Integrala Riemann Stieljes

Cuprins

NOȚIUNI INTRODUCTIVE

FUNCȚII CU VARIAȚIE MĂRGINITĂ

Noțiunea de funcție cu variație mărginită

Clase de funcții cu variație mărginită

Caracterizarea alternativă a funcțiilor cu variație mărginită

Calculul variației totale a unei funcții derivabile cu derivata continuă

INTEGRALA RIEMANN – STIELTJES

Noțiunea de funcție integrabilă Riemann – Stieltjes în raport cu altă funcție

Proprietățile de liniaritate și de aditivitate de domeniu pentru integrala RiemannStieltjes

Teorema de integrare prin părți pentru integrala Riemann – Stieljes

Clase de perechi de funcții pentru care f este integrabilă Riemann – Stieltjes în raport cu g

Problema permutării limitei cu integrala

Teorema de reprezentare a lui Riesz

APLICAȚII

BIBLIOGRAFIE

NOȚIUNI INTRODUCTIVE

Obiectivele acestei lucrări sunt definirea Integralei Riemann – Stieltjes și explicarea proprietăților acesteia.

În matematică, integrala Riemann – Stieltjes este o generalizare a integralei Riemann numită după Bernhard Riemann și Thomas Joannes Stieltjes. Definiția acestei integrale a fost publicată pentru prima dată de Stieltjes în anul 1894.

Este cunoscut faptul că integrala Riemann – Stieltjes are o mare aplicabilitate în mai multe domenii de analiză, precum și în teoria probabilităților și fizică.

S-a urmărit ca, la anumite funcții reale de o variabilă reală, definite pe mulțimi din , să se asocieze numere reale.

Noțiunea de “Integrală Riemann” s-a dovedit insuficientă atât din punct de vedere teoretic, cât și practic. Însă matematicienii Th. J. Stieltjes și H. Lebesgue au construit concepte mai generale: “Integrala Riemann – Stieltjes” și “Integrala Lebesgue”. Acestea au permis rezolvarea problemelor teoretice și aplicative, precum determinarea lungimii unei curbe, a ariei unei suprafețe în spațiu, a volumului unui corp solid sau problema determinării centrului de greutate al unei figuri plane sau al unui corp solid, probleme care nu aveau soluții prin folosirea integralei Riemann.

Funcții cu variație mărginită

Fie o funcție cu variație mărginită pe intervalul închis și fie numărul , astfel încât, pentru orice diviziune , avem

Numărul este alcătuit din toate modificările suferite de funcția pe intervalul închis , făcându-se abstracție de valorile din interiorul intervalelor care formează diviziunea . Este evident că pentru a putea ține evidența modificărilor suferite de valorile funcției pe intervalul , este recomandat să specificăm cât mai multe puncte ale diviziunii . Cum numărul nu scade atunci când adăugăm noi puncte diviziunii , este normal să se îndrepte atenția asupra celui mai mic număr cu proprietatea . Acest număr va evidenția cel mai bine modificările pe care funcția le suferă pe intervalul .

Noțiunea de funcție cu variație mărginită

Definiția 2.1.1. Pentru o funcție și o partiție a lui , definim variația lui corespunzătoare lui , notată cu , ca fiind

Dacă mulțimea este mărginită, atunci spunem că este cu variație mărginită și în acest caz numărul real pozitiv

se notează cu

și se numește variația totală a lui pe .

Observația 2.1.2. O funcție continuă se numește drum, iar imaginea sa se numește suportul drumului considerat. Deoarece reprezintă lungimea liniei poligonale determinate de punctele , este natural să spunem că suportul drumului are lungime (este rectificabil) dacă este finit și îl vom numi lungimea suportului drumului . Așadar suportul drumului are lungime (este rectificabil) dacă și numai dacă este cu variație mărginită și în acest caz lungimea suportului drumului este egală cu

Pentru o funcție cu proprietatea că , dată de pentru orice , este cu variație mărginită, vom numi lungimea graficului lui variația totală a funcției .

Următoarea propoziție ne indică faptul că studiul funcțiilor cu variație mărginită poate fi limitat la studiul cazului în care funcția este cu valori reale.

