Introducere …………………………………………………………………………………………………. 4 1 Noțiuni privind… [615617]

Page 3 CUPRINS

Introducere …………………………………………………………………………………………………. 4
1 Noțiuni privind teoria probabilit ăților……………………………………………………. 13
2 Noțiuni privind statistica matematic ă……………………………………………………. 26
3 Modelul clasic de regresie liniar ă…………………………………………………………. 35
4 Abateri de la ipotezele modelu lui clasic de regresie I ……………………………… 46
5 Abateri de la ipotezele modelu lui clasic de regresie II …………………………….. 51
6 Tehnici de modelare și previzionare a seriilor de timp unidimensionale ……. 57
7 Tehnici de modelare și previzionare a seriilor de timp multidimensionale …. 81
8 Tehnici de analiz ă a dinamicii pe termen l ung a variabilelor economice……. 91
9 Tehnici de analiz ă a modelelor de tip panel data…………………………………….. 98
10 Tehnici de estimare a modelelor de tip DSGE………………………………………. 103
Bibliografie selectiv ă……………………………………………………………………………….. 108

Page 4 Introducere
Acest suport de nivel pentru nivelul de complexitate 3 este conceput pentru
a oferi cursan ților o funda ție riguroas ă și accesibil ă privind principiile teoriei
probabilit ăților, utilizarea metodelor de inferen ță statistic ă în domeniul
macroeconomic, precum și tehnicile oferite de c ătre programul econometric
EViews în ceea ce prive ște construirea, rezolvarea, estimarea, verificarea și
alegerea de modele econometrice adecvate. Toate capitolele suportului cuprind
exemple privind utilizarea diverselor tehn ici econometrice cu ajutorul programului
EViews .

Date de tip
„Panel” Date de tip
„Time series” Date de tip
„Cross section”
Variabilă
aleatoareModel statistic TEHNICI DE
ESTIMARE TEHNICI DE
TESTARE
EVENIMENT PROBABILITATE Econometrie
Teoria probabilit ăților Statistică matematic ă

Page 5 Econometria presupune totalitatea metodelor și tehnicilor de analiz ă a
dinamicii variabilelor economice, precum și a interconexiunilor dintre acestea.
Econometria utilizeaz ă o mare parte din tehnicile de inferen ță statistică puse la
dispoziție de către statistica matematic ă. De asemenea, teoria probabilit ăților
oferă noțiunile fundamentale necesare pentru în țelegerea statisticii și a
econometriei. Econometria reprezint ă o îmbinare armonioas ă între teoria
economic ă, modelarea economic ă, statistica economic ă și statistica matematic ă.
Teoria economic ă propune o serie de ipoteze care, în general, sunt de natur ă
calitativă. Modelarea economic ă transpune aceste ipoteze în limbaj cantitativ prin
intermediul modelelor economice care pot fi utilizate pentru previzionarea
variabilelor de interes. Statistica economic ă are drept scop principal colectarea,
prelucrarea și prezentarea datelor economi ce sub forma de grafice și tabele.
Statistica matematic ă oferă multe instrumente de analiz ă a acestor datelor. Totu și,
un practician are deseori nevoi e de metode speciale avâ nd în vedere natura unic ă a
datelor economice. Ro lul econometriei const ă în punerea la dispozi ție a unor astfel
de tehnici care permit testarea unui model economic și transpunerea acestuia
într-un model econometric, care poate fi utilizat efectiv pe ntru a previziona
evoluția variabilelor economice.
Modelele econometrice presupun utilizar e a trei tipuri de date, respectiv:
• date de tip „cross-section” – acestea presupun observa ții în ceea ce prive ște o
caracteristic ă, obținute la un anumit moment dat , pentru mai mul ți agenți
economici ;
• date de tip „time series” – acestea presupun observa ții în ceea ce prive ște o
caracteristic ă, obținute la mai multe momente de timp , pentru un agent
economic dat ;
• date de tip „panel” – acestea combin ă ambele dimensiuni, presupunând
observații în ceea ce prive ște o caracteristic ă, obținute la mai multe momente de
timp, pentru mai mul ți agenți economici.

Page 6 Metodologia utilizată, în general, de c ătre econometrie pentru analiza unui
fenomen economic se poate încadra de-a lungul urm ătoarelor linii:
• identificarea teoriei economice care explic ă fenomenul respectiv;
• specificarea modelului teoretic în format matematic;
• specificarea modelului econometric ;
• obținerea datelor corespunz ătoare;
• estimarea parametrilor modelului econometric;
• testarea statistic ă a ipotezelor propuse de teoria economic ă;
• previzionarea variabilelor din cadrul modelului econometric;
• utilizarea modelului econometric pentru fundamentarea deciziilor de
politică economic ă.
Un exemplu clasic în ceea ce prive ște utilizarea metodologiei econometrice
îl reprezint ă analiza consumului privat. Binecunoscuta teorie economic ă propusă
de către Keynes, în ceea ce prive ște legătura dintre consum și venitul disponibil,
presupune c ă, în medie, agen ții economici î și majoreaz ă consumul pe m ăsură ce
venitul lor disponibil cre ște, însă cu o „vitez ă” mai mic ă decât a acestuia. In limbaj
cantitativ, aceast ă teorie se poate transpune sub forma unei rela ții funcționale între
consum și venit disponibil, cu condi ția suplimentar ă că derivata acestei func ții în
raport cu venitul disponibil ar e valori cuprinse între 0 și 1.
Deși Keynes a postulat o rela ție pozitiv ă între consum și venit, acesta nu a
specificat forma exact ă a acestei rela ții funcționale dintre cele dou ă variabile. Se
poate construi astfel un model teoretic în cadrul c ăruia se presupune c ă această
relație este liniar ă, respectiv CYαβ=+ , unde C reprezint ă consumul, Y venitul
disponibil, iar β o măsură a înclina ției marginale spre consum. Acest model
teoretic al func ției de consum prezint ă, însă, un interes limitat pe ntru un practician,
pentru că modelul presupune c ă există o relație exactă sau determinist ă între
consum și venit.

Page 7 In realitate, leg ătura dintre cele dou ă variabilele economice este, în general,
inexactă deoarece consumul este influen țat și de alți factori. Pentru a permite
existența unei rela ții inexacte între cele dou ă variabile economice, un model
econometric presupune c ă funcția de consum se poate reprezenta sub forma
CYαβε=+ + , unde ε este termenul de eroare, reprezentat printr-o variabil ă
aleatoare, concept fundament al din teoria probabilit ăților, cu caracteristici statistice
bine-definite. Mai exact, modelul ec onometric prezentat mai sus este un caz
particular de model de regresie liniar ă, tip de model care va fi analizat în cadrul
cursului de fa ță.
Determinarea parametrilor modelului econometric, pe baza datelor avute la
dispoziție, presupune utilizarea unor metode și tehnici de estimare statistic ă. Însă,
trebuie avut grij ă să se aleagă acel instrument de estimare care se potrive ște datelor
pentru care se realizeaz ă analiza. Astfel, dac ă dispunem de observa ții privind
consumul la un moment dat al mai multor familii, adic ă avem la dispozi ție date de
tip „cross-section”, este potrivit ă estimarea prin metoda OLS. Dac ă, însă, analiza
se realizeaz ă la nivel agregat și dispunem de dinamica consumului și a venitului
pentru o anumit ă perioadă, adică avem la dispozi ție date de tip „time series”, este
mai potrivit s ă se utilizeze tehnici de estim are bazate pe identificarea rela țiilor de
cointegrare dintre cele dou ă serii. Alegerea corect ă a metodei de estimare, lucru
asupra căruia se va insista pe parcursul acestui curs, este esen țială pentru ob ținerea
unor estimatori „buni”, adic ă a celor estimatori care surprind în mod corect
realitatea în ceea ce prive ște legătura dintre cele dou ă variabile economice.
In continuare, trebuie verificat dac ă modelul econometric estimat pentru
seriile de date analizate este în concordan ță cu teoria economic ă d e l a c a r e s – a
plecat. Aceast ă verificare se poate realiza prin metode riguroase privind testarea
ipotezelor statistice , tehnici care vor fi prezentate în cadrul acestui curs. Astfel, în
cazul exemplului analizat, se testeaz ă ipoteza „nul ă” conform c ăreia 01β<< , sau,
altfel spus, se testeaz ă dacă înclinația marginal ă spre consum este pozitiv ă și
subunitară.

Page 8 În cazul în care modelul estimat este în concordan ță cu teoria economic ă, se
poate utiliza acest model pentru a previziona o valoarea viitoare a variabilei
dependente, în acest caz consumul, în func ție de valoarea viitoare anticipat ă a
variabilei independente, în acest caz ven itul disponibil. De asemenea, modelul
estimat poate fi utilizat pentru fundamentarea deciziilor de politic ă economic ă.
Astfel, în exemplul analiz at, pornind de la înclina ția marginal ă spre consum
estimată pe baza datelor, se poate calcula „multiplicatorul” lui Keynes, care poate
fi utilizat pentru a realiza diverse scenarii și simulări legate de impactul modific ării
sistemului de taxare asup ra sectorului privat.
In continuare, este prezentat pe scurt con ținutul acestui suport. Primele
două capitole prezintă partea nev ăzută a econometriei, f undamentele acesteia . Fără
a avea o serie de no țiuni elementare priv ind teoria probabilit ăților și statistica
matematic ă, practicienii percep econometr ia ca un amalgam de formule și tehnici
fără nici un sens. Detaliile privind utilizarea tehnicilor implementate în programe
econometrice se estompeaz ă rapid pentru cei care nu în țeleg motivele utiliz ării
procedurilor pe care încearc ă să le aplice. Multe institu ții recunosc, în prezent,
nevoia unui studiu mai riguros al teoriei probabilit ăților, al principiilor statisticii
matematice, precum și al metodelor econometrice avansate, în scopul de a- și
pregăti speciali știi pentru o în țelegere pe termen lung a te hnicilor statis tice utilizate
în domeniul economic.
In capitolul 1 sunt schi țate o serie de no țiuni privind teoria probabilit ăților,
cum ar fi eveniment, proba bilitate, probabilitate condi ționată, variabilă aleatoare.
Pentru a eviden ția importan ța conceptului de variabil ă aleatoare este prezentat
modul în care se poate analiza în EViews funcția de densitate de reparti ție a unei
variabile aleatoare, respectiv a unui vector de variabile aleatoare. În țelegerea
conceptului de distribu ție a unei variabile aleatoare este esen țială pentru în țelegerea
conceptelor legate de inferen ța statistic ă.
In capitolul 2 sunt prezentate pe scurt concepte de baz ă în ceea ce prive ște
statistica matematic ă. Astfel, pentru început este analizat conceptul de distribu ție

Page 9 asimptotic ă. In continuare, sunt eviden țiate tehnici privind pr ocedura de estimare a
unui model statistic. Sunt prezentate o serie de defini ții necesare pentru o
înțelegere de durat ă a econometriei, cum ar fi con ceptul de estimator „bun”. In a
treia parte a acestui capitol sunt discutate tehnici privind procedura de testare a
ipotezelor statistice. Pentru a eviden ția importan ța tehnicilor de inferen ță statistică,
este prezentat modul în care se poate realiza în EViews un test statistic privind
media unei popula ții statistice. Acest exemplu, ofer ă cursanților instrumentele
necesare în țelegerii unor teste mai sofisticate legate de modelele econometrice
discutate în capitolele urm ătoare.
In următoarele trei capitole atenția se îndreapt ă asupra tehnicilor
econometrice utilizate, în special, pent ru analiza intercon exiunilor dintre date de
tip „cross-section” . Totuși, aceste tehnici stau la baza unor metode avansate
utilizate pentru investigarea dinamicii celorlalte tipuri de date economice. In
capitolul 3 este prezentat modelul cl asic de regresie liniar ă, ipotezele acestuia,
modul de estimare al unei ecua ții de regresie în EViews , precum și modalitatea de
a interpreta estimatorii și testele statistice rezultate în urma acestei estim ări.
Modelul clasic de regresie are la baz ă o serie de ipoteze, în tâmplându-se foarte rar
ca în practic ă toate acestea s ă fie îndeplinite. In capitolul 4 sunt prezentate
tehnicile puse la dispozi ție de EViews pentru a rezolva problemele induse de
nerespectarea acestor ip oteze în ceea ce prive ște inovațiile ecuației de regresie.
Astfel, sunt analizate metodele care pot contabiliza existen ța heteroskedasticit ății și
a autocorel ării erorilor, în special tehnicile robuste de determinare a erorilor
standard pentru estimatori. In capitolul 5 este adus ă în discu ție „problema de
endogenitate”, care este destul de frecvent ă în practic ă, și care invalideaz ă multe
din rezultatele modelului clasic de regres ie. Este prezentat modul în care se poate
rezolva aceast ă problem ă în cadrul programului econometric EViews prin
intermediul variabilelor instrumentale.
Fenomenele economice se pot analiza din perspectiv ă statică sau dinamic ă.
Analiza static ă urmărește descrierea rela țiilor care exist ă între variabile la un

Page 10 anumit moment. Analiza în dinamic ă a fenomenelor economice încearc ă să
surprindă modul în care va riabilele evolueaz ă în timp, modul în care se schimb ă
relațiile care exist ă între variabile, precum și eventualele rela ții de cauzalitate care
funcționează între acestea. In următoarele trei capitole atenția este concentrat ă
asupra tehnicilor econometrice utilizate, în special, pentru analiza dinamicii și
interconexiunilor dintre date de tip „time series” . O serie de timp reprezint ă o
succesiune de înregistr ări ale unei variabile economice (de exemplu produsul intern
brut – PIB, rata infla ției, rata de dobând ă, cursul de schimb, indicele BET etc.)
corespunz ătoare unei frecven țe: zilnică, lunară, trimestrial ă sau anual ă. Analiza
seriilor de timp are ca obi ective: stabilirea propriet ăților statistice, cu m ar fi medie,
varianță, autocorela ție, autocorela ție parțială; identificarea rela țiilor care exist ă pe
termen lung între variabile; modelarea unei se rii de date reale, prin identificarea
modelului prin care se poate repr ezenta cel mai bine seria respectiv ă; prognoza pe
termen scurt a unei serii de timp pe b aza modelului selectat pentru aceasta.
In capitolul 6 sunt prezentate tehnicile de analiz ă puse la dispozi ție de către
EViews pentru analiza dinamicii seriilor de timp unidimensionale. Sunt eviden țiate
modalitățile de modelare a serilor de timp prin intermediul proceselor de tip
ARMA (AutoRegressive Moving Average), precum și modul în care natura
autocorela ției dintre valorile seriei respective ofer ă informații în ceea ce prive ște
selectarea unei specifica ției pentru modelul ARMA. De asemenea, este discutat
conceptul de sta ționaritate, concept fundamental pentru modelarea adecvata a
dinamicii unei serii de timp, și sunt prezentate instrumentele puse la dispozi ție de
către EViews pentru testarea sta ționarității unei serii,
In capitolul 7 sunt prezentate tehnicile de analiz ă puse la dispozi ție de către
EViews pentru analiza dinamicii și a interac țiunii dintre serii de timp
multidimensionale. Astfel, în cadrul capitolul ui sunt descrise estimarea modelelor
de tip VAR (Vector AutoRegressive), precum și metodele de analiz ă ale acestor
modele, cum ar fi func ția de răspuns la impuls și descompunerea varian ței. In
capitolul 8 sunt prezentate tehnicile de analiz ă puse la dispozi ție de către EViews

Page 11 pentru analiza dinamicii pe termen lung di ntre variabilele econo mice. Acest capitol
descrie modelele și instrumentele pentru testarea prezen ței relațiilor de cointegrare
dintre mai multe variabile nesta ționare, precum și procesul de estimare și analiză a
modelelor de tip VEC (Vector Error Correction).
În aceste note de curs se prezint ă elementele esen țiale, care formeaz ă baza
analizei seriilor de timp. Prezentarea este gândit ă pentru un nivel de complexitate
mediu, punând accent pe introducerea intuitiv ă a conceptelor și concretizarea
acestora prin exemple elocvente. De asemenea, se argumenteaz ă la un nivel
corespunz ător unele din cele mai importante rezultate.
In capitolul 9 atenția este concentrat ă asupra tehnicilor econometrice
utilizate pentru analiza dinamicii și interconexiunilor dintre date de tip „panel ”,
care reprezint ă o îmbinare dintre metodele descri se în capitolele anterioare. Sunt
descrise etapele necesare în cadrul EViews pentru specificarea și pentru estimarea
unui model de tip panel, precum și metodele puse la dispozi ție de către programul
econometric pentru a discrimina intre o specifica ție cu efecte fixe și o specifica ție
cu efecte aleatoare.
In capitolul 10 este prezentat ă structura de baz ă a unui script pentru
Dynare , program care poate fi u tilizat pentru estimarea și analiza dinamicii
modelelor de tip DSGE. De asemenea, este fundamentat ă, pe scurt, procedura de
log-liniarizare a unui model DSGE, opera țiune important ă în cadrul metodologiei
de estimare. inând seama de tendin ța recentă din literatura de specialitate de a
utiliza pentru estimarea modelelor DS GE tehnici de bayesiene de inferen ța
statistică, în încheierea capitolului sunt prezentate no țiuni fundamentale privind
econometria bayesian ă.
In final, trebuie subliniat ce reprezint ă și ce nu reprezint ă acest suport.
Acest suport nu este un manual de econometri e. Acest suport nu poate suplini, în
nici un fel, un manual de econometrie de nivel introductiv, cum ar fi Brooks (2008)
sau Wooldridge (1999), sau un manual de nivel intermediar, cum ar fi Greene
(2008) sau Enders (2004), sau un manual de nivel avansat, cum ar fi Hamilton

Page 12 (1994). De asemenea, acest suport nu este un manual de utilizare al programului
econometric EViews . Acest suport reprezint ă o schiță, la nivel intermediar, a
tehnicilor econometrice care apar în cadru l analizei fenomenelor economice, cu
accent pe utilizarea acestora cu aj utorul programului econometric EViews . De
asemenea, acesta reprezint ă o modalitate de a prezenta ceea ce este esen țial, mai
precis tot ceea ce nu trebuie uitat dup ă ce se vor fi fost uitate toate celelalte detalii.
Este demn de men ționat faptul c ă utilizarea acestui suport este complementar ă cu
prezența activă în timpul orelor de curs.
Parcurgerea suportului, precum și audierea cursului nu presupun cuno ștințe
anterioare privind teoria probabilit ăților sau statistica matematic ă și construie ște în
mod eficient subiectu l "de la zero". Cursan ții vor dobândi astfel preg ătirea necesar ă
pentru o în țelegere matur ă și durabilă a metodelor statistice și econometrice de
inferență și vor fi preg ătiți pentru a citi și înțelege texte de econometrie de nivel
intermediar și avansat.

Page 13 1 Noțiuni privind teoria probabilit ăților
Un agent economic ra țional, cel mai probabil, va prefera s ă diminueze
incertitudinea privind rezultatul unei situa ții în orice context de luare a unei decizii
în care profitul, utilitatea, precum și bunăstarea sunt afectate. Teoria
probabilit ăților pune la dispozi ția unui agent de decizie o serie de instrumente
utilizate pentru a distinge probabilul de improbabil, în cazul unor decizii, și oferă
managerilor, economi știlor, organismelor de reglementare și consumatorilor
informații care pot fi folosite pentru a clasifica rezultatele poten țiale ale deciziilor
lor în ceea ce prive ște probabilitatea de apari ție. Astfel, este posibil ă luarea unor
decizii care s ă maximizeze probabilitatea de apari ție a unui rezultat dorit, sau care
să reducă probabilitatea de apari ție a unor rezultate dezastruoase.
1.1 Evenimente și probabilitatea de apari ție a acestora
Noțiunea de experiment este foarte des utilizat ă în domeniul statisticii
pentru a face referire la orice activitat e pentru care rezultatul sau starea final ă a
unei activit ăți nu pot fi specificate în avans, dar pentru care poate fi identificat ă o
mulțime conținând toate rezultatele pos ibile ale acelei activit ăți. Înainte de a
analiza probabilitatea de apari ție a unui anumit rezultat al unui experiment, este
necesar s ă se identifice ce rezultate sunt pos ibile. Aceasta conduce la definirea
spațiului stărilor unui experiment.
Spațiul stărilor reprezint ă o mulțime, notat ă în acest suport cu Ω, care
conține toate rezultatele posibil e ale unui experiment. Altf el, la aruncarea unui zar,
rezultatele posibile se refer ă la apariția uneia din cele șase fețe ale acestuia. Ca
urmare, în cazul experimentului care const ă în aruncarea unui zar,
{} 6,5,4,3,2,1=Ω .
Entitățile fundamentale c ărora li se atribuie probabilit ăți în cadrul teoriei
probabilit ăților sunt submul țimi ale spa țiului stărilor. Un eveniment reprezint ă o
submulțime a spa țiului stărilor, sau, altfel spus, reprezint ă o colecție de elemente

Page 14 posibile ale unui experiment. De exempl u, în cazul experimentului care const ă în
aruncarea unui zar, submul țimea {}1=A reprezint ă evenimentul c ă a apărut fața 1 a
zarului, iar submul țimea {}2,1=B reprezint ă evenimentul c ă a apărut fața 1 sau
fața 2 a zarului. Trebuie men ționat faptul c ă nu orice submul țime a lui Ω este un
eveniment în sensul descris de c ătre teoria probabilit ăților. Totu și, în cadrul acestui
suport, de nivel introducti v, nu se va analiza în am ănunt aceast ă distincție.
Mulțimea tuturor evenimentelor care pot fi observate în urma derul ării unui
experiment poart ă numele de spațiul evenimentelor și este notat cu F.
Dacă A este un eveniment, se noteaz ă cu A A−Ω=: evenimentul contrar al
evenimentului A, acesta con ținând toate elementele din spa țiul stărilor care nu se
regăsesc în submul țimea A. Există două evenimente deosebite, respectiv
evenimentul imposibil reprezentat de mul țimea vidă (∅) și evenimentul sigur,
reprezentat de mul țimea care con ține toate st ările posibile, adic ă de către spațiul
stărilor Ω. De exemplu, în cazul experimentului care const ă în aruncarea unui zar,
se consider ă că este imposibil ca zarul s ă rămână pe muchie și, astfel, s ă nu apară
nici o fa ță. Ca urmare, este sigur c ă va apărea cel pu țin o față. Evenimentul
imposibil este evenimentul contrar al evenimentului sigur.
Unul din obiectivele teoriei probabilit ăților este acela de a elabora o m ăsură
cu care s ă se poată cuantifica posibilitatea de apari ție a diverselor evenimente
înglobate în spa țiul stărilor experimentului analizat. O funcție de probabilitate
este o func ție []1,0 :→FP care îndepline ște următoarele propriet ăți:
• ()1=ΩP ;
• Pentru orice n evenimente, nA AA ,…,,2 1 disjuncte dou ă câte dou ă
avem că () ()()( )n n AP AP AP A A AP +++=∪∪∪ … …2 1 2 1 .
Un câmp de probabilitate , cunoscut și sub numele de spa țiu de
probabilitate, este un triplet () P,,FΩ care este format din mul țimea tuturor
stărilor posibile, mul țimea tuturor evenimentelor observabile și o func ție de
probabilitate cu care se cuantific ă posibilitatea de apari ție a acestor evenimente.

