Integrale Curbilinii

CUPRINS

Introducere

Cap.I: Integrale curbilinii.

§1.  Drum, drum rectificabil, curbă.

§2.  Integrale curbilinii de primul tip.

2.1. Integrala curbilinie de primul tip.

2.2. Reducerea la o Integrală Definită Obișnuită

2.3. Proprietățile integralelor curbilinii

§3. Integrale curbilinii de al doilea tip.

3.1. Integrale curbilinii de al doilea tip.

3.2. Formula de calcul a integralei curbilinii de al doilea tip

3.3. Proprietăți ale integralelor curbilinii de al doilea tip

Cap.II: Aria Suprafeței.Integrale de suprafață

§1.Suprafețe cu doua fețe

1.1. Reprezentarea parametrică a suprafeței.

1.2. Fața unei suprafețe.

1.3. Orientarea suprafețelor și alegerea feței.

1.4. Cazul suprafeței netede de porțiuni.

§2.Aria unei suprafețe strîmbe.

2.1. Definitia ariei unei suprafete curbe.

2.2. Exemplul lui Schwartz.

2.3. Aria suprafeței dată printr-o ecuație explicită.

2.4. Aria suprafeței în cazul general.

§3.Integrale de suprafață de primul tip.

3.1. Definiția integralei de suprafață de primul tip

3.2. Reducerea la o integrală dublă obișnuită

3.3. Aplicații ale integralelor de suprafață de primul tip în mecanică.

§4.Integrale de suprafață de al doilea tip

4.1. Definiția integralei de suprafață de al doilea tip

4.2. Reducerea la o integrală dublă obișnuită.

4.3. Formula lui Stokes.

Concluzie

Bibliografie

Anexă

Introducere

In analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a unei integrale se numește integrare. Spre deosebire de noțiunea înrudită de derivată, există mai multe definiții posibile ale integralei, fiecare cu suportul său tehnic. Acestea sunt însă compatibile. Oricare două moduri de integrare a unei funcții vor da aceleași rezultate când ambele sunt definite.

Principiile integrării au fost enunțate de Isaac Newton și Gottfried Wilhelm Leibniz la sfârșitul secolului al XVII-lea. Prin teorema fundamentală a calculului integral, pe care au dezvoltat-o independent unul de altul, integrarea este legată de derivare, iar integrala definită a unei funcții poate fi ușor calculată odată ce este cunoscută o primitivă a ei. Integralele și derivatele au devenit uneltele de bază ale analizei matematice, cu numeroase aplicații în știință și inginerie.

O definiție riguroasă a integralei a fost dată de Bernhard Riemann. Ea este bazata pe o trecere la limită prin care se aproximează aria unei regiuni curbilinii prin descompunerea acesteia în zone verticale subțiri. Din secolul al XlX-lea, au început să apară tipuri de integrale mai sofisticate, în care atât tipul funcției cât și domeniul peste care se face integrarea au început să fie generalizate. O integrală curbilinie este definită pentru funcții de două sau trei variabile, iar intervalul de integrare [a,b] este înlocuit de o anumită curbă care leagă două puncte din plan sau din spațiu. Intr-o integrală de suprafață, curba este înlocuită de o bucată de suprafață din spațiul tridimensional.

În general, o suprafață se definește astfel:

a) prin ecuații parametrice:

 b) printr-o ecuație explicită de tipul ;

c) într-un mod implicit de forma .

Pentru a prezenta integralele de suprafață este nevoie să prezint cîteva elemente de bază privind suprafețele,ca exemplu, o suprafață simplă S ce e întotdeauna orientabilă, cum ar fi banda lui Mobius.

La baza dezvoltării calculului integral a stat calculul ariilor unor suprafețe plane și de rotație. Primele metode ce permit calculul ariilor unor suprafețe plane au fost date de Arhimede, însă progrese în această direcție s-au făcut mult mai tîrziu, după ce Newton și Leibniz au pus bazele calcului integral. Cauchy și Riemann au fost cei care au fundamentat teoria clasică a integralei pentru o funcție reală de o variabilă reală. Apoi, Lebesgue, în lucrarea sa de doctorat, apărută în 1902, inițiază teoria modernă a noțiunilor de integrală și aplicațiile acesteia în particular, lungime și arie.

Cap.I:Integrale curbilinii.

§1.  Drum, drum rectificabil, curbă.

În matematică, o integrală curbilinie este o integrală în care funcția de integrare este evaluată de-a lungul unei curbe. Se folosesc mai multe tipuri de integrale curbilinii. În cazul în care curba este închisă, integrala curbilinie se

mai numește și integrală pe contur închis.

Fie xOy un reper cartezian în plan, i și j vectorii acestuia și cercul cu ecuație

Un punct M(x, y) aparținînd acestui cerc poate fi considerat ca imaginea unui punct t prin funcția vectorială de argument real

r(t) = ϕ(t)i + ψ(t)j (1.2)

definită pe intervalul compact [0, 2π] ⊂ R cu valori în , unde

t (1.3)

In această situație spunem că aplicația vectorială ale cărei valori se determină după legea (2), unde funcțiile și ψ sunt date în (3), realizează o reprezentare parametrică a cercului (1), iar argumentul t se numește parametrul acestei reprezentări.

Acest exemplu simplu sugerează introducerea de reprezentări parametrice și pentru alte mulțimi de puncte din plan.

Definiția 1.1 Fie un interval compact [a, b] ⊂ R. Se numește drum în plan o funcție vectorială de variabilă reală, continuă, .

Punctele A și B de pe vectorii de poziție r(a) si r(b) se numesc capetele sau extremitățile drumului. Imaginea drumului (d) este submulțimea a tuturor punctelor M(x, y) ale căror vectori de poziție sunt valori ale funcției r, adică

Dacă notăm cu r vectorul de poziție al unui punct M(x, y) ∈ I(d), atunci

(d) : r = r(t), t ∈ [a, b], (1.4)

unde: r = x i + y j; r(t) = (t)i + ψ(t)j. (1.5)

Din ecuația (4) ¸si notațiile (5), obținem

(d): (1.6)

Definiția 1.2 Cînd t parcurge intervalul [a, b] se spune că (6) constituie o reprezentare parametrică a imaginii drumului I(d) si a drumului (d), iar t se numește parametru. Relația (4) se numește ecuația vectorială a imaginii I(d) sau a drumului (d).

Definiția 1.3 Drumul (d) se numește închis dacă extremitățile sale coincid: dacă există t1, t2 ∈ [a, b], cu t1 ≠ t2, astfel încît r(t1) = r(t2), spunem că punctul

M1 ∈ I(d) (sau M2 ∈ I(d)) de vector de poziție

este punct multiplu al drumului. Un drum fără puncte multiple se numește simplu.

Definiția 1.4 Un drum (d) se numește neted pe porțiuni dacă se poate obține prin juxtapunerea unui număr finit de drumuri netede. Fie (d) drumul parametrizat în plan definit de (4) și ∆ ⊂ [a, b] mulțimea de puncte

Definiția 1.5 Drumul (d) se numește rectificabil dacă mulțimea L este mărginită superior. Marginea superioara a mulțimii L, dacă există, se numește lungimea drumului (d) și se notează cu l(d). Deci,

l(d) = sup L.

Teorema 1.1 Fie (d) un drum neted din a cărui imagine l(d) are reprezentarea parametrică (6). Atunci, (d) este rectificabil și

Definiția 1.6 Curbele C1 și C2 se numesc juxtapozabile, dacă există drumurile (d1) ∈ C1 și (d2) ∈ C2 cu (d1) și (d2) juxtapozabile. În acest caz, clasa de echivalență a drumului (d1 ∪ d2) se numește juxtapusa curbelor C1 și C2 și se notează cu (C1 ∪ C2). Curba C se numește netedă pe porțiuni dacă este juxtapunerea unui număr finit de curbe netede.

În cele ce urmează, identificînd drumurile echivalente între ele, vom folosi termenul de imaginea curbei în aceeași accepțiune ca termenul imaginea drumului. Noțiunea de drum sau cea de curbă va fi desemnată de cel mai multe ori printr–o reprezentare parametrică. În loc de imaginea curbei vom spune tot curbă dacă acest lucru nu creează confuzii.

Observația 1.1 Toate considerațiile de mai sus se transpun fără dificultate pentru curbe în spațiul tridimensional sau curbe în spațiu cu modificările impuse de apariția celei de a treia coordonată. De exemplu, dacă

este reprezentarea parametrică a drumului neted (d) în spațiu, lungimea sa va fi

unde r = r(t) este ecuația vectorială a drumului, r(t) = (t)i+ψ(t)j+χ(t) k, iar k este cel de al treilea vector al reperului cartezian Oxyz din

§2.  Integrale curbilinii de primul tip.

2.1 Integrala curbilinie de primul tip.

Pentru a ajunge în mod natural la această noțiune, vom considera o problemă

mecanică, care ne va conduce la aceasta.

Să presupunem că se dă într-un plan o curbă simplă continuă (K) (fig. 1.), de- a lungul căreia este repartizată o masă, a căreia densitate liniară (de repartiție) este cunoscută în fiecare punct M al curbei. Se cere să se determine masa m a întregii curbe (K).

In acest scop,luăm între capetele A și B ale curbei în mod arbitrar punctele pentru simetria notațiilor, se ia și identice respective cu A și B). Presupunem că aceste puncte sînt numerotate în sensul de la A spre B, deși nimic nu ne-ar împiedica să le numerotăm și în sens invers.

