Injectivitate
CAPITOLUL I
NOȚIUNI GENERALE DE
TEORIA MODULELOR
MODULE , EPIMORFISME ȘI MONOMORFISME
INELE DE ENDOMORFISME
MODULE ESENȚIALE ȘI SUPERFLUE
SUMANZI DIRECȚI
SUME ȘI PRODUSE DIRECTE DE MODULE
GENERATORI ȘI COGENERATORI
TRASA ȘI REJECTUL
SOCLUL ȘI RADICALUL
MODULE FINIT GENERATE ȘI COGENERATE
INELE SEMISIMPLE
INELE DE BIENDOMORFISME ALE SUMELOR DIRECTE
RADICALUL UNUI INEL
INELE LOCALE
CAPITOLUL II
MODULE PROIECTIVE ȘI INJECTIVE
♦1. MODULE PROIECTIVE ȘI GENERATORI
CARACTERIZAREA MODULELOR PROIECTIVE
CARACTERIZAREA GENERATORILOR
RADICALUL MODULELOR PROIECTIVE
ACOPERIRI PROIECTIVE
♦2. MODULE INJECTIVE ȘI COGENERATORI
CARACTERIZAREA MODULELOR INJECTIVE
ANVELOPE INJECTIVE
SUMANZI DIRECȚI DE INJECTIVI
COGENERATORI
CAPITOLUL III
INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ
♦3. CATEGORII ȘI FUNCTORI
CATEGORII
FUNCTORI
FUNCTORUL HOM ȘI EXACTITATEA
SUME ȘI PRODUSE DIRECTE SUB HOM
FUNCTORI EXACȚI
♦4. MODULE M – INJECTIVE ȘI M – PROIECTIVE
CLASE DE INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ
DOMENII DE INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ
♦5. MODULE CVASI – INJECTIVE ȘI CVASI – PROIECTIVE
CAPITOLUL IV
MODULE Σ/Δ – INJECTIVE
MODULE Σ*/Δ* – PROIECTIVE
♦6. MODULE Σ – M – INJECTIVE
♦7. MODULE Δ – INJECTIVE
♦8. MODULE Σ*/Δ* – PROIECTIVE
pagini 79
=== INJECTIVITATE1 ===
CAPITOLUL I
NOȚIUNI GENERALE DE
TEORIA MODULELOR
MODULE , EPIMORFISME ȘI MONOMORFISME
DEFINIȚIE : Fie R un inel unitar . Se numește R – modul la stînga (sau modul la stînga peste inelul R) un grup abelian (M , +) luat împreună cu o lege de compoziția externă pe M cu operatori în R , RxM → M definita prin (a , x) → ax care satisface axiomele :
a(x+y) = ax +ay ;
(a+b)x = ax + bx ;
(ab)x = a(bx) ;
1x =x .
oricare ar fi a,b є R și x,y є M .
DEFINIȚIE : Fie M și N două module peste inelul R . O aplicație f: M → N se numește morfism de R – module dacă :
f (x + y) = f (x) + f (y)
f (ax) = af (x)
oricare ar fi a є R si x , y є M .
Fiecare inel R induce o structură de R – modul stîng pe grupul său aditiv R+ prin multiplicarea cu scalari (a,x) → ax (produsul din inelul R) numit modul regulat stîng și notat RR .
Fie M un R – modul stîng și X M o submulțime . Intersecția tuturor submodulelor lui M care conțin pe X este unicul cel mai mic submodul al lui M care conține pe X , numit submodulul lui M generat de X.
Dacă X M , astfel încît RX = M , atunci spunem că X generează M , iar X se numește mulțime de generatori ai lui M. Un modul cu o mulțime finită de generatori se numește modul finit generat . Un modul cu un singur generator se numește modul ciclic și M = Rx .
Un modul M este simplu dacă M ≠ 0 și nu conține submodule netriviale (adică este generat de fiecare element nenul al său).
DEFINIȚIE : Un morfism f: M → M’ de R – module stîngi se numește monomorfism dacă satisface una din următoarele condiții echivalente :
f este aplicație injectivă ;
Ker f = 0 ;
pentru g1 , g2 Є HоmR (P,M) astfel încît f о g1 = f о g2 rezultă g1 = g2.
Un morfism f: M → M’de R – module se numește epimorfism dacă satisface una din urmatoarele condiții echivalente :
(a’) f este aplicație surjectivă ;
(b’) pentru g1 , g2 Є HоmR (M’, P) astfel încît g1 о f = g2 о f rezultă g1 = g2.
TEOREMA FACTORIZĂRII : Fie M, M’, N, N’ R – module stîngi și f:M→ N un R – morfism .
Dacă g: M → M’ este un epimorfism cu Ker g Ker f, atunci există un unic morfism h : M’→ N astfel încît f = gh.
Mai mult , Ker h = g(Ker f) și Im h = Im f, astfel că h este monomorfism dacă și numai dacă Ker g = Ker f si h este epimorfism dacă și numai dacă f este epimorfism .
M f N (a) M f N (b)
M’ N’
Dacă g : N’ → N este un morfism cu Im f Im g , atunci există un unic morfism h: M → N’ astfel încît f = gh.
Mai mult , Ker h = Ker f și Im h = g-1 (Im f), astfel că h este monomorfism dacă și numai dacă f este monomorfism și h este epimorfism dacă și numai dacă Im g = Im f .
TEOREME DE IZOMORFISM : Fie M, N două R – module stîngi .
Dacă f : M → N este un morfism de module, atunci Im f M / Ker f .
Dacă K M și H ≤ M , atunci (H+K) / K H / (H∩K).
Dacă K ≤ L ≤ M , atunci M/L (M/K)/(L/K).
DEFINIȚIE : Un șir de morfisme de module M1—f1→M2—f2→…—fi-1→ Mi—fi→…—fn-1→Mn se numește șir exact de module dacă Im f i-1 = Ker fi pentru orice i = .
Șirul O M’ f M g M” O se numește șir exact scurt dacă f este monomorfism , g este epimorfism și Im f = Ker g.
LEMA CELOR CINCI MORFISME : Fie diagrama comutativă cu liniile exacte:
M1 f1 M2 f2 M3 f3 M4 f4 M5
N1 g1 N2 g2 N3 g3 N4 g4 N5
Dacă Coker h1 = 0, Ker h2= 0, Ker h4= 0, atunci Ker h3= 0
Dacă Coker h2 = 0,Coker h4= 0, Ker h5= 0, atunci Coker h3= 0
INELE DE ENDOMORFISME
Notăm mulțimea endomorfismelor unui R – modul stîng M cu EndR(M).
PROPOZIȚIE : Fiind dat un R – modul stîng M , există un R – izomorfism stîng ρ : M → HоmR (R,M) dat prin ρ(x)a = ax, ()a Є R, x Є M.
Mai mult , dacă M este un (R,S) – bimodul , atunci ρ este un (R,S) – izomorfism.
PROPOZIȚIE : Fie e Є R și f Є S idempotenți nenuli RMS un bimodul . eReeMS și RMffSf sînt bimodule și ρ : eM → HоmR (Re,M), λ: Mf → HоmS (fS,M) date prin ρ(em)(re) = rem și λ(mf)(fr) = mfr sînt izomorfisme de bimodule.
Pentru un RMS bimodul avem morfismele de inele canonice λ : R → End (MS) și ρ : S → End (RM) date prin λ(r)(x) = rx și ρ(s)(x) = xs , pentru orice r Є R , s Є S și x Є M .
Atunci RM(MS) se numeste fidel dacă λ (ρ) este injectivă . Dacă atît λ cît și ρ sînt surjective spunem că M este bimodul balansat . Dacă λ și ρ sînt izomorfisme, atunci M este bimodul balansat fidel .
PROPOZIȚIE : Fie R un inel , λ : R → End(RR) și ρ : R → End (RR) multiplicarile la stînga și la dreapta . Atunci λ și ρ sînt izomorfisme de inele dacă și numai dacă RRR este un bimodul regulat fidel și balansat .
MODULE ESENȚIALE ȘI SUPERFLUE
DEFINIȚIE : Un submodul K al lui M se numește esențial (sau larg) și notăm K M dacă pentru fiecare submodul L ≤ M pentru care K ∩ L = 0 , rezultă L = 0 .
Un submodul K al lui M se numeste superflu (sau mic) și notăm K << M dacă pentru fiecare submodul L ≤ M , K + L = M rezultă L = M .
Un monomorfism f : K → M se numește esențial dacă Im f M .
Un epimorfism g : M → N se numește superflu dacă Ker g << M .
PROPOZIȚIE : (a) Un monomorfism f : L → M este esențial dacă și numai dacă pentru toate morfismele (epimorfismele) h , dacă hf este monomorfism , atunci h este monomorfism .
(b) Un epimorfism g : M → N este superfluu dacă și numai dacă pentru toate morfismele (monomorfismele) h , dacă gh este epimorfism, atunci h este epimorfism.
PROPOZIȚIE : Fie M un modul cu submodulele K ≤ N ≤ M și H ≤ M .
Atunci : (a) K M dacă și numai dacă K N și N M ;
(b) H ∩ K M dacă și numai dacă H M și K M ;
(a’) N << M dacă și numai dacă K << M și N/K << M/K ;
(b’) H+K << M dacă și numai dacă K << M și H << M .
SUMANZI DIRECȚI
DEFINIȚIE : Fie N ≤ M ; un submodul K ≤ M se numește complement al lui N dacă K este un submodul maximal al lui M cu proprietatea că K ∩ N = 0 ; K ≤ M se numește închis dacă K nu are nici o extensie esențială în M proprie .
Un submodul K ≤ M se numește sumand direct în M dacă există L ≤ M astfel încît K ∩ L = 0 și L+K = M ; se notează M = L K ; L se numește complement direct al lui K și M.
DEFINIȚIE : Dacă f : M → N și f’ : N → M sînt morfisme cu f o f’ =1N spunem că f este epimorfism scindat și scriem M –f→N → O și f’ este monomorfism scindat și scriem O → N –f’→ M .
Un șir exact scurt O → M1–f→M –g→ M2 → O este scindat sau exact scindat dacă f este monomorfism scindat și g este epimorfism scindat .
SUME ȘI PRODUSE DIRECTE DE MODULE
DEFINIȚIE : O pereche (M , (Jα)αЄA) formată dintr – un modul M și morfismele Jα : Mα → M este sumă directă (coprodus) a familie (Mα)αЄA dacă pentru fiecare modul N și fiecare mulțime de morfisme fα : Mα → N, α Є A, există un unic morfism f : M → N astfel încît fα = f о jα , α Є A .
Perechea (M , (Pα)αЄA) formată din modulul M și morfismele Pα : M → Mα , ()α Є A se numeste produs (direct ) al familiei (Mα)αЄA dacă pentru fiecare modul N și fiecare mulțime de morfisme fα : N → Mα , α Є A există un unic morfism f : N → M’ astfel încît fα = Pα о f , ()α Є A .
TEOREMĂ : Fie (M , (Pα)αЄA) un produs al familiei (Mα )αЄA . Atunci o pereche (M’ , (P’α)αЄA) unde fiecare P’α : M’ → Mα este un R – morfism , ()α Є A , este de asemenea un produs direct al familiei (Mα)αЄA dacă și numai dacă există (în mod necesar unic) un izomorfism p : M’ → M astfel încît pα о p = p’α , ()α Є A .
M’ p M
Mα
TEOREMĂ : Fie (M , (jα)αЄA) o sumă directă a familiei (Mα)αЄA . Atunci o pereche (M’ , (j’α)αЄA) unde fiecare j’α : Mα → M’ este un R – morfism ,( )α Є A este de asemenea o sumă directă a lui (Mα)αЄA dacă și numai dacă există (în mod necesar unic) un izomorfism j : M → M’ astfel încît j о jα = j’α ,( )α Є A .
M’ j M
Mα
GENERATORI ȘI COGENERATORI
DEFINIȚIE : Fie U o clasă de module . Spunem că M este (finit) generat de U (sau U generează (finit) pe M) dacă există o mulțime (finită) indexată (Uα)αЄA în U și un epimorfism A Uα → M → O . Dacă U = {U} , atunci spunem că U generează (finit) pe M dacă și numai dacă există un epimorfism U(A) → M → O, pentru o mulțime (finită) A anume.
Spunem că M este (finit) cogenerat de U ( sau U cogenerează (finit) pe M) dacă există o mulțime (finită) inexactă (Uα)αЄA în U și un morfism O → M → ПAUα .
Vom nota cu Gen(U) respectiv Cogen(U) clasa tuturor modulelor generate, respectiv cogenerate de U .
TEOREMĂ : Modulul regulat RRR este un generator.
TEOREMĂ : Fie U și M două module . Atunci :
(a) U generează pe M dacă și numai dacă pentru fiecare morfism nenul f : M → N există un morfism h Є HomR (U,M) astfel încît f o h ≠ 0 .
(b) U cogenerează pe M dacă și numai dacă pentru fiecare morfism nenul f : N → M există un morfism h Є HomR (M,U) astfel încît h o f ≠ 0 .
TRASA ȘI REJECTUL
Fie U o clasa de module. Indiferent dacă U generează sau nu pe M , este unic submodulul cel mai mare al lui M generat de U.
DEFINIȚIE : Trasa (urma) lui U în M și rejectul (restul) lui U în M sînt definite prin :
(a) TrM (U) = Σ {Im h / h : U → M pentru un anume U Є U }
(b) RejM (U) = ∩ {Ker h / h : M → U pentru un anume U Є U }
OBS. Dacă U = {U}, atunci TrM(U) = Σ {Im h / h Є HomR(U,M)} și
RejM (U) = ∩ {Ker h / h Є HomR(M,U)} .
PROPOZIȚIE : Fie U o clasă de module și fie M un modul . Atunci :
TrM (U) este unicul submodul L cel mai mare al lui M generat de U .
RejM (U) este unicul submodul K cel mai mic al lui M astfel încît M/K este cogenerat de U .
PROPOZIȚIE : Fie M un modul și U o clasă de module. Atunci :
U generează M dacă și numai dacă TrM (U) = M .
U cogenerează M dacă și numai dacă RejM (U) = 0 .
SOCLUL ȘI RADICALUL
DEFINIȚIE : Un R – modul stîng M este simplu dacă nu are submodule netriviale.
Fie (Mα )αЄA o mulțime indexată de module simpe ale lui M. Dacă M este sumă directă a acestei mulțimi , atunci M = αЄAMα este o descompunere semisimplă a lui M.
DEFINIȚIE : Un modul M se numește semisimplu dacă are o descompunere semisimplă .
Notăm cu I clasa modulelor simple.
Astfel, fiecare modul M are un (unic) submodul semisimplu cel mai mare și anume trasa lui I în M și se numește soclul lui M, notat cu Soc M = TrM (I). Atunci :
Soc M = Σ { K ≤ M / K e minimal in M } = ∩ { L ≤ M / L e esențial in M }.
DEFINIȚIE : Fie I o clasă de R – module stîngi. Pentru fiecare R – modul stîng M radicalul Jacobson al lui M este rejectul lui I în M , adică Rad M = RejM(I) .
Atunci : Rad M =∩{ K ≤ M / K e maximal in M }=Σ{ L ≤ M / L e superflu in M }.
PROPOZIȚIE : Dacă (Mα )αЄA e o mulțime indexată de submodule a lui M , cu M = αЄA Mα , atunci Soc M = αЄA Soc Mα și Rad M = αЄA Rad Mα.
MODULE FINIT GENERATE ȘI COGENERATE
DEFINIȚIE : Un modul M este finit generat dacă pentru fiecare mulțime A de submodule ale lui M care generează M , există o mulțime finită F A care generează M , adică Σ A = M Σ F = M, pentru o anume mulțime finită F A .
PROPOZIȚIE : Următoarele afirmații despre un R – modul stîng sînt echivalente :
M este finit generat ;
Pentru fiecare mulțime fα : Uα → M, α Є A , cu M = ΣA Im fα există o mulțime finită F A cu M = ΣF Im fα ;
Pentru fiecare mulțime indexată (Uα )αЄA și epimorfismul AUα → M → O , există o mulțime finită F A și un epimorfism F Uα → M → O ;
Fiecare modul care generează M , generează finit pe M ;
M conține o mulțime de generatori finită .
DEFINIȚIE : Un modul M se numește finit cogenerat dacă pentru fiecare mulțime A de submodule ale lui M , ∩ A = 0 ∩ F = 0 pentru o anume mulțime finită F A .
PROPOZIȚIE : Urmatoarele afirmații despre un R – modul stîng M sînt echivalente :
M este finit cogenerat ;
Pentru fiecare mulțime fα : M → Uα , α Є A, cu ∩A Ker fα = 0 , există o mulțime finită F in A cu ∩F Ker fα = 0 ;
Pentru fiecare mulțime indexată (Uα )αЄA și monomorfismul O → M → ΠAUα există o mulțime finită F A și un monomorfismul O → M → ΠFUα .
TEOREMĂ : Fie M un R – morfism stîng .Atunci :
M este finit generat dacă și numai dacă M / Rad M este finit generat și epimorfismul natural M → M / Rad M → O este superflu (adică Rad M << M).
M este finit cogenerat dacă și numai dacă Soc M este finit cogenerat și aplicația incluziune O → Soc M → M este esnțială (adică Soc M Δ M).
DEFINIȚIE : O mulțime L de submodule ale lui M satisface condiția lanțurilor ascendente (ACC) dacă pentru fiecare lanț L1 ≤ L2 ≤ …≤ Ln ≤ … in L există un n cu Ln+i = Ln , i = 1,2,… .
O mulțime L de submodule ale lui M satisfac condiția lanțurilor descendente (DCC) dacă pentru fiecare lanț L1 ≥ L2 ≥ …≥ Ln ≥ … in L există un n cu Ln+i = Ln , i = 1,2,… .
DEFINIȚIE : Un modul M este noetherian dacă laticea I(M) a tuturor submodulelor lui M satisface ACC .
Un modul M este artinian dacă laticea I(M) a tuturor submodulelor lui M satisface DCC .
DEFINIȚIE : Un inel R este artinian stîng (drept) dacă modulul regulat RR (RR) este un modul artinian. Inelul este artinian dacă este artinian stîng și drept.
Analog se definește conceptul de noetherian stîng / drept .
INELE SEMISIMPLE
PROPOZIȚIE : Fie M un R – modul stîng nenul și fie n > 0 un număr natural . Atunci ρ : Mn (End (M)) → End (Mn) este un izomorfism de inele.
LEMA SCHUR : Dacă R M este un modul simplu , atunci End (RM) este un inel cu diviziune .
DEFINIȚIE : Un inel R se numește semisimplu dacă modulul regulat RR este semisimplu .
PROPOZIȚIE : Pentru un inel R următoarele afirmații sînt echivalente :
R este semisimplu ;
R are un generator stîng semisimplu ;
Fiecare șir exact scurt O→K→M→N→O de R – module stîngi scindează ;
Fiecare R – modul stîng este semisimplu .
COROLAR : Pentru un inel R urmatoarele afirmații sînt echivalente :
(a) R este semisimplu ;
fiecare monomorfism în categoria R – MOD scindează ;
fiecare epimorfism în categoria R – MOD scindează .
INELE DE BIENDOMORFISME ALE SUMELOR DIRECTE
LEMĂ : Fie R – modulul stîng M o sumă directă M = M’M” de submodule M’ și M” . Atunci aplicația restricție Res este un morfism de inele ce face diagrama următoare comutativă :
R
Biend (RM) Biend (RM’)
Res
Mai mult :
Dacă M’ generează sau cogenerează M” , atunci Res este injectivă ;
Dacă M’ generează și cogenerează M” , atunci Res este un izomorfism .
PROPOZIȚIE : Fie M un R – modul stîng nenul și A o mulțime nevidă. Atunci există un izomorfism de inele μ : Biend (RM) → Biend (RM(A)) definit pe coordonate prin μ (b)( xα) α Є A = (b xα) α Є A .
RADICALUL UNUI INEL
Pentru un inel R , idealul bilateral notat J(R) = Rad (RR) = Rad (RR) se numește radicalul Jacobson al lui R .
DEFINIȚIE : Un element x Є R este cvasi – regulat (la stînga /la dreapta) dacă 1 – x are un invers bilateral (la stînga / la dreapta) în R .
O submulțime a lui R este cvasi – regulată dacă fiecare element al ei este cvasi – regulat .
TEOREMĂ : Fiind dat un inel R fiecare din următoarele submulțimi ale lui R este egală cu radicalul J(R) al lui R .
intersecția tuturor idealelor stîngi (drepte) maximale ale lui R;
intersecția tuturor idealelor stîngi (drepte) primitive ale lui R;
{ x Є R / rxs este cvasi – regulat pentru toți r,s Є R} ;
{ x Є R / rx este cvasi – regulat pentru toți r Є R} ;
{ x Є R / xs este cvasi – regulat pentru toți s Є R} ;
reuniunea tuturor idealelor stîngi (drepte) cvasi – regulate ale lui R;
reuniunea tuturor idealelor cvasi – regulate ale lui R;
unicul cel mai mare ideal stîng (drept) superfluu al lui R .
LEMA NAKAYAMA : Pentru un ideal stîng I al inelului R , următoarele afirmații sînt echivalente :
I ≤ J(R) ;
Pentru fiecare R – modul stîng finit generat de M , dacă IM = M , atunci M = 0 ;
Pentru fiecare R – modul stîng finit generat de M , IM este superflu în M.
INELE LOCALE
DEFINIȚIE : Un inel R este local dacă mulțimea elementelor neinversabile ale lui R este închisă la adunare .
PROPOZIȚIE : Pentru un inel R următoarele afirmații sînt echivalente :
R este inel local ;
R are un unic ideal stîng maximal ;
J(R) este un ideal stîng maximal ;
Mulțimea elementelor din R fără invers la stînga este închisă în raport cu adunarea ;
J(R) = { x Є R / Rx ≠ R} ;
R / J(R) este inel cu diviziune ;
J(R) = { x Є R / x nu este inversabil} ;
Dacă x Є R , atunci sau x sau 1 – x este inversabil.
PROPOZIȚIE : Fie R un inel cu radicalul J = J(R) . Atunci , pentru fiecare
R – modul stîng M , JM ≤ Rad M . Dacă R este semisimplu modulo radicalul său , atunci pentru fiecare R – modul stîng M , JM = Rad M și M / JM este semisimplu .
DEFINIȚIE : Un inel R cu J = JR este semiprimar dacă R / J este semisimplu și J este nilpotent .
Un inel R este regulat von Neuman dacă a Є aRa , pentru fiecare a Є R .
=== INJECTIVITATE2 ===
CAPITOLUL II
MODULE PROIECTIVE ȘI INJECTIVE
♦1. MODULE PROIECTIVE ȘI GENERATORI
DEFINIȚIA 1.1. Un R – modul stîng P se numește proiectiv dacă pentru orice epimorfism de module p : RM → RN și fiecare homomorfism g : RP → RN există un R – homomorfism : RP → RN astfel încît diagrama
P
M p N O
este comutativă , adică g = p o .
CARACTERIZAREA MODULELOR PROIECTIVE
PROPOZIȚIA 1.2. Următoarele afirmații despre un R – modul stîng P sînt echivalente :
P este proiectiv ;
Pentru orice epimorfism f : RM → RN aplicația HomR (P,f) : HomR (P,M) → HomR (P,N) este un epimorfism ;
Pentru fiecare structură de (R,S) bimodul RPS , functorul HomR (PS, – ) : R – MOD → S – MOD este exact.
Pentru fiecare șir exact M’—f→ M —g→ M” în categoria R – MOD șirul HomR(P’,M’) —f*→ HomR(P,M) —g*→ HomR(P,M”) este exact .
DEMONSTRAȚIE : (a) ↔ (b) și (a) ↔ (c)
(c) ↔ (d)
PROPOZIȚIA 1.3. Orice R – modul liber este proiectiv.
DEMONSTRAȚIE : Fie L un R – modul liber cu baza (ei)iЄI și diagrama exactă:
L
M g N O
Există yi Є M astfel încît g(yi ) = α (ei ) . Dacă x Є L , atunci x = ΣiЄI aiei , unde (ai)iЄI este o familie unică de elemente din R și de suport finit .
Definim β : L → M prin β(x) = ΣiЄI aiyi . Este clar că β este un homomorfism și
α = g o β .
CONSECINȚA 1.4. R conceput canonic ca R – modul stîng este proiectiv.
