Inele Euclidiene
INELE EUCLIDIENE
LUCRARE METODICO-ȘTIINȚIFICĂ
PENTRU OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
CUVÂNT INTRODUCTIV
Elementele de aritmetică utilizate încă din antichitate sunt: teorema împărțirii cu rest, algoritmul lui Euclid, noțiunile de elemente prime / ireductibile, c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Răspunsul la întrebarea: Există și alte mulțimi de numere sau de altă natură, pentru care se pot da teoreme de împărțire cu rest, ce ne permit să construim și pentru ele o anumită aritmetică? este afirmativ, conceptul matematic justificativ fiind cel de inel euclidian.
Inelele Z, Q[х], R[х], C[х], Zp[х], sunt euclidiene, elementele prime din aceste inele coincid cu cele ireductibile.
În studiul algebrei superioare, în domeniile de integritate orice element prim este ireductibil, reciproca nefiind întotdeauna adevărată. Spre exemplu, în inelul Z[] elementul 3 este ireductibil, și, totuși, nu este prim.
Există însă și alte domenii de integritate, ale căror proprietăți aritmetice se studiază. Astfel întâlnim proprietăți aritmetice ale mulțimilor de polinoame cu coeficienți întregi în n nedeterminate Z[х1,х2,…,хn], , polinoame cu coeficienți într-un corp K în n nedeterminate K[х1,х2,…,хn], . Aceste inele de polinoame sunt mai sărace în proprietăți aritmetice. Ele nu sunt inele euclidiene, deci pentru ele nu există teorema de împărțire cu rest, nici algoritmul lui Euclid, având în schimb proprietatea că elementele lor nenule și neinversabile au o descompunere în factori primi cu tot ce derivă din această proprietate devenind astfel inele factoriale.
Scopul acestei lucrări este, în principal, de a prezenta:
Importanța / aplicabilitatea noțiunilor de aritmetică pe inele euclidiene;
Noțiuni de divizibilitatea a numerelor întregi;
Aplicații tematice diverse.
Am dorit în realizarea acesteia:
Să realizez o abordare sistemică, de la particular la general și invers a noțiunilor caracteristice temei alese;
Să argumentez importanța noțiunii de inel euclidian în tratarea temelor de aritmetică pentru numere întregi .
CUPRINSUL LUCRĂRII:
CAPITOL I : PRELIMINARII
I.1 Noțiunea de inel
I.2 Noțiunea de corp
I.3 Inele de polinoame
CAPITOL II : INELE EUCLIDIENE
II.1 Scurtă descriere a inelelor euclidiene
Definiții și exemple
Inele principale și inele euclidiene
II.2 Aritmetica pe inele euclidiene
Divizibilitatea în domenii de integritate
C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Algoritmul lui Euclid
Elemente prime și elemente ireductibile
Factorialitatea inelelor
II.3 Exemple de inele euclidiene
Z, K[х], Z[θ] cu θ
Inelul întregilor lui Gauss
II.4 Criterii de ireductibilitate pentru polinoame
Criteriul lui Eisenstein
Criteriul de reducție
Criteriul lui Capelli
Criteriul lui Schönemann
APLICAȚII
BIBLIOGRAFIE
PRELIMINARII:
I.1 NOȚIUNEA DE INEL
– definiții;
– axiomele inelului;
– observații și notații;
– reguli de calcul într-un inel;
– exemple.
Se numește INEL o mulțime A înzestrată cu două operații algebrice:
și
una notată aditiv (adunarea) și cealaltă multiplicativ (înmulțirea) care
satisfac următoarele condiții:
(A,+) = grup abelian;
Operația multiplicativă este asociativă;
Operația multiplicativă este distributivă față de operația aditivă.
Inelul A este:
UNITAR* dacă operația multiplicativă are element neutru;
COMUTATIV** dacă operația multiplicativă este comutativă;
INTEGRU*** dacă nu are divizori ai lui zero.
Un inel comutativ cu cel puțin două elemente și fără divizori ai lui zero (integru) se numește DOMENIU DE INTEGRITATE.
G1 : avem ASOCIATIVITATE
G2 : astfel încât ELEMENT NEUTRU
G3 : astfel încât ELEMENTE OPUSE
G4 : avem COMUTATIVITATE
PRELIMINARII:
I.1 NOȚIUNEA DE INEL
M1 : avem ASOCIATIVITATE
*M2 : astfel încât ELEMENT NEUTRU
**M3 : avem COMUTATIVITATE
***M4 : astfel încât avem FĂRĂ DIVIZORI AI
LUI ZERO
DISTRIBUTIVITATE
avem și
În cazul unui inel A, grupul abelian (A,+) se numește grupul aditiv al inelului. Elementul neutru al acestui grup se notează de obicei cu 0 și se numește elementul zero al inelului ( 0A), iar elementul simetric față de operația aditivă al unui element oarecare se notează cu – x și se numește elementul opus lui x.
Dacă operația multiplicativă admite element neutru, el se notează cu 1 numindu-se element unitate sau unitatea inelului ( 1A ).
O funcție φ:AB, unde A și B sunt două inele se numește
morfism de inele dacă:
1)
2) .
– Dacă A și B sunt inele unitare și atunci φ se numește
morfism unitar.
PRELIMINARII:
I.1 NOȚIUNEA DE INEL
După cum aplicația φ este injectivă , surjectivă, respectiv bijectivă (inversabilă), atunci morfismul φ se numește injectiv, surjectiv, respectiv izomorfism.
Toate regulile de calcul algebric cu elementele unui grup / monoid sunt valabile și la inele dacă sunt implicate separat operația aditivă, respectiv cea multiplicativă. Avem însă și o serie de reguli specifice:
a) ,
b) într-un inel cu cel puțin două elemente avem
c) (regula semnelor)
avem și
d) (distributivitatea înmulțirii față de scădere)
avem și
Într-un inel A fără divizori ai lui zero, din sau cu
.
PRELIMINARII:
I.1 NOȚIUNEA DE INEL
1. ( Z, +, ·) – inelul Z al întregilor raționali
2. Z [i] = {a + bi / a, b Z} – inelul întregilor lui Gauss
3. – inelul resturilor modulo n unde Rn ={0,1,2,…,n-1}Z
reprezintă mulțimea resturilor – întregi și pozitive, ale împărțirii la n
4. ( Q, +, ·), ( R, +, ·), ( C, +, ·) – inele comutative
5. M2 ( A) – mulțimea matricelor pătratice de ordin 2 cu coeficienți în inelul A
– opusa matricei U
– matricea zero; – matricea unitate.
6. (definiție)
Fie A un inel și o submulțime nevidă a sa, atunci S este un subinel dacă împreună cu operațiile induse pe A formează la rândul său un inel.
Exemplu : Z Q R C sunt subinele, cu adunarea și înmulțirea numerelor.
În aplicații se folosește foarte des următoarea caracterizare:
fie A un inel și o submulțime nevidă a sa; atunci S este un subinel al lui A dacă și numai dacă:
1)
2)
Subinelele lui Z sunt de forma nZ , număr natural.
7. Inelul ( 2Z, +, · ) unde 2Z = {2k / kZ} este neunitar.
PRELIMINARII:
I.1 NOȚIUNEA DE INEL
8. (definiție)
O submulțime I nevidă a unui inel comutativ A se numește Ideal dacă:
1) , oricare ar fi
2) , oricare ar fi și .
Din această definiție rezultă că orice ideal al unui inel este subinel, pe când reciproc nu este adevărat ( Z este subinel al lui Q dar nu este ideal; idealele lui Z sunt de tipul nZ , cu număr natural ).
Fie A un inel comutativ și un element al său. Mulțimea :
este un ideal al lui A numit Ideal principal generat de elementul a .
Dacă , idealul generat de aceste două elemente va fi de forma:
9. ( Z, +, ·), ( Q, +, ·), ( R, +, ·), ( C, +, ·), (Z [i], + , · ) – domenii de integritate
Un exemplu de inel care nu este domeniu de integritate este , inelul claselor de resturi modulo n , pentru n un număr natural care nu este prim. Exemplu: Z6 .
10. Un element , A – inel unitar, se numește inversabil dacă există astfel încât ab = ba = 1.
Un element inversabil nu este divizor al lui zero:
Dacă ax = 0 avem bax = 1x = x =0. ; (U(A),·)- grup
Exemple: U(Z)={1}, U(Z[i])={1, i},
U(Zn)=.
PRELIMINARII:
I.2 NOȚIUNEA DE CORP
– definiții
– corpul de fracții al unui
domeniu de integritate
Un inel K cu se numește corp dacă orice element nenul din K este inversabil față de înmulțire. În plus dacă înmulțirea este comutativă atunci K este comutativ.
Exemple:
Mulțimile R, Q, C împreună cu operațiile de adunare și înmulțire
formează corpuri comutative.
Dacă n este un număr prim, atunci inelul Zn al claselor de resturi modulo n este un corp.
Observație:
Un corp nu are divizori ai lui zero, deoarece orice element nenul al său este inversabil.
Un morfism unitar de inele de la K la L se numește morfism de corpuri. Explicit. O funcție φ:KL este un morfism de corpuri, dacă :
1.
2.
3. , .
Observație:
Orice morfism de corpuri este injectiv.
PRELIMINARII:
I.2 NOȚIUNEA DE CORP
Pentru K – un corp, orice subinel al său este domeniu de integritate.
Problema care se pune este inversă și anume, fiind dat un domeniu de integritate A, să găsim un corp K, astfel încât A să fie subinel al lui K.
– Fie deci A un domeniu de integritate și A* mulțimea elementelor nenule ale lui A. Considerăm produsul cartezian:
Pentru se introduce o relație de echivalență R definită astfel : (a,b)R(c,d) dacă și numai dacă a · d = b · c.
Să verificăm faptul că R o relație de echivalență:
Într-adevăr:
(a,b)R(a,b) deoarece a · b = b · a
dacă (a,b)R(c,d) atunci a · d = b · c și deci c · b = d · a, adică (c,d)R(a,b)
dacă (a,b)R(c,d) și (c,d)R(e, f) atunci a · d = b · c și c · f = d · e; prin urmare a · d · f = b · c · f = b · d · e și cum iar A este domeniu de integritate a · f = b · e adică (a,b)R(e, f).
Așadar R este relație de echivalență.
Clasa de echivalență a perechii (a,b) se numește fracție și se notează .
Avem deci = dacă și numai dacă a · d = b · c.
PRELIMINARII:
I.2 NOȚIUNEA DE CORP
Fie K=()/R mulțimea factor a lui în raport cu relația de echivalență R. Pe această mulțime se introduc două operații algebrice (adunarea și înmulțirea) în raport cu ele K devine corp.
