Introducere … … … … 3 [632308]
1
CUPRINS
CUPRINS ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 1
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 3
Capitolul I. Polinoame ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 5
1.1. Construcția unui inel de polinoame ………………………….. ………………………….. ………… 5
1.1.1 Inele de polinoame ………………………….. ………………………….. ………………………….. 5
1.1.2 Forma algebrică a polinoamelor ………………………….. ………………………….. ………… 7
1.2 Teorema împărțirii cu rest. ………………………….. ………………………….. ……………………… 9
1.3 Divizori de grad I. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 11
1.3.1.Teorema lui B ézout ………………………….. ………………………….. ……………………….. 11
1.3.2 Schema lui Horner ………………………….. ………………………….. …………………………. 12
1.4. Relația de divizibilitate pentru polinoame cu coeficienți într -un corp ………………… 14
1.5 Algoritmul lui Euclid ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 16
1.6. Polinoamele ireductibile ………………………….. ………………………….. ……………………… 18
1.7. Descompunerea polinoamelor în produse de factori ireductibili ………………………… 21
1.8. Rădăcini multiple ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 22
1.9. Relații între rădăcini și coeficienți ………………………….. ………………………….. ………… 25
1.10. Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți raționali ………………………….. …………….. 29
1.10.1 Rădăcini conjugate ale polioamelor cu coeficienți raționali. ………………………. 29
1.10.2. Rădăcini raționale ale polinoamelor cu coeficienți întregi: ……………………….. 29
Capitolul II. Ecuații algebrice cu coeficienți reali ………………………….. …………………………. 31
2.1 Ecuații și rezolvarea lor ………………………….. ………………………….. ……………………….. 31
2.2 Transformări echivalente ale ecuațiilor ………………………….. ………………………….. ….. 31
2.3. Transformări neechivalente ale ecuațiilor ………………………….. ………………………….. . 32
2.4 Folosirea practică a transformărilor neechival ente, în rezolvarea ecuațiilor …………. 34
2.5. Ecuațiile algebrice ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 37
2.6. Ecuația de gradul I. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 38
2.7. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea ………………………….. ………………………….. …. 39
2.7.1. Relații între coeficienții și rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea: ………….. 41
2.7.2. Formarea unei ecuații de gradul al doilea cănd se cunosc rădăcinile: …………… 41
2.7.3 Studiul semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: ………………………….. .. 42
2.8. Ecuații de gradul al treilea și al patrulea ………………………….. ………………………….. … 43
2.8.1. Ecuații de gradul III. ………………………….. ………………………….. ……………………… 43
2.8.2 Ecuații de gradul patru. ………………………….. ………………………….. ………………….. 44
2
2.9. Rezolvarea câtorva ecuații algebrice de grad superior ………………………….. …………. 45
2.9.1 Ecuații binome: ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 45
2.9.2. Ecuații bipătrate: ………………………….. ………………………….. ………………………….. 46
2.9.3. Ecuații reciproce: ………………………….. ………………………….. ………………………….. 47
2.9.4. Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul III. ………………………….. ……………….. 49
2.9.5. Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul IV. ………………………….. ……………….. 49
2.9.6. Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul V. ………………………….. ………………… 50
2.10. Metode spe ciale de rezolvare a ecuațiilor ………………………….. …………………………. 50
2.10.1 Rezolvarea ecuațiilor cu ajutorul substituțiilor ………………………….. …………….. 50
2.10.2. Rezolvarea unei ecuații algebrice când se știe că unele rădăcini verifică o
relație dată. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 51
Capitolul III. Aspecte metodice privind predarea ecuațiilor algebrice ………………………….. 53
3.1 Metodologia rezolvării ecuației de gradul I. ………………………….. ………………………… 53
3.2 Metodologia rezolvării ecuației de gradul II ………………………….. ………………………… 56
3.2.1. Necesitatea introducerii ecuației de gradul II: ………………………….. ……………….. 56
3.2.2. Modul de introducere a ecuației de gradul II. ………………………….. ……………….. 56
3.2.3. Rezolvarea ecuației de gradul al II -lea. Cazurile speciale. ………………………….. 57
3.2.4 Ecuația generală: ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 58
3.2.5 Aplicații: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 60
Rezolvați ecuațiile: ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 60
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 72
Anexe ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 73
3
Introducere
Rezolvarea ecuațiilor i -a preocupat pe matematicieni încă din antichitate. Primele
reguli generale pentru rezolvarea ecuațiilor de gradele I și II apar în lucrarea ” Al-djabr-o-al
mucabala” a matematicianului și astronomului Muhamed ibn Musa al Horseni (sec. IX).
Însuși cuvântul ”algebră” vine de la titlul acestei luc rări. Prin algebr se înțelegea trecerea
termenilor cu semn schimbat dintr -un membru în celălalt iar prin almukabala eliminarea
termenilor egali din ambii membrii ai ecuației.
Formulele de rezolvare al ecuațiilor de gradul al III -lea și al IV -lea au fost
descoperite în perioada Renașterii italiene de matematcienii italieni Scipione del Ferro și
Niccola Tartaglia (pentru ecuația de gradul al III -lea) și Ludovico Ferrari(pentru ecuația de
gradul al IV -lea). Aceste formule au fost publicate de Gerolamo Cardan o în Ars Magna
(1545).
Rezolvarea ecuațiilor de gradul mai mare sau egal cu 5 a stat în continuare în
atenția matematicienilor (Euler, Descartes, Lagrange, Gauss, …) dar abia la începutul
secolului al XIX -lea a fost demonstrată de către Abel și Ruffini im posibilitatea găsirii unor
formule de rezolvare. Probleme rezolvăr ii ecuațiilor algebrice, adică a ecuațiilor de forma:
a fost complet tranșată odată cu
apariția teoriei lui Galois când au fost date criterii de rezolvabilitate a ecuațiilor prin
radicali, s -a creat teoria care este astăzi cunoscută sub numele lui Galois, teoria care a
determinat întreaga dezvoltare a algebr ei sub forma sa modernă.
În timp de trei secole eforturile depuse pentru dezvoltarea în radicali a ecuației de
gradul n au dus la crearea unor idei noi, importante, al căror rezultate dă răspuns la trei
probleme:
Problema existenței rădăcinilor;
Problema obținerii unor informații asupra rădăcinilor unei ecuații cu ajutorul
coeficienților ei, fără rezolvarea ecuației, ca de exemplu stabilirea existenței, a
numărului rădăcinilor reale, separarea și limitarea rădăcinilor reale;
Problema calculului aproximativ al rădăcinilor unei ecuații.
Prezenta lucrare conține ….. pagini, fiind împărțită pe patru capitole.
4
Capitolul I, intitulat ”Polinoame” studiază contrucția unui inel de polinoame,
teorema împărțirii cu rest, relația de divizibilitate pentru polinoame, algoritmul lui
Euclid, descompunerea polinoamelor în produse de factori ireductibili, rădăcinile
polinoamelor și relații între rădăcini și coeficienți.
Capitolul I I, intitulat ”Ecuații algebrice cu coef icienți reali”, studiează metodele de
rezolvare ale ecuațiilor, transformările echivalente respectiv neechivalente ale lor,
rezolvarea ecuațiilor de gradul I, II, III, IV și de grad superior. Tot aici se studiază
ecuațiile binome, bipătrate și reciproce pr ecum și unele metode speciale de rezolvare a
ecuațiilor.
Capitolul III , arată unele aspecte metodice privin d predarea ecuațiilor în ciclul
gimnazial.
Lucrarea se încheie cu prezentarea bibliografiei utilizate în conceperea lucrării.
5
Capitolul I. Polinoame
1.1. Construcția unui inel de polinoame
1.1.1 Inele de polinoame
Fie A un inel comutativ. Inelul A poate fi în particular un corp comutativ, cum este
cazul lui , , și , p număr prim.
Să notăm cu B mulțimea tuturor șirurilor ai A care au
numai un număr finit de termeni diferiți de 0. Acesta revine la faptul că există un rang m
(care depinde în general cu șirul f ) astfel încât ai = 0, i m.
Dacă f , g B, atunci:
) și
) .
Așadar, dacă ) și ) atunci:
Să observăm că dacă f, g B, atunci f + g B și f ∙ g B. Într -adevăr, m, n
astfel încât pentru i m și pentru j n, de unde , pentru
max și , k m+n.
Am definit astfel pe mulțimea B două legi de compoziție:
B x B B, (f, g) f + g
B x B B, (f, g) f ∙ g
Mulțimea B formează un inel comutativ în raport cu legile de compoziție definite
de mai sus. În adevăr, dacă f, g, h B,
, atunci: ( + h =
) și
6
+ h ) =
).
Cum adunarea inelului A este asociativă, avem: = ,
, de unde ( + h = + h ), f, g, h B.
Analog se arată, că: f + g = g + f , f, g B .
Dacă 0 = (0,0, …), atunci: 0+ f = ) =
, f B. Deci 0 este elementul neutru pentru adunarea definită pe B.
Dacă f B, , fie și avem:
) = (0,0, 0, …) = 0 = deci
(B,+) este grup abelian.
Operația multiplicativă B x B B, (f, g) f ∙ g este comutativă și admite ca
element de efect nul șirul (1,0,0,…). Să verificăm că operația multiplicativă este asociativă
și că este distributivă față de cea aditivă.
Într-adevăr f, g, h B,
, și atunci:
și
Rezultă că , l = 1,2,3,… de unde ( f∙g)∙h = f∙(g∙h) , f, g, h B.
De asemenea, de unde
f∙(g+h) = f∙g+f∙h, f,g,h B.
Elementele inelului B se numesc polinoame cu coeficienti în A.
Dacă f B , f =( ), atunci se numește coeficientul de rang i al polinomului f .
7
Evident f = g dacă și numai dacă coeficientul de rang i al polinomului f este egal cu
coeficientul de rang i al lui g oricare ar fi i = 0,1,2,… . Șirul (0,0,0,….) poartă numele
polinomului z ero. Operațiile inelului B se numesc respective adunarea și înmulțirea
polinoamelor.
Fie f B, f = ( ), f (0,0,0,…). Cum numărul coeficienților deferiți de 0
ai lui f este finit, există un rang m astfel încât și oricare ar fi i m.
Atunci: f = ( ) ,
Numărul m astfel determinat se numește gradul polinomului f notat cu grad f , iar
se numește coeficientul dominant al lui f. Prin definiție, polinomul zero are gradul – .
1.1.2 Forma algebrică a polinoamelor
Fie B inelul polinoamelor cu coeficienți în A construit de mai sus. De la inelul A la
inelul de polinoame B considerăm aplicația: : AB, (a) = ( a,0,0,…..) , a A.
Aplicația este injectivă dacă (a) = (b), atunci ( a,0,0,…) = ( b, 0,0,…), deci a = b.
Pentru a,b A, avem: (a+b) = (a+b, 0,0,…) = ( a,0,0,…) + ( b,0,0,…) = (a) + (b) și
(a∙b) = (ab,0,0,…) = ( a,0,0,…)∙( b,0,0,…) = (a)∙(b).
Așadar pune în corespondență biunivocă elementele lui A cu polinoamele de
grad 0. Făcând identificarea a = (a,0,0,…), aA, avem A B, iar adunarea și
înmulțirea elementelor lui A coincide cu adunarea și înmulțirea polinoamelor de grad 0.
Considerăm polinomul X = (0,1,0,…). Conform regul ii de înmulțire a polinoamelor,
se obține:
…
Pentru a A, avem: a
8
Fie acum un polinom f de grad m, f = ( ), Avem f =
( ) = ( ) + ( ) + … + ( ) =
deci , numită forma
algebrică a polinomului f . Dacă spunem că polinomul f este unitar.
Inelul B va fi notat în continuare și se numește inelul polinoamelor în nedeterminată
X cu coeficienți din A. Așadar, cu vom nota inelul
polinoamelor în neterminată X cu coeficienții respectiv din
Fie f,g A[X], , g = cu
. Pentru a face o alegere, presupunem m n. Atunci:
f+g =
și
) ) =
+ … +
Din acest calcul rezultă : grad ( f+g) max grad f, grad g, grad (f ∙ g) grad f + grad g.
grad ( f+g) max grad f, grad g, dacă și numai dacă m = n și Dacă f 0,
g 0 și inelul A este f ără divizori a lui zero, atunci f ∙ g 0, pentru că din
și se deduce și grad (f ∙ g) grad f + grad g.
1.1.1 Teoremă: Dacă A este un domeniu de integritate, atunci A X este domeniu de
integritate și grad (f ∙ g) = grad f + grad g, f,g AX, f 0, g 0.
1.1.3 Funcții polinomiale. Rădăcini.
Fie A un inel comutativ, fX, f = și xA. Elementul
f (x)A, f (x) = se numește valoarea polinomului f în xA.
1.1.2. Teoremă: Valoarea sumei (produsului) a două polinoame f,g AX, într -un punct
xA este egală cu suma (produsul) valorilor polinoamelor f și g în punctual x:
(f+g)(x) = f(x) +g(x), f,g AX, xA
9
(f ∙ g)(x) = f(x) ∙g(x), f,g AX, xA
Demonstrație : Fie f,g A, , g
atunci xA avem:
și
Fie f AX. Asociind la fiecare element xA valoarea f(x) a polinomului f în punctul
x se obține o funcție , numită funcția polinomială asociată
lui f . Un element x A se numește rădăcină din A a polinomului f AX dacă valoarea
lui în punctul a este egală cu zero, adică f (a) = 0.
1.2 Teorema împărțirii cu rest.
Un concept fundamental al aritmeticii inelului este cel de divizibilitate:dacă
a,b spunem că b divide pe a, și scriem ba, dacă q astfel încât a = b∙q.
Multe proprietăți aritmetice în s-au obținut cu ajutorul teoremei împărțirii cu rest :
a,b , b 0, q,r unic determinați astfel încât : a = b∙q + r , 0 r b.
Această teoremă se extinde la polinoame într -o nedeterminată X cu coeficienți într -un corp
comutativ K, după cum urmează:
1. 2. 1. Teoremă: (a împărțirii cu rest ). Fie K un corp comutativ și f,g KX, g 0.
Există două polinoame q, r KX, unic determinat astfel încât f = g∙q + r, grad r
grad g.
Demonstrație : Existența . Cănd grad f grad g luăm q = 0, r = f și avem g∙q + r =
10
= g∙ 0 + f = f cu grad f grad g. Rămâne să examinăm cazul grad f grad g.
Fie m = grad f, n = grad g; m n și
, , .
Cum și K este un corp, polinomul
Are coeficienți în K. Atunci (a) este din KX și
grad m-1 (avem grad m-1 dacă și numai dacă ).
