I. Introducere î n numere complexe [600741]

1

I. Introducere î n numere complexe

Matematica a avu t un proces de revenire în vestul Europei încep ând cu secolul 13. P ână
atunc i lucrările matematice erau traduse în limba lat ina din limba araba, perm ițând studen ților
vest-europeni sa studieze matema tica dezvoltat ă de scoala araba si de scoala greaca, cum ar fi
“Elementele” scris ă de Euclid. În toate aceste matematici, doar numerele pozitive erau
considerate “numere”. Numerele negative nu erau folosite încă, deși în unele culturi antice (cum
ar fi cea chin eză si cea indian ă) erau acceptate.

I.1. Rezolvarea ecua ției de gradul 2
Folosind numerele negative accept ăm că orice ecua ție de gradul 2 în necunoscuta x se
poate scrie de forma ax2 + bx + c = 0 cu a,b,c numere constante, a constant ă nenul ăz. De
asemenea știm că soluțiile ei se po t găsi cu formula
x=−b±√b2−4ac
2a
acestea fiind dou ă numere reale distincte dacă discriminantul b2−4ac este pozitiv, dou ă soluții
reale egale daca discriminantul este 0 si nu are solutii reale daca discriminantul este negativ.
Însă, în secolul 15 ace ste lucruri nu erau cunoscute. Î n loc de aceasta erau împărțite în
patru categorii în func ție de semnele coeficien ților a,b,c. Deoar ece coeficientul a nu poate fi zero
într-o asemenea ecua ție, prin împar țire la a , ecua ția se poate aduce la o form ă echivalent ă având
a=1, x2 + bx + c = 0. La aceas tă ecuație se po t separa termenii pozitivi de cei negativi și se poate
renun ța la termenii nuli, ob ținându-se una din formele urm ătoare, toate avand coeficien ții
pozitivi:
x2=c
x2 + bx=c
x2 + c=bx
x2=bx + c
Mai sunt si alte forme dar acestea fie nu au solu ții pozitive, fie pot fi reduse la ecua ții
liniare. Fiecare din formele anterioare admit e o anumit ă rezolvare. Se poate remarca însă că
fiecare rezolvare este un caz particular al solu ției cu radical de mai sus. S -ar putea crede c ă
acesta este un motiv suficient de bun pentru introducerea numerelor negative; totu și se pare c ă
dureaz ă foarte mult p ână când oamenii accept ă sa-și extind ă cunostin țele asupra conceptului de
număr și să accepte noi tipuri de numere .

I.2. Rezolvarea ecua țiilor de gradul 3
Ecua țiile de gradul trei se mai numesc și ecua ții cubice. Forma lor general ă, dup ă
împar țire la coeficientul termenului dominant, este x3 + bx2 + cx + d = 0. La fel ca și la ecua țiile
de gradul doi se pot ob ține diferite forme ale ecua ției cu to ți coeficien ții pozitivi prin separarea
termenilor negativi trec ându-i în cel ălalt membru al e galita ții și renun țarea la termenii nuli.
În secolul 16 era o mare provocare rezolvarea acestor ecua ții. A fost o mare controvers ă
în Italia între Cardano (1501 -1576) si Tartaglia (1499 -1557) privind cine are meritul rezolv ării
ecuațiilor cubice. Ceea ce este interesant este c ă în această perioadă numerele negative au cap ătat

2
legitimitate și chiar au ap ărut primele men țiuni asupra numerelor complexe. Trebuie spus c ă
algebra simbolic ă nu era dezvoltat ă încă și ecua țiile erau scrise în cuvinte în loc de simb oluri .
Cardano, în a sa lucrare “ Ars Magna” a g ăsit solu țiile negative ale ecua țiilor și a numit
aceste numere fantastice . De asemenea a remarcat c ă suma solu țiilor ecua ției este opusul lui b,
coeficientul lui x2. La un moment dat a men ționat c ă problema scrierii num ărului 40 ca produs de
numere cu suma 10 are ca solu ții 5+√−15 si 5−√−15. Cardano nu a aprofundat mai mult de
atât studiul numerelor numite mai t ârziu complexe dar c âțiva ani mai tarziu Bombelli (1526 –
1572) a dat c âteva exemple în care le utilizează . Astfel, formulele lui Cardano ofer ă soluția
ecuației x3 = cx + d ca fiind
x=√(d
2+√e)3
+√(d
2−√e)3

unde e=(d/2)2 – (c/3)3). Bombelli a rezolvat astfel ecua ția x3 = 15x + 4 obținând solu ția x=
√(2+√−121)3+√(2−√121)3 .
Se observ ă acum c ă radăcina patrat ă a lui -121 nu mai este num ăr pozitiv, negativ sau
zero. Bombeli a continuat transform ările ob ținând
√(2+√−121)3=2+√−1
si √(2−√−121)3=2—1 .
Deci solu ția ecua ției este x = 4. Acest exemplu nu arat ă că Bombel li știa totul despre
numere complexe ci c ă abia începea s ă le ințeleag ă.

I.3. Teorema fundamental ă a algebrei
Enun ț: “Orice polinom cu coeficien ți numere complexe de grad mai mare sau egal dec ât
unu are cel pu țin o rad ăcină în mul țimea numerelor complexe”.
După cum am men ționat mai înainte, Cardano a remarcat c ă suma solu țiilor ecua ției de
gradul trei este egal ă cu –b (nega ția coeficientului lui x2 din x3 + bx2 + cx + d = 0) . P ână în
secolul 17 teoria ecua țiilor s -a dezvoltat suficient de mult astfel încât Girard (1595 -1632) a putut
enun ța ceea ce numim acum Teorema fundamental ă a algebrei. Formulele pe care le -a
demonstrat ofer ă de asemenea o rela ție între cele n solu ții ale unei ecua ții de gradul n si cei n
coeficien ți ai s ăi. Girard afirma c ă o ecua ție de gradul n are n solu ții dac ă accept ăm toate
soluțiile cu ordinele lor de multiplicitate. Nu a fost foarte explicit asupra formei acestor solu ții.
Descartes (1596 –1650) a studiat de asemenea rela țiile dintre solu ții si coeficien ți, și a
arătat mai explicit în ce constau rela țiile. Descartes a numit solu țiile negative false si pe celelalte
soluții (adică numere le complexe) imaginare.
În restul secolul ui 17 numerele negative au fost considerate numere, f ără a fi considerate
numere reale ci doar folositoare pentru teoria ecua țiilor. Nu era clar ce form ă au solu țiile
ecuațiilor. Unele numere complexe de forma a+b√−1 erau suficiente pentru rezolvarea
ecuațiilor de gradul doi dar nu era clar dac ă sunt suficiente pentru rezolvarea ecua țiilor de grad
trei sau mai mare. De asemenea mai trebuia lamurit ă forma celo r n solu ții ale ecua ției de gradul
n, despre a c ăror existen ța se știa din Teorema fundamental ă a algebrei.

3
I.4. Num ărul i
Cu toate c ă numerele complexe nu erau comple t înțelese, în secolul 18, rădăcina patrat ă a
lui -1 era din ce în ce mai des utilizat ă. Analiza, în special calculul si ecua țiile diferen țiale f ăceau
mari progrese. Anumite func ții, incluz ând func țiile trigonometrice si cele exponen țiale, apar ca
soluții la integrale si ecua ții diferen țiale. Euler (1707 -1783) a observa t că eix = cos x + i sin x
(unde i=√−1 în scrierea modern ă). Aceasta este o ecua ție care ne permite sa interpret ăm
puterea la un num ăr imaginar ix ca av ând o parte real ă cos x si o parte imaginar ă sin x. Din acest
motiv, si datorit ă altor utiliz ări ale lui i, acesta a fost acceptat pentru utilizarea în matematic ă.
Euler a recomandat utilizarea numerelor imaginare în cartea sa “Introducere în algebr ă”.
Până la sfar șitul secolului 18 numerele de forma x+iy erau utilizate în mod curent în
cercetarea matematica si a devenit obisnuit ă reprezentarea lor ca puncte în plan , partea real ă fiind
reprezentat ă pe axa absciselor, iar numerele pur imaginare yi pe axa ordonatelor , i fiind situat la
o unitate pe axa ordonatelor în sens pozitiv. Aceast ă reprezentare a fost atribut ă mai multor
persoane, incluz ând Wessel, Argand, și Gauss. Acest lucru a fost u șor de f ăcut deoarece
coordonatele (x,y) în plan erau utilizate de mai mult de un secol. Utilizarea lor a reprezentat o
modalitate foarte bun ă de întelegere a numerelor complexe.
Abia la sfar șitul secolului 18 a fost demonstrat ă, în sfar șit, Teorema fundamental ă a
algebrei. Gauss a publicat în 1799 demonstra ția sa, conform căreia orice polinom de gradul n are
n solu ții de forma a+bi cu a si b numere re ale. Odat ă ce acest lucru a fost efectuat s -a știut c ă
numerele complexe (cu sensul de solu ții ale ecua țiilor algebrice) sunt numere de forma a+bi și
este firesc s ă numim planul xOy ca “plan complex”.
Într-o anumit ă măsură, istoria numerelor complexe p ână la demonstra ția lui Gauss poate
fi considerat ă ca preistorie a numerelor complexe. Consider însă utilă prezentarea ei pentru a
întelege necesitatea introducerii numerelor complexe. Cu toate c ă exist ă mulțimi de numere ce
extind numerele complexe sau con țin si altceva dec ât numere complexe, știm cel pu țin că nu sunt
necesare alte tipuri de numere pentru rez olvarea ecua țiilor polinomiale. Numerel e complexe se
întâlnesc î n toat ă matematica precum ș i în utilizarile matematicii în alte științe.

4
II. Mulțimea numerelor complexe
În învățământul liceal romanesc, justificarea introducerii numerelor complexe se face
pornind de la necesitatea rezolv ării ecua ției de gradul doi cu discriminantul negativ. Astfel, se
pune problema l ărgirii conceptului de num ăr real, construind o mul țime care s ă includ ă mulțimea
numerelor reale si în care s ă se poat ă rezolva și aceste ecua ții.

II.1. Programa școlar ă
Programa școlar ă în vigoare prevede predarea numerelor complexe la nivelul clasei a Xa.
Aceasta este diferen țiată în func ție de profil și de num ărul de ore de matematic ă prevăzute pentru
fiecare saptam ână, dup ă cum urmeaz ă:

Tipul programei Continuturi Competente specifice
Trunchi comun și
curriculum diferențiat
3 ore /saptamana
Mulțimea C : Numere complexe sub
forma algebrică, conjugatul unui
număr complex operații cu numere
complexe. Interpretarea geometrică a
operațiilor de adunare și scădere a
numerelor complexe și a înmulțirii
acestora cu un număr real.
Rezolvarea în C a ecuației de gradul
al doilea cu coeficienți reali. Ecuații
bipătrate.
Identificarea caracteristicilor tipuri de
numere utilizate în algebră și formei de
scriere a unui număr real sau complex în
contexte specifice.
Aplicarea unor algoritmi specifici
calculului cu numere complexe în
contexte variate.
Alegerea formei de reprezentare a unui
număr real sau complex în vederea
optimizării calculelor.
Alegerea strategiilor de rezolvare în
vederea optimizării calculelor.
Determinarea unor analogii între
proprietățile o perațiilor cu numere reale
și complexe scrise în forme variate și
utilizarea acestora în rezolvarea unor
ecuații.
Trunchi comun și
curriculum diferențiat
4 ore/saptamana
Mulțimea C . Numere complexe sub
forma algebrică, conjugatul unui
număr complex operații cu numere
complexe. Interpretarea geometrică a
operațiilor de adunare și scădere a
numerelor complexe și a înmulț irii
acestora cu un număr real.
Rezolvarea în C ecuației de gradul al
doilea cu coeficienți reali. Ecuații
bipătrate.
Numere comple xe sub forma
trigonometrică (coordonate polare în
plan) , înmulțirea numerelor complexe
și interpretare geometrică, ridicarea la
putere (formula lui Moivre).
Rădăcinile de ordinul n ale unui număr
complex. Ecuații binome. Identificarea caracteristicilor t ipuri de
numere utilizate în algebră și formei de
scriere a unui număr real sau complex în
contexte specifice.
Aplicarea unor algoritmi specifici
calculului cu numere complexe în
contexte variate.
Alegerea formei de reprezentare a unui
număr real sau c omplex în vederea
optimizării calculelor.
Alegerea strategiilor de rezolvare în
vederea optimizării calculelor.
Determinarea unor analogii între
proprietățile operațiilor cu numere reale
și complexe scrise în forme variate și
utilizarea acestora în rez olvarea unor
ecuații.

5

Se observ ă că exist ă diferen țe la nivelul con ținuturilor între cele dou ă programe. De
asemenea exist ă și o program ă de matematică destinat ă elevilor ce au prevăzute două ore de
matematic ă săptămânal, program ă care nu con ține numere complexe.

II.2. Definire
Fie ℝ mulțimea numerelor re ale și ℝ×ℝ={(a,b)|a,b∈ℝ} produsul cartezian al
mulțimii ℝ cu ea însăși. Pe aceast ă mulțime se definesc urm ătoarele opera ții algebrice:
1. Adunarea. Suma perechilor z 1=(a 1,b1) si z 2=(a 2,,b2) este z 1+z2=(a 1+a2,b1+b2) ∈ℝ×ℝ.
Relația prin care se asociaz ă perechilor z 1=(a 1,b1) si z 2=(a 2,,b2) num ărul z 1+ z2 se nume ște
adunare.
2. Înmul țirea. Produsul perechilor z 1=(a 1,b1) si z 2=(a 2,,b2) este
z1∙z2=(a 1∙a2-b1∙b2,a1∙b2+a2∙b1) ∈ℝ×ℝ
Relația prin care se asociaz ă perechilor z 1=(a 1,b1) si z 2=(a 2,,b2) num ărul z 1∙z2 se nume ște
înmul țire.
Mulțimea ℝ×ℝ pe care s -au definit opera țiile algebrice de adunare si înmul țire de
mai sus se nume ște mul țimea numerelor complexe, notat ă ℂ. Notam ℂ∗=ℂ−{(0,0)}. Un
element al mul țimii numerelor complexe se nume ște num ăr complex. Se demonstreaz ă prin
calcul direct că opera țiile definite pe ℂ au urm ătoarele propriet ăți:
Propriet ățti:
1. Adunarea este asociativ ă (z+u)+w=z+(u+w)
2. Adunarea este comutativ ă z+u=u+z
3. Adunarea admite element neutru 0=(0,0) ∈ℂ numit si zero u
4. Orice num ăr complex z=(a,b) admite un opus –z=(-a,-b) ∈ℂ
Propriet ățile 1-4 ne asigur ă că mulțimea numerelor complexe împreun ă cu opera ția de
adunare formeaz ă un grup abelian.
5. Înmul țirea este asociativ ă (zu)w=z(uw)
6. Înmul țirea este comutativ ă zu=uz
7. Înmul țirea admite element neutru 1=(1,0) ∈ ℂ numit si unitate
8. Orice num ăr complex nenul z=(a,b) ∈ ℂ∗ este inversabil, inversul s ău verific ând rela ția
zz-1=z-1z=1 și fiind
z−1=1
z=(a
a2+b2,−b
a2+b2)
Propriet ățile 5-8 ne asigur ă că înmul țirea determin ă pe mul țimea numerelor complexe nenule
o structur ă de grup abelian.
9. Înmul țirea este distributiv ă față de adunare, adic ă z(u+w)=zu+zw
În consecin ță, din 1 -9 rezult ă că tripletul (ℂ,+,∙) este un corp comutativ.
Propozi ție (Regula produsului nul): Dac ă z,u∈ℂ și zu=0 atunci z = 0 sau u = 0
Demonstra ție: Presupunem c ă z este numar nenul. Exist ă atunci z-1 inversul s ău. Deci
zu=0⇒z−1zu=0⇒1u=0⇒u=0
Similar se demonstreaz ă că dacă u este nenul atunci z=0.