Page 15 Înainte de realizarea unui experiment , evenimentul care este absolut sigur
să apară este evenimentul Ω, deoarece rezultatul unui experiment trebuie s ă fie un
element al spa țiului stărilor. In continuare este st udiat efectul pe care informa țiile
suplimentare privind apari ția unui eveniment îl au asupra probabilit ății altor
evenimente asociate experimentului anal izat. În special, în cazul în care este
cunoscut faptul c ă rezultatul experimentului es te un element dintr-o submul țime B,
a spațiului stărilor, se pune problema identific ării cantitative a efectului acestei
informații suplimentare asupra probabilit ăților celorlalte evenimente. Cum ar trebui
să fie definit ă probabilitatea unui eveniment A, având în vedere informa țiile
suplimentare care arat ă că a avut loc evenimentul B?
Astfel, este convenabil s ă se introduc ă noțiunea de probabilitate
condiționată. Vom nota cu ()BAP| probabilitatea evenimentului A condi ționată
de evenimentul B. Avem () 1 |=ΩB P , dar, în plus, și ()1 |=BBP , fiind evident
faptul că evenimentul B devine “sigur” condi ționat de informa ția suplimentar ă că
acest eveniment a avut loc. Astfel, în mod intuitiv, rezult ă faptul c ă
()()
()BPBAPBAP∩=|.
Probabilitatea condi ționată poate fi utilizat ă și pentru definirea, într-o
manieră intuitivă, a conceptului de independen ță a două evenimente. Astfel, dac ă
evenimentul A este independent de evenimentul B, atunci este evident c ă
informația suplimentar ă generată de apariția evenimentului B nu poate aduce nici o
îmbunătățire în ceea ce prive ște cuantificarea posibilit ății de apari ție a
evenimentului A. Astfel, în acest caz rezult ă că ()()AP BAP=| . Mai exact, dou ă
evenimente A și B se numesc independente dacă ()()()BPAP BAP=∩ . Trebuie
evidențiat faptul c ă, dacă evenimentul A sau evenimentul B au probabilitate de
apariție zero, atunci ele sunt inde pendente. De asemenea, dac ă două evenimente
sunt independente atunci și evenimentele contrare vor fi independente între ele.

Page 16 1.2 Tipuri de variabile aleatoare
1.2.1 Variabile aleatoare unidimensionale
Rezultatele mai multor experimente sunt exprimate în mod inerent sub
formă de numere reale. De exemplu, m ăsurarea în ălțimii sau a greut ății unei
persoane, sau observarea pre țului și a cantității de echilibru de pe o pia ță. Spațiul
stărilor asociat cu aceste tipuri de experimente sunt submul țimi ale mul țimii
numerelor reale.
Există, însă, și experimente ale c ăror rezultate nu sunt numere reale și al
căror spațiu al stărilor nu este în mod inerent o submul țime a unui spa țiu real. De
exemplu, observarea rezultatului arunc ării unei monede, care este ban sau stem ă,
observarea rezultatului arunc ării unui zar, care este una din cele șase fețe ale
zarului, sau observarea dac ă un element selectat dintr-un ansamblu este defect sau
nu. Este atât convenabil cât și util convertirea acestor spa ții abstracte într-un
subspațiu format din numere reale, conversie realizat ă prin asocierea unui num ăr
real pentru fiecare rezultat din spa țiul stărilor original. O astfel de procedur ă ar
putea fi privit ă ca o „codificare” a rezultatelor unui experiment prin diverse numere
reale. În plus, este posibil ca rezultatele unui experiment s ă nu poate fi de interes
direct într-un cadru dat; în schimb, s-ar putea s ă prezinte interes o anumit ă
combinație a acestora exprimat ă printr-un num ăr real. Conceptul de variabil ă
aleatoare poate fi utilizat pentru a caracteriza rezultate le unui experiment ca o
submulțime de numere reale.
Fie () P,,FΩ un câmp de probabilitate. O variabilă aleatoare
unidimensional ă în raport cu () P,,FΩ este o func ție definită pe spațiul stărilor
(Ω) și are valori numere reale, R X→Ω: . Astfel, prin utilizarea conceptului de
variabilă aleatoare, toate experimentele cu rezu ltate univariate pot fi interpretate ca
având spa țiul stărilor compus din elemente reale. Mai exact, spa țiul stărilor indus,
R[X] , reprezint ă o submul țime a unui spa țiu real. O variabil ă aleatoare se nume ște
variabilă aleatoare discret ă dacă spațiul stărilor indus, R[X] , este o mul țime finită

Page 17 sau numărabilă. Dacă spațiul stărilor indus este un interval, atunci vorbim despre o
variabilă aleatoare continu ă.
Un avantaj major al utiliz ării doar a spa țiilor de st ări cu valori reale const ă
în faptul c ă toate instrumentele matematice ela borate pentru sistemul numerelor
reale sunt disponibile atunci când se analizeaz ă proprietățile unui astfel de spa țiu.
În practic ă, o dată ce câmpul de probab ilitate indus a fost identificat, câmpul de
probabilit ăți inițial () P,,FΩ poate fi, în general, i gnorat în scopul definirii
evenimentelor variabilelor aleatoare și a probabilit ății de apari ție a acestora. De
fapt, cel mai adesea se alege câmpul indus de probabilitate dire ct de la începutul
unui experiment, acordând mai pu țină atenție câmpului de probabi litatea original.
O simplificare important ă, în ceea ce prive ște analiza variabilelor aleatoare,
este realizat ă prin introducerea conceptului de func ție de reparti ție. Astfel, funcția
de reparti ție a unei variabile aleatoare X, cunoscut ă în literatura de specialitate
sub prescurtarea CDF ( eng. Cumulative Distribution Function ), este o func ție
definită pe mulțimea numerelor reale cu valori în mul țimea numerelor reale,
R FX→R: astfel încât pentru orice num ăr real x avem că ()( )XFxP X x=≤ .
Altfel spus, ()xFX reprezint ă un num ăr care cuantific ă probabilitatea
evenimentului ca variabila aleatoare X să ia valori mai mici sau egale cu num ărul
real x.
Dacă două variabile aleatoare X și Y au proprietatea c ă Y XF F= se spune
că cele două variabile aleatoare sunt identic distribuite .
Trebuie men ționat faptul c ă, dacă X este variabil ă aleatoare discret ă, atunci
XF nu este func ție continu ă, graficul func ției prezentând „salturi”. Pe de alt ă parte
însă, dacă X este o variabil ă aleatoare continu ă, atunci se poate ar ăta că XF este o
funcție continu ă.
In cazul unei variabile aleatoare c ontinue, analiza acesteia se poate
simplifica și mai mult prin apelarea la conceptul de func ție de densitate de
repartiție. Astfel, funcția de densitate de reparti ție a unei variabile aleatoare

Page 18 continue X, cunoscută în literatura de specialitate sub prescurtarea PDF ( eng.
Probability Distribution Function), este o func ție definită pe mulțimea numerelor
reale cu valori în mul țimea numerelor reale, R fX→R: astfel încât pentru orice
număr real a avem că () ()∫
∞−=a
X X dxxf aF .
Eviews oferă posibilitatea de a afi șa o varietate de a șa-numite grafice
analitice ( i.e. grafice rezultate prin prelucrarea statistic ă a datelor brute)
Caracteristica central ă a acestor grafice const ă în faptul c ă afișează un rezumat al
datelor originale. O clas ă important ă de astfel de grafice sunt cele care cuantific ă
vizual func ția de densitate de reparti ție a unei variabile aleatoare, calculat ă
utilizând o serie de date privind realiz ările respectivei variabil e aleatoare. Pentru a
afișa un astfel de grafic se utilizeaz ă opțiunea Graph.

In cadrul c ăsuței de dialog care este afi șată se selecteaz ă tipul graficului
Distribution , iar în zona Details se precizeaz ă tipul de graf ic de distribu ție dorit,
cum ar fi histogram ă (Histogram ), grafic de distribu ție determinat prin func ții de

Page 19 tip „kernel” ( Kernel Density ) sau grafic de distribu ție determinat prin utilizare
unui model parametric ( Theoretical Distribution ). Astfel, în figura de mai jos
sunt prezentate dou ă grafice de tip distribu ție determinate pe baza acelora și date,
respectiv o histogram ă și o funcție de densitate de reparti ție asociat ă unei variabile
distribuită normal. O variabil ă aleatoare X are o distribuție normal ă cu medie μ
și varianță 2σ, notată cu ()2~,XμσΦ , dacă funcția de densitate de reparti ție este
dată de formula: 21
2 1()
2x
Xfx eμ
σ
σπ−⎛⎞⎜⎟⎝⎠−
= .

0.00.20.40.60.81.01.2
1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.6 3.8 4.0 4.2Density
0.00.20.40.60.81.01.2
1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0 4.4 4.8 5.2Density

Un grafic de densitate de reparti ție oferă informații în ceea ce prive ște
probabilitatea de apari ție a anumitor evenimente. Astfel, se observ ă că este „mai
probabil” ca variabila aleatoare considerat ă să ia valori în jurul valorii de 3,5 decât
să ia valori în jurul valorii de 1,5 sau în jurul valorii de 4,5.
1.2.2 Variabile aleatoare multidimensionale
În secțiunea precedent ă a acestui capitol, a fost analizat conceptul de
variabilă aleatoare unidimensional ă, pe spațiul stărilor fiind definit ă numai o
funcție reală. Conceptul unei variabil ă aleatoare multidimensional ă este o extensie
a conceptului variabilei aleatoare unidimensional ă, pe spa țiul stărilor
experimentului anali zat fiind definite dou ă sau mai multe func ții reale. Conceptul

Page 20 de variabil ă aleatoare multidimensional ă se aplică în mod firesc și, în general,
oricărui experiment în care, pentru fiecare rezultat al experimentului, sunt
observate dou ă sau mai multe caracteristici.
Fie () P,,FΩ un câmp de probabilitate. O variabilă aleatoare
multidimensional ă în raport cu ()P,,FΩ , cunoscut și sub denumirea de vector
aleatoriu, este definit ă ca o func ție pe spațiul stărilor (Ω) și cu valori vectori având
componente numere reale, nR X→Ω: .
In cadrul acestui suport ne vom limita aten ția asupra cazului bidimensional,
()2 1,XX X= . Ca și în cazul unidimensional, se poate construi un câmp de
probabilitate indus de vect orul aleator, unde spa țiul stărilor, R[X] , este o
submulțime format ă din perechi de numere reale. Ne vom concentra aten ția asupra
variabilelor aleatoare multidimensionale continue caracterizate prin faptul c ă R[X]
este format ă din produse carteziene dintre dou ă intervale ( i.e. dreptunghiuri). In
mod analog cu cazul unidimensional, se poate defini funcția de reparti ție a unui
vector aleator, R RFX→2: astfel încât avem c ă ()( )12 1 1 2 2,,XFx x P X x X x =≤≤
pentru orice vector real ()2 1,xx . Altfel spus, ()2 1,xxFX reprezint ă un număr care
cuantifică probabilitatea evenim entului ca, în acela și timp, variabila aleatoare X1 să
ia valori mai mici sau egale cu num ărul real x1 și variabila aleatoare X2 să ia valori
mai mici sau egale cu num ărul real x2 .
De asemenea, se poate defini funcția de densitate de reparti ție a unui
vector aleator X, R RfX→2: astfel încât, pentru orice vector real ()2 1,aa avem că
() ()∫∫
∞−∞−=12
2 1 2 1 2 1 , ,aa
X X dxdxxxf aaF .
In cazul analizei vectorilor bidimensionali este de interes s ă se extrag ă
informații cu privire la una din componentele acestui vector . Acest lucru se poate
realiza prin intermediul reparti ției marginale a unui vector aleator. Astfel, se poate
defini funcția de reparti ție marginal ă a unei componente a unui vector aleator
(de exemplu componenta 1) ca fiind o func ție cu caracteristici asem ănătoare

Page 21 funcției de reparti ție a unei variabile aleatoare, R R FX→:
1, astfel încât pentru
orice num ăr real 1x avem că ()()2 1 1 , lim
21xxF xFXxX∞→= . De asemenea, exist ă o
funcție de densitate de reparti ție marginal ă a unei componente a unui vector
aleator, R RfX→:
1, unde () () ( ) ∫∫
∞−∞
∞−=′=1
1 1 2 1 2 1 1 1 ,a
X X X dxdxxxf aF af .
Eviews permite vizualizarea func ției de densitate bidimensional ă, precum
și a funcțiilor de densitate marginal ă pentru un vector format din dou ă componente.
Programul econometric cuantific ă aceste func ții utilizând seriile de date privind
realizările respectivelor variabile aleatoare. Pe ntru realizarea unui astfel de grafic
se selecteaz ă cele două serii și se utilizeaz ă opțiunea Open as Group , după care se
utilizează opțiunea Graph cu setările din figura de mai jos .

Mai exact, în cadrul c ăsuței de dialog care este afi șată se selecteaz ă tipul
graficului Scatter , iar în zona Details se precizeaz ă că se dore ște afișarea

Page 22 distribuțiilor marginale prin selectarea în c ăsuța Axis borders a opțiunii
Histogram . Astfel, în figura de mai jo s sunt prezentate, pe acela și grafic
• densitatea de reparti ție bidimensional ă prin intermediul unui nor de
puncte și prin elipse care demarcheaz ă anumite zone de probabilitate;
• densitățile de reparti ție marginal ă, pentru cele dou ă variabile aleatoare
din componen ță vectorului aleatoriu, prin intermediul a dou ă
histograme.

120130140150160170180190
1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5

Acest grafic de densitate de reparti ție oferă informații în ceea ce prive ște
probabilitatea de apari ție, în acela și timp, al unor valori pentru cele dou ă variabile
aleatoare. Astfel, este „pu țin probabil” ca variabila 1 (reprezentat ă pe orizontal ă) să
ia valori în jur de 2,5 și, în acela și timp, variabila 2 (reprezentat ă pe vertical ă) să ia
valori în jur de 140. In schimb, es te „mai probabil” ca variabila 1 s ă ia valori în jur
de 3,5 și, în acela și timp, variabila 2 s ă ia valori în jur de 155.
Un alt aspect important, în ceea ce prive ște vectorii aleatori, se refer ă la
conceptul de reparti ție condiționată a unei componente a vectorului în raport cu o
altă component ă a acestuia.

Page 23 Să presupunem c ă se cunoa ște câmpul de probabilitate corespunz ător unui
experiment care implic ă rezultatele unei variabile aleatoare bidimensional ă
()2 1,XX X= și se urmărește analiza probabilit ăților evenimentului A X∈1 dat
fiind faptul c ă B X∈2 . Acest aspect poate fi an alizat prin intermediul funcției de
densitate de reparti ție condiționată a componentei 1 a vectorului în raport cu
componenta 2 a acestuia. Aceasta este o func ție cu valori reale, R R fXX→:
2 1| și
se poate determina utilizând func ția de densitate a întregului vector și funcția de
densitate marginal ă a componentei 2, respectiv ()()
()22 1
2 1 |
22 1,|xfxxfxx f
XX
XX = . De
asemenea, se poate defini și funcția de reparti ție condiționată a componentei 1 a
vectorului în raport cu co mponenta 2, ca fiind o func ție R R FXX→:
2 1| , unde
() ( )∫
∞−=1
2 1 2 1 2 | 2 1 | | |x
XX XX duxu f xx F .
Noțiunea de reparti ție condiționată dintre dou ă variabile aleatoare, sau
echivalent între dou ă componente ale unui vector aleator, poate fi utilizat ă și pentru
definirea, într-o manier ă intuitivă, a conceptului de independen ță a două variabile
aleatoare. Astfel, dac ă variabila aleatoare X1 este independent ă de variabila
aleatoare X2, atunci este evident c ă informația suplimentar ă generată de apari ția
unei realiz ări a variabila X2, nu poate aduce nici o îmbun ătățire în ceea ce prive ște
cuantificarea posibilit ății de apari ție a unei realiz ări a variabilei aleatoare X1.
Astfel, în acest caz, rezult ă că ()()1 2 1 |1 2 1| xf xx fX XX = . Mai exact, dou ă variabile
aleatoare X1 și X2 se numesc independente dacă ()()( )2 1 2 12 1, xfxf xxfX X X= .
Variabile aleatoare nX XX ,…,2 1 se numesc i.i.d. (independente și identic
distribuite) dacă sunt independente și
nX X X F F F === …
2 1.

Page 24 1.3 Statistici descriptive
In Eviews , opțiunea Histogram and Stats afișează distribuția de frecven ță
a seriei analizate sub forma unei histogram e. Histograma împarte diametrul seriei
(i.e. distanța între valorile maxime și minime), în mai multe intervale de lungime
egală și afișează numărul de observa ții care se încadreaz ă în fiecare interval.
Lângă histogram ă sunt afișate o serie de statistici descriptive , care numere
care oferă o imagine de ansamblu asupra distribu ției seriei analizate.
• Mean reprezint ă media seriei de date, ob ținută prin însumarea tuturor
valorilor și împărțirea la num ărul de observa ții.
• Median reprezint ă mediana seriei de date, definit ă ca fiind valoarea din
mijlocul seriei atunci când valorile aces teia sunt ordonate în ordine cresc ătoare.
Mediana este o m ăsură robustă a „tendin ței centrale”, fiind mai pu țin sensibil ă față
de valori aberante decât media.
• Max și Min reprezint ă valoarea maxim ă și, respectiv, minim ă înregistrat ă
de serie pentru e șantionul curent.
• Std. Dev. reprezint ă abaterea standard, care, a șa cum s-a mai discutat,
este o măsură a dispersiei sau a „împr ăștierii” valorilor seriei fa ță de medie.

Page 25
• Skewness este o m ăsură a asimetriei func ției de densitate de reparti ție a
seriei în jurul valorii sale medie. Acest indicator se dup ă formula:
∑
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=N
iiyy
NS
11
σ
unde σ este un estimator pentru abater ea standard. Statistica skewness
pentru o distribu ție simetric ă, cum ar fi distribu ția normal ă, este întotdeauna zero.
O valoare pozitiv ă semnific ă faptul că distribuția are „coada” din partea dreapt ă
mai lungă, iar o valoare negativ ă implică faptul că distribuția are „coada” din
partea stâng ă mai lung ă.
• Kurtosis este o m ăsură a amplitudinii func ției de densitate, a aplatiz ării
acesteia în raport cu func ția de densitate a distribu ției normale. Aceast ă statistică se
calculează după formula:
∑
=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛−=N
iiyy
NK
141
σ
Valoarea acestei statistici pentru o serie distribuit ă normal este 3. Dac ă
statistica înregistreaz ă o valoare mai mare decât 3, se spune c ă distribuția este
leptokurtic ă, iar dacă are o valoare mai mic ă decât 3, distribu ția este platikurtic ă.

Page 26
2 Noțiuni privind stat istica matematic ă
În acest capitol, ne vom îndrepta aten ția asupra unor concepte și metode
care sunt legate în mod expl icit de problema de inferen ță statistică. Instrumentele
teoriei probabilit ăților, prezentate în capito lul precedent, se utilizeaz ă, în principal,
la analiza unor întreb ări precum: "Având în vedere un câmp de probabilitate, ce se
poate deduce despre caracter isticile rezultate ale unui experiment?'' Pe de alt ă parte
însă, inferența statistic ă va analiza aceast ă întrebare dintr-o alt ă perspectiv ă:
"Având în vedere caracteristicile rezult atelor unui experiment, ce putem deduce
despre câmpul de probabilitate ca re a generat aceste rezultate?".
Termenul de inferență statistică se referă la procesul inductiv de generare
de informa ții cu privire la caract eristicile un ei popula ții din lumea real ă sau unui
proces, prin analizarea unui e șantion de obiecte, de rezultate din cadrul popula ției
respective sau al procesului re spectiv. Problemele de inferen ță statistică implică
analiza unor observa ții legate de e șantioane privind o popula ție sau un proces, dar
care, în cele din urm ă, conduce la concluzii în ceea ce prive ște caracteristicile
întregii popula ții.
2.1 Comportamentul asimptotic al variabilelor aleatoare
În cadrul acestei sec țiuni se analizeaz ă o serie de rezultate referitoare la
caracteristicilor func țiilor care depind de n variabile aleatoare atunci când n este
mare. În anumite cazuri, anumite tipuri de func ții care depind de n variabile
aleatoare pot converge în diverse moduri c ătre o constant ă, sau către o distribu ție
„limită”. Exist ă o serie de motive care induc importan ța studiului
"comportamentului asimptotic" al unei se rii de variabile aleatoare. În practic ă,
astfel de func ții care depind de n variabile aleatoare sunt utilizate pentru estimarea
parametrilor unui model macro-econometric sau pentru testarea ipotezelor. In acest

Page 27 caz, n reprezint ă numărul de observa ții disponibile referitoar e la experimentul care
este analizat.
Pentru a putea evalua și compara propriet ățile acestor proceduri statistice, și
chiar pentru a putea defini metode de estim are sau de testare a ipotezelor statistice
este necesar s ă se stabileasc ă caracteristicile unei func ții care depinde de un num ăr
mare de variabile aleatoare. Din p ăcate, deseori în practica statistic ă și
econometric ă se întâmpl ă ca densitatea de probabilitate real ă a unei astfel de
combinații să fie prea dificil de determinat în forma analitic ă. Teoria asimptotic ă
identifică metode care furnizeaz ă aproxim ări potrivite ale distribu ției de
probabilitate atunci când n este suficient de mare, și, prin urmare ofer ă, de
asemenea, un mijloc de evaluare, comparare, precum și de definire a diverse
proceduri de inferen ță statistică.
O diferen ță fundamental ă între o serie de numere reale și o serie de
variabile aleatoare se refer ă la faptul c ă elementele din cea de a doua serie cuprinde
variabile aleatoare care pot luat diverse valori în mul țimea numerelor reale. Având
în vedere c ă seria este aleatoare, întreb ările referitoare la convergen ță și mărginire
nu pot fi verificate ca fiind f ără echivoc adev ărate sau false, a șa cum se întâmpl ă în
cazul unui șir de numere reale, dar lor li se poa te atribui o probabilitate de apari ție,
în contextul câmpului de probabilitat e asociat evenimentului analizat.
Conceptul de convergen ță în distribu ție analizeaz ă dacă șirul de func ții de
repartiție asociat șirului de variabile al eatoare converge sau nu c ătre o func ție de
repartiție limită. În multe cazuri de interes practic, convergen ța în distribu ție poate
fi, de asemenea, caracterizat ă în termeni de convergen ță a unei serii de func ții de
densitate c ătre o func ție de densitate limit ă. Utilitatea conceptului rezid ă în
capacitatea de a ob ține o aproximare a func ției de reparti ție sau de densitate, atunci
când n este suficient de mare (unde "suficient de mare" înseamn ă că funcțiile de
repartiție asociate variabilelor din șir CDF sunt „aproape” func ția de reparti ție
limită). O astfel de aproximare este extrem de util ă atunci când formula analitic ă a
funcției de reparti ție/densitate este foarte dificil, sau imposibil, de determinat, îns ă

