In acest capitol vom urma 17 si 22. [610794]
Capitolul 1
Numere p-adice
^In acest capitol vom urma [17] si [22].
De nit ia 1. Fie M o mult ime nevid a. Se nume ste distant a pe M o funct ie d:MM!
R+cu propriet at ile:
1)d(x;y) = 0,x=y
2)d(x;y) =d(y;x)
3)d(x;y)6d(x;z) +d(z;y);8x;y;z2M(1.1)
(M;d) se nume ste spat iu metric.
De nit ia 2. Fie (M,d) un spat iu metric, a2M sir>0. Bilele deschis a, respectiv ^ nchis a
de centru a si de raz a r sunt:
B(a;r) =fx2Mjd(x;a)<rg
B[a;r] =fx2Mjd(x;a)6rg
Observat ia 1. ^In mod natural, o distant a d genereaz a o topologie pe M, av^ and ca baz a bilele
deschise. Astfel, orice spat iu metric este spat iu topologic.
De nit ia 3. Fie K un corp. Se nume ste norm a (sau valoare absolut a) pe K o funct ie
kk:K!R+cu propriet at ile:
1)kxk= 0,x= 0
2)kxyk=kxkkyk
3)kx+ykkxk+kykpentru orice x;y2K(1.2)
1
2 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
Observat ia 2. Un exemplu simplu de norm a, ^ n sensul descris aici, este modul uzual pe Q.
Un alt exemplu (peste orice corp!) este norma trivial a kxk=8
<
:1; x6= 0
0; x= 0
Propozit ia 1. Se demonstreaz a u sor urm atoarele propriet at i ale valorii absolute:
1)jj1jj= 1
2)jjxnjj=jjxjjn
3)Dac a K este corp nit, atunci orice norma este trivial a :(1.3)
De nit ia 4. Fie K un corp. Se nume ste valuare pe K o funct ie v:K!Rcu propriet at ile:
1)v(xy) =v(x) +v(y);8x;y2K
2)v(x+y)minfv(x);v(y)g(1.4)
Exemplul 1. Pentrua2Nnot amep(a) exponentul num arului prim p ^ n descompunerea ^ n
factori a lui a. Atunci funct ia vp:Q!Rde nit a prin vp(a
b) =ep(a) ep(b) este o valuare
peQ.
Observat ia 3. Dac av:K!Reste o valuare pe K si c2(0;1), atuncijjjj:K!R+,
jjxjj=cv(x)este o norm a pe K.
De nit ia 5. Dou a metrici (sau norme) se numesc echivalente dac a genereaz a aceea si
topologie.
Observat ia 4. Se veri c a u sor c a dac a kkeste o norm a pe K, atunci d:KK!
R+; d(x;y) =kx ykde ne ste o distant a pe K.
De nit ia 6. Fiep2Nun num ar prim. Pentru n2Z,valuarea p-adic a sauexpo-
nentul p-adic se noteaz a cu vp(n) si reprezint a cea mai mare putere a lui p care ^ l divide
pe n ( adic a vp(n) =m; pmjn; pm+16jn).
Observat ia 5. Prin convent ie, vp(0) =1.
Observat ia 6. Este evident c a pentru orice m;n2Zavemvp(mn) =vp(m) +vp(n).
3
De nit ia 7. Fie p un num ar prim. Extindem valuarea p-adic a de la ZlaQastfel: pentru
x=m
n2Q
vpm
n
=vp(m) vp(n) (1.5)
Observat ia 7. Valuarea este corect de nit a deoarece pentru m;n;k2Z; n;k6= 0 avem
vpmk
nk
=vp(mk) vp(nk) =vp(m) +vp(k) vp(n) vp(k) =vp(m) vp(n) =vpm
n
Observat ia 8. Se arat a imediat c a pentru orice x;y2Qavemvp(xy) =vp(x) +vp(y).
De nit ia 8. Fie p un num ar prim. Norma p-adica (sau modulul p-adic) se de ne ste pentru
x2Qastfel
jxjp=8
<
:p vp(x); x6= 0
0; x= 0(1.6)
Propozit ia 2.j:jp:Q!R+este o norm a (^ n sensul de nit iei 3)
Demonstrat ie. Veri c am proprietat ile normei:
1)jxjp= 0,x= 0 rezult a conform de nit iei.
2)jxyjp=p vp(xy)=p vp(x) vp(y)=p vp(x)p vp(y)=jxjpjyjp
3)Demonstr am ^ n prealabil urmatoarea
Lema 1. Pentru orice x;y2Qare loc inegalitatea vp(x+y)>minfvp(x);vp(y)g
Demonstrat ie. Inegalitatea este evident a dac a , x= 0;y= 0 saux+y= 0.
^In celelalte situat ii, scriem x=a
bpk siy=c
dpl, cua;b;c;d2Z; k;l2Z,p6ja;b;c;d ,
(a;b) = (c;d) = 1,k=vp(x); l=vp(y). F ar a a restr^ ange generalitatea, presupunem c a
vp(x)6vp(y) , decikl. Pentruk<l avem
vp(x+y) =vpa
bpk+c
dpl
=vp
pkad+bcpl k
bd
=
vp
pk
+vpad+bcpl k
bd
=k+ 0 =k
Pentruk=lobt inemvp(x+y) =k+vp ad+bc
bd
>k(deoarece este posibil ca pjac+bd)
4 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
A sadar, din lem a obt inem
jx+yjp6maxn
jxjp;jyjpo
6jxjp+jyjp
si demonstrat ia propozit iei se ^ ncheie.
De nit ia 9. O norm a pe K se nume ste nearhimedian a dac akx+yk6maxfkxk;kykg,
pentru orice x;y2K siarhimedian a ^ n caz contrar. De asemenea, o distant a se nume ste
nearhimedian a dac ad(x;y)6maxfd(x;z);d(z;y)gpentru orice x;y;z2K siarhi-
median a ^ n caz contrar. ^In particular, distant a indus a de o norm a nearhimedian a este
nearhimedian a.
Observat ia 9. Pentru o norm a nearhimedian a dac a kxk6=kyk, atunci
kx+yk= maxfkxk;kykg:
Demonstrat ie. Presupun^ and c akxk<kyk, rezult a c akx+yk6maxfkxk;kykg=kyk.
Pe de alt a partekyk=kx+y+ ( x)k6maxfkx+yk;k xkg6kx+yk, decikx+yk=
kyk:
Observat ia 10. Pe baza observat iei anterioare, obt inem c a pentru o distant a nearhimedian a,
dac ad(x;z)6=d(z;y), atuncid(x;y) = maxfd(x;z);d(z;y)g, ceea ce ^ nsemn a c a ^ ntr-un
spat iu metric nearhimedian orice triunghi e isoscel .
Observat ia 11. PeQjjpeste o norm a nearhimedian a, iar modulul obi snuit este o norm a
arhimedian a.
Observat ia 12. Prin induct ie se arat a imediat c a
nP
k=1xk
6max
k=1;nfkxkkg
Teorema 1. (de caracterizare a normelor nearhimediene)
Fie A imaginea lui Z^ n corpul K, adic a A=fn1jn2Zg. Atunci o norm a este nearhime-
dian a dac a si numai dac a kak61pentru orice a2A.
Demonstrat ie. Fiea=n1;n2Z.
"=)"kak=
1 + 1 +::+ 1|{z}
n ori
6maxfk1k;k1k;:::;k1k|{z}
n orig= 1
5
"(=" Este su cient s a demonstr am c a kx+ 1k6kxkpentru orice x2Kcukxk>1. Fie
x2K. Pentrum2Navem
k(x+ 1)mk6
mX
k=00
@m
k1
Axk
6mX
k=0
0
@m
k1
Ax
k
=mX
k=0
0
@m
k1
A
k
kxkk6mX
k=0kxkk6
6(m+ 1)kxkm
Prin urmare,k(x+ 1)mk6(m+ 1)kxkm, decikx+ 1k6mpm+ 1kxk;8m>1 si de aici
rezult a prin trecere la limit a dup a m!1 c akx+ 1k6kxk.
Teorema 2 (Ostrowski, 1918) .Orice norm a netrivial a pe Qeste echivalent a cu modulul
obi snuit sau cujjppentru un anumit num ar prim p.
Demonstratie. Fiejjjjo norm a pe Q.
Cazul 1) Dac a exist a n2Nastfel ^ nc^ atknk>1, en02Ncel mai mic cu aceasta
proprietate. Cum kn0k>1, rezult a c a exist a > 0 astfel ^ nc^ atkn0k=n
0. Ar at am c a
knk=n pentru orice n2N, de unde rezult a c a kxk=jxj pentru orice x2Q, ceea ce
^ nseamn a c a norma este echivalent a cu modulul uzual.
Fie
n=a0+a1n0+a2n2
0+:::+aknk
0; cu 06ai<n 0; i=0;k si ak6= 0
scrierea lui n ^ n baza n0.
Observ am mai ^ nt^ ai c a ai<n 0; i=0;k, deci, din minimalitatea lui n0rezult a
kaik61; i=0;k
Avem
knk=
kX
i=0aini
0
6kX
i=0
aini
0
=kX
i=0kaikn i
06kX
i=0n i
06n k
0kX
i=01
n i
06n 1X
i=01
n
0i
6Cn
undeC > 0 este o constant a ( depinde doar de n0), prin urmare
knk6Cn ;pentru orice n1:
6 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
Folosim ^ n continuare un arti ciu. ^Inlocuind ^ n relat ia anterioar a n cu nm, pentrum2N
arbitrar, obt inem
knk6mp
Cn ;pentru orice n1
De aici, prin trecere la limit a dup a m !1 obt inem
knk6n ;pentru orice n1:
Pe de alt a parte, avem nk+1
0>n>nk
0si
nk+1
0
=
nk+1
0 n+n
6
nk+1
0 n
+knk.
De unde
knk>
nk+1
0
nk+1
0 n
>n(k+1)
0
nk+1
0 n >n(k+1)
0
nk+1
0 nk
0 =
=n(k+1)
0
1
1 1
n0
>n
1
1 1
n0
Prin urmare, exist a C0>0 cu proprietatea c a
knk>C0n ;pentru orice n1:
Repet^ and procedeul anterior, obt inem
knk>n ;pentru orice n1:
^In concluzie
knk=n ;pentru orice n1:
Cazul 2) Dac aknk61 pentru orice n1, cum norma este netrivial a, e n02Ncel
mai mic cu proprietatea c a kn0k<1. Observ am c a n0trebuie sa e prim, deoarece, ^ n caz
contrar, putem g asi unul mai mic. Not am n0=p. Demonstr am c a pentru orice num ar prim
q6=pavemkqk= 1. ^Intr-adev ar, presupun^ and contrariul, exist a k;l2Nastfel ca
pk
<1
2
si
ql
<1
2. Cum
pk;ql
= 1, exist a u;v2Zcu proprietatea c a upk+vql= 1. Obt inem
1 =k1k=
upk+vql
6kuk
pk
+kvk
ql
6
pk
+
ql
<1
ceea ce reprezinta o contradict ie.
7
Prin urmare
knk=kpa1
1pa2
2:::pas
sk=kpkvp(n);
deci, ^ n acest caz obt inem echivalent a cu modulul p-adic.
De nit ia 10. Un sir de numere rat ionale (an)se nume ste Cauchy (^ n raport cu modulul
p-adic) dac a pentru orice ">0, exist an"2Ncu proprietatea c a jam anjp<", oricare ar
m;nn".
Observat ia 13. Exist a astfel de siruri, de exemplu sirurile constante.
Observat ia 14. Dac a (an)Qeste un sir Cauchy ^ n raport cu modulul p-adic, atunci
janjp
este un sir Cauchy de numere rat ionale (reale), deci este convergent. Acest fapt se
datoreaz a inegalit at ii jamjp janjp 6jam anjp. Prin urmare, exist a lim
n!1janjp2R.
Observat ia 15. De fapt lim
n!1janjp2Q. Mai exact, dac a limita este nenul a, atunci lim
n!1janjp=
pk; k2Z.^Intr-adev ar, dac a lim
n!1janjp6= 0 , atunci exist a "0>0 sin02Nastfel ^ nc^ at
janjp> " 0, pentru orice nn0. Putem alege n0astfel ^ nc^ atjam anjp< " 0, pentru
oricem;n>n0. Prin urmare, t in^ and cont de propriet at ile normei nearhimediene, obt inem
janjp=jan0jp, pentru orice nn0, deci sirul modulelor este stat ionar.
Observat ia 16. Normele nearhimediene prezint a urm atoarea particularitate interesant a :
un sir este Cauchy dac a si numai dac a pentru orice "0>0, exist an"2Ncu proprietatea
c a
jan an+1jp<";8nn" (1.7)
Aceasta rezult a din faptul c a pentru m<n are loc inegalitatea:
jam anjp=jam am+1+am+1 am+2+:::+an 1 anjp6max
i2m;n 1jai ai+1j
Complet am topologic mult imea Q^ n raport cu norma p-adic a ^ n maniera clasic a:
De nit ia 11. Dou a siruri Cauchy de numere rat ionale (an)si(bn)se numesc echivalente
si scriem (an)(bn)dac a pentru orice ">0, exist an"2N
jan bnjp<";8nn" (1.8)
8 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
Se arat a imediat c a " " este o relat ie de echivalent a. Not am cu (an) clasa de echivalent a
a sirului (an). Pentrux2Q, xat, not am cu xclasa sirului constant, av^ and tot i termenii
egali cux.
De nit ia 12. Corpul numerelor p-adice este Qp=n
(an) (an)Q;sir Cauchyo
.
De nit ia 13. Norma unei clase a=(an)2Qpeste
jajp= lim
n!1janj (1.9)
Observat ia 17. T in^ and cont de observat ia 15, rezult a c a jQpjp=pZ.
De nit ia 14. Fiea=(an); b=(bn)2Qp. De nim adunarea si ^ nmult irea pe Qpastfel:
a+b=(an+bn)
ab=(anbn)(1.10)
Se arat a u sor ca aceste operat ii au sens. ^In plus, de nim inversele ^ n raport cu adunarea
si ^ nmult irea:
a=( an)
1
a=1
an
; a6= 0(1.11)
Se veri c a imediat c a ( Qp;+;)este corp comutativ , iarQpoate identi cat cu
subcorpul sau format din sirurile Cauchy constante. De asemenea, Qpeste complet si
nearhimedian .
^In continuare, ne propunem s a facem o descriere mai exact a a elementelor din Qp.
De nit ia 15. Not amZp=n
x2Qpj jxjp61o
inelul ^ ntregilor lui Qp.
Lema 2. Pentru orice x2Qcujxjp61 si oricem2N, exist a 2Zastfel caj xjp6
1
pm.^In plus, putem alege 2f0;1;:::;pm 1g.
9
Demonstrat ie. Scriemx=a
b;(a;b) = 1. Cumjxjp61 , deducem c a p6jb, a sadar (b;pm) = 1.