Presupunând afirmația adevărată pentru polinoame de grad m, atunci pentru cuplul de
polinoame astfel încât f1 = g∙q 1 + r 1, grad r1 grad g (b)
Din relațiile (a) și (b) rezultă că și afirmația este
adevărată luănd
Unicitatea. Fie astfel încât f = g∙q + r =gq0 + r0, grad r grad g, grad
r0 grad g. Rezultă că g∙(q – q0) = r0 – r. Dacă r r0 atunci q – q0 0 și avem:
n > grad g∙(r-r0) = grad ( q-q0) = grad g + grad ( q-q0) grad g = n.
Contradicție. Deci . Atunci g(q-q0) = 0 și cum g 0, deduce q – q0 = 0, deci q = q0
(inelul are divizori ai lui zero ).
Polinoamele q, r din identitatea f = g∙q + r, grad r grad g, se numesc respective
câtul și restul împărțirii lui f prin g 0.
Fie f,g KX. Vom spune că polinomul g divide polinomul f , și scriem g f,
dacă un polinom q KX astfel încăt f = g∙q. Polinomul g divide polinomul f dacă și
numai dacă restul împărțirii lui f prin g este egal cu polinomul 0.
11
1.3 Divizori de grad I.
1.3.1.Teorema lui B ézout
Teorema împărțirii cu rest are o serie de consecințe importante privind împărțirea
prin polinoame de grad 1.
1.3.1. Teoremă (a restului ): Fie K un corp comutativ, f KX și a K. Atunci există un
polinom q KX unic determinat astfel încât f = (X- a)q + f (a).
Demonstrație: Conform teoremei 2.2.1, există două polinoame q, r KX, unic
determinat astfel încât f = (X- a)q + r, grad r grad (X – a) = 1 . Cum grad r 1 rezultă că
r K și avem:
f (a) = ((X -a)q+r)(a) = (a-a)q(a)+r(a)= r(a)=r, f = (X- a)q + f (a).
1.3.2. Consecință ( teorema factorului ). Fie f KX și a K. Atunci polinomul X -a
divide polinomul f dacă și numai dacă f (a) = 0.
1.3.3. Consecință. Fie K un corp comutativ și f KX.
1). Dacă sunt rădăcinile distincte din K ale polinomului f , atunci r grad f
și polinomul divide pe f.
2). Polinomul f are cel mult m rădăcini distincte în corpul K, unde m = grad f.
Demonstrație:
1). Dacă sunt rădăcinile distincte din K ale polinomului f, atunci
polinomul
divide pe f. În adevăr, rezultă din consecința 2.3.2. când r = 1 afirmația este verificată.
Fie r > 1 și presupunem că afirmația este adevărată pentru r-1. Atunci g KX astfel
încât
12
Avem:
și cum , rezultă că Aplicând din nou consecința
2.3.2. h KX astfel încât g = , de unde
2). Presupunem acum că reprezintă mulțimea tuturor rădăcinilor distincte din
K ale lui f deduce m = grad f = grad
+grad h = r + grad h r.
1.3.2 Schema lui Horner
Fie f KX, , și a K.
Împărțind cu rest polinomul f prin polinomul X -a se obține un cât
, și un rest r = f (a) K.
Avem f = q(X-a) + r, deci
de unde
Identificând coeficienții, găsim formulele ce ne permit determinarea succesivă a
coeficienților ai polinomului q precum și valoarea r a restului,
anume:
…
13
Xm Xm-1 X X0
am am-1 … a1 a0
a cm-1 cm-2 … c0 R
Pentru a determina ci, i m-1 se înmulțește cu coeficientul ci+1 (deja determinat) din stănga
lui ci.
Analog se calculează r. Această organizare a calculelor poartă numele de schema lui
Horner.
Exemple: 1. Fie f X, Să determinăm
câtul și restul împărțirii lui f prin polinomul X -3.
Folosind schema lui Horner avem:
X4 X3 X2 X X0
2 -2 -15 10 3
3 2 4 -3 1 6
2. Fie K un corp comutativ, f KX și a,b K cu a b.
a) Arătați că restul împărțirii polinomului f prin polinomul (X -a)(X-b) este
b) Deduceți că dacă X -a și X-b divide pe f și a b, atunci (X -a)(X-b) divide pe f.
c) Arătați că polinomul se divide prin .
Soluție: a) Cum polinomul g = (X-a)(X-b) are gradul 2 restul împărțirii lui f prin g este de
forma cX+d, cu c,d K. q KX astfel încât f = (X-a)(X-b)q+cX+d, de unde f(a) = ca
+ d și f(b) = cb + d. Cum a b, deducem:
c =
,
deci
.
14
b) Dacă X -a f și X-b f , atunci f(a) = f(b) = 0, de unde f = (X-a)(X-b)q.
c) Cum și este sufficient să arătăm că și
. În adevăr, și , ceea ce se poate verifica cu schema lui
Horner:
X4 X3 X2 X X0
1 1 -1 -2 -2
1 0
X4 X3 X2 X X0
1 1 -1 -2 -2
1 0
1.4. Relația de divizibilitate pentru polinoame cu coeficienți într -un corp
Fie K un corp comutativ și f,g KX. Polinomul g divide polinomul f dacă există
un polinom q KX astfel încât f =gq. În acest caz scriem g f și se mai spunem că g
este divizor al lui f în inelul KX sau că f este multiplu al lui g în inelul KX.
I) Relația de divizibilitate este reflexivă: f f , f KX.
În adevăr , pentru f KX avem f = fq cu q = 1 KX.
II) Relația de divizibilitate este tranzitivă: dacă f g și g h , atunci f h. În
adevăr, dacă f g și g h atunci q1, q2 KX, astfel încât g = fq1 și h
= gq2. Atunci h = gq2 = (fq1)q2 = f(q1q2) = fq cu q = q1q2 KX, deci g f.
15
III) Dacă h f și h g, atunci h uf + vg, u,v KX.
În adevăr, q1, q2 KX, astfel încât f = hq1 și g = hq2. Atunci uf + vg =
= uhq 1 + vhq 2 = h(uq1 + vq2) = hq, cu q = uq1 + vq2 KX, deci h uf + vg.
IV) Dacă și g f și f 0, atunci 0 grad g grad f.
În adevăr, fie q KX astfel încât f = gq. Atunci g 0, q 0 și deci
0 grad q grad g + grad q = grad f.
V) Dacă f , g sunt două polinoame unitare din K X astfel încât g f și
grad f = grad g atunci f = g.
În adevăr, fie
. Cum g f , există q KX astfel încăt f = gq.
Dar n = grad f = grad g + grad q = n + grad q, deci grad q = 0, de unde q
= a K, a 0. Așadar f = aq, deci
Identificănd coeficienții găsim a = 1 și ai = abi = bi , 0 i n -1, deci f = g.
VI) Dacă f,g KX și g f, atunci ag f, a K, a 0. În adevăr, fie q KX
astfel încât f = gq. Dacă a K, a 0 atunci a -1 K dacă a -1q este un
polinom cu coeficienți în K și cum f = (ag)(a -1q) rezultă că ag f.
1.4.1 Definiție. Fie f,g KX. Spunem, că polinomul f este asociat în divizibilitate cu g
și scriem f ~ g, dacă f g, g f.
1.4.2. Teoremă. Fie f KX, , .
1) Un polinom q KX, este asociat în divizibilitate cu polinomul f dacă și numai dacă
există a K, a 0, astfel încât g = af.
2) Polinomul este singurul
polinom unitar din K X asociat în divizibilitate cu f.
Demonstrație:
1) Presupunem că g = af, a 0, atunci avem f g. Cum f = bg, unde b = a -1K,
avem și g f, deci f ~ g.
16
Reciproc, dacă f ~ g, atunci f g și g f, deci există q1,q2 KX astfel încât
f = gq1 și g = fq2.
Din relația 1 = q1q2 rezultă că este polinom de grad 0, deci q2 = a K, a 0 și
avem g = af.
2) Cum și , rezultă că ~ f. Fie h KX un
polinom unitar astfel încât h f. Cum h f și rezultă că Dar h și
fiind polinoame unitare de același grad ( = grad f ), din rezultă
.
1.5 Algoritmul lui Euclid
1.5.1 Definiție. Fie f,g KX. Un polinom d KX se numește cel mai mare divizor
comun (c.m.m.d.c.) al lui f și g dacă:
1) d f, d g
2) h f, h g f g
Dacă două polinoame d1 , d2 KX satisfac simultan 1) și 2), atunci d1 ~ d2. Dacă
polinomul d satisface 1) și 2), atunci ad, cu a K, a 0 satisface 1) și 2). C.m.m.d.c. , în
caz de existență, este unic determinat mai puțin o asociere în divizibilitate. Punând condiția
suplimentară ca d să fie polinomul unitar, atunci c.m.m. d.c. este unic determinat. Se
notează cu ( f,g) c.m.m.d.c. al polinomului f și g.
1.5.2. Lemă. Fie f, g, q și r patru polinoame cu coeficienți în corpul K legate prin relația f
= gq + r. În acest caz ( f,g) există dacă și numai dacă ( g,r) există și avem: ( f,g) = (g,r).
Demonstrație : Să presupunem că ( f,g) există. Fie d KX, d = (f,g). Cum d f și d g
rezultă că d divide și polinomul r = f – gq = 1∙ f + (-q)g, deci: ) d g, d r. Dacă h g și
h r, atunci h divide și polinomul f = qg + r, deci h d. Așadar: ) h g, h r h d.
Din ) și ) rezultă că ( g,r) există și ( g,r) = d.
17
Reciproc, presupunem că ( g,r) există și fie d = (g,r). Avem d g și d r și cum f = gq + r,
avem și d f. Dacă h f și h d, atunci h divide și polinomul r = f – gq.
Cum d = (g,r) din h f și h d. Deci ( f,g) există și avem ( f,g) = d. Dacă f g sau g f
avem ( f,g) = f respectiv ( f,g) = g. În particular, ( f,0) = f, (0,g) = g.
1.5.3. Teoremă: Fie K un corp comutativ și f,g KX. Atunci ( f,g) există. Mai mult,
există u,v KX astfel încât d = uf + vg, unde d = (f,g).
Demonstrație: (algoritmul lui Euclid).
Dacă g f , atunci ( f,g) = g = 0∙f + 1∙g. Presupunem deci că g nu divide pe f.
Există q0,r0 KX astfel încât: (0) f = gq0 + r0, grad r0 grad g, r 0 0.
De asemenea, există q1,r1 KX astfel încât: (1) g = r0q1 + r1, grad r1 grad r0.
Dacă r1 0, există q2,r2 KX astfel încât: (2) r0 = r1q2 + r2, grad r2 grad r1.
…
Dacă ri-1 0, există qi,ri KX astfel încât: (i) ri-1 = ri qi + ri, grad ri grad ri-1.
Cum grad g > grad r0 > grad r1>… > grad ri 0, există un rang n astfel încât rn 0 și rn+1
= 0, deci
(n-1) rn-3 = rn-2 qn-1 + rn-1 , grad rn-1 grad rn-2, rn-1 0.
(n) rn-2 = rn-1 qn + rn , grad rn grad rn-1, rn 0.
(n+1) rn-1 = rn qn+1 + 0
Ansamblul de împărțiri succesive cu rest (0), (1), … , ( n+1) se numește algoritmul lui
Euclid pentru polinoamele f , g. Deci d = rn și exprimând pe rn și înlocuind din aproape
în aproape resturile și prin ri-1 și ri-2 se ajunge la egalitatea dorită. Am demonstrat:
c.m.m.d.c. al polinoamelor f , g există și este egal cu ultimul rest 0 din algoritmul lui
Euclid pentru f , g.
18
1.6. Polinoamele ireductibile
Fie K un corp comutativ și K X inelul polinoamelor în nedeterminata X cu
coeficienți din K.
1.6.1. Definiție: Fie K un corp comutativ și p KX un polinom de gradul n > 0.
Spunem că p este polinom ireductibil peste K dacă nu există f,g KX astfel încât p =
fg, grad f n, grad g n. În caz contrar, spunem că p este polinom reductibil peste K.
Dacă p = fg , atunci pentru orice a K, a 0 avem: ap = (af)g, grad ( af) = grad f.
Dacă p este ireductibil (reductibil) peste K atunci polinomul ap este ireductibil (resp.
reductibil ) peste K, oricare ar fi a K, a 0. Un polinom p KX grad n > 0, este
ireductibil (reductibil) peste K dacă și numai dacă nu admite (resp. admite) un diviz or f
KX astfel încât 0grad fn.
Exemple:
1) Orice polinom de grad 1 din K X este ireductibil peste K. Polinomul p = aX +
b, cu a,b K , a 0 nu poate avea divizori de grad diferit 0 și 1.
2) Dacă un polinom p KX de grad n > 1, este ireductibil peste K, atunci p nu
admite rădăcini în K. Reciproc, dacă un polinom p KX de grad 2 sau 3 nu
admite rădăcini în K, atunci p este ireductibil peste K.
În adevăr, dacă grad p = n > 1 și a K este o rădăcină a lui p, atunci conform teoremei lui
Bézout X – a p, deci q KX și grad ( X – a) =1 n, grad q =n -1 n rezultă că p este
reductibil peste K. Reciproc, presupunem că gradul lui p este 2 sau 3 și că p este
reductibil peste K, avănd factorul aX + b. În acest caz p admite rădăcini c =- a -1b K.
1.6.2. Lemă: Orice polinom f KX de grad mai mare ca 0 admite un divizor ireductibil
unitar.
19
Demonstrație: Polinomul f admite divizori din K X de grad mai mare ca 0, de exemplu
pe f. Printre divizorii lui f din KX de grad mai mare ca 0 considerăm unul de grad
minim, fie acesta p. Înlocuind pe p cu p , putem presupune că p este unitar. Polinomul p
este ireductibil pe K. În adevăr, dacă p este reductibil, h KX astfel încât h p și 0
grad h grad p. Dar h p și p f rezultă h f și cum 0 grad h grad p, este contrazisă
alegerea lui p. Deci p este ireductibil peste K.
1.6.3. Teoremă: Penru un corp comutativ K următoarele afirmații sunt echivalente:
1) Orice polinom ireductibil peste K are grad 1.
2) Orice polinom f cu coeficienți din K de grad mai mare ca 0 admite cel puțin o
rădăcină din K.
Demonstrație : 1) 2). Conform lemei 2.6.2. polinomul f admit e un divizor
ireductibil unitar p KX. Din 1) rezultă că p are gradul 1 și atunci p este de
forma X -a, a K. Cum X-a f , din teorema lui B ézout rezultă că f (a) = 0, a K.
2) 1). Fie p un polinom ireductibil peste K.
Din 2) rezultă că a K astfel încât p (a) = 0. Conform teoremei lui B ézout
polinomul X -aKX și p este ireductibil peste K, rezultă că p are gradul egal cu 1.