Fie , două fracții. Cum atunci și deci are sens fracția .
Dacă = și = atunci .
Într-adevăr, avem și , deci și , de unde sau încă , ceea ce trebuie demonstrat.
Atunci definim adunarea prin: +=, operație care este bine definită ( nu depinde de alegerea reprezentanților ).
Înmulțirea o definim prin: ·= și este bine definită.
K împreună cu adunarea și înmulțirea este un inel unitar.
Fie din K, atunci . Deci are sens fracția , care este din K și ·= == 1. Prin urmare, orice element din K are un invers și anume . Așadar K este un corp comutativ.
PRELIMINARII:
I.2 NOȚIUNEA DE CORP
Fie definită prin . Avem :
și
ceea ce înseamnă că j este morfism de inele.
Dacă adică atunci adică a = b. Prin urmare j este un morfism injectiv. Acest morfism injectiv permite identificarea lui A ca un subinel al lui K, mai precis . Atunci, dacă putem scrie :
Corpul K se numește corpul fracțiilor lui A.
Pentru A = Z, prin procedeul descris, se obține corpul Q al fracțiilor raționale, cu ( Q, +, ·) = domeniu de integritate.
PRELIMINARII:
I.3 INELE DE POLINOAME
– inelul polinoamelor într-o nedeterminată
NEA DE CORP
Fie definită prin . Avem :
și
ceea ce înseamnă că j este morfism de inele.
Dacă adică atunci adică a = b. Prin urmare j este un morfism injectiv. Acest morfism injectiv permite identificarea lui A ca un subinel al lui K, mai precis . Atunci, dacă putem scrie :
Corpul K se numește corpul fracțiilor lui A.
Pentru A = Z, prin procedeul descris, se obține corpul Q al fracțiilor raționale, cu ( Q, +, ·) = domeniu de integritate.
PRELIMINARII:
I.3 INELE DE POLINOAME
– inelul polinoamelor într-o nedeterminată
(construcție)
– observații, definiții, notații și proprietăți
– inelul polinoamelor în mai multe nedeterminate
– CONSTRUCȚIE –
Un inel foarte important este inelul polinoamelor într-o nedeterminată. Construcția lui este următoarea :
Fie A un inel comutativ și unitar.
Pentru inelul A se consideră șirurile astfel încât toți termenii , în afară de un număr finit dintre ei sunt nuli.
Fie mulțimea șirurilor de elemente din A care au un număr finit de termeni nuli. Șirurile și sunt egale dacă și numai dacă pentru orice i = 0, 1, 2,…
Pe mulțimea se definesc două operații algebrice, adunarea și înmulțirea în raport cu care A devine un inel comutativ și unitar.
Fie atunci adunarea se definește astfel: . Este evident că are numai un număr finit de termeni nenuli, deci .
Se verifică ușor că împreună cu adunarea este grup abelian, adică adunarea este asociativă, comutativă, are element nul și orice element are un opus. Elementul nul (zero) este .
PRELIMINARII:
I.3 INELE DE POLINOAME
Dacă este un element din atunci opusul său este .
Înmulțirea pe se definește astfel:
unde .
Este clar faptul că . Înmulțirea pe , astfel definită, este asociativă, comutativă și are element neutru; mai mult înmulțirea pe este distributivă față de adunare.
Concluzie ( propoziție )
Dacă A este un inel comutativ, atunci mulțimea (a șirurilor de elemente din A, care au un număr finit de termeni nenuli) împreună cu operațiile de adunare și înmulțire definite mai sus este un inel comutativ și unitar. Elementele acestui șir se numesc polinoame peste A, sau polinoame cu coeficienți din A.
Dacă este un polinom nenul și dacă n este cel mai mare număr natural cu proprietatea că atunci n se numește gradul polinomului f , notat prin grad( f ).
Pentru polinomul nul nu se definește gradul. Convenim, în schimb, să considerăm gradul său ca fiind .
Dacă grad( f )=n atunci a0,a1,a2,…,an se numesc coeficienții polinomului f
PRELIMINARII:
I.3 INELE DE POLINOAME
Fie aplicația definită prin .
Cum implică a=b, rezultă că u este injectivă. Mai mult, u este morfism de inele.
Acest fapt ne permite să se identifice elementul din A cu imaginea sa prin u, adică cu polinomul din . Astfel A se poate considera ca un subinel al lui .
Pe de altă parte se notează prin X polinomul care se numește nedeterminata X.
După înmulțirea definită mai sus se obține și, mai general, pentru orice număr iN avem .
Fie polinomul f de gradul n ai cărui coeficienți sunt (a0,a1,a2,…,an,0,…). Folosind adunarea și înmulțirea definite pe , se obține:
Mai mult, după notațiile indicate f se poate scrie:
.
Astfel am obținut scrierea obișnuită a polinoamelor.
Inelul , obținut mai sus, se numește Inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficienți în A și se notează .
Observăm că f are grad 0 dacă și numai dacă f este element nenul din A .
PRELIMINARII:
I.3 INELE DE POLINOAME
Din definiția sumei și produsului a două polinoame, rezultă că:
, pentru orice .
Dacă A este un domeniu de integritate, ultima relație devine egalitate.
Fie A un domeniu de integritate, atunci este un domeniu de integritate;
Fie A un domeniu de integritate și inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți din A. Atunci elementele inversabile din coincid cu elementele inversabile din A, adică U(A)= U(A[X]). De aici, dacă K este un corp comutativ, atunci elementele inversabile din K[X] sunt polinoame de grad zero ( adică elementele nenule ale lui K ).
OBSERVAȚIE
Dacă A este un inel, care nu este domeniu de integritate atunci afirmația din propoziția precedentă nu este adevărată.
EXEMPLU: Fie Z4[X], unde Z4 nu este domeniu de integritate; avem
. Deci polinomul Z4[X] este inversabil,
dar nu este element din Z4.
PRELIMINARII:
I.3 INELE DE POLINOAME
Fie A un inel.
Atunci inelul al polinoamelor în nedeterminatele X1,X2,…,Xn se definește astfel:
– este inelul polinoamelor în nedeterminata X1 cu coeficienți în inelul A
– este inelul polinoamelor în nedeterminata Xi cu coeficienți în
inelul , .
Deci = .
Dacă f este un polinom atunci f este un polinom în nedeterminata Xn cu coeficienți în .
Așadar , unde , oricare ar fi i = 0, 1, 2,…, k.
Este clar că, din aproape în aproape, f se poate scrie ca o sumă finită de forma: în care se numesc coeficienții polinomului f . Deci , unde sunt numere naturale.
Să arătăm că o astfel de scriere este unică.
Într-adevăr, dacă f = 0 , din definiție rezultă că f poate fi scris sub forma:
, unde fi sunt polinoame din .
PRELIMINARII:
I.3 INELE DE POLINOAME
Observăm de asemenea că orice coeficienți apar drept coeficienți ai unuia dintre polinoamele fi . Atunci, fiecare fi=0 , deci, prin inducție, rezultă că toți coeficienții sunt nuli. De aici rezultă unicitatea scrierii lui f sub forma indicată.
Fiind dat inelul de polinoame cu coeficienți într-un inel A și f un polinom din acest inel, gradul lui f relativ la nedeterminata Xi (i=1,2,…,n) este cel mai mare exponent la care figurează Xi .
Un polinom de forma cu se numește monom, iar prin gradul său înțelegem suma .
Se va defini gradul lui f ca fiind maximul gradelor termenilor săi și îl vom nota cu grad( f ).
Dacă toți termenii (monoamele) unui polinom au același grad, atunci f se numește polinom omogen.
Proprietățile gradului se respectă ca și în cazul inelului într-o nedeterminată.
INELE EUCLIDIENE:
II.1. SCURTĂ DESCRIERE A INELELOR EUCLIDIENE
– definiții și exemple;
– inele principale și inele euclidiene.
Două dintre cele mai importante teoreme din algebră sunt:
Teorema de împărțire cu rest pentru numere întregi și
Teorema de împărțire cu rest pentru polinoame.
Pe baza acestora se construiește aritmetica numerelor și a polinoamelor.
Se pune întrebarea:
Există și alte mulțimi de numere sau de altă natură, pentru care se pot da teoreme de împărțire cu rest, ce ne permit să construim și pentru ele o anumită aritmetică?
Vom arăta în continuare că răspunsul este afirmativ, și de asemenea, că aritmetica numerelor întregi, aritmetica polinoamelor, cât și alte aritmetici se pot trata unitar.
Conceptul matematic care ne ajută să răspundem la întrebarea de mai sus este cel de INEL EUCLIDIAN.
Un inel R (comutativ, unitar) se numește euclidian dacă:
este integru;
există o funcție N astfel încât
a/b în R ;
astfel încât cu proprietatea că: sau r=0 sau , unde v – normă euclidiană.
INELE EUCLIDIENE:
II.1. SCURTĂ DESCRIERE A INELELOR EUCLIDIENE
Se numește inel euclidian un domeniu de integritate R pentru care există o funcție N având proprietatea următoare:
Oricare ar fi există astfel încât a = bq+r unde r = 0 sau .
Egalitatea de mai sus se numește formula împărțirii cu rest în inelul euclidian R iar elementele q și r se numesc câtul, respectiv restul împărțirii.
Inelul numerelor întregi Z împreună cu funcția valoare absolută este inel euclidian.
Inelul întregilor lui Gauss Z[i] împreună cu funcția , este inel euclidian.
Inelul Z[i] împreună cu funcția este euclidian, pe când Z[i] nu este euclidian.
INELE EUCLIDIENE:
II.1. SCURTĂ DESCRIERE A INELELOR EUCLIDIENE
Reamintim că în inelul R un ideal I se numește ideal principal dacă există un element care îl generează. Notând cu (a) idealul principal generat de , avem (a)= aR= Ra. Inelul R este generat ca ideal în R de orice element inversabil.
DEFINIȚIE (D.2):
Un domeniu de integritate R se numește principal ( sau inel cu ideale principale ) dacă orice ideal al lui R este principal.
TEOREMĂ (T.1): Legătura dintre inelele euclidiene și inelele principale
Dacă R este un inel euclidian, atunci R este un inel principal.
Demonstrație:
Fie I un ideal al lui R. Dacă I=(0), atunci I este ideal principal. Deci putem presupune că . Vom nota cu . Cum Ø și N, există un cel mai mic element al lui A; fie n0. Atunci există astfel încât .
Vom dovedi că .
Cum , este evidentă incluziunea .
Invers, fie . Cum , atunci există astfel încât , unde r = 0 sau . Dacă , atunci și deci .
INELE EUCLIDIENE:
II.1. SCURTĂ DESCRIERE A INELELOR EUCLIDIENE
Cum obținem o contradicție. Așadar trebuie ca r = 0 și , adică . Prin urmare avem și cum rezultă că .
