I. Fokozati Dolgozat 2 [614266]

1
Tartalom
BEVEZETÉS ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 3
1. A MATEMATIKA OKTATÁSA AZ ELEMI OSZTÁLYOKBAN ………………………….. ……………………….. 6
1.1. A matematikai tanítás céljai és feladatai ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 7
1.2. Mit is lehet a matematikán szeretni? ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 10
1.2.3. Mit tehetünk, hogy megszerettessük a matematikát? ………………………….. ………………………….. …. 11
2. A GONDOLKODÁS ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 13
2.1. A gondolkodás fogalma ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………. 13
2.2. A gondolkodás sajátosságai ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………… 14
2.3. Gondolkodási műveletek ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 15
2.4. Gondolkodási stratégiák ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………….. 18
2.5. A kisiskolás gondolkodásának fejlődése ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 18
3. A PROBLÉMAMEGOLDÓ GONDOLKODÁS ………………………….. ………………………….. …………………….. 21
3.1. A probléma fogalma ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 21
3.2. A problémamegoldó gondolkodás fogalma ………………………….. ………………………….. ………………………. 23
3.3. A problémamegoldás lépései ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 25
3.4. A problémamegoldási fázisok ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 27
3.5. A problémamegoldás gátló és segítő tényezői ………………………….. ………………………….. …………………… 28
3.6. A kreativitás ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 30
3.7. A kreativitás faktorai ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 31
3.8. A kreatív személyiség jellemzői ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 33
3.9. Motiválás ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 34
4. A PROBLÉMAMEGOLDÓ GONDOLKODÁS FEJLESZTÉSE ………………………….. ……………………….. 36
4.1. A problémamegoldás fejlesztésére használt módszerek ………………………….. ………………………….. …….. 38
4.2. Az alkotó gondolkodás ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 39
4.3. Önálló feladatalkotás ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………………. 40
4.4. Az alkotó gondolkodás fejlesztését szolgáló eljárások ………………………….. ………………………….. ……….. 40
5. MÓDSZEREK, ELJÁRÁSOK AZ OKTATÁSI FOLYAMATBAN ………………………….. ……………………. 42
5.1. Módszerek, melyeket hatékonyan alkalmazhatunk a matematika órákon ………………………….. ………… 44
6. SZERVEZÉSI FORMÁK ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………… 53
6.1. A szerv ezési módok kiválasztása, alkalmazása ………………………….. ………………………….. …………………. 58
7. JÁTÉK A MATEMATIK A ÓRÁN ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 60
7.1. A játék fogalma ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….. 60
7.2. A didaktikai játék ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 60
8. A III . OSZTÁLYOS TANULÓK PROBLÉMAMEGOLDÓ GOND OLKODÁSÁNAK VIZSGÁLA TA
………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 63
8.1. A kutatás célja és feladatai, a kutatási probléma ………………………….. ………………………….. ……………… 63

2
8.2. A kutatás hipotézisei ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 64
8.3. Mintavétel és a kutatási terep ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 65
8.4. A kutatás menete ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 65
8.5. A kutatási stratégiák, módszerek, eszközök ………………………….. ………………………….. ……………………… 68
8.6. Az eredmények feldolgozása és értelmezése ………………………….. ………………………….. ……………………… 71
8.7. A p roblémamegoldó gondolkodás és a kreativitás vizsgálata ………………………….. …………………………. 80
10.2. Következtetések a hipotézisek mentén ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 84
ÖSSZEGZÉS ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………….. 86
FELHASZNÁLT IRODALOM ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 89
MELLÉKLETEK ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 91

3
BEVEZETÉS

Az iskola egyik fontos feladata, hogy a tanulókat felkészítse a mindennapi életben
felmerülő problémák meglátására, megtalálására , valamint ezek megoldására.Az oktatói
munkánk révén olyan kompetenciákat kell kialakítanunk, fejlesztenünk amelyek
felhasználásával a gyerekek sikeres felnőttekként állhatják meg a helyüket az életben. Az
egyénnek felnőttként rendelkeznie kell azzal a képességgel, hogy az ismeretei birtokában
tudjon a mindennapokban, otthon és a munkahelyen problémákat megolda ni, vagyis
különböző helyzetekben hatékonyan cselekedjen. Tehát a problémamegoldás alkalmazása
szükségszerűvé vált a jelenkori oktatói folyamat keretében.
A modern informatika világában információk végtelen halmazához bárki hozzáférhet,
de hogy ki hogyan t udja felhasználni ezeket az információkat egy problémahelyzet során, az
dönti el, hogy ki mennyire érvényesül az életben.
Az informatika gyors fejlődése eredményeként az emberiség új kihívásokkal
szembesül. Azt , hogy a jövőben milyen kihívásoknak kell eleg et tenniük tanulóinknak , nem
láthatjuk előre, így fel sem kész íthetjük őket rájuk. A tanulók a jövőben olyan munkaerő -piaci
helyzetbe kerülhetnek, amely nem várt feladatokkal szembesíti őket. A technológia újabb és
újabb vívmányai egyre jobban és egyre gyo rsabban változtatják meg a gyermekek életét, a
jövőbeli nemzedék munkalehetőségeit . Ehhez olyan kulcskompetenciák szükségesek,
amelyek támogatják az új ismeretek megszerzését, a gyors probléma -felismerést és megoldást
és még sok más kompetenciát felsorolha tnánk.
Pedagógusként fontos feladatunk, hogy gyerekeinkben ezeket a boldogulásukhoz
leginkább szükséges készségeket fejlesszük. Ezért gondosan szemügyre kell vennünk
társadalmunk gazdasági és szociális viszonyait, hogy amennyire lehetséges megítélhessük,
tanítványainknak feltételezhetően milyen kompetenciákra lesz szükségük, illetve melyek
azok, amelyekkel még nem rendelkeznek, amelyeket még ki kell alakítanunk.
A problémamegoldó gondolkodást több tantárgy keretén belül fejleszthetjük, de
véleményem szerin t a matematika oktatás keretén belül van rá több és változatosabb
lehetőség ünk.
A matematikai kompetenciák egyik legfontosabb eleme a problémamegoldás, ezért a
matematika tanórák egyik legfontosabb feladatának tartom a problémamegoldó gondolkodás
fejleszté sét.
A mindennapi munkám során, a matematikai oktatásban gyakran tapasztalom, hogy a

4
kisiskolás gyerekek nehézkesen találják fel magukat a problémahelyzetekben, szöveges
feladatok megoldásában, szituációs helyzetekben bizonytalanok.
Az a kérdés foglalkoztatott, hogy hogyan járulhatok hozzá leghatékonyabban a
tanulók matematikai ismereteinek a gazdagításához, kamatoztatásához, a matematikai
gondolkodásuk , problémamegoldó képességük fejlesztéséhez és hogy hogyan tehetem
színesebbé, érdeke sebbé, izgalmasabbá, változatosabbá és legfőképpen hatékonyabbá a
tanórákat, és mindezt úgy, hogy közben egyre több tanuló kedvelje meg a matematikát.
Legfontosabb feladatunk, hogy olyan helyzeteket biztosítsunk a gyermek számára,
ahol matematikai tapaszta latokat szerezhetnek, ahol felfedezhetnek. A matematika tanítás
sikeressége szempontjából nagyon fontos a motiváció, a „kitaláltam”, „én is tudom” élmény
biztosítása. Ha mindezeket szem előtt tartjuk, akkor lehetőséget adunk a gyermekeknek, hogy
saját magu k fedezzék fel a problémát, és hogy maguk keressék meg a megoldásokat is. Így
aktívan részt vehetnek az elsajátítás folyamatában. Ezzel eleget teszünk az oktatás egyik
legfontosabb alapelvének, az aktív és tudatos elsajátítás alapelvének.
Fontosnak tartom azt is, hogy mindezeket változatos módszerekkel, eljárásokkal és
eszközökkel valósítsam meg, hogy a gyermekekkel megszerettessem a matematikát és
sikerüljön fenntartanom a matematika iránti megfelelő motivációt.
A problémamegoldó gondolkodás fejlesztésére alkalmazott gyakorlatok, feladatok
során a gyerekek összefüggéseket fedezhetnek fel a valós élet és a számukra elvont
matematika világa között, valamint ezek sikeres megoldása örömet, sikerélményt,
magabiztosságot vált ki a gyermekekből, nő az önbizalmuk. Az átélt pozitív élmények által
lehetőség nyílik a matematika tantárgy megkedvelésére és így szívesebben végzik a tantárgy
egyéb kompetenciát fejlesztő feladatait is.
Ha megfelelő mennyiségű és típusú feladatot, játékot alkalmazunk, különböző
módszereken keresztül az ügyesebb gyerekek, már nem csak egy helyes válaszadásra fognak
törekedni, képesek lesznek kutatni és feltárni más lehetséges válaszokat vagy képesek lesznek
ötletesebb megoldásokra, könnyedséggel fognak visszaemlékezni összefüggésekre, kialaku l a
problémák iránti érzékenység ük. Ezek nek a tulajdonságok nak a kialakításával már meg is
teremtettük a kreativitás alappilléreit, ami a sikeres élet egyik elengedhetetlen eszköze.
Napjainkban a tankönyvek nem tartalmaznak elég változatos feladatmennyiséget , kis
mennyiségben tartalmazzák a tanulókat érdeklő, mindennapjaikhoz tartozó feladatokat, hiszen
ezek válto zhatn ak, számos tényezőtől függhetnek. Fontos, hogy a tanulók a hétköznapi
életükhöz kapcsolódó feladatot fogalmazzanak meg és eze ket meg is oldják. Ezeknek a
helyzeteknek a megteremtése a pedagógusok egyik fontos feladata.

5
Konkrét hétköznapi feladatok, problémák szemléltetésével könnyebben és
hatékonyabban meg lehet tanítani a kérdésfeltevést, és a matematikai tartalmakat. A
pedagóg usnak ismernie kell tanulóit, azok érdeklődési körét, képességeit és azokhoz mért
helyzeteket kell teremtenie, megfelelő feladatokat kell kiválasztania.
Olyan feladatok, problémahelyzetek megteremtése a cél, amelyekkel a kisgyermek
természetes kíváncsiságá t nyitottságát, felfedező képességét, kreativitását aktivizáljuk. A
felfedeztető tanítással, a tanulói kérdések ösztönzésével, a problémaalkotás tanításával ezek a
képességek erősíthetők, a kérdések megfogalmazása, problémák keresése tudatossá tehető.
A k utatás során problémamegoldó gondolkodás fejlesztése érdekében használt
módszerek nek, eljárások nak, játékok nak, különböző szervezési formáknak a tanulók értelmi
képességeire, motivációira, készségeire gyakorolt hatását vizsgáltam .
Dolgozatomban ezeket a go ndolatokat fejtem ki nyolc fejezetben. Szeretném feltárni
azokat a lehetőségeket, módszereket,eljárásokat , amelyekkel megkedveltethetjük a
matematikát és hatékonyan fejleszthetjük a problémamegoldó gondolkodást.
Nagy hangsúlyt fektettem a problémaalkotásra is, hiszen a problémamegoldó
gondolkodás tudatosságát nagymértékben erősíti.
A nyolcadik fejezet a gyakorlati részt tartalmazza, amelyben bemutatom, kielemzem ,
végül pedig kiértékelem a kutatásom eredményeit. A kutatásom során azt vizsgálom, hogy az
alkalmazott módszerek, játékok, különböző szervezési formák, jól megválasztott feladatok
milyen hatással vannak a tanulók matematikai teljesítményeire, problémamegold ó képességük
fejlődésére, kreativitásukra, illetve sikerül -e megkedveltetni a matematikát.

6
1. A MATEMATIKA OKTATÁSA AZ ELEMI OSZTÁLYOKBAN

„Matematikával foglalkozni tehát nem más, mint a világot, amelyben élünk,
gondolkodásunk tükrében szemlélni és tanulmányozni: a matematika a való világról készített
térkép.” (Rényi Alfréd, 1966 . 53. o.)
A matematika nem csak egy tantárgy, hanem a mindennapi életünk része, annak a
világnak a tükörképe amelyikben élünk.
Az elemi matematikai o ktatás keretében egyrészt gondos kodnunk kell az eddig
meglévő, megszerzett ismeretek, jártasságok, kompetenciák tervszerű továbbfejlesztéséről,
másrészt új, szilárd ismeretek nyújtásával a továbbhaladáshoz szükséges alapok biztosításáról.
A matematikát úgy kell oktatnunk, hogy azt az életben is használni lehessen. Ha ilyen módon
valósul meg az oktatás a gyermek, aki érti, hogy miért éppen egy adott matematikai fogalmat
használu nk, már előrelépett egy jelentőségteljes szintre. Ezek a gyermekek ugyanis úgy
gondolják, hogy azért kell matematikát tanulniuk, mert felnőtt ko rukban szükségük lesz rá,
nem pusztán azért, mert a tanítója azt mondta, hogy a matematika tanulása fontos.
A magyarázatok során fontos szem előtt tartanunk, hogy a magyarázat tartalma és a
valóság között létrejöjjön a kapcsolat. A tanulók el kell jussanak arra a felismerésre, hogy a
matematika a mindennapi élet eszköze.
Az tanítási óra menete és a kiválasztott feladatok nagy mértékben befolyásolják a
tanulók eredményeit és a matematikához való viszonyukat. A különböző témakörök
tanításánál, ha a környező, gyermeki világhoz közel álló világból vesszük a problémákat,
felkelthetjük az érdeklődésüket , ezáltal motiválva őket a megoldásra.
Minden témakörben a problémahelyzeteket érdemes körüljárni, megvizsgálni sok
szemszögből, hozzá kell kapcsolni a tanultakhoz, be kell illeszteni a rendbe. A megértés után
sok érdekes feladatsegítségével gyakoroltathatunk, végül olyan játékot ajánlott alkalmazni a
matematikai tartalommal kapcsolatban, amellyel szívesen foglalkoznak és észre sem veszik,
hogy gyakorolnak. (Fábosné, 1999)
A matematika tanítása ma világszerte gyors változáson megy keresztül, gyorsan
fejlődik, ami egy részt a számítógépek és az internet elterjedésének a következménye. Ez a
gyors fejlődés új igényeket vet fel a matematika tananyagával és az alkalmazott m ódszerekkel
szemben. Az új módszereket, feladatokat úgy kell alkalmazzuk, hogy megőrizzük a
folytonosságot, és ne dobjuk ki a hagyományos módszerekből azt, ami értékes.

7
1.1. A matematikai tanítás c éljai és feladatai

„A matematika egyik legfőbb célja – ha hel yesen tanítják – az, hogy felkelti a tanulók
hitét az észben, bizalmat ébreszt benne a bizonyított dolgok igazsága és a bizonyítás értéke
iránt.” (Bertrand Russel ,1976 . 99.o.)
Dienes Zoltán szerint a matematika tanulás céljait tekintve két csoporto t határoz hatunk
meg. Az egyik csoportba sorolja a gazdasági érdekeket, a másikba pedig a felfedezés örömét.
A társadalom a gazdasági érdekekre fekteti a hangsúlyt, de szerinte, ha a figyelmünket arra
irányítanánk, hogy a tanulókkal megismertessük a matematikai gond olkodás örömét, ennek
szépségeit, akkor könny ebben megtudnánk kedveltetni ezt a tantárgyat , szívesebben
oldanának meg feladatokat (Dienes, 1999).
A matematikai nevelés meghatározó szerepet tölt be a gyermekek képességeinek
fejlesztésében. A logikus gondolk odás alakítása, a problémamegoldás fejlesztése mellett
fontos szerepe van az érzelmi és az akarati tulajdonságok alakításának is.
E feladatokon kívül egy másik igen fontos feladat, hogy a gyerek intellektuális
érzelmeit is fejlesszük, mert , ha építeni tudu nk a gyermekek kíváncsiságára, érdeklődésére,
akkor ez egyre inkább tartós személyiségjeggyé válik. A fölfedezés, a tudás öröme fokozza a
gyermek akaratát, önbizalmát, kitartóbbá válik a feladatok megoldásában, és ez által erősödik
az önfegyelme is.
A matematikai tanítás kapcsán a tanterv a következő alapkompetenciák fejlesztését,
kialakítását írja elő:
1. A közvetlen környezet összefüggéseinek / törvényszerűségeinek felismerése
2. Matematikai műveletek végzése számokkal
3. A közvetlen környezetben t alálható tárgyak mértani jellemzőinek felismerése
4. Szabványos mérőeszközök alkalmazása mérések és becslések során
5. Mindennapi élethelyzetekhez kapcsolódó feladatok megoldása
(Ministerul Educației Naționale , 2014 )
A matematika tanítás célja a tanulók bevezetése a való életben előforduló mennyiségi,
mértani, térbeli viszonyainak tudományába. Az oktatói munkánk során figyelnünk kell arra,
hogy a tanórán végzett tevékenységek teremtsék meg a feltételt a környező valóság formáival
és mennyiségi viszonyaival kapcsolatos tapasztalatszerzésre.
Alkalmassá kell tennünk tanulóinkat arra, hogy megértsék, felfogják a körülöttük zajló
eseményeket, összefüggéseket, képessé kell tennünk őket a korszerű matematikai műveletek
alkalmazására. A cél olyan felnőtt generáció kinevelése, amely meglátja a matematikai

8
jelenségeket a mindennapi élet során, a matematikát kedveli, érti és hatékonyan alkalmazza.
A matematikai tanítás fontos feladata a következő képességek fejlesztése:
Emlékezés: bizonyos jelölések ismerete, szóhasználatok, algoritmus végrehajtás ára,
feladattípusok megoldás ára való emlékezés, felidézés .
Megértés: összefüggések felismerése, megkülönböztetés, állítások megértése, logikus
magyarázat követése, átfogalmazás
Kons trukció: probléma átlátása, megfogalmazása, becslések, sejtések
megfogalmazása
Ítélőképesség, kritikai gondolkodás : az állítások valóságtartalmának megítélése,
igaz- hamis voltának eldöntése, annak megítélése, hogy egy feladat tartalmaz -e fölösleges
adatok at, a megoldások megfelelnek -e a feltételeknek.
Motiváltság – a matematika iránti érdeklődés, mint tudománynak az értékelése, belső
kíváncsiság, hajtóerő a problémák megoldására.
A matematika, mint tantárgy a személyiségfejlesztés egyik fontos eszköze. Ált alános
képességeket, tulajdonságokat, jellemvonásokat fejleszt, mint például: önálló tanulás,
önellenőrzés képessége, találékonyság, rugalmasság, pontosság, kitartás, kötelességtudat,
felelősségvállalás, a munka szeretete, önbizalom, önismeret, akaraterő, szóbeli és írásbeli
kifejezőképesség, mások mondanivalójának megértése és mérlegelése, együttműködés.
A matematikai oktatás legfontosabb feladata a logikus gondolkodás fejlesztése.
A gondolkodás lehetővé teszi a valóságból szerzett tapasztalatok rendszere zését és
kapcsolatainak felismerését. A kisiskolás gondolkodásának alapját a megismerő tevékenysége
alatt szerzett tapasztalat képezi , vagyis a körülötte lévő tárgyakról, személyekről,
eseményekről, tevékenységekről való észlelése . Egy probléma megjelenése kelti életre,
melynek megoldása érdekében használja a tapasztalatait, ismereteit.
A gondolkodást fejlesztő feladatokat mindig a tanulók gondolkodási szintjéhez kell
igazítanunk. A fejlesztést érdekes játékokkal, módszerekkel, kooperatív játékokkal, a
szám ukra érdekes számítógépes feladatokkal, problémahelyzetek teremtésével kell
biztosítanunk. Úgy tudjuk a leghatékonyabban fejleszteni a tanulók gondolkodását, ha olyan
helyzeteket teremtünk, amelyek kereső, felfedező, alkotó tevékenységre ösztönöznek . A
helyes megoldásokat a pedagógusnak meg kell erősítenie, hogy a sikerélményt biztosítsa a
további eredményes tevékenység érdekében.
A dicséret hatására az ismeretek, amelyek a megoldást segítették, tartóssá válnak.
Megkedveli a tanuló a matematikát, örömét lel i a feladatmegoldásban, ha mi is
örülünk problémamegoldó tevékenységének. (Olosz Etelka –Olosz József , 200 0)

9
Szendrei Julianna (2005) a fent felsoroltak mellett még számos szerepet megemlít,
amelyeket az iskolai matematika tanításnak be kell töltenie. Ilyen az emlékezet működésének
serkentése, a gondolkodás iránti érdeklődés kialakítása, a bizonyítás iránti vágy felkeltése .
Nem utolsó sorban fontos feladata a pedagógusnak, hogy felkeltse a tanulók k íváncsiságát ,
valamint, hogy megtanítsa a tanulókat a kérdezés művészetére.
A matematika órák fontos eszköze kell legyen a kérdezés, a tanulásban, tanításban
egyaránt, hiszen a kérdések által ki alakult viták segítenek a megér tésben, lehetővé teszi a
gondolataink összerendeződését, érvelésre serkentenek.
Az is kolai matematikatanítás feladatait Szendrei (2005) fogalma zta meg részletesen.
Szerinte a matematika szolgálja az emberi kulturális örökség átadását, hozzájárul az á ltalános
műveltség kialakulásához. Nem merev ismeretrendszert közvetít, hanem egy
gondolkodásmód elsajátítását biztosító megismerési tevékenység.
Az iskolai matematikai oktatás keretén belül az egyénnek matematikai műveltségre
kell szer ettetnie és megfelelő tanítási keretek megteremtése által lehetővé kell tennünk, hogy
megtapasztalhass ák a matematikai tevékenységet, mint, a „gondolkodás örömének
forrását”.Meg kell tapasztalniuk a mintákban, szerkezetekben fellelhető rendet és
esztétikumot , valamint segítenünk kell őket, hogy megéljék a matematikát, mint alkotó
tevékenységet. Tudatosítan unk kell tanítványainkban a matematika tantárgy fontosságát,
amely más tantárgyak segítője is.
Ezeket a szerepeket úgy kell bemutatnunk, megéreztetnünk a tanulókkal, hogy közben
tudatosodjon bennük, hogy a matematika a mindennapi élet eszköze. A felsorolta k mellett az
elemi oktatás során a tanulóknak el kell sajátítaniuk a matematikai fogalmakat és képessé kell
tenni őket azok alkalmazására. Motiválnunk kell őket a felfedezésre, kutatásra ezáltal
fejlesztve a feladatmegoldó képességüket. Figyelmet kell ford ítanunk a kommunikációs
képességek kialakítására, matematikai nyelvezet használatára, ennek elsajátítására.
Nem utolsó sorban feladatunk a matematikatanulás és a matematika változatos
alkalmazása iránti érdeklőd és és motiváció kialakítása. (Ro șu, 2006. 10. o)
„Vannak olyan órák, ahol a cél az elmélyült önálló munka, a gyakorlás, és vannak
olyanok, ahol együttgondolkodva meg kell látnunk a szabályosságot, a rendet, a szépet”
(Fáboshné, 1999. 121. o.)

