Integrarea Si Derivarea Numerică

Economie

Integrarea Si Derivarea Numerică

Byadmin ianuarie 1, 2024

CUPRINS

INTRODUCERE

CAPITOLUL I. FORMULE DE DERIVARE NUMERICĂ

1.1. Aproximarea derivatei prin interpolare

CAPITOLUL AL II-LEA. INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A INTEGRALEI

DEFINITE

2.1. Aria unei suprafețe plane mărginite de o curbă

2.2. Sumele lui Darboux

2.3. Criteriul de integrabilitate

2.4. Clase de funcții integrabile

2.5. Proprietățile funcțiilor integrabile

2.6. Formule de medie

CAPITOLUL AL III-LEA. Metode AproximAtive de CAlCul A

integrAlei definite

3.1. Calcul cu aproximație al integralelor definite

3.2. Metoda dreptunghiurilor

3.3. Metoda trapezelor

3.4. Metoda lui Simpson

3.4.1. Formule de cubătură de tip Simpson

3.4.1.1. Cazul domeniului dreptunghiular de integrare

3.4.1.2. Cazul domeniului oarecare

3.5. Aproximarea prin interpolare

CAPITOLUL AL IV-LEA. METODE APROXIMATIVE PENTRU CALCULUL

INTEGRALELOR DUBLE

4.1. Funcții integrabile

4.2. Clase de funcții integrabile

4.3. Proprietățile integralelor duble

4.4. Calculul integralelor duble

4.5. Integrarea dublă, funcție de limitele de integrale

4.6. Formula lui Green

4.7. Schimbarea de variabile în integrala dublă

CAPITOLUL AL V-LEA. METODE APROXIMATIVE PENTRU CALCULUL

INTEGRALELOR TRIPLE

5.1. Definiții. Criterii de integrabilitate. Funcții integrabile

5.2. Calculul integralelor triple

5.3. Integrala triplă, funcție de limitele de integrale

5.4. Schimbarea de variabile în integrale triple

CAPITOLUL AL VI-LEA. FORMULELE LUI NEWTON, COTES ȘI GAUSS

6.1. Formula lui Newton

6.2. Formulele lui Cotes

6.3. Formula lui Gauss

CAPITOLUL AL VII-LEA. APLICAȚII

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

INTRODUCERE

Această lucrare este structurată pe șapte capitole: Capitolul I Formule de derivare numerică, Capitolul II Interpretarea geometrică a integralei definite, Capitolul III Metode aproximative de calcul al integralei definite , Capitolul IV Metode aproximative pentru calculul integralelor duble , Capitolul V Metode aproximative pentru calculul integralelor triple , Capitolul VI Formulele lui Newton, Cote și Gauss, Capitolul VII Aplicații.

Primul capitol, Formule de derivare numerică, tratează diferențele finite.

Capitolul al doilea, Interpretarea geometrică a integralei definite, prezintă conceptele de integrală definită, sumele lui Darboux, criteriul de integrabilitate, clase de funcții integrabile, proprietățile funcțiilor integrabile și formule de medie.

În al treilea capitol, Metode aproximative de calcul a integralei definite , studiem calculul cu aproximație al integralelor definite, metoda dreptunghiurilor și eroarea de calcul, metoda trapezelor cu eroarea de calcul, metoda lui Simpson și aproximarea prin interpolare.

Capitolul al patrulea, Metode aproximative pentru calculul integralelor duble prezintă: funcțiile integrabile, clasele de funcții integrabile, proprietățile integralelor duble, calculul integralelor duble și integrala dublă, funcție de limite de integrale. Tot în acest capitol vorbim și de formula lui Green și de schimbarea de variabile în integrale duble.

În capitolul al cincilea, Metode aproximative pentru calculul integralelor triple , prezentăm: criteriile de integrabilitate, calculul integralelor triple, integrala triplă, funcție de limite de integrale și schimbarea de variabile în integrale triple.

Capitolul al șaselea. Formulele lui Newton, Cotes și Gauss insistă asuprea formulelor autorilor menționați.

Ultimul capitol, Aplicații are rolul de a verifica cele menționate în capitolele anterioare.

Bibliografia de la sfârșitul lucrării cuprinde cărțile și articolele pe care le-am utilizat în acest proiect.

Lucrarea se dorește a fi o bază teoretică și practică ce o va fundamenta experiența mea de viitor matematician.

CAPITOLUL I

FORMULE DE DERIVARE NUMERICĂ

Diferențele finite stau la baza multor metode de calcul numeric privind integrarea și derivarea numerică, integrarea ecuațiilor diferențiale ordinare și cu derivate parțiale. Funcțiile care intervin în acest capitol sunt funcții reale de o variabilă reală. Printr-o diferență finită de înțelege un operator de forma Γhf (x) = Af (x + ah) − Bf (x + bh), unde A, B, a, b sunt constante reale. Se observă caracterul liniar al operatorului: Γh(λf + µg) = λΓhf + µΓhg.

Diferențele finite sunt des utilizate în calculul numeric. Astfel, în cazul în care o funcție este dată tabelar și se cere să se calculeze derivata sau integrala acestei funcții, se apelează la formule ce folosesc diferențele finite. Chiar și funcțiile date analitic, dar a căror expresii sunt foarte complicate, se derivează sau se integrează numeric. Majoritatea formulelor de aproximare a funcțiilor prin interpolare au la bază, de asemenea, diferențele finite. Unele metode de integrare a ecuațiilor diferențiale folosesc cu precădere diferențele finite.

Diferențe finite ascendente. Fie și rețeaua de puncte (noduri) presupuse echidistante, pasul al rețelei fiind constant (). Expresia: , poartă numele de diferență finită ascendentă de ordinul întâi a funcției .

Diferența finită ascendentăde ordinul doi este:

Procedând în mod analog, se găsește diferența finită ascendentă de ordinul n, care are forma prezentată mai jos.

Formula, de calcul a diferenței finite progresive de ordinul n, poate fi scrisă și sub formele:

Dacă funcția este dată numeric, adică se cunosc valorile în nodurile, atunci au loc relațiile:

În tabelul de mai jos, se prezintă diferențele finite progresive pentru cinci noduri consecutive, începând cu nodul i.

Pentru n valori ale funcției, numărul diferențelor finite ascendente de ordinul unu este (n-1), al diferențelor finite de ordinul doi este (n-2), al diferențelor finite de ordinul trei este (n-3), ș.a.m.d., se observă în tabelul de mai jos.

Diferențe finite descendente. Expresia: , poartă numele de diferență finită descendentă de ordinul întâi a funcției .

Diferența finită descendentă de ordinul doi este:

Procedând în mod analog, se găsește diferența finită ascendentăde ordinul n, care are forma prezentată în cele ce urmează.

Relația poate fi scrisă și sub formele:

În cazul în care funcția este dată numeric, diferențele finite regresive sunt:

În tabelul de mai jos, se prezintă diferențele finite regresive pentru cinci noduri consecutive. Pentru calculul diferențelor finite regresive se folosește procedura DIFPR, dar rezultatele se interpretează conform tabelului.

Diferența finită centrală de ordinul unu a funcției are forma:

Diferența finită centrală de ordinul doi este:

În mod analog, se determină diferența finită centrală de ordinul n, care are forma:

Relația se scrie și sub formele: ; .

În tabelul de mai jos se prezintă diferențele finite centrale pentru un număr de 7 noduri.

Din tabelul de mai sus, se observă că pentru n valori ale funcției, numărul diferențelor finite centrale de ordinul unu este mai mic cu două unități decât numărul nodurilor, cel al diferențelor finite centrale de ordinul doi este mai mic cu 4 unități decât cel al nodurilor ș.a.m.d.

1.1. Aproximarea derivatei prin interpolare

Derivata unei funcții f, cunoscutăprin valorile ei în punctele a, a+h, . . . , a+nh

se poate aproxima prin derivata polinomului de interpolare Lagrange.

Prin substituția x = a + qh expresia polinomului de interpolare Lagrange devine:

În urma derivării, aproximarea devine:

În mod asemănător, derivata de ordinul doi a funcției f se poate aproxima prin:

CAPITOLUL AL II-LEA

INTERPRETAREA GEOMETRICĂ A INTEGRALEI DEFINITE

2.1. Aria unei suprafețe plane mărginite de o curbă

Fie o funcție continuă, pozitivă și crescătoare în intervalul . Graficul acestei funcții este un arc de curbă situate deasupra axei . Îmi propun să calculez aria trepezului mixtiliniu . În acest scop vom construi un șir de poligoane exterioare și un șir de poligoane interioare de o formă anumită, care ne vor duce la rezultat.