Deci, exist a k;l2Zastfel ^ nc^ at kb+lpm= 1. Alegem =ak. Obt inem
j xjp=jxjp
x 1
p6jkb 1jp=jlpmjp=jpmjp=1
pm
Teorema 3. Pentru orice a2Zp, exist a un unic reprezentant a=(an)cu propriet at ile:
i)an2Z; n>1
ii) 06an<pn; n>1
iii)anan+1(modpn); n>1(1.12)
Demonstrat ie. 1)Unicitatea . Fiea=(an) =(a0
n) doua reprezent ari diferite cu propriet at ile
de mai sus. Prin urmare, exist a n0>1 astfel ^ nc^ at an06=a0
n0. Cuman0;a0
n02(0;pn0), de-
ducem c aan06a0
n0(modpn0). Dar pentru orice n>n0avemanan06a0
n0a0
n(modpn0),
ceea ce arat a c a an a0
n
p>1
pn0;nn0
De aici obt inem o contradict ie, ^ ntruc^ at lim
n!1 an a0
n
p= 0.
2)Existent a . Fiea=(bn). Caut am o reprezentare (an) cu propriet at ile cerute. Pentru
orice numar natural j2N, eN(j)2Nun num ar astfel ^ nc^ at bi bi+1
p6p jpentru
i>N(j) . Putem considera c a N(j) este strict cresc atoare ^ n raport cu j, ceea ce ^ nseamn a,
^ n particular, c a N(j)j. Observ am c ajbijp61 pentruiN(1) . ^Intr-adev ar
jbijp6maxn
jbnjp;jbi bnjpo
6max
jbnjp;max
s=i;n 1 bs bs+1
p
6max
jbnjp;1
p
61
T in^ and cont de lema 2, exist a aj2Z, 06aj<pj, astfel ^ nc^ at
aj bN(j)
p61
pj
Ar at am c a ( an)(bn). Pentruj xat sinN(j) avem
jan bnjp6maxn
jan ajjp; aj bN(j)
p; bn bN(j)
po
61
pj
Prin urmare, lim
n!1jan bnjp= 0.
10 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
Observat ia 18. T in^ and cont de lema anterioar a, daca a=(an)2Zp, exist a un unic sir
(cn),cn2N;06cn<p, pentru orice nastfel ^ nc^ at an=n 1P
k=0ckpk; n2N. Putem scrie
a=c0+c1p+c2p2+::: : (1.13)
De asemenea, dac a a=QpnZp, atuncia
jajp=apm2Zp;m>1, deci putem scrie
a=c m
pm+c m+1
pm 1+:::+c 1
p+c0+c1p+c2p2+::: : (1.14)
Observat ia 19. Aritmetica ^ n Qpeste asem an atoare cu cea a bazei p, ^ ns a calculele se fac
"de la st^ anga spre drepta".
Teorema 4. (Lema lui Hensel)
Fief2Zp[X]. Dac a ecuat ia f(x)0(modpZp)are o solut ie a12Zpcu proprietatea
c af0(a1)60(modpZp), atunci exist a si este unic a2Zpastfel ^ nc^ at f(a) = 0 sia
a1(modpZp).
Observat ia 20. Pentru simplitate, vom scrie mod pn^ n loc de mod pnZp si vom proceda
astfel si ^ n alte situat ii.
Demonstrat ie. Ar at am prin induct ie c a ecuat ia f(x)0 ( modpn) admite o solut ie an2Zp
care poate "ridicat a" la o solut ie a ecuat iei f(x)0 (modpn+1) , astfel ca an+1
an(modpn).
Pentrun= 1, a rmat ia este adevarat a din ipotez a. Pasul de induct ie se face astfel: Con-
sider aman+1=an+tpn; t2Zp. Trebuie ca
f(an+tpn)0(modpn+1):
Fief(X) =mP
i=0ciXi. Observ am c a
f(an+tpn) =mX
i=0ci(an+tpn)ic0+mX
i=1ci
ai
n+itpnai 1
n
f(an)+pntf0(an)
modpn+1
:
Pentru a-l determina pe ttrebuie rezolvata congruent a f(an) +pntf0(an)0 (modpn+1),
ceea ce, t in^ and cont de ipoteza de induct ie, este echivalent cu
f(an)
pn+tf0(an)0 (modp):
11
Aceasta congruent a admite o unic a solut ie t, ^ ntruc^ atana1(modpn) sif0(a1)60(mod
p).^In plus, relat ia an+1=an+tpnse scrie echivalent
jan+1 anjp61
n!0:
Deci (an) este sir Cauchy si not am lim
n!1an=a2Zp. Unicitatea lui arezult a din procedeul
de construct ie.
Observat ia 21. Lema lui Hensel poate privit a ca analogul p-adic al metodei lui Newton
pentru determinarea r ad acinilor unei funct ii. ^Intr-adev ar, t in^ and cont de proiect iile canonice
Zp=pn+1Zp!Zp=pnZp, pasul de induct ie este
an+1an f(an)
f0(an)
modpn+1
; (1.15)
iar pentru metoda lui Newton avem relat ia:
an+1=an f(an)
f0(an): (1.16)
Prezent am ^ n continuare urm atoarea teorem a, a c arei demonstrat ie se poate consulta, de
exemplu, ^ n [17].
Teorema 5. (Lema lui Hensel ^ n forma polinomial a)
Fief2Zp[X]. Presupunem c a exist a g1;h12(Z=pZ) [X],g1monic, (g1;h1) = 1 astfel ca
fg1h1(modp)
Atunci, exist a g;h2Zp[X]cu propriet at ile gg1(modp),hh1(modp) si monic, astfel
^ nc^ at
f=gh (1.17)
Observat ia 22. Din lema lui Hensel ( oricare din forme) rezult a c a Qpnu este algebric
^ nchis . Mai exact, Qpare extinderi algebrice nite de orice grad. De exemplu, aplic^ and
varianta p-adic a a criteriului lui Eisenstein de ireductibilitate pentru polinoame, polinomul
Xn peste ireductibil peste Qp[X].
12 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
De nit ia 16. FieQpKo extindere nit a a lui Qp. Extinderea pe Ka normei p-adice se
face astfel:
j jp= NK=Qp( ) 1
[K:Qp]
p; (1.18)
undeNK=Qp( )reprezint a norma algebrica a lui (produsul conjugat ilor algebrici).
Teorema 6.j.jpeste o norm a nearhimedian a pe K.
Demonstrat ie. Este evident c ajxjp= 0,x= 0 si cajxyjp=jxjpjyjppentru orice x;y2K.
R amane s a demonstr am inegalitatea:
jx+yjp6maxn
jxjp;jyjpo
:
Presupun^ and y6= 0,jxjp6jyjp si not^ andz= x
y, este su cient s a ar at am c a pentru orice
z2K
jzjp61)jz 1jp61;
ceea ce revine la a demonstra c a
NK=Qp(z)2Zp)NK=Qp(z 1)2Zp:
S a observ am mai ^ nt^ ai c a Qp(z) =Qp(z 1).
Fief=Xn+an 1Xn 1+an 2Xn 2+:::+a1X+a02Qp[X] polinomul minimal al lui z.
A sadar, polinomul minimal al lui z 1 este
f(X+ 1) =Xn+ (an 1+n)Xn 1+:::+ (1 +an 1+an 2+:::+a0)
AvemNK=Qp(z) = ( 1)na0siNK=Qp(z 1) = ( 1)n(1 +an 1+an 2+:::+a0). Vom utiliza
lema lui Hensel ^ n forma polinomial a. Dac a f2Zp[X], teorema este demonstrat a. ^In caz
contrar, stim c a a02Zp si presupunem c a exist a cel put in un indice iastfel ^ nc^ at ai62Zp.
Alegem cel mai mic num ar natural mpentru care pmai2Zp, pentru orice i. Consideram
polinomul
g(X) =pmf(X) =nX
i=0biXi:
13
Avembn=pman si, t in^ and cont de alegerea lui m, cel putin un termen binu este divizibil
cup. Prin urmare, putem scrie
g(X)
bnXn k+:::+bk
Xk(modp);
undek1 este cel mai mic indice cu proprietatea c a p6jbk. A sadar, din teorema 5 obt inem
c a polinomul g=pmfeste reductibil peste Qp[X], contradict ie cu faptul c a feste polinomul
minimal al lui z.
Observat ia 23. FieQp^ nchiderea algebric a a lui Qp. Pentru 2Qp, de nim
j jp= NQp( )=Qp( ) 1
[Qp( ) :Qp]
p: (1.19)
Teorema 7. Qpnu este un spat iu metric complet.
Demonstrat ie. Presupunem prin absurd contrariul. Pentru p6jn e!no r ad acin a primitiv a
de ordinulna unit at ii (exist a, conform lemei lui Hensel). Consider am sirul ( an)n1de nit
astfel:
an=8
<
:!n;daca (n;p) = 1
1;dacapjn
Cumanpn !0, seria
X
n>1anpn
este convergenta si eP
n>1anpn= 2Qp. Prin urmare, exist a o extindere nit a Ka luiQp
astfel ^ nc^ at 2K. Ar at am prin induct ie c a an2Kpentru orice n. Evident,a1= 12K.
Presupunem c a a1;a2;:::;an 12K. Consider am =p n
n 1P
k=1akpk
2K. Observ am
c a
=an+an+1p+an+2p2+::: :
Atunci an(modp), ceea ce implic a faptul c a ecuat ia xn 1 = 0 admite r ad acini modulo
p. Din lema lui Hensel, rezult a c a ecuat ia admite r ad acini in K. Cum (n;p) = 1, r ad acinile
sunt distincte, deci !n2K. Prin urmare, toate r ad acinile de ordinul nale unit at ii se g asesc
inK si, cum acestea sunt distincte modulo p, obt inem existent a unui num ar in nit de clase
modulop, ceea ce reprezint a o contradict ie cu faptul c a extinderea este nit a.
14 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
De nit ia 17. FieCp=cQp(^ nchiderea topologic a ^ n raport cu modulul p-adic; construct ia
este similar a cu aceea a lui Qp). De asemenea, extinderea normei se face ca ^ n cazul lui Qp.
Vom demonstra ca Cpeste algebric ^ nchis, iar Qpeste dens ^ n Cp. In acest context vom
folosi
Teorema 8. (Lema lui Krasner)
Fie(K;j j)un corp complet nearhimedian si ; 2K, separabil peste K( ). Pre-
supunem ca pentru toti K( )-conjugatii algebrici i6= avem
j j<j i j:
AtunciK( )K( ).
Demonstrat ie. Vom ar ata c a 2K( ). Consider am extinderea K( )K( ; ) si e
K( )L^ nchiderea sa Galois. Fie 2Gal(L=K ( )). Avem( ) = ( ), deci,
pentru orice i6=
j ( )j=j j<j i j:
Dac a( )6= , din relat ia de mai sus obt inem o contradict ie. Prin urmare, cum a fost
aleas a arbitrar, rezult a c a ( ) = pentru orice .^In concluzie, 2K( ).
Teorema 9. Cpeste algebric ^ nchis.
Demonstrat ie. FieK=Cp. Pentru algebric peste Kconsider am f2Cp[X] polinomul
s au minimal. Cum Qpeste dens ^ n K, putem g asi un polinom monic g2Qp[X] ai c arui
coe cient i sunt "su cient de apropiat i" de cei ai lui f(^ n raport cu norma p-adica). Astfel,
g( ) =g( ) f( ) poate "su cient de mic". Not am r ad acinile lui f, respectiv g, cu i,
respectiv j, si e = 1o r ad acin a situat a la cea mai mic a distant a de si astfel ^ nc^ at
pentru orice i6=
j jp<j i jp:
Din lema lui Krasner obt inem 2K( ) =Cp, ceea ce trebuia demonstrat.
Observat ia 24. Cpse nume ste corpul Tate .
1.1. TOPOLOGIA CORPURILOR P-ADICE 15
1.1 Topologia corpurilor p-adice
Aici urm am [17].
De nit ia 18. Fie(K;j j)un corp nearhimedian si a2K. De nim bilele de raz a r>0:
B(a;r) =fx2Kj jx aj<rg
B[a;r] =fx2Kj jx aj6rg(1.20)
si sfera de raz a r>0:
S(a;r) =fx2Kj jx aj=rg (1.21)
Observat ia 25. Funct iad(x;y) =jx yjeste o distant a pe K, deci (K;d)este spat iu
metric.B(a;r)este mult ime deschis a, iar B[a;r]este o mult ime ^ nchis a.
Propozit ia 3. Fie(K;j j)un corp nearhimedian. Au loc urm atoarele a rmat ii:
i) Pentru orice b2B(a;r)avemB(a;r) =B(b;r)(orice punct dintr-o bil a dechis a este
centru al bilei);
ii) Pentru orice b2B[a;r]avemB[a;r] =B[b;r]
iii)S(a;r)este si ^ nchis a si deschis a;
iv)B(a;r)este si ^ nchis a si deschis a;
v) Pentrur>0,B[a;r]este si ^ nchis a si deschis a;
vi) Orice dou a bile deschise (sau ^ nchise) sau sunt disjuncte, sau una din ele o cont ine
pe cealalt a.
Demonstrat ie. i) si ii) rezult a din faptul c a pentru x2B(a;r) (resp.B[a;r] ) avem
jx bj6maxfjx aj;ja bjg<r(resp:)
Decix2B[a;r] (resp.B[a;r] ). Prin urmare, B(a;r)B(b;r) si proced^ and ^ n acela si mod
se ar at a incluziunea invers a.
iii) Evident, sfera este^ nchis a. Ar at am c a este si deschis a. Pentru x2S(a;r) avemjx aj=
r. Dac ay2B
x;r
2
, atunci
jy aj=jy x+x aj= maxfjy xj;jx ajg=r
16 CAPITOLUL 1. NUMERE P-ADICE
DeciB
x;r
2
S(a;r). Prin urmare, S(a;r) este deschis a deoarece
S(a;r) =[
x2S(a;r)B
x;r
2
iv) Fiec2KnB(a;r), arbitrar. Determin am s > 0 astfel ca B(c;s)\B(a;r) = . Fie
s=r
2,r0=jc aj>rsix2B(c;s), arbitrar.
Cumjx cj<r
2<r 0, au loc inegalit at ile:
jx aj=jx c+c aj= maxfjx cj;jc ajg= maxfjx cj;r0g=r0>r
Decix62B(a;r). A sadarB(c;s)KnB(a;r), deciKnB(a;r) deschis a, ceea ce trebuia
ar atat.
v) Rezult a din faptul c a B[a;r] =B(a;r)[S(a;r).
vi) Demonstr am a rmat ia, de exemplu, pentru bilele deschise. Consider am x2B(a;r1)\
B(b;r2)6= . Conform punctului i) avem B(a;r1) =B(x;r1) siB(b;r2) =B(x;r2), de unde
obt inem cerint a.
De nit ia 19. Fie(K;j j)un corp nearhimedian. O submult ime SKse nume ste
clopen dac a este at^ at ^ nchis a, c^ at si deschis a.
Observat ia 26. Conform teoremei precedente, ^ ntr-un spat iu nearhimedian bilele si sferele
sunt clopen. ^In particular, observ am c a
B(a;r) =B(a;r) (1.22)
De nit ia 20. Fie(X; )un spat iu topologic. O mult ime SXse nume ste disconex a
dac a exist a dou a submult imi nevide A;BXcu propriet at ile
A[B=SsiA\B=A\B= (1.23)
^In caz contrar, mult imea se nume ste conex a .