10

1.2. Mit is lehet a matematikán szeretni?

„Az erőteljes szellemi munka ugyanolyan jó dolog, mint egy erős teniszjátszma. Ha
valaki egyszer megízleli a matematika örömét, nem fogja egykönnyen elfelejteni. ”
Pólya György
„Azoknak, akik nem ismerik a matematikát, nehézséget okoz keresztüljutni a szépség
valódi érzé séhez, a legmélyebb szépséghez, a ter mészethez. (…) Ha a természetről akarsz
tanulni, méltányolni akarod a természetet, ahhoz szükség van arra, hogy értsd a nyelvét, amin
szól ho zzád.” (Richard Feynman)
Az oktatói munkám során gyakran tapasztaltam, hogy f elnőttek , tanulók egyaránt
elborzadnak a matematika hallatán, állandó „nem tudom ”, „nem értem ” érzése kíséri a
matematikával kapcsolatos emlékeiket. A kijelentésem hallatán, hogy szeretem a
matematikát, mindig értetlenül néztek rám.
Mit lehet a matematikán szeretni?
Szívesen old meg feladatokat az, aki már egyszer is átélte a fejtörés, latolgatás,
felfedezés, kutatás izgalmát. Egyesek azért kedvelik a matematikai feladatokat, mert ismernek
eljárásokat, jól bevált utakat, amelyek mindig biztosítják a helyes megoldást. Mások a
problémamegoldás folyamatában igazi nyomozóként, rejtvényfejtőként viselkednek , lelkesíti
őket, hogy megtalálják a feladatok adatai közti összefüggéseket. Örülnek, ha eltérő tárgyakat
bizonyos tulajdonságok alapján össze tudnak hasonlíta ni.(Szendrei , 2005 )
Az a személy, a kinek sikerül megoldania a problémát, átlátja az összefüggéseket,
szabadnak és kreatívnak érzi magát, kialakul az „én képes vagyok” érzésének öröme és
vágyik arra, hogy új kihívásoknak tegyen eleget, még többre legyen kép es.
Lehetőséget kell teremtenünk a tanulóknak, hogy átélhessék a gondolkodás örömét,
hagyjuk, fedezzék fel, hogy érdemes és izgalmas dolog játszani a gondolatokkal.
„Az igazi matematika (nem a számolási rutin) izgalmas érdekfeszítő szellemi kaland.”
Rényi Alfréd
Ha ily módon tanítjuk a matematikát és mi magunk is örömünket leljük benne, a
tanulóknak lehetőséget adunk , hogy megtapasztalhassák a rendet és az esztétikumot a
matematikában, átélni, hogy a matematika alkotótevékenység is egyben.

11
1.2.3. Mit tehetünk, hogy megszerettessük a matematikát?

A sikerélmény elérése érdekében, a feladatokat a tanulók képességeire kell szabni.
Olyan feladatokat kell kiválasztanunk a számukra, amelyek megoldására van esélyük. , hiszen
aki túl nehéz feladatot kap, az szorong, a kudarcot tapasztalja meg, aki pedig túl könnyűt, az
unatkozik.
Fontos, hogy a kihívás nagyságaarányban álljon az egyén cselekvő képességével. Meg
kell teremtenünk a megfelelő munkalégkört, hogy összpontosítani tudjanak . Ne sürgessük a
tanulókat , hagyjunk elegendő időt a problémában való elmélyüléséhez , megértéséhez,
megoldásához, ellenőrzéséhez.
A problémamegoldás sikerességének egyik fontos feltétele, hogy a tanulókban
meglegyen az önellenőrzés igénye és ennek képessége.
Egy matematika óra kere tében minden tanulót be kell vonni a munkába. Ez kiváltja a
tanulókban azt az érzést, hogy a közösség hasznos tagjai, erősödik énképük. Érdemes egy –
egy bonyolultabb feladatot részfeladatokra bontani, hogy többször átélhessék a „befejeztem”
érzés örömét.
A tanító munkája, reagálásai a különféle tanulási vagy értékelési helyzetekben nagyon
befolyásolja a tanulók viszonyulását az adott tantárgyhoz (Pl. szeretni fogja -e a matematikát ?)
Az igazi életbél vett problémák kelthetik fel elemi erővel az érdeklődést. Figyelembe
kell venni, hogy ezek a problémák i dőről időre aktualizálhatók, de el is évülhetnek. Az is
fontos, hogy a matematika a többi tantárggyal is koncentrációban legyen, hogy lássa a diák a
matematika és a tudomány, zene, művészet, testnevelés, egészs ég közti kapcsolatot. Ezt a célt
szolgálja a pedagógiában az interdiszciplinarit ás. Így látni fogják a tanulók , hogy a
matematika nem csak a matematika órán, hanem az életben napi szinten van jelen. Ahogy
fokozatosan megismertetjük velük, hogy a matematika a sport, az építés , az olvasás, a zene, a
gépek működése , a vásárlás vagy akár a művészeti alkotások készítésével mind összefügg,
úgy fogja őket egyre jobban érdekelni a matematika, és azt is lát ni fogják , hogy a valós
életben ezek szükséges ek.
Meg kell mutatnunk a, hogy a matematika a világon mindenhol jelen van, és sokkal
könnyebbé tesszük az életünket, ha ismerjük , alkalmazni tudjuk . Amint lehetővé tesszük
számukra, hogy lássák a matematikát a saját világukban, felfedezzék az ismereteik
fontosságát, hasznos problémamegoldó gondolkodásra késztetjük őket .
A pedagógus hozzáállása, a kreatív légkör megteremtése nagy mértékben befolyásolja
a tanulóknak a matematikához való viszonyulását. A gyerekek szívesebben dolgoznak, ha

12
közben bátorító megjegyzésekkel motiválják őket. Pl. „Ez érdekes ötlet. Mesélj róla! Milyen
jó, hogy egyesül ki tudod találni. Ez jó kérdés. Szerintem meg tudod csinálni. stb.” (Fisher,
1999.49 . o).
Az iskola feladata, hogy a tanulók magukkal hozott kreativitását, érdeklődését úgy
állíts a a megismerés, a tanulás szolgálatába, hogy minél kevesebbet veszítsenek a kezdeti
lendületükből. Erre nagyon jó eszköz a tanórákon alkalmazott játékosság, amely által a
tanulók a munkát játéknak élik meg, kedvük telik benne.

13
2. A GONDOLKODÁS

„A fogalmak elvonatkoztatása, szabályok alkalmazása és következtetések levonása, a
probléma megoldásának felfedezése, egy érv értékelése, egy tétel igazolása, az általánosítás,
dilemma feloldása egytől egyig olyan aktivitások, amelyeket gondolkodásnak nev ezünk.”
(Séra, 2001. 138. o.)
A gondolkodás az elme azon cselekedete, amelynek célja a megoldáskeresés
különböző problémákra. A gondolkodás ténye azt jelzi, hogy egy vagy több megoldatlan
probléma van jelen a gondolkodó tudatában.
Bizonyos értelmezések sz erint a gondolkodás az „agy nyelve”. Más értelmezésben
általában a magas szintű gondolkodási folyamatokat jelenti, míg szűkebb értelemben véve a
gondolkodási folyamatokat olyankor használjuk, amikor nem tudjuk, hogy hogyan jussunk el
a kiindulási helyzetbő l a célhelyzetbe. (Wikipedia)
A gondolkodás és a nyelv egymástól elválaszthatatlan. „A nyelvhasználat teszi
lehetővé számunkra a fogalmi gondolkodást, azt, hogy fogalmakkal, vagyis a tárgyak és
események kapcsolatának szimbólumaival tevékenykedjünk. A foga lmak elsajátítása nagyon
szorosan összefügg a nyelv és a beszéd fejlődésével.” (Séra , 2001 .141. o)
A gondolkodás során “belső hangokat” hallunk és “belső képeket” látunk.
Gondolkodás közben belül megfogalmazzuk gondolatainkat. Ez a “belső nyelv”, különbözi k a
hangosan kimondott, beszélt nyelvtől , tömörebb, sokszor nem is felel meg nyelvtani
szabályainknak. Az egyes következtetések közti “utat” sem mindig fogalmazzuk meg –
logikai műveletek eredményezte “ugrásokat” tapasztalhatunk.

2.1. A gondolkodás fogalma

„A gondolkodás az elme kritikai és kreatív funkcióját, az ítélőképességet és a
gondolatok létrehozását egyaránt jelenti.” (Robert Fisher,1999 . 16.o.)
A fogalmak elvonatkoztatása, szabályok alkalmazása és következtetések levonása, a
probléma megoldásának felf edezése, egy érv értékelése, egy tétel igazolása, az általánosítás,
dilemma feloldása egytől egyig olyan aktivitások, amelyeket gondolkodásnak nevezünk.”
(Séra , 2001 .138.o)
„A kognitív pszichológusok számára az emberi gondolkodás az információ
átalakításáv al új reprezentációt kialakító folyamat az ítélet, az elvonatkoztatás, a
következtetés és a problémamegoldás mentális jellemzőihez kapcsolódva.” (Séra , 2001 .138.

14
o.)
A gondolkodást a legmagasabb szintű megismerési folyamatként határozhatjuk meg,
jellegzete sen emberi tevékenység. A gondolkodás teszi lehetővé, hogy hatékonyan
alkalmazkodhassunk a külvilághoz, fontos szerepet játszik a viselkedésben és a külvi lág
megváltoztatásának fontos tényezője.
Az iskolai tanulásnak biztosítania kell az ismeretek elsaját ítása mellett az ismeretek
alkalmazásához szükséges gondolkodási műveletek elsajátítását. A gondolkodás és a tanulás
szorosan összefügg. A tanulás feltételezi a megértést és ezáltal számos gondolkodási művelet
alkalmazását. (Kürti, 1982)
Napjainkban egyre nagyobb hangsúly van a tanulás folyamatán, a gondolkodáson, a
vizsgálódáson és a problémamegoldáson. Ez az igény a megváltozott társadalmi elvárásokból
ered. Annyira felgyorsult a körülöttünk lévő világ, hogy nehéz felmérni, hogy milyen tudásra
lesz szük ség a jövőben. Ennek tudatában olyan képességek kialakítására kell törekednünk,
amelyek nélkülözhetetlenek az információ megszerzése, rendszerezése és felhasználása
szempontjából.
A tanulókat képessé kell tenni a gondolkodásra, lehetőséget kell teremteni a z
okoskodásra, meg kell tanítani, hogyan állítsák a tanulás szolgálatába az értelmüket.
Lehetőséget kell teremteni számukra, hogy vegyék ki a részüket a felfedezés közös
kalandjából, szavakba önthessék véleményeiket, saját gondolataikat. (Fisher,1999)
A go ndolkodást egy olyan tevékenységként értelmezhetjük, amelynek célja és
motivációja van. Robert Fisher szerint: „…minden emberi képesség forrása, az ember
fennmaradásának zá loga” (Fisher,1999 . 10.o)
Gondolkodás nélkül képtelenek lennénk problémáink megoldására,
megfogalmazására, megoldások megértésére.

2.2. A gondolkodás sajátosságai

„A kognitív pszichológusok számára az emberi gondolkodás az információ
átalakításával új reprezentációt kialakító folyamat az ítélet, az elvonatkoztatás, a
következtetés és a problémamegoldás mentális jellemzőihez kapcsolódva.” (Séra , 2001 .138.
o.)
Hayes (1996) szerint g ondolkodásunk alapját korábbi élményeink képezik, így ezeket
az élményeket tudatunknak állandó készenlétben kell tartania, mégpedig hozzáférhető
információk, emlékek formájában. Szükségünk van az élményekre, emlékekre, hiszen

15
„önmagában való gondolkodás” nem létezik, mindig kell lennie valaminek, amire gondolunk ,
ami gondolkodásunk tárgyát képezi.
A legmagasabb szintű megismerési (kognitív) folyamat a gondolko dás. A behaviorista
elmélet szerint, a gondolkodás maga a viselkedés. Kognitív pszichológusok szerint, a
gondolkodást a megismerő tevékenységek határozzák meg. A gondolkodás teszi lehetővé az
ember számára a beszéd, a fogalmak elsajátítását; a szabályok me gfogalmazását; a problémák
megoldását és a következések levonását.
A feladatmegoldó tevékenységben a tanuló számos értelmi képességét mozgósítjuk,
köztük a legfontosabbat, a maga bonyolult műveleteivel a gondolkodást.
A tanulók akkor érik el a legnagyobb e redményt a tanulásban, ha gondolkodásuk
fejlett és rendelkezik a gondolkodási műveletek alkalmazásának képességével. A
feladatmegoldási nehézségek sokszor a gondolkodási műveletek hiányosságában,
fejletlenségében keresendők. A hatékony oktatás érdekében sz ükséges ezek feltárása és
fejlesztése.
A gondolkodásnak két formája különböztethetjük meg: a deduktív és az induktív.
A gondolkodási műveletek gyakran együtt járnak, a feladat tartalmától, jellegétől
függően egymásra épülhetnek. A gondolkodás aktivitása, önállósága és tudatossága
szempontjából lehet asszociatív, megértő és problémamegoldó gondolkodás.
Az asszociatív gondolkodás jellemzője az, hogy nincs a gondolkodásnak előre kitűzött
célja. A gondolatok, képzetek, élmények különösebb irányítottság nélkül asszociálnak. A
megértő gondolkodás a dolgok lényegének és összefüggéseinek feltárása. A megértő
gondolkodás során valósul meg a dolgok lényegének kiemelése, dolgok besorolása a
megfelelő logikai osztályba, összefüggések feltárása.

2.3. Gondolkodási műveletek

A megismerés folyamatában, a problémamegoldások útján gondolkodási műveleteket
használunk, ezek segítségével jutunk el a megoldáshoz, ha már közvetlen tapasztalat útján ez
nem lehetséges.
Dr. Ceglédi (2011) rövid elemzéssel ismertette a főbb gondolkodási műveleteket.
1. Analízis – színtézis
Az ismereteket részeire bontjuk, e részeket önálló egészeknek fogjuk fel, elvégezzük
ezekkel a kívánt műveleteket, majd a szerzett ismereteket újra összerakjuk egy egésszé. Az
analízis nem választható el a szintézistől. A szöveges feladatok megoldásánál, kérdések

16
alapján részekre bontjuk a feladatot, s válaszolunk az egyes részek kérdéseire (analízis
végzünk), majd e részeket összerakjuk, hogy megkapjuk a megoldást. A megértésnél inkább
az analízis, a problémamegoldásnál pedig a szintézis van jelen, mint gondolkodási művelet.
2. Absztrahálás vagy absztrakció
A felismert általános vonások között a lényeges jegyek kiemelése.
Konkrét dolgoknak közös tulajdonságát emeljük ki, azaz egy elemből következtetünk
az azt tartalmazó halmazra. A matematikai fogalomalkotásban van fontos szerepe.
Ennek a gondolkodási műveletnek a hiánya miatt nem tudnak a tanulók
meghatározásokat megfogal mazni.
3. Konkretizálás
A halmazra jellemző tulajdonságot vonatkoztatjuk annak egy elemére
(konkretizálunk).
4. Általánosítás
Közös megegyező jegyek alapján összevonás, fölérendelt adat megtalálását értjük.
Általánosítás során egy halmazból az őt tartalmazó halmazra térünk át
5. Specializálás
Specializálás során valamely halmaz részhalmazára következtetünk.
6. Összehasonlítás
Olyan gondolkodási művelet, amelynek során Két vagy több dolog, illetve ezek
tulajdonságairól döntjük el, hogy megegyeznek -e, vagy különböznek egymástól.
7. Kiegészítés
Adott viszony ismeretében megtaláljuk az annak megfelelő másik tárgyat vagy
jelenséget.
Egy adott elemhez hozzá tudjuk rendelni a megfelelő elemet egy ismert kapcsolat al apján.
Például: bűvös négyzet, szabályjátékok, mondat -kiegészítések.
8. Rendezés
Adott elv alapján jelenségek, tárgyak csoportosítása, rendszerezése, osztályzása. Pl.
Egy halmazt meghatározott szempont szerint részhalmazaira, vagy elemeire bontunk.
9. Analóg ia
Az összefüggések felfogásán alapuló kiegészítést jelenti. Az analógia gondolkodási
művelet képessé teszi a tanulót arra, hogy korábban tanult algoritmusokat, tételeket,
definíciókat felismerve új helyzetben alkalmazza azokat, illetve egy problémát álta lánosítson,
vagy kiegészítsen, kiterjesszen.
A feladatmegoldások során, a hasonló megoldott feladatok után való kutatás egy

17
fontos mozzanat. Ez a hasonlóság lehet a feladat tartalmát illetően, de a megoldásban is
kereshetünk egyezéseket. A hasonló feladat megoldási módját alkalmazva könnyebben
boldogul a tanuló az új feladattal.
10. Összefüggések feltárása
Két vagy több halmaz, illetve azok elemei közötti kapcsolat megkeresése. A
matematikai feladatok (főleg szöveges és szerkesztési feladatok) megoldása elké pzelhetetlen e
gondolkodási művelet nélkül. Ha erre a műveletre nem képes a tanuló, feladatmegoldása
véletlenszerű, tudatosságtól mentes lesz.
Az összefüggések feltárása nem lehetséges az fent felsorolt gondolkodási műveletek
megléte nélkül.
11. Lényegkiemelés
Ez a gondolkodási művelet teszi lehetővé a szükséges adatok, tények, összefüggések
kiválasztását, a felesleges, lényegtelen, zavaró tényezők kizárását. Egy problémamegoldás
során többszörösen is alkalmazzuk ezt a gondolkodási műveletet.
12. Ítéletalkotás, döntés
Ez a gondolkodási művelet mind a megoldás megtervezésekor, mind a
problémahelyzet felismerésekor, a feladat megoldása utáni ellenőrzéskor nélkülözhetetlen.
13. Fogalomalkotás
Mint ismert, a matematikai fogalmak gondolati absztrakciók, és eg yben alapjai a
matematikai tevékenységnek, a problémák felismerésének, a matematikai gondolkodásnak
fontos alapjait képezik.
14. Bizonyítás
A matematik ai tanulás, problémamegoldás során a definíció – tétel – bizonyítás –
alkalmazás fázisok követik egymást. A f eltétel – állítás, az ok – okozat, a bizonyítási eljárás
algoritmusának felismerése, alkalmazása jelenti a bizonyítás lényegét. Az eredményes
problémamegoldó gondolkodás nem képzelhető el a bizonyítás nélkül.
15. Transzferálás
Egy adott ismeretnek más összefüg gésben történő alkalmazását, más
ismeretrendszerbe való beépítését jelenti. Az analógiás gondolkodáshoz hasonló. Külö nbség
az, hogy míg az analógiánál az egymáshoz viszonylag közeli ismeretrendszerek közti
kapcsolatot használjuk ki, addig a transzfernél az egymástól látszólag „messze lévő”
ismeretek közti kapcsolatokat tárjuk fel, és alkalmazzuk.
Ez utóbbi öt gondolkodási művelet különösen feltételezi a többi művelet meglétét, és
ezek összefonódott , bonyolult rendszerének alkalmazását, ezért ezeket többször ösen összetett

18
gondolkodási műveleteknek nevezzük. Akár a megértést, akár a problémamegoldást
vizsgáljuk, elmondhatjuk, hogy a gondolkodás fejlesztéséhez elengedhetetlen a gondolkodási
fázisok és a gondolkodási műveletek ismerete. A pedagógus akkor tudja a tanítványai logikus
gondolkodását hatékonyan fejleszteni, ha az itt felsorolt alapelveket tudatosan felhasználja a
tanórára való készülés során, illetve a tanórai munkájában. (Dr. Ceglédi, 2011 )
2.4. Gondolkodási stratégiák

A gondolkodási stratégiáknak két típusa van: a konvergens és a divergens
gondolkodás.
A konvergens (összetartó) gondolkodásmód esetén a problémamegoldó előre
beállítódik az ált ala elképzelt egyetlen megoldási út irányába.
A konvergens gondolkodást jellemzi a logikus következtetés, absztra kciós képesség,
szabályosságok felismerésének képessége. A feladat megoldása során összetartó, szűkítő
gondolkodásmód a meghatározó.
A divergens (széttartó) gondolkodásmód egy adott probléma megoldásának kezdetén
hasznos és célravezető, mert ez által az eg yén egyszerre több irányban próbálkozik, több
különböző szempontot vesz figyelembe a megoldás során
A divergens gondolkodás során előtérbe kerül a kreativitás, a gondolkodás
könnyedsége, folyékonysága, minél több ötlet felvetésének a lehetősége, új szempontok,
módszerek figyelembevétele, eredetiség, problémaérzék. A feladatok megoldásánál jellemző a
széttartó gondolkodás, többirányú gondolkodás, amely számos lehetőséget megvizsgál,
számba vesz, mérlegel.
A valóságban e két go ndolkodásmód nem egymástó l szorosan elhatárolva jelenik meg,
hanem rendszerint kiegészítik egymást. (Séra, 2001)

2.5. A kisiskolás gondolkodásának fejlődése

Kisiskolás kor Piaget felfogása értelmében a konkrét műveletek szakasza, amely
azokra a tárgyakra terjed ki, amelyekkel a gyerm ek közvetlenül kapcsolatba kerül. Ebben a
korban a kisiskolás gondolkodását a konkr étumok jellemzik, a dolgokat főleg globálisan
érzékelik. Hiányzik a feladatmegoldásaikból a felbontás – újraegyesítés kettős tevékenysége.
Kezdetben nem lát be több lehetség es alternatívát. (Ro șu, 2006 )
Ebben az életkori szakaszban a gyerekek gondolkodása fokozatosan veszít
„egocentrikus” jellegéből, változékony lesz, és reverzibilissé válik. Később a fejlődés

19
eredményeként képes egy helyzet több aspektusát is figyelembe venni, kezd kialakulni az
összefüggő kognitív séma, amely kezdetben tevékenységek sorozataiból áll. A konkrét
gondolkodás alapját képezi a logikus következtetések megfogalmazása, mint például az
osztályozás, soralkotás, tagonkénti megfeleltetés, az egyszerű vagy sorozatok közötti
megfeleltetés stb.
A problémamegoldó képesség fejlődésében jelentős változást hoz a konkrét
szakaszból a formális szakaszba való átlépés. A gyermek képessé válik a kombinatív
gondol kodásra, az összefüggések felismerésére, a lényeges információk kiemelésére.
A gondolkodás egyik fontos eleme a képzelet. A képzelet a régi emlékképek nyomán
új képeket hoz létre, oly módon, hogy az újakat a régi tapasztalatokhoz kapcsolja. Két
alapvető mű ködési formája van a reproduktív és az alkotó képzelet.
„Reproduktív képzeletről akkor beszélünk, midőn mások észleléseit, elképzeléseit
hallva, látva vagy olvasva, a magunk számára újra felépítjük. A reproduktív képzelet
működése annál eredményesebb, cél ravezetőbb, minél több ismerettel rendelkezik az egyén.
A fentiekből következik, hogy egyéni különbségek mutatkoznak a reproduktív képzelet
működésében.” (Geréb, 1981 .66-67. o.).
Az alkotó képzelet új , eredeti dolgok önálló létrehozását jelenti . Olyan lelk i
tevékenység et értünk ez alatt , amelynek során emlékképek ből önállóan eredeti, mások
számára is értékes mű jön létre. Az alkotó képzelet feltétele , hogy az egyén a gazdag
emlékezet tel, a valóság körülményeinek ismeret ével rendelkezzen. É lénk, szemléletes
képzetkapcsolódások és bizonyos fokú érzelmi gazdagság is kell jellemezze egyben . (Geréb,
1981)
A kisiskolás fantáziájára jellemző a változatos, a szokatlan, újszerű kombináció.
Ebben az életkorban a reproduktív képzelet fejlődik, melynek fontos eleme az a lkotó,
produktív fantázia. Ez elengedhetetlen része a sikeres tanulásnak. A képzeleti kép egyre
jobban megközelíti a valóságot 9 -10 éves korban . A kisiskolás ok gondolkodás uk, elemzéseik,
megfigyeléseik folyamán főként a tárgyak, jelenségek, szembetűnő, tulajdonságaira
támaszkodnak. Ismereteiket a közvetlen tapasztalat ok során szerzik és konkrét gondolkodási
műveletek segítségével rendezik struktúrákba. Fokozatosan jutnak el a lényeges jegyek
megismeréséig. (Kürti, 1982)
Egyes kutatók szerint 9 éves kor kö rül figyelték meg az alkotó tevékenység
átalakulásának kezdetét. Ez a változás elsősorban az előzetes tájékozódás átalakulásában
mutatkozik meg. A korábbi életkorra jellemző rövid áttekintést, tájékozódást alaposabb
előzetes elemzés váltja fel. Ez a képess ég a feladatmegoldásukat tervszerűvé teszi, megjelenik

20
az analízis és szintézis összerendeződése. A feladatmegoldás közben növekszik az
önállóságuk és fejlődik az újratájékozódás képessége, valamint a gondolkodás rugalmassága.
Megfigyelhető volt a kitartás növekedése, már nem kerülik ki a gondolkodtató problémákat.
A kisiskolás gondolkodásának fejlődése együtt jár az akaratuk jelentős fejlődésével.
(Salamon, 1983)

21
3. A PROBLÉMAMEGOLDÓ GONDOLKODÁS

3.1. A probléma fogalma

„Problémának nevezzük a szó legáltalánosabb értelmében azt a helyzetet, amelyben
bizonyos célt akarunk elérni, de a cél elérésének útja számunkra rejtve van.” (Dr. Lénárd
Ferenc)
Problémának nevezünk minden olyan kérdést, feladatot, amelyre a választ,a megoldást
nem tudjuk azonnal pontosan megtal álni, hanem csak közvetett úton, vagyis amikor egy adott
szituációból akarunk eljutni egy adott célállapotba, de nem tudjuk az odavezető utat , hanem
csak közvetett úton, azaz gondolkodási és logikai műveletek elvégzésével jutunk célhoz.
(Tuz son, 1996)
A megértő és problémamegoldó gondolkodást nem lehet mereven elhatárolni. A
problémamegoldás ismérve a kutató jelleg. A problémamegoldás, azaz a problémaalapú
gondolkodás, olyan kognitív folyamat, amely lehetővé teszi, hogy megtaláljuk a megoldás hoz
vezető utat.
Mindennapi életünkben gyakran találkozunk megoldást kívánó helyzetekkel. Ha a
megoldás előreláthatóan nehezebb lesz a szokásosnál, vagy már magát a feladatot is nehéz
áttekinteni, megérteni, akkor pedig problémáról szoktunk beszélni.
A pr oblémahelyzetek megoldásának eredményessége, zökkenőmentessége függ az
alkalmazott stratégiáktól . A megoldás során fontos tudnunk mit miért teszünk, ha ismeretlen
feladattal találkozunk, hogyan fogjunk hozzá, mire támaszkodjunk.
A megismerés, gondolkodás, problémamegoldás sok ezer éve foglalkoztatja az
emberiséget. A kérdéssel kezdetben a filozófusok, majd később a pszichológusok
foglalkoztak és foglalkoznak ma is. A feladatok, problémák megoldásának képessége,
eszközei a mai teljesítménykényszeres, állandó an változó, megújuló világban pedig
különösen felértékelődött. Életünk során sokféle megoldandó helyzettel, feladattal találjuk
szembe magunkat , magán -, és szakmai életünk során egyaránt és megoldásunk révén jutunk
előbbre az életben.
A legkézenfekvőbb pé ldák erre az iskola, a munkahely vagy a családi környezet
problémái. Egyes esetekben alapvető ismereteink azonnali (szinte gondolkodás nélküli)
felhasználásával megoldjuk a feladatot, más esetekben ismereteink, információink tárházának
átvizsgálásával vála sztjuk ki a megoldás módszerét. Találkozhatunk olyan feladattal is,
melynek megoldása új tudást, vagy meglévő ismereteink újszerű felhasználását igénylik.

