În acest capitol sunt prezentate noțiuni teoretice despre liniile importante în [621870]

Capitolul I . LINII IMPORTANTE ÎN TRIUNGHI ȘI ÎN CERC

În acest capitol sunt prezentate noțiuni teoretice despre liniile importante în
triunghi, construcția și intersecția lor, precum și proprietăți ale punctelor situate pe
acestea. În partea a doua este prezentat cercul cu elementele sale, dar și câteva teoreme
reprezentative pentru coarde și arce de cerc, de o importanță deosebită în rezolvarea
unor probleme de geometrie. La elaborarea acestui capitol s -au folosit titlurile
bibliografice [ 7], [8], [10], [13], [14], [15] și [19].

1.1 Linii importante în triunghi

1.1.1 Bisectoarea
Definiția 1.1 Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în
vârful unghiului , care împarte acest unghi în alte două unghiuri de măsuri egale.
În figura 1.1 este reprezentată cons trucția bisectoarei unghiului A, adică
semidreapta [AP.

Figura 1.1
Teorema 1.2 (Proprietatea bisectoarei) Dacă un punct se află pe bisectoarea
unui unghi , atunci el este egal depă rtat de laturile unghiului.
Demonstrație: Se consideră ∢𝐴𝑂𝐵 și punctul P situat pe bisectoarea lui. Construim
PE⊥OA, unde E ∈OA și PF⊥OB, unde F ∈OB, ca în figura 1.2 .

Figura 1.2

Deoarece ∢𝐸𝑂𝑃≡∢𝐹𝑂𝑃 și OP latură comună, putem spune că ∆𝐸𝑂𝑃≡∆𝐹𝑂𝑃
conform cazului de congruență a triunghiu rilor dreptunghice I.U , și că [𝑃𝐸]≡[𝑃𝐹],
adică P este egal depărtat de laturile unghiului.
Definiția 1.3 Bisectoarea interioară într-un triunghi dat este bisectoarea unui
unghi al triunghiului.
Teorema 1. 4 (Concurența bisectoarelor interioare) Bisectoarele unui triunghi
sunt concurente.
Demonstrație: Fie ∆𝐴𝐵𝐶 și I punctul de intersecție a bisectoarelor unghiurilor ABC și
ACB. Trebuie să arătăm [𝐴𝐼 este bisectoarea ∢𝐵𝐴𝐶. Notăm cu M, N și P picioarele
perpendicularelor duse din punctul I pe laturile [𝐵𝐶], [𝐶𝐴] și respectiv [𝐴𝐵] ale
triunghiului, ca în figura 1.3.

Figura 1.3
Conform teoremei 1.2, ținând cont că [𝐵𝐼 este bisectoare, rezultă că [𝐼𝑀]≡[𝐼𝑃],
iar din faptul că [𝐶𝐼 este bisectoare, obținem [𝐼𝑀]≡[𝐼𝑃]. Din cele două relații
deducem că [𝐼𝑁]≡[𝐼𝑃], conform teoremei 1.2 , înseamnă că [𝐴𝐼 este bisectoarea
unghiului BAC. În concluzie, bisectoarele interioare ale ∆𝐴𝐵𝐶 sunt concurente în
punctul I.
Observația 1.5 Punctul de intersecție a bisectoarelor unui triunghi se numește
centrul cercului înscris în triung hi și se notează, de obicei, cu I ,ca în figura 1.4 .

Figura 1.4

Distanța de la I la oricare dintre laturile acestui triunghi se notează cu 𝑟 și se
numește raza cercului înscris în triunghi.
Exemple :
1. Fie ABC un triunghi oarecare și BM bisectoarea unghiului B (M∈AC). Paralela
dusă prin M la BC intersectează latura AB în N (figura 1. 5).
a) Să se arate că [BN]≡[MN] .
b) Dacă [BM] ≡[MC] , să se arate că MN este bisectoarea ∢AMB.
A

N M

B C
Figura 1. 5
Demonstra ție:
a) Deoarece MN ∥BC, unghiurile NMB și CBM sunt congruente (c a unghiuri alterne
interne). Dar ∢MBC ≡∢NMB , deci ∢BMN ≡∢MBN , adică ∆BMN isoscel, deci
[BN]≡[MN] .
b) ∆MBC este isoscel , cu [BM] ≡[MC] . Dar ∢AMN ≡∢ACB (unghiuri corespondente),
∢MCB ≡∢CBM și ∢CBM ≡∢MBN, deci ∢AMN ≡∢MBN .Ținînd cont că
∢MBN ≡∢NMB, rezultă că ∢BMN ≡∢AMN, deci MN este bisectoarea ∢AMB.
2. Fie triunghiul oarecare ABC. Pe prelungirile laturii BC se construiesc
segmentele [BD]≡[AB], B∈DC și [CE]≡[CA], C∈BE. În triunghiurile isoscele ABD și
ACE ducem înălțimile BF și CG și notăm cu Y intersecția lor (figura 1.6 ).Să se arate că
AY este bisectoarea unghiului BAC. ( cf. [12])
A

F G

D B C E

Y
Figura 1. 6

Demonstrație :
În triunghiul isoscel ABD, BF fiind înălțime este și bisectoarea unghiului ABD. Deci Y
este egal depărtat de AB și DB. Analog CG este bisectoarea ∢ACE, deci Y este egal
depărtat de AC și DE. Cum Y este egal depărtat de AB și AC, înseamnă că este situat și
pe bisectoarea unghiului BAC.

1.1.2 Mediatoarea
Definiția 1.6 Mediatoarea este perpend iculara dusă pe acesta prin mijlocul lui.
Ea mai poate fi definită și ca locul geometric al punctelor (dintr -un plan ce conține
segmentul) egal depărtate de extremitățile acestui segment.
Mediatoarea laturii BC a ∆ABC este reprezentată în figura 1. 7.

Figura 1. 7
Proprietatea 1.7 Mediatoarele laturilor unui triunghi sunt concurente într -un
punct notat cu O și numit centrul cercului circumscris triunghiului . Acest lucru este
evidențiat în figura 1. 8. R este raza cercului circumscris triunghiului.

Figura 1.8
Demonstrație : Dacă O este punctul de intersecție a mediatoarelor laturilor AB și BC
ale triunghiului, din definiția mediatoarei rezultă că OA=OB=OC, ceea ce înse amnă că
O aparține mediatoarei laturii AC.Exemple:
1. În triunghiul ABC, MP este mediatoarea laturii BC, M ∈[BC], P∈ [AC]. Dacă
AB = 7cm și AC = 13cm , calculați perimetrul triunghiului ABP.

A

P

B M C
Figura 1.9
Demonstrație :
Deoarece MP este mediatoarea laturii BC a ∆ABC, rezultă că punctul P este egal
depărtat de extremitățile segmentului [BC], deci PB=PC. Perimetrul ∆ABP se
calculează cu relația P∆ABP=AB+BP+PA. Dar BP+PA=PC+PA=AC, deci
P∆ABP=AB+AC.
P∆ABP=7cm+13cm
P∆ABP=20cm.
2. Fie un triunghi dreptunghic ABC, cu m( ∢A)=90o. Notăm cu O mijlocul laturii
BC, prin care ducem o dreaptă d perpendiculară pe BC. Dreapta d intersectează laturile
AC și AB ale triunghiului în punctele M, respectiv N. Fie P punctul de intersecție a lui
BM cu CN. Dacă AM=AN, arătați că BP este mediatoarea segmentului CN.
N

d
A P

M

B O C
Figura 1.10
Demonstrație :
Deoarece AB=AN și CA ⊥BN, rezultă că CA este mediatoarea segmentului BN. Dar
NO este mediatoarea laturii BC și NO ∩CA= {M}, deci BM este mediatoarea
segmentului NC. Prin urmare, BM este și mediatoarea segmentului NC, deci BP ⊥NC.

1.1.3 Înălțimea
Defin iția 1.8 . Înălțimea unui triunghi reprezintă segmentul ce unește un vârf al
triunghiului cu piciorul perpendicularei duse din vârf pe latura opusă acestuia.

Figura 1.1 1
Cele trei înălțimi ale triunghiului se inte rsectează într -un punct notat cu H,
numit ortocentrul triunghiului .
Exemple :
1. Fie triunghiul ABC cu măsura unghiului A mai mică de 90o (figura 1. 12). Pe
latura (AC ) se ia un punct D astfel încât [BA] ≡ [BD] și pe latura (AB) se ia un punct E
astfel încât [CA] ≡ [CE]. Notăm cu M mijlocul lui [AE] și cu N mijlocul lui [AD] și fie
{P}= CM ∩ BN. Arătați că AP⊥BC.
Demonstrație :
Din datele problemei avem [BA] ≡ [BD], rezultă ∆ABD este isoscel (are două laturi
congruente și prin urmare are și unghiurile alăturate bazei tot congruente). În acest
triunghi isoscel se construiește punctul N la jumăta tea lui AD. De aici rezultă că
[AN] ≡ [ND].