OBSERVAȚII:
Putem reformula enunțul acestei teoreme astfel: Orice inel euclidian este și inel principal, reciproca nefiind adevărată; există inele principale care nu sunt euclidiene. De exemplu inelul: Z este un inel principal, dar nu este euclidian.
Inelele euclidiene, fiind inele principale, vor prelua proprietățile acestora, cum ar fi:
(T.2) Dacă R este un inel principal, atunci pentru orice există cel mai mare divizor comun d și cel mai mic multiplu comun m ().
(C) a) Dacă R este un inel principal și este cel mai mare divizor
comun al lui , atunci astfel ca d = au + bv.
b) Într-un inel principal un element este ireductibil dacă și numai dacă
este prim.
(T.3) Dacă R este un inel principal, atunci pentru orice șir descrescător de ideale: (lanț ascendent de ideale principale) există un indice m astfel încât , pentru (lanț staționar).
(T.4) orice inel principal este factorial.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
– divizibilitatea în domeniile de integritate;
– c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.;
– algoritmul lui Euclid;
– elemente ireductibile și elemente prime;
– factorialitatea inelelor.
Pe parcursul acestei secțiuni, R va desemna un inel comutativ cu unitate, deci un domeniu de integritate.
Vom nota cu U(R) mulțimea elementelor inversabile din R; U(R) cu operația de înmulțire este un grup abelian, numit grupul unităților lui R.
Notăm R* = R – {0}.
EXEMPLE:
U(Z) = {-1;+1}.
Dacă K este un corp, atunci U(K) = K* și invers, dacă U(K) = K* atunci K este un corp.
Dacă R este domeniu de integritate, atunci U(R[X]) = U(R).
Într-adevăr, dacă este un element din U(R[X]), atunci există un polinom astfel încât fg = 1. Evident că această egalitate implică în mod necesar n = m = 0 și , adică este un element inversabil din R.
DEFINIȚIE: (D.3) Fie R un domeniu de integritate. Spunem că un element divide elementul ( sau că a este divizor al lui b, sau b este multiplu al lui a ) și scriem a|b sau ba dacă există astfel încât b = ac.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Vom nota cu Ra sau cu (a) idealul principal generat de , adică .
PROPOZIȚIE (P.1) Relația de divizibilitate are următoarele proprietăți:
a|b ;
a|a oricare ar fi ;
dacă a|b și b|c atunci a|c ;
dacă a|bi unde , atunci a| oricare ar fi ;
dacă a|b și b|a există U(R ) astfel încât b = ua.
Demonstrație:
Presupunem că a|b , deci există astfel încât b = ac. Dacă atunci există astfel încât . Cum b = ac, atunci și deci există adică .
Invers, presupunem că . Cum , atunci și deci există astfel încât b = ac, adică a|b .
Relația a|a rezultă din faptul că a = 1a.
Dacă a|b și b|c atunci există elementele astfel încât și . Deci adică a|c.
Cum a|bi oricare ar fi , există astfel încât , . Așadar
și deci a|.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Presupunem că a|b și b|a . Atunci există astfel încât și . Dacă a= 0 obținem b= 0 și putem lua u= 1. Dacă b= 0 obținem a= 0 și în mod similar putem lua u= 1.
Dacă , atunci din relațiile de mai sus obținem a=(uv)a și cum rezultă că uv=1, adică U(R ).
OBSERVAȚII:
Proprietățile 1.2. și 1.3. arată că relația de divizibilitate pe R este o relație binară reflexivă și tranzitivă.
Relația de divizibilitate nu este simetrică și nici antisimetrică.
Proprietatea 1.5. ne permite să definim o altă relație binară pe R .
DEFINIȚIE: (D.4) Dacă spunem că a și b sunt asociate în
divizibilitate și notăm dacă a|b și b|a.
PROPOZIȚIE (P.2)
Relația are următoarele proprietăți:
2.1. ;
2.2. este o relație de echivalență pe R;
2.3.
Demonstrație:
2.1. Rezultă din propoziția 1.1.
2.2. Rezultă din propoziția 2.1. deoarece relația de egalitate pe mulțimea
idealelor principale este o relație de echivalență.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
2.3. Dacă atunci a|1 și deci există astfel încât 1 = ab și
deci U(R ).
Invers, dacă U(R ), atunci există astfel încât 1 = ab și a|1
Cum evident 1|a , atunci .
Echivalența U(R ) este evidentă.
DEFINIȚIE: (D.5)
Fie . Un element se numește cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c.) al elementelor a și b dacă are următoarele proprietăți:
d|a și d|b (adică d este un divizor comun al elementelor a și b);
dacă d’|a și d’|b atunci d’|d (orice divizor comun d’ al elementelor a și b divide și pe d)
Cel mai mare divizor comun al elementelor a și b se notează c.m.m.d.c.(a,b) sau scurt (a,b).
OBSERVAȚII:
– Este clar că dacă d1, d2 au proprietățile i. și ii., atunci d1d2 și invers, dacă d are proprietățile i. și ii.,atunci orice element asociat în divizibilitate cu d are aceleași proprietăți.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
În concluzie, orice două elemente d1 și d2 care sunt fiecare un c.m.m.d.c. al elementelor a și b se găsesc în aceeași clasă de echivalență relativ la relația . Din aceste motive se notează cu c.m.m.d.c.(a,b) sau (a,b) orice element care este cel mai mare divizor comun, adică nu vom face nici o distincție între elementele asociate.
– Două elemente se numesc prime între ele dacă (a,b)=1.
Cu această convenție putem da proprietățile cele mai importante ale c.m.m.d.c. a două elemente.
PROPOZIȚIE (P.3)
Fie R un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c. al lor. Atunci următoarele afirmații (proprietăți – c.m.m.d.c.) sunt adevărate:
(a,b) = a a|b;
(a,0) = a;
Dacă (a,b) = d, unde și , și scriem a = da’ și b = db’ atunci (a’, b’ ) = 1;
( ac,bc ) = c (a,b);
( a, ( b,c )) = ( (a,b),c ).
Demonstrație:
3.1. și 3.2. sunt evidente.
3.3. Fie d’ = (a’, b’ ). Cum d’| a’ și d’| b’, atunci evident d’d| a și d’d| b și deci
d’d|d. Cum atunci d’| 1, adică (a’, b’ ) = 1.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
3.4. Fie d=(a,b) și d’=( ac,bc ). Evident putem presupune că și .
Cum d=(a,b), atunci a=da’ și b=db’ și deci ac=(dc)a’ și bc=(dc)b’ ceea ce
implică dc|d’ , adică d’=(dc)d’’.
Din d’=(ac,bc) obținem că ac=d’ și bc=d’ de unde rezultă că
ac=dcd’’ și bc=dcd’’ sau dca’ =dcd’’ și dcb’ =dcb’’ .
Cum , atunci a’ =d’’ și b’ =d’’ ceea ce implică d’’ | a’ și d’’ | b’
Cum (a’,b’) =1, atunci d’’ | 1 adică d’’ este inversabil și deci d’ dc, ceea
ce trebuia demonstrat.
3.5. Rezultă din definiția 5.
OBSERVAȚIE:
Proprietatea 3.5. ne permitem să extindem noțiunea de c.m.m.d.c. la un număr finit de elemente, astfel:
c.m.m.d.c.(a1, a2,…, an)= c.m.m.d.c.( c.m.m.d.c.(… c.m.m.d.c.( a1, a2,…), an) pe care îl vom prescurta (a1, a2,…, an).
DEFINIȚIE: (D.6)
Fie R. Un element R se numește cel mai mic multiplu comun al elementelor a și b dacă are următoarele proprietăți:
a | m și b | m ( adică m este multiplu comun al elementelor a și b );
Dacă a | m’ și b | m’ atunci m | m’ ( orice multiplu comun m’ al lui a și b se divide cu m ).
Din această definiție rezultă că c.m.m.m.c. pentru două elemente (dacă există) este unic, abstracție făcând o multiplicare cu un element inversabil. De aceea vom nota [a, b] cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
PROPOZIȚIE (P.4)
Fie R un domeniu de integritate și R. Atunci :
Dacă R este c.m.m.d.c. al elementelor a și b, atunci un element d’ R este c.m.m.d.c. al elementelor a și b dacă și numai dacă este asociat în divizibilitate cu d .
Dacă m R este c.m.m.m.c. al elementelor a și b, atunci un element m’ R este c.m.m.m.c. al elementelor a și b dacă și numai dacă este asociat în divizibilitate cu m.
Demonstrație:
Deoarece d=(a,b) și d’=(a,b) rezultă că d=d’ . Deci d și d’ sunt asociate în divizibilitate. Reciproc, dacă d’ este asociat în divizibilitate cu d , atunci, din faptul că d|a, d|b și d’|d rezultă că d’|a, d’|b, adică d’ este divizor comun al lui a și b.
Fie c un divizor comun al lui a și b, atunci d fiind c.m.m.d.c. al elementelor a și b rezultă că c|b, și cum d|d’ rezultă că c|d’ , adică d’ este c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
Analog cu a)
OBSERVAȚII:
Din această propoziție rezultă că c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două elemente sunt bine determinate, abstracție făcând de o asociere în divizibilitate.
Definițiile date pentru c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două elemente se generalizează la un număr finit de elemente. Dacă c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. există pentru două elemente, atunci există și pentru un număr finit de elemente.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
TEOREMĂ (T.5)
Fie R un domeniu de integritate. Următoarele afirmații sunt echivalente:
Pentru orice două elemente există c.m.m.d.c.
Pentru orice două elemente există c.m.m.m.c.
Intersecția oricăror două ideale principale este un ideal principal. În plus, dacă este verificată una din condițiile echivalente de mai sus, atunci pentru orice R avem egalitatea (a,b) [a, b] = ab.
Demonstrație:
. Este ușor de văzut că dacă m = [a, b], atunci și , adică .
Dacă , atunci a|m’ și b|m’ și deci m|m’ , adică R și deci avem incluziunea și deci .
Invers, se arată ușor că dacă , atunci m = [a, b].
. Fie R ; dacă a=0 sau b=0 atunci [a, b] = 0.
Pentru , și d=(a,b), fie a=da’ și b=db’ , cu (a’,b’)=1.
Notăm cu și dovedim că m = [a, b]; se vede că a|m și b|m. Fie acum astfel încât a|m’ și b|m’ ; deci există astfel încât . Acum avem și cum rezultă că . Dar (a’,b’)=1 și din propoziția P.4 rezultă că , deci b’| adică . Rezultă adică m|m’.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
. Evident putem presupune că și . Fie acum m = [a, b]. atunci există R astfel încât . Deoarece a|ab și b|ab, avem că m|ab și deci există R astfel încât ab=md.