22
Azt a szituációt, amelyben egy feladvány megoldásához előre tudjuk, hogy mely
korábbi ismereteinket, és azokat hogyan kell felhasználnunk, példamegoldásnak nevezzük.
Kifejezetten problémamegoldási szituációba általában ritkán kerülünk. Ekkor ugyanis
a helyzet megoldásához nem elég jelenlegi tudásunk , a feladat megoldásához részben vagy
egészen új ismeret ekre, új összefüggések feltárására van szükség.
A probléma meghatározásánál figyelni kell arra, hogy a probléma fogalmát nem
érdemes leszűkíteni azokra a problémákra, amelyeket még soha senki nem oldott meg. Bár az
oktatásban is találkozhatunk ilyen, minde ddig megoldatlan problémákkal, a probléma
fogalmát ennél szélesebb körben alkalmazzuk . A probléma szempontjából figyelembe kell
venni a problémamegoldó személyét, lehet olyan kérdés, feladat ami az egyik ember számára
könnyű rutinfeladat, másnak pedig súlyos nehézséget jelent.
Nehézséget jelent az olyan helyzet, amikor az egyén tudja, hogy a dolgok nem mennek
jól, nem látja a kimenetelét, és ez kellemetlenséget okoz neki. A rejtvénynek már le tisztult
formája és struktúrája van, és tartozik hozzá ügyes megoldás. A problémának ez a
meghatározása két szempontból is érdekes számunkra. Egyrészt magában rejti a
problémaalkotás folyamatát, amikor valamely problémaszituáció alapján matematikai
problém át fogalmazunk meg, másrészt problémamegoldás közben gyakran használjuk azt a
módszert, hogy feltesszük magunknak a kérdést, mi zavar bennünket a problémában, mi az a
nehézség, ami a problémát okozza. Az akadály leküzdésének útja a problémamegoldás
folyama ta.
Az a megállapítás, hogy egy probléma tényleg probléma -e függ a megoldótól, és
annak pillanatnyi állapotától. Elképzelhető ugyanis, hogy egy korábban ismeretlen megoldási
lépéseket kívánó problématípus tanulás, gyakorlás útján ismert feladattá válik. Ez alapján
nehézséget jelentene, hogy egy kitűzött problémáról a megoldó ismerete i nélkül nem tudnánk
eldönteni, hogy feladat vagy probléma .
A problémák osztályozását különböző szempontok alapján tehetjük meg. Pólya szerint
célszerű a megoldás típusa alapján elvégezni a csoportosítást. Euklid ész két fő típust
különböztet meg: a meghatározó és a bizonyító problémát. A meghatározó probléma célja a
feltételek, adatok alapján az ismeretlen megadása, míg a bizonyító probléma esetén egy
matematikai állítás igazságá t kell eldönteni és igazolni.
A matematikai problémák közül megkülönböztethetjük a rutinszerű és a nem
rutinszerű problémákat. Rutinszerű problémáról akkor beszélünk, ha a megoldó azonnal tudja,
hogyan hajtsa végre a megoldási eljárást. Szigorú értelemben véve ezek nem is problémák,
gyakran matematikai feladatként említjük őket. A megoldó szemszögéből kell nézni, az ő

23
szempontjából egy szöveges feladat lehet rutinszerű, míg egy másik pedig nem minősül
annak. (Pólya, 1977)
Meghatározó az is, hogy az iskolai feladatok gyakran egy -egy tudományterülethez,
tantárgyhoz, témakörhöz kötődnek, és a tanulóktól nem várják el, hogy ismereteiket
transzferálják. A gyakorlati életben előforduló problémák azonban több ismeretet igényelnek.
Hátráltathatja az is a tanulókat a problémamegoldás során, hogy olyan feladatokat kapnak az
iskolában, melyekben minden adatot fel kell használni, és általában annyi információt kapnak,
mint amennyi szükséges a megoldáshoz. Egy gyakorlati probléma szituációban azonban
előfordulhat, hogy j óval több információra van szükség, mint ami rendelkezésre áll, így nincs
is megoldása, vagy a sok rendelkezésre álló információ közül kell kiválasztani, ami szükséges
a megoldáshoz. Általában e gy problémahelyzet során az emlékezetünkre támaszkodunk,
hason ló helyzet után kutatunk.
Olyan problémákkal is találkozhatunk, amelyhez nincs előző tapasztalatunk. Az ilyen
problémák megoldása már kreatív alkotó gondolkodásunktól függ. A megoldás néha hirtelen
ugrik be, a hirtelen belátás, „aha” élményként , más esetbe n a probléma egyre sajátosabb
újragondolása , átszerkesztése jelenti a megoldást. (Séra ,2001 )

3.2. A problémamegoldó gondolkodás fogalma

A legtöbb ember számára a problémamegoldás azonos a gondolkodással. A
problémamegoldás során egy elérendő cél felé haladunk, de nincsenek (vagy csak kis részben
vannak) kész eszközeink ennek eléréséhez. Ha a probléma bonyolult, akkor a végcélt több,
kisebb részcélra kell bontanunk úgy, hogy minden egyes részcél elérése közelebb vigyen a
végcélhoz. A feladat bontását ad dig végezzük, amíg a kapott részcélok és elérésük módja
átláthatóvá nem válik.
A feladatok, problémák megoldása általában több lépésből, hosszabb -rövidebb
gondolkodási folyamatból áll. A gondolkodási tevékenységnek azt a részét,amely a
problémák észlelésé n, felfogásán, megfogalmazásán, jellemzésén, megoldásán keresztül az
eredmények ellenőrzéséig tart problémamegoldó gondolkodásnak nevezzük .
A problémamegoldó gondolkodásra való nevelésnek nagy szerepe van a tanulók
szellemi fejlődésében, logikus gondolkodásukra, a következtető és bizonyítógondolkodás
kialakításában és fejlesztésében. A tanulók megtanulják, hogyan kell figyelmüket
összpontosítani a tanultakra, megfigyelni a tényeket, összehasonlítani egymáshoz való
viszonyukat , illetve azokat egymá ssal szembeállítani.

24
Az órákon alkalmazott feladatok anyagot szolgáltatnak a tanulók matematikai
gondolkodásának fejlesztésére, az alapfogalmak tisztázására, ítéletük logikus
megfogalmazására és számolási készségüknek a gyakorlati életben való alkalmazásár a.
A problémamegoldásnak jelen kell lennie az egész matematika tanításban, állandó
gondolkodásra és a dolgok elképzelésére kell ösztönöznie a tanulókat.
Ahhoz, hogy a tanulók képesek legyenek bizonyos problémák, feladatok megoldására,
szükséges a jó felfog óképesség, ítélőképesség, figyelem, kitartás a nehézségek leküzdéséhez,
valamit képzelőtehetség, ezért a matematika tanítás fontos feladata ezen képességek
fejlesztése. A tanuló feladat -megoldási képességét nagymértékben befolyásolj a a
felkészültségi szint je, feladatmegoldásokban való jártassága, tapasztalata. A feladatmegoldás
folyamata megköveteli a gondolkodás erőfeszítéseit, alkotó tevékenységet igényel.
A feladatmegoldásba fektetet t munka, erőfeszítés nem mindig hozza meg az elvárt
sikert, de a tanulók at ösztönöznünk kell a további munkára, az újrakezdésre. Egy félbehagyott
faladat megoldásának újrakezdése a tanulók akaratának, kitartásának erősítését eredményezi.
A matematika tanítás során nagy jelentősége van a motivációnak . A tanulókat úgy
tudjuk a leghatékonyabban motiválni, ha egyéni képességeit figyelembe véve differenciáltan
foglalkoztatjuk, képességeikhez mérten adunk számukra feladatot.
A problémamegoldás legfőbb eszköze a gondolkodás . Mint korábban láttuk, a
gondolkodási folyamatnak jellemzői és törvényszerűségei vannak. Ezek ismeretében
tudatosan kialakíthatunk gondolkodási módszereket, melyeket felhasználhatunk a problémák
megoldásához.
A probléma jellegétől függően különböző módszereket alkalmaz hatunk, illetve ezeket
a módszereket egymáshoz kapcsoltan is használ hatjuk. A gondolkodás alapja az előzetes
tudás, melyet emlékezetünk kategóriákba rendez. A korábban megszerzett ismeretek tárháza
már a problémamegoldási módszerek kiválasztásában is segítségünkre van. A megoldás
legtöbbször korábbi is mereteink átrendezését kívánja meg; amennyiben ez nem elég, új
ismeretekre is szert kell tennünk.
Készségeink, képességeink fejlesztésével: nagyobb magabiztosságra teszünk szert,
bizonyos helyzetekben megalapozottabb lesz személyes felelősségvállalásunk , nagyobb lesz a
siker valószínűsége.
Az ismeretek és a módszerek hatékony kombinálásával elkerülhetjük a probléma
kiváltó okának és kísérőjelenségeinek összetévesztését is.
A problémamegoldás során döntő jelentősége van: a probléma pontos
meghatározásának , megfogalmazásának, valamint a kiváltó okok és kísérőjelenségek

25
feltárásának és rendszerezésének.
A megoldási módszerek kiválasztásával azonban még nem elég egy feladat
megoldásához, szükség van bizonyos kreativitásra , amely a gondolat ok, gondolkodási
műveletek , illetve a módszerek kombinálásának terén jelentkezik.
Az új gondolatok, ötletek szintén korábbi ismereteinken alapulnak , amelyek
helyesség ét a gondolkodási módszerek következetes alkalmazásával ellenőrizhetjük. A
gondolkodási módszerek beilleszthe tők a már korábban tárgyalt problémamegoldási
stratégiák kereteibe. Bármilyen stratégiát és módszereket alkalmazunk is, a megoldás menete
a problémamegoldás bizonyos lépés eit kell, hogy kövesse.
Juhászné (2011) a gondolkodás értelmezésére megfogalmazott mo dellében a
gondolkodás három alapkövét említi:
– a meglévő tárgyi tudás (ismeretek és készségek)
– motiváció és diszpozíció
– metakogníció (ellenőrzés, felügyelő folyamatok)
A metakognícióra van szükség olyan helyzetekben, amelyekben a tanult eszközök,
szokásos eljárások nem hoznak eredményt. Magában foglalja a információk felvételének,
feldolgozásának, tárolásának, felidézésének, kiegészítésének, alkalmazásának fázisait. Ez
jelenti a magasabb rendű kontrollfolyamatokat, amelyeket a problémamegoldás során
alkalmazunk. (Falu s, 2006)

3.3. A problémamegoldás lépései

Pólya György magyar matematikus „A gondolkodás iskolája ” című könyvében
határozta meg a problémamegoldás lépéseit. A feladatmegoldások problémáját elsősorban a
gyakorlat oldaláról közelíti meg, majd támpontokat ad a megoldás menetéhez.
A problémamegoldásban négy fő mozzanatot különböztet meg.
Először meg kell értenünk a feladat ot, elemeznünk kell, hogyan kapcsolódnak
egymáshoz a feladat részei, hogyan kapcsolódik az ismeretlen az adatokhoz. Ezt köve tően
tervet készítünk, végrehajtjuk a tervet, majd a megoldást ellenőrizzük, újra végiggondoljuk.
A feladatmegoldás során többször kell változtatnunk a szemléletmódunkon.
A lépések részletesebb kibontásához , könnyebb megértéséhez a szerző az egyes
lépésekre jellemző kérdéseket , felszólításokat fogalmaz meg .
Értsük meg a feladatot! Mit keresünk? Mi van adva? Mit kötünk ki? Kielégíthető -e a
kikötés? Elegendő -e a kikötés az ismeretlen meghatározásához? Kevesebb is elég volna? Van –

26
e ellentmondás benne? Tehá t: Miből indulunk ki? Az alábbiakban a feladatmegoldás négy
szakászát mutatom be. (Nagy Eszter, 2008)
Értsd meg a feladatot!
A feladat megértése válthatja ki a tanulókból a motivációt, a kíváncsiságot, hogy
megoldják azt, ezért fontos, hogy a pedagógus oly an feladatokat válasszon, amelyek esetében
van esély a megértésre.
Először alaposan megismerkedünk a feladattal. Írott feladat esetében a leírás szövegét
tanulmányozzuk. Ez a megismerési, elemzési tevékenység gyakorlatilag végigkíséri az egész
megoldási fo lyamatot. A megértést segíthetjük a Mit keresünk? Mi van adva? kérdésekkel.
Ezt követi a feladat több oldalról való megközelítése, megvizsgálása. Megismerjük egyre
mélyebben a feladatot, egyre több és több információt szerzünk róla, sőt, olyan ismeretekre is
szert tehetünk, amelyek lényegesek, de az eredeti kiírásból esetleg hiányoztak. Az elemzés
során feltárjuk a teljes feladat önállóan megoldható részeit. A részfeladatok lehetnek egy
összetett feladat természetes, előre meghatározott összetevői. Megnevez zük, lerajzolhatjuk a
feladat szereplőit
Készítsük el a megoldás tervét!
A terv meglétét akkor állapíthatjuk meg, ha nagyjából tudjuk milyen műveleteket kell
elvégeznünk, lépéseket kell megtennünk, ahhoz, hogy elvezessen a megoldáshoz.
A terv megszületésé t a következő kérdésekkel segíthetjük: Találkoztunk -e már a
feladattal, esetleg a mostanitól eltérő formában? Ismerünk -e valamilyen rokon feladatot, vagy
olyan tételt, aminek hasznát vehetnénk? Volt -e már olyan feladat, amelyben ugyanez volt az
ismeretlen? Egy rokon feladat esetében: Hasznosítható -e? Felhasználható -e az eredménye?
Felhasználható -e megoldási módszere? Kis módosítással felhasználhatóvá tehető -e?
A tervkészítés során meg kell alkotnunk azt a lépéssorozatot, amely a megoldáshoz
vezet. A megold ás lépéseinek meghatározásakor döntő fontosságúak a korábban említett
ötletek. Egy probléma megoldása során ritkán fordul elő, hogy minden részlete teljesen új.
Tulajdonképpen egy feladatot az emel probléma szintre, hogy a korábban már megoldott,
hasonló p roblémáktól egy -két pontban különböz ik, ami gondolkodásra, fejtörésre készteti az
egyént.
Egy probléma felosztható részfeladatokra és részproblémákra. A részfeladatok
megoldásában támaszkodhatunk korábbi, más témákban alkalmazott megoldásainkra (rokon
feladatok, analóg feladatok). A részproblémák megoldásához új ismeretekre és/vagy korábbi
ismereteink új gondolkodási sémákba rendezésére van szükség.
Segítségként a pedagógus észrevétlenül rávezetheti tanítványait egy – egy jó ötletre.

27
Hajtsuk végre a tervet !
Ellenőrizzünk minden lépést, amikor végrehajtjuk megoldási tervünket! Biztos, hogy
helyes a lépés? Be is tudnánk bizonyítani, hogy helyes? A terv realizálása során
végigmegyünk azokon a lépéseken, amelyeket a tervben előírtunk. Itt arra hívjuk fel a
figyelmet, hogy a végrehajtás során kiderülhet: tervünk pontatlan, esetleg hibás volt.
Ilyenkor vissza kell térni a tervekhez, és újra kell gondolni az egészet.
Vizsgáljuk meg a megoldást!
Tudjuk ellenőrizni az eredményt? Hogyan? Másképp is elérhetjük az eredményt?
Belátható -e az eredmény egyetlen pillantásra? Alkalmazható -e az eredmény más feladatok
megoldásában? A probléma megoldásának ellenőrzése elég magától értetődő igénynek
látszik, ehhez képest gyakran elhanyagoljuk. Az ellenőrzéssel folyamán meg ke ll
vizsgálnunk, hogy helyes -e a megoldás és a legoptimálisabb megoldást találtuk -e meg.
Ha a megoldásunk jó eredményt ad, hajlamosak vagyunk elfogadni, ennyiben hagyni a
dolgot, az, hogy megoldásunk hatékony -e, a lehető legjobb -e, már kevésbé szoktuk vizs gálni.

3.4. A problémamegoldási fázisok

A problémamegoldások vizsgálata során Dr. Lénárd Ferenc a kísérletben résztvevő
alanyoknál az egyes gondolkodási fázisokat a következő sorrendben jegyezte le:
1. Ténymegállapítás – Ez a fázis a gondolkodásban egy új szaka sz megnyitását
jelenti. A probléma adatainak és összefüggéseinek megállapítását foglalja magában
2. A probléma módosítása, vagyis az adatok rendszerezése, felcserélése,
szembeállítása
3. Megoldási javaslat – A javaslatok sokfélesége, változatossága a feladatok t öbb
oldalról való megközelítését teszi lehetővé.
4. Kritika – állásfoglalások a megoldásokat, ténymegállapításokat illetően.
5. Mellékes mozzanatok említése – ezek a megjegyzések nem fontosak a
feladatmegoldások szempontjából, de jelzik az egyén pillanatnyi álla potát.
6. Csodálkozás, tetszés – mindazokat a megnyilvánulásokat jelentik, amelyek
jelzik az egyén pozitív attitűdjét , a probléma felé forduló pozitív megnyilatkozások.
7. Bosszankodás – azok a pillanatok, szituációk, amelyekben a problémahelyzet
negatív felszól ítást tartalmaz az egyén részére, negatív jellegű érzelmi megnyilvánulás
8. Kételkedés – az egyén önmagában vagy a megoldásban való kételkedést jelent,
„nem tudom” érzés megjelenése

28
9. A munka feladása – többször előfordulhat, hogy az egyén egy probléma
megoldás a során feladja a munkát, majd újrakezdi.
A fázisokban a megismerési, értelmi és érzelmi fázisok egymással szorosan
összefonódva jelentkeznek. A gondolkodás folyamatának vizsgálatában, nem hanyagolhatjuk
el az érzelmi fázisok vizsgálatát, mert ezek figyele mbevétele nélkül csak egyoldalú képet
kaphatunk, kutatásaink eredményei hiányosak lesznek.
A felsorolt gondolkodási fázisok jól felismerhetőek az iskolái feladatmegoldások
során és ez lehetővé teszi a tanulók gondolkodásának tudatos fejlesztését. (Lénárd, 1984)

3.5. A problémamegoldás gátló és segítő tényezői

A problémamegoldás során felmerülhet nek gátló és/vagy segítő tényező k.
Ilyen például a megoldási sémákhoz való ragaszkodás. A megoldási sémák segíthetik,
hiszen segítségükkel gyorsabban eljuthatunk a megoldáshoz, de ugyanakkor gátolhatják, és
merevvé tehetik gondolkodást.
Beállítódás szintén gátló tényező, amely készenléti állapot egy meghatározott reagálási
formára vagy a problémamegoldásban elképzelt cél, vagy megoldási mód felé való irányvétel.
Tehá t a beállítódás magába n foglal egy rutinszerű cselekvést.
Funkcionális rögződés szintén akadályozza a tárgyak szokásos felhasználási
lehetőségétől való eltérő új felhasználási lehetőség észrevevését, ami adott esetben a
problémamegoldásához vezetne.
Pólya nemcsak a matematikai problémamegoldás általános lépéseivel foglalkozott,
hanem rendszerbe foglalta azokat a gondolkodási eljárásokat, módszereket, amelyeket a
megoldás során alkalmazunk.
Ezek: analógia keresése, általánosítás, specializálás, feladatok variálása, analízis –
szintézis, heurisztikus okoskodás, indukció, ellenőrzés, definícióra történő visszavezetés,
bizonyítás rokon feladat keresése (analógia, általánosítás és specializálás alkalmazása),
ekvivalens megoldások keresése, szimbolikus gondolkod ás, redukció ad abszurdum, indirekt
bizonyítás, sejtés megfogalmazása, fordított irányú munka, kombinatorikus gondolkodásmód.
A kisiskolásokra jellemző gondolkodási művelete k többségét a mindennapi
problémáink megoldása során rendszeresen alkalmazzuk. A le ggyakrabban használt
módszerek ezek közül:
Analógia keresése
Az analógia a hasonlóság egy fajtája. Hasonlónak mondunk két dolgot, ha valamilyen

