În leg ¼atur¼a cu o problem ¼a din Gazeta Matematic ¼a [611874]

În leg ¼atur¼a cu o problem ¼a din Gazeta Matematic ¼a
R¼azvan DRÎNCEANU1¸ si C¼at¼alin CRISTEA2
În num ¼arul 10/2016 (seria B) alGazetei Matematice a fost propus ¼a problema E:15085 al
c¼arei enun¸ t îl prezent ¼am mai jos:
În tetraedrul ABCD se noteaz ¼aM; N; P; Q; R; S mijloacele muchiilor AB; CD; BC; AD; BD ,
respectiv AC. Demonstra¸ ti:
a)2 (MN +PQ+RS)< AB +AD +AC+BC+BD +CD.
b)MN; PQ ¸ siRSsunt lungimile laturilor unui triunghi.
Prima cerin¸ t ¼a se poate ob¸ tine astfel:
MN < MS +SN =BC
2+AD
2)2MN < BC +AD.
Analog
2PQ < AC +BD¸ si2RS < AB +CD,
iar prin sumare g ¼asim:
2 (MN +PQ+RS)< AB +AD +AC+BC+BD +CD.
În ceea ce prive¸ ste punctul b), venim cu un contraexemplu: Vom lua AB = 14 ,AC = 6,
AD = 13 ,BC = 17 ,CD = 16 ¸ siBD = 5.
Folosind formula pentru calculul lungimilor medianelor unui triunghi se deduce o formul ¼a
pentru calculul lungimilor bimedianelor unui tetraedru:
RS =p
AB2+AD2+BC2+CD2AC2BD2
2
=p
142+ 132+ 172+ 1626252
2=p
849
2.
În mod similar se ob¸ tin:
PQ =p
142+ 62+ 52+ 162172132
2=p
55
2
¸ si
MN =p
62+ 132+ 172+ 52142162
2=p
67
2:
1Profesor, Colegiul Na¸ tional Pedagogic "¸ Stefan Velovan", Craiova
2Profesor, Colegiul Na¸ tional Pedagogic "¸ Stefan Velovan", Craiova

Avem
MN +PQ =p
55
2+p
67
2<8
2+9
2=17
2<29
2<p
849
2=RS,
ceea ce arat ¼a c¼aMN,PQ¸ siRSnu pot … laturile unui triunghi.
Dar, exist ¼a un astfel de tetraedru? R ¼aspunsul este oferit de urm ¼atoarea teorem ¼a.
Teorem ¼a.Not¼amT= (x; y; z; x;y;z), unde x; y; z; x;y;z > 0.Teste format ¼a cu lungimile
muchiilor unui tetraedru dac ¼a ¸ si numai dac ¼a sunt îndeplinite simultan condi¸ tiile:
i) "Exist ¼a fe¸ tele": Fiecare triplet (x; y; z ),(x;y; z),(x; y;z)¸ si(x;y;z)este format cu laturile
unui triunghi (veri… c ¼a inegalitatea triunghiului)
ii) "Tetraedrul are volum", adic ¼a exist ¼aV=p4
12p
2, unde4= det0
BBBB@0 1 1 1 1
1 0 x2y2z2
1x20z2y2
1y2z20x2
1z2y2x201
CCCCA,
deci4este strict pozitiv.
Pentru exemplul nostru, T= (13 ;14;6;17;16;5). Se poate observa c ¼a este îndeplinit ¼a
condi¸ tia i) a teoremei precedente ¸ si, de asemenea, condi¸ tia ii), deoarece
4= det0
BBBB@0 1 1 1 1
1 0 13214262
1 1320 52162
1 142520 172
1 6216217201
CCCCA= 1075 518 >0.
Ne punem întrebarea dac ¼a cerin¸ ta din enun¸ t ar … trebuit s ¼a … e: MN; PQ ¸ siRSnusunt
lungimile laturilor unui triunghi. ¸ Si aici exist ¼a contraexemplu, dac ¼a tetraedrul este regulat,
atunci bimedianele sunt congruente, deci putem forma cu ele un triunghi echilateral.
Bibliogra…e:
[1]Gazeta Matematic ¼a – seria B, nr. 10/2016.
[2]Dan Brînzei, Sebastian Ani¸ ta, Constantin Cocea, Planul ¸ si spa¸ tiul euclidian, Editura
Academiei RSR, Bucure¸ sti, 1986.
[3]https://www.ems-ph.org/journals/journals.php
[4]http://mathworld.wolfram.com/Cayley-MengerDeterminant.html