Luînd un punct oarecare , de pe arcul al curbei, să calculăm densitatea în acest punct. Considerînd că densitatea este aproximativ aceeași în toate punctele acestui segment și notînd cu lungimea arcului ,vom avea pentru masa, a acestui arc expresia aproximativă

,

Iar pentru întreaga masă,expresia

Eroarea acestei expresii, datorită ipotezei de aproximare tăcută mai înainte, va tinde către zero, dacă lungimile ai ale tuturor segmentelor tind către zero. Așadar, notînd cu cea mai mare dintre lungimile ai pentru a obține formula masei, rămîne numai să trecem la limită:

Vom studia în general limitele de acest fel și, făcînd abstracție de problema considerată mai înainte, vom lua o „funcție de punct” arbitrară f(M)=f(x, y), definită de-a lungul curbei continue simple rectificabile (K) și vom repeta operația: împărțind curba (K) în arce elementare și luînd în mod arbitrar pe ele cite un punct ) calculăm valorile în aceste puncte și formăm suma

Care reprezintă tot o „sumă integrală”.

Un procedeu analog poate fi aplicat și în cazul unei curbe închise, dacă se alege ca punct A0 (An) un punct oarecare al ei și dacă se iau celelalte puncte ,pe curbă într-un sens sau în celălalt.

Dacă, pentru =max ,tinzînd către zero, suma integrală are o limită I finită, care nu depinde nici de diviziunea de pe curba (K), nici de alegerea punctelor pe segmentele ,atunci funcția f(M)=f(x, y) se numește integrală pe (K). Limita I se numește integrala curbilinie (de primul tip) a funcției f(M)=f(x,y), pe curba sau pe drumul (K) și se notează cu simbolul I

(2.1)

(unde s este lungimea arcului de curbă, iar ds amintește de lungimile elementare ).

Așadar, expresia obținută mai înainte pentru masa unui arc de curbă material poate fi transcrisă astfel

(2.2)

Relevam în mod special că în definiția de mai înainte nu joacă nici un rol sensul în care poate fi parcurs drumul (K). Dacă, de exemplu, această curbă nu este închisă, iar prin (AB) și (BA) se înțeleg curbe avînd sensuri diferite, atunci

În mod anolog am putea extinde noțiunea de integral pe o curbă (K) în spațiu.

(2.3)

Avînd în vedere că nu intervin elemente principale noi, nu este necesar să intrăm aici în amănunte.

2.2 Reducerea la o Integrală Definită Obișnuită

Să presupunem că pe curba (K) s-a stabilit în mod arbitrar sensul de parcurs (unul din cele două posibile), așa încît poziția punctului M pe curbă poate fi determinată prin lungimea arcului, care se măsoară de la punctul inițial A. Atunci curba (K) se exprimă parametric printr-o ecuație de forma

x=x(s), y=y(s)

iar funcția f(x, y), definită în toate punctele curbei, este funcție compusă f(x(sntegrală pe (K). Limita I se numește integrala curbilinie (de primul tip) a funcției f(M)=f(x,y), pe curba sau pe drumul (K) și se notează cu simbolul I

(2.1)

(unde s este lungimea arcului de curbă, iar ds amintește de lungimile elementare ).

Așadar, expresia obținută mai înainte pentru masa unui arc de curbă material poate fi transcrisă astfel

(2.2)

Relevam în mod special că în definiția de mai înainte nu joacă nici un rol sensul în care poate fi parcurs drumul (K). Dacă, de exemplu, această curbă nu este închisă, iar prin (AB) și (BA) se înțeleg curbe avînd sensuri diferite, atunci

În mod anolog am putea extinde noțiunea de integral pe o curbă (K) în spațiu.

(2.3)

Avînd în vedere că nu intervin elemente principale noi, nu este necesar să intrăm aici în amănunte.

2.2 Reducerea la o Integrală Definită Obișnuită

Să presupunem că pe curba (K) s-a stabilit în mod arbitrar sensul de parcurs (unul din cele două posibile), așa încît poziția punctului M pe curbă poate fi determinată prin lungimea arcului, care se măsoară de la punctul inițial A. Atunci curba (K) se exprimă parametric printr-o ecuație de forma

x=x(s), y=y(s)

iar funcția f(x, y), definită în toate punctele curbei, este funcție compusă f(x(s),y(s)) de variabila s.

Dacă se notează cu lungimile arcului corespunzătoare punctelor de diviziune , alese pe curbă, atunci, evident, Notînd cu valorile lui s care definesc punctele (știind, evident, că ), vedem că suma integrală a integralei curbilinii

Este în același timp și suma integrală a unei integrale definite obișnuită, așa că rezultă imediat

deoarece existența uneia dintre integrale atrage după sine și existența celeilalte.

Această proprietate a integralei curbilinii de primul tip de a se reduce direct la o integrală obișnuită îi micșorează importanța teoretică, totuși ea își păstrează toată importanța metodică.

Integrala, evident, există, de exemplu, în cazul în care funcția f(M) este continuă, ceea ce vom presupune de aici înainte.

Fie acum curba simplă (K) dată prin ecuațiile parametrice

în care funcțiile sunt continue împreună cu derivatele lor .Atunci curba este, evident, rectificabilă și dacă creșterea arcului s= =s(t) corespunde unei creșteri a parametrului t, avem

(2.6)

Făcînd schimb de variabila în integrala din membrul al doilea a relației (2.6) obținem imediat

Așadar, pentru calculul unei integrale curbilinii de primul tip, este necesar să se înlocuiască în funcția de sub integrală variabilele x și y cu expresiile coordonatelor în funcție de un parametru, iar factorul ds cu diferențiala arcului în funcție de parametru. Subliniem că limita inferioară a integralei definite trebuie să fie mai mică decît cea superioară.

În cazul unei curbe dată prin ecuația explicită

formula ia forma

Acestei relații i se poate da și o altă formă. În ipoteza continuității funcției
y(x) împreună cu derivata sau y(x), curba (K) va avea în fiecare punct o anumită
tangentă neparalelă cu axa Oy. Notînd cu unghiul acestei tangente cu axa Ox,
obținem

Deaceea

În particular

în care cu S s-a notat lungimea întregii curbe(K), avem

Observații: Formula a fost obținută în urma unor transformări ca formă. Dacă am defini lungimea arcului de curbă ca limită a lungimii liniei frînte înscrise, această definiție – în cazul în care curba este dată explicit – ar conduce direct la
formulă.

2.3 Proprietățile integralelor curbilinii

Proprietățile integralelor curbilinii de primul tip sunt analoage celor ale integralelor definite și sunt implicate direct de către acestea din urmă prin formulele de calcul care dau legăturile integralelor curbilinii de primul tip în plan și respectiv în spațiu cu integrale definite.

liniaritatea. Dacă funcțiile f(M) și g(M) sunt integrabile de–a lungul curbei (AB) și λ și µ sunt constante reale arbitrare, atunci funcția (λ f + µ g)(M) este integrabilă pe (AB) și are loc egalitatea

monotonia. Dacă f(M) este o funcție nenegativă integrabilă pe curba (AB), atunci

aditivitatea. Dacă arcul (AB) este juxtapunerea a două arce netede sau netede pe porțiuni (AC) ¸si (CB), egalitatea

are loc cînd integralele care apar există; integrala din membrul stîng există dacă și numai dacă ambele integrale din membrul drept există.

evaluarea modulului integralei curbilinii. Dacă f(M) este integrabilă pe (AB), atunci funcția |f(M)| este de asemenea integrabilă pe (AB) și

teorema valorii medii. Dacă f(M) este funcție continuă pe o curbă netedă sau netedă pe porțiuni de lungime L, atunci există un punct ∈ (AB) astfel încît

L

independența integralei curbilinii de primul tip de orientarea arcului de curbă pe care se integrează. Alegerea sensului de parcurs pe arcul de curbă neted sau neted pe porțiuni (AB) nu influențează valoarea integralei curbilinii de primul tip pe (AB), în sensul că

,

fapt ce a fost menționat și în paragraful precedent.

§3. Integrale curbilinii de al doilea tip.

3.1. Integrale curbilinii de al doilea tip.

Trecînd la noțiunea de integrală curbilinie de al doilea tip, care este mai
importantă din punct de vedere practic. Fie o curbă (AB) și să presupunem că de-a
lungul său este dată iarăși o funcție oarecare f(x, y). Împărțind curba prin punctele
în segmente, alegem pe segmentul de curbă în mod arbitrar, un
punctși calculăm ca și mai înainte, valoarea funcției f( ) în acest punct. De data aceasta, însă, nu înmulțim această valoare cu lungimea arcului ci cu mărimea proiecției acestui arc, să zicem, pe axa Ox, adică cu
apoi scriem suma

Dacă, atunci cînd =max tinde către zero, această sumă are o
limită finită I care nu depinde de modul cum s-a divizat curba,de alegerea

Punctelor funcția f(M)=f(x, y) se numește integrabilă.Limita I se numește

integrală curbilinie (de al doilea tip) a funcției f(M), luată pe curbă sau pe drumul
(AB), și se notează cu simbolul

în mod analog, înmulțind valoarea lui f() nu cu ci cu adică cu proiecția arcului pe axa Oy, și scriind suma

Vom obține ca limită a ei o integrală curbilinie (de al doilea tip) a lui F(M)

Dacă de-a lungul curbei (AB) sînt definite două funcții P(M)=P(x, y) și Q(M)=Q(x, y) și dacă există integralele

Atunci și suma lor se numește integrală curbilinie (de forma generală) și se scrie:

Să comparăm acum definiția integralei curbilinii de al doilea tip cu definiția integralei curbilinii de primul tip [§1]. Deși se aseamănă evident, cele două definiții au o deosebire esențială: în cazul integralei de primul tip, cînde se scrie suma integralei, valoarea funcției f() se înmulțește cu lungimea segmentului de curbă iar în cazul integralei de al doilea tip, această valoare a lui f() se înmulțește cu proiecția A (sau ) a segmentului menționat pe axa Ox (sau pe axa Ov).

