Informatic ă Industrial ă [600822]
Universitatea din Craiova
Facultatea de Inginerie Electric ă
Departamentul de Electromecanic ă, Mediu și
Informatic ă Industrial ă
SUPORT
pentru studiu individual la disciplina
MODELARE ȘI SIMULARE
Curs și aplica Ńii
Materialul este destinat studen Ńilor de la specializarea
Electromecanic ă IFR
Coordonator disciplin ă:
Prof.dr.ing. Sergiu IVANOV
Craiova
– 2011 –
Cuprins
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 1
MODELARE ȘI SIMULARE
Curs și aplica Ńii
CUPRINS
Unitatea de
înv ăŃare Titlu Pagina
INTRODUCERE 5
1 INTRODUCERE ÎN MODELAREA ȘI SIMULAREA
SISTEMELOR ELECTROMECANICE 7
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 1 8
1.1. Introducere 8
1.2. Modelul matematic 8
1.2.1. Clasificarea modelelor 9
1.2.2. Realizarea unui model 10
1.3. Simularea sistemelor 11
1.3.1. Algoritmul de simulare 13
1.3.2. Realizarea programelor de simulare 14
1.3.3. Produse-program de simulare 14
1.3.4. Simularea sistemelor electromecanice 16
Test de autoevaluare 1.1 18
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 1 18
Concluzii 18
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 1 18
2 MEDIUL DE SIMULARE MATLAB-SIMULIK 19
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 2 20
2.1. Introducere 20
2.2. Lansarea Simulink 21
2.3. No Ńiuni de creare a unui model 22
2.4. Sub-bibliotecile Simulink 25
2.4.1. Sub-biblioteca Sources 25
2.4.2. Sub-biblioteca Sinks 25
2.4.3. Sub-biblioteca Continuous 27
2.4.4. Sub-biblioteca Math Operations 28
2.4.5. Sub-biblioteca Signal Routing 28
2.4.6. Sub-biblioteca Discontinuities 29
2.4.7. Sub-biblioteca User-Defined Functions 29
Test de autoevaluare 2.1 30
2.5.Biblioteca SimPowerSystems 30
Cuprins
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 2 2.5.1. Sub-biblioteca Electrical Sources 31
2.5.2. Sub-biblioteca Elements 32
2.5.3. Sub-biblioteca Power Electronics 32
2.5.4. Sub-biblioteca Machines 32
2.5.5. Sub-biblioteca Connectors 33
2.5.6. Sub-biblioteca Measurements 33
Test de autoevaluare 2.2 34
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 2 35
Concluzii 35
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 2 35
3 SISTEME DINAMICE ȘI MODELE DE STARE,
DINAMICA CORPURILOR RIGIDE ÎNTR-UN PLAN 37
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 3 38
3.1. Modele matematice și modele de stare 38
3.1.1. Motorul de curent continuu 39
3.1.2. Cuptor din industria sticlei 40
Test de autoevaluare 3.1 42
3.2. Dinamica corpurilor rigide într-un plan 43
3.2.1. Exemplu: modelarea dinamicii unei rachete 44
Test de autoevaluare 3.2 48
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 3 48
Concluzii 48
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 3 48
4 MODELAREA SISTEMELOR MECANICE ARTICULATE 49
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 4 50
4.1. Dinamica sistemelor mecanice articulate 50
4.1.1. Algoritmul general de ob Ńinere a modelului dinamic al
unui sistem mecanic articulat 50
4.1.2. Exemplu: modelul dinamic al unui bra Ń manipulator
(complementar, în Anex ă) 55
Test de autoevaluare 4.1 55
4.2. Modelarea articula Ńiilor elastice 56
4.3. Modelarea frec ărilor 59
Test de autoevaluare 4.2 60
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 4 61
Concluzii 61
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 4 61
ANEX Ă: Exemplu: modelul dinamic al unui bra Ń manipulator 62
5 MODELAREA SISTEMELOR ELECTRICE 69
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 5 70
5.1. Metoda general ă de modelare a sistemelor electrice 70
5.1.1. Dipoli elementari 71
5.1.1.1. Rezistor 71
Cuprins
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 3 5.1.1.1. Condensator 71
5.1.1.1. Bobin ă 72
5.2. Exemplu: circuit redresor și filtru LC 72
Test de autoevaluare 5.1 75
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 5 75
Concluzii 76
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 5 76
6 MODELAREA SISTEMELOR ELECTROMECANICE 77
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 6 78
6.1. Metoda general ă de ob Ńinere a modelului unui sistem
electromecanic 78
6.1.1. Vectorul tensiunilor electromotoare 80
6.1.2. Vectorul for Ńelor electromagnetice generalizate 80
6.2. Exemplu: modelarea unui electromagnet 81
Test de autoevaluare 6.1 83
6.3. Modelarea ma șinilor electrice rotative 83
6.3.1. Modelul ma șinii de curent continuu 85
Test de autoevaluare 6.2 86
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 6 87
Concluzii 87
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 6 87
7 MODELAREA MA ȘINILOR ELECTRICE ROTATIVE 89
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 7 90
7.1. Modele ale ma șinii asincrone trifazate 90
7.1.1. Modelul bifazat „cu inele” al ma șinii asincrone trifazate 91
7.1.2. Modelul bifazat „cu comutator” al ma șinii asincrone
trifazate 94
Test de autoevaluare 7.1 98
7.2. Modele ale ma șinii sincrone 99
7.2.1. Ma șina sincron ă cu magne Ńi permanen Ńi 100
Test de autoevaluare 7.2 103
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 7 103
Concluzii 104
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 7 104
Cuprins
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 4
Introducere
MODELARE ISIMULARE – Curs iaplica ii 5MODELARE ISIMULARE
Curs iaplica ii
INTRODUCERE
Stimate student,
Î iurez bun venit la cursul de Modelare isimulare!
M&numesc Sergiu IVANOV (n. 1961) isunt profesor universitar în
cadrul Facult & ii de Inginerie Electric &,Departamentul de
Electromecanic &,Mediu iInformatic &Industrial &.În anul 1998 am ob inut diploma de doctor
în Inginerie electric &.Am condus dou &proiecte europene în care facultatea a fost partener &.
Unul dintre ele, de tip PC6, ce a reunit 13 parteneri europeni precum Airbus MB, SAAB
Technologies, Messier-Bugatti, Messier-Dowty, a avut ca obiectiv pentru colectivul nostru,
realizarea modelelor func ionale itermice ale actuatorului (motor ielectronica de putere)
necesar ac ion&rii electrice a trenului director (din fa &)al unui avion Airbus A320. Am
publicat peste 90 articolele/studii în reviste de specialitate de circula ie na ional &i
interna ional &i/sau în volumele unor manifest &ri tiin ifice na ionale iinterna ionale.
În cadrul diferitelor programe de studii sus in urm &toarele cursuri iaplica iile aferente:
Electronic &deputere iac ion&ri, Comanda vectorial &asistemelor de ac ionare electric &,
Ingineria vântului ienergie solar &,Modelarea isimularea mediului.
Acest curs, programat în anul IV, sem. I, este destinat familiariz &rii tale cu metodologiile de
ob inere a modelelor matematice ale unor sisteme de diferite naturi fizice (mecanice, electrice,
electromecanice). No iunile teoretice sunt dublate de aplica ii practice (lucr &ri de laborator) pe
care le vei realiza utilizând un mediu de calcul recunoscut în comunitatea tiin ific&,respectiv
Matlab-Simulink.
Prin parcurgerea acestui material pentru studiu individual iprin realizarea lucr &rilor de
laborator, dumneavoastr &ar trebui s &v&îmbog & i icuno tin ele referitoare la ob inerea
modelelor matematice ale unor sisteme de naturi diferite, transpunerea modelelor ob inute sub
forma ecua iilor de stare, necesare realiz &rii modelelor dinamice, utilizarea mediului de calcul
Matlab-Simulink pentru realizarea diferitelor modele studiate.
Introducere
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 6 Cursul este structurat în șapte unit ăŃi de înv ăŃare, fiecare dintre acestea con Ńinând o parte de
prezentare teoretic ă a subiectului tratat, o parte de teste de autoeval uare, eventualele rezolv ări
ale acestora, precum și o lucrare de verificare final ă. Majoritatea unit ăŃilor de înv ăŃare indic ă
lucr ările de laborator aferente modulului respectiv.
La începutul fiec ărei unit ăŃi de înv ăŃare vor fi detaliate obiectivele propuse în respect iva
unitate de înv ăŃare.
Testele de autoevaluare sunt necesare pentru a fixa cuno știn Ńele dobândite în fiecare unitate de
înv ăŃare și pentru a permite evaluarea continu ă a dumneavoastr ă.
La sfâr șitul fiec ărei unit ăŃi de înv ăŃare se reg ăse ște o list ă bibliografic ă minimal ă necesar a fi
parcurs ă pentru aprofundarea și în Ńelegerea complet ă a no Ńiunilor expuse pe durata unit ăŃii de
înv ăŃare corespondent ă.
Testele de evaluare sunt necesare pentru a permite evaluarea continu ă a dumneavoastr ă.
Nota final ă NF va fi ob Ńinut ă ca o medie ponderat ă a trei note pe care le vei ob Ńine la finalul
semestrului:
– NL : nota de la laborator (activitatea din timpul seme strului);
– NTst : nota la testul final de laborator. Acest test con st ă în realizarea, în timp de o or ă a
unei lucr ări de laborator, extras ă aleator;
– NLS : nota la lucrarea scris ă din no Ńiunile teoretice.
Nota final ă se va calcula:
0,2* 0,4* 0,4* NF NL NTst NLS = + +
Aceast ă medie este realizat ă dac ă sunt îndeplinite dou ă condi Ńii:
– prezen Ńa la laborator – minim 70%;
– punctajul ob Ńinut la lucrarea scris ă – minim 4 puncte.
Vom avea ocazia s ă discut ă și s ă l ămurim eventuale neclarit ăŃi pe parcursul semestrului, când
vom desf ăș ura activitatea de laborator. Pute Ńi s ă solicita Ńi clarific ări scriindu-mi la adresa
sivanov@em.ucv.ro .
Spor la treab ă și mult succes!
Prof.dr.ing. Sergiu IVANOV
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 7
Unitatea de înv ăŃare nr. 1
INTRODUCERE ÎN MODELAREA ȘI
SIMULAREA SISTEMELOR
ELECTROMECANICE
Cuprins Pagina
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 1 8
1.1. Introducere 8
1.2. Modelul matematic 8
1.2.1. Clasificarea modelelor 9
1.2.2. Realizarea unui model 10
1.3. Simularea sistemelor 11
1.3.1. Algoritmul de simulare 13
1.3.2. Realizarea programelor de simulare 14
1.3.3. Produse-program de simulare 14
1.3.4. Simularea sistemelor electromecanice 16
Test de autoevaluare 1.1 18
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 1 18
Concluzii 18
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 1 18
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 8 OBIECTIVELE unit ăŃii de înv ăŃare nr. 1
Principalele obiective ale Unit ăŃii de înv ăŃare nr. 1 sunt:
1.1. Introducere
Majoritatea sistemelor, din diferite ramuri ale știin Ńei (fizic ă, chimie, inginerie,
economie, sociologie, mediu etc.), prezint ă un grad mare de complexitate, fiind descrise de un
num ăr mare de variabile și fiind caracterizate de interac Ńiuni complexe. În numeroase situa Ńii,
încerc ările sau m ăsur ătorile directe asupra fenomenelor specifice sisteme lor complexe, sunt
anevoioase sau chiar imposibile. Cauzele sunt din c ele mai diverse, cum ar fi: este prea
periculos, prea scump, prea lent, prea rapid, prea complicat, nu se pot realiza condi Ńiile reale
pentru studiu, influen Ńa mediului este prea puternic ă, nu exist ă mijloacele tehnice necesare,
exist ă restric Ńii legate de etica profesional ă, experimentul trebuie repetat de foarte multe ori,
obiectul studiat exist ă doar într-un singur exemplar, …
1.2. Modelul matematic
Modelul matematic al unui sistem, reprezint ă descrierea unor fenomene, sociale,
naturale, fizice, sau obiecte naturale în care elem entele fizice sunt înlocuite cu elemente
logice, de matematic ă formal ă, în vederea studierii fenomenului respectiv.
În general, modelul trebuie s ă reflecte propriet ăŃile principale ale fenomenului sau
obiectului, comportarea acestuia, într-o form ă simplificat ă. Un model „perfect”, care s ă
oglindeasc ă absolut toate caracteristicile obiectului studiat, poate fi foarte complicat, sau chiar
imposibil de elaborat. Din acest motiv, se folosesc modele simplificate, care reproduc doar
anumite aspecte ale realit ăŃii. Acestea se ob Ńin prin considerarea anumitor ipoteze
simplificatoare, care îns ă nu trebuie s ă afecteze veridicitatea modelului și a concluziilor
studiului. În acest fel, în locul sistemelor, fenom enelor și obiectelor reale, se analizeaz ă un • Clarificarea no Ńiunilor de model și modelare
• Cunoa șterea etapelor necesare stabilirii unui model
matematic
• Cunoa șterea etapelor de implementarea a algoritmilor de
simulare
• Cunoa șterea principalelor medii de simulare numeric ă
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 9 model, mai mult sau mai pu Ńin asem ănător cu cel real, comportarea acestuia furnizând
informa Ńii și concluzii asupra func Ńion ării întregului sistem real.
Modelul matematic descrie în mod riguros, sub forma unor reprezent ări matematice,
rela Ńiile existente în sistemul respectiv, formalizând p ractic, legile de comportare ale
sistemului. Pentru un anumit sistem, pot fi stabili te mai multe modele. Speciali știi sunt de
părere c ă nu exist ă un model unic sau „perfect” pentru un anumit siste m, ci doar exist ă
modele bune și mai pu Ńin bune [1]. Dezideratul pentru un model este dat d e dou ă cerin Ńe
contradictorii: pe de o parte, modelul trebuie s ă fie cât mai complet, fidel, iar pe de alt ă parte,
să fie suficient de simplu pentru a putea fi utilizat cu eforturi tehnice rezonabile pentru studiul
sistemului în cauz ă. Alegerea corect ă este posibil ă doar prin luarea în considera Ńie a unor
ipoteze simplificatoare, care s ă nu afecteze comportamentul global al fenomenelor s tudiate,
sau prin aplicarea unor metode de cuantificare, obs erva Ńii statistice, teste, teste de m ăsurare
etc. În ceea ce prive ște a doua cerin Ńă „impus ă” unui model, simplitatea, trebuiesc avute în
vedere limitele tehnice ale sistemelor de calcul pe care se va rula modelul (ne referim în
lucrarea de fa Ńă doar la modelele numerice), în ceea ce prive ște vitez ă de calcul și memorie
disponibil ă.
Principalele caracteristici pe care trebuie s ă le reuneasc ă un model matematic sunt:
acceptabil, aplicabil, utilizabil, fidel (complet).
1.2.1. Clasificarea modelelor
Modelele pot fi clasificate dup ă mai multe criterii:
/handptright dup ă scopul utiliz ării modelului
de descriere; de prezentare; de analiz ă; de prognoz ă;
/handptright dup ă caracterul fenomenului modelat
social; chimic; biologic; electric; de produc Ńie etc.
/handptright dup ă caracterul modelului
material; electric; mecanic; de gândire; numeric pe calculator ;
/handptright dup ă tipul modelului De re Ńinut !
Pentru realizarea unui model trebuie luate în consi derare ipoteze
simplificatoare.
Modelul matematic se ob Ńine combinând expresiile legilor fizice care
guverneaz ă func Ńionarea sistemului.
Complexitatea modelului depinde de fenomenele ce tr ebuie studiate.
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 10 de construc Ńie; de func Ńionare; formal, în func Ńie de valorile pe care le iau
mărimile (variabilele) de stare: cu st ări variabile discrete, cu st ări variabile
continuu, cu st ări variabile mixte ;
/handptright în func Ńie de dependen Ńa în timp a variabilelor
dinamice , dependente de timp, în care cel pu Ńin o variabil ă depinde de timp;
statice , independente de timp, în care nici o variabil ă nu evolueaz ă în func Ńie de timp;
/handptright în func Ńie de caracterul dependen Ńelor variabilelor
deterministic , în care variabilele de intrare și starea ini Ńial ă determin ă în mod univoc
variabilele de ie șire;
stochastic , în care variabilele de intrare și starea ini Ńial ă determin ă doar distribu Ńia
valorilor rezultatului final;
/handptright în func Ńie de previzionarea evolu Ńiei
previzibil; imprevizibil ;
Indiferent de sistemul studiat și implicit modelat, în conformitate cu teoria siste melor,
pot fi identificate urm ătoarele elemente principale:
• parametri (variabile) de intrare
• mărimi (variabile) de stare
• parametri (variabile) de ie șire
Realizarea modelului matematic al unui sistem, nu e ste un scop în sine. El trebuie s ă
serveasc ă analizei fenomenului studiat, fiind un instrument în acest scop.
1.2.2. Realizarea unui model
Crearea unui model se bazeaz ă pe aplicarea abstractiz ării, respectiv adoptarea unor
ipoteze simplificatoare în ceea ce prive ște sistemul studiat, astfel încât s ă nu fie modificat
caracterul de baz ă al proceselor principale. Pentru aceasta, se negli jeaz ă anumite caracteristici
strict particulare ale sistemului studiat, sau proc ese secundare, ce nu influen Ńeaz ă, sau
influen Ńeaz ă nesemnificativ, fenomenele avute în vedere.
Pentru realizarea unui model al unui sistem, concep tual, se parcurg urm ătorii pa și:
• observarea;
• crearea și stabilirea ipotezelor simplificatoare;
• modelarea propriu-zis ă;
• experimentarea modelului alc ătuit;
• finalizarea modelului.
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 11 Este important de men Ńionat faptul c ă similitudinea dintre modelul construit și obiectul
(sistemul) modelat, este doar par Ńial ă. Esen Ńial îns ă este ca aceast ă similitudine s ă existe în
ceea ce prive ște fenomenele propuse a fi analizate, doar astfel p utându-se asigura
determinarea st ărilor reale ale sistemului.
Dup ă realizarea modelului unui sistem, exist ă dou ă c ăi importante de rezolvare a
ecua Ńiilor ce descriu sistemul, respectiv ce compun mode lul acestuia: prin dispozitive
analogice sau prin calcule analitice sau numerice. Aceast ă etap ă din studiul sistemelor este
cea de simulare.
1.3. Simularea sistemelor
Pentru studiul unor sisteme complexe, de tipul celo r enun Ńate în §0, speciali știi au la
dispozi Ńie o tehnic ă relativ nou ă de realizare „virtual ă” a experien Ńelor: simularea .
Etimologic, termenul „simulare” provine din latines cul simulatio , care desemneaz ă
capacitatea de a reproduce, a reprezenta sau a imit a ceva.
Simularea este un mijloc eficient de investigare, c u valen Ńe multidisciplinare, ce face
apel la cuno știn Ńe de matematic ă, teoria sistemelor, informatic ă etc. Simularea se constituie
într-un instrument de studiu cu caracter profund și exact, oferind totodat ă posibilitatea
analizei st ărilor reale ale sistemelor, f ără a fi necesar ă existen Ńa fizic ă a acestora.
Tehnica simul ării î și g ăse ște aplicabilitate și în domeniul sistemelor electromecanice.
Utilizarea acestei tehnici de investigare s-a impus datorit ă necesit ăŃii reducerii costurilor de
proiectare și de realizare a prototipurilor, precum și pentru scurtarea intervalului de timp
dintre faza de concep Ńie și cea de realizare a produsului finit. Proiectantul are astfel la
dispozi Ńie o tehnic ă cu care poate opera și manipula sistemul conceput, în toate fazele
activit ăŃii de proiectare.
Utilizarea simul ării în analiza și proiectarea sistemelor electromecanice confer ă o serie
de avantaje, cum ar fi:
• este potrivit ă pentru scopuri educative, deoarece permite înv ăŃarea modului de func Ńionare
a componentelor, prin urm ărirea formei de varia Ńie în timp a m ărimilor specifice (tensiuni, De re Ńinut !
Etapele realiz ării unui model matematic.
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 12 cure Ńi, deplas ări, viteze, for Ńe etc.);
• poate oferi o viziune accesibil ă și documentat ă asupra comport ării și performan Ńelor
sistemului;
• oferă posibilitatea scurt ării timpului de elaborare a prototipului, datorit ă posibilit ăŃii
studierii sistemului și a problemelor specifice, înainte ca sistemul s ă existe fizic;
• permite studiul teoretic al testelor distructive, a l r ăspunsului la defec Ńiuni și al func Ńion ării
în condi Ńii anormale;
• asigur ă posibilitatea studierii efectelor parazite, cum ar fi capacit ăŃi și inductivit ăŃi de
sc ăpări, zgomote de m ăsurare, diferite perturba Ńii;
• formele de und ă rezultate prin simulare, pot fi monitorizate și analizate mai u șor, deoarece
nu sunt influen Ńate de erori și perturba Ńii, precum m ăsur ătorile clasice;
• pot fi u șor testate noi concepte de circuit și se pot studia influen Ńele varia Ńiilor
parametrilor de circuit (de exemplu toleran Ńele componentelor);
• se pot optimiza obiectivele de performan Ńă propuse prin simul ări, considerând un num ăr
mare de variabile;
• se poate realiza, chiar f ără indicarea valorilor nominale ale componentelor;
• pot fi studiate fenomene, care altfel sunt dificil de abordat, cum ar fi interac Ńiunea între
dou ă convertoare alimentate de la aceea și re Ńea;
• pot fi simplificate anumite p ărŃi ale modelului, pentru a se putea detalia alte por Ńiuni care
prezint ă un interes sporit.
În principiu, exist ă dou ă c ăi distincte de rezolvare a ecua Ńiilor unui model matematic:
prin dispozitive analogice sau prin calcule analiti ce-numerice. Corespunz ător, exist ă dou ă
procedee diferite de simulare:
• simularea analogic ă (simularea pe sistem), care asigur ă reproducerea rela Ńiilor din
sistemul studiat, cu ajutorul unor dispozitive anal ogice, numite simulatoare;
• simularea numeric ă, pe baza modelului matematic, prin efectuarea calc ulelor ce permit
rezolvarea analitic ă sau numeric ă a ecua Ńiilor modelului matematic al sistemului. De re Ńinut !
Avantajele activit ăŃii de simulare.
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 13 În prezent, cel mai des și eficient, este utilizat ă simularea numeric ă, realizat ă cu ajutorul
calculatoarelor, dat fiind viteza de calcul și capacitatea de memorare mare a acestor
instrumente electronice de calcul.
În cadrul lucr ării de fa Ńă , se va trata în exclusivitate acest procedeu de si mulare.
1.3.1. Algoritmul de simulare
Conceptual, procedeul de simulare a unui sistem, cu prinde mai multe etape:
1. Identificarea problemei .
Formularea corect ă și complet ă a problemei de rezolvat trebuie s ă fie f ăcut ă în termenii
disciplinei aferente.
În această etap ă se face analiza sistemului de studiat: sistemul se descompune în p ărŃi
componente, pentru a putea fi analizat în vederea î n Ńelegerii naturii lui și a tr ăsăturilor sale
esen Ńiale. În aceast ă etap ă trebuie, pe de o parte, precizate ipotezele accept ate asupra
fenomenului, iar pe de alt ă parte, estimate m ărimile și variabilele dominante ale sistemului,
precum și parametrii de intrare. Este o etap ă foarte important ă, deoarece aici se determin ă
scopul activit ăŃii și preciz ările f ăcute aici influen Ńeaz ă în mod hot ărâtor rezultatele ob Ńinute
prin simulare.
2. Formularea matematic ă a problemei (modelarea propriu-zis ă).
În cadrul acestei etape se stabilesc rela Ńiile de dependen Ńă între diferitele m ărimi determinate
la punctul precedent, în marea majoritate a cazuril or rezultând un sistem de ecua Ńii
diferen Ńiale ordinare sau cu derivate par Ńiale, asupra c ărora se impun condi Ńii suplimentare
(ini Ńiale, la limit ă etc.).
3. Rezolvarea problemei matematice .
Este cea mai important ă etap ă a procesului de simulare. Numai prin alegerea core ct ă a
metodei de rezolvare și prin aplicarea corect ă a acesteia se pot ob Ńine rezultatele cerute și
utile. În aceast ă etap ă se alege limbajul de programare utilizat și se elaboreaz ă programul de
simulare propriu-zis. Tot în aceast ă etap ă se testeaz ă și se verific ă programul de simulare
conceput. Ultima faz ă a acestei etape o constituie efectuarea practic ă a simul ării (rularea
programului de simulare).
4. Validarea programului de simulare .
În aceast ă etap ă se confrunt ă rezultatele ob Ńinute cu ajutorul programului de simulare cu cele
ob Ńinute experimental, luând în considerare atât erori le de m ăsurare, cât și precizia metodelor
matematice de rezolvare, utilizate. Cea mai simpl ă și sigur ă cale de validare este testarea
programului pe un caz particular, la care solu Ńia este cunoscut ă. Testarea este eficient ă dac ă se
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 14 parcurg toate ramurile posibile și se apeleaz ă toate subrutinele programului.
5. Analiza și interpretarea rezultatelor .
Aceast ă etap ă const ă în colectarea rezultatelor simul ării și prelucrarea lor. Rezultatele
simul ării pot fi ob Ńinute sub form ă de tabele, histograme, reprezent ări grafice, etc. Datele
ob Ńinute pot fi prelucrate și statistic (de exemplu se pot efectua teste de sem nifica Ńie etc).
1.3.2. Realizarea programelor de simulare
Elaborarea programelor de simulare a sistemelor ele ctromecanice este, de fapt, faza de
implementare informatic ă a modelului matematic.
