Inginerie Electric ă și Electronic ă [613318]

Universitatea Dunarea de Jos Gala /uni0163i

Facultatea de Automatic ă, Calculatoare,
Inginerie Electric ă și Electronic ă

LUCRARE DE LICEN /uni0162Ă

Ameliorarea gradului de stabilitate al unui
sistem de reglare automat ă utilizând
regulatorul cu avans de faz ă

Absolvent: [anonimizat]: prof. dr. ing. Viorel MÎNZU

2016

2
Universitatea Dunarea de Jos Gala /uni0163i

Facultatea de Automatic ă, Calculatoare,
Inginerie Electric ă și Electronic ă

LUCRARE DE LICEN /uni0162Ă

Ameliorarea gradului de stabilitate al unui
sistem de reglare automat ă utilizând
regulatorul cu avans de faz ă

Absolvent: [anonimizat]: prof. dr. ing. Viorel MÎNZU

2016

3 1. Tema de proiectare

Ameliorarea gradului de stabilitate al unui sistem de reglare automat ă
utilizând regulatorul cu avans de faz ă

Se consider ă o bil ă de o /uni021Bel de mas ă m, având posibilitatea s ă se mi ște vertical f ără frecare în
interiorul unui tub cilindric deasupra c ăruia este plasat un electromagnet. Dorim s ă men /uni021Binem
bila, f ără contact, la o în ăl/uni021Bime dorit ă, notat ă Hd. Pentru a realiza acest lucru, pe de o parte se
măsoar ă pozi /uni021Bia sa vertical ă, )(tH, cu ajutorul unui traductor optic ce furnizeaza o tensiune
ut(t) propor /uni021Bional ă cu diferen /uni021Ba dintre Hd si H(t), iar pe de alt ă parte se ac /uni021Bioneaz ă asupra
electromagnetului prin intermediul unui amplificato r în tensiune cu amplificarea egala cu 1
(amplificator de putere). Pentru realizarea SRA, ie șirea traductorului este aplicat ă unui
regulator cu func /uni021Bia de transfer R(s).

Tema de proiectare const ă în:
1. Modelarea sistemului de reglare automat ă a în ăl/uni021Bimii bilei plecând de la ecua /uni021Biile
fizice și precizarea modelului de func /uni021Bionare a SRA în jurul unui punct static de
func /uni021Bionare. Se va ob /uni021Bine schema Bloc func /uni021Bionala a SRA și se va calcula func /uni021Bia de
transfer în bucl ă deschis ă și în bucl ă închis ă.
2. Studiul stabilit ă/uni021Bii SRA cu regulator propor /uni021Bional.
3. Studiul stabilit ă/uni021Bii SRA utilizând un reglator cu avans de faz ă. Se vor determina
restric /uni021Biilor algebrice pentru ob /uni021Binerea stabilit ă/uni021Bii.
4. Tratarea unor exemple numerice și analiza stabilit ă/uni021Bii SRA pe diagramele lui Bode .
5. Acordarea unui regulator cu avans de faz ă optimal prin determinarea unei proceduri
de c ăutare a parametrilor regulatorului care s ă confere cea mai mare margine de faz ă.
6. Precizarea importan /uni021Bei pozi /uni021Biei elementului cu avans de faz ă pe diagramele lui Bode
pentru ob /uni021Binerea unei margini de faz ă satisfacatoare.
7. Realizarea unor programe MATLAB care s ă asiste analiza stabilit ă/uni021Bii SRA de la
punctul 4 și să implementeze procedura de la punctul 5.

4 2. Rezumat

În aceast ă lucrare a fost considerat SRA descris prin tema de proiectare și s-a determinat
schema bloc func /uni021Bional ă corespunzatoare descrierii. Plecând de la ecua /uni021Biile fizice s-a modelat
sistemului de reglare automat ă a în ăltimii bilei.
Considerând micile varia /uni021Bii în jurul punctului static de func /uni021Bionare în care în ăltimea bilei este
cea dorit ă, s-a ob /uni021Binut modelul SRA ca sistem liniar continuu invarian t, schema bloc
func /uni021Bionala a acestuia și s-a calculat func /uni021Bia de transfer în bucl ă deschis ă și în bucl ă închis ă.
Într-o prim ă faz ă, a fost considerat un regulator propor /uni021Bional. Utilizând criteriul lui Routh
aplicat pe ecua /uni021Bia caracteristic ă a SRA, a rezultat c ă SRA nu poate fi stabilizat niciodat ă cu
un astfel de regulator.
/uni021Ainând cont de cerin /uni021Ba temei de proiectare, dar și de faptul c ă partea fixata a SRA con /uni021Bine un
dublu integrator, în a doua etap ă s-a analizat dac ă se poate ob /uni021Bine un SRA stabil cu ajutorul
unui regulator cu avans de faz ă. Utilizând tot criteriul lui Routh, au fost determ inate dou ă
restric /uni021Bii de tip inegalitate, (26) si (28), care odat ă satisfacute garanteaz ă stabilitatea SRA, dar
nu /uni021Bi un grad bun de stabilitate.
Au fost studiate trei exemple numerice cu regulator cu avans de faz ă, pentru care SRA este
stabil. Finalmente s-a calculat marginea de faz ă și s-a determinat r ăspunsul indicial. Aceast ă
analiz ă a fost asistat ă de un program MATLAB prezentat în Anexa A. A rezul tat un SRA cu
grad foarte mic de stabilitate, altul cu un grad de stabilitate mai bun și un al treilea cu grad de
stabilitate foarte bun.
Din acest studiu a rezultat c ă este nevoie de existenta unei proceduri de c ăutare a
regulatorului cu avans de faz ă care s ă asigure determinarea celor trei parametri ai
regulatorului, a.î. marginea de faz ă conferit ă SRA sa fie maxim ă. A fost descris ă și
implementat ă aceast ă procedur ă printr-un program MATLAB prezentat în Anexa B.
În ultima parte a lucr ării a fost subliniat principiul de proiectare confo rm c ăruia introducerea
elementului cu avans de faz ă trebuie s ă se fac ă a.î. acesta s ă ating ă maximul surplusului de
faz ă, în preajma pulsa /uni021Biei de t ăiere a SRA în bucl ă deschis ă. Analiza frecven /uni021Bial ă pe
caracateristicile asimptotice ale lui Bode ale SRA în bucl ă deschis ă a explicat rezultatele în
cazul celor trei exemple tratate.

