I. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL . OPERAȚII CU VECTORI 2.1. Noțiuni de calcul vectorial Mărimile fizice pot fi : mărimi scalare (scalari ), complet… [613546]
Dorel STOICA
MECANICĂ.
TEORIE ȘI APLICAȚII
Loc casetă tehnică
Mecanică. Teorie și aplicații
3
I. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL .
OPERAȚII CU VECTORI
2.1. Noțiuni de calcul vectorial
Mărimile fizice pot fi :
mărimi scalare (scalari ), complet determinate prin valoarea lor
numerică, urmată de unitatea de măsură.
Exemple : distanta între două punc te, intervalul de timp,
temperatura, energia, etc.
mărimi vectoriale (vectori ), sunt complet determinate prin
valoarea lor numerică , prin direcția și sensul lor. Spre deosebire
de scalari, vectorii sunt mărimi orientate (dirijate).
Un vector reprezentat printr -un segment de dreaptă orientat se
numește vector lib er.
Exemple : deplasarea și viteza unui corp în mișcare de translație.
Atunci când se impune și precizarea punctului de aplicație , vectorul
va purta denumirea de vector aplicat sau legat.
Exemplu : forța care acționează asupra unui punct material.
Dacă s e consideră necesar ă și precizarea suportului, atunci vectorul
va purta denumirea de vector alunecător sau glisant .
Exemplu : forța care acționează asupra unui rigid.
Vectorii liberi
Vectorii liberi se notează fie printr -o literă având deasupra ei o bară,
fie prin două litere având fiecare dintre ele câte o bară deasupra. În cel de
al doilea caz, prima literă va arăta originea vectorului, iar a doua literă
extremitatea sa.
Exemplu :
a,
F ,
BA .
În concluzie, vectorul este de fapt un segment orientat caracterizat
prin patru elemente (fig. 2.1):
Dorel STOICA
4
origine sau punct de aplicație A;
direcție sau dreaptă suport ,;
sens;
modul v (mărime, intensitate, urmă).
Fig. 2. 1. Elementele unui vector
Versorul este vectorul de modul unitar și este dat de relația 2.1:
vv
vvu
(2.1)
Componentele pe axele
Ox ,
Oy și
Oz ale versorului sunt definite
conform relației 2.2 astfel:
upriOx
;
uprjOy ;
uprkOz . (2.2)
Un vector oarecare poate fi scris în funcție de compone ntele pe axe
ale versorului său , astfel:
kvjvivvz y x
(2.3)
unde:
vpr vOx x
;
vpr vOy y ;
vpr vOz z (2.4)
2.2. Operații cu vectori
1. Adunarea a doi vectori
Se presupune există doi vectori ,
a și
b, care au același punct de
origine O. Suma (rezultanta ) celor doi vectori este vectorul
c , care va fi
definit ca valoare numerică, direcție și sens de diagonala OC a
paralelogramului format din cei doi vectori
a și
b ca laturi (fig.2.2.a).
Mecanică. Teorie și aplicații
5
bac (2.5)
Se constată că modulul vectorului
c este:
cos22 2ab ba c
(2.6)
Fig. 2. 2. Regula paralelogramului
Expresia analitică. Dacă considerăm că vectorii
a și
b definesc planul
Oxy, atunci și vectorul rezultant
c va fi situat în același plan . Dacă se face
proiecția celor trei vectori în sistemul de axe menționat, se constatpăââă că
(fig.2.2.b):
jciccjbibbjaiaay x y x y x ; ;
(2.7)
Conform relației ( 2.5) putem scrie:
) () ( jbibjaiajcicy x y x y x
(2.8)
Rezultă componentele pe axe ale vectorului rezultant
c :
y y y x x x bacbac ;
(2.9)
Vectorul rezultant va fi:
2 2 2 2) () (y y x x y x ba ba cc c
(2.10)
Direcția este dată de unghiul format între suportul vectorului rezultant
și axa Ox:
x xy y
xy
baba
cctg
(2.11)
Dacă se extinde Regula paralelogramului pentru compunerea unui
număr oarecare de vectori concurenți
1V ,
2V ,….
nV , va rezulta o
Dorel STOICA
6
construcție grafică denumită regula poligonului vectorilor , cu laturi
reprezentând vectorii din sistem.
O latură Vi a poligonului se obține prin construirea unui vector
echipolent cu vectorul
iV având ca origine, extremitatea vectorului
1iV și
ca extremitate, originea vectorului
1iV .
Rezultanta sistemului de vectori este suma vectorială a vectorilor
iV ,
n
ii n V V VVV
12 1 …
(2.12)
Construcția grafică va fi segmentul de dreaptă care unește originea
vectorului
1V, cu extremitatea vector ului
nV (fig. 2.2a).
În cazul particular de compunere a doi vectori concurenți, r egula
poligonului, are denumirea de Regula triunghiului (fig.2.2b).
Expresia analitică . Datorită faptului că suporturile vectorilor sunt
orientate în spațiu, componentele pe axe ale vectorilor vor fi exprimate
într-un sistem de axe cartezian triortogonal Oxyz. (fig.2.2c). Notând proiecțiile
pe axe ale vectorului
iV cu Vix, Viy, Viz și ale vectorului rezultant
V , cu Vx, Vy,
Vz, conform relației ( 2.12) se va putea scrie :
n
iiz iy ix z y x kVjViV kVjViV
1) (
(2.13)
Fig. 2. 3 Adunarea vectorilor
Analog, se procedează și cu valorile componentelor pe axe ale
vectorului rezultant:
Mecanică. Teorie și aplicații
7
n
iix x V V
1,
n
iiy y V V
1 ,
n
iiz z V V
1 (2.14)
Rezultă m ărimea vectorului rezultant , care este:
2 2 2
z y x V V V V
(2.15)
Direcția este exprimată prin cosinusurile directoare:
VVxcos
,
VVycos ,
VVzcos . (2.16)
2. Produsul scalar a doi vectori
Se presupune că avem doi vectori
a și
b. Produsul acestora este,
conform definiției, un scalar obținut din multiplicarea modulelor celor doi
vectori cu cosinusul unghiului dintre ei:
cosbaba
(2.17)
Dacă vec torul
a este definit prin componentele
kajaiaaz y x
și vectorul
b este definit prin componentele
kbjbibbz y x , produsul
scalar dintre cei doi vectori va fi dat (2.17):
zz yy xx babababa
(2.18)
Se observă că:
1 kkjjii
;
0 ikkjji
Din definiție rezultă următoarele o proprietăți ale produsului scalar :
este comutativ ;
ba ab abab cos ) cos(
(2.19)
pentru doi vectori
a și
b diferiți de zero condiția de
orgonalitate este:
0ba
(2.20)
cu ajutorul produsului scalar se poate scrie proiecția unui vector
a
pe o axa . Fiind dată o ax ă () orientată de versorul
u și
un vector
a , proiecția acestui vector și versorul axei (fig. 2.4):
Dorel STOICA
8
Fig. 2. 4.
Reprezentarea produsului vectorial
ua aapr cos
(2.21)
este distributiv față de adunare
cbcacba
(2.22)
3. Produsul vectorial a doi vectori liberi
Se presupune că avem doi vectori
a și
b. Produsul vectorial este,
conform definiției, un vector
c normal pe planul definit de cei doi vectori ,
presupuși aplicați în același punct O, având ca valoare numerică aria
paralelogramului construit cu ajutorul celor doi vectori, iar sensul astfel
încât vectorii
a ,
b,
c să formeze în această ordine un triedru drept (fig.
2.5).
Fig. 2. 5.
Reprezentarea
produsului vectorial
bac
;
sin bac (2.23)
Produsul vectorial este egal cu aria paralelogramului determinat de
cei doi vectori (fig.2.6).
Fig. 2. 6. Interpretarea
geometrică a produsului
vectorial a doi vectori
Mecanică. Teorie și aplicații
9
11sin22
2 sintr
par trA a h a b
A A a b
ab
(2.24)
unde:
Atr – reprezintă aria triunghiului determinat de cei doi vectori;
Apar – reprezintă aria paralelogramului determinat de cei doi vectori
Conform definiției, proprietățile produsul ui vectorial sunt:
Anticomutativ itatea, adică:
ab ba
(2.25)
vectori sunt coliniari dacă
a și
bsunt diferiți de zero , iar
produsul lor vectorial este egal cu zero :
0a
;
0b și
0ba (condiția de coliniaritate) (2.26)
Distributivitatea față de adunare :
cbcacba
(2.27)
Dacă vectorul
a este definit prin componentele
kajaiaaz y x
și vectorul
b este definit prin componentele
kbjbibbz y x rezultă că
produsul vectorial dintre vectorii
a și
b va fi (2.28.):
z y xz y x
b b ba aakj i
bac
(2.28)
din dezvoltarea acestuia rezultă componentele pe cele trei axe ale
vectorului
c :
xy yx zzx xz yyz zy x
ba ba cbaba cbaba c
(2.29)
Se observă că:
0 kkjjii
;
kji
Dorel STOICA
10
4. Produsul mixt a trei vectori
Se presupune că avem trei vector,
a ,
b și
c. Produsul mixt va fi
mărimea fizică scalară egală cu produsul scalar dintre un vector și produsul
vectorial al celorlalți doi.
acbbaccbacbacbaw ,, ,,
(2.30)
Analizând d in punct de vedere geometric produsul mixt , se constată
că reprezintă volumul paralelipipedului determinat de cei trei vectori
(fig.2.7)
Fig. 2. 7. Interpretarea geometrică a produsului mixt a trei vectori
VH A av vavacbawpar cos cos
(2.31)
unde V reprezintă volumul paralelipipedului.
Expresia analitică a produsului mixt a trei vectori este dată de relația 2.32 .
z y xz y xz y x
c ccb bba aa
cba
(2.32)
5. Dublu produs vectorial a trei vectori liberi
Se consideră trei vectori liberi
a ,
b și
c. Produsul vectorial este
reprezentat de vectorul
d egal cu produsul vectorial dintre vectorul
a și
produsul vectorial
cb . Vom scrie:
cbad
(2.33)
Din definiția de mai sus se deduce faptul că dublul produs vectorial
este un vector situat în planul vectorilor
b și
c, existând relația:
Mecanică. Teorie și aplicații
11
cbabca cba (2.34)
Fiind dați trei vectori
a ,
b și
c subzistă identitatea:
0 bacacbcba
. (2.35)
6. Descompunerea unui vector după trei direcții
Notând cu
,
și
unghiurile pe care un vector
V le face cu
axele
xO ,
yO și
zO (fig.2.8) ale unui triedru ortogonal
xyzO , proiecțiile
sale sunt:
cosVX
;
cosVY ;
cosVZ . (2.36)
Prin urmare, vectorul
Vse poate scrie s ub forma:
kZjYiXV
(2.37)
în care
i ,
j și
k sunt versorii axelor
xO ,
yO și
zO .
Fig. 2. 8. Descompunerea unui
vector după trei direcții octogonale În baza teoremei proiecțiilor
potrivit căreia proiecția pe o axă a
rezultantei
R a unui sistem de
vectori liberi este egală cu suma
proiecțiilor, rezultă pentru proiecțiile
rezultantei pe axele
xO ,
yO și
zO
expresiile:
iX X
;
iY Y ;
iZ Z (2.38)
unde
iX ,
iY,
iZ sunt proiecțiile pe aceste axe ale unui vector
iV .
Modulul rezultantei va fi
2 2 2Z Y X R , iar direcția și sensul
ei vor fi date prin cosinusurile directoare:
2 2 2cos
Z Y XX
,
2 2 2cos
Z Y XY
,
2 2 2cos
Z Y XZ
.
Dorel STOICA
12
II. STATICA PUNCTULUI. PUNCTUL MATERIAL
SUPUS LA LEGĂTURI
3.1. Statica punctului
3.1.1. Punctului material liber. Punct material supus la
legături
Se spune despre un punct material că este liber atunci când el poate
ocupa orice poziție în spațiu, nefiind stânjenit de nici o obligație
geometrică ; pozițiile ocupate de punctul material sunt determinate n umai
de forțele care acționează asup ra lui. În general, poziția punctului se
definește prin trei parametrii scalari, independenți între ei, spre exemplu
coordonatele carteziene x, y, z ale punctului. Prin urmare , punctul material
liber are trei grade de libertate.
Dacă un punct material este obligat geometric să ocupe numai
anumite poziții în spațiu , se spune că este supus la legături. De exemplu ,
punctul material poate fi obligat să rămână pe o suprafață, pe o cu rbă sau
într-un punct fix în spațiu.
Un punct material obligat să rămână pe o suprafață are două grade
de libertate, deoarece , așa cum este cunoscut din geometria diferențială,
sunt necesari doi parametri pentru a -i defini poziția: coordonatele sale
curbilinii; un punct material obligat să rămână pe o curbă are un singur
grad de libertate, iar un punct material obligat să rămână într -un punct fix
din spațiu nu are nici un grad de libertate.
3.1.2. Echilibrul punctului material liber
Pentru ca un punct m aterial liber aflat în repaus (sau în mișcare
rectilinie uniformă) să -și păstreze această stare mecanică atunci când un
sistem de forțe concurente acționează asupra lui, adică să rămână în
echilibru, este necesară și suficientă condiția ca rezultanta
R dintre forțele
concurente să fie nulă.
Condiția de mai sus se deduce din aplicarea principiilor inerției și
acțiunii forței ; condiția de echilibru se scrie sub forma ecuației vectoriale:
0R
(3.1)
Mecanică. Teorie și aplicații
13
Sub formă scalară, ecuațiile de echilibru se scriu:
în spațiu:
0ixF
;
0iyF ;
0izF (3.2)
în plan:
0ixF
;
0iyF (3.3)
Din punct de vedere grafic , condiția de echilibru este satisfăcută
doar dacă poligonul forțelor se închide . Problemele de echilibru ale
punctului material tratează două variante, și anume:
a) fie se dau forțele care acționează asupra unui punct și se cere
poziția acestuia;
b) fie se dă poziția punctului și se c er forțele care îl acționează.
3.2. Punctul material supus la legături
3.2.1. Axioma legăturilor. Legăturile punctului material
Dacă s e consideră un punct material aflat în echilibru pe o suprafață
(S) asupra căruia acționează forțele exterioare a căror rezultantă este
R
(fig.3.5) , atunci se observă că în acest punct nu se mai poate aplica aceeași
ecuație de echilibru (
0R ) ca în cazul punctul ui material liber .
Aceasta este o consecință a
existenței legăturilor, care exercită asupra
punctului respectiv anumite constrângeri
mecanice reprezentate prin forța de
legătură (reacțiunea). Pentru rezolvarea
problemei punctului material supus la
legături este necesar a fi folosită axioma
legăturilor .
Conform acestei axiome , orice
legătură poate fi suprimată și înlocuită cu
elemente mecanice (forțe, momente)
corespunzătoare. Ca urmare corpul
considerat este liber și , în consecință ,
echilibrul său se studiază cu ecuațiile stabilite pentru corpul liber.
Fig. 3. 1. Punct material aflat
în echilibru
Dorel STOICA
14
Pentru punctul material legătura va fi înlocuită cu reacțiune
R .
Condiția necesară și suficientă ca un punct material supus la legături să fie
în echilibru este ca rezultanta forțelor direct aplicate și a forței de legătură
să fie nulă, adică:
0RR
(3.4)
Sau proiectat pe axe:
0x xR R
;
0x yR R ;
0z zR R . (3.5)
Analizând relația (3.4), se constată că rezultanta
R a forțelor direct
aplicate și rezultanta
R a forțelor de legătură trebuie să fie egale și de
semn contrar. Legăturile punctului sunt rezemarea pe o suprafață,
rezemarea pe o curbă (în spațiu și în plan) și prinderea cu fire, care poate fi
considerată echivalentă cu o legătură unilaterală pe o sf eră a cărei rază
este tocmai lungimea firului respectiv.
Legăturile punctului pot fi :
legături cu frecare (aspre) , atunci când suprafața sau curba de
reazem aparține unor corpuri reale și care se opun mișcării
punctului material, apărând astfel forțe de frecare ;
legături fără frecare (lucii, ideale) , atunci când se presupune că
suprafața sau curba sunt corpuri ideale, perfect lucioase ,
neexistând deci forțe de frecare .
În realitate astfel de legături nu există dar, dar atunci când forța de
frecare est e mică și neglijabilă (suprafețe lucii), forțele de frecare pot fi
aproximate la zero.
3.2.2. Echilibrul punctului material supus la legături fără
frecare
În legături ideale, fără frecare,
0T . Așa cum am specificat și mai
sus, aceste tipuri de legături nu există în realitate, dar sunt întâlnibile
suprafețe la care forța de frecare poate fi neglijată într -o primă
aproximație. În cazul acestor legături
NR , cu alte cuvinte reacțiunea
este normală. Dacă se analizează o suprafață , reacțiunea are direcția
normalei la suprafață, iar dacă se analizează o curbă, reacțiunea va avea o
direcție oarecare în planul normal la curbă.
Condiția de echilibru a unui punct material supus la o legătură ideală va fi :
Mecanică. Teorie și aplicații
15
0NR (3.6)
Proiectată pe axe , ea va arăta astfel :
0x xN R
;
0y yN R ;
0z zN R . (3.7)
Considerând că în punctul curent parametri directori ai normalei la o
suprafață sunt dați de :
0 ,,zyxf
(3.8)
Și sunt
zf
yf
xf
,, , atunci ecuațiile (3.6) și (3.7) se pot scrie:
0
kzfjyfixfR
0 ;0 ;0 zfRyfRxfRz y x
(3.9)
Analog, în cazul unui punct material M rezemat pe o curbă (C) (fig.