6
II.3. Forma algebric ă a numerelor complexe
Să consider ăm cazul z 1=(a 1,0), z 2=(a 2,0)∈ℝ×{0}⊂ℂ. Avem z1+z2=(a 1 + a2, 0) ș i
z1z2=(a 1a2,0). Aceste rela ții arat ă că regulile de adunare și înmul țire de pe ℝ×{0} sunt identice
cu cele din numere reale. Ca urmare putem identifica num ărul complex (x,0) cu num ărul real x.
În particular identific ăm numarul real 0 cu num ărul complex (0,0) si num ărul real 1 cu num ărul
complex (1,0). Num ărul complex (0,1) se noteaz ă cu i și se nume ște unitate imaginar ă. Avem
i2=(0,1) ∙(0,1)=( -1,0)= -1. Deci i2=-1.
Se verific ă z=(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,0)+(b,0) ∙(0,1)=a+bi cu a,b ∈ℝ. Aceast ă scriere se
nume ște forma algebric ă a numarului complex z. Num ărul a din scrierea z=a + bi se nume ște
partea real ă a numărului lui z și se noteaz ă Re(z) iar b se nume ște partea imaginar ă a lui z și se
noteaz ă Im(z) .
Mai scriem ℂ={z=a+bi|a,b∈ℝ,i2=−1}.
Observa ții:
 Dacă Im(z)=0 atunci z este num ăr real
 Dacă Re(z)=0 și Im(z)≠0 atunci spunem c ă z este num ăr pur imaginar.
 Se observ ă că i este solu ție a ecua ției x2+1=0
Defini ție: Numerele complexe z si u sunt egale dac ă și numai dac ă Re(z)=Re(u) si
Im(z)= Im(u).
Teorem ă: Puterile naturale ale lui i sunt i4n=1, i4n+1=1, i4n+2=-1, i4n+3=-i, ∀ n∈ℕ
Demonstra ție: Demonstra ția o voi efectua folosind metoda induc ției matematice. Notez cu P(n)
predicatul “ i4n=1, i4n+1=1, i4n+2=-1, i4n+3=-i” ∀ n∈ℕ
P(0): i0=1,
i1=i,
i2=-1,
i3=i2i=-1i=-i,
i4=(i2)2=(-1)2=1 adev ărat
Presupun P(n) propozi ție adevarat ă și demonstrez c ă atunci și P(n+1) este propozi ție adev ărată.
Avem
P(n+1):i4(n+1)=i4n+4=i4ni4=i4n=1
i4(n+1)+1=i4n+4 +1=i4n+1i4=i4n+1=i
i4(n+1)+2=i4n+4+2=i4n+2i4=i4n+2=-1
i4(n+1)+3=i4n+4+3=i4n+3i4=i4n+3=-i
Deci, conform metodei induc ției matematice P(n) este propozi ție adev ărată ∀ n∈ℕ

II.4. Numere complexe conjugate
Defini ție: Fie z∈ℂ, z=a+bi. Num ărul a – bi se nume ște conjugatul lui z. Acesta se poate
nota prin Conj(z), z̅, z* sau z’. Notaț ia uzual ă în cultura matematic ă romaneasc ă este z̅.
Folosind defini ția conjugatului unui num ăr complex și opera țiile cu numere complexe se
pot demonstra urm ătoarele propriet ăți ale numerelor complexe conjugate:
Teorem ă: Fie z, z 1, z2 ∈ ℂ. Atunci:
1. z1+z2̅̅̅̅̅̅̅̅̅=z1̅+z2̅
2. z1∙z2̅̅̅̅̅̅̅̅=z1̅∙z2̅

7
(z1
z2)̅̅̅̅̅̅=z1̅
z2̅,z2≠0
3. zn̅̅̅=z̅n, ∀n∈ℕ*
4. z∈iℝ⇔Re(z)=0⇔z=−z̅
z∈ℝ ⇔ z̅=z
5. Re z=z+z̅
2 si Im z=z−z̅
2i
Demonstraț ie:
1. Fie z 1=a+bi și z2=c+di, cu a,b,c,d∈ℝ. Atunci
z1+z2̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(a+bi)+(c+di) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(a+c)+(b+d)i ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(a+c)−(b+d)i=(a−bi)+(c−di)
=z1̅+z2̅
2. Fie z 1=a+bi si z 2=c+di, cu a,b,c,d ∈ℝ. Atunci
z1∙z2̅̅̅̅̅̅̅̅=(a+bi)∙(c+di) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(ac−bd)+(ad+bc)i ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(ac−bd)−(ad+bc)i
z1̅∙z2̅=(a−bi)∙(c−di)=ac−adi−bci−bd=(ac−bd)−(ad+bc)i
Deci z1∙z2̅̅̅̅̅̅̅̅=z1̅∙z2̅
(z1
z2)̅̅̅̅̅̅=(a+bi
c+di)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=((a+bi)(c−di)
(c+di)(c−di))̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=(ac−adi+bci−bdi2
c2−d2i2)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=((ac+bd)+(bc−ad)i
c2+d2)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=(ac+bd
c2+d2+bc−ad
c2+d2i)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
=ac+bd
c2+d2−bc−ad
c2+d2i=(ac+bd)−(bc−ad)i
c2+d2
z1̅
z2̅=a−bi
c−di=(a−bi)(c+di)
(c−di)(c+di)=ac+adi−bci−bdi2
c2+d2=(ac+bd)−(bc−ad)i
c2+d2
Deci (z1
z2)̅̅̅̅̅=z1̅̅̅
z2̅̅̅,dacă z2≠0
3. Folosim metoda induc ției matematice. Fie P(n): zn̅̅̅=z̅n, ∀n∈ℕ*
P(1): z1̅=z̅1⟺z̅=z̅ adev ărat.
Presupun acum c ă P(n) este propozi ție adev ărată și arăt că și P(n+1) este propozi ție
adev ărată. Folosin d succesiv punctul 2. al teoremei si ipoteza de induc ție se ob ține
zn+1̅̅̅̅̅̅=zn∙z̅̅̅̅̅̅̅=zn̅̅̅∙z̅=z̅n∙z̅=z̅n+1
Deci zn̅̅̅=z̅n, ∀n∈ℕ*
5. Fie z=a+bi cu a și b numere reale. Atunci
z+z̅
2=(a+bi)+(a−bi)
2=a+bi+a−bi
2=2a
2=a=Re z
z−z̅
2i=(a+bi)−(a−bi)
2i=a+bi−a+bi
2i=2bi
2i=b=Im z

II.5. Modulul unui num ăr complex
Defini ție: Fie z=a+bi ∈ℂ. Modulul numarului complex z este num ărul real pozitiv |z|=
√a2+b2.
Teorem ă (Propriet ăți ale modulului) . Fie z, z 1, z2 ∈ ℂ. Atunci:
1. |z|≥0
|z|=0⇔z=0

8
2. |z1∙z2|=|z1|∙|z2|
3. |z1+z2|≤|z1|+|z2| cu egalitate dac ă exist ă t ∈ℝ, t ≥ 0 astfel încât z1=tz2. Aceast ă
inegalitate se nume ște și inegalitatea triunghiului.
4. z∙z̅=|z|2
5. |z1+z2|2+|z1−z2|2=2(|z1|2+|z2|2) (Identitatea lui Euler)
Punctele 1, 2 și 3 ale teoremei ne spun c ă modulul este o norma pe ℂ în timp ce 4. ne arat ă că
este o norm ă indus ă de un produs scalar.

Demonstra ție:
1. Fie z=a+bi ∈ℂ. Avem |z|=√a2+b2≥0 deoarece este un radical de ordinul 2 al unui
număr real pozitiv
Dacă z=0 atunci |z|= √02+02=0.
Reciproc, fie z astfel încât |z|=0. Atunci a2+b2=0, deci a2=-b2 ceea ce este posibil doar dac ă
a=b=0 (deoarece numerele a2 si b2 sunt pozitive). Deci z=a+bi=0+0i=0
4. Fie z=a+bi ∈ℂ
z∙z̅=(a+bi)(a−bi)=a2−(bi)2=a2+b2=|z|2
2. Folosind punctul 4 al teoremei și propriet ățile conjugatului unui num ăr complex avem
|z1∙z2|2=(z1∙z2)(z1∙z2)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(z1∙z2)(z1̅∙z2̅)=(z1∙z1̅)(z2∙z2̅)=|z1|2∙|z2|2
Deoarece modulul unui num ăr complex este un num ăr real pozitiv avem
|z1∙z2|2=|z1|2∙|z2|2⟺|z1∙z2|=|z1|∙|z2|
3. Fie z 1=a+bi si z 2=c+di, cu a,b,c,d∈ℝ.
|z1+z2|≤|z1|+|z2|⟺|(a+c)+(b+d)i|≤|a+bi|+|c+di|
⟺√(a+c)2+(b+d)2≤√a2+b2+√c2+d2
⟺a2+c2+2ac+b2+d2+2bd
≤a2+b2+c2+d2+2√a2+b2√c2+d2
⟺ac+bd≤√a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
Dacă ac + bd este num ăr negativ atunci ultima inegalitate este evident adevarat ă și atunci
și inegalitatea ce trebuie demonstrat ă este adevarat ă. Dac ă ac + bd este pozitiv atunci putem
ridica la p ătrat ultima inegalitate și obținem
|z1+z2|≤|z1|+|z2|⟺a2c2+b2d2+2acbd≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2⟺
0≤a2d2+b2c2−2acbd⟺0≤(ad−bc)2
Ultima inegalitate este evident adev ărată și atunci |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Se observ ă că
ultima inegalitate devine egalitate dac ă z2=0 sau
ad−bc=0⟺ad=bc⟺a
c=b
d=t≥0⟺{a=ct
b=dt,t≥0⟺z1=tz2,t≥0
5. Fie z 1=a+bi și z2=c+di, cu a,b,c,d ∈ℝ.
|z1+z2|2+|z1−z2|2=|(a+c)+(b+d)i|2+|(a−c)+(b−d)i|2
=(a+c)2+(b+d)2+(a−c)2+(b−d)2
=a2+c2+2ac+b2+d2+2bd+a2+c2−2ac+b2+d2−2bd
=2(a2+b2+c2+d2)=2(|z1|2+|z2|2)

9
Consecin țe:
1. |z|=|z̅|=|−z|
Demonstra ție: Fie z=a+bi, cu a și b numere reale
|z̅|=|a−bi|=|a+(−b)i|=√a2+(−b)2=√a2+b2=|z|
|−z|=|−a−bi|=|(−a)+(−b)i|=√(−a)2+(−b)2=√a2+b2=|z|

2. |zn|=|z|n, ∀n∈ℕ
Demonstra ție: Induc ție dup ă n∈ℕ
Notez cu P(n) predicatul |zn|=|z|n, ∀n∈ℕ
P(0): |z0|=|z|0⟺|1|=1 adev ărat
P(1): |z1|=|z|1⟺|z|=|z| adevă rat
Arăt că dacă P(n) ar fi propozi ție adev ărată atunci și P(n+1) este propozi ție adev ărată
|zn+1|=|zn∙z|=|zn|∙|z|=|z|n∙|z|=|z|n+1
Deci , conform metodei induc ției matematice |zn|=|z|n, ∀n∈ℕ

3. |z1
z2|=|z1|
|z2|,z2≠0
Demonstra ție:
|z1
z2|2
=z1
z2∙(z1
z2)̅̅̅̅̅̅=z1∙z1̅
z2∙z2̅=|z1|2
|z2|2=(|z1|
|z2|)2

Deoarece modulul este un num ăr real pozitiv, ob ținem egalitatea dorit ă

4. ||z1|−|z2||≤|z1−z2|
Demonstra ție:
|z1+z2|≤|z1|+|z2|⟺|z1+z2|2≤(|z1|+|z2|)2⟺(z1+z2)(z1+z2̅̅̅̅̅̅̅̅̅)
≤|z1|2+|z2|2+2|z1||z2|⟺z1z1̅+z2z2̅+z1z2̅+z2z1̅
≤|z1|2+|z2|2+2|z1||z2|⟺z1z2̅+z2z1̅≤2|z1||z2|
||z1|−|z2||≤|z1−z2|⟺||z1|−|z2||2≤|z1−z2|2⟺(|z1|−|z2|)(|z1|−|z2|) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
≤(z1−z2)(z1−z2)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅⟺(|z1|−|z2|)2≤z1z1̅+z2z2̅−z1z2̅−z2z1̅
⟺|z1|2+|z2|2−2|z1||z2|≤|z1|2+|z2|2−z1z2̅−z2z1̅⟺−2|z1||z2|
≤−z1z2̅−z2z1̅⟺z1z2̅+z2z1̅≤2|z1||z2|
ceea ce este adev ărat.

5. 1
z=z̅
|z|2, dac ă z≠0
Demonstra ție:
z∙z̅=|z|2⟺z=|z|2
z̅⟺1
z=z̅
|z|2

10
Observații :
1. z∙z̅=Re2(z)+Im2(z)∈ℝ.
2. Dacă z este num ăr real, atunci modulul lui z coincid e cu valoarea absolut ă a lui z. Prin
urmare, dac ă z este num ăr real |z| se poate citi prin “modulul lui z” sau prin “valoarea absolut ă a
lui z”. Dac ă z∈ℂ−ℝ se consider ă însă greșită citirea simbolului |z| ca fiind “valoarea absolut ă a
lui z”.

II.6. Interpretarea geometric ă a numerelor complexe
Planul complex : Modul de definire a num ărului complex arat ă că fiecărei perechi (a,b) ∈
ℝ×ℝ îi corespunde num ărul complex z=a+bi (cu a,b ∈ℝ, i2=-1) si reciproc. Se știe că mulțimea
ℝ×ℝ are reprezentarea geometric ă un plan raportat la un reper cartezian xOy numit planul real.
În mod corespunz ător, mul țimea numerelor complexe se va reprezenta printr -un plan raportat la
un reper cartezian xOy, numit planul complex (planul lui Gauss sau dia grama Argand). Punctul
M(a,b) asociat num ărului complex z=a+bi se nume ște imaginea geometric ă a num ărului z, în
timp ce z se nume ște afixul punctului M și se scrie M(z) “M de afix z”.
Trebuie men ționat c ă în unele lucr ări imaginea geometric ă a num ărului c omplex z=a+bi
este considerat ă a fi vectorul OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ unde O este originea reperului cartezian iar M(a,b).

Fie z∈ℂ, z=a+bi și M(a,b) imaginea geometric ă a num ărului z. Dac ă A este proiec ția
punctului M pe axa Ox, din triunghiul dreptunghic OAM se ob ține OM2=OA2+AM2=a2+b2, și ca
urmare OM= √a2+b2=|z|=r.

M(z) afix
axa reala axa imaginara
O b
a
M(a,b) B(0,b) b
a A(a,0)
0 r=|z|
x y

11
Așadar, modulul num ărului complex z=a+bi reprezint ă lungimea segmentului [OM] unde
M este imaginea geometric ă a lui z.
Dacă z și u sunt numere complexe ce admit ca imagini punctele M(z) și respectiv N(u)
atunci suma z + u admite ca imagine punctul P(z+u), reprezent ând al patrulea varf al
paralelogramului OMPN, adic ă verific ând rela ția OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON⃗⃗⃗⃗⃗ =OP⃗⃗⃗⃗⃗ . Din interpretarea geometric ă
a sumei, și ținând cont c ă într-un triunghi suma lungimilor a doua laturi este mai mare dec ât
lungimea celei de a treia laturi se ob ține imediat rela ția |z1+z2|≤|z1|+|z2| (inegalitatea lui
Minkowski sau inegalitatea triunghiului ).
Imaginea geometric ă a opusului unui num ăr complex z av ând imaginea M(z) este punctul
P(-z), simetricul lui M în raport cu originea O. De asemenea imaginea geometric ă a conjugatului
numărului complex z este punctul N( z̅), simetricul lui M(z) în raport cu axa Ox.
Gândind diferen ța z-u ca suma z+( -u) rezult ă că imaginea geometric ă a numarului z -u este
punctul Q(z -u) ce verific ă relația OQ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OP⃗⃗⃗⃗⃗ unde M(z) si P(-u) este simetricul lui N(u) î n
raport cu O. Din interpretarea modulului se ob ține OQ=|z−u|. Ca și consecin ță, dac ă u este un
număr complex și r este un num ăr real pozitiv atunci mul țimea punctelor P(z) din plan a căror
afix z verific ă relația |z−u| = r este mul țimea punctelor de pe cercul de centru M(u) și rază r. În
mod similar, rela ția |z−u|< r este verificat ă de afixele punctelor situate î n interiorul cercului
de centru M(u) și rază r.
Dacă M(z) si N(u) sunt dou ă puncte în plan atunci MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON⃗⃗⃗⃗⃗ −OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , deci vectorului MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ îi
va corespunde num ărul complex u -z iar lungimea segmentului MN este dat ă de rela ția |u−z|.
Fie z =a+bi cu a și b numere reale, z nenul si M punctul de afix z. Avem iz = -b+ai iar
punctul de afix iz se ob ține prin rotirea lui M în sens trigonometric cu π
2 . Din acest motiv
numărul complex i poate fi privit geometric și ca un operator de rota ție în planul complex.

