Inele DE Polinoame

CUPRINS

– Introducere…………………………………………………………………4

Cap. I – ELEMENTE DE TEORIA INELELOR

§I.1. Inele si morfisme de inele……………………………………….6

§I.2.Inele euclidiene…………………………………………………13

§I.3. Inele principale…………………………………………………19

§I.4. Inele factoriale…………………………………………………24

Capitolul II: INELUL POLINOAMELOR DE O NEDETERMINATA PESTE UN CORP ARBITRAR

§II.1. Polinom de o nedeterminata peste un corp K…………………34

§II.2. Relatia de divizibilitate in inelele de polinoame………………39

§II.3. Algoritmul impartirii cu rest in inelele de polinoame…………42

§II.4. Descompunerea in factori ireductibili in inelul K[X]…………47

Capitolul III. INELUL DE POLINOAME C[X]

Proprietati……………………………………………………………50

Capitolul IV. INELUL POLINOAMELOR R[X]

§IV.1. Proprietati…………………………………………………….62

§IV.2. Proprietati referitoare la existenta radacinilor reale ale polinoamelor din R[X]………………………………………………64

Capitolul V. INELELE DE POLINOAME Q[X] si Z[X]

§V.1. Proprietati……………………………………………………..73

§V.2. Radacinile polinoamelor din Z[X]……………………….74

Capitolul VI. POLINOAME ORTOGONALE

Polinoamele lui Legendre……………………………………………78

Polinoamele lui Hermite…………………………………………….81

Polinoamele lui Cebisev…………………………………………….84

Capitolul VII. POLINOAME DE MAI MULTE NEDETERMINATE PESTE UN CORP OARECARE…………………………………………..88

Capitolul VIII. APLICAȚII………………………………………………..91

Bibliografie……………………………………………………………112

Introducere

Studiul polinoamelor si al ecuatiilor algebrice prezinta un interes deosebit, datorita importantei lor pe plan teoretic precum si a multiplelor aplicatii.

Lucrarea realizeaza o prezentare sistematica a problemelor fundamentale din teoria polinoamelor, cum ar fi constructia inelului de polinoame peste un corp arbitrar, proprietatile acestui inel, precum si caracterizarea unor inele de polinoame cu coeficienti din multimi particulare, cu prezentarea proprietatilor specifice fiecarei structuri. Apar rezultate clasice importante, mai putin atinse de programele analitice din liceu, cu exemplificari multiple si aplicatii reprezentative.

Primul capitol reprezinta introducere in teoria inelelor cu definitiile si proprietatile acestora, precum si cu exemplificari.

In al doilea capitol am prezentat constructia inelului de polinoame de o nedeterminata peste un corp arbitrar, am studiat relatia de divizibilitate in acest inel de polinoame, algoritmul impartirii cu rest si descompunerea in factori ireductibili.

In capitolul al treilea am studiat inelul de polinoame cu coeficienti din C, prezentind teorema fundamentala a algebrei, teorema lui Euler, precum si unele proprietati deosebite ale acestuia.

In capitolul al treilea am studiat inelul de polinoame R[X], prezentind o serie de proprietati referitoare la existenta radacinilor reale prin teoremele lui Descartes, teorema lacunelor, teorema Budan-Fourier, etc.

In capitolul al patrulea am studiat inelele de polinoame Q[X] si Z[X] cu prezentarea proprietatilor caracteristice ce le disting de celelalte clase de polinoame.

In capitolul V am prezentat cateva familii de polinoame speciale din K[X], anume clasa polinoamelor ortogonale, demonstrand proprietatile lor fundamentale.

In finalul lucrarii am prezentat inelul polinoamelor de mai multe nedeterminate peste un corp oarecare.

Ultimul paragraf contine o prezentare sistematizata a aplicatiilor curente din programa de liceu, constituind un veritabil ghid pentru cei interesati in rezolvarea problemelor din manuale si culegeri de probleme.

Capitolul I. ELEMENTE DE TEORIA INELELOR

§I.1. INELE ȘI MORFISME DE INELE

Mulțimea Z a numerelor întregi înzestrată cu operațiile de adunare și de înmulțire a servit ca bază aritmeticii, dar și algebrei, în care, prin preluarea diferitelor proprietăți ale acestei mulțimi, s-au construit structuri noi.

Definiție. Se numește inel, o mulțime nevidă R, înzestrată cu două legi de compoziție notate de obicei aditiv si multiplicativ astfel încât:

R are o structură de grup abelian în raport cu legea aditivă;

R are o structură de semigrup în raport cu legea multiplicativă;

legea multiplicativă este distributivă în raport cu legea aditivă.

Pentru a nu complica scrierea, atunci când este posibil, vom folosi notațiile “+” și “·” pentru cele două legi de compoziție, prin analogie cu cele două operații din mulțimea numerelor întregi. Convenim de asemenea să scriem ab în loc de a · b. Elementul neutru al operației aditive îl vom nota cu 0. Simetricul elementului a îl notăm –a și îl numim opusul lui a, iar în loc de a +(-b) îl notăm pe scurt a – b. Condiția c) din definiție se scrie:

a(b + c) = ab + ac și (a + b)c = ac + bc,

pentru orice elemente a, b, c ale inelului R.

Un inel în care operația multiplicativă are element unitate va fi numit inel cu unitate sau inel unitate iar elementul său unitate, atunci când nu există pericolul unei confuzii, va fi notat cu 1.

Dacă legea de compoziție multiplicativă a inelului R este comutativă, atunci R se numește inel comutativ.

Pe o mulțime R formată dintr-un singur element a se poate defini o singură structură de inel, punând a + a = a · a = a. În acest caz a = 1 = 0 și se numește inel nul. Un inel care conține cel puțin două elemente se numește inel nenul.

Dacă R este un inel unitar, atunci elementele lui R simetrizabile în raport cu operația multiplicativă se numesc elemente inversabile sau unități ale inelului. Inversul sau simetricul lui a se notează a-1. Mulțimea unităților inelului se notează cu U(R) și, așa cum este cunoscut din cazul monoizilor, U(R) are o structură de grup în raport cu operația multiplicativă. Acest grup va fi numit grupul multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului R. Elementul unitate 1 al inelului R este una din unitățile inelului R și are rol de element neutru în grupul U(R).

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecințe care de obicei sunt numite reguli de calcul într-un inel.

Propoziție. Dacă R este un inel, atunci:

a0 = 0a = 0, pentru orice a R;

a(-b) = (-a)b = -(ab) și (-a)(-b) = ab, pentru orice a,b R;

a(b – c) = ab – ac și (a – b)c = ac – bc, pentru orice a, b, c R;

a = abi, b = aib, unde n N, a, b, a1,…,an, b1,…,bn R. În particular a(nb) = (na)b = n(ab);

· = aibj, unde n, m N, a1,…,an, b1,…,bn R;

Dacă R este un inel comutativ, a și b sunt elementele din R și n N, atunci are loc formula binomului lui Newton:

(a + b)n = an-ibi.

Demonstrație. Din relația 0 + 0 = 0 rezultă a(0 + 0) = a0 sau a0 + a0 = a0 și adunând în ambii membri –(a0) se obține a0 = 0. Analog se demonstrează relația 0a = 0. Din relația b + (-b) = 0 rezultă a(b + (-b)) = a0 sau ab + a(-b) = 0, de unde a(-b) = -(ab). Analog se arată că (-a)b = -(ab). Dacă în ultima relație înlocuim b cu –b și ținem seama de proprietatea -(-x) = x, obținem

(-a)(-b) = -(a(-b)) = -(-(ab)) = ab.

Relația 3) se obține prin calcul:

a(b – c) = a(b + (-c)) = ab + a(-c) = ab + (-(ac)) = ab – ac.

Relația 4) se demonstrează prin inducție după n N. Pentru n = 0, relația devine a · 0 = 0. Presupunând egalitatea adevărată pentru un număr natural n,

a = a = abi + abn+1 = abi + abn+1 = abi.

Relația se demonstrează prin inducție după m, iar relația 6) se demonstrează prin inducție după n.

Dacă în inelul unitar R, 1 = 0 atunci R este inel nul. Într-adevăr, pentru orice element a R, avem:

a = 1 · a = 0 · a = 0.

Prin urmare, condiția 1 = 0 este necesară și suficientă ca un inel să fie nul.

Dacă pentru inelul unitar nenul R are loc relația U(R) = R \ {0} , atunci spunem că R se numește corp comutativ.

Din propoziție, rezultă că dacă in produsul ab , unul din factori este 0, atunci produsul este 0. Este posibil și cazul în care produsul este 0 fără ca vreunul din factorii săi să fie 0. Acești factori se numesc divizori ai lui zero. Mai precis:

Definiție. Elementul a R se numește divizor la stânga (la dreapta) al lui zero dacă există b B, b 0, astfel încât ab = 0 (ba = 0).

Dacă inelul R este comutativ, atunci noțiunile de divizor la stânga și divizor la dreapta al lui zero coincid.

Dacă a R nu este divizor la stânga (la dreapta) al lui zero și b,c R, atunci ab = ac (ba = ca) rezultă b = c. Într-adevăr, din ab = ac se obține a(b – c) = 0, de unde b – c = 0 sau b = c. Analog se demonstrează și pentru cazul al doilea.

Definiție. Un inel R nenul comutativ, unitar și fără divizori ai lui zero diferiți de zero se numește domeniu de integritate sau inel integru.

Din observația precedentă rezultă că într-un domeniu de integritate, ambii membri ai unei egalități pot fi simplificați prin același element nenul.

Să considerăm câteva exemple pentru noțiunile definite până aici.

1o. Mulțimea Z a numerelor întregi în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire este un inel integru. Unitățile acestui inel sunt 1 și –1.

2o. Mulțimile Q, R, C în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire sunt corpuri comutative.

3o. Mulțimea Z[i] = {z C | z = m + ni , m, n Z} în raport cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor complexe este un domeniu de integritate. Unitățile acestui inel sunt +1, -1, +i, -i. Inelul Z[i] poartă numele de inelul întregilor lui Gauss. Așa cum vom vedea în capitolul V, inelul Z[i] mai are și alte proprietăți asemănătoare cu proprietățile inelului Z.

4o. Fie A și B două inele în care operațiile sunt notate cu “+” și “·”. Produsul cartezian A x B se poate înzestra în m od natural cu o structură de inel definind:

(a,b) + (c,d) = (d + c,b+d)

(a,b) · (c,d) = (ac,bd).

Verificarea axiomelor structurii de inel a lui A x B nu prezintă nici o dificultate. Inelul obținut se numește produsul direct al inelelor A și B. Perechea (0,0) este elementul neutru la adunare al inelului A x B. Dacă a A, b B, atunci elementele (a,0) și (0,b) sunt divizori ai lui zero în inelul A x B. Într-adevăr, (a,0) · (0,b) = (0,b) · (a,0) = (a0,0b) = (0,0). Dacă A și B sunt inele unitare, atunci A x B este inel unitar și elementul său unitate este (1,1). În această pereche primul 1 reprezintă elementul unitate al lui A iar cel de-al doilea 1 reprezinta elementul unitate al lui B. De asemenea, dacă A și B sunt inele comutative, atunci produsul direct A x B este un inel comutativ iar produsul direct a două corpuri nu este un corp. Este interesant de văzut cum arată unitățile inelului A x B.

Propoziție. Dacă A și B sunt inele unitare, atunci

U(A x B) = U(A) x U(B).

Demonstrație. Dacă a U(A) și b U(B) iar a-1 A și b-1 B sunt inversele acestor elemente în A, respectiv în B, atunci (a,b) · (a-1,b-1) = (aa-1,bb-1) = (1,1). Dacă (a,b) U(A x B), atunci există (c,d) A x B pentru care (a,b) · (c,d) = (1,1) = (c,d) · (a,b). De aici rezultă ac = ca = 1 și bd = db = 1, adică a U(A) și b U(B) iar a-1 = c și b-1 = d.

5o. Fie R un inel și M o mulțime oarecare nevidă. Mulțimea RM a funcțiilor definite pe M și cu valori în inelul R se poate înzestra în mod natural cu o structură de inel, definind următoarele operații, pentru f și g RM.

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x).

Elementul neutru al acestui inel este funcția 0: M R, definită prin 0(x) = 0, pentru orice x M. Funcția –f: M R, definită prin (-f)(x) = -f(x), pentru orice x M este opusa lui f (în raport cu structura aditivă definită pe RM). Dacă R este inel unitar, atunci și RM este inel unitar, având ca element unitate funcția i: M R, definită prin i(x) = 1, pentru orice x M. Dacă M conține cel puțin două elemente, atunci în RM există divizori ai lui zero. Într-adevăr, fie a M fixat și funcțiile f,g: MR, definite prin:

f(x) = g(x) =

Funcțiile f și g sunt divizori ai lui zero, deoarece f,g o și fg = 0.

6o. Fie R un inel comutativ și unitar și N mulțimea numerelor naturale. În afara structurii de inel definite la 5o, mulțimea RN se poate înzestra cu o structură deosebit de importantă. Operația aditivă se păstrează cea definită la 5o, iar ca operație multiplicativă se consideră următoarea:

(fg)(n) = f(i)g(j).

Definiție. Fie A și B două inele. O funcțB pentru care (a,b) · (c,d) = (1,1) = (c,d) · (a,b). De aici rezultă ac = ca = 1 și bd = db = 1, adică a U(A) și b U(B) iar a-1 = c și b-1 = d.

5o. Fie R un inel și M o mulțime oarecare nevidă. Mulțimea RM a funcțiilor definite pe M și cu valori în inelul R se poate înzestra în mod natural cu o structură de inel, definind următoarele operații, pentru f și g RM.

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x).

Elementul neutru al acestui inel este funcția 0: M R, definită prin 0(x) = 0, pentru orice x M. Funcția –f: M R, definită prin (-f)(x) = -f(x), pentru orice x M este opusa lui f (în raport cu structura aditivă definită pe RM). Dacă R este inel unitar, atunci și RM este inel unitar, având ca element unitate funcția i: M R, definită prin i(x) = 1, pentru orice x M. Dacă M conține cel puțin două elemente, atunci în RM există divizori ai lui zero. Într-adevăr, fie a M fixat și funcțiile f,g: MR, definite prin:

f(x) = g(x) =

Funcțiile f și g sunt divizori ai lui zero, deoarece f,g o și fg = 0.

6o. Fie R un inel comutativ și unitar și N mulțimea numerelor naturale. În afara structurii de inel definite la 5o, mulțimea RN se poate înzestra cu o structură deosebit de importantă. Operația aditivă se păstrează cea definită la 5o, iar ca operație multiplicativă se consideră următoarea:

(fg)(n) = f(i)g(j).

Definiție. Fie A și B două inele. O funcție f: A B se numește morfism de inele dacă pentru orice a și b din A au loc relațiile:

f(a + b) = f(a) + f(b);

f(ab) = f(a)f(b).

Dacă A este un inel, atunci aplicația identică a lui A, notată 1A este un morfism de inele. Dacă f: A B și g: B C sunt morfisme de inele, atunci g o f : A C este de asemenea morfism de inele.

Din relația i) rezultă că f este în particular un morfism al grupului (A,+) în grupul (B,+) și vor fi verificate relațiile: f(0) = 0 , f(-a) = -f(a) pentru orice a din A.

Un morfism de inele unitare care satisface în plus condiția f(1) = 1 se numește morfism unitar de inele.

Dacă A și B sunt inele unitare și f: A B este un morfism de inele , funcție surjectivă, atunci f este morfism unitar. Într-adevăr, dacă b B atunci există a A, astfel încât f(a) = b. Din egalitățile a · 1 = 1 · a, rezultă b · f(1)=f(1) · b. Din unicitatea elementului unitate al inelului rezultă f(1) = 1.

Definiție. Fie A un inel comutativ unitar, B un inel unitar și : A B un morfism unitar de inele. Se spune că B este o A – algebră de morfism structural dacă pentru orice a A și b B, are loc relația (a)b = b(a).

Corpul C al numerelor complexe este o R – algebră în raport cu morfismul structural i : R C, definit prin i(x) = x, pentru orice x R.

Un morfism de A-algebre este și un morfism unitar de inele. Se vede ușor că prin compunerea a două morfisme de A-algebre se obține tot un morfism de A-algebre.

Dacă : A B este un morfism de inele, atunci nucleul morfismului este, prin definiție, nucleul lui considerat ca morfism al grupurilor aditive. Deci,

Ker = {a A | (a) = 0}.

Un morfism de inele se numește injectiv dacă funcția care îl definește este injectivă. Conform celor demonstrate la morfisme de grupuri, rezultăcă un morfism de inele este injectiv dacă și numai dacă Ker = {0}.

Un morfism de inele : A B se numește izomorfism dacă există un morfism de inele : B A, astfel încât · = 1B și o = 1A. Ca în cazul grupurilor, un morfism de inele este izomorfism dacă și numai dacă este bijectiv. Într-adevăr, un izomorfism este bijectiv. Reciproc, fie : A B un morfism bijectiv de inele. Fie b1, b2 B. Egalitatea -1(b1 + b2) = -1(b1) + -1(b2) este echivalentă cu egalitatea (-1(b1 + b2)) = (-1(b1) + -1(b2)) sau b1 + b2 = (-1(b1)) + (-1(b2)) care este evidentă. Analog se demonstrează și egalitatea -1(b1b2) = -1(b1) · -1(b2).