DEMONSTRAȚIE : Presupunem că avem partea solidă a diagramei și că linia este exactă:
R
M g N O
atunci există m Є M cu g(m) = δ (1) . Evident aplicația δ(m) : r → rm definește un R – morfism de la R la M ce face comutativă diagrama .
PROPOZIȚIA 1.5. Fie (Mα )α εΛ o familie de R – module stîngi .
Atunci αεΛ Mα este priectivă dacă și numai dacă pentru orice α ЄΛ , Mα este priectiv.
DEMONSTRAȚIE : Presupunem că Mα sînt proiective oricare ar fi α ЄΛ . Fie diagrama
Mα iα α εΛMα
M g N O
cu linia exactă . Dacă iα : Mα → αεΛMα este α – injecția naturală , atunci există fα : Mα → M astfel încît g o fα = α o iα , Mα fiind proiectiv oricare ar fi α ЄΛ .
Din teorema de universalitate a sumelor directe există f : αεΛMα → M astfel încît
f o iα = fα , oricare ar fi α ЄΛ . Deci :
(g o f )o iα = α o iα (α ЄΛ) și aplicînd din nou teorema de universalitate , obținem că g o f = α , ceea ce arată că α εΛMα este proiectiv .
Invers presupunem că α εΛMα este proiectiv . Considerăm diagrama cu linia exactă :
Pβ
Mα Mβ
M g N O
Fie Pβ : α εΛMα → Mβ morfismul canonic. Cum α εΛMα este proiectiv , există h : α εΛMα → M astfel încît f o Pβ = g o h . Cum Pβ o iβ = 1Mβ , atunci f = g o ( h o iβ), ceea ce arată că Mβ este proiectiv .
PROPOZIȚIA 1.6. Următoarele afirmații despre un R – modul P sînt echivalente :
P este proiectiv ;
Fiecare epimorfism RM → RP → O este scindat;
P este izomorf cu un sumand direct al unui R – modul stîng liber .
DEMONSTRAȚIE :
(a) (b) Fie f : M → P un epimorfism. Cum P este proiectiv , rezultă că există h : P → M morfism astfel încît f o h = 1p , ceea ce arată că șirul este scindabil , deci f este scindat .
(b) (c) De la module libere se știe că pentru un R – modul există un modul liber L și un epimorfism g : L → P . Atunci considerăm șirul exact O → Ker g → L –g→ P → O . Acest șir fiind scindabil rezultă că P este izomorf cu un sumard direct al lui L .
(c) (a) rezultă din propozițiile 1.3. și 1.5.
COROLAR 1.7. Un R – modul stăng P este finit generat și proiectiv dacă și numai dacă pentru un anumit R – modul stîng P’ și un anumit întreg n > 0 , există un R – izomorfism astfel încît P + P’ ≈ R(n) .
DEMONSTRAȚIE : P este finit generat dacă și numai dacă pentru un anumit n Є N există un epimorfism de la R(n) la P (R(n) → P → O ).
Din propoziția 1.6. epimorfismul este scindat dacă și numai dacă O este proiectiv.
COROLAR 1.8. Un inel R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare R – modul stîng este proiectiv .
DEMONSTRAȚIE : Știm de la inele semisimple că R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare epimorfism în categoria R – MOD este scindat , dar din propoziția 1.6.(b) , această condiție are loc dacă și numai dacă fiecare R – modul stîng este proiectiv.
COROLAR 1.9. Fie RP un R – modul stîng proiectiv de tip finit , atunci RP este reflexiv.
DEMONSTRAȚIE : Rezultă din propoziția 1.6. , caracterizarea unui modul liber de tip finit ca fiind reflexiv și din lema următoare :
LEMA 1.10. Fie M și N două R – module stîngi . Atunci MN este reflexiv dacă și numai dacă M și N sînt reflexive .
DEMONSTRAȚIE : Fie i1 : M → MN și i2 : N → MN injecțiile canonice și p1 : MN → M , p2 : MN → N proiecțiile canonice.Atunci avem șirurile scindabile O→M– i1→ M N–p2→ N→O și O→N–i2→ M N –p1→ M→O . Din primul șir obținem diagrama comutativă cu liniile exacte :
O → M – i1→ M N –p2→ N →O
↓δM ↓δM+N ↓δN
O → M** – i1→ (M N)** –p2→ N**→O
Dacă M și N sînt reflexive , atunci δM și δN sînt izomorfisme , de unde rezultă imediat , din lema celor cinci homomorfisme că δM+N este izomorfism .
Dacă M N este reflexiv , atunci δM este injectiv și δN este surjectiv . Procedînd analog cu cel de al doilea șir scindabil se obține că δM este surjectiv și δN este injectiv . Deci M și N sînt reflexive.
CARACTERIZAREA GENERATORILOR
Reamintim că un R – modul stîng G este un generator dacă G generează fiecare modul al categoriei R – modulelor stîngi , R – MOD , adică G este generator dacă și numai dacă pentru fiecare R – modul stîng M există o mulțime A și un R – epimorfism G(A) → M → O (dacă și numai dacă Tr M(G) = M ) .
Un gen de dualitate există între generatori și proiectivi , și anume:
Proiectivii sînt modulele P pentru care Hom (P , – )aplică fiecare epimorfism într – un epimorfism;
Generatorii sînt acele module G pentru care HomR (P , – ) aplică numai epimorfisme în epimorfisme .
Alte exemple ale acestui fenomen pot fi găsite comparînd propoziția 1.2. cu următoarea caracterizare a generatorilor:
PROPOZIȚIA 1.11. Pentru un R – modul stîng G următoarele afirmații sînt echivalente :
G este un generator ;
Pentru orice morfism f în categoria R – MOD dacă HomR (G,f) = 0 , atunci f= 0
Pentru f : RM → RN morfism în categoria R – MOD , dacă f* : HomR (G,M) → HomR (G,N) este epimorfism , atunci f este epimorfism ;
Un șir M’ – f→ M – g→ M” este exact în categoria R – MOD dacă șirul HomR (G,M’) – f *→ HomR (G,M) – g *→ HomR (G,M”) este exact.
DEMONSTRAȚIE : (a) (b) Din G – generator rezultă că pentru fiecare R – modul stîng M există mulțimea A și epimorfismul h : G(A) → M → O . Fie f morfism in categoria R – MOD , f : M → N , astfel încît HomR (G,f) = 0 . Aplicăm functorul HomR (G, – ) diagramei :
G(A) – h→ M → O
↓f
N
Din f* = HomR (G, f) = 0 ↔ f*(h) = f o h = 0 , () h ↔ f = 0 .
(a) (d) Fie G un generator și șirul în categoria R – MOD astfel încît , pentru M’ – f→ M – g→ M” , șirul HomR (G,M’) – f *→ HomR (G,M) – g *→ HomR (G,M”) este exact , adică f* este monomorfism , g* este epimorfism și Im f* = Ker g* . Atunci avem că g* f* = (gf)* = HomR (G, gf) = 0 . Cum are loc (a) și (a) (b) rezultă că avem HomR (G, gf) = 0 → gf = 0 → Im f Ker g .
Pentru incluziunea inversă considerăm x Є Ker g , oarecare. Cum G este generator rezultă conform definiției că G generează orice modul al categoriei R- MOD , deci și pe Ker g .Deci există morfismele βi : G → Ker g ≤ M și elementele yi Є G astfel încît x = Σni=1 βi (yi) . Cum x Є Ker g rezultă g(x) = 0 pentru fiecare i = există αi Є Hom R (G,M’) astfel încît βi = f*( αi) .
Deci avem : x Є Ker g x Є Im f Ker g Im f .
Deci are loc egalitatea Ker g = Im f șirul este exact.
(d) (c) este clară .
(c) (a) Presupunînd că are loc (c) este suficient să arătăm că pentru fiecare R – modul stîng M , trasa TrM (G) este M .
Considerăm șirul exact canonic O → TrM (G) –i→ M –n→ M/ TrM (G) → O care duce la un șir exact :
O → Hom R (G, TrM (G)) –i *→ Hom R (G,M) –n *→ Hom R (G, M/ TrM (G)) .
Dacă β Є Hom R (G,M) , atunci avem [n*(β)] (G) = (nβ)(G) = n(β(G)) = 0 , deoarece β(G) TrM (G) = Ker n .
Astfel cum șirul este exact , avem Im i* = Ker n* = Hom R (G,N) și deci i* este surjectiv și conform lui (c) : i este surjectiv Im i = M și cum șirul era exact avem : Im i = Ker n = M = TrM (G) . Rezultă deci : M = TrM (G) , adică G este generator.
Știm că modulul regulat RR este generator , deci un modul generează RR dacă și numai dacă el generează fiecare modul . Așa cum RR este de asemenea finit generat , tot așa orice modul ce generează RR trebuie să genereze finit RR .
În final deoarece RR este proiectiv (consecința 1.4.) rezultă că RG este generator dacă și numai dacă există un epimorfism scindat G(n) →R→O . Adică are loc urmăroarea propoziție:
PROPOZIȚIA 1.12. Un R – modul stîng este generator dacă și numai dacă pentru un anumit modul R’ și pentru un anumit număr întreg n > 0 există un R – izomorfism astfel încît G (n) ≈ R R’ .
Comportarea duală a generatorilor și a modulelor proiective finit generate este ilustrată de propozițiile 1.7. și 1.12. .
Următoarele două rezultate importante sînt echivalente:
LEMA 1.13. Fie RQS un (R,S) – bimodul balansat fidel . Atunci Q considerat ca un R – modul stîng este un generator dacă și numai dacă Q este S – modul drept finit generat și proiectiv.
DEMONSTRAȚIE : Deoarece multiplicarea la dreapta ρ : S → End (RQ) este un izomorfism de inele (considerate ca S – module drepte) avem că HomR (RQ , QS) ≈ SS .
De asemenea , din propoziția 1.12. deoarece RQ este generator , rezultă că RQ(n) ≈ R R’ pentru un anumit R – modul stîng R’și un anumit n > 0 .
Ținînd cont de proprietatea functorului HomR ( – , – ) aplicat unor sume directe de module avem :
SS(n) ≈ HomR (RQ , QS)(n) ≈ HomR (RQ(n) , QS) ≈ HomR (R R’ , QS) ≈ HomR (R , QS) HomR (R’ , QS) ≈ Q Q’.
Deci SS ≈ Q Q’ și conform propoziției 1.7. QS este finit generat și proiectiv.
Reciproca rezultă din propozițiile 1.7. și 1.12. deoarece :
RQ(n) ≈ HomS (S , RQ)(n) ≈ HomS (S(n) , RQ ) ≈ HomS (Q Q’ , RQ) ≈ HomS (Q , RQ) HomS (Q’ , RQ) ≈ R R’ , deci RQ este generator.
TEOREMA 1.14. Un R – modul stîng G este un generator dacă și numai dacă sînt îndeplinite următoarele două condiții :
RG este fidel și balansat ;
G End (RG) este finit generat și proiectiv .
DEMONSTRAȚIE : Presupunem că RG este generator ; atunci conform propoziției 1.12. RG(n) ≈ R R’ pentru un anumit R – modul R’ și un întreg n>0. Ținînd cont de proprietatea inelului de biendomorfisme a sumelor directe avem următoarea diagramă comutativă de morfisme de inele :
R 1R R 1R R 1R R
↓λ1 ↓λ2 ↓λ3 ↓λ4
BiEnd (G) BiEnd (G(n)) BiEnd(R R’) BiEnd(R)
unde compunerea aplicațiilor pe linia inferioară este injectivă și λ4 este bijectivă . Astfel λ1 este un izomorfism ; adică , făcînd identificările evidente : R ≤ BiEnd (G) = BiEnd (G(n)) = BiEnd(R R’) ≤ BiEnd(R) = R .
Astfel RG este fidel și balansat adică RG End (RG) este un bimodul balansat fidel , deci are loc (i) . Aplicînd propoziția 1.13. rezultă (ii) .
Reciproca rezultă din propoziția anterioară .
Desigur , modulul regulat RR sau într – adevăr orice modul stîng liber , este atît un modul proiectiv cît și un generator . În general , nu toate modulele proiective sînt generatori .
Următorul rezultat , desigur , arată că importanța clasică a generatorilor proiectivi poate fi caracterizată ca acele module proiective care generează toate modulele simple .
PROPOZIȚIA 1.15. Fie P un R – modul stîng proiectiv . Următorele afirmații sînt echivalente :
P este un generator ;
HomR (P,T) ≠ 0 pentru toate R – modulele stîngi simple T ;
P generaeză fiecare R – modul simplu .
DEMONSTRAȚIE : Implicațiile (a) (c) și (c) (b) sînt triviale .
(a) Presupunem că R – modulul stîng P satisface (b).
Este suficient să arătăm că P generează R sau echivalent TrR (P) = R .
Presupunem că TrR (P) ≠ R . Cum TrR (P) este ideal stîng rezultă că este conținut într-un ideal stîng maximal I al lui R .Astfel R/I este modul simplu și din (b) rezultă că există un R – morfism nenul δ : P → R/I , cu δ Є HomR (P,T) ≠ 0 , unde am notat T = R/I .
Deoarece P este proiectiv rezultă că există o diagramă comutativă astfel încît δ = nI o .
P
M nI N O
Aceasta produce o contradicție deoarece Im δ TrR (P) I.
RADICALUL MODULELOR PROIECTIVE
Avînd în vedere propoziția 1.6. nu este surprinzător că compararea modulelor proiective reproduce mult din aceea a modulului regulat RR . Observăm în continuare că acesta este cazul radicalului modulelor proiective .
PROPOZIȚIA 1.16. Fie R un inel cu radicalul J(R) = J . Dacă P este un R – modul stîng proiectiv , atunci Rad P = JP .
DEMONSTRAȚIE : Propoziția 1.6. permite să presupunem că P este un sumand direct al unui modul liber , adică PP’ = R(A) . Atunci avem : Rad P Rad P’ = Rad R(A) (Rad R)(A) . Astfel deoarece JP ≤ Rad P și JP ≤ Rad P’ , trebuie să avem Rad P = JP .
Calculăm acum radicalul inelului de endomorfisme al unui modul proiectiv .
PROPOZIȚIA 1.17. Fie P un R – modul stîng proiectiv cu inelul de endomorfisme End (RP) = S . Fie a Є S . Atunci a Є J(S) dacă și numai dacă Im a << P (este submodul superflu în P) .
DEMONSTRAȚIE : Presupunem că Im a << P . Atunci din teorema de caracterizare a radicalului unui inel este suficient să arătăm că Sa << S . Presupunem că există I ≤ SS și Sa + I = S . Astfel avem 1p = sa + b , pentru anumiți s Є S și b Є I . Atunci P = P1p ≤ Psa + Pb ≤ Im a +Pb și conform ipotezei Im a<<P. Dar atunci b este un epimorfism b : P → P. Astfel cum P este proiectiv , acest epimorfism este scindat (din propoziția 1.6.) și există c Є S astfel încît 1p = cb Є I . Astfel I = S și deci Sa << S .
Presupunem că a Є J(S) . Presupunem că există K ≤ P astfel încît Im a + K = P. Atunci se observă imediat că dacă nK : P → P/K este epimorfism natural , atunci anK este epimorfism . Astfel , alegînd s Є S astfel încît diagrama urmăroare să comute ,
P
M anK N O
avem (1 – sa ) nK = 0 . Dar deoarece a Є J(S) rezultă că 1 – sa este inversabil și nK = 0 K = P și deci Im a<<P .
COROLAR 1.18 . Fie I = J(R) . Dacă P este un R – modul stîng proiectiv astfel încît JP <<P (dacă RP este finit generat ) , atunci J (End (RP))=HomR (P,JP) și End (RP) / J End (RP) End (RP/JP).
DEMONSTRAȚIE : Deoarece din propoziția 1.16. avem că Rad P = JP , ipoteza că JP<<P implică un submodul al lui P este superflu dacă și numai dacă este conținut în JP.
Atunci din propoziția 1.17. în particular un endomorfism al lui P , a , aparține lui J (End (RP)) dacă și numai dacă Im a<<P . Astfel J (End (RP)) = HomR (P,JP) .
Acum observăm că deoarece jp este stabil față de endomorfismele lui P , ф(S) : (P + JP) → (PS + JP) definește un morfism de inele ф : End (RP) → End (RP/JP) și că , deoarece P este proiectiv , acest morfism ф este surjectiv .
P —JP→ P/JP
S↓ ↓ ф(S)
P —JP→ P/JP
Dar evident avem Ker ф = HomR (P , JP) astefl că End (RP)/J End (RP) End (RP/JP).
COROLAR 1.19. Fie R un inel cu radicalul J , nЄN și fie eЄR un idempotent nenul . Atunci J(Mn(R)) = Mn(J) și J(eRe) = eJe.
DEMONSTRAȚIE : De la inele de biendomorfisme și inele semisimple știm că există un izomorfism natural de inele ρ : Mn(R) → End RR(n) . Acum J R(n)= J(n) și evident ρ ([rij]) Є HomR (R(n) ,J(n)) dacă și numai dacă [rij] Є Mn(J). Acum aplicăm propoziția 1.18. și rezultă prima relație.
Pentru cealaltă afirmație , de la inele de biendomorfisme există un izomorfism natural ρ : eRe → End (RRe) și evident ρ(eRe) Є HomR(Re,Je) dacă și numai dacă eRe ЄJ . Aplicînd iar propoziția 1.18. rezultă relația a doua.
Acum putem demonstra faptul important că nici un modul proiectiv nenul nu este propriul său radical , adică:
PROPOZIȚIA 1.20. Fiecare modul proiectiv nenul conține un submodul maximal .
DEMONSTRAȚIE : Fie P un R – modul stîng proiectiv . Atunci din propoziția 1.7. putem presupune că există un R – modul stîng liber F astfel încît F = PP’.
Presupunem că P nu conține nici un submodul maximal . Atunci din propoziția 1.16. avem P = JP JF .
Pentru a demonstra propoziția arătăm că acestă presupunere forțează P=0.
Pentru aceasta fie x Є P și fie e un endomorfism idempotent al lui F astfel încît Fe = P. Fie (xα )αεA o bază liberă a modulului F. Atunci pentru o anumită submulțime finită B A și anumiți rα Є R și α Є B avem x = ΣαЄB rαxα .
De asemenea pentru fiecare α Є B există mulțimile finite Bα A și aαβ Є J (pentru β Є Bα) astfel încît xαe = ΣβЄB aαβxβ . Inserînd zerourile acolo unde este necesar putem presupune acum că toate aceste sume sînt luate după o submulțime finită comună K A pentru a avea :
0 = x – xe = (ΣαЄK rαxα) – (ΣαЄK rαxαe) = ΣαЄK rα(ΣβЄK δαβxβ) – ΣαЄK rα(ΣβЄK aαβxβ) = ΣβЄK(ΣαЄK rα(δαβ – aαβ )) xβ .
Cum (xα)αЄA este bază liberă , rezultă că xβ sînt independenți pentru β Є K . rezultă că ecuația anterioară duce la ecuația matriceală de forma :
[rα] (In – [aαβ]) = [0] Є M1xn (R), unde n = card K și In este matricea identitate în Mn(R).
Dar aαβ Є J [aαβ] Є Mn(J) = J(Mn(R))(din propoziția 1.19.) și deci este cvasi – regulat . Deci In – [aαβ] are un invers în Mn(R) și [rα ]= [0] Є M1xn (R). Aceasta inseamnă că x = ΣαЄK rαxα = 0 și cum x Є P , oarecare rezultă P = 0 , ceea ce contrazice ipoteza că este nenul.
ACOPERIRI PROIECTIVE
Am arătat în propoziția 1.3. că fiecare R – modul liber este proiectiv și că fiecare modul e generat de modulul regulat RR . Astfel , în mod trivial avem următorul rezultat:
PROPOZIȚIA 1.21. Fiecare modul este o imagine epimorfică a unui modul proiectiv.
Pentru anumite module M este valabilă chiar o afirmație mai puternică și anume : există un modul proiectiv P și un epimorfism f: P → M “minimal” în sensul că f/L : L → M nu este epimorfism pentru nici un submodul propriu al lui P. Această condiție minimală implică faptul că Ker f << P . Aceasta conduce la definiția formală:
DEFINIȚIA 1.22. O pereche (P,p) este o acoperire proiectivă a R – modului stîng M dacă P este un R – modul stîng proiectiv și P—p→M→O este un epimorfism superflu (adica Ker p << P ).
OBS.: Putem numi P însuși o acoperire proiectivă a lui M.
EXEMPLE: 1o. Dacă e este un element idempotent în R , atunci din propoziția 1.16. și proprietatea de la module finit generate avem Je = Rad(Re) << Re. Astfel, deoarece Re este proiectiv , perechea (Re,n) este o acoperire proiectivă a lui Re/Je, unde n : Re → Re/Je este aplicație naturală.
2o. Perechea (Z,rn) unde rn : Z → Zn = Z/nZ este aplicție naturală (n>1) nu este o acoperire proiectivă deoarece nZ = Ker rn nu este superflu în Z . Într – adevăr , dacă P—p→Zn→O este o anvelopă proiectivă a lui Zn , atunci din diagrama :
Z
↓п
P —p→ Zn → O
unde п : Z → Zn este surjecția canonică , există un morfism f : Z → P astfel încît п = p o f . Cum p este superflu atunci f este epimorfism și deci Ker f este sumand direct in Z. Dar atunci Ker f = 0 și deci f este izomorfism de unde rezultă că п este superfluu . Dar este clar că idealul nZ nu este superfluu in Z. De fapt , folosind propoziția 1.23. este ușor de demonstrat că Zn nu are acoperiri proiective.
3o. Fie R un inel local și RM un modul finit generat . Atunci R/J este inel cu diviziune și M/JM este un spațiu vectorial finit dimensional peste R/J.
Să presupunem că M/JM este K – dimensional . În acest caz considerăm P=R(K) . Atunci, M fiind finit generat , evident există un R – epimorfism : P → M/JM cu Ker = JP. Deoarece RP este proiectiv și aplicația naturală n : M → M/JM este epimorfism , există un morfism p : P → M astfe încît = n o p , adică avem diagrama :
P
M ―n→ M/JM
Din lema NAKAYAMA c) rezultă că JM<< M deci n este epimorfism superfluu . Din teorema caracteristică rezultă că p este epimorfism . Dar cum Ker p ≤ Ker = JP << P, rezultă că (P,p) este o acoperire proiectivă a lui M.
Prezentăm acum lema fundamentală pentru acoperiri proiective. Una din consecințele sale este că dacă un modul are o acoperire proiectivă , atunci el are (esențial) doar una.
LEMA 1.23. Presupunem că R – modulul stîng M are acoperire proiectivă (P,p), p : P → M . Dacă R – modulul stîng Q este proiectiv și q : Q → M este un epimorfism , atunci Q are o descompunere Q = P’P” astfel încît :
P’ ≈ P;
P” ≤ Ker q;
q/P’ : P’ → M este o acoperire proiectivă pentru M.
Mai mult , dacă f: M1 → M2 este un izomorfism și dacă p1 : P1 → M1 și p2 : P2 → M2 sînt acoperiri proiective , atunci există un izomorfism : P1 → P2 astfel încît p2 o = f o p1 , adică următoarea diagramă este comutativă:
P1 ―→ P2
p1↓ ↓ p2
M1―f→ M2
DEMONSTRAȚIE: Din ipoteza că Q este proiectiv rezultă că Q este P – proiectiv , deci există diagrama comutativă cu linia și coloana exacte , în care p o h = q : Q
P p M O
O
Conform definiției acoperirii proiective p este epimorfism superfluu și cum p o h = q este epimorfism , rezultă că și h este epimorfism. Tot din definiția acoperirii proiective rezultă P proiectiv și cum h : Q → P este epimorfism atunci din propoziția 1.6., rezultă că h este scindat , adică există un monomorfism g : P → Q astfel încît h o g = 1p . Deci avem P—g→Q—h→P , ceea ce implică Q = Im g Ker h. Luînd P’ = Im g și P” = Ker h , obținem Q = P’P” ; deci are loc (a) deoarece g este monomorfism P—g→Q = P’P” P Im g = P’ și are loc (b) deoarece p o h = q : Q → M și P” = Ker h P” ≤ Ker q .
Arătăm că are loc (c) : avem q (P’) = q(Q) = M (este epimorfism), astfel că : P’—q/p’→M→O este exact și este o acoperire proiectiva deoarece din q o g = (p o h ) o g = p o 1p = p rezultă că Ker (q/P’) = g (Ker p) , care este un submodul superflu al lui g(P) = P’ , deci are loc (c).
