Îndesirea Rețelei DE Sprijin DIN Zona Negru Vodă, Județul Constanța Prin Lucrări DE Triangulație

UNIVERSITATEA TEHNICĂ “GHEORGHE ASACHI”

FACULTATEA DE HIDROTEHNICA, GEODEZIE SI INGINERIA MEDIULUI

SPECIALIZAREA: MĂSURATORI TERESTRE SI CADASTRU

ÎNDESIREA REȚELEI DE SPRIJIN DIN ZONA NEGRU VODĂ, JUDEȚUL CONSTANȚA PRIN LUCRĂRI DE TRIANGULAȚIE

STUDENT: ÎNDRUMĂTOR:

STROI RĂZVAN Conf. Univ. Dr. Ing. POPIA ADRIAN 

Tema proiectului: Îndesirea rețelei de sprijin prin lucrări de triangulație in zona Negru Vodă, județul Constanța.

Termen de predare:

Elemente inițiale pentru proiect:

Schița vizelor;

Coordonatele punctelor de sprijin ale rețelei;

Observații azimutale medii centrate;

Conținutul notei explicative de calcul, cu sumarea subtemelor care vor fi dezvoltate:

Calculul elementelor preliminare;

Calculul de compensare a rețelei de triangulație prin metoda observațiilor indirecte ponderate;

Verificarea calcului de compensare;

Calculul preciziilor de determinare;

Calculul elementelor curbelor podare;

Evaluarea costului lucrărilor.

Denumirea materialului grafic conținut in proiect;

Planul rețelei cu vizele aferente

Planul de încadrare în zonă a rețelei;

Planurile curbelor podarelor punctelor noi

Cuprinsul proiectului:

Piese scrise:

Memoriu tehnic…………………………………………………………………………………….….6

Cap. 1. Elemente generale:

1.1. Rețele de sprijin, triangulație, intersecții…………………………………..…………..…………….10

1.2. Rețeaua de Nivelment de stat…………………………..……………….………………..…………12

1.3. Executarea observațiilor unghiulare azimutale in rețelele geodezice………………………………………………………….…………………………………..……13

1.4. Efectuarea observațiilor prin metoda seriilor complete………………………….………….…….15

1.5. Compensarea in stație ………………………………………………………………………………………….18

Cap. 2. Calcule preliminare:

2.1. Prezentarea datelor de bază……………………..………………………….………………………26

2.2. Calculul coordonatelor provizorii preliminare ale punctelor noi…………………………………28

2.3. Calculul distanțelor și orientărilor provizorii in rețea……………………………………..………32

Cap. 3. Calcule de compensare prin metoda observațiilor indirecte:

3.1. Calculul unghiurilor de orientare individuală a vizelor……………………………………………………..35

3.2. Calculul unghiului mediu de orientare al stațiilor…………..…………………………..………….38

3.3. Calculul termenilor liberi ai ecuațiilor inițiale de corecții……………………………..………………39

3.4. Calculul coeficienților de direcție ai ecuațiilor inițiale de corecții și formarea matricei ecuației inițiale de corecții………………………………………………………………………………..…………..42

3.5. Calculul coeficienților ecuațiilor transformate echivalente………………………….……………….49

3.6.Calculul coeficienților ecuațiilor normale…………………..…………………………………..……..51

3.7.Rezolvarea sistemului de ecuații normale cu determinarea corecțiilor coordonatelor………….53

Cap. 4. Realizarea calculelor definitive:

4.1.Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi……………………………….……………..58

4.2.Calculul corecțiilor azimutale în urma compensării și a direcțiilor azimutale

compensate……………………………………………………………………………………………………………………..58

4.3.Calculul orientărilor compensate ale laturilor rețelei……………………………..…………………61

4.4.Calculul orientărilor cu coordonatele definitive ale punctelor noi.…………………………….……62

4.5.Verificarea finală a calculului de compensare………………………………………………………..63

Cap. 5. Calculul erorilor de determinare :

5.1.Calculul erorii medii pătratice a unității de pondere……………………………………….………..66

5.2. Calculul erorii medii pătratice a unei direcții observate……………………………………….…..66

5.3.Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor punctelor noi………………………………….66

5.4.Calculul elementelor elipselor de eroare ale poziției planimetrice a

punctelor noi…………………………….……………………………………………………………….…68

5.5.Calculul podarelor punctelor noi……………………………………………………………………… 70

Cap. 6. Elemente de organizare a lucrărilor :

6.1.Antemăsurătoare privind execuția lucrărilor de teren și de birou………………………………………74

6.2.Devizul estimativ al lucrărilor………………………………………………………………………..76

BIBLIOGRAFIE…………………………………………………………………………………………80

Piese desenate:

Planul vizelor;

Încadrarea pe foi de plan a rețelei;

Planul elipselor si podarelor punctelor noi.

MEMORIU TEHNIC JUSTIFICATIV

În acest proiect este prezentată lucrarea de îndesire a rețelei de triangulație, din zona orașului Negru Vodă, județul Constanța, cu accent asupra calculelor de compensare a unui grup de puncte format din 4 puncte noi si 7 puncte vechi. Schița rețelei se incadrează pe 1 trapez la scara 1:100 000 (fig.1).

Rețelele geodezice de pe teritoriul Romăniei, constituie baza de sprijin pentru toate lucrările topografice, fotogrammetrice, cartografice sau cadastrale necesare economiei naționale si de aparare a țării. Acestea, sunt realizate conform instrucțiunilor elaborate si impuse de catre Direcția Topografica Militară (triangulație – 1962 si respectiv nivelment 1965) si a intrucțiunilor IGFCOT 1979 pentru rețeaua de nivelment geometric.

În Romania a fost realizată rețeaua geodezică de stat de ordinul I, II, III si IV în sistemul de proiecție STEREOGRAFIC 1970 având centrul de proiecție la nord de Făgăras, cu coordonatele geodezice: B = (latitudine Nordică) si L = (longitudine Estica).

Lucrarea este alcătuită din doua faze, una de teren si alta de birou.

În faza de teren se identifică limita zonei de lucru, se măsoară direcțiile orizontale cu Stație Totala Leica TCR 805, apoi se marchează cu borne punctele noi.

În faza de birou se fac calculele, etapele de calcul al rețelei de triangulație fiind următoarele:

se calculeaza prin metoda intersecției înapoi coordonatele provizorii ale punctelor noi;

se calculează distanțele si orientările provizorii dintre punctele rețelei cu ajutorul coordonatelor provizorii ale punctelor noi.

se scriu ecuațiile inițiale de erori și se determină valorile termenilor liberi;

se scrie sistemul ecuațiilor normale, care se rezolvă prin inversarea matricii coeficienților, obținându-se necunoscutele, acestea fiind de fapt corecțiile ce se aplică coordonatelor provizorii pentru obținerea coordonatelor compensate ale punctelor noi;

elementele necesare evaluării preciziei sunt: eroarea unitații de pondere, erorile medii pătratice ale distanțelor măsurate și erorile de determinare a coordonatelor punctelor noi;

s-au întocmit podarele generate de elipsele de eroare, fiind domeniile de încredere pentru punctele noi compensate.

Pentru evaluarea economică a lucrarilor de triangulație, s-au țntocmit pentru fiecare in parte antemăsuratoarea si devizul estimativ.

Antemăsuratoarea este o piesă de bază a documentației tehnico – economice care se țntocmeste pentru fiecare categorie de lucrări distinctă în parte. Aceasta reprezintă evaluarea cantitativă a proceselor aferente realizării categoriei de lucrări înscrise în ordine tehnologică.

Devizul este piesa scrisă a documentației tehnico – economice cu ajutorul căreia se evaluează valoric volumul lucrărilor si se calculeaza prețul de cost al lucrarii. Devizul se țntocmeste pe categorii de lucrări, pe obiect pe baza antemăsuratorii aferente si in ordinea din aceasta.

CAPITOLUL I

ELEMENTE GENERALE

Triangulația este un procedeu utilizat pentru determinarea rețelelor de sprijin topografice, presupune unirea punctelor vizibile, astfel incat să rezulte triunghiuri cât mai echilaterale. Poziția planimetrică a punctelor este definită numai daca se măsoara toate unghiurile rețelei, una sau mai multe laturi (baze) si se determină una sau mai multe orientari pe cale astronomică.

Rețele de sprijin, triangulație, intersecții

Efectuarea unei ridicari topografice se face în cazul în care există o rețea de sprijin alcatuită din puncte de triangulație. Forma si dimensiunea rețelei de triangulație depinde de mărimea si forma suprafeței de ridicare.

Se consideră, in general, două categorii mari de rețele de triangulație:

Rețele de sprijin alcătuite din triangulația geodezică;

Rețele de sprijin alcătuite din triangulația topografică locală.

Rețeaua de triangulație geodezică constă in folosirea unor puncte pe întinderi mari formată din puncte de ordin I, II, III, IV, V.

Ridicările topografice se sprijină pe puncte de ordin IV, V. Fiecare punct geodezic este definit prin coordonatele X, Y, H.

Rețele de sprijin formate din triangulația geodezică, au urmatoarele caracteristici:

Se desfășoara pe suprafețe mari;

Oricărui punct de ordin I, II, III i se determină atât coordonatele geografice cât și rectangulare într-un sistem de coordonate la nivelul țării;

Distanțele sunt reduse la nivelul zero;

Distanțele suferă o anumită deformație.

