Injectivitate Si Proiectivitate Relativa

CUPRINS

CAPITOLUL : MODULE PROIECTIVE ȘI INJECTIVE

§ 1. Module proiective și generatori 1

Caracterizarea generatorilor 5

Radicalul modulelor proiective 9

Acoperiri proiective 12

§ 2. Module injective și cogeneratori 17

Caracterizarea modulelor injective 17

Anvelope injective 21

Sumanzi direcți de injectivi 26

Cogeneratori 27

CAPITOLUL : INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ

§ 3. Categorii și functori 31

Categorii și exemple 31

Functori 33

Functorul Hom și exactitatea 37

Sume și produse directe sub Hom 39

Functori exacți 42

§ 4. Module M- injective și M- proiective 43

Caracterizarea modulelor M- injective și M- proiective 43

Clase de injectivitate și proiectivitate relativă 45

Domenii de injectivitate și proiectivitate relativa 47

§ 5. Module cvasi- injective și cvasi- proiective 55

CAPITOLUL : MODULE / – INJECTIVE ȘI MODULE

/- PROIECTIVE

§ 6. Module /M- injective 64

§ 7. Module – injective 72

§ 8. Module /- proiective 79

§ 9. Inele de fracții și module /- injective 82

bibliografie

BIBLIOGRAFIE

T. Albu, C. Năstăsescu- Relative finiteness in module theory

Ion D. Ion-Algebra- Editura Didactică și Pedagogică, București

C. Năstăsescu- Inele, module, categorii, Editura Academiei București,

1976

N. Popescu, Al. Radu- Teoria categoriilor și a fascicolelor, Editura

Științifică, București, 1971

I. Purdea, Gh. Pic- Tratat de algebră modernă, Vol.1, Editura

Academiei R. S. R., 1977

Gh. Pic- Algebra, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1966

Al. Solianu- Teoria modulelor, Editura Academiei, București, 1972

Al. Froda- Algebra superioară, Editura Didactică și Pedagogică,

București, 1958.

=== A DOUA PAGINA ===

UNIVERSITATEA “DUNĂREA DE JOS” GALAȚI

FACULTATEA DE ȘTIINȚE

SPECIALIZAREA MATEMATICĂ INFORMATICĂ

INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ

Coordonator științific : Absolvent :

– 2007 –

=== CAPITOLUL ' ===

CAPITOLUL I

MODULE PROIECTIVE ȘI INJECTIVE

§1. MODULE PROIECTIVE ȘI GENERATORI

CARACTERIZAREA MODULELOR PROIECTIVE

Definiția 1.1. Un R – modul stâng P se numește proiectiv dacă pentru orice epimorfism de module și fiecare homomorfism există un – homomorfism astfel încât diagrama

P

g

M N O

p

este comutativă, adică.

Propoziția 1.2. Următoarele afirmații despre un R – modul stâng sunt echivalente:

(a) P este proiectiv;

(b) Pentru orice epimorfism aplicația

este un epimorfism;

(c) Pentru fiecare structură de (R,S) binomul functorul este exact;

(d) Pentru fiecare șir exact în categoria R- MOD șirul este exact.

Demostrație. (a)(b) și (a)(c)

(c)(d)

Propoziția 1.3. Orice – modul liber este proiectiv.

Demonstrație. Fie L un R – modul liber cu baza și diagrama exactă

L

M N O

g

Există astfel încât . Dacă , atunci , unde este o familie unică de elemente din R și de suport finit. Definim prin . Este clar că este un homomorfism și .

Consecința 1.4. R conceput canonic ca R – modul stâng este proiectiv.

Demonstrație. Presupunem că avem partea solidă a diagramei și că linia este exactă.

R

M N O

g

atunci există cu . Evident aplicația definește un R morfism de la R la M ce face comutativă diagrama.

Propoziția 1.5. Fie o familie de R – module stângi. Atunci este proiectiv dacă și numai dacă pentru orice este proiectiv.

Demonstrație. Presupunem că sunt proiective oricare ar fi . Fie diagrama

f

g

M N O

cu linia exactă. Dacă este – injecția naturală, atunci există astfel încât fiind proiectiv, oricare ar fi .

Din teorema de universalitate a sumelor directe există astfel încât , oricare ar fi .Deci:

și aplicând din nou teorema de universalitate, obținem că , ceea ce arată că este proiectiv.

Invers, presupunem că este proiectiv. Considerăm diagrama cu linia exactă:

h

f

g

M N O

Fie morfismul canonic. Cum este proiectiv există astfel încât . Cum , atunci , ceea ce arată că este proiectiv.

Propoziția 1.6. Următoarele afirmații despre un R – modul stâng P sunt echivalente:

(a) P este proiectiv;

(b) Fiecare epimorfism este scindat;

(c) P este izomorf cu un sumand direct al unui R – modul stâng liber.

Demonstrație.

(a) (b) Fie un epimorfism. Cum P este proiectiv rezultă că există morfism astfel încât , ceea ce arată că șirul este scindabil, deci f este scindat.

(b) (c) De la module libere se știe că pentru un R – modul, există un modul liber L și un epimorfism . Atunci considerăm șirul exact . Acest șir fiind scindabil rezultă că P este izomorf cu un sumand direct al lui L.

(d) (a) rezultă din propozițiile 1.3. și 1.5.

Corolar 1.7. Un R – modul stâng este finit generat și proiectiv dacă și numai dacă pentru un anumit R – modul stâng P’ și un anumit întreg n>0, există un R – izomorfism astfel încât .

Demonstrație. P este finit generat dacă și numai dacă pentru un anumit există un epimorfism de la la P. Din propoziția 1.6. epimorfismul este scindat dacă și numai dacă P este proiectiv.

Corolar 1.8. Un inel este semisimplu dacă și numai dacă fiecare R – modul stâng este proiectiv.

Demonstrație. Știm de la inele semisimple că R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare epimorfism R – MOD este scindat, dar din propoziția 1.6.(b), această condiție are loc dacă și numai dacă fiecare R – modul stâng este proiectiv.

Corolar 1.9. Fie un R – modul stâng proiectiv de tip finit, atunci este reflexiv.

Demonstrație. Rezultă din propoziția 1.6., caracterizarea unui modul liber de tip finit ca fiind reflexiv și din lema următoare:

Lema 1.10. Fie M, N două R – module stângi. Atunci este reflexiv dacă și numai dacă M și N sunt reflexive.

Demonstrație. Fie injecțiile canonice și proiecțiile canonice. Atunci avem șirurile scindabile

și . Din primul șir obținem diagrama comutativă cu linii exacte:

O M N O

O M** N** O

Dacă M și N sunt reflexive, atunci și sunt izomorfisme, de unde rezultă imediat, din lema celor cinci homomorfisme că este izomorfism.

Dacă este reflexiv, atunci este injectiv și este surjectiv. Procedând analog cu cel de-al doilea șir scindabil se obține că este surjectiv și este injectiv. Deci M și N sunt reflexive.

CARACTERIZAREA GENERATORILOR

Reamintim că un R – modul stâng G este un generator dacă G generează fiecare modul al categoriei R – modulelor stângi R-MOD, adică G este generator dacă și numai dacă pentru fiecare R – modul stâng M există o mulțime A și un R – epimorfism (dacă și numai dacă ).

Un gen de dualitate există între generatori și proiectivi și anume:

proiectivii sunt modulele P pentru care Hom(P; -) aplică fiecare epimorfism într-un epimorfism;

generatorii sunt acele module G pentru care Hom(G, -) aplică numai epimorfisme în epimorfisme.

Alte exemple ale acestui fenomen pot fi găsite comparând propoziția 1.2. cu următoarea caracterizare a generatorilor:

Propoziția 1.11. Pentru un R – modul stâng G următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) G este generator;

(b) Pentru orice morfism f în categoria R-MOD dacă ,atunci f=0;

(c) Pentru morfism în categoria R-MOD, dacă

este epimorfism, atunci f este epimorfism;

(d) Un șir este exact în categoria R-MOD, dacă șirul

este exact.

Demonstrație.

(a) (b). Din G – generator rezultă că pentru fiecare R – modul stâng M există mulțimea A și epimorfismul . Fie f morfism în categoria R-MOD, , astfel încât . Aplicăm functorul diagramei:

h

M O

f

N

Din .

(a) (d). Fie G un generator în categoria R-MOD astfel încât, pentru fiecare , șirul este exact, adică f* este monomorfism, g* este epimorfism și Imf* = Kerg*. Atunci avem că . Cum are loc (a) și (a) (b) rezultă că avem .

Pentru incluziunea inversă considerăm oarecare. Cum G este generator rezultă conform definiției că G generează orice modul al categoriei R-MOD , deci și pe Kerg.

Deci există morfismele și elementele astfel încât . Cum rezultă că g(x)=0pentru fiecare

; adică pentru fiecare există astfel încât .

Deci avem: .

Deci are loc egalitatea Kerg = Imf șirul este exact.

(d) (c) este clară.

(c) (a) Presupunând că are loc (c) este suficient să arătăm că pentru fiecare R – modul stâng M, trasa Tr(G) este M. Considerăm șirul exact canonic care duce la șirul exact .

Dacă atunci avem , deoarece .

Astfel, cum șirul este exact, avem: și deci i* este surjectiv și conform lui c): i este surjectiv Im i = M și cum șirul este exact avem:

Im i = Ker n = M=. Rezultă deci: , adică G este generator.

Știm că modulul regulat este generator, deci un modul generează dacă și numai dacă el generează fiecare modul. Așa cum este de asemenea finit generat, așa orice modul ce generează trebuie să genereze finit .

În final deoarece este proiectiv (consecința 1.4.) rezultă că este generator dacă și numai dacă există un epimorfism scindat . Adică are loc următoarea propoziție:

Propoziția 1.12. Un R – modul stâng G este generator dacă și numai dacă un anumit modul R’ și un anumit număr întreg n>0 există un R – izomorfism astfel încât .

Comportarea duală a generatorilor și a modulelor proiective finit generate este ilustrată de propozițiile 1.7. și 1.12.

Următoarele două rezultate importante sunt evidente:

Lema 1.13. Fie un (R,S)- bimodul balansat fidel. Atunci considerat ca un R – modul stâng este generator dacă și numai dacă privit ca S – modul drept este finit generat și proiectiv.

Demonstrație. Deoarece multiplicarea la dreapta este un izomorfism de inele (considerate ca S – module drepte) avem .

De asemenea, din propoziția 1.12. deoarece este un generator avem pentru un anumit R – modul stâng R’ și un anumit n>0.

Ținând cont de proprietatea functorului aplicat unor sume directe de module avem:

.

Deci și conform propoziției 1.7. este finit generat și proiectiv. Reciproca rezultă din propozițiile 1.7. și 1.12. deoarece:

, deci este generator.

Teorema 1.14. Un R – modul stâng G este generator dacă și numai dacă sunt îndeplinite două condiții:

(i) este fidel și balansat;

(ii) este finit generat și proiectiv.

Demonstrație.

Presupunem că este generator; atunci conform propoziției 1.12. pentru un anumit R – modul R’ și un întreg n>0. Ținând cont de proprietatea inelului de biendomorfisme a sumelor directe avem următoarea diagramă comutativă de morfisme de inele:

R R R R

BiEnd(G) BiEnd() BiEnd() BiEnd()

unde compunerea aplicațiilor pe linia inferioară este injectivă și este bijectivă. Astfel este izomorfism, adică făcând identificările evidente:

Astfel, este fidel și balansat, adică este balansat fidel, deci are loc (i). Aplicând propoziția 1.13. rezultă (ii).

Reciproca rezultă din propoziția anterioară 1.13. Desigur, modulul regulat sau într-adevăr orice R – modul stâng liber, este atât un modul proiectiv cât și un generator. În general, nu toate modulele proiective sunt generatori.

Următorul rezultat, arată că importanta clasă a generatorilor proiectivi poate fi caracterizată ca acele module proiective care generează toate modulele simple.

Propoziția 1.15. Fie P un R – modul stâng proiectiv. Următoarele afirmații sunt echivalente:

P este generator;

Hom (P,T)0 pentru toate R – modulele stângi simple;

P generează fiecare R – modul simplu;

Demonstrație.

Implicațiile (a) (c) și (c) (b) sunt triviale.

(b) (a) Presupunem că R – modulul stâng P satisface (b). Este suficient să arătăm că P generează R sau echivalent .

Presupunem că . Cum este un ideal stâng rezultă că este conținut într-un ideal stâng maximal I al lui R. Astfel R/I este un modul simplu și din (b) rezultă că există un R – morfism nenul , cu , unde am notat T:=R/I.

Deoarece P este proiectiv rezultă că există o diagramă comutativă astfel încât

P

R R/I O

Aceasta produce o contradicție deoarece .

RADICALUL MODULELOR PROIECTIVE

Având în vedere propoziția 1.6. nu este surprinzător că, comportarea modulelor proiective reproduce mult din aceea a modulului regulat . Observăm în continuare că acesta este cazul radicalului modulelor proiective.

Propoziția 1.16. Fie R un inel cu radicalul J(R)=J. Dacă P este un R – modul stâng proiectiv, atunci Rad P = JP.

Demonstrație. Propoziția 1.6. permite să presupunem că P este un sumand direct al unui modul liber, adică . Atunci avem:

.

Astfel, deoarece și , trebuie să avem Rad P = JP.

Calculăm acum radicalul inelului de endomorfisme al unui modul proiectiv.

Propoziția 1.17. Fie P un R- modul stâng proiectiv, cu inelul de endomorfisme . Fie . Atunci dacă și numai dacă (este submodulul superfluu în P).

Demonstrație. Presupunem că . Atunci din teorema de caracterizare a radicalului unui inel este suficient să arătăm că . Presupunem că există și . Astfel avem: , pentru anumiți și .

Atunci și conform ipotezei . Rezultă că Pb = P. Dar atunci este un epimorfism . Astfel, cum P este proiectiv, acest epimorfism este scindat(din propoziția 1.6.) și există astfel încât . Astfel I = S și deci .

Presupunem că . Presupunem că există astfel încât Im a + K = P. Atunci se observă imediat că dacă este epimorfismul natural, atunci este epimorfism. Astfel, alegând astfel încât diagrama să fie comutativă,

P

P P/K O

avem . Dar, deoarece rezultă că 1-sa este inversabil și și deci Im a << P.

Corolar 1.18. Fie J = J(R). Dacă P este un R – modul stâng proiectiv astfel încât JP << P (dacă este finit generat), atunci

și

Demonstrație. Deoarece din propoziția 1.16 avem că Rad P = JP, ipoteza că JP << P implică că un submodul al lui P este superfluu dacă și numai dacă este conținut în JP. Atunci din propoziția 1.17. în particular un endomorfism al lui P, aparține lui dacă și numai dacă Im a << JP. Astfel .

Acum, observăm că, deoarece JP este stabil față de endomorfismele lui P, definește un morfism de inele și că, deoarece P este proiectiv, acest morfism este surjectiv.

P P/JP

S

P P/JP

Dar evident avem astfel că

.

Corolar 1.19. Fie R un inel cu radicalul J, și fie un idempotent nenul.Atunci: și .

Demonstrație. De la inelele de biendomorfisme și inele semisimple știm că există un izomorfism natural de inele . Acum și evident dacă și numai dacă . Acum aplicăm propoziția 1.18. și rezultă prima relație.

Pentru cealaltă relație, de la inele de biendomorfisme, există un izomorfism natural și evident dacă și numai dacă . Aplicând iar propoziția 1.18. rezultă relația a doua.

Acum putem demonstra faptul important că nici un modul proiectiv nenul nu este propriul său radical, adică:

Propoziția 1.20. Fiecare modul proiectiv nenul conține un submodul maximal.

Demonstrație. Fie P un R – modul stâng proiectiv. Atunci din propoziția 1.7. putem presupune că există un R – modul stâng liber F astfel încât .

Pesupunem că P nu conține nici un submodul maximal. Atunci din propoziția 1.16. avem .

Pentru a demonstra propoziția arătăm că această presupunere forțează P=0.

Pentru aceasta fie și fie e un endomorfism idempotent al lui F astfel încât Fe=P. Fie o bază liberă a modului F. Atunci, pentru o anumită submulțime finită și anumiți avem .

De asemenea pentru fiecare există mulțimile finite și

(pentru ) astfel încât . Inserând zerouri acolo unde este necesar putem presupune acum că toate aceste sume sunt luate după o submulțime finită comună pentru a avea:

–

Cum este bază liberă, rezultă că sunt independenți pentru . Rezultă că ecuația anterioară duce la ecuația matriceală de forma:

,

unde și este matricea identitate în .

Dar (din propoziția 1.19.) și deci este cvasiregulat. Deci are invers în și . Aceasta înseamnă că și cum , oarecare, rezultă P=0, ceea ce contrazice ipoteza că este nenul.

ACOPERIRI PROIECTIVE

Am arătat în propoziția 1.3. că fiecare R- modul liber este proiectiv și că fiecare modul este generat de modulul regulat . Astfel, în mod trivial avem următorul rezultat:

Propoziția 1.21. Fiecare modul este o imagine epimorfică a unui modul proiectiv.