II.7. Forma trigonometric ă a numerelor complexe
Teorem ă: Fie p si q dou ă numere reale cu p2+q2=1. Atunci sistemul de ecua ții {cost=p
sint=q
admite solu ție unic ă t0∈(−π,π]. Toate solu țiile reale ale sistemului sunt date de t=t0+
2kπ,k∈ℤ.
Demonstra ție: Evident
p2+q2=1⟹{p,q∈[−1,1]
|q|=√1−p2
Dacă p=-1 si q=0 atunci t0=π si solu țiile sistemului sunt t=π+2kπ,k∈ℤ.
Dacă p≠−1 atunci t≠t0+2kπ,k∈ℤ și t
2≠π
2+kπ. Not ând u=tg t
2 si ținând cont de
relațiile
{ cos2a=1−tg2 x
1+tg2 x
sin2a=2 tg x
1+tg2 x ,

12
putem rescrie sistemul
{ 1−u2
1+u2=p
2u
1+u2=q ,u∈ℝ.
Din prima ecua ție ob ținem succesiv
1−u2
1+u2=p⟹1−u2=p(1+u2)⟹u2(1+p)=1−p⟹u=±√1−p
1+p
Înlocuind în a doua ecua ție și efectu ând calculele ob ținem
2u
1+u2=q⟹±√1−p2=q⟹±√q2=q⟹±|q|=q
Astfel sistemul î n u are solu ția unic ă
u=
{ √1−p
1+p dacă q≥0
−√1−p
1+p dacă q<0
Deoarece
u=tg t
2⟹t
2=arctg u+kπ,k∈ℤ⟹t=2arctg u+2kπ,k∈ℤ
atunci g ăsim solu țiile sistemului î n necunoscuta t
t=
{ 2arctg √1−p
1+p+2kπ daca q≥0
−2arctg √1−p
1+p+2kπ daca q<0,k∈ℤ.
Soluția unic ă t0∈(−π,π] se ob ține în mod evident pentru k=0.

Să consider ăm în reperul cartezian xOy cercul trigonometric de centru O si raz ă egala cu
unitatea. Fiind dat un num ăr real pozitiv r, egalitatea |z| = r nu determin ă numarul complex ci
precizeaz ă doar c ă punctul P(z) se gase ște pe cercul de centru O și diametru r.
Fie z∈ℂ∗,z=x+iy,r=|z|=√x2+y2≠0.Atunci x2+y2
|z|=1 si (x
r)2
+(x
r)2
=1 .
Folosind teorema precedent ă obținem că pentru orice numar complex nenul z exista un
număr real t asfel încât x=|z|cost si y=|z|sint, t fiind lungimea arcului AM considerat în sens
trigonometric.

13

Orice solu ție a sistemului {cost=x
r
sint=x
r se nume ște argument al numarului z. Solu ția unic ă
t0∈(−π,π] se nume ște argumentul principal al lui z si se noteaz ă t0=argz . Mul țimea
argumentelor lui z se noteaz ă Arg z . Teorema ne asigur ă existen ța și unicitatea argumentului
principal precum și rela ția Arg z ={arg z + 2kπ |k∈ℤ}, egalitate care se mai scrie prin conven ție
și Arg z = arg z + 2kπ. Pentru num ărul z = 0 nu se define ște argumentul principal. În schimb
convenim c ă 0 are ca argument orice num ăr real, not ând astfel Arg 0 = ℝ.
În concluzie , pentru orice z num ăr complex, not ând t=Arg z si r=|z| avem scrierea
z=r(cos t +i sin t). Aceast ă scriere a lui z se nume ște scrierea num ărului complex z sub forma
trigonometric ă (sau scriere cu ajutorul coordonatelor polare). Expresia cost+isint se mai
noteaz ă și prin eit .
Scrierea sub form ă trigonometric ă nu este unică. Pentru z, z 1∈ℂ∗ cu z = r(cos t +i sin t) și
z1 = r1 (cos t 1 +i sin t 1) și avem z=z1⟺{r=r1
t=t1+2kπ,k∈ℤ . In plus r (cos t +i sin t)=0 doar
dacă r=0.
Deoarece pentru z ∈ℂ∗, z=x+iy avem {cos(argz)=x
r
sin(argz)=y
r , obținem , pentru x nenul,
tg (argz)=y
x si astfel determinarea argumentului principal este
argz=
{ arctg y
x−π,dacă x<0 ș𝑖 𝑦<0
−π
2 ,dacă x=0 și y<0
arctg y
x ,dacă x>0
π
2 ,dacă x=0 și y>0
arctg y
x+π,dacă x<0 ș𝑖 𝑦≥0 O x y
A M P
t

14
Forma trigonometric ă a conjugatului num ărului z=r(cost+isint) este z̅=r(cost−
isint) deoarece |z|=|z̅|=r si cos(2π−t)=cost și sin(2π−t)=−sint.

Teorem ă: Dacă z1=r(cos t+i sin t) și z2=s(cos v+i sin v) atunci avem rezultatele:
1. z1z2= rs[cos(t+v)+isin(t+v)]
Demonstra ție:
z1z2=r(cost+isint)s(cosv+isinv)=
=rs(cos t cos v +i cos t sin v +isintcosv+i2sintsinv)=
=rs [(costcosv−sintsinv)+i(costsinv+sintcosv)]=
=rs[cos(t+v)+isin(t+v)]

2. z1
z2=r
s[cos(t−v)+i sin(t−v)]

Demonstra ție
z1
z2=r(cos t+isint)
s(cosv+isinv)=r
s∙(cos t+isint)(cosv−isinv)
(cosv+isinv)(cosv−isinv)=

=r
s∙costcosv−icostsinv+isintcosv−i2sintsinv
cos2 v−i2 sin2 v=

=r
s∙(costcosv+sintsinv)+i(sintcosv−costsinv)
cos2 v+ sin2 v=

=r
scos(t−v)+isin(t−v)
1=r
s[cos(t−v)+i sin(t−v)]

3. [r(cos t+i sin t)]n=rn(cos nt+i sin nt) unde n∈ℕ (formula lui Moivre)

Demonstra ția se face prin induc ție matematic ă ținand cont c ă
[r(cost+isint)]n+1=[r(cost+isint)]n∙[r(cos t+i sin t)]=
=rn(cos nt+i sin nt)r(cos t+i sin t)=rn+1[cos (n+1)t+i sin (n+1)t]

4. Dacă z = r(cos t +i sin t) ∈ ℂ* și n∈ℕ atunci z-n = r-n[cos( -nt) +i sin( -nt)].
Demonstra ție:
z−n=1
zn=cos0+isin0
[r(cos t+i sin t)]n=1
rncos0+isin0
cos nt+i sin nt=r−n[cos(0−nt) +i sin(0−nt)]

II.8. Rădăcinile de ordinul n ale unui num ăr complex
Defini ție: Fie z∈ ℂ* și n∈ℕ, n≥2. Se nume ște rădăcină de ordinul n a num ărului
complex z orice solu ție num ăr complex a ecua ției un=z. Dac ă z=0 atunci singura r ădăcină de
ordinul n a acestuia este 0.

15
Teorem ă Fie z∈ ℂ*, z=r(cost+isint), t∈[0,2π), n∈ℕ, n ≥ 2. Num ărul z are n r ădăcini
distincte de ordinul n date de formula
zk=√rn(cost+2kπ
n+isint+2kπ
n), k=0,1,2,…, n -1.
Defini ție: Se nume ște rădăcină de ordinul n a unit ății orice solu ție complex ă a ecua ției
un=1, n fiind num ăr natural nenul. Aceste r ădăcini se noteaz ă în general cu εk.
Avem εk=cos2kπ
n+isin2kπ
n, k=0,1,2,…,n -1.
Imaginile geometrice ale r ădăcinilor de ordinul n ale unui num ăr complex sunt v ârfurile
unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de centru O si raz ă √rn. În consecin ță rădăcinile
de ordinul n ale unit ății sunt afixele v ârfurilor unui poligon regulat cu n laturi înscris în cercul de
centru O si raz ă 1.

16
III. Aplica ții ale numerelor complexe în algebr ă

În acest capitol mi -am propus să prezint metoda lui Cardan o pentru rezolvarea ecua ției de
gradul III și să prezint c âteva probleme ce folosesc numerele complexe scrise sub form ă
algebric ă

III.1. Rezolvarea ecua ției de gradul III folosind metoda lui Cardan o:

Fie ecua ția ax3+bx2+cx+d=0 cu a,b,c,d numere reale, a nenul. Prin substitu ția
x=y−b
3a aceasta capătă forma canonică
y3+py+q=0 ,cu p=c
a−b2
3a2 si q=2b3
27a3−bc
3a2+d
a .

Ideea de rezolvare este s ă scriem r ădăcina sub forma y = u+v . Înlocuind în ecua ție
obținem succesiv
(u+v)3 + p(u+v) + q =0
u3 + v3 +3uv(u+v) + p (u + v) +q =0
(u3 +v3 + q) + (u+v)(3uv + p) = 0
De aici se ob ține u3 +v3 + q = 0 și 3uv + p = 0, de unde


33
333 3
3pvuq v u
Alcătuim acum ecua ția de gradul al doilea II cu r ădăcinile u3 si v3 ,
 0 3/3 2 p qzz
care are soluțiile:

2343
2
2,1


pq q
z
pe care le scriem astfel
22
2,13 2 2




p q qz

Obținem solu ția:

33 2
13 2 2



p q qy
3 2
3 2 2



p q q

Celelalte dou ă rădăcini sunt date de
,2
2 v u y
,2
3 v u y 
 si
2 fiind
rădăcinile cubice complexe nereale ale unit ății.
Acest ultim rezultat se ob ține prin calcul direct, dac ă ținem cont de ε3=1 si de rela țiile din
care am obtinut valorile pentru u si v . Este suficient s ă demonstr ăm, doar c ă una din expresii
este rad ăcină a ecuației:
(εu+ε2v)3+ p(εu+ε2v)+q=ε3u3+ε6v3+3ε3uv(εu+ε2v)+p(εu+ε2v)+q=
=u3+v3+(3uv +p)(εu+ε2v)+q=−q+0+q=0.

Ceea ce am scris mai sus se numește și Metoda lui Cardano .

17
Expresia:
3 2
3 2



p q
poart ă numele de ,,discriminantul ecua ției de gradul III “ și ea joac ă un rol important în
stabilirea naturii r ădăcinilor acestei ecua ții. Să examin ăm pe r ând situa țiile posibile.
1) CAZUL ∆ =0 este cel mai simplu.
Avem
3
2qu care se mai poate scrie:

pq
pq
qq
qq
u23
322222
33
323 23














deoarece dac ă
0

3 2
3 2



 p q
cursul rezolv ării ecuației știm c ă :
,3puv
deci
upv3
adică:

.23 2636
9223
2
upq
pqq
pqp
qpv 











Prin urmare y 1 =u+u=2u=3q/p.
Știm c ă dacă
 este o r ădăcină cubic ă a unit ății, adică
2/3 1i atunci
2/3 12i
și deci:

vu y1


23
22vuivuy


23
23vuivuy
Cum aici u = v,avem deci y 2 =-u si y 3 =-u ,adic ă
pqy y23
3 2
Iată deci c ă în cazul
0 , rădăcinile ecua ției
03 q py y pot fi scrise direct, și anume,
,/31 pq y

.2/33 2 pq y y

18
Exemplu (L.Ya. Okunev, 1951): ecuația
0 16 123x x are rădăcinile x 1 =-4 și x2=x3 =2 .
Într-adev ăr :

.0 64 64312
216
3 23 2 3 2








p q
deci:

,412163 3
1 pqx
.22448
3 2 x x

2) CAZUL Δ>0. Ca și în cazul
 <0 exist ă trei r ădăcini distincte. O demonstra ție a acestui
rezultat se poate face prin reducere la absurd. Presupunem c ă rădăcinile nu ar fi distincte ,deci
cel pu țin dou ă ar coincide:
2 1y y și
.1 3y y
Atunci rela țiile lui Viete dau:
2y1+y3=0
, 2312
1 p yy y 

q yy32
1

Avem deci:
,21 3 y y

,32
1y p
3
12y q .
Prin urmare:

03 26
16
13 2




 x xp q
ceea ce contrazice ipoteza

 0.
Precizarea în plus la cazul nostru (
 >0) este aceea c ă numai o singur ă rădăcină este real ă.
Dacă q>0, atunci aceast ă rădăcină este negativ ă; iar dac ă q<0 atunci ea este pozitiv ă .
Să demonstrăm aceste fapte. Avem deci
3
2qu
Fie acum p>0. Atunci
2q

și deci u este pozitiv ,iar
3
2qv
este evident negativ.
Dacă q>0, avem:

2 2q q
iar dac ă q<0, avem inegalitatea invers ă.
Prin urmare ,dac ă q>0, atunci
v u si deci
vu y1 va fi negativ; dac ă q<0 atunci
v u
și deci
1y va fi pozitiv .
Se vede c ă dacă p<0 situa ția se men ține, deci concluzia enun țata mai sus r ămâne valabil ă.

19
3) CAZUL Δ<0 furnizeaz ă trei r ădăcini reale distincte .
Mai exact d acă
<0, atunci fie
2A (A real pozitiv) . Atunci
3
2Aiqu
Întruc ât avem de -a face cu un număr complex,


 Aiq
2
, să încerc ăm să-l scriem sub form ă trigonometric ă.
Evalu ăm mai înt âi modulul:



4 22
22qAq
27 27 4 43 3 2 2p p q q
Func țiile argumentului
 sunt :

,2cosq
)0( sin A
Așadar:

  3 3 sin cos  i u


 
32sin32cos kik , unde k=0,1,2.
Se observ ă deci c ă modulul lui u este
3 333
3p p


Pătratul s ău este
3p . Dar
3puv deci implicit v = u, deoarece știm c ă în general
2u uu
. Așadar
.2,1,032sin32cos3 






 kkikv 
În final, se ob țin solu țiile ecua ției de gradul III sub form ă trigonometric ă:
3cos 23
1y

32cos 23
2y

34cos 23
3y

unde
3p
După cum se vede, y 1, y2 , y3
R și y1
y2
y3. În plus, dac ă q>0 avem dou ă rădăcini
pozitive , iar dac ă q<0 avem o singur ă rădăcină pozitiv ă.
În cazul rezolv ării directe a ecua ției de gradul 3 folosind scrierea trigonometric ă se
procedeaz ă astfel : se consider ă cunoscut ă formula
3cos33cos4 cos3  
care se mai scrie
0 cos41
3cos43
3cos3 
Se alege ca necunoscut ă y =
3cos în y3 +py+q=0 și se ob ține:

20

03cos3cos3 23 
 q p
Identific ând cele dou ă ecuații găsim imediat
,43
3p

cos41
3q
Prima rela ție este satisfacut ă dacă se ia
32p
în timp ce a doua ne furnizeaz ă
3/ 23cos
p pq

Existen ța lui
 este asigurat ă dacă p < 0 și
13/ 49
22
p pq
Dar aceast ă din urm ă relație se mai scrie
0 4 273 2p q sau
03 22 2




 p q

Exemplu : Să se rezolve trigonometric ecua ția x3 –21x-20=0 .
Formula lui Cardano ne dă

3
1 39 10 39 10 i i x 
unde
0 243 343 100321
2203 2





Se alege
  sin cos 39 10 i i 
în care
3 27 343 și
7710
34310cos 
Așadar


 32sin32cos7 79 103  kiki u
și


 32sin32cos7 79 103  kiki v unde k=0,1,2.
Rădăcinile sunt deci:

,3cos721x
,32cos722x
34cos723x

Avem:
732353,1 845098,02317lg2310lg coslg  
Rezult ă din tabele :
''23'6193''11'1357 
Atunci
3coslg7lg212lg lg1x
69897,0 975391,1 422549,0 30103,0   

21
III.2. Rezolvarea ecua ției de grad ul patru
Caz I . Să consider ăm ecua ția de gradul IV sub forma:
x4 +px2 +qx+r=0
Pentru orice
 real, are loc identitatea:

22 2 4x z qx px x
  r xq xp 2 22  
Vrem s ă obținem în membrul drept o diferen ță de p ătrate. Pentru aceasta îl vom
determina pe
 astfel înc ât să aiba loc rela ția:
0 242 2 r p q 
(adic ă, astfel încât discriminantul trinomului din
parantez a dreapt ă sa fie nul).
Ecua ția respectiv ă este de gradul III (rezolventa 1), deci odat ă găsit λ se poate scrie:

2 2 22    x r xq xp
Așadar ecua ția de gradul IV se reduce la
 02 22  x x
sau
   ,02 2  x x x x adică la dou ă ecuații simple de grad II .