Page 28 aproximarea oferit ă de funcția de reparti ție limită este mai u șor de definit sau
analizat.
În sensul cel mai general al termenului, o distribuție asimptotic ă pentru o
funcție care depinde de n variabile aleatoare este o distribu ție, care ofer ă o
aproximare a distribu ției reale a acestei func ții atunci când n este mare ( i.e. tinde la
infinit). În acest caz, dac ă șirul are o distribu ție limită, deoarece aceast ă distribuție
limită poate fi interpretat ă ca o aproximare a distribu ției reale a func ției pentru n
mare, distribu ția limită poate fi considerat ă ca fiind o distribu ție asimptotic ă a
funcției respective, ce depinde de un num ăr mare de variabile aleatoare.
Conceptul de convergen ță în probabilitate invocă întrebarea dac ă
rezultatele variabilelor aleatoare din cadrul șirului sunt aproape de rezultatele unei
variabile aleatoare „limit ă”, cu grad ridicat de probabilitate, atunci când n este
suficient de mare. În caz afir mativ, rezultatele pentru aceast ă variabilă aleatoare
„limită” pot servi ca o aproximare a rezulta telor variabilei aleatoare din cadrul
șirului, pentru n suficient de mare.
Celelalte dou ă tipuri de distribu ții prezintă o importan ță mai mică în analiza
econometric ă și, ca urmare, nu vor fi an alizate în profunzime.
Fie () P,,FΩ un câmp de probabilitate și ()nnX variabile aleatoare i.i.d.
cu [][] ,nn EX Xμσσ== . Teorema numerelor mari se refer ă la convergen ța
șirului format din media aritmetic ă a n variabile aleatoare i.i.d. Mai precis,
teorema numerelor mari este reflectat ă în formula .
12 …p
n XX X
nμ+++→ . De
asemenea, se poate ob ține o caracterizare în ceea ce prive ște modul de convergen ță
al seriei formate din media aritmetic ă a n variabile aleatoare i.i.d. Acest lucru este
descris de teorema limit ă centrală, respectiv ()12
d…
0,1n XX X
n
nμ
σ+++−
→Φ . In
mod echivalent, teorema limit ă centrală arată faptul c ă șirul studiat are o

Page 29 distribuție asimptotic ă descris ă de c ătre o distribu ție normal ă,
2
12 …~,a
n XX X
nnσμ⎛⎞ ++ +Φ⎜⎟⎝⎠.
Distribuția normal ă este des întâlnit ă în inferen ța statistic ă. O variabil ă
aleatoare distribuit ă normal cu medie 0 și varianță 1 se spune c ă are o distribuție
normală standard . Alte distribu ții întâlnite în analiza asimptotic ă a variabilelor
aleatoare sunt distribuția 2χ (citit hi p ătrat) și distribuția Student sau t. Valorile
funcțiilor de reparti ție pentru toate aceste distribu ții se pot ob ține din tabele
specializate care se g ăsesc în cărțile de statistic ă și econometrie, sau pot fi calculate
cu ajutorul programului Eviews .
In acest moment, cititorul se poate întreba de ce problema particular ă
privind convergen ța în distribu ție sau în probabilitate, definite mai sus, merit ă o
astfel de aten ție în mod explicit. R ăspunsul este dat de faptul c ă un număr mare de
proceduri de estimare a parametrilor și de testare a ipotezelor în econometrie și
statistică sunt definite ca func ții de variabile aleatoare.
2.2 Estimatori statistici
Problema de estimare examinat ă în aceast ă secțiune se concentreaz ă asupra
estimării, determin ării valorii unor parametri necunoscu ți sau a unor func ții care
depind de ace ști parametri, și care reprezint ă caracteristici de interes legate de
câmpul de probabilitate asociat unui set de experimente din domeniul economic,
sociologic sau al științelor naturale. Rezultate le generate de aceast ă colecție de
experimente se presupun a fi rezultatele unui e șantion aleator, cu o func ție de
densitate de reparti ție care depinde de un parametru, a c ărei valoare nu este
cunoscută, dar care se dore ște a fi determinat ă. Trebuie men ționat, că eșantionul
aleator nu trebuie s ă fie o colec ție de variabile aleatoare i.i.d. Obiectivul
procedurilor de estimare statistic ă constă în determinarea unei combina ții între
variabilele aleatoare din e șantion ( i.e. o funcție care depinde de acestea) care s ă

Page 30 posede o serie de propriet ăți și care să îl facă util pentru a deduce caracteristicile de
interes necunoscute.
Un model statistic pentru un e șantion aleatoriu const ă într-o func ție de
densitate de reparti ție a eșantionului care depinde de un parametru care poate lua
valori într-un spa țiu bine determinat, acesta definind setul de poten țiali candida ți
pentru densitatea adev ărată a eșantionului. Modelul statistic prezint ă contextul
probabilistic în care are loc pr ocedura de estimare parametric ă. Odată ce modelul
statistic a fost specificat, centrul de interes cade pe es timarea valorilor unor (sau
tuturor) parametri, sau pe estimarea valorilor unor func ții care depind de parametrii
problemei.
O statistică reprezint ă o funcție care depinde de va riabilele aleatoare din
cadrul modelului statistic analiz at. Trebuie subliniat faptul c ă, fiind o combina ție
de variabile aleatoare, o statistic ă este la rându l ei o variabil ă aleatoare. Ca urmare,
o statistic ă este caracterizat ă printr-o func ție de reparti ție, printr-o func ția de
densitate de reparti ție și i se poate calcula media și varianța.
Un estimator este o statistic ă utilizată cu scopul de a estima parametrul sau
vectorul de parametri asociat modelului statistic de interes. Deci, estimatorul este
o variabil ă aleatoare . O realizare a acestei variabile aleatoare, ob ținută pentru un
set specific de date, poart ă numele de estimare a parametrului respectiv. Fiind o
variabilă aleatoare, un estimator es te caracterizat de o func ție de densitate de
repartiție și de o func ție de reparti ție, iar unui estimator i se poate calcula media și
varianța. Abaterea medie p ătratică a unui estimator poart ă numele de eroarea
standard ( en. standard error) asociată estimatorului.
Determinarea de estimatori „buni” constituie unul din obiectivele
statisticii matematice și, în special, al econometri ei. Estimatorii sunt compara ți pe
baza unei serii de cara cteristici. Propriet ățile de tip „small sample” sunt acele
proprietăți valabile indiferent de m ărimea eșantionului disponibil. Propriet ățile de
tip „large sample” sunt valabile asimptotic, adic ă în cazul în care m ărimea
eșantionului este foarte mare, tinzând la infinit. În acest caz, estimatorii sunt

Page 31 comparați pe baza distribu ției lor asimptotice. Un estimator nedeplasat are
proprietatea c ă media sa este egal ă cu valoarea real ă a parametrului care se dore ște
estimat. Proprietatea de nedeplasare este o proprietate de tip „small sample”. Un
estimator consistent are proprietatea c ă acesta converge în probabilitate c ătre
valoarea real ă a parametrului. Proprietatea de consisten ță este o proprietate de tip
„large sample”. In general, se consider ă că un estimator este „bun” dac ă este
consistent . Estimatorii, a șa cum s-a mai precizat, sunt variabile aleatoare și, ca
urmare, acestora li se poate calcula varian ța. Dintre doi estimatori care sunt „buni”,
adică sunt consisten ți, este „mai bun” estimatorul cu varian ță mai mic ă.
Estimatorul care este car acterizat prin faptul c ă are cea mai mic ă varianță, în cadrul
unei clase de estimatori ai aceluia și parametru, poate fi considerat „cel mai bun”
estimator și poartă denumirea de estimator eficient .
Există o serie de metode de estimare statistic ă care genereaz ă estimatori
„buni” (i.e. nedeplasa ți și/sau consisten ți), dintre care men ționăm MLE (Maximum
Likelihood Estimation), GMM (Generalized Method of Moments) și LS (Least
Squares). De exemplu, parametrii unei ecua ții de regresie pot fi estima ți, în mod
consistent, prin una din aceste metode, în func țiile de setul de ipoteze de la care se
pornește. Trebuie men ționat faptul c ă MLE este singura metod ă de estimare care
asigură obținerea „celor mai buni” es timatori (i.e. consisten ți și eficienți).
2.3 Teste statistice
Al doilea grup important de proceduri de inferen ță statistică se referă la
testarea ipotezelor statistice. Pr ocedurile de testare se bazeaz ă pe construirea unei
statistici pe baza unui e șantion, care va permite analistului s ă decidă, cu o
probabilitate rezonabil ă, dacă datele din e șantion ar fi fost generate de un proces
care este caracterizat de o anumit ă proprietate testat ă. Procedura implic ă o
specificare a acestei ipoteze, denumit ă, de obicei, ipoteza nul ă, precum și a unei
ipoteze alternativ e, notate conven țional cu 0H și, respectiv 1H. Procedura de
testare în sine const ă în determinarea unei reguli, bazat ă pe calculul unei statistici,

Page 32 care dicteaz ă dacă ipoteza nul ă ar trebui s ă fie respins ă sau nu. De exemplu,
ipoteza nul ă ar putea fi c ă un parametru este egal cu o valoare specificat ă. O
posibilă regulă de decizie poate afirma c ă ipoteza trebuie s ă fie respins ă în cazul în
care o estimare a acestui parametru este „prea departe” de aceast ă valoare
specificat ă. Insă regula, procedura de testare nu este infailibil ă, putând genera erori.
Există două tipuri de erori care pot ap ărea atunci când se efectueaz ă un test
statistic:
• eroarea de tip I – procedura de testare respinge ipoteza nul ă a testului,
atunci când aceasta, în r ealitate, este adev ărată;
• eroarea de tip II – procedura de testare accept ă (nu respinge) ipoteza
nulă a testului, atunci când aceasta, in realitate, este fals ă;
Nivelul de semnifica ție al unui test statisti c este probabilitatea ca
procedura de testare s ă respingă ipoteza nul ă a testului, atunci când aceasta este
adevărată sau, altfel spus, reprezint ă probabilitatea de apari ție a unei erori de tip I.
Nivelul de semnifica ție marginal ă a unui test se nume ște p-value . Având la
dispoziție p-value asociat unui test , se poate spune rapid dac ă se respinge sau se
acceptă ipoteza nul ă. In cazul marii majorit ăți a testelor puse la dispozi ție de către
EViews, acesta calculeaz ă p-value și astfel interpretarea rezultatelor testului
respectiv este relativ simpl ă.
Eviews pot fi utilizat pentru a realiza te ste statistice privind media, mediana
și varianța unei serii de date. Se selecteaz ă View/Descriptive Statistics &
Tests/Simple Hypothesis Tests și se va afișa căsuța de dialog Series Distribution
Tests .
Opțiunea Mean Test efectueaz ă un test care are ca ipotez ă nulă că media
seriei (μ) este egal ă cu o valoare specificat ă m, iar ca ipotez ă alternativ ă că media
nu este egal ă cu m:
01: , :Hm Hmμ μ = ≠

Page 33 Dacă nu se specific ă deviația standard a seriei ana lizate, care de obicei nu
este cunoscut ă, EViews raporteaz ă o statistic ă t calculat astfel:
Xmts
N−=
unde X reprezint ă media de selec ție a eșantionului, s este un estimator
nedeplasat pentru devia ția standard a e șantionului și N este numărul de observa ții
în cadrul e șantionului.

Dacă X este normal distribuit, sub ipoteza nul ă, statistica t urmează o
distribuție Student-t cu N-1 grade de libertate. Chiar și în cazul în care X nu are o
distribuție normal ă, se poate realiza testarea ipotezei respective, deoa rece statistica
t are o distribu ție asimptotic ă normală standard, putându-se vorbi în acest caz de un
test z.
Pentru a efectua un test de medie, se testeaz ă valoarea mediei sub ipoteza
nulă în câmpul editabil Mean . Dacă se dorește calcularea statisticii condi ționate
pentru o deviere standard cunoscut ă, de asemenea, se testeaz ă o valoare pentru
abaterea standard în câmpul de editare corespunz ător. Valoarea probabilit ății
raportate este de fapt un p-value, sau nivelul de semnifica ție marginal fa ță de
ipoteza alternativ ă. Dacă această valoare a probabilit ății este mai mic ă decât
nivelul de semnifica ție fixat testului, s ă spunem 5%, vom respinge ipoteza nul ă.

Page 34 Un alt test des întâlnit în practic ă este testul Jarque-Bera utilizat pentru a
verifica dac ă o serie de date este distribuit ă normal. Ipoteza nul ă a acestui test
constă în faptul c ă seria este normal distribuit ă. Statistica este o m ăsură a distanței
dintre indicatorii Skewness și Kurtosis ai seriei analizate fa ță de cele ale distribu ției
normale. Statistica se calculeaz ă astfel:
()2
2 3
64K NJB S⎛⎞−⎜⎟=+⎜⎟⎝⎠
unde S este indicatorul Skewness, iar K este indicatorul Kurtosis. Sub
ipoteza nul ă a unei distribu ții normale, statistica Jarque-Bera este distribuit ă 2χ cu
2 grade de libertate.
In Eviews , pentru a efectua un test Jarque-Bera, se alege op țiunea
Histogram and Stats .

Probabilitatea raportat ă reprezint ă p-value asociat testului, adic ă este
probabilitatea ca stat istica Jarque-Bera s ă depășească (în valoare absolut ă),
valoarea observat ă sub ipoteza nul ă. O valoare „mic ă” pentru p-value indic ă
respingerea ipotezei nule c ă seria are o distribu ție normal ă.

Page 35
3 Modelul clasic de regresie liniar ă
Modelul clasic de regresie liniar ă reprezint ă una dintre tehnicile statistice
cele mai versatile și mai des utilizate în analiza economic ă, și nu numai. In
continuare, sunt descrise și analizate tehnicile de regresie puse la dispozi ție de către
programul econometric Eviews : specificarea și estimarea unui model de regresie,
efectuarea de analize simple de diagnostic și utilizarea rezultatelor estim ării în
analize suplimentare.
3.1 Ipotezele modelului clasic de regresie
Modelul clasic de regresie liniar ă presupune o ca sunt î ndeplinite o serie de
ipoteze. Validitatea rezultatelor unei regresii este strâns legata de validitatea ipotezelor presupuse.
Ipoteza 1 (I1) . Intre variabila dependent ă (y) și variabila independent ă (x)
există o relație liniară. Insă, datorită faptului c ă pot exista și alți factori de
influență, această relație nu este determinist ă ci are loc „în medie”. Factorii care nu
au fost lua ți în considerare, în mod explicit, î și manifest ă influență prin intermediul
unei variabile reziduale, ε. Astfel, modelul presupune c ă există următoarea rela ție:
i i i x y εββ++=1 0
Ipoteza 1 este o ipotez ă fundamental ă, fără îndeplinirea c ăreia nu se poate
discuta despre un model liniar de regresie.
In cazul în care se utilizeaz ă mai mul ți factori de influen ță, folosind o
notație matricial ă, o ecuație de regresie liniar ă (multidimensional ă) poate fi scris ă
sub forma:
εβ+=Xy
unde y este un vector N-dimensional care con ține observa țiile privind
variabila dependent ă, X este o matrice de dimensiune N x K cu variabile

Page 36 independente sau explicative, β este un vector K dimensional al coeficien ților de
regresie și ε este un vector N dimensional reprezentând inova țiile asociate
ecuației, adică aceea component ă din dinamica variabilei dependente care nu este
captată de către cele K variabile independente. N reprezint ă numărul de observa ții,
iar K este num ărul de regresori (variabile explicative) din partea dreapt ă a ecuației.
Ipoteza 2 (I2) . Variabila explicativ ă, x, este exogenă, în sensul c ă nu este
corelată cu variabila rezidual ă:
()0 ,=i ix COVε .
Ipoteza 2 este o ipotez ă esențială, ne-îndeplinirea acesteia conducând la
invalidarea a multe rezultate privind modelul liniar de regresie și generând a șa
numita „problem ă de endogenitate” care va fi analizat ă în cadrul Capitolului 5.
Ipoteza 3 (I3) . Variabilele reziduale, cunoscute și sub denumirea de
reziduuri, inova ții sau erori, sunt „sferice” , adică sunt homoskedastice și nu sunt
autocorelate. Homoskedasticitatea se refer ă la faptul c ă toate variabilele reziduale
care apar au aceea și varianță:
()2σε=i VAR .
Lipsa autocorel ării se refer ă la faptul c ă oricare dou ă variabile reziduale nu
sunt corelate:
()0 ,=j i COVεε .
Ipoteza 3 este o ipotez ă important ă, ne-îndeplinirea ace steia conducând la
invalidarea a unor rezu ltate privind modelul liniar de regresie și generând a șa
numitele „problem ă de heteroskedasticitate” și „problem ă de autocorelare”
care vor fi analizate în cadrul Capitolului 4.
Ipoteza 4 (I4) . Variabilele reziduale au o distribuție normal ă.
Ipoteza 4 este o ipotez ă mai puțin important ă decât celelalte trei ipoteze
analizate. Ne-îndeplinirea acesteia nu conduce la invalidarea rezultatelor
importante privind estimare și inferența modelului liniar de regresie.

Page 37 3.2 Estimatorul OLS
Estimatorul OLS presupune minimizarea distan tei dintre valoarea efectiv ă
a variabilei dependente si cea presupusa de c ătre relația liniară care exist ă între
aceasta și variabila explicativ ă. Altfel spus, metoda „celor mai mici p ătrate”
presupune faptul c ă parametrii modelului se determin ă astfel încât sa se
minimizeze distan ța dintre norul de puncte reprezentat de observa țiile efective și o
dreaptă care aproximeaz ă cel mai bine rela ția dintre variabila dependent ă și cea
independent ă.
Ca orice estimator, estimatorul OLS este o variabil ă aleatoare, o procedur ă
de determinare a valorilor parametrilor modelului liniar de regresie. Propriet ățile
estimatorului OLS depind de gr adul de îndeplinire a ipot ezelor modelului clasic de
regresie.
Dacă sunt îndeplinite ipotezele I1, I2, I3, I4 estimatorul OLS este „cel
mai bun” estimator posibil, în sensul c ă este consistent și eficient . De asemenea,
acesta are o distribuție normal ă.
Dacă sunt îndeplinite doar ipotezele I1, I2, I3 estimatorul OLS este, în
continuare, un estimator „bun”, dar nu mai este „cel mai bun” estimator posibil, în
sensul că este consistent, dar nu este eficient . De asemenea, în aceste condi ții,
estimatorul OLS are o distribuție asimptotic normal ă.
Estimarea unei ecua ții de regresie se realizeaz ă în Eviews cu ajutorul unui
obiect de tip equation . Pentru a crea un astfel de obiect trebuie s ă selectați
Object/New Object…/Equation sau Quick/Estimate Equation… din meniul
principal. În continuare, va fi afi șată caseta de dialog Equation Estimation . In
cadrul acestei casete de dialog este necesar ă precizarea a trei aspecte: specifica țiile
ecuației, metoda de estimare și eșantionul care urmeaz ă să fie utilizat în estimare.

Page 38

Cea mai simpl ă modalitate de a specifica o ecua ție liniară de regresie, este
de a preciza lista variabilelor care se doresc a fi utilizate în ecua ție. În primul rând,
trebuie să includă numele variabilei dependente, urmat ă de o list ă a variabilelor
explicative. Având specificat ă ecuația, în continuare trebuie aleas ă o metod ă de
estimare. Prin ap ăsarea pe lista de op țiuni Method se va observa un meniu list ă cu
metode de estimare. In cadrul modelului clasic de regresie estimarea se realizeaz ă
cu ajutorul metodei celor mai mici p ătrate (OLS). Alte metode de estimare vor fi
analizate în capitolele ulterioare. Eviews oferă o serie de op țiuni de estimare.
Aceste op țiuni permit estimarea ecua ției, mai exact de calculul de erori standard
care sunt robuste fa ță de abaterile ipotezelor modelu lui clasic, abateri legate de
existența heteroskedasticit ății și/sau a autocorel ării inovațiilor. Aceste op țiuni de
estimare a erorilor standard sunt discutate în capitolul urm ător. Prin ap ăsarea
butonului din c ăsuța de dialog Equation Estimation , Eviews afișează o fereastr ă
care conține un ecran cu rezultatele estim ării:

Page 39

Coloana denumit ă Coefficient descrie coeficien ții estimați. Estimatorul
OLS pentru coeficien ții ecuației de regresie este calculat prin formula:
() yX XX b ′′=−1
Coloana denumit ă Variable precizeaz ă numele variabilei c ăreia îi
corespunde paramerul din coloana al ăturată.
Fiecare parametru astfel estimat m ăsoară contribuția marginal ă a variabilei
independente respective asupra variabilei dependent ă, în condi țiile în care toate
celelalte variabile explicative nu î și modific ă valorile. Daca este prezent,
coeficientul asociat variabilei denumit ă C este, de fapt, constanta din ecua ția de
regresie, reprezentând nivelul mediu al variabilei dependente atunci când toate
variabile independent e sunt zero. Ceilal ți parametrii pot fi interpreta ți ca fiind
indicatori de senzitivitate ai rela ției dintre variabila independent ă corespunz ătoare
și variabila dependent ă, presupunând c ă valorile tuturor celorlalte variabile nu se
modifică.