3.6) acționează forțele
R și
R care, în cazul echilibrului , sunt egale și
opuse. Rezultanta
R a forțelor direct aplicate se descompune în
componenta tangențială
TR dirijată după tangenta la curbă în M și în
componenta normală
NR dirijată după dreapta ce rezultă din intersecția
planului ( ), normal la curba C în M cu planul determinat de tangenta în M
la curbă și forța
R . Reacțiunea
R se descompune după aceleași direcții în
reacțiunea normală
N și în forța de frecare
T .
Fig. 3. 2. Punct material
Dorel STOICA
16
Ca și în cazul punctului material
rezemat pe o suprafață, forța normală
NR
caută să se îndepărteze punctul M de curbă și este anihilată de
reacțiunea normală
N . Deci, pentru echilibrul aceste două forțe
NR și
N,
trebuie fie egale și de sens opus.
În cazul unor legături fără frecare, forța de frecare
T nu poate să
apară și în consecință pentru echilibru în acest caz, este necesar ca
0TR
.
În cazul legăturii cu frecare forțele
TR și
T trebuie să fie egale și de
semn contrar. Pentru ca un punct material sub acțiunea unui sistem de
forțe să rămână în echilibru pe o curbă fără frecare , este necesar ca:
rezultanta forțelor exterioare
R să fie cuprinsă în planul normal
la curbă în punctul respectiv;
reacțiunea este o forță
N situată în același plan normal.
Ecuația de echilibru se scrie:
0NR
(3.10)
Dacă ecuațiile curbei sunt :
0 ,,1zyxf
;
0 ,,2zyxf (3.11)
atunci se poate considera că planul normal la curbă este determinat
de normalele celor două suprafețe date prin ecuațiile (3.11), luate fiecare
separat. În acest caz ecuația (3.10) devine :
02 2 2
21 1 1
1
kzfjyfixfkzfjyfixfR
Dacă se proiectează pe cele trei axe, se obține sistemul:
000
2
21
12
21
12
21
1
zf
zfRyf
yfRxf
xfR
zyx
(3.12)
În cazul în care curba este dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx
,
)(tyy ,
)(tzz (3.13) rezemat pe o curbă
Mecanică. Teorie și aplicații
17
atunci c ondiția de echilibru se exprimă prin relația de ortogonalitate
dintre rezultanta forțelor exterioare
R (cuprinsă în planul normal) și
tangentă, ai cărei parametrii directori, sunt
dtdx ,
dtdy,
dtdz, adică:
0dtdzRdtdyRdtdxRz y x
(3.14)
Acestea sunt relațiile cu ajutorul cărora poate fi determinată poziția
de echilibru.
Problemele c are pot să apară în studiul echilibrului punctului
material supus la legături fără frecare sunt centralizat e în tabelul 3.1 .
Se observă că problemele sunt static determinate.
Felul
legăturii Necunoscute Ecuații de
echilibru Referitoare la
poziție Referitoare la
reacțiune
Rezemare
pe o
suprafață 2 (coordonatele
u, v) 1 (scalarul reacțiunii) 3 ecuații
000
zyx
FFF
Rezemare
pe o curbă
în spațiu 1 (coordonata
curbilinie s) 2 (scalarul și direcția
reacțiunii sau 2
componete ale
reacțiunii în planul
normal 3 ecuații
000
zyx
FFF
Rezemare
pe o curbă
în plan 1 (coordonata
curbilinie s) 1 (scalarul reacțiunii) 2 ecuații
00
yx
FF
Punct fix Niciuna 3 (proiecțiile reacțiunii
pe trei direcții în spațiu 3 ecuații
000
zyx
FFF
Dorel STOICA
18
3.2.3. Echilibrul punctului materia l supus la legături cu
frecare
Legile frecării uscate
Spre deosebire de legăturile ideale, unde componenta tangențială T
și reacțiunea
R erau neglijate, î n cazul curbelor și suprafețelor aspre
acestea nu pot fi neglijate.
S-a constatat din practică, că modulul componentei tangențiale T
(care poartă numele de forță de frecare de alunecare ) este limitat.
În fig. 3.7. a este realizată o exper iență, r edusă la forma cea mai
simplă: un corp asimilabil cu un punct material de greutate
G este așezat
pe un plan orizontal și acționat cu o forță orizontală
F , care poate varia
continuu. Se constată că până la o anumită valoare
maxF a forței
orizontale , corpul nu se pune în mișcare.
Fig. 3. 3. Punct material supus la legături
Se dovedește astfel că reacțiunea
R formează un unghi față de
normală , așadar poate fi descompusă în două componente : reacțiunea
normală
N și forța
T , cea din urmă purtând numele de forță de frecare
de alunecare (fig. 3.7,b). Forța de frecare de alunecare acționează în planul
tangent cu suprafața de reazem , opunându -se tendinței de mișcare. În
figura 3.7,c este prezentat caz ul la limită , și anume atunci când forțele
F
și
T iau valori limită și unghiul capătă la rândul lui valoarea limită
,
Mecanică. Teorie și aplicații
19
numit unghi de frecare . Forța de frecare poate varia între valorile zero și
cea limită
maxT .
Din figura 3.7 rezultă :
tgN T
și la limită
tgN Tmax
și cum
formula se poate simplifica :
tgN T
(3.15)
Cele mai celebre experiențele făcute asupra forțelor de frecare de
alunecare sunt cele ale lui Coulomb, de unde au rezultat de altfel legile
frecării uscate , și anume:
1. valoarea forței maxime de frecare nu depinde de mărimea
suprafeței în contact dintre cele două corpuri (în cazul experienței,
suprafața dintre corp și planul orizontal) iar dacă se produce mi șcarea,
forța de frecare nu depinde nici de viteza relativă;
2. valoarea forței maxime de frecare depinde de natura corpurilor și
a suprafețelor în contact (de exemplu gradul de prelucrare);
3. valoarea forței maxime de frecare este proporțională cu modul
N
al reacțiunii normale.
Conform legilor de mai sus , forța de frecare de alunecare este:
N Tmax
(3.16)
sau:
N T
(3.17)
unde este coeficientul de frecare de alunecare (mărime
adimensională c are depinde de natura și starea suprafețelor în contact ).
Comparând relațiile (3.15) și (3.17) se observă că:
tg
(3.18)
În opinia lui Coulomb , forțele de frecare își au originea în existența
la suprafața corpurilor a unor asperități care , în cazul a două corpuri în
contact , se întrepătrund.
Atunci când unul di ntre corpuri se pune în mișcare aceste asperități
sunt strivite, iar forța de frecare de alunecare este cea care se opune
acestor striviri.
Dorel STOICA
20
Extinzând domeniul experiențelor făcute de Coulomb , se constată că
coeficientul de frecare la alunecare variază invers proporțional în funcție de
viteză: el scade atunci când viteza crește. Valoarea coeficientului de frecare
pentru corpurile în repaus (coeficientul de aderență 0) este mai mare (fig.
3.8) decât pentru cele în mișcare ( coeficientul de frecare dinamic ).
De asemenea, dacă
N ia valori
mari, mărimea forței de frecare de
alunecare
T nu mai variază liniar cu
mărimea reacțiunii
N .
Dacă se reduc înălțimile
asperităților, conform teoriei l ui Coulomb ,
forța de frecare de alunecare va scădea .
În realitate însă, forța de frecare de
alunecare creștere la un moment dat ,
influențată fiind de alte fenomene, ca de
exemplu fi forțele de adeziune
intermoleculare (care în acest caz devin
importante ).
Analizând din nou experiența prezentată în fig. 3.7, se poate deduce
aspectul geometric al problemei echilibrului punctului material cu frecare.
Considerând punctul rezemat pe o suprafață și schimbând direcția
forței
F în planul tangen t, reacțiunea
R , respectiv rezultanta
R , vor
descrie în acest caz un con, numit con de frecare, care are vârful în punctul
considerat, axa de simetrie este normala Mn la suprafață și unghiul la vârf
2 (fig. 3.9).
Punctul material se află în echilibru atunci când reacțiunea
R este în
interiorul sau la limită pe mantaua conului. În cazul punctului material
rezemat cu frecare (ca în cazul rezemării pe o suprafață), generatoarele
extreme vor descri e conuri complementare de frecare. Aceste conuri (fig.
3.10) au ca axă de simetrie tangenta la curbă în punctul respectiv și
unghiul la vârf
22 .
Punctul material se află în echilibru când reacțiunea
R se găsește
în afara conurilor complementare de frecare sau la limită pe mantaua
acestora.
Fig. 3. 4. Variația
coeficientului
de frecare la alunecare μ
Mecanică. Teorie și aplicații
21
Fig. 3. 5. Con de frecare
Fig. 3. 6. Punct material rezemat pe o curbă
În problemele de echilibru cu frecare ale punctului material rareori
soluția este unică . În consecință, la fel ca în cazul echilibrului fără frecare ,
problemele de echilibru cu frecare se exprimă printr -o inegalitate.
În cazul punctului pe o suprafață, st udiul analitic se face prin exprimarea
unghiul dintre rezultanta
R și vectorul
1n , coliniar cu versorul normalei
n în
punctul considerat. Suprafața este dată prin ecuația
0),,(zyxf . Astfel :
11cos
nRnR
(3.19)
unde vectorul
1n este:
kzfjyfixfn1 1
. (3.20)
Pentru simplificare , alegem
11 .
Pentru echilibru este necesar ca
, adică
cos cos
(3.21)
Dar
.
11
11cos
2 2
tg
(3.22)
Deci rezultă condiția de echilibru:
Dorel STOICA
22
2
11
11
nRnR
respectiv
2 2 2 2
2 2 211
zf
yf
xfR R RzfRyfRxfR
z y xz y x
(3.23)
Dacă punctul se află pe o curbă , pentru a stabili o expresie analitică,
se presupune o curba dată prin ecuațiile parametrice:
)(txx
,
)(tyy ,
)(tzz (3.24)
Un vector
1u dirijat după tangentă are expresia:
kdtdzjdtdyidtdxu 1
(3.25)
Unghiul dintre rezultanta
R și vectorul
1u este dat de:
11cos
uRuR
. (3.26)
Pentru echilibru s -a văzut că este necesar ca
2 , adică
2cos cos
(3.27)
sau
sin cos .
Dar
.
1 1sin
2 2
tgtg
(3.28)
Deci condiția de echilibru este:
Mecanică. Teorie și aplicații
23
2
11
1
uRuR
respectiv
2 2 2 2
2 2 21
dtdz
dtdy
dtdxR R RdtdzRdtdyRdtdxR
z y xz y x
(3.29)
Dorel STOICA
24
IV. Statica rigidului. Centre de greutate
4.1. Statica rigidului
4.1.1. Caracterul de vector alunecător al forței ce
acționează un rigid
Dacă atunci când asupra unui corp acționează un sistem de forțe
finite și distanța dintre două puncte oarecare ale corpului respectiv rămâne
aceeași, atunci corpul se numește rigid.
De fapt, condiția mai sus menționată nu este realizabilă, pentru că
toate corpurile sunt deformabile; dar, în cazul în care corpurile sunt din
metal, lemn, piatră etc., având în vedere că acestea sunt puțin deformabile,
deformațiile pot fi neglijate și, astfel se poate vorbi despre noțiunea de
solid rigid sau rigid.
Fig. 4. 1. Tip de vector alunecător
Se consideră un rigid acționat în punctul A, de forța (fig.4.1a). În
punctul B, situat pe suportul forței , se introduc două forțe egale și de
sens contrar, și , ceea ce nu schimbă efectul forței , aplicată în
punctul A (fig.4.1b). Forța din A și forța din B își anulează
efectul, astfel că asupra rigidului acționează numai forța aplicată în
punctul B (fig.4.1c). Rezultă că o forță poate fi deplasată pe propriul
suport, fără ca efectul ei asup ra rigidului să se modifice. Rezultă că vectorul
forță care acționează asupra rigidului are proprietatea de vector alunecător .
F
F
F
F
F
F
F
F
F
Mecanică. Teorie și aplicații
25
În continuare vor fi prezentate elemente de calcul algebric cu vectori
alunecător, calcul care diferă față de cel cu vectori liberi. Aceste calcule se
aplică atât forțelor care acționează asupra unui solid rigid, cât și a altor
mărimi asupra cărora se poat e aplica metoda vectorilor alunecători. În
acest tip de calcule se folosește noțiunea de moment al vectorului nu
numai doar față de un punct, ci și față de o axă.
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu un punct
Momentul unei forțe în raport cu un punc t redă capacitatea cu care
forța poate roti corpul asupra căruia acționează, în jurul unei axe care trece
prin punctul respectiv și care este perpendiculară pe planul determinat de
suportul forței și acel punctul (fig.4.2).
Prin definiție, momentul unei forțe
F
în raport cu un punct O este produsul
vectorial dintre vectorul de poziție
r , al
punctului de aplicație A, al forței și forța
F.
Fr FMO)(
(4.1)
Luând în calcul proprietățile
produsului vectorial, rezultă că momentul
)(FMO
este un vector aplicat în punctul
O și care este perpendicular pe planul
definit de vectorii
r și
F . Sensul acestui
plan este dat de „regula șurubului drept”
(sensul de înaintare al șurubului așezat în
punctul O p e suportul momentului
OM ,
acționat de o cheie cu forța
F având ca braț, vectorul de poziție
r ).
Modulul acestui vector este dat fie de relația:
), sin( )( Fr Fr FMO
] (4.2)
fie ținând seama de brațul forței, adică de distanța „ b” dintre punctul O și
suportul forței
F :
FbbF FMO )(
(4.3)
Fig. 4. 2. Momentul forței
în raport cu un punct
Dorel STOICA
26
Proprietăți :
1. Momentul unei forțe în raport cu un punct este nul atunci când :
a)
0F ;
b)
0r ;
c) vectorii
r și
Fsunt coliniari.
Dacă se exceptează cazul a) (în care
0F ), se poate concluziona
că, în celelalte două cazuri, momentul forței în raport cu un punct este nul
atunci când prin respectivul punct trece suportul forței.
2. Momentul unei forțe în raport cu un punct rămâne neschimbat
atunci când forța se deplasează pe propriul său suport.
Considerând forța
F în două poziții, A și B (fig.4.3a) și notând cu
r ,
respectiv
r , vectorii de poziție ai punctelor A și B, momentul în raport cu
punctul O al forței
F în cele două situații devine:
FrF ABr Fr F MFr F M
B OA O
) ( )()(
(4.4)
Datorită faptului că
0F AB , iar vectorii
AB și
F sunt coliniari.
Fig. 4. 3. Momentul forței în raport cu un punct
Momentul unei forțe în raport cu un punct este un vector legat, motiv
pentru care se modifică la schimbarea polului. Fie O și O’, punctele în
raport cu care se calculează momentul forței
F (fig.4.3b).
Mecanică. Teorie și aplicații
27
FOO F MFOOFrFrOO Fr F MFr F M
O OO
)( ) ( )()( (4.5)
Deoarece se considere că punctul O este originea sistemului de axe,
poziția tuturor celorlalte puncte se raportează la acest pol , deci rezultă că
vectorul
OO OO . Relația (4.5) exprimă legea de variație a
momentului la schimbare polului .
Expresia analitică . Expresiile analitice ale vectorului de po ziție
r și
ale forței
F sunt:
kFjFiFFkzjyixrz y x ;
(4.6)
De unde rezultă că expresia analitică a momentului forței
F în raport
cu punctul O este:
z y xO
F F Fz y xkj i
Fr F M )(
(4.7)
Proiecțiile momentului
OM pe axele sistemului triortogonal Oxyz
(momentul forței
F în raport cu axele: Ox, Oy, Oz ) sunt:
x y zz x yy z x
yF xF MxF zF MzF yF M
(4.8)
Aceleași rezultate se obțin și în cazul în care se consideră produsul
vectorial
Fr sub formă matriceală, ca un produs între matricea
antisimetrică
rˆ asociată vectorului
r și matricea coloană a vectorului
F :
x yz xy z
zyx
zyx
yF xFxF zFzF yF
FFF
xyx zyz
MMM
000
(4.9)
sau sub formă restrânsă:
Fr Mˆ
. (4.10)
Dorel STOICA
28
4.1.2. Momentul unei forțe în raport cu o axă
Prin definiție, m omentul unei forțe
F în raport cu o axă este
proiecția pe această axă a momentului forței
F calculat în raport cu un
punct oarecare O de pe axă.
Fig. 4. 4. Momentul forței în raport cu o axă
În desenul de mai sus (fig. 4.4a) s -a consieerat forța
F aplicată în A,
iar axa caracterizată prin versorul
u , și s-a ales punctul O1 pe axă .
Se poate scrie că:
Fr F MO1 1
,
iar și proiecția pe axa este fie :
Fru F Mu FMO 1 1
, (4.11)
fie
1 1 cos F M FMO
.
Pentru că
M se este un produs mixt, rezultă că este un scalar, iar
alegerea punctului pe axă față de care se calculează momentul, este
arbitrară.
Pentru a demonstra asta se calculează
M , față de un alt punct O2:
Mecanică. Teorie și aplicații
29
2 2 1 1
2 1 1 1M F u r F u O O r F
u O O F u r F u r F
(4.12)
deoarece,
012FOOu , vectorii
u și
12OO fiind coliniari.
Din relația (4.11) , unde
M este un produs mixt, se poate observa
că momentul unei forțe în raport cu o axă este coplanar , adică concurent,
paralel sau confundat.
Una dintre proprietățile momentului forței în raport cu o axă este
aceea că valoarea sa rămâne neschimbată dacă forța se deplasează în
lungul suportului ei. În continuare, se observă cu ușurință dă, dacă
momentul
)(FMO rămâne nemodificat , și proiecția sa
M va fi
neschimbată.
Alta proprietate, dedusă din definiție, este aceea că momentul unei
forțe în raport cu axa este egal cu scalarul momentului proiecției
'F a
forței
F pe un plan ( P) perpendicular pe axa , calculat în raport cu
punctul O unde axa înțeapă planul ( P).
