Inelul Polinoamelor de O Nedeterminata Peste Un Corp Arbitrar

CUPRINS

– Introducere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Cap. I – ELEMENTE DE TEORIA INELELOR

· §I.1. Inele si morfisme de inele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6

· §I.2.Inele euclidiene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

· §I.3. Inele principale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …19

· §I.4. Inele factoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Capitolul II: INELUL POLINOAMELOR DE O NEDETERMINATA PESTE UN CORP ARBITRAR

· §II.1. Polinom de o nedeterminata peste un corp K. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

· §II.2. Relatia de divizibilitate in inelele de polinoame. . . . . . . . . . . . . . . …39

· §II.3. Algoritmul impartirii cu rest in inelele de polinoame. . . . . . . . . …42

· §II.4. Descompunerea in factori ireductibili in inelul K[X]. . . . . . . . . …47

Capitolul III. INELUL DE POLINOAME C[X]

· Proprietati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Capitolul IV. INELUL POLINOAMELOR R[X]

· §IV.1. Proprietati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62

· §IV.2. Proprietati referitoare la existenta radacinilor reale ale polinoamelor din

R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Capitolul V. INELELE DE POLINOAME Q[X] si Z[X]

· §V.1. Proprietati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..73

· §V.2. Radacinile polinoamelor din Z[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ……74

Capitolul VI. POLINOAME ORTOGONALE

1

· Polinoamele lui Legendre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . …78

· Polinoamele lui Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81

· Polinoamele lui Cebisev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .84

Capitolul VII. POLINOAME DE MAI MULTE NEDETERMINATE PESTE

UN CORP OARECARE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..88

Capitolul VIII. APLICA¸TII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..91

· Bibliografie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Introducere

Studiul polinoamelor si al ecuatiilor algebrice prezinta un interes deosebit,

datorita importantei lor pe plan teoretic precum si a multiplelor aplicatii.

Lucrarea realizeaza o prezentare sistematica a problemelor fundamentale din teoria poli-

noamelor, cum ar fi constructia inelului de polinoame peste un corp arbitrar, proprietatile acestui

inel, precum si caracterizarea unor inele de polinoame cu coeficienti din multimi particulare, cu

prezentarea proprietatilor specifice fiecarei structuri. Apar rezultate clasice importante, mai putin

atinse de programele analitice din liceu, cu exemplificari multiple si aplicatii reprezentative.

Primul capitol reprezinta introducere in teoria inelelor cu defini-

tiile si proprietatile acestora, precum si cu exemplificari.

In al doilea capitol am prezentat constructia inelului de polinoame de o nede-

terminata peste un corp arbitrar, am studiat relatia de divizibilitate in acest inel de

polinoame, algoritmul impartirii cu rest si descompunerea in factori ireductibili.

In capitolul al treilea am studiat inelul de polinoame cu coeficienti din C, prezentind teo-

rema fundamentala a algebrei, teorema lui Euler, precum si unele proprietati deosebite ale acestuia.

In capitolul al treilea am studiat inelul de polinoame R[X], prezentind

o serie de proprietati referitoare la existenta radacinilor reale prin teo-

remele lui Descartes, teorema lacunelor, teorema Budan-Fourier, etc.

In capitolul al patrulea am studiat inelele de polinoame Q[X] si Z[X] cu

prezentarea proprietatilor caracteristice ce le disting de celelalte clase de polinoame.

In capitolul V am prezentat cateva familii de polinoame speciale din K[X],

anume clasa polinoamelor ortogonale, demonstrand proprietatile lor fundamentale.

In finalul lucrarii am prezentat inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate peste un corp oare-

care.

2

Ultimul paragraf contine o prezentare sistematizata a aplicatiilor curente

din programa de liceu, constituind un veritabil ghid pentru cei intere-

sati in rezolvarea problemelor din manuale si culegeri de probleme.

Capitolul I. ELEMENTE DE TEORIA INELELOR

§I.1. INELE SI MORFISME DE INELE

Mul¸timea

Z a numerelor întregi înzestrata cu opera¸tiile de adunare si de înmul¸tire a servit ca baza aritmeticii, dar

si algebrei, în care, prin preluarea diferitelor proprieta¸ti ale acestei mul¸timi, s-au construit structuri noi.

