În vederea analizei productivității obținute în cadrul unei colectivități de salariați formată din 250 [618563]

În vederea analizei productivității obținute în cadrul unei colectivități de salariați formată din 250
de persoane, s -a extras un eșantion format din 30 de salariați. Datele referitoare la producția zilei
precedente sunt prezentate în tabelul următor (datele sunte exprimate în bucăți)

Productia
(buc)
Xi Nr.
Salariați
ni
20-30 2
30-40 8
40-50 9
50-60 7
60-70 4
Total 30

1. Determinați mărimile medii de calcul.
• Media este o măsură a tendinței centrale, iar valoarea sa calculată sintetizează într -un singur
nivel reprezentativ tot ceea ce este tipic, esențial, comun și obiectiv în apariția și manifestarea
fenomenelor de masă.
• Din cadrul mărimilor medii de calcul vom determina: media aritmetică, media armonică și media
pătratică.

CONVEN ȚIE
• În cazul în care se dispune de o distribuție pe grupe, p entru a calcula o valoare apropi ată de
valoarea reală a mediei, în locul valorilor Xi se iau în considerare centrele intervalelor de grupare, notate
cu xi'.
• Această convenție este indusă de următoarea ipoteză: în interiorul tuturor intervalelor de
grupare, frecvențele sunt uniform distribuite. în practică, ipoteza efectuată se verifică foarte rar, motiv
pentru care între media calculată pe baza centrelor de interval și cea calculată pe baza datelor inițiale
există diferențe.

 Pentru determinarea mediei aritmetice se utilizează următoarea formulă de calcul.

În vederea identificării valorii de la numărătorul relației de calcul ne vom ajuta de următorul tabel:

Productia
(buc)
Xi Nr.
Salariați
ni x' X*n
20-30 2 25 50
30-40 8 35 280
40-50 9 45 405
50-60 7 55 385
60-70 4 65 260
Total 30 1380

Astfel media aritmetica este egală cu 46301380= buc/salariat.
Interpretare: Ca atare, în medie în ziua precedentă cei 30 de salariați au produs 46 de
bucăti /salariat.

 Pentru determinarea mediei armonic e se utilizează următoarea formulă de calcul.

În vederea identificării valorii de la numitorul relației de calcul ne vom ajuta de următorul tabel:

Productia
(buc)
Xi Nr. Salariați
ni x' n/x
20-30 2 25 0,080
30-40 8 35 0,229
40-50 9 45 0,200
50-60 7 55 0,127
60-70 4 65 0,062
Total 30 0,697

Media armonică este egală cu 04,43697,030= . Deoarece producția este o caracteristică
statistică cu variație discretă (discontinuă), se va rontunji rezultatul obținut la valoarea întreagă 43
buc/salariat.

 Pentru determinarea mediei pătratice se utilizează următoarea formulă de calcul.

În vederea identificării valorii de la numărătorul relației de calcul ne vom ajuta de următor ul tabel:

Productia
(buc)
Xi Nr.
Salariați
ni x' x2*n
20-30 2 25 1250
30-40 8 35 9800
40-50 9 45 18225
50-60 7 55 21175
60-70 4 65 16900
Total 30 67350

Media pătratică este egală cu 38,473067350= . Deoarece producția este o caracteri stică
statistică cu variație discretă (discontinuă), se va rontunji rezultatul obținut la valoarea întreagă 47 buc/salariat.

Așa cum se observă, valorile calculate pentru aceste mărimi medii de calcul nu sunt egale, mai
mult se știe că acestea respectă relația de inegalitate
p g h x x x x ≤≤≤ .
Interpretarea mediilor se va realiza după același tipar prezentat în cazul mediei aritmetice.

2. Determinați mărimile medii de poziție.
Se vor calcula în continuare valoare dominantă (modul) și mediana.
 Valoa rea modală a caracteristicii (numită și valoare dominantă, valoarea cea mai
probabilă sau modul) reprezintă acea valoare a caracteristicii care corespunde celui mai mare număr de
unități sau aceea care are cea mai mare frecvență de apariție.
Relația de cal cul în cazul unei distribuții grupate pe intervale, este:

Într-o primă fază se identifică intervalul modal analizând coloana frecvențelor n i și identificând
valoarea cea mai mare. În cazul nostru frecvența cea mai mare este 9, aceasta fiind corespunzăt oare
intervalului (40 -50), ca atare, acesta va fi intervalul modal.
Astfel, valoarea dominantă este egală cu 3,43)79()89()89(1040 =−+−−+ Deoarece producția
este o caracteristică statistică cu variație discretă (discontinuă), se va rontunji rezultatul obținut l a
valoarea întreagă 43 buc .
Interpretare: Astfel, producția obținută de către cei mai mulți salariați, din rândul celor 30
analizați, a fost de 43 buc.