Sensul drumului (AB) de-a lungul căruia se efectuează integrarea nu are un rol în cazul integralei de primul tip, căci lungimea , a arcului nu depinde de sensul acestuia. Altfel se întîmplă cu integrala de al doilea tip: proiecția arcului pe una sau pe cealaltă din axe depinde de sensul arcului și-și schimbă semnul cînd acest sens se inversează. Așadar, pentru integralele de al doilea tip avem

și, în mod analog,

în mod asemănător se poate deduce noțiunea de integrală curbilinie de al doilea tip extinsă la o curbă în spațiu (AB). Într-adevăr, dacă funcția f(M)=f(x,y) este definită în punctele acestei curbe, atunci, ca și mai înainte,scriem suma

și considerăm limita ei cînd tinde către zero. Această limită se numește integrala curbilinie(de al doilea tip) a lui f(M) și se notează cu simbolul

În mod analog se defines integralele de forma

și

În sfîrșit , forma generală este

Și în acest caz schimbarea sensului de integrare face să se schimbe semnul integralei.

În închiere, observăm că proprietățile elementare ale integralei definite obișnuite se transpun cu ușurință la integrala curbilinie considerată mai înainte

3.2.Formula de calcul a integralei curbilinii de al doilea tip

Teorema care dă formula de calcul a integralei curbilinii de primul tip și cea care dă legătura dintre integralele curbilinii de primul și cel de al doilea tip implică următorul rezultat pe care, din motive de simplitate a scrierii formulelor, îl vom formula pentru cazul în care curba se află în planul Oxy.

Teorema 3.1 Fie = (AB) o curbă netedă de ecuații parametrice

x = (t), y = ψ(t), t ∈ [a, b]

și F = P i + Q j o funcție vectorială de două variabile reale definită întrun domeniu plan D care cont¸ine arcul C. Atunci, avem următoarea relație

(3.4)

dacă integralele care intră în componența ei există. Mai mult, integrala din membrul stîng există dacă integrala definită din membrul al doilea există.

Formulele de calcul (3.3) și (3.4) se pot scrie vectorial în forma

cu mențiunea că în cazul integralei curbilinii în planul xOy, mărimile care intervin au expresiile

iar în cazul integralei curbilinii în spațiu, aceleași mărimi au semnificațiile

Să considerăm unele cazuri particulare importante ale formulei de calcul a integralei curbilinii de tipul al doilea în plan. Dacă curba = (AB) din planul xOy este determinată de ecuația y = y(x), x ∈ [a, b]

Formula (2) devine

În particular, dacă (AB) este un segment de dreaptă paralelă cu axa Ox, deci de ecuație y = y0 , x ∈ [a, b], fapt ce implică = 0, atunci formula de calcul a integralei curbilinii de tipul al doilea este

In mod similar, pentru o curbă plană determinată de ecuația

x = x(y), y ∈ [c, d],

formula corespunzătoare de calcul a integralei curbilinii este

Dacă (AB) este un segment de dreaptă paralel cu axa Oy, descris de ecuația

x = x0, y ∈ [c, d],

avem = 0 ¸si formula de calcul (3.7) devine

3.3Proprietăți ale integralelor curbilinii de al doilea tip

Din modul cum a fost definită integrala curbilinie de al doilea tip

deducem că un factor constant poate fi scos în afara semnului de integrală ¸si că integrala unei sume de funcții vectoriale este suma integralelor funcțiilor termeni. Ambele proprietăți pot fi exprimate prin egalitatea

unde λ ¸si µ sunt constante reale arbitrare, iar F ¸si G sunt cîmpuri vectoriale integrabile pe curba în raport cu coordonatele. O altă proprietate important a integralei curbilinii de al doilea tip (1) este dependența sa de orientarea curbei, fapt care se exprimă prin egalitatea

a cărei demonstrație este simplă. Într-adevăr, dacă schimbăm direcția în care curba = (AB) este parcursă trebuie să înlocuim cantitțile ∆xi și ∆yi , care intră în suma integrală prin − ∆xi și respectiv − ∆yi . Această înlocuire schimbă semnul sumelor integrale și, în consecință, semnul limitei lor ceea ce conduce la (3.7).

Cap.II:Aria Suprafeței.Integrale de suprafață

§1.Suprafețe cu doua fețe

1.1.Reprezentarea parametrică a suprafeței.

Să revenim la problema reprezentării analitice a suprafeței în spațiu.

Reprezentarea parametrică a curbei în spațiu:

(1.1)

deci poziția unui punct pe curbă se definește prin valoarea unui parametru t, care varează într-un oarecare interval. La definirea poziției unui punct pe o suprafață, dată de o ecuație explicită, să zicem z=f(x,y), (1.2)

am avut de a face deja cu doi parametri, rolul cărora îl joacă aici abscisa x și ordonata y. In cazul general, în calitate de parametri apar două variabile arbitrare u și v, și suprafața se reprezintă parametric prin trei ecuații:

(1.3)

unde funcțiile ,, sînt definite și continue într-un domeniu oarecare(A) pe “planul parametric” uv.

Drept caz principal ne va servi cazul, cînd fiecare punct al suprafeței se obține pentru o pereche de valori ale parametrilor, deci ecuațiile (1.3) stabilesc o corespondență biunivocă între punctele suprafeței și punctele domeniului plan(); această suprafață se numește simplă. Aici vom presupune, că atît domeniul ()cît și suprafața sînt mărginite de contururi simple închise; ele corespund în mod necesar unul altuia conform formulelor (1.3).

Parametrii u și v poartă denumirea de coordonate curbilinii ale punctului corespunzător. Dacă vom fixa în ecuațiile (3) valoarea uneea din coordonatele curbilinii, de exemplu vom pune u=uo, atunci vom obține, evident, ecuațiile unei curbe

toate punctele căreea se află pe suprafață. Variind valoarea lui uv, obținem o familie întreagă de “curbe (u)” de felul acesta. In mod analog, fixînd valoarea v=v0 vom obține de asemenea o curbă pe suprafața noastră

“curbele (v)” formează și ele o familie întreagă de curbe. Toate liniile de acest fel sînt numite linii de coordonate ale suprafeței. Dacă suprafața este simplă, atunci prin fiecare punct al ei trece cîte o singură linie de coordonate din fiecare familie.

Pină acum noi am făcut cunoștință cu cele expuse mai sus pentru cazul, cînd suprafața este plană!

Să presupunem acum, că funcțiile (1.3) nu sînt numai continue, ci au în domeniul ()și derivate parțiale continue de ordinul întîi și să considerăm matricea funcțională

Să presupunem, că pentru valorile parametrilor (u0, v0), care determină punctul Mo(x0,y0,z0) al suprafeței, diferă de zero cel puțin unul din determinații de ordinul doi ai matricei (1.4), de exemplu,

Atunci,scriind primele două ecuații (1.3) sub forma

putem afirma, pe baza teoremei, că acest sistem de două ecuații cu patru variabile u, v, x, y (dacă ne vom limita la valorile lor apropiate de cele ce ne interesează: u0, v0, x0, y0) variabilele u, v definește ca funcții univoce de x,y: u=u(x, y), v=v(x, y), continue împreună cu derivatele lor. Substituind aceste valori ale lui u, v în ecuația a treia (1.3), obținem reprezentarea părții de suprafață, care înconjoară punctul Mo, prin ecuația explicită

Z=X(u(x,y),v(x,y))=f(x,y)

de tipul (1.2); funcția f este și ea continuă și are derivate continue.

Această reprezentare poate fi imposibilă numai atunci , cînd cei trei determinați ai matricei (1.4) se anulează toți în acelaș timp (în cazul acesta punctul corespunzător M0 al suprafeței se numește singular).

Să luăm pe o suprafață simplă (3) un oarecare punct nesingular M(x, y, z). Atunci, după cum am văzut mai sus, într-o vecinătate a acestuia suprafața poate fi reprezentată printr-o ecuație explicită de un anumit tip și, în punctul M avem un plan tangent. Ecuația acestui plan poate fi scrisă sub forma

A(X-x)+B(Y-y)+C(Z-z)=0, (1.5)

în care coeficienții A, B, C trebue determinați.

Dacă în ecuațiile suprafeței atribuim lui v o valoare corespunzătoare punctului ales M, obținem ecuația “curbei (v)”, care trece prin acest punct.

Tangenta la această curbă în punctul M se va exprima prin ecuațiile

Deoarece aceste două tangent trebuie să se afle în planul (1.5),sunt satisfăcute condițiile

În acest caz coeficienții A, B, C trebuie să fie proporționali cu determinații matricei

Mai menționăm, că cosinusurile directoare ale normalei vor fi

(1.6)

Pină acum ne-am limitat la suprafețe simple. In cazul general vom considera atît suprafețe mărginite de contururi, cît și suprafețe închise formate dintr-un număr finit de bucăți simple, alăturate una de alta, dar care nu se intersectează. Dacă așa o suprafață de “forma generală” se reprezintă parametric prin ecuațiile (1.3), dispare corespondența biunivocă dintre punctele ei (ale suprafeței) și punctele domeniului plan ().

1.2. Fața unei suprafețe.

Vom stabili o noțiune importantă pentru expunerea ulterioară – noțiunea de față a unei suprafețe. În unele cazuri această noțiune e clară intuitiv. Dacă suprafața este dată printr-o ecuație explicită de forma z=f(x, v), se poate vorbi despre fața superioară sau fața inferioară a suprafeței. Dacă suprafața mărginește un corp oarecare, e de asemenea ușor să ne imaginăm două fețe ale ei – una interioară, îndreptată spre corp și alta exterioară, îndreptată spre spațiul care înconjoară corpul.

Pornind de la această reprezentare intuitivă, vom da acum o definiție exactă a noțiunii de față a unei suprafețe.

Să considerăm suprafața (S), închisă sau nu, și să presupunem, că în fiecare punct al suprafeței există un anumit plan tangent, poziția căruia variază continuu cu punctul de tangență.

