Inele Si Ideale
CUPRINS
Introducere …………………………………………………………………………………………..1
Capitolul I – INELE SI IDEALE
1.1. Inele.Subinele …………………………………………………………………………………….1
1.2. Ideale. Inel factor
1.2.1. Ideale. Operatii cu ideale ……………………………………………………………..3
1.2.2. Inelul factor ……………………………………………………………………………….5
1.3. Homomorfisme de inele ……………………………………………………………………..6
1.4. Exemple de clase de inele
1.4.1. Produs direct de inele ………………………………………………………………….9
1.4.2. Inelul opus al unui inel ………………………………………………………………10
1.4.3. Centrul unui inel ………………………………………………………………………10
1.4.4. Inelul de endomorfisme al unui grup abelian ………………………………..10
1.4.5. Inele de matrici …………………………………………………………………………11
1.4.6. Inele monoidale. Inele grupale …………………………………………………….13
1.4.7. Inele de polinoame …………………………………………………………………….15
1.4.8. Algebre ……………………………………………………………………………………17
1.5. Elemente nilpotente. Ideale prime. Nilradicalul ………………………………..18
1.6. Elemente idempotente ……………………………………………………………………..21
Capitolul II – CLASE PARTICULARE DE INELE
2.1. Inele semisimple ………………………………………………………………………………22
2.2. Inele noetheriene si artiniene ……………………………………………………………23
2.3. Exemple de inele noetheriene si artiniene
2.3.1. Inele generalizate de matrici triunghiulare …………………………………..25
2.3.2. Inelul stramb al polinoamelor …………………………………………………….29
2.4. Module injective peste inele noetheriene …………………………………………..30
2.5. Nilideale in inele noetheriene ……………………………………………………………30
2.6. Module de lungime finita …………………………………………………………………33
2.7. Inele locale ………………………………………………………………………………………36
2.8. Idempotenti pentru o descompunere ………………………………………………..37
2.9. Descompunerea inelului …………………………………………………………………..38
Capitolul III – STRUCURI TOPOLOGICE ALE IDEALELOR UNUI INEL
3.1. Preradicali si radicali
3.1.1. Preradicali ……………………………………………………………………………………..43
3.1.2. Radicali. Proprietati ale radicalilor ……………………………………………..44
3.2. Teorii de torsiune …………………………………………………………………………….46
3.3. Corespondenta intre radicali idempotenti si teoriile de torsiune ………..48
3.4. Exemple de teorii de torsiune
3.4.1. Teoria de torsiune a lui Dickson ………………………………………………….49
3.4.2. Teoria de torsiune a lui Goldie ……………………………………………………49
3.4.3. Ideale dense si teoria de torsiune a lui Lambek ……………………………..50
3.5. Module reflexive ………………………………………………………………………………52
3.6. Pretopologii si topologii aditive …………………………………………………………55
3.7. Module F-injective
3.7.1. Module F-injective ……………………………………………………………………57
3.7.2. Anvelope F-injective ………………………………………………………………….58
3.8. Inele si module de caturi
3.8.1. Constructia inelelor si modulelor de caturi …………………………………..58
3.8.2. Module F-inchise ………………………………………………………………………66
3.9. Laticea submodulelor F-saturate
3.9.1. Laticea ………………………………………………………………………..69
3.9.2. Laticea …………………………………………………………………………73
3.9.3. Imaginea directa a unei topologii ………………………………………………..75
Capitolul IV – INELE NOETHERIENE DEPLIN MARGINITE. MODULE ARTIN-RESS
4.1. Inele notheriene deplin marginite …………………………………………………….77
4.2. Topologii pentru un inel noetherian deplin marginit …………………………81
4.3. Module Artin –Ress si topologii stabile …………………………………………….82
4.4. Rezultate auxiliare in localizarea comutativa ……………………………………85
4.5. Topologiile pentru un inel noetherian comutativ ………………………..87
=== CAPITOLUL I ===
CAPITOLUL I
INELE SI IDEALE
1.1.Inele.Subinele
Pe parcursul lucrarii prin termenul de inel vom intelege ceea ce in literatura matematica se numeste inel asociativ si unitar.
Definitie.Un inel este o multime R avand cel putin doua elemente pe care s-au definit doua operatii binare : o adunare (a,b) a + b si o inmultire (a,b) ab si care satisfac urmatoarele conditii:
i) R impreuna cu operatia de adunare este grup abelian;
ii) a(b + c) = ab + bc si (b+c)a = ba + ca,(distributivitatea inmultirii fata de adunare);
iii) a(bc) = (ab)c , (asociativitatea inmultirii);
iv) Exista un element 1,numit identitatea lui R cu proprietatea:
a 1 = 1 a = a,.
Din conditia i) rezulta ca exista un element neutru fata de adunare pe care il vom nota cu zero (numit elementul zero sau nul) (deci a + 0 = 0 + a = a, ).
Daca , vom nota cu – a (numit opusul lui a) inversul elementului a fata de operatia de adunare. Vom scrie in loc de a + (-b), a – b. Se verifica imediat egalitatile:
0 a = a0 = 0, ;
a(-b) = (-a)b = -(ab), ;
a(b – c) = ab – ac , ;
(-a)(-b) = ab, .
Din aceste egalitati rezulta ca 1 0.
Se vede imediat din ii) si iv) ca un inel R este un monoid fata de operatia de inmultire. Daca operatia de inmultire intr-un inel este comutativa, inelul se numeste comutativ.
Fie R un inel si un element .Elementul a se numeste regulat la stanga(respectiv la dreapta) daca din egalitatea xa = 0 (respectiv ax= 0) rezulta x = 0.Elementul se numeste regulat (sau nondivizor al lui zero) daca este regulat la stanga si la dreapta. Un element care nu este regulat la stanga (respectiv la dreapta), se numeste divizor la dreapta (respectiv la stanga).
Elementul se numeste inversabil la stanga (respectiv la dreapta) daca exista astfel incat = 1, (respectiv = 1). Daca este inversabil si la stanga si la dreapta , exista si astfel incat si . Se vede imediat ca . Acest lucru ne permite sa numim un element care este inversabil si la stanga si la dreapta, simplu inversabil.Elementul cu proprietatea se va numi inversul lui a si il vom nota . Un inel R in care orice element nenul este regulat se numeste domeniu de integritate.
Un inel in care orice element nenul este inversabil se numeste corp. Este clar ca orice corp este un domeniu de integritate.
Exemple.
1) multimea numerelor intregi impreuna cu operatiile de adunare si inmultire obisnuite este un inel comutativ care nu este domeniu de integritate.
2) multimea numerelor rationale cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire este un corp comutativ.
3) multimea numerelor reale cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire este un corp comutativ.
4) multimea numerelor complexe si , impreuna cu operatiile obisnuite de adunare si inmultire este un corp comutativ.
5) multimea cuaterniorilor unde
si unde operatiile sunt definite prin egalitatile:
si
este un inel cu 1+i0+j0+k0,elemental identitate.
Se verifica usor relatiile:
Daca , atunci exista unde are proprietatea ca . Deci x este inversabil si deci este un corp necomutativ.
Fie R un inel. O submultime nevida S a lui R se numeste subinel daca contine identitatea lui R si , , pentru orice . Se constata imediat ca o submultime nevida S a lui R este subinel daca contine identitatea lui R si este inel fata de restrictia operatiilor de adunare si inmultire din R la multimea S. Daca S este un subinel al lui R vom nota . Din exemplele de mai sus avem relatiile:
H.
Daca este o familie de subinele ale lui R, atunci este un subinel al lui R. Fie X o submultime a lui R, atunci , unde F este multimea subinelelor lui R ce contin pe X, este un subinel ce se numeste subinel generat de multimea X si este cel mai mic subinel (relative la relatia de incluziune) ce contine pe X.
1.2. Ideale. Inel factor
1.2.1. Ideale. Operatii cu ideale
Fie R un inel; o submultime nevida I a lui R se numeste ideal stang daca si si .
Prin ideal drept al lui R intelefem o multine nevida I a lui R astfel incat si , si .
Prin ideal bilateral (sau simplu ideal) al lui R intelegem o multime nevida I a lui R care este in acelasi timp ideal stang si ideal drept. Multimile {0} si R sunt ideale bilaterale in R. Idealul bilateral {0} se numeste idealul zero si se noeaza simplu cu 0.
Daca R este inel comutativ, conceptele de ideal stang, ideal drept si ideal bilateral coincide.
Un ideal stang, ideal drept, ideal bilateral al lui R se numeste propriu daca este diferit de R. Este clar ca un ideal stang (respectiv drept, bilateral) I a lui R este propriu daca si numai daca . Un inel R in care singurul ideal bilateral propriu este idealul zero se numeste inel simplu.
Fie X, Y doua submultimi ale inelului R. Definim multimea
Daca I este un ideal stang in R si Y o multime arbitrara a lui R, atunci se considera imediat ca IY este un ideal stang al lui R. Analog, daca J este un ideal drept in R si X o multime arbitrara a lui R, atuci XJ este un ideal drept a lui R. Daca I si J sunt ideale bilaterale, atunci IJ este un ideal bilateral a lui R.
Daca X este o submultime arbitrara a lui R, atunci idealul stang RX (respectiv idealul drept XR, respectiv idealul bilateral RXR) se numeste ideal stang (respectiv drept, bilateral) generat de multimea X. Cand X= convenim ca .
Daca R este comutativ, atunci RX=XR=RXR. In particular putem considera cazul cand X={a}; atunci idealele R{a}, {a}R, R{a}R se vor nota mai simplu Ra, respectiv aR, respectiv RaR si se vor numi respectiv idealul stang principal generat de a, idealul drept principal generat de a si idealul bilateral generat de a. idealul RaR se mai noteaza si (a). Un inel R in care orice ideal stang (respectiv drept) este principal la stanga (respectiv principal la dreapta) se numeste inel principal stang (respectiv principal drept).
Fie o familie de ideale stangi (respectiv drepte, respectiv bilaterale) ale lui R. Atunci multimea este un ideal stang (respectiv drept, respeciv bilateral) a lui R.
De asemenea definim multimea:
astfel incat .
Se verifica imediat ca aceasta multime este un ideal stang (respectiv drept, respectiv bilateral).
Idealul se numeste suma familiei de ideale . Daca I este ideal stang (respectiv drept, bilateral) si o familie de ideale stangi (respectiv drepte, bilaterale), atunci au loc egalitatile:
(1)
(2)
Propozitie. Fie R o multime si X submultime a lui R. Atunci:
1) ,
unde A este multimea idealelor stangi ce contin multimea X;
2) ,
unde B este multimea idealelor drepte ce contin pe X;
3) ,
unde C este multimea idealelor bilaterale ce contin pe X.
Demonstratie.
1) Prima egalitate rezulta din definitia multimii RX. Cum , atunci si deci are loc egalitatea .
2) Se demonstreaza analog.
3) Din relatia (2) obtinem egalitatea . Cum atunci si deci evident .
1.2.2. Inelul factor
Fie R un inel si I un ideal bilateral propriu al lui R. Pe multimea Rdefinim relatia binara ,,” in modul urmator:
daca si numai daca .
Se verifica usor ca aceasta relatie este de echivalenta. In acest caz putem vorbi de clasa de echivalenta a elementului ca fiind multimea:
.
(In literatura matematica clasa de echivalenta a+I se mai noteaza si sau , etc.).
Consideram multimea claselor de echivalenta notata cu R/I:
.
Pe multimea R/I definim operatiile:
(a+I)+(b+I)=(a+b)+I,
(a+I)(b+I)=ab+I.
Este usor de vazut ca cele doua operatii sunt bine definite si R/I devine un inel. Elementul identitate al inelului R/I este 1+I. Inelul R/I se numeste inelul factor al lui R modulo idealul I.
Daca R este comutativ, atunci R/I este inel comutativ.
Exemplu. Fie Z inelul intregilor rationali si n un numar natural. Consideram idealul principal Zn; atunci putem vorbi de inelul factor Z/Zn care se noteaza cu . Este usor de vazut ca elementele lui sunt:
={0+Zn, 1+ Zn ,…,(n-1) +Zn}.
este inel comutativ avand n elemente.
1.3. Homomorfisme de inele
Definitie. Fie R, S doua inele. O aplicatie se numeste homomorfism (sau morfism) de inele daca sunt indeplinite conditiile:
i)
ii)
iii) ;
oricare ar fi .
(Notam cu 1 elementul identitate atat in R cat si in S).
Propozitie. 1) Daca R este un inel, atunci aplicatia identica este un homomorfism de inele.
2) Daca S este subinel al lui R, atunci aplicatia incluziune este un morfism de inele.
3) Daca R, S, T sunt trei inele si si homomorfisme de inele, atunci este homomorfism de inele.
Un homomorfism de inele se numeste izomorfism daca exista un homomorfism de inele astfel incat
(1.3.a) si .
Homomorfismul este unic si se noteaza cu . Daca inelele R si S sunt izomorfe, vom scrie . Daca este un izomorfism de inele, se numeste si automorfism al lui R.
Propozitie. Fie un homomorfism de inele.Atunci este izomorfism daca si numai daca este bijectie.
Demonstratie. Daca este izomorfism, este bine cunoscut din teoria multimilor ca relatiile (1.3.a) implica este bijectie. Presupunem ca este bijectiva. Fie functia inversa a lui ; este suficient de probat ca este homomorfism.
Fie ; cum este surjectiva, exista astfel incat si . Deci si . Putem sa scriem:
si
de unde
.
Cum este injectiva, atunci .
Analog si
, de unde si cum este injectiva, atunci . Este usor de vazut ca .
Deci putem afirma ca este homomorfism de inele.
Daca este homomorfism de inele, vom nota cu
si .
Este usor de vazut ca este un subinel al lui S iar este un ideal propriu bilateral al lui R. Idealul se numeste nucleul homomorfismului .
Propozitie. Fie un homomorfism de inele. Atunci:
1) este injectiv daca si numai daca ;
2) este surjectiv daca si numai daca .
Propozitie. Fie un homomorfism de inele.
1) Daca este un subinel al lui R, atunci este un subinel al lui S.
) Daca este un subinel al lui S,atunci este un subinel al lui R.
2) Daca este surjectiva, atunci pentru orice ideal stang (respective drept, bilateral) din R, este un ideal stang (respectiv drept, bilateral) in S.
2) Daca J este un ideal stang (respectiv drept, bilateral) al lui S, atunci este ideal stang (respectiv drept, bilateral) al lui R.
Corolar. Fie un homomorfism surjectiv de inele. Atunci aplicatia este o bijectie intre multimea idealelor stangi (respectiv drepte,bilaterale) a lui S si multimea idealelor stangi (respectiv drepte,bilaterale) a lui R ce contin pe .
Demonstratie. Este clar ca pentru orice ideal stang, drept sau bilateral al lui S. Cum este surjectie, atunci are loc egalitatea . Fie I un ideal din R astfel incat atunci daca si deci exista astfel incat de unde obtinem . Din incluziunea deducem ca adica are loc incluziunea . Cum are loc intotdeauna, obtinem . Din aceasta egalitate si din egalitatea obtinem imediat demonstratia corolarului.
Teorema. Fie R, S, inelele si , morfisme de inele cu surjectiv. Daca , atunci exista un unic morfism de inele astfel incat , adica diagrama
R S
u
S’
este comutativa.
In plus u este injectiva daca si numai daca .
Demonstratie. Fie ; cum este surjectiv,exista astfel incat . Definim prin egalitatea . Daca este un alt element pentru care , atunci si , deci , de unde obtinem .Acest lucru ne arata ca aplicatia u este bine definite.
Nu este nici o dificultate sa se arate ca u este homomorfismde inele.Din modul cum a fost definita u rezulta ca . Fie y; cum este surjectiv, atunci exista astfel incat . Atunci . Deci ceea ce ne arata unicitatea lui u.
Daca u este injectiv si daca , atunci
de unde adica si deci .
Invers, presupunem ca . Daca astfel incat u(y)=0 si daca , atunci de unde adica si deci . Prin urmare ceea ce ne arata ca u este injectiv.
Fie R un inel si I un ideal propriu bilateral al lui R. Am construit mai sus (in paragraful 1.2.) inelul factor R/I. Functia este un homomorfism surjectiv de inele. Homomorfismul se va numi surjectia canonica (sau naturala).
Corolar. Fie un homomorfism de inele. Atunci exista un izomorfism unic de inele astfel incat diagrama
R S
i
sa fie comutativa, adica unde este surjectia canonica, iar i homomorfismul incluziune.
Demonstratie. Consideram morfismul de inele definit prin . Cum , din teorema precedenta rezulta ca exista un unic homomorfism de inele astfel incat . Tot din teorema stim ca u este injectie. Cum este surjectiv, atunci u este si el surjectiv si deci izomorfism. Este clar ca .
1.4. Exemple de clase de inele
Am vazut in paragraful 1.2 ca fiind dat un inel R si I un ideal propriu bilateral al lui R, am obtinut un nou inel, R/I, numit inelul factor. In cele ce urmeaza vom prezenta alte cateva moduri de a obtine noi clase de inele.
