Integrala Riemann-Stieltjes [615705]

Integrala Riemann-Stieltjes
Gheorghe Georgiana
Lucrare de Licen  t a

2

Cuprins
1 Preliminarii 5
2 Integrala Riemann-Stieltjes 15
3

4 CUPRINS

Capitolul 1
Preliminarii
Defini  tie 1.1 (limita inferioar a  si limita superioar a a unui  sir numeric)
Fie(xn)n1R un  sir. Atunci:
lim
n!1xn:= sup
n1( inf
knxk);lim
n!1xn:= inf
n1(sup
knxk):
Propozi  tie 1.2 (criteriul de existen  t a a limitei unui  sir numeric)
Fie(xn)n1R un  sir. Atunci au loc urm atoarele afirma  tii:
a)  Sirul (xn)n1 are limit a dac a  si numai dac a lim
n!1xn=lim
n!1xn . In acest
caz cele trei limite coincid.
b)  Sirul (xn)n1 este convergent dac a  si numai dac a este un  sir Cauchy.
Propozi  tie 1.3 (Propriet a  tile marginilor unei mul  timi)
FieAR o mul  time. Atunci exist a supA  siinfA  nR  si au loc urm atoarele
afima  tii:
a)supA=M,i)xM;8x2A
ii)8c<M;9x02A; a.  .x0>c
b)infA=m,i)mx;8x2A
ii)8c>0;9x02A; a.  .x0<c
c)9(xn)n1A monoton cresc ator, a.  . xn!supA .
d)9(xn)n1A monoton descresc ator, a.  . xn!infA .
Defini  tie 1.4 (marginile unei func  tii cu valori numerice)
FieX o mul  time  si f:X!R o func  tie. Not am:
mf:= inf
x2Xf(x);Mf:= sup
x2Xf(x);kfk1:= sup
x2Xjf(x)j=maxfjmfj;jMfjg .
a) Func  tia f este minorat a (i.e.92R a.  .f(x)8x2X ) dac a  si numai
dac amf>1 .
5

6 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII
b) Func  tia f este majorat a (i.e.92R a.  .f(x)8x2X ) dac a  si numai
dac aMf<1 .
c) Func  tia f este m arginit a (i.e.9k>0 a.  .jf(x)jk8x2X ) dac a  si numai
dac akfk1<1 .
d) Func  tia f i  si atinge marginile pe o mul  time AX , dac a exist a x0;x12A
astfel  nc at f(x0)f(x)f(x1) pentru orice x2A .
Defini  tie 1.5 (spa  tiu normat)
Fie X un R -spa  tiu vectorial. Definim norm a pe X o aplica  tiek
k:X!R
cu urm atoarele proprieta  ti:
(N1)kxk>0;8x2X;x6= 0 ;
(N2)kxk=jj
kxk;8x2X  si2R ;
(N3)kx+ykkxk+kyk;8x;y2X (inegalitatea triunghiului).
Perechea (X;k
k) se nume  ste R – spa  tiu normat .
Defini  tie 1.6 (  sir convergent,  sir Cauchy  n spa  tii normate)
Fie(X;k
k) un spa  tiu normat.
Spunem ca  sirul (xn)n1X este convergent dac a
9x2X a.  .kxxnk!
n!10 .
Elementul x se nume  ste limita  sirului  si not amxn!
n!1x saulim
n!1xn=x .
Spunem c a  sirul (xn)n1X este Cauchy dac a
kxnxmk!
n;m!10 ,
i.e.8">0;9n"1 a.  .kxnxmk";8n;mn" .
Defini  tie 1.7 (spa  tiu complet, norm a complet a)
Spunem c a un spa  tiu normat este complet (o norm a este complet a ) dac a
orice  sir Cauchy din acel spa  tiu este convergent.
Defini  tie 1.8 (mul  timi m arginite, punct interior, mul  timi deschise, punct ade-
rent, mul  timi  nchise, mul  timi compacte)
Fie(X;k
k) un spa  tiu normat  si AX o submul  time.
Spunem c a A este m arginit a daca exist a k>0 astfel  nc atkakk;8a2A .
Se nume  ste vecin atate a unui punct x2X o mul  timeVX cu proprietatea
c a exist aDX deschis a astfel  nc at x2DV . Not am cuVX(x) sauV(x)
mul  timea vecin at a  tilor lui x.
Spunem c a x2A este punct interior mul  timiiA , dac a exist a V o vecin atate
a lui x astfel  nc at VA . Mul  timea punctelor interioare ale lui A se nume  ste
interiorul luiA  si se noteaz a cu A.
Spunem c a mul  timea A este deschis a dac a A= A.

