Intoducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………….. [608803]

Cuprins

Intoducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 4
I Noțiuni introductive ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 5
1. Grupuri ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 5
II Inele și corpuri ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 10
1 Inele și morfisme de inele ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 10
2. Subinel și ideal ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 11
3. Corpuri ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 13
4. Inele euclidiene și inele principale ………………………….. ………………………….. …………………………. 14
III. Modul e de tip finit ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 16
1. Matrice aritmetic echivalente ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 16
2 . Teorema factorilor invarianți ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 20
3. Module indecompozabile de tip finit peste inele principale ………………………….. ……………………. 30
4. Spații invariante ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………… 35
5. Matricea caninică Jordan a unei transformări liniare ………………………….. ………………………….. … 40
6. Matrice asemena.Forma canonică Jordan a unei matrice ………………………….. ……………………….. 45
7. Vectori și valori proprii ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 52
IV Aplicații ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 55
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 56

4

Intoducere

5
I Noțiuni introductive
§ 1. Grupuri

1.1.Definiția unei legi de compoziție interne, tipuri particulare de legi de compoziție internă
Definiția 1.1.1. Se numește lege de compoziție sau operație internă pe mulțimea G
nevidă o aplicație a mulțimii 𝐺×𝐺→𝐺.
Altfel spus ,o lege de compoziție internă pe mulțimea G este o corespondență care
asociază fiecărei perechi ordonate (x,y) de elemente din G un unic element ” c ” determinat din
G,numit compusul lui x cu y.
Se folosesc diverse notații pentru o lege de compoziție ,precum:
𝑐=𝑥+𝑦 ; 𝑐=𝑥∙𝑦 ; 𝑐=𝑥 ⃘ 𝑦 etc.
Dacă legea de com poziție este notată cu ” + ”,se numește adunare ,iar elementele x și y
se numesc termeni ai compusului lor ” c ” ce se numește sumă.
Dacă legea de compoziție este notată cu ” ∙ ”,se numește înmulțire.În acest caz,x și y
se numesc factori,iar ” c”,compusul lor, se numește produs.
O aplicație a unei submulțimi proprii a lui 𝐺×𝐺→𝐺 se numește lege de compoziție
internă pa rțială pe G.În continuare,când nu vom preciza,vom înțelege că avem o lege de
compoziție peste tot definită.
Legile de compoziție interne,definite mai sus,se numesc legi binare ,iar legile de
compoziție interne n -are pe G sunt aplicații ale mulțimii 𝐺×𝐺×…×𝐺 ,de n ori ,în G .
Definiția 1.1. 2. O submulțime 𝐺′ a unei submulțimi G se numește stabilă (închis ă)față
de o lege de compoziție ” ∗ ”definită pe G, dacă oricare ar fi două elemente x și y din 𝐺′,
compusul lor prin legea dată se regesește tot în G '.Altfel spus : ∀ 𝑥,𝑦 𝜖 𝐺′⇒𝑥∗𝑦 𝜖 𝐺′ ,în
acest caz ,putem defini următoarea operație ” ∗′ ” pe 𝐺′:
∗′ :𝐺′×𝐺′→𝐺′ ; 𝑥 ∗′𝑦≔𝑥∗𝑦 ,∀(𝑥,𝑦)∈𝐺′×𝐺′ .
Se observă că funcția ∗′ nu este alta decât restricția fun cției ∗ la submulțimea 𝐺′×𝐺′
a lui 𝐺×𝐺 urmată și de restrângerea codomeniului lui ∗ de la G la 𝐺′. Operația ∗′ se numește
operație indusă pe 𝐺′ de ∗ .În practică, operația ∗′ se va nota tot cu ∗ .

6
1.2. Tipuri particulare de legi de compoziție interne
Definiția 1. 2.1. O lege de compoziție ” ⃘ ” în mulțimea G se numește asociativă dacă
∀ 𝑥,𝑦,𝑧∈𝐺:(𝑥 ⃘ 𝑦) ⃘ 𝑧=𝑥 ⃘ (𝑦 ⃘ 𝑧) .
Observația 1.2.1. Dacă le gea de compoziție este parțială, ea este asociativă când odată
cu compusul din membrul întâi există și cel din membrul al doilea și sunt egali.
Pentru a consolida informația vom explica următoarele exemple:
 Operația de adunare în R este asociativă deoarece oricare ar fi :
𝑥,𝑦,𝑧∈𝑅⇒(𝑥+𝑦)+𝑧=𝑥+(𝑦+𝑧) .
 Operația de scădere din R nu este asociativă ,deoarece (𝑥−𝑦)−𝑧≠𝑥−(𝑦−𝑧) dacă
𝑧≠0.
 Operația de reuniune și intersecție în P(G) sunt asociative.Într -adevăr,oricare ar fi
𝐴,𝐵 ,𝐶∈𝑃(𝐺) avem (𝐴∪𝐵)∪𝐶=𝐴∪(𝐵∪𝐶) deoarece mulțimile din ambii
membri sunt forma te din elemente care se gasesc sau în A sau în B sau în C.
De asemenea (𝐴∩𝐵)∩𝐶=𝐴∩(𝐵∩𝐶) deoarece ambii membri reprezintă mulțimea
elementelor comune mulțimilor A,B, C.
Definiția 1. 2.2. O lege de compoziție ” ⃘ ” în m ulțimea G se numește comutativă ,dacă
∀ 𝑥,𝑦∈𝐺∶𝑥 ⃘ 𝑦=𝑦 ⃘ 𝑥 .
Dacă le gea de compoziție este parțială ,ea este comutativă când odată cu 𝑥 ⃘ 𝑦 există și
𝑦 ⃘ 𝑥 și sunt egali.
1.3. Element neutru, element simetric
1.3.1. Element neutru
Definiția 1. 3.1.1. Se spu ne că un element e al unei mulțimi G este neutru pentru legea
de compoziție ” ⃘ ”,dacă 𝑥 ⃘ 𝑒=𝑒 ⃘ 𝑥=𝑥 oricare ar fi 𝑥 din G .
Teorema 1. 3.1.1. Dacă o lege de compoziție admite element neutru,acesta este unic.
Demonstrație : Să presupunem că pe langă elementul neutru e ar mai exista un elemet
neutru 𝑒′.Cum e este neutru, luând în relația 𝑥 ⃘ 𝑒=𝑥 pe 𝑥=𝑒′ obținem 𝑒′ ⃘ 𝑒=𝑒′.Cum și 𝑒′
este neutru ,considerând în relația 𝑒′ ⃘ 𝑥=𝑥 pe 𝑥=𝑒,găsim 𝑒′ ⃘ 𝑒=𝑒 .Comparând, rezultă că
𝑒′=𝑒,adică elementrul neutru este unic.

7
Dacă operația este notată aditiv, elementul neutru se numeșt e elementul nul și se
notează,de obicei, cu 0.
Dacă operația es te notată multiplicativ, elemen tul neutru se numește element unitate și se
notează de obicei cu 1.
Exemple
1. În mulțimea numerelor reale,adunarea are ca element nul pe 0, iar înmulțirea are ca
element unitate pe 1, deoarece oricare ar fi 𝑥∈𝑅 avem :
𝑥+0=0+𝑥=𝑥 și 𝑥∙1=1∙𝑥=𝑥 .
2. În P(G) reuniunea are ca element neutru pe Ø, iar interse cția pe G ,deoarece oricare ar
fi 𝑋∈𝑃(𝐺) avem :
𝑋∪∅=∅∪𝑋=𝑋 și 𝑋∩𝐺=𝐺∩𝑋=𝑋 .
3. În mulțimea numerelor naturale pare, operația de înmulțire nu are element neutru.
1.3.2. Element si metric
Definiția 1.3.2.1. Se spune că elementul 𝑥′∈𝐺 este element simetric pentru elementul
𝑥∈𝑀 față de o lege de compoziție ” ⃘ ” definită pe mulțimea G și care are element neutru e
dacă :
𝑥 ⃘ 𝑥′=𝑥′ ⃘ 𝑥=𝑒
Teorema 1.3.2.1. Dacă 𝑥′ este element simetric pentru 𝑥,atunci și 𝑥 este element simetric
pentru 𝑥′ .
Demonstrație . Dacă 𝑥′ este simetric pentru x ,avem relația 𝑥 ⃘ 𝑥′=𝑥 ⃘ 𝑥′=𝑒 .Cum ea
se mai poate scrie sub forma 𝑥′ ⃘ 𝑥=𝑥 ⃘ 𝑥′= e,rezultă că și 𝑥 este simetric pentru 𝑥′ .
Teorema 1.3.2.2. Dacă legea de compoziție este ” ⃘ ” este asociativă ,iar 𝑥′ și 𝑦′ sunt
element e simetrice, respectiv p entru 𝑥 și 𝑦 ,atunci 𝑥′ ⃘ 𝑦′ este element simetric pentru 𝑥 ⃘ 𝑦 .
Demonstrație . Din relația 𝑥 ⃘ 𝑥′=𝑥′ ⃘ 𝑥=𝑒 și corespunzătoarea ei pentru y, obținem :
(𝑥 ⃘ 𝑦) ⃘ (𝑦′ ⃘ 𝑥′)=𝑥 ⃘ (𝑦 ⃘ 𝑦′) ⃘ 𝑎′=𝑥 ⃘ 𝑥′=𝑒
(𝑦′ ⃘ 𝑥′) ⃘ (𝑥 ⃘ 𝑦)=𝑦′ ⃘ (𝑥′ ⃘ 𝑥) ⃘ 𝑦=𝑦′ ⃘ 𝑦=𝑒
ceea ce demonstrează afirmația teoremei.

8
Teorema 1.3.2.3. Dacă o lege de compoziție ” ⃘ ” pe G este asociativă, atunci orice
element are cel mult un simetric .
Demonstrație . Dacă un element 𝑥 ar avea două elemente simetrice 𝑥′ și 𝑥′′ ,atunci
𝑥′′=𝑥′′ ∘ 𝑒=𝑥′′ ∘ (𝑥∘ 𝑥′)=(𝑥′′ ∘𝑥) ∘𝑥′=𝑒∘ 𝑥′=𝑥′
De obicei, dacă operația este notată aditiv, elementul simetric unui elemnt 𝑥 de numește
opusul lui 𝑥 și se notează cu ”−𝑥 ” . Dacă ope rația este notată multiplicativ, simetricul lui 𝑥 se
numește inversul lui 𝑥 și se notează cu ” 𝑥−1 ” .
Exemple
1. În mulțimea numerelor naturale nici un element diferit de 0 nu are opus față de
adunare și nici un element diferit de 1 nu are un invers față de înmulțire.
2. În mulțimea numerelor întregi orice element are opus față de adunare și nici un
element diferit de 1 nu are invers față de înmulțire.
3. În mulțimea numerelor raționale orice număr are opus față de adunare și orice
număr diferit de 0 are invers față de înmulțire .

4. În mulțimea P(G) nici un element afară de Ø nu are simetric față de reuniunea și
nici un element afară de G nu are simetric față de intersecție.În adevăr, pentru orice 𝐴∈𝑃(𝐺)
avem 𝐴∪𝑋=Ø→𝐴=𝑋 și 𝐴∩𝑌=𝐺→𝐴=𝑌=𝐺 .
1.4.Grupuri și morfisme de grupuri
Definiția 1.4.1.O mulțime nevida G impreună cu o operație alge brică definită pe G se numește
grup dacă operația algebrică este asociativă,are element neutru și orice element din G este
inversabil.Dacă operația algebrică este in plus comutativă ,spunem că grupul este comutativ sau
abelian.
Vom nota în acest c apitol de obicei operația algebrică considerată pe un grup
,multiplicativ,afară de cazurile în care ea se notează prin tradiție aditiv saub în cazurile când
avem de -a face cu operații algebri ce distincte pe aceeași mulțime .Cititorul este sfătuit să
transcr ie unele dintre proprietățile grupurilor și sub formă aditivă.Mulțimea numerelor întregi
Z cu operația de adunare este grup comutativ.Cu operaț ia de înmulțire,Z nu este grup, căci de

9
exempl u 2 nu este inversabil.De aceea, prin grupul Z vom înțelege în cele c e urmează mulțimea
Z a numerelor întregi cu legea de adunare.Elementele 1, -1 din Z formează grup cu operația de
înmulțire.
Dacă G este un grup și 𝐺𝑀 este mulțimea f uncțiilor de la mulțimea M la G ,atunci 𝐺𝑀
împreună cu operația dedusă din operația lui G formează grup.Căci,după cum am văzut, operația
dedusă este și ea asociativă ,are element unitate și pentru 𝑓∈𝐺𝑀,funcția 𝑓′:𝑀→𝐺 definită
prin 𝑓′=(𝑓(𝑥))−1 este inversa funcției f, cum se verifică cu ușurință.
Pe o mul țime formată dintr -un singur element avem o singură structură de grup în care
elementul respectiv este element unitate.Acest grup îl numim grup unitate sau, dacă operația
este scris adiitiv, grup nul.

10
II Inele și corpuri

§ 1 Inele și morfisme de inele

Definiția 1.1.Se numește inel o mulți me nevidă R, împre ună cu două operații
algebrice, dintre care una se notează de obicei aditiv,iar cealaltă multiplicativ, cu următoarele
proprietăți:
a) R împreună cu operația aditivă este grup abelian ;
b) R îmreună cu operația de înmulțire este semigrup ;
c) operația de înmulțire es te distributivă față de adunare, adică:
𝑎(𝑏+𝑐)=𝑎𝑏+𝑎𝑐 ,(𝑏+𝑐)=𝑏𝑎+𝑐𝑎
pentru orice 𝑎,𝑏,𝑐∈𝑅.
Pe o mulțime formată dintr -un singur element există o singură structur ă de inel în care
acel el ement este elementul nul și ele mentul unitate.Acest inel va fi numit inel nul. Un inel care
conține cel puțin două elemente se va numi inel nenul .
Inelul R se numește comutativ dacă operaț ia de înmulțire este comutativă; se numește
unitar sau inel cu element unitate dacă operația d e înmulțire are element unitate, adică
semigrupul multiplicativ este unitar .
Dacă 0 este elementul unitate p entru operația de adunare din R, atunci avem
0𝑎=𝑎0=0, pentru orice 𝑎∈𝑅 .
Într-adevăr,avem 𝑎0=𝑎(0+0)=𝑎0+𝑎0 și deci, adunând la ambii membri ai acestei
relații pe –𝑎0,obținem 𝑎0=0.Faptul că 𝑎0=0 se demonstrează cu totul analog .
Un element a din inelul R se numește divizor al lui zero la sânga (la dreapta ) dacă există
𝑏≠0 ,𝑏∈𝑅,astfel încât ba=0 (respectiv ab=0 ) .
Propoziția 1.2. Dacă inel ul R este diferit de inelul nul, atunci orice element ineversabil
din R nu este divizor al lui zero, în particular este ≠0 și 1≠0 .
Demonstrație . Să presupunem că a este un element inversabil în R și că ar fi divizor al
lui zero la dreapta. Atunci ar exista 𝑏≠0 astfel încât ab=0. Înmulțind ac eastă relație cu inversul
lui a,care există,obținem b=0, contradicție .

11
Definiț ia 1.3. Fiind date două inele R,A, o funcție 𝜑∶𝑅→𝐴 se numește morfism (sau
omom orfism ) de inele dacă satisface următoarele două proprietăți :
1) 𝜑(𝑎+𝑏)=𝜑(𝑎)+𝜑(𝑏) ,pentru orice 𝑎,𝑏∈𝑅;
2) 𝜑(𝑎𝑏)=𝜑(𝑎)𝜑(𝑏),pentru orice 𝑎,𝑏∈𝑅.
Prima propeietate exprimă faptul că φ este,în particular,un morfism de grupuri de la
grupul aditiv a lui R la grupul aditiv al lui A.Deci din proprietățile morfismelor de grupuri
rezultă că 𝜑(0)=0 (unde am notat cu 0 elementul nul din R și A) și 𝜑(−𝑎)=−𝜑(𝑎),pentru
orice 𝑎∈𝑅.
Din a doua proprietate însă nu se poate deduce că 𝜑(1)=1 (cu 1 s -a notat elementul
unitate la înmulțire din R și A) în cazul în care R și A sunt inele unitare.Dacă această proprietate
este însă satisfăcută,se spune că morfismul φ este unitar.
Propoziția 1.4. Un morfism de inele este izomorfism d acă și numai dacă este bijec tiv.
Demonstrație . Dacă 𝜑∶𝑅→𝐴 este izomorfism de inele, atunci rezultă că 𝜑 este și un
izomorfi sm de mulțimi ( și de grupuri ), deci cum stim este un izomorfism de grupuri, deci există
𝜑′∶𝐴→𝑅,morfism de grupuri, astfel încât 𝜑′𝜑=1𝐴 și 𝜑𝜑′=1𝐵 . Rămâne doar să arătăm că
𝜑′ este chiar morfism de inele, adică satisface condiția 2) de mai sus . Fie deci 𝑎′,𝑏′∈𝐴 ; trebuie
să arătăm că 𝜑′(𝑎′𝑏′)=𝜑′(𝑎′)𝜑′(𝑏′) .
Avem 𝜑(𝜑′(𝑎′𝑏′))=𝑎′𝑏′ și 𝜑(𝜑′(𝑎′)𝜑′(𝑏′))=𝜑(𝜑′(𝑎′))𝜑(𝜑′(𝑏′))=𝑎′𝑏′ și
afirmația rezultă din faptul că 𝜑 este funcție injectivă .