Pentru a demonstra ultima afirmație considerăm : p = p2 , g = f o p1 și = h , atunci cum q = p o h rezultă f o p1= p2 o ; = h este epimorfism , iar Ker = Ker h = Ker p , este sumand direct superfluu al lui P1 și este un izomorfism.
PROPOZIȚIA 1.24. Fie e și f elemente idempotente ale inelului R . Următoarele afirmații sînt echivalente :
Re Rf ;
Re/Je Rf/Jf ;
eR/eJ fR/fJ ;
eR fR .
DENOMONSTRAȚIE :
(a) (b) Faptul că (a) (b) este clar . Reciproc dacă h : Re/Je → Rf/Jf este izomorfism , atunci ,deoarece aplicațiile naturale Re → Re/Je și Rf → Rf/Jf sînt acoperiri proiective , rezultă din lema 1.23.că există un izomorfism : Re → Rf ; deci are loc (a).
(c)(d) este cazul simetric al echivalenței anterioare .
(a)(d) presupunem că Re Rf . Atunci de la inele de endomorfisme avem : eR HomR (Re,R) HomR (Rf,R) fR; deci are loc (d) .
PROPOZIȚIA 1.25. Fie R un inel cu radicalul J = J(R) . Atunci următoarele afirmații despre un R – modul stîng proiectiv P sînt echivalente :
P este acoperirea proiectivă a unui R – modul stîng simplu;
JP este submodulul superflu maximal al lui P;
End (RP) este un inel local.
Mai mult , dacă aceste condiții au loc , atunci P Re pentru un anumit element idempotent e∈R.
DENOMONSTRAȚIE :
(a) (b) Evident P este acoperirea proiectivă a unui R – modul stîng simplu dacă și numai dacă P conține un submodul superflu maximal . Din definiția și caracterizările radicalului , JP este conținut în fiecare submodul maximal al lui P și JP conține fiecare submodul superfluu al lui P (din propoziția 1.16.avem că Rad P = JP).
(b) (c) Dacă JP este un submodul maximal superfluu al lui P , atunci din propoziția 1.18. End (RP) / J End (RP) End (P/JP) . Cum P/JP este modul simplu , rezultă din lema SCHUR că EndR (P/JP) este inel cu diviziune. Din caracterizările inelelor locale rezultă că End (RP) este inel local.
(c) (a) Presupunem că End (RP) este inel local . Atunci P ≠ 0 . Din propoziția 1.20. rezultă că P conține un submodul maximal și anume K ≤ P .
Afirmăm că epimorfismul natural P→P/K→O este o acoperire proiectivă , adică K << P (este superflu în P).
Presupunem că K + L = P pentru un anume submodul L ≤ P . Din teorema de izomorfism avem : P/K = (L+K) / K ≅ L / (L∩K) ;astfel exista homomorfismul nenul f : P → L/(L∩K). Cum P este proiectiv rezultă că există un endomorfism ∆ : P → L ≤ P astfel încît diagrama următoare comută , adică f = n o ∆ .
P
L n L/L∩K P/K
Deoarece 0 ≠ f = n o ∆ rezultă că Im ∆ ≰ K . Aceasta implică Im ∆ nu este superfluu în P.Atunci ∆ J (End (RP)) (conform echivalenție din propoziți 1.17. ), iar din teorema de caracterizare a inelelor locale avem că ∆ este un endomorfism inversabil al lui P , deci L = P și K << P (este superfluu în P ) , iar conform afirmației făcute la început este o acoperire proiectivă . Mai mult , fiecare modul simplu este un epimorfism al lui R , astfel că din lema 1.23. o acoperire proiectivă a unui R – modul stîng simplu trebuie să fie izomorfă cu un sumand direct al lui RR, adică P Re, pentru un anume element idempotent e = e2 ∈ P.
COROLAR 1.26. Următoarele afirmații despre un element idempotent e al inelului R sînt echivalente :
Je este unicul submodul maximal al lui Re;
Re/Je este simplu ;
eRe este inel local;
eJ este unicul submodul maximal al lui eR;
eR/eJ este simplu .
♦2. MODULE INJECTIVE ȘI COGENERATORI
Noțiunea duală a modulului proiectiv este noțiunea de modul injectiv.
DEFINIȚIA 2.1. Un R – modul stîng Q se numește injectiv dacă pentru orice monomorfism de module i : RL → RM și fiecare homomorfism f : RL → RQ există un R – homomorfism : RM → RQ astfel încît diagrama
O L i M
Q
este comutativă adică f = o i .
OBS. Este echivalent faptul că R – modulul stîng Q este injectiv dacă și numai dacă pentru orice R – modul stîng M și orice submodul M’≤ M și oricare ar fi f Є HomR (M’,Q) există Є HomR (M,Q) astfel încît / M’ = f .
CARACTERIZAREA MODULELOR INJECTIVE
Modulele injective și proiective au efect dual pe functorii Hom ; în particular duala propoziției 1.2. este :
PROPOZIȚIA 2.2. Următorele afirmații despre un R – modul stîng sînt echivalente:
Q este injectiv ;
Pentru orice monomorfism f : RL → RM aplicția
HomR (f,Q) : HomR (M,Q) → HomR (L,Q) este un epimorfism ;
Pentru fiecare structură de (R,S) – bimodul RQS , functorul
HomR ( – ,QS) : R – MOD → MOD – S este exact .
Pentru fiecare șir exact scurt M’—f→M—g→M” în categoria R – MOD , șirul HomR (M”,Q) —g*→HomR (M,Q) —f*→HomR (M’,Q) este exact.
Înainte de a stabili existența a suficient de multe module injective , nu putem demonstra proprietatea duală propoziției 1.6. Ca o substituție temporară , totuși , avem faptul important (dual propoziției 1.5.):
PROPOZIȚIA 2.3. Fie (Mα)αεΛ o familie de R – module stîngi . Atunci ΠαεΛ Mα este injectiv dacă și numai dacă pentru orice α Є Λ , Mα este injectiv.
Fiecare modul este o imagine epimorfică a unui modul proiectiv (chiar liber). Unul din scopurile următoare este să dăm rezultatul dual că fiecare modul poate fi scufundat într-un modul injectiv . Întîi , totuși , vom stabili un test foarte folositor pentru injectivitate. Acest test (uneori numit “criteriul BAER”) spune că injectivitatea unui modul Q poate fi determinată de comporatrea sa în mulțimea de diagrame
O → I —i→ R
Q
cînd linia este restrînsă la aplicațiile de incluziune ale idealelor stîngi.
PROPOZIȚIA 2.4. Fie Q un R – modul stîng . Următoarele afirmații sînt echivalente :
Q este injectiv;
Pentru orice ideal stîng I ≤ R și orice R – homomorfism f : I → Q există xQ astfel încît f este multiplicarea la dreapta prin x , adică f (λ) = λ x oricare ar fi λ I .
DEMONSTRAȚIE :
(b) Modulul Q fiind injectiv , există g : RR → Q astfel încît g / I = f.
Punem x = g(1) . Dacă λ I , atunci f (λ) = g (λ) = g (λ • 1 ) = λ •g (1) = λx
(b)(a) Fie M un R – modul stîng și N ≤ M un submodul și f HomR (N,Q). Considerăm mulțimea nevidă
P = {(N’,f’)/N≤N’≤M, f’ HomR (N’,Q)și f’/N=f}.
Definim pe P relația binară “≤” dată prin : (N’,f’) ≤ (N”,f”) dacă și numai dacă N’ ≤ N” și f” /N’ = f’. Se verifică imediat că relația “≤” este o relație de ordine pe mulțimea P . Dacă {(Nα , fα)/αΛ} este o familie total ordonată de elemente din P, atunci N 0 = αΛ Nα este un submodul al lui M. Aplicația f 0: N0 → Q definită în modul următor : dacă x N0 , atunci există αΛ astfel încît x Nα și atunci punem f 0(x) = fα(x). Dacă Nα Nβ atunci f 0(x) = fα(x) = fβ / Nα (x) = fβ (x), adică f 0 este bine definită. Este clar că (N0, f 0) P și deci (P, ≤) este inductivă . Aplicînd lema lui Zorn există (N1, f 1) element maximal în P . Dacă N1 = M , atunci demonstrația s – a sfîrșit.
Presupunem că N1 ≠ M . Înseamnă că există x1 M , x1 N1 .
Fie submodulul N2 = N1 + Rx. Considerăm idealul stîng I = { λ R/ λx N1}. Aplicația U : I → Q definită prin egalitatea U(λ) = f1(λx) este un R – homomorfism . Deci există un q Q astfel încît U (λ) = λq = f 1 (λx) oricare ar fi λ I.
Fie f 2 : N2 → Q corespondența definită prin egalitatea f 2(y+ λx) = f 1(y) + λq ,unde q N1 și λ R. Această corespondență este o funcție . Într-adevăr dacă y + λx = y’+ λ’x , atunci (λ – λ’)x = y’ – y N1 și deci λ – λ’I. Prin urmare f 1((λ – λ’)x) = (λ – λ’)q = λ q- λ’q. Pe de altă parte f 1((λ – λ’)x) = f 1((y’ – y) = f 1 (y’) – f 1 (y) și deci λ q- λ’q = f 1 (y’) – f 1 (y), adică λ q + f 1 (y) = λ’ q + f 1 (y’) și deci f 2 este bine definită . Este ușor de văzut că f 2 este un R – homomorfism și f 2/ N1 = f 1. Cum N1 ≠ N2 , atunci (N1 f 1 ) ≠ (N2 f 2) ceea ce reprezintă o contradicție.
Reamintim că un grup abelian e divizibil dacă G = nG , pentru fiecare întreg nenul n și G este grup abelian.
LEMA 2.5. Un grup abelian G este divizibil dacă și numai dacă G este injectiv ca Z – modul.
DEMONSTRAȚIE : Presupunem că G este divizibil . Atunci fiecare ideal nenul al lui Z este de forma nZ , n ≠ 0 . Deci , G fiind grup abelian divizibil , dacă h : nZ → G este un Z – homomorfism , atunci există x0 G cu proprietatea h(n) = nx0 și h(kn) = kh(n) = k(nx0) = (kn)x0 , pentru toți kn nZ . Deci aplicînd propoziția anterioară 2.4. rezultă că G este injectiv.
Invers , presupunem că G este Z – injectiv și fie x G și n Z , n ≠ 0. Atunci aplicația h : nZ → G dată prin h(kn) = kx definește un Z – homomorfism , care din propoziția 2.4. trebuie să fie multiplicarea printr-un anumit x0 G , adică knx0 = kx , de unde în particular nx0 = x. Deci nG = G ceea ce implică G este divizibil.
LEMA 2.6. Dacă G este un grup abelian divizibil , atunci R – modulul său stîng HomZ (RR) este injectiv.
DEMONSTRAȚIE : De la inele de endomorfisme se știe că HomZ (RR) este un R – modul stîng. Fie I ≤ RR ideal stîng și h : I → HomZ (RR,G) un R – homomorfism. Aplicația φ : I → G dată prin φ(a) = h (a)(1) definește un Z – homomorfism de grupuri abeliene. Astfel deoarece ZG este injectiv , există un Z – morfism ψ : R → G astfel încît ψ /I = φ . Acum avem pentru toți a I și r R : (a ψ)(r) = ψ(ra) = φ(ra) = h(ra)(1) = (rh(a))(1) = h(a)(r•1) = h (a)(r) deci aψ = h(a) pentru toți a I . Prin urmare din propoziția 2.4. HomZ (RR,G) este un R – modul stîng injectiv.
COROLAR 2.7. Fiecare R – modul stîng poate fi scufundat într–un R – modul stîng injectiv.
DEMONSTRAȚIE : Fie M un R – modul stîng . Se știe că există un modul liber L și un homorfism surjectiv de la L la M , deci există o mulțime A și un Z – epimorfism f : Z(A) → M . Astfel , deoarece ZM Z(A)/ Ker f ≤ Q(A) )/ Ker f (Q – grupul aditiv al numerelor raționale) și deoarece produsul direct și grupurile factor ale grupurilor abeliene sînt divizibile , putem presupune că ZM ≤ ZQ , cu Q – divizibil . Atunci RM ≤ HomR (RR,M) ≤ HomZ (RR,G) ≤ HomZ (RR,Q) și din lema 2.6. rezultă că HomZ (R,Q) este un R – modul injectiv.
Următorul rezultat dual parțial al propoziției 1.6. este o consecință imediată a propoziției 2.3. și 2.7. și anume :
PROPOZIȚIA 2.8. Un R – modul stîng Q este injentiv dacă și numai dacă fiecare monomorfism O→Q→M este scindat.
Rezultatul dual propoziției 1.8. rezultă din propoziția anterioară și din faptul că un inel R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare epimorfism în categoria R – MOD , respectiv monomorfism scindează.
COROLAR 2.9. Un inel R este semisimplu dacă și numai dacă fiecare R – modul stîng este injectiv.
ANVELOPE INJECTIVE
Așa cum am văzut în propoziția 2.7. fiecare E – modul stîng M poate fi scufundat într-un R modul injectiv . Aceasta cunduce la o noțiune duală a aceleia de acoperire proiectivă și anume o scufundare “minimală a lui M într-un modul injectiv.
DEFINIȚIA 2.10. O pereche (Q,I) este o anvelopă injectivă a R – modulului stîng M dacă Q este un R – modul stîng injectiv și O→M—i→Q este un monomorfism esențial (adică Im i Q).
OBS. Putem numi Q însuși o anvelopă injectivă a lui M .
Deoarece Q este divizibil ca un Z – modul rezultă că el este Z – injectiv.Evident aplicația incluziune i: Z → Q este esențială . Astfel (Q,i) este o anvelopă injectivă a lui Z.
PROPOZIȚIA 2.11. Fie Q un R – modul stîng injectiv . Atunci orice submodul complement al lui Q este sumand direct în Q .
DEMONSTRAȚIE : Fie K un submodul complement al lui Q , deci un submodul închis în Q și N un complement al lui K în Q . Rezultă că K + N/N este esențial în Q/N . Fie g : K + N/N → Q homomorfismul dat prin g((x+y)+N) = x , unde x K și y N . Cum K ∩ N = 0 , g este monomorfism . Cum Q este injectiv , există h: Q/N → Q astfel încît h/ K + N/N = g . Cum K + N/N este esențial în Q/N și g este monomorfism , atunci h este monomorfism . Dar K = Im g = h(K + N/N) și h(K + N/N ) este esențial în h (Q/N) . Deci K este esențial în h (Q/N) și cum K este închis , atunci K = h (Q/N) .Cum h este monomorfism , atunci K + N/N = Q/N , de unde rezultă că K + N = Q și deci K este sumand direct în Q.
Dual la propoziția 1.23. avem următoarea lemă fundamentală pentru anvelope injective.
LEMA 2.12. Fie M un R – modul stîng și presupunem că (Q,i) este o anvelopă injectivă pentru M , cu i: M → Q . Dacă R – modulul stîng P este injectiv și q: M → P este un monomorfism , atunci P are o descompunere P = Q’Q” astfel încît :
Q’ Q ;
Im q ≤ Q ;
q: M → Q’ este o anvelopă injectivă a lui M .
Mai mult , dacă f: M1 → M2 este un izomorfism și dacă i1: M1 → Q1 și i2: M2 → Q2 sînt anvelope injective , atunci există un izomorfism : Q1 → Q2 astfel încît i2 o f = o i1 , adică următoarea diagramă este comutativă :
Q1—→ Q2
i1 ↑ ↑ i2
M1—f→ M2
Nu orice modul are o acoperire proiectivă.
Astfel următorul rezultat foarte important este remarcabil.
TEOREMA 2.13. (Eckmann – Schopf) : Fiecare R – modul stîng are o anvelopă injectivă unică pînă la un izomorfism .
DEMONSTRAȚIE : Fie M un R – modul stîng . Atunci din propoziția 2.7. există un R – modul injectiv Q astfel încît M ≤ Q . Fie E un submodul al lui Q ce conține pe M și este o extensie esențială maximală a lui M . Atunci E este un submodul complement în Q . Din propoziția 2.11. rezultă că E este injectiv ,fiind sumand direct al modulului injectiv Q si deci (E , i), unde i : M → E este incluziunea , este o anvelopă injectivă pentru M .
Presupunem că (E1, i1) și (E2, i2) sînt două anvelope injective pentru M. Cum E2 este injectiv , există f : E1 → E2 astfel încît f o i1 = i2 , adică diagrama următoare comută :
E1
E2
Cum i2 este monomorfism și i1 monomorfism esențial , atunci f este monomorfism . Dar cum E1 f (E1) , atunci E2 = f (E1) + E3 . Este clar că i2(M) f (E1) și i2(M) E3 = 0 . Deci deoarece i2(M) este esențial în E2 rezultă E3 = 0 , de unde obținem că E2 = f (E1) și deci f este izomorfism .
O altă demonstrație care nu folosește propoziția 2.11. este :
Pentru M un R – modul stîng din propoziția 2.7. există Q un R – modul injectiv astfel încît M ≤ Q . Evident mulțimea de submodule N ≤ Q pentru MN (este esențial) este inductivă . Astfel din principiul de maxim există un element maximal E al acestei mulțimi . Alegem acum E’ ≤ Q maximal în raport cu proprietatea E E’ = 0 (adică E’ este un Q – complement al lui E); astfel avem că : (E E’ ) / E’ Q/E’ . Arătăm că E E’ =Q . Pentru a arăta această afirmație considerăm g : (EE’)/E’ → Q monomorfismul evident. Atunci folosind injectivitatea lui Q avem o diagramă comutativă cu linia și coloana exacte :
O
↓
O → (E E’)/E’ —→ Q/E’
Q
Rezultă că h este monomorfism astfel că :
M E = Im g = h ((E E’)/E’) h (Q/E’). Deci M h (Q/E’).
Astfel , din maximalitatea lui E rezultă h ((E E’)/E’) = h (Q/E’) și deoarece h este monomorfism implică Q = E E’ . Cum produsele directe și sumanzii direcți ai modulelor injective sînt injective , avem că E este injectiv , astfel că incluziunea M → E este o anvelopă injectivă . Rezultă din propoziția 1.12. că este unică pînă la un izomorfism .
COROLAR 2.14. Următoarele afirmții despre un R – monomorfism i : M → Q sînt echivalente :
i : M → Q este o anvelopă injectivă a lui M ;
Q este un modul injectiv și pentru fiecare R – monomorfism f : M → Q’ , cu Q’ injectiv ,există un monomorfism g : Q → Q’ ce face următoarea diagramă comutativă :
Q’
Q
i este un monomoefism esențial și pentru fiecare monomorfism esențial f : M → N , există un onomorfism g : N → Q ce face următoarea diagramă comutativă :
N
Q
DEMONSTRAȚIE :
(a) (b) Din (a) rezultă că Q este injectiv și i : M → Q este monomorfism esențial . Fie acum Q’ un modul injectiv și f : M → Q’ un monomorfism . Din injectivitatea lui Q’ rezultă că există g : Q → Q’ astfel încît g o i = f . Cum f este monomorfism și i monomorfism esențial rezultă că g este monomorfism .
(b) (a) Din teorema 2.13. avem că pentru modulul M există o anvelopă injectivă f : M → Q’ , cu f monomorfism esențial . Conform lui (b) rezultă că există un monomorfism g : Q → Q’ astfel încît g o i = f . Deoarece Q este modul injectiv , din propoziția 2.8. rezultă că monomorfismul g este scindat . Deci Q’ = Im g Q1. Dar cum f este monomorfism esențial rezultă că Im f Q’ și Im f = Im gi ≤ Img . Astfel Q1 = 0 și deci g este izomorfism ceea ce implică i : M → Q este de asemenea esențial .
(a) (c) Din (a) rezultă că i : M → Q este monomorfism esențial și Q este injectiv. Fie acum f : M → N un monomorfism esențial . Din injectivitatea lui Q rezultă că există g : N → Q astfel încît g o f = i . Cum f și i sînt monomorfisme esențiale rezultă că g este monomorfism .
(c) (a) Folosind teorema 2.13. pentru a găsi o anvelopă injectivă f : M → N și apoi aplicăm (c).
Va fi foarte convenabil pentru noi să dăm cîteva libertăți notațiilor pentru anvelope injective. Fiecare modul are o anvelopă injectivă , dar nu orice modul are una singură . Vom nota E(M) clasa tuturor anvelopelor injective ale modulului M . Cu toate acestea dacă i : RM → RQ este anvelopă injectivă pentru M vom scrie adesea Q = E(RM) sau mai simplu Q = E(M) și vom spune că E(M) este anvelopa injectivă a lui M . Mai mult putem identifica frecvent M cu imaginea sa in E(M) și putem astfel gîndi pe M ca un submodul al lui E(M). În această aparență E(M) este o extensie esențială injectivă a lui M .
Astfel propoziția 2.14. poate fi reformulată mai larg pentru caracterizarea lui E(M) (fară izomorfism) simultan ca :
unica extensie minimală injectivă
unica extensie maximală esențială a lui M.
Într-adevăr E(M) apare ca un sumand direct (deși nu necesar unic) al fiecărui modul injectiv ce conține M și E(M) conține o copie a fiecărei extensii asențiale ale lui M.
Printre alte proprietăți mai importante ale anvelopelor injective avem următorul rezultat:
PROPOZIȚIA 2.15. În categoria R – MOD peste un inel R avem :
M este injectiv dacă și numai dacă E(M) = M .
Dacă M N , atunci E(M) = E(N).
Dacă M ≤ Q , cu Q – injectiv , atunci Q = E(M) E’ .
Dacă αεA E(Mα) este injectiv (de exemplu dacă A este finită) atunci E(αεA Mα) = αεA E(Mα).
DEMONSTRAȚIE :
Rezultă imediat din definiția anvelopei injective .
Deoarece N E(N) , dacă M N , atunci M E(N) și E(N) este injectivă , astfel că incluziunea M → E(N) este o anvelopă injectivă a lui M și deci E(N) = E(M).
Aplicăm propoziția 2.14. aplicației incluziune f : M → Q și folosim faptul că sumanzii direcți ai modulelor injective sînt injectivi.
Presupunem că αεA E(Mα) este injectivă . Fie f : αεA Mα → αεA E(Mα) suma directă a anvelopelor injective Mα → E(Mα) . Deoarece f este monomorfism , este suficient să arătăm că el este esențial . Dar aceasta este chiar proprietatea de la sume și produse directe de module.
SUMANZI DIRECȚI DE INJECTIVI
Nu este adevărat că fiecare sumă directă de module injective este injectivă. Într-adevăr sînt cu siguranță inele noetheriene , acelea peste care fiecare sumă directă de injective este injectivă , și peste aceste inele anvelopele injective comută cu sumele directe.
PROPOZIȚIA 2.16. Pentru un inel R următoarele afirmații sînt echivalente :
Fiecare sumă directă de R – module stîngi injective este injectivă .
Dacă (Mα)αεA este o mulțime indexată de R – module stîngi , atunci E(αεA Mα) = αεA E(Mα) .
R este un inel noetherian stîng.
DEMONSTRȚIE:
(a) (b) Fie (Mα) αεA o mulțime indexată de R – module stîngi .Din propoziția 2.7. avem că Mα ≤ E(Mα) , oricare ar fi α∈A , cu E(Mα) injectiv . Rezultă din (a) că αεAE(Mα) este injectiv , iar din propoziția 2.15.(d) avem că E(αεA Mα) = αεA E(Mα) , deci are loc (b) .
(b) (a) Fie (Mα) αεA o mulțime indexată de R – module stîngi injective . Din (b) avem E(αεA Mα) = αεA E(Mα) = αεA Mα , ultima egalitate rezultînd din propoziția 2.15.(a) , Mα fiind injective . Notînd M = αεA Mα , am obținut E(M) = M , adică M = αεA Mα este injectiv . Deci are loc (a) .
(a) (c) Considerăm un lanț ascendent de ideale stîngi în R : I1 ≤ I2 ≤ …… și notăm I = . Observăm că dacă a Є I , atunci a Є Ii pentru toți dar finit de mulți i Є N . Astfel există f : I → E(R/ Ii) definit prin Пi f(a) = a + Ii , a Є I . Din propoziția 2.4. rezultă că există un x Є E(R/ Ii) astfel încît f(a) = ax , pentru toți a Є I . Alegem acum n Є N astfel încît Пn+k (x) = 0 , k = 0,1,…… . Astfel In / In+k = Пn+k(f(I)) = Пn+k(Ix) = I Пn+k(x) = 0 sau echivalent In = In+k , pentru toți k = 0,1,…. Deci are loc (c) .