De continuat !!
Capitolul 2
Distribut ii si m asuri p-adice
^In acest capitol vom urma [25].
2.1 M asuri si distribut ii p-adice
De nit ia 21. Se nume ste mult ime part ial ordonat a direct a o mult ime I ^ mpreun a cu
o relat ie " 6" cu urm atoarele propriet at i:
1)a6a;8a2I; (re
exivitate)
2) Dac aa6b sib6a, atunci a=b,8a;b2I; (antisimetrie)
3) Dac aa6b sib6c, atuncia6c,8a;b;c2I(tranzitivitate)
4) Pentru orice a;b2I, exist ac2Icu proprietatea c a a;b6c,8a;b2I.
De nit ia 22. Fie I o mult ime part ial ordonat a direct a , (Xi)i2Io familie de mult imi si o
familie de mor sme fij:Xj!Xi;;j2I; i6jcu urm atoarele propriet at i:
1)fii= 1Xi;
2)fik=fijo fjk;8i6j6k.
Perechea ((Xi)i2I;(fij)i6j2I)se nume ste sistem proiectiv ( sau sistem invers).
De nit ia 23. Limita invers a a unui sistem proiectiv este urm atoarea submult ime a pro-
dusului directQ
i2IXi:
X= lim
Xi=fa= (ai)i2Ijai=fij(aj);8i6j2Ig (2.1)
17
18 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
Funct iilei:X!Xi,i(a) =ai;8i2I, se numesc proiect ii canonice si veri c a egalitatea
i=fijo j;8i6j.
Observat ia 27. Perechea (X;(i)i2I)este universal a ,adic a pentru orice alt a pereche (Y;( i)i2I)
cu i:Y!Xi si i=fij j;8i6j, exist a o unic a funct ie u:Y!Xpentru care
urm atoarea diagram a este comutativ a:
Y
X
Xi Xj i ju
ij
fij
De nit ia 24. Fie(Xn;'n)n1sistem proiectiv cu proprietatea c a, pentru n1,Xnsunt
mult imi nite si 'n:Xn+1 !Xn, sunt funct ii surjective.
Not amX= lim Xn(limita proiectiv a ) si cu n:X !X nproiect ia canonic a. Un
elementx2X este un sir x= (xn)n1astfel ^ nc^ at xn2Xn si'n(xn+1) =xn;8n1. O
bil a ^ nXeste o mult ime de forma 1
n(x); x2Xn. Se poate demonstra c a bilele de nesc
o topologie ^ nX si c aXeste un spat iu compact. De asemenea, aceast a topologie poate
de nit a si cu ajutorul unei metrici: consider am ( "n)n1un sir descresc ator c atre zero,
arbitrar, si pentru orice dou a elemente x;y2X de nim distant a astfel:
d(x;y) =8
<
:minfn2Njxn6=yng;dac ax6=y
0;dac ax=y(2.2)
Aceasta este o distant a ultrametric a , adic ad(x;y)maxfd(x;z);d(z;y)g, pentru orice
x;y;z2X.
De nit ia 25. Fie A un grup abelian (aditiv). Se nume ste distribut ie peXun sir de funct ii
= (n)n1,n:Xn !Acare veri c a relat ia de compatibilitate:
n(x) =X
y2' 1
n(x)n+1(y);8n1;8x2Xn: (2.3)
2.1.MASURI S I DISTRIBUT II P-ADICE 19
Fie
(X) mult imea deschi silor compact i din X. Not amB=B(x) = 1
n(x):Orice
D2
(X) se poate scrie ca o reuniune nit a de bile D=mS
i=1Bi. De asemenea, pentru
B= 1
n(x) not am(B) =n(x). Extindem peXprin aditivitate:
(D) =nX
i=1(Bi): (2.4)
Observat ia 28. este nit aditiv a , adic a pentru orice Di2
(X);i=1;n, disjuncte dou a
c^ ate dou a , dac a D=nS
i=1Di, atunci
(D) =nX
i=1(Di): (2.5)
Observat ia 29. Invers, presupun^ and c a am de nit :
(X) !A, nit aditiv a si not^ and
n(x) =(B), atunci= (n)n1reprezint a o distribut ie pe X.
De nit ia 26. Norma luise de ne ste astfel: jjjj= supfj(D)j;D2
(X)g si, dac a
jjjj<1spunem c a este o m asur a pe X.
Observat ia 30. M asura prezentat a aici nu este neap arat -aditiv a ca la teoria m asurii. ^In
acest sens avem urm atorul rezultat (vezi [24]):
Teorema 10. Orice m asur a -aditiv a pe Zpeste o combinat ie liniar a de m asuri Dirac, adic a
exist a (xn)n1Zp si(an)n12Qpcuan!0astfel ^ nc^ at
=1X
n=1anxn: (2.6)
Propozit ia 4. Fie K un subcorp complet al lui Cp si A un K-spat iu vectorial. Mult imea
distribut iilor peXse noteaz a cuD(X;A) si are o structur a canonic a de K-spat iu vectorial
cu operat iile:
(1+2)(D) =1(D) +2(D);8D2X
(a)(D) =a(D);8a2K;8D2X:(2.7)
Propozit ia 5. Dac a A este complet, atunci mult imea m asurilor pe Xse noteaz a cuM(X;A)
si are o structur a canonic a de spat iu Banach ^ n raport cu norma unei m asuri.
20 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
Exemple:
1)Distribut ia Haar .
Un spat iu ultrametric Xse nume ste echilibrat dac a pentru orice "0>"> 0, orice bil a
de raz a"0se descompune ^ n acela si num ar de bile de raz a ". Not amhn=card(Xn)2N.^In
aceste condit ii, funct iile:
n:Xn !K; n(x) =1
hn; x2Xn; (2.8)
determin a o distribut ie pe X, numit a distribut ia Haar. Aceasta este m asur a dac a si numai
dac a exist a s2Nastfel ^ nc^ at ps6jhn;8n>1.^In acest caz, cum (X) = 1, vom spune c a X
este un spat iu ultrametric p-marginit si vom nota acest spat iu cu p.b.d. (de lap-bounded
distribution).
2)Distribut ia Dirac (centrat a ^ n x).
Pentrux2X siB2
(X) de nim
x(B) =8
<
:1;x2B
0;x62B:(2.9)
FieX=Zp= lim Z
pnZ. Pentrua2Zpsin2Zavem
B
a;p n
=
x2Zpjjx ajp61
pn
=a+pnZp=a+ (pn):
O astfel de mult ime o vom numi interval al luiZp.
Exemple pe Zp:
3)Distribut ia Haar .
Haar
B[a;p n]
=1
pn; n2N: (2.10)
4)Distribut ia Mazur .
Mazur
B
a;p n
=a
pn 1
2; n2N: (2.11)
(unde putem presupune c a aeste num ar natural, a2f1;2:::;pn 1g).
Observat ia 31. Pentru (a;p) = 1 sin>1avemjMazur (B[a;p n])jp= a
pn 1
2
p=pn!
1. De asemeneakHaar(B[a;p n])k=pn!1 , deci ^ np-adic, distribut iile Haar si Mazur
nu sunt m asuri.
2.1.MASURI S I DISTRIBUT II P-ADICE 21
5)Distributia Bernoulli de ordin k :
B;k
B
a;p n
=pN(k 1)Bka
pn
; n2Z; (2.12)
iarBk(X) este polinomul Bernoulli de gradk, de nit prin relat ia:
teXt
et 1=1X
k=0Bk(X)tk
k!; (2.13)
unde a este num ar natural, a2f1;2:::;pn 1g.
Observat ia 32. B0(X) = 1 siB1(X) =X 1
2, deciB;0=Haar siB;1=Mazur , ceea
ce arat a c a, ^ n general, distribut ia Bernoulli nu este o m asur a. Pentru a o transforma ^ n
m asur a, se poate regulariza.
6)Distribut ia Bernoulli regularizat a
k; (D)=B;k(D) kB;k( D); (2.14)
unde 2Znf1ge xat,p6j ,D=a+pnZp;a2Zp sin2N, este o m asur a.
Observat ia 33. Aceste m asuri sunt folosite pentru a de ni funct ii Zeta. ^In contextul p-adic,
1; are un rol similar cu dxdin analiza real a.
7)Distribut ia lui K oblitz ([11]). Fie dun ^ ntreg pozitiv care este prim cu p. De nim
X= lim Z
dpnZ. Bilele luiXsunt de forma a+dpnZpunde 0a<dpn sin0. Fiez2Cp
astfel ^ c^ atzdpn6= 1 pentru orice n. De nind
z(a+dpnZp) =za
1 zdpn; (2.15)
obt inem o distribut ie zpe mult imi compacte si deschise ale lui X, care este m asur a dac a si
numai dac ajz 1j1.
8)Distribut ia Haar peste orbita unui element din Cp
Fie unQpKCpun corp complet si G=Gal(Qp=Qp) =Galcont(Cp=Qp) grupul
Galois absolut. Not am GK=f2Gj(x) =x;8x2Kg.
De nit ia 27. Orbita unui element T2Cp^ n raport cu GKeste:
OK(T) =f(T)j2GKg (2.16)
22 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
Not^ and cu N(T;K;" ) num arul bilelor de raz a "care acoper a orbita, se arat a u sor c a
pentru"0< "avemN(T;K;" )jN(T;K;"0). Consider am funct ia "K:OK(T)!R,"K(x) =
jT xj, care este, ^ n mod evident, continu a. Dac a T este algebric peste K, atunci orbita sa
este nit a, deci imaginea lui "Keste o mult ime nit a de numere pozitive. ^In schimb, dac a T
este transcendent, atunci imaginea lui "keste un sir ( "n;K)n1descresc ator c atre 0. Not^ and
I(T;K;"n+1;K) =N(T;K;"n;K), constat am c a acesta reprezint a num arul bilelor ^ nchise de
raz a"n+1;K(T) care acoper a orbita. Fie Xn;Kmult imea bilelor deschise de raz a "n;kcare
acoper aOK(T) si n;K:Xn+1;K!Xn;Kfunct ia care asociaz a oric arei bile B2Xn+1;K
unica bil a dinXn;K^ n care este cont inut a. Atunci ( Xn;K; n;K)n1este sistem proiectiv si
eXK= lim Xn;K. Se constat a u sor c a XKse poate identi ca cu OK(T). Deci, pentru
oriceT2Cp,OK(T) este un spat iu compact, echilbrat si ultrametric pe care putem de ni
distribut ia Haar:
T;K(B(a;")) =8
><
>:1
N(T;K;" );dac aB(a;")\OK(T)6=
0;altfel(2.17)
Aceasta devine m asur a dac a T este un element p-m arginit (vezi 30).
De nit ia 28. Odistribut ie peXesteLipschitz dac a
lim
"!0"supj(B(a;"))j= 0; (2.18)
unde " sup" este considerat dup a toate bilele B(a;") =B(a;")\X.
De nit ia 29. ([2]) Un elementx2Cpse nume ste Lipschitz dac a si numai dac a
lim
n!1"
jN(x;")j= 0; (2.19)
undeN(x;")este num arul de bile deschise de raz a "care acoper a orbita lui x.
Observat ia 34. Fiexun element Lipschitz din Cp. Distribut ia Haar x, care este de nit a
prinx(B) =1
N(x;")pntru orice bil a deschis a si compact a Ba lui
(O(x))de raz a" >0,
este Lipschitz.
De nit ia 30. ([2]) Un element x2Cpse nume ste p-m arginit dac a exist a un s2Nastfel
^ nc^ atpss a nu divid a num arul N(x;"), pentru orice ">0.^In acest caz xeste o m asur a.
2.1.MASURI S I DISTRIBUT II P-ADICE 23
Observat ia 35. ^In [2] este introdus conceptul de extindere algebric a p-m arginit a a lui Qp.
Mai exact, o extindere algebric a La luiQpse nume ste p-m arginit a dac a exist a un num ar
naturalsastfel ^ nc^ at pss a nu divid a [K:Qp]pentru orice extindere nit a Ka luiQpcu
KL. Aleg^ andx2Cpastfel ^ nc^ at x2eL, undeLeste o extindere algebric a p-m arginit a a
luiQp, obt inem ]Qp[x]eL si, pentru orice ">0,FixH (x;")L si[FixH (x;") :Qp]<1.
Este evident c a xestep-m arginit.
O submult imeXa luiCpse nume ste echivarianta ^ n raport cu grupul Galois p-adic
absolutGsauG-echivariant a , dac a(x)2X pentru orice x2X si orice2G. Orbita
O(x) este un astfel de exemplu. Ca ^ n [2], o funct ie Krasner-analitic a (vezi cap. 3) de nit a pe
o mult imeG-echivariant aXa luiCpse nume ste echivariant a dac a f((x)) =(f(x)) pentru
x2X si orice2G. Pentru o submult ime G-echivariant aXa luiCp, eAG(P)nX;Cp)
mult imea funct iilor Krasner-analitic a pe PnXcu valori ^ n Cp, siAG
0(PnX;Cp) submult imea
sa care cont ine acele funct ii care se anuleaz a la 1.
De nit ia 31. ([1], [3]) FieXo submult ime compact a si G-equivariant a a lui Cp sio
distribut ie peXcu valori ^ n Cp. Spunem c a esteG-echivariant a , sau echivariant a ^ n
raport cu grupul Galois absolut G, dac a((B)) =((B)), pentru orice bil a B^ nX si
orice2G.
Observat ia 36. Distribut ia Haar xeste unica distribut ie de probabilitate G-echivariant a
peO(x)cu valori ^ n Qp.
De nit ia 32. FieXo submult ime compact a a lui Cp. Spunem c aXeste o mult ime
fundamental a dac afjx yj:x;y2X; x6=ygeste un sirf"ngn1care descre ste strict
c atre 0. Acest sir se nume ste sirul fundamental asociat luiX.
Observat ia 37. De fapt, orice mult ime fundamental a din Cpeste o mult ime compact a si
total disconex a, adic a este limita inversa a unui sir de spat ii discrete, nite.
Example simple .Zp siZ
psunt mult imi fundamentale. S irul fundamental asociat
luiZp(respectiv Z
p) este de formafjpjn 1gn1. Un alt examplu interesant de mult ime
fundamental a este O(x), orbita lui x2Cp. Deoarece O(x) este total disconex si compact,
24 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
imaginea funct iei distant a dx:O(x)!R+,dx(y) :=jy xj,y2O(x), este o mult ime de
formaf"1;"2;:::;"n;:::; 0gcu"1>" 2>>"n>>0 si limn!1"n= 0. ^In acest caz,
sirulf"ngn1este sirul fundamental asociat orbitei O(x).
Not amB(a;") =B(a;")\O(X).
De nit ia 33. FieXo mult ime fundamental a a lui Cp sif"ngn1 sirul fundamental asociat
luiX. Odistribut ie Lipschitzde nit a peXcu valori ^ n Cpse nume ste Lipschitz-tare
dac a veri c a urm atoarea condit ie: exist a N()2Nastfel ^ nc^ at
f"nmax
x2Xj(B(x;"n))jgnN()
este strict decreasc ator c atre 0.