5
Tabla de materii

1. Tema de proiectare………………………… …………………………………………… ……………………….3
2. Rezumat ………………………………….. …………………………………………… ……………………………4
3 . Descrierea sistemului de reglare automat ă a pozi /uni021Biei
unei bile în câmp electromagnetic …………. …………………………………………… ………………..6
4. Modelarea SRA în jurul puntului static de func /uni021Bionare ……………………………………… ……..8
5. Func /uni021Biile de transfer ale SRA……………………… …………………………………………… ……………9
6. Studiul stabilit ă/uni021Bii SRA cu regulator propor /uni021Bional utilizând criteriul lui Routh……………1 0
7. Stabilizare prin introducerea unui regulator cu avans de faz ă…………………………………..12
8.Studiul stabilit ă/uni021Bii SRA pe diagramele lui Bode …………………. …………………………………..16
9. Gradul de stabilitate. Marginea de faz ă, marginea de amplificare…………………….. ………17
10. Studiul gradului de stabilitate al SRA în abord are frecven /uni021Bial ă……………………………….18
11. Stabilirea unui regulator cu avans de faz ă optimal ……………………………………. ………….23
12. Rolul pozi /uni021Biei elementului cu avans de faz ă în determinarea marginii de faz ă…………..27
13. Bibliografie …………………………….. …………………………………………… …………………………30
ANEXA A…………………………………….. …………………………………………… ………………………..31
ANEXA B…………………………………….. …………………………………………… ………………………..33

6
3 . Descrierea sistemului de reglare automat ă a pozi /uni021Biei unei bile în
câmp electromagnetic

Se consider ă o bil ă de o /uni021Bel de mas ă m, având posibilitatea s ă se mi ște vertical f ără
frecare în interiorul unui tub cilindric deasupra c ăruia este plasat un electromagnet. Dorim s ă
men /uni021Binem bila, f ără contact, la o în ăl/uni021Bime dorit ă, notat ă Hd. Pentru a realiza acest lucru, pe de
o parte se m ăsoar ă pozi /uni021Bia sa vertical ă, )(tH, cu ajutorul unui traductor optic ce furnizeaza o
tensiune ut(t) propor /uni021Bional ă cu diferen /uni021Ba dintre Hd si H(t), iar pe de alt ă parte se ac /uni021Bioneaz ă
asupra electromagnetului prin intermediul unui ampl ificator în tensiune cu amplificarea egala
cu 1. Pentru realizarea SRA, ie șirea traductorului este aplicat ă unui regulator cu func /uni021Bia de
transfer R(s)

Func /uni021Bionarea SRA este determinat ă de modelul fizic prezentat mai jos:

mg tF
dt Hdm − = )(22 (1)
[ ])( )( tH Hatud tr − ⋅= (4)

dt tdI LtIRtU)()(. )( ⋅+ = (3)
F(t)=b.I(t) ( b >0, constanta) (2)

a este constanta de propor /uni021Bionalitate a traductorului

Fig, 3.1

Punct static de func /uni021Bionare mg

)(tH dH FIUHd , , , )(th
Traductor
optic Amplificator Regulator )(tu ) (tuR
)(tut )(tFr
G
)(tH electromagnet

7 Când pozi /uni021Bia bilei este identic ă cu cea dorita, avem:
dHtH =)( ,

si din (4) rezult ă
utr (t)=0.

În aceast ă situa /uni021Bie, SRA are un punct de echilibru, adic ă rela /uni021Biile (1), (2) si (3) sunt satisfacute prin
mărimi constante și derivatele sunt nule. Se spune c ă SRA are un punct static de func /uni021Bionare, pe care-l
caracteriz ăm mai jos.

La echilibru bila este supus ă unor for /uni021Be egale și opuse
gmGF ⋅== (5)
iar celelalte m ărimi fizice, FIU , , , sunt constante a.î:
IR U ⋅= (6)
IbF ⋅= (7)

8 4. Modelarea SRA în jurul puntului static de func /uni021Bionare

Pentru a caracteriza func /uni021Bionarea SRA în jurul punctului static de func /uni021Bionare, vom introduce
abaterile m ărimilor fizice de la valorile constante FIUHd , , , :
)( )( th HtHd+ = (8)
)( )( tuUtU += (9)
)( )( t i ItI += (10)
)( )( tfFtF += (11)
/uni021Ainând cont de (8) și (11), ecua /uni021Bia (1) se poate rescrie:
mg tf F
dt th Hdmd− + =+)) ( ()) ( (
22

Pentru c ă Hd este constant și aplicând (5), avem:
)()(
22
tf
dt thdm = (12)
/uni021Ainând cont de (9) si (10), ecua /uni021Bia (3) se poate rescrie:
[ ] [ ]dt di Lt iRIR t i Idt dL t i IRtu U ⋅+ ⋅+⋅= + ⋅+ + = + )( )( )( . )( .
Aplicând (6), rezult ă ecua /uni021Bia

dt di Lt iRtu ⋅+ ⋅= )( )( . (13)
Din (2), (7) si (11) rezult ă
)( )( t ibtf ⋅= (14)
Modelul de func /uni021Bionare al SRA în jurul punctului static de func /uni021Bionare este dat de ecua /uni021Biile
(12), (13), (14). Observând c ă
)( )( )( tH Hthtd− = =ε
și c ă tensiunea aplicat ă electromagnetului u(t) este egal ă cu ie șirea regulatorului uR(t) pentru
că amplificatorul are amplificarea 1, rezult ă structura SRA prezentat ă în figura al ăturat ă:

Fig. 4.1

a R(s) G(s) + – )(sε
)(th )(sUt
)(tut )(sUR
) (tuR dH )(tH
1 )()(
tusU

9 5. Func /uni021Biile de transfer ale SRA.