În general este necesară folosirea unui sistem de proiecție cartografic. Suprafața va fi proiectată pe o suprafața plană, indiferent de sistemul de proiecție adoptat.

Rețeaua de sprijin legală si obligatorie este rețeaua geodezică de stat.

Rețele de sprijin formate din triangulația topografică locală, reprezintă o excepție care se aplică numai in cazuri speciale si cu anumite aprobări:

Rețeaua de triangulație geodezică lipsește de pe suprafața unde se face ridicarea;

Suprafața de ridicat este mică si nu se justifică cheltuielile de ridicare din punct de vedere economic;

Utilizată in unele ridicari speciale in care deformații liniare, unghiulare sunt inadmisibile;

Principalele caracteristici ale rețelelor de sprijin alcătuite din triangulația topografică locală sunt:

Desfășurarea acestora se face pe suprafețe limitate, fără a depași totuși o suprafață prea mare;

Proiectarea punctelor se face pe un plan orizontal paralel cu suprafața geoidului sau elipsoidului de referința;

Nu se ține cont de curbura Pământului;

Deformațiile suprafețelor, distanțelor si unghiurilor sunt considerate aproape nule;

Forma, dimensiunea si direcția după care se desfășoara triangulația topografică locală depind de suprafața de ridicat;

Fiecare rețea de triangulație locală are un sistem propriu de axe de coordonate si uneori altitudinile sunt prezentate față de o suprafață de nivel luată aleatoriu.

Executarea unei triangulații topografice locale presupune o serie de operații care se desfăsoara astfel:

Studiul pe hartă (proiectarea triangulației);

Recunoașterea pe teren a suprafeței rețelei;

Marcarea si semnalizarea punctelor rețelei;

Măsurarea bazelor de triangulație si calculul lungimilor ei;

Măsurarea tuturor unghiurilor rețelei de triangulație (compensarea unghiurilor in stație);

Compensarea unghiurilor in rețea;

Orientarea rețelei de triangulație determinată fie prin măsuratori astronomice, cu giroscopul, giroteodolitul sau magnetic; in majoritatea cazurilor se iau valori arbitrare;

Calculul lungimii laturilor de triangulație;

Alegerea sistemului de axe de coordonate;

Calculul coordonatelor punctelor de triangulație;

Întocmirea dosarului tehnic al lucrării.

În funcție de forma terenului și de obstacolele care trebuie evitate și în funcție de relieful terenului se aleg următoarele tipuri de rețele de triangulație:

Poligon cu punct central, cu bază normală si cu bază scurtă;

Patrulater cu diagonal observate;

Lanț de poligoane cu punct central;

Lanț de triunghiuri;

Lanț de patrulatere.

Rețeaua de Nivelment de Stat

Datele Geodezice de Referință sunt mărimile ce conduc la încadrarea rețelei geodezice considerate in sistemul de coordonate corespondent. În prezent se folosesc in România următoarele Date Geodezice de Referință oficiale, urmând a se folosi in lucrările de specialitate care se desfășoară în prezent in România, inclusiv cele executate in domeniul cadastrului.

Rețeaua de Triangulație de Stat:

elipsoidul de referința Krasovski (1940), e orientat pe pilastrul mare al Observatorului astronomic din Pulkovo (Federația Rusa);

planul de proiecție stereografică 1970 (cu plan unisecant Brașov).

Rețeaua de Nivelment de Stat:

sistemul de nivelment Marea Neagră 1975, cu punct zero fundamental in reperul de adâncime protejat e situat în Capela militară din Municipiul Constanța;

sistemul de altitudini normale (Molodenski).

Rețeaua de Nivelment de Stat de ordinele I, II, III si IV a fost constituită, la momentul initial, din aproximativ 14.000 repere si mărci de nivelment, completată cu o Rețea de îndesire de ordinul V, constituită la momentul inițial din aproximativ 250 repere si mărci de nivelment. Rețeaua altimetrică de ordinul I a României acoperă uniform teritoriul țarii, fiind una dintre cele mai apreciate din Europa.

Chiar daca multe mărci si/sau repere de nivelment au fost distruse, rețeaua existentă este suficient de densă pentru a fi folosită ca rețea de sprijin in efectuarea lucrărilor realizate in diverse sectoare ale economiei naționale. În anii de după Revoluția din 1989, s-a introdus tehnologia de determinare a punctelor geodezice in sistemul poziționarii globale GPS (Global Positioning System).

Exectuarea observațiilor unghiulare azimutale in rețelele geodezice

In rețelele geodezice, sunt cunoscute diferite metode de măsurare a unghiurilor sau a direcțiilor, cu următoarele caracteristici comune:

Pentru eliminarea erorilor de poziție ale axelor teodolitului, măsuratorile se efectueaza in număr egal in cele doua poziții ale lunetei;

În scopul micșorării erorii de antrare a cercului si a erorii determinate de torsiunea pilastrului, măsuratorile se efectueaza in număr egal in cele doua sensuri de rotație a alidadei;

Măsuratorile repetate se efectuează cu origini diferite pentru a se diminua influența erorilor de diviziune ale cercului.

În ceea ce privește efectuarea propriu – zisă a observațiilor unghiulare se impune ca fiecare operator să respecte anumite reguli de măsurare, din care care se menționeaza:

Teodolitul (verificat si rectificat) se instalează in statie cu aproximativ o jumătate de ora înainte de începerea observațiilor pentru a avea temperatura mediului inconjurator;

Pe toata perioada măsuratorilor, aparatul trebuie sa ocupe o poziție stabilă. Daca este necesar, se vor executa reparații prealabile ale piramidei pilastru;

Observațiile se executa numai in perioade optime de măsurare, conform metodelor de lucru specific ordinului de triangulație din care face parte rețeaua respectivă;

La fiecare punctare a semnalelor geodezice se urmăreste ca firul reticular azimutal să nu depășească imaginea obiectului vizat, astfel încât, sub actiunea șurubului micrometric, alidada sa continue mișcarea de rotație in același sens. Dacă acest lucru nu s-a realizat, este necesară efectuarea unei rotații complete a alidadei si repetarea operațiunii de punctare. Procedând în acest mod se micșoreaza influența unor erori instrumentale (antrenarea cercului, erori ale șurubului micrometric, ale mișcarii alidadei, etc.)

Înainte de începerea observațiilor se execută un tur de orizont aproximativ ce va fi folosit la punctarea precisă din timpul măsuratorilor;

Punctarea pe direcție azimutală se realizează fie prin încadrare (între firele reticulare duble), fie prin bisectare, în funcție de distanța la care se află punctul vizat si experiența proprie a operatorului. În cazul vizării semnalelor la sol, este indicat sa se vizeze partea vizibilă de la apropierea solului, pentru a evita eroarea datorată neverticalitații semnalului vizat;

Punctarea la măsuratorile zenitale se realizează prin tangent dintre firul reticular zenital si marginea (de obicei cea superioară) fluturelui. Pentru evitarea oricarei confuzii, este necesar sa se intocmeasca o schița de vizare in carnetul de observații;

Instrucțiunile în vigoare la noi in țara prevăd ca toate lecturile sa fie facute prin dublă coincidență, cu încadrare în toleranțele impuse;

După terminarea observațiilor se determină elementele de centrare si reducere. Este indicat ca aceste determinări să se repete la sfarșitul perioadei de observație sau oricând este necesar.

Efectuarea observațiilor prin metoda seriilor complete

Metoda seriilor complete constă din efectuarea tuturor observațiilor azimutale in turul de orizont, într-un punct de stație, spre punctele de același ordin sau de ordin imediat superior (de racordare) pentru realizarea conexiunilor prevpzute de proiectul rețelei geodezice. Observațiile încep și se termina (pentru control) pe un punct de referința, numit punct origine, care este cel mai îndepartat și are condiții optime de vizibilitate.

O serie este compusă din doua semiserii: in prima semiserie se vizeaza toate punctele din turul de orizont cu luneta in poziția I prin rotirea alidadei in sens orar; in cealaltă semiserie, măsuratorile se efectueaza in poziția a II-a a lunetei, rotindu-se alidada in sens antiorar.

Metoda seriilor complete este recomandată de instrucțiuni pentru rețelele de triangulație de ordinele III, IV, V, rețele principale si secundare din localități precum si in diverse lucrări tehnico – inginerești. Toleranțele prevăzute sunt prezentate in tabelul nr. 1, unde n reprezintă numărul de vize.