Să împărțim intervalul prin punctele , , în n subintervale, iar prin aceste puncte să ducem paralele la axa , paralele care taie arcul AB în punctele astfel încât trapezul mixtiliniu apare ca reuniune a n trapeze mixtilinii.

Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsă între aria dreptunghiului exterior și a dreptunghiului ; dacă notăm cu și aceste două arii , urmează că avem neegalațiile ; însumând obținem unde

.

Sumele s și S se numesc sumele lui Darboux.

Înainte de a merge mai departe să definim câteva noțiuni.

Fie un interval închis și mărginit. O familie finită de puncte se numește o diviziune a intervalului . Un interval oarecare al diviziunii se numește interval parțial sau subinterval.

Vom numi norma diviziunii numărul pozitiv adică lungimea celui mai mare interval parțial al diviziunii d; deci pentru orice avem .

Vom spune că o diviziune a intervalului este mai fină decât diviziunea d și se scrie sau dacă toate punctele diviziunii d aparțin diviziunii (care conține și alte puncte). Dacă este mai fină decât d, atunci .

2.2. Sumele lui Darboux

Fie o funcție mărginită, definită pe un interval , . Să împărțim intervalul în n subintervale prin punctele . Notăm cu marginile superioară și inferioară ale funcției în intervalul .

Aria a trapezului mixtiliniu este cuprinsă între ariile dreptunghiurilor exterior și interior . Deci .

Însumând în raport cu obținem unde ,

Sumele S și s se numesc tot sumele lui Darboux relative la diviziunea considerată, s este suma inferioară Darboux, iar S suma superioară Darboux și au următoarele proprietăți.

. Într-adevăr, pentru orice interval avem deci și , din care prin însumare obținem

deci .

Dacă este un punct oarecare al intervalului și suma

, atunci .

Într-adevăr, pentru orice avem , deoarece sunt marginile funcției în intervalul ; dacă înmulțim cu și însumăm rezultă neegalitățile de mai sus. Sumele se numesc sume Remann relativ la diviziunea considerată. Să observăm că pentru o diviziune dată d avem o infinitate de sume , însă numai două sume Darboux și .

Între sumele Riemann și sumele Darboux ale unei diviziuni d avem următoarele relații: , .

Dacă diviziunea este mai fină decât diviziunea d, atunci , adică sumele inferioare cresc, iar sumele superioare descresc dacă trecem de la o diviziune la o altă diviziune mai fină.

Oricare ar fi diviziunile și avem , adică orice sumă inferioară este mai mică sau cel mult egală cu o suma superioară.

Dacă D este mulțimea tuturor diviziunilor intervalului , atunci .

Mulțimea este mărginită superior, iar mulțimea este mărginită inferior.

O funcție mărginită se spune că este integrabilă Riemann pe dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma când șirurile sumelor Darboux și au o limită comună finită I, și se notează .

2.3. Criteriul de integrabilitate

Criteriul lui Darboux. O funcție , mărginită, este integrabilă pe dacă pentru orice număr există un număr , astfel încât pentru orice diviziune d cu să avem .

Să presupunem că f este integrabilă. Fie un șir de diviziuni, astfel încât și cu .

Deoarece f este integrabilă, pentru orice număr există un număr , astfel încât pentru avem , , deci .

Fie un șir de diviziuni (arbitrar) pentru care când . Există astfel încât pentru orice avem .

Din i neegalitățile unde am pus , , rezultă că , și cum este oarecare, iar șirul este arbitrar, urmează că , deci f este integrabilă Riemann.

Dacă este suma Riemann oarecare, relativă la diviziunea , avem , iar dacă f este integrabilă rezultă că , adică și sumele Riemann sunt convergente către o limită comună care este aria mărginită de arcul de curbă , . Reciproca acestui rezultat este de asemenea adevărată, atfel încât avem următoarea definiție achivalentă a integrabilității.

Spunem că o funcție definită pe intervalul este integrabilă Riemann pe dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma , când și pentru orice alegere a punviziuni d avem următoarele relații: , .

Dacă diviziunea este mai fină decât diviziunea d, atunci , adică sumele inferioare cresc, iar sumele superioare descresc dacă trecem de la o diviziune la o altă diviziune mai fină.

Oricare ar fi diviziunile și avem , adică orice sumă inferioară este mai mică sau cel mult egală cu o suma superioară.

Dacă D este mulțimea tuturor diviziunilor intervalului , atunci .

Mulțimea este mărginită superior, iar mulțimea este mărginită inferior.

O funcție mărginită se spune că este integrabilă Riemann pe dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma când șirurile sumelor Darboux și au o limită comună finită I, și se notează .

2.3. Criteriul de integrabilitate

Criteriul lui Darboux. O funcție , mărginită, este integrabilă pe dacă pentru orice număr există un număr , astfel încât pentru orice diviziune d cu să avem .

Să presupunem că f este integrabilă. Fie un șir de diviziuni, astfel încât și cu .

Deoarece f este integrabilă, pentru orice număr există un număr , astfel încât pentru avem , , deci .

Fie un șir de diviziuni (arbitrar) pentru care când . Există astfel încât pentru orice avem .

Din i neegalitățile unde am pus , , rezultă că , și cum este oarecare, iar șirul este arbitrar, urmează că , deci f este integrabilă Riemann.

Dacă este suma Riemann oarecare, relativă la diviziunea , avem , iar dacă f este integrabilă rezultă că , adică și sumele Riemann sunt convergente către o limită comună care este aria mărginită de arcul de curbă , . Reciproca acestui rezultat este de asemenea adevărată, atfel încât avem următoarea definiție achivalentă a integrabilității.

Spunem că o funcție definită pe intervalul este integrabilă Riemann pe dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma , când și pentru orice alegere a punctelor intermediare șirurile Riemann corespunzătoare au o limită comună finită I.

O funcție mărginită nu este neapărat integrabilă Riemann.

Dacă am dovedit că o funcție f este integrabilă Riemann pe un interval , pentru calculul efectiv al numărului I este suficient să luăm un șir particular de diviziuni cu când , precum și un șir particular de puncte intermediare în fiecare diviziune.

2.4. Clase de funcții integrabile

Funcțiile continue pe un interval sunt integrabile pe . Fie f o funcție continuă pe . Funcția f este mărginită pe , deci . Fie d o diviziune a intervalului și un subinterval al lui d; avem , . Există două puncte , pentru care . Să considerăm sumele lui Darboux relative la diviziunea d

,

.

O funcție continuă într-un interval închis este și uniform continuă, deci pentru un număr există un număr , astfel încât pentru orice pereche de puncte situată în intervalul să avem dacă .

Să alegem diviziunea d astfel încât ; în acestă situație ,

, deci ,

ceea ce dovedște că f este integrabilă.

Funcțiile monotone pe un interval sunt integrabile pe . Presupunem crescătoare pe ; dacă d este o diviziune a intervalului , avem pentru un subinterval oarecare

, deci și

Pentru , oarecare, să alegem diviziunea d astfel încât ; deoarece , rezultă că și teorema este demonstrată.

2.5. Proprietățile funcțiilor integrabile

Fie o funcție integrabilă pe intervalul . Integrala funcției pe intervalul ; se numește și integrala definită a funcției pe intervalul . Variabila x se numește variabila de integrare. Integrala definită este un număr, deci nu depinde de variabila de integrare. Din această cauză, variabila de integrare se poate nota cu orice literă .

Dacă se definește prin egalitatea , de unde urmează imediat .

Dacă și este integrabilă pe , atunci . Într-adevăr, dacă pentru orice , rezultă că pentru orice diviziune d avem , deci și , de unde rezultă .

Dacă f și g sunt integrabile pe , funcția f+g este integrabilă pe și (proprietatea de aditivitate a integralei față de funcții).

Fie d o diviziune a intervalului și un punct oarecare al intervalului , ; putem scrie deci .

Fie acum un șir de diviziuni ale intervalului cu ; vom avea și pentu că f și g sunt integrabile,,, de unde urmează că f+g este integrabilă pe și .