Figura 1. 12

În triunghiul isoscel ABD avem segmentul BN care unește vârful B al triunghiului cu
punctul de mijloc al laturii opuse vârfului B. Rezultă că BN este mediana dusă din
vârful B al ∆ABD. Cunoaștem de la proprietățile liniilor importante ale triunghiului
isoscel că mediana dusă din vârful triunghiului isoscel (vârful din care pleacă laturile
congruente) este, totodată, înălțime, mediatoare și bisectoare deoarece triunghiurile
ABN și BND sunt congruente (cazul de congruență LUL, deoarece [BA] ≡ [BD] , din
ipoteză, ∢ BAN ≡∢BDN în triunghiul isoscel ABD și [ND] ≡ [BD] , din ipoteză). Din
congruența triunghiurilor ABN și BND rezultă că unghiurile B NA și BND sunt
congruente. Deoarece suma acestor unghiuri BNA și BND este un unghi alungit, cu
măsura de 180o, rezultă că ∢BNA =∢BND=90o. În concluzie BN⊥AD și este înălțimea
dusă din vârful B pe latura opusă în ∆ABD. De asemenea BN est e înălțime și în
triunghiul ABC, fiind perpendiculara din vârful triunghiului dusă pe latura opusă AC,
deoarece pu nctele A, D și C sunt coliniare .
În ∆ACE, avem [CA] ≡ [CE ], din datele problemei, rezultă că ∆ACE este isoscel.
Putem afirma astfel c ă unghiurile formate de bază cu laturile congruente sunt, la rândul
lor, congruente: ∢CAM = ∢CEM . Punctul M este la mijlocul bazei triunghiului ACE,
deci CM este mediană. Mediana dusă din vârful triunghiului isoscel (vârful din care
pleacă laturile congruente) are proprietatea de a fi mediatoare, înălțime și bisectoare,
deoarece triunghiul CME este congruent cu triunghiul CMA (cazul de congruență a
triunghiurilor LUL : CA și CE sunt conguente, conform ipotezei, unghiur ile CEM și
CAM sunt congruente î n triunghiul isoscel CAE și AM = ME, conform ipotezei) .
Rezultă că ș i celelalte elemente ale triunghiurilor CME și CAM sunt la rândul lor
congruente două câte două, cum sunt ∢CMA și ∢CME. Suma acestor două unghiuri
este de 180o, deci fiecare dintre ele va avea măsura de 90o. Rezultă că CM ⊥AE, sau în
triunghiul ACE, CM este înălținea dusă din vârful C pe latura opusă AE. Dar CM este
înălțime și în ∆ABC , fiind prependiculara dus ă din vârful C pe latura opusă AC
(punctele A, C și E sunt coliniare).
În ∆ABC observăm acum că BN⊥AD sau BN⊥AC (deoar ece A, D și C sunt
coliniare). BN este o înălțime în triunghi , deci CM ⊥AE sau CM⊥AB (deoarece A, B și
E sunt coliniare). CM este astfel cea de -a doua înălțime a triunghiului . Punctul de
intersecție al înălțimilor unui triunghi este un punct unic. Ace st punct se numește
ortocentru. {P}= CM ∩ BN , P aparține segmentului AR, rezultă că AP este to t înălțime,
deci AP⊥BC.

2. Fie triunghiul isoscel ABC (AB=AC) și AD înălțimea dusă din A pe BC . Ducem
DE⊥AC (E∈AC) și notăm cu F mijlocul lui DE. Să se arate că AF este perpendiculară
pe BE. A

Figura 1.13
Demonstrație :
Ducem FG || DC, G∈EC (figura 1.13 ). FG este linie mijlocie în ∆EDC. Deoarece
AD⊥BC, rezultă că AD⊥FG. Dar G este mijlocul lui EC și D mijlocul lui BC, rezultă că
DG este linie mijlocie în triunghiul CBE, deci DG || BE.
În ∆ADG avem FG și DE înălțimi (unde F este ortocentrul ∆ADG), deci AF este
înălțime în ∆ADG, adică AF⊥DG, deci AF ⊥BE.

1.1.4 Mediana
Definiția 1. 9. Mediana într-un triunghi reprezintă segmentul care unește un
vârf al triunghiului cu mijlocul laturii opuse acelui vârf.

Figura 1. 14
Medianele unui triunghi sunt concurente în punctul G. Acest punct se numește
centrul de greutate al triunghiului și este situat, pe fiecare mediană, la o treime de

bază și două treimi de vârf.
Pentru ∆𝐴𝐵𝐶 , cu medianele [AM,[BN și [CP, avem:
GM=1
3AM și GA=2
3AM⇒GM
GA=1
2
GN=1
3BN și GB=2
3BN⇒GN
GB=1
2
GP=1
3CP și GC=2
3CP⇒GP
GC=1
2
Proprietate a 1.10: Mediana împarte triunghiul în două triunghiuri echivalente,
adică de arii egale.

Figura 1. 15
După cum se observă în figura 1. 15, mediana [𝐴𝑀 corespunzătoare laturii BC
împarte ∆ABC în două triunghiuri: ∆ABM și ∆ACM . A∆ABM=BM∙AQ
2, A∆ACM=MC∙AQ
2,
AQ=ha și [BM]≡[MC], se observă astfel că A∆ABM=A∆ACM, deci cele două
triunghiuri sunt echivalente.
Exemple:
1. În triunghiul ABC medianele AE, BF și CD sunt concurente în G.
a) Aflați AE știind că GE=7cm.
b) Calculați A∆ABC știind că A∆BCD=105cm2.
A

D F
G

B C
E
Figura 1. 16
ha
Q

Demonstrație :
a) AE, BF și CD sunt medianele ∆ABC, deci G este centrul de greutate al
triunghiului. Prin urmare AG=2 ∙GE, adică AG=2 ∙7cm. Rezultă că AG=14cm.
b) CD este o mediană a ∆ABC, deci putem spune că A∆BCD=1
2A∆ABC, de unde
rezultă că A∆ABC=2∙A∆BCD. Dar A∆BCD=105cm2, deci A∆ABC=2∙105cm2=210cm2.
2. Fie I punctul de intersecție al diagonalelor trapezului ABCD , E și F mijloacele
bazelor [AB ] și [CD] ale trapezului, iar G și H mijloacele diagonalelor [AC] și [BD]. Se
iau punctele I′și I′′ simetrice le punctului I în raport cu G, respectiv cu H. Să se arate că
dreptele EF, H I′ și GI′′ sunt concurente și 2 ∙GK =KI′′, unde K este punctul de
inters ecție al dreptelor G I′′și HI′.

Figura 1. 17
Demonstrație :
Cum I′ este simetricul lui I față de G, iar I′′ este simetricul lui I față de H , rezultă
IG=GI′ și HI=HI′′. Prin urmare, G I′′și HI′ sunt mediane în ∆II′I′′. Deci EF, H I′ și GI′′
sunt concurente, iar 2·GK = K I′′.

1.2 Linii importante în cerc

Definiția 1.1 1 Mulțimea punctelor egal depărtate de un punct fix se numește
cerc.
Cercul se notează C(O,r) , unde O este centrul cercului , iar r este raza. Deci
segmentul ce unește centrul cercului cu orice punct de pe cerc se numește rază .
Segmentul ce unește două puncte distincte siuate pe cerc se numește coardă.
Coarda care trece prin centrul cercului se numește diametru . În figura 1.18 segmentul
[𝑀𝑁] este coardă, iar segmentul [𝑃𝑄] este diametru.

P M

N
Q
Figura 1.18
Diametrul cercului se notează cu D și este egal cu dublul razei : 𝐷=2∙𝑟
Teorema 1. 12 Într-un cerc sau în cercuri con gruente, coardelor congruente le
corespund arc e de cerc congruente .

Figura 1. 19
Demonstrație:
[𝐴𝐵]≡[𝐶𝐷]
[𝐴𝑂]≡[𝑂𝐵](raze)
[𝐶𝑂]≡[𝑂𝐷](raze)}𝑳𝑳𝑳⇒ ∆𝐴𝑂𝐵≡∆𝐶𝑂𝐷⟹∢𝐴𝑂𝐵≡∢𝐶𝑂𝐷⟹𝐴𝐵̂≡𝐶𝐷̂.
Teorema 1.25 Într-un cerc sau în cercuri congruente, arcelor de cerc
congruente le corespund coarde congruente.
Demonstrație: Urmărim desenul din figura 1. 19.
𝐴𝐵̂≡𝐶𝐷̂⇒∢𝐴𝑂𝐵≡∢𝐶𝑂𝐷
[𝐴𝑂]≡[𝑂𝐵](raze)
[𝐶𝑂]≡[𝑂𝐷](raze)}𝑳𝑼𝑳⇒ ∆𝐴𝑂𝐵≡∆𝐶𝑂𝐷⟹[𝐴𝐵]≡[𝐶𝐷].
Teorema 1. 13 Într-un cerc, un diametru perpendicular pe o coardă trece prin
mijlocul acesteia și determină, pe fiecare din arcele subîntinse de această coardă, arce
congruente. O r
r

Figura 1. 20
Demonstrație:
Fie cercul C(O, r), ca în figura 1.20 . Punctele A și B situate pe cerc determină coarda
[𝐴𝐵]. Construim diametrul 𝑀𝑁⊥𝐴𝐵. Fie E punctul de intersecție al diametrului cu
coarda AB.
Se consideră triunghiurile dreptunghice AOE și BOE.
[𝐴𝑂]≡[𝑂𝐵](raze)
[𝐸𝑂]≡[𝑂𝐸](latură comună)}𝑪𝑰⇒∆𝐴𝑂𝐸≡∆𝐵𝑂𝐸⟹[𝐴𝐸]≡[𝐸𝐵].
Deci, E este mijlocul coardei AB.
Din congruența triunghiurilor AOE și BOE rezultă că ∢𝐴𝑂𝐸≡∢𝐵𝑂𝐸,𝑑𝑒𝑐𝑖 𝐴𝑀̂≡𝐵𝑀̂.
Teorema 1. 14 Dacă două coarde ale unui cerc sunt congruente, atunci
distanțele de la centru la coarde sunt egale.

