Intercalari. Inegalitatea Cebisev Si Trucul Cebisev

CAPITOLUL 1

INTERCALAREA

1.1. Intercalări de început

Având de demonstrat o inegalitate A≤B, să zicem că avem inspirația de a găsi un "intermediar" X, adică un X pentru care să avem AX și XB. Demonstrând atunci aceste inegalități deducem valabilitatea inegalității inițiale pe baza tranzitivității relației de ordine:

AX , XB AB.

Egalul în inegalitatea AB va fi atins numai în condițiile în care vom avea egalitate în fiecare din inegalitățile AX și XB. Vom numi această metodă intercalare de intermediari. La nevoie se poate folosi un lanț crescător de intermediari între A și B, inegalitatea inițială obținându-se după demonstrarea tuturor inegalităților dintre intermediarii consecutivi, dintre A și primul intermediar și dintre ultimul intermediar și B.

La prima vedere ideea nu pare prea grozavă, deoarece avem nevoie de inspirație pentru găsirea intermediarilor și apoi în locul unei inegalități avem de demonstrat cel puțin alte două inegalități. Da, dar este preferabil să avem de demonstrat mai multe inegalități pe care le putem demonstra în locul uneia pe care nu știm să o demonstrăm. Punctul nevralgic al metodei este găsirea intermediarilor.

Să începem cu

(1) , R

Expresia din membrul stâng al inegalității poate fi pusă sub forma

=++,

care amintește de membrul stâng al inegalității

(2) R.

pe post de a,b,c fiind bc,ca,ab. Avem deci

++

,

cu egalitate pentru . Dar acum expresia din dreapta acestei inegalități seamănă cu expresia din membrul stâng al inegalității (2). Conform acestei inegalități avem

cu egalitate pentru . Punând la lucru tranzitivitatea, din cele două inegalități demonstrate, se obține (1) care va fi verificată cu egal când vom avea simultan și care conduc la .

În cazul inegalității

(3) ≥ , >0,

o observație care se poate dovedi utilă este că expresia din membrul drept are o formă asemănătoare cu cea din membrul stâng ținând seama că 3=. Atunci

se intercalează în mod natural, măcar ca formă, între cei doi membri ai inegalității (3).

Merită atunci să testăm ipoteza

≥≥.

Prima dintre aceste inegalități se poate pune sub forma

≥.

Această inegalitate se obține din inegalitatea CBS, cu substituțiile n=3, , , , =, =, =. Inegalitatea se verifică egal pentru (,,) și (,,) proporționale ceea ce înseamnă .

A doua inegalitate se reduce la (2).

În inegalitatea

(4) ≥ , >0,

recunoaștem ușor prezența, în partea stângă, a mediei pătratice a numerelor .Această medie este superioară, mediei aritmetice a acelorași numere. Nu cumva aceasta se intercalează în (4)? Avem deci de testat inegalitatea

(5) ≥ , >0,

echivalentă cu

16

Încercând să spargem această inegalitate, căutăm o parte din expresia din stânga care să fie mai mare sau egală cu 16abc. Evident că aceasta trebuie să nu conțină pe d, deci să fi "o bucată" din

=

Nu putem "consuma" tot căci ne va trebui și pentru și pentru . Pare firesc să considerăm doar și atunci, din motive de simetrie, și și . Din aceleași motive să considerăm doar și căci apare și în . În concluzie inegalitatea între bucăți ar putea fi

+(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+6abc≥16abc.

Această ipoteză rezistă și la "testul egalității". Pentru a=b=c=d inegalitatea (5) se verifică cu egal și atunci pentru a=b=c trebuie să avem egalitate în inegalitatea pe care o testăm, ceea ce se confirmă.

Putem ajunge la aceeași ipoteză de spargere și pe o altă cale, mai directă. Căutăm o inegalitate de forma

A(a3+b3+c3)+B(a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)+6abc≥16abc.

Ne-am străduit să alegem expresia din stânga astfel încât aceasta să fie simetrică în a,b,c așa cum este 16abc. Cum pentru a=b=c este necesar să avem egalitate, deducem că 3A+6B=10. Apoi această inegalitate vrem să ne ajute la o spargere simetrică. Aceasta înseamnă că adunând această inegalitate cu cele pentru 16bcd, 16cda și 16dab trebuie să obținem redusa inegalității (5). În inegalitatea obținută prin sumare a3 apare cu coeficientul 3A iar a2b cu coeficientul 2B. Ținând seama că în (a+b+c+d)3 a3 apare cu coeficientul 1 iar a2b cu coeficientul 3, deducem că A= și B= și se confirmă și condiția 3A+6B=10. În sfârșit, inegalitatea a cărei valabilitate o testăm, se sparge natural în

(a3+b3+c3)≥abc și (a2b+a2c+b2c+b2a+c2a+c2b)9abc

Fiecare dintre aceste inegalități se demonstrează cu inegalitatea mediilor aplicată pentru a3,b3,c3, și respectiv a2b,a2c,b2c,b2a,c2a,c2b. „Împachetarea” inegalităților demonstrate pentru a obține (5) nu mai este decât o problemă de rutină.

Putem demonstra inegalitatea (4) și fără a demonstra inegalitatea mai tare (5). Ridicând ambii membri la puterea a șasea pentru a elimina radicalii, obținem inegalitatea echivalentă

(a2+b2+c2+d2)34(abc+bcd+cda+dab)2.

Avem o vagă asemănare cu “CBS” așa că încercăm să profităm de ea. Conform inegalității CBS avem

(abc+bcd+cda+dab)2(a2+b2+c2+d2)(b2c2+c2d2+d2a2+a2b2).

Pentru a ne reuși o intercalare avem nevoie de inegalitatea

4(b2c2+c2d2+d2a2+a2b2)(a2+b2+c2+d2)2,

care este adevărată, ea devenind

a4+b4+c4+d4-2a2b2-2b2c2-2c2d2-2d2a2+2a2c2+2b2d20

(a2-b2+c2-d2)2 0.

Avem egalitate în (4) când (a,b,c,d) și (bc,cd,da,ab) sunt proporționale și în același timp a2-b2+c2-d2=0. Din

===

se obține a2=cd, b2=da, c2=ab, d2=bc. Presupunând a=max(a,b,c,d), cum a2=cd, obținem a=c=d și apoi a=b=c=d care, se constată prin verificare, este condiția de egalitate din (4).

Pentru

(6) 27(a2+bc)(b2+ca)(c2+ab)≤8(ab+bc+ca)3, a,b,c>0 ,

cu inegalitatea mediilor aplicată numerelor a2+bc,b2+ca,c2+ab obținem

≤(a2+bc+b2+ca+c2+ab)

27(a2+bc)(b2+ca)(c2+ab)≤(a2+b2+c2+ab+bc+ca)3.

Dar ab+bc+ca≤a2+b2+c2 și atunci

(a2+b2+c2+ab+bc+ca)3≤8(a2+b2+c2)3,

ceea ce înseamnă că intercalarea ne-a reușit. Egalul se atinge când a=b=c.

Încercăm aceeași idee de intercalare pentru

(7) 27(a2+2bc)(b2+2ca)(c2+2ab)≤(a+b+c)6, a,b,c>0.

Conform inegalităților mediilor avem

≤ (a2+2bc+b2+2ca+c2+2ab)=(a+b+c)2

Iată cum încercând o intercalare pe “întuneric” am ajuns la o reducere. Avem egalitate pentru a2+2bc=b2+2ca=c2+2ab a=b=c.

1.2. Intercalări de mijloc

Inegalitatea

(8) ≤++, a,b>0,

poate fi mult simplificată cu substituțiile a=1/x, b=1/y. Inegalitatea devine

≤x+y+xy4xy≤+xy.

Cu inegalitatea mediilor obținem

+xy≥+xy.

Pentru a demonstra (8) e suficient să avem

+xy≥4xy,

adică, notând t=,

2t3+t5≥4t42+t2≥2t(t-)2≥0

Avem egalitate pentru t=, x=y adică a=b=1/2.

Simetria există în

(9) x+y≤+, x,y>0,

ne permite ipoteza că egalitatea se obține pentru x=y. Ar trebui să avem atunci

2x=+2×2(2-1)2=0x=1/4.

Cum pentru x=y=1/4 avem ==, suntem încurajați să încercăm intercalarea

x+y≤2≤+,

care conservă cazul de egalitate observat. A doua inegalitate a fost obținută cu inegalitatea mediilor iar prima devine

(x+y)3≥2(x+y)2×3+x2y-4xy+xy2+y3

-+xy-0,

ceea ce înseamnă că intercalarea a reușit.

O demonstrație prin intercalare pentru

(10) 1

unde 1, n

arată astfel:

.

Era normal să folosim primele două inegalități pentru că în definitiv inegalitatea trebuie să se verifice și în ”cazul extrem” în care

x1=1 , x2=x3 , x4=x5 , , x2n-2=x2n-1 , x2n=nn.

Și tot normal era să folosim apoi inegalitatea mediilor pentru că fracțiile care se sumează ”se cer“ înmulțite pentru a putea face simplificări.

Ultima inegalitate se verifică cu egal când

Aceasta înseamnă că în (10) avem egalitate dacă și numai dacă

x1=1 , x2=x3=n , x4=x5=n2 , , x2n-2=x2n-1=nn-1 , x2n=nn.

Pentru inegalitatea

(11) , a,b,c>0,

având grijă să conservăm cazul de egalitate care se observă și anume a=b=c, încercăm intercalarea

.

Prima inegalitate se sparge în

A doua inegalitate devine

și se sparge în

, ,

Fiecare inegalitate din intercalare, deci și (11), se verifică cu egal pentru a=b=c.