§I.2.INELE EUCLIDIENE

Definiție. Un inel integru A împreună cu o funcție : A \ {0} N se numește inel euclidian dacă are următoarele două proprietăți:

i) Oricare ar fi elementele nenule a, b A astfel ca a să dividă pe b, rezultă

(a) (b).

ii) Pentru orice a, bA, b 0 există q, r A astfel încât a = bq + r, unde r = 0 sau (r ) < (b).

Se știe atunci că proprietățile i) și ii) din definiția de mai sus sunt verificate. Proprietatea ii) în acest caz se numește teorema împărțirii întregi, denumire pe care o vom păstra pentru orice inel euclidian.

Observăm că în Z este adevărată chiar o afirmație mai precisă decât condiția ii) de mai sus. Anume, pentru a, b 0 numere întregi există q, r Z astfel încât a = bq + r, unde 0 r < b, care este numită de fapt teorema împărțirii întregi.

Orice corp este inel euclidian. Într-adevăr, dacă K este un corp, considerăm funcția : K\0 N, definită prin (a) = 1, pentru orice a K, a 0. Este evident că această funcție are proprietățile i) și ii).

De asemenea, inelul K[X] al polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în corpul K este euclidian dacă consideram drept funcție gradul unui polinom nenul.

Într-adevăr, dacă f, g K[X] sunt polinoame nenule și f | g, atunci g = ff’ cu f’ K[X], deci grad g = grad f + grad f’ și cum grad f’0, rezultă că grad g grad f, ceea ce verifică pe i). Pentru a verifica pe ii) să considerăm f si g doua polinoame din K[X] cu g 0 atunci f = g(g-1f) căci g este element diferit de zero în k, deci inversabil și afirmația este dovedită.

Putem deci presupune că grad g > 0; atunci vom face o inducție după grad f. Dacă grad f < grad g, în particular pentru grad f = 0, din relația f = g(0) + f rezultă ii). Presupunem acum că ii) a fost demonstrată pentru toate polinoamele f cu grad f < n. Fie atunci f un polinom de grad n:

f = a0Xn + a1Xn-1 + ……+ an, a0 0

și să presupunem ca g este un polinom de grad m. Putem presupune că m n, conform celor demonstrate mai sus. Fie:

g = b0Xm + b1Xm-1 +…..+ bm, b0 0

Atunci polinomul

f1 = f – a0b0-1Xn-mg

are gradul cel mai mult n – 1 și din ipoteza inductivă rezultă că există q, r K[X], astfel încât:

f1 = gq + r, r = 0 sau grad r < grad g.

Atunci avem

f = g(a0b0-1Xn-m + q) + r

și polinoamele a0b0-1Xn-m + q și r satisfac condiția ii).

Un alt exemplu de inel euclidian este inelul întregilor lui Gauss Z[i], în care funcția din definiție este norma N. Într – adevăr, din faptul că norma produsului a doua elemente este egală cu produsul normelor acestor elemente rezultă că i) este satisfăcută. Verificam condiția ii). Fie = a + a’i și = b + b’i două elemente din Z[i] cu 0. Atunci considerăm elementul din Q[i]:

-1 = (a + a’i) ,

se scrie sub forma -1 = r + si, cu r, s Q. Fie = c + c’i, unde c și c’ sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respective s și = r – c + (s – c’)i. Avem atunci relația = + și deoarece și Z[i] (fiindcă evident Z[i], avem că 1 = Z[i]. Avem totodată N(1) = N() = N() N() = ((r – c)2 + (s – c)2) N() N(), căci | r – c | și |s – c’| . De aici rezultă că este satisfăcută și condiția ii).

În mod analog, putem sa arătăm că inelul Z[(1 + i)/2] este inel euclidian. Acest inel este cel mai mic subinel al corpului numerelor complexe C care conține elementul (1 + i) / 2. Se vede imediat ca elementele lui Z[(1 + i)/2] sunt toate numerele complexe de forma a +b(1 + i)/2. Corpul de fracții al acestui inel este corpul Q[(1 + i) / 2], care este constituit din toate numerele complexe de forma r + s(1 + i) / 2, cu r, s Q.

Definim norma unui număr din acest corp punând pentru = r + s(1 +i)/2

N()= (r + s(1 +i)/2)(r + s(1 – i) / 2) = r2 + rs + s2.

Se verifică ușor relația:

N() = N() N() pentru orice , Q[(1 + i)/2]. (1)

Evident, restricția lui N la Z[1 +i/2] este o funcție de la acest inel în N. Din relația (1) de mai sus rezultă că proprietatea i) din definiția inelului euclidian este satisfăcută. Pentru a verifica cea de-a doua proprietate, procedăm ca și în cazul inelului întregilor lui Gauss. Fie , două elemente din Z[(1 + i)/2]; atunci elementul -1 Q[(1 + i)/2], deci se scrie sub forma -1 = r + s(1 + i)/2. Fie = c + c’(1 + i)/2, unde c și c’ sunt cele mai apropiate numere întregi de r, respective s și = r – c + (s – c’)(1 + i)/2. Avem atunci relația = + și, deoarece și aparțin lui Z[(1 + i)/2], rezultă că:

1 = Z.

Dar N(1) = N() = N() N() = |(r – c)2 + (r – c) (s – c’) + (s – c’)2|| N()| <| N() | căci | r – c| , | s – c’| . De aici rezultă că este satisfăcută și condiția ii).

Propoziție. Într-un inel euclidian orice doua elemente au un cel mai mare divizor comun și un cel mai mic multiplu comun.

Demonstrație. Pentru a demonstra această propoziție vom utiliza raționamentul care se face de obicei pentru a arăta că pentru Z este adevărată afirmația, adică vom aplica succesiv teorema împărțirii întregi, ceea ce se numește algoritmul lui Euclid. Fie a, b doua elemente din inelul euclidian A. Dacă unul dintre acest elemente este nul, atunci se observă că celalalt este un cel mai mare divizor comunal lor. Deci putem presupune că a 0, b 0. Aplicăm teorema împărțirii întregi elementelor a și b și obținem a = bq1 + r1 unde r1 = 0 sau (r1) < (b), apoi dacă r1 0, aceeași teoremă o aplicăm elementelor b si r1, b = r1q2 + r2, unde r2 = 0 sau (r2) < (r1); dacă r2 0, obținem analog r1 = r2q3 + r3, cu r3 = 0 sau (r3) < (r2) și se continuă mereu dacă restul obținut este diferit de zero. Deoarece șirul (r1) > (r2) >……este un șir descrescător de numere naturale, după un număr finit de pași obținem neapărat un rest nul și atunci obținem niște relații de forma:

a = bq1 + r1 ;

b = r1 q2 + r2 ;

…… (2)

rn-2 = rn-1qn+1 + rn ;

rn-1 = rnqn+2,

unde ri 0, i = 1,…..n. Să arătăm că rn este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b.

Din relațiile (2) se vede că rn divide pe rn-1, apoi că rn divide pe rn-2, rn-3 etc. Deci rn divide pe a și b. Fie acum c un divizor comun al lui a și b. Atunci din relațiile (2) rezultă că c divide pe r1, apoi că c divide pe r2 etc. Adică c divide pe rn. A doua afirmație a propoziției rezultă din cea precedentă și din propoziția 1.9. Din propoziția precedentă și din propoziția 1.15 rezultă:

Corolar. Într-un inel euclidian orice element ireductibil este prim.

De aici deducem că inelul Z[i] nu este inel euclidian căci în § 1 am arătat ca 3 este ireductibil, însă nu este prim în acest inel.

Dacă A este un inel integru care nu este corp, vom arăta în că A[X] nu este euclidian. Totuși o afirmație analoagă proprietății ii) dintr-o definiția anterioară este adevărată și în acest caz.

Propoziție. Fie A un inel și A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în A. Fie

f = amXm + . . . + a0,

g = bnXn + . . . + b0

două polinoame din A[X] de grad m, respectiv n 0, deci bn 0 și k = max (m –n + 1,0). Atunci există polinoamele q și r din A[X] astfel ca

bnkf = gq + r,

cu grad r < n. În plus, bn este nondivizor al lui zero, atunci q și r sunt unic determinate.

Demonstrație. Pentru m < n luăm q = 0, k = 0 și r = f. Pentru m = n = 0, rezultă k = 1 și putem lua q = an, r = 0; pentru m n – 1, k = m – n + 1 și vom demonstra prima afirmație a propoziției prin inducție după m. Pentru m = n – 1, k = 0 și putem lua q = 0 și r = f. Fie m n. Atunci polinomul f1 = bnf – amXm-ng are gradul cel mai mult m – 1, deci există, din ipoteza inductivă, polinoamele q1 și r1, astfel ca

bnm-nf1 = q1g + r1, unde grad r1 < n.

Atunci pentru f este suficient să considerăm q = ambnm-nXm-n + q1 și r = r1.

Să presupunem acum că bkf = q’g + r’. Atunci rezultă (q’ – q)g = r’ – r.

Dacă q’ = q, atunci evident și r’ = r. Daca q’ q, atunci din faptul că bn este nondivizor al lui zero rezultă că gradul polinomului din membrul stâng este n, iar cel din membrul drept < n, absurd.

Menționăm că uneori noțiunea de inel euclidian este dată într-un sens puțin diferit. Anume, un inel integru A împreună cu o funcție q : A N se numește euclidian dacă q are următoarele proprietăți:

q(a) = 0 dacă și numai dacă a = 0;

pentru a, bA, q(ab) = q(a) q(b);

pentru a, bA nenule există q și rA, astfel ca

a = bq + r, cu p( r) < q(b).

Observăm că din 2) rezultă că q satisface prima proprietate dintr-o definiție și deci inel euclidian în sensul definiției de mai sus este euclidian pe sensul definiției anterioare. De asemenea, toate exemplele de inele euclidiene pe care le-am dat satisfac condițiile 1), 2) și 3) de mai sus.

Într-adevăr, pentru Z, Z[i] si Z[(1 + i], norma respective valoarea absolută a normei, satisfac condițiile 1), 2) și 3) după cum am verificat. În cazul unui inel de polinoame cu coeficienți într-un corp, se consideră funcția q(f) = agradf unde a > 1 este un număr întreg si se verifică ușor că are proprietățile 1), 2), 3). La sfârșitul paragrafului următor vom arăta că putem lăsa la o parte condiția i).

Mai menționăm, de asemenea, că în proprietățile demonstrate aici despre inelele euclidiene și într-o teoremă anterioară nu s-au folosit alte proprietăți ale lui N decât faptul că cu ordinea obișnuită N este o mulțime bine ordonată, încât putem să înlocuim pe N cu o mulțime bine ordonată arbitrară.

§I.3. INELE PRINCIPALE

Definiție. Vom numi inel principal sau inel cu ideal principal un inel integru în care orice ideal este principal.

Din această definiție rezultă că corpurile comutative sunt inele principale. De asemenea, inelul întregilor Z este un inel principal. Următoarea teoremă ne dă posibilitatea să dăm si alte exemple de inele principale.

Teoremă. Un inel euclidian este principal.

Demonstrație. Demonstrația acestei teoreme este o generalizare firească a demonstrație faptului că Z este inel principal. Fie A un inel euclidian, : A\{0} N funcția respectivă și I un ideal în A. Vom arăta că I este ideal principal. Dacă I = (0), afirmația este evidentă. Dacă I (0), considerăm submulțimea M = {(a)| a I, a 0} a lui N. Deoarece N este o mulțime bine ordonată, rezultă că există un element bI, b 0 astfel ca (b) să fie elementul minimal în M. Vom arăta că bA = I.

Incluziunea bA I este evidentă, deoarece b I și I este ideal în A. Reciproc, fie a I. Deoarece b 0, există q, r A astfel ca a = bq + r, unde r = 0 sau (r ) < (b).Va fi suficient să observăm că r = 0, căci atunci a bA. Dacă r 0, atunci din faptul că r = a – bq I și din ( r) < (b) rezultă o contradicție cu alegerea lui b.

Din această teoremă rezultă că inelul întregilor lui Gauss Z[i], inelul Z[(1 + i)/2] și inel de polinoame de o nedeterminată cu coeficienți într-un corp sunt inele principale, fiindcă acestea sunt inele euclidiene. Următoare propoziție ne permite să dăm exemple de inele care nu sunt principale.

Propoziție. Fie A un inel integru care nu are corp. Atunci inelul polinoamelor de o nedeterminată A[X] nu este inel principal.

Demonstrație. Din faptul că A nu este corp rezultă că există un element aA, a 0 și a neinversabil. Să arătăm că idealul generat de a și x nu este principal. Să presupunem că aA[X] + xA[X] = (f), cu f A. Atunci din a = fg cu g A[X] rezultă că f A, iar faptul că X = fg’, g’ A[X], rezultă că f este inversabil în A și deci ar rezulta că aA[X] + xA[X] = A[X]. De aici rezultă relația 1 = a + x, cu , A[X], relație imposibilă căci 0, fiindcă a nu este inversabil.

Din această propoziție rezultă că inelul Z[X] nu este principal și orice inel de polinoame de n > 1 nedeterminate cu coeficienți într-un corp nu este inel principal și deci nici euclidian.

Vom demonstra acum câteva proprietăți aritmetice ale inelelor principale.

Propoziție. Fie A un inel principal și a, b A. Atunci:

i) Elementul d A este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b dacă și numai dacă aA + bA = dA.

ii) Elementul m A este cel mai mic multiplu comun al elementelor a și b dacă și numai dacă mA = aA bA.

Demonstrație. i) Dacă d A este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b, atunci avem evident adA, bdA și deci aA + bA dA. Însă aA + bA este ideal principal, deci aA + bA = d’A. Atunci rezultă d’ divizor comun al lui a și b deci d’ divide pe d, adică d’A = aA + bA dA. Reciproc, dacă d A este astfel încât aA + bA = dA, atunci evident d este divizor comun al lui a și b și în plus există relația d = a + b, cu , A, din care rezultă că orice divizor comun al lui a și b divide pe d.

ii) Dacă m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a și b, atunci evident mA aA bA. Însă idealul aA bA este principal, deci aA bA = m’A și deoarece m’ este evident multiplu comun al elementelor a și b, rezultă că m divide pe m’, adică mA m’A = aA bA, și deci egalitatea cerută.

Reciproc, dacă m A este astfel ca mA = aA bA, atunci m este un multiplu comun al lui a și b. Fie m’ alt multiplu comun al lui a și b; atunci m’ aA și m’ bA, m’A aA bA = mA, deci m divide pe m’.

Așadar, într-un inel principal A idealul generat de un număr finit de elemente a1,……, an coincide cu idealul generat de cel mai mare divizor comun al acelor elemente. De aici provine notația (a1,……, an), utilizată atât pentru c.m.m.d.c. al elementelor a1,….., an cât și pentru idealul generat de aceste elemente.

Corolar. Într-un inel principal orice două elemente au cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun, iar dacă d A este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b din A, atunci există , A astfel ca d = a + a.

Corolar. Într-un inel principal orice element ireductibil este prim. Din acest corolar deducem că inelul Z(i) nu este inel principal.

Teoremă. Într-un inel principal orice nenul și neinversabil se descompune în produs finit de elemente prime.

Demonstrație. Deoarece orice element ireductibil este prim în inelele principale (corolarul precedent), este suficient să arătăm că orice element nenul și neinversabil este produs de elemente ireductibile. Vom demonstra prin reducere la absurd, adică vom presupune că există în inelul A un element nenul și neinversabil a care nu este produs finit de elemente ireductibile și vom ajunge la o contradicție. Într-adevăr, a nu poate fi ireductibil, deci există o descompunere a lui de forma a = a1a’1, în care a1 si a’1 nu sunt asociați cu a și sunt elemente neinversabile și nenule. Este clar că atunci cel puțin unul dintre elementele a1 și a1’ are proprietatea lui a, adică nu e produs finit de elemente ireductibile (căci altfel a ar fi produs finit de elemente ireductibile, împotriva ipotezei). Raționând analog cu a1, găsim un divizor a2 al lui a1 care este neinversabil și neasociat cu a1 și care are aceeași proprietate ș. a. m. d. Se obține astfel un șir infinit de elemente neinversabile din A:

a = a0, a1, a2,……

cu proprietatea ai +1 divide pe ai și nu este asociat cu aceasta, i = 0, 1, …. Din acest șir rezultă șirul strict crescător infinit de ideale ale inelului A:

a0A a1A a2A a3A ……….

Lema următoare arată însă că un astfel de șir nu poate exista într-un inel principal.

Lemă. Fie A un inel principal și

a0A a1A a2A …….

un șir crescător infinit de ideale din A. Există atunci n > 0 astfel ca an+1A = anA pentru orice i 0.

Demonstrație. Fie I = aiA. Atunci I este ideal în A, căci dacă b, c I, atunci există i, j N astfel ca b aiA și c ajA, iar dacă k = max (i, j), atunci b, c akA. Deoarece akA este ideal, rezultă b – c akA și pentru orice A, b akA, deci b – c I și b I. Inelul A fiind principal, există A, astfel ca I = aA. Cum a I, rezultă că există un număr natural n astfel ca a anA. Atunci deducem aA anA și din incluziunile anA an+1A aA pentru iN, se deduce afirmația lemei.