Dacă funcția f este integrabilă pe , atunci funcția este integrabilă pe . Într-adevăr avem , deci și pentru că f este integrabilă pe urmează că este integrabilă pe și .

Dacă pentru orice și dacă f și g sunt integrabile pe , atunci (proprietatea de monotonie a integralei). Funcția este negativă pe , deci avem sau ; rezultă că .

Dacă f este integrabilă pe , atunci oricare ar fi punctul avem.

Dacă , , deci .

Să presupunem . Fie un șir de diviziuni ale intervalului cu Dacă este un șir oarecare de sume Riemann relative la aceste diviziuni, atunci .

Fie un șir de diviziuni ale intervalului cu . Dacă este un șir oarecare de sume Riemann relative la aceste diviziuni, avem .

Dacă notăm cu , am obținut un șir de diviziuni ale intervalului cu b#%l!^+a?, deoarece .

Fie suma celor două sume Riemann și ; avem, ; la limită, agalitatea de mai sus ne duce la .

Relația obținută este adevărată oricare ar fi succesiunea punctelor a,b,c. Într-adevăr, fie c<b<a; avem însă:

, , deci

, sau

.

Din demonstrație rezultă și reciproca aceste proprietăți, anume: dacă o funcție f este integrabilă pe intervalele și atunci f este integrabilă pe . (proprietatea de aditivitate a integralei față de intervale).

Dacă funcția f este integrabilă pe intervalul , atunci f este integrabila pe orice subinterval .

Fie , arbitrar și o diviziune d a intervalului . Deoarece f este integrabilă, există astfel încât și .

Fie o diviziune a intervalului cu .

Să completăm diviziunea a lui până la o diviziune a lui , astfel încât , deci cu vom avea

, însă

,

deoarece și ; din aceste i neegalități rezultă ceea ce dovedește că f este integrabilă pe orice interval

Dacă funcția f este integrabilă pe , atunci și |f| este integrabilă pe și .

Fie d o diviziune a intervalului . Dacă notăm cu , avem , , iar dacă este un subinterval al lui , avem , .

Avem mai multe cazuri de considerat.

. În acestă situație și .

. Atunci , deci .

. Atunci

,

deci în toate cazurile putem scrie

sau

și pentru că f este integrabilă rezultă din această i neegalitate că f este integrabilă. Din , rezultă .

2.6. Formule de medie

Dacă f este mărginită și integrabilă pe intervalul , am văzut că avem , unde m și M sunt marginile funcției f în . Urmează că există un număr curpins între m și M astfel încât .

Să presupunem că este și continuuă pe ; în această situație există cel puțin un punct astfel încât , deci , care se numește formula mediei pentru integrale. Acestă formulă are o interpretare geometrică simplă, și anume spune că există cel puțin un punct astfel încât aria mărginită de arcul de curbă AB, și de segmentele este egală cu aria dreptunghiului de înălțime și bază .

Dacă f și p sunt doua funcții mărginite și integrabile pe și dacă , este continuă pe , atunci există un punct astfel încât .

Să presupunem că mai întâi pe numai mărginită și integrabilă. Avem și pentru că urmează deci și , i neegalitaeta care arată că există un număr cuprins între m și M astfel încât .

Să presupunem acum că este și continuă în , deci că există un punct astfel încât ; în această situație relația se scrie:. Formula obținută se numește formula generală a mediei pentru integrale.

Cele două formule de medie obținute sunt variabile și pentru .

Inegalitatea lui Schwarz-Buniakovski. Oricare ar fi funcțiile f,g integrabile pe avem.

Să considerăm forma pătratică în și

pozitivă pentru orice și ; discriminantului ei este negativ

,

de unde deducem neegalitatea din enunț.

CAPITOLUL AL III-LEA

Metode AproximAtive de CAlCul A integrAlei definite

3.1. Calculul cu aproximație al integralelor definite

Metodele aproximative de calcul ale integralei definite au ca principiu înlocuirea curbei în intervalul integralei cu o curbă mai simplă , deci , unde curba este o funcție în scară, o linie poligonală, (metoda trapezelor, metoda tangentelor), un lanț de parabole (metoda lui Simpson) sau polinomul de interpolare al lui Lagrange.

3.2. Metoda dreptunghiurilor

Fie funcția de integrat, intervalul de integrare și o diviziune pe care o luăm cu toate subintervalele egale, deci pentru .

Metoda dreptunghiurilor constă în a aproxima integrala definită cu o sumă Riemann , anume se ia pentru punctul în intervalul . Pentru fie: , iar pentru avem: și oricare din aceste două formule reprezintă formula dreptunghiurilor.

Din figurile de mai sus se vede că metoda constă în a se înlocui arcul de curbă cu o funcție în trepte.

Dacă funcția este crescătoare in intervalul , atunci aproximează pe I prin lipsă, iar prin exces.

Eroarea la metoda dreptunghiurilor. Dacă , sunt sumele Darboux, relative la diviziunea considerată , , atunci și pentru că , urmează că , inegalitate adevărată și pentru , de unde rezultă că eroarea în metoda dreptunghiurilor este data de diferența sumelor lui Darboux.

Dacă funcția f este derivabilă, cu derivata mărginită în , atunci unde .

Avem:

,

însă ; deoarece f este continuă pe deci și pe , urmează că f își atinge marginile pe , anume în punctele , .

Avem

și pentru că , și , deducem . Teorema este demonstrată. Teorema servește pentru stabilirea numărului n pentru că eroarea comisă să fie inferioară unui număr dat.

Ne propunem să determinăm numărul n astfel încât integrala definită să fie calculată aproximativ cu precizia . Avem , numărul întreg n satisface inegalitatea sau , deci numărul diviziunilor trebuie să fie cel puțin egal cu 600. Acest exemplu arată că metoda dreptunghiurilor nun e dă în general o bună aproximare a integralei definite considerate decât dacă panta curbei este mică și dacă intervalul de integrare este sufficient de mic. Într-adevăr, pe intervalul obținem deci .

3.3. Metoda trapezelor

Metoda trapezelor constă în a aproxima integrala definită prin semisuma valorilor și calculate mai sus la metoda dreptunghiurilor, anume .

Se observă că, din punct de vedere geometric, metoda constă în a aproxima curba , , prin linia poligonală care trece prin punctele , adică în fiecare interval se aproximează arcul de curbură cu coarda , aria patrulaterului mixtiliniu, , înlocuindu-se cu aria trapezului .

Eroarea în metoda trapezelor este dată de următoarea teoremă: dacă funcția f are derivata de ordinul doi , integrabilă pe intervalul , atunci , unde .

Pentru un interval oarecare , diferența dintre aria trapezului și aria patrulaterului mixtiliniu este dată de , iar dacă folosim formula lui Taylor cu restul sub formă integrală, , avem, și dacă ținem seamă și de a treia formulă:

prin scădere obținem , deci sau .

Eroarea provenind din metoda trapezelor este dată de:

.

Teorema este demonstrată.

Avem , deci numărul n satisface neegalitatea , de unde . Comparând rezultatul obținut cu rezultatul de la metoda dreptunghiurilor, decucem că metoda trapezelor ne dă o aproximare mai bună.

3.4. Metoda lui Simpson

In metodele lui Simpson se ia o medie ponderată a valorilor aproximative obținute prin metodele trapezelor și tangentelor, anume , sau folosind expresiile lui și , cu numărul de diviziuni par , obținem

, numită formula de aproximare a lui Simpson.

În metoda lui Simpson se aproximează curba în intervalul printr-un arc de parabolă care trece prin punctele de abscisie și . Într-adevăr, aria mărginită de parabola care trece prin punctele de abscise este dată, conform formulei celor trei nivele și dacă facem, deci , aria trapezului este . Însumând relativ la obținem formula lui Simpson.

Eroarea în metoda lui Simpson este dată de următoarea teoremă: dacă funcția f are derivata de ordinul patru continuă pe , atunci , unde , iar este valoarea aproximată de formula lui Simpson.

Să considerăm două intervale consecutive de lungime , și să evaluăm eroarea făcută folosind formula lui Simpson pentru exprimarea integralei definite , unde am notat cu o primitivă a lui .

