Inele Factoriale. Aspecte Metodice Si Metodologice

CUPRINS

CUPRINS…………………………………………………………………………………………………………………..1

INTRODUCERE………………………………………………………………………………………………………..3

CAPITOLUL. l. NOȚIUNI GENERALE DE TEORIA INELELOR…………………….5

I.1.Inele……………………………………………………………………………………………5

I.2. Domenii de integritate…………………………………………………………………….6

I.3. Ideal ……………………………………………………………………………….……..7

I.4. Morfisme de inele…………………………………………………………………………9

l.5. Subinel , ideal și inel factor …………………………………………………..………11

l.6.Ideal maximal……………………………………………………………………..………14

l.7.Subcorpuri. Corpuri prime. Caracteristica unui corp…………………….………….14

l.8.Inele de fracții. Corpul de fracții al unui inel integru……………..………………….16

1.9.Inele de polinoame……………………………………………………………………..18

CAPITOLUL II.DIVIZIBILITATE IN DOMENII DE INTEGRITATE……………….23

II.1.Relația de divizibilitate………………………………………………..………………..23

II.2. C.M.M.D.C. și C.M.M.M.C……………………………………………………………26

CAPITOLUL III.INELE FACTORIALE………………..………………………………..34

III.1.Inele factoriale………………………………………………………………………….34

III.2.Factorialitatea inelelor de fracții……………….……………………………………..39

CAPITOLUL IV.INELE PRINCIPALE ȘI INELE EUCLIDIENE……………………..41

IV.1.Inele principale și inele euclidiene……………………………………….……………41

IV.2. Exemple de inele euclidiene……………………………………..……………………44

CAPITOLUL V. APLICAȚII ……………………………………………………………..56
CAPITOLUL VI. ASPECTE METODICE ȘI METODOLOGICE………………….….90

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………………………..…….95

DECLARATIE……………………………………………………………….……..………..96

INTRODUCERE

Marile succese ale tehnicii sub toate formele au contribuit la recunoașterea rolului fundamental al matematicii. Se știe că aceste succese nu s-ar obține fără matematică, de aceea interesul pentru matematică a crescut mereu și, odată cu acesta și necesitatea de informare asupra acestei științe.

Matematica este, în multe privințe, o știință abstractă și în mod deosebit în ceea ce privește modul de punere a problemelor. Dacă cercetătorii din domeniile medicinei, zoologiei , botanicii, geografiei, geologiei pot expune unui neinițiat marea parte a problemelor, rezultatelor, ba chiar și a metodelor și principiilor de bază din domeniile lor de specialitate, în așa fel încât neinițiatul să-și poată face o idee de ansamblu asupra domeniului respectiv, acest lucru este foarte greu de făcut pentru fizica și chimia contemporană și încă și mai greu pentru matematica contemporană. Nu numai întinderea rezultatelor a crescut mult, dar problemele sunt așa de greu de tratat și att de adânci, încât nici chiar un matematician nu poate avea decât o idee de ansamnblu asupra întregii matematici.

O altă descoperire a început aproximativ în urmă cu 150 de ani. De mult s-a observat că anumite reguli ale înmulțirii numerelor prezintă o asemănare formală cu unele reguli ale adunării numerelor.

Asemănări s-au remarcat și la alte operații matematice (exemplu: compunerea mișcărilor și a permutărilor). Insă, mai târziu s-a dedus din aceste proprietăți de bază, alte noi proprietăți mai complexe. Domeniul creat este astăzi numit teoria grupurilor.

Astăzi se tratează axiomatic importante părți ale matematicii, în special algebra. Lucrul acesta este realizabil în felul următor: fiind dată o colecție de obiecte matematice cu un sistem de proprietăți ( axiome), care sunt proprietățile de bază ale obiectelor date, să se deducă din aceste proprietăți consecințele cele mai complexe și să se dezvolte teoria unei astfel de structuri.

Mulțimile de obiecte sau de elemente pentru care oricare dintre acestea se pot combina după o anumită regulă specificată și într-o ordine dată, astfel încât să ducă la obținerea unui al treilea element, apar în toate ramurile matematicii. Acestea sunt denumite în algebră legi de compoziție. Aceste legi determină pe mulțimile de numere structurile algebrice: grup, inel și corp.

Inelele joacă un rol important în rezolvarea problemelor legate de mulțimi înzestrate cu două operații binare. Exemple concrete de mulțimi înzestrare cu două operații se întâlnesc de către cei care vor să studieze matematica încă din primele clase de școală . Ei discută despre suma și produsul a două numere naturale deși definițiile mai concrete ale operațiilor de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor naturale nu le pot înțelege încă. În liceu sunt învățați să definească corect operațiile de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor întregi, raționale, reale, complexe, în mulțimea polinoamelor cu o nedeterminată, în mulțimea matricilor pătratice.Asemenea exemple concrete de mulțimi înzestrate cu două operații binare, pot fi studiate dintr-un punct de vedere mai larg, prin introducerea noțiunilor de inel și corp.

În lucrarea de față am facut o trecere în revistă a celor mai cunoscute noțiuni despre inele, realizând o prezentare teoretică a acestora, cu accent pe cele euclidiene.

În elaborarea prezentei am urmat în special monografia din: Bazele algebrei (C. Nastasescu, C. Niță, C. Vraciu ,vol.1, Ed. Academiei RSR, Bucuresti, 1986), Algebra (I. D. Ion, N. Radu, E.D.P., Bucuresti, 1991), Algebra (T. Dumitrescu, Bucuresti, 2006), Probleme de algebra (C. Baetica, C. Boboc, S. Dascalescu, G. Mincu, Ed. Universitatii Bucuresti,2008) , Curriculum pedagogic (Sorin Cristea, Ion Negret-Dobridor, Eugen Noveanu, Elena Stanculescu, Crenguta Oprea, Elisaveta Georgescu, Elena Rafaila, Ion Ovidiu Panisoara, Silviu Fat, Olimpius Istrate –, editia a ll-a, Editura didactica si pedagogica, R.A.Bucuresti, 2008), Pedagogie. Bazele teoretice (Nicolae Oprescu, , Ed. Fundației „Romania de maine”, Bucuresti,1999), Pedagogie generală (Gabriela Cristea , Ed. Didactica și pedagogică, R.A., 2008).

CAPITOLUL I

NOȚIUNI GENERALE DE TEORIA INELELOR

I .1. Inele

Definiția I.1.1.Se numește inel o mulțime nevidă R înzestrată cu doua operații algebrice:

+ : R x R→ R

și

x : RxR→ R,

una notată aditiv și numită adunare, iar cealaltă notată multiplicativ și numită înmulțire care satisface urmatoarele condiții:

R este grup abelian față de operația de adunare;

Operația de înmulțire este asociativă;

Oricare ar fi a,b,c ϵ R, avem

a (b + c ) = ab + ac

și

( a + b ) c = ac + bc

Operația de înmulțire are element neutru 1.

Condiția 3. Exprimă proprietățile de distributivitate ale înmulțirii față de adunare.

In cazul unui inel R, grupul abelian R față de adunare se numește grupul aditiv subiacent inelului. Elementul neutru al acestui grup se notează, de obicei, cu 0 și este numit elementul zero al inelului,iar 1 este elemental neutru la înmulțire și se este elementul unitate (unitatea inelului R).

Dacă înmulțirea este comutativă atunci inelul este comutativ.

Exemple:

Mulțimile Z, Q, R cu operațiile de adunare și înmulțire formează inele comutative.

Mulțimea C ( [0,1] , R) = { f : [0,1] → R, f continuă } cu adunarea și înmulțirea funcțiilor:

f+g și fg

definite astfel:

( f + g ) = f(x) + g(x)

și

(fg)(x) = f(x) g(x)

este un inel comutativ.

I.2. Domenii de integritate

Fie R un inel și a ϵ R. Spunem că elementul a este divizor al lui zero la stânga (respectiv la dreapta) dacă există b ϵ R, b≠ 0 astfel încât ab = 0 (respectiv ba = 0).

Un element a care este în același timp divizor al lui zero la stânga și la dreapta se numește divizor al lui zero.

Daca R este inel comutativ, noțiunile de divizor al lui zero la stânga și la dreapta coincid cu cea de divizor al lui zero.

Un inel unitar nenul fără divizori ai lui zero la stânga și la dreapta nenuli, se numește inel integru. Dacă , în plus, inelul este și comutativ, atunci va fi numit domeniu de integritate.

Observăm următoarele: un inel unitar R este integru dacă și numai dacă sunt adevărate regulile de simplificare, adică: pentru orice a≠0, ab=ac, implică b=c si ba=ca implică b=c.

Intr-adevăr, dacă R este inel integru și ab=ac, a≠0, atunci a(b-c)=0, de unde rezultă și b – c= 0 sau b = c. Dacă ba = ca, atunci rezultă că b = c. Reciproc, fie R inel în care sunt adevărate regulile de simplificare. Atunci, din ab = 0, a ≠ 0, avem ab = a0, deci b = 0. La fel, din ba = 0, a ≠ 0, rezultă b = 0 și deci R este integru.

Daca R este inel, un element a ϵ R se numește inversabil dacă există b ϵ R astfel încât:

ab = ba = 1.

Vom nota cu U(R) = {a ϵ R │ a inversabil}.

Dacă a,b ϵ U( R), atunci avem

(ab)-1= b-1 a-1

și deci ab ϵ U( R).

Este evident că U (R) are o structură de grup față de operația de înmulțire din R. Acest grup se numește grupul elementelor inversabile ale inelului R.

Exemple:

U( R) = {-1,1}

U (Q) = Q\{0}

U( R) = R\{0}

U(Zn) = { â │(a,n) = 1}.

Dacă R este un inel, orice element inversabil al lui R nu este divizor al lui zero.

Fie a ϵ R astfel încât există b ϵ R cu ab = ba = 1. Atunci a ≠ 0 și dacă și ac = 0, atunci rezultă b(ac) = b0, adică (ba) c = 0, deci rezultă c = 0.

La fel dacă da = 0, atunci (da) b = 0b, adică d (ab) =0, de unde d = 0.

I.3.. Ideal

Definiția I.3.1. Fie R un inel. O submulțime nevidă S a lui R se numește subinel al lui R dacă S împreună cu operațiile induse de cele doua operații algebrice de pe R formează la rândul său un inel.

Exemple :

Dacă R este inel, atunci R și {0} sunt subinele ale sale.

2) Z⊂Q⊂R sunt subinele unul în altul, cu adunarea și înmulțirea.

Definiția I.3.2. Fie R un inel și I⊂R o submulțime nevidă a sa. Spunem că I este un ideal la stânga (respectiv la dreapta) al inelului R dacă :

Oricare ar fi x,y ∊ I, rezultă x-y ∊ I;

Oricare ar fi a ∊ R și x ∊ I, rezultă ax ∊ I, (respectiv xa ∊ I).

Un ideal care este în același timp ideal la stânga și ideal la dreapta se numește ideal bilateral.

Dacă R este inel comutativ, atunci este evident că noțiunea de ideal la stânga coincide cu cea de ideal la dreapta și cu cea de ideal bilateral, este un subinel al inelului, dar reciproc nu este adevărat.

Exemple :

Z este subinel al lui Q dar nu este și ideal deoarece de exemplu 3 ∊ Z și ∊ Q, iar 3∙= ∉ Z;

Dacă R este un inel, și a ∊ R un element oarecare, atunci Ra, aR și RaR se numesc ideale principale, respectiv la stânga, la dreapta și bilaterale.

In cazul în care R este inel comutativ , noțiunile de ideal principal la stânga, la dreapta și bilateral coincid. In acest caz se va numi ideal principal și-l vom nota și cu (a).

3. Subinelele inelului Z sunt submulțimile sale de tipul nZ cu n ∊ N. Orice astfel de mulțime este un ideal al lui Z și coincid cu submulțimile lui Z adică sunt date de {nZ}, n ≥ 0. De aici rezultă că orice ideal al inelelor Z și Zn este principal.

Definiția I. 3.3. Fie R un inel și E o submulțime a lui R. Intersecția tuturor idealelor la stânga ( respectiv la dreapta, bilaterale) ale lui R care conțin mulțimea E, se numește idealul la stânga (respectiv la dreapta, bilateral) generat de mulțimea E în inelul R.

Spunem că E este un sistem de generatori pentru acest ideal. Mulțimea vidă generează idealul (0).

Un ideal la stânga ( respectiv la dreapta, bilateral) care are o mulțime finită de generatori se numește de tip finit sau finit generat.

I.4. Morfisme de inele

Definiția I.4.1. Fie R și R' două inele. Se numește morfism de inele de la R la R' o funcție f : R→R', astfel încât să fie satisfăcute urmatoarele condiții :

f ( a + b) = f(a) + f(b);

f( ab) = f(a) f(b), oricare ar fi a, b ∊ R;

f(1)=1.

Daca R si R' sunt inele, iar f : R→R' un morfism de inele, după prima condiție din definiția morfismului rezultă că f este morfism al al grupurilor aditive ale celor doua inele și deci avem :

f(0) = 0 si f(-a)= -f(a), ∀ a ∊ R.

Proprietăți de bază ale morfismelor de inele:

1. Daca R, R', R'' sunt inele, iar f:R→R' și g:R'→R'' sunt morfisme de inele, atunci compunerea g◦f: R→R'' este un morfism de inele.

2. Pentru orice inel R, funcția 1R: R→R este un morfism, de inele, atunci:

f◦1R=f si 1R’◦f=f.

Propoziția I.4.2. Fie f: R→R' un morfism de inele. Atunci f este izomorfism dacă și numai dacă funcția f este bijectivă.

Demonstrație:

Având în vedere rezultatul corespunzător pentru grupuri este suficient să demonstrăm că, dacă g : R’→R’este o funcție astfel încât f◦g=1R’ și g◦f= 1R’, atunci g(bb’)=g(b)g(b’), oricare ar fi b, b∊R’. Dacă b.b’ ∊ R’, atunci 

bb’= 1R(bb’)=(f◦g)(bb’)= f(g(bb’)).

Exemple:

Pentru orice inel R avem morfismul identic 1R : R→R;

Funcția i : Z→Q, i(n) = n este un morfism injectiv de inele.

DefiniițiaI.4.3. Fie f:R→S un morfism de inele. Notăm cu Im f= f(R) și Ker f= {a ∊R | f(a)=0} numindu-le imaginea si respectiv nucleul morfismului f.

Propoziția I.4.4. Fie f: R→S un morfism de inele. Atunci Im f este un subinel al lui S, iar Ker f este ideal bilateral al lui R.

Demonstrație:

Cum R este subinel al lui R, atunci Im f este subinel al lui S. Apoi Ker f = f-1((0)), iar (0) este evident bilateral al lui S.

Fie {Rα}α∊ A o familie de inele. Pe produsul direct al familiei de grupuri sibiacente inelelor Rα, α = {(aα)α | aα∊ Rα pentru orice α ∊ A}, definim o operație algebrică multiplicativă. Astfel, dacă a = (aα)α, b = (bα)α sunt două elemente din α, punem prin definiție ab = (aαbα)α, unde pentru orice α ∊ A, aαbα se efectuează în R α.

Avem că α împreună cu cele două operații algebrice, adunarea și înmulțirea, are o structură de inel.

Am remarcat deja că rele condiții:

Este asociativă;

Este distributivă față de adunare.

Să verificăm una din egalitățile care ne dau distributivitatea. Dacă a, b, c α, unde a = (aα)α, b = (bα)α, c = (cα)α, avem

a(b+c) = (aα)α((bα)α + (cα)α) = (aα)α(bα+ cα)α = (aα(bα+ cα))α = (aαbα + aαcα) α= (aαbα)α + (aαcα)α = (aα)α((bα)α + (cα)α) = ab +ac.

Propoziția I.4.5. Fie{ Rα}, α ∊ A o familie de inele unitare și R= α produsul lor direct. Atunci

U(R)= Rα

Demonstrație:

Deoarece produsul a două elemente din R se efectuează pe două componente, rezultă că (aα)α din R este inversabil dacă și numai dacă fiecare aα, α ∊ A, este inversabil în Rα.

Propoziția I.4.6. Fie m,n numere întregi pozitive astfel încât (m,n)=1. Atunci inelele Zmn, si Zm x Zn sunt izomorfe.

Propoziția I. 4.7. Daca m1,m2………mk sunt numere întregi pozitive și (mi,mj) = 1 pentru orice i ≠ j

inele Zm1m2.…mk și mi sunt izomorfe.

l.5. Subinel, ideal și inel factor

Propoziția l.5.1. O intersecție de subinele (unitare) ale unei inel este un subinel (unitar).

Propoziția l.5.2. Fie A un inel unitar și I un ideal stâng ( drept si bilateral). Atunci I = A dacă și numai dacă I conține un element inversabil al lui A.

Corolarul l.5.3. Un inel unitar nenul A este corp dacă și numai dacă singurele ideale (stângi, drepte,bilaterale) sunt (0) și A (care sunt bilaterale).

Propoziția l.5.4. Fie f:A→B un morfism de inele. Atunci:

Dacă A' este un subinel în A, atunci f(A') este subinel în B.( In particular, Im f este subinel al lui B).

Dacă B' este subinel al lui B, atunci f-1(B') este subinel al lui A.

Dacă J este ideal stâng(drept,bilateral) în B, atunci f-1(J) este ideal stâng (drept,bilateral) în A. In particular, Ker f este ideal bilateral în A.

Daca în plus f este morfism surjectiv și I este ideal stâng (drept, bilateral) în A, atunci f(I) este ideal ideal stâng (drept,bilateral) în B.

Aplicația care asociază unui ideal stâng (drept,bilateral) J din B idealul stâng (drept, bilateral) f-1(J) din A este un izomorfism de mulțimi ordonate între idealele stângi (drepte bilaterale) ale lui B și idealele stângi ale lui A care conțin pe Ker f.

Vom numi inel factor al inelului A un inel A' împreună cu un morfism surjectiv de inele p: A→A'. Morfismul surjectiv p se numește morfism canonic sau surjecție canonică.