Pentru anumite module M este valabilă chiar o afirmație mai puternică și anume:

Există un modul proiectiv P și un epimorfism ”minimal” în sensul că nu este epimorfism pentru nici un submodul propriu L al lui P.

Această condiție minimală implică faptul că Ker f << P. Aceasta conduce la definiția formală:

Definiția 1.22. O pereche (P,p) este o acoperire proiectivă a R- modulului stâng M dacă P este un R- modul stâng proiectiv și este un epimorfism superfluu (adică Ker p << P ).

Observație. Putem numi P însuși o acoperire proiectivă a lui M.

Exemple.

1. Dacă e este un element idempotent în R, atunci din propoziția 1.16. și proprietatea de la modulele finit generate avem .

Astfel, deoarece Re este proiectiv, perechea este o acoperire proiectivă a lui Re / Je, unde este aplicația naturală.

. Perechea unde este aplicația naturală (n>1) nu este o acoperire proiectivă deoarece nu este superfluu în Z.

Într-adevăr, dacă este o anvelopă proiectivă a lui , atunci din diagrama:

Z

f

P O

unde este surjecția canonică, există un morfism astfel încât . Cum p este superflu, atunci este epimorfism și deci Ker f este sumand direct în Z. Dar atunci Ker f = 0 și deci f este izomorfism de unde rezultă că este superfluu. Dar este clar că idealul nZ nu este superfluu în Z.

De fapt, folosind propoziția 1.23. este ușor de demonstrat că nu are acoperiri proiective.

. Fie R un inel local și un modul finit generat. Atunci R / J este un inel cu diviziune și M/ JM este un spațiu vectorial finit dimensional peste R/ J.

Să presupunem că M / JM este k- dimensional. În acest caz considerăm . Atunci M fiind finit generat, evident există un R- epimorfism cu .

Deoarece este proiectiv și aplicația naturală este epimorfism, există un morfism astfel încât , adică avem diagrama:

P

p

M M/JM

Din Lema NAKAYAMA c) rezultă că JM<<M, deci n este epimorfism superfluu. Din teorema de caracterizare a epimorfismelor superflue rezultă că p este epimorfism. Dar cum , rezultă că (P,p) este o acoperire proiectivă a lui M.

Prezentăm acum lema fundamentală pentru acoperiri proiective. Una din consecințele sale este că dacă un modul are o acoperire proiectivă, atunci el are (esențial) doar una.

Lema 1.23. Presupunem că R- modul stâng M are o acoperire proiectivă (P,p), . Dacă R- modulul stâng Q este proiectiv și este un epimorfism, atunci Q are o descompunere Q= astfel încât:

(a) ;

(b) ;

(c) este o acoperire proiectivă pentru M. Mai mult, dacă este un izomorfism și dacă și sunt acoperiri proiective, atunci există un izomorfism așa încât adică următoarea diagramă este comutativă:

f

Demonstrație. Din ipoteza că Q este P- proiectiv, deci există diagrama comutativă cu linia și coloana exacte, în care :

O

h q

P M O

P

O

Conform definiției acoperirii proiective, p este epimorfism superfluu și cum este epimorfism, rezultă că și h este epimorfism.

Tot din definiția acoperirii proiective rezultă P proiectiv și cum este epimorfism atunci din propoziția 1.6., rezultă că h este scindat, adică există un monomorfism astfel încât . Deci avem: , ceea ce implică . Luând și , obținem ; deci are loc (a), deoarece g este monomorfism și are loc (b) deoarece și .

Arătăm că are loc (c). Avem: (este epimorfism), astfel că: este exact și este acoperire proiectivă deoarece din

rezultă că , care este un submodul superflu al lui , deci are loc (c).

Pentru a demonstra ultima afirmație considerăm: și , atunci cum rezultă este epimorfism, iar este sumand direct superflu al lui și este izomorfism.

Propoziția 1.24. Fie și elemente idempotente ele inelului R. Următoarele afirmații sunt echivalente:

(a) ;

(b) ;

(c) ;

(d) .

Demonstrație.

(a) (b) Faptul că (a) (b) este clar. Reciproc dacă este un epimorfism, atunci deoarece aplicațiile naturale și sunt acoperiri proiective, rezultă din lema 1.23. că există un izomorfism ; deci are loc (a).

(c) (d) Este cazul simetric al echivalenței anterioare.

(a) (d) Presupunem că . Atunci de la inele de endomorfism avem: ; deci are loc (d).

Propoziția 1.25. Fie R un inel cu radicalul J=J(R). Atunci următoarele afirmații despre un R- modul stâng proiectiv P sunt echivalente:

P este acoperirea proiectivă a unui R- modul stâng simplu;

JP este submodul superflu maximal al lui P;

End este un inel local.

Mai mult, dacă aceste condiții au loc, atunci pentru un anumit element

Idempotent .

Demonstrație.

(a) (b) Evident P este acoperirea proiectivă a unui R- modul stâng simplu dacă și numai dacă P condacă și numai dacă P conține un submodul superfluu maximal. Din definiția și caracterizările radicalului, JP este conținut în fiecare submodul maximal al lui P și JP conține fiecare submodul suprefluu al lui P (din propoziția 1.16. avem că RadP=JP).

(b) (c) Dacă JP este un submodul maximal superfluu al lui P, atunci din propoziția 1.18. . Cum P/JP este modul simplu, rezultă din lema SCHUR că este inel cu diviziune. Din caracterizările inelelor locale rezultă că este un inel local.

(c) (a) Presupunem că este un inel local. Atunci . Din propoziția 1.20. rezultă că P conține un submodul maximal și anume .

Afirmăm că epimorfismul natural este o acoperire proiectivă, adică K<<P (este superfluu în P).

Presupunem că K+ L= P pentru un anume submodul . Din teorema de izomorfism avem: P/ K= ( L+ K)/ K; astfel există homomorfismul nenul .

Cum P este proiectiv rezultă că există un endomorfism astfel încât diagrama următoare este comutativă, adică .

P

s f

L

n

Deoarece rezultă că Ims este submodul în K. Aceasta implică Ims nu este superfluu în P. Atunci ( conform echivalenței din propoziția 1.17. ) , iar din teorema de caracterizare a inelelor locale avem că s este endomrfism inversabil al lui P, deci L= P și K << P (este superfluu în P ), iar conform afirmației făcute la început este o acoperire proiectivă.

Mai mult, fiecare modul simplu este un epimorfism al lui R, astfel că din lema 1.23. o acoperire proiectivă a unui R- modul stâng simplu trebuie să fie izomorfă cu un sumand direct al lui , adică , pentru un element idempotent .

Corolar 1.26. Următoarele afirmații despre un element idempotent e al inelului R sunt echivalente:

Je este unicul submodul maximal al lui Re;

Re / Je este simplu;

eRe este un inel local;

eJ este unicul submodul maximal al lui eR;

eR / eJ este simplu.

§ 2. MODULE INJECTIVE ȘI COGENERATORI

2.1. CARACTERIZAREA MODULELOR INJECTIVE

Noțiunea duală modului proiectiv este noțiunea de modul injectiv.

Definiția 2.1. Un R- modul stâng Q se numește injectiv dacă pentru orice monomorfism de module și fiecare homomorfism există un morfism de R- module astfel încât diagrama

i

O L M

f

O

este comutativă, adică .

Observație. Este evident faptul că un R- modul stâng Q este injectiv dacă și numai dacă pentru orice R- modul stâng M și orice submodul și oricare ar fi există astfel încât .

Modulele injective și proiective au efect dual pe functorii Hom; în particular duala propoziției 1.2. este:

Propoziția 2.2. Următoarele afirmații despre un R- modul stâng Q sunt echivalente:

Q este injectiv;

Pentru orice monomorfism aplicația este un epimorfism;

Pentru fiecare structură de (R,S)- bimodul , functorul este exact;

Pentru fiecare șir exact scurt în categoria R- MOD, șirul este exact.

Înainte de a stabili existența a suficient de multe module injective, nu putem demonstra proprietatea duală propoziției 1.6. Ca o substituție temporară, totuși, avem faptul important(dual propoziției 1.5.):

Propoziția 2.3. Fie o familie de R- module stângi. Atunci este injectiv dacă și numai dacă pentru orice este injectiv.

Fiecare modul este o imagine epimorfică a unui modul proiectiv (chiar liber). Unul din scopurile următoare este să dăm rezultatul dual, că ficare modul poate fi scufundat într-un modul injectiv. Întâi, totuși, vom stabili un test foarte folositor pentru injectivitate. Acest test (uneori numit “criteriul BAER”) spune că injectivitatea unui modul Q poate fi determinată de comportarea sa în mulțimea de diagrame

i

O I R

f g

O

când linia este restrânsă la aplicațiile incluziune ale idealelor stângi.

Propoziția 2.4. Fie Q un R- modul stâng. Următoarele afirmații sunt echivalente:

Q este injectiv;

Pentru orice ideal stâng și orice R- homomorfism există astfel încât f este multplicarea la dreapta prin x, adică , oricare ar fi .

Demonstrație.

(a) (b) Modulul Q fiind injectiv, există astfel încât g / I = f. Punem

x = g(1). Dacă , atunci .

(b) (a) Fie M un R- modul stâng și un submodul și .

Considerăm mulțimea nevidă .

Definim pe P relația binară “” dată prin:

dacă și numai dacă și f’ / N’=f’.

Se verifică imediat că relația “” este o relație de ordine pe mulțimea P.

Dacă este o familie total ordonată de elemente din P, atunci

este un submodul al lui M.

Aplicația definită în modul următor: dacă , atunci există astfel încât și atunci punem .

Dacă atunci , adică este bine definită. Este clar că și deci este inductivă. Aplicând lema lui Zorn există element maximal în P. Dacă , atunci demonstrația s-a sfârșit.

Presupunem că . Înseamnă că există . Fie submodulul . Considerăm idealul stâng . Aplicația definită prin egalitatea este un R- homomorfism. Deci există un astfel încât oricare ar fi .

Fie corespondența definită prin egalitatea

, unde și .

Această corespondență este o funcție. Într-adevăr, dacă , atunci și deci .Prin urmare .

Pe de altă parte și deci , adică și deci este bine definită. Este ușor de văzut că este un R- homomorfism și . Cum , atunci ceea ce reprezintă o contradicție.

Reamintim că un grup abelian este divizibil dacă G = nG, pentru fiecare întreg nenul n și G grup abelian.

Lema 2.5. Un grup abelian G este divizibil dacă și numai dacă G este injectiv ca Z- modul.

Demonstrație. Presupunem că G este divizibil. Atunci fiecare ideal nenul al lui Z este de forma nZ, n0. Deci, G fiind grup abelian divizibil există cu proprietatea și , pentru toți . Deci aplicând propoziția anterioară 2.4. rezultă că G este injectiv.

Invers, presupunem că G este Z- injectiv și fie și . Atunci aplicația dată prin , definește un Z- homomorfism, care din propoziția 2.4. trebuie să fie multiplicarea printr-un anumit , adică , de unde în particular . Deci nG = G ceea ce implică G este divizibil.

Lema 2.6. Dacă G este un grup abelian divizibil, atunci R- modulul stâng este injectiv.

Demonstrație. De la inelele de endomorfism se știe că este un R- modul stâng. Fie ideal stâng și un R- homomorfism. Aplicația dată prin definește un Z- homomorfism de grupuri abeliene. Astfel, deoarece este injectiv, există un Z- morfism, astfel încât , Acum avem pentru toți și : ; deci pentru toți . Prin urmare din propoziția 2.4. este un R- modul stâng injectiv.

Corolar 2.7. Fiecare R- modul stâng poate fi scufundat într-un R- modul stâng injectiv.

Demonstrație. Fie M un R- modul stâng. Se știe că există un modul liber L și un homomorfism surjectiv de la L la M, deci există o mulțime A și Z- epimorfism .Astfel, deoarece (Q- grupul aditiv al numerelor raționale) și deoarece produsul direct și grupurile factor ale grupurilor abeliene divizibile sunt divizibile, putem presupune că , cu Q- divizibil. Atunci este un R- modul injectiv.

Următorul rezultat dual parțial al propoziției 1.6. este o consecință imediată a propozițiilor 2.3. și 2.7. și anume:

Propoziția 2.8. Un R- modul stâng Q este injectiv dacă și numai dacă fiecare monomorfism este scindat.

Rezultatul dual propoziției 1.8. rezultă din propoziția anterioară și din faptul că un inel R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare epimorfism în categoria R- MOD, respectiv monomorfism scindează:

Corolar 2.9. Un inel R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare R- modul stăng este injectiv.

ANVELOPE INJECTIVE

Așa cum am văzut în propoziția 2.7. fiecare R- modul stâng poate fi scufundat într-un R- modul injectiv. Aceasta conduce la o noțiune duală a aceleia de acoperire proiectivă și anume o scufundare “minimală” a lui M într-un modul injectiv

Definiția 2.10. O pereche (Q, i) este o anvelopă injectivă a R- modului stâng M dacă Q este un R- modul stâng injectiv și este un monomorfism esențial (adică ).

Observație. Putem numi Q însuși o anvelopă injectivă a lui M.

Deoarece Q este divizibil ca un Z- modul, rezultă că el este Z- injectiv. Evident aplicația incluziune este esențială. Astfel (Q, i)este o anvelopă injectivă a lui Z.

Propoziția 2.11. Fie Q un R- modul stâng injectiv. Atunci orice submodul complement al lui Q este sumand direct în Q.

Demonstrație. Fie K un submodul complement al lui Q, deci un submodul închis în Q și N un complement al lui K în Q. Rezultă că K + N / N este esențial în Q / N. Fie homomorfismul dat prin unde și . Cum , g este monomorfism. Cum Q este injectiv, există astfel încât h / K + N / N = g.

Cum K + N / N este esențial în Q / N și g este monomorfism, atunci h este monomorfism. Dar K = Im g = h(K + N/N) și h(K + N/N) este esențial în h(Q/N). Deci K este esențial în h(Q/N) și cum K este închis, atunci K = h(Q/N). Cum h este monomorfism, atunci K + N/N = Q/N, de unde rezultă că K + N = Q și deci K este sumand direct în Q.

Dual la propoziția 1.23. avem următoarea lemă fundamentală pentru anvelope injective.

Lema 2.12. Fie M un R- modul stâng și presupunem că (Q, i) este o anvelopă injectivă pentru M, cu . Dacă R- modulul stâng P este injectiv și este monomorfism, atunci P are descompunere astfel încât:

(a) ;

(b) ;

(c) este o anvelopă injectivă a lui M.

Mai mult, dacă este un izomorfism și dacă și sunt anvelope injective, atunci există un izomorfism astfel încât , adică diagrama este comutativă:

f

Nu orice modul are o acoperire proiectivă.

Astfel, următorul rezultat foarte important este remarcabil.

Teorema 2.13 (Eckermann – Schopf): Fiecare R- modul stâng are o anvelopă injectivă unică până la un izomorfism.

Demonstrație. Fie M un R- modul stâng. Atunci din propoziția 2.7. există un R- modul injectiv Q astfel încât . Fie E un submodul al lui Q ce conține pe M și este o extensie esențială maximală a lui M. Atunci E este un submodul complement în Q. Din propoziția 2.11. rezultă că E este injectiv, fiind sumand direct al modului injectiv Q și deci (E, i), unde este incluziunea, este o anvelopă injectivă pentru M.

Presupunem că și sunt două anvelope injective pentru M. Cum este injectiv, există astfel încât , adică diagrama următoare este comutativă:

M f

Cum este monomorfism și monomorfism esențial, atunci f este monomorfism. Dar cum , atunci . Este clar că și rezultă că și, deoarece , rezultă că f este izomorfism.

O altă demonstrație care nu folosește propoziției 2.11. este:

Pentru M un R- modul stâng din propoziția 2.7. există Q un R- modul injectiv astfel încât . Evident, mulțimea de submodule pentru care (este esențial) este inductivă.

Astfel, din principiul de maxim, există un element maximal E al acestei mulțimi. Alegem acum maximal în raport cu proprietatea ( adică E’ este un Q complement al lui E); astfel avem că: . Arătăm că .

Pentru a arăta această afirmație considerăm monomorfismul evident. Atunci, folosind injectivitatea lui Q avem o diagramă comutativă cu linia și coloana exacte:

O

O Q/E’

g

h

O

Rezultă că h este monomorfism astfel că:

Deci .

Astfel, din maximalizarea lui E rezultă și deoarece h este monomorfism implică Q=. Cum produsele directe și sumanzii direcți ai modulelor injective sunt injective, avem că E este injectiv, astfel că incluziunea este o anvelopă injectivă. Rezultă din propoziția 1.12. că este unică până la un izomorfism.

Corolar 2.14. Următoarele afirmații despre un R- monomorfism sunt echivalente:

(a) este o anvelopă injectivă a lui M;

(b) Q este un modul injectiv și pentru fiecare R- monomorfism injectiv, există un monomorfism ce face următoarea diagramă comutativă:

Q’

f

M g

i

Q’

I este un monomorfism esențial și pentru fiecare monomorfism esențial există un monomorfism ce face următoarea diagramă comutativă:

f

M N

i g

Q

Demonstrație.