Page 40 3.3 Inferența statistic ă a modelului clasic de regresie
Coloana denumit ă Std. Error prezintă erorile standard estimate ale
estimărilor coeficien ților ecua ției de regresie. Erorile standard măsoară
fiabilitatea statistic ă a estimării unui parametru – cu câ t sunt mai mari erorile
standard, cu atât este mai mult „zgomot statistic” în estim ări. Matricea de varian ță-
covarianța a coeficien ților estima ți, în cazul estimatorului OLS, se calculeaz ă
astfel:
()()1 2 −′= XXsb COV , ()KN s −′= /ˆˆ2εε , Xby−=εˆ
unde εˆ reprezint ă reziduul ecua ției. Erorile standard ale coeficien ților
estimați sunt rădăcinile pătrate ale elementelor de pe diagonala matricei de
varianță-covarian ță a coeficien ților. Întreaga matrice de varian ță-covarian ță se
poate vizualiza prin utilizarea op țiunii View/Covariance Matrix .
Coloana denumit ă t-statistic prezintă statistica testului t care se calculeaz ă
ca raportul dintre m ărimea coeficientul estimat și eroarea sa standard și este utilizat
pentru a testa ipoteza nul ă că respectivul coeficient este egal cu zero . Pentru a
interpreta valoarea statisticii t, trebuie s ă se examineze probabilitatea de a observa
această valoarea a statisticii având în vedere c ă respectivul coeficient este, în
realitate, egal cu zero. Aceast ă probabilitate este descris ă în continuare.
Ultima coloan ă a ecranului cu rezultate, numit ă Prob. , prezint ă
probabilitatea de a ob ține o valoare teoretic ă a statisticii t la fel de mare în modul
ca cea observat ă în urma calcul ării acesteia pentru e șantionul considerat. Calculul
acestei probabilit ăți se realizeaz ă plecându-se de la ipoteza c ă erorile sunt normal
distribuite sau c ă estimatorul considerat are o distribu ție asimptotic ă normală. De
exemplu, în cazul în care inova țiile sunt distribuite nor mal, statistica t are o
distribuție de tip Student-t cu N-K grade de libertate.
Această probabilitate este, de asemenea, cunoscut ă sub numele de p-value
și reprezint ă nivelul de semnifica ție marginal ă a testului. Având la dispozi ție p-
value asociat acestui test, se poate spune rapid dac ă se respinge sau se accept ă

Page 41 ipoteza nul ă conform c ăreia coeficientul este zero, fa ță de ipoteza alternativ ă care
presupune c ă parametrul este diferit de la zero. De exemplu, dac ă se dorește
efectuarea testului la un nivel de semnifica ție de 5%, un p-valoare mai mic de 5%
poate fi considerat o dovad ă pentru a respinge ipoteza nul ă conform c ăreia
paramerul respectiv este zero.
Statistica R-squared măsoară „succesul” cu care ecua ția de regresie
estimată reușește să explice valoarea variabilei dependente în cadrul e șantionului.
În mod normal, aceast ă statistică poate fi interpretat ă ca fracțiunea din varian ța
variabilei dependente explicat ă de variabilele independente. Statistica este egal ă cu
1 în cazul în care ecua ția de regresie se potrive ște perfect și zero în cazul în care nu
se potrive ște mai bine decât medi a variabilei dependente.
O problem ă majoră în ceea ce prive ște utilizarea statisticii R-squared , ca o
măsură a “potrivirii” modelului la datele disponibile, se refer ă la faptul c ă valoarea
acestei statistici nu scade niciodat ă pe măsură ce se adaug ă mai mul ți regresori.
Astfel, în cazuri extreme, se poate ob ține o statistic ă egală cu 1 dacă se includ atât
de mulți regresori independen ți, câte observa ții sunt în e șantion. Statistica
Adjusted R-squared reprezint ă o alternativ ă, aceasta având avantajul c ă
“penalizeaz ă” adăugarea de regresori care nu cont ribuie la puterea explicativ ă a
modelului. Astfel, aceast ă statistică poate sc ădea pe m ăsură ce sunt ad ăugați
regresori, iar pentru modelele pentru car e “potrivirea” la date nu este foarte bun ă,
poate fi chiar negativ.
Statistica Durbin-Watson reprezint ă o măsură a corela ției seriale a
reziduurilor. Ca o regul ă desprins ă din experien ță, în cazul în care DW are o
valoare mai mic ă de 2, exist ă dovezi de corela ție serială pozitivă. Există teste mai
puternice pentru analiza existen ței corelației seriale în reziduurile ecua ției de
regresie, cum ar fi testul Q, precum și testul Breusch-Godfre y, ambele oferind un
cadru de testare mai general decât testul Durbin-Watson.
Criteriul informa țional Akaike ( Akaike Information Criterion – AIC) este
adesea folosit în selec ția între dou ă modele estimate pentru acela și set de date.

Page 42 Astfel, modelele caracterizate prin valori mai mici ale AIC sunt de preferat celor
caracterizate de valori mai mari. Schwarz Criterion (SC) reprezint ă o alternativ ă a
criteriului AIC folosit îns ă în același scop.
F-statistic reprezintă statistica asociat ă testului care are drept ipotez ă nulă
că toți coeficien ții din regresie (mai pu țin constanta) sunt ze ro. Valoarea p-value
asociată, notată Prob(F-statistic) , este nivelul de semnifica ție marginal al acestui
test. În cazul în care valoarea p-value este mai mic ă decât nivelul de semnifica ție
testat, să zicem 1%, se respinge ipoteza nul ă conform c ăreia toți coeficien ții sunt
egali cu zero.
În cazul în care regresorii sunt caracteriza ți printr-un grad înalt de
coliniaritate, Eviews poate întâmpina dificult ăți în calculul estimatorului OLS. În
astfel de cazuri, programul va emite un mesaj de eroare, " Near singular matrix ".
Dacă apare acest mesaj de eroare, trebuie verificat dac ă regresorii sunt coliniari.
Regresorii sunt exact coliniari dac ă un regresor poate fi scris ca o combina ție
liniară a altor regresori. In caz de coliniaritate, matricea XX′ nu este inversabil ă și,
astfel, estimatorul OLS nu poate fi calculat.
3.4 Efectuarea de prognoze bazate pe modelul liniar de regresie
Modelul liniar de regresie poate fi ut ilizat pentru realiz area de prognoze cu
privire la variabila dependent ă, dacă se cunosc informa ții privitoare la variabila
explicativ ă. Astfel dac ă se consider ă o entitate pentru care valoarea variabilei
independente este 0x, atunci previziunea cu privire la valoarea variabilei
dependente se poate calcu la utilizând formula:
00
01ˆˆ ˆy xββ=+
unde 0ˆβ și 1ˆβ reprezint ă estimatorii OLS ai parametrilor modelului de
regresie.
Pentru a realiza o prognoz ă în Eviews se utilizeaz ă butonul Forecast din
cadrul unei obiect de tip equation .

Page 43

Eroare de prognoz ă asociată acestei previziuni se poate calcula utilizând
formula:
()()00 0
00 1 1ˆˆ ˆyy x βββ β ε −= − +− +
Varianța erorii de prognoz ă depinde de incertitudinea în ceea ce prive ște
valoarea parametrilor, precum și de incertitudinea în ceea ce prive ște variabila
reziduală. Magnitudinea varian ței erorii de prognoz ă determin ă mărimea
intervalului de încredere asociat unei previziuni.

Page 44 Intervalul de încredere cu probabilit ate de 95% asocia t unei previziuni
punctuale 0ˆypoate fi aproximat prin ( ) 0000
ˆˆˆˆ2, 2yyyyσ σ −+ . Astfel, intervalul de
încredere este simetric, în jurul pr eviziunii punctuale. Abaterea medie p ătratică a
erorii de prognoz ă este dată de formula () () 02 202
01 ˆˆˆ
yse x seε σ ββ σ⎡⎤ =+ +⎣⎦. In
general, datorit ă faptului c ă eroarea standard asociat ă unui parametru este mic ă,
abaterea medie p ătratică a erorii de prognoz ă este influen țată în special de c ătre
abaterea medie p ătratică a variabilei reziduale, adic ă 0ˆyεσσ≈ . Abaterea medie
pătratică a variabilei reziduale se reg ăsește în cadrul unui output Eviews al unei
ecuații de regresie sub denumirea de S.E. of regression .
Se întâmpl ă deseori ca variabila dependent ă unei ecua ții de regresii s ă fie
logaritm natural dintr-o variabil ă economic ă de interes:
()01 lnii iyxββε=++
Astfel dac ă se consider ă o entitate pentru care valoarea variabilei
independente este 0x, atunci previziunea cu privire la logaritm din valoarea
variabilei de interes este:
()00
01ˆ ˆˆ lny xββ=+
unde 0ˆβ și 1ˆβ reprezint ă estimatorii OLS ai parametrilor modelului de
regresie.
Trebuie subliniat faptul c ă obținerea previziunii pentru variabila economic ă
de interes, 0ˆy, nu este o simpl ă transformare exponen țială a previziunii pentru
logaritm din variabila de interes, ()0 ˆlny. Altfel spus ()0ˆln0ˆyye≠ . Formula de
transformare între cele dou ă previziuni depinde de gr adul de îndeplinire al
ipotezelor modelului de regresie. Se poate ar ăta faptul c ă dacă toate cele patru
ipoteze (I1, I2, I3, I4) ale modelulu i liniar de regr esie se respect ă atunci
previziunea pentru variabila de interes este ()0 21
2ˆln0ˆyye eεσ= . Formula prezentat ă

Page 45 anterior nu mai este valabil ă dacă reziduurile modelului nu sunt distribuite normal,
sau altfel spus, dac ă ipoteza I4 nu se respect ă.
Eviews permite efectuarea automat ă de previziuni pentru o variabil ă de
interes chiar și în cazul în care variabila dependent ă a ecuație de regresie estimat ă
este logaritm natural din aceea variabil ă.

Trebuie eviden țiat faptul c ă intervalul de încred ere asociat prognozei unei
variabile de interes, în cazu l în care vari abila dependent ă a regresiei este logaritm
din variabila respectiv ă, nu mai este simetric, a șa cum se poate observa din figura
următoare.

Page 46
4 Abateri de la ipotezele modelului clasic de regresie I
O ipoteză important ă a modelului clasic de regresie este aceea potrivit
căreia inova țiile sunt homoskedastice (i.e. au aceea și varianță) și nu sunt
autocorelate. In lipsa acestei ipoteze esti matorii pentru erorile standard ale
coeficienților din modelul de regresie, calcula ți cu formula clasic ă, nu sunt
consistenți.
4.1 Problema de heteroskedasticitate
Pentru a testa dac ă inovațiile modelului de regresie sunt homoskedastice,
EViews pune la dispozi ție testul White . Ipoteza nul ă a acestui test specific ă faptul
că inovațiile sunt homoskedastice. Statistica testului White presupune construirea a
unei ecua ție de regresie “auxiliar ă”: reziduurile la p ătrat ale ecua ției principale sunt
regresate in func ție de variabilele explicative si p ătratul acestora. Eviews
calculează p-value asociat testului, ca urmare interpretarea rezultatelor acestui test
este relativ simpl ă.
In condițiile existentei heteroskedasticitatii, estimatorul OLS este, în
continuare, consistent, distribuit asimptotic normal , insă erorile standard
calculate pe baza formulei clasice nu sunt corecte și, astfel, testul t bazat pe
aceste erori standard este eronat .
Exista două soluții în ceea ce prive ște “problema heteroskedasticitatii”
• păstram estimatorul OLS, dar “corectam” erorile standard;
• înlocuim estimatorul OLS cu un nou estimator .
Prima solu ție se utilizeaz ă în cazul în care forma heteroskedasticit ății nu
este cunoscut ă, care reprezint ă cazul cel mai frecvent întâlnit în practic ă.
Estimatorul OLS ofer ă estimări consistente ale parametrilor în prezen ța

Page 47 heteroskedasticit ății, dar erorile standard calcul ate utilizând metoda OLS ar fi
incorecte și nu ar trebui s ă fie utilizate pentru inferen ța.
White (1980) a ob ținut un estimator consistent fa ță de heteroskedasticitate a
matricei de varian ță-covarian ță care ofer ă estimări corecte ale erorilor standard ale
parametrilor modelului liniar de regresie în prezen ța heteroskedasticit ății sub form ă
necunoscut ă. Eviews oferă opțiunea de a utiliza estimatorul White pentru erorile
standard („robust standard errors” de tip White) în locul formulei standard
OLS pentru calculul acestora. Astf el, se deschide caseta de dialog Equation
Estimation și se specific ă ecuația ca și mai înainte, apoi se apas ă butonul Options
și s e f a c e c l i c p e c a s e t a d e s e l e ctare a metodei de calcul a covarian ței
Heteroskedasticity Consistent Covariance și apoi se face clic pe op țiunea White .

Cea de a doua solu ție se utilizeaz ă în cazul în care se presupune c ă în ceea
ce privește inovațiile modelului liniar de regresie exist ă heteroskedasticitate sub o
formă cunoscut ă. Mai exact, se face ipoteza c ă există o serie ale c ărei valori sunt
proporționale cu inversele erorilor standard. In aceast ă situație, foarte rar întâlnit ă
în practic ă, există posibilitatea s ă se utilizeze metoda ponderat ă a celor mai mici

Page 48 pătrate (WLS), cu ponderile date de aceast ă serie, pentru a corecta
heteroskedasticitatea. Eviews calculeaz ă estimatorul WLS prin împ ărțirea
ponderilor din serie cu media acestora, înmul țind apoi toate datele pentru fiecare
observație cu aceste ponderi scalate.

Pentru a estima o ecua ție cu ajutorul metodei WL S, se deschide meniul
principal și se selecteaz ă Quick/Estimate Equation…, apoi se alege LS—Least
Squares (NLS and ARMA) din lista mobil ă corespunz ătoare. Se introduce
specificația ecuației și eșantionul în fila Specification , apoi se selecteaz ă fila
Options și se face clic pe op țiunea Weighted LS/TSLS. Se completeaz ă căsuța
Weight cu numele seriei care con ține ponderile.
4.2 Problema de autocorelare
Pentru a testa dac ă inovațiile modelului de regresie sunt autocorelate,
Eviews pune la dispozi ție corelograma , testul Ljung–Box și testul Breusch –
Godfrey.

Page 49 Corelograma reprezint ă o modalitate „vizual ă” de a verifica dac ă există
corelație între valoarea de la momentul t și valoarea de la un mo ment anterior al
variabilei reziduale.
Ipoteza nul ă a testului Ljung–Box specifică faptul că inovațiile nu sunt
autocorelate. Eviews calculeaz ă p-value asociat testului, ca urmare interpretarea
rezultatelor acestui test este relativ simpl ă.
Ipoteza nul ă a testului Breusch – Godfrey specifică faptul că inovațiile nu
sunt autocorelate. Statistica acestui te st presupune construirea a unei ecua ție de
regresie “auxiliar ă”: reziduurile ecua ției principale sunt regresate in func ție de
variabilele explic ative si de “lag -uri” ale reziduuril or. De asemenea, Eviews
calculează p-value asociat acestui test.
In condițiile existentei autocorel ării, estimatorul OLS este, în continuare,
consistent, distribuit asimptotic normal , insă erorile standard calculate pe baza
formulei clasice nu sunt corecte și, astfel, testul t bazat pe aceste erori standard
este eronat .
Exista două soluții în ceea ce prive ște “problema autocorel ării”
• păstram estimatorul OLS, dar “corectam” erorile standard;
• înlocuim estimatorul OLS cu un nou estimator .
Prima solu ție este mult mai des utilizat ă în practic ă, deoarece nu presupune
că forma autocorel ării este cunoscut ă. Estimatorul White pentru matricea de
varianță-covarian ță analizat mai sus presupune c ă reziduurile ecua ției estimate nu
sunt autocorelate. Newey și West (1987) au propus un estimator robust al erorilor
standard mai general care este coerent atât în prezen ța heteroskedasticit ății, cât și a
autocorelării de form ă necunoscut ă a inova țiilor. Pentru a utiliza în Eviews
estimatorul Newey-West pentru erorile standard („robust standard errors”
de tip Newey-West) , se selecteaz ă fila Options din Equation Estimation . Se
apasă caseta Heteroskedasticity Consistent Covariance și se selecteaz ă opțiunea
Newey-West .

Page 50

Cea de a doua solu ție se utilizeaz ă în cazul în care se presupune c ă în ceea
ce privește inovațiile modelului liniar de regresie exist ă autocorelare sub o form ă
cunoscută. In aceast ă situație, foarte rar întâlnit ă în practic ă, există posibilitatea s ă
se utilizeze metoda generalizat ă a celor mai mici p ătrate (FGLS). De exemplu,
Eviews poate utiliza estimatorul FGLS pentru cazul în care reziduurile ecua ției de
regresie au o dinamic ă descrisă de un proces AR(1), un tip de proces analizat pe
larg în Capitolul 6.
In ceea ce prive ște tehnicile de estimare robust ă a erorilor standard , mai
trebuie re ținut faptul c ă:
• utilizarea acestor estim ări robuste pentru matricea de varian ță-covarian ță
nu modific ă estimările parametrilor.
• nu exist ă nici un impediment în comb inarea diferitelor metode de
contabilizare a heteroskedasticit ății sau a corela ției seriale din cadrul inova țiilor.
De exemplu, estimatorul WLS poate fi înso țit de estim ări robuste pentru erorile
standard.

Page 51
5 Abateri de la ipotezele modelu lui clasic de regresie II

O ipoteză fundamental ă a modelului clasic de regresie este aceea potrivit
căreia variabilele din partea dreapt ă (i.e. variabilele explica tive) sunt necorelate cu
inovațiile modelului. Pentru simplitate, se va face referire la variabilele care sunt
corelate cu reziduurile, ca variabile endogene și variabile care nu sunt corelate cu
reziduurile, ca exogene . Dacă această ipoteză este înc ălcată, apare a șa numita
„problem ă de endogenitate” , care este o problem ă majoră întâlnită în practic ă.
Astfel, în condi țiile existen ței endogenit ății, estimatorul OLS nu este “bun” , în
sensul că nu este consistent .
Există o serie de situa ții binecunoscute în care apare problema de
endogenitate:
• din cadrul ecua ției de regresie au fost omise variabile relevante;
• variabile explicative sunt m ăsurate cu erori;
• există variabile determinate e ndogen în partea dreapt ă a ecuației ca în
cazul modelelor cu ecua ții simultane.
Exista două soluții în ceea ce prive ște “problema de endogenitate”
• „corectam” endogenitatea astfel încât estimatorul OLS s ă redevină
„bun”;
• înlocuim estimatorul OLS cu un nou estimator .
Prima solu ție poate fi utilizat ă în cazul în care unul din factorii explicativi
este neobservabil, îns ă se poate utiliza o variabilă „proxy” pentru a aproxima
valoarea acestuia. In practic ă, însă, este mult mai des întâlnit ă a doua variant ă.

Page 52 5.1 Estimatorul TSLS
Abordarea standard în cazurile în care variabilele din partea dreapt ă sunt
corelate cu reziduurile este s ă se estimeze ecua ția de regresie utilizând metoda
variabilelor instrumentale .
Ideea din spatele metodei variabilelor instrumentale este de a g ăsi un set de
variabile, numite instrumente sau variabile instrumentale , care îndeplinesc
următoarele condi ții:
• sunt relevante , adică sunt corelate cu variabilele explicative din ecua ție
• sunt exogene, adică sunt necorelate cu erorile.
Aceste variabile instrumentale sunt utilizate pentru a elimina corela ția
dintre variabilele din partea dreapt ă și inovațiile ecuației de regresie.

Metoda Two-stage least squares (TSLS) reprezint ă un caz special al
metodei variabilelor instrumentale. Dup ă cum sugereaz ă și numele, exist ă două
etape distincte în cadrul TSLS. Prima etap ă implică estimarea unei regresii OLS
pentru fiecare variabil ă din model în func ție de setul de variabile instrumente. A

Page 53 doua etap ă reprezint ă o regresie a ecua ției originale, cu toate variabilele înlocuite
cu valorile rezultate din regresiile din prima etap ă. Coeficien ții acestei regresii sunt
estimatorii TSLS ai parametrilor modelului de regresie.
Pentru a determina estimatorul TSLS, în programul Eviews , se deschide
caseta de specificare a ecua ției prin alegerea op țiunii Object/New
Object…/Equation… sau Quick/Estimate Equation… . Se alege TSLS din lista
mobilă Method, iar caseta de dialog se va modifica pentru a include o caset ă
Instrument list în care tr ebuie introdus ă lista instrumentelor.
Este demn de men ționat că există o serie de reguli în ceea ce prive ște
instrumentele :
• pentru a calcula estimatorul TSLS, trebuie s ă existe cel pu țin la fel de
multe instrumente ca și coeficien ții din ecua ție;
• orice variabil ă explicativ ă care este exogen ă, adică nu este corelat ă cu
variabila rezidual ă, ar trebui s ă fie inclus ă ca variabil ă instrumental ă;
• constanta este întotdeauna un instrument adecvat, astfel încât Eviews o
va adăuga la lista de instrumente.
5.2 Modele cu ecua ții simultane
Există o serie de situa ții în care exist ă simultaneitate între dou ă variabile
economice. De exemplu, in cazul cantit ății de echilibru și al prețului de echilibru
de pe o pia ță oarecare. Teoria economic ă presupune faptul c ă echilibrul pe pia ță se
stabilește la intersec ția dintre func ția de cerere și cea de ofert ă. Funcția de cerere
presupune c ă există o relație inversă între cantitatea cerut ă și preț, iar func ția de
ofertă presupune c ă există o relație directă între cantitatea oferit ă și preț. Insă, nu se
pot observa cantitatea cerut ă și cantitatea oferit ă, ci numai cantitatea de echilibru
de pe piață. Astfel, cantitatea și prețul de echilibru „verific ă” atât ecua ția cererii cât
și ecuația ofertei, formându-se, astfel, un model cu ecua ții simultane .
Un model cu ecua ții simultane prezint ă o formă structural ă, cea presupus ă
de teoria economic ă, în care exist ă simultaneitate între cele dou ă variabile de

Page 54 interes, 1y și 2y, fiecare din cele dou ă variabile fiind la rândul lor influen țate de
factori exogeni, 1z și, respectiv 2z:

unde 1u și 2u reprezint ă reziduurile structurale ale modelului.
Prin rezolvarea efectiv ă a sistemului de ecua ții simultane, se determin ă
forma redus ă a modelului, fiecare variabil ă de interes, 1y și 2y, fiind exprimat ă
numai în func ție factorii exogeni, 1z și 2z. De exemplu, prin rezolvarea sistemului
de mai sus rezult ă forma redus ă pentru variabila 2y:

unde parametrii 21π și 22π sunt o combina ție (funcție) de parametrii
structurali (i.e. 1α, 2α, 1β și 2β), iar variabila rezidual ă în formă redusă, 2ν este o
combinație (funcție) de reziduurile structurale ale modelului.
Simulaneitatea dintre variabilele 1y și 2y induce endogenitate datorit ă
faptului c ă există corelație între aceste variabile și reziduurile structurale ale
modelului. Mai exact, deoarece se poate ar ăta că ()0 ,1 2≠uy COV , prima ecua ție
din cadrul sistemului de ecua ții simultane nu poate fi estimat, în mod consistent,
prin estimatorul OLS. Datorit ă endogenit ății indusă de către simultaneitate, un
model cu ecua ții simultane trebuie s ă fie estimat prin intermediul estimatorului
TSLS.
Un exemplu clasic în acest sens în constituie sistemul de ecua ții simultane
care apare în cazul analizei pre ț-cantitate pe o pia ță oarecare. Teoria economic ă
presupune existen ța a două ecuații structurale, respectiv ecua ția asociată funcției de
cerere și cea asociat ă funcției de ofert ă.
Având în vedere c ă se pot observa doar cantit ățile și prețurile de echilibru,
forma structural ă a sistemului este dat ă de

Page 55 11
2 d
tt t t
s
tt tqp v
qpαβε
α ε⎧=++ ⎪⎨= + ⎪⎩
Prin rezolvare efectiv ă a sistemului se ob ține forma redus ă a acestuia:
1
21 21
21 12
21 21ds
tt
tt
ds
tt
ttpv
qvεεβ
αα αα
αεα ε βα
αα αα⎧ −=+⎪−−⎪⎨− ⎪=+⎪−−⎩
Se poate ar ăta faptul c ă ()2
21[] , 0ss s
tt t tEp C O V pσεεαα= =− ≠− sau altfel
spus variabila p este „endogen ă” în cadrul ecua ției „de ofert ă”, 2s
tt tqpαε=+ .
Astfel, dac ă se încerc ă estimarea parametrului structural 2α prin estimatorul OLS
rezultatele ob ținute nu sunt corecte deoarece, în aceast ă situație, estimatorul OLS
nu este consistent. Mai exact, se poate ar ăta că 2
22 2
111 p OLS s
pσαααασ⎯⎯→−−.
In mod similar, variabila p este, de asemenea, „endogen ă” în cadrul ecua ției
„de cerere”, 11d
tt t tqp vαβε=++ , deoarece 2
21[] ( , ) 0dd d
tt t tEp C O V pσεεαα= =≠−.
Ca urmarea, estimarea parametrului structural 1α prin OLS nu este consistent ă.
Se pune problema identific ării unei variabile instrumentale care s ă ne
permită estimarea consistent ă a cel puțin unuia dintre parametrii structurali 1α și
2α. Deoarece, variabila v apare în ecua ția structural ă a cererii, dar nu și în ecuația
structural ă a ofertei vom investiga dac ă aceasta este o variabil ă instrumental ă
„bună” pentru variabila p în cadrul ecua ției ofertei. Intr-adev ăr, această variabilă
este
• relevantă, deoarece ()2 1
21[] , [ ] 0tt t tEvp C O V v p Evβ
αα= =≠
• exogenă, deoarece [] [ , ] 0ss
tt t tEv C O Vvεε= =

Page 56 Ca urmare, parametrul structural 2α poate fi estimat în mod consistent
utilizând estimatorul TSLS în care drept variabil ă instrumental ă pentru variabila p
utilizăm variabila v.