Să observăm că în demonstrația faptului că orice inel euclidian este principal am folosit din definiția inelelor euclidiene numai proprietatea ii), adică teorema împărțirii întregi. S-ar putea crede că această proprietate este eventual satisfăcută de o clasă mai largă de inele. Propoziția următoare arată însă că în definiția inelelor euclidiene este esențială numai proprietatea ii).

Propoziție. Fie A un inel integru și : (A\{0}) N o funcție care are proprietatea ii) din definiție. Atunci funcția ’: (A\{0}) N, definită prin

’ (a) = inf (a)

când b parcurge toate elementele asociate cu a, satisface i) și ii) din aceeași definiție.

Demonstrație. Vom verifica mai întâi că ’ satisface pe ii). Fie a și b elemente din A, b 0 și obținem b’ un element asociat cu b pentru care ’ (b) = (b’). Atunci evident b’ 0 și deoarece satisface ii), rezultă că există q și r astfel ca a = b’q + r, cu r = 0 sau (r ) < (b’). Însa b’ = bu, u element inversabil în A și deci avem că a = buq + r și că ’(r) (r) < (b’) = ’(b), dacă r 0.

Pentru a verifica pe i), observăm că din modul în care s-a definit ’ rezultă că pentru a asociat cu a’ avem ’(a) = ’(a’). Să presupunem acum că a | b și a, b 0. Atunci faptul că satisface ii) și din demonstrația teoremei anterioare, rezultă că idealul aA este ideal principal generat de un element a’, cu proprietatea că a’ 0, (a’) ’(b’), pentru că orice element asociat cu b este în idealul A.

§I.4. INELE FACTORIALE

Definiție. Un inel integru A se numește inel factorial sau cu descompunere unică în factori primi (ireductibili), dacă orice element neinversabil și nenul din A se descompune într-un produs finit de elemente prime.

Dintr-o teoremă anterioară, rezultă că orice inel principal este factorial. În particular, inelele Z, Z[i], Z(1 + i)/2 și orice inel de polinoame de o nedeteminată cu coeficienți într-un corp este inel factorial.

Lemă. Dacă A este inel factorial, descompunerea unui element în produs de elemente prime este unică în afară de ordinea factorilor și a asocierilor lor. Adică, dacă

a = p1 p2 … pn = q1 … qm, (1)

unde pi și qj, i = 1, 2, …, n, j = 1, …., m sunt elemente prime, atunci n = m și schimbând eventual ordinea factorilor, avem pi = qiui, unde ui sunt elemente inversabile, i = 1, …, n.

Demonstrație. Vom face o inducție după numărul minim al factorilor din cele două descompuneri. Vom presupune, de exemplu, că n m. Atunci, pentru n = 1 avem p1 = q1 … qm și deoarece p1 este ireductibil rezultă că p1 este asociat cu qj, 1 j m. Putem presupune că acela este q1 atunci produsul q2, … qm ~ 1 și deci toți qj, 2 j m, ar fi elementele inversabile ale inelului A, ceea ce nu este posibil. Deci m = 1 și afirmația este dovedită în acest caz. Presupunem afirmația dovedită pentru orice două descompuneri în care una are mai puțin de n factori.

Atunci, în descompunerea (1) de mai sus, din faptul că pn este element prim, rezultă că pn divide cel puțin unul dintre qj, 1 j m. Putem presupune că pn | qm și deoarece qm este ireductibil, rezultă că pn ~ qm. Deci pn = qm u, unde u este element inversabil în A. Deci din (1) obținem, simplificând cu qm,

a’ = p1 p2…. pn-1u = q1 q2 … qm-1

Deoarece pn-1u este element prim, rezultă că avem aici două descompuneri ale elementului a’ în produs de elemente prime și, din ipoteza inductivă, rezultă n -1, deci n = m, iar după o eventuală renumerotare pi ~ qi, 1 i n -1 și cu asta totul este demonstrat.

Dacă A este un inel factorial, atunci luând din fiecare clasă de elemente asociate prime câte un reprezentant obținem o mulțime {pi}iI de elemente prime, astfel încât orice element a din A, a 0, se scrie sub forma:

a = u (2)

cu ni, i I numere întregi nenegative și numai cu un număr finit sunt nenule, iar u un element inversabil în A. Unicitatea descompunerii se exprimă atunci prin faptul că, dacă

a = u’

este o altă scriere a lui a sub forma (1), atunci u = u’ și ni = mi, i I.

Teoremă. Fie A un inel integru. Următoarele afirmații sunt echivalente:

A este un inel factorial;

Orice element nenul și neinversabil din A se descompune în produs finit de elemente ireductibile și orice element ireductibil este prim;

Orice element nenul și neinversabil din A se descompune în elemente ireductibile și două astfel de descompuneri sunt unice în afară de ordinea factorilor și de asociere;

Orice element nenul și neinversabil din A este produs finit de elemente ireductibile și orice două elemente din A au un cel mai mare divizor comun.

Demonstrație. Implicația b) a) este evidentă, iar a) b) rezultă din lema următoare:

Lemă. Într-un inel factorial orice element ireductibil este prim.

Demonstrație. Fie a un element ireductibil din inelul A. Atunci din faptul că el este un produs din elemente prime rezultă că se divide cu un element prim p. Dar p fiind neinversabil, este asociat cu a.

Revenind la demonstrația teoremei, se observă că din a) și b) rezultă c). Pentru a arăta că c) b) este suficientă să observăm că din c) rezultă că orice element ireductibil din A este prim. Fie q un element ireductibil și să presupunem că q | ab. Atunci:

ab = qq’. (3)

Considerând descompuneri ale lui a, b și q’ în factori ireductibili și utilizând unicitatea descompunerii în factori ireductibili din relația (3), rezultă că q | a și q | b.

Până acum am arătat că a), b), c) sunt echivalente. Pentru a determina demonstrația teoremei este suficient să demonstrăm următoarea lemă.

Lemă. Într-un inel factorial orice două elemente au un cel mai mare divizor comun.

Demonstrație. Fie a și b două elemente de inelul factorial A. În cazul în care unul dintre ele este nul, afirmația este evidentă. Putem deci presupune că a și b sunt nenule și fie {pi}, i I, un sistem de reprezentanți de elemente prime. Atunci fie

a = u1 , b = u2

descompunerile lui a și b în produse de elemente prime și

d = ,

unde ri = min(mi, ni) i I. Atunci este clar că d este divizorul comun al lui a și b și dacă d’ este un divizor comun al elementelor a și b,

d’= u’,

atunci din faptul că d’ divide pe a rezultă si mi, i I, iar din faptul că d’ divide pe b rezultă si ni, i I. Deci si ri, i I, de unde obținem că d’ divide pe d. Așadar, d este cel mai mare divizor comun al elementelor a și b și lema este demonstrată.

Din lema de mai sus rezultă că într-un inel factorial există și cel mai mic multiplu a două elemente. Se poate însă vedea imediat, cu notațiile din lema precedentă, că elementul

m = ,

unde gi = max(mi, ni) este cel mai mic multiplu comun al elementelor a și b.

Propoziție. Fie A un inel factorial și a, bi A, i = 1, …, s. Dacă (a, bi) = 1, pentru i = 1, …, s, atunci = 1.

Demonstrație. Va fi suficient să arătăm că nu există nici un element prim în A care să dividă pe a și pe . Fie p un astfel de element prim. Atunci rezultă că există un j, 1 j s, astfel încât p să dividă pe bj, ceea ce contrazice ipoteza.

Să observăm că, deoarece în inelele factoriale orice element ireductibil este prim, rezultă că inelul Z[i)] nu este factorial. Se poate însă arăta cu ușurință, prin inducție după norma elementelor că orice element nenul și neinversabil din acest inel este produs de elemente ireductibile, încât această condiție nu este suficientă ca un inel să fie factorial.

Pentru inelele factoriale avem însă următoarea teoremă.

Teoremă. Dacă A este un inel factorial, atunci A[X] este un inel factorial.

Pentru demonstrarea acestei teoreme avem nevoie de câteva pregătiri.

Dacă A este inel integru și A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în A, atunci, după cum știm, A[X] este inel integru, iar elementele inversabile din A[X] sunt cele din A și numai ele. De aici rezultă că două polinoame din A[X] sunt asociate dacă și numai dacă se obțin unul din celălalt prin înmulțire cu un element inversabil din A. Un element a A divide un polinom din A[X] dacă și numai dacă toți coeficienții polinomului se divid cu a.

Lemă. Fie A un inel integru și p un element prim din A. Atunci p este element prim și în inelul A[X].

Demonstrație. Avem p 0 și neinversabil în A[X]. Fie p fg cu f, g A[X]. Va trebui să arătăm că p divide pe f sau pe g. Să presupunem că p nu divide nici pe f nici pe g și să arătăm că atunci p nu divide nici produsul fg. Fie:

f = amXm + am-1Xm-1 + … + a0;

g = bnXn + bn-1Xn-1 + … + b0.

Deoarece p nu divide pe f, rezultă că există ai, 0 i m, care nu se divide cu p. Fie ak coeficientul lui f cu k minim, pentru care ak nu se divide cu p. Analog, pentru g există bl, 0 l m, cu l minim, pentru care bl nu se divide cu p. Atunci coeficientul ck+l al produsului fg este egal cu

ck+l = + akbl

și se observă că akbi nu se divide cu p (căci p este prim în A), iar prima sumă de divide cu p, căci fiecare termen conține un ai cu i < k sau bj cu j < l sau suma este zero. Așadar p nu divide pe ck+l și nici pe fg.

Fie A un inel integru și f A[X]. Se spune că f este un polinom primitiv dacă coeficienții lui f nu se divide cu același element prim din A. Dacă A este inel factorial, se notează cu c(f) cel mai mare divizor comun al coeficienților lui f care există după cum urmează din lema (c(f) se numește conținutul polinomului f). Polinomul f va fi primitiv dacă și numai dacă c(f) = 1. Evident, orice polinom f A[X] se scrie sub forma f = c(f)f’, unde f’ este un polinom primitiv.

Lemă. Dacă A este un inel factorial și f, g sunt două polinoame în A[X], atunci c(fg) este asociat cu c(f) c(g). În particular, produsul a două polinoame primitive este polinomul primitiv.

Demonstrație. Fie f = c(f)f’ și g = c(g)g’. Atunci fg = c(f)c(g)f’g’ și este suficient să demonstrăm doar partea a doua a lemei. Fie f și g polinoame primitive. Dacă produsul fg nu ar fi polinom primitiv, ar exista un element prim p din A care să dividă produsul fg. Atunci conform lemei precedente, rezultă că p divide pe f sau p divide pe g, absurd.

Lemă. Fie A un inel factorial, a A, a 0 și f, g A[X] , cu g polinomul primitiv. Dacă g divide produsul af, atunci g divide pe f. În particular, dacă două polinoame primitive f, g din A[X] avem relația ag = bf cu a, b A, a, b 0, atunci f și g sunt asociate.

Demonstrație. Din faptul că g divide produsul af rezultă că există g’ A[X] astfel ca af = gg’. Aplicând lema precedentă, obținem că ac(f) = c(g’)(deoarece c(g) = 1), de unde rezultă afirmația lemei.

Lemă. Fie A in inel factorial și f A[X] cu grad f 1. Atunci, următoarele afirmații sunt echivalente:

– f este ireductibil în A[X];

– f este primitiv și ireductibil în K[X] , unde K este corpul de fracții al lui A.

Demonstrație. a) b). Dacă f este ireductibil în A[X], atunci f este polinom primitiv. Să presupunem că f ar fi reductibil în K[X]. Atunci ar exista o descompunere a lui f de forma f = gh, cu 1 grad g grad f, g, h K[X], de unde, înmulțind cu un element convenabil a A, a 0 (a poate fi luat egal cu produsul tuturor numitorilor coeficienților g și h), obținem în A[x] o relație af = g’h’, cu grad g’ = grad g și grad h’ = grad h. Fie g’ = c(g’)g”. Atunci rezultă că g” divide pe f în A[x] și deoarece grad g” = grad g, rezultă că f este reductibil în A[X] împotriva ipotezei.

Implicația b) a) este evidentă.

Lemă. Dacă A este inel factorial orice polinom ireductibil din A[X] este prim.

Demonstrație. Fie f un polinom ireductibil din A[X]. Dacă grad f = 0, atunci f este element ireductibil în A, deci prim în A și deci prim și în A[X]. Dacă grad f > 0, atunci rezultă dă f este polinom primitiv și să presupunem că f divide produsul gh. Din lema precedentă rezultă că f este element prim în K[X], deci f divide în K[X] unul dintre polinoamele g sau h. Să presupunem că f g. Deci g = ff’, unde f’ K[X]. Atunci există a A, a 0, astfel încât af’ A[X]. Rezultă că f divide pe ag în A[X] și din lema deducem că f divide pe g în A[X].

Ne întoarcem să demonstrăm teorema anterioară. Vom verifica condiția b) din teorema precedentă. Pentru aceasta, conform lemei precedente, va fi suficient să arătăm că orice element neinversabil și nenul din A[X] este produs finit de polinoame ireductibile. Demonstrăm acest lucru prin inducție după gradul polinomului. Dacă f este polinom de grad zero neinversabil, atunci el este produs finit de elemente prime în A care sunt prime deci și ireductibile în A[X] conform lemei anterioare. Dacă grad f > 1, f se scrie sub forma f = c(f)f’ unde f’ este un polinom primitive, și este suficient să demonstrăm afirmația pentru polinoame primitive. Deci dacă f este primitiv și ireductibil afirmația este evidentă. În caz contrar, f = gh, unde g și h sunt polinoame de grad strict mai mic decât cel al lui f și din ipoteza inductivă rezultă afirmația.

Din teorema demonstrată rezultă:

Corolar. Dacă A este inel factorial, atunci A[X1, …, Xn], inelul polinoamelor de n nedeterminate cu coeficienți în A, este factorial. În particular, orice inel de polinoame de n nedeterminate cu coeficienți într-un corp este inel factorial.

Din două teoreme anterioare, rezultă că pentru un inel factorial A în inelul A[x] există cel mai mare divizor comun a două elemente. Însă putem să observăm că propoziția discutată nu mai rămâne în general valabilă. Astfel, în inelul Z[X] idealul generat de 2 și x, adică idealul 2 Z[X] + x Z[X] este diferit de Z[X], însă 1 este evident cel mai mate divizor comun al lui 2 și x.

Cu ajutorul rezultatelor de mai sus vom demonstra două criterii de ireductibilitate a polinoamelor de o nedeterminată, cu coeficienți într-un corp.

Propoziție. (Criteriul lui Eisenstien). Fie A un inel factorial, K corpul său de fracții, f = un polinom de grad n > 1 din A[X] și p un element prim în A cu proprietățile: an 0 mod p, ai = 0 mod p pentru i < n și a0 0 mod p2. Atunci f este polinom ireductibil în K[X], și deci și în A[X] dacă este primitiv.

Demonstrație. Putem presupune că f este polinom primitiv. Atunci, dacă f este ireductibil în K[X], el este reductibil în A[X]. Fie f = gh, h A[X]

g = , h = ,

unde bm 0, cr 0 și m 0. n 0. Din b0c0 = a0 și a0 0 mod p2 rezultă că unul și numai unul dintre elementele b0 și c0 se divide cu p. Presupunem că b0 0 mod p și c0 0 mod p. Întrucât an 0 mod p, nu toți coeficienții lui g se divid cu p. Deci există un indice i minim, cu proprietatea că bi nu se divide cu p. Atunci ai = c0bi + nu se divide cu p, ceea ce contrazice ipoteza.

Propoziție. Fie u: A B un morfism de inele integre cu A inel factorial, K corpul de fracții a lui A și L corpul de fracții al lui B. Notăm cu u’ morfismul A[X]B[X], cu proprietatea că u’(X) = X și care extinde pe u. Atunci dacă f A[X] este astfel încât u’(f) este ireductibil în L[X] iar grad f = grad u’(f), rezultă că f este ireductibil în K[X].

Demonstrație. Putem presupune că f este primitiv. Atunci dacă presupunem că f este reductibil în K[X], el este reductibil și în A[X]. Fie f = gh, cu grad g 1, grad h 1. Atunci u’(f) = u’(g) u’(h) și rezultă grad u’(g) = grad g, iar grad u’(h) = grad h, ceea ce contrazice faptul că u’(f) este ireductibil.

Capitolul II: INELUL POLINOAMELOR DE O NEDETERMINATA PESTE UN CORP ARBITRAR

§II.1. POLINOM DE O NEDETERMINATA PESTE UN CORP K

Fie K un inel comutativ, cu element unitate 1 K și N mulțimea numerelor naturale.

Notam cu K’ mulțimea tuturor funcțiilor de la N la K, adică:

K’ = .

Un element f K’, fiind o funcție, se reprezintă cu ajutorul valorilor sale sub forma

f =( a0, a1, a2,…, ai,…) = (ai)iN.

Daca f, g K’, f = (ai)iN și g = (bi)iN , atunci f=g ai = bi, oricare ar fi iN.

Pe mulțimea K’ definim două legi de compoziție interne, adunarea și înmulțirea.

Adunarea și înmulțirea se definesc în felul următor: dacă f, g K’, f =( a0, a1, a2,…, ai,…), g = (b0, b1, b2,…, bi,…) atunci

f + g = ( a0 + b0, a1+ b1, a2 + b2,…, ai + bi,…)

si

fg = ( c0, c1, c2,…, ck,…), unde ck = , k N.