(c) (a) Fie R un inel noetherian stîng , I ≤ RR și f: I → αεAEα . Atunci, deoarece I este finit generat rezultă că Im f este conținută în αεFEα , pentru o anumită submulțime finită F A . Acum aplicînd propoziția 2.4. și faptul că produsele directe și sumanzii direcți ai modulelor injective sînt injective rezultă (a) .
COGENERATORI
Reamintim că un R – modul stîng C este un cogenerator dacă C cogenerează fiecare modul al categoriei R – modulelor stîngi R – MOD , adică C este cogenerator dacă și numai dacă fiecare R – modul stîng M poate fi scufundat într-un produs de copii ale lui C , O→ M→ C(A) (dacă și numai dacă Rej M(C)= 0).
În termeni de functori HomR(- , C) avem propoziția :
PROPOZIȚIA 2.17. Pentru un R – modul stîng C următoarele afirmații sînt echivalente :
C este cogenerator ;
Pentru fiecare morfism f în categoria R – MOD dacă HomR(f , C) = 0 , atunci f=0;
Pentru fiecare f : RM → RN morfism în categoria R – MOD , dacă f* : HomR(N, C) → HomR(M, C) este epimorfism , atunci f este monomorfism.
Un șir M’—f→M—g→M” este exact în categoria R – MOD dacă șirul HomR(M”, C) —g*→ HomR(M, C) —f*→ HomR(M’, C) este exact .
DEMONSTRAȚIE:
(a) (b) Din C cogenerator rezultă că pentru fiecare R – modul stîng N există mulțimea A și monomorfismul O→ N—g→C(A) . Fie f morfism in categoria R – MOD , f : M → N , astfel încît HomR(f, C) = 0 . Aplicăm functorul HomR(-, C) diagramei :
M
↓f
O→ N—g→C(A)
Din f* = HomR(f , C) = 0 f*(g) = g o f = 0 , ()g f = 0 .
(a) (d) Fie C un cogenerator și șirul M’—f→M—g→M” în categoria R – MOD astfel încît șirul HomR(M”, C) —g*→ HomR(M, C) —f*→ HomR(M’, C) este exact, adică g* este monomorfism , f* este epimorfism și Im g* = Ker f* . Atunci avem că f* g* = (gf)* = HomR(gf,C) = 0 . Cum are loc (a) și (a) (b) rezultă că avem gf = 0 Im f Ker g .
Pentru incluziunea inversă considerăm epimorfismul natural n : M → M/Im f . Atunci pentru fiecare h : M/Im f → C avem :
[f*(hn)](M’) = [(hn)f](M’) = hn (f(M’)) = hn(Im f) = h(n(Im f)) = h(0) = 0 ; deci f*(hn) = 0 hn Є Ker f* = Im g* . Astfel există α ∈ HomR(M, C) astfel încît hn = g*(α) = αg .
Dar acum avem h(Ker g / Im f) = (hn)( Ker g) = (αg)( Ker g) = α(g(Ker g)) = α(0) = 0 , de unde rezultă că Ker g / Im f ≤ Rej M / Im f (C) = 0 (deoarece C este cogenerator) . Astfel Ker g Im f . Deci are loc egalitatea , iar șirul este exact .
(d) (c) este clară .
(c) (a) nu este dificil de văzut că dacă n : M → M / RejM(C) este aplicația natuarlă , atunci n* : HomR(M/ Rej M(C),C) → HomR(M, C) este un izomorfism . Astfel sub ipoteza (c) n trebuie să fie monomorfism (pentru n* epimorfism) adică RejM(C) = 0 , deci C este cogenerator .
Rezultatul dual propoziției 1.15.este :
PROPOZIȚIA 2.18. Fie Q un R – morfism stîng injectiv . Următoarele afirmații sînt echivalente :
Q este un cogenerator;
HomR(T,Q) ≠ 0 pentru toate R – modulele stîngi simple T;
Q cogenerează fiecare R – modul stîng simplu .
DEMONSTRAȚIE: (a) (c) și (c) (a) sînt triviale .
(b) (a) Presupunem că R – modulul stîng Q satisface (b) .
Fie M un R – modul stîng și fie x Є M , x ≠ 0 . Deoarece modulul Rx este ciclic , rezultă că el conține un submodul maximal . Astfel din (b) rezultă că există morfismul nenul h : Rx → Q . Dar cum Q este injectiv , rezultă că h poate fi extins la un morfism : M → Q , cu (x) = h(x) ≠ 0 .Astfel RejM(Q)=0 , adică Q este cogenerator .
Acum putem vedea că există cogeneratori în categoria R – MOD . De fapt R – MOD conține un unic cel mai mic cogenerator (pînă la un izomorfism , desigur) CO pe care-l numim cogenerator minimal pentru categoria R – MOD.
PROPIZIȚIA 2.19. Fie IO o mulțime ireductibilă de reprezentanți ai modulelor simple în categoria R – MOD . Atunci CO = E(T), TЄIO ,este un cogenerator în R – MOD . Mai mult , pentru R – modulul stîng C sînt echivalente afirmațiile :
C este un cogenerator;
E(T) este izomorf cu un submodul direct al lui C pentru fiecare R – modul stîng semisimplu T ;
CO este izomorf cu un submodul al lui C .
DEMONSTRAȚIE : rezultă din propoziția anterioară că modulul injectiv Π E(T), TЄIO este un cogenerator . Dar acest modul este evident cogenerat de E(T), TЄIO . Astfel prima afirmație are loc și are loc și (c) (a) .
Pentru a vedea că (a) (b) observăm că dacă T este simplu și nu este conținut în nucleul lui f (T Ker f ) , unde f : E(T) → C , atunci Ker f ∩ T = 0 , dar deoarece T E(T) rezultă că f este monomorfism .
În final pentru a arăta că (b) (c) observăm că o mulțime ireductibilă a lui IO de submodule simple ale lui C trebuie să fie independentă , deci mulțimea { E(T) / TЄIO } a expresiilor lor esențiale este de asemenea independentă în C .
COROLAR 2.20. Un R – modul stîng M este finit cogenerat dacă și numai dacă pentru fiecare mulțime indexată de R – module stîngi (Mα)αεA și fiecare monomorfism O→M →ПαεA Mα , există un monomorfism O→M →ПαεF Mα , pentru o anumită submulțime finită F A.
DEMONSTRAȚIE : Necesitatea rezultînd de la module finite cogenerate , este deajuns să demonstrăm numai suficiența.
Din propoziția anterioară avem că M este cogenerat de anvelopele injective ale modulelor simple T1, T2 , …, Tn astfel încît M este izomorf cu un submodul al lui E(T1) … E(Tn) = E(T1 … Tn) . Acest modul , avînd soclul T1 … Tn este finit cogenerat . Deci M este finit cogenerat .
PROPOZIȚIA 2.21. Un modul M este finit cogenerat dacă și numai dacă E(M) E(T1) … E(Tn) pentru o anumită mulțime finită T1, T2 , …, Tn de module simple.
DEMONSTRAȚIE : Evident , E(T1) … E(Tn) E(T1 … Tn) are un soclu esențial finit cogenerat . Astfel , fiecare din modulele sale este finit cogenerat .
Invers , dacă SocM = T1 … Tn M , atunci E(M) E(T1) … E(Tn) .
În final observăm că cogeneratorii injectivi sînt distincți în clasa modulelor injective , așa cum generatorii proiectivi sînt distincți in clasa modulelor proiective.
Clasa cogeneratorilor injectivi este închisă față de formația de produse directe și un modul este injectiv dacă și numai dacă este un sumand direct al unui cogenerator injectiv.
Există , desigur , o diferență notabilă. Fiecare inel R posedă un cogenerator injectiv minimal unic (pînă la un izomorfism) și anume E(CO), dar, în general , un inel nu este necesar să aibă un generator proiectiv minimal .
COROLAR 2.22. Fie IO o mulțime ireductibilă de reprezentanți ai modulelor simple în categoria R – MOD . Atunci Q = E(T), TЄIO este un cogenerator injectiv în R – MOD . Mai mult , avem :
Q = E(CO);
Dacă Q’ este un cogenerator injectiv în categoria R – MOD , atunci există un monomorfism (scindat) Q → Q’.
DEMONSTRAȚIE : Evident CO Q astfel că (a) are loc și Q este un cogenerator injectiv . În final (b) rezultă din propoziția 2.19.
Rezultatele duale propozițiilor 1.17. și 1.18. sînt :
PROPOZIȚIA 2.23. Fie Q un R – modul stîng injectiv cu inelul de endomorfisme S = End (RQ) . Fie a Є S. Atunci a Є J(S) dacă și numai dacă Ker a Q (este modul esențial în Q) .
DEMONSTRAȚIE : Dacă Ker a E , atunci este suficient să demonstrăm că aS << Ss (din teorema de caracterizare a radicalului unui inel). Restul demonstrției este compet dual celui din propoziția 1.17.
COROLAR 2.24. Fie Q un R – modul stîng injectiv astfel încît SocQ E (de exemplu dacă RQ este finit cogenerat) . Fie S = End (RE) .
Atunci J(S) = rS (Soc(Q)) și S/J(S) End (R SocQ) .
DEMONSTRAȚIE : duală celei din propoziția 1.18.
=== INJECTIVITATE3 ===
CAPITOLUL III
INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ
♦3. CATEGORII ȘI FUNCTORI
CATEGORII
DEFINIȚIA 3.1. Spunem că s-a dat o categorie C dacă s-a dat oclasă ObC ale cărei elemente se numesc obiectele lui C și pentru orice pereche ordonată (M,N) de obiecte din C s-a dat o mulțime notată HomC(M,N) , eventual vidă , numită mulțimea morfismelor de la M la N astfel încît :
pentru orice triplet de obiecte ale lui C s-a dat o aplicație
μ : HomC(M,N) * HomC(N,P) → Hom C(M,P) prin (u,v) → μ(u,v) = v o u , numită compunerea morfismelor.
Compunerea morfismelor este asociativă , adică pentru M,N,P,R obiecte ale lui C și u Є HomC(M,N) , v Є HomC(N,P) , w Є HomC(P,R) , atunci w o (vou) = (w o v) o u ;
Oricare ar fi obiectul M al lui C , există 1M Є HomC(M,N) numit morfismul identic al obiectului M astfel încît u o 1M = u și 1M o v =v , oricare ar fi morfismele u Є HomC(M,Y) și v Є HomC(X,M) ;
Dacă (M,N) ≠ (M’,N’) , atunci HomC(M,N) ∩ HomC(M’,N’) = Ø .
OBS. Vom scrie M Є ObC M Є C și u Є HomC(M,N) u : M → N sau M—f→N . Obiectul M se numește domeniul (sursa) morfismului u , iar N se numește codomeniul (cosursa sau adresa ) morfismului u.
O categorie C în care ObC este o mulțime se numește categorie mică . Duala unei categorii , notată CO , este categoria pentru care ObC = ObCO ; HomCO(M,N) = HomC(M,N) , iar pentru u Є HomC(M,N) și v Є HomC(M,P) , atunci v*u = u o v
Subcategoria C ‘ a lui C este categoria pentru care ObC ‘ ObC ; HomC ‘(M,N) HomC(M,N) pentru M,N Є Ob C ‘ ; compunerea morfismelor în C ‘ este indusă de compunerea din C ; 1M este aceeași pentru M Є ObC ‘ .
O subcategorie C ‘ a lui C se numește plină dacă HomC ‘(M,N) = HomC(M,N) , pentru M,N Є Ob C ‘ .
Fie (Ci )iЄI o familie de categorii. Se numește produs de categorii o categorie C pentru care ObC = (Mi) i Є I , Mi Є Ci , i Є I , HomC(M,N) = X i Є I HomCi(Mi,Ni) , unde M = (Mi) iЄI , N = (Ni) iЄI și M,N Є Ob C . Se notează C = П iЄI Ci .
EXEMPLE :
1o.CATEGORIA ENS.
Obiectele categoriei sînt mulțimile .Cacă M și N sînt două mulțimi , atunci HomEns(M,N) este mulțimea tuturor funcțiilor f : M → N . Compunerea morfismelor în categoria Ens este compunerea uzuală a funcțiilor . Morfismul identic al obiectului M este aplicația identică a lui M . Pentru ca punctul (d) al definiției 3.1. să fie satisfăcut trebuie să considerăm egale două funcții M—f→N , M’—g→N’ dacă M = M’ , N = N’ și f(x) = g(x) , oricare ar fi x Є M .
2o.CATEGORIA GR.
Obiectele categoriei GR sînt grupurile . Dacă G și G’ sînt două grupuri , atunci HomGR(G,G’) este mulțimea tuturor morfismelor de grupuri de la G la G’ . Compunerea morfismelor în categoria GR este compunerea uzuală a morfismelor de grupuri .
3o.CATEGORIA AB.
Obiectele categoriei AB sînt grupurile abeliene , iar morfismele sînt morfismele de grupuri .
4o.CATEGORIA R – ALG .
Obiectele categoriei R – ALG sînt R – algebrele (unde R este un inel comutativ și unitar) , iar morfismele categoriei R – ALG sînt morfismele de R – algebre .
5o.CATEGORIA RC = R – MOD.
Obiectele categoriei RC sînt modulele la stînga peste inelul unitar R , morfismele categoriei RC sînt morfismele de R – module . Se numește categoria R – modulelor la stînga . Analog se introduce categoria R – modulelor la dreapta .
DEFINIȚIA 3.2. Fie C o categorie și u : M→N un morfism în C .
u se numește monomorfism dacă oricare ar fi P Є C și oricare ar fi ξ,η Є HomC(P,M) atunci din u o ξ = u o η rezultă ξ = η ;
u se numește epimorfism dacă oricare ar fi P Є C și oricare ar fi fi ξ,η Є HomC(P,M) atunci din ξ o u = η o u rezultă ξ = η;
u se numește izomorfism dacă există u’ : M→N astfel încît u’ o u = 1M și u o u’ =1N ; u’ se numește inversul lui u .
OBS. Dacă R este inel , atunci în categoria RC noțiunile de monomorfism și epimorfism coincid cu cele de homomorfisme injective și surjective .
DEFINIȚIA 3.3. Fie C o categorie și M Є C , u Є HomC(V,M) și v Є HomC(V,M) . Spunem că u majorează v și scriem vu dacă există ξ : V→U astfel încît u o ξ = v .
Dacă există ξ ,cum v = u o ξ este monomorfism rezultă ξ monomorfism și din u monomorfism , ξ este unic .
Această relație este reflexivă și tranzitivă.
Spunem că morfismele u și v sînt echivalente dacă uv și vu , adică există ξ : V→U izomorfism astfel încît v = u o ξ . Astfel relația devine echivalentă , deci putem alege , pe baza xiomei alegerii , din fiecare clasă de monomorfisme echivalente , cîte un reprezentant numit subobiect al obiectului M . Vom identifica subobiectele lui M prin perechea (U,u), u : U → M monomorfism numit injecția canonică .
Noțiunea duală de subobiect este cea de obiect cît , iar monomorfismul canonic se numește surjecție canonică .
NOTAȚIE: Pentru un obiect M Є C , P(M) reprezintă clasa subobiectelor lui M , iar Q(M) clasa obiectelor cît ale lui M , ordonate în raport cu relația “”. Subobiectul asociat monomorfismului M—1N→M îl notăm M și-l vom numi subobiectul total al lui M ; acesta este ultimul element în mulțimea (P(M),) .
FUNCTORI
DEFINIȚIA 3.4. Fie C și D două categorii. Spunem că am definit un functor covariant (respectiv contravariantat) F de la C la D dacă s-au dat :
o aplicație M→ F(M) de la obiecte ale categoriei C în D;
pentru fiecare pereche (M,N) de obiecte din C , o aplicație U→ F(U) de la HomC(M,N)→HomD(F(M),F(N)); respectiv HomC(M,N)→HomD(F(N),F(M)) astfel încît să avem :
(b1) F(1M) = 1f(M) , oricare ar fi M Є C ;
(b2) M—u→N și N—v→P morfisme în C , atunci F(vou)=F(v)oF(u)(respectiv F(vou)=F(u)oF(v)) .
Fie F,G functori covarianți de la C la D . Spunem că s-a dat un morfism functorial φ de la F în G și notăm φ :F → G dacă pentru orice M Є C s-a dat un morfism φ(M) :F(M) → G(M) astfel încît , dacă u :M → N , atunci următoarea diagramă este comutativă:
F(M) — φ(M) → G(M)
F(u)↓ ↓G(u)
F(M) — φ(M) → G(M)
Dacă φ(M) este izomorfism pentru orice M Є C , spunem că φ este izomorfism functorial .
DEFINIȚIA 3.5. Categoria C se numește preaditivă dacă :
oricare ar fi M,N Є C , se dă pe HomC(M,N) o structură de grup abelian notată aditiv ; elementul nul (zero) se numește morfismul nul (sau zero) de la M la N pe care-l notăm O;
oricare ar fi M,N,P Є C și u,u2,u1 Є HomC(M,N) , v,v2,v1 Є HomC(N,P) , atunci v o (u1 + u2) = v o u1+ v o u2 și (v1 + v2) o u = v1 o u + v2 o u ;
există cel puțin un obiect x Є C astfel încît 1X = 0 .
Un obiect ce verifică condiția (c) se numește obiect nul al categotiei C . Deoarece două obiecte nule sînt izomorfe , obiectele nule se notează generic O.
Dacă M este un obiect arbitrar în C , există și sînt unice morfismele O → M și M→O . Astfel morfismul nul M→N este compunerea morfismelor M→O și O→N . Cum O → M este un morfism , subobiectul asociat se notează O și se numește subobiectul nul al lui M, iar acum M→O este un epimorfism , obiectul cît asociat se notează O și se numește obiectul cît nul al lui M .
Fie C și D două categorii preaditive . Functorul F : C → D se numește aditiv dacă oricare ar fi M,N Є C și oricare ar fi u,v Є HomC(M,N) avem F(u+v) = F(u)+F(v) .
DEFINIȚIA 3.6. Fie C o categorie preaditivă și u: M→N morfism în C . Un nucleu al morfismului u este o pereche (A,i) , cu A Є C și I : A → M morfism astfel încît :
u o I = 0
() x Є C și oricare ar fi f : X → M pentru care u o f = 0 , există g : X → A morfism astfel încît f = i o g .
A—i→ M—u→ U
X
Un conucleu al morfismului u este o pereche (B,p) cu B Є C și p : N → B morfism astfel încît :
p o u = 0 ;
oricare ar fi y Є C și oricare ar fi h: N → Y pentru oricare h o u = 0 există j : B → V morfism astfel încît h = j o p .
M—u→ N—p→ B
Y
O imagine a morfismului u este un nucleu al morfismului p , unde (B,p) este un conocleu al lui u.
O coimagine a morfismului u este un conucleu al morfismului i , unde (A,i) este un nucleu al lui u .
PROPOZIȚIA 3.7.
Dacă (A,i) este un nucleu al morfismului u : M → N , atunci i este monomorfism.
Dacă (B,p) este un conucleu al morfismului u : M → N , atunci p este epimorfism.
DEFINIȚIA 3.8. Fie C o categorie preaditivă . Spunem că C satisface axioma :
AB1) dacă pentru orice morfism din C , există un nucleu și un conucleu.
Fie C o categorie care satisface AB1) ; spunem că C satisface :
AB2) dacă pentru orice morfism u din C , morfismul canonic : CoIm u → Im u este un izomorfism , unde este dat de :
A—i→ M—u→ N—p→ B
C —→ I
Fie C o categorie și (Mi) iЄI o familie de obiecte din C . Se numește produs direct al familiei date de obiecte perechea (M, (pi)iЄI) ,cu M Є C , pi : M → Mi , i Є I , o familie de morfisme astfel încît , aricare ar fi x Є C și fi : X → Mi , i Є I o familie de morfisme , există un unic morfism fi : X → M pentru care pi o f = fi , pentru toți i Є I . Se notează M = П iЄI Mi ; pi se numesc proiecții canonice.
Spunem că C satisface axioma :
AB3*) dacă pentru orice familie de obiecte (Mi)iЄI din C , cu I mulțime oarecare , axistă in C cel puțin un produs direct al acestei familii .
Dacă C satisface AB3*) spunem că C este categorie cu produse directe.
Fie C o categorie și (Mi)iЄI o familie de obiecte din C . Se numește sumă directă (coprodus) a familiei date de obiecte, perechea (M, (αi)iЄI) , cu M Є C , și αi : Mi → M , i Є I o familie de morfisme , astfel încît , aricare ar fi x Є C și fi : Mi → X , i Є I o familie de morfisme , există un unic morfism f : M → X pentru care f o αi = fi , pentru toți i Є I.. Se notează M = iЄI Mi : αi se numesc injecții canonice.
Spunem că C satisface axioma :
AB3) dacă pentru orice familie de obiecte (Mi)iЄI cu I mulțime arbitrară ,există în C, o sumă finită .
Dacă C satisface AB3) spunem că C este o categorie cu sume directe.
O categorie preaditivă C cu proprietea că există suma directă a oricăror două obiecte se numește aditivă . O categorie C preaditivă ce verifică AB1) se numește preabeliană .O categorie aditivă ce verifică AB1) și AB2) se numește abeliană .Dacă ocategorie abeliană C verifică AB3) și AB3*) , atunci (P(M),) este o latice completă .
Fie C o categorie ce verifică AB3) . Spunem că C satisface :
AB4) dacă orice sumă directă a unei familii de monomorfisme este un monomorfism (sau echivalent functorul sumă directă e exact).
AB5) dacă pentru orice familie (Ai)iЄI de subobiecte ale lui M , filtrantă crescător relativ la relația “” și pentru orice subobiect B al lui M avem (Σ i Є IAi) ∩ B = Σ i Є I(Ai ∩ B) .
O familie de obiecte (Ui)iЄI din C reprezintă o familie de generatori dacă pentru orice A Є C și orice B subobiect al lui A ,diferit de obiectul total A , există i Є I și u : Ui → A morfism care nu poate factoriza prin morfismul α : B → A , cu α injecția canonică .
Spunem că obiectul U Є C este generator al categoriei dacă familia {U} constituie o familie de generatori pentru categoria C. Noțiunea duala este aceea de cogenerator.
DEFINIȚIA 3.9. O categorie abeliană C satisfăcînd AB5) și care are un generator se numește categorie Grothendieck.
FUNCTORUL HOM ȘI EXACTITATEA
Fie R și S inele și U un (R,S) – bimodul . Atunci pentru fiecare R – modul stîng M există două S – module : HomR(RUS,RM) Є S – MOD și HomR(RM,RUS) Є MOD – S . Astfel aplicațiile RM → HomR(RUS,RM) și RM → HomR(RM,RUS) definesc functorii de la R – MOD la S – MOD respectiv de la R – MOD la MOD – S . Acești functori pot fi extinși la functori aditivi în categoriile de module corespunzătoare și sînt de importanță fundamentală în analiza acestor categorii .
Fie RUS un (R,S) – bimodul și f: RM → RN un morfism în categoria R – MOD . Atunci pentru fiecare γ Є HomR(U,M) , fγ Є HomR(U,N) iar HomR(U,f) : γ → fγ este un S – morfism , unde HomR(U,f) : HomR(U,M) → HomR(U,N) deoarece pentru orice γ 1 , γ2 Є HomR(U,M) și s1,s2 Є HomR(U,N) avem
f o (s1 γ 1 + s2 γ 2) (u) = f (γ1(u s1) + γ2(u s2)) = (f γ1)(u s1) + (f γ2)(u s2) = [s1(f γ1) + s2(f γ2)](u), oricare ar fi u Є U .
Astfel am definit functorul HomR(U,-) : R – MOD → S – MOD prin HomR(U,-) : M → HomR(U,M) și HomR(U,-) : f → HomR(U,f). Se mai folosește notația f* = HomR(U,f) ; astfel pentru f : M → N morfism în R – MOD , atunci f* este caracterizat prin :
M —f→ N
U
Analog pentru R – morfismul f : RM → RN putem defini aplicația f* = HomR(f,U) : HomR(N,U) → HomR(M,U) prin γ —f*→ γf . Astfel am definit functorul HomR(-,U) : R – MOD → MOD – S prin
HomR(-,U) : M → HomR(M,U) și HomR(N,U) : f→ HomR(f,U) . Se arată că f* este un S– morifsm caracterizat prin diagrama :
M —f→ N
U
TEOREMA 3.10. Fie R și S inele și U un (R,S) – bimodul . Atunci :
HomR(U,-) : R – MOD → S – MOD este un functor aditiv covariant ;
HomR(-,U) : R – MOD → MOD – S este un functor aditiv cotravariant.