În general, programele de simulare trebuie s ă respecte anumite cerin Ńe, cum sunt:
• să aib ă o interfa Ńă prietenoas ă cu utilizatorul (user-friendly interface);
• să aib ă posibilit ăŃi de modelare multi-nivel (de exemplu ma șina electric ă și sarcina sa sunt
caracterizate cu ajutorul ecua Ńiilor diferen Ńiale formulate în termenii variabilelor de stare,
iar sistemele lor de control sunt descrise prin fun c Ńii de transfer sau func Ńii logice). Un bun
program de simulare, trebuie s ă permit ă descrierea fiec ărui bloc în modul cel mai
avantajos;
• să poat ă acoperi un domeniu larg de timpi de simulare, avân d în vedere c ă, în general, în
sistemele modelate coexist ă atât variabile cu varia Ńii rapide (curent electric, cuplu), cât și
variabile cu modificare lent ă (vitez ă), datorate unor constante mari de timp;
• să permit ă utilizatorului stabilirea facil ă a condi Ńiilor ini Ńiale;
• parametrii sistemului s ă fie cât mai u șor de modificat, eventual chiar în timpul simul ărilor,
conferind astfel programului un mai mare caracter d e generalitate.
1.3.3. Produse-program de simulare
Dup ă cum s-a precizat anterior, simularea numeric ă a unui sistem se realizeaz ă plecând
de la modelul matematic, ce const ă dintr-un sistem de ecua Ńii diferen Ńiale și algebrice care
descriu func Ńionarea acestuia. De re Ńinut !
Etapele algoritmului de simulare.
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 15 Produsele-program de simulare se deosebesc, în prim ul rând, prin modul în care rezolv ă
acest sistem de ecua Ńii care descrie sistemul studiat. Astfel, produsele -program moderne
utilizate pentru simulare, se împart în dou ă mari categorii, în func Ńie de tipul interfe Ńei cu
utilizatorul: produse-program (limbaje) de rezolvar e de ecua Ńii și produse-program orientate
spre circuite.
1.3.3.1. Produse-program de rezolvare de ecua Ńii
Produsele-program de rezolvare de ecua Ńii sunt foarte utile în multe probleme de
simulare aferente sistemelor electromecanice, putân d fi utilizate atât pentru simularea
echipamentelor specifice electronicii de putere, câ t și a convertoarelor electromecanice
(ma șini electrice).
Sistemul simplificat de ecua Ńii diferen Ńiale ce descriu matematic obiectul studiat, poate
fi adus la forma unui model de stare (descris cu aj utorul variabilelor de stare). Ecua Ńiile
modelului de stare pot fi rezolvate, fie folosind u n limbaj de nivel înalt (Fortran, C, Pascal),
fie cu ajutorul unor medii avansate de calcul (MATLAB, LabView, SIMNON, ACSL,
MATRIXx).
În cazul în care s-a optat pentru utilizarea unui limbaj general de programe de nivel
înalt , trebuie alc ătuit ă o schem ă logic ă detaliat ă, explicat ă și comentat ă, care s ă con Ńin ă toate
ecua Ńiile matematice într-o form ă extins ă [7]. Pentru aceste limbajele de programare, sunt d eja
elaborate o serie de biblioteci, destinate atât rez olv ării ecua Ńiilor diferen Ńiale, cât și opera Ńiilor
cu matrice sau reprezent ării grafice a rezultatelor.
Mediile de calcul sunt concepute pentru a putea fi utilizate pentru rezolvarea mai multor
clase generale de probleme. Pentru utilizarea efici ent ă a acestora, utilizatorul trebuie s ă
descrie sistemul prin modelul matematic, sub forma ecua Ńiilor de stare, iar partea de reglare cu
ajutorul func Ńiilor de transfer (de exemplu sub forma transformat ei Laplace). De obicei, aceste
medii de calcul, permit modularizarea problematicii , respectiv tratarea unui subansamblu al
sistemului ca un modul independent, interconectarea modulelor putându-se face simplu, cu
linii de conexiune. Acest tip de abordare a simul ării unui sistem complex, este deosebit de
avantajoas ă din punctul de vedere al timpului de ob Ńinere a rezultatelor simul ării, deoarece
permite realizarea și testarea separat ă a modulelor componente, precum și re-utilizarea
acestora pentru necesit ăŃi ulterioare.
Exist ă chiar, produse-program special destinate simul ării. În prezent, cel mai r ăspândit
dintre acestea, atât în mediile academice, cât și în cele industriale, este SIMULINK. Acest
produs-program reprezint ă în fapt, o interfa Ńă grafic ă a mediului MATLAB, fiind destinat, în
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 16 special, simul ării sistemelor dinamice.
Lucrarea de fa Ńă va aborda simularea sistemelor electromecanice pri n utilizarea MATLAB-
SIMULINK, realizându-se și o scurt ă prezentare a acestui produs-program.
1.3.3.2. Produsele-program orientate spre circuit
Produsele-program orientate spre circuit, dezvolt ă chiar ele ecua Ńiile ce descriu
sistemul, pe baza informa Ńiilor primite de la utilizator. Utilizatorul în ace st caz, trebuie s ă
furnizeze programului doar interconexiunile dintre modelele elementelor de circuit. Condi Ńiile
ini Ńiale se stabilesc, de asemenea, cu u șurin Ńă . Exist ă posibilitatea modific ării simple
topologiei circuitului. Produsele-program orientate spre circuit performante, sunt multi-nivel,
ceea ce înseamn ă c ă, pe lâng ă descrierea orientat ă spre circuit a eventualelor regulatoare,
permit încorporarea modelelor sistemelor, definite de utilizator cu ajutorul ecua Ńiilor
diferen Ńiale. Exist ă o larg ă varietate de produse-program orientate spre circui t. O parte dintre
acestea sunt dedicate simul ării circuitelor electronice (cel mai r ăspândit fiind SPICE), sau a
re Ńelelor electrice (EMTP). Pe lâng ă acestea au ap ărut produse-program orientate spre circuit,
destinate special simul ărilor din domeniul electronicii de putere și al ac Ńion ărilor electrice
(SIMPLORER, CASPOC).
Aceste programe se deosebesc între ele prin calitat ea interfe Ńei cu utilizatorul, metodele
de integrare numeric ă puse la dispozi Ńie pentru rezolvarea ecua Ńiilor diferen Ńiale, modul de
tratare a neliniarit ăŃilor, alegerea pasului de integrare, u șurin Ńa cu care se pot încorpora
regulatoare și modelele externe pentru simul ările avansate de tip multi-nivel, sau modul de
tratare al comutatoarelor electronice.
1.3.4. Simularea sistemelor electromecanice
Sistemele electromecanice prezint ă o serie de particularit ăŃi care trebuie luate în
considerare pe timpul simul ării.
În sistemele electromecanice, formate din sisteme e lectrice de ac Ńionare și sistemul
ac Ńionat propriu-zis, energia care este preluat ă de la surs ă și transferat ă procesului tehnologic
poate suferi trei tipuri de conversie: De re Ńinut !
Principalele tipuri de produse program de simulare.
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 17 /handptright a parametrilor energiei electrice, prin intermediul convertoarelor statice, realizate cu
elemente semiconductoare, plasate între re Ńeaua industrial ă (surs ă) și ma șina
electric ă. Convertoarele statice nu schimb ă natura energiei, ci doar parametrii ei (form ă,
frecven Ńă , valoare medie, valoare efectiv ă etc.);
/handptright a tipului de energie, respectiv electromecanic ă, efectuat ă de ma șina electric ă de ac Ńionare.
Ma șinile electrice din sistemele electromecanice func Ńioneaz ă cu preponderen Ńă în regim
de motor, absorbind energie electric ă și furnizând ma șinii de lucru, energie mecanic ă;
/handptright a parametrilor energiei mecanice, în transmisia sit uat ă între motorul electric și ma șina de
lucru ac Ńionat ă. Acolo unde procesul tehnologic reclam ă parametri ai energiei mecanice,
diferi Ńi de cei pe care ma șina electric ă poate s ă-i asigure în mod economic, conversia
parametrilor mecanici este efectuat ă de transmisia plasat ă între motor și ma șina de lucru.
Aceast ă transmisie poate lipsi în cazul cupl ării directe, dar poate fi și foarte complex ă,
când se modific ă felul mi șcării (conversie rota Ńie – transla Ńie etc.).
În ciuda marii diversit ăŃi a proceselor tehnologice care consum ă energie mecanic ă
furnizat ă de motorul de ac Ńionare, caracterizarea ma șinilor de lucru la nivelul arborelui
motorului (sau a p ărŃii mobile în mi șcare de transla Ńie la ma șinile liniare) se poate face
suficient de precis, prin utilizarea unui set restr âns de parametri: cuplu, vitez ă unghiular ă,
pozi Ńie unghiular ă, moment de iner Ńie echivalent, diagrame de sarcin ă etc.
Studiul sistemelor electromecanice are o vechime de aproape un secol, ceea ce a permis
maturizarea metodelor de analiz ă și a influen Ńat procedeele de lucru și în domeniile adiacente.
Din aceast ă perspectiv ă istoric ă, modelarea sistemelor electromecanice prezint ă un interes
deosebit pentru to Ńi speciali știi care lucreaz ă în acest domeniu [2].
De re Ńinut !
Tipuri de conversii în sistemele electromecanice.
1. Introducere în modelarea și simularea sistemelor electromecanice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 18
Test de autoevaluare 1.1
Exist ă un model „perfect”?
Etapele realiz ării unui model.
Etapele algoritmului de simulare.
Lucrare de verificare la Unitatea de înv ăŃare 1
Defini Ńi trei criterii de clasificare a modelelor și tipurile
corespunz ătoare.
Enumera Ńi cele mai importante (în opinia dumneavoastr ă) trei avantaje
ale simul ării.
Concluzii
Modelarea matematic ă a sistemelor este o etap ă necesar ă realiz ării
simul ării acelui sistem. Nu exist ă un model „perfect”, complexitatea
depinde de fenomenele ce trebuie studiate.
Studiul prin simulare ofer ă avantaje în studiul sistemelor.
Produsele program utilizate pentru simularea sistem elor depinde de
natura acestora. Cel mai versatil și recunoscut în comunitatea
știin Ńific ă este Matlab-Simulink.
Bibliografie
1. Dodescu, Gh.; Schianu, Ș.; Og ădescu, I.; N ăstase, P. – Simularea
sistemelor . Editura Militar ă, Bucure ști, 1986.
2. Soran, I.F.; Kisch, D.O.; Sîrbu, G.M. – Modelarea sistemelor de
conversie a energiei . Editura ICPE Bucure ști, 1998.
3. Sergiu IVANOV, Modelare și simulare – sisteme electromecanice
și procese de mediu , Editura UNIVERSITARIA Craiova, ISBN
978-973-742-626-0, 2007.
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 19
Unitatea de înv ăŃare nr. 2
MEDIUL DE SIMULARE MATLAB-SIMULIK
Cuprins Pagina
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 2 20
2.1. Introducere 20
2.2. Lansarea Simulink 21
2.3. No Ńiuni de creare a unui model 22
2.4. Sub-bibliotecile Simulink 25
2.4.1. Sub-biblioteca Sources 25
2.4.2. Sub-biblioteca Sinks 25
2.4.3. Sub-biblioteca Continuous 27
2.4.4. Sub-biblioteca Math Operations 28
2.4.5. Sub-biblioteca Signal Routing 28
2.4.6. Sub-biblioteca Discontinuities 29
2.4.7. Sub-biblioteca User-Defined Functions 29
Test de autoevaluare 2.1 30
2.5.Biblioteca SimPowerSystems 30
2.5.1. Sub-biblioteca Electrical Sources 31
2.5.2. Sub-biblioteca Elements 32
2.5.3. Sub-biblioteca Power Electronics 32
2.5.4. Sub-biblioteca Machines 32
2.5.5. Sub-biblioteca Connectors 33
2.5.6. Sub-biblioteca Measurements 33
Test de autoevaluare 2.2 34
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 2 35
Concluzii 35
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 2 35
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 20 OBIECTIVELE unit ăŃii de înv ăŃare nr. 2
Principalele obiective ale Unit ăŃii de înv ăŃare nr. 2 sunt:
2.1. Introducere
În ultimii ani, Simulink ® a devenit cel mai utilizat mediu de programare, at ât în
universit ăŃi, dar și în industrie, pentru modelarea și simularea sistemelor dinamice. Num ărul
inginerilor ce utilizeaz ă acest mediu de programare pentru studiul unor prob leme reale este
impresionant, putând fi modelate, simulate și analizate atât sisteme liniare, cât și neliniare,
continue, discrete sau mixte, cu pa și diferi Ńi de e șantionare sau actualizare.
Simulink este în fapt o component ă a limbajului de programare MATLAB ® produs de
The MathWorks, Inc. Dealtfel, din Simulink, utiliza torul are acces imediat la toate facilit ăŃile
de analiz ă oferite de MATLAB, astfel încât rezultatele simul ărilor pot fi preluate, prelucrate,
analizate și vizualizate utilizând func Ńii MATLAB.
Dezvoltarea și popularitatea Simulink ® se datoreaz ă în primul rând facilit ăŃilor grafice
de programare. Dac ă în limbajele „clasice” de programare, simularea un ui sistem presupune
transcrierea în limbajul respectiv a ecua Ńiilor ce descriu modelul acelui sistem, Simulink of er ă
utilizatorului o interfa Ńă grafic ă ( Graphical User Interface – GUI ), ce permite realizarea
modelelor sub forma unor diagrame bloc, frecvent în tâlnite în exprimarea tehnic ă a unui
inginer. Construirea acestor diagrame bloc, respect iv a modelelor Simulink, se realizeaz ă
simplu, prin copierea cu ajutorul mouse-ului a unor blocuri din bibliotecile de componente
Simulink (surse, componente liniare și neliniare, conectori, elemente de vizualizare a
rezultatelor etc.). Fiind organizat ierarhic, Simul ink permite realizarea unor blocuri noi,
pornind de la blocuri existente, care apoi sunt gru pate și mascate. Modelul sistemului poate fi
vizualizat la un nivel general (black-box), dar foa rte simplu, prin dublu-click al mouse-ului, se
pot detalia blocurile componente pentru a vedea cum este organizat modelul și a observa cum
interac Ńioneaz ă diferitele componente.
O alt ă facilitate important ă a Simulink o reprezint ă posibilitatea interac Ńiunii cu
modelul, chiar în timpul simul ării. Aceasta înseamn ă c ă diferi Ńi parametri ai unor componente
pot fi modifica Ńi „din mers”, putându-se observa imediat influen Ńele acestora.
Num ărul mare de utilizatori ai acestui limbaj de progra mare este justificat atât de
avantajele enumerate mai sus, dar și de diversitatea domeniilor pentru care au fost de zvoltate
biblioteci ( Library ) de componente specifice denumite Toolbox sau Blockset : mecanic ă,
electrotehnic ă, automatic ă, economie, …
Simulink utilizeaz ă „infrastructura” de calcul a MATLAB, respectiv org anizarea
matriceal ă a variabilelor, utilizatorul putând beneficia oric ând de func Ńiile MATLAB. Se va
considera c ă cititorul este familiarizat deja cu MATLAB [1], [2 ].
Prezenta unitate de înv ăŃare nu se dore ște a fi un „manual de utilizare” al Simulink, ci
își propune doar prezentarea elementelor de baz ă privind lansarea și utilizarea Simulink, • Ini Ńierea în lucrul în Simulink
• Identificarea principalelor sub-biblioteci Simulink
• Familiarizarea cu posibilit ăŃile de parametrare a blocurilor
• Identificarea principalelor sub-biblioteci
SimPowerSystems și a facilit ăŃilor acestei biblioteci
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 21 precum și o prezentare general ă a bibliotecilor de baz ă. Aceasta și datorit ă faptului c ă,
Simulink fiind un limbaj de programare grafic și interactiv, încuraj ăm experimentarea
utiliz ării lui. În plus, programul este bine documentat, e xistând, pe lâng ă obi șnuitul meniu de
Ajutor ( Help ), câteva modele demonstrative reprezentative. De a semenea, în pachetul de
instalare se afl ă toate manualele, în format PDF, ale produsului MAT LAB (inclusiv a
Simulink și a celorlalte biblioteci – Toolbox -uri – specializate).
2.2. Lansarea Simulink
Descrierea modului de lansare MATLAB-Simulink și a componen Ńei bibliotecilor se va
realiza considerându-se varianta MATLAB Release 13 ( MATLAB 6.5 ) și Simulink 5 . De
men Ńionat c ă, de și la data preg ătirii prezentei lucr ări, era lansat ă varianta MATLAB Release 14
(MATLAB 7.0 ) și Simulink 6 , s-a optat pentru versiunea Release 13 , deoarece prezint ă, în ceea
ce prive ște Simulink, relativ pu Ńine diferen Ńe fa Ńă de mult mai r ăspânditele versiuni anterioare
Release 12 ( Matlab 6 ) și mai ales, Release 11 ( Matlab 5.3 și Simulink 3 ). Utilizarea MATLAB-
Simulink și multe din blocurile din componen Ńa bibliotecilor sunt comune cu aceste versiuni
anterioare. De precizat, de asemenea c ă, pe m ăsura dezvolt ării versiunilor produselor-
program, performan Ńele și resursele solicitate platformei pe care ruleaz ă, sunt din ce în ce mai
mari, acesta fiind înc ă un motiv pentru care s-a optat pentru versiunea Release 13
Utilizând infrastructura de calcul MATLAB , accesarea bibliotecilor Simulink se poate
face doar lansându-l din fereastra MATLAB . Pentru aceasta se poate urma una din variantele:
/handbckptrighttastând comanda simulink în fereastra de comenzi Matlab (Command Window);
/handbckptrightfăcând click pe butonul Simulink din bara de butoane a ferestrei Matlab (Fig. 2.1);
/handbckptrightmeniul File-New-Model al ferestrei Matlab , apoi butonul Library Browser al noii
ferestre model deschise;
/handbckptrightbutonul Start din col Ńul stânga-jos al ferestrei Matlab (Fig. 2.1), simil ar desktop-ului
Windows, urmând meniul Simulink-Library Browser .
Va fi deschis ă o nou ă fereastr ă,
Simulink Library Browser , Fig. 2.2,
în care apar toate bibliotecile
instalate. Bibliotecile Simulink de
baz ă sunt Simulink și Simulink
Extras . Fereastra Simulink Library Browser Fig. 2.1 Fereastra Matlab și lansarea Simulink
Fig. 2.2 Fereastra Simulink Library Browser
Biblioteci Sub-
biblioteci
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 22 este organizat ă, în principal, în dou ă ferestre: o fereastr ă text în partea stâng ă și o fereastr ă
grafic ă în partea dreapt ă. Op Ńional, în partea superioar ă, poate fi p ăstrat ă fereastra
Description , în care este afi șat ă o scurt ă descriere a elementului selectat (bibliotec ă, sub-
biblioteci, bloc).
Bibliotecile sunt organizate ierarhic, în sub-bibli oteci, ce realizeaz ă func Ńii din aceea și
familie.
Detalierea con Ńinutului fiec ărei biblioteci se poate face:
/handbckptrightclick pe „+” în dreptul bibliotecii (Fig. 2.2). Se ob Ńine în fereastra text, lista sub-
bibliotecilor con Ńinute de acea bibliotec ă;
/handbckptrightclick pe numele bibliotecii. Se ob Ńine în fereastra din grafic ă din partea dreapt ă a
Simulink Library Browser , lista sub-bibliotecilor, sau a blocurilor, în caz ul în care
biblioteca nu este organizat ă în sub-biblioteci.
/handbckptrightclick-dreapta pe bibliotec ă și deschiderea acesteia.
2.3. No Ńiuni de creare a unui model
Crearea unui model nou se realizeaz ă într-o fereastr ă nou ă. Deschiderea unei noi
ferestre de modelare se poate face în mai multe mod uri echivalente:
/checkbld click pe butonul New al ferestrei Simulink Library Browser (Fig. 2.3) sau al oric ărui
model (ferestre noi de modelare, Fig. 2.4);
/checkbld meniul File-New…-Model al
oric ărei ferestre de bibliotec ă;
/checkbld shortcut Ctrl+N în orice
fereastr ă de bibliotec ă sau
fereastr ă de model Simulink ;
/checkbld meniul File-New-Model al
ferestrei Matlab .
Este important de subliniat faptul
că doar ferestrele de modelare , Fig.
2.4, create printr-una din modalit ăŃile
descrise mai sus, sunt ferestre
grafice, în care se pot crea modele
noi Simulink , spre deosebire de
ferestrele noi Matlab (de tipul M-file ),
care sunt ferestre text.
Plasarea blocurilor în noua
schem ă se realizeaz ă prin
drag -area = „tragerea”
acestora (ap ăsarea butonului
din stânga al mouse -ului pe
blocul necesar și
pozi Ńionarea blocului în
noua schem ă). Unele blocuri
au posibilitatea actualiz ării
parametrilor, ace știa având
valori implicite pentru
blocurile luate din biblioteci.
Făcând dublu-click pe
fiecare bloc, se va deschide
o caset ă de dialog în care se Fig. 2.3 Blocurile din componen Ńa sub-bibliotecii
Continuous
Fig. 2.4 Fereastr ă nou ă Simulink
New
New
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 23 modific ă valorile parametrilor blocului respectiv (chiar și în timpul rul ării simul ării).
Blocurilor plasate în modelul nou creat, li se poat e modifica atât dimensiunea, cât și
aspectul. Pentru modificarea dimensiunii blocului, acesta trebuie selectat individual ( click
simplu pe bloc, col Ńurile blocului devenind marcate cu puncte pline) și apoi drag -area cu
mouse -ul de unul din col Ńuri (Fig. 2.4).
În ceea ce prive ște aspectul blocului, posibilit ăŃile sunt multiple, ele fiind accesibile prin
intermediul meniului Format al ferestrei, dup ă selectarea blocului (individual ă sau multipl ă).
Pot fi modificate orientarea ( Rotate block , Flip block ), culoarea de reprezentare a blocului
(Foreground color ), culoarea fondului blocului ( Background color ), pozi Ńia numelui blocului
(Flip name ), afi șarea sau nu a numelui blocului ( Show /Hide name ).
Pentru realizarea unui model, blocurile trebuiesc i nterconectate, astfel încât s ă se ob Ńin ă
func Ńiile necesare. Interconectarea se realizeaz ă prin unirea unui port de ie șire a unui bloc cu
un port de intrare a altui bloc, cu butonul din stâ nga ap ăsat, deci drag -ând cu butonul stânga.
Nu se pot realiza decât conexiuni între porturi de ie șire și intrare. Nu pot fi
conectate între ele dou ă porturi de intrare sau dou ă porturi de ie șire.
Tipul de cursor este o cruce
simpl ă în timpul realiz ării unei
conexiuni, pân ă când se ajunge în
preajma punctului de destina Ńie,
când devine cruce dubl ă, ceea ce
semnific ă faptul c ă butonul mouse –
ului poate fi eliberat . Trasarea
conexiunilor se poate face direct între
punctele extreme, f ără a se impune
un anumit traseu. Acesta poate fi îns ă
modificat ulterior, prin selectarea
conexiunii și drag -area diferitelor
segmente în pozi Ńiile dorite.
Un punct de conexiune
(conectarea unei ie șiri la intr ările mai
multor blocuri) se poate realiza în
mai multe moduri:
/checkbld Ńinând ap ăsat ă tasta Ctrl și drag -ând cu butonul stânga din punctul de plecare de pe o
conexiune existent ă pân ă la portul de intrare;
/checkbld drag -ând cu butonul dreapta al mouse -ului între o conexiune existent ă și portul de
intrare;
/checkbld drag -ând cu butonul stânga al mouse -ului pornind de la portul de intrare pân ă la o
conexiune deja existent ă.
Simulink ofer ă posibilitatea cre ării unor noi blocuri, definite de utilizator, aceas ta
putându-se realiza în dou ă moduri echivalente:
/head2right se selecteaz ă blocurile ce vor fi grupate (încadrarea într-o fer eastr ă definit ă cu butonul
din stânga ap ăsat) și apelarea comenzii corespunz ătoare (meniul Edit-Create
Subsystem );
/head2right se preia din sub-biblioteca Ports&Subsystems un bloc Subsystem în cadrul c ăruia
(dublu-click pe blocul Subsystem ) se poate realiza modelul noului bloc. Avantajul
acestei metode îl constituie prezen Ńa deja a conectorilor de intrare și ie șire, ale c ăror
nume pot modificate, ele fiind numele porturilor de intrare și ie șire ale sub-
sistemului.
Noului bloc îi pot fi modificate numele, masca – me niul Edit-Mask Subsystem (nume
bloc, imaginea blocului, numele parametrilor din ca seta de dialog, asocierea parametrilor
formali cu valorile de intrare, textul corespunz ător butonului Help ).
Sub-biblioteca Ports&Subsystems con Ńine foarte multe și variate exemple de creare a Fig. 2.5 Realizarea unei conexiuni
Start
simulation
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 24 sub-sistemelor, accesibile prin deschiderea ferestr ei Subsystem Examples .
Dup ă realizarea modelului se selecteaz ă parametrii simul ării (meniul Simulation–
Simulation Parameters… , Fig. 2.6):
/head2right momentul începerii simul ării ( Start time );
/head2right durata simul ării ( Stop time );
/head2right metoda de integrare ( Solver options );
/head2right pas maxim ( Max step size );
/head2right pas minim ( Min step size );
/head2right pas ini Ńial ( Initial step size );
/head2right precizia relativ ă și absolut ă ( Relative
tolerance, Absolute tolerance ).
În ceea ce prive ște metoda de integrare,
Simulink prezint ă ini Ńial în fereastra de modificare a
parametrilor simul ării metoda implicit aleas ă în
func Ńie de structura modelului. Aceasta poate fi
schimbat ă, alegându-se între o metod ă cu pas variabil
de integrare și una cu pas fix. Metoda de integrare cu
pas variabil implicit aleas ă este ode45 , ceea ce constituie metoda de integrare Runge-Kutt a de
ordinul 5, ce ofer ă rezultate bune pentru majoritatea modelelor contin ui. Metodele de
integrare cu pas fix sunt variante ale celor cu pas variabil. Pentru mai multe detalii privind
metodele de integrare a se vedea [3], pag. 10-8 The Simulation Parameters Dialog Box .