Page 57
6 Tehnici de modelare și previzionare a seriilor de timp
unidimensionale
Capitolul de fa ță se axeaz ă pe specificarea și estimarea modelelor cu care se
pot analiza dinamica seriilor de timp unidimensionale. Eviews calculeaz ă diverse
statistici pentru o serie de timp și afișează aceste statistici, în diverse forme, cum ar
fi sub form ă de foaie de calcul, tabel sau grafic. Acestea variaz ă de la afi șarea
graficului seriei respective, pân ă la estimatori ne-paramet rici pentru densitatea
seriei respective, baza ți pe funcții de tip „kernel”. De asemenea, Eviews dispune de
o serie de proceduri care pot fi utilizate pentru a modifica și a analiza seriea
respectivă, cum ar fi diferite metode de ajustare sezonier ă, metode de nivelare
exponențială, precum și tehnici de filtrare statistic ă, dintre care cel mai utilizat în
practică este filtrul Hodrick-Prescott.
6.1 Noțiuni introductive
Unul din principalele co ncepte cu care opereaz ă econometria seriilor de timp
este cel de proces stocastic (aleator). Un proces stocastic este un șir de variabile
aleatoare. Astfel, un proces stocastic este similar unui șir de numere reale, cu
mențiunea că elementele unui proces stocastic nu sunt numere, ci variabile
aleatoare. Intuitiv, un proces aleator poate fi reprezentat prin imaginea unui tren,
care trece prin fa ța unei gări în care se afl ă un observator. Fiecare vagon este
numerotat și conține o persoan ă. Cel care st ă în gară observă la un anumit moment
un singur vagon, luând astfel la cuno ștință de cine este la geam. Observatorul nu
știe cine este la geamul urm ătorului vagon, dar știe cine poate fi și cu ce
probabilitate (variabil ă aleatoare). Știe, de asemenea, cine a fost în vagoanele care
au trecut prin fa ța sa până în prezent. Acestea formeaz ă o observa ție din procesul
aleator. O serie de timp este, de fapt, o realizare a unui proces stocastic. O serie de

Page 58 timp este format ă din câte o observa ție din fiecare variabil ă aleatoare care compune
procesul stocastic ce a generat datele.
Spre deosebire de alte concepte care implic ă eșantionarea de variabile
aleatoare, dintr-un proces stocastic putem avea, cel mult, o observa ție (înregistrare,
realizare). De ce? Pentru c ă, de exemplu, pentru variabila aleatoare pre țul de
închidere de ast ăzi putem avea o singur ă observație, pentru variabila aleatoare
prețul de închidere de mâine la fel etc. Nu ne putem întoarce în timp pentru a putea
observa din nou pre țul de închidere de ast ăzi. Aceast ă caracteristic ă a proceselor
stocastice complic ă analiza acestora, deoarece, f ără a impune ipoteze suplimentare,
o serie de timp se reduce la o colec ție care presupune câte o observa ție din mai
multe variabile aleatoare.
Putem surmonta aceast ă dificultate presupunând c ă toate variabilele
aleatoare care formeaz ă procesul stocastic sunt identice. În aceast ă ipoteză, a avea
câte o observa ție din fiecare variabil ă din procesul stocastic ce a generat datele este
echivalent cu a avea mai multe observa ții din aceea și variabil ă aleatoare. În
concluzie, pentru a ob ține rezultate relevante în leg ătură cu o serie de timp, este
necesar ca elementele sale s ă fie observa ții ale unor variabile aleatoare identice. Cu
alte cuvinte, analiza unei serii de timp este valid ă dacă și numai dac ă procesul
stocastic care a generat datele î și păstrează proprietățile statistice în timp.
Pe mulțimea tuturor proceselor aleatoare de poate defini urm ătorul
operator, notat cu L, după recula 1−=t tx Lx . Operatorul L, numit operator de lag ,
transform ă șirul tx într-un alt șir, cu acelea și elemente, dar decalate înapoi cu o
perioadă (lag). Aplicând succesiv operatorul de lag ob ținem șiruri în care valorile
lui tx sunt decalate cu 2 ()2L sau cu k ()kL perioade: ()2 12
−−===t t t t x Lx LxLxL ,
respectiv kt tkxxL−= . Un caz special, apare pentru 0=k : t txxL=0. Combinând
compunerea operatorulu i de lag cu opera țiile obișnuite cu polinoame, ob ținem
polinoame de lag . De exemplu, () L LB−=1 poate fi „aplicat” unui proces tx și
rezultă ()()1 1−−=−=t t t t xxxL xLB . Polinoamele de lag se pot utiliza pentru

Page 59 deducerea formulei generale a unui pro ces stocastic, pornind de la definirea
acestora prin rela ția de dinamic ă.
6.2 Conceptul de sta ționaritate
După cum am ar ătat în introducerea referitoar e la procesele stocastice,
analiza seriilor de timp se poate face numai cu impunerea anumitor ipoteze asupra
procesului care a generat datele. În mare, aceste ipoteze ne asigur ă că datele
înregistrate (observa țiile statistice) provin din acela și proces și că acesta nu î și
modifică propriet ățile statistice în timp. Aceast ă proprietate se nume ște
staționaritate.
Seriile sta ționare sunt, în general, seriile definite ca rate de cre ștere: rata
de creștere a PIB, rata infla ției, rata de cre ștere a salariului mediu net, rentabilit ățile
activelor financiare, dar și serii de tipul ratelor de dobând ă pe termen scurt sau al
variației stocurilor. Serii nesta ționare sunt,în general, seriile care reflect ă indici cu
bază fixă: indicele pre țurilor de consum, indicele pre țurilor produc ției industriale,
PIB real și nominale, indicele produc ției industriale, indici bursieri.
Vizual, seriile sta ționare sunt cele care evolueaz ă în jurul unei medii, în
timp ce seriile nesta ționare nu prezint ă acest comportament de revenire la o valoare
medie. Într-o definire mai riguroas ă, conceptul de sta ționaritate comportă două
înțelesuri. În sens strict, un proces stocastic este sta ționar dac ă momentele sale
(medie, varian ță, momentul de ordinul trei, patru etc.) nu depinde de timp. În sens
slab, conceptul de sta ționaritate în medie-covarian ță se referă la un proces
stocastic pentru care primele sale dou ă momente (media și autocovarian ța) nu
depind de timp.
Identificarea caracterului sta ționar sau nesta ționar al seriilor de timp cu care
lucrăm este un pas esen țial în analiz ă. Nestaționaritatea seriilor de timp are ca
rezultat:
• invalidarea unor rezultate referitoare la testele statisti ce sau la propriet ățile
datelor ob ținute în ipoteza c ă datele sunt sta ționare sau

Page 60 • apariția de regresii eronate (en. spurious regression ).
Regresiile eronate se referă la identificarea unor rela ții inexistente între
serii de date f ără nicio leg ătură, aceste rela ții fiind puse în eviden ță prin regresii
simple și fiind consecin ța nestaționarității datelor. Printre cele mai celebre exemple
de regresii eronate se num ără:
• relația dintre num ărul de nou-n ăscuți și numărul de cuiburi de berze în
Olanda sau cea dintre
• populația Africii de Sud și cheltuielile de cercetare-dezvoltare în SUA,
utilizând date anuale pentru perioada 1971-1990.
Stabilirea caracterului sta ționar al unei serii de timp se realizeaz ă prin
aplicarea testelor de r ădăcină unitate (en. unit-root ). Cele mai utilizate estfel de
teste sunt testul ADF (Augmented Dickey-Fuller) și testul PP (Phillips-Perron).
Înainte de a trece la descrierea testelor ADF și PP, vom prezenta leg ătura
dintre prezen ța rădăcinii unitate în dinamica seriei de timp și nestaționaritate.
Rădăcina unitate se refer ă la prezen ța printre r ădăcinile polinomului de lag ()LB a
unei rădăcini egale cu 1. Dup ă cum vom ar ăta în continuare, în acest caz seria este
nestaționară. Să presupunem un proces de forma t t t x x εβ+=−1 , cu tε white-noise .
Utilizând polinomul de lag, acesta se poate scrie ca ()t txLBε=, unde
() L LB β−=1 . Dacă polinomul ()LB are o rădăcină unitară, () 01=B , ceea ce
implică 1=β . În acest caz, procesul este de forma t t txxε+=−1 . Media procesului
respectă relația [][ ]1−=t t xE xE , iar varian ța [][][ ]t t t Var xVar xVar ε+ =−1 . Cele dou ă
relați i a u f o s t o b ținute utilizând faptul c ă, prin defini ție, procesul tε are media
zero: [] 0=tEε și nu este corelat cu 1−tx: []0 ,1=− t tx Corrε . Iterând înapoi cele dou ă
relații pentru medie și varian ță, obținem [][][ ]0 1 xE xE xEt t ===−K și
[] [ ] [ ] []2
02 2
22
1 σ σσ σ t xVar xVar xVar xVart t t +==++ =+ =− − K . Rezultă că deși
media este invariant ă în timp, [][]0xE xEt= , pentru orice t, varianța procesului
depinde de timp. Prin urma re procesul este nesta ționar.

Page 61 Testele ADF și PP au ca ipotez ă nulă faptul c ă seria analizat ă este
nestaționară.
Testul ADF consider ă un proces autoregresiv ()1AR , de forma
1 `tt txxμϕε−=+ + , unde tε este de tip zgomot alb. Dac ă 1ϕ< seria tx este
staționară; dacă 1μ= seria tx este nesta ționară, iar dacă 1ϕ> seria tx este
explozivă. În varianta f ără constant ă și fără trend, testul ADF se bazeaz ă pe
regresia:
.1 1 1 t pt p t t t x x x x ε γ γγ +Δ⋅++Δ⋅+⋅=Δ− − − L
Ipoteza nul ă este 0:0Hγ=, cu alternativa 1:0Hγ<; 1γϕ=−. La testarea
ipotezei nule se utilizeaz ă testul t, cu simularea valorilor critice.
Distribuția asimptotic ă a testului ADF este non-standard, fiind
independent ă de num ărul de laguri, p. Caracterul non-standard al acestei
distribuții impune simularea valorilor critice, care în acest caz sunt -2,57 pentru
1%; -1,94 pentru 5% și -1,62 pentru 10%. Interpre tarea testului ADF se bazeaz ă pe
compararea valorii calculate a testului t pentru coeficientul ρ, obținut din
regresie, cu valorile critice men ționate anterior. Dac ă t-Statistic calculat este mai
mic decât valorea critic ă, se respinge ipoteza nul ă, seria este sta ționară, iar dacă t-
Statistic calculat este mai mare decât valori le critice, nu se poate respinge ipoteza
nulă, seria este nesta ționară.
Testul PP testeaz ă regresia 1 tt txxαβε− Δ=+ + . Distribu ția t a
coeficientului γ este corectat ă pentru a include corela țiile seriale ale tε.
Există și teste de sta ționaritate care iau sta ționaritatea ca ipotez ă nulă. Cel
mai utilizat dintre acestea este testul KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin).
Testul KPSS porne ște de la specifica ția ,t t t zxy+= , unde tx este de tip random
walk : (),,0 ,2
1 u t t t t iidNuu xx σ∼+=− iar tz este staționar.

Page 62 Testul KPSS este complementar testelor ADF și PP în sensul c ă ipoteza sa
nulă este că seria este sta ționară, cu alternativa nesta ționarității: t u y H ⇒=0 :2
0σ
este staționară, t u y H ⇒>0 :2
1σ este nesta țioanră.
Testul KPSS are, la rândul s ău, o distribu ție asimptotic ă non-standard,
valorile critice pentru varianta cu constant ă și fără trend fiind 0,74 pentru 1%, 0,46
pentru 5% și 0,35 pentru 10%. O valoarea a testului calculate mai mare decât
aceste valori critice indic ă respingerea ipotezei nule.
Complementaritatea celor dou ă tipuri de teste face posibil ă utilizarea
combinată, pentru a stabili sta ționaritatea unei serii de timp. Rezultatul combinat al
testelor ADF și PP, respectiv KPSS este urm ătorul:
• respingerea ipotezei nule ADF și imposibilitatea respingerii ipotezei
nule KPSS indic ă un proces sta ționar;
• imposibilitatea respingerii ipotezei nule ADF și respingerea ipotezei
nule KPSS indic ă o serie nesta ționară;
• imposibilitatea respingerii atât a ipotezei nule ADF, cât și a celei
KPSS indic ă insuficien ța informa țională a datelor analizate;
• respingerea atât a ipot ezei nule ADF, cât și a celei KPSS indic ă
necesitatea unei reprezent ări alternative, printr-un process mai
complex, care poart ă denumirea de integrat frac ționar.
Pentru a se efectua un test de r ădăcină unitate în Eviews , se selecteaz ă
opțiunea View – Unit Root Test… . In cadrul casetei de dialog de dialog Unit
Root Test se selecteaz ă tipul testului care se dore ște efectuat. Trebuie specificat
dacă se dorește testarea pentru o r ădăcină unitate a seriei, sau a prima diferen ță,
respectiv a celei de a doua diferen ță a seriei. Set ări avansate puse la dispozi ție în
cazul testului ADF permit specificarea m odului în care lag-urile termenilor
diferențiați vor fi inclu și în ecuația de testare ADF. Se poate opta pentru ca Eviews
să facă selecția în mod automat sau se poate specifica un num ăr fix, întreg și
pozitiv.

Page 63

Eviews calculeaz ă p-value pentru testul ADF , ceea ce face relativ simpl ă
interpretarea rezult atelor acestui test.
În funcție de tipul de nesta ționaritate al seriei de timp analizate, problema
nestaționarității datelor se poate rezolva prin transformarea datelor astfel încât s ă se
obțină serii staționare:
• diferențiere;
• eliminarea trendului: liniar, p ătratic, HP.
Fiind dat procesul stocastic tx, diferențierea acestuia produce procesul
()t t t t xL xxx −=−=Δ−11 .
Eliminarea trendului liniar const ă în rularea regresiei t t t cx εα+⋅+= și
extragerea reziduur ilor estimate, tεˆ.
Trendul p ătratic se elimin ă din regresia t t t t cx εβα +⋅+⋅+=2.
Filtrul Hodrick – Prescott (HP) este o metod ă parametric ă de eliminare a
trend-ului, fiind cel mai popular instrume nt pentru a descompune o serie de timp
într-un trend și un ciclu. Filtrul HP elimin ă trendul prin minimizarea unei func ții de
pierdere care are urm ătoarea form ă:

Page 64 2
111 12
][])) () (( [min∑∑
==− + −−− +T
tT
tt t t tt
yyy y y c
tλ
unde T reprezint ă numărul total de observa ții. Termenul ∑
=T
ttc
12 este
echivalent cu o sum ă de pătrate de erori, deoarece ∑∑
= =−=T
tt tT
tt yy c
12
12) ( , iar
termenul ∑
=− + −−−T
tt t t t yy y y
12
1 1 )) () (( asigură faptul că seria trend-ului este neted ă,
iar parametrul λ din problema de optimizare penalizeaz ă fluctuațiile seriei de
trend. Cu cât λ este mai mare, cu atât trend-ul as tfel estimat devine mai neted, iar
atunci când λ tinde la infinit, trend- ul devine o linie dreapt ă.
Analiza seriilor de date dup ă ce au fost sta ționarizate prin diferen țiere sau
prin eliminarea trendului are ca posibil dezavantaj pierderi din con ținutul
informațional al datelor, mai ales în ceea ce prive ște dinamica pe termen lung.
Acest dezavantaj se poate surmonta prin analiza cu metode speciale, care țin cont
de nestaționaritatea datelor, cum ar fi cele b azate pe conceptul de cointegrare.
6.3 Modele ARMA
Modele ARMA (AutoRegressive Moving Averag e) sunt folosite pe scar ă
largă pentru a analiza dinamica seriilor de timp unidimensionale. Un model ARMA
este compus din dou ă părți: termenul autoregresiv și termenul de medie mobil ă.
Procesele autoregresive au la baz ă ideea, natural ă, conform c ăreia valoarea curent ă
a unei variabile depinde de valorile sa le anterioare. Aceste procese se ob țin
adăugând la ecua ții de recuren ță deterministe o component ă staționară, care este,
de obicei, un proces sta ționar cu o structur ă de corela ție extrem de simpl ă. Un
astfel de proces este procesul de tip zgomot alb (en. white-noise), care la
momentul t ia valoarea tε, unde tε este o variabil ă aleatoare distribuit ă normal, de
medie zero și varianță constantă, []2 2
tEεσ= . Simplitatea structurii de corela ție a

Page 65 acestui proces rezult ă din faptul c ă valoarea la un moment t, tε este necorelat ă cu
valoarea la oricare alt moment, ts≠, sε. Autocovarian ța pentru orice rang 0>k
pentru un proces white-noise este zero. Autocorela ția pentru orice rang 0>k
pentru un proces white-noise este zero. Autocorela ția parțială pentru orice rang
0>k pentru un proces white-noise este zero. Autocorela ția parțială este o măsură
a autocorela ției directe dintre dou ă valori ale unei serii de timp, excluzând corela ția
care rezult ă prin efectul lagurilor intermediare.

Importanța procesului white-noise rezultă nu numai din folosirea sa ca bloc
pentru construc ția de procese autoregresive, ci și din faptul c ă reprezint ă prototipul
reziduului din regresiile care implic ă serii de timp.
6.3.1 Procese de tip AR(1)
Un proces de tip AR(1) este un proces stocastic în care valoarea curent ă
depinde numai de valoarea anterioar ă:
t t t x x εβα +⋅+=−1 ,
unde tε este un proces de tip white-noise . Utilizând operatorul de lag introdus la
începutul cursului, rela ția anterioar ă se poate scrie ()t txL εα+=−1 s a u
()t txLBε=, unde () L LB β−=1 este un polinom de lag-uri.
În figura de mai jos este repr ezentat un proces AR(1), pentru 5,0=β și
9,0=β . Procesul simulat cu 9,0=β manifest ă un grad de persisten ță mai mare,
abaterile sale de la medie fiind mai am ple. Intuitiv, acest lucru se întâmpl ă

Page 66 deoarece 1 =β corespunde unei serii nesta ționare, iar cu cât β se apropie mai
mult de 1, cu atât comportamentul s ău se apropie mai mult de cel al unei serii
nestaționare.

Un interes deosebit îl prezint ă determinarea teoretic ă a momentelor unui
proces AR(1), deoarece acest ea vor sta la baza identific ării unei serii reale de date
ca fiind de acest tip. Vom determina momentele unui proces AR(1) în ipoteza c ă
acesta este sta ționar. Stabilirea condi țiilor de sta ționaritate este un subiect mai
complex, care nu va fi prezentat în acest suport de nivel mediu.
În ipoteza sta ționarității [][]1−=t t xE xE și ținând cont de faptul c ă tε este
white-noise , prin urmare [] 0=tEε , aplicând operatorul de medie se ob ține
[] [ ]1−+=t t xE xE βα , cu nota ția []txE=μ : μβαμ⋅+= , de unde βαμ−=1,
relație care are sens numai pentru 1≠β . În ipoteza sta ționarității varianța unui
proces AR(1) este constant ă, []()[][]()[]2
1 12
0 μ μ γ −= =−==− − t t t t xE xVar xE xVar ,
pentru orice t. Aplicând operatorul de varian ță relației de defini ție, obținem
2
02
0 σγβγ+= , deoarece varian ța constantei α este zero, covarian țele dintre

Page 67 aceasta și 1−tx și tε sunt zero, iar covarian ța dintre 1−tx și tε este zero. Ob ținem
22
01βσγ−= , relația care are sens numai pentru 1<β . In ceea ce prive ște
autocovarian ța de rang k, []()() [ ]μμ γ −−= =− − kt t kt t k x xE xx Cov ,, o b ținem
1−=k kβγγ . Autocorela ția la rangul k se define ște prin
0γγρk
k= . Ca urmare,
.k
kβρ=
Conform acestui rezultat, dac ă 1<β corelația dintre dou ă valori aflate la
distanța k descrește și se apropie de zero, pe m ăsură ce k crește. Un proces
staționar se caracterizeaz ă tocmai prin lipsa corela ției între dou ă valori aflate la
distanță mare în timp. Autocorela ția parțială pentru un process AR(1) este β=1a
și 0=ka pentru 1>k , cee ce se explic ă prin faptul c ă, prin defini ție, nu exist ă
nicio legătură directă între 2−tx, 3−tx, … etc și tx.

