În acestă lucrare ve ți studia caracteristicile mi șcării oscilatorii libere și ale mișcării oscilatorii forțate executate de un sistem oscilant… [626677]

STUDIUL OSCILA ȚIILOR LIBERE
ȘI A OSCILA ȚIILOR FOR ȚATE
FOLOSIND PENDULUL POHL

1. Introducere
În acestă lucrare ve ți studia caracteristicile mi șcării oscilatorii libere și ale mișcării oscilatorii
forțate executate de un sistem oscilant denumit pendulul Pohl . Principalele m ărimi fizice ce urmeaz ă a fi
măsurate sunt:
A. În cazul mi șcării oscilatorii libere:
– perioada de oscila ție și frecvența proprie a oscilatorului în regim neamortizat,
– perioada și frecvența proprie a oscilatorului, în prezen ța amortiz ării,
– coeficientul de amortizare al mi șcării oscilatorii,
– decrementul logaritmic al amortiz ării oscilațiilor amortizate,
– factorul de calitate al oscilatorului neamortizat și cu diferite grade de amortizare.
B. În cazul mi șcării oscilatorii for țate, în urma tras ării curbei de rezonan ță a ampolitudinii:
– coeficientul de amortizare al mi șcării oscilatorii (compara ție cu metoda de la punctul A),
– factorul de calitate al oscilatorului (compara ție cu metoda de la punctul A),
– defazajul dintre elonga ție și forța exterioar ă, în condi ții de frecven ță mai mici, respectiv mai
mari decât frecven ța de rezonan ță.

2. Descrierea dispozitivului experimental
Dispozitivul experimental este format, în principal, dintr-o roat ă1 din Cu (vezi Fig. 1), montat ă pe
un ax orizontal fixat într-un rulment, astfel ca s ă poată efectua o
rotație oscilatorie, ca urmare a unui moment de revenire asigurat
de un resort elastic spiral. Pe cadranul exterior pot fi m ăsurate
unghiurile de rota ție ale roții.
Dispozitivul poate func ționa, atât în regim de oscila ții
libere, cât și în regim for țat. În primul caz, roata este deviat ă
manual, efectuînd cu grij ă o rotație cu un unghi de aproximativ
150°, într-un sens sau altul, urm ărind ulterior dependen ța de timp
a amplitudinii unghiulare, A (t). În al doilea caz, se pune în
funcțiune sistemul electromecanic de for țare a oscila țiilor și se
urmărește dependen ța amplitudinii unghiulare a oscila țiilor de
frecvența oscilațiilor forței exterioare, A (Ω). În ambele cazuri,
putem controla gradul de amortizare al oscila țiilor, prin reglarea curentul ui prin frâna electromagnetic ă.

1 Un dispozitiv de tipul celui utilizat în acest experiment a fost propus de c ătre fizicianul german A. Pohl, iar
aranjamentul experimental este denumit în literatur ă pendulul sau roata lui Pohl .

Fig. 1

Schema de alimentare electric ă a dispozitivului este prezentat ă în Fig. 2. Ie șirea de curent continuu a
sursei de alimentare de putere se conecteaz ă, prin intermediul unui ampermetru, la frâna electromagnetic ă,
folosind un ampermetru pentru m ăsurarea curentului prin aceasta.
Sursa de alimentare de mic ă putere (adaptor) se folose ște pentru
alimentarea motorului sistemului electromecanic.