Putem arata c ă func /uni021Bia de transfer ce leag ă H(s)= L{h(t)} si U(s)= L{u(t)} poate fi scris ă sub
forma:

) (1
)()()(2Ls Rsmb
sUsHsGD
+⋅= =

Aplicând transformata Laplace ecua /uni021Biilor (12) , (13), (14) ob /uni021Binem:
)( )(2sFsH ms = ⋅ (15)
)() ()( sILs R sU ⋅ + = (16)
F(s)=b.I(s) (17)
Din (15) și (17) rezult ă:
)( )(2sbI sHms =
adic ă
2)()(ssI
mbsH ⋅=
Aplicând și (16), avem:
)(
) (1)(2sU
Ls RsmbsH ⋅
+⋅=
De aici avem:

) (1
)()(
2Ls Rsmb
sUsH
+⋅=

10 6. Studiul stabilit ă/uni021Bii SRA cu regulator propor /uni021Bional utilizând
criteriul lui Routh

Vom arat ă c ă un regulator serie cu actiune propor /uni021Bional ă pur ă și constant ă de
propor /uni021Bionalitate k nu permite ob /uni021Binerea unui SRA stabil.
Reamintim aici criteriul de stabilitate al lui Rout h. Fie un SLCI reprezentat prin ecua /uni021Bie
diferen /uni021Bial:

mndt ndbdt du btubtyadt dy a
dt ydamm
mnn
n
≥⋅ + +⋅ + ⋅ = ⋅ +⋅ + ⋅ ….. )( )(1 0 0 1 (18)
Aplicarea condi /uni0163iilor necesare și suficiente precedente necesit ă calculul r ădăcinilor
ecua /uni0163iei caracteristice a ecua /uni0163iei (18):
011
1 = + ++ +−
− on
nn
n ara ra ra L .
Este suficient s ă determin ăm semnul p ăr/uni0163ii reale a r ădăcinilor; acest lucru poate fi efectuat cu
ajutorul unor criterii care nu necesit ă decât calcule simple. Unul din acestea este criter iul lui
Routh, a c ărui aplicare necesit ă construirea unui tabel de (n+1) linii, dup ă cum urmeaz ă:

Primele dou ă linii a tabelului lui Routh con /uni0163in coeficien /uni0163ii ecua /uni0163iei caracteristice, iar celelalte
linii con /uni0163in elemente calculate în modul urm ător:

13 2 1
1. .
−− − − −=
nnn n n
aaa a ab ;
15 4 1
2. .
−− − − −=
nnn n n
aaa a ab ; …
121 3 1
1. .
bba abcn n − −−= ;
131 5 1
2. .
bba abcn n − −−= ; …
și a șa pân ă la ultimul element. n an an-2 an-4 …
n-1 an-1 an-3 an-5 …
n-2 b1 b 2 b 3 …
n-3 c1 c 2 c 3 …
M
M M M
1 y1 y 2 y 3 …
0 z1 z 2 z 3 …

11 Pe fiecare linie a tabelului putem multiplica toat e elementele cu un num ăr pozitiv oarecare.
Atunci când tabloul s-a terminat, examin ăm elementele din prima coloan ă pentru a aplica
criteriul de stabilitate a lui Routh:
Sistemul (18) este intern stabil, dac ă și numai dac ă:
– to /uni021Bi coeficient /uni021Bii ia, i=1,….,n sunt de acela și semn și
– toate elementele de pe prima coloana sunt de acel a și semn

În cazul nostru, avem
ksR =)(
de aici ob /uni021Binem func /uni021Bia de transfer a c ăii directe:

) (1)()( )(2Ls RsmbkasGsRas Wd
+⋅ ⋅= ⋅ ⋅=
Not ăm
mbak A=și ob /uni021Binem:

) ()(2Ls RsAs Wd+=
Func /uni021Bia de transfer a SRA este :

A Ls RsA
sWsWsWsW
r dd
+ +=+=
) ( )()( 1)()(20

A Rs Ls AsW
+ +=2 30)( .
Deci, ecua /uni021Bia caracteristic ă este:
02 3=+ + A Rs Ls

Aplicând criteriul lui Routh obtinem urmatorul tabe l:

Deoarece termenul
0<−
RLA ,
Rezult ă c ă sistemul ob /uni021Binut nu poate fi stabil.

3 L 0 0
2 R A 0
1
RLA − 0
0 A

12 7. Stabilizare prin introducerea unui regulator cu avans de faz ă

Se noteaz ă cu )(1sG func /uni021Bia de transfer compozit ă definita )( )(1 sGasG ⋅= :

) 1 ()(2 1s sAsG
τ+=
Vom ar ăta c ă este posibil s ă se ob /uni021Bin ă un SRA stabil utilizând un regulator serie cu ac /uni021Biune
proportional ă și ac /uni021Biune derivativ ă definit prin:

ssT k
sRα++
=1) 1 (
)( (19)

+⋅ =
+⋅ =
sRLsmR ab
sRLRsmbasG
11
11)(
2 21
Not ăm
mR ab AD
= si RLD
=τ ,
Deci, avem:

) 1 ()(2 1s sAsG
τ+=

Fig.7.1

) 1 ( 1) 1 (
)(2s sA
ssT k
sWcτ α +⋅++
= (20)

Dac ă alegem
τ=T ,
criteriul lui Routh ne va ar ăta ca SRA este instabil. De aceea, nu vom compensa constanta τ.

