I. REPERE GENERALE ALE STUDIERII FUNCȚIILOR [605209]
I. REPERE GENERALE ALE STUDIERII FUNCȚIILOR
DERIVABILE:
1.1. Derivabilitate. Retrospectivă, actualitate și perspectivă
În matematică, noțiunea de derivată are o importanță deosebită, alături de cea de
primitivă (sau anti -derivată), fiind elementul fundamental al calculului diferențial. Calculul
diferențial a fost generat la începuturi de probleme de mecanică și de geometrie, apoi dezvoltând
întregi teorii. „ Matematicianul englez Sir Isac Newton (1642 -1727) este considerat unul dintre
descoperitorii calculului diferențial, în 1666 și prezentat în „Method of Fluxions” (1671). Totuși,
această lucrare nu a fost publicată până în anul 1736, timp în care matematicianul și filosoful
german Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716) a descoperit independent de Ne wton, calculul
diferențial, pe care l -a publicat în 1684. Ultimii șapte ani din viață, Leibniz și i -a petrecut într -o
continuă controversă cu Newton privind prioritatea în descoperirea calculului diferențial.
(manual ganga, pag 386) Notația lui Newton pent ru derivată este 𝑓′(𝑥)=lim
∆𝑥→0Δ𝑦
Δ𝑥, iar cea a lui
Leibniz este 𝑓′(𝑥)= 𝑑𝑦
𝑑𝑥.” (manual ganga 386).
„Alți matematicieni care au augmentat calculul diferențial sunt: P. Fermat (1601 -1665);
M. Rolle (1652 -1719); J.L. Lagrange (1736 -1813); L’ Hộpital (1661 – 1704) – care a scris prima
carte despre calcul diferențial: „Analyse des infiniments petits”, care este publicată în 1696 la
Paris, având în conținut și celebra teoremă care îi poartă numele. Totuși, regula a fost stabilită
inițial de Bernoul li, care se ocupa de educația lui L’ Hộpital, fapt pentru care era remunerate; B.
Taylor (1685 -1731); A.L.Cauchy (1789 -1857); J.G. Darboux (1842 -1917)”. (m ganga , 386)
Problemele principale care au condus la noțiunea de derivată sunt problema tangentei,
respectiv determinarea acesteia la o curbă într -un punct dat, fiind cunoscută ecuația curbei, și
problema vitezei, respectiv determinarea vitezei unui punct mobil, fiind cunoscută legea de
mișcare a acestuia. Derivata unei funcții într -un punct reprezintă r ata cu care se modifică
valoarea funcției atunci când argumentul suportă modificări. În acest context, derivata devine o
formulare matematică pentru termenul de rată de variație. Dacă privim din punct de vedere a
graficului bidimen sional al unei funcții f, derivata într -un punct x0 reprezintă panta tangentei la
grafic în punctul x0. Această pantă poate fi aproximată printr -o secantă.
a. Referitor la problema
tangentei:
Fie f : I→R, o funcție continuă pe
intervalul I, fie Gf graficul funcției și fie A(a,
f(a)) un punct de pe graficul funcției f.
Ceea ce ne propunem este să
determinăm tangenta la grafic în punctul A.
Se poate observa că această dreaptă nu intersectează curba neapărat în punctul A, poate să o
intersecteze și în alt punct, sau alte drepte care intersectează Gf în A pot să nu fie tangente la
curbă, așa cum se întâmpla la cerc.
Fie B(b, f(b) ) un alt punct de pe grafic. Dacă dreapta AB intersectează graficul în
punctele A și B, atunci aceasta se numește secantă, de aici pornind și premisa intuitivă că
tangenta în A la grafic es te poziția limită a secantei AB , atunci când B tinde la A. Dar, panta
dreptei AB se calculează astfel: mAB=𝑌𝐵−𝑌𝐴
𝑋𝐵−𝑋𝐴 = 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎. (Presupunem că AB nu este o dreaptă
verticală, pentru a evita condiția în care b=a; deci b≠a). În aceste condiții avem panta tangentei în
punctul A, fiind egală cu: mtg=𝑙𝑖𝑚
𝑏→𝑎𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)
𝑏−𝑎. Dacă renotăm coordonata b cu x, atunci vom avea
ecuația tangentei la curbă, în A: y-f(a)=m tg(x-a) => y=f(a)+m tg(x-a), împreună cu situațiile în
care avem limita infinită, sau aceasta nu există.
b. Referitor la problema vitezei:
Luăm în discuție un punct mob il, P, în mișcare rectilinie de -a lungul axei Ox, a cărui lege
de mișcare este x=x(t f), unde t f este timpul scurs de la un moment inițial, iar x este abscisa
punctului P.
Fie [t i, tf] un interval de timp,unde t f > ti. În acest inteval, P parcurge distanța x(t f)-x(ti),
deci viteza sa medie va fi: v[𝑡𝑖, 𝑡𝑓] = 𝑥(𝑡𝑖)−𝑥(𝑡𝑓)
𝑡𝑓−𝑡𝑖 (viteza pe care ar trebui să o aibă punctul daca s –
ar mișca uniform pe acea distanță).
Analizând, ajungem la concluzia ca în momentul în care intervalul de timp este mai mare,
viteza calculată ne oferă cât mai puține informații despre viteza inițială a pu nctului. De aici
deducem ca precizi a calculelor este mai mare, dacă intervalul de timp este cât mai mic cu
putință, sau este divizat în intervale cât mai mici, iar viteza instantanee a lui P este v(t i)=
𝑙𝑖𝑚
𝑡𝑓→𝑡𝑖𝑥(𝑡𝑖)−𝑥(𝑡𝑓)
𝑡𝑓−𝑡𝑖. (curs paul georgescu AM1 derivate si dif)
Un alt exemplu relevant poate fi cel raportat la studiul căderii corpurilor în vid, având în
vedere că distanța parcursă după t secunde se scrie d(t) = 𝑔𝑡2
2. Dacă fixăm un moment oarecare de
timp t 0, atunci viteza la acel moment va fi: lim
𝑡→𝑡01
2𝑔𝑡2−1
2𝑔𝑡02
𝑡−𝑡0 =1
2lim
𝑡→𝑡0𝑔𝑡2−𝑔𝑡0
𝑡−𝑡0= 1
2lim
𝑡→𝑡0𝑔(𝑡+𝑡0)=1
2𝑔∙
2𝑡0=g∙𝑡0. În general, viteza la orice moment va fi: v=g∙t, unde g este accelerația gravitațională și
este egală cu: g ≅9.81𝑚𝑠2⁄.(manual analiza 1995 a XI)
Dacă am definit mai sus viteza la un anumit moment t, atunci accelerația la un moment 𝑡0
poate fi și aceasta definită astfel: a( 𝑡0)=lim
𝑡→𝑡0𝑣(𝑡)−𝑣(𝑡0)
𝑡−𝑡0, presupunând că această limită există.
Legea fundamentală a mecanicii newtoniene ne spune că la fiecare moment t, forța F(t)
care acționează asupra unui mobil, cu masa m și accelerația a(t) sunt legate prin formula:
F(t)=m∙a(t). (matematică –analiza matematica XI 1995, pag 123)
Revenind la prob lema tangentei la curbă, dacă această curbă este un semicerc, avem:
f(x)=√𝑟2−𝑥2, și în 𝐴0(𝑥0,√𝑟2−𝑥02), coeficientul unghiular al tangentei fiind:
m=lim
𝑥1→𝑥0(√𝑟2−𝑥12
𝑥1−𝑥0−√𝑟2−𝑥02
𝑥1−𝑥0)= lim
𝑥1→𝑥0𝑥02−𝑥12
(𝑥1−𝑥0)(√𝑟2−𝑥12 +√𝑟2−𝑥02) = ─lim
𝑥1→𝑥0𝑥0+𝑥1
(√𝑟2−𝑥12 +√𝑟2−𝑥02) = ─
─𝑥0
√𝑟2−𝑥02.
Se poate observa că tangenta la semicerc în 𝐴0 este perpendiculară pe rază, în acel punct,
care are coeficientul unghiular 𝑓(𝑥0)−0
𝑥0−−0=√𝑟2−𝑥02
𝑥0=− 1
𝑚.
c. Intensitatea unui curent variabil la un moment dat:
Dacă notăm cu q cantitatea de electricitate, care se măsoară în coulombi, scursă într -un
interval de timp t, care se măsoară în secunde, printr -o secțiune trasversală a unui anumit circuit
Q=Q(t). Implementând variabilei t o creștere ∆𝑡 și lui Q o creștere ∆𝑄=Q(t+∆𝑡)─Q(t).
Intensitatea medie a curentului în intervalul de timp ∆𝑡 va fi egală cu I m=lim
∆𝑡→0∆𝑄
∆𝑡=
lim
∆𝑡→0𝑄(𝑡+∆𝑡)─𝑄(𝑡)
∆𝑡. (manual matematica m2, pag 93)
1.2. Derivabilitatea într -un punct
Fie o funcție f, definită pe un interval I, și 𝑥0 un punct din I.
Definiție: Spunem că funcția f :I→ ℛ este derivabilă în 𝑥0∈𝐼, dacă raportul : 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
are în punctul 𝑥0 limita finită. Această limită se numește derivata funcției în punctul 𝑥0, și se
noteaz ă cu f'(𝑥0): lim
𝑥→𝑥0𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0=𝑓´(𝑥0). (citim: derivata funcției f în raport cu 𝑥0 este f'(𝑥0) ).
( m rosculet, analiza matem pag 252).
Dacă funcția are limita de mai sus finită, spunem că are derivată în acel punct, iar dacă
limita este infinită (±∞), atunci funcția nu are derivată în acel punct, sau spunem că are derivata
infinită.
Observații:
1. Luând în considerare cele de mai sus, trebuie ca funcția să fie definită în punctul
𝑥0, dacă nu este definită în acel punct, nici nu se pune problema derivabil ității;
2. Valoarea derivatei într -un punct este un număr.
3. „Notând cu ∆𝑓=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0) – numită creșt erea funcției, unde ∆𝑥=𝑥−𝑥0 –
numită creșterea argumentului, atunci 𝑓´(𝑥0) reprezintă limita raportului dintre creșterea funcției
și creșterea argumentului, atunci când creșterea argumentului tinde la 0”(M Ganga, pag 390).
4. Mulțimea tuturor punctelor în c are funcția este derivabilă se numește domeniul de
derivabilitate, și este notat, de obicei, cu 𝐷𝑓´. Acesta este un subdomeniu al domeniului de
definiție, sau poate fi chiar domeniul de definiție.
5. Dacă funcția f este continuă într -un punct a, și derivab ilă în același punct a, atunci
graficul său admite tangentă în punctul corespunzător A(a, f(a)), astfel:
➢ Dacă are derivată finită, atunci coeficientul unghiular al tangentei (panta
tangentei) este m= f '(a) , iar ecuația tangentei are formula: y-f(a)=f '(a)(x -a).
➢ Dacă derivata este infinită, atunci tangenta este paralelă cu axa Oy, având ecuația
x=a.
6. Dacă domeniul de derivabilitate este un interval compact, de forma [ a,b], atunci
prin derivata în punctul a înțelegem: f '(a)=lim
𝑥↘𝑎𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎, iar prin derivata în punctul b,
întelegem: f '(b)=lim
𝑥↗𝑏𝑓(𝑥)−𝑓(𝑏)
𝑥−𝑏, dacă aceste limite există (înțelegând prin aceste calcule limitele în
capetele intervalului).
7. Putem exprima derivata în punctul a și cu ajutorul ș irurilor, astfel că: ∀𝑎𝑛∈
𝐼,𝑎𝑛→𝑎,𝑎𝑛≠𝑎 să avem adevărată relația: 𝑓(𝑎𝑛)−𝑓(𝑎)
𝑎𝑛−𝑎→𝑓 ′(𝑎). Punctul a trebuie să fie punct
de acumulare pentru domeniul funcției, condiție care este automat îndeplinită dacă I este un
interval sau o reuniune de intervale.(ganga, pag 390)
„Privind partea de interpretare practică a derivatei, raportul: 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎 măsoar ă viteza
medie de schimbare a valorilor funcției relativ la schimbarea argumentului, timp în care f '(a)
poate fi interpretată ca viteza instantanee în a, de schimbare a lui f relativ la x”. (ganga pag 391).
1.2.1. Derivata la stânga :
Fie f : I→ ℛ a ∈𝐼, astfel încât I ∩(−∞,𝑎)≠∅.
Definiție : Funcția f are derivată laterală la stânga în punctul a, dacă limx→a
x<𝑎f(x)−f(a)
x−a, există în
ℛ∪{±∞}. Aceasta poartă numele de derivată la stânga în a, și se notează cu fs '(a).
Spunem că funcția este derivabilă la stânga în a, dacă limita anterioară există și este
finită.
1.2.2. Derivata la dreapta:
Fie f : I→ ℛ a ∈𝐼, astfel încât I ∩(𝑎,+∞)≠∅.
Definiție : Funcția f are derivată laterală la dreapta în punctul a, dacă limx→a
x>af(x)−f(a)
x−a, există
în ℛ∪{±∞}. Aceasta poartă numele de derivată la dreapta în a, și se notează cu fd '(a).
Spunem că funcția este derivabilă la dreapta în a, dacă limita anterioară există și este
finită.(manual matematica M1, clasa a 11, pag 223 -224..aia cu secured -burtea)
Pornind de la exemplul funcției modul, care are derivatele laterale în punctul 0, finite dar
diferite, fs '(0)= -1; f d '(0)=1; putem da o caracterizare a existenței derivatei unei funcții într -un
punct.
Teorema 1 : Fie f : I→ ℛ a ∈𝐼.
a) Funcția f are derivată în a dacă și numai dacă f are derivate laterale în a, și f s'(a)=
fd'(a)= f '(a).
b) Funcția f are derivată în a dacă și numai dacă f are derivate la stânga și la dreapta
și fs'(a)= fd'(a)= f '(a).
Observații:
Considerăm o funcție g:[a, b]→ℛ.
a) Dacă g are derivată în a, atunci aceasta este derivata la dreapta în a; gd'(a)=g'(a);
b) Dacă g are derivată în b,atunci aceasta este derivata la stanga în b; g s'(b)=g'(b);
c) Funcția este derivabilă în a, respectiv b, dacă aceasta este derivabilă la dreapta în
a, respectiv la stânga în b.(burtea pag 224)
1.2.3 Interpretarea geometrică a derivatelor laterale:
Dacă funcția este derivabilă la stânga sau la dreapta, într -un punct, atunci putem folosi
noțiunea de semitange ntă la stânga sau la dreapta.
Considerăm o funcție g : (a, b)→ℛ, continuă în c ∈(𝑎,𝑏). Pentru derivatele laterale în c,
putem avea situațiile următoare:
a) gs'(c) există, caz în care G g admite semitangentă la stânga în A(c, g(c)) și avem
semidreapta [AP cu panta m= g s'(c).(burtea 225…fig 1 de acolo, fig 2 la mine)
Figura 1: gs’(c )∈ℛ.
Figura 2: gs’(c )=∞, semitangenta [AP este sub punctul A, AP ||Oy
Figura 3: gs’(c )=─∞, semitangenta [AP este deasupra punctului A, AP ||Oy
b) gd'(c) există, caz în care G g admite semitangentă la dreapta în B(c, g(c)), anume
semitangenta [BP cu panta m= g d'(c).
Figure 4: gd’(c )∈ℛ.
Figura 5: gd’(c )=∞, semitangenta [BP este deasupra punctului B, BP ||Oy
Figure 6: gd’(c )=─∞, semitangenta [BP este sub punctul B, BP ||Oy.(pag 225 burtea)
1.3. Studiul funcțiilor de o singură variabilă cu ajutorul derivatei
1. Puncte remarcabile de pe graficul unei funcții:
Fie g : (a,b)→ ℛ, o funcție continuă într -un punct c ∈(𝑎,𝑏). Interesul principal îl
reprezintă forma graficului funcției în jurul punctului M (c, g(c)), în următoarele situații:
➢ când are derivate laterale infinite și egale în c;
➢ când are derivate laterale infinite și diferite în c;
➢ are derivate laterale diferite în c, și cel puțin una dintre acestea este finită.(ganga
402)
A) Puncte de inflexiune:
Fie g'(c)=+∞. Atunci graficul are următoarea formă în jurul punctului M: este convex la
stânga și concav la dreapta. (figura 9)
Sau avem g'(c)=−∞, și atunci graficul își modifică forma în jurul lui M: este concav la
stânga și convex la dreapta. (figura 10).
În ambele cazuri, tangenta traversează graficul funcției.(ganga 402 -403)
Dacă gs'(c)= g d'(c)∈𝓡, și în jurul lui c, graficul poate fi convex pe de o parte și concav
pe cealaltă sau invers, atunci reprezentarea grafică are următoarea formă:
În toate cele trei cazuri, punctul M este punct de inflexiune al graficului.
Definiție: Spunem că punctul c este punct de inflexiune pentru funcția g, dacă aceasta
este continuă în c, are derivată în c (finită sau nu), și dacă graficul este convex pe de o parte a lui
c și concav de cealaltă parte sau invers.
Observație: În calcul, punctele de inflexiune sunt ca racterizate echivalent utilizând
semnul derivatei a doua a funcției.
B) Puncte de întoarcere:
Fie g : I→ℛ, unde 𝐼⊆ℛ o funcție numerică.
Definiție: Punctul a ∈𝐼 se numește punct de întoarcere al funcției g dacă aceasta este
continuă în a, și are derivatele laterale infinite și diferite în acel punct.
Astfel, punctul P(a, g(a)) ∈𝐺𝑔 se numește punct de întoarcere al graficului funcției, iar
în acest punct semitangentele la curbă coincid. (Figura 11, și resp ectiv Figura 12).
C) Puncte unghiulare:
Fie g : I→ℛ, unde 𝐼⊆ℛ o funcție numerică.
Definiție: Punctul b∈𝐼 se numește punct unghiular al funcției g, dacă g este continuă în
b, are derivate laterale diferite și cel puțin una dintre acestea este este finită.
Punctul B(b, g(b)) ∈𝐺𝑔 se numește punct unghiular al graficului, iar semitangentele la
curbă formează un unghi propriu. (Figurile 13, 14, 15). (Burtea p227).
În acest caz putem studia următoarele cazuri:
C1. gs'(b)=−∞, gd'(b)∈ℛ. În punctul B(b, g(b)) graficul are două semitangente distincte,
de ecuații x=b; y-g(b)= g d'(b)(x -b). (Figurile 14 și 15).
C2. gs'(b)=∞, gd'(b)∈ℛ. În punctul B(b, g(b)) graficul are două semitangente diferite, de
ecuații x=b; y-g(b)= g d'(b)(x -b). (Figurile 16 și 17).
C3: gs'(b))∈ℛ, g d'(b)=∞. În punctul B(b, g(b)) graficul are două semitangente de
ecuații: x=b; y-g(b)= g s'(b)(x -b). (Figurile 18 și 19).
C4. gs'(b)∈ℛ, g d'(b)=−∞. Dreptele de ecuații: x=b; y-g(b)=g s'(b)(x -b) reprezintă
semitangentele în B(b, g(b)). (Figurile 20 și 21)
C5. gs'(b), g d'(b)∈ℛ, gs'(b)≠ gd'(b). În acest caz punctul B are două semitangente
distincte, de ecuații: y-g(b)=g s'(b)(x -b); y-g(b)= g d'(b)(x -b).(Figura 13). (ganga p 406)
2. Funcții derivabile pe un interval:
Fie g:A→ℛ, și I⊆𝐴.
Definiție: Spunem că g este derivabilă pe I, dacă este derivabilă în orice punct din
intervalul I.
Observații: 1. Dacă g este derivabilă pe tot intervalul pe care este definită, atunci
spunem simplu că este derivabilă, fără a aduce alte precizări suplimentare legate de domeniu.
2. Dacă notăm cu D g' submulțimea lui A, formată din toate punctele a∈𝐴 cu proprietatea
că g este derivabilă în a, adică: D g' ={a∈𝐴/ ∃𝑔′(𝑎)ș𝑖 𝑔′(𝑎)∈ℛ}, numită domeniul de
derivabilitate al lui g. Putem astfel defini o funcție pe acest domeniu D g', cu valori reale, care
asociază fiecărui element din D g' un unic element în g'(a); „Dg' ∋𝑎→𝑔′(𝑎)∈ℛ".(ganga p 411).
Această funcție se numește derivata funcției g.
3. Se subînțelege că D g' ⊆𝐴, altfel nu are sens să discutăm despre derivabilitate în puncte
care nu se află în domeniul de definiție.
3. Reguli de derivare:
a. Dacă funcțiile p(x) și q(x) sunt derivabile în c, atunci și s(x)= p(x)+ q(x) este derivabilă
în c, și s'(c)=p'(c)+q'(c).
Observație: Dacă generalizăm, obținem că suma s(x)=p 1(x)+p 2(x)+…+p n(x) este
derivabilă în c, unde pk(x), k∈1,𝑛̅̅̅̅̅ sunt derivabile în c, și avem adevărată relația:
s'(c)=p' 1(c)+p' 2(c)+…+p' n(c). (demonstrația se face prin inducție)
b. Dacă p(x) și q(x) sunt două funcții derivabile în c, și q(x) este continuă în c, atunci
funcția t(x)= p(x) •q(x) este și ea derivabilă în c și avem: t'(c)=p'(c)•q(c)+p(c)•q'(c).
Demonstrație:
Avem: 𝑡(𝑐+ℎ)−𝑡(𝑐)
ℎ=𝑝(𝑐+ℎ)𝑞(𝑐+ℎ)−𝑝(𝑐)𝑞(𝑐)
ℎ=𝑝(𝑐+ℎ)−𝑝(𝑐)
ℎ·𝑞(𝑐+ℎ)+p(c)·𝑞(𝑐+ℎ)−𝑞(𝑐)
ℎ de
unde trecând la limită, rezultă ceea ce trebuie demonstrat.
Observație: Generalizând, avem că t(x)=p 1(x)·p 2(x)·…·p n(x) este derivabilă în c, unde
pk(x), k∈1,𝑛̅̅̅̅̅ sunt derivabile în c, și, inductiv , relația este: t'(c)= p' 1(x)·p 2(x)·…·p n(x)+
p1(x)·p' 2(x)·…·p n(x)+…+ p 1(x)·p 2(x)·…·p' n(x).
c. Dacă p(x) și q(x) sunt două funcții derivabile în c, q(x)continuă , și q(x)≠0, atunci
și funcția r(x)=𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥) este derivabilă în c, și r'(c)=𝑝′(𝑐)𝑞(𝑐)−𝑞′(𝑐)𝑝(𝑐)
𝑞2(𝑥).
Demonstrație:𝒓(𝒄+𝒉)−𝒓(𝒄)
𝒉=𝒑(𝒄+𝒉)
𝒒(𝒄+𝒉)−𝒑(𝒄)
𝒒(𝒄)
𝒉=𝟏
𝒒(𝒄)•𝒒(𝒄+𝒉)·[𝒑(𝒄+𝒉)−𝒑(𝒄)
𝒉·𝒒(𝒄)─𝒑(𝒄)·
𝒒(𝒄+𝒉)−𝒒(𝒄)
𝒉], de unde trecând la limită obținem relația anterioară.
d. Derivabilitatea funcțiilor compuse: Fie D și E două intervale reale și funcțiile g:D→E
și h:E→ℛ.
➢ Dacă g este derivabilă în c∈𝐷 și h este derivabilă în g(c)∈𝐸, atunci funcția
G=h○g : D→ ℛ este derivabilă în c ∈𝐷 și G'(c)=h'(g(c))·g'(c).
➢ Dacă g este derivabilă pe D,și h este derivabilă pe E, atunci funcția G=h○g :
D→ℛ este derivabilă pe D, și G'(x)=h'(g(x))·g'(x), ∀𝑥∈𝐷.
Demonstrație:
Dacă notăm cu u=u(m)=g(c+m)─g(c) , atunci presupunând că g'(c)≠0, ⇒există o
vecinătate V a lui 0, astfel încât pentru m∈𝑉,(m≠0) avem 𝑢(𝑚)
𝑚≠0⇒𝑢(𝑚)≠0. Pentru m ∈
𝑉, (m≠0) ⇒ 𝐺(𝑐+𝑚)−𝐺(𝑐)
𝑚·ℎ(𝑔(𝑐+𝑚)−ℎ(𝑔(𝑐))
𝑢·𝑔(𝑐+𝑚)−𝑔(𝑐)
𝑢=ℎ(𝑔(𝑐)+𝑢)−ℎ(𝑔(𝑐))
𝑢·𝑔(𝑐+𝑚)−𝑔(𝑐)
𝑢;
g(x) continuă ⇒lim
𝑚→0𝑔(𝑐+𝑚)−𝑔(𝑐)
𝑚=𝑔′(𝑐).
Fie acum g'(c)=0. Să numim valori principale ale lui m acele valori pentru care u(m)≠0.
Pentru valori principale, cele precedente ne arată că: lim𝑢→0
𝑚 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝐺(𝑐+𝑢)−𝐺(𝑐)
𝑢=𝑔′(𝑔(𝑐))·
𝑔′(𝑐)=0. (clase de fct speciale II cu var reale, p 67)
Pentru valori neprincipale, avem: u(m)=0,
deci G(c+m)─G(c)=h(g(c)+u)─h(g(c))=h(g(c))─h(g(c))=0, de unde
lim𝑢→0
𝑚 𝑛𝑒𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙𝑒𝐺(𝑐+𝑢)−𝐺(𝑐)
𝑢=0⇒lim
𝑚→0𝐺(𝑐+𝑢)−𝐺(𝑐)
𝑢=0⇒𝐺′(𝑐) există și este nulă, iar g'(c)=0.
e. Fie u(x) o funcție inversabilă (bijectivă) și continuă, și µ(y) inversa ei. y=u(x) dacă și
numai dacă x= µ(y).
Dacă u(x) este derivabilă în c, și u'(c)≠0⇒ µ(y) este derivabilă în m=u(c) și µ'(m)=1
𝑢′(𝑐).
Demonstrație: m=u(c) și c= µ(m). Notăm cu p=p(h)=u(c+h)─u(c)=(m+p)─m. Avem:
h=(c+h)─c=µ(m+p)─µ(m). Cum u'(c)≠0⇒ ∃ 𝑉 o vecinătate a lui 0 astfel încât p(h)=0, pentru
h ∈𝑉, (h≠0). Pentru h ∈𝑉, (h≠0)⇒ µ(𝑚+𝑝)─µ(𝑐)
𝑝=𝑝
𝑢(𝑐+ℎ)−𝑢(𝑐)=1
𝑢(𝑐+ℎ)−𝑢(𝑐)
ℎ, de unde , prin
trecere la limită , rezultă ceea ce am afirmat anterior.( clase de fct speciale II cu var reale, p 68)
4. Derivatele funcțiilor elementare:
Fie f:A→ℛ o funcție derivabilă pe mulțimea A. Derivata sa este funcția f': Af'→ℛ,
f'(x)=lim
ℎ→0𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(𝑥)
ℎ, unde Af' este domeniul de derivabilitate al lui f.
1. Funcția constantă : f :ℛ→ℛ, f(x)=c, c ∈ℛ, ∀𝑥∈ℛ.
Funcția constantă f(x)=c este derivabilă pe ℛ, și are derivata egală cu zero:
f'(x)=c'=0, ∀𝑥∈ℛ.
Demonstrație: Fie a un punct arbitrar. Atunci R(x)=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎=𝑐−𝑐
𝑥−𝑎=0, ∀𝑥∈ℛ, x≠𝑎.
Deci lim
𝑥→𝑎𝑅(𝑥)=0, și f'(x)=0, pentru că a este ales arbitrar.
2. Funcția identică : f :ℛ→ℛ, f(x)=x, ∀𝑥∈ℛ
Funcția identică este derivabilă pe ℛ, și f'(x)=1, ∀𝑥∈ℛ.
Demonstrație: Fie a un punct arbitrar, x ≠𝑎. Atunci R(x)=𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎=𝑥−𝑎
𝑥−𝑎=1. Deci avem
lim
𝑥→𝑎𝑅(𝑥)=1, și implicit f'(x)=1.
3. Funcția putere cu exponent natural : f :ℛ→ℛ, f(x)=xn, ∀𝑥∈ℛ, n∈ℕ*
Funcția putere cu exponent natural este derivabilă pe ℛ, iar derivata ei este
f'(x)=(xn)'=nxn-1, ∀𝑥∈ℛ, n∈ℕ*.
Demonstrație: Fie a un punct arbitrar, x ≠𝑎. Atunci raportul R(x) se scrie succesiv:
R(x)= 𝑓(𝑥)−𝑓(𝑎)
𝑥−𝑎=xn−an
𝑥−𝑎=(𝑥−𝑎)(𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−2•𝑎+⋯+𝑎𝑛−1)
𝑥−𝑎=𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−2·𝑎+⋯+𝑎𝑛−1. Deci
lim
𝑥→𝑎𝑅(𝑥)=𝑓′(𝑎)=𝑎𝑛−1+𝑎𝑛−1+⋯+𝑎𝑛−1=𝑛𝑎𝑛−1.qed.
4. Funcția radical de ordin n : f :A→ ℛ, f(x)=√𝑥𝑛, ∀𝑥∈𝐴, n∈ℕ,n≥2, unde
A=[0,∞) dacă n este par și A=ℛ dacă n impar.
Aceasta este derivabilă în orice punct din A, x≠0, și derivata sa este f'(x)=1
𝑛√𝑥𝑛−1𝑛 ,∀𝑥≠
0.
Observație: În punctul x=0 funcția nu este derivabilă, dar are derivata egală cu f'(0)=∞.
5. Funcția trigonometrică sinus : f :ℛ→ℛ, f(x)=sinx, ∀𝑥∈ℛ
Funcția sinus este derivabilă pe ℛ, și are derivata egală cu f'(x)=(sinx)'=cosx, ∀𝑥∈ℛ.
6. Funcția trigonometrică cosinus : f :ℛ→ℛ, f(x)=cosx, ∀𝑥∈ℛ
Funcția cosinus este derivabilă pe ℛ, și are derivata egală cu f'(x)=(cosx)'=─sinx, ∀𝑥∈ℛ
7. Funcția logaritm natural : f : (0,∞)→ ℛ, f(x)=ln(x), ∀𝑥>0
Funcția logaritm este derivabilă pe (0,∞), și derivata sa este egală cu f'(x)=[ ln(x)]'=1
𝑥 ,
∀𝑥>0.
Observație: Dacă am considera f : (0,∞)→ ℛ, f(x)=log a(x), ∀𝑥>0, a>0,𝑎≠1, atunci
f'(x)=1
𝑥𝑙𝑛𝑎 .
Demonstrație: f(x)=log a(x)=(𝑙𝑛𝑥
𝑙𝑛𝑎)'=𝑙𝑛′𝑥•𝑙𝑛𝑎−𝑙𝑛𝑥•𝑙𝑛′𝑎
𝑙𝑛2𝑎=1
𝑥𝑙𝑛𝑎
𝑙𝑛2𝑎=1
𝑥𝑙𝑛𝑎qed.
8. Funcția tangentă : f :ℛ \{𝜋
2+𝑘𝜋|𝑘∈ℤ}→ℛ, f(x)=tgx
Funcția tangentă este derivabilă, iar derivata este egală cu: f'(x)=(tgx)'=1
𝑐𝑜𝑠2𝑥.
Demonstrație: f'(x)=(tgx)'= (𝑠𝑖𝑛𝑥
cos𝑥)′
=𝑠𝑖𝑛′𝑥•𝑐𝑜𝑠𝑥−𝑠𝑖𝑛𝑥•𝑐𝑜𝑠′𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥=
=𝑐𝑜𝑠𝑥•𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑠𝑖𝑛𝑥•𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥=𝑐𝑜𝑠2𝑥+𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑐𝑜𝑠2𝑥=1
𝑐𝑜𝑠2𝑥. qed
9. Funcția cotangentă : f :ℛ \{𝑘𝜋|𝑘∈ℤ}→ℛ, f(x)=ctgx
Funcția cotangentă este derivabilă, iar derivata este egală cu: f'(x)=(ctgx)'= −1
𝑠𝑖𝑛2𝑥.
Demonstrație: f'(x)=(ctgx)'= (𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛𝑥)′
=𝑐𝑜𝑠′𝑥•𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑠𝑖𝑛′𝑥•𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥=
=−𝑠𝑖𝑛𝑥•𝑠𝑖𝑛𝑥−𝑐𝑜𝑠𝑥•𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥=−𝑠𝑖𝑛2𝑥+𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥=−1
𝑠𝑖𝑛2𝑥.qed.
10. Funcția exponențială: f : (0,∞)→ ℛ, f(x)=log a(x), 𝑎>0, a≠1; y=log a(x), x=ay.
Deci exponențiala este: f :ℛ→(0,∞), f(x)=ax. Această funcție este derivabilă, și are derivata
egală cu: f'(x)=(ax)'= ax ·x'·lnx= axlna, ∀𝑥∈ℛ. Dacă a=e, atunci avem: ( ex)'=ex, ∀𝑥∈ℛ.
11. Funcția arcsinus : f : [ -1,1]→[ -𝜋
2,𝜋
2], f(x)=arcsin x
Funcția este derivabilă, cu f'(x)=1
√1−𝑥2,∀𝑥∈(−1,1), astfel că putem considera un y∈
(−1,1) arbitrar și, pentru f(c)=sinc, este adevărată relația:
arcsin'y=1
𝑓′(𝑐)=1
cos𝑐=1
√1−𝑠𝑖𝑛2𝑐=1
√1−𝑦2.
Dacă y=─1⇒ x=─𝜋
2 și f'(x)=0. Cum funcția f este strict crescătoare rezultă că arcsin'( –
1)=∞.
Analog, pentru y=1⇒ x=𝜋
2⇒𝑓′(𝑥)=0⇒𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 ′(1)=∞.
Observație: Dacă g este o funcție derivabilă cu |g(x)| <1⇒(arcsin g)'=𝑔′
√1−𝑔2.
12. Funcția arccosinus : f : [ -1,1]→[ -0,𝜋], f(x)=arccos x
Funcție este derivabilă pe ( -1,1) și f'(x)=─ 1
√1−𝑥2. ∀𝑥∈(−1,1). În plus, arccos'( -1)=
arccos'(1)=─ ∞.
Observație: Dacă g este o funcție derivabilă cu |g(x)| <1⇒(arccos g)'= ─𝑔′
√1−𝑔2.
Dacă f:[0,𝜋]→[-1,1], f(x)=cos x, atunci lui f-1: [-1,1]→ [0, 𝜋], f-1(x)=arccos a i se poate
aplica teorema de derivare a funcției inverse arcsin a+arccos a=𝜋
2, ∀𝑎∈[−1,1]. Pentru a ∈
(−1,1)⇒ (arccos a)'= (𝜋
2−arcsin𝑎)′=−(arcsin𝑎)′=−1
√1−𝑎2. Pentru a=─1⇒ arccos '( -1)=
─∞, iar dacă a=1⇒ arccos'(1)= ─ ∞. Pentru că funcția este strict descrescătoare, avem adevărată
relația.
13. Funcția arctangentă : f : ℛ→(-𝜋
2,𝜋
2), f(x)=arctgx
Aceasta este derivabilă pe ℛ, și f'(x)=1
1+𝑥2. Dacă g este o funcție derivabilă, atunci ( arctg
g)'=1
1+𝑔2.
Demonstrație: Fie funcția f-1:ℛ→(−𝜋
2,𝜋
2), inversa funcției tangentă, cu f-1(a)=arctg a ⇒
pentru un b arbitrar , arctg '(b)=1
𝑓′(𝑐)=cos2c=1
1+𝑡𝑔2𝑐=1
1+𝑏2, cu (c=arctg b) . Qed.
14. Funcția arccotangentă : f :ℛ→(0,𝜋), f(x)=arcctg x
f(x)=arcctg x este derivabilă pe ℛ, și f'(x)= ─ 1
1+𝑥2.
Demonstrație: f-1: ℛ→(0,𝜋), f-1(a)=arcctg a. Din relația arctg x+arcctg x=𝜋
2, prin
derivare se obține ceea ce trebuie demonstrat.
Derivabilitatea funcțiilor cu modul:
Problema se pune atunci când avem o funcție derivabilă și ne interesează unde rămâne
derivabilă după ce aplicăm modulul. Fie g,h : ℛ →ℛ, h derivabilă, iar g(x)=|h(x)|, ∀𝑥∈ℛ.
Atunci :
a) Dacă h(c)≠0⇒ g este derivabilă în x=c și g'(c)=±ℎ′(𝑐);
b) Dacă h(c)=0, și h'(c)=0⇒ g este derivabilă în x=c, și g'(c)=0;
c) Dacă h(c)=0, și h'(c) ≠0 ⇒ gnu este derivabilă în x=c.
Interpretare:
a) Ne arată că | g | este derivabilă oriunde g nu se anulează.
b) Arată că | g | este derivabilă în rădăcinile multiple ale lui g.
c) Ne descrie că | g | nu este derivabilă în rădăcinile simple ale lui g.
Concluzie: Funcțiile cu modul sunt derivabile peste tot, cu excepția rădăcinilor simple
ale expresiilor din modul.
Derivarea funcțiilor cu minim și maxim:
Problema care se pune astfel: Fie p,q,r :ℛ→ℛ, cu q și r derivabile, iar
p(x)=min(max)(q(x), r(x)). Atunci p este derivabilă peste tot, cu excepția rădăcinilor simple ale
ecuației q=r.
Exemplu : Studiați derivabilitatea funcției g : ℛ→ℛ, g(x)= min(x2+x, 4x -2).
Soluție: g este continuă pe ℛ, fiind minimul a două funcții elementar e, deci continue.