3. Principiul fizic al experimentului
3A. Oscila țiile libere ale sistemului
Dac ă asupra sistemului oscilant ac ționează, pe lâng ă
momentul de revenire datorat torsiunii în arcul spiral, Mtors = –
Cθ, și un moment rezistent datorat frân ării electromagnetice2, Mf
= – r ω = – r dθ/dt, în conformitate cu teorema varia ției
momentului cinetic, între viteza unghiular ă instantanee a ro ții și momentul exterior rezultant exist ă
relația:
rt o r sfdIM M M C rdtωθω ==+ = − − (1)
În relațiile de mai sus, I este momentul de iner ție al roții, mărimea C este constanta de torsiune a
resortului spiral, θ – unghiul de rota ție al roții, iar ω – viteza unghiular ă instantanee a acesteia.
Împ ărțind relația anterioar ă prin I și rearanjând termenii ob ținem:
2
20dr d C
dt I dt Iθθθ ++= (2)
sau:
2
2
0 220dd
dt dtθθδω θ++= (3)
în care s-au folosit nota țiile:
0;2rC
I Iδω== (4)
Ecua ția diferen țială de ordinul II (4) descrie dependen ța elongației unghiulare a ro ții în funcție de
timp. Soluția acestei ecua ții diferențiale în aproximna ția amortiz ării slabe (vezi Anexa 1) este de forma:
() ()max max sin ( )sintet t tδθθω ϕθω ϕ−= += + , (5)
unde 22
02
Tπω ωδ== − se numește pulsația mișcării oscilatorii amortizate3. Din rela ția (5) rezult ă că
amplitudinea oscila țiilor amortizate descre ște exponen țial cu timpul cu rate de descre ștere dependente de
gradul de amortizare al mi șcării (două curbe de varia ție a lui θmax(t), corespunz ătoare unor amortiz ări
diferite sunt prezentate în Fig. 3).

2 O astfel de frân ă folosește efectul Lenz al curen ților turbionari indu și în materialul ro ții de către câmpul magnetic.
3 Mărimea T = 2π/ω reprezint ă perioada oscila țiilor amortizate. Ea se mai nume ște și pseudo-perioad ă (deoarece
mișcare oscilatorie nu se reia în mod identic).

Fig. 2

Raportul a dou ă amplitudini succesive de oscila ție, K, se nume ște coeficient de atenuare , iar
logaritmul natural al lui K se numește decrementul logaritmic al amortiz ării:
max
max()
()tKtTθ
θ=+ max
max()ln ln()tDKtTθ
θ==+ (6)
Mi șcarea oscilatorie amortizat ă se stinge cu atât mai repede, cu cât factorul de amortizare, δ, este
mai mare. Într-adev ăr, într-un interval de timp τ =
1/δ, numit constanta de timp a oscilatorului,
amplitudinea oscila țiilor scade de e ori4. Într-o
perioadă, T, a oscila țiilor amortizate, amplitudinea
unghiular ă scade de eT+δori. Așadar, D = δ T.
Num ărul de oscila ții efectuat în timpul τ va
fi, deci:
NTT D==⋅=τ
δ11 (7)
Prin urmare, decrementul logaritmic al
amortizării reprezint ă numărul de oscila ții pe care îl efectueaz ă un oscilator în regim amortizat, pentru ca
amplitudinea sa s ă descreasc ă de e ori. Este evident c ă un oscilator cu pierderi mici va avea o valoare
mică a lui D și invers. Aceast ă mărime este un indiciu al calit ății oscilatorului adic ă al capacit ății acestuia
de a efectua oscila ții un timp cât mai îndelungat, far ă a necesita alimen tare cu energie mecanic ă.
Pentru caracterizarea calit ății unui oscilator armonic se folose ște cel mai adesea m ărimea:
QN=⋅=πω
δ2 (8)
care se nume ște factor de calitate . Din aceast ă relație constat ăm că, cu cât factorul de amortizare, δ, este
mai mic, cu atât Q este mai mare și deci oscilatorul este “mai de calitate”. Este u șor de văzut că, după un
interval de timp tp≅5τamplitudinea oscila țiilor amortizate scade la 1% din valoarea ei maxim ă. Acest
interval de timp se nume ște durata practic ă a procesului de " stingere " a oscilațiilor.

3B. Oscila țiile forțate ale sistemului
Dac ă asupra ro ții acționează – pe lângă momentele sus-men ționate- și un moment periodic în timp,
datorat unei for țe de forma:
FF tpp=0sinΩ (8)
sistemul execut ă o mișcare oscilatorie forțată. Urmând un ra ționament similar cu cel anterior, ecua ția
diferențială a mișcării roții este acum:
rdIMdtω= (9)

4 e ≅ 2,71. Fig. 3 02 5 5 00.02.55.07.510.012.515.017.520.0
I1A [unit. arb.]
t [s]I 2<I1
Fig. 3