Fie f, g, h K’, f = (ai)iN, g = (bi)iN, h = (ci)iN. Atunci, i N avem:

(ai + bi) + ci = ai + (bi + ci)

ai + bi = bi + ai

deoarece adunarea in K este asociativă și comutativă.

Rezultă că

f + g = g + f si (f + g) + h = f+ (g + h),

adică adunarea în K’ este comutativă și asociativă.

Există în K’ element neutru față de adunare, care este funcția 0 : N K,

0(i) = 0, pentru i N.

Pentru orice f K’, f = (ai)iN, opusul său este – f = ( – ai)iN, – f K’ și

f + (- f) = ( – f) + f = 0.

Înmulțirea în K fiind comutativă, rezulta că:

= , pentru i, j, k N, k = i + j.

Deci

fg = gf,

adică înmulțirea în K’ este comutativă.

Înmulțirea este și asociativă. Fie fg = ( d0, d1, d2,…, dk,…), dk = și (fg) h= (d’o, d’1, d’2,…, d’n,…), unde

d’n = = =.

Fie gh =( e0, e1, e2,…, em,…), em = și f (gh) = (e’o, e’1, e’2,…, e’n,…), unde

e’n = = = .

Deoarece d’n = e’n pentru orice n Z, rezultă că

(fg) h = f (gh).

Fie f (g + h) = (d0, d1, d2,…, dk,…), fg + fh = (d’o, d’1, d’2,…, d’n,…),

dk = = + .

Înmulțirea în K fiind distributivă față de adunare, rezultă că dk = d’k, k N.

Deci, avem

f(g + h) = fg + fh

și înmulțirea în K’ fiind comutativă, avem și

(g + h) f = gf + hf,

adică înmulțirea în K’ este distributivă față de adunare.

Există în K’ element neutru față de înmulțire, acesta este (1, 0, 0,…,0,…).

Deci, (K’, +, ) este un inel comutativ cu element unitate.

Considerăm aplicația : K K’, (a) = (a, 0, 0,…, 0,…).

Fie a, b K. Atunci avem:

(a + b) = (a +b, 0, 0,…, 0,…) = (a) + (b),

(ab) = (a b, 0, 0,…, 0,…) = (a) (b),

(1) = (1, 0, 0,…, 0,…).

Dacă (a) = (b), atunci a = b. Deci, aplicația este un omomorfism unitar, injectiv de inele. Prin urmare, inelul K’ are o structură de A-algebra de omomorfism structural . Avem și A (A), adică A’ conține un subinel izomorf cu A. În virtutea acestui izomorfism se identifică elementul a K cu imaginea sa, (a) K’, a (a).

Dacă notăm X = (0, 1, 0, …,0, ..), atunci din definiția înmulțirii în K’, rezultă că

Xn = .

Prin definiție vom pune X0 = 1.

Un element f K’, f = (ai)iN, se poate scrie atunci în mod unic sub forma:

f = ,

în care elementele ai se numesc coeficienții lui f.

Inelul K’ se numește inelul seriilor formale de o nedeterminată cu coeficienți în inelul K.

Un element din K’ se numește serie formala, cu coeficienți în K sau șir de elemente din K.

Definiție. Fie f K’, f = (ai)iN. Mulțimea

supp (f) = i N ai 0

se numește suportul șirului f.

Dacă mulțimea supp(f) este finită, atunci spunem că șirul f este cu suport finit.

Din definiție rezultă că f K’, f = (ai)iN este cu suport finit dacă există n N astfel încăt ai = 0, pentru orice i > n. Deci, dacă f K’ este cu suport finit, atunci seria formală f are un număr finit de coeficienți nenuli.

Notăm cu KX mulțimea tututor elementelor f K’ cu suport finit.

Fie f, g KX, f = (ai)iN, g = (bi)iN. Atunci există p N și q N, astfel încât

ai = 0, pentru orice i > p

bi = 0, pentru orice i > q,

de unde rezultă că

ai + bi = 0, pentru orice i > max p, q

deci, f + g este cu suport finit și deci f + g KX.

Pentru orice i > p + q + 1, avem

bi – p = bi – p +1 = … = bi – 1 = bi = 0

și

ap + 1 = ap + 2 = … = ai – 1 = ai = 0,

prin urmare

ci = a0 bi+a1 bi-1+ … +ap bi-p + ap+1 bi-(p+1) + ap+2 bi-(p-2) + … + ai-1b1 + ai b0 = 0,

pentru orice i> p+ q + 1, adică fg = (ci)iN este cu suport finit, deci fg KX.

Deci, adunarea și înmulțirea din K’ induc o adunare și o înmulțire pe KX.

Inelul KX se numește inelul polinoamelor de o nedeterminată cu coeficienți în inelul K. Un element din KX se numește polinom de o nedeterminată cu coeficienți în inelul K.

Orice polinom f KX, cu f = (ai)iN, cu ai = 0, pentru orice i > n, se scrie în mod unic sub forma:

f = a0Xo + a1X1 + a2X2 +….+anXn.

Definiție. Fie f KX. Dacă f 0, numim gradul lui f cel mai mare număr natural n cu proprietatea ca an 0. Dacă f = 0 numim gradul lui f simbolul -∞.

Propoziție. Fie f, g doua polinoame din KX. Atunci

grad (f + g) max grad f, grad g

Demonstrație. Fie f = (ai)iN, g = (bi)iN, grad f = m, grad g = n. Atunci ai = 0, pentru orice i > m si bi = 0, pentru orice i > n.

Dacă punem k = max m, n, atunci ai = bi = 0 pentru orice i > k; deci ai + bi = 0, pentru orice i > k și deci gradul lui f + g este cel mult egal cu k.

Propoziție. Fie f și g două polinoame din KX

f = si g = ,

cu am 0 si bn 0. dacă unul dintre elementele am, bn nu este divizor al lui zero în inelul K, atunci

grad (fg) = grad f + grad g

Demonstrație. Fie fg = (ci)iN. Atunci coeficientul cm+n al lui Xm+n

cm+n = a0bm+n + a1bm+n + …+ ambn +… + am+n b0 = am bn.

Dar am si bn fiind nondivizori ai lui zero, rezultă că cm+n 0.

Se observă că toți coeficienții

cm+n+k = a0bm+n+k + a1bm+n+k + …+ ambn+k +… + am+n+k b0 = 0,

pentru orice k N*. Avem atunci cm+n 0 si ci = 0, pentru orice i > m+n. Deci,

grad (fg) = m + n = grad f + grad g.

§II.2. RELATIA DE DIVIZIBILITATE IN INELELE DE POLINOAME

Fie inelul de polinoame KX și să considerăm două elemente arbitrare din el P și Q. Produsul PQ este tot un polinom din KX al cărui grad este egal cu suma gradelor celor două polinoame. Dacă notăm acest polinom cu D(X) avem:

D(X) = P(X)Q(X); grad D= grad P + grad Q.

Aceasta ne sugerează a considera și problema reciprocă acesteia și anume de a răspunde la întrebarea dacă, dându-se un polinom D din inelul KX, există sau nu două polinoame în KX al căror produs să fie polinomul D.

Definiție. Dacă dându-se polinoamele D și P din KX există polinomul Q din KX, astfel că produsul PQ este egal cu polinomul D, atunci spunem că polinomul P este divizor al polinomului D sau că polinomul D este un multiplu al polinomului P.

Deoarece

grad D = grad P + grad Q

rezulta că

grad P grad D.

Dacă grad P = 0 sau grad P = grad D atunci spunem ca P este un divizor impropriu al lui D, iar dacă

0 < grad P < grad D

spunem ca P este un divizor propriu al lui D.

Observații.1. Se verifică că relația de divizibilitate în KX este reflexivă și tranzitivă, dar nu este simetrică. În consecință, ea nu este o relație de echivalentă în KX.

2. În cazul în care K este un corp numeric, se deduce că dacă P KX este un polinom de gradul n atunci divizorii săi improprii sunt elementele k K – 0, precum și polinoamele kP KX, k K – 0.

3. Dacă un polinom P KX este un divizor al polinoamelor Q1 și Q2 din KX, atunci el este un divizor și al sumei Q1 + Q2, precum și al produsului Q1Q2.

Definiție. Un polinom din inelul KX care nu are în acest inel alți divizori în afară de divizorii improprii se numește polinom ireductibil peste inelul KX. In caz contrar, el se numește reductibil peste KX.

Observații.1. Considerăm un corp K și fie K’ o parte a sa înzestrată cu aceleași legi de compoziție, peste care construim familia de polinoame K’X KX. Și în K’X se pot defini relația de divizibilitate și noțiunea de polinom ireductibil.

2. Toate polinoamele de gradul întâi dintr-o mulțime de polinoame sunt ireductibile pentru aceasta, deoarece neexistând nici un număr natural n, 0 < n < 1 ele nu pot avea divizori proprii.

Teoremă. Dându-se inelul de polinoame KX atunci oricare ar fi P un element al său acesta se poate scrie ca un produs finit de polinoame ireductibile din inelul KX.

Demostrație. Fie grad P = n > 0. Dacă P este ireductibil teorema este demonstrată, numărul factorilor ireductibili din produs fiind egal cu 1. Dacă însă P este reductibil peste KX atunci el se poate scrie sub forma unui produs de cel puțin două polinoame din KX, iar pentru fiecare din acestea raționăm ca mai înainte. Cum gradul fiecărui nou divizor propriu pe care îl găsim scade, în final nu putem obține decât sau divizori proprii având gradele mai mici decât n, dar mai mari ca unu, sau divizori de gradul întâi despre care am arătat că sunt ireductibili. Oricum, numărul acestora este finit deoarece suma gradelor lor este egală cu n.

§II.3. ALGORITMUL IMPARTIRII CU REST IN INELELE DE POLINOAME

Teorema împărțirii cu rest

Dându-se în inelul KX polinoamele D și I dintre care cel puțin unul este nenul, atunci există două polinoame C și R în KX astfel ca:

D = IC + R cu grad R < grad I;

polinoamele C și R sunt unic determinate.

Demonstrație. Intr-adevăr, dacă ar mai exista alte două polinoame în KX, fie acestea C’ și R’ astfel ca:

D = IC’ + R’ cu grad R’ < grad I

ar rezulta, prin scădere, că:

I(C – C’) + R – R’ = 0

și în consecință grad(R – R’) = grad I(C’ – C).

Cum însă avem:

grad (R – R’) max {grad R, grad R’} < grad I

rezultă că

grad (R – R’) < grad I(C’ – C),

ceea ce contrazice egalitatea de mai sus.

În ceea ce privește existența polinoamelor C și R, aceasta se pune în evidență printr-o construcție efectivă a celor două polinoame realizată prin algoritmul următor.

Să presupunem că cele două polinoame date D și I sunt :

D(x) = a0Xn + a1Xn-1 + a2Xn-2 +….+anX0

I(x) = b0Xm + b1Xm-1 + b2Xm-2 +….+bmX0.

Am presupus în ipoteză că, polinomul I(X) este diferit de polinomul nul și vom distinge două situații posibile:

n < m și n m.

Dacă n < m atunci putem lua C(X) = 0(X) = polinomul nul și R(X) = D(X) încât avem grad R = n < m = grad I și teorema este demonstrată.

Dacă n m atunci fie q1 = și considerăm polinomul P1 = D – Iq1 care are expresia:

P1(x) = +…

Rezultă că grad P1 n-1 și din nou avem două cazuri:

– dacă grad P1 < grad I atunci problema este rezolvată deoarece avem D = Iq1 + P1 și putem lua C = q1; R = P1;

– dacă însă grad P1 grad I, notăm:

P1(x) =

Și la fel ca mai înainte considerăm:

q2 = și polinomul P2 = P1 – Iq2

pentru care grad P2 m1 – 1.

Dacă grad P2 < grad I atunci problema este rezolvată pentru că avem

P1 = Iq2 + P2 și D = I(q1 + q2) + P2

Și vom lua

C = q1 + q2, iar R = P2.

Dacă , însă, grad P2 grad I procedăm la fel ca mai înainte.

Deoarece:

grad P2 < grad P1 < grad D

ne dăm seama că eventualele alte polinoame P3, P4… obținute precum P1 și P2 au gradele alcătuind un șir de numere naturale strict descrescător. Din această cauză, după un anumit număr de operațiuni vom găsi un polinom Pk astfel ca grad Pk < grad I.

Rezultatele obținute sunt următoarele:

P1 = D – Iq1

P2 = P1 – Iq2

……………..

Pk = Pk-1 – Iqk

Și se vede că din ele rezultă prin însumare:

D = I( q1 + q2 +…+ qk) + Pk.

Cu aceasta problema este complet rezolvată deoarece putem lua

C = q1 + q2 +…+ qk si R = Pk,

Iar

grad R = grad Pk < grad I.

Observație. Vom numi polinomul C câtul, iar R restul împărțirii polinoamelor D și I.

Consecințe.1. Dacă două polinoame se înmulțesc cu un al treilea, atunci câtul lor nu se schimbă, iar restul este înmulțit și el cu cel de-al treilea polinom.

2. Daca I(X) = X – a unde a K avem D(X) = (X – a)C(X) + r și cum grad (X – a) = 1 rezulta că grad r = 0 adică luăm r K.

Luând acum X = a și înlocuind obținem D(a) = 0C(a) + r sau r = D(a), ceea ce ne arată că, restul împărțirii unui polinom prin (X – a) se poate obține înlocuind X cu a în expresia polinomului, adică este egal cu valoarea polinomului în X = a.

3. Dacă restul este egal cu 0, atunci D = CI deci polinomul D este divizibil prin polinomul I. Atunci, din cele expuse rezultă că, o condiție necesară și suficientă ca un polinom să fie divizibil printr-un polinom de forma X – a este ca el să se anuleze dacă înlocuim în expresia lui pe X cu a.

Acele valori X = a K pentru care polinomul se anulează le numim rădăcinile polinomului. Altfel spus, X = a K este o rădăcina a polinomului P KX] dacă acesta este divizibil la X – a. Dacă P este divizibil prin (X – a)k , dar nu este divizibil prin (X – a)k+1, k = 2, 3, 4,…, grad P spunem că X = a este rădăcină multiplă de ordin k a lui P. În cazul în care k = 1 tratat anterior, spunem că X = a este o rădăcină simplă a lui P.

4. Un polinom de gradul n are cel mult n rădăcini. Demonstrăm prin inducție completă.

Pentru n = 1 avem P(X) = aX + b care se anulează pentru X = . Dacă admitem că un polinom oarecare de grad n – 1 are cel mult n – 1 rădăcini, atunci presupunând grad P = n și considerând X = a K o rădăcină a lui , rezultă că

P(X) = (X – a)Q(X) cu grad Q = n – 1.

Cum în afara valorii X = a polinomul P se anulează dacă și numai dacă Q se anulează, rezultă că rădăcinile lui P sunt X = a împreună cu toate rădăcinile lui Q. În consecință, P are cel mult n rădăcini.

5. Să presupunem că luăm X = R, K = R și considerăm inelul de polinoame R[X]. Dacă P este un element din R[X]:

P(X) = = a0 + a1X + a2X2 +….+anXn

Și fixăm pentru nedeterminata X o valoare X = X0 R pe care apoi o înlocuim în expresia polinomului P și efectuăm operațiile obținem numărul real P(X0) = valoarea polinomului P în X = X0. Cum prin intermediul polinomului P = (a0, a1, a2,…, an) oricărui număr real X i se poate pune în corespondență numărul real unic determinat P(X), deducem că, se poate defini funcția:

X P(X) cu X R si P(X) R.

Funcția astfel definită o numim funcție polinomială și o notăm

fP : R R.

Să considerăm cazul general al unui polinom P dintr-un inel oarecare K[X] de polinoame:

P(X) = = a0 + a1X + a2X2 +….+anXn.

Fie un element arbitrar X0 K pe care îl fixăm și îl înlocuim în P(X); obținem elementul P(X0) K. În felul acesta, prin intermediul polinomului P, putem face ca la fiecare element X K să-i punem în corespondența elementul P(X) K unic determinat. Adică definim o funcție de la corpul K în el însuși și o notăm :

fP : K K.

Este însă posibil, ca la două polinoame diferite din același inel de polinoame, să corespundă una și aceeași funcție polinomială. Trebuie, de asemenea, precizat faptul că mulțimea K este un corp finit. În cazul în care corpul K este un corp infinit este valabilă următoarea

Teoremă. Dacă polinoamele P și Q din inelul de polinoame K[X] definesc aceeași funcție polinomială, iar corpul K este infinit, cele două polinoame sunt egale.

Demonstrație. Intr-adevăr, considerăm polinomul P – Q KX] și funcția polinomială

f(X) = (P – Q)(X) = P(X) – Q(X)

definită pe K și cu valori în K. Deoarece prin ipoteză P și Q definesc aceeași funcție polinomială rezultă că:

P(X) = Q(X) pentru X K.

Deoarece grad (P – Q) max { grad P, grad Q}, atunci, polinomul P – Q are în K un număr de rădăcini mai mare decât gradul său, ceea ce contrazice cele stabilite. El nu poate fi decât polinomul nul și P = Q.

§II.4. DESCOMPUNEREA IN FACTORI IREDUCTIBILI IN INELUL K[X]

Definiție. Fie polinoamele P și Q din inelul K[X]. Se numește cel mai mare divizor comun al lor (c.m.m.d.c.) un polinom I KX] care are următoarele proprietăți:

I divide atât polinomul P, cât și polinomul Q;

Orice divizor comun al polinoamelor P și Q divide polinomul I.