(a) (b) Din (a) rezultă că Q este injectiv și i: este monomorfism esențial

Fie acum Q’ un modul injectiv și un monomorfism. Din injectivitatea lui Q’ rezultă că există astfel încât . Cum f este monomorfism și i monomorfism esențial rezultă că g este monomorfism.

(b) (a) Din teorema 2.13. avem că pentru modulul M există o anvelopă injectivă , cu f monomorfism esențial. Conform lui (b) rezultă că există un monomorfism astfel încât . Deoarece Q este modul injectiv, din propoziția 2.8. rezultă că monomorfismul g este scindat. Deci . Dar cum f este monomorfism esențial rezultă că și . Astfel și deci g este izomorfism ceea ce implică că este de asemenea esențial.

(a) (c) Din (a) rezultă că este monomorfism esențial și Q este injectiv. Fie acum un monomorfism esențial. Din injectivitatea lui Q rezultă că există astfel încât . Cum f și i sunt monomorfisme esențiale rezultă că g este monomorfism.

(c) (a) Folosim teorema 2.13. pentru a găsi o anvelopă injectivă și apoi aplicăm (c).

Va fi foarte convenabil pentru noi să dăm câteva libertăți notațiilor pentru anvelopele injective. Fiecare modul are anvelopă injectivă, dar nu orice modul nenul are una singură. Vom nota E(M) clasa tuturor anvelopelor injective ale moduluil M. Cu toate acestea dacă este o anvelopă injectivă pentru M vom scrie adesea sau mai simplu Q = E(M) și vom spune că E(M) este anvelopa injectivă a lui M.

Mai mult, putem identifica frecvent M cu imaginea as în E(M) și putem astfel gândi pe M ca un submodul al lui E(M). În această aparență E(M) este o extensie esențială injectivă a lui M.

Astfel propoziția 2.14. poate fi reformulată mai larg pentru caracterizarea lui E(M) (fără izomorfism) simultan ca:

unica extensie minimală injectivă;

unica extensie maximală esențială a lui M.

Într-adevăr E(M) apare ca un sumand direct (deși nu necesar unic) al fiecărui modul injectiv ce conține M și E(M) conține o copie a fiecărei extensii esențiale ale lui M.

Printre alte proprietăți maiv importante ale anvelopelor injective avem următorul rezultat:

Propoziția 2.15. În categoria R- MOD peste un inel R avem:

M este injectiv dacă și numai dacă E(M) = M;

Dacă , atunci E(M) = E(N);

Dacă , cu Q- injectiv, atunci ;

Dacă este injectiv (de exemplu dacă A este finită) atunci

Demonstrație.

Rezultă imediat din definiția anvelopei injective;

Deoarece , dacă atunci și E(N) este injectivă, astfel că incluziunea este o anvelopă injectivă a lui M și deci E(N) = E(M);

Aplicăm propoziția 2.14. aplicației incluziunii și folosim faptul că sumanzii direcți ai modulelor injective sunt injectivi;

Presupunem că este injectivă. Fie suma directă a anvelopelor injective .

Deoarece f este monomorfism, este suficient să arătăm că el este esențial. Dar aceasta este chiar proprietatea de la sume și produse directe de module.

SUMANZI DIRECȚI DE INJECTIVI

Nu este adevărat că fiecare sumă directă de module injective este

injectivă.

Într-adevăr sunt cu siguranță inele noetheriene, acelea peste care fiecare

sumă directă de injective este injectivă și peste aceste inele anvelopele injective comută cu sumele directe.

Propoziția 2.16. Pentru un inel R următoarele afirmații sunt echivalente:

Fiecare sumă directă de R- module stângi injective este injectivă;

Dacă este o mulțime indexată de R- module stângi, atunci ;

R este inel noetherian stâng.

Demonstrație.

(a) (b) Fie o mulțime indexată de R- module stângi. Din propoziția 2.7. avem că , oricare ar fi , cu injectiv. Rezultă din (a) că este injectiv, iar din propoziția 2.15.(d) avem că . Deci are loc (b).

(b) (a) Fie o mulțime indexată de R- module stângi injective. Din (b) avem , ultima egalitate rezultând din propoziția 2.15.(a), fiind injectivă. Notând am obținut E(M) = M, adică este injectiv. Deci are loc (a).

(a) (c) Considerăm un lanț ascendent de ideale stângi în R: și notăm . Observăm că dacă , atunci pentru toți, dar finit de mulți i. Astfel există definit prin .

Din propoziția 2.4. rezultă că există un astfel încât f(a)=ax, pentru toți . Alegem acum astfel încât , k=0,1,… . Astfel,

sau echivalent pentru toți k=0,1,2,…. Deci are loc(c).

(c) (a) Fie R un inel noetherian stâng, și . Atunci, deoarece I este finit generat rezultă că Im f este conținută în pentru o anumită submulțime . Acum aplicând propoziția 2.4. și faptul că produsele directe și sumanzii direcți ai modulelor injective sunt injectivi rezultă (a).

COGENERATORI

Reamintim că R- modulul stâng C este un cogenerator dacă C cogenerează fiecare modul al categoriei R- modulelor stângi R- MOD, adică C este cogenerator dacă și numai

dacă fiecare R- modul stâng M poate fi scufundat într-un produs de copii ale lui C, (dacă și numai dacă )

În termeni de functori avem propoziția:

Propoziția 2.17. Pentru un R- modul stâng C următoarele afirmații sunt echivalente:

C este un cogenerator;

Pentru fiecare morfism f în categoria R- MOD dacă , atunci f = 0;

Pentru fiecare morfism în categoria R- MOD, dacă este epimorfism, atunci f este monomorfism;

Un șir este exact în categoria R- MOD dacă șirul este exact.

Demonstrație.

(a) (b) Din C cogenerator rezultă că pentru fiecare R- modul stâng N există

mulțimea A și monomorfismul . Fie f morfism în categoria R- MOD, astfel încât . Aplicăm functorul diagramei:

M

f

g

O N

Din

(a) (d) Fie C un cogenerator și șirul în categoria R- MOD astfel încât șirul este exact, adică

este monomorfism, este epimorfism și Im. Atunci avem că

.

Cum are loc (a) și (a) (b) rezultă că avem gf = 0.

Pentru incluziunea inversă considerăm epimorfismul natural . Atunci pentru fiecare avem:

;

deci

.

Astfel există astfel încât .

Dar cum avem

,

de unde rezultă că (deoarece C este cogenerator). Astfel . Deci are loc egalitatea, iar șirul este exact.

(d) (c) este clară;

(c) (a) Nu este dificil de văzut dacă este aplica este aplicția naturală, atunci este izomorfism. Astfel sub ipoteza (c), n trebuie să fie monomorfism (pentruepimorfism) adică , deci C este cogenerator.

Rezultatul dual propoziției 1.15. este:

Propoziția 2.18. Fie Q un R- modul stâng injectiv. Următoarele afirmații sunt echivalente:

Q este cogenerator;

pentru toate R- modulele stângi simple T;

Q cogenerează fiecare R- modul simplu.

Demonstrație.

(a) (c) și (c) (b) sunt triviale.

(b) (a) Presupunem că R- modulul stâng Q satisface (b). Fie M un R- modul stâng și fie . Deoarece modulul Rx este ciclic, rezultă că el conține un submodul maximal. Astfel, din (b) rezultă că există morfismul nenul . Dar cum Q este injectiv, rezultă că h poate fi extins la un morfism , cu . Astfel , adică Q este cogenerator.

Acum putem vedea că există cogeneratori în categoria R- MOD. De fapt R- MOD conține un unic cel mai mic cogenerator (până la un izomorfism, desigur) pe care îl numim cogeneratorul minimal pentru categoria R- MOD.

Propoziția 2.19. Fie o mulțime ireductibilă de reprezentanți ai modulelor simple În categoria R- MOD. Atunci este un cogenerator în R- MOD.

Mai mult, pentru R- modulul stâng C sunt echivalente afirmațiile:

C este cogenerator;

E(T) este izomorf cu un sumand direct al lui C pentru fiecare R- modulul stâng semisimplu T;

este izomorf cu un submodul al lui C.

Demonstrație. Rezultă din propoziția anterioară că modulul injectiv

este un cogenerator.Dar acest modul este evident cogenerat de . Astfel, prima afirmație are loc și (c) (a). Pentru a vedea că (a) (b) observăm că dacă T este simplu și nu este conținut în nucleul lui f (), unde , atunci , dar deoarece rezultă că f este monomorfism. În final se arată că (b) (c) . Observăm că o mulțime ireductibilă a lui de submodule simple ale lui C trebuie să fie independentă, deci, mulțimea a extensiilor lor esențiale este de asemenea independentă în C.

Corolar 2.20. Un R- modul stâng M este finit cogenerat dacă și numai dacă

pentru fiecare mulțime indexată de R- module stângi și fiecare monomorfism , există un monomorfism ,

pentru o anumită submulțime finită .

Demonstrație. Necesitatea rezultând de la module finit cogenerate, este de ajuns să demonstrăm numai suficiența.

Din propoziția anterioară avem că M este cogenerat de anvelopeleinjective ale modulelor simple. Astfel, din ipoteză există o mulțime finită de modulen astfel încât M este izomorf cu un submodul al lui . Acest modul, având soclul este finit cogenerat. Deci M este finit cogenerat.

Propoziția 2.21. Un modul M este finit cogenerat, dacă și numai dacă pentru o anumită mulțime finită de module simple.

Demonstrație. Evident, are un soclu esențial finit cogenerat. Astfel fiecare din submodulele sale este finit cogenerat.

Invers, dacă , atunci .

În final observăm că cogeneratorii injectivi sunt distincți din clasa modulelor injective, așa cum generatorii proiectivi sunt distincți în clasa modulelor proiective.

Clasa cogeneratorilor injectivi este închisă față de formația de produse directe și un modul este injectiv dacă și numai dacă este un sumand direct al unui cogenerator injectiv.

Există, desigur, o diferență notabilă. Fiecare inel R posedă un cogenerator injectiv minimal unic (până la un izomorfism) și anume , dar, în general, un inel nu este necesar să aibă un generator proiectiv minimal.

Corolar 2.22. Fie o mulțime ireductibilă de reprezentanți ai modulelor simple în categoria R- MOD. Atunci este un cogenerator injectiv în R- MOD. Mai mult, avem:

(a) ;

(b) Dacă Q’ este un cogenerator injectiv în categoria R- MOD, atunci există un monomorfism (scindat) și .

Demonstrație. Evident că astfel că (a) are loc și Q este un cogenerator injectiv. În final (b) rezultă din propoziția 2.19.

Rezultatele duale propozițiilor 1.17. și 1.18. sunt:

Propoziția 2.23. Fie Q un R- modul stâng injectiv cu inelul de endomorfisme . Fie . Atunci dacă și numai dacă (este modulul esențial în Q).

Demonstrație. Dacă , atunci este suficient să demonstrăm că (din teorema de caracterizare a radicalului unui inel). Restul demonstrației este complet duală celui din propoziția 1.17..

Corolar 2.24. Fie Q un R- modul stâng injectiv, astfel încât (de exemplu dacă este finit cogenerat). Fie . Atunci:

și .

Demonstrație. Este duală celei din propoziția 1.18. .

=== CAPITOLUL '' ===

CAPITOLUL II

INJECTIVITATEA ȘI PROIECTIVITATEA RELATIVǍ

§ 3. CATEGORII ȘI FUNCTORI

CATEGORII

Definiția 3.1. Spunem că s-a dat o categorie C dacă s-a dat o clasă ObC ale cărei elemnte se numesc obiectele lui C și pentru orice pereche ordonată (M,N) de obiecte din C s-a dat o mulțime notată, eventual vidă numită mulțimea morfismelor de la M la N astfel încât:

(a) Pentru orice triplet de obiecte ale lui C s-a dat o aplicație

prin, numită compunerea morfismelor;

(b) compunerea morfismelor este asociativă, adică pentru M, N, P, R obiecte ale lui C și atunci;

(c) oricare ar fi obiectul M al lui C, existănumit morfismul identic al obiectului M astfel încât și, oricare ar fi morfismele și;

(d) dacă, atunci.

Observație. Vom scrie și sau. Obiectul M se numește domeniul (sursa) morfismului u, iar N se numește codomeniul (cosursa sau adresa) morfismului u.

O categorie C În care ObC este o mulțime se numește categorie mică. Duala unei categorii, notată C, este categoria pentru care: ObC = Ob C;,iar pentru și, atunci.

Subcategoria C’ a lui C este categoria pentru care ObC’ObC; pentru M, NObC’; compunerea morfismelor în C’ este indusă de compunerea din C; este același pentru. O subcategorie C’ a lui C se numește plină dacă pentru M, NObC’.

Fie o familie de categorii. Se numește produs de categorii o categorie C pentru care: , unde, și. Se notează.

Exemple:

. CATEGORIA ENS

Obiectele categoriei sunt mulțimile. Dacă M și N sunt două mulțimi, atunci

este mulțimea tuturor funcțiilor. Compunerea morfismelor în categoria Ens este compunerea uzuală a funcțiilor. Morfismul identic al obiectului M este aplicația identică a lui M. Pentru ca punctul (d) al definiției 3.1. să fie satisfăcut trebuie să considerăm egale două funcții dacă M = M’, N = N’și f(x)= g(x), oricare ar fi.

. CATEGORIA GR

Obiectele categoriei Gr sunt grupurile: dacă G și G’ sunt două grupuri, atunci

este mulțimea tuturor morfismelor de grupuri de la G la G’. Compunerea morfismelor în categoria Gr este compunerea uzuală a morfismelor de grupuri .

. CATEGORIA AB

Obiectele categoriei Ab sunt grupuri abeliene, iar morfismele sunt morfismele de grupuri.

. CATEGORIA R-ALG

Obiectele categoriei R- alg sunt R- algebrele(unde R este un inel comutativ și unitar), iar morfismele categoriei R- alg sunt morfismele de R- algebre.

. CATEGORIAC=R- MOD

Obiectele categoriei sunt module la stânga peste inelul unitar R, morfismele categoriei sunt morfismele de R- module. Se numește categoria R- modulelor la stânga. Analog se introduce categoria R- modulelor de dreapta.

Definiția 3.2. Fie C o categorie și morfism în C.

u se numește monomorfism dacă oricare arf fi și oricare ar fi, atunci din rezultă;

u se numește epimorfism dacă oricare ar fi și oricare ar fi, atunci din rezultă;

u se numește izomorfism dacă există u’ astfel încât și; u’ se numește inversul lui u.

Observație. Dacă R este inel, atunci în categoria noțiunile de monomorfism și epimorfism coincid cu cele de homomorfisme injective și surjective.

Definiția 3.3. Fie C o categorie și și.

Spunem că u majorează v și scriem că dacă există astfel încât.

Dacă există, cum este monomorfism rezultă monomorfism și din u monomorfism, este unic.

Această relație este reflexivă și tranzitivă.

Spunem că monomorfismele u și v sunt echivalente dacă uși adică există izomorfism astfel încât.

Astfel, relația devine o echivalență, deci putem alege, pe baza axiomei alegerii, din fiecare clasă de monomorfisme echivalente câte un reprezentant numit subobiect al obiectului M. Vom identifica subobiectele lui M prin perechea (U,u), monomorfism prin injecția canonică.

Noțiunea duală de subobiect este cea de obiect cât, iar monomorfismul canonic se numește surjecția canonică.

Notație: Pentru un obiect, P(M) reprezintă clasa subobiectelor lui M, iar Q(M) clasa obiectelor cât ale lui M, ordonate în raport cu relația “”.

Subobiectul asociat monomorfismelor îl notăm M și îl vom numi subobiect total al lui M; acesta este ultimul element în mulțimea.

FUNCTORI

Definiția 3.4. Fie C și D două categorii. Spunem că am definit un functor covariant (respectiv contravariant) F de la C la D dacă s-au dat:

o aplicație mare de la obiecte ale categoriei C în D;

pentru fiecare pereche (M, N ) de obiecte din C , o aplicație de la (respectiv astfel încât avem:

(b), oricare ar fi;

(b) și morfisme în C, atunci

(respectiv).

Fie F, G functorii covarianți de la C la D. Spunem că s-a dat un morfism functorial de la F la G și notămdacă pentru orice M s-a dat un morfism astfel încât, dacă, atunci următoarea diagramă este comutativă

F(M) G(M)

F(u) G(u)

F(N) G(N)

Dacă este izomorfism pentru orice, spunem că este izomorfism functorial.

Definiția 3.5. Categoria C se numește preaditivă dacă:

oricare ar fi se dă o structură de grup abelian notată aditiv; elementul nul (zero) se numește morfismul nul (sau zero) de la M la N pe care îl notăm 0;

oricare ar fi și , atunci: și ;

există cel puțin un obiect astfel încât.

Un obiect ce verifică condiția (c) se numește obiect nul al categoriei C. Deoarece două obiecte nule sunt izomorfe, obiectele nule se notează generic 0.

Dacă M este un obiect arbitrar în C, există și sunt unice morfismeleși . Astfel, morfismul nul este un monomorfism, subobiectul asociat se notează cu 0 și se numește subobiectul nul al lui M, iar cum este epimorfism, obiectul cât asociat se notează 0 și se numește obiectul cât nul al lui M.