29
szempontból megegyeznek egymással. Analógnak akkor mondunk két dolgot, ha megfelelő
részeik egyforma kapcsolat ban vannak egymással.
Hogyan alkalmazzuk megoldásaink során az analógiát? Adott feladatunk
megoldásakor keresünk egy nála egyszerűbb, analóg feladatot. Az egyszerűbb feladatot
megoldjuk, majd a megoldást kiterjesztjük eredeti feladatunkra.
Általánosítás
Az általánosítás egy dologról a dolgok egy olyan osztályára vezet át, amely az eredetit
is tartalmazza , vagy átvezet egy szűkebb osztályról egy, az előzőt magában foglaló tágabb
osztályba.
Specializálás
A specializálás az általánosítás ellentétje. A special izálás során egy fogalomba,
osztályba tartozó alosztályt képezünk. Az alosztály rendelkezik befoglaló osztályának minden
tulajdonságával, továbbá néhány egyedi, speciális jellemzővel.
Feladat ok variálása
Komolyabb, nehezen áttekinthető feladat esetén álta lában nem tudjuk azonnal
megtalálni a helyes megközelítést. A megoldás minősége, eredményessége attól függ, hogy
helyes volt -e az a szempont, amit választottunk. Ahhoz, hogy ezt megtaláljuk, sokszor több,
különböző szemszögből kell a feladatot megvizsgálni , elemezni.
Analízis -szintézis
Amikor kapunk egy feladatot, azonnal valamilyen átfogó benyomásunk támad róla ,
egy-két szembetűnő jellemzője alapján megpróbáljuk besorolni valamilyen korábban
felállított kategóriába. A probléma alaposabb megértéséhez azonb an minden részletet meg
kell vizsgálnunk . Meg kell határoznunk melyek a főbb részek , mi a jelentőségük a probléma
egészét tekintve és milyen kapcsolatban állnak egymással. A részletek feltárását, elemzését
nevezzük analízisnek, míg az egész újbóli összera kását szintézisnek. A folyamat fontos része
gondolkodásunknak, de el is veszhetünk a részletekben. A problémákban a jól
körülhatárolható, kézzelfogható dolgokat kell keresni.
A feladat megoldásának terve mindig modelleken alapul. A modell a valóság (vagy a
megoldás) leegyszerűsített, de minden lényeges elemét tartalmazó mása. A modell
segítségével kipróbálhatjuk, ellenőrizhetjük elképzeléseinket. Ahhoz, hogy modelljeink
használhatók legyenek, nem tartalmazhatnak a feladat szempontjából lényegtelen részlete ket,
ezeket tehát észre kell vennünk.
A leküzdhetetlen akadályokat meg kell kerülni – ilyenkor megfelelő segédfeladatokon
keresztül közelítünk a probléma megoldásához. Eszközeink ilyenkor: a feladatok variálása,

30
általánosítás és specializálás, analógia és az analízis -szintézis lehetnek.
Heurisztikus okoskodás
A heurisztika egy, már az ókorban is ismert és művelt tudományág neve, amely a
logikához, filozófiához és a lélektanhoz is kapcsolódik. Heurisztika feltalálás, a valamire való
rájövés művészete; az elméleti kutatás logikai eljárásainak és módszerek szabályainak
rendszere. Más értelmezés szerint algoritmusba foglalt feladatmegoldó módszer, amellyel új
problémákat könnyedén meg lehet oldani; feladatoknak a tapasztalatokra és megalapozott
ötletekre épül ő, próbálkozásokkal történő megoldási módszere. Heuréka (görög):
Megtaláltam! Megvan! – boldog felkiáltás valaminek a felfedezésekor.
A heurisztika célja a felfedezés, feltalálás módszereinek és szabályainak
tanulmányozása. A heurisztikus okoskodás olyan okoskodás, amely nem végleges, szigorúan
bizonyított, hanem csak átmeneti és valószínű, célja a kitűzött feladat megoldása.
A heurisztikus okoskodás gyakran épül analógiára és indukcióra. Az indukció az a
módszer, amellyel megfigyelés és egyes előző esete k kombinációja útján általános
törvényeket fedezhetünk fel. (Pólya,1977)

3.6. A kreativitás

„A kreativitás a társadalom számára kívánatos és értékes „újításra”, „felfedezésre ”
való képesség.” (Séra, 2001)
Runco (1993) a matematikai kreativitást olyan bonyolult tulajdonságnak tekinti,
amelynek összetevői a konvergens és divergens gondolkodás, problémaérzékenység
(probléma meglátása, problémamegoldási képesség , önkifejezés, belső motiváció, k íváncsiság
és önbizalom. (Mann, 2005)
A kreativitásról többféle értelmezését találtam a szakirodalomban. Egyik megközelítés
szerint pszichikus jelenségnek vagy mentális folyamatnak tekinthetjük, más értelmezések
szerint konkrét produktumot előállító tevékenységet, alkotó folyamatot jelent. Értelmezhetjük
úgy is, mint az egyén által előállított produktum, melynek jegyei az eredetiség, újszerűség,
hasznosság.
Ahhoz, hogy a tanuló ugyanazt a feladatot több szemszögből meg tudja vizsgálni,
különböző úton jusson el a megoldásig, vagy új, addig nem használt eljárásokra talál jon,
szükség van az alkotóképességre, kreativitásra.
A kreatív tanuló nem a szokványos, közismert módon közelíti meg a feladatokat, nem
elégszik meg azzal, hogy csak meghatározott utak közül választhat és általában az sem

31
csillapítja le kíváncsiságát, ha v alamelyik ismert eljárással eljut a megoldáshoz.
A kreativitást a teljesítmény eredetisége jelzi, az alkotónak olyan sajátosságát
határozza meg, amely lehetővé teszi az újnak és értékesnek a létrehozását, az új és eredeti
megoldások kigondolását és az újab b feladatok, problémák szerkesztését, a világ számára
hasznos felfedezéseket, feltalálásokat, a művészeti és irodalmi remekművek megszületését.
Kreativitásról beszélünk az olyan módszerek, eljárások, megoldások feltárása esetén
is, amelyek a társadalom számára nem jelentenek újat, e az egyén önállóan jutott el a
megoldáshoz.
Kreatívnak tekinthetünk egy tanuló, ha talál olyan megoldási utakat, amelyeket nem
tanítottunk meg neki, habár ez a tudomány számára nem jelent újat.
Az értelmi képességeken kívül a kreativitáshoz elengedhetetlenül szükséges, hogy az
egyén motivált legyen, képes legyen a kockázatvállalásra, megfelelő önbizalommal kell
rendelkeznie . (Croply, 1983)

3.7. A kreativitás faktorai

A kreativitás legfontosabb sajátosságai a folyékonyság vagy fluiditás, könnyedség,
hajlékonyság vagy flexibilitás és az eredetiség,
Folyékonyság : azt jelzi, hogy a z egyének a rendelkezésükre álló múltb eli
tapasztalatok, információk, fogalmak nagy mennyiségét tudják egyszerre, viszonylag rövid
időn belül előhívni, közöttük gyorsan el tudnak igazodni, gyorsan szelektáln ak. A
folyékonyság a problémamegoldásban akkor jelentkezik, amikor a múltb eli tapasztalatok
között kell keresgélni a megoldási terv elkészítéséhez, valamint ezeket a gondolatokat a
megoldás érdekében egyszerűsíteni, tömöríteni kell. A folyékonyság egyben a memória
meglétét , használatát is feltételezi, hiszen az adatok nagy mennyiségét kell előhívni .
Fluenci a (ötletgazdagság, könnyedség): a szellemi tevékenység könnyedség ét,
gyorsasá gát, mennyiség ét, folyékonyság át jelenti . A problémákra adott megoldások számával
mérhető. E tényező a kitermelt gondolatok sokaságára, az ötletek generálásának és az
asszociáció -kötések könnyedségére, az eszmék folyamatos és könnyed produkciójára
vonatkoz ik. A kreativitás egyik legfontosabb feltételének gondolják egyes kutatók, ha az
egyén az ötletek sokaságát képes produkálni.
A hajlékony gondolkodás a régi tapasztalatok, információk gyors és az új helyzet
követelményeinek megfelelő áthelyezését, szempont váltásra való képességet jelenti. Ilyen
gondolkodással rendelkező tanuló a megoldás után is keresgél, új megközelítési módok után

32
kutat, tovább gondolkodik, tovább kérdez. Olyan tényezőről van szó, amely lehetővé teszi,
hogy egy probléma megoldásában az eg yén igen változatos, újabb és újabb megközelítési
módokat alkalmazzon és nagyon is különböző gondolatokat vagy ötleteket tudjon kitalálni.
Az alkotóképesség lényeges tényezője az eredetiség . Abban nyilvánul meg, hogy az
egyén egy problémahelyzetben elsősorban nem szokásos megoldási sémákra támaszkodik,
nem a szokásos, bejárt utat követi, hanem új szokatlan ötletekkel áll elő, amelyek nem
egyeznek a szokásossal, az átlagossal. Az eredetiség a felfedezés csírája.
Az eredeti gondolkodóra jellemző, hogy nem nyugszik bele a feladatok szokványos
megoldásába, újabb, érdekesebb megoldásokra vágyik. (Tuzson, 1996)
A szakirodalomban még a következő elemeket találhatjuk az alkotó gondolkodás
részeiként:
Elaboráció (kidolgozottság): a részletek kidolgozásának, a k omplexitásnak az igénye
és preferenciája. Az t jelzi, hogy az egyén mennyire képes a felmerülő problémát
megvalósítani.
Redefiniálá s (újrafogalmazás) : a megszokott eljárásokat felülvizsgálja, átalakítja,
tovább variálja.
Szenzitivitás (problémaérzékenység): a problémákat észreveszi, megfogalmazza,
késztetést érez, hogy megoldásokat keressen a probléma megoldására.
Ennek birtokában az egyén könnyen meglátja és hamar észreveszi a legkülönbözőbb,
gyakran rejtett, nem evidens és esetenként nem egyértelmű problém ákat.
Problématudat , melynek megléte jelenti a problémák gyors meglátását, a megadott
megoldások gyengéinek felfedezését.
Újszerű kérdések felvetésének képessége , vagyis az átfogalmazás képességének
megléte fontos összetevője a kreativitásnak.
Lényeglátás , az a képessége az egyénnek, hogy rögtön rátalál a lényeges pontokra,
nem vész el a részletekben.
Elemző és szintetizáló képesség vagyis az alkotó gondolkodású ember nagy
rátermettséggel bontja részleteire az adott feladatot, de ugyanilyen könnyedséggel l átnak meg
összefüggéseket. Gondolkodási művelet, melynek segítségével szét lehet bontani a
legkülönbözőbb struktúrákat, új egységek létrehozásának céljából. (Croply, 1983)
Ezek a faktorok hatékonyan vezérelhetik a pedagógus munkáját akkor, amikor
valamilyen tantárgyi anyagok segítségével a kreativitás részterületeinek aktiválására vagy a
részképességek fejlesztésére törekszik. Ha például a problem atizálás alkalmazásával
folyamatosan segíti a növendékek problémaérzékenységének jó irányú alakulását, akkor már

33
tett valamit a kreativitás fejlesztésére vonatkozó pedagógiai feladat érvényesítésének
érdekében.

3.8. A kreatív személyiség jellemzői

A kreativitás sal foglalkozó kutatások során , három fő területet nevez meg a
szakirodalom .
Az egyik terület a kreatív gondolkodás természeté nek tanulmányozása , a másik a
kreativitás fejlesztésé nek lehetőségeit kutatja , a harmadik pedig a kreatív személyek jellemző
tulajdonságainak feltárását tűzte ki célul . Ennek köszönhetően a kreativitás ma már jól ismert
lényeges összetevő komponenseinek függvényében viszonylag pontosan tudjuk, hogy mitől
kreat ívak az egyes emberek .
Számos pszichológus kutatásána k eredményeként tudjuk, hogy melyek azok a
személyiségjegyek, amelyek az alkotás folyamatát kiválthatják és fenntarthatják.
A kreat ív ember intelligens, tartósm unkára képes, szereti a változatosságot és nem
szívesen rendeli alá magát másoknak, illetve a szabályoknak. De nem következtethetünk
tévesen erről arra, hogy minden szabályszegő és rendbontó tanuló kr eatív személyiség.
Az alkotó ember néhány jellemző tulajdonsága:
– változásra, változtatásra való törekvés
– fegyelmezetlenségre való hajlam
– nyitottak az újra, vállalkozó szelleműek
– gyorsan és rugalmasan reagálnak az új kihívásokra
– tudásvággyal és k íváncsisággal t eltek
– kitartóak és szorgalmasak feladatvégzésük során
– fizikálisan és mentálisan aktívak
– hajlamosak a nonkonformizmus ra
– kedvelik a meghökkentő helyzeteket
– jellemző a logikus és divergens gondolkodás
– problémamegoldásra és problémaalkotásra való késztetettség
http://www.oracler.ro/fodlink/a%20kreativ%20szemely.html
Az iskolának és ezen belül a matematika tanításnak egyik legfontosabb feladata a
kreativitás, mint a problémamegoldó gondolkodás egyik alapfeltételének fejlesztése .
A tanulókat a változatos, gazdag ismeretelsajátítás után arra kell ösztönözni, hogy ezt

34
az ismeretanyagot minél változatosabb módon használják fel . Ez a képesség minden tanulónál
fejleszthető .
A köznyelv a kr eatív ember fogalmát valamilyen különleges, extrém dolgok alkotásához
köti, de a kreativitás sokoldalúságát elismerve kimondhatjuk, hogy annyiféle kreativitás van,
ahány féle emberi tevékenység. A kreativitás minden életkorban és minden kultúrában jelen
van.
A kreativitás (alkotókészség/képesség) a személyiség egyedi tulajdonságainak,
gondolati és cselekvési képességeinek sajátos összerendezettsége. minden olyan mozzanat és
tényező a személyiségen belül, amely lehetővé tesz valamilyen szintű alkotást, és em ellett
még a viselkedésben és a magatartásban is megjelenik. Lehetővé teszi egy probléma több
oldalról való megközelítését, illetve olyan elemek összekapcsolását, amelyeket rendszerint
egymástól függetlennek, vagy össze nem illőnek tartunk. A kreativitás n em csupán a
gondolkodásra vonatkozik. A vizuális, akusztikus és motoros kreativitás fejlesztésének hatása
áttevődhet a személyiség és a gondolkodás fejlesztésére. Egy kreatív folyamatban létrejött
tevékenység értéke azzal mérhető, hogy mennyire új és érték es. egy kreatív folyamatnak lehet
belső, élményszerű, szubjektív oldala is. (Croply, 1983)
A kreativitás a divergens (széttartó) gon dolkodással szorosan összefügg, mely
lehetővé teszi egy probléma több oldalról való megközelítését, akár egyszerre több helyes
megoldását az adott feladatnak, és az egymástól független, vagy össze nem illő elemek,
gondolatok összekapcsolását.
A kreativitás fejlesztésére az iskolai oktatás keretén belül több lehetőségünk is van.
Elsősorban ki kell alakítanunk a tanulókban az információkeresés, az információk tudássá
alakításának képességét , valamint az önmaguk által elért eredmények értékelésének igényét.
Biztatnunk kell tanítványainkat továbbá az önálló célkitűzések megfogalmazására.
Azok a tanulók, akikre jellemző a kreatív gondolkodás erősebben motiváltak, nagyobb
energiával, céltudatosabban vesznek részt az ismeretek elsajátításában, problémák
megoldásában. ( Croply, 1983)

3.9. Motiválás

„A tanulási m otiváció energetizálja, irányítja és integrálja az egyén tanulási
tevékeny ségét.” (Falus, 2003. 228 o.)
A hatékony tanítás – tanulás vizsgálata megkívánja, hogy említést tegyünk egy fontos
tényezőről, a motivációról, amely e gy kívánt célállapot elérésére késztető, irányító, interaktív

35
tevékenység. A tanulásra késztető olyan peda gógiai eljárás, amely az oktatási folyamatban
felébresztheti a tanulási kedvet, a kitűzött célok eléréséhez szilárd elhatározást és aktív
tevékenységet vált ki a tanulókban. Motiváció nélkül nem létezik tanulás. Aki a szükséges
tudást el akarja sajátítani, annak a tanuláshoz megfelelő ösztönzőkkel kell rendelkeznie. A
tanulókat nem az egyes tanítási órákon, esetlegesen, izoláltan beiktatott mozzanatokkal,
hanem a tanítás megfelelő minőségével kell motiválni . A pedagógusnak ismernie kell a
motiválási lehetős égek et, amelyeket munkája során alkalmazhat. Ilyen lehetőség a tanulási
célok tudatosítása, az érdeklődés, kíváncsiság, figyelem felkeltése , valamint az előismeretek
stabili zálása. Motiválhat egyéni munka, csoportmunka, páros munka, rétegmunka
alkalmazásáv al, amelyek alatt meg kell teremtenie a bizalom légkör ét, empáti át. Használhat
egyénre szabott motivációk at differenciált feladatadá ssal, elvárás sal és értékelés sel.
A pedagógusnak fel kell ébresztenie a tanulókban az alkotó tanulás iránti vágyat. Ezt
elsősorban a gondolatszabadsággal és az új gondolatokra fogékony környezet
megteremtésével teheti lehetővé. Fontos, hogy a kreatív tanulónak ne kelljen tartania a
negatív r eakcióktól, a nevetségessé válástól. (Croply, 1983)
Falus Iván (2003) a tanulási motivác ió négy szintjét különbözteti meg , amelyek a
következők:
1. Beépült tanulási motiváció , amely megléte esetén a tanul ó lelkiismereti okokból,
kötelességtudatból tanul, szeretne megfelelni az elvárásoknak. A tanulást erkölcsi
kötelességként éli meg, belső tényezők vezérlik.
2. Belső tanulási motiváció. A tanuló belső motivációja a tanuló személyiségjegyei
vagy a tanulási helyzet sajátosságai révén jön létre. A tananyag iránti érdeklődés,
kíváncsiság mozgatja, váltja ki.
3. Az elsajátítási motiváció, vagyis az a v eleszületett igénye a tanulónak, hogy a
kompetenciáit növelje. Eredetét és sajátosságait a gyermek természetében kell
keresnünk.
4. Külső tanulási motiváció. Ha a tanulás csak eszköz, valamilyen külső cél elérése
érdekében, külső motivációról beszélünk. A tan ulók szeretnek megfelelni a szülők,
tanárok elvárásinak, vagy félnek a büntetéstől.
A tanulók motiválása nem érhető el a tanár – diák közötti interakció optimális
szervezése, illetve a megfelelő didaktikai anyagok, stratégiák, módszerek, eszközök ,
szervezé si formák használata nélkül.

36
4. A PROBLÉMAMEGOLDÓ GONDOLKODÁS FEJLESZTÉSE

A problémamegoldási képesség fejlesztése egyrészt célzottan erre irányuló
foglalkozásokon, másrészt a matematika (sőt más tantárgy ak) oktatásának folyamán
valósulhat meg. A problémamegoldás fejlesztésének fő nehézsége, hogy a fejlesztés hosszú
folyamat, sok időt igényel .
A gyerekek problémamegoldó tevékenységének jellemzőit vizsgálta Lester (2009) . A
vizsgálat során számos gátló tényezőt fedezett fel. Megállapította, hogy általában problémák
nehézsége a számok nagyságától és a számok számától függ.
Az elemi oktatásban minden feladat megoldható egy vagy több számtani művelettel. A
megfigyelések során arra is fény derült, hogy a tanu lók csak akkor ellenőrzik le a munkájukat,
ha több idő áll a rendelkezésükre.
Ezek a tapasztalatok azt mutatják, hogy nem csak gondolkodási irányokat kell tanítani,
hanem rugalmasságot, alkalmazást is. Nemcsak azt kell tudniuk a gyerekeknek, hogy mit
tegyenek, hanem azt is, hogy miért. Nemcsak eljá rásokat kell tanítani, hanem azt is, hogy
mikor alkalmazzuk őket. Fontos kérdés, hogy milyen ismeretekkel kell rendelkeznie a
pedagógusnak , ahhoz, hogy fejleszthesse a tanulók problémamegoldó képességét . (Lester ,
2013)
A problémamegoldás tanításához a tanárnak szakmai biztonságra van szüksége és
önbizalomra, hogy megengedhesse, hogy ne csak általa előre eltervezett és irányított
kommunikáció legyen az osztályban. Ehhez saját magának is kell rendelkeznie
problémamegoldási tapasztalatokkal. A problémamego ldásban szereplő gondolkodási
folyamatok alapján kell terveznie a tevékenységét, amihez tájékozottnak kell lennie a
problémamegoldás kutatásában és oktatásában.
1.A problém ák nagy mennyiségben való megoldása önmagában nem elég . Fontos,
hogy ezek a feladat ok változatosak legyenek és fokozatosan haladjunk az egyre nehezebbek
felé.
2. Memorizálás: hasznos probléma -elemek tanítása. Ennek nehézsége a legfontosabb
elemek kiválasztása, és a részekből egy új megoldás összerakása.
3. Utánzás: a jó problémamegoldók viselkedésének, stratégiájának megfigyelése,
mintaként bemutatása a pedagógus által .
4. Kooperáció: a kiscsoportban való problémamegoldó tevékenység pozitív hatással
van a problémamegoldásra.
5. Reflexió: a metakogníció fejlesztése , amelyhez a problémamegoldó tevékenység

37
elemeinek tudatosítása szükséges .
A problémamegoldási stratégiák tanításának mintáit Pólya György munkái jelentik.
,,A problémamegoldás iskolája ” című műve a tanárok , tanítók számára hasznos útmutatást ad
a problémamegoldás fejlesztésére.
Alapvető fontosságú, hogy a problémamegoldás folyamatában az ellenőrző szerepet ne
a tanár, hanem maga a tanuló játssza. Az aktuális tevékenység értékelése, annak folytatása
vagy elvetése a t anulók saját döntése kell legyen .
A kérdések felhívják a tanulók figyelmét a döntésekre, viszont az önálló döntések
meghozatalát gyakorolniuk kell. A tanulók pozitív, aktív hozzáállása nélkül nem lehet sikeres
a problémamegoldási tevékenység .
Pólya az aktí v tanulás jelentőségét hangsúlyozza, a tanulóknak maguknak kell
felfedezniük az ismereteket, megoldások at, a probléma jelentsen számukra intellektuális
kihívást. Fontosnak találta tanulói kérdések ösztönzés ét, amely, erősíti a tanulók önbizalmát,
pozitív hozzáállását . Azt tanácsolta, hogy m utassunk pozitív hozzáállás t a hibákkal szemben ,
hogy merjenek kísérletezni . Adjunk lehetőséget a t anulók nak, hogy szabadon találjanak ki
ötleteket, ne legyenek kényszerítve arra, hogy rögtön a jó úton induljanak el , ezáltal is
ösztönözve a divergens gondolkodásukat. (Pólya, 1977)
A tanulók fogadják el, hogy a problémamegoldás lehet, hogy hosszú ideig tartó
folyamat, és önálló gondolkodást igényel (Lester , 2009) .
A kiscsoportos munka egy hatékony formája a problémamegoldás fejlesztésének.
Ezeken a foglalkozásokon a tanár szerepe a szervezés, alapvetően a tanulók javaslatai alapján
haladnak, a javaslatokat nem a tanár értékeli, hanem a tanulók közösen döntenek, ezáltal
megvalósul a felfedeztető tanítás
A kiscsoportos problé mamegoldás során hasznos belső párbeszéd külsővé válik,
ezáltal jobban tanulható, és ösztönzi a további belső beszédet. A csoport on belüli
kommunikáció növeli az egyének szókincsét, kifejezőkészségét. A csoport tagjai összeadják
az információikat, ötleteik et, a kreatív gondolkodásuk aktiválódik, ami segíti a változatos
reprezentációk alkotását, a logikai kapcsolatok felfedezését.
A csoport kiválasztja a hasznos stratégiákat és elveti a haszontalanokat, a kritikai
gondolkodás alkalmazásával.
A csoportban lehetőség van a vélemények ütköztetésére, ezáltal a csoport igényli a
magyarázatokat. A csoportmunka mellett fontos a problémamegoldás önálló döntési
folyamatainak gyakorlása, ezért feltétlen szükség van hosszú ideig tartó egyéni munkára. A
problémamegold ás iskolai fejlesztésének kutatása sok esetben a szöveges feladatok

38
megoldásának kutatására korlátozódik, arra hivatkozva, hogy a gyerekek többsége ilyen
feladatok megoldása kapcsán találkozik a problémamegoldással.
A műveletek tanításakor a fogalomra hel yezzük a hangsúlyt az eljárások helyett, a mit
csináljunk mellett a miértekre is válaszol junk. (Pintér ,2012)
Újabb kutatások foglalkoznak a probléma alapú tanítással, melynek során a tanulók
valóságos, nem feladat formájában megfogalmazott problémákkal ta lálkoznak, és t anítói
segítséggel csoportmunkában oldják meg azokat .
A szöveges feladatok az alsó – és középfokú oktatás problémamegoldó gondolkodás
fejlesztésének alappillérei, melyek integráltan jelennek meg az összes tantervi témakörre
vonatkoztatva, a m atematikai gondolkodás megtestesítőjeként.
Szöveges feladat esetén a matematikai kifejezések helyett az információk lényege
szövegbe ágyazottan jelenik meg és általában valamely probléma megoldására irányulnak.