 Mediana împarte numărul unităților investigate în două părți egale.
În vederea determinării acestui indicator se parcurg următoarele etape:
a. Calculul unității mediane
21
211∑
=+
=+=k
ii
mennU , 5.152130=+=meU
b. se determină frecvențele cumulate iN

Productia
(buc)
Xi Nr. Salariați
ni Frecv.
cumulate
descrescator
iN
20-30 2 2
30-40 8 10
40-50 9 19
50-60 7 26
60-70 4 30
Total 30

c. se identifică intervalul median prin comparare me
iU N≥
Astfel, frecvența cumulată cea mai apropiată de unitatea mediană și care respectă
condiția de mai sus este 19, aferentă intervalului 40- 50.

d. Utilizarea următoarei relații pentru determinarea valorii medianei

Me= 40+10 11,469105,15=−

Interpretare: Astfel, valoarea producției ce împarte distribuția aferentă celor 30 de salariați în 2
părți de volum egal este 46 buc.

În cazul unei distribuții unimodale ușor asimetrice, frecvențele sunt ușor deplasate într -o parte
sau alta, între cei trei indicatori ai tendinței cent rale există următoarea relație
,
care se r espectă și în cadrul aplicației noastre.

3. Caracterizați variabilitatea față de tendința centrală cu ajutorul indicatorilor simpli și
sintetici ai variației.
 Un indicator simplu al variației, care oferă o imagine generală asupra dispersiei, este
distanța dintre nivelul maxim și nivelul minim al variabilei sau amplitudinea variației .
A
x = x max – x min
A
x =70-20=50 buc

Interpretare: Distanța dintre nivelul maxim și nivelul minim al producției realizate este de 50 de
bucăți -producție.

 abaterile nivelur ilor individuale ale unei variabile față de nivelul lor mediu, notate cu di, și
care se pot calcula după formula:
xx di i−= ,
Media aritmetică a distribuției noastre a fost determinată și are valoarea x=46 buc /salariat

Determinarea abaterilor individuale față de media aritmetica a distribuței se prezintă în următorul
tabel:

Productia
(buc)
Xi Nr. Salariați
ni x' di di%
20-30 2 25 -21 -46%
30-40 8 35 -11 -24%
40-50 9 45 -1 -2%
50-60 7 55 9 20%
60-70 4 65 19 41%
Total 30

 Abaterile di se pot exprima și în mărimi relative prin raportarea lor la nivelul mediu al
variabilei, astfel:
100 100 % ⋅−=⋅=xxx
xddi i
i
În practic aceste abateri se utilizează pentru calculul ulterior al indicatorilor sintetici ai variației

Interp retare: Se observă că prima grupă de salariați au reușit să producă cu 21 de bucăți mai
puțin decât media colectivității sau putem prezenta în formă relativă că au produs cu 46% mai puțin
decât media colectivității. În mod asemănător se interpretează și valorile determinate pentru intervalele de grupare următoare cu precizarea că valorile pozitive exprimă depășiri ale nivelului mediu al
colectivității.

Indicatorii sintetici ai variației se caracterizează prin faptul că, în calculul lor, se includ
abaterile tuturor nivelurilor individuale ale unei variabile față de nivelul lor mediu.

 Abaterea medie liniară, notată cu
d, se determină ca o medie aritmetică (simplă sau
ponderată) a abaterilor nivelurilor individuale ale unei variabile față de media lor aritmetică, considerate
în valoare absolută.
∑∑
==−
=k
iik
ii i
nnxx
d
11
Abaterea medie liniară se poate calcula și față de mediană.

Determinarea valorii de la numărătorul relației o vom realiza cu ajutorul următorului tabel:

Productia
(buc)
Xi Nr. Salariați
ni x' di i i nxx−
20-30 2 25 -21 42
30-40 8 35 -11 88
40-50 9 45 -1 9
50-60 7 55 9 63
60-70 4 65 19 76
Total 30 278

26,930278==d Deoarec e producția este o caracteristică statistică cu variație discretă
(discontinuă), se va rontunji rezultatul obținut la valoarea întreagă 9 buc .
Interpretare: Putem concluziona că fiecare salariat, din rându celor 30 analizați, s -a abătut de la
producția medie a eșantionului selectat, în medie cu 9 buc /salariat.

 Dispersia, notată cu 2σ, se calculează ca o medie aritmetică a pătratelor abaterilor
nivelurilor individuale ale unei variabile de la nivelul lor mediu (media aritmetică).
()
∑∑
==−
=k
iik
ii i
nnxx
112
2σ

Productia
(buc)
Xi Nr. Salariați
ni x' di ()i i nxx2−
20-30 2 25 -21 882
30-40 8 35 -11 968
40-50 9 45 -1 9
50-60 7 55 9 567
60-70 4 65 19 1444
Total 30 3870

1293038702==σ
Interpretare: Dispersia este un i ndicator cu un caracter economic abstract, rezultatul obținut s -ar
exprima în buc2 , ceea ce din pct. de vedere economic nu poate fi interpretat. Astfel, valoarea acestui
indicator nu poate fi interpretată din pct. de vedere economic și nici nu se va prezenta vreo unitate de
măsură.

 Abaterea medie pătratică, numită și abatere standard sau abatere tip se notează cu
σși se calculează prin extragerea rădăcinii pătrate din dispersie. Abaterea medie pătratică reprezintă
media pătratică a abaterilor nivelurilor individuale ale caracteristicii față de media lor.