Func /uni021Biile de transfer ale c ăii directe și de reac /uni021Bie sunt:

) 1)( 1 () 1 (
)(2s s ssT kA
s Wdα τ + ++
=
1)(=sWr

13

Deci func /uni021Bia de transfer în bucl ă deschis ă este:

) 1 ( ) 1)( 1 () 1 (
) 1)( 1 () 1 (
1) 1)( 1 () 1 (
1)(2
22
0sT kA s s ssT kA
s s ssT kA s s ssT kA
WWsW
dd
+ + + ++
=
+ ++
++ ++
=+=
α τ
α τα τ (21)
Prin urmare, ecua /uni021Bia caracteristic ă a SRA va fi:
0 ) (2 3 4= + + +⋅+ +⋅ kA s kAT s s s τα ατ
Not ăm coeficien /uni021Bii ecua /uni021Biei cu:
ατ =4a ; τα+=3a ; 12=a ; TAK a ⋅⋅=1 ; kA a=0
Studiem stabilitatea unui sistem de ordinul patru. Ob /uni0163inem urm ătorul tabel:

Presupunând c ă to /uni0163i coeficien /uni0163ii a i ni, , , =1K sunt pozitivi, condi /uni0163iile de stabilitate impuse
prin criteriul Routh sunt urm ătoarele:
0 . .14 23 > − aa aa (22)
02
3 42
1 321 > − − aa aa aaao (23)
Condi /uni0163ia (23) se mai poate scrie:

12
30
41 32aaaaa aa + > , (24)
pty)(1 este finit ă (25)
condi /uni0163ie care este mai strict ă ca (25) și se folose ște singur ă, a șa cum condi /uni0163ia necesar ă și
suficient ă pentru stabilitatea asimptotic ă este urm ătoarea:
4 a4 a2 a0
3 a3 a1 0
2
314 23 . .
aaa aa − a0 0
1
14 232
3 42
1 321
aa aaaa aa aaa o
−− − 0 0
0 a0 0 0

14
13
3412aaa
aaaao+ > .
Rezult ă c ă SRA este stabil dac ă:

130
341
2aaa
aaaa + > ,
echivalent cu:
1) (<+++⋅
kAT kA kAT τα
ταατ sau
1<+++⋅
TkAT τα
ταατ

Înmul /uni021Bind cu T) ( τα+ rezult ă c ă:
T T kA ) ( ) (2 2τα τα ατ + < + + ⋅

0 ) ( ) (2 2< + + + − ⋅ τα τα ατ T T kA

Pentru ca inegalitatea de mai sus sa aib ă solu /uni021Bie, trebuie ca 0>∆ , deci:
0 ) ( 4) (2 2> + − + =∆ ταατ τα kA
0) 41 () (2> − + =∆ ατ τα kA
Not ăm ατ βkA D
=

Deci, trebuie ca
25 . 041=<β (26)

Solu /uni021Biile ecua /uni021Biei ata șate inecua /uni021Biei (5) sunt deci :

( ) ββτα
ββ τα τα41 12 241) () (
2 , 1 − ±+=− + ±+= T (27)
Avem dou ă solu /uni021Bii pozitive: 01>T si 02>T . Deci, pentru verificarea inegalita /uni021Bii (5), trebuie ca
),(21TT T∈
sau
( ) ( )


− ++− −+∈ ββταββτα41 12 ,41 12T (28)

15

Exemplu numeric 1

Consider ăm datele ini /uni021Biale
sec 2 . 012 . 0=Ω==H
RLτ ;
A = 4;

Alegem 224 .0=β care verific ă (6). Rezult ă
28 . 02.04224 . 0=⋅= =τβαAk
Luam de exemplu : k=2 si 14 .0=α

322 . 0 896 . 01 41 = − = −β

( )
( ) ( ) 003 . 1 322 . 0 1448 . 034 . 0 41 12 514 . 0)322 . 0 1 (448 . 034 . 041 12
21
= + = − ++== − = − −+=
ββταββτα
TT

Rezult ă c ă inegalitatea (5) este echivalent ă cu
003 . 1 514 . 0 ≤ ≤T
Alegem
=T 0.8 sec
Și deci regulatorul R(s) va fi:

sssR14 .01)8 . 0 1 (2)(++⋅=
Cu datele ini /uni021Biale avem:

)2 . 0 1 (4
) 1 ()(2 2 1s s s sAsG
+=
+=
τ

16 8.Studiul stabilit ă/uni021Bii SRA pe diagramele lui Bode

Criteriul lui Nyquist poate fi exprimat și în planul Bode (fig.8.1). Punctul critic –1
corespunde în plan Bode lui:
AdB =0 și ϕ°=-180 °.

0
-180 0ωcωπAdB
ϕ°ω
∆ϕ∆GdB

Fig. 8.1 Criteriul lui Nyquist utiliz ănd caracteristicile lui Bode.

Se eviden /uni0163iaz ă dou ă pulsa /uni0163ii: cω, pulsa /uni0163ia de t ăiere (reamintim c ă 1) ( = ωc cj W ) și pulsa /uni0163ia ωπ
a punctului unde locul de transfer intersecteaz ă axa real ă. Argumentul lui Wc(jω) în acest
punct este – π (-180 °).
Faptul c ă locul Nyquist al unui sistem stabil în bucl ă deschis ă las ă punctul critic în stânga
implic ă
1) ( < ωπj Wc , pentru arg [W c(jωπ)]= ϕ(ωπ)=-180 °
altfel spus
A dB (ωπ) <0 , (29)
cu condi /uni0163ia ca ωπ s ă existe (este posibil ca ϕ(ω)>-180 °, pentru orice pulsa /uni0163ie ω).
În cazul unui sistem stabil, avem:
ϕ(ωc)>-180 °, (30)
Rela /uni0163iile (29) și (30) constituie scrieri echivalente ale condi /uni0163iei de stabilitate pentru sistemul
în bucl ă închis ă.
În cazul în care ωπ exist ă, o alt ă scriere echivalent ă a condi /uni0163iei de stabilitate:
ωc<ωπ.

17 9. Gradul de stabilitate. Marginea de faz ă, marginea de amplificare.

Se cunoa ște acum modul de studiere a stabilit ă/uni0163ii unui sistem în bucl ă închis ă, dar, în
majoritatea cazurilor, un sistem strict stabil nu e ste satisf ăcător. Într-adev ăr, dac ă locul
Nyquist al func /uni0163iei de transfer în bucl ă deschis ă a unui sistem stabil în bucl ă închis ă este
foarte apropiat de punctul critic, r ăspunsul s ău va fi foarte slab amortizat, din cauza unui
regim tranzitoriu care tinde lent c ătre zero.
Stabilitatea, prin ea îns ăș i, nu este suficient ă, ea trebuie s ă fie completat ă prin m ăsurarea
gradului de stabilitate. Marginea de faz ă și marginea de câ știg sunt astfel de m ăsuri ale
gradului de stabilitate.
Ele sunt ilustrate prin figura 8.1. Punctele M și N sunt definite prin intersec /uni0163ia locului Nyquist
al lui Wc(jω) cu cercul cu centrul în origine și raz ă unitar ă respectiv semi-axa real ă negativ ă.

Marginea de faz ă ∆ϕ este m ăsura unghiului orintat )OM , (ON :
∆ϕ = arg [Wc(jωc)] + 180 °.
Ea reprezint ă defazajul suplimentar care poate fi “injectat” în sistemul în bucl ă închis ă pentru
a-l aduce la instabilitate.
Marginea de amplificare este definit ă prin:
xG1=∆ , unde ON x= ,
Sau ) (πωjWxc=
sau, exprimat ă în decibeli
xGdB 1log .20 10 = ∆ .
Ea reprezint ă amplificarea suplimentar ă care poate fi introdus ă în sistemul în bucl ă închis ă
pentru a-l aduce la instabilitate.
Marginile de faz ă și de amplificare (în decibeli) sunt prezentate în f igura 9.1 ca segmente
orientate, pentru un SCLI stabil în bucl ă închis ă. Fig. 9.1 Marginea de faz ă și de Re Im
0 -1
Wc(jω) ωc ωπ x
∆ϕ N

18 10. Studiul gradului de stabilitate al SRA în abord are frecven /uni021Bial ă

Pentru a studia stabilitatea SRA din exemplul 1 și mai ales gradul de stabilitate al acestuia,
calcul ăm f.d.t (func /uni021Bia de transfer) a SRA în bucl ă deschis ă:

)2 . 0 1)( 14 . 0 1 ()8 . 0 1 (8)()( )(21s s sssGsRsWc+ ++⋅= = .

Utilizând programul MATLAB din ANEXA A, se fac urm ătoarele ac /uni021Biuni:

• calcul func /uni021Bia de transfer ) (sWc,
• calcul pulsa /uni021Bie de taiere cωdin caracteristica amplitudine-pulsa /uni021Bie,
• calcul margine de faz ă a SRA
• trasarea caracteristicilor lui Bode
• calculul f.d.t în bucl ă închis ă a SRA
• calcul și trasare raspuns indicial al SRA
•
Printre altele, programul MATLAB afiseaz ă:

.

Func /uni021Bia de transfer în bucl ă deschis ă

Transfer function:
6.4 s + 8
–––––––––
0.028 s^4 + 0.34 s^3 + s^2

Pulsa /uni021Bie de t ăiere =
4.3158
margine de faz ă=
1.9071
Func /uni021Biei de transfer în bucl ă inchis ă a SRA

Transfer function:
6.4 s + 8
–––––––––––––
0.028 s^4 + 0.34 s^3 + s^2 + 6.4 s + 8

19 În figura de mai jos, sunt date caracteristicile lu i Bode pentru ) (ωjWc .

Fig. 10.1
Se constat ă c ă marginea de faz ă este
° =∆ 9 . 1 ϕ ,
deci sistemul este stabil. Dar marginea de faz ă este totu și insuficient ă pentru un sistem bine
amortizat, lucru pe care-l observ ăm în desenul cu raspunsul indicial. În figura de ma i jos, este
furnizat acest r ăspuns. Într-adevar, observ ăm o amortizare a r ăspunsului cu foarte multe
alternan /uni021Be, durata regimului tranzitoriu fiind de aprox. 50 secunde.

Fig. 10.2

20
Exemplu numeric 2
Consider ăm datele ini /uni021Biale
sec 2 . 012 . 0=Ω==H
RLτ ;
A = 4;

Alegem 01 . 0=β care verific ă (26). Rezult ă
0125 . 02.0401 . 0=⋅= =τβαAk

Luam de exemplu : k=0.0227 si 55 . 0=α

979 . 0 04 . 0 1 41 = − = −β

( )
( ) ( ) 21 .74 979 . 0 102 . 075 . 0 41 12 7875 . 0)979 . 0 1 (02 . 075 . 041 12
21
= + = − ++== − = − −+=
ββταββτα
TT

Rezulta ca inegalitatea (28) este echivalent ă cu
21 .74 7875 . 0 ≤≤T

Alegem
=T 33 sec

Și deci regulatorul R(s) va fi:

sssR55 .01)33 1 ( 0227 . 0)(++⋅=
Cu datele ini /uni021Biale avem:

)2 . 0 1 (4
) 1 ()(2 21s s s sAsG
+=
+=
τ
Pentru a studia stabilitatea SRA și mai ales gradul de stabilitate al acestuia, calcu l ăm f.d.t
(func /uni021Bia de transfer) a SRA în bucl ă deschis ă:

)2 . 0 1)( 55 . 0 1 ()33 1 (09 . 0)()( )(21s s sssGsRsWc+ ++⋅= = .

