𝑀>0,|𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)|≤𝑀 într-o vecină tate a punctului 𝑥0.
În conformitate cu simbolul o al lu i Landau explicat mai sus, relaț ia
lim
𝑚→∞𝑢(1
𝑚)=0
poate fi scrisă 𝑢(1
𝑚)=𝑜(1). Astfel avem
𝑚(𝑚−1)…(𝑚−𝑗+1)∆1
𝑚𝑗𝑓(𝑘
𝑚)
=𝑚𝑗(1−1
𝑚)…(1−𝑗−1
𝑚)∆1
𝑚𝑗𝑓(𝑘
𝑚)
=𝑚𝑗(1+𝑜(1))∆1
𝑚𝑗𝑓(𝑘
𝑚)
=(1+𝑜(1))[𝑘
𝑚,𝑘+1
𝑚,…,𝑘+𝑗
𝑚;𝑓]𝑗!=(1+𝑜(1))𝑓(𝑗)(

𝑘),
unde
(2.15)

𝑘∈(𝑘
𝑚,𝑘+𝑗
𝑚).
Rezultate. (Relative la diferenț ele divizate)
1.[𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑝;𝑓]=∑𝑓(𝑥𝑖)

′(𝑥𝑖),𝑝
𝑖=0 𝑢𝑛𝑑𝑒
(𝑥)=∏(𝑥−𝑥𝑖).𝑝
𝑖=0

69 2.[𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑝;𝑓]=𝑊(𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑝;𝑓)
𝑉(𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑝),
unde 𝑉(𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑝) este det erminatul Vandermonde corespunză tor numerelor 𝑥𝑘,𝑘=0,𝑝̅̅̅̅̅,
și 𝑊(𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑝;𝑓) este determinantul obț inut din precedentul î nlocuind elementele ultimei
coloane cu numerele 𝑓(𝑥𝑘),𝑘∈0,𝑝̅̅̅̅̅. Devine evident că [𝑥0,𝑥1,…,𝑥𝑝;𝑓] este simetrică î n
raport cu noduri le 𝑥𝑘,𝑘=0,𝑝̅̅̅̅̅, este o constantă dacă 𝑓 este un polinom de grad cel mult 𝑝 și
devine zero dacă 𝑓 este un polinom de grad mai mic decâ t p.
S-au folosit re zultatele de mai sus. Pe de altă parte
𝑓(𝑗)(

𝑘)=(𝑓(𝑗)(

𝑘)−𝑓(𝑗)(𝑘
𝑚))+𝑓(𝑗)(𝑘
𝑚)=𝑜(1)+𝑓(𝑗)(𝑘
𝑚);
în înlocuir ea parantezei cu o(1) s -a avut în vedere că |

𝑘−𝑘
𝑚|<𝑗
𝑚 și 𝑓(𝑗) este continuă pe
[0,1]. Astfel,
(1+𝑜(1))𝑓(𝑗)(

𝑘)=(1+𝑜(1))(𝑜(1)+𝑓(𝑗)(𝑘
𝑚))
=𝑜(1)+(1+𝑜(1))𝑓(𝑗)(𝑘
𝑚)=𝑓(𝑗)(𝑘
𝑚)+𝑜(1)
și având în vedere Teorema 2.7 . punctul 3 precum și relația (2.14) stabilită anterior putem
scrie
(𝐵𝑚(𝑗)𝑓)(𝑥)=∑𝑝𝑚−𝑗,𝑘(𝑥)(𝑓(𝑗)(𝑘
𝑚)+𝑜(1))𝑚−𝑗
𝑘=0
=(𝐵𝑚−𝑗𝑓(𝑗))(𝑥)+𝑜(1)→𝑓(𝑗)(𝑥),
uniform pe [0,1]. Limita de mai sus este evidentă căci ș irul polinoamelor (𝐵𝑚−𝑗𝑔) 𝑚>𝑗
converge spre 𝑔 pentru 𝑔∈𝐶[0,1]; în acest caz 𝑔≔𝑓(𝑗). ∎
Teorema 2.9. Pentru orice 𝑚 natural are loc identitatea
(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)−(𝐵𝑚+1𝑓)(𝑥)=
=𝑥(1−𝑥)
𝑚(𝑚+1)∑[𝑘
𝑚,𝑘+1
𝑚+1,𝑘+1
𝑚;𝑓]𝑝𝑚−1,𝑘(𝑥).𝑚−1
𝑘=0
Demonstrație: (𝐵𝑚+1𝑓)(𝑥)=𝑓(0)(1−𝑥)𝑚+1+
+∑𝑝𝑚+1,𝑘(𝑥)𝑓(𝑘
𝑚+1)+𝑓(1)𝑥𝑚+1𝑚
𝑘=1=(1−𝑥)𝑚+1𝑓(0)
+∑(𝑚+1
𝑘+1)𝑥𝑘+1(1−𝑥)𝑚−𝑘𝑓(𝑘+1
𝑚+1)+𝑥𝑚+1𝑓(1).𝑚−1
𝑘=0