Spunem că un corp K este algebric închis dacă orice polinom f KX, grad f > 0 admite
cel puțin o rădăcină în K.
Corpul nu este algebric închis căci polinomul este ireductibil peste Q și are
gradul 2. Nici corpul nu este algebric închis căci polinomul nu admite rădăcini în
.
Corpul al numerelor complexe este algebric închis, acest rezultat fiind cunoscut sub
numele de teorema fundamentală a algebrei:
1.6.4. (d’ Alambert – Gauss). Orice polinom f cu coeficienți complecși de grad mai mare
ca 0 admite cel puțin o rădăcină complexă.
1.6.5. Orice polinom ireductibil peste are gradul unu.
Demonstrație: Rezultă din teoremele 2.6.3. și 2.6.4.
Fie f X, . Cum ⊂ , avem f X.
20
Conform teoremei 2.6.4. există z , z = a+bi , cu a,b , astfel încât f(z) = 0, deci
Fie conjugatul complex z. Avem
de unde
Am demonstrat:
1.6.6. Teoremă: Dacă numărul complex z este rădăcină a polinomului f cu coeficienți
reali, atunci și este rădăcină a lui f .
1.6.7. Singurele polinoame unitare ireductibile peste corpul sunt:
1) Polinoamele X -a, a
2) Polinoamele
Demonstrație : Polinoamele X -a, a având gradul 1 sunt ireductibile peste . Fie acum
p un polinom unitar de gradul n > 1 ireductibil peste . Polinomul p nu admite rădăcini
reale. În adevăr, dacă p(a) = 0, cu a , atunci X -a p. Deci p admite divizorul X -a X
de grad 1 n, atunci p este reductibil peste . Cum p X rezultă că p X și conform
teoremei 1.6.4. există z , z = u +iv, u,v , astfel încât p(z) = 0. Cum p are coeficienți
reali, din consecința 2.6.6. rezultă că și Din p(z) = 0 rezultă că X -z p, deci
există g X astfel încât p = (X-z)g, și atunci 0 = (2.6.8.)
Cum polinomul p nu admite rădăcini reale avem v 0 , deci și atunci din 2.6.8.
rezultă că Așadar există h X astfel încât Avem:
Polinomul X și divide pe p. Cum p și au
coeficienți reali, rezultă că p este reductibil peste . Notând b =-2u, c = u2+v2, avem
21
1.7. Descompunerea polinoamelor în produse de factori ireductibili
Se știe că oricare ar fi numărul întreg a > 1 există numerele prime si > 0, 1 i n,
unic determinate astfel încât n = s1 s2… sn, rezultatul cunoscut de teorema fundamentală a
aritmeticii. Un rezultat asemănător este adevărat și pentru polinoamele cu coeficienți într –
un corp comutativ K, locul numerelor prime fiind luat de către polinoame ireductibile.
1.7.1. Teoremă: Fie K un corp comutativ și f KX, , cu a 0 și m
> 0. Există polinoame ireductibile unitare p1, p2,…,p n, unic determinate, astfel încât f =
p1 p2…p n.
Faptul că orice polinom f KX cu grad f m > 0, admite o asemenea descompunere se
demonstrează imediat prin inducție asupra lui m.
În adevăr, f = af * , unde f * = a -1f = Xm + … . Dacă m = 1, atunci f este
ireductibil peste K și rezultatul din enunț este adevărat cu n = 1. Presupunem că m > 1 și că
teorema este adevărată pentru polinoame de grad mai mic ca m. Dacă f este ireductibil ,
din nou rezultatul din enunț este adevărat cu n = 1. Deci, există două polinoame unitare g,h
KX astfel încât f * = gh, grad g < m, grad h < m. Conform ipotezei inducției, g și h
sunt produse finite de polinoame ireductibi le unitare și atunci f * = gh este produs finit de
polinoame ireductibile unitare.
1.7.2. Consecință: Pentru orice polinom cu coeficienți complecși
, m > 0, am 0, există z1,z2,…z m unic
determinați astfel încât f = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm).
Demonstrație: Rezultă din teorema 2.7.1. și consecința 2.6.5.
1.7.3. Consecință: Orice polinom , m > 0, am
0, cu coeficienți se descompune în mod unic sub forma f =
unde , , ,
22
Demonstrație: Rezultă din te orema 2.7.1. și consecință 2.6.7.
Exemple : Să se descompună în factori ireductibili peste , , și polinomul
știind că admite rădăcina
și deci f se divide
prin polinomul (X- z)(X- ) = . Împărțind pe f prin se găsește câtul
, deci f = ( )( ).
Cum discriminantul polinomului este = rezultă că
este ireductibil pe și cu atât mai mult peste . Deci f = ( )(
) este descompunerea lui f în factori ireductibili peste . Descompunerea lui f în factori
ireductibili peste și este:
f = ( ) ( ) respective
f = ( )
.
1.8. Rădăcini multiple
Fie f KX și α K o rădăcină a polinomului f. Cum f(α) = 0, din teorema lui
Bézout result că (X -α) f. Se poate întămpla să avem și f , f , … . Dacă
f, k < 1, atunci k grad f , deci e , e 1 astfel încât f , f ,
…, f , și Dacă nu divide pe f.
Astfel dacă f = și α = 2, atunci e = 3.
1.8.1. Definiție: Fie f KX și α K o rădăcină a polinomului f. Spunem că ordinul de
multiplicare al rădăcinii α este e, dacă f și nu divide pe f.
Dacă e = 1 spunem că α este o rădăcină simplă a lui f , iar dacă e > 1 spunem că α este o
rădăcină multiplă a lui f.
Să luăm polinomul și să observăm că f(2) = 0.
Deci α = 2 este o rădăcină a polinomului f . Se pune problema determinării ordinului de
multiplicitate a rădăcinii α = 2 a polinomului f. Împărțind polinomul f prin X -2 găsim
23
f = (X-2)g , unde Cum g(2) = 0, rezultă că X -2 g și găsim g
= (X-2)h,h = ; deci f = (X-2)2h.
Cum h(2) = 7 0, X -2 nu divide pe f. Rezult că α = 2 este o rădăcină dublă a polinomului
f.
Un instrument eficient pentru determinarea ordinului de multiplici tate pentru rădăcinile
unui polinom este dat de conceptul de derivat ă formal a polinoamelor: dacă f KX,
, atunci derivata (formală) a polinomului f ,
notată cu Df, este când
K = , funcția polinominală , ,
x , are derivată și
x .
Așadar, când K = , derivate formal a polinomului f este legată de derivate
a funcției polinomiale prin , f X. Ca și pentru derivate funcțiilor
reale, avem proprietățile: , f,g KX],
ceea ce se poate verifica direct cu definiția dată pentru derivată formal a polinoamelor.
Definim succesiv
numindu -se derivată formal de ordin k al polinomului f.
Dacă , atunci:
1.8.2. Teoremă: Fie f KX și αK. Atunci α este o rădăcină simplă a lui f dacă și
numai dacă f(α) = 0 și
Demonstrație: Fie αK o rădăcină a polinomului f. Cum f(α) = 0, din teorema lui
Bézout rezultă că f = (X-α)g, cu g KX, g 0. Evident, (X -α)2 nu divide f dacă și
numai dacă X -α nu divide g. Deci α este o rădăcină simplă a lui f dacă g(α) 0. Pe de
alte parte, avem:
24
de unde .
Rezultă că α este o rădăcină simplă a lui f dacă și numai dacă f(α) = 0 și
1.8. 3.Consecință: Fie f KX și αK o rădăcină a lui f . Atunci α este o rădăcină de
ordin e 2 a lui f dacă și numai dacă este o rădăcină de ordin e-1 a polinomului Df.
Demonstrație: Dacă α este o rădăcină de multiplicitatea e a lui f , atunci f = (X-α)eg, g
KX], g 0. Luând derivate formal, avem:
unde . Cum rezultă
că α este rădăcină de ordin e-1 a lui Df. Reciproc, presupunem că α este răd ăcină de
multiplicitate e-1 a lui Df și fie e' ordinul de multiplicitate al rădăcinii α a lui f. Conform
primei părți a demonstrației, α este rădăcină de ordin e-1 a lui Df. Deci e-1= e' -1, de unde
e' = e.
1.8.4. Consecință: Fie f KX și αK. Următoarele afirmații sunt echivalente:
1) α este rădăcină multiplă de ordin e a lui f.
2) f(α) = Df(α) = … = De-1 f(α) = 0 și De f(α) 0.
Exemple :1) Fie . Să cercetăm dacă polinomul f admite
rădăcini multiple. Conform consecinței 2.8.3. rădăcinile multiple ale lui f se găsesc printer
rădăcinile polinomului Df. Cum , rădăcinile
polinomului Df sunt 0,2, și
. Cum f(0) 0, f(2) = 0 și f(
) 0, singura rădăcină multiplă a
polinomului f este α = 2. Cum și rezultă că α
= 2 este rădăcină dublă a lui f.
2) Fie . Să determinăm a,b astfel încât
f . Dacă f rezultă că α = 1 este rădăcină a lui f de ordin e 2. Conform
teoremei 2.8.4. trebuie ca f(1) = 0 și Df(1) = 0. Cum , avem a + b
+1= 0 și 4 a + 3b = 0, de unde a = 3 și b = – 4.
25
1.9. Relații între rădăcini și coeficienți
Fie f un polinom de grad m cu coeficienți numerici:
, . Putem presupune că f X. Conform consecinței 2.3.3.,
numărul rădăcinilor distincte din ale polinomului f mai mic sau egal ca m. Din
consecință 2.7.2 rezultă că există z1,z2,…, z m unic determinați astfel încât
f = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm).
Să observă, că f (zi)= am(zi – z1)( zi – z2) …( zi – zi) … ( zi – zm) =, 1 i m, deci z1,z2,…, z m
sunt rădăcini din ale lui f .
Reciproc, dacă z este rădăcină a lui f , atunci 0 = f (z) = am(z – z1)( z – z2) … ( z – zm),
deci există i, 1 i m, astfel încât z – zi = 0, de unde z = zi. Deci z1,z2,…, z m sunt
rădăcini (nu neaparat distincte) ale polinomului f. Dacă ordinul de multiplicitate ale
rădăcinii z1 este e1, atunci , g X, g (zi) 0. Dacă factorul
din descompunerea f = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm) se repetă de ori, atunci
f = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm) se mai scrie Avem e = .
În adevăr, dacă e = , atunci din , de
unde
Contradicție. La fel se exclude inegalitatea e < , de unde e = Același raționament se
face pentru fiecare zi. Am demonstrat :
1.9.1. Teoremă: Dacă , este un polinom de
grad m cu coeficienți numerici, atunci f se scrie în mod unic sub forma:
f = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm), unde z1,z2,…, z m sunt rădăcinile (nu neaparat distincte) din
ale lui f . Fiecare factor X – zi apare în această descompunere de ei ori, unde ei este
ordinul de multiplicitate al rădăcinii.
26
Numerele complexe z1,z2,…, z m din relația f = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm) cu repetițiile date
de multiplicitate sunt numite rădăcinile polinomului f.
Între coeficienții unui polinom și rădăcinile sale există o legătură ce se scrie prin
relații cunoscute sub numele de formulele lui Vi éte.
Înainte de a formula rezultatul general, să considerăm cazurile m = 2 și m = 3.
Cazul: m = 2. Din egalitate deducem
și prin identificarea coeficienților,
obținem:
Cazul: m = 3. Din egalitate
deducem :
Prin identificarea coeficienților, obținem:
În general:
1.9.2. Teoremă. (formulele lui Viéte). Numerele complexe z1,z2,…, z m sunt rădăcinile
polinomului cu coeficienți numerici , ,
dacă și numai dacă:
(1)
,
(2)
,
27
…
(i)
,
…
(m)
.
28
Demonstrație : În relația f = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm) se dezvoltă produsul
și apoi se identifică coeficienții. Să observăm că pentru a constitui
membrul stâng al relației ( i), 1 i m, se fac toate combinările de z1,z2,…, z m luate câte i,
în total relația i având termeni ce sunt produse de i factori.
Reciproc, presupunem că numerele complexe z1,z2,…, z m satisfac relațiile (1) -(m)
și fie
g = am(X- z1)(X- z2) … (X – zm). Desfăcând parantezele și ținând cont de relațiile (1) -(m)
avem:
.
Cum f(zi) = g(zi) = 0, 1 i m, rezultă că z1,z2,…, z m sunt rădăcini ale polinomului f .
Formulele lui Vi éte pot folosi la aflarea rădăcinilor unui polinom atunci când se dă
o informație suplimenteră despre acesta.
Exemplu: Fie polinomul Să se determine rădăcinile x1,x2,x3
ale lui f știind că .
Scriem relațiile lui Viéte:
(2.9.3)
Cum atunci din prima relație din (2.9.3) avem că și
Din obținem Formăm sistemul
care dă rădăcinile
și .
Deci rădăcinile polinomului f sunt: , și .
29
1.10. Rădăcini ale polinoamelor cu coeficienți raționali
1.10.1 Rădăcini conjugate ale polioamelor cu coeficienți raționali.
Fie d un întreg de pătrate și corpul numerelor pătratice de forma ,
cu . Dacă atunci numărul s-a numit
conjugatul numărului pătratic z.
Avem și ,
1.10.1. Teoremă. Fie f un polinom cu coeficienți raționali
, Dacă f admite ca rădăcina numărul pătratic ,
atunci conjugatul lui z, , este deasemenea, rădăcină a lui f . Dacă b 0,
atunci f se divide prin polinomul
Demonstrație : Comform ipotezei avem f(z) = 0, deci ,
de unde
.
Rezultă că , deci f( ) = 0 f( ) = 0.
Dacă atunci , deci f se divide prin .
1.10.2. Rădăcini raționale ale polinoamelor cu coeficienți întregi:
1.10.2 Teoremă: Fie , Dacă
este o rădăcină rațională a lui f , unde p și q sunt relativ prime, atunci p a0 și q am.
Demonstrație: Cum , avem
După
înmulțirea cu qm, din egalitatea precedentă deducem că
și de unde rezultă că p și p
.
30
Cum , rezultă că și Din p și ,
rezultă că p . Analog se arată că q am.
1.10.3. Consecință: Fie
Dacă α este o rădăcină întreagă a polinomului f.
31
Capitolul II. Ecuații algebrice cu coeficienți reali
2.1 Ecuații și rezolvarea lor
A rezolva o ecuație înseamnă a găsi mulțimea soluțiilor ei, iar atunci cănd este
cazul a preciza că ecuația nu are nici o soluție.
Două ecuații sunt echivalente când au același soluții.