1.4.1. Produs direct de inele
Fie o familie nevida de inele. Fie produsul cartezian al acestei familii. pe R definim doua operatii:
pentru oricare si .
Se verifica imediat ca R cu aceste operatii devine un inel unde elemental nul 0 si identitatea 1 a lui r sunt functiile definite prin:
si .
Daca notam atunci r este familai de elemente . Operatiile definite mai sus se transcriu astfel:
Inelul R astfel obtinut se noteaza si se numeste produsul direct al familiei .
Este clar ca proiectiile canonice definite de egalitatile sunt homomorfisme surjective de inele. Daca in familia avem oricare ar fi , atunci inelul este multimea
cu operatiile
si .
Acest inel il vom nota tot cu sau .
Avem de considerat cazul particular cand . In acest caz inelul se noteaza cu (adica multimea tuturor sistemelor de n-elemente in care adunarea si inmultirea se face pe componente).
Cand , atunci scriem in loc de .
1.4.2. Inelul opus al unui inel
Fie R un inel.Putem sa definim un nou inel notat cu in modul urmator: ca multime coincide cu R, operatia de adunare din este aceeasi din R iar operatia de inmultire, notata cu ,,” este data de egalitatea: .
Este clar ca este un inel avand acelasi element identitate ca al lui R. Egalitatea R= are loc daca si numai daca R este un inel comutativ.
Importanta definirii inelului opus al unui inel se va vedea o data cu introducerea notiunii de modul peste un inel.
1.4.3. Centrul unui inel
Fie R un inel. Multimea este un subinel comutativ al lui R care poarta denumirea de centrul inelului R. R este comutativ daca si numai daca . Este clar ca .
1.4.4. Inelul de endomorfisme al unui grup abelian
Fie G un grup abelian. Prin endomorfism al lui G intelegem o aplicatie avand proprietatea
f(x+y)=f(x)+f(y), oricare ar fi .
Sa notam cu sau simplu multimea endomorfismelor lui G. Daca , atunci functia
este un endomorfism al lui G pe care in notam cu f+g. Daca pe definim operatia de adunare se verifica imediat ca devine un grup abelian in care elemental neutru este endomorfismul oricare ar fi , iar simetricul lui f este (-f) definit prin egalitatea
(-f)(x)=-f(x), .
Daca pe grupul consideram ca operatie de inmultire, compunerea devine un inel avand ca element identitate endomorfismul identic al lui G, Inelul astfel obtinut se numeste inelul endomorfismelor grupului G.
1.4.5. Inele de matrici
Fie R un inel si I, J doua multimi nevide. Prin -matrice cu elementele din R vom intelege o functie . Daca notam . In acest caz matricea A o vom scrie
sau mai simplu daca nu este pericol de confuzie . Fie , atunci restrictia functiei la multimea se numeste submatrice a lui A. Daca luam , atunci . Fie o matrice cu si .Atunci submatricile si se numesc i-linia lui A respectiv j-coloana lui A.
Multimea – matricilor peste R o vom nota cu . Daca I=J vom scrie mai simplu . Elementele lui se numesc I-matrici patratice.
Daca , atunci familia de elemente se numeste diagonala matricii A. Pe multimea se poate introduce operatia de adunare: daca , sunt din , atunci
.
Este clar ca cu operatia de adunare a matricilor devine un grup abelian.
O matrice se numeste de linie finita (respectiv de coloana finita) daca fiecare linie a sa (respectiv coloana) are numai un numar finit de elemente nenule. Vom nota cu (respectiv ) multimea matricilor de linie finita (respectiv de coloana finita).
Este clar ca daca I si J sunt multimi finite, atunci
.
Fie I, J, K trei multimi nevide. Daca si daca A este o matrice linie finita sau B este o matrice coloana finita, atunci
si se numeste produsul matricilor A si B.
Se verifica simplu ca operatia de inmultire are sens in multimile si .
Propozitie. Multimile , cu operatiile de adunare si inmultire a matricilor sunt inele.
Demonstratie. Observam ca , sunt subgrupuri in fata de operatia de adunare.
Daca sunt elemente (sau din ), atunci
si deci
adica inmultirea este asociativa. Pe de alta parte
Analog se arata ca (A+B)C=AC+BC si deci au loc si legile de distributivitate.
Se observa ca matricea (unde este simbolul lui Kronecker) este element identitate pentru inmultire.
Pentru cazul particular cand I={1,2,…,m} si J={1,2,…,n} multimea matricilor o vom nota simplu . Elementele din se vor numi matrici dreptunghiulare cu m-linii si n-coloane cu elemente din R. Multimea , unde I={1,2,…,m}, o vom nota simplu , si elementele sale le vom numi matrici patratice de ordin m. Daca putem considera elementele din , unde este matricea cu si pentru . Se verifica imediat egalitatile
si
Daca R este comutativ, atunci pentru este un inel necomutativ cu divizori ai lui zero. Intr-adevar, si deci . De asemenea, daca .
1.4.6. Inele monoidale. Inele grupale
Fie R un inel si G un monoid (adica o multime nevida pe care s-a definit o operatie asociativa, avand element unitate). Daca este o functie arbitrara, atunci definim
.
Multimea supp(f) se numeste suportul functiei f. Daca supp(f) este o multine finita, atunci vom nota .
Fie multimea
Pe multimea R[G] definim adunarea , unde . Aceasta operatie are sens deoarece . Fata de operatia de adunare multimea R[G] este un subgrup in grupul R[G]. Definim pe multimea R[G] operatia de inmultire data de egalitatea
(1.4.6.a)
Deoarece supp(f) si supp(g) sunt multimi finite, atunci are sens suma (1.4.6.a).
Daca f, g, h apartine lui R[G] atunci
de unde (fg)h=f(gh) si deci operatia de inmultire este asociativa. Este simplu de verificat ca operatia de inmultire este distributiva (la stanga si la dreapta) fata de operatia de adunare.
Fie functia definita prin egalitatea:
Este clar ca si oricare ar fi adica este elementul identitate in R[G]. Deci R[G] este un inel; acest inel poarta denumirea de inelul monoidal asociat lui R in G. In cazul cand G este grup, atunci R[G] se numeste inelul grupal asociat lui R in G.
Ramanem la cazul cand G este monoid. Definim aplicatia astfel: (1.4.6.b)
Se observa ca este un homomorfism de inele injectiv. Definim aplicatia prin egalitatea:
(1.4.6.c)
Se constata ca De asemenea se observa ca este injectiva.
Fie ; daca vom nota
Din (1.4.6.a) obtinem
Atunci rezulta ca
(1.4.6.d)
Scrierea lui f sub forma (1.4.6.d) este unica.
Deoarece si sunt injective, vom ferifica cu si cu . In acest caz f se scrie in mod unic sub forma simpla
(1.4.6.e)
Deci putem considera R[G] ca fiind multimea expresiilor de forma
Operatiile de adunare si inmultire se transcriu in felul urmator
si
.
1.4.7. Inele de polinoame.
Fie monoidul al numerelor intregi nenegative cu operatia de adunare. Fie I o multime nevida arbitrara. Notam cu submultimea lui formata din sirurile in care pentru toti indicii i in afara de un numar finit. (Daca I este finita, atunci ). este un monoid fata de adunare:
avand ca element neutru pe
Daca R este un inel arbitrar, putem considera inelul monoidal Vom adopta urmatoarele notatii:
Fie aplicatia din (1.4.6.c.). Daca , atunci consideram elementul din in care . Pentru acest element luam
.
Daca este un element arbitrar din , atunci imaginea prin este (produsul are sens deoarece numai un numar finit din elementele sunt nenule).
Acum daca tinand cont de (1.4.6.e), f se scrie in mod unic sub forma
unde si numai un numar finit din elementele sunt nenule.
Definitie. Inelul grupal relative la inelul R si monoidul se numeste inelul de polinoame reelativ la nedeterminatele si cu coeficienti din R. Acest inel se noteaza cu simbolul . Elementele acestui inel se numesc polinoame.
Am dat in (1.4.7.a) expresia polinoamelor
Elementele se numesc coeficientii polinomului f. Polinoamele de forma se numesc monoame. Deci orice polinom este o suma finita de monoame. Daca I este o submultime finita in N, atunci in loc de, , vom scrie , unde , elementele fiind scrise in ordine crescatoare. Daca I este o multime formata dintr-un singur element, atunci inelul de polinoame se noteaza R[X].
Noi, prin aplicatia injectiva data de (1.4.6.b), identificam inelul R cu un subinel din . Elementele din R se vor numi polinoame constante.
Propozitie. Fie un morfism de inele I, J doua multimi nevide iar o aplicatie. fie o familie de elemente din S astfel incat
.
Atunci exista un morfism de inele
astfel incat
Demonstratie. Daca este un polinom din atunci definim
.
Se verifica usor ca este un homomorfism de inele. Rezulta ca si este unic cu aceste proprietati.
Corolar. Fie un morfism de inele I, J doua multimi nevide iar o aplicatie arbitrara. Atunci exista, un unic morfism de inele
astfel incat prelungeste pe , iar polinomul din inelul ii corespunde prin polinomul din inelul . Daca in plus si sunt injective (respectiv surjective, bijective), atunci este injectiva (respectiv surjectiv, bijectiv).
Demonstratie. Rezulta din propozitia anterioara si din unicitatea scrierii unui polinom sub forma (1.4.7.a).
Corolar. Fie R un inel, I o multime nevida si o submultime nevida a lui I. Atunci exista un homomorfism unic, injectiv de inele astfel incat prelungeste aplicatia identica a lui R, si pentru, orice , polinomul din inelul ii corespunde polinomul din inelul .
Acest corolar ne permite sa identificam inelul cu subinelul al lui . Facand aceasta identificare putem sa scriem egalitatea
.
Tot din propozitia anterioara se obtine:
Corolar. Exista un izomorfism canonic de inele
care prelungeste aplicatia identica a lui R.
Fie un inel de polinoame in nedeterminatele . Consideram monomul . Prin gradul acestui monom intelegem suma . Cum orice polinom este o suma finita de monoame, atunci vom defini gradul lui f ca fiind mazimul gradelor monoamelor sale. Acest numar se noteaza cu grad(f). Daca f este polinomul zero, vom conveni ca grad(f)=-. Se verifica imediat ca pentru doua polinoame au loc relatiile:
.
Daca atunci
.
Daca R este un domeniu de integritate, atunci
si deci in particular rezulta ca inelul este un domeniu de integritate.
1.4.8. Algebre.
Fie R un inel comutativ, S un inel si un morfism de inele. Daca atunci vom spune ca tripletul (R, S, )sete o R-algebra.
Exemple. 1) Fie S un inel arbitrar. Definim prin egalitatea . Este evident ca si deci tripletul (R, Z, ) este Z-algebra.
2) Fie R un inel comutativ si inelul matricilor patratice de ordinul n peste R.
Definim , A, unde daca si daca .
Se observa ca .
Tripletul este o R-algebra.
3) Fie R un inel comutativ si G un monoid. Aplicatia injectiva data de (1.4.6.b) defineste pe o structura de R-algebra.
O data cu definirea notiunii de modul peste un inel, vom da o alta definitie notiunii de algebra.
1.5. Elemente nilpotente. Ideale prime. Nilradicalul
Fie R un inel; un element se numeste nilpotent daca exista un numar natural astfel incat:
.
Cel mai mic numar natural n(x) cu proprietatea se numeste indicele de nilpotenta al acestui element.
Exemple. 1) In inelul R, elemental 0 este nilpotent.
2) Fie R un inel si inelul matricilor patratice de ordinul
Atunci matricile pentru orice si cu pentru orice cu sunt elemente nilpotente in inelul .
Daca , atunci din egalitatile
si
rezulta ca (1-x) este inversabil in R.
Un element se numeste tare nilpotent daca pentru orice sir de elemente din R astfel incat exista un numar natural k astfel incat (deci pentru ).
Propozitie. Orice element din R tare nilpotent este nilpotent.
Demonstratie. Fie tare nilpotent.Consideram sirul unde . Este evident ca si Deci exista un numar natural k pentru care ceea ce ne arata ca x este nilpotent.
Observatie. Daca R este inel comutativ, atunci orice element nilpotent este tare nilpotent.
Fie A o submultime nevida a lui R; spunem ca A este nilpotenta daca exista un intreg astfel incat Tinand cont de paragraful, A este nilpotenta in R daca si numai daca exista un intreg astfel incat pentru orice .
Submultimea A a lui R se numeste nil daca orice element al lui A este nilpotent. Cand A este ideal (stang, drept, bilateral) obtinem notiunea de ideal nilpotent respectiv nilideal.
Definitie. Un ideal bilateral propriu P al lui R se numeste prim daca pentru orice doua ideale bilaterale I, J ale lui R din incluziunea rezulta ca sau .
Un inel R in care idealul zero este prim se numeste inel prim.
Este evident ca orice inel simplu este prim. Multimea idealelor prime din inelul R se noteaza cu Spec(R) si se numeste spectrul inelului R.
Propozitie. Fie R un inel si P un ideal bilateral propriu al lui R. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) P este prim;
2) Pentru oricare doua elemente din incluziunea rezulta ca sau ;
3) Pentru orice ideale stangi (respectiv drepte), I, J, ale lui R din incluziunea rezulta sau .
Demonstratie. 1)2). Din relatia obtinem ca si deci sau de unde razulta ca sau .
2)3). Presupunem ca I si J sunt ideale stangi. Daca exista astfel incat . Daca atunci
si deci . Cum y este arbitrar, obtinem
3)1). Este evident.
Definitie. Intersectia tuturor idealelor prime din inelul R se numeste nilradicalul lui R si se noteaza cu . Deci .
Un inel R pentru care =0 se numeste semiprim.
Teorema. Fie R un inel. Atunci coincide cu multimea tuturor elementelor tare nilpotente din R.
Demonstratie. Fie tare nilpotent. Presupunem ca . Atunci exista un ideal prim P astfel incat . Luam . Cum exista astfel incat . Deoarece , atunci si deci exista un astfel incat
Continuand rationamentul obtinem sirul cu , si oricare ar fi ceea ce contrazice faptul ca elementul x este tare nilpotent. Deci trebuie ca .
Invers, fie . Presupunem ca x nu este tare nilpotent; exista un sir astfel incat , si pentru orice .
Fie . Deci . Consideram idealul bilateral P care este maximal in multimea idealelor bilaterale care nu intersecteaza multimea S (un astfel de element exista conform lemei lui Zorn). Esta clar ca . Sa dovedim ca P este prim; pentru a demonstra acest lucru consideram I, J doua ideale bilaterale din R astfel incat si . Din maximalitatea lui P rezulta ca .
Fie si . Putem presupune ca . Rezulta ca si deci
. Cum atunci Din propozitia anterioara rezulta ca P este prim.
Propozitie. Fie un morfism surjectiv de inele.Daca , atunci si asocierea este o bijectie de la SpecS pe multimea idealelor prime ale lui R ce contin pe .
Demonstratie. Fie asatfel incat . Atunci si din 1.5.5. obtinem sau de unde sau . Deci . Fie cu . Sa aratam ca este prim in S. Fie cu Cum este surjectie, atunci iar si atunci de unde . Cum , atunci de unde sau si atunci sau . In continuare se aplica primul corolar din paragraful 1.3. si propozitia este demonstrata.
Corolar. Un ideal bilateral P este prim in inelul R daca si numai daca R/P este un inel prim. In particular cand R este comutativ, P este prim daca si numai daca R/P este domeniu de integritate.
Demonstratie. Daca este surjectie canonica, atunci . Se aplica in continuare propozitia anterioara.
Corolar. Fie un morfism surjectiv de inele. Atunci:
a)
b) Daca , atunci .
Demonstratie.Din propozitia anterioara avem ca unde F este multimea idealelor prime ale lui R ce contin pe . Cum este surjectie, atunci de unde rezulta imediat a) si b).
Corolar. Daca R este un inel, atunci
Demonstratie. Se aplica corolarul anterior, punctual b) pentru surjectia canonica .
Propozitie. Fie R un inel. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) Orice ideal stang (respectiv drept sau bilateral) nilpotent este zero.
2) adica este un inel semiprim.
Demonstratie. 2)1) rezulta din 1.5.5.
1)2) Fie , . Luam . Atunci idealul nu este nilpotent. Deci exista Cum , atunci idealul nu este nilpotent si deci . Exista continuand, obtinem sirul cu si . Deci x nu este tare nilpotent, contradictie.
1.6. Elemente idempotente
Fie R un inel. Un element se numeste idempotent daca . Orice inel are cel putin doua elemente idempotente: 0 si 1.
Un element idempotent care apartine centrului inelului se numeste idempotent central.
Daca e si f sunt elemente idempotente din R, atunci ele se numesc ortogonale daca ef=fe=0.
Daca e este idempotent, atunci din egalitatea: rezulta ca si 1-e este idempotent.
Cum obtinem ca e si 1-e sunt ortogonali. Un element idempotent se numeste primitive daca e nu se poate scrie ca suma a doua elemente idempotente ortogonale nenule. Daca e este un element idempotent din R, atunci multimea eRe cu operatiile de adunare si inmultire din R restrictionate la eRe este un inel, avand element identitate pe e.