DEMONSTRAȚIE: Vom arăta doar că HomR(-,U) inversează compunerile și păstrează adunarea ; restul demonstrației va fi omisă . Fie f : M → M’ , g : M’ → M” și γ Є HomR(M”,U). Atunci (g o f) * (γ) = γ o (g o f) = (γ o g )o f = f * (γ o g) = f*(g* (γ)) = (f* o g* )(γ) . Deci este contravariant și (g o f) * = f* o g*.
Fie f,g : M → N și γ Є HomR(N,U).
Atunci (f+g)*( γ) = γ o (f+g) = γ o f + γ o g = f* (γ ) + g* (γ ) = (f*+g*)( γ) .
PROPZIȚIA 3.11. Fie Fie C și D două categorii pline ale categoriei de module stîngi , respectiv drepte peste inelele R și S ; F : C → D , G : C → D , doi functori aditivi covarianti , respectiv contravarianti .Dacă O→L—f→M—g→N→O este un șir exact scindat în C , atunci ambele șiruri O→F(L)—F(f) →F(M)—F(g) →F(N)→O , respectiv O→G(N)—G(g) →G(M)—G(f) →G(L)→O sînt exact scindate în D .
În particular dacă g : M →N este un izomorfism , atunci F(g) , G(g) sînt izomorfisme.Vom demonstra acest rezultat împreună cu următoarea propoziție .
PROPZIȚIA 3.12. În aceleași condiții dacă M , Mi ,i = sînt module în RC și M = Mi , cu ii , Πi , i = injectiile și proiecțiile canonice , atunci :
F(M) = F(Mi) cu injecțiile F(ii) și proiecțiile F(Πi) , i = ;
G(M) = G(Mi) cu injecțiile G(Πi) și proiecțiile G(ii), i = .
DEMONSTRAȚIE: Avem că F : HomR(M,N) → HomS(F(M),F(N)) este morfism de grupuri , iar pentru aplicația nulă , F este nul.
Din aditivitatea și covariația lui F avem: Σni=1 F(ii) F(Πi) = F(Σni=1 ii Πi) = F(1M) = 1F(M) și F(Πi) F(ij) = F(Πi ij) = F (τij 1Mi) = τij 1F(Mi) .
Se demonstrază în mod analog .
Propoziția anterioară este un caz particular al acesteia.
În aceleași condiții fie fi : Mi →N , i = morfisme în RC ; atunci aplicînd F diagramei corespunzătoare avem pentru fiecare i = :
Mi —fi→ N F( Mi) = F( Mi) —F(fi)→ F(N)
Mi F(Mi)
Din propozoția 3.12. și din unicitatea aplicației sumă directă avem : F( fi) = F( fi), deci relativ la injectivele F(ii) , i = F păstează sumele directe finite de morfisme la fel ca și de module.
Analog avem F(Пni=1 gi ) = Пni=1 F (gi ) ; G( fi) = Пni=1 G (fi ) și
G(Пni=1 gi ) = G( gi) .
SUME ȘI PRODUSE DIRECTE SUB HOM
Pentru U un (R,S) bimodul știm că functorii HomR(-,U) și HomR(U,-) sînt aditivi . Rezultă din propziția anterioară că “păstrează” sumele directe finite. De fapt ei se comportă chiar mai bine după cum arată următoarea propoziție.
PROPOZIȚIA 3.13. : Fie U un (R,S) bimodul și (Mα) αЄA o mulțime indexată de R – module stîngi .
Dacă (M, (gα)αЄA) este produs direct al lui (Mα)αЄA, atunci (HomR(US ,M) , HomR(US , (qα)αЄA) este un produs direct al S – modulelor stîngi HomR(US , (Mα)αЄA).
Dacă (M, (jα) αЄA) este sumă directă a lui (Mα) αЄA, atunci (HomR(M , US) , HomR(jα ,US)αЄA )este un produs direct al S – modulelor drepte HomR(Mα ,US )αЄA.
DEMONSTRAȚIE : (a) se demonstrază analog cu (b)
Fie (Пα) αЄA proiecțiile pentru produsul direct П αЄA HomR(Mα ,US ) . Știm de la sume și produse directe că există un S – morfism în care face comutativă diagramele pentru toți αЄA :
HomR(M ,US ) —η→ П αЄA HomR(Mα ,US )
HomR(Mα ,US )
Dacă γ = Ker η , atunci : 0 = (П α o η) (γ) = HomR(jα ,US ) (γ) = γ jα , pentru toți αЄA . Cum M Σ αЄA Im jα reyultă γ = 0 , deci η este monomorfism .
Dacă (γ α) αЄAЄ П αЄA HomR(Mα ,US ) , atunci aplicația sumă directă αЄA γ α , făcînd diagramele comutative, pentru orice αЄA satisface:
M — αЄA γα→ U
Mα
(П α o η) (αЄA γα) = HomR(jα ,US ) (αЄA γα) = (αЄA γα) j α = γα
Astfel η este este un izomorfism și demonstrația este completă.
Inversînd variabilele observăm că propoziția 3.13. leagă functorii HomR(αЄA Uα , – ) și HomR( – , П αЄA Uα) de functorii HomR(Uα , – ) și HomR( – ,Uα) , adică HomR(αЄA Uα , M) П αЄA HomR(Uα , M) și HomR(M , П αЄA Uα) П αЄA HomR(M, Uα). Următorul corolar arată că aceste relații sînt “naturale” :
COROLAR 3.14. Fie (Uα )αЄA o mulțime indexată de R – module stîngi . Dacă M,N sînt R – module stîngi , atunci există Z – izomorfismele ηM , ηN , γM , γN astfel încît pentru orice f : RM → RN diagramele următoare sînt comutative:
HomR (A Uα , f)
HomR (A Uα , M) HomR (A Uα , N)
П A HomR (Uα , M) П A HomR (Uα , N)
П A HomR (Uα , f)
HomR (f , П A Uα)
HomR (N , П A Uα) HomR (M , П A Uα)
П A HomR (N , Uα ) П A HomR (M , Uα)
П A HomR (f , Uα)
DEMONSTRAȚIE : (a) se demonstrează similar cu (b)
(b) Fie (g α) αЄA proiecțiile pentru П A Uα și fie (П α) αЄA , (П’ α) αЄA proiecțiile pentru П A HomR (N , Uα ) și П A HomR (M , Uα) respectiv .Din propoziția 3.13. există izomorfismele : γN : HomR ( N , П A Uα) → П A HomR (N , Uα ) și γM : HomR (M , П A Uα) → П A HomR (M , Uα) , astfel încît П α γN = HomR (N , g α) și П’α γM = HomR (M , g α) , pentru toți αЄA .
Dacă γ Є HomR ( N , П A Uα) , atunci pentru toți αЄA , avem : П’α(П A HomR (f , Uα) (γN(γ))) = HomR (f , Uα)( Пα(γ)) = HomR (f , Uα)( HomR (M , gα)( γ)) = gα γ f = HomR (M , gα) (HomR (f , П A Uα) (γ)) = П’α (γM(HomR (f , П A Uα) (γ)) . Astfel diagrama comută așa cum doream .
FUNCTORI EXACȚI
DEFINIȚIA 3.15. Fie C și D subcategorii pline ale categoriei de module și F : C → D un functor covariant . Dacă pentru fiecare șir exact scurt în C , O→L→M→N→O,
șirul O→F(L)→F(M)→F(N) este exact în D , atunci F se numește exact la stînga ;
șirul O→F(L)→F(M)→F(N) →O este exact în D , atunci F se numește exact la dreapta ;
Un functor exact la stînga și la dreapta se numește functor exact .
Analog se definaște un functor contravariant .
PROPOZIȚIA 3.16. Functorii Hom sînt exacți la stînga . Astfel , în particular , dacă U este un R – modul stîng , atunci pentru fiecare șir exact O→L—f→M—g→N→O în R – MOD , avem că șirurile :
O → HomR(U , L) —f*→ HomR(U , M) —g*→HomR(U , N)
O → HomR(N , U) —g*→ HomR(M , U) —f*→ HomR(L , U) sînt exacte .
DEMONSTRAȚIE: Prezentăm numai cazul contravariant .
Dacă γ Є HomR(N,U) și 0 = g*( γ) = γg γ = 0 (g este epimorfism) .
Astfel , g* este monomorfism .
Deoarece functorii Hom sînt aditivi avem f*g* = (gf)* = 0 * = 0 , adică Im g* Ker f* . Pentru incluziunea inversă , fie β Є Ker f*f*(β) = 0 = βf. Deci Ker β Im f = Ker g . Astfel , teorema factorizării arată că β factorizează prin g , adică β = γg = g* (γ) Є Im g* ; deci Ker f* Im g* . Aceasta implică egalitatea Im g* = Ker f* și deci exactitatea șirului .
♦4. MODULE M – INJECTIVE ȘI M – PROIECTIVE
Conceptele de module M – njective și M – proiective au fost introduse de Sandomierski în 1964 și independent , de Robert în 1969 . Aceste două concepte duale extind noțiunile de module cvasi – injective și cvasi – proiective și sînt analoage modulelor – plate ale lui Bourbaki (1961 – 1965) .
Scopul acestui paragraf este de a da proprietățile de bază ale modulelor M – injective și M – proiective și de asemenea reformularea lor în situații generate pe categorii abeliene .
DEFINIȚIA 4.1. Fie M un R – modul stîng . Un R – modul stîng Q se numește M – injectiv (sau injectiv relativ la M) dacă pentru fiecare monomorfism j Є HomR(M’,M) și fiecare f Є HomR(M’,Q) , atunci există Є HomR(M,Q) astfel încît următoarea diagramă este comutativă , adică f = o j .
O → M’ —j→ M
Q
Un R – modul stîng P se numește M – proiectiv (sau proiectiv relativ la M) dacă pentru fiecare epimorfism p Є HomR(M,M”) și fiecare g Є HomR(P,M”) , atunci există Є HomR(P,M) astfel încît următoarea diagramă este comutativă , adică g = p o .
P
M —p→ M” → O
PROPOZIȚIA 4.2. Fie R,Q Є R – MOD . Atunci următoarele afirmații sînt echivalente :
Q este M – injectiv ;
Pentru fiecare submodul M’ M , morfismul f Є HomR(M’,Q) poate fi extins la un morfism Є HomR(M,Q) (adică f factorizează prin iM’ :M’ → Q);
pentru fiecare șir exact acurt din R – MOD cu termenul din mijloc M , O → M’ —j→ M —p→ M” → O , șirul de grupuri abeliene O → HomR(M”,Q) —p*→ HomR(M,Q) —j*→ HomR(M’,Q) → O este exact .
DEMONSTRAȚIE :
(a)(b) demonstrația este evidentă din faptul că M’ e submodul în M și din definiția 4.1.
(a)(c) din propoziția 3.16.functorul HomR(-,Q) , hQ : R – MOD → ab este exact la stînga . Atunci , șirul O → HomR(M”,Q) —p*→ HomR(M,Q) —j*→ HomR(M’,Q) → O este exact dacă și numai dacă j* este surjectiv pentru orice f Є HomR(M’,Q) , există Є HomR(M,Q) astfel încît j*() = f = o j Q este M – injectiv .
PROPOZIȚIA 4.3. Fie M,P Є R – MOD . Atunci următoarele afirmații sînt echivalente :
P este M – proiectiv ;
Pentru fiecare submodul M’ M , fiecare morfism g Є HomR(P,M/M’) factorizează prin epimorfismul natural nM’ : M → M/M’ ;
Pentru fiecare șir exact scurt din R – MOD cu termenul din mijloc M , O → M’ —j→ M —p→ M” → O , șirul de grupuri abeliene O → HomR(P,M’) —j*→ HomR(P,M) —p*→ HomR(P,M”) → O este exact .
DEMONSTRAȚIE :
(a)(b) demonstrația este evidentă din faptul că M’ M și din definiția 4.1.
(a)(c) ținînd cont de propoziția 3.16. șirul O → HomR(P,M’) —j*→ HomR(P,M) —p*→ HomR(P,M”) → O este exact dacă și numai dacă p* este surjectiv pentru orice g Є HomR(P,M”) există Є HomR(P,M) astfel încît p* = g = p o Q este M – proiectiv.
În consecință cu definiția 4.1. avem Q Є R – MOD se numește injectiv dacă Q este injectiv relativ la fiecare M Є R – MOD și P Є R – MOD se numește proiectiv dacă P este proiectiv relativ la fiecare M Є R – MOD .
COROLAR 4.4. Un modul Q este injectiv dacă și numai dacă functorul aditiv contravariant HomR(-,Q) este exact în R – MOD . Un modul P este proiectiv dacă și numai dacă functorul aditiv covariant HomR(P,-) este exact în R – MOD .
CLASE DE INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ
Fie C o clasă nevidă de R – module stîngi .
DEFINIȚIA 4.5. Un R – modul stîng X este C – injectiv dacă X este M – injectiv , pentru fiecare M Є C . Un R – modul stîng X este C – proiectiv dacă X este M – proiectiv , pentru fiecare M Є C .
NOTAȚII : I (C) = clasa tuturor R – modulelor stîngi C – injective .
P(C) = clasa tuturor R – modulelor stîngi C – proiective .
Dacă C conține un singur R – modul stîng M , atunci vom folosi notațiile I(M) și P(M) pentru I (C) respectiv P(C) .
OBS . 1o. Pentru fiecare clasă nevidă C de R – module stîngi , avem O Є P(C) ∩ I(C) (adică modulul O este M – injectiv și M – proiectiv oricare ar fi M Є C) și R – MOD = I (O) = P(O) (adică orice R – modul stîng este O – injectiv și O – proiectiv ) .
2o. I(R – MOD) = clasa tuturor R – modulelor stîngi injective .
P(R – MOD) = clasa tuturor R – modulelor stîngi proiective .
EXEMPLE :
1o. Pentru fiecare R – modul stîng semisimplu M avem I(M) = I(P) = R – MOD .
2o. Fiecare grup abelian fără torsiune , este injectiv relativ la fiecare grup de torsiune , adică dacă notăm F = clasa grupurilor abeliene fără torsiune și T = clasa grupurilor abeliene de torsiune , atunci avem F I(T) .
3o. Fiecare grub abelian divizibil este Z – proiectiv .
DEFINIȚIA 4.6. Fie C o clasă nevidă de R – module stîngi . Spunem :
C este închisă la obiecte factor dacă pentru fiecare șir exact X→ X” → O în R – MOD avem X Є C X” Є C ;
C este închisă față de subobiecte dacă pentru fiecare șir exact O→X’→X în R – MOD avem X Є C X’ Є C ;
C este închisă la extensii dacă pentru fiecare șir exact O→X’→X→X” →C în R – MOD avem X’ Є C și X” Є C X Є C ;
C este închisă la sume directe (respectiv închisă la sume directe finite) dacă pentru fiecare mulțime nevidă I (respectiv mulțime nevidă finită I) și pentru fiecare familie (Xi)iЄI oricare ar fi i Є I , atunci i Є I Xi Є C ;
C este stabilă (sau închisă la anvelope injective) dacă pentru fiecare X Є C , anvelopa sa injectivă E(X) Є C ;
C este o clasă Serre dacă este închisă la subobiecte , odiecte factor și extensii .
PROPOZIȚIA 4.7. Fie C o clasă nevidă de R – module stîngi și (Xi)iЄI o familie nevidă de R – module stîngi . Atunci :
П iЄI Xi Є I(C) dacă și numai dacă Xi Є I(C) , pentru toți i Є I ;
iЄI Xi Є P(C) dacă și numai dacă Xi Є P(C) , pentru toți i Є I .
DEMONSTRAȚIE :
Fie șirul exact în R – MOD , cu M Є C , O → M’ —j→ M —p→ M” → O . Avem corespunzător diagrama comutativă cu liniile exacte :
O → HomR(M”, П i Є I Xi) → HomR(M, П i Є I Xi) —j*→ HomR(M’, П i Є I Xi)
O→П i Є IHomR(M”,П i Є I Xi)→П i Є IHomR(M,П i Є I Xi)→П i Є IHomR(M’,П i Є I Xi)
Deci HomR(j, ПiЄI Xi) = j* este epimorfism dacă și numai dacă ПiЄIHomR(j ,Xi) este epimorfism dacă și numai dacă HomR(j ,Xi) este epimorfism , pentru orice j Є I . Deci are loc (a) .
se demonstrază analog .
OBS . Propoziția anterioară arată că clasa I (C) este închisă la produse directe , iar clasa P(C) este închisă la sume directe . În general nici clasa I (C) nici P(C) nu sînt închise la la subobiecte , obiecte factor și extensii .
COROLAR 4.8. Fie (Xα)αЄA o mulțime indexată de R – module stîngi . Atunci : (a) αЄA Xα este proiectiv dacă și numai dacă Xα este proiectiv , pentru orice α Є A ;
(b) ПαЄA Xα este injectiv dacă și numai dacă Xα este injectiv , pentru orice α Є A .
DOMENII DE INJECTIVITATE ȘI PROIECTIVITATE RELATIVĂ
DEFINIȚIA 4.9. Pentru fiecare clasă nevidă C de R – module stîngi :
I-1 (C) = {M Є R – MOD / X este M – injectiv , oricare ar fi X Є C} se numește domeniu de relativă injectivitate a lui C ;
P-1(C) = {M Є R – MOD / X este M – proiectiv , oricare ar fi X Є C} se numește domeniu de relativă proiectivitate a lui C .
OBS . 1o. Dacă C conține un singur R – modul stîng , atunci vom folosi notațiile I-1 (X) și P-1(X) pentru I-1 (C)și respectiv P-1(C) .
2o. Aceste clase sînt nevide deoarece O Є I-1 (C) ∩ P-1(C) .
3o. X este injectiv I-1 (X) = R – MOD și
X este proiectiv P-1 (X) = R – MOD .
Vom studia în continuare comporatrea claselor I-1 (C) și P-1(C) relativ la subiecte , obiecte factor , sume și produse directe .Vom arăta în acest sens că se comportă mai natural decît clasele I(C) și P(C) .
LEMA 4.10. Fie în R – MOD diagrama comutativă cu liniile exacte :
E —f→ F —g→ G
E’—f’→F’—g’→G’
Dacă β este un epimorfism și f’ , γ sînt monomorfisme , atunci α este un epimorfism .
PROPOZIȚIA 4.11. Fie Q un R – modul stîng . Atunci avem :
(a) Dacă O → M’ —j→ M —p→ M” → O este un șir exact în R – MOD și Q este M – injectiv , atunci Q este M’ – injectiv și M” – injectiv .
(b) Dacă (Mi)iЄI este o familie de R – module stîngi și Q este Mi – injectiv pentru fiecare i Є I , atunci Q este iЄI Mi – injectiv .
DEMONSTRAȚIE :
Presupunem că avem șirul exact din ipoteză și că Q este M – injectiv .
Arătăm că Q este M’ – injectiv .
Pentru aceasta fie șirul exact O → N’ —h’→ M’ cu h’ monomorfism ; atunci functorul T = hQ = HomR(- , Q) este contravariant , iar șirul HomR(M’ , Q) —h’*→ HomR(N’ , Q) →O este exact , unde h’* = hQ(h’) = T (h’) este epimorfism . Cum h’ : N’ → M’ și j : M’ → M sînt monomorfisme , rezultă că j o h’ Є HomR(N’ , M) este monomorfism și deoarece Q este M – injectiv rezultă că există T(j o h’) = T (h’) o T (j) epimorfism , deci T (h’) este epimorfism ceea ce implică Q este M’ – injectiv .
Arătăm că Q este M” – injectiv .
Pentru aceasta fie șirul exact O → N” —h”→ M” cu h” monomorfism ; atunci există diagrama comutativă cu liniile și coloanele exacte :
O O
↓ ↓
O → M’ → N’→ N” → O
║1M’ ↓h ↓h”
O → M’ → M → M” → O
Aplicînd functorul contravariant T = hQ = HomR(- , Q) acestei diagrame , obținem următoarea diagramă comutativă cu liniile exacte :
T(M”) —T(P)→ T(M) —T(j)→ T(M’)
↓T(h”) ↓T(h”) ↓T(1M’) = 1T(M’)
O → T(N”) → T(N’) → T(M’)
Deoarece Q este M – injectiv rezultă că pentru h monomorfism , avem T(h) este epimorfism și conform lemei 4.10. rezultă T(h”) este epimorfism , ceea ce implică Q este M” – injectiv .
(b) Notăm M = iЄI Mi și fie L M și f Є HomR(L , Q) . Considerăm mulțimea F = {(L’,f’) / LL’M, f’ Є HomR(L’ , Q) și f’/L = f } care poate fi ordonată în raport cu următoarea relație de ordine dată prin : (L’,f’) (L”,f”) dacă și numai dacă LL’ și f”/L’ = f’ .
Evident aceatsă mulțime ordonată este inductivă deoarece :
fie fi Є {(Lα,fα) αЄΩ} o familie total ordonată de elemente din L ; considerăm L* = αЄΩ Lα care este submodul al lui M și aplicația f* : L* → Q definită astfel : dacă x Є L* , atunci există αЄΩ astfel încît x Є Lα ; în acest caz luăm f*(x) = fα(x) . Dacă Lα Lβ , atunci f*(x) = fα(x) = f β/ Lα(x) = f β(x) , adică f* este bine definită . Este clar acum că (L*,f*) Є F și deci (F , ) este inductivă .
Fie acum (Lo,fo) Є F , element maximal în F . Este suficient să arătăm că λi(Mi) Lo , pentru orice i Є I , unde λi : Mi → M sînt injecțiile naturale .
Fie Mi’ = λi(Mi) ∩ Lo pentru fiecare i Є I . Deoarece Q este Mi – injectiv pentru toți i Є I rezultă Q este λi(Mi) – injectiv , deci există pentru fiecare i Є I , fi Є HomR(λi(Mi),Q) astfel încît următoarea diagramă este comutativă :
O → Mi’—i→λi(Mi)
Q
Dacă mi Є λi(Mi) și x Є Lo astfel încît mi + x = 0 , atunci mi = -x ∈ Mi’ și fi (mi) + fo(x) = fo(-x) + fo(x) = 0 , deci : λi(Mi) + Lo → Q prin mi + x → fi (mi) + fo(x) este un morfism bine definit . Deoarece / Lo = fo , din maximalitatea lui (Lo,fo) se deduce că λi(Mi) Lo pentru fiecare i Є I , deci Lo = M . Astfel Q este i Є I Mi – injectiv .
COROLAR 4.12. Pentru fiecare clasă nevidă de R – module stîngi , C , I-1 (C) este închisă la subobiecte , obiecte factor și sume directe . În general I-1 (C) nu este închisă nici la extensii nici la produse directe .
PROPOZIȚIA 4.13. Fie P un R – modul stîng . Atunci avem :
(a) Dacă O → M’ —j→ M —p→ M” → O este un șir exact în R – MOD și P este M – proiectiv , atunci P este M’ – proiectiv .
(b) Dacă (Mi)i = este o familie finită de R – module stîngi și P este Mi – proiectiv pentru fiecare i = , atunci P este iЄI Mi – proiectiv .
(c) Dacă P este finit generat și (Mi) iЄI este o familie de R – module stîngi , astfel încît P este Mi – proiectiv pentru fiecare i Є I , atunci P este iЄI Mi – proiectiv .
DEMONSTRAȚIE :
(a)demonstrația este similară celei de la propoziția 4.1.(a) în care se consideră functorul contravariant T = HomR(P,-) .
(b) considerăm cazul particular n = 2 și N M1 M2 submodul , g : M1→ M1 M2 injecția canonică . Atunci următoarea diagramă comutativă avînd ca săgeți aplicațiile canonice , are liniile și coloanele exacte :
O M1 i1 M1 M2 П2 M2 O
O (i1(M1)+N)/N (M1 M2)/N (M1 M2)/ (i1(M1)+N) O
O O O
Aplicînd functorul covariant T = HomR(P,-) = hP obținem următoarea diagramă comutativă avînd liniile exacte :
O T(M1) T(M1 M2) T(M2) O
O T((i1(M1)+N)/N) T((M1 M2)/N) T((M1 M2)/ (i1(M1)+N)) O
Ultima săgeată verticală este evident monomorfism și cum P este Mi – proiectiv , i = rezultă că celelalte săgeți verticale pline sînt endomorfisme . Din lema celor cinci morfisme rezultă că săgeata verticală din centru , punctată , este epimorfism , deci P este M1 M2 – proiectiv .