O ipoteză de intercalare pentru inegalitatea

(12) a,b,c[0,1]

ar putea arăta astfel:

În prima inegalitate am dorit să majorăm fracțiile din membrul stâng minorând numitorii acestora prin cel mai mic. Validăm această inegalitate după ce violăm simetria din (12) cu a=max(a,b,c). A doua inegalitate devine

2+2bca+b+c(1-b)(1-c)+(1-a)+bc

și se dovedește adevărată. Avem egalitate în (12) când două din numerele a,b,c sunt 0 și al treilea 1.

Putem realiza o simplificare a inegalității

(13) x,y,z>0,

cu substituțiile:

y+z=a, z+x=b, x+y=c x=, y=, z=.

Inegalitatea ia forma

++-+-+-

Adunând câte o unitate fiecărei fracții cu semnul minus din dorința de a avea în stânga numai termeni pozitivi, obținem inegalitatea echivalentă

Să adunăm acum câte o unitate primelor trei fracții pentru a obține ca numărători numitorii ultimelor trei fracții. Obținem în loc inegalitatea

+

Fracțiile din membrul stâng „se cer înmulțite” dar ideea de a folosi inegalitatea mediilor nu este o idee fericită deoarece nu se conservă cazul de egalitate a=b=c. Ne rafinăm atunci ideea punând

+=+ 15

=15

Ultima inegalitate se demonstrează prin spargere și se verifică cu egal pentru a=b=c.

Forma expresiilor din membrul stâng al inegalității

(14) ++++.

ne dă ideea folosirii inegalității mediilor sub forma

=

Obținem

++

.

Pentru a reuși o intercalare este nevoie să avem

++.

inegalitatea se sparge în

, ,

avem egalitate în (14) când x=y=z.

1.3. Intercalări cu schimb de bucăți

Prima dintre schemele de intercalare pe care le vom prezenta este utilă pentru inegalitățile dintre expresiile care se obțin una din cealaltă prin rearanjarea unor bucăți.

Începem cu

(15) , a,b,c>0.

Expresia din dreapta se obține din cea din stânga printr-o rearanjare convenabilă a primilor termeni din cele trei paranteze. Această rearanjare se poate face în doi pași. Schimbăm între ei primii termeni din primele două paranteze și apoi, în expresia obținută, schimbăm între ei primii termeni din ultimele două paranteze.

Prima dintre aceste inegalități devine

ab+bcb2+ac0(b-a)(b-c).

Validăm această inegalitate după ce violăm simetria circulară din (15) cu b=min(a,b,c) sau cu b=max(a,b,c). Această inegalitate se verifică cu egal pentru b=c sau pentru b=a. A doua inegalitate din ipoteza de intercalare devine

2,

este adevărată indiferent de condiții și verificată cu egal când a=c. Ipoteza de intercalare s-a confirmat. Egalul în (15) se atinge când ambele inegalități din intercalare se verifică cu egal, adică pentru a=b=c.

Să arătăm că

(16) (2a-b)(2b-c)(2c-d)(2d-a)abcd ,

unde 2a>b , 2b>c , 2c>d , 2d>a , a,b,c,d>0.

Schimbând între ei termenii cu minus din primele două paranteze ale expresiei din membrul stâng obținem expresia (2a-c)b(2c-d)(2d-a). Se intercalează aceasta între cei doi membri din (16)?. Să vedem. Prima inegalitate din intercalarea pe care o încercăm este

(2a-b)(2b-c)(2c-d)(2d-a)(2a-c)b(2c-d)(2d-a)

(2a-b)(2b-c)(2a-c)b2ab-2ac-2b2+bc-bc02(b-a)(b-c).

Putem presupune că b=max(a,b,c,d) pe baza simetriei circulare din (16). Cu aceasta ne asigurăm de valabilitatea primei inegalități din intercalare. Să remarcăm că din inegalitatea demonstrată se duce și pozitivitatea factorului 2a-c. A doua inegalitate necesară intercalării este

(2a-c)b(2c-d)(2d-a)abcd(2a-c)(2c-d)(2d-a)acd.

Avem de demonstrat o inegalitate asemănătoare cu (16), simetrică circular în raport cu a,c,d și pentru că b a dispărut, presupunerile pe care le vom face relativ la a,c,d nu mai trebuie raportate la b. Încercăm o nouă intercalare, pe aceeași idee, și anume

(2a-c)(2c-d)(2d-a)(2a-d)(2c-c)(2d-a)=(2a-d)c(2d-a)acd.

Prima inegalitate de aici devine

(2a-c)(2c-d)(2a-d)c02(c-a)(c-d)

șivitatea factorului 2a-c. A doua inegalitate necesară intercalării este

(2a-c)b(2c-d)(2d-a)abcd(2a-c)(2c-d)(2d-a)acd.

Avem de demonstrat o inegalitate asemănătoare cu (16), simetrică circular în raport cu a,c,d și pentru că b a dispărut, presupunerile pe care le vom face relativ la a,c,d nu mai trebuie raportate la b. Încercăm o nouă intercalare, pe aceeași idee, și anume

(2a-c)(2c-d)(2d-a)(2a-d)(2c-c)(2d-a)=(2a-d)c(2d-a)acd.

Prima inegalitate de aici devine

(2a-c)(2c-d)(2a-d)c02(c-a)(c-d)

și o putem accepta deoarece putem presupune că c=max(a,c,d). Ne mai rămâne de arătat că

(2a-d)c(2d-a)acd02(a-d)2.

Demonstrația se încheie cu analiza cazului de egalitate, acesta fiind a=b=c=d.

Să demonstrăm că

(17) (a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)(a+b)(b+c)(c+d)(d+a),

unde a,b,c,d sunt lungimile laturilor unui patrulater

Faptul că a,b,c,d sunt lungimile laturilor unui patrulater se traduce prin aceea că fiecare factor din membrul stâng este pozitiv. Să redistribuim termenii cu minus din parantezele din membrul stâng pentru a obține expresia din membrul drept. Suntem conduși la următoarea ipoteză de intercalare:

(a+b+c-d)(b+c+d-a)(c+d+a-b)(d+a+b-c)

(a+b+c-a)(b+c+d-d)(c+d+a-b)(d+a+b-c)

(a+b+c-a)(b+c+d-b)(c+d+a-d)(d+a+b-c)

(a+b+c-a)(b+c+d-b)(c+d+a-c)(d+a+b-d)=

=(b+c)(c+d)(d+a)(a+b).

Prima inegalitate este echivalentă cu

(a+b+c-d)(b+c+d-a)(a+b+c-a)(b+c+d-d)(b-c)2-(a-d)2(b+c)2,

este adevărată și se verifică cu egal pentru a=d. A doua inegalitate devine

(b+c+d-d)(c+d+a-b)(b+c+d-b)(c+d+a-d)

(b+c)(c+d+a-b)(c+d)(c+a)0b2-ab-bd+ad0(b-a)(b-d).

Această inegalitate este adevărată doar în una din variantele b=max(a,b,d) respectiv b=min(a,b,d) și se verifică cu egal când b=a sau b=d. Ultima inegalitate devine

(c+d+a-d)(d+a+b-c)(c+d+a-c)(d+a+b-d)(c+a)(d+a+b-c)

(d+a)(a+b)0c2-bc-cd+bd0(c-b)(c-d)

Inegalitatea este adevărată când c=min(b,c,d) sau c=max(b,c,d), verificată cu egal când c=d sau c=b.

Să vedem dacă se poate face o ipoteză nerestrictivă despre ordinea numerelor a,b,c,d astfel încât să fie verificate a doua și a treia inegalitate din ipoteza de intercalare. Putem roti pe a,b,c,d astfel încât să avem c=max(a,b,c,d). Suntem astfel asigurați de valabilitatea ultimei inegalități. Să analizăm acum situațiile posibile pentru a,b,d. Dacă b este cel mai mic sau cel mai mare dintre aceste numere atunci este verificată și a doua inegalitate. Dacă b este între a și d atunci avem fie d=max(a,b,d) fie d=min(a,b,d). Dar se constată că schimbând între ele pe b și d inegalitatea (17) rămâne neschimbată. Putem deci considera că notațiile au fost făcute astfel încât b să fie sau cel mai mic sau cel mai mare dintre numerele a,b,d și ne-am asigurat și de valabilitatea celei de a doua inegalități. Observăm că prima inegalitate se verifică cu egal pentru a=d, situație în care a doua inegalitate devine egalitate pentru a=b=d, caz în care avem egalitate în ultima inegalitate pentru a=b=c=d, acesta fiind deci cazul de egalitate din (18).

Demonstrația de mai sus este instructivă mai ales pentru modul în care a fost violată simetria din (17). Ea poate fi considerabil simplificată după ce punem inegalitatea sub o formă mai convenabilă. Notând S=a+b+c+d, (17) se scrie

(S-a-b)(S-b-c)(S-c-d)(S-d-a)(S-2a)(S-2b)(S-2c)(S-2d).

Vom vedea că semnificația lui S nici nu mai contează, ci doar faptul că S-u-v este pozitiv pentru orice u,v{a,b,c,d}.Încercăm intercalarea

(S-a-b)(S-b-c)(S-c-d)(S-d-a)(S-a-b)(S-b-c)(S-c-c)(S-d-d)

(S-a-a)(S-b-b)(S-c-c)(S-d-d).