=== CAPITOLUL II ===
CAPITOLUL II
CLASE PARTICULARE DE INELE
2.1. Inele semisimple
Definitie. Un inel R se numeste semisimplu daca R-modulul stang este semisimplu.
Observatie. Deoarece 1 genereaza modulul , atunci R este semisimplu daca si numai daca este suma directa finita de ideale stangi minimale.
Definitie. Fie R un inel si I un ideal stang (respective drept, bilateral) al lui R. I se numeste minimal daca si I este un R-modulul stang (respective drept, bilateral).
Teorema. Fie R un inel. Atunci, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
R este semisimplu;
este semisimplu;
Orice R-modul stang este semisimplu;
Orice R-modul stang este proiectiv;
Orice R-modul drept este injectiv ;
Orice sir exact de forma de R-module stangi este scindabil;
Exista un R-modul stang semisimplu care este generator;
R este artinian la stanga si ;
R este noetherian la stanga si regulat in sens von Neumann;
s.g.l. .
In plus aceste afirmatii sunt adevarate daca inlocuim ,,stang” cu ,,drept”.
Corolar. Daca R este un inel semisimplu, orice R – modul stang simplu este izomorf cu un ideal minimal. In particular rezulta ca exista un numar finit de tipuri de module simple (stangi).
Demonstratie. Fie S un R – modul simplu (stang). Atunci S R/M, unde M este un ideal stang maximal. Dar , unde I este ideal minimal. Atunci SR/MI.
Daca sunt ideale minimale, atunci orice ideal minimal I este izomorf cu unul dintre . Deci numarul de tipuri de module simple este cel mult n, deci un numar finit de tipuri.
Observatie. Daca R este semisimplu, componentele izotipice ale modulului sunt identice cu componentele izotipice ale lui , de aceea le vom numi mai simplu componentele izotipice ale inelului R.
Propozitie. Daca R este inel semisimplu, componentele izotipice ale lui R coincid cu multimea idealelor bilaterale nenule minimale ale lui R. In plus orice ideal bilateral este o suma (finita) de ideale bilaterale minimale.
Definitie. un inel R se numeste simplu daca singurele sale bilaterale sunt 0 si R. Un inel R care este simplu si artinian il vom numi inel simplu artinian.
Propozitie. Pentru un inel R sunt echivalente afirmatiile:
R este simplu artinian;
R este semisimplu si este izotipic;
R este semisimplu si exista un singur tip de modulesimple.
Teorema. Un inel R este semisimplu daca si numai daca exista inelele simple artiniene astfel incat R. In plus, n numarul de tipuri de module simple este egal cu numarul de ideale bilaterale minimale nenule ale lui R.
Demonstratie. Fie componentele izotipice ale modulului . Stim ca . , unde idempotent central si R (vom demonstra mai tarziu). Astfel, este usor de vazut ca inelele , sunt simple artiniene.
Invers, presupunem ca R, unde sunt simple si artiniene. Cum orice ideal stang I al inelului este de forma unde un ideal stang in ,, si cum sunt simple, atunci I este sumand direct in , deci este semisimplu si deci si R este semisimplu. Partea a doua a teoremei rezulta din demonstratia primei parti.
2.2. Inele noetheriene si artiniene
Definitie. Un inel R se numeste noetherian (respective artinian) la stanga, daca R-modulul stang este noetherian (respectiv artinian). Inelul R se numeste noetherian (respectiv artinian) la dreapta, daca inelul opus este noetherian (respectiv artinian) la stanga.
Propozitie. Fie R un inel. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
R este noetherian (respectiv artinian) la stanga;
Orice R-modul stang finit generat este noetherian (respectiv artinian);
Exista un generator noetherian (respectiv artinian) pentru R-module stangi.
Corolar. Daca R este un inel noetherian (respectiv artinian) la stanga, atunci R este un IBN-inel.
Corolar. Daca R este un inel noetherian (respectiv artinian) la stanga, atunci R este un l.c. inel(neartinian) la stanga.
Corolar. Daca R este un inel noetherian (respectiv artinian) la stanga, orice inel factor al lui R si orice inel de factori la stanga (daca exista ) este noetherian (respectiv artinian).
Corolar. Daca R este un domeniu de integritate si noetherian (respectiv artinian) la stanga, atunci R este si domeniu Ore la stanga (corp).
Teorema HILBERT A BAZEI. Daca R este un inel noetherian la stanga, atunci inelul este noetherian la stanga.
Exemple.
Z si K[X],unde K este corp, sunt noetheriene dar nu sunt artiniene.
Z – modulul este artinian, dar nu este noetherian.
Observatie. Fie numar prim, , submodul al lui Q si . Notam =/Z si avem:
Pentru orice exista astfel incat ny=x;
Daca este un subgrup propriu, exista astfel incat H este generat de clasa lui . In particular H este ciclic.
nu are submodule maximale;
are un unic Z – submodul minimal;
Daca cu n nu divide p, homotetia a lui este un izomorfism.
este de torsiune si divizibil;
Orice submodul nenul al lui este si essential si superfluu.
Inelul este artinian si noetherian la stanga, dar nu este artinian si nici noetherian la dreapta.
K corp nu este noetherian.
2.3. Exemple de inele noetheriene si artiniene
2.3.1. Inele generalizate de matrici triunghiulare
Fie R, S doua inele si un bimodul. Notam cu
care cu operatiile de adunare pe componente si inmultirea matricilor devine un inel, numit inelul generalizat de matrici triunghiulare.
Sa determinam mai intai toate idealele stangi ale acestui inel. Daca V este un R – submodul al lui atunci formeaza un ideal stang al lui T.
Daca I este un ideal stang in S, atunci multimea nu formeaza un ideal stang dar idealul genearat de aceasta multime este
.
Rezulta ca cu W=V+MI si este un ideal stang.
Propozitie. Idealele stangi ale lui T sunt exact submultimile de forma unde V este R – submodul al lui iar I este un ideal stang in S, astfel incat .
Demonstratie. Implicatia am demostrat-o mai sus.
Fie un ideal stang in T si fie
.
este un R – submodul al lui . Pentru orice ,
adica . Notam cu
I este un ideal stang in S si . Atunci .
Observatie. Submodulul al lui si idealul stang I al lui S sun tunic determinate de .
Fie aplicatiile injective:
Rezulta ca sunt ideale bilaterale in T.
Aplicatiile surjective
sunt morfisme de inele pentru care si . In plus, .
Propozitie.
1) si
.
Aplicatia este o corespondenta bijectiva care pastreaza incluziunile de la R-submodulele (respectiv S-submodulele) lui M, in multimea idealelor stangi (respectiv drepte) care sunt continute in ale lui T.
este un ideal stang (respectiv drept) finit generat in T daca si numai daca M este un R-modul stang (respectiv drept) finit generat.
Demonstratie. 1). Din rezulta ca fiind ideal nilpotent. Deoarece , rezulta ca , de unde
.
Fie Deoarece si inversabil in R si 1-s inversabil in S. Fie pentru care si . Atunci
si
Deci elementul este inversabil si la stanga si la dreapta, deci inversabil. Rezulta ca .
2). Daca N este un R- submodul al lui , evident este un ideal stang al lui T inclus in . Cum este injctiv,rezulta ca asocierea este injective si din prima propozitie rezulta ca este si surjectiva.
3). Presupunem ca M este R-modul stang finit generat, cu generatorii Fie , cu Atunci
si
este un sistem de generatori pentru idealul privit ca ideal stang.
Invers, daca , este un sistem de generatori pentru idealul privit ca ideal stang, atunci daca avem
.
Corolar. Inelul T este noetherian (respectiv artinian) la stanga daca si numai daca R, S sunt noetheriene (respectiv artiniene) la stanga si M este un R-modul finit generat.
Demonstratie. Daca T este noetherian la stanga, atunci este finit generat ca ideal stang si deci M este R-modul finit generat. Cum , rezulta ca este noetherian la stanga, deci R si S sunt noetheriene la stanga.
Invers, presupunem ca R si S sunt noetheriene la stanga si M este R-modul finit generat. Atunci este un T –modul stang noetherian..Cum este un T- modul stang noetherian rezulta ca T este un T-modul stang noetherian, adica T este inel noetherian la stanga.
Corolar. Inelul T este noetherian (respectiv artinian) la dreapta daca si numai daca R, S sunt noetheriene (respectiv artiniene) la dreapta, iar M este un S-modul finit generat.
Corolar. T este l.c. inel (semiartinian, semiprimar) la stanga daca si numai daca R, S sunt l.c. inele (semiartinian, semiprimar) la stanga.
Exemple.
1) este noetherian la stanga, dar nu este noetherian la dreapta.
2) este noetherian la dreapta dar nu este noetherian la stanga.
3) este artinian la stanga dar nu este artinian la dreapta.
4) este artinian la dreapta dar nu este artinian la stanga.
Observatie. 1), 2), 3), 4) sunt l.c. inele la stanga si la dreapta, dar 1), 2) nu sunt semiartiniene nici la dreapta , nici la stanga.
5) este semiprimar si nu este artinian nici la stanga, nici la dreapta.
2.3.2. Inelul stramb al polinoamelor
Fie R un inel si un morfism injectiv de inele.
Definitie. O -derivare (la stanga) a lui R este o aplicatie astfel incat:
Consideram inelul al polinoamelor cu coeficientii in R si intr-o singura nedeterminata X. este un R-modul stang liber cu baza , deci orice element din se scrie in mod unic sub forma cu . Pe structura de grup abelian al R-modulului liber stang , definim operatia de inmultire data de regula: .
cu aceasta operatie devine un inel, pe care il notam cu si care se numeste inelul stramb al polinoamelor determinate de si .
Observatie. Daca =0 scriem , daca scriem iar daca =0 si atunci obtinem R[X].
Fie . Daca , atunci numarul n se va numi gradul lui f si notam grad f = n. Elementul este termenul principal al polinomului f. Daca R este domeniu de integritate, atunci este domeniu de integritate.
Teorema. Fie un automorfism de inele si o -derivare. Daca R este noetherian la stanga (respectiv la dreapta) atunciinelul este noetherian la stanga (respectiv la dreapta).
Corolar. (Teorema Hilbert a bazei). Daca R este noetherian la stanga atunci R[X] este noetherian la stanga.
Corolar. Daca R este un domeniu ore la stanga, este un automorfism al lui R, iar este o -derivare, atunci este un domeniu Ore la stanga.
2.4. Module injective peste inele noetheriene
Teorema CARTAN EILENBERG MATLIS PAPP. Daca R este un inel, sunt echivalente afirmatiile:
1) R este noetherian la stanga;
2) Orice limita inductiva fillianta de module stangi injective este un injectiv;
3) Orice suma directa de module stangi injective este un injectiv;
4) Orice modul injectiv este o suma directa de submodule injective si indecompozabile.
Corolar. Fie R un inel comutativ si noetherian. Atunci:
1) Daca Q este un modul injectiv indecompozabil, exista un ideal prim , unic, astfel incat ;
2) Orice modul injectiv Q este izomorf cu o suma directa de forma , unde sunt ideale prime ale lui R.
2.5. Nilideale in inele noetheriene
Fie R un inel.
Definitie. O submultime A a lui R cu proprietatea ca , si se numeste subinel(fara unitate) al lui R.
Observatie. Orice ideal stang (respectiv drept, bilateral) este un subinel fara unitate al lui R.
Definitie. Daca orice element al subinelului fara unitate A este nilpotent, atunci spunem ca A este un nilsubinel al lui R.
Definitie. Un ideal stang (respectiv drept, bilateral) I al lui R se numeste ideal anulator la stanga (respectiv dreapta) daca exista astfel incat (respectiv ).
Lema. Fie R un inel. Daca este nilpotent, unde au proprietatea ca , atunci .
Demonstratie. Se observa ca . Cum xy este nilpotent, exista n astfel incat si . Daca , atunci . Dar , de unde.Daca , atunci , de unde . Cum , atunci . Deci .
Teorema SHOCK. Presupunem ca inelul R satisface conditia lanturilor ascendente pentru ideale anulatori la stanga. Fie un nilsubinel care nu este nilpotent. Atunci exista un sir de elemente din A, astfel incat:
1)
2) oricare ar fi si este directa.
Demonstratie. Consideram sirul ascendant
Exista pentru care . Notam . Cum A este nilpotent, atunci , deci exista ,. Alegem astfel incat este maximal in multimea . Daca atunci sau de unde , este maximal in multimea . Prin inductie putem construe un sir de elemente din A astfel incat este maximal in multimea .
Sirul are urmatoarele proprietati:
1) oricare ar fi .
Intr-adevar, daca , atunci . Daca , atunci si .
Cum , atunci apartine familiei de ideale . Deci incluziunea este o contradictie. Deci trebuie ca .
2) oricare ar fi .
Intr-adevar, avem evidenta incluziunea .
Cum , atunci incluziunea stricta ar fi o contradictie pentru alegerea elementului .
3) pentru orice .
4) Daca pentru un anume , atunci din 1) rezulta ca oricare ar fi . Dar atunci . Din faptul ca , atunci si din lema (o putem aplica deoarece j>0) obtinem ca . Deoarece contrazice alegerea lui . Deci trebuie ca daca j>0. Ramane cazul j=0, dar atunci si ceea ce implica . Cum , atunci exista k, , de unde obtinem imediat ca ceea ce contrazice alegerea lui . Deci si in cazul j=0 avem .
Pentru a verifica teorema noastra, notam . Din 3) avem ca pentru orice . Cum , atunci si , deci prima afirmatie din teorema este verificata.
Fie
cu .
Rezulta si tinand cont de 3) obtinem ca de unde . Din 2) rezulta si deci si continuand rationamentul obtinem ca si deci si afirmatia a doua din teorema este verificata.
Corolar HERSTEIN – SMALL. Daca inelul R satisface conditia lanturilor ascendente pentru ideale anulatori la stanga si ideale anulatori la dreapta, atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. In particular orice nilpotent stang (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.
Corolar LANSKI. Daca R este un inel Goldie, atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. In particular, orice nilideal stang (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.
Corolar LEVITZKI. Daca R este noetherian la stanga atunci orice nilsubinel al lui R este nilpotent. In particular, orice nilideal stang (respectiv drept, bilateral) este nilpotent.
Lema. Fie R un ideal artinian la stanga; atunci radicalul Jacobson Rad R este nilpotent.
Teorema HOPKINS. Daca R este artinian la stanga, atunci R este noetherian la stanga.
Demonstratie. Notam cu J=Rad R radicalul Jacobson. Exista astfel incat . Din prima teorema de la paragraful 2.1, inelul R/J este semisimplu, deci noetherian.
Vom proceda prin inductie dupa n. Daca n=1, J=0 si deci R este semisimplu, deci noetherian. Fie sirul exact de R-module stangi
(**)
Cum =0, atunci are o structura de R/J- modul stang deci este semisimplu. Cum este R-modul artinian, atunci este de lungime finita, deci este R-modul noetherian.
Cum radicalul Jacobson al inelului este egal cu si cum , atunci din ipoteza de inductie rezulta ca inelul este noertherian la stanga. Rezulta atunci ca este si R-modul stang noetherian. Din (**) obtinem ca R este noetherian.
2.6. Module de lungime finita
Fie M un R-modul stang nenul.
Definitie. Se numeste sir de compozitie sau sir Jordan-Hölder al lui M un lant finit strict ascendant de submodule
cu proprietatea ca sunt module simple, . Numarul n se numeste lungimea sirului, iar modulele , se numesc factori ai sirului.
Propozitie. Fie M un R-modul. Sunt echivalente afirmatiile:
1) M este un sir de compozitie;
2) M este noetherian si artinian;
3) M este noetherian si semiartinian.
Corolar. Daca este un sir exact, atunci M admite un sir de compozitie daca si numai daca si admit cate un sir de compozitie.
Definitie. Doua siruri de compozitie ale lui M:
si
se numesc echivalente daca n=p si exista o bijectie
astfel incat
Teorema JORDAN-HÖLDER. Daca M are doua siruri de compozitie:
(1) si
(2)
atunci ele sunt echivalente.
Demonstratie. Demonstram prin inductie dupa n. Daca n=1 atunci M este R – modul simplu si este singurul sir de compozitie al lui M. Presupunem afirmatia adevarata pentru modulele care admit un sir de compozitie de lungime cel mult n-1 si o demonstram pentru modulele cu siruri de compozitie de lungime n.
Daca atunci sirurile si sun echivalente si cum , atunci sirurile date in relatiile (1) si (2) sunt echivalente.
Presupunem . Deoarece este maximal in MM, avem de unde
(3)
(4)
Rezulta ca este maximal in si in . Din ultimul corolar are un sir de compozitie.
.
Atunci avem sirurile de compozitie
(5)
(5’)
(6)
(6’)
Ca in primul caz rezulta ca (5) si (5’) sunt echivalente. Deci . Atunci are un sir de compozitie de lungime cel mult n-1 si rezulta ca (6) si () sunt echivalente. Din (3) si (4) obtinem ca si deci (5) si (6) sunt echivalente. Rezulta deci ca si (5) si () sunt echivalente, adica (1) si (2) sunt echivalente.
