I.Elemente de teoria probabilit at ilor [601498]

I.Elemente de teoria probabilit at ilor
0.1 1.1 Evenimente
Teoria probabilit at ilor are ca not iuni fundamentale : not iunea de eveni-
ment  si probabilitatea aparit iei unui eveniment. ^In activitatea  stiint ic a
 si ^ si ^ n activitatea economico-social a se ^ nt^ alnesc fenomene a c aror producere
 si desf a surare poate  prev azut a cu exactitate deoarece ansamblul factorilor
care le provoac a se poate studia cu precizie Exist a fenomene care depind de
factori ^ nt^ ampl atori  si care se numesc fenomene aleatoare ( ^ n limba latin a:
,, alea" = zar ). Un experiment aleator este o activitate ale c arei rezultate
nu pot  anticipate cu sigurant  a . Mult imea tuturor rezultatelor posibile ale
unui experiment aleator se nume ste domeniu de posibilit at i sau mult imea
cazurilor posibile . Evenimentul sau evenimentul aleator este orice situat ie
determinat a de unul sau mai multe rezultate posibile ale experimentului.
Evenimentele sunt submult imi ale domeniului de posibilit at i. Fiecare repe-
tare a unui experiment se nume ste prob a. O prob a atrage dup a sine realizarea
sau nerealizarea unui eveniment . Un eveniment s-a realizat dac a rezultatul
experimentului este un element ^ n mult imea care-l dene ste. Fiec arui eve-
niment ^ i corespunde o mult ime de cazuri favorabile . Exeple: Consider am
activitatea de aruncare a zarului cu fet ele numerotate de la 1 la 6: – activi-
tatea arunc arii zarului constituie un experiment aleator ; – aruncarea zarului
este o prob a ; – domeniul de posibilit at i este E=1,2,3,4,5,6 ; – evenimente
aleatoare: A: aparit ia fet ei cu num arul 5 ; B: aparit ia unui num ar impar; C:
aparit ia fet ei cu num arul 3 sau 5 ; D: aparit ia fet ei cu num arul 8; E: aparit ia
uneia dintre fet ele numerotate cu 1 ,2, 3, 4, 5 sau 6. Exist a trei tipuri de
evenimente: 1. evenimentul sigur( cert) – se realizeaz a cu certitudine la orice
efectuare a experimentului ( evenimentul E de mai sus) . 2. eveniment impo-
sibil – nu se poate realiza ^ n nicio prob a ( evenimentul D ) , acest eveniment
nu are niciun caz favorabil . 3. Evenimente aleatoare care se pot produce sau
nu ^ n urma efectuarii unui experiment ( evenimentul A , B, C) . OPERAT  II
CU EVENIMENTE: a) Reuniunea Reuniunea evenimentelor A  si B notat a
A U B numit  si eveniment sum a se realizeaz a atunci c^ and se realizeaz a cel
put in unul dintre evenimentele A sau B. Evenimentul sigur este reuniunea
tuturor evenimentelor elementare ale experimentului
A[=A
1

. Not am cu E domeniul de posibilit at i  si atunci avem A[E=E. b)
Intersect ia Evenimentul
A\B
numit  si conjunct ia evenimentelor A  si B este evenimentul a c arui realizare
^ nseamn a realizarea ambelor evenimente A  si B .
A\=
A\E=A
c) Negat ia Evenimentul Asau ,, non A" este evenimentul contrat eveni-
mentului A . Cazurile favorabile evenimentului "non A" sunt toate cazurile
nefavorabile evenimentului A . Observat ii :
A\B=A B
A=A
A\A=
d) Implicat ia AB. A implic a B este evenimentul care presupune c a
realizarea evenimentului A atrage realizarea evenimentului B . Evenimentul
imposibil implic a orice alt eveniment al experient ie . Orice eveniment implic a
evenimentul sigur. Evenimentele A  si B sunt echivalente dac a se implic a
reciproc  si se noteaz a
A=B
.
EVENIMENTE INCOMPATIBILE S I EVENIMENTE COMPATIBILE
Evenimentele A  si B sunt incompatibile dac a nu se pot realiza ^ mpreun a
^ n nicio prob a . A  si B sunt incompatibile dac a
A\B=
. Dac a A  si B sunt incompatibile atunci
AB
 si
BA
. Evenimentul sigur  si evenimentul imposibil sunt evenimente incompatibile.
Evenimentele A  si B se numesc compatibile dac a se pot realiza ^ mpreun a ^ n
acea si prob a . A,B sunt compatibile dac a nu sunt incompatibile (
A\B6=
) De exemplu evenimentele A: aparit ia fet ei cu num arul 5  si B: aparit ia unui
num ar impar sunt evenimente compatibile.
2