70 În sumă s -a făcut notaț ia 𝑘−1≔𝑘. De asemenea
(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)=(𝑥+(1−𝑥))(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)
=∑(𝑚
𝑘)𝑥𝑘+1(1−𝑥)𝑚−𝑘𝑓(𝑘
𝑚)𝑚
𝑘=0
+∑(𝑚
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚+1−𝑘𝑓(𝑘
𝑚)𝑚
𝑘=0
=∑(𝑚
𝑘)𝑥𝑘+1(1−𝑥)𝑚−𝑘𝑓(𝑘
𝑚)𝑚−1
𝑘=0
+ 𝑥𝑚+1𝑓(1)+(1−𝑥)𝑚+1𝑓(0)
+∑(𝑚
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚+1−𝑘𝑓(𝑘
𝑚)𝑚
𝑘=1.
Notâ nd 𝑘−1≔𝑘, ultima sumă devine
∑(𝑚
𝑘+1)𝑥𝑘+1(1−𝑥)𝑚−𝑘𝑚−1
𝑘=0𝑓(𝑘+1
𝑚).
Expresiile stab ilite mai sus permit scrierea
(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)−(𝐵𝑚+1𝑓)(𝑥)=𝑥(1−𝑥)∑𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘−1𝑚−1
𝑘=0
×{(𝑚
𝑘)𝑓(𝑘
𝑚)+(𝑚
𝑘+1)𝑓(𝑘+1
𝑚)−(𝑚+1
𝑘+1)𝑓(𝑘+1
𝑚+1)}.
Dar
[𝑘
𝑚,𝑘+1
𝑚+1,𝑘+1
𝑚;𝑓]
=𝑚2(𝑚+1)
𝑚−𝑘𝑓(𝑘
𝑚)+𝑚2(𝑚+1)
𝑘+1𝑓(𝑘+1
𝑚)
−𝑚2(𝑚+1)
(𝑘+1)(𝑚−𝑘)𝑓(𝑘+1
𝑚+1)=𝑚(𝑚+1)
(𝑚−1
𝑘)
×{(𝑚
𝑘)𝑓(𝑘
𝑚)+(𝑚
𝑘+1)𝑓(𝑘+1
𝑚)−(𝑚+1
𝑘+1)𝑓(𝑘+1
𝑚+1)}.
Astfel (𝐵𝑚𝑓)(𝑥)−(𝐵𝑚+1𝑓)(𝑥)
=𝑥(1−𝑥)
𝑚(𝑚+1)∑(𝑚−1
𝑘)𝑥𝑘(1−𝑥)𝑚−𝑘−1[𝑘
𝑚,𝑘+1
𝑚+1,𝑘+1
𝑚;𝑓],𝑚−1
𝑘=0
ceea ce înseamnă relația cerută . ∎
Teor ema 2.10. (i) Dacă 𝑓 este convexă pe [0,1] atunci (∀) 𝑚∈𝑁,