§ 2. Subinel și ideal

Definiția 2.1.O submulțime nevidă 𝑅′ a inelului R se numește sub inel al inelelui R dacă
operațiile algebrice de pe R induc pe 𝑅′ operațiile algebrice împreună cu care 𝑅′ formează u n
inel.
Așadar, 𝑅′ trebuie să fie în particular subgrup al grupului aditiv al lui R,ceea ce este
echivalent după câte stim de la grupuri cu:
1) Oricare ar fi 𝑎,𝑏∈𝑅′,rezultă 𝑎−𝑏∈𝑅′.

12
Apoi trebuie ca operația de înmulțire pe R să inducă pe 𝑅′ o operație algebrică,ceea ce
este echivalentă cu:
2) Oricare ar fi 𝑎,𝑏∈𝑅′,rezultă 𝑎𝑏∈𝑅′.
Prin urmare,condițiile 1) și 2) sunt necesare ca 𝑅′ să fie subinel al lui R.Ele sunt însă și
suficiente.Înttr -adevăr,dacă ele sunt verificate, 𝑅′ este subgrup al grupului aditiv al lui R,după
cum rezultă din 1).Mai rămâne să arătăm că operația de înmulțire pe 𝑅′ este asoci ativă,ceea ce
rezultă din faptul că operația de înmulțire din R este asociativă,si că această operație este
distributivă față de adunare,ceea ce rezultă din faptul că operația de înmulțire din R este
distributivă față de adunare.De obicei,în cazul inelelor cu unitate,se consideră îndeosebi
subinele care conțin elementul unitate.
Propoziția 2.1. O intersecție de subinele (unitare) ale unui inel este un subinel (unitar).
Demonstrație. Fie {𝐵𝑖} 𝑖∈𝐼 o familie de subinele ale inelului R și 𝐵=⋂𝐵𝑖𝑖∈𝐼.Dacă
𝑎,𝑏∈𝐵,atunci 𝑎,𝑏∈𝐵𝑖 pentru toți 𝑖∈𝐼,deci 𝑎−𝑏∈𝐵𝑖 și 𝑎𝑏∈𝐵𝑖 pentru orice 𝑖∈𝐼,fiindcă
𝐵𝑖 sunt subinele.De aici rezultă că 𝑎−𝑏∈⋂𝐵𝑖=𝐵 𝑖∈𝐼 și 𝑎𝑏∈⋂𝐵𝑖=𝐵 𝑖∈𝐼 ,adică B este
subinel.Este clar că dacă 1∈𝐵𝑖 pentru toți 𝑖∈𝐼,adică 𝐵𝑖 sunt subinele unitare,atunci 1∈
𝐵;deci B este subinel unitar.
Definiția 2.3.Fie R un inel.O submulțime I a lui R se numește ideal stâng(respectiv frept)
sau ideal la stânga (respectiv la dreapta) dacă I este un sub grup al grupului aditiv R,adică:
1) Oricare ar fi 𝑎,𝑏∈𝐼,rezultă 𝑎−𝑏∈𝐼 și în plus
2) Oricare ar fi 𝑎,∈𝐼 și 𝛼∈𝑅,rezultă 𝛼𝑎∈𝐼 (respectiv 𝑎𝛼∈𝐼).
I se numește ideal bilateral dacă este ideal la stânga și la dreapta.
Definiția 2.4.Fie R un inel unitar și M o submulțime a lui R.Prin ideal stâng
(drept,bilateral) generat de mulțimea M se înțelege intersecția tuturor idealelor stângi
(drepte,bilaterale) care conțin mulțimea M.Mulțimea vidă generează idealul (0).Un inel stâng
(drept,bilateral) al idealului R se numește de tip finit sau finit generat dacă există o mulțime
finită de elemente din I care generază pe I.În cazul în care există un singur element care
generează pe I se spune că I este ideal stâng (drept,bilateral) principal.

13
§ 3. Corpuri

Definiția 3 .1. Un inel unitar K se numește corp dacă orice element nenul din K este
inversabil .
Faptul că inelul 𝐾≠0 este echivalent cu 1≠0,după cum rezultă din propoziția (1.2).
Din aceeași propoziție rezultă că orice subinel al unui corp este fără divizor i ai lui zero ,iar un
corp comutativ este inel integru .
Dacă K este un corp, atunci mulțimea elementelor nenule din K cu operația de înmulțire
este grup .
Propoziția 3 .2. Un inel R unitar nenul este corp dacă și numai dacă 0 și R sunt singurele
sale ide ale stângi și ideale drepte în R .
Demonstrație . Din propoziția ”fie R un inel uni tar și I un ide al stâng ( drept sau
bilateral). Atunci I=R dacă și numai dacă I conține un element inversabil din R ” rezultă că
într-un corp avem numai aceste inele st ângi și ine le drepte.Reciproc, dacă presupunem că
singurele ideale stângi și ideale drepte în R sunt însuși R și idealul 0, atunci fie 𝑎∈𝑅 ,𝑎≠0.
Idealul stîng 𝑎𝑅,generat de a,fiind nenul, rezultă 𝑅𝑎=𝑅,deci există 𝑎′∈𝑅 astfel încât :
𝑎′𝑎=1. (1)
Analog, idealul drept 𝑎𝑅,generat de a este nenul (căci conține pe a) și deci 𝑅𝑎=𝑅.Prin
urmare,există 𝑎′′∈𝑅 astfel ca :
𝑎𝑎′′=1. (2)
Din relațiile (1) și (2) se obține :
𝑎′=𝑎′(𝑎𝑎′′)=(𝑎′𝑎)𝑎′′=𝑎′′,
deci a este element inversabil în R,adică R este corp.
Definiția 3.3.O submulțime nevidă k a unui corp Kse numește subcorp al lui K dacă
operațiile algebrice de pe K induc pe k operațiile algebrice împreună cu care k este corp.

14
§ 4. Inele euclidiene și inele principale

Definiția 4.1. Un inel integru R impreună cu o funcție 𝜑:𝑅∖{0}→𝑁 se numește inel
euclidian dacă are următoarele proprietăți:
i) Oricare ar fi elementele nenule 𝑎,𝑏∈𝑅 astfel ca a să dividă pe b,rezultă 𝜑(𝑎)≤φ(𝑏).
ii) Pentru orice 𝑎,𝑏∈𝑅,𝑏≠0 există 𝑞,𝑟∈𝑅 astfel ca 𝑎=𝑏𝑞+𝑟,unde 𝑟=0 sau
𝜑(𝑟)≤φ(𝑏).
Ca exemplu de inele euclidiene avem inelul întregilor Z pentru care funcția φ este
valoarea absolută a numărului întreg
𝜑(𝑛)={𝑛,𝑑𝑎𝑐ă 𝑛≥0 ;
−𝑛,𝑑𝑎𝑐ă 𝑛<0.
Se știe atunci că proprietățile i) și ii) din definiția de mai sus sunt verificate.Proprietatea
ii) în acest caz se numește teorema împărțirii intregi,denumire pe care o vom păstra pentru orice
inel euclidian.
Propoziția 4.2.Într -un inel euclidian orice două elemente au un cel mai mare divizor
comun și un cel mai mic multiplu comun.
Demonstraț ie.Pentru a demonstra această prpoziție vom utiliza raționamentul care se
face de obicei pentru a arăta că pentru Z este adevărată afirmația,adică vom aplica seccesiv
teorema împărțirii intregi,ceea ce se numește algoritmul lui Euclid.Fie a,b două elemente din
inelul euclidian R.Dacă unul dintre aceste elemente este nul,atunci se observă că celălalt este
un cel mai mare divizor comul al lor.Deci putem presupune că 𝑎≠0,𝑏≠0.Aplicăm teorema
înparțirii întregi elementelor a și b și obținem 𝑎=𝑏𝑞1+𝑟1,unde 𝑟1=0 sau 𝜑(𝑟1)<φ(𝑏),apoi
dacă 𝑟1≠0,aceeași teoremă o aplicăm elementelor b și 𝑟1 , 𝑏=𝑟1𝑞2+𝑟2, 𝑟2=0 sau
𝜑(𝑟2)<φ(𝑟1);dacă 𝑟2≠0, obținem analog 𝑟1=𝑟2𝑞3+𝑟3 , cu 𝑟3=0 sau 𝜑(𝑟3)<φ(𝑟2) și
se continuă mereu dacă restul obținut este diferit de zero.Deoarece șirul 𝜑(𝑟1)>φ(𝑟2)>⋯
este un șir descreccător de numere natural e,după un număr finit de pași obținem neapărat un
rest nul și atunci obșinem niște relații de forma:
𝑎=𝑏𝑞1+𝑟1 ;
𝑏=𝑟1𝑞2+𝑟2 ;
a ⋮ (2)

15
𝑟𝑛−2=𝑟𝑛−1𝑞𝑛+𝑟𝑛 ;
𝑟𝑛−1=𝑟𝑛𝑞𝑛+1 ,
unde 𝑟𝑖≠0,𝑖=1,2,…,𝑛.Să arătăm că 𝑟𝑛 este cel mai mare divizor comun al elementelor a și
b.
Din relațiile (2) se vede că 𝑟𝑛 divide pe 𝑟𝑛−2 , apoi că 𝑟𝑛 divide pe 𝑟𝑛−2 ,𝑟𝑛−3 etc.Dec i
𝑟𝑛 divide pe a și b.Fie acum c un divizor comun al lui a și b.Atunci din relațiile (2) rezultă că c
divide pe 𝑟1 ,apoi c ă c divide pe 𝑟2 etc.Adică c divide pe 𝑟𝑛.A doua afirmație a propozi ției
rezultă din cea precedentă și din propoziția ” fie R un inel integru.Dacă orice două elemente din
R au cel ma i mare divizor comun,atunc i orice două elemente din R au cel mai mic multiplu
comun și produsul (a, b)[a,b] este a sociat cu ab,pentru 𝑎,𝑏∈𝑅 ,𝑎≠0,𝑏≠0 ”.
Definiția 4.3.Vom num i inel principal sau inel cu ideal principal un inel integru în care
orice ideal este principal.
Din această definiție rezultă că corpurile comut ative sunt inele principa le.De
asemenea,inelul întregilorZ este inel p rincipal.Următoarea teoremă ne dă posibilitatea să dăm
și alte exemple de inele principale.
Teorema 4.4.Un inel euclidian este principal.
Propo ziția 4.5. Fie R un inel integru care nu este corp.Atu nci inelul polinoamelor de o
nedeterminată R [X] nu este inel principal.

16
III. Module de t ip finit

§ 1. Matrice aritmetic echivalente

Fie R un ine l principal.După cum este știut,R este inel factorial ,deci orice element
𝑎∈𝑅 ,𝑎≠0,𝑎 ∉ 𝑈𝑅 ,se reprezintă în mod unic, mai puțin o asociere în divizibil itate a
factorilor, ca produs finit de elemente ireductibile 𝑎=𝜋1𝜋2…𝜋𝑛 .
Număr ul n al factorilor ireductibili, luați de câte ori apar într -o asemenea reprezentare a
lui “ a ”,va fi notat cu l(a). Dacă 𝑢∈𝑈𝑅 punem 𝑙(𝑛)=0.De asemenea , 𝑙(𝑏)=−∞ .Avem :
𝑙(𝑎𝑏)=𝑙(𝑎)+𝑙(𝑏) ∀ 𝑎,𝑏 ∈𝑅 și deci dacă a | b , 𝑏≠0 , atunci 𝑙(𝑎)≤𝑙(𝑏). De
asemenea,dacă a | b și 𝑙(𝑎)=𝑙(𝑏) ,atunci 𝑎~𝑏 (a este asociat în divizibilitate cu b) .
Definiția 1.1. Fie R un inel principal. Dacă A,B ∈𝑀𝑚 𝑥 𝑛(𝑅),spunem că A este asimetric
echivalentă cu B și scriem 𝐴~𝐵,dacă există 𝑈∈𝐺𝐿𝑚(𝑅) și 𝑉∈𝐺𝐿𝑛(𝑅) astfel încât : UAV=B.
Evident , “ ~ “ este o relație de echivalență pe mulțimea 𝑀𝑚 𝑥 𝑛(𝑅) .
Definiț ia 1.2. Fie R un inel principal .Spunem că o matrice 𝐷∈𝑀𝑚 𝑥 𝑛 (𝑅),are forma
diagonal -canonică dacă :






00021
ddd
rD
, unde 0≤𝑟≤𝑚𝑖𝑛{𝑚,𝑛} ,𝑑𝑖≠0 ,1≤𝑖≤𝑟 și
𝑑1 | 𝑑2 |…| 𝑑𝑟 .
Teorema 1.3. Fie R un inel principal și 𝐴∈𝑀𝑚 𝑥 𝑛(𝑅).Exist ă o matrice diagonal –
canonică D, unic determinată mai puțin o asociere în divizibilitate a elementelor de pe
diagonală, astfel încât 𝐴~𝐷 .
Demonstrație : Dacă A = 0,teorema este evidentă. Presupunem că 𝐴≠0 și fie
𝑙(𝐴)=𝑚𝑖𝑛{𝑙(𝑎𝑖𝑗) | 𝑎𝑖𝑗≠0}
Presupunem afirmația adevărată pentru toate matricele de tip (m -1) x (n -1) și pentru
matricele B de tip m x n astfel încât 𝑙(𝐵) <𝑙(𝐴) .

17
Presupunem că există un element 𝑎𝑖𝑗 care divi de toate elementele matricei A. Matricea
𝑃1𝑖𝐴𝑃1𝑗 este ec hivalentă cu A și are loc în poziția (1.1) pe 𝑎𝑖𝑗.Așadar, fară să restrângem
generalizarea, putem presupune că 𝑎11≠0 și 𝑎11 | 𝑎𝑖𝑗 1≤𝑖≤𝑚 ,
1≤𝑗≤𝑛.
Fie 𝑞𝑖1 ,𝑞1𝑗 ∈𝐴 astfel încât 𝑎𝑖1=𝑎11𝑞𝑖1 ,𝑎1𝑗=𝑎11𝑞1𝑗 unde 2≤𝑖≤𝑚 ,2≤𝑗≤𝑛 .
Înmulțind succesiv la stânga pe A cu matricele 𝑇𝑖1(−𝑞𝑖1),2≤𝑖≤𝑚,de ordin m și la dreapta
cu matricele 𝑇1𝑗(−𝑞1𝑗),2≤𝑗≤𝑛,de ordin n obținem :
𝐴~





a aa aa
mn mn
' '
2'
2'
2211
000 0
 =(𝑎110
0𝐴′) și evident 𝑎11 | 𝑎𝑖𝑗′ ,2≤𝑖≤𝑚,2≤𝑗≤𝑛.
Cum 𝐴′ este matric e de tip (m -1) x (n -1),conform ipotezei inducției există
𝑈′∈𝐺𝐿𝑚−1(𝑅) și 𝑉′∈𝐺𝐿𝑛−1(𝑅) astfel încât matricea
U′A′V′=





0002
dd
r = 𝐷′ să fie diagonal -canonică. Dacă
𝑈=(10
0𝑈′) , 𝑉=(10
0𝑉′) ,atunci 𝑈∈𝐺𝐿𝑚(𝑅) ,𝑉∈𝐺𝐿𝑛(𝑅) și avem :
𝑈(𝑎110
0𝐴′)𝑉=(𝑎110
0𝑈′ 𝐴′ 𝑉′) =





000
211
dda
r .
Evident , 𝑎11 | 𝑑2 și luând 𝑑1=𝑎11 se obține rezultatul dorit .
Rămâne de examinăm cazul când nu există 𝑎𝑖𝑗 care să div idă toți coeficienți matricei
A.Evident, 𝑙(𝐴) este realizat de un coefici ent diferit de 0 al matri cei A. Utilizând la nevoi e
permutări de linii și coloane,putem presupune că 𝑎11≠0 ș𝑖 𝑙(𝐴)=𝑙(𝑎11) .