Cazul distribut iilor Lipschitz-tari va prezentat ^ n urm atoarea sect iune. Mai multe
detalii se gasesc ^ n [6].
2.2 Asupra distribut iilor Lipschitz-tari
^In cele ce urmeaz a prezent am c^ ateva exemple de distribut ii Lipschitz-tari si o modalitate de
a construi unele distribut ii noi.
Exemplul 1 . FieXo mult ime fundamental a a lui Cpastfel ^ nc^ at sirul fundamental
f"ngn1asociat luiXsatisface urm atoarea proprietate: exist a 0 << 1 astfel^ nc^ at"n+1
"n
pentru orice n1. Orice m asur a de nit a pe Xcu valori ^ n Cpeste Lipschitz-tare.
^Intr-adev ar, deoarece este o m asur a sirul fmax
x2Xj(B(x;"n))jgn1este cresc ator si
m arginit superior, deci este convergent. Avem
"n+1
"n<1 = lim
n!1max
x2Xj(B(x;"n))j
max
x2Xj(B(x;"n+1))j: (2.20)
Din (2.20) exist a N()2Nastfel ^ nc^ at
"n+1
"n<max
x2Xj(B(x;"n))j
max
x2Xj(B(x;"n+1))j
pentru orice nN(), decieste Lipschitz-tare.
2.2.ASUPRA DISTRIBUT IILOR LIPSCHITZ-TARI 25
Examplul 2 . FieLQpo extindere normal a a lui Qpastfel ^ nc^ at mult imea indicilor
de rami care eK=Qpeste uniform m arginit a peste toate subextinderile nite Kale luiL. Fie
x2~Lun element arbitrar si o m asur a pe O(x). Atuncieste o distribut ie Lipschitz-tare.
^Intr-adev ar, exist a e2Nastfel ^ nc^ at v(x x) este de formaa
ecua2Zpentru orice
2G. S irul fundamental asociat lui O(x) este de forma "n=
1
pan=e
, undefangn1este
un sir strict cresc ator de ^ ntregi astfel ^ nc^ at lim
n!1an=1. Demonstrat ie se face ^ n aceea si
manier a ca ^ n exemplu anterior.
Exemplul 3 . FieXo mult ime fundamental a a lui Cp sif"ngn1 sirul fundamental
asociat luiX. Consider am LQpo extindere normal a a lui Qpastfel ^ nc^ at mult imea
indicilor de rami care eK=Qpeste uniform m arginit a peste toate subextinderile nite Kale
luiL. Atunci orice m asur a pe Xcu valori ^ n Leste Lipschitz-tare. ^Intr-adev ar, sirul
fmax
x2Xj(B(x;"n))jgn1este cresc ator si are forma jpjn=eundeneste un sir descresc ator
si m arginit de numere ^ ntregi rat ionale si eeste marginea superioar a a mult imii indicilor
de rami care eK=QpundeQpKLcu [K:Qp]<1. Pentrunsu cient de mare
acest sir devine stat ionar, deci este Lipschitz-tare. Un caz particular este urm atorul: orice
m asur a de nit a pe o mult ime fundamental a a lui Cpcu val ori ^ n Qpeste Lipschitz-tare. ^In
cazulX=O(x) un exemplu interesant este distribut ia Haar xcux2eL, undeLeste o
extindere algebric a p-m arginit a a lui Qpca ^ n observat ia 35. ^In acest caz, sirul de numere
pozitivejx(B(x;"n))jeste constant pentru nsu cient de mare si de aici rezult a c a xeste
o distribut ie Lipschitz-tare.
Exemplul 4 . M asura lui Mazur este Lipschitz-tare. Pe de o parte, momentele lui
dau funct ia zeta p-adic ap, care a fost de nit a pentru prima dat a de Kubota si Leopold
([16]). Pe de alt a parte, m asura Bernoulli p-adic a a lui Mazur este folosit a de Koblitz
pentru a de ni o versiune regularizat a a funt iei p-adice log gamma a lui Diamond, care are
proprietatea c a prima derivat a este Krasner-analitic a pe PnZ
p, undeP=P1(Cp) =Cp[1.
Exemplul 5 . Distribut ia lui Koblitz. Fie dun^ ntreg pozitiv care este prim cu p. De nim
X= lim Z
dpnZ, care poate privit a ca dcopii ale lui Zp. Bilele luiXsunt de forma a+dpnZp
unde 0a<dpn sin0. Fiez2Cpastfel ^ c^ atzdpn6= 1 pentru orice n. De nind
z(a+dpnZp) =za
1 zdpn;
26 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
obt inem o distribut ie zpe mult imi compacte si deschise ale lui X, care este m asur a dac a si
numai dac ajz 1j1. Aceste distribut ii zsunt aproape la fel de importante ca m asura
clasic a a lui Haardx
xpeR. Aleg^ and zcomplementul discului unitate din jurul lui 1, se
observ a c a zeste Lipschitz-tare. ^In particular, c^ and z=este o r ad acin a de ordin ra
unit at ii,6= 1 sireste prim cu pd, obt inm c a este Lipschitz-tare. ^In cazuld= 1,
convolut ia lui logcueste funct ia log gamma p-adic a a lui Dimond ^ ntoars a. ^In plus,
transformata Cauchy obt inut a prin integrarea ^ n raport cu este prima derivat a a funct iei
log gamma p-adice a a lui Dimond ^ ntoarse si este Krasner-analitic a pe PnZp. De asemenea,
:=P
r=1;6=1este Lipschitz-tare si este m asura lui Mazur cu \regularizare"1
rcare este
folosit a pentru de nirea Lp(s; ) care este L-funct iap-adic a ^ ntoars a prin caracterul de
conductord.
Urm atorul rezultat ne ofer a posibilitatea de a construi clase de \distribut ii nem arginite"
care sunt Lipschitz-tari. ^In primul r^ and c aut am o distribut ie nem argint a :Zp!Cp.
Not am
(a+pnZp) = (a)
n;0a<pn: (2.21)
Din relat ia de compatibilitate (a+pnZp) =p 1P
b=0(a+bpn+pn+1Zp),n0, obt inem
(a)
n=p 1X
b=0 (a+bpn)
n+1: (2.22)
Pentru a construi avem nevoie de urm atorul rezultat.
Lema 3. Fie 2Cpnf0g, sit2pQ,t >1. Atunci exist a 1; 2;:::; p2Cpastfel ^ nc^ at
=pP
i=1 i simax
i=1;pj ij=tj j.
Demonstrat ie. Consider am 1un element arbitrar al lui Cp, astfel ^ nc^ atj 1j=tj j. Atunci,
alegem 2= 1 si toate celelalte i-uri egale cu 0. Demonstrat ia lemei este nalizat a.
S a aplic am Lema 3 pentru a determina . Consider am (0)
0= 1. Prin induct ie, aplic^ and
lema 3 pentru n0, = (a)
n si 1< t 0< p, xat, g asim 1; 2;:::; p2Cpastfel ^ nc^ at
=pP
i=1 i si max
i=1;pj ij=t0j j. Not am
(a+(i 1)pn)
n+1 = i;pentru orice 1ip:
2.2.ASUPRA DISTRIBUT IILOR LIPSCHITZ-TARI 27
Pe de o parte avem max
0a<pnj(a+pnZp)j= max
0a<pnj (a)
nj= (t0)n! 1 decieste
nem arginit a.
Pe de alt a parte, pentru orice n0, sirulxn=p nmax
0a<pnj(a+pnZp)j= (t0
p)n!0
deci sirulfxngn0este strict descresc ator c atre 0, ceea ce ^ nseamn a c a este o distribut ie
Lipschitz-tare nem arginit a. Avem urm atorul rezultat.
Propozit ia 6. PeZpexist a distribut ii Lipschitz-tari nem arginite.
Propozit ia 7. FieKo extindere algebric a in nit a normal a a lui Qp. Exist a un element
genericxal lui ~K(i.e. ~K=]Qp[x], vezi [4]) asfel ^ nc^ at dstribut ia Haar xeste Lipschitz-tare.
Proof. Idea demonstrat iei este s a determin am pentru orice n1 un element primitiv n
dinKnastfel ^ nc^ at:
i) S irul fundamental asociat lui n+1este obt inut din sirul fundamental asociat lui n.
ii)Kn=Qp( n),j n+1 nj< !( n) := minfj( n) nj:2G; ( n)6= ng, iar
sirulfj n+1 njgn1este strict descrsc ator c atre 0.
Limita sirului nveri c a ipotezele propozit iei.
FieKLo extindere Galois de grad prim q, intermediar a ^ ntre Qp siQp. Consider am
L=K( ), unde este un element primitiv al lui Lde ordinq. Not amG=GalfL=Kg=<
g >, cuord(g) =q si!( ) = minfj j:2G; 6= g. AtunciH( ;!( )) :=
f2G :j j< !( )geste un subgrup al lui Gcare este diferit de G. CumjGj=q,
care este prim, avem H( ;!( )) =feg, undeeeste elemntul neutru al lui G.^In particular,
consider^ and extinderea QpK1=Qp( ), unde [K1:Qp] =q1, si"1=!( 1) avem
H( 1;"1) =f2GK:j 1 1j< " 1g=H1=Gal(K=K 1) si 1(B( 1;"1)) =1
q1. Dac a
^ nlocuimGKcuG(grupul Galois absolut), rezultatul r am^ ane valabil deoarece extinderea
QpKeste normal a. Urm atorii termeni (dac a exist a !) ai sirului fundamental associat i cu
1sunt de forma "i=j 1 i 1j< " 1, undei2G.^In acest caz avem H( 1;"i) =H1 si
1(B( 1;"i)) =1
q1. Evident, sirulf"jj 1(B( 1;"j))jgeste strict descresc ator.
Descriem acum pasul de induct ie. Avem QpQp( n) =Kn. Fie"1> " 2>>
"sn>0 sieul fundamental asociat lui ncare veri c a inegalit at ile "1j n(B( n;"1))j>>
"snj n(B( n;"sn))j. Alegem n+12Kn+1astfel ^ nc^ atj n+1 nj< "j, pentru orice 1
jsn. Obt inem c a B( n+1;"j) =B( n;"j) si n+12B( n;"j), pentru orice 2Gcare
28 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
^ l xeaz a pe n si pentru orice 1 jsn. De aici, n+1(B( n+1;"j)) = n(B( n;"j)),
pentru orice 1jsn. De asemenea, avem j n+1 n+1jj n+1 nj, pentru orice
care il xeaz a pe n. Alegem un element primitiv n+12Kn+1astfel ^ nc^ atj n+1 nj
s a e \su cient de mic", unde n!1 . Consider am "sn+1= maxfj n+1 n+1j:2
Gal(Kn+1=Qp)g. Rezult a c a
n+1(B( n+1;"sn+1)) =1
q1q2qn+1:
Totodat a pentru "sn+l,l= 1;2;:::p^ an a la"sn+1, de formaj n+1 n+1jpentru un anumit
2Hn+1, avem
n+1(B( n+1;"sn+l)) =1
q1q2qn+1:
Bine^ nt eles c a putem alege la ecare pas j n+1 njsu cient de mic pentru ca
"sn+1j n+1(B( n+1;"sn+1))j<"snj n+1(B( n+1;"sn))j;
"n!0 si"snj n(B( n;"sn))j!0 ^ a ndn!1 .
Acum, ex= limn!1 n2~K. Pe de o parte, avem jx nj<!( n), pentru orice n1.
C^ andx=x, cu2G, avem n= n si de aici obt inem Kn=Qp( n)^Qp(x) =]Qp[x],
pentru orice n1. Evident, ~K]Qp[x], ceea ce ^ nseamn a c a ~K=]Qp[x]. Pe de alt a
parte, pentru orice 2Gavemjx xj=j n njpentruns cient de mare. De
aici, sirul fundamental asociat lui xprovine din sirul fundamental asociat lui n,n1.
Fie"lun element al sirul fundamental asociat lui x si enastfel ca"l="sn+j, undej
este ales astfel ^ nc^ at sn< sn+jsn+1. Deoarece B(x;"l) =B( n+1;"sn+j) obt inem
x(B(x;"l)) = n+1(B( n+1;"sn+j)) si de aici
jx(B(x;"l))j=1
jq1q2qn+1j: (2.23)
Din construct ia anterioar a si (2.23) rezult a c a "ljx(B(x;"l))jeste strict descresc ator c atre
0, ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
2.3 Integrala Riemann ^ n raport cu distribut iile
De nit ia 34. FieX= lim Xn. Dac aB= 1
n(x)este o bil a ^ nXspunem c a xeste
centrul lui B si scriem B=B(x). O partit ie a luiXeste o mult ime nit a de bile disjuncte
2.3.INTEGRALA RIEMANN ^IN RAPORT CU DISTRIBUT IILE 29
=fB1;B2;:::;BngcunS
i=1Bi=X. Un sistem de puncte intermediare este o funct ie :
S
n>1Xn!X cu proprietatea c a pentru orice x2Xnavem(x)2 1
n(x). Pentru simplitate,
vom nota(xi) =i siBi=B(xi).
De nit ia 35. Fie A un K-spat iu vectorial complet ^ n raport cu o norm a nearhimedian a
2D(X;K),o partit ie a luiX,un sistem de puncte intermediare si f:X !A.
Suma Riemann asociat a lui f, ; sieste:
S(f;;;) =nX
i=1(Bi)f(i) (2.24)
De nit ia 36. Fie("n)n1un sir strict descrec ator av^ and limita 0. Am de nit anterior
distant a care d a topologia pe X. PentruB=B(x)not amjjBjj="ndac ax2Xn.Norma
unei partit ii estejjjj= sup
i=1;nkBik.
De nit ia 37. Spunem c a o funct ie f:X!Aeste integrabil a ^ n raport cu o distribut ie
dac a exist a I2Acu proprietatea c a pentru orice " >0, exist a">0astfel ^ nc^ at pentru
orice partit ie cujjjj<" si orice sistem de puncte intermediare s a avem
jS(f;;;) Ij<": (2.25)
^In cazul ^ n care exist a, I se nume ste integrala lui f ^ n raport cu si se noteaz a cu
Z
Xfd: (2.26)
Propozit ia 8. Fief:X!A si2D(X;K). Sunt echivalente a rmat iile:
i) f e integrabil a ^ n raport cu ;
ii) Exist aI2Aastfel ^ nc^ at pentru orice sistem de puncte intermediare s a avem
lim
n!1S(f;n;;) =I; (2.27)
unde neste partit ia luiXdeterminat a defB(x)jx2Xng.
Propozit ia 9. Dac af;g:X!Asunt integrabile si c2K, atunci f+g si cf sunt integrabile
siZ
X(f+g)d=Z
Xfd+Z
Xgd
Z
Xcfd =cZ
Xfd:(2.28)
30 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
Demonstrat ie. Din propozit ia 8 avem c a lim
n!1S(f;n;;) =R
Xfd si lim
n!1S(g;n;;) =
R
Xgd. Observ am c a S(f+g;n;;) =S(f;n;;) +S(g;n;;), de unde, prin trecere
la limit a, obt inem prima relat ie. Analog se demonstreaz a si cea de-a doua.