Pentru derivabilitate avem: SOL 1: x2+x=4x -2 ⇒ x2+x-4x+2 =0 ⇒ x1=1; x 2=2, care sunt
rădăcinile simple, deci D deriv = ℛ \{1,2}.
SOL 2: explicităm
g(x) = min(x2+x, 4x -2)= {4𝑥−2, 𝑥2+𝑥≥4𝑥−2
𝑥2+𝑥,𝑥2+𝑥≤4𝑥−2⇒{4𝑥−2,𝑥∈(−∞,1]∪[2,+∞)
𝑥2+𝑥,𝑥∈(1,2)și
facem studiul derivabilității în punctele 1 și 2 și constatăm că nu este derivabilă în cele 2 puncte.
Avem g'(x)={4,𝑥∈(−∞,1]∪[2,+∞)
2𝑥+1,𝑥∈(1,2) ⇒ Dderiv = ℛ \{1,2}.
Tabelul cu derivatele uzuale:
Observație: (𝒇𝒈)′=𝑓𝑔(𝑔′•ln𝑓+𝑔
𝑓•𝑓′).
FUNCȚIA DERIVATA DOMENIUL DE
DERIVABILITATE FUNCȚIA
COMPUSĂ DERIVATA
c
(Constantă) 0
x 1
u
u
x
n
()*n
1−nnx
𝑢𝑛, n∈ℕ n𝑢𝑛−1·𝑢′
x
()*
(
n nxx1
= )
1−x
();0 'fD
( )0 ,u u
u u−1
x1
21
x−
()01uu
2uu−
x
x21
();0
()0uu
uu
2
xe
xe
ue
ueu
1 0,a ax
a axln
ua
a uauln
ln x
x1
();0 ln u
uu
xalog
axln1
();0
ualog
auu
ln
sin x cos x
sin u cos u
u
cos x – sin x
cos u – sin u
u
tg x
x2cos1
cos x
0 tg u (cos
u
0 )
uu
2cos
ctg x
x2sin1−
sin x
0 ctg u (sin
u
0 )
uu
2sin−
arcsin x
211
x−
(-1;1) arcsin u
()1u
21uu
−
arccos x –
211
x−
(-1;1) arccos u
()1u
21uu
−−
arctg x
211
x+
arctg u
21uu
+
arcctg x ─1
1+𝑥2
arcctg u
21uu
+−
sh x =
2x xee−+
(sinus
hiperbolic) 𝑒𝑥−𝑒−𝑥
2
=𝑐ℎ𝑥
sh u ch u
u
ch x =
2x xee−−
(cosinus
hiperbolic) 𝑒𝑥+𝑒−𝑥
2
=𝑠ℎ 𝑥
ch u sh u
u
1.4. Analiza și studiul funcțiilor de mai multe variabile cu ajutorul
derivatei
Preliminarii: Presupunem că există o lege care asociază fiecărui element din ℛn, de
forma A( x1, x2, x3,…,x n), un număr real p. Spunem astfel că avem definită o funcție de n-variabile,
și scriem: p= g(x 1, x2, x3,…,x n).
O funcție cu valori reale, definită pe o submulțime a lui ℛn, de forma g:I→ℛ, unde I⊆ℛn
este o funcție de n variabile reale. Argumentul funcției va fi un vector, din ℛn, de forma: x=(x 1,
x2, x3,…,x n), iar valoarea ei va fi de forma: y=g(x)=g(x 1, x2, x3,…,x n).
Domeniul de definiție este de regulă un domeniu spațial, spre exemplu poate fi o
(hiper)sferă, sau o (hiper)prismă sau un domeniu nemărginit, cum ar fi un hipercon în care toate
argumentele sunt pozitive: I= ℛ+n ={(x1, x2, x3,…,x n)| ∀𝑥∈1,𝑛 ̅̅̅̅̅, xi≥0}
În acest caz, un domeniu din ℛ2 poate fi reprezentat geometric ca un domeniu din plan,
spre exemplu un dreptunghi sau un disc, cu sau fără frontieră; un triunghi sau chiar cadranele
reperului cartezian. Dacă ne raportăm la un domeniu din ℛ3, atunci acesta poate fi o sferă
deschisă sau închisă, o prismă cu sau fără frontieră, sau alte corpuri cu sau fără frontieră, sau
chiar primul octan al reperului. Acesta din urmă este un con nemărginit, având drept fețe cele trei
cadrane pozitive ale planelor de coordona te: (XOY), (XOZ), (YOZ). (AM1 multivar)
Fie g:I→ℛ, unde I⊆ℛn, și fie c=(c 1,c2 ,…,c n) ∈𝐼.
Definiție: Funcția g este derivabilă parțial în raport cu variabila xi în c, dacă există
lim
𝑥𝑖→𝑐𝑔𝑖(𝑥𝑖)−𝑔𝑖(𝑐)
𝑥𝑖−𝑐 și este finită.
Limita însăși se numește deriva parțială a lui g în raport cu xi în punctul c și se notează
g'xi(c)=𝜕𝑔(𝑐)
𝜕𝑥𝑖.
Din definiție rezultă menținerea constantă a celorlalte variabile (cu excepția lui xi), deci
se efectuează derivarea după modelul funcțiilor de o singură variabilă, considerându -le pe
celelalte constante.
Observații:
a) Pentru a calcula derivata parțială a u nei funcții cu mai multe variabile, în raport cu
o singură variabilă , se aplică regulile de derivare de la funcții cu o singură variabilă.
b) Prin efectuarea de operații algebrice asupra unor funcții derivabile parțial , se obțin
tot funcții ce sunt derivabile parțial.
c) Dacă g(x 1, x2, x3,…,x n) este derivabilă parțial în raport cu xi în c=(c 1,c2 ,…,c n),
atunci este continuă în raport cu xi în c=(c 1,c2 ,…,c n), atunci este continuă în raport cu x i, pe
domeniu.
Dacă g este derivabilă parțial în raport cu fiecare variabilă xi în c, nu rezultă că este și
continuă în raport cu ansamblul de variabile în acest punct.
Funcții vectoriale de o variabilă vectorială:
Fie n funcții reale g1, g2, …, g n definite pe o aceeași mulțime A ⊆ ℛ p. Punctul Q( g1(y),
g2(y), …, g n(y)) are coordonatele valorile funcțiilor g1, g2, …, g n în punctul y ∈ℛ p. Corespondența
(y1, y2, …, y p)→( g 1(y1, y2, …, y p), g 2(y1, y2, …, y p), …, g n(y1, y2, …, y p)) definește o funcție pe A⊆ ℛ p
, cu valori în ℛn. Spunem că funcția este o funcție vectorială de variabilă vectorială, pentru
că, atât argumentul , cât și valorile funcției sunt vectori.
Observații:
1. Dacă se dau n funcții reale: g1, g2, …, g n de p variabile reale: y1, y2, …, y p, și, dacă
punem g1=pr g, g 2= pr g, …, g n=pr g, atunci funcția g=( g 1, g2, …, g n) este o funcție vectorială.
Deci n funcții reale de p variabile reale definesc o funcție vectorială cu valori în ℛn și reciproc.
2. Dacă n=1, funcția vectorială de variabilă vectorială se reduce la una de p
variabile reale, adică la un câmp scalar definit pe mulțimi din ℛp.
DE CONTINUAT…
CONCLUZII
II. Aplicații ale funcțiilor derivabile în matematică .
2.1. Legătura dintre continuitate și derivabilitate:
Teorema 2: Orice funcție derivabilă într -un punct este continuă în acel punct.
Demonstrație : Fie g : I→ℛ, I⊆ℛ, a∈𝐼, un punct în care g este derivabilă. Trebuie să
arătăm că g este continuă în acel punct. Pentru a arăta continuitatea în a, putem arăta că:
lim
𝑥→𝑎[𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)]=0. Se constată adevărată relația: lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)
𝑥−𝑎=lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)
𝑥−𝑎(𝑥−𝑎)=
lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥)−𝑔(𝑎)
𝑥−𝑎∙lim
𝑥→𝑎(𝑥−𝑎)=𝑔′(𝑎)∙0=0.
În concluzie, lim
𝑥→𝑎𝑔(𝑥)=𝑔(𝑎), deci este continuă în a.
Observație:
a) Reciproca acestei teoreme este în general falsă, deoarece putem avea funcții care
sunt continue într -un anumit punct fără a fi derivabile în acel punct; s pre exemplu , o funcție
numerică, sau funcția modul care este continuă în punctul a=0, dar nu este derivabilă în acel
punct. Ast fel, continuitatea este o condiț ie necesară pentru derivabilitate, dar nu este și una
suficientă.
b) „Orice funcție discontinuă într -un punct, n u este derivabilă în acel punct”.(burtea
221)( principiul contrapoziției: (p→q) ≡(⌉𝑞→⌉𝑝)
c) Există funcții discontinue într -un punct, și care admit derivată în acel punct. De
exemplu: g : ℛ→ℛ, g(x)={𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1
𝑥,𝑥≠0
0,𝑥=0 este discontinuă în a=0. lim𝑥→0
𝑥<0𝑔(𝑥)=
−𝜋
2; lim𝑥→0
𝑥>0𝑔(𝑥)=𝜋
2; g(0)=0; și g'(0)= lim
𝑥→01
𝑥𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔1
𝑥=±∞.(burtea 222)
Teorema 3: Orice funcție derivabilă pe o mulțime este continuă pe acea mulțime.
Demonstrație: O funcție este derivabilă pe o mulțime dacă ea este derivabilă în orice
punct din acea mulțime, și revenim la demonstrația teoremei anterioare.
„Ideea intuitivă precum că o funcție este continuă dacă „graficul nu are rupturi”, iar că o
funcție este derivabilă dacă curba acesteia „nu are colțuri” este bună la acest nivel”.(ganga p 408)
Exemple: a) Funcția g(x)=𝑥𝑠𝑖𝑛1
𝑥, x≠0,g(0)=0, este continuă în x=0, dar nu este
derivabilă în x=0. Graficul este cuprins între y=-x, și y=x( |𝑠𝑖𝑛1
𝑥|≤1) și nu are colțuri.
Există funcții continue în orice punct dintr -un interval, dar care nu sunt derivabile nici
într-un punct din interval. Av em exemplul lui Weierstrass: g(x)=∑1
2𝑛∞
𝑛=0𝑐𝑜𝑠 (3𝑛𝑥) sau cel al lui
Van der Waerden: g n(x)=∑〈10𝑘𝑥〉
10𝑘𝑛
𝑘=1 , x∈[0,1], unde 〈.〉 este funcția „dinți de fierăstrău”.(ganga
p408).
2.2. Teoreme clasice asupra funcțiilor derivabile:
1. Puncte de extrem ale unei funcții
Fie funcția g:A→ℛ, A interval sau reuniune de intervale.
Definiție : Un punct x ∈𝐴 se numește punct de maxim local al funcției g dacă există o
vecinătate U a lui x, în care funcția are valori mai mici decât în x, adică g(y)≤𝑔(𝑥),∀𝑦∈𝑈∩𝐴.
Dacă x este un punct de maxim local al lui g, atunci numărul g(x) se numește maxim al
lui g, iar punctul de pe grafic se numește punct de maxim local al graficului.
În figurele următoare este ilustrat faptul că y=x este punct de maxim local al
funcției g.
Observație: Utilizarea adjectivului “local” pentru un punct de maxim este motivată de
faptul că are loc inegalitatea g(y)≤𝑔(𝑥) pe o anumită vecinătate U a punctului x.
Definiție: Un punct c ∈𝐴 se numește punct de minim local pentru funcția g dacă există o
vecinătate U a lui c în care funcția are valori mai mari decât în c, adică g(c)≤𝑔(𝑦), ∀𝑦∈𝑈∩
𝐴.
Dacă c este un punct de minim local al lui g, atunci numărul se numește minim al lui g,
iar pu nctul de pe grafic se numește punct de minim loca l al graficului.
În figurele următoare este ilustrat faptul că y=c este punct de maxim local al funcției g.
Definiție : Un punct de minim local sau maxim local pentru o funcție g se numește punct
de extrem local al functiei. Valorile funcției în punctele sale de extrem, maximele și minimele
funcției, se numesc extremele locale ale funcției.
Punctele de maxim și de minim local ale grafului se numesc puncte de extrem local ale
graficului.
Definiție : Un punct 𝑦0∈𝐴 se numește punct de maxim absolut al funcției g dacă g(y)≤
𝑔(𝑦0), ∀𝑦∈𝐴.
Observație:
1. Să remarcăm că 𝑦0∈𝐴 este un puct de maxim absolut pentru g dacă valorile funcției
de pe domeniul de definiție sunt cel mult egale cu valoarea funcției în 𝑦0.
2. Evident, orice punct de maxim absolut este și punct de maxim local dar, în general, nu
și reciproc.
3. O funcție poate avea mai multe puncte de maxim absolut.
Definiție : Un punct 𝑦0∈𝐴 se numește punct de minim absolut al funcției g dacă g(y)≥
𝑔(𝑦0), ∀𝑦∈𝐴.
Observații:
1. Un punct este minim absolut pentru g dacă valorile funcției pe domeniul de definiție
sunt cel puțin egale cu valoare funcției în 𝑦0.
2. Orice punct de minim absolut este și punct de minim local, dar, în general, nu și
reciproc.
3. O funcție poate avea mai multe puncte de minim absolut.
Definiție : Un punct de maxim absolut sau de minim absolut se numește punct de
extrem absolut .
Observație: Dacă o funcție g este continuă pe un interval închis [c,d] și își atinge
valoarea maximă (minimă) într -un punc t, atunci p ∈(c,d) este în același timp un punct de maxim
(minim) local al lui g.
Figura următoare ilustrează graficul unei funcții continue pe intervalul [c,d]. Punctele y2,
y4 sunt puncte de minim local ale lui g, iar, y1,y3 sunt puncte de maxim local ale lui g.
Se observă că o valoare maximă locală g(y 1) poate fi mai mică decât o valoare minimă
locală g(y 4).
2. Teorema lui Fermat
Un rezultat remarcabil pentru o funcție derivabilă într -un punct de extrem este formulat în:
Teorema (Fermat): Fie 𝑔:𝐴→ℝ, A interval iar 𝑐0 un punct de extrem din interiorul
intervalului. Dacă funcția g este derivabilă in 𝑐0, atunci 𝑔′(𝑐0)=0.
Demonstrație:
Putem presupune că 𝑐0 este un punct de maxim local (În caz contrar inlocuim g cu -g). Prin
urmare există o vecinătate 𝑈∈𝑈(𝑐0), deci un numar 𝜇>0, astfel încât (𝑐0−𝜇,𝑐0+𝜇)⊂𝑈∩𝐴, pentru
care 𝑔(𝑐)⩽𝑔(𝑐0),∀𝑐∈(𝑐0−𝜇,𝑐0+𝜇).
Fie 𝑐∈(𝑐0−𝜇,𝑐0).
Atunci 𝑔(𝑐)−𝑔(𝑐0)
𝑐−𝑐0≥0 (deoarece g(c)≤𝑔(𝑐0),𝑐<𝑐0).
Cum g este derivabilă în 𝑐0, există 𝑙𝑖𝑚
𝑐→𝑐0𝑔(𝑐)−𝑔(𝑐0)
𝑐−𝑐0=g′(𝑐0)și în plus, de mai sus g′(𝑐0)≥0.(1)
Acum luăm 𝑐∈(𝑐0,𝑐0+𝜖) astfel încât 𝑔(𝑐)−𝑔(𝑐0)
𝑐−𝑐0≤0.
Raționând ca mai sus deducem 𝑙𝑖𝑚
𝑐→𝑐0𝑔(𝑐)−𝑔(𝑐0)
𝑐−𝑐0=g′(𝑐0)≤0.(2).
Din (1) si (2) rezultă g′(𝑐0)=0, ceea ce trebuia demonstrat.
Interpretarea geometrică:
Din g′(𝑐0)=0, rezultă că tangenta la grafic în punctul (𝑐0,𝑔(𝑐0)) este paralelă cu axa Ox.
Teorema lui Fermat spune că: graficul unei funcții derivabile are tangentă paralelă cu axa Ox în
punctele sale de extrem (de maxim sau de minim) , care nu coincid cu extremitățile graficului.
Observații :
1) Teorema lui Fermat are un caracter local, vizând comportarea funcției în vecinătatea
unui punct fixat. Să observăm 𝑔′(𝑐0) poate fi zero si pentru 𝑐0 punct de inflexiune.
2) Daca punctul 𝑐0∈𝐴 n-ar fi din interiorul intervalului, atunci concluzia teoremei lui Fermat nu
mai este adevărată.
Este suficient să considerăm funcția 𝑔:[0,1]→ℝ,𝑔(𝑐)=𝑐 pentru care 𝑔′(𝑐)=1,∀𝑥∈[0,1].
3) Reciproca teoremei lui Fermat, în general, nu este adevărată, adică derivată unei funcții se
poate anula într -un punct, fără ca acesta să fie punct de extrem.
De exemplu funcția 𝑔:ℝ→ℝ,𝑔(𝑐)=𝑐3 pentru care 𝑔′(𝑐)=3𝑐2 și deci 𝑔′(0)=0, 𝑐0=0, nu
este punct de extrem pentru f (este punct de inflexiune ).
4) Un punct 𝑐0∈𝐴 poate fi punct de extrem pentru g fără să existe 𝑔′(𝑐0).
Așa este funcția 𝑔:ℝ→ℝ,𝑔(𝑐)=|𝑐| pentru care 𝑐0=0 este punct de minim, dar știm că g nu
este derivabilă în 𝑐0=0 (deci condiția că g este derivabilă în 𝑐0 nu este condiție necesară că 𝑐0 să fie
punct de extrem).
Asadar, dacă 𝑔:𝐴→ℝ continuă pe intervalul A, g are extrem în punctul interior 𝑐0, atunci fie
derivata lui g în 𝑐0 nu există, fie 𝑔′(𝑐0)=0.
Dacă 𝑔:𝐴→ℝ, este o funcție derivabilă pe un interval deschis A, atunci zerourile derivatei g'
sunt numite puncte critice ale lui g pe A.
Valoarea funcției într -un punct critic se numește valoare staționară, deoarece viteză de schimbare
a lui g relativ la c este zero, este punct staționar.
Natura punctelor staționare poate fi determinată prin precizarea semnului derivatei la stânga și la
dreapta punctului.
Să reținem că:
1) valorile extreme ale unei funcții 𝑔:[𝑝,𝑞]→ℝ, g derivabilă se pot obține la capetele
intervalului sau în puncte critice din interiorul intervalului.
2) dacă g are punct de întoarcere sau unghiular, acesta este punct de extrem (într -un astfel
de punct g nu este derivabilă).
Teorema lui Fermat afirmă că punctele de extrem local ale unei funcții derivabile g sunt
printre punctele critice, adică punctele de extrem local ale lui g sunt printre soluțiile ecuației
𝑔′(𝑐)=0.
3. Teorema lui Rolle
Fie o funcție 𝑔:[𝑐,𝑑]→ℝ,𝑐∈ℝ,𝑑∈ℝ,𝑐<𝑑
Dacă:
1) g este continuă pe intervalul închis [c,d];
2) g este derivabilă pe intervalul deschis (c,d);
3) g are valori egale la capetele intervalului 𝑔(𝑐)=𝑔(𝑑),
atunci există cel puțin un punct e din intervalul deschis (𝑐,𝑑),𝑒∈(𝑐,𝑑), în care derivata
se anulează, 𝑔′(𝑒)=0.
Demonstrație:
Se analizează cazurile:
1) Funcția g este constanta pe [c,d]. În acest caz g′(𝑦)=0,∀𝑦∈(𝑐,𝑑), deci orice punct
𝑒∈(𝑐,𝑑) răspunde concluziei teoremei.
2) Funcția g nu este constantă . Cum g este continuă pe un compact [c,d], atunci
(Weierstrass) g este mărginită și își atinge marginile pe compact [c,d], adică ∃𝑦𝑚,𝑦𝑀∈
[𝑐,𝑑], astfel încât 𝑔(𝑦𝑚)=𝑚,𝑔(𝑦𝑀)=𝑀, unde M=sup g(y), m=inf g(y), g nu este constantă
rezultă m< M. Dacă punct ul de minim 𝑦𝑚, se află în interiorul intervalului [c,d], atunci , conform
teoremei lui Fermat , g′(𝑦𝑚)=0.
Deci luând e=y m , teorema este demonstrată.
Dacă 𝑦𝑚∈{𝑐,𝑑},𝑑𝑒𝑐𝑖𝑦𝑚 coincide cu unul din captele intervalului [c,d], atunci
𝑔(𝑐)=𝑔(𝑑)=𝑔(𝑦𝑚)=𝑚<𝑀=𝑔(𝑦𝑀). În acest caz este clar că 𝑦𝑀, punctul de
maxim al lui g, se află în interiorul intervalului [c,d]. Din nou , aplicând teorema lui Fermat , se
deduce g′(𝑦𝑀)=0.
Deci 𝑒=𝑦𝑀 și teorema este complet demonstrată.
Corolar: Fie 𝑔:[𝑐,𝑑]→ℝ continuă pe [c,d], derivab ila pe (c,d) și g(c)=g(d)=0 (c, d sunt
rădăcini pentru g).
Atunci există cel puțin un punct 𝑒∈(𝑐,𝑑), astfel încât g′(𝑒)=0.
Deci între două rădăcini ale fun cției g se află cel puțin o rădăcina a derivatei g'.
Interpretarea geometrică:
Teorema lui Rolle are o interpretare geometrică simplă. Din g′(𝑒)=0, rezultă că
tangenta la graficul funcției g în punctul (𝑒,𝑔(𝑒))este paralelă cu axa Ox.
Deci dacă cerințele teoremei lui Rolle sunt îndeplini te, atunci pe graficul funcției g există
(cel puțin) un punct (𝑒,𝑔(𝑒))în care tangent a este paralelă cu axa Ox.
Interpretarea fizică:
Presupunem că y este timpul și g(y) este coordonată unui p unct, care se mișcă pe o
dreaptă , la momentul y. La momentul y=c punctul are coordonată g(c), apoi se mișcă într -un
anumit mod cu viteza g′(𝑦) și se întoarce la punctul de plecare cu coordonată g(c), la momentul
y=d ( g(c) = g(d) ).
Este clar că pentru a se întoarce la punctul g(c), el trebuie să se oprească la un anumit
moment, adică la un anumit moment y=e viteza este zero g ′(𝑒)=0.
Observații :
1) Teorema lui Rolle este o proprietate de existență .
2) Deoarece orice f uncție derivabilă este continuă, condiția a) din teoremă se poate
readuce la g continuă pe {c,d}, deoa rece din b) rezultă că g este continuă pe (c,d).
3) Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pe ntru ca teorema să fie
adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teoremei nu mai are loc.
4. Teorema lui Lagrange:
Aceasta este o generalizare simplă a teoremei lui Rolle, în care funcția g nu mai ia
obligatoriu valori egale in capetele c, d, ale intervalului considerat.
Teoremă: Fie funcția g:[c,d]→ ℛ, c,d∈ℛ, c<𝑑. Dacă:
a) g este continuă pe intervalul închis [c,d];
b) g este derivabilă pe intervalul deschis (c,d),
atunci există cel puțin un punct e din intervalul deschis (c,d), astfel încât 𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
𝑑−𝑐=
𝑔′(𝑒).
Demonstrație:
Egalitatea care apare în această teoremă poartă denumirea de formula lui Lagrange.
Considerăm funcția h:[c,d]→ ℛ, h(y)=g(y)─py, unde p este un număr real. Funcția h
continuă pe [c,d], (fiind compunere de funcții elementare, deci continue), derivabilă pe (c,d),
(fiind compunere de funcții elementare și derivabile), și h'(y)= g'(y)─ p.
Se determină numărul real p, din cerință h(c)=h(d), când p= 𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
𝑑−𝑐 .
Atunci funcției îi aplicăm teorema lui Rolle, când există e ∈(𝑐,𝑑) așa încât h'(e)=0, deci
𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
𝑑−𝑐=𝑔′(𝑒). Q.e.d
Interpretarea geometrică:
Scrisă formula lui Lagrange, sub forma 𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
𝑑−𝑐=𝑔′(𝑒), avem exprimarea faptului că
există pe gr aficul funcției g cel puțin un punct (e, g(e)), diferit de extremități, în care panta
tangentei ( 𝑔′(𝑒)) să fie egală cu panta coardei determinată de punctele M(c,g(c)), N(d,g(d)), ceea
ce înseamnă că această tangentă este paralelă cu coarda MN.
Interp retarea fizică:
Vom considera că y este timpul și g(y) este coordonata unui punct, care se mișcă pe o
dreaptă, la momentul y. Expresia 𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
𝑑−𝑐 reprezintă viteza medie a mișcării punctului în
intervalul de timp de la c la d. Formula creșterilor finite arată că avem un moment y=e, în care
viteza instantanee este egală cu viteza medie în intervalul de timp [c,d].
5. Consecințe ale teoremei lui Lag range:
Prima consecință (Funcții cu derivată nulă)
Corolar 1: Dacă o funcție derivabilă are derivata nulă pe un interval, atunci ea este
constantă pe acest interval.
Demonstrație :Fie 𝑔:𝐴→ℝ, o funcție derivabilă în punctele din in teriorul lui A și
continuă pe A , A interval și 𝑎∈𝐴 un element fixat. Dacă 𝑧∈𝐴 este arbitrar, atunci conform
teoremei lui Lagrange aplicată funcției g pe intervalul [a,z] sau [z,a], există un punct e ∈(𝑎,𝑧)
sau e∈(𝑧,𝑎), astfel încât 𝑔(𝑧)−𝑔(𝑎)=(𝑧−𝑎)g′(𝑒).
Cum g′(𝑐)=0, avem 𝑔(𝑧)=𝑔(𝑎),∀𝑧∈𝐴, ceea ce arată că g este constantă pe A.
Observații:
1) Afirmația reciprocă a corolarului 1 este clară. Dacă o funcție constantă pe un interval,
atunci derivata acesteia este nulă pe interval.
2) Corolarul demonstrat da un procedeu de lucru prin care să arătăm că o funcție definită
pe un interval este constantă. Calculăm derivată acesteia și dacă g′=0, atunci există o constantă
𝑝∈ℝ astfel încât 𝑔(𝑧)=𝑝. Pentru determinarea constantei se alege o valoare particulară 𝑧0 din
interval pentru care 𝑔(𝑧0) are o formă cât mai simplă .
Alteori , dacă intervalul are formă (c,d), atunci , pentru determinarea constantei , se
apelează la calculul 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑐𝑔(𝑧), 𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝
𝑧→𝑑𝑔(𝑧).
Consecința a doua (funcții cu derivate egale):
Corolar 2: Dacă două funcții derivabile au derivatele egale pe un interval, atunci ele
diferă printr -o constantă pe acel interval.
Demonstrație: Fie g, h : A→ ℛ, derivabile pe interiorul lui A, și continue pe A, unde A
este interval cu 𝑔′(𝑦)=ℎ′(𝑦), ∀𝑦∈𝐴. Această condiție scrisă: (g─h)'(y)=0 , ∀𝑦∈𝐴, arată că se
poate aplica corolarul 1. În concluzie, există o constantă p ∈ℛ, astfel încât g(y)-h(y)=p, ∀𝑦∈𝐴,
așa încât cele două diferă doar printr -o constantă.
Observații:
1. Cerința ca A să fie interval este esențială. Putem vedea asta din exemplu următor:
Fie g, h două funcții, g,h: ( -1,1)∪(3,4)→ℛ,𝑔(𝑦)= {1,𝑦∈(−1,1)
−1,𝑦∈(3,4), h(y)=1 , ∀𝑦∈𝐴.
Evident, 𝑔′(𝑦)=ℎ′(𝑦), pentru orice y din A, fără ca 𝑔(𝑦)−ℎ(𝑦)={0,𝑦∈(−1,1)
−2,𝑦∈(3,4) să
fie o constantă. Dar g-h este constantă pe fiecare interval, ( -1,1),(3,4) egală cu 0, și respectiv -2.
Deci, g-h diferă prin câte o constantă pe fiecare interval.(ganga p 474)
2. În determinare a constantei, se procedează cum am explicat în observația 2, de la
consecința 1.
3. Formulele de la trigonometrie pot fi demonstrate utilizând această consecință.
Spre exemplu: să arătăm că sin2y=2sinycosy , ∀𝑦∈ℛ. Considerăm g,h:ℛ→ℛ, g(y)=sin2y,
h(y)=2sinycosy pentru care g'(y)=2cos2y, h'(y)=2cos2y . Deci, g'(y)= h'(y), ∀𝑦∈ℛ. Așadar ,
există o constantă p reală , astfel încât g(y)-h(y)=p. Luând y=0, când g(0)-h(0)=0, avem p=0.
A treia consecinț ă (Rolul derivatei întâi, intervale de mo notonie, puncte de extrem):
1. Intervale de monotonie:
Un alt rezultat important pentru o funcție derivabilă pe un interval este furnizat de semnul
derivatei.
Acesta va fi utilizat pentru determinarea intervalelor de monotonie. Mai precis , are loc
următorul:
Corolar 3:
Fie 𝑔:𝐴→ℝ, A interval, o funcție derivabilă .
1) Dacă g′(𝑧)≥0,∀𝑧∈𝐴, atunci g este crescătoare pe A.
2) Dacă g′(𝑧)≤0,∀𝑧∈𝐴, atunci g este descrescătoare pe A.
1') Dacă g′(𝑧)>0,∀𝑧∈𝐴, atunci g este strict crescătoare pe A.
2') Dacă g′(𝑧)<0,∀𝑧∈𝐴, atunci g este strict descrescătoare pe A.
Observație: Dacă g′(𝑧)=0, atunci punctele rezultate sunt puncte staționare.
Demonstrație:
Fie 𝑧1,𝑧2∈𝑎,𝑧1<𝑧2 și g′(𝑧)≥0,∀𝑧∈𝐴. Se aplică teorema lui Lagrange intervalul
[𝑧1,𝑧2]. Prin urmare există e ∈(𝑧1,𝑧2), astfel încât 𝑔(𝑧2)−𝑔(𝑧1)=(𝑧2−𝑧1)g′(𝑒)≥0, ceea ce
arată că 𝑔(𝑧1)≤𝑔(𝑧2).
Așadar , din 𝑧1<𝑧2,𝑧1,𝑧2∈𝐴 rezultă 𝑔(𝑧1)≤𝑔(𝑧2), ceea ce demonstrează că g este
crescătoare pe A.
Acum este clar că dacă g′>0, atunci am fi obținut 𝑔(𝑧1)<𝑔(𝑧2), ceea ce conduce la g
strict crescătoare pe A, adică:1’). Analog , dacă g′(𝑧)≤0,∀𝑧∈𝐴, se obține că: 𝑔(𝑧2)−
𝑔(𝑧1)=(𝑧2−𝑧1)g′(𝑒)≤0, adică 𝑔(𝑧1)≥𝑔(𝑧2).
Deci , pentru 𝑧1<𝑧2, 𝑧1,𝑧2∈𝐴, rezultă 𝑔(𝑧1)≥𝑔(𝑧2), ceea ce înseamnă că g este
descrescătoare pe A.
Dacă g′(𝑧)<0, atunci găsim 𝑔(𝑧1)>𝑔(𝑧2) și, prin urmare , g este strict descrescătoare
pe A.
a) Pentru a marca monotonia unei funcții utilizând semnul d erivatei se utilizează
tabele ca mai jos.
Prin săgeata orientată în sus înțelegem faptul că funcția es te crescătoare, iar prin săgeata
orientată în jos înțelegem faptul că funcția este descrescătoare.
b) Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei funcții derivabile 𝑔:𝐴→ℝ,
A nu neapărat interval din ℛ, se procedează astfel:
─ se calculeză întâi derivata g' a funcției g;
─ se rezolvă în ℛ (sau nu neapărat, ne trebuie semnul funcției g') ecuația g'(y)=0,
∀𝑦∈𝐴;
─ se determină intervalele de semn ale funcției g';
─ se ține cont de corolar 3 și se stabilesc intervalele de monotonie.
Puncte de extrem local pentru o funcție
Utilizând monotonia unei funcții g, putem stabili punctele de minim sau maxim local
pentru o funcție derivabilă. Un punct 𝑦0din interiorul domeniului de definiție A este un punct de
minim local dacă avem situația marcată în tabelul de mai jos:
Punctul 𝐴(𝑦0,𝑔(𝑦0)) este un punct de minim local pentru grafiul funcției dacă într -o
vecinătate a lui A, panta tangentei la grafic s e schimbă de la valori negative prin zero la valori
pozitive, când ne deplasăm de-a lungul curbei în direcția pozitivă a axei Ox.
Punctul 𝑦0din interiorul domeniul de definiție A este un punct de maxim local dacă avem
situația de mai jos din tabel:
Punctul 𝐵(𝑦0,𝑔(𝑦0)) este un punct de maxim local pentru graficul funcției dacă într -o
vecinătate a lui B, panta tangentei la grafic s e schimbă de la valori pozitive prin zero la valori
negative, când ne deplasăm de -a lungul curbei în direcția pozitivă a axei Ox.
Să observăm că în ambele cazuri există o vecinătate U a lui 𝑦0 în care are loc inegalitatea
𝑔(𝑦)≥(𝑔(𝑦0)) sau 𝑔(𝑦)≤(𝑔(𝑦0)),∀𝑦∈𝑈.
Deci, absența punctelor critice, care sunt soluții ale ecuației g′(y)=0, nu înseamnă
inexistenț a valorilor minimale sau maximale.(ganga p 480)
Demonstrarea unor inegalități cu ajutorul derivatelor
Utilizând corolarul 3, se pot demonstra o serie de inegalități. De fapt o inegalitate de
forma 𝑔(𝑥)>𝑂 pentru 𝑦≥𝑦0 sugerează utilizarea monotoniei funcției pentru rezolvare. La
monotonie avem relații de tipul g (𝑦)>𝑔(𝑦0) sau 𝑔(𝑦)<𝑔(𝑦0) pentru 𝑦≥𝑦0 Se di sting cel
puțin trei moduri pentru a proba o inegalitate de formă 𝑔(𝑥)≥0,∀𝑦≥𝑦0.
1) Dacă g este (strict) crescătoare și g ( 𝑦0)=0, atunci din 𝑦≥𝑦0 rezultă 𝑔(𝑦)≥𝑔(𝑦0)=
0. Sub formă de tabel avem:
2) Dacă g are un minim global 𝑦𝑚∈(𝑦0,∞) pentru care 𝑔(𝑦𝑚)=0, atunci evident
𝑔(𝑦)≥𝑔(𝑦𝑚)=0,∀𝑦≥𝑦0.
3) Dacă g este descrescătoare pe [ y0,∞) și 𝑙𝑖𝑚
𝑦→∞𝑔(𝑦)=0, atunci avem 𝑔(𝑦)≥0,∀𝑦≥
𝑦0,unde ∞ este punct de acumulare pentru [y0,∞).
Tabelul arată sub forma:
A patra consecință (Deri vata unei funcții într -un punct )
Următorul rezultat este important pentru că permite să decidem dacă o funcție este
derivabilă într -un punct. Condiția suficientă ca acest lucru să se întâmple este dată de :
Corolar 4:
Fie 𝑔:𝐴→ℝ, A interval și 𝑦0∈𝐴.
Dacă:
1) g este continuă în 𝑦0;
2) g este derivabilă pe 𝐴−𝑦0;
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑦→𝑦0g′(𝑦)=𝑚∈𝑅̅, atunci 𝑔 are derivată în 𝑦0și g′(𝑦0)=𝑚.
Demonstrație:
Se aplică teorema lui Lagrange funcției 𝑔 pe un interval [𝑦,𝑦0],𝑦<𝑦0 și avem
𝑔(𝑦)−𝑔(𝑦0)
𝑦−𝑦0=g′(𝑒𝑦),cu 𝑦<𝑒𝑦<𝑦0.
De aici gs′(𝑦0)=limy→y0
y<y0𝑔(𝑦)−𝑔(𝑦0)
𝑦−𝑦0=g′(𝑒𝑦)=𝑚, deoarece 𝑒𝑦→𝑦0, dacă 𝑦→𝑦0. Analog ,
gd′(𝑦0) există și este egală cu l. Deci g este derivabilă în 𝑦0si g′(𝑦0)=𝑚.
Observații:
1) Acest corolar (pe care îl denumim corolarul teoremei lui Lagrange) pentru studiul
derivabilității unei funcții într -un punct, permite să calculăm derivatele laterale într -un punct.
2) Co rolarul teoremei lui Lagrange dă o condiție suficientă pentru ex istența derivatei
unei funcții într -un punct. Condiția nu este și necesară, după cum se poate vedea prin exemplul
următor:
Fie g : ℛ→ℛ, g(y)={𝑦2𝑠𝑖𝑛1
𝑦,𝑦≠0
0 ,𝑦=0 , derivabilă în origine și g′(0)=0, dar nu există,
unde g′(𝑦)=2𝑦𝑠𝑖𝑛(1
𝑦)−𝑐𝑜𝑠(1
𝑦), întrucât se știe nu există 𝑙𝑖𝑚
𝑦→0𝑐𝑜𝑠(1
𝑦).(ganga p 488)
3) Dacă una din condițiile corolarului nu este verificată, concluzia nu este numaidecât
adevărată.
Spre exemplu , funcția 𝑔:[0,1]→ℝ, 𝑔(𝑦)={0,𝑦∈[0,1]
1,𝑦=1, este derivabilă pe [0,1) și
𝑙𝑖𝑚 𝑠𝑢𝑝
𝑦→1 g′(𝑦)=0 și totuși nu este derivabilă în y=1, nefiind continuă în acest punct.