21
Utilizând programul din ANEXA A, c ăpătăm:

În figura de mai jos, sunt date caracteristicile lu i Bode pentru ) (ωjWc .

Fig. 10.3

Se constat ă c ă marginea de faz ă este
° =∆ 4 .21 ϕ , Func /uni021Bia de transfer în bucl ă deschis ă

Transfer function:
3 s + 0.09091
––––––––-
0.11 s^4 + 0.75 s^3 + s^2

Pulsa /uni021Bie de t ăiere =
1.9242
margine de faz ă=
21.4264
Func /uni021Biei de transfer în bucl ă inchis ă a SRA

Transfer function:
3 s + 0.09091
––––––––––––––
0.11 s^4 + 0.75 s^3 + s^2 + 3 s + 0.09091 .

22 deci sistemul este stabil cu o margine de faz ă mult mai bun ă. Rezult ă un sistem mai bine
amortizat, lucru pe care-l observ ăm în desenul cu raspunsul indicial.
În figura de mai jos, este furnizat acest r ăspuns.
Într-adevar, observ ăm o amortizare a raspunsului mult mai bun ă, durata regimului tranzitoriu
fiind de aprox. 10 secunde.

Fig 10.4

Deci, putem gasi un regulator cu avans de faz ă mai bun, care sa asigure o margine de faz ă
superioar ă.

23 11. Stabilirea unui regulator cu avans de faz ă optimal
Dorim s ă ob /uni021Binem parametrii unui regulator cu avans de faz ă (RAF) care s ă confere SRA cel
mai bun grad de stabilitate, adic ă cea mai mare margine de faz ă.
Din cele de mai sus rezult ă c ă determinarea unui regulator cu avans de faz ă presupune
determinarea celor trei parametrii ai acestuia:
– factorul de proportionalitate k,
– constanta de timp T de la num ăratorul func /uni021Biei de transfer R(s),
– constanta de timp αde la numitorul func /uni021Biei de transfer R(s).
Din analiza exemplelor numerice, se contureaz ă ni ște pa și în determinarea acestor trei
parametri, pa și ce înseamn ă de fapt un num ăr de alegeri ale valorilor unor parametri care s ă
respecte restric /uni021Biile determinate. În fig (11.1) este prezentata pro cedura de cautare optimala a
parametrilor regulatorului cu avans de faz ă.
În partea de " Set ări date ini /uni021Biale" se iau în considerare initializari pentru α∆ si β precum și
al /uni021Bi parametri. S-au considerat 05 . 0 =∆α sec. si valori de tip
α α ∆⋅=ii)(
în cadrul procedurii. Ciclul dup ă i parcurge aceste posibilit ăti.
Cum ) (iα este fixat, se poate determina constanta de propor /uni021Bionalitate k(i) a RAF:

)(i Ak(i) ατβ
⋅⋅= .
Utilizând ecua /uni021Biile (28), se determin ă valorile valorile iT1 si iT2. Constanta de timp T a RAF
se consider ă a fi una din cele N valori interioare intervalului ( iT1,iT2) și echidistante. Rezult ă
N valori ce vor fi pe rând considerate în cadrul cic lului dup ă j:

NT Tj TjiTi ii 1 21), (−⋅+ = , N j ,, 1L= .
Cei trei parametrii ai RAF fiind fixati deîndat ă ce perechea (i, j) este fixat ă, se determin ă f.d.t
a RAF si Wc(s). Se calculeaz ă pulsa /uni021Bia de t ăiere cω și apoi marginea de faz ă ij ϕ∆ . Se
memoreaz ă indicii imax si j max care au produs marginea de faz ă maxim ă pana la pasul ( i, j).
La terminarea celor doua ciclari, cu ajutorul indic ilor imax si j max , se reconstruie ște RAF și se
precizeaz ă:
– cei trei parametri ai RAF,
– pulsa /uni021Bia de taiere a SRA în bucl ă deschis ă,
– marginea de faz ă maxim ă a SRA în bucl ă deschis ă,
– f.d.t. în bucl ă închis ă a SRA
– și apoi se simuleaz ă r ăspunsul indicial.

24 Programul MATLAB care realizeaz ă acest ă procedur ă este prezentat în ANEXA B.

Fig. (11.1)
Procedura de căutare optimală a parametrilor regula torului cu avans de fază
• Set ări date ini /uni021Biale:
• Alegerea parametrului β;
pentru i=1 la M
)()( ; )(i Aik iiατβα α⋅⋅= ∆⋅= ;
( ) ( ) 41 12)( ;41 12)(
2 1ββτ αββτ α− ++= − −+=iTiTi i
NT Ti i
1 2−=∆ ;
pentru j=1 la N
∆⋅+ = j TjiTi
1), ( ;
determinarea regulatorului )(sRij utilizând ecua /uni021Bia (4)
determinarea f.d.t. )(sWij
c utilizând ecua /uni021Bia (5)
calcul pulsa /uni021Bie de t ăiere )(sij
cω prin apel func /uni021Bie w_coup (…)
calcul defazaj și margine de faz ă ij ϕ∆
actualizarea parametrilor ( i0, j0) ce dau marginea de faz ă maxim ă
sfâr șit
sfârșit
• Construc /uni021Bie regulator cu avans de faz ă optimal )(*sR
• Construc /uni021Bie )(*sWc
• Desenare caracteristici Bode;
• Afisare margine de faz ă;
• Determinare f.d.t. în bucl ă închis ă a SRA )(sWo
c
• Simulare și afisare r ăspuns indicial
STOP

25 Rezultatele afi șate de programul executat sunt:

În figura de mai jos, sunt date caracteristicile lu i Bode pentru ) (ωj Wc .