Propozit ia 10. Dac aeste o m asur a pe X, atunci
1) Pentru orice funct ie integrabil a, atunci are loc inegalitatea:
Z
Xfd 6kfkkk; (2.29)
undejjfjjeste norma supremum;
2) Dac afn:X !A; n1, sunt funct ii integrabile si fnu !f(i.e.kfn fk! 0),
atunci exist a
lim
n!1Z
Xfnd=Z
Xfd; (2.30)
3) Orice funct ie continu a f:X!Aeste integrabil a ^ n raport cu .
Demonstrat ie. 1) Pentru orice n1 avemjS(f;n;;)jjjfjjjjjj, de unde, prin trecere
la limit a obt inem rezultatul dorit.
2) Pentru">0, arbitrar, exist a, n"2Nastfel ^ nc^ atjjfn fjj<"pentru orice nn".
Observ am c a pentru nn" sim1 avem
jS(fn;m;;) S(f;m;;)j6max
i=1;mkfn(i) f(i)kkk<"kk:
Obt inem pentru orice nn" sip1
jS(fn+p;m;;) S(fn;m;;)j=
=j(S(fn+p;m;;) S(f;m;;)) (S(fn;m;;) S(f;m;;))j6
6maxfjS(fn+p;m;;) S(f;m;;)j;jS(fn;m;;) S(f;m;;)jg6"kk:
Trec^ and la limit a dup a m!1 , deducem c a
Z
Xfn+pd Z
Xfnd 6"kk; nn"; p1;
2.3.INTEGRALA RIEMANN ^IN RAPORT CU DISTRIBUT IILE 31
deci sirulR
Xfnd
)n1este Cauchy. ^In particular, este convergent si e I= lim
n!1R
Xfnd.
Pentrumsu cient de mare, constat am c a are loc inegalitatea
jS(f;m;;) Ij6"kk
de unde, prin trecere la limit a dup a m!1 , rezult a c aR
Xfd=I, ceea ce trebuia demon-
strat.
3) Fie" >0. Este su cient s a demonstr am c a exist a ">0 cu proprietatea c a pentru
orice diviune cu jjjj<" si orice sisteme de puncte intermediare 1;2s a avem
jS(f;;1;) S(f;;2;)j<":
Cumfeste continu a, rezult a c a este uniform continu a pe orice compact (^ n particular pe
bile), adic a pentru " > 0, exist a > 0 astfel ^ nc^ atjf(x1) f(x2)j< "jjjjpentru orice
x1;x22B(a;),a2X arbitrar. Observ am c a pentru astfel ales si orice diviziune cu
jjjj<avem
jS(f;;1;) S(f;;2;)j6";
ceea ce arat a c a feste integrabil a ^ n raport cu .
Propozit ia 11. Fieo m asur a peX.
1) Dac a (fn)n1este un sir de funct ii integrabile cu jjfnjj!0, atunci funct ia f=1P
n=1fn
este integrabil a siZ
Xfd=1X
n=1Z
Xfnd; (2.31)
2) Aplicat ia g!R
Xgd este o funct ional a liniar a continu a ^ ntre C(X;A) si A, av^ and
normajjjj.
Demonstrat ie. 1) Not^ and hn=nP
i=1fn, avemhnu !f. Din teorema anterioar a rezult a c a f
este integrabil a si
Z
Xfd= lim
n!1Z
XnX
i=1fid= lim
n!1nX
i=1Z
Xfid=1X
n=1Z
Xfnd
2) Consider^ and ':C(X;A)!A;'(g) =R
Xgd, constat am c a aceasta are propriet at ile:
'(g1+g2) ='(g1) +'(g2);8g1;g22C(X;A)
32 CAPITOLUL 2. DISTRIBUT II S I M ASURI P-ADICE
'(cg) =c'(g);8g2C(X;A);c2A
k'(g)k6kkkgk;8g2C(X;A)
Teorema 11 (Riesz, [24]) .Aplicat iaf!efreprezint a un isomor sm de spat ii Banach ^ ntre
mult imea funct iilor continue C(X;A) si dualul topologic M(X;A).
Observat ia 38. Orice m asur a peXeste o distribut ie Lipschitz si orice funct ie Lipschitz pe
Xeste integrabil a Riemann ^ n raport cu orice distribut ie Lipschitz.(vezi [25], pag. 40).
Capitolul 3
Funct ii Krasner-analitice
^In primele dou a sect iuni urm am calea din [23].
3.1 Funct ii rat ionale
De nit ia 38. Fie K un corp algebric ^ nchis. Se nume ste funct ie rat ional a pe K dac a
se poate scrie ca raportul a dou a funct i polinomiale cu coe cient ii ^ n K. Mult imea tuturor
funct iilor rat ionale se noteaz a cu K(x).
De nit ia 39. Fief=g
h2K(x)o funct ie rat ional a si a2K. Spunem c a este polal lui
fdac ah(a) = 0 . De asemenea, a se nume ste pol de ordinul m> 0dac a exist a h12K[X]
astfel ^ nc^ at h1(a)6= 0 sih(x) = (x a)mh1(x).
De nit ia 40. Fief=g
h2K(x)o funct ie rat ional a si a2K. Spunem c a f este regulat a
^ n punctul a dac a h(a)6= 0.
Propozit ia 12. Fief=g
h2K(x)o funct ie rat ional a si a2Kun pol al s au de ordinul m.
Exist a un unic polinom notat Pa si numit partea principal a a lui a , cu propriet at ile:
1)grad(Pa) =m;
2)Pa(0) = 0;
3)f Pa 1
x a
este regulat a ^ n a.
33
34 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
Propozit ia 13. Fief=g
h2K(x), i; i=1;n, polii lui f si Pi; i=1;n, p art ile lor
principale. Exist a si este unic un polinom notat P12K[X]astfel ^ nc^ at s a avem scrierea:
f=nX
i=1Pi1
x i
+P1 (3.1)
Propozit ia 14. Fief2Cp(x)av^ and polii i; i=1;n. Atunci f poate admite trei tipuri de
descompuneri ^ n serie Laurent:
1)1P
n= manxn;dac a 0<jxjp<minfj ijp; i6= 0g; m> 0;
2)1P
n= 1anxn;dac a maxn
j ijp;j ijp6ro
<jxjp<minn
j ijp;j ijp>ro
;
3)mP
n= 1anxn;dac ajxjp>maxfj ijpg; m> 0.
Propozit ia 15. Fief=1P
n= 1anxn; an2Cpo serie Laurent convergent a pentru jxj2
(r
f;r+
f), under+
f, respectiv1
r
fsunt razele de convergent a ale seriilor f+=P
n>0anxn, respectiv
f =P
n<0anxn.Modulul de cre stere al lui f este
Mrf= sup
x2S(0;r)jf(x)jp= sup
n2Zjanjprn:
Dac a un singur monom de forma janjprn^ i domin a pe ceilalt i spunem c a r este raz a regu-
lat a.^In caz contrar, spunem c a r este raza critic a .
Lema 4. Fief=g
h2Cp(x). Pentrur >0de nimgMrf=Mrg
Mrh. aplicat ia r!gMrfeste
bine de nit a si continu a. Pentru orice raz a regulat a r>0avemjf(x)jp=Mrf;8x2S(0;r).
^In orice regiune ^ n care f admite o dezvoltare ^ n serie Laurent, gMrfcoincide cu modulul de
cre stere de nit anterior.
3.2 Elemente analitice
De nit ia 41. Diametrul unei mult imi DCpeste(D) = sup
x;y2Djx yjp= sup
x2Djx ajp,
undea2Deste arbitrar.
De nit ia 42. FieDCp si=(D). BilaBD=B[a;]se nume ste bila ^ nf a sur atoare
a lui D,a2D.
3.2. ELEMENTE ANALITICE 35
Observat ia 39. Prin convent ie, dac a =1, atunciBD=Cp.
De nit ia 43. O bil a deschis a maximal a Bi=B(ai;ri)dinBDnDse nume ste gaur a ^ n
mult imea D. Prin urmare, avem reprezentarea D=BDnS
iBi.
De nit ia 44. O mult ime DCpse nume ste infraconexa dac a(D)>0 si pentru orice
a2Dmult imeafjx ajpjx2Dgeste dens a ^ n [0;].
Notat ii .
R(D) =n
f=g
h g;h2Cp[x]; hnu are zerouri pe Do
Rb(D) =ff2R(D)jfe m arginit a pe Dg
R0(D) =
f2R(D)jlim
jxjp!1f(x) = 0
A(D) =ff:D !Cpjfe analitic ag
Cb(D) =ff:D !Cpjfe continu a si m arginit a g(3.2)
De nit ia 45. FieDCpo mult ime ^ nchis a. O funct ie f:D!Cpse nume ste Krasner
analitic a (sau element analitic ) dac a exist a un sir de funct ii rat ionale (fn)R(D)
astfel ^ nc^ at
fnu !f: (3.3)
Not am cu H(D) mult imea funct iilor Kraner analitice si cu Hb(D)mult imea funct iilor Kranser
analitice m arginite de nite pe mult imea D.
Observat ia 40. R(D)siH(D)suntCp- spat ii vectoriale, iar H(D)este o completare uni-
forma a lui R(D). Elementele din R(D)pot nem arginite peste D, deciR(D)nu este
neap arat spat iu metric ^ n raport cu norma supremum.
Propozit ia 16. Dac aDCpeste o mult ime ^ nchis a si m arginit a, atunci orice funct ie
f2R(D)este m arginit a pe D, iarH(D)este ^ nchiderea lui R(D)^ n raport cu norma
supremum ^ n algebra Banach Cb(D).
Corolar . DacaDCpeste o mult ime ^ nchis a si m arginit a si f;g2H(D), atunci
fg2H(D).
36 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
De nit ia 46. Fief:D!Cpo funct ie arbitrar a. Not am
kfkD= sup
x2Djf(x)jp (3.4)
De nit ia 47. Dac af(x) =1P
n=0an(a)(x a)npentrujx aj<rfeste o funct ie rat ional a
regulat a ^ n a, atunci not am
Mr;a(f) = sup
n>0jan(a)jrn; r<rf
Observat ia 41. Mr;a=Mr;bdac a si numai dac a B(r;a) =B(r;b).
Generaliz am propozit ia anterioar a pentru mult imi infraconexe:
Propozit ia 17. FieDCpo mult ime ^ nchis a, m arginit a si infraconex a. Presupunem c a
02BD si ed(0;D)6r6(D). Atunci, pentru orice f2R(D)avem
Mrf6kfkD (3.5)
Dac aD\S(0;r)6= , atunci
Mrf6kfkS(0;r)\D6kfkD (3.6)
Corolar . FieDCpo mult ime ^ nchis a, m arginit a si infraconex a , c2BD sir2Jc=
fjx cj;x2Dg. Atunci, aplicat ia f!Mr;cfeste o contract ie, mai exact, pentru orice
f;g2R(D) avem
jMr;cf Mr;cgj6Mr;c(f g)6kf gkD (3.7)
deci admite o prelungire prin continuitate pe H(D).
De nit ia 48. Modulul de cre stere pe H(D)este aplicat ia obt inut a prin prelungire prin con-
tinuitate din la corolarul anterior.
Notat ie . FieMp=B(0;1) siAp=B[0;1] dinCp.
Teorema 12. H(Ap) =Cpfxg(algebra Tate), av^ and egalitatea kfk= sup
jxj61jf(x)j= sup
n2Njanj.
3.3.INTEGRALA SHNIRELMAN 37
De nit ia 49. Pe un domeniu nem arginit D, se poate ar ata c a:
R(D) =R0(D)Cp|{z}
Rb(D)xCp[x]
H(D) =Hb(D)xCp[x](3.8)
Teorema 13. (Mittag-Leer)
FieDCpo mult ime ^ nchis a m arginit a si infraconex a si (Bi)i2Ifamilia sa de g auri. Atunci
exist a urm atoarea descompunere ca sum a direct a de spat ii Banach
H(D) !H(BD)b
i2IH0
BC
i
; (3.9)
adic a orice f2H(D)se scrie ^ n mod unic
f=f0+X
i2Ifi;undekfkD= max
kf0k;supkfik
i
; (3.10)
undef02H(BD); fi2H0
BC
i
si
kfik=kfikBC
i=kfikD !
i!10:
Teorema 14. ([26]) FieXo submult ime a lui Cp, f ar a puncte izolate, r>s > 0 si
P(t;Z);Q(t;Z)2Lipr(X;Cp)[Z]dou a polinoame cu proprietatea c a Q(t;Z) =nQ
i=1(Z
gi(t))ki, undeki>1; i=1;n. Atunci, pentru orice distribut ie 2Ds(X;Cp), funct ia
z!Z
XR(t;z)d(t) (3.11)
undeR(t;z) =P(t;z)
Q(t;z)este Krasner analitic a pe P1(Cp)n[n
i=1gi(X).
3.3 Integrala Shnirelman
Aici urm am calea din [15].
Un analog p-adic al integralei curbilinii a fost introdus de Shnirelman^ n 1938. Aceasta are
aplicat ii ^ n demonstrarea unor analoage p-adice pentru teoreme clasice de analiz a complex a:
formula de reprezentare a lui Cauchy, teorema reziduurilor, principiul maximului modulului
etc. De asemenea, aceast a integral a are aplicat ii ^ n teoria numerelor transcendente.
38 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
De nit ia 50. Fief:S(a;r)!Cp si 2Cp,j jp=r. Integrala Shnirelman este de nit a
de urm atoarea limit a (dac a exist a):
Z
a; f(x)dxdef=0
lim
n!11
nX
n=1f(a+ ) (3.12)
unde apostroful semni c a faptul c a limita este doar dup a valorile lui n pentru care p6jn.
Observat ia 42. Sub^ nt elegem faptul c a r>0; r2pQ.
^In continuare prezent am o serie de teoreme, printre ele reg asindu-se si analoagele p-adice
ale teoremelor de analiz a complex a ment ionate mai sus.
Teorema 15. 1) Daca integrala Shnirelman exist a, atunci
Z
a; f(x)dx 6max
x2Sa(r)jf(x)jp; (3.13)
2) Dac a funct ile f;fn:S(a;r)!Cp;n2N, sunt integrabile Schnirelman si fnu !fatunci:
lim
n!1Z
a; fn(x)dx=Z
a; f(x)dx; (3.14)
3) Dac af(x) =1P
n= 1cn(x a)npe coroana r16jx ajp6r2(dezvoltare ^ n serie Laurent
convergent a), atunci exist aZ
a; f(x)dx=c0: (3.15)
^In particular, se observ a c a integrala nu depinde de r=j jp;r1rr2.^In general avem
Z
a; f(x)(x a) kdx=ck: (3.16)
Demonstrat ie. 1) 1
nP
n=1f(a+ ) = 1
n P
n=1f(a+ ) 6max
n=1jf(a+ )j
2) Cumfnu !f, avem c a pentru orice " >0, exist an"2Nastfel ^ nc atjfn(x) f(x)j< "
pentru orice nn". Fie">0. Consider^ and sumele asociate integralei Shnirelman, Sm(fn)
siSm(f), avem pentru orice n>n"
jSm(fn) Sm(f)j= 1
mX
m=1[fn(a+ ) f(a+ )] =
3.3.INTEGRALA SHNIRELMAN 39
= 1
m X
m=1[fn(a+ ) f(a+ )] 6max
m=1jfn(a+ ) f(a+ )j<":
Trec^ and la limit a dup a m!1 , obt inem c a R
a; fn(x)dx R
a; f(x)dx 6";nn", ceea ce
arat a c a lim
n!1R
a; fn(x)dx=R
a; f(x)dx.