Să dovedim că d=(a,b).
Deoarece , obținem prin simplificare că b=a’d și a=b’d și deci d|a și d|b. Fie d’|a și d’|b. Deci și . Punem . Deci a|m’ și b|m’ de unde rezultă că m|m’ adică m’=mc și deci d’m’=d’mc. Cum d’m’= d’ 2 a1b1 = (d’ a1)( d’ b1) = ab, obținem că ab=d’mc sau md= d’mc și, prin simplificare, rezultă că d=d’c adică d’|d.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
În acest paragraf, prin R vom înțelege un inel euclidian relativ la funcția: N. Anterior am definit divizibilitatea într-un domeniu de integritate și noțiunea de c.m.m.d.c. a două elemente a și b, care aparțin acestuia.
PROPOZIȚIE (P.5)
Dacă a și b sunt două elemente din R, atunci există c.m.m.d.c. al lui a și b
Demonstrație:
În cazul a = b = 0, conform definiției, elementul d = 0 este c.m.m.d.c. al lui a și b.
Așadar, putem presupune că .
Dacă b = 0, atunci a este un divizor comun al lui a și b, deoarece a= a·1 și b=a·0, deci (a,0) = a.
Pentru și , aplicând formula împărțirii cu rest elementelor a și b, găsim două elemente q1, r1 R astfel încât:
cu r1 = 0 sau (E1)
Dacă , aplicăm din nou formula împărțirii cu rest și găsim elementele q2, r2 astfel încât :
cu r2 = 0 sau (E2)
Repetând acest procedeu obținem elementele și din R astfel încât:
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
cu r3 = 0 sau (E3)
…………………………………………………………………………………..
cu rn = 0 sau (En)
cu rn+1 = 0 sau (En+1)
Cum și cum N este bine ordonată, există un număr natural n astfel încât și .
Vom arăta că rn este c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
Cum , rezultă că rn | rn-1. Dar deoarece , rezultă că rn | rn-2. În continuare din aproape în aproape , ținând cont de egalitățile (En) rezultă că rn divide elementele . Din egalitatea (E2) rezultă că rn | b, iar din egalitatea (E1) obținem rn |a. Deci rn este un divizor comun al elementelor a și b.
Fie un divizor comun al elementelor a și b. Din (E1) obținem că și deci | r1. Din egalitatea (E2) obținem . Cum | r1 și | b , atunci | r2. Acum, folosind egalitățile (E3),…, (En),… obținem că divide elementele .
Așadar rn (ultimul rest nenul) este c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
DEFINIȚIE: (D.7)
Șirul de egalități, (E1), (E2),…,(En) poartă denumirea de algoritmul lui Euclid.
Acest șir de egalități ne permite să determinăm pentru un inel euclidian un c.m.m.d.c. al elementelor a și b. ultimul rest nenul din acest șir este c.m.m.d.c. al elementelor date.
OBSERVAȚIE:
Propoziția anterioară ne asigură că pentru un inel euclidian dat, există un c.m.m.d.c. a două elemente, iar în paragraful anterior am văzut că acesta este unic, mai puțin o asociere în divizibilitate.
EXEMPLU:
Folosind algoritmul lui Euclid, să determinăm în Z[i] c.m.m.d.c. al elementelor: și .
Rezolvare:
Formăm algoritmul lui Euclid asociat acestor numere:
, unde ;
, unde ;
, unde ;
.
Deci c.m.m.d.c. al elementelor: și este .
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
PROPOZIȚIE (P.6)
Fie R un inel euclidian și . Dacă d este c.m.m.d.c. al elementelor a și b, există elementele astfel încât : .
Demonstrație:
Fie șirul împărțirilor succesive din algoritmul lui Euclid:
cu r1 = 0 sau (E1)
cu r2 = 0 sau (E2)
cu r3 = 0 sau (E3)
…………………………………………………………………………………..
cu rn = 0 sau (En)
(En+1)
unde ultimul rest este c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
Din (E1) obținem: .
Din (E2) obținem:
, unde am notat și
Presupunem că pentru m cu avem că: pentru orice i, , există elementele astfel încât . Din egalitatea (Em+1) rezultă că :
unde am notat și .
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
În felul acesta prin inducție, rezultă din propoziția P.5 rn este un c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
Dacă d este un c.m.m.d.c. al elementelor a și b, am văzut că există un astfel încât . Atunci avem:
, unde am notat și .
CONSECINȚĂ:
Dacă două elemente a și b din R sunt prime între ele, atunci există , astfel încât .
DEFINIȚIE: (D.8)
Fie R un domeniu de integritate. Un element se numește prim dacă: i. și (p – nenul, neinversabil);
ii. p|abp|a sau p|b, unde .
DEFINIȚIE: (D.9)
Fie R un domeniu de integritate. Un element se numește ireductibil dacă: i. și ;
ii. Dacă q = aba sau b este inversabil.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
OBSERVAȚII:
Este evident că un element asociat cu un element prim (respectiv ireductibil) este prim (respectiv ireductibil);
Din definiția D.9 rezultă că dacă a este un element ireductibil din inelul integru R și b un element oarecare din R, atunci c.m.m.d.c. al elementelor a și b există și este asociat cu a sau element ireductibil.
PROPOZIȚIE (P.7)
Fie R un domeniu de integritate și un element nenul și neinversabil. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:
a este ireductibil în R;
Dacă , atunci a este asociat cu cel puțin unul din elementele b sau c , unde ;
Dacă , atunci a este asociat cu cel puțin unul din elementele b sau c, iar celălalt este inversabil ().
Demonstrație:
Fie un element ireductibil. Atunci, din rezultă că d este inversabil sau asociat cu a. Cum nu pot fi ambele inversabile, rezultă că unul dintre ele este asociat cu a. Deci a este inversabil.
Fie . De aici rezultă că unul dintre elementele b sau c este asociat cu a. Să presupunem că b este asociat cu a, atunci , cu u element inversabil din R.
Din și din faptul că rezultă că , deci c este element inversabil în R.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Din 7.3 rezultă că orice divizor al lui a este asociat cu a sau inversabil. Deci a este element ireductibil.
OBSERVAȚIE:
Având în vedere proprietățile 7.2 și 7.3, elementele ireductibile se mai numesc și elemente nedecompozabile.
TEOREMĂ (T.6): – de caracterizare a elementelor prime/ireductibile –
Fie p și q două elemente nenule dintr-un domeniu de integritate R. Atunci:
p este un element prim idealul (p) este prim;
q este un element ireductibil idealul (q) este maximal în mulțimea tuturor idealelor principale și proprii ale lui R;
Orice element prim este ireductibil;
Dacă inelul R are proprietatea că pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c., atunci orice element ireductibil este prim.
Demonstrație:
Presupunem că p este element prim în R și fie astfel încât . Deci există cu adică p|ab. Deci p|a sau p|b, de unde rezultă că sau și prin urmare idealul (p) este prim. Invers, presupunem că (p) este un ideal prim și presupunem că p|ab. Atunci și deci sau . Deci p este un element prim în R.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Presupunem că q este ireductibil și fie astfel încât . Atunci a|q și deci există astfel încât q= ab. Cum a nu este inversabil, deoarece , rezultă că b este inversabil și deci q|a, adică și deci .
Pentru implicația inversă se parcurge raționamentul de mai sus, în sens invers.
Fie p= ab, unde p este un element prim; atunci p|ab și deci p|a sau p|b. Dacă p|a atunci și prin urmare de unde rezultă că adică b este inversabil. Analog se arată că a este inversabil. Deci p este ireductibil.
Presupunem că q este ireductibil și q|ab. Fie . Cum d|q rezultă că d este inversabil sau d este asociat în divizibilitate cu q. În cazul că d este inversabil, atunci și deci și cum q|ab rezultă că q|b. Dacă q este asociat în divizibilitate cu d, atunci q|d și cum d|a rezultă că q|a.
În concluzie q este element prim în R.
OBSERVAȚII:
Într-un domeniu de integritate oarecare, noțiunile de element prim și de element ireductibil sunt în general distincte, așa cum rezultă din exemplul următor:
Considerăm mulțimea care este un subinel în corpul C și funcția N, .
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Este ușor de văzut că dacă Z[i], atunci . De
aici rezultă că . Cum Z Z[i], avem în Z[i] descompunerea: .
Se verifică ușor, folosind funcția , că elementele și sunt ireductibile dar nu sunt prime în Z[i]; într-adevăr să arătăm că 3 este ireductibil. Astfel fie , unde și . Din obținem că și deci =1,3 sau 9. Egalitatea =0 implică și , adică este inversabil. Egalitatea =3 este imposibilă, iar egalitatea =9 implică adică este inversabil. Deci 3 este ireductibil în Z[i].
Similar se arată că sunt ireductibile în Z[i].
Dacă 3 ar fi prim, atunci cum 3 | obținem că 3| sau 3 | adică = sau , cu , deci , contradicție; deci 3 nu este prim în Z[i].
Într-un domeniu de integritate în care oricare două elemente au un c.m.m.d.c., un element este ireductibil dacă și numai dacă este prim. Rezultă de aici că într-un inel euclidian nu există nici o deosebire între conceptele de element ireductibil și element prim. Totuși, pentru anumite
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
inele euclidiene, folosim curent denumirea de element prim (de exemplu pentru Z, Z[i] ) iar pentru altele (Q[X], R[X], C[X]) folosim denumirea de element ireductibil.
EXEMPLE:
Fie Z inelul întregilor. Numerele 2, 3, 5, 7, etc. sunt numere prime și deci ireductibile.
Într-adevăr, să demonstrăm că 2 este număr prim.
Fie 2|ab cu . Atunci cel puțin unul dintre numerele a sau b se divide cu 2, deoarece în caz contrar ab nu se divide cu 2.
Analog se arată și că celelalte numere sunt prime și deci ireductibile.
Fie K corp comutativ.
Atunci în inelul K[X] orice polinom de gradul întâi este ireductibil.
Într-adevăr, dacă este un polinom de gradul întâi, atunci
f =gh și grad (f ) = grad (g) + grad (h) de unde rezultă că grad (g)=1 și grad (h)=0 sau invers și afirmația rezultă din faptul că în K[X] un polinom de gradul zero este inversabil.
Elementul x din K[X] este prim în K[X] deoarece dacă x | fg atunci cel puțin unul dintre polinoamele f sau g se divide cu x.
Dacă K=R (corpul numerelor reale), atunci polinoamele ireductibile din R[X] sunt acelea de gradul întâi și cele de gradul al doilea al căror discriminant este negativ.