Se consideră că:
F OAu FM
(4.13)
Se descompune forța
F în componentele
1F și
2F după normala
AA1 (paralelă cu ) și după o direcție paralelă cu proiecția
'F (fig.4.4 b).
;2 1FFF
;1'F F
AA OA OA1 1 (4.14)
Înlocuind relația (4.14) în (4.13) rezultă:
.' ' '
1 1 12 1 1 1 2 1 1 12 1 1 1
FM FMu F OAu F OAuFAAu FAAu F OAu F OAuFF AA OAu F OAu FM
o o
(4.15)
Se observă că:
02 1 1 1 2 1 FAAu FAAu F OAu
, fiind vectori coplanari.
Pentru simplificare a raționamentului, în aplicații se trasează planul
normal pe axă exact din punctul de aplicație al forței.
Dorel STOICA
30
4.1.3. Cupluri de forțe
Cuplul de forțe este cel mai simplu sistem de forțe care acționează
asupra unui rigid, și este considerat a fi un sistem de două forțe egale și de
sens contrar , care acționează pe două suporturi paralele asupra aceluiași
rigid (fig.4.5).
Un cuplu aplicat unui rigid caută să -l rotească în jurul unei axe
perpendiculare pe planul definit de suporturile celor două forțe.
Fig. 4.5. Cuplu de forțe
Proprietăți:
Pe orice axă, p roiecția cuplului de forțe este nulă. Se deduce că
rezultanta cuplului de forțe este nulă. Considerând o axă de
versor
u , se poate scrie:
0)( F uFu
(4.16)
Momentul cuplului este reprezentat de e fectul cuplului de forțe
aplicat asupra unui rigid , și este conform relației:
F ABF rr Fr F r MA B B A ) ( )(
(4.17)
Momentul cuplului de forțe este un vector cu sensul dat de regula
produsului vectorial și fiind perpendicular pe planul forțelor care -l
compun. Mărimea momentului cuplului de forțe este produsul
dintre forță și brațul cuplului, conform relației:
Fb FAB FAB M ), sin(
(4.18)
Momentul cuplului de forțe este în același timp un vector liber,
deoarece rămâne neschimbat oricare ar fi punctul față de care se
Mecanică. Teorie și aplicații
31
stabilește expresia sa. De exemplu, față de un alt punct O’, relația
momentului devine:
MF ABF rr Fr F r MA B B A ) ( )(
(4.19)
4.1.4. Vector ul alunecător
S-a speci ficat anterior că vectorul liber se definește prin a trei mărimi
scalare , cum ar fi proiecțiile pe cele trei axe de coordonate carteziene.
În cazul vectorului alunecător
F , mai trebuie să fie cunoscută și
dreapta sport () pe care acesta se deplasează. În cazul în care cele trei
proiecții pe axe ale vectorului
F , sunt cunoscute, sunt cunoscuți și
parametrii directori ai dreptei suport.
Pentru ca un vector alunecător să fie determinat, sunt necesare – de
obicei – șase mărimi scalare, și anume:
proiecțiile vectorului
F pe cele trei axe [Fx, Fy, Fz];
proiecțiile momentului
FMO [Mx, My, Mz] pe cele trei axe ale
al vectorului
F față de originea O a sistemului de axe.
Între cele 6 mărimi scalare [Fx, Fy, Fz, M x, My, M z ] există o relație
identic satisfăcută, care se deduce ținându -se seama că vectorii
F și
FMO
sunt perpendiculari și, în consecință, produsul lor scalar este nul.
Se poate deci scrie relația:
0z z y y x x MF MF MF
(4.20)
Relația de mai sus poate fi verificată și direct, prin înlocuirea lui Mx ,
My , Mz cu expresia (4.8), obținându -se astfel :
0x y z z x y y z x yF xFF xF zFF zF yFF
4.1.5. Teorema momentelor (Teorema lui Varignon)
Fie un sistem de forțe concurente care acționează asupra unui rigid în
punctul A, al cărui vector de poziție în raport cu punctul O este
r OA
(fig. 4.6).
Dorel STOICA
32
Fig. 4. 6. Sistem de forțe concurente în punctul A
Rezultanta sistemului de forțe este:
nF FFR ……2 1
(4.21)
Momentul cuplului de forțe în raport cu punctul O se află înmulțind
vectorial relația (4.21) cu
r:
nFr FrFrRr ……2 1
(4.22)
altfel spus :
)( …..)( )( )(2 1 n O O O O FM FM FM RM
(4.23)
Relația (4.23) reprezintă teorema momentelor sau teorema
Varignon , și poate fi definită astfel: Pentru un sistem de forțe care se
reduc la o rezultantă unică, momentul rezultantei în raport cu un punct este
egal cu suma vectorială a momentelor forțelor componente, calculate în
raport cu același punct.
Pentru a se afla momentul acelorași forțe în raport cu o axă , de
versor
u care trece prin O, se înmulțește scalar relația (4.22)cu
u :
) ( ……) () () (2 1 nFru Fru Fru Rru
(4.24)
sau:
)( …..)( )( )(2 1 nFM FM FM RM
(4.25)
Pentru un sistem de forțe care se reduc la o rezultantă unică,
momentul rezultantei în raport cu o axă este egal cu suma algebrică a
momentelor forțelor componente, calculate în raport cu aceeași axă.
Mecanică. Teorie și aplicații
33
4.1.6. Sisteme de forțe echivalente și operații elementare
de echivalență
Deoarece în paragrafele următoare se vor studia sisteme de forță
care acționează asupra rigidului, este necesar a se afla efectul mecanic al
acestor forțe, care acționează în diferite puncte ale corpului rigid. Din acest
motiv se vor înlocui aceste sistemele d e forțe cu unele mai simple, astfel
încât efectul mecanic să fie același indiferent în orice punct este produs.
Două sisteme de forțe care acționează asupra unui rigid și produc în
orice punct același efect mecanic se numesc sisteme echivalente .
Pentru rea lizarea unor sisteme mai simple de forțe echivalente se
aplică forțelor mai multe operații, astfel încât sistemul de forțe dat să
rămână echivalent cu el însuși . Aceste operații poartă numele de operații
elementare de echivalență .
Este necesar a se ține se ama de:
1. forța care acționează asupra rigidului poate fi deplasată pe propriul
suport;
2. În sistemul de forțe se pot suprima sau introduce două forțe egale
și direct opuse;
3. Mai multe forțe concurente pot fi înlocuite fie prin rezultanta lor ,
fie o forță poate fi înlocuită prin componentele sale.
4.1.7. Reducerea unei forțe aplicată într -un punct al unui
rigid
Fie un rigid acționat de o forță
F
în punctul A și cu
r vector de poziție în
raport cu un punct O este (fig. 4.7).
Reducerea acestei forțe într-un
punct oarecare O,implică determinarea
efectul ui mecanic exercitat în O, de forța
F
, aplicată în A.
Având în vedere operațiile
elementare de echivalență prezentate
mai sus , se consider forțele
F și
F în
O. Se observă că f orțele,
F din A și
F
din O formează un cuplu, al cărui
moment este:
Fig. 4. 7. Tosor de reducere
Dorel STOICA
34
Fr MO (4.26)
Forța
F și cuplul de forțe reprezentat prin momentul
OM se
numesc elemente de reducere în O ale forței date . Ansamblul celor două
elemente mecanice alcătuiesc torsorul de reducere în O al forței
F aplicată
în A, și se notează:
Fr MF
OO
(4.27)
Dacă se schimbă punctul de reducere în O’, torsorul își va modifica
doar momentul a cărei variație la schimbarea polului este dată de relația
(4.5).
FOO M MF
O OO
(4.28)
4.1.8. Reducerea unui sistem de forțe aplicate rigidului.
Torsorul de reducere. Variația torsorului cu
punctul de reducere. Invarianți
Fie un rigid acționat în punctele A1, A2,……, A n, de forțele
1F ,
2F,…..,
nF
, (fig. 4.8,a). Un punct oarecare Ai, raportat la polul O, este definit de
vectorul de poziție
ir . Pentru a afla efectul mecanic produs în O de
acțiunea simultană a forțelor din sistem , este necesar să se reducă, pe
rând, toate forțele sistemului . Se va obține astfel , în O, două sisteme de
vectori concurenți:
sistemul de forțe
1F ,
2F,…..,
nF , cu rezultanta
i n F F FFR …..2 1
(4.29)
sistemul de cupluri
1M ,
2M ,…..,
nM , cu moment ul rezultant:
i i i n O Fr M M M M M …..2 1
(4.30)
Forța rezultantă
R și momentul rezultant
OM reprezintă împreună
un sistem de forțe echivalent cu sistemul dat, și poartă denumirea de
torsorul de reducere în punctul O .
Mecanică. Teorie și aplicații
35
i i Oi
OFr MF R (4.31)
Procedând identic pentru ul alt punct O’, și efectuând reducerea
sistemului de forțe inițial, se obține torsorul de reducere:
i i i n Oi n
OFr M M M M MF F FFR
……….
2 12 1
(4.32)
Așadar, momentului față de punctul
O devine :
ROO M F OOFrFr FOO FrOO Fr M
O i i ii i i i i i i O ) (
(4.33)
Torsorul în punctul O’ exprimat în funcție de elementele torsorului în
punctul O este:
ROO M MF R
O Oi
O
(4.34)
Fig. 4. 8. Variația torsorului cu punctul de reducere
Se observă că rezultanta rămâne aceiași în raport cu puncte diferite
de reducere, altfel spus forța rezultantă este un invariant al sistemului de
reducere într -un punct al unui sistem de forțe .
Dorel STOICA
36
De asemenea , se deduce și că momentul rezultant se modifică cu
schimbarea punctului de reducere.
Dacă se efectuează produsul scalar
OMR , care poartă numele și
de trinom invariant , și dacă se ține seama de faptul că produsul mixt
0) ( ROOR
pentru că este un produs mixt de vectori coplanari, se
va obține:
O O O MR ROO MR MR ) (
(4.35)
Din relația (4.35) se observă că trinomul invariant
OMR este al
doilea invariant al operației de reducere.
Forma analitică a trinomului invariant
OMR este:
z z y y x x O MR MR MR MR
(4.36)
Proiecția momentului rezultant
OM pe direcția rezultantei
R este:
2 2 2
z y xz z y y x x
O R O RR R RMR MR MR
RRM u M M
(4.37)
Proiecția momentului rezultant pe direcția rezultantei
RM este
raportul a două mărimi invariante (
OMR și
R ), așadar va fi tot o
mărime invariantă a operației de reducere (fig. 4.8,b). Astfel :
cos cosO O R M M M
(4.38)
Conform relațiilor (4.35) și (4.37), trinomul invariant și proiecția
momentului rezultant pe direcția rezultantei nu sunt două mărimi in variante
independente. La reducerea într -un punct a unui sistem de forțe există doi
invarianți,
R și
OMR .
Vectorul
RM , coliniar cu rezultanta
R se va scrie:
RR
RMRu M MO
R R R
(4.39)
4.1.9. Torsorul minimal. Axa centrală
Mecanică. Teorie și aplicații
37
Atunci când reducerea sistemului de forțe se face în diferite puncte
ale rigidului, se constată că torsorul de reducere este diferit dom cauza
modificării momentului rezultant.
Se descompune momentul rezultant
OM , în două componente:
RM ,
în funcție direcția rezultantei
R și
NM , urmând direcția situată într -un
plan normal la direcția rezultantei (inte rsecția dintre planul normal la
rezultanta
R și planul definit de vectorii
R și
OM ):
N R O M M M
(4.40)
Datorită faptului că componenta
RM este invariantă, rezultă deci că
modificările momentului
OM se datorează componentei
NM , care, în funcție
de punctul de reducere, poate avea orice valoare și orice poziție în planul
normal pe rezultanta
R . Înseamnă că proiecția momentului rezultant pe
direcția rezultantei este valoarea minimă pe care o poate lua momentul atunci
când se face reducerea sistemului de forțe în diferite puncte .
minM MR
(4.41)
Torsorul format din rezultanta
R și momentul minim,
minM se
numește torsor minim .
RR
RMRMF R
Oi
minmin
(4.42)
În cazul torsorului minim, rezultanta
R și momentul minim
minM
sunt vectori coliniari. Locul geometric al punctelor în care torsorul are
valoare minimă, se numește axă centrală.
Fie un punct curent P(x, y, z), de pe axa centrală (fig.4.9), momentul în
acest punct, conform legii de variație a momentului la schimbarea polului este :
k yR xR Mj xR zR Mi zR yR MR R Rz y xkj i
kMjMiMR OP M M
x y z z x y y z xz y xz y x O P
) ( ) ( ) (
(4.43)
Dorel STOICA
38
Fig. 4. 9. Momentul unui punct la schimbarea polului
Condiția de coliniaritate a vectorilor
PM și
R este:
R MP
sau:
) ( kRjRiR kMjMiMz y x Pz Py Px
(4.44)
Rezultă:
zPz
yPy
xPx
RM
RM
RM
(4.45)
Înlocuind valorile din relația (4.43) în (4.45) se obține ecuația axei
centrale , care este de fapt ecuația unei drepte în spațiu:
zx y z
yz x y
xy z x
RyR xR M
RxR zR M
RzR yR M ) ( ) ( ) (
(4.46)
Mecanică. Teorie și aplicații
39
4.1.10. Cazurile de reducere ale unui sistem de forțe
oarecare
Sisteme echivalente
Conform proprietăților de reducere ale unui sistem de forțe aplicat
unui rigid , pot fi deduse cele patru cazuri posibile de reducere ale
sistemului, la cel mai simplu sistem echiv alent:
Cazul 1:
0R ;
0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
nul, atunci sistemul dat este egal cu un sistem de forțe în
echilibru . În acest caz, rigidul asupra căruia acționează acest tip
de sistem de forțe este în echilibru.
Cazul 2:
0R ;
0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
format din momentul rezultant
OM , atunci respectivul s istemul
de forțe este echivalent cu un cuplu de forțe care acționează
într-un plan perpendicular pe
OM .
Cazul 3:
0R ;
0OM . Dacă t orsorul sistemului de forțe este
format din forța rezultantă
R , atunci sistemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată în O.
Cazul 4:
0R ;
0 MO . În cazul în care cele două elemente
ale torsorului sunt diferite de zero, atunci avem:
Subcazul 4a:
0OMR , în care c ei doi vectori sunt
ortogonali. În acest subcaz, s istemul de forțe este echivalent
cu o forță unică
R , având ca suport axa centrală , în vreme ce
momentul minim
minM are valoarea nulă.
Subcazul 4b:
0OMR , în care între cei doi vectori se
formează un unghi
2/ . În acest subcaz, s istemul de
forțe este echivalent cu un torsor minim pe axa centrală, adică
are o forță
R și un moment minim
minM . Acest tip de sistem
imprimă corpului o mișcare elicoidală în jurul axei centrale.
Dorel STOICA
40
4.2. Reducerea sistemelor particulare de forțe
4.2.1. Reducerea sistemelor de forțe concurente
Un sistem de forțe concurente este acel sistem care acționează
asupra unui rigid, cu condiția ca suporturile lor sunt concurente într -un
punct.
Fie un sistem de forțe
iF , aplicate unui rigid în punctele Ai, (i = 1, 2,
…, n) , cu suporturi concurente în punctul O (fig. 4.10).
Datorită faptului că f orțele
iF sunt vectori alunecători , pot fi
deplasate pe suporturile lor până când punctele Ai coincid cu punctul O.
În acest caz, t orsorul în punctul O pentru acest sistem de forțe este:
0Oi
OMF R
(4.47)
Fig. 4. 10. Sistem de forțe concurente
Se construiește rezultanta
R , care reprezintă t orsorul minim , iar axa
centrală va deveni suportul al rezultantei.
Pot fi aplicate în acest caz două cazuri de reducere , și anume :
Cazul 1 :
0R ;
0OM , caz în care s istemul de forțe este
echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2:
0R ;
0OM , caz în care sistemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată în O.
Mecanică. Teorie și aplicații
41
4.2.2. Reducerea sistemelor de forțe coplanare
Forțele ale căror suporturi sunt situate în același plan [ P] poartă
denumirea de forțe coplanare . Dacă se reduce sistemul de forțe în punctul
O, aflat pe planul [P], se va obține torsorul sistemului pentru punctul O.
Acesta este format din forța rezultantă
R și momentul rezultant
OM ,
perpendicular pe planul forțelor (momentul rezultant
OM , reprezintă suma
vectorială a momentelor forțelor din sistem, calculate în raport cu punctul O
și care sunt prin definiție, perpendiculare pe planul forțelor).
Trinomul invarian t este
0OMR .
În cazul sistemelor de forțe coplanare se pot aplica cazurile de
reducere de mai jos:
Cazul 1:
0R ;
0OM , caz în care avem de -a face cu un
sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2:
0R ;
0OM , caz în care s istemul de forțe dat este
echivalent cu un cuplu de forțe de moment
OM care acționează
perpendicular pe planul forțelor.
Cazul 3:
0R ;
0OM , caz în care s istemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată pe axa centrală care
trece prin O.
Cazul 4:
0R ;
0OM ;
0OMR , caz în care s istemul de
forțe este echivalent cu o forță unică
R , aplicată pe axa
centrală.