Fie C și D două categorii preaditive. Functorul se numește aditiv dacă oricare ar fi și oricare ar fi avem .

Definiția 3.6. Fie C o categorie preaditivă și morfism în C. Un nucleu al morfismului u este o pereche (A, i), cu și morfism astfel încât:

(a) ;

(b)și oricare ar fi pentru care, existămorfism astfel încât.

i u

A M U

g f

X

Un conucleu al morfismului u este o pereche (B, p), cu și morfism astfel încât:

(c) ;

(d) oricare ar fi și oricare ar fi pentru care, există morfism astfel încât.

u p

M N B

j

H

Y

O imagine a morfismului u este un nucleu al morfismului p, unde (B, p) este conucleu al lui u.

O coimagine a morfismului u este un conucleu al morfismului i, unde (A, i) este un nucleu al lui u.

Propoziția 3.7.

Dacă (A, i) este un nucleu al morfismului, atunci i este momorfism.

Dacă (B, p) este un conucleu al morfismului, atunci p este epimorfism.

Definiția 3.8. Fie C o categorie preaditivă. Spunem că C satisface axioma:

AB1) dacă pentru orice morfism din C, există un nucleu și un conucleu. Fie C o categorie care satisface AB1);

AB2) dacă pentru orice morfism din C, morfismul canonic este un izomorfism, unde este dat de:

i u p

A M N B

q v j

C I

Fie C o categorie și o familie de obiecte din C. Se numește produs direct al familiei date de obiecte perechea, cu, o familie de morfisme, cu proprietatea că există un unic morfism pentru care , pentru toți. Se notează se numesc proiecții canonice.

Spunem că C satisface axioma

AB3*) dacă pentru orice familie de obiecte din C, cu I mulțime oarecare, există in C cel puțin un produs direct al acestei familii.

Dacă C satisface AB3*) spunem că C este o categorie cu produse directe.

Fie C o categorie și o familie de obiecte din C. Se numește sumă directă (coprodus) a familiei date de obiecte perechea, cu și , o familie de morfisme astfel încât, oricare ar fi și , o familie de morfisme, există un unic morfism pentru care pentru toți. Se notează, iar se numesc injecții canonice.

Spunem că C satisface axioma

AB3) dacă pentru orice familie de obiecte, I mulțime arbitrară, există în C o sumă finită.

Dacă C satisface AB3) spunem că C este o categorie cu sume directe.

O categorie preaditivă C cu proprietatea că există suma directă a oricăror două obiecte

se numește aditivă. O categorie C aditivă ce verifică AB1) și AB2) se numește abeliană.

Dacă o categorie abeliană C verifică AB3) și AB3*), atunci este o latice completă.

Fie C o categorie ce verifică AB3). Spunem că C satisface:

AB4) dacă orice sumă directă a unei familii de monomorfisme este un monomorfism (sau echivalent functorul sumă directă este exact).

AB5) dacă pentru orice familie de subobiecte ale lui M, filtrantă crescător în raport cu relația “” și pentru orice subobiect B al lui M avem .

O famlie de obiecte din C reprezintă o familie de generatori dacă pentru orice și orice B subobiect al lui A, diferit de obiectul total A, există și morfism care nu poate factoriza prin morfismul, cu injecția canonică.

Spunem că obiectul este generator al categoriei dacă familia {U} constituie o familie de generatori pentru categoria C. Noțiunea duală este aceea de cogenerator.

Definiția 3.9. O categorie abeliană C satisfăcând AB5) și care are un generator se numește categorie Grothendieck.

FUNCTORUL HOM ȘI EXACTITATEA

Fie R și S inele și U un (R, S)- bimodul. Atunci pentru fiecare R- modul stâng M există două S- module: și .

Astfel aplicațiile și definesc functorii de la R-MOD la S-MOD, respectiv de la R-MOD la MOD-S. Acești functori pot fi extinși la functori aditivi între categoriile de module corespunzătoare și sunt de importanță fundamentală în analiza acestor categorii.

Fie un (R, S)- bimodul și un morfism în categoria R- MOD. Atunci pentru fiecare , ,iar este un S-morfism, unde deoarece: pentru orice

și avem:

oricare ar fi.

Astfel am definit functorul prin:

și.

Se mai folosește notația; astfel pentru morfism în R- MOD, f* este caracterizat prin:

f

M N

U

Teorema 3.10. Fie R și S inele și U un (R, S) bimodul. Atunci:

(a) este un functor aditiv covariant;

(b) este un functor aditiv contravariant.

Demonstrație. Vom arăta că inversează compunerile și pastrează adunarea; restul demonstrației va fi omis.

Fie, și. Atunci:

.

Deci este contravariant și =.

Fie f, g: MN și. Atunci:

.

Propoziția 3.11. Fie C și D două subcategorii pline ale categoriei de module stângi, respectiv drepte peste inelele R și S; doi functori aditiv covariant, respectiv contravariant. Dacă este un șir exact scindat în C, atunci ambele șiruri, respectiv sunt exact scindate în D.

În particular dacă g: MN este un izomorfism, atunci F(g) și G(g) sunt izomorfisme.

Vom demonstra acest rezultat împreună cu următoarea propoziție:

Propoziția 3.12. În aceleași condiții dacă M, sunt module în și cu injecțiile și proiecțiile canonice atunci:

(a) cu injecțiile și proiecțiile;

(b) cu injecțiile și proiecțiile,.

Demonstrație. Avem că este morfism de grupuri, iar aplicația nulă F este nul.

Din aditivitatea și covarianța lui F avem:

și

.

se demonstrează în mod analog.

Propoziția anterioară este un caz particular al acesteia.

În aceleași condiții fie morfisme în; atunci aplicând F

diagramei corespunzătoare avem pentru fiecare:

N F(N)

Din propoziția 3.12. și din unicitatea aplicației sumă directă avem:

,

deci relativ la injecțiile, , F păstrează sumele directe finite de morfisme la fel ca și de module.

Analog avem:

și.

SUME ȘI PRODUSE DIRECTE SUB HOM

Pentru U un (R, S) bimodul știm că functorii și sunt aditivi. Rezultă din propoziția anterioară că “păstrează” sumele directe finite. De fapt ei se comportă chiar mai bine după cum arată următoarea propoziție:

Propoziția 3.13. Fie U un (R, S) bimodul și o muțime indexată de R- module stângi.

Dacă este un produs direct al lui, atunci este un produs direct a S – modulelor stângi.

Dacăeste sumă directă a lui, atuci este un produs direct al S- modulelor drepte.

Demonstrație. (a) se demonstrează analog cu (b).

(b)Fie proiecțiile pentru produsul direct. Știm de la sume și produse directe că există un S- morfism care face comutativă diagrama pentru toți.:

Dacă, atunci: , pentru toți. Cum rezultă , deci este monomorfism.

Dacă , atunci aplicația sumă directă , făcând diagrama comutativă, pentru orice satisface:

M U

.

Astfel este izomorfism și demonstrația este completă.

Inversând variabilele observăm că propoziția 3.13. leagă functorii și de functorii și , adică

și

Următorul corolar arată că aceste relații sunt “naturale”:

Corolar 3.14. Fie o mulțime indexată de R- module stângi. Dacă M, N sunt R- module stângi, atunci există Z- izomorfismele astfel încât pentru orice diagramele următoare sunt comutative:

Demonstrație. (a) Se demonstrează similar ca (b);

(b) Fie proiecțiile pentru și fie , proiecțiile pentru și respectiv. Din propoziția 3.13. există morfismele:

:și astfel încât

și

pentru toți.

Dacă atunci pentru toțiavem:

Astfel diagrama comută cum doream.

FUNCTORI EXACȚI

Definiția 3.15. Fie C și D subcategorii pline ale categoriei de module și un functor covariant. Daca pentru fiecare șir exact scurt în

-șirul este exact în D, atunci F se numește exact la stânga

-șirul este exact în D, atunci G se numește exact la dreapta.

Un functor exact la stânga și la dreapta se numește functor exact. Analog se definește pentru un functor contravariant.

Propoziția 3.16. Functorii Hom sunt exacți la stânga. Astfel, în particular, dacă U este un R- modul stâng, atunci pentru fiecare șir exact în

R-MOD, avem că șirurile

sunt exacte.

Demonstrație. Prezentăm numai cazul contravariant:

Dacă și (g este epimorfism). Altfel, g* este monomorfism.

Deoarece functorii Hom sunt aditivi avem adică. Pentru incluziunea inversă fie. Deci

. Astfel teorema factorizării arată că factorizează prin g, adică; deci. Aceasta implică egalitatea și deci exactitatea șirului.

§ 4. MODULE M- INJECTIVE ȘI M- PROIECTIVE

CARACTERIZAREA MODULELOR M- INJECTIVE ȘI M- PROIECTIVE

Conceptele de module M- injective și M- proiective au fost introduse de Sandomierski în 1964 și independent de Robert, în 1969. Aceste două concepte duale extind noțiunile de module cvasi- injective și cvasi- proiective și sunt analoage modulelor M- plate ale lui Bourbaki (1961- 1965).

Scopul acstui paragraf este de a da proprietățile de bază ale modulelor M- injective și M- proiective și de asemenea reformularea lor în situații generale în categorii abeliene.

Definiția 4.1. Fie M un R- modul stâng.

Un R- modul stâng Q se numește M- injectiv (sau injectiv relativ la M) dacă există pentru fiecare monomorfism și fiecare, atunci existăastfel încât următoarea diagramă este comutativă, adică.

j

O M’ M

f

Q

Un R- modul stâng P se numește M- proiectiv (sau proiectiv relativ la M) dacă pentru fiecare epimorfism p din și fiecare, atunci există astfel încât următoarea diagramă este comutativă , adică .

P

g

M M’’ O

Propoziția 4.2. Fie. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

Q este M- injectivă;

Pentru fiecare submodul, morfismul poate fi extins la un morfism (adică f factorizează prin );

Pentru fiecare șir exact scurt din R- MOD cu termenul din mijloc

, șirul de grupuri abeliene

este exact.

Demonstrație.

(a) (b) Demonstrația este evidentă din faptul că M’ este submodul în M și din definiția 4.1.

(b) (c) Din propoziția 3.16. functorul este exact la stânga. Atunci șirul

este exact dacă și numai dacă j* este surjectiv pentru orice, există astfel încât este M- injectiv.

Propoziția 4.3. Fie . Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

P este M- proiectiv;

Pentru fiecare submodul , fiecare morfism factorizează prin epimorfismul natural;

Pentru fiecare șir exact scurt din R- MOD cu termanul din mijloc

, șirul de grupuri abeliene

este exact.

Demonstrație.

(a) (b) Demonstrația este evidentă din faptul că și din definiția 4.1.

(a) (c) Ținând cont de propoziția 3.16. șirul

există dacă și numai dacă p* este surjectivpentru orice există astfel încât este M-proiectiv.

În concordanță cu definiția 4.1. avem: QR- MOD se numește injectiv dacă Q este injectiv relativ la fiecare MR- MOD și PR- MOD se numește proiectiv dacă P este proiectiv relativ la fiecare MR- MOD.

Corolar 4.4. Un modul Q este injectiv dacă și numai dacă functorul contravariant este exact în R- MOD. Un modul P este proiectiv dacă și numai dacă functorul aditiv covariant este exact în R- MOD.

CLASE DE INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVǍ

Fie C o clasă nevidă de R- module stângi.

Definiția 4.5. Un R- modul stâng X este C- injectiv dacă X este M- injectiv, pentru fiecare MC. Un R- modul stâng X este C- proiectiv dacă X este M- proiectiv, pentru fiecare MC.

Notații: I(C) = clasa tuturor R- modulelor stângi C- injective.

P(C) = clasa tuturor R- modulelor stângi C- proiective.

Dacă C conține un singur R- modul stâng M, atunci vom folosi notațiile I(M) și P(M) pentru I(C) și respectiv P(C

Observație:1 Pentru fiecare clasă nevidă C de R- module stângi, avem

(adică modulul 0 este M- proiectiv și M- injectiv, oricare ar fi MC) și R- MOD= I(0) = P(0) (adică orice R- modul stâng este 0- injectiv și 0- proiectiv).

2 I(R- MOD) = clasa tuturor R- modulelor stângi injective.

P(R- MOD) = clasa tuturor R- modulelor stângi proiective.

Exemple:

1 Pentru fiecare R- modul stâng semisimplu, M avem I(M) = P(M) = R- MOD.

2 Fiecare grup abelian fără torsiune este injectiv relativ la fiecare grup de torsiune, adică dacă notăm F = clasa grupurilor abeliene fără torsiune și T = clasa grupurilor abeliene de torsiune, atunci avem.

3 Fiecare grup abelian divizibil este Z- proiectiv.

Definiția 4.6. Fie C o clasă nevidă de R- module stângi. Spunem:

C este închisă la obiecte factor dacă pentru fiecare șir exact în

R- MOD avem: ;

C este închisă față de subobiecte dacă pentru fiecare șir exact în

R- MOD avem: ;

(c) C este închisă la extensii dacă pentru fiecare șir exact în

R- MOD avem: și ;

(d) C este închisă la sume directe (respectiv închisă la sume directe finite) dacă pentru fiecare mulțime nevidă I (respectiv mulțime nevidă finită I) și pentru fiecare familie

(e) C este stabilă (sau închisă la anvelope injective) dacă pentru fiecare, anvelopa sa injectivă E(X);

(f) C este o clasă Serre dacă este închisă la subobiecte, obiecte factor și extensii.

Propoziția 4.7. Fie C o clasă nevidă de R- module stângi și o familie nevidă de R- module stângi. Atunci:

(a) dacă, pentru toți;

(b) dacă și numai dacă, pentru toți ;

Demonstrație.

Fie șirul exact în R- MOD, cu,. Avem corespunzător diagrama comutativă cu liniile exacte:

Deci este epimorfism dacă și numai dacă este epimorfism, pentru orice. Deci are loc (a).

se demonstrează analog.

Observație. Propoziția anterioară arată că clasa I(C) este închisă la produse directe,

iar clasa P(C) este închisă la sume directe.

În general nici clasa I(C), nici P(C) nu sunt închise la subobiecte, obiecte factor și extensii.

Corolar 4.8. Fie o mulțime indexată de R- module stângi. Atunci:

(a) este proiectivă dacă și numai dacă este proiectiv, pentru orice;

(b) este injectivă dacă și numai dacă este injectiv, pentru orice.

DOMENII DE INJECTIVITATE ȘI DE PROIECTIVITATE RELATIVǍ

Definiția 4.9. Pentru fiecare clasă nevidă C de R- module stângi:

se numește domeniu de relativă injectivitate a lui C;

se numește domeniu de relativă proiectivitate a lui C.

Observații

Dacă C conține un singur R- modul stâng X, atunci vom folosi notațiile și pentru și respectiv.

Aceste clase sunt nevide deoarece

X este injectiv R- MOD și

X este proiectiv R-MOD.

Vom studia în continuare comportarea claselor(C) și (C) relative la subobiectele, obiecte factor, sume și produse directe. Vom arăta în acest sens că se comportă mai natural decât clasele I(C) și P(C).

Lema 4.10. Fie în R- MOD diagrama comutativă cu liniile exacte:

f g

E F G

E’ F’ G’

Dacă este un epimorfism și f’, sunt monomorfisme, atunci este un epimorfism.

Propoziția 4.11. Fie Q un R- modul stâng. Atunci avem:

Dacă este un șir exact în R-MOD și Q este M- injectiv, atunci Q este M’- injectiv și M”- injectiv.

Dacă este o familie de R- module stângi și Q este – injectiv pentru fiecare, atunci Q este – injectiv.

Demonstrație:

(a) Presupunem că avem șirul exact din ipoteză și că Q este M- injectiv.

Arătăm că Q este M’- injectiv.

Pentru aceasta fie șirul exact cu h’ monomorfism; atunci functorul este contravariant, iar șirul este, unde este epimorfism. Cum șisunt monomorfisme, rezultă că este monomorfism și deoareceQ este M- injectiv rezultă că există epimorfism, deci este epimorfism ceea ce implicăQ este M’- injectiv.

Arătăm că Q este M”- injectiv.

Pentru aceasta fie șirul exactcu h”- monomorfism; atunci există o diagramă comutativă cu liniile și coloanele exacte:

O O

O M’ N’ N’’ O

h h’’

O M’ M M’’ O

Aplicând functorul contravariat T=acestei diagrame, obținem următoarea diagramă comutativă cu liniile exacte:

T(p) T(j)

T(M’’) T(M) T(M’)

T(h’’) T(h) T

O T(N’’) T(N’) T(M’)

Deoarece Q este M- injectiv rezultă că pentru h monomorfism, avem T(h) este epimorfism și conform lemei 4.10. rezultă T(h”) este epimorfism, ceea ce implică Q este M”- injectiv.

(b) Notăm și și . Considerăm mulțimea și care poate fi ordonată în raport cu următoarea relație de ordine dată prin :

dacă și numai dacă și . Evident această mulțime ordonată este inductivă deoarece:

Fie o familie total ordonată de elemnte din F, considerăm care este submodul al lui M și aplicația definită astfel: dacă , atunci

astfel încât ; în acest caz luăm . Dacă atunci , adică f* este bine definită. Este clar acum că

și deci este inductivă.