4.1. A problémamegoldás fejlesztésére használt módszerek

A problémamegoldás és problémaalkotás fejlesztésére szakirodalom, szaklapok,
továbbképzők, a sok évi tanítási tapasztalataim alapján választottam ki a módszereket,
amelyeket a beavatkozás során használtam. Külön figyelmet fordítottam a szöveges feladatok
tanítására, ahol a problémamegoldás lépéseit követve hasznos stratégiákat taníthattam.
A problémamegoldás lépéseinek tudatos követését, a munka felügyeletét és a döntések
meghozatalát kérdésekkel segítettem, amelyek azonban nem nyújtottak inform ációt és nem
értékelték a munkát. Az indoklások megkövetelésével a kritikus gondolkodást, a változatos,
feladatok, rejtvények, feladatalkotások segítségével a kreatív gondolkodást igyekeztem
fejleszteni. Tárgyi és képi reprezentációk alapozzák meg a szimbo likus reprezentációkat. A
felfedeztető tanítás és a csoportmunka, a kérdésfeltevések, problémaalkotások ösztönzése a
tanulók pozitív hozzáállását erősítették. Az egyéni munkát, a problémákon való önálló
gondolkodást házi feladatokon gyakorolhatták.
Az alk almazott módszerek a következők:
1. A problémamegoldás lépései tudatosítása, a Pólya György szerinti kérdések
alkalmazása, kérdések tudatosítása, fontosságának megbeszélése.
Néhány probléma megoldása, boncolgatása a problémamegoldás lépéseinek
bemutatá sára. Gyakoroljuk a problémamegoldást, a megoldás lépésekre bontását. Bemutatjuk,
hogy a megoldás közben feltett kérdések hogyan irányítják a megoldást.
2. Kísérletezés, példák – ellenpéldák. A problémamegoldás folyamatában a

39
kísérletezés jelentőségét mut atjuk be. Be kell avatni a tanulókat a próbálgatás módszereibe.
Fel kell hívni a figyelmüket a sejtések és ezek igazolásának szükségességére. Segíteni kell
őket a példák, ellenpéldák tervezett keresésében. az indoklások megfogalmazásában.
3. Rajzoljunk! A kisiskolások feladatmegértését nagymértékben segíthetjük az
ábrázolás módszerével. Ebben az esetben arra kérjük őket, hogy rajzolják le a feladatban talált
információkat, adatokat.
4. Szöveges feladatok megoldása szakaszokkal . Az alsó tagozaton tanítandó s zöveges
feladatok legfontosabb megoldási stratégiája a szakaszok rajzolása, ám tapasztalataim szerint
ez nehézséget jelent. Sok gyakorlást igényel.
5. Gondolkodjunk visszafelé! A visszafelé gondolkodás stratégiáj át az alsó tagozaton
gyakran használjuk, a m unkafüzetekben is számos feladatot találunk ennek a módszernek a
gyakorlására.
6. Alkossunk játékot matematikai problémából! Adott feladattípusok esetében a
problémákból játékot alkothatunk. A játék segíti a problémák mélyebb megértését, a
problémamegoldás ötletének megtalálását.
7. Szerepjáték . A problémamegoldás lépéseinek megfelelő szerepeket a hallgatók
alakítják, így csoportmunkában megismerkednek a problémaalkotás nehézségeivel,
tudatosodnak a problémamegoldás lépései.
A tárgyi tevékenység segíti a p robléma megértését, különböző jellegzetességeinek,
összefüggéseinek megtalálását, új reprezentációk alkotását.

4.2. Az alkotó gondolkodás

A tudományos kutatásban régóta ismert, hogy a jó kérdések legalább olyan
fonto ssággal bírnak , mint a jó válaszok . A probl émakitűzés központi fontosságú a
matematikai gondolkodásban, a valós világ jelenségeinek megismerésében, matematikai
modellezésében. A jó kérdések, problémák jelentőségét az oktatásban is nap, mint nap
tapasztalhatjuk.
A kérdésfeltevés itt kétirányú. Nem csak a pedagógusnak kell jól megválasztott, jól
megfogalmazott kérdéseket, feladatokat feladniuk a gyerekeknek, hanem a tanulóknak is
hasznos tevékenység ét képezi a saját kérdéseik, problémáik megfogalmazása.
Egyre több kutatás foglalkozik a problémamegol dás mellett a problémaalkotással is,
vizsgálva annak jellegzetességeit, kapcsolatát a problémamegoldással.
A problémaalkotás , önálló feladatalkotás során a tanulók matematikai tapasztalataik,

40
gyakorlataik, megoldott feladatok alapján értelmes matematikai problémát fogalmaznak meg ,
feladatokat szerkesztenek . (Pintér, 2012).

4.3. Önálló feladatalkotás

A továbbiakban a problémaalkotás (problem posing), önálló feladatalkotás fontosságát
szeretném hangsúlyozni.
A feladatmegoldási nehézségek egyik oka, hogy a tanu lók nehezen tudják alkalmazni
a tanórákon elsajátított ismereteiket az önálló tevékenységeik során.
Az önálló problémaalkotás lehetőséget biztosít az alkotó gondolkodás, kreativitás
fejlesztésére. A problémaalkotó tevékenység nemcsak a problémamegoldó képe sségre van jó
hatással, erősíti a motivációt, a pozitív attitűdöket, az önbizalmat. A gyerekek alkotó
tevékenységet folytathatnak, szívesebben foglalkoznak olyan feladatokkal, amelyek során
nekik kell kérdéseket feltenni. A problémaalkotás alkalmazható a k ognitív folyamatok
vizsgálatára.
Ha a tanulók maguk is képesek feladatok alkotására, a feladatok megoldásában már
tudatosan fogják keresni az összefüggések és hatékonyabban, egyszerűbben, több sikerrel
jutnak el a megoldáshoz.
Az önálló feladatmegoldásból következtethetünk arra, hogy a tanulók látják -e a
szöveges feladatokban a megoldás feltételeit, valamint a kérdés és az adatok közti
összefüggéseket. Az ilyen fajta gyakorlás növeli a tanuló szemfülességét, fantáziáját,
önállóságát, önbizalmát, találékony ságát.
Megértik az adatok rendszerezését, az adatok és a kérdés közti logikus
összefüggéseket, megértik, miért fontos olyan adatok kiválasztása, melyek megfelelnek a
valóságnak. Ez a munka tudatosság át, ésszerű gondolkodást, kreativitást kíván a tanuló
részéről. Fokozza az érdeklődésüket a matematikai feladatok iránt, aktívabbá válnak,
gondolataikat pontosabban és világosabban fogalmazzák meg, kifejezőképességük és
ítéletalkotásuk fejlődik.

4.4. Az alkotó gondolkodás fejlesztését szolgáló eljárások

Az alkot ó gondolkodás fejlesztésére összegyűjtöttem néhány eljárást, amelyek
fejlesztik a problémamegoldó gondolkodást, a kreativitást és hatékonyan lehet alkalmazni a
matematika órákon s szöveges feladatok megoldásának tanításá nál.

41
1. Fogalmazzunk új feladatokat a m egoldott feladatok mintájára.
Ez az eljárás a matematika oktatásban az analógiára épül. A feladatok megoldása után
a tanulók azt a feladatot kapják, hogy találjanak ki az előbbi feladathoz hasonlót alkotni. A
feladatok szerkesztése alatt ösztönözni kell, h ogy ne csak a számadatokat változtassák meg.
Ki kell alakítanunk bennük az önellenőrzés igényét, hiszen ennek hiányában az is
előfordulhat, hogy a rosszul választott számadatok miatt megoldhatatlan lesz a feladat.
2. Alkossunk feladatokat megadott számokkal
A kreativitást hatékonyan fejlesztő gyakorlat, de a képzelet fejlesztését célozza meg
elsősorban. Két szám megadásával egyszerűbb feladatok alkothatók, de ha több számot adunk
meg rendkívül bonyolult feladatok szerkesztésig juthatunk, amelyek esetében már s egítségre,
irányításra szorulnak a tanulók.
3. Keressünk feladatot előre megfogalmazott kérdéshez
Ez az eljárás arra ösztönzi a tanulókat, hogy az eddigi ismeretei közt kutassanak, a már
ismert, megoldott feladatokhoz hasonlót oldjanak meg. A kérdésben szerep lő információk
segíthetik vagy nehezíthetik a feladatot .
4. Fogalmazzunk faladatot egyszerű művelethez vagy műveletsorhoz
Ez az eljárás nagy teret biztosít a képzelőerőnek. A műveletsorban alkalmazott
zárójelek, a műveletek végzésének sorrendjére való odafigyelés nagy kihívást jelent a tanulók
számára és jártasságra van szükségük ahhoz, hogy helyes feladatot alkossanak.
5. Bővítsünk egy megoldott feladatot
Ha már megoldottunk egy feladatot, megvizsgálhatjuk több szemszögből, arra
buzdítjuk a tanulókat, hog y fogalmazzanak meg új kérdéseket.” Mit kérdezhetnénk még?”
„Mit tudhatnánk meg ezekből az adatokból?”
6. Alkossunk feladatokat, amelyben előre meghatározott szavak szerepelnek
A feladat alkotása közben a fogalmak között, a gyakorlatban, a valós életben létez ő
relációkat kell felfedezzék. (PL. autó, óra, kétszer több)
7. Feladat alkotása mérések adataiból
Saját mérések alapján alkossanak feladatot és ismertessenek minél több adatot a kapott
tárgyról . A tanulók kezébe különböző mértani tárgyakat adunk és felkérjü k őket, hogy a test
közvetlenül mérhető adatait meghatározva számítások útján ismertessék a további adatokat.
8. Alkossunk feladatot az adott ábra alapján
Vizuális beállítottsággal rendelkező tanulók számára erőteljes serkentő hatással bíró
eljárás. Ajánlott esztétikus, a tanulók számára érdekes ábrákat használni.
9. Problémacsokrok

42
A „Mi lenne, ha…” mondattal indítjuk a problémát.
Ezzel a problémaalkotási stratégiával feltételek, adatok változtatásával egy
problémá ból sok -sok probléma születik. Ezt mutatjuk be, majd a tanulók önállóan is
folytat hatják, és más feladathoz is megkísérel hetnek kitalálni hasonló folytatási lehetőségeket.
10. Egy modell – különféle reprezentációk.
A modell felismerése nehézséget jelenthet a kisiskolások számára , de érdemes néhány
kísérletet tenni a feladatok közös modelljé nek felismerésére . Ezt követően közösen példá kat,
feladatokat gyűjt hetünk egy adott modellre .
A problematizáló oktatás lehetővé teszi az új ismereteknek aktív módon történő
megszerzését, helyesen megfogalmazott feladatok révén.
A szöveges feladatok önálló szerkesztése arra ösztönzi a tanulót, hogy felfedezze a
matematika jelenlétét a valós világban, megértse hasznosságát és egy -egy jelenséget, tárgyat
több szemszögből is meg vizsgáljon.

5. MÓDSZEREK, ELJÁRÁSOK AZ OKTATÁSI FOLYAMATBAN

A módszer kifejezés a görög methodosz szóból származik , amely célhoz vezető utat,
eljárást jelent.
Minden pedagógus számára fontos kérdés, hogy hogyan érje el, valósítsa meg a
kitűzött célokat, hogyan alakítsa az órát, hogy az a tanulók számára érdekes legyen, és
könnyen elsajátíthassák az ismereteiket, fejlessze kompetenciáikat.
Egy tanóra céljai összetette k, bonyolultak hiszen az adott tananyagban levő ismeretek
megtanulása melle tt megjelenik az olyan kompetenciák fejlesztése is, mint az érvelés, az
együttműködés, az egymás támogatása stb. A legfontosabb mégis a tartós, bármilyen
helyzetben alkalmazható tudás közvetítése, amihez, ha nem is közvetlenül, de az előbb
említett fejlesz tési feladatok is hozzátartoznak.
A módszerek szerepe a tervezés során
A tervezés során több szempontot is figyelembe kell venni, ilyenek például az
előismeretek aktiválása, a kooperáció és a felelősségtudat fejlesztése, vagy a támogató
környezet biztosí tása. A tervezésre , a módszerek kiválasztására hatással van nak az adott
előfeltételek , a tanulók ismeretei, a matematika óra tervezett célja i, feladata i. A
következőkben a tervezést tekintve a módszerek kerülnek előtérbe, de természetesen nem ez
az egyetle n szempont, mely befolyásolja a tervezést.
A különböző módszerek alkalmazása lehetőséget nyújt az óra megfelelő

43
strukturálására, a tanulók egyéni ösztönzésére, fejlesztésére, teret ad a tanulók közötti
kommunikációnak. A megfelelő módszerek kiválasztása és alkalmazása döntően befolyásolja
a tanóra minőségét és eredményességét.
Első lépésként a feladatot kell meghatározni, és vele együtt a célokat is. Majd a feladat
megvalósításához illő módszert kell megtalálni. Természetesen nem csak egyféle út vezet e gy
feladat kivitelezéséhez, az óra céljával összefüggésben kell megvizsgálni, használható -e az
adott módszer, és ennek segítségével lehet kiválasztani a leginkább megfelelő módszert.
A magyar szakirodalom szerint az „oktatási módszerek az oktatási folyam atok állandó,
ismétlődő összetevői, a tanár és a tanuló tevékenységének részei, amelyek különböző célok
érdekében eltérő stratégiákba szerveződve kerülnek alkalmazásra.” (Falus I., 2006., 255.o.)
A módszer nem az oktatási folyamat legkisebb egysége, hiszen tovább bontható
különböző eljárásokra, mozzanatokra . A módszerek különböző szempontok szerint
osztályozhatók, például az információ forrása szerint lehet verbális, szemléletes vagy gyakorlati
módszer.
A tanulási munka irányítása során megkülönböztetünk tanári, tanulói, illetve tanári –
tanulói dominanciájú módszereket, az oktatás logikai iránya alapján lehet deduktív vagy
induktív, az oktatási folyamatban betöltött szerepük szerint szolgálhatják az új ismeretek,
képességek tanítás -tanulását, az alkalmazást , a rendszerezést és rögzítést. Az összes módszer
besorolását egyik felosztás sem teszi lehetővé, hiszen egy módszer több csoportba is sorolható, de
egyfajta dimenziókként értelmezve segíti a megfelelő módszer elhelyezését és kiválasztását.
(Falus I., 2006 )
A módszer, mint az oktatási folyamat része jelenik meg, hangsúlyozva
célorientáltságát és összefüggését különböző eljárásokkal. A magyar szakirodalom különböző
szempontok szerint próbálja rendszerezni, csoportosítani.
Matematikát többnyire frontálisan oktatják. Sok tanár úgy véli, idő hiányában ez a
leghatékonyabb módszer. Ez esetben az óra nem interaktív, a tanár leadja az anyagot, a diákok,
pedig egyedül próbálják megoldani a hozzá tartozó feladatokat, akár az órán, akár házi
feladatként. Ilyenkor azo nban a tanulók figyelme gyakran elkalandozhat. A következő
módszereket azért ismertetem a szakdolgozatomban, mert mindegyik különbözik a megszokott
frontális oktatástól, s bár nem előadó központúak, mégis teret engednek a pedagógus
egyéniségének, valamint lekötik és bevonják a munkába a különböző képességekkel rendelkező
tanulóka t.
Falus Iván (2006) az oktatási módszereket három csoportba sorolta, melyek a
következők: klasszikus módszerek, interaktív módszerek és újgenerációs módszerek.

44
A klasszikus móds zerek közé sorolta azokat a módszereket, amelyekben többnyire a
pedagógusé a főszerep (magyarázat, szemléltetés, frontális munka stb.), vagyis a
hagyományos tanulási környezet módszereit.
Az interaktív módszerek alkalmazása során a hangsúly a tanulói együt tműködésen
van. Ilyen a páros és csoportmunka, a tanulói kiselőadások, ezek közös értékelése, valamint a
vita, mint tanítási módszer és a játékos tanítási módszer.
Az újgenerációs módszerek közé sorolta a projekt módszert, a kooperatív módszereket
és a sz ámítógépes módszereket, internetet, multimédiát. E zeknek a módszer eknek a
használata során olyan tudás megszerzése a cél, amely az együttműködésen alapul és a
későbbiekben hatékonyan tudják majd alkalmazni.
Az újgenerációs módszerek által a tanári és tanu lói szerepek megváltoznak,
átalakulnak.

5.1. Módszerek, melyeket hatékonyan alkalmazhatunk a matematika órákon

A tanító munkáján alapuló módszerek:
Ismeretközlés: Ezt a módszert csak akkor érdemes használni, amikor a tanulók
maguktól nem jönnek rá, nem tudják kikövetkeztetni, vagy felfedezni az új ismereteket.
Magyarázat – ismeretközlési módszer, amely esetében tárgyakra, jelenségekre,
folyamatokra vonatkozó kitétek, fogalmak, törvényszerűségek, szabályok, ok -okozati
összefüggések pontos megértését és elsajátí tását teszi lehetővé . Eredményességéhez
szükséges a célok megfogalmazása, megfelelő példák kiválasztása és alkalmazása, a
magyarázat logikus felépítése, magyarázó szavak alkalmazása, audiovizuális és bemutató
eszközök alkalmazása, részösszefoglalások, ismé tlések beiktatása. A módszer használata előtt
szüksége felmérni a tanulók előzetes ismereteit.
Előadás : Kisiskolások esetében ritkán alkalmazott, monoló gszerű, szóbeli
ismeretközlési módszer. Ajánlott közben sok szemléltetés t alkalmazni .
Szemléltetés (bem utatás, demonstráció, illusztráció) A módszer használatánál a tanuló
tapasztalataiból, közvetlen környezetéből érdemes kiindulnunk. Azért van kivételes
jelentősége, mert pontos és maradandó képzetek, ismeretek csak az érzékszervek által szerzett
tapasztala tok révén alakulhatnak ki.

A pedagógus és a tanulók közös munkáján alapuló módszerek
Ebbe a csoportba sorolom azokat a módszereket amelyekben már nem a pedagógusé a

45
főszerep, hanem közösen a munka nagy része áthárul a tanulókra . A pedagógus segítő társa,
irányítója a tanulónak.
Vita – dialogikus módszer – a gondolkodás és a kommunikáció fejlesztésére is gyakran
használt módszer. A problémamegoldó gondolkodást hatékonyan fejleszti.
Beszélgetés, megbeszélés – a tanítás kérdés – felelet formájában történő, a folyamat
minden fázisában alkalmazható módszer. Használatához előismeret szükséges.
Gyakorlás – az elsajátított ismeretek gyakorlati alkalmazásához szükséges jártasságok
és készségek kialakításának és fejlesztésének módszere.
A következőkben bemutatom azon oktatási módszereket, melyeket különböző
továbbképzőkön, internetes oldalakon ismerhettem meg és a tanítási óráimon alkalmam volt
kipróbálni.
Röviden ismertetem az adott módszer fogalmát, tartalmát, sajátosságait és eredményes
alkalmazásuk feltételeit.
1. Gruppenexploration (Csoportos felfedezés)
Ez a módszer a csoportmunka egy változata: a tanulás felfedeztetve történik, a
csoportmunka keretei között. Lényege, hogy a tanulók csoportokba rendeződve, egy feladat
keretében számos példát vizsgálnak meg, mely ek segítségével összefüggéseket tárnak fel az
adott témakörben. A tanulók 2 -4 fős csoportokban dolgoznak, felosztják egymás között a
feladatokat, így a példák mennyisége szétoszlik, és így rövidebb idő alatt, hatékonyabban
tudnak dolgozni . A közös munka során a szociális kompetenciájuk is fejlődik , lehetőség
nyílik differenciálni a különböző készségekkel rendelkező tanulók at. A munkájuk alatt
lehetőségünk van jobban megismer ni a diákok személyiségét, képességeit.
A tanár egy adott témakörből vett feladategyüttest ad a diákoknak. Tudatos
csoportkialakítással előre differenciálhatja a tanulókat. Attól függően, hogy a csoporton belül
a diák választ magának feladatot, vagy a tanár osztja ki neki, szintén lehetőséget ad a
differenciálásra. Miután a tan ulók megkapták, illetve kiválasztották a feladatokat, elkezdik
megoldani a példákat, egyedül vagy párban. Ha nehézségekbe ütköznek, tanácsot kérhetnek a
csoport többi tagjától. A munkafolyamat végén csoportonként összegyűjtik az általuk
felfedezett összefü ggéseket, megbeszélik, majd bemutatják az osztály többi tagjának. A
módszer alkalmazható fogalmak bevezetésére, melyet akár a diákok fejleszthetnek ki, vagy
lehetőséget nyújt együttes problémamegoldásra.
2.Matematika kvíz
Mint ahogy a neve is szemlélteti , a kvízjáték egy játékkal fűszerezett gyakorlást tesz
lehetővé a tanórán. A tanulók összeállítanak egy matematikai kvízt, azaz megadják a

46
kérdéseket, a lehetséges válaszokat és a szabályokat.
Legelső lépésként az osztály tanulói megbeszélik, milyen szab ályok mentén halad a
játék: ki a kvíz vezetője (a tanár vagy egy diák), kérdéses esetekben ki hoz döntést, egyedül
játszanak, vagy az osztály kisebb csoportokra van felosztva , stb. Ez után elkezdhetik
összeállítani a kérdéseket és a válaszokat a kiválasztot t témakörben. A játék során felmerült,
nem megoldott kérdéseket később érdemes részletesen megbeszélni, kiértékelni, hogy mi volt
a probléma. A kvíz egyfajta játékos önellenőrzés a tanulók ismereteit és készségeit tekintv e.
A kérdések gyűjtésekor a korábbi tananyagot átismétlik, így a produktív gyakorlás egy
formája valósulhat meg. A szabályok variálásával (az idő korlátozása, a játékosok száma , a
tanácsadás lehetősége ) többféle játék ra ad lehetőséget.
3. Poszter
Egy kérdéssel, problémával való hosszas fogl alkozás lezárása lehet egy poszter
elkészítése. A poszter itt olyan módszert jelent, mely egy témát komplexen, többféle
szempontból mutat be, kihasználva a vizuális eszközök és hatások adta lehetőségeket.
Általában csoportonként készítenek egy -egy plakátot , ami matematikai fogalmakat,
összefüggéseket mutat be.
A téma kiválasztása, megbeszélése után az adott csoporton belül felosztják egymás
között a feladatokat. Fontos egyeztetni a tartalmi szempontokat, és hozzá a megfelelő
struktúrát kiválasztani: a lén yeget kell kiemelniük és ezt átláthatóan ábrázolni. Ez csak akkor
sikerülhet, ha a témán elgondolkodnak, kiválasztják a megjelenítendő elemeket és ezt
kifejezően mutatják be. A kész posztereket prezentálják és legtöbb esetben kifüggesztik olyan
helyre, aho l mindenki más megszemlélheti.
A poszteren egy hosszabb -rövidebb munkafolyamat eredményeit rögzítik a diákok.
Elkészítése kétféle funkciót tölthet be a tanórán, egyrészt lehet a cél maga a poszter
elkészítése, másrészt egyfajta dokumentálás is lehet egy munkafolyamat végén. Szem előtt
kell tartani, kinek is készítik: osztálytársaknak, az iskola többi tanulójának, vagy még
nagyobb nyilvánosságnak. Tartalmi szempontból tárgyilagosnak, érthetőnek kell lennie, és
ennek megfelelően kell a tartalmat vizualizáln i.
Egy poszter készítése alkalmas abban az esetben, ha a téma mögött egy hosszabb
munkafolyamat áll, leginkább csoportban dolgozható fel, illetve, ha a reflektálás,
visszatekintés, kommunikáció az adott tárgyról segíti az adott témakör elsajátítását. Tém ákat
tekintve alkalmazható például egy folyamat, módszer bemutatására, vagy akár a tanévben vett
témakörök áttekintésére, ismétlésére.
5. Tanulás műhelyekben , állomásokon