Fig. 11.2

Se constat ă ca marginea de faz ă este în acest caz
° =∆ 53.76 ϕ , Func /uni021Bia de transfer a regulatorul este:
Transfer function:
0.2702 s + 0.0625
––––––
0.2 s + 1
Constanta de timp de avans de faz ă
4.3233
Constanta de propor /uni021Bionalitate a regulatorului
0.0625
Constanta de timp parazita a regulatorului
0.2000
Func /uni021Bia de transfer în bucl ă deschis ă este

Transfer function:
1.081 s + 0.25
––––––––
0.04 s^4 + 0.4 s^3 + s^2
Pulsa /uni021Bie de t ăiere:
1.0583
margine de faza:
53.7689
Funct ă1iei de transfer în bucl ă închis ă a SRA
Transfer function:
1.081 s + 0.25
––––––––––––––
0.04 s^4 + 0.4 s^3 + s^2 + 1.081 s + 0.25

26 deci sistemul este stabil cu o margine de faza foar te bun ă. Rezult ă un sistem foarte bine
amortizat, lucru pe care-l observam în desenul cu r aspunsul indicial. În figura de mai jos, este
furnizat acest raspuns. Într-adevar, observam o amo rtizare a raspunsului optimala, durata
regimului tranzitoriu fiind de aprox. 7.5 secunde.

Fig. 11.3

27
12. Rolul pozi /uni021Biei elementului cu avans de faz ă în determinarea
marginii de faz ă
Corespunzator exemplului numeric 1, am construit ca racteristicile lui Bode ca mai jos.

Fig 12.1

Caracteristica ampitudine-pulsa /uni021Bie con /uni021Bine
– caracteristica asimptotic ă a SRA în bucl ă deschis ă f ără elementul cu avans de faz ă (curba
albastr ă) și
– caracteristica asimptotic ă a SRA în bucl ă deschis ă împreun ă cu elementul cu avans de faz ă
(curba ro șie).
Caracteristica faz ă-pulsa /uni021Bie con /uni021Bine
– defazajul SRA în bucl ă deschis ă, f ără elementul cu avans de faz ă (curba albastr ă) și
– defazajul (cu avans de faz ă) pentru elementul cu avans de faz ă (curba ro șie).
Ideea introducerii elementului cu avans de faz ă este ca acesta s ă ating ă maximul surplusului
de faz ă, în preajma pulsa /uni021Biei de t ăiere a SRA în bucl ă deschis ă.
În cazul nostru, maximul de avans de faz ă este atins pentru o pulsa /uni021Bie de aproximativ 2.8
rad/s, în timp ce pulsa /uni021Bia de t ăiere a SRA în bucla deschis ă incluzând elementul cu avans de
faz ă este de 5.6 rad/s.
La pulsa /uni021Bia de t ăiere, avansul de faz ă este de °≈40 , în timp ce defazajul indicat în albastru
este de ° −≈220 . Rezult ă un defazaj de ° −≈180 , adic ă o margine de faza °≈∆ 0ϕ .

28 Făcând calculul cu precizie, rezult ă o margine de faz ă ° =∆ 9 . 1 ϕ , ceea ce este insuficient și
explic ă foarte slaba amortizare, adica un grad slab de sta bilitate.
Motivul este gre șita proiectare a regulatorului cu avans de faz ă. Elementul cu avans de faz ă
nu este centrat pe noua pulsa /uni021Bie de taiere.

Dac ă studiem exemplul numeric 2, interpretarea frecven /uni021Bial ă a function ării SRA este
furnizat ă cu ajutorul figurii de mai jos.

Fig, 12.2
În acest caz, maximul de avans de faz ă este atins pentru o pulsa /uni021Bie de aproximativ 0.3 rad/s,
în timp ce pulsa /uni021Bia de t ăiere este de 2.33 rad/s. Regulatorul nu este foarte bine proiectat nici in
acest caz.
Totu /uni021Bș , la pulsa /uni021Bia de t ăiere, avansul de faz ă este de °≈40 , în timp ce defazajul indicat in
albastru este de ° −≈200 . Rezult ă un defazaj de ° −≈160 , adica o margine de faz ă °≈∆ 20 ϕ ,
ceea ce explic ă relativ buna amortizare.
În cazul în care RAF are parametrii optimi, g ăsi /uni021Bi de procedura de mai sus, se ob /uni021Bin
caracteristicile de mai jos. Reamintim c ă prima caracteristica a lui Bode este asimptotic ă,
permi /uni021Bând o interpretare mai usoar ă.

29
Fig, 12.3

În acest caz, elementul cu avans de faz ă atinge maximul avansului de faz ă, în preajma noii
pulsa /uni021Bii de t ăiere al SRA în bucl ă deschis ă. În cazul, nostru maximul de avans de faz ă este
atins pentru o pulsatie de aproximativ 1.08 rad/s, în timp ce pulsa /uni021Bia de taiere este tot 1.08
rad/s.
La pulsa /uni021Bia de t ăiere, avansul de faza este de °≈65 , în timp ce defazajul indicat în albastru
este de ° −≈190 . Rezult ă un defazaj de ° −≈125 , adic ă o margine de faz ă °≈∆ 55 ϕ , ceea ce
explic ă o foarte buna amortizare.

