I.Elemente de teoria probabilit at ilor [601371]

I.Elemente de teoria probabilit at ilor
0.1 1.1 Evenimente
Teoria probabilit at ilor are ca not iuni fundamentale : not iunea de eveni-
ment  si probabilitatea aparit iei unui eveniment. ^In activitatea  stiint ic a
 si ^ n activitatea economico-social a se ^ nt^ alnesc fenomene a c aror producere
 si desf a surare poate  prev azut a cu exactitate deoarece ansamblul factorilor
care le provoac a se poate studia cu precizie.
Exist a fenomene care depind de factori ^ nt^ ampl atori  si care se numesc
fenomene aleatoare ( ^ n limba latin a: ,, alea" = zar ).
Un experiment aleator este o activitate ale c arei rezultate nu pot  anti-
cipate cu sigurant  a . Mult imea tuturor rezultatelor posibile ale unui experi-
ment aleator se nume ste domeniu de posibilit at i sau mult imea cazurilor po-
sibile . Evenimentul sau evenimentul aleator este orice situat ie determinat a
de unul sau mai multe rezultate posibile ale experimentului. Evenimentele
sunt submult imi ale domeniului de posibilit at i.
Fiecare repetare a unui experiment se nume ste prob a. O prob a atrage
dup a sine realizarea sau nerealizarea unui eveniment . Un eveniment s-a
realizat dac a rezultatul experimentului este un element ^ n mult imea care-l
dene ste. Fiec arui eveniment ^ i corespunde o mult ime de cazuri favorabile .
Exemple: Consider am activitatea de aruncare a zarului cu fet ele nume-
rotate de la 1 la 6:
– activitatea arunc arii zarului constituie un experiment aleator ;
– aruncarea zarului este o prob a ;
– domeniul de posibilit at i este E=f1;2;3;4;5;6g;
– evenimente aleatoare:
A: aparit ia fet ei cu num arul 5 ;
B: aparit ia unui num ar impar;
C: aparit ia fet ei cu num arul 3 sau 5 ;
D: aparit ia fet ei cu num arul 8;
E: aparit ia uneia dintre fet ele numerotate cu 1 ,2, 3, 4, 5 sau 6.
Exist a trei tipuri de evenimente:
1. evenimentul sigur( cert) – se realizeaz a cu certitudine la orice efectuare
a experimentului ( evenimentul E de mai sus) .
2. eveniment imposibil – nu se poate realiza ^ n nicio prob a ( evenimentul
D ) , acest eveniment nu are niciun caz favorabil .
1

3. Evenimente aleatoare care se pot produce sau nu ^ n urma efectu arii
unui experiment ( evenimentul A , B, C) .
OPERAT  II CU EVENIMENTE:
a) Reuniunea
Reuniunea evenimentelor A  si B notat a AUB numit  si eveniment sum a
se realizeaz a atunci c^ and se realizeaz a cel put in unul dintre evenimentele A
sau B.
Evenimentul sigur este reuniunea tuturor evenimentelor elementare ale
experimentului
A[=A:
Not am cu E domeniul de posibilit at i  si atunci avem A[E=E.
b) Intersect ia
Evenimentul A\Bnumit  si conjunct ia evenimentelor A  si B este eve-
nimentul a c arui realizare ^ nseamn a realizarea ambelor evenimente A  si B
.
A\=
A\E=A
c) Negat ia
Evenimentul Asau ,, non A" este evenimentul contrat evenimentului A
. Cazurile favorabile evenimentului "non A" sunt toate cazurile nefavorabile
evenimentului A . Observat ii :
A\B=A B
A=A
A\A=
d) Implicat ia AB.
A implic a B este evenimentul care presupune c a realizarea evenimentului
A atrage realizarea evenimentului B . Evenimentul imposibil implic a orice
alt eveniment al experient iei . Orice eveniment implic a evenimentul sigur.
Evenimentele A  si B sunt echivalente dac a se implic a reciproc  si se noteaz a
A=B:
EVENIMENTE INCOMPATIBILE S I EVENIMENTE COMPATIBILE
Evenimentele A  si B sunt incompatibile dac a nu se pot realiza ^ mpreun a ^ n
nicio prob a . A  si B sunt incompatibile dac a
A\B=:
2