Figura 1. 21
Demonstrație:
În figura 1.21 avem un cerc C(O,r) și două coarde AB și CD. Construim înălțimile ON
și OM ale triunghiurilor AOB și COD , unde N∈(AB)și M∈CD. Se observă că
[𝐴𝑂]≡[𝑂𝐶], [𝐵𝑂]≡[𝑂𝐷] și [𝐴𝐵]≡[𝐶𝐷]. Conform cazului de congruență LLL

rezultă că triunghiurile AOB și COD sunt congruente, deci și înălțimile lor sunt
congruente.
Proprietatea 1.15 Coardele egal depărtate de centru sunt congruente.
Teorema 1. 16 O dreaptă d este tangentă la cercul C(O, r), în punctul A, dacă și
numai dacă d ⊥OA.
Demonstrație:
d
B
A

Figura 1. 22
Se consideră dreapta d tangentă la cercul C(O, r) în punctul A. Vom demonstra
că d ⊥OA.
Presupunem, prin reducere la absurd, că dreapta d nu este perpendiculară pe OA.
Fie atunci OB ⊥d, B ∈d. În triunghiul OAB , cu ∢OBA = 90°, avem ∢OBA >∢OAB , deci
OA >OB. Deoarece punctul A este pe cerc, rezultă că punctul B este în interi orul
cercului și atunci dreapta d ar mai avea un punct, diferit de A, comun cu cercul. Se
ajunge astfel la o contradicție. Presupunerea făcută este falsă, prin urmare d ⊥OA. Dar,
știm că într -un punct A, al unei drepte OA, se poate construi o singură perpendiculară d,
ceea ce ne spune că singura dreaptă perpendiculară pe OA în punctul A este tangenta la
cerc, în acest punct.
Exemple:
1. Prin punctul C al diametrului AB al unui cerc, se duc coardele DE și FG, astfel încâ t
∢DCB =∢GCB. Să se arate că:
a) Coardele DE și FG sunt egal depărtate de centru.
b) Patrulaterul EFDG este trapez isoscel.
Demonstrație :
a) Deoarece ∢DCB =∢GCB , atunci CB este bisectoarea unghiului DCG . și
Cum O∈CB, rezultă că centrul cercului este egal depărtat de laturile unghiului DCG ,
adică de CD și CG. Altfel spus, coardele DE și FG sunt egal depărtate de centru.

O r

D

F
C
A B

E

G
Figura 1.23
b) Coardele DE și FG, fiind egal depărtate de centru, sunt congruente, de unde deducem
că și arcele subîntinse de ele su nt congruente, adică EFD̂≡FEĜ și rezultă că FD̂≡EĜ,
deci EF∥DG.
În conclu zie, patrulaterul EDFG e ste trapez care are vâ rfurile pe cerc, deci este un
trapez isoscel.
2 Prin mijlocul E al arcului BĈ al cercului circumscris triunghiului ABC, se duce
coarda EF para lelă cu AB, F fiind un punct pe cercul circumscris triunghiului.
Demonstrați că arcele AFĈ și ECF̂sunt congruente.

A

F B

C

E
Figura 1.2 4
Demonstrație :
Știind că EF ∥AB și AE secantă, rezultă că ∢BAE≡∢FEA . Dar CÊ≡EB̂, deci
∢CAE≡∢EAB. Prin urmare ∢CAE≡∢FEA, deci CÊ≡AF̂. Deoarece AFĈ=AF̂+FĈ,
ECF̂=EĈ+FĈ și CÊ≡AF̂, rezultă că AFĈ≡ECF̂. O C

3 Teorema ciocului de cioară : Prin orice punct A, exterior unui cerc C(O, r), se pot
construi două tangente AM și AN, la cerc. Segmentele determinate de punctul A și
punctele de tangență sunt congruente.
Demonstrație :
Se consideră punctul A care aparține exteriorului cercului C(O, r), deci OA >r.
A găsi punctul de contact al unei tangente din A la cerc înseamnă a construi un triunghi
dreptunghic cu ipotenuza AO și cu vârful unghiului drept pe cercul dat.
Știm că un unghi drept este înscris într -un semicerc, deci vom construi cercul de
diametru AO.

Figura 1.25
Notăm centrul său cu Q, iar raza va fi r = 𝑂𝐴
2.
Notăm cu M, respectiv N, punctele de intersecție a celor două cercuri, unghiurile ∢OMA
și ∢ONA fiind unghiuri drepte. Dreptele AM și AN sunt tangente la cerc.
Considerăm triunghiurile OAM și OAN , dreptunghice și congruente ( OA latură comună
și [OM ] ≡ [ON], ca raze ale cercului); deci catetele corespunzătoare, MA și NA sunt
congruente.
Congruența triunghiurilor OAM și OAN ne oferă încă un rezultat remarcabil,
foarte util în rezolvarea problemelor:
Semidreapta determinată de un punct exterior unui cerc și centrul cercului este
bisectoarea unghiului format de tangentele la cerc din acel punct .
În figura 1.25 semidreapta AO este este bisectoarea unghiului ∢MAN .

Capitolul II. RELAȚII METRICE ÎN TR IUNGHI ȘI CERC ÎN MATEMATICA
DE GIMNAZIU

În acest capitol sunt prezentate noțiuni teoretice despre relațiile metrice în
triunghiul oarecare. S-a pus accent pe teorema lui Thales și teorema fundamentală a
asemănării, teoreme ce stau la baza mai multor aplicații cu caracter practic. Apoi sunt
prezentate relațiile metrice în triunghiul dreptunghic și în cerc, adică teorema înălțimii,
teorema catetei, teorema lui Pitagora și funcțiile trigonometrice. La elaborarea acestui
capitol s -au folosit titlurile bibliografice [ 7], [11], [13], [14],[16].[24]și [26].

2.1 Relații metrice în triunghiul oarecare

Definiția 2.1 Raportul a două segmente este raportul lungimilor acestora,
exprimate în aceeași unitate de măsură .
Propoziția 2.2 Pentru orice număr real pozitiv k există un punct unic C pe
segmentul AB, astfel încât AC
BC=k.
A C B
Figura 2.1
Spunem astfel că punctul C împarte segmentul AB în raportul k.
Propoziția 2.3 Pentru orice număr real pozitiv k ≠ 1 există un unic punct C,
exterior segmentului AB, astfel încât AC
BC=k.
ABC
Figura 2.2
În cazul în care k=1, punctul C este mijlocul segmentului [𝐴𝐵].
A B C
Figura 2.3
Teorema 2.4 (Teorema paralelelor echidistante ) Mai multe drepte paralele și
echidistante determină, pe orice secantă, segmente congruente.

d1
d2
d3
d4
d5
dn-1
dn

Figura 2.4
𝐴1𝐴2
𝐵1𝐵2=𝐴2𝐴3
𝐵2𝐵3=𝐴3𝐴4
𝐵3𝐵4…=𝐴𝑛−1𝐴𝑛
𝐵𝑛−1𝐵𝑛=1
Teorema 2.5 . (Teorema paralelelor neechidistante ) Mai multe drepte paralele
determină pe dou ă secante segmente proporționale.

d1
d2

d3
d4

dn-1
dn
Figura 2.5
𝐴1𝐴2
𝐵1𝐵2=𝐴2𝐴3
𝐵2𝐵3=𝐴3𝐴4
𝐵3𝐵4…=𝐴𝑛−1𝐴𝑛
𝐵𝑛−1𝐵𝑛
Exemplu: Împărțirea unui segment de dreaptă într -un raport dat.
1) Fiind dat un segment de dreaptă AB de lungime oarecare, să se găsească un
punct M pe acest segment, astfel încât AM
AB=2
5.
Prin punctu l A se trasează o semidreaptă AC cu o înclinație oarecare față de AB.
Pe această semidreaptă se trasează cu compasul, sau se măsoară cu o riglă gradată,
începând din punctul A, cinci segmente egale și se notează ca în figur a 2.6 . Se unește
punctul C 5 cu punctul B. Prin cele lalte puncte , de la C 1 la C 4, trasăm paralele la BC 5,

paralele care intersectează segmentul A B în punctele notate cu 1, 2, 3 și 4. Am împărțit
astfel segmentul AB în 5 părți egale. Punctul M cerut corspunde punctului 2.
Avem astfel AM
AB=2
5.
1 2 3 4
A M B
C1
C2
C3
C4
C5
Figura 2.6 C
Această problemă poate fi generalizată, folosind același procedeu.Se împarte
segmental AB în q părți egale și se numără apoi p segmente, găsindu -se astfel poziția
punctului M.
2) Fiind dat un segment AB de lungime oarecare, se cere să se găsească un punct
M pe acest segment astfel încât AM
MB=2
5 .
1 2 3 4 5 6
A M B
C1
C2
C3
C4
C5
C6
Figura 2. 7 C7 C
Problema seamănă cu problema de la punctul (a), dar trebuie să fim atenți,
pentru că acum, cerința reformulată este: să se găsească pe segmentul AB un punct M
care să formeze pe acesta două segmente AM și MB al căror raport să fie 2
5. Procedeul
este analog ca la punctul (a), dar de data aceasta, segmentul AB trebuie împărțit în 7
părți egale (2+5).
În general, dacă se împarte segmentul dat în p+q părți egale, numărăm p
segmente de la A spre B și găsim poziția punctului cerut.