O observație utilă este aceea că a doua și a treia inegalitate dau o intercalare a inegalității

(S-a-b)(S-b-c)(S-c-a)(S-2a)(S-2b)(S-2c),

în care nu apare d și care este simetrică în a,b,c. Aceasta înseamnă că pentru demonstrarea inegalităților doi și trei din intercalare presupunerile asupra lui a,b,c nu trebuie raportate la d. Intercalarea pe care o testăm este echivalentă cu

Prima inegalitate este echivalentă cu

(c+d)(d+a)(c+a)2d(d-a)(d-c)0

și pentru d=max(a,b,c,d) sau d=min(a,b,c,d) este adevărată. Simetria circulară din (17) ne permite să facem oricare dintre aceste propuneri. A doua inegalitate din intercalare se obține din prima substituind c,d,a în ordine cu b,c,a atunci e este adevărată dacă c=max(a,b,c) sau c=min(a,b,c) și am văzut deja, oricare dintre aceste presupuneri poate fi făcută. Și a treia inegalitate din intercalare se obține din prima, de data aceasta c,d,a fiind substituite respectiv cu a,b,a. Ea este adevărată pentru b=max(a,b) sau b=min(a,b), una dintre condiții fiind evident satisfăcută.

Și inegalitatea

(2) ab+bc+caa2+b2+c2, a,b,cR,

se poate demonstra cu o astfel de intercalare bazată pe ”schimbul de bucăți”. Avem intercalarea

ab+bc+caac+bb+caaa+bb+cc

care are nevoie de presupunerea b=max(a,b,c).

Pentru

(18) (a+b)(b+c)(c+a)8abc, a,b,c>0,

avem intercalarea

(a+b)(b+c)(c+a)(a+b)(b+a)(c+c)(a+a)(b+b)(c+c)

care are nevoie de presupunerea c=max(a,b,c).

Putem demonstra inegalitatea

(19) , a,b,c>0,

cu intercalarea

intercalare care are nevoie de ipoteza c=max(a,b,c) pe care simetria din (19) o suportă.

În cazul inegalității

(20) ab+bc+caaa+bb+cc ,

încercăm intercalarea

Prima inegalitate se poate pune sub forma

ba(bc-a-1)ca(cc-a-1).

Se observă că pentru c=a avem egalitate, ca și pentru c=b. Dacă a<c>b atunci

ba<ca și 0<bc-a-1<cc-a-1.

Deci prima inegalitate din intercalare este adevărată pentru c=max(a,b,c) presupunere care se poate face deoarece (20) este simetrică circular în a,b,c. Cum a doua inegalitate din intercalare se obține substituind în prima a,b,c cu a,a,b, ea este adevărată când b=max(a,b) presupunere ce se poate face deoarece această inegalitate este simetrică în a,b. Mai rămâne de analizat cazul de egalitate din (20) care este a=b=c.

Cu o intercalare “cu schimb de bucăți” se demonstrează și inegalitatea

(21) (1-abc)3(1-a3)(1-b3)(1-c3), a,b,c(0,1).

Avem

(1-abc)3=(1-abc)(1-abc)(1-abc)(1-abc)(1-ab2)(1-ac2)

(1-a2b)(1-ab2)(1-c3)(1-a3)(1-b3)(1-c3)

Este suficient să violăm simetria din (21) cu c=max(a,b,c) pentru a accepta intercalarea.

Avem egalitate în (21) când a=b=c.

Una din intercalările cu “schimb de bucăți” cu care putem demonstra inegalitatea

(1) abc(a+b+c)a4+b4+c4, a,b,cR

în varianta, singura interesantă a,b,c>0, este

a2bc+ab2c+abc2a2bc+a2b2+bc3a2b2+a2b2+c4a4+b4+c4

corectă pentru c=max(a,b,c) sau c=min(a,b,c).

O altă intercalare pentru aceeași inegalitate este

a2bc+ab2c+abc2a2bc+ab3+ac3a3b+ab3+c4a4+b4+c4

corectă când b, presupunere care nu este restrictivă.

Iată două intercalări cu “cu schimb de bucăți” pentru

(22) x3y+y3z+z3xxyz(x+y+z), x,y,z>0

Prima este

x2yz+xy2z+xyz2x2yz+y3x+z3xx3y+y3z+z3x

Această intercalare are nevoie de una din ipotezele x=max(x,y,z) sau x=min(x,y,z).

A doua intercalare este

x2yz+xy2z+xyz2x3y+y2z2+xyz2x3y+y3z+z3x

Această intercalare are nevoie de presupunerea că dintre numerele x,y,z, z îl notează pe cel din mijloc.

Ne-ar conveni să împărțim ambii membri ai inegalității.

(23) abc(xy+yz+zx)xyz(ab+bc+ca),

unde x=b+c-a, y=c+a-b, z=a+b-c , a,b,c>0,

prin abcxyz pentru că am obține o egalitate în care a,b,c și x,y,z nu s-ar mai ”amesteca”. Pentru a face aceasta trebuie să cunoaștem semnul produsului abcxyz și să discutăm separat cazul abcxyz=0. Dacă de pildă x=0a=b+c, atunci (23) devine

abcyz0 yz a2-(b-c)2 (b+c)2-(b-c)2 4bc

și se verifică fără posibilitate de egal. Să mai observăm că nu este posibil ca două din numerele x,y,z să fie nepozitive. Într-adevăr, presupunând de exemplu x și y obținem x+y=2c ceea ce este imposibil. Rămân de considerat doar două cazuri și anume cel în care toate numerele x,y,z sunt pozitive și cel în care numai unul dintre acestea și nu contează care din cauza simetriei în a,b,c este negativ.

În cazul x,y,z>0 inegalitatea (23) devine

Încercăm intercalarea

=

Prima inegalitate devine

c2c2-(a-b)2.

este adevărată și se verifică cu egal pentru a=b. A doua inegalitate devine

+

c(a+b-c)ab 0(c-a)(c-b).

Cu oricare din presupunerile ac sau a validăm această inegalitate, care se verifică cu egal pentru c=a sau c=b. În această variantă inegalitatea (23) este demonstrată, a=b=c fiind cazul de egalitate.

Să considerăm acum cazul în care unul dintre numerele x,y,z este negativ și celelalte două pozitive. Am remarcat deja că, datorită simetriei în a,b,c din (23), nu contează care din numerele x,y,z este considerat negativ. Să amânăm atunci alegerea acestuia până când ne va conveni să o facem. Oricum în acest caz inegalitatea (23) ia forma

.

Încercăm o intercalare cu același intermediar ca și în cazul precedent adică

++.

Dacă primele două fracții din membrul stâng al primei inegalități au numitori pozitivi, atunci inegalitatea este echivalentă cu (a-b)2 și nu ne convine. Să remarcăm că nici nu a fost necesar să efectuăm calculele deoarece acestea sunt identice cu cele efectuate în celălalt caz. Doar sensul fiecărei inegalități s-a schimbat. Atunci trebuie să avem fie b+c-a<0 fie c+a-b<0. Indiferent de variantă, avem a+b-c>0 și a doua inegalitate ia forma 0(c-a)(c-b) și este adevărată când c este între a și b. Din nou am folosit calculele din primul caz. Considerăm atunci x=b+c-a<0, a>c și suntem asigurați de valabilitatea intercalării și a inegalității (23) care în acest al doilea caz nu are variantă de egal.

1.4. Intercalare cu egalare de variabile

Începem exemplificările unui nou tip de intercalare tot cu inegalitatea

(2) ab+bc+caa2+b2+c2, a,b,cR.

Observând că pentru a=b=c avem egalitate, ne punem întrebarea dacă nu cumva ”egalând” două variabile inegalitatea devine ”mai bună” ceea ce ar însemna, într-un mod încă vag, o intercalare. Să clarificăm ideea.

Inegalitatea (2) se poate scrie E(a,b,c) unde

E(a,b,c)=a2+b2+c2-ab-bc-ca.

Încercăm o intercalare de forma E(a,b,c)E(a,m,m). Avem nevoie de o alegere ”fericită” pentru m. Bineînțeles că valoarea lui m trebuie să aibă o oarecare legătură cu numerele pe care le înlocuiește, adică cu b și c. Încercăm cu m=b. Testăm deci intercalarea

a2+b2+c2-ab-bc-caa2+b2+b2-ab-bb-ba.

A doua inegalitate este echivalentă cu (a-b)2. Prima inegalitate din intercalare devine (c-a)(c-b) și o putem valida pentru că simetria din (2) poate fi violată cu a sau a.

După ce punem inegalitatea

(18) (a+b)(b+c)(c+a)8abc, a,b,c>0,

sub forma

încercăm intercalarea

Prima inegalitate devine

(b+c)(c+a)2c(b+a) (c-a)(c-b),

iar a doua

Cu presupunerea c=max(a,b,c) validăm intercalarea.

Pentru

(22) x3y+y3z+z3xxyz(x+y+z), x,y,z>0,

acest tip de intercalare cu ”egalare de variabile ne conduce” la ipoteza

x3y+y3z+z3x-xyz(x+y+z)x3y+y3y+y3x- xyy(x+y+y)0.

Prima inegalitate devine

y3(z-y)+x(z3-y3)-x2y(z-y)-xy2(z-y)-xy(z2-y2)

(z-y)(y3+xz2+xyz+xy2-x2y-xy2-xyz-xy2)0

(z-y)(y3+xz2-x2y-xy2)0 x(z+y)(z-y)2+y(x+y)(z-y)(y-x)0.

Cum a doua inegalitate capătă forma

x3y+y4-x2y2-xy3 y(x+y)(x-y)2,

e suficient să violăm simetria circulară din (22) presupunând că y este între x și z pentru a accepta intercalarea.

Să încercăm și cu inegalitatea

(24) a3+b3+c3+3abcab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a), a,b,c>0.

A doua inegalitate din intercalarea

a3+b3+c3+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)

a3+b3+b3+3abb-ab(a+b)-bb(b+b)-ba(b+a)0

devine, după reduceri,

a3-2a2b+ab20 a(a-b)20.

Să ne ocupăm de prima inegalitate. Aceasta devine

c3-b3+3abc-3abb-b2c+b2b-bc2+bb2-c2a+b2a-ca2+ba20

(c-b)(c2+bc+b2+3ab-b2-b(b+c)-a(b+c)-a2)0

(c-b)(c2+2ab-b2-ac-a2)0 (c-b)[c(c-a)-(a-b)2]0.