Propoziția 2.1.3. O funcție , având componentele , este cu variație mărginită dacă și numai dacă funcțiile sunt cu variație mărginită.

Demonstrație. Pentru orice partiție a lui , avem

pentru orice și , înțelegem că

adică

Următoarea propoziție ne arată că proprietatea unei funcții de a fi cu variație mărginită se păstrează prin restricționarea acesteia la un subinterval al intervalului inițial.

Propoziția 2.1.4. Fie o funcție cu variație mărginită și . Atunci este cu variație mărginită și

Demonstrație. Fie o partiție arbitrară a intervalului , atunci este o partiție a intervalului și avem

de unde rezultă că este cu variație mărginită și

Colorarul 2.1.5. Fie o funcție cu variație mărginită. Atunci funcția dată de

pentru orice este crescătoare.

Propoziția următoare ne indică faptul că familia de funcții cu variație mărginită reprezintă o subclasă a funcțiilor mărginite.

Propoziția 2.1.6. O funcție cu variație mărginită este mărginită.

Demonstrație. Fie partiția intervalului alcătuită din capetele acestui interval și avem

de unde rezultă că funcția este mărginită.

Propoziția următoare, pe care o vom utiliza în cadrul demonstrației Teoremei lui Jordan, ne arată aditivitatea de domeniu a variației totale.

Propoziția 2.1.7. Fie o funcție cu variație mărginită și . Atunci

Demonstrație. Fie o partiție arbitrară a lui

Atunci există astfel încât

Fie o partiție a lui o partiție a lui și o partiție a lui

Avem

de unde

Fie o partiție arbitrară a intervalului și o partiție arbitrară a intervalului

Fie partiția intervalului alcătuită din punctele lui și

Atunci

de unde

Din relațiile și rezultă că

Clase de funcții cu variație mărginită

Propoziția 2.2.1. Orice funcție monotonă este cu variație mărginită și

Demonstrație. Să presupunem că funcția este crescătoare.

Pentru orice partiție a lui avem

ceea ce ne indică faptul că este cu variație mărginită și

Propoziția 2.2.2. O funcție Lipschitz este cu variație mărginită.

Demonstrație. Fie o funcție Lipschitz, atunci există astfel încât

pentru orice

Pentru orice partiție a lui , avem

ceea ce ne indică faptul că este cu variație mărginită.

Corolarul 2.2.3. O funcție derivabilă, cu derivata mărginită este funcție cu variație mărginită.

Propoziția 2.2.4. Pentru o funcție următoarele afirmații sunt echivalente:

este constantă;

este cu variație mărginită și

Demonstrație. Implicația este imediată.

Pentru a demonstra implicația , vom considera, pentu partiția lui dată de punctele și .

Avem

de unde

pentru orice deci este constantă.

Caracterizarea alternativă a funcțiilor cu variație mărginită

Următorul rezultat ne indică structura funcțiilor cu variație mărginită.

Teorema lui Jordan. Pentru o funcție următoarele afirmații sunt echivalente:

este cu variație mărginită;

există două funcții crescătoare astfel încât

Demonstrație.

Conform Popoziției 2.1.7., funcția dată de

este crescătoare pentru orice .

Fie

Trebuie să arătăm că este crescătoare.

Deci, pentru avem

de unde

adică

Înlocuind pe cu

și pe cu

implicația este demonstrată.

Implicația este imediată deoarece funcțiile și sunt monotone și cu variație mărginită.

Corolarul 2.3.1. Fie o funcție cu variație mărginită. Posibilele discontinuități ale sale sunt de prima speță.

Calculul variației totale a unei funcții derivabile cu derivata continuă

Lema 2.4.1. Fie o funcție cu variație mărginită. Atunci există un șir de partiții ale lui astfel încât:

Demonstrație. Fie o partiție a intervalului pentru orice , astfel încât

Fie o partiție a lui care reprezintă o rafinare a lui și care are norma mai mică decât , atunci

și

pentru orice , de unde reiese concluzia.

Teorema privind calculul variației totale a unei funcții derivabile cu derivata continuă. Fie o funcție derivabilă și cu derivata continuă.