18
Presupunem că există 𝑗≥2 astfel 𝑎11 nu divide pe 𝑎1𝑗. Folosindu -ne la n evoie de o
permutare de coloane, putem presupune că 𝑎11 nu divide pe 𝑎12 .Fie 𝑑=(𝑎11 ,𝑎12).
Există 𝑢,𝑣,𝑎 ,𝑏∈𝑅 astfel încât 𝑑=𝑢𝑎11+𝑣𝑎12 , 𝑎11=𝑑𝑎,𝑎12=𝑑𝑏 și deci
1=𝑢𝑎+𝑣𝑏 .Matricea





1 01000
avb u
V

are determinantul egal cu 1 și deci 𝑉∈𝐺𝐿𝑛(𝑅).Atunci matricea B=AV este echivalentă cu A
și are în poziția (1.1) elementul d. Cum 𝑎11 nu divide pe 𝑎12 ,avem 𝑙(𝑑)<𝑙(𝑎11),deci 𝑙(𝐵)≤
𝑙(𝑑)<𝑙(𝑎11)<𝑙(𝐴) și se poate aplica ipoteza inducției. Analog se procedează cand există
𝑖≥2 astfel î ncât 𝑎11 nu divide pe 𝑎𝑖1 .
Dacă 𝑎11 divide toți coeficienți matricei A din prima linie și prima coloană atunci ca și
în prima parte a demonstrației avem :
𝐴~(𝑎110
0𝐴′)=𝐴1 .
Este clar că 𝑎11 nu divide toți coeficienț i lui 𝐴′ căci atunci 𝑎11 ar divide toți coeficienți
lui A. Adunând la prima linie a lui 𝐴1 o linie ce conține un coeficient ce nu se divide prin 𝑎11
se ajunge deja la o situație examinată.
Unicitatea. Pentru o matrice 𝐴∈𝑀𝑚 𝑥 𝑛(𝑅),notăm cu ∆𝑘(𝐴) c.m.m.d.c a l minorilor de
ordin k ai lui A. Dacă 𝑉=(𝑣𝑖𝑗) este o matrice cu coeficienți în R astfel încât produsul AV să
aibă sens, atunci
𝑐𝑗𝐴𝑉=𝑐1𝐴𝑣1𝑗+𝑐2𝐴𝑣2𝑗+⋯+𝑐𝑛𝐴𝑣𝑛𝑗 𝑗=1,2,…
Din proprietățile determinanților rezultă că orice minor de ordin k al matricei AV este
combinație liniară cu coeficienți din R de minori de ordin k ai matricei A. Se deduce că
∆k(A)|∆k(AV) k=1,2…
și analog se arată că
∆𝑘(𝐴) | ∆𝑘 (𝑈𝐴) k=1,2…

19
pentru orice martice U cu coeficienți în R astfel încât produsul UA să aibă sens.
Se observă că dacă 𝐴,𝐵∈𝑀𝑚 𝑥 𝑛(𝑅) sunt aritmetic echivalente, atunci
∆𝑘(𝐴)~∆𝑘(𝐵) k=1,2,…
Într-adevăr dacă ,există 𝑈∈𝐺𝐿𝑚(𝑅) și 𝑉∈𝐺𝐿𝑛(𝑅) astfel încât UAV=B. Atunci
∆𝑘(𝐴) | ∆𝑘(𝐴𝑉) |∆𝑘(U(𝐴𝑉))=∆𝑘(𝐵).Cum 𝑈−1𝐵𝑉−1=𝐴,avem și ∆𝑘(𝐵) | ∆𝑘(𝐴),de unde
∆𝑘(𝐴)~∆𝑘(𝐵).
Fie D o matrice diagonal -canonică , astfel încât 𝐴~𝐷,






0 0021
ddd
rD
.
Un calcul imediat stabilește că ∆1(𝐷)=𝑑1 ,∆2(𝐷)=𝑑1∙𝑑2,… ,∆𝑟(𝐷)=
=𝑑1𝑑2…𝑑𝑟 ,∆𝑟+1(𝐷)=0 ,… . Cum 𝐴~𝐷,avem :
𝑑1𝑑2…𝑑𝑘~∆𝑘(𝐴) k=1,2 …
de unde
di~∆i+1(A) | ∆i(A) i=1,2 …
Așadar , 𝑑1 ,𝑑2 ,… ,𝑑𝑟 sunt unic determinați mai puțin o asociere de divizibilitate.
Observație. Dacă (R , φ) este inel euclidian, unde φ este funcție de i nversiune în definiția
acestuia, atunci în demonstrația teoremei precedente este ava ntajos să folosim numărul φ(a) în
loc de 𝑙(𝑎) , 𝑎∈𝑅 . Se evită astfel desco punerea în factori ireductibili, operaț ie care este adesea
complicată. De asemenea ,matricea V de la (1) poate fi suplinită de matricea elementară
𝑇12(−𝑞12),unde
𝑎12=𝑎11𝑞12+𝑟12 , 𝜑(𝑟12)<𝜑(𝑎11).
Într-adevăr, matricea 𝐴𝑇12(−𝑞12) are loc în poziția (1,2) elementul 𝑟12 și se poate aplica ipoteza
inducției. Este limpede acum că pentru o matrice A cu elemente într -un inel euclidian putem
găsi o matrice diagonal canonică D aritmetic echivalentă cu A prin aplicarea unui număr finit
de transformări elementare asupra liniilor și coloanelor lui A.Mai precis :

20
Teore ma 1.4. Fie R un inel euclidian. Dacă 𝐴∈𝑀𝑚 𝑥 𝑛(𝑅),atunci există un număr f init
de matrice elementare 𝑈1 ,𝑈2 ,… ,𝑈𝑝 și 𝑉1 ,𝑉2 … ,𝑉𝑞 de ordin m respectiv n, astfel încât
𝑈𝑝…𝑈2𝑈1𝐴𝑉1𝑉2…𝑉𝑞=𝐷 ,
unde D este o matrice diagonal -canonică .

§ 2 . Teorema factorilor inva rianți

1. Submodulele unui modul liber de rang finit peste un inel principal.
Se poate demonstra că orice submodul al unui modul liber peste un inel principal R este
liber.Vom demonstra acest rezultat pentru modulele liber de rang finit.În acest caz particu lar
avem un rezultat suplimentar care va fi decisiv în stabilizarea structurii modulelor de tip finit
peste inele principale.
Teorema 2.1.Fie R un inel principal și F un R -modul liber de rang n.D acă L este un
submodul al lui F,atunci :
i. L este liber de rang 𝑚≤𝑛;
ii. Există o R -bază (𝑔1,𝑔2,… ,𝑔𝑚) a lui L și o R -bază (𝑓1,𝑓2,… ,𝑓𝑛) a lui F astfel încât
𝑔𝑖=𝑑𝑖𝑓𝑖 1≤𝑖≤𝑚 ,
unde 𝑑𝑖∈𝑅 ,𝑑𝑖≠0 ,1≤𝑖≤𝑚 și 𝑑1|𝑑2|… |𝑑𝑚 .
Demonstr ație.i. Fie(𝑒1,𝑒1,… ,𝑒𝑛) o R-bază a lui F. Prin inducție asupra l ui n
demonstrăm că L este liber,de rang mai mic sau egal cu n.Dacă n=1, atunci 𝐹=𝑅𝑒1≃𝑅 și
afirmația rezultă din faptul că R este inel principal.
Fie 𝑛>1 și 𝐹′=𝑅𝑒1+𝑅𝑒2+⋯+𝑅𝑒𝑛−1 .Dacă 𝐿⊆𝐹′,afirmația rezultă din ipoteza
inducției .Dacă 𝐿⊈𝐹′,atunci
0≠𝐿+𝐹′
𝐹′⊆𝐹
𝐹′≃𝑅𝑒𝑛

21
Cum 𝐹/𝐹′ este liber de rang 1 rezultă că (𝐿+𝐹′)/𝐹′ este liber de rang 1. Avem
𝐿∩𝐹′⊆𝐹′ și conform ipotezei inducției 𝐿∩𝐹′ este liber de rang mai mic sau egal cu rang
𝐹′=𝑛−1.Fie (ℎ1,ℎ2,… ,ℎ𝑚−1) o R-bază a lui 𝐿∩𝐹′,𝑚−1≤𝑛−1.Există ℎ𝑚∈𝐿
astfel încât ℎ𝑚̂ să fie un generator liber al lui 𝐿+𝐹′)/𝐹′,deci (𝐿+𝐹′)/𝐹′=𝑅ℎ𝑚̂ și din
𝑎ℎ𝑚̂=0̂ să rezulte 𝑎=0.
Este suficient să aratăm că (ℎ1,ℎ2,… ,ℎ𝑚) este o R -bază a lui L. Dacă 𝑥∈𝐿,atunci
există 𝑎𝑚∈𝑅 astfel încât 𝑥̂=𝑎𝑚ℎ𝑚̂=𝑎𝑚ℎ𝑚̂ .Rezultă că
𝑥−𝑎𝑚ℎ𝑚=𝑎1ℎ1+𝑎2ℎ2+⋯+𝑎𝑚−1ℎ𝑚−1
și se deduce astfel că ℎ1,ℎ2,… ℎ𝑚 generează pe L. Presupunem că
𝑎1ℎ1+𝑎2ℎ2+⋯+𝑎𝑚ℎ𝑚=0,unde 𝑎𝑖∈𝑅 ,1≤𝑖≤𝑚 . În (𝐿+𝐹′)/𝐹′această re lație
devine 𝑎𝑚ℎ𝑚̂=0̂,deci 𝑎𝑚=0 și cum din 𝑎1ℎ1+𝑎2ℎ2+⋯+𝑎𝑚−1ℎ𝑚−1=0 se deduce și
𝑎1=𝑎2=⋯=𝑎𝑚−1=0 . În definitiv, (ℎ1,ℎ2,… ,ℎ𝑚) este o R -bază a lui L .
ii. Fie (ℎ1,ℎ2,… ,ℎ𝑚) și (𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) ca mai sus. Există 𝑎𝑖𝑗∈𝑅 astfel încât
ℎ𝑡=∑𝑎𝑖𝑗𝑒𝑖𝑛
𝑗=1 ,1≤𝑖≤𝑚 ,
ceea ce se mai scrie









eee
hhh
n mA21
21

unde A=(𝑎𝑖𝑗)∈𝑀𝑚 𝑥 𝑛(𝑅). Folosind (1.3) există 𝑈∈𝐺𝐿𝑚(𝑅) și 𝑉∈𝐺𝐿𝑛(𝑅) astfel încât






00021
ddd
rUAV

unde 𝑑𝑖≠0 ,1≤𝑖≤𝑟 și 𝑑1|𝑑2|…|𝑑𝑟 .

22

Fie
def
ggg
m



21
U




hhh
m21 ,
def
fff
n



21 𝑉−1




eee
n21
rezultă că (𝑔1,𝑔2,… ,𝑔𝑚) este o R -bază a lui L iar (𝑓1,𝑓2,… ,𝑓𝑛) este o R -bază a lui F.
Cum 𝑔𝑖≠0 ,1≤𝑖≤𝑚 și
























fff
ddd
eee
V UAV
hhh
ggg
nr
n mmU


  21 21
21
121
21
000

rezultă că 𝑟=𝑚 ș𝑖 𝑔𝑖=𝑑𝑖𝑓𝑖 ,1≤𝑖≤𝑚 .
2. Torsiune . Fie R un domeniu de integritat e și M un R -modul .Spunem că un element
𝑥∈𝑀 este torsionat ( periodic, de ordin finit ) dacă există 𝑎∈𝑅, 𝑎≠0 astfel încât
𝑎𝑥=0.Evident,𝑥∈𝑀 este torsionat dacă și numai dacă 𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥≠0.
Fie 𝑡(𝑀)={𝑥∈𝑀| 𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥≠0}
Propoziția 2.2. Fie R un domeniu de integritate și M un R -modul. Atunci
i) 𝑡(𝑀) este un submodul al lui M ;
ii) 𝑡(𝑀|𝑡(𝑀))=0.
Demonstrație . i) Fie 𝑥 ,𝑦 ∈𝑡(𝑀) și 𝑎 ,𝑏 ∈𝑅 ,𝑎≠0 ,𝑏≠0 astfel încât 𝑎𝑥=0,
𝑏𝑦=0.Avem 𝑎𝑏≠0 și 𝑎𝑏(𝑥−𝑦)=0,deci 𝑥−𝑦∈𝑡(𝑀).De as emenea,pentru orice 𝑐∈𝑅
avem 𝑎(𝑐𝑥)=𝑐(𝑎𝑥)=0,deci 𝑐𝑥∈𝑡(𝑀) .
.ii) Pentru 𝑥̂ ∈𝑡(𝑀|𝑡(𝑀)) fie 𝑎∈𝑅,𝑎≠0 ,astfel încât 𝑎𝑥̂ = 0.Atunci 𝑎𝑥̂=0̂ ,
deci 𝑎𝑥∈𝑡(𝑀).Există 𝑏∈𝑅 ,𝑏≠0,astfel încât 0=𝑏(𝑎𝑥)=(𝑏𝑎).Cum 𝑏𝑎≠
0,avem 𝑥∈𝑡(𝑀),de unde 𝑥̂=0̂.

23
Dacă M este un R -modul, atunci 𝑡(𝑀) se numește submodulul de torsiune al lui M. Când
𝑡(𝑀)=𝑀 spunem că M este modulul de torsiune iar câ nd 𝑡(𝑀)=0 spunem că M este modul
fără torsiune.
Exemple:
1) Orice grup abelian G finit este Z-modul de torsiune. Într-adevăr, pentru orice
𝑥∈𝐺 aplicația 𝑍→𝐺 ,𝑎→𝑎𝑥 ,nu este injectivă .
2) Orice modul liber peste un domeniu de integritate R este fără torsiune. Într-adevar,
dacă 𝑓𝑖 ,𝑖∈𝐼,sunt elementele unei R -baze a lui F și 𝑎𝑥=0 cu 𝑎≠0,unde
𝑥∈𝐹,𝑥=∑𝑎𝑖𝑓𝑖,atunci 𝑎𝑎𝑖=0 ,𝑖∈𝐼.Cum 𝑎≠0 și R nu are divizori ai lui
zero, rezultă 𝑎𝑖=0 ,𝑖∈𝐼 , deci 𝑥=0 ,de unde 𝑡(𝐹)=0.
3) Q conceput canoni c ca Z -modul este fără torsiune. Totuși Q nu este Z -modul liber.
Presupun em în continu are că R este un inel principal. Dacă M este un R-modul și
𝑥∈𝑀 ,atunci 𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥 este un ideal al lui R.Cum R este inel principal, există 𝜇𝑥∈𝑅,unic
determinat mai puțin o asociere în divizibilitate ast fel
𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥=𝑅𝜇𝑥 .
Este clar că 𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥=𝑅𝜇𝑥 dacă și numai dacă 𝜇𝑥 satisface următoarele două proprietăți
i) 𝜇𝑥𝑥=0 ;
ii) 𝑎𝑥=0 ,𝑎∈𝑅⇒𝜇𝑥 | 𝑎 .
Elementul 𝜇𝑥∈𝑅 se numește ordinul lui 𝑥∈𝑀.Dacă 𝜇𝑥=𝑎𝑏,atunci se obs ervă că
𝜇𝑥=𝑎.Evident,𝑡(𝑀)={𝑥∈𝑀 | 𝜇𝑥≠0} .
Observația 2.3.
i) Când R=Z, 𝜇𝑥 este unic determinat dacă cerem să fie nenegativ.
ii) Când R=K [X] , K corp comutativ, 𝜇𝑥 este unic determinat dacă cerem să fie polinom
unitar ( cu coeficientul dominant egal cu 1 ).
iii) Dacă G este un grup abelian,atunci pentru orice 𝑥∈𝑡(𝐺) numărul 𝜇𝑥 coincide cu
ordinul lui x în accepțiunea uzuală .
a 3.Reprezentarea modulelor de tip finit peste ine lele principale ca sume directe de
module ciclice. Reamintim că un R -modul M se numește ciclic ( monogen ) dacă există 𝑥∈𝑀
astfel încât 𝑀=𝑅𝑥={𝑎𝑥 | 𝑎∈𝑅}.Fie 𝑀 =𝑅𝑥 un R -modul ciclic. Considerând pe R cu
structura canonică de R -modul, aplicația

24
𝑓:𝑅→𝑀 ,𝑎→𝑎𝑥
este un morfism surjectiv de R -module și atunci
𝑀=𝑅𝑥≃𝑅𝐾𝑒𝑟𝑓⁄=𝑅∕𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥
Așadar,orice R -modul ciclic coincide, mai puțin un izomorfism de R -module, cu R sau
R ∕I , I ideal ≠0 al lui R , unde R și R ∕I sunt luați cu s tructurile canonice de R -module.
Astfel, orice Z -modul ciclic este izomorf fie cu Z ,fie cu 𝑍𝑛 ,𝑛>0.
În general, rezultatele care reușesc o decsriere exhaustivă a unor concepte mai elaborate
din matematică cu ajutorul unor ob iecte matematice mai accesibile, sunt cunoscute sub numele
de teoreme de structură. Scopul acestui paragraf este demons trarea teoremei factorilor
invarianți, care stabilește structura modulelor finite generate peste inele principale cu ajutorul
modulelor ciclice.
O etapă decisivă este :
Propoziția 2.4. Fie M un modul finit ge nerat peste un inel principal R. Există
𝑚 ,𝑛∈𝑀 ,𝑚≤𝑛 și 𝑥1 ,𝑥2 ,… ,𝑥𝑛∈𝑀 astfel încât :
𝑀=𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…⊕𝑅𝑥𝑛≃𝑅𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥⁄⊕𝑅𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥⁄⊕… ⊕𝑅∕𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥
și
𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥1⊇𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥2⊇⋯ ⊇𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑛≠0 ,𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑚+1=⋯=𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑛=0
Demonstrație .Cum M este finit generat, există un R –modul liber F de rang finit și un
morfism surjectiv de R -module 𝜑:𝐹→𝑀 . Fie 𝐿=𝐾𝑒𝑟 𝜑 .Presupunem că 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑅𝐹=𝑛.
Conform (2.1) L este liber de rang 𝑚≤𝑛 .Fie (𝑔1 ,𝑔2,… ,𝑔𝑚) și (𝑓1,𝑓2,… ,𝑓𝑛) ca la punctul
ii) .
𝑥𝑖=𝜑(𝑓𝑖) 1≤𝑖≤𝑛 .
Cum φ este surjectiv, (𝑥1,𝑥2,… ,𝑥𝑛) este un sistem de generatori pentru R -modulul
M deci
𝑀=𝑅𝑥1+𝑅𝑥2+⋯+𝑅𝑥𝑛
Fie 𝑦𝑖∈𝑅𝑥𝑖 ,𝑦𝑖=𝑎𝑖𝑥𝑖 ,1≤𝑖≤𝑛 ,astfel încât
𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑛=0
Atunci