Deoarece producția este o caracteristică statistică cu variație
discretă (discontinuă), se va rontunji rezultatul obținut la valoarea
întreagă 11 buc /salariat.

Interpretare: Înterpretarea abaterii pătratice se realizează după modeulul prezentat în cazul abaterii
liniare.

 Coeficientul de variație, notat cu σv, se calculează ca raport între abaterea medie și
nivelul mediu al unei variabile, iar pentru a se int erpreta mai ușor se exprimă în procente:
100⋅=xdvd 100⋅=xvσ
σ35,11303870==σ()
∑∑
==−
=k
iik
ii i
nnxx
112
σ

• Cu cât valorile sale sunt mai apropiate de zero, cu atât seria este mai omogenă (media este
mai reprezentativă)
• Cu cât valorile sale sunt mai apropiate de 100 cu atât ansamblul valorilor individuale observate
este mai eterogen (împrăștierea este mai mare, iar media calculată este mai puțin reprezentativă).
• Practica utilizării coeficientului de variație a stabilit pragul de trecere de la starea de
omogenitate la cea de eterogenitate: dacă Cv <=35%colectivitatea este omogenă; dacă CV>35%
colectivitatea este eterogenă.

%14,20 100469=⋅=dv

Interpretare: Valorile determinate ale coeficientului de variație se situiază sub valoare de 35%,
astfel concluzionăm că eșantionul celor 30 de salariaț i analizați este unul omogen din perspectiva
variabilei producție și, totodată, rezultă că și media producției este reprezentativă din punct de vedere statistic.

4. Determinați eroarea maximă admisibilă între nivelul mediu al producției
descoperit la nivelu l eșantionului și nivelul mediu al producției realizat la nivelul întregii
colectivități de salariați format, așa cum se precizează în enunț, din 250 persoane. Determinați
ulterior nivelul eșantionului necesar a fi extras dacă se dorește o reducere a erori i maxime
adisibile descoperite anterior cu 30%.
Calculele se vor realiza cu o probabilitate de lucru de 95,45% pentru care coeficientul z=2.
Prezentați calculele atât pentru procedeul extragerii repetate cât și pentru procedeul
extragerii nerepetate.

 Poce deul extragerii repetate

Eroarea maximă admisibilă se determină cu ajutorul relației
=∆x xsz⋅
În cadrul acestei relații xs semnifică eroarea standard (eroarea medie de reprezentativitate), ce
poate fi determinată cu ajutorul relației de mai jos:
07,2301292
===nsxσ
buc/salariat
=∆x2,07*2 = 4,14. Deoarece producția este o caracteristică statistică cu variație discretă
(discontinuă), se va rontunji rezultatul obținut la valoarea întreagă 4.
Interpretare: Se garantează cu o probabilitate de 95,45% o eroare maximă între nivelul mediu al
producției descoperit la nivelul eșantionului și nivelul mediu al producției realizat la nivelul întregii
colectivități de salariați , în cazul unei extrageri repetate, de 4 buc / salariat.

Nivelul e șantionului, pentru extragerea repetată, se determină cu ajutorul relației
22 2
xzn
∆=σ
Eroarea maximă admisibilă obținută anterior se reduce cu 30%, astfel =∆x2,8 buc /salariat
%69,24 1004611=⋅=σv

81,65
8,2129*2
22
= =n
. Fiind vorba despre un număr de salariați va trebui sa rotunjim rezultatul
la 66 per soane necesare a fi extrase pentru a forma un eșantion care să garanteze cu o probabilitate de
95,45% o eroare maximă admisibilă de 2,8 buc/salariat.

 Pocedeul extragerii nerepetate

Eroarea maximă admisibilă se determină cu ajutorul relației =∆x xsz⋅
În cadrul acestei relații xs semnifică eroarea standard (eroarea medie de reprezentativitate), ce
poate fi determinată cu ajutorul relației de mai jos:
94,12503013012912
=

− =
−=Nn
ns
xσbuc/salariat
=∆x1,94*2=3,88. Deoarece producția este o caracteristică statistică cu variație discretă
(discontinuă), se va rontunji rezultatul obținut la val oarea întreagă 4.

Interpretare: Se garantează cu o probabilitate de 95,45% o eroare maximă între nivelul mediu al
producției descoperit la nivelul eșantionului și nivelul mediu al producției realizat la nivelul întregii
colectivități de salariați , în cazu l unei extrageri nerepetate, de 4 buc / salariat.

Nivelul e șantionului, pentru extragerea nerepetată, se determină cu ajutorul relației
Nzzn
x2 2
22 2
σσ
+∆=
Eroarea maximă admisibilă obținută anterior se reduce cu 30%, astfel =∆x2,8 buc/salariat

10,52
250129*28,2129*2
2
22
=
+=n . Fiind vorba despre un număr de salariați va trebui sa rotunjim
rezultatul la 52 persoane necesare a fi extrase pentru a forma un eșantion care să garanteze cu o
probabilitate de 95,45% o eroare maximă admisibilă de 2,8 buc/salariat.