Cel mai mare divizor comun al polinoamelor P și Q se notează (P, Q), iar existența lui se dovedește prin:

Teoremă. Dacă P și Q sunt două polinoame din K[X] atunci există un polinom I în K[X] care este cel mai mare divizor comun al lor, precum și două polinoame P1 și Q1 din KX] astfel încât:

I = PP1 + QQ1.

Definiție. Două polinoame al căror c.m.m.d.c este de gradul zero se zic prime între ele.

Observație. Convențional se notează (P, Q) = e, dacă polinoamele P și Q sunt prime între ele. În cazul când K este un corp numeric avem e = 1. Atunci rezultă din teorema de mai sus o condiție necesară și suficientă ca două polinoame P și Q să fie prime între ele și anume, să existe în K[X] două polinoame P1 si Q1 astfel încât să fie valabilă egalitatea:

PP1 + QQ1 = ek.

Acest rezultat se numește teorema lui Bézout.

Consecințe.1. Dacă P, Q, R sunt polinoame din K[X] astfel încât polinomul P divide produsul QR și este prim cu unul din factori, atunci el divide celălalt factor.

Într-adevăr, dacă polinomul P este prim cu Q atunci există în K[X] polinoamele P1 și Q1 astfel că

PP1 + QQ1 = ek

Și înmulțind această egalitate în ambii membrii cu R avem

R = RPP1 + RQQ1.

Dar în membrul drept al egalității apare o suma de doi termeni divizibili prin P. Atunci suma însăși este divizibilă prin P și prin urmare P divide R.

2. Dacă un polinom P KX] este ireductibil și divide produsul altor două polinoame Q și R din inelul KX], atunci el divide cel puțin pe unul din factori.

Într-adevăr, polinomul P fiind ireductibil, atunci avem una din alternativele:

Polinomul P divide polinomul Q;

Polinomul P este prim cu Q și atunci va divide polinomul R.

Teorema fundamentală de descompunere a unui polinom în factori ireductibili.

Dacă P este un polinom din inelul KX], atunci el se poate descompune în mod unic într-un produs de factori ireductibili.

Demonstrație. Presupunem prin absurd că polinomul P ar admite două descompuneri în produsele Q1Q2…Qn și R1R2 …Rm unde n > 1 și m > 1 și presupunem că n ≥ m. Așadar avem,

P = Q1Q2…QmQm+1…Qn = R1R2 …Rm

unde Qi, i = 1, 2, …n si Rj, j = 1, 2, …m sunt polinoame ireductibile din KX].

Polinomul Q1 va divide unul din factorii produsului R1R2 …Rm, fie acesta R1. Dar R1 este ireductibil, așa că vom avea

Q1 = k1R1 cu k1 K.

Raționând analog pentru factorii Q2…Qm rezultă că avem

Qi = kiRi cu ki K, i = 1, 2, …

și prin urmare egalitatea admisă inițial ne dă

k1 k2 ….km Qm+1…Qn = ek

de unde rezultă că produsul de polinoame Qm+1…Qn are gradul zero adică el se reduce la o constantă, ceea ce impune rezultatul m = n. Atunci avem

P = Q1Q2…Qm = R1R2 …Rm

cu Qi = kiRi cu ki K, i = 1, 2, …m

ceea ce ne arată că cele două descompuneri ale polinomului P conțin aceiași factori ireductibili.

Capitolul III. INELUL DE POLINOAME C[X]

Pentru polinoamele care aparțin inelului C[X], X C, se cunosc deja o serie de proprietăți prezentate în capitolul anterior. Apar însă o serie de aspecte noi pe care le prezint în acest capitol.

Dacă P C[X] este

P(X) = , n 1,

atunci funcția polinomială corespunzătoare lui este

fP : C C; fP(x) = .

PROPRIETATI

1.Dacă an = 0 atunci oricare ar fi numărul > 0, există un număr (0 < < 1) astfel încât să avem < pentru orice număr X care satisface condiția < .

Demonstrație. Deoarece fp(X) = rezultă că

= =

sau

și cum

=

dacă notăm cu M = și ținem seama că < 1, vom avea

M < M .

Deoarece condiția < este satisfăcută dacă luăm

M <

rezulta că, în fapt, trebuie să avem

< , adică < .

Atunci numărul a cărui existența vrem s-o punem în evidență este

= și se vede că 0 < < 1.

Proprietatea aceasta ne ajută să dăm următoarea:

Consecință. Fie P C[X] și X0 C fixat. Atunci, oricare ar fi > 0, există 0 < < 1 astfel încât pentru orice h C cu < avem

< .

Într-adevăr, considerând polinomul

Q(h) = P(X0 + h) – P(X0)

Se vede că Q(0) = 0 și prin urmare polinomul Q este de forma

Q(h) = hQ1(h).

Atunci, în scrierea polinomului Q termenul său liber este nul. Consecința rezultă aplicând funcției corespunzătoare polinomului Q.

Dacă fP : C C, cele două rezultate se pot exprima sub forma: = 0; funcțiile polinomiale sunt continui.

Intuitiv, aceasta consecință exprimă faptul că funcția fP se bucură de proprietatea că, dacă X0 C este un număr fixat atunci, numărul

poate fi oricât de mic, dacă este suficient de mic.

2. Oricare ar fi un număr pozitiv M, există numărul pozitiv N astfel că, dacă > N, atunci > M.

Demonstrație. Se observă că avem

de unde, considerând > 1 și notând M1 = avem

M1 < M1.

Atunci rezultă, conform unei proprietăți cunoscute a modulului ca

= =

iar, în baza celor de mai înainte, vom avea

– M1.

Arătăm acum că se poate alege un număr M2 astfel încât să avem

– M1 > M2 .

Într-adevăr, aceasta implică

> M2 de unde > 1 +

condiție evident satisfăcută, deoarece prin ipoteză este suficient de mare.

Atunci, condiția > M va fi satisfăcută dacă

M2 > M ceea ce revine la > .

Va trebui să luăm

N = max .

Intuitiv, proprietatea 2 ne spune, că numărul poate fi oricât de mare, daca numărul este suficient de mare. Dacă fP : R R aceasta înseamnă că lim = .

3. Teorema fundamentală a algebrei

Orice polinom din inelul C[X] care are gradul mai mare ca zero are cel puțin o rădăcină complexă.

Pentru a demonstra teorema vom dovedi mai întâi următoarea:

Lema. Dacă X = X0 este un număr care nu anulează funcția fP atunci există un număr h C astfel încât să avem

< .

Fie dezvoltarea Taylor în X = X0

fP(X0 + h) = fP(X0) +

din care, în virtutea ipotezei fP(X0) 0, avem

= 1 + .

Deoarece numărul X = X0 ar putea să anuleze unele din derivatele considerăm k = q ordinul cel mai mic al derivatei care nu se anulează în X = X0. Rezultă că putem scrie

= 1 +

sau

= 1 + bqhq + notand bk = .

Vom putea deci să scriem

si cum 0 rezultă că bq 0 și prin urmare avem

= = .

Așadar

.

Numerele bq și hq fiind complexe, numărul bqhq va fi tot complex deci de forma

bqhq = bqhq (cos + i sin )

unde

= arg(bqh)q = arg bq + q arg h

și se vede că dacă luăm = obținem bqhq = – bqhq .

Aceasta înseamnă că, dacă alegem numărul h C astfel ca argumentul său să satisfacă condiția

arg h =

atunci numărul bqhq este real negativ.

Rezultă că

= .

Să mai observăm că, potrivit proprietății 1, numărul

poate fi făcut oricât de mic dacă |h| este suficient de mic; în particular există numărul 1 astfel că, dacă |h| < 1 atunci

<

și prin urmare

.

Din mulțimea numerelor C care satisfac cerințele impuse anterior, adică

arg h = ; |h| < 1

le vom alege în continuare pe cele pentru care |bqhq| < 1, adică pe cele pentru care, în plus, este satisfăcută și condiția

|h| <

ceea ce face ca

< 1.

În consecință, dacă numărul h C este astfel ca

arg h = ; |h| < min

avem

< 1.

Pentru demonstrarea teoremei vom folosi lema anterioară, precum și următorul rezultat privitor la funcțiile de doua variabile (rezultat analog unei proprietăți cunoscute a funcțiilor reale de o variabilă reală și continue): o funcție definita și continuă pe o mulțime de puncte din plan închisă si marginită, își atinge marginile pe aceasta.

Reluăm funcția polinomială

fP : D C C,

unde D este domeniul plan mărginit de un cerc C cu centrul în origine și de rază arbitrară suficient de mare astfel încât să avem > pentru toate punctele X C, lucru posibil datorită proprietății 2); notam X = u + iv; ak = k + ki.

Atunci

fP(X) = =

ceea ce se poate scrie sub forma fP(x) = p(u,v) + iq(u,v) unde p și q sunt funcții reale de două variabile reale, continue și prin urmare

=

care de asemenea, este o funcție reală de două variabile reale, continuă pe D.

Conform rezultatului menționat, această funcție are un minim absolut în acest domeniu pe care îl atinge într-un punct pe care îl notăm X1. Acest punct este interior lui D, deoarece fiind un punct de minim avem

și prin modul cum am ales domeniul D, inegalitatea contrară este valabilă numai pentru punctele de pe cercul C.

Afirmăm acum că fP(X1) = 0. Într-adevăr, dacă presupunem fP(X1) 0 atunci, conform lemei, există h C astfel încât X + h D și

<

ceea ce contrazice faptul că X1 este punctul în care fP își atinge minimul. Cu aceasta teorema este demonstrată.

Consecințe. 1. Un polinom P C[X] de gradul n are n rădăcini. Intr-adevăr, conform teoremei fundamentale a algebrei, polinomul P are o rădăcină pe care o notăm X1. Atunci el este divizibil prin factorul linear X – X1 deci există un polinom P1 C[X] de gradul n-1 astfel că putem scrie

P(X) = (X – X1)P1(X).

Deoarece polinomul P1 face parte din inelul C[X], i se poate aplica aceeași teoremă și prin urmare, dacă notam cu X2 rădăcina lui, există P2 C[X] un polinom de gradul n-2 astfel încât

P1(X) = (X – X2)P2(X) si deci

P(X) = (X – X1)(X – X2)P2(X).

Prin recurenta, aplicând fiecărui nou polinom Pk, k = 2, 3,… teorema fundamentală ajungem la un polinom Pn-1 C[X] de gradul întâi, care are rădăcinile Xn și care se va scrie sub forma

Pn-1(X) = a(X – Xn), a C.

Deci

P(X) = a(X – X1)(X – X2)….(X – Xn)

și are rădăcinile X1, X2,…Xn.

2. Să presupunem că polinomul P(X) = are rădăcinile X1, X2,…Xn. Atunci din identitatea

P(X) = a0(X – X1)(X – X2)….(X – Xn) =

Rezultă următoarele relații între rădăcinile polinomului și coeficienții săi:

…………………………………….

cunoscute sub numele de formulele lui Viete.

3. Fie P și Q două polinoame și presupunem că P se divide prin Q. Atunci există un polinom C astfel că P = CQ. Să mai presupunem că X = a este o rădăcină a polinomului Q. Înseamnă că acesta este divizibil prin X – a și prin urmare putem scrie

Q(X) = (X – a)Q1(X) deci P(X) = (X – a)Q1(X)C(X).

Cum factorul X – a fiind de gradul întâi este ireductibil deducem că el apare ca unul din factorii ireductibili în care s-ar putea descompune polinomul P. Atunci el este un divizor al acestuia și în consecință X = a este o rădăcină și a polinomului P. Rezultă că, dacă un polinom P este divizibil printr-un polinom Q, atunci orice rădăcină a lui Q este rădăcină și a lui P.

Reciproc, să presupunem că oricare ar fi o rădăcină X = a a polinomului Q, aceasta este rădăcină și a polinomului P. Atunci X – a, care este un factor prim al lui Q, va fi un factor prim și al polinomului P. Prin urmare, toți factorii liniari din descompunerea polinomului Q vor apărea și in descompunerea lui P. Dacă X = a este o rădăcină multiplă de ordinul k a polinomului Q, atunci acesta va fi divizibil prin (X – a)k. Înseamnă că polinomul P, spre a fi divizibil prin Q, va trebui să fie și el divizibil prin (X – a)k deci să aibă pe X = a rădăcină multiplă de ordinul p k.

Teorema lui Euler

Dându-se polinoamele P(de gradul n) și Q(de gradul m) ele au o rădăcină comună dacă și numai dacă există două polinoame P1(grad P1 n-1) și Q1(grad Q1 m – 1) astfel ca

P(X) Q1(X) – P1(X)Q(X) = 0.

Vom căuta să obținem din această condiție pe care trebuie să o satisfacă coeficienții polinoamelor date P și Q. Să presupunem pentru aceasta

P1(X) =

Q1(X) =

Atunci condiția din teoremă se va scrie

()() – ()() = 0

ceea ce înseamnă că

si cum această egalitate trebuie să fie valabilă oricare ar fi X R, rezultă ca trebuie să avem

= 0

= 0

…………………………………..

= 0

………………………………………….

= 0.

Aceste m + n egalități reprezintă, un sistem omogen de m + n ecuații de gradul I cu m + n necunoscute, acestea fiind . Deoarece polinoamele P1 și Q1 nu pot fi identic nule înseamnă ca sistemul de mai sus trebuie sa admită cel puțin o soluție diferită de cea banală, ceea ce pentru un astfel de sistem echivalează cu condiția ca determinantul coeficienților necunoscutelor să fie nul. Deci dacă notăm

va trebui să avem D = 0. Dar se vede ușor că determinantul D se mai poate scrie și sub forma

Acesta se numește un determinant Sylvester și prin urmare polinoamele P și Q au o rădăcină comună dacă și numai dacă determinantul Sylvester al coeficienților lor e nul.

Capitolul IV. INELUL POLINOAMELOR R[X]

Dacă P R[X] este

P(X) = , n 1,

atunci funcția polinomială corespunzătoare lui este

fP : R R; fP(x) = .

§IV.1. PROPRIETATI

1. Fie P R[X] si gP: C C. Demonstrăm că dacă X C este un număr complex oarecare atunci, notând cu numărul complex conjugat cu acesta avem

= .

Într-adevăr, deoarece sunt adevărate egalitățile

;

avem

= .

Observații.1. Această proprietate ne arată în particular că, dacă pentru X = X0, avem P(X0) = 0 , atunci . Deci dacă P R[X] si X = X0 este o rădăcină complexă a lui, atunci și este o rădăcină a lui. Rezultă că numărul de rădăcini complexe ale unui polinom P R[X] este par și prin urmare paritatea numărului de rădăcini reale ale sale este aceeași cu paritatea gradului său.

2. Polinomul P R[X] este divizibil prin polinomul Q R[X] dacă și numai dacă există polinomul C R[X] astfel încât P = QC.

Dacă P,Q R[X] atunci și cel mai mare divizor comun al lor (P,Q) R[X].

3. Conform teoremei fundamentale de descompunere în factori ireductibili și observațiilor putem exprima proprietatea următoare:

Un polinom P R[X] se descompune în mod unic într-un produs finit de factori ireductibili din R[X].

În ceea ce privește factorii ireductibili din R[X] vom face următoarele constatări:

a) Factorii liniari, sunt ireductibili în orice inel de polinoame. Așadar o primă categorie de factori ireductibili în R[X] sunt factori de forma X – a, a R.

b) Să presupunem acum că X = X0 C este o rădăcină a polinomului P R[X] atunci polinomul P este divizibil prin factorul liniar X – X0. Dar, conform observației de la punctul 1, polinomul P are și rădăcina , deci va fi divizibil și prin factorul liniar . Cum X – X0 și sunt factori primi între ei, polinomul P va fi divizibil prin produsul lor.

Dacă notăm X0 = + i; , R atunci și vom avea

.

Dar, refăcând acest raționament în sens invers, stabilim că cele de mai sus sunt valorile și în sens reciproc, astfel încât deducem că, o a doua categorie de factori ireductibili în R[X] sunt factorii de forma (X – )2 + 2, unde , R.

Cele două constatări ne arată că:

Orice polinom din R[X] are o descompunere unică într-un produs finit de factori liniari și pătratici ireductibili.

§IV.2. PROPRIETATI REFERITOARE LA EXISTENTA RADACINILOR REALE ALE POLINOAMELOR DIN R[X]

Dacă P R[X] este

P(X) = , n 1,

atunci funcția polinomială corespunzătoare lui este fP : R R; fP(x) = este o funcție continuă, iar aceasta calitate a ei are implicații esențiale asupra existenței valorilor x R în care ea se anulează.

Vom nota cu P însăși funcția polinomială fP corespunzătoare polinomului P.

Știm că dacă X = și X = două valori reale distincte ale variabilei, o funcție f continuă ia valori de semne contrare atunci există cel puțin un număr real X0 (, ) în care ea se anulează.

Dacă extindem intervalul (, ) la toata axa reală atunci deducem următoarele rezultate:

a)Un polinom de grad impar are întotdeauna cel puțin o rădăcină reală. Într-adevăr, deoarece

și analog

și se vede că

și conform proprietății 1 rezultă afirmația a).

b) Un polinom de grad par, care are termenul liber de semn contrar coeficientului dominant, are cel puțin două rădăcini reale, dintre care una pozitivă, iar cealaltă negativă.