Luînd pe suprafață un anumit punct M, ducem în acest punct normala, căreea îi atribuim un sens – unul din cele două posibile (ele diferă unul de altul prin semnele cosinusurilor directoare). Ducem pe suprafață un contur închis, care pornește din M0 și se întoarce în acelaș punct M0, și presupunem, că el nu intersectează marginile suprafeței (dacă aceasta din urma există). Facem ca punctul M să parcurgă acest contur și în fiecare din pozițiile sale succesive

atribuim normalei sensul, în care se transformă neîncetat sensul ales în poziția inițială a lui M0. Aici pot fi două cazuri: sau după parcurgerea conturului ne vom întoarce în punctul Mo cu sensul inițial al normalei, sau – cu sens opus celui inițial.

Dacă pentru un punct oarecare M0 și un contur M0AM0, care trece prin acest punct, are loc situația de mai sus, atunci și pentru orice alt punct Mi se poate construi ușor un contur închis, care, pornind din Mi, și întorcîndu-se tot în , ne va aduce în acest punct cu un sens al normalei opus celui inițial. Așa va fi, de exemplu AM,dacă prin se subînțelege o curbă, care trece de-a lungul suprafeței și unește punctele , dar nu intersectează marginile suprafeței, iar prin – aceeași curbă în sens contrar.

În acest caz suprafața se numește suprafață cu o singură față. Un exemplu classic de așa suprafață este așa numita banda lui Mebius. Modelul ei se poate obține în felul următor; răsucim o bucată de hîrtie dreptunghiulară ABCD, o singură dată și lipim capetele ei în așa fel, ca punctul A să coincidă cu punctul C, iar B cu D. Dacă începem să vopsim interiorul răsucit într-o culoare oarecare, vom putea vopsi cu această culoare întreg inelul, fără a trece peste marginile acestuia. în cele ce vor urma nu vom considera astfel de suprafețe.

Să presupunem acum, că indiferent care ar fi punctul M0 și indiferent care ar fi conturul închis, care trece prin M0 și nu intersectează marginile suprafeței, după ce îl vom parcurge ne vom întoarce neapărat în punctul inițial M0 cu acelaș sens al normalei ca la început. In aceste condiții suprafața se numește cu două fețe.

Fie S o suprafață cu două fețe. Să luăm pe dînsa un punct arbitrar M0 și să atribuim normalei în acest punct un anumit sens. Luînd un alt punct oarecare pe această suprafață, unim M0 cu pe o cale arbitrară (K), situate pe suprafață și care nu intersectează marginile ei; după aceasta facem ca punctul M să treacă pe această cale din M0 în . Dacă în acest timp vom schimba neîncetat direcțiea normalei, punctul M va veni în poziția cu normala care va avea un sens perfect determinat, ce nu va depinde de felul cum a fost aleasă calea (K). Intr-adevăr, dacă, ajungînd din punctul Mo în punctul pe două căi diferite () și (), am obține în punctul Mi diferite sensuri ale normalei, atunci conturul închis Mo() () Mo ne-ar aduce în punctul M0 cu normala, a cărei sens diferă de sensul inițial, ceea ce ar contrazice definiția suprafeței cu două fețe.

Așa dar, pe o suprafață cu două fețe alegerea sensului normalei într-un punct determină în mod unic alegerea sensului în toate punctele suprafeței. Totalitatea punctelor suprafeței cu sensuri atribuite normalelor în aceste puncte după regula indicată se numește fața determinată a suprafeței

1.3. Orientarea suprafețelor și alegerea feței.

Fie (S) o suprafață netedă simplă, mărginită de un contur simplu (L); să

alegem o anumită față a acestei suprafețe. Alegem acum pentru conturul (L) un anumit sens de parcurgere drept sens pozitiv după urmatoarea regulă; parcurgerea trebue să pară că are loc în sens opus mișcării acelor ceasornicului unui observator, care se deplasează în acest sens de-a lungul conturului așa, încît normala la suprafața, corespunzătoare feței alese, îl străbate de la picioare spre cap.

Cuvintele “în sens opus mișcării acelor de ceasornic” înseamnă, mai exact, că observatorul trebue să vadă de la stingă partea vecină cu el a suprafeței. După aceeaș regulă se stabilește în acelaș timp sensul pozitiv de parcurgere pentru fiecare contur simplu inchis situate pe suprafață și care mărginește o parte a acesteia.Sensul de parcurgere invers celui pozitiv îl vom numi negative.

Toate acestea în ansamblu formează conținutul noțiunii de orientare a unei su- prafețe

Dacă vom pleca de la cealaltă față, atunci normalele iși vor schimba sensul în opus, se va modifica și poziția observatorului, și în legătură cu aceasta trebue să inversăm sensurile positiv și negativ de parcurgere a conturului (L) și a altor contururi de pe suprafață; deci suprafața își schimbă orientarea. Așa dar, dacă se respectă întotdeauna regula stabilită, alegerea feței unei suprafețe definește orientarea ei și, invers, alegerea sensului positiv ele parcurgere a unui contur al suprafeței definește în mod unic fața ei.

Nota: La baza acestei reguli se află rotația în sens opus mișcării acelor de ceasornic, și pentru a evita încurcături ne vom baza întotdeauna pe acest fapt.

Cu aceasta vom lega și însăși poziția axelor de coordonate în spațiu. în toate problemele, pentru care acest lucru are însemnătate, ne vom folosi de așa numitul sistem de coordonate drept: în acest sistem acsele sînt aranjate în așa fel, ca rotația de la axa x spre axa y (cu un unghi +), dacă o vom privi din partea pozitivă a axei z, pare că avînd loc în sens opus mișcării acelor de ceasornic.

Vom da acum o aplicație a ideii expuse mai sus despre legătură dintre alegerea feței unei suprafețe și crearea unei anumite orientări în problema alegerii semnului în formulele (6) pentru cosinusurile directoare ale normalei la suprafață.

Să revenim la suprafața (S), considerată la începutul acestui paragraf, și să presupunem, că pe ea a fost aleasă o anumită față, și odată cu dînsa și o anumită orientare. Conturul (L) al suprafeței noastre corespunde conturului (A) al domeniului () pe “planul parametric” uv. Să presupunem, că sensului pozitiv de parcurgere a conturului (A) îi corespunde sensul pozitiv ele parcurgere al conturului (L). Atunci și pentru orice contururi (X), corespunzătoare unul altuia din domeniile () și (l) de pe suprafață (S), se repetă acelaș lucru: sensul pozitiv de parcurgere a lui () atrage după sine sensul pozitiv de parcurgere a lui (I).

În aceste condiții, pentru caracterizarea feței alese a unei suprafețe, în formulele (1.6) pentru cosinusurile directoare ale normalei trebue să luăm înaintea radicalului semnul plus.

Pentru a demonstra acest lucru, e suficient să stabilim, că cel puțin într-un punct sensul determinat de aceste formule cu semnul plus coincide cu sensul cerut al normalei. Să luăm pe suprafața un oarecare punct interior Mo; acestui punct îi corespunde punctul M0 (u0.v0) din domeniul (). Să presupunem, că în acest punct este diferit de zero, să zicem determinatul

Atunci se va găsi o vecinătate atît de mică a punctului mo pe planul uv, mărginită de conturul (), încît vecinătatea care-i corespunde a punctului Mo pe suprafața (S), mărginită de conturul (l), va putea fi reprezentată printr-o ecuație explicită de forma z=f(x, y) și, deci, se proectează pe planul xy în mod biunivoc. Să notăm conturul acestei proiecții pe planul xy prin (k).

Dacă în punctul considerați în vecinaătatea lui determinatul C>0, atunci sensului pozitiv de parcurgere a conturului () îi corespunde tot sensul pozitiv de parcurgere (adică în cazul poziției alese a axelor – parcurgerea în sens opus mișcării acelor de ceasornic) a conturului (k). După cum se vede din figură, pentru ca parcurgerea corespunzătoare a conturului (/) de pe suprafață să pară că are loc în sens opus mișcării acelor de ceasornic, el trebuie să fie privit de sus, așa că în acest caz normala în punctul M0 trebuie să fie îndreptată în sus, adică trebuie să formeze cu axa z un unghi ascușit. Acest lucru are loc, conform formulelor (1.6), dacă luăm în ele semnul plus, deoarece, dacă C>0, atunci și cosy>0. Invers, dacă C<0, normala trebuie să formeze cu axa z un unghi obtuz, ceea ce se realizează, de fapt,
tot pentru semnul ales în modul indicat mai înainte, deoarece dacă C<0 avem
cos y<0.

1.4.Cazul suprafeței netede de porțiuni.

Ideile dezvoltate mai sus ne dau dovadă de asemenea un mijloc comod
pentru extinderea noțiunii de față a unei suprafețe asupra cazului general – cazul
unei suprafețe, formate din cîteva bucăți simple și netede; așa o suprafață se
numește pe scurt suprafață netedă pe porțiuni. In acest caz nu pot fi aplicate direct
raționamentele expuse anterior, deoarece de-a lungul «muchiilor», care unesc
porțiunile de suprafațănu există un plan tangent determinat, și la trecerea prin ele
nu poate fi vorba despre o variație continuă a direcției normalei.

Fie dată o suprafață (S), alcătuită din porțiuni simple și netede (S1), (S2) …, care vin
în contact una cu alta după o muchie, care este partea comună a contururilor lor. Să
presupunem în primul rînd, ca fiecare din aceste porțiuni în parte reprezintă o
suprafață cu două fețe. Dar aceasta, se înțelege, nu e suficient pentru ca toată
suprafața (S) să poată fi considerată cu două fețe; doar și suprafața lui Mebius se
poate compune ușor din două porțiuni simple și netede cu două fețe.

Pe conturul () al fiecărei porțiuni (Si)(i=l,2,…) alegem ca sens pozitiv unul din cele două sensuri; în felul acesta, după cum am mai văzut se fixează fața suprafeței (Si).Dacă această alegere se poate face în asa fel, încît întotdeauna partea comună a două contururi vecine să fie descrisă în sensuri opuse, numai atunci suprafața (S) va fi cu două fețe. Fața suprafeței (S) se definește ca totalitatea fețelor porțiunilor sale alese în modul indicat.