Urmează că avem, folosind formula lui Simpson sau formula celor trei nivele, și diferența

este eroarea comisă. Dacă derivăm funcția p în raport cu h și ținem seamă că este o primitivă a lui , avem:

,

.

Să aplicăm lui formula creșterilor finite

,

să integrăm consecutiv de trei ori de la 0 la h, aplicând formula mediei generalizate , și ținând cont că , avem

,

și în mod analog .

Să facem acum suma acestor erori, pentru cele 2m intervale egale în care împărțim intervalul ; obținem astfel eroarea totală

, cu .

Funcția fiind continuă, urmează că puten scrie

cu , deci cu eroarea totala este dată de și are semn contrar cu . Deoarece derivata de ordinul patru este mărginită în , adică obținem .

Teorema este demonstrată.

Avem , deci și numărul n satisface neegalitatea sau .

Comparând metodele dreptunghiurilor, trapezelor și Simpson, rezultă că metoda lui Simpson, pentru același număr n de subintervale, dă aproximarea cea mai bună sau, eroarea admisibilă fiind impusă, metoda lui Simpson cere cele mai puține calcule pentru aproximarea integralei definite, deoarce numărul n pentru această metodă este cel mai mic.

3.4.1. Formule de cubătură de tip Simpson

și funcția f : D —► R

Presupunem că orice dreaptă paralelă cu oy (x =λ , a < λ < b ) taie curbele de ecuații y = φ(x) și y = ψ (x) în câte un singur punct.

Cu principiul de calcul al integralei duble avem

Notăm

Cu (2) putem scrie 1 sub forma

Aplicăm integralei simple din membrul drept (3) una din formulele de cuadratură și deținem:

unde Ai sunt constante iar valorile se pot obține tot cu o formulă de cuadratură

(5)

unde coeficienții Bij sunt constante cunoscute.

Din (5) și (4) se obțineunde Ai și Bij sunt constante cunoscute.

3.4.1.1. Cazul domeniului dreptunghiular de integrare

Calculăm: unde:

F(x, y) continuă pe D. Împărțim [a, A], [b, B] în două părți egale prin punctele decrise în continuare.

S-au obținut astfel 9 puncte:

Cu principiul de calcul al integralei duble avem:

Calculăm integrala din membrul drept cu formula lui Simpson după y, x oarecare fixat, dar luat arbitrar.

Aplicăm formula lui Simpson după X pentru calculul celor trei integrale din paranteza mare (10).

Formula 11 se numește formula lui Simpson de cubatură în cazul domeniului dreptunghiular.

3.4.1.2. Cazul domeniului oarecare

Ne propunem să calculăm în cazul domeniului:

cu proprietatea că orice paralelă la oy de forma x =λ , a < λ < b intersectează curbele y = φ(x) și y = ψ (x) în câte un singur punct. Ducem dreptele x = a și y = b precum și două drepte paralele astfel încât acestea să formeze un dreptunghi D care conține domeniul D > D (eventual paralele la ox pot fi tangente la curbele y = φ(x) și y = ψ (x).

Împărțim dreptunghiul D în n dreptunghiuri, fiecare dreptunghi având cele 9 puncte (4 vârfuri, 4 mijloace de laturi și câte un centru).

Considerăm funcția f: D —> R

și aplicam formula (11) pentru f *:

unde f*ij =0 pentru ( xi , yi ) € D-D si f*ij = fij pentru ( i , j ) = ( x1 , yD ) € D.

3.5. Aproximarea prin interpolare

Să presupunem intervalul de integrale împărțit în n subintervale oarecare prin punctele în care funcția ia valorile. În această metodă, funcția de integrat se aproximează cu polinomul de interpolare al lui Lagrange care trece prin cele puncte ; a cărui expresie este cu .

Dacă înlocuim pe în cu obținem:

și am redus astfel calculul integralei definite la integrarea unor polinoame.

Putem să simplificăm și mai mult rezultatul, anume să facem o schimbare de variabilă astfel încât integralele obținute să nu depindă nici de punctele de diviziune și nici de intervalul . Să punem , deci și ; vom avea:

.

Avem de asemenea , astfel încât integrala I devine unde

, ,

fiind polinoame de grad n în t. Pentru diverse valori ale lui n s-au calculat integralele și coeficienții , astfel încât prin intermediul acestor coeficienți, care se găsesc în tabele anume calculate, aproximarea integralei definite se reduce la calculul sumei .

CAPITOLUL AL IV-LEA

METODE APROXIMATIVE PENTRU CALCULUL INTEGRALELOR DUBLE

4.1. Funcții integrabile

Fie o funcție definită și mărginită pe un domeniu de plan D, , . Domeniul D îl vom considera închis și mărginit, deci interior unui interval bidimensional . Frontiera domeniului D este formată dintr-o curbă închisă , alcătuită dintr-un număr finit de arce netede. Să presupunem că este și pozitivă pe D, deci pentru orice . În această situație, , reprezintă o suprafață S situată în întregime deasupra planului având ca proiecție pe planul domeniul D. Ne propunem să găsim volumul V al corpului mărginit de suprafața S, planul și cilindrul (proiectant) cu generatoarele paralele cu axa și a cărui curbă directoare în planuleste curba.

În vederea acestui scop vom da câteva noțiuni. Fie diviziunile , ale intervalelor și respectiv. Paralelele la axa Ox prin punctele diviziunii și la axa Oy prin punctele diviziunii impart intervalul I în subintervale, . Dintre aceste subintervale numai o parte sunt conținute în întregime în domeniul D. Să notăm mulțimea lor cu . O parte din subintervalele conțin și puncte ale domeniului D și ale diferenței I-D. Notăm mulțimea lor cu . În fine, există subintervale exterioare intervalului D. Notăm mulțimea lor cu .

Vom numi o diviziune a domeniului D, mulțimea subintervalelor dată de și o vom nota , ordinea de numerotare a subintervalelor fiind indiferentă. Din definiția dată rezultă , și pentru orice , . Vom numi norma unei diviziuni și o vom nota , numărul pozitiv ,deci , , .

Să considerăm diviziunile și ale intervalelor și respectiv, mai fine decât și , deci , . Diviziunilor și le corespunde o diviziune a domeniului D, mai fină decât diviziunea , , și dacă notăm cu norme diviziunii avem , deoarece , și .

Să considerăm acum o diviziune a domeniului D în care funcția este definită și mărginită.

Fie intervalele bidimensionale ale diviziunii , numerotate într-o ordine oarecare și ariile corespunzătoare ale acestor intervale. Să notăm cu , marginile inferioară și superioară ale funcției în , atunci , .

Formăm sumele Darboux: (suma inferioară Darboux); (suma superioară Darboux).

Avem evident , unde am notat cu aria domeniului D, iar cu m și M marginile inferioară și superioară a lui f în D.

Se demonstrează la fel ca pentru integrala definită următoarele proprietăți:

Dacă este o diviziune a domeniului D mai fină decât , atunci .

Oricare ar fi diviziunile și avem .

Dacă este mulțimea tuturor diviziunilor domeniului D, atunci .

Mulțimea este marginită superior, iar mulțimea este mărginită inferior.

Dacă este un punct oarecare al intervalului și suma, atunci , sumele se numesc sume Riemann relative la diviziunea .

Între sumele Riemann și sumele Darboux ale unei diviziuni avem urmatoarele relații: , .

Interpretarea geometrică a sumelor , și . Să considerăm un interval care aparține diviziunii , și , partea din suprafața S care se proiectează pe planul xOy în . Dacă și sunt marginile superioară și inferioară a funcției în , produsele și reprezintă respective volumele paralelipipedelor de bază și înălțime și . Se observă că volumul mărginit de partea de suprafață , de intervalul și de cilindrul proiectant (format din fețe plane) al conturului lui pe conturul lui este cuprins între cele două volume , prin urmare, însumând în raport cu avem . b#%l!^+a?

Produsul cu reprezintă volumul unui paralelipiped de bază și înălțime .

Avem , deci , de unde prin însumare rezultă și .

Fie f o funcție definită și mărginită pe un domeniu închis și mărginit . Se spune că f este integrabilă Riemann pe D dacă pentru orice șir de diviziuni ale domeniului D cu când , șirurile sumelor Darboux și au o limită comună finită . Limita însăși se numește integrala dublă a funcției f întinsă la domeniul D și se notează .

