Inductia Matematica In Geometrie

Inducția matematicǎ ȋn geometrie

CUPRINS

INTRODUCERE

Vorbind la modul general, descoperirea adevărului se realizează utilizând logica. Există două forme de manifestare a logicii tradiționale, acestea fiind inducția și deducția.

În lucrarea sa Analiticile Secunde, Aristotel consideră că "învățăm sau prin inducție, sau prin demonstrație, cunoașterea nu poate fi altfel dobândită; într-adevăr, demonstrația pornește de la general, inducția de la particular".

Considerând că învățarea reprezintă descoperirea de noi adevăruri, raționamentul inductiv are o importanță vitală deoarece studiul cazurilor particulare este uneori singura modalitate care poate conduce la descoperirea unei reguli generale. Intuiția are și ea un rol important pentru formularea propoziției generale, care va fi apoi demonstrată.

În matematică, raționamentul inductiv se manifestă în metoda inducției matematice, ea fiind folosită atât la descoperirea cât și la demonstrarea multor rezultate matematice.

Lucrarea de față are ca obiectiv principal utilizarea inducției matematice în geometrie, dar parcurge pe lângă considerațiile de ordin teoretic și aplicarea ei în aritmeticǎ, algebră și analiză matematică. Un alt obiectiv important este tratarea metodică a rezolvărilor de probleme folosind metoda inducției matematice.

Primul capitol, Inducția matematică, asigură partea teoretică necesară folosirii metodei inducției matematice și tratează rezultate matematice demonstrate cu ajutorul inducției matematice din aritmetică, algebră și analiză matematică.

Al doilea capitol, Inducția matematică în geometrie, se concentrază asupra rezultatelor matematice din geometrie care se pot demonstra prin inducție matematică, cuprinzȃnd calculul, demonstrația, construcția, aflarea locurilor geometrice prin inducție, precum și inducția dupǎ numǎrul dimensiunilor.

Ȋn al treilea capitol, Considerații metodice, se precizeazǎ importanța și rolul pe care ȋl ocupǎ inducția matematicǎ ȋn programa clasei a IX-a și ȋn pregǎtirea concursurilor școlare și se trateazǎ metodic rezolvarea de probleme prin metoda inducției matematice.

Lucrarea se adresează profesorilor de matematică, elevilor care doresc să privească inducția matematică mai mult decât un simplu algoritm de rezolvare a unor probleme și în general tuturor celor interesați de acest subiect.

1. INDUCȚIA MATEMATICǍ

1.1. NOȚIUNILE DE DEDUCȚIE ȘI INDUCȚIE

Propozițiile, ȋn sensul logicii matematice, pot fi ȋmpǎrțite ȋn propoziții generale și propoziții particulare. Propozițiile: “Ȋn orice triunghi suma mǎsurilor unghiurilor este egalǎ cu ”, “Orice numǎr care are ultima cifrǎ 0 sau 5 este divizibil cu sunt propoziții generale. Propozițiile: “Suma mǎsurilor unghiurilor triunghiului este egalǎ cu ”, “Numerele 2010 și 2015 sunt divizibile cu sunt propoziții particulare, fiind cazuri particulare ale propozițiilor generale anterior prezentate.

Prin deducție se ȋnțelege procedeul prin care din propoziții generale se obțin propoziții particulare.

Prin inducție se ȋnțelege procedeul prin care se trece de la propoziții particulare la o propoziție generalǎ.

Inducția poate duce atȃt la concluzii adevǎrate cȃt și la concluzii false. De exemplu, din propoziția particularǎ “2015 este divizibil cu 5” putem obține propoziția generalǎ “Toate numerele care au ultima cifrǎ 5 sunt divizibile cu 5” care este adevǎratǎ, sau, din aceeași propoziție particularǎ putem obține propoziția generalǎ “Toate numerele de patru cifre sunt divizibile cu 5”, care este falsǎ.

Urmǎtoarele exemple ne aratǎ cǎ nu trebuie sǎ tragem concluzii nefundamentate, prin analogie.

Exemplul 1. Fie trinomul . Dacǎ ȋl ȋnlocuim pe x cu 0, obținem numǎrul prim 41. Dacǎ ȋl ȋnlocuim pe x cu 1, obținem numǎrul prim 43. Continuȃnd a ȋnlocui succesiv ȋn trinom pe x cu: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, obținem respectiv numerele prime 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151. Pe baza rezultatelor obținute, putem afirma cǎ ȋnlocuind pe x din trinomul dat cu orice numǎr ȋntreg nenegativ se obține ȋntotdeauna un numǎr prim. Aceastǎ concluzie este falsǎ deoarece trinomul este egal cu un numǎr prim pentru x = 0, 1, 2, … , 39, dar pentru x = 40 acest trinom este egal cu , adicǎ cu un numǎr compus. Caracterul vicios al concluziei constǎ ȋn faptul cǎ am formulat o judecatǎ generalǎ pentru orice x, doar pe baza faptului cǎ judecata a fost valabilǎ pentru unele valori ale lui x.

Exemplul 2. Studiind numerele de forma , pentru n = 0, 1, 2, 3, 4 se constatǎ cǎ: , , , , sunt prime.

Renumitul matematician francez din secolul al XVII-lea, Pierre Fermat, a presupus cǎ toate numerele de acest tip sunt numere prime. Ȋn secolul al XVIII-lea, un alt mare savant, Leonard Euler, academician din Petersburg, a gǎsit cǎ

este un numǎr compus.

Ulterior s-au gǎsit și alte valori ale lui n, n = 6, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 23, 36, 38, 73, pentru care numǎrul nu este prim.

Exemplul 3. Matematicianul german din secolul al XVII-lea, G. W. Leibniz, a demonstrat cǎ pentru orice numǎr ȋntreg pozitiv, numǎrul se divide la 3, numǎrul se divide la 5, numǎrul se divide la 7. El a presupus cǎ pentru orice k impar și orice n natural, numǎrul se divide prin k. Dupǎ o perioadǎ de timp, el ȋnsuși a observat cǎ nu se divide prin 9.

Exemplul 4. Ȋn cȃte pǎrți ȋmpart spațiul n plane care trec printr-un singur punct, dacǎ oricare grup de trei dintre ele nu trec prin aceeași dreaptǎ?

Un plan ȋmparte spațiul ȋn douǎ pǎrți. Douǎ plane, care trec printr-un singur punct, ȋmpart spațiul ȋn patru pǎrți. Trei plane, care trec printr-un singur punct, dar care nu trec printr-o dreaptǎ comunǎ, ȋmpart spațiul ȋn opt pǎrți.

La prima vedere se poate presupune cǎ, odatǎ cu creșterea numǎrului de plane cu 1, numǎrul pǎrților ȋn care se ȋmparte spațiul crește de douǎ ori, adicǎ n plane ȋmpart spațiul ȋn pǎrți.

Ȋn realitate nu se ȋntȃmplǎ așa. 4 plane ȋmpart spațiul ȋn 14 pǎrți, 5 plane ȋmpart spațiul ȋn 22 pǎrți. Ȋn general, n plane ȋmpart spațiul ȋn pǎrți.

Exemplul 5.

Se poate verifica cu ușurințǎ cǎ

Pe baza rezultatelor obținute putem intui cǎ pentru orice numǎr natural nenul ,

Exemplele de mai sus aratǎ cǎ aceeași metodǎ de raționament conduce ȋn unele cazuri la propoziții adevǎrate, iar ȋn alte cazuri la propoziții false. Deoarece prin aceastǎ metodǎ concluzia se trage dupǎ considerarea cȃtorva exemple, și nu a tuturor cazurilor posibile, aceastǎ metodǎ de raționament se numește inducție incompletǎ.

Deși nu conduce mereu la propoziții adevǎrate, inducția incompletǎ este folositoare deoarece permite sǎ se formuleze o presupunere, care, dupǎ aceea poate fi confirmatǎ sau infirmatǎ.

Cȃteodatǎ, o astfel de metodǎ de raționament poate sǎ conducǎ, studiind un numǎr finit de cazuri, la epuizarea tuturor posibilitǎților.

Exemplul 6. Sǎ se demonstreze cǎ fiecare numǎr natural par n, unde , se poate scrie ca suma a douǎ numere prime (care pot fi și egale).

Pentru demonstrație se considerǎ fiecare din numerele pare cuprinse ȋntre 4 și 20. Avem: 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7, 16 = 5 + 11, 18 = 7 + 11, 20 = 7 + 13.

Exemplul 7. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice poliedru regulat este ȋndeplinitǎ relația V – M + F = 2, unde V este numǎrul vȃrfurilor, M este numǎrul muchiilor, iar F este numǎrul fețelor.

Singurele poliedre regulate sunt: tetraedru, octoedru, cub, dodecaedru, icosaedru. Pentru tertaedru: V = 4, M = 6, F = 4; pentru octoedru: V = 6, M = 12, F = 8; pentru cub: V = 8, M = 12, F = 6; pentru dodecaedru: V = 20, M = 30, F = 12; pentru icosaedru: V = 12, M = 30, F = 20. Ȋntr-adevǎr, pentru toate cele cinci poliedre regulate avem: V – M + F = 2.

O astfel de metodǎ de raționament, ȋn care concluzia rezultǎ pe baza cercetǎrii tuturor cazurilor, se numește inducție completǎ. Ȋn ciuda denumirii sale, aceastǎ metodǎ nu este inductivǎ, ci deductivǎ, deoarece sunt studiate separat cazuri particulare. Inducția completǎ are un domeniu restrȃns de aplicabilitate ȋn matematicǎ, deoarece propozițiile matematice se referǎ de obicei la o mulțime infinitǎ de elemente și nu este posibil de cercetat pentru toate aceste elemente.

1.2. PRINCIPII ȘI METODE ALE INDUCȚIEI MATEMATICE

Existǎ douǎ principii ale inducției matematice, ele fiind echivalente. Acestor principii le corespund metode de aplicare a inducției matematice pentru rezolvarea de probleme.

La baza primului principiu al inducției matematice stǎ axioma P3) din sistemul de axiome al lui Peano, cunoscutǎ sub numele de axioma inducției.

Axiomele lui Peano

P1) 0 nu este succesorul nici unui numǎr natural;

P2) numere naturale diferite au succesori diferiți;

P3) dacǎ o mulțime P de numere naturale conține pe 0 și odatǎ cu orice numǎr natural n conține și succesorul sǎu n’, atunci P coincide cu mulțimea tuturor numerelor naturale.

O comparație cu principiul inducției matematice este jocul de domino. Presupunem cǎ piesele de domino sunt aliniate potrivit, astfel ȋncȃt dacǎ una cade, succesoarea ei va cadea de asemenea. Ȋmpingȃnd prima piesǎ de domino, va cǎdea a doua piesǎ; cȃnd a doua piesǎ cade, va cǎdea a treia piesǎ și asa mai departe. Putem observa cǎ toate piesele de domino vor cǎdea pȃnǎ la urmǎ.

Primul principiu al inducției matematice

Dacǎ o propoziție P(), fiind un numǎr natural, este adevǎratǎ pentru = 0, și, din aceea cǎ ea este adevǎratǎ pentru = , unde este un numǎr natural oarecare, rezultǎ cǎ ea este adevǎratǎ și pentru numǎrul natural = +1, atunci propoziția P() este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

Demonstrație:

Fie o propoziție P(), unde , care satisface ipoteza primului principiu al inducției matematice, adicǎ:

este adevǎratǎ și este adevǎratǎ .

Fie .

este adevǎratǎ .

este adevǎratǎ este adevǎratǎ

este adevǎratǎ .

Metoda inducției matematice asociatǎ primului principiu al inducției matematice

Fie P(n) o propoziție care depinde de un numǎr natural n m, m fiind un numǎr natural fixat.

Demonstrația prin metoda inducției matematice a propoziției P(n) constǎ ȋn parcurgerea a douǎ etape.

1) Se verificǎ mai ȋntȃi cǎ P(m) este adevǎratǎ.

2) Se presupune cǎ P(k) este adevǎratǎ și se demonstreazǎ cǎ P(k+1) este adevǎratǎ, k fiind un numǎr natural mai mare sau egal cu m (adicǎ P(k) P(k+1), k m).

Dacǎ ambele etape ale demonstrației sunt verificate, atunci propoziția P(n) este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural n m.

Cele douǎ etape ale demonstrației prin metoda inducției matematice sunt la fel de importante. Ne-am convins din exemplele anterioare de necesitatea pǎrții a doua a demonstrației. Ȋnsǎ și partea ȋntȃi a demonstrației este la fel de importantǎ. Doar demonstrația faptului cǎ dacǎ o propoziție este adevǎratǎ pentru un numǎr oarecare n, atunci ea este adevǎratǎ și pentru numǎrul n + 1, nu este suficientǎ, deoarece se poate ȋntȃmpla ca aceastǎ propoziție sǎ nu fie deloc valabilǎ pentru nici o valoare ȋntreagǎ a lui n. De exemplu, dacǎ presupunem cǎ un ȋntreg oarecare n este egal cu ȋntregul imediat urmǎtor, adicǎ n = n + 1, atunci adǎugȃnd la ambii membri ai acestei egalitǎți cȃte o unitate, obținem n + 1 = n + 2, adicǎ și numǎrul n + 1 este egal cu numǎrul imediat urmǎtor. De aici nu rezultǎ cǎ propoziția enunțatǎ este adevǎratǎ pentru toți n, deoarece ea nu este adevǎratǎ pentru nici un numǎr ȋntreg.

Metoda inducției matematice are o largǎ utilizare ȋn matematicǎ. Ea poate fi folositǎ la calcularea unor sume și produse, la demonstrarea unor egalitǎți și inegalitǎți, ȋn probleme de divizibilitate a numerelor.

Exemplul 1. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice numǎr natural nenul are loc egalitatea:

Rezolvare:

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

La baza celui de-al doilea principiu al inducției matematice stǎ proprietatea de bunǎ ordonare a mulțimii numerelor naturale.

Teoremǎ (proprietatea de bunǎ ordonare a mulțimii numerelor naturale)

Orice submulțime nevidǎ a mulțimii numerelor naturale are un prim element.

Demonstrație:

Fie o submulțime nevidǎ. Dacǎ , atuncǎ , atunci este primul element al sǎu. Dacǎ , fie mulțimea numerelor naturale , astfel ȋncȃt , oricare ar fi . și dacǎ , atunci . Deci .

Vom arǎta cǎ existǎ un numǎr natural astfel ȋncȃt Presupunem cǎ pentru oricare avem .

Fie propoziția P(): Dacǎ , atunci .

Deoarece , rezultǎ P() adevǎratǎ.

Mai mult, P() P(), deoarece dupǎ presupunerea fǎcutǎ, dacǎ atunci .

Conform metodei inducției matematice, rezultǎ , contradicție. Deci existǎ astfel ȋncȃt .

Arǎtǎm cǎ este numǎrul cǎutat. Ȋntr-adevǎr , pentru orice . Mai mult, ; ȋn caz contrar, pentru orice și deci , pentru orice . Deci, , contradicție.

Al doilea principiu al inducției matematice

Dacǎ o propoziție P(n), n fiind un numǎr natural, este adevǎratǎ pentru n = 0 și, din faptul cǎ ea este adevǎratǎ pentru toate numerele n < k, k fiind un numǎr natural nenul oarecare, rezultǎ cǎ ea este adevǎratǎ și pentru n = k, atunci P(n) este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural n.

Demonstrație:

Fie submulțimea mulțimii a numerelor naturale pentru care este falsǎ. Dacǎ submulțimea este nevidǎ, atunci ea are un prim element . Acest prim element nu poate fi 0, deoarece este adevǎratǎ. Deci . Pentru orice , este adevǎratǎ, deoarece este cel mai mic numǎr pentru care este falsǎ. Din ipotezǎ rezultǎ cǎ este adevǎratǎ și pentru . Astfel, ajungem la o contradicție, fiind ȋn același timp și falsǎ și adevǎratǎ. Deci, mulțimea este vidǎ, adicǎ nu existǎ numere naturale pentru care este falsǎ. Prin urmare, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

Metoda inducției matematice asociatǎ celui de-al doilea principiu al inducției matematice

Fie P() o propoziție care depinde de un numǎr natural , fiind un numǎr natural fixat.

Demonstrația prin aceastǎ variantǎ a metodei inducției matematice a propoziției P() constǎ din:

1) Se verificǎ mai ȋntȃi cǎ P() este adevǎratǎ.

2) Se presupune cǎ P() este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , unde , și se demonstreazǎ cǎ P() este adevǎratǎ (k fiind un numǎr natural oarecare mai mare decȃt m).

Dacǎ ambele etape ale demonstrației sunt verificate, atunci propoziția P() este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

Exemplul 2. Fie a1, a2, a3, … un șir de numere reale astfel ȋncȃt ai+j ai + aj pentru i, j = 1, 2, … . Demonstrați cǎ

Rezolvare:

Notǎm cu inegalitatea de demonstrat.

Inegalitatea este adevǎratǎ pentru n = 1, deoarece a1 a1 .

Presupunem cǎ inegalitatea este adevǎratǎ pentru n = 1, 2, …, k, unde k este un numǎr natural nenul.

Adunȃnd inegalitǎțile:

a1 a1

∙

∙

∙

obținem

Observǎm cǎ inegalitatea este adevǎratǎ și pentru n = k + 1.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, inegalitatea este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul n.

1.3. ALTE VARIANTE ALE METODEI INDUCȚIEI MATEMATICE

O altǎ variantǎ a metodei inducției matematice

Fie P() o propoziție care depinde de un numǎr natural , fiind un numǎr natural fixat.

Demonstrația prin aceastǎ variantǎ a metodei inducției matematice a propoziției P() constǎ din:

1) Se verificǎ mai ȋntȃi cǎ P(), P(), …, P( sunt adevǎrate ( fixat).

2) Se presupune cǎ P() este adevǎratǎ și se demonstreazǎ cǎ P() este adevǎratǎ.

Dacǎ ambele etape ale demonstrației sunt verificate, atunci propoziția P() este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

Exemplul 1. Demonstrați cǎ pentru orice numǎr natural n, existǎ numerele ȋntregi distincte x, y, z pentru care x2 + y2 + z2 = 14n .

Rezolvare:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru n = 1 și n = 2, existǎ 12 + 22 + 32 = 14 și 42 + 62 + 122 = 142 .

Presupunem cǎ, pentru n = k (unde k este un numǎr natural), existǎ numerele ȋntregi distincte x0, y0, z0, astfel ȋncȃt x02 + y02 + z02 = 14k .