Caz II . Pentru cazul general s ă consider ăm polinomul de grad IV sub forma
P(x)=x4 +ax3 +bx2 +cx+d. D orim s ă-l transform ăm astfel încât acesta s ă poată fi scris ca
diferen ță a dou ă patrate perfecte:

 














 d cx xabax axx x xP22 2
222
4 2 22
sau








 d cx xabaxx xP22 2
2
4 2)(
Introducem o necunoscut ă auxiliar ă z astfel încât să avem :

2 2 22 2
2
224 2)( zzaxx d cx xab zaxx xP 







sau :
,2)(22
2

 x x zaxx xP
unde am notat :
, 4/ 22b az
,c az
.2d z

Evident , polinomul
x x2 este un p ătrat perfect, dac ă
 42 adică:

 d zbaz c az 


22
2
424
care nu este altceva decat rezolventa în cazul general.
Observa ție : Dacă z0 este o r ădăcină rațional ă a rezolvantei de mai înainte și expresiile

,422
0 baz
dz2
0
sunt de asemenea numere ra ționale, atunci polinomul P(x)= x4 +ax3 +bx2 +cx+d este reductibil
în mulțimea polinoamelor cu coeficien ți numere raționale.
Exemplu : Fie polinomul P(x)=6×4 –7×3 +x2 –2.

22
Consider ăm polinomul înrudit :

31
61
67)(61)(2 3 4
0  x x x xP xP
și alcătuim rezolv enta acestuia:







31
61
14449246722
z z z
sau, prin substitu ția 2z = u, ob ținem rezolventa 180u3 –18u2 +144u+25=0
Aceast ă ecuație are r ădăcina ra țional ă
6/10u deci
.12/10z
Calcul ăm pe r ând expresiile:

121
1441
61
14449
61
422
0  baz

127
14449
31
14412
0 d z
Polinomul nostru se poate scrie în final
2 2 31 2 )(6)(2 2
0  x x x x xP xP ,
deci este reductibil.

III.3. Extinderi ale unor func ții reale la mul țimea numerelor complexe
În acest subcapitol mi-am propus s ă prezint c âteva func ții complexe ale c ăror restric ții la
mulțimea numerelor reale se studiaz ă în liceu. Prezentarea acestor functii în general este
complex ă iar utilizarea lor în cadrul programei de liceu este redus ă, ele nefiind incluse în
program ă. Din acest motiv prezentarea lor este în mod inten ționat simplist ă și este efectuată prin
analogie cu funcțiile reale pe care le extind. Cu toate acestea consider utilă prezentarea lor.

III.3.1. O pera ții univoce si multivoce
Pentru început s ă vedem c âteva observa ții utile în acest capitol (și nu doar aici) despre
opera ții univoce si multivoce.
Defini ție: Fie A⊂ ℂ , A ≠ ∅, . O func ție f : A → ℂ se nume ște opera ție ( unar ă ) univoc ă
definit ă pe mul țimea A. Astfel sunt, de exemplu, opera țiile z → z̅ si z →exp z definite pe ℂ, sau
opera țiile z →1
z si z →log z definite pe ℂ*.
Defini ție: O func ție f : A → 𝒫 ( ℂ ), deci cu valori mul țimi, se nume ște opera ție multivoc ă
definit ă pe mul țimea A. Asocierile z →Arg z sau z→ Log z sunt astfel de opera ții multivoce
definite pe ℂ respectiv pe ℂ*.
Considerarea opera țiilor multivoce impune utilizarea opera țiilor uzuale cu mul țimi.
Transpunerea mecanic ă a unor propriet ăți ale opera țiilor numerice la opera ții cu mul țimi poate
conduce la erori. Astfel, “reduc ând“ pe ℝ în egalitatea ℝ +ℝ = ℝ , “ob ținem” ℝ = 0 confuzia
fiind evident ă, deoarece ℝ – ℝ = {x –y|x, y ∈ ℝ } = ℝ si, deci, regula de reducere din grupul
(ℝ,+) nu poate fi extins ă la adunarea mul țimilor.
Pericolul apare îndeosebi atunci c ând, pentru simplificarea scrierii, se utilizeaz ă o nota ție
în care semnul de mul țime este eliminat, iar rela ția de apartenen ța se înlocuie ște cu o egalitate

23
formal ă. De exemplu, dacă notăm Arg 1 =2k π, în loc de Arg 1 = {2k π|k ∈ ℤ }. Este important s ă
se fac ă distinc ția, impus ă de context, între egalitatea 2kπ – 2kπ = 0 privită ca diferen ță numeric ă
obișnuită și egalitatea 2kπ – 2kπ = 2kπ, k ∈ ℤ ce trebuie privită ca având semnifica ția
Arg 1 – Arg 1 = { x – y| x, y ∈ Arg 1}= Arg 1.

III.3. 2. Func ția exponen țială
Defini ție: Se define ște func ția exp:ℂ⟶ℂ prin rela ția expz=ex(cosy+isiny), unde
z = x+iy . Se remarc ă faptul c ă restric ția acestei func ții la mul țimea numerelor reale este chiar
funcția exponen țială reală. Putem deci utiliza scrierea exp z =ez .

Propriet ăți :
i. exp (z+z’) =(exp z)∙(exp z’)
ii. |exp z|=eRe z
arg(exp z) = Im z (mod 2 π)
iii. exp z =exp z’ ⟺z−z′
2πi∈ℤ
iv. exp (ℂ) = ℂ-{0}
Demonstra ție : Fie z=x+iy si z’=x’+iy’
i. (exp z)∙(exp z’)=ex(cos y + i sin y)∙ex’(cos y’+i sin y’)=ex+x’[cos(y+y’) +isin(y+y’)]
=exp(z+z’)
ii. |z| = |ex (cos y +i sin y’)| = |ex|∙|cos y +i sin y| = ex ∙1= ex =Re z
Din demonstra ția teoremei privind scrier ea sub form ă trigonometric ă a numerelor complexe
avem imediat arg(exp z) = Im z (mod 2 π).
iii. exp z =exp z’ ⟺{ex=ex′⟺x=x′
cosy=cosy′
siny=siny′⟺z−z′
2πi∈ℤ , din demonstra ția teoremei privind
scrier ea sub form ă trigonometric ă a numerelor complexe.
iv. Fie w ∈ ℂ-{0}. Exist ă numărul complex z=x+iy astfel încât exp z = w ⟺ ex (cos y +i sin y) =
w ⟺ {excosy=Re w
exsiny=Im w⟺ ex = |w| și exist ă numărul întreg k astfel încât y=arg w + 2k π .
Deci exp z = w ⟺ ∃ k∈ℤ astfel încât z = ln |w| +i(arg w +2k π).

Observa ții:
i. exp (z+2πi) = (exp z)∙(exp 2 πi) = (exp z)∙1= exp z. Deci func ția exponen țială complex ă
este periodic ă de perioad ă principal ă 2πi și în consecin ță nu este injectiv ă, deci nu este
inversabil ă.
ii. Dacă punem x = 0 și y = π obținem eπi+1=0, ceea ce reprezint ă o formul ă ce leag ă
cinci numere deosebite din matematic ă.

III.3. 3. Logaritmul complex
Definire: Fie z ∈ ℂ∗. Să determin ăm w ∈ℂ astfel ca exp w =z. C ăutând w =u+ vi avem
eu( cos v + i sin v) = z de unde eu = |z|, v ∈ Arg z = arg z + 2k π, k ∈ ℤ . Am ob ținut o infinitate
numărabilă de valori pentru w. Muț imea acestor valori se noteaz ă Log z și se nume ște logaritmul
complex al lui z.

24
Deci Log z = ln |z| + i Arg z, z ≠ 0.
Se nume ște determinarea (valoarea) principal ă a logaritmului complex al lui z num ărul
log z = ln |z| + i arg z, z ≠ 0.
Pentru x > 0 avem log x = ln x astfel c ă determinarea principal ă prelunge ște la ℂ*
logaritmul natural real.
Propozi ție. Oricare ar fi z, z’ ∈ ℂ au loc
i) Log (zz’) = Log z + Log z’
ii) Log z
z, = Log z – Log z’
iii) Daca z ≠ 0 avem exp(Log z) = z
iv) Daca z ∈ ℂ avem Log(exp z) = z + i∙Arg 1
Demonstra ție.
i) Avem Arg (zz’) = Arg z + Arg z’ și în consecin ța
Log (zz’) = ln |zz’| + i Arg (zz’) = ln (|z||z’|) + i (Arg z +Arg z’) = ln |z| + i Arg z +
+ ln|z’| +i Arg z’ = Log z + Log z’
ii) Egalitatea rezult ă similar cu precedenta , ținând cont c ă Arg (z
z′)=Arg z−Arg z′
iii) Daca z ≠ 0 avem
exp(Log z)=(exp(ln|z|+i Arg z )=eln|Z|(cosArg z+isinArg z)=z
iv) Daca z ∈ ℂ avem
Log(exp z)=Log(ex(cosy+isiny))=lnex+i(y+2kπ)=z+2kπi= z+i∙Arg 1.

III.3.4. Puterea complex ă a unui num ăr complex
Definire: Fie a un num ăr complex. Se nume ște puterea de exponent a a num ărului
complex nenul z mul țimea notat ă za = exp(a∙Log z). Determinarea principal ă a puterii complexe
za este num ărul exp(a∙log z).
Pentru z = x > 0 și a∈ℝ , determinarea principal ă a lui za ne dă
exp(a∙log z)=exp(alnx)=elnxa=xa adică puterea real ă obișnuită.
Pentru z num ăr complex nenul avem ez = exp(z∙log e) = exp (z(1 + 2k πi)), care reprezint ă
o mul țime de valori. Determinarea principal ă a puterii ez este num ărul exp(z∙log e) = exp(z∙ln e)
= exp z. Deci, prin nota ția exp z = ez înțelegem determinarea principal ă a puterii complexe.
Propozi ție. Fie z ∈ ℂ∗ și a∈ ℂ. Atunci
i) dacă a∈ℂ\ℚ , atunc za are o infinitate num ărabilă de valor i distincte.
ii) dacă a este num ăr întreg atunci za are o singur ă valoare care coincide cu puterea
întreag ă.
iii) dacă a∈ℚ\ℤ,a=m
n cu m∈ℤ∗ ,n∈ℕ,n≥2,(m,n)=1, atunci za are exact n valori
distincte.
Demonstra ție;
i) Fie a∈ℂ\ℚ. Avem
za =exp(a∙Log z) = exp(a(ln|z| + i(arg z +2k π))) unde k este num ăr întreg.
Să presupunem c ă pentru k, k’ ∈ℤ, k ≠ k’ valorile lui za coincid. Atunci exist ă un num ăr
întreg h astfel încât
a(ln|z| + i(arg z +2k π)) = a(ln|z| + i(arg z +2k’ π))+2h πi

25
și în conseci nța a(k -k’)=h, de unde a = h
k−k′∈ℚ ceea ce contrazice ipoteza. Ob ținem astfel c ă
toate valorile lui za , pentru k num ăr întreg sunt distincte și alcătuiesc o mul țime num ărabilă.
ii) Fie a∈ℤ. Atunci
za = exp(a∙ln |z| + i(a∙arg z + 2a k π)) = |z|z(cos(a∙arg z)+i∙sin(a∙arg z)) = puterea intreaga za
în baza formulei lui Moivre.
iii) În condi Țiile din ipotez ă avem
za=exp(m
nln|z|+i(m
nargz+m
n∙2kπ))
za=|z|m
n(cos(m
nargz+k
n∙2mπ)+i∙sin(m
nargz+k
n∙2mπ))
Pentru k și k’ numere întregi valorile de mai sus coincid doar dac ă exist ă h num ăr întreg
astfel încât
k−k′
n∙2mπ=2hπ⟺(k−k′)m=hn .
Deoarece m și n sunt numere prime între ele, egalitatea anterioar ă are loc dac ă și numai
dacă k-k’ este multiplu de n. Rezult ă astfel c ă se ob țin exact n valori distincte, de exemplu pentru
k = 0,1,2 , … ,n -1.
Aplica ție: Valorile puterii ii sunt toate numere reale, deoarece
ii=exp(i∙Log i)=exp(−π
2+2kπ)=e− π
2 +2kπ,k∈ℤ.
Într-un articol din American Mathematical Monthly publicat în 1921, H. S. Uhler a oferit
o valoare aproximativ ă pentru determinarea principal ă a acestei constant e, și anume
i i ≈ 0,207 879 576 350 761 908 546 955 …

III.3.5. Func ții trigonometrice ș i hiperbolice complexe

 cosinus: cosz=1
2(eiz+e−iz)
 sinus: sinz=1
2i(eiz−e−iz)
 cosinus hiperbolic: chz=1
2(ez+e−z)
 sinus hiperbolic: shz=1
2(ez−e−z)
 tangenta: tg z=sinz
cosz , dac ă cos z ≠ 0
 cotangenta: ctg z=cosz
sinz , dac ă sin z ≠ 0
 tangenta hiperbolic ă: th z=shz
chz , dac ă ch z ≠ 0
 cotangenta hiperbolic ă: cth z=ch z
shz , dac ă sh z ≠ 0
Denumirile acestor func ții sunt acelea și ca si în mul țimea num erelor reale, și se observ ă că
aceste func ții sunt opera ții univoce definite pe ℂ sau pe o parte a lui ℂ.
Propozi ție. Pentru orice numere complexe z si z’ au loc rela țiile (a c ăror demonstra ții se
efectueaz ă prin calcul direct):
i) cos z = ch iz ; sin z = -i∙sh iz ; ch z = cos iz ; sh z = -i∙sin iz

26
ii) cos(-z) = cos z ; sin( -z) = -sin z ; ch( -z) = ch z ; sh( -z)= -sh z
iii) cos(z±z’) = cos z ∙ cos z’ ∓ sin z ∙sin z’ ; sin(z±z’) =sin z ∙cos z’ ±sin z’ ∙cos z
ch(z±z’) = ch z ∙ ch z’ ± sh z ∙sh z’ ; sh(z±z’) = sh z ∙ ch z’ ± sh z’ ∙ ch z
iv) cos(z + 2k π) = cos z ; sin(z + 2k π) = sin z
ch(z + 2k πi) = ch z ; sh(z + 2k πi) = sh z , ∀ k∈ℤ .
v) cos z = 0⟺z=π
2+2kπ,k∈ℤ
sin z = 0⟺z=kπ,k∈ℤ
ch z = 0⟺z=(π
2+2kπ)i ,k∈ℤ
sh z = 0⟺z=kπi,k∈ℤ .
Observa ții:
 Relațiile iv) exprim ă periodicitatea acestor func ții. Mai exact, perioda func țiilor sin și cos
este 2kπ iar a func țiilor sh și ch este 2kπi, k∈ℤ.
 Relațiile v) pun în eviden ța punctele în care func țiile tg, ctg, th si cth nu sunt definite. Se
observ ă că funcțiile sin și cos au acelea și zerouri ca și în mul țimea numerelor reale.
 Dacă în ehalitatea cos(z -z’) = cos z ∙ cos z’ + sin z ∙sin z’ consider ăm z = z’ ob ținem
1=cos2z+sin2z , pentru orice z ∈ℂ.
 Dacă în egalitatea ch(z-z’) = ch z ∙ ch z’ – sh z ∙sh z’ consider ăm z = z’ ob ținem
1=ch2z-sh2z, pentru orice z ∈ℂ.