Dacă K=C (corpul numerelor complexe), un polinom este ireductibil în C[X] dacă și numai dacă este de gradul întâi.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
În inelul Z[i] – al întregilor lui Gauss, elementul 1+i nu este inversabil. Dacă atunci de unde Deci și , sau invers. Dar din z2=1, avem clar că .
Numărul 2 este ireductibil în Z[i], deoarece iar și sunt neinversabile.
PROPOZIȚIE (P.8)
Fie R un domeniu de integritate.
Dacă sunt elemente prime iar sunt elemente ireductibile astfel încât atunci m=n și există o permutare astfel încât și q sunt asociate, oricare ar fi .
Demonstrație:
Vom proceda prin inducție după n.
Dacă n=1, din egalitatea și din faptul că este ireductibil rezultă că m=1 și deci .
Presupunem că n > 1. Cum | și este prim, există astfel încât |. Cum este ireductibil, rezultă că și sunt asociate.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Renumerotând elementele putem presupune că și sunt asociate. Deci =u, unde . Înlocuind pe în egalitatea din enunț obținem , adică . Cum este ireductibil, putem aplica ipoteza de inducție.
Deci n – 1 = m – 1, adică n = m și abstracție făcând de o renumerotare a elementelor avem că , oricare ar fi i > 2.
Cum u este inversabil, avem . Deci oricare ar fi i 1.
PROPOZIȚIE (P.9)
Fie R un domeniu de integritate și .
Dacă elementul ab este un produs de elemente prime, atunci a și b sunt produse de elemente prime (sau inversabile).
Demonstrație:
Presupunem că ab = , unde sunt elemente prime.
Vom proceda prin inducție după n.
Dacă n=1, atunci ab =. Cum este ireductibil, atunci a și b este inversabil sau b.
În primul caz a este prim; în cel de-al doilea caz b este prim.
Presupunem că n > 1. Cum |ab rezultă că |a sau |b. să presupunem că |a; atunci și înlocuind obținem că , adică
bc =.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Aplicând ipoteza de inducție rezultă că b și c sunt produse de elemente prime (sau inversabile) și deci a este un produs de elemente prime.
DEFINIȚIE: (D.10)
Un domeniu de integritate R se numește factorial , dacă orice element nenul și neinversabil al lui R este un produs de elemente prime ale lui R. Deoarece relația de asociere este o relație de echivalență pe mulțimea R, putem vorbi de un sistem de reprezentanți de elemente prime pe care îl vom nota cu . Acest sistem de reprezentanți are următoarele proprietăți:
Dacă atunci și sunt asociate în divizibilitate;
Dacă p este un element prim al lui R, atunci există un astfel încât p ( este unic)
De exemplu, în inelul Z, un sistem de reprezentanți de elemente prime poate fi luată mulțimea P = {2,3,5,7,11,…}. Un alt sistem de reprezentanți de elemente prime este mulțimea P’= {-2,-3,-5,-7,-11,…}.
Dacă inelul R este factorial iar este un sistem de reprezentanți de elemente prime, atunci este evident că orice se poate scrie sub forma , unde , și numai un număr finit dintre numerele sunt nenule.
Mai mult conform propoziției P.8 scrierea lui a sub forma este unică, în sensul că numerele sunt unic determinate.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
PROPOZIȚIE (P.10)
Fie R un inel factorial.
Dacă sunt două elemente nenule scrise sub forma , , atunci elementul (respectiv este c.m.m.d.c. (respectiv c.m.m.m.c.) al elementelor a și b.
Demonstrație:
Se vede imediat că d|a și d|b.
Fie astfel încât |a și |b. Deoarece R este factorial, putem scrie , unde și numai un număr finit dintre numerele sunt nenule. Utilizând propoziția P.8, din faptul că |a rezultă că .
Analog, din |b rezultă că și deci , ceea ce implică |d.
Similar se demonstrează că m este c.m.m.d.c. al elementelor a și b.
TEOREMĂ (T.7): caracterizarea inelelor factoriale
Fie R un domeniu de integritate. Următoarele afirmații sunt echivalente:
R este factorial;
Orice element nenul și neinversabil din R se scrie în mod unic ca un produs de elemente ireductibile;
Orice element nenul și neinversabil din R este un produs de elemente ireductibile și orice element ireductibil este prim;
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Orice element nenul și neinversabil din R este un produs de elemente ireductibile și pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c. (sau c.m.m.m.c.);
Orice ideal prim nenul al lui R conține un element prim;
a) Orice lanț ascendent de ideale principale este staționar, adică, dacă: este un lanț ascendent de ideale principale, există un n astfel încât: ;
b) Intersecția a două ideale principale este un ideal principal.
Demonstrație:
Rezultă din propoziția P.8.
Trebuie să dovedim că dacă q este ireductibil, atunci q este prim.
Presupunem că q|ab, adică ab = qc. Dar , , , unde , , sunt elemente ireductibile. Din egalitatea și din faptul că scrierea unui element ca produs de elemente ireductibile este unică, rezultă că există sau astfel încât q sau q și deci q|a sau q|b. Deci q este prim.
Este evidentă.
Rezultă din propoziția P.10.
Rezultă din teorema T.6.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Dacă este un ideal prim nenul al lui R, atunci există , . Cum a este neinversabil, atunci , unde sunt elemente prime. Cum , rezultă că există astfel încât .
Notăm: și a este produs de elemente prime}.
Este clar că S este un sistem multiplicativ închis.
Pentru a încheia demonstrația este suficient să arătăm că dacă atunci . Prin reducere la absurd presupunem că . Din propoziția P.9 rezultă că Ø. Înseamnă că aplicând lema lui Zorn, există un ideal maximal cu proprietatea Ø și .
Să dovedim că este un ideal prim.
Fie pentru aceasta astfel încât . Dacă și , atunci S și S (deoarece în cazul că S rezultă că avem și deci Ø).
Rezultă că există de forma cu .
Similar, din faptul că Ø există astfel încât cu . Atunci de unde rezultă că , contradicție. Cum , rezultă că și sunt produse de elemente prime și deci este un produs de elemente prime, adică Ø, contradicție.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Considerăm șirul ascendent de ideale . Atunci rezultă că | oricare ar fi n.
Cum inelul R este factorial, atunci este un produs finit de elemente. Deci are un număr finit de divizori și prin urmare există un astfel încât oricare ar fi și sunt asociate în divizibilitate și deci , .
Ținând cont de teorema T.5 este suficient să dovedim că orice element din R nenul și neinversabil este un produs finit de elemente ireductibile.
Prin reducere la absurd vom presupune că afirmația nu este adevărată și fie a un element de acest fel. Vom nota cu :
și a nu este produs de elemente ireductibile}
Deci Ø. Dacă , atunci în particular, a nu este ireductibil; deci există astfel încât și .
Evident că unul dintre elementele nu aparțin mulțimii X. Să presupunem că . În particular, nu este ireductibil.
Dacă există astfel încât , unul dintre elementele nu aparțin mulțimii X; deci putem presupune că .
Continuând procedeul găsim șirurile de elemente: și astfel încât , unde și . Deoarece , atunci șirul de ideale este strict crescător, deci o contradicție.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Spunem că un inel , neasociat în divizibilitate cu 0 sau 1 (nenul sau neinversabil) se numește ireductibil în inelul A[X] (ireductibil peste A) dacă sau .
Așadar, un polinom f este ireductibil în inelul A[X] dacă, abstracție făcând de asocierile în divizibilitate, singurii săi divizori în acest inel sunt 1 și f.
Evident : „dacă f este ireductibil și , atunci g este ireductibil”.
Se poate introduce și în cazul inelelor de polinoame noțiunea de polinom prim, care ar corespunde noțiunii de element prim dintr-un inel de întregi și s-ar putea face o remarcă: orice polinom prim este ireductibil, reciproca nefiind în general adevărată.
Vom discuta despre inele de polinoame în care este adevărată și reciproca, deci inele în care polinoamele prime coincid cu cele ireductibile și mai mult, în care avem avantajul existenței unei teoreme de tipul teoremei fundamentale a aritmeticii în inelul Z.
DEFINIȚIE: (D.11)
Un inel de polinoame A[X] se numește gaussian (factorial) dacă orice polinom nenul și neinversabil, se descompune în mod unic într-un produs finit de polinoame ireductibile din A[X], unicitatea fiind înțeleasă, abstracție făcând de ordinea factorilor și de asocierile în divizibilitate.
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Următoarea teoremă, datorată lui Gauss, ne asigură de suficiente exemple de inele gaussiene de polinoame.
TEORAMA lui GAUSS
Teorema arată așadar că proprietatea de a fi gaussian (factorial) se transmite de la un inel (domeniu de integritate) la inelul de polinoame asociat.
Reamintim că inelul Z este gaussian, căci aici are loc teorema fundamentală a aritmeticii (orice întreg nenul și neinversabil se descompune în mod unic în factori primi). De asemenea, orice corp comutativ K este în mod banal gaussian. Într-adevăr, într-un corp, orice element este nul sau inversabil, deci nu există elemente nule și neinversabile și deci nici elemente ireductibile. Dar când ipoteza este falsă, implicația este adevărată, astfel că implicația:
nenul și neinversabil se descompune în mod unic în factori ireductibili, este o implicație adevărată, deci K este un inel gaussian.
Ținând seama de cele spuse anterior precum și de teorema lui Gauss, rezultă următoarea CONSECINȚĂ:
INELE EUCLIDIENE:
II.2. ARITMETICA PE INELE EUCLIDIENE
Într-un inel gaussian de polinoame, oricare două polinoame f și g au cel mai mare divizor comun notat (f,g). acesta este determinat abstracție făcând de o asociere în divizibilitate, și se obține din produsul factorilor ireductibili (nu neapărat distincți) comuni celor două polinoame.
Faptul că inelele K[X], unde K este corp comutativ, sunt gaussiene, rezultă însă și altfel, utilizând o proprietate aritmetică mai tare a acestor inele și anume faptul că sunt euclidiene.
Deoarece orice inel K[X], unde K este corp comutativ, este euclidian, putem afla c.m.m.d.c. a două polinoame din acesta, utilizând algoritmul lui Euclid. De asemenea, pe baza algoritmului lui Euclid, se poate arăta și faptul că dacă (f,g)=d, atunci există astfel încât , deci lucruri analoage celor din inelul Z, pe care nu le mai demonstrăm.
TEOREMĂ (T.8): legătura dintre inelele euclidiene și cele gaussiene
Reamintim, de asemenea că, întrucât în K[X] funcționează teorema împărțirii cu rest, se arată ușor următoarea caracterizare:
elementul este rădăcină a polinomului dacă și numai dacă în inelul K[X] (Teorema lui Bézout).