Atunci

unde

Demonstrație. Fie , .

Fie continuă, deci și integrabilă, atunci există , astfel încât pentru orice partiție a lui cu norma inferioară lui avem

Fie funcțiile continue și un interval compact, conform Teoremei continuității uniforme, acestea sunt uniform continue, așadar există astfel încât pentru orice astfel încât și orice avem

Conform Lemei 2.4.1., există și o partiție

a lui , astfel încât

și

de unde

Conform Teoremei lui Lagrange, pentru orice și există astfel încât

deci

de unde

unde reprezintă un sistem de puncte intermediare arbitrare pentru partiția

Inegalitatea

este valabilă pentru orice și vectori din

Observăm că ceea ce ne garantează că

și, folosind relația obținem

pentru orice așadar, folosind relația obținem

Atunci, din relațiile și rezultă că

pentru orice

Deci

Corolarul 2.4.2. Fie o funcție derivabilă și cu derivata continuă. Atunci lungimea graficului lui este egală cu

INTEGRALA RIEMANN – STIELTJES

În analiza matematică, integrala unei funcții este o generalizare a noțiunilor de arie, masă, volum și sumă. Procesul de determinare a unei integrale se numește integrare.

O definiție riguroasă a integralei a fost dată de Bernhard Riemann. Ea este bazată pe o trecere la limită prin care se aproximeaza aria unei regiuni curbilinii prin descompunerea acesteia în zone verticale.

Integrala Riemann este definită în termeni de sume Riemann ale unor funcții în raport cu diviziuni ale intervalului.

Noțiunea de funcție integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu altă funcție

Fie funcții mărginite.

O partiție (sau diviziune) a intervalului este o familie finită de intervale închise, care au în comun cel mult un punct și a căror reuniune este intervalul .

O partiție P a intervalului este redată prin precizarea unei mulțimi de numere reale astfel încât

iar intervalele sunt

Punctele se numesc punctele diviziunii.

Termenul de partiție constituie atât familia de intervale, cât și punctele partiției, așadar, putem scrie

Fie două partiții P și Q ale intervalului Spunem că partiția Q este o rafinare a lui P dacă orice interval al partiției Q este conținut într-un interval al partiției P, așadar, orice punct al lui P este un punct al lui Q.

Deci, avem

Definiția 3.1.1. Fie O sumă Riemann-Stieltjes a lui f în raport cu g, corespunzătoare partiției a lui , are forma

unde , pentru orice .

Observatia 3.1.2. Fie , pentru orice .0 Obținem suma

care se numește suma Riemann și care poate fi interpretată ca suma ariilor dreptunghiurilor cu baza și înălțimea . Așadar, pentru partiții foarte fine ale intervalului este de așteptat ca suma Riemann să producă o aproximare a “ariei de sub graficul lui f”.

Observația 3.1.3. Observăm că suma

depinde de alegerea punctelor intermediare Considerând partiția și suma , unde punctele intermediare sunt, alternativ, capetele din dreapta și din stânga ale intervalelor, avem , așadar putem presupune întotdeauna că partiția considerată are un număr par de interval.

Definiția 3.1.4. Fie . Spunem că f este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g dacă există un număr real I cu proprietatea că pentru orice există o partiție a lui astfel încât pentru orice partiție P, care este o rafinare a lui și orice sumă Riemann-Stieltjes corespnzătoare lui P să avem

Ȋn acest caz, I, care este unic determinat, se numește integrala Riemann-Stieltjes a lui f în raport cu g și vom nota

Dacă , pentru orice , spunem că f este integrabilă Riemann și scriem

Rezultatul următor ne va ajuta în demonstrarea Teoremei de permutare a limitei cu integrala și a Teoremei de integrabilitate Riemann-Stieltjes a funcțiilor continue.

Criteriul lui Cauchy pentru integrabilitatea Riemann

Fie Condiția necesară și suficientă ca să fie integrabilă Riemann este ca, pentru orice să existe astfel încât

pentru orice diviziuni și ale lui cu și pentru orice

Demonstrație. Presupunem că este integrabilă Riemann și Atunci, pentru orice există astfel încât

de unde rezultă că

Presupunem îndeplinită condiția din enunț și fie un șir de diviziuni ale lui cu Alegem pentru fietegrala Riemann-Stieltjes a lui f în raport cu g și vom nota

Dacă , pentru orice , spunem că f este integrabilă Riemann și scriem

Rezultatul următor ne va ajuta în demonstrarea Teoremei de permutare a limitei cu integrala și a Teoremei de integrabilitate Riemann-Stieltjes a funcțiilor continue.

Criteriul lui Cauchy pentru integrabilitatea Riemann

Fie Condiția necesară și suficientă ca să fie integrabilă Riemann este ca, pentru orice să existe astfel încât

pentru orice diviziuni și ale lui cu și pentru orice

Demonstrație. Presupunem că este integrabilă Riemann și Atunci, pentru orice există astfel încât

de unde rezultă că

Presupunem îndeplinită condiția din enunț și fie un șir de diviziuni ale lui cu Alegem pentru fiecare Vom arăta mai întâi că este un șir convergent. E clar că pentru există astfel încât

Deoarece rezultă că există cu proprietatea că , așadar

ceea ce ne indică faptul că șirul este un șir Cuachy, deci, convergent.

Fie

avem

Trecând la limită după n, obținem

Deci, este integrabilă Riemann.

Proprietățile de liniaritate și aditivitate de domeniu pentru integrala Riemann-Stieltjes

Următoarea teoremă redă proprietățile de liniaritate ale integralei Riemann-Stieltjes.

Teorema 3.2.1. a) Fie , integrabile Riemann-Stieltjes în raport cu g și .

Atunci este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g și

b) Fie , f integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu și și

Atunci f este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu și

Teorema de aditivitate de domeniu pentru integrala Riemann-Stieltjes

a) Fie și astfel ca să fie integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu și să fie integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu

Atunci f este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g si

b) Fie și astfel ca f să fie integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g.

Atunci este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu , este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu și

Teorema de integrare prin părți pentru integrala Riemann- Stieltjes

Următoarea teorema se va folosi pentru demonstrarea Teoremei de integrare prin părți pentru integrala Riemann și a celei de a doua teoreme de medie pentru integrala Riemann-Stieltjes.

Teorema de integrare prin părți pentru integrala Riemann-Stieltjes

Fie . Atunci f este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g dacă și numai dacă g este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu f, caz în care avem

Demonstrație. Dacă că f este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g, atunci, pentru orice există o partiție a lui , astfel încât pentru orice partiție Q, care este o rafinare a lui și orice sumă Riemann-Stieltjes corespunzătoare lui P, avem

Fie P o rafinare a lui și fie suma Riemann-Stieltjes dată de

unde și , pentru orice

Fie partiția lui structurată astfel:

și

pentru orice .

Remarcăm că partiția Q este o rafinare a lui

Adunând și scăzând termenii , , obținem

unde punctele intermediare , adică

Deci, din relația , obținem

pentru orice partiție P, care este o rafinare a lui , ceea ce ne indică faptul că este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu și

Clase de perechi de funcții (f,g) pentru care f este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g

Teorema de integrabilitate Riemann-Stieltjes a funcțiilor continue

Fie . Dacă este continuă și este monotonă, atunci este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu .

Demonstrație. Să presupunem că g este crescătoare.

Conform Teoremei continuității uniforme, este uniform continuă, de unde rezultă că pentru orice există astfel încât pentru orice cu proprietatea că

obținem

Fie o partiție a lui , astfel încât

iar o rafinare a sa.

Atunci

și

unde -urile se pot repeta și nu aparțin neapărat intervalului

Punctele și aparțin aceluiași interval , prin urmare, în funcție de alegerea lui , avem

Așadar, avem

Atunci, pentru și Q rafinări ale lui , avem

conform criteriului lui Cauchy pentru integrabilitatea Riemann-Stieltjes, rezultă că este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu g.

Conform Teoremei de integrare prin părți pentru integrala Riemann-Stieltjes, avem:

Corolarul 3.4.1. Fie . Dacă este monotonă și este continuă, atunci este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu .

Problema permutării limitei cu integrala

Următoarea lemă o vom folosi în cadrul demonstrației Primei teoreme de medie pentru integrala Riemann-Stieltjes.

Lema 3.5.1. Fie , astfel încât este continuă și este crescătoare. Atunci avem estimarea

unde

Dacă

pentru orice , atunci

Observația 3.5.2. Dacă este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu funcția monotonă , atunci este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu , iar inegalitățile de mai sus sunt valabile.

Fie o funcție crescătoare, iar este un șir de funcții integrabile Riemann-Stieltjes în raport cu , care converge simplu catre funcția

Ne dorim să determinăm condițiile suficiente astfel încât

Fie

pentru orice și

observăm că relația de mai sus nu este valabilă, prin urmare vom avea nevoie de condiții suplimentare.

Următoarea teoremă ne ajută în stabilirea unor noi condiții:

Teorema de permutare a limitei cu integrala. Fie o funcție crescătoare și un șir de funcții integrabile Riemann-Stieltjes în raport cu , care converge uniform către funcția

Atunci este integrabilă Riemann-Stieltjes în Rport cu și

Demonstrație. Pentru orice există astfel încât

Conform criteriului lui Cauchy pentru integrabilitatea Riemann-Stieltjes, vom alege o partiție a intervalului astfel încât pentru orice rafinări și ale sale, să avem

Alegând aceleași puncte intermediare pentru și , obținem

unde

Analog

Așadar, pentu și rafinări ale lui , avem

de unde rezultă, conform criteriului lui Cauchy, că este integrabilă Riemann-Stieltjes în raport cu .

Pentru a arăta că

conform lemei de mai sus, avem

de unde, deoarece

reiese concluzia.

Teorema convergenței mărginite pentru integrala Riemann

Fie ,, un șir de funcții integrabile Riemann, cu proprietatea că există , astfel încât

pentru orice

Dacă converge implu către funcția integrabilă Riemann atunci

În cadrul demonstrației teoremei de mai sus ne vom folosi de următoarea lemă care ne indică faptul că o funcție cu valori pozitive, a cărei integrală este strict pozitivă, este mai mare decât o anume constantă pe o mulțime “suficient de mare”.

Lema 3.5.3. Fie o funcție integrabilă cu proprietatea că

Atunci mulțimea

conține un număr finit de intervale închise cu suma lungimilor mai mare decât unde

Demonstrație. Fie o partiție a lui astfel încât

pentru orice sumă Riemann

Atunci

Alegerea punctelor intermediare din suma Riemann se face astfel încât să avem

Dacă atunci

unde conține termenii pentru care iar conține termenii pentru care

Vom nota cu suma lungimilor intervalelor care sunt implicate în și avem

de unde

adică concluzia.

Putem să prezentăm demonstrația teoremei convergenței mărginite:

Să presupunem că

și

pentru orice și că

Vrem să arătăm că

Presupunem, prin reducere la absurd, că

Atunci există un subșir al lui și astfel încât

pentru orice

Conform lemei de mai sus și ipotezei, înțelegem că, pentru orice mulțimea

Este alcătuită dintr-un număr finit de intervale cu suma lungimilor mai mare decât

Așadar, există astfel încât este infinită, ceea ce contrazice ipoteza care ne asigură că

Pentru a putea finaliza demonstrația, trebuie să explicăm existența punctului cu proprietatea că este infinită.

Presupunem că mulțimile constituie reuniunea unui număr finit de intervale având suma lungimilor mai mare decât

Observăm cǎ

Sǎ presupunem acum cǎ nu existǎ astfel încât este infinitǎ.

Atunci

așadar, cu notațiile

și

rezultă că

adică

Deoarece

Rezultă că

unde constituie o reuniune de intervale având suma lunigimilor mai mică decât .

Cu convergența , se constată contradicția∶

Teorema convergenței monotone pentru integrala Riemann. Fie, un șir monoton de funcții integrabile Riemann, care converge simplu către funcția integrabilă Riemann .

Atunci

Demonstrație. Presupunem că

pentru orice și orice .

Funcțiile

sunt integrabile Riemann, deci

pentru orice .