Definitie. Un R-modul M care admite un sir de compozitie se numeste modul de lungime finita. Lungimea sirurilor sale de compozitie (aceeasi pentru orice sir) se numeste lungimea lui M si se noteaza cu long(M). Daca M=0, luam long(M)=0. Daca M nu admite nici un sir de compozitie, atunci spunem ce M este de lungime infinita si scriem long(M)= .
Propozitie. Daca este un sir exact de module cu M de lungime finita, atunci
.
Definitie. Fie si . Fie sirurile de compozitie:
in
in .
Este usor de vazut ca
este un sir de compozitie al lui M de lungime n+p.
Corolar. Daca M este modul de lungime finita, iar K si L sunt doua submodule ale sale, atunci
.
Demonstratie. Din izomorfismul K+L/KL/ obtinem ca
. Din sirurile exacte:
si
si proprietatile anterioare avem
Corolar. Fie M un R-modul de lungime finita si submodule ale lui M astfel incat . Atunci :
.
Propozitie. Fie M un R-modul de lungime finita si . Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) f este monomorfism;
2) f este epimorfism;
3) f este automorfism.
Propozitie LEMA FITTING. Daca M este un R-modul de lungime finita si , atunci exista astfel incat:
.
Demonstratie. Exista astfel incat si . Fie si astfel incat
.
Atunci
,
de unde .
Daca si
Corolar. Daca M este un R-modul de lungime finita indecompozabil si , atunci f este sau nu automorfism sau este un element nilpotent in (adica exista astfel incat , deci ).
Corolar. Daca M este un R-modul de lungime finita indecompozabil atunci este local.
Demonstratie. Fie astfel incat f+g este inversabil. Atunci exista , h automorfism asfel incat . Daca g nu este inversabil, atunci gh nu este inversabil si deci astfel incat . Dar atunci
deci 1-gh=fh este invarsabil. Rezulta ca f este inversabil.
Teorema KRULL-SCHMIDT. Fie M un modul nenul de lungime finita. Atunci M are o descompunere indecompozabila . Daca este o alta descompunere indecompozabila finita, atunci n=p si exista o bijectie astfel incat .
2.7. Inele locale
Propozitie. Fie R un inel. Sunt echivalente afirmatiile:
1) R are un singur ideal stang maximal;
2) R are un singur ideal drept maximal;
3) Multimea elementelor neinversabile din R formeaza un ideal bilateral;
4) Daca si a+b este inversabil, atunci a sau b este inversabil.
Demonstratie. Fie I singurul ideal stang maximal. Daca I nu este bilateral, atunci exista astfel incat . Cum Ia este ideal stang , rezulta ca Ia=R , deci exista cu ba=1. Cum , atunci R(1-ba)=R, adica exista astfel incat c(1-ba)=1. Obtinem , contradictie. Deci I este bilateral. Rezulta imediat ca in inelul S=R/I orice element nenul este inversabil la stanga deci S este corp. De aici obinem ca I este singurul ideal maximal.
Simetrie.
Fie , unde I este singurul ideal stang maximal. Cum I este ideal maximal stang si drept, atunci Ra=R si aR=R. Deci a este ireversibil si la stanga si la dreapta, deci inversabil. Cum orice element din I este neinversabil, atunci I coincide cu multimea elementelor neinversabile din R.
Implicatia este clara.
Fie I un ideal stang maximal in R si , un ideal stang maximal. Atunci . Deci . Deci sau a sau b este inversabil, adica I=R sau R=I, contradictie.
Definitie. Un inel R care satisface una din cerintele echivalente din propozitia anterioara se numeste inel local.
Corolar. Daca R este un inel local, atunci 0 si 1 sunt singurele elemente idempotente din R.
Demonstratie. Daca si , atunci din rezulta ca e sau 1-e este inversabil. Cum e(1-e)=0, obtinem o contradictie.
Corolar. Fie un R-modul stang astfel incat inelul este local. Atunci M este indecompozabil.
Corolar. Fie Q un R-modul stang injectiv. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) este local;
2) Q este indecompozabil.
Demonstratie. Evident.
Fie cu f,g. Rezulta imediat ca . Daca , atunci anvelopa injectiva a lui Kerg esteun submodul in Q. Dar . Cum Q este indecompozabil si injectiv, rezulta ca, si deci f este izomorfism, adica un element inversabil din local.
2.8. Idempotenti pentru o descompunere
Presupunem ca M are o descompunere directa (interna) . Atunci pentru fiecare , deci exista un unic idempotent cu si .
Definitie. Numim idempotentii idempotenti pentru o descompunere si pentru fiecare , numim idempotentul pentru in aceasta descompunere.
Propozitie. Fie submodule ale modulelor M. Atunci daca si numai daca exista o multime indexata (necesar finita) de endomorfisme idempotente ale lui M, asfel incat , si . Mai mult, daca endomorfismele idempotente ale lui M exista, atunci este idempotentul pentru in descompunerea .
Definitie. O multime de idempotenti se numeste ortogonala daca .
Corolar. Idempotentii pentru o descompunere sunt ortogonali. Mai mult, daca , atunci pentru aproape toti si .
Definitie. O multime finita ortogonala de idempotenti ai unui inel R se numeste completa daca .
Corolar. Fie submodule ale lui M. Atunci exista o multime completa (necesar unica) de idempotenti ortogonali din cu .
2.9. Descompunerea inelului
Pentru fiecare inel R exista trei module regulate si fiecare are propria teorie de descompunere.
Multiplicarea la dreapta si multiplicarea la stanga sunt izomorfisme de inele , .
Propozitie. Un ideal stang I al inelului R este sumand direct al lui daca si numai daca exista un idempotent astfel incat . Mai mult, daca este un idempotent, atunci 1-e este idempotent si si sun complementi directi unul altuia, adica .
Propozitie. Fie deale stangi ale inelului R. Atunci urmatoarele afirmatii despre R-modulul sunt echivalente:
1) ;
2) Fiecare element are o unica exprimare unde ;
3) Exista o multime completa (necesar unica) de idempoteni ortogonali in R cu .
Observatie. , atunci adica , .
Definitie. Un element idempotent este primitiv daca este nenul si nu poate fi scris ca o suma , de idempotenti ortogonali nenuli.
Definitie. Un ideal stang (respectiv drept) al lui R este primitiv daca este de forma Re (respectiv eR) pentru un idempotent primitiv .
Deoarece inelul de epimorfisme al lui Re este izomorf cu eRe avem:
Corolar. Fie un idempotent nenul, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) e este un idempotent primitiv;
2) Re este un ideal stang primitiv al lui R;
3) eR este un ideal drept primitiv al lui R;
4) Re este un sumand direct indecompozabil al lui ;
5) eR este un sumand direct idecompozabil al lui ;
6) inelul eRe, are exact un idempotent nenul, anume e;
Corolar. Pentru un inel R, modulul regulat stang este o suma directa de ideale stangi primitive daca si numai daca exista o multime completa de idempotenti primitivi ortogonali pe perechi in R cu .
Presupunem ca R are o descompunere ca suma directa de ideale, unde fiecare este un ideal bilateral nenul al lui R. Atunci exista o multime unica de idempotenti nenuli origonali pe perechi, in R cu .
Pentru fiecare I, deoarece si este un ideal avem . Astfel, daca , atunci
.
Asadar, pentru fiecare avem
Asfel spus, fiecare este un idempotent central si fiecare este un inel cu unitatea . Reciproc, daca este o multime ortogonala de idempotenti centrali nenuli ai lui R cu , evident fiecare este un ideal al lui R si .
Observand de asemenea ca aceasta este o descompunerea lui R ca modul drept si ca binomul . Cand R are o astfel de descompunere, spunem ca R este o suma directa de inele a idealelor , numim sumanzi directi de inele ai lui R si scriem .
Spunem ca aceasta este o descompunere de inel a lui R.
Presupunem acum ca R este o suma directa de inel a idealelor si ca idempotentii centrali asociati. Este usor de aratat ca aplicatia definita prin este un izomorfism de inele de la R, pe produsul cartezian al inelelor . Reciproc, daca este un sir finit de inele si daca sunt injectiile canonice ale inelelor pe produsul , aunci
.
Desigur, aici idempotentii centrali cu ai acestei descompuneri sunt chiar , imaginile naturale ale unitatilor inelelor . In concluzie avem:
Propozitie. Fie ideale bilaterale nenule ale lui R. Atunci, sunt echivalente afirmatiile:
a) ;
b) ;
c) Ca grup abelian, R este suma directa a lui ;
d) Exista idempotentii centrali ortogonali pe perechi cu si .
Definitie. Un inel R se numeste indecompozabil daca el nu are nici o descompunere de inel cu mai mult de un termen.
Corolar. Un inel este un inel indecompozabil daca si numai daca 1 este singurul idempotent central nenul din R.
In general un inel nu admite o descompunere de inel in inele indecompozabile. Dar daca o astfel de descompunere exista, atunci ea este unica:
Propozitie. Fie o descompunere de inele a lu R cu fiecare indecompozabil ca inel. Fie idempotenti centrali ai acestei descompuneri. Daca este o descompunere de ienl a lui R cu idempotentii centrali asociati , atunci o partitie a lui {1,2,…,n} astfel incat . In particular.
Exista o clasa importanta de inele care au descompunerea ca sume directe de inele indecompozabile, anume acele inele R pentru care modulul are o descompunere ca suma directa de ideale stangi primitive. Intr-adevar, pntru un astfel de ine R exista o metoda pentru determinarea descompunerii de inel indecompozabile (necesar unica) a lui R din oricare din descompunerile sale stangi. Tresupunem ca are o descompunere ca suma directa de ideale stangi primitive. Aceasta inseamna ca exista o multime completa de idempotenti primitivi, ortogonali pe perechi in R. Fie . Pe E definim o relatie ,,~” prin daca si numai daca exista cu . Atunci ~ este o relatie pe multimea E, reflexiva si simetrica. Ea poate fi extinsa la o relatie de echivalenta notata ,,” definita prin daca si numai daca exista un sir astfel incat .
Se observa ca daca este un idempotent central nenul si , atunci si sunt idempotenti ortogonali, si este primitive, astfel ca . Rezulta ca daca , atunci .
Astfel, daca , atunci . Aceasta se extinde la faptul ca : daca atunci .
Fie clasele de echivalenta relative ,,” in E si pentru fiecare fie , suma idempotentilor din clasele . Atunci fiecare este un idempotent nenul al lui R si multimea este ortogonala pe perechi cu . Acesti idempotenti se numesc idempotenti bloc ai lui R si inelele sunt blocurile lui R determinate de E. Ca o consecinta a rezultatului urmator acesti idempotenti bloc si blocurile lor sunt independenti de idempotentii primitivi E.
Teorema descompunerii bloc. Fie R un inel a carui identitate poate fi scrisa ca o suma de idempoenti primitivi ortogonali pe perechi si fie idempotentii bloc ai lui R determinati de . Atunci sunt idempotenti centrali orogonali pe perechi cu . Mai mult, fiecare bloc este un inel indecompozabil si este o descompunere (necesar unica) a lui R, in inele indecompozabile.
Demonstratie. sunt ortogonali pe perechi si . Daca , atunci din modulul de definire al relatiei ,,~”, . Atunci pentru orice avem
.
Astfel, fiecare u este central. Pentru a termina demonstratia este suficient sa demonstram ca este unicul idempotent central nenul al lui . Daca, presupunem prin absurd ca, exista un idempotent central nenul , cu , atunci si sunt idempotenti centrali nenuli, ortogonali in R cu si . Daca este clasa lui in , trebuie sa existe . Deoarece si sunt primitivi, aceasta inseamna ca si . Dar deoarece , rezulta si ceea ce contrazice faptul ca .
Teoria de descompunere a inelului R si a modulelor sale regulate stangi si drepte R si sunt echivalente cu aceea a idempotentilor sai. Deoarece idempotenta se pastreaza prim morfismele de inel, sumanzii directi ai lui R, duc la sumanzi directi ai inelelor factor ale lui R.
Propozitie. Fie I un ideal propriu al inelului R. Daca este un idempotent (central) al lui R, atunci e+I este un idempotent (central) al inelului factor R/I si atat ca R – modul stang, cat si ca R/I – modul stang avem:
.
In particular, daca este o multime ortogonalade perechi de idempotenti ai lui R cu , atunci
.
Atat ca module R – stangi, cat si ca R/I – module stangi.
=== CAPITOLUL III ===
CAPITOLUL III
STRUCURI TOPOLOGICE ALE IDEALELOR UNUI INEL
3.1. Preradicali si radicali
3.1.1. Preradicali
Fie R un inel si R-Mod categoria R-modulelor la stanga.
Definitie. Se numeste preradical al lui R-Mod, un functor cu proprietatea ca , pentru orice si daca este un morfism in R-Mod, atunci este restrictia lui f la r(M).
r este preradical, daca el este un subfunctor al functorului identitate al lui R-Mod.
Din definitie rezulta ca pentru a defini un preardical r al lui R-Mod este suficient a da asocierea avand proprietatile:
1) oricare ar fi ;
2) Daca este un morfism in R-Mod, atunci .
Notam cu clasa tuturor preradicalilor lui R-Mod. Daca avem daca oricare ar fi . Relatia este o relatie de ordine pe .
Fie o familie de elemente din . Definim preradicalii si in modul urmator:
si .
In multimea ordonata , preradicalii si sunt inferiorul, respectiv superiorul familiei , deci este o latice completa.
Daca , definim preradicalii si in modul urmator: pentru oricare si este un submodul al lui M ce contine pe astfel incat .
Propozitie. Daca , atunci si apartin lui .
Definitie. Fie ; r se numeste:
idempotent, daca =r, oricare ar fi ;
radical, daca , oricare ar fi ;
exact la stanga, daca pentru orice cu , avem .
Observatie. Daca este exact la stanga, atunci r este idempotent.
Propozitie. Daca si M este suma directa interna a familiei de submodule , atunci .
3.1.2. Radicali. Proprietati ale radicalilor
Fie R un inel. Un preradical se numeste radical, daca .
Propozitie. Fie r un radical al lui R-Mod si iar L un submodul al lui M cu . Atunci .
Demonstratie. Fie surjectia canonica. Atunci . Cum , obtinem ca .
Fie este surjectia canonica cu . Atunci , de unde rezulta ca si deci si egalitatea .
Propozitie.
1) Daca sunt radicali ai lui R-Mod, atunci este radical;
2) Daca este o familie de radicali, atunci este un radical.
Demonstratie. 1) , din propozitia anterioara obtinem ca . Aplicand obtinem ca:
si deci este radical.
2) Notam . Pentru orice avem . Din prima propozitie obtinem de unde
si deci de unde rezulta ca r este un radical.
Teorema. Fie r un preradical al lui R-Mod. Atunci:
1) Exista un preradical astfel ca ; este idempotent si este cel mai mare cu aceste proprietati;
2) Exista cel mai mic radical cu proprietatea ca .
Lema. 1) Daca sunt doi preradicali idempotenti, atunci este un preradical idempotent.
2) Daca este o familie de preradicali idempotenti, atunci este un preradical idempotent.
Demonstratie. 1) Din rezulta ca:
. Cum este idempotent, obtinem ca si deci . Atunci
de unde rezulta ca si deci .
2) Notam . Pentru orice avem de unde si deci .
Dar atunci . Deci .
Corolar. Cu notatiile din teorema anterioara sunt adevarate afirmatiile:
Daca r este preradical idempotent, atunci este idempotent;
Daca r este radical. atunci este un radical.
Propozitie. Daca r este preradical al categoriei R-Mod, mai exact la stanga, atunci este exact la stanga.
Demonstratie. Fie M un R – modul si N submodul al lui M. Se demonstreaza usor ca pentru orice ordinal . Cum , atunci
este ceea ce ne arata ca este exact la stanga.
3.2. Teorii de torsiune
Definitie. O pereche de clase nevide de R – module stangi se numeste teorie de torsiune pe categoria R – Mod daca:
1) , pentru orice ;
2) T si F sunt mazimale in raport cu proprietatea 1).
Conditia 2) se traduce astfel: daca iar verifica conditia 1), atunci si .
este o teorie de torsiune in categiria R – Mod daca si numai daca sunt indeplinite conditiile:
1’) , oricare ar fi ;
2’) , oricare ar fi .
Dfinitie. Daca este o teorie de torsiune pe R – Mod, atunci este inchisa la sume directe, in timp ce F este inchisa la produse directe.
Propozitie. Fie si F doua clase nevide de R-module stangi. este o teorie de torsiune daca si numai daca si F satisfac urmatoarele conditii:
a) ;
b) este inchisa la imagini omomorfe, adica daca si , atunci ;
c) F este inchisa la submodule, adica daca cu , atunci ;
d) Pentru orice R – Mod, exista un submodul astfel incat .
Demonstratie. Daca este o teorie de torsiune, atunci conditiile a), b) si c) rezulta imediat. Fie R – Mod. Consideram , unde este o familie de submodule ale lui M ce se gasesc in T. Cum , aunci . Daca , exista si un morfism nenul . Fie . Cum , atunci . Din sirul exact
,
pentru orice se obtine sirul exact:
.