7
Spunem c a x2X este punct aderent al mul  timii A dac a exist a un  sir
(xn)n1A astfel  nc atkxxnk!
n!10 . Mul  timea punctelor aderente ale
luiA se nume  ste  nchiderea(aderen  ta) luiA  si se noteaz a cu A.
Spunem c a mul  timea A este  nchis a dac a A= A. Complementara unei mul  timi
 nchise este deschis a.
Spunem c a mul  timea A este compact a dac a orice  sir din A admite un sub  sir
convergent cu limita  n A .
Propozi  tie 1.9 (spa  tiul normat Rn)
PeRneste definit a o structur a de R -spa  tiu vectorial cu urm atoarele opera  tii
vectoriale naturale:
a)x+y= (xi+yi)i=1;n;8x;y2Rn;x= (xi)i=1;n;y= (yi)i=1;n ;
b)x= (xi)i=1;n;8x2Rn;2R .
Urm atoarele rela  tii definesc norme complete pe Rn, echivalente  ntre ele
(i.e. orice  sir din Rneste convergent  n norm a k
k2 ,dac a  si numai dac a este
convergent  n norm a k
k1 , respectivk
k1 ):
a)kxk2:= nX
i=1×2
i!1=2
;
b)kxk1:=nX
i=1jxij ;
c)kxk1:= max
1injxij ,
undex= (xi)i=1;n2Rn.
Propozi  tie 1.10
FieX o mul  time  si f:X!Rno func  tie.
Atunci exist a  si sunt unice (fi)i=1;n cufi:X!R , astfel  nc at prif=fi ,
8i=1;n .
Spunem c a func  tiile (fi)i=1;n sunt componentele luif  si not amf= (fi)i=1;n .
Propozi  tie 1.11 (caracterizarea convergen  tei unui  sir din Rn)
Fiex;xj2Rn;j1 .
Atuncikxxjk2!
j!10 dac a  si numai dac a, pentru orice i=1;n ,
prixj!
j!1prix .
Teorem a 1.12 (Criteriul Borel-Lebesgue de compacitate)
Mul  timeaARneste compact a dac a  si numai dac a ea este m arginit a  si
 nchis a.