Rezultǎ cǎ (14×0)2 + (14y0)2 + (14z0)2 = 14k+2. Deci existǎ numerele ȋntregi distincte 14×0, 14y0, 14z0 astfel ȋncȃt este adevǎratǎ pentru .

Deci, pentru orice numǎr natural n, existǎ numerele ȋntregi distincte x, y, z pentru care x2 + y2 + z2 = 14n.

Inducția inversǎ

Datǎ fiind o propoziție P(n), cu n numǎr natural. Dacǎ:

1. P(n) este adevǎratǎ pentru o infinitate de valori;

2. Implicația P(k) P(k 1) este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural k > 1, atunci P(n) este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural n.

Exemplul 2. Inegalitatea mediilor

Demonstrați cǎ pentru numerele nenegative a1, a2, a3, …, an, cu , are loc inegalitatea

Rezolvare:

Notǎm cu inegalitatea de demonstrat.

Presupunem cǎ inegalitatea este valabilǎ pentru n = k, unde k este un numǎr natural nenul.

Considerǎm cazul n = 2k. Folosind cazul n = 2, avem:

Inegalitatea este valabilǎ pentru n = 2k , deci este valabilǎ pentru toate puterile pozitive ale lui 2. Cu alte cuvinte, condiția (1) din teorema anterior prezentatǎ (inducția inversǎ) este satisfǎcutǎ.

Presupunem din nou cǎ inegalitatea este valabilǎ pentru n = k, unde k este un numǎr natural nenul. Deci,

Aplicȃnd substituția

Deci inegalitatea este valabilǎ pentru n = k – 1 .

Conform teoremei anterioare (inducția inversǎ), inegalitatea este adevǎratǎ pentru orice numere nenegative a1, a2, a3, …, an , .

Ȋn matematicǎ se folosesc deseori propoziții cu mai multe variabile. Inducția matematicǎ poate fi folositǎ si pentru demonstrarea unor astfel de propoziții.

Inducția bidimensionalǎ (varianta 1)

Datǎ fiind o propoziție P(m, n), cu m și n numere naturale. Dacǎ:

1. P(0, 0) este adevǎratǎ;

2. Implicația P(k, 0) P(k+1, 0) este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural k 0;

3. Implicația P(h, k) P(h, k+1) este adevǎratǎ pentru orice numere naturale h, k 0, atunci P(m, n) este adevǎratǎ pentru orice numere naturale m, n.

Inducția bidimensionalǎ (varianta 2)

Datǎ fiind o propoziție P(m, n), cu m și n numere naturale. Dacǎ:

1. P(0, 0) este adevǎratǎ;

2. Dacǎ din faptul cǎ P(m, n) este adevǎratǎ atunci cȃnd fiind un numǎr natural nenul oarecare, rezultǎ cǎ P(m, n) este adevǎratǎ atunci cȃnd , atunci P(m, n) este adevǎratǎ pentru orice numere naturale m, n.

1.4. REZULTATE MATEMATICE DEMONSTRATE CU AJUTORUL INDUCȚIEI MATEMATICE

1. Sǎ se demonstreze egalitatea:

, pentru orice numǎr natural și orice numere reale .

Demonstrație:

Fie propoziția

.

Pentru , formula poate fi demonstratǎ direct prin ȋnmulțire. Deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ, unde

.

Notǎm

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

2. Al n-lea termen al unei progresii aritmetice poate fi calculat dupǎ formula

,

unde este primul termen, este rația progresiei și numǎr natural nenul.

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ .

Atunci ,

adicǎ propoziția este adevǎratǎ și pentru

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

3. Al n-lea termen al unei progresii geometrice poate fi calculat dupǎ formula

,

unde este primul termen , este rația progresiei și .

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ .

Atunci ,

adicǎ propoziția este adevǎratǎ și pentru

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

4. Oricare ar fi , numǎr natural, numǎrul permutǎrilor de elemente poate fi calculat dupǎ formula .

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru propoziția este adevǎratǎ, deoarece .

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ . Demonstrǎm cǎ .

Din elemente date: sǎ luǎm numai primele și sǎ alcǎtuim din ele toate permutǎrile posibile. Prin ipotezǎ numǎrul lor este . Ȋn fiecare din aceste permutǎri sǎ punem elementul succesiv ȋn fața primului element, celui de-al doilea element, … ȋn fața elementului de pe poziția și dupǎ elementul de pe poziția . Pe aceastǎ cale dintr-o permutare de elemente obținem permutǎri de elemente. Avem ȋn total permutǎri de elemente.

Deci , adicǎ propoziția este adevǎratǎ și pentru

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

5. Dacǎ și sunt numere naturale astfel ȋncȃt , numǎrul de aranjamente de elemente luate cȃte poate fi calculat dupǎ formula

.

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru propoziția este adevǎratǎ, deoarece .

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ , unde .

Demonstrǎm cǎ .

Pentru a obține toate aranjamentele de elemente luate cȃte este suficient sǎ luǎm toate aranjamentele de elemente luate cȃte și fiecǎruia din ele sǎ-i adǎugǎm la capǎt fiecare din cele elemente rǎmase. Aranjamentele de elemente luate cȃte alcǎtuite ȋn acest fel sunt toate diferite.

Deci, .

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , unde .

6. Dacǎ și sunt numere naturale, astfel ȋncȃt , numǎrul de combinǎri de elemente luate cȃte poate fi calculat dupǎ formula

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru propoziția este adevǎratǎ, deoarece .

Și pentru propoziția este adevǎratǎ, deoarece .

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ

Pentru obținerea tuturor combinǎrilor de elemente luate cȃte scriem toate combinǎrile de elemente luate cȃte și fiecǎreia din ele ȋi adǎugǎm al -lea element din cele elemente rǎmase.

Este clar cǎ pe aceastǎ cale vom obține toate combinǎrile de elemente luate cȃte , ȋnsǎ fiecare din ele apare de ori.

Deoarece cele douǎ etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , unde cu numǎr natural.

7. Oricare ar fi numerele și și numǎrul natural , avem formula

(binomul lui Newton).

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru propoziția este adevǎratǎ, deoarece .

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ

.

Atunci

.

Avȃnd ȋn vedere cǎ , obținem

.

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

8. Inegalitatea Cauchy-Buniakowski-Schwarz

Oricare ar fi numerele reale , unde , avem:

.

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru , propoziția este evident adevǎratǎ.

Demonstrǎm propoziția și pentru .

Ȋn egalitatea folosim inegalitatea evidentǎ și obținem cǎ

.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ (1)

Notǎm: (2)

Din relațiile (1) și (2) obținem (3)

Pentru k+1 numere, folosind notațiile (2), putem scrie

Din inegalitatea mediilor, avem (4)

Din relațiile (3) și (4) obținem cǎ

Utilizȃnd (2), rezultǎ cǎ

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

9. Principiul includerii și al excluderii

Fie o mulțime finitǎ iar submulțimi ale lui , . Atunci:

.

Demonstrație:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Pentru egalitatea din enunț se reduce la , ceea ce este evident.

Pentru trebuie demonstratǎ egalitatea:

(1)

care de asemenea este adevǎratǎ, deoarece elementele din apar atȃt la cȃt și la .

Presupunem egalitatea din enunț adevǎratǎ pentru oricare submulțimi ale lui cu și o vom demonstra pentru submulțimi .

Aplicȃnd ipoteza de inducție și pentru obținem:

Tinȃnd cont de relațiile (3) și (4), relația (2) devine:

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, egalitatea din enunț este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

10. Dacǎ scriem ȋn ordine crescǎtoare numerele naturale impare 1, 3, 5, 7, … și notǎm primul dintre ele cu , al doilea cu , al treilea cu , etc., adicǎ , , , , … , sǎ se stabileascǎ formula care exprimǎ numǎrul impar , ȋn funcție de numǎrul sǎu de ordine , cu numǎr natural nenul.

Rezolvare:

Primul numǎr impar poate fi scris: ;

al doilea numǎr impar poate fi scris: ;

al treilea numǎr impar poate fi scris: .

Privind aceste egalitǎți, putem enunța ipoteza cǎ pentru obținerea oricǎrui numǎr natural impar trebuie ca din dublul numǎrului sǎu de ordine sǎ scǎdem 1, adicǎ pentru al -lea numǎr avem formula .

Fie propoziția .

Pentru propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru , adicǎ numǎrul impar de pe poziția are forma .

Atunci .

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

11. Sǎ se calculeze suma primelor numere naturale impare folosind metoda inducției matematice.

Rezolvare:

Fie , .

, , , , , .

Observǎm cǎ , , , , , .

Putem presupune cǎ ȋn general .

Fie .

, deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ.

, deci este adevǎratǎ.

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

12. Sǎ se demonstreze cǎ suma pǎtratelor primelor numere naturale nenule este egalǎ

Rezolvare:

este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

13. Sǎ se demonstreze cǎ suma cuburilor primelor numere naturale nenule este egalǎ

Rezolvare:

este adevǎratǎ.

deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

Rezolvare:

deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

15. Sǎ se arate cǎ pentru avem:

Rezolvare:

Presupunem cǎ

este adevǎratǎ, .

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul n.

16. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice este adevǎratǎ inegalitatea:

Rezolvare:

Particularitatea acestui exercițiu constǎ ȋn aceea cǎ se poate face o ipotezǎ mai tare care poate fi demonstratǎ prin inducție.

Fie propoziția

P(1) și P(2) sunt adevǎrate.

Presupunem P(k) adevǎratǎ, unde

Adunǎm ambilor membri Obținem :

Rǎmȃne de arǎtat cǎ

Cum aceastǎ inegalitate este adevǎratǎ pentru rezultǎ cǎ P(k + 1) este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural

17. Sǎ se arate cǎ pentru orice numǎr natural are loc egalitatea:

Rezolvare:

Fie propoziția

Presupunem P(k) adevǎratǎ, unde

Ȋnmulțim ambii membri cu și obținem:

.

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice .

Prin urmare, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

Rezolvare:

Presupunem P(k) adevǎratǎ, unde

Ȋnmulțim relațiile (1) și (2) :

propoziția este adevǎratǎ.

.

Presupunem Q(k) adevǎratǎ, unde

Ȋnmulțim relațiile (3) și (4) :

propoziția este adevǎratǎ.

orice .

19. Sǎ se arate cǎ pentru orice numǎr natural , , are loc inegalitatea:

Rezolvare:

adevǎrat.

Presupunem P(k) adevǎratǎ, unde

Deoarece P(2) și sunt adevǎrate, prima inegalitate este demonstratǎ.

Presupunem Q(k) adevǎratǎ, unde

limita .

Deoarece Q(2) și sunt adevǎrate, a doua inegalitate este demonstratǎ.

Cele douǎ inegalitǎți justificǎ afirmația din enunț, adicǎ

20. Sǎ se arate cǎ cu se divide cu .

Rezolvare:

Fie propoziția , deci este adevǎratǎ.

Presupunem adevǎratǎ, unde

Deci,

.

Rezultǎ cǎ este adevǎratǎ.

Deoarece P(0) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural.

21. Fie , . Sǎ se arate cǎ , .

Rezolvare:

Fie propoziția .

, deci este adevǎratǎ.

Presupunem adevǎratǎ, unde

, deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

22.

Rezolvare:

.

Presupunem adevǎratǎ, unde

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

23. Sǎ se calculeze:

Rezolvare:

Examinȃnd aceste rezultate, putem observa cǎ

, , , .

Aceasta ne dǎ posibilitatea sǎ enunțǎm ipoteza cǎ

Fie propoziția .

Pentru ipoteza este adevǎratǎ deoarece , deci P(1) este adevǎratǎ.

Presupunem adevǎratǎ, rezultǎ cǎ

.

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

Deci, pentru orice .

24. Demonstrați cǎ:

Rezolvare:

Presupunem adevǎratǎ, unde

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

25. Sǎ se demonstreze cǎ:

Rezolvare:

Presupunem adevǎratǎ, unde

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

26. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice și pentru orice numǎr natural nenul este adevǎratǎ inegalitatea:

Rezolvare:

Inegalitatea (2) este adevǎratǎ deoarece .

Inegalitatea (2) este adevǎratǎ pentru orice , deci ea este adevǎratǎ și atunci cȃnd ȋnlocuim pe cu , adicǎ

Adǎugȃnd 1 la fiecare membru al ultimei inegalitǎți, obținem inegalitatea (3).

Deci, este adevǎratǎ pentru și .

Presupunem cǎ inegalitatea (1) este adevǎratǎ pentru , adicǎ

Trebuie sǎ demonstrǎm cǎ inegalitatea (1) este adevǎratǎ și pentru , adicǎ

Ȋnlocuind ȋn inegalitatea (2) pe cu , obținem

Adunȃnd termen cu termen inegalitǎțile (4) și (6) obținem inegalitatea (5).

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1), P(2) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

27. Dacǎ este descompunerea ȋn factori primi a numǎrului natural , unde , , … sunt numere naturale prime, iar , , … , sǎ se arate cǎ numǎrul divizorilor pozitivi ai lui este .

Rezolvare:

Notǎm cu numǎrul de divizori pozitivi ai lui , unde este descompunerea ȋn factori primi a numǎrului natural , cu , , … numere naturale prime, , , … , .

Fie .

. Deoarece și divizorii pozitivi ai lui sunt: 1, rezultǎ cǎ este adevǎratǎ.

Presupunem adevǎratǎ, unde

, numǎrul de divizori pozitivi ai lui , unde este descompunerea ȋn factori primi a numǎrului natural , cu , , … numere naturale prime și , , … .

Trebuie sǎ demonstrǎm cǎ este adevǎratǎ, unde

, numǎrul de divizori pozitivi ai lui , unde este descompunerea ȋn factori primi a numǎrului natural , cu , , … numere naturale prime și , , … .

Numǎrul are divizori.

Cum ,

, deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

28. Fie și un numǎr prim. Atunci se divide cu .

(mica teoremǎ a lui Fermat)

Demonstrație:

Pentru un numǎr prim oarecare și , fie : se divide cu .

este adevǎratǎ deoarece .

este adevǎratǎ deoarece .

Presupunem cǎ este adevǎratǎ, unde .

numai factori mai mici decȃt și deci nedivizibili cu ).

Cum se divide cu și se divide cu rezultǎ cǎ

se divide cu și deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(0) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural.

Pentru , , oricare ar fi .

Pentru și , punem , cu și deci .

Deci, se divide cu , oricare ar fi și un numǎr prim.

29. Pentru orice existǎ și o alegere convenabilǎ a semnelor și astfel ȋncȃt (teorema Erdos-Suranyi).

Demonstrație:

Este suficientǎ demonstrația pentru numere pozitive.

Fie propoziția din enunț cu .

Deci sunt adevǎrate.

Vom demonstra implicația .

Avem identitatea .

Presupunȃnd adevǎratǎ, adicǎ rezultǎ

Deci este adevǎratǎ. Ȋn concluzie, este adevǎratǎ pentru orice .

30. Sǎ se afle termenul general al șirului pentru care , , pentru orice .

Rezolvare:

este adevǎratǎ.

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

31. Fie șirul oricare ar fi , dat prin relația

Rezolvare:

Folosind relația din enunț calculǎm

Cum obținem .

.

cu rǎdǎcinile și .

Cum obținem .

Putem presupune cǎ , .

Fie .

, adevǎratǎ.

Presupunem adevǎratǎ.

Dar nu convine Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul. Adicǎ

Trecȃnd la șirul , avem:

Deci este crescǎtor.

Deoarece șirul este monoton și mǎrginit rezultǎ cǎ este convergent.

Rezolvare:

Pentru avem:

………………

Prin adunare obținem:

inducție.

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice .

33. Sǎ se demonstreze cǎ pentru și avem

Demonstrație:

Pentru avem și deci este adevǎratǎ.

Presupunem adevǎratǎ și vom arǎta cǎ este adevǎratǎ, adicǎ

Punctele de extrem ale lui se gǎsesc printre rǎdǎcinile derivatei .

Din deducem .

Cum ȋn punctele de extrem avem și limitele lui ȋn 0 și sunt 0, rezultǎ pentru orice , deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

34. Fie Sǎ se calculeze .

Rezolvare:

Scriind avem succesiv:

Fie propoziția

, deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ.

Derivȃnd aceastǎ relație avem:

și deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul.

Rezultǎ de aici:

35. Fie , și de ori derivabile. Sǎ se demonstreze formula lui Leibnitz:

.

Demonstrație:

Fie

Pentru formula devine și este formula de derivare a produsului a douǎ funcții. Deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ, unde:

Derivȃnd aceastǎ relație avem:

.

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ oricare ar fi .

Rezolvare:

Presupunȃnd adevǎratǎ avem:

Rezultǎ cǎ este adevǎratǎ.

Deoarece P(0) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ oricare ar fi și numere naturale cu .

Rezolvare:

Presupunem adevǎrat și avem:

Rezultǎ cǎ este adevǎratǎ.

Deoarece P(2) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ oricare ar fi numǎr natural, .

38. Fie o funcție de douǎ variabile, cu și

unde și sunt numere naturale nenule. Demonstrați cǎ

, unde .

Rezolvare:

, deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ.

Deci .

Atunci,

, deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ.

Deci .

Atunci,

, deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1, 1), și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ .

39. Sǎ se arate cǎ este ȋntreg par pentru orice numǎr natural nenul n.

Rezolvare:

Fie și .

Fie este numǎr ȋntreg par.

, deci este adevǎratǎ.

, deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ și sunt adevǎrate. Rezultǎ cǎ și sunt numere ȋntregi pare.

și sunt rǎdǎcinile ecuației .

Deci, și .

, deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(1), P(2) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ oricare ar fi .

2. INDUCȚIA MATEMATICǍ ȊN GEOMETRIE

2.1. CALCULUL PRIN INDUCȚIE

Cea mai fireascǎ aplicație a metodei inducției matematice ȋn geometrie este ȋn rezolvarea problemelor de calcul.

Exemplul 1. Sǎ se calculeze latura a unui poligon regulat cu laturi, ȋnscris ȋntr-un cerc de razǎ R, unde este un numǎr natural mai mare sau egal cu 2.

Rezolvare:

Pentru , poligonul regulat cu laturi reprezintǎ un pǎtrat cu latura .

latura octogonului regulat.

Ȋn același mod gǎsim latura poligonului regulat cu 16 laturi , latura poligonului regulat cu 32 de laturi .