Cum primul si ultimul termen sunt zero, atunci si cum F verifica conditia 1’), atunci . Dar atunci si deci , absurd.
Invers, presupunem ca T si F sunt doua clase nevide de module ce satisfac conditiile a), b), c) si d).
Fie ; daca exista astfel incat , atunci exista un morfism . Dar atunci din b) rezulta si din c) obtinem ca . Deci din a) urmeaza ca , absurd. Invers, fie R – Mod si , oricare ar fi . Din d) are loc sirul exact
cu si . Daca luam , atunci si deci . Deci verifica 1’). Analog se arata ca este indeplinita si conditia 2’).
Observatie. Daca este o teorie de torsiune pe R –Mod, atunci ambele clase T si F sunt inchise la extensii.
Daca T este o clasa nevida de R-module, atunci T este o clasa de module de torsiune pentru o teorie de torsiune daca si numai daca T este inchisa la imagini omomorfe, la sume directe si la extensii.
2) Daca F este o clasa nevida de R-module, atunci F esteo clasa de module fara torsiune pentru o teorie de torsiune daca si numai daca F este inchisa la submodule, la produse directe si la extensii.
Definitie. O subclasa A a lui R – Mod se numeste clasa de torsiune, daca exista o teorie de torsiune pe R – Mod, astfel incat T=A, iar o subclasa B a lui R – Mod se numeste clasa de module fara torsiune daca exista o teorie de torsiune astfel incat B=F.
Fie A o clasa de R-module. Definim subclasele lui R – Mod.
Atunci , este o teorie de torsiune si T este cea mai mica clasa de torsiune ce contine pe A.
Teoria de torsiune astfel obtinuta se numeste teoria de torsiune generata de clasa A.
Fie B o clasa de R-module. Definim subclasele lui R – Mod;
Atunci , este o teorie de torsiune si F este cea mai mica subclasa de R-module fata torsiune ce contin pe B.
Teoria de torsiune astfel obtinuta se numeste teoria de torsiune cogenerata de clasa B.
3.3. Corespondenta intre radicali idempotenti si teoriile de torsiune
Fie o teorie de torsiune pe R – Mod. Pentru orice R –Mod, notam , unde este o familie de submodule a lui M ce se gasesc in T. Cum , avem si deci t este un radical.
Pentru un radical idempotent r al lui R–Mod, definim . Atunci o teorie de torsiune pe R – Mod.
Teorema. Aplicatiile sunt inverse una celeilalte, adica exista o corespondenta bijectiva intre clasa teoriilor de torsiune si clasa radicalilor idempotenti.
Propozitie. Fie (T,F) o teorie de torsiune pe R–Mod si fie t radicalul idempotent asociat prin corespondenta . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) (T) este inchisa la submodule;
2) F este inchisa la anvelope injective;
3) t este exact la stanga.
Definitie. O teorie de torsiune (T,F), care satisface una din conditiile echivalente ale propozitiei anterioare se numeste hereditara.
Corolar. Exista o corespondenta bijectiva intre teoriile de torsiune hereditara si clasa radicalilor exacti la stanga.
Deinitie. O subcategorie plina A a lui R–Mod se numeste deasa (sau subcategorie Serre) daca pentru orice sir exact , daca si numai daca .
O subcategorie deasa care este inchisa la sumele directe arbitrare se numeste localizanta.
Propozitie. Fie A o subclasa a lui R–Mod, inchisa imagini omomorfe. Fie (T,F), teoria de torsiune generata de A. Atunci:
Corolar. Daca A este o subclasa a lui R–Mod, inchisa la imagini homomorfe si submodule, atunci teoria de torsiune (T,F) generata de A este hereditara.
Observatie. Fie r un radical idempotent al lui R–Mod.
Fie . Fie radicalul idempotent asociat lui r si teoria de torsiune asociata lui . Atunci este generata de .
Observatie. Daca (T,F) este o teorie de torsiune hereditara pe R–Mod atunci ea este generata de clasa de module ideal stang al lui }.
3.4. Exemple de teorii de torsiune
3.4.1. Teoria de torsiune a lui Dickson
Notam cu A clasa de module semisimple. aceasta clasa este inchisa la imagini omomorfe si la submodule. Vom nota cu teoria de torsiune generata de A. Din corolarul de mai sus rezulta ca aceasta teorie este hereditara. Din propozitia anterioara rezulta imediat ca daca si numai daca M este semiartinian. Teoria de torsiune se numaste teorie de torsiune a lui Dickson.
3.4.2. Teoria de torsiune a lui Goldie
Fie A clasa de R-module de tipul M/L, unde L este un submodul esential in M. Se vede imediat ca a este inchisa la imagini omomorfe si la submodule. Fie (G,H) teoria de torsiune generata de A. Din corolarul de mai sus rezulta ca aceasa teorie de torsiune este hereditara. Teoria de torsiune (G,H) poarta denumirea de teoria de torsiune a lui Goldie.
Propozitie. Fie ; urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) ;
2) Pentru orice exista astfel incat (L:x) este esential in R;
3) .
Demonstratie. Din propozitia anterioara rezulta ca M/L contine un submodul nenul . Dar cu Q un submodul esential in P. Fie si . Stim ca este un ideal esential. Luam . Cum , rezulta ca .
Fie , momorfismul canonic. Luam . Atunci . Daca , atunci (L:y)= .
Daca , exista cu (L:x) esential in R. Fie . Atunci si . Deci M/L contine un submodul ce partine lui A. Deci .
Daca , exista cu esential in R. dar atunci , absurd. Deci .
Fie . daca , atunci L este esential in si deci in M si atunci pentru orice , este esential in R. Daca , exista . dar atunci este esential si in R si deci este esential in R.
3.4.3. Ideale dense si teoria de torsiune a lui Lambek
Definitie. Un ideal stang I al lui R se numeste dens daca pentru orice , adica .
Observatie. Daca R este comutativ, un ideal I este dens daca si namai daca Ann(I)=0.
Lema. Daca I este un ideal stang in R, dens, atunci I este esential in R.
Demonstratie. Fie , . Cum , atunci . Exista astfel incat . Dar si deci I este esential in R.
Identificam cu D multimea idealelor stangi dense in R si cu E multimea idealelor stangi esentiale in R. Deci avem .
Propozitie. Pentru orice inele R,D au loc urmatoarele proprietati:
1) Daca si , atunci ;
2) Daca , atunci ;
3) Daca , atunci, pentru orice ;
4) Daca si pentru orice ,, atunci .
Demonstratie. 1) este imediata.
2) Presupunem ca exista , asfel incat pentru un anumit sa avem . Atunci , cu . Cum , exista un astfel incat . Cum , exista , astfel incat . Pe de alta parte, si , deci , de unde . Deoarece obtinem contradictie. Deci trebuie ca oricare ar fi si deci .
3) Rezulta din definitie si din faptul ca .
4) Presupunem ca pentru un anumit . Atunci exista un , astfel incat oricare ar fi . Deoarece , exista astfel incat . Deoarece si, , atunci . Cum , exista astfel incat . Pe de alta parte , de unde si deci , absurd. Deci trebuie ca .
Propozitie. Fie R un inel nesingular la stanga (adica ). Atunci orice ideal stang esential este dens, adica E=D.
Demonstratie. Fie I un ideal stang esential in R. Fie . Cum , atunci este inca esential in R. Deci este suficient sa verificam ca pentru un ideal stang I, esential, . Presupunem ca ; atunci exista , astfel incat . Deci si deci este esential in R. Atunci de unde , absurd.
Observatie. Pentru orice R – Mod punem . Tinand cont de prima propozitie data la paragraful 3.4, punctul 3, rezulta ca D(M) este un submodul al lui M.
Propozitie. Asocierea este un radical exact la stanga.
Demonstratie. Fie un morfism din R – Mod. Daca cum , aunci obtinem ca si deci D este un preradical. Este clar ca D este exact la stanga. Sa aratam ca D este un radical, adica . Fie . Atunci este dens in R. Pentru orice si atunci este dens si din proprietatea 4) din prima propozitie rezulta ca este dens. Deci si deci (ceea ce trebuia aratat).
Propozitie. Pentru un inel comutativ, urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) D=E;
2) R este redus (adica rad(R)=0);
3) Z(R)=0.
Demonstratie. rezulta din propozitia a doua a paragrafului.
. Fie ; atunci este esential si deci . Fie ; de unde si cum rad(R)=0 obtinem , absurd. Deci trebuie ca Z(R)=0.
. Fie . Exista un numar natural astfel incat . Rezulta imediat ca este esential in R. Din ipoteza obtinem ca este dens. Cum rezulta ca , absurd. Deci trebuie ca rad(R)=0.
Lema. Fie Q un R-modul stang injectiv; teoria de torsiune cogenerata de clasa {Q} este hereditara si
.
Demonstratia este imediata.
Fie anvelopa injectiva a R-modulului stang . Teoria de torsiune congenerata de , notata (L,L’) se numeste teoria de torsiune a lui Lambek.
Propozitie. Fie R – Mod; atunci afirmatiile urmatoare sunt echivalente:
1) ;
2) Pentru orice este dens in R.
Corolar. . Daca in plus R este nesingular la stanga (adica ), atunci L=G.
Exemplu. Fie inelul cu p numar prim. Se arata simplu ca si deci G=R – Mod. Inelul R nu contine ideale proprii dense si deci L={0}. Deci .
Propozitie. Teoria de torsiune a lui Lambek este cea mai mare teorie de torsiune hereditara pentru care este fara torsiune.
Demonstratie. Cum , atunci . Fie o alta torie de torsiune hereditara cu . Atunci si deci daca , de unde rezulta ca .
3.5. Module reflexive
Fie R un inel, categoria modulelor la stanga (respectiv la dreapta) peste R. Putem considera functori aditivi si contravarianti
.
Vom nota simplu unul dintre acesti functori. Daca M este R-modul stang (respectiv drept), exista morifismul canonic de module stangi (respectiv drepte):
.
Reamintim ca un R-modul stang (respectiv drept) M se numeste fara torsiune daca este injectiv. Daca este injectiv, M se numeste reflexive.
Tinand cont de cele studiate anterior morfismele definesc doua morfisme functoriale:
Propozitie. Fie M un R-modul stang (sau drept). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) M este fara torsiune;
2) Pentru orice , exista un astfel incat ;
3) Exista o multime I astfel incat .
Propozitie. Fie M un R-modul stang (sau drept). Atunci:
1) ;
2) este fara torsiune;
3) Daca M este reflexiv, atunci este reflexiv.
Demonstratie. 1) Avem . Fie ; atunci orice , avem:
2) rezulta din 1). Pentru 3) presupunem ca este izomorfism; atunci este izomorfism. Rezulta atunci ca este izomorfism, adica este reflexiv.
Notam cu si .
Corolar. 1) .
2) F este inchisa la submodule si produse directe.
Propzitie. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) este fara tensiune;
2) Pentru orice ;
3) este o teorie de torsiune hereditara care coincide in acest caz cu teoria de torsiune a lui Lambek.
Demonstratie. . Daca , pentru o anumita multime I. Atunci avem . Dar cum pentru o anume multime J, obtinem si deci . sunt imediate.
Sa probam . Din ipoteza rezulta imediat ca daca si numai daca . Deci , clasa de torsiune a lui Lambek. Pentru a arata ca F este o clasa de module fara torsiune, este suficient sa aratam ca F este inchisa la extensii. Fie un sir exact cu . Putem presupune ca M’ este un submodul al lui M si M’’=M/M’. Fie K un complement al lui M’ in M; este esential in M si cum K este izomorf cu un submodul al lui M’’, atunci . Deci si deci . Deci si deci .
Daca rezulta . Daca atunci de unde si deci . Deci , ceea ce incheie demonstratia.
Propozitie. Fie o teorie de torsiune hereditara pe R – Mod. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) este inchisa la anvelope injective;
2) Pentru orice R – Mod, t(M) este un complement al lui M;
3) Pentru orice R-modul stang injectiv Q avem: .
Demonstratie. . Din rezulta .
Prin ipoteza si deci . Deci , egalitate ce implica ca este inchis in M si deci este un submodul complement in M.
. este imediata.
. Fie ; avem . Cum si , rezulta ca si cum M este esential in obtinem ca si deci .
Propozitie. Teoria de torsiune a lui Goldie este inchisa la anvelope injective.
Demonstratie. Fie . Cum , atunci .
Propozitie. Fie R un inel noetherian la stanga si o teorie de torsiune hereditata pe R – Mod cu t radicalul asociat. Daca astfel incat , atunci .
Demonstratie. Fie Q inelul total de fractii la stanga asociat lui R/P. Fie . Este clar ca . Deci M este R/P-modul. Daca notam S=R/P, atunci .
Cum Q este simplu artinian, exista un numar finit de elemente astfel incat de unde rezulta ca. Deci R/P este izomorf cu un submodul al sumei directe . Cum , atunci si deci .
Teorema. Fie R un inel noetherian stang clasic avand suficiente ideale prime bilaterale. Atunci orice teorie de torsiune hereditata este inchisa la anvelope injective.
Demonstratie. Fie o teorie de torsiune hereditara pe R – Mod si . trebuie s dovedim ca . Presupunem ca M este coireductibil. Fie . Cum R are suficiente ideale prime, atunci exista un astfel incat . Cum , atunci R/P contine un submodul nenul care apartine lui T. Obtinem ca . Fie acum . Rezulta ca Rx este P-tertiar si cum inelul este clasic atunci Rx este P-primar. Deci exista un pentru care . Cum , rezulta imediat ca si deci .
Cum x este arbitrar, atunci .
Corolar. Daca R este un inel comutativ si noetherian, atunci orice teorie de torsiune herditara pe R – Mod este inchisa la ancelope injective.
Propozitie. Fie R un inel noetherian la stanga cu proprietatea ca orice teorie de torsiune hereditara pe R – Mod este inchisa la anvelope injective. Atunci R este un inel clasic.
Demonstratie. Fie M un R-modul finit generat unde submodulul 0 este P-tertiar. Trebuie sa aratam ca in M, submodulul 0 este P-primar.
.
Se verifica usor ca (P este un ideal bilateral finit generat) ca este o clasa de module de torsiune hereditara.
Fie care este esential in M. Dar si din ipoteza rezulta atunci ca si . Cum M este finit generat, exista un numar natural r asa incat . Rezulta ca 0 este P-primar.
3.6. Pretopologii si topologii aditive
Definitie. O multime nevida F de ideale stangi ale lui R se numeste pretopologie la stanga daca sunt indeplinite conditiile:
a) Daca si J este un ideal stang cu , atunci ;
b) Daca , atunci ;
c) Daca , atunci , oricare ar fi .
Definitie. O pretopologie F se numeste topologie aditiva la stanga daca este indeplinita si conditia:
d) Daca si oricare ar fi , atunci .
Definitie. O subcategorie plina A a lui R – Mod se numeste inchisa daca ea este inchisa la submodule, la imagini omomorfe si la sume directe arbitrare.
O subcategorie plina A a lui R – Mod se numeste localizanta daca ea este inchisa in sensul definitiei anterioare si este inchisa si la extensii.
Fie F o pretopologie a lui R. Luam
.
Propozitie. 1) Daca F este o pretopologie, atunci este o subcategorie inchisa a lui R – Mod.
2) Daca F este o topologie aditiva, atunci este o clasa de torsiune hereditara (o subcategorie localizanta).
Fie A o subcategorie plina a lui R – Mod. Definim
ideal stang in R|
Propoziie. 1) Daca A este o subcategorie inchisa a lui R – Mod, atunci este o pretopologie.
2) Daca A este o subcategorie localizanta a lui R – Mod, atunci este o topologie aditiva.
Demonstratie. 1) Rezulta imediat ca sunt indeplinirte conditiile a) si b) din prima definitie. Fie si ; morfismul definit prin are nucleul egal cu . Atunci defineste un morfism injectiv de la in si deci de unde rezulta ca . Deci F verifica conditia c) din definitie.
2) Fie si I un ideal stang al lui R astfel incat , . Se vede ca . Sa aratam ca .
Fie cu si . Atunci . Dar cum , atunci . Cum A este inchisa la sume directe, obtinem imediat ca si deci . Din sirul exact
rezulta imediat ca si deci .
Teorema. Corespondentele si de la multimea pretopologiilor pe R la clasa subcategoriilor inchise ale lui R – Mod, respectiv de la clasa subcategoriilor inchise la multimea pretopologiilor lui pe R, sunt inverse una cu cealalta.
Aceste corespondente induc o bijectie pe multimea topologiilor aditive ale lui R si clasa subcategoriilor localizante ale lui R – Mod (sau echivalent clasa teoriilor de torsiune hereditare pe R – Mod).
Demonstratie. Fie F o pretopologie. Vom arata ca . Daca si daca cu , atunci . Deci si deci . Invers, daca , atunci . Cum , unde , atunci .
Analog, se arata ca daca A este o subcategorie inchisa, avem ca .
Colar. Exista o corespondenta bijectiva intre :
1) Topologiile aditive (la stanga) pe R;
2) Teoriile de torsiune hereditare pe R – Mod;
3) Radicalii exacti la stanga ai lui R – Mod.
Demonstratie. Rezulta din prima propozitie a paragrafului 3.5. si anterioara.