Pe lângă necunoscute, ecuația mai poate să conțină și alte valori reprezentate prin
litere, valori care se presupun însă cunoscute (dar nefixate n umeric):
– valori constante, care se presupun fixate definitiv de la începutul
problemei, sunt notate cu litere;
– parametrii, care se presupun cunoscuți dar care pot fi fixați prin mai
multe valori, schimbarea lor fâcând să se modifice anumite proprietăți
ale soluțiilor ecuațiilor din care fac parte.
Pentru a rezolva o ecuație când conține și litere ce reprezintă valori cunoscute
(constante și parametrii), găsim toate grupele de expresii ale necunoscutelor, în funcție de
literele ce reprezintă valori cunoscute .
2.2 Transformări echivalente ale ecuațiilor
În scopul rezolvării ecuațiilor, se folosesc anumite transformări, numite
transformări echivalente, care urmăresc găsirea soluțiilor cu ajutorul unor ecuații din ce în
ce mai simple.
Operațiile prin care se pot obține ecuații echivalente cu o ecuație dată vor fi prezentate sub
forme unor teoreme.
(P1) Dacă adunăm (scădem) la ambele părți ale unei ecuații același număr sau aceiași
expresie algebrică, ce poate fi definită pe intersecția domeniilor maxime de de finiție, ale
expresiilor ce formează cele două părți ale ecuației, se obține o ecuație echivalentă cu cea
dată.
32
(P2) Dacă înmulțim (împărțim) ambele părți ale unei ecuații, cu același număr nenul se
obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
(P3) Trecând unul sau mai mulți termeni dintr -o parte a unei ecuații în cealaltă, dar cu
semnele schimbate, se obține o ecuație echivalentă cu cea dată.
(P4) Dacă o ecuație cu o singură necunoscută are forma ax = b, b 0, atunci această
ecuație are o singură rădăcină , care este egală cu: x = b/a.
(P5) Dacă o ecuație are forma unui produs de două, sau mai multe expresii algebrice, egale
cu zero, atunci mulțimea soluțiilor este reuniunea mulțimilor soluțiilor unor ecuații
ajutătoare, obținute egalând cu zero fiecare expresie factor, în parte.
2.3. Transformări neechivalente ale ecuațiilor
În rezolvarea unor ecuații se mai aplică unele transformări care pe lângă soluții ale
ecuației date conduc și la alte soluții, numite soluții străine sau se elimină anumite soluții.
(P6) Dacă înmulțim ambele părți ale unei ecuații cu o expresie care conține necunoscute,
se pot introduce unele soluții străine. Aceste soluții străine au proprietatea că anulează
expresia cu care s -a efectuat înmulțirea.
(P7) Dacă ridicăm la pă trat ambele părți ale unei ecuații, se pot introduce unele soluții
străine.
(P8) Dacă împărțim ambele părți ale unei ecuații cu o expresie care conține necunoscuta,
se pot elimina unele soluții ale ecuației. Eventualele soluții eliminate au proprietatea s ă
anuleze expresia cu care s -a efectuat împărțirea.
(P9) Dacă extragem rădăcina pătrată din ambele părți ale unei ecuații, se pot elimina unele
soluții ale ecuației.
Proprietățile (P 7) și (P 9) pot fi generalizate în cazul ridicării la o putere mai mare
decât doi, a părților ecuației, respectiv în cazul extragerii unei rădăcini de ordin mai mare
decât doi, din cele două părți ale ecuației.
Fie ecuația: (3.3.1.) și expresia algebrică
oarecare , un grup de valori particulare (1) de forma ),
33
pentru care cele trei expresii și au valori
respectiv egale cu f0, g0 și h0.
Înmulțind ambele cu și trecând expresia din partea dreaptă a
ecuației în partea stângă obținem următoarele ecuații:
=0
=0 (3.3.2.)
Orice soluție ) a ecuației (3.3.1 .) conduce la egalitatea adevărată f0
= g0 deci verifică ecuația (3.3.2.). În plus, ecuația poate fi verificată și de alte soluții,
diferite de cele ale ecuației (3.3.2.), dar soluții care verifică ecuația:
Exemple :
1. Fie ecuația x = 3 cu soluția unică 3. Înmulțind cu x, ambele părți ale acestei ecuații,
se obține o altă ecuație de forma x2 = 3x, care mai are și soluția x = 0 pe lângă x = 3.
2. Fie ecuația x = 5, cu soluția egală 5. Ridicând la pătrat ambele părți ale acestei
ecuați i, se obține o altă ecuație x2 = 25, care este echivalentă cu ( x-5)(x+5) = 0. Această
nouă ecuație are pe lângă rădăcina egală cu 5 și o altă rădăcină egală cu -5.
3. Prin împărțirea la x, a ambelor părți ale ecuației x2 = x, se elimină soluția egală cu 0.
4. Fie ecuația x4 = 1. În mulțimea numerelor complexe are patru rădăcini: 1, i. Dacă
extragem rădăcina pătrată din ambele părți ale ecuației, obținem o nouă ecuație x2 = 1,
care are numai două rădăcini, 1 și -1. Rădăcinile imaginare i au fost elimina te.
5. Ecuația x-2 = 2 x-3 are o singură rădăcină, egală cu 1, care în procesul de verificare,
conduce la propoziția adevărată -1 = -1. Aplicând asupra ambelor părți ale acestei
ecuații, operația de extragere a rădăcinii pătrate, obținem o nouă ecuație:
, care nu mai are rădăcina egală cu 1 și nici o altă rădăcină, dacă rezolvăm pe
mulțimea numerelor reale. Înlocuind să verificăm noua ecuație, cu x = 1 obținem
egalitatea care nu pot fi considerată decât în mulțimea numerelor
complexe ( nu are sens în mulțimea numerelor reale).
34
2.4 Folosirea practică a transformărilor neechivalente, în rezolvarea ecuațiilor
Pentru a putea descoperi soluțiile ce s -au introdus, respectiv ce au fost eliminate
prin efectuarea unei transformări neechivalente, aplicate asupra unei ecuații, în procesul de
rezolvare a ei, ținem seama de proprietățile acestor soluții, ce rezultă din enunțurile
proprietăților (P 1) și (P 4).
Presupunem că asupra unei ecuații s -a efec tuat o transformare ce poate să introducă
rădăcini străine, în continuare fiind rezolvată nu o ecuație singur echivalentă cu cea dată, ci
ecuația obținută în urma efectuării acestei transformări. În acest caz, trebuie să decidem,
care dintre soluții găsite în finalul rezolvării sunt ale ecuației de la care s -a pornit inițial și
care sunt rădăcini străine acestei ecuații.
Pentru acesta este suficient să încercăm verificarea ecuației inițiale, cu toate
soluțiile obținute și să păstrăm, dintre ele, numai pe cele ce verifică efectiv această e cuație
(prin înlocuire, conduc la egalități numerice adevărate). Această încercare de verificare
este absolut necesară numai în cazul, când pe parcursul rezolvării ecuației s -a efectuat cel
puțin una dintre transformările ce pot introduce soluții străine. În caz contrar, o eventuală
verificare a ecuației trebuie să conducă totdeauna la egalități numerice adevărate (deoarece
toate ecuațiile folosite au fost echivalente între ele), astfel încât ea nu poate avea rolul de a
verifica folosirea corectă a regulilo r de calcul.
Presupunem, că asupra unei ecuații s -a efectuat o transformare ce poate elimina o
parte dintre rădăcinile ei (sau chiar pe toate) rezolvarea continuând pe ecuația obținută în
urma efectuării acestei transformări. În acest caz trebuie să descop erim eventualele soluții
eliminate, pentru a le alăture celor care au rezultat în urma rezolvării.
Exemple :
1. Pentru rezolvarea ecuației:
înmulțim mai întâi ambele părți ale
ecuației cu produsul x(x-1) ceea ce conduce la ecuația: ( x-1)-2x = 3(x-1). Desfăcând
parantezele și separând necunoscuta obținem: -4x = -2. Prin aplicarea proprietății (P 4)
primim x =
, sau altfel scris 0,5. Deoarece prin transformare, aplicată ecuației date, ar fi
putut introduce soluții străine, este necesar să facem o verificare a rădăcinii obținute în
ecuația inițială. Înlocuind pe x, prin 0,5 se obține egalitatea numerică
sau
35
după efectuarea calculelor 6 = 6. Deoarece propoziția este adevărată, rezultă că rădăcina
găsită nu este o rădăcină străină. În consecință, ecuația dată are o singură rădăcină, egală cu
0,5.
2. Fie ecuația: Ridicănd la pătrat ambele părți, se obține ecuația:
echivalentă cu . Rezolvând avem două rădăcină: 1și –
1. Este necesar să verificăm ră dăcinile găsite pe ecuația dată. Astfel x = -1 o
propoziție falsă, iar înlocuind pe x = 1 obținem tot o propoziție falsă . În
consecință, ambele rădăcini găsite sunt străine și ecuația dată nu are nici o rădăcină, este
imposibilă.
Pentru a deosebi soluțiile străine, ce s -ar fi putut introduce, prin efectuarea unor
transformări neechivalente, am constatat că este necesară verificarea ecuației date, cu toate
soluțiile găsite în urma rezolvării.
Uneori însă, această verificare este in comodă, cerând un volum mare de calcule.
Vom da un exemplu care va fi folosit pentru ilustrarea unei alte metode de determinare a
rădăcini străine.
3. Fie ecuația:
Rezolvând ecuația, conform celor trei etape prez entate anterior, c.m.m.m.c fiind
, se obține o singură rădăcină, egală cu
O verificare a ecuației
date cu această valoare, cere calcule mari. Ținând însă seama de faptul, că prin operația de
înmulțire a ambelor părți ale ecuației date, cu nu s -ar fi putut
introduce decât rădăcini ce anulează acest produs (1 sau -1), rezultă clar, că rădăcina găsită
nu poate fi străină.
În general, operația de eliminare a numitorilor, poate să introducă numai soluții
străine ce anu lează cel puțin unul dintre numitorii ecuației date, fapt ce rezultă din modul
de calcul al c.m.m.m.c. al numitorilor pe care îi conține ecuația. De aceea, atunci cănd
transformarea, ce ar fi putut introduce soluții străine, este aceea de eliminare a numi torilor,
verificarea finală poate fi înlocuită cu neacceptarea acelor soluții, care anulează cel puțin
un numitor, deci pentru care nu sunt definite toate fracțiile conținute de ecuația dată (aceste
soluții sunt străine).
36
În general, mulțimea în care se g ăsesc soluțiile reale ale unei ecuații, se detremină
rezolvând un sistem de condiții ce trebuie verificate simultan, condiții ce fac parte din două
categorii și anume:
– condiții ce asigură că toate expresiile ce fac parte din ecuația dată au
valori în mulți mea numerelor reale pentru diferite grupe de valori reale
ale necunoscutelor, din mulțimea pe care o determinăm;
– condiții suplimentare, îndeplinite în mod cert de soluțiile reale ale
ecuației, ce asigură că transformările neechivalente aplicate nu intruduc
soluții străine.
În prima dintre cele două categorii de condiții specificate mai sus, recunoaștem ce
determină domeniul maxim de definiție al expresiilor ce formează ecuația.
Sistemul de condiții, se poate rezolva atunci , cănd suntem siguri că nu va mai
apare nici o altă condiție în pocesul de rezolvare a ecuației date. Va rezulta astfel mulțimea
în care se găsesc rădăcinile reale ale ecuației astfel încât toate soluțiile obținute, care nu
aparțin acestei mulțimi vor fi înlăturate, ca fiind soluții străi ne.
4. Să rezolvăm în mulțimea numerelor reale următoarea ecuație:
.
Primele condiții, ce se referă la domeniile maxime de definiție ale expresiilor ce formează
ecuația, sunt următoarele:
Urmărind să ridicăm la pătrat ambele părți ale ecuației, ținem seama de faptul că prima
parte este nenegativă și punem condiția suplimentară: . Efectuând
transformarea menționată, se obține ecuația: , care este
echivalent cu .
Urmărind să ridicăm la pătrat ambele părți ale acestei ecuații, mai punem o condiție
suplimentară, anume: . Efectuarea transformării conduce la ecuația:
, care este echivalentă cu: . Pentru rezolvarea acestei
ecuații, descompunem în factori trinomul din partea sângă a ei ( x-3)(x-83) = 0. Rezolvarea
acestei ecuații se înlocuiește cu rezolvarea următoarelor două ecuații: x-3 = 0 și x-83 = 0 cu
rădăcinile 3 și 83.
37
Strângând toate condițiile impuse, obținem sistemul:
Dacă rezolvăm fiecare inecuație din sistem și facem intersecția celor patru mulțimi de
numere reale găsite, obținem mulțimea în care se găsesc rădăcinile reale ale ecuației date
sub forme de interval primim 2,11.
Dintre ce le două rădăcini obținute în rezolvarea ecuației, numai rădăcina egală cu 3
aparține intervalului 2,11, deci ea este singura rădăcini a ecuației date.
Pe de altă parte, rădăcina egală cu 83 nu aparține intervalului 2,11, deci ea nu convine
ecuației date, fiind o rădăcină străină, introdusă prin efectuarea transformărilor
neechivalente, folosite în procesul de rezolvare.
2.5. Ecuațiile algebrice
Ecuațiile algebrice sunt ecuațiile de forma f(x) = 0, unde f este un polinom
oarecare. Notând necunoscu ta cu x, forma generală a unei ecuații algebrice este
următoarea:
,
cu n , n 1, a0 0, unde coeficienții pot fi numere reale, eventual
complexe sau pot fi expresii ce conțin diferite litere, constante sau parametrii.
Numărul natural n, ce reprezintă gradul polinomului f, se numește gradul ecuației.
În cadrul acestei grup deosebim:
– ecuația de gradul I cu forma generală: , a 0
– ecuația de gradul al II -lea cu forma generală: cu a 0.
Ecuațiile algebrice, care au un grad mai mare decât doi, se numesc de grad superior.
Ecuațiile algebrice speciale sunt :
38
– ecuația bipătrată, care este o ecuație de gradul patru de forma:
a,b,c , a 0.
– ecuația reciprocă, care se recunoaște prin faptul că termenii în și
cu k = 1,2,3, …, n (n fiind gradul ecuației) au coeficienți egali,
– ecuația binomă, ecuația de forma: , a,b , a 0, n 1.
Ecuațiile care conțin necunoscuta sub semnul radical se numesc ecuații iraționale.
2.6. Ecuația de gradul I.
Forma generală a ecuației de gradul întâi cu o necunoscută este , a,b ,
Dx = . Ea admite, dacă a este nenul, soluția unică –b/a. Dacă a = 0 și b 0, avem
, soluția S = .
Se numește soluție sau rădăcină a ecuației un număr α, dacă avem .
Ecuația se rezolvă folosind teoremele de echivalență, obținându -se
soluția
. Deci mulțimea soluțiilor ecuației este S =
.