Toleranțele prevăzute de instrucțiuni in funcție de ordinul rețelei

Tabel 1.1

În cazul unui punct din triangulația geodezică de ordinul V, observațiile din teren se execută în următoarea succesiune:

Se instalează teodolitul in punctul de stație cu aproximativ o jumătate de oră înainte de începerea observațiilor pentru a căpata temperatura mediului ambient;

Se alege in turul de orizont un punct de referință cel mai îndepărtat și care are totodată condiții optime de vizibilitate;

Se efectuează un tur de orizont pentru a se determina la ordin de c direcțiile spre punctele ce urmează a fi vizate;

Se vizeaza cu luneta in poziția I punctul de referință și se introduce în dispozitivul de citire al teodolitului originea corespunzătoare primei serii ();

Se reverifică punctarea și se face citiri prin dublă coincidență;

Se rotește alidada in sens orar și se fac toate observațiile din turul de orizont prin dublă coincidență, închinzând semiseria pe punctul de referința cu respectarea toleranței;

Se aduce luneta in poziția a II – a și se vizeaza punctul de referință efectuându-se citirile prin dublă coincidență;

Se rotește alidada in sens antiorar și se fac toate observațiile din turul de orizont prin dublă coincidență, inchizând și cea de – a doua semiserie pe punctul de referință;

După închiderea primei serii se trece la efectuarea in mod identic a măsuratorilor și pentru celelalte serii, de fiecare dată introducându-se în dispozitivul de citire al teodolitului o nouă origine;

Pentru diminuarea acțiunii erorilor de diviziune a cercului seriile se execută cu origini diferite, la intervale I, calculate cu relația:

Unde t este numărul seriilor.

Pentru a diminua erorile de perioadă scurtă a gradațiilor cercului orizontal, se modifică intervalele stabilite cu relația anterioară cu 10c, cât reprezintă mărimea unei rotiri complete a micrometrului optic de citire a unghiurilor.

Seriile fiind cicluri de observații independente, este permisă refacerea calajului la începutul unei serii noi.

Într-o serie se admit maximum 8 vize.

Dacă într-o stație este necesar să se observe mai multe puncte, se vor forma două grupe care sa conțina 2 – 3 vize comune, fiind indicat să se pastreze in ambele grupe aceeași direcție de referință.

În planul de observații se include două direcții spre puncte de ordin superior, necesare pentru racordarea tuturor observațiilor din stația respectivă.

Pentru obținerea unei precizii impuse a coordonatelor punctelor noi se au in vedere următoarele elemente:

Precizia impusă a coordonatelor ( Δ );

Lungimea maximă a vizelor către punctele noi ( D );

Eroarea medie pătratica a vizei la teodolitul cu care se lucrează ( e );

Numărul necesar de tururi de orizont ( N ) și de serii ( NS );

Eroarea admisă a unei vize ( ea ).

Un exemplu de calcul al numărului de observații se prezintă astfel:

Se calculează:

Se calculează intervalul unghiurilor impus între citirile de origine din fiecare serie cu relația:

unde, Nm reprezintă numărul de citiri simultane ale dispozitivului de citire ( In general, Nm este 2 ).

Deci, prima serie va avea originea 0g, iar a doua serie va avea originea 100g.

Observațiile se înscriu in formulate tipizate, se prelucrează in teren pentru a verifica corectitudinea înscrierilor si încadrarea in toleranțele admise. La birou, seriile se înscriu în tabele centralizate și se aduc pe direcția de origine toate cu valoarea zero.

Compensarea in stație

Se presupune un caz general în care dintr-un punct oarecare de stație P(0) trebuie vizate punctele din jurul său P(1), P(2), P(3), ……. , P(n) in t serii ( figura 1.1):

Fig. 1.1 Observații azimutale executate prin metoda seriilor complete in stația P(0)

În figura 1.1 s-au notat următoarele:

Oi – poziția gradației 0 pe cerc, în seria I;

li(j) – Citirea către punctul P(J) în seria I;

vi(j) – corecția aferentă

li(0) – citirea pe originea seriei i.

Determinarea elementelor compensate

Se propune compensarea observațiilor efectuate prin metoda observațiilor indirecte.

Numărul total de măsuratori este t ∙ n. Se aleg ca necunoscute unghiurile x1, x2, ….., xn-1 formate de direcția de referință cu celelalte puncte vizate. În funcție de notațiile introduse se obțin:

⁞

Unde i = 1, 2, ….., t.

Se observă că o direcție măsurată este afectată atât de erori proprii de măsurare, cât si de erori ale direcției de referință, care provoacă o rotire a seriei considerate.

Notând pentru direcția de referință: se obțin următoarele grupe de sisteme de ecuații de erori, pentru fiecare din cele t serii:

Se observă că sistemul de ecuații de erori conține (t∙n) ecuații cu (n – 1 + t) necunoscute, astfel că numărul total al observațiilor suplimentare este:

t ∙ n – (n – 1) – t = (t – 1) ∙ (n – 1)

Necunoscutele zi au in sistemul de ecuații de erori, coeficientul (-1). În ipoteza observațiilor independente si de egală precizie (p1 = p2 = …. = pn) rezultă:

[v]1 = [v]2 = …. = [v]t = 0

Cu indici inferiori s-a notat ca si până acum numărul seriei.

Formăm sistemul de ecuații normale corespunzător sistemului de ecuații de erori, considerând ca necunoscute x1,x2,…..,xn-1 si [z]:

Cu [l](j) s-a notat suma termenilor liberi (respectiv a lecturilor) pentru punctul P(j) vizat, prin luarea in considerație a tuturor seriilor, iar cu [l] suma termenilor liberi pentru toate ecuațiile de erori. Adunând ecuațiile sistemului normal rezultă:

De unde:

Dacă se consideră că direcțiile observate se reduc pe direcția de referință înainte de a se efectua compensarea în stație, se obține:

deci:

adică,

Folosind ultima egalitate, rezultă din sistemul ecuațiilor normale următoarele soluții pentru necunoscutele xi:

Concluzie: În cazul metodei seriilor complete, valoarea cea mai probabilă a unei direcții, este dată de media aritmetică a măsuratorilor efectuate în toate seriile, după ce in prealabil au fost reduse pe direcția de referință.

Calculele de evaluare a preciziei pot fi ușurate. Sistemul ecuațiilor de erori pote fi scris si astfel:

Cantitatea di(j) reprezintă diferența între valorile medii ale soluțiilor xi obținute cu relațiile anterioare si valorile li(j) măsurate si reduse la origine. Folosind proprietatea dată de sistemul ecuațiilor de erori se obține:

;

Cu formulele pentru necunoscutele xi si pentru zi se deduc necunoscutele modelului functional. Cu sistemul ecuațiilor de erori scris sub forma prezentată mai sus s-ar putea determina corecțiile v, operație care nu este foarte importantă.

Mediile dintre cele doua poziții ale lunetei se calculeaza cu relația:

Mediile reduse la originea zero pe prima direcție la fiecare serie se obțin scăzând din toate valorile pe cea obținută pe prima direcție.

Dacă luăm în considerare că direcțiile observate se reduc la direcția de referință egalată cu zero înainte de compensare, atunci valoarea cea mai probabilă a unei direcții măsurate în cadrul metodei seriilor este media aritmetică a măsuratorilor efectuate in toate seriile, ce au fost reduse in prealabil pe direcția de origine.

Estimarea preciziei interioare

Eroarea medie sα’ a unei singure direcții, măsurată într-o singură serie (egală in acest caz cu eroarea medie a unității de pondere s0’) se obține astfel:

Se poate determina o formulă pentru calculul [vv] în funcție de diferențele di(j). Pentru seria 1, se obține din sistemul ecuațiilor de erori, următoarea relație:

[vv]1= n ∙ z12 – 2 ∙ z1 ∙ [d]1 + [dd]1

Sau înlocuind zi, astfel:

Pentru totalul seriilor t, rezultă prin însumare:

Erorile necunoscutelor x, care în cazul de față reprezintă erorilor unghiurilor compensate sβ’ se deduc cu

Se poate demonstra ca:

; ;

;

;

Astfel rezultă:

Eroarea medie a unei direcții compensate in stația sα’ se calculeaza cu ajutorul relației:

Adică:

Cu aceste erori se caracterizează precizia și calitatea de incredere asupra direcțiilor măsurate in stație.

Toleranțele sunt prevăzute în secunde și nu pot fi dependente de valorile erorilor menționate. Aceste tolerante sunt in funcție de ordine: toleranțe pentru ordinul III, IV si V.

CAPITOLUL II

CALCULE PRELIMINARE

În urma culegerii informațiilor de pe teren s-au obținut următoarele date:

Schița vizelor

Coordonatele punctelor de sprijin ale rețelei

Observații azimutale medii centrate

Fig. 2.1 Schița vizelor

Tabel 2.1 – Coordonatele punctelor de sprijin ale rețelei

Tabel 2.2 – Observații azimutale medii centrate si reduse

Calculul coordonatelor provizorii preliminare ale punctelor noi

Pentru compensarea riguroasa, indiferent de metoda de compensare folosită sunt necesare coordonatele provizorii preliminare ale punctelor noi din rețeaua geodezica de triangulație.

Coordonatele provizorii preliminare ale punctelor noi, se pot determina cu ajutorul direcțiilor azimutale si ale coordonatelor rectangulare plane ale punctelor vechi prin intersecție unghiulară inapoi.

Calculul orientărilor și a distanțelor între punctele vechi ale rețelei

În mod obișnuit, într-o rețea de triangulație există cel puțin o racordare simplă la o rețea de sprijin mai veche, în care punctele au coordonate cunoscute. De aceea, o primă etapă de calcul, care intervine în toate categoriile de prelucrări, este constituită de calculul orientărilor si a distanțelor între punctele vechi.