Dacă cel puțin într-un caz sensul de parcuregerea conturului se înlocuiește cu sensul opus, atunci, pentru respectarea condiției noastre, trebuie să facem acelaș lucru cu toate contururile. Atunci și fețele alese ale tuturor porțiunilor Si se vor înlocui cu cele opuse lor; totalitatea lor va forma a doua față a suprafeței. Raționamentele expuse anterior relativ la legătura dintre fața suprafeței și orientarea ei rămîn juste și în cazul general al unei suprafețe, care are contur.

§2.Aria unei suprafețe strîmbe.

2.1. Definitia ariei unei suprafete curbe.

Vom considera suprafața netedă neînchisă (S) mărginită de conturul (L) neted pe porțiuni. Să ne închipuim această suprafată descompusă cu ajutorul unei rețele de curbe netede de porțiuni,în părțile

(S1), (S2) ,…, (Sn)

și să alegem în fiecare parte (Si) în mod arbitrar cîte un punct (Mi)(i=1,2,…,n) proiectînd ortogonal elementul (Si) pe planul tangent la suprafață în punctul Mi, vom obține în proiecție figura planului (Ti) cu aria Ti.

Vom numi arie a suprafeței (S) limita S a sumei acestor arii Ti(i=1,2,…n)cu condiția că diametrele tuturor elementelor (Si) să tindă către zero.

Dacă se noteaza cu cel mai mare dintre diametrele amintite,se poate scrie

Cititorul va restabili cu ușurință caracteristica exactă a acestui proces de limită atît în limbajul , cît și în “limbajul șirurilor”

O suprafață care are o arie se numește carabila.

Observatie : Pentru ca definiția formulată mai înainte să capete un sens precis ,vom stabili următoarea afirmație ajutătoare:

Fiecare parte (S1) a suprafeței (S),cu diametru suficient de mic ,se proiectează pe planul tangnt în orice punct M1 al acestui plan în mod biunivoc

Așadar ,dacă diametrele tuturor elementelor (Si) ale suprafeței ,despre care se va arăta în paragraful urmator, sînt suficient de mici , proiecțiile lor (Ti) pe planele tangente corespunzătoare reprezintă niște figuri plane perfecte determinate, mărginite de curbe netede pe porțiuni vădit carabile,iar suma ∑ Ti are sens.

Să trecem la demonstrație .Fie suprafața (S) dată prin ecuațiile parametrice

x=x(u,v), y=(u,v), z= (u,v) (1.7)

în care (u,v) variază în domeniul mărginit de conturul ,neted pe porțiuni din planul u0v.Să presupunem că între punctele lui (S) si s-a stabilit o corespondență biunivocă și că punctelor conturului le corespund punctele conturului (L) al suprafeței.

Pentru a înlătura unele dificultăți în legătură cu punctele conturului, este simplu să se prelungească dinainte funcțiile (1.7) menținîndu-se proprietățile lor diferențiale la un domeniu mai larg ,cu scopul de a obține o suprafață tot netedă,care este un fel de prelungire a suprafeței (S).

Fiecare punct M0 al suprafeței (S) poate fi înconjurat cu o astfel de porțiune (s) a suprafeței (S) sau [ ,dacă este vorba de un punct al conturului], încît această porțiune să se exprime printr-o ecuație explicită de unul dintre cele 3 tipuri și totodata să se proiecteze pe planul respectiv de coordonate intr-un cerc oarecare .Se poate presupune ,in plus că normalele în 2 puncte ( s) nu sînt niciodata perpendiculare una pe alta (la acest rezultat se ajunge ușor prin micșorarea diametrului domeniului ). Atunci afirmăm că porțiunea (s) de suprafață se proiectează pe planul tangent intr-un punct oarecare M al său în mod biunivoc.

Pentru a demonstra acest lucru ,vom presupune contrariul. În acest caz ,se vor găsi pe (s) trei puncte M1,M2,M3 în așa fel încît coarda M1M2 să fie paralelă cu normala la suprafață în punctul M3 (fig 1.) Să mai presupunem că suprafața ( s) se exprimă ,să zicem că ,printr-o ecuație explicită de forma

z=f ( x,y),

în care punctul M(x,y) din planul x0y descrie un cerc (k). Ducem prin coarda M1M2 un plan paralel cu axa Oz, el va intersecta suprafața (s) după un arc oarecare M1M2. (adica faptul că segmentul M1M2 în care se proiectează coarda M1M2 pe planul x0y face parte în întregime din cercul c). După cum știm, pe acest arc se va gasi un punct M4,în care tangenta este paralelă cu coarda . Dar atunci normala la suprafață în punctul M4 va fi,desigur,perpendiculara pe această coardă si, deci și pe normala in punctul M3, ceea ce contrazice ipoteza etc.

Pentru ca , bazîndu-ne pe acest rezultat ,să demonstrăm acum afirmația enunțată la început vom proceda astfel . Pentru fiecare punct M0 al suprafeței (S) înlocuim „vecinătatea” (s) a lui mentionată mai inainte cu o „vecinătate” (s1) mai ingustă , în așa fel încît contururile să nu aibă puncte comune. Punctului M0 și porțiunii de suprafață (s1) din punctul u0v îi corespund un punct M0 și vecinatatea a sa .

Nimic nu ne împiedică să adăugăm la (s1) si contururile lor,adică să le considerăm deschise.Aplicînd sistemuluide domenii deschise ,acoperind tot domeniul ,extragem acoperirea finită și revenind la suprafața (S),este ușor de obținut de aici un număr finit de porțiuni

(s11), (s21),…., (sm1)

care în totalitatea lor acoperă suprafața (S) . Pe lîngă ele mai considerăm și domeniile corespunzătoare mai largi menționată la început

(s1), (s2),…., (sm)

Luăm pentru fiecare i marginea inferioară a distanțelor de la punctele porțiunii (S) –și a suprafeței și notăm cu cel mai mic dintre aceste numere. Să presupunem că diametrul porțiunii (S1) al suprafeței considerate este mai mic decît numărul . Dacă un punct oarecare al ei cade într-un anumit (si ), toată porțiunea (S1) va fi conținută în întregime în ( si )respectiv și, deci, împreună cu ( si ) are proprietatea despre care am arătat .

2.2 Exemplul lui Schwartz.

Noțiunea de arie a unei suprafețe strîmbe are o oarecare analogie cu noțiunea de lungime a unei linii curbe. Am defenit lungimea unui arc(neînchis) ca limita perimetrului liniei frînte înscrise în acest arc, cu condiția că lungimea tuturor laturilor acestuia să tindă spre zero. În cazul unei suprafețe strîmbe (să zicem neînchisă și ea) ar fi natural să considerăm suprafața poliedrică înscrisă în ea și să definim aria suprafeței strîmbe ca limita ariei acestei suprafețe poliedrice – cu condiția că diametrele tuturor fețelor sale să tindă spre zero.

La sfirșitul veacului trecut, însă, s-a constatat că această definiție nu e justă. Într-adevar Schwartz a arătat în anul 1883, că limita menționată nu există nici în cazul simplu al suprafeței unui cilindru circular drept! Să studiem un exemplu instructiv.

Fie dat un astfel de cilindru cu raza R și înălțimea H. Să înscriem în acest cilindru o suprafață poliedrică în felul următor. Împărțind înălțimea cilindrului în m părti egale, ducem prin punctele de diviziune niște plane perpendiculare pe axa cilindrului. în felul acesta se obțin pe suprafața lui m+1 cercuri (inclusiv cercurile celor două baze ale cilindrului). Împărțimim fiecare dintre aceste cercuri în n părti egale în așa fel încît punctele de diviuziune ale fiecărei circumferințe să se afle de asupra mijlocului arcelor cercului situate mai jos.

Să luăm apoi triunghiurile, formate de coardele tuturor acestor arce și de segmentele, care unesc extremitățile coardelor cu punctele de diviziune ale circumferințelor situate mai sus și mai jos, care se găsesc exact de asupra sau desubtul mijlocurilor acelor corespunzătoare(fig.l). Aceste 2mn formează in totalitatea lor tocmai suprafața poliedrelor () de care avem nevoie; modelul ei este reprezentat în fig.2.

Să calculăm acum aria a a fiecaruia din aceste triunghiuri. Ca bază vom lua coarda, a cărei lungime este egală cu

Pentru a afla înălțimea AB a triunghiului observăm,că

,în care

AC=OC-OA=R, BC=

Așadar aria unui triunghi

Iar aria întregii suprafețe poliedrice va fi

Cînd m și n cresc nemărginit, diametrele tuturor triunghiurilor tind spre zero, dar aria nu are limită. Într-adevăr, să presupunem, că m și n cresc astfel, încît raportul tinde spre o anumită limită q:

Atunci avem

Iar pe de altă parte,conform ipotezelor admise,

Prin urmare,

Și vedem că această limită depinde esențial de valoare lui q, adică de felul cum cresc simultan m și n. Pentru q=0, și numai în aceast caz, limita menționată este egală cu (mărimea ariei, dedusă în cursul elementar de geometrie), dar împreună cu q ea poate deveni egală chiar cu infinit. Așadar, dacă m și n cresc la infinit, defapt nu există o limită determinată pentru aria , iar suprafața cilindrului din punct de vedere al definiției menționate mai sus nu are arie.