Dacă este și pozitivă în D, atunci reprezintă volumul corpului mărginit de suprafața care se proiectează pe planul în domeniul D, de planul și de cilindrul proiectant al conturului lui S pe conturul lui D.

Dacă este o sumă Riemann oarecare relativă la diviziunea , avem , deci, dacă f este integrabilă, rezultă că , adică și sumele Riemann sunt convergente către limita comună a celor două șiruri ale sumelor Darboux și . Reciproca acestui rezultat este de asemenea adevărată astfel încât avem următoarea definiție echivalentă a integrabilității.

Spunem că o funcție definită și mărginită pe domeniul închis și mărginit D este integrabilă Riemann pe D, dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma când , și pentru orice alegere a punctelor , șirurile Riemann corespunzătoare au o limită comună, finită, .

4.2. Clase de funcții integrabile

Funcțiile continue pe un domeniu închis și mărginit D sunt integrabile pe D.

Fie o funcție continuă pe domeniul închis și mărginit D. Funcția este și mărginită pe D, deci , .

Fie o diviziune a domeniului D.

Avem , există două puncte , , astfel încât , .

Să considerăm sumele lui Darboux relative la diviziunea

,

atunci:

.

O funcție continuă în domeniul închis și mărginit D este și uniform continuă, deci pentru orice număr există un număr , astfel încât pentru orice pereche de puncte , , avem dacă , am notat cu A aria intervalului I care conține domeniul D, deci .

Să alegem diviziunea astfel încât . În această situație , deci , deoarece . Teorema este demonstrată.

Clasa funcțiilor integrabile Riemann este însă mai întinsă decât clasa funcțiilor continue.

Dacă mulțimea T a punctelor de discontinuitate a unei funcții mărginite f, definită pe un domeniu închis și mărginit este formată dintr-un număr finit de arce netede, atunci funcția f este integrabilă Riemann pe D.

4.3. Proprietățile integralelor duble

Se demonstrează la fel ca și pentru integralele simple următoarele proprietăți.

Dacă f este integrabilă pe D și , atunci este integrabilă pe D și .

Dacă f și g sunt integrabile pe D, funcția sumă este integrabilă pe D și:

.

Dacă , este integrabilă pe D, atunci .

Dacă pentru orice și dacă f și g sunt integrabile pe D, atunci .

Dacă f este integrabilă pe D, iar domeniul D este împărțit în două subdomenii, și , printr-o curbă C de arie nulă, atunci f este integrabilă pe și pe și are loc egalitatea .

Dacă f este integrabilă pe D, atunci este integrabilă pe D și .

Formule de medie. Dacă f este mărginită și integrabilă pe D , , atunci există un număr cuprins între m și M, astfel încât, unde este aria domeniului D.

Dacă este continuă pe D, atunci există un punct , astfel încât să avem egalitatea și care se numește formula mediei pentru integrale duble.

Dacă este continuă pe D, iar este integrabilă și pozitivă pe D, atunci există un punct , astfel încât să avem , care se numește formula generală a mediei pentru integrale duble.

4.4. Calculul integralelor duble

Să considerăm mai întâi pentru D un interval și f integrabilă pe I.

Dacă este mărginită și integrabilă pe I și dacă: pentru orice este integrala , este integrabilă pe , atunci .

Să considerăm o diviziune a intervalului bidimensional I realizată de dreptele , cu .

Să notăm cu intervalul bidimensional definit de și . Cu aceste notații sumele și sunt date de , , unde aria intervalului .

Avem dacă , deoarece pentru orice , . Însumând mai sus cu k obținem

.

Funcția este integrabilă pe , deci pentru orice interval putem scrie:

.

Însumând în raport cu I obținem și:

sau:

.

Pentru că este integrabilă pe I, rezultă imediat, unde este mulțimea tuturor diviziunilor lui I, deci .

Calculul integralelor definite cu ajutorul integrării sub semnul integral. Pentru avem . Să înmulțim cu și să integrăm în raport cu de la 0 la , .

Dacă intervertim ordinea de integrare obținem: .

Am găsit astfel valoarea integralei definite: .

Dacă scriem și , rezultă .

Să găsim acum formula de calcul a unei integrale duble pentru un domeniu plan D, mărginit de o curbă închisă , formată dintr-un număr finit de arce netede. Vom face ipoteza că o paralelă la axa taie conturul numai în două puncte. Fie A și B punctele de pe de abscisie extreme si E, F punctele de pe de ordonate extreme , deci domeniul D este conținut în intervalul închis bidimensional .

Fie , acuația arcului AEB al curbei .

Fie funcția definită pe D mărginită și integrabilă pe D. Dacă există integrala pentru orice și dacă este integrabilă pe , atunci: .

Pentru demonstrație, vom reduce problema integrării pe D la problema integrării pe intervalul I, tratată anterior. Funcția este definită de domeniul închis și mărginit D. Să considerăm funcția definită pe intervalul în modul următor:

Funcția este integrabilă pe I, deoarece este integrabilă pe D, este nulă pe , iar frontiera lui D este o mulțime de arie nulă. Dacă ținem seamă și de faptul că , rezultă că însă .

Dacă considerăm integrala definită conform figurii și ținând seama de proprietatea de aditivitate a integralelor definite, putem scrie: ,

Însă pe MN și PQ, , iar pe NP, , deci .

Integrala din partea a doua, conform ipotezei din enunț, există pentru orice . Deoarece există și integrala , urmând egalitatea.

Avem:

.

Avem:

, ,

deci

.

4.5. Integrarea dublă, funcție de limitele de integrale

Fie o funcție mărginită și integrabilă într-un domeniu . Pentru orice interval conținut în D, integrala dublă definește o funcție reală F de variabile reale .

Îmi propun să stabilesc câteva proprietăți ale funcției F.

Dacă este mărginită și integrabilă în D, atunci este continuă în D.

Dacă este continuă în D, atunci funcția are derivatele parțiale de ordinal întâi continue în D,,.

Derivata a doua mixtă există și este continuă în D.

Funcția este continuă pentru orice , deoarece este continuă în D. Avem , F este derivabilă parțial în raport cu x, iar după regula de derivare a unei integrale definite care depinde de un parametru obținem.

Funcția este continuă pentru orice , deoarece f este continuă în D. Avem , este derivabilă parțial în raport cu y în D și după aceeași regulă obținem .

Funcția este continuă în raport cu ambele variabile în D, deci este continuă în raport cu fiecare variabilă în parte. Prin urmare funcția este derivabilă parțial în raport cu x, iar funcția este derivabilă parțial în raport cu y.

Avem , , .

Teorema este demonstrată.

Dacă ne propunem să găsim soluțiile care verifică ecuația cu derivate parțiale , ținând seamă de cele de mai sus, obținem, unde și sunt funcții arbitrare, derivabile.

4.6. Formula lui Green

Fie D domeniu închis și mărginit de o curbă închisă formată dintr-un număr finit de arce netede. Vom presupune că domeniul D îndeplinește condiția că atât paralele la axa cât și paralele la axa taie conturul numai în două puncte.

Fie și două funcții continue pe D derivabile parțial, cu derivatele și continue pe D, mărginit de curba .

În aceste condiții are loc egalitatea, numită formula lui Green sau formula integrală a lui Green.

Fie A și B punctele de pe de abscisie extreme și E, F punctele de pe de ordonate extreme . Dacă este ecuația arcului AEB și , ecuația arcului AFB, putem scrieînsă , , deci.

În mod asemănător, dacă , este ecuația arcului EAF, iar este ecuația arcului EBF avemînsă ,, deci.

Dacă adunăm cele două rezultate de mai sus obținem formula lui Green.

Teorema este demonstrată.

Condiția ca paralelele la axele de coordinate să taie conturul numai în două puncte a servit doar la demonstrație și poate fi înlăturată. Într-adevăr, dacă domeniul D nu îndeplinește această condiție putem să-l împărțim într-un număr finit de subdomenii de contururi , care îndeplinesc această condiție. Pentru fiecare subdomeniu de contur avem:

însă avem: și , deci pentru domeniul D subsistă formula integrală .

Formula lui Green ne permite să demonstrăm următoarea teoremă.

Fie și două funcții continue în domeniul simplu conex D. Dacă derivatele și există și sunt continue în D, atunci condiția necesară suficientă pentru ca integrala curbilinie să nu depindă de drum în D este ca pentru orice .