Remarcăm că autocorela ția descre ște treptat c ătre zero, în timp ce
autocorela ția parțială este diferit ă de zero numai la primul lag, dup ă care scade
brusc la zero.
Vom demonstra în continuare c ă 1<β implică staționaritatea procesului
AR(1). Pentru aceasta, vom face apel la conceptul de polinom de lag. S ă

Page 68 presupunem c ă există polinomul de lag ()LΦ , astfel încât ()() 1=ΦL LB . În acest
caz, ()LΦ ar fi inversul lui ()LB și am putea scrie ()()1−=Φ LB L . Dacă există,
polinomul ()1−LB ne oferă posibilitatea de a rezolva ecua ția prin care se define ște
procesul AR(1), ()t txLB εα+= , înmulțind la stânga cu ()1−LB . Obținem
()()t t LB LBx ε α1 1 − −+ = . Deoarece pentru o serie constant ă egală cu α, αα=L ,
soluția este ()( )t t LB Bx ε α1 11− −+= .
Pentru a stabili în ce condi ții există ()( )1−=Φ LB L , luăm
() L L+++++=Φk
kL L L L φ φφφ2
2 1 0 și determin ăm coeficien ții 0φ, 1φ, …, kφ,…
astfel încât ()()1=ΦL LB . Observăm, mai întâi c ă ()LΦ este un polinom cu o
infinitate de termeni. Bineîn țeles că și ()LB se poate scrie ca un polinom cu o
infinitate de termeni: () L L+⋅++⋅+−=kL L L LB 0 0 12β . Atât ()LB , cât și ()LΦ
fac parte din mul țimea polinoamelor de lag cu o infinitate de termeni.
()() 1=ΦL LB este echivalent cu ()( )1 12
2 1 0 =+++++− L Lk
kL L L L φ φφφβ ,
sau () () ( ) 112
2 1 1 0 0 =++−+++−++−+− L Lk
k k L L L φβφ φβφφβφφ , de unde
rezultă 10=φ , ββφφ==0 1 , 2
1 2ββφφ== , în general k
kβφ= . Polinomul de lag
invers al lui () L LB β−=1 este () L L+++++=− kkL L L LB β ββ22 11. S c r i s
compact ()∑∞
=−=
01
kkkL LB β .
Soluția ecuației AR(1) este
() () ∑ ∑∞
=−−∞
=−+=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+=
01
011 1
kktk
t
kkk
t B L Bx εβαεβα .
Sub aceast ă formă, numită scriere MA ()∞, procesul AR(1) apare ca o sum ă
infinită de termeni de tip white-noise . În ce condi ții această sumă este bine
definită? Aplicând operatorul de medie ob ținem [] []∑∞
=− +−=
0 11
kktk
t E xE εβαβ.

Page 69 Deoarece tε este sta ționar, prin defini ție []0=−ktEε . Rezult ă
[] 011
0⋅⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛+−=∑∞
=kk
txE βαβ. Al doilea termen al mediei lui tx este determinat
dacă și numai dac ă suma ∑∞
=0kkβ este finit ă. Altfel, se ob ține o nedeterminare de
forma 0⋅∞ . Prin urmare, []txE este bine-definit ă dacă și numai dac ă ∑∞
=0kkβ este
finită, ceea ce este echivalent cu 1<β . În acest caz, ββ−=∑∞
= 11
0kk și αβ−=11
tx
și nu depinde de timp. Am ob ținut acela și rezultat ca mai sus, dar f ără a presupune
că procesul este sta ționar.
Varianța lui tx este dată de relația
[] [ ] ∑∑∑∞
=∞
=−−∞
=−=⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=
00 0,
kllt ktlk
kktk
t Cov Var xVar εεββ εβ .
Deoarece, prin defini ție []0 ,=s t Covεε pentru st≠ și []2,σεε=s t Cov
pentru []0 ,=−− lt ktlkCovεεββ pentru lk≠ și []2 2, σβεεββk
lt ktlkCov =−− pentru
lk=. Rezultă []()2
02σβ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛=∑∞
=kk
txVar , bine-definit ă numai în cazul 12<β ,
echivalent cu 1 <β . În acest caz []2
211σβ−=txVar , același rezultat pe care l-am
obținut anterior în privin ța varianței lui tx, numai c ă de data aceasta nu am
presupus c ă procesul este sta ționar.
Am obținut așadar, că 1<β implică faptul că media ()μ și varianța ()0γ
procesului tx nu depind de timp. Putem ad ăuga că pentru un astfel de proces
covarianța este 0γβγk
k= , fiind la rândul s ău invariant ă în timp. Un proces pentru
care 1<β se numește stabil. În concluzie, un proces AR(1) care este stabil este și
staționar. De și reciproca nu este întotdeauna adev ărată, în sensul c ă există procese

Page 70 staționare care nu sunt stabile, vom în țele prin condi ție de staționaritate a unui
proces AR(1), condi ția 1<β .
În cele ce urmeaz ă vom oferi detaliile de calcul pentru func ția de
autocorela ție parțială. Prin defini ție, autocorela ția parțială la lagul k este
[]1 2 1 ,,,| ,+− −−− =kt t t kt t k x xx xx Corr a K . ka este egal cu coeficientul kkaˆ estimat din
regresia kt ktkk t k tk t u xa xa xax ++++=− − − K2 2 1 1 . De exemplu, pentru un proces
AR(1), autocorela ția parțială la lagul 2 se ob ține din regresia
t t t t u xa xax2 2 22 1 21 ++=− − . Analitic, coeficientul 22 2a a= se poate ob ține din
sistemul

⎩⎨⎧
+=+=
22 1 21 21 22 21 1
a aa a
ρρρ ρ,
rezultat aplicând succesiv coeficientul de corela ție cu 1−tx, respectiv 2−tx. Pentru
un proces AR(1), βρ=1 și 2
2βρ= . Sistemul anterior are forma
⎩⎨⎧
+=+=
22 21222 21
a aa a
βββ β, ceea ce este echivalent cu ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
2
2221
11
ββ
ββ
aa. Soluția este
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
21
2221
11
ββ
ββ
aa. Ținând cont c ă ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−
−=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛−
11
11
11
21
ββ
β ββ, soluția
este β=21a și 022=a .
În general, coeficientul kk ka a= se obține analitic rezolvând sistemul

⎟⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝⎛− −−−
kkkk
k kkk
k aaa
M
LMOMMLL
M21
2 12 11 1
21
111
ρρρ ρρρ
ρρρ
.

Page 71 6.3.2 Procese de tip AR(2)
Un proces de tip AR(2) este un proces stocastic în care valoarea curent ă
depinde de cele mai recente dou ă valori anterioare:
t t t t x x x εββα +⋅+⋅+=− − 2 2 1 1 ,
unde tε este un proces de tip white-noise , cu media []0=tEε și varianța
[]2σε=t Var .
Utilizând operatorul de lag, un proces AR(2) se scrie ca ()t txLB εα+= ,
unde ()2
2 1 1 L L LB ββ−−= .
În figura de mai jos este repre zentat un proces AR(2), pentru 6,01=β și
3,02=β .

Orice proces AR(2) se poate scri e matricial, ca un proces AR(1):
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−
− 0 0 1 021 2 1
1t
tt
tt
xx
xx ε ββα. Cu nota țiile ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=
−1tt
txxy , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=0αa ,
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=0 12 1ββb și ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=0t
tuε, scrierea devine t t t u byay ++=−1 . Extrapolând

Page 72 rezultatul ob ținut în cazul procesului AR (1) la procesul AR(2), condi ția de
stabilitate este echivalent ă cu 0 lim=
∞→k
kb . Convergen ța matricei kb către zero este
controlată de valorilor proprii ale lui b. Astfel, 0 lim=
∞→k
kb dacă și numai dac ă
1 ,2 1<λλ , cu 1λ și 2λ valorile proprii ale matricei b. Acestea se ob țin din
sistemul () () 0 det2=+⋅− b btrλ λ , unde ()1 10ββ=+=btr , iar
()2 2 1 1 0 det βββ −=⋅−⋅=b . Condiția de sta ționaritate este ca solu țiile ecuației
02 12=−−βλβλ să fie subunitare în modul.
Media unui proces AR(2) se ob ține aplicând operatorul de medie rela ției de
definiție: [] [ ] []2 2 1 1 − −+ +=t t t xE xE xE β βα . Dacă procesul este sta ționar,
[] [ ] [ ]
2 12 11ββαμ−−====− − t t t xE xE xE .

Pentru a ob ține varian ța procesului tx se aplic ă operatorul de varian ță
relației de defini ție: [] [][][ ]2 1 21 22
2 12
1 , 2−− − − + + =t t t t t xx Cov xVar xVar xVar ββ β β
[]t Varε+ . Dacă procesul este sta ționar, [][][ ]0 2 1 γ= = =− − t t t xVar xVar xVar , iar
relația devine 2
121 02
2 02
1 0 2σγββγβγβγ +++= . În aceast ă relație apar dou ă
necunoscute: varian ța 0γ și covarian ța 1γ. Pentru a le determina, este necesar ă încă
o relație, pe care o ob ținem calculând covarian ța dintre tx și 1−tx: 12 01 1 γβγβγ+= .

Page 73 Soluția sistemului format cu cele dou ă relații este
() ()2 1 2 12
22
01 1 11
ββββσ
ββγ−+−−+−= și 0
21
11γββγ−= .
Coeficientul de corela ție la lagul 1 este
21
01
11ββ
γγρ−== . Calculând
corelația dintre t t t t x x x εββα +++=− − 2 2 1 1 și ktx− obținem pentru coeficientul de
corelație următoarea rela ție de recuren ță: 2 2 1 1 − −+=k k k ρβρβρ . Această relație se
poate transcrie matricial, în ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
−−
− 21
1 kk
kkbρρ
ρρ, cu soluția ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
− 01
1ρρ
ρρk
kkb . Cum
kb tinde la zero dac ă procesul AR(2) este sta ționar, corela ția kρ va tinde la zero,
pe măsură ce ∞→k . Acest fapt este ilustrat în figura anterioar ă.
Coeficientul de corela ție parțială ka este 1 1ρ=a , 2 2β=a și 0=ka pentru
2>k , deoarece tx depinde direct numai de 1−tx și 2−tx.
Pentru un proces AR(2) func ția de autocorela ție descrește treptat c ătre zero,
în timp ce func ția de autocorela ție parțială descrește brusc la zero, dup ă primele
două laguri.
6.3.3 Procese de tip MA(1)
Un proces MA(1) este un proces rezultat prin combinarea valorilor curent ă
și anterioar ă ale procesului white-noise :
t t tx εεθα++=−1 1 ,
cu tε white-noise . Cu operatorul de lag, rela ția de definire a unui proces
MA(1) este () ()t t t L L x εαεθα Θ+=++=11 , unde () L L11θ+=Θ este un polinom
de lag-uri.
Un proces MA(1) este întotdeauna sta ționar, indiferent de valoarea lui 1θ,
deoarece este o combina ție de procese sta ționare. Media unui proces MA(1) este
[]α μ==txE . Tinând cont de faptul c ă tε și 1−tε sunt necorelate, se ob ține că

Page 74 []()2 2
1 0 1σθ γ +==txVar . Autocovarian ța pentru primul lag, se poate calcula din
este [] , ,2
1 1 1 σθ γ = =−t txx Cov de unde rezult ă .2
11
01
1θθ
γγρ+1== În general, , 0=kγ
pentru 1>k . Prin urmare, 0 =kρ , pentru 1>k . Se poate ar ăta că funcția de
autocorela ție parțială pentru un proces MA(1) descre ște treptat c ătre zero.

Din figura de mai sus rezult ă că funcțiile de autocorela ție pentru un proces
MA(1) au urm ătorul comportament: autocorela ția scade brusc la zero, dup ă primul
lag, în timp ce autocorela ția parțială descrește treptat c ătre zero.
Pe baza unui ra ționament similar celui de la sec țiunea dedicat ă proceselor
d e t i p A R ( 1 ) , s e a r a t ă că dacă 11<θ , polinomul de lag ()LΘ este inversabil,
() ( ) ∑∞
=−−=+−+−=Θ
0133
122
1 111
kkkL L L L L θ θθθ K . În acest caz, pr ocesul MA(1) se
numește inversabil. Înmul țind relația ()t t L x εαΘ+= cu ()1−ΘL obținem
() ( )t txL εα+Θ=Θ− − 1 11 , de unde () ( )t
kktk
t x x εθα +−+Θ=∑∞
=−−
1111 , scriere de forma
AR()∞. În aceast ă formă, valoarea curent ă a procesului apare ca media tuturor
valorilor sale anterioare. Pe baza acestu i rezultat se poate argumenta traiectoria
treptat descendent ă către zero a func ției de autocorela ție parțială pentru un proces
MA(1).

Page 75 6.3.4 Procese de tip MA(2)
Un proces MA(2) este un proces rezultat prin combinarea valorilor curent ă
și anterioar ă ale procesului white-noise :
t t t tx εεθεθα +++=− − 2 2 1 1 ,
cu tε white-noise . Cu operatorul de lag, rela ția de definire a unui proces
MA(1) este ( )()t t t L L L x εαεθθα Θ+=+++=2
2 11 , unde ()2
2 11 L L L θθ++=Θ este
un polinom de lag-uri.
Un proces MA(2) este întotdeauna sta ționar, indiferent de valorile
parametrilor 1θ și 2θ, deoarece este o combina ție de procese sta ționare.
Condițiile de inversabilitate se ob țin printr-un ra ționament analog celui
utilizat pentru deducerea condi țiilor de sta ționaritate a unui proces AR(2). Procesul
este inversabil dac ă și numai dac ă soluțiile ecuației 02 12=++θλθλ sunt sub-
unitare în modul.

Media unui proces MA(2) este []α μ==txE .
Varianța unui proces MA(2) este []()2
2 1 0 1 σθθ γ ++==txVar , iar
covarianța: ()2
2 1 1 1σθθγ+= , 22
2 2σθγ= și 0=kγ pentru 2>k . Rezultă că
valoarea coeficientului de corela ție este zero pentru 2>k .
Funcția de autocorela ție parțială descrește treptat c ătre zero. Argumentul
este similar celui de la procesele de tip MA(1).

Page 76 6.3.5 Procese de tip ARMA(1,1)
Un proces ARMA(1,1) este construit prin combinarea unui proces AR(1)
cu unul MA(1):
t t t t x x εεθβα +++=− − 1 1 1 1 .
Utilizând operatorul de lag, rela ția de mai sus se poate scrie sub forma
() ()t t L xLB εαΘ+= , cu () L LB11β−= și () L L11θ+=Θ .
Fiind o combina ție între procesul AR(1) și MA(1), procesul ARMA(1,1)
moștenește caracteristicile ace stora în ceea ce prive ște funcțiile de autocorela ție și
autocorela ție parțială. De asemenea, deoarece procesul MA(1) este sta ționar
indiferent de parametrul 1θ, staționaritatea unui proces ARMA(1,1) este guvernat ă
de staționaritatea componentei AR(1). Astf el, procesul ARMA(1,1) este sta ționar
dacă și numai dac ă partea autoregresiv ă a acestuia este sta ționară.

Se poate ar ăta faptul c ă funcția de autocorela ție a unui proces ARMA(1,1)
urmează același tipar cu cea a unui proces AR(1), numai c ă începând de la lagul 2
și nu de la lagul1. Func ția de autocorela ție parțială pentru un proces ARMA(1,1)
descrește, la rândul s ău, treptat c ătre zero.
Estimare modelelor ARMA în Eviews se realizeaz ă utilizând un obiect de
tip equation . In cadrul specifica ției ecuației în caseta de dialog Equation
Estimation, părțile AR și MA ale modelului sunt sp ecificate folosind cuvintele

Page 77 cheie ar și ma, ca parte a ecua ției. Rezultatele estim ării unui model de regresie cu
specificații AR sau MA sunt simila re cu cele de la o ecua ție de regresie simpl ă, cu
adăugarea unui nou bloc, care prezint ă rădăcinile polinoamelor AR și MA.
Eviews oferă acces la mai multe instrume nte de diagnostic, care ajut ă la
evaluarea structurii ARMA a ecua ției estimate. Pentru a afi șa structura ARMA,
selectați View/ARMA Structure… din meniul unei ecua ții estimate. Se deschide
căsuța de dialog ARMA Diagnostic Views , aceasta fiind disponibil ă doar pentru
modelele care includ cel pu țin un termen AR sau MA și sunt estimate cu metoda
celor mai mici p ătrate. Exist ă trei moduri de vizualiz are disponibile: prezentarea
rădăcinilor polinoamelor AR și MA, cea mai important ă, prezentarea corelogramei
și analiza de tip r ăspuns la impuls.

Vizualizarea referitoare la r ădăcinile asociate modelului afi șează inversul
rădăcinilor polinomului caracteristic AR și/sau MA. R ădăcinile pot fi afi șate ca un
grafic sau sub forma unui tabel pr in selectarea butonului corespunz ător.
Vizualizarea sub form ă grafică prezintă rădăcinile în planul complex în care pe axa
orizontală este partea real ă și pe axa vertical ă este partea imaginar ă a fiecărei
rădăcini. În cazul în care procesul ARMA estimat este sta ționar, atunci toate
rădăcinile AR ar trebui s ă fie plasate în interiorul cer cului unitate. În cazul în care
procesul ARMA estimat este inversabil, atunci toate r ădăcinile MA ar trebui s ă se

Page 78 plaseze în interiorul cercului unitate. Vizualizarea sub form ă de tabel afi șează toate
rădăcinile în ordine descresc ătoare a modulului (r adical din suma p ătratelor părților
reale și imaginare).
6.4 Metodologia Box-Jenkins
Pe baza rezultatelor analitice prezentate în sec țiunea anterioar ă,
exemplificate pe exemple simulate , putem trage concluzia conform c ăreia fiecare
din cele trei procese analizate pân ă în prezent: AR(1), MA(1) și ARMA(1,1)
prezintă un tipar caracteristic dup ă care se comport ă funcțiile de autocorela ție și de
autocorela ție parțială. Această semnătură care identific ă unic unul din cele trei
procese, poate fi utilizat ă pentru a identifica modelul care este potrivit pentru a
modela o serie de date reale.

Determinarea procesului pe care îl urmeaz ă o serie de timp real ă, în
funcție de structura de autocorela ție.
Autocorela ție Autocorela ția parțială Concluzie
Descrește treptat la
zero. Scade brusc la zero, dup ă
primul lag. Proces AR(1)
Scade brusc la zero,
după primul lag. Descrește treptat la zero. Proces MA(1)
Descrește treptat la
zero. Descrește treptat la zero. Proces ARMA(1,1)

Astfel, dac ă pentru o seri e de date func țiile de autocorela ție și autocorela ție
parțială estimate se comport ă ca cele ale unui model AR(1) (autocorela ția scade
treptat către zero, în timp ce autocorela ția parțială scade brusc, fiind semnificativ ă

Page 79 numai pentru primul lag), putem trage concluzia c ă această serie se poate modela
corespunz ător printr-un astfel de proces. Similar pentru procesele MA(1) și
ARMA(1,1). Aceast ă abordare poart ă numele de metodologia Box-Jenkins și este
sintetizată în tabelul de pe pagina anterioar ă.
Primul pas în formarea unui model AR IMA pentru o serie de timp este
analizarea propriet ăților de autocorela ție a acesteia. In acest scop, se poate utiliza
opțiunea View/Correlogram… .pentru a determina corelograma . Natura corela ției
dintre valorile curente ale reziduurilor și a valorilor lor din trecut ofer ă informații
în ceea ce prive ște selectarea unei specifica ții pentru modelul ARMA.
Deși este relativ simpl ă și ușor de interpretat, me todologia Box-Jenkis nu
oferă un rezultat lipsit de echivoc în privin ța procesului ARMA prin care se poate
modela o serie de date. Prezen ța erorilor în estimarea coeficien ților de autocorela ție
și de autocorela ție parțială face ca identificarea vizual ă a traiectoriei func țiilor de
autocorela ție să fie dificil ă. Utilizare metodologiei Box-Jenkins presupune o
experiență vastă de lucru cu datele. Pentru selectarea mecanic ă și fără echivoc a
unui model de tip ARMA se pot utiliza criterii informa ționale.
6.5 Modele tip ARIMA
Dacă o serei este nesta ționară în nivel, dar sta ționară în prima diferen ță se
numește serie integrat ă de ordinul 1 , notată cu I(1). Dacă o serie este nesta ționară
și trebuie diferen țiată de cel pu țin k ori pentru a deveni sta ționară, se nume ște
integrată de ordinul k, notată cu ()kI. Cele mai multe serii de date economice sunt
integrate de ordinul 1, cel mult 2 . O serie este reprezentat ă corespunz ător printr-un
model ARIMA(1,k,1) dacă după ce este diferen țiată de k ori, rezultatul se poate
reprezenta fidel printr-un model ARMA(1,1).
Modele ARIMA (AutoRegressive Inte grated Moving Average) sunt
folosite pe scar ă largă pentru a analiza dinamica seri ilor de timp unidimensionale.
Un model ARIMA este compus din trei p ărți: termenul autoregresiv, termenul
privind ordinul de integrare și termenul de medie mobil ă. În analiza de tip ARIMA,

Page 80 se asambleaz ă un model de prognoz ă complet prin utilizarea de combina ții ale
celor trei blocuri de scrise mai sus.
Pentru a specifica modelul ARIMA, este necesar s ă:
• se diferen țieze variabila dependent ă, dacă este necesar, pentru a ține
cont de ordinul de integrare.
• se descrie modelul de regresie st ructural (variab ilele dependente și
regresori) și să se adauge termeni AR sau MA, a șa cum este descris mai
sus.