Dup ă lansarea simul ării (butonul
Start Simulation , Fig. 2.5), în bara de stare
a modelului (Fig. 2.7) se indic ă atât timpul
curent al simul ării, cât și stadiul acesteia,
în raport cu durata selectat ă a simul ării.
Butonul Start simulation este înlocuit cu
butonul Pause simulation , devenind activ
și butonul Stop simulation .
În timpul rul ării simul ării pot fi modifica Ńi
unii parametrii ai simul ării ( Stop time , Max
step size ) și parametrii blocurilor
Simulink, cu condi Ńia ca structural modelul
să nu fie alterat. De asemenea, selectând o
conexiune, semnalul corespunz ător poate
fi vizualizat de un bloc Scope sau Display , prev ăzute în model, dar neconectate ( floating ).
Fig. 2.6 Caseta de dialog Simulation-
Simulation Parameters
Fig. 2.7 Fereastra modelului în timpul rul ării
Stadiul
simul ării Butoanele
Pause
Stop
De re Ńinut !
Pornirea Simulink din Matlab
Realizarea unui model nou se face doar într-o ferea str ă nou ă Simulink .
Conexiuni permise (ie șire-intrare, ie șire-intr ări multiple).
Posibilit ăŃile de modificare a aspectului blocurilor.
Parametrarea simul ării (meniul Simulation–Simulation Parameters… ).
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 25 2.4. Sub-bibliotecile Simulink
Bibliotecile sau sub-bibliotecile reprezint ă o colec Ńie de blocuri ce realizeaz ă func Ńii
diferite, având îns ă tr ăsături comune din punctul de vedere al func Ńionalit ăŃii.
Organizarea blocurilor în biblioteci ( Libraries ) ofer ă utilizatorului posibilitatea copierii
blocurilor din biblioteci în modelele proprii, bloc uri ce vor fi în mod automat actualizate când
sursa blocului (biblioteca) a fost modificat ă. Astfel, utilizatorul î și poate dezvolta propriile
blocuri sau biblioteci, sau poate utiliza blocuri sau biblioteci create suplimentar de c ătre al Ńi
utilizatori, având certitudinea c ă utilizeaz ă permanent cea mai recent ă versiune a acestora.
Bibliotecile și sub-bibliotecile, în mod normal, sunt deschise d oar pentru citire ( Read-
only), putându-se deci, doar copia din ele blocuri în p ropriile modele. Este îns ă posibil s ă se
creeze biblioteci noi, folosind comanda New…-Library a meniului File al oric ărei ferestre
Simulink. Mai multe detalii privind organizarea și principiile bibliotecilor Simulink pot fi
găsite în [3], pag. 5-28 Working with Block Libraries .
În continuare va fi detaliat ă componen Ńa fiec ărei sub-biblioteci Simulink. Sub-
bibliotecile vor fi descrise în ordinea în care ele sunt pozi Ńionate în fereastra bibliotecii
Simulink (Fig. 2.2), care este în mare m ăsur ă, ordinea frecven Ńei de utilizare a blocurilor
componente.
2.4.1. Sub-biblioteca Sources
Grupeaz ă blocuri care, fie se conecteaz ă la intr ările
diferitelor blocuri Simulink ( Model & Subsystem Inputs ), fie
genereaz ă diferite tipuri de semnale necesare în cursul
simul ărilor ( Signal Generators ).
Grupul Model & Subsystem Inputs grupeaz ă patru
blocuri, dintre care dou ă ( From File și From Workspace ) pot
fi considerate și surse de
semnal.
2.4.2. Sub-biblioteca Sinks
Con Ńine blocuri reunite în trei grupuri func Ńionale:
Model & Subsystem Outputs , Data Viewers , Simulation
Control .
Primul grup este echivalentul pentru blocuri de
ie șire, al grupului Model & Subsystem Inputs din sub-
biblioteca Sources .
/head2right Scope Afi șeaz ă grafic semnale generate în
timpul simul ării.
Acest bloc este cel mai frecvent utilizat pentru vi zualizarea rezultatelor simul ărilor,
fiind foarte bine dezvoltat din punctul de vedere a l posibilit ăŃilor de parametrare
(configurare). Din acest motiv, el va fi detaliat î n continuare.
Blocul Scope afi șeaz ă semnalul de la intrare în func Ńie de timpul simul ării. El poate
avea unul sau mai multe sisteme de axe (câte unul p entru fiecare port de intrare). Similar
osciloscoapelor, toate sistemele de axe au abscisa (baza de timp) comun ă, domeniile de
varia Ńie ale ordonatelor (axelor y) putând fi modificate independent. În timpul simul ării pot fi Fig. 2.8 Sub-biblioteca Sources
Fig. 2.9 Sub-biblioteca Sinks
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 26 modificate scalele abscisei și ordonatelor, parametrii blocului, pozi Ńia și dimensiunea ferestrei
de afi șare.
Dup ă preluarea sa într-un model nou și pornirea simul ării, Simulink nu deschide în mod
automat fereastra de afi șare, dar transmite date blocurilor Scope conectate. În consecin Ńă , la
deschiderea ferestrelor Scope , chiar dup ă încheierea simul ării, semnalul sau semnalele
aplicate vor fi afi șate.
Blocul Scope accept ă ca semnale de intrare atât m ărimi scalare, cât și vectoriale. În
primul caz, fiecare semnal scalar conectat la un po rt de intrare al unui bloc Scope este afi șat în
câte un sistem de axe. În cazul semnalelor vectoria le (ob Ńinute prin multiplexarea mai multor
semnale, scalare sau la rândul lor vectoriale), înt regul semnal vectorial rezultat va fi vizualizat
în acela și sistem de coordonate, folosindu-se culori diferit e pentru fiecare semnal scalar
component, în ordinea: galben, violet, bleu, ro șu, verde, albastru închis. Dac ă semnalul
vectorial este compus din mai mult de șase semnale scalare, ele vor fi afi șate folosindu-se
ciclic culorile în ordinea enumerat ă.
Deschiderea ferestrei blocului Scope se realizeaz ă cu dublu click pe blocul Scope preluat
într-un model nou. Noua fereastr ă (Fig. 2.10) con Ńine ecranul osciloscopului (sistemul de axe)
și o bar ă de butoane ( Toolbar buttons ), cu ajutorul c ărora se poate modifica aspectul afi șă rii:
/boxshadowdwn Print imprim ă con Ńinutul ecranului osciloscopului;
/boxshadowdwn Parameters se va deschide o nou ă fereastr ă (Fig. 2.11),
care con Ńine dou ă pagini: „ General ” și
„Data history ”. Din pagina „ General ” pot
fi schimbate num ărul sistemelor de
coordonate ( Number of axes ) și în
consecin Ńă num ărul porturilor de intrare ale
blocului Scope , toate îns ă având aceea și
baz ă de timp, domeniul axei absciselor
(Time range ), modul de etichetare a
semnalelor ( Tick labels ). Tot din aceast ă
pagin ă se poate bifa op Ńiunea „ floating
scope ”. Din pagina „ Data history ” se poate
limita num ărul de puncte memorate pentru vizualizare, cu scopu l
conserv ării memoriei sistemului ( Limit rows to last ); Fig. 2.10 Fereastra principal ă a blocului Scope
Fig. 2.11 Fereastra ‘Scope’
parameters
Ecranul
osciloscopului Bar ă de
butoane Zoom Zoom
X-axes Zoom
Y-axes Autoscale Save current /
Restore saved
axes settings Parameters Print
Time offset Floating
scope
Signal
selector
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 27 /boxshadowdwn Zoom detaliaz ă dup ă ambele axe, fie o zon ă a ecranului osciloscopului selectat ă
cu ajutorul mouse -ului, fie în jurul unui punct selectat prin simplu click .
Dac ă blocul Scope are mai multe sisteme de axe, detalierea unuia din tre
ele va determina modificarea axei absciselor tuturo r sistemelor de
coordonate. Aceasta deoarece toate sistemele de coo rdonate ale aceluia și
bloc Scope utilizeaz ă, a șa cum s-a precizat mai sus, aceea și baz ă de timp;
/boxshadowdwn Zoom X-axes detaliaz ă semnalele vizualizate, dup ă axa X. Se poate detalia fie un
domeniu selectat cu ajutorul mouse -ului, fie în jurul unui punct selectat
prin simplu click ;
/boxshadowdwn Zoom Y-axes detaliaz ă semnalele vizualizate, dup ă axa Y. Se poate detalia fie un
domeniu selectat cu ajutorul mouse -ului, fie în jurul unui punct selectat
prin simplu click ;
/boxshadowdwn Autoscale scaleaz ă automat ambele axe ale tuturor sistemelor de coord onate ale
aceluia și bloc Scope , pentru a fi afi șate toate datele memorate ale unei
simul ări. Dac ă se apas ă butonul Autoscale în timpul rul ării unei simul ări,
axele ordonatelor sunt auto-scalate în func Ńie de datele disponibile la acel
moment, iar domeniile acestora sunt salvate ca valo ri implicite. Aceasta
va determina utilizarea acelora și domenii pentru simul ările ulterioare ale
aceluia și model;
/boxshadowdwn Save current se salveaz ă domeniile abscisei și ordonatei, astfel încât axes settings
acestea vor fi utilizate pentru simul ările ulterioare ale
aceluia și model;
/boxshadowdwn Restore saved se refac domeniile salvate ale axelor, dup ă utilizarea axes settings
butoanelor de Zoom ;
/boxshadowdwn Time offset în acest câmp se afi șeaz ă timpul corespunz ător momentului „0” (zero) al
axei absciselor (pentru simul ări a c ăror durat ă dep ăș ește baza de timp a
osciloscopului). Timpul real se ob Ńine ad ăugând valoarea offset-ului la
valorile afi șate pe axa absciselor.
Pentru modificarea domeniului axei ordonatelor se f ace click-
dreapta în ecranul osciloscopului, în sistemul de axe ce s e dore ște a
fi modificat. Se va deschide o caset ă de dialog în care se selecteaz ă
Axes properties… Se va deschide o nou ă fereastr ă (Fig. 2.12) prin
intermediul c ăreia pot fi modificate domeniul axei ordonatelor și
numele variabilei, ce va fi afi șat în fereastra principal ă a
osciloscopului.
2.4.3. Sub-biblioteca Continuous
Grupeaz ă blocuri ce realizeaz ă func Ńii liniare.
Ele sunt reunite în dou ă grupuri func Ńionale: Continuous-Time
Linear Systems și Continuous-Time Delays .
Grupul Continuous-Time Linear Systems con Ńine dou ă blocuri,
din care unul ( Integrator ) este esen Ńial pentru simularea sistemelor
dinamice:
/head2right Integrator Realizeaz ă integrarea semnalului aplicat la
intrarea sa. El reprezint ă nucleul oric ărui model
al unui sistem descris de ecua Ńiile de stare, fiind
bine dezvoltat din punctul de vedere al
posibilit ăŃilor de parametrare (configurare).
Prin caseta de dialog a blocului, (Fig. 2.14) se po ate selecta
una sau mai multe dintre facilit ăŃile acestui bloc:
/checkbld resetarea st ării integratorului de c ătre un semnal extern
(External reset ). Aceast ă ac Ńiune poate fi realizat ă în cazul Fig. 2.12 Fereastra ‘Scope’
properties (click
dreapta)
Fig. 2.13 Sub-biblioteca
Continuous.
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 28 detect ării unui front cresc ător ( rising ) sau descresc ător
(falling ) al semnalului de resetare, la detectarea oric ărei
varia Ńii a acestuia ( either ), sau la detectarea unei anumite
valori ( level ) a semnalului de reset extern;
/checkbld definirea condi Ńiei ini Ńiale ( Initial condition source ) prin
masca blocului ( internal ) sau prin intermediul unui
semnal de la intrarea blocului ( external );
/checkbld posibilitatea de a furniza o a doua ie șire care reprezint ă
starea blocului ( Show state port ). Acest port de ie șire
furnizeaz ă practic acelea și valori ca și ie șirea obi șnuit ă a
blocului, dar la momente de timp u șor diferite. Aceast ă
facilitate este util ă pentru evitarea buclelor algebrice ce
se formeaz ă atunci când ie șirea blocului este readus ă la
intrare, ca și condi Ńie ini Ńial ă extern ă sau ca și condi Ńie de
resetare a integratorului;
/checkbld limitarea valorii de la ie șire ( Limit output ) și definirea
limitelor superioar ă ( Upper saturation limit ) și inferioar ă
(Lower saturation limit ), precum și posibilitatea
semnaliz ării printr-un semnal de ie șire a atingerii limitelor ( Show saturation port ).
Acesta va avea valorile:
+1 în cazul atingerii limitei superioare
0 dac ă semnalul de ie șire este între cele dou ă
limite
-1 în cazul atingerii limitei inferioare.
La selectarea diferitelor op Ńiuni, masca blocului se
modific ă, în cazul select ării tuturor op Ńiunilor aceasta fiind
cea din Fig. 2.15.
2.4.4. Sub-biblioteca Math Operations
Este o bibliotec ă bogat ă și con Ńine blocuri, reunite în
patru grupuri care, datorit ă generalit ăŃii și versatilit ăŃii, sunt
foarte frecvent utilizate pentru realizarea modelel or Simulink
ale diferitelor sisteme.
Func Ńiile pe care le realizeaz ă sunt de cele mai multe ori
evidente, din acest motiv nu se va insista asupra l or.
2.4.5. Sub-biblioteca Signal Routing
Con Ńine blocuri ce permit multiplexarea și demultiplexarea semnalelor, realizarea
conexiunilor de intrare/ie șire din model, transmiterea datelor în cadrul acelu ia și model și
altele. Fig. 2.14 Caseta de dialog a
blocului Integrator.
Fig. 2.15 Simbolul complet al blocului
Integrator.
Fig. 2.16 Sub-biblioteca Math Operations
Intrare
Reset
Condi Ńie ini Ńial ăIe șire
Satura Ńie Stare
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 29 Blocurile sunt grupate în dou ă grupuri func Ńionale: Signal
Routing și Signal Storage & Access .
Primul grup reune ște blocuri cu ajutorul c ărora sunt
manipulate semnalele:
/head2right Mux Combin ă (concateneaz ă) intr ările, scalare sau
vectoriale într-un singur semnal vectorial de
ie șire. Ordinea variabilelor în semnalul
vectorial de ie șire este dat ă de ordinea
variabilelor în semnalele de intrare și de ordinea
porturilor de intrare. Prin caseta de dialog a
blocului se poate modifica num ărul porturilor
de intrare, masca blocului modificându-se
corespunz ător.
/head2right Demux Separ ă semnalul vectorial de intrare în mai
multe semnale scalare sau vectoriale de ie șire.
Prin caseta de dialog a blocului se poate selecta
num ărul de ie șiri. Dac ă acesta este egal cu
num ărul componentelor vectorului de intrare,
fiecare ie șire va fi scalar ă. În caz contrar
ie șirile, sau unele dintre ele, vor fi semnale
vectoriale ([4], pag. 2-97).
2.4.6. Sub-biblioteca Discontinuities
Grupeaz ă blocuri ce realizeaz ă func Ńii discontinue asupra
semnalelor aplicate la intrare:
/head2right Saturation Limiteaz ă excursia semnalului de ie șire între
limitele ( Upper limit – superioar ă și Lower
limit – inferioar ă) stabilite prin caseta de
dialog.
2.4.7. Sub-biblioteca User-Defined Functions
Aceast ă bibliotec ă grupeaz ă câteva blocuri deosebit de versatile
și eficiente:
/head2right Fcn Este un bloc cu func Ńionalitate deosebit ă, putând realiza func Ńii complexe într-o
manier ă foarte compact ă. Prin caseta de dialog a blocului se poate introdu ce
expresia func Ńiei ce se va aplica variabilei de
intrare. Aceasta poate con Ńine:
/boxshadowdwn u – variabila de intrare. Dac ă variabila
de intrare este un vector, u[i] desemneaz ă
componenta i a acestuia. u[1] sau simplu
u desemneaz ă prima component ă;
/boxshadowdwn constante numerice;
/boxshadowdwn operatori aritmetici (+ – * /);
/boxshadowdwn operatori rela Ńionali;
/boxshadowdwn operatori logici;
/boxshadowdwn paranteze;
/boxshadowdwn func Ńii matematice;
/boxshadowdwn variabile din spa Ńiul de lucru Matlab.
Ie șirea este totdeauna un scalar.
Fig. 2.17 Sub-biblioteca Signal
Routing
Fig. 2.18 Sub-biblioteca
Discontinuities
Fig. 2.19 Sub-biblioteca User-
Defined Functions
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 30
2.5. Biblioteca SimPowerSystems
Biblioteca SimPowerSystems a fost
dezvoltat ă în cadrul Hydro-Quebec, Canada și
con Ńine blocuri, grupate în șase sub-biblioteci,
utile pentru modelarea și simularea sistemelor
electrice de putere, inclusiv a celor insulare,
ca cele din domeniul naval, aerian sau
aerospa Ńial.
Utilizarea blocurilor din sub-biblioteci
este similar ă blocurilor Simulink în ceea ce
prive ște interconectarea lor. Exist ă îns ă
specificit ăŃi ce se refer ă în principal la sursele
utilizate, realizarea conexiunilor și
vizualizarea rezultatelor. Fig. 2.20 Biblioteca SimPowerSystems De re Ńinut !
Principalele sub-biblioteci Simulink.
Generatoare de semnal din sub-biblioteca Sources .
Posibilit ăŃi de parametrare a blocului Scope .
Posibilit ăŃi de parametrare a blocului Integrator .
Test de autoevaluare 2.1
Enumera Ńi principalele sub-biblioteci Simulink .
Enumera Ńi generatoarele de semnal din sub-biblioteca Sources și
posibilit ăŃile de parametrare a dou ă dintre ele.
Descrie Ńi posibilit ăŃile de parametrare a blocului Scope . Lucrare de laborator 1
Deprinderile ini Ńiale de lucru în Simulink (crearea unui model nou,
identificarea principalele biblioteci ale Simulink – localizare,
componen Ńă , modul de modificare a parametrilor implici Ńi ai blocurilor și
efectele asupra structurii și comportamentului unui model, familiarizarea
cu utilizarea și configurarea blocurilor de vizualizare) fac obiec tul
Lucr ării de laborator nr.1 – MEDIUL DE SIMULARE MATLAB-
SIMULINK; BIBLIOTECILE STANDARD SIMULINK
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 31 Ca surse de alimentare trebuie utilizate sursele di n sub-biblioteca Electrical Sources . Nu
mai este posibil ă utilizarea surselor din biblioteca Simulink-Sources , decât pentru semnale de
comand ă sau control.
Realizarea conexiunilor multiple (conectarea ie șirii unui bloc la mai multe ie șiri) se
poate face doar utilizând una din variantele de Bus bar din sub-biblioteca Connectors .
Pentru vizualizarea rezultatelor, pot fi în continu are utilizate osciloscoapele din
biblioteca Simulink-Sinks , dar acestea nu pot fi conectate direct pe liniile de conexiune din
model, ci doar prin intermediul unor blocuri de m ăsur ă de tensiune, de curent sau de
impedan Ńă , preluate din sub-biblioteca Measurements . O posibilitate suplimentar ă important ă
de vizualizare a semnalelor o reprezint ă blocul Multimeter . Fizic, acest bloc nu are nici o
intrare, dar preluarea sa într-un model face posibi l ă ca prin caseta lui de dialog, accesat ă prin
dublu-click pe bloc, s ă poat ă fi selectate semnalele ce vor fi vizualizate pe os ciloscopul
conectat la ie șirea sa, din lista tuturor semnalelor disponibile. Aceast ă list ă este constituit ă
automat, prin concatenarea tuturor m ăsur ătorilor selectate prin
casetele de dialog ale blocurilor utilizate. Este v orba de o
op Ńiune specific ă doar blocurilor din biblioteca
SimPowerSystems , ea fiind prezent ă la majoritatea blocurilor,
cu op Ńiunea implicit ă None – nici un semnal selectat.
De exemplu, pentru puntea universal ă ( Universal Bridge )
aflat ă în sub-biblioteca Power Electronics , din lista auto-
defilant ă a op Ńiunii Measurements , pot fi selectate ca și semnale
(Fig. 2.21):
• tensiunile ce solicit ă elementele semiconductoare;
• curen Ńii prin elementele semiconductoare;
• tensiunile de linie (de intrare sau ie șire, în func Ńie de
configura Ńia selectat ă) și tensiune din circuitul de c.c.
• toate tensiunile și curen Ńii.
Selectarea primei op Ńiuni ( Device
voltages ) va face ca la deschiderea interfe Ńei
de configurare a blocului Multimeter aflat în
acela și model cu puntea universal ă, s ă se
poat ă selecta care anume semnale (Fig. 2.22)
să fie vizualizate de c ătre osciloscopul
conectat la ie șirea blocului Multimeter .
Se vor prezenta în continuare pe scurt
cele mai importante blocuri din cele șase sub-
biblioteci ale bibliotecii SimPowerSystems.
2.5.1. Sub-biblioteca Electrical Sources
Grupeaz ă blocuri ce modeleaz ă sursele de energie din
sistemele electrice.
Fig. 2.21 Caseta de dialog a blocului Universal Bridge și lista
auto-defilant ă a op Ńiunii Measurements
Fig. 2.22 Interfa Ńa de configurare a blocului
Multimeter
Fig. 2.23 Sub-Biblioteca Electrical Sources
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 32 2.5.2. Sub-biblioteca Elements
Este o bibliotec ă bine dezvoltat ă, care
con Ńine blocuri reunite în patru grupuri func Ńionale:
Elements (elemente, monofazate sau trifazate de
circuit), Lines (linii de transport), Circuit Breakers
(întreruptoare) și Transformers (transformatoare).
2.5.3. Sub-biblioteca Power Electronics
Sub-biblioteca Power Electronics reune ște blocuri
deosebit de utile pentru simularea sistemelor
electromecanice care con Ńin convertoare statice. Este
vorba atât de modele ale elementelor semiconductoar e
utilizate pentru realizarea convertoarelor statice, cât și
modelele a dou ă convertoare universale.
Toate modelele elementelor semiconductoare de
putere con Ńin și circuitul RC de protec Ńie la supratensiuni
de comuta Ńie ( snubber ), parametrii componentelor putând
fi modifica Ńi prin caseta de dialog a fiec ărui bloc.
Cele dou ă convertoare universale sunt:
/head2right Universal Bridge punte universal ă.
/head2right Three-Level Bridge punte cu trei nivele.
Prin casetele de dialog ale celor dou ă pun Ńi se pot
selecta num ărul de bra Ńe (faze), configura Ńia, respectiv
terminalele ABC ca intr ări (redresor) sau ca ie șiri
(invertor) și tipul elementelor semiconductoare din
componen Ńa pun Ńii. În plus, tot prin caseta de dialog, se pot spec ifica valorile parametrilor
grupului RC de protec Ńie la supratensiuni.
Sub-biblioteca Power Electronics mai con Ńine leg ături c ătre dou ă sub-biblioteci din
grupul Extras al bibliotecii SimPowerSystems : Control blocks și Discrete Control blocks.
Acestea con Ńin și blocuri care genereaz ă semnalele de comand ă ale elementelor
semiconductoare din componen Ńa convertoarelor statice, din acest motiv structura acestora va
fi prezentat ă în continuare.
2.5.4. Sub-biblioteca Machines
Sub-biblioteca Machines con Ńine mai multe modele ale tipurilor clasice de ma șini:
sincron ă cu excita Ńie electric ă, sincron ă cu magne Ńi permanen Ńi, asincron ă, de c.c., precum și
modele ale generatoarelor primare de tipul hidro și cu abur utilizate în centralele electrice, ca
și modelul sistemului de excita Ńie al unui generator sincron.
Casetele de dialog prezint ă semnifica Ńiile intr ărilor și ie șirilor.
Pentru ma șina sincron ă sunt disponibile dou ă modele de baz ă pentru varianta cu
excita Ńie electric ă și unul pentru varianta cu magne Ńi permanen Ńi. Fig. 2.24 Sub-biblioteca Elements
Fig. 2.25 Sub-biblioteca
Power Electronics
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 33
2.5.5. Sub-biblioteca Connectors
Sub-biblioteca Connectors reune ște două tipuri de conectori ( Ground și Neutral ), în
câte dou ă variante, strict necesari pentru realizarea modele lor SimPowerSystem și mai multe
variante blocuri necesare realiz ării conexiunilor multiple (conectarea ie șirii unui bloc la mai
multe ie șiri).
În Fig. 2.28 sunt prezentate exemple de utilizare a conectorilor Ground și Neutral .
2.5.6. Sub-biblioteca Measurements
Sub-biblioteca Measurements reune ște blocuri necesare vizualiz ării semnalelor
specifice modelelor realizate cu modele din bibliot eca SimPowerSystem . Principial, ele
convertesc semnalele specifice modelelor SimPowerSystem în semnale compatibile cu
blocurile Simulink în general și cele din sub-biblioteca Sinks .
Ca și în cazul sub-bibliotecii Power Electronics , sub-biblioteca Measurements con Ńine
leg ături c ătre dou ă sub-biblioteci din grupul Extras al bibliotecii SimPowerSystems (Fig.
2.20): Measurement blocks și Discrete Measurement blocks . Acestea con Ńin blocuri care
realizeaz ă diferite opera Ńii asupra semnalelor specifice modelelor sistemelor electrice.
Fig. 2.26 Sub-biblioteca Machines Fig. 2.27 Sub-biblioteca Connectors
Fig. 2.28 Exemple de utilizare a blocurilor Ground și Neutral
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 34
Fig. 2.29 Sub-biblioteca Measurements
De re Ńinut !