Dacă A' este un inel factor al al inelului A, atunci, reținând doar structurile de grupuri aditive ale lui A și A', observăm că A' este grup factor al lui A. La fel și în acest caz A' este și o mulțime factor a mulțimii A.

Dacă A' este un inel factor al lui A de morfism canonic p: A→A', atunci vom nota acest lucru și prin (A', p) punând astfel în evidență și morfismul canonic.

Propoziția l.5.5. (Proprietatea de universalitate a inelelor factor). Fie p:A→A' un inel factor al inelului A si φ: A→B un morfism de inele.

există un morfism de inele u: A'→B astfel încât up = φ, adică diagrama următoare:

A p A'

φ u

B

să fie comutativă dacă și numai dacă Ker φ⊇ Ker p. In cazul în care u există el este unic.

Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din 1), atunci u este surjectiv dacă și numai dacă φ este surjectiv, adică (B, φ) este și el inel factor al lui A.

Dacă există morfismul de inele u cu proprietatea din 1), atunci u este injectiv dacă și numai dacă Ker p = Ker φ.

Corolarul l.5.6. Fie (A', p') si (A'', p''), doua inele factor ale inelului A. Atunci există un izomorfism de inele u: A'→A'', astfel încăt up'=p'' dacă și numai dacă Ker p'= Ker p''.

Teorema l.5.7. Fie A un inel și I un ideal bilateral al lui A. Atunci există un inel A' și un morfism surjectiv de inele φ : A→A' astfel încât Ker φ = I.

Demonstrație:

Considerăm A cu structură de grup aditiv.

Atunci I este subgrup al lui A și considerăm grupul factor A` = A/I, iar φ: A → A` morfismul canonic de grupuri cu proprietatea Ker φ = I. Vom arăta că pe A` putem introduce o structură de inel astfel încât φ să fie morfism de inele. Intradevăr, fie α, β ∊ A` și fie a ∊ α și b ∊ β. Deci α = a + I, β = b + I, atunci definim αβ = ab + I.

Clasa produsului nu depinde de elementele a și b alese în clasele respective. Dacă a` = a + c, b` = b + d, cu c, d ∊ I , deci a`b` = ab+ cb +ad + cd și , deoarece I este ideal bilateral în A, ab +ad + cd ∊ I; deci a`b`≡ ab (mod I).

Această operație este asociativă pe A’, deoarece operația de înmulțire pe A este asociativă, are element unitate dacă A are element unitate și este distributivă față de adunarea pe A’, deoarece înmulțirea pe A este distributivă față de adunare. Avem, de asemenea :

φ (ab) = ab + I, iar φ(a) φ(b) = (a + I)(b + I) = ab + I

pentru orice a,b ∊ A, deci φ este morfism de inele.

Inelul construit în teorema precedentă se numește inelul factor (cât) al lui A în raport cu idealul bilateral I și se notează prin A/I sau .

Corolarul l.5.8. Dacă f: A→B este un morfism de inele, atunci există un izomorfism canonic:

ḟ : A/Ker f ≈ Im f.

Corolarul 1.5.9. Fie A un inel și I⊇J doua ideale bilaterale ale sale. Atunci există un izomorfism canonic de inele:

Ψ : ⥲ A/J.

Propoziția l.5.10. In inelul Zn, n>1, clasa â a numărului a ϵ Z este element inversabil dacă și numai dacă (a,n) =1.

In particular, Zn este corp dacă și numai dacă n este număr prim.

l.6. Ideale maximale, prime și ireductibile

Definiția 1.6.1. Fie A un inel comutativ și unitar. Un ideal M al lui A se numește ideal maximal dacă M ≠ A și oricare ar fi idealul I al lui A cu A ⊇I⊇M, rezultă I = A sau I = M.

Propoziția 1.6.2. Fie A un inel și M un ideal în A. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

M este ideal maximal în A;

Inelul factor A|M este corp.

Propoziția 1.6.3. Fie P ideal in inelul A. Atunci P este prim dacă și numai dacă A/P integru.

Corolar 1.6.4. Orice ideal maximal al unui inel este și ideal prim.

Din corolarul precedent rezultă că dacă M este ideal maximal în A, atunci A/M este corp, deci este în particular inel integru.

l. 7. Subcorpuri . Corpuri prime. Caracteristica unui corp.

Propoziția 1.7.1. Dacă k este un corp, atunci orice morfism unitar de inele φ: k → B într-un inel unitar nenul B este injectiv. Reciproc, dacă A este un inel comutativ unitar nenul cu proprietatea că orice morfism unitar de inele φ de la A la un inel B nenul este injectiv, atunci A este un corp.

Demonstrație:

Deoarece Ker φ este ideal bilateral în k și k este corp rezultă Ker φ= k sau Ker φ= 0. Prima egalitate nu este posibilă căci φ(1) = 1≠0. A doua afirmație rezultă din faptul că inelul A nu are alte ideale distincte de A și de (0).

Definiția 1.7.2. O submulțime nevidă k a unui corp K se numește subcorp al lui K dacă operațiile algebrice de pe K induc pe k operații algebrice împreună cu care k este corp.

Din aceasta definiție rezultă în particular că subcorpul k conține cel puțin două elemente. Deasemenea mai rezultă și că subcorpul k este subinel unitar al lui K, căci elementul unitate din k este neapărat cel din K, fiindcă k\{0}.

Reciproc: un subinel al lui K este subcorp dacă în același timp cu un element nenul conține și inversul acestuia. Folosind caracterizarea subinelelor unui inel, rezultă că submulțimea k a lui K care conține un element nenul din K este corp dacă și numai dacă pentru orice x, y ϵ k, x ― y ϵ k, xy ϵ k și dacă x ϵ k, x ≠ 0, x-1 ϵ k. Condiția aceasta poate fi scrisă și astfel: oricare ar fi x,y ϵ k, x ― y ϵ k, iar dacă y ≠ 0, xy-1 ϵ k. Evident, dacă prima condiție este îndeplinită, atunci este îndeplinită și cea de a doua.

Reciproc, din a doua condiție rezultă că pentru x ≠ 0, x ϵ k, xx-1 ϵ k, adică 1 ϵ k, și apoi, considerăm elementele 1 și x care aparțin lui k și rezultă x-1 ϵ k. Fie x, y ϵ k, y ≠ 0, atunci x, y-1 ϵ k, prin urmare x(y-1)-1 = xy ϵ k.

Din cele de mai sus rezultă că o submulțime a unui corp K este subcorp dacă și numai dacă este subgrup al grupului aditiv și submulțimea elementelor nenule este nevidă și este un subgrup al grupului multiplicativ al elementelor nenule din K.

Din proprietățile subgrupurilor rezultă că o intersecție de subgrupuri ale unui corp este încă un subcorp al corpului respectiv.

Fie k un subcorp al corpului K, atunci spunem că acest corp K este o extindere a corpului k.

Corpul numerelor raționale Q este un subcorp al corpului numerelor reale R, deci R este o extindere a lui Q.

R este subcorp în C, iar C un subcorp al corpului cuaternionilor.

Fie A un inel. Știm că există un singur morfism unitar de inele i : Z → A.

Nucleul lui i este un ideal în Z, deci de forma nZ, unde n ≥ 0, atunci n este caracteristica inelului A. In particular i este morfism injectiv dacă și numai dacă inelul A este de caracteristică zero. Dacă avem caracteristica lui A mai mare ca 0, ea coincide cu ordinul elementului 1 din A în grupul aditiv al lui A, iar în cazul caracteristicii 0 ordinul lui 1 este infinit.

Noțiunea de caracteristică se folosește mai des în cazul în care A este corp. In acest caz, imaginea lui i este unul din corpurile Zp, unde p > 0 este un număr întreg prim.

Dacă K este un corp de caracteristică zero, atunci unicul morfism de inele i : Z → K se extinde la un morfism injectiv de inele unic j : Q → K. Deci K conține un corp izomorf cu Q. Corpurile Q, R, C, sunt de carecteristică zero. Corpul Q are proprietatea că nu conține alt subcorp distinct de Q, căci orice subcorp al lui Q, conține elementele de forma n∙1, n ϵ Z și inversele acestor elemente și deci și produsele formate cu aceste elemente care constituie toate elementele lui Q. O proprietate asemănătoare o au și corpurile Zp, p > 0 număr întreg prim.

Zp este un corp de caracteristică p. Corpurile Q și Zp, p > 0 număr întreg prim, se numesc corpuri prime datorită faptului că ele nu posedă subgrupuri proprii și orice corp conține un corp și numai unul izomorf cu unul dintre aceste corpuri. Un corp este de caracteristică zero dacă și numai dacă conține un corp izomorf cu Q și de caracteristică p > 0 dacă și numai dacă conține un corp izomorf cu Zp.

O noțiune strâns legată de cea de caracteristică este cea de exponent caracteristic. Dacă K este un corp de caracteristică zero, exponentul sau caracteristic este 1, iar în cazul contrar exponentul caracteristic coincide cu caracteristica.

l. 8. Inele de fractii. Corpul de fracții al unui inel integru.

Fie A un inel comutativ cu element unitate, iar S o submulțime a lui A care conține elementul unitate al lui A și produsul a doua elemente din S este în S, adică S este un semigrup unitar cu operația de înmulțire din A. O astfel de submulțime A a lui S se numește de obicei un sistem multiplicativ din A. Vom considera în continuare sisteme multiplicative care nu conțin divizori ai lui zero, deși construcțiile care urmează se pot face, cu unele modificări , și în cazul în care S conține divizori ai lui zero.

Teorema 1.8.1. Fie A un inel comutativ cu element unitate și S un sistem multiplicativ din A format din nondivizori ai lui zero.Atunci există un inel comutativ si un morfism injective de inele φs: A →As astfel încât φs(s) este un element inversabil în As pentru orice s ϵ S. Acest inel are în plus urmatoarea proprietate (numită de universalitate) care il determină până la un izomorfism : oricare ar fi inelul comutativ B si morfismul de inele φ : A → B pentru orice s ϵ S, φ(s) este inversabil în B, exista un morfism unic de inele ϴ: As→B, adică astfel ca diagrama

φs

A As

φ ϴ

sa fie comutativă. B

Fie A un inel comutativ nenul cu elemente unitate și S un sistem multiplicativ de nondivizori ai lui zero în A. Atunci inelul As definit în teorema precedenta se numește inelul de fracții lui A în raport cu S și se notează cu S-1 A.

Intr-un inel comutativ cu elemente unitate A, mulțimea tuturor nondivizorilor lui zero formează un sistem multiplicativ, după cum se verifică, caci 1 este nondivizor al lui zero și produsul a doi nondivizori ai lui zero este un nondivizor al lui zero. Inelul de fracții în raport cu acest sistem multiplicativ se numește inelul total de fracții al lui A. In particular, dacă A este inel integru, atunci inelul total de fracții al lui A este un corp ( căci dacă α este un element al acestui inel, el este de forma , cu a A, s ≠ 0 și dacă α ≠ 0, rezultă că a ≠ 0, deci are ca invers pe ) numit corpul de fracții al lui A.

Fie A un inel integru continut înt-un corp K. Atunci, din proprietatea de universalitate a corpului de fracții al lui A, rezultă că există un subcorp al lui K care conține pe A, izomorf cu corpul de fracții al lui A și acesta coincide cu intersecția subcorpurilor lui K care conțin pe A.

Construcția dată în teorema I.8.1. pentru inelul As este o generalizare a construcției obișnuite de trecere de la inelul întregilor raționali Z la corpul numerelor raționale Q.

Fie Z inelul numerelor întregi și Z [i] mulțimea numerelor complexe de forma a + bi, cu a,b ϵ Z. Se verifică ușor că această mulțime este un subinel al corpului numerelor complexe. Acest inel se numește inelul întregilor lui Gauss. Corpul său de fracții va fi cel mai mic subcorp al lui C, care îl conține. Acest subcorp trebuie evident să conțină pe Q, deci va conține toate numerele complexe de forma r + si, cu r,s ϵ Q.

Se constată că mulțimea acestor numere complexe formează un subcorp al lui C (este evident inel și inversul lui r + si, pentru r + si ≠ 0, este (r2+s2)-1(r-si)). Așadar corpul de fracții al lui Z [i] este mulțimea elementelor de forma r + si, cu r, s ϵ Q și se notează cu Q[i] sau Q(i).

1.9. Inele de polinoame

Mai întâi vom introduce inelul seriilor formale de o nedeterminată peste un inel comutativ și apoi inelul polinoamelor cu coeficienți în același inel ca subinel al inelului seriilor formale.

Inelele vor fi comutative cu elemente unitate. Fie A un astfel de inel și N mulțimea numerelor naturale. Vom nota cu A’ mulțimea funcțiilor de la N în A pe care introducem operația algebrică numită adunare, indusă de adunarea în A. Dacă scriem o astfel de funcție prin valorile ei, avem, pentru f,g ϵ A’:

f= (a0, a1,…)

g=(b0, b1,….).

f + g = (a0 + b0, a1 + b1, …).

Cu această operație algebrică, A’ formează un grup comutativ cu elementul nul care este funcția Ө: N→A, ϴ(n) = 0 pentru orice n ϵ N. Pe A’ vom mai introduce o operație algebrică numită înmulțire în felul următor: dacă f și g sunt elemente din A’ ca mai sus, atunci:

fg=(c0, c1, …)

unde ck= ibj pentru toți k ϵ N. Operația de înmulțire pe A’ are element unitate și anume (1, ….,0, ….), și este asociativă.

Deoarece operația de înmulțire pe A’ este comutativă, ea este și distributivă față de adunare.

Deci, A’ cu cele două operații introduse, este un inel comutativ cu element unitate. Există un morfism (unitar) canonic injectiv φ: A→A’, definit prin φ(a)=(a, 0, 0…).

Vom identifica elementul a ϵ A cu imaginea sa φ(a) în A’. Atunci, dacă notăm X=(0, 1, 0, …0, …), observăm că Xn = {0, 0, …,0, 1, 0, …}, n ≥ 1, și elementul f = (ai), i ϵ N va fi scris formal astfel

f = Ʃ∞i=0 aiXi

( scriere care este unică), unde X0 = 1.

Elementele ai se numesc coeficienții lui f. Inelul A’ se numește inelul seriilor formale de o nedeterminată cu coeficienți în inelul A (sau A-algebra seriilor formale de o nedeterminată, cu structura de A-algebra dată de φ) .

Un element în A’ se numește o serie formală cu coeficienți în A. Inelul A’ se notează A[[X]].

Fie A un inel; o serie formală din A[[X]] se numește polinom dacă are un număr finit de coeficienți nenuli.

Diferența și produsul a doua polinoame este tot un polinom.

Deci, submulțimea polinoamelor din A[[X]] formează un inel, cu element unitate și comutativ. Acest inel se notează cu A[X] și conține pe A (adică imaginea lui A prin φ), deci A[X] are o structură canonică de A-algebra. A[X] se numește inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în inelul A și un element f ϵ A[X] se scrie în mod unic sub forma:

f = anXn+an-1Xn-1+…+a1X+a0,

unde ai ϵ A și toți ai = 0, pentru i > n.

Un polinom de forma aXi, a ϵ A, a ≠ 0, i ϵ N se numeste monom, i se numește gradul monomului și a coeficientul lui.

Orice serie formală se scrie ca o sumă formală de monoame și orice polinom ca o sumă (finită) de monoame.

Fie A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în inelul A; atunci pentru un polinom f ϵ A[X], avem

f = Ʃmi=0 aiXi , f ≠ 0.

Numim gradul lui f (notat grad (f)), cel mai mare număr natural n cu proprietatea că an ≠ 0. Atunci polinomul f se poate scrie și sub forma:

f = Ʃmi=0 aiXi unde an ≠ 0.

Pentru polinomul nul care se notează cu 0, grad (0) se consideră ca fiind egal cu -∞ (uneori se consideră grad (0)=-1 sau pentru acest polinom nu se definește gradul).

Propoziția I.9.1.Fie A un inel și

f = Ʃmi=0 aiXi , g = Ʃni=0 biXi

două polinoame din A[X] cu am ≠ 0, bn ≠ 0. Dacă unul dintre elementele am si bn nu este divizor al lui zero în A, atunci:

grad (fg) = grad (f) + grad (g).

Corolarul l.9.2. Dacă A este inel integru, atunci A[X] este inel integru.

In particular, pentru un corp k inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în k este inel integru.

Lema l.9.3. Fie A un inel. Atunci un element din A este inversabil în A[X] dacă și numai dacă este inversabil în A.

Propoziția I.9.4. Proprietatea de universalitate a inelelor de polinoame. Fie A un inel comutativ, A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în A și ѱ: A→B morfism de inel comutativ, iar x ϵ B. Atunci există un unic morfism de inele u: A[X] → B, astfel încât u(X) = x și diagrama

φ

A A[X]

ѱ u

B

să fie comutativă ( adică u φ = ѱ).

Construcția de mai sus pentru inelul polinoamelor de o nedeterminată se poate face pentru a introduce inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate (în număr finit sau infinit).

Mai precis A[X1,X2] = A[X1]A[X2],….,A[X1,….,Xn] = A[X1,…,Xn-1][Xn].

Polinomului f i se asociază o funcție definită pe An cu valori în A, numită tot polinom sau funcția polinomială asociată.

Propoziția l.9.7.Fie A un inel, I este un ideal în A si X1,X2,…,Xn nedeterminate. Atunci există un morfism canonic.

A [X1,X2,…Xn] / I A [X1,X2,…Xn]≈ ( A / I) [X1,X2,…Xn].

Corolarul l.9.8. Fie A un inel și P un ideal prim în A. Atunci P A[X1,X2,…,Xn] este ideal prim în A[X1,X2,…Xn].

Fie K un corp și K[X1,…,Xn] inelul polinoamelor de n nedeterminate cu coeficienți în K. Acest inel este inel integru și corpul său de fracții va fi notat cu K(X1,…,Xn) numit corpul fracțiilor raționale de n-nedeterminate cu coeficienți în K.