Dacă în orice punct din (D), atunci, conform formulei lui Green, pentru orice curbă închisă avem , însă o integrală, care este nulă pe orice contur închis situate într-un domeniu D, nu depinde de drum în D, deci condiția este și suficientă. Teorema este demonstrată.

Dacă , obținem Aria domeniului D.

În continuare, un exemplu: Să se calculeze integrala curbilinie , (unde este conturul din următoarea imagine), utilizând formula lui Green.

Avem:

deci:

și:

.

4.7. Schimbarea de variabile în integrala dublă

Să considerăm în planul un domeniu D mărginit de o curbă închisă formată dintr-un număr finit de arce netede și în planul un domeniu mărginit de o curbă închisă formată tot dintr-un număr finit de arce netede. Fie transformarea punctuală a domeniului și realizată de funcțiile cu și continue, cu derivate de ordinul întâi și derivatele de ordinal doi mixte continue pe .

Determinantul funcțional nu se anulează în .

Vom presupune că transformarea de mai sus este biunivocă pe D adică reciproc fiecărui punct din D îi corespunde un punct dat de .

Corespondența dintre și se spune că este directă dacă următoarea condiție este îndeplinită: când un punct se deplasează pe în sens direct, punctul corespunzător de pe se deplasează tot în sens direct. Dacă un punct de pe se deplasează în sens direct și punctul corespunzător de pe se deplasează în sens invers, corespondența dintre și se spune că este inversă.

Dacă determinantul funcțional este pozitiv în , transformarea este directă.

Aria a domeniului D este dată de integrala curbilinie , conturul fiind parcurs în sens direct. Să facem schimbarea de variabilă definită .

Avem căreia să-i aplicăm formula lui Green. Dar cu , atunci:

sau:

.

Atunci: .

Însă , , atunci conturul este parcurs în sens direct și , iar dacă , conturul este parcurs în sens invers și .

Teorema este demonstrată.

Dacă folosim formula mediei în sau obținem unde este un punct din .

Să revenim acum la schimbarea de variabile în integrale duble.

Fie o diviziune a domeniului căreia, prin transformarea , îi corespunde diviziunea a domeniului . Fie și ariile subdomeniilor și respectiv.

Între ariile subdomeniilor și avem relația .

Dacă notăm avem următoarea egalitate:

,

de unde rezultă

,

care este formula schimbării de variabile în integrale duble.

CAPITOLUL AL V-LEA

METODE APROXIMATIVE PENTRU CALCULUL INTEGRALELOR TRIPLE

5.1. Definiții. Criterii de integrabilitate. Funcții integrabile

Fie V un domeniu închis și mărginit în spațiul cu trei dimensiuni , interior unui interval tridimensional I,

Frontiera domeniului V este o suprafață închisă S formată dintr-un număr finit de porțiuni netede. Să presupunem că volumul V reprezintă un corp K, neomogen, de densitate , variabilă funcția f fiind definită și mărginită în V .

Ne propunem să găsim masa totală a corpului K.

În cele ce urmează vom cere funcției f de a fi numai definită și mărginită în V. Când vom reveni la semnificația fizică a rezultatelor obținute vom adăuga și condiția suplimentară de a fi pozitivă în V.

Sunt necesare mai întâi câteva noțiuni.

Fie diviziunile

,

respectiv ale intervalelor . Planele paralele cu planul prin punctele diviziunii , planele paralele cu planul prin punctele diviziunii și planele paralele cu planul prin punctele diviziunii impart intervalul I în subintervale (paralelipipede dreptunghice),

.

Dintre aceste subintervale numai o parte sunt conținute în întregime în volumul V; să notăm mulțimea lor cu . O parte din subintrvalele conțin și puncte ale lui V și ale lui I-V; notăm mulțimea lor cu . În fine, există subintervale exterioare lui V; notăm mulțimea lor cu .

Vom numi o diviziune a volumului V, mulțimea subintervalelor dacă de și o vom nota , ordinea de numerotare a subintervalelor fiind indiferentă.

Vom numi norma unei diviziuni și o vom nota numărul pozitiv.

Să considerăm diviziunile ale intervalelor , respectiv mai fine decât , deci .

Diviziunilor le corespunde o diviziune a volumului V despre care vom spune că este mai fină dacât diviziunea și vom scrie ; dacă notăm cu avem , deoarece și .

Faptul că diviziunea este mai fina decât diviziunea înseamnă că orice subinterval al diviziunii este conținut într-un subinterval al diviziunii .

Dacă și sunt două diviziuni ale aceluiași volum V și dacă nu înseamnă că diviziunea este mai fină decât diviziunea .

Să considerăm acum o diviziune a volumului V în care funcția este definită și mărginită. Să notăm cu , subintervalele tridimensionale ale diviziunii , numerotate într-o ordine oarecare și volumele acestor subintervale. Să notăm cu , marginile inferioară și superioară ale funcției în și să formăm sumele lui Darboux:

(suma inferioară Darboux),

(suma superioară Darboux).

Avem , unde am notat cu v volumul lui V, iar cu m și M marginile inferioară și superioară ale lui f în V.

Se demonstrează la fel ca pentru integrala simplă următoarele proprietăți.

Dacă este o diviziune a volumului V mai fină decât , , atunci .

Oricare ar fi diviziunile și ale volumului V avem .

Dacă este mulțimea tuturor diviziunilor volumului V, atunci .

Mulțimea este mărginită superior, iar mulțimea este mărginită inferior.

Dacă este un punct oarecare al intervalului și suma , atunci , sumele se numesc sume Riemann relative la diviziunea .

Între sumele Riemann și sumele Darboux ale unei diviziuni avem următoarele relații , .

Interpretarea fizică a sumelor și . Dacă este și pozitivă în V, suma reprezintă masa totală a r corpuri omogene de mase, respectiv ; suma reprezintă masa totală a r corpuri omogene de mase, respectiv ; suma reprezintă masa totală a r corpuri omogene de mese, respectiv .

Fie f o funcție definită și mărginită pe un volum . Se spune că f este integrabilă Riemann pe V dacă pentru orice șir de diviziuni ale volumului V cu , când , șirurile sumelor lui Darboux și au o limită comună M. Limita însăși se numește integrala triplă a funcției f înstinsă pe volumul V și se notează .

Spunem că o funcție definită și mărginită pe domeniul închis și mărginit este integrabilă Riemann pe V, dacă pentru orice șir de diviziuni cu norma când , și pentru orice alegere a punctelor șirurile Riemann corespunzătoare au o limită comună, finită, M.

Criteriul de integrabilitate al lui Darboux. Fie o funcție definită și mărginită pe un domeniu închis și mărginit V; funcția este integrabilă pe V dacă pentru orice număr există un număr astfel încât pentru orice diviziune a domeniului V cu să avem .

Funcțiile continue pe un domeniu închis și mărginit V sunt integrabile pe V.

Dacă mulțimea T a punctelor de discontinuitate a unei funcții mărginite f, definită pe un domeniu închis și mărginit , este formată dintr-un număr finit de suprafețe netede, atunci funcția f este integrabilă Riemann pe V.

5.2. Calculul integralelor triple

Calculul integralelor triple se reduce la calculul succesiv a trei integrale simple.

Să considerăm mai întâi cazul când V este un interval I:.

Dacă este mărginită și integrabilă pe I și dacă pentru orice există integrala , este integrabilă pe , atunci .

Să considerăm o diviziune a intervalului I realizată de planele :

,

;

Să notăm cu intervalul tridimensional definit de .

Fie .

Se observă că toate subintervalele aparțin diviziunii , deci ,, unde este volumul intervalului ,.

Avem pentru orice . Însumând în raport cu k obținem

.

Funcția adată de este integrabilă pe , deci pentru orice interval avem:

,

unde dacă însumăm în raport cu i și j și ținem seamă că prima sumă este , iar ultima , ajungem la neegalitățile, deoarece;având în vedere că este integrabilă pe I, avem în timp ce neegalitățile conduc la limită la

Se notează integrala din partea a doua în modul următor: .

Integrala dublă din se poate scrie cu ajutorul a două integrale simple succesive, și dacă ținem seamă că domeniul D este un dreptunghi, avem efectiv, folosind notația,, ordinea de integrare fiind de la drepta la stânga.