Fig 2.2 Calculul orientării si a distanței între două puncte A si B

Se vor calculate din coordonate, distanțele și orientările între puncte vechi din rețea pentru care s-au realizat observații azimutale în teren, utilizând formulele cunoscute.

DA-B= ;

unde:

Orientarea dreptei AB reprezintă unghiul pe care dreapta îl formează cu o paralelă la axa OX în punctul considerat, iar distanța se calculează ca ipotenuza în triunghiul dreptunghic.

În figura 2.3, orientarea θA-B se numește orientare directă, iar orientarea θB-A se numește orientare inversă care se calculează folosind următoarea relație:

θB-A=θA-B±200g00c00cc

Alegerea unei din cele doua relații de calcul pentru orientare se face in funcție de mărimile diferențelor Δx si Δy, regula fiind să se aleagă întotdeauna relația ce dă pentru mărimile tangentei sau cotangentei o valoare subunitară.

La calculul orientării unei direcții un rol important îl are unghiul de calcul notat cu β însoțit de un indice ce semnifică cadranul în care se află direcția respectivă (figura 2.3).

Fig. 2.3 Stabilirea formulelor de calcul pentru unghiul de orientare β

Stabilirea cadranului se face in functie de semnul diferențelor de coordonate ΔX si ΔY, iar trecerea de la unghiul β la orientarea θ și invers se face conform figurii de mai sus si celor prezentate in tabelul de mai jos:

Trecerea de la unghiul β la orientarea θ:

Tabelul 2.3

Calculul orientărilor și a distanțelor între punctele vechi ale rețelei este prezentat in tabelul 2.4.

Calculul coordonatelor provizorii preliminare ale punctelor noi prin metoda intersecției inapoi

Intersecția înapoi se utilizează pentru determinarea unor puncte de îndesire staționabile (accesibile). Pentru determinarea unui punct nou prin această metodă, pașii de lucru pe teren sunt următorii:

Se realizează cunoașterea terenului și a punctelor de sprijin care vor fi utilizate;

Se extrag din baza de date a oficiului de cadastru coordonatele punctelor de sprijin utilizate;

Se marchează pe teren punctul nedeterminat, marcarea făcându-se provizoriu sau definitiv;

Se măsoară direcțiile orizontale (și vertical) între punctul nou și punctele de sprijin prin metoda seriilor complete de observație.

Cu ajutorul direcțiilor orizontale medii se vor determina unghiuri orizontale formate de direcțiile dintre punctul nou si punctul vechi.

În principiu, un punct de retrointersectie poate fi determinat doar cu 3 puncte de sprijin, dar din necesitatea verificării, determinarea se va face utilizând 4 puncte de sprijin.

Rezolvarea analitică a intersecției înapoi prin procedeul orientării primei direcții de la punct nou către punct vechi

Prima directivă de la intersecția înapoi se consideră direcția către primul punct vizat, atunci când se determină direcțiile medii către punctele vechi (figura 2.4).

Fig. 2.4 Orientările de la punctul nou la punctele vechi

Rezolvând sistemul de 3 ecuații, rezultă:

Combinația 5 – NV Siloz – 14 – 17

Fig. 2.5 Combinația 5 – NV Siloz – 14 – 17

γ1= 83.7366 tg γ1= 3.8289

γ2= 172.3492 tg γr= 1.2121

γr= 256.0863

tgθ5-NV SILOZ= -0.2335 tgθ5-14= 1.8979

θ5-NV Siloz= 69.1290 θ5-14= 1.8979

X5= 261009.957 Y5= 763733.083

Analog se vor calcula si celelalte puncte noi ale rețelei.

Valoarea finală a coordonatelor punctelor reprezintă media a două determinari. Calculele se conduc in tabelul 2.5.

Tabelul 2.5 Coordonatele provizorii ale punctelor noi

Calculul distanțelor si orientărilor provizorii in rețea

Pe baza coordonatelor cunoscute ale punctelor vechi ale rețelei de triangulație Xi, Yi din tabelul 2.1 și a coordonatelor provizorii ale punctelor noi Xj⁰,Yj⁰ din tabelul 2.5, se calculează prima dată orientările provizorii ale direcțiilor, folosind relațiile:

Distanțele provizorii se vor calcula cu una din următoarele formule:

Calculele se conduc in tabelul 2.6

CAPITOLUL III

CALCULE DE COMPENSARE PRIN METODA OBSERVAȚIILOR INDIRECTE

Calculul unghiurilor de orientare individuală ale stațiilor

Considerând stația S si punctul vizat i, direcția diviziunii zero a limbului va avea un unghi de orientare corespunzător vizei către punctul “i” care se determină cu următoarea relație:

Unde:

;

.

Fig. 3.1 Calculul unghiului de orientare individual al stației

Calculul unghiului mediu de orientare al stațiilor

Din cauza erorilor de măsurare a direcțiilor orizontale, precum și a erorilor coordonatelor punctelor vechi, unghiurile de orientare in stație nu vor fi egale între ele, decât in mod intâmplător. Pentru a orienta stația, se calculeaza un unghi de orientare mediu folosind următoarea formulă:

Unde:

n – reprezintă numărul vizelor care se efectuează în punctul de stație S

Calculul termenilor liberi ai ecuațiilor inițiale de corecție

Se consideră punctul de stație S și punctul vizat i.

Direcțiile centrate și reduse la planul de proiecție , urmează a fi corectate in procesul de prelucrare cu corecțiile :

Valoarea definitivă a orientarii unei direcții va rezulta din suma valorilor definitive ale unghiului de orientare al stație si a direcției definitive:

Pe de altă parte, valoarea definitivă a orientarii unei direcții se va obține din valoarea provizorie a orientării la care se va adăuga o corecție dθ, obținuta prin compensare:

Egalând ultimele două relații, se obține:

Unghiul de orientare al stației Zs este unghiul de orientare a direcției de origine. Valoarea definitivă a unghiului de orientare in stație se poate considera:

Unde:

Putem scrie acum:

Din aceasta relație se poate extrage expresia termenului liber:

Se observă că termenii liberi ai ecuațiilor corecțiilor se obțin ca diferențe între unghiurile de orientare individuale si unghiul de orientare mediu:

Se face suma algebrică a termenilor liberi, verificându-se condiția [l] = 0. Daca rezultă mici diferențe, se face o corectare a termenilor mai mari.

Termenii liberi se calculează in tabelul 3.1

Calculul coeficientilor de directive ai ecuatiillor initiale de corectie si formarea matricii ecuatiilor initiale de corectie

Coeficientii de directive reprezinta coeficientii necunoscutelor din ecuatiile de corectii si exprima variatia orientarii pe unitatea de lungime considerate (coeficientul a pe axa X si coeficientul b pe axa Y). Din motive practice, in triangulatia de stat corectiile unghiulare se exprima in secunde, iar necunoscutele (corectiile coordonatelor) in decimetri. De asemenea, distantele dintre puncte, ca si coordonatele relative, se explrima in kilometric. Din aceasta cauza, formulele folosite in practica calcularii coeficientilor de directive pentru cazul gradatiei centezimale, sunt:

Sau

Pe baza acestor formule se calculeaza coeficientii de directie asi si bsi, cu aceeasi precizie ca in cazul marimilor sinθ⁰, costθ⁰ si D⁰, respectiv Δx⁰, Δy⁰, D⁰ cu trei zecimale.

Controlul calculului coeficientilor de directie se face cu una din formulele:

sau

Calculele se efectueaza in tabelul 3.2

Numarul initial al ecuatiilor de corectie scrise pentru directiile masurate, este egal cu numarul directiilor in cadrul retelei.

Avand patru puncte noi si 7 puncte de statie, numarul total de necunoscute va fi: 2 x 4 + 7 = 15, fiind format din corectiile dx si dy pentru fiecare punct nous i corectiile dz pentru fiecare punct stationat.

Se grupeaza ecuatiile in jurul fiecarui punct stationat, luand in considerare punctul de statie S, pentru care se scriu ecuatiile corespunzatoare fiecarei directii masurate din punctul de statie.

Directiile centrate si reduse la planul de proiectie , urmeaza a fi corectate in procesul de prelucrare cu corectiile vij :

αi-j = αoi-j + vi-j ; i = , j =

Valorea definitive a orientarii unei directii va rezulta din suma valorilor definitive ale unghiului de orientare al statie si a directiei definitive:

θi-j = Zi + αi-j

Pe de alta parte, valoarea definitive a orientarii unei directii se va obtine din valoarea provizorie a orientarii la care se va adauga o corectie dθ, obtinuta prin compensare:

θi-j = θoi-j + dθi-j

Egaland ultimele doua relatii, rezulta:

θoi-j + dθi-j = Zi + αi-j

Unghiul de orientare al statiei Zi este unghiul de orientare a directiei de origine sau referinta. Valoarea definitive a unghiului de orientare in statie se poate considera:

Zi = Zoi + dzi

Unde: Z⁰i – este valoarea provizorie a unghiului de orientare;

dZi – este o corectie ce va fi determinata in procesul de compensare

Putem scrie astfel:

θoi-j + dθi-j = (Zoi + dzi) + (αoi-j + vi-j)

de unde putem extrage expresia termenului liber:

lij = (θoij – αoij ) – Zoi = Zoij – Zoi

Calculul diferentelor (θoij – αoij ) ce reprezinta marimile sirului de valori ale unghiului de orientare al statiei I, se efectueaza in tabelul 3.1, coloana 5. Datorita erorilor in pozitia punctelor vechi ale retelei de triangulatie ca si al erorilor inerente de masurare a directiilor orizontale, aceste marimi vor fi diferite intre ele, pentru orientarea statie I stabilindu-se un unghi de orientare provizoriu Z⁰I , ca medie aritmetica a respectivelor marimi:

Zoi =

Valorile obtinute se trec pe linia suma in coloana 6.