Un element h ∈K(X1,…,Xn) se poate scrie sub forma: h = f/g, unde f,g∈ K[X1,…,Xn], g ≠ 0 și se va numi fracție rațională de n nedeterminate (sau variabile) cu coeficienți în K.

Dacă S este mulțimea elementelor s din Kn cu proprietatea că g(s) = 0, atunci putem asocia lui h o funcție definită pe Kn \S cu valori în K prin h(x)=f(x)/g(x), pentru orice x ϵ Kn\S. Datorită acestui fapt, corpul K(X1,…,Xn) se numește și corpul funcțiilor raționale de n nedeterminate (sau variabile) peste K, iar un element al său funcție rațională de n nedeterminate (sau variabile) peste K.

Fie φ :A →B un morfism de inele. Atunci există un unic morfism de inele φ*: A[X1,…,Xn] →B[X1,…,Xn] astfel încât φ *(Xi)=Xi și diagrama :

A φ B

↓ φ n ↓

A[X1,…,Xn] → B[X1,…,Xn]

să fie comutativă, unde morfismele verticale sunt morfismele canonice.

CAPITOLUL II

DIVIZIBILITATE IN DOMENII DE INTEGRITATE

II.1.Relația de divizibilitate

În acest capitol, R va desemna un domeniu de integritate. U(R) este mulțimea elementelor inversabile din R. U(R) împreună cu operația de înmulțire este un grup abelian numit grupul unităților lui R.Vom nota cu R* mulțimea R\ {0}.

Fie R un domeniu de integritate. Spunem că un element a ∈ R divide elementul b ∈ R daca exista c ∈ R astfel încât b =a c.

Pentru a ∈ R, vom nota cu Ra sau (a) idealul principal generat de a, adică R a= {λa | λ∈R}.

Propoziția II.1.1. Relația de divizibilitate are proprietățile :

a|b dacă și numai dacă R b ⊆ R a;

a|a oricare ar fi a ∈ R;

Dacă a|b și b|c atunci a | c;

Dacă a | bi; i = 1,2,…,n; atunci a| c1 b1 + c2 b2 + …..+cn bn oricare ar fi c1, c2,….,cn∈ R;

a|b și b|a dacă si numai dacă există u ∈ U(R ) astfel încât b = u a.

Demonstrație:

Presupunem că a| b ; deci există c ∈ R, astfel încât b = a c. Dacă x∈ R atunci există λ∈ R astfel încât x=λb. Cum b = a c atunci x= (λ c) a și deci x ∈ R a, adică R b ⊆ R a.

Invers, fie R b ⊆ R a, cum b ∈ R b, atunci b ∈ R a și deci există c ∈ R astfel încât b= a c, adică a | b .

Relația a|a rezultă din faptul că a = 1 a

Dacă a|b și b|c, atunci există elementele λ, µ ∈ R astfel încât b = λ a, adică a|b și c = µ b. Deci c = µ (λa ) = ( µ λ )a, adică a|c.

Cum a | bi ,rezulta ca a | ci bi pentru orice i, deci a | c1 b1+ c2b2 +….cnbn

Presupunem că a | b și b | a . Înseamnă că există u , v ∈ R astfel încât b = u a și a = b v. Dacă a = 0 obținem b = 0 și putem lua u = 1. Dacă b = 0 obținem a = 0 și în mod similar putem lua v = 1. Dacă a , b ≠0 atunci din relațiile de mai sus obținem a = ( u v) a și cum a ≠ 0 rezultă că u v = 1 adică u ∈ U (R).

Invers, dacă b = u a, unde u ∈ U ( R ) atunci a | b . Cum a = u-1 b, atunci avem b | a.

Observație:

Proprietățile 2 ) și 3) ne arată că relația de divizibilitate pe R este o relație binară reflexivă și tranzitivă . Relația de divizibilitate nu este simetrică.

Relația de divizibilitate nu este nici antisimetrică ( exemplu : 2 | -2 și -2 | 2 dar 2 ≠ -2).

Proprietatea 5) din propoziția de mai sus permite să definim o altă relație binară pe R : dacă a, b ∈ R spunem că a și b sunt asociate în divizibilitate și notam a ∼db daca a|b si b|a.

Propoziția II.1.2. Relația ,,∼d” are proprietățile:

a ∼d b ↔ (a ) = ( b);

,,∼dˮ este o relație de echivalență pe R;

a ∼d 1 ↔ a ∈ U (R) ↔ ( a) = R.

Demonstrație :

rezultă din afirmația 1) din propoziția anterioară.

rezultă din 1) pentru că relația de egalitate pe mulțimea idealelor principale este o relație de echivalență.

Dacă a ∼d 1 atunci a | 1 și deci există b ∈ R astfel încât 1 = a b și deci a ∈ U(R ) .

Invers, dacă a ∈ U (R) atunci a ∼d 1. Echivalența a ∈ R astfel încât 1 = a b și a | 1. Cum evident 1 | a atunci a ∼d 1. Echivalența a ∈ U ( R ) ↔ ( a ) = R este evidentă.

Propoziția II.1.3. Fie R un domeniu de integritate. Atunci două elemente a, b din R sunt asociate dacă și numai dacă a = u b, unde u este element inversabil în R.

Demonstrație:

Dacă a = u b , unde u este element inversabil în R, atunci este clar că a și b sunt asociate. Reciproc , să presupunem că a și b sunt asociate. Atunci rezultă că există a, b ∈ R astfel încât b = a bˊ și a = b aˊ și de aici rezultă că b= bˊ aˊ bˊ, deci b (1 – aˊ bˊ ) = 0 . Dacă b = 0 atunci evident și a = 0 și a = 0 și totul este demonstrat. În caz contrar, rezultă 1 – aˊ bˊ = 0 (căci R este integru ), deci aˊ bˊ sunt elemente inversabile în R.

Definiția II.1.4. Fie R un domeniu de integritate. Un element p ϵ R se numește prim dacă :

p ≠ 0 și p ∉ U(R);

Daca p │ab atunci p│ a sau p │b.

Definiția II.1.5.. Un element q din R se numește ireductibil dacă:

q ≠ 0 si q ∉ U(R);

daca q = ab atunci a sau b este inversabil.

Este clar că orice element asociat cu un element prin ( respectiv ireductibil) este prim (ireductibil).

Intr-adevăr, fie p un element prim din R și pˊ un element asociat cu p. Daca p’│ab, atunci si p│ab. Cum pe prim, rezultă că p │a sau p│b. Atunci p’│a sau p’│b.

Fie a un element ireductibil din R și b ∈ R un element asociat cu a.

Este evident că b ≠ 0 și b nu este inversabil. Fie c un divizor al lui b. Atunci c divide pe a și este asociat cu a, deci și cu b, sau c este inversabil, ceea ce demonstrează afirmația propoziției.

Teorema II.1.6. Fie p și q două elemente nenule dintr-un domeniu de integritate R.

p este un element prim dacă și numai dacă idealul principal (p) este prim.

q este un element ireductibil dacă și numai dacă idealul (q) este maximal în mulțimea tuturor idealelor principale și proprii ale lui R.

Orice element prim este ireductibil.

Dacă inelul R are proprietatea că pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c. atunci orice element ireductibil este prim.

Observație:

Intr-un domeniu de integritate oarecare noțiunile de element prim și element ireductibil sunt în general distincte, așa cum rezultă din următorul exemplu:

Considerăm mulțimea R = Z[i√5] = {a + ib√5 | a,b ϵ Z } care este un subinel al corpului C. Fie funcția φ : Z[i√5] → N, φ(a + ib√5)) = a2 + 5b2. Dacă z, z` ϵ Z[i√5], atunci φ(z ∙z`) = φ(z ) ∙φ(z`). Rezultă că z ϵ Z[i√5]↔ φ(z) = 1 ↔z = ±1.

Cum Z[i√5] ⊇Z, avem în Z[i√5] descompunerea 6 = 2∙ 3 = (1 +i√5)(1 – i√5). Se verifică folosind funcția φ, că elementele 2, 3, 1 +i√5 si 1 – i√5 sunt ireductibile , dar nu sunt prime în Z[i√5].

Să arătăm că 3 este ireductibil. Fie 3 = z1 z 2 , unde z 1 = a1 + ib1√5 și z 2= a2 +ib2 √5. Din φ (3) = φ(z1 z2 )= φ(z1) φ(z2) observăm că 9 = (a21+ 5b21 )(a22 + 5b22 ) și deci a21+ 5b21 =1, 3 sau 9. Egalitatea a21+ 5b21 = 0 implică a1 = ±1 și b1 = 0, deci z1 este inversabil. Egalitatea a21+ 5b21 = 3 este imposibilă, iar egalitatea a21+ 5b21 = 9 implică φ(z2) = 1 adică z2 este inversabil. Deci 3 este ireductibil în Z[i√5]. La fel se arată că 2, 1 +i√5 și 1 – i√5 sunt ireductibile în Z[i√5].

Dacă 3 ar fi prim, atunci 3 | (1 +i√5)(1 – i√5) obținem că 3 | 1 +i√5 sau 3 |1 – i√5 adică 1 +i√5 = 3(a + ib√5) sau 1 – i√5 = 3(a – ib√5) cu a,b ϵ Z. Deci 3a = 1, contradicție.

II.2. C.M.M.D.C. si C.M.M.M.C.

Definiția II.2.1. Fie a, b ∈ R. Un element d ∈ R se numește cel mai mare divizor comun. ( c.m.m.d.c ) al elementelor a și b dacă are urmatoarele proprietăți:

d | a și d | b adică d este un divizor comun al elementelor a și b ;

dacă dˊ | a și dˊ |b atunci dˊ | d.

Dacă d1 și d2 au prorietațile i ) și ii ),atunci d1 ∼d d2 și invers, dacă d are proprietățile i ) și ii), atunci orice element asociat în divizibilitate cu d are aceleași proprietăți.

În concluzie , oricare două elemente d1 și d2 care sunt fiecare un cel mai mare divizor comun al elementelor a și b se găsesc în aceeași clasă de echivalență relativ la relația ,,∼d ˮ. Din acest motiv vom nota cu (a, b ) sau c.m.m.d.c ( a; b ) orice element care este cel mai mare divizor comun , adică nu vom face nici o distincție între elementele asociate.

Două elemente a și b din R se numesc prime între ele dacă ( a , b ) = 1. Cu această convenție putem da proprietățile cele mai importante ale celui mai mare divizor comun a două polinoame.

Propoziția II.2.2. Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru orice două elemente un c.m.m.d.c. Atunci urmatoarele afirmații sunt adevarate:

(a , b ) = a daca si numai daca a | b;

(a , 0 ) = a;

Fie (a,b) = d cu a = da’, b = db’ . Atunci (a’,b;) 1.

(a c , b c )= c (a, b );

(a(b,c ))= ((a, b ), c).

Demonstrație:

și 2) sunt evidente.

3 ) Fie dˊ = (aˊ , bˊ ).Cum dˊ |aˊ și dˊ | bˊ atunci rezultă că dˊ d | a și dˊ d | b.

Cum d ≠ 0, atunci dˊ | 1 adică dˊ ∼ d 1, de unde rezultă că (aˊ , bˊ ) = 1.

4 ) Fie dˊ = (a, b ) și dˊ = (a c ,b c). Putem presupune că a ≠ 0 și c ≠ 0. Cum d = (a , b), atunci a = d aˊ și b = d bˊ și deci a c = (d c ) aˊ și b c = ( d c ) bˊ , ceea ce implică că dˊˊ | aˊ și dˊˊ | bˊ. Cum ( aˊ bˊ ) = 1 atunci dˮ | 1 adică dˮ este inversabil și deci dˊ ∼ d d c ceea ce trebuie demonstrat.

Afirmația 5) rezultă din definiția cel mai mare divizor comun .

Proprietatea 5) ne permite sa extindem noțiunea de cel mai mare divizor comun la un numar finit de elemente : dacă a1, a2, …..an ∈ R, atunci definim c.m.m.d.c ( a1, a2,…,an)n = c.m.m.d.c (a1 , c.m.m.d.c (a2,….(an-2, c.m.m.d.c (an-2, an )….) pe care-l vom nota simplu (a1 , a2 ,…an ).

Definiția II.2.3. Fie a, b ∈ R. Un element m ∈ R se numește c.m.m.m.c al elementelor a și b dacă are următoarele proprietăți :

i ) a | m și b | m , adică este un multiplu comun al elementelor a și b .

i i ) Dacă a | mˊ și b |mˊ atunci m | mˊ.

Din definiție rezultă că c.m.m.m.c a două elemente ( dacă există ) este unic, abstracție de o multiplicare cu un element inversabil . Vom nota cu [a, b] sau c.m.m.m.c [a, b ] orice element care este un cel mai mic multiplu comun.

Teorema II.2.4. Fie R un domeniu de integritate. Urmatoarele afirmații sunt echivalente :

Pentru orice două elemente există c.m.m.d.c;

Pentru orice două elemente există c.m.m.m.c;

Intersecția oricăror două ideale principale este un ideal principal.

În plus, dacă este verificată una din condițiile echivalente de mai sus, atunci pentru oricare a, b ∈ R avem egalitatea ( a, b ) [a, b] = a b .

Demonstrație:

2 )↔ 3) Fie m =[a, b] atunci Rm ⊆ Ra și Rm ⊆ Rb adică Rm ⊆ Ra ⋂ Rb.

Dacă mˊ ∈ Ra ⋂ Rb atunci a| mˊ și b | mˊ și deci m | mˊ adică mˊ ∈ R astfel încât a|mˊ și b |mˊ; deci există λ , µ ∈ R astfel încât mˊ = a λ λ = b μ.

Prin urmare , d aˊ λ =d bˊµ și cum d ≠ 0 rezultă că aˊ λ = bˊµ. Cum (aˊ , bˊ ) = 1 rezultă că λ = (aˊ λ , bˊ λ )=(bˊµ , bˊµ) și deci bˊ | µ adică λ =b`λ1 . Deci mˊ = a λ = bˊ λ 1 = m λ1, adică m = mˊ.

2)⇒1 ). Presupunem că a ≠ 0, b≠ 0 și fie m = [a, b] . Atunci există aˊ,bˊ∈ R astfel încât m = a aˊ = b bˊ.Deoarece a | a b și b | a b atunci m | a b și deci există d ∈ R astfel încât a b = m d. Vom demonstra că d = (a, b ).

Deoarece a b = a aˊ d = b bˊ d, obținem prin simplificare că b = a ˊd și a = bˊ d și deci d | a și d | b.

Fie dˊ|a și dˊ| b. Obținem că a= dˊ a1 și b = dˊb1. Punem mˊ= dˊ a1 b1 = a b1 = b a1 . Deci a|mˊ și b | mˊ , de unde rezultă că m | mˊ adică mˊ = m c și deci dˊ m = dˊ m c.

Cum dˊ mˊ = dˊ2 a1 b1 = ( dˊ a1 ) (dˊ b1 ) = a b1, obținem astfel că a b = dˊm c sau m d = dˊ m c și prin simplificare rezultă că d = dˊ c , adică dˊ| d .

Propoziția II.2.5.. Fie R un domeniu integru și a ∈ R un element nenul și neinversabil în R. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente :

a este ireductibil în R;

dacă a = b c atunci a este asociat cu cel puțin unul dintre elementele b sau c;

dacă a = b c , atunci a este asociat cu cel puțin unul dintre elementele b sau c, iar celălalt este inversabil.

Demonstrație:

⇒ 2) Din a = b c rezultă că b este sau inversabil sau asociat cu a ; la fel, c, este sau inversabil, sau asociat cu a. Însă nu se poate ca ambele sa fie inversabile căci ar rezulta ireversibil.

⇒ 3) Fie a = b c. Din 2) rezultă că unul dintre elementele b sau c , să zicem b este asociat cu a. Deci, conform teoremei R’’ inel integru. Atunci a, b din R sunt asociate dacă și numai dacă a = u b, unde u este inversabil în R’’, b = a u, cu u inversabil în R. Atunci, din a = au c și din faptul că ≠ 0 rezultă 1 = u c, deci c este element inversabil.

Implicația 3)⇒ 1) este evidentă.

Datorită proprietăților 2) 3) din propoziția precedentă , uneori elementele ireductibile sunt numite nedecompozabile.

Propoziția II.2.6. Dacă R este un domeniu de integritate, atunci :

Orice element prim este ireductibil.

Dacă R are proprietatea că pentru oricare doua b elemente există un c.m.m.d.c, atunci un element este prim dacă și numai dacă este ireductibil.

Demonstrație:

1)Fie p = ab, unde p este un element prim. Atunci p | ab și deci p |a și p | b.

Dacă p | a atunci a = pa’ și prin urmare, p = pa’b, de unde rezultă că a’b =1 adică b este inversabil. Deci q este inversabil.

2)Presupunem că q este ireductibil și fie q | ab. Fie d = (q, a). Cum d | q, rezultă că d este inversabil sau d este asociat în divizibilitate cu q. În cazul în care d este inversabil, atunci 1 = (q , a ) și deci b = ( qb , ab ) și cum q | ab rezultă că q | b.

3)Dacă q este asociat în divizibilitate cu d, atunci q | d și cum d | a rezultă q| a.În concluzie, q este element prim în R.

Exemple:

În inelul Z al întregilor, numarul 2 este prim, deci este ireductibil .Într-adevăr, dacă 2 |ab atunci trebuie ca cel puțin unul din numerele a sau b să se dividă cu 2, altfel produsul 2 nu se divide cu 2, căci dacă a = 2a’+1,b =2b’+1, atunci ab = 4a’b’+ 2 (b’+a’)+ 1, care se observă că nu se divide cu 2. Analog, se arată că 3,5,7 etc. sunt si ele ireductibile. În acelașii timp se obține că -2, -3, -5, etc. sunt și ele ireductibile , fiind asociate cu cele precedente.

Fie k un corp. Atunci, în inelul K[X] orice polinom de gradul 1 este ireductibil. Într-adevar, dacă f este un astfel de polinom, atunci f = g’hrezultă g≠0, h≠ 0 și grad (f)= grad (g) + grad (h)=1.De aici rezultă că sau grad (g)=1 și grad (h)=0,sau invers și afirmația rezultă din faptul că în K [X] un polinm de gradul 0 este inversabil.