8 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII
Defini  tie 1.13 (func  tie continu a)
Fief:ARn!Rno func  tie.
Spunem c a func  tia f este continu a  ntr-un punct a2A dac a satisface una
dintre urm atoarele condi  tii echivalente:
a)8(xi)i1A ,xi!a , rezult a c a f(xi)!f(a) ;
b)8">0;9">0 a.  .kf(x)f(a)k2<";8x2A;kxak2<" .
Vom nota cu Disc (f) mul  timea discontinuit a  tilor luif .
Teorem a 1.14
Fief= (fi)i=1;n:AR!Rno func  tie  si a2A .
Atunci func  tia f este continu a  n a dac a  si numai dac a, pentru orice i=1;n ,
func  tiafi este continu a  n a .
Teorem a 1.15 (monotonia func  tiilor injective)
FieI;J dou a intervale  si f:I!J o func  tie continu a  si injectiv a.
Atuncif este strict monoton a  si inversa sa, f1:J!I , este continu a.
Teorem a 1.16 (Weierstrass)
FieARno mul  time compact a  si f:A!R o func  tie continu a.
Atuncif este m arginit a  si    si atinge marginile.
Teorem a 1.17 (func  tii continue pe mul  timi compacte)
FieARno mul  time compact a  si f:A!R o func  tie continu a.
Atuncif e uniform continu a, i.e.
8">0;9">0 a.  .jf(x)f(y)j";8x;y2A;kxyk<" .
Defini  tie 1.18 (derivata unei func  tii vectoriale)
FieIR un interval  si f:I!Rno func  tie.
Spunem c a f este derivabil a  ntr-un punct a2I , dac a lim
n!af(x)f(a)
xa
exist a. Dac a limita exist a, atunci ea se noteaz a cu f0(a)  si se nume  ste derivata
lui f  n a .
Func  tiaf se nume  ste derivabil a(pe I) dac a este derivabil a  n orice punct
x2I . Func  tiaf se nume  ste de clas aCk;k1 , dac a este de k-ori derivabil a,
iarf(k)este continu a(pe I ).
Definictie 1.19 (  siruri de func  tii, tipuri de convergen  t a)
FieX o mul  time.  Sirul (fn)n1 , cufn:X!R;n1 , se nume  ste
simplu(punctual) convergent , dac a exist a o func  tie f:X!R , cu proprietatea
fn(x)!f(x);8x2X
 si not amfns!
n!1f:

9
Spunem c a  sirul (fn)n1 se nume  ste uniform convergent , dac a exist a o
func  tief:X!R , cu proprietatea
sup
x2Xjf(x)fn(x)j!
n!1
 si not amfnu!
n!1f . A  sadar avem
fnu!
n!1f,kffnk1!
n21.
Teorem a 1.20 (  siruri uniform convergente de func  tii continue)
FieARn o mul  time  si fi:A!R;i1 , un  sir uniform convergent de
func  tii continue.
Atunci limita sa este o func  tie continu a.
Teorem a 1.21 (criteriul Lebesgue de integrabilitate Riemann)
Fief: [a;b]!R o func  tie.
Atunci func  tia f este integrabil a Riemann dac a  si numai dac a f este m arginit a
si continu a a.p.t.
Corolar 1.22
Fief: [a;b]!R o func  tie m arginit a  si continu a pe intervalul [a,b], mai
pu  tin pe mul  timea A[a;b] , finit a sau num arabil a.
Atunci func  tia f este integrabil a Riemann.
Teorem a 1.23 (clase de finc  tii integrabile Riemann)
Fief: [a;b]!R o func  tie continu a  si monoton a.
Atunci func  tia f este integrabil a Riemann.
Defini  tie 1.24 (oscila  tia unei func  tii  ntr-un punct,respectiv pe o mul  time)
FieMR o mul  time  si f:M!R o func  tie m arginit a. Oscila  tia func  tiei
f  ntr-un punct x02M este difinit a prin rela  tia
!f(x0) := infdia(f(V\M)jV2~V(x0) ,
unde ~V(x0) este mul  timea vecin ata  tilor lui x0 .
Oscila  tia func  tiei f pe mul  timea AM este definit a prin rela  tia
!f(A) :=dia(f(A)) = sup
x2Af(x)inf
x2Af(x):
Propozi  tie 1.25 (propriet a  tile oscila  tiei unei func  tii)
Fief: [a;b]!R o func  tie m arginit a.
Atunci au loc urm atoarele afirma  tii:
a)!f(x)!f((c;d)) ,8×2(c;d)[a;b] ;
b) func  tia f este continu a  ntr-un punct x02[a;b],!f(x0) = 0 ;

10 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII
c)8r >0 , mul  timeafx2[a;b]j!f(x)<rg este deschis a pe intervalul[a,b]
 si mul  timeafx2[a;b]j!f(x)rg este  nchis a pe intervalul [a,b], deci
este compact a  n R ;
d)Disc (f) =[
n1fx2[a;b]j!f(x)1
ng ;
e)8C2[a;b] o submul  time compact a cu sup
x2C(!f(x))<r<1 , avem c a
9>0 a.  .!f(A)<r ,8AC ,dia(A)< .
In urm atoarea defini  tie vom folosi nota  tiile: =R familia intervalelor din R ,
J de la Jordan  si L de la Lebesgue.
Defini  tie 1.26
FieAR o mul  time fixat a.
Spunem c a mul  timea A este neglijabil a(J) , dac a
8>09(Ik)k=1;n=R a.  .n[
k=1IkA &X
1knl(Ik) .
Spunem c a mul  timea A este neglijabil a(L) , dac a
8>09(In)n1=R a.  .[
n1InA &X
nnl(In) .
Propozi  tie 1.27 (propriet a  ti ale mul  timilor neglijabile)
a) O reuniune finit a de mul  timi neglijabile(J) este neglijabil a(J).
b) O reuniune num arabil a de mul  timi neglijabile(L) este neglijabil a(L).
c) Orice mul  time neglijabil a(J) este neglijabil a(L).
d) Orice mul  time compact a si neglijabil a(L) este neglijabil a(J).
Defini  tie 1.28
FieXR o mul  time  si x2X .
Spunem c a x7!P(x) se nume  ste func  tie propozi  tional a dac a oric arui ele-
mentx2X i se asociaz a o unic a propozi  tie, fie ea adev arat a sau fals a, notat a
cu P(x).
Spunem c a o func  tie propozi  tional a are loc aproape peste tot (L) peX ,
dac a exist a AX neglijabil a(L), astfel  nc at P(x) este adev arat a pentru orice
x2XnA . Vom folosi nota  tia a.p.t.(L) .
Defini  tie 1.29 (salturile unei func  tii)
Fief: [a;b]!R o func  tie monoton cresc atoare.
Definim salturile func  tei f  ntr-un punct x2[a;b] astfel:
sf(a) :=f(a+)f(a) ,
sf(x) :=f(x+)f(x) ,8×2[a;b] ,
sf(b) :=f(b)f(b) .

11
Definim salturile laterale ale func  tiei f  ntr-un punct x2[a;b] astfel:
sf(x+) :=f(x+)f(x) ,8×2[a;b) ,
sf(x) :=f(x)f(x) ,8×2(a;b] .
In continuare vom folosi nota  tiile sf(a+) :=sf(a)  sisf(b) :=sf(b) .
Propozi  tie 1.30 (propriet a  ti ale salturilor unei func  tii)
a)8×2(a;b) avemf(x)f(x)f(x+) , de unde rezult a:
sf(x) = 0, f este continu a  n x,
sf(a) = 0, f este continu a  n a,
sf(b) = 0, f este continu a  n b.
b)sf(a)0;
sf(x)0 ,8×2(a;b) ;
sf(b)0 ;
sf(x+)0 ,sf(x)0 ,8×2(a;b) .
c)8ac<x<db , rezult a c a sf(x)f(d)f(c) .
d)sf(x) =sf(x) +sf(x+) ,8×2(a;b) .
Observa  tie!
Defini  tia saltului lui f  n x0 are sens dac a func  tia f este continu a  n x0 saux0
este discontinuitate de prima spe  t a. Analog sf(a+) , respectiv sf(b) au sens
dac af(a+) , respectivf(b) exist a  si sunt finite.
Teorem a 1.31
Fief: [a;b]!R o func  tie monoton cresc atoare  si (xn)n1(a;b) ,cu
xi6=xj , pentru orice i6=j .
Atunci
sf(a+) +X
i1sf(xi) +sf(b)f(b)f(a):
Corolar 1.32
Fief: [a;b]!R o func  tie monoton cresc atoare  si fx1;x2;:::;x n;:::g
mul  timea discontinuit a  tilor lui f din(a,b)..
Atunci seria salturilor func  tiei f este convergent a.
Defini  tie 1.33 (func  tia salturilor)
Fief: [a;b]!R o func  tie monoton cresc atoare. Definim func  tia salturilor
lui f astfel:
~f(a) := 0;
~f(x) :=sf(a)sf(a+) +X
xkxsf(xk) +sf(x) ,8×2(a;b] ,

