Inele de fract ,ii [606074]
Inele de fract ,ii
Szmeteanca Eduard-Gabriel
March 31, 2019
Facultatea de Matematic a s ,i Informatic a
Universitatea Bucures ,ti
1
Capitolul 1
De nit ,ie 1. Fie dat un inel A, comutativ s ,i unitar, iar SA, o
submult ,ime nevid a a lui A. Spunem c a S este un sistem multiplicativ
(^ nchis) a lui A dac a:
1.8a; b2S)ab2S.
2.0=2S;12S.
De nit ,ie 2. Fie A un inel comutativ s ,i unitar, iar S un sistemul
multiplicativ al lui A.
De nim relatia binar a ""peAS=f(a; s)ja2A; s2Sg
astfel:
(x; y)(a; b),9u2Sa.^ . u(bx-ya)=0
Propozit ,ie 1. Relat ,ia binar a ""este ralt ,ie de echivalent , a.
Demonstrat ,ie:
1. Pentru ( a; s)2ASse observ a ca u(as-as)=0 pentru orice u
din S, ceea ce ne demonstreaz a re
exivitatea, ( a; s)(a; s) .
2. Fie ( a; b);(x; y)2ASastfel ^ nc^ at ( x; y)(a; b),
deci exist a un u din S, astfel ^ nc^ at u(bx-ya)=0=-u(ya-bx)
(i.e. ( a; b)(x; y)), ceea ce ne demonstreaz a c a relat ,ia este
simetric a.
3. Fie ( a; b);(x; y);(p; t)2ASastfel ^ nc^ at ( x; y)(a; b) si
(a; b)(p; t), din prima relat ,ie reiese existent ,a unui u2S
cu u(bx-ya)=0, iar din a doua relat ,ie avem ca v(ta-bp)=0
pentru un v din S. ^Inmult ,im prima relat ,ie cu tv si a doua cu
yu obt ,inem:
tvu(bx-ya)=0 , yuv(ta-pb)=0
vubtx-vtuya=0
vtuya-vubyp=0
+ !vub(tx yp) = 0;
cumvub2Srezult a ( a; b)(p; t), deci realt ,ia este tranzitiv a.
2
Vom nota cu S 1Amult ,imea factor AS/, iara
sclasa de
echivalent , a a perechii (a,s).
S 1A=fa
sja2A,s2Sg
Pe mult ,imea S 1Avom de nim doua operat ,ii alegbrice:
i)Adunare :
a
s+b
t=at+bs
st.
ii)^Inmul t,irea :
a
sb
t=ab
st.
pentru oricare ar a
ssib
tdinS 1A.^In particular t ,in^ and cont de
de nit ,ia relat ,iei "", se obt ,ine regula de ampli care s ,i simpli care:
a
s=ta
ts,8a2A;8t; s2S.
S a ar at am ca cele doua operat ,ii sunt bine de nite: Fie ( a0; s0)2a
s
s,i (x0; y0)2x
y, deci ( a0; s0)(a; s) s ,i (x0; y0)(x; y), atunci exist a
unu; v2Scu proprietatea u(a0s s0a) = 0 si v(x0y y0x) = 0,
^ nmult ,im prima relatie cu vyy0s,i a doua cu uss0obt ,inem:
vyyu (a0s s0a) = 0; ussv (x0y y0x) = 0
vyyua0s vyyus0a= 0
ussvx0y ussvxy0= 0
+ !uv(s0y0(ay+bx) sy(a0y0+b0x0)) = 0
cumuv2Ss,i (s0y0(ay+bx) sy(a0y0+b0x0)) = 0, rezult a
((ay+bx); sy)(a0y0+b0x0); s0y0), deci:ay+bs
sy=a0y0+b0x0
s0y0
ceea ce ne demonstreaz a ca adunarea este bine de nit a.
3
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Inele de fract ,ii [606074] (ID: 606074)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.