Dacă K = R, polinoamele ireductibile sunt cele de gradul I și cele de gradul II,cu discriminantul negativ.

Dacă K = C, polinoamele ireductibile sunt cele de gradul I .

Fie R un domeniu de integritate și a ∈ R un element ireductibil.

Atunci a este ireductibil și în inelul R[X], căci el este neinversabil și a ≠ 0 (elementele inversabile din R[X] fiind cele inversabile în R, iar dacă a se descompune în produsul a două polinoame , acestea vor fi de grad 0, deci element din R.

Să considerăm inelul întregilor lui Gauss Z[i] . Pentru a studia mai bine divizibilitatea în Z[i], considerăm funcția N : C → R, definită prin N(a +bi ) = (a +bi )(a- bi )=a2+b2 (N este numită funcția normă, iar N (z) norma numărului complex (z). Observam ca N(z) = zż = |z|2

Dacă α și β ∈C atunci avem relația:

N ( α β)=N(α)N(β)

Într-adevăr, fie α =a + a’i,β = b +b’i, atunci :N(αβ)= |αβ|2 = |α|2 | β|2 = N(α ) N(β) și se verifică egalitatea cerută.

Este clar că, restricția lui N la Z[i] are imaginea cuprinsă în Z (chiar în N ) și o vom nota tot cu N.

Să determinăm mai întâi care sunt elementele inversabile în Z[i] .Fie ɑ un element inversabil. Atunci există α -1 ∈Z[i] astfel ca α ∙ α -1= 1,de unde rezultă 1=N(1)=N (α)⋅N(α -1) și, deoarece N(α) și N (α -1) sunt numere naturale ≥ 1, rezultă că N (ɑ) = 1.

Reciproc, dacă ɑ∈Z[i] este un element astfel încât N = 1, atunci ɑ este inversabil în Z[i] căci avem 1 = N (α)= α ⋅α unde α ∈Z[i] este conjugat lui ɑ, deci ɑ este inversul lui ɑ α. Fie α = a +bi, a, b ∈Z. De aici rezultă că α este un element inversabil în Z[i] dacă și numai dacă Z [α] = a2 +b2= 1, de unde rezultă că elementele inversabile din Z [i] sunt: 1, -1, i, -i.

Dacă α și β sunt elemente asociate în Z[i], atunci N(α)=N(β). Se mai observă și că dacă α |β, atunci N(α)| N(β).

Reciproc, este adevărată următoarea lemă.

Lema II.2.7. Dacă α , β∈Z[i] astfel încât α|β și N (α)=N(β), atunci α este asociat cu β.

Demonstrație:

Dacă β = 0, afirmația este clară. Pentru β ≠ 0, din faptul că α |β rezultă că există α’ ∈ Z [i] astfel încât β= α’∙α . Avem atunci N (β)=N(α) N(α’), deci N α’)=1, adică α’ este inversabil în Z [i]și lema este demonstrată.

În Z[i] numarul 2 este reductibil căci el se scrie sub forma 2 = (1 +i )(1-i ), iar 1+i și 1-i nu sunt inversabile căci N(1+i)=N(1-i)=2.

Să arătăm acum că 1+ i și 1-i sunt elemente ireductibile în Z [i]. Fie 1+ i = ɑ β. Atunci, 2 = N(1+i ) = N (α)N(β) și avem descompunerea în Z a lui 2, de unde rezultă sau N (α)=2 și N(β)=1 sau invers. Deci, conform lemei II.2.7,sau e α ste asociat cu 1 + i în Z [i] sau β este asociat cu 1+i.

Așadar 1+i este element ireductibil în Z [i].

Pentru 1 – i, raționamentul este analog.

Numărul 3 în Z [i] este ireductibil. Dacă ar fi reductibil, ar exista o descompunere a sa de forma 3= α β, în care ɑ și β sunt neinversabile. Atunci obținem că 9 = N(3)=N(α)N(β) de unde rezultă N(α)=3 și N(β)=3, deoarece am presupus că α și β sunt neinversabile.

Fie α = a +bi.

Atunci : N(α)= a2+ b2 = 3,deci |a|, |b| ≤ 1 și se observă că nu există numere întregi a, b care să verifice această egalitate,deci, un astfel de ɑ un există și, prin urmare, 3 este ireductibil în Z[i].

Considerăm inelul Z[i√5] acesta este format din toate elementele ɑ ∈ C, care se scriu sub forma a + bi √5, unde a , b ∈Z. Definim funcția N: Z[i√3] → N (numită funcție normală) prin N (ɑ)= a2 +5b2, unde ɑ = a + bi√5. Se vede că această funcție este multiplicativă , adică pentru ɑ , β ∈Z[ i √5] avem: N (ɑ β) = N (ɑ)N(β), de unde rezultă că ɑ |β,atunci N(ɑ) | N(β). Un element ɑ ∈Z[i√5] este inversabil dacă și numai dacă N(ɑ)=1, raționamentul fiind întrutotul analog.

Fie ɑ = a + bi√5, α este inversabil dacă și numai dacă a2 + 5b2=1, de unde rezultă că acest inel elementele inversabile sunt 1 și -1.

Se observă că și pentru acest inel rămâne valabilă lema anterioara.

Să considerăm acum că elementul 3 din acest inel este ireductibil , căci dacă 3 = ɑβ, cu ɑ și β neinversabile, rezultă că 9 = N(α) N(β), adică N(α)= N(β)=3.Dacă α = a + bi√5, atunci avem 3 = a2+5b2, ceea ce nu este posibil. Însă 3 nu este prim în acest inel, căci 3| (4+i√5)(4-i√5)=21, iar 3 nu divide nici unul dintre factori. Dacă ar divide de exemplu pe 4 +i√5, ar rezulta că N(3)=9 și divide pe N(4+i√5)=21. Acest exeplu arată că reciproca proziției „dacă R este inel integru, orice element prim din R este ireductibil”, nu este totdeauna adevărată, adică nu în orice inel integru un element ireductibil este prim.

Deducem, că în Z(i√5) nu orice două elemente au un c.m.m.d.c.

CAPITOLUL III

INELE FACTORIALE

III. 1. INELE FACTORIALE.

Propoziția III.1.1. Fie R un domeniu de integritate. Daca p1, p2, …, pn sunt elemente prime între ele, iar q1, q2, …, qm sunt elemente ireductibile astfel încât:

p1 …pn = q1 … qm

atunci m = n și există o permutare ϭ ∈ Sn astfel încât pi si q ϭ(i) sunt asociate, oricare ar fi i = 1,2,…, n.

Demonstrație:

Vom utiliza inducția după n.

Dacă n = 1, din egalitatea p1 = q1 … qm și p1 este ireductibil rezultă că m = 1 și atunci p1 = q1.

Presupunem că n > 1. Cum p1 / q1, q2, …, qm și p1 este prim, există qk astfel încât p1/ qk. Cum qk este ireductibil,rezultă că qk și p1sunt asociate.

Renumerotănd elementele q1, q2, …, qm putem presupune că p1 și q1 sunt asociate. Deci q1 = p1u, unde u∈U(R). Inlocind pe q1 în inegalitatea din enunț obținem p1 …pn = p1.uq2 … qm. Simplificând cu p1 obținem egalitatea:

p2…pn = (uq2)…qm.

Cum uq2 este ireductibil, putem aplica ipoteza de inducție. Deci n – 1 = m – 1,

d

adica m = n si abstracție făcând de o renumerotare a elementelor uq2 … qm avem ca p2 ~ uq2,

d d d

pi ~ qi oricare ar fi i > 2. cum u este inversabil, avem p2 ~ q2. Deci pi ~ qi oricare ar fi i ≥ 1.

Propoziția III.1.2. Fie R un domeniu de integritate și a, b ∈R. Dacă elementul ab este un produs de elemente prime, atunci atât a cât și b este un produs de elemente prime (sau inversabile).

Demonstrație:

Presupunem că ab = p1 …pn, unde p1 …pn sunt elemente prime.

Vom demonstra prin inducție după n. Dacă n = 1, atunci ab = p1. Cum p1 este ireductibil, atunci a este asociat în divizibilitate cu p1 și b este inversabil sau b este asociat în divizibilitate cu p1 si b este inversabil. In primul caz a este prim; în cel de-al doilea caz b este prim.

Presupunem că n > 1. cum p1 | ab rezultă că p1 | a sau p1 | b.

Să presupunem că p1 | a; atunci a = p1 c și înlocuind obținem cq p1bc = p1 …pn, sau, simplificând cu p1, rezultă că bc = p2…pn. Aplicând ipoteza de inducție rezultă că b si c sunt produse de elemente prime ( sau inversabile) și deci a este un produs de elemente prime.

Definiția III.1.3. Un domeniu de integritate R se numește factorial dacă orice element nenul și neinversabil al lui R este produs de elemente prime ale lui R.

Deoarece relația de asociere este o relație de echivalență pe mulțimea R, putem vorbi de un sistem de reprezentanți de elemente prime pe care îl vom nota cu P = (pi)i∈I și are urmatoarele proprietăți:

dacă i, j ∈I, i ≠ j, atunci elementele pi și pj nu sunt asociate în divizibilitate;

daca p este un element prim al lui R, există un i ∈ I astfel încât p ~ pi ( pi este unic).

Exemple:

în inelul Z, un sistem de reprezentanți de elemente prime poate fi luat multimea P = {2,3,5,7,11, … }.

alt sistem de reprezentanți de elemente prime este mulțimea P’ = {-2,-3, -5,-7,-11,…}.

Dacă inelul R este factorial iar (pi)i∈I este un sistem de reprezentanți de elemente prime, atunci orice a ∈R, a ≠ 0, se poate scrie sub forma:

a = u i mi, (1)

unde u ∈U(R), mi ≥ 0, și numai un număr finit dintre numerele (mi)i ∈I sunt nenule. Mai mult scrierea lui a sub forma (1) este unică, în sensul că numerele mi sunt unic determinate.

Propozitia III.1.4. Fie R un inel factorial. Daca a și b ∈R sunt doua elemente nenule scrise sub forma (1), adică

a = u П pi mi, b = v П pi ni ,

i∈I i∈I

atunci elementul d = П pi min (mi,ni ) ( respectiv m = П pimax (mi,ni)) este c.m.m.d.c. (respectiv

i∈I i∈I

c.m.m.m.c. ) al elementelor a și b.

Demonstrație:

Se vede că d | a si d | b. Fie d` ∈R astfel încât d`| a si d`| b. Deoarece R este factorial, putem scrie d` = w П pi ni unde w ∈U(R), si≥0, și numai un număr finit

i∈I

dintre numerele (si) i∈I sunt nenule.

Utilizând Propozitia III.1.1. , din faptul că d`|a rezultă că si ≤ mi oricare ar fi i∈ I. Analog din d` |b rezultă că si ≤ ni, oricare ar fi i∈ I, și deci si ≤ (min(mi, ni), oricare ar fi i∈ I, ceea ce implică d`| d.

Asemănător se demonstrează că m este c.m.m.m.c. al elementelor a și b.

Teorema III.1.5. Fie R un domeniu de integritate. Urmatoarele afirmații sunt echivalente:

R este factorial;

Orice element nenul și neinversabil al lui R se scrie în mod unic ca un produs de elemente ireductibile;

Orice element nenul și neinversabil este un produs de elemente ireductibile și orice element ireductibil este prim;

Orice element nenul și neinversabil este un produs de elemente ireductibile și pentru orice doua elemente există un c.m.m.d.c. ( sau un c.m.m.m.c.);

Orice ideal prim nenul al lui R conține un element prim;

a) Orice lanț ascendent de ideale principale este staționar, adică dacă Ra1 ⊆Ra2⊆…⊆Ran⊆… este un lanț ascendent de ideale principale, există un n astfel încât Ran = Ran+1=…;

b) Intersecția a doua ideale principale este un ideal principal.

Demonstrație:

1) →2). Rezultă din propoziția III.1.1.

2) → 3). Trebuie să dovedim că dacă q este ireductibil, atunci q este prim. Presupunem că q |ab, adică ab = qc. Dar a = q1…qs, b = q1…q’r, c = q’’1…q’’t , unde q1, …qs , q’1, …q’r, q’’1, …q’’t sunt elemente ireductibile. Din egalitatea q1…qs q1…q’r = q’’r…qt și din faptul că scrierea unui element ca produs de elemente ireductibile este unică, rezultă că există

d d

qk sau q’1 astfel încât q ~ qk sau q ~ q’1 și deci q | a sau q | b. Deci q este prim.

3) → 1). Este evidentă.

1) → 4). Rezultă din propoziția III. 1.4. iar 4) → 3) rezultă din teorema I. 6.3.

1) → 5). Daca p este un ideal prim nenul al lui R, există a ∈p, a ≠ 0. Cum a este neinversabil, atunci a = p1…pn, unde p1, …, pn sunt elemente prime. Cum p1…pn ∈p rezultă că există 1 ≤ k ≤n astfel încat pk ∈p.

5) → 1). Notăm S = {a ∈R | a ≠ 0, a nu aparține U(R) și a este un produs de elemente prime}. S este un sistem multiplicativ închis. Pentru a încheia demonstrația este suficient să arătăm că dacă a ∈R, a ≠ 0 și a nu aparține U(R), atunci a ∈S. Prin reducere la absurd presupunem că a nu aparține lui S. Din propoziția III. 1.2. rezultă că (a) ∩ S = Ø. Inseamnă că aplicând lema lui Zorn, există un ideal p maximal cu proprietatea p ∩ S = Ø si (a) ⊆ p.

Să arătăm că p este ideal prim. Fie, pentru aceasta, λ, μ ∈ R astfel încat λ, μ ∈p. Dacă λ este inclusă în p si μ nu aparține lui p, atunci λ ∈S și μ ∈S ( deoarece în cazul că λ nu aparține S rezultă că avem p neinclus în p+ (λ) și deci (p + (λ))∩ S ≠ Ø. Rezultă că există s1 ∈S de forma s1 = a1 + λ λ’ cu a1 ∈p. Asemănător, din faptul ca (p + (μ)) ∩ S ≠ Ø, există s2 ∈S astfel încat s2 = a2 + μμ’ cu a2 ∈p. Atunci s1s2 = (a1 + λ λ’) (a2 + μμ’) de unde rezultă că s1s2∈p, contradicție.

Cum λ, μ ∈S, rezultă că λ și μ sunt produse de elemente prime și deci λ μ este un produs de elemente prime, deci p ∩ S ≠ Ø, contradicție.

1) → 6). Considerăm șirul ascendent de ideale:

Ra1⊆Ra2⊆…⊆Ran⊆… .

Atunci rezultă că an | a1 oricare ar fi n. Cum inelul R este factorial, atunci a1 este un produs finit de elemente. Deci a1 are un numar finit de divizori și prin urmare există un n0 astfel încât oricare ar fi n ≥ n0, an si an+1 sunt asociate în divizibilitate și atunci Ran = Ran+1, oricare ar fi n≥ n0.

6) → 1). Tinând cont de teorema II.2.4., este suficient să dovedim că orice element din R nenul și neinversabil este un produs finit de elemente ireductibile. Prin reducere la absurd presupunem că afirmația nu este adevarată și fie a un element de acest fel. Vom nota cu x = { a∈R | a ≠ 0, a nu aparține U(R) și a nu este un produs finit de elemente ireductibile}.

Deci X ≠ Ø. Dacă a ∈ X, atunci în particular a nu este ireductibil; deci există a1, b1 ∈ R astfel încat a = a1b1 si a1, b1 nu aparțin lui U(R). Evident ca unul dintre elementele a1, b1 nu apartine multimii X. Să presupunem ca a1 nu aparține lui X. In particular, a1 nu este ireductibil. Dacă exista a2, b2 nu apartine U(R) astfel încat a1 = a2b2. unul dintre elementele a2, b2 nu aparține mulțimii X; deci putem presupune că a2 nu aparține lui X. Continuând procedeul gasim sirurile de elemente: (an)n≥1 si (bn) n≥1 astfel încât șirul de ideale Ra1⊆Ra2⊆…⊆Ran⊆… este strict crescător, deci o contradicție.

III.2. FACTORIALITATEA INELELOR DE FRACȚII

Fie R un domeniu de integritate și S ⊆R un sistem multiplicativ închis al lui R.

Vom nota cu S-1R inelul de fracții asociat și conținut în corpul de fracții al lui R.

Propoziția III.2.1. Dacă R este un inel factorial, atunci S-1R este un inel factorial.

Demonstrație:

Fie p ∈R un element prim astfel încât p nu divide nici un element al mulțimii S; atunci p este un element prim și în inelul S-1R. Este adevărat că p este nenul și neinversabil in S-1R deoarece p nu divide nici un element al lui S. Presupunem că p │ ∙ unde a, b ∈R si s, t ∈S. Deci ∙ = p/s ∙ c/r, unde r ∈S. Există u, v ∈S astfel încat uab = pcv. Cum p este prim, atunci p | u sau p | a sau p | b. Dar situația p | u este imposibilă, deci avem p | a sau p | b si deci p | a/s sau p | b/s în inelul S-1R.

Fie a α = a/s un element oarecare din inelul S-1R. Cum R este factorial, atunci a = p1…pn, unde p1, …, pn sunt elemente prime. Fie dintre acestea pr+1, …, pn elementele prime care divid cel putin un element din S. Rezultă că în inelul S-1R avem:

α = a/s = p1/1…pr/1∙pr+1/1…pn/1∙s-1 = p1/1…pr/1∙ u

unde am notat cu u = pr+1…pn / s care este un element inversabil în S-1R. Deci α este în S-1R egal cu produsul a r elemente prime.

Fie R un domeniu de integritate oarecare si (pi)i∈I o mulțime nevidă de elemente prime ale lui R. Vom nota cu S sistemul multiplicativ generat de această mulțime ( un element din S este un produs finit din elementele (pi)i∈I și un element inversabil al lui R).

Urmatoarea teoremă constituie o reciprocă a propoziției III.2.1.