Specificit ăŃile de realizare a conexiunilor în SimPowerSystems .
Facilit ăŃile blocului Multimeter .
Interfa Ńarea cu blocurile Simulink (blocuri din Measurements ).
Test de autoevaluare 2.2
Enumera Ńi principalele sub-biblioteci SimPowerSystems .
Enumera Ńi generatoarele de semnal din sub-biblioteca Electrical
Sources și posibilit ăŃile de parametrare a dou ă dintre ele.
Descrie Ńi facilit ăŃile blocului Multimeter . Lucrare de laborator 2
În cadrul Lucr ării de laborator nr. 2 – BIBLIOTECA
SIMPOWERSYSTEMS: ELEMENTE, FACILIT Ăł I, UTILIZARE
se vor identifica blocurile din componen Ńa sub-bibliotecilor
SimPowerSystems și parametrii setabili prin casetele de dialog ale
acestora. Se va realiza un model simplu utilizând b locuri din componen Ńa
SimPowerSystems , simulându-se inclusiv posibile defecte.
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 35
Lucrare de verificare la Unitatea de înv ăŃare 2
Descrie Ńi cu cât mai multe detalii unul din subiectele:
a. Mediul de simulare Matlab-Simulink : bibliotecile Source , Sinks și
User-Defined Functions .
b. Mediul de simulare Matlab-Simulink : bibliotecile Continuous ,
Discrete și Signal Attributes .
c. Mediul de simulare Matlab-Simulink : bibliotecile Math Operations
și Discontinuities .
d. Mediul de simulare Matlab-Simulink : bibliotecile Look-Up Tables și
Signal Routing .
e. Mediul de simulare Matlab-Simulink: biblioteca SimPowerSystems .
Concluzii
În mediul de simulare Matlab-Simulink programarea se realizeaz ă
printr-o interfa Ńă grafic ă prietenoas ă, folosind blocuri grupate în
biblioteci func Ńionale.
Se pot dezvolta blocuri și biblioteci noi, cu facilit ăŃi specifice
necesit ăŃilor utilizatorilor.
Bibliografie
1. Biran, A.; Breiner, M – MATLAB for Engineers . Addison-Wesley
Publishers Ltd., 1996.
2. Ghinea, M.; Fire Ńeanu, V. – MATLAB – Calcul numeric. Grafic ă.
Aplica Ńii . Editura Teora, Bucure ști, 1999.
3. MathWorks – Simulink. Using Simulink. Version 5 .
http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/p df_doc/simulink/sl_using.pdf .
4. MathWorks – Simulink. Simulink Reference. Version 5.
http://www.mathworks.com/access/helpdesk_r13/help/p df_doc/simulink/slref.pdf .
5. Sergiu IVANOV, Modelare și simulare – sisteme electromecanice
și procese de mediu , Editura UNIVERSITARIA Craiova, ISBN
978-973-742-626-0, 2007.
2. Mediul de simulare Matlab-Simulik
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 36
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 37
Unitatea de înv ăŃare nr. 3
SISTEME DINAMICE ȘI MODELE DE STARE.
DINAMICA CORPURILOR RIGIDE
ÎNTR-UN PLAN
Cuprins Pagina
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 3 38
3.1. Modele matematice și modele de stare 38
3.1.1. Motorul de curent continuu 39
3.1.2. Cuptor din industria sticlei 40
Test de autoevaluare 3.1 42
3.2. Dinamica corpurilor rigide într-un plan 43
3.2.1. Exemplu: modelarea dinamicii unei rachete 44
Test de autoevaluare 3.2 48
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 3 48
Concluzii 48
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 3 48
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 38 OBIECTIVELE unit ăŃii de înv ăŃare nr. 3
Principalele obiective ale Unit ăŃii de înv ăŃare nr. 3 sunt:
3.1. Modele matematice și modele de stare
Majoritatea sistemelor dinamice pot fi descrise de un sistem de ecua Ńii diferen Ńiale de
ordinul I de forma
( )
( )
( )1 1 1 2 1 2
2 2 1 2 1 2
1 2 1 2 ( ) ( ), ( ),… ( ), ( ), ( ), ( )
( ) ( ), ( ),… ( ), ( ), ( ), ( )
( ) ( ), ( ),… ( ), ( ), ( ), ( ) n m
n m
n n n m x t f x t x t x t u t u t u t
x t f x t x t x t u t u t u t
x t f x t x t x t u t u t u t =
=
=&
&
M M
&, (3.1)
unde ( ) ix t & reprezint ă derivata în raport cu timpul a variabilei xi(t),
i
idx xdt =&.
În continuare, pentru simplitatea scrierii, se va r enun Ńa la notarea explicit ă a
dependen Ńei de timp a variabilelor, aceasta fiind implicit ă. Variabilele x1, x2, …, xn sunt
numite variabile de stare și con Ńin toat ă informa Ńia asupra st ării sistemului la un moment dat,
necesar ă calcul ării evolu Ńiei acestuia în viitor pe baza ecua Ńiilor (3.1), date fiind evolu Ńiile
variabilelor u1, u2, …, um. Acestea, numite intr ări ale sistemului, reprezint ă fie comenzi, fie
influen Ńa mediului exterior asupra sistemului studiat. Cond ensat, sistemul de ecua Ńii (3.1) se
poate scrie
[][][](), x f x u = & , (3.2)
unde [ x] și [ u] sunt func Ńii vectoriale de timp. Un astfel de sistem de ecua Ńii se nume ște model
sub forma ecua Ńiilor de stare sau pe scurt, model de stare .
Prin modelarea unui sistem se în Ńelege stabilirea unui astfel de model de stare pent ru
diferite sisteme și aplica Ńii. Simularea sistemului reprezint ă utilizarea modelului ob Ńinut • Însu șirea formei generale a modelului dinamic al unui
sistem și a modalit ăŃii de ob Ńinere pentru exemple simple
• Cunoa șterea etapelor necesare ob Ńinerii modelului
dinamic al unui corp rigid într-un plan
• Însu șirea expresiei generale a modelului dinamic al unui
corp rigid într-un plan
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 39 pentru eviden Ńierea evolu Ńiei sale, utilizând tehnica de calcul.
În continuare vor fi analizate dou ă sisteme simple care s ă exemplifice modalitatea de
ob Ńinere a modelului de stare, plecându-se de la ecua Ńiile ce descriu func Ńionarea acestora.
3.1.1. Motorul de curent continuu
Considerând un motor de curent continuu cu excita Ńie separat ă, Fig. 3.1, acesta poate fi
comandat atât prin intermediul curentului statoric (de excita Ńie) ie, cât și prin intermediul
curentului rotoric (din indus) Ia [2].
Ecua Ńia ce descrie comportarea dinamic ă a circuitului de excita Ńie, caracterizat de
rezisten Ńa Re și inductivitatea Le este
e
e e e e di u R i L dt = ⋅ + , (3.3)
ue fiind tensiunea de comand ă.
Cuplul dezvoltat de motor este determinat de produs ul dintre fluxul de excita Ńie
eK i Φ= ⋅ (3.4)
și curentul din indus Ia:
e a M K i I = ⋅ ⋅ . (3.5)
S-a avut în vedere, ca ipotez ă simplificatoare, c ă circuitul magnetic de excita Ńie lucreaz ă
în por Ńiunea liniar ă a curbei de magnetizare, respectiv nesaturat, ceea ce face ca între curentul
de excita Ńie ie și fluxul determinat de acesta Φ, s ă existe rela Ńia liniar ă (3.4).
Considerând ca variabil ă mecanic ă pozi Ńia rotorului θ, ecua Ńia general ă a mi șcării este
2
2 sd d J B M M dt dt θ θ + + = , (3.6)
în care:
– J – momentul de iner Ńie total la arborele motorului [kgm 2];
– B – coeficientul frec ărilor vâscoase [Ns];
– Ms – cuplul static total la arborele motorului [N]. Fig. 3.1 Motorul de curent continuu Ia
ue ie θ M Re Le Ms
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 40 Considerând ca variabile de stare
1
2
3,
,
,ex
x
x i =θ
=θ
=&
iar ca m ărimi de intrare
1
2
3,
,
,e
a
su u
u I
u M =
=
=
ecua Ńiile (3.3) și (3.6), Ńinând cont de (3.5), devin:
1 3 3 e e u R x L x = ⋅ + ⋅ &, (3.7)
2 2 3 3 2 J x B x u K x u ⋅ + ⋅ + = ⋅ ⋅ & . (3.8)
Explicitând acum derivatele în raport cu timpul a v ariabilelor de stare, rezult ă modelul
de stare al motorului de curent continuu comandat p rin înf ăș urarea de excita Ńie:
1 2
2 2 3 2 3
e
3 3 1 1
e e x x
B K x x x u u J J
Rx x u L L =
=− + −
=− + &
&
&. (3.9)
3.1.2. Cuptor din industria sticlei
Se consider ă un cuptor, construit din c ărămid ă refractar ă, în care se tope ște un amestec
de nisip și al Ńi aditivi pentru ob Ńinerea sticlei, Fig. 3.2.
Aceast ă fuziune se ob Ńine printr-un aport energetic, provenit de la arz ătoarele cu gaz
dispuse la interiorul cuptorului. Sticla topit ă este evacuat ă constant din cuptor, pentru a
alimenta instala Ńiile din aval de cuptor.
Se vor face urm ătoarele ipoteze simplificatoare:
/checkbld temperatura sticlei topite din cuptor este omogen ă;
/checkbld cuptorul este izolat termic perfect.
În aceste condi Ńii, se pot scrie dou ă ecua Ńii, una corespunz ătoare conserv ării masei,
cealalt ă de bilan Ń energetic. Se poate scrie c ă varia Ńia masei sau a energiei, în unitatea de timp,
este egal ă cu suma intr ărilor (de mas ă sau de energie) în sistem minus suma ie șirilor din
sistem, în aceea și unitate de timp:
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 41
in out dm q q dt = − , (3.10)
( )in T in T in in T out dc T m W c T q c T q dt ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ , (3.11)
unde:
– m – masa de sticl ă din cuptor [kg];
– T – temperatura sticlei din cuptor [K];
– Tin – temperatura materiei prime [K];
– cT – c ăldura specific ă a sticlei [J/kgK];
– cTin – c ăldura specific ă a materiei prime [J/kgK];
– Win – energia cedat ă de arz ătoare în unitate de timp [J/s];
– qin – debitul masic de materie prim ă introdus ă în unitate de timp [kg/s];
– qout – debitul masic de sticl ă extras ă în unitate de timp [kg/s].
Coeren Ńa unit ăŃilor de m ăsur ă a ecua Ńiilor este prima și cea mai simpl ă verificare ce
trebuie f ăcut ă la elaborarea modelului matematic al unui sistem.
Pentru a pune modelul matematic descris de ecua Ńiile (3.10) și (3.11) sub forma
ecua Ńiilor de stare, se vor considera ca variabile de st are masa de sticl ă din cuptor și energia
termic ă înmagazinat ă de unitatea de mas ă a sticlei din cuptor,
1
2,
,Tx m
x c T =
= ⋅
iar ca variabile de intrare
1
2
3,
,
.in
out
in u q
u q
u W =
=
=
Cu nota Ńiile de mai sus, ecua Ńiile (3.10) și (3.11) devin: Fig. 3.2 Cuptor pentru sticl ă Arz ătoare
Materie
prim ă
Ie șire
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 42 1 1 2 x u u = − & , (3.12)
( )1 2 3 1 2 2 in T in dx x u c T u x u dt ⋅ = + ⋅ ⋅ − ⋅ . (3.13)
Notând energia termic ă con Ńinut ă de unitatea de mas ă a materiei prime introduse în cuptor
in T in c T α= ⋅
și Ńinând cont c ă
( )1 2 1 2 1 2 dx x x x x x dt ⋅ = ⋅ + ⋅ & & ,
ecua Ńia de bilan Ń energetic (3.13) devine
()1 2 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 2 x x x x u u x x x u u x u ⋅ + ⋅ = − ⋅ + ⋅ = +α⋅ − ⋅ & & & .
Explicitând acum din ecua Ńia de mai sus derivata în raport cu timpul a variab ilei de stare
x2, Ńinând cont de (3.12), se ob Ńine modelul dinamic al cuptorului de sticl ă, sub forma
ecua Ńiilor de stare:
( )1 1 2
1 2 3
2
1x u u
u x u xx= −
α− + =&
&. (3.14)
În final se face observa Ńia c ă alegerea variabilelor de stare, pentru un anumit s istem, nu
este unic ă, respectiv modelul unui sistem, sub forma ecua Ńiilor de stare, nu este unic, iar
complexitatea modelelor depinde de scopul propus, a șa cum se va ar ăta în continuare.
De re Ńinut !
Forma general ă a modelelor dinamice ale sistemelor.
Modelele dinamice se ob Ńin aplicând legile fizice specifice sistemului
studiat.
Omogenitatea rela Ńiilor scrise este o prim ă form ă de verificare a
corectitudinii acestora.
Test de autoevaluare 3.1
Scrie Ńi forma general ă a modelului dinamic al unui sistem.
Scrie Ńi ecua Ńiile ini Ńiale ale modelului motorului de c.c. comandat în
excita Ńie.
Scrie Ńi legile de bilan Ń ce caracterizeaz ă cuptorul din industria sticlei.
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 43 3.2. Dinamica corpurilor rigide într-un plan
În cadrul acestui capitol se va prezenta și exemplifica algoritmul ce trebuie urmat pentru
ob Ńinerea modelului de stare al corpurilor rigide sing ulare. Pentru simplificarea nota Ńiilor și a
calculelor, ne vom limita la stabilirea ecua Ńiilor de mi șcare în spa Ńiul bidimensional (în plan).
Extensia la cazul unei mi șcări tridimensionale este, principial, simpl ă.
Se va considera un corp rigid, Fig. 3.3, ce se depl aseaz ă într-un plan, în care se fixeaz ă
un sistem de coordonate iner Ńial ( XbOY b).
Corpului, respectiv centrului s ău de greutate G, i se ata șeaz ă sistemul de coordonate
(XmGY m). Pozi Ńia corpului este determinat ă în mod univoc în sistemul de coordonate ( XbOY b),
de cele trei coordonate xG, y G și θ:
– xG, y G – coordonatele carteziene ale centrului de greutat e G, în raport cu sistemul de
coordonate fix ( XbOY b);
– θ – orientarea sistemului de coordonate ( XmGY m), fa Ńă de sistemul de referin Ńă fix
(XbOY b).
Se face observa Ńia c ă aici, nota Ńia „ xG” nu desemneaz ă o variabil ă de stare, ci
coordonata centrului de greutate G, pe axa OX b a sistemului iner Ńial (XbOY b).
Pozi Ńia corpului este deci, caracterizat ă de vectorul cu trei componente:
[ ]G
Gx
q y
=
θ . (3.15)
Aplicarea legii lui Newton pentru fiecare din cele trei coordonate conduce la
urm ătoarele ecua Ńii generale de mi șcare: Fig. 3.3 Coordonatele unui corp rigid într-un plan Xb Yb
O Xm Ym
G θ
xG yG
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 44 /checkbld ecua Ńiile de transla Ńie a centrului de greutate:
G x m x F ⋅ = && , (3.16)
G y m y F ⋅ = && ; (3.17)
/checkbld ecua Ńia de rota Ńie a corpului în jurul centrului s ău de greutate:
I M ⋅θ= && , (3.18)
în care:
– m – masa corpului;
– I – momentul de iner Ńie fa Ńă de centrul s ău de greutate;
– Fx, F y – proiec Ńiile dup ă axele OX b, respectiv OY b, ale rezultantei for Ńelor aplicate
corpului;
– M – suma cuplurilor for Ńelor aplicate corpului, raportate la centrul de gre utate.
Aceste ecua Ńii generale de mi șcare reprezint ă descrierea fenomenelor aferente evolu Ńiei
corpului și constituie baza pentru stabilirea modelului de stare al acestuia. În continuare, se va
considera un exemplu simplu, pentru care se vor par ticulariza concret ecua Ńiile (3.16)-(3.18),
urmând apoi, dup ă alegerea variabilelor de stare, s ă se ob Ńin ă modelul de stare .
3.2.1. Exemplu: modelarea dinamicii unei rachete
Se consider ă o rachet ă de mas ă m, Fig. 3.4, ce se deplaseaz ă într-un plan perpendicular
pământului. Racheta este propulsat ă de dou ă motoare cu reac Ńie, dispuse simetric fa Ńă de
corpul rachetei, ce dezvolt ă for Ńele de propulsie F1 și F2.
Ca ipoteze simplificatoare, se consider ă c ă racheta constituie un corp rigid, de mas ă Fig.3.4 Modelarea dinamicii unei rachete Xb Yb F1
F2 Xm Ym
G
d α θ
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 45 constant ă, iar spa Ńiul în care se deplaseaz ă este suficient de restrâns încât s ă se poat ă considera
că accelera Ńia gravita Ńional ă g este constant ă.
Particularizarea ecua Ńiilor (3.16) și (3.17), ce descriu transla Ńia centrului de greutate al
rachetei, conduce la:
()1 2 cos G x m x F F F ⋅ = = + ⋅ θ && , (3.19)
()1 2 sin G y m y F F F m g ⋅ = = + ⋅ θ− ⋅ && , (3.20)
Ecua Ńia de rota Ńie a corpului în jurul centrului s ău de greutate (3.18), devine:
()2 1 sin I M F F d ⋅θ= = − ⋅ ⋅ α && . (3.21)
Pentru caracterizarea complet ă a comport ării sistemului considerat trebuiesc considerate
ca variabile de stare, pe de o parte, cele trei coo rdonate ale centrului de greutate, în sistemul
iner Ńial. Pe de alt ă parte, Ńinând cont c ă în ecua Ńiile (3.19)-(3.21) apar derivatele de ordinul al
doilea ale coordonatelor în raport cu timpul, pentr u construirea modelului de stare sub forma
(3.1), trebuiesc considerate ca variabile de stare și derivatele de ordinul întâi ale acestora.
Astfel, vectorul variabilelor de stare va fi:
[ ]1
2
3
4
5
6G
G
G
Gxx
xy
xxxx
xy
x
θ= =
θ &
&
&. (3.22)
Evolu Ńia sistemului studiat, fiind determinat ă univoc de valorile for Ńelor de propulsie ale
celor dou ă motoare, vectorul variabilelor de intrare va fi co nsiderat:
[ ]1 1
2 2 u F uu F = = . (3.23)
Cu nota Ńiile (3.22) și (3.23), ecua Ńiile (3.19)-(3.21) devin:
()4 1 2 3 cos xm x F u u x ⋅ = = + ⋅ & , (3.24)
()5 1 2 3 sin ym x F u u x m g ⋅ = = + ⋅ − ⋅ & , (3.25)
()6 2 1 sin I x M u u d ⋅ = = − ⋅ ⋅ α & . (3.26)
Modelul sub forma ecua Ńiilor de stare se ob Ńine prin explicitarea derivatele variabilelor
de stare din (3.24)-(3.26) și Ńinând cont de definirea vectorului m ărimilor de stare (3.22).
Rezult ă astfel:
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 46 1 4 x x =&
2 5 x x =&
3 6 x x =&
( )3
4 1 2 cos xx u u m= + &
( )3
5 1 2 sin xx g u u m=− + + &
( ) 6 2 1 sin dx u u I⋅ α = − & .
Modelul ob Ńinut pentru exemplul considerat este neliniar în ra port cu variabilele de
stare, dar liniar în raport cu variabilele de intra re. Este situa Ńia cea mai frecvent întâlnit ă în
majoritatea aplica Ńiilor. În aceste situa Ńii, ecua Ńiile de transla Ńie și de rota Ńie ce descriu
dinamica sistemului, se pot scrie sub forma matrice al ă general ă:
[][][]()[]()[] J q g q b q u ⋅ + = ⋅ && , (3.27)
în care:
– [J] – matricea (diagonal ă și constant ă) de iner Ńie;
– [g([q])] – matrice ale c ărei elemente depind de efectele gravita Ńiei;
– [b([q])] – matrice (numit ă cinematic ă) ce depinde neliniar de componentele vectorului
coordonatelor [ q].
Modelul de stare rezultat poate fi scris sub forma general ă:
[][]q v =&, (3.28)
[ ] [ ] [ ] ()[ ]()[ ] { }1v J g q b q u − = ⋅ − + ⋅ & , (3.29)
în care [v] este vectorul de viteze generalizate , iar vectorul [ q] are drept componente, doar
coordonatele corpului.
Starea sistemului va fi descris ă îns ă de ecua Ńia de stare rezultat ă din concatenarea
ecua Ńiilor (3.28) și (3.29)
[ ][ ]
[ ][]
[ ] [ ] ( ) [ ]( )[ ] { }1v qxvJ g q b q u − = = ⋅ − + ⋅ &&&, (3.30)
ce reprezint ă forma particular ă a modelului general (3.1).
Pentru sistemul considerat, forma particular ă a ecua Ńiei (3.27) rezult ă direct din ecua Ńiile
de mi șcare (3.19)-(3.21):
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 47 1
20 0 0 cos cos
0 0 sin sin
0 0 0 sin sin G
Gm x Fm y m g FI d d θ θ ⋅ + ⋅ = θ θ ⋅ θ − ⋅ α ⋅ α &&
&&
&& ,
matricele [ J], [ g([ q])] și [ b([ q])] putând fi identificate imediat.
Rezult ă simplu:
[ ]
1
210 0
0 cos cos
10 0 sin sin
0 sin sin 10 0 x
yG
G
x
yv
vx
y
xmvFv m g F md d
I
ω
θ = = θ θ ⋅ − ⋅ + θ θ ⋅ ω − ⋅ α ⋅ α
&
&
&
&
&
&
&
,
ce reprezint ă forma concret ă a modelului general descris de (3.30).
O situa Ńie particular ă este cea în care suma (rezultanta) for Ńelor aplicate unui corp este
nul ă, dar for Ńele nu sunt aplicate în acela și punct. În acest caz ecua Ńiile de mi șcare se scriu:
0Gm x ⋅ = && ,
0Gm y ⋅ = && ,
I M ⋅θ= && .
În aceast ă situa Ńie, de obicei, nu se mai eviden Ńiaz ă for Ńele ce produc cuplul M, ci doar
cuplul ca și cauz ă a mi șcării. Este cazul, spre exemplu, al unui bra Ń de robot manipulator, în
cazul c ăruia mi șcarea va fi produs ă de cuplul furnizat de un motor, sau al ma șinilor electrice
rotative.
De re Ńinut !
Fixarea referen Ńialului iner Ńial și coordonatele ce descriu pozi Ńia unui
corp rigid într-un plan.
Ecua Ńiile ini Ńiale ale modelului dinamic al unui corp rigid într- un plan.
Forma matriceal ă general ă a modelului matematic al unui corp rigid într-
un plan (3.27) și semnifica Ńia termenilor.
3. Sisteme dinamice și modele de stare. Dinamica corpurilor rigide într- un plan
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 48
Test de autoevaluare 3.2
Scrie Ńi expresiile legii lui Newton pentru cele trei coor donate ale unui
corp rigid într-un plan și semnifica Ńia mărimilor ce intervin.
Scrie Ńi expresiile legii lui Newton pentru cele trei coor donate ale
rachetei.
Scrie Ńi forma matriceal ă general ă a modelului matematic al unui corp
rigid într-un plan și semnifica Ńia termenilor.
Lucrare de verificare la Unitatea de înv ăŃare 3
Scrie Ńi forma general ă a modelului dinamic al unui sistem. Ob Ńine Ńi
modelul dinamic sub forma ecua Ńiilor de stare pentru unul din
sistemele: motor de c.c., cuptor din industria stic lei.
Descrie Ńi modul de ob Ńinere a modelului dinamic al unui corp rigid
într-un plan. Aplica Ńi metodologia pentru a ob Ńine modelul dinamic
al unei rachete.
Concluzii
Modelul dinamic al unui sistem reprezint ă sistemul de ecua Ńii ob Ńinut
prin explicitarea derivatelor variabilelor de stare din ecua Ńiile ce
descriu comportarea sistemului. Aceste ecua Ńii sunt în fapt
exprimarea matematic ă a legilor fizice ce guverneaz ă func Ńionarea
sistemului studiat.
În ob Ńinerea modelului unui sistem trebuie luate în consi derare ipoteze
simplificatoare care permit ă ob Ńinerea unor modele simple și
aplicabile, dar care s ă nu afecteze major credibilitatea rezultatelor.
Bibliografie
1. Sergiu IVANOV, Modelare și simulare – sisteme electromecanice
și procese de mediu , Editura UNIVERSITARIA Craiova, ISBN
978-973-742-626-0, 2007.
2. Bastin, G.; Wertz, V. – Modélisation et analyse des systèmes
dynamiques . Curs. Universitatea Catolic ă Louvain-la-Neuve.
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 49
Unitatea de înv ăŃare nr. 4
MODELAREA SISTEMELOR MECANICE
ARTICULATE
Cuprins Pagina
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 4 50
4.1. Dinamica sistemelor mecanice articulate 50
4.1.1. Algoritmul general de ob Ńinere a modelului dinamic al
unui sistem mecanic articulat 50
4.1.2. Exemplu: modelul dinamic al unui bra Ń manipulator
(complementar, în Anex ă) 55
Test de autoevaluare 4.1 55
4.2. Modelarea articula Ńiilor elastice 56
4.3. Modelarea frec ărilor 59
Test de autoevaluare 4.2 60
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 4 61
Concluzii 61
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 4 61
ANEX Ă: Exemplu: modelul dinamic al unui bra Ń manipulator 62
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 50 OBIECTIVELE unit ăŃii de înv ăŃare nr. 4
Principalele obiective ale Unit ăŃii de înv ăŃare nr. 4 sunt:
În cadrul acestei unit ăŃi de înv ăŃare se va prezenta și exemplifica algoritmul ce trebuie
urmat pentru ob Ńinerea modelului de stare al sistemelor mecanice fo rmate din ansambluri de
corpuri rigide, legate între ele prin articula Ńii. Ini Ńial, articula Ńiile for fi considerate perfecte
(f ără jocuri și frec ări), pentru a se indica apoi metode prin care se po t modela jocurile și
frec ările în articula Ńii.