Presupunem cǎ latura unui poligon regulat cu laturi, ȋnscris ȋntr-un cerc de razǎ

Calculǎm folosind formula dublǎrii.

Deci este adevǎratǎ.

Deoarece P(2) și sunt adevǎrate, este adevǎratǎ oricare ar fi numǎr natural, .

Deci este valabilǎ pentru orice numǎr natural .

Exemplul 2. Sǎ se determine suma unghiurior interne ale unui poligon cu n laturi.

Rezolvare:

Suma unghiurilor interne ale unui triunghi este egalǎ cu douǎ unghiuri drepte (2d).

Suma unghiurilor interne ale unui patrulater este egalǎ cu patru unghiuri drepte (4d), deoarece orice patrulater poate fi descompus ȋn douǎ triunghiuri.

Fig. 1

Intuim cǎ suma unghiurilor interne a unui poligon cu n laturi este egalǎ cu .

Mai ȋntȃi demonstrǎm cǎ ȋn orice poligon se poate gǎsi o diagonalǎ care sǎ-l descompunǎ ȋn douǎ poligoane cu un numǎr mai mic de laturi.

Fie , , trei vȃrfuri vecine oarecare ale unui poligon. Prin vȃrful ducem semidrepte care sǎ acopere unghiul intern al poligonului, pȃnǎ la intersecția lor cu conturul poligonului. Sunt posibile douǎ cazuri:

Fig. 2

a) Toate semidreptele intersecteazǎ aceeași laturǎ a poligonului (fig. 2, a). Ȋn acest caz, diagonala descompune poligonul cu n laturi ȋntr-un poligon cu laturi și un triunghi.

b) Nu toate semidreptele intersecteazǎ aceeași laturǎ a poligonului (fig. 2, b). Ȋn acest caz, una dintre semidrepte va trece printr-un vȃrf al poligonului, iar diagonala va descompune poligonul ȋn douǎ poligoane cu un numǎr mai mic de laturi.

Demonstrǎm cǎ suma unghiurilor interne a unui poligon cu n laturi este egalǎ cu .

suma unghiurilor interne a unui poligon cu n laturi este egalǎ cu .

Propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ suma unghiurilor interne a oricǎrui poligon cu k laturi, , este egalǎ cu și demonstrǎm cǎ suma unghiurilor interne a unui poligon cu n laturi este egalǎ cu .

Trasǎm ȋn poligonul cu n laturi diagonala care ȋl descompune ȋn poligonul cu k laturi și poligonul cu laturi . Conform ipotezei fǎcute, suma unghiurilor interne ale poligonului cu k laturi este egalǎ cu , iar suma unghiurilor interne ale poligonului cu laturi este egalǎ cu .

Suma unghiurilor interne ale poligonului cu n laturi va fi

,

de unde rezultǎ valabilitatea propoziției pentru orice numǎr natural n, .

Observație:

Ȋn orice poligon se poate gǎsi o diagonalǎ care sǎ-l descompunǎ ȋn douǎ poligoane cu un numǎr mai mic de laturi. Fiecare din aceste poligoane, care nu este triunghi, se poate din nou descompune ȋn douǎ poligoane cu un numǎr mai mic de laturi etc. Deci, orice poligon poate fi descompus ȋn triunghiuri cu ajutorul unor diagonale nesecante.

Exemplul 3. Ȋn cȃte triunghiuri poate fi descompus un poligon cu n laturi (nu neaparat poligon convex) cu ajutorul diagonalelor sale nesecante?

Rezolvare:

Pentru triunghi acest numǎr este egal cu unitatea deoarece ȋn triunghi nu poate fi trasatǎ nici o diagonalǎ. Un patrulater se poate descompune ȋn douǎ triunghiuri (fig. 1, a și b).

Intuim cǎ un poligon cu laturi se descompune prin diagonale nesecante ȋn triunghiuri.

Fie : Un poligon cu laturi se descompune prin diagonale nesecante ȋn triunghiuri.

Propozițiile și sunt adevǎrate.

Presupunem cǎ orice poligon cu k laturi, , se descompune prin diagonale nesecante ȋn triunghiuri, indiferent de modul descompunerii.

Fie poligonul cu n laturi , iar una dintre diagonalele descompunerii acestui poligon ȋn triunghiuri. Aceastǎ diagonalǎ ȋmparte poligonul cu n laturi , ȋn poligonul cu k laturi și poligonul cu laturi . Conform ipotezei fǎcute, numǎrul total al triunghiurilor din descompunere va fi

.

Prin urmare, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

Exemplul 4. Sǎ se determine numǎrul de diagonale nesecante folosite ȋn descompunerea poligonului cu n laturi ȋn triunghiuri.

Rezolvare:

Pentru un patrulater acest numǎr este egal cu unitatea.

Intuim cǎ numǎrul de diagonale nesecante folosite ȋn descompunerea poligonului cu n laturi ȋn triunghiuri este .

Fie : Numǎrul de diagonale nesecante folosite ȋn descompunerea poligonului cu n laturi ȋn triunghiuri este .

Propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ ȋn orice poligon cu k laturi, , sunt folosite diagonale nesecante pentru descompunerea poligonului ȋn triunghiuri.

Fie poligonul cu n laturi , iar una dintre diagonalele descompunerii acestui poligon ȋn triunghiuri. Aceastǎ diagonalǎ ȋmparte poligonul cu n laturi , ȋn poligonul cu k laturi și poligonul cu laturi . Conform ipotezei fǎcute, numǎrul total al diagonalelor nesecante folosite va fi

.

Prin urmare, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

2.2. DEMONSTRAȚIA PRIN INDUCȚIE

Unele exemple din paragraful precedent pot fi reformulate și considerate ca exemple de aplicare a metodei inducției matematice pentru demonstrația teoremelor de geometrie. De exemplu, propoziția din exemplul 2 poate fi reformulatǎ astfel: sǎ se demonstreze cǎ suma unghiurilor interne ale unui poligon cu n laturi este egalǎ cu . Ȋn acest paragraf vor fi prezentate și alte exemple de acest tip.

Exemplul 5. Se dau n pǎtrate arbitrare. Sǎ se demonstreze cǎ ele pot fi tǎiate ȋn pǎrți, astfel ȋncȃt din pǎrțile obținute sǎ se poatǎ construi un nou pǎtrat.

Rezolvare:

Fie : pǎtrate arbitrare pot fi tǎiate ȋn pǎrți, astfel ȋncȃt din pǎrțile obținute sǎ se poatǎ construi un nou pǎtrat.

este adevǎratǎ. Demonstrǎm cǎ este adevǎratǎ.

Fie pǎtratele și cu laturile de lungimi x, respectiv y, . Pe laturile pǎtratului marcǎm segmentele

Tǎiem acest pǎtrat dupǎ dreptele și care se intersecteazǎ ȋn centrul al pǎtratului și care formeazǎ ȋntre ele un unghi drept. Aceste drepte descompun pǎtratul ȋn patru pǎrți egale. Aplicǎm aceste bucǎți pǎtratului . Figura obținutǎ va fi tot un pǎtrat deoarece unghiurile , , , sunt drepte, unghiurile cu vȃrfurile ȋn , , , au mǎsurile de și .

Deci este adevǎratǎ.

a)

b)

Fig. 3

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru pǎtrate și demonstrǎm cǎ este adevǎratǎ pentru pǎtrate , , … , , .

Alegem douǎ pǎtrate oarecare, de exemplu și . Așa cum am arǎtat anterior, tǎind unul dintre aceste pǎtrate și aplicȃnd bucǎțile obținute celuilat pǎtrat, se poate obține un nou pǎtrat . Apoi, conform ipotezei fǎcute, pǎtratele , , … , , pot fi tǎiate ȋn pǎrți astfel ȋncȃt din aceste pǎrți se poate construi un nou pǎtrat, ceea ce trebuia demonstrat.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

Deci pǎtrate arbitrare pot fi tǎiate ȋn pǎrți, astfel ȋncȃt din pǎrțile obținute sǎ se poatǎ construi un nou pǎtrat.

Exemplul 6. Sǎ se demonstreze cǎ drepte diferite, duse ȋntr-un plan printr-un singur punct, ȋmpart planul ȋn regiuni.

Rezolvare:

Fie : drepte diferite, duse ȋntr-un plan printr-un singur punct, ȋmpart planul ȋn regiuni.

Pentru propoziția este adevǎratǎ deoarece o dreaptǎ ȋmparte planul ȋn douǎ regiuni.

Presupunem cǎ un numǎr de drepte diferite duse printr-un singur punct ȋmpart planul ȋn regiuni. Atunci, a -a dreaptǎ, dusǎ prin același punct, ȋmparte douǎ din aceste regiuni ȋn douǎ pǎrți. Astfel, planul va fi ȋmpǎrțit ȋn regiuni.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

Exemplul 7. Sǎ se demonstreze cǎ drepte dintr-un plan ȋmpart planul ȋn domenii pe care le putem vopsi cu culorile alb și negru, astfel ȋncȃt toate domeniile ȋnvecinate sǎ fie vopsite cu culori diferite.

Rezolvare:

Fie : drepte dintr-un plan ȋmpart planul ȋn domenii pe care le putem vopsi cu culorile alb și negru, astfel ȋncȃt toate domeniile ȋnvecinate sǎ fie vopsite cu culori diferite.

Dacǎ , propoziția este adevǎratǎ, deoarece dacǎ avem o dreaptǎ , aceasta ȋmparte planul ȋn douǎ semiplane și pe care le putem colora cu culori diferite.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru drepte, iar planul este vopsit corect. A -a dreaptǎ ȋmparte planul ȋn douǎ semiplane și . Ȋn semiplanul pǎstrǎm culorile așa cum sunt, iar ȋn semiplanul ȋnlocuim culoarea albǎ cu culoarea neagrǎ și invers. Fie și domeniile ȋnvecinate obținute dupǎ trasarea dreptei . Dacǎ și se aflǎ de ambele pǎrți ale dreptei , atunci ȋnainte de trasarea dreptei ele formau un singur domeniu și erau vopsite cu aceeași culoare. Dupǎ trasarea dreptei , unul dintre domeniile sau , cel care se gǎsește ȋn semiplanul și-a pǎstrat culoarea, iar cel care se gǎsește ȋn semiplanul și-a schimbat culoarea. Deci acum au culori diferite. Dacǎ și se aflǎ de aceeași parte a dreptei , atunci ele erau vopsite diferit ȋnainte de trasarea dreptei . Dupǎ trasarea dreptei , dacǎ și se aflǎ ȋn si-au pǎstrat culoarea, iar dacǎ se aflǎ ȋn culoarea fiecǎreia dintre ele s-a schimbat. Deci și ȋn cazul planul este vopsit corect.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

Exemplul 8. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice numǎr natural , , un pǎtrat poate fi ȋmpǎrțit ȋn pǎtrate.

Rezolvare:

Notǎm cu propoziția din enunț.

Din figurile de mai jos observǎm cǎ , și sunt adevǎrate.

Demonstrǎm implicația .

Presupunȃnd fǎcutǎ ȋmpǎrțirea ȋn pǎtrate, unul dintre ele se ȋmparte ȋn patru pǎtrate egale și se obțin astfel pǎtrate.

Deci implicația este adevǎratǎ.

Prin urmare este adevǎratǎ pentru orice , .

Exemplul 9. Se dǎ triunghiul . Prin vȃrful sǎu sunt duse drepte , , …, care descompun triunghiul ȋn triunghiuri mai mici , , …, . Dacǎ notǎm cu , , …, razele cercurilor ȋnscrise ȋn aceste triunghiuri, cu , , …, razele cercurilor exȋnscrise acestor triunghiuri (toate cercurile exȋnscrise sunt ȋnscrise ȋn unghiul al triunghiului) și cu și razele cercului ȋnscris și cercului exȋnscris triunghiului , atunci sǎ se demonstreze cǎ

Rezolvare:

Notǎm cu aria triunghiului și cu semiperimetrul sǎu. Atunci .

Dacǎ este centrul cercului exȋnscris al acestui triunghi , atunci

Conform formulelor cunoscute din trigonometrie,

a)

b)

Fig. 4

Fie propoziția din enunț.

Pentru propoziția nu necesitǎ demonstrație. Demonstrǎm valabilitatea ei pentru . Ȋn acest caz, triunghiul este descompus de dreapta ȋn douǎ triunghiuri și .

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru drepte.

Fie drepte , , …, care descompun triunghiul ȋn triunghiuri

, , …, .

Pentru triunghiurile , avem:

unde și sunt razele cercului ȋnscris și cercului exȋnscris triunghiului .

Dar pentru triunghiuri , , …, , conform ipotezei fǎcute, are loc egalitatea:

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

Exemplul 10. Fie datǎ ȋn plan o rețea de linii ce unesc ȋntre ele punctele oarecare , , …, și nu au alte puncte comune. Presupunem cǎ din fiecare punct , , …, se poate ajunge ȋn oricare altul mergȃnd doar de-a lungul liniilor rețelei (proprietatea de conexiune). Numim o astfel de rețea de linii “hartǎ”, punctele , , …, “vȃrfurile hǎrții”, segmentele de curbe ȋntre douǎ vȃrfuri vecine “frontierele hǎrții”, porțiunile din plan ȋn care este descompusǎ ea de cǎtre frontiere, inclusiv domeniul exterior infinit “țǎrile hǎrții”.

Ȋn figura 5 punctele , ,,,,,, reprezintǎ vȃrfurile hǎrții, curbele , , , , , , , , , reprezintǎ frontierele hǎrții, domeniile , , și domeniul exterior infinit reprezintǎ țǎrile hǎrții.

Fig. 5

Teorema lui Euler

Notǎm cu numǎrul țǎrilor unei hǎrți arbitrare, cu numǎrul frontierelor ei și cu numǎrul vȃrfurilor. Atunci

Demonstrație:

Vom face inducția dupǎ , numǎrul frontierelor hǎrții.

Fie : .

Dacǎ , atunci , , deci . Prin urmare este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru orice hartǎ care are frontiere. Fie o hartǎ ce conține frontiere, țǎri și vȃrfuri. Existǎ douǎ cazuri posibile.

a) Pentru orice pereche de vȃrfuri ale hǎrții existǎ un drum unic ce le unește de-a lungul frontierelor hǎrții (existența a cel puțin unui drum se datoreazǎ conexiunii hǎrții). Ȋn acest caz, harta nu conține nici un contur ȋnchis . Ȋn acest caz .

Numim vȃrf extrem, un vȃrf care aparține numai unei singure frontiere (de exemplu, vȃrful din . Arǎtǎm cǎ pe o astfel de hartǎ existǎ cel puțin un vȃrf extrem. Sǎ luǎm un punct arbitrar al hǎrții. Dacǎ el nu este un vȃrf extrem, atunci el reprezintǎ capǎtul a cel puțin douǎ frontiere. Parcurgȃnd una din frontiere pȃnǎ la al doilea vȃrf al sǎu, acesta poate fi vȃrf extrem sau nu. Dacǎ nu este vȃrf extrem, atunci el constituie capǎtul unei alte frontiere, etc. Deoarece harta nu conține contururi ȋnchise, nu ne vom ȋntoarce niciodatǎ la unul din vȃrfurile parcurse ȋnainte. Deoarece harta are un numǎr finit de vȃrfuri, vom ajunge ȋn cele din urmǎ la un vȃrf ce va fi extrem. Dacǎ ȋnlǎturǎm acest vȃrf ȋmpreunǎ cu unica frontierǎ care ȋl are drept capǎt, obținem o nouǎ hartǎ ȋn care: , , .

Din ipotezǎ , rezultǎ cǎ . Deci este adevǎratǎ.

Fig. 6

b) Existǎ douǎ vȃrfuri unite prin mai multe drumuri . Ȋn acest caz existǎ pe hartǎ un contur ȋnchis care trece prin aceste vȃrfuri. Ȋndepǎrtȃnd una din frontierele acestui contur, fǎrǎ vȃrfuri, obținem o nouǎ hartǎ ȋn care: , , .

Din ipotezǎ , rezultǎ cǎ . Deci este adevǎratǎ.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural .

Teorema lui Euler asupra poliedrelor

Sǎ se demonstreze cǎ dacǎ este numǎrul vȃrfurilor, este numǎrul muchiilor și este numǎrul fețelor unui poliedru convex, atunci .

Demonstrație:

Așezǎm poliedrul ȋn interiorul unei sfere de razǎ suficient de mare. Centrul sferei poate fi situat ȋn interiorul poliedrului. Proiectǎm din centrul sferei, pe sferǎ, toate punctele poliedrului. Harta obținutǎ pe sferǎ o proiectǎm dintr-un punct arbitrar al ei, care nu aparține nici unei frontiere, pe planul tangent sferei ȋn punctul diametral opus. Aplicǎm hǎrții plane obținute teorema lui Euler și astfel obținem și ȋn cazul poliedrelor convexe , unde este numǎrul vȃrfurilor, este numǎrul muchiilor și este numǎrul fețelor.

Demonstrație pentru piramide folosind metoda inducției matematice:

Vom face inducția dupǎ , numǎrul vȃrfurilor piramidei.

Fie : .

Dacǎ , atunci și , deci . Adicǎ este adevǎratǎ. Dacǎ , atunci și , deci . Adicǎ este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru orice piramidǎ cu vȃrfuri.

Dacǎ , atunci și .

, adevǎrat. Deci, este adevǎratǎ.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , .

Deci, este adevǎratǎ pentru orice piramidǎ, unde este numǎrul vȃrfurilor, este numǎrul muchiilor și este numǎrul fețelor.

Demonstrație pentru prisme folosind metoda inducției matematice:

Vom face inducția dupǎ , numǎrul fețelor prismei.

Fie : .

Dacǎ , atunci și , deci . Adicǎ este adevǎratǎ.

Dacǎ , atunci și , deci . Adicǎ este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru orice prismǎ cu fețe.

, adevǎrat. Deci, este adevǎratǎ.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , .

Deci, este adevǎratǎ pentru orice prismǎ, unde este numǎrul vȃrfurilor, este numǎrul muchiilor și este numǎrul fețelor.

Probleme asupra colorǎrii hǎrților

O hartǎ este coloratǎ corect dacǎ fiecare țarǎ a sa este coloratǎ cu o anumitǎ culoare, astfel ȋncȃt douǎ țǎri care au o frontierǎ comunǎ sǎ fie colorate ȋn culori diferite. De exemplu, o hartǎ coloratǎ corect este orice hartǎ geograficǎ. Vrem sǎ aflǎm care este numǎrul minim de culori cu ajutorul cǎrora se poate colora corect o hartǎ datǎ.

