Implementarea c atorva metode numerice n Mathematica [616668]

Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica
Facultatea de S tiint e
Matematic a-Informatic a
Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin Sofonea
Sibiu
2017
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 1 / 20

1Metoda Newton
2Metoda lui Romberg aplicat a metodei Newton
3Implementarea geometric a ^ n Mathematica
4Bibliograe
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 2 / 20

Metoda Newton
Fief: [a;b]!R si e x02[a;b]. Dezvolt am funct ia f ^ n serie Taylor
 si ret inem primii doi termeni. Obt inem
f(x)f(x0) + (xx0)f0(x0):
^Inlocuim ecuat ia f(x) = 0 cu
(1) f(x0) + (xx0)f0(x0) = 0
a c arei solut ie este
x1=x0f(x0)
f0(x0):
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 3 / 20

Prin ^ nlocuirea lui x0cuxk, respectiv x1cuxk+1, se obt ine metoda lui
Newton sau metoda Newton-Raphson
(2) xk+1=x0f(xk)
f0(xk):
Ecuat ia f(x0) + ( xx0)f0(x0) = 0 aproximeaz a ecuat ia f(x) = 0 ^ n
vecin atatea punctului x0.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 4 / 20

Pentru a verica dac a x1aproximeaz a solut ia acestei ecuat ii este necesar a
analiza existent ei  sirului xk.^In cazul ^ n care se face ipoteza f0(x) = 0 pe
intervalul [ a;b] acest lucru nu mai este necesar.
Dac a ^ n (2) se ^ nlocuie ste f0(xk) cu f0(x0) rezult a metoda lui Newton
simplicat a,
xk+1=x0f(xk)
f0(x0);
^ n care derivata se calculeaz a doar ^ n punctul x0.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 5 / 20

Putem considera un proces de tip Newton ^ n care calculul derivatei se face
dup a un anumit num ar de pa si:
xk+1=x0f(xk)
f0(xp(k));
unde p(k) este un num ar ^ ntreg mai mic sau egal cu k. Dac a consider am
p(k)=0 obt inem metoda lui Newton simplicat a.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 6 / 20

Unul din procesele de tip iterativ, ce genereaz a metoda lui Newton
simplicat a, este metoda liniilor paralele:
xk+1=xkf(xk);
undeeste o constant a care aproximeaz a1
f0(x0):
Metoda lui Newton discretizat a este metoda ^ n care derivata este ^ nlocuit a
cu diferent a divizat a de ordinul ^ nt^ ai:
xk+1=xkf(xk)f(xk1)
xkxk11
f(xk):
Aceast a metod a coincide cu metoda secantei.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: [anonimizat]  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 7 / 20

Metoda lui Romberg
C aut am o formul a de aproximare pentrup
A, astfel ^ nc^ at s a aib a
ordinul trei de convergent a. Pentru aceasta plec am de la urm atoarea
ecuat ie
f(x) =xd(x2A) = 0 ;x>0;A>0:
S tim c a funct ia de iterat ie
'(x) =xf(x)
f0(x);
are ordinul mai mare sau egal cu doi.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 8 / 20

Ne propunem s a-l g asim pe d astfel ^ nc^ at
xn+1='(xn)
s a aib a ordinul de convergent  a trei. Calcul am derivatele funct iei f p^ an a la
ordinul doi.
f(x) =x(2+d)Axd;
f0(x) = (2 + d)x1+ddAxd1;
f00(x) = (2 + d)(1 + d)xdd(d1)Axd1;
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 9 / 20

Punem condit iile
'(p
A) =p
A; '0(p
A) = 0; '00(p
A) = 0;:::;
(3)'(x) =x(x2A)xd
xd1[(2 + d)x2dA]=xxx2A
(2 + d)x2dA:
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 10 / 20

Obt inem
'0= 1f0200
f02=ff00
f02; '0(p
A) = 0
'00=f00
f0+ff00
f020
:
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 11 / 20

Pun^ and condit ia '00(p
A) = 0;g asim
f00(p
A) = 0;
deci
(2 + d)(1 + d)d(d1) = 0;
de unde rezult a d=1
2:^Inlocuind valoarea lui d ^ n relat ia (3) obt inem
'(x) =xxx2A
3
2×2+1
2A;
deci g asim funct ia iterativ a
'(x) =xx2+ 3A
3×2+A;
cu ordinul trei de convergent  a.
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 12 / 20