2.1.1 Teorema lui Thales
O paralelă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi
segmente proporționale.
A

M N

B C
Figura 2. 8
Cu notațiile din figura 2.8 putem scrie teorema lui Thales în ∆𝐴𝐵𝐶:
M∈AB, N∈AC și MN ∥BC, atunci AM
MB=AN
NC.
Teorema rămâne valabilă și în cazul în care paralela la una din laturi
intersectează prelungirile acestora.
În situația în care MN∥BC, B∈AM și C∈AN, dar punctele M și N nu se află pe
segmentele AB și AC, obținem figura 2.9 .
A

B C

M N
Figura 2. 9
Aplicând teorema lui Thales în ∆𝐴𝑀𝑁 obținem AB
BM=AC
CN. Folosind proporțiile
derivate vom avea AM+MB
MB=AN+NC
NC, adică MA
MB=NA
NC.
În situația în care MN∥BC, B∈AM și C∈AN, dar punctul A se află atât pe
segmentul BM , cât și pe CN, obținem figura 2.10 .

N M

A

D E

B C
Figura 2.10
Știm că MN∥BC. Construim DE∥BC, D∈AB și E∈AC, astfel încât punctele D și
E să fie simetricele punctelor M, respective N față de punctul A. Putem spune astfel
că AM=AD și AN=AE. În ∆𝐴𝐵𝐶 aplicăm teorema lui Thales, deci AD
DB=AE
EC. Folosind
proporțiile derivate vom avea AD
DB+AD=AE
EC+AE, adică AD
AB=AE
AC, rezultând astfel că
AM
AB=AN
AC. O altă proporție derivată este AM
AB+AM=AN
AC+AN, adică AM
MB=AN
NC.
Exemplu:
Teorema bisect oarei : Se consider ă un triunghi oarecare ABC și AD bisectoarea ∢𝐵𝐴𝐶 ,
D∈BC. Demonstrați că DB
DC=AB
AC.
E

A

B D C
Figura 2.11
Demonstrație:
Construim CE || AD, E ∈AB. Aplicând teorema lui Thales în ∆EBC obținem BD
DC=
AB
AE. Dar ∢𝐴𝐸𝐶≡∢𝐵𝐴𝐷 (corespondente ) și ∢𝐷𝐴𝐶≡∢𝐸𝐶𝐴 (alterne interne).
Deoarece ∢𝐵𝐴𝐷≡∢𝐷𝐴𝐶 rezultă că ∢𝐴𝐸𝐶≡∢𝐸𝐶𝐴, deci ∆AEC este isoscel și
AE=AC. Prin urmare, relația BD
DC=AB
AE devine BD
DC=AB
AC.

Observație : Pentru cazul AB ≡ AC, triunghiul ABC este isoscel, deci
bisectoarea AD este și mediană, ceea ce arată că BD
DC=AB
AC=1.
2.1.2 Teorema fundamentală a asemănării
Definiția 2.6 . Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au unghiurile
respectiv congruente și laturile opuse acestora respectiv proporționale.
Fie două triunghiuri, ∆ABC și ∆A1B1C1.

Figura 2.12
Dacă ∢A≡∢A1, ∢B≡∢B1,∢C≡∢C1 și AB
A1B1=BC
B1C1=AC
A1C1=k,
spunem că ∆ABC ~ ∆A1B1C1, unde k se numește coeficient de asemănare.
Teorema fundamentală a asemănării : O paralelă dusă la una din laturile unui
triunghi determină cu celelalte două laturi sau cu prelungirile acestora un triunghi
asemenea cu triunghiul dat.
Cazul I : Fie un triunghi ABC. Ducem o paralelă DE la latura BC a triunghiului,
ca în figura 2.1 3. Vrem să demonstrăm că ∆ABC~∆ADE. Pentru aceasta construim o
paralelă prin punctul E la latura AB, paralelă ce intersectează latura BC în punctul F.
A

D E

B F C
Figura 2.13
Deoarece DE ∥BC, rezultă că ∢ADE≡∢ABC (alterne interne) și ∢AED≡∢ACB
(alterne interne). Dar ∢A este unghi com un celor două triunghiuri, deci putem afirma că
cele două triunghiuri au unghiurile repectiv congruente.

Având în vedere că DE∥BC, putem aplica teorema lui Thales în ∆ABC , deci
putem s pune că AD
AB=AE
AC. Deoarece DE∥BC și EF∥AB putem afirma că DEFB este
paralelogram, prin urmare DE=BF. Aplicând teorema lui Thales tot în ∆ABC, dar luând
în considerare relația EF∥AB, obținem BF
BC=AE
AC. Înlocuim pe BF cu DE și ajungem la
relația DE
BC=AE
AC. Dacă AD
AB=AE
AC și DE
BC=AE
AC, rezultă că AD
AB=AE
AC=DE
BC, ceea ce
reprezintă chiar proporționalitatea laturilor. În concluzie, putem afirma că
∆ABC~∆ADE.
Teorema fundamentală a asemănării rămâne valabilă și dacă o paralelă la una
din laturile unui triunghi intersectează prelungirile celorlalte două la turi. Mai a vem
astfel două situații:
Cazul II: A

B C

D F E
Figura 2.14
În figura 2.14 se vede că punctul B este situat pe segmentul AD, punctul C este
situat pe segmentul AE și DE ∥BC. Considerând triunghiul ADE și dreapta BC paralelă
cu latura DE a triunghiului ADE , ne regăsim în condițiile date de cazul I. Aplicând
rezultatul demonstrat, se obține congruența unghiurilor și proporționalitatea laturilor,
deci putem spune că ∆ABC~∆ADE.
Cazul III: De această dată punctul A este situat pe segmentele BD și CE, iar
DE∥BC, așa cum se observă în figura 2.15 . Pentru DE ∥BC și secanta BD, avem
∢ADE ≡ ∢ABC (alterne interne), iar pentru DE ∥BCși secanta CE, avem ∢AED ≡
∢ACB (alterne interne). Pe de altă parte, ∢DAE ≡ ∢BAC (opuse la vârf) , deci am
demonstrat congruența unghiurilor celor două triunghiuri, ∆ABC și ∆ADE.
Construim apoi CF ∥AD, F ∈DE și AG ∥BC, G ∈CF, deci BC ∥AG ∥DF. Atunci
BCFD , AGFD și BCGA sunt paralelograme și au loc relațiile DF =BC, GF =AD și

GC =AB. În triunghiul CEF, avem AG ∥EF. Aplic ând teorema lui Thales, obținem
AE
AC=GF
GC sau AE
AC=AD
AB. În triunghiul CEF, avem AD ∥CF. Aplic ând teorema lui
Thales, obținem AE
AC=DE
DF sau AE
AC=DE
BC. În concluzie, AE
AC=AD
AB=DE
BC.
Am demonstrat astfel și proportionalitatea laturilor celor două triunghiuri. Fiind
îndeplinite toate condițiile cerute de asemănar ea a două triunghiuri putem spu ne că și în
acest caz ∆ABC~∆ADE. E D F

A G

B C
Figura 2.15
Măsurarea obiectelor, chiar și cu ajutorul instrumentelor geometrice, poate
conduce la valori aproximative, ceea ce nu ne satisface înto tdeauna. De multe ori,
măsurarea directă este imposibilă, fie din cauza distanțelor foarte mari, fie din cauza
unor obstacole care nu permit accesul în apropierea obiectelor.
Thales a aplicat teorema fundamental ă a asemănării în rezolvarea unor probleme
practice de această natură. Este celebră problema aproximării înălțimii unei piramide
folosind umbrele. Thales a folosit proprietățile triun ghiurilor asemenea pentru a afl a
distanța de la țărm la o corabie sau distanța dintre două corăbii, el afl ându -se pe țărm.
Trebuie menționat faptul că, în aceste situații, valorile obținute sunt totuși aproxi mative,
nu din cauza calculelor, ci din cauza erorilor care pot interv eni în stabilirea unor direcții
și în măsurarea unor distanțe sau a u nor măsuri de unghiuri. De -a lungul t impului au
fost create instrumente performante , care apropie foarte mult rezultatele obținute de cele
reale. Cu toate acestea, folosirea tehnicilor practice, intuitive, sunt foarte interesante și
sunt de mare folos în a numite situații.
Exemple:
1. Se consideră trapezul ABCD, cu AB ∥CD, AB=b, CD=a, a <b și M∈(AD)
Astfel încât DM
MA=k. Calculați lungimea segmentului [MN], unde MN ∥AB și N∈(BC).
Demonstrație:

Conform teoremei paralelelor neechidistante avem DM
MA=CN
NB=k, deci CN
NB=k
k+1.
D a C

M a P N

A b Q B
Figura 2.16
Construim CQ ∥AD, unde Q∈(AB). Avem MN =MP+PN. Deoarece MPCD este
paralelogram, rezultă MP=CD=a. Pentru a calcula lungimea segmentului [PN] vom
aplica teorema fundamental ă a asemănării în ∆CQB, unde NP ∥QB.
Obținem PN
QB=CN
CB=K
k+1. Rezultă PN=QB ∙k
k+1=(b-a)∙k
k+1.
Calculăm MN=NP+PN=a+(b -a)∙k
k+1=1
k+1a+k
k+1b.
Cazuri particulare :

• k=1 ( M este mijlocul segmentului [AB] și MN este linie mijlocie)
Obținem MN=a+b
2 (MN este media aritmetică a lungimilor bazelor).
• k=𝐚
𝐛
În acest caz k=CD
AB= DO
OB.
MN=2ab
a+b = 2
1
a+1
b (MN este media armonică a lungimilor bazelor).
• Pentru ce valoare a lui k MN este media geometrică a lungimilor bazelor
trapezului. Trebuie ca MN= √ab.
Din 1
k+1a+k
k+1b=√ab obținem a+kb=(k+1) √ab, deci k(b -√ab)=√ab-a.
k√b(√b-√a)=√a(√b-√a) ⇒ k=√𝑎
√𝑏.
2. Teorema lui Menelaus: Fie triunghiul ABC și punctele A  (BC), B (CA)
și C (AB). Dacă punctele A `, B`, C` sunt coliniare, atunci are loc egalitatea :
1''
''
''=BCAC
ABCB
CABA

A

C`
B`
D

B C A`
Figura 2.17
Fiind vorba de rapoarte și legăturile ce trebuiesc stabilite între ele, apare
necesitatea de a utiliz a asemănarea triunghiurilor. Ne fiind triunghiuri asemenea, trebuie
să le construim.
În acest sens ducem CD║ AB, unde D  CA.
 ABC ACD 
DCBC
CABA '
''=
 BCD  BAC
ACDC
ABCB
' ''=
Înmulțind cele două relații, obținem că:
ACBC
ABCB
CABA
''
''
''=

BCAC
'' de unde:
1''
''
''=BCAC
ABCB
CABA
3. Fie
ABC un triunghi și
',',' CBA trei puncte coliniare astfel ca
BCA' ,
ACB'
și
ABC' . Să se arate că:
1''
''
''=BCAC
ABCB
CABA .
Demonstrație
C P
B’A’
C’ A B

Figura 2.18

Se duce prin
C o paralelă la
AB care intersectează dreapta
''BA în
P . Din teorema
fundamentală a asemănării rezultă:
'' ~' ABC CPA
și deci
BACA
BCCP
''
'= sau
BACABCCP'''= .
'' ~' BAC CPB
, de unde se obține
''
'BACB
ACCP=
și
ABCBACCP'''= .
Așadar
ABCBAC
BACABC
'''
''' = , de unde rezultă
1''
''
''=BCAC
ABCB
CABA .
4. Teorema lui Ceva : Fie un triunghi ABC și D, E, F trei puncte situate pe
laturile [BC], [CA], [AB] ale triunghiului. Dacă dreptele AD, BE și CF sunt concurente,
atunci:
AF
FB∙BD
DC∙CE
EA=1.
A

F E

M

B D C
Figura 2.19
Demonstrație:
Fie M punctul de intersecție al dreptelor AD, BE și CF. Aplicăm teorema lui Menelaus
astfel:
– în ∆ABD cu secanta CF: CB
CD∙MD
MA∙FA
FB=1, de unde obținem MD
MA=FB
FA∙CD
CB.
– în ∆ADC cu secanta BE: BC
BD∙MD
MA∙AE
EC=1.
În final obținem BC
BD∙FB
FA∙CD
CB∙AE
EC=1, deci AF
FB∙BD
DC∙CE
EA=1.
Observație: Într-un triunghi, dreapta care unește un vârf al acestuia cu un
punct de pe latura opusă se numește ceviană.
2.1.3 Aplicații practic e ale asemănării triunghiurilor
A. Aproximarea distanțelor, în situații practice, folosind asemănarea
triunghiurilor
1) Aproximarea înălțimii unor obiecte

Ne propunem să c alculăm înălțimea Turnului Eiff el din Paris.

A

B D C
Figura 2.20
Măsurăm distanța de la centrul bazei turnului la punctul din exterior unde ne
aflăm, adică distanța BC. Plasăm între raza vizuală care merge sp re vârf și cea care
merge spre punctul de la baza turnului , pe verticală, o mărime cunoscută DE și măsurăm
distanța DC. Avem acum date sufi ciente pentru a determina înălțimea turnului.
Dreptele AB și DE sunt paralele (ambele au direcția verticală) și atunci triunghiurile
ΔABC și ΔEDC sunt asemenea. Scriem relația de proporționalitate a laturilor, adică
CD
CB=CE
CA=DE
AB. Din egalitatea următ oarelor rapoarte, CD
CB=DE
AB, rezultă că AB=CB∙DE
CD.
2) Aproximarea distanței până la un punct fix

Figura 2.21
Dacă s untem într -un punct B pe plajă și vrem să estimă m distanța până la un
vapor afl at în larg, în punctul A, ne deplasăm din punctul B până în punctul C,
măsurând distanța BC. Marcăm pe nisip direcțiile BA și CA. Pe direcția BA considerăm
E

punctul D, prin care ducem o paralelă la BC. Aceasta intersectează dreapta AC în E.
Măsurăm lungimile BD și CE. În triunghiul ABC , cu DE ∥BC, aplicăm teorema
fundamentală a asemănării și rezultă următoarea relație de proporționalitate între laturi:
AD
AB=AE
AC=DE
BC.
Vom realiza o proporție derivată de forma AB−AD
AB=AC−AE
AC=BC−DE
BC, de unde
rezultă că BD
AB=CE
AC=BC−DE
BC. Dacă luăm doar o egalitate de două rapoarte, adică
BD
AB=BC−DE
BC, obținemAB=BD∙BC
BC−DE.
3) Aproximarea distanței dintre două puncte

D E

C
Figura 2.22
Ne aflăm într -un punct A și dorim să calculăm distanța până la punctul B .
Observăm că măsurarea directă este impo sibilă din cauza prezenței unui l ac, așa cum
apare în figura 2.22 . Pentru a afla distanța dintre punctele A și B vom găsi un punct C
din care putem măsura distanțele AC și BC. Trasăm apoi direcțiile CA și CB. Dorim să
fixăm un segment DE cu capetele pe CA, respectiv CB, astfel încât DE și AB să fie
paralele. Trebuie ca î ntre punctele D și E să nu fi e alte obstacole. Vom proceda astfel:
➢ Alegem punctul D, pe segmentul CA.
➢ Măsurăm lungimile CD, AC și BC.
➢ Luăm punctul E pe segmentul CB astfel încât CE
CB=CD
CA.
➢ Măsurăm segmentul DE.
➢ Aplicăm reciproca teoremei lui Thales și rezultă DE ∥AB.
În ΔABC aplicăm teorema fundamental a asemănării și obținem
A B

DE
AB=CD
AC=CE
BC. Rezultă astfel că AB=CA
CD∙DE, deci am aflat distanța AB.
B. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea
Teorema 2.7 Dacă două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare k,
atunci :
a) raportul medianelor corespunzătoare este egal cu k;
b) raportul înălțimilor corespunzătoare este egal cu k;
c) raportul bisectoarelor corespunzătoare este eg al cu k.
Demonstrație: Fie două triunghiuri asemenea, ΔABC și ΔDEF, cu raportul de
asemănare k. Atunci:
∢A≡∢D, ∢B≡∢E,∢C≡∢F și AB
DE=BC
EF=AC
DF=k.
a) Fie M și N mijloacele laturilor BC și EF ale triunghiurilor reprezentate în figura
2.23. A
D

B M C E N F
Figura 2.2 3
Atunci BM
EN=BC
2
EF
2=BC
EF=kșiAB
DE=BM
EN. Știm că ∢E ≡ ∢B și, conform criteriului de
asemănare L.U.L. ∆ABM~∆DEN, deci AM
DN=AB
DE=k. Am demonstrat astfel că
raportul medianelor corespunzătoare a douătriunghiuri asemenea este egal cu raportul
de asemănare a triunghiurilor.
b) Fie M și N picioarele perpendicularelor duse din A și D pe laturile BC, respectiv
EF, reprezentate în figura 2. 24.
Din ∢AMB ≡ ∢DNE, ∢B≡ ∢E și cazul de asemănare U.U., rezultă că ∆ABM~∆DEN,
deci AM
DN=AB
DE=k. Am demonstrat astfel că raportul înălțimilor corespunzătoare a
două triunghiuri asemenea este egal cu raportul de asemănare a triunghiurilor.