Dac a A  si B sunt incompatibile atunci :
AB siBA:
Evenimentul sigur  si evenimentul imposibil sunt evenimente incompati-
bile. Evenimentele A  si B se numesc compatibile dac a se pot realiza^ mpreun a
^ n aceea si prob a . A,B sunt compatibile dac a nu sunt incompatibile
(A\B6=)
De exemplu evenimentele A: aparit ia fet ei cu num arul 5  si B: aparit ia unui
num ar impar sunt evenimente compatibile.
0.2 1.3 Probalit at i condit ionate
Probabilitatea condit ionat a de evenimentul A a evenimentului B este proba-
bilitatea lui B dac a evenimentul A se produce.
Denit ie : e ( E;P(E); P) un c^ amp de probabilitate, A  si B dou a eve-
nimente, P(B)6= 0:Probabilitatea evenimentului A condit ionat a de eveni-
mentul B este num arul
PB(A) =P(A\B)
P(B):
Dac a A  si B sunt disjuncte atunci
PA(B) = 0:
Teorema 1: (Formula de ^ nmult ire a probabilit at ilor)
(i)P(A)>0; P(B)>0 =)P(A\B) =P(A)PA(B) =P(B)PB(A)
(ii)P(n1\
k=1Ak)>0 =)P(A1\A2\:::\An) =P(A1)PA1(A2)PA1\A2(A3):::PA1\A2\:::\An1(An)
Demonstrat ie: din denit ia probabilit at i condit ionate
PB(A) =P(A\B)
P(B)
reiese (i)  si c a pentru n=2 are loc (ii) . Dac a presupunem c a (ii) este
adev arat a pentru n  si c a
P(n1\
k=1Ak)>0
3

atunci avem
P(n+1\
k=1Ak) =P((n\
k=1Ak)\An+1) =P(A1\A2\:::\An)PA1\A2\:::\An(An+1):
Deoarece
A1\:::\An1A1\:::\An;
rezul a c a :
P(n1\
k=1Ak)>P(n1\
k=1Ak)>0
 si putem aplica (ii) pentru primul factor din produsul de mai sus  si obt inem
formula de ^ nmult ire pentru n+ 1 ,teorema ind demonstrat a.
Teorema 2: (Formula probabilit at ii totale)
Dac a ( Hi)i2Ieste o desfacere cel mult num arabil a a lui E astfel ^ nc^ at
P(Hi)>08i2I;
atunci
A2P(E) =)P(A) =X
i2IP(Hi)PHi(A):
Demonstrat ie : Pentru ca
E=[
i2IHi
putem scrie
A=A\E=A\([
i2IHi) =[
i2I(A\Hi)
Hi\Hj=;
8i6=j;
atunci avem
P(A) =X
i2IP(A\Hi) =X
i2IP(Hi)PHi(A);
pentru c a X este cel mult num arabil a  si am utilizat faptul c a
P(Hi)>0:
Exemplu: O urn a cont ine 5 bile albe dintre care dou a numerotate cu 1  si
trei numerotate cu 2  si 4 bile negre dintre care dou a numerotate cu 1  si dou a
cu 2 . Din aceast a urn a se extrag succesiv dou a bile( f ar a ^ ntoarcerea bilei
4