25
𝜑(∑𝑎𝑖𝑓𝑖𝑛
𝑖=1)=∑𝑎𝑖𝜑𝑖(𝑓𝑖)=∑𝑎𝑖𝑥𝑖𝑛
𝑖=1𝑛
𝑖=1=∑𝑦𝑖𝑛
𝑖=1=0
deci
∑𝑎𝑖𝑓𝑖𝑛
𝑖=1∈𝐾𝑒𝑟 𝜑=𝐿
Cum (𝑔1,𝑔2,… ,𝑔𝑛) este o R -bază pentru L și 𝑔𝑖=𝑑𝑖𝑓𝑖 ,1≤𝑖≤𝑚 ,există
𝑏1,𝑏2,… ,𝑏𝑚∈𝑅 astfel încât :
∑𝑎𝑖𝑓𝑖𝑛
𝑖=1=∑𝑏𝑖𝑔𝑖𝑛
𝑖=1=∑𝑏𝑖𝑑𝑖𝑓𝑖𝑛
𝑖=1
de unde 𝑎𝑖=𝑏𝑖𝑑𝑖 ,1≤𝑖≤𝑚 și 𝑎𝑖=0 ,𝑚<𝑖≤𝑛 .
Dar pentru 𝑖=1,2,…,𝑚 avem 𝑑𝑖𝑥𝑖=𝜑(𝑑𝑖𝑓𝑖)=𝜑(𝑔𝑖)=0,deci
𝑦𝑖=𝑎𝑖𝑥𝑖=𝑏𝑖𝑑𝑖𝑥𝑖=0 1≤𝑖≤𝑚.
De asemenea, pentru 𝑖=𝑚+1 ,… ,𝑛 avem 𝑦𝑖=𝑎𝑖𝑥𝑖=0𝑥𝑖=0 și atunci
𝑀=𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…⊕𝑅𝑥𝑚 .
Am observat că 𝑑𝑖𝑥𝑖=0 , deci 𝑅𝑑𝑖⊆𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖 ,1≤𝑖≤𝑚 .Reciproc, fie 𝑎∈𝑅 astfel
încât 𝑎𝑥𝑖=0.Atunci 𝑎𝑓𝑖∈𝐾𝑒𝑟 𝜑,de unde
𝑎𝑓𝑖=𝑐1𝑔1+𝑐2𝑔2+⋯+𝑐𝑚𝑔𝑚=𝑐1𝑑1𝑓1+𝑐2𝑑2𝑓2+⋯+𝑐𝑚𝑑𝑚𝑓𝑚
unde 𝑐1,𝑐2,… ,𝑐𝑚∈𝑅.Rezultă că 𝑑𝑖 | 𝑎,deci 𝑎∈𝑅𝑑𝑖 dacă1≤𝑖≤𝑚 și 𝑎=0 dacă 𝑖>𝑚.
Așadar ,
𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖=𝑅𝑑𝑖=0 ,1≤𝑖≤𝑚 ;𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖=0 ,𝑚<𝑖≤𝑛 .
Cum 𝑑1 | 𝑑2 |…|𝑑𝑚 ,avem 𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖⊇𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖⊇⋯⊇𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖.Cum
𝑅𝑥𝑖≃𝑅𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖⁄ ,1≤𝑖≤𝑛 rezultă că
𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…𝑅𝑥𝑛≃𝑅𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥1⁄ ⊕… ⊕𝑅∕𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑛 .
Corolar 2. 5. Fie M un modul finit ge nerat peste un inel principal R. Atunci submodulul
de torsiune a l lui M este sumând direct în M.Mai precis,există un submodul li ber P de rang finit
al lui M astfel încât

26
𝑀=𝑡(𝑀)⊕𝑃
Demonstrație .Păstrând notațiile de la propoziț ia precedentă ,aratăm că
𝑡(𝑀)=𝑅𝑥1⊕…⊕𝑅𝑥𝑚 și că 𝑥𝑚+1,… ,𝑥𝑛 sunt liniar independenți peste R. Va rezulta că
submodulul 𝑃=𝑅𝑥𝑚+1+⋯+𝑅𝑥𝑛 este liber și că 𝑀=𝑡(𝑀)⊕𝑃.
Cum 𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖≠0 pentru 1≤𝑖≤𝑚,avem 𝑥𝑖∈𝑡(𝑀) ,1≤𝑖≤𝑚 ,deci
𝑅𝑥1+⋯+𝑅𝑥𝑚⊆𝑡(𝑀).Reciproc, fie 𝑥∈𝑡(𝑀) ,𝑥=𝑎1𝑥1+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛.Există
𝑎∈𝑅 ,𝑎≠0,astfel încât 𝑎𝑥=0,deci
∑(𝑎𝑎𝑖)𝑥𝑖𝑛
𝑖=1=0
Cum submodulelor 𝑅𝑥𝑖 este directă, deducem că (𝑎𝑎𝑖)𝑥𝑖=0 ,1≤𝑖≤𝑛.Dacă 𝑖>𝑚 avem
𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖=0,deci 𝑎𝑎𝑖=0 și cum 𝑎≠0 deducem că 𝑎𝑖=0 ,𝑖>𝑚.În definitiv
𝑥∈𝑅𝑥1+⋯+𝑅𝑥𝑚, deci 𝑡(𝑀)=𝑅𝑥1+⋯+𝑅𝑥𝑚.
Presupunem că 𝑎𝑚+1𝑥𝑚+1+⋯+𝑎𝑛𝑥𝑛=0.Cum suma submodulelor 𝐴𝑥𝑖 este
directă, avem 𝑎𝑖𝑥𝑖=0,deci 𝑎𝑖=0 𝑚<𝑖≤𝑛.Rezultă că 𝑥𝑚+1,… ,𝑥𝑛 sunt liniar
independenți peste R, deci P este liber .
Corolarul 2.6. Un modul finit generat și fără torsiune peste un inel prin cipal este liber,de
rang finit .
Teorema 2 .7. ( a factorilor invarianți ). Fie M un modul de tip finit generat peste un inel
principal R.
i) Există 𝑚,𝑛∈𝑁 ,𝑚≤𝑛 și 𝑥1,𝑥2,… ,𝑥𝑚∈𝑀,astfel încât :
𝑀=𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥1⊕…⊕𝑅𝑥𝑚⊕𝑅𝑥𝑚+1⊕…⊕𝑅𝑥𝑛,
unde 𝜇𝑥𝑖≠0 ,𝜇𝑥𝑖∉𝑈𝑅 pentru 1≤𝑖≤𝑚 ,𝜇𝑥1 | 𝜇𝑥2 |…| 𝜇𝑥𝑚 și 𝜇𝑥𝑖=0 pentru
𝑚<𝑖≤𝑛 .
a ii) Numerele m și n, precum și elementele 𝑑𝑖=𝜇𝑥𝑖∈𝑅 ,1≤𝑖≤𝑚 ( mai puțin o asociere
în diviziune ) sunt unic determinate .
Demonstrașie . i) Păstrăm pent ru moment notațiile de la (2.4). Avem
𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖=𝑅𝜇𝑥𝑖 ,1≤𝑖≤𝑛 . Evident 𝜇𝑥𝑖≠0 , pentru 1≤𝑖≤𝑚 ,𝜇𝑥𝑖=0 pentru

27
𝑚<𝑖≤𝑛 și 𝜇𝑥1 | 𝜇𝑥2 | …| 𝜇𝑥𝑚.Cum
𝑅𝑥𝑖=0⇒𝐴𝑛𝑛𝑅𝑥𝑖=𝑅⇔𝜇𝑥𝑖∈𝑈𝑅′
atunci definind 𝑘=𝑚𝑎𝑥{𝑖 | 𝜇𝑥𝑖∈𝑈𝑅} și notând pe 𝑚−𝑘 cu 𝑚 iar pe 𝑛−𝑘 cu 𝑛,din (2.4)
se obține acum (i).
a ii) O descompunere ( D ) a lui M c u cea din enunț o numim standard. Dacă (𝐷′) este o altă
descompunere standard a lui M și 𝑚′,𝑛′,𝑥1′,… ,𝑥𝑛′′,𝑑1′,… ,𝑑𝑚′′ sunt elemente ce se definește
pe (𝐷′) trebuie să aratam că 𝑚=𝑚′ ,𝑛=𝑛′ și 𝑑𝑖~𝑑𝑖′ ,1≤𝑖≤𝑚 .
Presupunem că 𝑡(𝑀)=𝑀 și deci avem 𝑚=𝑛 , 𝑚′=𝑛′.Fie
𝑙(𝐷)=𝑙(𝑑1)+𝑙(𝑑2)+⋯+𝑙(𝑑𝑚 ),numit în continuare lungimea descompuneri standar de
lungime mai mică ca 𝑙(𝐷) .
Cum 𝑑1 | 𝑑2 |…| 𝑑𝑚 ,𝑀=𝑅𝑥1+⋯+𝑅𝑥𝑚 și 𝑑𝑚=𝜇𝑥𝑚 ,rezultă că 𝑑𝑚𝑀=0 deci
𝑑𝑚∈𝐴𝑛𝑛𝑅𝑀 .Dacă 𝑎𝑀=0 cu 𝑎∈𝑅,atunci în particular 𝑎𝑥𝑚=0 și cum
𝑑𝑚=𝜇𝑥𝑚 ,deducem că 𝑑𝑚 | 𝑎 .
Rezultă că
𝑅𝑑𝑚=𝐴𝑛𝑛𝑅𝑀=𝑅𝑑𝑚′′ ,
de unde 𝑑𝑚~𝑑𝑚′′ .
Cum 𝑑𝑚≠0 și 𝑑𝑚∈𝑈𝑅′,există un element ireductibil П al lui R astfel încât 𝜋 | 𝑑𝑚.
De asemenea, 𝜋 | 𝑑𝑚′,căci 𝑑𝑚~𝑑𝑚′′.Fie k ce l mai mic indi ce i astfel încât 𝜋 | 𝑑𝑖.Există
𝑐𝑘 ,… ,𝑐𝑚∈𝑅 astfel încât 𝑑𝑖=𝜋𝑐𝑘 ,𝑘≤𝑖≤𝑚.Fie
V={x∈M | πx=0 } .
Evident, V este un R -submodul al lui M și avem :
(1) 𝑉=𝑅𝑐𝑘𝑥𝑘⊕𝑅𝑐𝑘+1𝑥𝑘+1⊕…⊕𝑅𝑐𝑚𝑥𝑚 ,𝑐𝑖𝑥𝑖≠0 ,𝑘≤𝑖≤𝑚 .
Într-adevăr ,cum 𝑅𝑐𝑖𝑥𝑖⊆𝑅𝑥𝑖 ,𝑘≤𝑖≤𝑚,rezultă că suma submodulelor 𝑅𝑐𝑖𝑥𝑖 este
direc tă.Este clar că orice element din 𝑅𝑐𝑘𝑥𝑘+⋯+𝑅𝑐𝑚𝑥𝑚 este anulat de 𝜋 deci aparține lui
V.Reciproc, fie 𝑥∈𝑉 ,𝑥=𝑎1𝑥1+𝑎2𝑥2+⋯+𝑎𝑚𝑥𝑚.Cum suma submodulelor 𝑅𝑒𝑖 este
directă și
0=𝜋𝑥=𝜋𝑎1𝑥1+𝜋𝑎2𝑥2+⋯+𝜋𝑎𝑚𝑥𝑚

28
rezultă că
𝜋𝑎𝑖𝑥𝑖=0 ,1≤𝑖≤𝑚 ,
deci 𝑑𝑖 | 𝜋𝑎𝑖,1≤𝑖≤𝑚,de unde 𝜋𝑎𝑖=𝑑𝑖𝑏𝑖 cu 𝑏𝑖∈𝑅,1≤𝑖≤𝑚 .
Dacă 𝑖<𝑘,atunci 𝜋 nu divide 𝑑𝑖, deci 𝜋 | 𝑏𝑖,de unde 𝑑𝑖 | 𝑎𝑖 și în definitiv 𝑎𝑖𝑒𝑖=0.
Dacă 𝑖≥𝑘,atunci 𝜋 | 𝑑𝑖,deci 𝜋𝑎𝑖=𝑑𝑖𝑏𝑖=𝜋𝑐𝑖𝑏𝑖,de unde 𝑎𝑖=𝑏𝑖𝑐𝑖.Rezultă că
𝑥=𝑏𝑘𝑐𝑘𝑥𝑘+⋯+𝑏𝑚𝑐𝑚𝑥𝑚∈𝑅𝑐𝑘𝑥𝑘+⋯+𝑅𝑐𝑚𝑥𝑚 ,
de unde egalitatea ( 1 ). Cum 𝜇𝑐𝑖𝑥𝑖=𝜋∉𝑈𝑅′ avem 𝑐𝑖𝑥𝑖≠0 ,𝑘≤𝑖≤𝑚 .
Analog, folosind descompunerea standard (𝐷′),R-submodulul V se mai poate scrie
(1′) 𝑉=𝑅𝑐𝑘′𝑥𝑘′⊕𝑅𝑥𝑐𝑘′+1′𝑥𝑘′+1′⊕…⊕𝑅𝑐𝑚′′𝑥𝑚′′𝑐𝑖′𝑥𝑖′≠0 ,𝑘′≤𝑖≤𝑚′
unde 𝑘′ este cel mai mic indice 𝑖 astfel încât 𝜋 | 𝑑𝑖′ .
Cum 𝜋𝑉=0,avem 𝑅𝜋⊆𝐴𝑛𝑛𝑅𝑉,deci V este un spațiu vectorial peste corpul
𝐾=𝑅∕𝑅𝜋 și
V=Kckxk⊕…⊕Kcmxm=Kck′′xk′′⊕…⊕Kcm′′xm′′
Rezultă că
𝑚−𝑘=𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉=𝑚′−𝑘′ .
Alegem acum 𝜋 astfel încât 𝜋 | 𝑑1.Atunci 𝑘=1,deci
m−1=m′−k′ ,k′≥1 ,
de unde 𝑚′≥𝑚 .
Inversând rolurile descompunerilor (𝐷) și (𝐷′) avem și 𝑚≥𝑚′ ,deci
𝑚=𝑚′.În particular, dacă π | d1 atunci avem și π | d1′ .
Fie a cum 𝜋 un element ireductibil al lui R astfel încât π | d1.Așa cum s -a observat
avem si π | d1′,deci
π | d1 , π | d1′ 1≤𝑖≤𝑚
de unde
di=πci ,di′=πci′ ,cici′∈R ,1≤i≤m .