Fig. 7

Harta reprezentatǎ ȋn figura 7, a poate fi coloratǎ corect cu douǎ culori, harta reprezentatǎ ȋn figura 7, b poate fi coloratǎ corect cu trei culori, iar harta reprezentatǎ ȋn figura 7, c poate fi coloratǎ corect cu patru culori. Pȃnǎ acum, nu s-a gǎsit nici o hartǎ care sǎ nu poatǎ fi coloratǎ corect cu patru culori. Mulți savanți au ȋncercat sǎ rezolve problema celor patru culori, adicǎ au ȋncercat sǎ demonstreze cǎ patru culori sunt suficiente pentru colorarea oricǎrei hǎrți sau au ȋncercat sǎ gǎseascǎ un exemplu de hartǎ ce nu poate fi coloratǎ cu patru culori. S-a stabilit cǎ pentru a colora corect orice hartǎ sunt suficiente cinci culori.

Vom presupune cǎ harta nu conține frontiere care de ambele pǎrți ale ei sǎ fie aceeași țarǎ, de exemplu așa cum este frontiera din figura 5. Vom presupune de asemenea cǎ harta nu conține vȃrfuri ȋn care converg doar douǎ frontiere, de exemplu vȃrful din figura 5. Vom considera doar hǎrțile pentru care ȋn fiecare vȃrf converg cel puțin trei frontiere. Pe o asemenea hartǎ existǎ un singur domeniu infinit.

Vom numi hartǎ normalǎ, o hartǎ pentru care ȋn fiecare vȃrf converg exact trei frontiere.

Notǎm cu numǎrul țǎrilor unei hǎrți normale, cu numǎrul frontierelor ei și cu numǎrul vȃrfurilor. Atunci , de unde obținem

Conform teoremei lui Euler, .

Pentru , avem , iar o astfel de hartǎ nu existǎ. Deci .

Pentru , obținem și . Aceasta este cea mai simplǎ hartǎ normalǎ (fig. 8, a). Pentru , obținem și , iar o astfel de hartǎ este reprezentatǎ ȋn figura 8, b sau 8, c.

Fig. 8

Uneori vom colora nu numai țǎrile, ci și frontierele hǎrții. Culorile ȋn care vom colora frontierele le vom nota cu cifrele . Vom numi numerotarea frontierelor hǎrții corectǎ atunci cȃnd toate frontierele ce converg ȋntr-un același vȃrf obțin prin aceastǎ numerotare a frontierelor numere diferite (fig. 9).

Fig. 9

Exemplul 11. Fie date ȋn plan cercuri. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice aranjament a acestor cercuri, harta formatǎ de ele poate fi coloratǎ corect cu douǎ culori.

Rezolvare:

Fie : Fiind date ȋn plan cercuri, pentru orice aranjament a acestor cercuri, harta formatǎ de ele poate fi coloratǎ corect cu douǎ culori.

Pentru , propoziția este evidentǎ, deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ.

Fie date ȋn plan cercuri. Dacǎ ȋndepǎrtǎm unul din aceste cercuri, obținem o hartǎ cu cercuri care, conform ipotezei, poate fi coloratǎ corect cu douǎ culori, de exemplu alb și negru (fig. 10, a).

Fig. 10

Trasǎm din nou cercul ȋndepǎrtat și de o parte a lui, de exemplu ȋn interior, schimbǎm culoarea fiecǎrui domeniu ȋn cea opusǎ (culoarea neagrǎ o schimbǎm ȋn alb și invers). Observǎm cǎ obținem o hartǎ coloratǎ corect cu douǎ culori (fig. 10, b). Deci, este adevǎratǎ.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

Exemplul 12. Fie date ȋn plan cercuri și ȋn fiecare cerc este trasatǎ o coardǎ. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice aranjament a acestor cercuri, harta formatǎ de ele poate fi coloratǎ corect cu trei culori.

Rezolvare:

Fie : Fiind date ȋn plan cercuri și ȋn fiecare cerc fiind trasatǎ o coardǎ, pentru orice aranjament a acestor cercuri, harta formatǎ de ele poate fi coloratǎ corect cu trei culori.

Pentru , propoziția este evidentǎ. Deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ, adicǎ harta formatǎ din cercuri cu coarde este coloratǎ corect cu trei culori , și . Trasǎm al -lea cerc și schimbǎm culorile țǎrilor situate ȋn interiorul acestui cerc de o parte a coardei respective dupǎ regula , , , iar culorile țǎrilor situate ȋn interiorul cercului de cealaltǎ parte a coardei dupǎ regula , , . Observǎm cǎ obținem o hartǎ coloratǎ corect cu trei culori. Deci este adevǎratǎ.

Fig. 11

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

Exemplul 13. Teorema celor douǎ culori

Pentru a se putea colora corect o hartǎ cu douǎ culori este necesar și suficient ca ȋn fiecare vȃrf al ei sǎ conveargǎ un numǎr par de frontiere.

Demonstrație:

Necesitatea acestei condiții este evidentǎ deoarece dacǎ ȋntr-un vȃrf oarecare al hǎrții converg un numǎr impar de frontiere, atunci țǎrile adiacente acestui vȃrf nu pot fi colorate corect cu douǎ culori (fig. 12, a).

Fig. 12

Pentru a demonstra suficiența condiției vom face inducție dupǎ numǎrul frontierelor hǎrții.

Pentru o hartǎ cu douǎ frontiere, afirmația este adevǎratǎ (fig. 12, b).

Presupunem cǎ teorema este adevǎratǎ pentru orice hartǎ pentru care ȋn fiecare vȃrf al ei converg un numǎr par de frontiere și al cǎrei numǎr total de frontiere este mai mic sau egal cu .

Fie datǎ o hartǎ care are frontiere pentru care ȋn fiecare vȃrf al ei converg un numǎr par de frontiere. Ȋncepȃnd cu un vȃrf arbitrar al hǎrții , dacǎ ne mișcǎm ȋntr-o direcție arbitrarǎ de-a lungul frontierelor hǎrții, ne vom ȋntoarce ȋn cele din urmǎ ȋn unul din vȃrfurile parcurse deoarece harta nu are vȃrfuri extreme. Vom putea delimita ȋn acest fel un contur ȋnchis care nu se taie pe el ȋnsuși. Dacǎ delimitǎm acest contur, vom obține o hartǎ cu un numǎr mai mic de frontiere. Ȋn fiecare vȃrf al hǎrții converg un numǎr par de frontiere, deoarece din harta s-a ȋndepǎrtat un numǎr par de frontiere. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu douǎ culori. Dacǎ refacem conturul ȋndepǎrtat și schimbǎm culorile de o parte a acestuia, obținem harta coloratǎ corect cu douǎ culori.

Exemplul 14. Teorema celor trei culori

Pentru ca o hartǎ normalǎ sǎ poatǎ fi coloratǎ corect cu trei culori este necesar și suficient ca fiecare țarǎ a ei sǎ aibǎ un numǎr par de frontiere.

Demonstrație:

Necesitatea acestei condiții este evidentǎ deoarece dacǎ pe hartǎ existǎ o țarǎ cu un numǎr impar de frontiere, atunci aceastǎ țarǎ și țǎrile vecine cu ea nu pot fi colorate corect cu trei culori (fig. 13, a).

Pentru a demonstra suficiența condiției vom face inducție dupǎ numǎrul țǎrilor hǎrții.

Pentru o hartǎ normalǎ formatǎ din trei țǎri afirmația este adevǎratǎ (fig. 8, a). O hartǎ normalǎ formatǎ din patru țǎri, așa cum este reprezentatǎ ȋn figura 8, b poate fi coloratǎ cu trei culori, este suficient sǎ colorǎm “țara interioarǎ” cu aceeași culoare ca regiunea exterioarǎ. O hartǎ normalǎ formatǎ din patru țǎri, așa cum este reprezentatǎ ȋn figura 8, c nu ȋndeplinește condiția numǎrului par de frontiere a fiecǎrei țǎri. Deci, orice hartǎ normalǎ care are trei sau patru țǎri și pentru care fiecare țarǎ are un numǎr par de frontiere, poate fi coloratǎ corect cu trei culori.

Presupunem cǎ teorema este adevǎratǎ pentru orice hartǎ normalǎ a cǎrei fiecare țarǎ are un numǎr par de frontiere și al cǎrei numǎr total de țǎri este egal cu sau . Fie o hartǎ normalǎ care are țǎri, fiecare țarǎ avȃnd numǎr par de frontiere. Pe harta se va gǎsi o țarǎ cu cel mult cinci frontiere. Deoarece numǎrul frontierelor este par, țara va avea douǎ sau patru frontiere.

Fig. 13

a) Presupunem cǎ țara are douǎ frontiere. Fie și vȃrfurile, și țǎrile vecine cu țara (fig. 13, b). Dacǎ ȋndepǎrtǎm frontiera dintre țǎrile și , obținem o hartǎ normalǎ deoarece punctele și nu vor mai fi vȃrfuri (o hartǎ nu are vȃrfuri de prisos). Harta va avea țǎri, fiecare țarǎ avȃnd numǎr par de frontiere. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu trei culori , , . Fie și culorile țǎrilor și . Restabilind țara și colorȃnd-o cu culoarea , obținem o colorare corectǎ a tǎrii S cu trei culori.

b) Presupunem cǎ țara are patru frontiere. Se poate ȋntȃmpla ca douǎ dintre țǎrile vecine lui de pǎrți opuse sǎ fie vecine ȋntre ele sau chiar sǎ coincidǎ (fig. 14, a sau 8, b). Ȋn acest caz, alte douǎ țǎri vecine cu nu mai pot avea frontiere comune ȋntre ele și nici sǎ coincidǎ. Fie și astfel de țǎri (fig. 14, b).

Fig. 14

Ȋndepǎrtǎm frontierele și și atașǎm țǎrile și lui . Obținem ȋn acest fel harta normalǎ , iar fiecare țarǎ a acestei noi hǎrți va avea numǎr par de frontiere. De exemplu, dacǎ numǎrul frontierelor țǎrii este , numǎrul frontierelor țǎrii este , numǎrul frontierelor țǎrii este și numǎrul frontierelor țǎrii este , atunci țara va avea frontiere, țara va avea frontiere, țara va avea frontiere, iar numǎrul frontierelor fiecǎreia din celelalte țǎri va rǎmȃne neschimbat. Dacǎ țǎrile și coincid, aceastǎ țarǎ va avea pe harta cu patru frontiere mai puțin decȃt pe harta . Deoarece harta are țǎri, conform ipotezei inductive, ea poate fi coloratǎ corect cu trei culori , , . Colorǎm țara cu culoarea și țara cu culoarea . Pe porțiunea , cu sunt vecine un numǎr impar de țǎri și culorile acestor țǎri trebuie sǎ alterneze ȋn succesiunea , , , , …, , . Țara va fi coloratǎ cu culoarea , aceeași culoare cu țara . Restabilind țara și colorȃnd-o cu culoarea , obținem o colorare corectǎ a tǎrii S cu trei culori.

Exemplul 15. Teorema celor cinci culori

Orice hartǎ normalǎ poate fi coloratǎ corect cu cinci culori.

Demonstrație:

Vom face inducție dupǎ numǎrul țǎrilor hǎrții.

Pentru o hartǎ normalǎ formatǎ din maxim cinci țǎri afirmația este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ afirmația este adevǎratǎ pentru orice hartǎ normalǎ care are sau țǎri. Fie o hartǎ normalǎ formatǎ din țǎri. Aceastǎ hartǎ conține cel puțin o țarǎ care are maxim cinci frontiere.

a) Presupunem cǎ țara are douǎ frontiere (fig. 13, b). Fie și țǎrile vecine cu . Atașǎm țara la și obținem o hartǎ normalǎ care are țǎri. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu cinci culori. Țǎrile și vor fi colorate cu douǎ din cele cinci culori. Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu una din cele trei culori rǎmase.

b) Presupunem cǎ țara are trei frontiere (fig. 15, a). Atașǎm țara la și obținem o hartǎ normalǎ care are țǎri. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu cinci culori. Țǎrile , și vor fi colorate cu trei din cele cinci culori. Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu una din cele douǎ culori rǎmase.

c) Presupunem cǎ țara are patru frontiere (fig. 15, b). Pe harta se vor gǎsi douǎ țǎri vecine cu care nu coincid ȋntre ele. Atașǎm țara la și obținem o hartǎ normalǎ care are țǎri. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu cinci culori. Țǎrile , , și vor fi colorate cu patru din cele cinci culori (sau mai puține culori dacǎ și coincid sau sunt colorate cu aceeași culoare). Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu cea de a cincea culoare.

Fig. 15

d) Presupunem cǎ țara are cinci frontiere (fig. 15, c). Pe harta se vor gǎsi douǎ țǎri vecine cu care nu sunt vecine ȋntre ele și nu coincid, de exemplu și . Atașǎm aceste douǎ țǎri la și obținem o hartǎ normalǎ care are țǎri. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu cinci culori. Țǎrile , , și vor fi colorate cu patru din cele cinci culori. Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu cea de a cincea culoare.

Exemplul 16. Teorema lui Volȋnski

O hartǎ normalǎ poate fi coloratǎ corect cu patru culori dacǎ și numai dacǎ frontierele ei pot fi numerotate corect cu trei cifre.

Demonstrație:

A) Demonstrǎm cǎ dacǎ o hartǎ normalǎ poate fi coloratǎ corect cu patru culori atunci frontierele ei pot fi numerotate corect cu trei cifre.

Presupunem cǎ harta normalǎ este coloratǎ corect cu patru culori , , , . Notǎm cu cifra 1 frontierele dintre țǎrile colorate cu culorile și sau și , notǎm cu cifra 2 frontierele dintre țǎrile colorate cu culorile și sau și și cu cifra 3 notǎm frontierele dintre țǎrile colorate cu culorile și sau și . Vom obține ȋn acest mod o numerotare corectǎ a frontierelor deoarece dacǎ dintr-un vȃrf oarecare converg douǎ frontiere marcate prin aceeași cifrǎ, de exemplu cifra 1 (fig. 16, a), atunci țǎrile și separate de țara prin frontierele cu același numǎr ar trebui sǎ aibǎ aceeași culoare, ceea ce nu este posibil deoarece țǎrile și sunt vecine ȋntre ele.

Fig. 16

B) Demonstrǎm cǎ dacǎ frontierele unei hǎrți normale pot fi numerotate corect cu trei cifre, atunci țǎrile ei pot fi colorate corect cu patru culori.

Vom face inducție dupǎ numǎrul țǎrilor hǎrții.

Cea mai simplǎ hartǎ normalǎ este formatǎ din trei țǎri, iar frontierele ei pot fi numerotate ȋn mod unic prin cifrele 1, 2, 3, cu aproximația unei permutǎri a acestor cifre. Dacǎ vom colora aceastǎ hartǎ ca ȋn figura 16, b, atunci frontiera dintre țǎrile colorate cu culorile și va avea numǎrul 1, frontiera dintre țǎrile colorate cu culorile și va avea numǎrul 2 și frontiera dintre țǎrile colorate cu culorile și va avea numǎrul 3.

Vom numi admisibilǎ o colorare a hǎrții cu patru culori , , , , ȋn care frontierele dintre culorile și și dintre culorile și au numǎrul 1, frontierele dintre culorile și și dintre culorile și au numǎrul 2 și frontierele dintre culorile și și dintre culorile și au numǎrul 3.

Pentru o hartǎ normalǎ formatǎ din patru țǎri (fig. 8, c), frontierele pot fi numerotate ȋn mod unic prin cifrele 1, 2, 3, cu aproximația unei permutǎri a acestor cifre. Colorarea acestei hǎrți ca ȋn figura 16, c, va fi admisibilǎ. Harta reprezentatǎ ȋn figura 8, b admite douǎ numerotǎri distincte ale frontierelor, iar colorǎrile acestor hǎrți ca ȋn figura 17, a sau 17, b vor fi de asemenea admisibile.

Presupunem cǎ orice hartǎ normalǎ care are sau țǎri și ale cǎrei frontiere sunt numerotate corect cu trei cifre, poate fi coloratǎ ȋn mod admisibil cu patru culori.

Fie o hartǎ normalǎ care are țǎri ale cǎror frontiere pot fi numerotate corect cu trei cifre. Pe harta se va gǎsi o țarǎ care are maxim cinci frontiere.

Fig. 17

a) Presupunem cǎ țara are douǎ frontiere. Frontierele ȋn vecinǎtatea lui pot fi numerotate ȋn mod unic prin cifrele 1, 2, 3, cu aproximația unei permutǎri a acestor cifre (fig. 18, a). Atașǎm țara la și obținem o hartǎ normalǎ care are țǎri. Atașǎm numǎrul 1 noii frontiere , care separǎ țǎrile și (fig. 18, b), iar numerele celorlalte frontiere le vom lǎsa neschimbate. Frontierele hǎrții normale vor fi numerotate corect cu trei cifre. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu patru culori, astfel ȋncȃt dacǎ țara are culoarea , țara va avea culoarea . Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu culoarea . Ȋn acest fel obținem o colorare admisibilǎ a hǎrții cu patru culori.

Fig. 18

b) Presupunem cǎ țara are trei frontiere. Frontierele ȋn vecinǎtatea lui pot fi numerotate ȋn mod unic prin cifrele 1, 2, 3, cu aproximația unei permutǎri a acestor cifre (fig. 19, a). Dacǎ contractǎm țara ȋntr-un punct, atunci frontierele , și vor dispǎrea și vȃrfurile , și se vor confunda ȋntr-unul singur (fig. 19, b). Fǎrǎ a schimba numerotarea frontierelor , , (fostele frontiere , , ) și nici a celorlalte frontiere, vom obține o hartǎ normalǎ care are țǎri și frontierele numerotate corect. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu patru culori, astfel ȋncȃt dacǎ țara are culoarea , țara va avea culoarea și țara va avea culoarea . Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu culoarea . Ȋn acest fel obținem o colorare admisibilǎ a hǎrții cu patru culori.

Fig. 19

c) Presupunem cǎ țara are patru frontiere. Ȋn acest caz sunt posibile douǎ numerotǎri distincte ale frontierelor ȋn vecinǎtatea țǎrii (fig. 20, a și fig. 21, a).