3) Ar at am mai ^ nt ai c a pentru k6= 0 exist aR
a; ck(x a)kdx= 0. Suma asociat a acestei
integrale este Sn=1
nP
n=1ck(a+ a)k=1
nck kP
n=1k= 0 pentru n>jkj.
Acum, t in^ and cont de punctul 2) avem
Z
a; f(x)dx=Z
a; 1X
k= 1ck(x a)kdx=1X
k= 1Z
a; ck(x a)kdx=c0:
Teorema 16. Pentruz2CpnS(a;r), xat, sim> 0avem
Z
a; (x z) mdx=8
<
:0;dacajz ajp<r
(a z) m;dacajz ajp>r(3.17)
Demonstrat ie. Pentrujz aj<r, avem dezvoltarea ^ n serie de puteri :
(x z) m=1
(x a)x a
x zm
="
1
(x a)1
1 z a
x a#m
="
1
(x a)X
n>0z a
x an#m
=
="X
n>0(z a)n
(x a)n+1#m
=X
n>man
(x a)n; an2Cp
Analog, pentrujz aj>r, avem
(x z) m=1
(a z)m"X
n>0(x a)n
(z a)n#m
=X
n>0bn(x a)n
undebn2Cp; b0= (a z) m. Prin urmare, aplic^ and teorema 15, obt inem ceea ce trebuie
demonstrat.
Teorema 17. 1) Pentruf:B[a;r]!Cp sif(x) =P
n>0cn(x a)n, cu proprietatea de
convergent a rnjcnjp!0, de nimkfkr= max
n2Nrnjcnjp. Atunci maximul lui fse atinge pe
S(a;r) si
max
x2B(a;r)jf(x)jp= max
x2S(a;r)jf(x)jp=kfkr: (3.18)
40 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
2) Orice funct ie Krasner analitic a f:B(a;r)!Cp(i.e.feste limit a uniform a de
funct ii rat ionale cu poli ^ n CpnB(a;r)) este dat a de o serie de puteri (adic a este analitic a
^ n sensul obi snuit).
Demonstrat ie. 1) F ar a a restr^ ange generalitatea, putem presupune c a a= 0,r= 1 si
max
njcnj= 1.
Avem
jf(x)j= X
n>0cnxn 6max
njcnj= 1;8x2B(0;1):
Fief(x) =Pckxkpolinomul redus modulo M(idealul maximal al lui Cp).
Evident, niciun element x2B(0;1) av^ and reducerea modulo Mnenul a nu poate
r ad acin a a lui f. Prin urmare, pentru un astfel de xavemjf(x)j= 1.
2) P astr am convent ia a= 0 sir= 1. Folosind punctul 1), se demonstreaz a u sor c a dac a
fnu !f, si ecare funct ie fneste reprezentat a printr-o serie de puteri pe B(a;r), atunci,f
se reprezint a la r^ andul s au ca o serie de puteri (convergent a pe coe cient i). Prin urmare, e
su cient s a consider am cazul c^ and feste o funct ie rat ional a cu poli ^ n B(a;r)C. Mai mult,
putem considera pentru b2Cpdezvoltarea
(x b) m= ( b) mX
k>00
@k+m 1
m 11
Axk
bk
Teorema 18. (formula lui Cauchy de reprezentare p-adic a)
Dac afeste Krasner analitic a pe B(a;r),j jp=r siz2CpnS(a;r), xat, atunci:
Z
a; f(x)(x a)
x zdx=8
<
:f(z);dac ajz ajp<r
0;dac ajz ajp>r(3.19)
^In particular, integrala nu depinde de a, saurpentrujz ajp<rsaujz ajp>r.
^In general, pentru m0avem
Z
a; f(x)(x a)
(x z)m+1dx=8
><
>:1
m!f(m)(z);dac ajz ajp<r
0;dac ajz ajp>r(3.20)
3.3.INTEGRALA SHNIRELMAN 41
Demonstrat ie. T in^ and cont de liniaritate si continuitate, putem considera doar cazul f(x) =
(x a)m.
Avem dezvolt arile
1
(x z)m+1=8
>>>>>><
>>>>>>:X
k>m+10
@k 1
m1
A(z a)k m 1(x a) k;dac ajz ajp<r
( 1)m+1X
k>00
@k+m
m1
A(z a) k m 1(x a)k;dac ajz ajp>r
Integr^ and si t in^ and cont de teorema 15, obt inem rezultatul c autat.
Teorema 19. (teorema p-adic a a reziduurilor)
Fief(x) =g(x)
h(x), undeg(x)este Krasner analitic a pe B(a;r)(din teorema 17, g(x)se dezvolt a
^ n serie de puteri) si h(x)este polinom. Consider am xir ad acinile lui hdinB(a;r) si
presupunem c ajxi ajp< r pentru orice i. De nim reziduul lui f^ nxi, pe care ^ l not am
resxif, ca ind coe cientul lui (x xi) 1din dezvoltarea ^ n serie Laurent a lui f^ n jurul lui
xi. Atunci:Z
a; f(x)(x a)dx=X
iresxif (3.21)
Demonstrat ie. T in^ and cont de descompunerea ^ n fract ii simple, este su cient s a consider am
cazulh(x) = (x xi)m+1. Se aplic a teorema anterioar a pentru g(x) sixi.
Teorema 20. (principiul maximului modulului)
Fiefo funct ie Krasner analitic a pe Cpn[Di, undeDi=B(ai;r). Presupunem c a f(x) !
jxjp!1
0. Atuncijf(x)jp^ si atinge maximul pe frontier a mai exact, dac a jf(x)jpMpentru orice
xcujx aijp=r, atuncijf(x)jpMpentru orice Cpn[Di.
Demonstrat ie. Este su cient s a consider am cazul c^ and feste o funct ie rat ional a cu polii
bj2[Di. Consider am z2Cpcu proprietatea c a jz aijp>rpentru orice i. De asemenea,
eR> 0, su cient de mare, astfel ^ nc^ at DiB(0;R) =B(z;R), oricare ar i.
Prin urmarejf(x)jMpentrujxjp=R. Fie 12Cp;j 1jp=R. Din teorema 15 obt inem:
Z
a; 1f(x)dx 6M:
42 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
Pe de alt a parte, aplic am teorema reziduurilor
Z
a; 1f(x)dx=X
resf(x)
x z=f(z) +X
jresbjf(x)
x z:
Fie 2Cp;j jp=r. Din teorema 19 obt inem pentru orice i:
X
bj2Diresbjf(x)
x z=Z
ai; f(x)x ai
x zdx:
Cumjx zjp<jx aijppentrujx aijp=r, din teorema 15 obt inem pentru ecare i:
X
bj2Diresbjf(x)
x z
p6max
jx aij=rjf(x)jp6M:
Notat ii
XCpeste un compact(de exemplu Zp)
B(X;r) =fB(a;r)ja2Xg ,B[X;r] =fB[a;r]ja2Xg
PentruACp,AC=CpnA
Pentruz2XC,dist(z;X) = minfjz xj;x2Xg
Pentru 2H0
XC
de nimk kr= max
x2D(X;r)j (z)jp
O topologie pe H0
XC
e dat a de baza de vecin at at i ale lui 0: U(r;") =f ;k kr<"g
H(X;r) =ff:B(X;r)!Cpjfeste Krasner analitic a pe orice B( ai;r)B(X;r)g
L(X) =S
r>0H(X;r) (mult imea funct iilor local analitice pe X)
L(X) = spat iul dual
este o m asura pe X
O topologie pe L(X) este dat a de V(r;") =f;kkr<"g
(f) =R
Xfdo vom nota uneori cu ( (x);f(x))
Exemplul 1 . Cum ((z+j)(ln(z+j) 1))00
z=1
z+j, rezult a c a
G00
p(z) = lim
n!1p nX
06j<pn1
z+j2H0
ZC
p
(3.22)
3.3.INTEGRALA SHNIRELMAN 43
(Gpse nume ste funct ia log gamma a lui Diamond).
Exemplul 2 . Pentru2B(1;1), derivata funct iei twisted log gamma Gp;este Krasner
analitic a:
G0
p;(z) = Z
Zpd(x)
x+z= lim
n!1X
06j<pn1
z+jj
1 pn2H0
ZC
p
: (3.23)
Exemplul 3 . Dac ae o m asur a pe Zp sif(x)2H0
ZC
p
se veri c a u sor urm atoarea
a rmat ie (stabilitate la convolut ie)
g(x) =Z
Zpf(x z)d(x)2H0
ZC
p
: (3.24)
Exemplul 4 . Fieo m asur a peX. Funct ia
:f !Z
Xfddef=lim
jX
ifj(Uij)(Uij) (3.25)
(undefjsunt funct ii-scar a , constante pe Uij) este bine de nit a pe mult imea funct iilor con-
tinueC(X). Prin urmare este corect de nit a si pe L(X).
Teorema 21. 2L(X)provine dintr-o m asur a pe Xdac a si numai dac a kkre m arginit a
c^ andr!0.
Demonstrat ie. T in^ and cont de discut ia de la exemplul 4, se arat a u sor c a pentru orice m asur a
avem
lim
r!0kkr= max
Uj(U)j<1:
Reciproc, pentru 2L(X), avem
kkr6M
pentru orice r>0.
De nim o funct ie pe care o not am tot astfel:
(U) =(1U):
Se veri c a u sor c a are proprit at ile cerute.
44 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
De nit ia 51. Pentru2L(X)de nim transformata Stieltjes
S:XC!Cp; z!(fz) = ((x);fz(x)); (3.26)
undex2X; fz:Xnx!Cp; fz(x) =1
z x:
Observat ia 43. Dac aprovine dintr-o m asur a pe X, atunci
S(z) =Z
Xd(x)
z x: (3.27)
Observat ia 44. Pentru 2H0
XC
de nume ste transformata Vishik funct ionala pe
L(X)
f!X
iZ
ai; (x)f(x)(x ai)dx; f2H(X;r): (3.28)
Teorema 22. Transformata Vishik este independent a de alegerea centrelor ai si a lui , cu
r=j jp, si este compatibil a cu incluziunea
H(X;r2)H(X;r1); r1<r 2 (3.29)
Demonstrat ie. Pentruf xat, membrul drept depinde continuu de ( ^ n raport cu norma).
F ar a a restr^ ange generalitatea, putem considera doar cazul ^ n care fe funct ie rat ional a cu
poli ^ nX. Aplic am teorema reziduurilor si demostrat ia se ^ ncheie.
Teorema 23. (Vishik, [27])
V si S sunt inverse topologic una alteia ^ ntre H0
XC
siL(X). Prin acest izomor sm,
subspat iulM(X)L(X)al m asurilor peXeste ^ n corespundent a biunivoc a cu mult imea
2H0
XC
jrk kre marginit pentru r !0
: (3.30)
Demonstrat ie. Prezent am descriptiv etapele demostrat iei:
P1.S2H0
XC
siSeste continu a.
P2. Pentru 2H0
XC
, funct ionala V e continu a , duc^ and H0
XC
^ nL(X).
P3. Funct ia V:H0
XC
!L(X) e continu a.
P4.VS=Id.
3.3.INTEGRALA SHNIRELMAN 45
P5.SV=Id.
P6. Dac a2L(X) si =S, atuncikkr=rk kr.
P7.S(M(X)) =
2H0
XC rk kre marginit
Prezent am ^ n continuare o completare la teorema 23( vezi [27]).
Fieun automor sm continuu al lui Cp. Avem un isomor m canonic, notat la fel:
:L(X)!L(X):
undeX=(X).
Acesta act ioneaz a asupra unei funct ii f2L(X) ^ n felul urm ator:
f(u) =
f(u 1)
:
undeu 1= 1(u).
De asemenea, de nim izomor smul dual:
:L(X)!L(X):
Prin urmare, pentru orice 2L(X) sif2L(X) avem egalitatea
(;f) = (;f):
Este evident c a act ioneaz a ^ n mod natural ^ ntre H0(XC) siH0(XC), adic a pentru orice
'2H0(XC) avem:
'(z) ='
z 1
:
Urm atoarea diagram a este comutativ a.
L(X) !L(X)
S# # S
H0(XC) !H0(XC)
Dac aCeste copletarea unui corp algebric ^ nchis, complet si discret de caracteristic a zero
cu c^ atul de caracteristic a p>0 spunem c a un anumit obiect (funct ie, distribut ie, etc.) este
46 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
de nit a pe Kdac a nu este modi cat a de automor smele continue ale lui C=K . Aceast a
terminologie este natural a, t in^ and cont de teorema lui Tate. Argumentele prezentate mai
sus arat a c a izomor smele transport a distribut iile cu suport compact X K^ n funct iile
analitice din H0(XC) si reciproc.
3.4 Forma Galois echivariant a a teoremei lui Vishik
^In aceasta sectiune vom expune prezentarea din articolul [28]. Fie X Cpun compact
G-echivariant si L(X) =S
n>0Br, unde
Br=ff:B(X;r)!Cp;Krasner analitic a pe B(ai;r)B(X;r);8ig:
G=Galcont(Cp=Qp) act ioneaz a pe L(X) astfel
GL(X)!L(X)
( ;f)! f
unde ( f) (x)def= f( 1(x)). Din de nit ia integralei Schnirelman (dac a limita exist a )
0
@Z
a; f(x)dx1
A=0
lim
n!11
nX
n=1 f( 1( a+ )) =
=0
lim
n!11
nX
n=1 f( a+ )) =
=Z
a; ( f)(x)dx
adic a obt inem urm atoarea
Propozit ia 18. Dac a f este integrabila Schnirelman si 2G, atunci
0
@Z
a; f(x)dx1
A=Z
a; ( f)(x)dx (3.31)
Fie acumHG
0(X)H0(X) subspat iul funct iilor analitice G-echivariante (i.e. care satisfac
condit ia (x)) = ( x); 2H0(X). FieL
G(X)L(X) subspat iul funct ionalelor 2
L(X) care satisfac egalitatea ((f)) =( f);8 2G;8f2L(X) (i.e. subspat iul
funct ionalelor G-echivariante).
3.4. FORMA GALOIS ECHIVARIANT A A TEOREMEI LUI VISHIK 47
Teorema 24. Exist a izomor smul de spat ii topologice HG
0(X)'L
G(X).