Termenii liberi ai ecuatiilor de corectii se trec in coloana 7 (tabelul 3.1), exprimati in secunde centezimale. Suma algebrica a termenilor liberi in fiecare statie trebuie sa verifice conditia: [l] = 0.

Sistemul initial al ecuatiilor de corectii va capata forma:

-dzi + dθij + lij = vij ; i =

Variatia orientarii dθ se va exprima functie de variatia in marimile coordonatelor rectangulare dx si dy. Acestea sunt necunoscute care se vor determina prin operatia de compensare si care adaugate coordonatelor provizorii ale punctelor noi conduc la obtinerea coordonatelor definitive ale acestor puncte:

X = Xo + dx

Y = Yo + dy

In functie de caracterul variatiei orientarii dθ se pot intalni urmatoarele tipuri de ecuatii ale corectiilor:

pentru o direcție măsurată din punct vechi către punct vechi :

-dzi + lij = vij , cu pij ; (dθ = 0)

pentru o direcție măsurată din punct vechi către punct nou :

-dzi + aij dxj + bij dyj + lij = vij , cu pij

– pentru o direcție măsurată din punct nou către punct vechi :

-dzi – aij dxi – bij dyi + lij = vij , cu pij

– pentru o direcție măsurată din punct nou către punct nou :

-dzi + aij dxj + bij dyj – aij dxi – bij dyi + lij = vij , cu pij

Se are în vedere că atunci când vizele sunt inversate față de cazul în care au fost calculați coeficienții de direcție, să se aplice schimbarea de semn, astfel:

aij= -aji ; bij=- bji

Calculele se efectueaza in tabelul 3.3

Ca verificare a transcrierii semnelor coeficienților de direcție in tabelul ecuațiilor de corecții netransformate se indică:

în cazul intersecției înainte se adaugă 100g din orientarea θ⁰ij si semnele acestor coeficienți vor fi identice cu semnele pe care le au axele de coordonate în cadranul obținut (a pentru X si b pentru Y);

în cazul intersecției înapoi se scade 100g din orientarea θ⁰ij si semnele acestor coeficienți vor fi identice cu semnele pe care le au axele de coordonate în cadranul obținut.

La grupul de puncte putem considera intersecție înainte când punctul de stație este un punct vechi și intersecție inapoi cand punctul de stație este un punct nou.

În procesul compensării se acceptă că observațiile azimutale efectuate pe teren sunt de aceeași precizie, astfel că ponderile ecuațiilor de corecții vor fi egale între ele (pij = 1/2).

Sistemul inițial al ecuațiilor de corecții netransformate conține un număr de r = 32 ecuații și 8 necunoscute (dx1, dy1, dx2, dy2, dx3, dy3, dx4, dy4, v1, v2, ….., v227). Toate aceste elemente sunt centralizate in tabelul 3.3.

Calculul coeficienților ecuațiilor transformate echivalente

În prelucrarea rețelelor geodezice prin metoda teoriei erorilor se ține seama de particularitățile rețelei geodezice care prin diferite simplificări echivalente, reduc volumul de calcul.

Două sisteme de ecuații ale corecțiilor se numesc echivalente, dacă le corespund unul și același sistem de ecuații normale si prin urmare, conduc la obținerea acelorași valori pentru necunoscutele care le conțin.

Sub forma cea mai generala, sistemul inițial al ecuațiilor de corecții scris in jurul fiecărui punct staționat, se prezintă sub forma:

-dzS + aSi dxi + bSi dyi – aSi dxS – bSi dyS + lSi = vSi , cu pi =1/2

unde: S =; i =, sau dezvoltat :

-dzS + aS1 dx1 + bS1 dy1 – aS1 dxS – bS1 dyS + lS1 = vS1 , cu p1 = 1/2

-dzS + aS2 dx2 + bS2 dy2 – aS2 dxS – bS2 dyS + lS2 = vS2 , cu p2 = 1/2

…………………………………………………………………………………

-dzS + + , cu = ½

În cazul în care punctul de stație considerat S, are legături spre punctele vechi sau el însusi este un punct vechi, vor fi incluse și ecuații de alte tipuri, prezentate in paragraful anterior.

În toate aceste ecuații, necunoscuta dzS are coeficientul (-1). Acesta se va putea elimina prin aplicarea regulei intâi a lui Schreiber sau situația I de echivalență. Acest lucru se realizează prin introducerea condițiilor [I] = 0 si [v] = 0.

Se deduce astfel un sistem echivalent de ecuații ale corecțiilor, format din si + 1 ecuații, care nu mai conțin insă necunoscuta dzi :

aS1 dx1 + bS1 dy1 – aS1 dxS – bS1 dyS + lS1 = , cu p1 = 1/2

aS2 dx2 + bS2 dy2 – aS2 dxS – bS2 dyS + lS2 = , cu p2 = 1/2

…………………………………………………………………………………

+ , cu = 1/2

, cu

Ultima ecuație a sistemului este denumită „ecuația sumă”. În această ecuație s-a ținut seama de faptul că [I] = 0. În „ecuațiile sumă” scrise în punctele vechi, termenii cu coeficienții [a] si [b] lipsesc, deoarece aceștia se referă la corecțiile pe care le vor primi coordonatele punctului de stație S, ceea ce pentru punctele vechi este lipsit de sens.

Efectuând transformări asemănătoare cu cea prezentată mai sus, se elimină din toate ecuațiile corecțiilor cele opt necunoscute dzs. Vor rezulta insă în plus un număr de opt „ecuații sumă”. Prin eliminarea necunoscutelor dzS incă înainte de formarea ecuațiilor normale, ecuațiile corecțiilor referitoare la legăturile dintre punctele vechi nu mai au sens, deoarece nu mai conțin mărimi necunoscute. Numărul total al ecuațiilor de corecții, după această transformare este micșorat cu un număr egal cu cel al direcțiilor observate între punctele vechi.

Având în vedere ca dθSi = dθiS , ecuațiile corecțiilor pentru două direcții reciproce ( din care a fost eliminată necunoscuta dzS), vor fi:

aSi dxi + bSi dyi – aSi dxS – bSi dyS + lSi = , cu p = 1/2

aSi dxi + bSi dyi – aSi dxS – bSi dyS + liS = , cu p = 1/2

Potrivit cu situația 2 de echivalență, aceste două ecuații se pot reduce la o singură ecuație, de pondere egală cu p = 1/2 + 1/2 = 1 :

aSi dxi + bSi dyi – aSi dxS – bSi dyS + LSi = , cu p = 1

Termenul liber al ecuației de mai sus este:

Acest gen de transformări micșorează substanțial numărul ecuațiilor de corecții din care se formează ecuațiile normale. Numărul lor va fi egal cu numărul laturilor rețelei care au cel puțin la unul din capete un punct nou, plus numărul punctelor staționate.

Ecuațiile transformate ale corecțiilor, care se referă la vizele reciproce au ponderea egală cu 1, iar cele ale vizelor nereciproce au ponderea egală cu 1/2 . Ecuațiile suma referitoare la punctele staționate au de asemenea, ponderea diferită de unitate. Este util ca si aceste ecuații să fie aduse la ponderi egale cu ±1, prin utilizarea situației 3 de echivalență a ecuațiilor corecțiilor.

Pentru a aduce „ecuația sumă” la ponderea egală cu -1 este necesar să inmulțim întreaga ecuație cu rădăcina pătrată a ponderii. În acest fel „ecuația sumă” examinată anterior, va căpăta următorul aspect:

În mod analog, ecuațiile cu pondere egală cu 1/2 vor trebui inmulțite cu , pentru a fi aduse la ponderea 1.

Calculele se efectuează in tabelul 3.4.