III.3.6 . Inversele func țiilor trigonometrice și hiperbolice
Să găsim inversa func ției cos inus .
Pentru aceasta f ie z∈ℂ. Să determin ăm w∈ℂ astfel încât cos w =z. Avem
cosw=z⟺1
2(eiw+e−iw)=z⟺e2iw−2zeiw+1=0⟺eiw=z+√z2−1⟺w
=−i∙Log (z+√z2−1).
Ultima opera ție a fost posibil ă deoarece avem z+√z2−1=0⟺√z2−1=−z⟺
z2−1=z2⟺1=0 ceea ce este imposibil ∀ z∈ℂ și în consecin ța z+√z2−1≠0.
Observ ăm deci c ă funcția cosinus ia toate valorile complexe și pentru z ∈ℂ putem defini
opera ția multivoc ă arccosinus complex prin
Arccos z =−i∙Log (z+√z2−1).
Determinarea principal ă a arccosinusului complex este ob ținută luând determinarea
principal ă a logaritmului și a radicalului (privit ca puterea 1
2 a unui num ăr complex) și este dat ă
de arccos z =−i∙log (z+√z2−1).
Pentru z = x ∈[−1,1], obținem
arccos z =−i∙log (x+√x2−1)=−i∙log (x+i√1−x2)z
=−i(ln√x2+1−x2+i∙arg(x+i√1−x2))=arg(x+i√1−x2)=t0
unde cos t 0 = x, iar t 0∈[0,π] deoarece √1−x2≥0. Deci reg ăsim t 0 = arccos x ca
valoare real ă uzual ă.

27
În mod simil ar se inverseaz ă și celelalte func ții, găsind în mod similar și determin ările lor
principale. Ob ținem astfel, pentru z ∈ℂ :
 Arccos z =−i∙Log (z+√z2−1)
 Arcsin z =−i∙Log (iz+√z2−1)
 Argch z =Log (z+√z2−1)
 Argsh z =Log (z+√z2+1)
 Arctg z=1
2i∙Logi+z
i−z , cu z ≠ ±i
 Arcctg z=1
2i∙Logz−i
z+i , cu z ≠ ±i
 Argth z=1
2Log1+z
1−z , cu z ≠ ±1
 Argcth z=1
2Logz+1
z−1 , cu z ≠ ±1

III.4. Alte aplica ții în algebr ă

1. Să se determine z∈ℂ∗pentru care w=z+1
z∈ℝ
Rezolvare:
w=z+1
z∈ℝ⇔w=w̅⇔z+1
z=z̅+1
z̅⇔(z−z̅)(zz̅−1)=0
de unde ob ținem c ă z∈ℝ
sau zz̅=1, deci |z|=1

2. Fie z∈ℂ∖{−1}. Să se determine z astfel încât z̅−u si u2 să fie simultan reale.
Rezolvare: Fie z∈ℂ∖{−1}.
Avem z̅−u=z−u̅ si u2=u̅2⟹u−u̅=z̅−z si (u−u̅)(u+u̅)=0. Obținem dou ă cazuri:
a. Dacă u=u̅ atunci z̅=z și rezult ă că z∈ℝ∖{−1}
b. Dacă u=−u̅ rezult ă z−z̅=2u
Din u=−u̅⟹|u|=1⟹|z|=1.
Din z−z̅=2u si |z|=1⟹z2−z2+z−1=0⟹(z−1)(z2+1)=0⟹
⟹z∈{1,i.−i}
În concluzie z∈(ℝ\{−1})∪{−i,i}

3. Să se arate c ă dacă z∈ℂ\ℝ și w=1+z+z2
1−z+z2∈ℝ atunci |z|=1
Rezolvare:
w∈ℝ⟺w=w̅⟹(1+z+z2)(1−z̅+z̅2)=(1−z+z2)(1+z̅+z̅2)
de unde ob ținem (1−zz̅)(z−z̅)=0.
Deoarece z∈ℂ\ℝ⟹z≠z̅ deci zz̅−1=0. În concluzie zz̅=1 și |z|=1

4. Să se arate c ă dacă z,u,w sunt trei numere complexe de modul 1 având produsul diferit
de -1 atunci Z este numar real, unde
Z=z+u+w+zu+zw+uw
1+zuw

28
Rezolvare: Vom ar ăta că Z este egal cu conjugatul s ău.
Din |z|=|u|=|w|=1 rezult ă că zz̅=uu̅=ww̅=1 deci numerele z,u,w sunt nenule
și egale cu inversele conjugatelor lor. Ob ținem

Z=1
z̅+1
u̅+1
w̅+1
zu̅̅̅+1
zw̅̅̅̅+1
uw̅̅̅̅
1+1
zuw̅̅̅̅̅̅
Aduc ând la acela și numitor frac țiile de la num ărător și respectiv de la numitor, ob ținem
Z=z+u+w+zu+zw+uw ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
zuw̅̅̅̅̅̅
zuw̅̅̅̅̅̅+1
zuw̅̅̅̅̅̅
adică Z=Z̅. Deci Z este num ăr real.

5. a) Să se arate c ă dacă 5z4+4iz3+4iz-5=0 atunci z este num ăr de modul 1.
b) Să se arate c ă dacă 11z10+10iz9+10iz -11=0 atunci z este num ăr de modul 1.
c) Să se arate c ă dacă az4+biz3+biz-a=0, cu a si b numere reale, |b|<|a|, atunci |z|=1.
Rezolvare
a) Avem
5z4+4iz3=5−4iz⇒z3=5−4iz
5z+4i.
Atunci ob ținem rela ția (1) :
|z|6=z3z̅3=5−4iz
5z+4i∙5+4iz̅
5z̅−4i=25+20iz̅−20iz+16|z|2
25|z|2−20iz+20iz̅+16
Dacă presupunem c ă |z|<1, atunci din (1) ob ținem |z|6<1, de unde
25+20iz̅−20iz+16|z|2<25|z|2−20iz+20iz̅+16
si efectuand calculele rezulta |z|2>1 adica |z|>1
Dacă presupunem |z|>1, din rela ția (1) ob ținem similar |z|<1.
Rezult ă că |z|=1.
b) Din ipotez ă rezult ă că
z9=11−10iz
11z+10i
Lucr ând similar cu a) ob ținem |z|=1.
c) Din ipotez ă rezult ă că
z3=a−biz
az+bi
Lucr ând similar cu a) și ținand cont de ipoteza |b|<|a| rezult ă cerin ța.

6. Să se rezolve ecua ția
(z−i
z+i)3
+(z−i
z+i)2
+(z−i
z+i)+1=0,z∈ℂ
Rezolvare: Not ăm u=z−i
z+i și ecua ția devine
u3+u2+u+1=0⟺u2(u+1)+(u+1)=0⟺(u+1)(u2+1)=0
u= -1 sau u∈{−i,i)

29
Avem cazurile
z−i
z+i=−1⟹z−1=−z−1⇒2z=0⇒z=0
z−i
z+i=−i⇒z−i=−iz+1⇒z(1+i)=1+i⇒z=1
z−i
z+i=i⇒z−i=iz−1⇒z(1−i)=i−1⇒z=−1
Deci z∈{−1,0,1}

30
IV. Aplica ții ale numerelor complexe în trigonometrie
În acest capitol doresc s ă prezint c âteva utiliz ări pe care le consider mai deosebite ale
scrierii sub form ă trigonometric ă a numerelor complexe.

1. Folosirea combinat ă a binomului lui Newton și a formulei lui Moivre precum și a
defini ției egalit ății a dou ă numere complexe, ne d ă:
(cost+isin t)n=cosnt+isin nt
{cosnt=cosnt−Cn2cosn−2t sin2t+Cn4cosn−4t sin4t−…
sinnt=Cn1cosn−1t sint−Cn3cosn−3t sin3t+Cn5cosn−5t sin5t−⋯

Pentru n=2 se reg ăsesc formulele
{cos2t=cos2t−sin2t
sin2t=2sintcost tg 2t=2tg t
1−tg2t

Pentru n=3 ob ținem
{cos3t=4cos3t−3cost
sin3t=3sint−4 sin3t tg 3t=3 tg t−tg3t
1−3 tg2t
Pentru n=4 ob ținem
{cos4t=cost−6 sin2t cos2t+sin4t
sin4t=4 cos3tsint−4cost sin3t tg 4t=4 tg t−4 tg3t
1−6 tg2t+tg4t
Se observ ă că proced ând astfel se pot ob ține formule similare indiferent de valoarea lui n∈
ℕ,n≥2 .

2. Dacă notăm cost+isint=eit si folosim propriet ățile func țiilor trigonometrice
obținem formulele lui Euler:
cost=eit+e−it
2 sint=eit−e−it
2i
Ne propunem s ă liniariz ăm expresiile cosnt și sinnt în func ție de cosqt și sinqt, unde
0≤q≤n. Aceast ă liniarizare se poate folosi, de exemplu, la calculul unor primitive.
Ridic ând la puterea n formulele lui Euler ob ținem
cosnt=(eit+e−it)n
2n sint=(eit−e−it)n
(2i)n
Dezvolt ând membrul al doilea cu binomul lui Newton și grup ând termenii conjuga ți
obținem:
 pentru n=2
cos2t=1+cos2t
2 sin2t=1−cos2t
2
 pentru n=3
cos3t=1
4(3cost+3cos3t)

31
sin3t=1
4(3sint−sin3t)
 pentru n=4
cos4t=1
8(3+4cos2t+cos4t)
sin4t=1
8(−4cos2t+cos4t)

 pentru n=5
cos5t=1
16(10cost+5cos3t+cos5t)
sin5t=1
16(10sint−5sin3t+sin5t)

3. Să se liniarizeze expresi ile cosx sin4x și cos4xsinx.
Rezolvare:
cosx sin4x=eix+e−ix
2∙(eix−e−ix
2i)4

cosx sin4x=1
32[(e5ix+e−5ix)−3(e3ix+e−3ix)+2(eix+e−ix)]
cosx sin4x=1
16[(e5ix+e−5ix)
2−3(e3ix+e−3ix)
2+2(eix+e−ix)
2]

cosx sin4x=1
16(cos5x−3cos 3x+2cosx)
Lucr ând similar ob ținem
cos4xsinx=1
16(sin5x+3sin3x+2sin x)

4. Să se arate c ă pentru orice num ăr real t,0≤t≤2π
7 are loc rela ția
16 cos4t−20 cos3t−2 cos2t+5cost+1≤0
Rezolvare: Din formula lui Moivre avem succesiv
cos5t=Re[(cost+isint)5]
cos5t=cos5t−10 cos3t sin2t+5cost sin4t
cos5t=16 cos5t−20 cos3t+5cost
Ținând cont de acest rezultat, inegalitatea devine
cos5t−2 cos2t+1≤0
cos5t−cos2t≤0
Deoarece cosa−cosb=−2sina+b
2sina−b
2 obținem rela ția
−2sin7t
2sin3t
2≤0

32
Ultima inegalitate este adevarat ă deoarece pentru t∈[0,2π
7] rezult ă că numerele 7t
2 și 3t
2
aparțin intervalului [0,π] unde sinusurile lor sunt pozitive.

5. Fie z un num ăr complex de modul 1 și de argument t. S ă se calculeze în func ție de t
modulul și argumentul număr ului Z=1+z+z2
Rezolvare: Propun pentru aceast ă problem ă, două metode de rezolvare:
Metoda I: Fie =cost+isint⇒z2=cos2t+isin2t .
Avem Z=1+z+z2
Z=1+(cost+isint)+(cos2t+isin2t)
Z=(1+cost+cos2t)+i(sint+sin2t)
Z=(1+cost+2 cos2t−1)+i(sint+2sintcost)
Z=cost (2cost+1)+isin t (2cost+1)
Z=(2cost+1)(cost+isint)
Daca 2cost+1>0⇒|Z|=2cost+1 si arg Z=t
Daca 2cost+1<0⇒|Z|=−(2cost+1) si arg Z=t+π
Metoda II: Dacă z=1 atunci Z=3
Dacă z≠1 atunci Z=1+z+z2=1−z3
1−z
În general 1−(cost+isint)=(1−cost)−isint=2 sin2t
2−2isint
2cost
2=
−2isint
2(cost
2+isint
2).
Deci
Z=1−z3
1−z=1−(cos3t+isin3t)
1−(cost+isint)=−2isin3t
2(cos3t
2+isin3t
2)
2isint
2(cost
2+isint
2)=sin3t
2
sint
2(cost+isint)
Dar
sin3t
2
sint
2=3sint
2−4 sin3t
2
sint
2=3−4 sin2t
2=3−41−cos t
2=3−2+2cost=2cost+1
de unde se ob ține Z=(2cost+1)(cost+isint), adic ă se ajunge la rezultatul ob ținut prin
metoda I.

6. Se consider ă numerele a,t∈ℝ. Să se calculeze modulul și argumentul num ărului
complex
z=a(1+i tg t)2
1+tg2t
Rezolvare: Deoarece 1+tg2t=1
cos2t avem
z=a cos2t (1+isint
cost)2
=a cos2t (cost+isint)2
cos2t=a(cost+isint)2
z=a(cos2t+isin2t)
În continuare efectuăm discuț ie după semnul lui a:

33
Dacă a>0 atunci |z|=a și argz={2t daca 0<2𝑡≤2𝜋
2t−2π daca 2t>2𝜋
Dacă a<0 atunci z=−a[−cost+i(−sint)]=−a[cos(π+t)+isin(π+t)]
deci |z|=−a și argz={π+t daca 0<2𝑡≤2𝜋
π−t daca π+t>2𝜋 .
În concluzie |z|=|a| iar
argz={2t daca 0<𝑡≤𝜋 𝑠𝑖 𝑎>0
2(t−π) daca t>𝜋 𝑠𝑖 𝑎>0
t+π daca 0<𝑡≤𝜋 𝑠𝑖 𝑎<0
t−π daca t>𝜋 𝑠𝑖 𝑎<0 .

7. Să se rezolve ecua ția (x+i)n−(x−i)n=0, n∈ℕ∗.
Rezolvare: Deoarece x=i nu poate fi solu ție avem
(x+i)n−(x−i)n=0⟺(x+i)n=(x−i)n⟺(x+i
x−i)n
=1
Facând substitu ția x=tg a
2 se ob ține ecua ția
(sina
2+icosa
2
sina
2−icosa
2)n
=1
Amplific ând cu conjugatul numitorului și ridic ând rezultatul la p ătrat g ăsim
((sina
2+icosa
2)2
)n
=1
(sin2a
2−cos2a
2+2isina
2cosa
2)n
=1
(−cosa+isina)n=1
(cos(π−a)+isin(π−a))n=1+0i
cos[n(π−a)]+isin[n(π−a)]=cos0+isin0
de unde ob ținem ecua ția în necunoscuta a
n(π−a)=2kπ⟺a=(n−2k)π
n⟺xk=tg(n−2k)π
2n=ctgkπ
n
unde xk , pentru k lu ând valorile 0,1,2,…,n -1 reprezint ă soluțiile ecua ției ini țiale.