Exemple: 1. Să se rezolve în ecuația: .
;
, deci mulțimea soluțiilor este S =
2. Ecuația 5 x = 0 are o singură soluție, egală cu 0.
3. Ecuația de gradul I, în necunoscuta x:
cu a , a 5 are o singură rădăcină, anume:
.
4. Ecuația de gradul I, în necunoscuta x: cu a ,
a 5 are o singură rădăcină, anume:
.
39
5. Ecuația de gradul I, în necunoscuta x: cu
a , a 1 are o singură rădăcină, anume:
.
Observând că valoarea rădăcinii este exprimată printr -o fracție rațională în parametru a,
care se poate simplifica cu a-1 putem spune că ecuația dată are rădăcina
numai
pentru a 1.
Dacă a = 1 ecuația devine 0 x = 0, care este adevărată pent ru orice x număr real, deci
mulțimea soluțiilor este .
Dacă a = -1, ecuația devine 0 x-12 = 0, care nu este adevărată pentru nici o valoare a lui x,
ecuația nu are nici o rădăcină, S = .
2.7. Rezolvarea ecuației de gradul al doilea
Forma generală a ecuației de gradul II cu o necunoscută este:
(1) cu a 0, a,b,c , Dx = .
a,b,c se numesc coeficienții ecuației, iar c este termenul liber.
Se numește soluție sau rădăcină a ecuației (1) un număr complex α, astfel încât
avem: .
A rezolva ecuația (1) înseamnă a determina mulțimea soluțiilor ei.
Aplicând teoremele de echivalență, obținem:
.
Cum membrul stâng este pătrat perfect, deci mai mare sau egal cu 0, rezultă că această
ecuație va avea rădăcini reale dacă și numai dacă
, sau ; .
Dacă , ecuația are rădăcini complexe conjugate.
40
Existența rădăcinilor reale ale ecuației (1) depinde de expresia . Această
expresie se numește discriminantul ecuației (1) și îl vom nota cu .
Fie deci 0. Atunci există numărul real și ecuația
sau
sau
,
de unde rezultă: (2)
.
Egalitatea (2) arată că ecuația de gradul II este rezolvabilă prin radicali; membrul al doilea
al egalității (2) constituie formula de rezolvare a ecuației de gradul al II -lea.
i) Dacă 0, ecuația (1) va avea două rădăcini reale și distincte:
și
date de formula (2).
ii) Dacă = 0, formula de rezolvare (2) devine x =
și ecuația (1) va
avea rădăcină dublă
sau rădăcinile reale confundate
.
iii) Dacă 0, avem
.
Exemplu: Să se rezolve ecuația în :
= 49 0 ecuația va avea două rădăcini distincte în , date de formula
de rezolvare (2)
,
și
. Deci mulțimea soluțiilor acestei
ecuații este
.
Cazuri particulare:
a) În ecuația (1) dacă c = 0 și b 0, (a 0) vom avea
și
.
Deci oricare ar fi a,b vom avea
.
b) Dacă b = 0 și c 0 se impune subcazurile:
b1) b = 0, a 0, c 0. Ecuația (1) este echivalentă cu
, cum
41
– c 0
, ecuația va avea două rădăcini reale și distincte:
și
, iar soluția
.
b2) b = 0, a 0, c 0. Obținem aceeași ecuația ca în caz precedent.
b3) b = 0, a 0, c 0. Avem
. În acest caz vom avea două
rădăcini complexe conjugate:
, deci
.
b4) b = 0, a 0, c 0, se reduce la cazul b 3).
c) b = 0, c = 0, ( a 0). Ecuația (1) devine , care are rădăcina x = 0, adică
.
d) Dacă b este număr par, adică are forma 2 b1, atunci
și formula (2) devine:
2.7.1. Relații între coeficienții i rădăcinile unei ecuații de gradul al doilea:
Fie cu a 0, a,b,c . Formulele lui Viéte sunt:
Relații, care rezultă imediat din formulele de rezolvare ale ecuației de gradul al II -lea.
2.7.2. Formarea unei ecuații de gradul al doilea cănd se cunosc rădăcinile:
1) Dacă sunt numere reale, fie și , atunci și sunt
rădăcinile ecuației de gradul al doilea .
Într-adevăr:
Analog avem: și deci sunt
rădăcinile ecuației .
42
2) Fie și numere complexe date. Pentru ca ele să fie rădăcinile unei ecuații de gradul
al doilea cu coeficienți reali, trebuie ca și să fie numere complexe conjugate
Deci și , de unde și .
Ecuația de gradul al doilea care are rădăcini pe și va fi , unde
și . Deci ecuația , are ca rădăcină numerele
complexe și .
2.7.3 Studiul semnelor rădăcinilor ecuației de gradul al doilea:
Dacă în ecuația considerăm 0 și notăm cu S și P
suma respectiv produsul rădăcinilor , ale ecuației, adică
obținem: .
În raport cu semnele lui P ș i S, se pot stabili semnele rădăcinilor și , fără a le
calcula efectiv. Sunt posobile următoarele combinații ale semnelor lui S și P:
P S Natura și semnul rădăcinilor ecuației
= 0 P 0 S 0 , ,
S 0 , ,
= 0 P = 0 S = 0 ,
0 P 0 S 0 , ,
S 0 , ,
0 P 0 S 0 , ,
S 0 , ,
S = 0 , ,
P = 0 S 0 ,
S 0 ,
0 Rădăcinile sunt numere complexe conjugate
43
2.7.4. Descompunerea trinomului de gradul al doilea în produs de polinoame de gradul I.
Fie polinomul f = , a 0. Un astfel de polinom se numește
trinom de gradul al doilea. Presupunem că ecuația are rădăcini reale și
fie acesta și . Atunci relațiile lui Viéte sunt:
.
Avem succesiv:
Așadar, dacă , atunci trinomul f = , a 0 se
descompune în polinoame de gardul I, dar cu coeficienți complecși, deci:
, unde și sunt numere compexe conjugate.
2.8. Ecuații de gradul al treilea și al patrulea
2.8.1. Ecuații de gradul III.
Fie ecuația de gradul trei scrisă sub formă: (1) , y cu
coeficienți complecși. Înlocuind ecuația (1) necunoscuta y printr -o nouă necunoscuta x,
legată de y prin relația (2)
, vom obține ecuația în necunoscuta x de forma (3)
.
Conform teoremei fundamentale a algebrei, ecuația (3) are trei rădăcini complexe.
Fie x0 una din aceste rădăcini. Vom introduce o necunoscută auxiliară u și vom
considera polinomul
Coeficienții acestui polinom sunt numere
complexe și deci ecuația va avea două rădăcini complexe pe care le vom nota cu
α și β.
Conform formulelor lui Viéte, obținem: (4) α + β = x0 și (5) α – β =-p/3.
Înlocuind în (3) obținem: sau
44
Din (5) rezultă că și deci avem (6) , dar din (5) rezultă
(7)
. Formând ecuația de gradul II (8)
cu coeficienți
complecși și rezolvând această ecuație obținem:
, de unde
(9)
și
.
Se ajunge astfel la formulele lui Cardano, care exprimă rădăcinile ecuației (3) în funcție de
coeficienți cu ajutorul rădăcinilor pătrate și cubice:
(10)
.
Din relația (9) obținem trei valori pentru α, respectiv trei valori pentru β, pentru o valoare a
lui α dată, trebuie să luăm valoarea corespunzătoare a lui β, care satisface condiția (5).
2.8.2 Ecuații de gradul patru.
Fie ecuația de gradul IV cu coeficienți complecși:
(1) , y
Dacă fecem substituție y = x- a/4, obținem (2) , x .
Transformăm identic membrul întâi al ecuației (2) cu ajutorul parametrului auxiliar α în
modul următor:
sau
(3)
Vom alege acum pe α astfel încât polinomul dintre parantezele drepte să devină un pătrat
perfect. Pentru acesta trebuie să aibă o rădăcină dublă, adică = 0.
(4)
45
Relația (4) este o ecuație de gradul al treilea cu coeficienți complecși și conform teoremei
fundamentale a algebrei ea are trei rădăcini.
Fie α 0 una din ele și conform formulelor lui Cardano, α 0 se exprimă cu ajutorul
radicalilor în funcție de coeficienții ecuației (2).
Pentru acestă alegere a valorii lui α, polinomul dintre parantezele mari din (3) are
rădăcina dublă
și deci ecuația (3) va avea următoarea formă:
. Adică ea se descompune în ecuații de gradul al
doilea:
(5)
și
Rădăcinile ecuației (5) vor fi rădăcini ale ecuației (2). Se observă că aceste rădăcini
se exprimă prin coeficienți cu ajutorul radicalilor, dar aceste formule sunt foarte
complicate și din această cauză lipsite de interes practic.
2.9. Rezolvarea câtorva ecuații algebrice de grad superior
Teorema lui Abel -Ruffini ne arată că pentru ecuații de grad n 5 nu se pot da
formule de detrminare a rădăcinilor.
În acest paragraf va fii prezentată câteva tipuri particulare de ecuații de grad mai mare sau
egal cu trei care se pot rezolva cu radicali.
2.9.1 Ecuații binome:
Forma generală a ecuațiilor binome este :
(1) , (a , n 1), D x = .
Pentru a obține soluțiile ecuației procedăm astfel: scriem numărul a sub formă
trigonometrică . Atunci soluțiile ecuației (1) sunt date de formula
46
(2)
, unde 0 ≤ k ≤ n -1.
Observăm că rezolvarea ecuațiilor de gradul I și II se reduce la rezolvarea unor
ecuații binome.
Exemplu : Să se rezolve ecuația:
, Dx = .
Scriem numărul 27 sub formă trigonometrică: și aplicând
formula (2), obținem:
, 0 ≤ k ≤ 2.
Dând valoarea lui k = 0,1,2 vom obține cele trei rădăcini ale ecuației ,
astfel:
– k = 0 x0 = 3
– k = 1
– k = 2
Deci
.
2.9.2. Ecuații bipătrate:
Forma generală a ecuației bipătrate este:
(1) a 0, a,b,c , D x = .
Pentru determinarea formulei de rezolvare vom face substituția și obținem:
(2) Dy = .
Ecuația (2) se mai numește rezolvanta ecuației (1) și rădăcinile ei sunt:
și
Din egalitatea , obținem ecuațiile: și cu rădăcinile:
47
,
,
,
.
Deci mulțimea soluțiilor ecuației bipătrate (1) este
.
Observația 3.9.2.1. În formula de rezolvare a ecuației bipătrate, apar radicali de forma
numiți radicali compuși, care pot fi aduși la o sumă sau di ferență de radicali mai
simpli cu ajutorul formulelor radicalilor compuși, dacă a 0 și .
Observația 3.9.2.2. Dacă , atunci toate cele patru rădăcini ale ecuației
bipătrate sunt complexe și determinarea lor se reduce la rezolvarea a două ecuații binome
și , unde sunt rădăcinile ecuației (2) și ( )
Exemplu: Să se rezolve ecuația: Dx = .
Facem substituția și obținem: Dy = .
=169
și
2.9.3. Ecuații reciproce:
Numim ecuație reciprocă de gradul n, orice ecuație de forma:
(1) , , ,
(0≤i≤n) Dx = , .
Proprietatea 3.9.3.1. Dacă ecuația reciprocă (1) are rădăcină α, atunci ea are și rădăcină
.
Într-adevăr, dacă ecuația (1) are rădăcinea α, atunci:
.
Cum putem împărți cu , și obținem:
Ținând cont de faptul că , oricare ar fi i , 0≤i≤n, obținem:
48
, ceea ce arată că și
este rădăcină a ecuației (1).
Proprietatea 2.9.3.2. Orice ecuație reciprocă de grad impar are rădăcină x = -1.
Într-adevăr (2) o
ecuație reciprocă de grad impar. Înlocuind pe x cu -1 în (2) vom obține:
Cum , adică , , … , obținem
.
Deci x = -1 este rădăcină a ecuației reciproce de grad impar.
Proprietatea 2.9.3.3. Orice ecuație reciprocă de grad impar (2) se reduce la rezolvarea
ecuației x + 1 = 0 și a unei ecuații reciproce de grad par de forma:
Într-adevăr, din proprietatea 2. Rezultă că ecuația (2) are rădăcina x = -1 și conform
teoremei lui B ézout putem scrie:
deci:
unde , , … , , .
Cum , oricare ar fi i cu 0≤i≤2n+1 din primele egalități obținem ,
dar , deci obținem , oricare ar fi i cu 0≤i≤2n, ceea ce
înseamnă că ecuația: este o ecuație
reciprocă.
49
2.9.4. Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul III.
Forma generală: (1) , a 0, D x = .
Din proprietatea 3.9.3.2 știm că această ecuație are rădăcina x = -1. Atunci putem scrie:
, și de aici rezultă rădăcinile x1 = -1 și x2 , x3 date de
ecuația .
Exemplu : Să se rezolve ecuația: , D x =
Ecuația se poate scrie sub forma următoare: , care are
rădăcinile x1 = -1,
,
deci mulțimea soluțiilor acestei ecuații este
.
2.9.5. Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul IV.
Forma generală: (1) , a 0, D x = .
Deoarece a 0, rezultă că 0 nu e o rădăcină a ecuației. Împărțind ambii membri ai ecuației
cu , obținem ecuația:
, și grupănd în mod convenabil
termenii, avem:
.
Facem s ubstituția:
, de unde obținem
, și în acest mod obținem
ecuația în y: (2)
Ecuația (2) se numește rezolvanta ecuației (1).
Dacă sunt rădăcinile ecuației (2), atunci obținem ecuații de gradul II:
(3) și (4) .
Dacă sunt rădăcinile ecuației (3) și rădăcinile ecuației (4), atunci
sunt rădăcinile ecuației (1).
Exemplu : Să se rezolve ecuația: , Dx = .
50
Împărțind ambii membri ai ecuației cu , obținem ecuația:
, și
grupănd în mod convenabil termenii, avem:
. Notăm
, de unde obținem
, și în acest mod obținem ecuația în y: (2)
care are rădăcinile: și
.
Avem ecuațiile și care au rădăcinile:
,
, ,
.
Deci mulțimea soluțiilor ecuației este
.
2.9.6. Rezolvarea ecuațiilor reciproce de gradul V.
Forma generală a ecuației reciproce de gradul V:
(1) , a 0, D x = .
Deoarece ecuația este de grad impar, conform proprietății 3.9.3.3., rezolvarea acestei
ecuații se reduce la rezolvarea ecuației x + 1 = 0 și unei ecuații reciproce de gradul IV, care
a fost studiat anterior.