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
– Z,K[X], Z[θ] cu θ
– Inelul întregilor lui Gauss
Inelul (Z,+, ·) este euclidian
Într-adevăr, în acest inel are loc teorema împărțirii cu rest:
dacă Z cu , există Z unic determinate, cu proprietatea:
unde (1)
Evident, considerând funcția ,
aceasta satisface proprietatea din definiția inelelor euclidiene.
Observație: Formula (1) se poate pune sub forma următoare:
unde (2)
În general și nu sunt unic determinate.
Inelul de polinoame într-o singură variabilă K[X] este euclidian.
(K corp comutativ)
Într-adevăr, fie cu . Vom dovedi că există două polinoame astfel încât: , unde grad r < grad g. (3)
Fie și , unde . Vom demonstra că există formula (3), prin inducție după grad f = n:
dacă n < grad g, atunci q = 0 și r = f;
dacă n grad g considerăm polinomul
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Se observă imediat că grad și conform ipotezei de inducție, există polinoamele astfel încât , unde grad grad g sau de unde . Notând și obținem , unde grad r < grad g.
Formula (3) ne sugerează să considerăm funcția N, grad f , care se vede imediat că satisface proprietatea din definiția inelelor euclidiene.
Fie Z și fie o rădăcină a ecuației: (4)
Vom nota ZZ}. Z are următoarele proprietăți:
Z este subinel al lui C și Z Z;
Într-adevăr, dacă Z, atunci putem scrie și deci Z
Deci Z Z. Dacă Z, atunci există numerele întregi astfel încât și există numerele întregi astfel încât .
Dar, cum rezultă că Z.
Pe de altă parte,
.
Dar, cum avem și deci
,
ceea ce arată că Z, adică Z este subinel al lui C.
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Cazuri particulare:
Dacă a=0, b=1, atunci ecuația (4) devine și este rădăcină a acestei ecuații. În acest caz avem inelul:
ZZ}, numit inelul întregilor lui Gauss.
Dacă a=0, b=-2, atunci ecuația (4) devine și este rădăcină a acestei ecuații. În acest caz avem inelul:
ZZ}.
Dacă este cealaltă rădăcină a ecuației (4), avem Z= Z.
Într-adevăr cum Z, rezultă că și din afirmația 1. avem Z și deci Z Z. În mod analog, din obținem și incluziunea Z Z și deci Z= Z.
Notăm cu ; deci .
Dacă și d este un pătrat perfect, atunci Z și deci Z= Z.
Într-adevăr, dacă a este par, atunci este număr întreg par și deci este par, ceea ce ne arată că este număr par.
Dacă a este impar, atunci este număr impar și deci este impar, ceea ce ne arată că este număr par.
În concluzie Z și deci Z= Z.
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Dacă d < 0 sau d > 0 și d nu este pătrat perfect, iar atunci
Z Z}Z}.
Dacă Z, atunci z este de forma unde
Z.
Se observă că avem z = 0 dacă și numai dacă m=n=0.
Într-adevăr, z = 0 implică . Cum este număr
complex(dacă d < 0 ) sau irațional (dacă d > 0 și d nu este pătrat perfect)
atunci și și deci n=0 și m=0.
Notăm prin . Cum Z, atunci
Z. Numărul îl vom numi conjugatul lui z în inelul Z.
se observă că dacă este a doua rădăcină a ecuației (4) și , avem .
Dacă Z, atunci au loc egalitățile:
și (5)
Într-adevăr, pentru și , cu ,Z avem: și .
Vom verifica a doua egalitate din (5), deoarece prima este evidentă.
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Avem și deci
.
Pe de altă parte, cum și , avem:
.
Cum , avem și deci
.
Am obținut astfel egalitatea .
Definim funcția N : Z Z , astfel încât , unde Z.
Dacă , atunci
.
Numărul întreg N(z) îl vom numi norma lui z.
Funcția N are următoarele proprietăți:
N este multiplicativă, adică Z.
.
Dacă Z, atunci .
este evidentă;
și , cum , obținem
.
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Dacă , atunci avem și deci . Cum Q, rezultă că Q, contradicție. Deci n=0 și atunci avem m=0, de unde rezultă că z=0.
U( Z) (adică z este inversabil în inelul Z).
Într-adevăr, dacă U( Z), există U( Z) astfel încât . Cum N este multiplicativă, avem . Cum Z, atunci .
Invers, dacă , atunci . Din rezultă că este inversul lui z.
Definim funcția : Z N, .
Din proprietățile a), b), c) ale funcției N obținem că are proprietățile:
a’) este multiplicativă: ;
b’) ;
c’) Z este inversabil
De exemplu, în cazul inelului întregilor lui Gauss Z, funcția este următoarea: : Z N, .
În continuare vom studia posibilitățile inelului Z de a fi euclidian relativ la funcția .
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Fie Z cu . Avem , unde am notat Cum Z, atunci , unde m, n Z. Dar și atunci, din proprietatea b) avem . Aplicând formula împărțirii cu rest sub forma care este dată în egalitatea (3) obținem:
există Z astfel încât cu și (6)
există Z astfel încât cu . (7)
Atunci .
Notăm și .
Atunci este clar că Z și . (8)
Cum Z și cum , obținem că și Z. Pe de altă parte, cum , aplicând funcția , obținem:
sau , de unde prin simplificare cu obținem: .
Dar cum , folosind inegalitățile din (6) și (7), obținem că:
.
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Deci : . (9)
Dacă , atunci din (9) deducem că . (10)
Fie (11)
Dacă a=0, atunci din (11) rezultă sau , adică sau ;
pentru a=0 și b=1, ecuația (4) devine și deci ; în acest caz obținem inelul întregilor lui Gauss, Z;
pentru a=0 și b=-1, ecuația (4) devine și deci ; în acest caz obținem inelul Z=Z;
pentru a=0 și b=2, ecuația (4) devine și deci ; în acest caz obținem inelul Z Z};
pentru a=0 și b=-2, ecuația (4) devine și deci ; în acest caz obținem inelul Z Z};
Dacă , atunci din (11) rezultă și ;
pentru și b=0 ecuația (4) devine și deci sau ; în acest caz obținem inelul Z=Z;
pentru și b=1 ecuația (4) ia una din următoarele forme: și .
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
în cazul obținem și deci avem inelul Z;
în cazul obținem același inel;
în cazul obținem și deci avem inelul Z;
în cazul obținem același inel;
În concluzie, ținând cont de cele de mai sus și de relațiile (9) și (10), avem următorul rezultat:
TEOREMĂ (T.9)
Inelele Z, Z, Z, Z, Z sunt euclidiene.
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
INELUL ÎNTREGILOR LUI GAUSS
Am văzut mai înainte că dacă este o rădăcină a ecuației:
(4) , unde Z și notăm ZZ}; Z are proprietatea că dacă a=0 și b=1, ecuația (4) devine și este rădăcină a acestei ecuații.
În acest caz avem inelul Z Z}, numit inelul întregilor lui Gauss care, împreună cu funcția : Z N, , este un inel euclidian.
Pentru a demonstra această proprietate a inelului întregilor lui Gauss vom
folosi reprezentarea geometrică a numerelor complexe în plan.
Numărului complex , cu R i se asociază în plan, punctul M de coordonate (a,b). Numerele complexe din mulțimea Z sunt reprezentate în plan prin puncte ale căror coordonate sunt numere întregi. În felul acesta obținem o rețea în plan, ca în figura următoare:
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
Fie Z cu . Fie M un punct în plan asociat numărului complex .
Există un pătrat ABCD din rețea, în care se găsește punctul M.
Dacă A(a,b), atunci Z și A este asociat numărului complex q=a+bi.
Pe de altă parte, cum latura pătratului ABCD este unitatea și cum A a fost ales cel mai apropiat de M, obținem că distanța MA este mai mică decât jumătate din diagonala pătratului ABCD.
Deci:.Dar este egal cu modulul numărului complex .
Deci avem: (12)
Notăm cu . Avem atunci din (12) că sau sau și deci .
În concluzie, avem: cu , (13) ceea ce ne arată și pe această cale că Z este euclidian.
Din această demonstrație rezultă că restul și câtul împărțirii sunt unic determinate.
Într-adevăr, dacă M este centrul pătratului ABCD, atunci putem alege câtul q al împărțirii în egalitatea (13) numărul complex q=a+bi, cu Z pentru care (a,b) să fie coordonatele oricăruia din vârfurile pătratului ABCD.
INELE EUCLIDIENE:
II.3. EXEMPLE DE INELE EUCLIDIENE
EXEMPLU:
– Să considerăm în Z numerele și .
– Avem .
– În figura de mai jos, punctul M este reprezentarea geometrică a numărului
complex și se află poziționat în centrul pătratului ABCD.
Deci putem alege câturile: .
Avem egalitățile:
unde ;
unde ;
unde ;
unde
Se observă ușor că în toate cele patru cazuri avem: .
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
– CRITERIUL LUI EISENSTEIN;
– CRITERIUL DE REDUCȚIE;
– CRITERIUL LUI CAPELLI;
– CRITERIUL LUI SCHÖNEMANN.
Am arătat în paragrafele precedente că inelele K[X] cu K- corp comutativ, sunt gaussiene, deci în aceste inele avem descompunere unică în factori ireductibili. Desigur, o problemă importantă este determinarea polinoamelor ireductibile dintr-un inel de polinoame dat. Există unele criterii – considerate aici generale – care dau condiții suficiente pentru ca un polinom să fie ireductibil.
Ne vom ocupa mai întâi de polinoamele de gradul I.
PROPOZIȚIE (P.11)
În orice inel de polinoame K[X], polinoamele de gradul I sunt ireductibile.
Demonstrație:
Fie K[X] un polinom cu grad ( f )=1.
Dacă K[X] este divizor oarecare al lui f , rezultă , cu K[X]. Trecând la grade, obținem 1= grad ( g )+ grad ( h ), de unde grad ( g ).
Dacă grad ( g )=1, atunci grad ( h )=0, deci h este inversabil și prin urmare . Prin urmare, orice divizor al lui f este asociat în divizibilitate cu 1 sau cu f , ceea ce înseamnă că f este ireductibil.
OBSERVAȚIE: Într-un inel A[X], cu A – domeniu de integritate, afirmația din propoziția precedentă nu este, în general, adevărată.
De exemplu, în Z[X] avem 2X + 4 = 2(X + 2 ) și nici unul din polinoamele 2 sau X + 2 nu este ireductibil.
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
În inelul C[X] are loc și afirmația reciprocă celei din propoziția precedentă, adică orice polinom ireductibil este de gradul întâi.
PROPOZIȚIE (P.12)
În inelul C[X], orice polinom ireductibil este de gradul întâi.