Daca F este o topologie aditiva si (T,F) este teoria de torsiune asociata, atunci cand , spunem ca M este un modul F-torsiune, iar cand , spunem ca M este F-fara torsiune.
Observatie. Din teorema de mai sus rezulta ca, clasa teoriilor de torsiune hereditare pe R – Mod este o multime.
Exemple. 1) Topologia aditiva asociata teoriei de torsiune a lui Dickson este:
.
2) Topologia aditiva asociata la teoria de torsiune a lui Goldie:
.
In particular, orice ideal stang esential al lui R apartine lui G.
3) Topologia aditiva asociata teoriei de torsiune a lui Lambek:
.
3.7. Module F-injective
3.7.1. Module F-injective
Fie R un inel arbitrar, (T,F) teoria de torsiune hereditara pe R – Mod si F topologia aditiva asociata acestei teorii.
Lema. Fie ; urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) Pentru orice ideal stang si orice morfism , f se extinde la un morfism .
2) pentru orice .
Definitie. Un R-modul stang M care indeplineste una din conditiile echivalente din lema anterioara se numeste F-injectiv.
Teorema. Fie . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente
1) M este F-injectiv;
2) pentru orice ;
3) Daca cu , orice morfism se extinde la un morfism .
Observatie. Daca F este topologia aditiva construita din multimea tuturor idealelor stangi ale lui R, se obtine notiunea curenta de modul injectiv.
3.7.2. Anvelope F-injective
Fie R un inel arbitrar, (T,F) teoria de torsiune hereditara pe R – Mod si F topologia aditiva asociata acestei teorii.
Definitie. Fie . Un modul F-injectiv E se numeste o anvelopa F-injectiva a lui M, daca exista un monomorfism esential astfel incat .
Teorema. Pentru orice exista o F-anvelopa injectiva unica pana la un izomorfism.
Demonstratie. Fie anvelopa injectiva a lui M. Notam cu . Se verifica usor ca este un submodul al lui ce il cintine pe M. Mai mult, , unde t este radicalul asociat topologiei F.
Fie si . Consideram diagrama comutativa:
0 → I → R → R/I → 0
f g
0→ →→ → 0
unde g extinde pe f, iar este indus de g. Cum si , atunci . Atunci ceea ce ne arata ca este F-injectiv. Cum M este esential in , rezulta ca este F-anvelopa injectiva a lui M.
3.8. Inele si module de caturi
3.8.1. Constructia inelelor si modulelor de caturi
Fie R un inel, F o topologie aditiva pe R, (T,F) teoria de torsiune asociata lui F si t radicalul asociat la (T,F).
F devine o mulime ordonata filtranta daca punem:
daca I contine pe .
Fie ; daca exista un morfism canonic ce la asociaza . in felul acesta familia devine un sistem inductiv.
Luam si pentru , notam cu .
Lema. Daca si daca , atunci .
Demonstratie. Fie ; avem:
.
Deci .
Definim aplicatia:
(1)
in felul urmator: daca , clasa de mofisme, reprezentata prin si , clasa de morfisme, reprezentata de morfismul pentru un anume , punem atunci (clasa de echivalenta) unde . Se verifica ca aplicatia este bine definita si este biaditiva. In particular, daca , se obtine pe o operatie de inmultire ce face din un inel. Pentru orice , devine un -modul stang.
Fie acum , aplicatia definita astfel: daca , indicam cu morfismul , si punem atunci , clasa de ecivalenta a lui in limita inductiva.
Se verifica imadiat ca este un morfism de inele. prin intermediul morfismului , devine un R-modul stang punand:
si .
Definim acum morfismul in modul urmator: daca , fie , morfismul ; luam atunci , clasa de echivalenta a lui in limita inductiva. se verifica usor ca este morfism de R-module. Fie acum un morfism de R-module. definim morfismul in felul urmator: daca cu , luam .
este bine definit si este un morfism de -module.
In plus, diagrama este comutativa:
M N
(2)
In felul acesta am definit un functor aditiv , unde si daca , .
Mai mult, din diagrama (2) rezulta ca morfismele definesc un morfism functorial .
Se observa imediat ca L este un functor exact la stanga.
Lema. Fie . Atunci .
Demonstratie. Daca adica .Exista un ideal astfel incat si de unde si deci adica . Invers, daca , exista un ideal cu .
Rezulta atunci ca aplicatia are proprietatea ca si deci .
Lema. Fie . Atunci daca si numai daca .
Demonstratie. Daca atunci, din lema anterioara, avem . Invers, fie si cu , unde ,. Daca aratam ca , rezulta ca . Daca , ; exista un ideal astfel incat . Fie este un ideal stang continut in I si . Daca , atunci , deci de unde .
Lema. Fie , , , cu ,(). Fie morfismul definit astfel: . Atunci diagrama urmatoare este comutativa:
I R
M
unde i este morfismul incluziune.
Demonstratie. Fie ; atunci , unde .
Pe de alta parte,
= .
Corolar. Pentru orice , .
Demonstratie. Fie cu , ,(). Din lema anterioara rezulta ca , de unde obtinem ca si deci .
Definim acum: se numeste modulul de caturi al lui M relativ la topologia aditiva F..
Lema. Pentru avem
.
Demonstratie. Cum induce un morfism . In plus, . Cum L este un functor exact la stanga, din sirul exact
si din lema a treia si corolarul anterior obtinem ca este un izomorfism.
Corolar. Pentru functorul L, are loc izomorfismul , .
Observatie. Daca este un modul F-fara torsiune, atunci .
Notam
care este un R-modul stang.
Definim acum aplicatia:
(3) .
im modul urmator: , , unde cu si . induce un morfism . In plus,
.
Fie atunci ; avem morfismele
,
unde . Sa aratam ca .
Fie ; atunci
unde am pus si .
Se verifica simplu ca . Deci oricare ar fi si deci .
Acum definim aplicatia (3) prin egalitatea:
, clasa elementului in limita inductiva.
Se verifica ca aceasta aplicatie este bine definita si biaditiva. In cazul particular , aplicatia (3) defineste pe o structura de inel care se numeste inelul de caturi al lui R relativ la topologia F. In plus devine un -modul stang. Definim morfismul
in modul urmator: daca , fie si fie ; luam prin definitie .
Daca este surjectia canonica, rezulta egalitatea:
(4) .
Fie acum un morfism in . Definim morfismul in modul urmator: f induce un morfism ; atunci punem . Atunci are loc egalitatea:
(5) .
Se arata simplu ca este un morfism de module. In plus, diagrama urmatoare ste comutativa:
M N
(6)
Deci sistemul de morfisme defineste un morfism functorial
.
Din lema a doua, corolarul de mai sus si relatia (4) rezulta:
Corolar. si .
Cu notatiile de mai sus pentru are loc diagrama comutativa:
p
(7)
unde p este surjectia canonica.
Pentru cazul obtinem diagrama comutativa:
p
(8)
unde p este surjectia canonica; p este un morfism de inele ( este un inel bilateral).
Propozitie. In diagrama (8), si sunt morfisme de inele.
Cum , este suficient sa aratam ca este un morfism de inele.
Propozitie. Daca R este un inel comutativ, atunci si sunt inele comutative.
Demonstratie. Fie cu si , . Putem presupune ca . Cum F este o topologie aditiva, atunci . Au loc relatiile: si . Deci .
Consideram digrama:
unde i este incluziunea canonica si . Notam cu . Cum , atunci . Analog avem .
Sa aratam ca . Fie , atunci
.
Analog, de unde rezulta ca .
Sa aratam ca este comutativ. Fie unde si . Consideram diagrama:
,
unde si morfismul indus de . Deoarece si , luam . Atunci . Analog avem . In continuare se procedeaza la fel ca pentru .
Exemple. 1) Fie S un system multiplicative in R. Definim multimea de ideale stangi
.
este o topologie aditiva pe R. Clasa de module de torsiune asociata acstei topologii este:
.
Fie S un sistem multiplicative care verifica conditiile:
(*) si , exista si astfel incat (spunem ca S este permutabil la stanga );
(**) Daca , si , exista astfel incat (spunem ca S este inversabil la stanga).
Atunci
.
In acest caz, si .
2) Fie D topologia aditiva a idealelor stangi dense in R. Idealul se numeste inel maximal (sau complet) de caturi al lui R si se noteaza cu . Deoarece este D-fara torsiune, atunci avem .
3.8.2. Module F-inchise
Fie R un inel, F o topologie aditiva pe R, (T,F) teoria de torsiune asociata lui F si t radicalul asociat la (T,F).
Definitie. Un R-modul stang M se numeste F-inchis daca pentru orice , morfismul canonic
este un izomorfism.
Altfel spus M este F-inchis daca pentru orice morfism ,() exista un morfism unic, cu proprietatea .
Teorema. Fie . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) M este F-inchis;
2) M este F-injectiv si F-fara torsiune (adica t(M)=0);
3) Pentru orice morfism in astfel incat si apartin lui T, morfismul canonic este un izomorfism.
4) este un izomorfism.
Demonstratie. 1) 2) Fie M un modul F-inchis. Din prima definiie a paragrafului 3.7.1, rezulta ca M este F-injectiv. Cum =0 oricare ar fi , rezulta ca t(M)=0.
este evidenta.
. Fie un morfism in , cu , si . Cum t(M)=0 si , atunci si deci exista un morfism unic astfel incat . Cum si cum M este F-injectiv, exista un morfism astfel incat . Este clar ca deci este surjectiva . Fie un alt morfism astfel incat . Atunci de unde rezulta ca si deci . Cum t(M)=0 atunci si deci de unde .
si sunr de asemenea evidente.
. Cum , atunci t(M)=0. Sa aratam ca M este F-injectiv. Fie si un morfism. Consideram diagrama
I R
f
M
unde , este clasa de echivalenta a lui f in limita inductiva ce defineste pe . Din lema a patra a paragrafului 3.8.1. rezulta ca aceasta diagrama este comutativa. Atunci este morfismul ce extinde pe f.
Corolar. Pentru orice , este F-inchis.
Demonstratie. Sa aratam ca este F-fara torsiune. Cum , este suficient sa aratam ca daca t(M)=0, atunci . Daca , cu , exista astfel incat .
Consideram diagrama
I R
M
care este comutativa. In plus este monomorfism si . Atunci de unde .
Vom arata acum ca daca t(M)=0, atunci este F-injectiv.
Fie si un morfism. Definim multimea care este un ideal al lui R.
Morfismul f induce un monomorfism de la in si deci , de unde rezulta ca .
Fie , unde astfel incat . Deoarece este monomorfism, atunci g este bine definita. Din lema 4 a paragrafului 3.8.1., exista un mofism , ce extinde pe .
Cum h si f coincide pe J si cum , atunci si deci , este F-injectiv.
Corolar. Daca M este F-fara torsiune, atunci monomorfismul canonic este esential.
Demonstratie. Fie . Cum , atunci . Dar din primul corolar al acestui paragraf, este F- fara torsiune, deci N=0.
Propozitie. Daca asfel incat t(M)=0, atunci .
Cum este monomorfism esential, exista un monomorfism esential . Se verifica ca .
Lema. Fie un modul F-inchis. Se poate descrie in mod explicit pe M o structura de -module ce extinde pe cea de R-modul si satfel incat sa fie un -izomorfism.
Demonstratie. Fie si cu , , . Cum t(M)=0 si , rezulta atunci . Deci M este R/t(R)-modul. Fie morfismul , dat prin .
Deoarece M este F-inchis, f se extinde la un unic morfism . Pentru , avem egalitatea .
Punem care defineste pe M o structura de -modul care, extinde structura de R-modul. Este usor de vazut ca devine un izomorfism de -module.
Propozitie. Fie un R-modul F-fara torsiune. Atunci E(M) este o anvelopa injectiva a lui in categoria .
Demonstratie. Cum t(M)=0, atunci si deci este F-inchis. Prin urmare este in mod canonic un -modul. Deoarece este un monomorfism esential, putem presupune ca . Este clar ca este o extensie esentiala ca -module ale lui . Sa aratam ca este un -modul injectiv. Fie cu si un morfism din categoria . Cum este R-modul injectiv, exista R-morfism ce extinde pe f. Sa aratam ca g este un -morfism adica si , .
Fie fixat, consideram R-morfismele:
g’
g’’
definite astfel: . Este clar ca si deci
de unde . Exista atunci morfismul astfel incat , unde este surjectia canonica. Cum si , atunci si deci .
Exemple. 1). Fie teoria de torsiune a lui Goldie si G topologia aditiva asociata. Cum orice ideal stang esential al lui R apartine lui G, atunci este G-inchis daca si numai daca M este injectiv si G-fara torsiune . In particular daca M este G-fara torsiune, atunci .
2). Fie R un inel cu ; atunci inelul maximal de caturi al lui R este egal cu , unde I este ideal stang esential. In acest caz ca R-modul coincide cu .
3.9. Laticea submodulelor F-saturate
3.9.1. Laticea
Fie R un inel, o topologie pe R, teoria de torsiune asociata lui F si t radicalul asociat la .
Fie si N un submodul al lui M. Multimea este un submodul al lui M, care se numeste F-saturatul submodulului N.
Propozitie. Fie N si N’ doua submodule ale lui M. Atunci:
1) .
2) si este F-fara torsiune.
3) implica .
4) .
5) .
6) .
Demonstratie. 1), 2) si 3) sunt imediate.
Din 3) rezulta ca . Fie acum ; atunci din . Dar cum , rezulta si deci . Deci are loc 4). Relatia 5) rezulta din 2), iar 6) din 3) si 5).
Definitie. Un submodul N al lui M se numeste F-saturat daca .
Notam .
Multimea , ordonata cu relatia de ordine incluziunea este o latice. Intr-adevar, daca , atunci si este inferiorul, respectiv superiorul elementelor N si N’. Aceasta latice o vom numi laticea submodulelor F-saturate ale lui M.
Definim operatiile ,,” si ,,” in prin egalitatile
si .
Propozitie. este o latice modulara si completa cu si M, prim element respectiv ultimo element.
Demonstratie. Fie o familie de elemente din . Este usor de observat ca si este inferiorul acestei familii, iar este superiorul acestei familii.
Sa aratam ca este modulara. Fie cu . Atunci avem
(pe parcurs am utilizat demodularizarea laticii submodulelor lui M).
Propozitie. . Exista un izomorfism canonic intre laticile si .
Demonstratie. Fie . Atunci cu si . Cum , definim prin . Se verifica usor ca este morfism de latici. Este clar ca este injectiv. Fie . Cum , atunci din rezulta ca si deci . Se observa ca si , deci este si surjectiva.
Observatie. Se poate demonstra mai general rezultatul: daca cu N-F-torsionat, atunci laticile si sun izomorfe. Un submodul N al lui M se numeste F-submodul daca este F-de torsiune.
Propozitie. Daca N este un F-submodul al lui M, atunci exista un izomorfism canonic de latici dat prin .
Demonstratie. Este clar ca daca , atunci . Daca definim prin egalitatea . Daca , atunci si deci .
Daca , atunci este clar ca si deci . Fie K un submodul al lui N; sa notam cu saturatul lui K in N; se observa imediat ca . Daca , atunci
Cum este imediata, rezulta ca este morfism de latici.
Propozitie. Fie M un R-modul F-inchis si L un submodul al lui M. Atunci daca si numai daca L este F-inchis.
Demonstratie. Consideram diagrama comutativa cu liniile exacte:
0 L M M/L 0
0
unde este un izomorfism. Se observa ca este un izomorfism daca si numai daca este monomorfism. Deci L este F-inchis daca si numai daca este F-fara torsiune.
Propozitie. Fie M un modul F-fara torsiune. Atunci orice submodul complement al lui M apartine lui .
Demonstratie. Fie L un submodul complement al lui M; exista astfel incat L este maximal cu proprietatea . Atunci . Dar atunci si deci cum obtinem adica .
Daca M este F-fara torsiune, atunci are un prim si un ultim element care sunt submodulele 0 respectiv M. In acest caz putem vorbi despre complementul unui element , care este un element astfel incat si .
Propozitie. Fie M un modul F-fara torsiune. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) Orice element din are un complement;
2) coincide cu multimea submodulelor complement ale lui M;
3) Orice submodul esential al lui M este F-submodul.
Demonstratie. . Fie . Din ipoteza exista astfel incat . Fie , maximal cu proprietatea . Fie ; cum , exista astfel incat . Dar si deci . Cum , atunci si deci de unde rezulta ca L este submodul complement. Tinand cont si de propozitia anterioara, obtinem ca coincide cu multimea submodulelor complement ale lui M.
. Fie L un modul esential al lui M; atunci este esential si din ipoteza submodul complement. Atunci si deci L este F-submodul.
. Fie . Fie K maximal cu proprietatea . Atunci L+K este esential in M si deci din ipoteza avem adica si deci . Cum atunci este un element complement al lui L.
Corolar. Fie M un modul F-inchis. Presupunem ca indeplineste una din conditiile echivalente din propozitia anterioara. Atunci
a) Orice submodul F-inchis al lui M este summand direct.
b) este un inel regulat in sens von Newmann.