4.1. Dinamica sistemelor mecanice articulate
În aceast ă unitate de înv ăŃare se va prezenta mai întâi algoritmul general de ob Ńinere a
modelului dinamic al unui sistem de corpuri articul ate, pentru care exist ă restric Ńii de mi șcare
impuse de articula Ńii [2]. Mi șcarea sistemului articulat se va presupune a fi înt r-un plan
(fiecare dintre corpurile componente are, cel mult, trei grade de libertate). Algoritmul ob Ńinut
va fi apoi aplicat unui exemplu simplu.
4.1.1. Algoritmul general de ob Ńinere a modelului dinamic al unui sistem
mecanic articulat
Se va considera un sistem mecanic articulat, compus din N corpuri. Procedura general ă
de ob Ńinere a modelului, sub forma ecua Ńiilor de stare, const ă în parcurgerea urm ătoarelor
patru etape:
1. Definirea coordonatelor, prin stabilirea unui si stem de referin Ńă iner Ńial în spa Ńiul
celor N referen Ńiale mobile. Acestea la rândul lor sunt fixate cen trelor de greutate ale
celor N corpuri ale sistemului;
2. Scrierea ecua Ńiilor ce descriu restric Ńiile de mi șcare și de leg ături, la care este supus
sistemul. Va rezulta num ărul de grade de libertate ale sistemului; • Cunoa șterea algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al sistemelor mecanice articulate
• Aplicarea algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al sistemelor mecanice articulate
• Cunoa șterea modului de modelare a articula Ńiilor elastice
și a frec ărilor în sistemele mecanice articulate
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 51 3. Scrierea ecua Ńiilor de mi șcare (transla Ńie și rota Ńie) de tipul (3.27), pentru fiecare
dintre coordonate, în membrul drept incluzându-se î ns ă și for Ńele de leg ătur ă
corespunz ătoare restric Ńiilor (metoda coeficien Ńilor lui Lagrange );
4. Eliminarea coeficien Ńilor lui Lagrange și a coordonatelor redundante .
În continuare se va detalia procedura enun Ńat ă, identificându-se conceptele noi (grade de
libertate, coeficien Ńii lui Lagrange, coordonate redundante). Algoritmul ob Ńinut va fi apoi
aplicat unui exemplu tipic, respectiv pentru ob Ńinerea modelului dinamic al unui bra Ń
manipulator cu dou ă grade de libertate (complementar, în Anex ă).
1. Definirea coordonatelor
În spa Ńiul Ω al sistemului format din N corpuri, se fixeaz ă un sistem de referin Ńă iner Ńial.
Fiec ărui corp (centrului s ău de greutate) îi este ata șat câte un sistem de referin Ńă mobil. La
orice moment de timp, sistemul de N corpuri este caracterizat de vectorul de coordonat e:
[][ ]T
1 1 1 2 2 2 N N N q x y x y x y = θ θ θ K ,
de dimensiune 3N .
Datorit ă restric Ńiilor de mi șcare și a celor impuse de articula Ńii, nu toate aceste
coordonate se vor reg ăsi în final în modelul dinamic.
2. Exprimarea restric Ńiilor de mi șcare
Mi șcarea unui sistem mecanic articulat poate fi supus ă la dou ă tipuri de restric Ńii,
denumite restric Ńii geometrice și anume:
/checkbld restric Ńii de parcurs , determinate de existen Ńa unor ghidaje;
/checkbld restric Ńii datorate articula Ńiilor dintre corpuri.
Aceste restric Ńii pot fi exprimate sub forma unui ansamblu de rela Ńii algebrice între
coordonate:
[]()0qΨ = , (4.1)
Ψ fiind o aplica Ńie definit ă în spa Ńiul Ω, de dimensiune 3N , având num ărul de componente ( p),
egal cu cel al restric Ńiilor sistemului. Simbolic se noteaz ă Ψ:Ω → ℜp.
Conform teoremei func Ńiilor implicite, în vecin ătatea oric ărui punct q al spa Ńiului Ω,
exist ă o parti Ńie a vectorului de coordonate
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 52 [ ][]
[ ]xqx =
,
în care [ x] este vectorul coordonatelor independente, iar []x cel al coordonatelor redundante.
Aceast ă parti Ńie îndepline ște condi Ńiile:
/head2right dimensiunea vectorului coordonatelor redundante []x, notat ă cu ρ, este egal ă cu
rangul matricei Jacobiene a aplica Ńiei Ψ,
[ ]( )dim rang D
xq ∂Ψ ρ= = ∂ ; (4.2)
/head2right coordonatele redundante []x, pot fi exprimate în func Ńie de coordonatele
independente [ x],
[][]() x x = Φ . (4.3)
Pentru eliminarea din descrierea sistemului a coord onatelor redundante []x, se poate
utiliza rela Ńia (4.3).
Dimensiunea vectorului [ x], al coordonatelor ce vor fi conservate, reprezint ă num ărul de
grade de libertate ale sistemului, notate cu δ:
3Nδ= −ρ .
Num ărul ecua Ńiilor independente ce vor descrie comportarea dinam ic ă a sistemului
mecanic cu articula Ńii, va fi egal cu num ărul gradelor de libertate δ.
3. Ecua Ńiile de mi șcare
Pentru fiecare corp, se vor scrie ecua Ńiile de mi șcare de tipul (3.27), incluzându-se îns ă
în membrul drept, al ături de termenul determinat de vectorul m ărimilor de intrare, for Ńele de
leg ătur ă corespunz ătoare restric Ńiilor.
Deoarece nu toate coordonatele sunt independente, p arti Ńia de coordonate [][],x x , va
determina o parti Ńie similar ă în ansamblul ecua Ńiilor de mi șcare:
[ ] [ ] [ ] [ ]()[ ][ ]()[ ] [ ] , , J x g x x b x x u r ⋅ + = ⋅ + && , (4.4)
[ ][ ]()[ ][ ]()[ ][ ] , , J x g x x b x x u r ⋅ + = ⋅ + && . (4.5)
În ecua Ńiile (4.4) și (4.5), vectorii []r și []r reprezint ă restric Ńiile, respectiv for Ńele de
legătur ă ce garanteaz ă respectarea în orice moment a acestora.
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 53 În mecanica teoretic ă se demonstreaz ă [3] că for Ńele de leg ătur ă se exprim ă:
[][]()[] r A x =− ⋅ λ , (4.6)
[][]r= λ , (4.7)
în care [ λ] este vectorul coeficien Ńilor lui Lagrange (de dimensiune ρ), iar [ A([x])] este
matricea, de dimensiune xδ ρ definit ă ca:
[ ]( )[ ]T
A x x ∂ Φ = ∂ . (4.8)
4. Eliminarea coordonatelor redundante
łinând cont de (4.7), din (4.5), se exprim ă [ λ]:
[ ] [ ][ ]()[ ][ ]()[ ] , , J x g x x b x x u λ = ⋅ + − ⋅ && .
Înlocuind expresia ob Ńinut ă în (4.6), rezult ă vectorul for Ńelor de leg ătur ă [ r]:
[ ] [ ]( ) [ ][ ]()[ ][ ]()[ ] { } , , r A x J x g x x b x x u =− ⋅ ⋅ + − ⋅ && ,
care înlocuit în (4.4) conduce la:
[][]() ()()() ()()
( )( ) ( ) ( )( ) { } [ ], ,
, , J x A x J x g x x A x g x x
b x x A x b x x u + + Φ + Φ =
= Φ + Φ && &&
. (4.9)
În (4.9), pentru simplitatea scrierii, s-a renun Ńat la scrierea între paranteze drepte a
vectorilor și matricelor și s-a Ńinut cont de exprimarea vectorului coordonatelor re dundante
[]x în func Ńie de cele independente, descris ă de (4.3).
Ecua Ńia (4.9) va reprezenta modelul dinamic al sistemulu i cu articula Ńii, doar dup ă ce va
fi eliminat vectorul derivatelor de ordinul doi în raport cu timpul, al coordonatelor redundante
x && .
Pentru aceasta, se va deriva de dou ă ori în raport cu timpul expresia (4.3), Ńinându-se
cont de (4.8):
[][ ] [ ]( )[ ]Tx x A x x x ∂ Φ = ⋅ = ⋅ ∂ & & & ,
[ ]( )[ ] [ ]( )[ ]T T x A x x A x x = ⋅ + ⋅ & && && & . (4.10)
Înlocuind acum (4.10) în (4.9) rezult ă
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 54 [ ]( ) ( ) { }[ ]( ) ( )[ ]
( )( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )( ) { } [ ]T T
, ,
, , J A x J A x x A x J A x x
g x x A x g x x
b x x A x b x x u + ⋅ + ⋅ +
+ Φ + Φ =
= Φ + Φ & && &
Se noteaz ă:
[ ]( )[ ] [ ]( ) [ ]( )TM x J A x J A x = + ⋅ ⋅ ,
[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )[ ]T,f x x A x J A x x = ⋅ ⋅ ⋅ & & & ,
[ ]()[ ] [ ]()( )[ ]()[ ] [ ]()( ) , , G x g x x A x g x x = Φ + ⋅ Φ ,
[ ]()[ ] [ ]()( )[ ]()[ ] [ ]()( ) , , B x b x x A x b x x = Φ + ⋅ Φ ,
rezultând astfel în final modelul dinamic general a l unui sistem mecanic articulat:
[]()[][][]()[]()[]()[] , M x x f x x G x B x u ⋅ + + = ⋅ && & . (4.11)
În aceast ă ecua Ńie, semnifica Ńia m ărimilor este urm ătoarea:
/head2right [x] – vectorul, de dimensiune δ, al coordonatelor independente, necesare
descrierii sistemului;
/head2right []()M x – matricea de iner Ńie, de dimensiune δxδ, simetric ă și pozitiv definit ă;
/head2right [][](),f x x & – vectorul, de dimensiune δ, ce reprezint ă for Ńele și cuplurile rezultate din
leg ăturile corespunz ătoare restric Ńiilor. Acest vector se mai poate scrie:
[][]()[][]()[] , , f x x H x x x = ⋅ & & & ,
unde matricea [][](),H x x &, de dimensiune δxδ este
[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )T,H x x A x J A x = ⋅ ⋅ & & , fiind
matricea de impuls;
/head2right []()G x – vectorul, de dimensiune δ, ce reprezint ă for Ńele și cuplurile rezultate
datorit ă gravita Ńiei;
/head2right [u] – vectorul, de dimensiune m, al stimulilor externi, respectiv al for Ńelor și
cuplurilor aplicate sistemului;
/head2right []()B x – matrice cinematic ă, de dimensiune δxm.
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 55 Pe baza modelului dinamic descris de (4.11), se ob Ńine în final modelul dinamic sub
forma ecua Ńiilor de stare (modelul de stare) al sistemelor art iculate, în exprimarea general ă de
tipul (3.30):
[][]x v =&, (4.12)
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )[ ] { }1, x v M x f x v G x B x u − = = ⋅ − − + ⋅ && & . (4.13)
4.1.2. Exemplu: modelul dinamic al unui bra Ń manipulator
În Anex ă, complementar.
Test de autoevaluare 4.1
Enumera Ńi etapele algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al unui sistem mecanic articulat.
Scrie Ńi expresia modelului dinamic general al unui sistem mecanic
articulat cu specificarea semnifica Ńiei termenilor. De re Ńinut !
Etapele algoritmului general de ob Ńinere a modelului dinamic al unui
sistem mecanic articulat.
Tipurile de restric Ńii.
Consecin Ńele restric Ńiilor asupra num ărului de grade de libertate și
num ărul ecua Ńiilor independente ce descriu sistemul.
Expresia modelului dinamic general al unui sistem m ecanic articulat
(4.11).
Lucrare de laborator 3
În cadrul lucr ării de laborator nr. 3 – SIMULAREA UNUI BRA ł
MANIPULATOR , se va realiza și utiliza modelul Matlab-Simulink al
unui bra Ń manipulator. Se va urm ări evolu Ńia sistemului la modific ările
parametrilor acestuia și ale stimulilor externi (for Ńe, cupluri).
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 56 4.2. Modelarea articula Ńiilor elastice
În §4.1 a fost descris algoritmul general de ob Ńinere a modelului de stare al sistemelor
mecanice articulate, formate din corpuri rigide, f ără flexibilitate sau suple Ńe în leg ături și
articula Ńii. În multe situa Ńii (aplica Ńii), o astfel de ipotez ă nu este realist ă.
O manier ă simpl ă de introducere a elasticit ăŃii (suple Ńei) în articula Ńiile unui sistem
mecanic articulat const ă în plasarea unui resort (fictiv) de mas ă nul ă, în leg ăturile dintre
corpuri, ca în Fig. 4.1. Acest resort exercit ă o for Ńă de trac Ńiune asupra fiec ăruia din cele dou ă
corpuri de care este fixat. Aceast ă for Ńă se aplic ă în punctul de fixare a resortului, fiind
monoton cresc ătoare în funcŃie de elonga Ńia resortului. Aceast ă for Ńă elastic ă se adaug ă
celorlalte for Ńe aplicate sistemului.
Deoarece elasticitatea este introdus ă în articula Ńia dintre dou ă corpuri ale sistemului,
este evident c ă, pentru articula Ńia respectiv ă, restric Ńiile de leg ătur ă (de articula Ńie) dispar, iar
în consecin Ńă , num ărul gradelor de libertate cre ște.
În continuare, se va exemplifica modalitatea de ame liorare a modelului dinamic general
al unui sistem mecanic articulat (4.11), luându-se în considerare elasticitatea cuplajelor, prin
considerarea unui sistem simplu, format din dou ă corpuri.
Centrului de greutate al fiec ărui corp i se asociaz ă câte un sistem de referin Ńă ( XiOiYi),
ambele corpuri fiind situate în sistemul de referin Ńă iner Ńial ( XbOY b), ca în Fig.4.1.
Fiind cunoscute distan Ńele d1 și d2 dintre centrele de greutate ale corpurilor și punctele
corespunz ătoare de fixare ale resortului, ecua Ńiile de mi șcare (3.16)-(3.18) ale celor dou ă
corpuri sunt:
1 1 x m x F ⋅ = && , (4.14)
1 1 y m y F ⋅ = && , (4.15)
1 1 1 1 1 1 cos sin y x I F d F d ⋅θ = ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ && , (4.16) Fig. 4.1 Modelarea unei articula Ńii elastice Xb Yb
O θ1
x1 y2
X1 X2
d1 y1
x2 θ2
d2
Y1 Y2
O1 O2
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 57 2 2 x m x F ⋅ =− && , (4.17)
2 2 y m y F ⋅ =− && , (4.18)
2 2 2 2 2 2 sin cos x y I F d F d ⋅θ = ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ && , (4.19)
în care Fx și Fy sunt componentele, dup ă axele sistemului iner Ńial ( XbOY b), ale for Ńei de
trac Ńiune datorate resortului, aplicate corpului de mas ă m1.
Aceast ă for Ńă depinde de elonga Ńia resortului, care, la rândul s ău poate fi exprimat ă în
func Ńie de coordonatele carteziene, în sistemul de refer in Ńă iner Ńial ( XbOY b), ale punctelor de
fixare a resortului pe cele dou ă corpuri, ce pot fi exprimate la rândul lor în rapo rt cu
coordonatele centrelor de greutate ale corpurilor:
1 1 1 1 cos x x d = + ⋅ θ % , (4.20)
1 1 1 1 sin y y d = + ⋅ θ % , (4.21)
2 2 2 2 cos x x d = − ⋅ θ % , (4.22)
2 2 2 2 sin y y d = − ⋅ θ % . (4.23)
În func Ńie de acestea, poate fi definit ă elonga Ńia resortului, dup ă fiecare din cele dou ă
axe ale sistemului iner Ńial ( XbOY b), rezultând componentele:
2 1 xl x x Δ = − % % ,
2 1 yl y y Δ = − % % .
Componentele for Ńei de trac Ńiune datorate resortului, Fx și Fy, pot fi estimate ca func Ńii
monoton cresc ătoare, în func Ńie de elonga Ńie (Fig. 4.2):
()x x F r l = Δ ,
() y y F r l = Δ .
Fig. 4.2 For Ńa de trac Ńiune a unui resort în func Ńie de elonga Ńie F
Δl
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 58 Frecvent, pentru simplificarea modelului, se consid er ă doar porŃiunea liniar ă a func Ńiei
r(Δl), respectiv
()0 2 1 xF k x x = ⋅ − % % ,
()0 2 1 yF k y y = ⋅ − % % ,
în care k0 este constanta de elasticitate a resortului.
łinând cont de exprim ările (4.20)-(4.23) ale coordonatelor punctelor de f ixare a
resortului pe cele dou ă corpuri, componentele for Ńei de trac Ńiune devin
()( ) ( ) 0 2 1 1 1 2 2 cos cos xF k x x d d = ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ , (4.24)
()( ) ( ) 0 2 1 1 1 2 2 sin sin yF k y y d d = ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ . (4.25)
Înlocuind expresiile componentelor for Ńei elastice (4.24) și (4.25) în ecua Ńiile de mi șcare
(4.14)-(4.19), acestea devin:
()( ) ( ) 1 1 0 2 1 1 1 2 2 cos cos m x k x x d d ⋅ = ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ && , (4.26)
()( ) ( ) 1 1 0 2 1 1 1 2 2 sin sin m y k y y d d ⋅ = ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ && , (4.27)
( ) (
( ) )1 1 0 1 1 2 1 1 2 2 1
2 1 1 1 2 2 1 cos cos sin
sin sin cos I k d x x d d
y y d d ⋅θ = ⋅ ⋅ − + ⋅ θ + ⋅ θ ⋅ θ +
+ − − ⋅ θ − ⋅ θ ⋅ θ &&
, (4.28)
()( ) ( ) 2 2 0 2 1 1 1 2 2 cos cos m x k x x d d ⋅ =− ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ && , (4.29)
()( ) ( ) 2 2 0 2 1 1 1 2 2 sin sin m y k y y d d ⋅ =− ⋅ − − ⋅ θ + ⋅ θ && , (4.30)
( ) (
( ) )2 2 0 2 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 1 2 2 2 cos cos sin
sin sin cos I k d x x d d
y y d d ⋅θ = ⋅ ⋅ − − ⋅ θ − ⋅ θ ⋅ θ +
+ − + ⋅ θ + ⋅ θ ⋅ θ &&
. (4.31)
Rezult ă deci c ă, în cazul sistemelor mecanice articulate cu leg ături elastice, modelul
dinamic general exprimat de (4.11) va fi completat cu termenii (4.26)-(4.31). Condensat, se
poate scrie:
[]()[][][]()[]()[]()[]()[] , M x x f x x G x k x B x u ⋅ + + + = ⋅ && & , (4.32)
în care apare, suplimentar, termenul []()k x , ce reflect ă efectele for Ńelor elastice datorate
articula Ńiilor nerigide din sistem.
De re Ńinut !
Metoda de modelare a articula Ńilor cu jocuri sau flexibile.
Punctele de aplicare a for Ńelor elastice.
Expresia modelului dinamic general al sistemelor me canice articulate cu
leg ături elastice și semnifica Ńia termenilor.
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 59 4.3. Modelarea frec ărilor
Frec ările reprezint ă un alt fenomen fizic ce a fost neglijat ini Ńial, pentru ob Ńinerea
modelului dinamic general al sistemelor mecanice ar ticulate. Acestea au deseori efecte
importante asupra evolu Ńiei sistemelor mecanice. Efectele nu sunt neap ărat negative. Un
exemplu îl constituie chiar modelul bra Ńului manipulator, în cazul c ăruia orice modificare a
stimulilor externi fa Ńă de pozi Ńia de echilibru, determin ă mi șcări oscilatorii neamortizate ale
mecanismului. În realitate, frec ările ar face ca oscila Ńiile s ă se amortizeze.
Mai mult, pentru articula Ńiile elastice descrise mai sus, prezen Ńa unei amortiz ări prin
frec ări este indispensabil ă pentru a ob Ńine un model stabil. Neconsiderarea lor ar determin a
oscila Ńii permanente, neconforme unei situa Ńii reale.
Exist ă mai multe posibilit ăŃi de a lua în considerare frec ările, în descrierea unui sistem
mecanic articulat. Cea mai simpl ă dintre ele, const ă în a presupune c ă modificarea fiec ărei
coordonate xi a vectorului de coordonate generalizate independen te [x] = [x1 x2 … xδ]T, este
afectat ă de o for Ńă de frecare separat ă, ce nu depinde decât de viteza ix& a acestei coordonate,
notat ă ()i i h x &.
Vectorul acestor for Ńe de frec ări se noteaz ă
[ ]( )()
( )
( )1 1
2 2 h x
h x h x
h x δ δ
=
&
&&M
&, (4.33)
astfel c ă modelul dinamic general descris de (4.32) devine
()[]()()()()()[] , M x x f x x G x k x h x B x u ⋅ + + + + = ⋅ && & & . (4.34)
Cel mai frecvent, pentru func Ńiile ()i i h x & este utilizat modelul:
() ()()i i i i i i h x sign x x =α ⋅ +β & & & . (4.35)
În aceast ă expresie, primul termen corespunde frec ărilor uscate, iar al doilea termen
reprezint ă frec ările vâscoase. Coeficientul αi este constant iar func Ńia ()i i xβ& este monoton
cresc ătoare cu βi(0) = 0. În Fig. 4.3 sunt exemplificate dou ă posibile dependen Ńe, una liniar ă și
una parabolic ă.
Se face în final observa Ńia c ă func Ńiile ()i i h x & sunt discontinui în jurul originii (la vitez ă
nul ă), ceea ce ar putea determina dificult ăŃi în simularea sistemelor.
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 60
Fig. 4.3 Dependen Ńa tipic ă a func Ńiilor ()i i h x & ()i i h x &
()ix& αi
-αi
De re Ńinut !
Influen Ńele frec ărilor asupra comport ării sistemelor mecanice (pozitive și
negative).
Metoda de modelare a frec ărilor și componentele c ărora se aplic ă.
Expresia modelului dinamic general al sistemelor me canice articulate cu
leg ături elastice și frec ări, inclusiv semnifica Ńia termenilor.
Test de autoevaluare 4.2
Descrie Ńi metoda de modelare a articula Ńilor cu jocuri sau flexibile și
specifica Ńi punctele de aplicare a for Ńelor elastice.
Descrie Ńi metoda de modelare a frec ărilor și specifica Ńi forma general ă
a func Ńiilor ce descriu frec ările (inclusiv reprezentare grafic ă).
Scrie Ńi expresia modelului dinamic general al sistemelor mecanice
articulate cu leg ături elastice și frec ări, inclusiv semnifica Ńia
termenilor.
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 61
Lucrare de verificare la Unitatea de înv ăŃare 4
Descrie Ńi algoritmul general de ob Ńinere a modelului dinamic al unui
sistem mecanic articulat.
Descrie Ńi metoda de modelare a articula Ńilor cu jocuri sau flexibile și
specifica Ńi punctele de aplicare a for Ńelor elastice.
Descrie Ńi metoda de modelare a frec ărilor și specifica Ńi forma general ă
a func Ńiilor ce descriu frec ările (inclusiv reprezentare grafic ă).
Scrie Ńi expresia modelului dinamic general al unui sistem mecanic
articulat cu leg ături elastice și frec ări, inclusiv specificarea
semnifica Ńiei termenilor.
Concluzii
Modelul dinamic al unui sistem mecanic articulat co nst ă dintr-un
sistem de ecua Ńii independente. Num ărul acestora este egal cu
num ărul gradelor de libertate ale sistemului, ce rezult ă urmare a
consider ării restric Ńiilor de parcurs și de leg ături.
Luarea în considerare a jocurilor în articula Ńii (articula Ńii elastice) și a
frec ărilor amelioreaz ă fidelitatea modelului prin ad ăugarea unor
termeni suplimentari în modelul dinamic. Acesta dev ine astfel mai
complicat.
Bibliografie
1. Sergiu IVANOV, Modelare și simulare – sisteme electromecanice
și procese de mediu , Editura UNIVERSITARIA Craiova, ISBN
978-973-742-626-0, 2007.
2. Bastin, G.; Wertz, V. – Modélisation et analyse des systèmes
dynamiques . Curs. Universitatea Catolic ă Louvain-la-Neuve.
3. Voinea, R.; Voiculescu, D.; Simion, Fl. – Introducere în mecanica
solidului cu aplica Ńii în inginerie . Editura Academiei, Bucure ști,
1989.
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 62 ANEXA
Exemplu: modelul dinamic al unui bra Ń manipulator
Bra Ńul manipulator pentru care se dore ște ob Ńinerea modelului de stare este prezentat
schematic în Fig. 4.4.
În continuare vor fi parcurse etapele algoritmului general, enun Ńate în §4.1,
particularizate pentru sistemul considerat.
Robotul manipulator este format din dou ă segmente articulate între ele. Acest segment
poate realiza, sub ac Ńiunea for Ńei F, doar o mi șcare de transla Ńie pe direc Ńia axei OX b a
sistemului iner Ńial general ( XbOY b) asociat sistemului. Cel de al doilea poate execut a doar
o mi șcare de rota Ńie dup ă axa OZ b (perpendicular ă pe planul XbOY b), sub ac Ńiunea cuplului
motor M. În figur ă au fost notate:
– a – distan Ńa dintre centrul de greutate al primului segment și articula Ńia circular ă a
celor dou ă segmente;
– b – distan Ńa dintre centrul de greutate al celui de-al doilea segment și articula Ńia
circular ă a celor dou ă segmente;
– x1 – coordonata centrului de greutate al primului seg ment (datorit ă restric Ńiilor
introduse de ghidajului pe care culiseaz ă acest segment, y1, θ1 ≡ 0);
– x2, y 2 – coordonatele centrului de greutate al celui de-a l doilea segment;
– θ2 – pozi Ńia unghiular ă a celui de-al doilea segment fa Ńă de vertical ă.