Calculul coeficienților ecuațiilor normale

În sistemul final al ecuațiilor de corecții transformate, mărimile corecțiilor v’ fiind mici, asemănătoare erorilor, se poate aplica principiul de minim, conform căruia:

[pv’v’] → minim

Deoarece suma considerată este o funcție de mărimile necunoscutelor rămase dx si dy, prin anularea derivatei intâi se ajunge la condițiile de minimum:

[pAv’] = 0; [pBv’] = 0; [pCv’] = 0; [pDv’] = 0; [pEv’] = 0; [pFv’] = 0; [pGv’] = 0; [pHv’] = 0; fiind lema lui Gauss. Prin înlocuirea corecțiilor v’ cu expresiilor lor din ecuațiile de corecții finale, se ajunge la un sistem de opt ecuații cu opt necunoscute, având forma:

[pAA]dx1 + [pAB]dy1 + [pAC]dx2 + [pAD]dy2 + [pAE]dx3 + [pAF]dy3 + [pAG]dx4 + [pAH]dy4 + [pAL] = 0

[pAB] dx1 + [pBB] dy1 + [pBC] dx2 + [pBD] dy2 + [pBE] dx3 + [pBF] dy3 + [pBG] dx4 + [pBH] dy4 + [pBL] = 0

[pAC] dx1 + [pBC] dy1 + [pCC] dx2 + [pCD] dy2 + [pCE] dx3 + [pCF] dy3 + [pCG] dx4 + [pCH] dy4 + [pCL] = 0

[pAD] dx1 + [pBD] dy1 + [pCD] dx2 + [pDD] dy2 + [pDE] dx3 + [pDF] dy3 + [pDG] dx4 + [pDH] dy4 + [pDL] = 0

[pAE] dx1 + [pBE] dy1 + [pCE] dx2 + [pDE] dy2 + [pEE] dx3 + [pEF] dy3 + [pEG] dx4 + [pEH] dy4 + [pEL] = 0

[pAF] dx1 + [pBF] dy1 + [pCF] dx2 + [pDF] dy2 + [pEF] dx3 + [pFF] dy3 + [pFG] dx4 + [pFH] dy4 + [pFL] = 0

[pAG] dx1 + [pBG] dy1 + [pCG] dx2 + [pDG] dy2 + [pEG] dx3 + [pFG] dy3 + [pGG] dx4 + [pGH] dy4 + [pGL] = 0

[pAH] dx1 + [pBH] dy1 + [pCH] dx2 + [pDH] dy2 + [pEH] dx3 + [pFH] dy3 + [pGH] dx4 + [pHH] dy4 + [pHL] = 0

Și care reprezintă sistemul ecuațiilor normale al necunoscutelor. În acest sistem, coeficienții de pe diagonala principală sunt totdeauna pătratici iar coeficienții dreptunghiulari, pozitivi sau negativi, sunt simetrici în raport cu diagonala principală. In acest caz, determinatul sistemului este întotdeauna diferit de zero (D ≠ 0), sistemul admițând soluții unice.

Calculul coeficienților, termenilor liberi și termenilor sumă ai ecuațiilor normale se efectuează in tabelul 3.5, iar verificarea se face cu relațiile:

[pAA] + [pAB] + [pAC] + [pAD] + [pAE] + [pAF] + [pAL] = [pAS]

[pAB] + [pBB] + [pBC] + [pBD] + [pBE] + [pBF] + [pBL] = [pBS]

[pAC] + [pBC] + [pCC] + [pCD] + [pCE] + [pCF] + [pCL] = [pCS]

[pAD] + [pBD] + [pCD] + [pDD] + [pDE] + [pDF] + [pDL] = [pDS]

[pAE] + [pBE] + [pCE] + [pDE] + [pEE] + [pEF] + [pEL] = [pES]

[pAF] + [pBF] + [pCF] + [pDF] + [pEF] + [pFF] + [pFL] = [pFS]

[pAG] + [pBG] + [pCG] + [pDG] + [pEG] + [pFG] + [pGL] = [pGS]

[pAH] + [pBH] + [pCH] + [pDH] + [pEH] + [pFH] + [pHL] = [pHS]

……………………………………………………………………….

[pAL] + [pBL] + [pCL] + [pDL] + [pEL] + [pFL] + [pGL] + [pHL]= [pLS]

[pAS] + [pBS] + [pCS] + [pDS] + [pES] + [pFS] + [pGS] + [pHS] = [pLS]

Iar pentru control se efectuează sumele pe orizontală, respectiv pe verticală, astfel:

[pAS] + [pBS] + [pCS] + [pDS] + [pES] + [pFS] + [pGS] + [pHS] + [pLS] = [pSS]

[pAS] + [pBS] + [pCS] + [pDS] + [pES] + [pFS] + [pGS] + [pHS] + [pLS] = [pSS]

Rezolvarea ecuațiilor normale

În cazul măsuratorilor indirecte ponderate, sistemul ecuațiilor normale în forma sa matriceală este de forma:

Reprezintă matricea coeficienților necunoscutelor sistemului de ecuații normale;

Reprezintă vectorul termenilor liberi ai sistemului ecuațiilor normale;

Reprezintă vectorul necunoscutelor sistemului ecuațiilor normale;

Sau dezvoltat:

Rezolvarea se face prin metoda inversării matricei:

Sau dezvoltat:

Unde – matricea coeficienților de pondere

Calculul s-a efectuat in programul de calcul Microsoft Excel 2010. Funcția complexă de calcul utilizată pentru obținerea necunoscutei dXi este de următoarea forma:

dXi = INDEX (MMULT (MINVERSE [ ] , [-L] ) , i)

Valorile necunoscutelor dxi si dyi s-au obținut în decimetrii urmând a fi transformate în metri prin înmultirea acestora cu :

dX5= -0.0001600 dY5= 0.0003380

dX6= 0.0000610 dY6= 0.0009832

dX7= -0.0016241 dY7= -0.0024279

dX8= -0.0005628 dY8= -0.0001484

CAPITOLUL IV

REALIZAREA CALCULELOR DEFINITIVE

4.1. Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi

Coordonatele rectangulare plane compensate ale punctelor noi se obțin prin însumarea algebrică a coordonatelor provizorii cu mărimile necunoscutelor (corecțiilor) :

;

Calculele se efectuează in tabelul 4.1

Tabelul 4.1 Calculul coordonatelor compensate ale punctelor noi

4.2. Calculul corecțiilor azimutale în urma compensării și a direcțiilor azimutale compensate

În sistemul ecuațiilor netransformate ale corecțiilor se calculează variația orientărilor dθSi, cu următoarea relație:

Pentru fiecare punct de stație se va calcula corecția unghiului de orientare al stației cu formula:

Pentru control se verifică egalitatea:

unde:

[aSi] , [bSi] – coeficienții ecuațiilor de corecții netransformate;

S – punct de stație;

i – punct vizat;

nS – numărul de puncte vizate din stația S.

Pe baza acestora, se calculează unghiul de orientare compensat al stației, adică orientarea compensată a direcției origine cu formula:

Calculul corecției unghiului de orientare al stației, ale mărimilor compensate ale acestora, precum și a direcțiilor azimutale compensate sunt prezentate in tabelele 4.2 si 4.3.

4.3. Calculul orientărilor compensate ale laturilor rețelei

Prin înlocuirea valorilor necunoscutelor dxS, dyS, dzS în sistemul inițial al ecuațiilor de corecții, de următoarea formă:

-dzS + aSidxi + bSidyi – aSidxS – bSidyS + lSi = vSi,

Se obțin mărimile corecțiilor, astfel:

Pentru vize între punctele vechi:

vSi = lSi – dzS

Pentru vize între un punct vechi si un punct nou:

VSi = aSidxi + bSidyi + ( lSi – dzS )

Pentru vize între punctele noi:

VSi = aSidxi + bSidyi – aSidxS – bSidyS + ( lSi – dzS )

Calculul coorecțiilor se efectuează în tabelul 4.2, coloana 14, după care se face un prim control prin însumarea corecțiilor din fiecare stație, sumă care trebuie să fie zero:

[vs] = 0

După calculul corecțiilor și prima verificare se calculează [pvv] în întreaga rețea prin trei metode:

[pvv] = p1v1v1 + p2v2v2 + p3v3v3 + …… + pnvnvn

[pvv] = [pvl] = p1v1l1 + p2v2l2 + p3v3l3 + …… + pnvnln

Unde: n =

[pvv] = [pll] + [pAL]dx1 + [pBL]dy1 + [pCL]dx2 + [pDL]dy2 + [pEL]dx3 + [pFL]dy3 + [pGL]dx4 + [pHL]dy4

Unde:

Termenul [pll] se calculează cu termenii liberi ai ecuațiilor netransformate ale corecțiilor;

Termenii rămași se calculează după rezolvarea sistemului de ecuații normale.

Calculul orientărilor compensate se rezumă in tabelul 4.3.

Pe baza valorilor provizorii ale direcțiilor azimutale (centrate și reduse la planul de proiecție) și ale corecțiilor rezultate prin compensare, se obțin valorile compensate ale direcțiilor azimutale folosind următoarea relație de calcul:

Unde:

si

vSi – corecții rezultate din compensare.

Cu ajutorul acestora și a unghiului de orientare compensat al stațiilor, se calculează orientările compensate al direcțiilor, cu relația:

ΘSi = HzSi + ZS

Unde:

ΘSi – orientarea compensată a fiecărei direcții măsurate;

HzSi – direcție azimutală compensată;

ZS – unghi mediu de orientare compensat.

Calculele se efectuează in tabelul 4.3 coloana 7.

4.4. Calculul orientărilor cu coordonatele definitive ale punctelor noi

Pentru controlul final al compensării, se calculează orientările dintre punctele rețelei de triangulație cu ajutorul coordonatelor compensate ale acestora, cu relațiile cunoscute:

Calculul orientărilor dintre punctele rețelei de triangulație cu ajutorul coordonatelor compensate este prezentată in tabelul nr. 4.4, coloana 8.