Demonstratie. a). Fie L un submodul F-inchis al lui M. Din propozitia 5 a acestui paragraf, . Din ipoteza, L este complementul unui submodul . Atunci L+K este esential si . Fie proiectia caninica. Cum si L este F-inchis, exista ce extinde pe . Este clar ca , unde este injectia canonica. Rezulta ca L este sumand direct in M.
b) Fie . Cum Imf rezulta ca . Din propozitia 5 a acestui paragraf rezulta ca este sumand direct in M. Deci induce un izomorfism si deci este F-inchis. Prin urmare este sumand direct al lui M. Izomorfismul se extinde la un morfism . Atunci si deci este un inel regulat.
Corolar. Fie Q un R-modul injectiv nesingular . Atunci inelul este regulat in sens von Newmann.
Demonstratie. Fie G topologia aditiva asociata teoriei de torsiune a lui Goldie. Din ipoteza Q este G-fara torsiune si deci Q este G-inchis. Conditia 3) din ultima propozitie este verificata; deci putem aplica corolarul anterior.
3.9.2. Laticea
Fie R un inel, F o topologie, teoria de torsiune asociata si t radicalul asociat la .
Pentru R-modulul stang putem considera laticea notata simplu si numita laticea idealelor stangi F-saturate.
Propozitie. Teoria de torsiune este cogenerata de modulul injectiv .
Demonstratie. Fie este clar ca . Fie ; atunci din rezulta . Daca , fie ,. Atunci si deci . Cum Rx si cum Q este invectiv, atunci exista un morfism nenul , contradictie.
Propozitie. Fie cogenerata de modulul injectiv Q. Atunci .
Demonstratie. Fie ; atunci unde fiecare deoarece si Q este F-fara torsiune. Cum este inchisa la intersectii arbitrare, rezulta . Invers, fie si luam . Atunci . Fie . Definim prin , care este un monomorfism. Atunci pentru orice exista astfel incat . Dar , unde . Dar si deci si deci de unde rezulta ca si deci . Atunci si deci , de unde . Deci am obtinut egalitatea .
Un R-modul M se numeste F-noetherian daca pentru orice lant ascendent de submodule ale lui M
exista un k astfel incat pentru orice ,.
R-modulul M se numeste F-finit generat daca un submodul , finit generat astfel incat .
O latice se numeste F-finit generat daca orice lant ascendent de elemente ale sale este stationar.
Propozitie. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente pentru modulul M:
1) M este F-noetherian.
2) Orice submodul al lui M este F-finit generat.
3) Laticea este notheriana.
Demonstratie. rezulta direct din prima propozitie a paragrafului 2.2.
. Fie unsir ascendent de elemente din . Din ipoteza exista un k astfel incat pentru . Dar cum rezulta ca pentru si deci , pentru orice .
. Fie un lant ascendent de submodule ale lui M. Obtinem lantul ascendent de elemente din . Exista un k astfel incat pentru orice sa avem . Cum , atunci si deci .
Corolar. Fie N un submodul al lui M. Atunci M este F-noetherian daca si numai daca N si M/N sunt F-noetherieni.
Teorema. Sunt echivalente afirmatiile:
1) este F-noetherian.
2) Orice modul stang F-finit generat este F-noetherian.
3) este o latice noetheriana.
4) Orice limita inductiva filtranta de R-module stangi injective si F-fara torsiune este un modul injectiv.
5) Orice suma directa de module stangi injective si F-fara torsiune este un modul injectiv.
6) Orice modul stang injectiv F-fara torsiune este o suma directa de submodule injective idecompozabile.
Corolar. Presupunem ca este generata de modulul injectiv Q. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) Q este Σ-injectiv (adica este injectiv, oricare ar fi multimea de indici I).
2) este o latice notheriana.
Corolar. Daca este noetheriana, atunci F contine un sistem cofinal de ideale finit generate.
Demonstratie. I este finit generat; deci exista un ideal stang finit generat astfel incat . Cum , atunci si deci .
Corolar. Fie R un inel. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
1) R este noetherian la stanga.
2) Exista un cogenerator in R – M od Σ injectiv.
3.9.3. Imaginea directa a unei topologii
Fie R,S doua inele si un morfism de inele. Morfismul defineste un functor aditiv si exact numit functorul restrictia scalarilor.
Fie acum F o topologie pe R; definim
.
Lema. este o topologie aditiva pe S.
Topologia aditiva este imaginea directa a topologiei F prin morfismul .
Propozitie. Fie , doua morfisme de inele. Fie F o topologie aditiva pe R. Atunci
Propozitie. Fie un morfism de inele si F o topologie aditiva pe R. Fie
.
Atunci
1) Daca este F-de torsiune, atunci .
2) Daca S este comutativ, atunci .
3) Daca este surjectiv, atunci .
Demonstratie. 1). Fie si . Atunci . Vom arata ca pentru orice , , unde de unde va rezulta ca si deci . Dar . Dar . Fie astfel incat . Atunci .
Deci am aratat ca . Cum incluziunea este evidenta, rezulta egalitatea . Relatiile 2) si 3) sunt imediate.
Corolar. Fie R un inel, F o topologie aditiva pe R, inelul de caturi relativ la F si morfismul canonic. Atunci ={J ideal stang in }.
Topologia o notam cu .
Corolar. Fie un morfism de inele si F o topologie aditiva pe R. Presupunem verificata una din cele trei conditii ale propozitiei 3 a subparagrafului 3.9.2. Atunci daca , avem:
1) M este -fara torsiune daca si numai daca este F-fara torsiune.
2) M este -fara torsiune daca si numai daca este F-de torsiune.
Teorema. Fie R un inel, F o topologie aditiva pe R. Fie morfismul canonic. Fie M un R-modul si modulul de caturi al lui M relativ la F. Atunci
1) (izomorfism de -module).
2) Exista un izomorfism canonic de latici
dat de .
Demonstratie. 1). Este suficient sa aratam ca este -inchis. Cum este F-fara torsiune, atunci din corolarul anterior rezulta ca este -fara torsiune. Deci ramane sa aratam ca -injectiv. Fie atunci si un -morfism. Punem . Definim , care este un morfism de R-module. Cum este F-injectiv, atunci exista ce extinde pe . Fie morfismul de -module cu , unde este un izomorfism. Morfismul extinde pe .
2). Tinand cont de propozitia 3 a paragrafului 3.9.1. putem presupune ca . Daca , atunci M/X este F-fara torsiune. Din sirul exact este F-fara torsiune. Din teorema de la paragraful 3.9.2. rezulta ca este -modul, -fara torsiune. Deci si deci este bine definita. Definim aplicatia , . Daca , atunci este -fara torsiune, iar din teorema de la paragraful 3.9.2. rezulta ca este un R-modul F-fara torsiune. Din monomorfismul canonic indus de . Deci si aplicatia este bine definita. Se verifica imediat ca si sunt inverse una celeilalte.
Daca , atunci din propozitia 5 a paragrafului 3.9.1., (saturatul in al lui X in raport ci F) este F-inchis. Acum ; atunci si din obtinem . Deci . Din aceasta observatie rezulta imediat ca este un morfism de latici.
Corolar. Cu notatiile din teorema anterioara exista un izomorfism canonic intre laticile si .
Demonstratie. Din al doilea corolar al paragrafului 3.9.2. si propozitia 5 a paragrafului 3.9.1. rezulta ca . In continuare se aplica teorema anterioara punctul 1). Cum (izomorfism de -module), atunci rezulta ca .
=== CAPITOLUL IV ===
CAPITOLUL IV
INELE NOETHERIENE DEPLIN MARGINITE.
MODULE ARTIN-RESS
4.1. Inele notheriene deplin marginite
Stim ca pentru un inel comutativ noetherian exista o corespondenta bijectiva intre modulele injective indecompozabile si ideale prime. Pentru inele noetheriene arbitrare nu mai este adevarat; in general exista mai multe injective indecompozabile decat ideale prime.
Notam prin multimea claselor de izomorfisme ale A-modulelor injective drepte nevide indecompozabile, si notam cu multimea idealelor prime ale lui A. Definim o functie:
prin , tinand cont de faptul ca fiecare modul injectiv indecompozabil este cotertiar. este o aplicatie surjectiva, deoarece fiecare ideal prim p este asociat sumanzilor directi injective indecompozabili ai lui .
Teorema. (Krause). Urmatoarele proprietati ale unui inel drept noetherian A sunt echivalente:
1) este bijectiva.
2) Pentru orice ideal prim p, inelul A/p are proprietatea ca orice ideal drept esential contine un ideal bilateral nenul.
3) Orice modul cotertiar este izotipic.
Demonstratie. Vom stabili mai intai partea triviala a teoremei, mai precis echivalenta dintre 1) si 3).
Fie M un modul cotertiar, si scriem , cu module injective indecompozabile . Intrucat trebuie sa avem pentru fiecare , 1) implica faptul ca toti sunt izomorfi.
Daca E si sunt doua module injective indecompozabile cu acelasi ideal prim asociat p, atunci si astfel este cotertiar. Conditia 3)implica faptul ca E si sunt izomorfe.
Pentru a demonstra 1)2) avem nevoie de:
Lema. Daca A satisface 1), atunci acelasii lucru il face orice imagine epimorfica a lui A.
Demonstratie. Fie a un ideal bilateral al lui A si punem B=A/a. Fie si doua B-module injective indecompozabile neizomorfe; considerate ca A-module, si sunt inca coireductibile. Presupunem ca anvelopele lor injective si sunt izomorfe ca A-module. va contine atunci o copie a lui , si de aici un submodul nenul . Dar aceasta trebuie sa implice . De aici trebuie sa concluzionam ca si sunt neizomorfe. Conditia 1) pentru A implica . Aceasta inseamna ca . Se observa usor ca , deci avem . Aceasta stabileste conditia 1) pentru inelul B.
Putem demonstra acum 1)2). Ca o consecinta a lemei, este suficient sa consideram un inel A sis a aratam ca orice ideal drept esential contine un ideal bilateral nenul.
Presupunem ca exista un ideal drept esential a care nu contine nici un ideal bilateral diferit de 0. Putem presupune ca a este cel mai mare (maximal) cu aceasta proprietate. Sa observam mai intai ca a trebuie sa fie ireductibil.
Preuspunem unde fiecare este un ideal drept ce contine strict pe a. Atunci contine un ideal bilateral nenul , si cu pentru ca A este un inel prim. Am ajuns astfel la o contradictie, deci a trebuie sa fie ireductibil.
Rezulta ca , unde avem pentru b ideal drept ce contine strict pe a.
Atunci b contine un ideal bilateral , si . Dar a nu contine nici un ideal bilateral nenul, deci cp=0, ceea ce atrage p=0 deoarece A este un inel prim. am ajuns astfel la concluzia ca , si acum ne mai ramane sa gasim un alt modul injectiv indecompozabil care sa aiba de asemenea pe (0) drept idealul sau prim asociat. Pentru aceasta folosim anvelopa injectiva a lui . Scriem cu indecompozabile. Atunci deoarece A este inel prim.
Pentru a ajunge la o contradictie trebuie sa aratam ca nu putem avea , dar aceasta este usor deoarece inelul prim noetherian A este nesingular, si de asemenea E(A) este nesingular, atat timp ce contine un element anihilat de idealul drept esential a.
2) 1) Vrem sa aratam ca fiecare modul injectiv indecompozabil E este unic determinat de idealul prim . Acum pentru a demonstra aceasta este suficient sa producem un monomorfism . De fapt, daca facem o des compunere , cu indecompozabile care sunt toate izomorfe cu fiecare din celelalte, atunci obtinem faptul ca E este izomorf cu .
Avem pentru oarecare, si punem . Deci a este un ideal drept ireductibil continand p. Afirmam ca a/p nu este un ideal drept esential in inelul A/p. Daca am fi presupus ca a/p ar contine un ideal bilateral b/p cu si am fi contrazis faptul ca . Deci a/p nu este esential, exista un ideal drept c continand strict pe p astfel incat , si de aici . Se poate scrie c ca o intersectie de ideale drepte ireductibile, si aceasta conduce la o descompunere ireductibila iredundanta a lui p ca .
Cum
si in particular
,
ceea ce doream.
Definitie. Un inel drept noetherian este deplin marginit la dreapta daca satisface conditiile echivalente ale teoremei.
Inelele care sunt deplin marginite si au toate idealele lor prime ireductibile pot fi caracterizate in felul urmator:
Propozitie. Urmatoarele proprietati ale unui inel noetherian drept A sunt echivalente:
1) A este deplin marginit la dreapta si fiecare ideal prim este un ideal drept ireductibil.
2) Pentru fiecare modul injectiv indecompozabil E exista un ideal prim p astfel incat .
3) Pentru fiecare ideal prim p si ideal drept , exista un ideal bilateral b astfel incat .
Demonstratie. (1)(3) Daca idealul prim p este ireductibil, atunci este un modul coireductibil, asa ca fiecare submodul nenul al lui este esential. Aceasta inseamna ca fiecare ideal drept nenul al inelului este esential si cand A este deplin marginit, va rezulta (3).
(3) (2) Fie E un injectiv indecompozabil cu pentru un anumit . Pentru a vedea ca , este de ajuns sa aratam ca , de unde rezulta ca . Presupunem ca . Atunci din ipoteze exista un ideal bilateral b astfel incat . Dar aceasta este imposibila deoarece ar rezulta ca .
(2) (1) Pentru fiecare modul injectiv indecompozabil E avem din ipoteza ca , unde in mod necesar . Deci E este unic determinat de idealul sau prim asociat, de unde rezulta ca A este deplin marginit la dreapta.
Fie p un ideal prim arbitrar. Atunci cu modulele injective indecompozabile. Acum avem pentru un anumit ideal prim q si implica q=p. Deci este indecompozabil si p este ireductibil.
Exemple. 1) Inele comutative. Fiecare inel noetherian comutativ este deplin marginit. Mai general, un inel noetherian drept pentru care toate idealele drepte sunt bilaterale este deplin marginit la dreapta, si idealele sale prime sunt ireductibile la dreapta.
2) Inele fara ideale bilaterale. Fie A un inel noetherian drept fara ideale bilaterale . Idealul zero este singurul ideal prim. Inelul A este deplin marginit la dreapta, adica el nu contine ideale drepte esentiale , de unde rezulta ca A este un inel simplu.
3) Conditita (H). O conditie suficienta uzuala pentru ca A sa fie deplin marginit la dreapta a fost data de Gabriel:
(H) Pentru fiecare ideal drept a, exista astfel incat
Aici reprezinta idealul bilateral cel mai mare continut in a.
(H) este evident echivalenta cu conditia mai tare.
(H’) Pentru fiecare modul finit generat M, exista astfel incat
.
Propozitie. Daca inelul noetherian drept A satisface conditia (H), atunci A este deplin marginit la dreapta.
Demonstratie. Fie E un modul injectiv indecompozabil. Idealul prim asociat, p al lui E este anulatorul unui anumit submodul ciclic M al lui E. Atunci pentru anumiti . Rezulta ca si astfel . E este unic determinat de idealul sau prim asociat, de unde rezulta ca A este deplin marginit la dreapta.
4) Extensii centrale finite. Presupunem ca A este un inel astfel incat centrul sau cen(A) este un inel noetherian si A este finit generat ca modul peste cen(A). Atunci A este un inel noetherian stang si drept. Afirmam ca A este de asemenea deplin marginit la stanga si la dreapta.
Consideram un modul finit generat M. Atunci M este de asemenea finit generat peste cen(A), cu generatorii . Atunci pentru ca, daca , atunci cu si obtinem , ceea ce implica conditia (H).
4.2. Topologii pentru un inel noetherian deplin marginit
Definitie. Un inel topologic A este linear topologic la dreapta daca exista un sistem fundamental de vecinatati ale lui 0 format din ideale la dreapta. Multimea F a tuturor idealelor deschise la dreapta satisface atunci:
1. Daca si , atunci ;
2. Daca a, , atunci ;
3. Daca si a, atunci (a:a).
Definitie. O familie F a idelelor drepte ale lui A ce satisface axiomele 1,2,3, si in plus:
4. Daca a este ideal drept si exista astfel incat (a:b) pentru orice bb, atunci ,
este o topologie Gabriel ( la dreapta) pe A.
Fie F o topologie Gabriel pe inelul noetherian drept A. Vom arata ca atunci cand A este deplin marginit la dreapta, familia F este determinata de idealele prime pe care le contine.
Lema. Un ideal prim p apartine lui F daca si numai daca nu este liber de F-torsiune.
Propozitie. Presupunem ca A este deplin marginit la dreapta. Daca M este un modul de F-torsiune atunci .
Demonstratie. Scriem cu module injective indecompozabile. Pentru fiecare este o suma directa de module injective indecompozabile care trebuie sa fie izomorfe cu unele din modulele , datorita corespondentei bijective dintre modulele injective indecompozabile si idealele prime. Rezulta ca contine un submodul nenul izomorf cu un submodul al lui M. Din lema anterioara, rezulta ca .
Pentru fiecare multime G de ideale prime ale lui A se poate defini o topologie Gabriel F prin , fiecare topologie Gabriel se poate obtine in modul urmator:
Teorema. (Gabriel). Fie A un inel noetherian drept si deplin marginit la dreapta. Fiecare topologie Gabriel F pe A are forma:
.