30 13 . Bibliografie

[MÎNZU 01]: V. Mînzu și B. Lang ;" Commande automatique des systèmes liné aires
continus"- Cours avec applications utilisant MATLAB ", ELLIPSES
Edition, Collection TECHNOSUP; Paris, France. 2001, ISBN 2-7298-
0476-5

[MÎNZU 02]: V. Mînzu și E. Ceanga ;"Bazele Sistemelor Automate- Sisteme c ontinue
monovariabile". 2002, Editura Didactica si Pedagogi ca, ISBN 973-30-
2821-5

[CALIN 76]: S. C ălin; "Regulatoare Automate", Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
Bucuresti 1976

[DUMITRACHE 82]: I. Dumitrache et all; "Automatizar i si echipamente electronice",
Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucuresti, 1982

31 ANEXA A
% Calcul rezerva de stabilitate si raspuns indicial pt
% sistemul cu bila-electromagnet
% Data initiale
A=4;
tau=0.2;
eps=0.001;
m=0.1;
M=1000;
disp( 'Functia de transfer a partii fixate' );
G1=tf([A],[tau 1 0 0])
tau=0.2;
beta=0.224;
%kal=beta/A/tau

k=0.4;
disp( 'Factorul de proportionalitate al regulatorului,' );
k
disp( 'Constanta de timp Td a regulatorului' );
Td=7
alfa=(1+sqrt(1+4*A^2*k^2*Td^2*tau^2))/2/A/A/k/k/Td^ 3;
%0.0572;
disp( 'Constanta de timp parazita a regulatorului ' );
alfa
% Constructia regulatorului
nr=[k*Td k];
dr=[alfa 1];
disp( 'Functia de transfer a regulatorului' );
R=tf(nr,dr)
% Constructia functiei de transfer in bucla deschis a
disp( 'Functia de transfer in bucla deschisa' );
Wc=R*G1

% Determinare pulsatiei de taiere a functiei de tra nsfer
in bucla deschisa
% prin apel functie w_coup(Wc,m,M,eps)
wcut=w_coup(Wc,m,M,eps);
% Afisarea pulsatiei de taiere
disp( 'pulsatie de taiere =' );
disp(wcut);
% Determinare amplificare si defazaj pentru pulsati a de
taiere

32 [amp,pha]=bode(Wc,wcut);
% Afisare margine de faza
disp( 'margine de faza=' );
disp(180+pha);
% Afisare diagrame ale lui bode
w=logspace(-1,1,100);
figure(1)
bode(Wc,w);
grid;
% Determinarea functiei de transfer in bucla inchis a a
SRA
disp( 'Functiei de transfer in bucla inchisa a SRA' );
W0=feedback(Wc,1)

% Raspunsul indicial alsistemului in bucla inchisa
figure(2)
step(W0);
grid on

function wc= w_coup(s,m,M,eps)
% Intoarce pulsatia de taiere wc a unui SLCI s dat.
% Pulsatia wc este cautata prin dihotomie, interval ul
initial
% fiind [m,M]. Cautarea se opreste cand lungimea
% intervalului este mai mica decat eps.

a=abs(freqresp(s,m));
A=abs(freqresp(s,M));
if (a-1)*(A-1) >0
error( 'Interval incorect' );
end
while abs(M-m)>eps
wc=(m+M)/2;
am=abs(freqresp(s,wc));
if (am-1)*(a-1)< 0
M=wc;
else m=wc;a=am;
end
end

33 ANEXA B
%Procedura de cautare optimala a parametrilor
%regulatorului cu avans de faza
%Initializari
A=4;
tau=0.2;
eps=0.001;
m=0.1;
M=1000;
N=19
beta=0.01;

disp( 'Partea fixata' );
G1=tf([A],[tau 1 0 0])

kal=beta/A/tau;
alfa=0.05:0.05:1;
Td=zeros(20,N);
amp=zeros(20,N);
pha=zeros(20,N);
marg=zeros(20,N);
wcut=zeros(20,N);
% initializare indici pentru memorarea variantei de
% proiectare care asigura defazajul minim (marginea
% de faza maxima)
imax=1;
jmax=1;
%defaz_max=-180;
marg_faza=0;

for i=1:20
k(i)=kal/alfa(i);
f=(alfa(i)+tau)/(2*beta);
T1=f*(1-sqrt(1-4*beta));
T2=f*(1+sqrt(1-4*beta));
d=(T2-T1)/(N+1);
for j=1:N
Td(i,j)=T1+j*d;
nr=[k(i)*Td(i,j) k(i)];
dr=[alfa(i) 1];
R=tf(nr,dr);

34 Wc=R*G1;
wcut(i,j)=w_coup(Wc,m,M,eps);
[amp(i,j),pha(i,j)]=bode(Wc,wcut(i,j));
marg(i,j)=180+pha(i,j);
%testare optim
if marg(i,j)>marg_faza
imax=i;jmax=j; % memoreaza noul maxim(valori
negative)
marg_faza=marg(i,j);
end
end
end
% Reconstituirea regulatorului optim
nr=[k(imax)*Td(imax,jmax) k(imax)];
dr=[alfa(imax) 1];
disp( 'Functia de transfer a regulatorul este:' );
R=tf(nr,dr)
disp( 'Constanta de timp de avans de faza' );
disp(Td(imax,jmax));
disp( 'Constanta de proportionalitate a regulatorului' );
disp(k(imax));
disp( 'Constanta de timp parazita a regulatorului ' );
disp(alfa(imax));
% Construirea functiei de transfer in bucla deschis a
disp( 'Functia de transfer in bucla deschisa este' );
Wc=R*G1
% Afisare pulsatie de taiere a functiei de transfer in
bucla deschisa
disp( 'pulsatie de taiere:' );
disp(wcut(imax,jmax));
% Afisare margine de faza
disp( 'margine de faza:' );
disp(marg(imax,jmax));

% Setarea vectorului pulsatiilor
w=logspace(-1,1,100);
% desenare caracteristici Bode
figure(1)
bode(Wc,w);
grid;
% Determinarea functiei de transfer in bucla inchis a a
SRA
disp( 'Functiei de transfer in bucla inchisa a SRA' );

35 W0=feedback(Wc,1)
% Determinarea raspunsului indicial alsistemului in bucla
%inchisa
figure(2)
step(W0);
grid on