Într-adevăr, deoarece

avem

de unde rezultă

X1 ( – , 0) si X2 (0, ).

Consecință. Dacă un polinom din R[X] nu are nici o rădăcină reală, atunci el păstrează semn constant pe toata axa reală.

Fie Q R[X] un polinom si Xk = k + ik, , k = 1, 2,…, n rădăcinile sale. Atunci

de unde se vede ca termenul său liber este dat de și prin urmare semnul acestuia este dat de a0. În concluzie, un polinom din R[X] care are toate rădăcinile complexe, are în mod necesar coeficientul dominant și termenul liber de același semn.

Teorema lui Descartes.

Această teoremă exprimă legătura care există între numărul de rădăcini reale ale unui polinom P R[X] și numărul de variații ale coeficienților săi. Pentru a putea aborda teorema dăm mai întâi următoarea

Lemă. Dacă P(X) este un polinom cu coeficienți reali, ordonați după puterile descrescătoare ale lui X, atunci prin înmulțirea lui cu X – a, în sistemul coeficienților produsului (X – a)P(X) se introduce cel puțin o variație de semn, iar dacă se introduc mai multe atunci numărul acestora este impar.

Teorema lui Descartes

Dacă P(X) este un polinom cu coeficienți reali atunci numărul rădăcinilor sale pozitive este cel mult egal cu numărul de variații ale coeficienților săi, iar dacă nu sunt egale, diferă între ele printr-un număr par.

Fie polinomul P cu coeficienții reali și presupunem că are coeficientul dominant pozitiv. Dacă X1, X2, …,Xq sunt toate rădăcinile sale pozitive îl vom putea scrie sub forma

unde Q este un polinom cu coeficienți reali al cărui coeficient dominant este pozitiv, acesta fiind chiar coeficientul dominant al polinomului P. În plus, polinomul Q nu are rădăcini pozitive, așa că rădăcinile sale vor sau negative, sau numere complexe. Dar, se știe că în acest caz Q are termenul liber pozitiv și prin urmare, el având coeficienții termenilor extremi de același semn, între aceștia se va afla un număr par de variații.

Cum polinomul P este de forma

rezultă, potrivit lemei anterioare că, înmulțind polinomul Q(X) cu factorul X – X1 se introduce cel puțin o variație și tot așa pentru înmulțirea cu fiecare din ceilalți factori X – X2, …, X – Xq. Rezultă că P va conține cel puțin atâtea variații cate rădăcini pozitive are, afirmație, evident, echivalentă cu cea din teoremă. Dar, în baza aceleiași leme, am văzut că dacă un factor X – Xk (k = 1, 2, …q) introduce mai multe variații, numărul acestora este impar, așa încât numărul total de variații introduse de către produsul (X – X1)(X – X2)…(X – Xq) depinde de numărul factorilor din produs și anume, dacă acest număr este par atunci și numărul variațiilor va fi par, iar dacă el este impar atunci și numărul variațiilor va fi impar. Prin urmare, numărul total al variațiilor coeficienților polinomului P și numărul rădăcinilor sale pozitive sunt de aceeași paritate, motiv pentru care, diferența lor este întotdeauna un număr par.

Teorema lacunelor.

Fiind dat un polinom P care prezintă lacune(dacă lipsește un singur termen atunci termenii între care se află lacuna trebuie să fie de același semn), atunci el are în mod necesar rădăcini complexe.

Teorema Budan-Fourier

Aceasta teorema ne dă un răspuns privind numărul de rădăcini reale pe care îl poate avea un polinom P într-un interval dat (a, b).

Considerăm un polinom P(X) R[X] despre care admitem că are rădăcini reale. Fie șirul derivatelor succesive ale polinomului dat

(1)

în care ultima derivata este egală cu o constantă.

Să presupunem că fixăm pentru X o valoare reală X = X0 și notăm cu W(X0) numărul de variații de semn din șirul de numere,

Cum la fiecare număr X R îi corespunde un număr w(X) și numai unul, se definește o funcție

W : R N.

Funcțiile acestea joacă un rol esențial în demonstrarea teoremei.

Fie deci W : (a, b) R definită ca mai sus. Se observă că graficul ei este format din segmente paralele la axa abciselor.

Într-adevăr, să considerăm mulțimea {1, 2, …p} reprezentând toate rădăcinile reale ale polinoamelor din șirul (1), care sunt cuprinse în intervalul (a, b) și fie subintervalul (1, 2). Deoarece între 1, 2 nu se mai află nici o rădăcină a vreunuia din polinoamele P(k)(X) aceste polinoame își vor păstra semnele pentru X (1, 2). În consecință, numărul W(X) va rămâne constant pentru X (1, 2) și analog, oricare ar fi intervalul

(i, i+1), i = 2, 3, …, p – 1.

Putem spune deci că

W(X) = ci pentru X (i, i+1) cu i = 0, 1, 2, …, p

si unde am notat 0 = a, p + 1 = b, iar ci sunt constante reale.

Graficul funcției va fi deci de forma:

Toate acestea ne arată că studiul variație funcției W revine la a studia comportamentul său în vecinătatea valorilor k(k = 1, 2, …p).

Teorema Budan – Fourier.

Dându-se polinomul P(X) R[X] și numerele a și b(a < b) care nu sunt rădăcini ale sale, atunci numărul de rădăcini reale ale polinomului dat P(X) cuprinse în intervalul (a, b) este mai mic sau egal cu diferența W(a) – W(b), iar dacă este mai mic, diferă de aceasta printr-un număr par.

Demonstrație. Considerăm funcția W : (a, b) R referitoare la numărul de variații de semn ale șirului

și în mulțimea {1, 2, …p} a rădăcinilor reale ale polinomului P(k)(X) considerăm în mod arbitrar pe una din aceste rădăcini, pe care o fixăm și o notăm 0. Numărul X = 0 poate să fie sau poate să nu fie rădăcină a polinomului P(X). De aceea vom studia două cazuri.

Cazul 1. X = 0 este o rădăcina a polinomului P(X) și fie 1 ordinul său de multiplicitate. Atunci rezultă că

0.

Deoarece mulțimea {1, 2, …p} este finită putem alege o vecinătate a lui 0 pe care o vom nota (0 – , 0 + ) în care să nu se mai afle nici o rădăcină a polinoamelor

.

În felul acesta polinoamele P(k)(X) își vor păstra semnele în fiecare din intervalele (0 – , 0] si [0, 0 + ).

Să considerăm dintre ele un polinom P(k)(X) (k = 0, 1, 2, …l) și vom studia următoarele cazuri:

1. X (0 – , 0]

Atunci,

Daca P(k)(X) < 0 înseamnă că în intervalul respectiv funcția polinomială

P(k-1) este descrescătoare și deci

X < 0 P(k -1)(X) > P(k)(0) adică

P(k – 1)(X) > 0.

Daca P(k)(X) > 0, funcția polinomială P(k-1)(X) este crescătoare în intervalul considerat și deci

X < 0 P(k – 1)(X) > P(k)(0) adică

P(k – 1)(X) < 0.

Așadar, oricare ar fi X (0 – , 0] numerele corespunzătoare P(k – 1)(X) și P(k)(X) (k = 0, 1, 2, …l) sunt de semne contrare.

2. X [0, 0 + )

Atunci

Daca P(k)(X) < 0, P(k – 1)(X) este descrescătoare și

X > 0 P(k – 1)(X) < P(k)(0) adică

P(k – 1)(X) < 0.

Daca P(k)(X) > 0, atunci P(k – 1)(X) este crescătoare și

X > 0 P(k – 1)(X) > P(k)(0) adică

P(k – 1)(X) > 0.

Așadar, oricare ar fi X [0, 0 + ) numerele corespunzătoare P(k – 1)(X) și P(k)(X) (k = 0, 1, 2, …l) sunt de același semn.

În concluzie, șirul de numere

(2)

prezintă variații pentru X (0 – , 0] și numai permanente pentru X [0, 0 + ). Aceasta înseamnă ca la trecerea variabilei X prin valoarea 0, șirul de numere (2) pierde o variație.

Cazul 2. X = 0 nu este o rădăcină a polinomului P(X). Avem în fapt, următoarea situație. În șirul

valoarea X = 0 nu anulează

dar anulează

unde k = 1, 2, …, n – 1 si l = 1, 2,…

Fie o valoare k fixată și să notăm Q(X) = P(k)(X). Atunci, deoarece

0

polinomului Q îi putem aplica rezultatul stabilit în cazul 1, încât deducem că, la trecerea lui X prin valoarea 0 în șirul

se pierde o variație.

Dacă însă, între P(k – 1)(X) si P(k)(X) s-a produs o variație la trecerea lui X prin valoarea X = 0 atunci, conform proprietății, numărul total de variații sau nu se schimbă sau se micșorează. Cum însă la trecerea lui X prin valoarea 0 polinoamele P(k – 1)(X) si P(k + l)(X) își păstrează semnele deducem că numărul total de variații nu poate scădea decât cu un număr par.

În concluzie, considerând rădăcinile polinomului P(X) fiecare luată de atâtea ori cat indică ordinul său de multiplicitate, la trecerea lui X prin ele numărul de variații W(X) din șirul (1) sau scade pentru fiecare cu un număr egal cu ordinul său de multiplicitate, sau scade cu un număr par.

În felul acesta, numărul de rădăcini ale polinomului P(X) cuprinse într-un interval dat (a, b) este egal cu diferența W(a) – W(b) sau este mai mic decât acesta cu un număr par. Tocmai ceea ce era de demonstrat.

Capitolul V. INELELE DE POLINOAME Q[X] și Z[X]

§V.1. PROPRIETATI

1.Fie polinomul P K[X]

P(X) = , n 1,

și să presupunem că el are rădăcina , unde u și v Q și R – Q. Atunci P(X1) = 0, deci

P(X1) = = =

=

= =

= = 0

și cum numărul P(X1) este de forma A + B cu A, B Q și R – Q, un astfel de număr este nul dacă și numai dacă A = B = 0. Într-adevăr, dacă A + B = 0 atunci, pentru B= 0 avem și A = 0, iar pentru B 0 avem = Q contrar presupunerii R – Q.

Dar, pentru A = B = 0 avem și A – B = 0, ceea ce ne arată că, dacă se consideră numărul atunci avem și

P(X2) = = 0

Rezultă că și numărul este o rădăcină a polinomului P.

Prin urmare, dacă P este un polinom cu coeficienți raționali, iar este o rădăcină a lui, atunci și este o rădăcină a lui.

Observație. Este ușor de observat că proprietatea aceasta se menține valabilă și dacă o rădăcină a lui P este de forma , unde u, v, w Q si R – Q.

2. Dacă P K[X], iar este o rădăcină a lui P, atunci și numerele ; ; sunt rădăcini ale polinomului P.

Asemănarea acestei proprietăți cu cea anterioară pe care, în fapt, o generalizează este evidentă.

§V.2. RADACINILE POLINOAMELOR DIN Z[X]

Orice polinom P Q[X] se poate scrie sub forma

P = cP*, c = constantă nenulă;

P* Q[X]

este clar că problemele care privesc rădăcinile polinoamelor din Q[X] sunt practic identice cu cele care privesc rădăcinile polinoamelor din Z[X].

Observatii.1. Dacă P(X) = este un polinom din Z[X] atunci, rădăcinile sale raționale sunt de forma , p fiind un divizor al termenului liber an, iar q fiind un divizor al coeficientului dominant a0.

În particular, rădăcinile întregi ale lui P se găsesc printre divizorii termenului liber.

2. Dacă P are coeficientul dominant a0 = 1, atunci eventualele sale rădăcini raționale sunt în mod necesar numere întregi.

3. Pentru determinarea unui interval cat mai mic care conține toate rădăcinile reale ale unui polinom P Z[X] se folosește, de obicei, metoda grupării termenilor.

Se scrie polinomul P sub forma unei sume de polinoame formate cu termenii polinomului dat P, astfel ca fiecare termen al sumei să conțină o singură variație de semn pentru coeficienții săi. Se caută, pentru fiecare astfel de termen cel mai mic număr pozitiv pentru care valoarea sa numerică este pozitivă, iar cel mai mare dintre numerele astfel obținute constituie o margine superioară a rădăcinilor pozitive ale polinomului P. Pentru a calcula o margine inferioară a rădăcinilor negative, se află o margine superioară a rădăcinilor pozitive ale polinomului P(-X), iar daca aceasta este de pilda L’, atunci marginea inferioară a rădăcinilor negative ale polinomului dat este – L’.

4. În cazul rădăcinilor întregi, dacă intervalul obținut ca mai înainte conține totuși un număr prea mare de divizori ai termenului liber, atunci unii dintre aceștia pot fi eliminați prin diferite procedee cum ar fi, de pildă, următorul:

Consideram polinom P Z[X] si scriem identitatea împărțirii lui prin X –1. Vom avea

P(X) = (X – 1)C(X) + R unde C Z[X], R = P(1)

și prin urmare .

Dacă X = a este o rădăcină a lui P, atunci P(a) = 0 și vom avea

și cum C(a) este un număr întreg, rezultă că a – 1 este un divizor al numărului P(1). Aceasta înseamnă că dintre divizorii termenului liber cuprinși în intervalul (-L’, L) îi eliminăm pe cei care nu satisfac această cerință.

Analog, în cazul în care folosim factorul liniar X + 1, este necesar ca numărul a + 1 să fie un divizor al lui P(-1).

Observație. Daca P(1) = 0 atunci X = 1 este rădăcină a lui P, iar dacă p este ordinul sau de multiplicitate, vom aplica cele de mai înainte polinomului cât . Analog în cazul când P(-1) = 0, pentru polinomul cât .

5. Să presupunem acum că X = a este o rădăcină întreagă a polinomului P Z[X]. Atunci vom avea

P(X) = (X – a)C(X) unde C Z[X].

Să mai presupunem că X0 este un număr întreg pentru care valoarea numerică P(X0) a polinomului P este un număr impar, deci P(X0) = 2q + 1, q Z.

Atunci vom avea

(X0 – a)C(X0) = 2q + 1

de unde se vede ca numărul X0 – a, care este divizor al numărului impar 2q + 1, va fi el însuși un număr impar. Aceasta înseamnă ca numerele X0 si a sunt de parități diferite. Prin urmare, dacă P Z[X] și x0 Z, iar P(x0) este un număr impar, atunci polinomul P nu are rădăcini întregi de aceeași paritate cu x0.

În particular, dacă P(0) si P(1) sunt numere impare, atunci P nu are rădăcini întregi, deoarece el nu are nici rădăcini pare și nici rădăcini impare.

Dar, dacă P(X) = atunci

P(0) = an; P(1) =

iar condițiile ca numerele P(0) si P(1) să fie impare, implică:

an = număr impar; = număr par

și cum paritatea unei sume de numere întregi depinde de numărul termenilor impari din suma respectivă rezultă că: un polinom P Z[X] care are termenul liber impar iar printre ceilalți coeficienți există un număr par de coeficienți impari, nu are rădăcini întregi.

În particular, un polinom P Z[X] care are doar un singur coeficient impar, iar acela este termenul liber, nu are rădăcini întregi.

Capitolul VI. POLINOAME ORTOGONALE

1.Polinoamele lui Legendre

Acestea reprezintă o familie {Pn}nN de polinoame cu coeficienți raționali, care se definesc în felul următor:

P0(X) = 1, P1(X) = X,

iar pentru n = 2, 3, 4,… prin relația de recurența

nPn(X) – (2n – 1)XPn-1(X) + (n – 1)Pn-2(X) = 0. (1)

Dacă notăm cu derivata lui P(X) vom demonstra prin inducție completă

următoarea egalitate:

, n =1, 2, 3,… (2)

Pentru n = 1 avem

Presupunem ca egalitatea (2) este adevărata și o scriem sub forma

(2’)

Vom demonstra că

(3)

Pentru aceasta, în relația (1) de definiție înlocuind n cu n + 1 si derivând se obține

. (4)

Dar, ținând seama de (1) relația (2’) devine

sau

. (5)

Înlocuind aici n cu n – 1 obținem

și ținând din nou seama de (1) avem

sau

(6)

Introducând rezultatele (5) și (6) în (4) deducem

=

=

sau

=

=

=

=

de unde

tocmai relația (3) pe care trebuia să o demonstrăm.

Cu ajutorul teoremei lui Sturm vom arăta ca oricare polinom Legendre are toate rădăcinile reale. Pentru aceasta vom arăta mai întâi că toate polinoamele

formează un șir Sturm.

1. Oricare două polinoame consecutive (k = 1, 2, ..n) nu au rădăcini comune. Într-adevăr, dacă X = X0, ar fi o rădăcina comună a lor, conform relației de definiție (1), ea ar fi rădăcină și pentru , și prin recurență, în cele din urmă ar rezulta că este rădăcină a lui = 1. Absurd! Ultimul polinom din șir fiind = 1 are semn constant.

2. Dacă X = X0 este o rădăcina a unui polinom (k = 1, 2, ..n) atunci din relația

kPk(X) – (2k – 1)XPk-1(X) + (k – 1)Pk-2(X) = 0

deducem

kPk(X0) + (k – 1)Pk-2(X0) = 0, k = 2, 3, …n

de unde se vede ca numerele sunt de semne contrare.