Fie acum, element maximal în F. Este suficient să arătăm că pentru orice, unde sunt injecțiile naturale.

Fie pentru fiecare . Deoarece Q este – injectiv pentru toți rezultă Q este – injectiv, deci există pentru fiecare , astfel încât următoarea diagramă este comutativă:

O

Q

Dacă și astfel încât, atunci = -x și

, deci prin este un morfism bine definit. Deoarece , din maximalitatea lui se deduce că pentru fiecare , deci . Astfel Q este- injectiv.

Corolar 4.12. Pentru fiecare clasă nevidă de R- module stângi, C, este închisă la subobiecte, obiecte factor și sume directe. În general nu este închisă nici la extensii nici la produse directe.

Propoziția 4.13. Fie P un R- modul stâng. Atunci avem:

(a) Dacă este un șir exact în R- MOD și P este

M- proiectiv, atunci P este M’- proiectiv și M”- proiectiv.

(b) Dacă , , este o familie finită de R- module stângi și P este – proiectiv, atunci P este – proiectiv.

(c) Dacă P este finit generat și este o familie de R- module stângi, astfel încât P este – proiectiv pentru fiecare , atunci P este – proiectiv.

Demonstrație.

Demonstrația este similară celei de la propoziția 4.11. (a) în care se

considera functorul covariant .

Considerăm cazul particular n = 2 și submodulul

injecție canonocă. Atunci următoarea diagramă comutativă având ca săgeți aplicațiile canonice are liniile și coloanele exacte:

O O

O O

O O O

Aplicând functorul covariant obținem următoarea diagramă comutativă având liniile exacte:

O T O

O O

Ultima săgeată verticală este evident monomorfism și cum P este

– proiectiv, rezultă că celelalte săgeți verticale pline sunt endomorfisme. Din lema celor cinci morfisme rezultă că săgeata verticală din centru, punctată, este epimorfism, deci P este – proiectiv.

Fie diagrama cu q epimorfism:

P fiind finit generat rezultă Im(f) este finit generat și cum q este epimorfism, atunci există astfel încât Im(f) este generată de elementele .

Fie acum ; atunci există o submulțime finită astfel încât . Din (b) rezultă că P este – proiectiv și cum , din (a) avem că P este M’- proiectiv, deci există care face comutativă diagrama, adică .

P

f

q/M’

M Im(f) O

De unde rezultă evident că , adică P este – proiectiv.

Corolar 4.14. Pentru fiecare clasă nevidă de R- module stângi, C, este închisă la subobiecte, obiecte factor și sume directe finite.

Corolar 4.15. Fie X un R- modul stâng și G un generator al lui R- MOD. Atunci:

X este G- injectiv dacă și numai dacă X este modul injectiv.

Dacă X este finit generat, atunci X este G- proiectiv dacă și numai dacă X este proiectiv.

Demonstrație. Fiecare R- modul stâng este un modul factor al unei sume directe de copii ale lui G și folosind propozițîile 4.11. și 4.13. demonstrația se incheie.

Observație. Dacă aplicăm corolarul 4.15. cazului G= redescoperim binecunoscutul criteriu de injectivitate al lui Baer.

Un criteriu asemănător pentru module proiective nu există: Z- modulul Q este Z- proiectiv, dar Q nu este un Z- modul proiectiv.

Fie A o categorie abeliană arbitrară.

Ca în cazul particular al categoriei modulelor putem defini noțiunile relative de obiect X- injectiv și X- proiectiv, unde .

Putem reformula acum rezultatele anterioare stabilite pentru categoria

R- modulelor stângi R- MOD într-un context general al unei categorii abeliene.

Fie acum C o clasă nevidă de obiecte ale lui A. Notăm cu [C] subcategoria plină a lui A constând din toate obiectele lui A care sunt câturi de subobiecte ale lui , unde și , pentru toți .

Se observă că [C] este o categorie abeliană și, mai mult, [C] este cea maiv mică subcategorie abeliană plină a lui A, care conține C și a cărei clasă de obiecte este închisă la subobiecte și obiecte factor.

Propoziția 4.16. Fie A și A’ două categorii abeliene, C o clasă nevidă de obiecte ale lui A și un functor covariant sau contravariant, exact la stânga sau la dreapta.

Presupunem că pentru fiecare șir exact din A, cu , șirul obținut prin aplicarea functorului T șirului anterior este exact A’. Atunci restricția a lui T la categoria abeliană [C] este un functor exact.

Demonstrație. Se procedează exact ca în cazul modulelor în propozițiile 4.11. și 4.13.

Remarcă

Un rezultat similar, mai general este dat de E. de Robert.

Dacă luăm A= R- MOD, A’= AB și R- MOD, și atunci o variantă a propoziției 4.16. arată că E este un R- modul plat dacă și numai dacă pentru fiecare ideal stâng a lui R șirul este exact în AB ( adică E este R- plat ).

Ca în cazul modulelor putem utiliza notațiile pentru fiecare clasă nevidă C de obiecte ale categoriei abeliene A. Din propoziția 4.16.rezultă că:

și .

Propoziția 4.17. Fie A o categorie abeliană. Pentru fiecare clasă nevidă de obiecte ale lui A, C, și sunt subcategorii abeliene ale lui A. Dacă A are un generator, atunci și au amândouă un generator.

Mai mult, dacă A este o categorie Grothendieck, atunci este de asemenea o o categorie Grothendieck.

Demonstrație. Din propoziția 4.16., și sunt închise la subobiecte, obiecte cât și sume directe finite. Atunci subactegoriile pline și ale lui A sunt evident categorii abeliene.

Dacă G este un generator pentru A, considerăm mulțimea și care este evident nevidă deoarece .

Fie acum și . Deoarece G este un generator pentru A, rezultă că există astfel încât . Însă . Notăm , rezultă că și cum avem că .

Astfel, am găsit un obiect și un morfism astfel încât , adică G este o mulțime de generatori pentru .

Într-o manieră similară și este o mulțime de generatori pentru .

Presupunem acum că A este o categorie Grothendieck ( adică A este o categorie abeliană cu limite directe exacte și cu un generator ). Va fi suficient să demonstrăm că este închisă la sume directe.

Pentru aceasta fie o familie de obiecte ale lui . Atunci pentru fiecare avem că Q este – injectiv, pentru toți . Vom demonstra că Q este – injectiv. Păstrăm notațiile din propoziția 4.13.(b); această demonstrație dată pentru module poate fi modificată pentru categoria Grothendieck arbitrară A astfel: mai întâi F este o mulțime inductivă deoarece A satisface condiția AB5) a lui Grothendieck;

Considerăm următoarea diagramă:

Q

Există un morfism ce face comutativă diagrama. Pe de altă parte din șirul exact rezultă că deoarece deci există astfel încât . De aici se continuă ca în propoziția 4.11.

Următorul rezultat este de obicei demonstrat urmând căi mai complicate.

Corolar 4.18. ( criteriul lui Baer pentru categorii Grothendieck )

Fie A o categorie Grothendieck și G un generator al lui A. Atunci este un obiect injectiv dacă și numai dacă Q este G- injectiv.

Demonstrație. Q este G- injectiv pentru fiecare mulțime I și fiecare este injectiv.

O variantă a propoziției 4.13.(c) este:

Propoziția 4.19. Fie A o categorie Grothendieck și C o clasă nevidă de obiecte finit generate ale lui A. Atunci este o categorie Grothendieck.

§ 5. MODULE CVASI- INJECTIVE ȘI

CVASI- PROIECTIVE

Modulele cvasi- injective au fost introduse de Johnson și Wong în 1961, dar Jacobson a demonstrat în 1965 că ele satisfac așa numita condiție a dublu anulatorului.

Noțiunea duală de module cvasi- proiective a fost considerată mai întâi de Miyashita și Wu în 1966 și de Jans în 1967.

Definiția 5.1. Un R- modul stâng M se numește cvasi- injectiv dacă m este M- injectiv. Un R- modul stâng M se numește cvasi- proiectiv dacă M este M- proiectiv.

Notație. Dacă M este un modul cvasi- injectiv (respectiv cvasi- proiectiv) vom nota simplu acest fapt scriind că M este QI ( respectiv QP ).

Observație. M este QI( respectiv QP ) dacă și numai dacă sau (respectiv ).

Utilizând propozițiile 4.17. și 4.19. obținem:

Propoziția 5.2. Fie M un R- modul stâng. Atunci:

M este QI dacă și numai dacă M este un obiect injectiv al categoriei

Grothendieck .

(b) M este QP dacă și numai dacă M este un obiect proiectiv al categoriei abeliene .

(c) Dacă M este finit generat, atunci M este QP dacă și numai dacă M este

un obiect proiectiv al categoriei Grothendieck .

Comportarea modulelor QI și QP față de sumele directe finite este dată de următoarea propoziție:

Propoziția 5.3. Fie o familie finită de R- module stângi. Atunci este QI (respectiv QP) dacă și numai dacă este – injectiv ( respectiv este – proiectiv) pentru toți i, j= .

Demonstrație. Din propozițiile 4.7., 4.11. și 4.13. avem: este QI injectiv ( respectiv QP ) este – injectiv( respectiv – proiectiv ) este – injectiv, ( respectiv – proiectiv ) pentru toți este – injectiv( respectiv – proiectiv ) pentru toți.

Corolar 5.4. ( Harada 1972, de Robert 1969 )

Fie M un R- modul stâng și ,. Atunci M este QI ( respectiv QP ) dacă și numai dacă este QI ( respectiv QP ).

Exemple

1 Orice modul semisimplu este QI și QP.

2 Orice factor direct al unui modul QI ( respectiv QP ) este QI ( respectiv QP).

3 Dacă R este un domeniu ideal principal comutativ, atunci pentru fiecare , R/Ra este un R- modul QI și un R- modul QP.

4 R este un R- modul stâng QI dacă și numai dacă R este un inel self injectiv la stânga.

5 Dacă R este un domeniu Dedekind, atunci R- modulele Qi și QP pot fi complet determinate.

6 Dacă a este un ideal bilateral al lui R și este un modul injectiv ( respectiv proiectiv ), atunci Ma ( respectiv M/Ma ) este un modul QI (respectiv QP).

7 Dacă M este un R- modul QP și este un R- submodul plin invariant al lui M ( adică pentru fiecare ), atunci M/M’ este QP.

8 Dacă și p>0 este un număr prim, atunci suma directă a Z- modulelor și nu este un Z- modul QI.

În loc să dăm câteva criterii uzuale de cvasi- injectivitate, stabilim câteva rezultate mai generale despre modulele M- injective.

Propoziția 5.5. Fie R- MOD. Atunci U este M- injectiv dacă și numai dacă pentru fiecare avem .

Demonstrație. Presupunem că are loc concluzia și să arătăm că U este M- injectiv. Pentru aceasta considerăm șirul exact în categoria R- MOD, cu j monomorfism și dat prin diagrama:

j

O M’ M

g

i

U

Cum este o anvelopă injectivă a R- modulului U rezultă că este un R- modul injectiv, deci este injectiv și în raport cu M. Deci, pentru injecția canonică, rezultă că există care face diagrama comutativă, adică . Conform ipotezei pentru avem – injectiv.

Invers, presupunem că U este M- injectiv și fie avem – injectiv.

Invers, presupunem că U este M- injectiv și fie . Arătăm că .

Notăm ( deoarece) care evident este submodul al lui M. Deci avem diagrama următoare:

j

X M

g

U

unde notăm cu și în care U fiind M- injectiv rezultă că există morfism ce face comutativă diagrama, adică , unde j este morfismul canonic ( de incluziune ).

Evident că . Presupunem că , adică pentru un anumit

avem . Dar , deci există astfel încât ( deoarece este extensia esențială a lui U ), deci

, adică ceea ce este o contradicție. Deci X = M ceea ce implică că .

Corolar 5.6. Dacă C este o clasă nevidă de R- module stângi, atunci I(C) este închisă la extensii esențiale.

Corolar 5.7. ( Johnson și Wang- 1961 )

Un R- modul stâng M este QI dacă și numai dacă pentru fiecare

.

Putem da acum o nouă demonstrație pentru propoziția 4.12..

Corolar 5.8. Pentru fiecare clasă nevidă C de R- module stângi, este închisă la sume directe.

Demonstrație. Fie o familie de subobiecte din . Atunci U este – injectiv, pentru orice și orice . Considerăm, atunci conform propoziției 5.5. avem , oricare ar fi , deci , adică U este – injectiv dacă și numai dacă .

Corolar 5.9. Fie Q un R- modul stâng injectivși a un ideal bilateral al lui R. Atunci este un R- modul QI și un R/a- modul injectiv ( N fiind considerat ca un R/a- modul în mod canonic ).

Demonstrație. Putem presupune că și fie . Arătăm că . Avem că f poate fi extins la , lucru ce rezultă din injectivitatea lui Q. Cum pentru orice avem că rezultă că , adică N este QI ( din propoziția 5.7. )

Fie N’=. Deoarece este o extensie esențială peste R, putem presupune că . Dar N’R/a- MOD, deci aN’=0, adică . Astfel =N și este un modul injectiv în R/a- MOD.

Corolar 5.10. Pentru orice R- modul stâng injectiv Q, Q este injectiv ca – modul.

Demonstrație. Luând a = ( în cazul particular al propoziției 5.9. ) idealul bilateral și rezultă conform acestuia că Q este injectiv ca – modul.

Remarcă

1 Propoziția 5.5. poate fi reformulată astfel: U este M- injectiv dacă și numai dacă morfismul natural este un izomorfism.

Fie M și . Conform propopziției 5.7. avem este un R- modul QI și mai mult AM este intersecția tuturor submodulelor QI ale lui E(M) ce conțin pe M.

Definiția 5.11. Printr-o extensie QI minimală a lui M înțelegem perechea (Q, i), unde Q este un modul QI și este un monomorfism având proprietatea că Q este unicul submodul QI al lui Q ce conține i(M).

Astfel că (AM, i) este o extensie QI – minimală a lui M, unde este injecția canonică.

Propoziția 5.12. ( Faith și Utumi- 1964 ) Orice două extensii QI- minimale ale unui Q- modul stâng sunt izomorfe peste M.

Demonstrație. Din observațiile anterioare rezultă că pentru un R- modul M perechea (AM, i) este o extensie QI minimală. Fie acum (Q, j) o altă extensie QI a lui M, adică Q este un modul QI și este un monomorfism. Notăm cu .

Cum AM este extensie esențială a lui M, atunci în diagrama următoare:

i

M AM

f f

Q

monomorfismul poate fi extins la monomorfismul . Notăm

, și .

Evident putem presupune .

Fie , atunci g” poate fi extins la și g’ poate fi extins la . Deci,

( deoarece f(AM) este QI, rezultând din propoziția 5.7.). Tot de aici avem că este QI deci este o extensie QI a lui M conținută în AM, însă din minimalitatea lui AM rezultă că .

Dacă (Q, j) este acum o extensie QI- minimală a lui M, atunci este încă epimorfism, deoarece f(AM) este QI, și (Q, j) este minimală.

Astfel fiecare extensie QI- minimală a lui M este izomorfă sub M cu extensia minimală QI(AM, i) a lui M.

Notație. Pentru fiecare notăm cu o extensie QI minimală a lui M, care este unic determinată modulo un izomorfism sub M. Din propoziția 5.12. observăm că este o extensie esențială a lui M.

Dorim să dăm acum criteriul lui Fuchs de cvasi- injectivitate. Putem să- l prezentăm ca o consecință trivială a unui rezultat mai general despre modulele M- injective.

Reamintim că N este o clasă de R- module stângi, atunci spunem că M este N- generat (sau că N generează M) dacă există o familie în N și un epimorfism .

Propoziția 5.13. Fie U, M.

Dacă U este M- injectiv, atunci fiecare N are proprietatea:

(*) pentru fiecare submodul și fiecare pentru care există , există care face următoarea diagramă comutativă:

O N’ N

f g

U M

Dacă N este o mulțime de R- module care generează pe M, astfel încât

Fiecare N N are proprietatea (*), atunci U este M- injectiv.

Demonstrație.

Fie surjecția canonică și injecția canonică.

Deoarece din ipoteza (*) rezultă că există ce face comutativă diagrama:

N’ N

p

f

j

U M

Prin definiție avem , pentru orice . Cum însă U este M- injectiv rezultă că există astfel încât . Notăm acum ; atunci g / N’= f.

Pentru a arăta că U este M- injectiv conform propoziției 5.5. este

suficient să arătăm că pentru fiecare și deoarece M este N- generat aceasta este echivalent cu pentru toți NN și .

Fie și . Evident deci conform proprietății (*) există astfel încât g extinde f:

N’ N

f g

M

h

i

U

Presupunem că . Atunci și . Alegem pentru care avem că , deci pentru un anumit astfel încât . Rezultă că și cum , avem adică așa cum am dorit. Rezultă că , deci conform propoziției 5.5. U este M- proiectiv.

Pentru fiecare M R- MOD putem folosi următoarea notație:

astfel încât există .