Pentru cazul din figura 20, a, se vor gǎsi douǎ țǎri vecine cu care nu au ȋntre ele frontiere comune, de exemplu și sau și . Adǎugǎm țǎrile și la . Noilor frontiere și le atașǎm numǎrul 3 (fig. 20, b). Vom obține o hartǎ normalǎ care are țǎri și frontierele numerotate corect. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu patru culori. Colorǎm țara cu culoarea și țǎrile și cu culoarea . Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu culoarea . Ȋn acest fel obținem o colorare admisibilǎ a hǎrții cu patru culori.

Pentru cazul din figura 21, a, avem douǎ posibilitǎți. Tǎrile care nu au frontiere comune sǎ fie și , sau sǎ fie și .

Fig. 20

Presupunem cǎ țǎrile care nu au frontiere comune sunt și . Adǎugǎm țǎrile și la . Ȋn acest caz, noua frontierǎ va primi ca ȋn exemplul anterior numǎrul 3, iar frontiera va primi numǎrul 2 (fig. 21, b). Vom obține o hartǎ normalǎ care are țǎri și frontierele numerotate corect. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu patru culori. Colorǎm țara cu culoarea , țara cu culoarea și țara cu culoarea . Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu culoarea . Ȋn acest fel obținem o colorare admisibilǎ a hǎrții cu patru culori.

Dacǎ presupunem cǎ țǎrile și nu au frontiere comune, contractǎm patrulaterul ȋntr-un segment astfel ȋncȃt punctul sǎ coincidǎ cu punctul și punctul sǎ coincidǎ cu punctul . Frontiera va coincide cu frontiera . Lǎsǎm neschimbatǎ numerotarea frontierelor , , și . Noii frontiere ȋi dǎm numǎrul 1 (fig. 21, c). Vom obține o hartǎ normalǎ care are țǎri și frontierele numerotate corect. Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu patru culori. Colorǎm țara cu culoarea , țara cu culoarea , țara cu culoarea și cu culoarea . Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu culoarea . Ȋn acest fel obținem o colorare admisibilǎ a hǎrții cu patru culori.

Fig. 21

d) Presupunem cǎ țara are cinci frontiere. Frontierele ȋn vecinǎtatea lui pot fi numerotate ȋn mod unic prin cifrele 1, 2, 3, cu aproximația unei permutǎri a acestor cifre (fig. 22, a). Avem douǎ posibilitǎți: țara nu coincide și nu are frontiere comune nici cu , nici cu și țara coincide sau are frontiere comune cu sau cu . Ȋn cazul ȋn care țara nu coincide și nu are frontiere comune nici cu , nici cu , atașǎm țara la . Frontiera va primi numǎrul 2, frontiera va primi numǎrul 1, frontierei ȋi schimbǎm numele ȋn 1, iar frontierei ȋi schimbǎm numele ȋn 2. Vom obține o hartǎ normalǎ care are țǎri și frontierele numerotate corect (fig. 22, b).

Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu patru culori. Colorǎm țara cu culoarea , țǎrile și cu culoarea și țǎrile și cu culoarea . Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu culoarea . Ȋn acest fel obținem o colorare admisibilǎ a hǎrții cu patru culori.

Fig. 22

Ȋn cazul ȋn care țara coincide sau are frontiere comune cu , țǎrile și nu au frontiere comune și nici nu coincid. Dacǎ țara coincide sau are frontiere comune cu , țǎrile și nu au frontiere comune și nici nu coincid. Aceste douǎ cazuri sunt identice. Presupunem cǎ țǎrile și nu au frontiere comune și nici nu coincid. Atașǎm aceste țǎri la . Frontiera va primi numǎrul 3, frontiera va primi numǎrul 2 și frontiera va primi numǎrul 3. Vom obține o hartǎ normalǎ care are țǎri și frontierele numerotate corect (fig. 22, c). Conform ipotezei inductive, harta poate fi coloratǎ corect cu patru culori. Colorǎm țara cu culoarea , țǎrile și cu culoarea și țara cu culoarea . Restabilim țara și putem sǎ o colorǎm cu culoarea . Ȋn acest fel obținem o colorare admisibilǎ a hǎrții cu patru culori.

Exemplul 17. Frontierele oricǎrei țǎri normale pot fi numerotate corect cu patru cifre.

Rezolvare:

Demonstrǎm aceastǎ afirmație pentru orice hartǎ pentru care ȋn orice vȃrf converg cel mult trei frontiere. Vom face inducție dupǎ numǎrul al vȃrfurilor hǎrții.

Pentru , afirmația este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ afirmația este adevǎratǎ pentru orice hartǎ cu vȃrfuri, iar ȋn fiecare vȃrf converg cel mult trei frontiere. Fie o hartǎ care are vȃrfuri și ȋn fiecare vȃrf converg cel mult trei frontiere. Dacǎ ȋndepǎrtǎm unul din vȃrfuri, de exemplu vȃrful , ȋmpreunǎ cu frontierele ce ȋi aparțin, obținem o hartǎ care are vȃrfuri și ȋn fiecare vȃrf al sǎu converg cel mult trei frontiere. Conform ipotezei inductive, frontierele hǎrții se pot numerota corect cu patru cifre, de exemplu 1, 2, 3, 4. Restabilind vȃrful , ȋmpreunǎ cu frontierele ce ȋi aparțin, sunt posibile trei cazuri:

a) vȃrful este unit unit prin una, douǎ sau trei frontiere cu un sigur vȃrf al hǎrții (fig. 23, a, b, c). Ȋn acest caz, numerotarea frontierelor hǎrții poate fi prelungitǎ ȋntr-o numerotare corectǎ a frontierelor hǎrții .

b) vȃrful este unit unit prin una sau douǎ frontiere cu douǎ vȃrfuri și ale hǎrții (fig. 24, a, b). Și ȋn acest caz, numerotarea frontierelor hǎrții poate fi prelungitǎ ȋntr-o numerotare corectǎ a frontierelor hǎrții .

c) vȃrful este unit cu trei vȃrfuri , și ale hǎrții (fig. 25). Cazul cel mai nefavorabil este acela ȋn care prin fiecare din vȃrfurile , și ale hǎrții trec cȃte douǎ frontiere. Pentru fiecare din frontierele , și vom avea cȃte douǎ numere posibile dintre care nu vom putea alege trei numere distincte decȃt dacǎ cele trei perechi sunt egale, adicǎ dacǎ trei perechi de frontiere ale hǎrții care trec prin vȃrfurile , și au primit numere egale, de exemplu 1 și 2. Delimitǎm pe harta un contur maxim care ȋncepe din vȃrful și este format alternativ din frontierele cu numerele 1 și 3. Acest contur se poate termina ȋn unul din vȃrfurile sau . Acest contur nu se poate tǎia pe sine deoarece prin ipotezǎ frontierele hǎrții sunt numerotate corect. Schimbǎm numerele frontierelor acestui contur schimbȃnd pe 1 ȋn 3 și pe 3 ȋn 1. Numerotarea frontierelor hǎrții va rǎmȃne corectǎ. Ȋn noua numerotare, trei perechi de frontiere ce trec prin vȃrfurile , și ale hǎrții , nu vor mai fi numerotate la fel. Ȋn acest caz, numerotarea frontierelor hǎrții poate fi prelungitǎ ȋntr-o numerotare corectǎ a frontierelor hǎrții .

Fig. 23

Fig. 24

Fig. 25

2.3. CONSTRUCȚIA PRIN INDUCȚIE

Putem aplica metoda inducției matematice la rezolvarea problemelor de construcție doar ȋn cazul ȋn care ȋn condiția problemei figureazǎ un numǎr ȋntreg pozitiv , de exemplu ȋn problemele de construcție a poligoanelor cu laturi. Ȋn acest paragraf vom examina cȃteva exemple de acest fel, inclusiv poligoane care se taie pe sine (fig. 26). Prin poligon vom ȋnțelege o linie frȃntǎ ȋnchisǎ arbitrarǎ .

Fig. 26

Exemplul 18. Fie date ȋn plan puncte. Sǎ se construiascǎ un poligon cu laturi pentru care aceste puncte sunt mijloacele laturilor.

Rezolvare:

Fie : Fiind date ȋn plan puncte, se poate construi un poligon cu laturi pentru care aceste puncte sǎ fie mijloacele laturilor.

Dacǎ , problema se reduce la construcția unui triunghi cu mijloacele laturilor sale date. Trebuie doar sǎ ducem prin fiecare din cele trei puncte date cȃte o dreaptǎ paralelǎ cu dreapta ce unește celelalte douǎ puncte. Deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ este adevǎratǎ, adicǎ fiind date ȋn plan puncte putem construi un poligon cu laturi avȃnd aceste puncte ca mijloacele laturilor sale. Fie date puncte , , …, , aceste puncte fiind mijloacele laturilor poligonului cǎutat cu laturi.

Fig. 27

Ȋn poligonul cu patru laturi , punctele , , sunt mijloacele a trei dintre laturile sale , , (fig. 27). Fie mijlocul laturii . [] și [] sunt linii mijlocii ȋn triunghiurile și , deci sunt paralele și congruente. Rezultǎ cǎ patrulaterul este paralelogram. Deoarece punctele , și sunt cunoscute, cel de-al patrulea vȃrf poate fi construit ușor. Punctele , , …, , sunt mijloacele laturilor poligonului care are laturi. Conform ipotezei inductive, acest poligon poate fi construit. Mai trebuie doar sǎ construim segmentele [] și [], punctele și fiind cunoscute, iar și fiind mijloacele acestor segmente și de asemenea puncte cunoscute. Deci este adevǎratǎ.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural nenul .

Exemplul 19. Fie date ȋn plan puncte. Sǎ se construiascǎ un poligon cu laturi, ale cǎrui laturi constituie bazele unor triunghiuri isoscele cu vȃrfurile ȋn cele puncte date și cu unghiurile cu mǎsurile de , , … și respectiv ȋn vȃrfuri.

Rezolvare:

Unele din mǎsurile , , …, ale unghiurilor pot fi mai mari de . Ȋn cazul ȋn care considerǎm triunghiul isoscel corespunzǎtor orientat spre exteriorul poligonului, iar dacǎ considerǎm triunghiul isoscel corespunzǎtor ȋn interiorul poligonului, unghiul de la vȃrful triunghiului isoscel avȃnd mǎsura egalǎ cu .

Pentru , fie , , vȃrfurile triunghiului cǎutat, , , vȃrfurile date ale triunghiurilor isoscele construite pe laturile sale, avȃnd mǎsurile unghiurilor de la vȃrf , , (fig. 28, a). Considerǎm cǎ toate rotațiile se fac ȋn sensul opus acelor de ceasornic. Rotim planul ȋn jurul punctului cu unghiul de mǎsurǎ . Vȃrful va trece ȋn . Rotim planul ȋn jurul punctului cu unghiul de mǎsurǎ . Vȃrful va trece ȋn . Ambele rotații, efectuate succesiv una dupǎ alta, sunt echivalente cu o singurǎ rotație cu unghiul de mǎsurǎ ȋn jurul unui punct ce poate fi construit pe baza punctelor și și a unghiurilor cu mǎsurile și ȋn modul urmǎtor: cu

o laturǎ a acestor unghiuri. Celelalte douǎ laturi se vor intersecta ȋn . Punctul va fi centrul rotației cu unghiul de mǎsurǎ . Ȋn aceastǎ rotație, vȃrful trece ȋn . Deci, vȃrful trece ȋn ȋn cazul rotației ȋn jurul punctului cu unghiul de mǎsurǎ . Prin urmare, punctul este vȃrful unui triunghi isoscel cu baza și unghiul de la vȃrf cu mǎsura de . Pe baza punctelor și se poate construi latura . Pe segmentul , de ambele pǎrți ale punctelor și

de intersecție a laturilor acestor unghiuri vor fi vȃrfurile și ale triunghiului cǎutat. Apoi este ușor de construit punctul . Pentru , atunci cȃnd punctul coincide cu punctul , rezolvarea problemei este nedeterminatǎ.

Presupunem cǎ știm sǎ construim un poligon cu laturi pe baza vȃrfurilor triunghiurilor isoscele construite pe laturile sale și avȃnd mǎsurile unghiurilor de la vȃrf cunoscute. Se cere sǎ se construiascǎ un poligon cu laturi pe baza vȃrfurilor , , …, , ale triunghiurilor isoscele construite pe laturile sale, cu unghiurile de la vȃrf de mǎsuri , , …, , .

Fie poligonul cǎutat cu laturi (fig. 28, b). Considerǎm triunghiul . Asemǎnǎtor cu raționamentul anterior pentru , pe baza vȃrfurilor cunoscute și ale triunghiurilor isoscele și construite pe laturile și se poate gǎsi vȃrful al triunghiului isoscel construit pe diagonala și avȃnd unghiul de la vȃrf cu mǎsura de . Ȋn acest fel, problema se reduce la o problemǎ de construcție a unui poligon cu laturi pe baza vȃrfurilor , , …, , ale triunghiurilor isoscele construite pe laturile sale și avȃnd unghiurile de la vȃrf cunoscute, cu mǎsurile de , , …, , . Conform ipotezei inductive, poligonul cu laturi poate fi construit, dupǎ care este ușor sǎ se construiascǎ poligonul cǎutat cu laturi. Pentru , rezolvarea problemei este imposibilǎ sau nedeterminatǎ.

Fig. 28

Exemplul 20. Fie date ȋn plan puncte. Sǎ se construiascǎ un poligon cu laturi pentru care aceste puncte reprezintǎ vȃrfurile triunghiurilor construite pe laturile sale, triunghiuri ce au mǎsurile unghiurilor de la vȃrfuri date și raporturi date ale laturilor laterale.

Rezolvare:

Problema poate fi rezolvatǎ ȋn mod analog cu cea precedentǎ, doar cǎ ȋn locul rotației ȋn jurul punctului dat cu unghiul de mǎsurǎ , vom considera transformarea care constǎ dintr-o rotație de unghi cu mǎsura și o omotetie cu același centru și cu un coeficient de asemǎnare egal cu raportul laturilor triunghiului respectiv. Efectuarea conscutivǎ a douǎ astfel de transformǎri este echivalentǎ cu o a treia transformare de același fel. Folosind aceleași notații ca la problema anterioarǎ, pe baza vȃrfurilor și ale triunghiurilor și se poate gǎsi vȃrful al triunghiului construit pe segmentul și care are unghiul de la vȃrf de mǎsurǎ datǎ și un raport dat al laturilor sale laterale. Succesiunea a douǎ transformǎri de asemǎnare cu centrele ȋn și transformǎ pe ȋn el ȋnsuși deoarece trece mai ȋntȃi pe ȋn și apoi pe ȋn . Succesiunea acestor transformǎri este echivalentǎ cu o singurǎ transformare de asemǎnare cu centrul ȋntr-un punct care poate fi construit. Deoarece punctul trece ȋn el ȋnsuși, el coincide cu punctul cǎutat. Ȋn acest mod se poate face construcția laturii a triunghiului pe baza punctelor și . Apoi este ușor de construit punctul .

Fiind date puncte ȋn plan, presupunem cǎ știm sǎ construim un poligon cu laturi pentru care aceste puncte reprezintǎ vȃrfurile triunghiurilor construite pe laturile sale, triunghiuri ce au mǎsurile unghiurilor de la vȃrfuri date și raporturi date ale laturilor laterale.

Fie poligonul cǎutat cu laturi. Considerǎm triunghiul . Asemǎnǎtor cu raționamentul anterior, pe baza vȃrfurilor cunoscute și ale triunghiurilor și construite pe laturile și se poate gǎsi vȃrful al triunghiului construit pe diagonala . Ȋn acest fel, problema se reduce la o problemǎ de construcție a unui poligon cu laturi pe baza vȃrfurilor , , …, , ale triunghiurilor construite pe laturile sale și avȃnd unghiurile de la vȃrf cunoscute și raporturile laturilor laterale date. Conform ipotezei inductive, poligonul cu laturi poate fi construit, dupǎ care este ușor sǎ se construiascǎ poligonul cǎutat cu laturi. Dacǎ suma mǎsurilor unghiurilor de la vȃrf este egalǎ cu multiplu de , iar produsul raporturilor laturilor este egal cu 1, rezolvarea problemei este imposibilǎ sau nedeterminatǎ.

Exemplul 21. Fie date douǎ drepte paralele și . Doar cu ajutorul riglei, sǎ se ȋmpartǎ segmentul de pe dreapta ȋn pǎrți egale.

Rezolvare:

Fie : Fiind date douǎ drepte paralele și , se poate ȋmparți segmentul de pe dreapta ȋn pǎrți egale, doar cu ajutorul riglei.

Fie . Unim un punct arbitrar al planului care nu este situat pe dreptele și cu punctele și (fig. 29, a). Notǎm cu și punctele de intersecție ale dreptelor și cu dreapta . Fie și . Vrem sǎ demonstrǎm cǎ punctul este cel cǎutat, adicǎ are lungimea egalǎ cu jumǎtate din lungimea lui .

Punctul de intersecție al dreptelor și ȋl notǎm cu . Observǎm cǎ:

, , , , de unde rezultǎ

Prin urmare punctul ȋmparte segmentul ȋn douǎ pǎrți egale. Deci este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ știm sǎ construim punctul al segmentului , folosind numai

Fie un punct arbitrar al planului care nu este situat pe dreptele și . Fie , și (fig. 29, b). Unim punctul cu și notǎm cu și punctele de intersecție a dreptei cu dreptele și . Demonstrǎm cǎ punctul este cel cǎutat, adicǎ

Fig. 29

Observǎm cǎ , de unde rezultǎ

Și din faptul cǎ și , rezultǎ cǎ

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , .

2.4. AFLAREA LOCURILOR GEOMETRICE PRIN INDUCȚIE

Exemplul 22. Pe laturile poligonului convex cu laturi sunt marcate segmentele , , …, . Sǎ se gǎseascǎ locul geometric al punctelor interioare ale acestui poligon, pentru care suma ariilor triunghiurilor , , …, este constantǎ, egalǎ cu suma ariilor triunghiurilor , , …, unde este un anumit punct ȋn interiorul poligonului.

Rezolvare:

Dacǎ , pe laturile și ale triunghiului considerǎm segmentele și (fig. 30, a). Atunci:

.

Ȋn mod analog

.

Observǎm cǎ locul geometric cǎutat este determinat de condiția:

.

Dacǎ dreptele și sunt paralele, locul geometric cǎutat este un segment al dreptei paralele lor. Dacǎ aceste drepte nu sunt paralele, atunci fie .

Marcǎm pe laturile unghiului segmentele și . Atunci

.

Ȋn mod analog

.

Locul geometric este mulțimea acelor puncte aflate ȋn interiorul triunghiului pentru care , adicǎ reprezintǎ segmentul al dreptei care trece prin punctul și este paralelǎ cu dreapta .