Sistemul este supus urm ătoarelor restric Ńii:
/head2right Restric Ńii de parcurs datorate ghidajului pe care se deplas eaz ă primul segment:
10y≡; (4.36)
10θ ≡ ; (4.37) Fig. 4.4 Bra Ń manipulator Yb
Xb F
x1 a
x2
y2
b M
θ2 O
/onesans
/twosans
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 63 /head2right Restric Ńii de leg ături (de articula Ńii):
2 2 1 sin 0 x b x a − ⋅ θ − − ≡ ; (4.38)
2 2 cos 0 y b + ⋅ θ ≡ . (4.39)
Ansamblul rela Ńiilor (4.36)-(4.39) formeaz ă aplica Ńia []()0qΨ = specificat ă de (4.1)
[ ]( )1
1
1 2 2
2 2 0sin
cos y
qx x b
y b
θ Ψ = = − − ⋅ θ
⋅ θ .
Restric Ńiile de parcurs exprim ă faptul c ă primul bra Ń nu se poate deplasa decât orizontal,
iar cele de leg ături exprim ă rela Ńia existent ă între coordonatele carteziene ale centrelor de
greutate ale celor dou ă bra Ńe, Ńinându-se cont de articula Ńia dintre ele.
Din ansamblul coordonatelor
[][ ]T
1 1 1 2 2 2 q x y x y = θ θ
ce caracterizeaz ă sistemul, trebuiesc selectate parti Ńiile [ x], a coordonatelor independente și
[]x, a coordonatelor redundante.
Dimensiunea ρ a vectorului coordonatelor redundante []x va rezulta, conform (4.2), ca
rang al matricei Jacobiene a aplica Ńiei Ψ. Aceasta este:
2
20 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
1 0 0 1 0 cos
0 0 0 0 1 sin b q
b
∂Ψ = − − ⋅ θ ∂ − ⋅ θ .
Se observ ă c ă matricea are rangul ρ = 4 și deci sistemul are
3 2 4 2 δ= ⋅ − =
grade de libertate, ceea ce era de a șteptat.
În vectorul [ q] al coordonatelor sistemului, se definesc parti Ńiile de coordonate:
/head2right independente
[ ]1
2xx = θ și (4.40)
/head2right redundante
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 64 [ ]1
1
2
2y
xx
y
θ =
. (4.41)
De asemenea, este posibil ca în întreg spa Ńiul ( XbOY b), coordonatele redundante []x să
fie exprimate, conform (4.3), ca func Ńii explicite [][]() x x = Φ , de coordonatele
independente [ x], rezultând din (4.36)-(4.39):
10y=, (4.42)
10θ = , (4.43)
2 1 2 sin x x b a = + ⋅ θ + , (4.44)
2 2 cos y b =− ⋅ θ , (4.45)
ceea ce face ca exprimarea (4.3) s ă fie în acest caz
[ ]1
1
2 1 2
2 2 0 0 0
0 0 0
sin
0 cos y
xx x b a
y b o
θ = = + ⋅ θ
− ⋅ θ ,
respectiv
[ ]( )
1 2
20 0
0 0
sin
0 cos xx b
b
Φ = ⋅ θ
− ⋅ θ .
Din descrierea sistemului vor fi eliminate coordona tele redundante [][ ]T
1 1 2 2 x y x y = θ ,
păstrându-se doar coordonatele independente [][]T
1 2 x x = θ . Pentru aceasta, se identific ă
matricea []()A x conform (4.8):
[ ]( )[ ]T
2 2 0 0 1 0
0 0 cos sin A x b b x ∂ Φ = = ⋅ θ ⋅ θ ∂ . (4.46)
Corespunz ător parti Ńiei (4.40), (4.41) a vectorului de coordonate [ q], va exista și o parti Ńie
a ecua Ńiilor de mi șcare aferente fiec ărei coordonate, ce vor trebui s ă fie scrise Ńinându-se
cont de restric Ńii, în forma descris ă de (4.4) și (4.5). /threesans
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 65 Conform (4.7), vectorul [ λ] al coeficien Ńilor lui Lagrange, reprezint ă chiar vectorul
restric Ńiilor din ecua Ńiile de mi șcare ale coordonatelor redundante
[][ ]T
1 2 3 4 r= λ λ λ λ .
Vectorul restric Ńiilor coordonatelor independente [ r], conform (4.6), în care se Ńine
seama de forma particular ă (4.46) a matricei []()A x va fi
[ ]1
3 2
3 2 4 2 2 2 3
40 0 1 0
cos sin 0 0 cos sin rb b b b λ
−λ λ =− ⋅ = −λ ⋅ ⋅ θ −λ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θ λ λ .
Ecua Ńiile de mi șcare, corespunz ătoare aplic ării legii lui Newton pe fiecare din cele trei
coordonate, cu considerarea restric Ńiilor, rezult ă:
/head2right pentru coordonatele independente (4.40)
1 1 3 m x F ⋅ = −λ && , (4.47)
2 2 3 2 4 2 cos sin I M b b ⋅θ = −λ ⋅ ⋅ θ −λ ⋅ ⋅ θ && ; (4.48)
/head2right pentru coordonatele redundante (4.41)
1 1 1 1 m y m g ⋅ + ⋅ =λ && , (4.49)
1 1 2 I⋅θ =λ && , (4.50)
2 2 3 m x ⋅ =λ && , (4.51)
2 2 2 4 m y m g ⋅ + ⋅ =λ && . (4.52)
Valorile coeficien Ńilor lui Lagrange se ob Ńin prin identificarea ecua Ńiilor de mi șcare (4.47)-
(4.52) cu restric Ńiile definite de (4.36)-(4.39)
Rezult ă astfel imediat:
/head2right λ1: se identific ă (4.49) cu (4.42), respectiv
1 1 m g λ = ⋅ ;
/head2right λ2: se identific ă (4.50) cu (4.43), respectiv
20λ = ,
fiind eliminate astfel coordonatele redundante y1 și θ1.
Valorile ob Ńinute exprim ă for Ńele de leg ătur ă ce sunt aplicate primului segment pentru a
satisface restric Ńiile de parcurs impuse de ghidajul pe care se depla seaz ă acesta. /foursans
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 66 Pentru eliminarea coordonatelor redundante x2 și y2, se înlocuiesc expresiile
coeficien Ńilor λ3 și λ4 date de (4.51), respectiv (4.52), în ecua Ńiile de mi șcare (4.47) și (4.48),
rezultând:
1 1 2
2
2 2 2 2 2 2 2 1 0
sin cos sin m x F x mI M m g b b b y ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅θ − ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ ⋅ θ && &&
&& && . (4.53)
Derivatele de ordinul doi ale coordonatelor redunda nte x2 și y2 din (4.53) se ob Ńin,
aplicând (4.10), Ńinând cont doar de parti Ńia corespunz ătoare a matricei []()A x descris ă de
(4.46):
2 2 1 2 1
2 2 2 2 2 1 cos 0 sin
0 sin 0 cos x b x b x
y b b ⋅ θ − ⋅ θ = + ⋅ ⋅ θ θ ⋅ θ θ && && &
&& & && . (4.54)
Înlocuind acum (4.54) în (4.53) se ob Ńine
1 2 1
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 0 1 cos
0 cos sin
0 0 sin
sin 0 0 m b x mI b b
x b F my m g b M ⋅ θ + ⋅ ⋅ + ⋅ θ ⋅ θ θ
− ⋅ θ + ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ θ &&
&&
&
&. (4.55)
Identificând în (4.55) termenii ecua Ńiei (4.11), rezult ă
/head2right matricea de iner Ńie
[ ]( )1 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 cos
cos sin m m m b M x m b I m b + ⋅ ⋅ θ = ⋅ ⋅ θ + ⋅ ⋅ θ ;
/head2right for Ńele și cuplurile rezultate din leg ăturile corespunz ătoare restric Ńiilor
[ ] [ ]( )2 2 2 0 sin ,
0 0 m b f x x − ⋅ ⋅θ ⋅ θ = &
& ,
respectiv matricea de impuls
[ ] [ ]( )2 2 0 sin ,0 0 m b H x x − ⋅ ⋅ θ = & ;
/head2right vectorul for Ńelor și cuplurilor rezultate datorit ă gravita Ńiei
[ ]( )
2 2 0
sin G x m g b = ⋅ ⋅ ⋅ θ ;
/head2right matricea cinematic ă
[ ]( )1 0
0 1 B x = .
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 67 Cu nota Ńiile de mai sus, rezult ă modelul sistemului în forma (4.11):
[]()[][][]()[][]()[]()[] , M x x H x x x G x B x u ⋅ + ⋅ + = ⋅ && & & .
Modelul dinamic sub forma ecua Ńiilor de stare de tipul (4.12), (4.13) rezult ă
[ ] [ ]1
2xx v = = θ &&&,
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]( )[ ] { }11
2,xx v M x H x x x G x B x u − = = = ⋅ − ⋅ − + ⋅ θ && && & & & && ,
sau condensat
[][][]()[]()[][]() , , H G B x T x x T x T x u =− − + && & ,
în care s-au notat:
[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ] [ ]( ) [ ]1, , HT x x M x H x x x − = ⋅ ⋅ & & & ,
[ ]( ) [ ]( ) [ ]( )1
GT x M x G x − = ⋅ ,
[ ] [ ]( ) [ ]( ) [ ]( )[ ]1,BT x u M x B x u − = ⋅ ⋅ ,
Efectuând calculele rezult ă
[ ]( )2 2 12 2 2 2 2
2 2 1 2 sin cos 1
cos MI m b m b M x
m b m m − + ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ = Δ− ⋅ ⋅ θ + ,
cu
( )( ) ( )2 2 2
1 2 2 2 2 2 2 1 1
sin cos Mm m I m b m b =Δ + ⋅ + ⋅ ⋅ θ − ⋅ ⋅ θ , (4.56)
respectiv
[ ] [ ]( )( )
( )2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 sin sin 1,
sin cos H
MI m b m b
T x x
m b − + ⋅ ⋅ θ ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅θ
= Δ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ ⋅θ &
&
&, (4.57)
[ ]( )( )
( )2
2 2 2
1 2 2 2 sin cos 1
sin G
Mg m b T x
g m m m b − ⋅ ⋅ θ ⋅ θ = Δ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ θ , (4.58)
[ ] [ ]( )( )( )
( ) ( )2 2
2 2 2 2 2
2 2 1 2 sin cos 1,
cos B
MI m b F m b M
T x u
m b F m m M + ⋅ ⋅ θ ⋅ − ⋅ ⋅ θ ⋅ = Δ − ⋅ ⋅ θ ⋅ + + ⋅ . (4.59)
Expresiile necesare pentru implementarea modelului dinamic și simulare a sistemului
4. Modelarea sistemelor mecanice articulate
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 68 sunt deci:
( ){
( )
( ) ( ) }2 2 2
1 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 1sin sin
sin cos
sin cos Mx I m b m b
g m b
I m b F m b M = + ⋅ ⋅ θ ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅θ + Δ
+ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ +
+ + ⋅ ⋅ θ ⋅ − ⋅ ⋅ θ ⋅ & &&
, (4.60)
respectiv
( )
( )
( ) ( )2 2
2 2 2 2 2
1 2 2 2
2 2 1 2 1sin cos
sin
cos Mm b
g m m m b
m b F m m M θ = − ⋅ ⋅ θ ⋅ θ ⋅θ − Δ
− ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ θ −
− ⋅ ⋅ θ ⋅ + + ⋅ && &
, (4.61)
ce vor fi integrate de dou ă ori, pentru a ob Ńine evolu Ńia variabilelor de stare x1 și θ2.
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 69
Unitatea de înv ăŃare nr. 5
MODELAREA SISTEMELOR ELECTRICE
Cuprins Pagina
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 5 70
5.1. Metoda general ă de modelare a sistemelor electrice 70
5.1.1. Dipoli elementari 71
5.1.1.1. Rezistor 71
5.1.1.1. Condensator 71
5.1.1.1. Bobin ă 72
5.2. Exemplu: circuit redresor și filtru LC 72
Test de autoevaluare 5.1 75
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 5 75
Concluzii 76
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 5 76
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 70 OBIECTIVELE unit ăŃii de înv ăŃare nr. 5
Principalele obiective ale Unit ăŃii de înv ăŃare nr. 5 sunt:
Modelarea sistemelor electrice reprezint ă în fapt, rezolvarea circuitelor electrice. F ără a
se dori s ă se prezinte marea diversitate de metode specifice, prezentate pe larg în literatur ă [3],
[4], [5], în acest capitol se va face prezentarea m etodei generale de modelare a circuitelor
electrice.
5.1. Metoda general ă de modelare a sistemelor electrice
Indiferent de structur ă, orice circuit electric poate fi adus sub forma un ei re Ńele de surse
și de elemente pasive elementare – rezistoare, conde nsatoare, bobine. Metodologia general ă
de ob Ńinere a modelului de stare al unei re Ńele electrice compuse din M laturi de circuit și N
noduri const ă în parcurgerea urm ătoarelor etape [2]:
/handptright se scrie Teorema I a lui Kirchhoff în N-1 noduri;
/handptright se scrie Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru M-N+1 ramuri;
/handptright se scriu rela Ńiile tensiune-curent pentru elementele din circuit;
/handptright se elimin ă tensiunile și curen Ńii redundan Ńi.
Pentru simulare, modelul ob Ńinut trebuie pus sub forma ecua Ńiilor de stare (3.1). Dac ă
circuitul nu con Ńine ochiuri formate doar din condensatoare, atunci toate tensiunile la bornele
condensatoarelor vor fi considerate variabile de s tare . Dac ă circuitul nu con Ńine laturi de
circuit formate doar din bobine, atunci to Ńi curen Ńii din bobine vor fi considerate variabile de
stare .
Rela Ńiile tensiune-curent ale elementelor din circuit su nt caracteristice fiec ărui tip de
element. În continuare se reamintesc aceste rela Ńii, pentru dipolii elementari (rezistor,
condensator, bobin ă). • Cunoa șterea algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al sistemelor electrice
• Recapitularea rela Ńiilor tensiune-curent pentru dipolii
elementari
• Aplicarea algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al sistemelor electrice pentru un exemplu d e
circuit
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 71 5.1.1. Dipoli elementari
5.1.1.1. Rezistor
Considerând sensurile conven Ńional pozitive ale tensiunii la bornele rezistorulu i și
curentului prin acesta ca în Fig. 5.1 , rela Ńia tensiune-curent este:
()()R R u t R i t = ⋅ . (5.1)
Rela Ńia (5.1) este valabil ă pentru orice varia Ńie în timp a tensiunii la bornele rezistorului.
5.1.1.2. Condensator
Se consider ă sensurile conven Ńional pozitive ale tensiunii la bornele condensator ului și
curentului prin acesta ca în Fig. 5.2.
Condensatoarele pot înmagazina energie electric ă. Rela Ńia între curentul prin
condensator iC și sarcina electric ă de pe arm ăturile condensatorului Q este:
( )()
CdQ t i t dt =. (5.2)
Sarcina Q depinde de tensiunea la bornele condensatorului uC, curentul putându-se scrie
( ) ( )( )()C
C C du t i t c u t dt = ⋅ , (5.3)
unde ( )C
CQc u u∂=∂este capacitatea condensatorului.
Pentru un condensator liniar c(uC) = ct. = C, rezult ă
( )()C
Cdu t i t C dt = . (5.4)
Fig. 5.1 Simbolul și conven Ńia de semne pentru rezistor
Fig. 5.2 Simbolul și conven Ńia de semne pentru condensator R iR
uR
C iC
uC
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 72 5.1.1.3. Bobin ă
Se consider ă sensurile conven Ńional pozitive ale tensiunii la bornele bobinei și
curentului prin aceasta ca în Fig. 5.3.
Bobinele sunt elemente ce înmagazineaz ă energie electromagnetic ă. Tensiunea la
bornele ei este dat ă de varia Ńia fluxului magnetic
( )Ldu t dt Φ=. (5.5)
În cazul când varia Ńia fluxului este determinat ă de varia Ńia curentului ce str ăbate bobina,
tensiunea se poate scrie
( ) ( )( )()L
L L di t u t l i t dt = ⋅ . (5.6)
unde ( )L
Ll i i∂Φ =∂ este inductivitatea bobinei.
Pentru o bobin ă liniar ă l(iL) = ct. = L, rezultând
( )()L
Ldi t u t L dt = . (5.7)
5.2. Exemplu: circuit redresor și filtru LC
Se consider ă circuitul redresor monoalternan Ńă și filtru LC din Fig. 5.4.
Fig. 5.3 Simbolul și conven Ńia de semne pentru bobin ă
Fig. 5.4 Circuit redresor monoalternan Ńă
iL L
uL
Rg i1
ug L
uL u0 R
C uR
uC iC Rs i2
uD
us D
~
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 73 Acesta este constituit din N = 2 noduri și M = 3 laturi de circuit.
Se consider ă c ă sursa de tensiune u0 este caracterizat ă de rezisten Ńa intern ă Rg. În afara
dipolilor elementari, în circuit exist ă dioda D, care poate fi modelat ă ca o rezisten Ńă neliniar ă,
având dependen Ńa curent-tensiune de forma
01Du
i i e α = −
, (5.8)
în care i0 este curentul rezidual, iar α este o constant ă direct propor Ńional ă cu temperatura și
invers propor Ńional ă cu sarcina electronului [2]. Aceast ă modalitate de modelare a unei diode
Ńine cont și de temperatura jonc Ńiunii, variabil ă în timpul func Ńion ării. În multe situa Ńii îns ă, se
poate considera c ăderea de tensiune pe dioda în conduc Ńie uD ca fiind constant ă.
În continuare, se va aplica metoda general ă enun Ńat ă în §5.1 pentru circuitul considerat.
/handptright se scrie Teorema I a lui Kirchhoff în N-1 noduri ;
Fiind N = 2 noduri, Teorema I a lui Kirchhoff se va aplica de N-1 ori, respectiv:
1 2 0Ci i i − − = . (5.9)
/handptright se scrie Teorema a II-a a lui Kirchhoff pentru M-N+1 ramuri;
Circuitul, con Ńinând N = 2 noduri și M = 3 laturi, teorema a II-a a lui Kirchhoff se va
aplica de M-N+1 = 2 ori:
0C s u u − = , (5.10)
00g D L R C u u u u u u + + + + − = . (5.11)
/handptright se scriu rela Ńiile tensiune-curent pentru elementele din circuit;
– rezisten Ńa sursei, Rg
1 g g u R i =, (5.12)
– dioda redresoare, D – din (5.8) rezult ă:
0 1
0ln Di i ui+=α , (5.13)
– bobina de filtrare, L
1
Ldi u L dt =, (5.14)
– rezisten Ńa bobinei de filtrare, R
1 Ru Ri =, (5.15)
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 74
– condensatorul de filtrare, C
C
Cdu i C dt =, (5.16)
– rezisten Ńa de sarcin ă, Rs
2 s s u Ri =. (5.17)
Circuitul, necon Ńinând ochiuri de condensatoare sau laturi de bobine , va fi descris de
dou ă variabile de stare: curentul prin bobina L ( 1 1 i x ≡) și tensiunea pe condensatorul C
(2Cu x ≡).
/handptright se elimin ă tensiunile și curen Ńii redundan Ńi.
Analizând expresiile (5.9)-(5.17) și Ńinând cont de variabilele de stare considerate,
rezult ă c ă tensiunile și curen Ńii redundan Ńi sunt i2, iC, us, ug, uD, uL, uR.
Înlocuind (5.16) și (5.17) în (5.9), Ńinând cont de (5.10), se ob Ńine
1 0C C
sdu u i C dt R − − = . (5.18)
Înlocuind (5.12), (5.13), (5.14) și (5.15) în (5.10), rezult ă
0 1 1
1 1 0
0ln 0 g C i i di R i L Ri u u i dt ++α + + + − = . (5.19)
Ecua Ńiile (5.18) și (5.19) nu con Ńin ca variabile, decât variabilele de stare conside rate
x1 = i1 și x2 = uC. Ca variabil ă de intrare se consider ă u = u0. Ecua Ńiile (5.18) și (5.19) se scriu:
2 2
1 0
sdx x x C dt R − − = ,
0 1 1
1 1 2
0ln 0 gi x dx R x L Rx x u i dt ++α + + + − =
Rezult ă în final modelul circuitului, sub forma ecua Ńiilor de stare (2.1):
0 1
1 1 2
01 1 ln gR R i x x x x u L L i L L + +α=− − − + & , (5.20)
2 1 2 1 1
sx x x C RC = − & . (5.21)
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 75
Test de autoevaluare 5.1
Enumera Ńi etapele algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al unei re Ńele electrice.
Scrie Ńi rela Ńiile tensiune-curent pentru dipolii elementari. De re Ńinut !
Etapele algoritmului general de ob Ńinere a modelului dinamic al unei
re Ńele electrice.
Rela Ńiile tensiune-curent pentru dipolii elementari.
Lucrare de verificare la Unitatea de înv ăŃare 5
Descrie Ńi algoritmul general de ob Ńinere a modelului dinamic al unei
re Ńele electrice.
Scrie Ńi rela Ńiile tensiune-curent pentru dipolii elementari.
Aplica Ńi algoritmul general de ob Ńinere a modelului dinamic al unei
re Ńele electrice pentru circuitul din exemplul conside rat. Lucrare de laborator 4
În cadrul lucr ării de laborator nr. 4 – SIMULAREA UNUI CIRCUIT
REDRESOR ȘI FILTRU LC , se va realiza simularea unui redresor
monofazat necomandat, a unui circuit de filtrare L- C și o sarcin ă
rezistiv ă. Se vor realiza modelele Matlab-Simulink (blocuri Simulink ) pe
baza modelului matematic prezentat în platforma de laborator și modelul
utilizând biblioteca SimPowerSystems . Se vor compara modalit ăŃile de
ob Ńinere a modelelor, timpii de execu Ńie, rezultatele ob Ńinute.
5. Modelarea sistemelor electrice
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 76
Concluzii
Modelul dinamic al unui sistem electric se ob Ńine aplicând un algoritm
ce con Ńine în patru etape.
Legile fizice care se aplic ă sunt teoremele lui Kirchhoff.
Variabile de stare se consider ă curen Ńii prin bobine și tensiunile pe
condensatoare.
Bibliografie
1. Sergiu IVANOV, Modelare și simulare – sisteme electromecanice
și procese de mediu , Editura UNIVERSITARIA Craiova, ISBN
978-973-742-626-0, 2007.
2. Bastin, G.; Wertz, V. – Modélisation et analyse des systèmes
dynamiques . Curs. Universitatea Catolic ă Louvain-la-Neuve.
3. Nicolaide, A. – Bazele fizice ale electrotehnicii . Editura Scrisul
Românesc, Craiova, 1986.
4. Rădule Ń, R. – Bazele electrotehnicii. Probleme . Editura didactic ă și
Pedagogic ă, Bucure ști, 1979.
5. Soran, I.F.; Kisch, D.O.; Sîrbu, G.M. – Modelarea sistemelor de
conversie a energiei . Editura ICPE Bucure ști, 1998.
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 77
Unitatea de înv ăŃare nr. 6
MODELAREA SISTEMELOR
ELECTROMECANICE
MODELUL MA ȘINII DE C.C.
Cuprins Pagina
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 6 78
6.1. Metoda general ă de ob Ńinere a modelului unui sistem
electromecanic 78
6.1.1. Vectorul tensiunilor electromotoare 80
6.1.2. Vectorul for Ńelor electromagnetice generalizate 80
6.2. Exemplu: modelarea unui electromagnet 81
Test de autoevaluare 6.1 83
6.3. Modelarea ma șinilor electrice rotative 83
6.3.1. Modelul ma șinii de curent continuu 85
Test de autoevaluare 6.2 86
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 6 87
Concluzii 87
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 6 87
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 78 OBIECTIVELE unit ăŃii de înv ăŃare nr. 6
Principalele obiective ale Unit ăŃii de înv ăŃare nr. 6 sunt:
Sistemele electromecanice reprezint ă o categorie important ă a mediului ingineresc,
constituind o împletire a sistemelor electrice și a celor mecanice. Modelarea unor astfel de
sisteme înseamn ă contopirea modelului mecanic al sistemului cu cel electric. În principiu,
sistemele electromecanice realizeaz ă conversia reciproc ă a energiei electrice în energie
mecanic ă. În unele cazuri aceast ă conversie nu este reversibil ă, ca în cazul unui
electromagnet, în altele îns ă, acela și echipament poate realiza ambele tipuri de convers ii, în
func Ńie de tipul energiei la intrare. Este vorba de ma șinile electrice rotative, ce sunt, în
general, capabile s ă realizeze ambele conversii. De asemenea, ma șinile electrice rotative sunt
caracterizate de un singur grad de libertate mecani c, rota Ńia rotorului, din acest motiv, modelul
mecanic fiind particular.
În acest capitol se va trata metodologia general ă de ob Ńinere a modelului unui sistem
electromecanic, pornind de la modelul mecanic gener al ob Ńinut în §3, ce va fi completat,
Ńinând cont de componenta electric ă a sistemului. În continuare se vor prezenta modele le
dinamice ale câtorva tipuri reprezentative de ma șini electrice (de curent continuu, asincron ă,
sincron ă), prezentându-se și modalitate de comand ă a acestora în cazul sistemelor moderne de
ac Ńionare, ce au în componen Ńă convertoare statice.
6.1. Metoda general ă de ob Ńinere a modelului unui sistem
electromecanic
Se consider ă ca fiind un sistem electromecanic, un sistem mecan ic articulat (cu δ grade
de libertate) ce poate s ă aib ă componente realizate din materiale magnetice, iar unele • Cunoa șterea algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al sistemelor electromecanice
• Aplicarea algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al sistemelor electromecanice pentru un
electromagnet
• Aplicarea algoritmului general de ob Ńinere a modelului
dinamic al sistemelor electromecanice pentru ob Ńinerea
modelului motorului de curent continuu
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 79 componente pot con Ńine unul sau mai multe circuite electrice inductive (bobine, înf ăș ur ări).