Dar nu este exclusă posibilitatea ca o funcție discontinuă într -un punct să aibă totuși
derivată în acest punct.
De exemplu , 𝑔:ℝ→ℝ, g(y) ={𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1
𝑦,𝑦≠0
0,𝑦=0 , este discontinuă în y=0 și totuși g′(0)=
∞, calculată folosind definiția.
4) În condițiile corolarului, dacă 𝑔 este derivabilă în y0, nefiind continuă în acest punct,
va rezulta că derivata este continuă în y0.
6. Regulile lui L’Hospital:
Prima regulă a lui l'Hospital (cazul 𝟎
𝟎)
Fie 𝑢,𝑣:(𝑎,𝑏)→ℝ, două funcții cu proprietățile:
1) u, v derivabile pe (𝑎,𝑏);
2) 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)=𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
(𝑧→𝑎) 𝑣(𝑧)=0;
3) 𝑣′(𝑧)≠0,∀𝑧∈(𝑎,𝑏);
4) există 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎𝑢′(𝑧)
𝑣′(𝑧)∈𝑅.̅
Atunci există limita 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧) și mai mult 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧)=𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎 𝑢′(𝑧)
𝑣′(𝑧)
(limita raportului este egală cu limita raportului derivatelor).
Observații:
1. Interpretarea geometrică a regulii lui l'Hospital:
Fie 𝐽=(𝑐<𝑝<𝑑). Fie 𝑢̃,𝑣̃, fie prelungirile lui u si v și z=c.
În planul xOy fie curba (C) definită parametric prin: z= 𝑢̃ (t) , y=𝑣̃ (t).
Deoarece 𝑢̃(𝑐)=𝑣̃(𝑐)=0, curba ( C ) trece prin origine.
Dacă p >𝑐, în punctul G corespunzător de pe grafic există tangeta GT a cărei pantă este
egală cu 𝑑(𝑘)
𝑑(𝑧)=u′(𝑡)
v′(𝑡). În figură , panta dreptei OG este egală cu 𝑢(𝑡)
𝑣(𝑡). Egalitatea 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎u′(𝑧)
v′(𝑧),
se traduce prin aceea că dacă panta tangentei P T are limita l, atunci panta corzii OG are ace eași
limită care ar putea fi pantă tangentei ON la curba ( C ).
2. Regula rămâne adevărată mutatis mutandis dacă 𝑧→𝑎.
3. Regula are loc pentru cazul a punct de acumulare finit. Rezultatul rămâne valabil și
dacă punctul de acumulare este infinit 𝑎=∞. Printr -o substituție de forma 𝑧=𝑙
𝑡, se readuce
acest caz la a = 0.
𝑙𝑖𝑚
𝑧→∞𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑡→0𝑢(1
𝑡)
𝑣(1
𝑡)=𝑙𝑖𝑚
𝑡→0u′(1
𝑡)
v′(1
𝑡)=𝑙𝑖𝑚
𝑡→0−1
𝑡2u′(1
𝑡)
−1
𝑡2v′(1
𝑡)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→∞u′(𝑧)
v′(𝑧)
4. Dacă expresia u′(𝑧 )
v′(𝑧) reprezintă din nou forma de nedeterminare (0
0), și dacă funcțiile
u′,v′ satisfac condițiile teoremei precedente, atunci 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎u′(𝑧)
v′(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎u′′(𝑧)
v′′(𝑧). Aceste
egalități ar putea fi înțelese în sensul că dacă a treia limită există, atunci și prima și a doua limită
există.
2. Cazul de nedeterminare: ∞
∞
A doua regulă a lui l'Hospital:
Fie 𝑢,𝑣:(𝑎,𝑏)→𝑅, două funcții cu proprietățile:
1) u, v sunt derivabile pe (a,b) ;
2) 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)=𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎𝑣(𝑧)=∞;
3) g(z)≠0,𝑔′(𝑧)≠0,∀𝑧∈(𝑎,𝑏);
4) există 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎u′(𝑧)
v′(𝑧)∈ℝ¯.
Atunci există limita 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎(𝑢(𝑧)
𝑔(𝑧))=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎(u′(𝑧)
v′(𝑧)) și are loc egalitatea 𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧)=
𝑙𝑖𝑚 𝑖𝑛𝑓
𝑧→𝑎u′(𝑧)
v′(𝑧).
Observații:
1) Regula rămâne valabilă mutatis muntandis 𝑧→𝑎 și la fel dacă: 𝑧→+∞.
2) În virtutea celor două reguli există o metodă generală de calcul a limitei câtului a
două funcții, bazată pe egalitatea:
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎u′(𝑧)
v′(𝑧)
Această te hnică de lucru se numește regula lui l'Hospital.
3) Dacă u′,v′, satisfac ipotezele din una din cele două teoreme, regula lui l'Hospital se
poate aplica pentru a doua oară:
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎𝑢(𝑧)
𝑣(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎u′(𝑧)
v′(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑎u′′(𝑧)
v′′(𝑧)
4) Prima și a doua regulă a lui l'Hospital se refe ră la cazul în care căutăm limita câtului a
două funcții u și v care tind simultan la zero sau la infinit când 𝑧→𝑎.
A găsi o astfel de limită înseamnă a elimina o nedeterminare de tipul 𝑜
𝑜(𝑠𝑎𝑢∞
∞).
V om arăta că și celelalte cazuri de nedeterminare: 0⋅∞,∞−∞,00,∞0,1∞ sunt
reductibile la cazurile 𝑜
𝑜(𝑠𝑎𝑢∞
∞). Primele două prin transfomă ri, iar ultimele trei luând
logaritmul funcțiilor corespunzătoare.
5) În aplicațiile curente, condiițile din enunțul regulii sunt satisfăcute. De aceea, de
obicei, se trece direct la calcului limitei în a a funcției u′
v′.
Dacă aplicarea regulii conduce la o contradicție, înseamnă că, dintre condițiile teoremei,
cel puțin una nu este îndeplinită.
6) Reciproca regulii lui l ' Hospital este falsă: adică 𝑢
𝑣 are limită în z=a, nu rezultă că și 𝑢′
𝑣′
are limită în z=a.
Observații: 1. Funcția exponențială crește mult mai repede decât orice funcție
polinomială, pentru valori mari ale argumentului .
2. Orice funcție polinomială crește mult mai repede decât funcția logaritmică, pentru
valori mari ale argumentului.
3.Cazul de nedeterminare: 𝟎⋅∞
Pentru calculul limitei produsului 𝑢⋅𝑣 în punctul 𝑧0 cu 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑢(𝑧)=0, iar 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0|𝑣(𝑧)|
=∞ există două posibilități de rescriere a produsului 𝑢⋅𝑣.
1) Dacă 𝑣(𝑧)≠0 pentru 𝑧≠𝑧0, 𝑧∈𝐴, atunci scriem 𝑢⋅𝑣=𝑣
1
𝑢 cu 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧01
|𝑢(𝑧)|=
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0|𝑣(𝑧)|=∞, si s-a redus la cazul ∞
∞.
Observație:
Se preferă unul sau celălat caz după cum aplicarea regulii lui l'Hospital conduce mai
rapid la rezultat.
4. Cazul de nedeterminare: ∞−∞
Avem de calculat 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0[𝑢(𝑧)−𝑣(𝑧)] și 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑢(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑣(𝑧)=∞ sau
𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑢(𝑥)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑣(𝑥)=−∞.
Și acest caz se poa te reduce în două moduri la cazurile studiate până acum dacă utilizăm
scrierile:
1) 𝑢−𝑣=𝑢−𝑣
𝑢𝑣
1
𝑢𝑣=1
𝑣−1
𝑢
1
𝑢𝑣 când se obține cazul 0
0
2) 𝑢−𝑣=𝑢(1−𝑣
𝑢) când pentru 𝑣
𝑢 avem cazul ∞
∞
Dacă aici 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0 𝑣(𝑧)
𝑢(𝑧)=1,atunci pentru 𝑢(1−𝑣
𝑢) avem cazul de nedeterminare 0⋅∞.
5.Cazul de nedeterminare: 𝟎𝟎,∞𝟎,𝟏∞
Suntem în situația de a calcula 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑢(𝑧)𝑣(𝑧) (în ipoteză 𝑢(𝑧)>0,∀𝑧≠𝑧0,𝑧,𝑧0∈𝐴)
Dacă 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑢(𝑧)=𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑣(𝑧)=0, atunci suntem în cazul 00.
Dacă 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑢(𝑧)=∞,𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑣(𝑧)=0, atunci avem nedeterminarea ∞0.
Dacă 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑢(𝑧)=1, 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0𝑣(𝑧)=0, atunci avem nedeterminarea ∞0.
Dacă 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧𝑜𝑢(𝑧)=1,și 𝑙𝑖𝑚
𝑧→𝑧0|𝑣(𝑧)|=∞, atunci avem nedeterminarea 1∞.
Pentru a calcula limita funcției 𝑢𝑣pentru 𝑧→𝑧0, se utilizează egalitatea: 𝑢𝑣=𝑒𝑔⋅𝑙𝑛(𝑢),
(se demonstrează aplicând funcția ln), pe care o reducem la calculul limitei lim
𝑧→𝑧0𝑢(𝑧)𝑙𝑛𝑣(𝑧) cu
care ne plasăm în cazul 0⋅∞.
7. Teorema lui Cauchy
Fie g și h două funcții definite pe un interval J, și c<𝑑 două puncte din J. Dacă:
a. g și h sunt continue pe intervalul închis [c,d];
b. g și h sunt derivabile pe intervalul deschis (c,d);
c. g'(y)≠0, pentru orice y∈(𝑐,𝑑), atunci există un punct e ∈(𝑐,𝑑), c <𝑒<𝑑,
astfel încât: 𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
ℎ(𝑑)−ℎ(𝑐)=𝑔′(𝑒)
ℎ′(𝑒).
Demonstrație:
Funcția G(y)=Mg(y)+Nh(y)+Q , unde M,N,Q sunt constante, este continuă pe [c,d], și
derivabilă pe (c,d). Să determinăm pe M,N,Q , astfel încât G(c)=G(d)=0. Aceste condiții ne dau
M·g(c)+N·h(c)+Q=0, M·g(d)+N·h(d)+Q=0, sau, scăzându -le, M·(g(d) -g(c))+N·(h(d) -h(c)) = 0.
Deci, avem: M= h(d)-h(c), N= g(d)-g(c).
Nu putem avea h(d)=h(c), deoarece, conform teoremei lui Rolle, ar exista 𝜀∈(𝑐,𝑑)
astfel încât g'(𝜀)=0, ceea ce nu se poate, pentru că g'(y)≠0, y∈(𝑐,𝑑).
Cu M și N astfel determinați și Q=0, avem G(y)= (g(c) -g(d))·h(y)+(h(d) -g(c))·g(y), și
funcția G îndeplinește toate condițiile teoremei lui Rolle, deci există un punct e ∈(𝑐,𝑑), în care
derivata G'(y)=(g(c)-g(d))·h'(y)+(h(d) -g(c))·g'(y) se anulează.
Dar (g(c) -g(d))·h'(e)+(h(d) -g(c))·g'(e)=0, și cum g'(e)≠0, h(d)-g(c) )≠0, putem scrie
𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
ℎ(𝑑)−ℎ(𝑐)=𝑔′(𝑒)
ℎ′(𝑒), c<𝑒<𝑑.
Această formulă se mai numește formula generală a mediei, sau a doua formulă a mediei.
(rosculet p 289)
Observații:
1. Teorema lui Cauchy rămâne adevărată dacă funcțiile g și h au derivata infinită în
puncte din intervalul (c,d) și dacă în fiecare punct y din acel interval, cel puțin una
dintre derivatele g'(y), sau h'(y) este finită. Ultima restricție provine din faptul că
| 𝑔′(𝑒)
ℎ′(𝑒)| trebuie să nu fie nedeterminat.
2. În aceleași condiții din en unțul teoremei lui Cauchy, dacă g(c)=h(c)=0, pentru orice
y∈(𝑐,𝑑) există un punct 𝑐<𝜀<𝑦, 𝜀≠𝑐, 𝜀≠𝑦, astfel încât să avem 𝑔(𝑦)
ℎ(𝑦)=𝑔′(𝜀)
ℎ′(𝜀),
formulă ce se obține din 1, înlocuind pe g(c) și h(c) cu 0, și pe d cu y. (rosculet p 290)
2.3. Derivate de ordinul I și de ordinul al II lea. Studiul variației
funcțiilor cu ajutorul derivatei.
1. Rolul d erivatei a doua in studiul funcț iilor:
“Am vă zut că semnul primei derivate dă informații asupra monotoniei funcției, iar zerouril e
primei derivate sunt eventual e puncte de extrem. Aceste informații și altele le utilizăm în trasarea
graficului unei funcții, numai că în destule cazuri, sunt necesare și informații suplimentare, care s ă le
întregească pe cele furnizate de prima derivată. Așa , de pildă , o funcție derivabilă poate fi strict
crescătoare î n două moduri, după cum tangenta la grafic se află sub grafic.
Analog, o funcție derivabilă poate fi strict descrescătoare în două moduri după poziția tangentei la
grafic în raport cu acesta: sub grafic sau deasupra graficului”.(ganga p 500)
Prin următoarea definiție precizăm riguros formele graficului prezente mai sus.
Definiții:
1) O funcție 𝑣:𝐽→𝑅,𝐽⊆ℝ, interval, se numește convexă pe intervalul J dacă ∀𝑧1,𝑧2∈
𝐽,∀𝑝∈[0,1] are loc inegalitatea :
𝑣((1−𝑝)𝑧1+𝑝𝑧2)≤(1−𝑝)𝑣(𝑧1)+𝑝𝑣(𝑧2)
2) O funcție 𝑣:𝐽→𝑅,𝐽⊆ℝ interval, se numește concavă pe intervalul J dacă ∀𝑧1,𝑧2∈
𝐽,∀𝑝∈[0,1] are loc inegalitatea :
𝑣((1−𝑝)𝑧1+𝑝𝑧2)≥(1−𝑝)𝑣(𝑧1)+𝑝𝑣(𝑧2)
Observații:
1) Dacă în definiția precedentă inegalitățile sunt stricte , atunci spunem că funcția v este strict
convexă și respectiv strict concavă.
2) Este imedia t că funcția v este concavă dacă ( -v ) este convexă pe J.
3) Funcția convexă (concavă) pe un interval admite următoare a interpretare geometrică. Să
considerăm punctele 𝐴(𝑧1,𝑣(𝑧1)), 𝐵(𝑧2,𝑣(𝑧2)), 𝑧1≠𝑧2, aparținând graficului funcției v și punctul 𝑧1=
(1−𝑝)𝑧1+𝑝𝑧2,𝑝∈[0,1], care aparține segmentului de capete 𝑧1,𝑧2 (se verifică ușor dubla inegalitate
𝑧1≤𝑧𝑝≤𝑧2).
Coarda MN are ecuația:
𝑞=𝑣(𝑧2)+𝑣(𝑧2)−𝑣(𝑧1)
𝑧2−𝑧1 și ordonata punctului C de abscisă 𝑝𝑡 de pe această coardă va fi:
𝑞𝑐=𝑣(𝑧2)+𝑣(𝑧2)−𝑣(𝑧1)
𝑧2−𝑧1=(1−𝑝)𝑣(𝑧1)+𝑝𝑣(𝑧2).
Dacă v este convexă, atunci 𝑣(𝑧1)≤𝑣(𝑧2). Punctul D aparținând graficului are coordonatele
(𝑧1,𝑣(𝑧1)). Semnificația inegalității 𝑣(𝑧1)≤𝑞𝑐, cazul funcției convexe, este aceea că graficul funcției
𝑣 este situat sub orice coardă dacă unim două puncte situate pe graficul funcției, cu abcisele aparținând lui
J.
Analog, semnificația inegalității 𝑣(𝑧1)≥𝑞𝑐, cazul funcției concave, este că graficu l
funcției g este situat deasupra coardei determinate de orice două puncte situate pe graf icul
funcției, cu abcisele aparținâ nd lui J. Dacă în fiecare punct gr aficul funcției admite o tangenta
unică, atunci inegalitatea 𝑣(𝑧1)≤𝑞𝑐 este echivalentă cu faptul că în fiecare punct (𝑧,𝑣(𝑧)),𝑧∈
[𝑧1,𝑧2], tangenta la graficul lui v este situată sub graficul lui v. O interpretare analogă pentru
inegalitatea 𝑣(𝑧1)≥𝑞𝑐.
Se mai spune despre funcția convexă că are graficul o curbă convexă, iar despr e funcția
concavă că are graficul o curbă concavă. În limbajul trivial spunem despre graficul convex
având forma secțiuni i unui vas cu gura în sus, că „ține apa”, în timp ce graficul concav „nu ține
apa ".
Teoremă: Fie 𝑣:[𝑐,𝑑]→ℝ,𝑐<𝑑 o funcție de două ori derivabilă pe [c,d] .
1) Dacă, v''(z) ≥0,∀𝑧∈(𝑐,𝑑), atunci funcția v este convexă pe intervalul [c,d] .
2) Dacă v′′(𝑧)≤0,∀𝑧∈(𝑐,𝑑), atunci funcția v este concavă pe intervalul [c,d] .
Demonstrație:
Fie 𝑐≤𝑧1<𝑧2≤𝑑. Pentru fiecare punct 𝑧∈(𝑧1,𝑧2), se aplică teorema lui Lagrange funcției v
pe intervalele [𝑥1,𝑥],[𝑥,𝑥2], deci există 𝑑1∈(𝑧1,𝑧2),𝑑2∈(𝑧1,𝑧2), astfel încât 𝑣(𝑧)−𝑣(𝑧1)
𝑧−𝑧1=
v′(𝑑1),𝑣(𝑧2)−𝑣(𝑧)
𝑧2−𝑧=v′(𝑐2).
Cum 𝑑1<𝑑2, rezultă v′(𝑑1)≤v′(𝑑2) (din enunț v′′≥0 arată că v' este crescătoare)
adică:𝑣(𝑧)−𝑣(𝑧1)
𝑧−𝑧1≤𝑣(𝑧2)−𝑣(𝑧)
𝑧2−𝑧.
Din 𝑧∈(𝑧1,𝑧2) arbitrar, aceasta este echivalentă cu scrierea: 𝑧=(1−𝑝)𝑧1+𝑝𝑧2,∀𝑝∈
(0,1), înlocuind pe z în inegalitatea de mai sus , rezultă 𝑣(𝑧)≤(1−𝑝)𝑣(𝑧1)+𝑝𝑣(𝑧2), ceea ce arată că v
este convexă pe [𝑐,𝑑].
Analog pentru concav.
Observații:
1) Este valabilă și afirmația reciprocă și anume :
Dacă 𝑣:[𝑐,𝑑]→ℝ, este de două ori derivabilă pe [𝑐,𝑑], și este convexă, (concavă), atunci
v′′≥0(≤0).
2) Interpretare geometrică :
Derivata a doua, fiind derivata primei derivate, din v′′≥0, se deduce că v' este o funcție
crescătoare, ceea ce înseamnă că pentru un grafic convex panta tangentei la grafic crește când punctul de
tangență se deplasează spre dreapta.
O intepre tare analogă se poate da dacă v′′≤0.
Intervale de convexitate (concavitate):
Dacă 𝑣:𝐽→ℝ este o funcție de două ori derivabilă pe intervalul J, și dacă v′′≥0, atunci v este
convexă pe J, iar dacă v′′≤0, funcția este concavă pe J.
Așadar semnul celei de -a doua derivate permite să găsim intervalele de convexitate și concavitate
pentru o funcție.
Teoremă:
Fie 𝑣:𝐴→ℝ și 𝑧0 un punct din intervalul A. Da că v este de două ori derivabilă într-o vecinătate V a lui
𝑧0, și dacă există două numere 𝑚,𝑛∈𝑉astfel încât:
1) 𝑚<𝑧0<𝑛;
2) v′′(𝑧0)=0;
3) v′′ <0 𝑝𝑒 (𝑚,𝑧0) și v′′>0 𝑝𝑒 (𝑧0,𝑛),sau v′′>0 𝑝𝑒 (𝑚,𝑧0) și v′′<0 𝑝𝑒 (𝑧0,𝑛).
Punctul 𝑅(𝑧0,𝑣(𝑧0)) se numește punct de inflexiune a graficului.
Demonstrație: Din definiția punctului de inflexiune și teorema de la paragraful „Condiție
suficientă de convexitate”.
Observații:
1. 𝑧0 este punct de inflexiune dacă u'( 𝑧0)= u''(𝑧0) și u'''(𝑧0) ≠0;
2. condiția u''( 𝑧0)=0 nu implică automat 𝑧0 punct de inflexiune;
3. condiția ca u să fie continuă în 𝑧0 este importantă, spre exemplu avem funcția u:ℛ→ℛ,
u(z)={−𝑧2+1,𝑧<0
−√𝑧 ,𝑧>0, cu u''(z)={−2,𝑧<0
1
4√𝑧,𝑧>0, ceea ce înseamnă că pe intervalul ( ∞,0),𝑢′′<0, adică u
este concavă, iar pe (0,∞), 𝑢′′>0, adică u este convexă. Dar z 0= 0 nu este punct de infexiune, funcția
nefiind continuă în acel punct.
Condiție suficientă pentru un punct de extrem:
S-a văzut că studiind semnul derivatei întâi de o parte și de alta a unui punct de extrem, se poate
preciza dacă acesta este punct de maxim sau de minim. Următorul rezultat spune că aceeași concluzie se
poate trage dacă studiem semnul derivatei a două în punctul de extrem. Mai precis , are loc :
Teorema:
Fie 𝑣:(𝑐,𝑑)→ℝ o funcție de două ori derivabilă și 𝑧0∈(𝑐,𝑑) un punct de extrem pentru v.
1)Dacă v′′(𝑧0)>0,atunci 𝑧0 este punct de minim local pentru v .
2)Dacă v′′(𝑧0)<0, atunci 𝑧0 este punct de maxim local pentru v .
Demonstrație:
1) Din v′′(𝑧0)>0, există g astfel încât pe (𝑧0−𝑔,𝑧0+𝑔),v′ este crescătoare. Dar din ipoteză
v′(𝑧0)=0. Atunci ∀𝑧∈(𝑧0−𝑔,𝑧0) avem v′(𝑧)≤v′(𝑧0)=0, adică pe intervalul (𝑧0−𝑔,𝑧0), funcția v
este descrescătoare.
Analog , dacă 𝑧∈(𝑧0,𝑧0+𝑔), atunci 0=v′(𝑧0)≤v′(𝑧) și, prin urmare , g este crescătoare pe
intervalul (𝑧0,𝑧0+𝑔).
De aici se deduce că 𝑧0 este punct de minim pentru v.
2) Analog cu 1).
Observații:
1. Pentru punctul de minim avem tabelul (pe o vecinătate a lui 𝑧0).
Din tabel rezultă că u' trece de la valori ne gative, prin zero, la valori poz itive, atunci când z crește,
ceea ce înseamnă că (u ′)′(𝑧) >0,∀ 𝑧∈𝑈.
Pentru punctul de maxim avem tabelul (pe o vecinătate a lui 𝑧0). În acest caz, obser văm că u'
trece de la valori poz itive, prin zero, la valori negative, atunci când u crește, ceea ce înseamnă că
(u′)′(𝑧) <0,∀ 𝑧∈𝑈. Cele discutate mai sus au corespondent grafic (p= u(z) este o funcție oarecare, de
două ori derivabilă pe domeniul de definiție) sugestiv prezentat în fig ura dată.
2. Dacă u''(𝑧0) <0, tangenta la grafic în punctul ( 𝑧0 ,𝑢(𝑧0)) se află deasupra graficului, iar
dacă u′′(𝑧) >0, această tangentă este sub grafic.
2. Șirul lui Rolle:
O aplicație foarte importantă a teoremei lui Rolle este șirul lui Rolle, asociat unei ecuații
de forma g(y)=0, unde g este o funcție derivabilă, cu ajutorul căreia se poate determina numărul
de rădăcini reale ale ecuației, precum și intervalele în care aceste rădăcini sunt situate.
Lemă: Fie g : J→ℛ, o funcție derivabil ă pe un interval J. Între două rădăcini consecutive
ale derivatei g', se află cel mult o rădăcină a ecuației g(y)=0 . (zerourile derivatei separă zerourile
funcției)
Demonstrație: Fie p și q, cu p <𝑞, rădăcini consecutive ale derivatei, ceea ce înseamnă
că în intervalul ( p,q) derivata nu se anulează. Presupunem , prin reducere la absurd , că ar exista
cel puțin două rădăcini m,n în intervalul ( p,q), așa încât g(m)=g(n)=0 . În intervalul [m,n] putem
aplica teorema lui Rolle, situație în care există t ∈(𝑚,𝑛) pentru care g'(t)=0 , ceea ce înse amnă
că g' se mai anulează în cel puțin un punct t ∈(𝑝,𝑞), care este contradicție cu alegerea inițială.
Analog, putem demonstra că dacă y m și y M sunt cea mai mică, respectiv cea mai mare
rădăcină a derivatei în intervalul J, atunci la stânga lui y m, respectiv la dreapta lui y M, există cel
mult o rădăcină a lui g.
Etapele construirii șirului lui Rolle:
I. Se precizează intervalul pe care este definită funcția și pe care aceasta este
derivabilă, precum și cel al studiului ecuației g(y)=0. Se presupune sau se demonstrează
derivabilitatea funcției g.
II. Se rezolvă ecuația g'(y)=0 și aranjăm în ordine crescătoare rădăcinile reale ale
acesteia.
III. Calculăm valorile funcției g în aceste rădăcini, apoi calculăm limitele la capetele
intervalului, notate cu 𝜇,𝜑.
IV. Șirul lui Rolle este șirul semnelor acestor valori, unde poate fi și valoarea zero.
V. Se referă la analiza și concluziile privind numărul de rădăcini reale ale ecuației și
intervalele în care acestea se află.
Avem următoarele cazuri:
1. Dacă aveam două semne alăturate identice (pentru p <𝑞 𝑠ă 𝑓𝑖𝑒 𝑔(𝑝),𝑔(𝑞)<
0,sau invers), atunci în acel interval nu av em rădăcini reale ale ecuației g(y)=0. Aceasta se
demonstrează rapid, deoarece dacă ar exista cel puțin două rădăcini m, n în intervalul ( p,q), unde
p, q sunt rădăcini consecutive ale derivatei, ale funcției, atunci conform teoremei lui Rolle am
avea un t ∈(𝑚,𝑛)⊆(𝑝,𝑞) așa încât g'(t)=0 , find contrar faptului că rădăcinile p, q sunt
consecutive ale lui g'. Dacă t ∈(𝑝,𝑞) ar fi o singură rădăcină a lui g, atunci din g(p)·g(q)>0
rezultă că t este punct de extrem pentru g, ceea ce dă g'(t)=0 , absurd.
2. Dacă avem, în șir, două semne alăturate contrare, spre exemplu g(p)<0, g(q)>0,
atunci conform lemei și proprietății lui Darboux pe care o au funcțiile continue, există cel mult și
respectiv cel puțin o rădăcină în intervalul (p,q) , adică ecuația g(y)=0 are exact o rădăcină în
intervalul (p,q).
3. Dacă în șir apare zero, de exemplu g(s)=0 , atunci aceasta este rădăcină multiplă a
ecuației g(y)=0, iar în intervalele (ys-1, ys), (y s, ys+1) ecuația nu mai are rădăcini.
Exemplu:
Să se determine numărul de rădăcini reale ale ecuației: y3-3y+7= 0.
1. Fixăm intervalul de studiu și definim funcția:
Fie g : J→ ℛ, o funcție derivabilă pe J, cu g(y)= y3-3y+7.
2. Calc ulăm g’ și rezolvăm ecuația g’(y )=0
g’(y)= 3y2-3
g’(y)=0 ⇒ 3y2-3=0 ⇒ y 1=-1, y 2=1.
3. Formăm șirul de valori:
c = lim
𝑦→−∞𝑔(𝑦)=−∞, g(y 1)=g(-1)= -5, g(y 2)=g(1)= – 9, d= lim
𝑦→∞𝑔(𝑦)=∞
4.Formăm tabelul de semn:
În concluzie, avem y 1>1..
3. Asimptote:
Fie A⊆ℛ un interval de numere reale, g:A→ℛ o funcție elementară și c un punct de
acumulare al mulțimii A. Atunci introducem următoarele drepte care pot însoți graficul
funcției g.
Asimptote orizontale:
Definiție:
1. Dacă lim
𝑧→∞𝑔(𝑧)=𝑙,𝑙≠±∞, atunci dreapta de ecuație y=l este asimptota
orizontală către +∞, pentru g.
2. Dacă lim
𝑧→−∞𝑔(𝑧)=𝑙′,𝑙′≠±∞, atunci dreapta de ecuație y=l' este asimptota
orizontală către −∞, pentru g.
Observație: O funcție g nu poate admite atât asimptotă orizontală cât și oblică spre ±∞.
Asimptote oblice:
Definiție: Spunem că dreapta de ecuație y=mx+n este asimptotă oblică la graficul
funcției g, spre +∞, dacă distanța dintre dreaptă și grafic, măsurată pe verticală, tinde către zero,
când x tinde către ∞, adică dacă lim
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑚𝑥−𝑛)=0.
Analog, pentru asimptotă către -∞.
Definiție: Spunem că dreapta de ecuație y=px+q este asimptotă oblică la graficul funcției
g, spre -∞, dacă distanța dintre dreaptă și grafic, măsurată pe verticală, tinde către zero, când x
tinde către -∞, adică dacă lim
𝑥→−∞(𝑔(𝑥)−𝑝𝑥−𝑞)=0.
Observații:
1. În general, asimptotele oblice, la ±∞, atunci când există , sunt diferite.
2. Se observă că pentru g: ( 𝛿,𝛾)→ℛ, cu 𝛿,𝛾∈ℛ nu are sens să punem problema
asimptotelor oblice la ±∞, deoarece acestea nu sunt puncte de acumulare pentru intervalul
(𝛿,𝛾).
3. Există și funcții care nu au asimptote.
Teoremă:
1. Drepta y=mx+n este asimptotă oblică la ramura spre +∞, dacă și numai dacă m,
n ∈ℛ (sunt finite), unde m = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞𝑔(𝑥)
𝑥, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑚𝑥)=𝑛,𝑚≠0.
2. Drepta y=px+q este asimptotă oblică la ramura spre -∞, dacă și numai dacă p, q ∈
ℛ (sunt finite), unde p = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞𝑔(𝑥)
𝑥 ,𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞(𝑔(𝑥)−𝑝𝑥)=𝑞,𝑝≠0.
Demonstrație:
Presupunem că y=mx+n este asimptotă oblică la ramura spre +∞, pentru g(x), și trebuie
să determinăm pe m și n. Deci: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑚𝑥−𝑛)=0 ⇒ 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑚𝑥)= 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−
𝑚𝑥−𝑛)+𝑛=0+𝑛=𝑛, și, de asemenea, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞(𝑔(𝑥)
𝑥−𝑚)=𝑛
∞ =0.
Cum 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞𝑔(𝑥)
𝑥 =𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞(𝑔(𝑥)
𝑥−𝑚)+𝑚=𝑚 .
Reciproc, dacă au loc relațiile 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞𝑔(𝑥)
𝑥 =m, 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑚𝑥)=𝑛,𝑚≠0, m,n ∈ℛ,
atunci se arată că 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑚𝑥−𝑛)=0, relație care conduce la y=mx+n asimptotă oblică.
Observații: asimptota oblică se calculează astfel:
1. Se calculează m=𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞𝑔(𝑥)
𝑥,
2. Dacă m este număr finit și nenul, atunci se calculează 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑚𝑥)=𝑛,
3. Dacă și n este finit, atunci dreapta de ecuație y=mx+n este asimptota oblică la
±∞ a funcției g.
Dacă cel puțin una dintr e asimptote nu există, sau este infinită, curba nu are asimptotă
oblică spre ±∞.
Asimptote verticale:
Definiție: Spunem că dreapta x=b este asimptotă verticală la stânga pentru g, dacă
lim𝑥→𝑏
𝑥<𝑏𝑔(𝑥)=±∞.
Interpretarea geometrică: Dacă x=b este asimptotă verticală la stânga lui g, iar P(x,
g(x)) și Q(x, g(x)), x <𝑏, atunci lungimea segmentului PQ tinde la zero atunci când x tinde la b,
și ordonata lui P tinde către infinit .
Definiție: Spunem că dreapta x=b este asimptotă verticală la dreapta pentru g, dacă
lim𝑥→𝑏
𝑥>𝑏𝑔(𝑥)=±∞.
Definiție: Spunem că dreapta x=b este asimptotă verticală pentru g, dacă ea este
asimptotă verticală atât la stânga cât și la dreapta, sau numai lateral.
Observații:
1. Pentru a avea asimptotă verticală, nu este neapărat necesar ca funcția să fie
definită în acel punct, în care calculăm asimptota, însă funcția nu are asimptotă daca punctul este
de continuitate.
2. Pentru funcțiile elementare, asimptotele se det ermină uș or:
– funcția polinomială fiind continuă nu are asimptote ;
– funcția rațională are ca simptote verticale dreptele de ecuație x=c, unde c este
rădăcină pentru numitor ;
– funcția logaritmică are ca asimptotă verticală dre apta x=0, sau dacă g(x)=ln h(x),
atunci asimpto tele verticale vor fi drepte de forma x=d, unde d este soluția ecuației h(x)=0 ;
– funcția g(x)=tg(x), are asimptote verticale dreptele x=(2k+1)𝜋
2, k∈𝑍, acestea fiind
punctele în care funcția nu există, ș.a.
4. Reprezentarea grafică a funcțiilor
Definiție: Fie g : A→ℛ o funcție reală de variabilă reală. Graficul funcției f este
mulțimea: G g={(y, g(y)) |y ∈𝐴}={(y,z) | y ∈𝐴, z=g(y)}. Reprezentarea geometrică a mulțimii G g
⊆A×ℛ într-un reper cartezian xOy se numește reprezentarea graficului funcției g.
A reprezenta grafic o funcție g : A→ℛ, A ⊆ℛ înseamnă a trasa curba G g într-un reper
cartezian. Reprezentarea grafică a unei funcții pune în evidență anumite proprietăți locale ș i
globale ale acesteia.
Pentru a prezenta mai sistematic modul de lucru în trasarea graficului unei funcții , se
recomandă parcurgerea următoarelor etape de determinare succesivă a unor elemente
caracteristice ale funcției.
1. Domeniul de definiție A .
Acesta este dat în enunț sau în caz contrar se determină ca fiind mulțimea formată din
toate punctele pentru care au sens operațiile prin care este definită funcția.
Dacă funcția este periodică, cu perioada principală T, este suficient să se facă studiul
funcției pe intervalul [0, T] sau un alt interval de lungime T.
Dacă funcția este pară sau impară se p oate studia funcția pe mulțimea A ∩[0,∞). Dacă
funcția este pară, atunci graficul este simetric în raport cu axa Oy, iar dacă funcția este impară,
atunci graficul este simetric în raport cu originea O.
2. Intersecțiile graficului cu axele de coordonate
a) G g∩𝑂𝑥: Se rezolvă ecuația g(y) = 0, y ∈𝐴 și se rețin soluțiile y k ∈𝐴. Punctele de
intersecție au coordonatele (y k, 0).
b) G g∩𝑂𝑦: Dacă 0∈𝐴, atunci G g∩𝑂𝑦={P(0, g(0))} .
3. Limitele funcției la capetele domeniului de definiție și stabilirea asimptotelor
funcției.
Limitele la capetele domeniului de definiție dau informații despre comportarea funcției în
aceste puncte și despre eventu alele asimptote ale graficului funcției.
• Asimptotele verticale: sunt drepte de ecuație x = e astfel încât cel puțin una din limitele
laterale g(e – 0) sau g(e + 0) este infinită.
• Asimptotele orizontale: sunt dreptele de ecuație y = l, l R cu proprietatea că
lim
𝑦→∞𝑔(𝑦)=𝑙 sau lim
𝑦→−∞𝑔(𝑦)=𝑙.
• Asimptotele oblice: sunt dreptele de ecuație z = py + q.
Dreapta z=py+q este asimptotă oblică la ramura spre -∞, dacă și numai dacă p, q ∈ℛ
(sunt finite), unde p = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞𝑔(𝑥)
𝑥 ,𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑝𝑥)=𝑞,𝑝≠0.
Drepta z=py+q este asimptotă oblică la ramura spre +∞, dacă și numai dacă p, q ∈ℛ
(sunt finite), unde p = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞𝑔(𝑥)
𝑥 ,𝑙𝑖𝑚
𝑥→∞(𝑔(𝑥)−𝑝𝑥)=𝑞,𝑝≠0.
3. Studiul funcției cu ajutorul primei derivate
În acestă etapă se determină:
• Domeniul de continuitate, de derivabilitate și prima derivată a funcției g.
• Se rezolvă ecuația g'(y)=0 și se stabilește semnul primei derivate (dacă g' <
0,funcția este descresc ătoare,iar dacă g′>0,funcția este cresc ătoare).
• Se stabilesc intervalele de monotonie și punctele de extrem .
5. Stud iul funcției cu a doua derivată
• Se calculează g'' pe domeniul de existență.
• Se rezolvă ecuația g''(y)=0 și se stabilește semnul derivatei a doua (dacă g''<
0,atunci funcția este concav ă,și dacă g′′>0,atunci funcția este convex ă).
• Se stabilesc intervalele de convexitate și intervalele de concavitate, precum și punctele
de inflexiune.
6. Tabelul de variație a funcției
Rezultatele obținute la pașii anteriori se introduc într -un tabel numit tabel de variație al
funcției.
• Pe linia întâi ( linia lui y) se trece domeniul de definiție și valorile remarcabile ale lui y,
determinate anterior.
• Pe linia a doua se trece semnul primei derivate, iar pe linia a patra se trece semnul
derivatei a doua.
• Pe linia a treia se trec limit ele funcției la capetele domeniului A, monotonia și
convexitatea – concavitatea funcției, valorile funcției în punctele remarcabile. Asimptotele
verticale se marchează prin linii verticale, trecându -se limitele laterale corespunzătoare.
Apariția unor contr adicții în tabloul de variație cum ar fi: creștere spre -∞, descreștere
spre +∞, creștere de la +∞ încolo, indică greșeli de calcul la determinarea limitelor funcției sau în
calculul primei derivate.
7. Interpretarea tabelului de variație și trasarea gra ficului funcției
Într-un reper cartezian xOy se trasează asimptotele, se reprezintă punctele de extrem,
punctele de inflexiune, punctele de inters ecție ale graficului cu axele de coordonate. Se unesc
aceste puncte printr -o linie curbă , respectând informați ile furnizate de tabelul de variație.
2.4 Derivate de ordin superior. Polinomul Taylor
1. Derivate de ordin superior:
Definiție: Fie g : J→ℛ, o funcție derivabilă pe o vecinătate U a lui c ∈𝐽, cu derivata
g'(y), y ∈𝑈. Dacă derivata g' este derivabilă în c, se spune că g este de două ori derivabilă în c.
(rosculet 275)Această derivată se numește derivata a doua a lui g, și se notează g''(c), sau 𝑑2𝑔(𝑐)
𝑑𝑦2,
sau D2g(c), și avem: g''(c)=lim𝑦→𝑐
𝑦 ∈𝑈𝑔′(𝑦)−𝑔′(𝑐)
𝑦−𝑐.
Observații:
a) Pentru a exista derivata a doua într -un punct c, trebuie ca funcția să fie derivabilă
pe o vecinătate a lui c.
b) Dacă funcția g(y), y ∈𝐽 este derivabilă de două ori pe J, atunci funcția g'' se
numește derivata a doua.
Definiție: Fie g : J→ℛ, o funcție derivabilă de două ori pe o vecinătate U a lui c ∈𝐽.
Dacă g'' este derivabilă în c, spunem că g este de trei ori derivabilă în c.
Aceasta se numește derivata a treia a lui g, și se notează g'''(c),sau g(3)(c), sau 𝑑3𝑔(𝑐)
𝑑𝑦3, sau
D3g(c), și avem: g(3)(c)=lim𝑦→𝑐
𝑦 ∈𝑈𝑔′′(𝑦)−𝑔′′(𝑐)
𝑦−𝑐.
Observație: Prin recurență se poate determina și defini derivata de ordin n, ∀𝑛∈ℕ.
Definiție: Fie g : J→ℛ, o funcție derivabilă de n.-1 ori pe o vecinătate U a lui c ∈𝐽. Dacă
g(n-1) este derivabilă în c, se poate spune că g este derivabilă de n ori în c. Aceasta se numește
derivata de ordin n, în c, și se notează: g(n)(c), sau 𝑑𝑛𝑔(𝑐)
𝑑𝑦𝑛, sau Dng(c), și avem:
g(n)(c)=lim𝑦→𝑐
𝑦 ∈𝑈𝑔𝑛−1(𝑦)−𝑔𝑛−1(𝑐)
𝑦−𝑐.
Observații:
a) Dacă g : J→ℛ, o funcție derivabilă de n.-1 ori, și derivata de ordin n este definită
în fiecare punct y din J, atunci funcția y→g(n)(y), y ∈𝐽 se numește derivata de ordin n a lui g, și
se notează: g(n)(y), sau 𝑑𝑛𝑔(𝑦)
𝑑𝑦𝑛, sau Dng(y), sau D(Dn-1g(y)), y ∈𝐽.
b) Dacă g : J→ℛ are derivate de orice ordin pe J, spunem c ă este indefinit derivabil ă
pe J.
Exemple de funcții indefinit derivabile:
1. Un polinom Q(y) de gradul n, este o funcție indefinit derivabilă pe ℛ.
Q(y)=b nyn+bn-1yn-1+…+b 0
Q'(y)=b n-1yn-1+bn-2yn-2+…+b 1
Q''(y)=b n-2yn-2+bn-3yn-3+…+b 2
……………………………………………………………
Q(n)(y)=b n·n!
Q(n+1)(y)=0.
2. Funcția by este indefinit derivabilă, pe ℛ.
(by)'= by·ln b, (by)''= by·ln2 b,…, (by)(n)= by·lnn b.
3. Funcția sin y este, de asemenea, indefinit derivabilă pe ℛ.
(sin y)'=cos y=sin(y+𝜋
2), (sin y)''= – sin y=sin(y+2𝜋
2), … , (sin y)(n)=sin(y+n ·𝜋
2).
4. Funcția cos y este, de asemenea, indefinit derivabilă pe ℛ.
(cos y)' =─sin y=cos(y+𝜋
2), (cos y)''= – cos y=cos(y+2𝜋
2), … , (cos y)(n)=cos(y+n ·𝜋
2).
5. Funcția ln (by+c) este indefinit derivabilă pe (─𝑐
𝑏,∞)
[ln (by+c)]' = 𝑏
𝑏𝑦+𝑐, [ln (by+c)]''=─𝑏2
(𝑏𝑦+𝑐)2, … , [ln (by+c)](n)=(−1)𝑛−1(𝑛−1)!𝑏𝑛
(𝑏𝑦+𝑐)𝑛.
Formula lui Leibniz:
Teoremă: Dacă p(y) și q(y) sunt derivabile de n ori pe un interval oarecare J, atunci și
produsul p(y)·q(y) este dervabil tot de n ori pe acelaș i interval J.
(pq)(n)=p(n)q+𝐶𝑛1p(n-1)q'+…+𝐶𝑛𝑛p·q(n), relație ce poartă denumirea de formula lui Leibniz.
Demonstrație:
Pentru n=1 avem (pq)'=p'q+q'p .
Inductiv, vom presupune că este adevărată până la n-1, adică (pq)(n-1)=p(n-1)q+ 𝐶𝑛−11p(n-
2)q'+…+𝐶𝑛−1𝑛−1p·q(n-1). Se poate observa că fiecare dintre termenii ce intervin în calcul sunt
derivabili de ordin n-1 cel mult. Funcțiile p șiq sunt derivabile de n ori pe J, de unde rezultă că
fiecare dintre acestea, care intervine în dezvoltarea anterioară, mai este derivabilă cel puțin o
dată. Avem că:
(pq)(n)=(p(n-1)q)'+(𝐶𝑛−11p(n-2)q')'+…+(𝐶𝑛−1𝑛−1p·q(n-1))'=
=p(n)q+p(n-1)q'+𝐶𝑛−11p(n-1)q'+ 𝐶𝑛−11p(n-2)q''+…+ 𝐶𝑛−1𝑛−1p'q(n-1)+ 𝐶𝑛−11pq(n),
dar 𝐶𝑛−1𝑘+-𝐶𝑛−1𝑘−1=𝐶𝑛𝑘.
Deci: (pq)(n)=p(n)q+ 𝐶𝑛1p(n-1)q'+…+𝐶𝑛𝑛−1p'·q(n-1)+𝐶𝑛𝑛p·q(n). Qed.
Observație:
Dacă z=g(p(y)) de unde 𝑑𝑧
𝑑𝑦=𝑑𝑔
𝑑𝑝·𝑑𝑝
𝑑𝑦;
𝑑2𝑧
𝑑𝑦2= 𝑑2𝑔
𝑑𝑝2·(𝑑𝑝
𝑑𝑦)2+𝑑𝑔
𝑑𝑝·𝑑2𝑝
𝑑𝑦2; 𝑑3𝑧
𝑑𝑦3= 𝑑3𝑔
𝑑𝑝3·(𝑑𝑝
𝑑𝑦)3+3𝑑2𝑔
𝑑𝑝2𝑑𝑝
𝑑𝑦·𝑑2𝑝
𝑑𝑦2+𝑑𝑔
𝑑𝑝·𝑑3𝑝
𝑑𝑦3.
Diferențiale de ordin superior:
Definiție: Fie g : J→ℛ, și c ∈𝐽. Spunem că funcția este diferențiabilă de două ori în c
dacă aceasta este derivabilă într -o vecinătate U a lui c ∈𝐽 și dacă g'(y), y∈𝑈 este diferențiabilă
în c. Diferențiala de ordinul II se notează d2g(c) și este egală cu:
d2g(c)=g''(c)dy2 ⇒ 𝑑2𝑔(𝑐)
𝑑𝑦2= =g''(c), unde prin dy2 înțelegem dy·dy.
Definiție: Fie g : J→ℛ, și c ∈𝐽. Spunem că funcția este diferențiabilă de n ori în c dacă
aceasta este derivabilă de n-1 ori într -o vecinătate U a lui c ∈𝐽 și dacă g(n-1)(y), y ∈𝑈 este
diferențiabilă în c. Diferențiala de ordinul n se notează dng(c) și este egală cu:
dng(c)=g(n)(c)dyn ⇒ 𝑑𝑛𝑔(𝑦𝑛)
𝑑𝑦𝑛= =g(n)(c), unde prin yn înțelegem punctul de ordin n, iar c=y 0
Observație: Diferențiala de ordin n este o funcție de dy, și anume un monom de grad n în
dy.(rosculet p 280)
Rezolvarea grafică a ecuațiilor:
Ecuația g(y)=0 se poate scrie în multe moduri, după cum urmează: g1(y)-g2(y)=0 , sau
altele. Dacă alegem modul anterior, și reprezentăm curbele z=g 1(y) și z=g 2(y) în același sistem
de referință, punctele de intersecție ale graficelor celor două sunt soluții ale ecuației g(y)=0.
Acest lucru este posibil pentru că în acele puncte avem g1(y)=g 2(y) ⇒ g1(y)─g 2(y). Prin această
metodă obținem ușor atât numărul de rădăcini reale, cât și intervalele în care acestea se află.
Exemplu: sin y=ln y are o singură rădacină c reală, conform graficului de mai jos,
aceasta fiind pozitivă și în intervalul (2, e).
Polinomul Tay lor
Formula lui Taylor. Formula lui Mac -Laurin:
Fie funcția g:[c,d]→ ℛ care îndeplinește următoarele condiții:
a) funcția și toate derivatele acesteia până la ordinul n sunt continue pe interval;
b) derivata de ordin n +1 există în fiecare punct al intervalului deschis (c,d).
Să considerăm numărul B definit de următoarea egalitate:
g(d)=g(c)+𝑑−𝑐
1!g'(c)+ (𝑑−𝑐)2
2!g(2)(c)+…+ (𝑑−𝑐)𝑛
𝑛!g(n)(c)+(d -c)q·B,
unde q este un număr întreg pozitiv, q≤n+1, precum și funcția G dată astfel:
G(y)= g(y)+𝑑−𝑦
1!g'(y)+ (𝑑−𝑦)2
2!g(2)(y)+…+ (𝑑−𝑦)𝑛
𝑛!g(n)(y)+(d -y)q·B.
Funcția G are proprietățile:
a) G(y) este co ntinuă pe intervalul închis [c, d];
b) G(y) este deriv abilă pe intervalul deschis (c, d);
c) G(d)= G(c).
Pentru că g(y) împreună cu toate derivatele sale pâ nă la ordinul n, sunt continue pe [c, d],
și toate funcțiile ce o compun sunt derivabile pe (c, d), avem că g(y) este der ivabilă și ea pe
intervalul (c, d).
Avem, de asemenea, G(d)= G(c)=g(d), dacă ținem cont de definirea numărului B.
În consecință, funcția G(y) îndeplinește în intervalul închis condițiile teoremei lui Rolle,
deci există un punct 𝛾∈(𝑐,𝑑), în care derivata se anulează.
Calculând derivata lui G(y):
G'(y)=g'(y)─g'(y)+𝑑−𝑦
1!g''(y)─ 𝑑−𝑦
1!g''(y)+ (𝑑−𝑦)2
2!g(3)(y)─ (𝑑−𝑦)2
2!g(3)(y)+…+ (𝑑−𝑦)𝑛
𝑛!g(n+1)(y)─
q(d-y)q-1·B, deci G'(y)= (𝑑−𝑦)𝑛
𝑛!g(n+1)(y)─q(d -y)q-1·B.
Pentru y= 𝛾, derivata se anulează, rezultând:
(𝑑−𝛾)𝑛
𝑛!g(n+1)(𝛾)─q(d -𝛾)q-1·B=0, unde c<𝛾<𝑑 ⇒ B= (𝑑−𝛾)𝑛−𝑞+1
𝑞·𝑛!·g(n+1)(𝛾).
Valoarea lui B o ducem în relația lui g(d) și avem:
g(d)=g(c)+𝑑−𝑐
1!g'(c)+ (𝑑−𝑐)2
2!g(2)(c)+…+ (𝑑−𝑐)𝑛
𝑛!g(n)(c)+ (𝑑−𝛾)𝑛−𝑞+1(𝑑−𝑐)𝑞
𝑞·𝑛!·g(n+1)(𝛾).
Termenul: 𝑅𝑛=(𝑑−𝛾)𝑛−𝑞+1(𝑑−𝑐)𝑞
𝑞·𝑛!·g(n+1)(𝛾) se numește restul de ordin n a lui Taylor, sau
restul Schl 𝑜̈milch -Roche.
Pentru q=1 se obține restul lui Cauchy: 𝑅𝑛=(𝑑−𝛾)𝑛(𝑑−𝑐)1
𝑛!·g(n+1)(𝛾).
Pentru q=n+1 obținem restul lui Lagrange: 𝑅𝑛=(𝑑−𝛾)𝑛+1
(𝑛+1)!·g(n+1)(𝛾), iar rescriind formula
lui Taylor, avem:
g(d)=g(c)+𝑑−𝑐
1!g'(c)+ (𝑑−𝑐)2
2!g(2)(c)+…+ (𝑑−𝑐)𝑛
𝑛!g(n)(c)+ (𝑑−𝛾)𝑛+1
(𝑛+1)!·g(n+1)(𝛾).
Dacă substitui pe d cu y, avem relația:
g(y)=g(c)+𝑦−𝑐
1!g'(c)+ (𝑦−𝑐)2
2!g(2)(c)+…+ (𝑦−𝑐)𝑛
𝑛!g(n)(c)+ (𝑦−𝛾)𝑛+1
(𝑛+1)!·g(n+1)(𝑐+(𝑦−𝑐)𝜃),
cu y∈[𝑐,𝑑]. De data aceasta, 𝜃 este un număr cuprins între 0 și 1.
Dacă substitui pe d cu y+c, avem:
g(y+c)=g(c)+𝑦
1!g'(c)+ (𝑦)2
2!g(2)(c)+…+ (𝑦)𝑛
𝑛!g(n)(c)+ (𝑦)𝑛+1
(𝑛+1)!·g(n+1)(𝑐+𝜃𝑦), cu 𝜃∈(0,1).
Observații:
1. În toate cele trei forme ale restului, 𝛾 nu este aceeași, deoarece în formula restului
de ordin n, aceasta depindea de c, d ,n și q .
2. Dacă în formula lui Taylor facem n=0, atunci se obține formula creșterilor finite a
lui Lagrange: g(d)-g(c)= (d -c)·g'(c+𝜃(d-c)), 0<𝜃<1.
3. Dacă neglijăm restul R n, avem: g(y)≅𝑔(𝑐)+𝑦−𝑐
1!𝑔′(𝑐)+⋯+(𝑦−𝑐)𝑛
𝑛!𝑔(𝑛)(𝑐),
adică formula lui Taylor care ne permite să aproximăm în intervalul [c,d] funcția g(y) cu un
polinom de gradul n, iar eroarea făcută este dată de maximul lui Rn(y) în [c,d].
4. Dacă în formula: g(y+c)=g(c)+𝑦
1!g'(c)+ (𝑦)2
2!g(2)(c)+…+ (𝑦)𝑛
𝑛!g(n)(c)+𝑅𝑛 facem pe
c=0, ne rezultă formula lui Mac -Laurin: g(y)=g(0)+𝑦
1!g'(0)+ (𝑦)2
2!g(2)(0)+…+ (𝑦)𝑛
𝑛!g(n)(0)+𝑅𝑛, cu
resturile:
Rn= 𝑦𝑛+1(1−𝜃)𝑛−𝑞+1
𝑞𝑛!g(n+1)(𝜃𝑦) (Schl𝑜̈milch)
Rn= 𝑦𝑛+1(1−𝜃)𝑛
𝑛!g(n+1)(𝜃𝑦) (Cauchy)
Rn= 𝑦𝑛+1
(𝑛+1)!g(n+1)(𝜃𝑦) (Lagrange), cu 0<𝜃<1, 𝜃 depinde de n,q,y.(rosculet p315)
Exemplu:
Pentru funcția g(y)=by, b>0, y∈ℛ, g(n)(y)=by ln b, g(n)(0)=ln b, de unde avem formula
lui Mac -Laurin, cu restul lui Lagrange:
by=1+𝑦
1!ln𝑏 +𝑦2
2!𝑙𝑛2𝑏+…+𝑦𝑛+1
(𝑛+1)!𝑙𝑛𝑛+1𝑏·𝑏𝜃𝑡.
Pentru b=e, avem:
ey=1+𝑦
1!ln𝑒 +𝑦2
2!𝑙𝑛2𝑒+…+𝑦𝑛+1
(𝑛+1)!𝑙𝑛𝑛+1𝑒·𝑒𝜃𝑡=1+𝑦
1! +𝑦2
2!+…+𝑦𝑛+1
(𝑛+1)!·𝑒𝜃𝑡.(rosculet p315)
Rădă cinile multiple ale unei ecuații algebrice:
Avem un polinom de gradul n, Qn(y)=0 , și trebuie să gă sim condițiile necesare și
suficiente ca acesta să admită soluția multiplă de ordinul p, y=b. Astfel, Qn(y)=(y -b)p·T(y), cu
T(b)≠0. Formula lui Taylor pentru acest polinom este: Qn(y)=Q n(b)+𝑦−𝑏
1!Qn'(b)+…+ (𝑦−𝑏)𝑛
𝑛!𝑄𝑛(𝑛)
(b), unde 𝑄𝑛(𝑛) este o constantă, de unde rezultă că R n =0.
Pentru ca Qn(y) să aibă pe b rădăcină multiplă de ordinul p, este necesar și suficient ca:
Qn(b)=0, Q' n(b)=0,…, 𝑄𝑛(𝑝−1)(b)=0, 𝑄𝑛(𝑝)(b)≠0.
Observație: Dacă aceste condiții sunt satisfăcute, atunci în descompunerea în factori a
lui Qn(y) apare termenul y-b la puterea p, și nu la una mai mare sau mai mică.(rosculet p316)
Exemplu: ,, Să se rezolve ecuația g(y)=4y4+5y2─7y+2=0, știind că are rădă cini
multiple”.
Trebuie să găsim c .m.m.d.c al lui g(y) și al derivatei acesteia: g'(y)=16y3+10y -7. Avem
din calcule: 4( 4y4+5y2─7y+2)≡( 16y3+10y -7)y+10y2-21y+8. Restul împărțirii lui g'(y) la 10y2-
21y+8 este 2y-1, care la rândul său îl împarte exact pe 10y2-21y+ 8, de unde ne rezultă că
c.m.m.d.c este 2y-1 și rădăcina y=1
2 este dublă. Împărțind pe g(y)=4y2-4y+1 , obținem g(y) ≡( 4y2-
4y+1)(y2+y+2). Astfel, celelalte rădăcini sunt y3,4=-1
2±𝑖√7
2.
Condiții necesare și suficiente de extremum:
Este cunoscut faptul că punctele de extrem ale unei funcții se află printre rădăcinile
derivatei I. Condiții necesare și suficiente de extrem se află cu ajutorul derivatelor de ordin
superior.
Teoremă:
Fie g o funcție derivabilă de n+1 ori, n≥2 într-un punct b∈𝐽, astfel încât: g'(b)=0,
g''(b)=0,…, g(n-1)(b)=0, g(n)(b)≠0.
a) Dacă n=2p și g(n)(b)<0, atunci b este punct de maxim .
b) Dacă n=2p și g(n)(b)>0, atunci b este punct de minim .
c) Dacă n=2p+1 și b este un punct interior intervalului J, atunci b nu este punct de
extrem pentru funcție. Acesta este punct de inflexiune.
Demonstrație:
Folosind formula lui Taylor, avem: g(y)-g(b)=(𝑦−𝑏)𝑛
𝑛![𝑔𝑛(𝑏)+𝑦−𝑏
𝑛+1𝑔(𝑛+1)(𝛾)], iar pentru
a exista o vecinătate U a lui b astfel încât diferența dintre g(y) și g(b) să aibă semn constant
pentru y∈𝑈∩𝐽, trebuie ca n să fie par, deoarece pentru y suficient de aproape de b, g(n)(b)≠0 și
paranteza are semnul lui g(n)(b). Prin urmare, d acă:
a) n=2p și g(n)(b)>0, punctul b este un punct de minim;
b) n=2p și g(n)(b)<0, punctul b este un punct de maxim;
c) n=2p+1 și g(2p+1)(b)≠0, diferența g(y)-g(b) schimbă semnul după cum y se
găsește la stânga sau dreapta lui b. Acesta este punct de inflexiune. Tangenta la curbă în y=b,
este paralelă cu axa Ox și traversează curba. Qed.(rosculet p 320).
2.5 Derivate parțiale
Definiție: Fie g(y, z) o funcție reală de două variabile reale, definită pe o mulțime A ⊂ ℛ2
și (p, q) un punct din interiorul lui A.
a) Funcția g(y, z) este derivabilă parțial în punctul (p, q), în raport cu variabila y
dacă: lim
𝑦→𝑝𝑔(𝑦,𝑞)−𝑔(𝑝,𝑞)
𝑦−𝑝 există și este finită. Aceasta se numește derivata parțială a funcției în
raport cu y și se notează: g'y(p, q), sau 𝜕𝑔(𝑝,𝑞)
𝜕𝑦 , sau Dy g(p,q).
b) Funcția g(y, z) este derivabilă parțial în punctul (p, q), în raport cu variabila z
dacă: lim
𝑦→𝑞𝑔(𝑝,𝑧)−𝑔(𝑝,𝑞)
𝑧−𝑞 există și este finită. Aceasta se numește derivata parțială a funcției în
raport cu z, și se notează: g'z(p, q), sau 𝜕𝑔(𝑝,𝑞)
𝜕𝑧 , sau Dz g(p,q).
Observații:
1. Din definiție se poate vedea că atunci când derivăm în raport cu y, variabila z este
considerată constantă și se derivează ca și cum am avea o singură variabilă, și invers (atunci când
derivăm în z, y rămâne constant).
2. Dacă o funcție este derivabilă parțial în raport cu o variabilă în fiecare punct al
mulțimii de definiție, spunem că aceasta este derivabilă parțial pe toată mulțimea în raport cu
variabila respectivă.
3. Analog , se definesc derivatele parțiale ale funcțiilor reale de mai multe variabile.
Definiție: Fie g(y 1, y2,…,y m) o funcție reală de m variabile reale, definită pe o mulțime A ⊂
ℛm, și (b1,b2,…,b m) un punct interior lui A. Funcția g(y 1, y2,…,y m) este derivabilă parțial în punctul
(b1,b2,…,b m) în raport cu variabila y p dacă: lim
𝑦→𝑦𝑝𝑔(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑝−1,𝑏𝑝,…,𝑏𝑚)−𝑔(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚)
𝑦𝑝−𝑏𝑝 există și este
finită. Această limită se numește dervata parț ială în raport cu yp și se notează: 𝑔𝑦𝑝′(b1,b2,…,b m),
𝜕𝑔(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚)
𝜕𝑦𝑝, D𝑦𝑝 g(y 1, y2,…,y m).
O funcție de acest fel are m variabile.
Proprietăți:
1. Dacă funcția g(y 1, y2,…,y m) este derivabilă parțial în raport cu yp în punctul
b=(b1,b2,…,b m), atunci g este continuă parțial în raport cu variabila yp în punctul .
2. Dacă funcția g(y 1, y2,…,y m) este derivabilă parțial în raport cu fiecare variabilă
b1,b2,…,b m, în punctul b, atunci g este continuă în raport cu fiecare variabilă în acel punct .
3. Pentru că derivata parțială în raport cu o variabilă yp este de fapt derivata funcției
în acel punct, fiecare dintre celelalte variabile rămânând constante, urme ază ca:
a) regulile de derivare stabilite anterior să fie valabile;
b) operațiile algebrice efectuate asupra funcțiilor derivabile parțial conduc tot la
funcții derivabile parțial.
Definiție: Fie g=(g 1, g2, …, g n) o funcție vectorială de variabilă vectorială y=(y 1, y2, …y p)
definită pe o mulțime A ⊂ ℛp cu valori în ℛn, componentele g1, g2, …, g n fiind funcții reale
derivabile parțial în raport cu fiecare variabilă y1, y2, …y p, într -un punct b=(b 1,b2,…,b p) ∈𝐴.
Derivata parțială a funcției g în raport cu yq în punctul b, pe care o notăm 𝑔𝑦𝑞′(b) este definită de:
lim
𝑦𝑞→𝑏𝑞𝑔(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑞−1,𝑏𝑞,…,𝑏𝑝)−𝑔(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑝)
𝑦𝑞−𝑏𝑞.
Dacă noi considerăm funcția g(y) raportată la o bază e1, e2, …e q, atunci g(y)= e 1·g1(y1, y2,
…yp)+e 2·g2(y1, y2, …y p)+…+e q·gq(y1, y2, …y p), iar derivata parțială are componentele: 𝜕𝑔1(𝑏1,…,𝑏𝑝)
𝜕𝑦𝑝,
𝜕𝑔2(𝑏1,…,𝑏𝑝)
𝜕𝑦𝑝,…, 𝜕𝑔𝑛(𝑏1,…,𝑏𝑝)
𝜕𝑦𝑝.
Derivate parțiale de ordin superior:
Fie g(y, z) o funcție reală de două variabile reale, definită pe o mulțime A ⊂ ℛ2, derivabilă
parțial în raport cu cele două variabile, în punctele interioare mulțimii A. Dacă derivatele parțiale
g'y(y ,z) și g' z(y, z) definite pe A sunt la rândul lor derivabile parțial în raport cu y și z, atunci
derivatele lor parțiale se numesc derivate parțiale de ordinul al doilea ale funcției g, și se notează:
𝜕
𝜕𝑦(𝜕𝑔
𝜕𝑦)=(𝑔𝑦′)'y=𝑔𝑦𝑦′′=𝜕2𝑔
𝜕𝑦2;
𝜕
𝜕𝑧(𝜕𝑔
𝜕𝑧)=(𝑔𝑧′)'z=𝑔𝑧𝑧′′=𝜕2𝑔
𝜕𝑧2;
𝜕
𝜕𝑦(𝜕𝑔
𝜕𝑧)=(𝑔𝑦′)'z=𝑔𝑦𝑧′′=𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑧 (derivată parțială mixtă)
𝜕
𝜕𝑧(𝜕𝑔
𝜕𝑦)=(𝑔𝑦′)'y=𝑔𝑧𝑦′′=𝜕2𝑔
𝜕𝑧𝜕𝑦 (derivată parțială mixtă).
În concluzie, o funcție cu două variabile are patru derivate parțiale, prin urmare o funcție
cu p variabile are p2 derivate parțiale .
În general, derivatele parțiale mixte nu sunt egale, dar următoarea teoremă stabilește
condițiile suficiente pentru ca acestea să fie egale:
Teoremă (A. Schwarz): Dacă funcția g(y, z) are derivatele parțiale mixte de ordinul doi
într-o vecinătate U a lui (𝑦,𝑧)∈𝐴 și dacă 𝑔𝑦𝑧′′ este continuă în (y, z) , atunci 𝑔𝑦𝑧′′=𝑔𝑧𝑦′′.(rosculet
380)
Demonstrație: Plecăm de la expresia T=g(y+t, z+r)─g(y+t, z)─g(y, z+r)+g(y,z).
Fie 𝜎(𝑦)= g(y, z+r)─g(y,z) , unde îl propunem pe z constant.
Atunci T se scrie: T= 𝜎(𝑦+𝑡)─ 𝜎(𝑦).
Funcția 𝜎 este continuă și derivabilă, deci avem 𝜎𝑦′(𝑦)=𝑔𝑦′(𝑦,𝑧+𝑟)─𝑔𝑦′(𝑦,𝑧).
Dacă aplicăm formula lui Lagrange, T= t 𝜎𝑦′(𝜀), y<𝜀<𝑦+𝑡 ⇒ T= t[𝑔𝑦′(𝜀,𝑧+
𝑟)─𝑔𝑦′(𝜀,𝑧)].
Dacă mai aplicăm încă o dată formula lui Lagrange, obținem din nou: T= t·r ·𝜎𝑦𝑧′′(𝜀,𝜌),
y<𝜀<𝑦+𝑡, z<𝜌<𝑧+𝑟.
Dar, lim
𝑟→0𝜎(𝑦)
𝑟 = lim
𝑟→0𝑔(𝑦, 𝑧+𝑟)─𝑔(𝑦,𝑧)
𝑟 = 𝑔𝑧′(𝑦,𝑧), deci lim
𝑟→0𝑇
𝑟 = lim
𝑟→0𝜎(𝑦+𝑡)─ 𝜎(𝑦)
𝑟 = 𝑔𝑧′(𝑦+
𝑡,𝑧)−𝑔𝑧′(𝑦,𝑧) 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑖𝑡𝑎𝑡𝑒𝑎 𝑙𝑢𝑖 𝑔𝑦𝑧′′
⇒ 𝑇
𝑟 = t·𝑔𝑦𝑧′′(𝜀,𝜌) și lim
𝑟→0𝑇
𝑟= t·𝑔𝑦𝑧′′(𝜀,𝜌).
Avem egalitatea: 𝑡𝑔𝑦𝑧′′(𝜀,𝜌)= 𝑔𝑧′(𝑦+𝑡,𝑧)−𝑔𝑧′(𝑦,𝑧), pe care o împărțim prin t și ne
rezultă: 𝑔𝑦𝑧′′(𝜀,𝜌)= 𝑔𝑧′(𝑦+𝑡,𝑧)−𝑔𝑧′(𝑦,𝑧)
𝑡, cu 𝑔𝑦𝑧′′ continuă, și derivata 𝑔𝑧𝑦′′ să existe la limită, atunci
când t→0 ⇒ 𝑔𝑦𝑧′′=𝑔𝑧𝑦′′ qed.
Observație: Teorema rămâne valabilă și pentru funcții reale sau vectoriale de mai
multe variabile.( rosculet p 382)
Diferențiala unei funcții de mai multe variabile:
Fie g(y, z) o funcție reală de două variabile reale, derivabilă parțial pe un interval J ⊂ ℛ2,
(c,d) un punct din interiorul intervalului J, cu derivatele parțiale 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑) și 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑) continue.
Diferența g(y,z)─g(c,d) se mai scrie: g(y,z)─g(c,d)= (g(y,z)─g(c,z))+( g(c,z)─g(c,d)) unde, dacă
aplică m teorema lui Lagrange , avem:
g(y,z)─g(c,z)= (y-c) 𝑔𝑦′(𝜀,𝑧), c<𝜀<𝑦;
g(c,z)─g(c,d)= (z -d) 𝑔𝑧′(𝑐,𝜌), d<𝜌<𝑧.
Deci , g(y,z)─g(c,d)= (y -c) 𝑔𝑦′(𝜀,𝑧)+ (z-d) 𝑔𝑧′(𝑐,𝜌).
Derivatele parțiale sunt continue în ( c,d); prin urmare putem pune:
𝑔𝑦′(𝜀,𝑧)=𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)+( 𝑔𝑦′(𝜀,𝑧)─ 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)= 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)+𝜃1(𝑦,𝑧);
𝑔𝑧′(𝑐,𝜌)=𝑔𝑧′(𝑐,𝑑)+( 𝑔𝑧′(𝑐,𝜌)─ 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑)= 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑)+𝜃2(𝑦,𝑧),
unde 𝜃1(𝑦,𝑧)→0, 𝜃2(𝑦,𝑧)→0, atunci când y→c, z→d ⇒
g(y,z)─g(c,z)= (y -c) 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)+ (z-d) 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑)+ (y-c)· 𝜃1(𝑦,𝑧)+ (y-d)· 𝜃2(𝑦,𝑧)
𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑝𝑢𝑛𝑐𝑡𝑒 (𝑦,𝑧)𝑠𝑢𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑎𝑝𝑒 𝑑𝑒 (𝑐,𝑑)⇒ g(y,z)─g(c,z) ≅ (y-c) 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)+ (z-d) 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑).
Dacă notăm y-c=t, z -d=r, atunci relația anterioară se scrie:
g(y,z)─g(c,z) ≅ t· 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)+ r· 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑).
Definiția diferențialei: Funcția t· 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)+ r· 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑), t∈ℛ, r∈ℛ, care depinde liniar
de t și r se numește diferențiala funcției g(y,z) în punctul (c,d), și se notează:
dg(c,d)= t· 𝑔𝑦′(𝑐,𝑑)+ r· 𝑔𝑧′(𝑐,𝑑).
Putem observa că y-c=t, este diferențiala funcției 𝜎(𝑦,𝑧)=𝑦, iar z-d=r este a funcției
𝜗(𝑦,𝑧)=𝑧, ambele definite pe ℛ2. Dar, 𝜎𝑦′=1, 𝜎𝑧′=0, 𝜗𝑧′=1, 𝜗𝑦′=0, astfel că avem t = d𝜎
și r = d𝜗. Cu notațiile acestea, și cu faptul că derivatele parția le într -un punct sunt continue,
avem: dg(y,z)=𝑔𝑦′(𝑦,𝑧)𝑑𝑦+𝑔𝑧′(𝑦,𝑧)𝑑𝑧 sau dg = 𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑑𝑦+𝜕𝑔
𝜕𝑧𝑑𝑧. Pentru o funcție reală cu m
variabile reale g(y 1,…,y m) diferențiala se definește: dg== 𝜕𝑔
𝜕𝑦1𝑑𝑦1+𝜕𝑔
𝜕𝑦2𝑑𝑦2+⋯+𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑚𝑑𝑦𝑚.
(rosculet p 384)
Proprietățile diferențialei funcțiilor de mai multe variabile:
Teoremă: Condiția necesară și suficientă pentru ca diferențiala unei funcții de două
variabile reale, definită pe un interval real J, să fie identic nulă pe intervalul J este ca funcția să
fie constantă pe interval.
Demonstrație: Dacă g (y,z)= b, pentru orice (c,d) ∈𝐽, atunci 𝜕𝑔
𝜕𝑦≡0, 𝜕𝑔
𝜕𝑧≡0 ⇒ dg=0 pe
J. Reciproc, dacă dg (y, z) = 𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑑𝑦+𝜕𝑔
𝜕𝑧𝑑𝑧=0, ∀(𝑦,𝑧)∈𝐽. Caz particular, pt y fixat constant, dg
=0, dar aici vom avea dg (y, z) =𝜕𝑔
𝜕𝑧𝑑𝑧=0, ∀(𝑦,𝑧)∈𝐽 de unde deducem că funcția nu depinde de
z pe J. Analog , pentru z fixat.
Teoremă: Dacă o expresie diferențială F= R(y,z)dy+T(y,z)dz , cu funcțiile R(y,z) și T(y,z)
continue pe un interval J⊆ℛ2 este diferențiala unei funcții g(y,z) pentru orice (𝑦,𝑧)∈𝐽, atunci:
R(y,z)=𝜕𝑔
𝜕𝑦, T(y,z)=𝜕𝑔
𝜕𝑧.
Demonstrație: Pentru (𝑦,𝑧)∈𝐽 ⇒ dg=𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑑𝑦+𝜕𝑔
𝜕𝑧𝑑𝑧 și dg= R(y,z)dy+T(y,z)dz ⇒
(R(y,z)─ 𝜕𝑔
𝜕𝑦)dy+( T(y,z)─ 𝜕𝑔
𝜕𝑧)dz=0 ⇒ R(y,z)= 𝜕𝑔
𝜕𝑦 și T(y,z)= 𝜕𝑔
𝜕𝑧, ∀(𝑦,𝑧)∈𝐽.
Observație: Aceste proprietăți se respectă și la funcții de mai multe variabile .
Diferențiale de ordin superior:
Definiție: Fie g(y, z) o funcție de două variabile, definită pe un interval J ⊂ ℛ2, derivabilă
parțial de două ori în J, cu toate derivatele parțiale de ordinul doi (implicit și cele de ordinul
întâi) continue. Diferențiala de ordinul doi se notează d2g(y,z) = 𝜕2𝑔
𝜕𝑦2𝑑𝑦2+𝜕2𝑔
𝜕𝑧2𝑑𝑧2+2·
𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 . Se poate observa că d2g se obține diferențiind diferențiala întâi: d(dg(y,z))=
d(𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑑𝑦+𝜕𝑔
𝜕𝑧𝑑𝑧) cu d(dy)=0, d(dz)=0 .
Definiție: Fie g(y, z) o funcție de două variabile, definită pe un interval J ⊂ ℛ2, care are în
J toate derivatele parțiale de ordin n, și toate aceste derivate sunt continue; diferențiala de ordinul
n a funcției g se notează d ng și este definită de: d ng= 𝜕𝑛𝑔
𝜕𝑦𝑛𝑑𝑦𝑛+𝐶𝑛1𝜕𝑛𝑔
𝜕𝑦𝑛−1𝜕𝑧𝑑𝑦𝑛−1𝑑𝑧+⋯+
𝐶𝑛𝑝𝜕𝑛𝑔
𝜕𝑦𝑛−𝑝𝜕𝑧𝑝𝑑𝑦𝑛−𝑝𝑑𝑧𝑝+⋯+𝐶𝑛𝑛𝜕𝑛𝑔
𝜕𝑦𝑛𝑑𝑦𝑛.
