Integrala Riemann-Stieltjes [615706]

Integrala Riemann-Stieltjes
Gheorghe Georgiana
Lucrare de Licen  t a

2

Cuprins
1 Preliminarii 5
2 Integrala Riemann-Stieltjes 7
3

4 CUPRINS

Capitolul 1
Preliminarii
Defini  tie 1.1 (limita inferioar a  si limita superioar a a unui  sir numeric)
Fie(xn)n1R un  sir. Atunci:
lim
n!1xn:= sup
n1( inf
knxk);lim
n!1xn:= inf
n1(sup
knxk):
Propozi  tie 1.2 (criteriul de existen  t a a limitei unui  sir numeric)
Fie(xn)n1R un  sir. Atunci au loc urm atoarele afirma  tii:
a)  Sirul (xn)n1 are limit a dac a  si numai dac a lim
n!1xn=lim
n!1xn . In acest
caz cele trei limite coincid.
b)  Sirul (xn)n1 este convergent dac a  si numai dac a este un  sir Cauchy.
Propozi  tie 1.3 (Propriet a  tile marginilor unei mul  timi)
FieAR o mul  time. Atunci exist a supA  siinfA  nR  si au loc urm atoarele
afima  tii:
a)supA=M,
i)xM;8x2A
ii)8c<M;9x02A; a.  .x0>c
b)infA=m,
i)mx;8x2A
ii)8c>0;9x02A; a.  .x0<c
c)9(xn)n1A , monoton cresc ator, a.  . xn!supA .
d)9(xn)n1A , monoton descresc ator, a.  . xn!infA .
Defini  tie 1.4 (marginile unei func  tii cu valori numerice)
FieX o mul  time  si f:X!R o func  tie.
5

6 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII

Capitolul 2
Integrala Riemann-Stieltjes
Defini  tie 2.1 (sistem de puncte intermediare)
Fie f,g: [a;b]!R dou a func  tii arbitrare, Ä:=Ä [a;b] mul  timea diviziunilor
ale
intervalului [a;b] ,8
= (xi)i=0;n .
Prin sistem de puncte intermediare , asociat lui
 si notat cu 
 n  telegem
un sistem finit de puncte f1;2;:::; ng din[a;b] definit astfel:
i2 Ä[a;b]= [xi1;xi];8i20;n:
Vom nota cu 
mul  timea tuturor sistemelor de puncte intermediare 
,
asociate lui
.
Defini  tie 2.2 (suma Riemann-Stieltjes)
Se numeste suma Riemann-Stieltjes, asociata lui f, g,
;
, numarul
nX
i=1(g(xi)g(xi1))f(it) .
In cele ce urmeaz a vom nota Riemann-Stieltjes cu (R-S).
Defini  tie 2.5 (func  tie integrabil a (R-S) in raport cu o alta func  tie)
Func  tia f se nume  ste integrabil a(R-S)  n raport cu g , dac a lim
k
k!0f;g(
;
)
exist a  si este finita, independent de alegerea sistemului 
din
, i.e9L2R
cu proprietatea:
8">0;9>0; a.  jLf;g(
;
)j<";8
2 Ä[a;b];k
k<;8
2
:
Defini  tie 2.4 (integrala (R-S))
Numarul L se nume  ste integrala(R-S), pe [a;b] , a func  tiei f  n raport cu g
 si se noteaza cuZb
afdg sauZb
af(x)dg(x) .
7

8 CAPITOLUL 2. INTEGRALA RIEMANN-STIELTJES
2.5 Defini  tie (integrabilitatea (R-S) pe un subinterval)
Func  tia f este integrabil a (R-S)  n raport cu g pe un subinterval [c;d][a;b] ,
dac a func  tia fj[c;d] este integrabil a (R-S)  n raport cu func  tia gj[c;d] . In acest
caz vom definiZb
afdg:=Zb
afj[c;d]dgj[c;d]:
Atunci c and g(x)=x, 8×2[a;b] , integrala (R-S),Zb
afdg , coincide cu inte-
grala (R),Zb
afdx , deci integrala (R-S) este o generalizare a integralei(R).
2.6 Propozi  tie
Fie f,g: [a;b]!R dou a func  tii. Atunci au loc urm atoarele afirma  tii:
a) Dac a f este integrabil a (R-S)  n raport cu g, atunci integrala (R-S),Zb
afdg ,
este unic determinat a.
b) Dac a g=c (constant a), atunciZb
afdg= 0 .
c) Dac a f=c (constant a)  si g cu varia  tie m arginit a, atunci
Zb
afdg=c(g(b)g(a)):
d) Dac a f este integrabil a (R-S)  n raport cu g  si g este strict monoton a,
atunci f este m arginit a.
Demonstra  tie. a)  si b) sunt evidente.
c)