4.5. Verificarea finală a calculului de compensare

Verificarea compensării se face prin diferențele dintre orientările calculate pe baza direcțiilor azimutale compensate si a unghiului de orientare compensat al stației si orientărilor direcțiilor calculate din coordonatele compensate ale punctelor noi si coordonatele punctelor vechi. Comparația dintre cele doua șiruri de valori relevă egalitatea mărimilor și deci, corectitudinea calculului.

Verificarea finală a calculului de compensare se face in tabelul 4.3.

Cu operația de verificare, procesul compensării coordonatelor punctelor noi, determinate prin metoda măsuratorilor indirecte este încheiat.

CAPITOLUL V

CALCULUL ERORILOR DE DETERMINARE

Calculul erorii medii pătratice a unității de pondere

Pentru o completă evaluare a preciziei măsuratorilor indirecte ponderate, se calculează mai întâi eroarea unității de pondere, cu relația:

Unde:

r – numărul ecuațiilor inițiale de corecții (numărul direcțiilor măsurate)

n – numărul necunoscutelor

n = 2 ∙ N + S

unde:

N – numărul punctelor noi

S – numărul punctelor staționate

Eroarea medie pătratică a unității de pondere reprezintă eroarea unei măsuratori fictive la care ponderea este egală cu unitatea. Aceasta este eroarea post – compensare a măsuratorilor indirecte. Ea reprezintă un indicator de precizie globală a măsuratorilor pe teren si reflectă precizia interioara a întregii rețele.

Calculul erorii medii pătratice a unei direcții observate

Cu ajutorul erorii medii pătratice a unității de pondere, se poate calcula eroarea medie pătratica a unei direcții măsurate direct pe teren cu formula:

Calculul erorilor medii pătratice ale coordonatelor punctelor noi

Erorile medii pătratice ale mărimilor compensate ale necunoscutelor dx si dy, reprezintă erorile de determinare a celor mai probabile valori ale coordonatelor punctelor noi, numite coordonate compensate X si Y. Astfel erorile medii ale abscisei și ale ordonatei punctelor noi sunt calculate cu relațiile:

,

Unde:

μ = eroarea unității de pondere ;

= coeficienții de pondere pătratici ai necunoscutelor ( dx1, dy1, dx2, dy2, dx3, dy3, dx4, dy4 ).

Calculele se efectuează in tabelul nr. 5.1.

Tabelul 5.1

Coeficienții de pondere pătratici și cei dreptunghiulari ai necunoscutelor s-au calculat prin metoda matriciala a inversării matricei, în programul de calcul Microsoft Excel, utilizând funcția complexă de tipul:

Qij = INDEX ( MINVERSE [] , i , j ) ; i,j =

Matricea coeficienților de pondere astfel obținută este prezentată in tabelul 5.2.

Tabelul 5.2 Matricea coeficientilor de pondere

Pe baza erorilor în poziția punctului de-a lungul axelor de coordonate se calculează eroarea totală în poziția punctului cu formula:

st =

Valorile au fost obținute in tabelul 5.1.

Dacă erorile sx si sy pot fi pozitive si negative, eroarea totală este esențial pozitivă. Dezavantajul erorilor medii pătratice constă în faptul ca ele nu permit cunoațterea direcțiilor de-a lungul cărora erorile sunt maxime si minime, respectiv mărimile acestora. Acest lucru se poate cunoaște cu ajutorul elipsei erorilor și a podarei elipsei erorilor.

Calculul elementelor elipselor de eroare ale poziției planimetrice a punctelor noi

Se calculează orientările direcțiilor reciproc perpendiculare de-a lungul cărora, erorile in poziția punctului pe plan vor fi maxime și minime, cu ajutorul ecuației trigonometrice:

unde:

= coeficientul de pondere dreptunghiular al necunoscutelor corespunzătoare punctului respectiv.

Această ecuație trigonometrică va avea două soluții: și , respectiv și .

Unghiul de orientare se consideră de la sistemul de axe în care a fost determinat punctul nou, mai precis de la axa X.

În continuare, se calculează mărimile semiaxelor elipselor de eroare. Mai întâi coeficientul :

iar pe baza lui, mărimile semiaxelor elipsei :

A = ± μ

B = ± μ

Calculul semiaxelor elipselor de eroare precum și a orientărilor acestora este prezentat în tabelul nr. 5.3.

Tabelul 5.3

Calculul podarelor punctelor noi

Pentru desenarea podarei (curba pedală) generată de elipsa erorilor, se calculează razele vector ale podarei, cu ajutorul semiaxelor elipsei și pentru diferite valori ale unghiului ψ, făcut de semiaxa mare cu raza – vector, cu formula :

Sψ = , ψ [ 0g , 400g ]

Calculul razelor – vector ale podarelor generate de elipsele de eroare este prezentat în tabelul nr. 5.4 pentru punctele 5,6,7,8.

Podara fiind simetrică față de axele elipsei erorilor, calculul razelor – vector se execută numai pentru unghiurile primului cadran și sunt exprimate în milimetri.

Construcția grafică a podarei elipsei erorilor în punctele noi

Construcția grafică a podarei elipsei erorilor, numită și curba pedală sau curba erorilor medii pătratice, se face la o scară supraunitară, pe baza orientărilor semiaxelor elipsei de eroare din tabelul nr. 5.3 și a razelor vector calculate în tabelele 5.4, 5.5, 5.6, 5.7 în următoarea succesiune :

– se consideră pe plan punctul nou determinat și se duc axele sistemului inițial X(Est), Y(Nord) în care a fost determinat punctul;

– cu ajutorul unghiurilor de orientare θ și θ + 100g, măsurate față de axa Y ( Nord ), se duc axele X’ și Y’, care corespund direcțiilor de-a lungul cărora erorile sunt maxime și minime. De-a lungul acestor axe, începând din origine, se iau la scara aleasă segmentele care corespund semiaxelor elipsei erorilor (A și B), obținându-se punctele a pe axa X’, și b, pe axa Y’;

-se aplică față de axa Y’, unghiurile ψ (10g, 20g, 30g,…, 90g) iar pe direcțiile obținute se aplică la scară lungimile razelor – vector, obținându-se punctele c,d … , k;

– se unesc punctele principale a și b cu punctele intermediare c,d … , k printr-o curbă plană, obținându-se curba podară pentru primul cadran.

În celelalte cadrane, construcția grafică a podarei se face pe baza simetriei, în raport cu axele X’ și Y’;

Configurația podarei elipsei erorilor este în funcție de configurația elipsei erorilor, de raportul celor două semiaxe. Când raportul este egal cu unitatea (A/B = 1), elipsa și podara degenerează într-un cerc de eroare. Pe măsură ce raportul crește, aria podarei diferă tot mai mult de aria elipsei. De asemenea, pentru elipse de aceeași arie, dar de configurație diferită, din cauza raportului semiaxelor, ariile podarelor diferă sensibil.

Prin măsurare grafică, se pot determina sau doar verifica, mărimile erorilor medii ale coordonatelor compensate ale punctului, de-a lungul axelor de coordonate. Astfel, pentru eroarea pe axa X ( Nord ) se măsoară segmentul între origine și punctul unde podara intersectează axa X ( Nord ).

Valorile obținute pe cale grafică, cu ajutorul podarelor sunt egale cu cele rezultate prin calcul.

Aria podarei elipsei erorilor caracterizează domeniul de situare a poziției probabile a punctului nou cu o probabilitate mai mare decât în cazul în care se consideră aria elipsei erorilor. Se prezintă relațiile de calcul pentru aria podarei și respectiv pentru aria elipsei cu formula Gh. Nistor, Gh. Andricioaei.

Ae = πAB

Ap =

Reprezentarea grafică a podarei ne permite de asemenea obținerea directă a erorii orientării și distanței compensate dintre un punct vechi și unul nou, ceea ce permite verificarea calculului analitic.

Pentru punctul 5: Ae= 0.3539 mm2 ; Ap= 0.1768 mm2

Pentru punctul 6: Ae= 0.5857 mm2 ; Ap= 0.2928 mm2

Pentru punctul 7: Ae= 0.9326 mm2 ; Ap= 0.4663 mm2

Pentru punctul 162: Ae= 0.6949 mm2 ; Ap= 0.3475mm2

CAPITOLUL VI

ELEMENTE DE ORGANIZARE A LUCRĂRILOR

Documentația tehnico – economică cuprinde: antemăsuratori pe categorii de lucrări, devizele aferente acestor categorii de lucrări, extrasele de resurse, devizul general și graficul eșalonării execuției. Devizul este partea componentă a detaliilor de execuție al unei lucrări și face obligatoriu parte din documentațiile pentru participări la licitații.

Pe baza documentației tehnico – economice lucrările pot fi câștigate pentru a fi executate de către o întreprindere prin participarea la licitiații sau printr-o ofertare directă.

Antemăsuratoare privind execuția lucrărilor de teren si birou

Piesa de bază a documentației tehnico – economice, antemăsuratoarea se întocmește pentru fiecare categorie de lucrări distinct în parte și reprezintă evaluarea cantitativă a proceselor aferente realizării categoriei de lucrări, înscrise în ordine tehnologică.