extrase) . Se consider a evenimentele A: prima bila extras a este alb a. B: a
doua bil a extras a are num arul 1. Care este probabilitatea ca a doua bil a s a e
alb a dac a prima este alb a? Ca s a aplic am formula din denit ia probabilit at ii
condit ionate trebuie s a cunoa stem P(B)  siP(A\B):
A\Beste evenimentul "ambele bile extrase sunt albe". Dac a extragem
dou a bile succesive din totalul de nou a bile , num arul cazurilor posibile este
A2
9= 72
dintre care favorabilele lui " A  si B" sunt
A2
5= 20;
deci probabilitatea
P(A\B) =20
72=5
18:
PA(B) =P(A\B)
P(A)=5=18
5=9=1
2:
EVENIMENTE INDEPENTE
Denit ie: evenimentele A  si B se numesc independente dac a realizarea
unuia nu depinde de realizarea celuilalt. Evenimentele A  si B sunt indepen-
dente dac a  si numai dac a
P(A\B) =P(A)P(B):
Evenimentele A  si B sunt dependente dac a realizarea sau nerealizarea unuia
depinde de realizarea sau nerealizarea celuilalt.
Exemplu: se arunc a un zar o singur a dat a c si se consider a evenimentele:
A: aparit ia uneia din fet ele 1,3,4 ;
B: aparit ia uneia din fet ele 3,4,5,6 ;
Evenimentele A  si B sunt independente ,
P(A) =3
6=1
2;
P(B) =4
6=2
3;
P(A\B) =2
6=1
3:
Evenimentele A  si B veric a relat ia
P(A\B) =P(A)P(B)
P(A\B) =1
22
3=1
3
cea ce arat a dependent a lor.
5

0.3 1.4 VARIABILE ALEATOARE DISCRETE
^In viat a de zi cu zi ^ nt^ alnim experient e care conduc la c^ a stiguri sau pierderi
, ^ nt^ alnim m arimi care i-au valori ce se schimb a sub in
uent a unor factori
^ nt^ ampl atori (aleatori).
De exemplu: num arul de zile dintr-un an ^ n care cad ploi peste o anumit a
zon a , v^ anz arile din comert  sunt legate de ofertele concurent ei , notele de la
examen depind de subiectul propus . Nu orice experient  a poate  studiat a
riguros matematic dar unele dintre jocurile de noroc da .
Ca s a cunoa stem o variabil a aleatoare trebuie s a  stim mai ^ nt^ ai valorile
pe care le poate lua. Fiecare valoare este luat a sub in
uent a unor factori
^ nt^ ampl atori . Variabila aleatoare este mai bine precizat a dac a  stim proba-
bilitatea cu care este luat a ecare valoare .
Denit ie : e ( E;P(E); P) un c^ amp de probabilitate asociat unui expe-
riment. O funct ie
X:E!x1; x2; :::; x n
care face s a corespun a ec arui element din domeniul de posibilit at i un num ar
real dintr-o mult ime nit a de valori  si pentru care cunoa stem probabilit at ile
ec arei valori posibile , P(X=xi) =pi,i=1; nastfel ^ nc^ at pi>0  si
p1+p2+:::+pn= 1 se nume ste variabil a aleatoare .
O variabil a aleatoare X se poate nota schematic printr-un tablou de
distribut ie sau repartit ie al variabilei aleatoare .
Xx1x2:::xn
p1p2:::pn
Mult imea de numere pipi=P(X=xi); i=1; nse nume ste repartit ia de pro-
babilitate a variabilei X . Exemplu: se consider a un joc cu zaruri. Se acord a
celui care arunc a zarul: un punct dac a apar fet ele 1 sau 6 , dou a puncte dac a
apare una din fet ele 2 sau 4  si trei puncte dac a apare una din fet ele 3 sau
5 . Num arul de puncte obt inute de un juc ator la o aruncare a zarului este
variabila aleatoare .
X:1 2 3
1=3 1=3 1=3
Variabilele aleatoare se clasic a dup a propriet at ile mult imii valorilor astfel:
– variabil a aleatoare simpl a , dac a are un num ar nit de valori ;
– variabil a aleatoare de tip continuu dac a mult imea valorilor este un in-
terval de numere reale ;
– variabil a aleatoare de tip discret dac a mult imea valorilor este o mult ime
discret a de numere .
Operat ii cu variabile aleatoare:
6