Defini¸tie. Se nume¸ste inel, o mul¸time

nevida R, înzestrata cu doua legi de compozi¸tie notate de obicei aditiv si multiplicativ astfel încât:

[a.] R are o structura de grup abelian în raport cu legea aditiva;R are o structura de

semigrup în raport cu legea multiplicativa;legea multiplicativa este distributiva în raport

cu legea aditiva.

Pentru a nu complica scrierea, atunci când este posibil, vom folosi nota¸tiile “+” si “·”

pentru cele doua legi de compozi¸tie, prin analogie cu cele doua opera¸tii din mul¸timea numerelor

întregi. Convenim de asemenea sa scriem ab în loc de a · b. Elementul neutru al op-

era¸tiei aditive îl vom nota cu 0. Simetricul elementului a îl notam –a si îl numim opusul

lui a, iar în loc de a +(-b) îl notam pe scurt a – b. Condi¸tia c) din defini¸tie se scrie:

a(b + c) = ab + ac si (a + b)c = ac + bc,

pentru orice elemente a, b, c ale inelului R.

Un inel în care opera¸tia multiplicativa are element unitate va fi numit inel cu unitate

sau inel unitate iar elementul sau unitate, atunci când nu exista pericolul unei confuzii, va fi notat cu 1.

Daca

legea de compozi¸tie multiplicativa a inelului R este comutativa, atunci R se nume¸ste inel comutativ.

Pe o mul¸time R formata

dintr-un singur element a se poate defini o singura structura de inel, punând a + a = a · a = a. În acest caz

a = 1 = 0 si se nume¸ste inel nul. Un inel care con¸tine cel pu¸tin doua elemente se nume¸ste inel nenul.

Daca R este un inel unitar, atunci elementele

lui R simetrizabile în raport cu opera¸tia multiplicativa se numesc elemente inversabile sau unita¸ti ale

inelului. Inversul sau simetricul lui a se noteaza a−1. Mul¸timea unita¸tilor inelului se noteaza cu U(R)

si, a¸sa cum este cunoscut din cazul monoizilor, U(R) are o structura de grup în raport cu opera¸tia multi-

plicativa. Acest grup va fi numit grupul multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului R. Elementul

unitate 1 al inelului R este una din unita¸tile inelului R si are rol de element neutru în grupul U(R).

3

Din axiomele

inelului se pot deduce o serie de consecin¸te care de obicei sunt numite reguli de calcul într-un inel.

Propozi¸tie. Daca R este un inel, atunci:

[1.] a0 = 0a = 0, pentru orice a ∈ R;a(-b) = (-a)b = -(ab) si (-a)(-b) = ab, pentru orice a,b

∈ R;a(b – c) = ab – ac si (a – b)c = ac – bc, pentru orice a, b, c ∈ R;a =

abi, b= aib, unde n ∈ N, a, b, a1,. . . ,an, b1,. . . ,bn ∈ R. În particular a(nb) =

(na)b = n(ab); · = aibj , unde n, m ∈ N, a1,. . . ,an, b1,. . . ,bn

∈ RDaca R este un inel comutativ, a si b sunt elementele din R si n ∈ N, atunci are loc formula

binomului lui Newton:

(a + b)n = an−ibi.

Demonstra¸tie. Din rela¸tia 0 + 0 = 0 rezulta a(0 + 0) = a0 sau a0 +

a0 = a0 si adunând în ambii membri –(a0) se ob¸tine a0 = 0. Analog se demonstreaza rela¸tia 0a = 0. Din

rela¸tia b + (-b) = 0 rezulta a(b + (-b)) = a0 sau ab + a(-b) = 0, de unde a(-b) = -(ab). Analog se arata ca

(-a)b = -(ab). Daca în ultima rela¸tie înlocuim b cu –b si ¸tinem seama de proprietatea -(-x) = x, ob¸tinem

(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab.

Rela¸tia 3) se ob¸tine prin calcul:

a(b – c) = a(b + (-c)) = ab + a(-c) = ab + (-(ac)) = ab – ac.