Continuarea demonstrației este similară cu cea a teoremei de convergență dominantă.

Teorema de reprezentare a lui Riesz

Fie

Pentru orice vom considera

Definiția 3.6.1. O funcțională liniară pe este o funcție astfel încât

pentru orice și orice

G se numește pozitivă dacă pentru orice

G se numește mărginită dacă există astfel încât

pentru orice

Lema 3.6.2. Fie crescătoare si dată de

pentru orice

Atunci G este o funcțională liniară, pozitivă și mărginită.

Teorema de reprezentare a lui Riesz. Fie o funcțională liniară, pozitivă și mărginită.

Atunci există o funcție crescătoare astfel încât

pentru orice

Demonstrație. Vom construi o funcție crescătoare g.

Fie este o funcțională mărginită, există astfel încât

pentru orice

Cum este liniară și pozitivă, rezultă că

pentru orice cu proprietatea că

Pentru și suficient de mare, definim dată de

Remarcăm că

pentru orice și orice astfel ca .

Aceasta ne indică faptul că șirul de numere reale este descrescător și mărginit și, conform Teoremei convergenței monotone, el este convergent.

Funcția se poate defini astfel:

unde

Deoarece

pentru orice și orice astfel încât , prin trecerea la limită când tinde la , obținem

pentru orice

Definind

și

unde, 1 reprezintă funcția constant egală cu 1, am definit o funcție crescătoare g, având domeniul .

Fie

Conform Teoremei continuității uniforme, funcția f este uniform continuă și, pentru orice , există , cu proprietatea că pentru orice , astfel încât

obținem

Conform Teoremei de integrabilitate Riemann – Stieltjes a funcțiilor continue, f este integrabilă Riemann – Stieltjes în raport cu g, pentru orice , există o partiție cu proprietatea că

pentru orice rafinare Q a lui și orice sumă Riemann – Stieltjes

Fie o rafinare a lui și astfel încât

Pentru orice șirul descrescător are limita putem presupune că n a fost ales astfel încât

Fie funcția continuă dată de

pentru orice

Un element se află in maximum două dintre intervalele familiei

a căror reuniune este

Dacă x aparține unui unic interval din familia descrisă mai sus, atunci∶

sau

ii) există astfel încât

În cazul i), avem

iar, în cazul ii), avem

rezultă că

Dacă x se află în două intervale din familia descrisă mai sus, atunci există astfel încât

rezultă că

adică

Deoarece

înțelegem că

de unde

Deci

de unde

Având în vedere relația , obținem

pentru orice .

Din relațiile și , obținem

Deci, obținem

unde am folosit relația (1), fiind o sumă Riemann-Stieltjes , iar P este o rafinare a lui .

Din relațiile (3) și (5), obținem

pentru orice , de unde rezultă că

Observația 3.6.3. Există o bijecție între mulțimea funcționalelor liniare, pozitive și mărginite din în și funcțiile crescătoare din în , care se anulează în a și care sunt continue la dreapta în orice punct din .

Definiția 3.6.4. Fie , unde I este un interval nedegenerat. Spunem că funcția f admite primitive dacă există o funcție derivabilă astfel încât .

Funcția F se numește o primitivă a lui f și se notează cu sau cu .

Definiția 3.6.5. Fie un interval închis și mărginit din . Se numește diviziune a intervalului un sistem de puncte

din , astfel încât

unde .

Cea mai mare dintre lungimile intervalelor se numește norma diviziunii și se notează cu .

Așadar

Definiția 3.6.6. Fie un interval închis și mărginit din și o diviziune a intervalului .

Un sistem de n puncte cu proprietatea că

pentru orice , se numește sistem de puncte intermediare asociat diviziunii .

Definiția 3.6.7. Fie un interval închis și mărginit din , o funcție , o diviziune a intervalului și un sistem de n puncte intermediare asociat diviziunii .