12 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII
undefx1;x2;:::;x n;:::g este mul  timea discontinuit a  tilor lui f din(a,b).
Deoarecesf(x)0 ,8×2[a;b]  si seria salturilor func  tiei f este convergent a
(din Corolaul 2.32), rezult a c a ~f este monoton cresc atoare  si are valori reale
pozitive.
Defini  tie 1.34 (drum, suport)
Fie[a;b]R un interval compact  si X un spa  tiu topologic.
Se nume  ste drum (continuu)  nX o func  tie continu a
: [a;b]!X .
Mul  timea
([a;b]) se nume  ste suportul lui
.
Spunem c a drumul
este simplu , dac a
este injectiv a.
Spunem c a drumul
este  nchis , dac a
(a) =
(b) .
Spunem c a drumul
este de clas aCk ,k0 , dac a func  tia
este de clas a
Ck .
Spunem c a drumul
este de clas aC1 pe por  tiuni , dac a exist a o diviziune

= (xi)i=1;n a lui [a;b] , astfel  nc at func  tia
j[xi1;xi] este de clas a C1 .
Defini  tie 1.35
Fie[a;b]R un interval compact.
Se nume  ste diviziune a lui [a,b] o secven  t a finit a a=x0<x1<:::<x n=b
 si not am cu
= (xi)i=1;n . Norma unei diviziuni este k
k=max
1in(xixi1) .
Not am cu Ä [a;b] sau Ämul  timea diviziunilor lui [a,b]. Pentru orice doua divi-
ziuni
,
02 Ä, spunem c a
0este mai fin a dec at
, dac a

0.
Defini  tie 1.36 (varia  tie par  tial a, varia  tia total a, varia  tie m arginit a)
Fief: [a;b]!Rno func  tie m arginit a.
Se nume  ste varia  tia par  tial a a lui f definit a de
sumamX
i=1kf(xi)f(xi1)k ,
8
= (xi)i=0;n2 Ä[a;b]  si se noteaz a cu V
(f) .
Se nume  ste varia  tia total a a lui f pe [a,b] num arul sup

V
(f)  si se noteaz a
cuVb
a(f) .
Fie[c;d][a;b] . Atunci Vd
c(f) :=Vd
c(fj[c;d]) se nume  ste varia  tia total a a lui
f pe [c,d] .
Spunem c a func  tia f este cu varia  tie m arginit a pe[a;b] , respectiv pe
[c;d][a;b] , dac a Vb
a(f)<1 , respectiv Vd
c(f)<1 . Not am cu VM([a;b];Rn)
mul  timea func  tiilor cu varia  tie m arginit a. Dac a m= 1 , atunci vom scrie
VM([a;b])  n loc de VM([a;b];R) .
Propozo  tie 1.37
Fief: [a;b]!R o func  tie monoton a.
Atunci func  tia f este cu varia  tie m arginit a  si
Vb
a(f) =jf(a)f(b)j .

13
Propozi  tie 1.38
Fief: [a;b]!R o func  tie -lipschitzian a.
Atunci func  tia f este cu varia  tie m arginit a  si
Vb
a(f)(ba) .
Corolar 1.39
Fief: [a;b]!R o func  tie derivabil a cu derivata m arginit a, de clas a C1.
Atunci func  tia f este cu varia  tie m arginit a  si
Vb
a(f)(ba) sup
axbkf0(x)k(2) .
Teorem a 1.40
Fief: [a;b]!Rno aplica  tie.
Atunci:
Vb
a(f) =Vc
a(f) +Vb
c(f) ,8c2(a;b) .
Propozi  tie 1.41
Fie(fn)n>1: [a;b]!Rmun  sir de func  tii cu varia  tie m arginit a  si
f2F([a;b];Rm) o func  tie.
Dac afns !f  sisup
n1Vb
a(fn)<1 , atunci func  tia f este cu varia  tie m arginit a
 si
Vb
a(f)sup
n1Vb
a(fn) .
Teorem a 1.42
Fief: [a;b]!R o func  te cu varia  tie m arginit a.
Atunci:
a) Exist a dou a func  tii f1 ,f2: [a;b]!R monoton cresc atoare, astfel  nc at
f:=f1f2 .
b) Dac af este continu a  ntr-un punct x02[a;b] , atunci func  tiile f1  sif2
sunt continue  n x0 .
Corolar 1.43
Fief: [a;b]!R o func  te cu varia  tie m arginit a.
Atunci func  tia f are numai discontinuit a  ti de prima spe  t a ce formeaz a o
mul  time cel mult num arabil a.
Teorem a 1.44
Fief o func  tie cu varia  tie m arginit a  si ~f func  tia salturilor lui f .
Atunci func  tia f~f este continu ac si cu varia  tie m arginit a.