2.10. Metode speciale de rezolvare a ecuațiilor
2.10.1 Rezolvarea ecuațiilor cu ajutorul substituțiilor
La rezolvarea ecuațiilor se poate folosi ușor unele substituții, prin care se schimbă
necunoscutele noi. Înlocuirea expresiei, sub diferitele ei forme, în raport cu noua literă,
conduce la o altă ecuație, a cărei rezolvare trebuie să fie mai simplă. Deoarece rezolvarea
acestei ecuații conduce la rădăcini ale necunoscutei introduse de noi, în final trebuie să
revenim la substituția făcută, în care înlocuim valorile rădăcinilor găsite, astfel încât r elația
de substituție se furnizează noi ecuații, ale căror rezolvări conduc la rădăcinile ecuației
inițiale.
Alegerea substituției se face de la caz la caz, astfel încât ea să îndeplinească
următoarele condiții: – prin înlocuire, în ecuația dată, să nu ma i rămână vechea
necunoscută
51
– noua ecuație să fie mai ușor de rezolvat
– ecuațiile finale să fie ușor de rezervat
Exemplu : 1. Fie ecuația , de gradul șase, iar prin efectuarea
substituției se ajunge la o ecuație de gradul al doilea și anume:
cu rădăcinile și .
Revenind la substituția obținem:
I.
,
II.
2. Fie ecuația .
Dacă adunăm ampele părți ale acuației date un termen egal cu 9, obținem o ecuație
echivalentă cu ea.Transformarea duce la următoarea ecuație:
Facem substituția: , primim ecuația
și
Revenind la relația de substituție, prin înlocuirea lui t cu 3, respectiv -4 conduce la
următoarele două ecuații:
și .
Renunța m la cea de a doua ecuație obținută mai sus (deoarece o rădăcină pătrată nu poate
conduce la o val oare negativă), ast fel încât rezolvăm numai ecuația .
Ridicând la pătrat această ecuație și separând termenii în ecuația obținută, rezultă:
și .
2.10.2. Rezolvarea unei ecuații algebrice când se tie că unele rădăcini verifică o relație
dată.
Să presupunem că s -a dat o ecuație algebrică, de forma P( x) = 0 precum și o relație
ce este îndeplinite de două rădăcini ale sale notate și , cerându -se valorile acestor
două rădăcini. Vom exprima una dintre rădăcini în funcție de cea laltă, .
52
Pentru determinarea valorilor rădăcinilor și , ce verifică condițiile precizate, se face
următorul raționament:
– deoarece și sunt rădăcini ale ecuației P( x) = 0, sunt îndeplinite
condițiile P( ) = 0 și P( ) = 0
– deoarece are loc relația , condiția P( ) = 0 se mai poate
scrie P( )) = 0
– din verificarea egalităților P( ) = 0 și P( )) = 0, rezultă că este o
rădăcină comună a ecuațiilor P( ) = 0 și P( )) = 0.
Din cele prezentate, rezultă metoda următoare de calculare a rădăcini și , ce verifică
condițiile problemei puse:
a) Se construiește o ecuație ajutătoare înlocuind ce ecuația dată pe x, prin .
Această ecuație se numește transformata ecuației date, în .
b) Se determină toate rădăcinile comune, dintre ecuația dată și ecuația ajutătoare.
Oricare dintre acestea poate constitui o valoare pentru rădăcina căutată.
c) Pentru fiecare rădăcină, pe tipul , calculăm rădăcina corespunzăto are cu
relația .
Observații:
1) Dacă relația dintre cele două rădăcini, dată inițial este simetrică în și ,
ecuațiile P( x) = 0 și P( )) = 0 voi avea ca rădăcini comune pe și pe .
2) Dacă ecuațiile P( x) = 0 și P( )) = 0 nu au nici o rădăcină comună, se poate
spune că ecuația dată nu admite două rădăcini, care să verifice relația precizată de
problemă.
53
Capitolul III. Aspecte metodice privind predarea ecuațiilor algebrice
3.1 Metodologia rezolvării ecuației de gradul I.
O ecuație considerată pe o mulțime M, este o formă propozițională care se
transformă într -o egalitate, dacă înlocuim elementul nedeterminat printr -un element din M.
Orice element al mulținii M, care transformă ecuația într -o egalitat e adevărată, se numește
rădăcină a ecuației. A rezolva o ecuație înseamnă a determina soluțiile ei.
În vederea înțelegerii cât mai corecte a noțiunii de ecuație, este necesară
aprofundarea noțiunilor de propoziții cu o variabilă (predicate), valoarea de ad evăr a
acestora și mulțimea în care iau valori. Nerespectarea acestor cerințe pot duce la
înțelegerea greșită a ecuației.
Astfel se întâmplă ca unii elevi să folosească frecvent semnul ” = ” de mai multe
ori, sau un caz și mai frecvent este când elevul uit ă să stabilească domeniul în care vrea să
rezolve ecuația. Pentru a evita astfel de greșeli, profesorul poate rezolva ecuații, având
aceeași relație, dar domenii de definiție diferite.
Exemplu: Ecuația x + 2 = 5, unde x{2,3,4} are soluția S = {3}, pe când ecuația
x + 2 = 5, unde x{0,1,2} are soluția S = .
Aici facem că ecuația a doua nu are nici o soluție în mulțimea dată, ceea ce nu
înseamnă că în alte mulțimea nu poate avea soluții, după cum rezultă și din primul
exemplu, deci ecuația a doua nu se poate confunda cu prima.
Pornind de la a defini ecuația în această concepție, se reactualizează mai întâi
cunoștințele despre cele două moduri de a defini o mulțime.
Dacă mulțimea este dată prin precizarea explicită a elementelor ei, spunem că este
dată în extensii. De exemplu, mulțimile A 1 = {0,1,2}, B 1 = {2,3,4}. O mulțime poate fi
dată și prin precizarea unei proprietăți carecteristice a elementelor ei, și în acest caz
spunem că mulțimea este dată în abstracție sa u în comprehensiune. De exemplu
A2 = {x| x cifră pară }, B 2 = {x| x+1=4 , x }, C 2 = {x| x2-1=0, x }.
Problema determinării elementelor mulțimii B 2 se duce la rezolvarea unei ecuații
de gradul I, pentru ca necunoscuta x apare la puterea întâi.
54
Simbolic această ecuație se scrie x+1=4 , x . Mulțimea soluțiilor ecuației este S = {3}.
În manual ce se introduc noțiunea de propoziție deschisă, valoarea de adevăr a aceștia se
trece la predarea ecuațiilor. Sunt date mai multe exemple de ecuații de gradul întâi ca fiind
propoziții cu o singur ă variabilă, se precizează existența semnului ” = ”, apoi acelor doi
membri după care se trece la rezolvarea lor.
Consider că ar trebui făcute unele observații privind gradul ecuațiilor date, făcând
observația, că în fiecare caz variabila are exponentul 1 la forma redusă, fapt pentru care le
numim ecuații de gradul I.
Elevii nu cunosc teoremele de echivalență, pe care ei la rezolvarea ecuațiilor se vor baza pe
proprietățile operațiilor de adunare, scădere, înmulțire.
Exemplu: 1. Pe talerele unui cântar aflat în echilibru sunt așezate 3 pachete de unt pe
talerul din stânga, iar pe celălalt taler un pachet de unt și un etalon de masă, de 400g.
Cântarul se află în echilibru. Cât cântărește un pachet de unt?
masa unui pachet de unt ………………………. x
masa a trei pachete de unt ……………………. 3 x
masa existentă pe talerul din stănga ………. 3 x
masa existentă pe talerul din dreapta ………. x + 400g 3x x+400g
unt unt unt
400g unt
55
Faptul că se află în echilibru: 3 x = x + 400
De p e ambele talere putem lua un pachet de unt și obținem 2 x = 400
Împărțim membrii ambii cu 2 și primim x = 200g.
S: masa unui pachet de unt: x = 200g.
Verificare: 3 ⋅ 200 = 200 + 400
600 = 600 (A)
Exemplu: 2. Ecuația: 3 x + 5 = 2 x + 8, x
Pe talerul din stănga avem 3 bile identice și 5 greutăți de câte 1 dkg, fiecare, iar pe
cel din dreapta 2 bile de același fel și 8 greutăți (1 dkg). Știind că în acest fel cântarul este
în echilibru, să se afle masa unei bile.
masa unei bile ……………………………. x
masa exis tentă pe talerul din stânga ……… 3 x + 5
masa existentă pe talerul din dreapta …….. 2 x + 8
cântarul se află în echilibru ………………. 3 x + 5 = 2 x + 8
de pe ambele talere luăm 2 bile și obținem: x + 5 = 8
de pe ambele talerul luăm 5 dkg: x = 3
Deci, masa unei bile este 3 dkg = x
Verificare: 3 ⋅3 + 5 = 2⋅3 + 8
14 = 14 (A)
Desigur că exemplele de mai sus pot fi privite ca probleme care se rezolvă cu
ajutorul ecuațiilor, totuși consider că astfel de exemple pot fi contribui la însușirea unor
metode de rezolvare a ecuațiilor în această fază. Rezolvarea problemelor cu ajutorul
ecuațiilor ocupă un loc important, avănd aplicabilitate direct în practică.
56
3.2 Metodologia rezolvării ecuației de gradul II
3.2.1. Necesitatea introducerii ecuației de gradul II:
Multe probleme practice se pot rezolva, folosind ecuațiile. De exemplu, să
presupunem că un arhitect vrea să proiecteze o cameră de forma pătrată cu o suprafață de
16 m2. Ce lungime va avea un perete?
Dacă notăm cu x lungimea camerei (m), problema se poate exprima prin ecuația x2
= 16. Rezolvarea acestei ecuații și interpretarea soluțiilor sale conduce la rezolvarea
problemei date.
Deci x2 = 16, x . O astfel de ecuație nu mai este de gradul I, deoarece necunoscuta a re
exponentul 2. Totuși ținând cont de formulele de calcul prescurtat, se poate rezolva la
nivelul clasei a VII -a, aplicând regula produsului nul.
x2 = 16 x2 – 16 = 0 (x-4)(x+4) = 0
x-4 = 0 sau x+4 = 0, de unde x = 4 sau x = – 4. Deci, S = { -4;4}.
Cum lungimea camerei nu poate fi un număr negativ, rămâne ca problema noastră să aibă
unica soluție egală cu 4
Dacă arhitectul ar vrea să proiecteze o cameră în formă dreptunghiulară cu aria de 15 m2,
dorind ca lungimea camerei să fie cu 2 m mai mare decât lățimea, am avea de rezolvat
următoarea ecuație: x(x + 2) = 15 , x , care este echivalentă cu: , unde
x reprezintă lățimea camerei.
Ecuația , x este un alt exemplu al ecuației de gradul II.
3.2.2. Modul de introducere a ecuației de gradul II.
În clasa a VIII -a, după ce elevii s -au convins de necesitatea rezolvării ecuațiilor
(grad II) profesorul trebuie să expună definiția ecuației de gradul II.
Vom numi ”ecuația de gradul al II -lea” orice ecuați e de forma: x cu
a,b,c , a,b,c se numesc coeficienții ecuației de gradul II.
57
Putem presupune de la început, că , căci pentru obținem o ecuație de gradul I.
Vom numi soluție a ecuației aceea valoare a lui x, care înlocuită în ecuație ne dă o
propoziție adevărată.
De exemplu, 7 este o soluție a ecuației deoarece este adevărată că
.
A rezolva o ecuație de gradul II înseamnă a găsi mulțimea soluțiilor ei.
După această prezentare este foarte util, ca s ă se efectueze câteva exerciții de recunoaștere
al coeficienților unor ecuații de gradul II, precum și de formare a unor ecuații de gradul II,
atunci, când se cunosc cei trei coeficienți. De asemenea, elevi vor verifica în casul unor
ecuații de gradul II d ate, precum și unor mulțimi date, dacă elementele corespunzătoare
sunt sau nu rădăcini pentru ecuația dată.
De exemplu :
1. Precizați coeficienții a,b,c pentru fiecare din ecuațiile:
2. Formați ecuația de gradul al II -lea, care are coeficienții: a = 2 ; b = -9; c = 7, și
verificați dacă vreun element din mulțimea {0;0,5; -1;2} este soluție pentru această ecuație.
Aceste timpuri de exerciții simple asigură fixarea și consolidarea a cunoș tințelor în
ceea ce privește form generală a ecuației de gradul II și a noțiunii de soluție a ecuației de
gradul II. Scopul lor este, ca în lecțiile următoare, la calculul discriminantului și al
rădăcinilor, să nu se încurce coeficienții a,b,c.
3.2.3. Rez olvarea ecuației de gradul al II -lea. Cazurile speciale.
3.2.3.1. Vom rezolva acum ecuații de gradul II, în care b = 0, deci de forma .
De exemplu, să rezolvăm ecuația: , x .
Scriem membrul stâng sub forma unei diferențe de pătrate: .
Aplicăm formula de descompunere: ( x-9)(x+9) = 0.
Aplicăm regula produsului nul: x-9 = 0 sau x+9 = 0.
58
Rezolvăm fiecare ecuație și reunim mulțimile de soluții: x = 9 sau x = -9 S = { -9,9}.
În general, mulțimea soluțiilor unei ecuații de forma: , x (unde m este un număr
dat) depinde de valoarea lui m, astfel:
– Dacă m 0, atunci S = { – }.
– Dacă m = 0, atunci S = {0}.
– Dacă m 0, atunci S = {}.
3.2.3.2 Dacă c = 0, ecuația de gradul II devine: ceea ce este echivalentă cu
x = 0 sau (a 0). S = {0,
}.
Luăm un exemplu concret: . Ecuația este echivalentă cu:
x = 0 sau ; deci S = {0, 3}.
3.2.4 Ecuația generală:
Rezolvarea ecuației de gradul al II -lea devine mai dificilă, atunci când toți
coeficienții sunt nenuli. a,b,c , și a 0, b 0, c 0.
O primă metodă ar fi descompunerea în factori, care în cazuri particulare
convenabile (depinzând de coeficienții a,b și c) nu este așa de greu de observat.
De exemplu: . x .
Vom descompune în sumă coeficientul lui x și ecuația este echivale ntă cu :
sau x = 2 și x = 3, deci: S = {2, 3}.
Verificare se face imediat prin înlocuire.
Uneori este de preferat să descompunem în sumă termenul liber.
Fie , x .
sau
x = 1 și x = -3, deci: S = {1, -3}.
59
Dezavantajul metodei de mai sus este, că necesită un deosebit spirit de observație,
de aceea copiii mai slabi la matematică aici vor întâmpina dificultăți.
În continuare vom stabili o metodă generală, care ne arată, dacă o ecuație de gradul
al II-lea are sau nu soluții, iar dacă are soluții, cum le obținem.
Vom porni de la un caz concret, înainte de a generaliza matoda, pentru o înțelegere mai
bună.