în care momentul rezultant reprezint ă suma dintre momentul de torsiune al arcului spiral, Mtors = – Cθ,
momentul (de asemenea rezistent) for țelor de frecare vâscoas ă a roții cu aerul, Mf = – r ω = – r dθ/dt și
momentul activ al for ței exterioare, Me = F0 R cos Ωt. Am notat aici cu R brațul forței exterioare în raport
cu axa de rota ție a roții.
Ecua ția diferen țială a mișcării devine, a șadar:
2
0
2cosFR dr d Ctdt I dt I Iθθθ ++= Ω (10)
sau:
2
2
00 22c o spddf tdt dtθθδω θ++= Ω (11)
în care s-au folosit nota țiile:
0
00;;2pFR rCfII Iδω== = (12)
Soluția acestei ecua ții diferențiale este de forma (vezi Anexa 2):
()()0 sin sintet A tδθθω ϕ ϕ−=+ + Ω + , (13)
adică o suprapunere a solu ției mișcării oscilatorii amortizate libere (mi șcare pe care ar efectua-o sistemul
în absența forței exterioare periodice)
()()()10 sin sinta e ta ttδθ ωϕ ωϕ−= += + ,
la care se adun ă soluția particular ă de forma termenului liber din ec. (3):
()2 sinAtθ ϕ =Ω+ ( 1 4 )
Dup ă trecerea regimului tranzitoriu (dup ă care primul termen din ec. (13) devine neglijabil,
sistemul r ămâne să execute o mi șcare oscilatorie for țată descrisă de ecuația (14). În aceast ă ecuație, A și ϕ
reprezintă amplitudinea unghiular ă, respectiv faza ini țială a oscila țiilor forțate. Ele au urm ătoarele
expresii (vezi Anexa 2).
() ( )Afp=
−+0
022222 ωδΩΩ ( 1 5 )
ϕδ
ω=−⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ arctg2
022Ω
Ω (16)
Cele dou ă mărimi, A și ϕ, depind, prin urmare, de pulsa ția, Ω, a forței periodice exterioare.
Fenomenul de cre ștere a amplitudinii oscila țiilor forțate spre o valoare maxim ă atunci când pulsa ția forței
exterioare se apropie de pulsa ția oscilațiilor libere, se nume ște rezonanță a amplitudinii5. Pulsația la care
are loc rezonan ța se găsește din condi ția dA/dΩ = 0 și are expresia (vezi Anexa 3).

5 Așa cum vom demonstra la curs, exist ă și un fenomen de rezonan ță a energie oscilatorului, care corespunde
regimului în care energia total ă a primită de oscilator de la mediul înconjur ător atinge un maxim.

Ωrez=−ωδ0222 ( 1 7 )
La aceast ă valoare a pulsa ției, amplitudinea oscila țiilor forțate este:
Affpp
rmax=
−=0
0220
22 2 δω δ δΩ
(18)
Din aceste rela ții rezultă că, pe măsura
scăderii amortiz ării, pulsația de rezonan ță, Ωrez
se apropie tot mai mult de pulsa ția proprie, ω0 a
oscilatorului, iar amplitudinea maxim ă a
oscilațiilor forțate tinde asimptotic spre infinit.
Prin urmare, pentru amortiz ări mici ()δω<0 și
pulsații apropiate de pulsa ția de rezonan ță
( ) ΩΩ≅≅ ≅10ωω putem scrie pentru
amplitudinea normat ă, α=AAmax, relația:
α
ω
ω=
+−⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟1
12 0
02
QΩΩ (19)
Folosind ecua ția precedent ă, să calculăm valorile lui Ω pentru care αα=max
2. Aceasta se
întâmplă la valorile Ω1 și Ω2 ale pulsa ției, pentru care:
ω
ω0
11
01
ΩΩ−= +Q
și: ω
ω0
22
01
ΩΩ−= −Q.
Intervalul de pulsa ții B=−ΩΩ21 se numește lărgimea curbei de rezonan ță normate. Din relațiile
anterioare rezult ă o formulă de calcul a factorului de calitate:
QB=ω0 (20)
4. Modul de lucru:
4A. Determinarea parametrilor oscila țiilor amortizate ale sistemului
(a) Se determin ă perioada oscilatiilor amortizate ale sistem ului, pentru diferite grade de amortizare (Ifrână
= 0 A, 0.08 A , 0.12 A, 0.20 A si 0.25 A ). Se va lansa de pe Desktop, în acest scop, programul "osc_amor-
tizate". 0.0 0.5 1.00510
(c)(b)A [unit. arb.]
ν [Hz] (a) I1 = 0
(b) I2 > I1
(c) I3 > I2
υ0(a)