Observație: pentru funcții reale sau vectoriale, de m variabile, diferențiala de ordin q se
definește în mod asemănător: dqg = g·(𝜕
𝜕𝑦1𝑑𝑦1+𝜕
𝜕𝑦2𝑑𝑦2+⋯+𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑚𝑑𝑦𝑚)q.
Derivatele și diferențialele funcțiilor compuse:
a) Teoremă: Dacă funcțiile p(y) și q(y) definite pe aceeași mulțime A ⊆ℛ, au
derivate continue pe A, dacă funcția g(p,q) definită pe B⊆ℛ2 are derivate parțiale continue pe B,
atunci funcția G(y)= g(p(y), q(y)) are derivat a cont inuă pe A, dată de: 𝜕𝐺(𝑦)
𝜕𝑦=𝜕𝑔
𝜕𝑝·𝑑𝑝
𝑑𝑦+𝜕𝑔
𝜕𝑞·𝑑𝑞
𝑑𝑦.
Demonstraț ie:
Fie un punct c oarecare din mulțimea A. Avem relația: p(c)=p 0, q(c)=q 0. Atunci g(p,q)
─g(p 0, q0)=𝑔𝑝′(𝑝−𝑝0)+ 𝑔𝑞′(𝑞−𝑞0)+ (𝑝−𝑝0)·𝜃1(𝑝,𝑞)+ (𝑞−𝑞0)· 𝜃2(𝑝,𝑞), dar 𝜃1(𝑝,𝑞)→0,
𝜃2(𝑝,𝑞)→0 atunci când p→p 0, q→q 0. Deci:
𝐺(𝑦)−𝐺(𝑐)
𝑦−𝑐 =𝑔(𝑝,𝑞)−𝑔(𝑝0,𝑞0)
𝑦−𝑐=𝑔𝑝′(𝑝0,𝑞0)𝑝−𝑝0
𝑦−𝑐+𝑔𝑞′(𝑝0,𝑞0)𝑞−𝑞0
𝑦−𝑐+𝑝−𝑝0
𝑦−𝑐·𝜃1(𝑝,𝑞)+ 𝑞−𝑞0
𝑦−𝑐·𝜃2(𝑝,𝑞)
Când trecem la limită, pentru y→c, p→p 0, q→q 0, avem: 𝑝−𝑝0
𝑦−𝑐 →p'(c), 𝑞−𝑞0
𝑦−𝑐 →q'(c), și
𝜃1(𝑝,𝑞)→0, 𝜃2(𝑝,𝑞)→0, de unde ne rezultă: G'(c)= 𝑝𝑦′(𝑐)· 𝑔𝑝′(𝑝0,𝑞0)+𝑞𝑦′(𝑐)· 𝑔𝑞′(𝑝0,𝑞0).
Deoarece am luat c la alegere, teorema este demonstrată.
Observație: Analog, avem pentru: G(y)= g(p 1(y),…,p n(y)) următoarea regulă de derivare:
G'(y)= 𝜕𝑔
𝜕𝑝1𝑑𝑝1
𝑑𝑦+⋯+𝜕𝑔
𝜕𝑝𝑛𝑑𝑝𝑛
𝑑𝑦.
b) Diferențiala unei funcții:
Diferențiala unei funcții G(y) este dată de formul a: dG(y) = G'(y)dy = 𝜕𝑔
𝜕𝑝1𝑑𝑝1
𝑑𝑦𝑑𝑦+⋯+
𝜕𝑔
𝜕𝑝𝑛𝑑𝑝𝑛
𝑑𝑦𝑑𝑦, care se mai poate scrie și aș a: dG(y) = 𝜕𝑔
𝜕𝑝1𝑑𝑝1+⋯+𝜕𝑔
𝜕𝑝𝑛𝑑𝑝𝑛, ceea ce înseamnă că
„diferențiala este invariantă față de operația de compunere a funcțiilor”. Aceste rezultate sunt
valabile și pentru funcții vectoriale.
Aplicație. Funcții omogene. Relația lui Euler:
Fie g(y 1, y2, …,y q) o funcție cu q variabile; o astfel de funcție se numește omogenă de grad
n în y1, y2, …,y q dacă înlocuind pe y1 cu sy1, pe y2 cu sy2, și tot așa, obținem g(sy 1, sy2, …,sy q)=
sng(y 1, y2, …,y n). Dacă în această relație, derivăm parțial în raport cu s, și apoi înlocuim s cu 1,
obținem: y 1𝜕𝑔
𝜕𝑦1 + y 2𝜕𝑔
𝜕𝑦2 +…+ y q 𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑞 = n·g(y 1, y2, …,y q). Această relație se numește a lui Euler, și
caracterizeză funcțiile omogene de grad n.
c) Derivatele și diferențialele de ordin superior:
Dacă G(y)=g(p(y),q(y)), atunci avem: G''(y)=𝑑
𝑑𝑦(𝜕𝑔
𝜕𝑝𝑑𝑝
𝑑𝑦 + 𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑑𝑞
𝜕𝑦)=(𝜕2𝑔
𝜕𝑝2𝑑𝑝
𝑑𝑦 +
𝜕2𝑔
𝜕𝑞𝜕𝑞𝑑𝑞
𝜕𝑦) 𝑑𝑝
𝑑𝑦 + 𝜕𝑔
𝜕𝑝 𝑑2𝑝
𝑑𝑦2 +((𝜕2𝑔
𝜕𝑝𝜕𝑞𝑑𝑝
𝑑𝑦 + 𝜕2𝑔
𝜕𝑞2𝑑𝑞
𝜕𝑦) 𝑑𝑞
𝑑𝑦 + 𝜕𝑔
𝜕𝑞 𝑑2𝑞
𝑑𝑦2.
În acest caz, d2G=G''dy2=𝜕2𝑔
𝜕𝑝2 𝑑𝑝2 + 𝜕2𝑔
𝜕𝑝𝜕𝑞 𝑑𝑝𝑑𝑞 + 𝜕𝑔
𝜕𝑝𝑑2𝑝 +𝜕2𝑔
𝜕𝑞𝜕𝑝 𝑑𝑞𝑑𝑝 +𝜕2𝑔
𝜕𝑞2 𝑑𝑞2 +
𝜕𝑔
𝜕𝑞𝑑2𝑞. Este evident că funcția trebuie să aibă derivatele parțiale de ordinul doi continue,
iar funcțiile p și q să fie derivabile continuu de două ori.
d) Teoremă: Dacă funcțiile p(y, z) și q(y,z) , definite pe aceeași mulțime A⊆ℛ2, au
derivatele parțiale continue pe A, și dacă funcția g(p, q) are derivate parțiale continue pe B⊆ℛ2,
atunci funcția G(y,z)=g( p(y, z) , q(y,z) ) are derivate parțiale continue pe A date de:
𝜕𝐺
𝜕𝑦= 𝜕𝑔
𝜕𝑝·𝜕𝑝
𝜕𝑦 + 𝜕𝑔
𝜕𝑞·𝜕𝑞
𝜕𝑦
𝜕𝐺
𝜕𝑧= 𝜕𝑔
𝜕𝑝·𝜕𝑝
𝜕𝑧 + 𝜕𝑔
𝜕𝑞·𝜕𝑞
𝜕𝑧.
Demonstrație: rezultă din teorema anterioară, deoarece în operația de derivare parțială în
raport cu y, z rămâne constant și reciproc.
Derivata după o direcț ie. Gradient. Divergență. Rotor
Definiție: Fie funcția g(a,b,c), o funcție reală definită pe A⊆ℛ3, derivabilă parțial pe A, și
(m,n,p) un punct interior lui A. Fie dreapta P (a=𝜏𝜑+𝑚,𝑏=𝜋𝜑+𝑛,𝑐=𝛿𝜑+𝑝) care trece
prin punctul (m,n,p) și are cosinusurile directoare ( 𝜏,𝜋,𝛿). Limita lim𝑄→𝑄0
𝑄∈𝑃𝑔(𝑄)−𝑔(𝑄0)
𝑄𝑄0, Q(a,b,c) și
𝑄0(m,n,p) se numește derivata după direcția T defintă de cosinusurile directoare ( 𝜏,𝜋,𝛿) în
punctul Q 0(m,n,p). Se notează 𝑑𝑔
𝑑𝑇= 𝑑𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝑑𝑇= 𝜏𝜕𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝜕𝑎 +𝜋𝜕𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝜕𝑏 +𝛿𝜕𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝜕𝑐.
Demonstrație:
Avem:
𝑔(𝑄)−𝑔(𝑄0)
𝑄𝑄0 = 𝑔(𝜏𝜑+𝑚,𝜋𝜑+𝑛,𝛿𝜑+𝑝)−𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝜑, 𝜑=±√(𝑎−𝑚)2+(𝑏−𝑛)2+(𝑐−𝑝)2, dar
𝑎−𝑚=𝜏𝜑, b-n =𝜋𝜑, c-p = 𝛿𝜑 și (𝑎−𝑚)2+(𝑏−𝑛)2+(𝑐−𝑝)2= 𝜑2(𝜏2+𝜋2+𝛿2).
Dacă am considera funcția 𝜗(𝜑)= g(𝜏𝜑+𝑚,𝜋𝜑+𝑛,𝛿𝜑+𝑝),
atunci lim𝑄→𝑄0
𝑄∈𝑃𝑔(𝑄)−𝑔(𝑄0)
𝑄𝑄0 = 𝜗′𝜑(0).
Însă 𝜗′𝜑(0)= 𝜏𝜕𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝜕𝑎 +𝜋𝜕𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝜕𝑏 +𝛿𝜕𝑔(𝑚,𝑛,𝑝)
𝜕𝑐 , dacă vom calcula derivata în
punctul 𝜑=0, a lu i 𝜗(𝜑) după reguli de derivare a funcțiilor compuse. Qed.
Definiție: Fie V(p,q,r) , A⊆ℛ3, o funcție reală definită pe A, derivabilă parțial pe A. Se
numește gradientul funcției V, sau gradientul câmpului scalar V, și se notează gradV = 𝑖⃗𝜕𝑉
𝜕𝑝 +
𝑗⃗ 𝜕𝑉
𝜕𝑞 +𝑘⃗⃗𝜕𝑉
𝜕𝑟 .
Dacă am considera familia de suprafețe V(p,q,r) = C, C fiind o consta ntă arbitrară, prin
fiecare punct (m,n,t) ⊆ A, trece o suprafață de familii definită de V(p,q,r)= V(m,n,t), numită
suprafața de nivel. Normala la suprafața de nivel V(p,q,r)= V(m,n,t) într-un punct (p0,q0,r0) de pe
suprafață are parametrii directori derivatele parțiale: 𝜕𝑉
𝜕𝑝,𝜕𝑉
𝜕𝑞,𝜕𝑉
𝜕𝑟 calculate în punctul (p0,q0,r0); de
unde rezultă că vectorul gradV(p 0,q0,r0) este normal la suprafața de nivel în ( p0,q0,r0).
Dacă se introduce operatorul ∇=𝑖⃗𝜕
𝜕𝑝 +𝑗⃗ 𝜕
𝜕𝑞 +𝑘⃗⃗𝜕
𝜕𝑟 numit operatorul nabla, sau
operatorul lui Hamilton, se poate scrie gradV=∇V.
Definiție: Fie 𝑉 ⃗⃗⃗⃗ (p,q,r)=𝑖⃗ E(p,q,r) +𝑗⃗ F(p,q,r) +𝑘 ⃗⃗⃗⃗G(p,q,r) o funcție vectorială definită
pe A⊆ℛ 3cu valori în ℛ 3, derivabilă parțial pe A. Se numește divergența funcției 𝑉 ⃗⃗⃗⃗ sau
divergența câmpului vectorial 𝑉 ⃗⃗⃗⃗, și se notează div 𝑉⃗⃗ funcția scalară: div 𝑉⃗⃗= 𝜕𝐸
𝜕𝑝 + 𝜕𝐹
𝜕𝑞 +𝜕𝐺
𝜕𝑟,
(p,q,r) ∈𝐴.
Folosind operatorul nabla, obținem: div 𝑉⃗⃗=∇·𝑉 ⃗⃗⃗⃗.
Definiție: Fie 𝑉 ⃗⃗⃗⃗(p, q, r)= 𝑖⃗ E(p,q,r) +𝑗⃗ F(p,q,r) +𝑘 ⃗⃗⃗⃗G(p,q,r) o funcție vectorială definită
pe A⊆ℛ 3cu valori în ℛ 3, derivabilă parțial pe A. Se numește rotorul funcției 𝑉 ⃗⃗⃗⃗ sau rotorul
câmpului vectorial și se notează rot𝑉 ⃗⃗⃗⃗ funcția vectorială: rot𝑉 ⃗⃗⃗⃗=𝑖⃗(𝜕𝐺
𝜕𝑞−𝜕𝐹
𝜕𝑟)+ 𝑗⃗(𝜕𝐸
𝜕𝑟−𝜕𝐺
𝜕𝑝)+
𝑘⃗⃗(𝜕𝐹
𝜕𝑝−𝜕𝐸
𝜕𝑞).
Observație:
1. Divergența câmpului rot V este o funcție identic nulă pe domeniul de definiție, dacă
E, F, G au derivate de ordinul doi continue. Avem:
div rot𝑉 ⃗⃗⃗⃗ = 𝜕
𝜕𝑝(𝜕𝐺
𝜕𝑞−𝜕𝐹
𝜕𝑟)+ 𝜕
𝜕𝑞(𝜕𝐸
𝜕𝑟−𝜕𝐺
𝜕𝑝)+𝜕
𝜕𝑟(𝜕𝐹
𝜕𝑝−𝜕𝐸
𝜕𝑞)≡0
2. Să calculăm divergența câmpului grad V. Avem: div (𝑖⃗𝜕𝑉
𝜕𝑝 +𝑗⃗ 𝜕𝑉
𝜕𝑞 +𝑘⃗⃗𝜕𝑉
𝜕𝑟 ) = 𝜕2𝑉
𝜕𝑝2 +
𝜕2𝑉
𝜕𝑞2 +𝜕2𝑉
𝜕𝑟2 . Operatorul ∇·∇=∆ = 𝜕2
𝜕𝑝2 + 𝜕2
𝜕𝑞2 +𝜕2
𝜕𝑟2 se numește laplacianul sau
operatorul lui Laplace.
Formula lui Taylor pentru funcții de mai multe variabile:
Formula lui Taylor pentru funcții de două variabile
Fie g(y,z) o funcție de două variabile, definită pe A⊆ℛ 2, derivabilă de p+1 ori pe A, cu
toate derivatele mixte egale, și (q,r) un punct interior mulțimii A. Să considerăm funcția de s,
G(s)= g(q+(y -q)s, r+(z -r)s), (q,r)∈𝐴, (y,z) ∈𝐴, s∈[0,1].
Pentru s=0, G(0)=g(q,r), și s=1. G(1)=g(y,z).
Pentru că g are derivate până la ordinul p+1 pe A, înseamnă că și G este derivabilă până
la același ordin pe [0,1] iar funcției de s, G(s), îi putem aplica formla lui Taylor, obținând:
G(1)=G(0)+1
1!𝐺′(0)+ 1
2!𝐺′′(0)+1
3!𝐺′′′(0)+⋯+1
𝑝!𝐺(𝑝)(0)+𝑅𝑝, cu 𝑅𝑝= 1
(𝑝+1)!𝐺(𝑝+1)(𝜃),
0<𝜃<1.
După cum avem, G(1)=g(y,z), G(0)=g(q,r). Pentru calculul derivatelor de ordin superior
ale funcției G(s) în 0, vom utiliza formula de la funcții compuse, și anume: G(s)=g(y(s),z(s)),
y(s)= q+(y -q)s, z(s)= r+(z -r)s, această formulă având expresia 𝑑ℎ𝐺(𝑠)=(𝜕
𝜕𝑦𝑑𝑦+𝜕
𝜕𝑧𝑑𝑧)hg(y(s),
z(s)), deci 𝑑ℎ𝐺(𝑠)=((𝑦−𝑞)𝜕
𝜕𝑦+(𝑧−𝑟)𝜕
𝜕𝑧)hg(y(s),z(s))dsh.
Sau 𝑑ℎ𝐺(𝑠)
𝑑𝑠ℎ=((𝑦−𝑞)𝜕
𝜕𝑦+(𝑧−𝑟)𝜕
𝜕𝑧)hg(y(s), z(s)),
astfel că pentru s=0, G(h)(0)= ((𝑦−𝑞)𝜕
𝜕𝑦+(𝑧−𝑟)𝜕
𝜕𝑧)hg(q,r) .
Cu acest rezultat, formula lui Taylor redevine:
G(y,z)=G(q,r)+1
1!((𝑦−𝑞)𝜕
𝜕𝑦+(𝑧−𝑟)𝜕
𝜕𝑧)𝑔(𝑞,𝑟)+ 1
2!((𝑦−𝑞)𝜕
𝜕𝑦+(𝑧−
𝑟)𝜕
𝜕𝑧)2
𝑔(𝑞,𝑟)+⋯+1
𝑝!((𝑦−𝑞)𝜕
𝜕𝑦+(𝑧−𝑟)𝜕
𝜕𝑧)𝑝
𝑔(𝑞,𝑟)+𝑅𝑝,
cu 𝑅𝑝= 1
(𝑝+1)!((𝑦−𝑞)𝜕
𝜕𝑦+(𝑧−𝑟)𝜕
𝜕𝑧)𝑝+1
𝑔(𝑞+𝜃(𝑦−𝑞),𝑟+𝜃(𝑧−𝑟)), 0<𝜃<1.
Observație: Pentru că funcția are derivate de ordin p+1 pe A, atunci într -o vecinătate
U⊆A a lui (q,r) ∈𝐴 toate derivatel e parțiale ale ei, de ordin p+1 sunt mărginite. Dacă am lua y –
q=𝜌cos𝑡, r=𝜌sin𝑡,𝜌=√(𝑦−𝑞)2+(𝑧−𝑟)2, există un număr K >0, astfel încât |R p | <
𝜌𝑝+1𝐾, ∀(q,r)∈𝑈 ⇒ lim
𝜌→0|Rp |
𝜌𝑝 = 0.(rosculet p 396)
Formula creșterilor finite (a lui Lagrange):
Teoremă: Dacă g(y,z) definită pe A⊆ℛ 2 are derivate parțiale de ordinul I pe o vecinătate
U a lui (q,r)∈𝐴, atunci pentru orice (y,z)∈𝑈, există un punct (𝜀,𝜇)∈𝑈,𝑐𝑢 𝜀∈(𝑞,𝑦),𝜇∈(𝑟,𝑧)
astfel încât g(y,z)─g(q,r)=(y -a)𝑔𝑦′(𝜀,𝜇)+ (z-r) 𝑔𝑧′(𝜀,𝜇).
Demonstrație: În formula lui Taylor, facem p=0, și se obține relația de mai sus.
Formula lui Taylor pentru funcții de q variabile:
Fie g(y 1,…,y q) o funcție de q variabile definită pe A ⊆ℛq, derivabilă de q+1ori pe A, cu
derivatele mixte egale, și b=(b 1,…,b q) un punct din interiorul lui A. Asemănător funcțiilor de
două variabile, putem demonstra formula:
g(y 1,…,y q)=g(b 1,…,b q)+∑1
𝑘!𝑚
𝑘=1[(𝑦1−𝑏1)𝜕
𝜕𝑦1+⋯+[(𝑦𝑞−𝑏𝑞)𝜕
𝜕𝑦𝑞](k)· g(b 1,…,b q)+R m,
unde
Rm = 1
(𝑚+1)!·[(𝑦1−𝑏1)𝜕
𝜕𝑦1+⋯+[(𝑦𝑞−𝑏𝑞)𝜕
𝜕𝑦𝑞](m+1)·g(b 1+𝜃(𝑦1−𝑏1),…,𝑏𝑞+
𝜃(𝑦𝑞−𝑏𝑞))
numită formula lui Taylor pentru q variabile.
Observație: Dacă în formula anterioară, luăm m=0 , se obține formula lui Lagrange
pentru q variabile: g(y 1,…,y q)─g(b 1,…,b q)=(𝑦1─𝑏1)·𝑔𝑦1(𝜀1,…,𝜀𝑞)+(𝑦2─𝑏2)·𝑔,
𝑦2(𝜀1,…,𝜀𝑞)+
⋯+(𝑦𝑞─𝑏𝑞)·𝑔𝑦𝑞(𝜀1,…,𝜀𝑞), cu 𝜀1∈(𝑏1,𝑦1),…, 𝜀𝑞∈(𝑏𝑞,𝑦𝑞).
Evaluarea erorilor care provin din calcule numerice:
Fie g(y 1,…,y q) o funcție cu q variabile pentru care trebuie să calculăm valoarea atunci
când 𝑦𝑗=𝑏𝑗, j=1,𝑞̅̅̅̅̅, dar numerele 𝑏𝑗 nu sunt cunoscute cu exactitate, ci cunoaștem doar 𝑏𝑗′. Spre
exemplu numerele 𝑏𝑗 sunt iraționale, iar 𝑏𝑗′ pe care le introducem sunt raționale cu r zecimale
exacte, care le aproximează pe 𝑏𝑗. Să punem | 𝑏𝑗─ 𝑏𝑗′|<𝜔𝑗, 𝜔𝑗>0, j=1,𝑞̅̅̅̅̅.
c = g(b 1,…,b q), c'= g(𝑏1′,…,𝑏𝑞′).
Trebuie determinată o limită superioară a modulului erorii absolute | 𝑏─ b'|. Conform
teoremei creșterilor finite, 𝑏─ b'= g(b 1,…,b q)─ g(𝑏1′,…,𝑏𝑞′)= ∑(𝑏𝑗𝑞
𝑗=1─𝑏𝑗′)𝜕𝑔(𝛾)
𝜕𝑦𝑗, unde notăm
𝜕𝑔(𝛾)
𝜕𝑦𝑗 valoarea derivatei parțiale 𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑗 în punctul ( 𝛾1,…,𝛾𝑞), cu 𝑏1′<𝛾1<𝑏1,…, 𝑏1′ <𝛾𝑞<𝑏𝑞.
Dacă | 𝜕𝑔(𝛾)
𝜕𝑦𝑗 |<𝐵𝑗, 𝐵𝑗>0, j=1,𝑞̅̅̅̅̅, putem scrie | 𝑏─ b'|<∑𝜔𝑗𝐵𝑗𝑞
𝑗=1, de unde se poate vedea că
eroarea totală este suma erorilor produse de fiecare variabilă în parte, sau altfel spus este suma
erorilor provenite din diverse cauze ce pot interveni.
Maxime și minime pentru funcții de mai multe variabile:
1. Maxime și minime pentru funcții de două variabile:
Definiție: Fie g(y,z) o funcție de două variabile, definită pe A⊆ℛ 2.
a) Un punct (c,d) ∈𝐴 se numește punct de minim al funcției g(y,z) dacă există o
vecinătate U, a lui (c,d) astfel încât pentru orice (y,z)∈𝑈∩𝐴 să avem g(y,z)≥ g(c,d).
b) Un punct (c,d) ∈𝐴 se numește punct de maxim al funcției g(y,z) dacă există o
vecinătate U a lui (c,d) astf el încât pentru orice (y,z)∈𝑈∩𝐴 să avem adevărată relația: g(y,z)≥
g(c, d).
Maximele sau minimele unei funcții așa definite sunt maximele sau minimele locale sau
relative. Se mai numesc și extreme relative.
Teoremă: Fie g(y,z) o funcție de două variabile definită pe o mulțime A⊆ℛ 2 și (c, d) ∈𝐴
(din interiorul lui A). Dacă
1. funcția g(y,z) are un punct (c,d) de extremum;
2. funcția g(y,z) are derivate parțiale de ordinul întâi în punctul (c,d);
atunci derivatele parțiale se anulează în punctul (c,d), adică 𝑔𝑦′(c,d)=0 , 𝑔𝑧′(c,d)=0.
Demonstrație: Într-adevăr, dacă luăm y=c, funcția g(c,z) este derivabilă în punctul z=d
și are în acest punct un extremum, deci, conform teoremei creșterilor finite, 𝑔𝑧′(c,d)=0.
Analog, dacă luăm z=d, și urmăm procedeul anterior, 𝑔𝑦′(c,d)=0.
Observații:
1. Într-un punct (c,d) de extremum avem 𝑔𝑦′(c,d)=0, 𝑔𝑧′(c,d)=0; prin urmare diferen țiala
dg(c,d)=0 .
2. Reciproca teoremei demons trate nu este în general adevărată; dacă într -un punct (c,d)
avem 𝑔𝑦′(c,d)=0, 𝑔𝑧′(c,d)=0 nu rezultă cu necesitate că punctul (c,d) este un punct de
extrem. Un punct (c,d) pentru care dg(c,d)=0, sau, ceea ce este același lucru
𝑔𝑦′(c,d)=0, 𝑔𝑧′(c,d)=0, se numește un punct staționar.
3. Din teorema anterioară mai rezultă că punctele de exterm se găsesc cu necesitate
printre soluțiile sistemului: 𝜕𝑔
𝜕𝑦=0,𝜕𝑔
𝜕𝑧=0, însă nu toate soluțiile acestui sistem sunt
puncte de extrem.
Teoremă: Fie g(y,z) o funcție definită pe o mulțime A⊆ℛ 2 derivabilă parțial de trei ori
pe A. Fie (c,d) o soluție a sistemului: 𝜕𝑔
𝜕𝑦=0,𝜕𝑔
𝜕𝑧=0.
1. Dacă în (c,d) avem 𝜕2𝑔
𝜕𝑦2·𝜕2𝑔
𝜕𝑧2 ─ (𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑧)2 >0 și 𝜕2𝑔
𝜕𝑦2>0, atunci punctul (c, d) este un
punct de minim al funcției.
2. Dacă în (c,d) avem 𝜕2𝑔
𝜕𝑦2·𝜕2𝑔
𝜕𝑧2 ─ (𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑧)2 >0 și 𝜕2𝑔
𝜕𝑦2<0, atunci punctul (c, d) este un
punct de maxim al funcției.
3. Dacă în (c,d) avem 𝜕2𝑔
𝜕𝑦2·𝜕2𝑔
𝜕𝑧2 ─ (𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑧)2 <0, atunci punctul (c, d) nu este un punct de
extrem al funcției.
Demonstrație: Formula lui Taylor aplicată funcției g(y,z) cu restul R 2 este: g(y,z)=
g(c,d)+(y -c)𝜕𝑔
𝜕𝑦+(z-d) 𝜕𝑔
𝜕𝑧 +1
2(𝑦−𝑐)2𝜕2𝑔
𝜕𝑦2 +(𝑦−𝑐)(𝑧−𝑑)𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑧+1
2(𝑧−𝑑)2𝜕2𝑔
𝜕𝑧2+𝑅2, unde
toate derivatele parțiale ce intervin sunt calculate în (c,d).
Dacă (c,d) este punct staționar, atunci avem:
g(y,z) – g(c,d)= 1
2(𝑦−𝑐)2𝜕2𝑔
𝜕𝑦2 +(𝑦−𝑐)(𝑧−𝑑)𝜕2𝑔
𝜕𝑦𝜕𝑧+1
2(𝑧−𝑑)2𝜕2𝑔
𝜕𝑧2+𝑅2.
Avem, lim
𝜑→0𝑅2
𝜑=0, unde y -c=𝜑cos𝜃, z-d= 𝜑sin𝜃, 𝜑=√(𝑦−𝑐)2+(𝑧−𝑑)2, deci
pentru un 𝜑 suficient de mic, adică pentru (y,z) sufi cient de aproape de (c,d), diferența g(y,z) –
g(c,d) are semnul trinomului: F= 1
2 (𝑦 ─ 𝑐)2·q + (y ─ c)(z ─ d) · h + 1
2 · (𝑧 ─ 𝑑)2 · p, unde q=
𝜕2g(c,d)
𝜕𝑦2, h= 𝜕2g(c,d)
𝜕𝑦𝜕𝑧, p= 𝜕2g(c,d)
𝜕𝑧2.
Putem scrie pe F= 1
2(𝑧 ─ 𝑑)2[q(𝑦 ─ 𝑐
𝑧 ─ 𝑑)2+2ℎ(𝑦 ─ 𝑐
𝑧 ─ 𝑑) + p]. Raportul 𝑦 ─ 𝑐
𝑧 ─ 𝑑 poate lua orice
valoare pozitivă sau negativă când y →𝑐, z →𝑑, în mod independent unul de altul, F păstrează
un semn constant în vecinătatea lui (c,d) numai când ℎ2 ─ qp <0, prin urmare avem:
1. F >0, dacă qp ─ ℎ2 >0, q>0, când punctul (c,d) este punct de minim pentru
funcția g;
2. F <0, dacă qp ─ ℎ2 >0, dar q<0, când punctul (c,d) este punct de maxim
pentru funcția g.
3. Dacă qp ─ ℎ2<0, F nu păstrează un semn constant în vecinătatea lui (c,d). În
această situație, acest punct nu este punct de extrem pentru funcție, el numindu -se punct șa.
Observații:
1. Dacă qp ─ ℎ2=0, nu putem afirma despre punctul (c,d) dacă este sau nu punct
de extrem pentru funcția g.
2. În teoremă, condiția q >0 (q<0) se poate înlocui cu p >0 sau p <0.
Maxime și minime pentru funcții de q variabile
Definiție: Fie g(y 1,…,yq) o funcție reală de q variabile, definită pe o mulțime A ⊆𝑅𝑞.
1. Un punct (𝑏1,…,𝑏𝑞) se numește un punct de minim al funcției g dacă există o
vecinătate U a lui (𝑏1,…,𝑏𝑞), astfel încât pentru orice (y1,…,y q) ∈𝑈∩𝐴, să avem: g(y 1,…,y q) ≥
g(𝑏1,…,𝑏𝑞).
2. Un punct (𝑏1,…,𝑏𝑞) se numește un punct de minim al funcției g dacă există o
vecinătate U a lui (𝑏1,…,𝑏𝑞), astfel încât pentru orice (y1,…,y q) ∈𝑈∩𝐴, să avem: g(y 1,…,y q) ≤
g(𝑏1,…,𝑏𝑞).
Maximele sau minimele, așa cum sunt definite anterior, poartă denumirea de minime sau
maxime relative. Se mai numesc extreme relative.
Teoremă: Fie g(y 1,…,y q), o funcție de q variabile definită pe A ⊆𝑅𝑞, și (𝑏1,…,𝑏𝑞) un
punct interior din A. Dacă:
1. funcția g are în punctul (𝑏1,…,𝑏𝑞) un extrem;
2. funcția g are derivate parțiale în punctul (𝑏1,…,𝑏𝑞), atunci derivatele parțiale se
anulează în el și avem: 𝑔𝑦1′(𝑏1,…,𝑏𝑞)=0, 𝑔𝑦2′(𝑏1,…,𝑏𝑞)=0, …, 𝑔𝑦𝑞′(𝑏1,…,𝑏𝑞)=0.
Demonstrație: Dacă luăm: 𝑦1=𝑏1, …,𝑦𝑞=𝑏𝑞, atunci funcția g (𝑏1,…,𝑏𝑞) este derivabilă în
punctul 𝑦𝑚=𝑏𝑚, m=1,𝑞̅̅̅̅̅, și are în acest punct un extrem, deci, conform teoremei lui
Fermat, 𝑔𝑦𝑚′(𝑏1,…,𝑏𝑞) = 0. Q.E.D.
Soluțiile sistemului: 𝜕𝑔
𝜕𝑦1=0, 𝜕𝑔
𝜕𝑦2=0, …, 𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑞=0 formează mulțimea punctelor
staționare ale funcției g. Se observă că mulțimea punctelor staționare dg(y 1,…,y q)=0 și
reciproc, punctele care anulează diferențiala I sunt puncte staționare. Așadar, punctele de
extrem ale funcției sunt printre punctele staționare ale ei. Ca să putem recunoaște în
punctele staționare unele puncte de extrem, trebuie să ținem seama de der ivatele parțiale
de ordinul II.
Teoremă: Fie g(y 1,…,y q), o funcție definită pe A ⊆𝑅𝑞, derivabilă parțial de trei ori pe A.
Fie (𝑏1,…,𝑏𝑞) o soluție a sistemului: 𝜕𝑔
𝜕𝑦1=0, 𝜕𝑔
𝜕𝑦2=0, …, 𝜕𝑔
𝜕𝑦𝑞=0.
1. Dacă toate numerele ∆1=𝐵11,∆2=|𝐵11𝐵12
𝐵21𝐵22|, …, ∆𝑞=|𝐵11…𝐵1𝑞
𝐵21…𝐵2𝑞
………….
𝐵𝑞1…𝐵𝑞𝑞|, unde
Aj,k=𝜕𝑔(𝑏1,…,𝑏𝑞)
𝜕𝑦𝑗𝜕𝑦𝑘, sunt pozitive, atunci funcția g are în punctul (𝑏1,…,𝑏𝑞) un minim.
2. Dacă toate numerele ∆1∗=−𝐵11,∆2∗=|𝐵11𝐵12
𝐵21𝐵22|, …, ∆𝑞∗=(−1)𝑞|𝐵11…𝐵1𝑞
𝐵21…𝐵2𝑞
………….
𝐵𝑞1…𝐵𝑞𝑞| , sunt
posibile, atunci funcția g are în punctul (𝑏1,…,𝑏𝑞). (Roșculeț P. 406)
2.6. Aplicații ale derivatelor în matematică
1. Metoda tangentelor sau metoda lui Newton:
Fie g(y)=0 o ecuație pentru care știm că are o rădăcină reală în intervalul (c,d). Putem
micșora intervalul până derivata a doua are semn constant. Avem posibilitățile:
Dacă notăm 𝑦0 = c+t =d -r, după formula lui Taylor avem:
0=g(c+t)=g(c)+𝑡
1!𝑔′(𝑐)+𝑡2
2!𝑔′′(𝑐)+⋯
0=g(d -r)=g(d)─ 𝑟
1!𝑔′(𝑑)+𝑟2
2!𝑔′′(𝑑)─…
Metoda tangentelor constă în a nu da importanță puterilor t p, unde p≥2, și a determina în
prima aproximație pe t sau r din relațiile:
g(c)+𝑡1𝑔′(𝑐)=0
g(d)─𝑟1𝑔′(𝑑)=0.
Avem: t 1= ─ 𝑔(𝑐)
𝑔′(𝑐); r 1= 𝑔(𝑑)
𝑔′(𝑑). Numerele c+t 1 și d─r 1 au următoarea semnificație
geometrică: tangenta în punctul (c, g(c)) la curba g(y)= s are ecuația: s─g(c)=g'(c)(y -c), iar
punctul de intersecție al tangenteli cu axa Ox are abscisa x1=─ 𝑔(𝑐)
𝑔′(𝑐)+𝑐=𝑐+𝑡1.
Tot astfel, tangenta în punctul (d,g(d)) la curba g(y)= s are ecuația: s─g(d)=g'(d)(y -d) și
punctul de intersecție al tangentei cu axa Ox are abscisa x 2= d─ 𝑔(𝑑)
𝑔′(𝑑)=𝑑−𝑟1.
În metoda tangentei se aproximează rădăcina y 0 cu abscisa punctului de intersecție al
tangentei în A sau în B cu axa Ox.
Din figurile anterioare se vede clar că nu putem alege la întâmplare punctele A și B.
Pentru ca c+t să fie mai apropiat de punctul y 0 decât c, trebuie ca șirul: c, c+t 1, y0=c+t să
fie crescător. Analog , pentru y0=d-r, d-r1, d1 să fie crescător. Condițiile mai sus enunțate pot fi
scrise: t1(t-t1)>0 și r 1(r-r1)>0. Avem relațiile:
0=g(c+t)=g(c)+𝑡
1!𝑡𝑔′(𝑐)+𝑡2
2!𝑔′′(𝜀), c<𝜀<𝑐+𝑡
0=g(d -r)=g(d)─ 𝑟
1!𝑟𝑔′(𝑑)+𝑟2
2!𝑔′′(𝜀′), d-r<𝜀′<𝑑
t-t1= ─𝑡2
2·𝑔′′(𝜀)
𝑔′(𝑐)
r-r1= ─𝑟2
2·𝑔′′(𝜀′)
𝑔′(𝑑)
Dar, t 1( t-t1) = 𝑡2
2·𝑔(𝑐)𝑔′′(𝜀)
𝑔′2(𝑐) , și r( r -r1)= 𝑟2
2·𝑔(𝑑)𝑔′′(𝜀′)
𝑔′2(𝑑).
În concluzie, această metodă aplicată în punctul A ne apropie de y0 (prin lipsă) dacă g(c)
și g''(𝜀) au același semn.
Pentru că, g(c)·g(d)<0, urmează că, dacă această condiție nu este îndeplinită în punctul
A, atunci este sigur îndeplinită în B, și se aplică metoda pentru punctul B. (rosculet p 324)
2. Metoda coardelor:
Această metodă constă în aproximarea curbei s=g(y) cu coarda ce unește punctele A, B.
Dreapta AB are ecuația: s -g(c)= 𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐)
𝑑−𝑐(y-c), iar intersecția cu axa Ox ne dă punctul de abscisă
x2, unde x 2=c ─ (𝑑−𝑐)𝑔(𝑐)
𝑔(𝑑)−𝑔(𝑐).