34
V. Aplica ții ale numerelor complexe în geometrie

V.1. Afixul punctului care împarte un segment într-un raport dat
1. Fie în planul complex punctele A(a) si B(b). Vrem s ă găsim punctul C(c) astfel încât
AC
CB=k>0. Dac ă a=a x+ia y, b=b x+ib y și c=c x+ic y și proiect ăm punctele A,B și C pe axa Ox,
obținem AC
CB=cx−ax
bx−cx=k (bx≠cx si AB∦Oy) de unde cx=ax+kbx
1+k .
Analog, proiect ând punctele pe axa Oy, ob ținem cy=ay+kby
1+k . Deci, punctul C are afixul
c=cx+icy=ax+kbx
1+k+iay+kby
1+k=ax+iay+k(bx+by)
1+k=a+kb
1+k
În particular, dac ă C este mijlocul segmentului [AC], atunci are afixul c=a+b
2.
2. Să consider ăm triunghiul ABC cu v ârfurile de afixe a,b și respectiv c. Se știe că punctul
G, centrul de greutate al triunghiului se afl ă pe fiecare median ă la 1/3 de baz ă și 2/3 de v ârf din
lungimea ei. Deci CG
GD=2, unde D(d) este mijlocul segmentului [AB]. Afixul punctului D este d=
a+b
2 și în consecin ța afixul punctului G este
g=c+2d
1+2=c+2a+b
2
3=a+b+c
3
3. Punctele A,B,C si D de afixe a,b,c respectiv d sunt v ârfurile unui paralelogram dac ă și
numai dac ă a+c=b+d

V.2. Unghiul a dou ă drepte

1. Fie A(a), B(b) si O(0) originea. Atunci
m(AOB)̂=m(AOx̂)−m(BOx̂)=arg(a)−arg(b)=arg(a
b)
2. Dacă unghiul ACB ̂ are v ârful C(c) diferit de originea O atunci translat ăm originea
în punctul C. În noul reper avem A(a -c) și B(b -c). Din punctul anterior ob ținem
m(ACB)̂=arg(a−c
b−c)

V.3. Ecua ția cercului și a dreptei în planul complex

Pentru a g ăsi ecua ția general ă a dreptei, s ă consider ăm dreapta d ce con ține punctele
distincte A și B de afixe a ∈ℂ respectiv b ∈ℂ. Atunci punctul M de afix z ∈ℂ aparține dreptei AB
doar dac ă vectorii AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ si AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sunt coliniari, adic ă dacă exist ă numărul real k astfel încât
AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =kAB⃗⃗⃗⃗⃗ ⟺z−a=k(b−a)⟺z+(k−1)a−b=0
Deci ecua ția dreptei în planul complex este de forma Az+B=0 cu A și B numere
complexe.

35
Putem g ăsi ecua ția dreptei AB și sub form ă de determinant. Mai exact s ă consider ăm
punctele A și B de afixe a și respectiv b și fie M punctul curent al dreptei , M de afix z. Se știe că
ecuația dreptei AB sub form ă de determinant este
AB:|1Re zIm z
1Re aIm a
1Re bIm b|=0
Folosind propriet ățile determinan ților ob ținem succesiv

AB:|1Re zIm z
1Re aIm a
1Re bIm b|=0⟺|1Re z−i∙Im z
1Re a−i∙Im a
1Re b−i∙Im b|=0⟺

⟺|1Re zRe z−i∙Im z
1Re aRe b−i∙Im a
1Re bRe b−i∙Im b|=0⟺|12Re zRe z−i∙Im z
12Re aRe b−i∙Im a
12Re bRe b−i∙Im b|=0⟺

⟺|1Re z+i∙ImzRe z−i∙Im z
1Re a+i∙ImaRe b−i∙Im a
1Re b+i∙ImbRe b−i∙Im b|=0⟺AB:|1zz̅
1aa̅
1bb̅|=0

Calcul ând determinantul ob ținut g ăsim ecua ția dreptei AB sub forma
AB:ab̅+bz̅+za̅−az̅−a̅b−b̅z=0
AB:(a̅−b̅)z+(b−a)z̅+(ab̅−a̅b)=0
AB: (a−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅z−(a−b)z̅+2i Im ab̅=0 |∙i
AB: (a−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅iz−(a−b)iz̅−2 Im ab̅=0

Notând (a−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅∙i = m si -2Im ab̅ = n ob ținem ecua ția general ă a unei drepte în planul
complex ca fiind m∙z+m̅∙z̅+n=0 cu m∈ℂ∗ și n∈ℝ.
Observa ție: În nota ția anterioar ă am ținut cont de următorul rezultat
m=(a−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅∙i⟹m̅=(a−b)̿̿̿̿̿̿̿̿̿∙i̅=(a−b)(−i)=−(a−b)

Să găsim acum și ecua ția cercului. Fie în planul complex punctul C de afix c ∈ℂ și fie
r ∈ℝ , r > 0. Cercul de centru C și rază r reprezint ă mulțimea punctelor din plan cu proprietatea
că distan ța de la un punct curent M (de afix z ∈ℂ ) al cercului la C este r. Deci MC = r , de unde
avem
|z−c|=r⟺|z−c|2=r2⟺(z−c)∙(z−c)̅̅̅̅̅̅̅̅̅=r2⟺zz̅−zc̅−z̅c+cc̅−r2=0
sau |z|2−zc̅−z̅c+|c|2−r2=0
Pe de alt ă parte, pornind de la ecua ția Azz̅+Bz̅+B̅z+D=0 cu A și C numere reale, B
număr complex, A ≠ 0, și pun ând z = x + yi ob ținem prin înlocuire și efectuând calculele c ă
aceasta se poate aduce la forma
(x+Re B
A)2
+(y−Im B
A)2
=|B|2−A∙D
A2

36
Deci putem spune c ă ecuația general ă a cercului în planul complex este de forma
Azz̅+Bz̅+B̅z+D=0
unde A si D sunt numere reale, B este num ăr complex și în plus A∙D<|B|2 , A ≠ 0 .

Țeoremă : Ecua ția cercului ce trece prin punctele necoliniare de afixe a, b, c este
|zz̅zz̅ 1
aa̅aa̅1
bb̅
cc̅b
cb̅
c̅1
1|=0
Demonstra ție: Dezvolt ând determinantul dupa prima linie ob ținem
zz̅|aa̅1
bb̅1
cc̅1|−z|aa̅a̅1
bb̅b̅1
cc̅c̅1|+z̅|aa̅a1
bb̅b1
cc̅c1|−|aa̅aa̅
bb̅bb̅
cc̅cc̅|=0
Înmul țind rela ția cu i, și notând
|aa̅1
bb̅1
cc̅1|∙i=A,−|aa̅a1
bb̅b1
cc̅c1|∙i=B și –|aa̅aa̅
bb̅bb̅
cc̅cc̅|∙i=D
ecuația se aduce la forma Azz̅+Bz̅+B̅z+D=0 , formă ce reprezint ă, dup ă cum am ar ătat mai
sus, ecua ția unui cerc în planul complex.
Observa ție: Am avut în vedere c ă
A̅=|a̅a1
b̅b1
c̅c1|∙(−i)=−|aa̅1
bb̅1
cc̅1|∙(−i)=A
de unde rezultă că A este num ăr real. Similar rezult ă ca D este num ăr real.
În plus B̅=−|aa̅a1
bb̅b1
cc̅c1|∙(−i)=|aa̅a1
bb̅b1
cc̅c1|∙i

Am demonstrat astfel urm ătorul rezultat:
Teorem ă: Fie ecua ția Azz̅+Bz̅+B̅z+C=0 cu A și C numere reale, B num ăr complex.
Dacă A=0 si B ≠ 0 atunci ecua ția define ște o dreapt ă, iar dac ă A ≠ 0 și A∙C<|B|2 ecuația
define ște un cerc. Reciproc, orice dreapt ă sau cerc din planul complex se poate scrie sub forma
precizat ă anterior.

V.4. Coliniaritate și ortogonalitate

1. Fie punctele A,B,C de afixe a,b și respectiv c. Următoarele afirma ții sunt echivalente:
i) A,B,C sunt coliniare
ii) a−c
b−c∈ℝ
iii) arga−c
b−c∈{0,π}
2. Punctele O,A,B de afixe 0, a și b sunt coliniare dac ă și numai dac ă exist ă un numar real r
astfel încât a = rb.
3. Fie vectorii v⃗ si u⃗ nenuli de afixe a și b.
Vectorii v⃗ si u⃗ sunt coliniari ⟺a∙b̅−b∙a̅=0⟺Im (a∙b̅)=0

37
4. Fie punctele A,B,C de afixe a,b și respectiv c. Vectorii AB⃗⃗⃗⃗⃗ si AC⃗⃗⃗⃗⃗ sunt ortogonali dac ă și
numai dac ă are loc rela ția
Re (c−a
b−a)=0
5. Fie vectorii v⃗ si u⃗ nenuli de afixe a ș i b.
Vectorii v⃗ si u⃗ sunt ortogonali ⟺a∙b̅+b∙a̅=0⟺Re (a∙b̅)=0

V.5. Triunghiuri asemenea
Triunghiurile ABC și MNP, cu aceea și orientare, sunt asemenea în aceast ă ordine dac ă
AB
AC=MN
MP și m(BAC)̂=m(NMP)̂ . Aceste dou ă relații se exprim ă cu ajutorul numere lor complexe
prin o singura condi ție:
b−a
c−a=n−m
p−m , sau echivalent, |111
abc
mnp|=0
Dacă triunghiurile nu au aceea și orientare atunci consider ăm triunghiul QRS, simetricul
triunghiului MNP fa ță de axa absciselor. Cum triunghiurile ABC și QRS vor avea aceea și
orientare, iar afixele v ârfurilor triunghiului QRS sunt conjugatele afixelor v ârfurilor triunghiului
MNP ob ținem
∆ABC~∆MNP⇔b−a
c−a=n̅−m̅
p̅−m̅⇔|111
abc
m̅n̅p̅|=0

V.6. Triunghiul echilateral
Dacă triunghiul ABC este echilateral atunci
∆ABC~∆BCA⇔|111
abc
bca|=0⇔ab+ac+bc−a2−b2−c2=0
⇔a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2
⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0
Similar se ob ține c ă
∆CAB~∆BCA⇔(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2=0
Deci ∆ABC este echilateral ⇔ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0.
Din calcule se ob ține c ă ∆ABC este echilateral ⇔ab+ac+bc−a2−b2−c2=0⇔
a2+b2+c2=ab+bc+ac

V.7. Teorema lui Pompeiu si extinderi

V.7.1. Inegalitatea lui Ptolemeu
Fie punctele A,B,C și M patru puncte arbitrare din plan. Atunci
AM∙BC≤BM∙CA+CM∙AB.

38
C
E
A
B M Demonstra ție
 Folosind numere complexe:
Fie A,B,C,M patru puncte in plan cu afixele a,b,c respectiv m. Avem rela ția
(z−a)(b−c)+(z−b)(c−a)+(z−c)(a−b)=0 (∗).
De aici rezult ă succesiv
(z−a)(b−c)=−(z−b)(c−a)−(z−c)(a−b)
|(z−a)(b−c)|≤|(z−b)(c−a)|+|(z−c)(a−b)|
|z−a||b−c|≤|z−b||c−a|+|z−c||a−b|
Observ ând că AM=|z−a|, BM=|z−b|, CM=|z−c|, AB=|b−a|, AC=|c−a| și
BC=|b−c| obținem AM∙BC≤BM∙CA+CM∙AB.
Pentru a demonstra rela ția (*) este suficient s ă desfacem parantezele și să reducem
termenii asemenea ob ținând
(z-a)(b-c)+(z -b)(c-a)+(z -c)(a-b) = zb-zc-ab+ac +zc-za-bc+ab+za -zb-ca+bc = 0
 O demonstra ție sintetic ă a inegalit ății lui Ptolemeu este următoarea :
Având patrulaterul ABMC, construiesc punctul E astfel încât triunghiurile ACE ș i MCB
sunt asemenea ( ∢CMB≡∢CAE si ∢MCB≡∢ACE ).

Din asemanare avem șirul de rapoarte egale
AC
CM=AE
MB=CE
CB⟹AE=BC∙AC
CM (1)

Pe de alt ă parte avem
AC
CM=CE
CB ⟹CE
AC=CB
CM
m(∢ECB)=m(∢ECA)+m(∢ACB)=m(∢MCB)+m(∢ACB)=m(∢MCA)}⟹

⟹ ∆ECB~∆ACM ⟹EC
AC=EB
AM=CB
CM ⟹EB=AM∙CB
CM (2)

Caz I. E∉AB
Din ∆EBA și folosind rela țiile (1) și (2) avem

39
EB<𝐴𝐸+𝐴𝐵⟹AM∙CB
CM<BC∙AC
CM+AB⟹AM∙BC<𝐵𝐶∙𝐴𝐶+𝐴𝐵∙𝐶𝑀

Caz II. E∈AB . Atunci
EB=AE+AB⟹AM∙CB
CM=BC∙AC
CM+AB⟹AM∙BC=BC∙AC+AB∙CM

V.7.2. Teorema lui Pompeiu
i) Dacă, în particular, triunghiul ABC este echilateral, atunci avem
|a−b|=|b−c|=|c−a|
și relația anterioar ă (inegalitatea lui Ptolemeu) devine
|z−a|≤|z−b|+|z−c|
MA≤MB+MC.
Obținem astfel teorema lui Pompeiu : Cu distan țele de la un punct la v ârfurile unui triunghi
echilateral putem sa form ăm un triunghi. Triunghiul astfel ob ținut se nume ște triunghi Pompeiu.

ii) Se poate da o alt ă demonstra ție a teoremei lui Pompeiu pornind de la rela ția (*) dar
fără a mai folosi inegalitatea lui Ptolemeu:
Deoarece a, b și c reprezint ă afixele v ârfurilor unui triunghi echilateral atunci punctele de
afixe c -a și a-b se ob țin prin rota ția punctului de afix b -c cu un unghi de argument 2π
3 , respectiv
4π
3 . Deci scri ind numerele acestea sub form ă trigonometric ă vom avea
b−c=reit cu r nenul (b≠c)
c−a=rei(t+2π
3)
a−b=rei(t+4π
3)
Înlocuind în rela ția (*) avem
(z−a)reit+(z−b)rei(t+2π
3)+(z−c)rei(t+4π
3)=0.

Simplificand prin r (nenul , deoarece în caz contrar am avea B = C ) obținem
(z−a)eit+(z−b)ei(t+2π
3)+(z−c)ei(t+4π
3)=0.

Notând cu m, n și respectiv p cei trei termeni ai sumei anterioare rezult ă că m+n+p =0.
Deci cu punctele de afixe m, n si p se poate construi un triunghi. Dar

|m| =|(z−a)eit|=|z−a|∙|eit|=|z−a|∙1=MA
|n| =|(z−b)ei(t+2π
3)|=|z−b|∙|ei(t+2π
3)|=|z−b|∙1=MB
|p|=|(z−c)ei(t+4π
3)|=|z−c|∙|ei(t+4π
3)|=|z−c|∙1=MC
Deci cu segmentele MA, MB si MC se poate construi un triunghi.

40
M’ iii) Cu toate c ă demonstra țiile anterioare ce folosesc numere complexe sunt destul de
simpl e, cred c ă merit ă să fie prezentată și o demonstra ție sintetic ă a teoremei lui Pompeiu:
Consider ăm rota ția de centru A și de unghi 600 care duce punctul B în punctul C. Prin
aceasta rotatie punctul M merge în punctul M’ astfel încât AM=AM’ și m(MAM’)=600 . Rezult ă
AM=AM’. Segmentul [MB] merge în segmentul [M’C]. Se rem arcă acum c ă lungimile laturilor
triungh iului MM’C sunt MM’=MA, M’C=MB si MC=MC.

V.7.3. Extinderi ale teoremei lui Pompeiu
1. Fie ABCD un paralelogram și M un punct în planul lui. Dac ă notăm cu a,b,c,d,z afixele
punctelor considerate și din ipoteza că ABCD este paralelogram ob ținem
a−b+c−d=0
(a−z)+(z−b)+(c−z)+(z−d)=0
În concluzie cu lungimile
|a−z|=MA,|b−z|=MB,|c−z|=MC,|d−z|=MD
putem s ă form ăm un contur poligonal închis, adic ă, un patrulater.