S irul ( xn)n0, cu xn+1='(xn);x0=A+1
2constituie metoda lui Romberg,
pentru determinarea r ad acinii p atrate.
Deci, ^ n loc s a rezolv am cu metoda tangentei ecuat ia x2A= 0;este mai
avantajos s a aplic am metoda tangentei ecuat iei echivalente
1px(x2A) = 0;x>0:
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 13 / 20

Implementarea ^ n Mathematica
basicstyle basicstyle basicstyle
basicstyle basicstyle basicstyle M a n i p u l a t e [
basicstyle basicstyle basicstyle NewtonPlot [ G e t F u n c t i o n [ f u n c t i o n ] ,
basicstyle basicstyle basicstyle RangeToVary [ GetRange [ f u n c t i o n ] , x0 ] , 10^( 2) , GetRange [ f u n c t i o n ] ,
basicstyle basicstyle basicstyle zoom , 2 0 ] ,
basicstyle basicstyle basicstyle fff u n c t i o n , f u n c t i o n r u l e s [ [ 1 , 1 ] ] g,
basicstyle basicstyle basicstyle Dynamic [ F i r s t /@ f u n c t i o n r u l e s , SynchronousUpdating >False ] ,
basicstyle basicstyle basicstyle ControlType>PopupMenug,
basicstyle basicstyle basicstyle ffx0 , 0 , " s t a r t i n g p o i n t "g, 0 , 1g,
basicstyle basicstyle basicstyle ffzoom , 0 . 9g, 0 . 1 , . 9g,
basicstyle basicstyle basicstyle TrackedSymbols : >ff u n c t i o n , x0 , zoom g,
basicstyle basicstyle basicstyle S y n c h r o n o u s I n i t i a l i z a t i o n >False ,
basicstyle basicstyle basicstyle AutorunSequencing >f2 , 3g,
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 14 / 20

basicstyle basicstyle basicstyle
basicstyle basicstyle basicstyle I n i t i a l i z a t i o n : >(
basicstyle basicstyle basicstyle NewtonsMethod [ f , x , n z : 10^(10)] :=
basicstyle basicstyle basicstyle I f[Abs [ f x ] ]>nz , N[ xf [ x ] / f x ] ] , NewtonError ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle ConvergenceTest [ f , x ,
basicstyle basicstyle basicstyle t o l ] := ( Abs [ x ]>t o l && x =!= NewtonError ) ;
basicstyle basicstyle basicstyle FindRootNewton [ f , x0 , t o l , m a x i t e r : 1 0 0 ] :=
basicstyle basicstyle basicstyle NestWhileList [ NewtonsMethod [ f , #] &, x0 ,
basicstyle basicstyle basicstyle ConvergenceTest [ f , #, t o l ] &, 1 , m a x i t e r ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle p o i n t S t y l e [ s i z e , c o l o r , p t ] :=fPointSize [ s i z e ] , c o l o r ,
basicstyle basicstyle basicstyle Point [ pt ]g;
basicstyle basicstyle basicstyle s t d o p t s = Sequence [ImageSize>f250 , 150g,PlotStyle>Black ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle NewtonPlot [ f , x0 , t o l ,fxmin , xmaxg, zoom , max ] :=
basicstyle basicstyle basicstyle Module [fi t e r a t e s =
basicstyle basicstyle basicstyle FindRootNewton [ f , x0 , t o l , max ] , fmtpts , f m t l i n e s , fmtarrows ,
basicstyle basicstyle basicstyle ip , fp , l pg,
basicstyle basicstyle basicstyle l p = Last [ i t e r a t e s ] ;
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 15 / 20