Variabilele X  si Y sunt independente dac a evenimentele X=xi,Y=yj
sunt evenimente independente oricare ar  i=1; n sij=1; nFie X,Y
variabile aleatoare av^ and tabloul de distribut ie:
Xx1x2:::xm
p1p2:::pm
; Yy1y2:::yn
q1q2:::qn
X+Yx1+y1x1+y2:::xi+yj:::xm+xn
p1q1 p1q2 :::piqj :::pmqn
Exemplu: X1 3
1
52
5
; Y2 4
4
53
5
, dou a variabile independente .
Valorile sumei vor : f3;5;7g
X+Y3 5 7
4
2511
256
25
:
Adunarea  si ^ nmult irea cu num ar real:
a+Xa+x1a+x2:::a+xm
p1 p2 :::pm
; aXax1ax2:::ax m
p1p2:::pm
; a2R
Exemplu:
2 +X3 5
1
52
5
: 2X2 6
1
52
5
^Inmult irea variabilelor aleatoare:
XYx1y1x1y2:::xiyj:::xmyn
p1q1p1q2:::piqj:::pmqn
Exemplu:
XY2 4 6 12
4
253
258
256
25
Ridicarea la putere:
Xkxk
1xk
2:::xk
m
p1p2pm
Exemplu:
Y38 64
4
53
5
Valori numerice asociate variabilei aleatoare :
1. Momentul de ordinul k(k2N) a lui X :
Mk(X) =nX
i=1xk
ipi
7

dac ak= 1; M 1(X) este media variabilei aleatoare (valoarea medie sau sperant a
matematic a)  si se noteaz a M(X).
2. Modulul sau dominanta variabilei aleatoare X este valoarea ce cores-
punde probabilit at ii celei mai mari  si se noteaz a M0(X) .
3. Dispersia variabilei aleatoare X se determin a cu ajutorul formulei
D2(X) = (x1m)2p1+ (x2m)2p2+:::+ (xnm)2pn, unde m=M(X)
4. Amplitudinea variabilei aleatoare este diferent a dintre cea mai mare
si  si cea mai mic a valoare a variabilei.
A(X) = max
i=1;n(xi)min
i=1;n(xi):
5. Abaterea medie p atratic a notat a D(X) se calculeaz a cu ajutorul for-
mulei
D(X) =p
D2(X):
Abaterea medie p atratic a arat a gradul de ^ mpr a stiere sau de omogenitate a
valorilor variabilei X ^ n jurul valorii medii .
Exemplu: Arunc am cu zarul. Dac a iese un num ar impar , c^ a stig am at^ atea
se c^ at este num arul ; dac a iese un num ar par pierdem at^ atea se c^ at arat a
num arul. Not am cu X variabila aleatoare care va avea urm atorul tablou de
distribut ie:
X642 1 3 5
1
61
61
61
61
61
6
M(X) = 11
621
6+ 31
641
6+ 51
661
6=1
2
M0(X)2f 6;4;2;1;3;5g
D2(X) =nX
i=1×2
ipim2= (6)2+(4)2+(2)21
6+121
6+321
6+521
6(1
2)2=179
12
D(X) =r
179
12=p
537
6= 3;84
A(X) = 5(6) = 11
0.4 1.5 FORMULA LUI BAYES
Unele probleme se pot rezolva aplic^ and formule  si scheme probabiliste. Rolul
acestora este de a rezolva probleme de un anumit tip f ar a a  nevoie s a
facem apel de ecare dat a la un rat ionament sau la un calcul complicat .
Odat a cunoscut a aceast a schem a dac a ^ nt^ alnim ^ ntr-o problem a o anumit a
experient  a care se repet a ^ n condit ii identice , apel am la rezultatul cunoscut.
8