47
A módszer nevét nehéz magyar nyelven megadni, legtöbbször tanulókörnek nevezik.
Ez a megnevezés tükröz i azon munkaállomásokat, ahol a diákok dolgoznak . A módszer
alkalmazása során a tanulók különböző „állomásokon” dolgoznak, ahol egy adott téma egy –
egy lehetséges megközelítésével foglalkoznak. A szervezést tekintve, lehetnek kötelező és
választható állomások, illetve a diákok dolgozhatnak egyedül, párban vagy kisebb
csoportokban.
Első lépésként a tanár előkészíti az állomásokat, berendezi a termet és elkészíti a
hozzá kapcsolódó tananyagot. Ezt követően ismerteti a témát, az állomások f eladatait és a
célokat. Így a diákok kiválaszthatják az állomásokat, ahol dolgozni szeretnének. A feladatok
befejeztével vándorolnak egy másik állomáshoz, ahol egy feladatcsoporttal találkozhatnak. A
foglalkozás befejeztével frontális munkában megbeszélik az elért eredményeket, tisztázzák a
felmerült kérdéseket, majd összefoglalják a tanultakat. A tanulóknak érdemes – előzetes
egyeztetés után – valamilyen formában dokumentálni a tapasztalatokat. Attól függően, mi a
cél, igényel a foglalkozás utólagos munkát . Például gyakorlás esetén nem szükségszerű, de
egy bevezető óra esetében fontos az eredmények összefoglalása, részletesebb megbeszélése.
A pedagógus a tanóra során a háttérbe szorul, és amennyiben igény van rá, segítséget
ad a diákoknak. Emellett, ha sz ükség van rá, koordinálja a csoportokat az egyes
állomásokhoz, hogy minden csoport minden állomáshoz hozzáférhessen.
A módszer legnagyobb előnye, hogy a tanuló maga választhatja ki a feladatokat,
szervezi az egyéni tanulási módját, így felelős a saját ta nulási folyamatáért.
Az állomások száma függhet a témától, a céltól, a rendelkezés ünkre álló időtől vagy a
feladatokhoz kapcsolódó anyagoktól. A tanár még a feladat megkezdése előtt tisztázza a
diákokkal, mennyi időt is szán a teljes feladatra. Habár ez sok tényezőtől függ, minimum két
óra ajánlott egy téma esetében. A módszer lehetőséget nyújt egyéni, páros, és csoportmunkára
egyaránt, utóbbi esetben az állomások száma is csökkenthető. Amennyiben a csoportmunka
mellett döntünk, ajánlott kis létszámú csop ortokkal dolgozni.
6. Mi (Ki) vagyok én?
A módszer során a tanár, vagy akár egy diák egy matematikai fogalmat képvisel, míg a
többi diák eldöntendő kérdések feltevésével találják ki, melyik fogalmat személyesíti meg. A
módszerrel a matematikai fogalmak precíz definiálása fejleszthető, tulajdonságaik
segítségével.
A tanár legfontosabb feladata, a megfelelő fogalmak kiválasztása, ami lehetőséget
nyújt a diákoknak minél több kérdés megfogalmazására. A tanulók dolgozhatnak egyedül,
egy nagy csoportként (az osztály), vagy kisebb csoportokban. Előnyös, ha csoportokba

48
vannak felosztva, mert így közösen megbeszélhetik, milyen kérdéseket érdemes feltenni. A
cél, hogy minél kevesebb találgatással, próbálkozással jöjjenek rá a fogalomra. Fontos, hogy a
játék szabá lyait még az elején rögzítsék. Egy vagy több kör után érdemes reflektálni,
megvitatni, miért volt nehéz néhány fogalmat kitalálni, milyen tulajdonságok segítettek, így
elősegítve a fogalmak tulajdonságainak elmélyítését.
A módszer kiváló különböző fogalm ak precíz definiálására, miközben a tanulók a
témakör fogalmainak tulajdonságaira kérdeznek rá. Alkalmas év végi összefoglaláskor,
témakörök ismétlésekor vagy éppen a különböző témakörök közötti kapcsolat felfedezésére.
7. Csoportmunka
Az iskolai gyakor latomon azt vettem észre, hogy gyakran nem figyelnek a tanárra,
koncentrációs képességük nagyon gyorsan csökken, inkább egymással vannak elfoglalva.
Órán élénk a kommunikáció a diákok között. Ezt a kapcsolatot szeretnénk használni a
csoportmunka során. Úgy gondolom, a diákokat érdekli a matematika, szeretnék érteni,
megoldani a feladatot. Ha mégsem sikerül elboldogulniuk egy feladattal, elkedvtelenednek, és
a sok kudarc után, elvesztik a lelkesedésüket, pedig diáktársaik nagyon szívesen magyarázzák
el saját megoldási javaslataikat. A csoportmunka éppen erre a természetes kíváncsiságra épül,
és arra az alap ambícióra, hogy a tanulók elmagyarázhassák társaiknak a „megoldást” – azaz,
egy kis időre a csapat figyelmének középpontjába kerüljenek. Gyakorló órákra é rdemes ezt a
módszert választanunk, amikor már van néhány közösen megoldott és ellenőrzött feladat a
füzetben, ahova vissza tudnak lapozni a gyerekek.
A csoportalakítás történhet önként, vagy tanári irányítással. Lehetnek homogének,
amikor azonos tudásszi ntű tanulók kerülnek egy csoportba és ösztönzőleg hatnak egymásra,
vagy heterogének, amikor több tudásszintű diák kerül össze, és a jobb tanulók segítenek a
gyengébbeknek a felzárkózásban. El kell gondolkodnunk azon, hogy ugyanazokat a példákat
akarjuk -e minden csoporttal megoldatni, vagy minden csoporttal különbözőt. A lényeg, hogy
a jól megszervezett csoportmunkát gyorsan megszeretik a gyerekek.
Olyan feladatokról kell gondoskodnunk, amik részekre bonthatók, és eloszthatók, mert
akkor a csoport minden ta gjának jut feladat, és valóban együttesen, munkamegosztással
fognak dolgozni. Hátránya a módszernek, hogy nem mindig tudjuk ellenőrizni, hogy tényleg
elmondták -e egymásnak a feladat megoldásait, vagy csak elfogadták az általuk legokosabbnak
ítélt diák móds zerét.
8. Villámkártya
Ez a módszert, többféle órán használható. Egyrészről a bevezető szakaszban, mert
segítheti a memorizálást, illetve a gyakorló órákon is. Lehet fogalmat párosítani, kifejtéseket

49
memorizálni, ábrákat magyarázni és egyszerűbb elméleti anyagot gyakoroltatni. Fejleszti a
hosszú távú és a rövid távú memóriát is. A pedagógus előre készíti el a kártyákat, és osztja
szét a diákok között. A tanár tudja felügyelni a folyamatokat, az előrelátható kérdésekre fel
tud készülni. Többféleképpen is a lkalmazhatjuk ezt a módszert. Az első az, amikor 2 fajta
kártyát csinálunk. A kártyák felét úgy készítjük el, hogy a megoldás a hátlapján legyen.
Ezek et az első, bevezető órá kon tudjuk használ ni. A második felét a paklinak úgy készítjük el,
hogy ugyanazoka t a kérdéseket tesszük fel, de megoldások nélkül. Ezt az összefoglaláskor
használhatjuk. Ezek után k ét részre osztjuk az osztályt és két koncentrikus kört alakítunk,
szembeállítjuk a diákokat, és az egyik kör kérdez , a másik válaszol. Ez a köralakítás lehe t
tudatos, amikor például a gyengébbeket állítjuk a kérdező k szerepébe. Ezzel a gyakorlattal
segíthetünk a gyengébbek önbizalom -növelésében is, hiszen sikeresek tudnak lenni ebben a
szituációban. A másik alakítási mód véletlenszerű. Ha valaki nem tudja a v álaszt, a kérdező
diák megmondja neki. Ha végeztek, a külső kör egyel jobbra lép, ezután minden kezdődik
előröl. A második lehetősége ennek a módszernek, amikor 2 különböző kártyára írjuk a
kérdést , fogalmat és egy másikra a megoldást. Ekkor egy adott idő n belül mindenkinek meg
kell keresni e a párját. Előnyei ennek a módszernek, hogy igazán motiváló hatású, több a
diákokra jutó aktív tanulási idő, és többféle készséget is fejleszt. Mint minden módszernek
ennek is vannak hátrányai, hiszen időigényes, kevese bb anyag dolgozható fel, de mélyebben.
Sajnos ebben az esetben az egyes diákok munkája kevésbé kontrollálható.
9. Feladatküldés
Ebben az esetben a párok feladatot készítenek egy adott témakörben, majd a
feladatokat kicserélik egymás között, és megoldják. Ilyenkor fejlődik a kommunikációs
készség, és a kreatív gondolkodás is. Ezek az egyik esetben ismétlő kérdések, amikor célszerű
megkérnünk a kitalálókat, hogy a papír hátlapjára írják fel a megoldást, hogy elkerüljük, hogy
olyan kérdéseket tegyenek fel tár saiknak, amit még ők maguk sem tudnak megválaszolni. Ha
több időnk van, lehetséges a témakörből konkrét feladatok kitalálása is. Ha a pár megkapta a
feladatot, megpróbálják megválaszolni, de ha hiányosnak találják a megoldást, ki is
egészíthetik. A kártya továbbküldhető, hogy az egész osztály találkozzon ugyanazokkal a
feladatokkal. Érdekesebbé tehetjük az ilyen feladatot, ha megemlítjük, hogy a dolgozatban a
kérdések közül egy vagy kettő szerepelni fog. Ezzel rávehetőek, hogy érdemben
foglalkozzanak a kérd ésekkel, feladatokkal.
10. Páros ellenőrzés
A diákok a feladat megoldására összpontosítanak, és segítik, ellenőrzik egymást. A
csoportok párokra oszlanak. A párok egy feladatlapon dolgoznak. Az egyik diák kidolgozza

50
az első feladat megoldását, amíg a másik f igyeli, és ha szükséges, segít. Ha nem értenek
egyet, megkérdezik a másik párt. Ha a csoport nem tud megegyezni, megkérdezik a tanárt.
Majd a párok szerepet cserélnek. A megoldott feladatokat összehasonlítják a csoport másik
párosával, ha nem azonosak, köz ösen keresik meg a megoldást.
11. Mozaik módszer
A mozaiktanulás módszere, amelyet Aronson dolgozott ki a hetvenes években.
Ebben az esetben is, a diákok csoportokat alkotnak . A hatfős csoportok tagjai
elolvassák a feladatból rájuk eső részt. Mindenki kap egy kifejtést, egyszerű feladatokat a
témakörön belül . Ezután összeülnek a különböző csoportok azon tagjai, akik azonos résztémát
tanulmányoztak. A megvitatás után visszamennek saját csoportjukba, ahol az egyeztetett
változat szerint mindenki elolvassa az egész anyagrészt, és a „szakértők” segítik a többieket,
hogy ezután alaposabban tanulmányozzák azt az anyagrészt . A diákok bemutatják társaiknak
a kapott témakört, úgy, hogy a többi tanuló jegyzeteli azt, amit hall. Utána feladják a már
megol dott feladataikat, hogy oldják meg a többiek is, utána ellenőrzik azokat. Az előadás
befejezésekor írathatunk egy csoporttesztet, hogy felmérjük, ki mennyire értett ék meg a
társaikat.
12. Kocka játék
Ennél a módszernél 4 fős csoportokat alkotnak a diákok. Mi ndenkinek lesz egy
szerepe. Az első diák kérdések számától függően egy vagy két dobókockával dob, hogy
hányas kérdést rakja fel a kérdező (második diák). A válaszoló (harmadik diák) válaszol. A
negyedik, pedig ellenőriz. Ha lement egy kör a szerepek továb badódnak. A tanárnak elő kell
készítenie a kérdéseket, borítékba rakni, dobókockákat elrakni. ( www.didactic.eoldal.hu )
13. A projektmódszer
Projektmódszer a tanulók érdeklődésére, a diákok közös tevékenységére építő
módszer, amely a megismerési folyamatot projekt sorozataként szervezi meg.
A projektmódszert először Dewey alkalmazta a k ísérleti iskolájában, majd követője,
Kilpatrick fogalmazta meg e módszer alapelveit, alkalmazásának módozatait az 1919 -ben
megjelent „T he project method” című művében. A módszer legfontosabb elve, hogy a
tanulásnak tevékenységekre, problémamegoldásra valamint a tanulók érdeklődésére, igényeire
kell épülnie. A pedagógus és tanulók közös tevékenysége jellemzi.
A projektek olyan feladatok, a melyek segítik a személyiség formálását, megteremti a
tantervek és a valóság közti kapcsolatot.

51
A projektmódszer legfontosabb értéke maga a munkafolyamat. Az egyéni munka
mellett megjelenik a csoportos tevékenység, az együttműködés (kooperativitás). Minde nki
saját képességei, egyéni tapasztalatai alapján járul hozzá a csoport munkájához.
A módszer alkalmazása során sor kerülhet egy gyakorlati feladat (hasznos tárgy
megtervezése), egy probléma megoldására, egy esztétikai élmény átélésére, valamilyen,
tevéke nység, tudás elsajátítására.
A projektoktatás módszertani lépései:
1. Tervezés, témaválasztás : az adott (projekt) probléma megoldásához vezető cél
felismerése, megértése, további konkrét problémák, részcélok megfogalmazása, csoportok
kialakítása, választás a megfogalmazott problémákból, megoldási terv készítése, konkrét
feladatok megfogalmazása, pedagógusi együttműködés, illetve segítség a célok
megfogalmazásába n, csoportok szervezésében, a terv elkészítésében.
2. Kivitelezés : feladatelosztás megszervezése, az adatgyűjtés színhelyeinek
kiválasztása, megállapodás az adatközlők személyében. Aktív kivitelezés az egyéni, páros
vagy csoportos munka során. Együttműködés, a szükséges eszközök, különböző
munkatechnikák, közösségi, kommunikációs és tevékenységi formá k kialakítása, tantárgyi
ismeretek integrációja, önálló kutatás. Differenciált segítség adása szükség szerint.
3. Felülvizsgálat . A produktum bemutatása a csoportok előtt, a projekt értékelése: a
tanulói önértékelésnél a középpontban a projekt készítésének folyamata, a csoportok
értékelésének középpontjában a bemutatás áll. A szükséges javítások elvégzése .
4. A projekt közzététele . Az eredmények, a produktum nyilvánosság elé tárása (a
termék bemutatása, beszámolók, viták, bemutatók, kiállítások, előadás stb .) a felvetődő
kérdések (az értékelés, bírálat, visszajelzések tükrében) megbeszélése, esetleg új projektek
tervének megfogalmazása.
A projektmódszernek az egyik legfontosabb jellemzője az a nagyfokú szabadság,
amelyet a tanuló számára biztosít a célok kiv álasztásában, a tervezésében, a feladat
végrehajtásában , valamint az elkészült produktum és a tevékenység értékeléséig.
A projektmódszer lehetőséget biztosít az ismeretek integrálására, az iskolán kívüli
világ megismerésére, kapcsolatok kialakítására, a de mokratikus közélethez szükséges
készségek elsajátítására. (http://ofi.hu/tudastar/problemak -kerdesek/oktatasi -modszerek )
A módszer előnye, hogy nagyfokú szabadságot és önállóságot biztosít a tanulóknak,
lehetőséget teremt az ismeretek inetgrálására. Nehézségei közé sorolhatjuk, hogy a tantervek
megbontását igényli, nehezen illeszthető be a szokásos szervezési formákba.

52
Napjainkban a tanári előadás, magyarázat háttérbe szorul, helyé be a tanulók
öntevékenysége, önálló tevékenysége kerül.
Az aktivitás, alkotás, kreatív kutató, felfedező módszerek, kezdeményezés kerül
előtérbe. Fontos szerepet kap a játék, az önkifejezés, a mozgás, együttműködés és az
önállóságra való törekvés. (Falu s, 2006)

53
6. SZERVEZÉSI FORMÁK

A következőkben a frontális munkát, az egyéni munkát, a pármunkát és a
csoportmunkát, mint szervezési módok mutatom be Falus Iván Didaktika című könyve
alapján , majd a kooperatív munká t elemzem. A módszerek kiválasztásakor fontos a megfelelő
szervezési mód alkalmazása, valamint ugyanannak a módszernek különböző variációi vannak
az eltérő szervezési módokban.

1. A frontális munka
A frontális munka egy olyan szervezési mód, mely során a tanulók tanulási
tevékenysége „párhuzamosan, egy időben, gyakran azonos ütemben folyik a közös oktatási
célok érdekében” (Falus I., 2006., 362.o.). Ez a szervezési mód a hagyományos oktatás egyik
jellemzője, szemben a problémaorientált tanítási stílussal, mely középpontjában a
problémamegoldó gondolk odás, és ennek fejlesztése áll. Míg a hagyományos oktatás alatt a
régi, jól bevált módszerek kerülnek alkalmazásra, a problémaközpontú oktatás elsősorban a
diákok önálló felfedezéseire támaszkodik, illetve egy feladat megoldásához akár többféle út is
vezet het, ezzel is elősegítve e készség fejlődését.
A frontális munka az oktatási folyamat bármely szakaszában alkalmazható: új
ismeretek feldolgozásakor, rendszerezéskor, értékeléskor. Az ismeretek feldolgozása a
következő lépések során történik: először az ú j anyag ismertetése, majd a közvetlen
alkalmazás, gyakorlás, további alkalmazások és a végén összetettebb feladatok megoldása.
Habár a célja az egységes oktatás, a munkaforma nem minden tanuló számára
biztosítja a tanulás feltételeit. A tanulásban csak az ok a diákok tudnak részt venni, akik fel
tudják venni a pedagógus ritmusát, gondolatmenetét, a többi tanuló gyakran leszakad a
tanárral együtt haladó diákoktól, így különbözőek lesznek a tanulási teljesítményeik is. A
tanulók leginkább egyénileg dolgoznak, azon tanulók, akik gyorsabban , illetve jobban
dolgoznak, további feladatot kaphatnak. A megoldások megbeszélése is közösen zajlik.
A frontális munka során a tanáré a főszerep: ő minősül a tudás forrásának, tartalmilag
és formálisan is ő a központ, az irá nyító, aki „tanítja” a diákokat. Ez a szervezési mód vált
egyeduralkodóvá a közoktatásban, ami több tényezőnek is köszönhető, például lehetővé teszi
az olcsó tömegoktatást, gyors tanítást, és az együtt haladás illúzióját láttatja. A pedagógus
számára nem e gyszerű feladat a frontális oktatás, egyszerre igényel figyelemkoncentrációt és
figyelemmegosztást.
Természetesen van ennek úgynevezett nyílt változata, melyben a tanulók részt vesznek

54
a tanulási folyamat alakításában, a kölcsönös kommunikáció tanár – diák és diák -diák között
dominál, gondolatcsere, vita formájában. Ebben az esetben a feldolgozott tartalom és a
rendelkezésre álló idő megegyezik, de a célok eltérőek, és a diákok más -más ütemben
dolgozhatnak, figyelembe véve az egyéni sajátosságokat, és bizt osítva ezzel a tanulás
lehetőségeit az osztály minden tagjának.
A frontális munka során a közös munkában csak azok a tanulók vesznek részt, akik
képesek és akarnak az oktatás közös menetében a pedagógussal együtt haladni. Ez a
munkaforma tehát biztosítja a tanulók számára a tanulás lehetőségét, de a feltételeket azonban
nem. A tanulók képességei meghatározzák a tanulási folyamatban való részvételt, ezáltal a
teljesítményeik is különbözőek lesznek. A pedagógus számára nehézséget jelent az egyszerre
haladni nem tudó tanulók fegyelmezése, differenciálása.

2. Az egyéni munka
Az egyéni munka lényege, hogy a diákok önállóan, egymástól függetlenül dolgoznak
ugyanazon a feladaton. Négy típusát különböztetjük meg aszerint, hogy mennyire vannak a
tanulók egyéni s ajátosságai figyelembe véve.
Az egyedül végzett munkát a pedagógus irányítja, nincs tekintettel a tanulói
sajátosságokra, mint például az előzetes tudásra, és nem biztosít kellő motivációt a feladat
elvégzéséhez. Hatékonyabbá tehető a szervezési mód, ame nnyiben egyénre szabott segítséget
nyújtunk a feladat elvégzése közben. Sajnos ez a fajtája nem biztosítja minden tanulónak a
tanulás feltételeit, csak azoknak, akik segítséget kapnak, vagy akikre a feladat szabva van.
Egy másik típusa az úgynevezett réteg munka, mely során a tanulókat képességeik alapján
csoportokba osztják, és az adott csoport kapja ugyanazt a feladatot. A legnagyobb probléma
maga a csoportosítás, mert ennek alapja nem a valós tudásszint, hanem előfeltevéseink a
tanuló tudásáról. Másfelől a diákok egyfajta skatulyázásként élik meg, amivel a motiváció is
csökken. E kettő típus mellett van jelen a teljesen, illetve a részben egyénre szabott munka.
Az első esetben a tanuló egyéni tudásszintjéhez igazítjuk a megoldandó feladatokat, utóbbi
esetb en a hasonló szintű tanulók kapnak azonos feladatot, de ellenben a rétegmunkával, ez a
besorolás csak az adott feladat erejéig szól.
Az egyéni munka alkalmazása során fellépő probléma lehet a feladatok kiválasztása, a
segítség biztosítása, vagy a feladat befejezését követő értékelés. Mint ahogy a frontális
munkánál, itt is megkülönböztetünk zárt , illetve nyílt oktatást attól függően, milyen megoldást
veszünk igénybe a fejlesztő hatás érdekében. A zárt oktatás keretében a tanár határozza meg a
feladatokat, ellenben a nyílt oktatással, amikor a tanulóknak lehetőség nyílik a feladatok

55
közötti választásra, vagy akár a feladat meghatározására. Az értékelésnél érdemes a szöveges
értékelést előtérbe helyezni, mely a tanuló a tanulási folyamatban elért fejlődése – az előzetes
tudásszinthez mérve – fejeződik ki.
A fejlesztő hatás csak abban az esetben érhető el, ha a feladat megoldásához a diák
adekvát előzetes tudással és tanulási stratégiákkal rendelkezik és adott esetben a tanár egyéni
segítséget nyújt.