2. Fie în acela și plan dou ă triunghiuri echilaterale ABC și MNP la fel orientate. Vrem s ă
arătăm că putem forma un nou triunghi cu lungimile AM, BN,CP.
Pentru aceasta consider ăm transformarea z ’ = tz+q care pastreaz ă asem ănarea figurilor. Într-
adevar, unui triunghi ABC îi corespunde un triunghi MNP astfel ca
m = ta+q, n = tb+q, p = tc+q și condi ția de asem ănare a triunghiurilor

|111
abc
mnp|=0

este evident satisfacută . De aici rezult ă că
m(b−c)+n(c−a)+p(a−b)=0
Pe de alt ă parte avem rela ția evident ă C
B A M

41
a(b−c)+b(c−a)+c(a−b)=0
de unde (m−a)(b−c)+(n−b)(c−a)+(p−c)(a−b)=0. Rezult ă
|m−a||b−c|≤|n−b||c−a|+|p−c||a−b| (1)
Deci, dac ă ABC ș i MNP sunt triunghiuri asemenea și la fel orientate în acela și plan avem rela ția
AM∙BC≤BN∙CA+CP∙AB
care generalizeaz ă relația lui Ptolemeu, rela ție la care se reduce dac ă M=N=P, adic ă triunghiul
MNP se comprim ă într-un punct.
Revenind la rela ția (1), dac ă triunghiul ABC este echilateral atunci
|a−b|=|b−c|=|c−a|
rezult ă că și MNP este echilateral iar (1) devine
|m−a|≤|n−b|+|p−c|
sau AM≤BN+CP ceea ce demonstreaz ă teorema.
Se observ ă că dacă triunghiul MNP se restr ânge la un punct se reg ăsește teorema lui
Pompeiu.

V.8. Transform ări geometrice

V.8.1. Generalit ăți privind transform ările geometrice
Transform ările geometrice au ap ărut din necesitatea studiului mi șcării din spa țiul fizic,
păstrandu -se forma și dimensiunile figurilor la momentul ini țial și la momentul final al mi șcării.
Din punct de vedere geometric ne intereseaz ă coresponden ța care exist ă între punctele unei figuri
la cele dou ă momente, precum și propriet ățile care r ămân neschimbate dup ă efectuare a
transform ării.
În acest capitol mi -am propus s ă prezint pe scurt izometriile planului și legătura lor cu
numere le complexe. De asemenea voi enun ța o parte din cele mai importante propriet ăți ale lor.
În contin uare voi n ota planul cu 𝒫.
Defini ție. Orice func ție t: 𝒫⟶𝒫 este o transformare geometrica. Dac ă M este un punct
din 𝒫, atunci M’=t(M) ∈ 𝒫 se nume ște transformatul (sau imaginea) punctului M prin
transformarea t.
Defini ție. Două transform ări t1 și t2: 𝒫⟶𝒫 se numesc echivalente dac ă t1(M) = t 2(M)
pentru orice punct al planului. Not ăm t 1 = t2 sau t 1 ~ t2 .
Observa ție: Din definiție se vede că t ransform ările geometrice sunt func ții. Ele sunt
echivalente ca transform ări dac ă sunt egale ca și func ții.
Defini ție. Transformarea e : 𝒫⟶𝒫, e(M)=M se nume ște transformarea identic ă a
planului. Se mai noteaz ă uneori și cu I.
Defini ție. Fie transform ările t 1 și t2: 𝒫⟶𝒫. Transformarea t 2 o t1: 𝒫⟶𝒫 , definit ă prin
(t2 o t1)(M) = t 2(t1(M)) se nume ște compunerea (sau uneori produsul) transform ărilor t 2 și t1 . Este
notat ă uneori și t2 t1.
Defini ție. Fiind dat ă o transformare bijectiv ă t: 𝒫⟶𝒫 , t(M) =M’ ∈ 𝒫, ∀ M∈ 𝒫 ,
transformarea t-1: 𝒫⟶𝒫, t-1(M’) =M se nume ște transformarea invers ă a transform ării t.
Deci t o t-1=e=t-1 o t.
Teorem ă: Compunerea transform ărilor este asociativ ă.

42
Defini ție. Transformarea t: 𝒫⟶𝒫 se nume ște izometrie a planului dac ă pastreaz ă
distan ța dintre dou ă puncte (adică pentru orice dou ă puncte M și N∈ 𝒫 avem MN=t(M)t(N) ) .
Teorem ă: Mulțimea izometriilor planului este grup în raport cu compunerea
transform ărilor.
Teorem ă: Orice izometrie a planului transform ă:
a. orice segment (AB) într-un segment (A’B’) p ăstrând ordinea punctelor
b. orice semidreapt ă (AB într-o semidreapt ă (A’B’ p ăstrând ordin ea punctelor
c. orice dreapt ă AB într-o dreapt ă A’B’ p ăstrând ordinea punctelor
d. orice unghi ∢AOB într-un unghi ∢A’O’B’ astfel încât ∢AOB≡∢A’O’B’
e. orice cerc într-un cerc congruent cu el
Defini ție. Fie izometria t: 𝒫⟶𝒫. Punctul M ∈ 𝒫 se nume ște punct fix pentru t dac ă
t(M)=M. Dreapta d se nume ște dreapt ă fixă pentru t dac ă t(d)=d.
Teorem ă: Mulțimea punctelor fixe pentru orice izometrie t: 𝒫⟶𝒫 poate fi mul țimea
vidă, o mul țime format ă din un singur punct, o dreapt ă, sau tot planul.
Teorem ă:
a. Orice izometr ie transform ă drepte paralele în drepte paralele
b. Intersec ția a dou ă drepte fixe în raport cu o izometrie a pl anului este un punct fix al
izometriei
c. Fie t și s dou ă izometrii ale planului și fie A,B și C trei puncte necoliniare ale planului.
Dacă t(A)=s(A), t(B)=s(B) și t(C)=s(C) atunci t=s .
d. Dacă un cerc este invariant în raport cu o izometrie (adic ă imaginile prin izometrie ale
punctelor cercului sunt tot puncte ale cercului) atunci centrul cercului este un punct fix în raport
cu acea izometrie.

V.8.2. Transla ția
Defini ție. Fie vectorul v⃗ în planul 𝒫. Se nume ște transla ție de vector v⃗ (notat ă tv⃗⃗ sau,
dacă nu este pericol de confuzie t) transformarea t : 𝒫⟶𝒫 care asociaz ă fiecărui punct M ∈𝒫
unicul punct M’ ∈ 𝒫 astfel încât vectorii MM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ si v⃗ sunt echipolen ți. Dac ă v⃗ =0⃗ atunci t0⃗⃗ = e
(adică este transformarea identic ă a planului).
Teorem ă: Ecua țiile transla ției de vector v⃗ = (a,b) care duce punctul M(x,y) în punctul
M’(x’,y’) sunt {x′=x+a
y′=y+a .
Legătura cu numerele complexe. Fie z o = a + bi ∈ℂ, si v⃗ (a,b) vectorul imagine al lui z o.
Fie func ția f:ℂ⟶ℂ, f(z)=z+z o și fie M și M’ punctele de afixe z și respectiv f(z). Conform
ecuațiilor transla ției, func ția t : 𝒫⟶𝒫 , t(M)=M’ este transla ția de vector v⃗ , iar func ția f se
nume ște transla ția definit ă de z o . Deci putem defini pentru un z o fixat transla ția definit ă de z o ca
fiind func ția f:ℂ⟶ℂ, f(z)=z+z o .
Teorem ă: Transla ția are urmatoarele propriet ăți:
a. Orice transla ție este o izometrie ( și implicit are propriet ățile unei izometrii)
b. Pentru or ice dou ă transla ții de vectori v⃗ și u⃗ avem tv⃗⃗ o tu⃗⃗ =tv⃗⃗ +u⃗⃗
c. Mulțimea transla țiilor împreun ă cu opera ția de compunere formeaz ă un grup comutativ
de transform ări ale planului, în acest grup inversa unei transla ții tv⃗⃗ fiind t−v⃗⃗ .

43
d. Imaginile a dou ă drepte paralele printr -o transla ție sunt tot drepte paralele.

V.8.3. Simetria
V.8.3.1. Simetria fa ța de o dreapt ă
Defini ție. Fie d o dreapt ă în plan. Se nume ște simetrie ortogonal ă în raport cu dreapta d
transformarea geometric ă sd: 𝒫⟶𝒫 care asociaz ă fiecărui punct M din plan unicul punct M’
din plan cu proprietatea c ă d este mediatoarea segmentului MM’ dac ă M∉d si s d(M)=M dac ă
M∈d.
Teorem ă: Orice simetrie ortogonal ă este o izometrie.
În cazul numerelor complexe avem urm ătoarele cazuri particulare:
a. Simetria fa ță de axa Ox este func ția s:ℂ⟶ℂ , s(z) = z̅
b. Simetria fa ță de axa Oy este func ția s:ℂ⟶ℂ , s(z) = -z̅
Simetria fa ță de o dreapt ă oarecare :
Fie d o dreapt ă oarecare în planul complex. Fie A(a) si B(b) puncte distincte pe d. Putem
presupune AB = 1. Deci t = b-a este un num ăr complex de modul 1. Fie M(m) un punct în
planul complex și M’(m’) simetricul punctului M fa ța de dreapta d. Dreapta MM’ trebuie s ă fie
perpendicular ă pe d, deci exist ă numărul real r astfel încât m’ = m + 2∙r∙i∙t deoarece înmul țirea
cu i reprezint ă o rota ție de unghi 900 .
Mijlocul N(n) al segmentului MM’ este dat de n = (m + m’)/2 = m + r∙i∙t . Pentru ca N s ă fie
punct al dreptei d trebuie s ă existe un num ăr real u astfel încât n = a + ut. Rezult ă deci c ă m + rit
= a + ut , adi că u-ri = (m -a)/t. Scăzând ultima egalitate din conjugata ei avem
2t∙i=(m−a
t)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−(m−a
t).
Obținem prin inlocuire în expresia lui m’ c ă
m′=m+t
t̅(m−a)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅−(m−a)
Din presupunerea c ă t este num ăr de modul 1 avem t
t̅=t2 și egalitatea anterioar ă devine
m’ = a + t2∙(m−a)̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (*)
Dacă vom considera imaginea P(p) a originii O(0) prin simetria respectiv ă vom ob ține
p = s(0) = a – t2a̅ și atunci rela ția (*) devine m’ = p + t2m̅ .
În concluzie simetria fa ță de o dreapt ă d este transformarea s :ℂ⟶ℂ , s(z) = p + t2z̅ unde p
este imaginea originii prin simetrie iar t reprezint ă diferen ța afixelor a dou ă puncte de pe dreapt ă,
alese astfel încât t este un număr complex de modulul 1.

Teorem ă. Simetria fa ță de o dreapta d are urm ătoarele propriet ăți:
a) Păstreaz ă (invariază) punctele dreptei d și numai pe acestea.
b) Este o transformare involutiv ă, adic ă prin compunerea unei simetrii cu ea inse și se ob ține
transformarea identic ă.
c) O dreapt ă este conservat ă prin simetrie doar dac ă este perpendicular ă pe d sau coincide
cu d.
d) Transform ă un cerc de centru C și rază r într-un cerc de centru C’ = s(C) și având aceea și
rază r. În plus C = C’ doar dac ă C se afl ă pe dreapta d.

44
Teorema de compunere a simetriilor . Fie a și b dou ă drepte. Transformarea T = sb o sa
este transla ție dac ă a și b sunt drepte paralele și este rota ție dac ă a și b au exact un punct comun .
Demonstra ție: Fie s b(z) = q + n2z̅ și sa(z) = p + m2z̅ . Obținem
(sbo sa)(z)=q+n2(p+m2z̅) ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅=(q+n2∙p̅)+(n∙m̅)2∙z
Deci T(z) = (q+n2∙p̅)+(n∙m̅)2∙z (1).
 Dacă a ∥ b are loc n = ±m, deci n∙m̅ = ±1 și formula (1) arat ă că T este transla ția T M unde
M(m) și m = q + n2∙p̅ .
 Dacă exist ă C(c) punct comun dreptelor a și b atunci T(c) = (sbo sa)(c) = sb(c) = c , deci
c = (q + n2∙p̅) +(n∙m̅)2∙c (2).
Scăzând membru cu membru (1) și (2) se ob ține T(z) – c =(n∙m̅)2∙(z−c), deci T este
rotație de centru C si de argument t = 2 ∙arg(n∙m̅).
Trebuie remarcat c ă alternativele din enun ț nu se exclud total. Dac ă a = b ne încadr ăm în
ambele variante, T fiind transformarea identic ă a planului.

Teorema de descompunere a transla țiilor în simetrii: Pentru orice transla ție T M și orice
dreapt ă d ce satisface rela ția d ⊥ OM exist ă o dreapt ă unică a astfel încât TM = sa o sd .

Teorema de descompunere a rota țiilor în simetrii : Pentru orice rota ție R de centru C ș i de
unghi t și orice dreapta d ce con ține pe C exist ă o unic ă dreapt ă a astfel încât R = s a o sd .

V.8.3.1. Simetria fa ță de un punct
Defini ție. Fie P un punct în plan. Se nume ște simetrie în raport cu punctul P transformarea
s: 𝒫⟶𝒫, s(M)=M’, unde M’ este unicul punct cu proprietatea MP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (adic ă P este
mijlocul segmentului [MM’] ).
În cazul planului complex, simetria fa ță de punctul P(z o) este s:ℂ⟶ℂ , s(z) = 2zo-z
deoarece condi ția ca P(z o) să fie mijlocul segmentului av ând extre mitățile de afixe z și s(z) este
zo=z+s(z)
2
Teorem ă: Orice simetrie fa ță de un punct este o izometrie.

V.8.4. Omotetia
Defini ție. Fie O un punct în plan și k un num ăr real nenul.. Se nume ște omotetie de
centru O și raport (sau putere) k transformarea care face ca fiec ărui punct M din plan s ă-i
corespund ă punctul M’ din plan astfel încât OM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =kOM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .Transformarea se notează cu H(O,k),
HO,k sau, dac ă nu exist ă pericol de confuzie, cu H.
M’ = H(M) se nume ște omoteticul lui M prin omotetia de centru O și raport k.
Observa ție:
 H(O) = O
 Dacă k = 1 obținem H(M) = M și omotetia este transformarea identic ă a planului. Dac ă
k≠1 atunci singurul punct fix al omotetiei este O.
 Dacă k > 0 atunci M și M’ se afl ă de aceea și parte a centrului O și omotetia se numeș te
direct ă. Punctele M și M’ se numesc direct omotetice.

45
 Dacă k < 0 atunci O se afl ă între M și M’ iar omotetia se nume ște indirect ă. Punctele M
și M’ se numesc invers omotetice.
 Omotetia de centru O și raport k = -1 este simetria în raport cu punctul O.
În cazul planului complex în care avem fixat un reper cartezian xOy, faptul c ă omotetia H P,k ,
P(z o) punct fixat al planului și k≠0, asociaz ă punctului M(z) acel unic punct M’(z’) astfel încât
PM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =kPM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ revine la z’ -zo = k(z-zo) de unde rezultă z’= k(z -zo)+ z o sau z’ = kz+(1 -k)z o . Deci
omotetia de centru z o și raport k este func ția Hzo,k:ℂ⟶ℂ, Hzo,k(z) = kz + (1-k)z o (1).
Dacă P=O atunci omotetia devine HO,k :ℂ⟶ℂ, HO,k =kz.

Teorem ă:
1. Compunerea a dou ă omotetii de acela și centru P și de rapoarte k și respecti v k’ este
omotetia de centru P ș i raport kk’. Implicit compunerea a dou ă omotetii de acela și centru este
operație comutativă.
2. Omotetia de centru P ș i raport k nenul este inversabil ă, inversa ei fiind omotetia de
acela și centru P și raport k-1.
3. Mulțimea omotetiilor de acela și centru formeaza grup comutativ în raport cu opera ția de
compunere a transform ărilor.
4. Raportul distan țelor dintre dou ă puncte și dintre omoteticele lor prin omotetia de raport k
nenul este constant și egal cu |k|-1. În consecin ța omo tetiile de raport k ≠±1 nu sunt izometrii.