29
Evident,𝜋𝑀={𝜋𝑥 | 𝑥∈𝑀} este R -submodul al lui M și avem :
𝜋𝑀=𝑅𝜋𝑥1⊕…⊕𝑅𝜋𝑥𝑚=𝑅𝜋𝑥1′⊕…⊕𝑅𝜋𝑥𝑚′
Cum
𝜇𝜋𝑥𝑖=𝑐𝑖 ,𝜇𝜋𝑥𝑖′=𝑐𝑖′ ,1≤𝑖≤𝑚
și
𝑐1 | 𝑐2|…|𝑐𝑚 ,𝑐1′ |𝑐2′ |…|𝑐𝑚′
rezultă că
(𝐷1) 𝜋𝑀=𝑅𝜋𝑥𝑆⊕…⊕𝑅𝜋𝑥𝑚
și
(𝐷1′) 𝜋𝑀=𝑅𝜋𝑥𝑆′⊕…⊕𝑅𝜋𝑥𝑚′
sunt descompuneri standard ale R -submodulului de torsiune 𝜋𝑀,unde 𝑠 ( respectiv 𝑠′) este cel
mai mic indice 𝑖,astfel încât 𝜋 nu est e asociat în divizibilitatea cu 𝑑𝑖 (respectiv cu 𝑑𝑖′).Să
obsevăm că
𝑙(𝐷1)=∑𝑙(𝑐𝑖)=𝑙(𝐷)−𝑚<𝑙(𝐷)𝑚
𝑖=1
Conform ipotezei inducției 𝑚−𝑠=𝑚−𝑠′,deci 𝑠=𝑠′,și 𝑐𝑖~𝑐𝑖′ ,𝑠≤𝑖≤𝑚,de unde
𝑑𝑖~𝑑𝑖′ ,1≤𝑖≤𝑚 .
Revenim la cazul general 𝑡(𝑀)≠𝑀.Cum
𝑡(𝑀)=𝑅𝑥1⊕…⊕𝑅𝑥𝑚=𝑅𝑥1′⊕…⊕𝑅𝑥𝑚′
și 𝑡(𝑀) este modul de torsiune, conform primei părți a demonstrației avem 𝑚=𝑚′ și
𝑑𝑖~𝑑𝑖′ ,1≤𝑖≤𝑚 .Dacă
𝑃=𝑅𝑥𝑚+1⊕…⊕𝑅𝑥𝑛 ,𝑃′=𝑅𝑥𝑚+1′⊕…⊕𝑅𝑥𝑛′ ,
atunci
𝑀=𝑡(𝑀)⊕𝑃=𝑡(𝑀)⊕𝑃′ .
Cum
𝑃≃𝑀∕𝑡(𝑀)≃𝑃′

30
rezultă că 𝑚−𝑛=𝑟𝑎𝑛𝑔𝑅𝑃=𝑟𝑎𝑛𝑔𝑅𝑃′=𝑛′−𝑚,de unde 𝑛=𝑛′ .
Corolarul 2.8. ( structura g rupurilor abeliene finit generate ). Fie G un grup abelian finit
generat. Există numerele naturale unic determinate 𝑚 ,𝑛 ,𝑑1,𝑑2,…,𝑑𝑚 ;𝑚≤𝑛 astfel încât
𝐺≃𝑍𝑑1⊕𝑍𝑑2⊕…⊕𝑍𝑑𝑚⊕𝑍𝑛−𝑚 ,
𝑑𝑖>1 ,1≤𝑖≤𝑚 și 𝑑1 | 𝑑2 |…| 𝑑𝑚 .
Demonstrație. Grupul G este modul finit g enerat peste inelul principal Z. Conform
teoremei factarilor inavarianți
𝐺=𝑍𝑥1⊕…⊕𝑍𝑥𝑛≃𝑍𝐴𝑛𝑛𝑍𝑥1⁄ ⊕…⊕𝑍𝐴𝑛𝑛𝑍𝑥𝑛⁄ =
=𝑍𝑍𝑑1⁄…⊕𝑍𝑍𝑑𝑚⁄⊕𝑍0⁄⊕…⊕𝑍0⁄=𝑍𝑑1⊕…⊕𝑍𝑑𝑚⊕𝑍𝑛−𝑚 .
Definiția 2.9. Dacă M este un modul de ti p finit peste un inel principal, atunci elementele
𝑑1,𝑑2,… ,𝑑𝑚 unic determinate mai puț in o asociere în divizibilitate,dintr -o descompunere
standard (𝐷) a lui M se numește factor ii invarianți ai R -modulului M .

§ 3. Module indecompozabile de tip finit peste inele principale

Am arătat că orice modul M de tip finit peste un inel principal se reprezintă ca sumă
directă a unui n umăr finit de submodule ciclice .În unele probleme suntem interesați să rafinăm
în extremis asem enea descompuneri ( vezi § 4. ). Soluția este dată în esență de următorul
rezultat, ce reprezintă una din parafrazările posibile ale lemei chineze a resturilor.
Lema 3.1. Fie M un mod ul peste un inel principal R și 𝜇1,𝜇2,… ,𝜇𝑟∈𝑅 astfel încât
(𝜇𝑖,𝜇𝑗)=1 pentru 𝑖≠𝑗 .
i) Fie 𝑥∈𝑀 . Dacă 𝜇𝑥=𝜇1𝜇2…𝜇𝑟 , atunci există 𝑥1,𝑥2,… ,𝑥𝑟∈𝑀 astfel încât
𝑅𝑥=𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…⊕𝑅𝑥𝑟 și 𝜇𝑥𝑖=𝜇𝑖 ,1≤𝑖≤𝑟 .
ii) Fie 𝑥1,𝑥2,… ,𝑥𝑟∈𝑀 . Dacă 𝜇𝑥𝑖=𝜇𝑖 ,1≤𝑖≤𝑟,atunci există 𝑥∈𝑀 astfel încât
𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…⊕𝑅𝑥𝑟=𝑅𝑥 și 𝜇𝑥=𝜇1𝜇2…𝜇𝑟 .

31
Demonstrație . Pentru orice 𝑖=1,𝑟̅̅̅̅ definim
𝜆𝑖=𝜇1…𝜇𝑖−1𝜇𝑖+1…𝜇𝑟
și avem (𝜆1,𝜆2,… ,𝜆𝑟)=1.Într- adevăr, fie 𝑑=(𝜆1,𝜆2,… ,𝜆𝑟).Dacă 𝑑≠1,există un
element prim 𝜋∈𝑅 astfel încât 𝜋 | 𝑑 ,deci 𝜋 | 𝑑𝑖 ,1≤𝑖≤𝑟 .În particula r 𝜋 | 𝜆𝑖 ,deci exist ă
𝑖≠1 astfel încât 𝜋 | 𝜇𝑖.Dar (𝜇𝑖,𝜆𝑖)=1 , deci 𝜋| 1.Contradicție .Rămâne adevărat că
(𝜆1,𝜆2,… ,𝜆𝑟)=1 și cum R este principal 𝑐1,𝑐2,… ,𝑐𝑟∈𝑅 astfel încât
𝑐1𝜆1+𝑐2𝜆2+⋯+𝑐𝑟𝜆𝑟=1
De asemenea, pentru orice 𝑖 ,1≤𝑖≤𝑟,există 𝑒𝑖∈𝑅 astfel încât
a (1) 𝜇𝑖 | 1−𝑒𝑖
b (2) 𝜇𝑖 |𝑒𝑖 ∀ 𝑗≠𝑖
Într- adevăr, cum (𝜇𝑖,𝜆𝑖)=1 pentru 𝑗≠𝑖,rezultă că 𝑅𝜇𝑖+𝑅𝜇𝑗=𝑅 pentru 𝑗≠𝑖.
Așadar, pentru orice 𝑗≠𝑖 există 𝑏𝑗,𝑏𝑗′∈𝑅 astfel încât 𝑏𝑗𝜇𝑖+𝑏𝑗′𝜇𝑖=1.Este clar că
elemental 𝑒𝑖 ,
𝑒𝑖≝∏𝑏𝑗′
𝑗≠𝑖𝜇𝑗=∏(1−𝑏𝑗𝜇𝑗)
𝑗≠𝑖
satisfice (1) și (2) .
a i) Fie 𝑥𝑖=𝜆𝑖𝑥 ,1≤𝑖≤𝑟.Avem :
𝜇𝑥𝑖=𝜇𝜆𝑖𝑥=𝜇𝑖 ,1≤𝑖≤𝑟
Dacă 𝑦∈𝑅𝑥 ,𝑦=𝑎𝑥 cu 𝑎∈𝑅,atunci :
𝑦=1𝑦=(∑𝑐𝑖𝜆𝑖𝑟
𝑖=1)𝑥=∑(𝑐𝑖𝑎)𝑥𝑖𝑟
𝑖=1
de unde
𝑅𝑥=𝑅𝑥1+𝑅𝑥2+⋯+𝑅𝑥𝑟 .
Rămâne să arătăm că suma submodulelor 𝑅𝑥𝑖 ,1≤𝑖≤𝑟,este directă, deci dacă
𝑦1+𝑦2+⋯+𝑦𝑟=0

32
cu 𝑦𝑖∈𝑅𝑥𝑖 ,𝑦𝑖=𝑎𝑖𝑥𝑖 , atunci 𝑦1=𝑦2=⋯=𝑦𝑟=0 .În adevăr, cum 𝜇𝑖 | 1−𝑒𝑖 ,avem
1−𝑒𝑖=𝑞𝑖𝜇𝑖 cu 𝑞𝑖∈𝑅,de unde

𝑦𝑖=𝑎𝑖𝑥𝑖=(𝑒𝑖+𝑞𝑖𝜇𝑖)𝑎𝑖𝑥𝑖=𝑒𝑖𝑎𝑖𝑥𝑖=𝑒𝑖(−∑𝑎𝑗𝑥𝑗
𝑗≠𝑖)=0

a a i) La fel ca mai sus se a rată că suma submodulelor 𝑅𝑥𝑖 ,1≤𝑖≤𝑟,este directă. Fie
𝑥=𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑟 și evident 𝑅𝑥⊆𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…⊕𝑅𝑥𝑟 .
Reciproc, dacă
𝑦∈ ∑𝑅𝑥𝑖 𝑟
𝑖=1 ,𝑦=∑𝑎𝑖𝑥𝑖𝑟
𝑖=1
atunci folosind (1) și (2) rezultă
(∑𝑎𝑖𝑒𝑖𝑟
𝑖=1)𝑥=(∑𝑎𝑖𝑒𝑖𝑟
𝑖=1)(∑𝑥𝑗𝑟
𝑗=1)=∑𝑎𝑖𝑒𝑖𝑥𝑗
𝑖,𝑗=∑𝑎𝑖𝑒𝑖𝑥𝑖𝑟
𝑖=1=

=∑𝑎𝑖𝑟
𝑖=1(1−𝑞𝑖𝜇𝑖)𝑥𝑖=∑𝑎𝑖𝑥𝑖𝑟
𝑖=1=𝑦 ,
de unde
𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…⊕𝑅𝑥𝑟=𝑅𝑥 .
Pentru 𝑎∈𝑅 avem :
𝑎𝑥=0⇔∑𝑎𝑥𝑖𝑟
𝑖=1=0⇔𝑎𝑥𝑖=0 ,1≤𝑖≤𝑟 ⇔𝜇𝑖 | 𝑎 ,
1≤i≤z ⇔ 𝜇1𝜇2…𝜇𝑟 | a , de unde 𝜇𝑥=𝜇1𝜇2…𝜇𝑟 .
Definiția 3.2. Un R -modul 𝑀≠0 se numește indecompozabil dacă nu are sum anzi
direcți diferiți de 0 și M: din 𝑀=𝑋⊕𝑌,de unde X ș i Y sunt submodule ale lui M,rezultă
𝑋=0 sau 𝑌=0 ( deci 𝑌=𝑀 sau 𝑋=𝑀 ).

33
Exemple. 1 ) Dacă R este un domeniu de integritat e,atunci R este R -modul
indecompozabil. Într-adevăr ,dacă 𝑅=𝑋⊕𝑌,unde X și Y sunt ideale diferite de 0 ale lui R, fie
𝑎∈𝑋 ,𝑏∈𝑌 ,𝑎≠0 ,𝑏≠0.Atunci
𝑎𝑏∈𝑋∩𝑌=0 ,
deci 𝑎𝑏=0.Contradicție .
a 2) Fie R un inel principal, 𝜋 un element ireductibil ( prim ) al lui R și 𝑘≥1 .Atunci R-modulul
𝑀= 𝑅∕𝑅𝜋𝑘 este indecompozabil .Într-adevăr, dacă I este un ideal al lui R care include strict
pe 𝑅𝜋𝑘 ,atunci 𝐼=𝑅𝜋𝑠 ,𝑠<𝑘 .Fie X și Y două submodule diferite de 0 ale lui M astfel încât
𝑀=𝑋⊕𝑌 .Atunci 𝑋=𝑅𝜋𝑠𝑅𝜋𝑘⁄ ,𝑌=𝑅𝜋𝑡𝑅𝜋𝑘⁄,𝑠<𝑘 ,𝑡<𝑘.Presupunem că 𝑠≤𝑡.
Atunci 𝑋∩𝑌=𝑌≠0.Contradicție .
Stabilitatea structuri modulelor indecompozabile este î n general o problemă
complicată .Totuși, modulele indecompozabile de tip finit peste un inel principal au o structură
simplă, anume :
Teorema 3.3. Dacă M este un modul indecompozabil de tip finit peste un inel principal
R,atunci 𝑀≃𝑅 sau 𝑀≃𝑅∕𝑅𝜋𝑘 ,unde 𝜋 este un element ireductibil al lui R și k un întreg
pozitiv .

Demonstrație.Cum M este indecompozabil, din (2.7) rezultă că 𝑀=𝑅𝑥 unde
𝜇𝑥=0 sau 𝜇𝑥≠0 și 𝜇𝑥∉𝑈𝑅 .Dacă 𝜇𝑥=0 atunci 𝑀≃𝑅.Dacă 𝜇𝑥≠0 și
𝜇𝑥∉𝑈𝑅 ,atunci existăn elemente ireductibile 𝜋1,… ,𝜋𝑟 cu (𝜋𝑖,𝜋𝑗)=1 pentru 𝑖≠𝑗 astfel
încât 𝜇𝑥=𝜋1𝑘1𝜋2𝑘2…𝜋𝑟𝑘𝑟,unde 𝑘𝑖≥1 ,1≤𝑖≤𝑟.Dar (𝜋𝑖𝑘𝑖 ,𝜋𝑗𝑘𝑗)=1 pentru 𝑖≠𝑗 și aplicând
(3.1) rezultă că r=1, deci 𝜇𝑥=𝜋𝑘 ,𝑘≥1,de unde 𝑀=𝑅𝑥≃𝑅∕𝑅𝜋𝑘.
Corolarul 3.4. Orice modul de tip finit peste un inel principal este ciclic.
Corolarul 3.5. Orice modul de tip finit peste un inel principal este sumă directă de un
număr finit de module indecompozabile de tip finit .
Demonstrație . Se aplică (2.7) , (3.1) și (3.3) .
Teorema 3.6. Fie M un modul de tip finit peste un inel principal R și
𝑀=𝑀1⊕𝑀2⊕…⊕𝑀𝑝=𝑀1′⊕𝑀2′⊕…⊕𝑀𝑞′

34
două reprezentări ale lui M cu sumă di rectă de module indecompozabile. Atunci 𝑝=𝑞 și există
o permutare 𝜎∈𝑆𝑝 astfel încât 𝑀𝑖≃𝑀𝜎(𝑖)′ ,1≤𝑖≤𝑝 .
Demonstrație. Cum 𝑀𝑖≃𝑀∕⊕𝑗≠𝑖𝑀𝑗 rezultă că 𝑀𝑖 este modul de t ip finit.Cum 𝑀𝑖
este prin ipoteză și indecompozabil, avem 𝑡(𝑀𝑖)=𝑀𝑖 sau 𝑡(𝑀𝑖)=0 (vezi (2.5.)). Este clar
că
𝑡(𝑀)=∑𝑀𝑖
𝑡(𝑀𝑖)=𝑀𝑖
și cum 𝑡(𝑀𝑖)=0 implică 𝑀𝑖≃𝑅 (vezi (3.3)), rezultă că
𝑐𝑎𝑟𝑑{𝑀𝑖 | 𝑡(𝑀𝑖)=0}=𝑟𝑎𝑛𝑔𝑀𝑡(𝑀)⁄=𝑐𝑎𝑟𝑑{𝑀𝑖′ | 𝑡(𝑀𝑖′)=0} .
Este limpde că ne putem referi la cazul 𝑡(𝑀)=𝑀.Cu această ipoteză,avem :
𝑀𝑖=𝑅𝑦𝑖 ,𝜇𝑦𝑢=𝜋𝑖𝑘𝑖 ,𝑘𝑖≥1 ,1≤𝐼≤𝑝 ,
fiind posibil ca pentru 𝑖≠𝑗 să avem 𝜋𝑖=𝜋𝑗 ( mai puțin o asociere în divizibilitate ).
Considerăm submulțimea mulțimii {𝜋𝑖𝑘𝑖} ,1≤𝑖≤𝑝 care să satisfacă con diția: fiecare
𝜋𝑖 să fie reprezentat în această submulțime o singură dată ( până l a o asociere în divizibilitate )
și la puterea cea mai mare. Fie 𝑑𝑚 produsul elementelor acestei submulțimi. Din (3.1) punctul
ii) rezultă că suma submodulelor 𝑀𝑖 corespunzătoare elementelor 𝜋𝑖𝑘𝑖 care intră în submulțimea
definită mai sus este subm odul ciclic al lui M fie acesta, 𝑅𝑥𝑚 și 𝜇𝑥𝑚=𝑑𝑚 .
Reluăm operația de mai sus pornind de la ceea ce a mai rămas în mulțimea {𝜋𝑖𝑘𝑖} ,
1≤𝑖≤𝑝 după ce 𝑅𝑥𝑚 a fost construit și găsim un submodul ciclic 𝑅𝑥𝑚−1 al lui M și
𝑑𝑚∈𝑅 unde 𝜇𝑥𝑚−1=𝑑𝑚−1 și 𝑑𝑚−1 | 𝑑𝑚.După un număr finit de pași,să zicem 𝑚,se
epuizează mulțimea {𝜋𝑖𝑘𝑖} ,1≤𝑖≤𝑝 și în final se obține o descompunere standard pentru M ,
𝑀=𝑅𝑥1⊕𝑅𝑥2⊕…⊕𝑅𝑥𝑚 ,𝜇𝑥𝑖=𝑑𝑖 ,𝑑1 | 𝑑2|…| 𝑑𝑚 .
Așadar 𝑑1 ,𝑑2 ,… ,𝑑𝑚 sunt factori invarianți ai lui M. Demon strația se termină obs evând că
mulțimile {𝜋𝑖𝑘𝑖} ,1≤𝑖≤𝑝 și {𝑑𝑖} ,1≤𝑖≤𝑚 se determină univoc una din alta ( în direcție
contrară,se descompune 𝑑𝑖 ,1≤𝑖≤𝑚 în produse de puteri de elemente ireductibile neasociate
în divizibilitate și se constituie mulțimea care are ca element factorii ireductibili la puterile la
care apar în asemenea descompuneri,de câte ori apar) .