(c) Fie diagrama cu q epimorfism :
P
↓f
iЄI Mi —q→ M” → O
P fiind finit generat rezultă Im(f) este finit generată și cum q este epimorfism , atunci există x1, … , xk Є i Є I Mi astfel încît Im(f) este generată de elementele q(x1), … , q(xk) Є M” .
Fie acum M’ = R x1 + … + R xk i Є I Mi ; atunci există J I o submulțime finită astfel încît M’ iЄJ Mi . Din (b) rezultă că P este iЄJ Mi – proiectiv și cum M’ iЄJ Mi , din (a) avem că P este M’ – proiectiv , deci există Є HomR(P,M) care face comutativă diagrama , adică q/M’ o = f
P
M’ —q/M’→ Im(f) → O
de unde rezultă evident că q o = f , adică P este iЄI Mi – proiectiv .
COROLAR 4.14. Pentru fiecare clasă nevidă de R – module stîngi , C , P-1(C) este închisă la subobiecte , obiecte factor și sume directe finite .
COROLAR 4.15.Fie X un R – modul stîng și G un generator al lui R –MOD . Atunci : (a) X este G – injectiv dacă și numai dacă X este modul injectiv ;
(b) Dacă X este finit generat , atunci X este G – proiectiv dacă și numai dacă X este proiectiv .
DEMONSTRAȚIE : Fiecare R – modul stîng este un epimorfism al unei sume directe de copii ale lui G și folosind propozițiile 4.11. și 4.13. demonstrația se încheie .
OBS. Dacă aplicăm corolarul 4.15. cazului G = RR redescoperim binecunoscutul criteriu de injectivitate al lui Baer . Un criteriu similar pentru module proiective nu există . Astfel , Q considerat că Z – modul este Z – proiectiv , dar Q nu este un Z – modul proiectiv .
Fie A ocategorie abeliană arbitrară .
Ca în cazul particular al categoriei modulelor putem defini noțiunile relative de obiect X – injectiv și X – proiectiv , unde X Є A . Putem reformula acum rezultatele anterioare stabilite pentru categoria R – modulelor stîngi R – MOD într-un context general al unei categorii abeliene A .
Fie acum C o clasă nevidă de obiecte ale lui A . Notăm cu [C] subcategoria plină a lui A constînd din toate obiectele lui A care sînt cîturi de subobiecte ale lui n iЄi Xi , unde n Є N și Xi Є C , pentru toți i Є I = {1,2,…,n} . Se oservă că [C] este o categorie abeliană și , mai mult , [C] este cea mai mică subcategorie abeliană plină a lui A , care conține C și a cărei clasă de obiecte este închisă la subobiecte și obiecte factor.
PROPOZIȚIA 4.16. Fie A,A’ două categorii abeliene , C o clasă nevidă de obiecte ale lui A și T :A → A’ un functor contravariant , exact la stînga sau la dreapta .Presupunem că pentru fiecare șir exact din A , O→X’→X→X”→O , cu x Є C , șirul obținut prin aplicarea functorului T șirului anterior este exact în A’ . Atunci restricția T[C] : [C] → A’ a lui T la categoria abeliană [C] este un functor exact .
DEMONSTRAȚIE : se procedează exact ca în cazul modulelor în propozițiile 4.11. și 4.13.
REMARCĂ :
1o. Un rezultat similar , mai general este dat de E. de Robert.
2o. Dacă luăm A = R –MOD , A’ =AB și E Є R – MOD , T = – R E și C = {RR} atunci o variantă a propoziției 4.16. arată că E este un R – modul plat dacă și numai dacă pentru fiecare ideal stîng a al lui R șirul O → aR E → RR E este exct în AB (adică E este R – plat) .
Ca și în cazul modulelor putem utiliza notațiile I(C) , I-1(C) , P(C) și P-1(C) pentru fiecare clasă nevidă C de obiecte ale categoriei abeliene A . Din propoziția 4.16. rezultă că : I(C) = I([C]) și P(C) = P([C]) .
PROPOZIȚIA 4.17. Fie A o categorie abeliană .Pentru fiecare clasă nevidă de obiecte ale lui A , C , I-1(C) și P-1(C) sînt subcategorii abeliene ale lui A . Dacă A are un generator , atunci I-1(C) și P-1(C) au amîndouă un generator . Mai mult , dacă A este o categorie Grothendieck , atunci I-1(C) este de asemenea o categorie Grothendieck .
DEMONSTRAȚIE : Din propoziția 4.16. , I-1(C) și P-1(C) sînt închise la subobiecte , obiecte cît și sume directe finite .Atunci subcategoriile pline I-1(C) și P-1(C) ale lui A sînt evident categorii abeliene .
Dacă G este un generator pentru A , considerăm mulțimea G = {G/G’ / G’G și G/G’ Є I’(C)} care este evident nevidă deoarece G/G’ Є I-1(C) .
Fie acum X Є I-1(C) și X’X . Deoarece G este un generator pentru A , rezultă că există f :G → X astfel încît Im(f)X’ . Însă Im(f)G / Ker f . Notînd G’ = Ker f G , rezultă că Im(f)G /G’ și cum X Є I-1(C) avem că G/G’ Є I-1(C) .
Astfel , am găsit un obiect G/G’ Є I-1(C) și un morfism G/G’ —g→ X astfel încît Im(g)X’ , adică G este o mulțime de generatori pentru I-1(C) .
Într-o manieră similară {G/G” / G”G și G/G” Є P-1(C)} este o mulțime de generatori pentru P-1(C).
Presupunem acum că A este o categorie Grothendieck (adică A este o categorie abeliană cu limite directe exacte și cu un generator) . Va fi suficient să demonstrăm că I-1(C) este închisă la sume directe .
Pentru aceasta fie (Mi)iЄI o familie de obiecte ale lui I-1(C) .Atunci pentru fiecare Q Є C avem că Q este Mi – injectiv , pentru toți iЄ I . Vom demonstra că Q este iЄI Mi – injectiv . Păstrăm notațiile din propoziția 4.13. (b) ; această demonstrație dată pentru module poate fi modificată pentru categoria Grothendieck arbitrară A astfel :
Mai întîi F este o mulțime inductivă deoarece A satisface condiția AB5) a lui Grothendieck . Considerăm următoarea diagramă :
M’i
λi(Mi) λi(Mi)LO LO
Q
Există un morfism φ ce face comutativă diagrama . Pe de altă parte din șirul exact O → λi(Mi)∩ LO → λi(Mi)LO → λi(Mi) + LO → O rezultă φ / M’i = 0 deoarece fi/ M’i = fO / M’i , deci există Fi : λi(Mi) + LO → Q astfel încît Fi / LO = fO .
De aici se continuă demonstrația ca în propoziția 4.11.
Următorul rezultat este de obicei demonstrat urmînd căi mai complicate :
COROLAR 4.18. (criteriul lui Baer pentru categorii Grothendieck) :
Fie A o categorie Grothendieck și G un generator al lui A . Atunci Q Є A este un obiect injectiv dacă și numai dacă Q este G – injectiv .
DEMONSTRAȚIE : Q este G – injectiv Q Є I(G) G Є I –1(Q) G(I) Є I –1(Q) pentru fiecare mulțime I și fiecare G’ G(I) A I –1(Q) Q Є I(A) Q este injectiv .
O variantă a propoziției 4.13.(c) este :
PROPOZIȚIA 4.19. Fie A o categorie Grothendieck și C o clasă nevidă de obiecte finit generate ale lui A . Atunci P-1(C) este o categorie Grothendieck .
♦5. MODULE CVASI – INJECTIVE ȘI CVASI – PROIECTIVE
Modulele cvasi – injective au fost introduse de Johnson și Wong în 1961 , dar Jacobson a demonstrat în 1956 că ele satisfac așa numita condiție a dublu anulatorului .
Noțiunea duală de module cvasi – proiective a fost considerată mai întîi de Miyashita și Wu în 1966 și de Jans în 1967 .
DEFINIȚIA 5.1. Un R – modul stîng M se numește cvasi – injectiv dacă M este M – injectiv . Un R – modul stîng M se numește cvasi – proiectiv dacă M este M – proiectiv .
NOTAȚIE: Dacă M este un modul cvasi – injectiv (respectiv cvasi – proiectiv ) vom nota simplu acest fapt scriind că M este QI (respectiv QP) .
OBS. M este QI (respectiv QP) dacă și numai dacă M Є I(M) sau M Є I-1(M) (respectiv M Є P(M) sau M Є P-1(M)) .
Utilizînd proprietățile 4.17. și 4.19. obținem :
PROPZIȚIA 5.2. Fie M un R – modul stîng . Atunci :
M este QI dacă și numai dacă M este un obiect injectiv al categoriei Grothendieck I-1(M) .
M este QP dacă și numai dacă M este un obiect proiectiv al categoriei abeliene P-1(M) .
Dacă M este finit generat , atunci M este QP dacă și numai dacă M este un obiect proiectiv al categoriei Grothendieck P-1(M) .
Comportatrea moduleleor QI și QP față de sumele directe finite este dată de următoarea propoziție :
PROPZIȚIA 5.3. Fie (Mi)i= o familie finită de R – module stîngi . Atunci ni=1 Mi este QI (respectiv QP) dacă și numai dacă Mi este Mj – injectiv (respectiv Mi este Mj – proiectiv) pentru toți i,j = .
DEMONSTRAȚIE : Din propozițiile 4.7. , 4.11. și 4,13, avem : ni=1 Mi este QI (respectiv QP) ni=1 Mi este ni=1 Mi – injectiv (respectiv ni=1 Mi – proiectiv) Mi este nj=1 Mj – injectiv (respectiv nj=1 Mj – proiectiv) , pentru toți i = Mi este Mj – injectiv (respectiv Mj – proiectiv) pentru toți j = .
COROLAR 5.4. (Harada 1972 , de Robert 1969) : Fie M un R – modul stîng și n Є N , n 1 . Atunci M este QI (respectiv QP) dacă și numai dacă Mn este QI (respectiv QP) .
EXEMPLE :
1o. Orice modul semisimplu este QI și QP ;
2o. Orice factor direct al unui modul QI (respectiv QP) este QI (respectiv QP) ;
3o. Dacă R este un domeniu ideal principal , atunci pentru fiecare a Є R – {0} , R/Ra este un R – modul QI și un R – modul QP;
4o. R este un R – modul stîng QI dacă și numai dacă IR este un inel self injectiv la stînga ;
5o. Dacă R este un domeniu Dedekind , atunci R – modulele QI și QP pot fi complet determinate .
6o. Dacă a este un ideal bilateral al lui R și M Є R – MOD este un modul injectiv (respectiv proiectiv) , atunci aM (respectiv M/Ma) este un modul QI (respectiv QP).
7o. Dacă M este un R – modul QP și M’ M este un R – submodul plin invariant al lui M (adică f(M’) M’ pentru fiecare f Є End (RM)) , atunci M/M’ este QP .
8o. Dacă m,n Є N – {0} , m n și p > 0 este un număr prim , atunci suma directă a Z – modulelor Z/pnZ și Z/pmZ nu este un Z – modul QI .
În loc să dăm cîteva criterii uzuale de cvasi – injectivitate , stabilim cîteva rezultate mai generale despre modulele M – injective .
PROPZIȚIA 5.5. Fie U,M Є R – MOD . Atunci U este M – injectiv dacă și numai dacă pentru fiecare f Є HomR(M,ER(U)) avem Im(f) U .
DEMONSTRAȚIE : Presupunem că are loc concluzia și să arătăm că U este M – imjectiv . Pentru aceasta considerăm șirul exact în categoria R – MOD , O→M’—j→M cu j monomorfism și g Є HomR(M’,U) dat prin diagrama :
O→M’—j→M
U —i→ ER(U)
Cum ER(U) este o anvelopă injectivă a R – modulului U rezultă că ER(U) este un R – modul injectiv , deci este injectiv și în raport cu M . Deci , pentru i : U → ER(U) injecția canonică , rezultă că există Є HomR(M,ER(U) care face diagrama comutativă , adică o j = i o j . Conform ipotezei pentru Є HomR(M,ER(U)) avem Im() = (M) U , adică definește g1 : M → U astfel încît g1 o j = g ; deci U este M – injectiv.
Invers , presupunem că U este M – injectiv și fie f Є HomR(M,ER(U)) .
Arătăm că Im(f) U .
Notăm X = f-1(U) (deoarece U ER(U)) care evident este submodul al lui M . Deci avem diagrama următoare :
X —j→M
U —→ ER(U)
Unde notăm cu f1 = f/x și în care U fiind M – injectiv rezultă că există g : M → U morfism ce face comutativă diagrama , adică g o j = f1 , unde j este morfismul canonic (de incluzine) .
Evident că Ker(f – i o g) = x . Presupunem că x M , adică pentru un anumit x Є M – x avem (f – i o g )(x) 0 . Dar (f – i o g )(x) Є ER(U) , deci există a Є R – {0} astfel încît 0 (f – i o g )(x)a = (f – i o g )(ax) Є U – {0} (deoarece ER(U) este extensie esențială a lui U) , deci f(ax) – i(g(ax)) = f(ax) – g(ax) Є U f(ax) Є U ax Є f-1(U) = x , adică (f – i o g )(ax) = 0 ceea ce este o contradicție . Deci X = M ceea ce implică f = i o g Im f = Im (i o g) = Im g U .
COROLAR 5.6. Dacă C este o clasă nevidă de R – module stîngi , atunci I(C) este închisă la extensii esențiale .
COROLAR 5.7. (Johnson și Wong – 1961) : Un R – modul stîng M este QI dacă și numai dacă f(M) M pentru fiecare f Є End (ER,(RM)) .
Putem da acum o nouă demonstrație pentru propoziția 4.12.
COROLAR 5.8. Pentru fiecare clasă nevidă C de R – module stîngi , I-1(C) este închisă la sume directe .
DEMONSTRAȚIE : Fie (Mi)iЄI o familie de subobiecte din I-1(C) . Atunci U este Mi – injectiv , pentru orice U Є C și orice iЄI . Considerăm f Є HomR(i=1 Mi, ER(U)) , atunci conform propoziției 5.5. avem că f(Mi) U , oricare ar fi iЄI , deci Im f U, adică U este i=1 Mi – injectiv dacă și numai dacă i=1 Mi Є I-1(C).
COROLAR 5.9. Fie Q un R – modul stîng injectiv și a un ideal bilateral al lui R . Atunci N = {x Є Q / ax = 0 } este un R – modul QI și un R/a – modul injectiv (N fiind considerat ca un R/a – modul în mod canonic) .
DEMONSTRAȚIE : Putem presupune că ER(N) Q și fie f Є EndR (ER,(RN)). Arătăm că f(N) N . Avem că f poate fi extins la Є End (RQ) , lucru ce rezultă din injectivitatea lui Q . Cum pentru orice g Є End (RQ) avem că g(N) N rezultă că f(N) N , adică N este QI (din propoziția 5.7.) .
Fie N’ = ER/a(N) . Deoarece N N’ este o extensie esențială peste R , putem presupune că N’ Q . Dar N’ Є R/a – MOD , deci aN’= 0 , adică N’ N . Astfel ER/a(N) = N și este un modul injectiv în R/a – MOD .
COROLAR 5.10. Pentru orice R – modul stîng injectiv Q , Q este injectiv ca R/AnnR(Q) – modul .
DEMONSTRȚIE : Luînd a = R/AnnR(Q) (în cazul particular al propoziției 5.9.) idealul bilateral și Q = {x Є Q / ax = 0 } rezultă conform acestuia că Q este injectiv ca R/AnnR(Q) – modul .
REMARCĂ :
1o. Propoziția 5.5. poate fi reformulată astfel : U este M – injectiv dacă și numai dacă morfismul natural HomR(M,U) → HomR(M,ER(U)) este un izomorfism .
Fie M Є R – MOD și A = EndR (ER,(RN)). Conform propoziției 5.7. avem că AM = ΣfЄAf(M)este un R – modul QI și mai mult AM este intersecția tuturor submodulelor QI ale lui ER(M) ce conțin pe M .
DEFINIȚIA 5.11. Printr–o extensie QI minimală a lui M înțelegem perechea (Q,I) , unde Q este un modul QI și i : M → Q este un monomorfism avînd proprietatea că Q este unicul submodul QI al lui Q ce conține i(M) . Astfel că (AM,i) este o extensie QI – minimală a lui M , unde i : M → AM este injecția canonică .
PROPZIȚIA 5.12. (Faith și Utumi – 1964) : Orice două extensii QI minimale ale unui R – modul stîng M sînt izomorfe peste M .
DEMONSTRAȚIE : Din observațiile anterioare rezultă că pentru un R – modul M perechea (AM,i) este o extensie QI minimală . Fie acum (Q,j) o altă extensie QI a lui M , adică Q este un modul QI și j : M → Q este un monomorfism. Notăm cu E = ER(Q) . Cum AM este extensie esențială a lui M , atunci în diagrama următoare
M —i→ AM
j↓ ↓f
Q —→ ER(Q) = E
monomorfismul M —j→ Q → E poate fi extins la monomorfismul f : AM → E . Notăm N = f (AM) ∩ Q E , E’ = ER(f (AM)) , E” = ER(N) , Ω = End R(RE) , Ω’ = End R(RE’) , Ω” = End R(RE”) . Evident putem presupune E” E’E .
Fie g” Є Ω” , atunci g” poate fi extins la g’ Є Ω’și g’ poate fi extins la g Є Ω. Deci : g”(N) = g’(N) = g(N) = g(f (AM) ∩ Q) g(f (AM)) ∩ g(Q) = g’(f (AM)) ∩ g(Q) f (AM) ∩ Q = N (deoarece f (AM) este QI rezultînd din propoziția 5.7.) . Tot de aici avem că g”(N) N N este QI deci f-1(N) este o extensie QI a lui M conținută în AM , însă din minimalitatea lui AM rezultă că f-1(N) = AM , deci N = f(AM) Q .
Dacă (Q,j) este acum o extensie QI – minimală a lui M , atunci f : AM → Q este încă epimorfism , deoarece f(AM) este QI , j(M) f(AM) Q și (QN) este minimală .
Astfel fiecare extensie QI – minimală a lui M este izomorfă sub M cu extensia minimală QI(AM,i) a lui M .
NOTAȚIE : Pentru fiecare M Є R – MOD notăm cu QR(M) o extensie QI minimală a lui M , care este unic determinată modulo un izomorfism sub M .Din propoziția 5.12. observăm că QR(M) este o extensie esențială a lui M .
Dorim să dăm acum criteriul lui Fuchs de cvasi – injectivitate . Putem să prezentăm ca o consecință trivială a unui rezultat mai general despre modulele M – injective .
Reamintim că dacă N este o clasă de R – module stîngi , atunci M Є R – MOD spunem că este N – generat (sau că N generează M) dacă există o familie (Nα) αЄI în N și un epimorfism αЄI Nα → M .
PROPZIȚIA 5.13. Fie U, M Є R – MOD .
(a) Dacă U este M – injectiv , atunci fiecare N Є R – MOD are proprietatea :
(*) pentru fiecare submodul N’ N și fiecare f Є HomR(N’,U) pentru care există α Є HomR(N,M) cu Ker (f) Ker (α) , există g Є HomR(N,U) care face următoarea diagramă comutativă :
O→N’ —→ N
U M
(b) Dacă N este o mulțime de R – module care generează pe M , astfel încît fiecare N Є N are proprietatea (*) , atunci U este M – injectiv .
DEMONSTRȚIE :
(a) Fie p : N’ → α(N”) surjecția canonică și j: α(N’) → M injecția canonică . Deoarece prin ipoteza (*) Ker(f) Ker (α) Ker (p) rezultă că există f1 : α(N’) → U ce face comutativă diagrama :
N’ N
U f2 M
Prin definiție avem f1(α(x’)) = α(x’) , pentru orice x’ Є N’ . Cum însă U este M – injectiv rezultă că există f2 Є HomR(M,U) estfel încît f2 o j = f1 .
Notăm acum g = f2 o α Є HomR(N,U) ; atunci g/N’ = f .
(b) Pentru a arăta că U este M – injectiv conform propoziției 5.5. este suficient să arătăm că pentru fiecare h Є HomR(M,ER(U)) , Im(h) U și deoarece M este N – generat aceasta este echivalent cu Im(h o α) U pentru toți N Є N și α Є HomR(N,M) .
Fie N’ = (h o α)-1(U) și f = (h o α)/N’ . Evident Ker (f) Ker (α) deci conform proprietății (*) există g : N → U astfel încît g extinde f :
N’ N
U i ER(U)
Presupunem că i o g h o α . Atunci x = Ker (i o g – h o α) N și N’ x . Alegem x Є N – x pentru care avem că (i o g – h o α)(x) Є ER(U) – {0} , deci (i o g – h o α)(x) Є U – {0} pentru un anumit a Є R astfel încît (h o α)(ax) Є U. Rezultă că ax Є (h o α)-1 (U) = N’ și cum N’ x , avem ax Є X , adică (i o g – h o α)(ax)= 0 ceea ce este o contradicție . Astfel avem X = N , adică h o α = i o g așa cum am dorit . Rezultă că Im(h o α) = Im(i o g) = Im(g) U , deci conform propoziției 5.5. U este M – proiectiv .
Pentru fiecare M Є R – MOD putem folosi următoarea notație :
Ω(M) = {a / a RR astfel încît există x Є M cu a AnnR(x)} .
COROLAR 5.14. Fie U,M Є R – MOD . Atunci U este M – injectiv dacă și numai dacă pentru fiecare ideal drept a al lui R și fiecare f Є HomR(a,U) cu Ker(f) Є Ω(M) , f poate fi extins la R .
DEMONSTRAȚIE : În propoziția 5.13. luăm N = { R} . Dacă a este un ideal al lui R , a RR și f Є HomR(a,U) atunci cu Ker(f) Є Ω(M) dacă și numai dacă există α : R → M astfel încît Ker(α) = AnnR(x) Ker(f) , unde x = α(1) Є M și se aplică propoziția 5.13.
Deoarece U este M – injectiv dacă și numai dacă U este Mn – injectiv , pentru toți n 1 , rezultă că în afirmația din propoziția 5.14. putem înlocui Ω(M) cu (M) , unde (M) = { a / a RR astfel încît a AnnR(S) , pentru o anumită mulțime nevidă finită S M} .
COROLAR 5.15. (Fuchs – 1969) : Fie M Є R – MOD . Atunci M este QI dacă și numai dacă pentru fiecare ideal drept a al lui R și fiecare f Є HomR(a,M) cu Ker(f) Є Ω(M) (sau Ker(f) Є (M)) f poate fi extins la R .
Ca o consecință directă a criteriului Fuchs dăm acum un rezultat uzual :
PROPOZIȚIA 5.16. Fie M un R – modul stîng QI . Atunci M este un R/AnnR(M) – modul injectiv canonic , cu condiția ca M să satisfacă una din următoarele două cerințe :
condiția lanțului descendent (DDC) are loc în mulțimea { AnnR(x) / x Є M } ;
Meste un EndR(RM) – modul drept finit generat .
DEMONSTRAȚIE : Întîi vom demonstra că AnnR(E) Є (M) dacă M satisface (a) sau (b) .
Presupunem că M satiasface (a) :
Atunci AnnR(M) = ∩xЄM AnnR(x) = AnnR(x1) ∩…∩AnnR(xn) , pentru anumiți x1,…, xn Є M . Deoarece { AnnR(x) / x Є M } satisface DDC rezultă că AnnR(x) Є (M) .
Presupunem că M satisface (b) :
Fie y1,…, ym Є M astfel încît M = y1S+…+ ymS , unde am notat S = EndR(RM) . Luăm a Є ∩mi=1 AnnR(yi) și y Є M . Atunci y = f1(y1) + … +fm(ym) , cu fi Є S , pentru toți i = . Deci ay = Σmi=1 fi(ayi) = 0 , de unde rezultă că ∩mi=1 AnnR(yi) AnnR(M) , adică AnnR(M) Є (M) .
Fie acum a’ = a/AnnR(M) un ideal drept al lui R’ = R / AnnR(M) , p : a → a’ surjecția canonică și f Є HomR’(a’,M) . Deoarece AnnR(M) Ker (f o p) Є (M) , deci există g : R → M care face comutativă diagrama .
a R
M
Evident g factorizează prin epimorfismul natural R → R’ = R/AnnR(M) și g’/a’ = f, deci M este un R’ – modul injectiv din criteriul lui Baer .
REMARCĂ :
1O. Fie M Є R – MOD . Dacă M este injectiv (respectiv proiectiv ) ca R / AnnR(M) – modul , atunci M este un R – modul QI (respectiv QP) deci are loc o reciprocă a propoziției 5.16.