Regula de ^ nmult ire a probabilit at ilor:
P(A1\A2\:::\An) =P(A1)P(A2=A1)P(A3=A1\A2):::P(An=A1\A2\:::\An1)
Demonstrat ie. Folosind denit ia probabilit at ii condit ionat a avem:
P(A1) =P(A1);
P(A2=A1) =P(A1\A2)
P(A1);
P(A3=A1\A2) =P(A1\A2\A3)
P(A1\A2);
:::::::::::::::::::::::::::::::::
P(An=A1\A2\:::\An1) =P(A1\A2\:::\An1\An)
P(A1\A2\An1)
 si^ nmult iind membru cu membru aceste egalit at ii obt inem regula de^ nmult ire
a probabilit at ilor.
Formula probabilit at ii totale :
Dac a A1; A2; :::A nformeaz a un sistem complet de evenimente , atunci
pentru orice eveniment A avem
P(A) =P(A1)P(A=A 1) +P(A2)P(A=A 2) +:::+P(An)P(A=A n):
Demonstrat ie: o mult ime de evenimente formeaz a un sistem complet de eve-
nimente , dac a acestea sunt incompatibile dou a c^ ate dou a  si reuniunea lor
este evenimentul sigur . Un eveniment A nu se poate realiza dec^ at ^ mpreun a
cu unul  si numai unul din evenimentele A1; A2; :::A n:
A= (A\A1)[(A\A2)[:::[(A\An):
(Aceast a relat ie rezult a  si dac a intersect am ambii membrii ai relat iei E=
A1[A2[:::[An si av^ and ^ n vedere distributivitatea intersect iei fat  a de
reuniune ). Dac a trecem cu P peste aceast a relat ie , obt inem
P(A) =P(A\A1) +P(A\A2) +:::+P(A\An)
 si potrivit regulilor de ^ nmult ire a probabilit at ilor
P(A\Ai) =P(Ai)P(A=A i)
iar formula este demonstrat a .
9

Formula lui Bayes: Dac a A1; :::; A nformeaz a un sistem complet de eve-
nimente atunci pentru orice eveniment A
P(Ai=A) =P(Ai)P(A=A i)
P(A1)P(A=A 1) +P(A2)P(A=A 2) +:::+P(An)P(A=A n)
(i= 1;2; :::; n )
Demonstrat ie. Din regula de ^ nmult ire a probabilit at ilor reiese c a
P(A\Ai) =P(A)P(Ai=A);
P(Ai\A) =P(Ai)P(A=A i):
De aici rezul a c a
P(Ai=A) =P(Ai)P(A=A i)
P(A):
Sau dac a scriem P(A) conform formulei probabilit at ii totale
P(Ai=A) =P(Ai)P(A=A i)
P(A1)P(A=A 1) +P(A2)P(A=A 2) +:::+P(An)P(A=A n)
Dac a A1; A2; :::; A nsunt echiprobabile :
P(A1) =P(A2) =:::=P(An) =1
n
iar formula lui Bayes va
P(Ai=A) =P(A=A 1)
P(A=A 1) +:::+P(A=A n):
Exemplu: avem dou a urne identice ^ n exterior. Una cont ine 3 bile albe  si 4
bile negre , iar cealalt a cont ine 4 bile albe  si 5 bile negre . Din una din aceste
urne aleas a la ^ nt^ amplare se extrage o bil a la ^ nt^ amplare . Dac a bila extras a
este alb a care este probabilitatea ca bila s a provin a din prima urn a ?
Consider am evenimentele:
A: bila extras a este alb a ;
A1: extragerea se face din prima urn a ;
A2: extragerea se face din a doua urn a ;
Evenimentele A1 siA2sunt echiprobabile .
P(A1) =P(A2) =1
2
Aplic^ and formula lui Bayer obt inem
P(A1=A) =P(A=A 1)
P(A=A 1) +P(A=A 2)=3=7
3=7 + 4=9=27
55:
10