Teorema III.2.2. Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea ca orice lanț ascendent de ideale principale este staționar. Fie (pi)i∈I o mulțime de elemente prime și S sistemul multiplicativ închis generat de aceasta mulțime. Dacă inelul S-1R este factorial, atunci R este factorial.

Demonstrație:

Conform teoremei III.1.5., este suficient să dovedim că orice ideal prim nenul p al lui R conține un element prim. Dacă p ∩ S ≠ Ø, atunci p conține un element prim din mulțimea (pi)i∈I. Presupunem că p ∩ S ≠ Ø și vom nota S-1p = {a/s | a ∈p, s ∈S} care este un ideal prim al inelului S-1R. Cum S-1R este un inel factorial, atunci S-1p conține un element prim; fie acesta q/s, unde q∈p. Cum s este inversabil, atunci S-1p contine elementul p/1. putem alege elementul q astfel încat să nu fie divizibil cu nici un element pi.

Intr-adevăr, dacă q este divizibil cu pi atunci q = piq’ și cum pi nu aparține lui p, rezultă q’∈ p și în plus q / 1 si q’ 1 sunt asociate în divizibilitate în inelul S-1R, deoarece pi este inversabil în S-1R. Deci putem înlocui pe q /1 cu q’ / 1. Continuând procedeul de dividere cu elemente pj, deoarece inelul R satisface condiția lanțurilor ascendente pentru ideale principale, după un număr finit de pași găsim un element q0 / 1 cu q0 ∈p astfel încât q/1 si q0/1 sunt asociate în divizibilitate si q0 nu se mai divide cu nici un element pi(i∈I).

Să arătăm acum că q este un element prim.

Fie q | ab în R. Atunci q/1 | a/1∙b/1 în S-1R dar cum q/1 este element prim in S-1R, obținem că q/1 | a/1 sau q/1 | b/1. Presupunem ca q/1 |a/1. deci a/1 = q/1 ∙ c/s și deci sa = qc in R, unde s ∈S. Fie s = pi1…pir; atunci avem pi1…pir a = qc. Cum q nu se divide cu nici un pi rezultă că pi1…pir divide pe c și deci c = pi1…pirc’. Inlocuind și făcând simplificarile obținem că a = qc’, adică q | a și deci q este un element prim în R.

CAPITOLUL IV

INELE PRINCIPALE ȘI INELE EUCLIDIENE

IV.1. INELE PRINCIPALE ȘI INELE EUCLIDIENE

Definiția IV.1.1. Un inel se numește principal dacă este un domeniu de integritate și orice ideal al său este principal.

Definiția IV.1.2. Dacă R este un inel principal, atunci R este factorial.

Demonstrație:

Conform teoremei III.1.5. afirmația 6) este suficient să arătăm că orice lanț ascendent de ideale este staționar.

Fie pentru aceasta lanțul ascendent de ideale:

I1⊂I2⊂…….⊂In⊂……

Vom nota I = U∞ In. Este evident cq I este un ideal. Cum inelul R este principal, atunci există α∊R astfel încât I=Ra.

Cum a ∊ I, atunci a ∊ U∞ In. și deci există un r ≥1 astfel încât a ∊ Ir. Deci Ra⊂Ir,

n=1

adică I⊂Ir și, în particular, Ik ⊂Ir, oricare ar fi k ≥ r, obținem Ik⊂Ir⊂Ik și deci Ir=Ik. Atunci Ir =Ir+1=… .

Teorema IV.1.3. Fie R un inel principal și a și b ∊ R și d este c.m.m.d.c. al elementelor a și b, atunci există λ, μ ∊ R astfel încât

d = λa + μb.

In particular, elementele a și b sunt prime între ele dacă și numaiq există λ, μ ∊ R astfel încât

1 = λa + μb.

Demonstrație:

Considerăm idealul Ra + Rb care fiind principal există d ∊ R astfel încât:

Ra +Rb = Rd.

Cum d ∊ Rd, atunci există λ, μ ∊ R astfel încât:

d = λa + μb.

Cum Ra⊂Ra + Rb, atunci Ra ⊂Rd și deci d | a.

Analog avem și relația d | b.

Fie d’ ∊ R astfel încât d’ | a si d’ | b; atunci d’ | λa + μb, adica d’ | d. Deci d un este c.m.m.d.c.. cum orice alt c.m.m.d.c. al elementelor a și b este asociat cu d, atunci rezultă prima afirmație din teorema IV.1.3.

A doua afirmație rezultă din prima folosind definiția elementelor prime între ele.

Definiția IV.1.4. Se numeste un inel euclidian un domeniu de integritate R pentru care exista o funcție φ: R – {0}→N având proprietatea urmatoare: oricare ar fi a,b ∊ R, b ≠ 0, există q,r ∊ R astfel încât:

a= bq + r, unde r = 0 sau φ(r) ˂ φ(b) (1)

Egalitatea aceasta se numește formula împărțirii cu rest în inelul euclidian R. Elementele q și r se numesc câtul, respectiv restul împărțirii.

Legatura între inele euclidiene și inele principale este dată de teorema următoare:

Teorema IV.1.5. Dacă R este un inel euclidian, atunci R este un inel principal.

In particular orice inel euclidian este factorial.

Demonstrație:

Fie I un ideal al lui R.

Dacă I = (0), atunci I este un ideal principal. Presupunem că I ≠ (0) și notăm cu A={φ(a) | a ∊ I,a ≠ 0}. Cum A ≠ ⌀ si A⊂N, există un cel mai mic element al lui A; fie acesta n0. Atunci există a0 ∊ I astfel încât n0 = φ(a0). Vom demonstra că I = Ra0. Cum ao ≠ 0, este evidentă incluziunea Ra0 ⊂I. Invers, fie x ∊ I. Cum a0, atunci există q,r ∊ R astfel încât x = a0q + r, unde r = 0 sau φ(r)˂φ(a0).

Dacă r ≠ 0, atunci r = x-a0 q ∊ I și deci φ(r) ∊ A. Cum φ(r) ˂ φ(a0) = n0, obținem o contradicție.

Deci trebuie ca r = 0 și deci x = a0q, adica x ∊ Ra0. Deci are loc egalitatea I = Ra0.

Observație:

Reciproca teoremei IV.1.5. nu este adevarată.

Există inele principale care nu sunt euclidiene. De exemplu Z[] = { a + b() | a, b ∊ Z} este un inel principal, dar nu este euclidian.

In cazul în care inelul R este euclidian se poate determina c.m.m.d.c. a doua elemente prin aplicarea de un număr finit de ori a formulei împărțirii cu rest.

Mai exact, fie a, b ∊ R. Daca b = 0, atunci (a, 0) = a.

Deci presupunem că b ≠ 0 aplicând formula împărțirii cu rest avem egalitatea:

(E1) a = b q1 + r1 cu r1 = 0 sau φ(r1)< φ(b).

Dacă r1 ≠ 0 aplicăm din nou formula împărțirii cu rest și găsim elementele q2, r2 astfel încat

(E2) b = b q2 + r2 cu r2 = 0 sau φ(r2)< φ(r1).

Repetând acest procedeu obținem elementele q3, q4, …, qn, … si r3, r4, …, rn, … din R astfel încât:

(E3) r1 = r2q3 + r3 cu r3 = 0 sau φ(r3)< φ(r2)

……………………………………………………..

(En)……….rn-2 = rn-1qn + rn cu rn = 0 sau φ(rn) < φ(rn-1)

(En+1)…….rn-1 = rn qn+1 + rn+1 cu rn+1 = 0 sau φ(rn+1)< φ(rn).

Cum φ(r1) > φ(r2) > … > φ(rn) > φ(rn+1) > … și cum N este bine ordonată există un număr natural n astfel încât rn ≠ 0 si rn+1 = 0.

Arătăm că rn este un c.m.m.d.c. al elementelor a și b. Cum rn-1 = rn qn+1, rezultă : rn | rn-1. Dar deoarece rn-2 = rn-1qn + rn, rezultă ca rn | rn-2. Folosim egalitatea rn-3 = rn-2qn-1 + rn-1 și tinând seama că rn | rn-2 si rn | rn-1 rezultă rn | rn-3. Din aproape în aproape, tinând seama de egalitatea (En) rezultă că rn divide elementele rn-1, rn-2, …, r2, r1.

Din egalitatea (E2) rezultă că rn | b iar din egalitatea (E1) obținem ca rn | a.

Deci rn este un divizor comun al elementelor a și b.

Din (E1) obținem ca r1 = a – bq1 și deci d’ |r1.

Din egalitatea (E2) obținem r2 = b – r1 q2. Cum d’ | r1 și d’ | b, atunci d’ | r2.

Folosind egalitățile (E3), …, (En),… obținem că d’ divide elementele r3, r4, …, rn-1, rn.

Așadar, rn (ultimul rest nenul) este un c.m.m.d.c. al elementelor a și b.

Sirul de egalitati (E1), (E2), …, (En), poarta denumirea de algoritmul lui Euclid.

IV.2. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE

IMPARTIREA POLINOAMELOR

Teorema împărțirii cu rest: Fiind date două polinoame oarecare cu coeficienți complecși f,g cu g≠0, există două polinoame q,r cu coeficienți complecși astfel încât f=gq+r, unde grad r < grad g. În plus, q și r sunt unic determinate.

f poartă numele de deîmpărțit, g de împărțitor, q de cât, iar r de rest.

Demonstrație:

Fie n=grad f, m=grad g.

Dacă n<m fie q=0, r=f. Atunci relația

f= gq+r devine f=g0+f.

Presupunem atunci că n≥m.

f=a0+a1X+a2X2+…+anXn, an≠0

g=b0+b1X+b2X2+…+bmXm, bm≠0. Fie atunci polinomul:

În această egalitate avem anXn (de la f ) – . bmXm (de la g) și deci termenul de grad maxim se va reduce, deci grad f1< grad f. Fie n1= grad f1. Atunci f1 este de forma:

.

Dacă n1<m atunci , grad r=n1<m=grad g.

Dacă n1≥m atunci fie ,

grad f2=n2, evident n2<n1<m. Repetăm procedeul și vom obține:

cu n>n1>……>np>np+1.

Cum astfel încât np+1<m. Adunăm egalitățile obținute, facem reducerile ce se impun și în final vom obține:

Notăm polinomul aflat în paranteză cu q și fp+1 cu r și obținem formula f=gq+r cu grad r=np+1<m=grad g.

Demonstrăm apoi faptul că descompunerea obținută este unică.

Fie q1,r1 q1≠q, r1≠r, f=gq1+r1, f=gq+r

f=gq+r=gq1+r1, g(q-q1)=r1-r.

Dacă q-q1≠0 atunci grad g(q-q1)>grad g. Dar grad(r1-r)<max(grad r1,grad r)<grad g, cea ce este o contradicție. Asta înseamnă că ipoteza noastră este greșită și atunci q-q1=0, adică q=q1. Astfel obținem g0=r1-r, r1-r=0, r1=r. Deci cele două polinoame q,r obținute prin aplicarea teoremei împărțirii cu rest sunt unic determinate.

Observație:

Operațiile efectuate asupra coeficienților polinoamelor nu schimbă natura coeficienților noi rezultați.

Toate operațiile efectuate asupra polinomului f se pot scrie sub forma unui tabel:

Această schemă poartă numele de regula de împărțire a polinoamelor și este folosită în practică pentru a obține câtul și restul împărțirii a două polinoame.

Pentru mai buna înțelegere a schemei prezint un exemplu concret:

Exemplu:

f=2X5+X4-5X3-8X+1, g=X2-3.

2X5+X4-5X3-8X+1=(X2-3)(2X3+X2+X+3)+(-5X+10).

O altă teoremă importantă în cazul împărțirii polinoamelor este cea care ne permite calcularea restului împărțirii la un binom de forma (X-a) fără a face efectiv împărțirea.

Teoremă.

Restul împărțirii unui polinom prin (X-a) este egal cu valoarea f(a) a polinomului f în a.

Demonstrație:

Fie f deîmpărțitul și g=(X-a) împărțitorul. Efectuăm împărțirea cu rest și obținem că:

F=(X-a)q+r, unde grad r <grad (X-a)=1. Deci grad r<0, adică r este un polinom constant ce nu depinde de nedeterminata X. Calculam valoarea lui f în a și obținem:

f(a)=(a-a)q+r, f(a)=0q+r, f(a)=r.

Pentru o mai bună înțelegere prezentăm un exemplu concret:

Exemplu:

f=X3-2X2+X+1, g=X-2

r=f(2)=23-2.22+2+1, r=8-8+3, r=3.

Această teoremă ne permite calcularea restului, dar nu ne oferă nici un indiciu asupra câtului împărțirii polinomului f prin binomul (X-a).

Indicăm un procedeu de identificare atât a restului cât și a câtului împărțirii a unui polinom prin binomul de forma (X-a), procedeu cunoscut sub numele de schema lui Horner

Fie f un polinom de forma:

f=a0+a1X+a2X2+…+anXn, an≠0. Efectuăm împărțirea cu rest și obținem: f=(X-a)q+r.

Dacă grad f=n, atunci grad q=n-1. Fie q de forma:

q=b0+…+bn-2Xn-2+bn-1Xn-1. Atunci f=(X-a)q+r devine:

a0+a1X+…+anXn=(X-a)(b0+…+bn-1Xn-1)+r.

Efectuăm înmulțirile:

(X-a)(b0+…+bn-1Xn-1)=bn-1Xn+bn-2Xn-1+…+b0X-abn-1Xn-1-abn-2Xn-1-…-ab0=bn-1Xn+(bn-2-ab-1)Xn-1+…+(b0-ab1)X-ab0

a0+a1X+a2X2+…+anXn= bn-1Xn+bn-2Xn-1+…+b0X-abn-1Xn-1-abn-2Xn-1-…-ab0=bn-1Xn+(bn-2-ab-1)Xn-1+…+(b0-ab1)X-ab0

De aici rezultă că:

an=bn-1

an-1=bn-2-abn-1

…………….

a1=b0-ab1

a0=r-ab0

Scoatem coeficienții bi și r în funcție de aj și de cel calculat anterior:

bn-1=an

bn-2=an-1-abn-1

………………

b0=a1+ab1

r=a0+ab0

Toate valorile calculate se trec într-un tabel de forma:

Pentru o mai bună înțelegere prezentăm un exemplu concret:

f=2X4-5X3-8X+1, g=(X-2)

Inelul (Z, +, ∙) este un inel euclidian.

In acest inel are loc formula împărțirii cu rest: dacă a, b ∊ Z cu b ≠ 0, există q, r ∊ Z unic determinate cu proprietatea

(1) a = bq + r, unde 0 ≤ r˂ | b |.

Dacă considerăm funcția

φ : Z – { 0} → N, φ(n) = | n | = n, daca n ≥ 0

-n, daca n < 0

Această funcție satisface proprietatea (1) din definitia IV.1.4.

Formula (1) se poate pune sub forma urmatoare:

(2) a = bq0 + r0, unde | r0 |

In general numerele q0 si r0 nu sunt unic determinate.

Fie K un corp comutativ. Inelul de polinoame într-o singură variabilă K[X] este un inel euclidian. Intr-adevăr, fie f, g ∊[X]cu g ≠ 0. Vom demonstra că există două polinoame q, r ∊ K[X] astfel încât

(3) f = gq + r, unde grad r ˂ grad g

Intr-adevăr, fie f = a0+a1X+…+anXn și g = b0+b1X+…+bmXm, unde bm≠ 0 si m ≥ 0.

Vom arăta că există formula (3) prin inducție după grad f = n.

Dacă n ˂ grad g, atunci punem q = 0 si r = f.

Dacă n ≥ grad g considerăm polinomul f′ = f – bm-1anXn-mg.

Se observă că grad f′ ˂ n și conform ipotezei de inducție există polinoamele q′, r′ astfel încât

f′ = gq′ + r′ unde grad r′ ˂ grad g

sau f = bm-1 anXn-mg=gq′ + r′ de unde f = g(q′+bm-1 anXn-m) + r′. Notand q = q′+bm-1anXn-m si r = r′ obținem f = gq + r, unde grad r ˂ grad g. Din formula (3) consideram functia

φ: K[X]-{0}→N, φ(f) = grad f

care satisface proprietatea (1) din definitia IV.1.4.

Fie K un corp comuntativ. Inelul de serii formale într-o singură variabilă K[[X]] este un inel euclidian.

Dacă f = a0+a1X = …+ anXn +… este o serie formală , atunci f este un element inversabil în K[[X]] dacă și numai dacă a0 ≠ 0. Rezultă că orice f ∊ K[[X]] , f ≠ 0, este de forma f = Xnu, unde u este element inversabil în K[[X]], deci n este unic determinat.

In particular, rezultă că dacă f, g ∊ K[[X]], atunci avem f | g sau g | f.

Definim funcția φ: K[X]-{0}→N, φ(f) = n, unde n ∊ N, cu proprietatea că f = Xnu, unde u este un element inversabil din K[[X]]. Este clar că φ satisface proprietatea (1) din definiția IV.1.4.

Fie a, b ∊ Z și fie α o radacină a ecuației

x2 + ax + b = 0

Vom nota Z[α ]= { m + n α | m, n ∊ Z}.

Z[α] are urmatoarele proprietăți :

i) Z[α ] etse un subinel al lui C si Z ⊂Z[α ].

Dacă m ∊ Z, atunci putem scrie m = m + 0∙ α și deci m ∊ Z[α]. Deci Z ⊂Z[α]. Dacă z1, z2 ∊ Z[α ], atunci există numerele întregi m1, n1 astfel încât z1 = m1 + n1 α și există numerele întregi m2, n2 ∊ Z astfel încât z2 = m2 + n2 α. Dar cum z1 + z2 = (m1 + m2 ) + (n1 + n2)α rezultă că z1 + z2 ∊ Z[α]. Insă z1z2 = (m1 + n1 α)( m2 + n2 α) = m1m2 + (m1n2 + n1m2) α + n1n2 α2. Dar cum α2 + a α + b = 0 rezultă că α2 = -a α – b și deci z1z2 = m1m2 + (m1m2 + n1m2) α + n1n2(-a α – b ) = (m1m2 – b n1n2) + (m1n2 + n1m2 – a n1n2) α ceea ce ne arată că z1z2 ∊ Z[α].