3. A páros munka
A párban folyó tanulás során két tanuló dolgozik egy feladat megoldásán. Két fajtája
van: a hagyományos páros munka és a tanulópár. Az első változat során a hasonló szinten
levő tanulók közösen oldanak meg egy feladatot. A másik változatban a különböző szinten
levő tanulók között egyfajta tanulmányi kapcsolat jön létre, melynek célja, hogy a jobb
szinten levő diák a társának segítsen.
Ez a szervezési mód is folyhat zárt oktatás keretein belül, vagyis mind a párok
összeállítása, mind a feladat meghatározása a tanár hatáskörébe tartozik. Fontos, hogy csak
akkor lesz hatékony az együtt végzett munka, ha mindkét fél tud, és akar is az adott feladaton
együtt dolgozni, és a közös munkának látják értelmét, a feladat megoldásához ez ugyanis
elengedhet etlen. A nyílt oktatás formájában a tanulók egyénileg szerveződnek párokba, mely
nagyfokú érettséget, felelősséget igényel a tanulók irányából, akik emellett tisztában vannak
egyéni tudásszintjükkel. A tanulópárok többszöri alkalmazása után létrejöhetnek t ermészetes
kölcsönös kapcsolatok a diákok között. Egymás kölcsönös segítése még hatékonyabb, ha
olyan tanulók kerülnek egy párba, akik különböző területeken erősek, így kétoldalúan tudják
egymást segíteni. A tanulópár jelentősége abban rejlik, hogy mindkét gyermek szociális és
tanulási tapasztalatot szerezhet, nem csak a gyengébb szinten levő tanuló, hiszen a tanító fél is
rögzíti, tanulja, gyakorolja a tananyagot, egyben magyarázatot lelhet és adhat is a felmerülő
kérdésekre, felfedezhet összefüggéseket. A pedagógus a háttérből pozitív visszajelzéseket ad,
ösztönzi, bátorítja, motiválja a tanulókat, és szükség esetén segítséget nyújt.
A páros munka egyrészt változatossá teheti az oktatási folyamatot, másrészt a tanulók
differenciált fejlesztését is szolgá lhatja. A tanulók szempontjából a munka során tapasztalatot
szereznek a másikkal való együttműködésben, de ehhez döntő fontosságú, hogy valóban
közös munka jöjjön létre. A pedagógus új oldalukról ismerheti meg diákjait, míg a frontális
munka során a tanárr al való kapcsolat, az egyéni munka során a feladathoz való viszony
mutatkozik meg, itt a kortárs kapcsolatok fejeződnek ki. (Foris -Ferenczi, Birta –
Székely,2007)

56

4. A csoportmunka
A csoportmunka alatt olyan szervezési módot értünk, mely során 3 -6 fő egy ütt oldja
meg az adott feladatot. Ez a munkaforma is csak akkor válhat hatékonnyá, ha a résztvevők
tudnak és akarnak is együttműködni. Fontos továbbá, hogy a csoport tagjait kölcsönös
függési, felelősségi és ellenőrzési kapcsolatban álljanak a munka során.
Legfontosabb kérdés a csoportok kialakítása, illetve alakulása. Különböző szempontok
mérlegelése után képezhetünk csoportokat, ez történhet például a diákok tanulmányi szintje,
szociális sajátosságaik, vagy a társas kapcsolatrendszerben elfoglalt helyük alapján.1 A
csoportok létrehozásához el kell dönteni, legyen -e a csoportnak vezetője, illetve állandó vagy
változó összetételű csoportokkal lesz -e hatékonyabb az együtt végzett munka. Habár az
állandó összetételű csoportokban a tanulók valamivel hatékonya bban dolgoznak együtt, ez
nem zárhatja ki az indokolt változtatásokat az intenzívebb együttműködés érdekében. A
csoportmunka feladatainak meghatározásakor két alapvető tényezőt kell figyelembe venni:
amennyiben a cél az oktatási folyamat élénkítése, a fele k közti kommunikációt kell előtérbe
helyezni, és a feladatok meghatározott idő alatt legyenek megoldhatóak. Ha a differenciálás
érdekében alkalmazzuk, akkor az egyéni sajátosságokat figyelembe véve, a tanulók
ismeretében, az adott csoportra fejlesztő hatás t megcélozva döntsünk a feladatokról.
A csoportmunka alkalmazásának főbb lépési a tanórán a következők: frontális
előkészítés (tartalmilag, szervezésileg), a csoportfeladatok kiválasztása (akár tanár, akár diák
által), idő meghatározása, maga a tevékenys ég (adott esetben tanári segítséggel), a munka
befejezésével pedig frontális munkaformában az eredmények rögzítése, végül a szóbeli,
szöveges értékelés, leginkább az együttműködést hangsúlyozva.

5. Kooperatív munka
A kooperatív tanulás „együttes munkálkodás a közös cél érdekében. Összehangolt
tevékenység, amely során kölcsönös a hatás pszichikai, szociális és intellektuális készségek
fejlődésében egyaránt”. (Horváth, 1994,32. o.)
Kooperatív tanulás jellemzői:
Az értelmezés, tudatosítás mellett leh etőség van a kommunikációra, az átélésre, a
megtapasztalásra, ebből kifolyólag szociális ismereteket közvetlenül tanít.
Humánus, közvetlen irányítás mellett érvényesül a pedagógusi segítő együttműködés,
mely a proszociális nevelés szempontjából pozitív min tát közvetít és elősegíti , motiválja a
tanulást.

57
Érvényesül az egyidejű, párhuzamos interakció alapelv, amely mindenkire kiterjed, és
több szálon futó kommunikáció folyik a gyerekek között, összefüggésben az érzelmi
tényezőkkel, tapasztalatot szerezve a ko ntaktusteremtésben, a konfliktuskezelésben, az
érdekérvényesítésben, a segítésben és együttműködésben.
Egyenlő arányú részvétel megteremtésére törekszik, ahol mindenki egyenrangú félként
dolgozhat. Cél, hogy mindenki szerepelhessen, érvényesíthesse önmagát a munka, az
ellenőrzés a prezentáció és az értékelés során.
Építő, pozitív egymásrautaltság érvényesül, mindenki érdekelt az előrehaladásban, a
csoport sikere érdekében. A gyerekek sokkal érintettebbek, ezáltal aktívabbak lesznek.
Segíti az egyéni és a kö zös felelősség kialakulását, a számonkérés lehetőségét.A
mások és a csoport érdekeit is figyelembevevő attitűd jellemzi.Állandó együttműködés,
kölcsönös támogatás van a csoport tagjai között. Mindezt rendszeresen átélik és
gyakorolják.Érvényesül az empátia , a tolerancia, a kölcsönös bizalom. Nincs kirekesztés,
elmagányosodás, mert a csoport felkarol, segít. Nagyobb az egymásra figyelés. Fejlődik a
tanulók szociális érzékenysége társaik iránt.
A fejlesztő, segítő értékelés van túlsúlyban, amelyre a változato sság, pozitivitás,
többszintűség jellemző, a pedagógus ehhez igazítja a tanulást, a tanulási folyamatot.
Elkülönül a tudás és a szociális ismeretek értékelése, fontos az egyéni és közös eredmény. A
gyerekeknek közösen megfogalmazott szabályokhoz, és értéke khez kell igazodni.
Oldott, vidám légkör jellemzi, érvényesül az érzelmi motiváció, ráhatás, mely pozitív
hatással van a gyerekek aktivitására, a szociális értékek elsajátítására. A gyerekek pszichikai
megerősítést kapnak, ez segíti az emocionális fejlődés t.
Kooperatív csoport jellemzői:
 2- 6 főből áll (az ideális a 4 fős csoport)
 tartósan (általában 5 -6 hétig) ugyanabból a tagokból áll,
 pozitív összetartozás – tudat jellemzi az állandóság miatt
 heterogén összetételű,
 munkamegosztás és építő egymásrautaltság van a csoporttagok között
 a tagok munkájának eredményétől függ a csoporteredmény,
 a kitűzött csoportcél kerül előtérbe .(Kagan, 2004)
A többi szervezési módtól leginkább eltérő tevékenység a csoportmunka és a
kooperatív munka során a pedagógus feladata az értékelés. A pedagógus a háttérből segít,
indirekt irányít, megfigyeli az egyes csoportok működését. Adott esetben átszervezi a
csoportokat, például , ha konfliktus áll fenn, az együttműködés szempontjából erősítheti a

58
fejlettebb tanul ókat, a nem megfelelő szinten levők számára egy jobb szituációt alakíthat ki,
még a feladaton is változtathat. Az értékeléskor az osztályozást ebben az esetben is mellőzni
kell, a szöveges szóbeli értékelést kell előtérbe helyezni, kiemelve a telje sítményt és az
együttműködést.
A csoportmunka elsősorban a tanulók kapcsolatait és együttműködési készségüket
fejleszti, a diákok elsajátíthatják a felmerülő konfliktusok kezelését és megoldását, figyelnek
a másikra, új oldalukról ismerhetik meg egymást és önmaguk at.
Az alábbiakban egy pár kooperatív technikákat muta tok be:
Ablak : 4+1 részre osztunk a csoportoknak úgy egy -egy lapot, hogy a középső, 5. kis
ablak üresen maradjon. A négy szélső ablakba írják az egyes csoporttagok elképzeléseiket az
adott témáról, majd utána a középső részbe a közösen kialakított csoportvélemény kerül.
Egyetértés -játék : Alkalmazható párokban és csoportokban. Lényege, hogy a tanulók
olyan állítást kell, hogy megfogalmazzanak a témával, szöveggel kapcsolatban, mellyel
mindannyian egye t tudnak érteni. A mondat mindig így kezdődik: Egyetértünk abban, hogy…
Füllentős : Minden csoport vagy diák megfogalmaz a témával kapcsolatban 2 igaz és 1
hamis állítást. Az egyik csoport vagy diák felolvassa az állításait, a többi csoport vagy
csoporttag megállapodik, melyik a hamis állítás.
Kupaktanács : A felvetett problémán mindenki egyénileg elgondolkodik , ezt követően
páronként is megbeszélik. A két pár közösen is megvitatja a problémát
Igaz–hamis : A tanító állításokat fogalmaz meg az adott témával, sz öveggel
kapcsolatban. A csoportok eldöntik, hogy azok igazak vagy hamisak.
Sarkok: Nevezzük el a sarkokat! A diákok eldöntik, melyik sarkot választják. A
kialakult csoportok megbeszélik a választásukat. A csoportok ismertetik érveiket a többi
csoporttal.
Kockázás :Egy kockára, befejezetlen mondatokat ragasztunk fel. A gyerekeknek azt a
mondatot kell befejezniük, amely az eléjük ledobott kocka legfelső oldalán van. Pl.: Azért
tetszett a mai óra, mert … A mai órán megtanultam, hogy… A mai órán a tanító néni… A mai
órán a csoport tagjai… Szerintem a mai óra… Jobban örültem volna, ha…

6.1. A szervezési módok kiválasztása, alkalmazása

A megfelelő szervezési mód meghatározása függ az előre kitűzött céljainktól, a
tananyagtól, a tanulóktól, a rendelkezésre álló időtől, a tanár és tanuló kapcsolatától, illetve
magától a pedagógustól. Amennyiben egy szervezési mód dominál (legtöbb esetben a

59
frontális munka), a nevelési – oktatási folyamat egyoldalúvá válhat, ezért érdemes a szervezési
módok váltakoztatása. Ez történhet az oktatási változatosság elérése érdekében, vagy a
differenciált fejlesztés céljából. A váltogatás mellett történhet a szervezési módok egyidejű
alkalmazása, vagyis például csoportmunka esetén dolgozhatnak egyes diákok párban, vagy
frontális munka során is l ehet olyan diák, aki teljesen egyénre szabott munkában oldja meg a
kitűzött feladatait. Így a tanulók egyéni tanulmányi szintjüknek megfelelően tanulhatnak.
(Falus I., 2006.)

60
7. JÁTÉK A MATEMATIKA Ó RÁN

7.1. A játék fogalma

„Kerüljük a kényszert, s hagyjuk, hogy a kisgyerek örömmel tanuljon. A gyerekek
játékok révén okosodnak, a kényszeres okítás nem jut el a lelkükig.” (Platón)
A kisiskolások életében, hétköznapjaiban a játéknak nagyon fontos szerepe van. Ez
által elégíti ki a gyerek a mozgásigényét, a valós vag y képzelt tárgyakkal való cselekvést, a
különböző szerepekkel és helyzetekkel való azonosulást, amely által a környezetével
közelebbi kapcsolatba kerül. A gyermek a játék által fejlődik, a játék előhozza a lappangó
funkciókat.
A játék az ember változatos t evékenységeinek egyike, a tanulás, a munka, az alkotás
fontos eszköze. Egy tudatos tevékenység, amely egy képzeletbeli világba repíti el azt, aki
játssza Célja maga a tevékenység, amely képes kielégíteni a játékos kívánságait, vagy saját
vágyait, törekvése it.
A játék elfogadott szabályok szerint zajlik, mellőzi a hasznosságot, feszültség és
felemelkedés, jókedv és megkönnyebbülés kíséri, értelemmel és feszültségekkel telített

7.2. A didaktikai játék

Az a játéktípus, amely harmonikusan ötvözi a tanulságos, nev elő elemeket a
szórakoztató elemekkel. Játéktípus, amely segítségével a nevelő rögzíti, pontosítja és
ellenőrizni a tanulóknak leadott ismereteket, bővíti a tanulók ismereteit. Nagy mértékben
megkönnyíti a gyerekek feladatmegoldását.
A didaktikai játék olyan tevékenységek, és műveletek összességét jelenti, amelyeknek
célja az ellazulással, jó kedvvel és örömmel párhuzamosan a gyerek értelmi, kézügyességi,
morális, esztétikai és fizikai készségeinek fejlesztése.
A didaktikai játék lehet egy fizikai vagy m entális tevékenység, amely örömöt,
szórakozást nyújt, amelynek az a szerepe, hogy segítsen a gyereknek feldolgozni a valóságot a
cselekvések által.
A didaktikai játék a legfontosabb aktív módszerek közé sorolható, amely nagyon
hatékony eszköz a kisiskoláso k nevelési -tanítási folyamatában.
Egy matematika feladat vagy gyakorlat matematikai -didaktikai játékká válik, ha egy
módszertani célt követ, egy módszertani feladatot lát el, ha a gyerekek által előzőleg ismert és

61
betartott játékszabályokat alkalmaz. A kij elölt feladat megvalósításáért játékelemeket használ,
vonzó alakban bemutatott, hozzáférhető matematikai tartalmat közvetít.
Elemi osztályokban a matematika -didaktikai játék használata a tanítási folyamatban
fejlesztő hatással van a különböző gondolkodási műveletekre. Fejleszti a
kezdeményezőkészséget, az önállóságot, a képzelőt, alkotóerőt, és a megfigyelőképességet ,
valamint az együttműködési készséget. Gyors, rendszeres és helyes munkavégzést alakít ki, az
ismereteknek a kellemesebb, hozzáférhetőbb, gyor sabb elsajátítását biztosítja. (Nagy Eszter,
2008).
A matematika tanítása és tanulása során különösen nagy szükség van a szemléltetésre,
a játékok és a játékos feladatokkal teli érdekes, színes tankönyvek használatára, hogy a
gyermekekben a matematika ne valamiféle nehezen érthető, elvont tudomány képét keltse.
„A lényeg, hogy a matematikát úgy kellene felfogni, mint egy természettudományt.
Odamenni, megtapasztalni, kézbe venni, játszani vele.” (Holló -Szabó Ferenc)
A diákok szíves ebben nyitnak ki egy matematika tankönyvet, ha az tele van érdekes és
színes (helyenként akár vicces) ábrákkal, játékos feladatokkal vagy akár rejtvényekkel is.
Kiemelkedő fontosságú tehát, hogy a pedagógus olyan érdekes és jól átgondolt felépítésű
tanköny vet válasszon, mely képes a tanulók figyelmét lekötni és a tananyagra irányítani,
hiszen legtöbb helyen ez adja az elsődleges segítséget a tantárgy elsajátításához és ez az,
amivel a diákok már a tanítás megkezdése előtt találkoznak.
Sokkal inkább kíváncs iak a gyerekek a színes rajzokkal ábrákkal szemléltetett
feladat ok megoldására, mint a puszta számokkal felírt feladat végeredményére. Ha pedig a
feladatok felkeltik az érdeklődésüket, motiváltabbak lesznek az elvégzésüknél, ezáltal
könnyebben jutnak el a helyes eredményhez vagy könnyebben értik meg és fogadják be a
megoldási módszereket.
Még gyorsabb lehet a megértés, ha minden témánál szerepelnek mintafeladatok
részletes megoldással együtt, hiszen ezek segítenek a tanulóknak a tanórán és azon kívül is a
típusfeladatok megoldásában vagy akár egy érdekes feladat megoldásához vezető út
keresésében. A tananyag könnyebb elsajátítását segíti, ha a mindennapi élethez kapcsolható
feladatokat és illusztrációkat is találunk egy -egy témánál. Például , ha az ismeretle n tag
kiszámítását szeretnénk megétetni a tanulókkal, használhatunk kétkarú mérlege t, így
kézzelfoghatóvá válik, hogy ha az egyik oldalon változtatunk valamit, akkor a másik oldalon
is ugyanazt meg kell tennünk . A tankönyvet tovább színesíthetik a rejtvény ek, kobaktörők,
melyek megoldásához valamilyen turpisság szükséges, ezáltal izgatja a gyerekek fantáziáját
és megfejtésük hatalmas sikerélménnyel párosul, de a sikertelen kísérletezgetések sem járnak

62
együtt kudarcélménnyel. Az ilyen tankönyv az osztálycsop ortos , illetve differenciált
foglalkoztatásának lehetőségét is támogatja.

63
GYAKORLATI RÉSZ

8. A III. OSZTÁLYOS TANULÓK PROBLÉMAMEGOLDÓ GOND OLKODÁSÁNAK
VIZSGÁLATA

A pedagógiai kutatás célja, hogy új ismeretek feltárásával, pontosabbá tételével,
elmé lyítésével az oktató -nevelő, pedagógiai tevékenységek eredményességének a növeléséhez
járuljon hozzá. (Dr. Péter Lilla: Kutatásmódszertan, Tanulmányi útmutató)
A tanulók fejlődése érdekében biztosítanunk kell számukra a megfelelő, optimális
feltételeket. A z értelmi képességeik fejlesztése mellett, fejlesztenünk kell az életben való
érvényesüléshez szükséges kompetenciákat, szociális és érzelmi kompetenciáikat, erősítenünk
kell pozitív jellembeli tulajdonságaikat, illetve ki kell alakítanunk azokat.

8.1. A kutat ás célja és feladatai , a kutatási probléma

A mindennapi életünkben, az oktatásban és a munkahelyen is nagy szerepe van az
egyéni kompetencia fejlettségének. A kompetenciafejlesztés nem ismeretek átadását jelenti,
hanem olyan stratégiák megismerését, amelyeket a gyerekek eredményesen használni tudnak.
Az iskolai oktatás egyre nagyobb hangsúlyt fektet a kompetenciák kialakítására és
fejlesztésére.
Tanítói munkám során megtapasztaltam, és a felmérések is igazolják, hogy egyre
nagyobb gondot jelent a tanulók számára a problémamegoldás, túl sok az olyan tanuló, aki
nem szereti a matematikát, mert nem érti a fogalmakat, összefüggéseket és így nem
tapasztalja meg a sikerélményt. Ezért látom fontosnak a problémamegoldó gondolkodás
fejlesztését, és ezért vá lasztottam ezt a témát a szakdolgozatom megírására.
Amikor megkérdeztem egy matematik át kedvelő tanulótól, hogy mit szeret a
matematikában, azt válaszolta, hogy az összeadást és a kivonást, vagyis az algoritmust, a
műveletek végzését. Ezen a területen vol t sikerélményük, ez volt kényelmes, nem kellett
tartani a kudarcoktól. Nem vágytak a fejtörés izgalmára, a felfedezésre, inkább féltek az ilyen
típusú feladatoktól, tartózkodtak. A kutatás során azt vizsgálom, hogy hogyan lehet ezen
változtatni, megtapaszt altatni a felfedezés örömét, fejleszteni a problémamegoldó
gondolkodást, egyre több tanulóval megszerettetni a matematikát, kreatívabbá te nni őket,
megláttatni ennek a tudománynak , tantárgynak a szépségét, ezáltal növelni az tanulók
eredményeit.

64
Arra keres em a választ, hogy a céltudatosan és változatosan használt módszerek,
eljárások, szervezési formák milyen mértékben befolyásolják a problémamegoldást,
kreativitást, illetve a matematika tantárgy iránti attitűdjüket, illetve rávilágítani ezek fejlesztő
hatására.
A kutatásom célja a problémamegoldó gondolkodás elméleti hátterének feltárása, a
kísérleti és kontrollcsoport képességeinek felmérése, feltárni és bemutatni azokat a
matematika órán alkalmazható feladatok at, eljárásokat, módszerek et, lehetőségeket, amelyek
segítséget nyújtanak a tanulók tudásszintjének növelésére és motiválják őket a jobb
teljesítmény elérésére, illetve használatuk által megkedvelik a matematikát, fejlődik
kreativitásuk, problémamegoldó képességük.
A kutatás tehát azt célozta, hogy a gyerekek a beavatkozás keretében minél több példát
kapjanak, éljenek át, tapasztalatokat szerezzenek a matematikai ismeretszerzésben.

8.2. A kutatás h ipotézise i

A hipotézise im megfogalmazásának alapjá t a mindennapi oktatatói munkámban
előforduló akadályok, nehézségek biztosították.
A dolgozatom megírásával és az általam elvégzett vizsgálattal szeretném
bebizonyítani, hogy van lehetőség a problémamegoldó gondolkodás, kreativitás fejlesztésére
az elemi osztályokban, és ezáltal jelentősen megnövelhető a tanulók matematikai tudása és
pozitív eredményként megjeleni k a matematika tantárgy iránti szeretet, pozitív
megnyilvánulás.
A vizsgálat bemutatása előtt, a szakirodalomból kiindulva, és a gyerekekkel szerzett
tapasztalatom alapján, néhány hipotézist fogalmaztam meg. Kutatási hipotézisei m a
következők:
1. Célirányosan alkalmazott módszerek kel, eljárások kal, feladatok kal hatékonyan
fejleszthető a tanul ók problémamegoldó gondolkodása .
2. A problémamegoldó gondolkodás fejlesztésé vel a tanulók magabiztosabbá válnak a
matematika órákon , kreatívabbak lesznek a problémák megoldásában .
3. A fejlesztés pozitívan hat a tanulók matematikai teljesít mény ének javul ására .
4. Az alkalmazott stratégiák ered ményeként a tanulók matematika tantárgy iránti
attitűdj e pozitív irányba változik.

65

8.3. Mintavétel és a kutatási terep

Kutatásomhoz hozzáférés alapú mintaválasztást választottam és a kétcsoportos kísérlet
módszerét alkalmazom.
A kutatási mintát a felsőboldogfalvi Fülöp Áron Általán os Iskola és a Bögözi
Általános Iskolához tartozó alegység III. osztályos tanulói képezik.
A kísérleti csoportot a felsőboldogfalvi Fülöp Áron Általán os Iskola III. osztályos
tanulói alkotják , akikkel már második éve dolgozom.
A beavatkozás eredményeinek reális értékeléséhez és értelmezéséhez szükséges a
kapott eredmények összehasonlítása egy olyan csoport (kontro llcsoport) eredményeivel,
amelyi kben nem lesz alkalmazva a fejlesz tő program. Ezt a csoportot, a Bögözi Általános
Iskolához tartozó III. osztályos tanuló k csoportja alkotja.
Mindkét csoport tagjai megfelelnek a kutatás igényeinek, összehasonlíthatóak,
osztatlan osztályban tanulnak, hasonló a létszám . Az összetétel, társ adalmi sz ínvonal és a
környezet is hasonló, amelyben élnek.

8.4. A kutatás menete

A kutatás időtartama 22 hét , novembertől májusig, a 2017 -2018 -as tanév .
A kutatásom három lépésből áll: előfelmérés, beavatkozás és utófelmérés. Első
lépésként elvégeztettem mindkét csoport tagjaival , majd kiértékeltem , elemeztem az
előfelmérésre szánt teszteket.
Második lépésben a kísérleti csoport számára bevezettem eddig nem , vagy csak ritkán
használt módszereket , eljárásokat, játékokat, szervezési formákat, amelyek segíts égével
megfelelő módon tudtam vizsgálni ezek hatását, a heti négy matematika óra kereté ben a
kísérleti csoport tagjain.
A kísérleti csoport tevékenységeinek célrendszerét, módszereit és részletes tervét ,
amelyeket a szakirodalom tanulmányozása során válasz tottam ki, a következő t áblázat
tartalmazza.

66
Tartalom
Módszerek, eljárások Szervezési
formák Dátum
Természetes
számok
összeadása és
kivonása
0-tól 10 000 -ig A problémamegoldó gondolkodás
lépéseinek gyakorlása (Dramatizálás)
Rajzoljunk!
Új feladat megfogalmazása egy már
megoldott alapján
Alkossunk feladatot konkrétan
megadott számokkal!
Rejtvények: megoldása, készítése
Számkígyó készítése (sorozatok,
műveletek, stb.)
Sudoku játék: formákkal, jelekkel,
számokkal (egyszerűsítve, fokozatos
nehezítés., mágnes es táblán, papíron)
Páros munka
Tanítva tanulás
Páros
ellenőrzés

Önálló munka
nov.6 -10

nov.13 -17

nov.20 -24
nov. 27 -30
Természetes
számok szorzása
0-tól 10 000 -ig Szerkesszünk feladatokat
megfogalmazott kérdéshez!
Szöveges feladatok megoldása
szakaszokkal
Gondolkodjunk visszafele!
Problémacsokor. Adatok változtatása .
(Mi lenne ha…..?)