În graficele anterioare se poate observa că metoda coardelor este o metodă
complementară metodei tangentelor, prin simplul fapt că dacă una ne dă aproximația x 1 prin lipsă
(sau adaos), cealaltă ne dă aproximația x 2 prin adaos (sau lipsă). (rosculet p 325)
3. Metoda aproximațiilor succesive sau metoda iterației:
Fie g(y)-y=0 o ecuație cu funcția g continuă și derivabilă într -un interval (c, d). Ecuația
y=g(y) are o singură rădăcină în (c,d) dacă |g'(y)|≤𝑝<1 pentru orice y∈(𝑐,𝑑), iar g(c)·g(d)<
0. Într -adevăr , nu poate avea două rădăcini y1 și y2, deoarece din y0=g(y 0), y 1=g(y 1) avem
y1─y2=g(y 1)─g(y 2)=(y 1─y0)g'(𝜀), 𝜀∈(𝑦0−𝑦1).
Însă egalitatea nu poate avea loc pentru y1≠y0, pentru că, simplificând cu (y1─y0),
ajungem la g'(𝜀)=1, ceea ce este contrar ipotezei .
a) Se caută un procedeu de calcul al rădăcinii:
Fie y0 un punct oarecare situat între c și d , și se consideră următorul șir: y1=g(y 0),
y2=g(y 1), y 3=g(y 2),…, yn=g(y n-1). Trebuie arătat că acest șir are limita 𝜏, deci că seria y0+(y 2-y1)+
(y3-y2)+…+( yn-yn-1)+… este convergentă, iar suma parțială de ordinul n+1 este S n+1= y0+(y 2-y1)+
(y3-y2)+…+( yn-yn-1)=y n.
Se observă că putem scrie folosind formula creșterilor finite:
y2-y1=g(y 1)-g(y 0)=(y 1-y0)g'(𝜀1)
y3-y2=g(y 2)-g(y 1)=(y 2-y1)g'(𝜀2)
………………………………………….
Yn-yn-1=g(y n-1)-g(y n-2)=(y n-1-yn-2)g'(𝜀𝑛−1)
Dacă toți termenii șirului se găsesc în intervalul (c, d) , atunci:
|y2-y1|=|y 1-y0|·|g'(𝜀1)|<|y1-y0|·r
|y3-y2|=|y 2-y1|·|g'(𝜀2)|<|y1-y0|·r2
……………………………………………
|yn-yn-1|=|y n-1-yn-2|·|g'(𝜀𝑛−1)|<|y1-y0|·rn-1, r <1,
de unde avem că seria este absolut convergentă; dacă 𝜏 este suma seriei, atunci lim
𝑛→∞𝑦𝑛=𝜏.
Acum trebuie să arătăm că toti termenii se află în intervalul (c, d) . Să luăm pe y0=g(y 0) ∈
(c, d). Avem adevărată relația: 𝜏-y1= 𝑔(𝜏)-g(y 1)= (𝜏-y0)g'(𝜀0), c<𝜀0<𝑑, de unde | 𝜏−y1|<
|𝜏−y0|·r<|𝜏−y0|, de unde avem că y1 este mai aproape de 𝜏 decât y0. Dacă este adevărată relația
până la ordinul n-1, atunci: | 𝜏−yn|<|𝜏−yn-1|·r<|𝜏−yn-1|, deci toți termenii se află în intervalul
(c, d).
b) Trebuie arătat că 𝜏, este rădăcina căutată:
yn=g(y n-1)
g este continuă, și astfel obținem: lim
𝑛→∞𝑦𝑛= 𝜏 =lim
𝑛→∞𝑔(𝑦𝑛−1)=𝑔(𝜏), și soluția verifică
relația. Valoarea calculată este cu atât mai bună cu cât n este mai mare.
c) Eroarea aproximării:
Restul seriei: y0+(y 2-y1)+ (y3-y2)+…+( yn-yn-1)+… este R n+1=(yn+1-yn)+ (yn+2-yn+1)+…, iar
|yn+2─yn+1|<r·|yn+1─yn|. Avem deci Rn+1 |< |yn+1─yn|·(1+r+r2+…)=|y n+1─yn|··1
1−𝑟 ⇒ |Rn+1|<
𝑟𝑛
1−𝑟·|y1─y0|, care ne dă o majorantă a erorii comise, dacă luăm în loc de 𝜏 pe yn. (rosculet 328)
2.7. Erori în studiul funcțiilor derivabile
Atunci când învățăm matematică, și nu numai, trebuie să ne bazăm pe o colaborare între
cumulul informațional și dezvoltarea capacității de procesare a bazei teoretice, dar mai ales
trebuie să formăm un sistem de corelare și implementare a teoriei în practică. Pornind de la așa
gândire, elevii trebuie să detecteze greșelile de raționament în argumentare, să fie atenți și să
descopere ”finețea” terminologie i utilizate, să identifice contextele în care unele noțiuni sunt
utilizate, și care este finalitatea unui traseu argumentativ.
Atunci când vorbim despre funcții de rivabile, trebuie să ținem cont de greșelile tipice pe
care le pot face elevii, în cadrul acestui studiu, precum și descoperirea metodelor și tehnicilor de
evitare a acestora.
Greșeli frecvente ale elevilor:
• Confundă adesea noțiunea de funcție care are der ivata într -un punct cu funcție
derivabilă în acel punct. Dacă o funcție are derivată într -un punct, aceasta poate
fi un număr real finit, caz în care funcția este derivabilă în acel punct, sau poate
fi un număr infinit, caz în care spunem că funcția are de rivata infinită în acel
punct, și nu este derivabilă în el.
Spre exemplu: Să se arate că g(y)=√𝑦 are derivată în a=0 și să se calculeze g'(a) .
Rezolvare:
lim𝑦→0
𝑦>0𝑔(𝑦)−𝑔(0)
𝑦−0=lim𝑦→0
𝑦>0√𝑦−√0
𝑦−0= lim𝑦→0
𝑦>0√𝑦
𝑦= lim𝑦→0
𝑦>01
√𝑦 = 1
0=+∞. Deci, funcția nu este
derivabilă în a=0, dar are derivata infinită în a=0, și g'(0)=∞.
• Continuitatea unei funcți i este doar o condiție necesară, nu și suficientă pentru
derivabilitatea unei funcții într -un punct. Aici, avem exemplu studiul funcțiilor
modul . O funcție continuă într -un punct nu este cu necesitate derivabilă în acel
punct. Spre exemplu, g(y)=|y|+ 𝑦2, continuă pe ℛ, dar care nu este derivabilă în
y=0. Avem 𝑙𝑖𝑚
𝑦→0𝑔(𝑦)−𝑔(0)
𝑦−0 =𝑙𝑖𝑚
𝑦→0|𝑦|+𝑦2−0
𝑦= {+1,𝑦→0,𝑦>0
−1,𝑦→0,𝑦<0.
• Există situa ții când o funcție este discontinuă într -un punct și totuși are derivată in
acel punct. Spre exemplu, funcția g(y)= {𝑎𝑟𝑐𝑡 1
𝑦,𝑦≠0
0,𝑦=0.
• Calculul derivatei unei funcții, fără a stabili în prealabil domeniul de
derivabilitate. Aici putem lua diverse ex emple, cum ar fi derivatele funcțiilor
elementare: g : (0,+∞)→ℛ,𝑔(𝑦)=𝑙𝑛𝑦, sau h:ℛ→ℛ, h(z)=√𝑧3.
• Calcu lul limitelor cu ajutorul reguli lor lui l'Hospital, sau aplicarea acestora, fără a
stabili condițiile impuse de teoremă.
• Stabilirea punctelor de extrem global sau local ale unei funcții. Greșeli fecvente în
acest caz se întâlnesc și în calculul limitelor în capetele intervalului pentru care se
face tabelul de semn, uneori omițându -se acest calcul.
• În stabilirea condițiilor și a tebelului pentru șir ul lui Rolle, în cazul unei funcții cu
paramentru, se omite discuția după parametru pe intervalul cerut. Exemplu : Să se
discute cu ajutorul teoremei lui Rolle, ecuația: y4-2y3-2y2+m. Asociem funcția
g(y)= y4-2y3-2y2+m ⇒ g'(y)=4y3-6y2-4y. Facem g'(y)=0 și avem y 1=0, y 2=─ 1
2,
y3=2. Formăm șirul lui Rolle:
m g(-∞) g( ─ 1
2) g(0) g(2) g(+∞) Natura rădăcinilor
+ m -3
16 m m -8 +
-∞
0
3
16
8
∞
+ – – – +
+ – 0 – +
+ – + – +
+ 0 + – +
+ + + – +
+ + + 0 +
+ + + + +
2 rădăcini reale
4 rădăcini reale, 1 dublă
4 rădăcini reale
4 rădăcini reale, 1 dublă
2 rădăcini re ale
2 rădăcini reale (dublă)
Nu are rădăcini reale
*rosculet p 288
Evaluarea erorilor din calcule numerice:
Acestea sunt aplicații ale teoremei creșterilor finite.
Eroarea absolută: Fie b un număr real care nu se transformă într -o fracție zecimală
exactă. În general, în calcule uzuale luăm valoarea cu aproximație c, prin lipsă sau adaos.
Această diferență b-c poate fi pozitivă sau negativă, în funcție de ce anume a m luat în calcul la
aproximare (prin lipsă sau adaos). Valoarea absolută | b-c| se numește eroarea absolută. În
general, acesta nu este posibilă în practică, din acest motiv se utilizează o majorare a ei cu un
număr pozitiv 𝜔, așa încât |b-c|< 𝜔. Dacă b este un număr real și c este un număr rațional care
aproximează pe b cu m zecimale exacte, atunci 𝜔=1
2·10𝑚. Exemplu: ”dacă b=√2, c=1,41. Avem
b-c<1
2·102 ”.
Eroarea relativă: Eroarea absolută nu ne dă nici un indiciu asupra gradului de precizie cu
care s -a efectuat o măsurătoare. Pentru determinarea preciziei, folosim eroarea relativă, care este
valoarea raportului |𝑏−𝑐
𝑏|. În general, eroarea relativă este dată în procente: P=100·|𝑏−𝑐
𝑏|.
Deoare ce b-c și b nu sunt cunoscute în practică, se ia o majorare a lui P, notată M, dată în
procente de: M=100·𝜔
|𝑐−𝜔|, unde 𝜔 este o majorare a erorii absolute.
Exemplu: ”La măsurarea unei distanțe de 30 km se face o eroare absolută de 6 m, și la
măsurarea unei stofe de 3 m se face o eroare absolută de 6 cm. Să se compare cele două
măsurători. Eroarea în procent la prima măsurătoare este: P 1=100·6
30000=0.02% , iar la
măsurătoarea a doua este de P 2=100·6
300=2%. Deci prima măsurătoare este mai precisă de 100
de ori decât cea de a doua”.
Expresia erorii în calculele cu aproximație: Fie g(y) o funcție derivabilă pe un interval J,
și b un punct din J. Trebuie să găsim o majorare a erorii absolute pe care o facem în calcul
asupra lui g(y) dacă înlocuim pe b cu valoarea sa aproximativă c, așa încât |b-c|< 𝜔. Aplicând
formula lui Lagrange , g(b) -g(c)=(b -c)g'(𝜗),𝑐<𝜗<𝑏, deci | g(b)-g(c)|=|b -c|·|g'(𝜗)|, în care
dacă înlocuim pe |b-c| cu 𝜔, și pe |g'(𝜗)| cu valoarea maximă a funcției |g'(𝑦)|, în intervalul
(b,c), ne rezultă: | g(b)-g(c)|<𝜔 max |g'(𝑦)|, y∈(𝑏,𝑐), și determinarea valorii erorii absolute
|g(b)-g(c)| se reduce la determinarea valorii maxi me a modulului derivatei lui g în acel interval
(b,c). (rosculet p 295)
Exemplu: ”Care este eroarea pe care o facem asupra lui √𝜋, dacă luăm în calcul ca
valoare a lui 𝜋 fiind 3,14?
g(y)= √𝑦, b=3,1416…, c=3,14, deci √𝜋 – √3,14 = (𝜋−3,14)·1
2√𝜗<0,0016
2√3,14≅0,004”.
III. Modelare matematică
3.1. Descrierea unui model matematic
În lumea de astăzi, dar mai ales în cea de mâine, matematica și mai ales partea de
modelare matematică, va avea un impact serios asupra dezvoltării umanității. To tuși, ea se
îndreaptă în două mari direcții: în prima, este afectată de problematica științelor vieții, iar în
cealaltă, științe le se intensifică pe baza studiilor matematice . Răspunzând întrebării continue: „L a
ce ne folosește ma tematica?” , am afirma că este prezentă în toate domeniile nou apărute sau cele
deja existente, cum ar fi: topologia, geometria diferențială, logica, teoria mulțimilor, analiza
matematică, teoria calculului optimal, matematica economică, biomatematica, bios tatistica,
genetica, taxonomia, embriologia vegetală și animală, botanica sistematică, virusologia, etc.
Cu toate acestea, științele vieții sunt un generator de probleme pentru matematică, prin
simplul fapt că majoritatea proceselor biologice, chimice și fizice sunt descrise de ecuații
matematice. Tiberiu Postelnicu și Liviu Dragomirescu exemplifică doar două dintre acestea:
„metodele de analiză a datelor (în special taxonomiile numerice), și celebra teorie a catastrofelor
a lui Rene´ Thom”.
Axiomatica modelării matematice în bioștiințe :
Utilizarea modelelor matematice în bioștiințe prezintă o multitudine de avantaje. Cu
ajutorul acestora pot fi cercetate o serie de mecanisme biologice și fiziologice, economice,
chimice, ș.a, în domenii de complexitate extrem de ridicată, unde transformările elementare sunt
foarte puțin cunoscute. Totodată, modelele pot fi folosite pentru predictarea de fenomene noi,
testabile, putând evidenția deficiențe ale cunoștințelor curente și putând sugera totodată n oi
experimente sau direcții de cercetare, subliniind în același timp interdisciplinaritatea necesară
elaborării lor. Modelele matematice au constituit, după cum menționam mai devreme, punctul de
plecare pentru ipoteze și cercetări biologice și fiziologice, un exemplu în acest sens fiind
reprezentat de modelul Hodgkin &Huxley, ce pornește de la ipoteza generării curenților
macroscopici de către o serie de „pori ” moleculari, ceea ce a dus la descoperirea ulterioară a
canalelor ionice membranare și a mecanism elor ce stau la baza funcționării acestora (Cristina –
Maria Dabu, 2012).
Sistemele biologice, economice, chimice, fizice sunt sisteme continue, caracterizate
printr -un grad ridicat de complexitate. De aceea, în construirea modelului care să descrie evoluția
unui astfel de sistem trebuie să avem în vedere câteva elemente fundamentale, cum ar fi
specificitatea sistemului studiat și caracterul discret al măsurătorilor, în contextul unui sistem
dinamic, care evoluează continuu precum și reuniunea unor pr oprietăț i ale modelului obținut :
coerența rațională, unicitatea, capacitatea de predicție. Având în vedere că modelul matematic
reprezintă în esență formalizarea, cu ajutorul diferitelor ecuații matematice, a transformărilor
intervenite între diferitele subsistem e ale unui sistem biologic, Pierre Delattre propunea în anii
1971 următorul formalism pentru un sistem de transformări :
Axioma 1.:
• Obiectele studiate sunt împărțite în clase de echivalență funcțională
• Clasele C1 ,C2,…,Cn , numărul de elemente din clase l a momentul t, fiind
M1,M2,…,Mn . Fiecare clasă corespunde unei stări funcționale distincte .
Axioma 2. :
Între oricare două clase Cj,Ck , posibilitatea de transformare poate fi :
• inexistentă ;
• cu sens unic ;
• cu sens dublu.
Axiomele 1 și 2 definesc structura topologică , calitativă a modului de descriere adoptat.
Axioma 3.:
Pentru o transformare Cj
→ Ck provocată de un câmp de intensitate
,
kj j jF p M= ,
unde
jp repre zintă probabilitatea elementară , fiind un factor de proporționalitate dependent de
clasele considerate.
Axioma 4. :
Pentru o transformare spontană, Cj
→ Ck,
kj kj jF m M= , unde
kjm este factorul de
proporționalitate.
Axioma 5. :
Pentru o transformare care implică
ja elemente de clasă
jC ,
1ja+ elemente de la clasa
1jC+
,…,
jpa+ elemente de la clasa
jpC+ , F trebuie să fie determinată în funcție de cl asele de
început și sfârșit ale transformării :
1
1 …j j j pa a a
j j j p F k M M M++
++ = , unde k este factor de proporționalitate.
Axioma 6 . :
O trans formare Cj
→ Ck, poate , într-o manieră generală, s ă sustragă
kja elemente din clasa
jC
și să adauge
kjb elemente în clasa
kC , unde
,1ab .
Această axiomă permite descrierea unor fenomene cum ar fi :
• disociația ;
• polimerizarea ;
• depolimerizarea ;
• multiplicarea ;
• reproducerea .
Axioma 7 . :
Anumite restricții , în particular de natură geometrică , pot impune între anumite clase
respectarea unor relații de tipul :
( , ,…) 0jkMM = . Când există restricții de tipul
, acestea
antrenează o reducere a dimensiunii ecuațiilor ce descriu evoluția sistemului și, implicit ,
reducerea numărului de variabile. Această axiomă se referă la faptul că, din diverse rațiuni
geometrice, elementele anumitor clase pot fi supuse la restricții care impun respectarea unor
anumite interrelaționări (Cristina -Maria Dabu,2012).
Ecuațiile care descriu comportamentul temporar al sistemului de transformări se obțin
făcând pentru clasa respectivă bilanțul între intrări și ieșiri.
, 1,…,j
j j jdMS Q C j ndt=− + + =
, unde n -este numărul de clase al sistemului ,
jS=ieșirile
elementelor din clas a
jC în funcție de conținutul celorlalte clase din sistem:
k
j kj kj ej ejS a F a F= +
, unde
kjF -ieșirile clasei
jC către alte clase
kC ale sistemului ;
ejF =
ieșirile clasei
jC către exteriorul sistemului,
jQ =intrările de elemente
jC dependente de cel puțin
o clasă din sistem :
[]j jk jk jeQ b F F= + , unde
jkF =intrările în clasa
kC ;
jeF =intrările
elementelor din clasa
jC , provenind din exteriorul sistemului , depinzând însă de conținutul cel
puțin al unei clase a sist emului,
jC reprezentând în clasa
jC provenind din exteriorul sistemului.
Analizând din punct de vedere axiomati c ecuațiile ce descriu sistemul , se poate constata că , în
cazul în care în descrierea anumitor tra nsformări se regăsește Axioma 5, sistemul studiat va avea
un caracter neliniar, în timp ce , în cazul în care se constată că toate relațiile ce descriu sistemul
îndeplinesc numai Axiomele 3 și 4, atunci sistemul este liniar (Cristina -Maria Dabu, 2012;
Steph en G Nash,Gear C .W. ,R Sheel,1990 ; A.C. Fauler,1998 ; cu notațiile refăcute de mine).
Metode utilizate în modelarea matematică a biosistemelor :
În general, cercetătorul descrie un fenomen cu ajutorul a trei tipuri de parametri :
• parametrii
iX , căror li se pot doar măsura valorile
ix , fără a putea fi controlați ;
• parametrii
jU , care pot fi măsurați, și cărora li se pot fixa apriori valorile ;
• parametrii temporali
kT .
Prin experimente repetate se poate obține o statistică de valori diferite pentru
( , , )i j kX U T .
Presupunând că între aceste valori se pot stabili relații de tipul
1 1 2 1 2 1 2( , ,…, , , ,…, , , ,…, ) 0n p q F x x x u u u t t t =
, în cazul în care numărul acestor funcționale este
suficient, acestea permit predictarea manierei în care vor varia acești parame trii, unii în funcție
de ceilalț i. Funcționalele de tipul celor
1F se numesc legi. (Stephen G Nash,Gear C .W. ,R
Sheel,1990 ; A. C. Fauler,1998 ; C.M. Dabu,2012)
Modelele continue uzuale se construiesc stabilind ecuațiile de echilibru și de transfer de
masă și energie d intre subsistemele sistemului, prin descrierea matematică a relațiilor între
forțele care acționează asupra sistemului considerat și diferiți parame trii care le situează în spațiu
și timp și le caracterizează.
În funcție de modul în care se exprimă legile de evoluție ce caracterizează un sistem
biologic, fizic, chimic, economic, deosebim :
• modele definite prin ecuații diferențiale autonome ;
• modele def inite prin ecuații diferențiale neautonome ;
• modele definite prin ecuații diferențiale cu restricții ;
• modele definite prin ecuații diferențiale cu întârziere ;
• modele definite prin ecuații integrodiferențiale, care includ efecte de întârziere ;
• modele definit e de ecuații cu derivate parțiale ;
• modele combinate ;
• modele utilizând teoria automatelor ;
• modele descrise prin limbaj universal de modelare (Matlab, Simulink) ;
• modele descrise prin limbaje de modelare specifice bioinformaticii.
Condiții necesare pentru stabilirea unui model :
• Înțelegerea amănunțită a comportamentului fiecărui sistem studiat, pe baza
observațiilor și a datelor experimentale .
• Cunoașterea profundă a proprietăților diferitelor ecuații ce pot constitui un anume
model .
• Problema trebuie formulată corect, în sens Hadamarad, respectiv să verifice
următoarele restricții :
1. soluția trebuie să existe
2. soluția trebuie să fie unică
3. soluția trebuie să fie continuă în raport cu orice restricție a condițiilor la
limită sau în raport cu condiț iile inițiale.
În plus, orice ecuație sau sistem care modelează un sistem din științe trebuie să aibă
soluție stabilă, adică la orice mică variație a parametrilor care intervin, sau ușoare modifică ri ale
structurii modelului (adă ugarea sau eliminarea unor terme ni liniari sau neliniari), soluț ia să nu -și
modifice forma. Altfel spus, modelul trebuie să fie „ grosier ” în sensul Andronov -Pontrjagin, sau
stabil din punct de vedere structural. Modificări minore ale parametrilor modelului pot conduce
la efecte importante, respectiv la obținerea soluțiilor de tip bifurcație, sau soluții situate la granița
între două compor tamente calitativ diferite. Deoarece nu corespund unui comportament
observabil, datorită instabilitătii structurale, aceste soluții prezintă o importanță practică. Acestea
permit definirea în spaț iul parametrilor sistemului, sau spaț iul funcțional, a domen iilor sau
subspațiilor, în interiorul cărora sistemul prezintă un comportament bine determinat din punct de
vedere calitativ și condițiile de modificare a respectivului comportament. (Stephen G Nash,Gear
C .W. ,R Sheel,1990 ; A. C. Fauler,1998 ;C -M. Dabu,2 012).
Un tip de modelare matematică este cercetarea operațională. „Cercetarea operațională – ca
știință a adoptării deciziilor eficiente – nu poate fi definită fără a face apel la conceptele
de operație, strategie, model .
Definim operația ca fiind un ansam blu de acțiuni îndreptate spre realizarea unui anumit
scop. Scopul unei operații este, în general, constituit dintr -un ansamblu de obiective .
Mulțimea factorilor (eventual persoanelor) care acționează într -o operație pentru
îndeplinirea scopului propus se numește parte operativă , iar resursele pe care le are la dispoziție
partea operativă, pentru a -și realiza scopul, se numesc mijloace active .
Modul de acțiune al părții operative, adică modul de utilizare a mijloacelor active, se
numește strategie , sau politică .
În studiul oricărei operații se deosebesc patru etape fundamentale:
• analiza operației, căutarea și descrierea mijloacelor de acțiune care pot duce la
atingerea scopului operației;
• modelarea matematică a operației care dă o descriere matema tică a scopului;
• estimarea și compararea eficacității diverselor strategii pe baza modelului
constuit;
• studierea strategiilor optime și a metodelor matematice (algoritmilor) pentru
obținerea acestor strategii.
Modelarea matematică a operațiilor și , în general , a proceselor realității înconjuratoare,
este însoțită aproape întotdeauna de existența a două tendințe contrare: pe de o parte se caută ca
modelul să reflecte cât mai exact procesul real, iar pe de altă parte, se dorește obținerea unui
model c ât mai simplu, care să permită rezolvarea completă a probleme i.
Rezolvarea acestei contradicții este echivalentă cu găsirea echilibrului
dintre "suprasimplificare" și "supraaglomerare".
Prin model matematic înțelegem tripletul realizat în figura următoare:
Variabilele (parametrii ) de intrare reprezintă variabilele (parametrii) ale căror valori sunt
cunoscute (sunt date sau estimate), variabilele (parametrii) de iesire reprezintă variabilele
(parametrii) ce rezultă din prelucrare, iar relațiile funcționale exprimă legăturile (dependențele,
relațiile) dintre variabilele de intrare și variabilele de ieșire, care pot fi ecuații (inecuații)
algebrice, ecuații diferențiale, ecuații integrale, etc.”
3.2. Aplicații ale funcțiilor derivabile în eco nomie
În economie și , în special , în partea disciplinelor organizatorice și de conducere, sunt
utilizate toate tipurile de metode și modele matematice, deoarece acestea condensează riguros
esențialul, dar în același timp pot fi programate cu ajutorul calculatoarelor, alcătuindu -se astfel
un instrument de investigație științifică de o putere necunoscută până acum câțiva ani, fiind o
prelungire continuă a inteligenței umane.
”O sistematizare metodologică a modelelor matematice întrebuințate în disciplinele
organizării și conducerii social -economice ar fi riscantă, având în vedere mutațiile continue și
spectaculoase care au loc în aceste discipline și, în plus, ar avea un caracter pur scolastic, fără
utilitate teoretică sau practică reală. De aceea, ne vom limita, în continuare, să enumerăm
principalele tipuri de modele matematice cunoscute în acest domeniu”.
Dacă am clasifica, modelele care descriu partea economică sunt: macroeconomice – cele
care fac referire la econo mia națională, sau la economia unui teritoriu vast, și microeconomice –
cele care fac referire o o anumită zona industrializată, la o insti tuție, bancă, departament, etc.
După o altă clasificare , am avea:
• Modelele cibernetico -economice → studiază relația dintre intrări și ieșiri într -o
zonă economică, cu reliefarea fenomenelor de reglare care vor determina buna
funcționare a sistemului asupra căruia acționează. Acestea, de obicei, sunt spre
partea macroeconomiei.
• Modelele econometrice → „descriu comportamentul organismelor economice”
folosind ecuații și sisteme de ecuații în care partea numerică este determinată
statistic. Si acestea de obicei au utilizare în macroeconomie .
• Modelele de simulare → încearcă să stabilească un principiu de funcționare al
organismelor macro sau microeconomice, alocând valori întâmplătoare
variabile lor independente care descriu procesul. Prin aflarea acestor valori date
variabilelor independente, putem face determinări și studii semnificative.
• Modelele sistemice → au ca obiectiv ansamblul tuturor aspectelor dintr -un macro
sau microsistem economic. Spre exemplu, „în modelul Forrester se consideră că
prin identificarea celor șase fluxuri caracteristice se poate cunoaște
comportamentului ca un întreg”.
• Modelele cercetării operaționale → sunt caracterizate prin căutarea unei soluții
optime , s au apropiată optimului pentru un anumit fenoment studiat. Acestea au la
bază o diversitate de formule și procedee matematice, fiind utilizate, de asemenea,
în macro și microeconomie, fiind principalul instrument pentru optimizarea
funcționării unui sistem.
În cazul elaborării unui model economic sau într -o problemă de organiz are social –
economică, trebuie să se țină cont de următoarele faze:
• Prima fază : are un caracter pregătitor, și ține de studierea realității, în scopul
determinării unei soluții de îmbună tățire a mecanismelor funcționale.
• A doua fază reprezintă construirea propriu -zisă a modelului. Aceasta se face de
obicei cu alegerea, de către analist, a unui model dintre cele existente, și care se
pliază pe datele existente și evoluția scontată. Dacă nu există modele care să poată
fi aplicate, atunci este nevoie de elaborarea unui model nou, care poate fi o
combinație între cele clasice, de teorie sau unul cu totul nou. Când este necesară
construirea unui model nou, original, trebuie ținut cont de: axiom ele sistemului –
reprezentând propoziții exprimate în formă matematică, de regulă foarte puține,
care conțin unele adevăruri de mare generalitate privind fenomenul care se
modelează, atât de generale, încât toate constatările concrete și particulare vor
putea fi deduse din cele generale , reguli de referinț ă – sunt prescripții riguroase,
singurele prin care se trece de la axiome la teorem e, sau de la teoreme
demonstrate și argumentate la altele noi, teoreme – sunt propoziții mai mult sau
mai puțin particulare, exprimate matematic, deduse prin reguli de inferență, care
exprimă proprietățile fenomenului studiat. O observație care este necesară aici
este faptul că în cadrul elaborării modelului, se descriu si term enii limită, precum
noțiunile admise, condițiile inițiale, etc.. „Axiomatizarea și, în ultima analiză,
formalizarea, reprezintă viitorul în modelarea matematică, datorită rigorii
excepționale pe care o introduc, diminuării considerabile a elementelor de in tuiție
și arbitrar, care, deși mult mai puține decât în modelele nematematizate, sunt încă
prezente în modelarea matematică axiomatizată ”.
• A treia fază este confr untarea modelului cu realitatea.
• A patra fază este experimentarea sa, în cadrul implementării sistemului.
Ca și exemple de modele economice avem:
a. un model de programare convexă:
Min g(y)
b(y)≤0
y∈𝑌, Y convexă
g : Y→ℛm, g convexă
b : Y→ℛ q, b=(b 1,…,b q)’, b i convexe, i= 1,𝑞̅̅̅̅̅.
Un model particular este când Y={y y∈𝑅𝑚|𝑦≥0}
b. Fie R(t) numărul de unități produse într -un flux tehnologic după t ore de la începerea
procesului. Valoarea medie a lui R(t) într -un interval de 𝛿 ore este 𝑅(𝑡+𝛿)−𝑅(𝑡)
𝛿=𝑅(𝑡)̅̅̅̅̅̅,
și acesta reprezintă producția medie.
c. Dacă funcția cost total pentru realizarea a y unități dintr -un produs este C(y)=𝑦2
9+
𝑦+100, y≥1, să stabilim câte unități trebuie realizate pentru a avea cel mai mic preț
mediu pe unitate de produs.
Trebuie să studiem variația funcției preț mediu: 𝐶(𝑦)̅̅̅̅̅̅=𝐶(𝑦)
𝑦=𝑦
9+100
𝑦, y≥1 ⇒
𝐶(𝑦)′̅̅̅̅̅̅̅=1
9−100
𝑦2, care are rădăcina y=30. Avem tabelul de variație:
Din tabel se observă că valoarea minimă este 23
3, iar cel mai scăzut preț se
înregistrează dacă se prod uc 30 de unități.
d. O firmă produce trei sortimente de produse în cantitățile: p, q, r. Dacă funcția profit
este dată de g(p,q,r)=170·p+110·q+120·r -3·r2-2·q2- 3
2 ·r2-2·p·q -p·r-q·r-50, cu p≥0,
q≥0, r≥0, să se determine volumele celor trei produse astfel încât profitul să fie
maxim.
Rezolvarea: Aflăm punctele staționare ale funcției g, asftel calculăm derivatele
parțiale: {𝑔𝑝′(𝑝,𝑞,𝑟)=170−6𝑝−2𝑞−𝑟=0
𝑔𝑞′(𝑝,𝑞,𝑟)=110−4𝑞−2𝑝−𝑟=0
𝑔𝑟′(𝑝,𝑞,𝑟)=120−3𝑟−𝑝−𝑞=0, care au soluțiile p=20, q=10, r=30,
deci a vem u n singur punct staționar M(20,10,30).
Pentru a stabili natura punctului, calculăm deri vatele parțiale de ordinul al II -lea:
𝑔𝑝2′′=−6, 𝑔𝑞2′′=−4, 𝑔𝑟2′′=−3, 𝑔𝑝𝑞′′=𝑔𝑞𝑝′′=−2, 𝑔𝑝𝑟′′=𝑔𝑟𝑝′′=−1, 𝑔𝑞𝑟′′=𝑔𝑟𝑞′′=
−1, și Hessiana are forma: H= (−6−2−1
−2−4−1
−1−1−1), iar minorii principali ai săi sunt ∆1=
−6<0, ∆2=|−6−2
−2−4|=20>0,∆3=det(H)= – 54<0, de unde rezultă că M(20, 10,
30) este punct de maxim. Valoarea maximă este g max=g(20, 10, 30)=4000.
3.3. Utilizarea funcțiilor derivabile în fizică și chimie
„Teoria este un model matematic pentru un aspect al naturii. O bună teorie extrage și
exagerează anumite aspect ale adevărului…O teorie nu poate copia natura, căci dacă ar face -o
din toate punctele de vedere, ar fi izomorfă cu natura însăși și deci inutilă”. (C. Truesdell,
„Fundamental's of Maxwell's Kinetic Theory of a Simple Monatomic Gase”, cu R.G. Muncaster)
Este cunoscut faptul că fizica se folosește de matematică, dar mereu ne punem întrebarea
dacă este sufici entă matematica pentru fizică, sau unele procese depășesc sfera ei și necesit ă un
cumul de noțiuni și teorii. Putem, de asemenea, să considerăm că fizica și matematica sunt
aproape identice, deși se studiază separat, nu putem determina cu exactitate identi tatea fiecăreia,
fără a conlucra. Fiecare dintre ele pornește de la locuri diametral opuse, pentru a ajunge la
adevăr, matematica de la abstract, iar fizica de la concret, iar adevărul e unul singur, cel
demonstrat, deci ajungem într -un punct comun.
Primel e activități de cunoaștere s -au bazat pe observare și măsurare, apoi s -a format
teoria sistemelor și a modelării acestora. În etapa de analiză, se încadrează și partea de stabilire a
datelor preliminarii, precum și studiul caracteristicelor sistemului. Toa te sistemele fizice și
chimice lucrează interdependent cu alte sisteme, având atât particularități specifice cât și parte
comună, care va delimita granițele. Dacă acesta este foarte complicat, atunci stabilirea ecuațiilor
de bază, și a aproximațiilor admis e, precum și a condițiilor inițiale este neapărat necesară.
Interpretarea fizică a echilibrului are semnificații specifice domeniului de aplicație: fizică, chimie
sau altele. Caracteristica fundamentală a sistemelor fizice și chimice o reprezintă materiali tatea
lor, implicând mișcarea și existența obiectivă în spațiu și timp. Studiul lor și a proceselor fizice
are la bază principiul cauzalității: fiecare stare din lumea obiectivă este efectul unor cauze care
determină univoc starea respectivă. De asemenea, atunci când realizăm un model matematic
pentru un fenomen fizic sau chimic, trebuie avute în vedere caracteristicele mecanice, termice,
electrice, magnetice, chimice, de concentrație, etc., care pot fi determinate prin măsurători, sau
observație. Pornind d e la acestea, trebuie avut e în vedere și legile fizice sau chimice generale,
precum și cele aplicabile pe procesul studiat.
Folosindu -ne de aceste fundamente, putem construi modele complexe, sau rescrie diverse
teorii fizice sau chimice. Spre exemplu:
• Ecua ția fundamentală a dinamicii unui rigid, sub acțiunea unor solicitări reale –
exterioare activ, exterioare pasive și interioare – are o formă necunoscută: dm·𝑎̅=
dFa+dFp+dFm.
• Teorema energiei scrisă sub formă generală: 𝑑𝐸
𝑑𝑡=𝑃𝑎+𝑃𝑝, teoria energiei
cinetice: dEc=dL .
• Teorema energiei: d(Ec+Ep)= dEm= dL', Em=Ec+Ep → energia mecanică
substituită.
• Legea conservării sarcinii electrice: 𝑖∑ = – 𝑑𝑞∑
𝑑𝑡,
• Legea gazelor perfecte: Fie funcția g ( P, V, n, T) =𝑃·𝑉
𝑛·𝑅·𝑇 în care R este o constantă
pozitivă și P, V, n, T sunt variabile pozitive. Vom avea: ln |g| = ln 𝑃·𝑉
𝑛·𝑅·𝑇=𝑙𝑛𝑃+𝑙𝑛𝑉−
𝑙𝑛𝑛−𝑙𝑛𝑅−𝑙𝑛𝑇, dln|g|=d(ln𝑃·𝑉
𝑛·𝑅·𝑇)= 𝑃·𝑉
𝑛·𝑅·𝑇(𝑑𝑃
𝑃+𝑑𝑉
𝑉−𝑑𝑛
𝑛−𝑑𝑇
𝑇)⇒ dg =g dln|g|=1
𝑛𝑅(𝑉
𝑃𝑇𝑑𝑃+
𝑃
𝑉𝑇𝑑𝑉−𝑃𝑉
𝑛𝑇𝑑𝑛−𝑃𝑉
𝑇2𝑑𝑇).
• „Formula lui Black, care este folosită pentru calculul metabolismului bazal M (în
Kcal) în funcție de greutate (G măsurată în Kg), înălțimii (H în m) și vârstă (A în ani). M(G, H,
A) = KG0,48·H0,50·A-0,13, K-constantă (egală cu 259 la bărbați și cu 230 la femei). Spre exemplu,
avem o femeie de 30 de ani, conexiunea de 1, 62 m, și care cântărește 55 kg. Ne vom propune să
răspundem la întrebarea: care va fi metabolismul bazal în raport cu o femeie mai în vârstă cu un
an, cu o înălțime de 1 an în plus și cântărind un kg în plus. M(30, 1,62, 55) ≈1287, 76 Kcal.
lnM=lnK+0,48·lnP+0,50·lnT -0,13·lnA⇒dlnM=0,48·𝑑𝑃
𝑃+0,50·𝑑𝑇
𝑇−0,13·𝑑𝐴
𝐴 ⇒
dM=M(0,48·𝑑𝑃
𝑃+0,50·𝑑𝑇
𝑇−0,13·𝑑𝐴
𝐴) ⇒ dM=1287,76·(0,00873 -0,00309 -0,00433)≈1,68kcal”.