Prin definiție antemăsuratoarea reprezintă lista proceselor pe domenii de activitate și tehnologii caracteristice, încadrate în norma de deviz comasată ce trebuie realizată pentru obținerea produsului producției ( fotogrammetrice, cartografice, geodezice) . Antemăsuratoarea reprezinta cuantificat volumul lucrarilor putându – se întocmi pe părți de lucrări incluse în obiect sau pe întregul obiect.

Norma de deviz comasată reprezintă documentația tehnic – economică prin care se stabilesc cantitățile de resurse materiale maxime care pot fi consumate pentru realizarea unui produs finit, în anumite condiții tehnico – organizatorice date.

Antemăsuratoarea se întocmește pe baza precizărilor din Normativul P9/81 si completările aduse prin decizia 34/94 a ICCPDC. Prin ordinul M. C. Ind. si I.G.S. Nr. 33/1974 proiectantul este obligat să elaboreze antemăsuratoarea arborescent, conform Normativului de conținut pentru fiecare obiectiv.

Încadrarea proceselor se face conform prevederilor din „instructiunile de aplicare a normelor de muncă pentru lucrările geodezice, fotogrammetrice si cartografice (măsuratori terestre)” cu care începe Normativul O/1982. În instructiuni sunt prezentate: categoriile de lucrări la care se aplică Normativul, modelul de calcul al normelor, perioada de lucru pentru care se aplică precum si majorările in cote procentuale pentru alte perioade de execuție, dotarea tehnică a formației de lucru, transportul formației de lucru si aparatelor necesare în teren.

În continuare sunt enumerate categoriile de greutate ale terenului in funcție de accidentație, acoperirea acestuia (vizibilitate) si sporurile aferente consumului de manoperă. Catalogul continuă cu capitolul de lucrări în care inginerul încadreaza lucrările ce au fost executate sau urmează a fi executate în capitole de lucrări la începutul cărora sunt precizate în partea de generalități condițiile concrete de încadrare a lucrării (operațiunilor), precum si modalități de aplicare a normelor, documentare pentru execuția lucrărilor, categoria de greutate a terenurilor pentru care se aplică.

Capitolele de lucrări sunt:

Capitolul A – Analize, studii, proiecte, recunoașteri privind măsuratorile terestre;

Capitolul B – Construcții de semnale geodezice;

Capitolul C – Borne, reperi, picheți;

Capitolul D – Marcarea punctelor pe teren

Capitolul E – Lucrări pregătitoare privind execuția operațiilor geodezice si topografice

Capitolul F – Măsurarea distanțelor

Capitolul G – Observații azimutale si zenitale

Capitolul H – Observații altimetrice

Capitolul I – Determinări, transmiteri, reperaje

Capitolul J – Operații speciale de măsuratori terestre

Apitolul K- Calcule topografice

Capitolul L- Calcule geodezice

Capitolul M – Cedactarea operațiilor tehnice

Capitolul N – Pregătirea suportului, raportarea si redactarea planului

Capitolul O – Lucrări fotogrammetrice

Capitolul P – Cadastru si exproprieri

Capitolul R – Cartografierea planurilor

Capitolul S- Multiplicarea planurilor

Capitolul T – Aplicări, trasări, amplasări

Capitolul U – Norme de timp grupate pentru lucrările de măsuratori terestre;

Fiecare capitol de lucrări cuprinde procese simple si complexe în care proiectantul își poate încadra lucrările necesare a fi executate. La început, fiecare proiectant își verifică schema logică folosind tabla de materii in care sunt înscrise toate procesele, pe categorii de lucrări în scopul încadrării corecte a tuturor proceselor necesare realizării temei proiectului. Fiecare proces este reprezentat in antemăsuratoare printr-un simbol, urmat de denumirea procesului.

Norma de deviz include: materiale necesare, procese simple componente, unitatea de măsură aferentă procesului, norma de timp pe executanți. Folosirea simbolurilor este deosebit de utilă atunci când este folosită metoda automată de întocmire a devizelor si extraselor de resurse. Nivelul de detaliere în cadrul obiectului pentru care se intocmește antemăsuratoarea se stabilește de fiecare inginer proiectant astfel încât să corespundă unor studii fizice in efectuarea lucrărilor, într-o succesiune tehnologică reală.

Devizul estimativ al lucrărilor

Devizul este piesa scrisă a documentației tehnico – economică cu ajutorul căreia se evaluează valoric volumul lucrărilor, se calculeaza prețul de cost al lucrării.

Devizul se intocmește pe categorii de lucrări, pe obiect, pe baza antemăsuratorii aferente și în ordinea acesteia.

La întocmirea extraselor de deviz, pentru părți de lucrare executate la termene fixe precum și a devizului final, la terminarea lucrărilor, prețurile materialelor se justifică printr-o anexă în care se trec facturile si valorile materialelor achiziționate și pentru utilajele închiriate. Valoarea manoperei se înscrie la prețul negociat între executant la contractarea lucrării sau la alte termene intermediare, dar consemnă prin procese verbale adiționale.

După înscrierea tuturor articolelor din antemăsuratoare se calculează recapitulația devizului, conform acelorași Norme metodologice. Se deosebesc două forme de întocmire a recapitulației, ambele acceptate de legislația în vigoare.

Se calculează Total Cheltuieli directe, care sunt constituite din următoarele:

Cheltuieli material în care se cuprinde valoarea materialelor calculate cu prețul de la producător, fără TVA, iar in cazul materialelor utilizate pentru investigații aprovizionate din import si taxe + comision vamal;

Cheltuieli cu manoperă în care se cuprinde manopera aferentă a muncitorilor direct productiv si manopera aferentă manipulării materialelor, la care se adaugă celelalte drepturi salariale stabilite in condițiile legii;

Cheltuieli cu utilaje, rezultate din orele de funcționare și a tarifelor orare;

Cheltuieli de transport care vor cuprinde transporturi CF, auto, naval, de la producător la furnizor, după caz, a materialelor, confecțiilor, etc. , precum și taxele aferente acestor transporturi, transporturi tehnologice dacă nu sunt insluse în articole de lucrări distincte, transporturi cu aparatură, utilaje la punctul de lucru si retur.

Valoarea cheltuielilor pentru transporturile de materiale se obține prin multiplicarea greutății materialelor transportate cu valoarea in lei/tona transportată in funcție de distanță si mijlocul de transport folosit și se înscrie rotunjită.

Apoi se calculează Total II cheltuieli directe care cuprind: cheltuieli pentru plata personalului tehnico – administrativ, cheltuieli legate de deplasari, transferări, detașări, cheltuieli administrativ – gospodărești, transporturi muncitori, amortizare mijloace fixe de uz general (clădiri, instalații aparținând clădirilor, autoturisme, amortismente pentru dotări și echipamente de birou, consultant, experimentări, cheltuieli cu protecția muncii, dobânzi bancare, alte chelutieli.

Antemăsuratori – tabelul 6.1, Deviz Tehnic – tabelul 6.2, Recapitulația devizului – tabelul 6.3.

Concluzii

Teoria erorilor și metoda celor mai mici pătrate oferă o gamă largă de posibilități de prelucrare a observațiilor geodezice. Dintre aceste două intervin în mod frecvent în practica prelucrării observațiilor efectuate in rețelele geodezice și anume: metoda observațiilor indirecte și metoda observațiilor condiționate.

Compensarea rețelelor de triangulație prin metoda observațiilor indirecte este denumită și compensarea grupului de puncte, deoareace a fost folosită în special la incadrarea riguroasă a unui număr de puncte noi într-o rețea veche de un anumit ordin. Compensarea rețelei prin metoda măsuratorilor indirecte oferă posibilitatea obținerii celor mai probabile valori ale coordonatelor punctelor noi de indesire fără a fi necesară o configurație geometrica optică cum se cere de obicei in cazul măsuratorilor condiționate, asigurând o evaluare completă a preciziei in poziția punctului pe plan.

Fiecărei observații geodezice ii corespunde o ecuație a corecțiilor așa cum s-a arătat, ceea ce constituie un mare avantaj la compensarea rețelelor de triangulație.

Aceasta metodă asigură concomitent cu o privire de ansamblu a rețelei, posibilitatea unui control sigur asupra exactității rezolvării, nefiind posibile omiteri de ecuații sau dublări nedorite.

Controlul final a constatat egalități între orientările direcțiilor calculate pe baza unghiurilor de orientare si a direcțiilor azimutale compensate, cu valorile calculate din coordonatele compensate, rezultand diferente de 0.01 secunde.

De asemenea, reprezentarea grafică a podarei ne permite obținerea directă a erorii orientării și distanței compensate dintre un punct vechi si un punct nou, ceea ce permite verificarea calculului analitic.

BIBLIOGRAFIE

Ghițău, D. – Geodezie, triangulație, EDP, București, 1972.

Ghițău, D. – Geodezie si gravimetrice geodezica, EDP, București, 1983

Nistor, Gh. – Teoria prelucrării măsuratorilor geodezice, U.T. Iași, 1996

Nistor, Gh. – Teoria prelucrării măsurătorilor geodezice, Lucrări practice, U.T. Iași, 1997

Popia, A. – Topografie 1 si 2, note de curs

Proca, G. – Managementul lucrărilor de cadastru, Ed. MATRIX ROM, București, 2000

Chirilă C. – Geodezie matematică, Îndrumator de lucrări practice și proiect, Tehnopress, Iași, 2014