Presupunem cǎ pentru un poligon cu laturi, locul geometric cǎutat reprezintǎ un segment de dreaptǎ care trece prin punctul .

Considerǎm un poligon cu laturi . Fie segmentele date , , …, , pe laturile sale și un punct din interiorul poligonului (fig. 30, b).

Fig. 30

Fig. 30

Pe laturile unghiului considerǎm segmentele și . Atunci:

.

Pentru punctele ale locului geometric cǎutat

.

Conform ipotezei inductive, locul geometric cǎutat reprezintǎ un segment de dreaptǎ care trece prin punctul .

Exemplul 23. Pe drepte date , , …, sunt marcate segmentele , , …, . Fiind dat punctul , sǎ se gǎseascǎ locul geometric al punctelor , pentru care suma algebricǎ a ariilor triunghiurilor , , …, , unde aria triunghiului cu se ia cu semnul plus dacǎ punctul se aflǎ de aceeași parte a dreptei ca și punctul și cu semnul minus ȋn caz contrar, este egalǎ cu suma corespunzǎtoare pentru punctul .

Rezolvare:

Demonstrația este analoagǎ cu cea de la exemplul precedent, iar locul geometric cǎutat este o dreaptǎ.

Exemplul 24. Fie date ȋn plan puncte , , …, și numere pozitive sau negative , , …, . Sǎ se gǎseascǎ locul geometric al punctelor pentru care suma

este constantǎ.

Rezolvare:

Fie . Vom presupune mai ȋntȃi cǎ ambele numere și sunt pozitive. Luǎm pe segmentul un punct , care ȋl divide ȋn raportul , astfel ȋncȃt

Fie un punct arbitrar ȋn plan și piciorul perpendicularei coborȃte din pe dreapta (fig. 31). Atunci avem:

,

.

Ȋnmulțim prima egalitate cu și a doua egalitate cu , apoi le adunǎm membru cu membru și obținem:

.

Ȋnlocuim pe și pe cu valorile lor și obținem:

Dacǎ , atunci

De aici rezultǎ cǎ dacǎ

atunci locul geometric cǎutat este un cerc cu centrul ȋn punctul și de razǎ

atunci locul geometric cǎutat este un singur punct .

atunci locul geometric nu conține nici un punct.

Cazul ȋn care și sunt ambele negative se rezolvǎ analog cu cel precedent.

Dacǎ , și , de exemplu , punctul trebuie ales pe prelungirea segmentului ȋn dreapta punctului . Ȋn acest caz avem

iar raționamentul este asemǎnǎtor cu cel precedent.

Dacǎ , atunci și problema noastrǎ devine: sǎ se gǎseascǎ locul geometric al punctelor pentru care diferența pǎtratelor distanțelor la douǎ puncte date și este constantǎ. Fie piciorul perpendicularei coborȃte din pe dreapta (fig. 31). Atunci avem:

și .

.

Punctul este bine determinat. Ȋn acest caz, locul geometric este o dreaptǎ ce trece prin punctul și este perpendicularǎ pe .

Fig. 31

Presupunem cǎ pentru puncte date, locul geometric corespunzǎtor reprezintǎ un cerc dacǎ și o dreaptǎ dacǎ . Considerǎm puncte , , …, și numere , , …, .

Dacǎ , atunci ȋnlocuim aceastǎ pereche de numere cu numerele și sau cu numerele și . Dacǎ simultan , și , atunci și putem folosi direct ipoteza inductivǎ, deoarece problema se reduce la cazul cu puncte , , …, și numere , , …, .

Presupunem cǎ . Ȋn mod analog cu cazul , arǎtǎm cǎ pe segmentul se poate gǎsi un punct astfel ȋncȃt pentru orice punct al planului

Deci, problema se reduce la aflarea locului geometric al punctelor pentru care suma

este constantǎ. Adicǎ

= const.

Conform ipotezei inductive, locul geometric cǎutat va fi un cerc dacǎ

și o dreaptǎ dacǎ

.

2.5. DEFINIȚIA PRIN INDUCȚIE

Ȋn acest paragraf vom trata probleme ce conțin noțiuni a cǎror definiție ȋnsǎși folosește trecerea de la la .

Exemplul 25.

Definiția medianelor și a centrului de greutate a unui poligon cu laturi

Vom numi centrul de greutate al unui segment, mijlocul sǎu (fig. 32, a). Atunci, medianele unui triunghi pot fi definite ca segmente ce unesc vȃrfurile triunghiului cu centrele de greutate ale laturilor opuse (fig. 32, b). Medianele unui triunghi se intersecteazǎ ȋntr-un singur punct numit centrul de greutate al triunghiului, care se gǎsește pe fiecare medianǎ la douǎ treimi de vȃrf și o treime de bazǎ.

Numim mediane ale patrulaterului segmentele ce unesc vȃrfurile sale , , , cu centrele de greutate , , , ale triunghiurilor fomate de celelalte trei vȃrfuri (fig. 32, c). Demonstrǎm cǎ medianele unui patrulater se intersecteazǎ ȋntr-un singur punct numit centrul de greutate al patrulaterului și sunt divizate de acest punct ȋn raportul socotind de la vȃrf. Notǎm cu centrul de greutate (mijlocul) laturii , cu centrul de greutate al triunghiului și cu centrul de greutate al triunghiului . Fie punctul de intersecție al medianelor și ale patrulaterului. Deoarece și sunt medianele triunghiurilor și , rezultǎ cǎ

Din asemǎnarea triunghiurilor și avem:

Ȋn acest mod, douǎ oarecare mediane vecine ale patrulaterului se divid ȋn punctul de intersecție ȋn raportul . De aici rezultǎ cǎ toate cele patru mediane ale patrulaterului trec printr-un singur punct , centrul de greutate al patrulaterului, fiind ȋmpǎrțite de acesta ȋn rapotul .

Fig. 32

Presupunem cǎ pentru toți am definit medianele poligonului cu laturi ca segmente ce unesc vȃrfurile poligonului cu laturi cu centrele de greutate ale poligoanelor cu laturi formate de celelalte vȃrfuri și pentru toți am definit centrul de greutate al poligonului cu laturi ca fiind punctul de intersecție al medianelor lui. Presupunem demonstrat și faptul cǎ medianele poligonului cu laturi, unde , se divid ȋn punctul de intersecție ȋn raportul socotind de la vȃrf.

Definim medianele poligonului cu laturi ca segmente ce unesc vȃrfurile poligonului cu laturi cu centrele de greutate ale poligoanelor cu laturi formate de celelalte vȃrfuri. Demonstrǎm cǎ toate medianele poligonului cu laturi se intersecteazǎ ȋntr-un singur punct și sunt divizate de acest punct ȋn raportul socotind de la vȃrf. Fie centrul de greutate al poligonului cu laturi . Dreptele și vor fi medianele poligoanelor cu laturi și (fig. 33). Dacǎ și sunt centrele de greutate ale acestor poligoane cu laturi, atunci conform ipotezei inductive

Notǎm cu punctul de intersecție al medianelor și ale poligonului cu laturi . Din asemǎnarea triunghiurilor și avem:

Fig. 33

Ȋn acest fel, fiecare pereche de mediane vecine ale poligonului cu laturi se divid ȋn punctul de intersecție ȋn raportul . Deci, toate medianele poligonului cu laturi se intersecteazǎ ȋntr-un singur punct și se divid ȋn acest punct ȋn raportul .

Putem defini acum centrul de greutate al poligonului cu laturi ca fiind punctul de intersecție al medianelor lui, iar medianele poligonului cu laturi le putem defini ca fiind segmente ce unesc vȃrfurile poligonului cu laturi cu centrele de greutate ale poligoanelor cu laturi formate de celelalte vȃrfuri.

Metoda inducției matematice ne permite sǎ afirmǎm cǎ definițiile date medianelor și centrului de greutate al poligonului cu laturi sunt valabile pentru orice .

2.6. INDUCȚIA DUPĂ NUMĂRUL DIMENSIUNILOR

Ȋntre proprietǎțile figurilor geometrice plane și proprietǎție corpurilor geometrice ȋn spațiu existǎ asemǎnǎri, dar și deosebiri. Astfel, proprietǎțile unui paralelipiped sunt asemǎnatoare cu proprietǎțile unui paralelogram. De exemplu, ȋntr-un paralelogram laturile opuse sunt congruente, iar diagonalele se ȋnjumǎtǎțesc. Ȋntr-un paralelipiped fețele opuse sunt congruente, iar diagonalele sunt concurente și se ȋnjumǎtǎțesc. Proprietǎțile sferei sunt asemǎnǎtoare cu proprietǎțile cercului. De exemplu, tangenta la cerc este perpendicularǎ pe raza dusǎ ȋn punctul de tangențǎ, iar planul tangent al sferei este perpendicular pe raza dusǎ ȋn punctul de tangențǎ. Deosebirea principalǎ ȋntre proprietǎțile figurilor geometrice plane și proprietǎțile corpurilor geometrice ȋn spațiu constǎ ȋn faptul cǎ figurile din plan au douǎ dimensiuni (lungimea și lǎțimea), iar corpurile spațiale au trei dimensiuni (lungimea, lǎțimea și ȋnǎlțimea). Poziția unui punct ȋn plan este complet determinatǎ de douǎ coordonate și (fig. 34, b), ȋn timp ce pentru determinarea poziției unui punct ȋn spațiu trebuie cunoscute trei coordonate , și (fig. 34, c). Spațiul obișnuit se numește spațiul tridimensional, ȋn timp ce despre plan se spune cǎ reprezintǎ spațiul bidimensional.

Fig. 34

Poziția unui punct pe o dreaptǎ este bine determinatǎ de o singurǎ coordonatǎ (fig. 34, a), deoarece pe dreaptǎ existǎ o singurǎ dimensiune (lungimea). De aceea, dreapta se numește spațiu unidimensional.

Proprietǎțile figurilor plane sunt mai complicate decȃt proprietǎțile figurilor pe dreaptǎ (segmente), iar proprietǎțile corpurilor geometrice spațiale sunt mai complicate decȃt proprietǎțile figurilor geometrice plane. Demonstrațiile teoremelor ȋn spațiu (stereometrice) se bazeazǎ adesea pe teoreme ȋn plan (planimetrice), iar demonstrația teoremelor ȋn plan se bazeazǎ uneori pe teoreme analoage unidimensionale. De exemplu, pentru a demonstra cǎ diagonalele unui paralelipiped se ȋnjumǎtǎțesc, se folosește proprietatea corespunzǎtoare a diagonalelor unui paralelogram. Acest fapt face posibilǎ utilizarea ȋn unele probleme de geometrie a inducției dupǎ numǎrul dimensiunilor, care constǎ ȋn trecerea succesivǎ de la spațiul unidimensional la spațiul bidimensional și apoi la cel tridimensional. Inducția dupǎ numǎrul dimensiunilor se folosește de multe ori simultan cu inducția obișuitǎ, iar uneori poate fi ȋnlocuitǎ cu inducția obișnuitǎ.

Ȋn acest paragraf vom considera cǎ unui cerc din plan (fig. 35, b) ȋi corespunde ȋn spațiu o sferǎ (fig. 35, c), iar pe dreaptǎ ȋi corespunde o pereche de puncte egal depǎrtate de un punct dat (fig. 35, a). Unui cerc plin (disc) ȋntr-un plan, ȋi corespunde ȋn spațiu o sferǎ plinǎ (bila), iar pe dreaptǎ ȋi corespunde un segment. Unui triunghi din plan (fig. 36, b) ȋi corespunde ȋn spațiu un tetraedru (fig. 36, c), iar pe dreaptǎ un segment (fig. 36, a).

Fig. 35

Fig. 36

2.6.1. Calculul cu ajutorul inducției dupǎ numǎrul dimensiunilor

Exemplul 26. Calculați ȋn cȃte pǎrți este ȋmpǎrțit spațiul de cǎtre plane astfel ȋncȃt trei plane oarecare se intersecteazǎ, iar patru plane nu au punct comun. Vom numi astfel de plane, plane ȋn poziție generalǎ.

Rezolvare:

Mai ȋntȃi determinǎm ȋn cȃte pǎrți este ȋmpǎrțitǎ o dreaptǎ de cǎtre puncte. Notǎm acest numǎr . Gǎsim .

Determinǎm ȋn cȃte pǎrți este ȋmpǎrțit un plan de cǎtre drepte, astfel ȋncȃt douǎ drepte oarecare se intersecteazǎ, iar trei drepte nu au nici un punct comun. Vom numi astfel de drepte, drepte ȋn poziție generalǎ.

O singurǎ dreaptǎ ȋmparte planul ȋn douǎ pǎrți. Presupunem cǎ știm numǎrul de pǎrți ȋn care planul este ȋmpǎrțit de drepte ȋn poziție generalǎ. Fie drepte ȋn poziție generalǎ. Primele drepte ȋmpart planul ȋn pǎrți. Notǎm dreapta a -a cu . Aceasta intersecteazǎ, prin ipotezǎ, fiecare din celelalte drepte, ȋn puncte distincte care ȋmpart dreapta ȋn pǎrți. Deci, dreapta adaugǎ la pǎrți, noi pǎrți. Prin urmare,

Ȋnlocuind ȋn aceastǎ egalitate pe cu , , …, 2, 1, obținem:

…………………………………….

Adunǎm aceste egalitǎți și ȋnlocuim pe cu 2.

Acum revenim la problema inițialǎ. Un plan ȋmparte spațiul ȋn douǎ pǎrți. Presupunem cǎ știm numǎrul de pǎrți ȋn care este ȋmpǎrțit spațiul de cǎtre plane ȋn poziție generalǎ. Fie plane ȋn poziție generalǎ. Primele plane ȋmpart spațiul ȋn pǎrți. Notǎm planul al -a cu . Acesta este intersectat de cele plane dupǎ drepte ȋn poziție generalǎ, deci este divizat ȋn pǎrți.

Ȋnlocuind ȋn aceastǎ egalitate pe cu , , …, 2, 1, obținem:

………………………………………………………

Adunǎm aceste egalitǎți și obținem:

Ȋnlocuind pe cu 2, obținem:

Exemplul 27. Calculați ȋn cȃte pǎrți este ȋmpǎrțit spațiul de cǎtre sfere, astfel ȋncȃt sferele oricǎrei perechi sǎ se intersecteze ȋntre ele.

Rezolvare:

Mai ȋntȃi determinǎm ȋn cȃte pǎrți este ȋmpǎrțitǎ o dreaptǎ de cǎtre “cercuri unidemensionale”, adicǎ de cǎtre perechi de puncte. Notǎm acest numǎr . Gǎsim . Un cerc este ȋmpǎrțit de cǎtre n perechi de puncte situate pe cerc ȋn pǎrți.

Determinǎm ȋn cȃte pǎrți este ȋmpǎrțit un plan de cǎtre cercuri douǎ cȃte douǎ secante. Deoarece cercuri taie cercul al -lea cerc ȋn perechi de puncte și ȋl ȋmpart ȋn pǎrți, rezultǎ cǎ cercul al -lea intersecteazǎ din cele pǎrți ȋn care este divizat planul de cercuri. Prin urmare,

Ȋnlocuind ȋn aceastǎ egalitate pe cu , , …, 2, 1, obținem:

…………………………………….

Adunǎm aceste egalitǎți și ȋnlocuim pe cu 2.

Deci, .

O sferǎ este divizatǎ de cercuri douǎ cȃte douǎ secante ȋn pǎrți.

Acum revenim la problema inițialǎ. Deoarece sfere intersecteazǎ sfera a -a dupǎ cercuri și ȋmpart suprafața ei ȋn pǎrți, rezultǎ cǎ sfere ȋmpart spațiul ȋn pǎrți.

Ȋnlocuind ȋn aceastǎ egalitate pe cu , , …, 2, 1, adunȃnd egalitǎțile obținute și ȋnlocuind pe cu 2, obținem:

2.6.2. Demonstrația cu ajutorul inducției dupǎ numǎrul dimensiunilor

Exemplul 28. Fie un tetraedru ale cǎrui vȃrfuri sunt numerotate cu cifrele 1, 2, 3, 4 și care este ȋmpǎrțit ȋn tetraedre mai mici astfel ȋncȃt fiecare douǎ dintre aceste tetraedre mici fie cǎ nu au deloc puncte comune, fie au un vȃrf comun, fie au o muchie comunǎ, fie au o fațǎ comunǎ. Vȃrfurile tetraedrelor de diviziune sunt numerotate tot cu cifrele 1, 2, 3, 4, astfel ȋncȃt toate vȃrfurile situate pe o fațǎ a tetraedrului mare sunt numerotate cu cele trei cifre cu care sunt numerotate vȃrfurile acestei fețe, iar toate vȃrfurile situate pe o muchie oarecare a tetraedrului mare sunt numerotate cu cele douǎ cifre cu care sunt numerotate capetele muchiei. Sǎ se demonstreze cǎ existǎ cel puțin un tetraedru mic care are toate cele patru vȃrfuri ale sale numerotate cu cifre diferite.

Rezolvare:

Vom examina succesiv trei probleme.

a) Un segment ale cǎrui capete sunt notate cu cifrele 1 și 2 este ȋmpǎrțit ȋn segmente mai mici nesecante și toate punctele de diviziune sunt notate cu cifrele 1 sau 2 (fig. 37, a). Sǎ se demonstreze cǎ existǎ cel puțin un segment de diviziune ale cǎrui capete sunt numerotate cu cifre diferite.

Dacǎ arǎtǎm cǎ numǎrul segmentelor cu capete numerotate diferit este impar atunci va rezulta cǎ existǎ cel puțin un segment de acest fel, deoarece zero este numǎr par. Notǎm cu numǎrul capetelor de diviziune numerotate cu cifra 1, cu numǎrul cifrelor 1 aflate ȋn interiorul segmentului mare, cu numǎrul segmentelor care au ambele capete notate cu cifra 1 și cu numǎrul segmentelor ale cǎror capete sunt numerotate cu cifre diferite. Deoarece fiecare cifrǎ 1 aflatǎ ȋn interiorul segmentului mare este capǎtul a douǎ segmente de diviziune și numai singura cifrǎ 1 cu care este numerotat capǎtul segmentul mare aparține unui segment de diviziune, va fi impar.

Deci, . Rezultǎ cǎ numǎrul este impar. Deci existǎ cel puțin un segment de diviziune ale cǎrui capete sunt numerotate cu cifre diferite.