Demonstrație:
Fie C[X] un polinom ireductibil.
Deoarece f este nenul și neinversabil, grad ( f ), conform teoremei fundamentale a algebrei, polinomul f admite cel puțin o rădăcină C.
Atunci , unde C[X].
Polinomul g fiind un divizor comun al polinomului ireductibil f , va fi asociat cu 1 sau cu f. Nu se poate ca g să fie asociat cu f, căci ar însemna că să fie un polinom inversabil, deci de gradul 0, în timp ce grad ( ) = 1.
Rezultă așadar că g este asociat cu 1, deci f și astfel, grad ( f ) = 1.
Așadar, condiția grad ( f ) = 1 este necesară pentru ca polinomul C[X] să fie ireductibil.
PROPOZIȚIE (P.13)
Fie K[X] un polinom cu grad ( f ).
O condiție necesară ca polinomul f să fie ireductibil în K[X] este ca el să nu admită rădăcini în corpul K[X];
Dacă grad ( f ) condiția necesară de la punctul a) este și suficientă, deci f este ireductibil dacă și numai dacă nu are rădăcini în K.
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
Demonstrație:
Să presupunem că f este ireductibil și să arătăm că f nu are rădăcini în K.
Dacă prin absurd f ar avea o rădăcină K, atunci, conform teoremei lui Bézout, cu K[X].
Dar f fiind ireductibil, trebuie ca sau .
Nu putem avea deoarece ar însemna că să fie un polinom inversabil; deci și atunci f , ceea ce înseamnă că f este un polinom de gradul I, acest lucru intrând în contradicție cu ipoteza. Prin urmare f este ireductibil rezultă în mod necesar că f nu are rădăcini în K.
Să presupunem că f (presupus de gradul doi sau trei) nu are rădăcini în K și să dovedim că f este ireductibil în K[X].
Fie K[X] un divizor oarecare al lui f, atunci f=gh cu K[X]. Trecând la grade, obținem: grad ( f ) = grad ( g ) + grad ( h ). (*)
Evident, orice polinom de gradul I din K[X] are o singură rădăcină în K, mai precis, are rădăcina .
Atunci rezultă că nici g, nici h nu poate fi de gradul I, deoarece o eventuală rădăcină din K a lui g sau a lui h este și o rădăcină în K a polinomului f , acest lucru intrând în contradicție cu ipoteza.
Așadar, când : grad ( f ) = 2, avem : grad ( g ) .
dacă : grad ( g ) = 0, rezultă ;
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
dacă grad ( g ) = 2, rezultă grad ( h ) = 0, deci și atunci .
De asemenea dacă grad ( f ) = 3, avem grad ( g ) (nu se poate nici grad ( g ) = 2, căci atunci din (*) obținem grad ( h ) = 1), de unde, se ajunge asemănător că sau .
Deci, orice divizor al lui f este asociat cu 1 sau cu f, deci f este ireductibil în K[X] și este de grad doi sau trei, aceasta fiind suficiența pentru a fi ireductibil în K[X].
Mai facem observația că punctul a) al propoziției demonstrate dă o condiție necesară de ireductibilitate, care nu este în general și suficientă. Astfel polinomul R[X], nu are rădăcini în R, dar aceasta nu este suficiența pentru ca polinomul să fie ireductibil în R[X].
PROPOZIȚIE (P.14)
Polinoamele ireductibile din R[X] sunt polinoame de gradul I și polinoame de gradul al doilea care nu au rădăcini în corpul R.
Demonstrație:
Conform propozițiilor P.11 și P.13, polinoamele de gradul I și cele de gradul al II-lea fără rădăcini în R sunt ireductibile în R[X].
Vom arăta că acestea sunt singurele. Pentru aceasta este suficient să arătăm că orice polinom ireductibil din R[X], având gradul mai mare sau egal decât doi, este în mod necesar un polinom de gradul al doilea, fără rădăcini reale.
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
Fie R[X] ireductibil și cu grad ( f ) . Conform teoremei fundamentale a algebrei, f are o rădăcină C. Nu putem avea R pentru că s-ar contrazice P.13, deci C\R.
Atunci conform teoremei lui Bézout, precum și a faptului că polinoamele și sunt relativ prime, deducem că f se divide cu polinomul:
R[X],
deci există R[X], cu proprietatea f=gh.
Pentru că f este ireductibil, este necesar ca și atunci , adică f este un polinom de gradul al II-lea cu rădăcini complexe, nereale și .
Propozițiile P.12 și P.14 determină precis polinoamele ireductibile din inelele C[X], respectiv R[X].
Pentru inelele Q[X] sau Z[X] nu dispunem de rezultate care să precizeze toate polinoamele ireductibile din aceste inele. Nu cunoaștem nici caracterizări ale tuturor polinoamelor ireductibile din Q[X] sau Z[X].
Se cunosc totuși anumite condiții suficiente pentru ca un polinom Z[X] sau Q[X] să fie ireductibil în aceste inele, condiții care se numesc criterii de ireductibilitate.
Dacă A este un domeniu de integritate și A[X] este un polinom, , spunem că f este un polinom primitiv, dacă c.m.m.d.c. al coeficienților este inversabil (asociat cu 1).
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
Este clar că orice polinom A[X] se scrie ca , unde c( f ) este c.m.m.d.c. al coeficienților, numit conținutul lui f, iar este primitiv.
PROPOZIȚIE (P.15) – Criteriul lui Eisenstein
Fie A un inel euclidian, K corpul fracțiilor sale și polinomul din A[X]. Presupunem că există un element prim cu proprietățile:
p | a0, p | a1,…, p | an-1;
p nu divide an;
p2 nu divide a0.
Atunci polinomul f este ireductibil în K[X].
Demonstrație:
Putem presupune, prin absurd, că f este reductibil în K[X]. Deoarece f este primitiv, rezultă că el este reductibil în A[X].
Fie atunci f=gh, cu A[X] unde: , iar , .
Prin identificarea coeficienților polinoamelor f și gh obținem .
Deoarece p | a0, adică p | , rezultă că p | b0 sau p | c0 și cum p2 nu divide a0 avem că p nu divide în același timp și pe b0 și pe c0.
Să presupunem că p | b0 și că p nu divide c0. Deoarece p nu divide an este clar că polinomul g are coeficienți care nu se divid cu p. Fie i minim astfel încât p | și să considerăm : .
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
Deoarece p | b0, p | b1,…, p | bi-1 rezultă că p | și cum p nu divide avem evident că p nu divide , , contradicție.
Deși criteriul lui Eisenstein este destul de restrictiv, prin ipotezele sale, el ne permite să punem în evidență o clasă numeroasă de polinoame ireductibile.
EXEPMLE:
Polinoamele , cu p număr prim, sunt ireductibile.
În concluzie, în Z[X] și Q[X] există o infinitate de polinoame ireductibile.
Uneori, criteriul lui Eisenstein nu se aplică direct, de exemplu:
Fie p un număr prim. Polinomul , cu coeficienți întregi, este ireductibil în Q[X].
Sub această formă nu putem aplica criteriul lui Eisenstein pentru a arăta că f este ireductibil în Q[X]; se vede însă imediat că polinomul este ireductibil.
Cum obținem că :
= . Deoarece p este prim, avem că p | oricare ar fi și deci, conform criteriului lui Eisenstein g este ireductibil și în consecință f este ireductibil.
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
PROPOZIȚIE (P.16) – Criteriul de Reducție
Fie A și B două inele euclidiene, un morfism unitar de inele, morfismul de inele care extinde pe (dacă , atunci ).
Presupunem că f este un polinom primitiv în A[X], astfel încât grad ( f ) = grad () și este ireductibil în B[X].
Atunci polinomul f este ireductibil în A[X].
Demonstrație:
Presupunem prin absurd că f este reductibil în A[X], adică f=gh cu , iar g și h nu sunt inversabile în A[X].
Cum f este primitiv, atunci nu trebuie ca grad ( g ) și grad ( h ).
Din egalitatea f=gh rezultă că .
Cum grad () și grad (),
iar grad ()=grad ( f ), rezultă că grad ()și grad ().
Deci nu este ireductibil în B[X], contradicție.
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
CONSECINȚĂ:
Fie p un număr prim, un polinom primitiv din Z[X] și polinomul din Zp[X], astfel încât este clasa de resturi a lui (modulo p), cu . Dacă grad ( f ) = grad ( ) și este ireductibil, atunci f este de asemenea, ireductibil.
APLICAȚIE:
Fie Z[X] și p=2.
Avem Z2[X]. Polinomul este ireductibil în Z2[X]. Într-adevăr, De aici rezultă că f nu are divizori de gradul I. Dacă , prin identificarea coeficienților se obține: 1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
De aici obținem și , care înlocuite în relațiile 2) și 4) ne dau : , de unde , contradicție. Deci este ireductibil în Z2[X], de unde rezultă că f este ireductibil în Z[X] și chiar în Q[X].
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
PROPOZIȚIE (P.17) – Criteriul lui Capelli
Polinomul Q[X], de grad mai mare sau egal cu doi, este ireductibil în Q[X] dacă și numai dacă sunt îndeplinite simultan condițiile:
1. , pentru orice d > 1, divizor al lui n ;
2. Dacă n = 4k, atunci .
Criteriul lui Capelli este o condiție necesară și suficientă de ireductibilitate în Q[X], dar numai pentru polinoamele de o formă particulară.
Folosind, de exemplu, criteriul lui Eisenstein sau cel al lui Capelli, putem afirma că polinoamele de forma (număr prim), sunt ireductibile în Q[X].
Cu ajutorul criteriului lui Eisenstein sau cu cel al lui Capelli, putem afirma că polinomul ciclotomic:
( p – prim, p>0) este ireductibil în Q[X].
Acest lucru nu se face direct, aplicând criteriul lui Eisenstein polinomului , ci se aplică acest criteriu polinomului , iar din ireductibilitatea polinomului f rezultă ușor ireductibilitatea lui . De altfel, orice polinom ciclotomic (unde p nu este neapărat număr prim) este ireductibil în Q[X].
Un fapt interesant legat de ireductibilitatea polinoamelor în Z[X] este algoritmul dat de L. Kronecker, conform căruia, fiind dat un polinom Q[X], se poate decide într-un număr finit de pași, dacă acesta este ireductibil în acest
inel, totodată putându-se obține și descompunerea în factori ireductibili în Z[X].
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
Din păcate, numărul pașilor în acest algoritm, deși finit, este foarte mare, ceea ce face ca algoritmul lui Kronecker să fie practic inaplicabil.