E important să înțelegem prin ce se deosebește starea de lucruri în cazul unei linii frînte înscrise intr-o curbă de cazul unei suprafețe poliedrice înscrise intr-o suprafață strîmbă. Pentru simplificare vom considera netede atît curba cît și suprafața strîmbă, despre care este vorba. Atunci, de îndată ce toate coardele care formează linia frîntă să fie suficient de mici, direcția fiecăreia din ele va diferi oricît de puțin de direcția tangentei dusă într-un punct oarecare al arcului corespunzător. Deaceea o astfel de coardă infinit de mică poate înlocui cu o exactitate mereu crescîndă elementul de arc corespunzător. Dimpotrivă, suprafața poligonală arbitrar de mică, vîrfurile cărea se atlă pe suprafața strîmbă, poate fi foarte diferită în ce privește poziția sa în spațiu de planul tangent la suprafață; în acest caz, se înțelege, ea nu poate înlocui elementul de suprafață. Acest fapt este ilustrat foarte bine de exemplul menționat mai sus: planele tangente la suprafața cilindrică sînt toate verticale, pe cînd fețele triunghiulare ale suprafeței înscrise, pentru q mare, devin aproape orizontale, formînd cute mici.

2.3 Aria suprafeței dată printr-o ecuație explicită.

Avînd în vedere faptul expus în paragraful precedent, trebuie să căutăm alte

căi pentru a argumenta noțiunea de arie a unei suprafețe strîmbe. Vom arăta una din aceste căi, de fapt simplă, dar destul de artificială, și vom începe cu cazul suprafeței (S) dată de ecuația explicită

z=f(x,y) (2.1)

Să presupunem, că x, y variază într-un domeniu cu arie (D) pe planul x,y și z are în acest domeniu derivatele parțiale continue:

Să descompunem domeniul (D) cu ajutorul unei rețele de curbe (cu aria egală cu zero) în elementele (D1), (D2),…, (Dn)

Și să considerăm unul din aceste elemente (Di). Dacă vom construi pe conturul acestui domeniu parțial(ca pe directoare) pe o suprafață cilindrică cu generatoarele paralele cu axa z, ea va tăia pe suprafața (S) elementul (Si). Luînd un punct arbitrar

Pi (x,y) în limitele (Di )deducem un plan tangent în punctul corespunzător Mi (xi ,yi, zi) în care zi =f(xi ,yi),

al suprafeței (S). Suprafața cilindrică menționată va tăia și pe acest plan o figură elementară (Ti), aria căreea T, este o aproximație a ariei elementului (Si). Așa dar suma tuturor acestor arii

Poate fi considerată ca o aproximație a ariei suprafeței (S). Vom defini aria S a acestei suprafețe drept limita

Cu condiția ca să tindă spre zero diametrii tuturor elementelor (Si) sau, ceea ce este acelaș lucru, diametrii tuturor elementelor plane (Di).

Acum se poate arăta, că S se exprimă printr-o integrală dublă

în care, v este unghiul dintre normala la suprafața și axa z cu steluță.

Intr-adevăr, dacă v1 este valoarea lui v, corespunzătoare anume punctului Mi, atunci pentru ariile figurilor plane (Ti) și (Di), dintre care a doua servește drept proecție ortogonală a primei, vom avea relația

De unde

reprezintă suma integrală a integralei duble (2.2) și, deci, la trecerea la limită menționată tinde spre aceasta ca spre o limită, ceea ce trebuia demonstrat.

Dacă ne amintim de formulele (2.3) din tema precedentă, și anume de formula a treia, rezultatul obținut se poate scrie în felul următor:

NOTĂ: Neajunsurile esențiale ale acestei definiții simple a ariei S sînt, în primul rînd, aplicabilitatea ei numai la suprafețe reprezentate prin ecuații explicite și, în al doilea rînd, dependența ei aparentă de alegerea sistemului de coordonate.

2.4. Aria suprafeței în cazul general.

Să considerăm acum o suprafață simplă și netedă (S), dată parametric.

Fie M un punct oarecare al acestei suprefețe, și în acest punct, să zicem,

C≠0. Atunci, bazîndu-ne pe cele spuse în paragrafele anterioare, putem afirma următoarele: există o parte (s) a suprafeței (S) care înconjoară punctul M și are următoarele proprietăți:

suprafața (s) poate fi reprezentată printr-o ecuație explicită de forma (1);

dacă vom nota prin () partea corespunzătoare a domeniului () de pe planul uv, atunci în () determinantul C≠0.

Acest lucru este just pentru orice punct M al suprafeței, numai că diferit de zero poate fi și un oarecare alt determinant, A sau B atunci și ecuația explicită de forma (1) se înlocuește, respectiv, printr-o ecuație tot explicită, dar de alt tip

x=h(y, z) sau y=g(z, x).

De aici rezultă, că toată suprafața (S) se descompune într-un număr finit de bucăți de felul lui (s).

Dacă (d) este proecția lui (s) pe planul xy, atunci, după cum știm, aria ei (2.3)

Intrucît punctele domeniului (d) sînt legate de punctele domeniului () printr-o corespondență biunivocă, și sînt respectate ți celelalte condiții, se poate trece în
integrală (2.3), la variabilele u, v. Avînd în vedere faptul, că determinantul funcțional

și

obținem definitiv

Remarcabil faptul, că această expresie este simetrică față de A, B, C și asupra ei n-a influențat de loc ipoteza, că anume determinantul C diferă de zero în (), iar suprafața (s) a fost reprezentată prin ecuația explicită de forma (2.1): se va obține acelaș rezultat dacă se vor face alte ipoteze posibile!

Să determinăm acum aria S a întergii suprefețe (S), ca suma ariilor s ale porțiunilor (s), din care ea e compusă. Însumînd toate egalitățile de forma (2.4) vom obține formula definitivă

Care nu depinde de felul cum a fost descompusă suprafața (S).

NOTĂ: vom arăta, că mărimea (5) a ariei nu depinde, de fapt, de alegerea reprezentării parametrice a suprafeței considerate (S).

Să presupunem, că de la parametrii u, v, al căror domeniu de variație este (), vom trece la parametrii u,v al căror domeniu de variație este (), după formulele

care stabilesc între aceste două domenii o corespondență biunivocă. Atunci suprafața se va exprima prin ecuațiile noi

presupunem, că în această reprezentare ea n-are particularități. Substituind

Avem:

De aici rezultă, între altele, că J în diferă de zero, pentru că altfel

suprafața, în noua sa reprezentare, ar avea particularități. Acum, conform

formulelor de schimbare a variabilelor obținem

Ceea ce trebuia de demonstrat.

§3.Integrale de suprafață de primul tip.

3.1.Definiția integralei de suprafață de primul tip.

Integralele de suprafață de primul tip prezintă o generalizare a integralelor

duble, tot așa cum integralele curbilinii de primul tip prezintă o generalizare a integralelor definite simple.

Această generalizare se face în felul următor. Să presupunem, că în punctele unei suprafețe cu două fețe (S), netedă (sau netedă pe porțiuni), mărginită de un contur neted pe porțiuni, este definită o funcție f(M)=f(x,y,z). Descompunem suprafața (S) cu ajutorul unei rețele de curbe netede pe porțiuni trasate arbitrar în porțiunile

(S1), (S2),…., (Sn). Luînd în fiecare porțiune (Si). (i=1, 2, … , n) cîte un punct arbitrar Mi(xi, yi, zi) calculăm în acest punct valoarea funcției

f( Mi)= f(xi, yi, zi)

și, înmulțind-o cu aria Si a părții corespunzătoare de suprafață, scriem suma tuturor acestor produse:

Pe care o vom numi-prin alegerea cu multe sume cercetate mai înainte—Suma integrală.

Limita finită a acestei sume, cinci diametrii tuturor părților (Si) tind spre zero, se numește integrală de suprafață (de primul tip) a funcției f(M)=f(x, v, z) pe suprafața (S) și se notează cu simbolul

În care dS amintește de ariile elementare Si.

3.2.Reducerea la o integrală dublă obișnuită

Ne vom limita la cazul unei suprafețe simple netede (S).

Pentru orice funcție f(x,y,z), dacă ea e continuă în punctele suprafeței (S),
integrala (3.1) există și are loc egalitatea

Așa dar, pentru a reduce o integrală de suprafață de primul tip la o integrală dublă obișnuită, e necesar numai să înlocuim coordonatele x, y, z cu expresiile lor prin parametri, iar elementul de arie dS – cu expreia sa în coordonate curbilinii.

Să demonstrăm această afirmație.

După cum s-a mai menționat, descompunerii suprafeței (S) în părți cu ajutorul unor curbe netede pe porțiuni îi corespunde o descompunere similară a domeniului , și invers: Tot așa, dacă diametrii părților (S) tind spre zero, se poate spune acelaș lucru și despre diametrii pârtilor domeniului , și invers.

Să descompunem, deci, respectiv suprafața (S) în părțile (S1), (S2),…., (Sn). și domeniul – în părțile și să alegem în fiecare parte (Si) cîte un punct (xi , yi, zi), iar în părti le – cîte un punct care să corespundă de asemenea unul altuia, deci xi =x(ui, vi), yi =x(ui, vi), zi =x(ui, vi)

Să compunem acum suma integral pentru integral (1);

Conform formulei generale vom avea

Aplicînd teorema despre medie,vom obține

În care () este un punct oarecare al domeniului

Cu ajutorul acestei expresii pentru și al relațiilor (2.3) putem scrie suma în felul urmator:

Deosebirea dintre sumele și constă în faptul că în această din urmă funcție compusă f(…) și rădăcina se calculează de fiecare dată pentru acelaș punct arbitrar , iar în prima –funcția f(…) se ia în punctul (i, i),(care este impus de teorema despre medie și nu este arbitrar)

Să considerăm diferența dintre ambele sume

Fie () un număr arbitrar de mic. Pe baza continuității(uniforme) a funcției , dacă diametrii domeniilor sînt suficient de mici, vom avea

Avînd în vedere că funcția f este mărginită
ajungem ușor la evaluarea

deci .

De aici e clar, că din existența limitei pentru suma a doua rezultă existența limitei pentru prima, egală cu dînsa. Așa dar afirmația noastră este demonstrată. Dacă suprafața (S) este dată printr-o ecuație explicită

z=z(x, y),

atunci formula capătă forma:

În care (D) este proiecția suprafeței (S) pe planul xy.