Page 81
7 Tehnici de modelare și previzionare a seriilor de timp
multidimensionale
Abordarea structural ă pentru modelarea seri ilor de timp utilizeaz ă teoria
economic ă pentru a modela rela ția dintre variabilele de interes. Din p ăcate, teoria
economic ă nu este suficient de bogat ă pentru a oferi o specifica ție dinamic ă, care
identifică toate aceste rela ții. În plus, estimarea și inferența sunt complicate de
faptul că variabilele endogene pot s ă apară în ambele p ărți ale unei ecua ții. Aceste
probleme conduc la abord ări alternative, nestructurale, pentru modelarea rela ției
dintre mai multe variabile.
Extensia la cazul multivariat a modelelo r autoregresive scalare, univariate,
poartă denumirea de modele VAR (Vector AutoRegression), modele autoregresive
vectoriale. Modelele de tip VAR sunt frecvent utilizate pentru prognozarea
sistemelor de serii de timp interconectate și pentru analizarea impactului dinamic al
inovațiilor asupra sistemului de variabile. Abordarea VAR eludeaz ă nevoia de
modelare structural ă prin tratarea fiec ărei variabile endogene din sistem ca pe o
funcție a lag-urilor, a valorilor din trecut, a tuturor variabile lor endogene din
sistem.
Printre avantajele modelelor VAR:
• nu necesit ă separarea clar ă a variabilelor în endogene și exogene;
• se pot utiliza pentru a deduce modul în care variabilele economice
răspund la șocuri;
• sunt utilizate pe scar ă largă în modelarea macroeconomic ă, fiind
incluse în majoritatea programelor econometrice
Cu toate acestea, modelele VAR nu sunt lipsite de dezavantaje:
• au fost criticate deseori din pric ina lipsei fundamentelor teoretice;

Page 82 • în situația în care presupun și existen ța unor interac țiuni
contemporane între variabile (modele structurale) necesit ă
impunerea de restric ții suplimentare, pentru a putea fi identificate;
• interpretarea rezultatelor depinde de cisiv de modul în care au fost
impuse aceste restric ții.
Acest capitol descrie estimarea și analiza modelelor de tip VAR. Urm ătorul
capitol descrie estimarea și analiza modelelor care permit integrarea prezen ței unei
relații pe termen lung între mai multe variabile din model.
7.1 Modele tip VAR(1)
Modelul VAR porne ște de la ideea c ă toate variabilele pot fi endogene,
valoarea curent ă a fiecărei variabile depinzând de propriile laguri și de lagurile
celorlalte variabile. Un model VAR bidimensional cu un lag este se reprezint ă
prin ecuațiile

⎩⎨⎧
+++=+++=
− −− −
2
11
22 11
210
121
11
12 11
110
11
t t t tt t t t
u z x zu z x x
ββββββ.
Matricial, rela ția de mai sus se scrie ca
t t t By y ε β++=−1 0 ,
unde ()T
t t t zx y ,= , ()T0
120
11 0 ,βββ= , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=1
2211
211
121
11
ββββB și ()T
t t t uu2 1,=ε este
un vector de inova ții, care poate fi contemporan co relat, dar este necorelat cu
valorile din perioadele anterioare și cu variabilele din partea dreapt ă a ecuației.
Pentru a specifica un model VAR în Eviews , trebuie s ă se creeze mai întâi
un obiect var. Se selecteaz ă Quick/Estimate VAR… . Fila Basics a căsuței de
dialog va solicita de finirea structurii VAR:
• Se selecteaz ă tipul de model VAR: Unrestricted VAR . Ceea ce s-a
numit pân ă acum un VAR este de fapt un VAR nerestric ționat.

Page 83 • Se introduc specifica țiile lag-urilor în c ăsuța de editare corespunz ătoare.
Această informație se introduce în perechi: fiecare pereche de numere
definește o serie de lag-uri.
• Se introduce numele seriilor endogene și exogene în casetele de editare
corespunz ătoare.

Eviews va afișa rezultatele estim ării în fereastra VAR. Fiecare coloan ă din
tabel corespunde unei ecua ții din modelul VAR. Pentru fiecare variabil ă din partea
dreaptă, Eviews raporteaz ă coeficientul estimat, eroarea sa standard și statistica
testului t. Deoarece nu este afi șat p-value pentru testul t, interpretarea rezultatelor
acestui test este mai dificil ă. Ca o regul ă generală, dacă valoarea în modul a a
statisticii t este „mare” (i.e. mai ma re decât 2,5) se respinge ipoteza nul ă și astfel
parametrul respectiv este semnifica tiv din punct de vedere statistic.

Page 84

Eviews afișează informații suplimentare în partea de jos a ferestrei cu
rezumatul estim ării. Prima parte a informa ției suplimentare prezint ă statistici
standard ale regresiei OLS pentru fiecare ecua ție. Rezultatele sunt calculate separat
pentru fiecare ecua ție folosind reziduurile acesteia și sunt afi șate în coloana
corespunz ătoare. Numerele prezentate în partea de jos a tabelului sunt rezumate ale
statisticilor sistemului VAR ca un întreg.
După ce a fost estimat un model VAR, Eviews oferă posibilități diferite
pentru a lucra cu acest model. Un set de instrumente de diagnosticare sunt
prevăzute în cadrul structurii de meniuri View/Lag Structure și View/Residual
Tests în fereastra VAR. Aceste instrumente pot ajuta la verificarea gradului de
adecvare a VAR estimat.
Modelul VAR(1) are o importan ță deosebită în metodologia VAR, având în
vedere faptul c ă orice model VAR, cu un num ăr p de laguri se poate transforma
într-un VAR(1) și invers. Vom ilustra acest fapt pentru un model VAR(2), cu dou ă
variabile:
⎩⎨⎧
+++++=+++++=
− − − −− − − −
2
22
22 22
21 11
22 11
210
121
22
12 22
11 11
12 11
110
11
t t t t t tt t t t t t
u z x z x zu z x z x x
ββββββββββ.
Matricial, rela ția de mai sus se scrie ca
t t t t yB yB By ε+++=− − 2 2 1 1 0 ,

Page 85 unde ()T
t t t zx y ,= , ()TB0
120
11 0 ,ββ= , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=1
2211
211
121
11
1ββββB , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=2
2212
212
122
11
2ββββB și
()T
t t t uu2 1,=ε . Matricele din rela ția anterioar ă se pot grupa, astfel încât modelul s ă
aibă forma unui VAR(1), astfel
,010
t t t U BYBY ++⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=−
Unde ()TT
tT
t t yy Y1,−= ,
()⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=
× 0222 1
IB B
B și ()TT
tT
t tU1,−=εε .
Scris cu variabilele ini țiale, tx și tz, ( )T
t t tt t zxzx Y1 1,,,−−= . tx și tz se pot
obține din tY prin înmul țirea cu matricea ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=00100001J :
.t
ttYJzx⋅=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
7.2 Funcții de răspuns la impuls
Numărul ridicat de coeficien ți dintr-un model VAR (într-un model cu un
lag și două variabile, f ără constantă, sunt 4 coeficien ți ce trebuie estima ți) face
relativ dificil ă interpretarea rela țiilor care exist ă între variabile pornind de la ace ști
coeficienți. În loc s ă se analizeze fiecare coeficient din fiecare ecua ție, se poate
analiza o imagine sintetic ă a comportamentului dinamic a modelului VAR. Aceast ă
imagine este dat ă de funcțiile de răspuns la impuls, care descriu (sub form ă de
tabel sau sub form ă grafică) modul în care fiecare variabil ă reacționează la un șoc
propriu sau la un șoc în celelalte variabile.
Un șoc apărut în cadrul ecua ției variabilei i nu numai c ă afectează în mod
direct variabila i, dar este transmis, de asemenea, tuturor celorlalte variabile
endogene prin structura dinamic ă a modelului VAR. O funcție de răspuns la

Page 86 impuls urmărește efectul unui șoc apărut la un moment dat într-una din inova țiile
modelului asupra valorilor prezente și viitoare ale variabilelor endogene.
Cea mai simpl ă cale de construc ție a funcțiilor de răspuns la impuls este
prin iterarea succesiv ă a modelului, utilizând matricea estimat ă de coeficien ți. Să
presupunem, de exemplu c ă vrem să analizăm efectele unui șoc în variabila tx.
Pornim cu ()Tzx y0 0 0 ,= , unde 10=x și 00=z . După o perioad ă
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
1
211
11
1
221
211
121
11
11
01
ββ
ββββ
zx,
unde pentru a surprinde numai efectele unui șoc inițial în tx, presupunem c ă erorile
în toate celelalte momente sunt zero.
În relația precedent ă1
11β reprezint ă efectul unui șoc în tx asupra lui tx,
după o perioad ă, iar 1
21β reprezint ă efectul unui șoc în tx asupra lui tz, după o
perioadă.
Iterând înc ă o perioad ă:
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛
012
1
211
11
1
221
211
121
11
22Bzx
ββ
ββββ,
rezultă că efectele unui șoc în tx după două perioade se extr ag din prima coloan ă a
matricei 2B.
Iterând în continuare, dup ă 3, …, n perioade, ob ținem că efectul (r ăspunsul
la impuls) în variabila i la un șoc în variabila j este egal cu elementul de pe
poziția ()ji, din matricea nB, ()()jin j
i B nr,= .
În cazul în care inova țiile sunt simultan necorelate, interpretarea
răspunsului la impuls este relativ simpl ă. Inovația i este pur și simplu un șoc pentru
variabila i. Inovațiile, cu toate acestea, s unt de obicei corelate, și pot fi privite ca
având un element comun, care nu poate fi asociat cu o variabil ă specifică. Pentru a
interpreta, în aceast ă situație general ă, răspunsurile la impuls, se obi șnuiește să se
aplice o transformare a inova țiilor, astfel încât acestea s ă devină necorelate.

Page 87

In Eviews , pentru a ob ține funcțiile de răspuns la impuls, se estimeaz ă mai
întâi modelul VAR, apoi se selecteaz ă View/Impulse Response … din bara de
instrumente VAR. Se afi șează o casetă de dialog cu dou ă file: Display și Impulse
Definition. În fila Display Information ar trebui introduse va riabilele pentru care
se dorește să se genereze inova ții (Impulsuri ) și variabilele pent ru care se dore ște
să se urmărească răspunsurile ( Responses ).
7.3 Descompunerea varian ței
În timp ce func țiile de răspuns la impuls urmeaz ă efectele unui șoc apărut
în dinamica unei variabile asupra unei alte variabile din VAR, descompunerea
varianței oferă informații despre importan ța relativă a fiecărei inovații privind
efectul asupra dinamicii vari abilelor din VAR. Pentru a ob ține descompunerea
varianței, se selecteaz ă View/Variance Decomposition… din bara de instrumente a
obiectului var. Practic, trebuie s ă se furnizeze aproximativ acelea și informații ca și
mai sus în cazul specific ării unei func ții de răspuns la impuls. Ca și în cazul

Page 88 răspunsurilor la impuls, descompunerea varian ței bazate pe metoda Cholesky, are o
mare senzitivitate fa ță de modul de ordonare al variabilelor în modelul VAR.
Vom prezenta intui ția teoretic ă pe care se bazeaz ă descompunerea varian ței
erorii de prognoz ă pentru un model VAR(1) cu dou ă variabile. Pentru mai multe
laguri și mai multe variabile intui țiea se păstrează, dar apar unele complica ții
inerente dimensiunii ridicate a sistemului și numărului ridicat de laguri. Vom
considera modelul VAR(1) cu dou ă variabile: t t t yB By ε++=−1 1 0 , unde
()tt t zx y ,= , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=0
210
11
0ββB , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=1
221
211
121
11
1ββββB și ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=21
tt
tuuε . Vectorul de erori este
presupus a fi distribuit normal bi-variat, cu medie []⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=00
tEε și matrice de
varianță covarianță ()[][]
[][]⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=
⎥⎥
⎦⎤
⎢⎢
⎣⎡
⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=Σ2
22
1
22 1221 11
21
2 1
00
σσ
tt tttt tt
tt
t tuuE uuEuuE uuE
uuuuE .
Dacă se cunosc valorile celor dou ă variabile la momentul 0: 0x și 0z,
prognoza pentru momentul urm ător va fi: []01 0 0 1| yB B yyE += , iar eroarea de
prognoză
[]1 0 1 1 |ε= − yyEy .
Prognoza pentru momentul 2, pe baza informa țiilor de la momentul 0 este
[] []02
1 01 0 0 1 1 0 0 2 | | yB BB B yyEB B yyE ++= += , cu eroarea de prognoz ă
[]11 2 0 2 2 | εε B yyEy += − .
În general, eroarea corespunz ătoare prognozei de peste k perioade, pe baza
informațiilor din prezent este
[]11
1 22
1 1 1 0|−−
− − ++++= −kk
k k k k k B B B yyEy ε εεε L ,
ceea ce se traduce printr-o medie ponderat ă a erorilor ce vor apare pe parcurs.
Ponderile erorilor sunt cu atât mai mari, cu cât acestea sunt mai recente.

Page 89 Eroarea de prognoz ă a variabilei tx după două perioade este
[]2
11
121
11
111
2 0 2 2 | u u u yxEx ββ++= − , iar dup ă trei perioade:
[] ()()( )2
11
221
121
121
111
11
211
1221
112
21
121
21
111
3 0 3 3 | u u u u u yxEx βββββββββ ++ ++++= − .
Coeficien ții ()()1
211
1221
11βββ+ și ( )1
221
121
121
11ββββ+ sunt extra și de pe prima
linie a matricei 2
1B. Pentru eroarea de prognoz ă a variabilei tx după trei perioade
am avea nevoie de prima linie a matricei 3
1B etc. Scrierea erorii de prognoz ă a lui
tx se simplific ă dacă utilizăm funcțiile de răspuns la impuls ()krj
1 , răspunsul
primei variabile ()tx la variabila j ( 1=j pentru tx și 2=j pentru tz) după k
perioade. Utilizând r ăspunsurile la impuls, eroarea de prognoz ă a variabilei tx
după două perioade se scrie: []()()( )( )2
12
11
11
12
22
11
21
1 0 2 2 1 1 0 0 | urur u rur yxEx +++= − ,
iar dup ă dou ă perioade:
[]()( ) ()()()()2
12
11
11
12
22
11
21
12
32
11
31
1 0 3 3 2 2 1 1 0 0 | u rur urur u rur yxEx +++++= − . În general,
[] () ()∑∑−
=−−
=−+ = −1
02 2
11
01 1
1 0|k
jjkk
jjk k k ujr ujr yxEx .
Varianța erorii de prognoz ă este
[][] () () ⎥
⎦⎤
⎢
⎣⎡+ = − ∑∑−
=−−
=−1
02 2
11
01 1
1 0|k
jjkk
jjk k k ujr ujr Var yxExVar .
Deoarece erorile sunt ne corelate, atât înre ecua ții, la acela și moment, dar și
în interiorul acelea și ecuații, varianța erorii de prognoz ă devine
[][] ()[] ()[]
()()[] ()()[]
()() ()() .|
2
21
022
12
11
021
11
0222
11
0121
11
02 2
11
01 1
1 0
σ σ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛+⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=+ =+ = −
∑ ∑∑ ∑∑ ∑
−
=−
=−
=−−
=−−
=−−
=−
k
jk
jk
jjkk
jjkk
jjkk
jjk k k
jr jruVarjr uVarjrujrVar ujrVar yxExVar

Page 90 Varianța de prognoz ă a variabilei tx apare astfel ca fiind rezultatul celor
două varianțe ale erorilor care intervin în ecua țiile VAR. Putem calcul procentul de
varianța totală a erorii de prognoz ă care se datoreaz ă primei variabile:
()() [][]02
11
021
1 |yxExVar jrk kk
j−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛∑−
=σ , restul ()() [][]02
21
022
1 |yxExVar jrk kk
j−⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛∑−
=σ
fiind datorat varian ței celei de a doua variabil ă.
În general, într-un sistem cu n variabile, procentul din varian ța erorii de
prognoză a variabilei i care se datoreaz ă varianței erorii din ecua ția variabilei j,
după k perioade, este ()() [][]021
02|yxExVar lrk k lk
jj
i −⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛∑−
=σ .
7.4 Cauzalitate Granger
În cadrul modelelor VAR se pot stabili rela țiile de cauzalitate în sens
Granger care exist ă între variabile. Pornind de la ideea c ă efectul nu poate s ă
preceadă cauza, Granger (1969) a introdus o no țiune de cauzalitate definit ă astfel:
dacă variabila tx influențează variabila tz, atunci cunoa șterea valorilor lui x
trebuie să amelioreze performan ța prognozelor f ăcute asupra lui z.
În modelul VAR(1) prezentat mai sus, cauzalitatea Grange r între cele dou ă
variabile se testeaz ă astfel:
• de la z la x:
:0H z nu cauzeaz ă Granger pe x 01
12=⇔β ;
• de la x la z:
:0H x nu cauzeaz ă Granger pe z 01
21=⇔β .
Respingerea ipotezei nule este un indiciu în favoarea cauzalit ății.

Page 91
8 Tehnici de analiz ă a dinamicii pe termen lung a
variabilelor economice
Acest capitol descrie procesul de estimare și analiză a modelelor de tip
VEC (Vector Error Correction), precum și modelele și instrumentele pentru
testarea prezen ței relațiilor de cointegrare dintre mai multe variabile nesta ționare.
Teoria din spatele estim ării modelelor ARMA, discut ate în capitolul 6, se
bazează pe serii de timp sta ționare. O serie este sta ționară (în covarian ță) în cazul
în care media, varian ța și auto-covarian țele seriei nu depind de timp. Orice serie
care nu este sta ționară se nume ște nestaționară. Un exemplu clasic de serie
nestaționară este procesul de tip random walk :
1 tt tyyε−=+
unde ε este un proces sta ționar. Procesul Random walk este o serie
staționară în prima diferen ță, sau proces cu ordin de integrare 1, deoarece prima
diferență a procesului (1 tt tyyε−−= ) este un proces sta ționar. Ordinul de integrare,
sau numărul de rădăcini unitare (unit roots), reprezint ă numărul de opera țiuni de
diferență necesare pentru a face o serie sta ționară. Pentru procesul de tip random
walk exist ă o singur ă rădăcină unitate, deci este o serie I(1). Similar, o serie
staționară este I(0).
Procedurile standard de inferen ță nu se aplic ă pentru ecua ții de regresie care
conțin o variabil ă dependent ă integrată sau regresori integra ți. Prin urmare, este
important s ă se verifice dac ă o serie este sta ționară înainte de a o utiliza într-o
regresie. Metoda formal ă pentru testarea sta ționarității unei serii este testul de unit
root (rădăcină unitate), despre care s-a discutat în Capitolul 6.
Unul din dezavantajele analizei seriilor nesta ționare în dou ă etape:
staționarizare prin diferen țiere sau eliminarea unui trend, urmat ă de analiza
propriu-zis ă este posibilitatea pierderii în acest mod a informa țiilor asupra

Page 92 dinamicii pe termen lung a seriilor de timp. Acest dezavantaj poate fi adresat prin
utilizarea unor metode concepute sp ecial pentru analiza seriilor nesta ționare.
Constatarea empiric ă potrivit c ăreia multe serii de timp macroeconomice con țin o
rădăcină unitate a impulsionat dezvoltarea teoriei analizei seriilor de timp de
nestaționare.
Engle și Granger (1987) au subliniat faptul c ă o combina ție liniară a două
sau mai multe serii nesta ționare poate conduce la o serie care este sta ționară. În
cazul în care exist ă o astfel de combina ție liniară staționară, se spune c ă serile
nestaționare care intr ă în aceea combina ție sunt cointegrate . Combina ția liniară
staționară se numește ecuația de cointegrare și poate fi interpretat ă ca o relație de
echilibru pe termen lung între variabile.
Avantaje ale utiliz ării metodologiei cointegr ării:
• permite analiza seriilor de timp nesta ționare, f ără a pierde
informațiile legate de comportamentul acestora pe termen lung;
• cointegrarea st ă la baza modelelor VEC, care includ atât rela ția pe
termen lung, cât și mecanismul de corec ție a erorilor.
Dezavantaje:
• necesită impunerea de restric ții suplimentare pentru identificarea
relației de cointegrare;
• metodologia dezvoltat ă pentru determinarea num ărului de rela ții de
cointegrare este relativ complex ă;
• situațiile în care între variabile exist ă mai multe rela ții de
cointegrare sunt dificil de interp retat din punct de vedere economic.
8.1 Teste de cointegrare
Scopul unui test de cointegrare constă în a determina dac ă un grup de serii
nestaționare sunt cointegrate sau nu. Dup ă cum se explic ă în continuare, prezen ța
unei relații de cointegrare constituie baza pentru modelele de tip VEC.

Page 93 Metodologia Engle-Granger se utilizeaz ă, în special, pentru a testa
existența cointegr ării între dou ă serii de date și constă în estimarea unei regresii
între cele dou ă variabile și testarea sta ționarității reziduurilor rezultate. Dac ă seria
de reziduuri este sta ționară, cele dou ă serii sunt cointegrate.
Eviews implementeaz ă teste de cointegrare pe baz ă de modele VAR,
folosind metodologia elaborat ă de către Johansen (1991, 1995). Pentru a efectua
testul de cointegrare Johansen , se selecteaz ă View/Cointegration Test… din
grup sau bara de instrumente a ferestrei VAR.

De reținut faptul c ă, deoarece discut ăm de un test de cointegrare, acesta este
valabil numai atunci când se lucreaz ă cu serii despre care se știe că sunt
nestaționare. Se pot aplica mai întâi teste ale r ădăcinii unitate pentru fiecare serie
din VAR. Pagina Cointegration Test Specification solicită informații despre test.
În practic ă, cazurile 1 și 5 sunt rar folosite. Ar trebui utilizat cazul 1 numai dac ă
știți că toate seriile au me die zero. In practic ă, se utilizeaz ă cazul 2 dac ă nici una
din serii nu pare s ă aibă un trend. Pentru seri i cu trend se utilizeaz ă cazul 3, dac ă se
consideră că toate trendurile sunt stocastice; dac ă se consider ă că unele serii au un

Page 94 trend determinist, se utilizeaz ă cazul 4. Dac ă nu există siguranță privind trendul
care se poate folosi în ipotez ă se poate alege op țiunea Summary of all 5 trend
assumptions (cazul 6). Aceast ă opțiune indic ă numărul de rela ții de cointegrare
sub fiecare din cele 5 ipoteze de trend, și apoi se va putea evalua gradul de
sensibilitate al rezultatelor fa ță de aceste ipoteze.

Prima parte a tabelului cu rezultate prezint ă numărul de rela ții de
cointegrare. Dou ă tipuri de teste statistice sunt raportate. Primul bloc prezint ă așa-
numitele statistici trace și al doilea bloc (care nu apare in figura de mai sus)
prezintă statisticile maximum eigenvalue . Pentru a determina num ărul de rela ții de
cointegrare, condi ționat de ipotezele f ăcute cu privire la trend, se analiz ă succesiv
rezultatele de la 0=r până la 1−=Kr până când nu se mai respinge ipoteza nul ă
asociată testului. Rezultatul acestei proceduri de testare secven țială este prezentat
în partea de jos a fiec ărui tabel cu rezultate.