Deci Z[α] este un subinel al lui C.

Cazuri particulare.

i) Daca a = 0, b = 1, atunci ecuația (4) devine x2 + 1 = 0 si α = i este radacină a acestei ecuații. In acest caz avem inelul Z[i] = {m + ni | m, n ∊ Z}. Inelul Z[i] se numește inelul întregilor al lui Gauss.

Daca a = 0 si b = -2, atunci ecuația (4) devine x2 -2 = 0 si α = √2 este o radacină a acestei ecuații. In acest caz obținem inelul

Z[] = { m + n | m ,n ∊ Z }.

ii) Daca α’ este cealaltă radacină a ecuației (4), avem Z[α] = Z[α’]. Intr-adevăr cum α + α’ = -a ∊ Z, rezultă că α’ = -a – α și deci din afirmația a) avem α’ ∊ Z[α] și deci Z[α’] ⊂Z[α]. Analog din α = -a – α’ obținem și incluziunea Z[α’] ⊂Z[α] si deci Z[α’] = Z[α].

iii) Notăm d = a2 – 4b; deci α = . dacă d ≥ 0 și d este un pătrat perfect, atunci α ∊ Z.

Intr-adevăr , dacă a este par, atunci a2 -4b este număr întreg par și deci √( a2 -4b) este par, ceea ce ne arată inelul ca –a ±√(a2-4b) este număr par. Dacă a este impar, atunci (a2-4b) este impar și deci √(a2-4b) este impar ceea ceea ce ne arată că –a ±√(a-4b) este par.

In concluzie α ∊ Z și deci Z[α] = Z.

iv) Voi prezenta în continuare cazul când d < 0 sau d > 0 și d nu este pătrat perfect.

Să presupunem : α = = .

Atunci Z[α] = { m + n α} | m, n ∊ Z} = {(m – n) + | m, n ∊ Z}. Dacă z ∊ Z[α], atunci z este de forma z = ( m – n) + √d , unde m, n ∊ Z. Se observă că avem z = 0 dacă și numai dacă m = n = 0.

Intr-adevăr, z = 0 implică (m – n)+ √d = 0. cum √d este număr complex (cand d , 0) sau irațional (cand d > 0 și d nu este pătrat perfect)., atunci m –n = 0 si = 0 și deci n = 0 și m = 0. Notăm

ž = ( m – n) – √d .

Cum z + z = 2m – an ∊ Z, atunci ž ∊ Z[α]. Numarul ž il vom numi conjugatul lui z in inelul Z[α]. Se observa ca daca α’ este cealalta radacina a ecuatiei (4), atunci daca z = m ž1 + n α, avem ž = m + n α’.

Daca z1, z2 ∊ ž [α], atunci au loc egalitățile

z1 + z2 = ž1 + ž2,

z1z2 = ž1 ž2.

Intr-adevăr, z1 = m1 + n1 α, z2 = m2 + n2 α unde m1, n1, m2, n2 ∊ Z. Deci ž1 = m1 + n1 α’ și ž2 = m2 + n2 α’. Verificăm a doua egalitate din (5) deoarece prima este evidentă.

Avem

z1z2 = (m1m2 – b n1n2) + (m1n2 + n1m2 – a n1n2) α

și deci

ž1 ž2 = (m1m2 – b n1n2) + (m1n2 + n1m2 – a n1n2) α’.

Pe de altă parte, cum ž1 = m1 + n1 α’ și ž2 = m2 + n2 α’, avem

ž1 ž2 = (m1 + n1 α’)( m2 + n2 α’) = = m1m2 + (m1n2 + n1m2) α’ + n1n2 α’2.

Cum α’2 + a α’ + b = 0, avem α’2 = -a α’ – b și deci

ž1 ž2 = (m1m2 – b n1n2) + (m1n2 + n1m2 – a n1n2) α’

și deci

z1z2 = ž1 ž2.

v) Definim funcția

N: Z[α] →Z

N(z) = z∙ž, unde z ∊ Z[α].

Daca z = m + n α = (m – n) + √d , atunci

N(z) = [(m – n)+ √d ] [(m – n)+ √d ] = m2 –amn +bn2.

Numărul întreg N(z) îl vom nota norma lui z.

Funcția N are urmatoarele proprietăți:

N este multiplicativă:

N(z1z2) = N(z1) N(z2), oricare ar fi z1, z2 ∊ Z[α].

Intr-adevăr, N(z1z2) = z1z2 z1z2 = z1z2ž1 ž2 = ( z1ž1)( z2 ž2) = N(z1) N(z2).

Daca z ∊ Z[α], atunci N(z) = 0 ↔ z = 0.

Este clar că dacă avem z = 0 rezultă N(z) = 0.

Invers, dacă presupunem N(z) = 0 si z = m + nα, cum N(z) = m2 – amn + bn2, obținem

m2 – amn + bn2 = 0.

Dacă n ≠ 0, atunci avem ()2 – a() + b = 0 și deci

= = .

Cum m/n ∊ Q, rezultă că √d ∊ Q, contradicție. Deci n = 0 și atunci avem m2 = 0, adică și m = 0, de unde z = 0.

z ∊ U(Z[α]) ( adica z este inversabil în inelul Z[α]) ↔ N(z) = ± 1. Intr-adevăr, dacă z ∊ U(Z[α]), există z’∊ U(Z[α]) astfel încat zz’ = 1. Cum N este multiplicativă, avem N(zz’) = N(1) = 1 sau N(z) N(z’) = 1. Cum N(z) ∊ Z, atunci N(z) = ± 1.

Invers, dacă N(z) = ± 1, atunci N(z) = z∙ž = ±1.

Dacă z∙ž = 1, atunci inversul lui z este ž.

vi)Definim funcția φ : Z[α] → N, φ(z) = | N(z) | = |m2 – amn +bn2 |.

Din proprietățile a),b), c) ale funcției N obținem că φ are proprietățile:

a’) φ este multiplicativă: φ(zz’) = φ(z) φ(z’).

b’) φ(z) = 0 ↔z = 0.

c’) z ∊ Z[α] este inversabil ↔ φ(z) = 1.

De exemplu în cazul inelului întregilor lui Gauss Z[i], funcția φ este:

Z[i] → N, φ(m + ni) = m2 + n2.

In continuare vom arăta posibilitățile inelului Z[α] de a fi euclidian relativ la funcția φ.

Fie z, z’ ∊ Z[α] cu z’≠ 0. Avem z/ž’ =z ž’ / z ž’ = z1 / N(z1’), unde am notat z1 = z ž’ .

Cum z1 ∊ Z[α], atunci z1 = m + n α, unde m, n ∊ Z. Cum z’ ≠ 0, atunci din proprietatea b) avem N(z’) ≠ 0.

Aplicând formula împărțiirii cu rest sub forma în care este dată în egalitatea (3), obținem: există, q1, r1 ∊ Z astfel încât:

m = N(z’)q1 + r1 cu | r1 | ≤ ½ |N(z’) |

exista q2, r2 ∊ Z astfel încât

n = N(z’) q2 + r2 cu |r2 | ≤ ½ |N(z’) |

Atunci = = = (q1 + q2α) + .

Notăm Q = q1 + q2α si R = . Atunci este evident că

Q ∊ Z[α] si z = z’ α + R

Cum z,z’ ∊ Z[α] și cum R = z –z’ α, obținem că și R ∊ Z[α]. Pe de alta parte, cum RN(z’) = z’(r1 + r2α), aplicând funcția φ, obținem

φ (R) φ(N(z’)) = φ(z’) φ(r1 + r2α)

sau

φ (R) N(z’)2 = | N(z’) | φ(r1 + r2α)

de unde prin simplificare cu N(z’) rezultă

φ (R) = .

Dar cum φ(r1 + r2α) = | r12 + ar1r2 + br22 | ≤ | r12| + |a|∙|r1| |r2| + |b| |r22|, folosind inegalitatile din (6) si (7) , obținem că

φ(r1 + r2α) ≤ φ(z’)2 + | | φ(z’)2 + φ(z’)2 =

= φ(z’)2 ( + | | + ).

Deci

φ (R) ≤ φ(z’)( + + )

Dacă |a| + |b| < 3, atunci din (9) rezultă că

φ (R) < φ(z’).

Să vedem acum când este verificată egalitatea

|a| + |b| < 3.

Dacă a = 0, atunci din (11) rezultă |b| = 1 sau |b| = 2.

Adică b = ±1 sau b = ±2. Pentru a = 0 și b = 1 ecuația (4) devine x2 + 1 = 0 și deci α = i. In acest caz obținem inelul întregilor lui Gauss Z[i]. Pentru a = 0 si b = -1 ecuația (4) devine x2 – 1 = 0 și deci α = 1. In acest caz obținem inelul Z[α] = Z.

Pentru a = 0 si b = 2 ecuația (4) devine x2 + 2 = 0 și deci α = i. In acest caz obținem inelul Z i√2 = { m + n i√2 | m ,n ∊ Z}. Pentru a = 0 și b = -2 ecuatia (4) devine x2 – 2 = 0 și rezultă α = 2. In acest caz obținem inelul Z[] = { m + n | m, n ∊ Z}.Dacă |a| = 1,unci din (11) rezultă că |b| = 0 sau |b| =1. In acest caz |a| =1 si |b| = 0, ecuația (4) devine x2 +x = 0, adică α = 0 sau α = 1. In acest caz obținem Z[α] = Z.

In cazul |a| = 1 si |b| = 1, ecuația (4) ia una din urmatoarele forme:

x2 + x + 1 = 0; x2 – x + 1 = 0; x2 + x – 1 = 0; x2 – x – 1 = 0.

In cazul x2 – x + 1 = 0 obținem α = (1 + i√3) /2 și avem inelul:

Z[] = { n | m, n ∊ Z}.

In cazul x2 + x + 1 = 0 obtinem același inel.

In cazul când x2 – x – 1 = 0 obținem α = și avem inelul:

Z[] = { m + n | m, n ∊ Z}.

In cazul când x2 + x – 1 = 0 obținem același inel.

In concluzie inelele urmatoare Z[i], Z[], Z[i], Z], Z[ ] sunt inele euclidiene.

CAPITOLUL V

APLICAȚII

V.1. Aritmetica lui Z[i]

Pentru fiecare pereche de elemente a, b din mulțimea {1+i, 2+i, 1-i, 1+2i, 1-2i, -2+i} ⊂Z[i] decideți dacă a|b, respectiv daca a b.

Soluție: Fracțiile pe care le vom scrie sunt elemente din corpul de fracții al domeniului în care lucrăm.

Notăm R = Z[i], a = 1+i, b=2+i, c=1-i, d=1+2i, e=1-2i si f=-2+i. Vom studia relațiile între elementele a și b.

= = + i nu aparține lui R. Prin urmare, b nu divide pe a și b nu ~ a.

= = – i nu aparține lui R și a nu ~ b.

Cu considerații similar obținem a~c, a nu| b, b~e, d nu |a, d nu | b, d~f. Celelalte relații între elementele date se deduc imediat din cele daja menționate.

Arătați că un element din inelul Z[i] este prim dacă și numai dacă este asociat în divizibilitate cu unul din următoarele elemente:

1+i;

p Z număr prim cu p 3 (mod 4);

a+bi, a,b Z, astfel încât p = a2 + b2 este număr prim cu p 1 (mod 4).

Soluție: Notăm R = Z[i], care etse inel euclidian. Prin urmare un element din R este prim dacă și numai dacă este ireductibil. Fie R prim. este asociat cu un prim din Z sau N() este prim în Z. Prin urmare, trebuie să considerăm elementele prime din Z și să decidem care rămân prime în R și care sunt norme de prime din R.

Să remarcăm pentru început că 2 = (1+i)(1-i) și N(1+i) == N(1-i) = 2, deci 2 R nu este prim. Pe de altă parte, 1+i și 1-i sunt ireductibile deci, cum R este euclidian, ele sunt prime. Observăm și că 1-i = -i(1+i), deci 1-i ~R 1+i.

Pentru ca un prim p din Z să reductibil în R, el trebuie să se scrie p=xy cu x,y R pentru care N(x) = N(y) = p. Punând x = a + bi, deduce a2 + b2 = p. Cum membrul stng al acestei relații nu poate fi congruent cu 3 modulo4, rezultă că primele de forma 4k+3 din Z rămân prime și în R.

Care numere natural pot fi scrise ca o sumăde două pătrate?

p prim în N, p 1 ( mod 4), atunci p = (a+bi)(a-bi), cu a+bi, a-bi elemente prime în Z[i]; în particular p = a2 + b2.

p prim în N, p 3 ( mod 4), atunci p nu este sumă de două pătrate, pentru că dacă p = a2 +b2, atunci p = (a+bi)(a-bi), deci p | (a+bi)(a-bi), de unde p | a+bi sau p | a-bi ( p este prim î Z[i]), de unde p | a sau p | b. Atunci p2 | a2 + b2, adică p2 | p, contradicție.

2 = 12 + 12

Dacă u, v sunt sume de două pătrate, atunci și uv este sumă de două pătrate.

u = a2 + b2 = N(a+bi), v = c2 + d2 = N(c+di) uv = N(a+bi)(c+di) = N((a+bi)(c+di)), deci este sumă de două pătrate.

p prim, p 3 ( mod 4), p2 este sumă de două pătrate: p2 = p2 + 02.

Consecință:

Dacă n N*, n, n = 2αp1ᵝ1….prᵝr qᵞ1…qᵞs cu p1…, pr prime distincte de forma 4k + 1, qᵞ1…qᵞs prime distincte de forma 4k + 3. Atunci n este sumă de două pătrate toți 1……s sunt pari.

Demonstrație:

( 2, p1,…,pr, q12,…,qs2 se scriu ca sumă de două pătrate deci și n este sumă de două pătrate.

() Fie n = a2 + b2= (a+bi)(a-bi), iar un qj, 1js.

Observăm că qjt | a+bi qjt | a și qjt | b qjt | a-bi.

Atunci luând descompunerea în factori a lui a+bi și a-bi (știm că Z[i] este euclidian, deci și factorial), rezultă că în a+bi și a-bi, factorul qj are același exponent, deci în (a+bi)(a-bi) are exponent par j par.

V.1. Teorema împărțirii cu rest pentru numere naturale

Pentru oricare a, b ϵ N, cu b≠0, exista q, r ϵ N, unic determinate, astfel încât a = b· q + r, 0≤ r < b.

Demonstrație:

Fie a, b ϵ N, b fiind oarecare, nenul, dar fixat.

Fie A = a ϵ N| Ǝ q, r ϵ N: a = b· q + r, 0≤ r < b}. Vom aplica axioma inducției.

0 ϵ A, pentru ca Ǝ q = 0 si Ǝ r = 0 astfel încat 0 = b ·0 + 0. Daca a ϵ A, adica Ǝ q, r ϵ N : a = b· q + r, 0≤ r < b, atunci a*= (b· q + r) *= b· q + r *.

Dacă r* = b, atunci considerăm q` = q + 1 ϵ N si r `= 0 și avem egalitatea a* = b· q` + r`, deci a* ϵ A . Conform axiomei inducției N = N.

Să demonstrăm acum unicitatea lui q si r. Presupunem că există q` și r` ϵ N, astfel încât a = b· q` + r`, 0≤ r` < b.

Presupunem q≠ q`. Putem avea situațiile : q < q` sau q`< q. Daca q < q`, atunci există p ϵ N, p ≠ 0 : q`= q + p. Din b∙q + r = b∙q` + r` rezultă că b∙q + r = b∙q + b∙p +r`, de unde r = b∙p + r`. Din p ϵ N, p ≠ 0 rezultă că Ǝ u ϵ N: p = u*, deci b∙p +r` = b∙u* + r`= b∙u + b + r`. Obținem b ≤ b∙u + b + r` = b∙ p + r`= r, contradicție.

Dacă q `< q, procedăm în mod analog obținem de asemenea, o contradicție.

Deci q `= q și atunci r`= r.

Observație:

Putem demonstra existența numerelor q și r ( astfel încât a = b∙q + r, , 0≤ r < b) și în alt mod și anume: considerăm A ={ b∙k | k ϵ N și a < b∙k}. Conform lemei lui Arhimede rezultă că A ≠Ø.

Ǝ b∙l ϵ A așa încât b∙l≤ b∙k, oricare ar fi b ∙ k ϵ A.

Observăm că l ≠ 0, altfel am avea a < 0 = b∙l, ceea ce este absurd. Rezultă că Ǝ q ϵ N: l = q*. Avem b∙q< b∙l și cum b∙l este prim element al lui A rezultă că b∙q nu apartine A, adică b∙q ≤ a, de unde rezultă că există r ϵ N, astfel încât a = b∙q + r.

Dacă am presupune că b ≤ r, atunci ar exista u ϵ N: r = b + u, de unde a = b∙q + r = b∙q + b + u = b∙(q + 1) + u = b∙l + u, deci b∙l≤ a, ceea ce este absurd. Deci, r < b.

Exemple:

1. Aflați cel mai număr natural de trei cifre care împărțit la 13 dă restul 9.

Soluție Scriem teorema împărțirii cu rest

=13q+9, unde -9=13q

cum minim găsim =100.

2. Cîte numere de trei cifre împărțite la 21 dau restul 5?

Soluție ca și înainte găsim cel mai mic număr cu proprietatea cerută este 110=21·5+5 iar cel mai mare este 992=47·21+5, deci sunt 47-4=43 numere cu proprietatea din enunț.

3. Să se afle cel mai mic număr natural de trei cifre care împărțit la un număr format dimtr-o singură cifră să dea restul 8.

Soluție Notăm numărul cerut în enunț. Avem =qt+8, 0≤8<t<9

Atunci =9q+8=>-8=99. Cum minim, avem -8=99, de unde =107.

V.1.2. Teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi

Pentru orice două numere întregi x și y, y ≠ 0, există și sunt unice numerele întregi q și r, astfel încât x = yq + r și 0 ≤ r < |y|.