• „Analiza derivatei a doua a funcției concentrație plasmatică, care se scrie astfel:
C''(t) = 𝑑2𝐶
𝑑𝑡2(𝑡)= A(𝑎2𝑒−𝑎𝑡−𝑡2𝑒−𝑏𝑡). Rădăcina ecuației C''(t) =0 (păstrăm aceleași valori: A=10,
a=1, b=4) este t= 1
𝑎−𝑏𝑙𝑛𝑎2
𝑏2=−1
3ln1
16≈0,924. Avem C''(t) >0 pentru t >1
𝑎−𝑏𝑙𝑛𝑎2
𝑏2 și C''(t) <0
pentru t<1
𝑎−𝑏𝑙𝑛𝑎2
𝑏2. Această valoare a lui t=t max reprezintă un punct de inflexiune”.(calcul
diferential 2 variabile)
• „Pentru a calcula coeficientul de absorbție molară 𝜀 al tirozinei, se măsoară printr –
o cuvă de grosime l=1cm, absorbanță A=0,927 ±0,001 a unei soluții constituite prin dizolvarea
unei can tități m=0.030 ±0,001 g de tirozină (cu M=181,2 g/mol) într -un volum
V=0,2500 ±0,0005 L: 𝜀=𝐴𝑀𝑉
𝑙𝑚=0,927·181,2·0,25
1·0,03= 1399,47cm-1·mol-1. Care va fi eroarea relativă
asupra lui 𝜀? Se vor neglija erorile asupra grosimei cuvei l, și asupra masei molare M, ceea ce
înseamnă că vom considera absorbanta drept funcție 𝜀(𝐴,𝑉,𝑚). Trecând prin diferențierea
logaritmică, ajungem la eroarea relativă, și calculele se simplifică pentru funcții definite ca
produse. ln (𝜀)=ln(A)+ln(M)+ln(V) -ln(l)-ln(m)⇒
dln (𝜀)=𝑑𝜀
𝜀=𝑑𝐴
𝐴+𝑑𝑉
𝑉−𝑑𝑚
𝑚 ⇒ ∆ln(𝜀)=Δ𝜀
𝜀=1
𝐴|∆𝐴|+1
𝑉|∆𝑉|+−1
𝑚|∆𝑚|.
Eroarea relativă Δ𝜀
𝜀≤0,0407 sau în procent de 4,07%.”(aplicatii la modelarea datelor)
• Să analizăm mișcarea unui punct material de masă m, care se deplasează pe Ox,
sub acțiunea unei forțe elastice 𝐹⃗ orientată spre origine. Dacă notăm cu y(t) distanța de la punct
la originea sistemului, la momentul t>0, atunci, din legea a doua a lui Newton ⇒m·𝑦̈(𝑡)=𝐹, F
este funcție elastică ⇒F= – 𝜔2y(t)⇒Ecuația oscilatorului armonic m·𝑦̈(𝑡)+𝜔2y(t)=0 ⇒ soluția
generală y(t)=Acos( 𝜔𝑡+𝜑), A≥0,𝐴 ș𝑖 𝜑 constante arbitrare. În ipoteza suplimentară a
exsitenței unei forțe de frecare proportțională cu viteza de forma -k·𝑦̇(t) și a unei forțe exterioare
g(t), aplicată punctului material, se obține o ecuație diferențială de forma: m·𝑦̈(𝑡)+k·𝑦̇(t)+
𝜔2y(t)=g(t). (curs ec dif si deriv partiale ,gavril paltineanu, pag 10)
3.4.Studiul aplicabilității derivatelor în biologie.
În țara noastră, biomatematica este într -o continuă expansiune, deși are unele îngrădiri,
cauzate în special de:
• lipsa unor cadre specializate în ambele domenii;
• conservatorimul monodisciplinar;
• revoluționarea greșită a învățământului, care adoptă strategii bazate pe învățarea
teoretică în defavoarea celei interdisciplinare și practică, sau experimentală.
Procesul înțelegerii științi fice din majoritatea ariilor este dependent de achiziția datelor
faptice, crearea de teorii apte să structureze datele precum și să explice fenomenele, modelarea
descriptivă a realității și analiza validității constatărilor. Un element foarte inportant est e
cunoașterea consecințelor reprezentărilor și a modelării matematice, precum și discutarea
rezultatelor în vederea adoptării măsurilor necesare unei bune funcționări sau a atingerii
standardului optimal. Dacă se face o comparație între complexitatea fenom enelor fizico -chimice
și cele biologice, se poate vedea o diferență considerabilă deoarece procesele biologice implică și
unele chimice, sau fizice; ceea ce implică o abordare diferențiată și niște modele complexe.
Modelele sunt „abstractizări simplificate , care definesc elementele considerate a fi importante și
interrelațiile acestora în cadrul unui sistem luat sub analiză”. Ele pot fi matematice, dar în
general descriu diverse procese din natură: procese biologice (monitorizarea dinamicii
populațiilor, ră spândirea virusurilor, creșterea exponențială a celulelor tumorale – exemplificate
și pe baza de programe simulatorii), procese fizice (modelul mișcării punctului material –
modelul planetar, modelul satelitar), procese chimice (calculul vitezei de formare a unui produs
în funcție de reactanți, analiza ph -ului, ș.a.). În ultimii ani, s -au perfecționat numeroase programe
care ajută analizele asupra unor detalii ale fenomenelor: „Modeling complex processes has
become much easier with the increasing facile use of computers. But the central base of
modeling, as of all research, is careful, logical thought” (John C. Gordon, 2007).
Pentru construirea și validarea modelelor matematice se pot folosi cercetări statistice.
Aceasta dezvoltă tehnici și proceduri de înre gistrare, descriere, analiză și interpretare a datelor
experimentale sau a rezultatelor obținute din observarea unui proces social, economic, biologic,
precum și vizualizarea datelor folosind soft -uri dedicate acestui scop. Cunoașterea unor elemente
și pri ncipii de bază ale statisticii este importanță în momentul actual, permițând realizarea unor
analize corecte a datelor și evitarea erorilor de interpretare a acestora. Strâns legată de statistica
inferențială este teoria probabilităților, care furnizează m etode și tehnici pentru stabilirea unor
previziuni (inferențe statistice) referitoare la caracteristicele unei populații pornind de la rezultate
obținute din observarea unui eșantion al acesteia. Biostatistica este aplicarea statisticii într -un
număr mare de domenii ale biologiei. Aceasta are drept obiectiv fundamentarea teoretică a
proiectării și controlului experimentelor biologice, mai ales în medicină și agricultură, deoarece
ea analizează și interpretează date concrete și realizează inferențe asupra ac estora.
Deși un pas esențial pentru început, acumularea de date nu duce la nici un fel de
cunoaștere -înțelegere, în măsura în care acestea nu sunt structurate și nu există un fel de teorie
aptă să interpretaze sensul; dezvoltarea conceptelor este fundament ală pentru a avea șanse de
progres în înțelegerea fenomenelor biologice: „ Emphasis on the collection of data and the
accumulation of knowledge is a residue of the early days of the Scientific Revolution, when
induction was the prefered method of science. T here was a widespread misconception among
inductionists that a pile of facts would not only permit generalizations but almost automatically
produce new theories, as if by spontaneous combustion ” (Ernst Mayr, 1997).
Ca repere istorice privind utilizarea m odelelor și a simulărilor asistate de calculator în
știință putem plasa modelul Hodgkin &Huxley pentru descrierea curenților ionici membranari,
care a fost extins și aplicat la un mare număr de membrane neuronale pentru diverse categorii de
neuroni. Rolul dendritelor în determinarea caracteristicilor de intrare – ieșire ale neuronilor nu a
fost înțeles înaintea descoperirii teoriei cablurilor lui Rall. Începând cu anii 70, au fost dezvoltate
modele matematice cantitative și calitative ale rețelelor neurona le, în plus, lucrările lui Fityhugh
au demonstrat valoarea modelelor neliniare simplificate și a analizei matematice.
Altă contribuție majoră a modelării matematice, în fiziologie, o constituie teoria dinamicii
cross -bridge, aplicată în studiul mușchilor striați. Introdusă de A.F.Huxley în anul 1975 și
dezvoltată de T.E.Hill, Podolsky, Lacker și alții, această teorie a oferit nu numai o explicare
satisfăcătoare a comportamentului mecanic al muschiului, dar a fost folosită de asemenea pentru
furnizarea prin cipiilor de organizare pentru cercetările biochimice asupra fundamentului
energetic și a mecanismelor implicate în controlul contracțiilor musculare.
Deosebirea fundamentală în privința abordării problematicii între biologia clasică,
experimentală, și „bio logia matematică ” o constituie modul de descriere al fenomenelor pentru
deferite niveluri de organizare, precum și modul în care trebuie selectate și integrate procesele
studiate la scară mică (celular, subcelular) în cadrul fenomenelor de la un nivel sup erior pentru a
păstra întregul înțeles biofiziologic. Un exemplu elocvent în acest sens este cazul rețelelor
neuronale, unde se folosesc așa numiții „neuroni ideali”, structuri puternic simplificate, care
ignoră foarte mult din ceea ce se cunoaște în domen iul biologiei și fiziologiei celulare. (Cristina –
Maria Dabu, 2012).
Fenomenele studiate în biologie se caracterizează printr -un grad ridicat de stabilitate,
proprietate ce ușurează cercetarea, fiind necesar ca modelul să prezinte aceleași particularități de
rezistență la diverse perturbații, așa cum prezintă sistemul biolo gic real. Dintre toate clasele de
modele, cele mai apropiate de a reprezenta un fenomen ce caracterizează viul sunt modelele
diferențiale. Am ales ca model matematic aplicat în biologie, următorul studiu, tradus din (1,2 3
carti bibliografie licenta bio), la care am modificat calculele funcțiilor, ș i a valorilor, pentru
evidențierea diferențelor.
Un studiu teoretic privind reglarea selectivă a activității proteinelor prin oscilațiile
complexului
2Ca+ .
Sumar:
Oscilațiile joacă un rol important în transducția semnalelor intracelulare. Ca mesager
secundar,
2Ca+ reprezintă o legătură între semnalele de intrare și câteva procese țintă în celulă. În
timp ce frecvența oscilațiilor de
2Ca+ simplu permite o activare selectivă a proteinelor specifice
și alăturate unui proces particular, se pune înt rebarea cum se poate ca două sau mai multe clase
de proteine să fie reglate în același timp. Întrebarea este generală și are ca preocupare cum poate
un mesager secundar să transmită mai mult de un semnal în mod simultan (structura papion).
Pentru a investi ga dacă un semnal compex
2Ca+ precum spargerea, o succesiune de faze
oscilatorii la nivel înalt sau jos, ar putea activa selectiv diferite proteine, câteva modele de
spargeri cu pulsuri simplificate au fost aplicate într -un model teor etic. Rezultatele arată că
oscilatiile de
2Ca+ , permit o regularizare diferențiată a două legături de calciu și proteine diferite
și astfel execută funcția dorită.
Ionii de calciu reglează o varietate de procese celulare precum contra cțiile musculare,
fertilizarea și metabolismul ficatului. După stimularea celulei de către un agonist, concentrația de
2Ca+
citosolic se schimbă periodic în timp. Acest fenomen este cunoscut ca oscilație de
2Ca+ .
Aceste oscilații au fost subiectul unor studii intense de modelare. Informația pe care o transmit
este codată în special în frecvență, însă și amplitudinea modelului temporal joacă un rol. De
obicei, oscilațiile semnalelor
2Ca+ rezultă într -un efect staționar, de exemplu fertilizând oocite,
generând semnale endocrine sau consolidând transcrierea unei gene. Un rol central în decodarea
semnalelor de
2Ca+ este jucat de calmodulină, în multe celule. Prin legarea de 𝐶𝑎2+, calmodulina
poate activa alte proteine, de exemplu
2Ca+ / tinoză de tipul II calmodulina dependentă de
proteină și tinoză miozina și proteine care sunt activate de
2Ca+ fără implicarea calmodulinei, de
exemplu tinoza proteică C. (Andreas Deutsch et all., 2007).
Pe lângă oscilațiile regulate de
2Ca+ de tip spike, datele experimentale despre dinamica
2Ca+
arată mai multe modele de oscilații complexe. O succesiune de faze oscilatorii de vârf sau
la nivel jos, cunoscută ca spargere, este un model obișnuit. Spargerea a fost investigată în studiile
despre potențialele oscilații transmembranare în nervii celulelor și cele despre oscilațiile de
2Ca+
. În spargerea electrică în neuroni atât faza activă cât și cea pasivă implică câteva piroane. Pe de
altă parte, în spargerea
2Ca+ , faza activă constă într -un singur piron (spike) mare. (Andreas
Deutsch et all., 2007).
Larsen, Kummer, Rozi și Jia au fost primii care au stimulat decodarea osci lațiilor
complexului
2Ca+ , în baza modelelor propuse de Kummer si Borghans. Larsen și alți
colaboratori au arătat că informația ar putea fi decodată, în forma și complexitatea osilațiilor de
2Ca+
. Legarea activă a calciului cu alte două enzime efectoare diferite, considerată cooperativă
,a fost demonstrată că, cooperativitatea permite enzimelor să decodeze diferite dinamici
2Ca+ în
activități ale enzimelor diferite.
Multe sis teme de transducție precum și sisteme metabolice constau într -o structură în care
câteva intrări pot influența țintele prin intermediul uneia sau a câtorva componente intermediare.
Această arhitectură este numită structură de tip papion. Întrebarea este, c um o astfel de
structură poate opera și mai ales dacă semnale multiple pot fi transmise și decodate, nu doar
succesiv ci și simultan. (Andreas Deutsch et all., 2007).
Aici se investighează cum ar putea spargerea periodică să transmintă două semnale
indepen dente, simultan, precum activarea selectivă a două proteine de legătură
2Ca+ .
Pentru a explora care caracteristici ale complexului de semnale ar putea fi responsabil
pentru o reglare independentă a țintelor de nivel jos, analizăm frec vența decodărilor, luând în
considerare faptul că oscilațiile spargerilor sunt caracterizate de două frecvențe consecutive ale
pilonilor și vârfuri secundare. Pentru a separa generarea și decodarea oscilațiilor de
2Ca+ ,
oscilațiile au fost stimulate de modele artificiale în formă de pătrat. Asemenea pulsuri au fost
utilizate și în experimente și simulări. (Andreas Deutsch et all.,2007)
În acest model, două proteine
2Ca+ sunt luate în considerare. Amb ele proteine sunt
activate în mod cooperant. Un exemplu este calmodulina. Ținând cont de faptul că calmodulina
este activată de obicei de 4 ioni de
2Ca+ , s-a considerat că primele proteine fiind activate de 4
ioni
2Ca+ (y=4). A doua proteină se presupune că, ea conține inhibitori de
2Ca+ adiționali,
rezultând într -o curbă în formă de clopot, inhibitor la concentrații mai mari de
2Ca+ . O
dependență a
2Ca+ în formă de clopot este raportată la interacțiunea
2Ca+ / calmodulină cu
factori edema (Ef), o toxină adenilateciclaze secretată de Bacillus anthracis. (Andreas Deutsch et
all., 2007).
În timp ce calmodulina c u doi ioni de
2Ca+ legați activează EF,
2Ca+ interactionând
direct cu legarea
2Mg+ de locul metalic catalitic al EF, inhibează astfel catalizarea. Astfel, s -au
calculat doi ioni
2Ca+ activând și doi inhibitori ale proteinelor 2 (x=2). Pentru modelul acesta,
schema de reacție a legării
2Ca+ de proteină cu site -uri activatoare și inhibitoare (
2Prot ) este
prezentată în Figura 21. Schema legării de alte proteine (
1Prot ) este aceeași însă lipsesc reacțiile
inhibitoare de legare. (Andreas Deutsch et all., 2007).
Figura 21 : Schema legării calciului de alte proteine ( Mathematical Modeling of
Biological Systems ,Vol.I).
Tipul de inhibare luat în considerare este non -competitiv, astfel incât afinitatea legării
2Ca+
de inhibitori este independentă indiferent dacă site -ul activator este ocupat sau nu. Cele
două proteine legate de
2Ca+ sunt considerate proteine “semnalizatoare“ și se presupune că dețin
doze mari de calciu și disocieri, au loc în concentrații scăzute și nu modelează semnalele de
2Ca+
. Drept urmare, menținem concentrația proteinelor mică astfel în cât cel mult 10% din
2Ca+
să fie legată de o protein, presupunând că sechestrarea
2Ca+ de către două proteine poate fi
negată în balanța
2Ca+ . Astfel, nici o relație de conservare pentru cantitatea de
2Ca+ nu a fost
inclusă. În orice caz, există o relație de conservare pentru fiecare proteină. Pentru proteina 2,
2 2 2 2 2Pr Pr Pr Pr Prx x x x
T l lot ot ot Ca ot Ca ot Ca Ca= + + +
(1), unde
2PrTot denotă
concentrația totală a proteinei 2. (Andreas Deutsch et all.,2007).
Luând în considerare legile masei pentru disocierea constantelor
2k și
1k, cantitatea de
proteine active este dată de următoarea aproximație de echilibru:
( )
()2
2
2Pr
Pr
1x
T
x x
x
lot Ca
ot Ca
Cak Cak
=+ +
(2)
Pentru proteine activate doar de
2Ca+ , factorul inhibitor dispare, rezultând în bine –
cunoscuta ecuație Hill pentru legarea cooperantă :
1
1
1PrPry
T
y yot Caot Cak Ca=+
(3)
Figura 22 .Legarea curbelor celor două proteine. Activarea proteinelor este calculată de
aproximarea rapidă a echilibrului la constanta
2Ca+ și de următoarele valori :
1k = 5.88
My ,
2k
= 6.25
210−
Mx ,
lk=2.2
10 -2
Mx . Concentrațiile totale de proteine sunt
1PrTot =
210−
M ,
2PrTot =
210−
M . Valorile rămân aceleași în toate calculele. (Mathematical
Modeling of Biological Systems, Vol.I)
Parametrii care țin de asocierea de
2Ca+ , disocierea și inhibarea legării
2Ca+ de proteine
au fost aleși astfel încât maximul de legare a curbelor (Figura 22) să fie suficient separată. În
general, când condițiile de echilibru nu sunt îndeplinite, activarea proteinelor este calculată de
ecuații diferențiale. Dacă luăm pulsurile
2Ca+ în formă pătrată, unde concentrațiile de
2Ca+ sunt
constante, concentrațiile proteinelor pot fi calculate după cum urmează :
2
,2 2 ,2 2 , 2 , 2PrPr Pr Pr Prx
x x x x x x
on off on l off l ld ot Cak ot Ca k ot Ca k ot Ca Ca k ot Ca Cadt= − − +
(4)
2
, 2 , 2PrPr Prx
xx l
on l off l ld ot Cak ot Ca k ot Cadt= −
(5)
2
, 2 , 2PrPr Prxx
x x x x l
on l off l ld ot Ca Cak ot Ca Ca k ot Ca Cadt= −
(6)
1
,1 1 ,1 1PrPr Pry
yy
on offd ot Cak ot Ca k ot Cadt= −
(7) (Andreas Deutsch et all., 2007).
Semnalul de spargere este caracterizat de baza
0h , înălțimea vârfurilor de sus și de jos
1h ,
2h
, de durata intervalelor și de numărul de concentrații minime care au loc între două vârfuri
(înalte) maxim n.
Figura.23: Oscilațiile de rupere a calciului folosite în toate calculele:
00hM= ,
11.0hM=
,
20.2 ,hM=
1,,rT t n sunt variabile. (Mathematical Modeling of Biological
Systems ,Vol.I)
După rezultatele experimentale, numărul de concentrații maxime/spargere =1, iar
perioada refractară dintre principalele modele este luată în considerare.
Frecvența oscilațiilor (
1f ) de vârf este definită de valoarea reciprocă a perioadei
1T .
1
11fT=
.
Pentru oscilații de vârf, cu o frecvență medie,
2f* este definită, prin numărare de vârfuri
mici pe perioada de:
2
1nfT=
(Andreas Deutsch et all., 2007).
Informații referitoare la calculele din carte: ( Andreas Deutsch et all., 2007)
Calculele aproximărilor echilibrului au fost executate cu MSExcel. Ecuațiile diferențiale
au fost rezolvate numeric utilizând softul Madonna, (Universitatea Berkeley,CA) prin metoda de
intergare Rosenbrock.
Semnale diferite ale spargerilor, cu valori diferite sunt aplicate celor două proteine din
modelul de mai sus. Aproximarea echilibrului rapid este utilizată pentru primele serii de
stimulări, iar în a doua serie sunt utilizate ecuații diferențiale.
Legarea celor două clase de curbe de proteine indică faptul că o reglare selectivă a
proteinelor 1 și 2 este posibilă. Activarea singulară a proteinei 1 poate fi ob ținută printr -un
semnal cu o amplitudine corespunzătoare în care proteina 2 este deja inhibitor.
Figura 24. Activarea
1Prot (linia plină) și a
2Prot (linia punctată) vs. frecvența
12ff= .
Este folosită ruperea semnalului de calciu când
1n= . Frecvențele
1f și
2f sunt variabile,
influențate de durata diferențială a perioadei refractare
rt . Acest grafic reprezintă activarea
proteinelor
1Prot ,respectiv
2Prot , de oscilațiile simple cu amplitudinea de
0.7 M ,vs frecvența.
Pentru toate calculele se folosesc aproximații. Parametrii de valori sunt cei din figura 22.
(Mathematical Modeling of Biological Systems ,Vol.I)
Cum nivelul de
2Ca+ din citosol este limitat cu aproximativ 1
M , alegem această
valoare pentru amplitudinea celor de vârf,
1h . Pe de altă parte, doar proteina 2 are o activitate
substanțială la
20.2hM= . Într -un semnal oscilant, nivelul acestei activări poate fi reglat prin
schimbarea frecvenței constituienților corespunzători ai oscilațiilor. De exemplu, o proteină
poate fi activată gradual în timp ce alte proteine rămân aproape inactivă dacă doar o singură
frecvență din cele două este sporită, mentinând -o pe cealaltă constantă și mică. O activare
graduală a proteinei 1, în timp ce proteina 2 rămâne într -un stadiu inactiv, poate fi obținută prin
sporirea frecvenței
1f , (scurtarea perioad ei
1T ) și având n=0, așadar menținând
2f* constantă. O
reglare independentă a proteinei 2 este obținută prin oscilații ale ruperilor asupra sporirii
numarului de valori minime, n, la o perioadă constantă
1T , reducând din ce în ce mai mult
timpul refractar
rt . O asemenea variație, care a fost observată experimental, implică o variație a
mediei frecvențelor la valori minime
2f* , în timp ce frecvența
1f este menținută constantă.
Pentru a investiga dacă un semnal poate activa gradul ambele proteine, s -a analizat un model de
rupere cu
1n= și s-a scurtat perioada refractară
rt . Astfel, ambele frecvențe
1f și
2f* (care sunt
egale în acest caz) sunt sporite concomitant. Se obține astfel o activare simultană a ambelor
protein. (Andreas Deutsch et all.,2007).
Pentru a compara eficiența reglării oscilațiilor din figura 24, activarea lor printr -o sporire
a frecvențelor este pusă în practică. Amplitudinea oscilațiilor pilonilor simpli a fost setată la
0.7 M
, care corespunde punctului de intersecție ale celor două curbe legate din fig 2.2 . Să
reținem că nivelul mediu de
2Ca+ este mai mare decât în cel al ruperilor. O activare simultană a
ambelor proteine este obținută mai efficient pri n rupere decât printr -o simplă oscilație. Aceasta
se intelege, de vreme ce valorile minime și maxime dintr -un model de rupere corespund activării
maxime ale proteinelor 1 și 2. În mod contrar, concentrațiile oscilații simple de
0.7 M nu pot
coincide simultan. O reglare simultană și selectivă de jos în sus a celor două proteine poate fi
obținută prin sporirea numărului de valori minime n, prelungind astfel durata
1T (
0rt= ). Astfel
frecvența
1f a valorilor înalte scade, în timp ce frecvența
2f* crește activând proteina 2 și
dezactivând în mod simultan proteina 1 (figura 25). Mai mult decât atât, după cum deducem din
figura 25, relațiile dintre concentrațiile medii de proteine active și
sf și
2f* sunt liniare. Datele
experimentelor arată că pentru multe dintre proteinele legate de
2Ca+ , timpul de legare al
2Ca+
de proteine poate lua valori de la câteva
s la câteva secunde. În stadii de microsecunde cinetica
este atât de rapidă încât aproximările echilibrului pot fi justificate atât timp cât n u se află în
stadiu 2, depinzând de perioada oscilațiilor (Andreas Deutsch et all.,2007).
Figura 25. Reglarea
1Prot (linia continuă) și a
2Prot (linia punctată), prin modificarea
frecvențelor. Raportul
2
1fnf
= din vârfurile joase și înalte în semnal cu perioada variabilă de
timp
1T , fără timp refractar. Fiecare linie vizuală (valabilă pentru vizualizarea 3 D), corespunde
unei valori a lui n. Rezultatele au fost obținute prin integrarea numerică a ecuațiilor (4) -(7),
liniile groase; și aproximarea echilibrului, în cazul liniilor punctuate (subțiri). Pentru simularea
dinamică sunt utilizate următoarele constan te cinetice:
31
,13 10y
onk s M − − −= ,
1
,10.01764offks−=
,
1
,20.6x
onk s M −−= ,
1
,20.0375offks−= ,
1
,0.4x
on lk s M −−= ,
31
,8.8 10off lks−−= .(Mathematical
Modeling of Biological Systems ,Vol.I)
Se ia în calcul cazul în care constantele de legare și disociere nu sunt suficient de mari
pentru a justifica această aproximare. În acest caz, ar trebui utilizate ecuații diferențiale, astfel,
timpul activității proteinei se află la un nivel constant. Aceasta se datorează unei di namici
scăzute a legărilor și disocierilor în ecuațiile diferențiale. Pentru a vedea efectul dinamicii,
curbele proteinelor abținute prin ambele metode de calcul sunt comparate în figura 25.
Proteina 2 este activată mult mai eficient de către o cinetică s căzută decât ar fi de una
rapidă, care ar putea fi simulată de aproximarea echilibrului rapid. (Andreas Deutsch et all.,
2007).
Discuție:
O metodă matematică pentru decodarea oscilațiilor regulate de
2Ca+ a fost propusă,
bazată pe legarea
2Ca+ citosolic de două proteine distincte, legate cooperant de
2Ca+ la locuri
activatoare cu constante și număr de ioni
2Ca+ legați. Extinzând lucrarea lu i Larsen și Kummer,
includem presupunerea că una dintre cele două proteine pot lega în mod cooperant
2Ca+ la locuri
inhibitoare. O reglare biofizică a activării proteinelor la nivele scăzute de
2Ca+ și inhibarea la
nivel înalt este cunoscută pentru receptorul
3IP în membrane reticulară endoplasmatică.
Activitatea sa are formă de clopot și este similară celui din fig 2.2. Receptorul
3IP este compus
din patru subunități, fiecare conținând o legare activatoare și una inhibatoare pentru
2Ca+ . Deși
nu funcționează ca un decodor al oscilațiilor de
2Ca+ , modelul nostru este inspirat de
proprietățile receptorului
3IP la o legare
2Ca+ activatoare și inhibitoare. Shen a arătat pentru
factorul endem (EF)
2Ca+ / calmodulin o dependență
2Ca+ sub formă de clopot unde inhibarea
EF este datorată interferenței directe ale
2Ca+ la locul de legare metal catalitic. Ambele efecte au
loc la concentrații fiziologice ale
2Ca+ . Dat fiind faptul că doi ioni
2Ca+ sunt suficienți pentru a
activa EF prin calmodulină, EF este activat înainte ca activ area maximului sa să fie obținută de
celulele endogene a căror țintă este calmodulina. O activare reciprocă și inhibare a două enzime
țintă de
2Ca+ dependent de calmodulină a fost demonstrată de Cho și Lee. (Andreas Deutsch et
all., 2 007).
Sinteza enzimelor nitric oxide și kinoza NAD au fost activate diferențiat de către doi
izoformi calmodulină, de soia,
1 SCaM− și
4 SCaM− . Plantele conțin câțiva izoformi
CaM , iar
unii dintre ei au diferite abilități de a activa enzimele țintă. În timp ce NOS neuronal (nNOS) este
puternic activat de către
4 SCaM− , activarea sa de către
1 SCaM− este slabă.
O inhibare competitivă a
4 SCaM− care activează NOS a fost observată prin creșterea
concentreției izoformului cu activare mai ușoară,
1 SCaM− . (Andreas Deutsch et all., 2007).
În contrast cu schema de activare a nNOS kinoza NAD de plante este activată de
1 SCaM−
, însă nu de izoforma de soia divergentă CaM ,
4 SCaM− . Mai mult decât atât, Lee
indică faptul că
4 SCaM− acțione ză ca un antagonist competitiv al kinazei NAD și inhibă
competitiv CaN. Deși aceste experimente au fost conduse cu NOS neuronal, atât sinteza nitric
oxidă din plante cât și cea neuronală este activată de
2Ca+ dependent de CaM. Weissma nn arată
că 4 ioni de calciu trebuiesc legați de CaM pentru a activa NOS neuronal. Activarea enzimelor
NOS specifice plantelor de către
1 SCaM− și
4 SCaM− nu a fost încă studiată.
Sinteza nitric oxidă catalizează produ cția de oxid nitric (ON), un important mesager
secundar. La plante, infecția patogenă induce o activare a NOS de către
2Ca+ , rezultând în
genele de apărare mediate de ON și o moarte a celulelor programată. Creșterile de
2Ca+ citosolic
sunt evenimente recente în celulele patogene. Kinoza NAD catalizează fosforilarea NAD la
NADP, care ar putea contribui în m od indirect la producerea de specii reactive de oxygen (SRO),
implicate în răspunsul bolilor plantelor, mediate de
2Ca+ . În timp ce expresia unor gene legate
de apărare poate fi mediată doar de ON, inducția morții celulelor gazdă cere o acțiune sinergetică
a ambelor ON și SRO. Rezultatele susțin un model pentru rolul specific al izoformului CaM
activat de
2Ca+ în răspunsul de apărare al plantei împotriva patogenilor, în care câțiva izoformi
CaM mediază creșterile de SRO, în timp ce alți izoformi CaM activează gena de apărare.
Elaborând rezultatele lui Larsen si Kummer, se aduc probe teoretice că oscilațiile de
2Ca+ pot
funcționa ca transmițători simultani de două semnale, fapt care permite reg larea diferențiată a
două proteine și a două procese celulare. Am vazut că activarea selectivă a proteinelor poate fi
obținută prin adjustarea a două frecvențe inerente,care sunt conectate de apariția relativă de
concentrații maxime si minime. Aceste frecv ențe pot fi reglate independent sau în mod corelat,
depinde de cum numărul de concentrații minime și/sau durată sunt modificate. Cele două
proteine pot fi chiar reglate în moduri opuse. (Andreas Deutsch et all.,2007).
Codarea frecvenței este considerată a fi mult mai rezistentă la zgomot decât codarea
amplitudinii. În cazul spargerii, nu poate fi facută nici o diferență exactă între codarea frecvenței
și a amplitudinii. O schimbare a ratei frecvenței concentrațiilor maxime și minime poate fi, de
asemenea, p rivită ca o modificare a amplitudinii.
În concluzie, rezultatul cheie al acestui studiu este că reglarea selectivă a diferitelor
procese celulare este posibilă prin spargerea semnalelor
2Ca+ . Aceasta susține conceptul de
semnalizare “ papion”. Recent, o altă posibilitate de reglare selectivă a proceselor celulare de
către semnalele
2Ca+ a fost demonstrată prin cascade proteice ale frecvențelor oscilațiilor
limitate ca durată: o activare în formă de clopot și separ ator a două proteine legate de
2Ca+ cu
viteze diferite de legare și disociere, este posibilă aplicând diferite frecvențe ale semnalului de
calciu, modelat de ecuații diferențiale. Esențial pentru acest fenomen este numărul limitat de
piloni de calciu (Andreas Deutsch et all., 2007).
Refăcând calculele și schimbând notațiile de la figura 1, pentru o modelare în sens de
exemplificare pentru elevi, obținem următoarele rezultate:
Notații:
()2Prx ot Ca f x= și
()1Pry ot Ca g x= . Funcțiile au următoarele formule:
()()
()2
2
20.01
0.0625 10.022x
fx
xx
= + +
și
()()
()4
40.01
5.88x
gx
x
=
+ cu valorile indici corespunzători
fiecărei funcții în parte. Pentru funcția
()fx avem valorile indici: 0.01 ,0.0625,0.022; iar pentru
funcția
()gx avem valorile indici: 0.01 și 5.88. Atunci când aceste valori indici sunt modificate,
se obțin grafice asemănătoare, cu modificări valorice.
Pentru a descrie mai detaliat modelul din figura 1, am refăcut calculele inițiale pentru a
evidenția mai clar valo rile obținute. Acestea sunt detaliate în rândurile ce urmează.
Pentru funcția
()gx avem următoarele valori calculate:
()1 1 100x g x= =
()()
()44
5
2 2 2 40.01 0.2 0.16 100.2 0.27 105.8816 5.88 0.2x g x−
− = = = =
+
()()
()43
4
3 3 3 40.01 0.4 0.256 100.4 0.4 105.9056 5.88 0.4x g x−
− = = = =
+
()()
()42
3
4 4 4 40.01 0.6 0.1296 100.6 0.2 106.0096 5.88 0.6x g x−
− = = = =
+
()()
()42
3
5 5 5 40.01 0.8 0.4096 100.8 0.6 106.2896 5.88 0.8x g x−
− = = = =
+
()()
()4
3
6 6 6 40.01 1.0
1.0 1.4 10
5.88 1.0x g x−
= = =
+.
Pentru funcția
()fx avem următoarele valori calculate:
()1 1 10.0 0x f x= =
()()
( )23
23
2 2 22
20.01 0.2 0.4 100.2 0.138 10 1.38 100.1025 2.8181 0.20.0625 0.2 10.022x f x−
−− = = = = = + +
()()
( )22
3 3 32
20.01 0.4 0.16 100.4 8.690.2225 8.2727 0.40.0625 0.4 10.022x f x− = = = = + +
()()
( )22
3
4 4 42
20.01 0.6 0.36 100.6 0.4 107.33613 0.60.0625 0.6 10.022x f x−
− = = = = + +
()()
( )222
3
5 5 52
20.01 0.8 0.64 10 0.64 100.8 0.30 100.7025 30.0909 21.1388 0.80.0625 0.8 10.022x f x−−
− = = = = = + +
()()
( )( )2
3
6 6 62
20.01 1.0 0.01 0.011.0 0.202 101.0625 1 45.4545 49.357 1.00.0625 1.0 10.022x f x−
= = = = = + + +
Cu valorile modificate ale indicilor precizați, respectiv :
22
1 1 2 26.88,Pr 0.1,Pr 0.1, 7.25 10 , 3.2 10T T l k ot ot k k−−= = = = =
vor rezulta calcule
diferite, dar grafice asemănătoare.
Pentru funcția
()gx avem următoarele:
()1 1 100x g x= =
()()
()43
4
2 2 2 40.1 0.2 0.16 100.2 0.23 106.8816 6.88 0.2x g x−
− = = = =
+
()()
()42
3
3 3 3 40.1 0.4 0.256 100.4 0.37 106.9056 6.88 0.4x g x−
− = = =
+
()()
()4
2
4 4 4 40.1 0.6 0.012960.6 0.184 107.0096 6.88 0.6x g x−
= = = =
+
()()
()4
2
5 5 5 40.1 0.8 0.040960.8 0.56 107.2896 6.88 0.8x g x−
= = = =
+
()()
()4
1
6 6 6 40.1 1 0.11.0 0.126 107.88 6.88 1x g x−
= = = =
+
În această situație, ne rezultă următoarele puncte pe graficul funcției:
()( )( )( )( )( )4 4 4 4 40,0 ; 0.2;0.23 10 ; 0.4;3.7 10 ; 0.6;18.4 10 ; 0.8; 56 10 ; 1.0;126 10 A B C D E F− − − − −
Figura 26 :
()gx ,
22
1 1 2 26.88,Pr 0.1,Pr 0.1, 7.25 10 , 3.2 10T T l k ot ot k k−−= = = = =
cu precizarea că pe axa Oy valorile funcției se înmulțesc cu
410− .
În cazul funcției
()fx avem următoarele calcule:
()1 1 10.0 0x f x= =
()()
( )22
2 2 2 2
20.1 0.2 0.4 100.2 0.015804030.253125 0.20.0725 0.2 10.032x f x− = = = =+ +
()()
( )21
3 3 3 2
20.1 0.4 0.16 100.4 0.0114695341.395 0.40.0725 0.4 10.032x f x− = = = =+ +
()()
( )21
4 4 4 2
20.1 0.6 0.36 100.6 0.0067945.298125 0.60.0725 0.6 10.032x f x− = = = =+ +
()()
( )21
5 5 5 2
20.1 0.8 0.64 100.8 0.004277360114.9625 0.80.0725 0.8 10.032x f x− = = = =+ +
()()
( )2
6 6 6 2
20.1 1.0 0.11.0 0.00289134.588 1.00.0725 1.0 10.032x f x
= = = =+ +
.
În acest caz avem următoarele puncte în sistemul de coordonate:
()()()()( )( ) 0;0 , 0.2;0.0158 , 0.4;0.0114 , 0.6;0.0067 , 0.8 ;0.00427 , 1.0;0.002891 A B C D E F
.