3. Să presupunem că X0 (-1, 1) este o rădăcină a polinomului P(X). Atunci din identitatea (2) rezultă că

ceea ce ne arată că numerele au același semn. Atunci conform observației făcute când am demonstrat modul de a construi un șir Sturm atașat unui polinom, condiția (4), este satisfăcută. Deci, șirul la care ne-am referit reprezintă un șir de polinoame Sturm.

Pentru a demonstra acum ca oricare polinom Legendre are toate rădăcinile reale vom face următoarele observații:

Din identitatea (2) avem:

pentru X = – 1; Pn(- 1) = – Pn-1(- 1)

pentru S = 1; Pn(1) = Pn-1(1), n = 1, 2, …

ceea ce ne arată ca șirul de numere

Pn(1), Pn-1(1),… P2(1), P1(1)

prezintă numai permanente.

Cum grad Pn(X) = n deducem ca Pn are n rădăcini reale, iar acestea sunt cuprinse în intervalul(- 1, 1).

2. Polinoamele lui Hermite

Se definesc generic prin relația

m N

și avem

pentru m = 0, H0(x) = 1

pentru m = 1, H1(x) = x

pentru m = 2, H2(x) = x2 – 1, ș.a.m.d.

Oricare trei polinoame Hermite consecutive (m N) verifică relația

Hm(x) = xHm-1(x) – (m – 1)Hm-2(x). (1)

Într-adevăr, prin inducție completă, pentru m = 2, identitatea (1) devine

H2(x) = xH1(x) – H0(x)

evidentă, conform celor de mai înainte.

Să presupunem că

Hm(x) = xHm-1(x) – (m – 1)Hm-2(x)

și să demonstrăm că

Hm+1(x) = xHm-1(x) – mHm-1(x).

Mai întâi se observă că din definiția polinoamelor Hermite rezultă că

(2)

și prin urmare avem succesiv

=

= =

= =

= =

= =

=

Cu ajutorul identității (1), procedând prin inducție completă rezultă că polinoamele Hermite fac parte din inelul Z[X] și au coeficientul dominant egal cu 1.

Se mai observă că dacă în (2) mai derivăm o dată obținem

= =

Dar, conform aceleiași formule (2) avem

=

astfel încât egalând ultimele doua rezultate, deducem identitatea:

. (3)

Vom demonstra cu ajutorul teoremei lui Sturm ca polinoamele Hermite au toate rădăcinile reale. Pentru aceasta vom arata mai întâi că șirul

Hm(x), Hm-1(x),… H2(x), H1(x), H0(x)

este un șir Sturm.

Într-adevăr,

două polinoame consecutive Hk, Hk-1, k = 2, 3, …m nu pot avea vreo rădăcina comună pentru că, ținând seama de identitatea (1), aceasta ar fi rădăcină și pentru ; din aproape în aproape ar rezulta ca ea ar fi rădăcină și pentru H0(x) = 1;

ultimul polinom din șir are semn constant, el fiind H0(x) = 1;

dacă x = x0 este rădăcina pentru polinomul , k = 2, 3, …m atunci din (1) rezultă că

Hk(x0) = – (m – 1)Hk-2(x0), k = 2, 3, …m

adică numerele sunt de semne contrare;

dacă în (1) înlocuim m cu m + 1 obținem

rezultat pe care comparându-l cu (3) ne dă

.

Daca mai ținem seama de faptul că toate rădăcinile polinoamelor Hm sunt de forma

rezultă că

Hm(- ) = (- )m; Hm() =

de unde se vede că în

Hm(- ), Hm-1(- ),…, H1(), H0(- )

există numai variații, iar în

Hm(), Hm-1(),…, H1(), H0()

există numai permanente.

Rezultă deci că V(- ) – V(- ) = m, adică Hm are m rădăcini reale.

3. Polinoamele lui Cebisev.

Se definesc prin

, unde x [-1, 1].

Dacă substituim x = cos

adică

sau

Dar, dezvoltând paranteza obținem

Așadar, Tn sunt polinoame cu coeficienți întregi care au coeficientul dominant egal cu

Să adăugăm observația că dacă se consideră expresia

cu x [-1, 1]

atunci substituind x = cos t, obținem

adică

E(x) = 2 cos (n arccos x)

ceea ce ne arată că expresia E(x) reprezintă polinoamele lui Cebîșev de prima specie, și deci se poate considera pentru aceasta fie forma dată prin definiție, fie forma

.

Observații.1.Oricare trei polinoame Cebîșev consecutive Tn-1, Tn, Tn+1, n = 1, 2, 3… satisfac relația de recurența

Tn-1(x) – 2xTn(x) + Tn+1(x) = 0.

Într-adevăr,

Tn-1(x) – 2xTn(x) + Tn+1(x) = [Tn-1(x) + Tn+1(x)] – 2xTn(x) =

= {cos[(n + 1)arccos x] + cos[(n – 1)arccos x] } – 2xTn(x) =

= 2cos (n arccos x) cos(arccos x) – 2xTn(x) =

= 2xTn(x) – 2xTn(x) = 0.

2. Dacă derivăm funcția polinomială Tn obținem

de unde

,

iar dacă derivăm din nou

adică

Dacă derivăm aceasta relație avem

adică

Atunci arătăm prin inducție completă că

k = 0, 1, 2,… (1)

Într-adevăr pentru k = 0 si k = 1 relația a fost arătată, iar dacă admitem că (1), atunci derivând-o încă o dată rezultă

Cu ajutorul relației (1) arătăm că oricare ar fi n = 1, 2, 3,… polinomul Tn are toate rădăcinile reale, iar acestea sunt cuprinse în intervalul (-1, 1). Pentru aceasta utilizăm teorema Sturm, pe care o aplicăm șirului

despre care afirmăm că e un șir Sturm.

Să mai observăm că din (1) rezultă

k = 0, 1, 2,…(n – 1)

și prin urmare șirul de numere

prezintă câte o variație pentru oricare doi termeni consecutivi ai săi, în timp ce șirul

conține numai numerele de același semn.

Rezultă că polinomul Tn are n rădăcini reale, iar acestea sunt cuprinse în intervalul (- 1, 1).

Capitolul VII. POLINOAME DE MAI MULTE NEDETERMINATE PESTE UN CORP OARECARE

Fie A un inel și considerăm inelul A[X] al polinoamelor de o nedeterminată y cu coeficienți în A[X]. Un element F A[X][Y] se scrie

F = F0 + F1Y + … + FnYn =

unde F0, F1, …, Fn A[X]. Identificăm pe A[X] cu subinelul lui A[X][Y] format din polinoamele care au gradul zero în Y și notăm m = max gr(Fj). Adăugând eventualele monoame nule, putem scrie pentru orice j, j = 1, …, n.

Fj = , aij A

Efectuând calculele în A[X][Y] obținem o scriere a lui F ca o sumă de tipul

F = =

sau, reținând doar termenii, în număr finit pentru care aij 0 o sumă de tipul:

F =

Elementul aij XiYj A[X][Y] se numește monom în nedeterminatele X, Y; aij se numește coeficientul monomului, iar i + j este gradul total al monomului. Din suma de mai sus rezultă că orice polinom F A[X][Y] se reprezintă în mod unic ca o sumă finită de monoame în nedeterminatele X, Y. Gradul total al monomului nenul de grad cel mai înalt din expresia lui F se numește gradul total al lui F. În plus F = 0, dacă și numai dacă toate monoamele lui F au coeficienți nuli și vom spune că în acest caz gradul lui F este -.

Propoziție. Inelul A[X][Y] coincide cu inelul generat de subinelul A și elementele X, Y. Orice polinom F A[X][Y] se scrie în mod unic ca o sumă finită de monoame.

F =

Această propoziție justifică înlocuirea notației A[X][Y] cu notația A[X, Y]. Inelul A[X, Y] se numește inelul polinoamelor de două nedeterminate cu coeficienți în A. Ca și în cazul polinoamelor de o nedeterminată, elementele sale se vor nota uneori cu F(X, Y) în loc de F, pentru a pune în evidență nedeterminatele X și Y.

Teoremă. Fie A un inel, A[X, Y] inelul polinoamelor de două nedeterminate cu coeficienți în A, B o A – algebră cu morfismul structural : A B. pentru orice pereche de elemente (b1, b2) B x B există un morfism unic de A – algebre : A[X, Y] B astfel încât (X) = b1, (Y) = b2.

Propoziție. Orice element F A(Nn) se scrie în mod unic ca o sumă finită.

F = ,

Inelul A(Nn) coincide cu subinelul său generat de A și mulțimea X1, X2, …, Xn, adică A(Nn) = A[X1, …, Xn].

Definiție. Inelul A[X1,…,Xn] se numește inelul polinoamelor în n nedeterminate cu coeficienți în A. Un element F A[X1, …, Xn] se numește polinom în nedeterminatele X1, …, Xn. Un polinom de forma a se numește monom, a A se numește coeficientul monomului iar i1 + … + in se numește gradul total al monomului. Vom nota uneori polinoamele din A[X1, …, Xn] cu F(X1, …, Xn) în loc de F, pentru a pune astfel în evidență nedeterminatele.

Definiție. Se numește gradul total al polinomului F, gradul monomului nenul cel mai înalt în grad, care apare în scrierea lui F. Polinomul F se numește omogen dacă toate monoamele nenule care apar în scrierea lui F au același grad total. Un polinom omogen de grad m se numește formă de grad m. Formele de gradul întâi se numesc forme liniare iar cele de grad doi se numesc forme pătratice.

Teoremă. Fie A un inel, A[X1,…,Xn] inelul polinoamelor în n nedeterminate, : A B un morfism de inele și b = (b1, …, bn) Bn. Există un morfism unic de A – algebre b : A[X1,…,Xn] B astfel încât b(X1) = b1, …,b(Xn) = bn.

Corolar. Dacă A B este subinel și b1, …, bn B, atunci

Im b = b(A[X1, …, Xn]) = A[b1, …, bn].

Capitolul VIII. APLICAȚII

Împartirea polinoamelor

Metoda 1. Împărțirea directă, în cazul polinoamelor cu coeficienți numerici (fără parametru).

Metoda 2. Cu teorema împărțirii cu rest: P, Q R[X] există și sunt unice C, R R[X] așa încât P = C Q + R unde grad R < grad Q.

Exemplul 1. Fie P(x) = x4 +ax3+bx2+cx+d. determinați a, b, c, d R așa încât

P(x) : x2-3x+1 dă restul 2x+2

P(x) : x2 –1 dă restul –2x+1

Soluție:

P(x) = x4 +(m-3)x3+(n-3m+1)x2+(m-3n+2)x+n+2

P(x) = x4+px3+(q-1)x2 – (p+2)x+1-q

P(x) = x4 -x3 – x2 – x + a = -, b = -, c = -, d=

Exemplul 2. Determinați restul împărțirii polinomului xn+nx+1= P(x) la x2-3x+2

Soluție:

P(x)=(x23x+2)Q(x)+x+

r = (2n+n-1)x – 2n+3

Exemplul 3.

Determinați restul împărțirii polinomului P(x) = xn+nx+1 la (x -1)2.

Soluție: P(x) = (x-1)2Q(x) + x+

P’(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)2Q’(x) +

r = 2nx-n+2

Metoda 3. Împărțirea la x – a se poate face în două moduri

Exemplul 1. Determinați câtul și restul împărțirii polinomului

P(x) = x5 – 3×4 + 4×3 – 2×2 + 3x – 5 la x –2

Soluție:

g = x4 – x3 +2×2 + 2x + 7 iar, r = 9

Exemplul 2. Determinați ordinul de multiplicitate al rădăcinii x = 2 în polinomul

P(x) = x5 – 6×4 + 14×3 – 20×2 + 24x –16

Soluție:

x = 2 rădăcină triplă P(x) = (x-2)3 (x2+2)

Metoda 4. Restul împărțirii polinomului P(x) la x – a este

r = P(a)

Exemplul 1. Determinați a, b R astfel luat P(x) = x3 +3×2+ax+b, împărțit la x+1 să dea restul – 2 și împărțit la x -1 să dea restul 8.

/ +2b = 6

2. Divizibilitatea polinoamelor

Metoda 1. Împărțirea directă cu rest nul

Metoda 2. Cu teorema împărțirii cu rest (nul) : P = C Q

Exemplul 1. Determinați legătura dintre p, q și m dacă P(x) = x4 +px2+q și divide la x2 +mx+1

Soluție: x4 + px2 + q = (x2 + mx +1)(x2 +ax + b)

x4 + px2 + q = x4 + (m+a)x3 + (b+am+1)x2 + (mb+a)x +b

m = 0 q = 1

Caz 1. a = 0 Caz 2. b = 1

q + 1 = p a = – m

b = q m2 + p = 2

Metoda 3. Cu teorema lui BEZOUT: P(x) se divide la x – a P(a) = 0

Practic: Pentru a arăta că P(x)Q(x) se demonstrează că toate rădăcinile polinomului Q(x) sunt rădăcini și pentru P(x).

Exemplul 1. Determinați a,b R așa încât polinomul P(x) = x4+3×2+ax+b să se dividă la x2 – 3x +2

Soluție: x2 – 3x +2= 0 x1 = 1, x2 = 2 1,2 sunt rădăcini și pentru P

Exemplul 2. Determinați A,B R așa încât polinomul P(x) = Axn+2 + Bxn +2 să se dividă la (x – 1)2

Soluție:

Exemplul 3. Arătați că P(x) = (x+1)6n+1 + x6n+2 x2 + x + 1

Soluție: Fie o rădăcină a polinomului x2 + x + 1

2 + + 1 = 0 – 1 3 – 1= 0 3 =1

P() = (+1)6n+1 + 6n+2 = (- 2)6n+1 + 6n+2 = – 12n+2 + 6n+2 = -(3)4n2+(3)2n2 = – 2 + 2 = 0

Exemplul 4. Arătați că P(x) = (x – 1)n+2 – x2n-2 x2 – x + 1

Soluție: Fie o rădăcină a polinomului x2 – x +1

2 – + 1= 0 + 1 3 + 1= 0 3 = -1

P() = ( – 1)n+2 – 2n-2 = ( 2)n+2 – 2n-2 = 2n+4 – 2n-2 = 2n-2(6 – 1) = 0

Exemplul 5. Arătați că P(x) = x4a + x4b+1 + x4c+2 + x4d+3 x3 + x2 + x + 1

a, b, c, d N

Soluție: Fie o rădăcină a polinomului x3 + x2 + x + 1

3 + 2 + + 1 = 0 – 1 4 – 1 = 0 4 = 1

P() = 1 + +

3. Relatiile lui VIÈTE

ax2 + bx + c = 0

ax3 + bx2 + cx + d = 0

ax4 + bx3 +cx2 + dx + e = 0

Notație. S = x1+x2 P = x1x2

s = x3+x4 p = x3x4

Exemplul 4. Determinați m și rezolvați ecuația x3 – 28x + m = 0 știind că x1 = 2×2

Soluție:

x2 = 2

Exemplul 5.

Rezolvați ecuația: x4 – 4×3 + 5×2 – 2x – 6 = 0 știind că suma a două rădăcini este egală cu suma celorlalte două rădăcini.

Soluție:

Fie

4. Cum se determină rădăcinile independente de parametru ale unei ecuații polinomiale cu parametru

Se ordonează polinomul după puterile parametrului și se determină factorii comuni (rădăcinile comune) ai coeficienților în x astfel obținuți.

Exemplul 1. Rezolvați ecuația

4ax4 –2(a2+a+1)x3 + (a2-16a+1)x2+8(a2+a+1)x-4(1+a2) = 0, aR știind că admite rădăcini independente de a.

Soluție: Ordonăm polinomul după puterile lui a:

a2 (-2×3+x2+8x-4)+a(4×4-2×3-16×2+8x)+(-2×3+x2+8x-4)= 0

(-2×3 + x2 + 8x – 4)(a2 -2ax + 1) = 0

x1, x2, x3 independente de a (x1 = 2,×2=1/2) și x4 =

5. Cum se rezolvă o ecuație polinomială de grad superior cu parametru.

Se ordonează polinomul după puterile parametrului și se rezolvă ecuația în raport cu parametrul considerat, dacă este de grad mai mic în acesta.

Exemplul 1. Fie x4 – 2ax2 – x + a2 – a = 0, a R. Rezolvați ecuația.

Soluție: Ordonăm polinomul după puterile lui a

a2 –(2×2+1)a + x4 –x = 0

D = (2×2 + 1)2 – 4×4 + 4x = 4×4 + 4×2 + 1 – 4×4 + 4x = (2x+1)2

a1,2 =

Folosind descompunerea canonică în factori obținem:

(a – x2 – x -1)(a – x2 + x) = 0

(x2 + x + 1 – a)(x2 – x – a) = 0

x1,2 = x3,4 =

a căror realitate se discută după a

a (-, -), x1,2,3,4 C

a [-,], x1,2 C x3,4 R

a [, ), x1,2,3,4 R

6. Cum se arată că o ecuație polinomială de grad superior cu parametri admite cel puțin două rădăcini complexe.

Se calculează suma pătratelor rădăcinilor și se arată că este negativă pentru orice valori ale parametrilor

Exemplu. x4 –(a+1)x3+(a2+a+1)x2+bx+c = 0 , a, b, c R are cel puțin două rădăcini complexe.

Soluție: x+x+x+x=(x1+x2+x3+x4)2-2(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4) = (a+1)2-2(a2+a+1) = -a2+a-1 < 0, a R deoarece D = -3 < 0

există măcar două rădăcini complexe.