Fig. 37

b) Un triunghi ale cǎrui vȃrfuri sunt numerotate cu cifrele 1, 2, 3 este ȋmpǎrțit ȋn triunghiuri mai mici, astfel ȋncȃt fiecare douǎ din aceste triunghiuri mici fie nu au deloc puncte comune, fie au un vȃrf comun, fie au o laturǎ comunǎ. Toate vȃrfurile triunghiurilor de diviziune sunt numerotate cu cifrele 1, 2 sau 3 astfel ȋncȃt vȃrfurile situate pe o laturǎ a triunghiului mare sunt numerotate cu una din cifrele cu care sunt numerotate capetele acestei laturi (fig. 37, b). Sǎ se demonstreze cǎ existǎ cel puțin un triunghi de diviziune ale cǎrui toate cele trei vȃrfuri sunt numerotate cu cifre diferite.

Dacǎ arǎtǎm cǎ numǎrul triunghiurilor cu vȃrfurile numerotate diferit este impar atunci va rezulta cǎ existǎ cel puțin un triunghi de acest fel, deoarece zero este numǎr par. Notǎm cu numǎrul total de laturi ale triunghiurilor de diviziune numerotate cu cifrele 1 2, cu numǎrul segmentelor 1 2 aflate ȋn interiorul triunghiului mare, cu numǎrul segmentelor 1 2 aflate pe latura 1 2 a triunghiului mare, cu numǎrul triunghiurilor de diviziune ale cǎror vȃrfuri sunt numerotate cu cifrele 1 2 2 sau 1 2 1 și cu numǎrul triunghiurilor de diviziune ale cǎror toate cele trei vȃrfuri sunt numerotate cu cifre diferite 1 2 3. Deoarece fiecare din cele segmente de diviziune aparțin la douǎ triunghiuri și fiecare din cele segmente de diviziune aparțin unui singur triunghi, avem . Deoarece fiecare dintre cele triunghiuri are douǎ laturi 1 2 și fiecare din cele triunghiuri are o singurǎ laturǎ 1 2, avem .

Deci, . Rezultǎ cǎ numǎrul este par sau impar, ȋn funcție de cum este par sau impar. Dar numǎrul este impar conform punctului a). Deci și numǎrul este impar. Prin urmare existǎ cel puțin un triunghi de diviziune ale cǎrui toate cele trei vȃrfuri sunt numerotate cu cifre diferite.

c) Revenim la problema inițialǎ. Dacǎ arǎtǎm cǎ numǎrul tetraedrelor de diviziune care au toate cele patru vȃrfuri numerotate cu cifre diferire este impar, atunci va rezulta cǎ existǎ cel puțin un tetraedru de diviziune de acest fel, deoarece zero este numǎr par. Notǎm cu numǎrul fețelor tetraedrelor de diviziune notate cu cifrele 1 2 3, cu numǎrul fețelor tetraedrelor de diviziune notate cu cifrele 1 2 3 care sunt ȋn interiorul tetraedrului mare, cu numǎrul fețelor tetraedrelor de diviziune notate cu cifrele 1 2 3 care se gǎsesc pe fața 1 2 3 a tetraedrului mare, cu numǎrul tetraedrelor de diviziune notate cu cifrele 1 1 2 3, 1 2 2 3 sau 1 2 3 3 și cu numǎrul tetraedrelor de diviziune notate cu cifrele 1 2 3 4.

Deci, . Rezultǎ cǎ numǎrul este par sau impar, ȋn funcție de cum este par sau impar. Dar numǎrul este impar conform punctului b). Deci și numǎrul este impar. Prin urmare existǎ cel puțin un tetraedru de diviziune care are toate cele patru vȃrfuri ale sale numerotate cu cifre diferite.

Exemplul 29. Sǎ se demonstreze propoziția enunțatǎ ȋn exemplul anterior la punctul b) cu ajutorul inducției dupǎ numǎrul al triunghiurilor de diviziune.

Rezolvare:

Pentru și afirmația este adevǎratǎ.

Fig. 38

Presupunem cǎ afirmația este deja demonstratǎ pentru orice diviziune a triunghiului inițial 1 2 3 ȋn sau mai puține triunghiuri. Fie o diviziune a triunghiului ȋn triunghiuri. Dacǎ nu toate aceste triunghiuri sunt notate 1 2 3, se va gǎsi un triunghi la care douǎ vȃrfuri au numere egale, de exemplu numǎrul 1. Dacǎ latura 1 1 se aflǎ ȋn interiorul triunghiului mare, atunci ȋi sunt adiacente douǎ triunghiuri de diviziune (fig. 38, a). Dacǎ latura 1 1 se aflǎ pe o laturǎ a triunghiului mare ȋi este adiacent un singur triunghi (fig. 38, b). Ȋn cazul ȋn care contractǎm segmentul 1 1 ȋntr-un punct, vom obține o nouǎ diviziune a triunghiului mare ȋn triunghiuri pentru primul caz (fig. 38, c) și ȋn triunghiuri ȋn al doilea caz (fig. 38, d). Conform ipotezei inductive se va gǎsi ȋn aceastǎ diviziune, deci și ȋn diviziunea inițialǎ, cel puțin un triunghi ale cǎrui vȃrfuri sunt notate cu cifrele 1 2 3.

Exemplul 30. Ȋn spațiu se dau bile, patru cȃte patru secante. Sǎ se demonstreze cǎ toate aceste bile se intersecteazǎ, adicǎ existǎ un punct care aparține tuturor bilelor.

Rezolvare:

Vom examina succesiv trei probleme.

a) Pe o dreaptǎ se dau segmente, douǎ cȃte douǎ secante. Sǎ se demonstreze cǎ toate segmentele se intersecteazǎ, adicǎ existǎ un punct care aparține tuturor segmentelor.

Fie : Fiind date pe o dreaptǎ se segmente, douǎ cȃte douǎ secante, toate aceste segmente au cel puțin un punct comun.

Pentru propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru segmente. Fie date pe o dreaptǎ segmente , , …, , , douǎ cȃte douǎ secante. Conform ipotezei inductive, segmente , , …, se intersecteazǎ. Partea lor comunǎ va fi un punct sau un segment și o notǎm cu . Presupunem cǎ existǎ un punct care separǎ pe și . Fiecare din segmentele , , …, conține pe și conform ipotezei se intersecteazǎ cu segmentul . Deci fiecare dintre aceste segmente conține punctul , ceea ce ȋnseamnǎ cǎ punctul aparține lui . Contradicția obținutǎ aratǎ cǎ și se intersecteazǎ, iar partea lor comunǎ aparține tuturor segmentelor date , , …, , . Deci este adevǎratǎ.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , .

b) Ȋn plan sunt date discuri trei cȃte trei secante. Sǎ se demonstreze cǎ existǎ cel puțin un punct aparținȃnd tuturor acestor discuri.

Fie : Fiind date ȋn plan discuri trei cȃte trei secante, existǎ cel puțin un punct aparținȃnd tuturor acestor discuri.

Pentru propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru discuri oarecare. Fie date ȋn plan discuri , , …, , , trei cȃte trei secante. Conform ipotezei inductive, discuri , , …, se intersecteazǎ. Partea lor comunǎ poate fi un disc complet sau poate fi reprezentatǎ printr-un singur punct și o notǎm cu (fig. 39, a). Trebuie sǎ demonstrǎm cǎ figura și discul se intersecteazǎ. Presupunem cǎ figura și discul nu se intersecteazǎ. Atunci se poate trasa o dreaptǎ care sǎ despartǎ figurile și . Dreapta poate fi perpendicularǎ pe dreapta ce unește centrul al discului cu punctul al figurii cel mai apropiat de , ȋn mijlocul segmentului , unde este punctul de intersecție al cercului corespunzǎtor discului cu segmentul (fig. 39, b). Deoarece fiecare din discurile , , …, conține figura și prin ipotezǎ se intersecteazǎ cu discul , intersecteazǎ și dreapta . Notǎm cu segmentul dupǎ care discul intersecteazǎ dreapta , cu segmentul dupǎ care discul intersecteazǎ dreapta , …, cu segmentul dupǎ care discul intersecteazǎ dreapta . Ȋn acest mod, pe dreapta vom avea segmente , , …, . Douǎ oarecare dintre aceste segmente se intersecteazǎ. Considerǎm, de exemplu, segmentele și . Dacǎ este un punct arbitrar al figurii , atunci el aparține discurilor și . Deoarece trei oarecare din discurile date se intersecteazǎ, existǎ un punct care aparține simultan discurilor , și . Atunci segmentul aparține ȋn ȋntregime discurilor și , iar punctul sǎu de intersecție cu dreapta va fi un punct comun al segmentelor și . Conform punctului a), pe dreapta existǎ un punct aparținȃnd tuturor segmentelor , , …, . Acest punct aparține tuturor discurilor , , …, și deci aparține figurii , ceea ce contrazice construcția dreptei . Prin urmare, figurile și trebuie sǎ aibǎ cel puțin un punct comun, punct care va fi comun tuturor discurilor , , …, , . Deci este adevǎratǎ.

Fig. 39

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , .

c) Revenim la problema inițialǎ.

Fie : Fiind date ȋn spațiu bile patru cȃte patru secante, toate aceste bile au cel puțin un punct comun.

Pentru propoziția este adevǎratǎ.

Presupunem cǎ propoziția este adevǎratǎ pentru bile oarecare. Fie date ȋn plan bile , , …, , , patru cȃte patru secante. Conform ipotezei inductive, bile , , …, se intersecteazǎ. Notǎm cu intersecția lor. Analog cu punctul b) se poate arǎta cǎ dacǎ bila nu se intersecteazǎ cu , existǎ un plan care le separǎ. Figurile dupǎ care fiecare din bilele , , …, intersecteazǎ planul sunt discuri și prin urmare, oricare trei dintre ele se intersecteazǎ. Conform punctului b), ȋn planul existǎ un punct care aparține tuturor acestor discuri, deci aparține lui , ceea ce contrazice definiția planului . Deci, este adevǎratǎ.

Deoarece ambele etape ale metodei inducției matematice sunt verificate, propoziția este adevǎratǎ pentru orice numǎr natural , .

2.6.3. Aflarea locurilor geometrice cu ajutorul inducției dupǎ numǎrul dimensiunilor

Exemplul 31. Sǎ se gǎseascǎ locul geometric al punctelor din spațiu pentru care suma pǎtratelor distanțelor pȃnǎ la puncte date , , …, este constantǎ (egalǎ cu ).

Rezolvare:

Vom examina succesiv trei probleme.

a) Pe o dreaptǎ sunt date puncte , , …, . Sǎ se gǎseascǎ punctele ale dreptei astfel ȋncȃt , unde este un numǎr dat.

Considerǎm dreapta noastrǎ drept axǎ numericǎ. Fie , , …, numerele ce corespund punctelor , , …, și numǎrul ce corespunde punctului cǎutat . Lungimile segmentelor , , …, vor fi egale cu , , …, .

Dacǎ expresia de sub radical este pozitivǎ, aceastǎ egalitate definește douǎ puncte care satisfac condiția problemei. Aceste douǎ puncte sunt situate de o parte și de alta a punctului .

b) Sǎ se gǎseascǎ locul geometric al punctelor din plan pentru care suma pǎtratelor distanțelor pȃnǎ la puncte date , , …, este constantǎ (egalǎ cu ).

Alegem ȋn plan un sistem ortogonal oarecare de coordonate și notǎm proiecțiile punctelor , , …, pe axa și pe axa cu , , …, și respectiv , , …, , iar proiecțiile punctului pe cele douǎ axe le notǎm cu și . Atunci

……………………………

.

unde , , …, și , , …, sunt abscisele și ordonatele punctelor , , …, , iar și punctele axelor și cu coordonatele

este punctul din plan care se proiecteazǎ pe axele de coordonate ȋn și .

este egal cu

Locul geometric cǎutat este un cerc de razǎ

dacǎ

Locul geometric cǎutat se reduce la un punct dacǎ

Locul geometric nu conține nici un punct dacǎ

c) Ȋn cazul problemei inițiale, se considerǎ un sistem ortogonal de coordonate , , ȋn spațiu și se proiecteazǎ toate punctele pe planul și pe axa . Apoi se folosesc formulele 1 și 2 gǎsite la punctele a) și b) anterioare.

2.6.4. Definiția cu ajutorul inducției dupǎ numǎrul dimensiunilor

Exemplul 32. Definiția medianelor și a centrului de greutate a unui tetraedru

Se numește centru de greutate al unui segment, mijlocul sǎu.

Se numește medianǎ a unui triunghi segmentul care unește oricare din vȃrfurile triunghiului cu centrul de greutate al laturii opuse. Medianele unui triunghi se intersecteazǎ ȋntr-un singur punct numit centrul de greutate al triunghiului, care se gǎsește pe fiecare medianǎ la douǎ treimi de vȃrf și o treime de bazǎ.

Se numește medianǎ a tetraedrului segmentul care unește oricare din vȃrfurile sale cu centrul de greutate al feței opuse.

Demonstrǎm cǎ medianele tetraedrului se intersecteazǎ ȋntr-un punct.

Considerǎm tetraedrul și fie , , , centrele de greutate ale triunghiurilor , , și . Deoarece dreptele și se intersecteazǎ ȋn punctul care este mijlocul segmentului și dreptele și se intersecteazǎ ȋntr-un punct . Ȋn mod analog, dreptele și , și , și , și , și se intersecteazǎ ȋn punctele , , , și . Demonstrǎm cǎ toate aceste puncte coincid,= = = = = =. Dacǎ, de exemplu, punctele și nu ar coincide, dreptele , și s-ar afla ȋn planul . Atunci și dreapta care intersecteazǎ pe , și s-ar afla ȋn planul . Deci toate cele patru vȃrfuri ale tetraedrului ar trebui sǎ se afle ȋn planul , ceea ce este fals. Prin urmare, punctele și coincid. Ȋn mod analog, ajungem la concluzia cǎ = = = = = =.

Fig. 40

Deci, medianele tetraedrului se intersecteazǎ ȋntr-un punct numit centrul de greutate al tetraedrului.

3. CONSIDERAȚII METODICE

“Matematica nu este o colecție nesfȃrșitǎ de rezultate expuse ȋn succesiunea: definiție, teoremǎ, demonstrație, ci este mai degrabǎ un arsenal de metode, oferind totodatǎ un limbaj riguros și ȋn același timp flexibil pentru descrierea rezultatelor cunoașterii.” (Dan Brȃnzei)

Rezolvarea problemelor de matematicǎ și mai ales a problemelor de geometrie constituie acte de creație și inventivitate prin care rezolvitorul ȋși consolideazǎ cunoștințele teoretice, obține certitudinea importanței cunoștințelor acumulate, dobȃndește și ȋși perfecționeazǎ deprinderi și abilitǎți necesare rezolvǎrii de probleme, poate descoperi noi metode de rezolvare a problemelor, ȋși dezvoltǎ gȃndirea creativǎ, imaginația, rigoarea și ordinea.

Raționamentul este o componentǎ esențialǎ a gȃndirii și este folosit ȋn rezolvarea de probleme, prin raționament obținȃndu-se informații noi din combinarea celor deja existente. Ȋn mod tradițional, se considerǎ douǎ tipuri de raționament: inductiv și deductiv. Ȋn raționamentul deductiv, din premise cu caracter general se obține o concluzie cu caracter particular, iar ȋn cazul raționamentului inductiv, pornind de la premise cu caracter particular se ajunge la concluzii cu caracter general.

Raționamentul inductiv se regǎsește ȋn matematicǎ mai ales ȋn rezolvarea problemelor prin metoda inducției matematice. Aceastǎ metodǎ ȋși are aplicabilitatea ȋn variate probleme din matematicǎ, fiind un instrument uzual și eficient.

Studiul inducției matematice este prevăzut ȋn programa școlarǎ în ciclul inferior al liceului, la clasa a IX-a, la profilurile și specializǎrile cu patru ore de matematicǎ pe sǎptǎmȃnǎ, în cadrul algebrei, la capitolul “Mulțimi și elemente de logicǎ matematicǎ”, care are drept scop formarea urmǎtoarelor competențe specifice:

Identificarea ȋn limbaj cotidian sau ȋn probleme de matematicǎ a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor;

Utilizarea proprietǎților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimǎrilor și aproximǎrilor ȋn contexte variate, inclusiv folosind calculatorul;

Alegerea formei de reprezentare a unui numǎr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale;

Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizȃnd inducția matematicǎ sau alte raționamente logice;

Redactarea rezolvǎrii unei probleme, corelȃnd limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor;

Transpunerea unei situații-problemǎ ȋn limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.

La profilurile și specializǎrile cu trei ore de matematicǎ pe sǎptǎmȃnǎ, studiul inducției matematice este prevăzut ȋn clasa a IX-a, în cadrul algebrei, la capitolul “Mulțimi și elemente de logicǎ matematicǎ” care are drept scop formarea urmǎtoarelor competențe specifice:

Identificarea ȋn limbaj cotidian sau ȋn probleme de matematicǎ a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor;

Reprezentarea adecvatǎ a mulțimilor și a operațiilor logice ȋn scopul identificǎrii unor proprietǎți ale acestora;

Alegerea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea unor operații cu numere reale, cu mulțimi, cu propoziții/predicate;

Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizȃnd inducția matematicǎ sau alte raționamente logice;

Redactarea rezolvǎrii unei probleme, corelȃnd limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor;

Transpunerea unei situații-problemǎ ȋn limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.

și ȋn clasa a X-a, la capitolul “Metode de numǎrare”, avȃnd drept scop formarea urmǎtoarelor competențe specifice:

Diferențierea problemelor în funcție de numărul de soluții admise;

Identificarea tipului de formulă de numărare adecvată unei situații –problemă date;

Utilizarea unor formule combinatoriale în raționamente de tip inductiv;

Exprimarea caracteristicilor unor probleme în scopul simplificării modului de numărare;

Interpretarea unor situații problemă cu conținut practic cu ajutorul elementelor de combinatorică;

Alegerea strategiilor de rezolvare a unor situații practice în scopul optimizării rezultatelor.

Metoda inducției matematice este frecvent folositǎ apoi de-a lungul ȋntregului ciclu liceal ȋn cadrul orelor de matematicǎ și ȋn pregǎtirea elevilor pentru Bacalaureat și concursurile școlare. Școala licealǎ din Romȃnia asigurǎ ȋn bunǎ mǎsurǎ și cu multe aplicații studiul inducției matematice care are o importanțǎ fundamentalǎ ȋn matematicǎ.