Demonstrație:

Dacă x, y ϵ N, y ≠ 0, atunci aplicăm teorema cu rest pentru numere naturale și obținem că există q, r ϵ N, deci întregi, astfel încât 0≤ r < y =|y|.

Dacă x ≤ 0, iar y > 0, atunci pentru |x|și y există q`, r` naturale, deci întregi, astfel încât -x = |x| = yq` + r` și 0 ≤ r < y = |y|. Avem x = y(-q`)- r`. Dacă r `= 0, atunci q = -q` și r = 0. Dacă 0 < r`;atunci x = y(-q`-1) + y-r`.

Considerăm q = -q`-1 ϵ Z și r = y-r` > 0 și r < y = |y|.

Dacă 0 ≤ x și y < 0, atunci aplicăm teorema împărțirii cu rest pentru numerele naturale x și |y|. Rezultă că Ǝ q„, r„ϵ N: x = |y | q„+ r„ și 0≤ r„ <|y |, de unde x = y(-q„)+ r„. Alegem q = -q„și r„= r. Dacă x ≤ 0 și y < 0, atunci Ǝq„`, r„`ϵ N: |x| = |y|q„` + r„` și 0 ≤ r„`< |y|, adică -x = (-y)q„` + r„` și 0 ≤ r„`< |y|. Dacă r„` = 0, atunci x = yq„` și alegem q = q„` și r = 0. Dacă r „`> 0, atunci x = yq„`- r „`= y(q„` + 1) + (-y – r„`). Alegem q= q „`+ 1 și r = – y – r„`> 0 și r < -y = |y|.

Verificăm acum unicitatea numerelor q și r. Presupunem că yq + r = yq* + r*, cu 0 ≤ r <|y| și 0 ≤ r*<|y|. Rezultă că y(q-q*) = r*-r, deci yu = r*-r, unde u = q-q*. Deoarece |ab| = |a|·|b|, pentru orice a, b ϵ Z, obținem că |y|·|u| = |r*-r|.

Dacă r* ≤ r, atunci 0 ≤ r- r* ≤ r <| y|, iar dacă r ≤ r*, atunci 0 ≤ r- r* ≤ r <| y|. În ambele cazuri, avem | r – r|< |y|. Pe de altă parte, presupunând că u ≠ 0 rezultă că 1≤ | u|, deci |y | ·|u|≤ |y|, de unde|y|≤ |r*-r|, contradicție. Așadar, u = 0, deci q = q* și r = r*.

V.2.PROIECT DIDACTIC

Clasa : a-XII-a A

Obiectul : Matematică – Algebră

Subiectul lecției : Împărțirea polinoamelor prin X – a. Schema lui Horner.

Tipul lecției : Lecție de formare de priceperi și deprinderi de calcul.

Conpetențe generale :

Identificarea unor date si relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural sau contextual cuprinse în enunțuri matematice.

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații conccrete.

Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă în scopul găsirii de strategii pentru optimizarea soluțiilor.

Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.

Competențe specifice :

3.2 Aplicarea unor algoritmi în calculul polinomial sau în rezolvarea ecuațiilor algebrice

5.2 Determinarea unor polinoame sau ecuații algebrice care îndeplinesc condiții date

6.1 Exprimarea unor probleme practice folosind calcul polinomial

6.2 Aplicarea prin analogie, în calcule cu polinoame a metodelor de lucru din aritmetica numerelor

Strategia didactică: activ-participativă.

Metode și procedee didactice: conversația euristică , exercițiul, demonstrația, munca independentă.

Material didactic utilizat : manual clasa a-XII-a , fișe de lucru .

Tipuri de actități : frontală și individuală.

Procedee de evaluare: analiza răspunsurilor, observarea sistematică a atenției, verificarea cantitativă si calitativă a temei.

Scenariu didactic:

1.Moment organizatoric: Verificarea prezentei elevilor și notarea absențelor (dacă sunt) in catalog;

Asigurarea unei atmosfere adecvate pentru buna desfășurare a orei ;

2.Captarea atenției: Verificarea temei elevilor prin sondaj folosind dialogul profesor-elev; elev-elev, prin confruntarea rezultatelor (in cazul in care apar diferente se rezolvă exercițiile la tablă ).

3.Informarea elevilor asupra obiectivelor lecției: Se anunță și se scrie pe tablă titlul lecției: Împărțirea polinoamelor prin X – a. Schema lui Horner.

4. Prezentare de material nou

În cazul particular când împărțitorul este restul se poate determina mult lai simplu:

Teoremă. (Teorema restului) Restul împărțirii polinomului prin polinomul

este egal cu valoarea polinomului f în punctul a, adică .

Demonstrație : Conform teoremei împărțirii cu rest putem scrie , unde

grad(r) < grad(g) = 1 r constant (1) . Pentru X = a obținem (2). Din (1) și (2)

Exemplu : 1. Să se determine restul împărțirii lui prin

Rezolvare Conform teoremei restul împărțirii prin X – 2 este

Teorema factorului ( Teorema lui Bezout)

Un element este rădăcină a polinomului dacă și numai dacă X – a divide pe f .

Deci .

Exemplu :

1. Se consideră polinomul cu coeficienți reali. Să se determine astfel încât polinomul f să fie divizibil cu polinomul . (Var .22. Bacalaureat 2009).

Rezolvare :

2. Se consideră polinomul cu coeficienți reali. Să se determine astfel încât polinomul f să fie divizibil cu . (Var .23. Bacalaureat 2009).

Rezolvare :

Schema lui Horner

Se consideră polinomul . Câtul și restul împărțirii polinomului f prin X – a se poate obține prin următorul procedeu numit schema lui Horner:

Câtul împărțirii este iar restul împărțirii este .

Exemplu : Să se determine câtul și restul împărțirii polinomului prin .

Câtul împărțirii este iar restul este r = 0.

5.Consolidarea cunostințelor și asigurarea feed-back-ului : Fiecare elev va primi cate o fișă de lucru .Pe parcursul rezolvării exercițiilor, profesorul intervine cu întrebări , adresate atât elevilor de la tablă cât și celor din clasă, pentru a se clarifica demersul rezolvării.

6.Tema pentru acasă : Se vor propune spre rezolvare ca temă pentru acasă , exercițiile rămase nerezolvate din fișă .

7.Aprecieri: se noteaza elevii care s-au evidențiat în timpul orei.

V.3. Sume Gauss

Să se calculeze suma primelor numere naturale nenule consecutive.

Rezolvare:

Fie a = 1 +2+3+4+…+n . Suma respectivă conține termeni. Suma respectivă este comutativă.

Dacă schimbăm ordinea termenilor de la cel mare la cel mic rezultatul nu se schimbăa

a = 1 + 2 + 3 + 4 + … + (n-3) +(n-2) + (n-1) + n

a = n + (n-1) + (n-2) + (n-3) + ……4 + 3 + 2 + 1

Adunând termenii pe verticală obținem doar (n + 1).

2a = (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + … + (n + 1) +(n + 1) + (n + 1)

Adunarea repetată a lui de ori se transformă în înmulțire

2a = n( n + 1)

a =

Exemplu:

Să se calculeze suma primelor numere naturale nenule consecutive.

Rezolvare:

Fie a = 1+2+3+4+…+2014

Suma respectivă 2014 conține termeni.

Suma este comutativă.

Dacă schimbăm ordinea termenilor de la cel mare la cel mic rezultatul nu se schimbă.

a = 1 + 2 + 3 + …. + 2012 + 2013 + 2014

a = 2014+2013+2012 +…. + 3 + 2 + 1

Adunând termenii pe verticală obținem doar 2014.

2a = 2015 +2015 +….. +2015 +2015 +2015

Adunarea repetată a lui 2015 de 20124 ori se transformă în înmulțire.

2a = 2014 2015

2a =

Să se calculeze suma numerelor naturale consecutive începând cu până la .

Rezolvare:

Fie a = k + (k +1) + (k + 2) + … + n

Fie primele numere naturale 1,2,3,…,k-1,k,k+1,…,n-1,n .

De la la sunt n-(k-1) = n-k +1 numere naturale.

Suma respectivă este comutativă. Dacă schimbăm ordinea termenilor de la cel mare la cel mic rezultatul nu se schimbă.

a = k + (k +1) + ( k + 2) + … + ( n – 2) + ( n-1) + n

a = n + ( n- 1) + (n – 2) + … + (k + 2) + (k + 1) + k

Adunând termenii pe verticală obținem mereu ( n + k).

2a = ( n + k) + ( n + k) + ( n + k) + … + ( n + k) + ( n + k) + ( n + k) de n – k + 1 termeni

Adunarea repetată a lui n+k de n-k+1 ori se transformă în înmulțire.

2a = (n-k+1)∙(n-k)

a =

Exemplu:

Să se calculeze suma numerelor naturale consecutive începând cu 1500 până la 6457 .

Rezolvare:

Fie a = 1500 + 1501 +1502+… +6457

Fie primele 6457 numere naturale ,2,3,…,1499,1500,1501,…, 6456,6457.

2a = 7957 +7957 + 7957 +… +7957 +7957 +7957 de 4958 ori.

Adunarea repetată a lui 7957 de 4958 ori = înmultire.

Să se calculeze suma primelor n numere naturale pare consecutive.

Rezolvare:

Fie a = 2 + 4 + 6 + … + 2∙n

Suma aceasta are n termeni.

Fie a = 2 + 4 + 6 + … + 2∙n = 2 ∙ ( 1 +2 +3 + … + n) = 2∙ = n∙( n + 1).

Exemplu:

Să se calculeze suma primelor 2014 numere naturale pare consecutive.

Fie a = 2 + 4 + 6 + … + 2014.

Suma are 2014 : 2 = 1007 termeni.

a = 2 + 4 + 6 + … + 2∙n = 2∙(1 + 2 + 3 + … + 1007)

a = 2∙

a = 1007 ∙ 1008 = 1.015.056

Să se calculeze suma numerelor naturale pare consecutive de la 2∙k la 2∙n.

Rezolvare:

Fie a = 2∙k + 2∙(k+1) + 2∙(k+2) +…+ 2∙n sumă ce are n-k+1 termeni.

a = 2∙k + 2∙(k+1) + 2∙(k+2) + … + 2∙n

a = 2∙k + 2∙k + 2∙k + … + 2∙k + 2∙[1+2+3+…+(n-k)]

2∙k se n-k+1 ori

a = 2∙k∙(n-k+1) + 2∙(n-k)∙(n-k+1)

a = 2∙(n-k+1)∙(k+n-k)

a = 2∙n∙(n-k+1)

Exemplu:

Să se calculeze suma numerelor naturale pare consecutive de la 200 la 2000.

Fie a = 200 + 202 + 204 + … + 2000.

a = 200 + (200+2∙1) + (200+2∙2) +….+ (200+2∙900)

a = 200 +200+200+…+200+ 2∙(1+2+3+…+900) 200 se repeta de 901 ori

a = 200∙ 901 + 2∙

a = 200∙901 + 900∙901

a =901∙(200 +900)

a = 901 ∙1100

a =991.100

Generalizare:

Să se calculeze suma numerelor naturale luate din p în p pornind de la x = a∙p +r până la y = (a + n)∙p + r unde a este câtul si r este restul împărțirii lui x la p.

S = (a∙p +r) +[a∙(p+1) +r] + [a∙(p+2) +r]+…+[a∙(p+n) + r]

S = (a∙p +r) +(a∙p +r) +…+(a∙p +r) + a∙ (1+2+3+…+n) unde (a∙p +r) se repetă de n+1 ori

S = (n+1) ∙(a∙p+r) + a∙

Exemplu:

Să se calculeze suma numerelor naturale luate din 7 în 7 pornind de la 200 până la 1964.

200 : 7 = 28 rest 4

200 = 7 ∙28 + 4

1964 : 7 = 280 rest 4

1964 = 7 ∙ 280 + 4

1964 = 200 + 1764 = 200 + 7 ∙ 452 deoarece 1764 :7 = 452

Fie

S = 200 +207 +214 +221 + … +1964

S = 200 + (200 +7∙1) + (200 + 7∙2) + (200 + 7∙3) +…+ (200+7∙452)

S = 200 + 200 +200 +… + 7∙(1 +2+3+…+ 452) unde 200 se repată de 453 ori

S = 200∙453 + 7∙

S = 453 ∙(200 + 7∙226)

S = 453∙(200 +1582)

S = 453 ∙1782

S = 807.246

V.4.Proiect didactic

SCOALA GIMNAZIALA TALPA

Prof.

Disciplina: MATEMATICA- ALGEBRA

Clasa: a VI-a

Data:

Subiectul lectiei: INMULȚIREA NUMERELOR INTREGI

Obiective de referință:

CUNOASTEREA DE CATRE ELEVI A REGULILOR DE INMULTIRE A NUMERELOR INTREGI; REGULA SEMNELOR

CUNOASTEREA PROPRIETATILOR DE INMULTIRE A NUMERELOR INTREGI SI APLICAREA CORECTA A ACESTORA IN EXERCITII

CUNOASTEREA PROPRIETATII DE DISTRIBUTIVITATE A NUMERELOR INTREGI

Tipul lectiei: Lectie de dobandire de cunostinte

Metode : Conversatia euristica, problematizarea

Mijloace : fise de lucru,creta colorata

Desfasurarea lectiei :

Organizarea clasei pentru lectie :

Reactualizarea cunostintelor anterioare ; verificarea temei.

Adunarea numerelor intregi; reguli de adunare; proprietatile adunarii numerelor intregi

Inmultirea –adunare repetata

Prezentarea continutului temei:

Asigurarea feedback-ului :

Care sunt proprietatile inmultirii numerelor intregi?

Ce proprietate apare in plus la adunarea numerelor intregi fata de inmultirea numerelor intregi ?

Care este avantajul aplicarii proprietatilor invatate in rezolvarea de exercitii?

Care este regula semnelor la inmultirea numerelor intregi ?

Intensificarea retentiei:

Tema: Manual, pag 45, exercitiile 1, 2, 3, 4

Fisa de lucru:- clasa a VI-a

1) Cititi cu atentie problemele de mai jos!

1)Mama ii da Mirelei in fiecare zi timp de 3 zile cate 2 lei. Cati lei are Mirela la sfarsitul celei de a treia zi ?

2)Doru se imprumuta timp de 4 zile de cate 2 lei de la prietenul sau Mircea. Ce datorie are Doru la sfarsitul celei de a patra zi ?

3)Ionel a imprumutat cate doi lei la trei prieteni, cu conditia ca acestia sa ii inapoieze a doua zi. Cati lei are Ionel dupa ce cei trei prieteni si-au “sters” datoria?

Daca notam cu numere intregi pozitive sumele incasate si cu numere intregi negative sumele datorate precizati corespondenta intre reprezentarile grafice de rezolvare a problemelor si operatiile alaturate.

1) (+2)+ (+2)+ (+2)=(+3)(+2)=+6

2) (-2)+(-2)+ (-2)+(-2)=(+4)(-2)= -8

3) –(-2) –(-2) –(-2)=(-2)(-3)= +6

Exercițiul 4:

(+7)(+6)=

(-8)(+5)=

(+11)(-4)=

(+23)(-10)=

(-13)(+5)=

(+72)(-1)=

(-27)(-3)=

(-16)(-4)=

(+75)(-40)=

(-70)(+1)=

(+72)(-1)(-3)=

(-27)(-3)(-5)=

(-16)(-4)(-2)(+1)(-8)=

(+75)(-40)(+10)=

15 ) (-1)(+2)(-3)(+4)(-5)(+6)(-7)(+8)=

Exercitiul 5: Rezolva aplicand proprietatile inmultirii numerelor intregi :

(-4)(-3)(-25)=

(+20)(-129)(-5)=

(-144)(-100)(-10)=

(-2)(+7)(-5)(-4)(-3)(+25)=

Exercitiul 6: Rezolvati in doua moduri:

(+20)[(-129)+(-1)]=

[(+71)-(-129)](-5)=

[(+111)+(-189)](-25)=

(-2)[(-21)+(-779)]=

V.5.PROIECT DIDACTIC

Clasa: a VI-a

Data: Profesor :

Obiectul : Matematică – Aritmetică și Algebră

Unitatea de învățare :.Ecuații și inecuații cu numere întregi

Conținutul noțional: Rezolvarea de ecuații și inecuații în Z

Tipul lecției: Consolidare

Obiectiv de referință:

Să înțeleagă semnificația și proprietățile ecuațiilor și inecuațiilor cu numere întregi și să le aplice în calcule variate.

Obiective operaționale:

a). cognitive

OC1 = să rezolve și să utilizeze ecuații și inecuații în Z, de tipul unde a și b sunt numere întregi, pentru a rezolva probleme;

OC2 = să investigheze valoarea de adevăr a unei afirmații, prin construirea unor exemple și contraexemple;

OC3 = să prezinte într-o manieră clară, corectă și concisă, oral sau scris, succesiunea operațiilor din rezolvarea unei probleme, folosind terminologia și notațiile adecvate;

b). psihomotorii

OH1 = Să așeze corect în pagină; să scrie lizibil pe caiete și la tablă.

OH2 = Să prezinte îndemânare în operarea cu numere întregi.

c). afective

OA1 = Să fie atenți.

OA2 = Să participe afectiv la lecție.

OA3 = Să-și dezvolte interesul pentru calcule cu numere întregi.

Strategii didactice:

a). Metode și procedee: conversația, exercițiul, munca independentă;

b). Mijloace de realizare: manualul, culegeri, fișe de lucru;

c). Forme de organizare: frontală, individuală, pe grupe.

Fișa nr . 1 ECUAȚII ȘI INECUAȚII ÎN Z

Scrieți răspunsurile în tabel

(1p)1. Soluția ecuației este ………….

(1p)2.Dacă -15x-13= -7x+11, atunci x= …. …….