Dacă se studiază din punct de
vedere analitic sistemul de forțe coplanar
(fig.4.11) , se consideră ca plan al forțelor
planul Oxy, de ecuație, z = 0 . Forțele
iF
și vectorii de poziție
ir , ai punctelor de
aplicație Ai, ale forțelor au expresiile:
jyixrjFiFFi i i iy ix i ;
(4.48)
Fig. 4. 11. Sistem de forțe
coplanar
Dorel STOICA
42
kMkMkFy Fx
F Fy xkj i
Fr MjRiRjF iF F R
O z ixi iyi
iy ixi i i i Oy x iy ix i
O) (
00 (4.49)
Dacă se aplică cazul 4 de reducere , și anume
0R ;
0OM ;
0OMR
, axa centrală se obține din ecuația generală a acesteia (4.45),
termenii ecuați ei fiind dați de relația (4.49), adică:
0) ( 0 0 x y O
y xyR xR M
R R
(4.50)
sau:
x y O yR xR M
(4.51)
4.2.3. Reducerea sistemelor de forțe paralele
Dacă suporturile sistemului de forțe
iF , (i = 1, 2, …,n) unt paralele
cu o direcție comună de versor
u, atunci se consideră că acestea
formează un sistem de forțe paralele (fig.4.12).
În acest caz, O forță
iF din acest sistem poate fi definite în funcție
de versorul
u , astfel:
uF Fi i
(4.52)
unde Fi este o mărime algebrică, fie pozitivă , fie negativă, în funcție
de orientarea forței versorului
u (în același sens sau în sens contrar ).
În acest caz, r ezultanta sistemului este:
uF uF F Ri i i ) (
(4.53)
Scalarul rezultantei este egal cu suma algebrică a scalarilor forțelor.
Momentul rezultant în punctul O este:
urF uFr Fr Mii i i i i O ) ()(
(4.54)
Datorită coliniarității a doi termeni din produsul mixt , trinomul
invariant are expresia:
0 ) () ( u rF uF MRii i O
(4.55)
Mecanică. Teorie și aplicații
43
Fig. 4. 12. Sistem de forțe paralele
Pentru un sistem de forțe paralele, c azurile de reducere sunt:
Cazul 1:
0R ;
0OM , în care s istemul de forțe este
echivalent cu un sistem de forțe în echilibru.
Cazul 2:
0R ;
0OM , în care sistemul dat este echivalent
cu un cuplu de forțe de moment
OM perpendicular pe direcția forțelor.
Cazul 3:
0R ;.
0OM , în care s istemul de forțe este
echivalent cu o forță unică
R , aplicată în O.
Cazul 4:
0R ;
0OM ;
0OMR , în care s istemul de
forțe este echivalent cu o forță unică
R , aplicată pe axa centrală.
Axa centrală este reprezentată de locul geometric al punctelor în
care momentul este nul, datorită faptului că
0OMR .
Axa centrală poate fi aflată cu ajutorul relației (4.43) , care exprimă
momentul într -un punct curent P situat pe axă , în care
r OP este
vectorul de poziție al acestui punct.
0 R OP M MO P
(4.56)
Dorel STOICA
44
Înlocuind pe
R și
OM cu expresiile date de relațiile (4.53) și (4.54),
obținem:
0) ( ) ( uF rurFi ii
(4.57)
Dacă în al doilea produs vectorial se schimbă poziția factorului scalar,
atunci :
0 ) ( ) ( urF urFi ii
0 ) ( urF rFi ii
(4.58)
În cazul în care produsul vectorial este nul, cei doi vectori sunt coliniar i.
u rF rFi ii '
(4.59)
Vectorul de poziție al punctului curent P, de pe axa centrală este:
uF FrFr
i iii
'
(4.60)
Dacă notăm
iF' , rezultă:
uFrFr
iii
(4.61)
Relația (4.61) este ecuația vectorială a axei centrale , reprezentată în
fig. 4.12, și care este o dreaptă paralelă cu direcția comună a sistemului de
forțe dată de versorul
u care trece printr -un punct fix C. Acest punct
poartă denumirea de centrul forțelor paralele .
Vectorul de poziție al centrului forțelor paralele este:
iii
CFrFr
(4.52)
Coordonatele centrului forțelor paralele C sunt:
iii
C
iii
C
iii
CFzFzFyFyFxFx ; ;
(4.63)
Mecanică. Teorie și aplicații
45
Proprietățile centrului forțelor paralele
1. În cazul în care toate forțele componente sunt rotite în același
sens și cu același unghi, atunci i axa centrală se va roti în același sens și cu
același unghi . Datorită faptului că vectorul
Cr nu depinde de versorul
direcției comune , rezultă că axa va trece întotdeauna prin punctul C.
2. În cazul în care toate forțele sunt multiplicate sau împărțite cu
același raport k, poziția centrului forțelor paralele nu se schimbă.
Înlocuind forțele
iF cu
iFk obținem:
C
iii
iii
C rFkrFk
kFrkFr
'
3. Datorită faptului că Centrul forțelor paralele este o caracteristică
esențială a sistemului de forțe, acesta nu depinde de sistemul de referință .
Fie noua origine a sistemului, O’ și
OrOO' . Vectorii de poziție ai
punctelor de aplicație ale forțelor în raport cu noua origine pot fi scriși sub
forma:
i O i rr'r . În acest caz, v ectorul de poziție al centrului forțelor
paralele raportat la noul sistem va deveni :
C O
iii
ii O
ii Oi
iii
C rrFrF
FFr
FrrF
FrFr
) ( ''
Cu alte cuvinte, chiar dacă vectorul de poziție al centrului forțelor
paralele s -a modificat la fel ca pentru oricare punct Ai. poziția centrului C
față de punctele Ai nu rămâne neschimbată .
4. Vectorii forță sunt vectori legați . Din cauză că centrul forțelor
paralele are o existență intrinsecă, rezultă că poziția acestuia este în funcție
de poziția punctelor de aplicație și scal ării forțelor. În cazul în care se
consideră că forțele sunt vectori alunecători , atunci punctul C nu mai are
semnificație.
4.2.4. Reducerea forțelor paralele distribuite
Forțele paralele, perpendiculare pe segmentul de dreaptă AB, situat
pe axa Ax, de lungime l, sunt distribuite după o lege de variație, p = p(x)
(fig.4.13). Se urmărește determinarea rezultantei,
R și poziția centrului
forțelor paralele, xC.
Notăm prin p(x), forța pe unitatea de lungime la distanța x, de
capătul A, măsurată în N/m. Mărimea rezultantei
R se obține prin
integrarea pe lungimea x, a forței elementare, dR, creată de forța
distribuită p(x) considerată constantă pe elementul infinitezimal dx.
Dorel STOICA
46
l
AB dxxp dR R
0)( (4.64)
Expresia poziției centrului forțelor
paralele distribuite pe C se definește prin
abscisa, xC, adică:
ll
ABAB
C
dxxpxdxxp
dRxdRx
00
)()(
(4.65)
Suportul rezultantei R trece prin centrul C de greutate al suprafeței,
mărimea acesteia fiind de fapt aria câmpului de distribuție al forței .
Ținând cont de legea variație i forțelor distribuite , se pot lua în
considerare cazurile de mai jos :
a. Forță distribuită uniform , caz în care for ța este constant
distribuită pe lungimea barei (fig. 4.14), iar legea de variație este :
p(x) = p = ct . (4.66)
pl px pdx Rll
00
(4.67)
22
002
00 l
xx
pdxpxdx
xll
ll
C
(4.68)
Sarcină uniform distribuită înseamnă că este echivalentă cu sarcină
concentrată R = pl aplicată la mijlocul porțiunii încărcate.
b. Forță distribuită triunghiular . În acest caz, v aloarea maximă
a forței distribuite este p (fig.4.15) , iar lege a de variație pe
lungimea barei este :
lxp)x(p
(4.69)
Fig. 4. 13. Forțe paralele
Fig. 4. 14. Forță uniform
distribuită
Mecanică. Teorie și aplicații
47
2 202
0pl
lpxdxlxp Rl
l
(4.70)
32
23
0203
00 l
xx
dxlxpxdxlxp
xll
ll
C
(4.71)
Sarcina distribuită triunghiular este echivalentă cu forță de mărime
2plR
, aplicată la distanța
l xC32 , de capătul A.
c. Forță distribuită parabolic . În acest caz, v aloarea maximă a
forței distribuite este p (fig. 4.16), iar legea de variație pe
lungimea barei este:
22
)(lxp xp
(4.72)
3 3023
022pl
lpxdxlxp Rl
l
(4.73)
43
34
0304
022022
l
xx
dxlxpxdxlxp
xll
ll
C
(4.74)
Sarcina distribuită parabolic este echivalentă cu sarcina concentrată
de mărime,
3plR , aplicată la o distanță
l xC43 , de capătul A.
Fig. 4. 15. Forță
distribuită triunghiular
Fig. 4. 16. Forță distribuită
parabolic
Dorel STOICA
48
4.5. Centre de greutate (centre de masă)
Se știe că toate corpurile de pe suprafața Pământului sunt supuse
forței de atracție a acestuia, adică asupra unui corp de masă m se exercit ă
o forță, proporțională cu masa corpului, numită greutate.
gmG
(4.75)
unde
g , este accelerația pământului, formată de rezultanta dintre
accelerația gravitațională ( adică a forței gravitațional e) și accelerația de
transport ( rezultanta mișcării de rotație a Pământului).
Este cunoscut faptul că v aloarea accelerației terestre
g variază în
funcție de latitudine și altitudine, dar din cauză că aceste variații sunt mici,
s-a convenit să fie neglijate. În consecință, în calcule se consideră că
valoarea medie g = 9,81 m/s2.
De asemenea, datorită faptului că raportul dintre dimensiunea
corpurilor folosite în ge neral și dimensiunea pământului este foarte mic, s -a
convenit să se considere că greutățile forțelor, a căror vector este îndreptat
după verticala locului, sunt paralele. S -a ajuns astfel ca această problemă
să reprezinte de fapt un caz particular de forțe paralele, prezentat mai jos.
4.5.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte
materiale
Fie un sistem de puncte materiale A i de mase m i și vectori de poziție
ir
, (i = 1, 2, …,n), în raport cu originea O a sistemului de axe.
Greutatea sistemului este:
Mg mggm G Gi i i .
(4.76)
Greutatea va fi aplicată în centrul forțelor paralele de greutate,
iG
(fig. 4.26), adică în centrul de greutate al sistemului.
Mecanică. Teorie și aplicații
49
Fig. 4. 17.
Vectorul de poziție al centrului de greutate C, conform relației (4.52)
este:
iii
CGrGr
(4.77)
Dacă se înlocuiește relația (4.76) în (4.77) , se obține :
iii
iii
iii
Cmrm
gmrgm
GrGr
(4.78)
Aceasta este demonstrația faptul ui că centrul de greutate C este un
element geometric, care depinde de modul de distribuire a maselor din
punctele A i, justificându -se deci denumirea de centrul de masă.
Proiecțiile pe axe ale vectorului
Cr sunt coordonatele centrului de
masă:
iii
C
iii
C
iii
Cmzmzmymymxmx ; ;
(4.79)
Expresiile
iixm ,
iiym ,
iizm se numesc momente statice ale
sistemului față de planele
Oyz ,
Oxz și
Oxy , iar expresia
iirm
reprezintă momentul static al sistemului față de punctul O.
Cu ajutorul acestor mărimi se poate caracteriza felul în care este
distribuită masa unui sistem de puncte materiale.
Din relațiile (4.78) și (4.79) rezultă că:
C ii rMrm
;
C ii Mxxm ;
C ii Myym ;
C ii Mzzm (4.80)
Dorel STOICA
50
Aceasta este teorema momentului static , adică momentul static al
unui sistem de puncte materiale în raport cu un punct este egal cu masa
sistemului înmulțită cu vectorul de poziție al centrului de greutate în raport
cu acel punct . Altfel spus, momentul static al unui sistem de puncte
materiale în raport cu un plan de referință este egal cu masa sistemului
înmulțită cu distanța de la centrul său de greutate la acel plan.
4.5.2. Centrul de greutate al corpurilor
S-a convenit ca î n mecanică să se admită că toate corpurile rigide
sunt dintr -un material nedeformabil, adică fiecare punct al corpului,
considerat la scară macroscopică , are masă, distanțele dintre aceste puncte
rămânând aceleași oricare ar fi efortul care acționează asupra corpului.
Pentru a stabili o legătură cu rezultatele obținute în cazul sistemelor
de n puncte materiale, se consideră corpul divizat în volume elemen tare
iV
, care au masa
im . Vectorul de poziție al centrului de greutate,
conform relației (4.78) este:
ii i
Cmmrr
(4.81)
Trecând la limită, când
0im și
n , atunci sumele din
relația (4.81) devin integrale definite pe domeniul ocupat de corp. Acest
domeniu se notează cu (D) în cazul general, iar în cazul barelor, plăcilor și
al blocurilor, respectiv cu ( l ), (S) și (V). Astfel se obțin:
DDi
cdmdmr
r
;
DDi
dmdmx
;
DDi
dmdmy
;
DDi
dmdmz
(4.82)
În relația (4.83)
ir ,
ix,
iy,
iz sunt vectori de poziție, adică sunt
coordonate ale centrului de g reutate al elementului de masă dm considerat.
Expresiile
)(Ddmx ,
)(Dydm ,
)(Ddmz reprezintă momentele
statice ale corpurile în raport cu planele axelor Oyz, Oxz, Oxy, iar
)(Ddmr
reprezintă momentul static în raport cu punctul O.
Din relațiile (4.82) se deduce teorema momentului static în cazul
corpurilor , și anume:
c D rM dmr)(
;
M dmxD)( ;
M dmyD)( ;
)(D M dmz (4.83)
Mecanică. Teorie și aplicații
51
Relația (4.83 ) se poate enunța identic ca în caz ul sistemelor de
puncte materiale.
În vederea studiul ui centrului de greutate al corpului , este necesar ă
introducerea noțiunii de densitate medie (altfel spus masă volumică medie),
definită conform relației :
ii
medVm
(4.84)
Trecând la limită, când
0iV se obține densitatea (masa
volumică) :
dVdm
(4.84)
În mecanică, corpurile se împart în bare (linii materiale), plăci
(suprafețe materiale) și blocuri (volume materiale) .
Ele se definesc conform tabelului de mai jos:
Corp Densitate Densitate medie
Bare
dsdm
l
sm
medl
Plăci
dAdm
A
dAdm
medA
Blocuri
Vm
med
Dacă corpurile sunt omogene și izotrope , se consideră că densitatea
este constantă, altfel spus
const .
Dacă corpurilor sunt neomogene, atunci densitatea variază:
),,( zyx
(4.85)
Analizând relațiile (4.82) până la (4.85) se obține:
pentru bare omogene
dsdsrrc
, (4.86)
Dorel STOICA
52
respectiv :
dsdsx
,
dsdsy ,
dsdsz ; (4.87)
pentru plăci omogene:
ss
cdAdAr
r
, (4.88)
respectiv:
ss
dAdAx
,
ss
dAdAy ,
ss
dAdAz ; (4.89)
pentru blocuri omogene
VV
cdVdVrr
, (4.90)
respectiv:
VV
dVdVx
,
VV
dVdVy ,
VV
dVdVz ; (4.91)
Se deduce din relațiile (4.86) până la (4.91) faptul că, pentru
corpurile omogene, centrul de greutate are un caracter geometric , în vreme
ce pentru corpurile neomogene, se poate scrie:
DD
cdVzyxdVrzyxr,,,,
(4.92)
respectiv:
DD
dVzyxdVxzyx
,,,,
,
DD
dVzyxydVzyx
,,,,
,
DD
dVzyxdVzzyx
,,,,
(4.93)
Principalele proprietăți ale centrului de greutate sunt:
ca și în cazul centrul ui forțelor paralele , poziția centrului de
greutate nu depinde de sistemul de axe ales, reprezentând deci
un punct intrinsec al sistemului.
Mecanică. Teorie și aplicații
53
în cazul în care corpul admite un plan de simetrie (geometric și
masic) , centrul de greutate se află în acest plan.
4.5.3. Teoremele Pappus – Guldin
Teorema 1. Aria suprafeței generată prin rotirea completă a arcului
de curbă în jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează , este
egală cu produsul dintre lungimea arcului de curbă și lungimea cercului
descris de centrul de greutate al curbei.
Elementul de arc MM’ = dl generează prin rotație, o suprafață conică
având ge neratoarea dl și raza medie y (fig.4.27, a).
ydl dA2
(4.94)
Prin integrare rezultă aria:
ly ydl ydl AC l l 2 2 2)( )(
(4.95)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
ly ydlC l)(
(4.96)
Teorema 2. Volumul generat prin rotirea completă a suprafeței în
jurul unei axe din planul său, pe care nu o intersectează , este egal cu
produsul dintre aria suprafeței respective și lungimea cercului descris de
centrul de greutate al suprafeței.
Volumul elementar dV care rezultă prin rotirea completă a elementului
de suprafață dA poate fi considerat ca diferența volumelor a doi cilindri
elementari de înălțime dx și raze ( y+dy), respectiv y (fig.4.27, b) .
dA ydxdy dxy dxdyy dV 2 2 ) (2 2
(4.97)
În relația (4.97), t ermenul
0 )(2dxdy are în produs un infinit
mic, de ordin superior.
Volumul total este:
Ay ydA ydA dV VC A A A 2 2 2)( )( )(
(4.98)
întrucât, conform teoremei momentelor statice,
Ay ydAC A)(
(4.99)
Dorel STOICA
54
Fig. 4. 18. Teoremele Pappus – Guldin
4.6. Centre de masă pentru corpuri uzuale
1. Arc de cerc
Fie arcul de rază R definit la centrul
cercului de unghiul 2 α, (fig.4.28).
sincos
R
RdRd R
dlxdl
,
. =, cos=
Rd dlRx
Distanța pe bisectoare de la centrul cercului la centrul de masă este:
sinROC
(4.100)
Fig. 4. 19.
Mecanică. Teorie și aplicații
55
2. Sector de cerc
Fie sectorul de cerc de rază R,
delimitat la centru de unghiul 2 α,
(fig.4.29)
2
0
0cos
cos
2 cos
3R
RxdA r rd dr
dA rd dr
r dr d
R
rdr d
unde:
drrd dA ; dA – element de arie.