Condițiile din teoremă sunt îndeplinite dacă este continuă pe I. Ordinea de integrare poate fi în acest caz inversată și obținem formule analoage.

Domeniul D deste proiecția intervalului I pe planul .

În exemplul: să se calculeze integrala triplă, v fiind paralelipipedul . Avem

,

.

Observăm că, în acest exemplu, integrala triplă este produsul a trei integrale simple.

Să considerăm acum cazul când domeniul de integrare V este un cilindru, anume , unde D este un domeniu închis și mărginit din planul , având contur curba , curbă formată dintr-un număr finit de arce netede.

Volumul V poate fi închis în paralelipipedul I.

Proiecția paralelipipedului I pe planul este dreptunghiul , unde sunt abscisele extreme ale punctelor domeniului D, iar ordonatele extreme ale punctelor domeniului D.

Pentru calculul integralei triple vom folosi rezultatul de la alineatul precedent. Să considerăm funcția definită în în modul următor

Funcția fiind integrabilă pe V, rezultă că și este integrabilă pe I și cele două integrale sunt egale: .

Pentru integrala pe intervalul I putem aplica rezultatul din teorema de la alineatul precedent, deci , însă, după cum a fost definită funcția , observăm că pe D , iar pe ,deoarece pe , prin urmare.

Să presupunem acum că domeniul D are proprietatea că o paralelă la axa taie curba care mărginește pe D în două puncte. În această situație, dacă este ecuația arcului MPN, iar este ecuația arcului MQN, conform celor spuse la integrale duble avem , deci și în acest caz integrala triplă se obține prin calculul succesiv a trei integrale simple.

Să găsim acum formula de calcul a unei integrale triple pentru un volum V închis și mărginit de o suprafață S, pe care o presupunem alcătuită dintr-un număr finit de părți netede. Vom face ipoteza că o paralelă la axa taie suprafața S în două puncte. Fie , cotele extreme ale punctelor de pe suprafța S; aceasta înseamnă că volumul V este cuprins între planele și . Fie T cilindrul proiectant al volumului V pe planul (cilindrul cu generatoarele paralele la axa și tangente la suprafața S), cuprins între planele și . Vom nota cu D proiecția volumului V pe planul .

Cilindrul T este tangent după curba la suprafața S și proiecția curbei pe planul este conturul al domeniului D. Curba împarte suprafața S într-o suprafață , de ecuație și o suprafață de ecuație .

Fie funcția definită pe V, mărginită și integrabilă pe V. Dacă există integrala pentru orice și dacă este integrabilă pe D, atunci .

Vom reduce problema integrării pe volumul V la problema integrării pe cilindrul T, prezentată la alineatul precedent. Să considerăm în acest scop funcția definită pe cilindrul T în modul următor.

Deoarece f este integrabilă pe V urmează că este integrabilă pe T și cele două integrale triple sunt egale:.

Conform rezultatului obținut avem:

,

însă putem scrie :

unde sunt punctele de pe dreapta paralelă cu ce trece prin punctual , anume punctele de intersecție cu planul , cu suprafața , cu suprafața , cu planul , respeciv. Pe și , iar pe ; dacă mai observăm că și au cotele și respectiv, obținem în cele din urmă , deci:

În integrala simplă , x și y sunt considerate constante, variabila de integrare fiind z.

Dacă volumul V nu îndeplinește condiția ca o paralelă la axa să întâlnească suprafața contur S în două puncte, ci într-un număr finit de puncte, atunci împărțim volumul V în subvolume , cu ajutorul unor părți de suprafețe netede, astfel încât fiecare din subvolumele să îndeplinească această condiție și .

Schimbând ordinea de integrare se pot obține încă cinci formule de calcul pentru integrale triple; limitele de integrale se modifică însă în mod corespunzător.

Dacă este fincție continuă în domeniul V, condițiile din teoremă sunt îndeplinite.

În exemplul: Să se calculeze integrala triplă, unde V este tetraedrul OABC definit de , avem .

.

Domeniul D este proiecția tetraedrului OABC pe planul , adică triunghiul OAB, deci .

.

5.3. Integrala triplă, funcție de limitele de integrale

Fie o funcție mărginită și integrabilă Riemann pe un demeniu .

Pentru orice interval conținut în V integrala triplă definește o funcție reală F de variabile reale . .

Dacă este mărginită și integrabilă pe V atunci funcția este continuă pe V.

Dacă este continuă pe V, atunci funcția are:

Derivate parțiale de ordinul întâi continue pe V

,

Derivate de ordinal doi, mixte, continue în V

,

Derivata de ordinal trei mixtă, continuă în V.

5.4. Schimbarea de variabile în integrale triple

Fieo transformare reversibilă a volumului în , funcțiile fiind continue cu derivatele parțiale de ordinal întâi continue în , cu determinantul funcțional diferit de zero în . b#%l!^+a?

Ne propunem să arătăm că în urma schimbării de variabile avem egalitateanumită formula schimbării de variabile în integrale triple. Vom demonstra această formulă efectuând succesiv trei transformări, fiecare numai de căte o variabilă, folosind de fiecare dată formula schimbării de variabile de la integrala definită. Să scriem integrala triplă astfel: ; în integrala să efectuăm schimbarea de variabilă , noua variabilă de integrare fiind w, iar u, v rezultând din celelalte ralații, deoarece x și y sunt ficși. Aplicând formula schimbării de variabile de la integrale simple avem:

,

unde am notat derivata lui z în funcție de w, care se obține presupunând pe x și y ficși. Să scriem acum pe I în modul următor, iar în integrala să efectuăm schimbarea de variabile , noua variabilă de integrare fiind v; de data aceasta x și w sunt considerați ficși în (1). Avem unde am notat derivata lui y ce rezultă în ipoteza că x și w sunt ficși.

Dacă scriem acum pe I în modul următorși dacă în integrala simplă facem schimbarea de variabilă , noua variabilă de integrare fiind u, iar v,w sunt ficși, obținemși pentru că toate variabilele au fost schimbate.

Ne rămân de calculat numai derivatele în ipotezele menționate. Deoarece în sunt ficși, rezultă că.

Vom calcula pe din primele două relații, presupunând pe x și w ficși. Dacă diferențiem, avem , , de unde, eliminând pe între ele, obținem.

În sfârșit, oentru a calcula pe diferențiem cele trei relații, considerând pe x și y constanți: , ,, din care eliminând pe și obținem sau din care rezultă ; înmulțind pe ,, avem și formula schimbării de variabile în integrale triple este demonstrată.

Expresia diferențială se numește elemntul de volum în coordonatele curbilinii . Am luat modulul determinantului funcțional, deoarece elemental de volum este pozitiv.

În urma unei schimbări de variabile, calculul unei integrale triple se poate ușura mult, domeniul de integrare sau funcția de sub semnul integral putând deveni mai simple.

4CAPITOLUL AL VI-LEA

FORMULELE LUI NEWTON, COTES ȘI GAUSS

6.1. Formula lui Newton

În acest scop se împarte intervalul ( a, b ) în n părți egale prin punctele x1 , x2 ,….., xn-1 și fiecare interval [xi-1 , xi ] se împarte în trei părți egale prin punctele x1’ ,xi” unde i = 1, 2, …. n . Se aplică formula lui Newton la fiecare interval [ x i-1 ‚ , x i ] și se obține:

unde

M fiind o margine superioară a lui f (IV)(x) în [a, b] avem:

Adunând formulele precedente se obține formula practică de calcul

unde

și avem:

Se poate lua n destul de mare astfel ca să avem

unde ε este un număr pozitiv dat.

Se ia

6.2. Formulele lui Cotes

Cazul n = 2 k- 1. Formulele Iui Cotes sunt de forma:

unde R este de forma:

Nodurile în formulă sunt:

Coeficienții μ0, μ1,…., μk-1 se calculează scriind că R este nul în formulă când se înlocuiește:

unde i = 0, 1, … 2k-1. Ecuațiile de rang par devin identități iar celelalte se reduc la:

Funcția φ(x) coincide cu funcțiile φ1(x), φ2(x),…, φ2k-1(x) în intervalele [a,x1],[x1,x2],…,[x2k-2,b], care sunt date de:

Pentru K = 1 avem formula trapezului

Pentru k = 2 avem formula lui Newton Pentru k = 3 avem

Cazul n = 2k.