35
Elementele mulțimii {𝜋𝑖𝑘𝑖},1≤𝑖≤𝑝 se numesc div izorii elementari ai R-modulului
M.
Exemplu. Fie Z -modulul lui 𝑀 =𝑍3⊕𝑍12⊕𝑍900⊕ . Notând 𝑥1,𝑥2,𝑥3 clasa lui 1
modulo 3,12,900 respectiv, avem
𝑀=𝑍𝑥1⊕𝑍𝑥2⊕𝑍𝑥3⊕ ,𝜇𝑥1=3 ,𝜇𝑥2=12 ,𝜇𝑥3=900 .
Cum 3 | 12 | 900,rezultă că 3,12, 900 sunt fact ori invarianți ai Z -modulul ui M , 𝑑1=3,
𝑑2=12 ,𝑑3=900.Avem 𝑑1=3,𝑑2=22∙3 ,𝑑3=22∙32∙52 ,deci divizorii elementari ai
lui Z -modulului M sunt
{3 ,22 ,3 ,22 ,32 ,52} (3)
Aplicând (3.1) deducem că M se descompune în sumă d irectă de Z -module
indecompozabile, după cum urmează :
𝑀≃𝑍3⊕𝑍22⊕𝑍3⊕𝑍22⊕𝑍32⊕𝑍52 (4)
Procedând ca în d emonstrația teoremei precedente,din (3) putem regă si factorii
invarianți ai lui M.În prima etapă se consideră s ubmulțimea

{ 22 ,32 ,52} (𝑑3=22∙32∙52=900)
și rămâne {3 ,22 ,3 }.În etapa a doua se consideră submulțimea
{22 ,3 } (𝑑2=22∙3=12)
și rămâne {3 } care în etapa următoare se epuizează și obținem 𝑑1=3.

§ 4. Spații invariante

Peste tot în restul acestui capitol K este un corp comuttiv, V un spațiu vectorial de
dimensiune finită și 𝑛=𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉.Endomorfismele lui V sunt numite transformări liniare ale lui
V.
Fie 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).Ne propunem să de scriem structura transformării liniare 𝑢.Vom
folosi în acest scop noțiunile următoare :

36
Definiția 4.1. Un subspațiu vectorial L al lui V se numește invariant relativ la
𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) dacă 𝑢(𝑥)∈𝐿 oricare ar fi 𝑥∈𝐿 .Spunem că un subspațiu in variant
𝐿≠0 este indecompozabil ( relativ la 𝑢 ) dacă nu poate fi reprezentat ca suma directă a două
subspații diferite de 0, invariante relativ la 𝑢.
Să observăm că V este subspațiu invariant relativ la 𝑢.Vom spune că spațiul vectorial
𝑉≠0 este indecompozabil relativ la 𝑢 dacă este subspațiu indecompozabil relativ la 𝑢.
Folosind rezultatele din prima parte a acestui capitol vom arăta că V se reprezintă în
mod unic ( până la un izomorfism în perechi pentru sumanzi ) ca sumă directă de un număr
finit de subspați 𝐿1,𝐿2,… ,𝐿𝑝 indecompozabile relativ la 𝑢.Se reduce astfel studiul lui 𝑢 la
studiul transformărilor liniare 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝐿𝑖) induse de 𝑢 pe 𝐿𝑖 ,1≤𝑖≤𝑝 .În acest scop vom
asocia transformării liniar e 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) un modul
XK𝑉 de tip finit peste inelul principal
𝐾[𝑋],cu același grup abelian subadiacent ca și spațiu vectorial
K 𝑉 .
Vom face apel la K -algebră 𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) de morfism structural
𝐾→𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) ,𝛼→𝛼1𝑉
și la K -algebră 𝑀𝑛(𝐾) de morfism structural
𝐾→𝑀𝑛(𝐾) ,𝛼→𝛼𝐼 ,
unde I e ste matricea unitate de ordin n .
Fie 𝜃:𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉)→𝑀𝑛(𝐾) izomofismul de K -algebre și fie 𝐴∈𝑀𝑛(𝐾) astfel î ncât
𝜃(𝑢)=𝐴.Fie 𝜉∶ 𝐾[𝑋]→𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) unicul morfism de K -algebre astfel încât 𝜉(𝑋)=𝑢 și
𝜂: 𝐾[𝑋]→𝑀𝑛(𝐾) unicul morfism de K -algebre astfel încât 𝜂(𝑋)=𝐴.
𝐸𝑛𝑑𝐾𝑉
ξ
𝐾[𝑋] 𝜃
η
𝑀𝑛(𝐾)

Dacă 𝑓∈𝐾[𝑋] ,𝑓=𝛼0+𝛼1𝑋+⋯+𝛼𝑠𝑋𝑠,atunci

37
𝜉(𝑓)=𝑓(𝑢)=𝛼01𝑉+𝛼1𝑢+⋯+𝛼𝑠𝑢𝑠∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉)
și
𝜂(𝑓)=𝑓(𝐴)=𝛼0𝐼+𝛼1𝐴+⋯+𝛼𝑠𝐴𝑠∈𝑀𝑛(𝐾)
Deoarece 𝜃(𝑢)=𝐴 rezultă că 𝜂=𝜃∘𝜉 și cum 𝜃 este izomorfism, avem ker𝜉=ker𝜂.
Inelul 𝐾[𝑋] fiind principal ,există un polinom unitar 𝜇∈𝐾[𝑋] unic determinat,astfel încât :
𝐾𝑒𝑟 𝜉=𝐾[𝑋]𝜇=𝐾𝑒𝑟 𝜂
Polinomul μ astfel determinat se numește polinomul mi nimal al transformării liniare 𝑢
(al matricei A ) și va fi notat cu 𝜇𝑢 ( respectiv 𝜇𝐴 ).Polinomul minimal este u nic determinar de
proprietățile :
(1) este polin om unitar ;
(2) 𝜇(𝑢)=0 ( respectiv 𝜇(𝐴)=0 );
(3) dacă 𝑓(𝑢)=0 ( respectiv 𝑓(𝐴)=0 ) cu 𝑓∈𝐾[𝑋],atunci 𝜇 | 𝑓.
Pe V defininim o operație algebrică externă cu operatori în dup ă cum urmează :
𝐾[𝑋]
𝑉→𝑉 ,(𝑓,𝑥)→𝑓∙𝑥≝𝜉(𝑓)(𝑥) .
Mai explic it,produsul 𝑓∙𝑥 dintre polinomul 𝑓∈𝐾[𝑋] ,
𝑓=𝛼0+𝛼1𝑋+⋯+𝛼𝑠𝑋𝑠 și vectorul 𝑥∈𝑉 este
𝑓∙𝑥=𝜉(𝑓)(𝑥)=(𝑓(𝑢))(𝑥)=(𝛼01𝑉+𝛼1𝑢+⋯+𝛼𝑠𝑢𝑠)(𝑥)=
=𝛼0𝑥+𝛼1𝑢(𝑥)+⋯+𝛼𝑠𝑢𝑠(𝑥)∈𝑉 .
Oricare ar fi 𝑓,𝑔∈𝐾[𝑋],𝑥,𝑦∈𝑉 avem :
𝑓∙(𝑥+𝑦)=(𝜉(𝑓))(𝑥+𝑦)=𝜉(𝑓)(𝑥)+𝜉(𝑓)(𝑦)=𝑓∙𝑥+𝑓∙𝑦
(𝑓+𝑔)∙𝑥=(𝜉(𝑓+𝑔))(𝑥)=(𝜉(𝑓)+𝜉(𝑔))(𝑥)=(𝜉(𝑓)(𝑥)+𝜉(𝑔)(𝑥))=
=𝑓∙𝑥+𝑔∙𝑥
(𝑓𝑔)∙𝑥=(𝜉(𝑓𝑔))(𝑥)=(𝜉(𝑓)∘𝜉(𝑔))(𝑥)=(𝜉(𝑓)(𝜉(𝑔)(𝑥)))=𝑓∙(𝑔∙𝑥)
1∙𝑥=(𝜉(1)(𝑥))=1𝑉(𝑥)=𝑥 ,
deci V este un 𝐾[𝑋] –modul .

38
Lema 4.2. Pentru o submulțime nevidă L a lui V următoarele afirmații sunt
echivalente:
a) 𝐿∈ℒ𝐾(𝑉) și 𝑢(𝐿)⊆𝐿 ;
b) 𝐿∈ℒ𝐾[𝑋](𝑉) .
Demonstrație . 𝑎)⇒𝑏) . Dacă 𝑥∈𝐿 atunci 𝑢𝑖∈𝐿 ,𝑖=0 ,1 ,2,… , deci pentru orice
𝑓∈𝐾[𝑋] ,𝑓=𝛼0+𝛼1𝑋+⋯+𝛼𝑠𝑋𝑠 avem
𝑓∙𝑥=𝛼0𝑥+𝛼1𝑢(𝑥)+⋯+𝛼𝑠𝑢𝑠(𝑥)∈𝐿
de unde 𝐿∈ℒ𝐾[𝑋](𝑉) .
𝑏)⇒𝑎) Dacă 𝐿∈ℒ𝐾[𝑋](𝑉) evident avem 𝐿∈ℒ𝐾(𝑉) . De asemenea , pentru orice 𝑥∈𝐿
avem :
𝑢(𝑥)=𝑋∙𝑥∈𝐿
deci 𝑢(𝐿)⊆𝐿 .
Lema 4.3. Modulul
XK 𝑉 este finit generat și 𝑡(𝑉)=𝑉 .
Demonstrație. Dacă 𝐵=(𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) este o bază a lui
K 𝑉,atunci
𝑉=𝐾𝑒1+𝐾𝑒2+⋯+𝐾𝑒𝑛⊆𝐾[𝑋]𝑒1+𝐾[𝑋]𝑒2+⋯+𝐾[𝑋]𝑒𝑛⊆𝑉,de unde 𝑉=𝐾[𝑋]𝑒1+
+𝐾[𝑋]𝑒2+⋯+𝐾[𝑋]𝑒𝑛 ,deci V este 𝐾[𝑋]-modulului finit generat. Cum 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉=𝑛,pentru
orice 𝑥∈𝑉 sistemul de vectori 𝑥,𝑢(𝑥),𝑢2(𝑥),… ,𝑢𝑛(𝑥) este lin iar dependent peste K. Există
deci 𝛼0,𝛼1,… ,𝛼𝑛 nu toți nuli, astfel încât
𝛼0𝑥+𝛼1𝑢(𝑥)+⋯+𝛼𝑛𝑢𝑛(𝑥)=0
Fie 𝑓=𝛼0+𝛼1𝑋+⋯+𝛼𝑛𝑋𝑛 .Atunci 𝑓≠0 și 𝑓∙𝑥=0,deci 𝑥∈𝑡(𝑉),de unde
𝑉=𝑡(𝑉) .
Lema 4.4. Fie μ un polinom minimal al transformării liniare 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉)
i) Dacă 𝑑1,𝑑2,… ,𝑑𝑚 sunt factorii invarianți ai 𝐾[𝑋]-modulului V, atunci 𝜇=𝑑𝑚
ii) Există 𝑥∈𝑉 astfel încât 𝜇=𝜇𝑥
Demonstrație. Fie 𝑑1,𝑑2,… ,𝑑𝑚 factorii invarianți ai 𝐾[𝑋]-modulului V. Cum
𝑡(𝑉)=𝑉,avem :
𝑉=𝐾[𝑋]𝑥1⊕𝐾[𝑋]𝑥2⊕…⊕𝐾[𝑋]𝑥𝑚

39
unde 𝜇𝑥𝑖=𝑑𝑖 ,1≤𝑖≤𝑚 ( vezi (2.7)). Cum 𝑑1⃓𝑑2⃓…⃓𝑑𝑚 ,se verifică imediat că 𝑑𝑚 are
proprietățile (1),(2) și (3) ce definește polinomul minimal al lui 𝑢,deci 𝜇=𝑑𝑚 .
Luând 𝑥=𝑥𝑚 ,se obține și a firmaț ia ii) .
Lema 4.5. Pentru orice 𝑥∈𝑉 avem 𝑑𝑖𝑚𝐾𝐾[𝑋]𝑥=𝑔𝑟𝑎𝑑𝜇𝑥 .
Demonstrație . Fie 𝑡=𝑔𝑟𝑎𝑑𝜇𝑥 și arătăm că (𝑥,𝑢(𝑥),𝑢2(𝑥),… ,𝑢𝑡−1(𝑥)) este o bază
peste K a lui 𝐾[𝑋]𝑥.Într-adevăr,sistemul de vectori 𝑥,𝑢(𝑥),𝑢2(𝑥),… ,𝑢𝑡−1(𝑥) este liniar
independent peste K căci altfel x nu ar fi anulat de un polinom 𝑔∈𝐾[𝑋] ,𝑔≠0,cu
grad 𝑔≤𝑡−1<𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜇𝑥 ( vezi demonstrația (4.3) ) ceeace nu este permis pentru că am avea
𝜇𝑥⃓ 𝑔 .
Dacă 𝑦∈𝐾[𝑋]𝑥 , atunci 𝑦=𝑓∙𝑥 , cu 𝑓∈𝐾[𝑋].Fie 𝑞,𝑟∈𝐾[𝑋] astfel încât
𝑓=𝜇𝑥𝑞+𝑟 ,𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑟<𝑔𝑟𝑎𝑑𝜇𝑥
Avem 𝑟=𝛼0+𝛼1𝑋+⋯+𝛼𝑛𝑋𝑛 cu 𝑠<𝑡,de unde
𝑦=𝑓∙𝑥=𝑞(𝜇𝑥∙𝑥)+𝑟∙𝑥=𝛼0𝑥+𝛼1𝑢(𝑥)+⋯+𝛼𝑛𝑢𝑛(𝑥)+0∙𝑢𝑠+1(𝑥)+⋯+
+0∙𝑢𝑡−1(𝑥) ,
deci (𝑥,𝑢(𝑥),𝑢2(𝑥),… ,𝑢𝑡−1(𝑥)) este o bază peste K a lui 𝐾[𝑋].
Definiția 4.6.O transf ormare liniară 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) se numește ciclică
XK𝑉 este modul
ciclic: există 𝑥∈𝑉 astfel încât 𝑉=𝐾[𝑋]𝑥.
Lema 4.7.O transformare liniară 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) este ciclică dacă și numai dacă
polinomul minimal μ al lui 𝑢 are grad egal cu 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉 .
Demonstrație. Dacă 𝑉=𝐾[𝑋]𝑥,cu 𝑥∈𝑉,atunci 𝜇=𝜇𝑥 și din lema precedentă rezultă
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜇=𝑔𝑟𝑎𝑑𝜇𝑥=𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉 .
Reciproc, presupunem că 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜇=𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉.Fie 𝑥∈𝑉 astfel încât 𝜇=𝜇𝑥 ( vezi (4.4)).
Avem :
𝑑𝑖𝑚𝐾𝐾[𝑋]𝑥=𝑔𝑟𝑎𝑑𝜇𝑥=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜇=𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉 ,
de unde 𝐾[𝑋]𝑥=𝑉.
Din (3. 3) și lemele precedente rezultă :

40
Teorema 4.8. Fie V un spațiu vectorial de dimensiune finită peste K și 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).
Următoar ele afirmații sunt echivalente :
a) V este indecompozabil relativ la 𝑢:
b) Există 𝑥∈𝑉 astfel încât 𝑉=𝐾[𝑋]𝑥 și 𝜇𝑥=𝜋𝑘 ,𝑘≥1,unde 𝜋 este un polinom
ireductibil al inelului 𝐾[𝑋] .
De aseme nea,din (3.5), (3.6) și lemele precedente rezultă :
Teor ema 4.9. Fie V un spațiu vectorial de dimensiune finită peste K și 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).
Atunci V poate fi reprezentat ca sumă directă de subspații indecompozabile relative la
𝑢,asemenea desc ompuneri fiind unice,mai puț in un izomorfism în perechi ( de 𝐾[𝑋]-module)
al sumanzilor .
Definiția 4.10. Dacă 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉),atunci factorii invarianți (divizorii elementari ) ai
𝐾[𝑋]-modulului V asociat lui 𝑢 se numește factorii invarianți ( respectiv divizorii elementari )
ai transformării liniare u. Factorii invarianți și divizorii elementari ai lui 𝑢 sunt unic determinați
dacă punem co ndiția să fie polinoame unitare .