Se numește suma Riemann asociată funcției f, diviziunii și punctelor intermediare numărul real

Acest număr va fi notat prin

Definiția 3.6.8. O funcție se numește integrabilă Riemann dacă există un număr real cu proprietatea că oricare ar fi , există , astfel încât pentru orice diviziune

a intervalului cu

și orice sistem de n puncte intermediare asociat diviziunii , are loc egalitatea

Numărul real se numește integrala Riemann sau integrala definită a funcției f pe intervalul și se notează

Formula lui Leibniz-Newton

Fie o funcție derivabilă pe astfel încât derivata sa să fie integrabilă Riemann. Atunci

Mai mult, pentru orice diviziune a lui există un sistem

astfel încât

Demonstrație. Fie o diviziune a lui și astfel încât

De aici rezultă că

Afirmația rezultă alegând un șir de diviziuni ale lui cu și observând că

Propoziția 3.6.9. Dacă funcția este integrabilă Riemann, atunci f este mărginită.

Teorema 3.6.10. Fie o funcție . Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

funcția f este integrabilă Riemann;

există un număr real cu proprietatea că oricare ar fi șirul de diviziuni

, , ale intervalului , cu

și oricare ar fi punctele intermediare , șirul sumelor Riemann converge către .

Definiția 3.6.11. Fie o funcție mărginită și odiviziune a intervalului .

Pentru orice , fie

și

Sumele

și

se numesc sumele Darboux ale funcției f corespunzătoare diviziunii .

Mai precis, se numește suma Darboux superioară, iar se numește suma Darboux inferioară.

Se observă că

Următoarele propoziții ne vor folosi în cadrul demonstrației Criteriului de integrabilitate Riemann al lui Darboux

Propoziția 3.6.12. Fie o funcție integrabilă Riemann. Atunci, pentru orice șir de diviziuni ale lui cu și pentru orice șir cu avem

În plus, avem

Demosntrație. Fie un șir de diviziuni ale intervalului cu și fie, pentru fiecare , Pentru alegem astfel încât

Deoarece , există astfel încât

așadar

rezultă că

Însă, din

și

obținem

și

de unde rezultă

și

Fie o diviziune aintervalului . Dacă obținem

Dar

așadar, trecând la limită după , avem

În plus, avem

și

Definiția 3.6.13. Fie funcția mărginită. Numărul

se numește integrala Darboux inferioară, notată prin

iar numărul

se numește integrala Darboux superioară, notată prin

Propoziția 3.6.14. Fie funcția o mărginită. Atunci pentru orice există astfel încât

Demonstrație. Înlocuind pe cu în prima inegalitate, o vom obține pe a doua. Din definiția integralei Darboux superioare avem o diviziune a intervalului , astfel încât

Fie și fie , astfel încât

unde Vom demosntra

Fie o diviziune a intervalului , cu și fie Atunci

așadar

Este de ajuns să arătăm că

Fie Deoarece și

pentru orice observăm că în orice interval poate să existe cel mult un punct al diviziunii

Fie mulțimea indicilor , pentru care intervalul deschis conține un punct al diviziunii . Avem

unde

Este clar că sunt punctele diviziunii , așadar, cardinalul mulțimii este cel mult

Deoarece și obținem

Criteriul lui Darboux pentru integrabilitatea Riemann

Fie o funcție reală mărginită. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

este integrabilă Riemann;

;

pentru orice există o diviziune a intervalului , cu proprietatea

pentru orice există , astfel încât:

Demonstrație. Implicația reiese din propoziția 3.6.12; reiese din propoziția 3.6.14; este evidentă.

. Fie și o diviziune a intervalului . Atunci

Dar, conform propoziției 5, există , astfel încât

Conform criteriului lui Cauchy, avem

așadar

Deci este integrabilă Riemann.

Definiția 3.6.15. Fie A o mulțime din . Spunem că mulțimea a este neglijabilă Lebesgue (sau de măsură Lebesgue nulă) dacă pentru orice există un șir de intervale deschise și mărginite cu proprietatea că

și

unde prin înțelegem lungimea intervalului .

Observația 3.6.16. Orice mulțime numărabilă este neglijabilă.

Definiția 3.6.17. O mulțime se numește neglijabilă Lebesgue dacă pentru orice există un șir de intervale deschise astfel încât

și

Criteriul lui Lebesgue pentru integrabilitatea Riemann

Fie o funcție mărginită. Atunci este integrabilă Riemann dacă și numai dacă mulțimea punctelor în care nu este continuă este neglijabilă Lebesgue.