71 (∀) 𝑥∈(0,1),(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)>(𝐵𝑚+1𝑓)(𝑥).
(ii) Dacă 𝑓 este concavă pe [0,1] atunci (∀) 𝑚∈𝑁,(∀) 𝑥∈(0,1),(𝐵𝑚𝑓)(𝑥)<
(𝐵𝑚+1𝑓)(𝑥).
Demonstrație : Se aplică teorema 2.9 .
2.4. Curbe Bézier
O aplicație importantă a operator ilor Bernstein este reprezentată de “Curbele B ézier”.
În spaț iul ℝ3 se consideră mulț imea punctelor de control.
𝒫={𝑃0(𝑥0,𝑦0,𝑧0),…,𝑃𝑛(𝑥𝑛,𝑦𝑛,𝑧𝑛)}
Definiț ie 2.5. Curba (𝐶) de ecuații parametrice
(𝐶)
{ 𝑥=𝑥(𝑡)=𝑥(𝒫;𝑡)=∑𝑏𝑛,𝑘(𝑡)𝑥𝑘𝑛
𝑘=0
𝑦=𝑦(𝑡)=𝑦(𝒫;𝑡)=∑𝑏𝑛,𝑘(𝑡)𝑦𝑘𝑛
𝑘=0
𝑧=𝑧(𝑡)=𝑧(𝒫;𝑡)=∑𝑏𝑛,𝑘(𝑡)𝑧𝑘𝑛
𝑘=0 , unde 𝑡∈[0,1)
se numenște curba Bézier atașată punctelor de control 𝑃𝑘∈𝒫,𝑘=0,𝑛̅̅̅̅̅.
Curbele Bézier au urmatoarele proprietăț i:
1) Au o reprezentare polinomială (utilă prin programarea calculatoarelor);
2) Sunt simetrice, adică alura curbei nu depinde de inversarea punctelor de control;
3) Interpolarea extremităților, adică au loc egalităț iile
{𝑥(𝒫;0),𝑦(𝒫;0),𝑧(𝒫;0)=𝑃0
𝑥(𝒫;1),𝑦(𝒫;1),𝑧(𝒫;1)=𝑃𝑛;
4) Păstrează convexitatea, conc avitatea;
5) Existenț a unui algoritm recursiv: punctele de control 𝒫 pentru o anumită valoare 𝑡0 să
fie determinate cu un algoritm simplu.
În acest sens există un algoritm numit “Algoritmul Popoviciu -Casteljau” care constă î n:
dacă
{𝑃𝑘0(𝑡)=𝑃𝑘(𝑥𝑘,𝑦𝑘,𝑧𝑘),𝑘∈{0,1,…,𝑛}
𝑃𝑗𝑟(𝑡)=(1−𝑡)∙𝑃𝑗𝑟−1(𝑡)+𝑡∙𝑃𝑗+1𝑟−1(𝑡),𝑗∈{0,1,…,𝑛−𝑟},𝑟∈{1,2,…,𝑛}
atunci 𝑃0𝑛(𝑡)≡(𝑥(𝒫;𝑡),𝑦(𝒫;𝑡),𝑧(𝒫;𝑡))

Algoritm Curbe B ézier î n C++

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <graphics.h>
#include <math.h>

72 using namespace std;

void bezier (int x[4], int y[4])
{
initwindow(600, 400);
setbkcolor(WHITE);
cleardevice();
int i;
double t;
for (t = 0.0; t < 1.0; t += 0.0005)
{
double xt = pow (1 -t, 3) * x[0] + 3 * t * pow (1 -t, 2) * x[1] +
3 * pow (t, 2) * (1 -t) * x[2] + pow (t, 3) * x[3];

double yt = pow (1 -t, 3) * y[0] + 3 * t * pow (1 -t, 2) * y[1] +
3 * pow (t, 2) * (1 -t) * y[2] + pow (t, 3) * y[3];

putpixel (xt, yt, BLUE);
}

for (i=0; i<4; i++)
putpixel (x[i], y[i], RED);

getch();
closegraph();
return;
}

int main()
{
int x[4], y[4];
int i;

printf ("Dati coordonatele x si y pentru cele patru puncte de control \n");

73 for (i=0; i<4; i++)
scanf ("%d%d", &x[i], &y[i]);
bezier (x, y);
return 0;
}

De exemplu pentru func ția 𝑓(𝑥)=√𝑥+1,𝑥∈[0,1] se ob țin graficele :

74

75

BIBLIOGRAFIE

[1] O. Agratini, Aproximare prin operatori l iniari , Presa Universisatara
Clujeana, 2000.
[2] Gh. Coman, Analiza numerică , LIBRIS, Cluj, 1995.
[3] G. Gasper, On the extension of Turán’s inequality to Jacobi polynomials ,
Duke Math.J. 38 (1971), 415 -428.
[4] A. Lu paș, C. Manole, Capitole de Analiză numerică , Ed. Universității din
Sibiu, 1994 .
[5] A. Lupa ș, On the inequality of P. Turán for ultraspherical polynomials,
Seminar de calcul numeric și statistică , Universitatea Cluj -Napoca, Facultatea
de Matematica, Seminarii de Cercetare, Preprint nr. 4, 1985, 82 -87.
[6] A. Lupaș, Teoria constructivă a funcțiilor, Ed. Universității din Sibiu, 1994.
[7] Gh. Micula, Funcții spline și aplicaț ii, Editura Tehnica, Bucuresti, 1978.
[8] B.S. Popov, L’èvaluation explicite des expressions de Turán -Szegö , C. R.
Acad. Sci. Paris 248 (1959), 21 58-2159.
[9] H. Skovgaard, On inequalities of the Turán Type, Math. Scand. 2 (1954),
65-73.
[10] G. Szegö , Ortogonal Polynomials , Amer. Marh. Soc. Providence , R. I.,
1985.
[11] I. Țincu, Proffs of Turan’s inequality, Mathematical Analysis and
Approximation Theory, 2002.
[12] V. Vodi 𝑐̌ka, Note on Hermite polynomials, (Czech) 𝐶̌asopis P𝑒̌st. Mat. 88
(1963), 106 -107.