Ecua Ńiile ce descriu a șadar un sistem electromecanic vor fi atât mecanice cât și electrice.
Ecua Ńiile mecanice au forma general ă ob Ńinut ă pentru sistemele mecanice articulate
(4.11), completat ă cu termenul corespunz ător for Ńelor electromagnetice
()[]()()()[]()[] ,em em M x x f x x G x B x u B x u + + = + && & , (6.1)
în care [ uem ] este vectorul for Ńelor generalizate electromagnetice.
În ceea ce prive ște parte electric ă a sistemului, fiecare dintre circuite poate fi rep rezentat
printr-un circuit elementar, Fig. 5.1 , caracteriza t de rezisten Ńa Ri și tensiunea electromotoare
Ei. Aceasta din urm ă este rezultatul varia Ńiilor fluxurilor magnetice produse de diferitele
circuite, inclusiv autoinduc Ńia și mi șcarea sistemului.
Presupunând c ă sistemul con Ńine m circuite, se poate scrie Teorema a II-a a lui
Kirchhoff pe fiecare dintre ele:
, 1, , i i i i R I E u i m ⋅ + = = K,
sau matriceal
[][][][] R I E U + = . (6.2)
Matricea [ R] este o matrice diagonal ă
[ ] { }10
, 1,
0i
mR
R diag R i m
R
= = = K
M O M
L,
iar vectorii [ I], [ E] și [ U] sunt defini Ńi ca fiind
[][ ]1 2 , , , T
m I I I I =L,
[][ ]1 2 , , , T
m E E E E =L,
[][ ]1 2 , , , T
m U U U U = L.
Elaborarea modelului unui anumit sistem electromeca nic, sub forma ecua Ńiilor de stare,
necesit ă explicitarea cuplajelor dintre partea mecanic ă (6.1) și electric ă (6.2). Aceasta
înseamn ă, pe de o parte exprimarea for Ńelor electromagnetice generalizate [ uem ] care intervin
în (6.1), iar pe de alt ă parte a tensiunilor electromotoare induse [ E] care apar în (6.2), ca Fig. 6.1 Circuit elementar Ri Ii
Ei ui
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 80 func Ńii de coordonatele mecanice [][],x x & și de curen Ńii [ I]:
(), , em u x x I &, (6.3)
(), , E x x I &. (6.4)
6.1.1. Vectorul tensiunilor electromotoare
Fiecare dintre tensiunile electromotoare poate fi e xprimat ă ca o sum ă a componentelor
determinate de fiecare circuit, inclusiv de autoind uc Ńie:
1m
i ji
jE e
==∑, (6.5)
unde eji reprezint ă tensiunea indus ă de circuitul j în circuitul i. În particular, tensiunile
electromotoare de forma eii reprezint ă autoinduc Ńia din circuitul i.
La rândul lor, fiecare dintre aceste tensiuni elect romotoare pot fi exprimate:
ji
ji dedt Φ=, (6.6)
în care Φji este fluxul indus de circuitul j în circuitul i. În continuare, acesta poate fi exprimat
în func Ńie de curentul Ij din circuitul inductor și de vectorul de pozi Ńie a sistemului [ x]:
[](),ji ji j x I Φ =ϕ . (6.7)
łinând cont de (6.7), tensiunea electromotoare eji (6.6), se poate scrie:
ji ji
ji j
je x I x I ∂ϕ ∂ϕ = + ∂ ∂ && . (6.8)
6.1.2. Vectorul for Ńelor electromagnetice generalizate
În ceea ce prive ște vectorul for Ńelor generalizate, componentele acestuia pot fi
exprimate:
1 1 1
2km m
ji
em i
i j ku I x = = ∂ϕ =∂∑∑ . (6.9)
Modelul dinamic general al unui sistem electromecan ic se ob Ńine prin combinarea
ecua Ńiilor (6.1), (6.2), (6.5), (6.8) și (6.9), rezultând modelul sub forma ecua Ńiilor de stare.
Prin contopirea celor dou ă modele, num ărul variabilelor de stare va fi 2 δ+m , respectiv
[][],x x & și [ I].
În continuare se va considera un exemplu simplu, pe ntru care se va aplica metoda
general ă de ob Ńinere a modelului unui sistem electromecanic.
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 81
6.2. Modelarea unui electromagnet
Se consider ă un electromagnet clapet ă, a c ărui schem ă de principiu este indicat ă în Fig.
6.2.
Electromagnetul A este prev ăzut cu o bobin ă parcurs ă de curentul I. Piesa metalic ă B
este mobil ă. Resortul C exercit ă asupra p ărŃii mobile B o for Ńă de revenire, ce depinde liniar
cu deplasarea z. La alimentarea bobinei electromagnetului, se va d ezvolta o for Ńă
electromagnetic ă Fem . Sub ac Ńiunea acesteia, arm ătura mobil ă B se va deplasa în sensul
reducerii întrefierului z.
łinând cont de ghidajele arm ăturii mobile B, sistemul mecanic nu are decât un grad de
libertate și anume deplasarea liniar ă a arm ăturii mobile pe direc Ńia z. łinând cont c ă asupra
acestei piese ac Ńioneaz ă dou ă for Ńe, cea electromagnetic ă Fem și cea de elasticitate a resortului
de revenire, se poate scrie direct ecua Ńia mecanic ă de mi șcare
()0 em mz F k z z = + − && , (6.10)
în care
– m – masa arm ăturii mobile B;
– k – constanta de elasticitate a resortului C;
– z0 – pozi Ńia de echilibru a arm ăturii mobile B.
Ecua Ńia (6.10) reprezint ă expresia particular ă a ecua Ńiei generale de mi șcare (6.1),
putându-se identifica cu u șurin Ńă termenii ce intervin, vectorul for Ńelor electromagnetice
generalizate (6.3) având doar o component ă: Fig. 6.2 Schema de principiu a unui electromagnet A
U I
z B
C De re Ńinut !
Cuplajele dintre sistemele electric și mecanic (for Ńe
electromagnetice/tensiuni electromotoare).
Exprimarea vectorului tensiunilor electromotoare.
Exprimarea vectorului for Ńelor electromagnetice.
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 82 (), , em em u x x I F = & .
În ceea ce prive ște parte electric ă a sistemului propus, este vorba de un singur circu it,
ecua Ńia general ă (6.2) luând forma particular ă:
U RI e = + , (6.11)
vectorul tensiunilor electromotoare (6.4) având, de asemenea, o singur ă component ă:
(), , E x x I e = &.
În continuare, trebuie ob Ńinute expresiile particulare ale for Ńei electromagnetice Fem și
ale tensiuni electromotoare e, ca func Ńii de coordonatele mecanice [][], x z x z = = && și de
curentul [ I] = I.
În ceea ce prive ște tensiunea electromotoare e, conform (6.6), va fi dat ă de:
dedt Φ=,
în care fluxul magnetic Φ produs de curentul I, variaz ă direct propor Ńional cu acesta și invers
propor Ńional cu întrefierul z:
( ),1II z zαΦ = +β .
Rezult ă tensiunea electromotoare indus ă în circuit:
( )2.1 1d dI dz edt I dt z dt
dI I dz
z dt dt zΦ ∂Φ ∂Φ = = + = ∂ ∂
α αβ = − +β +β (6.12)
Expresia (6.12) reprezint ă forma particular ă a expresiei (6.8) ob Ńinut ă în §6.1.1.
În ceea ce prive ște for Ńa electromagnetic ă Fem , conform (6.9), se ob Ńine
21
2 2 1 em IF I z z ∂Φ αβ = =− ∂ +β . (6.13)
Așa cum era de a șteptat, semnul negativ al acestei for Ńe, indic ă tendin Ńa acesteia de a
apropia arm ătura mobil ă B de electromagnetul A, indiferent de sensul curentului I.
Înlocuind (6.13) în ecua Ńia mecanic ă de mi șcare (6.10), rezult ă
()
( )0
2
0.2 1 em mz F k z z
Ik z z z= + − =
αβ = − + − +β &&
Înlocuind acum expresia tensiunii electromotoare e, (6.12) în ecua Ńia electric ă (6.11),
rezult ă
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 83
( )2.1 1U RI e
IRI I z z z= + =
α αβ = + − +β +β & &
Trebuiesc considerate 2 2 2 1 3 mδ+ = ⋅ + = variabile de stare. Ca variabile de stare se
consider ă pozi Ńia arm ăturii mobile și derivata acesteia, precum și curentul prin bobina
electromagnetului:
1
2
3,
,
,x z
x z
x I =
=
=&
iar ca variabil ă de intrare, tensiunea de alimentare a electromagne tului
u U =.
Cu aceste nota Ńii, modelul matematic al sistemului electromecanic, sub forma ecua Ńiilor
de stare, devine:
( )
( )1 2
2
3
2 0 1
1
2 3 1
3 1 3
12 1
111x x
x kx z x m m x
x x x Rx x x u x=
αβ = − − +β
β +β = − +β + +β α α &
&
&.
6.3. Modelarea ma șinilor electrice rotative
Ma șinile electrice constituie o categorie aparte de si steme electromecanice, formate
principial din dou ă corpuri: unul în mi șcare de rota Ńie (rotorul) fa Ńă de o ax ă fix ă fa Ńă de
cel ălalt corp (statorul). Fiecare dintre p ărŃi este prev ăzut ă cu diferite tipuri de bobine, astfel
încât s ă se realizeze conversia electromecanic ă.
Cum statorul este fix fa Ńă de un sistem de referin Ńă iner Ńial, o ma șin ă electric ă nu are
decât un grad de libertate mecanic ă și anume rota Ńia rotorului θ. Ecua Ńia matriceal ă mecanic ă
(6.1) se va reduce la o singur ă ecua Ńie de forma
Test de autoevaluare 6.1
Scrie Ńi modelul mecanic general completat cu vectorul for Ńelor
electromagnetice.
Scrie Ńi modelul general al p ărŃii electrice.
Exprima Ńi vectorii ce descriu cuplajele dintre sistemele el ectric și
mecanic (for Ńe electromagnetice/tensiuni electromotoare).
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 84 () em s J h M M θ+ θ = − && & , (6.14)
în care
– J – momentul total de iner Ńie la arborele ma șinii;
– ()hθ& – cuplul de frec ări;
– Mem – cuplul de origine electromagnetic ă;
– Ms – rezultanta tuturor celorlalte cupluri exterioare aplicate rotorului (inclusiv cuplul
static ce va trebui considerat cu semnul „–“ dac ă se opune mi șcării).
Partea electric ă are forma general ă (6.2)
[][][][] R I E U + = .
De cele mai multe ori, dac ă efectele satura Ńiei circuitelor magnetice sunt neglijabile (sau
neglijate), fluxurile Φji pot fi reprezentate prin rela Ńii de forma
()ji ji i L I Φ = θ .
Aceste expresii sunt liniare în raport cu curentul inductor Ii, dar depind de pozi Ńia
unghiular ă a rotorului θ dup ă o lege Lji (θ), în general periodic ă.
Se define ște matricea (simetric ă) de inductivit ăŃi:
()[]ji L L θ = θ ,
respectiv derivata acesteia în raport cu θ
( )()LK∂ θ θ = ∂θ .
Aplicând metoda general ă prezentat ă în §6.1, se ob Ńin ecua Ńiile generale de forma (6.8)
[ ]( )[]( )[ ]d I dE L K I dt dt θ= θ + θ , (6.15)
respectiv de forma (6.9)
[ ]( )[ ]1
2T
em M I K I = θ . (6.16)
Combinând ecua Ńiile (6.2), (6.14), (6.15) și (6.16), se ob Ńine modelul general al
ma șinilor electrice:
[ ]( )[ ]( )
( ) ( ) [ ] [ ][ ] [ ]1
2T
s J I K I h M
L I K I R I U θ = ω
ω = θ − ω −
θ = −ω θ − + &
&
&.
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 85 De cele mai multe ori, se consider ă ca variabile de intrare vectorul tensiunilor [ U] și
rezultanta cuplurilor exterioare Ms, ambele reprezentând, de fapt, influen Ńele exterioare asupra
comportamentului ma șinii.
6.3.1. Modelul ma șinii de curent continuu
Ma șina de curent continuu are dou ă înf ăș ur ări (Fig. 6.3): o înf ăș urare inductoare
statoric ă, parcurs ă de curentul ie și o înf ăș urare rotoric ă indus ă, parcurs ă de curentul ia.
Sistemul are dou ă circuite electrice.
Aplicând teorema a II-a a lui Kirchoff pe cele dou ă circuite electrice se ob Ńin expresiile:
e e e e Ri e u + = ,
a a a a R i e u + = .
Ecua Ńia electric ă general ă (6.2) va avea forma:
0
0e e e e
a a a a R i e u
R i e u + = .
Neglijând fenomenul de reac Ńie a indusului, efectele satura Ńiei magnetice și ale
comuta Ńiilor circuitului indusului aferente colectorului, tensiunile electromotoare (inclusiv de
autoinduc Ńie) corespunz ătoare celor dou ă circuite sunt:
,
.e
e e
a
a a e e e di e L dt
di de L k Li dt dt =
θ= +
Cu aceste expresii, ecua Ńia general ă (6.15) cap ătă forma:
0 0 0
0 0 e e e e
a a a e e a e L i i d d
e L i k L i dt dt θ= + ,
iar (6.16): Fig. 6.3 Motorul de curent continuu ia
ue ie θ M
Re Le Ms Ra La
e ua
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 86 em e e a e M k Li i =.
Se observ ă forma particular ă a modelului general al ma șinilor electrice descris de (6.15)
și (6.16).
Considerând variabilele de stare
1
2
3
4,
,
,
,e
ax
x
x i
x i = θ
= θ
=
=&
și ca variabile de intrare tensiunile de alimentare ale celor dou ă circuite și cuplul exterior
1
2
3,
,
,e
a
su u
u u
u M =
=
=
se ob Ńine modelul de stare:
( )1 2
2 2 3 4 3
3 3 1
4 4 2 3 2 1 1 1
1 1
1 1 1 e e
e
e e
a e e
a a a x x
x h x k L x x u J J J
x R x u L L
x R x k L x x u L L L =
= − + −
= − +
= − − + &
&
&
&.
Test de autoevaluare 6.2
Scrie Ńi forma particula ă a vectorului tensiunilor electromotoaredin
modelul general al ma șinilor electrice rotative, cu specificarea
semnifica Ńiei termenilor.
Scrie Ńi ecua Ńia electric ă pentru ma șina de c.c.
Lucrare de laborator 5
În cadrul lucr ării de laborator nr. 5 – MODELE SIMULINK PENTRU
SURSE UTILIZATE ÎN SISTEMELE DE AC łIONARE CU
MOTOR DE C.C.; MODELUL MOTORULUI DE C.C., se vor
realiza modele Simulink ale unui redresor monofaza t complet comandat,
al unui unui variator de tensiune continu ă și al motorului de c.c. cu
excita Ńie separat ă, precum și interconectarea fiec ăreia dintre surse cu
modelul motorului.
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 87
Lucrare de verificare la Unitatea de înv ăŃare 6
Descrie Ńi algoritmul general de ob Ńinere a modelului dinamic al unui
sistem electromecanic și aplica Ńi-l pentru ob Ńinerea modelului unui
electromagnet.
Scrie Ńi forma general ă a modelului ma șinilor electrice rotative, cu
specificarea semnifica Ńiilor termenilor.
Particulariza Ńi forma general ă a modelului ma șinilor electrice rotative
pentru ma șina de c.c.
Concluzii
Modelul dinamic al unui sistem electromecanic se ob Ńine combinând
modelele mecanic și electric, prin exprimarea cuplajelor dintre cele
dou ă sisteme (for Ńe electromagnetice / tensiuni electromotoare).
Ma șinile electrice rotative sunt cazuri particulare de sisteme
electromecanice.
Bibliografie
1. Sergiu IVANOV, Modelare și simulare – sisteme electromecanice
și procese de mediu , Editura UNIVERSITARIA Craiova, ISBN
978-973-742-626-0, 2007.
2. Bastin, G.; Wertz, V. – Modélisation et analyse des systèmes
dynamiques . Curs. Universitatea Catolic ă Louvain-la-Neuve.
3. Soran, I.F.; Kisch, D.O.; Sîrbu, G.M. – Modelarea sistemelor de
conversie a energiei . Editura ICPE Bucure ști, 1998. Lucrare de laborator 6
În cadrul lucr ării de laborator nr. 6 – SIMULAREA SISTEMULUI DE
AC łIONARE CU MOTOR DE C.C. ȘI VTC ÎN CIRCUIT ÎNCHIS ,
se va realiza simularea sistemului de ac Ńionare cu motor de curent
continuu și variator de tensiune continu ă (VTC), în circuit închis,
respectiv modificarea automat ă a comenzii VTC, astfel încât viteza real ă
a sistemului de ac Ńionare s ă urm ăreasc ă în permanen Ńă viteza prescris ă,
indiferent de perturba Ńiile ap ărute din exterior (modific ările cuplului
static) .
6. Modelarea sistemelor electromecanice. Modelul ma șinii de c.c.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 88
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 89
Unitatea de înv ăŃare nr. 7
MODELE ALE MA ȘINILOR DE C.A.
Cuprins Pagina
Obiectivele unit ăŃii de înv ăŃare nr. 7 90
7.1. Modele ale ma șinii asincrone trifazate 90
7.1.1. Modelul bifazat „cu inele” al ma șinii asincrone trifazate 91
7.1.2. Modelul bifazat „cu comutator” al ma șinii asincrone
trifazate 94
Test de autoevaluare 7.1 98
7.2. Modele ale ma șinii sincrone 99
7.2.1. Ma șina sincron ă cu magne Ńi permanen Ńi 100
Test de autoevaluare 7.2 103
Lucrare de verificare – unitatea de înv ăŃare nr. 7 103
Concluzii 104
Bibliografie – unitatea de înv ăŃare nr. 7 104
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 90 OBIECTIVELE unit ăŃii de înv ăŃare nr. 7
Principalele obiective ale Unit ăŃii de înv ăŃare nr. 7 sunt:
7.1. Modele ale ma șinii asincrone trifazate
În cazul ma șinii asincrone trifazate, aplicarea direct ă a metodologiei prezentate nu
conduce la ob Ńinerea unui model avantajos din punctul de vedere a l utiliz ării pentru simulare:
1 2
2 1
1 2
2 1
1cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos cos cos
cos s s s sr sr sr ssA
s s s sr sr sr ssB
s s s sr sr sr sC s
sr sr sr r r r ra r
rb sr
rc R pL pM pM pM pM pM u
pM R pL pM pM pM pM u
u pM pM R pL pM pM pM
upM pM pM R pL pM pM
upM
u+ θ θ θ
+ θ θ θ
+ θ θ θ = θ θ θ +
θ
2
2 1 cos cos
cos cos cos sA
sB
sC
ra
rb sr sr r r r r
rc sr sr sr r r r ri
i
i
i
ipM pM pM R pL pM
ipM pM pM pM pM R pL ⋅ θ θ + θ θ θ + (7.1)
Ecua Ńia (7.1) se poate scrie simbolic
[][][] sr sr sr u Z i = ⋅ , (7.2)
în care:
– rL – inductivitatea proprie a înf ăș ur ării unei faze rotorice;
– rM – inductivitatea mutual ă între dou ă faze rotorice;
– sr M – inductivitatea mutual ă între o faz ă statoric ă și o faz ă rotoric ă.
dpdt =; rθ =θ ; 12
3rπθ + =θ ; 24
3rπθ + =θ .
Se observ ă c ă sistemul ob Ńinut este neliniar, cu coeficien Ńi variabili, deoarece unghiul de
pozi Ńie a rotorului θr este variabil, iar unii parametri pot fi variabili , cum ar fi inductivit ăŃile,
care, în condi Ńii de satura Ńie, depind de curen Ńi. Chiar dac ă to Ńi parametrii ma șinii sunt
considera Ńi constan Ńi (neglijarea satura Ńiei circuitelor magnetice), ecua Ńiile diferen Ńiale ale
tensiunilor vor con Ńine coeficien Ńi variabili, deoarece unghiul rotorului se modific ă în timp. • Prezentarea modelului dinamic al ma șinii asincrone și a
modului de implementare în Simulink
• Simularea a dou ă sisteme de reglare vectorial ă a
motorului asincron
• Prezentarea modelului dinamic al ma șinii sincrone cu
magne Ńi permanen Ńi
• Simularea a dou ă sisteme de reglare vectorial ă a
motorului sincron cu magne Ńi permanen Ńi
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 91 Mai mult, matricea impedan Ńelor [ Zsr ] con Ńine 36 de termeni, iar toate înf ăș ur ările sunt cuplate
între ele.
Este evident c ă un astfel de sistem de ecua Ńii este dificil de utilizat pentru simulare.
Simplific ări importante se pot face dac ă se scriu ecua Ńiile de tensiuni în sisteme bifazate
ortogonale, m ărimile statorice și rotorice fiind raportate la sisteme de coordonate solidare cu
fiecare dintre circuite, sau la acela și sistem de coordonate solidar cu statorul.
7.1.1. Modelul bifazat „cu inele” al ma șinii asincrone trifazate
Se consider ă un sistem de axe ortogonale, solidar cu statorul ( sD , sQ ), axa sD
(considerat ă real ă) fiind în lungul axei înf ăș ur ării fazei statorice „ A” (Fig. 7.1). Pentru rotor se
consider ă un sistem ortogonal de axe ( rα, rβ), solidar cu rotorul, axa rα (considerat ă real ă)
fiind în lungul fazei rotorice „ a”.
Valorile instantanee ale tensiunilor și curen Ńilor statorici și rotorici, usA , usB , usC , isA , isB ,
isC , vor fi proiectate în sistemul de referin Ńă ( sD, sQ ), rezultând:
( ) ( ) ( ) ( )( )( )2 2 2 1 1 Re , 3 3 2 2 sD sA sB sC sA sB sC u u t a u t a u t u t u t u t = + ⋅ + ⋅ = − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 Im , 3 3sQ sA sB sC sB sC u u t a u t a u t u t u t = + ⋅ + ⋅ = −
în care
2
32 2 cos sin 3 3 ja e j ππ π = = + ⋅ .
În mod similar rezult ă proiec Ńiile curen Ńilor statorici:
( )( )( )2 1 1
3 2 2 sD sA sB sC i i t i t i t = − − , ( ) ( )1
3sQ sB sC i i t i t = − . Fig. 7.1 Sistemele de coordonate pentru modelul bifazat „cu inele" sQ
sD
ωr rq
rd θr rα rβ
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 92 Pentru m ărimile rotorice, proiec Ńiile tensiunilor și curen Ńilor pe cele dou ă axe ( rα, r β)
sunt:
( )( )( )2 1 1
3 2 2 r ra rb rc u u t u t u t α = − − , ( ) ( )1
3r rb rc u u t u t β= − ,
( )( )( )2 1 1
3 2 2 r ra rb rc i i t i t i t α = − − , ( ) ( )1
3r rb rc i i t i t β= − .
Matriceal, transformarea tensiunilor statorice și rotorice, din sistemul trifazat, în
sistemele bifazate solidare cu statorul ( sD, sQ ), respectiv cu rotorul ( rα, r β), pot fi scrise:
2 1 1 0 0 0 3 3 3
1 1 0 0 0 0
3 3
2 1 1 0 0 0 3 3 3
1 1 0 0 0 0
3 3 sA
sD sB
sQ sC
r ra
r rb
rc u
u u
u u
u u
u u
uα
β − −
− = ⋅ − −
− . (7.3)
Similar, transformarea curen Ńilor este:
2 1 1 0 0 0 3 3 3
1 1 0 0 0 0
3 3
2 1 1 0 0 0 3 3 3
1 1 0 0 0 0
3 3 sA
sD sB
sQ sC
r ra
r rb
rc i
i i
i i
i i
i i
iα
β − −
− = ⋅ − −
− .
Simbolic, cele dou ă transform ări pot fi scrise:
[][][]
[ ] [ ] [ ]3 2
3 2 D sr
D sr u T u
i T i α −
α − = ⋅
= ⋅ , (7.4)
Ecua Ńia de tensiuni trebuie exprimat ă într-o form ă similar ă ecua Ńiei (7.2):
[][][] D D D u Z i α α α = ⋅ , (7.5)
în care matricele tensiunilor și curen Ńilor sunt date de (7.4), trebuind identificat ă matricea
impedan Ńelor [ ZDα].
Pentru aceasta, se înmul Ńește la stânga ecua Ńia (7.2) cu [ T3-2] ob Ńinându-se:
[][][][][] 3 2 3 2 sr sr sr T u T Z i − − ⋅ = ⋅ ⋅ .
Membrul stâng reprezint ă, conform (7.4), chiar matricea tensiunilor [ uDα], iar prin
identificare cu (7.5), membrul drept este:
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 93 [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ](7.5) (7.4)
3 2 3 2 sr sr D D D sr T Z i Z i Z T i − α α α − ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ .
Deci:
[][][][] 3 2 3 2 sr D T Z Z T − α − ⋅ = ⋅ . (7.6)
Trebuind identificat ă matricea [ ZDα], expresia (7.6) se înmul Ńește la dreapta cu
[ ] [ ] [ ]1
3 2 3 2 3 2 T T T T T −
− − − ⋅ ⋅ ,
([ T]T pentru a ob Ńine o matrice p ătratic ă inversabil ă, apoi cu inversul ei pentru eliminare)
ob Ńinându-se:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1
3 2 3 2 3 2 3 2 T T
sr D T Z T T T Z −
− − − − α ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = .
Efectuând calculele se ob Ńine
[ ]3 3 0 cos sin 2 2
3 3 0 sin cos 2 2
3 3 cos sin 0 2 2
3 3 sin cos 0 2 2 s s sr sr s r r
s s sr sr s r r
D
sr sr r r r r r
sr sr r r r r r R pL pM pM pM
R pL pM pM pM
Z
pM pM R pL pM
pM pM R pL pM α + − θ − θ
+ − θ θ =
θ θ + −
− θ θ + − .
Se fac urm ătoarele nota Ńii:
s s sL L M = − – inductivitatea statoric ă total ă,
r r rL L M = − – inductivitatea rotoric ă total ă,
3
2sr mL M =- inductivitatea de magnetizare,
rezultând în final
[ ]0 cos sin
0 sin cos
cos sin 0
sin cos 0 s s m r m r
s s m r m r
D
m r m r r r
m r m r r r R pL pL pL
R pL pL pL ZpL pL R pL
pL pL R pL α+ θ − θ
+ θ θ = θ θ +
− θ θ + . (7.7)
Explicitând termenii în ecua Ńia (7.5) Ńinând cont de (7.7), rezult ă urm ătoarea ecua Ńie de
tensiuni, care reprezint ă modelul bifazat “ cu inele cu faze ortogonale ” (m ărimile rotorice sunt
raportate la un sistem de referin Ńă rotitor, solidar cu rotorul) al motorului asincron trifazat:
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 94 0 cos sin
0 sin cos
cos sin 0
sin cos 0 sD sD s s m r m r
sQ sQ s s m r m r
r r m r m r r r
r r m r m r r r u i R pL pL pL
u i R pL pL pL
u i pL pL R pL
u i pL pL R pL α α
β β + θ − θ
+ θ θ = ⋅ θ θ +
− θ θ + . (7.8)
În matricea impedan Ńelor au rezultat patru elemente nule, ceea ce repre zint ă o decuplare
între axele sD și sQ , respectiv rα și rβ.
Se observ ă de asemenea o simplificare important ă fa Ńă de ecua Ńia modelului trifazat
(7.1), în care matricea impedan Ńelor [ Zsr ] con Ńinea 36 de termeni, to Ńi nenuli. În cazul acestui
model, matricea impedan Ńelor [ ZDα] con Ńine doar 12 termeni nenuli.
Totu și modelul este greu de utilizat deoarece termenii m atricei impedan Ńelor sunt
variabili în timp prin unghiul rotoric θr și, eventual, prin varia Ńiile inductivit ăŃilor. Chiar dac ă
inductivit ăŃile sunt considerate constante (ma șina nesaturat ă magnetic), operatorul de derivare
p putându-se aplica dup ă inductivit ăŃi, matricea impedan Ńelor con Ńine totu și termeni variabili
în timp, prin unghiul de pozi Ńie al rotorului.
Pot fi aduse în continuare simplific ări, prin considerarea altui sistem de referin Ńă pentru
mărimile rotorice. Va rezulta astfel un alt model bif azat al motorului asincron trifazat și
anume modelul bifazat “ cu comutator cu faze ortogonale ”.
7.1.2. Modelul bifazat „cu comutator” al ma șinii asincrone trifazate
Se p ăstreaz ă m ărimile statorice scrise pentru modelul anterior, da r m ărimile rotorice urα,
urβ irα, irβ sunt transformate din sistemul ortogonal rotitor , solidar cu rotorul, într-un sistem
sta Ńionar , solidar cu statorul, ( rd, rq ), Fig. 7.2.
Fig. 7.2 Sistemele de coordonate pentru modelul bifazat "cu comutator" sQ
sD
ωr rq
rd
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 95 Modelul matematic va fi ob Ńinut pornind de la modelul bifazat “ cu inele cu faze
ortogonale ”. Tensiunilor și curen Ńilor rotorici li se aplic ă transform ările:
cos sin ,
sin cos ,
cos sin ,
sin cos , r rd r rq r
r rd r rq r
r rd r rq r
r rd r rq r u u u
u u u
i i i
i i i α
β
α
β= θ + θ
= − θ + θ
= θ + θ
= − θ + θ (7.9)
în care urd , urq , ird , irq sunt componentele tensiunilor rotorice, respectiv ale curen Ńilor rotorici,
în sistemul ortogonal solidar cu statorul.
Matriceal, transform ările (7.9) se pot scrie
cos sin
sin cos rd r r r
rq r r r u u
u uα
βθ θ = ⋅ − θ θ ,
cos sin
sin cos rd r r r
rq r r r i i
i iα
βθ θ = ⋅ − θ θ , (7.10)
Matriceal, transformarea tensiunilor statorice și rotorice, din sistemele bifazate solidare
cu statorul ( sD, sQ ), ( rd, rq ), în sistemele bifazate solidare cu statorul ( sD, sQ ), respectiv cu
rotorul ( rα, r β), pot fi scrise:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos sD sD
sQ sQ
rd r r r
rq r r r u u
u u
u u
u uα
β
= ⋅ θ θ
− θ θ . (7.11)
Similar, transformarea curen Ńilor este:
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 cos sin
0 0 sin cos sD sD
sQ sQ
rd r r r
rq r r r i i
i i
i i
i iα
β
= ⋅ θ θ
− θ θ . (7.12)
Simbolic, cele dou ă transform ări pot fi scrise:
[][][] D Dd u C u α= ⋅ ,
[][][] D Dd i C i α= ⋅ . (7.13)
Înlocuind (7.13) în (7.5) se ob Ńine
[][][][][] Dd D Dd C u Z C i α ⋅ = ⋅ ⋅ ,
care înmul Ńit ă la stânga cu [ C]-1 conduce la
[][][][][][][]1 1
Dd D Dd C C u C Z C i − −
α ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ,
rezultând prin identificare
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 96 [][][][]1
Dd D Z C Z C −
α = ⋅ . (7.14)
Efectuând calculele în (7.14), se ob Ńine urm ătoarea structur ă a matricei impedan Ńelor în
cazul modelului bifazat “ cu comutator ” al motorului asincron trifazat:
[ ]0 0
0 0 s s m
s s m
Dd
m r m r r r r
r m m r r r r R pL pL
R pL pL ZpL L R pL L
L pL L R pL +
+ = ω + ω
−ω −ω + , (7.15)
în care ωr este viteza mecanic ă a rotorului.
Modelul “ cu comutator cu faze ortogonale ” (m ărimile rotorice sunt raportate la un
sistem de referin Ńă fix, solidar cu statorul) al motorului asincron tr ifazat devine:
0 0
0 0 sD sD s s m
sQ sQ s s m
rd rd m r m r r r r
rq rq r m m r r r r u i R pL pL
u i R pL pL
u i pL P L R pL P L
u i P L pL P L R pL +
+ = ⋅ ω + ω
− ω − ω + , (7.16)
sau în form ă simbolic ă:
[][][] Dd Dd Dd u Z i = ⋅ . (7.17)
În acest model nu mai apar func Ńiile sin și cos ale unghiului de pozi Ńie a rotorului, dar
apare viteza rotorului ωr, P fiind num ărul de perechi de poli ai ma șinii. Acest model are
înf ăș ur ări rotorice pseudo-sta Ńionare.
De remarcat c ă trecerile de la un model la altul se ob Ńin prin transform ări matriceale,
care de și nu pun probleme de fond, sunt în form ă dificile și laborioase. Ob Ńinerea altor modele
particulare (solidare cu fluxul statoric, fluxul ro toric etc.) este greoaie tocmai datorit ă acestor
transform ări matriceale.
Cuplul electromagnetic dezvoltat de motorul asincro n are expresia
( )3
2em m sQ rd sD rq M PL i i i i = ⋅ ⋅ − ⋅ . (7.18)
În continuare, modelul matematic descris de (7.16) trebuie pus sub forma ecua Ńiilor de
stare
[][][][] X A X B U = + & .
Neglijând satura Ńia circuitului magnetic (inductivit ăŃile constante) și considerând ca
mărimi de intrare componentele tensiunii statorice și cuplul static
1
2
3,
,
,sD
sQ
su u
u u
u M =
=
=
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 97 iar ca variabile de stare curen Ńii (statorici și rotorici) și viteza unghiular ă a rotorului
1
2
3
4
5,
,
,
,
,sD
sQ
rd
rq
rx i
x i
x i
x i
x=
=
=
=
= ω
trebuiesc explicita Ńi termenii ce con Ńin derivatele m ărimilor de stare. Tensiunile rotorice sunt
considerate ca fiind nule pentru motorul asincron c u rotor în scurtcircuit.
Explicitarea acestora se poate face analitic, dar r ezultatele sunt greoaie. Mai simplu este
dac ă se separ ă termenii ce con Ńin derivatele curen Ńilor, calculele ulterioare urmând s ă fie
făcute prin programarea corespunz ătoare în Simulink. Astfel, dac ă se consider ă ma șina
nesaturat ă (inductivit ăŃi constante), operatorul de derivare se poate aplic a doar curen Ńilor,
ecua Ńia (7.16) putând fi descompus ă:
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0 sD sD s
sQ sQ s
rD rD r m r r r
rQ rQ r m r r r
sD s m
sQ s m
rD m r
r m r u i R
u i R
u i P L P L R
u i P L P L R
i L L
i L L d
i L L dt
i L L
= + ⋅ + ω ω − ω − ω
+ ⋅
Q
, (7.19)
Compact, ecua Ńia de mai sus se poate scrie:
[ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ] [ ]duu MR MLr i ML i dt = + ⋅ + ⋅ , (7.20)
în care termenii din parantezele drepte sunt matric ele corespunz ătoare din ecua Ńia matriceal ă
(7.19).
Va rezulta modelul sub forma ecua Ńiilor de stare:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )1 di ML uu MR MLr i dt −= − + ⋅ , (7.21)
respectiv
[ ] [ ]1 1
1 2 2
5 5 3 3
5 5 4 4 0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
0 0 0sD
sQ
m r
m r x x u
x x uML MR PL x PL x x x
PL x PL x x x − = − + ⋅ − − &
&
& & &
& & &. (7.22)
Modelul matematic descris de (7.22) trebuie complet at cu ecua Ńia general ă a mi șcării
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 98 rezultat ă din (6.14) Ńinând cont de (7.18):
( ) ( )5 2 3 1 4 5 3 1 3
2m x PL x x x x h x u J = − − − & , (7.23)
în care primul termen din paranteza dreapt ă reprezint ă cuplul electromagnetic dezvoltat de
motor (7.18), iar:
– J – momentul de iner Ńie total la arborele motorului;
– h(x5) – cuplul de frec ări vâscoase.
De re Ńinut !
Dezavantajele modelului exprimat în func Ńie de variabilele de faz ă (7.1).
Simplific ările introduse de modelul bifazat cu inele (7.8).
Avantajele modelului bifazat cu comutator (7.16).
Scrierea compact ă a modelului ma șinii asincrone (7.20), variabilele de
stare și de comand ă și ob Ńinerea modelului sub forma ecua Ńiilor de
stare (7.22) și (7.23).
Test de autoevaluare 7.1
Scrie Ńi modelul compact al ma șinii asincrone cu specificarea (NU
explicitarea) termenilor matriceali.
Specifica Ńi ce m ărimi sunt variabilele de stare și care sunt m ărimile de
comand ă. Valori particulare pentru motorul în scurtcircuit .
Lucrare de laborator 7
În cadrul lucr ării de laborator nr. 7 – MODELE SIMULINK PENTRU
SURSE UTILIZATE ÎN SISTEMELE DE AC łIONARE CU
MOTOR ASINCRON; MODELE ALE MOTORULUI ASINCRON
CU ROTORUL ÎN SCURTCIRCUIT , se vor identifica modul de
realizare a modelelor Simulink ale unor surse de al imentare ale
motoarelor de curent alternativ trifazate (sursa tr ifazat ă de tensiune
sinusoidal ă, invertor de tensiune cu modula Ńie în amplitudine, invertor de
tensiune cu modula Ńie sinusoidal ă în durat ă, invertor de tensiune cu
curen Ńi prescri și), precum și ale modelelor motorului asincron. Se vor
urm ări în mod deosebit formele de und ă ale curen Ńilor pentru fiecare tip
de surs ă.
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 99
7.2. Modele ale ma șinii sincrone
Motoarele sincrone î și g ăsesc aplica Ńii în domenii relativ speciale, mai ales la extreme le
gamei puterilor. Mai precis, pentru puteri mici și pentru aplica Ńii care impun un raport foarte
bun putere/greutate sau putere/volum, ca și o precizie deosebit ă a regl ării (ma șini unelte,
sisteme de pozi Ńionare, robotic ă, aplica Ńii aeropurtate), se utilizeaz ă motoarele sincrone cu
magne Ńi permanen Ńi. Acestea prezint ă avantaje ca urmare a anul ării pierderilor în înf ăș ur ările
de excita Ńie (care nu mai exist ă), elimin ării periilor, a colectorului, toate acestea conducâ nd la
gabarite mai mici și randamente mai bune (este practic, motorul cu cel mai bun raport
putere/greutate și putere/volum). Pierderi vor apare doar în înf ăș urarea statoric ă, dar acestea
pot fi evacuate spre mediul ambiant mai u șor, fapt care reprezint ă înc ă un considerent pentru
care gabaritul ma șinii poate fi redus. Dezavantajul principal îns ă îl constituie pre Ńul ridicat,
datorat în primul rând tocmai magne Ńilor permanen Ńi.
La cealalt ă extrem ă a gamei puterilor (pân ă la 1 MW), se utilizeaz ă motoarele sincrone Lucrare de laborator 8
În cadrul lucr ării de laborator nr. 8 – SIMULAREA SISTEMULUI DE
AC łIONARE CU MOTOR ASINCRON ȘI INVERTOR DE
TENSIUNE CU CUREN łI PRESCRI ȘI CU COMAND Ă
VECTORIAL Ă, se va realiza modelul Matlab-Simulink al sistemul ui de
ac Ńionare cu motor asincron și invertor de tensiune cu curen Ńi prescri și,
controlat cu orientare dup ă fluxul rotoric și se va studia comportarea
sistemului la pornire treapt ă în compara Ńie cu pornirea prin cuplare
direct ă la re Ńea a motorului asincron cu rotor în scurtcicuit, si mulat ă în
cadrul lucr ării de laborator nr. 7
Lucrare de laborator 9
În cadrul lucr ării de laborator nr. 9 – SIMULAREA SISTEMULUI DE
AC łIONARE CU MOTOR ASINCRON ȘI INVERTOR DE
TENSIUNE CU COMAND Ă VECTORIAL Ă, se va realiza modelul
Matlab-Simulink al sistemului de ac Ńionare cu motor asincron și invertor
de tensiune cu modula Ńie în durat ă, controlat cu orientare dup ă fluxul
rotoric și se va observa avantajul consider ării invertorului ca amplificator
ideal (din punctul de vedere al timpului de simular e), fa Ńă de lucrarea de
laborator nr. 8.
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 100 în construc Ńie clasic ă (cu rotor excitat electric). Acestea se utilizeaz ă pentru aplica Ńii speciale,
de tipul trac Ńiunii electrice, propulsiei navelor, ascensoare min iere, laminoare, mori de
ciment). Utilizarea pentru astfel de aplica Ńii a motoarelor de c.c. ar conduce la ac Ńion ări
multimotoare, datorit ă limit ărilor ma șinii de c.c. În compara Ńie cu aceasta, motorul sincron
elimin ă problemele de comuta Ńie specifice motorului de c.c., are capacitate de s uprasarcin ă
mai mare, reduce necesit ăŃile de ventila Ńie și costurile de între Ńinere. Pentru o aceea și putere,
rotorul unei ma șini sincrone este mai mic, deci caracterizat de un moment de iner Ńie mai redus
și în final un gabarit mai mic.
Pe de alt ă parte, datorit ă puterilor foarte mari, nu se prefer ă utilizarea motoarelor
asincrone, deoarece cele sincrone au un factor de p utere mai bun, cuplu mai mare la tura Ńii
mici, consum mai redus de energie reactiv ă din re Ńea.
Din punct de vedere al sursei de alimentare, trebui e eviden Ńiat faptul c ă în majoritatea
aplica Ńiilor enumerate, tura Ńiile necesare sunt mici, ceea ce determin ă necesitatea aliment ării
motoarelor sincrone cu frecven Ńe reduse. Pentru aceasta, având în vedere puterile mari ale
aplica Ńiilor, se pot utiliza cu foarte bune rezultate, cic loconvertoarele [4]. Acestea, fiind
convertoare cu comuta Ńie natural ă, pot fi realizate f ără mari dificult ăŃi pentru puterile
men Ńionate.
łinând cont de aspectele eviden Ńiate mai sus, în acest capitol se va prezenta doar
modelul motorului sincron cu magne Ńi permanen Ńi subliniindu-se îns ă c ă varietatea tipurilor
de motoare sincrone este mult mai mare [5].
7.2.1. Ma șina sincron ă cu magne Ńi permanen Ńi
Acest tip de motor, fiind utilizat la puteri relati v mici, poate fi alimentat de la un
invertor de tensiune cu modula Ńie în durat ă, realizat cu elemente semiconductoare complet
comandate, de tipul tranzistoare MOS de putere, IGB T, ce realizeaz ă modularea în durat ă cu o
frecven Ńă suficient de mare astfel încât invertorul se poate considera ca amplificator ideal (nu
introduce întârzieri).
În general, motoarele sincrone cu magne Ńi permanen Ńi sunt asociate cu sisteme de
comand ă vectorial ă. Din acest motiv nu dispun de înf ăș urare de amortizare, aceasta nefiind
necesar ă nici pentru pornire, nici pentru stabilizarea func Ńion ării [5].
Modelul matematic Park al motorului sincron cu magn e Ńi permanen Ńi, f ără înf ăș urare de
amortizare, cu P perechi de poli, este descris de ecua Ńia matriceal ă
0sd s sd sq r sd
sq sd r s sq sq M r u R pL L P i
u L P R pL i K+ − ω = ⋅ + ω + ω , (7.24)
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 101 cuplul electromagnetic dezvoltat de motor fiind
() em M sq sd sq sd sq M K i P L L i i = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ , (7.25)
în care:
– Rs – rezisten Ńa statoric ă de faz ă;
– Lsd – inductivitatea dup ă axa d;
– Lsq – inductivitatea dup ă axa q;
– ωr – viteza mecanic ă a rotorului, iar θr pozi Ńia acestuia;
– KM – constanta tensiunii electromotoare ( și a cuplului electromagnetic);
– Mem – cuplul electromagnetic dezvoltat de motor;
– p – operatorul d/dt.
Pentru completarea modelului sistemului de ac Ńionare, la aceste ecua Ńii trebuie ad ăugat ă
ecua Ńia general ă a mi șcării:
( )r
em s r dM M J h dt ω= + + ω . (7.26)
Semnifica Ńia nota Ńiilor este aceea și ca în (7.23).
Observa Ńie În cazul modelului Park al motorului sincron, refer en Ńialul ( d, q ) este rotitor,
solidar cu rotorul și fluxul învârtitor, având fa Ńă de sistemul fix pozi Ńia Pθr, deci viteza Pωr.
Cu observa Ńia de mai sus, leg ătura între m ărimile trifazate instantanee și cele din referen Ńialul
Park este dat ă de o rela Ńie ce reprezint ă, în fapt, produsul dintre matricea de transformare din
sistemul bifazat ortogonal fix în sistemul trifazat :
cos sin
2 2 cos sin . 3 3
4 4 cos sin 3 3 r r
a
sd
b r r
sq
c
r r P P XX
X P P X
X
P P
θ − θ π π = θ − − θ − ⋅ π π θ − − θ − (7.27)
Similar, transformarea m ărimilor din sistemul trifazat fix în sistemul Park, se realizeaz ă
cu o rela Ńie ce reprezint ă, în fapt, produsul dintre matricea de transformare din sistemul
ortogonal fix în sistemul bifazat ortogonal rotitor e-jP θr, de forma (7.10) și matricea de
transformare din sistemul trifazat în sistemul bifa zat ortogonal fix, de forma (7.4):
2 4 cos cos cos 3 3 2.3 2 4 sin sin sin 3 3 a r r r
sd
b
sq
r r r cX P P P X
XXP P P X π π θ θ − θ − = ⋅ π π − θ − θ − − θ − (7.28)
În rela Ńia de mai sus, m ărimile X pot fi atât tensiuni cât și curen Ńi. S-a considerat
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 102 componenta omopolar ă ca fiind nul ă.
Modelul matematic descris de ecua Ńiile (7.24) și (7.25) este valabil atât pentru
motoarele sincrone cu magne Ńi permanen Ńi cu poli îneca Ńi, cât și pentru cele cu poli aparen Ńi,
cu observa Ńia c ă în primul caz, Lsd ≈ Lsq , având valori sensibil mai mici decât în cazul ma șinii
sincrone conven Ńionale (cu excita Ńie electric ă), datorit ă permeabilit ăŃi magnetice foarte mici a
magne Ńilor din p ământuri rare ce se utilizeaz ă pentru aceste tipuri de motoare, în timp ce
pentru al doilea caz, Lsq / Lsd > 1, raportul putând atinge chiar valori important e ( ≈ 5).
În continuare, pentru utilizarea modelului matemati c descris de (7.24) – (7.26) pentru
simulare, acesta trebuie pus sub forma ecua Ńiilor de stare
[][][][] X A X B U = + & .
Ca și în cazul ma șinii asincrone, neglijând satura Ńia circuitului magnetic (inductivit ăŃile
constante) și considerând ca variabile de stare componentele cu rentului statoric ( isd , isq ) și
viteza unghiular ă a rotorului ωr,
1 2 3 , , sd sq r x i x i x = = =ω
iar ca m ărimi de intrare componentele tensiunii statorice și cuplul static
1 2 3 , , sd sq s u u u u u M = = = ,
se expliciteaz ă termenii ce con Ńin derivatele m ărimilor de stare, ob Ńinându-se în final
3 1 1 1
3 3 2 2 2 10
0
10sd s sq
sd s M
sq L R PL x x x u
PL x R K x x x u
L
− = ⋅ − ⋅ − +
&
&, (7.29)
( ) ( )3 2 1 2 3 3 1
M sd sq x K x P L L x x h x u J = ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ − − & . (7.30)
Modelul matematic al motorului sincron cu magne Ńi permanen Ńi descris de (7.29) și
(7.30) este valabil în cazul în care m ărimea de comand ă este tensiunea statoric ă, respectiv
componentele ( usd , usq ) ale acesteia.
De re Ńinut !
Modelul Park al ma șinii sincrone cu magne Ńi permanen Ńi (7.24) și (7.26).
Diferen Ńele între modelele ma șinilor sincrone cu poli îneca Ńi și cele cu
poli aparen Ńi.
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 103
Test de autoevaluare 7.2
Scrie Ńi modelul matematic Park al motorului sincron cu ma gne Ńi
permanen Ńi cu specificarea semnifica Ńiei termenilor.
Specifica Ńi ce m ărimi sunt variabilele de stare și care sunt mărimile de
comand ă.
Lucrare de verificare la Unitatea de înv ăŃare 7
Scrie Ńi modelul compact al ma șinii asincrone cu specificarea (NU
explicitarea) termenilor matriceali.
Specifica Ńi ce m ărimi sunt variabilele de stare și care sunt m ărimile de
comand ă. Valori particulare pentru motorul în scurtcircuit .
Scrie Ńi modelul matematic Park al motorului sincron cu ma gne Ńi
permanen Ńi cu specificarea semnifica Ńiei termenilor.
Specifica Ńi ce m ărimi sunt variabilele de stare și care sunt m ărimile de
comand ă. Lucrare de laborator 10
În cadrul lucr ării de laborator nr. 10 – SIMULAREA SISTEMULUI
DE AC łIONARE CU MOTOR SINCRON CU MAGNE łI
PERMANEN łI ȘI INVERTOR DE TENSIUNE CU CUREN łI
PRESCRI ȘI, se va realiza modelul Matlab-Simulink a sistemulu i de
ac Ńionare cu motor sincron cu magne Ńi permanen Ńi și invertor de tensiune
cu curen Ńi prescri și.
Lucrare de laborator 11
În cadrul lucr ării de laborator nr. 11 – SIMULAREA SISTEMULUI
DE AC łIONARE CU MOTOR SINCRON CU MAGNE łI
PERMANEN łI ȘI INVERTOR DE TENSIUNE CU MODULA łIE
ÎN DURAT Ă, se va realiza modelul Matlab-Simulink a sistemulu i de
ac Ńionare cu motor sincron cu magne Ńi permanen Ńi și invertor de tensiune
cu modula Ńie în durat ă.
7. Modele ale ma șinilor de c.a.
MODELARE ȘI SIMULARE – Curs și aplica Ńii 104
Concluzii
Modelul dinamic al unui ma șinii asincrone ob Ńinut prin aplicarea
metodicii descrise pentru motorul de c.c. conduce l a o form ă greu de
utilizat în practic ă.
Modelul matematic bifazat cu comutator al ma șinii asincrone este cel
utilizat pentru simulare. Se fac transform ări ale m ărimilor trifazate
în m ărimi bifazate și invers.
Pentru ma șinile sincrone cu magne Ńi permanen Ńi, modelul utilizat este
cel în referen Ńialul Park.
Bibliografie
1. Sergiu IVANOV, Modelare și simulare – sisteme electromecanice
și procese de mediu , Editura UNIVERSITARIA Craiova, ISBN
978-973-742-626-0, 2007.
2. Bastin, G.; Wertz, V. – Modélisation et analyse des systèmes
dynamiques . Curs. Universitatea Catolic ă Louvain-la-Neuve.
3. Soran, I.F.; Kisch, D.O.; Sîrbu, G.M. – Modelarea sistemelor de
conversie a energiei . Editura ICPE Bucure ști, 1998.
4. Bitoleanu, A.; Ivanov, S.; Popescu, M. – Convertoare statice ,
Editura Infomed, Craiova, 1997.
5. Vas, P. – Sensorless Vector and Direct Torque Control , Clarendon
Press, Oxford, 1998.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Informatic ă Industrial ă [600822] (ID: 600822)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.