Observație. Dacă nu putem spune nimic despre natura rădăcinilor ecuației date.

7. Cum se determină rădăcinile multiple de ordin k ale unei ecuații polinomiale.

Varianta 1. Rezolvăm sistemul:

Exemplu. Rezolvați ecuația 2×3 + mx2 + 4x + 4 = 0 și determinați m R dacă ecuația admite o rădăcină dublă.

Soluție:

x-2×2 – 4 = 0 x2 = 2 x1 = 2 x3 = – m = -7

Exemplu. Arătați că polinomul P(x) = 1+++ …+are numai rădăcini simple.

Soluție: Presupunem că P are o rădăcină multiplă

Dar P’(x) = 1+++ … +

= 0 = 0

Dar P(0) = 1, contradicție P nu are rădăcini multiple.

8. Cum se arată că rădăcinile complexe ale unei ecuații polinomiale au modulul < , , = , , decât un număr dat.

Varianta 1. Ecuația este de tip cunoscut: rezolvăm ecuația și evaluăm modulul rădăcinilor complexe.

Exemplu: Fie ecuația x4 – x3 – x +1= 0 cu R, II < 1. Atunci toate rădăcinile (complexe) ale ecuației cu modulul = 1.

Soluție: Ecuația dată este reciprocă de gradul 4.

x4 – x3 – x +1= 0 : x2

x2 -x -+= 0 (x2 +) – (x+ ) = 0

Notăm cu y = x+ y2 = x2 +2 + x2 + = y2 –2

y2 – y –2 = 0 = 2 + 8 > 0 y1,2 = R

x + = yk k = 1,2 x2 –ykx +1 = 0 k = y – 4

x1,2,3,4 =

y < 4 k < 0 x1,2,3,4 =

x1,2,3,4 =

Varianta 2. Ecuația este de tip oarecare: se consideră o rădăcină complexă a ecuației date, scrisă sub forma trigonometrică z = r (cos t + i sin t) se introduce în ecuație și se scoate r = |z| de aici.

Exemplu. xn –nx +a = 0, a R, n N, n 2 toate rădăcinile complexe ale ecuației cu modulul 1.

Soluție: Fie z = r (cos t + i sin t) o rădăcină complexă a ecuației date

zn –nz + a = 0 rn (cos nt + i sin nt) – nr (cos t + isin t)+ a = 0

0 < rn-1 =

nsin t sin nt , n 2 inducție .

9. Cum se determină familia de polinoame ce verifică o relație dată

Varianta 1. Se ia P(x) = a0xn +a1xn-1 + … + an-1x+an, se introduce în relația dată și după identificare rezultă un sistem de n+1 ecuații cu n+1 necunoscute a0, a1 , … an, care în general nu este rezolvabil ,decât numai dacă se dau în mod direct sau indirect anumite condiții asupra gradului lui P.

Exemplu. Determinați P R [X] așa încât P(x+y) = P(x)+ P(y), x, y R.

Soluție: Luăm P(x) = a0xn + … +an și îl înlocuim în relația dată

a0 (x+y)n +a1 (x+y)n-1 + … + an-1 (x+y)+an =

= a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an + a0yn+a1yn-1+ … + an-1y + an, x, y R.

a0 (Cxn-1y + … + Cxyn-1) +a1(C+ …) +… = an, x, y R.

= Q(x)

Q(x) = an, x R. grad Q(x) = grad an = 0 (an 0)

dar grad Q(x) = n -1 n –1 = 0 n = 1 P(x) = x +

P(x + y) = P(x) + P(y) (x + y) + = x + + y + = 0

P(x) = x

Exemplu. Determinați P R [x] așa încât P = P’ P”

Soluție: Fie P(x) = a0xn + … + an

grad P = n

grad P’ = n -1

grad P’P” = 2n – 3

grad P” = n –2

dar P = P’P” grad P = grad P’P” n = 2n – 3 n = 3

P(x) = a0 x3 +a1x2 +a2x +a3

Observație: P P’ P(x) = (x – a)n

P(x) = (x – a)3

P’(x) = 3(x – a)2

P’(x)P”(x) = 182 (x-a)3

P”(x) = 6(x-a)

P = P’P” (x-a)3 = 182 (x-a)3 = 182

Varianta 2. Se determină rădăcinile lui P

Exemplu. Determinați P R [X] așa încât X P(X-1) = (X-26)P(X)

Soluție:

Idee. Se anulează unul din factorii exteriori lui P și se dau lui x valori întregi consecutive de la rădăcina găsită către o rădăcină a celuilalt factor exterior, obținând astfel o serie de rădăcini pentru P : x1, x2, … xp

P(x) = (x-x1)(x-x2) … (x-xp) Q(x)

P, astfel determinat se introduce în relația dată și după simplificări rezultă o relație mai simplă în Q(x), fără factori externi. Repetând procedeul de anulare pentru expresiile din interiorul lui Q Q = constant.

xP(x-1)= (x-26) P(x)

x = 0 0 = -26 P(0) P(0) = 0

x = 1 P(0) = -25 P(1) P(1) = 0

x = 2 2P(1) = -24 P(2) P(2) = 0

……………

x = 25 25 P(24) = – P(25) P(25) = 0

x = 26 26 P(25) = 0 0 = 0

P(x) = x(x-1) …(x-25) Q(x). Înlocuim pe P în relația inițială

x P(x-1) = (x-26) P(x)

x[(x-1)(x-2) … (x-26) Q(x-1)] = (x-26)[x(x-1)… (x-25)Q(x)]

P(x-1) P(x)

Q (x-1) = Q(x) Q(x)=polinom periodic Q(x) = constant, sau

x = 1 Q(0) = Q(1)

x = 2 Q(1) = Q(2)

x = 3 Q(2) = Q(3) Q(n) = Q(0) n N

…………………………….

x = n Q(n-1) = Q(n)

…………………………….

Idee. Faptul că un polinom ia valoarea k 0 în x1, x2, …, xp nu reprezintă nimic pentru noi. Luăm atunci polinomul H(x) = P(x) – k care se anulează în x1, x2, …xp deci admite reprezentarea

H(x) = (x – x1)(x – x2) … (x – xp) Q(x)

P(x) = (x – x1)(x – x2) … (x – xp) Q(x) + k

Luăm H(x) = Q(x) – Q(0)

H(n) = Q(n) – Q(0) = 0 , n N

H are o infinitate de rădăcini H(x) = 0 Q(x) Q(0) = k

P(x) = k x (x -1) … (x – 25)

10. Cum se determină suma puterilor mari pentru rădăcinile unei ecuații polinomiale.

Exemplu: Fie ecuația x3 +3x +1 = 0 cu rădăcinile x1, x2, x3 și Sn = x+x+x. Calculați S7; S10.

Soluție: Fie xn o rădăcină a ecuației date x+ 3xk +1 = 0 x = -3xk -12

x= 9x+6xk +1 xk x= 9x+6x+xk = 6x -26 xk –9

II

-3xk -1

x = 6x – 26×1 – 9

x = 6x – 26×2 – 9

x = 6x – 26×3 – 9

S7 = -27 = -36-27 = -63

0 3

II II

unde S2 = x+x+ x = (x1+x2+x3)2 – 2(x1x2+x1x3+x2x3) = – 6

Observație. Pentru Sn cu n mare ,se împarte xn la x3 –3x +1 cu teorema împărțirii cu rest și se ia x = xk

xn = (x3 –3x +1) Q(x) + x2 + x +1

x = (x -3xk+1) Q(xk) + x + xk +1

Sn = S2 + S1 +38

adică suma oricăror puteri ale rădăcinilor se reduce la suma pătratelor și suma simplă a rădăcinilor.

11. Cum se determină o ecuație în y ale cărei rădăcini sunt funcții de rădăcinile unei ecuații în x cunoscute.

Exemplu. Fie ecuația x3 +3x +1 = 0 cu rădăcinile x1, x2, x3. Să se determine ecuația în y ale cărei rădăcini sunt:

y1 = ; y2 = ; y3 =

Soluție:

Etapa 1. Se exprimă fiecare rădăcină yi funcție numai de xi utilizând relațiile lui Viète în x.

; y2 = -+1; y3 = -+1

Etapa 2. a) Dacă funcția f din exprimarea yi = f(xi) este bijectivă , scoatem pe xi = f-1(yi) și înlocuim în ecuația cu x pe x cu f-1(y).

b) dacă funcția f din exprimarea yi = f(xi) nu este bijectivă se fac schimbări de variabilă bijective ce simplifică aspectul rădăcinilor yi.

z1 = y1 – 1 = – t1 = = – x h1 = – t1 = x

z2 = y2 –1 = – t2 = = – x h2 = – t2 = x

z3 = y3 –1 = – t3 = = – x h3 = – t3 = x

Etapa 3. Scriem ecuația în ultima variabilă (h) utilizând relațiile lui Viète.

h1+h2+h3 = x+x+x = (x1+x2+x3)2 – 2(x1x2+x1x3+x2x3) = -6

3 -1 0

h1h2+h1h3+h2h3 = xx+ xx+ xx = (x1x2+x1x3+x2x3)2 – 2x1x2x3 (x1x2x3) = 9

h1h2h3 = xxx = 1

Ecuația în h este h3 – S1h2+ S2h – S3 = 0

h3 – 6h2+ 9h – 1 = 0

Etapa 4. Determinăm ecuația în y utilizând schimbările de variabilă în ordine inversă.

h = -t -t3 + 6t2 – 9t –1 = 0 (-1) t3 – 6t2 + 9t +1 = 0

t = +1 = 0z3 z3 + 9z2 – 6z + 1 = 0

z = y –1 (y -1)3 + (y -1)2 – 6(y -1) +1 = 0

12. Determinarea c.m.m.d.c a două polinoame.

Metoda 1. Să descompun în factori ireductibili cele două polinoame și se aleg factorii comuni la puterea cea mai mică.

Exemplu: Determinați c.m.m.d.c. (f,g) dacă:

f(x) = (x -1)3 (x +2)2 (x – 4)(x + 1)4

g(x) = (x -1) (x+2)5 (x+1)(x -7)3 (x – 2)4

Soluție. c.m.m.d.c. (f,g) = (x-1)(x+2)2(x+1)

Metoda 2. Algoritmul lui Euclid.

Pentru a detemina c.m.m.d.c (f,g) se împarte succesiv f la g, g la rest, restul la rest, .…, până se obține restul zero. Ultimul rest nenul este c.m.m.d.c. (f,g). Concret avem relațiile: f = g q1 + r1

g = r1 q2 + r2

r1 = r2 q3 + r3 c.m.m.d.c. (f,g) = rn

……………

rn-2 = rn-1 qn+rn

rn-1 = rnqn+1

Exemplu. Determinați cmmdc (f,g) unde

f = x6 + 2×4 – 4×3 – 3×2 + 8x – 5 și g = x5 + x2 – x + 1

Soluție: x6 + 2×4 – 4×3 – 3×2 + 8x – 5 x5 + x2 – x + 1

– x6 -x3 + x2 – x x

2×4 – 5×3 – 2×2 + 7x – 5

Pentru ca a doua împărțire să se facă mai ușor înmulțim x5+x2-x+1 cu 2 și apoi efectuăm împărțirea.

2×5 + 2×2 – 2x + 2 2×4 –5×3 – 2×2 +7x –5

-2×5+5×4+2×3-7×2+5x x+

/ 5×4+2×3-5×2+3x+2

– 5×4+x3+5×2-x+

/ x3 -x +

Împărțim restul obținut la și efectuăm a treia împărțire.

2×4 –5×3 – 2×2 + 7x –5 x3 – x + 1

-2×4 + 2×2 – 2x 2x – 5

/ -5×3 / + 5x – 5

5×3 – 5x + 5

/ / /

Ultimul rest nenul este x3 – x + 1 deci, c.m.m.d.c.(f, g) = x3 – x +1

Metoda 3. Se determină rădăcinile celor două polinoame, se aleg cele comune și se construiește polinomul cu aceste rădăcini.

Exemplu. determinați c.m.m.d.c. (xn –1, xm – 1) unde n, m N* , n m.

Soluție. Determinăm mai întâi rădăcinile celor două polinoame.

xn – 1 = 0 xn = 1 xk = cos + i sin, k =

xm – 1 = 0 xm = 1 x’p = cos + i sin, p =

Pentru a găsi rădăcinile comune, va trebui să găsim valorile lui k și p pentru care xk = x’p.

Dar xk = x’p

În general cos = cos = + 2k.

sin = sin

În cazul nostru și [ 0, 2) fiind argumente reduse deci între ele nu mai încape 2k. Obținem = k = N. Pentru ca fracția obținută să fie număr natural, simplificăm mai întâi pe n cu m, apoi impunem lui p să fie multiplu de numitorul rămas.

Fie d = (m, n) m = dm1, n = dn1 cu (m1, n1) = 1.

k = N p = ℓm1, ℓ N

k = ℓn1 , ℓ N

Dar k { 0,1,…,n-1} deci k < n ℓn1 < dn1 ℓ < d ℓ {0,1,2,…d-1}

Rădăcinile comune sunt

Xℓ = cos+ i sin= cos + i sin,

adică sunt rădăcinile de ordin d ale unității, deci sunt rădăcinile polinomului Xd –1. În concluzie c.m.m.d.c. (xn – 1, xm – 1) = xd – 1

Aplicație: Determinați c.m.m.d.c. (x42 –1, x24 – 1)

Soluție: 42 = 6 7 d = 6 n1 = 7

24 = 6 4 m1 = 4

c.m.m.d.c. (x42 – 1, x24 – 1) = x6 –1

13. Descompunereaa în factori ireductibili a unui polinom

Metoda 1. Grupăm convenabil termenii polinomului și prin darea factorului comun și aplicarea formulelor de calcul prescurtat, obținem descompunerea căutată. Metoda nu dă mereu roade și este în general dificilă.

Metoda 2. Determinăm toate rădăcinile polinomului. Rădăcinile reale vor da factorii de gradul I, iar cele complexe se cuplează câte două, anume cele conjugate și se construiește polinomul de gradul II cu aceste rădăcini.

Exemplu: Descompuneți în factori ireductibili peste R polinomul P = x2n – 1, unde n N* (n 1).

Soluție: Determinăm rădăcinile polinomului P.

x2n – 1 = 0 x2n = 1 xk = cos + i sin= cos + i sin,

k =

Pentru k = 0, obținem x0 = cos 0 + i sin 0 = 1

Pentru k = n, obținem xn = cos + i sin = -1

care sunt singurele rădăcini reale ale ecuației date, deoarece rădăcinile de ordinul 2n ale unității sunt situate pe cercul unitate, uniform distribuite (adică sunt vârfurile unui polinom regulat cu 2n laturi înscris în cerc), iar cercul unitate taie axa reală doar în două puncte 1.

În semiplanul superior avem rădăcinile complexe xk = cos + i sin, k = . În semiplanul inferior avem rădăcinile complexe x’k = cos – i sin, k = , adică conjugatele celor din semiplanul superior.

Construim acum polinomul de gradul II ce are rădăcinile xk și x’k cu ajutorul sumei și produsului

S = xk + x’k = 2 cos

P = xk x’k = 1

Polinomul cu aceste rădăcini este x2 – 2cos x+1, k = . Rădăcinilor reale –1 și 1 le corespund factorii de gradul I x+1 și x-1. Atunci f admite descompunerea

F = (x-1)(x+1)

Metoda 3. Se determină rădăcinile întregi și raționale ale polinomului astfel:

rădăcinile întregi se găsesc printre divizorii termenului liber. Se testează toți divizorii termenului liber și dacă se găsește o rădăcină a se împarte polinomul la x – a;

rădăcinile raționale se găsesc printre fracțiile obținute împărțind divizorii termenului liber la divizorii primului coeficient. Dacă am găsit rădăcina împărțim polinomul la x – și continuăm testarea.

14. Efectul schimbărilor de variabilă asupra rădăcinilor și coeficienților unei ecuații polinomiale.

În urma schimbării de variabilă x = , coeficienții ecuației polinomiale își schimbă ordinea, iar rădăcinile ecuației se inversează.

Exemplu. Ecuația x3 –6×2 + 11x –6 = 0 are rădăcinile 1, 2, 3 iar în urma schimbării x = ecuația obținută este:

6y3 –11y2 +6y –1 = 0 care are coeficienții în ordinea inversă, iar rădăcinile 1,, .

În urma schimbării de variabilă x = -y, alternează semnul coeficienților ecuației, iar rădăcinile își schimbă semnul.

Exemplu. Ecuația x3 –6×2 + 11x –6 = 0 are rădăcinile 1, 2, 3 iar în urma schimbării x = – y ecuația obținută este y3 + 6y2 +11y + 6 = 0 cu rădăcinile –1, -2, -3.

Bibliografie

Chifan N., Curs de algebra

Ion D.I; Radu N., Algebra, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1981

Haimovici C.; Creanga I., Algebra, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1984

Dragomir P., Dragomir A., Algebra(curs), Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1982

Popovici C. P., Teoria numerelor, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1983

Ionescu V., Curs de algebra, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1975

Nita C, Becheanu M., Stefanescu M., Dinca A., Algebra, Ed. All, Bucuresti, 1998

Ion D.I; Radu N., Nita C., Popescu D., Probleme de algebra, Ed. didactica si pedagogica, Bucuresti, 1981