basicstyle basicstyle basicstyle
basicstyle basicstyle basicstyle I f[ l p =!= NewtonError ,
basicstyle basicstyle basicstyle f p = p o i n t S t y l e [ Large , Red ,f#, f [#]g&@Last [ i t e r a t e s ] ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle i p = p o i n t S t y l e [ Large , Green ,f#, f [ # ]g] &@ F i r s t [ i t e r a t e s ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle f m t p t s = p o i n t S t y l e [ Medium , Blue ,f#, f [ # ]g] & /@ i t e r a t e s ;
basicstyle basicstyle basicstyle f m t l i n e s =f fBlue ,
basicstyle basicstyle basicstyle Line [ffF i r s t [#] , f [ F i r s t [ # ] ]g,fLast [#] , 0gg]g,fOrange ,
basicstyle basicstyle basicstyle Line [ffLast [#] , 0g,fLast [#] , f [ Last [ # ] ]gg]gg & /@
basicstyle basicstyle basicstyle Reverse [Partition [ i t e r a t e s , 2 , 1 ] ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle Grid [ffPlot [ f [ x ] ,fx , xmin , xmax g,
basicstyle basicstyle basicstyle Epilog>ff m t l i n e s , fmtpts , ip , f p g,Evaluate [ s t d o p t s ] ] ,
basicstyle basicstyle basicstyle Plot [ f [ x ] ,fx , l pzoom , l p + zoom g,
basicstyle basicstyle basicstyle Epilog>ff m t l i n e s , fmtpts , ip , f p g,Evaluate [ s t d o p t s ] ]g,
basicstyle basicstyle basicstyle fPlot [ f [ x ] ,fx , l pzoom ^2 , l p + zoom ^2 g,
basicstyle basicstyle basicstyle Epilog>ff m t l i n e s , fmtpts , ip , f p g,Evaluate [ s t d o p t s ] ] ,
basicstyle basicstyle basicstyle Plot [ f [ x ] ,fx , l pzoom ^3 , l p + zoom ^3 g,
basicstyle basicstyle basicstyle Epilog>ff m t l i n e s , fmtpts , ip , f p g,Evaluate [ s t d o p t s ] ]gg ] ,
basicstyle basicstyle basicstyle "Newton E r r o r D i v i d e by Zero " ]
basicstyle basicstyle basicstyle ] ;
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 16 / 20

basicstyle basicstyle basicstyle f u n c t i o n s =f
basicstyle basicstyle basicstyle fFunction [ x , x ^2Pi] ,f2, 2g, 0g,
basicstyle basicstyle basicstyle fFunction [ x , (1/ x ^ ( 1 / 2 ) ) ( x ^2Pi) ] ,f2, 2g, 0g,
basicstyle basicstyle basicstyle g;
basicstyle basicstyle basicstyle
basicstyle basicstyle basicstyle f u n c t i o n r u l e s =
basicstyle basicstyle basicstyle ToString [Last [F i r s t [ # ] ] , TraditionalForm ]># & /@ f u n c t i o n s ;
basicstyle basicstyle basicstyle G e t F u n c t i o n [ s t r ] := F i r s t [ s t r / . f u n c t i o n r u l e s ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle GetRange [ s t r ] := Part [ s t r / . f u n c t i o n r u l e s , 2 ] ;
basicstyle basicstyle basicstyle RangeToVary [fa, bg, x ] := a + x ( b a ) ;
basicstyle basicstyle basicstyle ) ]
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 17 / 20

Interpretarea geometric a a metodei Newton pentru calculul luip
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 18 / 20

Interpretarea geometric a a metodei Romberg pentru calculul luip
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 19 / 20

Daniel Florin Sofonea , Analiz a Numeric a  si Teoria Aproxim arii,
Editura universit at ii din Bucure sti, 2006
Vraciu George, Micu Sorin, Efrem Raluca, C alug aru Dan, Analiz a
numeric a-Metode numerice ^ n algebr a  si ^ n metoda elementelor nite-
Culegere de exercit ii  si probleme- volumul al II-lea, Reprograa
Universit at ii din Craiova, 1999
Alexandru Lupa s, Analiz a Numeric a, Editura ULBS, 1997
P. Blaga Analiz a Numeric a  si Teoria Aproxim arii, Cluj, 2010
Facultatea de S tiint e Matematic a-Informatic a Student: Coordonator  stiint ic :
R aducu-R azvan Gheorghe
Anul III Conf. Dr. Florin SofoneaSibiu 2017 Implementarea c^ atorva metode numerice ^ n Mathematica 20 / 20