Distanța , pe direcția bisectoarei, de la centrul cercului până la centrul
de masă se află în funcție de jumătate din unghiul la centru:
cos
32ROC
. (4.101)
3. Con
Fie un con circular drept, omogen, de
înălțimea h (fig. 4.30). La o distanță
considerată z de vârf se construiește un
element de volum definit de 2 secțiuni paralele
cu baza la distanța dz între ele , și care poate fi
aproximat cu un cilindru de rază r. Centrul de
masă se află pe axa Oz, care este și axă de
simetrie. Se ține cont de proporționalitatea
hz
Rr=
de unde
zhRr= și deci
2
22
= zhRdV .
Cota
a centrului maselor este:
dzrdzrz
dvzdy
22
. (4.102)
Centrul maselor unui con se află pe axa lui de simetrie la o distanță
de
h43 de vârf și
4h de bază.
Fig. 4. 20
Fig. 4. 21.
Dorel STOICA
56
4. Semisfera
Fie un element de volum între două
secțiuni paralele cu baza la distanța dz și
înălțime z, (fig. 4.31). Acesta poate fi
aproximat cu un cilindru de volum
dzr dV2=
, unde r se exprimă în
funcție de R ,
2 2 2z R r .
Centrul de masă s e află pe axa de
simetrie (axa Oz).
83
02 202 2
R
dzz Rdzr Rz
dvzdv
RR
. (4.103)
Rezultă
83=R de bază.
Fig. 4. 22
Mecanică. Teorie și aplicații
57
V. Echilibrul rigidului
5.1. Echilibrul rigidului liber
Rigidul liber este un corpul care poate ocupa orice poziție în spațiu.
Poziția rigidului liber depinde numai de sistemul de forțe care acționează
asupra lui.
Condiția necesară și suficientă pentru ca un rigid liber să fie în
echilibru este ca torsorul sistemului de forțe care acționează asupra
acestuia să fie nul în orice punct. Uzual, torsorul se determină alegându -se
ca punct de calcul originea O a sistemului de axe respectiv.
00
OOMR
(5.1)
Dacă se consideră că:
i i i Oi
M Fr MF R
(5.2)
Atunci condițiile din relația (5.1) sunt:
00
ii
MF (5.3)
Pentru un rigid asupra căruia acționează un sistem de forțe spațial
(rigid în spațiu), ecuațiile scalare de echilibru sunt:
000
iziyix
FFF
000
iziyix
MMM (5.4)
Pentru un rigid asupra căruia acționează de un sistem de forțe
coplanar (rigid în plan), ecuațiile scalare de echilibru sunt:
Dorel STOICA
58
000
iziyix
MFF (5.5)
În problemele referitoare la echilibrului unui rigid liber există două
cerințe:
a. Fie se cunosc forțele care acționează asupra rigidului și trebuie
aflată poziția de echilibru;
b. Fie se cunoaște poziția de echilibru și trebuie aflate forțele care
acționează asupra rigidului.
În general, ambele tipuri de cerințe se pot rezolva dacă sunt implicați
cel mult șase termeni scalari necunoscuți pentru rigidul asupra căruia
acționează un sistem de forțe spațial, și cel mult trei termeni scalari
necunoscuți pentru rigidul a supra căruia acționează un sistem de forțe
coplanar.
Pentru problemele în care se cunosc forțele, poziția de echilibru, se
determină datorită faptului că ea are șase termeni scalari independenți
pentru rigidul asupra căruia acționează un sistem de forțe sp ațial și trei
termeni scalari independenți pentru rigidul în plan. Parametrii scalari
independenți poartă denumirea de grade de libertate .
Pentru a se putea stabili poziția unui rigid în spațiu trebuie să fie
cunoscute coordonatele a trei puncte necoliniar e:
)z,y,x(A),z,y,x(A),z,y,x(A333 3 22 2 2 1111
.
Se observă că cele trei coordonate se află în dependență una față de
cealaltă, pentru că distanțele d1, d2, d3, dintre puncte rămân constante
(considerându -se, așa cum am mai spus, că rigidul este nedeformabil).
În consecință s e pot deduce relațiile:
32
3 12
3 12
3 1 1322
2 32
2 32
2 3 3212
1 22
1 22
1 2 21
) () () () () () () () () (
d zz yy xx AAd zz y y xx AAd zz y y xx AA
(5.6)
Datorită faptului că între cei nouă parametri scalari, x1, y1, z1, x2, y2,
z2, x3, y3, z3, se pot scrise trei relații (5.6), înseamnă că doar șase sunt
independenți . Prin urmare, poziția unui rigid liber în spațiu este determinată
de cei șase parametri independenți. S -a demonstrat astfel că: Rigidul liber
în spațiu are șase grade de libertate.
Mecanică. Teorie și aplicații
59
Din punct de vedere practic, numărul gradelor de libertate este dat
de nu mărul deplasărilor (translații și rotații) independente în raport cu axele
de coordonate.
Dar numărul gradelor de libertate pentru un rigid liber în spațiu poate
fi aflat și de alți șase parametri scalari independenți (fig. 5.1):
Figura 5. 1. Numărul
gradelor de libertate
pentru un rigid liber în
spațiu
coordonatele xO, yO, zO ale originii O (aferentă sistemului de axe
Oxyz), solidar cu rigidul, în raport cu triedrul fix O1 x1 y1 z1;
unghiurile Euler:
o – unghiul de precesie (unghiul dintre axa Ox’, paralelă cu
axa O1 x1 și linia nodurilor ON – intersecție a planelor Ox’y’
și Oxy);
o – unghiul de rotație proprie (unghiul dintre linia nodurilor
ON și axa Ox);
o – unghiul de nutație (unghiul dintre axa Oz’, paralelă cu O1
z1 și axa Oz).
Pentru rigidului în plan (se consideră că planul Oxy) este necesar să
se cunoască poziția a două puncte A1(x1, y1) și A2(x2, y2). Dacă se consideră
că distanța d, dintre cele două puncte este constantă, rezultă:
d yy xx AA 2
1 22
1 2 21 ) () (
(5.7)
Așadar, se poate constata că dintre cei patru parametri scalari , x1,
y1, x2, y2, necesari pentru definirea poziției unui rigid în plan, doar trei sunt
independenți . Prin urmare, Rigidul liber în plan are trei grade de libertate.
Problemele în care se cunoaște poziția de echilibru și trebuie aflate
forțele care acționează asupra rigidului (b) se pot rezolva dacă numărul
necunoscutelor scalare, necesare pentru determinarea forțelor este de cel
mult șase, pentru rigidul în spațiu, sau de cel mult trei, pentru rigidul în plan .
Dorel STOICA
60
5.2 Echilibrul rigidului supus la legături fără
frecare
5.2.1 Generalități
Rigidul supus la legături este acel corp căruia i se impune o restricție
geometrică. Pentru studiul echilibrului rigidului supus la legături se aplică
axioma legăturilor, în baza căreia legătura este înlăturată și înlocuită cu
efectul mecanic al acesteia, forțe și momente corespunzătoare.
Aplicând aceste operații, problema devine identică cu cea a unui r igid
liber.
Un rigidul care este supus la legături este acționat:
Fie de forțe și momente
exterioare, direct aplicate;
Fie de forțe și momente de
legătură.
Se consideră un corp ( C), care
are ca legături corpul C1 (fig. 5.2). Se
studiază echilibrul corpului ( C),
constatându -se că torsorul de reducere
în punctul teoretic de contact, O, al
forțelor exterioare T 0 este format de
R
și
0M , pe când torsorul forțelor de
legătură
O este format din
R și
0M .
OOMRT
OOMR
(5.8)
Condiția de echilibru se exprimă cu ecuațiile vectoriale (5.9), care în
cazul general conduc la șase ecuații scalare de echilibru.
0OM0R
OMR
(5.9)
Figura 5. 2. Rigid supus la
legături
Mecanică. Teorie și aplicații
61
5.2.2. Legăturile rigidului
Legăturile unui rigid pot fi: reazemul simplu, art iculația, încastrarea și
prinderea cu fir.
În momentul analizării legăturilor unui rigid trebuie urmărite atât
aspectul geometric – care se referă la gradele de liberate care îi rămân
rigidului după aplicarea legăturilor –, cât și mecanic – care se referă la
elementele mecanice care substituie legăturile. Prin urmare, pentru fiecare
legătură se vor studia cele două aspectele legate d e:
Aspectul geometric , cu accent pe indicarea posibilităților de
mișcare independentă;
Aspectul mecanic, și anume forțele și m omentele pe care le
introduce legătura.
De cunoaște că o forță produce o mișcare de translație în lungul
suportului ei, iar un cuplu produce o mișcare de rotație în jurul unei axe
coliniare cu momentul său.
Legăturile în care sunt neglijate forțele de fre care – și, în general, în
probleme acestea sunt neglijate – poartă denumirea de legături fără frecare .
5.2.2.1. Reazem simplu
Legătura prin care un punct al rigidului este obligat să rămână
permanent pe o suprafață dată se numește reazem simplu.
Din cauza rigidității corpurile rezemate nu se întrepătrund, deci din
cele șase mișcări simple pe care le poate efectua un rigid liber, în cazul
rezemării este suprimată translația după direcția normală la planul tangent
comun celor două corpuri în contact, numit pl an de rezemare.
Un rigid rezemat are cinci grade de libertate . Dacă se consideră
suprafața de rezemare planul Oxy, atunci cele cinci grade de libertate ale
rigidului sunt: câte o rotire în jurul axelor Ox, Oy, Oz și câte o translație în
lungul axelor Ox, O y, deoarece pe axa Oz translația este suprimată de
legătură (fig. 5.3.a).
Analizând din punct de vedere geometric , reazemul reduce numărul
gradelor de libertate cu o unitate.
Efectul mecanic al sistemului de forțe care acționează asupra corpului
(C) este de fapt torsorul acestora în punctul teoretic de contact O,
) (O OM,RT .
Cele două elemente ale torsorului se descompun după:
normala comună celor două corpuri în punctul de rezemare On;
dreptele Ot1 și Ot2, obținute ca intersecție dintre planul [ P],
tangent în punctul teoretic de contact cu planele definite de
Dorel STOICA
62
normala On și vectorul
R , respectiv On și vectorul
OM
(fig. 5.3.b).
Figura 5. 3. Reazemul simplu
Rezultă:
t n Ot n
OM M MRRRT
(5.10)
Componenta
nR produce deplasarea corpului( C), pe direcția
normalei la legătură.
Componenta
tR produce deplasarea corpului ( C) pe corpul legătu ră
(C1), după direcția Ot1, situată în planul tangent [ P], numită alunecare .
Componenta
nM produce rotirea corpului ( C) pe corpul legătură ( C1),
în jurul normalei comune celor două corpuri, On, numită pivotare .
Componenta
tM produce rotirea corpului ( C) pe corpul legătură ( C1),
în jurul axei Ot2, situată în planul tangent [ P], numită rostogolire .
Dintre deplasările posibile ale rigidului ( C), legătura ( C1) limitează
doar deplasarea pe direcția normală la legătură, datorită rigidității celor
două corpuri, în sensul pătrunderii corpului ( C), în corpul ( C1), dacă
Mecanică. Teorie și aplicații
63
legătura este unilaterală și în ambele sensuri (de a pătrunde și de a părăsi
legătura) și dacă legătura este bilaterală. Lipsa frecării dintre cele două
corpuri creează posibilitatea efectuării celorlalte mișcări.
Asupra corpului (C) acționează reazemul simplu, cu forța de legătură
normală pe suprafața de rezemare
N , care poartă numele de reacțiune
normală . Sensul reacțiunii normale
N poate fi stabilit doar în cazul
legăturii unilaterale, atunci când sensul este acela în care corpul poate
părăsi legătura.
Torsorul în O al forțelor de legătură este format din reacțiunea
normală,
)(NO .
Exprimată în ecuații vectoriale, condiția de echilibru este:
00
t n tn
M MRR N
(5.11)
Notarea simbolică a reazemul simplu se face printr -un triunghi cu
latura perpendiculară pe reacțiunea normală și cu un vârf în punctul de
rezemare (fig. 5.3.c).
5.2.2.2. Articulația
O altă legătură a rigidului este articulația . Dacă rigidului i se
fixează un punct se numește articulație sferică , iar dacă se fixează printr -o
o axă, se numește articulație c ilindrică .
AArrttiiccuullaațțiiaa ssffeerriiccăă
Atunci când o extremitate a unui rigid (C) este o sferă care intră
într-o cavitate practicată în corpul de legătură tot în formă tot de sferă, se
spune că rigidul respectiv este articulat sferic .
Poziția rigidului cu un punct fix (fig.5.4.a) este determinată de trei
parametri scalari, caz în care corpul are trei grade de libertate ; rotațiile
corpului ( C), în raport cu cele trei axe ale sistemului de coordonate, sau
altfel spus unghiurile Euler:
– – unghi de precesie;
– – unghi de nutație;
– – unghi de rotație proprie.
Analizând din punct de vedere geometric, se observă că articulația
sferică reduce numărul gradelor de libertate ale unui rigid cu trei unități, și
anume cu translațiile corpului ( C) în raport cu cele trei axe de coordonate.
Dorel STOICA
64
Figura 5. 4. Articulația sferică
În vederea studierii echilibrului rigidului, fie torsorul forțelor
) (O OM,RT
direct aplicate în punctul O,. În acest caz, rezultanta forțelor
exterioare,
R are tendința de a imprima corpului ( C), o deplasare, în
raport cu corpul legătură ( C1). Momentul rezultant
OM tinde să rotească
corpul ( C), în raport cu legătura ( C1). Considerându -se că n articulația
sferică nu su nt frecări, rezult că nu exista cupluri care să se opună acestei
mișcări.
Conform principiului acțiunii și al reacțiunii, efectul mecanic al articulației
sferice asupra rigidului ( C) este o forță
R , care are mărime și direcție
necunoscută (fig. 5.4.b). Din această cauză se lucrează cu proiecțiile forței
R
pe direcțiile axelor sistemului de coordonate Oxyz: Rx, Ry, Rz..
Torsorul forțelor de legătură în punctul O este format de r ezultanta
forțelor de legătură,
) (z y x O R R RR , iar condiția de echilibru este
exprimată fie prin ecuațiile vectoriale:
0OMR 0R
(5.12)
fie exprimată prin cele șase ecuații scalare de echilibru:
Mecanică. Teorie și aplicații
65
0000
z y xzyx
M M MRRR
zyx
RRR (5.13)
AArrttiiccuullaațțiiaa cciilliinnddrriiccăă
În cazul articulației cilindrice spațiale , extremitatea O, a corpului
(C) este prevăzută cu un cilindru (fus), montat coaxial în interiorul unei
cavități tot cilindrică (lagăr), practicată în corpul legătură ( C1), în raport cu
care se poate roti și deplasa (fig. 5.5.a).
Figura 5. 5. Articulația cilindrică spațială
Se observă că există două mișcări posibile în raport cu axa articulației
Oz ale corpului ( C) în raport cu legătura ( C1), rotația și translația. Acestea
reprezintă cele două grade de libertate ale rigidului.
Din punct de vedere geometric, articulația cilindrică spațială reduce
numărul gradelor de libertate ale r igidului cu patru unități.
Din punct de vedere mecanic, observându -se că forțele de legătură
care acționează pe suprafața cilindrică întâlnesc axa articulației, rezultă că,
o articulație cilindrică poate fi înlocuită de obicei, cu o forță
R și un cuplu
de moment
OM , mărimi necunoscute și situate într -un plan normal la axa
articulației Oz. De obicei se lucrează cu componentele pe axe ale celor
două elemente ale torsorului forțelor de legătură (fig. 5.5.b):
Dorel STOICA
66
y x Oy x
OM M MR RR
(5.14)
Deoarece torsorul în punctul O al forțelor direct aplicate rigidului ( C),
exprimat în funcție componente pe axele sistemului triortogonal Oxyz este:
z y x Oz y x
OM M M MR R RR
T
(5.15)
condițiile de echilibru pot fi exprimate sub formă vectorială cu ajutorul
relațiilor (5.9).
Dacă se proiectează ecuațiile vectoriale (5.15) pe axele sistemului
Oxyz, rezultă cele șase ecuații scalare de echilibru:
000
zyx
RRR
yx
RR
000
zyx
MMM
yx
MM (5.16)
Pentru o funcționare corectă a articulației cilindrice, adică în vederea
evitării unui blocaj al fusului în lagăr, în tehnică se iau măsuri și în ceea ce
privește punctul de vedere constructiv, și în ceea ce privește solicitările
rigidului, urmărindu -se ca momentul de legătură
OM să fie nul. Conform
acestor condiții, torsorul forțelor de legătură este constituit numai din
rezultanta forțelor de legătură,
) (y x O R RR , caz în care ecuațiile
scalare de echilibru (5.16) devin:
000
z y x zyx
M M M RRR
yx
RR
(5.17)
În unele aplicații practice se poate întâlni și cazul în care un rigid,
care are o articulație cilindrică, este acționat de un sistem de forțe situate
într-un plan normal la axa de rotație (fig. 5.6.a). Este cazul rigidului în plan,
când din cauză că translația în lungul axei nu este posibilă, singura
posibilitate de mișcare rămâne rotația în raport cu axa articulației, corpul
având un singur grad de libertate .
Mecanică. Teorie și aplicații
67
a) b) c)
Figura 5. 6. Articulația cilindrică plană
Articulația cilindrică plană este acea articulație care limitează
deplasarea pe direcția normală la axa articulației, moment în care apar
două necunoscute: mărimea și direcția reacțiunii
R , dată de unghiul ,
format cu o direcție de referință.
În acest caz este de preferat lucrul cu componentele reacțiunii
R pe
două direcții perpendiculare (orizontală și verticală),
H și
V (fig. 5.6.b),
elementele torsorului forțelor direct aplicate și al forțelor de legătură
devenind:
kO z Oy x
OMM MRRR
T
;
) ( VHRO (5.18)
Condițiile vectoriale de echilibru ale rigidului în plan sunt:
0OMR 0R
(5.19)
Ecuațiile vectoriale de echilibru proiectate pe axele sistemului Oxy, în
care se află rigidul (5.19) devin:
00V0H
Oyx
MRR
(5.20)
Notarea simbolică se face printr -un triunghi cu un cerc în vârf, în care
cele două reacțiuni,
H și
V, converg (fig. 5.6.c).
Dorel STOICA
68
5.2.2.3. Încastrarea
Legătura prin care un corp este fixat în alt corp de legătură în așa fel
încât să nu fie permisă nicio deplasare poartă numele de încastrare . În
consecință, conform definiției, în cazul încastrării se suprimă toate gradele de
libertate ale rigidului ( C).
Pentru a se putea studia forțele și momentele existente într -o
încastr are, se ia în considerare forțele de legătură locale
iR , pe care
legătura ( C1) le exercită asupra rigidului ( C), în regiunea în care acestea vin
în contact (fig. 5.7.a).
a) b)
Figura 5. 7. Încastrarea spațială
Torsorul în punctul O (de obicei, centrul de greutate al secțiunii
transversale a corpului în dreptul încastrării) al forțelor direct aplicate, T 0 și
torsorul forțelor de legătură, O au expresiile:
i ii
FrF
OOMRT
i i Oi
ORr MR R
' (5.21)
Condiția de echilibru este exprimată prin ecuațiile vectoriale (5.9).
Datorită faptului că vectorii
R și
OM au mărimi, suporturi și
sensuri necunoscute, vor fi î nlocuiți prin componente după direcții
cunoscute.
Dacă forțele direct aplicate unui rigid încastrat formează un sistem de
forțe spațial, atunci încastrarea se numește spațială . Dacă sistemul de
forțe care acționează asupra rigidului formează un sistem de f orțe coplanar,
atunci încastrarea este plană .
Mecanică. Teorie și aplicații
69
Din punct de vedere geometric, încastrarea spațială reduce numărul
gradelor de libertate cu șase unități.
La încastrarea spațială, elementele torsorului în O, al forțelor de
legătură
R și
OM sunt exprimate prin componentele pe cele trei axe ale
sistemului Oxyz, care se opun celor șase posibilități de mișcare, fiind
introduse șase necunoscute scalare: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz (fig. 5.7.b).
Elementele torsorului în punctul O ale forțelor direct aplicate și de
legătură au expresiile:
z y x Oz y x
OM M M MRRRR
T
z y x Oz y x
OM M M MR R RR
(5.22)
Ecuațiile scalare de echilibru ale rigidului încastrat spațial devin:
000
zyx
RRR
zyx
RRR
000
zyx
MMM
zyx
MMM (5.23)
Analizând punct de vedere
geometric, se observă că încastrarea
plană reduce numărul gradelor de
libertate cu trei unități.
Dacă se consideră planul forțelor
planul Oxy, în încastrarea plană
elementele torsorului în O, ale forțelor de
legătură,
R și
OM sunt în funcție de
componentele pe axele sistemului Oxy,
care se opun celor trei posib ilități de
mișcare. În consecință sunt introduse trei
necunoscute scalare: H, V și MO (fig. 5.8).
Elementele torsorului în punctul O,
ale forțelor direct aplicate și de legătură
au expresiile:
kO z Oy x
OM M MR RR
T
(5.24)
kM M MVHR
O z OO
Figura 5. 8. Încastrarea plană
Dorel STOICA
70
Pentru rigidul încastrat în plan, ecuațiile scalare de echilibru sunt:
000
OMVH
Oyx
MRR
(5.25)
5.2.2.4. Prinderea cu fir
Prinderea cu fir este o
legătură deosebită, echivalentă cu
o rezemare unilaterală a unui punct
material, pe o sferă de rază egală
cu lungimea firului.
Prinderea cu fir este atunci
când forța care acționează asupra
corpului este un fir, caz în care
sensul forței este înspre punctul de
suspendare al firului, iar firul , care
este legat de rigid, se întinde.
(fig. 5.9).
Observații :
1. Suma dintre numărul reacțiunilor introduse de legătură și
numărul gradelor de libertate pe care le are rigidul în momentul în care
legătura este aplicată, este egală cu șase – reprezentând nu mărul gradelor
de libertate ale rigidului liber – în cazul rigidului asupra căruia acționeaz ă
forțe spațiale, și trei, în cazul în care rigidul este acționat de forțe
coplanare.
2. Atunci când reacțiunea este negativă, rezultă că ea acționează
în sens contrar celui considerat.
3. Atunci când rigidul considerat în plan (pe Oxy), nu mai este
necesar să se noteze sistemul de axe. La notarea ecuațiilor scalare de
echilibru, se va considera axa Ox, orizontală, cu sens pozitiv spre stânga, și
axa Oy, verticală, cu sens pozitiv în sus. Punctul O (originea sistemului de
axe) va reprezenta punctul de referință pentru calcularea momentelor
forțelor, care se vor considera pozitive atunci când sensul de rotație este
antiorar.
Figura 5. 9. Prinderea cu fir
Mecanică. Teorie și aplicații
71
5.2.3 Cazurile particulare de echilibru
5.2.3.1. Echilibrul rigidului rezemat pe un plan
Fie un rigid de formă oarecare, acționat de sistemul de forțe
nF FF …,,2 1
, rezemat în punctele A1, A 2, … A n, pe un plan fix Oxy,
reazemele fiind unilaterale (fig. 5.10). Față de sistemul de axe ales,
coordonatele punctelor de rezemare sunt: A1(x1, y1, 0), A2(x2, y2, 0), …
An(xn, yn, 0).
Figura 5. 10.
Rigid rezemat pe un
plan, cu reazeme
unilaterale
Torsorul în punctul O, pentru forțele direct aplicate este format din
rezultanta
F și momentul
OM .
kMjMiM MkFjFiFR
z y x Oz y x
O
(5.26)
La eliberarea reazemelor (a corpului de legături) se ține seama de
forțele de legătură
nN NN …,,2 1 , care sunt paralele cu Oz și au sensul de
orientare spre rigid, reprezentate de reacțiunile normale pe planul de
rezemare.
În acest caz, ecuațiile de echilibru sunt:
0 :00 :00 :0
i z zy yx x
N F FF FF F
0 :00 :00 :0
z zii y yii x x
M MxN M MyN M M (5.27)
Dorel STOICA
72
În aceste ecuații (5.27), condițiile de echilibru sunt evidențiate în
prima, a doua și în ultima ecuație, de unde se poate deduce, ca primă
concluzie a condițiilor de echilibru, că:
Sistemul de forțe direct aplicate ri gidului trebuie să se reducă la o
forță unică, normală pe planul de sprijin.
După introducerea rezultatelor din ecuațiile de echilibru (5.27) în
expresia axei centrale, se observă că ecuația axei centrale reprezintă
totodată și coordonatele forțelor paralele
nN NN …,,2 1 , aplicate în punctele
A1, A2, … A n, și anume:
iii
iii
NyNyNxNx ;
(5.28)
În vederea calculării reacțiunilor
iN se vor folosii ecuațiile trei, patru
și cinci ale ecuațiilor de echilibru (5.27).
În Statică se consideră că în cazul în care rig idul este rezemat pe mai
mult de trei puncte, problema nu poate fi determinată. Dar, pentru rigidul
care se reazemă în trei puncte ( n = 3), ecuațiile de echilibru sunt:
xyz
M yNyNyNMxNxNxNF N NN
33 22 1133 22 113 2 1
(5.29)
Determinantul sistem ul (5.29) trebuie să fie diferit de zero. Numai în
acest caz sistemul admite soluții de determinare, care vor putea exprima
condiția de necoliniaritate a punctelor A1, A2 și A3, considerate puncte de
rezemare. Astfel, determinantul va fi:
01 1 1
3 2 13 2 1
y yyx xx
(5.30)
Din ecuațiile de echilibru (5.27) care au fost folosite pentru calculul
reacțiunilor, și din sistemul (5.29), luând în considerare că Ni > 0, x i > 0 și
yi > 0, se deduc condițiile: Fz<0, M x < 0, M y > 0. Se poate deduce că:
Rezultanta forțelor direct aplicate care acționează pe axa centrală
este normală pe planul de sprijin și orientată spre acest plan.
Această rezultantă a forțelor direct aplicate va intersecta planul de
sprijin în interiorul unui poligonul de sustentație . Acest poligon este convex,
are arie minimă și conține, fie în interiorul lui, fie pe laturi, toate punctele
de rezemare, A1, A2, … A n.
Mecanică. Teorie și aplicații
73
5.2.3.2. Echilibrul rigidului cu o axă fixă
Fie un rigid cu o axă fixă, definită
de articulațiile sferice O1 și O2, cu
O1O2 = h, acționat de un sistem de forțe
direct aplicate
nF FF …,,2 1 (fig. 5.11).
Conform axiomei legăturilor se
introduc reacțiunile
1R și
2R , în O1 și O2.
kRjRiR RkRjRiR R
z y xz y x
2 2 2 21 1 1 1
(5.31)
Se consideră Oz axă fixă, iar
torsorul forțelor aplicate în punctul
1OO
format din rezultanta
F și
momentul rezultant
OM .
kMjMiM MkFjFiFF
z y x Oz y x
O
(5.32)
Ecuațiile scalare de echilibru, în raport cu axele sistemului Oxyz sunt:
0 :00 :00 :0
2 12 12 1
z z z zy y y yx x x x
R R F FR R F FR R F F
0 :00 :00 :0
22
z zx y yy x x
M MhR M MhR M M (5.33)
Ultima ecuație din sistemul de ecuații scalare de echilibru (5.33) este
de fapt condiția de echilibru, deci: este necesar c a rezultanta forțelor
exterioare direct aplicate să fie coplanară cu axa fixă.
Din primele cinci ecuații ale sistemului (5.33) se pot calcula
reacțiunile:
1 1 2
2 1 2; ; ;
;yy x
x x y y x
x
y z z zMM MR F R F Rh h h
MR R R Fh
(5.34)
Figura 5. 11.
Echilibrul rigidului cu axa fixă
Dorel STOICA
74
Din punct de vedere static nu se pot afla separat reacțiunile R1z și
R2z, (problema este nedeterminată), deoarece există doar cinci ecuații și
șase reacțiuni. Constructiv poate fi ridicată nedeterminarea, dacă se
consideră că articulația sferică O2 este de fapt o articulație cilindrică, caz în
care:
02zR
(5.35)
5.2.3.3. Echilibrul rigidului cu un punct fix
Fie un rigid cu un punct fix realizat prin articulația sferică O, acționat
de un sistem de forțe direct aplicate
nF FF …,,2 1 (fig. 5.12).
În momentul în care corpul este
eliberat de singura sa legătură din O,
atunci intervine reacțiunea
R , adică
efectul mecanic al legăturii ,
kRjRiRRz y x
(5.36)
Torsorul în punctul O al forțelor
direct aplicate, este format din momentul
rezultant
OM și rezultanta
F :
kMjMiM MkFjFiFF
z y x Oz y x
O
(5.37)
Ecuațiile scalare de echilibru față
de sistemul de axe cu originea în O, sunt:
0 :00 :00 :00 :00 :00 :0
z zy yx xz z zy y yx x x
M MM MM MR F FR F FR F F
(5.38)
Figura 5. 12. Echilibrul
rigidului cu un punct fix
Mecanică. Teorie și aplicații
75
Primele trei ecuații din sistemul (5.38) se folosesc la calculul
reacțiunilor . Ultimele trei ecuații exprimă condiția de echilibru , și anume :
rezultanta forțelor direct aplicate
F trebuie să treacă prin punctul fix O .
5.3. Echilibrul rigidului supus la legături cu
frecare
5.3.1. Generalități asupra fenomenului de frecare
În paragraful de mai sus au fost prezentate legătu rile fără frecare ale
rigidului, stabilindu -se în acest sens că un rigid rezemat pe un alt rigid se
va mișca atunci când
tR , adică rezultanta forțelor exterioare , are o
componentă oricât de mică aflată în planul tangent ale celor două corpuri,
în punctul comun de contact. Dar această situație nu există în realitate,
deoarece, pentru mișca rigidul respectiv, este
necesar ca
tR , să fie mai mare decât o
anumită limită .
Din punct de vedere fizic, această
explicație se poate explica prin faptul că
corpurile sunt deformabile și , în momentul în
care intră în contact, nu va exista un punct
de contact O, ci o suprafață, iar pe această
suprafață forțele de legătură sunt distribui te
într-un mod diferit, de la caz la caz.
(fig. 5.13).
Pe de altă parte, suprafața de contact
are asperități care se întrepătrund și se
deformează atunci când acționează asupra
lor diferite forțe, intervenind și forțele de
adeziune care apar între moleculele corpurilor în contact.
Torsorul forțelor direct aplicate,
nF FF …,,2 1 , în punctul teoretic de
contact O, este:
i ii
F OAF
OOMRT
(5.39)
Torsorul în punctul O, al forțelor de legătură
ip , aplicate în punc tele
Ai este:
Figura 5. 13.
Dorel STOICA
76
i i Oi
Op OB Mp R
(5.40)
Condiția de echilibru este exprimată de ecuațiile vectoriale (5.9).
În vederea studierii forțelor și momentelor fiecărui element al
torsorului, atât pentru forțele direct aplicate , cât și pentru forțele de
legătură, se descompune fiecare element în câte două componente: una
dirijată după normala comună On și alta cuprinsă în planul tangent [ P], în
punctul teoretic de contact O (fig. 5.14).
t n Ot n
OM M MRRRT
r p Of
OM M MFNR
(5.41)
Figura 5. 14
Forța
nR are tendința să deplaseze corpul ( C) în direcția normală la
suprafața de contact, dar este împiedicată de reacțiunea normală
N .
Forța
tR are tendința să dep laseze corpul ( C) în planul tangent al
suprafeței de sprijin , deplasare care poartă numele de alunecare , dar este
împiedicată de reacțiunea
fF adică de forță de frecare de alunecare .
Cuplul de moment
nM are tendința de a roti corpul ( C) în jurul
normalei la suprafața de contact. Această tendință de rotație poartă numele
de pivotare , dar i se opune cuplul de moment
pM denumit și moment de
frecare de pivotare .
Mecanică. Teorie și aplicații
77
Cuplul de moment
tM are tendința de a roti corpul ( C) în jurul unei
axe din planul tangent la suprafața de contact. Această tendință se
numește rostogolire , și i se opune cuplul de moment
rM denumit moment
de frecare de rostogolire .
Ținând cont de cele de mai sus, e cuațiile vectoriale echilibrului
corpului ( C) în acest caz devin :
00
fFN
tn
RR
00
rp
MM
tn
MM (5.42)
Plecând de la cazul general se pot studia cazurile simple mai
importa nte.
5.3.2. Frecarea de alunecare
Fie un torsor al forțelor direct aplicate și un torsor al forțelor de
legătură care acționează asupra corpului ( C) într-un punctul teoretic de
contact O, și care au ca elemente numai forța rezultantă.
)RRR(Tt n O
) (f O FNR (5.43)
Figura 5. 15. Rigid în
echilibru cu frecare
În cazul echilibrului cu frecare (fig. 5.15), reacțiunea
R este înclinată
față de normala On, pentru care în componența sa și componenta normală
N
, și o componentă în planul tangent
fF , care este egală și de sens
contrar componentei pe această direcție a rezultantei forțelor direct
aplicate,
tR .
Dorel STOICA
78
Forța
fF poartă denumirea de forță de frecare de alunecare și are
punctul de aplicație teoretic de contact O,, direcția conform tendinței de
mișcare și sensul opus tendințe i de mișcare . Forța de frecare de alunecare
nu este o forță preexistentă, ea producându -se doar atunci când corpul are
tendința de alunecare.
Din cercetări experimentale întreprinse de Coulomb despre frecarea
de alunecare, s-au putut deduce legile frecării .
1. Mărimea fo rței de frecare maximă, corespunzătoare stării de
echilibru limită, este proporțională cu mărimea reacțiunii normale,
coeficientul de proporționalitate
1 se numește coeficient de
frecare de alunecare.
2. În primă aproximație, coeficientul de frecare de alunecare nu
depinde de viteza de alunecare și de mărimea reacțiunii normale;
depinde de natura și gradul de prelucrare al suprafețelor în contact.
Starea de echilibru limită a corpului ( C) este definită ca fiind starea
mecanică ce se caract erizează prin faptul că forțele se echilibrează,
mișcarea devenind astfel iminentă.
Forța de frecare de alunecare are expresia:
N FF
N F
ff
f
maxmin 0
(5.44)
Se consideră că f orța minimă de frecare se manifestă în m omentul în
care nu există o tendință de alunecare, iar forța maximă de frecare se
manifestă în momentul în care începe mișcarea .
Din figura 5.20 se poate deduce că :
tgN Ffmax
(5.45)
Comparând relațiile (5.44) și (5.45) rezultă:
tg
(5.46)
în care este unghi ul de frecare .
În momentul rotirii complete în jurul normalei On a suportului
reacțiunii
limR se realizează conul de frecare , a cărui axă este normala
comună On, și a cărui unghi la vârf este 2.
Se consideră că corpul ( C) este în echilibru atunci când reacțiunea
R se
află fie în interiorul conului de frecare, fie la limită, pe marginea acestu ia.
Mecanică. Teorie și aplicații
79
În opinia lui Coulomb, originea forțelor de frecare se află în existența
asperități lor de la suprafața corpurilor care se întrepătrund atunci când
două corpuri se află în contact . Dacă unul dintre corpuri își începe mișcarea
asperități le sunt strivite, iar forța de frecare este tocmai forța care se opune
acestor striviri.
Observații
În conformitate cu legile lui Coulomb, dacă înălțimile asperităților
se micșorează , forța de frecare de alunecare se va micșora la
rândul ei. Dar în realita te acest fapt este contrazis, deoarece
forța de frecare de alunecare crește într -un moment dat din
cauză că intervin alte fenomene, ca de exemplul forțele de
adeziune intermoleculare, care în acest caz devin importante.
În momentul în care experiențe lui C olumb au fost aprofundate,
s-a constatat că coeficientului de frecare , variază invers
proporțional cu viteza (scade odată cu creșterea vitezei ),
De exemplu, valoarea lui coeficient de aderență 0, (coeficientul
de frecare pentru corpurile aflate în rep aus), este mai mare decât
coeficient ul de frecare dinamic , (coeficient de frecare pentru
corpurile aflate în mișcare). Pentru exemplificare, se poate
enumera:
Coeficientul de frecare oțel pe oțel ; 0 = 0,25 , = 0,1 ;;
Coeficientul de frecare stejar pe stejar: 0 = 0,55 , = 0,35 .
5.3.3. Frecarea de rostogolire
Fie cazul în care torsorul forțelor direct aplicate și cel al forțelor de
legătură care acționează asupra corpului ( C), în punctul teoretic de contact
O (fig. 5.16) au expresiile:
t Ot n
OM MRRRT
(5.47)
Figura 5. 16
Pentru realizarea echilibrului, este necesar ca:
r Of
OM MFNR
Dorel STOICA
80
rMR
tMR 0 (5.48)
Momentul
tM tinde să producă rostogolirea corpului ( C) pe corpul
(C1), dar i se opune momentul de frecare de rostogolire
rM . În practică,
acest caz este întâlnit, spre exemplu, la roțile autovehicule lor, la bilele de
rulmenți etc.
Pentru studierea fenomenului de frecare de rostogolire al roților de
autovehicule , se consideră o roată de rază R, acționată de forța de
tracțiune
F și de gr eutatea
G pe ax (fig. 5.17).
Figura 5. 17. Studiul fenomenului de rostogolire
În figura 5.17a se presupune că contactul dintre roată și planul
orizontal este realizat într -un singur punct. Dacă se rămâne la ideea că
acest contact este unul punctiform în O și nu se introduc și deformațiile,
neintrod ucându -se reacțiunea
N și forța de frecare
fF , atunci ecuațiile de
echilibru sunt:
0 :00 :00 :0
Fr MGN FFF F
Oyf x
(5.49)
Din ultima ecuație a sistemului (5.49) se obține că F = 0 , dar acest
rezultat este contrazis de experiență prin faptul că se știe că roata
autovehiculului poate să rămână în repaus chiar dacă asupra ei se
acționează cu o forță orizontală
F , dacă valoare ei este mai mică decât o
anumită limit ă.
Mecanică. Teorie și aplicații
81
În realitate, contactul dintre roată și calea de rulare nu are loc într -un
punct, ci printr -o suprafață denumită pată de contact , pe care sunt
distribuite reacțiuni normale
n și tangențiale
t (fig. 5.17b), putându -se
aproxima că atât suportul rezultantei
fF , cât și al reacțiunilor
t , trec prin
punctul O.
Se constată și că s uportul rezultantei
N a reacțiunilor normale
n se
află la o distanța e de punctul teoretic de contact O, care se află în planul
median al roții . Această distanță este determinată de faptul că zona de
contact este asimetrică față de planul median, fiind mai mare în partea în
care roata are tendința să se d eplaseze (fig. 5.17c). Dacă roțile au pneuri,
deplasarea suportului reacțiunii normale
N față de planul median este
influențată și de fenomenului de histerezis specific cauciucului (energia
disipată prin comprimarea părții anterioare este mai mare decât energia
recuperată prin întinderea părții posterioare a zonei deformate).
În cazul poziției de echilibru limită, distanța maximă emax cu care se
deplasează suportul reacțiunii normale
N față de O este egală cu s
(emax=s) și poartă denumirea de coeficient de frecare de rostogolire .
Acest coeficient de frecare de rostogolire este influențat atât de raza
roții, cât și de felul materialelor care intră în contact, și are dimensiunea
unei lungimi . De exemplu, în cazul roți lor de tren (din oțel) în contact cu
șina de cale ferată
mm15,0s , iar în cazul bilei de rulment pe inel,
mm01,0 005,0s
.
Dacă forțele de legătură în punctul teoretic de contact O sunt reduse,
se obține situația din figura 5.17d, în care apar: reacțiunea normală
N ,
forța de frecare de alunecare
fF și momentul de frecare de rostogolire
rM
, care se opune ca sens tendinței de rostogolire și se calculează astfel:
N MMNs M
rr
rmaxmin 0
(5.50)
Momentul minim de frecare de rostogolire este atunci când nu există
tendință de rostogolire, iar momentul maxim se realizează atunci când
începe rostogolirea.
În practică, este foarte importantă condiția necesară pentru ca o
roată să se deplaseze prin rostogolire fără alunecare (patinare) , adică forța
de frecare de alunecare care se dezvoltă între roată și calea de rulare să fie
Dorel STOICA
82
mai mică decât valoarea ei maximă,
N Ff . Fără exist ența forței de
aderență
fF , care este o mărime necunoscută , nu s-ar putea realiza
rostogolirea roții, datorită faptului că aceasta ar aluneca la cea mai mică
valoare a forței de tracțiune
F .
Aplicații
1. Roata trasă . Se consideră roata unui vehicul, de rază r și
greutate la ax,
G , având coeficienții de frecare de alunecare și de
rostogolire s, trasă cu o forță
F , pe un plan înclinat de unghi (fig.5.18).
Să se determine valoarea maximă a forței de tracțiune
F pentru echilibru.
Rezolvare . Izolând corpul se
introduc forțele
N ,
fF și momentul
rM ,
sensurile acestora fiind date de tendințele de
alunecare în sens ascendent și rostogolire în
sens orar.
Ecuațiile de echilibru sunt:
sN MN FGr Fr M MGN FF GF F
rfr Oyf x
0 sin :00 cos :00 sin :0
Din primele trei relații deducem:
r GF MGF FGN
rf
) sin (sincos
care introduse în cele două inegalități conduc la condițiile de echilibru:
sGr GFG GF
) sin (cos sin
sau explicitând în funcție de F:
Figura 5. 18. Roata trasă
Mecanică. Teorie și aplicații
83
) cos (sin) cos (sin
rsGFGF
Numai una din cele două condiții este hotărâtoare pentru menținerea
echilibrului, și anume, cea mai mică:
a. dacă
rs ,
) cos (sin rsGF , roata se va pune în
mișcare prin rostogolire când F depășește această limită.
b. dacă
rs ,
) cos (sin GF , roata se va pune în
mișcare prin alunecare când F depășește această limită.
2. Roata motoare. Se consideră roata unui vehicul, de rază r și
greutate la ax,
G , având coeficienții de frecare de alunecare și de
rostogolire s, acționată cu o forță de tracțiune
F și un cuplu motor
M , pe
un plan înclinat de unghi (fig. 5.19). Să se determine valorile maxime ale
forței de tracțiune
F și ale cuplului motor
M pentru echilibru.
Rezolvare . Sensurile forței de
frecare de alunecare
fF și ale momentului
de frecare de rostogolire
rM sunt date
respectiv de forța
F și momentul
M .
Pentru echilibru se scriu ecuațiile:
sN MN FGr Fr M M MGN FF G F F
rfr Oyf x
0 sin :00 cos :00 sin :0
Din primele trei relații deducem:
r GF M MGF FGN
rf
) sin (sincos
Figura 5. 19. Roata motoare
Dorel STOICA
84
care introduse în cele două inegalități conduc la condițiile de echilibru:
sGr GF MG GF
) sin (cos sin
sau explicitând prima relație în funcție de F și a doua relație în funcție de M:
rrsGF MGF
) cos (sin) sin cos(
Prima inegalitate exprimă condiția ca roata să nu alunece, condiție
din care rezultă valoarea minimă a coeficientului de frecare de alunecare,
pentru ca re este posibilă remorcarea.
cossin
GGF
Dacă
cossin
GGF , tracțiunea nu este posibilă, oricât de mare ar fi
valoarea cuplului motor M.
5.3.4. Frecarea de pivotare
Fie cazul în care torsorul forțelor direct aplicate și cel al forțelor de
legătură care acționează asupra corpului ( C), în punctul teoretic de contact
O (fig. 5.20) au expresiile:
n On
OM MRRT
;
p OOM MNR
(5.51)
Pentru echilibru este necesar ca:
pMN
nn
MR 0
(5.52)
Explicația fizică a fenomenului
constă în apariția în punctele de contact
dintre corpul ( C) și legătura ( C1) a unor
reacțiuni normale pi și a unor forțe
tangențiale ti = pi, care provoacă
momentul de pivotare
pM .
Figura 5. 20
Mecanică. Teorie și aplicații
85
Forțele care acționează asupra corpului (C ) – sau a arborelui ,
produc reacțiuni normale pe suprafața de rezemare din capătul arborelui,
suprafață care se numește lagăr axial sau lagăr pivot . Sub acțiunea
momentului exterior
nM , arborele se rotește în jurul axei sale On, efectul
forțelor de frecare care se manifestă pe
suprafața de contact dintre capătul arborelui
și lagăr, în raport cu axa arborelui , fiind
momentul de piv otare
pM .
Se ia în considerare situația arborelui
vertical cu suprafața de rezemare în lagăr de
forma unei coroane circulare care are razele
r și R (fig. 5.27). Se presupune același
coeficient de frecare de alunecare , între
capătul arborelui și lagăr , în toate punctele
de contact . Dacă se exprimă reacțiunea
normală totală din condiția de echilibru a
arborelui ( N = F ), atunci rezultă că
presiunea de contact dintre arbore și lagăr
este:
) (2 2r RNp
(5.53)
Se poate spune că suprafața elementară în coordonate polare este,
dd dA
(5.54)
atunci reacțiunea normală pe suprafața elementară devine:
) (2 2r Rdd NdAp dN
(5.55)
iar forța de frecare elementară maximă este:
) (2 2r Rdd NdN dFf
(5.56)
Momentul de frecare elementar produs de forța de frecare
elementară maximă în raport cu axa de rotație a arborelui este:
) (2 22
maxr Rdd NdF dMf p
(5.57)
Figura 5. 21
Dorel STOICA
86
Momentul de frecare total, adi că momentul de frecare de pivotare, în
cazul echilibrului limită are expresia:
N
r Rr Rdd
r RNr Rdd NdM M
R
rR
rA p p
2 23 32
02
2 22
02 22
)( max max
32
) () (
(5.58)
cu specificația că :
2 23 3
32
r Rr R
(5.59)
În care este coeficientul de frecare de pivotare , care are dimensiunea
unei lungimi . Atunci, expresia momentului de frecare de pivotare maxim
devine :
N Mmaxp
(5.60)
sau, în cazul general , ea este :
N MM
N M
pp
p
maxmin 0
(5.61)
Momentul minim de frecare de pivotare se realizează atunci când nu
există tendință de pivotare, iar cel maxim, în momentul începerii pivotării.
În cazul în care suprafața de rezemare în lagăr este circular ă de rază
R (r = 0), expresia momentului de frecare de pivotare devine:
NR Mp32
(5.62)
În practică, f recarea de pivotare are multe aplicații, de exemplu la
ambrei ajul cu disc de la autovehicule.
5.3.5. Frecarea în lagărul rad ial (articulația cilindrică)
Mecanică. Teorie și aplicații
87
Se urmărește determinarea momentului de frecare care se dezvoltă
într-o articulație cilindrică cu joc, în ipoteza simplificată a unei frecări uscate
(coulombiene). În figura 5.22 este reprezentat lagărul presupus fix, într -un
plan perpendicular pe axa de rotație,
precum și fusul, adică partea din
arbore care intră în lagăr. În aplicațiile
practice, între lagăr și fus se introduce
o piesă numită bucșă , care este fixată
în lagăr și este confecționată dintr -un
material mai moale decât cel din care
este fabricat fusul, pentru a asigura o
protecție la uzură a fusului . Poziția de
echilibru limită a fusului care se rotește
în momentul în care asupra lui
acționează un cuplu de moment
M
orientat după axa de rotație , este
caracterizată de unghiul .
Mișcarea fusului este o rostogolire în jurul generatoarei de contact ,
care se deplasează față de punctul O (punctul de contact dintre fus și lagăr,
în poziția de repaus) cu unghiul , în sensul de rostogolire. Mărimea
unghi ului , depinde de aderența fusului pe lagăr, deoarece fusul se va
rostogoli până se va produce alunecarea, adică =, unde este unghiul
de frecare dintre fus și lagăr.
Torsorul forțelor direct aplicate fusului, calculat pe axa C a acestuia ,
este reprezentat din forța
F orientată perpendicular pe axa fusului, adică
după rază (de aici și denumirea de lagăr radial) ș i din momentul motor
M ,
orientat după axa acestuia. Mărimea moment ului motor trebuie să fie egal
la limita echilibrului cu momentul de frecare din lagăr Mf. Torsorul forțelor
de legătură, calculat pe generatoarea de contact I (unde are loc un
fenomen de frecare de alunecare și unul de rostogolire) este alcătuit din
cele trei elemente specifice rezemării unei roți:
N – reacțiunea normală ;
fF – forța de frecare de alunecare ;
rM – momentul de frecare de rostogolire.
Dacă raza fusului este considerată r, atunci ecuațiile de echilibru sunt :
Figura 5. 22. Lagăr fix
Dorel STOICA
88
sN MN FFrM M MFN FF F F
rfr Iyf x
0 sin :00 cos :00 sin :0 (5.63)
Din primele trei ecuații ale sistemului (5.63) se obține:
sinsincos
Fr M MF FFN
rf
(5.64)
care, dacă sunt introduse în cele două inegalități ale sistemului (5.63)
conduc la condițiile de echilibru:
) cos (sin
rsFr Mtg
(5.65)
Pentru o bună funcționare este necesar ca frecarea în lagăr să fie mică.
În cazul echilibrului limită, conform primei relații (5.65) se poate scrie :
tg tg
(5.66)
Datorită faptului că u nghiul este mic, se pot face aproximațiile:
tg sin sin1 cos cos
(5.67)
Dacă se introduc aproximațiile (5.67) în a doua inegalitate (5.65) , se
obține :
) (rsFr M
(5.68)
Se notează coeficientul de frecare din lagăr cu:
rs'
(5.69)
și se fac notațiile :
2 2V H FM Mf
(5.70)
Mecanică. Teorie și aplicații
89
În momentul în care se introduce expresia coeficientului de frecare
din lagăr (5.69) și notațiile (5.70) în relația (5.68) , va rezulta expresia
momentului de frecare din lagăr .
2 2' V Hr Mf
(5.71)
Explicația notațiilor (5.70) constă în faptul că, conform principiului
acțiunii și al reacțiunii, momentul motor
M , la limita echilibrului este egal și
de sens contrar cu momentul de frecare din lagăr
fM , iar forța
F care
reprezintă acțiunea fusului asupra lagărului este egală și direct opusă cu
reacțiunea lagărului (articulației cilindrice)
R H V . Aceasta din urmă se
descompune în plan în două componente, ori zontală
H și verticală
V ,
adică
22R H V .
De fapt, f enomenele de frecare dintr-un lagăr sunt mult mai
complexe. R ezultatele care s -au obținut anterior pot conduc e la soluții
acceptabile din punct de vedere calitativ, dar pentru o mai bună acuratețe
a calculului sunt necesare măsurători experimentale pentru determinarea
unui a coeficient de frecare din lagăr ’ cât mai aproape de realitate.
Figura 5. 23. Lagăr cu rulmenți
Dorel STOICA
90
Dacă se analizează lagărul cu rulmenți (fig. 5.23), se observă că între
fusul de rază r și lagăr are loc o rostogolire a bilelor de rulment. Într -un
punct oarecare A, de contact între fus și una di n bilele rulmentului
(fig. 5.23b) torsorul forțelor de legătură este format din reacțiunea normală
iN
, forța de frecare
fiF și cuplul de rostogolire, de moment
riM
În acest caz, e cuația de echilibru a fusului devine:
0 :0 M M rF Mri fi C
(5.72)
Pentru ca expresiile Ffi și Mri să poată fi determinate, se consideră că
una dintre bilele rulmentului de rază r1, acționată de forțele și cuplurile
reprezentate în figura 5.23c. Se negli jează în calcul greutatea proprie a
bilelor pentru că este foarte mică în comparație cu celelalte forțe.
Conform ecuației de momente în raport cu centrul O al bilei, rezultă:
0 2 2 :01 ri fi iO M r F M
(5.73)
Din relațiile (5.72) și (5.73) se obține :
ri ri Mrrr rrM M )11() 1(
1 1
(5.74)
Ținând seama că la limita echilibrului, momentul motor M este egal
cu momentul de frecare din lagăr Mf, că suma reacțiunilor din lagăr
iN
reprezintă reacțiunea totală a lagărului R, și exprimând momentele de
frecare de rostogolire Mri în funcție de reacțiunile din lagăr Ni, pot fi scrise
relațiile:
i riif
sN MV H R NM M
2 2
(5.75)
unde s este coeficientul de frecare de rostogolire dintre bilă și fus, respectiv
lagăr.
Introducând relația (5.75) în (5.74), rezultă:
2 2
1)11( V Hrrrs Mf
(5.76)
Notând ”, coeficientul de frecare din lagărul cu rulmenți, a cărui
expresie este:
Mecanică. Teorie și aplicații
91
)11("
1rrs (5.77)
expresia momentului de frecare din lagărul cu rulmenți devine:
2 2" V Hr Mf
(5.78)
Comparând expresiile coeficienților de frecare (5.69) când mi șcarea
relativă dintre fus și lagăr este o alunecare, cu (5.77) când mișcarea
relativă între fus și lagăr este o rostogolire, se constată că:
' "
(5.79)
adică momentul de frecare de rostogolire este mult mai mic în cazul
lagărului cu rulmenți decât în cazul lagărului cu bucșă.
Dorel STOICA
92
VI. Statica sistemelor materiale
6.1. Echilibrul sistemelor materiale
6.1.1. Sistemul material
Sistemul material este un ansamblu de puncte, materiale sau
corpuri solide, aflate în interacțiune cu mediul înconjurător.
Asupra unui sistem material acționează următoarele forțe:
1. Forțe aplicate direct, precum și reacțiunile dintre legături,
denumite forțe exterioare ;
2. Forțe de interacțiune mecanică dintre elementele din care este
constituit sistemul, denumite forțe interioare .
6.1.2. Torsorul forțelor interioare
Fie un sistem de corpuri cu dimensiuni negijabile în raport cu
distanțele dintre ele, respectiv un sistem de puncte materiale M 1, M 2, M n.
Se vor studia mai jos punctele M i și M j (fig.6.1).
Asupra punctului M i acționează forțele exterioare
iF și forțele
interioare
ijF (j= 1, 2, …n).
Aplicând principiului acțiunii și al
reacțiunii, se va observa că forțele
interioare sunt egale două câte două în
având mărimi și de sensuri opuse. Așadar:
ji ij F F
(6.1)
Dacă se consideră vectorii de poziție
ai punctelor M i și M j, respectiv
ir și
jr ,
torsorul celor două forțe interioare
analizate într -un punct oarecare O
conform relației (6.1) este:
Figura 6. 1.
Mecanică. Teorie și aplicații
93
0 ) () (0
ij i j ij j iij j ij i ji j ij i Oji ij
O
F MM F rrF r Fr Fr Fr MF FR
(6.2)
Aceste rezultate au fost obținte și datorită coliniarităților vectorilor
ijMM
și
ijF (
ij ij MM F ).
În concluzie, se poate spune că, în orice punct, torsorul unei perechi
de forțe interioare este nul.
Torsor ul în punctul O al tuturor forțelor interioare care acționează
asupra punctului M i este:
jij i Oijij i
OiF r MF R
(6.3)
Dacă se generalizează ecuația (6.3), atunci se poate afirma că pentru
întregul sistemul material se poate spune că:
0 Fr F r M M0 F R R
ijij i
i i jij i Oi intOijij
ii int
intO
(6.4)
Rezultatele obținute în relația (6.4) s -au bazat pe relația (6.2), și
anume: forțele de legătură interioare formează pentru fiecare două puncte
oarecare din sistem, sisteme de două forțe cu torsoru l nul, în orice punct.
Rezultă că, într -un sistem material, torsorul forțelor interioare este
nul în orice punct.
Dorel STOICA
94
6.1.3. Echilibrul sistemelor materiale. Teoreme și metode
6.1.3.1. Metoda izolării elementelor
Conform definiției, un sistem de puncte materiale este în echilibru
atunci când toate punctele din sistem se află în echilibru.
Având în vedere însă că asupra punctului M i din sistem acționează
atât forțe exterioare – rezultanta lor fiind
iF –, cât și forțele interioare – cu
rezultanta
ij
jF , rezultă de aici că condiția de echilibru a punctului M i este:
0 F F
jij i
(i = 1, 2, …..n) (6.5)
Așa cum s -a specificat în paragrafele anterioare, rezultanta forțelor
exterioare și interioare care acționează asupra punctului este nulă.
În urma acestei condiții, s -a dezvoltat în rezolvarea problemelor de
statică a sistemelor materiale metoda izolării elementelor , metodă prin care
fiecare element constitutiv al s istemului, indiferent dacă este punct material
sau solid , se izolează din sistem , studiindu -se apoi echilibrul acestuia sub
acțiunea forțelor exterioare și interioare ale s istem ului.
6.1.3.2. Teorema solidificării
Teorema solidificării este utilizată pentr u eliminarea din calcule a
forțelor interioare. Dacă se aplică ecuațiile de forma (6.5), pentru toate
punctele din tr-un sistem , rezultă că :
0 F F
ijij
ii
(6.6)
Înmulțind vectorial relația (6.6) cu vectorul de poziție
ir , al punctului
Mi și însumând pentru toate punctele din sistem rezultă:
0 Fr Fr
i ijij i i i
(6.7)
Introducând în relațiile (6.6) și ( 6.7) rezultatele din (6.4) obținem
condiția de echilibru a sistemului material :
Mecanică. Teorie și aplicații
95
ii iii
0 Fr0 F (6.8)
Se știe deja că torsorul în punctul O al forțelor exterioare care
acționează asupra sistemului este:
ii i Oii
OFr MF R
(6.9)
Dacă se introduce relația (6.9) în (6.8), se obține o altă formă a
condiției de echilibru a unui sistem material.
0 M0R
OO
(6.10)
Atât relația (6.8), cât și relația (6.10) , respectă condiția de echilibru a
unui sistem material , și anume ca torsorul forțelor exterioare în orice punct
al sistemului să fie nul.
Aceste relații exprimă din punct de vedere formal condiția de
echilibru pentru solidul rigid , dar ele puteau și puteau fi scrise și direct ,
prin solidificarea legăturilor interioare sistemului – de unde se poate
formula teorema solidificării:
Dacă un sistem deformabil, liber sau supus la legături este în
echilibru sub acțiunea unui sistem de forțe exterioare, atunci sistemul
considerat ca rigid nedeformabil (prin solidificarea legăturilor interioare)
este în echilibru sub acțiunea forțelor direct aplicate și din legăturile
exterioare.
Conform acestei teoreme se poate stabili metoda solidificării , o
altă metodă de rezolvare a problemelor staticii rigidului sistemelor
materiale , deformabile și nedeformabile.
Pentru un sistem deformabil, în care distanțele dintre elemente pot
avea modificăr i, relațiile (6.9) și (6.10) sunt condiții necesare, dar nu
suficiente. Astfel, în ecuația (6.10) poate fi îndeplinită condiția pentru
sistemele deformabile, dar echilibrul poate să nu fie asigurat pentru că nu
implică obligatoriu și îndeplinirea condiției din ecuația (6.5).
Dar, pentru un sistem nedeformabil, condițiile din relațiile (6.9) și
(6.10) sunt suficiente, deoarece sunt ecuații de echilibru pentru un rigid.
Dorel STOICA
96
6.1.3.3. Teorema echilibrului părților
Teoria echilibrului părților este folosită în ge neral pentru verificări sau
atunci când este necesară determinarea mai facilă a unor necunoscute.
Conform acestei teorii, în cazul în care un sistem material deformabil
– indiferent dacă este liber sau dacă asupra lui acționează legături –, este
în echili bru atunci când asupra lui acționează forțe exterioare, rezultă că o
parte din sistem considerată ca rigid nedeformabil este în echilibru sub
acțiunea forțelor exterioare corespunzătoare și a forțelor interioare
reprezentând acțiunea restului sistemului as upra părții considerate.
6.1.4. Sisteme static determinate și static nedeterminate
Ecuațiile rezultate din cele trei teoreme prezentate anterior nu sunt
independente.
Prin ecuațiile de echilibru rezultate din teorema solidificării și prin
teorema echilibrului părților sunt de fapt combinații liniare rezultate din
ecuațiile de echilibru ale metodei izolării elementelor . În cazul unui sistem
de corpuri n, numărul ecuațiilor de echilibru independente pentru sisteme
spațiale este de 6 n, iar pentru sis teme plane de 3 n.
Atunci când ecuațiile de echilibru sunt insuficiente pentru rezolvarea
problemelor, trebuie introduse în rezolvare relații independente
suplimentare geometrice, sau relații care să conțină mărimea forțelor, sau
relații conținând mărimea m omentelor de frecare etc. În cazul în care și
după completarea acestor ecuații sistemul conține mai multe necunoscute
decât numărul ecuațiilor, sistemul este static nedeterminat .
Ordinul de nedeterminare este dat de diferența dintre numărul
ecuațiilor și n umărul necunoscutelor, iar pentru ca problema să poată fi
rezolvată, pe lângă ecuațiile de echilibru static este necesar să fie introduse
și ecuații de echilibru elastic sau de deformații – tratate de mecanica
rigidului deformabil.
Mecanică. Teorie și aplicații
97
6.4. Grinzi cu zăbrel e
6.4.1. Ipoteze simplificatoare
Sistemele de bare rigide asamblate la extremități cu șuruburi, nituri
sau prin sudură, se numesc sisteme de grinzi cu zăbrele .
Grinzile cu zăbrele sunt întâlnite în practică de exemplu în construcția
podurilor, a macaralel or, a acoperișurilor halelor industriale . În cazul în care
grinzile sunt orientate în spațiu se numesc grinzi cu zăbrele spațiale , iar în
cazul în care barele sunt într -un singur plan, poartă denumirea de grinzi cu
zăbrele plane . (fig. 6.17).
Figura 6. 2
În cazul grinzilor cu zăbrele plane, pentru dimensionarea și
verificarea lor este necesară determinarea eforturilor din bare.
În acest sens, studiul grinzilor cu zăb rele plane pleacă de la ipotezele
simplificatore de mai jos:
1. Se consideră nodul ca fiind
locul de întâlnire a două sau
mai multe bare considerate
drepte.
2. Datorită faptului că n odul
este o articulație, grinzile cu
zăbrele poartă denumirea de
sisteme de bare articulate , iar din cauza faptului că barele au
configurație fixă, legăturile dintre ele sunt realizate prin
intermediul guseelor, de care se fixează barele fie cu ajutorul
niturilor (fig. 6.18.a) , fie prin sudură (fig. 6.18b).
Figura 6. 3
Dorel STOICA
98
3. Punctele de aplicare a forțelor exterioare care acționează asupra
grinzii cu zăbrele sunt noduri le. Datorită faptului că acestea sunt
coplanare, legăturile grinzii cu zăbrele cu exteriorul se realizează
tot cu ajutorul nodurilor.
4. Față de celelalte forțe care acționează asupra g rinzii cu zăbrele,
greutățile barelor sunt neglijabile. Dacă totuși este necesar în
anumite probleme să se țină seama de greutatea barelor, aceasta
se va repartiza egal în nodurile aflate la extremități.
6.4.2. Eforturi în bare
Fie o bară i–j solicitată în articulațiile i și j de rezultantele forțelor care
acționează în aceste articulații,
iR respectiv
jR (fig. 6.19.a).
a)
b)
c)
Figura 6. 4
0 Rij0 R R
jj i
(6.11)
Din a doua relație (6.11), se observă că
0 R,0ijj , deci rezultă
coliniaritatea celor doi vectori este:
ij Rj
(6.12)
de unde rezultă că forța din nodul j care acționează asupra barei i–j trebuie
să fie coliniară cu bara.
Mecanică. Teorie și aplicații
99
Din prima relație a ecuației (6.11) se observă că forțele din cele două
noduri care acționează asupra barei i–j sunt egale și de sensuri contrare ,
ceea ce înseamnă că :
j i R R
(6.13)
Dacă se notează cu
ijS , respectiv
jiS , forțele cu care nodurile i și j
acționează asupra barei i–j, relația (6.13) devine:
ji ij S S
(6.14)
De unde se observă că forțele cu care nodurile acționează asupra
barei sunt egale, de sensuri contrare și au direcția barei.
În cazul în care bara se secționează în apropierea acestor noduri și se
introduc forțele corespunzătoare din noduri, conform principiului acțiunii și
al reacțiunii, bara reacționează cu forțe egale și de sensuri contrare, numite
eforturi . Există două moduri de solicitare a barei:
Dacă eforturile „ies” și din bară și, respec tiv, din nod, rezultă că bara
are tendința de alungire, deci bara este solicitată la întindere (fig. 6.19.b).
Dacă eforturile „intră” în bară și, respectiv, în nod , rezultă o tendință
de scurtare a barei, deci bara e ste solicitată la compresiune (fig. 6.19.c).
6.4.3. Grinzi cu zăbrele static determinate
Direcțiile pe care acționează eforturile în bare se pot deduce din
ecuațiile de echilibru ale forțelor aplicate acestora, iar sensul și mărimile
acestor forțe se pot afla din studiul echilibrului nodurilo r.
Dacă se face proiecția pe axele sistemului Oxy a ecuației vectoriale
de echilibru a nodului, se pot duce câte două ecuații scalare de echilibru
pentru fiecare nod. Rezultanta acestor forțe care acționează în nod va fi
nulă.
În consecință, dacă se consideră că n este numărul nodurilor grinzii
cu zabrele, atunci 2n va fi n umărul ecuațiilor de echilibru .
Așadar, n umărul necunoscutelor este dat de:
numărul b al barelor , deci fiecare bară va introduce o
necunoscută , adică efortul din bară ;
numărul r al reacțiunilor legăturilor exterioare ; în cazul grinzii cu
zăbrele plane, r = 3.
În studiul grinzilor cu zăbrele se întâlnesc următoarele cazuri:
1. b + r = 2n
Dorel STOICA
100
În acest caz g rinda cu zăbrele este static determinată , iar
necunoscutele pot fi aflate prin intermediul ecuațiilor de echilibru. ț
2. b + r > 2n
În acest caz g rinda cu zăbrele este static nedeterminată , caz în care
ecuațiile de echilibru nu sunt suficiente pentru a putea rezolva problema.
La acest caz se ajunge atunci când:
2.1. b = 2n-r; r > 3
adică grinda cu zăbrele este nedeterminată exterior și, în consecință,
legăturile exterioare conțin peste trei necunoscute;
2.2. b > 2n -r, r = 3
adică grinda cu zăbrele este nedeterminată interior , numărul barelor fiind
mai mare decât 2n – 3;
2.3. b > 2n -r, r > 3
adică g rinda cu zăbrele este static nedeterminată interior și exterior .
3. b+r < 2n
În acest caz g rinda cu zăbrele devine mecanism, putându -se mișca
sub acțiunea forțelor aplicate. În cazul în care aceste forțe aplicate sunt în
echilibru, și grinda cu zăbrele va fi în echilibru.
6.4.4. Metode pentru determinarea eforturilor din bare
6.4.4.1. Metoda izolării nodurilor
Această metodă se aplică în cazul studiul grinzilor cu zăbrele ,
constând în izolarea fiecărui nod , după care se scriu ecuațiilor de echilibru
ale acestuia.
Condiția de echilibru pentru nodul i al grinzii cu zăbrele este:
0 S F
jij i
(6.15)
unde
iF este rezultanta forțelor direct aplicate și de legătură
exterioare aplicată nodului i, iar
ijS este forța cu care nodul j, aparținând
barei i-j acționează asupra nodului i. Ecuația
,1ij
jS j k este de
fapt rezultanta forțelor interioare aplicate nodului i, de toate barele k
concurente în acest nod.
Mecanică. Teorie și aplicații
101
Reguli de calcul:
1. Pentru calculul recțiunilor exterioare se folosește teorema
solidificării ;
2. Datorită faptului că în fiecare nod se pot alic două ecuații scalare
de echilibru, se va analiza în primul rând nodul care conține cel
mult două bare de efort necunoscut;
3. Eforturile necunoscute sunt care „ies” din nod sunt eforturi de
întindere, iar efortu rile negative, care „ intră” în nod sunt eforturi
de compresiune. În momentul studierii echilibrului nodului din
celălalt capăt al barei, acest efort se va considera ca „intrând ” în
nod, luându -se în valoare absolută;
4. Se ține seama că din ecuațiile de echi libru ale grinzii cu zăbrele
(2n) sunt independente doar 2n – 3 ecuații; cele trei ecuații vor
reprezenta ecuații de verificare, una rezultând din penultimul nod
și două de la ultimul nod ;
5. Pentru grinda cu zăbrele simetrică din punct de vedere geometric
cât și al încărcării, ecuațiile de echilibru se scriu pentru nodurile
situate până la axa de simetrie inclusiv, eforturile din cealaltă
parte a grinzii cu zăbrele fiind simetrice.
Această metodă are dezavantajul că nu arată în mod precis în care
nod este gre șit calculul, erorile putând fi constatate abia în nodurile de
verificare – moment în care tot calculul trebuie reluat.
6.4.4.2. Metoda secțiunilor
Această metodă are la bază teorema echilibrului părților unui sistem.
Primul pas îl reprezintă secționarea imaginară a grinzii în două părți și
studierea echilibrului părții care prezintă configurația și încărcarea cea mai
simplă.
Se va constata că f orțele care acționează asupra părții de grindă sunt
analizată sunt : forțele direct aplicate, forțele din legăturile exterioare și
eforturile din barele secționate, considerate de întindere.
Reguli de calcul:
Dorel STOICA
102
1. Secțiunea poate intersecta cel mult trei bare cu efort necunoscut.
Numărul k al barelor secționate poate fi k > 3 , cu condi ția ca în
cele k – 3 bare, eforturile să fie cunoscute.
2. Nu se va alege o secțiune prin trei bare concurente, deoarece în
acest caz metoda ar fi metoda izolării nodurilor . De asemenea, nu
se vor alege trei bare paralele, pentru că în acest caz problema
este nedeterminată.
3. Pentru obținerea unor ecuații cu o singură necunoscută pentru
determinarea eforturilor dintr -o bară , se va scrie ecuația de
momente în raport cu nodul unde sunt concurente celelalte două
bare secționate. În cazul în care aceste bare sunt p aralele , se
scrie o ecuație de proiecție pe direcția normală la cele două bare.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: I. NOȚIUNI DE CALCUL VECTORIAL . OPERAȚII CU VECTORI 2.1. Noțiuni de calcul vectorial Mărimile fizice pot fi : mărimi scalare (scalari ), complet… [613546] (ID: 613546)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.