Putem presupune că a. Avem atunci c-b0 și cum c>b-a și c-ab-a0, avem și c(c-a)-(a-b)20. Demonstrația se încheie cu analiza cazului de egalitate, acesta fiind a=b=c.

Avem pentru inegalitatea

(25) a4+b4+c4+d4+2abcda2b2+a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+c2d2, a,b,c,d>0,

o demonstrație printr-o spargere aproape imposibil de găsit. Să încercăm acum intercalarea

E(a,b,c,d)E(a,b,c,c)E(a,b,b,b)E(a,a,a,a)=0

unde E(a,b,c,d) este diferența dintre expresia din stânga și cea din dreapta. Prima inegalitate din ipoteza de intercalare devine

a4+b4+c4+d4+2abcd-a2b2-a2c2-a2d2-b2c2-b2d2-c2d2

a4+b4+c4+c4+2abcc-a2b2-a2c2-a2c2-b2c2-b2c2-c2c2

(d-c)[(d+c)(d2-a2-b2)+2abc] (d-c)[d(d2+dc-a2-b2)-c(a-b)2].

Simetria în a,b,c,d din (25) ne permite presupunerea d. Avem atunci d-c, dc și d(d2-a2)c(d+a)(d-a)c(b-a)(d-a)c(b-a)2 și validăm prima inegalitate. A doua inegalitate devine

a4+b4+c4+c4+2abcc-a2b2-a2c2-a2c2-b2c2-b2c2-c2c2

a4+b4+b4+b4+2abbb-a2b2-a2b2-a2b2-b2b2-b2b2-b2b2

(c2-b2)(c2+b2-2ab-2a2-2b2)0 (c2-b2)2+2a(c2-b2)(b-a)0.

În ipoteza de la prima inegalitate este validată și aceasta. În sfârșit ultima inegalitate din ipoteza de intercalare devine

a4+2ab3-3a2b2 a(a+2b)(a-b)2

și se dovedește adevărată. Ultima inegalitate se verifică cu egal pentru a=b situație în care în a doua inegalitate egalul se atinge când a=b=c. În aceste condiții prima inegalitate devine egalitate pentru a=b=c=d care este deci cazul de egalitate pentru (25).

Putem constata la sfârșitul acestei secțiuni că acest tip de intercalare cu ”egalare de variabile” se poate folosi atât pentru unele inegalități simple ca (2) sau (18) cât și pentru unele inegalități dificile cum este (25). Totuși pe viitor va trebui să fim foarte prudenți în alegerea acestei metode pentru că în unele cazuri putem ajunge la un volum de calcul impresionant. Așa se întâmplă de exemplu cu inegalitatea

(26) a,b,c>0,

care nici măcar dificilă nu este.

1.5. A doua variantă de egalare de variabile

Intercalarea de variabile mai are o variantă care diferă de prima doar prin alegerea lui m. Să ne explicăm

(2) ab+bc+caa2+b2+c2, a,b,cR,

am căutat o intercalare de genul E(a,b,c)E(a,m,m), unde

E(a,b,c)= a2+b2+c2-ab-bc-ca.

Trebuie să-l alegem pe m astfel încât acesta să aibă o oarecare legătură cu b și c pe care le înlocuiește și astfel încât să fie conservat cazul de egalitate, ușor de observat, a=b=c. Deci pentru a=b=c trebuie să avem E(a,b,c)=E(a,m,m)=0. Până acum am ales pentru m valoarea unuia din numerele pe care le înlocuiește. Dar m poate fi ales, poate mai firesc, una din mediile aritmetică, geometrică, armonică, pătratică, etc. a numerelor b,c, o medie pentru că atunci când numerele b și c sunt egale, valoarea lor comună este egală cu media și astfel conservăm cazul de egalitate în fiecare din cele două inegalități. Apoi este bine de ales pentru m aceea dintre medii pentru care în E(a,m,m) se conservă o parte cât mai mare din E(a,b,c) pentru că astfel ne va fi probabil mai ușor să demonstrăm inegalitatea E(a,b,c)E(a,m,m). A doua inegalitate nu ne preocupă pentru că ea este un caz particular al inegalității inițiale și probabil că, din această cauză, mai ușor de demonstrat. Într-adevăr avem E(a,m,m)=(a-m)2 .

Una din alegerile bune pentru m este m= conservă expresia a(b+c) din E(a,b,c). Pentru acest m avem

E(a,b,c)E(a,m,m)

a2+b2+c2-a(b+c)-bca2+2-a(b+c)-

b2+c2-bc (b-c)2.

O altă alegere bună a lui m pare a fi m= pentru că se conservă termenul –bc din E(a,b,c). Din păcate avem probleme cu existența radicalului. Dacă observăm însă că schimbând semnele acelora dintre numerele a,b,c care sunt negative expresia a2+b2+c2 rămâne neschimbată iar ab+bc+ca nu descrește, atunci ne dăm seama că este suficient să demonstrăm inegalitatea (2) în varianta a,b,c. Acum alegerea m= poate fi făcută și cu această alegere avem

E(a,b,c)E(a,m,m)

a2+b2+c2-ab-bc-caa2+2bc-2a-bc

(b-c)2-a()20 ()2[()2-a]0.

Ne mai rămâne să violăm simetria din (2) cu bac.

Să încercăm și cu m= pentru că vom conserva expresia b2+c2.

Avem

E(a,b,c)E(a,m,m)

a2+b2+c2-ab-bc-caa2+b2+c2-2a-

+2a,

inegalitate care este adevărată fără condiții.

Pentru

(26) , a,b,c>0,

încercăm intercalarea

cu m= pentru a conserva pe . Prima inegalitate devine

2

(b-c) (b-c)2

unde S=a+b+c. A doua inegalitate devine

a(a+m)+4m23m(a+m) (a-m)2 0.

De remarcat că nici nu am avut nevoie să violăm simetria din (26). Avem egalitate când b=c, a=m, adică a=b=c.

Pentru

(24) a3+b3+c3+3abcab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a), a,b,c>0,

testăm o intercalare de forma

a3+b3+c3+3abc-a2b-ab2-b2c-bc2-c2a-ca2

a3+m3+m3+3amm-a2m-am2-m2m-mm2-m2a-ma2=a3-2a2m+am2=a(a-m)2 .

Cum m= prima inegalitate devine

b3+c3-a2b-ab2-b2c-bc2-c2a-ca2+2a2+2abc0

(b-c)(b2-c2)-a(b2+c2-2bc)-a2(b+c-)0

(b+c-a)(b-c)2-a2()2

Considerând a=min (a,b,c), spargem această inegalitate în

(b-a)(b-c)2 și c(b-c)2-a2()2

Prima dintre aceste inegalități este evidentă iar a doua se justifică prin

c(b-c)2=c()2()2c2()2a2()2

Dacă alegem m=(b+c)/2, prima inegalitate din intercalare devine

b3+c3-b2c-bc2-a (b+c)(b-c)2-

Putem accepta această inegalitate deoarece simetria din (24) poate fi violată prin a=min(a,b,c). În ambele demonstrații dovedim ușor că egalul în (24) se atinge când a=b=c.

Aceeași metodă în cazul inegalității

(27) a6+b6+c6+3a2b2c22(a3b3+b3c3+c3a3), a,b,c>0,

ne conduce la intercalarea

a6+b6+c6+3a2b2c2-2a3b3-2b3c3-2c3a3m6+m6+m6+3a2m2m2-2a3m3-2m3m3-2m3a3

=a2(a4-4am3+3m4)=a2(a2+2am+3m2)(a-m)2.

Ne ocupăm doar de prima inegalitate care, pentru m=, devine

b6+c6-2a3(b3+c3)-2b3c3+4a3 (b3-c3)2-2a3

.

Cum simetria în a,b,c din (27) poate fi violată cu a=min(a,b,c), putem accepta această inegalitate. Avem egalitate în (27) când b=c și a=m= adică pentru a=b=c.

Pentru

(28) cu alegerea m=(b+c)/2 încercăm intercalarea

.

A doua inegalitate devine

și este adevărată. Prima inegalitate este echivalentă cu

Presupunând , avem a+b, a+c2c, a+m=b+c și atunci

(a+b)(a+c)(a+m)(c+b)(b+c)(m+m)=(b+c)3>2bc(b+c),

ceea ce înseamnă că și prima inegalitate din intercalare este adevărată. Avem egalitate în (28) când b=c și a=m=(b+c)/2, adică pentru a=b=c.

Încercăm aceeași terapie pentru

(25) a4+b4+c4+d4+2abcda2b2+a2c2+a2d2+b2c2+b2d2+c2d2, a,b,c,d>0,

Cu alegerea p=, q= testăm intercalarea

a4+b4+c4+d4+2abcd-a2b2-a2c2-a2d2-b2c2-b2d2-c2d2

p4+p4+c4+d4+2ppcd-p2p2-p2c2-p2d2-p2c2-p2d2-c2d2=

=p4-2(c2+d2-cd)p2+c4+d4-c2d2

p4-2(q2+q2-qq)p2+q4+q4-q2q2=p4-2p2q2+q4=(p2-q2)2.

Ultima inegalitate fiind adevărată, să ne ocupăm de primele două. Prima devine, după reduceri,

a4+b4-(a2+b2)(c2+d2)2a2b2-2ab(c2+d2)

(a2-b2)2-(a-b)2(c2+d2) (a-b)2.