Corolar 5.14. Fie U, MR- MOD. Atunci U este M- injectiv dacă și numai dacă pentru fiecare ideal drept a al lui R și fiecare

,f poate fi extins la R.

Demonstrație. În propoziția 5.13. luăm N = {R}. Dacă a este un ideal al lui R, și atunci dacă și numai dacă există astfel încât , unde și se aplică propoziția 5.13.

Deoarece U este M- injectiv dacă și numai dacă U este M- injectiv, pentru toți , rezultă că în afirmația din propoziția 5.14. putem înlocui cu

astfel încât , pentru o anumită mulțime nevidă finită .

Corolar 5.15. (Fuchs-1969) Fie MR- MOD. Atunci M este QI dacă și numai dacă pentru fiecare ideal drept a al lui R și fiecare

(sau ) f poate fi extins la R.

Ca o consecință directă a criteriului Fuchs dăm acum un rezultat uzual:

Propoziția 5.16. Fie M un R- modul stâng QI. Atunci M este un – modul injectiv canonic, cu condiția ca M să satisfacă una din următoarele două cerințe:

(a) condiția lanțurilor descendente (DDC) are loc în mulțimea

;

(b) M este un End- modul drept finit generat.

Demonstrație. Întâi vom demonstra că dacă M satisface (a) sau (b).

Presupunem că M satisface (a).

Atunci , pentru anumiți . Deoarece satisface DDC rezultă că .

Presupunem că M satisface (b).

Fie astfel încât , unde am notat .

Luăm și . Atunci , cu , pentru toți . Deci , de unde rezultă că , adică .

Fie acum a’ = a / un ideal drept al lui R’ = R / , surjecția canonică și . Deoarece rezultă că , deci există care face comutativă diagrama:

a R

P g

a’ R’

f g’

M

Evident g factorizează prin epimorfismul natural și

g’ / a’ = f, deci M este un R’- modul injectiv din criteriul lui Baer.

Remarcă

1 Fie MR- MOD. Dacă M este injectiv (respectiv proiectiv) ca – modul, atunci M este un R- modul QI (respectiv QP) deci are loc o reciprocă parțială a propoziției 5.16..

2 Dacă M este un R- modul QI nu rezultă că M este injectiv ca un – modul.

Într-adevăr Z- modulul semisimplu M este QI dar nu este modul injectiv peste .

Totuși, următoarea afirmație are loc: M este injectiv peste dacă și numai dacă M este un R- modul QI pentru fiecare mulțime I (Fuller- 1969).

.

=== CAPITOLUL ''' ===

CAPITOLUL III

MODULE – INJECTIVE ȘI

MODULE – PROIECTIVE

§ 6. MODULE – INJECTIVE

Noțiunea de modul – injectiv a fost introdusă de Faith în 1966. El a demonstrat printre altele faptul important că R- modulul injectiv este – injectiv dacă și numai dacă R satisface ACC pe anulatorii submulțimilor lui Q.

Un alt rezultat principal despre modulele – injective a fost demonstrat în 1969 de Cailleau și anume: un R- modul injectiv Q este – injectiv, dacă și numai dacă Q este sumă directă de module – injective idecompozabile.

Aceste două rezultate au fost transpuse pe module -cvasi- injective da Cailleau și Renault în 1970.

În acest paragraf vom prezenta o noțiune mult mai generală și anume noțiunea de modul – M- injectiv, unde M este un R- modul stâng arbitrar.

Definiție 6.1. Fie U un R- modul stâng și P o proprietate a lui U. U se numește – P (respectiv – P) dacă fiecare sumă directă (respectiv produs direct) de copii ale lui U posedă proprietatea P.

Observație. Prin proprietatea P a lui U înțelegem: “U este M- injectiv”, “U este injectiv” sau “U este QI”; deci obținem respectiv noțiunile de modul “- injectiv”, “injectiv” sau “QI”.

Remarcă. Pentru UR- MOD, conform paragrafului 4 avem:

1 U este – injectiv dacă și numai dacă U este – – injectiv;

2 U este – QI dacă și numai dacă U este – U- injectiv.

Lema 6.2. Fie o familie infinită de module M- injective. Dacă nu este M- injectiv, atunci există o submulțime numărabilă J a lui I astfel încât nu este M- injectiv.

Demonstrație. Din propoziția 5.14. rezultă că există un ideal stâng a al lui R, un element xM și un morfism cu astfel încât f nu poate fi extins la R. Rezultă că pentru fiecare submulțime finită F a lui I, , adică există o submulțime infinită I’ a lui I astfel încât , pentru toți iI’, unde reprezintă proiecția canonică. I’ conține o submulțime numărabilă J. Fie proiecția canonică. Atunci morfismul nu poate fi extins la R, adică nu este M- injectiv.

Corolar 6.3. U este – M- injectiv dacă și numai dacă este M- injectiv.

Fie UR- MOD, X o submulțime nevidă arbitrară a lui R și Z o submulțime nevidă a lui U. Reamintim notațiile:

și .

În continuare vom folosi notațiile următoare:

și și

, pentru o anumită mulțime finită.

Evident .

Observăm că dacă , atunci pentru fiecare,. Deci .

Teorema 6.4. Fie un modul M- injectiv. Următoarele afirmații sunt echivalente:

U este – M- injectiv;

Mulțimea ordonată prin incluziunea a idealelor stângi ale lui R

satisface ACC (condiția lanțurilor ascendente);

(c) satisface ACC.

Demonstrație.

(a) (b) Presupunem că există un lanț strict ascendent de elemente ale lui . Atunci pentru o anumită submulțime nevidă finită Y a lui M. Obținem lanțul strict descendent . Alegem pentru fiecare un element și luăm . Definim prin . Deoarece există pentru fiecare un întreg k astfel încât pentru toți , rezultă că f este bine definită.

Dacă , pentru toți . Prin urmare . Din propoziția 5.14. există astfel încât , pentru toți . Dar deci . Astfel, , pentru toți , ceea ce este o contradicție.

(b) (c) este evidentă;

(c) (a) Mai întâi observăm că dacă a este orice ideal stâng al lui R astfel încât pentru un anume atunci există un ideal finit generat b al lui R, cu astfel încât . Rezultă, din faptul că mulțimea și c este finit de submulțimi (și nu de R- module) ale lui U, că satisface DCC.

Din propoziția 6.3. rezultă că este suficient să se demonstreze că este M- injectiv. Fie a un ideal stâng al lui R și astfel încât pentru un anume .Atunci pentru un anume ideal finit generat b al lui R, cu . Notăm și luăm , unde pentru toți i. Este clar atunci că f(a’) = f(b). Dar b este finit generat, deci există astfel încât f(a’) = f(b) .

Fie acum k > n și proiecția canonică. Deoarece rezultă din propoziția 5.14. că există , cu , pentru toți .

Pe de altă parte , deci . Deci . Astfel , adică și ca urmare .

Corolar 6.5. Următoarele proprietăți ale unui R- modul stâng M sunt echivalente:

orice submodul ciclic (sau finit generat) al lui M este notherian;

orice sumă directă de module M- injective este M- injectivă;

orice limită directă de module M- injective este M- injectivă;

(d) categoria R- MOD are un cogenerator – M- injectiv.

Demonstrație.

(a) (b) Fie o familie arbitrară de module M- injective stângi, a un ideal stâng al lui R și un morfism astfel încât pentru un anume . Deoarece Rx este noetherian, a / Ker(f) este un R- modul noetherian. Atunci a / Ker(f) este finit generat, adică , pentru anumiți . Rezultă că este conținut în , pentru o anumită submulțime finită F a lui I. Deci f poate fi extins la R și astfel este M- injectiv (din propoziția 5.14.).

(a) (c) Se demonstrează într-un mod similar.

(c) (b) Evident.

(b) (d) Fie Q=, unde J este o mulțime reprezentativă a claselor de izomorfism a tuturor R- modulelor stângi simple. Evident este un cogenerator pentru R- MOD și Q este- M- injectiv.

(d) (a) Fie și A un ideal stâng al lui R astfel încât. Dacă Q este un cogenerator – M- injectiv al lui R- MOD, atunci pentru o anumită submulțime nevidă Z a lui Q. Deci . Din propoziția 6.4. satisface ACC, deci este un R- modul noetherian.

Corolar 6.6. Fie o familie finită de module M- injective. Dacă este – M- injectiv pentru toți , atunci este – M- injectiv.

Demonstrație. Se aplică propoziția 6.4..

Corolar 6.7. Fie o familie finită de R- module- injective. Atunci este – injectivă.

Demonstrație. Se ia în propoziția 6.6..

Corolar 6.8. (Cartan, Eilenberg, Matlis-Papp, Bass): Următoarele afirmații sunt echivalente:

R este un inel noetherian stâng;

orice sumă directă de R- module stângi injective este injectivă;

orice sumă directă numărabilă de R- module stângi injective este injectivă;

orice limită directă de R- module stângi injective este injectivă;

categoria R- MOD are cogenerator – injectiv.

Demonstrație. Se ia în propoziția 6.5..

Corolar 6.9. Fie Q un R- modul – injectiv. Dacă U este submodul QI al lui

Q, atunci U este – QI.

Demonstrație. Din propoziția 6.4. satisface ACC, deci satisface de asemenea ACC și deci U este – U- injectiv, adică U este QI.

Teorema 6.10. Fie MR- MOD, o familie de R- module stângi și.

Presupunem că U este M- injectiv. Atunci următoarele două condiții sunt echivalente:

(a) este- M- injectiv pentru toți ;

(b) U este – M- injectiv.

Demonstrație. Deoarece U este M- injectiv, rezultă din propoziția 4.7. că este M- injectiv pentru toți .

(b) (a) Evident pentru fiecare, deci este – M- injectiv pentru toți , dacă U este – M- injectiv (din propoziția 6.4.).

(a) (b) Demonstrația se bazează pe metoda Cailleau (1969).

Presupunem mai întâi că I este o mulțime numărabilă, adică . Atunci , unde pentru fiecare pereche .

Fie a un ideal stâng al lui R și astfel încât pentru un anumit . Notăm pentru fiecare cu proiecția canonică și luăm . Evident unde suma se face după .

Presupunem următoarea afirmație valabilă: (*) oricare ar fi , există

cu n’ > n astfel încât.

Atunci putem construi șirul de elemente din astfel încât pentru fiecare avem și. Evident, ca sumand direct al lui U, este M- injectivă.

Considerăm acum proiecția canonică . Atunci, . Din propoziția 5.14. poate fi extins la R și deci există astfel încât . Rezultă că , pentru toți k > t, ceea ce este o contradicție. Ca urmare, (*) nu este valabilă, adică are loc următoarea afirmație:

(**) Există n astfel încât oricare ar fi cu .

Astfel Im(f) este conținută într-un modul M- injectiv

și atunci f poate fi extins la R, adică este M- injectiv.

Presupunem acum cazul general , I e mulțime arbitrară. Atunci , pentru toți . Presupunem că nu este M- injectiv. Din propoziția 6.2. există o subfamilie numărabilă F a familiei astfel încât nu este M- injectivă. Fie astfel încât . Deoarece J este numărabilă, este M- injectivă. Dar ca factor direct al lui V este M- injectiv, ceea ce este o contradicție.

Corolar 6.11. Fie o familie de R- module stângi și . Dacă Q este un R- modul injectiv, atunci urmatoarele două condiții sunt echivalente:

(a) este – injectiv pentru fiecare ;

(b) Q este – injectiv.

Demonstrație. Rezultă din propoziția 6.10. luând .

Propoziția 6.12. Fie R un inel semi-artinian stâng având lungimea Loewy stângă și fie o familie de R- module injective idecompozabile. Atunci

este.

Demonstrație. Fie M un R- modul finit generat coireductibil. Atunci So(M) este un modul simplu și M / So(M) este semisimplu și finit generat, deoarece . Rezultă că M este de lungime finită. Considerăm acum un element arbitrar . Atunci

. Dar este un r- modul finit generat coireductibil, deci Rx este un modul stâng de lungime finită, în particular Rx este modul noetherian pentru fiecare . Deci, orice sumă directă de R- module Q- injective este Q- injectivă, din propoziția 6.5. rezultă că Q este- QI.

Corolar 6.13. Fie R un inel semi- primar, cu, J fiind radicalul lui Jacobson al lui R. Dacă este o familie de R- module stângi injective idecompozabile atunci este- QI.

Demonstrație. Deoarece rezultă că și se aplică acum propoziția 6.12..

Scopul următor este de a studia descompunerea modulelor – M- injective în submodule idecompozabile. Reamintim notația:

pentru o anumită mulțime finită nevidă .

Lema 6.14. Fie U un modul M- injectiv. Atunci:

U este R / a- injectiv pentru toți ;

pentru toți .

Demonstrație.

Fie . Atunci există astfel încât .

Deoarece U este M- injectiv rezultă că U este Rx- injectiv pentru fiecare . Deci U este – injectiv. Deci U este de asemenea – injectiv și deci U este R / a- injectiv.

Incluziunea este clară. Reciproc: fie;

notăm cu monomorfismul definit prin f(r) = rx, pentru toți . Atunci , deci diagrama următoare :

p

R

h

g

f

U

poate fi completată cu g, unde p este epimorfism canonic.

Din (a) U este R / a- injectiv și R / b- injectiv, deci U este și – injectiv. Rezultă că g poate fi extins la h. Atunci evident , unde și . Deci are loc incluziunea inversă.

Fie U un R- modul stâng M- injectiv și Y o submulțime finită nevidă a lui . În continuare vom folosi următoarea notație:

.

Se verifică ușor că este latice în raport cu relația de ordine parțială dată de incluziune și în raport cu operațiile “V” și “”:

.

Lema 6.15. Dacă a este un element ireductibil al laticei , atunci a este un ideal ireductibil al lui R.

Demonstrație. Fie , unde b și c sunt ideale stângi ale lui R. Deoarece a rezultă că unde și . Din propoziția 6.14.(b) , deoarece .

Deci . Dar și aparțin lui deoarece

și a este un element ireductibil al

lui. Deci implică că a = b sau a = c.

Teorema 6.16. Fie U un R- modul stâng M- injectiv. Presupunem că (adică U este M- generator). Următoarele două afirmații sunt echivalente:

U este – M- injectiv;

U este sumă directă de module idecompozabile care sunt – M- injective.

Demonstrație.

(b) (a) Rezultă din propoziția 6.10..

(a) (b) Deoarece există șirul exact pentru o anumită mulțime A. Considerăm un element arbitrar. Atunci există și astfel încât , deci , adică, unde . Deoarece U este -M- injectiv, satisface ACC, deci este o latice noetheriană în care fiecare element are o descompunere ireductibilă.

Din propoziția6.15. , unde sunt ideale stângi ireductibile ale lui R. Deci, adică Rx este conținută într-o sumă directă finită de module coireductibile. Rezultă că Rx are submodule coireductibile (nenule) și atunci U este o extensie esențială a sumei directe de R-module coireductibile.

Considerăm acum categoria Grothendich (din propoziția 4.17.) ={x R-MOD/ U este X-injectiv}.

Evident M. Deoarece rezultă că U din propoziția 4.12. deci U este un obiectiv injectiv al categoriei Grothendich . Notăm pentru fiecare x cu anvelopa injectivă lui X în categoria Grothendich .

Evide3nt este un obiect coireductibil din , pentru toți ; deci este un obiect idecompozabil al lui ; deci R-modul idecompozabil pentru toți .

Deoarece U este un obiect injectiv al lui rezultă că este un sumand direct al lui U pentru fiecare , deci este un sumand direct al lui U. Pe de altă parte , deci este o extensie esențială.Rezultă că și demonstrția este completă acum.

Corolar 6.17. (Caileau, 1969): Următoarele condiții despre un R- modul stâng injectiv, Q sunt echivalente:

Q este – injectiv;

Q este sumă directă de module – injective idecompozabile.

Demonstrație. Se ia în propoziția 6.16.

Corolar 6.18. Următoarele condiții despre un R- modul stâng QI, Q sunt

echivalente:

Q este- QI;

Q este sumă directă de module -QI idecompozabile (chiar coireductibile).

Demonstrație. Se ia în propoziția 6.16.

Corolar 6.19. Presupunem că R este un inel comutativ, U este un- M- injectiv și . Atunci , unde pentru fiecare , este coireductibil și Ass.

Demonstrație. Putem presupune U idecompozabil. În acest caz U este de asemenea coireductibil.

Fie . Urmând demonstrația de la propoziția 6.16. putem găsi o mulțime finită nevidă astfel încât . Dacă , atunci evident , deoarece R este comutativ.

Dar U este – M- injectiv, deci mulțimea de ideale ale lui R are un element maximal numit . Atunci evident= p este un ideal prim, deci Ass (U) = {p} deoarece U este coireductibil.

§ 7. MODULE – INJECTIVE

Modulele – injective au fost cercetate pentru prima dată sub forma echivalentă de inele F- artiniene de către Albu și Năstăsescu (1976). Totuși, termenul de modul – injectiv a fost introdus de Faith (1978) în anlogie cu termenul de modul – injectiv introdus de același (1966).