De asemenea, atragem atenția în mod expres asupra necesității menționării inelului de polinoame în care se lucrează, deoarece proprietatea unui polinom de a fi ireductibil este relativă la inelul de polinoame în care este gândit acest polinom. Astfel, dacă sunt două domenii de integritate, ambele fiind corpuri sau ambele nefiind corpuri, avem evident , iar dacă este un polinom ireductibil în inelul , el poate să-și piardă această proprietate în inelul .
De exemplu, este ireductibil în R[X], dar nu mai este ireductibil în C[X], deoarece în acest inel avem .
PROPOZIȚIE (P.18) – Criteriul lui Schönemann
Fie un număr prim, iar Z[X] un polinom unitar de forma , unde Z[X], N*. Dacă f este ireductibil în Z[X] și f nu-l divide pe g, atunci este ireductibil în Z[X].
Demonstrație:
Să remarcăm că grad (g)<n grad(f ) și f este un unitar deoarece F este unitar și presupunem că ar exista Z[X] astfel încât și .
Trecem la polinoame reduse modulo p și obținem: .
Cum este ireductibil în Z[X], rezultă că:
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
și , unde .
Prin urmare, avem: , unde Z[X], cu grad ()< grad(f ) (pentru că F este unitar).
Deci , de unde obținem .
Dacă , rezultă că , unde Z[X] și ar divide pe , contradicție. Atunci sau , adică sau , deci F este ireductibil în Z[X].
APLICAȚII:
Polinomul este ireductibil în Z[X].
Soluție:
Considerăm polinoamele și .
Atunci este ireductibil în Z5[X], iar nu se divide prin în Z5[X], deci este ireductibil în Z[X].
INELE EUCLIDIENE:
II.4. CRITERII DE IREDUCTIBILITATE
PENTRU POLINOAME
Fie un număr prim de forma p=4k+3 și a,bZ astfel încât p divide a, p divide b-1 și nu divide pe a ori nu divide pe b-1. Atunci polinomul este ireductibil în Z[X].
Soluție:
Avem , unde
, unde .
Atunci este ireductibil în Zp[X], iar g nu se divide prin f, deoarece nu se divide prin în Z[X].
Din criteriul lui Schönemann rezultă că este ireductibil în Z[X].
APLICAȚII:
Am constatat din cele arătate anterior, că noțiunea de inel euclidian poate fi extinsă și în cadrul altor inele, ce ne permit să construim și pentru ele o anumită aritmetică. Deci răspunsul la întrebarea : Există și alte mulțimi de numere sau de altă natură, pentru care se pot da teoreme de împărțire cu rest, ce ne permit să construim și pentru ele o anumită aritmetică? este afirmativ, conceptul matematic justificativ fiind cel de inel euclidian.
APLICAȚIA 1
Să se arate că Z este inel euclidian.
Soluție:
Fie funcția normă ZN,
Pentru Z avem:
Trebuie să determinăm numerele astfel încât .
Considerăm și ;
Deci Q.
Există Z astfel încât
Astfel egalitatea devine: de unde
.
Notăm cu și arătăm că .
APLICAȚII:
, deci
Dacă , atunci
Dacă , atunci și avem
În concluzie, unde și .
Deci, inelul Z este inel euclidian.
APLICAȚIA 2
Să se arate că Z este inel euclidian.
Soluție:
Pentru definim ZN , .
Fie Z, cu
Se verifică ușor prin calcul că .
Ca și în aplicația precedentă, există r, s, m, n, cu aceleași proprietăți și, deci:
cu Q și Z.
Avem astfel: , de unde rezultă că:
.
Deci,
În concluzie Z este inel euclidian.
APLICAȚII:
APLICAȚIA 3
Să se demonstreze că Z nu este inel euclidian.
Soluție:
Este suficient să arătăm că există în acest inel un element ireductibil, care nu este prim. În acest sens avem: .
Să demonstrăm că 2 este ireductibil în Z.
Fie ZN , .
Presupunem că 2 este reductibil, deci există astfel încât 2 = .
Aplicând funcția obținem:
Dacă este inversabil în Z, deci 2 este ireductibil;
Dacă este inversabil, deci 2 este ireductibil;
Dacă și , ultima egalitate fiind imposibilă.
Să demonstrăm acum că 2 nu este prim în Z.
Presupunem că 2 este prim.
Deoarece 2 | avem că 2 | sau 2 | ;
Dacă 2 | , există astfel încât =, de unde 2a=1 și 2b=1;
Dar Z, deci egalitățile precedente nu pot avea loc.
Analog se procedează și în cazul 2 | , obținând tot o contradicție.
În concluzie, 2 este ireductibil dar nu este prim în Z.
APLICAȚII:
APLICAȚIA 4
Fie N, astfel încât N, n – impar.
Atunci inelul Z nu este inel euclidian.
Soluție:
Vom arăta că elementul 2 este ireductibil dar nu este prim.
și cum n este impar, rezultă că n+1 este par, deci 2 |( n+1) 2 |.
Urmând aceeași cale ca în aplicația anterioară, avem că 2 nu divide și 2 nu divide , deci 2 nu este prim în Z.
Presupunem că 2 este reductibil , deci există Z astfel încât .
Aplicând funcția obținem :
.
Dacă atunci x este inversabil , deci 2 este ireductibil în inelul dat.
Dacă atunci și , ultima egalitate fiind imposibilă.
Dacă atunci , deci y este inversabil, adică 2 este ireductibil în Z.
În concluzie, în inelul Z, elementul 2 este ireductibil dar nu este prim. Deci Z nu este inel euclidian.
APLICAȚII:
APLICAȚIA 5 ( Teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi )
Dacă Z , , atunci există Z, astfel încât , cu . Mai mult q,r sunt unic determinate.
Demonstrație: Existența
Dacă există Z, astfel încât , atunci punem r = 0.
Presupunem deci că , oricare ar fi Z.
Considerăm mulțimea N Z, astfel încât .
Este evident faptul că Ø.
Cum N este bine ordonată, există în A un cel mai mic element; fie acesta r.
Există deci Z astfel încât .
Cum , avem că .
Să demonstrăm că .
Presupunem prin reducere la absurd că .
Dacă , atunci .
Notăm sgn
Avem sgn b și sgn b sau sgn b)b.
Fie sgn b)b, ; avem ceea ce contrazice alegerea lui r de cel mai mic element din A.
Dacă , atunci și deci b(q – sgn b) – a.
Rezultă că sgn b)b.
Dar cum , se contrazice iarăși alegerea lui r. În concluzie, .
APLICAȚII:
Deci, dacă , avem și , ceea ce ne arată că q este câtul și r este restul.
Dacă , avem și deci
.
Cum , scăzând r în ambii membrii, obținem .
Notând cu și cu , avem , .
Unicitatea
Presupunem că avem două scrieri:
, și , .
Prin scădere obținem: , deci .
Dacă atunci .
Din relațiile: și rezultă că , contradicție.
Prin urmare și atunci .
Folosind faptul că , obținem .
În concluzie scrierea: , este unică.
OBSERVAȚIE
Pe baza acestei teoreme se construiește Algoritmul lui Euclid – de determinare a c.m.m.d.c. a două sau mai multor numere întregi, precum și teorema de descompunere în factori primi a numerelor întregi cunoscută ca Teorema fundamentală a aritmeticii.
APLICAȚII:
APLICAȚIA 6
Dacă a este divizor al lui b și c, atunci este divizor și al lui , unde Z.
Soluție:
Din a|b;
a|c;
Dacă adunăm cele două egalități membru cu membru, obținem:
, adică a|(b+c).
Dacă scădem cele două egalități membru cu membru, obținem:
, adică a|(b-c).
APLICAȚIA 7
Dacă a este divizor al lui b și c, oricare ar fi numerele naturale x și y, a va fi divizor și pentru bx+cy.
Soluție:
Din a|b;
a|c;
Înmulțind prima egalitate cu x și a doua cu y, obținem:
;
;
Adunăm membru cu membru și obținem: |.
APLICAȚII:
APLICAȚIA 8
Dacă a este divizor al lui b și b este divizor al lui c, atunci a este divizor al lui c.
Soluție:
Din a|b;
b|c;
Înlocuind, obținem: |c.
APLICAȚIA 9
Dacă N , a|b și b|a atunci a = b.
Soluție:
Din a|b;
b|a;
Substituind în prima egalitate pe a, obținem:
|: b;
N
APLICAȚII:
PROBLEME REZOLVATE:
Aflați numerele N, – prime, astfel încât 3a+2b+4c=60.
Soluție:
|3a Dar cum a este prim,
avem că a=2. De aici deducem că:
, de unde . Observăm că , deoarece ar
rezulta că 2c=25 (imposibil).
Dacă :
Soluțiile problemei sunt: (2,5,11); (2,13,7); (2,17,5); (2,23,2).
Să se arate că la orice număr natural de trei cifre, la care cifra zecilor este media aritmetică a cifrelor unităților și sutelor, adunându-se o singură dată numărul dat de cifra unităților, se obține un număr divizibil cu 7.
Soluție:
Fie și
.
|.
APLICAȚII:
Se consideră fracția: N*. Arătați că fracția este ireductibilă.
Soluție:
Presupunem că există d astfel încât:
d| și d| . De aici deducem:
d| și d|,
d||1, adică fracția este ireductibilă.
Să se găsească numerele naturale p astfel încât numerele p, să fie simultan prime.
Soluție:
Orice număr natural p prim, are una dintre formele:
5k, 5k+1, 5k+2, 5k+3, 5k+4.
Vom demonstra că p are forma 5k și cum p este prim rezultă că p = 5.
Dacă p =5k+1
.
Dacă p =5k+2
.
Dacă p =5k+3
.
Dacă p =5k+4
.
Deci p=5k , p prim .
BIBLIOGRAFIE:
C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Bazele algebrei, Editura Academiei, București, 1984.
C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Aritmetică și algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993.
C. Năstăsescu, C. Niță, Ion D. Ion, Complemente de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.
C. Niță, Ion D. Ion , Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984.
V. Pop(coord.), V. Lupșor(coord.), L. Iepure, I. Groza, V. Șeredean, Matematică pentru grupele de performanță, Editura Dacia Educațional, Cluj-Napoca, 2004.
BIBLIOGRAFIE:
C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Bazele algebrei, Editura Academiei, București, 1984.
C. Năstăsescu, C. Niță, C. Vraciu, Aritmetică și algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1993.
C. Năstăsescu, C. Niță, Ion D. Ion, Complemente de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983.
C. Niță, Ion D. Ion , Probleme de algebră, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1984.
V. Pop(coord.), V. Lupșor(coord.), L. Iepure, I. Groza, V. Șeredean, Matematică pentru grupele de performanță, Editura Dacia Educațional, Cluj-Napoca, 2004.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Inele Euclidiene (ID: 162607)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.