A doua inegalitate este echivalentă cu

(c-d)2(c-d)2

pentru că se obține din prima înlocuind a,b,c,d în ordine cu c,d,p,p. Nu există o ipoteză rezonabilă asupra numerelor a,b,c,d cu care să validăm primele două inegalități ale intercalării și aceasta deoarece, indiferent cine este max(a,b,c,d), dacă acesta este suficient de mare, unul din numerele și este negativ. Înseamnă că această încercare de intercalare în trei pași a eșuat. Avem atunci de ales între două variante: sau abandonăm în totalitate ideea originală, sau încercăm să o corectăm. Renunțăm la prima variantă pentru că nu este constructivă. Ne putem corecta ideea? Prima inegalitate, cea mai importantă, din intercalarea încercată, se validează cu presupunerea nerestrictivă min(a,b)max(c,d). Cum a doua inegalitate nu este compatibilă cu prima, să o scurtcircuităm. Testăm atunci valabilitatea inegalității

p4-2(c2+d2-cd)p2+c4+d4-c2d2

Punând f(t)=t2-2(c2+d2-cd)t+c4+d4-c2d2, tR, avem de arătat că f(t), t. Avem

=4(c2+d2-cd)2-4(c4+d4-c2d2)=-8cd(c-d)2

ceea ce înseamnă că f(t)0 pentru orice c,d>0 și orice tR. Deci inegalitatea testată este adevărată și se verifică cu egal când =0 și p2=c2+d2-cd adică p=c=d. Cum prima inegalitate din intercalare devine egalitate pentru a=b(=p), deducem că în (25) egalul este atins când a=b=c=d.

Simetria în b și c din inegalitatea

(29) a3+b3+c2-3abc2, unde min(a,b,c)=a>0,

ne permite ipoteza de intercalare

a3+b3+c3-3abca3+2-3a2.

Prima dintre aceste inegalități devine

b3+c3-3abc2-3a

4(b3+c3)-(b+c)3-3a

(b+c)(3b2-6bc+3c2)-3a(b-c)20 3(b-c)2(b+c-a),

este adevărată și verificată cu egal pentru b=c. Notând d=(b+c)/2, a doua inegalitate devine

a3+2d3-3ad22(d-a)3 (2d+a)(d-a)22(d-a)3 3a(d-a)2

și este adevărată verificându-se cu egal pentru a=d. În (29) avem deci egalitate deci pentru a=b=c.

1.6. Intercalarea inegalităților ”mărginite”

Evident că nu o inegalitate este mărginită, ci variația variabilelor.

Să demonstrăm inegalitatea

(30) a,b,c, 0<<.

Încercăm să parcurgem distanța dintre membrul stâng și cel drept în mai mulți pași, la fiecare pas ”eliminând” câte una din variabilele a,b,c. Este firesc ca această eliminare să se facă înlocuind variabila respectivă cu una din extremitățile intervalului din care face parte, adică cu sau cu . Notând cu E(a,b,c) expresia din membrul stâng al inegalității, încercăm intercalarea

E(a,b,c)E(,b,c)E(c)2()2/().

Prima inegalitate devine

(a+b)(a+c)a(

a2+

Violând simetria din (30) cu a=min(a,b,c) validăm această inegalitate. A doua inegalitate din ipoteza de intercalare se reduce la

(b-

Am ținut seama că a doua inegalitate se obține din prima înlocuind a,b,c, în ordine cu b,c,. Considerând b=max(a,b,c) acceptăm această inegalitate. În sfârșit ultima inegalitate din șir devine

(

și este adevărată. Avem egalitate în (30) când două din numerele a,b,c sunt o extremitate a intervalului iar al treilea este cealaltă extremitate.

Am demonstrat inegalitatea

(31) a2+b2+c2-ab-bc-ca()2, a,b,c, <,

folosind monotonia funcției de grad doi. Să vedem dacă nu ne reușește intercalarea

E(a,b,c)E(,b,c)E(c)()2,

unde E(a,b,c) notează expresia din membrul stâng din (31). Avem

E(a,b,c)E(,b,c)a2-ab-ac2-b-c(a-)(a+),

E(,b,c)E(c) (b-)(b+),

E(c)()2 c2-c-c

În ipoteza nerestrictivă intercalarea ne reușește. Avem egalitate în (31) când două din numerele a,b,c sunt egale cu unul din numerele iar al treilea cu celălalt.

O demonstrație asemănătoare suportă și

(31) (x+y+z) , a,b,c, 0<

Încercăm intercalarea

(x+y+z)(+y+z)

(++c).

Trecem la reducerea primei inegalități. Aceasta devine

x++

.

Înlocuind x,în prima inegalitate cu y, respectiv, se obține inegalitatea a doua, ceea ce înseamnă că aceasta se reduce la

(y-)(yβ-αz).

Ambele inegalități sunt adevărate în ipoteza nerestrictivă αx. Prima se verifică cu egal când x=α iar a doua când y=β. În sfârșit ultima inegalitate devine

(++z)(2α+β) și se obține din prima înlocuind x,α,β,z cu z,α,α,β respectiv, ceea ce înseamnă că se reduce la

(α-z)(αβ-zα)0 (α-z)(β-z)

inegalitate care este adevărată. Ca și pentru ultimele două inegalități, egalul în (32) se atinge când, dintre numerele x,y,z două sunt egale cu α și unul este egal cu β sau două sunt egale cu β și unul cu α.

Să mai analizăm o inegalitate oarecum de același tip. Să arătăm că

(33) (x1+x2+…+xn), x1,x2,…,xn, n

Nu se poate ca această inegalitate să nu ne amintească de

(34) (x1+x2+…+xn), x1,x2,…,xn, n.

Cu aceasta se obține

(x1+x2+…+xn) ,

ultima inegalitate fiind adevărată deoarece, pentru fiecare i avem xi și atunci 1/xi1/2. În prima inegalitate din (33) egalul se atinge când x1=x2=…=xn=2. Pentru a doua inegalitate din (33) nu se întrevede o demonstrație asemănătoare. De folos în găsirea unei demonstrații ne-ar putea fi cunoașterea cazului (unui caz) de egalitate care, nu este greu de observat, este x1=x2=…=xn=1. Ce se întâmplă dacă una dintre variabile se înlocuiește cu 1? Nu cumva, indiferent de valorile celorlalte variabile, expresia se mărește? Dacă această ipoteză se confirmă atunci a doua inegalitate din (33) se obține dintr-o intercalare de intermediari, căci plecând de la expresia inițială și înlocuind pe rând fiecare variabilă cu 1 expresia se mărește până când toate variabilele sunt înlocuite cu 1, caz în care expresia devine egală cu n3. Să testăm ipoteza făcută și pentru început să facem câteva preparative. Se pot renota convenabil x1,x2,…,xn astfel încât cea care urmează să fie înlocuită să fie xn, renotată x. Să mai notăm

S=x1+x2+…+xn-1 și T=.

Acum ipoteza se scrie

(S+x)2ST/x+S/x2+T2x+1/x2ST+S+T2+1

0(x-1)(2STx+S(x-1)-T2x2+x).

Cum pentru fiecare i avem 1avem și x-1=xn-1. Apoi xi1/xi, de unde ST și atunci 2STx2T2xT2x2. Deci ipoteza se confirmă. Egalul în a doua inegalitate din (33) se atinge doar când x1=x2=…=xn=1.

1.7. Trucul CBS

Pentru inegalități de genul

(*) , unde A1,A2,…,An,B1,B2,…,Bn,α>0, n2,

putem încerca o intercalare care folosește un mic ”truc” care constă în esență în înmulțirea inegalității date cu o sumă de termeni pozitivi astfel încât expresia din membrul stâng să poată fi antrenată într-o inegalitate CBS. Să detaliem.

Pentru C1,C2,…,Cn>0 avem, conform ”CBS”,

(B1C1+B2C2+…+BnCn) .

Acum e suficient să fie adevărată inegalitatea

(?) (B1C1+B2C2+…+BnCn)

pentru ca și inegalitatea (*) să fie adevărată. Deci (?) (*) ceea ce înseamnă și că este posibil ca inegalitatea (*) să fie adevărată fără ca inegalitatea (?) să fie adevărată. În aceasta constă evident și slăbiciunea acestei metode. Avantajul ei constă în faptul că inegalitatea (?) ”ne scapă” de numitorii din (*) și cu o bună alegere a numerelor C1,C2,…,Cn și de radicalii din (?). ”Morala” este că această schemă de intercalare merită încercată pentru inegalitățile ce folosesc fracții cu numitori ”incomozi”.

Începem exemplificările cu inegalitatea

(26) , a,b,c>0,

Conform inegalității CBS avem

(a+b+c)2,

inegalitate verificată cu egal când b+c=c+a=a+ba=b=c. Pentru a obține (*) e suficient să arătăm că

(a+b+c)2.

Această inegalitate fiind echivalentă cu a2+b2+c2ab+bc+ca este adevărată și se verifică cu egal când a=b=c.

Să încercăm și cu inegalitatea

(35) , a,b,c,d>0.

Din nou cu inegalitatea CBS avem

(a+b+c+d)2 inegalitate verificată cu egal pentru b+c=c+d=d+a=a+ba=c și b=d.

Inegalitatea notată în schemă cu (?) devine

(a+b+c+d)22

a2+b2+c2+d22ac+2bd(a-c)2+(b-d)2 0,

se dovedește adevărată și se verifică cu egal când a=c și b=d.

După ce aplicăm ”CBS” produsului dintre expresia din membrul stâng al inegalității

(36) ++++ x1,…,x5>0, și suma x1(x2+x3)+x2(x3+x4)+x3(x4+x5)+x4(x5+x1)+x5(x1+x2) ne mai rămâne de demonstrat inegalitatea (?) care în acest caz este

(x1+x2+x3+x4+x5)2.

Aceasta se reduce la

(x1-x2)2+(x2-x3)2+(x3-x4)2+(x4-x5)2+(x5-x1)2+

(x1-x3)2+(x2-x4)2+(x3-x5)2+(x4-x1)2+(x5-x1)2.