Fie M un R- modul stâng. Reamintim câteva notații și definiții:

– reprezintă mulțimea idealelor stângi ale lui R, unde Z este o

submulțime nevidă a lui M

M este superior- Levitzki (respectiv inferior- Levitzki) dacă mulțimea

ordonată cu incluziunea satisface ACC (respectiv DCC).

Pentru fiecare R- modul stâng injectiv Q:

– reprezintă o topologie Gabriel pe R determinată de Q, adică

.

– reprezintă teoria de torsiune hereditară a lui R- MOD definită de .

Atunci .

Lema 7.1. Dacă este un R- modul injectiv atunci .

Demonstrație. Fie un ideal stâng al lui R. Atunci

.

Teorema 7.2. (Faith- 1966, Teply- 1969, Cailleau- 1969, Stenström- 1971) Fie F o topologie Gabriel a lui R și teoria de torsiune hereditară a lui R- MOD asociată. Notăm cu Q un R- modul injectiv care cogenerează clasa (adică =

= Cog(Q)). Atunci uemătoarele condiții sunt echivalente:

(a) este F- noetherian;

(b) R satisface ACC pe submulțimile de anulatori ale lui Q (adică

satisface ACC );

Q este un modul – injectiv;

Pentru fiecare ideal stâng al lui R există b ideal stâng finit generat cu și ;

Fiecare sumă directă de R- module F fără torsiune injectivă este injectivă;

Fiecare modul F- fără torsiune injectiv este sumă directă de submodule idecompozabile;

Q este sumă directă de submodule – injective idecompozabile.

Demonstrație.

(a) (b) rezultă din propoziția 7.1. deoarece F=.

(b) (c) rezultă din propoziția 6.4. deoarece.

(b) (d) rezultă din caracterizările anulatorilor.

(a) (g) rezultă din propoziția 6.17..

(e) (c) deoarece este F- fără torsiune.

(b) (f) fie M un R- modul F- fără torsiune injectiv. Atunci M, deci există o mulțime I și un monomorfism . Dar este ușor de verificat că , deci și atunci satisface ACC. Rezultă că M este – injectiv (din (b) (c)) și deci M este sumă directă de submodule idecompozabile (din(a) (g)).

(f) (e) fie o familie de module F- fără torsiune injective. Putem presupune că sunt toate idecompozabile. Atunci , unde sunt module idecompozabile injective. Se știe că există o bijecție astfel încât pentru toți . Atunci , deci este un R- modul injectiv. Deci, în conformitate cu această propoziție un R- modul injectiv Q este Levitzki- superior dacă și numai daca Q este un- injectiv .

Definiția7.3. Un R- modul injectiv se numește – injectiv daca Q este Levitzki- inferior.

Mai general, un R- modul arbitrar M se numește (respectiv) – modul dacă M este Levitzki- superior(respectiv Levitzki – inferior ). Pe scurt un (respectiv ) – modul injectiv se numește (respectiv ) injectiv.

Lema 7.4. Fie un R- modul injectiv. Atunci Q este un ()- injectiv dacă și numai dacă este este noetherian (- artinian).

Teorema 7.5 Oricare R- modul – injectiv este – injectiv.

Demonstrție. Dacă este – injectiv, atunci R este – artinian, deci R este – noetherian, adică este – injectiv.

Definiția 7.6. Dacă R- MOD și atunci – modulul stâng se numește contramodulul lui M. Vom nota cu Biend inelul de biendomorfisme a lui M, adică este inelul opus (contrar) al inelului endomorfisme al lui . Astfel M devine un bimodul . În plus există un morfism canonic de inele dat de .

Propoziția 7.7. Fie M un R- modul stâng QI și . Atunci M este un – modul dacă și numai dacă este un modul noetherian.

Teorema 7.8. (Faith- 1978) Dacă este un R- modul injectiv, care este contranoetherian (adică este noetherian, unde ), atunci Q este contraartinian (adică este artinian).

Demonstrație. Din propoziția 7.6. este – injectiv, deci este – injectiv (din propoziția 7.5.). Din conexiunea Galois , a elementelor închise ale laticii a tuturor – submodulelor lui Q, este artiniană. Pe de altă parte deoarece este noetherian, fiecare – submodul a lui Q este finit generat, deci închis. Rezultă că este o latice artiniană.

Remarcă. Rezultatul anterior rămâne adevărat de asemenea pentru un modul QI : într- adevăr, dacă este noetherian, atunci Q este – modul injectiv (din propoziția 5.16.)

Propoziția 7.9. Fie o familie finită de R- module injective. Atunci este – injectivă dacă și numai dacă este – injectiv, pentru fiecare .

Demonstrație. Dacă .

Propoziția 7.10. Fie o familie de R- module – injective. Presupunem că următoarea condiție este satisfăcută:

(*) pentru fiecare , există o submulțime finită a lui I astfel încât , pentru toți și toți – injectivă.

Demonstrație. Familia a topologiilor Gabriel pe R are proprietatea că pentru fiecare . Atunci R este – noetherian. Pe da altă parte este – fără torsiune, deci este injectivă din propoziția 7.2.(e) și – injectivă din aceeași propozi- injectivă din aceeași propoziție (c).

Dacă este un R- modul injectiv, inelul de fracții al lui R în raport cu topologia Gabriel va fi notat ca urmare cu . Deoarece Q este injectiv și – fără torsiune, Q este – închis, deci Q este un – modul.

Propoziția 7.11. Fie un R- modul injectiv. Atunci este – injectiv dacă și numai dacă este – injectiv în categoria – MOD.

Demonstrație. Fie morfismul canonic. Astfel ideal stâng al lui = ideal stâng al lui este o topologie Gabriel pe și și laticile și

sunt izomorfe. Demonstrația este completă acum.

Lema 7.12. Dacă .

Demonstrație. Deoarece și este o latice artiniană, atunci există astfel încât . Rezultă că este contraciclic (adică este ciclic) și atunci . Dar , deci .

Propoziția 7.13. Dacă este – injectiv, atunci inelul este semi- primar având soclul finit generat stâng.

Demonstrație. Contramodulul este – modul de lungime finită (din propozițiile 7.7. și 7.8, deci este un inel semiprimar) și deci este un inel semiprimar din propoziția 7.12..

Propoziția 7.14. Fie un modul – injectiv. Atunci este – injectiv dacă este satisfăcută una din următoarele condiții:

R este inel semiartinian stâng;

R este regulat în sensul von Neumann;

(c) este semisingular (adică Z(Q)=0).

Corolar 7.15. Următoarele proprietăți ale unui R- modul injectiv Q sunt echivalente:

(a) este – injectiv;

(b) este un inel semiprimar și Q este un – modul – injectiv sau – injectiv;

(c) este un inel semiprimar și Q este un – modul – injectiv sau – injectiv.

Demonstrație.

(a) (b) și (b) (c) rezultă din propozițiile 7.11., 7.12., 7.13., 7.14., iar (c) (a)

din propoziția 7.14.: Q este – injectiv ca – modul și atunci este usor de verificat că este de asemenea – injectiv.

Propoziția 7.16. Fie Q un R- modul injectiv, finit generat. Dacă Q este – injectiv (- injectiv), atunci este un inel semiprimar (artinian stâng).

Propoziția 7.17. Dacă este un modul artinian – injectiv, atunci:

(a) este inel stâng artinian.

(b) este noetherian.

(c) este inel stâng artinian.

(d) este un inel drept artinian.

Demonstrație.

(a) Ca în demonstrația propoziției 7.12. există astfel încât

, deci poate fi scufundat în R- modulul artinian și astfel este un inel artinian la dreapta.

(b) Rezultă din (a).

(c) Din corolarul 7.15., Q este un – modul drept fidel peste inelul S=,

deci există și un monomorfism de S- module și astfel este artinian deoarece este artinian.

(d) Rezultă din (b) și propoziția 7.16..

Teorema 7.18. Dacă este un modul noetherian – injectiv atunci:

(a) este un inel stâng artinian.

(b) este artinian.

(c) este un inel stâng artinian.

(d) End() este un inel drept artinian.

Demonstrație.

(b) rezultă din (a).

(c) Notăm cu și cu .

Deoarece Q este centranoetherian, rezultă că Q este un R- modul injectiv. Mai mult, Q este un R- modul stâng – injectiv și de asemenea un S- modul stâng – injectiv.

Există deci un monomorfism de S- module stângi pentru un anumit și astfel S este un inel stâng noetherian. Dar S este un inel semiprimar, deci S este un inel artinian la stânga.

Morfismul de inele canonic induce un monomorfism , deci S este un – modul stâng noetherian, deoarece . Deoarece R este un inel stâng noetherian și S un inel stâng artinian, rezultă că este un inel stâng artinian.

(d) Rezultă din propoziția 7.17.(d).

Corolar 7.19. Fie un R- modul noetherian – injectiv. Dacă categoria R- MOD

are proprietatea că orice două R- module simple sunt izomere (în particular, dacă R este un inel local), atunci R este un inel stâng artinian.

Demonstrație. Din teorema 7.18.(b) rezultă că este artinian, deci este un cogenerator al lui R- MOD. Atunci , deci R este un inel stâng noetherian deoarece este o latice artiniană.

Corolar 7.20. Fie R un inel stâng dual (fiecare ideal stâng al lui R este bilateral). Dacă este un modul injectiv noetherian, atunci este un inel stâng artinian și este artinian.

Demonstrație. Deoarece aplicațiile și definesc o conexiune Galois între laticea idealelor bilaterale ale lui R și laticea L() a R- submodulelor lui Q, rezultă că Q este – injectiv. Se aplică apoi teorema 7.18..

Remarcă. Orice inel comutativ și orice inel tare regulat R ( astfel încât ) este un inel dual.

În continuare vom descrie structura modulelor – injcetive, folosind descompunerea terțiară în inele F- noetheriene.

Fie F o topologie Gabriel (stângă) pe R și considerăm teoria de torsiune hereditară pe R- MOD definite de F. Cu vom nota spectrul categoriei , adică mulțimea claselor de izomorfism a tuturor obiectelor injective idecompozabile ale lui . Este clar că poate fi identificată cu mulțimea claselor de izomorfism a tuturor R- modulelor injective idecompozabile fără torsiune.

Reamintim următoarele notații:

Spec(R) = {p este ideal prim bilateral al lui R}

Lema 7.21. Fie R un inel noetherian (stâng).

Dacă este un R- modul injectiv idecompozabil și n un mumăr natural.

Considerăm următoarele două aplicații definite prin și definite prin , unde Ass (I) = {p}. Atunci .

Dacă (R) este un ideal semiprimar al lui R, atunci Ass(R/a) este o mulțime finită și .

În particular mulțimea a idealelor prime minimale ale lui

este finită.

Lema 7.22. Fie F o topologie Gabriel a lui R și . Dacă R/p este un inel Goldie stâng, atunci sau .

Teorema 7.23. Fie un ideal prim minimal al lui R. Dacă este un modul – injectiv, atunci este – injectiv.

Corolar 7.24. Dacă R este un inel noetherian stâng și p este un ideal prim minimal al lui R, atunci este un R- modul – injectiv.

Propoziția 7.25. Fie R un inel F- artinian. Atunci:

Fiecare eelment este un ideal prim minimal în și

este o mulțime finită. Dacă în plus pentru fiecare ,

R/p este un inel Goldie stâng (adică, dacă R este un inel noetherian stâng sau R este un inel cu identități polinomiale), atunci fiecare element al lui

este un ideal prim minimal al lui R.

(b) Aplicația descrisă în propoziția 7.21. este bijectivă.

Demonstrație.

Fie cu . Deoarece rezultă că R este

artinian, adică este – injectiv. Dar R/p este inel Goldie, deci

din propoziția 7.22. și deci R- modulul R/p este cogenerat de

. Atunci există și un monomorfism ; rezultă

că , adică p = q.

Fie un modul injectiv F- fără torsiune idecompozabil. Atunci

Ass(Q) ={q}. Deoarece Q este – injectiv, există un monomorfism

pentru un anume . Atunci . Pe de altă parte,

, unde este un R- modul injectiv idecompozabil, deci ,

adică este de asemenea surjectivă.

Corolar 7.26. Dacă R este un inel noetherian stâng, atunci există o corespondență bijectivă între mulțimea tuturor idealelor prime minimale ale lui și

mulțimea claselor de izomorfism a modulelor – injective idecompozabile.

Corolar 7.27. Fie un modul – injectiv nenul. Atunci:

Există un număr finit de ideale prime ale lui R astfel încât

. Mai mult, este un inel Goldie stâng și

pentru fiecare , unde este un R- modul injectiv

idecompozabil și .

(b) unde este un R- modul – injectiv idecompozabil, pentru

fiecare . Mai mult pentru fiecare , este izomorf cu un

injectiv al mulțimii .

Rezultatul dual propoziției 6.11. este:

Teorema 7.28. Fie o familie de R- module stângi. Dacă este un R- modul injectiv, atunci următoarele două condiții sunt echivalente:

Q este – injectiv.

este – injectiv pentru fiecare .

Definiția 7.29. Inelul R se numește (respectiv )- inel stâng ori de câte ori

este (respectiv )- injectiv.

Teorema 7.30. Fie un R- modul (respectiv )- injectiv. Atunci este un – modul (respectiv )- injectiv.

§ 8. MODULE – PROIECTIVE

Conceptul de modul – proiectiv și – proiectiv a fost introdus și studiat de Năstăsescu. Ele sunt dualele noțiunilor de modul – injectiv.

În acest paragraf vom defini și studia modulele – proiective și vom prezenta o legătură între modulele -proiective și – injective. Bazat pe aceasta vom demonstra următorul rezultat datorat lui Năstăsescu: orice categorie Grothendieck având un generator artinian este echivalentă cu categoria A- MOD, unde A este un inel artinian stâng convenabil.

În continuare P va reprezenta un R- modul stâng proicetiv nenul. Acesta definește o torie de torsiune jansiniana unde:

și

pentru toți .

Topologia Gabriel corespunzătoare este unde este trasa lui P.

Definiția 8.1. Modulul proiectiv se numește – proiectiv dacă (R) este o latice noetheriană(respectiv artiniană).

Teorema 8.2. Dacă P este – proiectiv, atunci P este – proiectiv.

Propoziția 8.3. Fie un modul – proiectiv. Atunci este – proiectiv dacă una din următoarele condiții este satisfăcută:

R este inel stâng semi- artinian.

R este regulat în sens vonNeumann.

Lema 8.4. Dacă P este sau – proiectiv, atunci idealul bilateral al lui R este finit generat stâng.

Demonstrație. Deoarece este – noetherian, este un R- modul stâng – finit generat; deci există un ideal stâng finit generat a, astfel încât . Atunci este finit generat ca ideal stâng.

Corolar 8.5. Următoarele proprietăți ale R- modulului proiectiv finit generat P sunt echivalente:

P este – proiectiv.

P este – noetherian(artinian) și este ideal stâng finit generat.

Propoziția 8.6. Fie o familie finită de R- module proiective. Atunci

este – proiectivă dacă și numai dacă este – proiectiv pentru toți .

Demonstrație. Dacă .

Remarcă. Dacă P este – proiectiv, atunci este – proiectiv pentru fiecare mulțime nevidă I, deoarece .

Corolar 8.7. Fie P un R- modul proiectiv finit generat nenul. Atunci P este – proiectiv dacă și numai dacă P este sumă directă finită de module – proiective idecompozabile.

Demonstrație. este – noetherian(- artinian) este – proiectiv este un – modul stâng noetherian (artinian). Dar este izomorf cu inelul opus al lui – modul drept noetherian (artinian).

Corolar 8.8. Fie un modul proiectiv finit generat. Dacă P este – proiectiv, atunci este un inel semiprimar, izomorf cu inelul de fracții .

Demonstrație. Dacă este un modul proiectiv finit generat, atunci =. Deoarece P este – proiectiv, P* este un – modul drept de lungime finită(din propozițiile 8.2 și 8.8), deci este un inel semi- primar.

În continuare vom prezenta legăturile dintre modulele – injective și – proiective.

Fie un modul injectiv, și . Atunci Q devine un bimodul . Din propoziția 7.14. este – injectiv dacă și numai dacă B este inel semi- primar și este – injectiv.

Rezultă că studiul modulelor – injective peste inelul R poate fi redus la studiul modulelor – injective peste un inel semiprimar.

Teorema 8.10. Dacă R este un inel semiprimar, atunci există o corespondență bijectivă între mulțimea claselor de izomorfism ale modulelor – injective idecompozabile și mulțimea claselor de izomorfism ale modulelor – proiective idecompozabile (finit generate).

Demonstrație. Fie Q un modul – injectiv idecompozabil. Atunci soclul So(Q)=S este un modul simplu o acoperire proiectivă a lui S. Mai întâi vom demonstra că , adică dacă dacă și numai dacă . Notăm cu J radicalul Jacobson al lui R și considerăm așa- numita serie descendentă Loewy a lui M: unde . pentru fiecare .

Deoarece R este un inel semiprimar, este modulul semisimplu pentru toți și pentru un anumit . Atunci, evident . Rezultă că există submodul simplu astfel încât .