Teorema de compunere a omotetiilor de centre diferite : Compunerea omotetiilor H D,k și HC,k
este H E,hk dacă hk ≠ 1 (unde E este determinat de rela ția (1-hk)∙DE⃗⃗⃗⃗⃗ =h(1−k)∙DC⃗⃗⃗⃗⃗ ) și
respectiv o transla ție dac ă hk = 1.
Demonstra ție: Dacă punctele C și D au afixele c și d atunci, din rela ția (1) avem
z’ = (H D,h o H C,k)(z) =H D,h(kz+(1 -k)∙c) = h∙(kz+(1 -k)∙c) + (1 -h)∙d = hkz + h∙(1 -k)∙c +(1 -h)∙d .
Dacă hk = 1 formula anterioar ă devine z’ = z + (h -1)∙c +(1 -h)∙d = z + (h -1)(c-d) și atunci
HD,h o H C,k este transla ția de vector de afix (h -1)∙(c-d).
Dacă hk ≠ 1, not ăm cu e numarul complex
h(1−k)
1−hkc+ 1−h
1−hkd
și atunci formula anterioar ă devine z’ = hkz + (1 -hk)∙e = H E,hk unde E are afixul e.
Observ ând că
1−h
1−hk=1−h(1−k)
1−hk
egalitatea care defineș te pe e devine
(e−d)= h(1−k)
1−hk (c−d)

adică DE⃗⃗⃗⃗⃗ =h(1−k)
1−hk DC⃗⃗⃗⃗⃗ deci egalitatea din enun țul teoremei .

46
Teorema de compunere a omotetiilor cu transla ții: Fie H C,k o omotetie cu k ≠ 1 si Tv⃗⃗ o
transla ție . Daca D și E sunt puncte astfel încât (1−k)∙CD⃗⃗⃗⃗⃗ =v⃗ ,(1−k)∙CE⃗⃗⃗⃗ =k∙v⃗ , atunci Tv⃗⃗
o H C,k = H D,k și HC,k o Tv⃗⃗ =H E,k .
Demonstra ție: Fie u num ărul complex av ând imaginea geometric ă v⃗ . Fie c, d și e afixele
punctelor C, D și respectiv E. Atunci
u = (1-k)∙(d -c)
e = (1 -k)∙(e-c)
(Tv⃗⃗ o H C,k) (z) = Tv⃗⃗ [kz + (1 -k)∙c] = kz + (1 -k)∙c + u = kz + (1 -k)∙d = H D,k(z).
(HC,k o Tv⃗⃗ )(z) = H C,k (z + u) =kz +ku + (1 -k)∙c = kz +(1 -k)∙e =H E,k (z).

V.8.5. Rotatia
Defini ție. Se nume ște rota ție de centru O și unghi t transformarea geometric ă rO,t: 𝒫⟶𝒫
rO,t(M)=M’ , M’ verific ând rela țiile OM=OM’ și m(MOM′)̂ =t.
Teorem ă: Fie reperul cartezian xOy. Ecua țiile rota ției de centru O și unghi t care duce
punctul M(x,y) î n punctul M’(x’,y’) sunt date de formulele
{x′=xcost−ysint
y′=xsint+ycost
Legătura cu numerele complexe : În planul complex consider ăm punctul M de afix z . Fie a ∈
ℂ, |a|=1, deci a=cos t +i sin t. Dac ă z=r (cos s +isin s) atunci z’ = az = (cos t +i sin t) r (cos s
+isin s) = r [cos(t+s) +i sin(t+s)] , deci punctul d e afix z’ se ob ține din punctul de afix z prin
rotirea acestuia în jurul originii cu un unghi de m ăsură t. În consecin ță putem defini rota ția de
centru O și unghi t ca fiind func ția rO,t :ℂ⟶ℂ , rO,t(z)=az unde a=cos t + i sin t ∈ℂ.
În cazul general , putem defini rota ția de centru C(c) și unghi t ca fiind aplica ția
rC,t :ℂ⟶ℂ , ce verific ă egalitatea r C,t(z) – c = (z -c)∙a
Deci r C,t(z) = za + (1 -a)∙c unde a=cos t +i sin t. a
Teorem ă: Rota ția are urm ătoarele propriet ăți;
1. Rota ția este o izometrie și conservă unghiurile
2. Compunerea a dou ă rotații de acela și centru și unghiuri t și respectiv s este tot o rota ție.
Mai exact avem rO,t o rO,s = rO,t+s
3. rO,t este transformare inversabil ă și (rO,t)-1= rO,-t
4. rO,o este aplica ția identic ă a planului.
5. Mulțimea rotaț iilor de acela și centru formeaz ă în raport cu opera ția de compunere un
grup comutativ.

V.8.6. Similitudinea
Defini ție: Se nume ște similitudine de centru C și de raport m = k∙(cos t +isin t) , not ată
SC,m compunerea di ntre omotetia de centru C și de raport k și rota ția de centru C și de argument
t. Deci S C,m = H C,k o R C,t . În continuare voi nota a(t) =cos t +i sin t și cu c afixul punctului C.
Folosind formulele de la omotetie și de la rota ție avem
SC,m(z) = (H C,k o R C,t)(z) = H C,k[z∙a(t) + c∙(1 -a(t))] = k∙[z ∙a(t) + c (1 -a(t))]
Deci S C,m(z)= m∙z +(1 -m)∙c .

47
Se observ ă că (RC,t o H C,k)(z) = R C,t [kz + (1 -k)∙c] = c + k∙(z -k)∙a(t) = c+m∙(z -c) = m∙z
+(1-m)∙c = S C,m(z) . Deci ordinea în care compunem omotetia și rota ția pentru a ob ține
similitudinea este arbitrar ă, dupa cum se poate vedea și din diagrama următoare.

Dacă t = 0 similitudinea se transform ă într-o omotetie (lipse ște rota ția) iar dac ă k=1 se
transform ă într-o rota ție (lipse ște omotetia).

Teorem ă (propriet ăți ale similitudinilor)
1. O similitudine de raport m coincide cu transformare a identic ă dacă si numai dac ă avem
m=1.
2. O similitudine diferit ă de transformarea identic ă admite un singur punct fix și anume
centrul.
3. Similitudinea de raport m amplific ă distan țele prin |m|, adic ă |S(z)-S(z’)| = |m|∙|z -z’| .
Deci
argS(z)−S(z′)
z−z′=t+2kπ
4. Imaginea prin similitudine a unui segment, semidreapt ă, dreapt ă, cerc este respectiv
segment, semidreapt ă, dreapt ă, cerc .
5. Prin compunerea a dou ă similitudini de acela și centru se ob ține o similitudine de acela și
centru. Mai exact S C,m o S C,n = S C,m∙n . Astfel coresponden ța de la numere complexe la
similitudini de un anumit centru C face s ă corespund ă opera ției de înmul țire a numerelor
complexe, opera ția de compunere a transform ărilor geometrice și ofer ă astfel interpretarea
geometric ă a opera ției de înmul țire pe ℂ.

Teorema de determinare a similitudinii : Pentru orice patru puncte A,B,A’ ș i repectiv B’
necoliniare și care satisfac relaț iile A ≠ B si A’ ≠ B’ exist ă o singur ă similitudine S astfel încât
S(A) = A’ sau S(B) = B’ sau o singură translaț ie T astfel încât T(A) = A’ si T(B) = B’ .
Demonstra ție:
În planul complex consider ăm A(a), A’(a’), B(b) și B’(b’) verific ând condi țiile din
teorem ă. Aceasta cere existen ța și unicitatea unui cuplu (C,m) astfel încât
a’ = m∙a + (1 -m)c
b’ = m∙b + (1 -m)c. *C H(Z)
Z(z) S(Z)
R(Z)

48
Scăzând aceste rela ții avem (a’ -b’) = m∙(a -b).
Dacă m = 1 atunci (a’ -a) = (b’ -b) și obținem astfel transla ția de vector v⃗ (a’-a).
Dacă m ≠ 1 atunci exist ă un unic punct C de afix c determinat de
c=AB′−A′b
(1−m)(a−b)=AB′−A′b
(a−a′)−(b−b′)
astfel încât avem asigurat ă existen ța și unicitatea cuplului (C,m) c ăutat.

Teorem ă (compunerea similitudinilor de centre diferite). Fie D(d) si C(c) . Compunerea
similitudinilor S D,n si S C,m este
i) SD,n o S C,m = Tv⃗⃗ unde v⃗ (u), u = (n -1)(c-d) dac ă mn = 1.
ii) SD,n o S C,m = S E,mn dacă mn ≠ 1 cu E de afix e determinat de rela ția
e=n(1−m)c+(1−n)d
1−mn

V.9. Probleme de geometrie rezolvate cu ajutorul numerelor complexe

1. Problema :
a. Se dau dou ă numere complexe nenule
1z ,
2z astfel î ncât
2 1zz =
1z +
2z .Atunci exist ă
numă rul real

 C
* astfel încât
1z=
 z
2
b. Dacă
1z ,
2z,z
3

C
* cu
1z =
2z =
3z si z
2 =
23 1zz atunci
1z =
2z=z
3.
Interpretare geometrica: Dac ă
1z ,
2z,z
3 ar fi afixele a trei puncte din plan atunci b. poate fi
formulat astfel: Dacă trei puncte se afl ă pe un acela și cerc și unul din ele este mijlocul
segmentului determinat de celelalte dou ă atunci cele trei puncte coincid .
Rezolvare :
a. Fie z
1 =x
1+i y
1 și z
2=x
2+i y
2 Ridic ând la p ătrat rela ția din ipotez ă obținem:
2 1zz
2
=
1z
2 +
2z
2 +2
1z
2z Prin calcul direct se ob ține rela ția (x
1 y
2- x
2 y
1)
2=0
Deci x
1 y
2= x
2 y
1. Dac ă x
2=0
 x
1=0. Deoarece z
1
 0 și z
2
 0 avem c ă și y
1
 0 , y
2
 0
și alegem
 =
21
yy . Analog dac ă y
2=0
 y
1=0 ș alegem
 =
21
xx
Altfel avem
21
xx =
21
yy =

 R
 x
1=
x
2 si y
1 =
y
2

1z =
z
2
b. Din ipoteză avem
1z + z
3=2 z
2

3 1z z =2
2z =
1z +
3z
Conform cu 1)


 R
*astfel încât
1z=
z
3

1z =

3z

 =1

 =1 sau
 =-1.
Dacă
=-1

1z =-z
3

1z +z
3=0
 z
2=0 (absurd)
Dacă
=1

1z =z
3
 z
2=
1z=z
3 .

49
2. Fie punctele A,B,C,D de afixe a,b,c și respectiv d. S ă se arate c ă patrulat erul ABCD este
inscriptibil dacă și numai dac ă arg(d−a
b−a:d−c
b−c)=π.
Rezolvare: Se știe că ABCD este inscriptibil dac ă și numai dac ă
m[∡(AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗ )]+m[∡(CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB⃗⃗⃗⃗⃗ )]=π

Avem
m[∡(AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD⃗⃗⃗⃗⃗ )]=argd−a
b−a , m[∡(CD⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB⃗⃗⃗⃗⃗ )]=argb−c
d−c
argd−a
b−a+argb−c
d−c=argd−a
b−a−argd−c
c−c=arg(d−a
b−a:d−c
b−c)
Deci
arg(d−a
b−a:d−c
b−c)=π

3. Fie punctele A,B,C și a,b,c afixele corespunz ătoare. S ă se arate c ă aria triunghiului ABC
se poate exprima sub forma
Aria=±|a−b|2
2∙Imc−a
b−a

Rezolvare: Se știe că
Aria=AB∙AC∙sin(AB⃗⃗⃗⃗⃗ .AC⃗⃗⃗⃗⃗ )
2

Avem AB=|b -a|, AC=|c -a| și
sin(AB⃗⃗⃗⃗⃗ .AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=±sin(argc−a
b−a)=±Imc−a
b−a
|c−a
b−a|=±|b−a|
|c−a|∙Imc−a
b−a
Înlocuind î n formula ariei avem

Aria=|b−a|∙|c−a|∙(±|b−a|
|c−a|∙Imc−a
b−a)
2=±|a−b|2
2∙Imc−a
b−a

4. În planul complex î nzestrat cu un reper ortonormal (O,u⃗ ,v⃗ ), se consider ă punctele A,B,C
și D de afixe respectiv a= -2i, b=4 -2i, c=4+2i, d=1. Not ăm cu f aplica ția care la orice punct M din
planul complex, M de afix z și diferit de A asociaz ă punctul M’ de afix 𝑧′=𝑧−𝑐
𝑧−𝑎. Se cere:
a) Preciza ți natura triunghiului ABC
b) Determina ți imaginile lui B și C prin aplica ția f

50
c) Determina ți mul țimea E de puncte M de afix z asfel încât |z’|=1
d) Arătați că pentru orice num ăr complex z diferit de -2i avem rela ția (z’ -1)(z+2i)= -4-4i.
e) Arătați că pentru orice punct M diferit de A și a cărui imagine prin func ția f este
notat ă cu M’ avem rela țiile:
{𝑀′≠𝐷
𝐷𝑀′∙𝐴𝑀=4√2
𝑚(𝑢⃗ ,𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂)+𝑚(𝑢⃗ ,𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ̂)=5𝜋
4 (𝑚𝑜𝑑 2𝜋)

Rezolvare:

a) Avem:
Vectorul AB⃗⃗⃗⃗⃗ are afixul b -a = 4-2i+2i = 4. Deci AB⃗⃗⃗⃗⃗ are coordonatele (4,0) si AB = |b-a| = 4.
Vectorul BC⃗⃗⃗⃗⃗ are afixul c -b = 4+2i-4+2i = 4i. Deci AB⃗⃗⃗⃗⃗ are coordonatele (0,4) si BC = 4.
Deci AB = BC și triunghiul este isoscel.
Avem AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =4∙0+0∙4=0.
Deci AB⃗⃗⃗⃗⃗ și BC⃗⃗⃗⃗⃗ sunt ortogonali, iar triunghiul ABC este și dreptunghic. În concluzie
triunghiul ABC este dreptunghic isoscel.
b) Deoarece b = 4-2i, imaginea lui B prin f este punctul de afix z’ astfel încât
z′=b−c
b−a=4−2i−4−2i
4−2i+2i=−i
Deci imaginea prin funcția f a punctului B este punctul de afix –i.
Imaginea prin func ția f a punctului C este punctul de afix z’ astfel încât
z′=c−c
c−a=0
Deci imaginea punctului C este punctul O, originea reperului ortonormal.
c) Daca M are afixul z iar imaginea lui M prin aplica ția f este punctul de afix z’ atunci O 𝑣
𝑢⃗
A D C
B

51
M∈E⟺|z′|=1⟺|z−c
z−a|=1⟺|z−c|=|z−a| și z≠a
Deoarece |z -c| = CM și |z-a| = AM avem M∈E⟺CM=MA și M≠A. Cum m uțimea
punctelor echidistante de A și C este mediatoarea lui [AC] rezulta c ă E este mediatoarea
segmentului [AC].
d) Pentru o rice numar complex z diferit de -2i avem
z′−1=z−(4+2i)
z+2i−1=−4−4i
z+2i⟺(z′−1)(z+2i)=−4−4i,z≠−2i
e) Dacă z≠−2i atunci (z′−1)(z+2i)=−4(1+i), deci (z′−1)(z+2i)≠0. Rezult ă
că z′−1≠0⟹ z′≠d⇒M′≠D.
(z′−1)(z+2i)=−4−4i⟺{|(z′−1)(z+2i)|=|−4(1+i)|
arg(z′−1)(z+2i)=arg(−4(1+i))(mod 2π)
Num ărul -4(1+i) are partea real ă x = -4 și partea imaginar ă y = -4. Dac ă notăm cu r
modulul s ău și cu t argumentul s ău avem:
{ r=√x2+y2=√(−4)2+(−4)2=4√2
cost=x
r=−1
√2=−cosπ
4=cos(π+π
4)
sint=y
r=−1
√2=−sinπ
4=sin(π+π
4)
Deci t=5π
4 iar modulul este =4√2 .
Num ărul complex z’ -1 = z’-d este a fixul vectorului DM’⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , el av ând modulul DM’ și
argumentul m ∡(u⃗ ,DM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
Num ărul complex z+2i = z-a este afixul vectorului AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , el avâ nd mod ulul AM ș i are argumentul
m ∡(u⃗ ,DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ). Prin urmare
|(z′−1)(z+2i)|=|−4(1+i)|⟺DM′∙AM=4√2
arg(z′−1)(z+2i)=arg(−4(1+i))(mod 2π)⟺m ∡(u⃗ ,DM′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+m ∡(u⃗ ,DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
=5π
4(mod 2π)
Cu aceasta am demonstrat și punctul e).