0.2 1.3 Probalit at i condit ionate
Probabilitaea condit ionat a de evenimentul A a evenimentului B este proba-
bilitatea lui B dac a evenimentul A se produce. Denit ie : e
(E;P(E); P)
un c^ amp de probabilitate, A  si B dou a evenimente,
P(B)6= 0:
Probabilitatea evenimentului A condit ionat a de evenimentul B este num arul
PB(A) =P(A\B)
P(B)
. Dac a A  si B sunt disjuncte atunci
PA(B) = 0
. Teorema 1: (Formula de ^ nmultire a probabilit at ilor) (i)
P(A)>0; P(B)>0 =)P(A\B) =P(A)PA(B) =P(B)PB(A)
(ii)
P(n1\
k=1Ak)>0 =)P(A1\A2\:::\An) =P(A1)PA1(A2)PA1\A2(A3):::PA1\A2\:::\An1(An)
Demonstrat ie: din denit ia probabilit at i condit ionate
PB(A) =P(A\B)
P(B)
reiese (i)  si c a pentru n=2 are loc (ii) . Dac a presupunem c a (ii) este
adev arat a pentru n  si c a
P(n1\
k=1Ak)>0
atunci avem
P(n+1\
k=1Ak) =P((n\
k=1Ak)\An+1) =P(A1\A2\:::\An)PA1\A2\:::\An(An+1)
3

. Deoarece
A1\:::\An1A1\:::\An;
rezul a c a :
P(n1\
k=1Ak)>P(n1\
k=1Ak)>0
 si putem aplica (ii) pentru primul factor din produsul de mai sus  si obt inem
formula de ^ nmult ire pentru n+ 1 ,teorema ind demonstrat a. Teorema 2:
(Formula probabilit at ii totale) Dac a
(Hi)i2I
este o desfacere cel mult num arabil a a lui E astfel ^ nc^ at
P(Hi)>08i2I
, atunci
A2P(E) =)P(A) =X
i2IP(Hi)PHi(A)
. Demonstrat ie : Pentru ca
E=[
i2IHi
putem scrie
A=A\E=A\([
i2IHi) =[
i2I(A\Hi)
Hi\Hj=
,
8i6=j
, atunci avem
P(A) =X
i2IP(A\Hi) =X
i2IP(Hi)PHi(A)
, pentru c a X este cel mult num arabil a  si am utilizat faptul c a
P(Hi)>0
. Exemplu: O urn a cont ine 5 bile albe dintre care dou a numerotate cu 1
 si trei numerotate cu 2  si 4 bile negre dintre care dou a numerotate cu 1  si
dou a cu 2 . Din aceast a urn a se extrag succesiv dou a bile( f ar a ^ ntoarcerea
bilei extrase) . Se consider a evenimentele A: prima bila extras a este alb a.
4

B: a doua bil a extras a are num arul 1. Care este probabilitatea ca a doua
bil a s a e alb a dac a prima este alb a? Ca s a aplic am formula din denit ia
probabilit at ii condit ionate trebuie s a cunoa stem
P(B)
 si
P(A\B)
.
A\B
este evenimentul "ambele bile extrase sunt albe". Dac a extragem dou a bile
succesive din totalul de nou a bile , num arul cazurilor posibile este
A2
9= 72
dintre care favorabilele lui " A  si B" sunt
A2
5= 20
, deci probabilitatea
P(A\B) =20
72=5
18
.
PA(B) =P(A\B)
P(A)=5=18
5=9=1
2
EVENIMENTE INDEPENTE Denit ie: evenimentele A  si B se numesc in-
dependente dac a realizarea unuia nu depinde de realizarea celuilalt. Eveni-
mentele A  si B sunt independente dac a  si numai dac a
P(A\B) =P(A)P(B)
. Evenimentele A  si B sunt dependente dac a realizarea sau nerealizarea unuia
depinde de realizarea sau nerealizarea celuilalt. Exemplu: se arunc a un zar o
singur a dat a c si se consider a evenimentele : A: aparit ia uneia din fet ele 1,3,4
B: aparit ia uneia din fet ele 3,4,5,6 Evenimentele A  si B sunt independente ,
P(A) =3
6=1
2
;
P(B) =4
6=2
3
P(A\B) =2
6=1
3
5