Presupunem că și fie . Atunci Ker(f) și Ker() sunt două submodule maximale ale lui . Dacă Ker(f) Ker(), atunci Ker(f) + Ker() = . Dar Ker() este superfluu în (fiind acoperire proiectivă), deci

Ker(f) , adică f = 0, ceea ce este o contradicție. În consecință Ker(f) = Ker() și deci .

Pe de altă parte, implică că există astfel încât , adică există submodul simplu astfel încât implică , deoarece S = So(Q).

Rezultă că și deci .

Dar Q este – injectiv, adică este artinian în raport cu topologia Gabriel și de aceea este – proiectiv. Ca o acoperire proiectivă a modulului simplu S, este desigur finit generat și idecompozabil.

Invers fie P un modul – proiectiv idecompozabil.Atunci există un idempotent primitiv al lui R astfel încât și Re / Je = S este un R- modul simplu. Notăm . Deoarece P este acoperirea proiectivă a lui S rezultă că și este un modul – injectiv idecompozabil. Acum este clar că și este o corespondență cu păstrarea bijectivității.

Teorema 8.11. Pentru o categorie Grothendieck nenulă C următoarele afirmații sunt echivalente:

C are un generator artinian;

C are o familie finită de generatori artinieni;

C este echivalentă cu A- MOD, unde A este un inel stâng artinian.

Demonstrație. Evident (c) (a) și (a) (b).

(b) (a) Dacă este o familie finită de generatori a lui C, atunci este

un generator artinian al lui C, deci are loc (b) (a).

(a) (c) Presupunem că C are un generator artinian U. Atunci U este un obiect de lungime finită și este un inel semiprimar. Conform teoremei Gabriel- Popescu, există o subcategorie localizantă L a lui – MOD astfel încât C este echivalentă cu categoria factor – MOD / L. Dacă este functorul canonic, atunci și astfel este artinian în raport cu subcategoria localizantă L.

Considerăm modulul injectiv care cogenerează clasa fără torsiune corespunzătoare lui L. Astfel, . Rezultă că Q este – injectiv. Din propoziția 7.21.(b), , unde este un modul – injectiv idecompozabil pentru fiecare. Mai mult, există un număr finit de module injective astfel încât pentru fiecare , este izomorf cu un injectiv al mulțimii .

Dacă notăm , atunci evident. Fie pentru fiecare ; atunci are toate modulele simple.

Dacă este o acoperire proiectivă a lui pentru fiecare , atunci este un submodul – proiectiv finit generat este o subcategorie localizantă a lui . Din propoziția 8.10. avem . Conform propoziției 8.5. este – artinian, deci V=T(P) este un cogenerator artinian proiectiv al lui C, iar C este echivalentă cu categoria A- MOD, unde este un inel artinian stâng.

Remarcă. Rămâne deschisă următoarea întrebare: dacă C este o categorie Grothendieck având un generator noetherian (respectiv un cogenerator noetherian) atunci C este echivalentă cu categoria A- MOD, unde A este un inel noetherian stâng convenabil?

§ 9. INELE DE FRACȚII ȘI MODULE – INJECTIVE

În legatură cu localizarea unui inel noetherian stang sau drept R la un ideal bilateral prim p, Goldie a costruit în 1967 un inel local aociat lui R și p. În acesta construcție un rol important îl joaca multiplicativitatea submulțimilor închise C(p) al lui R, la fel de bine ca și topologia Gabriel corespunzătoare .

Un studiu sistematic al inelului de fracții asociat unui ideal prim p bilateral a unui inel notherian drept R a fost inițiat în 1971 de Lambek și Michler și apoi continuată de Heiniche (1972). Un caz mai general, anume localizarea unui inel noetherin drept la idealele semiprime a fost considerat de Lambek și Michler (1974). Iategaunkar și mai târziu Beachy și Blair (1976) au extins câteva dintre aceste rezultate la inele R și ideale semiprime a care satisfac numai condiția ca R/ a sa fie un inel Goldie la dreapta. Menționăm că există în literatură multe alta lucrări despre localizare la ideale prime sau semiprime.

Scopul secțiunii este să investigheze inelele de fracții care corespund unui modul injectiv.

Definiția 9.1. Fie S o submulțime multiplicativ închisă a unui inel R. S se numește o mulțime Ore la dreapta (sau S se numește permutabilă la dreapta) dacă pentru fiecare și există și astfel încât .

Definiția 9.2. S se numește reversibilă la dreapta dacă din cu și rezultă pentru un anumit .

Reamintim că un inel de fracții la dreapta al lui R în raport cu subulț un inel de fracții la dreapta al lui R în raport cu subulțimea multiplicativ închisâ S a lui R este un inel împreună cu un morfism de inele care satisface următoarele trei condiții:

1) este inversabil pentru fiecare ;

2) fiecare element din are forma și ;

3) pentru un anumit .

R are un inel de fracții în raport cu S S este o mulțime Ore la dreapta și S este reversibilă la dreapta. În acest caz, dacă arătăm

atunci este ușor de arătat că este o topologie Goldie pe R și este izomorfismul canonic al inelului de fracții al lui R în raport cu topologia Gabriel .

Reamintim că dacă F este o topologie Gabriel arbitrară pe R, atunci

unde este radicalul de torsiune definit de F.

Observație. poate fi definit în modul următor:

.

Notăm cu sau mai simplu , mulțimea tuturor elementelor regulate (nondivizori ai lui zero) a lui R. Dacă este o mulțime Ore la dreapta a lui R, atunci există ; acest inel se numește inelul clasic de fracții la dreapta a lui R și se notează cu sau mai simplu .

Un ordin la dreapta în inelul Q este un subinel R al lui Q astfel încât . Ordinele la dreapta într-un inel artinian semiprim sunt date de teorema lui Goldie.

Reamintim că un inel R senumește semiprim (respectiv prim) dacă R nu are ideale nilpotente nenule. (respectiv R nu are ideale bilaterale nenule a și b astfel încât ).

Un ideal bilateral al lui R se numește semiprim (respectiv prim) dacă R/a este un inel semiprim (respectiv prim).

Inelul R se numește inel Goldie la dreapta dacă are dimensiune Goldie finită (adică nu există sume directe infinite de ideal drepte nenule în R) și R satisface ACC pe anulatorii la dreapta .

Teorema 9.3. (Goldie). Următoarele proprietăți ale unui inel R sunt echivalente:

R este un ordin la dreapta într-un inel semisimplu artinian;

R este un inel Goldie semiprim la dreapta;

Un ideal drept al lui R este esențial dacă și numai dacă el conține un

element regulat.

Vom prezenta în continuare o extindere a bine cunoscutei teoreme a lui Lambek și Michler (1973) referitoare la localizarea inelelor noetheriene la dreapta prin ideale prime.

Fie R un inel și a un ideal bilateral al lui R. Considerăm inelul R/a și fie topologia Gabriel pe R definită de modulul injectiv , adică

.

Notăm cu topologia Gabriel pe R definită de – modulul injectiv . (respectiv ) va reprezenta radicalul de torsiune definit de (respectiv ) și va reprezenta inelul de fracții (respectiv ).

Lema 9.4. Fie a un ideal bilateral al lui R și morfismul canonic. Atunci:

1) ;

2) dacă R/a este un inel Goldie la dreapta semiprim.

Demonstrație. 1) Evident.

2) Deoarece este un inel Goldie la dreapta semiprim, rezultă că este un inel nesingular la dreapta, deci idealele esențiale la dreapta ale lui sunt exact idealele dense ale lui R. În consecință:

în = esențial în =

== adică:

,

unde este mulțimea tuturor elementelor regulate ale lui .

Fie acum a un ideal bilateral semiprim al lui R astfel încât este un inel Goldie. De-a lungul acestei secțiuni vom folosi notația:

.

Deoarece este un inel Goldie la dreapta semiprim, este ușor de verificat că:

.

Evident, C(a) este o submulțime multiplicativ închisâ a lui R.

Propoziția 9.5. Dacă este un inel Goldie semiprim, atunci

pentru toți .

Dacă, în plus, C(a) este o mulțime Ore la dreapta, atunci:

.

Demonstrație. este mulț este mulțimea tuturor idealelor la dreapta esențiale ale lui .

Fie , atunci , deci . Rezultă că (a+b)/a conține un

element regulat s. Putem presupune că s=c, unde , deci . Dacă și , atunci , deci .

Reciproc, presupunem că pentru orice . Fie un morfism nenul, atunci pentru un anumit . Dar este o extensie esențială a lui R/a, deci există astfel încât și . Notăm cu y=xr. Atunci și .

Din ipoteză pentru un anumit . În consecință . Dar este un element regulat în și , deci ceea ce constituie o contradicție.

Rezultă că , adică .

Presupunem acum că C(a) este o mulțime Ore la dreapta. Fie b idealul drept al lui R astfel încât și considerăm un element arbitrar . Dacă , există și , deci și demonstrația este completă.

Observații.

Dacă b este un ideal bilateral al lui R, atunci .

2) este un ideal bilateral al lui R și. Într-adevăr, dacă , deci . Rezultă că xc=0 pentru un anumit și astfel .

3) Dacă a=p este un ideal prim și b este un ideal bilateral, atunci . Într-adevăr avem și astfel , din 1).

4) Dacă . Într-adevăr (cR+a)/a conține un element regulat și astfel ; deci .

5) Dacă este morfismul canonic, atunci și sunt R- module de – torsiune.

Lema 9.6. Fie a un ideal semiprim al lui R. Presupunem că este un inel Goldie la dreapta. Notăm cu și fie morfismul canonic. Atunci:

1) ;

2) ;

3) adică este liber de torsiune;

4) Fiecare R- modul – liber de torsiune este un – modul ;

5) C(a) este o mulțime Ore la dreapta în R dacă și numai dacă este o mulțime Ore la dreapta în ;

6) Pentru fiecare , există astfel încât ;

7) ;

8) .

Demonstrație. 3) Fie pentru un anumit . Deoarece , rezultă că pentru un anumit .

Deci adică . Dar este – liber de torsiune, adică .

4) Fie X un R- modul – liber de torsiune. Dacă și , atunci . Deoarece , rezultă că xr=0.

5) Dacă C(a) este o mulțime Ove la dreapta în R, atunci este o mulțime Ove la dreapta în .

Reciproc, fie și r; atunci pentru anumiți și . Putem presupune că , deci . Atunci (rd-cs)b=0 pentru un anumit ; dar .

În concluzie r(de)=c(se), unde , adică C(a) este o mulțime Ove la dreapta în R

Prin construcție:

Deci, dacă , atunci , și astfel .

7) este – fară- torsiune, deci așa este și . Din (4) este de asemenea un – modul și astfel este o extensie esențială a lui în Mod- .

Egalitatea este acum clară.

8) Notăm cu modulul de câturi al lui . Atunci este un ideal drept al lui , deci și astfel .

În concluzie . Dar este un modul – torsiune, deci este un modul de torsiune. Pe de altă parte este – liber de torsiune, deci este – liber de torsiune. Astfel adică .

Lema 9.8. Fie a un ideal semiprim al lui R. Dacă este – injectiv, atunci avem:

R/a este un inel Goldie la dreapta;

Dacă C(a) este o mulțime Ove la dreapta, atunci fiecare element al lui este

regulat cu .

Demonstrație. 1) Evident deoarece și R este – noetherian.

Deoarece este un – modul – injectiv, putem presupune că

, adică și .

Fie și astfel încât xc=0. Dacă există și

astfel încât at=cb. Dar ; astfel , pentru toți adică . Deoarece este – liber de torsiune, rezultă că x=0.

Putem demonstra acum că dacă și cx=0, atunci x=0. Considerăm

lanțul ascendent .

Deoarece este – liber-de torsiune, rezultă că , pentru toți . Dar adică este o latice noetheriană. În consecință pentru un anumit n. Deoarece pentru un anumit și . Astfel , adică . Deci și astfel x=0.

Fie F o topologie Gabriel pe inelul R. Modulul de fracții al R- modulului drept M, în raport cu F poate fi definit în modul următor:

.

Corespondența definește un functor exact la stânga ,numit functorul localizare, determinat de F.

Reamintim că topologia Gabriel F se numește perfectă, dacă are loc una din următoarele condiții echivalente:

Functorul; localizare determinat de F este exact și

fiecare conține un ideal drept finit generat .

.

Fiecare – modul este F- liber- de torsiune ca un R- modul.

pentru toți .

Dacă F este o topologie Gabriel perfectă, atunci pentru orice ideal drept al lui R,

este natural izomorf cu , care poate fi identificat cu . În acest caz, asocierea definește un izomorfism de latici între laticile și cea a tuturor idealelor drepte ale inelului .

Dacă a este un ideal bilateral al lui R și , atunci modulul de câturi al lui M în raport cu topologia Gabriel definită de modulul injectiv va fi notată în continuare cu și va fi numită localizarea lui M la idealul a.

Lema 9.9. Fie a un ideal prim bilateral al lui R astfel încât R/a este un inle Goldie la dreapta. Următoarele afirmații au loc:

1) ;

2) Dacă este un ideal bilateral al lui , atunci există un morfism de inele .

3) Dacă, în plus, localizarea la a, este un functor exact, atunci .

Demonstrație. 1) Evident , unde este morfismul canonic. Astfel

, deci:

.

Putem presupune că R este – liber- de torsiune adică . Atunci pentru

fiecare , există astfel încât . Definim prin .

este bine definită, deoarece implică faptul că , pentru un anumit .

este injectivă deoarece implică , dar și este – liber- de torsiune, deoarece este uin – submodul închis al lui .

Vom arăta acum că g păstrează multiplicarea.

Fie și fie astfel încât . Deoarece R/a este un inel Goldie la dreapta, R/a satisface condiția Ove la dreapta, deci putem găsi și astfel încât . Atunci , deoarece este un ideal. Luăm astfel încât . Atunci :

=.

Se poate arăta în mod analog că este și aditivă.

Aplicând functorul șirului exact , găsim șirul exact

astfel că cu egalitate dacă este exact.

Acum (3) rezultă din (2).

Propoziția 9.10. Fie a un ideal bilateral prim al lui R astfel încât R/a este un inel Goldie la dreapta. Atunci următoarele condiții sunt echivalente:

1) este radicalul Jacobson J() al inelului și este un inel artinian semisimplu.

2) este un ideal bilateral și este o topologie Gabriel perfectă.

Mai mult, dacă au loc aceste condi condiții echivalente atunci .

Demonstrație. (1) (2). . Dacă și este un inel semisimplu artinian, atunci conține o copie izomorfă a fiecărui – modul simplu și astfel este un cogenerator al lui Mod-. Deci fiecare – modul este – liber- de torsiune ca un R- modul(adică este o topologie Gabriel perfectă).

(2) (1) Din teorema lui Goldie este semisimplu artinian și astfel . Pe de altă parte, deoarece este o topologie Gabriel perfectă, trebuie sa conțină o copie izomorfă a fiecărui – modul simplu, deoarece fiecare – modul este – fără torsiune.

Astfel, anulează fiecare – modul simplu.

Teorema 9.11. Fie a un ideal semisimplu bilateral, al lui R astfel încât este un modul . Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

C(a) este o mulțime Ove la dreapta în R;

și este un inel semisimplu artinian;

este un ideal bilateral și functorul localizare la a,

este exact;

4) este un ideal bilateral și este o topologie Gabriel perfectă;

5) și .

Corolar 9.12. Fie a un ideal semiprim bilateral astfel încât este – injectiv. Dacă C(a) este o mulțime Ove la dreapta în R, atunci:

1) este un inel notherian drept (respectiv artinian drept);

2) este un – modul injectiv și .

INTRODUCERE

Lucrarea caracterizează clasele de module injective și proiective care reprezintă instrumente eficiente de investigație în algebra modernă, constituind punctul de pornire al cercetării unor noi structuri algebrice.

Aceste noțiuni își găsesc aplicabilitatea în studiul categoriilor al unor structuri ale algebrei moderne și vizualizează proprietățile fundamentale ale conceptelor de generare și cogenerare, echivalență categorială și localizare.

În capitolul I sunt definite modulele proiective și injective, sunt prezentate principalele proprietăți ale lor, sunt caracterizate clasele de generatori și cogeneratori cu ajutorul modulelor proiective, respectiv cu ajutorul modulelor injective, este studiat radicalul modulelor proiective, sunt investigate noțiunile de acoperiri proiective, anvelope injective, precum și sumanzii direcți de injectivi.

În capitolul II sunt definite conceptele de injectivitate și proiectivitate relativă, folosind instrumentele teoriei categoriilor. În prima parte sunt definite noțiunile de categorie, functori și sunt prezentate exemple de categorii și functori particulari. În partea a doua a capitolului sunt caracterizate modulele M- injective și M- proiective, calsele de injectivitate și proiectivitate relativă precum și domeniile de injectivitate și proiectivitate relativă. În final, sunt prezentate clasele de module cvasi- injective și cvasi- proiective.

În capitolul III sunt studiate modulele – injective și modulele – proiective care reprezintă o generalizare a conceptelor calsice de injectivitate și proiectivitate. Sunt prezentate o serie de rezultate de actualitate în algebra modernă și sunt aplicate aceste noțiuni la clasa inelelor artiniene, noetheriene și Goldie, caracterizând structurile factor corespunzătoare.