2o. Dacă M este R – modul QI nu rezultă că M este injectiv ca un R / AnnR(M) – modul .
Într – adevăr Z modulul semisimplu M = p -prim Zp este QI dar nu este un modul injectiv peste Z / AnnZ(M) = Z . Totuși , următoarea afirmație are loc : M este injectiv peste R / AnnR(M) dacă și numai dacă MI este un R – modul QI pentru fiecare mulțime I (Fuller , 1969) .
=== INJECTIVITATE4 ===
CAPITOLUL IV
MODULE Σ/Δ – INJECTIVE
MODULE Σ*/Δ* – PROIECTIVE
♦6. MODULE Σ – M – INJECTIVE
Noțiunea de modul Σ – injectiv a fost introdusă de Faith în 1966 . El a demonstrat printre altele faptul important că un R – modul injectiv RQ este Σ – injectiv dacă și numai dacă R satisface ACC pe anulatorii submulțimilor lui Q .
Un alt rezultat principal despre modulele Σ – injective a fost demonstrat în 1969 de Cailleau și anume : un R – modul injectiv Q este Σ – injectiv dacă și numai dacă Q este sumă directă de module Σ – injective indecompozabile .
Aceste două rezultate au fost transpuse pe module Σ – cvasi – injective de Cailleau și Renault în 1970 .
În acest paragraf vom prezenta o noțiune mult mai generală și anume noțiunea de modul Σ – M – injectiv , unde M este un R – modul stîng arbitrar .
DEFINIȚIE 6.1. Fie un R – modul stîng și P o proprietate a lui U . U se numește Σ – p (respectiv Π – p ) dacă fiecare sumă directă (respectiv produs direct) de copii ale lui U posedă proprietatea P .
OBS. Prin propietatea P a lui U înțelegem : “U est M – injectiv” , “U este injectiv” sau “U este QI”; deci obținem respectiv noțiunile de modul “Σ – M – injectiv” , “Σ – injectiv” sau “Σ – QI” .
REMARCĂ : Pentru U Є R – MOD , conform paragrafului 4 avem :
1o. U este Σ – injectiv dacă și numai dacă U este Σ – RR – injectiv .
2o. U este Σ – QI dacă și numai dacă U este Σ – U – injectiv .
LEMA 6.2. Fie (Ui)iЄI o familie infinită de module M – injective . Dacă U = iЄI Ui nu este M – injectiv , atunci există o submulțime numărabilă J a lui I astfel încît iЄJ Ui nu este M – injectiv .
DEMONSTRAȚIE: Din propoziția 5.14. rezultă că există a un ideal stîng al lui R , un element x Є M și un morfism f : a →U cu Ker(f) AnnR(x) astfel încît f nu poate fi extins la R . Rezultă că pentru fiecare submulțime finită F a lui I , f(a) iЄF Ui , adică există o submulțime infinită I’ a lui I astfel încît pi (Im(f)) 0 , pentru toți i Є I’ , unde pi : U→Ui reprezintă proiecția canonică . I’ conține o submulțime numărabilă J . Fie p : iЄI Ui → jЄJ Uj proiecția canonică . Atunci morfismul p o f : A → jЄJ Uj nu poate fi extins la R , adică jЄJ Uj nu este M – injectiv .
COROLAR 6.3. U este Σ – M – injectiv dacă și numai dacă U(N) este M – injectiv .
Fie U Є R – MOD , x o submulțime nevidă arbitrară a lui R și Z o submulțime nevidă a lui U . Reamintim notațiile :
rR(Z) = AnnR(Z) = {r Є R/rZ = 0} și lu(x) = AnnU(x) = {x Є U/Xx = 0} .
În continuare vom folosi notațiile următoare :
AM(U) = { rR(Z) / Ø Z U și ()x Є M cu rR(Z) AnnR(x) } și
M(U) = { rR(Z) / Ø Z U și rR(Z) rR(Y) pentru o anume mulțime finită Y M}. Evident M(U) = U∞k=1AMK(U) .
Observăm că dacă RM = RR , atunci pentru fiecare 0 Z U , rR(Z) AnnR(I) = {0} , deci AR(U) = { rR(Z) / Ø Z U} = AR(U,R) .
TEOREMA 6.4. Fie RU un modul M – injectiv . Următoarele afirmații sînt echivalente :
U este Σ – M – injectiv ;
Mulțimea ordonată prin incluziune M(U) a idealelor stîngi ale lui R satisface ACC(condiția lanțurilor ascendente) ;
AM(U) satisface ACC .
DEMONSTRAȚIE :
(a)(b) Presupunem că există un lanț strict ascendent a1 a2 …… de elemente ale lui M(U) . Atunci a1 rR(Y) pentru o anume submulțime nevidă finită Y a lui M . Obținem lanțul strict ascendent lu(a1) lu(a2) …… . Alegem pentru fiecare n 1 un element an Є lu(an) / lu(an) și luăm a = U∞n=1an . Definim f : a → U(N) prin f (r) = (rx1, rx2 , … , rxn , … ) .
Deoarece există pentru fiecare r Є a un întreg k astfel încît rxm = 0 pentru toți m k , rezultă că f este bine definit .
Dar rR(Y) a1, deci rR(Y)xn = 0 , pentru toți n 1 . Prin urmare rR(Y) Ker (f) . Din propoziția 5.14. există z Є U(N) astfel încît f(r) = rx, pentru toți r Є a .
Dar (z1 , z2 , … , zt , 0 , …) = z , deci rxn = 0 pentru toți n > t și r Є a . Astfel, axn = 0 pentru toți n > t , ceea ce este o contradicție .
(b) (c) evidentă ;
(c) (a) Mai întîi oservăm că dacă a este orice ideal stîng al lui R astfel încît a AnnR(x) pentru un anume x Є M atunci există un ideal finit al lui R cu b a astfel încît lu(AnnR(x)+b) = lu(a) . Rezultă , din faptul că mulțimea { lu(AnnR(x)+c)/c a și c este finit generat} de submulțimi (și nu de R – submodule) ale lui U , că satisface DCC .
Din propoziția 6.3. rezultă că este suficient să demonstrăm că U(N) este M – injectiv . Fie a un ideal stîng al lui R și f : a → U(N) astfel încît Ker (f) AnnR(x) pentru un anume x Є M . Atunci lu(a) = lu(AnnR(x)+b) pentru un anume ideal finit generat b al lui R , cu b a . Notăm a’ = AnnR(x)+b și luăm U(N) ∞i=1Ui, unde Ui = U pentru toți i . Este clar atunci că f(a’) = f(b) . Dar b este finit generat , deci există n 1 astfel încît f(a’) = f(b) mi=1Ui . Fie acum k > n și pk : U(N) → Uk proiecția canonică . Deoarece Ker(pk o f) AnnR(x) rezultă din propoziția 5.14. că există Є Uk , cu (pk o f)(r) = r , pentru toți r Є a .
Pe de altă parte (pk o f)(a’) = 0 , deci a = 0 . Deci Є lu(a’) = lu(a) . Astfel a = 0 , adică pk o f = 0 și ca urmare In(f) ni=1Ui .
COROLAR 6.5. Următoarele proprietăți ale unui R – modul stîng M sînt echivalente :
orice submodul ciclic (sau finit generat) al lui M este noetherian;
orice sumă directă de module M – injective este M – injectiva ;
orice limită directă de module M – injective este M – injectivă ;
categoria R – MOD are un cogenerator Σ – M – injectiv .
DEMONSTRAȚIE :
(a) (b) Fie (Ui)iЄI o familie arbitrară de module M – injective stîngi , a un ideal stîng al lui R și f : a → i=1Ui un morfism astfel încît Ker(f) AnnR(x) pentru un anume x Є M . Deoarece Rx R/ AnnR(x) este noetherian , a/Ker(f) este un R – modul noetherian . Atunci a/Ker(f) este finit generat , adică a = Ker(f) +r1R + … + rnR , pentru anumiți r1………rn Є R . Rezultă că f(a) = f(r1R + … + rnR) este conținut în i=1Ui , pentru o anumită submulțime finită F a lui I . Deci F poate fi extins la R și astfel i=1Ui este M – injectiv (din propoziția 5.14.) .
(c) se demonstrează într-un mod similar ;
(c) (b) evident ;
(b) (d) Fie Q = SЄI E(S) , undeI este o mulțime reprezentativă a claselor izomorfe a tuturor R – modulelor stîngi simple . Evident RQ este un cogenerator pentru R – MOD și Q este Σ – M – injectiv .
(d) (a) Fie x Є M și a un ideal stîng al lui R astfel încît AnnR(x) a . Dacă Q este un cogenerator Σ – M – injectiv al lui R – MOD , atunci a = rR(Z) pentru o anumită submulțime nevidă Z a lui Q . Deci a Є AM(Q) . Din propoziția 6.4. , AM(Q) satisface ACC , deci R / AnnR(x) Rx ete un R – modul noetherian .
COROLAR 6.6. Fie (Ui)i= o familie finită de module M – injective . Dacă Ui este Σ – M – injectiv pentru toți i= , atunci ni=1Ui este Σ – M – injectiv.
DEMONSTRAȚIE : se aplică propoziția 6.4.
COROLAR 6.7. Fie (Qi) 1 i n o familie finită de R – module Σ – M – injectiv . Atunci ni=1Qi este Σ – injectivă .
DEMONSTRAȚIE : se ia RM = RR în propoziția 6.6.
COROLAR 6.8. (Cartan – Eilenberg – Matlis – Papp – Bass) : Următoarele afirmații sînt echivalente :
R este un inel noetherian stîng ;
Orice sumă directă de R – module drepte injective este injectivă ;
Orice sumă directă numărabilă de R – module stîngi injective este injectivă ;
Orice limită directă de R – module stîngi injective este injectivă ;
Categoria R – MOD are un cogenerator Σ – injectiv .
DEMONSTRAȚIE : se ia RM = RR în propoziția 6.5.
COROLAR 6.9. Fie Q un R – modul Σ – injectiv . Dacă U este un submodul QI al lui Q , atunci U este Σ – QI .
DEMONSTRAȚIE : Din propoziția 6.4. AR(U) satisface ACC , deci AU(U) AR(U) satisface de asemenea ACC și deci U este Σ – U – injectiv , adică U este QI .
TEOREMA 6.10. Fie M Є R – MOD , (Ui)iЄI o familie de R – module stîngi și U = iЄI Ui . Presupunem că U este M – injectiv . Atunci următoarele două condiții sînt echivalente :
Ui este Σ – M – injectiv pentru toți iЄI ;
U este Σ – M – injectiv .
DEMONSTRAȚIE : Deoarece U este M – injectiv , rezultă din propoziția 4.7. că Ui este Σ – injectiv pentru toți iЄI .
(b) (a) Evident pentru fiecare iЄI , AM(Ui) AM(U) deci Ui este Σ – M – injectiv (din propoziția 6.4.) .
(b) Demonstrația se bazează pe metoda lui Cailleau (1969) .
Presupunem mai întîi că I este o mulțime numărabila , adică U = nЄN Un . Atunci U(N) = (n,p)ЄNxN Unp , unde Unp = Un pentru fiecare pereche (n,p)ЄNxN .
Fie a un ideal stîng al lui R și f : a → U(N) astfel încît Ker(f) AnnR(x) pentru un anumit x Є M . Notăm pentru fiecare (n,p)ЄNxN cu φ np : U(N) → Unp , proiecția canonică și luăm Anp = Im(φ np o f) .
Evident Ker(φ np) = Umq pentru (m,q) (n,p) .
Presupunem următoarea afirmație valabilă :
(*) oricare ar fi n Є N , există (n’,p) Є NxN cu n’ > n astfel încît An’p ≠ 0 .
Atunci putem construi șirul (nk,pk) de elemente din NxN astfel încît fiecare k Є N avem nk < nk+1 și Ankpk ≠ 0 . Evident , kЄNUnkpk = kЄNUnk ca sumand al lui U este M – injectiv .
Considerăm acum proiecția canonică φ : U(N) → kЄNUnkpk . Atunci Ker(φ o f ) Ker(f) AnnR(x). Din propoziția 5.14. φ o f poate fi extins la R și deci există t Є N astfel încît Im(φ o f) tk=1Unkpk . Rezultă că Ankpk = 0 , pentru toți k > t , ceea ce este o contradicție . Ca urmare , (*) nu este valabilă , adică are loc următoarea afirmație :
(**) există n astfel încît oricare ar fi (n’,p) Є NxN , cu n’ > n An’p = c . Astfel , Im(f) este conținută într-un modul M – injectiv (pЄNUop )(pЄNU1p) … (pЄNUnp) și atunci f poate fi extins la R , adică U(N) este M – injectiv .
Presupunem acum cazul general U = iЄIUi , I mulțime arbitrară . Atunci U(N) = (i,p)ЄIxN Uip , unde Uip = Ui , pentru toți (i,p)ЄIxN . Presupunem că U(N) nu este M – injectiv . Din propoziția 6.2. există o subfamilie numărabilă F a familiei (Uip)(i,p) ЄIxN astfel încît xЄFX nu este M – injectivă . Fie J = {i Є I / ()p Є N astfel încît Uip Є F} . Deoarece J este numărabilă , V =jЄJUj este M – injectiv . Dar xЄFX ca factor direct al lui V este M – injectiv , ceea ce este ocontradicție .
COROLAR 6.11. Fie (Qi) iЄI o familie de R – module stîngi și Q = iЄIQi . Dacă Q este un R – modul injectiv , atunci următoarele două condiții sînt echivalente :
Qi este Σ – injectiv pentru fiecare i Є I ;
Q este Σ – injectiv ;
DEMONSTRAȚIE : Rezultă din propoziția 6.10. luînd RM = RR .
PROPOZIȚIA .6.12 Fie R un inel semi – artinian stîng avînd lungimea Loewy stîng λ(RR) 2 și fie (Qi) iЄI o familie de R – module injective indecompozabile . Atunci Q = iЄIQi este Σ – QI .
DEMONSTRAȚIE : Fie M un R – modul finit generat coireductibil . Atunci SO(M) este un modul simplu și M/ SO(M) este semisimplu și finit generat , deoarece λ(RR) 2 . Rezultă că M este de lungime finită . Considerăm acum un element arbitrar x Є Q . Atunci x = x1 + … + xn , unde xi Є Qki , deci Rx Rx1 + … + Rxn . Dar Rxi este un R – modul finit generat ireductibil , deci Rx este un modul de lungime finită , în particular Rx este modul noetherian pentru fiecare x Є Q .Deci , orice sumă directă de R – module Q – injective este Q – injectivă , din propoziția 6.5. Rezultă că Q este Σ – QI .
COROLAR 6.13. Fie R un inel semiprimar , cu J2 = 0 , J fiind radicalul Jacobson al lui R . Dacă (Qi)iЄI este o fgamilie de R – module stîngi injective indecompozabile , atunci Q = iЄIQi este Σ – QI .
DEMONSTRAȚIE : Deoarece J2 = 0 rezultă că λ(RR) 2 și se aplică acum propoziția 6.12.
Scopul următor este de a studia descompunerea modulelor Σ – M – injective în submodule indecompozabile . Reamintim notația :
(M) = {a RR /a rR(y) pentru o anumită mulțime finită nevidă yM} .
LEMA 6.14. Fie U un modul M – injectiv
U este R/a – injectiv pentru toți a Є (M) ;
lu(a ∩ b) = lu(a) + lu(b) pentru toți a,b Є (M) .
DEMONSTRȚIE :
(a) Fie a Є (M) . Atunci există y = {x1 , … , x2} M astfel încît a rR(y) . Deoarece U este M – injectiv rezultă că U este Rxi – injectiv pentru fiecare i = . Deci U este ni=1 (R/AnnR(xi)) – injectiv . Atunci U este de asemenea R/ rR(y) – injectiv și deci U este R/a – injectiv .
(b) Incluziunea lu(a) + lu(b) lu(a ∩ b) este clară . Reciproc: fie x Є lu(a ∩ b) ; notăm cu f : R → U morfismul definit prin f(r) = xr , pentru toți r Є R . Atunci a ∩ b Ker(f) , deci diagrama următoare
R —p→ R/ a ∩ b R/a R/b
U
poate fi competată cu g , unde p este epimorfism canonic .
Din (a) U este R/a – injectiv și R / b – injectiv , deci este și (R/a R/b) – injectiv. Rezultă că g poate fi extins la h . Atunci evident x = x1 + x2 , unde x1 Є lu(a) și x2 Є lu(b) . Deci are loc și incluziunea inversă .
Fie u un R – modul stîng M – injectiv și Y o submulțime finită nevidă a lui RM . În continuare vom folosi următoarea notație :
LY = { rR(z)/ Ø Z U și rR(Z) rR(Y)} .
Se verifică ușor că LY este latice în raport cu relația de ordine parțială și în raport cu operațiile “” și “” :
rR (Z1) rR (Z2) = rR (Z1) ∩ rR (Z2) = rR (Z1 Z2)
rR (Z1) rR (Z2) = rR[lu(rR (Z1)) ∩ lu(rR (Z2))]
LEMA 6.15. Dacă a Є LY este un element ireductibil al laticei LY , atunci a este un ideal ireductibil al lui R .
DEMONSTRAȚIE : Fie a = b ∩ c , unde b și c sînt ideale drepte ale lui R. Deoarece a Є LY rezultă că a = rR(Z) unde Ø Z U și rR(Z) rR(Y) . Din propoziția 6.14.(b) lu(a) = lu(b ∩ c) =lu(b) + lu(c) , deoarece b,c Є (M) . Deci a = rR(Z) = rR(lu(rR (Z))) = rR(lu(b) + lu(c)) = rR(lu(b)) ∩ rR(lu(c)) . Dar rR(lu(b)) și rR(lu(c)) aparțin lui LY deoarece rR(Y) a rR(lu(c)) rR(lu(b)) ∩ rR(lu(c)) și a este un element ireductibil al lui LY. Deci a = rR(lu(b)) sau a = rR(lu(c)) implică a = b sau a = c .
TEOREMA 6.16. Fie U un R – modul stîng M – injectiv . Presupunem că U Є Gen(M) (adică U este M – generator ) . Următoarele două afirmații sînt echivalente :
U este Σ – M – injectiv ;
U este sumă directă de module indecompozabile care sînt Σ – M – injective .
DEMONSTRAȚIE :
(b) (a) rezultă din propoziția 6.10.
(a) (b) Deoarece U Є Gen(M) există șirul exact M(A) → U → O pentru o anume mulțime A . Considerăm un element arbitrar x Є U . Atunci există f1 , … , fn Є HomR(M,U) și y1 , … , yn Є M astfel încît x = f1(y1) + … + f2(y2) , deci AnnR(x) rR ({y1 , … , yn }) , adică AnnR(x) Є LY , unde Y = {y1 , … , yn }. Deoarece U este Σ – M – injectiv , M(U) satisface ACC , deci LY M(U) este o latice noetheriană , în care fiecare element are o descompunere ireductibilă .
Din propoziția 6.15. AnnR(x) = a1 ∩ a2 ∩ … ∩ am , unde ai sînt ideale stîngi ireductibile ale lui R . Deci Rx = R/ AnnR(x) → R/a1 … R/am , adică Rx este conținută într-o sumă directă finită de module coireductibile. Rezultă că Rx are submodule coireductibile (nenule) și atunci U este o extensie a sumei directe iЄIUi de R – module coireductibileUi .
Considerăm acum categoria Grothendiech (din propoziția 4.12.) :
I-1(U) = {x Є R – MOD/ U este x – injectiv} .
Evident M Є I-1(U) . Deoarece U Є Gen(M) rezultă că U Є I-1(U) din propoziția 4.12. , deci U este un obiect injectiv al categoriei Grothendiech I-1(U) din propoziția 5.2. Notăm pentru fiecare x Є I-1(U) cu Eu(x) anvelopa injectivă a lui x în categoria Grothendiech I-1(U) .
Evident Ui este un obiect coireductibil din I-1(U) , pentru toți i Є I , deci Eu(Ui) este un obiect indecompozabil al lui I-1(U) ; deci un R – modul indecompozabil pentru toți i Є I .
Deoarece U este un obiect injectiv al lui I-1(U) rezultă că Eu(U) este un sumand al lui U pentru fiecare i Є I , deci iЄI Eu(Ui) este un sumand direct al lui U(I) . Prin urmare iЄI Eu(Ui) este U – injectiv ; aceasta implică că iЄI Eu(Ui) este sumand direct al lu U .Pe de altă parte iЄI Ui iЄI Eu(Ui) U , deci iЄI Eu(Ui) U este o extensie esențială . Rezultă că U = iЄI Eu(Ui) și demonstrația este completă acum .
COROLAR 6.17. (Cailleu ,1969) : Următoarele condiții despre un R – modul stîng injectiv , Q , sînt echivalente :
Q este Σ – injectiv ;
Q este sumă directă de module Σ – injective indecompozabile .
DEMONSTRAȚIE : Se ia RM = RR în propoziția 6.16.
COROLAR 6.18. Următoarele condiții despre un R – modul stîng QI , Q , sînt echivalente :
Q este Qi ;
Q este sumă directă de module Σ – QI indecompozabile (chiar coireductibile) .
DEMONSTRAȚIE : Se ia RM = RR în propoziția 6.16.
COROLAR 6.19. Presupunem că R este un inel comutativ , U este un modul Σ – M – injectiv și U Є Gen(M) . Atunci U = iЄIUi , unde pentru fiecare i Є I ,Ui este coireductibil și Ass(Ui) = {pi} .
DEMONSTRAȚIE : Putem presupune U indecompozabil . În acest caz U este de asemenea coireductibil .
Fie x Є U , x ≠ 0 . Urmînd demonstrația de la propoziția 6.16. putem găsi o mulțime finită nevidă y M astfel încît AnnR(x) rR(Y) . Dacă a Є R , atunci evident AnnR(x) AnnR(ax) , deoarece R este comutativ .
Dar U este Σ – M – injectiv , deci mulțimea {AnnR(x) / a Є R , ax ≠ 0} de ideale ale lu R are un element maximal numit AnnR(a o x) . Atunci evident AnnR(a o x) = p este un ideal prim , deci Ass(U) = {p} deoarece U este coireductibil .
♦7. MODULE Δ – INJECTIVE
Modulele Δ – injective au fost cercetate pentru ptrima dată sub forma echivalentă de inele F – artiniene de către Albu și Năstăsescu (1976) . Totuși , termenul de modul Δ – injectiv a fost introdus de același Faith (1966) .
Fie M un R – modul stîng . Reamintim cîteva notații și definiții :
Ar(M,R) reprezintă mulțimea tuturor idealelor stîngi rR(Z) ale lui R , unde Z este o submulțime nevidă a lui M ;
M este Levitzki – superior (respectiv Levitzki – inferior) dacă mulțimea ordonată cu incluziunea Ar(M,R) satisface ACC(respectiv DCC) .
Pentru fiecare R – modul stîng injectiv Q :
FQ reprezintă o topologie Gabriel pe R determinată de Q , adică :
FQ = {a ≤ RR / HomR(R/a , Q) = 0 }
(TQ ,FQ) reprezintă teoria de torsiune hereditară a lui R – MOD definită de FQ . Atunci FQ = Cog(Q) .
LEMA 7.1. Dacă RQ este un R – modul injectiv , atunci CFQ = Ar(Q,R)
DEMONSTRAȚIE : Fie a ideal stîng al lui R . Atunci a Є CFQ(R) R / a Є FQ = Cog(Q) a = rR(lQ(a)) a Є Ar(Q,R) .
TEOREMA 7.2. (Faith – 1966 , Teply – 1969, Cailleau – 1969 , Stenström – 1971 ) : Fie F o topografie Gabriel al lui R și (TF , FF) teoria de torsiune hereditară a lui R – MOD asociată . Notăm cu Q un R – modul injectiv care cogenerează clasa FF (adică FF = Cog(Q)) . Atunci următoarele condiții sînt echivalente :
RR este F – noetherian ;
R satisface ACC pe anulatorii submulțimilor lui Q (adică Ar(Q,R) satisface ACC);
Q este un modul Σ – injectiv ;
Pentru fiecare ideal stîng al lui R există b un ideal stîng finit generat cu b a și lQ(a) = lQ(b) ;
Fiecare sumă directă de R – module F fără torsiune injectivă este injectivă;
Fiecare modul F fără torsiune injectivă este sumă directă de submodule indecompozabile;
Q este sumă directă de submodule Σ – injective indecompozabile .