. Evenimentele A  si B veric a relat ia
P(A\B) =P(A)P(B)
P(A\B) =1
22
3=1
3
cea ce arat a dependent a lor.
0.3 1.4 VARIABILE ALEATOARE DISCRETE
^In viat a de zi cu zi ^ nt^ alnim experiente care consuc la c^ a stiguri sau pierderi
, ^ nt^ alnim m arimi care i-au valori ce se schimb a sub in
uent a unor factori
^ nt^ ampl atori (aleatori). De exemplu: num arul de zile dintr-un an ^ n care
cad ploi peste o anumi a zon a , v^ anz arile din comert  sunt legate de ofertele
concurent ei , notele de la examen depind de subiectul propus . Nu orice
experient  a poate  studiat a riguros matematic dar unele dintre jocurile de
noroc da . Ca s a cunoa stem o variabil a aleatoare trebuie s a  stim mai ^ nt^ ai
valorile pe care le poate lua. Fiecare valoare este luat a sub in
uent a unor
factori ^ nt^ ampl atoori . Variabila aleatoare este mai bine precizat a dac a  stim
probabilitatea cu care este luat a ecare valoare . Denit ie : e
(E;P(E); P)
un c^ amp de probabilitate asociat unui experiment. O funt ie
X:E!x1; x2; :::; x n
care face s a corespun a ec arui element din domeniul de posibilit at i un num ar
real dintr-o mult ime nit a de valori  si pentru care cunoa stem probabilit at ile
ec arei valori posibile , P(X=xi) =pi,i=1; nastfel ^ nc^ at pi>0  si
p1+p2+:::+pn= 1 se nume ste variabil a aleatoare . O variabil a aleatoare
X se poate nota schematic printr-un tablou de distribut ie sau repartit ie al
variabilei aleatoare
Xx1x2:::xn
p1p2:::pn
Mult imea de numere pipi=P(X=xi); i=1; nse nume ste repartit ia de pro-
babilitate a variabilei X . Exemplu: se consider a un joc cu zaruri. Se acord a
celui care arunc a zarul: un punct dac a apar fet ele 1 sau 6 , dou a puncte dac a
apare una din fet ele 2 sau 4  si trei puncte dac a apare una din fet ele 3 sau
5 . Num arul de puncte obt inute de un juc ator la o aruncare a zarului este
variabila aleatoare
X:1 2 3
1=3 1=3 1=3
6

Variabilele aleatoare se clasic a dup a propriet at ile mult imii valorilor astfel:
– variabil a aleatoare simpl a , dac a are un num ar nit de valori ; – variabil a
aleatoare de tip continuu dac a mult imea valorilor este un interval de numere
reale ; – variabil a aleatoare de tip discret dac a mult imea valorilor este o
mult ime discret a de numere .
Operat ii cu variabile aleatoare:
Variabilele X  si Y sunt independente dac a evenimentele X=xi,Y=yj
sunt evenimente independente oricare ar  i=1; n sij=1; n. Fie X,Y
variabile aleatoare av^ and tabloul de distribut ie:
Xx1x2:::xm
p1p2:::pm
; Yy1y2:::yn
q1q2:::qn
X+Yx1+y1x1+y2:::xi+yj:::xm+xn
p1q1 p1q2 :::piqj :::pmqn
Exemplu: X1 3
1
52
5
; Y2 4
4
53
5
, dou a variabile independente .
Valorile sumei vor : f3;5;7g
X+Y3 5 7
4
2511
256
25
. Adunarea  si ^ nmult irea cu num ar real:
a+Xa+x1a+x2:::a+xm
p1 p2 :::pm
; aXax1ax2:::ax m
p1p2:::pm
; a2R
Exemplu:
2 +X3 5
1
52
5
: 2X2 6
1
52
5
^Inmult irea variabilelor aleatoare:
XYx1y1x1y2:::xiyj:::xmyn
p1q1p1q2:::piqj:::pmqn
Exemplu:
XY2 4 6 12
4
253
258
256
25
Ridicarea la putere:
Xkxk
1xk
2:::xk
m
p1p2pm
7