Demonstrație. Presupunem că este integrabilă Riemann și, pentru orice fie unde reprezintă oscilația lui în punctul Pentru orice există o diviziune a lui astfel încât

Punând

avem

Punând

avem

și

Deci, este neglijabilă Lebesgue. Deoarece mulțimea punctelor de discontinuitate ale funcției este mulțimea

deducem că această mulțime este neglijabilă Lebesgue.

Reciproc, presupunem că mulțimea

este neglijabilă Lebesgue și fie

Fie acum astfel încât

Considerăm

Deoarece , rezultă că este neglijabilă Lebesgue și deci există un șir de intervale deschise, cu

și

Pentru orice avem și deci există un interval deschis care conține astfel încât Deoarece este o mulțime compactă și

există și o mulțime finită astfel încât

Considerăm acum o diviziune a lui care să conțină capetele intervalelor , cu și cu care se află în Din construcție rezultă că pentru orice există cu proprietatea sau cu proprietatea

Vom nota cu mulțimea indicilor cu proprietatea că există cu

și Avem

și deci,

Din criteriul lui Darboux deducem că este integrabilă Riemann.

Aplicații

Să se stabilească dacă funcția de mai jos este cu variație mărginită:

dată de

Rezolvare:

Se observă că funcția este crescătoare pe intervalele și .

În plus avem

Rezultă că este crescătoare pe intervalul deci este cu variație mărginită.

Să se stabilească dacă funcția de mai jos este cu variație mărginită:

, dată de

Rezolvare:

Toate punctele din intervalul sunt de speța a doua, iar o funcție cu variație mărginită nu poate avea astfel de puncte. Rezultă ca funcția nu este cu variație mărginită.

Să se arate că funcția dată de

este derivabilă și nu este cu variație mărginită.

Rezolvare:

Pentru a arăta că este derivabilă, este suficient să verificăm derivabilitatea în origine

Pentru a arăta că nu e cu variație mărginită, vom forma, pentru fiecare , diviziunea

și suma corespunzătoare ei

Deoarece

rezultă că

deci nu este cu variație mărginită.

Să se stabilească dacă funcția de mai jos este cu variație mărginită și, în caz afirmativ, să se calculeze variația totală:

, dată de

Rezolvare:

rezultă că este continuă, deci, este de clasă

rezultă că este descrescătoare, deci, este cu variație mărginită.

Să se stabilească dacă funcția de mai jos este cu variație mărginită și, în caz afirmativ, să se calculeze variația totală:

, dată de

Rezolvare:

Vom scrie , unde

și

Deoarece este monoton descrescătoare și este monoton crescătoare, rezultă că funcția este cu variație mărginită.

Avem

Observăm că funcția este monoton descrescătoare în intervalul

Fie o diviziune arbitrară a intervalului :

Atunci

deoarece și ,

rezultă că

Așadar,

Să se calculeze

Rezolvare:

Să se studieze convergența simplă și uniformă a șirului de funcții

Pentru orice

Rezolvare:

Pentru avem că dar

Să se calculeze

Rezolvare:

Prima funcție este continuă, iar cea de a doua este derivabilă și are derivata continuă. Deci, funcția este integrabilă Riemann – Stieltjes in raport cu funcția pe intervalul

Vom aplica formula de reducere a integralei Riemann – Stieltjes la integrala Riemann și obținem:

Bibliografie

Radu Miculescu, Analiză Matematică (note de curs), Editura Universității din București, 2010

Nicu Boboc, Analiză Matematică, volumele I și II, Editura Universității din București, 1999

Ion Colojoară, Analiză Matematică, Editura Didactică si Pedagogică, București, 1983

Bibliografie

Radu Miculescu, Analiză Matematică (note de curs), Editura Universității din București, 2010

Nicu Boboc, Analiză Matematică, volumele I și II, Editura Universității din București, 1999

Ion Colojoară, Analiză Matematică, Editura Didactică si Pedagogică, București, 1983