§ 5. Matricea caninică Jordan a unei transformări liniare

Fie 𝜋=𝑋𝑠−𝛼𝑠−1𝑋𝑠−1−⋯−𝛼1𝑋−𝛼0 un polinom unitar din 𝐾[𝑋].Matricea
KM C sk
S






1 2 1 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0


se numește companionul matriceal al polinomului 𝜋.Dacă 𝑓∈𝐾[𝑋] ,𝑓=𝜋𝑘 ,𝑘≥1,definim
K
NNN
M
CCCC
J skk 







 00

41
unde N este o matrice pătratică de tip
ss cu toate elementele 0 ,mai puțin ce l din poziția
( s , 1) care este egal cu 1∈𝐾 .
Dacă 𝜋 este polinom ireductibil peste K ( deci element ireductibil al inelului
𝐾[𝑋]),atunci matricea 𝐽𝜋𝑘 se numește celulă Jordan ( peste K ) asociată polinomului 𝜋𝑘.
O matrice de forma




JJJ
K
PPKK

00
2211

unde 𝜋1,𝜋2,… ,𝜋𝑝 sunt polinoame ireductibile peste K se numește mat ricea canonică Jordan
(peste K) .
Fie V un spațiu vectorial d e dimensiune finită peste K și 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).Dacă
𝜋1𝑘,𝜋2𝑘,… ,𝜋𝑝𝑘 sunt divizorii elementari ai transformării liniare 𝑢,atunci





JJJ
J
K
PPKK
u

00
2211

se numește matricea canonică Jordan a transformării linia re.
Lema 5.1. Fie V un spațiu vectorial de dimensiune n peste corpul K, și
𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).Dacă 𝑉=𝐿1⊕𝐿2⊕…⊕𝐿𝑝 , unde 𝐿𝑖 ,1≤𝑖≤𝑝 ,sunt su bspații invariante
relativ la u, atunci există o bază 𝐵=(𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) a lui V astfel încât :






AAA
M
pBu 00
21

unde 𝐴𝑖∈𝑀𝑛𝑖(𝐾) ,𝑛𝑖=𝑑𝑖𝑚𝐾𝐿𝑖 ,1≤𝑖≤𝑝.
Demonstrație. Presupunem că 𝑝=2 și fie 𝑛𝑖=𝑠,deci 𝑛2=𝑛−𝑠.Fie
𝐵1=(𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) o bază a lui 𝐿1 și 𝐵2=(𝑒𝑠+1,… ,𝑒𝑛) o bază a lui 𝐿2.Evident

42
𝐵=𝐵1∪𝐵2 este o bază a lui V. Cum 𝑢(𝑒𝑖)∈𝐿1 ,1≤𝑖≤𝑠 și 𝑢(𝑒𝑖)∈𝐿2 ,𝑠<𝑖≤𝑛 avem :
𝑢(𝑒1)=𝛼11𝑒1+𝛼12𝑒2+⋯+𝛼1𝑠𝑒𝑠+0𝑒𝑠+1+⋯+0𝑒𝑛


𝑢(𝑒𝑠)=𝛼𝑠1𝑒1+𝛼𝑠2𝑒2+⋯+𝛼𝑠𝑠𝑒𝑠+0𝑒𝑠+1+⋯+0𝑒𝑛
𝑢(𝑒𝑠+1)=0𝑒1+⋯+0𝑒2+0𝑒𝑠+𝛼𝑠+1𝑠+1𝑒𝑠+1+⋯+𝛼𝑠+1𝑛𝑒𝑛


𝑢(𝑒𝑛)=0𝑒1+⋯+0𝑒2+0𝑒𝑠+𝛼𝑛𝑠+1𝑒𝑠+1+⋯+𝛼𝑛𝑛𝑒𝑛 ,
deci
𝑀𝐵(𝑢)=(𝐴10
0𝐴2)
unde






ss ss
A

11 11
1
,





 

nn nsns ss
A

11 11
2
Se cont inuă prin inducție asupra lui p .
Lema 5.2. Fie 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) o transformare liniară c iclică a cărei polinom minimal μ
este de forma 𝜋𝑘 ,𝜋=𝑋𝑠−𝛼𝑠+1𝑋𝑠−1−⋯−𝛼1(𝑋)−𝛼0 atunci e xistă o bază a lui V astfel
încât
𝑀𝐵(𝑢)=𝐽𝜋𝑘 .
Demonstrație. Fie 𝑥∈𝑉,astfel încât 𝑉=𝐾[𝑋]𝑥.Avem 𝜇𝑥=𝜇=𝜋𝑘 și
𝑛=𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜋𝑘=𝑠𝑘.Definim :
𝑒1=𝜋𝑘−1∙𝑥 ,𝑒2=𝑋𝜋𝑘−1∙𝑥 ,… ,𝑒𝑠=𝑋𝑠−1𝜋𝑘−1∙𝑥 ,
𝑒𝑠+1=𝜋𝑘−2∙𝑥 ,𝑒𝑠+2=𝑋𝜋𝑘−2∙𝑥 ,𝑒2𝑠=𝑋𝑠−1𝜋𝑘−2∙𝑥 ,


𝑒(𝑘−1)𝑠+1=𝑥 ,𝑒(𝑘−1)𝑠+2=𝑋∙𝑥 ,… ,𝑒𝑛=𝑒𝑠𝑘=𝑋𝑠−1∙𝑥 .
Se observă că 𝑒𝑖=𝑓𝑖∙𝑥,unde 𝑓𝑖∈𝐾[𝑋] și grad 𝑓𝑖<𝑛 ,1≤𝑖≤𝑛 .

43
Mai mult
( 1 ) 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓𝑖≠𝑔𝑟𝑎𝑑𝑓𝑗 , pentru 𝑖≠𝑗 .
Arătăm că 𝑒1 ,𝑒2 ,… ,𝑒𝑛 sunt vector i liniar independenți ăeste K. Cum 𝑑𝑖𝑚𝐾𝑉=𝑛,va rezulta
că 𝐵=(𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) este o bază a lui V. Fie 𝛽1 ,𝛽2 ,… ,𝛽𝑛∈𝐾 nu toți nuli astfel încât
𝛽1𝑒1+𝛽2𝑒2+⋯+𝛽𝑛𝑒𝑛=0.
Fie 𝑓=𝛽1𝑓1+𝛽2𝑓2+⋯+𝛽𝑛𝑓𝑛.Cum cel puțin un scalar 𝛽𝑖 este diferit de 0 rezultă că
𝑓≠0.Dar 𝑓∙𝑥=0,deci 𝜋𝑘⃓ 𝑓.Contradicție,c ăci 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑓 <𝑛=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜋𝑘.

Avem :
𝑢(𝑒1)=𝑋∙𝑒1=𝑋𝜋𝑘−1∙𝑥=𝑒2
𝑢(𝑒2)=𝑋∙𝑒1=𝑋2𝜋𝑘−1∙𝑥=𝑒3


𝑢(𝑒𝑠−1)=𝑋∙𝑒1=𝑋𝑠−1𝜋𝑘−1∙𝑥=𝑒𝑠−1
𝑢(𝑒𝑠)=𝑋∙𝑒𝑠=𝑋𝑠𝜋𝑘−1∙𝑥=𝜋𝑘∙𝑥+(𝑋𝑠−𝜋)𝜋𝑘−1∙𝑥=
=𝛼0𝑒1+𝛼1𝑒2+⋯+𝛼𝑠−1𝑒𝑠
și mai departe
𝑢(𝑒𝑠+1)=𝑒𝑠+2
𝑢(𝑒2𝑠−1)=𝑒2𝑠
𝑢(𝑒2𝑠)=𝑋𝑠𝜋𝑘−2∙𝑥=𝜋𝑘−1∙𝑥+(𝑋𝑠−𝜋)𝜋𝑘−2∙𝑥=𝑒1+
+𝛼0𝑒𝑠+1+𝛼1𝑒𝑠+2+⋯+𝛼𝑠+1𝑒2𝑠
𝑢(𝑒2𝑠+2)=𝑒2𝑠+2



44
𝑢(𝑒𝑛)=𝑒𝑛−2𝑠+1+𝛼0𝑒𝑛−𝑠+1+𝛼1𝑒𝑠+𝛼𝑛−𝑠+2𝑒𝑠+1+⋯+𝛼𝑠−1𝑒𝑛
de unde
𝑀𝐵(𝑢)=𝐽𝜋𝑘 .
Teorem a 5.3. Fie V un spațiu vectorial de dimensiunie finită peste K și 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).
Există o bază B a lui V astfel încât 𝑀𝐵(𝑢)=𝐽𝑢 .
Demonstrație. Fie 𝜋1𝑘1 ,𝜋2𝑘2 ,…,𝜋𝑝𝑘𝑝 divizorii elementari ai transformării liniare 𝑢.Din
(3.4), (4.8) și (4.9) rezultă că există 𝑥1 ,…,𝑥𝑝∈𝑉 astfel încât
𝑉=𝐾[𝑋]𝑥1⊕𝐾[𝑋]𝑥2⊕…⊕𝐾[𝑋]𝑥𝑝
unde 𝜇𝑥𝑖=𝜋𝑖𝑘𝑖 ,1≤𝑖≤𝑝 . Fie 𝐿𝑖=𝐾[𝑋]𝑥𝑖 ,𝑢𝑖 restricția lui u la 𝐿𝑖 și 𝜇𝑖 polinomul minimal
al lui 𝑢𝑖∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝐿𝑖) ,1≤𝑖≤𝑝.Atunci 𝜇𝑖=𝜇𝑥𝑖=𝜋𝑖𝑘𝑖 ,1≤𝑖≤𝑝 și
𝑢=𝑢1⊕𝑢2⊕…⊕𝑢𝑝 .
Evident,𝑢𝑖 este o transformare liniară ciclică a lui 𝐿𝑖 și deci există o bază 𝐵𝑖 a lui 𝐿𝑖
astfel încât
𝑀𝐵𝑖(𝑢𝑖)=𝐽𝜋𝑘𝑖 1≤𝑖≤𝑝
Atunci
𝐵=⋃𝐵𝑖𝑝
𝑖=1
este o bază a l ui V și aplicând ( 5.1) deducem :


J
uMuMuM
M u
p pB
kkk
BBB
u
p
p











21
21
21
21
00


45
§ 6. Matrice asemena.Forma canonică Jordan a unei matrice

1 . Calculul factorilor invarianți. Fie V un spațiu vectorial de dimens iune n peste corpul
comutativ K, 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) și 𝐵=(𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) o bază a lui V. Fie
𝐴=𝑀𝐵(𝑢)=(𝛼𝑖𝑗)∈𝐵𝑛(𝐾) matricea asociată lui u ăn baza B deci,
( 1 )
𝑢(𝑒𝑖)=∑𝛼𝑖𝑒𝑗 ,1≤𝑖≤𝑛
𝑗=1𝑛
Vom arăta că pentru calculul factorilor inva ianți ai transformării liniare u ( adică factorii
invarianții ai 𝐾[𝑋]-modulului V asociat lui u ) se poate folosi matricea 𝐴=𝑀𝐵(𝑢).Fie în acest
scop F un 𝐾[𝑋]-modul liber de rang n și ( 𝜔1,𝜔2 ,… ,𝜔𝑛) o bază a lui F. Cum (𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛)
este un sistem de generatori al 𝐾[𝑋]-modulului V (vezi demonstrația lui (4.3) ) există
𝜑∈𝐻𝑜𝑚𝐾[𝑋](𝐹 ,𝑉) astfel încât 𝜑(𝜔𝑖)=𝑒𝑖 ,1≤𝑖≤𝑛.Fie
𝐿=𝐾𝑒𝑟 𝜑 se știe că L este modulul liber de rang finit ( vezi ( 2.1)).
Fie
( 2 )
𝑦𝑖=𝑋∙𝜔𝑖−∑𝛼𝑖𝑗𝜔𝑗∈𝐹 1≤𝑖≤𝑛𝑛
𝑗=1
Se poate scrie :
( 3 )











nnA XI
yyy
 21
21

unde I este matricea unitate de ordin n și 𝐴=𝑀𝐵(𝑛).Cu datele de mai sus avem:
Lema 6.1. Elementele 𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛 formează o bază a 𝐾[𝑋]-modulului liber L .
Demonstrație. Dacă 𝑦∈𝐹 atunci există 𝑓1,𝑓2,… ,𝑓𝑛∈𝐾[𝑋] astfel încât

46
( 4 ) 𝑦=𝑓1𝜔1+𝑓2𝜔2+⋯+𝑓𝑛𝜔𝑛 .
Din (2) rezultă că
𝑋𝜔𝑖=𝑦𝑖+∑𝛼𝑖𝑗𝜔𝑗 ,1≤𝑖≤𝑛𝑛
𝑗=1
și atunci prin folos irea repeta tă a acestor relații, (4) se poate scrie
( 5 )
𝑦=∑𝑔𝑖𝑦𝑖+∑𝛼𝑖𝑛
𝑖=1𝜔𝑖𝑛
𝑖=1
unde 𝑔𝑖∈ 𝐾[𝑋] și 𝛼𝑖∈𝐾 ,1≤𝑖≤𝑛 .Folosind (1) și (2) avem :
𝜑(𝑔𝑖)=𝑋𝜑(𝜔𝑖)−∑𝛼𝑖𝑗𝜑(𝜔𝑗)𝑛
𝑖=1=𝑢(𝑒𝑖)−∑𝜔𝑖𝑗𝑒𝑗=0𝑛
𝑗=1
deci 𝑦𝑖∈𝐿 ,1≤𝑖≤𝑛.Dacă 𝑦∈𝐿,atunci din (5) rezultă
0=𝜑(𝑦)=∑𝑔𝑖𝜑(𝑦𝑖)𝑛
𝑖=1+∑𝛼𝑖𝜑(𝜔𝑖)𝑛
𝑖=1=∑𝛼𝑖𝑒𝑖𝑛
𝑖=1
și cum 𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛 sunt liniari independenți peste K, rezultă 𝛼1=𝛼2=⋯=𝛼𝑛=0,deci
𝑦=∑𝑔𝑖𝑦𝑖 ,𝑔𝑖∈𝐾[𝑥]𝑛
𝑖=1 ,1≤𝑖≤𝑛
Așadar,(𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛) formea ză un sistem de generatori pentru L .
Să arătăm că sistemul (𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛) este liniar independent peste 𝐾[𝑋].Fie
𝑓1,𝑓2,… ,𝑓𝑛∈𝐾[𝑋] astfel încât
( 6 ) 𝑓1𝑦1+𝑓2𝑦2+⋯+𝑓𝑛𝑦𝑛=0
Presupunem că există polinoame 𝑓𝑖≠0 și să fie printre acestea 𝑓𝑠 unul de grad maxim. Folosind
în (6) formulele (2) și faptul că 𝜔1,𝜔2,… ,𝜔𝑛 sunt liniar independenți peste 𝐾[𝑋],deducem
𝑋𝑓𝑠=∑𝛼𝑖𝑠𝑓𝑖𝑛
𝑖=1

47
relație imposibilă, după cum rezultă comparând gradele polinoamelor. Din cei doi membri ai
acestei egalități. Rămâne ad evărat că 𝑓1=𝑓2=⋯=𝑓𝑛=0 deci (𝑦1,𝑦2,… ,𝑦𝑛) este o bază a
lui L. În particular rezultă că rang
 F rangnLXK XK .
Rezultatul următor oferă și un algoritm de calcul pentru factorii invarianți ai unei
transformări liniare (vezi (1.4)).
Teor ema 6.2. Fie V un spațiu vectorial de dimensiune n peste corpul comutativ K și
𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).Atunci factorii invarianți ai transformării liniare n coincid cu polinoamele de
grad mai mare ca 0 d in matricea diagonal -canonică D, aritmetic ec hivalentă cu matricea
𝑋𝐼−𝐴∈𝑀𝑛(𝐾[𝑋]) ,
unde 𝐴=(𝛼𝑖𝑗)∈𝑀𝑛(𝐾) este matricea asociată lui u într-o bază oarecare B a lui V .
Demonstrație. Păstrăm notațiile din acest paragraf . Am observat că L este
K[𝑋]-modul liber de rang n. Conform cu (2.1),punctul ii) există o bază (𝑧1,𝑧2,… ,𝑧𝑚) a lui L
și o bază (𝑤1,𝑤2,… ,𝑤𝑛) a lui F astfel încât
( 7 ) 𝑧𝑖=𝑑𝑖𝑤𝑖 1≤𝑖≤𝑛
unde 𝑑𝑖∈𝐾[𝑋] ,𝑑𝑖≠0 ,1≤𝑖≤𝑛 ,𝑑1⃓𝑑2⃓…⃓𝑑𝑛.Din demonstrațiile lui (2.4) și (2.7)
rezultă că factorii invarianți ai K[𝑋]-modulului 𝑉=𝜑(𝐹) (deci factorii invarianți ai
transformării liniare u ) coincid cu polinoamele 𝑑𝑖 neinversabile în K [𝑋],deci polinoamele 𝑑𝑖
de grad mai mare ca 0.
Mai rămâne să arătăm că matricea diagonal -canonică
( 8 )





ddd
nD
0021

este aritmetic echivalentă cu matricea 𝑋𝐼−𝐴,
XK
XXX
A XI M n
nn n nnn







 
 