Propoztie. Fie F o topologie Gabriel marginita pe un inel noetherian drept A. Atunci .
Exemple de inele noetheriene comutative.
Cand A este un inel noetherian comutativ, avem acum la dispozitie doua descrieri ale unei topologii Gabriel, si anume:
si , unde .
Modulele M de F-torsiune sunt caracterizate prin proprietatea ca pentru toate idealele prime .
4.3. Module Artin –Ress si topologii stabile
O topologie liniara F se numeste stabila daca F-topologia pe modulul M induce mereu F-topologia pe submodulele luiu M. In continuare studiem stabilitatea topologiilor marginite pe un inel noetherian drept A.
Definitie. Fie a un ideal bilateral intr-un inel A. Puterile formeaza o baza pentru o topologie liniara pe A, care este obisnuit numita toologia a-adica.Toologia a-adica este separata, adica .
Daca a este un ideal bilateral al lui A, topologia a-adica este topologia Gabriel marginita constand in toate idealele drepte ce contin anumite puteri ale lui a. Cand M este un modul finit generat, un sistem fundamental de vecinatati ale lui 0 pentru topologia a-adica pe M este dat de submodulele .
Propozitie. Presupunem ca topologia a-adica este stabila si M este un modul finit generat. Pentru fiecare submodul L al lui M si intreg , exista un intreg h(n) astfel incat .
Un modul finit generat M se numeste modul Artin-Ress daca pentru fiecare ideal bilateral a al lui A, fiecare submodul L al lui M si , exista astfel incat . Avem nevoie de:
Lema. Fie M un modul finit generat cu submodulele . Exista un submodul N al lui M astfel incat si .
Demonstratie. Daca K=L, luam N=M. Presupunem . Fie o descompunere tertiara a lui K in M. Fiecare este tertiar in L, ceea ce duce la , deoarece . Cum , rezulta ca
. Astfel obtinem o decompunere tertiara a lui K in L adica , dupa omiterea elementelor inutile. Consideram acum . Atunci si
.
Propozitie. Un modul finit generat M este un modul Artin-Ress daca si numai daca fiecare submodul tertiar al lui M este primar.
Demonstratie. Presupunem ca M este un modul Artin-Ress si L este un submodul tertiar al lui M. Fie p idealul prim asociat lui M/L. Atunci pentru un anumit , si alegem maximal, adica . Deoarece pentru fiecare submodul nenul N/L al lui , maximalitatea lui implica faptul ca este un submodul esential al lui M/L. Prin proprietatea Artin-Ress avem pentru un anumit intreg n. Dar esential in M/L, ceea ce implica , adica L este primar in M.
Pentru reciproca, presupunem ca submodulele tertiare ale lui M sunt primare M. Fie a un ideal bilateral, L un submodul al lui M, si n un intreg mai mare ca 0. Consideram . Atunci anuleaza L/K, deci pentru fiecare avem si deci .
Fie un submodul N al lui M astfel incat si . Fie o decompunere tertiara a lui N in M, cu . Atunci si astfel . Fiecare este primar in M din ipoteza, ceea ce inseamna ca pesntru un anume . In consecinta exista un intreg m astfel incat
si atunci
.
Aceasta stabileste proprietatea Artin-Ress pentru M.
Teorema. Urmatoarele proprietati pentru un inel noetherian drept A sunt echivalente:
1) Fiecare ideal drept ireductibil este primar.
2) Fiecare submodul tertiar al unui modul finit generat M este primar in M.
3) A este un modul Artin-Ress (ca un A-modul drept).
4) Toate modulele finit generate sunt module Artin-Ress.
5) Toate topologiile Gabriel marginite pe A sunt stabile.
6) Pentru fiecare modul injectiv indecompozabil E, cu idealul prim asociat pe p si fiecare , exista un intreg astfel incat .
Demonstratie. Propozitia anterioara determina si . Aratam ca .
. Daca E este un modul injectiv indecompozabil si , atunci este un ideal drept ireductibil, astfel ca din 1) obtinem ca pentru un anumit n, unde , deci .
. Fie F o topologie Gabriel marginita, si fie F-stabila. Daca M este un modul de F-torsiune, atunci de asemenea E(M) este de F-torsiune. Evident putem presupune ca E(M) este indecompozabil, si fie . Deoarece , conditia 6) implica atunci ca E(M ) este un modul de torsiune.
Un inel noetherian drept A se numeste clasic la dreapta daca satisface conditiile echivalente ale teoremei de mai sus.
Exemple.
1) Inele noetheriene comutative.
Fie A un inel noetherian comutativ. Deoarece fiecare ideal ireductibil este primar, A este un inel clasic. Astfel:
Propozitie. Daca A este un inel noetherian comutativ, atunci:
1) Toate topologiile Gabriel pe A sunt stabile.
2) Toate modulele finit generate sunt module Artin-Ress.
2) Algebre separabile.
Fie R un inel noetherian comutativ si fie A o R-algebra centrala separabila. Afirmam ca A este un inel clasic. Fie a un ideal bilateral al lui A, b un ideal drept al lui A, si n un intreg mai mare ca 0. Este cunoscut ca a are forma a=cA pentru un anumit ideal c din R. Deoarece R este un inel clasic si A este un R-modul finit generat, atunci exista h(n)>0 astfel incat . Aceasta poate fi scrisa ca , astfel ca A este un modul Artin-Ress, de unde obinem ca A este clasic la dreapta.
A este de asemenea deplin marginit la dreapta, astfel ca fiecare topologie Gabriel pe A este marginita si astfel stabila.
3) Teorema de intersectie a lui Krull.
O consecinta clasica a lemei Artin-Ress este teorema de intersectie a lui Krull. Generalizarea sa necomutativa este:
Propozitie. Fie A un inel clasic la dreapta. Daca a este un ideal bilateral al lui A si M este un modul finit generat, atunci consta din acei pentru care exista a astfel incat x(1-a)=0.
Demonstratie. Daca si x=xa pentru un anumit a, atunci x=xa pentru toti n si deci .
Reciproc, daca atunci xA este continut in intersectia tuturor vecinatatilor lui 0 in topologia a-adica a lui M. Aceasta topologie induce topologia a-adica pe xA si deoarece xa este o vecinatate a lui 0 in ultima topologie, rezulta ca xa=xA. Deci x=xa pentru un anumit a.
4.4. Rezultate auxiliare in localizarea comutativa
Fie un inel noetherian comutativ A. Fie S o submultime multiplicativ inchisa a lui A, si notam cu multimea idealelor prime ce nu intersecteaza pe S.
Propozitie. Aplicatia este o bijectie
.
Propozitie. Pentru fiecare modul M exista o bijectie
.
Demonstratie. Daca si pentru un anumit , atunci se verifica usor ca . Presupunem reciproc ca si este asociat cu , si pentru un anumit si . Fie generatorii idealului p. Atunci , de unde rezulta ca =0 pentru anumiti (scriem acum toate A-modulele ca module stanga). Fie . Pentru fiecare avem , adica . Pe de alta parte, daca , atunci , de unde rezulta ca . Astfel, .
Definitie. Se numeste suportul modulului M multimea idealelor prime p pentru care , si o notam cu Supp(M).
Propozitie. Un ideal prim apartine lui Supp(M) daca si numai daca contine un ideal prim in Ass(M).
Corolar. Ass(M)Supp(M) si aceste doua familii au aceeasi membri minimali. Rezulta, in particular, ca fiecare ideal prim minimal al lui A este un membru al lui Ass(A) si deci exista numai un numar finit de ideale prime minimale.
Pentru fiecare ideal a avem Supp(A/a)=V(a). Mai general:
Lema. Daca a este un ideal si M este un modul finit generat, atunci Supp(M/aM)=Supp(M)∩V(a).
Demonstratie. Un ideal prim p apartine lui Supp(M/aM), care are loc daca si numai daca si .
Definitie. Daca M este un modul, atunci un element se numeste M-regulat daca pentru toti din M.
Lema. Fie M un modul. Un element al lui A este M-regulat daca si numai daca nu este continut in nici un ideal prim asociat lui M.
Demonsratie. Daca este M-regulat, atunci desigur a nu poate apartine nici unui . Pe de alta parte, daca a nu este M-regulat, atunci ax=0 pentru un anumit din M. Fie p un ideal prim asociat submodulului Ax. Daca p=Ann(bx), pentru un anumit si abx=0, rezulta ca . Astfel a apartine unui ideal prim asociat lui M.
Lema. Fie M un modul finit generat si un element M-regulat. Atunci
pentru fiecare .
Demonstratie. Fie L un submodul al lui M astfel incat Ass(L)={p} si Ass(M/L)=Ass(M)-{p}. Elementul M-regulat a este de asemenea (M/L)-regulat (rezulta din lema anterioara). Rezulta ca si morfismul indus L/aL→M/aM este un monomorfism, deci . Cum si fiecare membru minimal din V(p+aA) apartine , ceea ce incheie demonstratia.
4.5. Topologiile pentru un inel noetherian comutativ
Pentru un inel dat A si un modul M, introducem un sir de topologii care pot fi descries prin . Presupunem acum ca A este comutativ si noetherian si ne propunem sa descriem explicit multimea idealelor prime care determina . Consideram cazul n=0.
Lema. Daca a este continut in reuniunea unui numar finit de ideale prime, atunci a este continut in unul din ele.
Demonstratie. Fie ideale prime si . Putem presupune ca pentru . Presupunem ca , pentru fiecare i. Din definitia idealelor prime rezulta usor ca . Daca este un element din a astfel incat , atunci apartine lui a fara a apartine nici unui , ceea ce este o contradictie.
Propozitie. Fie M un modul finit generat. Urmatoarele proprietati ale unui ideal a sunt echivalente:
1) ;
2) ;
3) ;
4) a contine un element M-regulat.
Demonstratie. evident.
Daca si , atunci pentru un anumit nenul, ceea ce impica existenta unui morfism nenul , ceea ce contrazice 2).
Daca a nu este continut in nici un ideal prim asociat lui M, atunci deoarece Ass(M) este finit, din lema anterioarea obtinem ca a nu este continut in reuniunea acestor ideale prime, deci a contine un element M-regulat.
Fie L un submodul al lui A/a si presupunem ca exista un morfism nenul . Atunci exista astfel incat . Dar ax=0, implica si aceasta este imposibil cand a contine elemente M-regulate.
Pentru generalizarea conditiei 4) la cu n>0, avem nevoie de o extindere a conceptului de M-regularitate. Fie M un modul finit generat. Un sir de elemente ale lui A este M-regulat (de lungime n) daca este M-regulat si este -regulat pentru .
Propozitie. (Grothendieck) Fie M un modul finit generat. Urmatoarele proprietati ale unui ideal a sunt echivalente pentru fiecare intreg :
1) ;
2) pentru toti ;
3) contine un sir M-regulat de lungime n+1.
Demonstratie. evident.
Procedam prin inductie dupa n. Cazul n=0 a fost tratat in propozitia anterioara. Consideram un n>0 arbitrar. In particular presupunem ca , care implica ca contine un element M-regulat a. Multiplicarea prin a duce la un sir exact
,
din care obtinem sirurile exacte:
,
pentru . Folosind conditia 2), concluzionam ca pentru . Din ipoteza de inductie, exista un sir M/aM-regulat in . Sirul este M-regulat.
Din nou facem inductie dupa n. Fie un sir M-regulat in . Atunci este un sir regulat in , astfel ca din ipoteza de inductie avem pentru si fiecare . Sirul exact
induce un monomorfism
pentru i<n. Dar implica faptul ca , deci monomorfismul trebuie a fie zero. Deci pentru si .
Daca conditiile echivalente ale propozitiei anterioare sunt satisfacute pentru un anumit intreg n si daca este un sir M-regulat in pentru un anumit , atunci modelul satisface aceleasi conditii pentru . Aceasta este usor de demostrat prin inductie utilizand acelasi tip de argumente ca in demonstratia . Rezulta ca toate sirurile M-regulate maximale de elemente din au aceeasi lungime , care se numeste -adancimea lui M si se noteaza prin . Deducem in particular:
Lema. Fie un ideal si M un modul finit generat. Daca este M-regulat, atunci:
.
Daca p este un ideal prim al lui A, atunci scriem pentru -adancimea -modulului .
Lema. Fie un ideal si M un modul finit generat. Atunci .
Demonstratie. Daca M are -adancimea egala cu n, atunci exista un sir M-regulat in . Pentru fiecare , imaginea canonica a lui in formeaza un sir -regulat in , asa cum se verifica. Deci are adoncimea mai mare sau egala cu n.
Pentru a obtine inegalitatea inversa, demonstram ca daca are loc pentru toti , atunci . Facem aceasta prin inductie. Cazul n=0 este trivial, asa ca presupunem . Atunci pentru fiecare , si rezulta usor ca . Fie . Evident este -regulat si din lema anterioara rezulta ca -modulul are adancimea mai mare sau egala cu n-1 pentru toti .
Ipoteza de inductie arata ca M/aM are -adancime mai mare sau egala cu n-1, si deci M are -adancimea mai mare sau egala cu n.
Aplicand lema anterioara ajungem la urmatoarea caracterizare a topologiei :
Propozitie. Fie M un modul finit generat. Atunci
.
In particular, un ideal prim p apartine lui daca si numai daca are adancimea mai mare sau egala cu n+1 pentru toate idealele prime . Nu este suficient sa consideram ca doar sa aiba adancimea mai mare sau egala cu n+1, deoarece se poate intampla pentru idealele prime ca . Pentru a evita acest tip de complicatii si a obtine propozitia intr-o forma mai placuta, trebuie sa impunem cateva conditii in plus pentru A si M. In scopul simplitatii ne indreptam atentia catre cazul M=A.
Dar mai intai facem o digresiune pe relatia dintre adancime si dimensiune.
Dimensiunea Krull a unui inel A este definita ca fiind lungimea maxima n a lanturilor de ideale prime din A, notata cu dim(A). Astfel . Daca p este un ideal prim, dimensiunea Krull a unui inel local se numeste inaltimea lui p si se noteaza cu ht(p).
Poate fi demonstrat ca fiecare ideal prim are inaltime finita, sau, cu alte cuvinte, ca fiecare inel local are dimensiunea Krull finita.
Lema. Fie A un inel local. Atunci .
Demonstratie. Utilizam inductia dupa . Cazul n=0 este trivial. Presupunem . Fie a un element A-regulat in idealul maximal al lui A. Atunci . Pentru fiecare putem gasi un ideal prim asa incat si . Deoarece a este A-regulat, avem , asa ca . Deci, ipoteza de inductie arata ca . Atunci implica asa ca .
Definitie. (Serre). Inelul A satisface conditia , pentru un intreg , daca are loc pentru fiecare ideal prim p.
Observam ca daca are loc, atunci are loc pentru . Ca o consecinta a lemei anterioare, poate fi formulata ca o combinatie a doua conditii:
Propozitie. Presupunem ca A satisface . Atunci:
(1) consta din toate idealele prime de inaltime mai mare sau egala cu n+1.
(2) A-modulul L este un modul de -torsiune daca si numai daca . pentru toate idealele prime de inaltime mai mica sau egala cu n.
Demonstratie. (1). Fie un ideal prim p ce apartine lui daca si numai daca pentru toate idealele prime . Daca , atunci de asemenea fiecare are , si din . Deci in acest caz. Cand , de asemenea din si astfel .
Exemple.
1) Ideale dense. Deoarece consta din idealele dense ale lui A avem:
Propozitie. Un ideal intr-un inel noetherian comutativ este dens daca si numai daca contine un element regulat.
2) Domenii integral inchise. Fie A un inel noetherian integral inchis. Afirmam ca A satisface conditia . Daca p este in ideal prim de inaltime 0 sau 1, atunci are evident adancimea 0, respectiv 1. Pentru a rezolva cazul , este suficient sa aratam ca fiecare domeniu integral A de dimensiune mai mare sau egala cu 2, are adancimea mai mare sau egala cu 2 (deoarece fiecare localizare a unui domeniu integral inchis este integral inchis). Alegem orice element nenul a din idealul maximal m al lui A. Atunci fiecare are inaltimea 1 si este deci strict continut in m. Deci m nu este continut in asa ca exista un element care nu apartine nici unui . Sirul a,b este A-regulat asa ca .
Propozitie. Fie A un domeniu integral inchis noeherian. L este un modul de -torsiune daca si numai daca pentru fiecare ideal prim de inaltime mai mica sau egala cu 1.
3) Inele Cohen-Macaulay. Inelul A este inel Cohen-Macaulay daca pentru fiecare ideal prim p. Acesta satisface atunci conditia pentru fiecare . Din exemplul anterior, fiecare domeniu integral inchis de dimensiune mai mare sau egala cu 2 este un inel Cohen-Macaulay. Pentru un modul M peste un inel Cohen-Macaulay A exista un filtru de submodule , unde este submodulul de -torsiune al lui M si de asemenea exista submodulul maximal L al lui M asa incat pentru toate idealele prime de inaltime mai mica sau egala cu n.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Inele Si Ideale (ID: 149287)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.