Avem egalitate în (36) când x1=x2=x3=x4=x5.

Valabilitatea inegalității

(37) +++++ x1,…,x6>0

se dovedește cu același truc. În cazul acesteia, inegalitatea (?) este

(x1+x2+x3+x4+x5+x6)2

3.

și se reduce la (x1-x2+x4-x5)2+(x2-x3+x5-x6)2+(x3-x4+x6-x1)2.

Avem egalitate în (37) când x1=x3=x5 și x2=x4=x6.

În cazul inegalității

(38) , a,b,c>0,

după ce aplicăm ”CBS” produsului dintre expresia din membrul stâng și

a(a+2b+c)+b(b+2c+a)+c(c+2a+b)

ne mai rămâne de arătat că

(a+b+c)2

care se reduce la a2+b2+c2ab+bc+ca. Avem egalitate pentru a=b=c.

O generalizare a inegalităților (26) și (38) este

(39) ++3,

unde (A+B+C)(α+β+γ)(Aα+Bβ+Cγ), A,B,C,α,β,γ,x,y,z>0.

Înmulțim expresia din membrul stâng cu

(Ax+By+Cz)(αx+βy+γz)+(Ay+Bz+Cx)(αy+βz+γx)+(Az+Bx+Cy)(αz+βx+γy),

aplicăm ”CBS” și ne mai rămâne de demonstrat (?), adică

(Ax+By+Cz+Ay+Bz+Cx+Az+Bx+Cy)2 3[(Ax+By+Cz)(αx+βy+γz)+(Ay+Bz+Cx)(αy+βz+γx)+ (Az+Bx+Cy)(αz+βx+γy)]

Această inegalitate se reduce la

[(α+β+γ)-3(Aα+Bβ+Cγ)](x2+y2+z2-xy-yz-zx),

este adevărată și se verifică cu egal pentru x=y=z.

După ce înmulțim inegalitatea

(40) a,b,c>0,

cu expresia (a+2b+3c)+(b+2c+3a)+(c+2a+3b)=6(a+b+c), încercăm cu ajutorul inegalității CBS intercalarea

6(a+b+c)(a+b+c)2

6(a+b+c).

”Intercalarea” s-a redus la o … ”reducere”.

Pentru inegalitatea

(41) ++…+, a1,a2,…,an>0, navem conform ”CBS”,

[a1(a2+a3)+a2(a3+a4)+…+an(a1+a2)]

(a1+a2+…+an)2

Rămâne de văzut dacă se verifică inegalitatea

2([a1(a2+a3)+a2(a3+a4)+…+an(a1+a2)].

Aceasta se sparge în

(a1-a2)2+(a2-a3)2+…+(an-a1)2

și (a1-a3)2+(a2-a4)2+…+(an-a2)2 .

Avem egalitate în (41) când a1=a2=…=an.

Se constată ușor că trucul ”CBS” nu poate fi aplicat inegalității

(42) a,b,c>0

cel puțin în această formă. Încercăm atunci să punem această inegalitate într-o formă mai comodă. Ea devine

(a3+b3+c3)2(a+b+c)3

[(b3+c3)+(c3+a3)+(c3+a3)]-4(a+b+c) 6

Am pregătit terenul pentru a aplica ”CBS”. Conform acesteia

[(b3+c3)+(c3+a3)+(a3+b3)]

()2.

Această inegalitate poate folosi unei intercalări cu condiția să avem

()2-4(a+b+c)6 3.

Cum , inegalitatea testată devine

(43)

Din nou o inegalitate cu numitori incomozi căreia merită să-i aplicăm ”trucul CBS”, sau să încercăm măcar. Conforma inegalității CBS, produsul dintre expresia din membrul stâng din (43) și

.

Ne mai rămâne de demonstrat inegalitatea

9[]

2 .

Aceasta se sparge în

și alte două inegalități analoage, care se justifică cu inegalitatea mediilor. Inegalitățile din spargere se verifică simultan cu egal când a=b=c.

Să mai analizăm un ultim exemplu. Să arătăm că

(44)

,

unde >0, .

Să punem inegalitatea sub o formă mai comodă. Notăm

S= inegalitatea (44) devine

S

…

Acestei inegalități îi aplicăm trucul CBS. Avem conform ”CBS” ,

inegalitate verificată cu egal pentru

CAPITOLUL 2

EXPLOATAREA ORDINII

2.1 Două teoreme de maximizare

Încep cu câteva precizări de terminologie menite să ușureze prezentarea acestui capitol.

Vom spune că n-uplele și sunt la fel de ordonate, dacă pentru fiecare i,j avem

Această condiție poate fi pusă sub forma

, >

ca și sub formă duală

, >

și încă sub forma

sau

Dacă pentru fiecare avem

aici ”?” ținând pe rând locul fiecăruia din semnele ”<”, ”>”, ”=”, atunci spunem că n-upele și sunt strict la fel ordonate.

Vom spune că n-upele și sunt invers ordonate dacă pentru fiecare avem

Forme echivalente pentru această condiție sunt, prima

, >

a doua

, >

și a treia

sau

Dacă pentru fiecare avem

¿,

unde ”?” are aceeași semnificație ca mai sus iar ”¿” notează inversa relației notată cu ”?”, atunci spunem că n-upele și sunt strict invers ordonate.

Este ușor de observat că și sunt (strict) invers ordonate dacă și numai dacă și -= sunt (strict) la fel ordonate, iar dacă și au componentele pozitive, atunci acestea sunt (strict) invers ordonate dacă și sunt (strict) la fel ordonate. De asemeni, și sunt (strict) invers ordonate dacă și numai dacă și = sunt strict la fel ordonate.

Pentru și n-uplele de numere reale, notăm

iar dacă acestea sunt n-uplele de numere reale pozitive, notăm

Fie o permutare a n-uplei . Deci realizează corespondențele

sau, cu alte notații,

,

Vom spune că această pereche este o inversiune în permutarea dacă avem și >, > sau > și

Dacă este o permutare a n-uplei , spunem că

este o permutare a n-uplei . Când este o inversiune în spunem că este o inversiune în .

Spunem că este o permutare ciclică a lui dacă avem

, ,…, , ,

sau, altfel spus,

, ,… , , .

Când este o permutare ciclică a lui , este o permutare ciclică a lui .

Putem prezenta acum comod două teoreme a căror aplicare ne va preocupa în continuare.

Fie și n-uplele de numere reale, .

Dacă și sunt la fel ordonate, atunci, dintre toate sumele , cea maximă corespunde permutării identice, adică

(45)

unde este o permutare a n-uplei .

Dacă și sunt strict la fel ordonate și este ciclică, atunci (45) se verifică cu egal dacă și numai dacă .

În cazul în care și sunt invers ordonate, atunci, dintre toate sumele cea minimă corespunde permutării identice ceea ce înseamnă că (45) are loc cu sens schimbat.

Fie și n-uplele de numere reale pozitive, .

Dacă și sunt la fel ordonate, atunci, dintre toate produsele , cel minim corespunde permutării identice, adică

(46)

unde este o permutare a n-uplei .

Dacă și sunt strict la fel ordonate și este o permutare ciclică, atunci (46) se verifică cu egal dacă și numai dacă . În cazul în care și sunt invers ordonate, atunci, dintre toate produsele cel maxim corespunde permutării identice, ceea ce înseamnă că (46) are loc cu sens schimbat.

Trecând la demonstrarea teoremei A, să încercăm o alterare cât mai fină a permutării care să aibă ca efect o majorare a sumei , adică încercăm o intercalare ”pe întuneric”. Cum cea mai simplă alterare a unei permutări constă în interschimbarea a două componente, să considerăm o pereche și permutarea obținută prin schimbarea între ele a componentelor de pe pozițiile și din adică permutarea unde , , pentru orice

\. Să vedem cum trebuie alese și astfel încât să avem . Să reducem această inegalitate. Avem

Pentru inegalitatea se verifică cu egal. Dacă deci, și deoarece și sunt la fel ordonate, trebuie să avem , iar dacă > deci și , trebuie să avem . Aceasta înseamnă că, indiferent de caz, inegalitatea este verificată dacă este o inversiune în , altfel spus este o inversiune în . Egalitatea se obține când fie fie când .

Am arătat deci că, trecând de la o permutare la alta prin eliminarea unei inversiuni, suma asociată crește ( mai exact spus nu descrește, ținând seama că avem și varianta de egal ). Să considerăm atunci șirul de permutări care începe cu și în fiecare permutare începând cu a doua, se obține eliminând o inversiune în permutarea precedentă. Șirul este finit deoarece numărul de inversiuni din este finit, iar ultima permutare din șir este atunci permutarea fără inversiuni, adică permutarea identică. Asociind fiecărei permutări din șir suma corespunzătoare, obținem un șir crescător de sume. Atunci prima sumă din șir, cea corespunzând permutării este cel mult egală cu ultima sumă din șir, cea corespunzând permutării identice. Avem astfel justificată inegalitatea (45). Aceasta se verifică cu egal când fiecare inegalitate din intercalarea realizată se verifică cu egal.

Să analizăm acum cazul de egalitate în varianta în care și sunt strict la fel ordonate și este o permutare ciclică. Fie acea permutare a n-uplei pentru care , ,…, , . Rearanjăm, termenii sumelor din cei doi membri ai inegalității (45) în ordinea a indicilor, situație în care (45) se scrie

Pentru a ne putea exprima mai ușor să notăm pentru fiecare , . Atunci inegalitatea (45) se scrie

.

Din faptul că și sunt strict la fel ordonate, deducem că și

sunt strict la fel ordonate. Într-adevăr, pentru orice avem

Avem deci de demonstrat că pentru și strict la fel ordonate ultima inegalitate din text se verifică cu egal dacă și numai dacă sau . Suma din membrul stâng corespunde permutării iar cea din membrul drept, permutării identice. Să găsim un șir de permutări care leagă aceste două permutări și să punem condiția de egalitate la fiecare eliminare de inversiune. Un astfel de șir este:

,,,…,

,,

Punând condiția de egalitate la fiecare trecere de la o permutare la alta, obținem șirul de egalități

Cum aranjat în ordine inversă, șirul de egalități de mai sus devine

Din acest șir de egalități obținem succesiv

, ,

cu care se încheie analiza cazului de egalitate.

Demonstrația teoremei B seamănă foarte mult cu cea a teoremei A. După aceleași preparative ca în cazul teoremei A, avem

0

Inegalitatea este adevărată dacă este inversiune. Ca și în cazul teoremei A se construiește un șir de permutări după aceleași reguli doar că șirul produselor este descrescător. Condiția de egalitate se analizează la fel ca la teorema A.

Din cele demonstrate ne dăm seama ușor și de valabilitatea afirmațiilor făcute pentru n-uple invers ordonate.

Pentru a putea apela ușor aceste teoreme, le vom da un nume și le vom spune teoreme ”de maximizare”.

2.2.”Maximizarea” în acțiune

Să începem exemplificările tot cu

(2) R.

Tripletele și sunt evident strict la fel ordonate iar este o permutare ciclică a tripletei . Conform teoremei A avem adică (2). Datorită strictei ordonări și ciclicității permutării, egalul se atinge pentru

Demonstrația prin intercalare ”cu schimb de bucăți”dată inegalității (2) în capitolul precedent mimează, în cazul acestei inegalități, demonstrația teoremei A. După cum intercalarea reușită pentru

(15) , >0,

este demonstrația inegalității (46) în acest caz particular. Aici și sunt strict invers ordonate iar este o permutare ciclică a lui . Inegalitatea se scrie și este adevărată conform teoremei B și se verifică cu egal pentru .

Un alt exemplu de demonstrație într-un caz particular a inegalității (46) este intercalarea

folosită pentru a demonstra

(18) >0.

Pentru a putea aplica teorema A primei inegalități din

(47) >0,

o punem sub forma

adică unde și sunt triplete strict invers ordonate iar este o permutare ciclică a lui y. Teorema A validează această inegalitate care se verifică cu egal pentru

După ce punem a doua inegalitate din (47) sub forma

considerând tripletele , și constatăm că inegalitatea se scrie . Tripletele și sunt strict la fel ordonate, iar este o permutare ciclică a lui , ceea ce înseamnă că inegalitatea se justifică cu teorema A.

Egalul se atinge când fie fie are componente egale, adică

Inegalitatea

(22) >0,

se demonstrează cu teorema A după ce o punem sub forma

Alegem , , Avem

¿

și analoagele, ceea ce înseamnă că și sunt strict invers ordonate. Cum este o permutare ciclică a lui , conform teoremei A, avem adică (22). Egalitatea are loc când și au componente egale, aceasta însemnând .

Pentru

(26) a,b,c>0,

putem folosi faptul că tripletele și sunt strict la fel ordonate.

Avem atunci din teorema A

și

inegalități care adunate ne dau (26) multiplicată cu 2.

Inegalitatea

(48) a,b,c>0,

după logaritmare, de exemplu în baza 10, capătă forma

E suficient să observăm acum că tripletele și sunt strict la fel ordonate, este o permutare ciclică a lui iar inegalitatea la care am redus (48) se scrie pentru a deduce valabilitatea acestei inegalități din teorema A. Conform acestei teoreme, cazul de egalitate este cel în care sau au componente egale, aceasta însemnând

Căutăm o formă convenabilă pentru inegalitatea

(49) a,b,c>0

care să permită aplicarea teoremei B. Această formă este

adică unde , , . Ne încadrăm în condițiile teoremei B deoarece și sunt strict invers ordonate, iar este o permutare ciclică a lui . Egalul este atins când

În cazul inegalității

(50)

>0,

avem de arătat că un produs de cinci factori este inferior unui alt produs de cinci factori. Ne-ar conveni ca inegalitatea să fie pusă sub forma

fiind o permutare a lui , pentru a încerca să aplică teorema B. O alegere bună este

care sunt strict invers ordonate, și

care este o permutare ciclică a lui . Teorema B ne asigură că adică (50) care se verifică cu egal când are componentele egale, deci pentru

Este greu de spus, doar după o primă privire, dacă teorema B poate fi folosită în cazul inegalității

(51)

unde , , , >0.

Încercăm să reducem această inegalitate la una care să permită aplicarea teoremei B. Inegalitatea devine

.

Pentru a pune inegalitatea sub forma din (46) o scriem

și intercalarea se dovedește un eșec. Insistând, să o punem sub forma

adică unde ,

și . Tripletele α și β sunt stric invers ordonate deoarece

¿

iar este o permutare ciclică a lui β ceea ce ne permite să validăm cu teorema B inegalitatea testată care se verifică cu egal când

2.3. Inegalitatea Cebîșev și ”trucul Cebîșev”

Teorema A ne poate folosi și pentru a demonstra o importantă inegalitate și anume inegalitatea Cebîșev

(52)

unde și sunt n-uple de numere reale la fel ordonate, .

Dacă și sunt invers ordonate, atunci inegalitatea se verifică cu sens schimbat. În ambele cazuri egalul se atinge dacă și numai dacă sau

Cum și sunt la fel ordonate, aplicând în mod repetat (45) avem

,

,

………………………………………………………,

.

Adunând aceste inegalități se obține (52). Să remarcăm că avem aici o demonstrație prin spargere și să trecem la analiza cazului de egalitate.

Să considerăm o permutare a lui care așează în ordine crescătoare numerele , adică o permutare pentru care avem Cum și sunt la fel ordonate, ne-am aștepta să avem șiSă observăm însă că, atunci când se întâlnește o secvență de forma, , numerele pot fi în ”orice dezordine”. În fiecare astfel de situație, să schimbăm ordinea numerelor , astfel încât acestea să fie așezate în ordine crescătoare, schimbând corespunzător ( deși această manevră se poate observa că nu mai este necesară ) și ordinea numerelor . Finalmente obținem o permutare a lui pentru care avem dar și . Cum inegalitatea (52) este simetrică în raport cu indicii , putem schimba notațiile acestor indici astfel încât să fie notați în ordine cu . Aceasta înseamnă că putem presupune că și . Dacă se constată că (52) se verifică cu egal. Să analizăm cazul în care pentru un . Selectăm dintre inegalitățile din spargere inegalitatea.

Această inegalitate folosește o permutare care are printre inversiuni perechea Atunci una dintre condițiile obligatorii pentru a avea egalitate în această inegalitate, deci și în (52), condiție dedusă din demonstrația pentru (45), este sau Cum , obținem adică , situație în care se verifică cu egal și (52).

Dacă x și sunt invers ordonate, aplicăm (52), în varianta deja demonstrată, n-uplele la fel ordonate x și -, înmulțim apoi inegalitatea obținută cu (-1) și obținem (52) cu sens schimbat.

Inegalitatea Cebîșev ponderată

(53)

unde și sunt n-uple de numere reale la fel ordonate,>0, .

Dacă x și sunt invers ordonate, atunci inegalitatea își schimbă sensul.

În ambele cazuri egalul este atins dacă și numai dacă sau

.

Importanța deosebită a inegalității Cebîșev reiese și din faptul că ea caracterizează funcțiile monotone. Aceasta se vede din următoarea

Funcția ƒ este crescătoare pe DR dacă și numai dacă, pentru orice n pentru orice D și orice>0,

(54) ,

Dacă ƒ este strict crescătoare, atunci inegalitatea se verifică cu egal dacă și numai dacă .

Dacă ƒ este crescătoare, atunci n-uplele și ƒ ƒ…, ƒ sunt la fel ordonate și inegalitatea (53) aplicată acestor n-uple devine (54).

Reciproc, considerând cazul al inegalității (54), obținem după reduceri, ƒ ƒ. Cum sunt arbitrare, condiția obținută se traduce prin aceea că ƒ este crescătoare. Inegalitatea (54) se verifică cu egal dacă și numai dacă este verificată una din condițiile

și ƒƒ,…, =ƒ.

Or, în cazul în care ƒ este strict crescătoare, cele două condiții sunt echivalente.

Deși se poate da o teoremă asemănătoare cu funcții descrescătoare, nu merită să o facem deoarece ƒ este descrescătoare dacă și numai dacă -ƒ este crescătoare.

Înainte de a vedea inegalitatea Cebîșev la lucru, să menționăm și o altă formă a acestei inegalități și anume

(55) ,

unde și sunt similar monotone pe DR, D și >0, .

Spunem că și sunt similar monotone pe DR, dacă și numai dacă

D.

Aici rolul n-uplelor și din (53) îl joacă ƒ ƒ…, ƒ și .

Inegalitatea dintre media aritmetică și media pătratică, care se poate pune sub forma

>0,

ca și inegalitatea dintre media aritmetică și media armonică, pusă sub forma

(34) , >0,

sunt două dintre inegalitățile importante de până acum care se pot demonstra cu inegalitatea Cebîșev. Pentru prima se aplică ”Cebîșev” n-uplelor și tot care, evident sunt la fel ordonate, iar pentru a doua se aplică ”Cebîșev” n-uplelor invers ordonate și .

Dacă punem inegalitatea

(3) >0,

sub forma

atunci recunoaștem inegalitatea Cebîșev aplicată tripletelor la fel ordonate și . Egalitatea se obține atunci când sau când deci când .