Page 95 A doua parte a ferestrei cu rezultate ofer ă estimări ale parametrilor din
relațiile de cointegrare β și ale parametrilor de ajustare α. După cum se cunoa ște,
vectorul de cointegrare nu este identificat dac ă nu se impun o anumit ă normalizare
a acestuia în mod arbitrar. De obicei, se utilizeaz ă o normalizare definite în
Johansen (1995). De re ținut faptul c ă transpusa lui β este raportat ă prin selectarea
opțiunii Unrestricted Cointegrating Coefficients , astfel încât pe primul rând este
primul vectorul de cointegrare, pe al doilea rând este al doilea vector de
cointegrare, și așa mai departe.
8.2 Modele tip VEC
Un model de tip VEC (Vector Error Correction) este un model VAR
restricționat conceput pentru a fi utilizat în cazul seriilor nesta ționare despre care se
cunoaște că sunt cointegrate. Un model VEC are încorporat în carul structurii sale
aceste rela ții de cointegrareare, astfel încât urm ărește să limiteze dinamica pe
termen lung a variabilelor endogene astfel încât s ă convearg ă către relațiile lor de
cointegrare, permi țând în acela și timp ajust ări dinamice pe termen scurt. Termenul
care cuantific ă relația de cointegrare este cunoscu t ca termenul de corectare a
erorilor (error correctio n), deoarece o eventual ă abatere de la echilibrul pe termen
lung este corectata treptat printr-o serie de ajust ări parțiale pe termen scurt.
Coeficien ții regresiei estimate dau rela ția de cointegrare, care se poate
interpreta ca o rela ție pe termen lung între cele dou ă variabile. Combinând rela ția
pe termen lung cu un mecanism de ajustare pe termen scurt, se ob ține un modelde
tip VEC.
Dacă două variabile, ty1 și ty2 respectă relația pe termen lung (sunt
cointegrate) atunci t t y y21 1β= , 01>β . Mecanismul de ajustare pe termen scurt
conține răspunsul fiec ărei variabile la abaterile de la rela ția pe termen lung:
()
() ⎩⎨⎧
+Δ+Δ+−=Δ+Δ+Δ+−=Δ
− − − −− − − −
t t t t t tt t t t t t
u y y y y yu y y y y y
2 121
22 111
21 121 11 2 21 121
12 111
11 121 11 1 1
γγβαγγβα.

Page 96 În relația de mai sus, coeficien ții 1α și 2α reflectă viteza cu care cele dou ă
variabile se ajusteaz ă la relația pe termen lung. De exemplu, dac ă 121 11 − −>t t y yβ ,
ceea ce înseamn ă că variabila 11−ty este mai mare decât trebuie conform rela ției de
echilibru, 01<Δty , dacă 01<α , ceea ce readuce variabila la valori compatibile cu
relația pe termen lung.
Matricial, rela ția de defini ție a unui model VEC se scrie
t t tT
t u y y y +ΔΓ+⋅⋅=Δ− − 1 1 1βα ,
unde ()T
t t t yy y2 1,= , ()T
2 1,ααα= , ()T
2 1,βββ= , ⎟⎟
⎠⎞
⎜⎜
⎝⎛=Γ1
221
211
121
11
1γγγγ și
()T
t t t uu u2 1,= .
Este de remarcat faptul c ă un model VEC se poate pune sub forma unui
model VAR și invers:
( )t t tT
t u y y I y +Γ−⋅+Γ+=− − 2 1 1 1βα .
Deoarece modelul de tip VEC se aplic ă numai pentru serii cointegrate, este
necesar să se ruleze mai întâi un test de cointegrare, a șa cum este descris mai sus,
și să se determine num ărul de rela ții de cointegrare. Aceste informa ții trebuie
furnizate ca parte a specifica țiilor VEC.
In Eviews, pentru a configura un model VE C, se face clic pe butonul
Estimate din bara de instrumente și se alege op țiunea Vector Error Correction
din fila VAR/VEC Specification . În fila VAR/VEC Specification trebuie
furnizate acelea și informații ca pentru un VAR nerestric ționat, cu unele excep ții:
• Termenul de trend constant sau liniar nu ar trebui s ă fie inclus în caseta de
editare Exogenous Series . Specifica țiile privind trendu l pentru un model
VEC trebuie s ă fie menționate în fila Cointegration .
• Specificațiile referitoare la lag-uri se refer ă la termenii constând în prima
diferență a variabilelor și care cuantific ă dinamica pe termen scurt din

Page 97 VEC. Pentru a estima un VEC f ără lag-uri în termenii constând în prima
diferență, se specific ă intervalul de lag "0 0".
• Dacă se dorește impunerea de restric ții cu privire la rela țiile de cointegrare
și/sau a coeficien ților de ajustare , se utilizeaz ă fila Restrictions .
Fereastra care con ține rezultatele estim ării modelului VEC se compun din
două părți. Prima parte raporteaz ă rezultatele procedurii Johansen, efectuat ă în
prima etap ă. Dacă nu exist ă restricții impuse, Eviews va utiliza o normalizare
implicită. Această normalizare implicit ă exprimă primele variabilele r din VEC,
ca funcții de restul de rK− variabile r ămase, unde r este num ărul relațiilor de
cointegrare și K este num ărul de variabile endogene. Pe ntru parametrii care sunt
identifica ți în cadrul restric țiilor sunt raportate erorile standard asimptotice.
A doua parte a tabelului cu rezultate prezint ă estimările, determinate în a
doua etap ă, privind modelul VAR, exprimat ca prima diferen ță a variabilelor
analizate și incluzând termenii de corec ție a erorilor estimate în prima etap ă.
Termeni de corec ție a erorilor sunt nota ți CointEq1, CointEq2, și așa mai departe
în cadrul rezultatelor. Aceast ă parte a rezultatului are acela și format ca și rezultatul
unui VAR nerestric ționat, dup ă cum este descris în capitolul anterior.

Page 98

9 Tehnici de analiz ă a modelelor de tip panel data
Datele de tip panel sau pool implica observa ții care posed ă atât
identificatori pentru sec țiuni transversale, cât și privind evolu ția în timp a acestora.
Analiza acestui tip de date se realizeaz ă în Eviews în fișiere de lucru de tip panel.

Există două moduri de baz ă pentru a crea un fi șier de lucru st ructurat cu
date de tip panel. În prim ul rând, se poate crea un nou fișier de lucru care are o
structură de panel. Pur și simplu se selecteaz ă opțiunea File/New/ Workfile… din
meniul principal pentru a deschide c ăsuța de dialog Workfile Create . În
continuare, se selecteaz ă Balanced Panel din lista mobil ă Workfile structure
type și se completeaz ă căsuța de dialog dup ă cum se dore ște.
O a doua metod ă de structurare a fi șierului de lucru cu date de tip panel este
să se introduc ă prima dat ă date stivuite într-un fi șier de lucru nestructurat și apoi să
se aplice o structur ă pentru a crea un fi șier de lucru de tip panel. Pentru a structura
un fișier existent, se selecteaz ă Proc/“Structure/Resize Current Page…” din
fereastra principal ă de lucru. Eviews deschide o c ăsuță de dialog Workfile

Page 99 structure . Structura de baz ă a căsuței de dialog este destul de similar ă cu cea a
căsuței de dialog Workfile create . In partea stâng ă se găsește o listă mobilă, din
care se va selecta un tip de structur ă. Cea mai simpl ă metodă pentru definirea unei
structuri de tip panel cu frecven ță regulată este de a selecta Dated – regular
frequency . Partea dreapt ă din căsuța de dialog se modific ă pentru a reflecta
alegerea f ăcută la pasul precedent, solicitându-s e descrierea structurii de date.
Clasa de baz ă a modelelor ce pot fi estimate folosind instrumente pentru
date de tip panel poate fi scris ă astfel:
i t i t iti tYXαβδγ ε′=++ + +
unde itY e s t e v a r i abila dependent ă, itX este un vector k dimensional de
regresori și itε sunt inova țiile pentru M unitățile transversale și observate pentru T
perioade. Termenii iδ și tγ reprezint ă efectele specifice (aleatoare sau fixe) pentru
unități ale secțiunii transversale sau pentru anumite perioade de timp.
Prezența efectelor specifice transversale sau temporale poate fi surprins ă și
analizată utilizând tehnici pentru efecte fixe și pentru efecte aleatoare. Se pot
specifica modelele ce con țin efecte într-una sau ambele dimensiuni, de exemplu,
un efect fix în dimensiunea sec țiunii transversale, un efect aleator în dimensiunea
perioadei sau un efect fix în sec țiunea transversal ă și un efect aleatoriu în
dimensiunea perioadei. Trebuie eviden țiat faptul c ă, totuși, cele cu efecte aleatorii
în ambele dimensiuni pot fi estimate numai în cazul în care panelul este echilibrat,
astfel încât fiecare sec țiune transversal ă are acela și set de observa ții temporale.
Specificațiile cu efecte fixe sunt tratate folosind o abordare simpl ă care
constă în eliminarea mediei variabilei depende nte la nivel transversal sau temporal
și apoi utilizarea unei ecua ții de regresie utilizând datele rezultate. Specifica țiile cu
efecte aleatoare presupun c ă efectele corespunz ătoare iδ și tγ sunt realiz ări ale
unor variabile aleatoare independente cu medie zero și varianță finită. Cel mai
important, specifica ția bazată pe efecte aleatoare presupune faptul c ă efectul

Page 100 specific este necorelat cu inova țiile ecuației. Eviews prelucreaz ă modele cu efecte
aleatoare folosind tehnici de tip FGLS.
Eviews permite estimarea ecua țiilor de tip panel utilizând metoda OLS sau
metoda variabilelor inst rumentale, cu corec ții pentru efectele fixe sau aleatoare,
atât în dimensiunea sec țiunii transversale, cât și în cea temporal ă, erorile de tip AR
și erorile standard robuste.
Primul pas în estimarea unei ecua ții de tip panel este construirea unui obiect
equation prin utilizarea op țiunii Object/New Object…/Equation sau
Quick/Estimate Equation… din meniul principal. Eviews va detecta prezen ța
structurii de tip panel și în loc de c ăsuța de dialog a ecua ției de regresie standard se
va deschide c ăsuța de dialog specific ă structurii de tip pa nel. Trebuie deschis ă lista
mobilă Method pentru a alege metoda de estimare, fiind disponibile LS – Least
Squares (and AR) , adică metoda OLS, TSLS – Two-Stage Least Squares (and
AR), adică metoda variabilelor instrumentale, precum și GMM / DPD –
Generalized Method of Moments / Dynamic Panel Data utilizată în cazul în care
în partea dreapt ă a ecuației se găsesc lag-uri ale variabilei dependente.

Căsuța de dialog pentru estimarea OLS con ține mai multe pagini în care
trebuie introduse specifica ția modelului, op țiunile de estimare de tip panel și
opțiunilor generale de estimare. Specifica ția ecuației se introduce în caseta

Page 101 Equation specification și mărimea eșantionului în caseta Sample . În general,
marea majoritate a specifica țiilor permise în cadrul ecua țiilor de regresie standard
poate fi utilizate și în cazul datelor panel. Se pot, de exemplu, include termeni AR.
Totuși, nu se pot include termeni MA într-un model cu date panel.
Apoi, în cadrul filei Panel Options se specifica set ări specifice de estimare.
În primul rând, trebuie luate în consid erare efectele specifice transversale sau
temporale folosind lista mobil ă Effects specification . În mod implicit, Eviews
presupune c ă nu exist ă efecte specifice, astfel încât ambele casete combo sunt
setate la None . Se pot schimba set ările implicite pentru a permite, fie efecte fixe
(Fixed ) sau aleatoare ( Random ), fie în sec țiunea transversal ă, fie în dimensiunea
perioadei, fie în ambele.
De asemenea, trebuie s ă se specifice o metod ă de calcul pentru matricea de
varianță-covarian ță a estimatorilor. Se poate utiliza lista mobil ă Coef covariance
method , pentru a selecta una din diversele metode robuste disponibile pentru
calcularea erorilor standard. Modul de calcul al covarian ței poate fi ales s ă fie
robust sub diferite ipoteze, de exemplu, corelarea general ă a observa țiilor într-o
secțiune transversal ă sau heteroskedasticitate la nivel transversal.
Eviews oferă instrumente pentru testarea semnifica ției statistice a
estimărilor privitoare la efectele specif ice fixe. Pentru a testa semnifica ția efectelor
trebuie estimat în primul View/Fixed/Random Effects Testing/Redundant Fixed
Effects – Likelihood Ratio . Eviews va estima specifica țiile corespunz ătoare
restricționate și va afișa rezultatele testului statistic, precum și rezultatele
specificațiilor restric ționate.
O ipoteza central ă în estimarea specifica țiilor care con țin efecte aleatoare
constă în faptul c ă aceste efecte sunt necorelate cu variabilele explicative. O
metodă des utilizat ă pentru testarea acestei ipoteze este utilizarea testului
Hausman pentru a compara estim ările coeficien ților obținute prin estimare cu
efecte fixe și prin estimarea cu efecte aleatoare. Pentru a efectua testul Hausman,
trebuie estimat în primul rând un model cu efecte aleatoare. În continuare, se

Page 102 selectează View/Fixed/Random Effects Testing/Correlated Random Effects-
Hausman Test . Eviews estimeaz ă în mod automat specifica țiile corespunz ătoare
bazate pe efecte fixe, calculeaz ă statisticile testelor și afișează rezultatele și
ecuațiile auxiliare.
Interesul din ce în ce mai mare în ceea ce prive ște datele panel, precum și
disponibilitatea crescând ă a acestora a condus la extinder ea a diferite teste statistice
pentru date panel. Literatura de specialitate recent ă s-a concentrat asupra testelor
de cointegrare în cadru panel. Eviews poate calcula mai multe tipuri de teste de
cointegrare în panel. Pentru a realiza un test de coin tegrare cu date panel în
Eviews , se deschide un grup care con ține seriile de interes și se selecteaz ă
Views/Cointegration Test… pentru a afi șa caseta de dialog în care se specific ă
parametrii utiliza ți în relația de cointegrare.

Page 103
10 Tehnici de estimare a modelelor de tip DSGE
10.1 Structura de baz ă a unui program Dynare
Rezolvarea și estimarea modelelor dinamice de echilibru general stocastic
(DSGE) nu se poate realiza în Eviews presupunând utilizarea unor pachete
software specializate cum ar fi Dynare care necesit ă însă cunoștințe avansate de
utilizare a mediului de programare Matlab . Prezentăm în continuare structura de
bază a unui program de tip Dynare, care poate fi utilizat pentru estimarea unui
model de tip DSGE. Un astfel de progr am este constituit din mai multe sec țiuni,
denumite blocuri.
In cadrul primului bloc trebuie specif icate care sunt variabilele exogene,
care sunt variabilele endogene și care sunt variabilele predeterminate în cadrul
modelului respectiv. De asemenea, trebuie men ționați care sunt parametrii
modelului.
In cadrul celui de-al doilea bloc trebuie s ă se specifice valorile parametrilor
sau modul de estimare al acestora. Pent ru estimarea parametrilor unui model
DSGE se pot utiliza, de obicei, trei metode: GMM (Generalized Method of
Moments), MLE (Maximum Likelihood Estimation), precum și o metoda bazat ă
pe tehnici bayesiene .
Al treilea bloc con ține descrierea ecua țiilor modelului. Acest bloc trebuie s ă
înceapă cu cuvântul cheie „model” și să se finalizeze prin cuvântul cheie „end”.
Ecuațiile modelului pot fi specificate fie în forma brut ă rezultată din rezolvarea
problemelor de optimizare a agen ților economici, fie în form ă liniară. Cea de-a
doua specifica ție presupune îns ă din partea cercet ătorului un efort suplimentar,
datorită faptului c ă ecuațiile brute trebuie log-liniarizate în jurul punctului de
echilibru pe termen lung. Opera țiunea de log-liniarizare presupune dezvoltarea în

Page 104 serie Taylor a logaritmului variabilelor de interes în jurul valorii de echilibru pe
termen lung și concentrarea aten ției asupra primului termen din aceast ă serie.
Al patrulea bloc define ște valorile ini țiale ale variabilelor din cadrul
modelului. Acest bloc trebuie s ă înceapă cu cuvântul cheie „initval” și să se
finalizeze prin cuvântul ch eie „end”. Aceste valori ini țiale trebuie alese cu grij ă,
astfel încât sa aib ă sens economic, deoarece au o influen ța foarte mare asupra
valorilor de echilibru pe termen lung, care sunt calculate de c ătre program prin
metode numerice de rezolvare a sistemelor de ecua ții neliniare. Alternativ, pot fi
specificate în mod direct valorile de echil ibru pe termen lung al unor variabile. In
acest caz trebuie utilizat cuvântul cheie „endval” în locul cuvântului cheie „initval”.
In cadrul urm ătorului bloc sunt specificate care din variabile joac ă rolul
șocurilor exogene care influen țează dinamica sistemului. Deoarece avem de a face
cu variabile aleatoare, trebuie s ă se specifice distribu ția acestea, în special varian ța
fiecărui șoc, precum și corelația dintre acestea. Acest bloc trebuie s ă înceapă cu
cuvântul cheie „shocks” și să se finalizeze prin cuvântul cheie „end”.
In cadrul urm ătoarelor dou ă blocuri trebuie s ă se specifice metoda prin care
vor fi determinate valorile de echilibru pe termen lung, respectiv metoda cu
ajutorul c ăreia va fi rezolvat și simulat modelul DSGE supus analizei.
10.2 Operațiunea de log-liniarizare
Aproximarea log-liniar ă a relațiilor de optimalitate asociate unui model
DSGE reprezint ă un caz particular al unei metode mai general ă, respectiv metoda
perturbațiilor. Log-liniarizarea unui m odel DSGE este preferabil ă în cazul în care
relațiile acestuia sunt „u șor” neliniare, nefiind necesare corec ții de tip convexitate.
Aproximarea log-liniar ă conduce, de asemenea, o interpretare intuitiv ă a
variabilelor din cadrul aproxim ării, respectiv devia ții procentuale fa ță de o valoare
pe termen lung.

Page 105 Pentru a exemplifica tehnica de lo g-liniarizare vom pleca de la o rela ție de
optimalitate, des întâlnit ă în modelele DSGE
1c
NNu
uF=
Pentru a nu cre ște inutil dificultatea, folosim o func ție de utilitate
logaritmic ă ()( ) () ,l nl n 1ucN c N=+ − și o funcție de produc ție de tip Cobb-
Douglas ()1, FKN A NKαα−= . Ca urmare, rela ția de optim de mai sus se scrie sub
forma:
1111N
cA N Kααα−−−=
prin logaritmarea c ăreia avem c ă:
()( ) ()()()()( ) ln 1 ln ln 1 ln ln ln 0 Nc NK A αα ⎡⎤ −−+− − − + =⎣⎦
In continuare, dezvolt ăm în serie Taylor , în jurul punctului de echilibru pe
termen lung sau steady-state (notat cu o bar ă deasupra variabilei de interes),
fiecare termen al rela ției de mai sus și păstrăm doar primul termen al acestei
dezvoltări.
Astfel, avem c ă:
()() () () ()1ˆ l n1 l n1 l n1 l n111 1NN N NNNN NN N NNN N N⎛⎞−−≈ −− −= −− = −− ⎜⎟−− − ⎝⎠
()()()()1ˆ ln ln lnccc cc cc≈+ − =+
()()() ()1ˆ ln ln lnNNN NN NN≈+− =+
()()() ()1ˆ ln ln lnKKK KK KK≈+− =+
()()()()1ˆ ln ln lnAAA AA AA≈+ − =+
Ca urmare, rela ția optim de mai sus se poa te rescrie utilizând devia ții
procentuale fa ță de steady-state (notate cu c ăciuliță deasupra variabilei de interes):

Page 106 ()ˆ ˆˆ ˆˆ101NNc NK ANα⎡⎤ −− − − − + =⎣⎦−
Bineînțeles că procedura prezentat ă mai sus este o aproximare „bun ă” a
realității doar în cazul în care abaterea procentual ă față de steady-state nu este
„prea mare” sau altfel spus poate fi utilizat ă în situații „normale”. Totu și, în situații
excepționale, de „criz ă”, abaterile fa ță de valorile de echilibru pe termen lung pot
să înregistreze valori „mai mari”, caz în care trebuie s ă se apeleze la metoda mai
generală a perturba țiilor.
10.3 Noțiuni elementare privind econometria bayesian ă
Regula lui Bayes , descoperit ă în secolul 17 de c ătre preotul și
matematicianul englez Thomas Bayes, ofer ă o reprezentare alternativ ă a
probabilit ăților condi ționate și reprezint ă o noțiune fundamental ă care stă la baza
econometriei bayesiene. In cazul simplu, care se refer ă la două evenimente A și B,
regula lui Bayes este dat ă prin rela țiile ()()()
() ( ) ()()BPBAPBPBAPBPBAPABP| |||+= și
()()()
() ( ) ()()BPBAPBPBAPBPBAPABP| |||+= .
Pentru a surprinde intui ția regulii lui Bayes s ă observăm pentru început c ă
spațiul stărilor analizat este parti ționat într-o colec ție de evenimente disjuncte care
ale căror probabilit ăți diferite de zero sunt cunoscute, în cazul de fa ță B și B. De
asemenea, se consider ă un eveniment A a cărui probabilit ăți condiționate de fiecare
dintre evenimente din parti ție sunt cunoscute. Având în vedere aceast ă informație
de fond, regula lui Bayes ofer ă mijloacele pentru reevaluarea probabilit ăților
evenimente din parti ția spațiului stărilor având în vedere informa ția suplimentar ă
că evenimentul A are loc.
Astfel, probabilit ățile evenimentelor din parti ție sunt, de fapt, "actualizate"
în lumina noilor informa ții furnizate de apari ția evenimentului A. Această
interpretare a regulii Bayes a dus la utilizarea termenilor de probabilitate apriori

Page 107 care se refer ă la probabilitatea calculat ă înainte de a avea informa ții cu privirea la
apariția evenimentului A, respectiv probabilitate aposteriori care se refer ă la
probabilitatea „actualizat ă”, calculat ă ca o probabilitate condi ționată, după ce
există informații cu privirea la apari ția evenimentului A

Page 108
Bibliografie selectiv ă
Baltagi, B.H., (2005), Econometric Analysis of Panel Data , 3rd Edition, John
Wiley & Sons
Bobeica G., (2010), Econometria seriilor de timp, note de curs, Master DOFIN
Brooks, C., (2008), Introductory Econometrics for Finance , 2nd Edition,
Cambridge University Press
Canova, F., (2007), Methods for Applied Macroeconomic Research , Princeton
University Press
Enders, W., (2004), Applied Econometric Time Series , 2nd Edition, Wiley
Greene, W.H., (2008), Econometric Analysis , 6th Edition, Prentice Hall
Hamilton, J., (1994), Time Series Analysis , Princeton University Press
Lutkepohl, H. și M. Kratzig, (2004), Applied Time Series Econometrics ,
Cambridge University Press
Maddala, G.S., (2001) Introduction to Econometrics , John Wiley & Sons.
Mittelhammer, R.C., (1996), Mathematical Statistics for Economics and Business ,
Springer
Necula C., (2010a), Bazele econometriei, note de curs, Master DOFIN
Necula C., (2010b), Econometria pie țelor de capital, note de curs, Master DOFIN
Necula C., (2010c), Econometrie avansat ă, note de curs, Master BPM
Wooldridge, J., (1999), Introductory Econometrics : A Modern Approach, South-
Western College Pub
***, Eviews 6 User Guide
***, Dynare User Guide