Întrucît

În care v este, ca deobicei, unghiul dintre normala la suprafață și axa z se poate scri și astfel:

Pînă acum am presupus, că suprafața (S), pe care se aplică integrala, este netedă și simplă. Rezultatele noastre se pot aplica și în cazul general la o suprafață, formată dintr-un număr finit de suprafețe de felul acesta.

3.3. Aplicații ale integralelor de suprafață de primul tip în mecanică.

1° – Cu ajutorul acestor integrale se pot determina masele, momentele, coordonatele centrelor de greutate și alte mărimi ale suprafețelor materiale, de-a lungul cărora sînt repartizate mase cu o anumită densitate superficială în fiecare punct. De fapt nu avem aici nimic nou în comparație cu cazul repartizării maselor în plan, pe care l-am considerat mai sus.

2° – Atracția unui strat simplu. Integralele de suprafață de primul tip își găsesc, natural, aplicație la studiul atracției maselor repartizate pe o suprafață.

Să presupunem, că pe suprafața (S) sînt repartizate continuu în fiecare punct M(x, v. z) mase de densitate dată ρ(M)= ρ (x, v, z). Să mai presupunem, că în punctul A( (luat în exteriorul suprafeței) se află o unitate de masă. Se cere să se determine cu ce forță F, ca mărime și direcție, este atras punctul A de suprafața (,S), dacă la bază e pusă legea de atracție a lui Newton (legea atracției universale).

Dacă punctul A ar fi atras de un singur punct material M(x, v, z) cu masa m concentrată în acest punct, mărimea forței de atracție ar fi

În care r este distanța ,adică

Întrucît această forță sete orintată de la A spre M,cosinusurile ei directoare vor fi

și, deci, proiecțiile forței F pe axele de coordonate se exprimă astfel

În cazul unui sistem de puncte materiale care se atrag aceste expresii s-ar înlocui cu semnele unor expresii de felul acesta; în sfirșit, cînd masele sînt reparti

Aplicînd metoda obișnuită de expunere, s-ar putea considera elementul de suprafață dS cu masa ρ dS, concentrat parcă într-unul din punctele sale M(x, y, z). Atracția pe care el o exercită asupra punctului A va avea următoarele proecții pe axe:

în care r reprezintă , exprimată prin formula (6). Acum rămîne numai să „însumăm” aceste expresii, ceea ce ne va conduce la următoarele forme pentru proecțiile pe axe ale forței de atracției a stratului simplu (8)

Așa dar forța este complect determinată atît ca mărime, cît și ca direcție.

Dacă punctul atras A ar fi și el situat pe suprafața (S), atunci proecțiile forței de atracție pe axe s-ar exprima, ca și mai înainte, prin integralele (8), dar de data aceasta integralelor ar fi improprii, deoarece în apropierea punctului A toate funcțiile de sub integrală încetează de a mai fi mărginite.

3° – Potențialul unui strat simplu. După cum am mai văzut, în cazul unui singur punct M(x, y, z), care exercită atracția, proecțiile forței de atracție pe axe sint date de expresiile (7). Se vede imediat, că aceste proecții sînt derivatele parțiale în raport cu ale funcției

Care se numește potențian newtonean al cîmpului M asupra punctului A.

în cazul unui cîmp creat de un sistem de puncte materiale potențialul s-ar exprima printr-o sumă de fracții de acest fel, și derivatele potențialului în raport cu ar fi, ca și mai înainte, proecțiile forței de atracție pe axele de coordonate.

De aici obținem următoarea expresie pentru potențialul stratului simplu. situat pe suprafața (S), cu densitatea p, asupra punctului A:

Apare întrebarea:rămîne oare valabilă pentru această integral proprietatea fundamentală

În care sînt proecțiile foitei de atracție a stratului simplu pe axe și care se determină prin formulele (3.8).

Dacă punctul A nu se află pe suprafață, deci nu există nici o încălcare a continuității, se poate arăta ușor, că integralei (3.9), la diferențierea ei în raport cu, i se poate aplica regula lui Leibnetz (în acest caz ar trebui doar să repetăm raționamentele cunoscute). In felul acesta se justifică relațiile (3.10) pentru cazul distribuției maselor, cercetat mai sus.

§4.Integrale de suprafață de al doilea tip

4.1. Definiția integralei de suprafață de al doilea tip.

Acest tip nou de integrală se construește după modelul integralei curbilinii

de al doilea tip.

La integrala curbilinie noi porneam de la o curbă dirijată (orientată) și, descompunînd-o în elemente, proectăm fiecare din aceste elemente, dirijat în mod corespunzător, pe o axă de coordonate. Proecția obținută era de asemenea dirijată și luăm lungimea ei cu semnul plus sau minus, după cum sensul ei coincide sau nu cu sensul axei.

In mod analog vom considera acum o suprafață cu două fețe (S), netedă sau netedă pe porțiuni, și vom fixa una din cele două fețe ale ei; după cum am mai văzut, acest lucru este echivalent eu alegerea unei anumite orientări pe suprafață.

Pentru fixarea ideilor presupunem mai întîi, că suprafața e dată printr-o ecuație explicit z=z(x,y);

aici punctul (x, y) variază în domeniul (D) din planul xy, mărginit de un contur neted pe porțiuni. Atunci e posibilă alegerea între fața de sus și cea de jos a mișcării acelor de ceasornic, dacă observatorul privește de sus, iar în cazul al doilea – sensul opus.

Dacă suprafața este descompusă în elemente și fiecare element, orientat în mod corespunzător, se proectează pe planul xy, atunci sensul de parcurgere a conturului figurii proectate va determina și sensul de parcurgere a conturului proecției. Acest sens va coincide cu sensul opus mișcării acelor de ceasornic, adică va corespunde orientării planului xy, dacă a fost fixată fața de sus a suprafeței (S); în acest caz vom lua aria proecției cu semnul plus. în caz dacă luăm fața de jos a suprafeței, rotația va avea loc în sens opus și aria proecției se va lua cu semnul minus.

Să presupunem acum, că în punctele suprafeței date (S) e definită o funcție f(M)=f(x, v, z). Descompunînd suprafața printr-o rețea de curbe netede pe porțiuni în elementele (S1), (S2),…, (Sn),

alegem în fiecare element (Si) cîte un punct (Mi)=f(xi, yi, zi,) Apoi calculăm valoarea funcției f (Mi)=f(xi, yi, zi,) și o înmulțim cu aria Di a proecției elementului (Si) pe planul xy, luînd semnul plus sau minus după regula stabilită mai sus. Scriem, în sfîrșit, suma (de asemenea o sumă integrală)

Limita finită a acestei sume, cinci diametrii tuturor părților (S,) tind spre zero, se numește integrală de suprafață (al doilea tip) a funcției

f(M)dxdy=f(x, y, z)dxdy,

aplicată la fața aleasă a suprafeței (S), și se notează cu simbolul

(aici dxdy amintește de aria proecției unui element de suprafață pe planul xy

De altfel, acest simbol nu conține nici o indicație despre care anume față este

vorba, așa că această indicație trebue să fie

dată de fiecare dată separat. Din definiție rezultă, că dacă se înlocuește fața

considerată a suprafeței cu fața opusă,

integrala își schimbă semnul.

Dacă suprafața nu are forma special indicată, vom presupune întotdeauna, că ea e compusă dintr-un număr finit de părți mărginite de contururi netede pe porțiuni,care, fie că au o astfel de formă, fie că reprezintă o parte a unei suprafețe cilindrice cu generatoarele paralele la axa z (directoarea căreea pe planul xy are aria nulă). In caz dacă elementul este situat pe o porțiune de primul tip, noi știm ce semn trebue să acordăm ariei proiecției lui; aceste semne pot fi și diferite pentru diferite elemente, dacă unele elemente sînt situate de asupra, iar altele de desubt. In ceea ce privește elementul situat pe suprafața cilindrică menționată, proecția lui, care este o linie, are aria egală cu zero și despre semnul ei nu poate fi vorba. In ce privește restul definiția integralei de suprafață pentru cazul general se construește la fel, ca și mai sus.

Schimbînd rolul axelor (în acest caz se schimbă respectiv
și cerințele noastre față de suprafață), s-ar putea proecta
elementele suprafeței nu pe planul xy, ci pe planul yz sau zx. In felul acesta se obțin
alte două integrale de suprafață de tipul al doilea

în aplicații se întîlnesc de cele mai dese ori combinații de integrale de toate

formele menționate mai sus

În care P,Q,R sînt funcții de (x,y,z).definite în punctele suprafeței (S)

Menționăm încă odată, că în toate cazurile se presupune, că suprafața (S) este cu două fețe și integrala se aplică la o anumită față a ei.

4.2.Reducerea la o integrală dublă obișnuită.

Vom presupune, că funcția / este continuă în punctele suprafeței (S).

1°. Să considerăm mai întîi cazul principal, cînd suprafața (S) este dată
printr-o ecuație explicită

Z=z(x,y)(x,y) din (D)

Funcția fiind continuă împreună cu derivatele sale parțiale

Dacă integrala (2) se ea pe fața de sus a suprafeței, atunci în suma integrală
(1) toți D, sînt pozitivi. Scriind în această sumă în loc de zi valoarea sa z(xi,yi)o
aducem la forma

În care se recunoaște ușor suma integralei duble obișnuite (4.2)

Trecînd la limită,vom stabili atît existența integralei(4.2) cît și egalitatea (4.3)

Dacă vom aplica integrala la fața de jos a suprafeței(S),vom avea,

Se poate stabili ușor (pentru cazul considerat) legătura dintre integralele de suprafață de ambele tipuri. Să presupunem, că va fi vorba mai întîi (pentru integrale de tipul doi) despre fața de sus a suprafeței. Dacă, considerînd unghiul v ascuțit, am în formula (5)funcția f(x, v, z) prin f(x, v, z)cosy, am putea scrie

De aici,luînd în vedere(4.3),obținem formula căutată (4.4)

Înlocuind fața de sus a suprafeței prin cea de jos, noi schimbăm de fapt semnul părții din stînga a egalității (4.4). Dacă în acelaș timp vom subînțelege prin v unghiul obtuz dintre axa normală z și orientată în jos, atunci cosinusul, și odată cu el și integrala, își va schimba de asemenea semnul; deci egalitatea rămîne valabilă.