Pentru o activitate instructiv-educativǎ optimǎ trebuie avute ȋn vedere urmǎtoarele principii didactice:

Participarea conștientǎ și activǎ a elevilor;

Caracterul intuitiv al ȋnvǎțǎmȃntului;

Legǎtura cu practica;

Ȋnvǎțǎmȃntul sistematic și continuu;

Ȋnsușirea temeinicǎ a cunoștințelor și deprinderilor;

Accesibilitatea (respectarea particularitǎților de vȃrstǎ și individuale);

Conexiunea inversǎ;

Caracterul științific;

Motivația optimǎ;

Problematizarea;

Educația permanentǎ și continuǎ.

Principiile didactice alcǎtuiesc un sistem unitar, au valoare orientativǎ pentru activitatea profesorului, au caracter deschis și dinamic, iar respectarea lor asigurǎ un echilibru procesului de ȋnvǎțǎmȃnt.

Tipurile de lecții de matematicǎ ȋn care se folosește metoda inducției matematice pot fi:

lecția de comunicare de noi cunoștințe;

lecția de fixare și consolidare;

lecția de recapitulare și sistematizare;

lecția de formare a priceperilor și deprinderilor;

lecția de verificare și evaluare;

lecția mixtǎ.

Orice lecție trebuie sǎ se desfǎșoare dupǎ un plan bine gȃndit, iar activitǎțile care alcǎtuiesc lecția trebuie sǎ fie ȋntr-o succesiune logicǎ. O lecție este metodic organizatǎ atunci cȃnd toate momentele ei constituie un tot unitar și servesc la atingerea scopului urmǎrit.

Luȃnd ȋn considerare aceste aspecte metodice, vor fi prezentate ȋn continuare cȃteva proiecte de lecție care au ca temǎ principalǎ utilizarea metodei inducției matematice ȋn cadrul orelor de matematicǎ.

PROIECT DE LECȚIE

Data: 21.10.2013

Profesor: Sabin Cristina Daniela

Clasa: a IX-a A

Număr de elevi: 25

Aria curriculară: Matematică și Științe ale Naturii

Disciplina: Matematică

Nr. ore/saptǎmȃnǎ: 4

Unitatea de ȋnvățare: Mulțimi și elemente de logicǎ matematicǎ

Tema lecției: Inducția matematicǎ

Tipul lecției: lecție de comunicare de noi cunoștințe

Durata lecției: 50 minute

Competențe generale:

Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

Competențe specifice:

Identificarea ȋn limbaj cotidian sau ȋn probleme de matematicǎ a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor;

Utilizarea proprietǎților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimǎrilor și aproximǎrilor ȋn contexte variate, inclusiv folosind calculatorul;

Alegerea formei de reprezentare a unui numǎr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale;

Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizȃnd inducția matematicǎ sau alte raționamente logice;

Redactarea rezolvǎrii unei probleme, corelȃnd limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor.

Competențe derivate:

Recunoașterea raționamentelor logice: deducție, inducție;

Recunoașterea și enumerarea etapelor de demonstrație prin metoda inducției matematice a propozițiilor matematice;

Analizarea și conștientizarea etapelor demonstrǎrii prin metoda inducției matematice;

Aplicarea metodei inducției matematice ȋn rezolvarea de probleme;

Efectuarea corectă a operațiilor cu numere reale.

Strategii didactice:

a) metode și procedee folosite:

– conversația frontală;

– conversația individualǎ;

– conversația examinatoare;

– expunerea didactică;

– explicația;

– observația;

– deducția;

– modelarea analogicǎ;

– descoperirea independentă;

– demonstrația;

– exerciții de recunoaștere;

– exerciții de calcul mintal;

– exerciții aplicative;

– algoritmizarea;

– activitatea individualǎ;

– activitatea colectivǎ;

– problematizarea.

b) mijloace de realizare:

– caiete de teme;

– caiete de notițe;

– manual;

– seturi de probleme create de profesor.

c) forma de organizare:

– frontală;

– individuală.

Metode de evaluare:

– observarea sistematică pe tot parcursul orei;

– apreciere verbală;

– notare.

Bibliografie:

C. Nǎstǎsescu, C. Nițǎ, S. Popa, Manual pentru clasa a X-a, Algebrǎ, Ed. Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, 1994

L. Panaitopol, M. E. Panaitopol, M. Lascu, Inducția matematicǎ, Editura GIL, Zalǎu, 2002

Scenariu didactic

PROIECT DE LECȚIE

Data: 23.10.2013

Profesor: Sabin Cristina Daniela

Clasa: a IX-a A

Număr de elevi: 25

Aria curriculară: Matematică și Științe ale Naturii

Disciplina: Matematică

Nr. ore/saptǎmȃnǎ: 4

Unitatea de ȋnvățare: Mulțimi și elemente de logicǎ matematicǎ

Tema lecției: Inducția matematicǎ. Exerciții de consolidare

Tipul lecției: lecție de fixare și consolidare

Durata lecției: 50 minute

Competențe generale:

Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

Competențe specifice:

Identificarea ȋn limbaj cotidian sau ȋn probleme de matematicǎ a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor;

Utilizarea proprietǎților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimǎrilor și aproximǎrilor ȋn contexte variate, inclusiv folosind calculatorul;

Alegerea formei de reprezentare a unui numǎr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale;

Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizȃnd inducția matematicǎ sau alte raționamente logice;

Redactarea rezolvǎrii unei probleme, corelȃnd limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor.

Competențe derivate:

Recunoașterea raționamentelor logice: deducție, inducție;

Recunoașterea și enumerarea etapelor de demonstrație prin metoda inducției matematice a propozițiilor matematice;

Analizarea și conștientizarea etapelor demonstrǎrii prin metoda inducției matematice;

Aplicarea metodei inducției matematice ȋn rezolvarea de probleme;

Efectuarea corectă a operațiilor cu numere reale.

Strategii didactice:

a) metode și procedee folosite:

– conversația frontală;

– conversația euristică;

– conversația examinatoare;

– expunerea didactică;

– explicația;

– observația;

– deducția;

– descoperirea independentă;

– demonstrația;

– exerciții de recunoaștere;

– exerciții de calcul mintal;

– exerciții aplicative;

– munca independentă;

– problematizarea.

b) mijloace de realizare:

– caiete de teme;

– caiete de notițe;

– manual;

– culegere;

– seturi de probleme create de profesor.

c) forma de organizare:

– frontală;

– individuală.

Metode de evaluare:

– observarea sistematică pe tot parcursul orei;

– apreciere verbală;

– notare.

Bibliografie:

C. Nǎstǎsescu, C. Nițǎ, S. Popa, Manual pentru clasa a X-a, Algebrǎ, Ed. Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, 1994

L. Panaitopol, M. E. Panaitopol, M. Lascu, Inducția matematicǎ, Editura GIL, Zalǎu, 2002

Scenariu didactic

PROIECT DE LECȚIE

Data: 27.03.2014

Profesor: Sabin Cristina Daniela

Clasa: a X-a A

Număr de elevi: 25

Aria curriculară: Matematică și Științe ale Naturii

Disciplina: Opțional

Nr. ore/saptǎmȃnǎ: 1

Tema lecției: Inducția matematicǎ ȋn geometrie

Tipul lecției: lecție de fixare și consolidare

Durata lecției: 50 minute

Competențe generale:

Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite;

Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice;

Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.

Competențe specifice:

Identificarea ȋn limbaj cotidian sau ȋn probleme de matematicǎ a unor noțiuni specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor;

Alegerea formei de reprezentare a unui numǎr real și utilizarea unor algoritmi pentru optimizarea calculelor cu numere reale;

Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizȃnd inducția matematicǎ sau alte raționamente logice;

Redactarea rezolvǎrii unei probleme, corelȃnd limbajul uzual cu cel al logicii matematice și al teoriei mulțimilor;

Transpunerea unei situații-problemǎ ȋn limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.

Competențe derivate:

Recunoașterea raționamentelor logice: deducție, inducție;

Recunoașterea și enumerarea etapelor de demonstrație prin metoda inducției matematice a propozițiilor matematice;

Analizarea și conștientizarea etapelor demonstrǎrii prin metoda inducției matematice;

Aplicarea metodei inducției matematice ȋn probleme de geometrie;

Efectuarea corectă a operațiilor cu numere reale.

Strategii didactice:

a) metode și procedee folosite:

– conversația frontală;

– conversația examinatoare;

– exercițiul;

– expunerea didactică;

– explicația;

– observația;

– deducția;

– descoperirea independentă;

– demonstrația;

– munca independentă;

– problematizarea.

b) mijloace de realizare:

– caiete de teme;

– caiete de notițe;

– manual;

– culegere;

– seturi de probleme create de profesor.

c) forma de organizare:

– frontală;

– individuală.

Metode de evaluare:

– observarea sistematică pe tot parcursul orei;

– apreciere verbală;

– notare.

Bibliografie:

L. I. Golovina, I. M. Iaglom, Inducția ȋn geometrie, Editura Tehnicǎ, București, 1964

L. Panaitopol, M. E. Panaitopol, M. Lascu, Inducția matematicǎ, Editura GIL, Zalǎu, 2002

Scenariu didactic

PROIECT DE LECȚIE

Data: 21.05.2014

Profesor: Sabin Cristina Daniela

Clasa: a XII-a A

Număr de elevi: 25

Aria curriculară: Matematică și Științe ale Naturii

Disciplina: Matematică

Nr. ore/saptǎmȃnǎ: 4

Unitatea de ȋnvățare: Recapitularea și consolidarea cunoștințelor

Tema lecției: Inducția matematicǎ. Recapitulare

Tipul lecției: lecție de recapitulare și sistematizare

Durata lecției: 50 minute

Competențe generale:

1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în

care au fost definite;

2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în

enunțuri matematice;

3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau

globală a unei situații concrete.

Competențe specifice:

1. Identificarea ȋn limbaj cotidian sau ȋn probleme de matematicǎ a unor noțiuni

specifice logicii matematice și teoriei mulțimilor;

2. Utilizarea proprietǎților operațiilor algebrice ale numerelor, a estimǎrilor și

aproximǎrilor ȋn contexte variate, inclusiv folosind calculatorul;

3. Alegerea formei de reprezentare a unui numǎr real și utilizarea unor algoritmi pentru

optimizarea calculelor cu numere reale;

4. Deducerea unor rezultate și verificarea acestora utilizȃnd inducția matematicǎ sau alte

raționamente logice;

5. Redactarea rezolvǎrii unei probleme, corelȃnd limbajul uzual cu cel al logicii

matematice și al teoriei mulțimilor.

Competențe derivate:

1. Recunoașterea raționamentelor logice: deducție, inducție;

2. Recunoașterea și enumerarea etapelor de demonstrație prin metoda inducției

matematice a propozițiilor matematice;

3. Analizarea și conștientizarea etapelor demonstrǎrii prin metoda inducției matematice;

4. Aplicarea metodei inducției matematice ȋn rezolvarea de probleme;

5. Efectuarea corectă a operațiilor cu numere reale.

Strategii didactice:

a) metode și procedee folosite:

– conversația frontală;

– conversația euristică;

– conversația examinatoare;

– expunerea didactică;

– explicația;

– observația;

– deducția;

– descoperirea independentă;

– demonstrația;

– exerciții de recunoaștere;

– exerciții de calcul mintal;

– exerciții aplicative;

– munca independentă;

– problematizarea.

b) mijloace de realizare:

– caiete de teme;

– caiete de notițe;

– manual;

– culegere;

– seturi de probleme create de profesor.

c) forma de organizare:

– frontală;

– individuală.

Metode de evaluare:

– observarea sistematică pe tot parcursul orei;

– apreciere verbală;

– notare.

Bibliografie:

Ghid Metodic Bacalaureat, Editura GIL, Zalǎu, 2009

Scenariu didactic

FIȘA DE LUCRU 1

1. Folosind metoda inducției matematice, sǎ se demonstreze cǎ pentru orice numǎr natural nenul , sunt adevǎrate egalitǎțile:

2. Sǎ se calculeze suma primelor numere naturale impare.

3. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice numǎr natural nenul , sunt adevǎrate egalitǎțile:

4. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice numǎr natural

5. Sǎ se demonstreze cǎ pentru orice este adevǎratǎ inegalitatea:

6. Sǎ se demonstreze prin metoda inducției matematice inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwarz:

Oricare ar fi numerele reale , unde , avem:

.

unde este numǎr natural, și sǎ se demonstreze prin inducție matematicǎ formula gǎsitǎ.

8. Sǎ se arate cǎ pentru orice avem: se divide cu 3.

FIȘA DE LUCRU 2

1. Pentru fiecare numǎr natural nenul se considerǎ numǎrul

a) Calculați .

b) Arǎtați cǎ , pentru orice numǎr natural nenul .

c) Demonstrați cǎ

pentru orice numǎr natural nenul .

3. Se considerǎ matricea .

4. Se considerǎ , unde este domeniul maxim de definiție,

a) Determinați .

b) Calculați derivata de ordin a funcției , , arbitrar.

5. Se considerǎ matricea Sǎ se arate cǎ, oricare ar fi , , unde

6. Se considerǎ matricea . Sǎ se arate cǎ , .

7. Se considerǎ matricile și .

Sǎ se demonstreze cǎ , oricare ar fi .

8. Fie matricea .

a) Sǎ se verifice relația .

b) Sǎ se arate cǎ , , .

c) Sǎ se arate cǎ, pentru orice , suma elementelor matricei este .

9. Se considerǎ matricea , unde .

a) Sǎ se determine știind cǎ .

b) Pentru sǎ se calculeze .

10. Fie și matricea .

Sǎ se arate cǎ , oricare ar fi .

11. Se considerǎ matricea , cu .

Sǎ se demonstreze cǎ , .

12. Pe mulțimea se definește legea de compoziție .

a) Sǎ se arate cǎ legea ,,” este asociativǎ.

b) Fie funcția , . Sǎ se verifice relația

,

13. Fie șirul , dat de , , , și matricea .

a) Sǎ se verifice relația .

b) Sǎ se arate cǎ , .

14. Se considerǎ șirul , dat de și ,

Sǎ se arate cǎ , .

Sǎ se arate cǎ , .

16. Definim șirul astfel: , . Arǎtați cǎ , .

17. Arǎtați cǎ șirul definit prin: , , este un șir constant.

18. Se considerǎ șirul de numere reale , cu și , și polinomul , cu și cu proprietatea , .

a) Sǎ se calculeze .

b) Sǎ se arate cǎ , .

a) Sǎ se gǎseascǎ primii patru termeni ai șirului și sǎ se deducǎ o formulǎ a termenului general.

20. Sǎ se arate cǎ pentru orice avem: se divide cu 133.

21. Sǎ se arate cǎ pentru orice avem: se divide cu 31.

22. Sǎ se determine funcțiile , știind cǎ și

23. Demonstrați prin inducție matematicǎ egalitatea

,

pentru numǎr natural, , unde .

24. Folosind metoda inducției matematice, sǎ se demonstreze egalitǎțile:

25. Folosind metoda inducției matematice, sǎ se demonstreze cǎ pentru orice numǎr natural nenul , sunt adevǎrate egalitǎțile:

BIBLIOGRAFIE

B. Balan, Ș. Boncu, A. Cosmovici, T. Cozma, C. Crețu, C. Cucoș, I. Dafinoiu, L. Iacob, C. Moise, M. Momanu, A. Neculau, T. Rudicǎ, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, 1998

C. Nǎstǎsescu, C. Nițǎ, S. Popa, Manual pentru clasa a X-a, Algebrǎ, Ed. Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, 1994

D. Brȃnzei, R. Brȃnzei, Metodica predǎrii matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2003

D. Brȃnzei, S. Anița, E. Onofraș, G. Isvoranu, Bazele raționamentului geometric, Editura Academiei Romȃne, București, 1983

Gazeta matematicǎ, Intuitex, Ediție electronicǎ 1895 – 2005

Ghid Metodic Bacalaureat, Editura GIL, Zalǎu, 2009

L. I. Golovina, I. M. Iaglom, Inducția ȋn geometrie, Editura Tehnicǎ, București, 1964

L. Panaitopol, M. E. Panaitopol, M. Lascu, Inducția matematicǎ, Editura GIL, Zalǎu, 2002

L. S. Sominski, Metoda inducției matematice, Editura Tehnicǎ, București, 1954

Mathematical induction,

http://www.mathdb.org/notes_download/elementary/algebra/ae_A2.pdf

M. Becheanu, C. Nițǎ, M. Ștefǎnescu, A. Dincǎ, I. Purdea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu, Algebra pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, 1983

V. Geangalǎu, D. Brȃnzei, Matematici școlare cu aplicații interdisciplinare, Editura Paralela 45, Pitești, 2000

BIBLIOGRAFIE

B. Balan, Ș. Boncu, A. Cosmovici, T. Cozma, C. Crețu, C. Cucoș, I. Dafinoiu, L. Iacob, C. Moise, M. Momanu, A. Neculau, T. Rudicǎ, Psihopedagogie pentru examenele de definitivare și grade didactice, Editura Polirom, 1998

C. Nǎstǎsescu, C. Nițǎ, S. Popa, Manual pentru clasa a X-a, Algebrǎ, Ed. Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, 1994

D. Brȃnzei, R. Brȃnzei, Metodica predǎrii matematicii, Editura Paralela 45, Pitești, 2003

D. Brȃnzei, S. Anița, E. Onofraș, G. Isvoranu, Bazele raționamentului geometric, Editura Academiei Romȃne, București, 1983

Gazeta matematicǎ, Intuitex, Ediție electronicǎ 1895 – 2005

Ghid Metodic Bacalaureat, Editura GIL, Zalǎu, 2009

L. I. Golovina, I. M. Iaglom, Inducția ȋn geometrie, Editura Tehnicǎ, București, 1964

L. Panaitopol, M. E. Panaitopol, M. Lascu, Inducția matematicǎ, Editura GIL, Zalǎu, 2002

L. S. Sominski, Metoda inducției matematice, Editura Tehnicǎ, București, 1954

Mathematical induction,

http://www.mathdb.org/notes_download/elementary/algebra/ae_A2.pdf

M. Becheanu, C. Nițǎ, M. Ștefǎnescu, A. Dincǎ, I. Purdea, I. D. Ion, N. Radu, C. Vraciu, Algebra pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didacticǎ și Pedagogicǎ, București, 1983

V. Geangalǎu, D. Brȃnzei, Matematici școlare cu aplicații interdisciplinare, Editura Paralela 45, Pitești, 2000