Inegalitatea

(56) ,

unde >0,

este o generalizare a inegalității

(57) >0,

care se obține din (56) cu alegerea >0. Putem demonstra (56) ca pe (57) cu o spargere cu medii, doar că demonstrația nu va străluci prin eleganță. Aplicând Cebîșev n-uplelor la fel ordonate și obținem

Apoi avem, cu inegalitatea mediilor,

și demonstrația inegalității (56) ne reușește prin intercalare. Fiecare din inegalitățile folosite este verificată cu egal când .

Manevra de coborâre a exponenților prin logaritmare, ne conduce în cazul inegalității

(58) , >0,

la inegalitatea

în care recunoaștem inegalitatea Cebîșev aplicată tripletelor la fel ordonate și . Egalitatea se obține atunci când sau , deci când .

Inegalitatea

(26) >0,

a mai fost demonstrată în acest capitol cu teorema A de maximizare. Ne putem descurca și cu ”Cebîșev”. Cum tripletele și )

sunt la fel ordonate, avem

Reușim o intercalare dacă arătăm că

Valabilitatea acestei inegalități o deducem din (34) după ce o punem sub forma

.

Posibilitățile de a demonstra (26) în acest cadru nu s-au încheiat. Poate fi luat în discuție un ”truc Cebîșev” din aceeași familie cu ”trucul CBS” . În esență încercăm să înmulțim inegalitatea de demonstrat cu o sumă convenabil aleasă, astfel încât să devină posibilă aplicarea inegalității Cebîșev, în speranța obținerii unei intercalări sau reduceri. În cazul inegalității (26) tripleta termenilor din membrul stâng și tripleta numitorilor sunt invers ordonate. Într-adevăr,

¿

Avem atunci, conform ”Cebîșev”,

Dar =2 ceea ce înseamnă că inegalitatea demonstrată este echivalentă cu (26).

Demonstrații asemănătoare au și inegalitățile gemene

(59) >0, >1,

(60)

unde >0, >0, <<1.

În cazul >1, tripletele

( și

sunt la fel ordonate căci

și

Cu ”Cebîșev” obținem

inegalitate echivalentă cu (59). Egalitatea se obține când una dintre triplete are componente egale, acesta însemnând

Aceleași triplete, în cazul <<1, sunt invers ordonate, ceea ce înseamnă că demonstrația de mai sus rămâne valabilă, doar că inegalitățile își schimbă sensul.

Pentru (60) putem folosi și faptul că tripletele ( și sunt la fel ordonate și atunci, cu Cebîșev și (34), obținem

3

Se poate constata că inegalitatea (60) se poate demonstra și cu trucul CBS.

Să vedem dacă inegalitatea Cebîșev ne este de folos pentru a demonstra inegalitatea

(61)

unde >0.

Punând (61) devine

Cum și sunt la fel ordonate, avem cu Cebîșev,

.

Pentru a reuși o intercalare trebuie să avem

Poate că din nou (34) ne este de folos pentru o demonstrație, tot prin intercalare, a acestei inegalități. Avem

și intercalarea ne reușește dacă arătăm că

inegalitate care devine

Descoperim un singur caz de egalitate și anume .

Inegalitatea

pe care am folosit-o în demonstrația de mai sus, putea fi obținută și altfel.

Avem

și inegalitatea putea fi scrisă atunci

Având grijă să conservăm cazul de egalitate care se observă, și anume și observând că și spargem această inegalitate în

și

inegalitate care se justifică cu (34).

Să încercăm și cu trucul Cebîșev. Avem

¿

ceea ce înseamnă că tripletele

și sunt invers ordonate. Atunci

.

După care inegalitatea

de care mai avem nevoie se reduce la

2.4. A treia teoremă de maximizare

Teoremele Ași B sunt cazuri particulare remarcabile ale unei teoreme mai tari și anume

Teorema C. Fie R, R verificând condiția

(c) ,

și fie n-uplele de numere din respectiv ,

Dacă și sunt la fel ordonate, atunci dintre toate sumele

unde este permutare a n-uplei cea maximă corespunde permutării identice, adică

(62)

Dacă în (c) egalitatea are loc numai pentru dacă și sunt strict la fel ordonate și dacă este o permutare ciclică a lui , atunci în (62) avem egalitate atunci și numai atunci când .

Dacă și sunt invers ordonate, atunci dintre toate sumele cea minimă corespunde permutării identice, ceea ce înseamnă că (62) are loc cu sens schimbat.

Nu merită analizat și cazul în care inegalitatea din concluzia din (c) este verificată cu sens schimbat, pentru că într-o asemenea situație, rolul lui din teoremă îl joacă -.

Demonstrația teoremei C se face repetând pas cu pas demonstrația teoremei A, doar că, peste tot, în locul fiecărui termen vom avea . Și cazul de egalitate din (62) se analizează la fel ca pentru inegalitatea din teorema A.

Dacă alegem R atunci și obținem teorema A, iar dacă alegem , atunci și obținem teorema B. Se confirmă astfel afirmația că teoremele A și B sunt cazuri particulare ale teoremei C.

Am văzut că unele din demonstrațiile prin intercalare cu schimb de bucăți sunt de fapt demonstrații în anumite cazuri particulare ale teoremelor A și B. Același lucru se întâmplă și cu teorema C. Aceasta nu trebuie să ne facă să disprețuim intercalarea cu schimb de bucăți, pentru că nu de puține ori verificarea condiției (c) este mai dificilă decât demonstrația prin intercalare cu schimb de bucăți.

Inegalitatea

(19) >0,

se poate scrie cu notațiile din teorema C, sub forma

unde >0, . Evident că este la fel ordonată cu , iar este o permutare ciclică a lui . Deci pentru a deduce valabilitatea inegalității (19) din teorema C, e suficient să fie verificată condiția (c). Pentru >0 avem

Deci condiția (c) este verificată și atunci (19) este adevărată, conform teoremei C, și se verifică cu egal, conform aceleași teoreme, când are componentele egale, adică

Efortul făcut pentru a demonstra această inegalitate este desigur exagerat în comparație cu simplitatea ei, dar nu și dacă ne dorim generalizarea acesteia care este

(63)

unde iar și sunt n-uplele de numere pozitive la fel ordonate,

Cu aceeași alegere a lui , inegalitatea

(64) >0,

se scrie

adică unde și sunt strict invers ordonate iar c= este o permutare ciclică a lui b. Din nou teorema C ne asigură de valabilitatea acestei inegalități, verificată cu egal pentru Inegalitatea (64) este de fapt un caz particular al inegalității (63).

Inegalitatea

(20) >1,

se scrie

unde >1, Cum și sunt evident strict la fel ordonate și β este o permutare ciclică a lui α, teorema C poate fi aplicată, cu condiția ca (c) să fie verificată. Pentru >1 avem

Această inegalitate se verifică cu egal pentru sau deci pentru Să analizăm celelalte cazuri, în care avem >0. Pentru > și > avem > și >>0 de unde obținem prin multiplicare, inegalitatea testată, fără posibilitate de egal. În cazul < și < avem < și <<0 și din nou inegalitatea testată se verifică fără variantă de egal.

O privire atentă asupra demonstrației condiției (c) ne dezvăluie inutilitatea condiției ca exponenții să fie supraunitari. Este suficient ca aceștia să fie pozitivi ceea ce înseamnă că putem considera că are domeniul O generalizare a inegalității (20) este atunci

(65)

unde și sunt strict la fel ordonate, >1, >0,

Pentru a putea aplica teorema C inegalității

(66) ,

>0,

trebuie mai întâi ”să convertim” produsele din cei doi membri în sume, ceea ce se poate face prin logaritmare. Putem pune deci (66) sub forma

unde >0, Trecând la verificarea condiției (c), avem

Condiția (c) fiind verificată, teorema C validează inegalitatea (66) care se verifică cu egal pentru

Teorema C ne permite să obținem o generalizare a inegalității (66) și anume

(67)

unde și sunt strict la fel ordonate,

Avem și o altă generalizare a inegalității (66) și anume

(68)

unde și sunt n-uplele de numere pozitive strict la fel ordonate ,

Putem demonstra (66) și cu teorema B după ce o punem sub forma

adică unde și sunt strict invers ordonate, iar este o permutare ciclică a lui .

O situație similară cu cea din (66) avem în cazul inegalității

(69) ,

Inegalitatea se scrie

adică unde și sunt strict la fel ordonate, iar este o permutare ciclică a lui . Este ușor de constatat că verifică (c) și deci (69) este adevărată și se verifică cu egal când

Teorema C ne permite formularea următoarei generalizări a inegalității

(70) ,

unde și sunt n-uplele de numere pozitive subunitare strict la fel ordonate ,

Ca și în cazul inegalității (66), ne putem descurca doar cu teorema B. După ce punem (69) sub forma

alegem și cu care inegalitatea se scrie Cum și sunt strict la fel ordonate iar este o permutare ciclică a lui , teorema B ne asigură de valabilitatea inegalității testate și de faptul că este cazul de egalitate.

Produsele din inegalitatea

(16)

unde >0,

se pot converti în sume prin logaritmare, după care inegalitatea se scrie

Cum etc., forma termenilor ne sugerează alegerea pentru a apela la teorema C. Dar … nu ne încadrăm în condițiile acesteia pentru că domeniul lui este D={RR| >>0} care nu este un produs cartezian de două părți ale lui R. Cum în demonstrația teoremei C se fac treceri de la expresii de tipul la , ne putem da seama că, dacă încercăm să renunțăm la condiția ca domeniul lui să fie un produs cartezian de părți ale lui R, atunci vom avea mari probleme cu existența expresiilor cu care lucrăm. ”Morala” este că în astfel de situații, nu putem folosi teorema C, dar putem încerca să folosim mecanismul cu care am demonstrat această teoremă, cu adaptările de rigoare. De altfel așa cum am făcut când am demonstrat (16) prin intercalare cu schimb de bucăți.