2°. Dacă (S) este o parte a unei suprafețe cilindrice cu generatoarele paralele cu axa z, toate elementele ei au proecțiile nule; așa dar în acest caz avem (4.5)

Evident, că și aici rămîne justă formula (4.4): întrucît cosv=0, partea dreaptă a acestei formule va fi de asemenea egală cu zero.

3°. în sfîrșit, dacă suprafața (S) este alcătuită dintr-un număr finit de porțiuni considerate în 1° sau 2°, însumăm formulele de forma (4.4), care se referă la diferite porțiuni, și ne convigem că formula (4.4) este justă și în cazul general.

4°. Se pot obține formule analogice și pentru integralele de suprafață (2*). Însumînd cele trei formule scrise respectiv pentru funcțiile continue arbitrare P, O, R, vom obține formula generală, care leagă integralele de suprafață de tipul doi și unu:

Menționăm, că în partea dreaptă figurează aici cosinusurile directoare ale

normalei, care corespunde acelei fețe a suprafeței, pe care este luată integrala din

stînga.

5°. Dacă suprafața (5*) este dată parametric, se poate reduce integrala din
partea dreaptă a formulei (4.6) – și odată cu ea integrala din partea stingă – la o
integrală dublă obișnuită, aplicată la domeniul de variație al parametrilor (A).
Presupunem mai întîi, că suprafața este simplă și netedă; fie ea mărginită de un
contur neted pe porțiuni (L).

Vom alege o anumită față a suprafeței și astfel vom stabili pe ea o anumită
orientare. Dacă sensului pozitiv de parcurgere a
conturului (A) al domeniului (A) îi corespunde sensul
pozitiv de parcurgere a conturului (L), atunci, după cum se știe,
cosinusurile directoare ale normalei, care caracterizează anume fața aleasă a
suprafeței, se vor determina prin formulele

Cu semnul(+) înaintea radicalului. Pe de altă parte, la trecerea la integrala dublă în
raport cu parametrii u, v, elementul de arie dS trebue înlocuit cu expresia

Definitiv vom obține egalitatea

În partea dreaptă se presupune, că în funcțiile P, O, R în loc de x, y, z sînt

puse expresiile lor prin u și v.

Notă . Acest rezultat se extinde asupra cazului și mai general, cînd

suprafața este alcătuită din suprafețe simple și netede, alăturate una alteea. Dar

înaintea integralei din partea dreaptă poate să apară atît semnul plus, cît și semnul

minus.

4.3.Formula lui Stokes.

Să deducem acum o formulă, care exprimă relația dintre integrala de

suprafață și integrala curbilinie și reprezintă o generalizare a formulei lui Grin.

Vom păstra pentru suprafața (5) ipotezele expuse în punctul 5° al paragrafului precedent.

Să presupunem, că într-un domeniu oarecare în spațiu, care conține în interiorul său suprafața S, este dată funcția P(x, x. z), continuă în acest domeniu împreună cu derivatele sale parțiale. Atunci este justă formula

sensul de parcurgere a conturului (L) corespunde aici acelei fețe a suprafeței (4.8), pe care se calculează integrala din partea dreaptă a egalității.

In primul rînd transformăm integrala curbilinie pe curba (L), înlocuind-o cu integrala pe curba () (4.9)

U=u(t), v=v(t)

Iar prin aceasta și a curbei(L):

X=x(u(t),v(t)), y=y(u(t),v(t)), z=z(u(t),v(t))

Atunci ambele integrale se reduc la aceeași integrală obișnuită în raport cu parametrul

Acum aplicăm formula lui Grin integralei din partea dreapta a inegalității (4.8)

Întrucît ultima expresie de sub integrală sub formă desfășurată ne dă

Obținem o integrală dublă

Prin permutarea circulară a literelor x,y,z obținem încă două egalități analogice:

În care Q și R sunt funcții noi de x,y și z,care satisfac aceleași condiții,ca și P.

Adunînd cele trei egalități,obținem rezultatul căutat sub forma cea mai generală:

Această egalitate se numește formula lui Stokes. Menționăm încă odată, că fața suprafeței și sensul de parcurgere a conturului se determină reciproc după regula stabilită mai anterior.

Dacă luăm ca porțiune a suprafeței (S) domeniul plan (D) din planul xy, deci z=0, obținem formula

aici recunoaștem formula lui Grin; așa dar, aceasta din urmă este un caz particular al formulei lui Stocs.

Concluzie

Analiza matematică este destul de utilă atît la orele de matematică cît și la orele de fizică. Pe parcursul acestei lucrări am arătat că cele doua capitole au o mare legătura una cu alta.Am demonstrat că noțiunea de integrală curbilinie și aria suprafeței curbilinii folosită în matematică își are rolul foarte seminificativ cît în geometrie atît și în mecanică, deoarece simplifică, într-o mare măsură rezolvarea multor probleme care necesită o atenție mai îndelungată.

Am analizat mai profund formulele de bază pentru aflarea ariilor suprafeței curbilinii cu ajutorul integralelor curbilinii de primul tip și al doilea tip.În lucrarea dată am explicat exemplul lui Schwartz, formula lui Stokes, care deasemenea au un rol foarte important în aflarea ariilor suprafeței curbilinii.

În această lucrare am atras atentia la acele notiuni cunoscute din matematică, care sunt definite cu ajutorul limitei, de exemplu: integrala definită prin modul de interpretare a existenței acestei limite, după cum am arătat în unele contraexemple.

Existența acestei limite nu este obligatoriu trivială. Din această cauză accentul principal în definirea acestor noțiuni matematice, se pune pe teoremele de existență și unicitate respective, care în particular se reduce la existența limitei finite.

Scopul pe care mi l-am propus în această lucrare este de a atrage atenția celor care studiază aceste noțiuni de matematică asupra stricteții în afirmațiile ce definesc aceste notiuni.

Bibliografie

G.M. Fihtengolț „ Curs de calcul diferențial și integral ”, vol III si vol II,editura Lumina 1968.

G.M. Fihtengolț „ Bazele analizei matematice ”, vol I.

Ionescu, D. V. „ Ecuații diferențiale și integrale ”, Cluj – București: Editura Didactică și Pedagogia, 1964.

Gaina, S. „ Culegere de probleme de calcul diferențial și integral ”, voi. II. București: Editura Tehnica, 1956.

Aurel Ioanovici, Nicolae Mihaileanu, Melania Milovanu – Salisteanu; „ Culegere de probleme de geometrie analitică și diferențială ” Ministerul Învățămîntului – București: Editura Didactică și Pedagogia, 1970.

S. Petrescu, I. Filimon, Ion Barbalat „ Analiza matematică și matematicii speciale ” Ministerul Învățămîntului , București, 1969.

A.Ghica. „ Opera matematică ” București, Editura Academiei, 1968.

S. Vinodradov „ Curs de matematici superioare ” Litografia Învățămîntului , București, 1956.

N. Piskunov „ Calcul diferențial și integral ” vol II. Tipografia Centrală, Chișinău, 1992.

S. Port „ geometrie diferențială ”, Tipografia UPS „ Ion Creangă ”, Chișinău, 2008.

Anexă

Exemplu 1:

Să considerăm sfera de rază R cu centrul în origine:

Dacă dorim să obținem reprezentarea ei parametrică obișnuită, trasăm secțiunea

„ecuatorială” AKA', iar prin „polii” P, P' și punctul considerat M – „meridianul”

PMKP'. Poziția punctului M pe sferă poate fi determinată cu ajutorul unghiurilor

(fig.l).

Avem:. Apoi, , iar prin ON coordonatele x și y se vor

exprima în felul următor, . Definitiv, ecuațiile parametrice ale sferei vor fi

.

aici e suficient să măsurăm unghiul de la 0

pînă la, iar unghiul de la 0 pînă la .

Corespondența dintre punctele suprafeței

sferice și punctele dreptunghiului [] de pe planul nu va fi, însă, biunivocă: nu numai valorile ne conduc la aceleași puncte ale suprafeței, dar și pentru , indiferent care va fi valoarea lui , obținem un singur punct – polul P(P').

Se vede imediat, că o familie de linii de coordonate pe sferă este alcătuită din

meridiane (), iar alta – din cercuri paralele ().

Exemplu 2

Să presupunem, că curba („generatoare”) e dată în planul xz prin ecuațiile

sale parametrice

,

unde . Rotim această curbă ca un corp solid în

jurul axei (fig. 2). Dacă vom nota prin unghiul de

rotație, atunci ecuațiile suprafeței de rotație obținute se

vor scrie sub forma:

,

Dacă vom lua în planul xz semicircumferința

și o vom roti în jurul axei z, reprezentarea parametrică a sferei obținute în acest fel va avea forma de mai sus. Drept linii de coordonate vor servi și aici diferite poziții ale generatoare și cercuri paralele.

Exemplu 3

Să se afle aria părților suprafeței sferice , decupate din ea

de cilindrul (bazele de sus și de jos ale „Corpului Vviviani”).

Pentru baza de sus avem

Și, prin urmare,

Domeniul de integrare fiind un cerc, mărginit de circumferința

Trecînd la coordonate polare, vom obține

Efectuînd integrarea, obținem definitiv:

Întrucît aria suprafeței unei emisfere este egală cu , aria părții de

emisferă, care rămîne după decuparea „corpului Viviani”, va fi egală cu și,

prin urmare, se exprimă prin raza R fără a se adăuga vre-un element irațional.

Relevăm, că volumul părții de emisferă menționată mai sus se exprimă de

asemenea fără elemente iraționale.