A
D

B M C E N F
Figura 2. 24

c) Fie AM și DN bisectoarele unghiurilor ∢BAC și ∢EDF , reprezentate în figura
2.25. A
D

B M C E N F
Figura 2. 25
Deoarece ∢B≡ ∢E, ∢BAM=∢BAC
2=∢EDF
2=∢EDN, conform cazului de
asemănare U.U., rezultă că ∆ABM~∆DEN, deci AM
DN=AB
DE=k. Am demonstrat astfel
că raportul bisectoarelor corespunzătoare a două triunghiuri asemenea este egal cu
raportul de asemănare a triunghiurilor.
Teorema 2.8 Dacă două triunghiuri sunt asemenea, cu raportul de asemănare k,
atunci raportul ariilor acestora este egal cu k2.
Demonstrație: Fie două triunghiuri asemenea, ΔABC și ΔDEF, cu raportul de
asemănare k. Atunci:
∢A≡∢D, ∢B≡∢E,∢C≡∢F și AB
DE=BC
EF=AC
DF=k.
Vom folosi figura de la teorema 2.11, punctul b.
AΔABC
AΔDEF=BC∙AM
2
EF∙DN
2=BC
EF∙AM
DN=k∙k=k2

C. Aflarea punctului de aplicație al rezultantei a două forțe paralele
➢ În cazul a două forțe paralele și de același sens F 1, F2, cu p unctele de aplicație în
A și B, (figura 2.26 .a), se știe de la fizică, că rezultanta lor este o altă forță de mărime
R= F 1+F2, al cărei punct de aplicați O se află pe segmentul AB, astfel încât F 1∙OA=
F2∙OB. Pentru a determina poziția punctului O scriem relația sub forma OA
OB=F2
F1. Apoi
construim AC= F2 în sens contrar lui F1 și BD= F1 în același sens cu F2. Dreapta CD
intersectează dreapta AB în punctul O. Pentru a calcula distanța punctului O față de
punctele de aplicație ale celor două forțe, aplicăm teorema fundamentală a asemănării
pentru triunghiurile asemenea AOC și BOD.

C O
B
O B F1 D
A A F 2
F1 D
F2 C

a b
Figura 2. 26
➢ Dacă forțele paralele sunt de sens contrar, atunci rezultanta are mărimea R= F 1-F2, iar
punctul O de aplicație al ei este exterior, astfel încât F 1∙OA= F2∙OB (figura 2.26.b). Și în
acest caz AC= F2 și BD= F1. În același mod se găsește poziția punctului O pe dreapta AB
și distanța acestuia față de punctele de aplicație ale forțelor.
În cazul mai multor forțe paralele, cu punctele de aplicație coliniare, se compun
mai întâi primele două forțe, apoi rezulta nta se compune cu cea de a treia forță,
procedeul continuând până la ultima forță.

2.2 Relații metrice în triunghiul dreptunghic

2.2.1 Teorema înălțimii
Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este
egală cu media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.
Demonstrație:
F1+F2
F1-F2

C
D

A B
Figura 2.27
Deoarece ∢CAD și ∢ABD sunt unghiuri cu laturile respective perpendiculare,
spunem că ele sunt congruente. Dar ∢ADC≡∢ADB, deci ∆ACD~∆ADB. Rezultă că
AD
DC=DB
AD, deci AD2=BD∙DC.
Această egalitate este echivalentă cu AD= √BD∙DC.

2.2.2 Teorema catetei
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii unei catete este egal cu produsul
dintre lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției acelei catete pe ipotenuză.
C
D

A B
Figura 2.28
Demonstrație:
Deoarece ∢ABC≡∢ABD (unghi comun) și ∢BAC≡∢ADB, rezultă că
∆ABC~∆DBA. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: AB
DB=BC
AB. Din această relație
rezultă că AB2=BD∙BC.
Această teoremă se poate aplica și pentru cealaltă catetă, adică AC2=CD∙CB.
Aceste egalități sunt echivalente cu relațiile AD= √BD∙DC și AC=√CD∙CB, ceea
ce duce la o nouă formulare a teoremei catetei: într-un triunghi dreptunghic , lungimea

unei catete este media geometrică între lungimea ipotenuzei și lungimea proiecției
acelei catete pe ipotenuză.
2.2.3 Teorema lui Pitagora
Într-un triunghi dreptunghic, pătratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma
pătratelor lungimilor catetelor.
C BC2=AB2+AC2

D

A B
Figura 2.29
Demonstrație:
Vom demonstra această teoremă utili zând teoria proporțiilor.
Deoarece m( ∢ADC)= m(∢BAC)=90o și m(∢ACD)= m(∢ACB), rezultă că
∆ADC~∆ABC. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: AC
BC=CD
AC. Din această relație
rezultă că AC2=CD∙BC.
Deoarece m( ∢ADB)= m(∢BAC)=90o și m(∢ABC)= m(∢ABD ), rezultă că
∆ABD~∆ABC. Scriem proporționalitatea laturilor astfel: AB
BC=DB
AB. Din această relație
rezultă că AB2=BD∙BC.
Prin adunarea celor două relații se obține:
AB2+ AC2= BD∙BC+ CD∙BC=BC∙(BD+CD)=BC ∙BC=BC2.
Tripletul pitagoreic :
Un triplet pitagoreic este format din trei numere naturale nenule a, b și c, cu
proprietatea că a2 + b2 = c2. Acest triplet este de obicei notat (a, b, c), iar printre
exemplele cele mai întâlnite se numără tripletul (3, 4, 5).
Dacă (a, b, c) este un triplet pitagoreic, atunci ( ka, kb, kc) este tot un triplet pitagoreic
pentru oricare număr întreg pozitiv k.
Exemplu: Pentru k=2, tripletul este (6, 8, 10).
62+82=102⇒36+64=100

Un triplet pitagoreic primitiv este un triplet format din a, b și c astfel încât
numerele să fie prime între ele . Un astfel de triplet este (3, 4, 5). Numele este derivat din
denumirea teoremei lui Pitagora ; astfel, tripletele pitagoreice descriu trei laturi de
lungime numere naturale ale unui triunghi dreptunghic .
Forma generală a unui triplet pitagoreic este dată de relațiile:
a=m2-n2, b=2mn, c=m2+n2, unde m și n sunt numere prime între ele și m>n .
Exemplu: Fie m=7și n=5.
a=72-52=49-25=24
b=2∙7∙5=70
c=72+52=49+25=74
Verificăm dacă a2 + b2 = c2.
242+702=742 ⇒ 576+4900=5476, relație care este adevărată.
Teorema lui Pitagora stabilește echivalența între o proprietate geometrică (a fi
un triunghi dreptunghic) și o proprietate numerică ( suma pătratelor a două numere este
pătratul altui număr), trasând o legătură între geometrie și aritmetică. Putem astfel
reprezenta pe axa numerelor reale, cu exactitate, un număr irațional de forma √𝑎.
Reprezentarea se face utilizând teorema lui Pitagora, rigla și compasul.

Figura 2.3 0
În figura 2.3 0 este descris modul de reprezentare pe axă a lui √2. Se construiește
un segment cu lungimea egală cu √2, adică lungimea ipotenuzei unui triunghi
dreptunghic isoscel cu catetele egale cu 1. Apoi, cu ajutorul compasului trasăm un arc
de cerc cu raza egală cu √2, găsind astfel poziția pe axă a numărului √2.

Figura 2.3 1
În figura 2. 31 este prezentat modul de construcție a unor segmente de lungime
√𝑎. Construcția acestora poate continua, obținându -se astfel o spirală, numită spirala
lui Arhimede.
Exemple:
1) Să se construiască un segment cu lungimea egală cu √34.

Figura 2.32
34=25+9=52+32⇒√34=√52+32
2) Să se construiască un segment cu lungimea egală cu √15.