DEMONSTRAȚIE :
(b) rezultă din propoziția 7.1.deoarece F = FQ.
(c) rezultă din propoziția 6.4.deoarece Ar(Q) = Ar(Q,R) .
(b) (d) rezultă din caracterizările anulatorilor .
(g) rezultă din propoziția 6.17.
(c) deoarece QR este F – fără torsiune .
(b) (f) Fie M un R – modul F – fără torsiune injectiv . Atunci M Є FF = FQ = Cog(Q) , deci există o mulțime I și un monomorfism M → Q(I) . Dar este ușor de verificat că Ar(Q,R) = Ar(QI,R) , deci Ar(M,R) Ar(Q,R) și atunci Ar(M,R) satisface ACC . Rezultă că M este Σ – injectiv (din (b) (c)) și deci M este sumă directă de submodule indecompozabile (din (a) (g)) .
(f) (e) Fie (Qα)αЄІ o familie de module F – fără torsiune injective . Putem spune că Qα sînt toate indecompozabile . Atunci ER(αЄI Qα) = βЄJ Q’β , unde Q’β sînt module indecompozabile injective . Se știe că există o bijecție φ : I → J astfel încît Qα = Q’φ(α) pentru toți α Є І . Atunci αЄI Qα = βЄJ Q’β , deci αЄI Qα r’este un R – modul injectiv .
Deci , în conformitate cu aceatsă propoziție un R – modul injectiv Q este Levitzki – superior dacă și numai dacă Q este Σ – injectiv .
DEFINIȚIA 7.3. Un R – modul injectiv Q se numește Δ – injectiv dacă Q este Levitzki – inferior .
Mai general , un R – modul arbitrar M se numește Σ (respectiv Δ) – modul dacă M este Levitzki – superior (respectiv Levitzki – inferior). Pe scurt un Σ (respectiv Δ) – modul injectiv se numește Σ (respectiv Δ) – injectiv .
LEMA 7.4. Fie RQ un R – modul injectiv . Atunci Q este Σ (Δ) – injectiv dacă și numai dacă RR este FQ – noetherian (artirian) .
TEOREMA 7.5. Orice R – modul Δ – injectiv este Σ – injectiv .
DEMONSTRAȚIE : Dacă RQ este Δ – injectiv , atunci R este FQ – artirian , deci R este FQ – noetherian , adică RQ este Σ – injectiv .
Dacă M Є R – MOD și Λ = End(RM) atunci Δ – modulul stîng ΛM se numește modulul opus modulului M . Vom nota BiEnd(RM) inelul de biendomorfisme al lui M , adică este inelul opus (contrar) End(RM)op al inelului de endomorfisme al lui ΛM . Astfel M devine bimodulul ΛM BiEnd(RM) . În plus există un morfism canonic α : R → BiEnd(RM) dat de α(a)(x) = ax pentru a Є R , x Є M .
PROPOZIȚIA 7.6. Fie M un R – modul stîng QI și Λ = End(RM) . Atunci M este un Δ – modulul stîng dacă și numai dacă ΛM este un Λ – modul noetherian .
TEOREMA 7.7. (Faith , 1978) : Dacă RQ este un R – modul injectiv , care este noetherian – opus (adică ΛQ este noetherian , unde Λ = End(RQ)) , atunci Q este artinian – opus (adică ΛQ este artinian) .
DEMONSTRAȚIE : Din propoziția 7.6. RQ este Δ – injectiv , deci RQ este Σ – injectiv (din propoziția 7.5.) . Din conexiunea Galois
LQ
L(RR) L(ΛQ)
rR
laticea L(ΛQ) , a închiderii elementelor laticii L(ΛQ) a tuturor Λ – submodulelor lui Q , este artiniană . Pe de altă parte deoarece ΛQ este noetherian , fiecare Λ – submodul al lui Q este generat , deci închis .
Rezultă că L(ΛQ) = L(ΛQ) este o latice artiniană .
REMARCĂ : Rezultatul anterior rămîne devărat de asemenea pentru un modul QI , RQ : intr-adevăr dacă ΛQ este noetherian , atunci Q este R / AnnR(Q) – modul injectiv (din propoziția 5.16.)
PROPOZIȚIA 7.8. Fie (Qi)1≤ i ≤ n o familie finită de R – module injective . Atunci ni=1Qi este Σ (Δ) – injectivă dacă și numai dacă Qi este Σ (Δ) – injectiv , pentru fiecare 1≤ i ≤ n .
DEMONSRAȚIE : Dacă Q = ni=1Qi , atunci FQ = ∩ ni=1FQi .
PROPOZIȚIA 7.9. Fie (Qi) i ЄI o familie de R – module Σ – injective . Presupunem că următoarea condiție este satisfăcută :
(*) pentru fiecare a Є R , a ≠ 0 , există o submulțime finită Ia a lui I astfel încît ax ≠ 0 , pentru toți x Є Qi , x ≠ 0 și toți i Є I- Ia . Atunci i ЄI Qi este Σ – injectivă .
DEMONSRAȚIE : Familia (FQi)iЄI a topologiilor Gabriel pe R are proprietatea că pentru fiecare a Є R , a ≠ 0 , HomR(R/Ra , Qi) = 0 pentru fiecare i Є I- Ia . Atunci R este ∩ iЄI FQi – noetherian . Pe de altă parte Qi este ∩ iЄI FQi – fără torsiune , deci iЄI Qi este injectivă din propoziția 7.2.(e) și Σ – injectivă din aceeași propoziție (c) .
Dacă RQ este un R – modul injectiv , inelul de fracții RFQ al lui R în raport cu topologia Gabriel FQ va fi notat ca urmare cu RQ . Deoarece Q este injectiv și FQ – închis , deci un RQ- modul .
PROPOZIȚIA 7.10. Fie RQ un R – modul injectiv . Atunci RQ este Σ (Δ) – injectiv dacă și numai dacă RQQ este Σ (Δ) – injectiv în categoria RQ – MOD .
DEMONSRAȚIE : Fie φ : R → RQ morfismul canonic . Astfel : φ(FQ) = {b/b – ideal stîng al lui RQ , cu φ-1(b) Є FQ} = {b/b – ideal stîng al lui RQ , cu φ(Ra/b) Є TQ} este o topologie Gabriel pe RQ și φ(FQ) = F FQQ ; dar Q FQQ și laticile CFQ(R) și C φ(FQ)(RQ) sînt izomorfe . Demonstrația este completă acum .
LEMA 7.11. Dacă RQ este Δ – injectiv , atunci RQ = BiEnd(RQ) .
DEMONSRAȚIE : Deoarece AnnR(Q) = ∩ xЄQAnnR(x) și CFQ(R) este o latice artiniană , atunci există x1 , … , xn Є Q astfel încît AnnR(Q) = ∩ ni=1AnnR(xi) . Rezultă că Qn este ciclic – opus (adică ΛQn este ciclic) și atunci RQ = BiEnd(RQn) . Dar BiEnd(RQn) = BiEnd(RQ) , deci RQ = BiEnd(RQ) .
PROPOZIȚIA 7.12. Dacă RQ este Δ – injectiv , atunci inelul RQ este semi – primar avînd soclul finit generat stîng .
DEMONSRAȚIE : Modulul opus ΛQ al lui RQ este un Λ – modul de lungime finită (din propozițiile 7.6. și 7.7.) , deci End(ΛQ) este un inel semi – primar și deci RQ este inel semi – primar din propoziția 7.11.
PROPOZIȚIA 7.13. Fie RQ un modul Σ – injectiv . Atunci RQ este Δ – injectiv dacă este satisfăcută una din următoarele condiții :
R este inel semi – artinian stîng ;
R este regulat în sensul von Neumann ;
RQ este nesingular (adică Z(Q) = 0) .
PROPOZIȚIA 7.14. Următoarele proprietăți ale unui R – modul injectiv Q sînt echivalente :
RQ este Δ – injectiv ;
RQ este un inel semi – primar și Q este un RQ – modul Σ – injectiv sau Δ – injectiv ;
BiEnd(RQ) este un inel semi – primar și Q este un BiEnd(RQ) – modul Σ – injectiv sau Δ – injectiv .
DEMONSRAȚIE :
(b) și (b) (c) rezultă din propozițiile 7.10 , 7.11 , 7.12 , 7.13 , iar
(c) (a) din propoziția 7.13.Q este Δ – injectiv ca BiEnd(RQ) – modul și atunci e ușor de verificat că RQ este de asemenea Δ – injectiv .
În continuare vom descrie structura modulelor Δ – injective , folosind descompunerea terțiară relativă în inele F – noetheriene .
Fie F o topologie Gabriel (stîngă) pe R și considerăm teoria de torsiune hereditară (TF , FF) pe R – MOD definită de F . Cu Spec(R – MOD/TF) vom nota spectrul categoriei R – MOD/TF , adică mulțimea de clase izomorfe a tuturor obiectelor injective indecompozabile ale lui R – MOD/TF . Este clar că Spec(R – MOD/TF) poate fi identificată cu mulțimea de clase izomorfe a tuturor R – modulelor injective indecompozabile fără torsiune .
Reamintim următoarele noații :
Spec(R) = {b/b este ideal prim bilateral al lui R}
SpecF(R) = Spec(R) ∩ CF(R)
LEMA 7.15. Fie R un inel F – noetherian (stîng) .
Dacă p Є SpecF(R) , atunci ER(R/P) =Inp , unde Ip este un R – modul injectiv indecompozabil și n un număr natural .
Considerăm următoarele două aplicații α : SpecF(R) → Spec(R – MOD/TF) prin α(p) = Ip și β : Spec(R – MOD/TF) → SpecF(R) prin β(I) = p , unde Ass(I) = {p}. Atunci β o α = 1SpecF(R) .
(c) Dacă a Є CF(R) este un ideal semi – primar bilateral al lui R , atunci Ass(R/a) este o mulțime finită și a = ∩pЄAss(R/a) P .
În particular mulțimea MinF(R) a idealelor prime minimale ale lui SpecF(R) este finită .
LEMA 7.16. Fie F o topologie Gabriel a lui R și p Є Spec(R) . Dacă R/p este un inel Goldie drept , atunci p Є F sau p Є SpecF(R) .
TEOREMA 7.17. Fie p Є SpecF(R) un ideal prim minimal al lui R . Dacă ER(R/p) este un modul Σ – injectiv , atunci ER(R/p) este Δ – injectiv .
COROLAR 7.18. Dacă R este un inel noetherian stîng și p este un ideal prim minimal al lui R atunci ER(R/p) este un R – modul Δ – injectiv .
PROPOZIȚIA 7.19. Fie r un inel F – artinian . Atunci :
Fiecare element p Є SpecF(R) este ideal prim minimal în SpecF(R) și SpecF(R) este o mulțime finită . Dacă în plus pentru fiecare p Є Spe(R) , R/p este inel Goldie stîng (de exemplu , dacă R este inel noetherian stîng sau R este inel cu identități polinomiale) atunci fiecare element al lui SpecF(R) este ideal prim minimal al lui R.
Aplicația α descrisă în propoziția 7.15. este bijectivă .
DEMONSTRAȚIE :
Fie p,q Є SpecF(R) cu p q . Deoarece F Fq rezultă că R este Fq – artinian , adică ER(R/q) este Δ – injectiv . Dar R/p este inel Goldie , deci p Є CFq(R) din propoziția 7.16. și deci R – modulul R/p este cogenerat de ER(R/q) . Atunci există n Є N și un monomorfism R/p → ER(R/q)n ; rezultă că {p} = Ass(ER(R/q)n) = {q} , adică p = q .
Fie RQ un modul injectiv F – fără torsiune indecompozabil . Atunci Ass(Q) = {p} . Deoarece Q este Δ – injectiv , există un monomorfism R/p → Qk pentru un anume k Є N . Atunci ER(R/p) Qk . Pe de altă parte , ER(R/p) Inp , unde Ip este un R – modul injectiv indecompozabil , deci Ip = Q , adică α este de asemenea surjectivă .
COROLAR 7.20. Dacă R este un inel noetherian stîng , atunci există o corespondență bijectivă între mulțimea tuturor idealelor prime minimale ale lui R și mulțimea claselor izomorfe a modulelor Δ – injective indecompozabile .
COROLAR 7.21. Fie RQ un modul Δ – injectiv nenul . Atunci :
există un număr finit de ideale prime p1 , … , p n ale lui R astfel încît Ass(Q) = { p1 , … , p n } . Mai mult , R/pi este un inel Goldie stîng și ER(R/pi) = Inipi pentru fiecare i = , unde Ipi este un R – modul injectiv indecomozabil și ni Є N-{0} .
Q = αЄA Qα unde Qα este un R – modul Δ – injectiv indecompozabil , pentru fiecare αЄA . Mai mult pentru fiecare αЄA , Qα este izomorf cu un injectiv al mulțimii { Ip1 , … , Ipn } .
Rezultatul dual al propoziției 6.11.este :
TEOREMA 7.22. Fie (Qi) i ЄI o familie de R – module stîngi . Dacă Q = iЄI Qi este un R – modul injectiv , atunci următoarele două condiții sînt echivalente :
Q este Δ – injectiv ;
Qi este Δ – injectiv pentru fiecare i Є I .
DEFINIȚIA 7.23. Inelul R se numește Σ (respectiv Δ) – inel stîng ori de cîte ori ER(RR) este Σ (respectiv Δ) – injectivă .
TEOREMA 7.24. Fie RQ un R – modul Σ (respectiv Δ) – injectiv . Atunci ER[x](Q[x]) este un R[x] – modul Σ (respectiv Δ) – injectiv .
COROLAR 7.25. Dacă R este un Σ (respectiv Δ) – inel stîng atunci R[x] este un Σ (respectiv Δ) – inel și reciproc .
♦8. MODULE Σ*/Δ* – PROIECTIVE
Conceptul de modul Σ* – proiectiv a fost introdus și studiat de Năstăsescu . Ele au un sens dual noțiunilor de modul I(D) – injectiv .
În acest paragraf vom defini și studia modulele Σ*(Δ*) – proiective și vom prezenta o legătură între modulele Δ* – proiective și Δ – injective . Bazat pe aceasta vom demonstra următorul rezultat datorat lui Măstăsescu : orice categorie Grothendiech avînd un generator artinian este echivalentă cu categoria A – MOD , unde A este un inel artinian stîng convenabil .
În continuare P va reprezenta un R – modul stîng proiectiv nenul . Acesta defineșe o teorie de torsiune (TP , FP) unde :
TP = {M Є R –MOD / HomR(P, M) = 0} și
FP = {X Є R –MOD / HomR(M , X) = 0 pentru toți M Є TP} .
Topologia Gabriel corespunzătoare este FP = {a RR/τ(P) a} unde τ(P) este trasa lui P .
DEFINIȚIA 8.1. Modulul proiectiv RP se numește Σ*(Δ*) – proiectiv dacă CFP(R) este o latice noetheriană (respectiv artiniană) .
TEOREMA 8.2. Dacă P este Δ* – proiectiv , atunci P este Σ*– proiectiv .
PROPOZIȚIA 8.3. Fie RP un modul Σ*– proiectiv . Atunci RP este Δ* – proiectiv dacă una din următoarele condiții este satisfăcută :
R este inel stîng semi – artinian ;
R este regulat în sens von Neumann .
LEMA 8.4. Dacă P este Σ* sau Δ* – proiectiv , atunci idealul τ(P) al lui R este finit generat stîng .
DEMONSTRAȚIE : Deoarece RR este FP – noetherian , τ(P) este un R – modul stîng FP – finit generat ; deci există un ideal stîng finit generat a , a τ(P) astfel încît τ(P)/a Є TP . Atunci τ(P) = τ(P)2 a , adică τ(P) = a este finit generat ca ideal stîng .
COROLAR 8.5. Următoarele proprietăți ale R – modulului proiectiv finit generat P sînt echivalente :
P este Σ*(Δ*) – proiectiv ;
P este τ(P) – noetherian (artinian) și τ(P) este ideal stîng finit generat .
PROPOZIȚIA 8.6. Fie (Pi)1≤i≤n o familie de R – module proiective . Atunci ni=1 Pi este Σ*(Δ*) – proiectivă dacă și numai dacă Pi este Σ*(Δ*) – proiectiv pentru toți 1≤i≤n .
DEMONSTRAȚIE : Dacă P = ni=1 Pi , atunci FP = ∩ni=1 FPi
REMARCĂ : Dacă P este Σ*(Δ*) – proiectiv , atunci P(I) este Σ*(Δ*) – proiectiv pentru fiecare mulțime nevidă I , deoarece FP = FP(I) .
COROLAR 8.7. Fie P un R – modul proiectiv finit generat nenul . Atunci P este Δ* – proiectiv dacă și numai dacă P este sumă directă finită de module Δ* – proiective indecompozabile .
DEMONSTRAȚIE : Dacă P este Δ* – proiectiv , atunci P este τ(P) – artinian din propoziția 8.5. Deoarece fiecare sumă directă a lui P este τ(P) – accesibilă și P satisface DCC pe submodulele τ(P) – accesibile , putem scrie P = ni=1 Pi , unde Pi sînt toate R – modulele indecompozabile . Se aplică acum propoziția 8.6.
TEOREMA 8.8. Fie P un R – modul proiectiv finit generat . Atunci P este Σ*(Δ*) – proiectiv dacă și numai dacă P* este noetherian – opus (artinian) .
DEMONSTRAȚIE : RR este FP – noetherian (FP – artinian) RP este Σ*(Δ*) – proiectiv P* = HomR(P,R) este un End(RP) – modul stîng noetherian (artinian) . Dar End(RP) este izomorf cu inelul opus al lui End(P*R) . Deci RP este Σ*(Δ*) – proiectiv dacă și numai dacă P* este End(P*R) – modul drept noetherian (artinian) .
COROLAR 8.9. Fie RP un modul proiectiv finit generat . Dacă P este Δ* – proiectiv , atunci BiEnd(P*R) este un inel semi-primar , izomorf cu inelul de fracții RFp .
DEMONSTRAȚIE : Dacă RP este un modul proiectiv finit generat , atunci RFp = BiEnd(P*R) . Deoarece P este Δ* – proiectiv , P* este un End(P*R) – modul drept de lungime finită (din propozițiile 8.2. și 8.8.) , deci BiEnd(P*R) este inel semi – primar .
În continuare vom prezenta legăturile dintre modulele Σ – injective și Δ* – proiective .
Fie RQ un modul injectiv , Λ = End(RQ) și B = BiEnd(RQ) . Atunci Q devine un bimodul ΛQB . Din propoziția 7.14. RQ este Δ – injectiv dacă și numai dacă B este inel semipar și QB este Δ – injectiv .
Rezultă că studiul modulelor Δ – injective peste inelul R poate fi redus la studiul modulelor Δ – injective peste un inel semi – primar .
TEOREMA 8.10. Dacă R este un inel semi – primar , atunci există o corespondență bijectivă între mulțimea claselor izomorfe ale modulelor Δ – injective indecompozabile și mulțimea claselor izomorfe ale modulelor Δ* – proiective indecompozabile (finit generate) .
DEMONSTRAȚIE : Fie Q un modul Δ – injectiv indecompozabil . Atunci soclul So(Q) = S este un modul simplu . Fie PQ ―α→ S → O o acoperire proiectivă a lui S . Mai întîi vom demonstra că FQ = FPQ , adică dacă M Є R – MOD , atunci HomR(M,Q) = 0 dacă și numai dacă HomR(PQ,M) = 0 , Notăm cu J rdicalul Jacobson al lui R și considerăm așa – numita serie descendentă Loewy a lui M = M0 ≥ M1 ≥ … ≥ Mk ≥ … , unde Mk = MJk , pentru fiecare k Є N .
Deoarece R este inel semiprimar , Mk/Mk+1 este modul semisimplu pentru toți k Є N și Mn = 0 pentru un anumit n Є N . Atunci , evident HomR(PQ , M) = 0 , deci există i Є N astfel încît HomR(PQ , Mi/Mi+1) ≠ 0 . Rezultă că există S’ Mi/Mi+1 submodul simplu astfel încît HomR(PQ , S’) ≠ 0 .
Presupunem că HomR(PQ , S’) ≠ 0 și fie f Є HomR(PQ , S’) , f ≠ 0 . Atunci Ker(f) și Ker(α) sînt două submodule maximale ale lui PQ . Dacă Ker(f) ≠ Ker(α) , atunci Ker(f) + Ker(α) = PQ . Dar Ker(α) este superflu în PQ (fiind acoperire proiectivă) , deci Ker(f) = PQ , adică f = 0 , ceea ce este o contradicție . În consecință Ker(f) ≠ Ker(α) și deci S’ ≈ S .
Pe de altă parte , HomR(M,Q) ≠ 0 implică faptul că există j Є N astfel încît HomR(Mj/Mj+1,Q) ≠ 0 , adică S” Mj/Mj+1 submodul simplu astfel încît HomR(S”,Q) ≠ 0 . Dar HomR(S”,Q) ≠ 0 implică S” ≈ S , deoarece S = So(Q) .
Rezultă că HomR(PQ , M) ≠ 0 HomR(M,Q) ≠ 0 și deci FQ = FPQ . Dar Q este Δ – injectiv , adică RR este artinian în raport cu topologia Gabriel FQ = FPQ și de aceea PQ este Δ* – proiectiv . Ca o acoperire proiectivă a modulului simplu S , PQ este desigur finit generat și indecompozabil .
Invers fie P un modul Δ* – proiectiv indecompozabil . Atunci , există un idempotent primitiv e al lui R astfel încît P ≈ Re și Re / Je = S , este un R – modul simplu . Notăm QP = ER(S) . Deoarece P este acoperirea proiectivă a lui S rezultă că FP = FQP și deci QP este un modul Δ – injectiv indecompozabil . Acum este clar că Q→PQ și P→QP este o corespondență cu păstrarea bijectivității .
TEOREMA 8.11. Pentru o categorie Grothendiech nenulă C următoarele afirmații sînt echivalente :
C are un generator artinian ;
C are o familie finită de generatori artinieni ;
C este echivalentă cu A – MOD , unde A este inel stîng artinian .
DEMONSTRȚIE : Evident (c) (a) și (a) (b) . Dacă (Ui)iЄI este o familie finită de generatori artinieni ai lui C , atunci U = iЄI Ui este un generator artinian al lui C , deci are loc (b) (a) .
Demonstrăm (a) (c) : Presupunem că C are un generator artinian U . Atunci , U este un obiect de lungime finită și Λ = HomC(U,U) este un inel semiprimar . Conform teoremei Gabriel – Popescu , există o subcategorie localizată L a lui Λ – MOD astfel încît C este echivalentă cu categoria factor Λ – MOD/L . Dacă T : Λ – MOD → C este functorul canonic , atunci T(Λ) = U și astfel Λ este artinian în raport cu subcategoria localizată L .
Considerăm modulul injectiv ΛQ care cogenerează clasa fără torsiune corespunzătoare lui L . Astfel , L = {M Є Λ – MOD/HomΛ(M,Q) = 0} . Rezultă că Q este Δ – injectiv . Din propoziția 7.12.(2) , Q = jЄJ Qj , unde Qj este un modul Δ – injectiv indecompozabil pentru fiecare jЄJ . Mai mult , există un număr finit de module injective Qj1 , … , Qjn astfel încît pentru fiecare jЄJ , Qj este izomorf cu un injectiv al mulțimii { Qj1 , … , Qjn } .
Dacă notăm Q’ = n k=1 Qjk , atunci evident L = {M Є Λ – MOD / HomΛ(M,Q’) = 0} . Fie Sjk = So(Qjk) pentru fiecare 1≤k≤n ; atunci Sjk are toate modulele simple .
Dacă Pjk → Sjk → O este o acoperire proiectivă a lui Sjk pentru fiecare 1≤k≤n, atunci P = n k=1 Pjk este un submodul Δ* – proiectiv finit generat și TP = {M Є Λ – MOD / HomΛ(P,M) = 0} este o subcategorie localizată a lui Λ – MOD . Din propoziția 8.10. avem TP = L . Conform propoziției 8.5. PΛ este τ(P) – artinian, deci V = T(P) este un generator artinian proiectiv al lui C , iar C este echivalentă cu categoria A – MOD , unde A = HomC(V,V) este un inel artinian stîng .
REMARCĂ : Rămîne deschisă următoarea întrebare : dacă C este o categorie Grothendiech avînd un generator noetherian (respectiv un cogenerator noetherian) atunci C este echivalentă cu categoria A – MOD , unde A este un inel noetherian stîng convenabil ?
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Injectivitate (ID: 149288)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.