Demonstrat ie. Ca^ n demonstrat ia teoremei lui Vishik, avem V:H0(X)!L(X) izomor sm
topologic de nit astfel:
(V )(f) =X
iZ
ai; (x)f(x)(x ai)dx (3.32)
Fie acum 2G si 2HG
0(XC). Avem din propozit ia 18
(V (f)) =X
iZ
ai; ( Fi)(x)dx; (3.33)
undeFi(x) = (x)f(x)(x ai) si, prin urmare,
( Fi)(x) = Fi( 1)(x) = [ ( 1x)f( 1x)( 1x ai)] =
= (x) f( 1(x))(x ai)
= (x)( f)(x)(x ai):
A sadar,
(V (f)) =X
iZ
ai; (x)( f)(x)(x ai)dx; (3.34)
T in^ amd cont de de nit ia transformatei Vishik si de lema 8,pag. 138, Koblitz [14],obt inem
(V (f)) =V ( f) (3.35)
adic aV este G-echivariant a si teorema este demonstrat a via demonstrat ia teoremei lui
Vishik.
Observat ia 45. Inversa transformatei Vishik este transformata Stieltjes S:L(X)!
H0(XC) si prin restrict ie actioneaz a S:L
G(X)!HG
0(XC).Dac aeste o m asur a G-
echivariant a peX(compact G-echivariant), f2L(X), iar =S
iB((xi);")este o partit ie
a luiX, atunci sumei Riemann
S(f;;;) =X
2"f((xi))(B((xi);")) (3.36)
48 CAPITOLUL 3. FUNCT II KRASNER-ANALITICE
^ i aplic am 2G si obt inem
S(f;;;) =X
2" f( 1 (xi))(B( (xi);"))
=X
2" ( f)( (xi))(B( (xi);"))(3.37)
de unde rezult a c a
Z
Xfd=Z
X( f)d (3.38)
deci, dac a funct ionala pe L
G(X) provine dintr-o m asur a peXG-echivariant a, atunci
pentrufz=1
z xobt inem c a ( fz)(x) =f z(x), prin urmare
S(z) =S( z); inG (3.39)
Aplicat ii :
1)X=O(T), orbita unui element transcendent;
2)X=Zp.
Capitolul 4
Asupra unor clase speciale de funct ii
Krasner analitice
^In acest capitol vom prezenta o clas a special a de funct ii Krasner analitice cu aplicat ii la
rezultate de transcendent a. Pentru mai multe detalii, vezi [5] si [6].
4.1 Urma unui element
^In aceast a sect iune de nim urma unui element si studiem existent a acesteia. Pentru mai
multe detalii, vezi [2].
1. Orice element 2Qpestep-m arginit, deci distribut ia este m asur a. Mai mult,
pentru orice funct ie f:O( )!Cpavem:
Z
O( )fd =1
deg( )X
f(( )): (4.1)
De nit ia 52. Fie 2Qp.Urma lui este:
Tr( ) =1
deg( )trQp( )=Qp=Z
O( )xd (4.2)
Mai general, urma unui element pentru T2Cp(dac a exist a !)
Tr(T) =Z
O(T)xdT (4.3)
49
50CAPITOLUL 4. ASUPRA UNOR CLASE SPECIALE DE FUNCT II KRASNER ANALITICE
Teorema 25. (vezi [2]) Fie T2Cpun element Lipschitz. Atunci orice funct ie Lipschitz
f:O(T)!Cpeste integrabil a ^ n raport cu T.
Observat ia 46. Din teorema 25 orice element Lipschitz are urm a.
De nit ia 53. Spunem c a un sir ( n)nde elemente din Qpare proprietatea (*) dac a :
j n+1 nj
inffjdnj;jdn+1jg!0
Observat ia 47. Un sir cu proprietatea (*) este convergent ^ n Cp.
De nit ia 54. Spunem c a un element T2Cpare proprietatea (*) (sau c a este un (*) –
element) dac a este limita unui sir cu proprietate (*).
Propozit ia 19. FieT2Cpun (*) – element si ( n)nun sir de elemente din Qpastfel
^ nc^ at lim
n!1 n=T. Atunci (Tr( n))neste un sir convergent al lui Qp si avem lim
n!1Tr( n) =
Tr(T).
Demonstrat ie. Fie">0 sin0cel mai mic num ar natural cu proprietatea c aj n+1 nj
inf(jdnj;jdn+1j)<
";8n>n0. Not am cu Mmult imea conjugat ilor algebrici ai lui n si n+1. Scriem spat iul
metricMca o reuniune de rbile disjuncte de raz a j n+1 nj. Atunci orice bil a cont ine
aconjugat i ai lui n sibconjugat i ai lui n+1. Not amdn=ra sidn+1=rb. Pentru orice
m>1 avem
Tr( n+1) Tr( n) =1
dn+1X
( n+1 1
dnX
( n) (4.4)
Fieq= [dn;dn+1] siA=q
dn, respectivB=q
dn+1. Observ am c a
Tr( n+1) Tr( n) =BP
( n+1) AP
( n)
q(4.5)
S a remarc am faptul c a B=Aa, deci pentru cele rbile considerate putem s a plas am cei
bconjugat i ai lui n+1cu multiplicit atea B ^ n corespondent a bijectiv acu conjugat ii lui n
av^ and multiplicitatea A. Prin urmare, q(Tr( n+1) Tr( n)) va egal cu o sum a de termeni
de forma1( n+1) 2( n, cuj1( n+1) 2( n)j6j n+1 nj. A sadar,jq(Tr( n+1)
Tr( n))j6j n+1 nj. Cumjqj=inf(jdnj;jdn+1j), obt inem c a pentru n>n0
jq(Tr( n+1) Tr( n))j6j n+1 nj
inf(jdnj;jdn+1j)<" (4.6)
4.2.O ESTIMARE A NORMEI 51
^In consecint a, sirul ( Tr( n))n>1este Cauchy, deci este convergent ^ n Qpc atre o limit a pe
care o not am cu s(T). Fie "n=j n+1 nj sif:O(T)!Cpincluziunea canonic a ,
f(x) =x;8x2O(T). Putem presupune c a sirul ( "n)neste strict descresc ator c atre 0.
^In aceea si manier a se poate demonstra c a
j'("n;f) Tr( n+1)j6"n (4.7)
undeB(ai;"); i=1;N(T;"), acoper a orbita lui T si
(f;"n) =N(T;"n)X
i=1f(ai)T(B(ai;")) (4.8)
Prin urmare, obt inem:
Tr(T) =Z
O(T)fdT=s(T) = lim
n!1Tr( n) (4.9)
ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
4.2 O estimare a normei
FieXo mult ime fundamental a a lui Cp sio distribut ie Lipschitz-tare de nit a pe X.
Consider am transfomata Cauchy:
F(z) =Z
X1
z td(t): (4.10)
Aceast a funct ie este corect de nit a si, ^ n plus, F2H(PnX;Cp), vezi [4] si [25]. Pentru
X=O(x), cux2Cp si=xavem c aFeste funct ia urm a a lui xasociat a lui x, vezi [2]
si [21].
Pentru orice F2H(PnX;Cp) si" >0 not amjjFjjPnX(")norma supremum a lui Fpe
PnX("). Fief"ngn1 sirul fundamental asociat lui X. Pentru orice n1 eN("n) num arul
bilelor deschise de raz a "ncare acoper aX. De asemenea, e a(n)
i, 1iN("n) o alegere
convenabil a a centrelor acestor bile.
Scopul acestei sect iuni este s a calcul am jjFjjPnX("n), pentru orice nN(), undeN()
este un num ar natural care depinde doar de , sirul fundamental si distribut ia ind cele de
52CAPITOLUL 4. ASUPRA UNOR CLASE SPECIALE DE FUNCT II KRASNER ANALITICE
mai sus. Consider^ and suma Riemann
Fn(z) =N("n)X
i=11
z a(n)
i(B(a(n)
i;"n)) (4.11)
pePnX("n), din teorema Mittag-Leer rezult a c a
jjFnjjPnX("n)=1
"nmax
x2Xj(B(x;"n))j; (4.12)
pentru orice n1. Estim amjjFn+1 FnjjPnX("n)pentru orice nN(). Avem
Fn+1(z) Fn(z) =N("n+1)X
j=11
z a(n+1)
j(B(a(n+1)
j;"n+1)) N("n)X
i=11
z a(n)
i(B(a(n)
i;"n))
=N("n)X
i=1X
1jN("n+1)
a(n+1)
j2B(a(n)
i;"n)1
z a(n+1)
j 1
z a(n)
i
(B(a(n+1)
j;"n+1)):
(4.13)
Deoarecef"ngn1este sirul fundamental asociat lui X sija(n+1)
j a(n)
ij<"n, undea(n+1)
j2
B(a(n)
i;"n) 1
z a(n+1)
j 1
z a(n)
i "n+1
"2
n; (4.14)
pentru orice z2PnX("n) sinN(). Din (4.13) si (4.14) se obt ine
jjFn+1 FnjjPnX("n)"n+1
"2
nmax
x2Xj(B(x;"n+1)j<1
"nmax
x2Xj(B(x;"n))j: (4.15)
Inegalitatea strict a din (4.15) are loc deoarece este o distribut ie Lipschitz-tare. Din (4.12)
si (4.15) obt inem c a
jjFn+1jjPnX("n)=1
"nmax
x2Xj(B(x;"n))j: (4.16)
Calcul^ andjjFn+i Fn+i 1jjPnX("n)pentru orice i1, printr-un rat ionament similar cu cel de
mai sus, prin induct ie obt inem
jjFn+ijjPnX("n)=1
"nmax
x2Xj(B(x;"n))j; (4.17)
pentru orice i1. Deoarece lim i!1Fn+i(z) =F(z), pentru orice z2PnX("n) si orice
nN(), prin sumare obt inem urm atorul rezultat:
4.2.O ESTIMARE A NORMEI 53
Teorema 26. FieXo mult ime fundamental a a lui Cp sio distribut ie Lipschitz-tare
de nit a peX. Fief"ngn1 sirul fundamental asociat lui X siX("n) =fy2Cpj9t2
Xastfel ^ nc^ atjy tj<"ng"n-vecin atatea deschis a a lui X^ nCp. Atunci, exist a un num ar
naturalN(), care depinde doar de , astfel ^ nc^ at pentru orice nN(),
Z
X1
z td(t)
PnX("n)=1
"nmax
x2Xj(B(x;"n))j; (4.18)
undeB(x;"n)este bila deschis a din Xde raz a"ncentrat a ^ n x.
Observat ia 48. Fiekun num ar natural xat. ^In acelea si ipoteze ca ^ n teorema anterioar a
integr^ and1
(z t)k^ n loc de1
z t, rezultatul principal din Teorema 26 r am^ ane neschimbat, cu
except ia1
z tcare devine1
(z t)k^ n membrul st^ ang si1
"ncare devine1
"kn^ n membrul drept.
Demonstrat ia se face ^ n maniera prezentat a anterior. Un caz particular al teoremei 26 este
tratat ^ n [5].
^In sect iunea urm atoare vom vedea c a o clas a mare de funct ii, care sunt transformate
Cauchy prin integrarea ^ n raport cu distribut ii Lipschitz-tari de nite pe X, sunt transcen-
dente peste Cp(Z) si, ^ n consecint a, vom obt ine rezultate de transcendet a privind funct ia log
gammap-adic a twistat a (respectiv regularizat a ) si privind funct iile urm a. Avem nevoie de
urm atoarele rezultate:
Propozit ia 20. FieXo submult ime compact a a lui Cp sif:PnX ! Cpo funct ie cu
proprietatea c a exist a o submult ime in nit a Sa luiXastfel ^ nc^ at lim sup
z!xjf(z)j=1, pentru
oricex2S. Atuncifeste transcendent peste Cp(Z).
Demonstrat ie. Presupunem c a feste algebric a peste Cp(Z). Atunci exist a P2Cp[Z][T],
P(T) =a0Tn+a1Tn 1++an,a06= 0, astfel ^ nc^ at P(f) = 0. Fie x2S cua0(x)6= 0.
Exist a un sirfzmgm1inCpnXastfel ^ nc^ at lim
m!1zm=x si lim
m!1jf(zm)j=1. Se observ a
u sor c ajP(f(zm))j=ja0(zm)jjfn(zm)j6= 0, pentru msu cient de mare, ceea ce reprezint a
o contradict ie.
Observat ia 49. Propozit ia 20 este o versiune ra nat a a primei p art i a teoremei 6 din [20].
Lema 5. FieXo submult ime compact a a lui Cpf ar a puncte izolate si f:CpnX ! Cp
o funct ie local analitic a si algebric a peste Cp(Z). Atunci derivata sa, care este de nit a pe
CpnX, cu except ia eventual a unei mult imi discrete, este algebric a peste Cp(Z).
54CAPITOLUL 4. ASUPRA UNOR CLASE SPECIALE DE FUNCT II KRASNER ANALITICE
Demonstrat ie. FieF:=a0Yn+an 1Yn 1++a1Y+a02Cp[Z][Y] un polinom de grad
minim astfel ^ nc^ at F(f) = 0. Deriv^ and relat ia F(f) = 0 se obt ine
f0(z)P(f(z);z) +Q(f(z);z) = 0;
pentru orice z2CpnXundeP;Q2Cp[X;Y ],P6= 0. Deoarece feste local analitic a rezult a
c a mult imea A:=fz2Cp:P(f(z);z) = 0geste discret a. Cum P6= 0, avem
f0(z) = Q(f(z);z)
P(f(z);z);
pentru orice z2Cpn(X[A), decif0este algebric peste Cp(Z).
Corolar 1. FieXo submult ime compact a a lui Cpf ar a puncte izolate si f:CpnX!Cp
o funct ie local analitic a astfel ^ nc^ at f0este Krasner analitic a peste CpnX si transcendent a
pesteCp(Z). Atuncifeste transcendent a peste Cp(Z).
Lema 6. FieXo submult ime compact a a lui Cpf ar a puncte izolate si f:CpnX ! Cp
o funct ie Krasner-analitic a. Dac a exist a o bil a B( ;")CpnX astfel ^ nc^ at fjB( ;"):
B( ;")!Cps a e algebric a peste Cp(Z), atuncifeste algebric a peste Cp(Z).
Proof. FieF:=a0Yn+an 1Yn 1++a1Y+a02Cp[Z][Y] un polinom de grad minim
astfel ^ nc^ at F(f) = 0 onB( ;"). CumF(f) este Krasner-analitic a pe CpnX, din principiul
de identitate avem c a F(f) = 0 pe CpnX, ceea ce ^ ncheie demonstrat ia.