Fie: , x .
Vom grupa în interiorul unui pătrat perfect termenii, ce conțin necunoscuta, dar pentru
realizarea mai ușoară a acestei scop, facem ca coeficientul lui x2 să devină cu 1.
sau
, deci S = {1,
}.
Să procedăm la fel și în cazul general.
Fie x , a,b,c , a 0.
/a
(4.2.4.1)
Observăm că putem descompune membrul stâng al ecuației de mai sus în produs de factori
numai dacă
, adică numai dacă .
Numărul vom defini ca fiind ”discriminantul ecuației”
x , a,b,c , a 0.
Din transformările echivalente de mai sus rezultă că ecuația de gradul II are soluții
reale, dacă și numai dacă
Deci putem distinge trei cazuri:
60
I. . Ecuația (4.2.4.1) devine:
. Deci ecuația are două soluții. Le notăm și .
,
, unde .
II. . În acest caz ecuația (4.2.4.1)devine:
.
III. . În acest caz
, iar ecuația nu are soluție reală.
3.2.5 Aplicații:
Rezolvați ecuațiile:
1) x
, deci S = {
}.
2) x
Înmulțim ecuația cu 10 pentru a scăpa de coeficienții scriși sub formă de fracție zecimală.
|⋅10
,
,
.
Deci avem: S =
.
61
3) , x
S =.
4) , x
În primul pas vom elimina parantezele:
și
. Deci avem: S =
.
5)
, — .
Numitor comun este . Amplificăm primele două termeni a
ecuației și primim:
Calculăm rezultă că avem două rădăcină distincte:
și .
Numărul 2 nu poate fi soluție a ecuației inițiale, deoarece înlocuirea necunoscutei x cu 2
provoacă anularea unor numitori. Deci ecuația are o singură soluție, anume S = .
6) Știind că ecuația:
62
admite rădăcina x = -1, să se determine parametrul m și să se afle cea de a doua rădăcină a
sa.
Pentru a afla valoarea parametrului ” m” înlocuim în ecuația valoarea x = -1, și
obținem: 0 = 0
(A) m .
Deorece am ajuns la o propoziție adevărată ( ) m , deducem că x = -1 este soluție a
ecuației noastre indiferent de valoarea lui m.
Pentru a afla cealaltă rădăcină, aplicăm formula discriminantului.
,
, și
.
Deci avem: S =
.
7) Se dă ecuația: , x ; unde m este un
parametru real. Pentru ce valori ale parametrului m ecuația dată:
a) nu are soluție,
b) are o singură soluție,
c) are două soluție distincte.
Discuție:
a) Dacă , adică 4(27 m +19) 0 27m +19 0
.
b) Dacă , adică 27 m +19 = 0
.
c) Dacă , adică 4(27 m +19) 0 27m +19 0
.
63
8) O echipă de tractoriști trebue să însămănțeze 200 ha într -un anumit număr de
zile. Însămănțind cu 5 ha în plus pe zi, au terminat însămănțarea cu 2 zile mai devreme. În
câte zile și -au propus inițial să termine însămânțatul și câte ha au fost însămânțate pe zi?
Notăm cu x numărul de z ile în care și -au propus inițial să termine însămânțatul.
Conform planului inițial, echipa trebuia să însămânțeze zilnic 200/ x ha.
În realitate însă ei au depășit planul cu 5 ha în fiecare zi, deci au însămânțat zilnic
ha. Dacă în felul acesta au t erminat lucrarea în ( x-2) zile, obținem ecuația:
,
= 324 0
și
Cum x reprezintă numărul de zile lucrate, soluția negativă nu ne convine, dar dacă ,
atunci
ha.
Răspuns: Echipa de tractoriști și -au propus inițial să termine lucrarea în zece zile, iar în
realitate, zilnic au fost însămânțate 25 ha.
9) Două automobile pornesc în același timp din orașul A spre orașul B. Distanța
dintre acest e orașe este de 560 km/h mai mare, decât al doilea și din această cauză ajunge
cu o oră mai devreme în B. Să se afle viteza celor două automobile.
Cunoaștem din fizică formula: v = d/t.
Notăm cu x viteza celui de -al II-lea automobil, atunci viteza primului este de x + 10.
Dacă notăm cu t1 respectiv cu t2 timpul necesar parcurgerii distanței pentru primul
respectiv al II -lea automobil, atunci din enunțul problemei deducem egalitatea:
, dar acum
iar
.
Obținem ecuația:
. și
Aducem la numitor comun și egalăm produsul mezilor cu produsul extremi și primim:
= 22500 0
și (nu convine)
64
Deci v2 = 70 km/h; v1 = 80 km/h.
10) Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de 25 m și suma dintre o catetă și
proiecția ei pe ipotenuză egală cu 24 m. Să se afle aria triunghiului.
Ip: ABC: m(A)= 90
BC = 25 m
AD BC; D(BC)
AB+BD =24 m
C: S ABC = ? C
D D
A x B
Notăm lungimea catetei AB cu x.
Din teorema catetei rezultă:
Din datele problemei rezultă că x + BD = 24 BD = 24 – x. Înlocuim în relație și primim
o ecuație de gradul II:
–
= 3025 0
și (nu convine)
Deci AB = 15, rezultă că DB = 24 -15 = 9 m.
În ABC aplicăm teorema lui Pitagora:
AD2 = AB2 – DB2 AD2 = 225 -81 AD = 12
Aria triunghiului ABC:
.
11) Aflați două numere, cunoscând că au suma 9, iar produsul 20.
Vom nota cele două numere necunoscute cu respectiv . Dacă suma lor notăm cu S,
iar produsul cu P, numerele căutate vor fi rădăcinile ecuației de gradul II:
, adică
= 1 și .
Deci cele două numere care au suma 9 și produs 20 sunt numerele 4 și 5.
65
12) Dimensiunile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt exprimate prin numere
pare consecutive. Aflati lungimile laturilor.
Se notează laturile triunghiului cu 2 x, 2x + 2 și 2 x + 4 unde xN
Se aplică teorema lui Pitagora: obținem
ecuația de gradul doi care se rezolvă cu algoritmul cunoscut:
/ :4
și N.
este soluția ecuației deci lungimile laturi triungului sunt: 6, 8 și 10.
13) Să se rezolve ecuația:
Pentru a putea extrage rădăcina pătrată, x trebuie să punem condiția x 0, pe de alte parte
, deci și , adică x 6. Deci .
Să ridicăm la pătrat egalitatea ; obținem: sau
= 25 0
și .
Dintre aceștia doar 4 aparțin intervalului .
Deci avem: S = .
14) Să se rezolve ecuația: , x
Știm că , aplicăm și scriem ecuația în forma: sau
, obținem soluțiile: și .
66
15) Să se determine parametrul m astfel încât între rădăcini și ale ecuației
să existe relația:
a)
b)
a) Scriem formulele lui Viéte:
,
.
Știm că .
Din condiție primim că: m = 3.
Deci avem: S = .
b) Avem condiția
și obținem
Deci avem: S =
16) Să se formeze ecuația de gradul al doilea care are ca rădăcini și
.
Calculăm ,
Dacă știm rădăcinile atunci ecuația se scrie cu formula:
este ecuația cerută.
17) Să se rezolve ecuațiile reciproce:
a)
b)
c)
Rezolvări:
a)
67
Să observăm că este o ecuație reciprocă de grad impar. Rezolvarea ei se reduce la
rezolvarea ecuației x + 1 = 0 (când x = -1) și a unei ecuații de gradul al doilea. Pentru a
găsi coeficienții acestei ecuații utilizăm schema lui Horner.
x3 x2 X x0
2 3 3 2
-1 2 1 2 0
Din schemă rezultă ecuația cu rădăcinile
.
Ecuația dată are soluțiile: S =
b) (1)
Este o ecuație reciprocă de gradul patru. Împărțim ecuația prin , când avem :
.
Facem substituția:
, de unde obținem
, și în acest mod
obținem ecuația în y: (2)
Ecuația (2) se numește rezolvanta ecuației (1).
Dacă sunt rădăcinile ecuației (2), atunci obținem ecuații de gradul II:
(3) și (4)
.
Dacă sunt rădăcinile ecuației (3) și
rădăcinile
ecuației (4), atunci sunt rădăcinile ecuație i (1).
c)
Ecuația propusă este reciprocă de grad impar. Prin urmare rezolvarea ei se reduce la
rezolvarea ecuației x + 1 = 0 (când x = -1) și a unei ecuații reciproce de grad patru . Pentru
a găsi coeficienții acestei ecuații utilizăm schema lui Horner.
68
x5 x4 x3 x2 x x0
2 3 2 2 3 2
-1 2 1 1 1 2 0
Coeficienții din ultima linie a schemei lui Horner sunt coeficienții ecuației reciproce de
gradul patru. Deci avem de rezolvat ecuația: (1)
Împărțim ecuația prin , când avem :
.
Facem substituția:
, de unde obținem
, și în acest mod
obținem ecuația în y: (2)
Ecuația (2) se numește rezolvanta ecuației (1).
Dacă sunt rădăcinile ecuației (2), atunci obținem ecuații de gradul II:
(3) și (4)
.
Dacă
sunt rădăcinile ecuației (3) și
rădăcinile ecuației (4), atunci sunt rădăcinile ecuației (1).
Deci soluțiile ecuației date sunt: S =
.
18) Să se rezolve ecuația:
Nu este o ecuație reciprocă de gradul patru, utilizează pentru rezolvare o tehnică
asemănătoare.
Se împarte ecuația prin și se scrie sub formă:
.
Se notează
și
. Înlocuind în ecuație primim o ecuație de
gradul doi în y: cu soluțiile .
Înlocuim înapoi și primim soluțiile ecuației date:
.
Deci soluțiile ecuației sunt:
69
S =
.
19) Să se rezolve ecuațiile:
a)
b) dacă are o rădăcină .
c) , dacă
are rădăcini independente de m.
Rezolvări:
a)
Este o ecuație cu coeficienții întregi, căutăm eventualele rădăcini întregi printre divizorii
întregi ai termenului liber, aceștia sunt: , facem verificarea lor cu schema lui
Horner.
x3 x2 X x0
1 0 -3 2
1 1 1 -2 0
1 1 2 0
Pentru x = 1 este rădăcina duplă . Deci din tabel se rezultă că ecuația se poate scrie în
forma de produs . Deci a treia rădăcină a ecuației este -2.
Deci soluțiile ecuației sunt: S = .
b) dacă are o rădăcină .
Ecuația are coeficienți raționali: se știe că dacă ecuația admite o rădăcină pătratică
, atunci ea admite și rădăcină pătratică conjugată . Ecuația se
divide cu +1.
Efectuâm împărțirea găsim: .
Așadar a treia rădăcină a ecuației este -1.
70
c)
, dacă are rădăcini independente de m
Se ordonează ecuația după puterile descrescătoare ale lui m și obținen:
, (1)
Dacă x este rădăcină independentă de m înseamnă că (1) are loc m , iar aces ta are
loc dacă coeficienții trinomului de gradul al doilea în m sunt nuli, adică:
Din prima ecuație și . Aceste valori verifică și celelalte ecuații. Deci ele
prezintă rădăcinile, independente de m, ale ecuației date.
Cu schema lui Horner găsim și celelalte rădăcini ale ecuației de gradul patru.
x4 x3 x2 X x0
1 2-2m 7
1 1 3-2m 0
-4 1 -1-2m 0
Ecuația de grad II care are coeficienți din ultimul rănd are soluțiile: și
Deci soluțiile ecuației date sunt: S = .
20) Să se rezolve ecuația pe mulțimea numerelor reale: .
Substituim pe , și obținem o ecuație de gradul II:
, = 25 0
și
Cum nu are soluții, rămâne ca
și
Așadar ecuația de gradul al IV -lea are două soluții: S =
.
71
21) Să se rezolve ecuația pe mulțimea numerelor complexe:
Substituim pe , și obținem o ecuație de gradul II:
, = 256 0
și
Fie primim și , și dacă și
.
Deci ecuația pe mulțimea numerelor conplexe are patru soluție: S = .
72
Bibliografie
1. I. Becheanu, C. Niță – Algebră pentru perfecționarea profesorilor, Ed. D.P., București,
1983
2. D. Brânzei – Metodica predării matematicii, Pitești, Ed. Paralela 45, 2000
3. I. Dăncilă – Matematica gimnaziului între profesor și elev, București, Ed. Aramis,
2001
4. B. E. Georgeta, E. Onofriaș – Metode de rezolvare a problemelor de matematică în
liceu, Ed.D.P. București, 1983
5. A. Hollinger – Metodica predării algebrei în școală generală, București, Ed. D.P., 1965
6. I. Groza – Matematică pentru grupele de performanță, clasa a VIII -a, Cluj -Napoca, Ed.
Dacia Educațional, 2004
7. C. Lazăr ș.a. –Matematica – Olimpiade și concursuri școlare, Pitești, Ed. Paralela 45,
2000
8. C. Năstăsescu, C. Niță – Teoria calitativă a ecuațiilor algebrice, București, Ed. Tehnică,
1979
9. C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu – Bazele algebrei, vol. I., București, Ed. Academiei
RSR, 1986
10. M. Ganga – Matematică pentru clasa a X – a, algebră, profil M1, Ed. Mathpress, 2002
11. I. Rus – Metodica predării matematicii, Arad, Ed. Servo -Sat, 1996
12. Rusu Eugen – Matematica în liceu, probleme de metodică, Ed.D.P. București 1970
13. www.edu.ro
14. www.didactic.ro
73
Anexe
Proiect didact ic
Clasa : a VIII -a
Profesor : Széll Erzsébet
Data :
Disciplina : Matematică – algebră
Unitatea de învățare: Ecua ții, inecua ții, sisteme de ecuații
Titlul lecției : Ecuația de gradul al II -lea cu o necunoscuta
Tipul lecției : Lecție de dobândire de noi cunoștinte
I. COMPETENȚE GENERALE:
CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de
contextul în care au fost definite
CG 2. Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea locală
sau globală a unei situații concr ete.
CG 3 . Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situați problemă
CG 4 . Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea
cunoștințelor din diferite domenii
II. COMPETENȚE SPECIFICE:
CS1 Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a numerelor reale și a
formulelor de calcul prescurtat
CS2 Alegerea formei de reprezentare a unui număr real și utilizarea de algoritmi
pentru optimizarea calculului cu numere reale
CS3 Determinarea soluțiilor unor ecuații, inecuații sau sisteme de ecuații
74
III. COMPETENȚE DERIVATE
CD1 Să recunoască formele unei ecuații de gradul al II -lea completă și incompletă;
CD2- Să reproducă și să aplice formula discriminantului ecuației ax2+bx+c= 0 ,a0
CD3- Să anticipeze num ărul de soluții reale ale ecuației ax2+bx+c= 0 ,a0
CD4- Să rezolve ecuații reductibile la forma ax2+bx+c= 0 ,a0
CD5- Să aplice metodele cele mai potrivite în scopul eficientizării rezolvărilor
CD6- Să descompună în factori expresii de forma ax2+bx+c
IV. STRATEGIA DIDACTICĂ
Metode :
-conv ersația (euristică );
-explicația;
-problematizarea;
-observația ;
-munca independentă;
-algoritmizarea
Resurs e materiale: – Manual de matematica clasa a VIII -a,
– Fișã de lucru
– culegere
Forme de organizare : frontal, individual .