Figura 2. 33
15=9+4+1+1=32+22+12+12⇒√15=√52+32+12+12
O alt ă variantă este următoarea:

Figura 2. 34
15=15∙1=(8+7)(8 -7)=82-72⇒√15=√82−72
Exemple:
1. Să se calculeze înălțimile într -un triunghi isoscel ABC în care AB=AC=10cm și
BC=12cm . A

E

B C
D
Figura 2. 35
Demonstrație :
În∆ABC construim AD ⊥BC și BE ⊥AC.
În ∆ACD aplicăm teorema lui Pitagora: AC2=AD2+DC2. De aici rezultă că
AD2=AC2-DC2=102-62=100 -36=64
AD=√64=8cm.
Cealaltă înălțime a triunghiului isoscel se obține din egalitatea ariilor, adică
AD∙BC
2=BE∙AC
2. Din această relație determinăm înălțimea BE=AD∙BC
AC=8∙12
10=9,6cm .
2. Să se calculeze înălțimea corespunzătoare laturii BC a unui triunghi oarecare cu
laturile AB=5cm, AC=6cm și BC=7 cm.
Demonstrație :
În ∆ABC construim AD ⊥BC. Notăm BD= x și DC=7 -x. Aplicăm Teorema lui Pitagora
în cele două triunghiuri dreptunghice formate: ∆ADB și ∆ADC.
AD2=AB2-BD2=52-x2=25-x2
AD2=AC2-CD2=62-(7-x)2=36-49+14x -x2 = -13+14x -x2

Din cele două relații rezultă că 25 -x2 = -13+14x -x2⇒x =19
7, deci BD= 19
7.
AD=√25−(19
7)2
=12√6
7cm.
A

B x 7-x C
D
Figura 2. 36
3. Fie triunghiul dreptunghic ABC, cu m(∢A)= 90°, AD⊥BC, D∈BC.
Demonstrați relațiile : (1) AD∙BC=AB∙AC
(2) 1
AD2=1
AB2+1
AC2
A

B D C
Figura 2. 37
Demonstrație :
(1) Pentru a demonstra această relație se folosește egalitatea ariilor. Deoarece
∆ABC este dreptunghic, vom calcu la aria acestuia în două moduri:
𝐴∆ABC=AB∙AC
2
𝐴∆ABC=BC∙AD
2
Egalând aceste două relații obținem:
AB∙AC
2=BC∙AD
2⇒AB∙AC=BC∙AD
(2) Pentru a demonstra a doua relație vom porni de la relația (1), pe care o vom
ridica la pătrat. Vom obține:

(AB∙AC)2=(BC∙AD)2⇒AB2∙AC2=BC2∙AD2⇒AD2=AB2∙AC2
BC2⇒
1
AD2=BC2
AB2∙AC2⇒1
AD2=AB2+AC2
AB2∙AC2⇒1
AD2=1
AC2+1
AB2
Observație :
Relațiile (1) și (2) au numeroase aplicații și mai sunt cunoscute și sub denumirea de a
doua, respectiv a treia teoremă a înălțimii .

2.2.4 Noțiuni de trigonometr ie în triunghiul dreptunghi c
Trigonometria se referă la legăturile dintre unghiurile și laturile unui
triunghi. În limba greacă, trigonon înseamnă triunghi, iar metron înseamnă măsurare.
Fie ABC un triunghi dreptunghic, cu m( ∢A)= 90° și m(∢B)= 𝛼.
C

A B
Figura 2. 38
În acest triunghi dreptunghic se definesc următoarele rapoarte constante:
Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse acestui unghi și
lungimea ipotenuzei.
sin𝛼=AC
BC
Cosinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate acestui unghi
și lungimea ipotenuzei.
cos𝛼=AB
BC
Tangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei opuse și lungimea
catetei alăturate acestui unghi.
tg𝛼=AC
AB
Cotangenta unui unghi ascuțit este raportul dintre lungimea catetei alăturate și
lungimea catetei opuse acestui unghi.
ctg𝛼=AB
AC 𝛼

Deoarece unghiurile ascutț ite ale unui triunghi dreptunghic sunt unghiuri
complementare putem spune:
➢ Sinusul unui unghi este egal cu cosinusul complementului său.
sin𝛼 = cos(90◦ − 𝛼)
➢ Cosinusul unui unghi este egal cu sinusul complementului său.
cos𝛼 = sin(90◦ − 𝛼)
➢ Tangenta un ui unghi este egală cu cotangenta complementului său.
tg𝛼 = ctg(90◦ − 𝛼)
➢ Cotangenta unui unghi este egală cu tangenta complementului său.
ctg𝛼 = tg(90◦ − 𝛼)
Aplicând teorema lui Pitagora in triunghiul drept unghic ABC, putem demonstra
formula fundamentală a trigonometriei : (sin 𝜶)2+( cos 𝜶)2=1.
AB2+AC2=BC2:BC⇒ (𝐴𝐵
𝐵𝐶)2+ (𝐴𝐶
𝐵𝐶)2= 1 ⇒ (sin 𝛼)2+( cos 𝛼)2=1
2.2.5 Aplicații ale funcțiilor trigonometrice în determinarea ariilor unor poligoane
Aria triunghiului
A

ha

B D C
Figura 2. 39
Fie △ABC și ha înălțimea corespunzătoare laturii BC. Aria acestui triunghi se determină
astfel:
𝐴∆ABC=BC∙AD
2=BC∙ℎ𝑎
2
sin𝐵̂=AD
AB=ℎ𝑎
AB⇒ ℎ𝑎=AB∙sin𝐵̂}⇒ 𝑨∆𝐀𝐁𝐂=𝐀𝐁∙𝐁𝐂∙𝐬𝐢𝐧𝑩̂
𝟐
Aria paralelogramului
D C

A B
E Figura 2. 40 h

Fie ABCD un paralelogram și h înălțimea acestuia.
𝐴ABCD=𝐴𝐵∙h
sin𝐴̂=DE
AD=ℎ
AD⇒ℎ=AD∙sin𝐴̂}⇒𝑨𝐀𝐁𝐂𝐃=𝑨𝑩∙𝐀𝐃∙𝐬𝐢𝐧𝑨̂
Aria rombului
A

B D

C
Figura 2. 41
Fie ABCD un romb și h înălțimea acestuia. Calculăm aria acestuia ca dublul ariei
triunghiului △ABD.
𝐴ABCD=2∙𝐴∆ABD
𝐴∆ABD=AB∙AD∙sin𝐴̂
2}⇒𝑨𝐀𝐁𝐂𝐃=𝑨𝑩∙𝐀𝐃∙𝐬𝐢𝐧𝑨̂

2.3 Relații metrice în cerc

Un poligon regulat este un poligon cu toate laturile și toate unghiurile
congruente. Când vorbim de un poligon regulat, ne referim la: latura poligonului , un
unghi al poligonului , raza cercului circumscris poligonului , diagonalele poligonului ,
apotema poligonului , perimetrul și aria acestuia.
Vom studia, în acest sens, poligoanele regulate cu 3, 4 respectiv 6 laturi. Notăm
ln latura poligonului regulat cu nlaturi, n ∈{3, 4, 6} și R raza cercului circumscris acestui
poligon.
Se numește apotemă a unui poligon regulat perpendiculara dusă din centrul
poligonului pe una dintre laturi și se notează cu an.
1) Triunghiul echilateral
Dacă notăm l3, a3, S3 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui
triunghi echilateral și R raza cercului circumscris, atunci:
𝑙3=𝑅√3,𝑎3=𝑙√3
6=𝑅
2,𝑆3=𝑙2√3
4=3𝑅2√3
4 h

Figura 2. 42
2) Pătratul
Dacă notăm l4, a4, S4 lungimea laturii, lungimea apotemei, respectiv aria unui
pătrat și R raza cercului circumscris, atunci:
𝑙4=𝑅√2,𝑎4=𝑙
2=𝑅√2
2,𝑆4=𝑙2=2𝑅2

Figura 2. 43
3) Hexagonul regulat
Dacă notăm l6, a6, S6 lungimea laturii, lungime a apotemei, respectiv aria unui
hexagon regulat și R raza cercului circumscris, atunci:
𝑙6=𝑅,𝑎6=𝑙√3
2=𝑅√3
2,𝑆6=3𝑙2√3
2=3𝑅2√3
2

Figura 2. 44

Capitolul III . PRINCIPIUL ÎNVĂȚĂRII CONȘTIENTE ȘI ACTIVE FOLOSIT
ÎN PREDAREA -ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

Principiile didacticii matematicii exprimă concepția de bază asupra învățării
matematicii, un fel de reguli directoare, ce dirijează activitatea didactică. La baza
acestora stau legitățile psihologiei și teoria cunoașterii, dar și rezultatele a ctivității
practice și experiența pedagogică . În acest capitol sunt prezentat e principiul învățării
conștiente și active, factorii ce influențează învățarea, cerințele principiului și
conștientizarea învățării. La elaborarea acestui capitol s -au folosit ti tlurile bibliografice
[1], [2], [ 4], [5], [7], [17], [18], [21] și [26].
Didactica predării matematicii se situează la granița dintre psihologie,
pedagogie, didactică și matematică și studiază conținutul învățământului matematic,
structura acestuia și metodele de predare -învățare și evaluare corespunzătoare.
Matematica este disciplina care, prin însăși existența ei, are menirea de a forma o
gândire investigatoare. Este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai
compl exe legături de viață. De aceea, se impune o permanentă preocupare în
perfecționarea continuă a metodelor și mijloacelor de învățământ pentru a realiza o
educație matematică, cu implicații serioase în dezvoltarea elevului și formarea lui ca om
util societă ții din care face parte.
Principiul învățării conștiente și active se manifestă prin stimularea activității
elevului în toate etapele învățării, înțelegerea conținutului materiei de învățământ,
dezvoltarea la elevi a conștientizării participării lor la propria instruire. Notațiile,
simbolurile, figurile, graficele se constituie în niște intermediari între activitatea fizică
propriu -zisă și cea abstractă, reprezentând materialul cel mai potrivit pentru realizarea
multor experimente matematice. Înv ățământul problematizat pretinde ca un pas
obligatoriu în predarea unor cunoștințe noi, crearea unor situații problemă.
S-a vehiculat ideea că memoria nu ar avea un rol important în matematică, fapt
care nu este adevărat. Nu este vorba despre me morarea deliberată a unor definiții,
formule, teoreme, la pimul contact cu acestea. Se pune problema reținerii acestora ca o
consecință a utilizării lor repetate și îndelungate. Cunoștințele și descoperirile omenirii
au evoluat mult, presând asupra modului de transmitere a informației didactice, care
trebuie să fie din ce în ce mai rapid și mai condensat.
Pentru a învăța, elevii recurg de obicei la memorarea mecanică . Ei au receptat
informația, au reținut -o și o pot aplica în mod brut. Dar această memorare duce la o