Fig. 4

Deviația (rotația) inițială a roții se va face cu mult ă grijă, urmărind a nu se for ța mișcarea roții
după alte direc ții decât cea de rota ție. De asemenea, se va avea grijã ca firul ce face legatura cu poarta opticã
sã nu sarã de pe rotitã.
(b) Folosind programul "–osc_amortizate" se va trasa pe pe monitor graficul elongatiei miscarii amortizate in
functie de timp.
(c) Din grafic se poate determina pseudoperioada T, vazând timpul în care se efectueazã 10 oscilatii; apoi se se calculeazã valoarea pseudopulsatiei
ω.
(d) Se determin ă coeficien ții de relaxare δ1..5, în conformitate cu ec. τ = 1/δ, discutat ă anterior. Constanta de timp
a oscilatorului τ se determinã din grafic ca si timpul dupã care amplitudinea scade de e ori.
(e) Se determin ă valorile decrementului logaritmic al amortiz ării, în conformitate cu ec. (7).
(h) Se determin ă, pentru fiecare grad de amortizare, valorile fa ctorului de calitate al oscilatorului, Q, în
conformitate cu ec. (8).
(i) Se întocme ște un raport de m ăsurători, conform modelului anexat.

4B. Determinarea parametrilor oscila țiilor forțate ale sistemului

(a) Se conecteaz ă sursele de alimentare la re țea și se efectueaz ă legăturile electrice conform Fig. 2.
(b) Se alege o valoare I = 0 A (f ără frânare electromagnetic ă). Se determin ă variația amplitudinii
unghiulare, func ție de pulsa ția forței exterioare. În acest scop, Ω se va modifica prin modificarea
curentului de alimentare al motorului electric (ac ționând unul din butoanele pentru reglaj grosier, sau fin
al turației). Se poate monta un voltmetru în paralel cu motorul electric pentru monitorizarea valorilor
tensiunii de alimentare în timpul experimentulu, dac ă se dorește refacerea ulterioar ă a unor experimente.
Amplitudinea unghiular ă se citește, și în acest caz, pe scara aparatului, ea fiind exprimat ă în unități
arbitrare. Se va urm ări dependen ța de Ω a unghiului de defazaj dintre for ța exterioar ă și elongație,
folosind cele dou ă ace indicatoare și se va verifica tipul de dependen ță ϕ(Ω) descris de ec. (16).
SE URMĂ REȘTE CU ATEN ȚIE PARCURGEREA INTERVALULUI DE PULSA ȚII CARE SĂ
PERMITĂ ULTERIOR TRASAREA ÎNTREGII CURBE DE REZONAN ȚĂ.
(c) Se repet ă operațile de la punctul (b), pentru valorile ale curen ților I = 0.08 A și I = 0.12 A.
(d) Se reprezint ă grafic dependen țele amplitudinii normate, α = θ/θmax=f(Ω), folosind unul din
programele men ționate anterior.
(e) Se determin ă frecvențele Ω1 și Ω2 la care α = 0.707, apoi valoarea lui B , și – în final – a factorului de
calitate, Q, al oscilatorului, conform ec. (20).
(f) Din valoarea lui B se determin ă valoarea lui δ , pentru cele 3 regimuri de amortizare a mi șcării.
(g) Se compar ă valorile lui δ și ale lui Q, găsite la punctele 4A și 4B.
(h) Se întocme ște un raport de m ăsurători, conform modelului anexat.