Nodurile sunt date de formulele:

Coeficienții μ0, μ1,…., μk-1 se calculează scriind că R din ( 16 ) este nul când f(x) este înlocuită cu

unde i = 0. 1. … 2k+1. Ecuațiile de rang par devin identități iar celelalte sunt:

Restul R din formula 16 este:

unde φ(x) coincide pe rând în intervalele [a,x1],[x1,x2],…,[x2k-1,b] cu funcțiile φ1(x), φ2(x),…, φ2k-1(x) date de

Cazul k = 1. Avem formula lui Simpson.

Cazul k = 2

Nodurile sunt:

φ(x) coincide cu φ1(x), φ2(x),…, φn(x):

6.3. Formula lui Gauss

Cazul n = 1 Formula corespunzătoare a iui Gauss este formula trapezului

Cazul n = 2.

în care:

Avem:

Restul: unde ε € (a,b)

Cazul n = 3.

în care:

Restul se mai sene sub forma:

CAPITOLUL AL VII-LEA

APLICAȚII

Aplicația 1. Schimbarea de variabile (coordinate polare în spațiu): transformă intervalul în sfera .

Determinantul funcțional al transformării este

.

Expresia diferențială se numește elemental de volum în coordonatele polare în spațiu.

Să se calculeze integrala triplă

,

V fiind semisfera . Folosind coordonatele polare în spațiu obținem

,

.

Aplicația 2. Schimbarea de variabile (coordonate cilindrice)

transformă intervalul

în cilindrul . Determinantul funcțional al transformării este

.

Expresia diferențială se numește elemental de volum în coordonate cilindrice.

Să se calculeze integrala triplă

unde V este definit de . Folosind coordonatele cilindrice avem deci

,

.

CONCLUZII

În mod obiectiv pentru realizarea acestei lucrări s-au avut în vedere următoarele: prezentarea unor formule specifice domeniului analizei numerice; demonstrarea obținerii rezultatelor respective prin metode specifice; generalizarea formulelor particulare obținute; demonstrarea formulelor și prin alte metode; utilizarea formulelor obținute în diferite aplicații.

Pe parcursul lucrării, sunt prezentate rezultatele cunoscute ale formulelor: dreptunghiului, formula lui Simpson, formula lui Newton, formula lui Gauss .

De asemenea, sunt prezentate rezultatele cunoscute ale formulelor obținute prin metode specifice matematicii superioare, precum și rezultate mai importante ale formulelor de cubatură.

În final, sunt prezentate aplicațiile formulelor de la calculul aproximativ al integralelor definite, aplicații geometrice privind calculul volumelor corpurilor.

BIBLIOGRAFIE

Aramă, Lia, T. Morozanu, Culegere de probleme de calcul diferențial și integral, vol. 1, Ed. Tehnică, București, 1967.

Ascher, U. M., L. R. Petzold, Computer Methods for Ordinary, 1998.

Berbente, C., S. Mitran, S. Zancu, Metode numerice, Ed. Tehnică, București, 1997.

Boboc, Nicu, Analiză matematică, Ed. Universității din București, 1999.

Boboc, Nicu, I. Cojoară, Matematică – elemente de analiză matematică, manual pentru clasa a XII-a, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1996.

Bucur, C., Metode numerice, Ed. Facla, 1973.

Bucur, C. M., C. A. Popeea, G. G. Simion, Matematici speciale. Calcul numeric, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Bucur, Gh., E. Campu, S. Găină, Culegere de probleme de calcul diferențial și integral, Ed. Tehnică, București, 1967.

Chiriță, S., Probleme de matematici superioare, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1989.

Colojoară, Alexandra, I. Colojoară, Analiză matematică: Rezolvarea problemelor din manual, Ed. Rotech Pro, București, 1997.

Colojoară, Ion, Analiză matematică, Ed. Didactică si Pedagogică, București, 1983.

Coman, G., Analiză numerică, Ed. Libris, Cluj, 1995.

Cuculescu, I., Analiză numerică, Ed. Tehnică, București, 1967.

Demidovich, B., Problems in Mathematical Analysis, Mir Publishers, Moscow, 1981.

Demidovitch, B., I. Maroni, Elements de calcul numerique, Ed. Mir, Moscou, 1973.

Dobrescu-Purice, L., M. Predeleanu, Matematici speciale, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1970.

Dodescu, G., Metode de calcul numeric, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1976.

Donciu, N., D. Flondor, Analiza matematică. Culegere de probleme, Ed. All, București, 1993.

Dumitrescu, B., C. Popeea, B. Jora, Metode de calcul numeric matriceal. Algoritmi fundamentali, Ed. All, București, 1998.

Ebânca, Dumitru, Metode de calcul numeric pentru algebră, Ed. Sitech, Craiova, 2005.

Fihtenholț, G. M., Curs de calcul diferențial și integral, Ed. Tehnică, București, 1965.

Godunov, S. R., V. S. Reabenki, Scheme de calcul cu diferențe, Ed. Tehnică, București, 1977.

Grigore, G., Lecții de analiză numerică, Universitatea București, 1998.

Gussi, Gh., O. Stănișilă, T. Stoica, Matematică – elemente de analiză matematică, manual pentru clasa a XI-a, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1996.

Iacob, C., D. Hometncovschi, N. Marcov, A. Nicolau, Matematici clasice și moderne, vol. 4, Ed. Tehnică, București, 1983.

Ichim, I., G. Marinescu, Metode de aproximare numerică, Ed. Academiei Române, București, 1986.

Ionescu, D. V., Ecuații diferențiale și integrale, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1972.

Ionescu-Țiu, Alexandra, I. Pirsan, Calcul diferențial și integral pentru admitere în facultate, Ed. Albatros, București, 1975.

Kantorovitch, L. V., V. I. Krylov, Metode aproximative ale analizei superioare, Gosudarstvennoe izd., Moskva, 1950.

Luzin, N. N., Calculul integral, Ed. Tehnică, București, 1959.

Marciuk, G. I., Metode de analiză numerică, Ed. Academiei, București, 1983.

Marinescu, Gh., Analiză numerică, Ed. Academiei, București, 1974.

Marinescu, Gh., Probleme de analiză numerică, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1978.

Marinescu, Gh., Teoria ecuațiilor diferențiale și integrale, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1963.

Martin, O., Probleme de analiză numerică, Ed. Matrix Rom, București, 1998.

Mărușter, Șt., Metode numerice în rezolvarea ecuațiilor neliniare, Ed. Tehnică, București, 1981.

Miculescu, Radu, Analiză matematică, note de curs, Ed. Universității din București, 2010.

Nicolescu, C. P., Teste de analiză matematică, Ed. Albatros, București, 1984.

Nicolescu, M., Calculul integral, Ed. Victoriei, București, 1949.

Nicolescu, M., Analiză matematică, Ed. Tehnică, București, 1957-1958.

Postolache, M., Metode numerice, Ed. Sirius, București, 1994.

Procopiuc, Gh., Matematică, Universitatea Tehnică Gh. Asachi, Iași, 1999.

Procopiuc, Gh., Gh. Slabu, M. Ispas, Matematică, teorie și aplicații, Ed. Gh. Asachi, Iași, 2001.

Rașa, I., T. Vladislav, Analiză numerică, Ed. Tehnică, București, 1998.

Samaraski, A. A., Introducere în metode numerice, Ed. Nauka, Moskva, 1987.

Sirețchi, Gh., Calcul diferențial și integral, vol. 1, Ed. Științifică și Eniclopedică, București, 1985.

Smoleanski, M. L., Tabele de integrale nedefinite, Ed. Tehnică, București, 1972.

Stancu, D. D., G. Coman, Analiza numerică și teoria aproximării, Ed. Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2001.

Șabac, U. G., P. Ciocârlan, O. Stănășilă, A. Topală, Matematici speciale, vol. 2, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1983.

Temam, R., Metode numerice de rezolvare a ecuațiilor funcționale, Ed. Tehnică, București, 1973.

Tudorache, Rodica, Culegere de probleme de analiză matematică, Universitatea Tehnică Gh. Asachi, Iași, 2000.

Udriște, C., V. Iftode, M. Postolache, Metode numerice de calcul, Ed. Tehnică, București, 1996.

Vladislav, R., I. Rașa, Analiza numerică, Ed. Tehnică, București, 1997.