fixare slabă a cunoștinț elor, puțin stabilă în timp , necesitând o reîmprospătare
permanentă a acestor cunoștințe. De aceea este necesară utilizarea unei noțiuni noi în
mod repetat, în exemple simple, pentru a putea fi rețin ută.
În cazul teoremei lui Pitagora se pot aplica următoarele tipuri de probleme, până
când elevul se familiarizează cu acestea:
1. Alați ipotenuza unui triunghi dreptunghic ABC, cu m( ∢𝐴)=90O, știind că
AB=3cm și AC=4cm.
Demonstrație:
Se aplic ă teorema lui Pitagora:
BC2=AB2+AC2 ⇒ BC2=32+42 ⇒ BC2=9+16=25 ⇒ BC=√25=5cm
2. Alați o catetă a unui triunghi dreptunghic ABC, cu m( ∢𝐴)=90O, știind că
AB=6cm și BC=10cm.
Demonstrație:
Se aplică teorema lui Pitagora:
BC2=AB2+AC2 ⇒ 102=62+AC2 ⇒ 100=36+ AC2 ⇒ AC2=100 -36=64⇒ AC=√64=8cm.
Memorarea poate fi și inductivă , adică elevul folosește o regulă de mai multe
ori și se convinge că funcționează corect, chiar dacă în circumstanțe mult schimbate.
Exemplu:
Elevul primește ca sarcină să deseneze, cu ajutorul echerului, mai multe
triunghiuri dreptunghice. Pentru fiecare caz în parte trebuie să măsoare, cu ajutorul
raportorului, unghiurile ascuțite și să afle suma acestora. Acesta va constata că, de
fiecare dată, suma este egală cu 90O, deci unghiurile ascuțite ale unui triunghi
dreptunghic sunt complementare. Elevul va putea folosi astfel informația descoperită
chiar de el în rezolvarea mai multor probleme, în contexte diferite.
Însă memorarea rațională, logică , presupune înțelegerea mecanismului, iar
elevul poate aplica regula cu oarecare variații.
Exemplu:
În cazul teoremei lui Pitagora, elevul știe deja să recunoască catetele și
ipotenuza triunghiului dreptunghic, cunoaște și înțelege teorema, deci o poate aplica în
diverse probleme.
Memorarea integrativă , în schimb, include regula într -un sistem, elevu l
putând -o folosi și adapta î n mod creativ.
Factorii care influențează învățarea conștientă sunt următorii:

➢ Cantitatea, calitatea, claritatea și organizarea cunoștințelor celui care învață ,
acesta fiind factorul cel mai important care influențează învățarea și pe care se bazează
învățarea conștientă.
➢ Natura mediului de învățat , care se referă la sistematizarea informației, a
materialului de învățat, prin structurarea acestuia în itemi succesivi, ușor de învățat, dar
fiecare cu semnificația sa logică . După aceasta este necesară o reconexare logică a
secvențelor, urmată de o activitate de sinteză.
Una dintre problemele care apar frecvent la geometrie este dificultatea
înțelegerii demonstrațiilor. Aceasta apare ca urmare a necunoașterii unor termeni sau a
numărului prea mare de pași ce trebuie parcurși pentru a efectua demonstrația. E posibil
ca unele demonstrații indirecte , de exemplu cele care folos esc metoda reducerii la
absurd sau construcții ajutătoare, deși sunt echivalente logic cu demonstrații directe de
la ipotez ă la concluzie, să prvoace unele neclarități legate de argumentare.
Nu trebuie neglijat nici limbajul specific și nici notațiile utilizate, deoarece o
alegere corespunzătoare a acestora ușurează mult înțelegerea și utilizarea termenilor
respec tivi.
În cazul expunerii orale un factor foarte important al învățării este și ritmul în
care profesorul vorbește, el trebuind să fie în permanență atent la ritmul de scriere al
elevului, la rămânerile lui în urmă. În concluzie, optimizarea acțiunii se face doar cu
participarea celor două componente: profesor și elev.
Cerințele principiului învățării conștiente și active sunt următoarele:
• stimularea activității elevului în toate etapele învățării;
• înțelegerea conținutu lui materiei de învățat;
• dezvoltarea la elevi a conștientizării participarii lor la propria instruire.
Elevul trebuie să partcipe activ la propria instruire , să fie implicat cât mai mult
posibil în această activitate, pentru a nu interveni plictiseala. Starea de spirit a
profesorului se transmite și elevului, deci, chiar dacă profesorul a f ăcut o demonstrație
de nenumărate ori, el trebuie să manifeste interes și entuziasm, ca și când ar face acest
lucru pentru prima dată.
Înțelegerea noțiunilor noi introduse, a noii lecții are un rol decisiv în învățarea
matematicii. Elevul nu trebuie doar să -și însușească elementele predate în secvența de
lecție, ci trebuie să le și înțeleagă. Matematica , prin structura sa logi co-deductivă, este
ca un lanț din care, dacă lipsește o verigă, devine fragil, se rupe . Factorii care
influențează înțelegerea sunt ritmul, intonația, utilizarea tablei și a altor mijloace audio –

vizuale, repetarea variată, stimularea elevului să ia notițe în mod regulat, să utilizeze
notațiile corespunzătoare, să scrie ordonat.
Învățarea conștientă a matematicii trebuie privită ca o modalitate de
convingere a elevului că nu trebuie să învețe din obligativitate, nu trebuie vazută ca o
„pedeapsă”. Matematica nu se învață pentru că reprezintă o disciplină necesară trecerii
unor examene, ea este o necesitate obiectivă pentru cultura generală a oricărui individ și
un instrument de cunoaștere și studiere a mai multor domenii științifice.
Specifice matematicii sunt logica și raționamentul, care duc la disciplinare a
gândirii. Marele matematician Solomon Marcus spunea sugestiv că „ matematica este o
gimnastică a minții”.
Pentru menținerea activă a interesului elevilor pentru matematică trebuie
acționat permanent. Se vor dezvolta astfel două componente: una interioară matematicii,
care trebuie predată în așa fel încât elevul să găsească permanent satisfacția în efortul lui
de a învăța, iar cealaltă exterioară, ce motiverază prin aplicațiile ei valoarea socială și
științifică a matematicii.

Capitolul IV . METODE TRADIȚIONALE ȘI MODERNE ACTIV –
PARTICIPATIVE FOLOSITE ÎN MATEMATICA DE GIMNAZIU

Metodele de predare -învățare, modurile și formele de organizare a lecției,
situațiile de învățare sunt tot mai diversificate, constituind cheia schimbărilor pe care le
preconizează noul curriculum. Se urmărește asigurarea unor situații de învăț are
multiple, care să creeze premise pentru ca elevii să poată valorifica propriile abilități în
învățare.
În acest capitol sunt prezentate metode de predare -învățare specifice
matematicii, ca forme ale comunicării didactice. Sunt enumerate și descrise metodele
tradiționale de predare -învățare, metodele moderne și cele active participative, menite să
îmbunătățească activitatea profesorului, dar mai mult de atât să ajute și să stimuleze
activitatea de învățare conștientă și activă a elevului. La elaborarea acestui capitol s -au
folosit titlurile bibliografice [ 1], [2], [3], [4], [5] și [6].

4.1 Metode tradiționale

4.1.1 Expunerea sistematică a cunoștințelor
4.1.2 Metoda conversației
4.1.3 Demonstrația matematică
4.1.4 Metoda exercițiului
4.1.5 Metoda muncii cu manualul și cu alte auxiliare matematice

4.2 Metode moderne

4.2.1 Problematizarea
4.2.2 Învățarea prin descoperire dirijată
4.2.3 Modelarea matematică
4.2.4 Metoda învățării pe grupe
4.2.5 Învățarea prin cooperare
4.2.6 Algoritmizare

4.3 Metode de învățare active

4.3.1 Brainstorming
4.3.2 Mozaicul (Metoda Jigsaw)
4.3.3 Investigația
4.3.4 Proiectul
4.3.5 Experimentul
4.3.6 Jocul de rol

Capitolul V. CERCETARE PEDAGOGICĂ. STUDIU DE CAZ
PRIVIND EFICIENȚA METODELOR FOLOSITE LA CLASĂ

5.1 Motivul și scopul cercetării
5.2 Ipoteza și obiectivele cercetării
5.3 Prezentarea experimentului
5.4 Desfăș urarea experimentului
5.5 Analiza și interpretarea rezultatelor

CONCLUZII
BIBLIOGRAFIE
ANEXE