2 12 22 211 12 11
.
Relațiile (7) se pot scrie

48
( 9 )









www
zzz
n nD 21
21
din teorema :” Fie R un inel comutativ și unitar (1≠0),F un R -modul liber de rang n,
𝐵=(𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) o bază a lui F, 𝑈=(𝑢𝑖𝑗)∈𝑀𝑛(𝑅) și
𝑒𝑖′=∑𝑢𝑖𝑗𝑒𝑗 ,1≤𝑖≤𝑛𝑛
𝑗=1
i) Sistemul de elemente 𝐵′=(𝑒1′,𝑒2′,… ,𝑒𝑛′) este o bază a lui F dacă și numai dacă
matricea U este inversabilă în inelul 𝑀𝑛(𝑅).
Dacă 𝐵′ este bază a lui F și 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝑅(𝐹),atunci 𝑀𝐵′(𝑢)=𝑈𝑀𝐵(𝑢)𝑈−1. ”rezultă că există
𝑈,𝑉∈𝐺𝐿𝑛(𝐾[𝑋]) astfel încât :









yyy
zzz
nnU
 21
21
,










n nV
www
 21
21
și atunci (9) devide :
( 10 )













N NDV A XIU 21
21 .
Cum 𝜔1,𝜔2,… ,𝜔𝑛 sunt liniar independenți peste 𝐾[𝑋],din (10) rezultă 𝑈(𝑋𝐼−𝐴)=𝐷𝑉,
deci 𝑈(𝑋𝐼−𝐴)𝑉−1=𝐷 , de unde 𝑋𝐼−𝐴~𝐷.
a 2. Matrice asemenea.Fie K un corp comutativ. Dacă 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛(𝐾),atunci spunem că
matricea A este asemenea cu matricea B și scriem 𝐴≈𝐵,dacă există 𝑇∈𝐺𝐿𝑛(𝐾) astfel încât
𝑇𝐴𝑇−1=𝐵,deci
𝐴≈𝐵𝑑𝑒𝑓⇔ ∃ 𝑇∈𝐺𝐿𝑛(𝐾) ,𝑇𝐴𝑇−1=𝐵.
Un exemplu tipic de matrice asemenea este dacă B și 𝐵′ sunt două baze ale unui spațiu
vectorial V de dimensiune n peste K ș i 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉),atunci 𝑀𝐵(𝑢)≈𝑀𝐵′(𝑢).

49
O verificare imediată arată că ” ≈” este o relație de echivalență peste mulțimea 𝑀𝑛(𝐾).
Să observăm că 𝑀𝑛(𝐾)⊆𝑀𝑛(𝐾[𝑋]) și 𝐺𝐿𝑛(𝐾)⊆𝐺𝐿𝑛(𝐾[𝑋]) . Inelul 𝐾[𝑋] fiind principal ,
pe 𝑀𝑛(𝐾[𝑋]) se poate c onsidera relația de echivalență ” ~” .Următorul rezultat pune în legătur ă
aceste relații de echivalență .
Teorema 6.3.Fie 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛(𝐾).Următoarele afirmații sunt echivalen te:
a) 𝐴≈𝐵;
b) 𝑋𝐼−𝐴~𝑋𝐼−𝐵.
Demonstrați e. 𝑎 ) ⇒𝑏) Dacă 𝑇∈𝐺𝐿𝑛(𝐾) este astfel încât 𝑇𝐴𝑇−1=𝐵 atunci
𝑇(𝑋𝐼−𝐴)𝑇−1=𝑋𝐼−𝑇𝐴𝑇−1=𝑋𝐼−𝐵.
Cum 𝑇,𝑇−1∈𝐺𝐿𝑛(𝐾[𝑋]) rezultă că 𝑋𝐼−𝐴~𝑋𝐼−𝐵.
𝑏)⇒𝑎) Fie V un spațiu vectorial de dimensi une n peste K și o baza a l ui V. Rezultă că
există 𝑢,𝑣∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) astfel încât 𝑀𝐵(𝑢)=𝐴 și 𝑀𝐵(𝑣)=𝐵.
Cum 𝑋𝐼−𝐴~𝑋𝐼−𝐵,din (6.2) rezultă că u și v au aceiași factori invarianți, deci aceiași
divizori elementari,de unde 𝐽𝑢=𝐽𝑣.Din (5.3) rezultă că există d ouă baze 𝐵′ și 𝐵′′ ale
lui V astfel încât 𝑀𝐵′(𝑢)=𝐽𝑢 și 𝑀𝐵′′(𝑣)=𝐽𝑣,de unde
𝐴=𝑀𝐵(𝑢)≈𝑀𝐵′(𝑢)=𝐽𝑢=𝐽𝑣=𝑀𝐵′′(𝑣)≈𝑀𝐵(𝑣)=𝐵,
deci 𝐴≈𝐵.
Fie 𝐴=(𝛼𝑖𝑗)∈𝑀𝐵(𝐾).Matricea 𝑋𝐼−𝐴∈𝑀𝑛(𝐾[𝑋]) se numește matricea
caracteristică a lui A. Fie 𝐷∈𝑀𝑛(𝐾[𝑋]) o matrice diagonal -canonică, astfel încât
𝑋𝐼−𝐴~𝐷.Cum A poate fi pusă în postura de matrice asociată unui endomorfism u al
unui K -spațiu vectorial V de dimensiune n, din demons trația lui (6.2) rezultă că





ddd
mD

0101
21

50
unde 𝑑𝑖 ,1≤𝑖≤𝑚 sunt polinoame unitare de grad pozitiv și 𝑑1⃓𝑑2⃓…⃓𝑑𝑚.
Polinoamele 𝑑1,𝑑2,… ,𝑑𝑚 se numesc factorii invarianți ai matricei A iar polinoamele
𝜋𝑖𝑘𝑖 ,1≤𝑖≤𝑝,rezultate din descompunerea polinoamelor 𝑑1,𝑑2,… ,𝑑𝑚 în factori
ireductib ili neasociați în divizibiliate, se numesc div izorii elementari ai matricei A .
Factorii invarianți și divizarii elementari ai lui A sunt unic determinați dacă cerem să
fie polinoame unitare .
Corolarul 6.4. Fie 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛(𝐾).Atunci 𝐴≈𝐵 dacă și numai dacă A și B au
aceiași factori invarianți .
Corolarul 6.5. Oricare ar fi 𝐴∈𝑀𝑛(𝐾) există o matrice canonică Jordan 𝐽𝐴 (peste
K ) astfel încât 𝐴≈𝐽𝐴.
Demonstrație: Fie V un s pațiu vectorial de dimensiune n ,B o bază a lui V și
𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) astfel încât 𝑀𝐵(𝑢)=𝐴.Se aplică (5.3) și (6.2).
Matricea 𝐽𝐴 se numește forma canonică Jordan ( peste K ) a matricei A. Evident,
mai puțin or dinea celulelor de pe diagonală, există o singură matric e canonică Jordan
asemenea cu A .
Dacă 𝜋∈𝐶[𝑋] este polinom ireductibil unitar peste C atunci
𝜋=𝑋−𝛼 𝛼∈𝐶
căci C este algebric închis. Așadar celula Jordan asociată polinomului 𝜋𝑘 ,𝑘≥1 este
( 11 )
CM J kk 







1 0110

și deci pentru orice 𝐴∈𝑀𝑛(𝐶) există 𝑇∈𝐺𝐿𝑛(𝐶) astfel încât
( 12 )

51











010101 0101 0010
22211112
21
1
      

pppJJJ
TAT
kkk
p
p

unde 𝛼1,𝛼2,… ,𝛼𝑝∈𝐶 ,𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘𝑝=𝑛.

Dacă 𝜋∈𝑅[𝑋] este un polinom ireductibil unitar peste R atunci
𝜋=𝑋−𝛼 ,𝛼∈𝑅,
și în acest caz 𝐽𝜋𝑘 are forma (11), sau
𝜋=𝑋2−𝛽𝑋−𝛾 ,𝛽2+4𝛾<0 ,𝛽,𝛾∈𝑅
și în caz

52
( 13 )







        
0110 000110 000110 0010
Jk

§ 7. Vectori și valori proprii

Fie V un spați u vectorial de dimensiune n peste un corp comutativ K și 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).
Vom descrie subspaț iile de dimensiune 1 ale lui V, invariante relativ la u.
Definiția 7.1. Un scalar 𝜆∈𝐾 se numește valoare proprie (sau caracteristică) a lui u dacă
există un ve ctor 𝑥∈𝑉 ,𝑥±0,astfel încât
𝑢(𝑥)=𝜆𝑥.
Orice vector 𝑥∈𝑉 ,𝑥≠0,astfel încât 𝑢(𝑥)=𝜆𝑥 se numește vector propriu ( sau caracteristic)
al lui u core spunzător la valoarea proprie λ .
Dacă cosiderăm structura de 𝐾[𝑋] –modul al lui V definit de u,a tunci avem :
Propoziția 7.2. Pentru un vector 𝑥∈𝑉 următoa rele efirmații sunt echivalente :
a) 𝑑𝑖𝑚𝐾𝐾[𝑋]𝑥=1;
b) 𝑥≠0 și există 𝜆∈𝐾 astfel încât 𝑢(𝑥)=𝜆𝑥.

53
Demontrație . 𝑎)⇒𝑏) Cum 𝑑𝑖𝑚𝐾𝐾[𝑋]𝑥=1,avem:𝐾[𝑋]𝑥≠0,deci 𝑥≠0.Pe de altă
parte
𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜇𝑥=𝑑𝑖𝑚𝐾𝐾[𝑋]𝑥=1
deci 𝜇𝑥=𝑋−𝜆 ,𝜆∈𝐾.Rezultă că
0=𝜇𝑥∙𝑥=(𝑋−𝜆)∙𝑥=𝑢(𝑥)−𝜆𝑥 ,
deci 𝑢(𝑥)=𝜆𝑥.
𝑏)⇒𝑎) Din 𝑢(𝑥)=𝜆𝑥 rezultă (𝑋−𝜆)∙𝑥=0,deci 𝜇𝑥⃓ 𝑋−𝜆.Cum 𝜀(𝑉)=𝑉 și 𝑥≠0,
rezultă că 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜇𝑥≥1,deci 𝜇𝑥=𝑋−𝜆,de unde
𝑑𝑖𝑚𝐾𝐾[𝑋]𝑥=𝑔𝑟𝑎𝑑 𝜇𝑥=1.
Următoarele rezultate oferă și o modalitate de determinare a valorilor și vectorilor
proprii pentru o transformare liniară 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉).
Dacă 𝐴=(𝛼𝑖𝑗)∈𝑀𝑛(𝑘) , atunci po linomul 𝑓𝐴,
𝑓𝐴≝det(𝑋𝐼−𝐴)=𝑋𝑛−(𝛼11+𝛼22+⋯+𝛼𝑛𝑛)𝑋𝑛−1+⋯+(−1)𝑛det(𝐴)∈𝐾[𝑋]
se numește polino mul caracteristic al matricei A .
Propoziția 7.3. Fie 𝐴 ,𝐵∈𝑀𝑛(𝐾) astfel încât 𝐴≈𝐵.Atunci 𝑓𝐴=𝑓𝐵.
Demonstrație. Fie 𝑇∈𝐺𝐿𝑛(𝐾) astfel încât 𝑇𝐴𝑇𝑇−1=𝐵.Cum
𝑋𝐼−𝐵=𝑇(𝑋𝐼−𝐴)𝑇−1,avem :
𝑓𝐵=𝑑𝑒𝑡(𝑋𝐼−𝐴)=𝑑𝑒𝑡(𝑇)𝑑𝑒𝑡(𝑋𝐼−𝐴)𝑑𝑒𝑡(𝑇−1)=𝑑𝑒𝑡(𝑋𝐼−𝐴)=𝑓𝐴.
Fie 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) și B o bază a lui V .Dacă 𝐴=𝑀𝐵(𝑢),atunci polinomul
𝑓𝑢≝𝑓𝐴
se numește polinomul polinomul caracteristic al transformării lini are u. Din (7.3) și din
teorema :” Fie R un inel comutativ și unitar (1≠0),F un R -modul liber de rang n ,
𝐵=(𝑒1,𝑒2,… ,𝑒𝑛) o bază a lui F, 𝑈=(𝑢𝑖𝑗)∈𝑀𝑛(𝑅) și
𝑒𝑖′=∑𝑢𝑖𝑗𝑒𝑗 ,1≤𝑖≤𝑛𝑛
𝑗=1

54
ii) Sistemul de elemente 𝐵′=(𝑒1′,𝑒2′,… ,𝑒𝑛′) este o bază a lui F dacă și numai dacă
matricea U este inversabilă în inelul 𝑀𝑛(𝑅).
iii) Dacă 𝐵′ este bază a lui F și 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝑅(𝐹),atunci 𝑀𝐵′(𝑢)=𝑈𝑀𝐵(𝑢)𝑈−1. ”rezultă că
definiția lui 𝑓𝑢 este corectă (nu depinde de baza B) .
Fie 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) și 𝐴∈𝑀𝑛(𝐾).Fără să afectăm rezultatele ce urmează, presupunem că
există o bază B a lui V astfel încât 𝑀𝐵(𝑢)=𝐴.
Propoziția 7.4. Dacă 𝑑1,𝑑2,… ,𝑑𝑚∈𝐾[𝑋] sunt factorii invarianți ai transformării
liniare 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) (respectiv ai matricei 𝐴∈𝑀𝑛(𝐾)) atunci 𝑓𝑢=𝑑1∙𝑑2∙…∙𝑑𝑚 (respectiv
𝑓𝐴=𝑑1𝑑2…𝑑𝑚).
Demonstrație. Fie D forma diagonal – canonică a matricei 𝑋𝐼−𝐴,





ddd
mD
0110 1
21


Cum 𝑋𝐼−𝐴~𝐷,avem ∆𝑛(𝑋𝐼−𝐴)=∆𝑛(𝐷),deci 𝑓𝑢=𝑓𝐴=𝑑𝑒𝑡(𝑋𝐼−𝐴)=∆𝑛(𝑋𝐼−𝐴)=
=∆𝑛(𝐷)=𝑑𝑒𝑡(𝐷)=𝑑1𝑑2…𝑑𝑚 .
Corolarul 7.5. Polinomul minimal al unei transformări liniare (matrice ) divide polinomul
caracteristic .
Demonstrație.Rezultă din (4.4) și (7.4) .
Corolarul 7. 6. ( teorema Cayley –Hamilton ).Orice transformare liniară u ( matrice A)
este rădăcină a polinomului său caracteristic: 𝑓𝑢(𝑢)=0 (respectiv 𝑓𝐴(𝐴)=0).
Demonstrație. Cum 𝜇𝑢(𝑢)=0 și 𝜇𝑢 ⃓ 𝑓𝑢,rezultă că 𝑓𝑢(𝑢)=0.
Corolarul 7.7.(teorema lui Frobenius). Polinomul minimal și polinomul caracteristic au
aceiași f actori ired uctibili (peste K) .
Demonstrație. Cum 𝑓𝑢=𝑑1𝑑2…𝑑𝑚 și 𝜇𝑢=𝑑𝑚,afirmația rezultă din faptul că
𝑑1 ⃓ 𝑑2 ⃓… ⃓ 𝑑𝑚.

55
Teorema 7.8. Un scalar 𝜆∈𝐾 este valoare proprie a lui 𝑢∈𝐸𝑛𝑑𝐾(𝑉) dacă și numai
dacă 𝑓𝑢(𝜆)=0.
Demonstrație . ” ⇒ ”Din 𝑢(𝑥)=𝜆𝑥 rezultă că (𝑋−𝜆)∙𝑥=0 și cum 𝑥≠0,avem 𝜇𝑥=
𝑋−𝜆.Dar 𝜇𝑥 ⃓ 𝜇𝑢 ,𝜇𝑢⃓ 𝑓𝑢 , de unde 𝑓𝑢(𝜆)=0.
“ ⇐ “ Dacă 𝑓𝑢(𝜆)=0,atunci 𝑋−𝜆⃓ 𝑓𝑢 și cum 𝑋−𝜆 este ireductibil peste K, avem
𝑋−𝜆 ⃓ 𝜇𝑢 (vezi (7.7)). Fie 𝑔∈𝐾[𝑋] astfel încât 𝜇𝑢=(𝑋−𝜆)𝑔 și să fie 𝑦∈𝑉 astfel încât
𝜇𝑢= 𝜇𝑦 (vezi (4.4)). Dacă 𝑥=𝑔∙𝑦,atunci 𝜇𝑥=𝑋−𝜆,deci 𝑢(𝑥)=𝜆𝑥 și 𝑥≠0.

a

56

IV Aplicații
Bibliografie