Figura 27:
()fx ,
22
1 1 2 26.88,Pr 0.1,Pr 0.1, 7.25 10 , 3.2 10T T l k ot ot k k−−= = = = = .
Cele două grafice, pentru funcțiile
()gx și
()fx arată ca în diagrama figurii 28:
Figura 28 : Graficele funcțiilor
()fx și
()gx , cu valorile mai sus menționate .
Pentru graficele din figura 24 am găsit următoarele funcții simulatoare:
()10
7h x x= ,
(valoarea indicelui), pentru liniile inferioare, și
()2.75 n x x= și
()3.0 m x x= (valoarea
indicelui) pentru liniile superioare.
În condițiile în care nu am efectuat modificări în cadrul formulei funcției
()hx , aceasta
trasează un grafic aferent figurii 29.
()1 1 100x h x= =
()
()
()
()
()
()
()2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 8100.02 0.02 0.028577
100.04 0.04 0.057147
100.06 0.06 0.0857147
100.08 0.08 0.1142857
100.10 0.10 0.1428577
100.12 0.12 0.1714287
100.14 0.147x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = =
= = = 0.20
Avem următoarele puncte pe grafic:
()
()
()
()
()
()
()
()0,0 ;
2, 2.85 ;
4,5.714 ;
6,8.57 ;
8,11.42 ;
10,14.28 ;
12,17.142 ;
14, 20A
B
C
D
E
F
G
H , cu precizarea că toate valorile
funcției (respectiv valorile lui y) și ale lui x sunt înmulțite cu
210− .
Figura 29 : pentru
()10
7h x x= .
Cu o creștere relativ mică, în cadrul valorii indice a funcției,
()1025ah x x x= = , se
obține un grafic cu o pantă modificată, ca cel din figura 30.
()
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 80 0;
0.02 0.04;
0.04 0.08;
0.06 0.12;
0.08 0.16;
0.10 0.20;
0.12 0.24;
0.14 0.28.a
a
a
a
a
a
a
ax h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
, rezultând punctele:
()
()
()
()
()
()
()
()0.0 ;
2, 4 ;
4,8 ;
6,12 ;
8,16 ;
10, 20 ;
12, 24 ;
14, 28 .A
K
L
M
N
O
P
Q , unde toate valorile funcției
și ale lui x sunt înmulțite cu
210− .
Figura 30 : pentru funcția
()hx (albastru) și
()ahx (vernil) cu valorile mai sus precizate .
Dacă scădem valoarea indicelui se obțin următoarele valori aferente graficului 31.
În acest caz, noua noastră funcție va fi:
()101.258bh x x x= = .
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 80 0;
0.02 0.025;
0.04 0.050;
0.06 0.075;
0.08 0.100;
0.10 0.125;
0.12 ( ) 0.150;
0.14 0.175.b
b
b
b
b
b
b
bx h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x
x h x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= = , rezultând următoarele puncte în plan:
()
()
()
()
()
()
()
()10,0 ;
2,2.5 ;
4,5 ;
6,7.5 ;
8,10 ;
10,12.5 ;
12,15 ;
14,17.5 .A
S
T
U
V
W
Z
A ,
unde toate valorile funcției și ale lui x sunt înmulțite cu
210− .
Figura 31 : pentru funcțiile :
()hx (albastru),
()ahx (vernil) și
()bhx (verde închis).
Pentru liniile superioare ale graficului inițial, avem următoarea funcție matematică
dedusă:
()2.75 n x x= , cu valoare indice egală cu 2.75, cu
0;0.14x .
()
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 80 0;
0.02 0.055;
0.04 0.110;
0.06 0.165;
0.08 0.220;
0.10 0.275;
0.12 0.330;
0.14 0.385.x n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
, rezultând următoarele puncte pe grafic:
()
()
()
()
()
()
()
()1
1
1
1
1
1
10,0 ;
2,5.5 ;
4,11 ;
6,16.5 ;
8,22 ;
10,27.5 ;
12,33 ;
14,38.5 .A
C
D
E
F
G
H
I .
Și în acest caz, valoarea ordonatei (y) se înmulțește cu
210− .
Figura 32 : pentru funcția
()nx , (roșu), cu valorile anterior calculate .
Dacă, am modifica valoarea indice, fie crescându -o, fie scăzând -o, am obține grafice
asemănătoare cu cel inițial, doar că panta dreptei care îl generează va fi diferită. Precizez că
funcțiile generatoare sunt funcții liniare, de gradul I, crescă toare.
Pentru o creștere a valorilor, obținem funcția
()2.85an x x= , cu
0,0.14x , și
următoarele rezultate:
()
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 80 0;
0.02 0.057;
0.04 0.114;
0.06 0.171;
0.08 0.228;
0.10 0.285;
0.12 0.342;
0.14 0.399.a
a
a
a
a
a
a
ax n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =, cu următoarele puncte pe grafic:
()
()
()
()
()
()
()
()1
1
1
1
1
1
10,0 ;
2,5.7 ;
4,11.4 ;
6,17.1 ;
8,22.8 ;
10,28.5 ;
12,34.2 ;
14,39.9 .A
L
M
N
O
P
Q
R , unde
valoarea ordonatei și a lui x se va inmulți cu
210− .
Figura 33 : pentru funcția
()anx ,(mov), cu valorile anterioare.
Pentru o scădere a valorilor, obținem funcția
()2.65bn x x= , cu
0,0.14x , și
următoarele rezultate:
()
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 80 0;
0.02 0.053;
0.04 0.106;
0.06 0.159;
0.08 0.212;
0.10 0.265;
0.12 0.318;
0.14 0.371.b
b
b
b
b
b
b
bx n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x
x n x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
, cu următoarele puncte:
()
()
()
()
()
()
()
()1
1
1
1
1
1
10,0 ;
2,5.3 ;
4,10.6 ;
6,15.9 ;
8,21.2 ;
10,26.5 ;
12,31.8 ;
14,37.1 .A
S
T
U
V
W
Z
X , cu
210y− .
Figura 34 : pentru funcția
()bnx , (bleu), cu valorile anterior calculate .
Pentru linia punctată, superioară, din graficul 24 avem următoarele funcții deduse:
• funcția în care nu am modificat valoarea indicelui:
()3.0 m x x= , cu
0,0.14x
(Tabelul 1)
• funcția în care am crescut valoarea indicelui:
()3.2am x x= , cu
0,0.14x
(Tabel 2).
• funcția în care am scăzut valoarea indicelui:
()2.95bm x x= , cu
0,0.14x
(Tabel 3).
()
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 81
0 0;
0.02 0.060;
0.04 0.120;
0.06 0.180;
0.08 0.240;
0.10 0.300;
0.12 0.360;
0.14 0.420.TABEL
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
, cu următoarele puncte:
()
()
()
()
()
()
()
()2
2
2
2
2
2
20,0 ,
2,6 ,
4,12 ,
6,18 ,
8,24 ,
10,30 ,
12,36 ,
14,42 .A
C
D
E
F
G
H
I , cu
210y− și
210x−
.
Figura 35: graficul funcției m(x), ( galben ).
()
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 82
0 0;
0.02 0.064;
0.04 0.128;
0.06 0.192;
0.08 0.256;
0.10 0.320;
0.12 0.384;
0.14 0.448.a
a
a
a
a
a
a
aTABEL
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= = , cu următoarele puncte:
()
()
()
()
()
()
()
()2
2
2
2
2
2
20,0 ,
2,6.4 ,
4,12.8 ,
6,19.2 ,
8,25.6 ,
10,32 ,
12,38.4 ,
14,44.8 .A
K
L
M
N
O
P
Q , cu
210y− și
210x−
. (graficul este dreapta vernilă superioară celei galbene)
()
()
()
()
()
()
()
()1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
5 5 5
6 6 6
7 7 7
8 8 83
0 0;
0.02 0.059;
0.04 0.118;
0.06 0.177;
0.08 0.236;
0.10 0.295;
0.12 0.354;
0.14 0.413.b
b
b
b
b
b
b
bTABEL
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x
x m x= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
= =
, cu următoarele puncte:
()
()
()
()
()
()
()
()2
2
2
2
2
2
20;0 ,
2;5.9 ,
4;11.8 ,
6;17.7 ,
8;23.6 ,
10;29.5 ,
12;35.4 ,
14;41.3 .A
R
T
U
V
W
Z
Y , cu
210y− și
210x−
.(graficul este dreapta vișinie).
Figura 36: Reprezentarea grafică a funcțiilor
()amx și
()bmx .
Concluzii referitoare la studiu :
În concluzie, ionul de calciu are o influență deosebită asupra multor procese din
organismul uman, iar acest studiu matematic demonstrează că reglarea selectivă a diverselor
procese celulare se poate realiza prin spargerea semnalelor de calciu. Aceasta sus ține conceptul
de semnalizare „papion”, însă diverse studii cu privire la influența ionului
2Ca+ în reglarea
selectivă a activității proteice poate fi demonstrată și prin alte metode. Modificând aceste calcule
și făcând o analiză cât mai exactă, deducem că atunci când rezervele de calciu din celulă sunt
epuizate, sau este un surplus de calciu, sunt i nduse și deficiențe ale reglării proteice.
Concluzii…..
I.V. Aspecte metodice.
4.1 Importanța aplicațiilor matematice și a problemelor practice în modelarea unor
fenomene în viața reală.
Competiția continuă, precum și ritmul alert al vieții ne impune o gândire rapidă, analitică,
și cât mai exactă, care să se plieze pe nevoile actuale. Tot ceea ce înseamnă gândire precisă,
înseamnă matematizarea psihicului, și aducerea acestuia la o formă în care să îmbinăm partea
practică a lucrurilor cu partea teoretică și cu funcționalitatea. Nevoia continuă de dezvoltare, de
îmbinare a necesarului cu logicul, s -a cristalizat ca știință deschisă, cu un progres uimitor,
devenind ,,matematica practică”. Aceasta servește nevoilor curente ale omului, deoarece are o
vastă deschidere, în orice sector de activitate, atât în sensul aplicării principiilor sale, cât și ca
valorificare a laturii abstracte în partea de modelare. Ștefan Bârsănescu afirma: ,,Intrarea în țara
cunoașterii se face pe podul matematicii”, ceea ce denotă faptul că unul dintre scopurile
matematicii este de a pune întrebări, și de a căuta mereu răspunsuri adecvate situației. Una dintre
caracteristicele importante ale acestui domeniu este învățarea continuă, îmbinată cu voința,
spiritul de investigație , tenacitatea, gândirea logică cu tendință de abstractizare, capacitatea de
sinteză și inventivitatea, cu modelarea intuitivă. Judecata matematică, spre deosebire de celelalte,
are o parte independentă, care se construiește individual, prin lucru continuu, rezolvare de
probleme, problematizarea situațiilor nou apărute și analiză în profunzime, dar, și o latură care
necesită suport din partea profesorului, pentru canalizarea într -o direcție corectă, spre un
raționament optim, și o motivație puternică spre de scoperire.
Responsabilitatea cadrului didactic crește, proporțional cu nevoia copilului de adaptare,
de responsabilizare, dar și de stimularea continuă și sistematică a gândirii, pentru a -l determina
să facă un efort susținut și gradat, în scopul cunoașter ii. Atât timp cât vom învăța elevii să
privească partea pozitivă, să se bucure de pașii mici ai succesului, și să aibă o atitudine pozitivă
față de matematică, înțelegând că are un aport necesar în analiza unui proces, sau în viața reală
prin tot ceea ce i mplică calcule și determinări de soluții, vom avea cultivată dragostea față de
această disciplină. Participarea activă și conștientă a elevului în activitățile matematice, cu o
canalizare corectă spre problematizare și algoritmizare a conceptelor, îi poate îndrepta spre o
învățare corectă și de durată.
Curiozitatea nativă a fiecărui copil are tendințe matematice: cât am crescut?, sunt mai
mare decât…?, ce vârstă ai?, cu câți ani este mai mare colegul…?, cât mai avem pâna la…?, cât
costă?, etc., ceea c e înseamnă că, undeva pe parcursul educativ, aceste lucruri se ramifică în alte
paradoxuri, și potențiale înclinații. Capacitatea lor de a îmbina aceste tendințe, cu alte cunoștințe,
precum și cu latura cognitivă a fiecărui individ, poate să facă din aceșt ia adevărați viitori
matematicieni, sau specialiști în alte domenii care nu au legătură cu matematica, dar care impune
rigurozitate, ambiție și o inteligență peste medie.
,,La orice nivel de educație, matematica trebuie privită în totalitatea ei, cu cele d ouă laturi
ale sale, care se întrepătrund și se potențează reciproc: latura formală (științifică) – ce cuprinde
întregul aparat abstract (teoreme, leme, axiome, formule matematice, algoritmi), și latura
nonformală (culturală, spirituală) – care se referă l a spectele istorice, filosofice, la funcția de
modelare, cunoaștere și înțelegere a diferitelor fenomene reale, precum și la rolul important pe
care îl are aceasta în viața reală”. (Croitoru – latura nonformală a matematicii)
Raportat la beneficiile matemat icii, atunci distingem, după unii autori (D. Brînzei, R
Brînzei, Boncu, Bălan), două planuri: psiho -motor și afectiv -cognitiv.
În plan psiho -motor, se axează pe logica gândirii, acuratețe, capacitate de analiză și
sinteză, rigoarea demonstrațiilor și perfe ctarea tehnicii argumentării, formează deprinderi de
rezolvare de probleme, de optimizare a unui model sau calcul, de a pune întrebări și de a găsi
cele mai rapide și corecte soluții, crește puterea de concentrare și de memorare, amplifică dorința
pentru f rumos.
În plan afectiv -cognitiv, aceasta favorizează o înțelegere a lumii în care trăim prin
modelarea unor fenomene reale, din celelalte științe: fizică, chimie, biologie, economie,
construcții, arhitectura, astronomie, medicină, ș.a., intensifică capacit ăți intelectuale care ne ajută
la o mai bună înțelegere a vieții, cultivă unele trăsături fundamentale de personalitate, mărește
,,forța” de autoinstruire și autocritică, seriozitatea, demnitatea, înclinația spre cercetarea
științifică. (Croitoru)
A preda matematică înclinând balanța doar în latura formală, este la fel de greșit pe cât
am explica unui om nevoia de a face ceva, fără a cunoaște scopul final, sau motivul acțiunii. La
fel cum nu putem să ne axăm pe partea afectivă, fără informații solide privit oare la elementele
științifice, nu putem crea ceva, fără a ști cum să facem acest lucru, sau care sunt mijloacele.
Implicit cele două laturi sunt interpuse și acționează cu susținere reciprocă.
Privind în istorie, pe latura de legende, povestiri și biograf ii, găsim lucruri atât
interesante, cât și stimulative pentru înțelegerea unei părți mai puțin cunoscute despre
matematică. Ceea ce trebuie să înțeleagă cei care învață acestă minunată disciplină este că, ea
este unică, fascinantă, dar mereu a fost dezvolt ată de oameni cu pasiune pentru aceasta, ceea ce a
implicat studiu continuu, serios, bine organizat, și făcut cu responsabilitatea puterii cuvântului.
Mereu se caută căi de interrelaționare a ei cu celelalte materii, pentru a găsi partea practică în
orice se descoperă nou, motiv pentru care interdisciplinaritatea matematicii este mult mai
importantă decât unicitatea domeniului de studiu. Unii dintre cei care au contribuții semnificative
sunt adevărate genii ale timpului, pătrunzând în istorie cu teorii care nici acum nu s -au putut
demonstra, dar, sunt și cazuri de simpli anonimi, care au avut un aport important, și care s -au
pierdut în timp, fără a fi stipulat undeva numele lor.
Conferențiar doctor, Anca Croitoru, vorbește despre câteva legende în articolul : ,,Latura
nonformală a matematicii”, unde sunt specificați unii dintre erudiții timpului. Astfel, Hippasos
din Metapont, unul dintre filosofii școlii pitagoreice, în secolul 5, î.H., este cel care se spune că
ar fi fost omorât deoarece ar fi descoperit nu merele iraționale, un secret bine ascuns de către
pitagoreici. De asemenea, prima femeie matematician, filosof și orator din istorie, ,,Hypatia
(Alexandria, 370 -415 d. H.), are merite și în descoperirea astrolabului (instrument folosit pentru
măsurarea poz iției aștilor și înălțimea lor deasupra orizontului), și a hidrometrului (instrument
arhaic pentru măsurarea unghiurilor), dar și descrierea conicelor ca secțiuni plane ale unuii con
dat”, reușind să se impună într -o lume a bărbaților la acea vreme, cu acc eptare și aprecierea unor
universități romane.
Din perspectiva psihologilor, se poartă discuții cu privire la exigențele față de
personalitatea umană, în sensul că se dorește situarea pe primul loc a gândirii creatoare, ceea ce
poate fi ușor formată și sti mulată de matematică. Este materia care, prin însăși esența ei – ,,de
știință a structurilor”, creatoare de ,,modele și limbaje științifice ale realității” – poate crea acest
tip de gândire prin metodele și modul de cercetare. N. Oprescu afirma: ,,Deci mat ematica
înseamnă gândire, gândire bine organizată, în ultima perioadă extinsă, prelungită cu ajutorul
calculatoarelor electronice”, lucru care denotă faptul că ea se învață pentru a ști să folosim, nu
pentru a ști doar la nivel teoretic. Din nefericire, ul tima perioadă marchează o scădere continuă a
interesului pentru matematică, și pentru toată această aplicabilitate a ei, neglijarea studiului
elevilor vine cu încurajarea părinților prin simplul fapt că pare un drum lung și anevoios din
perioada școlarităț ii, iar tot ceea ce este lipsit de matematică, pare facil.
În anii 1970, Mircea Malița și Cornel Zidăroiu s -au ocupat de organizarea optimală a
sistemului educațional, arătând că: ,,instrumentul principal al pedagogiei sistemelor, sau al
macropedagogiei, l imbajul ei de lucru este acela al teoriei sistemelor, al modelelor matematice
sau economice. Utilizarea acestui instrument scoate de sub imperiul speculației verbale și al
intuiției chestiuni delicate care comportă utilizarea unor mari resurse umane și ori entarea
destinelor a milioane de oameni. Existența unui model permite organizatorului ca la orice
moment să poată avea variantele posibile în legătură cu adoptarea unei decizii, ca și modificările
implicate în întreg sistemul de modificarea unuia sau altui a din parametrii săi.”
În lucrarea: ,,Modele matematice ale sistemului educațional”, autorii prezintă modele
matematice pentru organizarea învățământului, acest lucru fiind exemplificat în prefață, de către
profesorul Miron Constantinescu: ,,modelele prezentate se ocupă de rezolvarea unor probleme
importante, cum ar fi, de exemplu: calculul și prognoza efectivelor școlare și a resurselor,
determinarea necesarului de cadre didactice sau optimizarea dezvoltării învățământului. În
rezolvarea a cestor probleme, aparatul matematicutizat este variat, incluzând ecuații recursive,
modele de programare matematică și teoria lanțurilor Markov.” (Malița și Zidăroiu, 1972).
Acesta este unul dinte puținele exemple în care matematica are un rol de ,,furnizo r” de
instrumente statistice, modele de organizare și planificări optimale ale sistemului de învățământ.
,,Aceasta permite folosirea metodelor matematice ale teoriei informației pentru studiul fazei de
transmitere a informației, teoria algoritmilor și logi ca matematică pentru etapa de prelucrare a
informației și metodele de optimizare pentru analiza luării deciziilor optime pe baza rezultatelor
prelucrării informațiilor.” (Malița și Zidăroiu, 1972).
Pentru a avea o imagine de ansamblu, raportat la aplicarea matematicii în celelalte
domenii, sub formă de modele, trebuie să avem în vedere evoluția interdisciplinarității, sau
evoluția părții practice ale ei. Spre sfârșitul secolului al -XIX-lea, a început procesul prin care se
exploatează relația în care mașinil e ajută oamenii, conform unor competențe riguros definite,
astfel, folosind timpul și toate celelalte resurse procedurale la cote maxime. Spre deosebire de
școala modernă, cea clasică are meritul de a începe acest anevoios proces de abordare științifică
din mai multe puncte de vedere, ceea ce face practic interdisciplinaritatea, și de a căuta punți de
legătură între discipline, chiar dacă acestea s -au perfectat în școala modernă, actuală, ele au
căpătat idei în cea ,,veche”, doar că nu erau explicate cu ace st sens. În educația tradițională, ceea
ce este acum explicat ca interdisciplinar, atunci era considerat practic, se învăța pentru a se
aplica, pentru a fi util în calculul a…, pentru a fi folosit la mașinăria…, pentru a se utiliza în
fabrică, etc., ac um acestea capătă numele de: modele științifice ce prelucrează informația
teoretică. În deceniul al șaselea, ca o reacție împotriva excesului de teoretizare, s -a dezvoltat
școala neoclasică, care are ca drept obiectiv reîntoarcerea la practică, văzând că d oar partea
teoretică nu ajută în sedimentarea cunoștințelor elevilor. Datorită complexității altor materii, se
stabilesc adesea circuite informaționale paralele și redunante, care în afara fluxurilor formale, se
dezvoltă și cele nonformale și informale, cu caracter local sau global.
Există discipline care nu pot fi studiate individual, fără cunoștințe interdisciplinare, cum
ar fi astronomia. În studiul ei sunt necesare noțiuni din matematică, fizică, chimie și chiar
geografie. De asemenea, matematica poate fi privită și din latură transdisciplinară, cu valorificare
în numeroase domenii, doar că toate acestea vin să întărească susținerea că, practic, orice din
realitate poate fi explicat, sau i se poate construi un model matematic, acesta din urmă putând
supo rta modificări și optimizări, care tind spre limita perfecțiunii. Poate ca cei care cred ca viața
însăși, fară modificări, este perfectă, au dreptate gândindu -se că limita superioară a matematizării
este însuși perfecțiunea.
4.2. Rolul import ant al matematicii în dezvoltarea gândirii logice, în marile
descoperiri și în creșterea calității vieții
Pe parcursul a mii de ani, omenirea a încercat să descopere regulile și modelele lumii, să
determine relațiile complexe și calitățile obiectelor, să ajungă, practic, la o singură știință care să
le cuprindă pe toate, și să poată explica lumea în care trăiește. Așa s -a născut matematica, unde
găsim o traiectorie perfectă a lucrurilor, o ordine nemaiîntâlnită, într -un adevărat haos al
comp lexității infinte. Acest lucru este posibil, deoarece se folosesc descoperirile premergătorilor,
pentru relații noi, sau pentru îmbunătățirea permanentă a unor rezultate deja bine știute. Încă
înainte de a ști să citească, oamenii au învățat să numere, poa te datorită activităților zilnice, cum
ar fi păstoritul, sau lucrul în agricultură, era necesar să știe perioadele favorabile pentru culturi,
sau necesarul de hrană, sau numărul de capete de animale.(Croitoru, Papuc) ,,Conform miturilor,
primul număr cunos cut nu ar fi 1, ci 2 – el apărând odată cu prima diviziune socială a muncii între
bărbat și femeie, și exprima perechea (două mâini, doi ochi), sau elemente duale diferite: alb –
negru, cald -frig. Cele mai vechi documente scrise, descoperite, datând de acum a proximativ
5000 de ani, conțin cunoștințe și clasificări despre animale, plante, elemente de medicină,
astronomie și calcule geometrice.” (Croitoru) Necesitatea vieții a fost în concordanță cu evoluția
matematicii, la început au folosit elemente de aritmet ică – fiind utile în activitățile zilnice, apoi
au folosit elemente de geometrie – în construcții, elemente de astronomie – așa știau unele
fenomene meteorologice, sau cum va fi timpul pentru agricultură, ori caracteristici ale
anotimpurilor, și medicină – aveau nevoie de tratamente, erau epidemii, studiau continuu pentru
a-și păstra sănătatea. Unul dintre principalele motive pentru care a apărut această materie de
studiu, a fost nevoia de a explica și înțelege șabloanele după care se conduce natura. Pentru noi,
distanța dintre obiecte sau oameni, fără să analizăm cu riscuri și beneficii, nu este atât de
importantă, decât dacă ea are o acțiune sau un efect asupra noastră; dar în cazul altor viețuitoare,
distanța până la hrană sau până la prădător este vitală . Deci, aceste calcule sunt instinctive, doar
că percepția lor nu este similară.
Importanța deosebită se găsește în simplul fapt că este utilizată în numeroase domenii,
unele aparent fără nici o legătură cu matematica (spre exemplu medicina – unde o parte din
aparatura medicală, calculatoarele, baza statistică, etc., este fundamantată pe știinta matematică
în corelare cu alte discipline), sau în tehnologii unde are poate cea mai importantă influență. Nu
am avea automobile, calculatoare, telefoane, internet, televiziune, sau altele asemenea pentru
confortul zilnic, de la camere care încap într -un buzunar, la televizoare 3D, de la mașini electrice
la aeronave spațiale, ș.a.m.d., fără a exista baza după care s -au modelat. Privind în istorie, avem
câteva element e definitorii pentru dezvoltarea interdisciplinarității matematicii, cum ar fi:
,,Arhimede (aprox. 287 -212 î.H.) a construit un model mecanic al sistemului planetar în mișcare,
sau mecanisme pentru ridicarea unor greutăți foarte mari, a inventat un sistem de oglinzi cu care
a fost incendiată flota romană, și altele. În 1642 și 1645, Pascal (1623 -1662), a inventat prima
mașinărie care făcea doar adunări și scăderi, fiind considerată primul calculator mecanic din
istorie, din dorința de a -l ajuta pe tatăl său care era colector de taxe. Seriile Fourier sunt utilizate
în domeniul comunicării, și în teoria semnalelor. Astfel, coeficienții Fourier sunt folosiți la
construcția unor filtre ce permit curățarea de semnale perturbatoare, a semnalelor ce realizează
comu nicarea”. (Croitoru)
Unele dintre relicvele antice se găsesc de -a lungul Nilului, unde aproximativ în 6000 î.H.,
s-au stabilit egiptenii. Pentru ei, referința începutului noului an era revărsarea Nilului, deci
numărau zilele între două revărsări consecuti ve, și între două faze ale lunii. Dacă ne referim la
relicve despre matematica babiloniană, atunci importante sunt cele 400 de tăblițe de argilă,
descoperite în secolul al XIX -lea. Tăblița YBC 7289 dă o aproximare cu cinci zecimale a
numărului √2. Aceștia f oloseau sistemul de numerație în baza 60. Dacă privim spre matematica
chineză, atunci cel mai vechi text chinezesc este ,, the Chou Pei Suan Ching” , care datează din
aproximativ 1200 î.H., aceștia foloseau sistemul decimal, unde erau simboluri distincte pen tru
numerele de la 1 -10 (cifrele de la 1 -9), și altele pentru puterile lui 10.
Alte utilizări ale acestei materii, se văd prin aplicațiile care sunt prezente în cotidian:
• monitorizarea, controlul și optimizarea unor sisteme dinamice atât din economie,
cât și din alte domenii, implică matematică;
• strategiile de marketing modern, analiza și programarea optimală a producției,
construcția hărților meteo, planificarea urbană (pe baza teoriei grafurilor), navigația pe baza
GPS-ului, telefonia mobilă, algoritmii cu care operează calculatoarele și tabletele;
• studiul sistemelor biologice, a ADN -ului, studii de genetică, răspândirea
epidemiilor, studii virusologice, modele statistice populaționale, recunoașterea formelor utilizată
în tomografie, neurofizio logia care aplică ecuațiile diferențiale;
• proiectarea în robotică, automatică și construcție pe baza unor algoritmi foarte
avansați;
• teoria jocurilor a devenit în 1944 un instrument util în strategia militară, fiind
utilizat în criptografie, în teoria codu rilor, așa a apărut mașinăria Turing, din dorința de a descifra
codurile germanilor; (Croitoru)
• ,,aplicații importante sunt și în arhitectură: curbe importante cum ar fi strofoidele,
cisoidele, foliul lui Decartes, concoida lui Nicomede, versiera, cardioid a, ovalele lui Cassini,
lemniscata lui Bernoulli, spirala, cicloida, etc.”; (Croitoru)
• ,,scara Pitagora a fost modificată, obținându -se tonalități mai armonioase. Astfel,
folosind ecuațiile cu derivate parțiale, Goncearov a obținut acorduri inedite, care p ot conduce la
construcția unor noi instrumente muzicale”; (Croitoru, p.16 )
• criminalistica: principiile matematice care sunt indispensabile în analiza probelor,
precum și calcularea traiectoriei sângelui sau a glonțului, locul de impact al armei sau poziți a
victimei;
• astronauții folosesc calculul traiectoriilor stelare și satelitare, a curbelor și a
suprafețelor, ecuațiile diferențiale, mecanica cerească, ș.a..
Partea interdisciplinară a matematicii, face ca tineretul să o privească ceva mai obiectiv,
și să încerce să se apropie mai mult de ea, cu toată convingerea că fundamentul culturii moderne
îl constituie această știintă. Privind din alt punct de vedere, are o importanță deosebită pentru
societate, îmbunătățind calitatea vieții, prin creativitate, stimu larea curiozității, și omniprezență.
Issac Newton afirma: ,,Am văzut atât de departe pentru că am stat pe umerii unor
giganți”, așadar, acest prim secol XXI al mileniului III, este considerat secolul informației, a
vitezei, stimulând inovația, tehnica, și mai ales accesul la noțiuni deja cunoscute, ceea ce impune
o permanentă preocupare pentru perfecționarea continuă a metodelor și a mijloacelor de
învățământ în scopul realizării unei educații matematice, cu implicare interdisciplinară, serioasă,
în evoluți a tineretului și formarea sa pentru a fi util societății din care face parte. Epoca aceasta
are nevoie de specialiști foarte bine pregătiți, cu inteligență creatoare, cu o gândire independentă
și o perspectivă de lungă durată, așa cum menționa și Jean Piag et: ,,În societatea contemporană
însăși condiția de existență a omului se concentrează tot mai mult către inteligență și creativitate,
adică inteligența activă”. Adaptabilitatea este o aptitudine înnăscută, dar și una care este
perfectibilă în timp, depinz ând de mediul în care trăim și de factorii genetici, ceea ce impune ca
situațiile nou apărute să fie analizate, iar școala, pe lângă funcția informativă, să aibă și una
formativă, condusă de o matematizare a gândirii, pentru a soluționa variatele probleme socio –
profesionale. Apare accentul pus pe modernizarea învățământului prin așezarea pe primul loc al
intensificării capacităților intelectuale ale elevilor, și formarea deprinderilor prin antrenarea
intelectului, canalizarea spiritului de receptivitate, și definirea clară și concretă a noțiunilor sau a
ideilor.
Dacă se urmărește un progres personal, atunci valorificarea interdisciplinarității
matematicii trebuie făcută prin obiective clare:
• trebuie creată și apoi menținută o gândire matematică, rațională, a jutată de un
vocabular matematic specific, și un sistem de algoritmi de calcul și o judecată obiectivă;
• stabilirea unor comportamente, care să îmbine noțiunile teoretice cu cele practice,
orientate spre o educație activă și o rigurozitate științifică;
• descoperirea unor elemente excepționale de afirmare a creativității matematice,
prin raționamente deosebite, cât mai naturale și mai elocvente pentru situații întâlnite, utilizarea
aparatului matematic (reguli, teoreme, axiome, propoziții, legi, ș.a.) în scopu l perfectării unor
rezultate existente, sau în demonstrarea altora;
• modelarea psihicului spre o gândire flexibilă, cu capacitatea de a înțelege
fenomene din natură, sau chiar perceperea lumii ca un întreg unitar, interdependent.
,,Școala are obligația de a face din studiul matematicii un instrument de acțiune eficientă,
constructivă și modelatoare a personalității elevilor, explicând rolul în formarea și dezvoltarea
lor personală”.
Din prisma amplificării judecății logice a învățăceilor, putem îmbina învăță mântul
modern formativ cu cel nonformal prin:
• provocarea copiilor să facă un efort personal pentru a se deprinde cu o cugetare
concretă, dusă spre abstractizare;
• antrenament zilnic de rezolvare de probleme, deoarece această ritmicitate menține
creierul conectat cu activitățile zilnice, și formează un mecanism automat de analiză;
• stimularea inițiativei de a căuta rezolvări cât mai diversificate și ingenioase, prin
muncă în echipă sau independentă, pentru cultivarea încrederii în forțele proprii;
• o învățare continuă, prin colaborare, realizare de proiecte, portofolii, studii de caz,
organizare modulară a materiei;
Pentru a realiza acestea, cadrul didactic trebuie să ia în considerare:
• predarea trebuie să fie făcută în așa fel încât să fie viitor suport pentru noțiunile ce
urmează, și în același timp să aibă ancorare în realitate;
• caracterul dinamic și activ al actului predării -învățării, făcând din elev un
participant la discuții, nu doar un ascultător pasiv;
• abordarea creativă a materiei, de către profesor, prin lucru diferențiat, explicații și
argumentări individuale (acolo unde este cazul), exemplificări pe baza experienței sale, si
formarea de experiență productivă copiilor;
• conexarea permanentă a matematicii cu realitatea, prin constitu irea de situații
problemă, dar, care să reprezinte aspecte reale din viață;
• măiestria didactică, concretizată prin metodele de lucru ce implică o gimnastică
permanentă a minții elevilor, și includerea elementelor de noutate și diversitate la fiecare lecție .
Judecata matematică se manifestă prin numeroase activități intelectuale legate de
memorie, și imaginație, cum ar fi: raționare, înțelegere, explicare, deducție, invenție, inducție,
analogie, abstractizare, generalizare, comparație, clasificare, concretiz are, etc..
Din perspectiva evoluției intelectuale, matematica stimulează rațiunea prin:
• discernerea adevărului științific de neadevăr;
• ordonează ideile în mod logic, recunoaște ipotezele și consecințele;
• antrenează memoria (logică) și favorizează atenția;
• sporește creativitatea și imaginația, dar și separă esențialul de neesențial;
• formează spiritul științific, exprimat prin obiectivitate, analiză, sinteză, precizie și
dorință de cercetare;
În actul didactic trebuie să ținem cont că personalitatea școlari lor are și aspecte estetice și
morale, nu doar intelectuale, la care matematica are un aport important. De aceea, atunci când se
realizează, acesta ar trebui să fie desfășurat interdisciplinar – pentru o realizare a transferului pe
orizontală a cunoștințel or, sau transdisciplinar – pentru o realizare a transferului pe verticală,
între noțiuni.
Pe partea estetică , trezește gustul față de frumusețea domeniului, exprimată atât prin
relații, formule, teoreme, elemente de calcul și geometrice, cât și prin intera cțiunea continuă cu
celelalte domenii de studiu pe care le modelează, și cărora le dă echilibru.
Pe partea morală , educă gustul pentru adevăr, obiectivitate și echitate; cultivă
discernământul și probarea ipotezelor, înțelegerea și cercetarea amănunțită a ceea ce citește;
formează deprinderi de investigație și stimulează voința de a finaliza un lucru început.
Predar ea acestei discipline poate fi caracterizată de trei planuri: instructiv, practic și
educativ, având ca element fundamental stimularea intelectuală, construirea personalității, și
însușirea instrumentelor, a metodelor de calcul și rezolvarea de probleme.
Pe plan instructiv – se urmărește evoluția matematicii, de la formarea și scrierea unui
număr natural, apoi numerele scrise în diverse baze, înțelegerea și efectuarea operațiilor, a
proprietăților acestea, mulțimile de numere, ș.a.. În gimnaziu se discută d espre competențele de a
calcula, de a clasifica și a determina proprietățile figurilor geometrice, accentul punându -se de
această dată pe formarea conștientă a deprinderilor de calcul oral și scris corect, cu utilizarea
procedeelor raționale de calcul. În clasele a –VII- a și a -VIII –a, elevii sunt familiarizați cu
elemente de geometrie simplă, plană, formarea conceptului de măsură a unei mărimi,
cunoașterea unităților de măsură pentru lungime, arie, volum, ca mai apoi să ia contact cu
geometria în spațiu (în clasa a -VIII –a). În liceu, se obișnuiesc cu geometria analitică, care
îmbină elementele de algebră cu cele de geometrie, și partea de analiză matematică, unde este
necesară o profunzime a studiului, și o finețe în demonstrații dusă spre abstract.
Pe plan educativ – se face referire la gândirea logică, dezvoltarea atenției voluntare
stabile, a memoriei logice, a răbdării, a perseverenței, a corectitudinii, a conștiinciozității,
formarea unei discipline în lucru, a unui vocabular matematic, a unei educa ții interdisciplinare,
deductivă, etc.. Cu alte cuvinte, învățarea matematicii este un mod de viață, de cugetare, nu doar
partea științifică.
Pe plan practic – se urmărește formarea capacităților de a utiliza cunoștințele anterioare
în rezolvarea problemel or din diverse alte materii, sau chiar din viața reală, adaptarea la situații
noi, și mai ales îmbinarea practicului cu teoreticul. Învățăm pentru a ști să aplicăm, pentru a
folosi și a combina toate științele complementare într -un scop de perfectare conti nuă a realității.
Matematica urmărește și dezvoltarea capacităților elevilor de a reflecta asupra lumii, de a
formula și rezolva pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și înzestrarea
cu un set de competențe, valori și atitudini me nite să asigure o înțelegere profesională optimă.
Este necesar să -i facem pe copii să iubească matematica, să -i învățăm că doar descifrând
tainele matematicii pot atinge limite care, altfel, li s -ar părea de neatins .
După cum spunea și Grigore Moisil : ”Matematica va fi limba latină a viitorului,
obligatorie pentru toți oamenii de știință. Tocmai pentru că matematica permite accelerarea
maximă a circulației ideilor științifice. Învățând matematica, înveți să gândești”.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: I. REPERE GENERALE ALE STUDIERII FUNCȚIILOR [605209] (ID: 605209)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.