V. MATERIAL BIBLIOGRAFIC:
– Programa școlară pentru clasele V -VIII. Aria curriculară : matematică și științe
75
– Culegere pentru clasa a VIII -a, editurile Delfin, Sigma
76
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Etapele lecției
(durata) ACTIVITATEA DE INSTRUIRE SRATEGII DIDACTICE
Activitatea profesorului Activitatea elevilor Forme de
organizare Metode și
procedee Resurse
1. Moment
organizatoric
și captarea
atenției
( 2’) Se asigură condițiile optime pentru
desfășurarea lecției;
Se notează absenții;
Se verifică dacă există materialele necesare
desfãșurării lecției. Elevul de serviciu anunță
elevii care sunt absenți
Pregătesc materialele
necesare desfășurării
activității.
Elevii se p regătesc pentru
lecție
Activitate
frontală
Conversația
2. Anunțarea
temei și a
obiectivelor
( 1’) Se anunță tema și obiectivele lecției.
Se scrie titlul lec ției pe tablă: Ecuația de
gradul al II -lea cu o necunoscută Elevii notează în caiete titlul
lecției : Ecuația de gradul
al II-lea cu o necunoscută Activitate
frontală
Conversația
Expunerea
Explicația Tabla
Caiete
77
3. Actualizarea
cuno ștințelor
( 5’) Ce este o ecua ție?
Ce ȋnseamn ă a rezolva o ecua ție? Ce este o
soluție a unei ecuații? Elevii răspund la intrebari Activitate
frontală
Conversația
examinatoare
4. Dirijarea
învățării
(25’)
Forma general ă a ecua ției de gradul al II –
lea este ax2+bx+c= 0, unde a, b, c
,
cu C.E a0
Numerele a, b, c se numesc coeficien ții
ecuației, iar x este necunoscuta ecuației.
Exemple: Identificați coeficienții a, b, c
în cazul următoarelor ecuații:
a) -2×2 +x+5 = 0; b) x2 +3x -2= 0;
c) -10×2 = 0; d) x2 – 5 = 0.
Pentru a rezolva o ecuație de gradul al II –
lea parcurgem urm ătoarele etape:
Pas 1 : Identific ăm coeficien ții (a, b, c)
Pas 2 : Calcul ăm discriminantul ecuației
după formula: Elevii notează pe caiete
forma generala a ecuației de
gradul al II -lea, etapele de
rezolvare și exemplele.
Activitate
frontală
Expunerea
Explica ția
Algoritmi –
zarea Tabla
Fișa
78
Pas 3 : Natura solu țiilor ecuației depind de
valoarea discriminantului, astfel:
Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are soluții
reale
Dacă Δ= 0 atunci ecuația are dou ă soluții
egale
Dacă Δ> 0 atunci ecuația are dou ă soluții
diferite
Exemplu: 1 .
0342x x
a =1, b = -4, c =3
= (-4)2-4·1·3=16 -12 = 4
Pentru c ă Δ> 0, ecuația are dou ă soluții
diferite
;
Activitate
frontală
Conversația
Explicația
79
2.
0962x x
a =1, b = 6, c =9
ac b42
= 62-4·1·9=36 -36 = 0
Pentru c ă Δ= 0, ecuația are dou ă soluții
egale
,
deci
3.
04 52x x
a =2, b = 5, c =4
ac b42
= 52-4·2·4=25 -32 = -7
Pentru c ă Δ < 0, ecuația nu are soluții reale.
Cazuri particulare: (forme incomplete)
1.
avem cu soluția x=0
ex:
; au solutia x=0
Problemati –
zarea
Exercițiul
Transferarea
cunoștințelor
80
2. avem
cu soluțiile x=0 si x= -b/a
3. avem două situații
Când avem
Ex: x2+25= 0
Când avem
Observație: Orice expresie de forma E(x)
= ax2 +bx+c a c ărui Δ este mai mare sau
egal cu 0, s e poate descompune ȋn factori
astfel: E(x) = a(x -x1)(x-x2)
ex : x2+10x= 0
a=1, b=10, c=0
x(x+10)=0
x=0 sau x= -10
Ex : x2-25= 0
a=1, b=0, c = -25
(x-5)(x+5)=0, cu soluțiile
x=5 sau x= -5
81
Ex : Descompuneți in factori expresia
a)x2+2x-3
b)3×2-5x-2
5. Obținerea
performanței și
asigurarea
feedback -ului
(10’) Profesorul distribuie fișe de lucru elevilor
și solicită un elev la tablă pentru rezolvarea
exercițiului nr7.
Dacă timpul permite se vor rezolva mai
multe probleme din fișă la tablă. Elevii rezolv ă exerci țiile din
fișă Activitate
individuală
Munca
independenta Fișe de
lucru
6. Verificarea
cuno ștințelor
( 5’) Fiecare elev rezolva exercitiul 8 din fisa de
lucru
Elevul va rezolva exercitiile
din fisa. Activitate
individuală Munca
independentă Fișă de
lucru
7. Concluzii și
enunțarea
temei pentru
acasă
( 2’) Tema de cas ă: exerciții din manual și
culegere. Elevii intreabă eventuale
dificultăți.
Activitate
frontală Explica ția Culegere
82 Fișă de lucru
Ecuația de gradul al II -lea cu o necunoscută
1. Identificați coeficienții a, b, c în cazul următoarelor ecuații:
Rezolvarea ecuației de gradul al II lea cu o necunoscută
Pas 1 : Identificăm coeficien ții (a, b, c)
Pas 2 : Calculăm discriminantul ecuației dup ă formula :
Pas 3 : Natura solu țiilor ecuației depind de valoarea discriminantului, astfel:
Dacă Δ< 0 atunci ecuația nu are soluții reale .
Dacă Δ= 0 atunci ecuația are dou ă soluții egale.
DacăΔ> 0 atunci ecuația are dou ă soluții diferite :
2. Rezolvați ecuatia
a)
0342x x b)
0962x x c) 2
04 52x x
3. Rezolvați ecuatia
a) ; b) c) x2+10x = 0 d) x2-25= 0
a)3×2 -4x+1 = 0;
cba b) –x2 +x -3 = 0;
cba
c) -11×2 = 0;
cba d) x2 – 7 = 14.
cba
83 4. Descompuneți în factori expresia
a) x2+2x-3 b)3×2-5x-2
5. Rezolvați ecuațiile:
a. Folosind descompunerea în factori:
04 12x
b. Folosind formula de rezolvare:
a’)
0 1682x x ; b’)
0952x x .
6. Să se determine valoarea lui a Є R, știind că ecuația 2×2 + ax – 4 = 0 , xR are soluția -4.
7. Determinați numarul real m pentru care ecuația 5×2-7x+m = 0
8. Rezolvați ecuațiile:
a) 17×2 = 0 b) x2-7x = 0 c) x2-4 = 0 d)
0 127 32x x
e)
15
113
xx
xx f) (3x -2)2 + (4-6x)2 = 0
84 PROIECT DIDACTIC
Data:
Clasa: a VII -a
Disciplina: Matematică – Algebră
Profesor: Széll Erzsébet
Unitatea de învățare: Ecuații și inecuații cu coeficienți in mulțimea numerelor reale
Titlul lectiei: Ecuații de gradul I cu o necunoscută și ecuații reductibile la acestea.
Tipul lecției: Lecție mixtă
Competențe generale:
CG 1 Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul
în care au fost definite
CG 2 Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în
enunțuri matematice
CG 3 Dezvoltarea capacităților d e exploatare/ investigare și rezolvare de probleme.
CG 4 Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații
concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
CG 5 Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
Competențe specifice:
CS 1 Efectuarea calcule cu numere reale, utilizând reguli de calcul și proprietățile
operațiilor
CS 2 Recunoașterea unor rezultate bune, obținute prin calcul; să interpreteze date obținute
prin calcul
CS 3 Prezentarea în mod coerent soluția unei probleme ,utilizând modalități variate de
exprimare
85
Competențe derivate :
CD1 Să rezolve ecuații de forma ax+b = 0, cu a,b R
CD2 Să aducă la o formă mai simplă egalități, utilizând proprietățile relației de egal itate
CD3 Să rezolve ecuații reductibile la ecuația ax+b = 0, cu a,b R
CD4 Să aplice corect formulele învățate
Strategii didactice:
Metode și procedee
metoda ciorchinelui;
explicatia;
exercițiul ;
învățarea prin descoperire;
activitatea independentă ;
Mijloace de realizare
Fișe de lucru
Culegere de matematică
Forme de organizare
Frontală și individuală
Metode de evaluare:
continuă , secvențială .
Biliografie:
– Manual pentru clasa a VII -a
– Auxiliar
86 Desfașurarea activitații
Etapele
lecției
Competențe
Activitatea de instruire
Strategii didactice
Metode,
procedee ,
Forme de
organizare Evaluare
1. Momentul
Organizatoric
Se asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției.
Conversația
2. Verificarea
cunoștințelor
anterioare și a
temei pentru
acasă
Elevii sunt solicitați să prezinte titlul lecției anterioare ” Ecuații de
gradul I cu o necunoscută”
Profesorul adresează câteva întrebări la elevi :
Ce se numește ecuație?
Care este forma generală a ecuației de gradul I cu o necunoscută?
Ce înseamnă a rezolva o ecuație de gradul I cu o necunoscută?
Ce numim ecuații echivalente?
Conversația
Observare
sistematică
87 Se vor reaminti formulele: (
– profesorul verifică frontal tema scrisă facând eventul observații, iar
dacă există probleme nefinalizate le sugerează elevilor metoda de
rezolvare
3. Anunțarea
temei și a
competențelor
urmărite Urmează consolidarea și fixarea prin exer ciții cunoștințele dobândit în ora
anterioară .
-Profesorul scrie titlul lecției pe tablă: ” Ecuații de gradul I cu o
necunoscută și ecuații reductibile la acestea”.
Conversația
4.Intensificarea
retinerii și
asigurarea
transferului
CS1
CS2
Profesorul le propun e elevilor rezolvarea ecuație: ( ciorchine).
(1)
2x-6 = 0
2x = 6 |:2
x =3
S={3}
Ecuația a putut fi rezolvată deoarece prin transformari echivalente am
reușit să reducem gradul necunoscutei de la 2 la 1 și să obținem o
ecuație de forma ax + b =0, ec uație echivalentă cu ecuația dată.
Conversația
Explicatia
Explicatia
Analiza
răspunsurilor
Observare
88
CS3
Spunem că ecuația
Este reductibilă la ecuația: 2x-6=0 ,
Nu toate ecuațiile pot fi reduse la forma ax+b = 0 ,
Profesorul cere elevilor să -și caute metode pentru rezolvarea
ecuațiilor u rmătoare:
2)
Regula produsului nul: Un produs este nul dacă cel putin un factor
este nul.
Să rezolvăm ecuatia (2)
– Descompunem in factori membrul stang : x(x -2) = 0
– Aplicand regula produsului nul avem x = 0 sau x – 2 = 0
– Rezolvăm fiecare ecuație in parte și obținem x=0 sau x=2
– Reunind cele două soluții obținem S={0,2}
3) (x+5)(2x -7)=4(2x -7)
Obs. Nu putem impărti in ambii membri ai unei ecuații cu un factor
care conține necunoscuta, deoarece se pot pierde soluții.
Vom parcurge urmă torii pași:
Trecem toți termenii in membrul stang (x+5)(2x -7) – 4(2x -7) = 0
Descompunem in factori (2x -7)(x+5 -4) = 0
Aplicam regula produsului 2x -7=0 si x+1=0
Problematizare
Exercițiul
sistematică
Analiza
Răspunsurilor
89 Rezolvăm ecuațiile obținute rezultă x=
sau x = -1
Deci S = {
,–1}
Să rezolvăm ecuația :
(4)
Amplificăm numărătorii si scriem ecuația fără numitori:
4x-6x+30 = 3x+60
Separăm necunoscutele de termenii liberi: 4x -6x-30 = 60 -30
Efectuăm operațiile de scădere și adunare : -5x = 30 de unde x = -6 este
soluția ecuației.
Ecuatii cu modul:
|x-3|=5
|2x-1| = |x+1|
|x+4|= –2
Ecuatii de gradul I deduse dintr -un context geometric:
Intr-un triunghi dreptunghic, m ăsura unui unghi ascutit este egal ă cu
dublul m ăsurii celuilalt unghi ascuț it. Aflati m ăsurile celor dou ă
unghiuri.
5. Asigurarea
feedback -ului CS1
– Fiecare elev primeste o fisă cu două exerci ții, care vor fi rezolvate
independent. După 5 minute, rezolvările se verifică la tablă.
Munca
independentă Aprecieri verbale
Analiza
răspunsurilor
90
CS2
CS3 1. a)
712x
b)
2 2)32(6)2 )(2(5 13 x x x x
2. Determina ți lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isosc el care
are ipotenuza egală cu 10 .
6. Evaluarea și
temă de casă Aprecierea elevilo r care s -au remarcat la lecție.
Exercițiile care nu s -au rezolva t în clasă, vor rămâne ca temă . Conversație
Explicatie Aprecieri verbale
91 CLASA a VII -a C ALGEBRĂ
FIȘĂ DE LUCRU
1). Rezolva ți in mul țimea numerelor reale ecua țiile:
a). 4(x + 3) – 2x = 6 – 3(2 – x)
b).
361 322 3 x x
c).
41
103
43
51 xx x x
d).
125
43 4
22 3
33 2 x x x
e).
)1( 3 22 xxx x
f).
24 3
4 32
232
x x xx
2).Rezolvați ecuațiile următoare, descompunand intr -un produs:
a) x2 – 4 = 0
b)
c) x(x -1) = 2( x – 1)
d) 3
e)
3).Ecuații cu modul:
a)
53 2x
b).
4) Aflați lungimile laturilor triunghiului știind c ă are perimetrul egal cu 70 cm.
x x+1
x+3
92 P :
1. a)
712x
2.
2 2)32(6)2 )(2(5 13 x x x x
3. Determina ți lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel care are ipotenuza egală cu 10.
93
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Introducere … … … … 3 [632308] (ID: 632308)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.