A N E X A 1
În absen ța unei for țe exterioare care s ă forțeze oscila ția, ecuația diferen țială (4) ia forma:
2
2
0 220dd
dt dtθθδω θ++= (A1.1)
Din motive care vor fi discutate în detaliu la curs, vom încerca o solu ție de forma:
() exp t θλ= , (A1.2)
în care λ este un parametru arbitrar. Se introduce aceast ă soluție în ecua ția (A1.1) și se obține ecuația
algebrică caracteristic ă:
λδ λ ω2
0220++ = (A1.3)
Se rezolv ă această ecuație pentru a g ăsi valorile lui λ. După cum discriminantul acestei ecua ții
D=−δω2
02 este mai mare, egal sau mai mic ca zero, r ădăcinile λ1 și λ2 sunt reale distincte, reale
confundate sau complex-conjugate. Ne intereseaz ă acest din urm ă caz, când:
1 j j λδδ ω=− − −Δ=− − și λδ δ ω2=− + − =− + jjΔ (A1.3)
Acestor rădăcini le corespund, conform ec. (A1.2), solu țiile:
()1exp jt θ δω=− − și ()2exp jt θ δω=− + (A1.4)
Solu ția general ă a ecuației diferen țiale (A1.1) se ob ține ca o combina ția liniară a celor dou ă
soluții (A1.4), adic ă:
()() ( )()11 22 1 2 exp exp exp aa a j t a j t tθθθ ω ω δ ⎡⎤ =+= −+ −⎣⎦ (A1.5)
unde a1 și a2 sunt dou ă constante arbitrare, care se determin ă după cum urmeaz ă:
Ținând cont de formulele lui Euler :
()
()exp cos sin
exp cos sin−= −
+= +jt t j t
jt t j tωωω
ωωω
și de condi țiile inițiale, θ(0)= θ0 și ω(0)=ω0 și folosind nota țiile:
()12 m a x
12 m a xsin
cosaa
ja aθϕ
θϕ+=
−=
se obține soluția general ă sub forma:
()max(0) sintetδθθω ϕ−= ⋅+ (A1.6)
(aici ϕ reprezint ă faza inițială a mișcării).
(A1.7)

A N E X A 2
Constantele arbitrare A și ϕ care apar în expresie solu ției particulare (10) se determin ă astfel: se
derivează de două ori expresia (10), iar derivatele astfel ob ținute se introduc în ecua ția (5). Se ob ține
astfel egalitatea:
()[]
()[]At
At f tpωϕ δ ϕ
ωϕ δ ϕ022
022
02
2−+ +−+ =ΩΩ ΩΩΩ Ω Ωcos sin sin
sin cos cos sin
(A2.1)
Cum membrul drept al acestei egalit ăți nu conține termen în cos Ωt rezultă că:
()
()[]ωϕ δ ϕ
ωϕ δ ϕ022
022
020
2−− =
−+ =ΩΩ
ΩΩsin cos
cos sin Afp (A2.2)
Folosind acest ultime dou ă ecuații rezultă expresiile m ărimilor A și ϕ:
() ( )Afp=
−+0
022222 ωδΩΩ,
ϕδ
ω=−⎛
⎝⎜⎞
⎠⎟ arctg2
022Ω
Ω.

A N E X A 3
Pentru ca amplitudinea s ă devină maximă este necesar ca:
dA
dΩ=0 (A3.1)
și dA
d2
20Ω< (A3.2)
Întrucât:
() () [ ] Afp=− +−
00222 212
2 ωδΩΩ (A3.3)
rezultă că:
() ( )[] () ()() []dA
dfp
ΩΩΩ Ω Ω Ω =− − + − − + =−0
0222232
022
222 2 2 2 0 ωδ ω δ δ (A3.4)
atunci când:
Ωrez=−ωδ0222 (A3.5)
Derivând înc ă odată expresia lui dA/dΩ se arată ușor că și condiția a doua este satisf ăcută.

Raport de m ăsurători

Numele studentului…………………………………….. Grupa………………………………………………………..
Data efectu ării experimentelor…………………….

Rezultate experimentale:
4A. Determinarea parametrilor oscila țiilor amortizate ale sistemului

Tabelul 1
I
(A) 10T
(s) ω = 2π/T
(s-1) τ
(s) δ
(s-1) K
(cf. ec. (6a)) D
(cf. ec. (6b)) Q
(cf. ec. (8))

Graficul θmax=f(t).

4B. Determinarea parametrilor oscila țiilor forțate ale sistemului
Tabelul II
I = 0 A
Graficul θmax=f(Ω), având ca parametru cele
3 valori ale amortiz ării.

Q=…… Ωrez =….

Tabelul III
I = 0.08 A

Q=…… Ωrez =….

Tabelul IV
I = 0.12 A

Q=…… Ωrez =….
Notă: Pentru fiecare din tabelele II-IV se vor colecta cel putin 15 puncte experimentale. 10 T
(s) Ω
(Hz) θmax
(unit. arb.)
….. …. ….

10 T
(s) Ω
(Hz) θmax
(unit. arb.)
….. …. ….

10 T
(s) Ω
(Hz) θmax
(unit. arb.)
….. …. ….