(1p)3.Dacă triplul unui număr, micșorat cu -9, este egal cu -15, atunci numărul este :

a) -6 b)6 c) -2

4.Fie inecuația _ (mulțimea numerelor întregi negative)

(1p).a)Găsiți mulțimea soluțiilor inecuației

(1p) b)Aflați intersecția dintre mulțimea soluțiilor și Z_

Rezolvările complete

(2p)5.Suma a 5 numere întregi consecutive este 0. Aflați care este cel mai mare număr dintre acestea.

(2p)6..Rezolvați în Z ecuația

FIȘA DE CORECTARE NR. 1

Barem de corectare:Se acordă un punct din oficiu

itemii 1,2,3,4A,4B, câte un punct

itemii 5,6 câte 2 puncte . Total 10 puncte

5.Cinci numere întregi consecutivex,x+1,x+2,x+3,x+4

Suma lor este:x+x+1+x+2+x+3+x+4=0 5x+10=0 x=-2 nr sunt: -2,-1,0,1,2

Cel mai mare este nr. 2

6 .

Fișa nr . 2 ECUAȚII ȘI INECUAȚII ÎN Z

(3p)1.a) Soluția ecuației este ….

(2p) b) Numărul întreg ce verifică relația este ….

2p) c) Numărul întreg ce verifică relația -2z-6=6 este …

(3p)2.a)Dacă -15x+12=-7x+11, atunci x= ….

(2p) b) Soluția ecuației(-2)(-3x)+17=+x+10 este x=….

(3p)3.a)Dacă triplul unui număr, mărit cu -3, este egal cu -15, atunci numărul este egal cu…

(2p)b)Dacă dublul numărului de la a) se micșorează cu -17 atunci se obține rezultatul ..

4.Fie inecuația _ (mulțimea numerelor întregi negative)

(3p).a)Mulțimea soluțiilor inecuației este ….

(2p) b)Singura soluție mai mică decât -4 este …..

(3p)5.a)Mulțimea soluțiilor inecuației în mulțimea numerelor întregi negative este ….. b)Mulțimea soluțiilor inecuației în mulțimea numerelor întregi pozitive este …..

(2p) c)Soluția inecuației în mulțimea numerelor întregi negative Z_ este …

(3p)6.a)Mulțimea este …

(2p) b)Elementele mulțimii sunt …..

(2p) c)Elementele mulțimii Csunt …..

(2p) d)Elementele mulțimii sunt …..

(2p) f)Elementele mulțimii sunt …..

(5p)7.Dacă

Atunci

(3p)8.a)Soluția ecuației este ……

(2p) b)Numărul a obținut din după înlocuirea lui x de la a) este a=

(3p)9.a)Elementele mulțimii sunt ….

(2p) b)Mulțimea este B=….

(15p)10.Să se determine mulțimea

11Aflați numerele :

(10p)a).Suma a șapte numere întregi consecutive este 0.

(10p)b)Suma a 3 numere întregi consecutive este 0.

(10p)c)Suma a șapte numere întregi pare consecutive este 0.

(10p)d)generalizarea punctului c)

12.Suma a 9 numere întregi consecutive este 0.

a)Aflați care este cel mai mare număr dintre acestea.

b)Aflați numai suma numerelor negative din cele 7 nr.

c)Aflați numai suma numerelor pozitive din cele 7 nr.

(10p)13.Rezolvați în Z ecuația

(10p)13.Rezolvați în Z ecuația

(10p)14. Rezolvați în Z ecuația 4

V.6. PROIECT DIDACTIC

Școala:

Clasa: a V-a

Data:

Profesor:

Disciplina : Matematica

Subiectul : Media aritmetica a doua sau a mai multor fractii zecimale finite

Tipul lecției : Lecție de consolidare și evaluare

Competențe generale:

Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțurile matematice

Utilizarea algoritmilor și conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete

Analiza și prelucrarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă

Competențe specifice:

Alegerea formei de reprezentare a unui numar rational pozitiv si utilizarea de algoritmi pentru optimizarea cacului cu fractii zecimale

Interpretarea matematica a unor probleme practice prin utilizarea operatiilor cu fractii zecimale si a ordinii efectuarii operatiilor;

Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute (utilizând ecuații sau inecuații) și interpretarea rezultatului;

Obiectivele operaționale ale lecției:

La sfârșitul orei elevii vor fi capabili:

O1 Să cunoască, să scrie, să citească numere raționale (fracții zecimale finite, fracții zecimale periodice ,numere naturale);

O2 Să efectueze calcule conținând adunări, scăderi, înmulțiri, împarțiri, ridicări la putere cu numere naturale si zecimale utilizând proprietățile operațiilor de adunare si înmulțire;

O3 Să respecte ordinea efectuării operațiilor;

O4 Să cunoască formula de calcul a mediei aritmetice a două sau a mai multor numere;

O5 Să utilizeze formula de calcul a mediei aritmetice;

Mijloace și strategii didactice

Materiale suport: tabla, caiete, fișe de lucru

Metode: conversația euristica, exercitiul, demonstratia, explicatia, expunerea.

Forme de evaluare: scrisă

Forme de organizare a activității: frontal, individual

Bibliografie: Manual pentru clasa a V-a, autori: Mihaela Singer, Mircea Radu, Ion Ghica- Editura: Sigma

Mate 2000, Matematica – Algebra pentru clasa a V-a, Partea I si Partea a II-a-Sorin Peligrad, Dan Zaharia,Maria Zaharia-Editura Paralela 45

www.mateinfo.ro, www.mate30.lx.ro, www.didactic.ro .

Etapele lecției

Moment organizatoric

Captarea atenției

Verificarea cunostintelor insusite

Anuntarea temei si a obiectivelor

Consolidarea cunostintelor

Obtinerea performantei si asigurarea feed – back-ului

Incheierea lectiei

Desfășurarea lecției

Fisa de lucru-recapitulare

Calculati media aritmetica a numerelor:

2 si 3;

0,15; 1,24 si 2;

1,24 si 21,36;

Un termometru indica dimineata temperatura de 3, la amiaza 10,8 iar seara 4,3. Care este temperatura medie de peste zi?

Media aritmetica a patru numere este 12,38. Calculati suma numerelor.

Media aritmetica a doua numere este 5,31, iar unul dintre ele este 4,283. Calculati celalalt numar.

Aflati trei numere consecutive a caror medie aritmetica este 19.

Calculati media aritmetica a numerelor:

x=(12,1-11,9):4+4,5

y=(2,3+1,5)2,5

z=11-(0,5+2,5)

TEST DE EVALUARE- Media aritmetica a doua sau a mai multor fractii zecimale finite

Se acorda 10 punct din oficiu !

(20 p) I.Cristian are la istorie pe semestrul intai urmatoarele note : 8, 9 si 10. Care va fi media lui la sfarsitul semestrului ?

(20p) II. Calculati media aritmetica a numerelor:

2 si 5 ;

0,15 ; 0,3 ;1 ;

(20 p) III. .Daca media aritmetică a trei numere este 9,27, atunci suma celor trei numere este:

a) 28,81 ; b) 2,781 ; c) 278,1 ; d) 27,81.

(30p) IV. Media aritmetică a două numere este 14,75, iar unul dintre numere este 10. Determinați celălalt număr.

Succes!

Barem de corectare si notare

10 puncte oficiu!

CAPITOLUL VI

ASPECTE METODICE ȘI METODOLOGICE

VI.1.Aspecte generale

Pedagogia este știința care are ca obiect de studiu specific educația.

Educația este un proces de transformare conștientă a omului, potrivit unui scop. Ea este o influență formativă intenționată și dirijată în direcția unor rezultate stabilite anticipat. Formele educației sunt:

Educația formală reprezintă educația care se realizează în instituțiile școlare printr-un proces de educație și instruire organizat, finanțat, dirijat și evaluat.

Educația non-formală este considerată ca o formă de educație „dincolo” de școală, în afara instituției școlare, având ca obiect să completeze, să lărgească și să adâncească cultura școlară pe diferite căi, de la completarea instruirii până la petrecerea timpului liber.

Educația informală (incidentală sau ocazională) este forma care se produce în contextul situațiilor și activităților cotidiene. Cele mai semnifivative mesaje informale sunt cele emise de mass-media prin: televiziune, radiou, presa scrisă,

Contextul în care se realizează educația poate fi definit și înțeles cu ajutorul următoarelor concepte pedagogice fundamentale și operaționale: sistem de educație, sistem de învățământ, proces de învățământ, activitate concretă de educație/ instruire, situație educativă.

Sistemul de educație constituie contextul cel mai larg în care se desfășoară activitățile într-un cadru organizat și neorganizat.

Sistemul de învățământ constituie contextul specializat în care are loc educația în cadrul instituțiilor organizate formal, dar și nonformal. Sistemul de învățământ reprezintă principalul subsistem al sistemului de educație, organizat pe niveluri, trepte, cicluri etc.

Sistemul de învățământ are următoarea structură:

Învățământ preprimar: grupa mică, prupa mijlocie, grupa mare.

Învățământ primar: clasele I-IV și pregătotoare;

Învățământ secundar:

inferior organizat in doua cicluri care se succed: gimnaziu, clasele V-VIII si ciclul inferior al liceului sau de arte și meserii, clasele IX-X;

Învățământ secundar superior: ciclul superior al liceului, clasele XI-XII/XIII, precedat =, după caz de anul de completare;

Învățământ postliceal;

Învățământ superior: învățământ universitar și învățământ postuniversitar.

Formele de organizare ale învățământului sunt: învățământul de zi, seral, cu frecvență redusă, la distanță, comasat și pentru copii cu nevoi speciale, nedeplasabili, cu școlarizare la domiciliu.

Procesul de învățământ este principalul subsistem al sistemului de învățământ, în cadrul caruia se realizează instruirea și învățarea elevilor și studenților prin intermediul activităților proiectate, organizate și dirijate de către profesori în conformitate cu anumite norme și principii didactice, într-un context metodic adecvat, apelând la resurse materiale și didactice adecvate, în vederea atingerii dezideratelor educației.

Procesul de învățământ cuprinde activitățile didactice/educative.

Procesul de învățământ funcționează ca o unitate, prin îmbinarea firească și necesară a trei funcții și componente fundamentale: predarea, învățarea și evaluarea.

Predarea este acțiunea de comunicare pedagogică propusă de cadru didactic în diferite variante și forme de organizare.

A preda nu înseamnă ca profesorul să transmită informații, iar elevii să le reproducă. A preda înseamnă a organiza și dirija experiențele de învățare școlară (Chis 2001). Putem spune că predarea este activitatea profesorului de organizare și conducere a ofertelor de învătare, care au drept scop facilitarea și stimularea învățării eficiente la elevi.

Invățarea este acțiunea elevului realizată în mod dirijat, ca efect direct al instruirii proiectate de profesor la diferite niveluri de competențăpedagogică.

În procesul de predare-învațare, profesorul combină diferite mijloace de comunicare (verbale, nonverbale și paraverbale, grafice, scheme realizate pe tablă sau slide-uri puse la retroproiector etc).

Evaluarea este actiunea inițiată de profesor special pentru verificarea gradului de îndeplinire a sarcinilor de predare – învățare.

Activitatea concretă de educație/ instruire este realizată în contextul procesului de învățământ fiind organizată formal,dar și nonformal.

Situațiaa educativă este suportul concret care permite realizarea faptelor pedagogice înt-un timp și spațiu eterminat (exemplu lecția).

VI.2. Metode și strategii de predare-învățare – evaluare

Clasificarea metodelor de predare-învățare-evaluare solicită eliminarea formelor artificiale („metode tradiționale – metode moderne”, „metode principale – metode secundare”, „metode generale – metode particulare” etc.). Astfel rezultă patru categorii de metode didactice, perfectibile la nivel de sistem ca metode de predare-învățare-evaluare:

metode în care predomină acțiunea de comunicare,într-o formă de organizare orală (expozitivă – explicația, prelegerea-, interogativă – conversația euristică, dezbaterea, problematizarea), scrisă ( activitatea cu manualul și alte materiale de învățare, lectura – dirijată, explicativă, independentă etc.);

metode în care predomină acțiunea de cercetare a realității în mod direct (observația, experimentul) sau indirect ( demonstrația – observațională ssau inductivă, experimentală, grafică documentară, problematizată -,modelarea);

metode în care predomină acțiunea practică, într-o formă de organizare reală ( exercițiul – algoritmic, euristic-, algoritmizarea, lucrările practice, studiul de caz – de tip deductiv sau problematizat), sau simulată (jocul didactic, dramatizarea);

metode în care predomină acțiunea de programare specială a instruirii: instruirea programată; instruirea asistată de calculator.

Strategiile de predare-învățare-evaluare în calitate de metode de acțiune sunt angajate pe trasee pedagogice mai extinse ( capitole, discipline, semestre, ani, trepte școlare), decât metodele (aplicabile pe secvențe de instruire în cadrul unor lecții).

VI.3. Strategii, moduri și tipuri de evaluare

Strategiille de evaluare reprezintă reprezintă modalitățile de integrare a operațiilor de măsurare- apreciere –decizie în activitatea didactică.

Clasificarea strategiilor sau formelor de evaluare:

inițială ce are funcția predictivă. Evaluarea inițială propune operații de măsurare-apreciere-decizie la începutul activității didactice în vederea cunoașterii nivelului psihopedagogic real al elevilor.

continuă cu funcția formativă. Evaluarea continuă se desfășoară pe tot parcursul activității didactice.

finală cu funcție cumulativă sau sumativă.Evaluarea sumativă se realizează în timpul sau la sfârșitul activității în vederea cunoașterii nivelului real de stăpânire a materiei după parcurgerea anumitor perioade și secvențe de instruire, conform obiectivelor programelor școlare, adaptate de cadrul didactic la condițiile concrete ale clasei de elevi.

Metodele de evaluare reprezintă căile de eficientizare a operațiilor de măsurare-apreciere-decizie realizabile în cadrul diferitelor forme de activitate didactică. Orice metodă didactică este și o metodă de evaluare, dar unele metode sunt doar de evaluare.

Metode tradiționale de evaluare ( metode clasice). Forma de realizare a metodelor tradiționale implică probe orale, scrise și practice:

Evaluarea prin chestionare ( realizată într-o formă curentă – intervine în orice moment al activității didactice cu posibilitatea realizării frontale, sau finală – la sfârșit de capitol, trimestru, an sau ciclu școlar valorificându-se în cadrul examenelor școlare.

Evaluarea prin lucrări scrise : lucrări scrise curente, lucrări scrise semestriale ( tezele) și lucrări scrise de sinteză ( la sfârșit de capitol, an, ciclu școlar, lucrări de licență, disertație, doctorat).

Evaluarea prin lucrări practice realizată în laboratoare, cabinete șvolare, ateliere unde se pot face experimente, cercetări, procesări de resurse materiale și informaționale.

Evaluarea prin scări de apreciere prin calificative (foarte bine-bine-suficient-insuficient).

Evaluarea prin teste de cunoștințe. Acestea pot fi teste școlare (verifică toate cunoștințele dobândite în procesul educativ) și teste docimologice (ce se aplică la examenele școlare). Elaborarea acestor teste pune în evidență importanța itemilor.

Evaluarea prin examene valorifică toate metodele anterioare.

Metode alternative de evaluare (complementare metodelor tradiționale) sunt:

Observarea sistematică a comportamentului elevilor care pate fi utilizată și ca metodă tradițională – fișa de evaluare, scara de clasificare.

Investigația este o metodă cu caracter intensiv. Investigația se bazează pe o sarcină didactică de cercetare trasată de cadrul didactic elevului prin instrucțiuni clare și se aplică pe parcursul unei lecții.

Proiectul are un caracter extensiv. Sarcinile propuse de cadru didactic sunt de cercetare și se desfășoară într-o perioadă mai lungă de timp.

Portofoliul include rezultatele obținute prin celelalte metode.

Autoevaluarea se poate realiza în condițiile în care elevul atinge anumiți parametri superiori în procesul de învățare. Cadrul didactic folosește diferite procedee sau instrumente ( chestionare cu răspunsuri deschise).

BIBLIOGRAFIE

C. Nastasescu, C. Nita, C. Vraciu, Bazele algebrei, vol.1, Ed. Academiei RSR, Bucuresti, 1986

I. D. Ion, N. Radu, Algebra, Ed. didactica si pedagodica, Bucuresti, 1991

T. Dumitrescu, Algebra1,Bucuresti, 2006

C. Baetica, C. Boboc, S. Dascalescu, G. Mincu, Probleme de algebra, Ed. Universitatii Bucuresti, 2008

Sorin Cristea, Ion Negret-Dobridor, Eugen Noveanu, Elena Stanculescu, Crenguta Oprea, Elisaveta Georgescu, Elena Rafaila, Ion Ovidiu Panisoara, Silviu Fat, Olimpius Istrate – Curriculum pedagogic, editia a ll-a, Editura didactica si pedagogica, R.A.Bucuresti, 2008

Nicolae Oprescu, Pedagogie. Bazele teoretice, Ed. Fundației „Romania de maine”, Bucuresti,1999

Gabriela Cristea, Pedagogie generală, Ed. Didactica și pedagogică, R.A., 2008

Declaratie de autenticitate,

Subsemnata ZANFIR E. VALERIA, căsătorită PETRE, cadru didactic la școala SCOALA GIMNAZIALA TALPA din localitatea TALPA, județul TELEORMAN, înscrisă la examenul de acordare a gradului didactic I, seria 2014 / 2016, cunoscând dispozițiile articolului 292 Cod penal cu privire la falsul în declarații, declar pe propria răspundere următoarele:

a) lucrarea a fost elaborată personal și îmi aparține în întregime;

b) nu am folosit alte surse decât cele menționate în bibliografie;

c) nu am preluat texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi citate și fără a fi precizată sursa preluării, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări ale subsemnatei ZANFIR E.VALERIA (cas. PETRE);

d) lucrarea nu a mai fost folosită în alte contexte de examen sau de concurs.

Dau prezenta declarație fiindu-mi necesară la predarea lucrării metodico-științifice în vederea avizării de către conducătorul științific, domnul Prof. Univ. Dr. SORIN DĂSCĂLESCU.

Declarant,
ZANFIR (PETRE) VALERIA

…………………………………

   Data……………