Rela¸tia 4) se demonstreaza prin induc¸tie dupa n

∈ N. Pentru n = 0, rela¸tia devine a · 0 = 0. Presupunând egalitatea adevarata pentru un numar natural n,

a =a = a bi + abn+1 = abi + abn+1 = abi.

Rela¸tia se demonstreaza prin induc¸tie dupa m, iar rela¸tia 6) se demonstreaza prin induc¸tie dupa n.

Daca în inelul unitar R, 1 = 0 atunci R este inel nul. Într-adevar, pentru orice element a ∈ R, avem:

4

a = 1 · a = 0 · a = 0.

Prin urmare, condi¸tia 1 = 0 este necesara si suficienta ca un inel sa fie nul.

Daca pentru

inelul unitar nenul R are loc rela¸tia U(R) = R \ 0 , atunci spunem ca R se nume¸ste corp comutativ.

Din propozi¸tie, rezulta ca

daca in produsul ab , unul din factori este 0, atunci produsul este 0. Este posibil si cazul în care produsul

este 0 fara ca vreunul din factorii sai sa fie 0. Ace¸sti factori se numesc divizori ai lui zero. Mai precis:

Defini¸tie. Elementul a ∈ R se

nume¸ste divizor la stânga (la dreapta) al lui zero daca exista b ∈ B, b = 0, astfel încât ab = 0 (ba = 0).

Daca

inelul R este comutativ, atunci no¸tiunile de divizor la stânga si divizor la dreapta al lui zero coincid.

Daca a ∈ R nu este divizor

la stânga (la dreapta) al lui zero si b,c ∈ R, atunci ab = ac (ba = ca) rezulta b = c. Într-adevar, din ab =

ac se ob¸tine a(b – c) = 0, de unde b – c = 0 sau b = c. Analog se demonstreaza si pentru cazul al doilea.

Defini¸tie. Un inel R nenul comutativ,

unitar si fara divizori ai lui zero diferi¸ti de zero se nume¸ste domeniu de integritate sau inel integru.

Din observa¸tia precedenta rezulta ca într-un

domeniu de integritate, ambii membri ai unei egalita¸ti pot fi simplifica¸ti prin acela¸si element nenul.

Sa consideram câteva exemple pentru no¸tiunile definite pâna aici.

o

adunare si înmul¸tire este un inel integru. Unita¸tile acestui inel sunt 1 si –1.

2o. Mul¸timile Q, R, C în raport cu opera¸tiile obi¸snuite de adunare si înmul¸tire sunt corpuri comutative.

3o. Mul¸timea Z[i] = z ∈ C | z = m + ni , m, n ∈ Z în raport

cu opera¸tiile obi¸snuite de adunare si înmul¸tire a numerelor complexe este un domeniu de integritate.

Unita¸tile acestui inel sunt +1, -1, +i, -i. Inelul Z[i] poarta numele de inelul întregilor lui Gauss. A¸sa cum

vom vedea în capitolul V, inelul Z[i] mai are si alte proprieta¸ti asemanatoare cu proprieta¸tile inelului Z.

4o. Fie A si B doua inele în care opera¸tiile sunt notate

cu “+” si “·”. Produsul cartezian A x B se poate înzestra în m od natural cu o structura de inel definind:

(a,b) + (c,d) = (d + c,b+d)

(a,b) · (c,d) = (ac,bd).

Verificarea axiomelor structurii de inel a lui A x B

nu prezinta nici o dificultate. Inelul ob¸tinut se nume¸ste produsul direct al inelelor A si B. Perechea (0,0)

este elementul neutru la adunare al inelului A x B. Daca a ∈ A, b ∈ B, atunci elementele (a,0) si (0,b)

sunt divizori ai lui zero în inelul A x B. Într-adevar, (a,0) · (0,b) = (0,b) · (a,0) = (a0,0b) = (0,0). Daca A

si B sunt inele unitare, atunci A x B este inel unitar si elementul sau unitate este (1,1). În aceasta pereche

5

Thank you for using Wondershare PDFelement.

You can only convert up to 5 pages in the trial version.

To get the full version, please purchase the program here: