I. Introducere în numere complexe [608061]

I. Introducere în numere complexe
Matematica a avut un proces de revenire în vestul Europei începând cu secolul 13. Până
atunci lucrările matematice erau traduse în limba latina din limba araba, permițând studenților
vest-europeni să studieze matematica dezvoltată de școala arabă și de școala greacă , cum ar fi
“Elementele” scrisă de Euclid. În toate aceste matematici, doar numerele pozitive erau
considerate “numere”. Numerele neg ative nu erau folosite încă, deș i în unele culturi antice (cum
ar fi cea chineză si cea indiană) erau acceptate.

I.1. Rezolvarea ecuaț iei de gradul 2
Folosind numerele negative acceptăm că orice ecuaț ie de gradul 2 în necunosc uta x se poate
scrie de forma 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 cu a, b, c numer e constante, a constantă nenulă . De asemenea
știm că soluț iile ei se pot găsi cu formula −𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎 acestea fiind două numere reale
distincte dacă discriminantul b2−4ac este pozitiv, două soluții reale egale dacă discr iminantul
este 0 si nu are soluții reale dacă discri minantul este negativ.
Însă, în secolul 15 aceste lucruri nu erau cunoscut e. În loc de aceasta erau împărțite în patru
categorii în funcție de semnele coeficienț ilor a, b, c. Deoarece coeficientul a nu poate fi zero
într-o asemenea ecuație, prin împ ărțire la a , ecuaț ia se poate aduce la o formă echivalentă având
a=1, 𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 La această ecuație se pot separa termenii pozitivi de cei negativi și se
poate renunța la termenii nuli, obținându -se una din formele următoare, toate avand coeficienții
pozitivi:
𝑥=𝑐
𝑥2+𝑏𝑥=𝑐
𝑥2+𝑐=𝑏𝑥
𝑥2=𝑏𝑥+𝑐
Mai sunt si alte f orme dar acestea fie nu au soluț ii pozi tive, fie pot fi reduse la ecuaț ii liniare.
Fiecare din formele anterioare ad mite o anumită rezolvare. Se poate remarca însă că fiecare
rezolvare este un caz particular al soluț iei cu radical de mai sus. S -ar putea crede că acesta este
un motiv suficient de bun pentru introd ucerea numerelor negative; totuș i se pare că durează
foart e mult până când oamenii acceptă să -și extindă cunoștinț ele asupra conceptului de număr
și să accepte noi tipuri de numere.

I.2. Rezolvarea ecuaț iilor de gradul 3
Ecuaț iile de gradul trei se mai numesc și ecuaț ii cubice. Forma l or generală, după
împărț ire la coeficien tul termenului dominant, este x3 + bx2 + cx + d = 0. La fel ca și la ecuațiile
de gradul doi se pot obține diferite forme ale ecuaț iei cu toți coeficienț ii pozitivi prin separarea
termenilor negativi trecându -i în ce lălalt membru al egalității și renunț area la termenii nuli.
În secolul 16 era o mare pr ovocare rezolvarea acestor ecuaț ii. A fost o mare controversă în Italia
între Cardano (1501 -1576) si Tartaglia (1499 -1557) privind c ine are meritul rezolvării
ecuaț iilor cubice. Cee a ce este interesant este că în această perioadă numerele negative au
căpătat legitimitate și chiar au apărut primele menț iuni asupra numerelor complexe. Trebuie
spus că algebra si mbolică nu era dezvoltată încă și ecuaț iile erau scrise în cuvinte în loc de
simboluri.
Cardano, în a sa l ucrare “Ars Magna” a găsit soluțiile negative ale ecuațiilor ș i a numit aceste
numere fantastice. De a semenea a remarcat că suma soluțiilor ecuaț iei este o pusul lui b,
coeficientul lui x2. La un moment dat a menț ionat că prob lema scrierii numărului 40 ca produs
de numere cu suma 10 are ca soluț ii 5+√−15 si 5 -√−15. Cardano nu a aprofundat mai mult
de atât studiul numerelor numite mai târziu complexe dar câțiva ani mai tarziu Bombelli (1526 –
1572) a dat câteva e xemple în care le u tilizea ză. Astfel, f ormulele lui Cardano oferă soluția
ecuaț iei 𝑥3=𝑐𝑥+𝑑 ca fiind 𝑥=√(𝑑
2 +√𝑒3)+√(𝑑
2−√𝑒)3 unde 𝑒=
(𝑑2⁄)2−(𝑐3⁄)3 . Bombelli a rezolvat astfel ecuația 𝑥3=15𝑥+4 x obținând soluția 𝑥=
√(2+√−1213+√(2−√−1213.
Se observă acum că rădăcina pă trată a lui -121 nu mai este număr pozitiv, negativ sau zero.
Bombel li a continuat transformările obț inând
√(2+√−1213 =2 + √−1 și √(2−√−1213=2 – √−1 .
Deci soluția ecuaț iei este x = 4. Aces t exemplu nu arată că Bombelli ș tia totul despre numere
complexe ci că abia începea să le î nțeleagă.

I.3. Teorema fundamentală a algebrei
Enunț: “Orice polinom cu coeficienț i numere complexe de grad mai mar e sau egal decât unu
are cel puțin o rădăcină în mulț imea numerelor complexe”.
După cum am menț ionat mai înainte, Cardano a remarcat că suma soluțiilor ecuaț iei de gradul
trei este egală cu –b, negaț ia coeficientului lui x2 din x3 + bx2 + cx + d = 0 . Până în secolul 17
teoria ecuaț iilor s -a dezvoltat suficient de mult astfel încât Girard (1595 -1632) a putut enunț a
ceea ce numim acum Teorema fundamentală a algebrei. Formulele pe care le -a demo nstrat oferă
de asemenea o relație între cele n soluții ale unei ecuaț ii de gradul n si cei n coeficienț i ai săi.
Girard afirma că o ecuaț ie de gradul n are n soluții dacă acceptăm toate soluț iile cu ordinele lor
de multiplicitate. Nu a fost foarte expl icit asupra formei acestor soluț ii.
Descartes (1596 –1650) a stud iat de asemenea relațiile dintre soluții si coeficienți, ș i a arătat mai
explicit în ce constau relațiile. Descartes a numit soluț iile nega tive false si pe celelalte soluț ii
(adică numerele complexe) imaginare.
În restul secolului 17 numerele negative au fost considerate numere, fără a fi considerate
numere reale ci doar folositoare pentru teoria ecuaț iilor. Nu era clar ce formă au soluțiile
ecuaț iilor. Unele numere complexe de forma a + b√−1 erau suficiente pentru rezolvarea
ecuațiilor de gradul doi dar nu era clar dacă sunt suficiente pentru rezolvarea ecuațiilor de grad
trei sau mai mare. De asemenea mai trebuia lămurită forma celor n soluții ale ecuaț iei de g radul
n, despre a căror existență se ș tia din Teorema fundamentală a algebrei.

I.4. Numărul i
Cu toate că numer ele complexe nu erau complet înț elese, în secolul 18, rădăcina pă trată a lui
-1 era din ce în ce mai des utilizată. Anali za, în special calculul si ecuațiile diferenț iale făc eau
mari progrese. Anumite funcții, incluzând funcț iile trigo nometrice si cele exponențiale, apar ca
soluții la integrale si ecua ții diferenț iale. Eul er (1707 -1783) a observat că
𝑒𝑖𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑥+𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑥 (unde i=√−1 în scrierea modernă). Aceasta e ste o ecuaț ie care ne permite
să interpretăm puterea la un număr imaginar i x ca având o parte re ală cos x ș i o parte ima ginară
sin x. Din acest motiv, ș i datorită altor utilizări ale lui i, acesta a fost acceptat pentru utilizarea
în matematică. Euler a recomandat utilizarea numerelor imaginare în cartea sa “Introducere în
algebră”.

Până la sfâ rșitul secolului 18 numerele de forma 𝑥+𝑖𝑦 erau utilizate în mod curent în
cercetarea matematică și a devenit obiș nuită reprezentarea lor ca puncte în plan, partea reală
fiind reprezentată pe axa absciselor, iar numerele pur imaginare yi pe axa ordonatelor , i fiind
situat la o unitate pe axa ordonatelor în sens pozitiv. Această reprezentare a fost atribu ită mai
multor perso ane, incluzând Wessel, Argand, și Gauss. Acest lucru a fost uș or de făcut deoarece
coordonatele (x, y) în plan erau utilizate de mai mult de un secol. Utilizarea lor a reprezentat o
modalitate foarte bună de înț elegere a numerelor complexe.
Abia la sfâ rșitul secolul ui 18 a fost demonstrată, în sfâ rșit, Teorema fundamentală a algebrei.
Gauss a publicat în 1799 demonstraț ia sa, conform cărei a orice polinom de gradul n ar e n soluț ii
de forma 𝑎+𝑏𝑖 cu a ș i b numere reale. Odată ce a cest lucru a fost efectuat s -a știut că numer ele
complexe (cu sensul de soluții ale ecuaț iilor algebrice) sunt numere de forma 𝑎+𝑏𝑖 și este
firesc să numim pla nul 𝑥𝑂𝑦 ca “plan complex”.
Într-o anumită măsură, istoria numer elor complexe până la demonstraț ia lui Gauss poate fi
considerată ca preistorie a numerelor complexe. Consider însă utilă prezenta rea ei pentru a
înțelege necesitatea introducerii numerelor complexe. Cu toate că există mulț imi de numere ce
extind numerele complexe sau conț in si altceva decât numere complexe, știm cel puț in că nu
sunt necesare alte tipuri de numere pentru rezolvarea e cuațiilor polinomiale. Numerele
complexe se întâln esc în to ată matematica precum și în utiliză rile matematicii în alte științ e.

I.5 Mulț imea numerelor complexe

Definire
Fie ℝ mulțimea numerelor reale ș i ℝ×ℝ={(a, b) |a, b ∈ ℝ} produsul cartezian al mulț imii ℝ cu
ea însăși. Pe această mulț ime se definesc următoarele operaț ii algebrice:
1. Adunarea . Suma perechilor z 1=(a 1,b1) si z 2=(a 2,b2) este z 1+z2=(a 1+a2,b1+b2) ∈ℝ×ℝ.
Relaț ia pri n care se asociază perechilor z 1=(a 1,b1) si z 2=(a 2,b2) numărul z 1+ z 2 se numeș te
adunare.
2. Înmulț irea. Produsul perechilor z1=(a 1,b1) si z 2=(a 2,b2) este z1∙z2=(a 1∙a2-b1∙b2,a1∙b2+a2∙b1)
∈ℝ×ℝ
Relaț ia pri n care se asociază perechilor z 1=(a 1,b1) și z 2=(a 2,,b2) numărul z 1∙z2 se numeș te
înmulț ire.
Mulț imea ℝ×ℝ pe care s -au definit operaț iile algebrice de adunare si înmulțire de ma i sus se
numește mulț imea nu merelor complexe, notată ℂ. Notă m ℂ *=ℂ−{(0, 0)}. Un element al

mulțimii numerelor complexe se numește număr complex. Se demonstrează prin calcul direct
că operațiile definite pe ℂ au următoarele proprietăți :
Proprietăți :
1.Adunarea este asociativă (z + u) + w = z + (u + w)
2.Adunarea este comutativă z + u = u + z
3.Adunarea admite element neutru 0 = (0, 0)  C , căci z + 0 = 0 + z = z ,  z  C ;
4. Orice număr complex z = (a, b) admite un element opus –z = (-a, -b) :
 z  C ,  (- z)  C , astfel încât z + (-z) = ( -z) + z = 0 ;
Proprietățile 1 -4 demonstrează că mulțimea numerelor complexe împreună cu operația de
adunare formează un grup abelian .
5.Înmulțirea este asociativă (𝑧∙𝑢)∙𝑤=𝑧∙(𝑢∙𝑤)
6.Înmulțirea este comutativă 𝑧∙𝑢=𝑢∙𝑧
7. Înmulțirea admite element neutru 1=(1,0)∈ℂ numit și unitate ,adică pentru orice 𝑧∈ℂ,
𝑧∙1=1∙𝑧=𝑧
8.Orice număr complex nenul 𝑧=(𝑎,𝑏)∈ ℂ∗ este inversabil, inversul său verificând relația
𝑧∙𝑧−1=𝑧−1∙𝑧=1 și fiind 𝑧−1=(𝑎
𝑎2 +𝑏2,−𝑏
𝑎2+𝑏2)
Proprietățile 5 – 8 demonstrează că înmulțirea determină pe mulțimea numerelor complexe
nenule o structură de grup abelian.
9. Înmulțirea este distributivă față de adunare, adică 𝑧∙(𝑢+𝑤)=𝑧∙𝑢+𝑧∙𝑤
În consecință, din 1 -9 rezultă că tripletul (ℂ,+,∘) este un corp comutativ.
Propoziție (Regula produsului nul): Dacă z, u ∈ℂ și 𝑧∙𝑢=0 atunci 𝑧=0 sau 𝑢=0.
Demonstrație: Presupunem că z este număr nenul. Există atunci 𝑧−1 inversul său. Deci
𝑧∙𝑢=0⇒𝑧−1∙𝑧∙𝑢=0⇒1∙𝑢=0⇒𝑢=0.
Similar se demonstrează că dacă u este nenul atunci 𝑧=0

II. PLANUL COMPLEX
II.1 Forma algebrică a numerelor complexe

Să considerăm cazul z 1 = (a 1,0), z2= (a 2,0) 𝜖 ℂ. Avem z 1+ z2 = (a 1 + a2, 0) ș i 𝑧1∙𝑧2=(𝑎1∙𝑎2,0).
Aceste relații arată că regulile de adunare și înmulț ire de pe ℝ×{0}sunt identice cu cele din
corpul numerelor reale. Ca urmare putem identifica numă rul complex (x,0) cu numărul real x.
În particular identifi căm numărul real 0 cu numărul complex (0,0) și n umărul real 1 cu numărul
complex (1,0). Numărul complex (0,1) se notează cu i și se numește unitate imaginară . Avem
i2= (0,1) ∙(0,1) = ( -1,0) = -1. Deci i2= -1.
Se verifică z = (a, b) = (a,0) + (0,b) = (a,0) + (b,0) ∙(0,1) = a + bi cu a, b ∈ℝ. Această scriere se
numește forma algebrica a numărului complex z. Numă rul a din scrierea z = a + bi se numește
partea reală a numărului z și se notează Re(z) iar b se numeș te partea imaginară a lui z și se
notează Im(z) .
Mai scriem ℂ={𝑧=𝑎+𝑏𝑖|𝑎,𝑏∈ℝ,𝑖2=−1}
Obse rvații:
• Daca Im(z) = 0 atunci z este numă r real
• Daca Re(z) = 0 și Im(z) ≠0 atunci spunem că z este numă r pur imaginar.
• Se observa că i este soluție a ecuaț iei x2 + 1 = 0
Definiț ie: Numerele complexe z și u sunt egale dacă și numai dacă Re(z) = Re(u) și Im( z)=
Im(u).
Teoremă : Puterile naturale ale lui i sunt i4n = 1, i4n+ 1 = 1, i4n+2 = -1, i4n+ 3 = -i ,∀𝑛∈ℕ
Demonstrație: Demonstraț ia o voi efectua folosind metoda inducț iei matematice. Notez cu P(n)
predicatul “i4n = 1, i4n+1 = 1, i4n+2 = -1, i4n+3 = -i” ,∀𝑛∈ℕ
P(0): i0 = 1,
i1 = i,
i2= -1,
i3= i2i = -1i = -i,
i4= (i2)2 = (-1)2 = 1 adevă rat
Presupun că P(n) este propoziție adevărată și demonstrez că atunci ș i P(n+1) este propoziție
adevărată . Avem
P(n+1): i4(n+1) = i4n+4 = i4ni4 = i4n = 1
i4(n+1)+1 = i4n+4+1 = i4n+1∙i4 = i4n+1 = i

i4(n+1)+2 = i4n+4+2 = i4n+2∙i4 = i4n+2 = -1
i4(n+1)+3 = i4n+4+3 = i4n+3∙i4= i4n+3 = -i
Deci, conform metodei inducției matematice P(n) este propoziție adevărată ∀𝑛∈ℕ
II.2. Numere complexe conjugate
Definiț ie: Fie z ∈ℂ, 𝑧=𝑎+𝑏𝑖. Numă rul 𝑎−𝑏𝑖 se numeș te conjugatul lui z. Acesta se
poate nota prin Conj (z), z* sau 𝑧̅ . Notația uzuală în cultura matematică românească este 𝑧̅ .
Folosind definiția conjugatului unui număr complex ș i operați ile cu numer e complexe se pot
demonstra următoarele proprietăți ale numerelor complexe conjugate:
Teorema : Fie z, z 1, z2 ∈ℂ. Atunci:
1. 𝑧1+𝑧2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=𝑧1̅+𝑧2̅
2. 𝑧1∙𝑧2̅̅̅̅̅̅̅̅=𝑧1̅∙𝑧2̅
(𝑧1
𝑧2)̅̅̅̅̅=𝑧1̅̅̅
𝑧2̅̅̅, 𝑧2≠0
3. 𝑧𝑛̅̅̅=𝑧̅ 𝑛,∀ 𝑛∈ℕ∗
4. 𝑧∈𝑖ℝ⇔𝑅𝑒(𝑧)=0⇔𝑧=−𝑧̅
𝑧∈ℝ⇔𝑧̅=𝑧
5. 𝑅𝑒 𝑧=𝑧+𝑧̅
2 și 𝐼𝑚 𝑧=𝑧−𝑧̅
2𝑖
Demonstrație:
1. Fie 𝑧1=𝑎+𝑏𝑖 ș𝑖 𝑧2=𝑐+𝑑𝑖 𝑐𝑢 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈ℝ. Atunci
𝑧1+𝑧2̅̅̅̅̅̅̅=(𝑎+𝑏𝑖)+(𝑐+𝑑𝑖) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(𝑎+𝑐)−(𝑏+𝑑)𝑖=(𝑎−𝑏𝑖)+(𝑐−
𝑑𝑖)=𝑧1̅+𝑧2̅
2. Fie 𝑧1=𝑎+𝑏𝑖 ș𝑖 𝑧2=𝑐+𝑑𝑖 𝑐𝑢 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 ∈ℝ.𝐴𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖
𝑧1∙𝑧2̅̅̅̅̅̅=(𝑎+𝑏𝑖)∙(𝑐+𝑑𝑖) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(𝑎𝑐−𝑏𝑑)+(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(𝑎𝑐−𝑏𝑑)−(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖
𝑧1̅∙𝑧2̅=(𝑎−𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)=𝑎𝑐−𝑎𝑑𝑖−𝑏𝑐𝑖−𝑏𝑑=(𝑎𝑐−𝑏𝑑)−(𝑎𝑑+𝑏𝑐)𝑖
Deci 𝑧1∙𝑧2̅̅̅̅̅̅̅̅=𝑧1̅∙𝑧2̅
(𝑧1
𝑧2)̅̅̅̅̅̅=(𝑎+𝑏𝑖
𝑐+𝑑𝑖)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=((𝑎+𝑏𝑖)(𝑐−𝑑𝑖)
(𝑐+𝑑𝑖)(𝑐−𝑑𝑖))̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=(𝑎𝑐−𝑎𝑑𝑖+𝑏𝑐𝑖−𝑏𝑑𝑖2
𝑐2−𝑑2𝑖2)=̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
((𝑎𝑐+𝑏𝑑)+(𝑏𝑐−𝑎𝑑)𝑖
𝑐2+𝑑2)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=(𝑎𝑐+𝑏𝑑
𝑐2+𝑑2+𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐2+𝑑2𝑖)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=𝑎𝑐+𝑏𝑑
𝑐2+𝑑2−𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐2+𝑑2𝑖
=((𝑎𝑐+𝑏𝑑)−(𝑏𝑐−𝑎𝑑)𝑖
𝑐2+𝑑2)

𝑧1̅
𝑧2̅=𝑎−𝑏𝑖
𝑐−𝑑𝑖=(𝑎−𝑏𝑖)(𝑐+𝑑𝑖)
(𝑐−𝑑𝑖)(𝑐+𝑑𝑖)=𝑎𝑐+𝑎𝑑𝑖−𝑏𝑐𝑖−𝑏𝑑𝑖2
𝑐2+𝑑2=(𝑎𝑐+𝑏𝑑)−(𝑏𝑐−𝑎𝑑)𝑖
𝑐2+𝑑2
Deci (𝑧1
𝑧2)̅̅̅̅̅̅=𝑧1̅̅̅̅
𝑧2̅̅̅̅, dacă 𝑧2≠0.
3. Folosim metoda inducției matematice . Fie P(n): 𝑧𝑛̅̅̅=𝑧̅𝑛,∀ 𝑛∈ℕ∗.
P(l): 𝑧1̅̅̅=𝑧̅1⇔𝑧̅=𝑧̅ adevărat .
Presupun acum că P(n) este propoziție adevărată și arăt că și P(n+1) este adevărată. Folosind
succesiv punctul 2. al teoremei și ipoteza de inducție se obține
𝑧𝑛+1̅̅̅̅̅̅=𝑧𝑛∙𝑧̅̅̅̅̅̅̅=𝑧𝑛̅̅̅∙𝑧̅=𝑧̅𝑛∙𝑧̅=𝑧̅𝑛+1
Deci 𝑧𝑛̅̅̅=𝑧̅𝑛,∀ 𝑛∈ℕ∗
5. Fie 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 cu a ș i b numere reale. Atunci
𝑧+𝑧̅
2=(𝑎+𝑏𝑖)+(𝑎−𝑏𝑖)
2=𝑎+𝑏𝑖+𝑎−𝑏𝑖
2=2𝑎
2=𝑎=𝑅𝑒 𝑧
𝑧−𝑧̅
2𝑖=(𝑎+𝑏𝑖)−(𝑎−𝑏𝑖)
2𝑖=𝑎+𝑏𝑖−𝑎+𝑏𝑖
2𝑖=2𝑏𝑖
2𝑖=𝑏=𝐼𝑚 𝑧
II.3. Modulul unui numă r complex
Definiț ie: Fie 𝑧=𝑎+𝑏𝑖∈ℂ. Modul ul numărului complex z este numă rul real pozitiv
|z| = √𝑎2+𝑏2
Teorema (Proprietăț i ale modulului). Fie z, z 1, z2 ∈ℂ . Atunci:
1. |z| ≥0
|z| = 0 <=> z = 0
2. |z1∙z2|=|z 1|∙|z2|
3. |z1+z2|≤|z 1|+|z 2| cu egalitate dacă există t ∈ℝ, t ≥ 0 astfel încât 𝑧1=𝑡𝑧2. Această
inegalitate se numește ș i inegalitatea triunghiului.
4. z ∙z̅=|z|2
5. |z1+z2|2+|z1−z2|2=2(|z 1|2+|z2|2) (Identitatea lui Euler)
Punctele1, 2 și 3 ale teoremei ne spun că modulul este o normă pe ℂ în timp ce 4. ne arată că
este o normă indusă de un produs scalar.
Demonstrați e:

1. Fie 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 ∈ℂ. Avem |𝑧|=√𝑎2+𝑏2≥0 deoarece este un radical de ordinul 2 al unui
număr real pozitiv
Dacă 𝑧=0 atunci |𝑧|=√02+02=0.

Reciproc, fie z astfel încât |𝑧|=0. Atunci 𝑎2+𝑏2=0, deci 𝑎2=−𝑏2 ceea ce este posibil
doar dacă 𝑎=𝑏=0 (deoarece numerele a2 si b2 sunt pozitive). Deci 𝑧=𝑎+𝑏𝑖=0+0∙𝑖=
=0
4. Fie 𝑧=𝑎+𝑏𝑖∈ℂ
𝑧∙𝑧̅=(𝑎+𝑏𝑖)∙(𝑎−𝑏𝑖)=𝑎2−(𝑏𝑖)2=𝑎2+𝑏2=|𝑧|2
2. Folosind punctul 4 al teoremei și proprietăț ile conjug atului unui număr complex avem
|𝑧1∙𝑧2|2=(𝑧1∙𝑧2)(𝑧1∙𝑧2)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(𝑧1∙𝑧2)(𝑧1̅∙𝑧2̅)=(𝑧1∙𝑧1̅)(𝑧2∙𝑧2̅)=|𝑧1|2∙|𝑧2|2
Deoarece modulul unui număr complex este un număr real pozitiv avem
|𝑧1∙𝑧2|2=|𝑧1|2∙|𝑧2|2⇔|𝑧1∙𝑧2|=|𝑧1|∙|𝑧2|

3. Fie 𝑧1=𝑎+𝑏𝑖 ș𝑖 𝑧2=𝑐+𝑑𝑖 𝑐𝑢 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈ℝ.
|𝑧1+𝑧2|≤|𝑧1|+|𝑧2|⇔|(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖|≤|𝑎+𝑏𝑖|+|𝑐+𝑑𝑖|
⇔√(𝑎+𝑐)2+(𝑏+𝑑)2≤√𝑎2+𝑏2+√𝑐2+𝑑2
⇔𝑎2+𝑐2+2𝑎𝑐+𝑏2+𝑑2+2𝑏𝑑
≤𝑎2+𝑏2+𝑐2+𝑑2+2√𝑎2+𝑏2√𝑐2+𝑑2
⇔𝑎𝑐+𝑏𝑑≤√𝑎2𝑐2+𝑎2𝑑2+𝑏2𝑐2+𝑏2𝑑2
Dacă ac + bd este număr negativ atunci ultim a inegalitate este evident adevărată și atunci ș i
inegalitatea c e trebuie demonstrată este adevă rată. Dacă ac + bd este pozitiv atunci putem ridica
la pătrat ultima inegalitate și obț inem
|𝑧1+𝑧2|≤|𝑧1|+|𝑧2|⇔𝑎2𝑐2+𝑏2𝑑2+2𝑎𝑐𝑏𝑑≤𝑎2𝑐2+𝑎2𝑑2+𝑏2𝑐2+𝑏2𝑑2⇔
0≤𝑎2𝑑2+𝑏2𝑐2−2𝑎𝑐𝑏𝑑⇔0≤(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2
Ultima ineg alitate este evident adevărată ș i atunci |𝑧1+𝑧2|≤|𝑧1|+|𝑧2|. Se observă că ultima
inegalitate devine egalitate dacă 𝑧2= 0 sau
𝑎𝑑−𝑏𝑐=0⇔𝑎𝑑=𝑏𝑐⇔𝑎
𝑐 =𝑏
𝑑=𝑡≥0⇔{𝑎=𝑐𝑡
𝑏=𝑑𝑡 ,𝑡≥0⇔𝑧1=𝑡𝑧2,𝑡≥0.
5. Fie 𝑧1=𝑎+𝑏𝑖 ș𝑖 𝑧2=𝑐+𝑑𝑖,𝑐𝑢 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑∈ℝ
|𝑧1+𝑧2|2+|𝑧1−𝑧2|2=|(𝑎+𝑐)+(𝑏+𝑑)𝑖|2+|(𝑎−𝑐)+(𝑏−𝑑)𝑖|2
=(𝑎+𝑐)2+(𝑏−𝑑)2+(𝑎−𝑐)2+(𝑏−𝑑)2
=𝑎2+𝑐2+2𝑎𝑐+𝑏2+𝑑2+2𝑏𝑑+𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐+𝑏2+𝑑2−2𝑏𝑑
=2(𝑎2+𝑏2+𝑐2+𝑑2)=2(|𝑧1|2+|𝑧2|2)
Conse cințe:
1.|𝑧|=|𝑧̅|=|−𝑧|
Demonstraț ie: Fie 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, cu a ș i b numere reale

|𝑧̅|=|𝑎−𝑏𝑖|=|𝑎+(−𝑏)𝑖|=√𝑎2+(−𝑏)2=√𝑎2+𝑏2=|𝑧|
|−𝑧|=|−𝑎−𝑏𝑖|=|(−𝑎)+(−𝑏)𝑖|=√(−𝑎)2+(−𝑏)2=√𝑎2+𝑏2=|𝑧|
2.|𝑧𝑛|=|𝑧|𝑛,∀𝑛∈ℕ
Demonstrație: Inducț ie după n ∈ ℕ
Notez cu P(n) predicatul |𝑧𝑛|=|𝑧|𝑛,∀𝑛∈ℕ
P(0): |𝑧0|=|𝑧|0⟺|1|=1 adevărat
P(1): |𝑧1|=|𝑧|1⟺|z|=|z| adevărat
Arăt că dacă P(n) ar fi propoziție adevărată atunci și P(n+1) este propoziț ie adevărată
|𝑧𝑛+1|=|𝑧𝑛∙𝑧|=|𝑧𝑛|∙|𝑧|=|𝑧|𝑛+1
Deci , conform metodei inducț iei matematice |𝑧𝑛|=|𝑧|𝑛,∀𝑛∈ℕ
3. |𝑧1
𝑧2|=|𝑧1|
|𝑧2|, 𝑧2≠0
Demonstraț ie:|𝑧1
𝑧2|2
=𝑧1
𝑧2∙(𝑧1
𝑧2)̅̅̅̅̅=𝑧1∙𝑧1̅̅̅
𝑧2∙𝑧2̅̅̅=|𝑧1|2
|𝑧2|2=(|𝑧1|
|𝑧2|)2
.
Deoarece modulul este un număr real pozitiv, obț inem egalitatea dorită
4. ||𝑧1|−|𝑧2||≤|𝑧1−𝑧2|
Demonstraț ie:
|𝑧1+𝑧2|≤|𝑧1|+|𝑧2|⇔|𝑧1+𝑧2|2≤(|𝑧1|+|𝑧2|)2⇔(𝑧1+𝑧2)(𝑧1+𝑧2̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
≤|𝑧1|2+|𝑧2|2+2|𝑧1||𝑧2|⇔𝑧1𝑧1̅+𝑧2𝑧2̅+𝑧1𝑧2̅+𝑧2𝑧1̅
≤|𝑧1|2+|𝑧2|2+2|𝑧1||𝑧2|⇔𝑧1𝑧2̅+𝑧2𝑧1̅≤2|𝑧1||𝑧2|
||𝑧1|−|𝑧2||≤|𝑧1−𝑧2|⇔||𝑧1−𝑧2||2≤|𝑧1−𝑧2|2⇔(|𝑧1|−|𝑧2|)(|𝑧1|−|𝑧2|) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
≤(𝑧1−𝑧2)(𝑧1−𝑧2)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅⇔(|𝑧1|−|𝑧2|)2≤𝑧1𝑧1̅+𝑧2𝑧2̅−𝑧1𝑧2̅−𝑧2𝑧1̅
⇔|𝑧1|2+|𝑧2|2−2|𝑧1||𝑧2|≤|𝑧1|2+|𝑧2|2−𝑧1𝑧2̅−𝑧2𝑧1̅⇔−2|𝑧1||𝑧2|≤−𝑧1𝑧2̅−𝑧2𝑧1̅
⇔𝑧1𝑧2̅+𝑧2𝑧1̅≤2|𝑧1||𝑧2|
ceea ce este adevărat.
5. 1
𝑧=𝑧̅
|𝑧|2 ,dacă z ≠0
Demonstraț ie: 𝑧∙𝑧̅=|𝑧|2⇔𝑧=|𝑧|2
𝑧̅⇔1
𝑧 = 𝑧̅
|𝑧|2
Observaț ii:
1. 𝑧∙𝑧̅=𝑅𝑒2(𝑧)+𝐼𝑚2(𝑧) ∈ℝ
2. Dacă z este număr real, atunci modulul lui z coincide cu valoarea absolută a lui z. Prin urmare,
dacă z este număr real |z| se poate citi prin “modulul lui z” sau prin “valoarea absolută a lui z”.

Dacă 𝑧∈ℂ−ℝ se consideră însă greșită citirea simbolului |z| ca fiind “valoarea absolută a lui
z”.

II.4.Interpretarea geometrică a numerelor complexe
Planul complex : Modul de definire a numărului complex arată că există o corespondență
bijectivă prin care fiecărei perechi (a, b) ∈ℝ×ℝ îi corespunde numă rul complex 𝑧=𝑎+𝑏𝑖
(cu a, b ∈ℝ, i2= -1) și reciproc. Se știe că mulți mea ℝ×ℝ are reprezentarea geometrică un
plan raportat la un reper cartezian 𝑥𝑂𝑦 numit planul real. Î n mod corespunzător, mulț imea
numerelor complexe se va reprezenta printr -un plan raportat la un reper cartezian 𝑥𝑂𝑦, numit
planul complex (planul lui Gauss sau diagrama Arga nd). Punctul M(a, b) asociat numă rului
complex 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 se numește imaginea geometrică a numărului z, în timp ce z se numeș te
afixul punctului M ș i se scrie M(z) “M de afix z”. Trebuie menț ionat că în unele lucrări imaginea
geometrică a numărului complex 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 este considerată a fi vectorul 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ unde O este
originea reperului cartezian iar M(a, b ) imaginea geometrică a numărului z .

Fie 𝑧∈ℂ,𝑧=𝑎+𝑏𝑖, și 𝑀(𝑎,𝑏) imaginea geometrică a numărului z. Dacă A este proiecț ia
punctului M pe axa 𝑂𝑥, din triunghi ul dreptunghic OAM se obț ine 𝑂𝑀2=𝑂𝐴2+𝐴𝑀2, și ca
urmare 𝑂𝑀=√𝑎2+𝑏2=|𝑧|=𝑟.
Așadar, modulul numărului complex 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 reprezintă lungimea segmentului [OM] unde
M este imaginea geometrică a lui z.
Dacă z ș i u sunt numere complexe ce admit ca imagini punctele M(z) ș i respectiv N(u) atunci
suma 𝑧+𝑢 admite ca imagine punctul 𝑃(𝑧+𝑢), reprezentând al patrulea varf al
paralelogramu lui OMPN, adică verificând relaț ia 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ . Din int erpret area
geometrică a sumei, și ț inând cont că într -un triunghi suma lungimi lor a doua laturi este mai
X
Y
O
b
a
M(a, b)
a
b
=r

mare decât lungime a celei de a treia laturi se obț ine imediat r elația |𝑧1+𝑧2|≤|𝑧1|+
|𝑧2| (inegalitatea lui Minkowski sau inegalitatea triunghiului).
Imaginea geometrică a opusului unui număr complex z având imaginea M(z) este punct ul
P(-z), simetricul lui M în raport cu originea O. De asemenea imaginea geometrică a conjugatului
numărului complex z este punctul N( z̅), simetricul lui M(z) în raport cu axa 𝑂𝑥.
Gândind diferenț a 𝑧−𝑢 ca suma 𝑧+(−𝑢) rezul tă că imaginea geometrică a numă rului 𝑧−𝑢
este punctul 𝑄(𝑧−𝑢)ce verifică relația 𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ unde 𝑀(𝑧) și 𝑃(−𝑢) este simetricul
lui 𝑁(𝑢) în raport cu O. Di n interpretarea modulului se obț ine 𝑂𝑄=|𝑧−𝑢|. Ca și consecinț ă,
dacă u este un număr complex ș i r este u n număr real pozitiv atunci mulț imea punctelor 𝑃(𝑧)
din plan a căror afix z verifică relaț ia |𝑧−𝑢|=𝑟 este mulț imea punctelor de pe cercul de centru
𝑀(𝑢) și rază r. În mod similar, relaț ia |𝑧−𝑢|<𝑟 este verificată de afixele punctelor situate în
interiorul cercului de centru M(u) ș i rază r.
Dacă M(z) si N(u) sunt două puncte în plan atunci 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑂𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , deci vectorului 𝑀𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ îi va
corespunde numărul complex 𝑢−𝑧 iar lungimea s egmentului MN este dată de relaț ia |𝑢−𝑧| .
Fie 𝑧=𝑎+𝑏𝑖 cu a și b numere reale, z nenul si M punctul de afix z. Avem 𝑖𝑧=−𝑏+𝑎𝑖 iar
punctul de afix iz se obține prin rotirea lui M în sens trigonometric cu 𝜋
2 . Din acest motiv
numărul complex i poate fi privit geom etric și ca un operator de rotaț ie în planu l complex .

II.5. Forma trigonometrică a numerelor complexe
Fie numărul complex 𝑧=𝑎+𝑏𝑖∈ℂ și M(a, b) ∈𝜋, imaginea geometrică a lui z în planul 𝜋
raportat la sistemul de coordonate xOy. Coordonatele polare ale punctului M sunt r și t, unde
r=OM iar t este măsura unghiului determinat de OM și semiaxa pozitivă OX ; r este chiar |𝑧|,
iar t se mai notează cu arg z și se numește argumentul redus al lui z.

M(a,b)
M'(a,0)
M''(0, b)
O
X
Y
𝒕

Deducem formula trigonometrică a lui z ca fiind 𝒛=𝒓(𝐜𝐨𝐬𝒕+𝒊𝐬𝐢𝐧𝒕) unde {𝑎=𝑟 𝑐𝑜𝑠𝑡
𝑏=𝑟 𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑧=𝑎+𝑏𝑖
Deoarece t ∈[0°,360°) sau în radiani t ∈ [0,2𝜋), se definește argumentul numărului complex
z, ca fiind: Arg z={𝑡|𝑡=arg𝑧+2𝑘𝜋,𝑘∈ℤ}.
Dacă 𝑧=𝑎−𝑏𝑖 este conjugatul lui 𝑧=𝑎+𝑏𝑖, cu b≠0, atunci 𝑎𝑟𝑔𝑧̅=2𝜋−𝑎𝑟𝑔𝑧 .
Fie 𝑧𝑘=𝑟𝑘(𝑐𝑜𝑠𝑡𝑘+𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑘)∈ℂ,𝑘=1,2. Atunci:
𝑧1z2=r1r2 [ cos(t1+t2)+𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝑡1+t2)], de unde rezultă,
|z1z2|=|z1||z2| și 𝑎𝑟𝑔(𝑧1,𝑧2)=𝑎𝑟𝑔𝑧1+𝑎𝑟𝑔𝑧2+2𝑘𝜋,𝑘∈ℤ.
Ultimele două relații se pot generaliza pentru n numere complexe, astfel:
|𝑧1𝑧2……𝑧𝑛|=|𝑧1||𝑧2|……|𝑧𝑛| și
𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2…𝑧𝑛)=𝑎𝑟𝑔𝑧1+𝑎𝑟𝑔𝑧2+⋯+𝑎𝑟𝑔𝑧𝑛+2𝑘𝜋,𝑘∈ℤ.
Fie: 𝑧𝑘=𝑟𝑘(𝑐𝑜𝑠𝑡𝑘+𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡𝑘)∈ℂ,𝑘=1,2 𝑐𝑢 𝑧2≠0,𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖:
𝑧1
𝑧2=𝑟1
𝑟2(𝑐𝑜𝑠(𝑡1−𝑡2)+𝑖 𝑠𝑖𝑛(𝑡1−𝑡2)), de unde rezultă că :
|𝑧1
𝑧2|=|𝑧1|
|𝑧2| ș𝑖 𝑎𝑟𝑔(𝑧1
𝑧2)=𝑎𝑟𝑔𝑧1−𝑎𝑟𝑔𝑧2+2𝑘𝜋,𝑘∈ℤ.

Ultima relație se mai scrie sub forma :
𝑎𝑟𝑔(𝑧1
𝑧2)≡𝑎𝑟𝑔𝑧1−𝑎𝑟𝑔𝑧2 (𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 2𝜋).
Dacă 𝑧=𝑟(𝑐𝑜𝑠𝑡+𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡) ș𝑖 𝑛∈ℕ∗, atunci:
𝑧𝑛=𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑡+𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑡) și √𝑧𝑛={√𝑟𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑡+2𝑘𝜋
𝑛+𝑖𝑠𝑖𝑛𝑡+2𝑘𝜋
𝑛),𝑘=0,1,…..𝑛−1}
Utilizând notațiile lui Euler 𝑒𝑖𝑡=cos𝑡+𝑖 𝑠𝑖𝑛𝑡, numărul complex z se scrie sub forma
𝑧=𝑟𝑒𝑖𝑡, numită reprezentarea lui Euler pentru z. Dacă: 𝑧1=𝑟1𝑒𝑖𝑡1, 𝑧2=𝑟2𝑒𝑖𝑡2 atunci
𝑧1𝑧2=𝑟1𝑟2𝑒𝑖(𝑡1−𝑡2),𝑧1
𝑧2=𝑟1
𝑟2𝑒𝑖(𝑡1−𝑡2), 𝑧2≠0 ,de unde se deduc relațiile :
|𝑧1𝑧2|=|𝑧1||𝑧2|; |𝑧1
𝑧2|=|𝑧1|
|𝑧2|,
𝑎𝑟𝑔(𝑧1𝑧2)≡𝑎𝑟𝑔𝑧1+𝑎𝑟𝑔𝑧2,𝑎𝑟𝑔𝑧1
𝑧2≡𝑎𝑟𝑔𝑧1−𝑎𝑟𝑔𝑧2 (𝑚𝑜𝑑𝑢𝑙𝑜 2𝜋).

III.APLICAȚII ALE NUMERELOR COMPLEXE ÎN GEOMETRIE
În geometria plană, se poate utiliza ca metodă de rezolvare a unor probleme sau teoreme
numerele complexe fie sub formă algebrică 𝑧=𝑥+𝑖𝑦, fie sub formă trigonometrică
𝑧=𝑟𝑒𝑖𝑡 unde 𝑟=|𝑧| iar 𝑡=𝑎𝑟𝑔𝑧 întrucât fiecărui punct din plan î i corespunde un număr
complex 𝑧=𝑥+𝑖𝑦 numit afixul punctului respectiv. De asemenea, fiecărui segment orientat
îi putem asocia numărul complex corespunzător.
Fie 𝑀1,𝑀2,𝑀3………… puncte în plan și O origine fixă. Însemnând prin 𝑀𝑖 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑢𝑙 𝑂𝑀𝑖̅̅̅̅̅̅.
Orice combinație liniară 𝑀=𝑘1𝑀1+𝑘2 𝑀2+⋯+𝑘𝑛𝑀𝑛 cu 𝑘𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑒 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒 , admite o
transcriere în complex, de aceeași formă. Dacă 𝑧1,𝑧2,….𝑧𝑛 sunt afixele punctelor
𝑀1,𝑀2,…𝑀𝑛 iar z afixul lui M avem 𝑧=𝑘1𝑧1+𝑘2𝑧2+⋯+𝑘𝑛𝑧𝑛.
III.1. Afixul punctului care împarte un segment într-un raport dat
1. Fie punctele M 1 și M 2 cu afixele z1 și z 2, atunci punctul M care împarte segmentul [𝑀1𝑀2]
în raportul k  1, k > 0 are afixul 𝑧=𝑧1−𝑘𝑧2
1−𝑘 .
Demonstrație. Fie M(x, y) punctul care divide bipunctul (M 1, M 2) în raportul k .
Fie 𝑧1=𝑥1+𝑖𝑦1, 𝑧2=𝑥2+𝑖𝑦2 ș𝑖 𝑀1𝑀
𝑀𝑀2=𝑘 unde k < 0 c ând M aparține segmentului și
k > 0 în caz contrar . Deci 𝑥=𝑥1−𝑘𝑦1
1−𝑘,𝑦=𝑥2−𝑘𝑦2
1−𝑘. Astfel afixul punctului M este:
𝑧=𝑥+𝑖𝑦=𝑥1−𝑘𝑦1
1−𝑘+𝑖𝑥2−𝑘𝑦2
1−𝑘=𝑧1−𝑘𝑧2
1−𝑘
În particular, dacă punctul M este mijlocul segmentului [M1M2], atunci k = -1 și M are afixul
.22 1zzz

2. Afixul c entrul ui de greutate al unui triunghi
Dacă punctele M 1, M 2, M 3 au afixele z 1 , z2, respectiv z 3 , atunci centrul de greutate G al
triunghiului Δ M 1M2M3 are afixul

33 2 1 zzzzG .

Demonstrație. Fie z 1, z2 și z 3 afixele punctelor, M 1, M 2 și M 3 , iar M mijlocul segmentului
[M1M2]. Dacă notăm afixul lui M cu z M , atunci 𝑧𝑀=𝑍1+𝑍2
2 . Punctul G fiind centrul de
greutate al triunghiului rezultă că G împarte segmentul [ M, M 3] în raportul 𝑘=−1
2, deci G
are afixul : 𝑧𝐺=𝑍𝑀+1
2𝑍3
1+1
2=𝑧1+𝑧2
2+1
2𝑧3
3
2=𝑧1+𝑧2+𝑧3
3

3. Punctele M 1,M2,M3 și M 4 de afixe z 1, z2, z3 respectiv z 4 sunt vârfurile unui paralelogram
dacă și numai dacă are loc relația z 1 + z 3 = z 2 + z 4 .

Demonstrație. Fie z 1,z2, z3 și z 4, afixele vârfurilor paralelogramului M 1M2M3M4.
Dacă M este centrul paralelogramului M1M2M3M4 , atunci avem
𝑀(𝑍1+𝑍3
2) și 𝑀(𝑍2+𝑍4
2). Rezultă că 𝑍1+𝑍3
2=𝑍3+𝑍4
2 , deci 𝑧1+𝑧3=𝑧2+𝑧4.
Reciproc, din z1 + z 3=z 2 + z 4 se deduce egalitatea 𝑍1+𝑍3
2=𝑍2+𝑍4
2 . Cum termenii
egalității sunt afixele mijloacelor segmentelor [M 1M3], respectiv [M 2M4] , rezultă că
diagonalele patrulaterului M1M2M3M4 au același mijloc i.e. patrulaterul este un paralelogram.

III.2. Unghiul a două drepte
a) Unghiul cu vârful în origine .
Dacă punctele M 1 și M 2 au afixele z 1 și z 2 , iar 𝑀1𝑂𝑀2̂ este un unghi direct orientat,
atunci : m(∡𝑀1𝑂𝑀2)=𝑎𝑟𝑔𝑧2
𝑧1
Demonstrație : . În adevăr , avem : m(∡𝑀1𝑂𝑀2)=𝑚(∡𝑋𝑂𝑀2)−𝑚(∡𝑋𝑂𝑀1)=
=𝑎𝑟𝑔𝑧2−𝑎𝑟𝑔𝑧1 = 𝑎rg𝑧2
𝑧1

b) Unghiul cu vârful în alt punct, diferit de origine. Se translează originea O în M1. Dacă
punctele M 1, M 2 și M 3 au afixele z 1, z2 și z 3 , iar 𝑀2𝑀1𝑀3̂ este un unghi orientat ,
atunci :
În noul reper avem 𝑀3(𝑧3−𝑧1),𝑀2(𝑧2−𝑧1) și conform cu punctul a):

m(∡𝑀2𝑀1𝑀3)=𝑎𝑟𝑔𝑧3−𝑧1
𝑧2−𝑧1 .

III.3. Condiția de coliniaritate a trei puncte

Propoziție: Punctele M 1(z1), M 2(z2) și M3(z3) din plan sunt coliniare dacă și numai dacă :
𝑧3−𝑧1
𝑧2−𝑧1∈ℝ
Demonstrație: Punctele 𝑀1,𝑀2 ș𝑖𝑀3 sunt coliniare dacă și numai dacă:
𝑚(∡𝑀2𝑀1𝑀3)=𝑎𝑟𝑔𝑧3−𝑧1
𝑧2−𝑧1∈{0,𝜋}⇔𝑧3−𝑧1
𝑧2−𝑧1∈ℝ

Propoziție: Punctele M1(z1), M 2(z2) și M3(z3) din plan sunt coliniare dacă ș i numai dacă
există trei numere reale nenule k 1, k2, k3 , astfel încât:
k1z1 + k 2z2 + k 3z3 = 0 și k 1 + k 2 + k 3 = 0.

Demonstrație:
a) Necesitatea: Fie punctele M 1, M 2, M 3 coliniare atunci :
𝐵𝐴
𝐵𝐶=𝑘=𝑛𝑢𝑚ă𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 .Dar 𝑧2=𝑧1−𝑘𝑧3
1−𝑘 ș𝑖 eliminând numitorul rezultă
(1−𝑘)𝑧2=𝑧1−𝑘𝑧3 𝑠𝑎𝑢 𝑧1−(1−𝑘)𝑧2−𝑘𝑧3=0, ultima relație este de forma din enunț ,
cu k 1 = 1, k 2 = k – 1, k 3 = – k .
b) Suficiența: Reciproc, presupunem că există k 1, k2 , k3 , astfel încât: k 1z1 + k 2z2 + k 3z3
= 0 , deci 𝑘3=−(𝑘1+𝑘2), relația este echivalentă cu :

𝑘1𝑧1+𝑘2𝑧2−(𝑘1+𝑘2)𝑧3=0⇔𝑘1(𝑧1−𝑧3)=−𝑘2(𝑧2−𝑧3)⇔
⇔𝑧2−𝑧3
𝑧1−𝑧3=−𝑘2
𝑘1=𝑘∈ℝ
ceea ce , cf. a) , înseamnă că punctele M 1, M 2, M 3 sunt coliniare.
c) Se poate demonstra și astfel:
Fie{𝑎=𝑥1+𝑖𝑦1
𝑏=𝑥2+𝑖𝑦2
𝑐=𝑥3+𝑖𝑦3 și din relația de condiție rezultă:
{𝑘1𝑥1+𝑘2𝑥2+𝑘3𝑥3=0
𝑘1𝑦1+𝑘2𝑦2+𝑘3𝑦3=0
𝑘1+𝑘2+𝑘3=0 ⇒ |𝑥1𝑥2𝑥3
𝑦1𝑦2𝑦3
111|=0
Într-adevăr,dacă înmulțim prima coloană cu k 1, a doua coloană cu k 2 și a treia coloană
cu k 3 și adunăm după aceea la prima coloană pe celelalte două , se obține prima
coloană cu elemente egale cu 0; determinantul este nul, deci punctele M 1, M 2 și M 3
sunt coliniare.

III.4. Condiția de paralelism a două drepte
Propoziție: Fie punctele M 1(z1), M 2(z2), M3(z3) și M 4(z4) din planul complex. Atunci dreptele
M1M2 și M3M4 sunt paralele dacă și numai dacă 𝑧1−𝑧2
𝑧3−𝑧4  R* .
Demonstrație:
M1M2  M3M4  (M1M2, M3M4) {0, } 𝑎𝑟𝑔𝑧1−𝑧2
𝑧3−𝑧4  {0, }  𝑧1−𝑧2
𝑧3−𝑧4  R*.

III.5. Condiția de perpendicularitate și conciclicitate
Condiția de perpendicularitate a două drepte
Fie punctele M 1(z1), M 2(z2), M3(z3) și M 4(z4) din planul complex. Atunci dreptele M1M2 și
M3M4 sunt perpendiculare dacă și numai dacă 𝑧1−𝑧2
𝑧3−𝑧4  iR .
Demonstrație:
M1M2  M3M4  (M1M2, M3M4) = 𝜋
2  arg 𝑧1−𝑧2
𝑧3−𝑧4 = 𝜋
2  𝑧1−𝑧2
𝑧3−𝑧4  iR .

Condiția ca patru puncte să fie conciclice
Fie punctele M 1(z1), M 2(z2), M3(z3) și M 4(z4) din planul complex. Atunci, condiția necesară și
suficientă pentru ca punctele M 1, M2, M 3, M 4 să fie conciclice sau coliniare este ca biraportul
acestora , 𝑧1−𝑧3
𝑧2−𝑧3∶ 𝑧1−𝑧4
𝑧2−𝑧4 să fie număr real.

Demonstrație: M1, M2, M 3, M 4 sunt conciclice sau coliniare dacă și numai dacă:
a) (𝑀2𝑀3𝑀1̂ ) = (𝑀2𝑀4𝑀1̂ ) sau
b) M 1, M2, M 3 sunt coliniare și M 1, M2, M 4 sunt coliniare .
Se tratează fiecare situație :
a) (𝑀2𝑀3𝑀1̂ ) = (𝑀2𝑀4𝑀1̂ )  arg 𝑍1−𝑍3
𝑍2−𝑍3 = arg 𝑍1−𝑍4
𝑍2−𝑍4  𝑍1−𝑍3
𝑍2−𝑍3 ∶𝑍1−𝑍4
𝑍2−𝑍4  R ;
b)M 1, M2, M 3 sunt coliniare și M 1, M2, M 4 sunt coliniare dacă și numai dacă arg 𝑍1−𝑍3
𝑍2−𝑍3 {0, }
și arg 𝑍1−𝑍4
𝑍2−𝑍4  {0, }, adică dacă și numai dacă arg 𝑍1−𝑍3
𝑍2−𝑍3 ∶𝑍1−𝑍4
𝑍2−𝑍4
 {0, }, ceea este
echivalent cu 𝑍1−𝑍3
𝑍2−𝑍3 ∶𝑍1−𝑍4
𝑍2−𝑍4  R .

III.6. Ecuația cercului și a dreptei în planul complex
Pentru a găsi e cuația generală a dreptei, să considerăm dreapta d ce conține punctele distincte
A și B de afixe a ∈ ℂ respectiv b ∈ ℂ. Atunci punctul M de afix z ∈ ℂ aparț ine dreptei AB doar
dacă vectorii 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari, adică dacă există numărul real k astfel încât 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =
𝑘𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ⇔𝑧−𝑎=𝑘(𝑏−𝑎)⇔𝑧+(𝑘−1)𝑎−𝑘𝑏=0. Deci ecuaț ia dreptei în planul complex
este de forma 𝐴𝑧+𝐵=0 cu A ș i B numere complexe.

Putem găsi ecuația dreptei AB ș i sub formă de determinant. Mai exact să considerăm punctele
A și B de afixe a și respectiv b ș i fie M punctul cure nt al dreptei, M de afix z. Se știe că ecuaț ia
dreptei AB sub formă de determinant este
AB:|1𝑅𝑒 𝑧𝐼𝑚 𝑧
1𝑅𝑒 𝑎𝐼𝑚 𝑎
1𝑅𝑒 𝑏𝐼𝑚 𝑏|=0
Folosind proprietățile determinanților obținem succesiv
AB:|1𝑅𝑒 𝑧𝐼𝑚 𝑧
1𝑅𝑒 𝑎𝐼𝑚 𝑎
1𝑅𝑒 𝑏𝐼𝑚 𝑏|=0⇔|1𝑅𝑒 𝑧−𝑖∙ 𝐼𝑚 𝑧
1𝑅𝑒 𝑎−𝑖∙ 𝐼𝑚 𝑎
1𝑅𝑒 𝑏−𝑖∙ 𝐼𝑚 𝑏|=0⇔
⇔|1𝑅𝑒 𝑧𝑅𝑒 𝑧−𝑖∙𝐼𝑚 𝑧
1𝑅𝑒 𝑎𝑅𝑒 𝑏−𝑖∙𝐼𝑚 𝑎
1𝑅𝑒 𝑏𝑅𝑒 𝑏−𝑖∙𝐼𝑚 𝑏|=0⇔|12𝑅𝑒 𝑧𝑅𝑒 𝑧−𝑖∙𝐼𝑚 𝑧
12𝑅𝑒 𝑎𝑅𝑒 𝑏−𝑖∙𝐼𝑚 𝑎
12𝑅𝑒 𝑏𝑅𝑒 𝑏−𝑖∙𝐼𝑚 𝑏|=0⇔
⇔|1𝑅𝑒 𝑧+𝑖∙𝐼𝑚 𝑧𝑅𝑒 𝑧−𝑖∙𝐼𝑚 𝑧
1𝑅𝑒 𝑎+𝑖∙𝐼𝑚 𝑎𝑅𝑒 𝑏−𝑖∙𝐼𝑚 𝑎
1𝑅𝑒 𝑏+𝑖∙𝐼𝑚 𝑏𝑅𝑒 𝑏−𝑖∙𝐼𝑚 𝑏|=0⇔𝐴𝐵:|1𝑧𝑧̅
1𝑎𝑎̅
1𝑏𝑏̅|=0
Calculând determinantul obținut găsim ecuaț ia dreptei AB sub forma
AB : 𝑎𝑏̅+𝑏𝑧̅+𝑧𝑎̅−𝑎𝑧̅−𝑎̅𝑏−𝑏̅𝑧=0
AB : (𝑎̅−𝑏̅)𝑧+( 𝑏−𝑎)𝑧̅+(𝑎𝑏̅−𝑎̅𝑏)=0
AB : (𝑎−𝑏̅̅̅̅̅̅̅)𝑧−(𝑎−𝑏)𝑧̅+2𝑖 𝐼𝑚 𝑎𝑏̅=0 | ∙𝑖
AB : (𝑎−𝑏)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅𝑖𝑧−(𝑎−𝑏)𝑖𝑧̅−2 𝐼𝑚 𝑎𝑏̅=0
Notând (𝑎−𝑏)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∙𝑖=𝑚 și −2 𝐼𝑚 𝑎𝑏̅=𝑛 obținem ecuaț ia generală a unei drepte în planul
complex ca fiind 𝑚∙𝑧+𝑚̅∙𝑧̅+𝑛=0 cu m ∈ ℂ* și n ∈ ℝ.
Observație: În notația anterioară am ț inut cont de următorul rezultat
𝑚=(𝑎−𝑏)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅∙𝑖⟹𝑚̅=(𝑎−𝑏)̿̿̿̿̿̿̿̿̿̿ 𝑖̅=(𝑎−𝑏)(−𝑖)=−(𝑎−𝑏)
Să găsim acum și ecuaț ia cercului. Fie în planul complex punctul C de afix c ∈ ℂ și fie r ∈ ℝ ,
r > 0. Cercul de centru C și rază r reprezintă mulț imea punctelor din plan cu proprietatea că
distanț a de la un punct curent M (de afix z ∈ ℂ ) al cercului la C este r. Deci MC = r , de unde
avem

|𝑧−𝑐|=𝑟⇔|𝑧−𝑐|2=𝑟2⇔(𝑧−𝑐)∙(𝑧−𝑐)̅̅̅̅̅̅̅̅̅=𝑟2⇔𝑧𝑧̅−𝑧𝑐̅−𝑧̅𝑐+𝑐𝑐̅−𝑟2=0 sau
|𝑧|2−𝑧𝑐̅−𝑧̅𝑐+|𝑐|2−𝑟2=0
Pe de altă parte, pornind de la ecua ția 𝐴𝑧𝑧̅+𝐵𝑧̅+𝐵̅𝑧+𝐷=0 cu A ș i D numere reale, B
număr complex, A ≠ 0, ș i punând 𝑧=𝑥+𝑦𝑖 obținem prin înlocuire și efectuând calculele că
aceasta se poate aduce la forma
(𝑥+𝑅𝑒 𝐵
𝐴)2
+(𝑦−𝐼𝑚 𝐵
𝐴)2
=|𝐵|2−𝐴∙𝐷
𝐴2
Deci putem spune că ecuaț ia generală a cercului în planul complex este de forma
𝐴𝑧𝑧̅+𝐵𝑧̅+𝐵̅𝑧+𝐷=0
unde A ș i D sunt nume re reale, B este număr complex ș i în plus 𝐴∙𝐷<|𝐵|2 , A ≠ 0.
Teoremă : Ecuaț ia cercului ce trece prin punctele necoliniare de afixe a, b, c este
|𝑧𝑧̅𝑧𝑧̅1
𝑎𝑎̅𝑎𝑎̅1
𝑏𝑏̅
𝑐𝑐̅𝑏
𝑐𝑏̅
𝑐̅1
1|=0
Demonstraț ie: Dezvoltând determinantul după prima linie obț inem
𝑧𝑧̅|𝑎𝑎̅1
𝑏𝑏̅1
𝑐𝑐̅1|−𝑧|𝑎𝑎̅𝑎̅1
𝑏𝑏̅𝑏̅1
𝑐𝑐̅𝑐̅1|+𝑧̅|𝑎𝑎̅𝑎1
𝑏𝑏̅𝑏1
𝑐𝑐̅𝑐1|−|𝑎𝑎̅𝑎𝑎̅
𝑏𝑏̅𝑏𝑏̅
𝑐𝑐̅𝑐𝑐̅|=0
Înmulțind relația cu i, ș i notând
|𝑎𝑎̅1
𝑏𝑏̅1
𝑐𝑐̅1|∙𝑖=𝐴,−|𝑎𝑎̅𝑎1
𝑏𝑏̅𝑏1
𝑐𝑐̅𝑐1|∙𝑖=𝐵 ș𝑖−|𝑎𝑎̅𝑎𝑎̅
𝑏𝑏̅𝑏𝑏̅
𝑐𝑐̅𝑐𝑐̅|∙𝑖=𝐷
ecuaț ia se aduce la forma 𝐴𝑧𝑧̅+𝐵𝑧̅+𝐵̅𝑧+𝐷=0, formă ce reprezintă, după cum am arătat
mai sus, ecuația unui cerc în planul complex.
Observaț ie: Am avut în vedere că
𝐴̅=|𝑎̅𝑎1
𝑏̅𝑏1
𝑐̅𝑐1|∙(−𝑖)=−|𝑎𝑎̅1
𝑏𝑏̅1
𝑐𝑐̅1|∙(−𝑖)=𝐴
de unde rezultă că A este număr real. Similar rezultă ca D este număr real.

În plus 𝐵̅=−|𝑎𝑎̅𝑎1
𝑏𝑏̅𝑏1
𝑐𝑐̅𝑐1|∙(−𝑖)=|𝑎𝑎̅𝑎1
𝑏𝑏̅𝑏1
𝑐𝑐̅𝑐1|∙𝑖

Am demonstrat astfel următorul rezultat:

Teoremă: Fie ecuaț ia 𝐴𝑧𝑧̅+𝐵𝑧̅+𝐵̅𝑧+𝐶=0, cu A ș i C numere reale, B număr complex.
Dacă A=0 si B ≠ 0 atunci ecuația definește o dreaptă, iar dacă A ≠ 0 ș i 𝐴∙𝐶<|𝐵|2 ecuaț ia
defineș te un cerc. Reciproc, orice dreaptă sau cerc din planul complex se poate scrie sub forma
precizată anterior.

III.7. Asemănarea triunghiurilor

În planul complex se consideră două triunghiuri asemenea, A1A2A3 și B1B2B3 , pentru
care a 1, a2 , a 3 , respectiv b 1, b2 , b3 , sunt afixele vârfurilor acestora. Au loc relațiile :
𝐴1𝐴2
𝐴1𝐴3=𝐵1𝐵2
𝐵1𝐵3 ș𝑖 ∢𝐴2𝐴1𝐴3≡∢𝐵2𝐵1𝐵3.
Teoremă a) Dacă triunghiurile sunt la fel orientate, atunci condiția de asemănare a
triunghiurilor considerate se exprimă prin una din relațiile echivalente :
𝑎2−𝑎1
𝑎3−𝑎1=𝑏2−𝑏1
𝑏3−𝑏1 𝑠𝑎𝑢 |111
𝑎1𝑎2𝑎3
𝑏1𝑏2𝑏3|=0 .
b) Dacă triunghiurile nu au aceeași orientare, atunci condiția de asemănare a triunghiurilor
se exprimă prin una din relațiile echivalente :

𝑎2−𝑎1
𝑎3−𝑎1=𝑏2̅̅̅−𝑏1̅
𝑏3̅̅̅−𝑏1̅ 𝑠𝑎𝑢 |111
𝑎1𝑎2𝑎3
𝑏1̅𝑏2̅̅̅𝑏3̅̅̅|=0.

Demonstrație: a) rezultă din relațiile inițiale ; cele două condiții sunt , evident, echivalente.

b) Se poate considera triunghiul M1M2M3 , simetricul triunghiului B1B2B3 față de axa
absciselor. Cum triunghiul M1M2M3 are aceeași orientare cu triunghiul A1A2A3 și cum
afixele punctelor M k sunt 𝑏𝑘̅̅̅ unde k = 1, 2, 3, afirmația rezultă acum din a).

III.8. Triunghiul echilateral
Dacă triunghiul 𝐴1𝐴2𝐴3 este echilateral atunci Δ𝐴2𝐴3𝐴1~∆𝐴3𝐴1𝐴2 și rezultă că:

|111
𝑎1𝑎2𝑎3
𝑎2𝑎3𝑎1|=0, de unde rezultă condiția: 𝑎12+𝑎22+𝑎32=𝑎1𝑎2+𝑎2𝑎3+𝑎3𝑎1.
Deci ∆𝐴1𝐴2𝐴3 este echilateral dacă: (𝑎1−𝑎2)2+(𝑎2−𝑎3)2+(𝑎3−𝑎1)2=0.
Relația se descompune în:
(𝑎1𝜀+𝑎2𝜀2+𝑎3)(𝑎1𝜀2+𝑎2𝜀+𝑎3)=0
unde 𝜀=𝑒2𝑖𝜋
3, 𝜀2=𝑒−2𝑖𝜋
2 sunt rădăcinile cubice, complexe ale unității.
𝜀3=1+𝜀+𝜀2=0
Deci, dacă un triunghi este echilateral avem relația: 𝑎1𝜀+𝑎2𝜀2+𝑎3= 0 în orice ordine am lua
vârfurile.

III.9. Transformări geometrice
III.9.1. Generalități privind transformările geometrice
Transformările geometrice au apăr ut din necesitatea studiului mișcării din spațiul fizic,
păstrându -se forma ș i dimensiunile figur ilor la momentul inițial și la momentul final al miș cării.
Din punct de vedere geome tric ne interesează corespondenț a care exi stă între punctele unei
figuri la cele do uă momente, precum ș i proprietăț ile care rămân neschimbate după efectuarea
transformării.
Mi-am pr opus să prezint pe scurt iz omet riile planului ș i legătura lor cu numerele complexe. De
asemenea voi enunț a o parte d in cele mai importante proprietăț i ale lor. În continuare voi nota
planul cu 𝒫.
Definiție. Orice funcț ie t: 𝒫⟶𝒫 este o transformare geometrica. Dacă M este un punct din
𝒫, atunci M ’=𝑡(𝑀)∈𝒫 se numeș te transformatul (sau imaginea) punctului M prin
transformarea t.
Definiție. Două transformări t1 și t2: 𝒫⟶𝒫 se numesc echivalente dacă t1(M) = t 2(M) pentru
orice punct al planului. Notăm t 1 = t2 sau t 1 ~ t2 .
Observație: Din definiț ie se vede că transformările geometrice sunt funcț ii. Ele sunt echivalente
ca transformări dacă sunt egale ca și funcț ii.

Definiț ie. Transformarea e: 𝒫⟶𝒫, e(M)=M se numeș te transformarea identică a p lanului. Se
mai notează uneori ș i cu I.
Definiț ie. Fie transformările t 1 și t2: 𝒫⟶𝒫. Transformarea t 2 o t 1: 𝒫⟶𝒫 , definită prin
(t2 o t1)(M) = t 2(t1(M)) se numeș te compunerea (sau uneori produsul) transformărilor t 2 și t1.
Este notată uneori ș i t2 t1.
Definiț ie. Fiind dată o transformare bijectivă t: 𝒫⟶𝒫 , t(M) =M ’∈ 𝒫, ∀ M∈ 𝒫 , transformarea
t-1: 𝒫⟶𝒫, t-1(M’) =M se numeș te transformarea inversă a transformării t.
Deci t o t-1 = e = t-1 o t.
Teoremă: Compunerea tran sformărilor este asociativă.
Definiț ie. Transformarea t: 𝒫⟶𝒫 se numește izometrie a planului dacă pă strează distanț a dintre
două puncte (ad ică pentru orice două puncte M ș i N∈ 𝒫 avem MN=t(M)t(N) ) .
Teoremă: Mulțimea izomet riilor planului este grup în raport cu compunerea transformărilor.
Teoremă: Orice izometrie a planului transformă:
a. orice segment (AB) într -un segment (A’B’) păstrând ordinea punctelor
b. orice semidreaptă (AB într -o semidreaptă (A’B’ păstrând ordinea punctelor
c. orice dreaptă AB într -o dreaptă A’B’ păstrând ordinea punctelor
d. orice unghi ∢AOB într -un unghi ∢A’O’B’ astfel încât ∢AOB≡∢A’O’B’
e. orice cerc într -un cerc congruent cu el

Definiț ie. Fie izometria t: 𝒫⟶𝒫. Punctul M ∈ 𝒫 se numeș te punct fix pentru t dacă t(M)=M.
Dreapta d se numeș te dreaptă fixă pentru t dacă t(d)=d.
Teoremă: Mulț imea punctelor fixe pentru orice izome trie t: 𝒫⟶𝒫 poate fi mulțimea vidă, o
mulțime formată din un singur punct, o dreaptă, sau tot planul.
Teoremă:
a. Orice izometrie transformă drepte paralele în drepte paralele
b. Intersecț ia a două drepte fixe în raport cu o izometrie a planului este un punct fix al izometriei

c. Fie t ș i s două izometrii ale planului și fie A,B ș i C trei puncte necoliniare ale pla nului. Dacă
t(A)=s(A), t(B)=s(B) ș i t(C)=s(C) atunci t = s .
d. Dacă un cerc este invariant în raport cu o izometrie (adică imaginile prin izometrie ale
punctelor cercului sunt tot puncte ale cercului) atunci centrul cercului este un punct fix în raport
cu acea izometrie.

III.9.2. Translaț ia
Definiț ie. Fie vector ul 𝑣 ⃗⃗⃗ în planul 𝒫. Se numește translaț ie de vector 𝑣 ⃗⃗⃗ (notată 𝑡𝑣⃗ sau, dacă nu
este pericol de confuzie t) transformarea t : 𝒫⟶𝒫 care asociază fiecărui punct M ∈ 𝒫 unicul
punct M’ ∈ 𝒫 astfel încât vectorii 𝑀𝑀’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ și 𝑣 sunt echipolenț i. Dacă 𝑣 =0⃗ atunci 𝑡0⃗⃗ = e (adică
este transformarea identică a planului).
Teoremă: Ecuațiile translaț iei de vector 𝑣 =(𝑎,𝑏) care duce punctul 𝑀(𝑥,𝑦) în punctul
𝑀′(𝑥′,𝑦′) 𝑠𝑢𝑛𝑡 {𝑥′=𝑥+𝑎
𝑦′=𝑦+𝑎 .
Legătura cu numerele complexe. Fie 𝑧0=𝑎+𝑏𝑖∈ℂ și 𝑣 (𝑎,𝑏) vectorul imagine al lui 𝑧0. Fie
funcț ia 𝑓:ℂ→ℂ,𝑓(𝑧)=𝑧+𝑧0 și fie M ș i M’ punctele de afi xe z ș i respectiv f (z). Conform
ecuațiilor translației, funcț ia t : 𝒫⟶𝒫 , 𝑡(𝑀)=𝑀′ este transla ția de vector 𝑣 , iar funcția f se
numește translaț ia definită de z0. Deci putem defini pentru un z 0 fixat translaț ia definită de z ca
fiind funcț ia 𝑓:ℂ→ℂ,𝑓(𝑧)=𝑧+𝑧0 .
Teoremă: Translația are următoarele proprietăț i:
a. Orice translație este o izometrie (și implicit are proprietăț ile unei izometrii)
b. Pentru orice două translaț ii de vectori 𝑣 ș𝑖 𝑢⃗ avem 𝑡𝑣⃗ ∘𝑡𝑢⃗⃗ =𝑡𝑣⃗ +𝑢⃗⃗
c. Mulțimea translaț iilor îm preună cu operaț ia de compunere formează un grup comutativ de
transformări ale planului, în acest grup inversa unei translaț ii 𝑡𝑣⃗ fiind 𝑡−𝑣⃗ .
d. Imaginile a două d repte paralele printr -o translaț ie sunt tot drepte paralele.

III.9 .3. Simetria
III.9.3.1. Simetria față de o dreaptă
Definiț ie. Fie d o dreaptă în plan. Se numeș te simetrie ortogonală în raport cu dreapta d
transformarea geometrică 𝑆𝑑: 𝒫⟶𝒫 care asociază fiecărui punct M din plan unicul punct M ’
din plan cu proprietatea că d este mediatoarea segmentului MM’ dacă 𝑀∉𝑑 și 𝑆𝑑(𝑀)=𝑀
dacă 𝑀∈𝑑.
Teoremă: Orice simetrie ortogonală este o izometrie.
În cazul numerelor complexe avem ur mătoarele cazuri particulare:
a. Simetria față de axa Ox este funcț ia S:ℂ⟶ℂ , S(z) = z̅
b. Simetria faț ă de axa Oy este funcț ia s:ℂ⟶ℂ , S(z) = -z̅
Simetria faț ă de o dreaptă oarecare:
Fie d o dreaptă oarecare în planul complex. Fie A(a) si B(b) puncte distincte pe d. Putem
presupune AB = 1. Deci 𝑡=𝑏−𝑎 este un număr complex de modul 1. Fie M(m) un punct în
planul complex și M’(m’) simetricul punctului M fața de dreapta d. Dreapta MM’ trebuie să fie
perpendiculară pe d, deci există numărul real r astfe l încât 𝑚′=𝑚+2∙𝑟∙𝑖∙𝑡 deoarece
înmul țirea cu i reprezintă o rotaț ie de unghi 90°.
Mijlocul N(n) al segmentului MM’ este dat de 𝑛=(𝑚+𝑚′)
2=𝑚+𝑟∙𝑖∙𝑡.
Pentru ca N să fie punct al dreptei d trebuie să existe un număr real u astfel încât 𝑛=𝑎+𝑢∙𝑡.
Rezultă deci că 𝑚+𝑟∙𝑖∙𝑡=𝑎+𝑢∙𝑡, adică 𝑢−𝑟𝑖=(𝑚−𝑎)
𝑡. Scăzând ultima egalitate din
conjugata ei avem : 2𝑡∙𝑖=(𝑚−𝑎
𝑡)̅̅̅̅̅̅̅̅−(𝑚−𝑎
𝑡).
Obținem prin î nlocuir e în expresia lui m’ că 𝑚′=𝑚+𝑡
𝑡̅(𝑚−𝑎̅̅̅̅̅̅̅̅)−(𝑚−𝑎).
Din presupunerea că t este număr de modul 1 avem 𝑡
𝑡̅=𝑡2 și egalitatea anterioară devine
𝑚′=𝑎+𝑡2∙(𝑚−𝑎)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (*)
Dacă vom considera imaginea P(p) a originii O(0) prin simetria respectivă vom obține
𝑝=𝑠(0)=𝑎−𝑡2𝑎̅ și atunci relaț ia (*) devine 𝑚′=𝑝+𝑡2𝑚̅.

În concluzie simetria faț ă de o dreaptă d este transformarea S :ℂ⟶ℂ , 𝑆(𝑧)=𝑝+𝑡2𝑧̅ unde p
este imaginea originii prin si metrie iar t reprezintă diferenț a afixelor a două puncte de pe
dreaptă, alese astfel încât t este un număr complex de modulul 1.
Teoremă. Simetria faț ă de o drea pta d are următoarele proprietăț i:
a) Păstrează (invariază) punctele dreptei d ș i numai pe acestea.
b) Este o transformare involutivă, adică prin com punerea unei simetrii cu ea însăși se obț ine
transformarea identică.
c) O dreaptă este conservată prin simetrie doar dacă este perpendiculară pe d sau coincide cu d.
d) Transformă un cerc de centru C ș i rază r în tr-un cerc de c entru C’ = S (C) și având aceeaș i
rază r. În plus C = C’ doar dacă C se află pe dreapta d.
Teorema de compunere a simetriilor. Fie a ș i b două drepte. Transformarea 𝑇=𝑆𝑏∘𝑆𝑎 este
translație dacă a și b sunt drepte paralele și este rotație dacă a ș i b au exact un punct comun.
Demonstraț ie: Fie S b(z) = q + n2𝑧̅ și Sa(z) = p + m2𝑧̅. Obț inem
(𝑆𝑏∘𝑆𝑎)(𝑧)=𝑞+𝑛2(𝑝+𝑚2𝑧̅) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(𝑞+𝑛2⋅𝑝̅)+(𝑛⋅𝑚̅)2⋅𝑧
Deci 𝑇(𝑧)=(𝑞+𝑛2⋅𝑝̅)+(𝑛⋅𝑚̅)2𝑧 (1).
 Dacă a ∥ b are loc 𝑛=±𝑚, deci n ∙m̅ = ±1 și formula (1) arată că T este translația T M
unde M(m) și m = q + n2∙p̅ .
 Dacă exist ă C(c) punct comun dreptelor a ș i b atunci 𝑇(𝑐)=(𝑆𝑏∘𝑆𝑎)(𝑐)=𝑆𝑏(𝑐)=𝑐,
deci
𝑐=(𝑞+𝑛2⋅𝑝̅)+(𝑛⋅𝑚)2⋅𝑐 (2).
Scăzând membru cu membru (1) și (2) se obține 𝑇(𝑧)−𝑐=(𝑛⋅𝑚̅)2(𝑧−𝑐), deci T este rotație
de centru C ș i de argument 𝑡=2⋅arg (𝑛𝑚̅).
Trebuie rem arcat că alternativele din enunț nu se exclud total. Dacă a = b ne încadrăm în ambele
variante, T fiind transformarea identică a planului.
Teorema de descompunere a translați ilor în simetrii: Pentru orice translaț ie T M și orice dreaptă
d ce satisface relaț ia d ⊥ OM există o dreaptă unică a astfel încât T M = S a o Sd .
Teorema de descompunere a rota țiilor în simetrii: Pentru orice rotație R de centru C și de unghi
t și orice dreapta d ce conț ine pe C există o uni că dreaptă a astfel încât R = Sa o S d.

III.9.3.2. Simetria faț ă de un punct
Definiț ie. Fie P un punct în plan. Se numeș te simetrie în raport cu punctul P transformarea
S: 𝒫⟶𝒫, S(M)=M ’, unde M ’ este unicul punct cu proprietatea 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑃𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (adică P este
mijlocul segmentului [MM’] ).
În cazu l planului complex, simetria faț ă de punctul P(z 0) este S :ℂ⟶ℂ , S(z) = 2z 0-z deoarece
condiț ia ca P(z 0) să fie mijlo cul segmentului având extremitățile de afixe z și S (z) este
𝑧0=𝑧+𝑠(𝑧)
2
Teoremă: Orice simetrie faț ă de un punct este o izometrie.
III.9 .4. Omotetia
Definiț ie. Fie O un punct în plan și k un număr real nenul. Se numește omotetie de centru O ș i
raport (sau putere) k transformarea care face ca fiecărui punct M din plan să -i corespundă
punctul M’ din plan astfel încât 𝑂𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑘⋅𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Transformarea se notează cu H(O, k), HO,k sau,
dacă nu există pericol de confuzie, cu H.
M’ = H(M) se numeș te omoteticul l ui M prin omotetia de centru O ș i raport k.
Observaț ie:
 H(O) = O
 Dacă k = 1 obținem H(M) = M ș i omotetia este transformarea identică a planului. Dacă
k≠1 atunci singurul punct fix al omotetiei este O.
 Dacă k > 0 atunci M și M’ se află de aceeași parte a centrului O și omotetia se numește
directă. Punctele M ș i M’ se numesc direct omotetice.
 Dacă k < 0 atunci O se află între M și M’ iar omotetia se numește indirectă. Punctele M
și M’ se numesc invers omotetice.
 Omotetia de centru O ș i raport k = -1 este simetria în raport cu punctul O.
În cazul planului complex în care avem fixat un reper carte zian 𝑥𝑂𝑦, faptul că omotetia H P,k ,
P(z 0) punct fixat al planului ș i k≠0, asociază punctului M(z) acel unic punct M’(z’) astfel încât
𝑃𝑀′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑘𝑃𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ revine la z’ -z0 = k(z -z0) de unde rezultă z’= k(z -z0)+ z 0 sau z’ = k z+(1-k)z o . Deci
omotetia de centru z o și raport k este funcț ia Hzo,k : ℂ⟶ℂ, Hz o,k(z) = kz + (1 -k)z o (1).
Dacă P=O atunci omotetia devine H O,k :ℂ⟶ℂ, H O,k = kz.

Teoremă:
1. Comp unerea a două omotetii de acelaș i centru P și de rapoarte k ș i respecti v k’ este omotetia
de centru P ș i raport kk’. Implicit comp unerea a două omotetii de același centru este operaț ie
comutativă.
2. Omotetia de centru P ș i raport k nenul este inversabilă, inv ersa ei fiind omotetia de acelaș i
centru P ș i raport k-1.
3. Mulțimea omotetiilor de același centru formea ză grup comutativ în raport cu operaț ia de
compunere a transformărilor.
4. Raportul distanțelor dintre două puncte ș i dintre omoteticele lor prin omotetia de raport k
nenul este const ant ți egal cu |k|-1. În consecință omotetiile de raport 𝑘≠±1 nu sunt i zometrii.

Teorema de compunere a omotetiilor de centre diferite: Compunerea omotetiilor H D,k și H C,k
este H E,hk dacă hk ≠ 1 (unde E este determinat de relaț ia (1−ℎ𝑘)∙𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =ℎ(1−𝑘)∙𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) și
respectiv o translaț ie dacă ℎ𝑘=1.
Demonstraț ie: Dacă punctele C și D au afixele c și d atunci, din relaț ia (1) avem
𝑍′=(𝐻𝐷,ℎ∘𝐻𝐶,𝑘)(𝑧)=𝐻𝐷,ℎ(𝑘𝑧+(1−𝑘)⋅𝑐)=ℎ⋅(𝑘𝑧+(1−𝑘)⋅𝑐)+(1−ℎ)⋅𝑑
=ℎ𝑘𝑧+ℎ⋅(1−𝑘)⋅𝑐+(1−ℎ)⋅𝑑.
Dacă hk = 1 formula anterioară devine z’ = z + (h -1)∙c +(1 -h)∙d = z + (h -1)(c-d) și atunci H D,h
o H C,k este translaț ia de vector de afix (h -1)∙(c -d).
Dacă hk ≠ 1, notăm cu e numă rul complex ℎ(1−𝑘)
1−ℎ𝑘𝑐=1−ℎ
1−ℎ𝑘𝑑 și atunci formula anterioară
devine 𝑧′=ℎ𝑘𝑧+(1−ℎ𝑘)∙𝑒=𝐻𝐸,ℎ𝑘 unde E are afixul e.
Observând că 1−ℎ
1−ℎ𝑘=1−ℎ(1−𝑘)
1−ℎ𝑘 egalitatea car e defineș te pe e devine
(𝑒−𝑑)=ℎ(1−𝑘)
1−ℎ𝑘(𝑐−𝑑)
Adică 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =ℎ(1−𝑘)
1−ℎ𝑘𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ deci egalitatea din enunțul teoremei.

Teorema de com punere a omotetiilor cu translaț ii: Fie 𝐻𝐶,𝑘 o omotetie cu k ≠ 1 ș i 𝑇𝑉⃗⃗ o
translaț ie. Dacă D ș i E sunt puncte astfel încât (1−𝑘)𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑣 (1−k) , (1−𝑘)𝐶𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑘𝑣 , atunci
𝑇𝑣⃗ ∘𝐻𝐶,𝑘=𝐻𝐷,𝑘 ș𝑖 𝐻𝐶,𝑘∘𝑇𝑣⃗ =𝐻𝐸,𝑘.
Demonstraț ie: Fie u numărul complex având imaginea geometrică 𝑣 . Fie c, d ș i e afixele
punctelor C, D și respectiv E. Atunci {𝑢=(1−𝑘)⋅(𝑑−𝑐)
𝑒=(1−𝑘)⋅(𝑒−𝑐)
𝑇𝑣⃗ ∘𝐻𝐶,𝑘(𝑧)=𝑇𝑣⃗ [𝑘𝑧+(1−𝑘)⋅𝑐]=𝑘𝑧+(1−𝑘)⋅𝑐+𝑢=𝑘𝑧+(1−𝑘)⋅𝑑=𝐻𝐷,𝑘(𝑧).
𝐻𝐶,𝑘∘𝑇𝑣⃗ (𝑧)=𝐻𝐶,𝑘(𝑧+𝑢)=𝑘𝑧+𝑘𝑢+(1−𝑘)⋅𝑐=𝑘𝑧+(1−𝑘)⋅𝑒=𝐻𝐸,𝑘(𝑧).
III.9.5. Rotaț ia
Definiț ie. Se numește rotație de centru O ș i unghi t transformarea geometrică 𝑟𝑂,𝑡: 𝒫⟶𝒫
𝑟𝑂,𝑡 (M)=M’ , M’ verificând relațiile OM=OM’ ș i m(𝑀𝑂𝑀′)̂ = t.
Teoremă: Fie reperul cartezian 𝑥𝑂𝑦. Ecuațiile rotației de centru O ș i unghi t care duce punctul
M(𝑥,𝑦) în punctul M’ (𝑥′,𝑦′) sunt date de formulele {𝑥′=𝑥cos𝑡−𝑦sin𝑡
𝑦′=𝑥sin𝑡+𝑦cos𝑡.
Legătura cu numerele complexe: În planul complex considerăm punctul M de afix z . Fie 𝑎∈ℂ,
|a|=1, deci 𝑎=cos𝑡+𝑖sin𝑡. Dacă 𝑧=𝑟(cos𝑠+𝑖sin𝑠) atunci
𝑧′=𝑎𝑧=(cos𝑡+𝑖sin𝑡)𝑟(cos𝑠+𝑖sin𝑠)=𝑟[cos(𝑡+𝑠)+𝑖sin(𝑡+𝑠)],
deci punctul de afix z’ se o bține din punctul de afix z prin rotirea acestuia în jurul originii cu
un unghi de măsură t. În consecință putem defini rotația de centru O și unghi t ca fiind funcț ia
𝑟𝑂,𝑡:ℂ⟶ℂ , 𝑟𝑂,𝑡(𝑧)=𝑎𝑧 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎=cos𝑡+𝑖sin𝑡 ∈ℂ.
În cazul general , putem defini rotaț ia de centru C(c) și unghi t ca fiind aplicaț ia
𝑟𝐶,𝑡:ℂ⟶ℂ , ce verifică egalitatea 𝑟𝐶,𝑡(𝑧)−𝑐=(𝑧−𝑐)∙𝑎
Deci 𝑟𝐶,𝑡(𝑧)=𝑧𝑎+(1−𝑎)∙𝑐 𝑢𝑛𝑑𝑒 𝑎=cos𝑡+𝑖sin𝑡 .
Teoremă: Rotația are următoarele proprietăț i;
1. Rotația este o izometrie ș i conservă unghiurile
2. Compunerea a două rotații de același centru și unghiuri t și respectiv s este tot o rotaț ie. Mai
exact avem 𝑟𝑂,𝑡∘𝑟𝑂,𝑠=𝑟𝑂,𝑡+𝑠

3. 𝑟𝑂,𝑡 este transformare inversabilă ș i (𝑟𝑂,𝑡)−1=𝑟𝑂,−𝑡
4. 𝑟𝑂,𝑜 este aplicaț ia identică a planului.
5. Mulțimea rotaț iilor de acelaș i cen tru formează în raport cu operaț ia de compunere un grup
comutativ.

III.9 .6. Similitudinea
Definiție: Se numește similitudine de centru C ș i de raport 𝑚=𝑘(cos𝑡+𝑖sin𝑡), notată S C,m
compunerea dintre omotetia de centru C și de raport k și rotația de centru C ș i de argument t.
Deci 𝑆𝐶,𝑚=𝐻𝐶,𝑘∘𝑅𝐶,𝑡. În continuare voi nota a(t) =cos t +i sin t și cu c afixul punctului C.
Folosind formulele de la omotetie și de la rotație avem
𝑆𝐶,𝑚(𝑧)=(𝐻𝐶,𝑘∘𝑅𝐶,𝑡)(𝑧)=𝐻𝐶,𝑘[𝑧⋅𝑎(𝑡)+𝑐⋅(1−𝑎(𝑡)]=𝑘⋅[𝑧⋅𝑎(𝑡)+𝑐(1−𝑎(𝑡)]
Deci 𝑆𝐶,𝑚(𝑧)=𝑚∙𝑧+(1−𝑚)∙𝑐.
Se observă că (𝑅𝐶,𝑡∘𝐻𝐶,𝑘)(𝑧)=𝑅𝐶,𝑡[𝑘𝑧+(1−𝑘)⋅𝑐]=𝑐+𝑘⋅(𝑧−𝑘)⋅𝑎(𝑡)=𝑐+𝑚⋅
(𝑧−𝑐)=𝑚⋅𝑧+(1−𝑚)⋅𝑐=𝑆𝐶,𝑚(𝑧)
Deci ord inea în care compunem omotetia și rotația pentru a obț ine si militudinea este arbitrară.
Dacă t = 0 simili tudinea se tr ansformă într -o omotetie (lipsește rotaț ia) iar dac ă k=1 se
transformă într -o rotație (lipseș te omotetia).
Teoremă (proprietăț i ale similitudinilor)
1. O similitudine de raport m coincide cu transformarea identică dacă si numai dacă avem m=1.
2. O similitudine diferită de transformarea ident ică admite un singur punct fix ș i anume centrul.
3. Similitudin ea de raport m amplifică distanț ele prin |m|, adică|𝑆(𝑧)−𝑆(𝑧′)|=|𝑚|⋅|𝑧−𝑧′|.
Deci 𝑎𝑟𝑔𝑆(𝑧)−𝑆(𝑧′)
𝑧−𝑧′=𝑡+2𝑘𝜋
4. Imaginea prin similitudine a unui segment, semidreaptă, dreaptă, cerc este respectiv segment,
semidreaptă, dreaptă, cerc .
5. Prin compuner ea a două similitudini de același centru se obține o similitudine d e acelaș i
centru. Mai exact 𝑆𝐶,𝑚∘𝑆𝐶,𝑛=𝑆𝐶,𝑚⋅𝑛. Astfel corespondenț a de la numere complexe la

similitudini de un anumit ce ntru C face să corespundă operației de înmulțire a numerelor
complexe, operaț ia de compuner e a transfor mărilor geometrice ș i oferă astfel i nterpretarea
geometrică a operației de înmulț ire pe ℂ.

Teorema de determinare a similitudinii: Pe ntru orice patru puncte A,B,A’ și respectiv B’
necoliniare și care satisfac relaț iile A ≠ B si A’ ≠ B’ există o singură s imilitudine S astfel încât
S(A) = A’ sau S(B) = B’ sau o singură translaț ie T astfel încât T(A) = A’ si T(B) = B’ .
Demonstraț ie:
În planul complex considerăm A(a), A’(a’), B(b) și B’(b’) verificând condiț iile di n teoremă.
Aceasta cere existența ș i unici tatea unui cuplu (C, m) astfel încât {𝑎′=𝑚⋅𝑎+(1−𝑚)𝑐
𝑏′=𝑚⋅𝑏+(1−𝑚)𝑐.
Scăzând aceste relaț ii avem (a’ -b’) = m∙(a -b).
Dacă m = 1 atunci (a’ -a) = (b’ -b) și obținem astfel translaț ia de vector 𝑣 (a’-a).
Dacă m ≠ 1 atunci există un unic punct C de afix c determinat de
𝐴𝐵′−𝐴′𝑏
(1−𝑚)(𝑎−𝑏)=𝐴𝐵′−𝐴′𝑏
(𝑎−𝑎′)−(𝑏−𝑏′) astfel încât avem asigurată existen ța și unicitatea cuplului (C, m)
căutat.
Teoremă (compunerea similitudinilor de centre diferite). Fie D(d) si C(c) . Compunerea
similitudinilor 𝑆𝐷,𝑛 ș𝑖 𝑆𝐶,𝑚 este
i) 𝑆𝐷,𝑛∘𝑆𝐶,𝑚=𝑇𝑣⃗ unde𝑣(𝑢)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,𝑢=(𝑛−1)(𝑐−𝑑) 𝑑𝑎𝑐ă 𝑚𝑛=1.
ii) 𝑆𝐷,𝑛∘𝑆𝐶,𝑚=𝑆𝐸,𝑚𝑛 𝑑𝑎𝑐ă 𝑚𝑛 ≠ 1 cu E de afix e determinat de relaț ia
𝑒=𝑛(1−𝑚)𝑐+(1−𝑛)𝑑
1−𝑚𝑛