4.3 Aplicat ii la rezultate de transcendent a
^In aceast paragraf p astr am notat iile si de nit iile din paragrafele precedente. Fie Xo mult ime
fundamental a a lui Cp sio distribut ie Lipschitz-tare de nit a pe Xcu valori ^ n Cp. Fie
f"ngn1 sirul fundamental asociat lui X. Se vede u sor c a sirul fmaxx2Xj(B(x;"n))jgn1
este cresc ator, nu neap arat si m arginit. Pentru orice ^ ntreg k1, not amFk;(z) =
R
X1
(z t)kd(t). Din remarca 48 avem
jjFk;jjPnX("n)=1
"k
nmax
x2Xj(B(x;"n))j1
"k
nmax
x2Xj(B(x;"N()))j; (4.19)
4.3.APLICAT II LA REZULTATE DE TRANSCENDENT A 55
pentru orice nN(). Pentrun!1 ^ n (4.19) obt inem lim
n!1jjFk;jjPnX("n)=1. Atunci
exist a dau a siruri fzngn1inPnX sifxngn1^ nXastfel ^ nc^ at dist( zn;X) =jzn xnj!0
si lim
n!1jf(zn)j=1. DeoareceXeste secvent ial compact a exist a un sub sir fxnmgm1al lui
fxngn1care converge c atre x2X. Sub sirulfznmgm1converge c atre x si lim
m!1jf(znm)j=
1. Este evident c a xeste un punct singular al lui Fk;ca ^ n propozit ia 20. Dac a Fk;veri c a
o "ecuat ie funct ional a " si Xare numite "propriet at i" (de exmplu, subgrup compact sau
Galois echivariant si compact ^ n Cp) se constat a u sor c a Fk;are un num ar in nit de puncte
singulare ca ^ nX, deci din teorema 26 si propozit ia 20 este transcendent a peste Cp(Z).
Un exemplu speci c example pentru aceast a situat ia este funct ia urm a a unei distribut ii
Lipschitz-tari, care este Galois-echivariant a si de nit a pe orbita unui element transcendent
dinCp. Aceast a funct ie urm a este transcendent a peste Qp(Z) si , mai mult, derivatele
sale sunt linaar independente peste Qp(Z) si, ^ n particular, funct ia urm a nu poate veri ca o
ecuat ie diferent ial a peste Qp(Z), vezi [5]. ^In continuare, prezent am un alt exemplu interesant
pentru aceast a situat ie.
^In 1977, Diamond a introdua funct ia log gamma p-adic a care este analogul funct iei
gamma classicelog (x)p
2, si se de ne ste astfel:
Gp(z) = lim
n!11
pnX
0i<pn(z+i)(logp(z+i) 1); (4.20)
care are sens pentru orice z2CpnZp, vezi [10]. ^In membrul drept al ecuat iei (4.20) logp
este logaritmul Iwasawa. C^ at iva ani mai t^ arziu, Koblitz [13] introduce o variant a twistat a
a funct iei log gamma pentru a demonstra mai simplu formula lui Leopold pntru Lp(1; ),
undeLp(s; ) esteL-funct iap-adic a a caracterului , si formulele exprim^ and L0
p(0; ) si
Lp(k; ),k1, ^ n termenii funct iei log gamma p-adice. Funct ia log gamma p-adic a twistat a
se de ne ste astfel:
Gp;(z) = lim
n!11
rpnX
0i<rpni(z+i)(logp(z+i) 1); (4.21)
under= 1,reste ordinul lui care este prim cu p siz2CpnZp.^In particular Gp;1=Gp.
Funct ia log gamma p-adic a twistat a este convolut ia lui logcu(pentrud= 1,z=6= 1
56CAPITOLUL 4. ASUPRA UNOR CLASE SPECIALE DE FUNCT II KRASNER ANALITICE
^ n exemplul 5), i.e.
Gp;(z) = Z
Zplogp(z+t)d(t); z2CpnZp; (4.22)
care este local analitic a si veri c a urm atoarea ecuat ie funct ional a
Gp;(z+ 1) Gp;(z) = logpz; z2CpnZp: (4.23)
Derivata de ordinul ka luiGp;este
G(k)
p;(z) = ( 1)k(k 1)!Z
Zp1
(z+t)kd(t); (4.24)
care este Krasner-analitic a pe CpnZppentru orice k1. Din (4.19), (4.23), (4.24), teorema
26, propozit ia 20 si corolarul 1 avem c a pentru orice k0,G(k)
p;este transcendent a peste
Cp(Z). Mai mult, pentru orice k1, toate zerourile lui G(k)
p;sunt algebrice. Pentru a
demonstra acest lucru, x am k1 si ez02Cpun zerou al lui G(k)
p;. Not am"= dist(z0;Zp).
Deoarece dist( z0;Zp) =" siG(k)
p;(z0) =G(k)
p;(z0) = 0 pentru orice 2Galcont(Cp=Qp()),
utiliz^ and propozit ia 3.3.6 din [8] sau teorema 1 din [11] avem c a G(k)
p;are un num ar nit
de zerouri pe PnZp("), ceea ce ^ nseamn a c a z0este algebric peste Qp(). S a presupunem
c aGp;are un zerou transcendent z02Cp. AvemGp;(z0) =Gp;(z0) = 0 pentru orice
2Galcont(Cp=Qp()) astfel c a orbita OQp()(z0) =f(z0) :2Galcont(Cp=Qp())geste o
mult ime de zerouri ale lui Gp;. CumGp;este local analitic a trebuie s a existe un zerou local
^ n jurul oric arui punct din OQp()(z0), t in^ and cont de principiul identit at ii. De aici obt inem
c aG0
p;este zero local ^ n jurul oric arui punct OQp()(z0). Dar prima derivat a a lui Gp;este
Krasner-analitic a pe PnZp si, utiliz and din nou principiul identit at ii, obt inem c a G0
p;este
nul a ceea ce reprezint ao contradict ie. ^In concluzie, avem urm atorul rezultat:
Teorema 27. Funct ia log gamma p-adic a twistat a Gp; si toate derivatele sale sunt tran-
scendente peste Cp(Z).^In plus, toate zerourile lui Gp; si ale derivatelor sale sunt algebrice.
Acum, s a demonstr am c a derivatele lui Gp;sunt liniar independente peste Cp(Z). Pentru
simplitate, s a presupunem c a exist a P1;P2;:::;Pm2Cp[Z],Pm6= 0 astfel ^ nc^ at
G:=mX
k=1PkG(k)
p; (4.25)
4.3.APLICAT II LA REZULTATE DE TRANSCENDENT A 57
are proprietatea c a G(z) = 0, pentru orice z2PnZp. CumPmare un num ar nit de zerouri,
rezult a c a exist a o bil a B=B(a;"l),a2Zp,l1, undef"ngn1este sirul fundamental
asociat lui Zp, astfel ^ nc^ at inf
z2BjPm(z)j>0. Ca ^ n demonstrat ia teoremei 26, se vede u sor c a
jjGjjBnZp("n)= PmG(m)
p;
BnZp("n)>0; (4.26)
pentrunsu cient de mare, de unde obt inem o contradict ie. De aici rezult a u sor c a Gp; si
derivatele sale sunt liniar independente peste Cp(Z).^Intr-adev ar, s a presupunem c a exist a
P0;P1;P2;:::;Pm2Cp[Z] cuP0;Pm6= 0 astfel ca
H:=mX
k=0PkG(k)
p; (4.27)
s a veri ceH(z) = 0, pentru orice z2PnZpundeG(0)
p;=Gp;. Calcul^ and P2
0 H
P00, obt inem
o combinat ie liniar a netrivial a ca ^ n (4.25) a derivatelor lui Gp;, contradict ie. A sadar avem
urm atorul rezultat:
Teorema 28. Funct ia log gamma p-adic aGp; si derivatele sale sunt liniar independent peste
Cp(Z).^In particular, Gp;nu poate solut ia unei ecuat ii diferent iale de formamP
k=0PkG(k)
p;=
0, unde pentru orice 0kmavemPk2Cp(Z), nu toate nule, si meste un num ar
natural.
Prezent am ^ n continuare o situat ie particular a corespunz atoare funct iei urm a asociate
unui element din Cp(vezi [5]). Fie o distribut ie Lipschitz tare de nit a pe orbita unui
element transcendent x2Cp si("n)n>1 sirul fundamental asociat lui O(x). Conform de nit iei,
avemj(B(x;"n))jp>0 pentru orice n>N(). Cum
j(B(x;"n))jp=X
2Hn=Hn+1j(B(x;"n+1))jp6j(B(x;"n+1))jp (4.28)
obt inem c a sirul ( j(B(x;"n))jp)n>1 este cresc ator (nu neap arat m arginit superior).
Aplic^ and teorema 26 obt inem pentru orice n>N():
Z
O(x)1
(z t)sd(t) =j(B(x;"n))jp
"s
n>j(B(x;"N()))jp
"s
n(4.29)
58CAPITOLUL 4. ASUPRA UNOR CLASE SPECIALE DE FUNCT II KRASNER ANALITICE
Prin trecere la limit a rezult a c a
lim
n!1jjFs;jjE(x;"n)=1 (4.30)
Utilizand un argument similar cu cel din teorema 27, obt inem urmatoarea
Propozit ia 21. Fieo distribut ie Lipschitz tare de nit a pe orbita unui element transcen-
dentx2Cp. Atunci, pentru orice s2N
Fs;(z) =Z
O(x)1
(z t)sd(t)2AG
0(P1(Cp)nO(x);Cp) (4.31)
si este transcendent a peste Qp(Z).
Propozit ia 22. Fiek2N. Pentru orice numere naturale nenule s1< s 2< ::: < s k e
1;2;:::;kdistribut ii Lipschitz tari pe orbita unui element transcendent x2O(x). Atunci,
funct iile
Fsi;i(z) =Z
O(x)1
(z t)sidsi(t); i=1;k (4.32)
sunt liniar independente peste Qp(Z).^In particular, rezult a c a nicio funct ie Fs;nu poate
veri ca o ecuat ie diferent ial a de forma
mX
j=0PjFs;(j) = 0; (4.33)
undem2N siPj2Qp(Z);j=0;m, nu sunt tot i nuli.
Demonstrat ie. Pentru simplitate, not am Fi=Fsi;si; i=1;k. Consider am o combinat i
liniar a cu coe cient i ^ n Qp(Z) de forma G=kP
i=1PiFi si presupunem c a exist a kcuPk6= 0.
CumPk2Qp(Z) sixe transcendent, exist a un num ar natural n0>N() astfel ^ nc^ at
inf
z2V(x;"n0)jPk(z)jp>0. Printr-un rat ionament similar cu cel din teoremele 27 si 28, se demon-
streaz a u sor c a pentru n su cient de mare avem
jjGjjE(x;"n)\V(x;"n0)=jjPkFkjjE(x;"n)\V(x;"n0)>0 (4.34)
Prin urmare, funct iile Fi; i=1;k, sunt liniar independente peste Qp(Z), iar ultima parte a
propozit iei rezul a cu u surint a.
4.3.APLICAT II LA REZULTATE DE TRANSCENDENT A 59
Folosind o metod a similar a obt inem urm atorul rezultat
Propozit ia 23. Fie(si)i>1un sir strict cresc ator de numere ^ ntregi pozitive si si;i>1,
distribut ii Lipschitz tari de nite pe orbita unui element transcendent x2Cp. Dac a o funct ie
G:P1(Cp)nO(x)!Cppoate scris sub forma unei serii:
G(z) =1X
i=1Pi(z)Fi(z); (4.35)
care converge pe E(x;"n), unde ("n)n>1este sirul fundamental asociat orbitei O(x);Pi(z)2
Qp(z) siFi(z) =Fsi;si(z) =R
O(x)1
(z t)sidsi(t); i=1;k, atunci pentru n su cient de mare
avem
jjGjjE(x;"n)= sup
i>1jjPiFijjE(x;"n) (4.36)
si reprezentarea este unic a.
60CAPITOLUL 4. ASUPRA UNOR CLASE SPECIALE DE FUNCT II KRASNER ANALITICE
Bibliogra e
[1] V. Alexandru, N. Popescu, A. Zaharescu, On closed sub elds of Cp, J. Number Theory
68, 2(1998), 131-150.
[2] V. Alexandru, N. Popescu, A. Zaharescu, Trace on Cp, J. Number Theory 88, 1(2001),
13-48.
[3] V. Alexandru, E.L. Popescu, N. Popescu, On the continuity of the trace , Proceedings of
the Romanian Academy, Series A, vol. 5, nr. 1, 2005, 11-16.
[4] V. Alexandru, N. Popescu, M. V^ aj^ aitu and A. Zaharescu, The p-adic measure on the orbit
of an element of Cp, Rend. Sem. Mat. Univ. Padova, Vol. 118(2007), 197-216.
[5] V. Alexandru, C.C Nit u and M. V^ aj^ aitu, On the norm of the trace functions and appli-
cations , Bull. Math. Soc. Sci. Math. Roumanie Tome 56(104) No. 1, 2013, 47-54.
[6] V. Alexandru, C.C Nit u and M. V^ aj^ aitu, On the norm of Krasner analytic functions with
applications to transcendence result , JPAA, 2015.
[7] V. Alexandru, N. Popescu, M. V^ aj^ aitu and A. Zaharescu, On the zeros of Krasner analytic
functions , Algebr. Represent. Theor., Vol. 16, 3(2013), 895-904.
[8] Y. Amice, Les nombres p-adiques , Presse Univ. de France, Collection Sup. 1975.
[9] E. Artin, Algebraic Numbers and Algebraic Functions , Gordon and Breach, N.Y. 1967.
[10] J. Diamond, Thep-adic log gamma function and p-adic Euler constants , Trans. Amer.
Math. Soc. 233(1977), 321-337.
61
62 BIBLIOGRAFIE
[11] J. Fresnel, M. van der Put, Rigid Analytic Geometry and its Applications , Birkhauser,
2004.
[12] N. Koblitz, Interpretation of the p-adicloggamma function and Euler constants using
the Bernoulli measure , Trans. Amer. Math. Soc. 242(1978), 261-269.
[13] N. Koblitz, A new proof of certain formulas for p-adicL-functions , Duke Math. J. 46,
2 (1979), 455-468.
[14] Carte Koblitz
[15] Curs Koblitz Cambridge
[16] T. Kubota and H. Leopold, Einep-adische Theorie der Zetawerte. I, J. Reine Angew
Math. 214/215 (1965), 328-339.
[17] Guevea.
[18] B. Mazur, P. Swinnerton-Dyer, Arithmetic of Weil curves , Invent. Math. 25(1974),
1-61.
[19] A.M. Robert, A course in p-adic analysis , 2000 Springer-Verlag New-York, Inc.
[20] M. V^ aj^ aitu, Integral Representations and the Behavior of Krasner Analytic Functions
Around Singular Points , Algebr. Repres. Theor., Vol. 16, 6(2013), 1611-1620.
[21] M. V^ aj^ aitu, A. Zaharescu, Trace functions and Galois invariant p-adic measures , Publ.
Mat. 50(2006), 43-55.
[22] Ram Murty.
[23] Alain Robert
[24] W.H. Schikhov Ultrametric calculus. An Introduction to p-adic analysis , Cambridge
University Press, , 1984.
[25] M. V^ aj^ aitu, A. Zaharescu, Non-Archimedean Integration and Applications , The publish-
ing house of the Romanian Academy, 2007.
BIBLIOGRAFIE 63
[26] M. Vajaitu, Articol Bulletin, 2015
[27] Articol Vishik
[28] Articol Vajaitu, Nitu, On a theorem of Vishik , in progress
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: In acest capitol vom urma 17 si 22. [610794] (ID: 610794)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.