14 CAPITOLUL 1. PRELIMINARII

Capitolul 2
Integrala Riemann-Stieltjes
Defini  tie 2.1 (sistem de puncte intermediare)
Fie f,g: [a;b]!R dou a func  tii arbitrare, Ä:=Ä [a;b] mul  timea diviziunilor
ale
intervalului [a;b] ,8
= (xi)i=0;n .
Prin sistem de puncte intermediare , asociat lui
 si notat cu 
 n  telegem
un sistem finit de puncte f1;2;:::; ng din[a;b] definit astfel:
i2 Ä[a;b]= [xi1;xi];8i20;n:
Vom nota cu 
mul  timea tuturor sistemelor de puncte intermediare 
,
asociate lui
.
Defini  tie 2.2 (suma Riemann-Stieltjes)
Se numeste suma Riemann-Stieltjes, asociata lui f, g,
;
, numarul
nX
i=1(g(xi)g(xi1))f(it) .
In cele ce urmeaz a vom nota Riemann-Stieltjes cu (R-S).
Defini  tie 2.3 (func  tie integrabil a (R-S) in raport cu o alta func  tie)
Func  tia f se nume  ste integrabil a(R-S)  n raport cu g , dac a lim
k
k!0f;g(
;
)
exist a  si este finita, independent de alegerea sistemului 
din
, i.e9L2R
cu proprietatea:
8">0;9>0; a.  jLf;g(
;
)j<";8
2 Ä[a;b];k
k<;8
2
:
Defini  tie 2.4 (integrala (R-S))
Numarul L se nume  ste integrala(R-S), pe [a;b] , a func  tiei f  n raport cu g
 si se noteaza cuZb
afdg sauZb
af(x)dg(x) .
15

16 CAPITOLUL 2. INTEGRALA RIEMANN-STIELTJES
Defini  tie 2.5 (integrabilitatea (R-S) pe un subinterval)
Func  tia f este integrabil a (R-S)  n raport cu g pe un subinterval [c;d][a;b] ,
dac a func  tia fj[c;d] este integrabil a (R-S)  n raport cu func  tia gj[c;d] . In acest
caz vom definiZb
afdg:=Zb
afj[c;d]dgj[c;d]:
Atunci c and g(x)=x, 8×2[a;b] , integrala (R-S),Zb
afdg , coincide cu inte-
grala (R),Zb
afdx , deci integrala (R-S) este o generalizare a integralei(R).
Propozi  tie 2.6
Fie f,g: [a;b]!R dou a func  tii. Atunci au loc urm atoarele afirma  tii:
a) Dac a f este integrabil a (R-S)  n raport cu g, atunci integrala (R-S),Zb
afdg ,
este unic determinat a.
b) Dac a g=c (constant a), atunciZb
afdg= 0 .
c) Dac a f=c (constant a)  si g cu varia  tie m arginit a, atunci
Zb
afdg=c(g(b)g(a)):
d) Dac a f este integrabil a (R-S)  n raport cu g  si g este strict monoton a,
atunci f este m arginit a.
Demonstra  tie. a)  si b) sunt evidente.
c)