Exemplu:
Y38 64
4
53
5
Valori numerice asociate variabilei aleatoare : 1. Momentul de ordinul k(k2
N) a lui X :
Mk(X) =nX
i=1xk
ipi
dac ak= 1; M 1(X) este media variabilei aleatoare (valoarea medie sau sperant a
matematic a)  si se noteaz a M(X).
2. Modulul sau dominanta variabilei aleatoare X este valoarea ce cores-
punde probabilit atii celei mai mari  si se noteaz a M0(X) .
3.Dispersia variabilei aleatoare X se determin a cu ajutorul formulei D2(X) =
(x1m)2p1+ (x2m)2p2+:::+ (xnm)2pn, unde m=M(X)
4. Aplitudinea variabilei aleatoare este diferent a dintre cea mai mare si
 si cea mai mic a valoare a variabilei.
A(X) = max
i=1;n(xi)min
i=1;n(xi):
5. Abaterea medie p atratic a notat a D(X) se calculeaz a cu ajutorul for-
mulei
D(X) =p
D2(X):
Abaterea medie p atratic a arat a gradul de ^ mpr a stiere sau de omogenitate a
valorilor variabilei X ^ n jurul valorii medii .
Exemplu: Arunc am cu zarul. Dac a iese un num ar impar , c^ a stig am at^ atea
se c^ at este num arul ; dac a iese un num ar par pierdem at^ atea se c^ at arat a
num arul. Not am cu X variabila aleatoare care va avea urm atorul tablou de
distribut ie:
X642 1 3 5
1
61
61
61
61
61
6
M(X) = 11
621
6+ 31
641
6+ 51
661
6=1
2
M0(X)2f 6;4;2;1;3;5g
D2(X) =nX
i=1×2
ipim2= (6)2+(4)2+(2)21
6+121
6+321
6+521
6(1
2)2=179
12
D(X) =r
179
12=p
537
6= 3;84
A(X) = 5(6) = 11
8

0.4 1.5 FORMULA LUI BAYES
Unele probleme se pot rezolva aplic^ and formule si scheme probabiliste. Rolul
acestora este de a rezolva probleme de un anumit tip f ar a a  nevoie s a
facem apel de ecare dat a la un rat ionament sau la un calcul complicat .
Odat a cunoscut a aceast a schem a dac a ^ nt^ alnim ^ ntr-o problem a o anumit a
experient  a care se repet a ^ n condit ii identice , apel am la rezultatul cunoscut
. Regula de ^ nmult ire a probabilit at ilor:
P(A1\A2\:::\An) =P(A1)P(A2=A1)P(A3=A1\A2):::P(An=A1\A2\:::\An1)
Demonstrat ie. Folosind denit ia probabilit at ii condit ionat a avem:
P(A1) =P(A1);
P(A2=A1) =P(A1\A2)
P(A1);
P(A3=A1\A2) =P(A1\A2\A3)
P(A1\A2);
:::::::::::::::::::::::::::::::::
P(An=A1\A2\:::\An1) =P(A1\A2\:::\An1\An)
P(A1\A2\An1)
 si^ nmult iind membru cu membru aceste egalit at ii obt inem regula de^ nmult ire
a probabilit at ilor. Formula probabilit at ii totale
Dac a A1; A2; :::A nformeaz a un sistem complet de evenimente , atunci
pentru orice eveniment A avem
P(A) =P(A1)P(A=A 1) +P(A2)P(A=A 2) +:::+P(An)P(A=A n):
Demonstrat ie: o mult ime de evenimente formeaz a un sistem complet de eve-
nimente , dac a acestea sunt incompatibile dou a c^ ate dou a  si reuniunea lor
este evenimentul sigur . Un eveniment A nu se poate realiza dec^ at ^ mpreun a
cu unul  si numai unul din evenimentele A1; A2; :::A n:
A= (A\A1)[(A\A2)[:::[(A\An):
(Aceast a relat ie rezult a  si dac a intersect am ambii membrii ai relat iei E=
A1[A2[:::[An si av^ and ^ n vedere distributivitatea intersect iei fat  a de
reuniune ). Dac a trecem cu P peste aceast a relat ie , obt inem
P(A) =P(A\A1) +P(A\A2) +:::+P(A\An)
9

 si potrivit regulilor de ^ nmult ire a probabilit at ilor
P(A\Ai) =P(Ai)P(A=A i)
iar formula este demonstrat a .
Formula lui Bayes: Dac a A1; :::; A nformeaz a un sistem complet de eve-
nimente atunci pentru orice eveniment A
P(Ai=A) =P(Ai)P(A=A i)
P(A1)P(A=A 1) +P(A2)P(A=A 2) +:::+P(An)P(A=A n)
(i= 1;2; :::; n )
Demonstrat ie. Din regula de ^ nmult ire a probabilit at ilor reiese c a
P(A\Ai) =P(A)P(Ai=A);
P(Ai\A) =P(Ai)P(A=A i):
De aici rezul a c a
P(Ai=A) =P(Ai)P(A=A i)
P(A):
Sau dac a scriem P(A) conform formulei probabilit at ii totale
P(Ai=A) =P(Ai)P(A=A i)
P(A1)P(A=A 1) +P(A2)P(A=A 2) +:::+P(An)P(A=A n)
Dac a A1; A2; :::; A nsunt echiprobabile :
P(A1) =P(A2) =:::=P(An) =1
n
formula lui Bayes va
P(Ai=A) =P(A=A 1)
P(A=A 1) +:::+P(A=A n):
10