Bumm -játék: szám megadása, *ha a
többszörösét hallod, mondd, hogy
bumm!
Bűvös négyzet
Didaktikai játék Csoportmunka
Feladatküldés
Pármunka
Tanítva tanulás
Páros
ellenőrzés
Mozaik
módszer
Füllentős
dec. 4 -8

dec.11 -15

dec.18 -22

2018.
jan.15 -19

jan. 22 -26
100-nál kisebb
természetes
számok osztása Alkossunk feladatot, amelyben előre
meghatározott szavak szerepelnek!
Fogalmazzunk feladatot aritmetikai
művelethez vagy műveletsorhoz!
Játékok okostáblán
Frontális
munka
Csoportmunka
Feladatküldés jan.29 –
feb.2
febr.12 -16
febr.19 -23
feb.26 –

67
Matematika kvíz
márc2
A törtek Alkossunk feladatot az adott ábra
alapján!
Rajzoljunk!
Képhez, számhoz, művelethez tartozó
igaz állítások megkeresése, gyűjtése,
válogatása, szelektálása.
Igaz-hamis: állítások gyűjtése,
készítése, eldöntése (matematikai
témához) Csoportmunka
Mozaik
módszer
Kocka játék
Kooperatív
munka márc.5 – 9

márc.12 -16

Mértani
alapismeretek
Alkossunk tárgyakat síkidomokból,
mértani testekből
Kézműves alkotások (számtalan
variációban)
Testek, síkidomok, tárgyak előállítása
szabadon, kritériumok alapján (gyurma,
lego, papír, pálcika stb.)
Sorminta, tapétaminta, parkettázás;
kezdetben: adott minta, nehezítés:
behatárolt terület, adott síkidom, szín
stb.
Alkotójáték másképpen: A teremben
lévő egy -egy tárgyról mit kellene
levenni, hogy másra használható
legyen? Vagy fordítva: mit kellene
hozzátenni, hogy másra ha sználható
legyen?
Táblajátékok Villámkártya

Csoportmunka
Páros
ellenőrzés
Feladatküldés
Füllentős
Kooperatív
munka
márc.19 -23

márc.26 -30

68
Mértékegységek
Saját mérések alapján alkossanak
feladatot és szerkesszenek minél több
adatot a kezükben lévő tárgyról
Szöveges feladatok megoldása.
Játékos feladatok
Online feladatok Csoportmunka
Mozaik
módszer
Páros
ellenőrzés
ápr.10 -13
ápr.16 -20
ápr. 23 -27
ápr 30 -máj4
május 7 -11
1. táblázat Fejlesztési terv a problémamegoldó gondolkodás fejlesztése
A táblázatban szereplő beavatkozás során alkalmazott stratégiákat sem a kísérleti sem
a kontrollcsoport tanulói nem alkalmazták rendszeresen, legfeljebb ritkán találkoztak ezekkel
az eljárásokkal, feladatokkal.
Harmadi k lépésként elvégeztem az utófelméréseket mindkét csoportban, majd az
eredményeket feldolgoztam és összehasonlítottam és végül levontam a következtetéseket.

8.5. A kutatási stratégiák, módszerek, eszközök

A kutatásom során induktív st ratégiát alkalmaz tam, a tanulók számára nem teljesen új
területet kutattam, hiszen már találkoztak szöveges, játékos illetve logikus gondolkodást
igénylő feladatokkal, a fejleszté si tervben lévő tartalmakat a tanterv is tartalmazza.
A kutatás elvégzésére matematikai tudásszintmérő tantárgyteszteket alkalmaztam,
amelyek nem standardizált tesztek, hanem általam összeállítottak. A tudásszintmérő tesztek a
pszichológiai tulajdonságoknak egy sajátos formáját, az iskolai tudást mérik, amikor a
pedagógus a tanulók tudását szeretné feltárni , megvizsgálni. Az iskolai tudás fogalmának
körülhatárolása nem egyszerű feladat. Alapvetően kétféle tudást különítünk el: az
ismeretjellegű (tartalom) és a képességjellegű (eszköz) tudást.
Az általam összeállított tesztek képességjellegű vagy eszköztudást és ismeretjellegű
tudást mérő feladatlapok, amelyek egy hosszabb fejlődési folyamat eredményét vizsgálják,
ezért maga a felmérés és értékelés is bonyolultabb.
Ezekkel a feladatlapokkal a tanulók előzőleg elsajátított tudását, matematikai
ismereteiket, problémamegoldó gondolkodásukat, kreativitásukat , gondolkodási műveleteket,
számolási képességet mértem. A tesztek összeállításában tárgyi tudást, készségeket és
jártasságokat megcélzó feladatokat tettem. A z tudásszintmérő tesztek normaorientált teszt ek,
amely pedagógiai megközelítésben azt jelenti, hogy az egyes tanulók eredményeit
összehasonlítottam egy kontrollcsoport eredményeivel.
Amikor a feladatlapokat összeállítottam figyelembe vettem a tantárgytesztek

69
kidolgozásának menetét és követelményrendszerét , ahhoz, hogy a kidolgozott mérőeszközök
reálisan tükrözzék a tanulói teljesítményszintet. A kidolgozás (tesztszerkesztés) logikusan
egymásra épülő lépései a következők:
– az adott tudás – és tananyag elemzése
– a feladatok megszerkesztése
– értékelés i kritériumok megállapítása.
A tesztek elvégeztetésével azt szeretném megállapítani, felmérni, hogy a
problémamegoldó gondolkodás kialakulásának folyamatában , kreativitásukba n, matematikai
ismereteikben a tanulóim hol tartanak. Ezért a képességjellegű tudá s elemzésének a két
mutatóját is figyelembe vettem a képesség működésének a sebességét és a hibátlanságot. A
tesztet a tanulók előre meghatározott idő alatt kell megoldják (50 perc), ez a sebesség. A
hibátlanságot úgy lehet kiszámítani, hogy a jól megoldot t feladatok számát összehasonlítjuk
az összes feladat számával, és az eredményt százalékban fejezzük ki.
Az értékelési rendszer kidolgozásakor összeállítottam a javítókulcsot. Minden feladat
mellé feltüntettem az elérhető pontszámot, amellyel tájékoztattam a tanulókat. A pontozással
a teszt javítása egyszerűbbé, objektívebbé és ellenőrizhetőbbé válik. Azt , amikor az egyes
feladatokhoz pontokat rendelünk, súlyozásnak nevezzük. A súlyozás alapját az képezi, hogy
az egyes tudáselemeknek milyen fontosságot tula jdonítunk. Súlyozás esetén a nehezebb és
fontosabb tudást igénylő feladatok nagyobb pontszámot, a kevésbé fontosnak ítélt és
könnyebb feladatok kisebb pontszámot kapnak. A feladatalkotások, kétféle megoldást kérő
feladatok esetén a tanulók kreativitását , divergens gondolkodását mértem. Az ilyen jellegű
feladatok megoldásának értékelése nagyfokú rugalmasságot, nyitottságot, szakmai
tapasztalatot és kritikai képességet feltételeznek az értékelő részéről.
Arra, hogy milyen a matematikához való viszonyuk, a matematika , mint tantárgy hol
helyezkedik el a főtantárgyak között, azt, hogy mennyire kedvelik a matematikát, illetve a
főbb elméleti tantárgyak közül melyik a kedvenc tantárgyuk a kérdőívet használtam.
Kis gyerekekről lévén szó, szerettem volna minél hi telesebb információt kapni, ezért
hozzuk közelálló eszközzel kellett megközelítenem a felmérést, vagyis nem felsorolást,
számokkal való rangsorolást kértem, hanem mosolygós , illetve szomorú arcok berajzolásával
kellett kifejezzék, hogy melyik tantárgyat me nnyire kedvelik , illetve nem kedvelik a
felsoroltak közül. Ezáltal felmérhettem, hogy változott -e a beavatkozás végén a tantárgyhoz
való attitűdjük.
A kutatásom módszerét képezte a megfigyelés is. A z elő- és utófelmérés alatt
megfigyeltem a tanulók viselke dését, akarati, jellembeli tulajdonságaik alakulását, változását,

70
kitartásukat, motivációjukat. Megfigyelhettem, hogy a kérdések segítségével hozzáfognak -e a
feladatok megoldásához, kutatnak -e.
Mindkét feladatlap azonos típusú és számú feladato t tartalmazott.
Az előteszttel felmér tem a meglévő tudásukat a hiányosságokat , amire a jövőben
nagyobb hangsúl yt kell fektetni, azokat a kompetenciákat , amelyeket fejleszteni kell.
Az előfelmérés 10 feladatot tartalmazott é s egy játéknak címzett mértani alakzatokból
álló sudokut. Azért neveztem játéknak ezt a feladatot, mert szerettem volna megfigyelni, hogy
a tanulók szívesebben oldanak – e meg egy színes játék osságba csomagolt feladatot.
Az 1. feladatban azt mértem fel, hogy milyen képességekkel rendelkeznek a tanulók az
négy alapművelet végzésének területén. Háromjegyű számokat kellett összeadniuk, valamint
kivonniuk az egységrend átlépésével, majd szorzó és osztótáblából kérdeztem néhány
műveletet.
A 2. feladatban összeadás ok és kivonások hiányzó tagjait kellett kiszámítaniuk. Az
ismeretlent betűkkel jelöltem.
A 3. feladatban összeadások és kivonások hiányzó számjegyeit kellett megkeresniük.
Itt már szükség volt némi kreativitásra, hiszen eddig ilyen feladatot még nem oldott ak meg az
iskolában, de előzetes ismeretekkel már rendelkeztek, hiszen ismerték az összeadás és kivonás
algoritmusát.
A 4. feladatban a matematikai fogalmak meglétét szerettem volna mérni (különbség,
összeg), valamint a logikai sorrend követésére való képe sségüket.
Az 5. feladatban egy sorozat folytatását kértem különböző alakzatokkal.
A 6. feladatban lévő bűvös négyzetek, kreativitást, problémamegoldó képességet és
kitartást, következetességet igényeltek. Az első négyzetekben tízes számkörben kellett
szám olniuk, a másodikban pedig már kétjegyű számok nehezítették a feladat megoldását.
A 7. feladat egy számpiramis, amely az e lőző feladathoz hasonlóan kreativitást
igényelt és kitartó, pontos munkát.
A 8. feladatban, amely egy szöveges feladat, a tanulók szöv egértését,
problémamegoldó képességét szerettem volna felmérni.
A 9. feladat az alkotóképességükre világít rá. Arra kértem a tanulókat, hogy egy
műveletsorra, alkossanak szöveges feladatot. A művelet sorban fel kellett ismerniük, hogy
egy számhoz hozzá kel l adni annak a kétszeresét.
A 10. Feladat tal ötletességet, leleményességet mértem. A tanulók négy darab 4 -es
számjegy és a négy alapművelet segítségével műveleteket, illetve műveletsorokat kellett
írjanak. Arra voltam kíváncsi, hogy ki elégszik meg a művel etek egyszeri felhasználásával és

71
ki az aki tovább alkot, kombinálva a különböző műveleteket, illetve ki az aki két -,
háromjegyű számot alkot.
A 11. feladat neve Játék, hogy ébren tartsa a tanulók kíváncsiságát. A megfelelő színű
és formájú ábrák berajzolá sa a megfelelő helyre elemzők épességet, logikus gondolkodást,
problémamegoldást igényelt.
Az előtesztet az utótesz thez hasonlóan állítottam össze, de figyelembe vettem a
tantervi követelményeket, a III. osztály végére kitűzött célokat, feladatokat.
Az 1.és 2. feladat ennek az időszaknak megfelelő számolási készségeket vizsgálja
(összeadás, kivonás az egységrend átlépésével, becslés, szorzás kétjegyű számmal).
A 3. feladat egy bűvös négyzethez hasonló ábrákból álló feladat, ahol számos
gondolkodási művel etet kell alkalmazniuk is szükség van a problémamegoldó képességükre.
A 4. feladatban ki kell egészíteniük egy táblázatot a megfelelő ábrával. Ez a feladat is
a gondolkodási műveletek vizsgálatát célozza meg.
Az 5. feladat egy szöveghez a megfelelő műveletsor, modell megtalálása.
A 6., 8. és 9. feladatok szöveges feladatok megoldása elé állítja a tanulókat.
A 7. feladatta az önálló feladatalkotásra kérem a tanulókat.
A 10. feladattal a problémamegoldá s mellett új megoldást kell keresniük a tanulóknak ,
amellyel ellenőrizhetik megoldásukat és bizonyíthatják kreativitásukat.
A 11. feladat egy számokból álló sudoku a divergens és problémamegoldó
gondolkodás vizsgálatára.
Mindkét feladatlap megoldására 50 percet kaptak a tanulók.

8.6. Az eredmények feldolgozás a és értelmezése

A beavatkozás előtt a kísérleti és a kontrollcsoportban lévő tanulókat felmértem, majd
az eredményeiket kielemeztem, értékeltem. Mindkét csoport kezdeti felmérésére
novemberben került sor.
Problémamegoldó gondolkodást felmérő tesztet a s zakirodalomban nem találtam ezért
magam állítottam össze egy tudásszintmérő tesztet, amelybe problémamegoldó gondolkodást
és kreativitást igénylő feladatokat tettem. A mérőeszköz megtervezésekor fontos szempont
volt, hogy a teszt alkalmas legyen a III. osztályos tanulók matematikai gondolkodásának,
kreativitásuk vizsgálatára, figyelembe véve a fokozatosság elvét, valamint a feladatlapok
szerkesztésének módszertanát. A tudásszintmérő teszteket a Mellékletben mutatom be.
A megoldott előfelmérések eredményei, pontszámai alapján megállapítottam, hogy a

72
tanulóim , illetve a kontrollcsoport tanulói az alapműveletek végzésének képessége ,
leleményes sége, logikus gondolkodása, kreativitása, problémamegoldása mennyire fejlett, ki
az akinél hiányosságok mutatkoznak és melyek azok a hiányosságok, amelyek fejlesztést,
beavatkozást igényelnek. A z előfelmérés eredményei megtalálható ak a mellékletekben. A z
előfelméré s elvégzése után megfigyelhetjük, hogy a legmagasabb pontszám 90 pont volt,
amelyet egy tanuló sem ért el , hiszen nem csak meglévő tudást mértem, hanem azt is hogy a
kreativitás és problémamegoldás terén hol tartanak. A feladat több olyan feladatot
tartalmazott , amelyhez hasonlóval még nem találkoztak, de rendelkeztek azokkal az
ismeretekkel, amelyek szükségesek voltak, ahhoz , hogy meg tudják oldani ezeket a
feladatokat.
A feladatlap megoldása alatt megfigyeltem a tanu lók munkavégzését, néhány
kérdéssel, segítettem, de vigyáztam, hogy ne legyen túl sok, ne mutassam meg az utat, éppen
csak motiváljam a kutakodást, gondolkodásra, kreativitásra serkentsek.
Az előteszt megoldása nagyon lassú ütemben történt, de végül sikerü lt befejezniük 50
perc alatt. Megfigyeltem, hogy a felhívásom ellenére sem vizsgálják meg, hogy helyesen
oldották -e meg a feladatokat, csak átolvassák újra és megelégednek azzal, hogy minden
feladathoz írtak valamit.
A teszteken 90 pontot lehetett elérni. A 20 pont alatti teljesítményt gyengének
minősítettem. A 2 0 és 45 pontszámot elért tesztekre elégséges minősítést adtam , 46 és 75
pontot elért eredményeket jónak minősítettem. Nagyon jó minősítéssel illettem azokat a
tanulókat, akik 76 és 90 pont közti ere dmény t értek el.
A kísérleti csoport előfelmérés eredményeit diagrammal ábrázoltam , amelyet az 1 .
ábra tartalmaz.

73

1. ábra: Az előfelmérés eredményei – kísérleti csoport

Az ábrán is jól látható, hogy egy tanuló sem ért el maximális pontszámot, egy tanuló
nehézségekkel küzd, nem érte el az elégséges minősítést.
Az előfelmérés elvégzése után megállapítottam, hogy a tanulók nehezen fognak hozzá
ismeretlen típusú feladatok megoldásához, bizonytalanok, sokáig tétováznak, nem ellenőrzik
a megoldások helyességét.
Az eredmények feldolgozása után értékeltem a feladatlapokat és a pontszámok alapján
a megfelelő kategóriákba soroltam a tanulókat . Az értékelés eredményeit a 2.ábra sze mlélteti.

2. ábra: A kísérleti csoport előfelmérés eredményei százalék ban kifejezve

Az ábrán jól látható, hogy a tanulók többsége, az osztály 64% -a a tesztre jó minősítést
kapott , 7% kapott nagyon jó minősítést , és az osztály 22% -át elégségesre minősítettem.
A kísérleti csoport felmérését követően a kontrollcsoportnál is elvégeztem az
01020304050607080
63,5
52,570,573,5
2369,5
5071,5 7177,5
44,551,5
35,5
17Pontszám
Kísérleti csoportAz előfelmérés erdményei
elégtelen
7%
elégéges
22%
jó
64%nagyon jó
7%Akísérleti csoport előfelmérés eredményei

74
előfelmérést, hogy képet kapjak a tanulók aktuális ismereteiről, képességeik szintjéről.
A kontrollcsoport esetében is feldolgoztam a tudásszintfelmérő teszteket és az
adatokat grafikusan ábrázoltam. Ezeket az adatokat a 3. ábra tartalmazza .

3. ábra: Ez előfelmérés eredményei – kontrollcsoport

A kontrollcsoport eredményei t értékelve észrevehetjük , hogy egy tanuló sem kapott
elégtelen besorolást, a tanulók többsége , 10 gyerek jó minősít ért el . A kontrollcsoport
esetében is egy tanulót illettem nagyon jó minősítéssel. Amint az ábrákból is kivehető, a
kontrollcsoport eredményei hasonlóak, nagyjából azonos szintűek a kísérleti csoport
eredményeivel. Ismereteik, képességeik hasonlóak, egymáshoz közelálló szintet mutatnak.
A előfelmérés t a kísérleti csoport át lag 6 1,19%-ban tudta megoldani, a kontrollcsoport
eredményei kissé jobbak, 6 1,99%-ban teljesítették a tesztet.
Mindkét csoportnál a számolási képességek többnyire nagyon jó k, kevés hibát
vétettek, az ismeretlen tag kiszámítása sem jelentett számukra különösebb nehézséget.
Mindkét csoportnál hiányosságok mu tatkoznak a kreativitást igénylő feladatok
megoldásában, szöveges feladatok ábrázolás a, megoldása nehézséget jelent számukra, az
olyan feladatoknál , amelyek p roblémamegoldó gondolkodást igényelnek megtorpannak,
bizonytalanok.

01020304050607080
G. CS. T. B. L. ZS. F. SZ. F. K. G. P. S. R. M. M. A. O. T. BA GY.
M.A. B.62,577,5
64
4851,560,562,5
576065
53
8A kontrollcsoport el őfelmérés eredményei

75

4. ábra: A kontrollcsoport előfelmérés eredményei százalékban kifejezve

Az előfelmérést követően 22 héten keresztül a kísérleti csoporttal egy fejlesztési terv
alapján dolgoztunk, amelyet a matematika órák keretén belül alkalmaztam, a tanulók életkori
és egyéni fejlettségi szintjéhez igaz odva .
A fejlesztés alatt különböző stratégiákat alkalmaztam, a tanulók változatos
feladatokkal találkoztak, gyakorolhatták a feladatalkotást, számos játék ban volt részük,
csoportokban dolgoztak.
A beavatkozást követően újra felmértem a kísérleti, majd a kontrollcsoport aktuális
fejlettségi szintjét a tudásszintfelmérő tesztek segítségével, amelyet a Mellékletben mutatok
be.
Hasonlóan az előfelméréshez a tes zt 11 feladatot tartalmaz ott, de mivel egy hosszú
fejlesztési időszakról van szó, a teszt ben lévő feladatok követik a tananyagnak megfelelő
tartalmakat, ismereteket, tudásszintet.
A tudásszintmérő tesztekhez ebben az esetben is pontszámokat rendeltem, amel yeket
összesítettem és az eredményeket egy diagramban rögzítettem.
A maximális pontszám az utófelmérés során is 90 pont volt. A tesztet egy tanuló sem
teljesítette tökéletese n, ami nem meglepő, mert a problémamegoldó gondolkodás és a
kreativitás mérése nem köthető egy merev határhoz. A kreativitást igénylő feladatoknál lehet
még újabb és újabb, eredetibb megoldásokat találni, ami a kisiskolások számára eléggé
nehézkes. A problémamegoldó gondolkodásfolyamatos fejlesztést igényel, és nem
elhanyagolható az a t ény sem, hogy hosszú idő re van szükség a fejlesztéshez . Ennek ellenére
az utófelmérés adatai a kísérleti csoport esetében azt mutatják, hogy a beavatkozás pozitív
változást hozott a fejlődésben .
elégtelen
9%
jó
83%nagyon jó
8%A kontrollcsoport el őfelmérés eredményei

76
Az itt kapott fejlettségi mutatók igazolták a várakozásomat, vagyis, hogy a kísérleti
csoport a beavatkozás hatására , az alkalmazott eljárásoknak köszönhetően sokat fejlődött
önmagához és a kontrollcsoporthoz viszonyítva is.
A fejlesztési terv hatékonyságát igazolta, hogy egy tanuló sem ért el elégtelen
minősítést, az osztály többsége pedig nagyon jól teljesített.
Az eredményeket a szemléltetés céljából a z 5. ábrával mutatom be.

5. ábra: Az utófelmérés eredményei – kísérleti csoport

Az ábrán jól látható, hogy a csoport 64% -a teljesített nagyon jól, ez az előfelmérés
esetében csak 8% volt, 22% sikerült közepes eredményt produkálnia és csupán 14%, vagyis 2
tanuló kapott elégséges minősítést.
Az utófelmérés és a beavatkozás során azt ta pasztaltam, hogy a tanulóknak sikerült
felfedezniük a matematika szépségét, örömmel oldanak meg feladatokat. Egy új, ismeretlen
típusú feladat láttán nem riadnak vissza, kíváncsiak , szívesen kísérletezgetnek. Gyorsabban
látják meg az összefüggéseket , és ha rossz irányba indultak és nem találják a megoldást, nem
csüggednek, újra hozzáfognak a feladat megoldásához. Több gyereknél fedeztem fel az
önellenőrzést , többségük logikusan k övetkeztet.
Azt a tényt, hogy a kísérleti csoport teljesítménye jelentőse n megnövekedett az
előfelméréshez viszonyítva a fejlesztő program hatékonyságának tulajdonítom.
A kísérleti csoportban alkalmazott elő és utófelmérések eredményeinek
összehasonlítására grafikont használtam, hogy jól megfigyelhető legyen a fejlődés mértéke.

elégéges
14%
jó
22%
nagyon jó
64%A kísérleti csoport utófelmérés eredményei

77

6. ábra: A kísérleti csoport elő – és utófelmérés eredményeinek összehasonlítása

A 6.ábrán kék színnel jelöltem a kísérleti csoport tagjainak előfelmérésen élért
eredményeit pontszámokkal, zöld színnel pedig az utófelmérésen élért eredményeket
ábrázoltam.
A fejlődés pozitív iránya az ábrán jól kivehető, tisztán látszik, hogy minden tanuló
pontszáma jelentősen javult a beavatkozást illetően. Magas pontszámot 9 tanuló ért el.
Az kísérleti csoport felmérése után a kontrollcsoport tagjainál is újra felmértem az
aktuális fejlettségi szintet tudásszintfelmérő teszttel. A tudásszintfelmérő teszt különböző
feladataira előzőleg meghatározott szempontok szerint pontszámokat adtam, amelyet
összesítettem és egy diagram segítségével ábrázoltam.
A kontrollcsoportban nem történt beavatkozás és meglepetésemre szolgált, hogy a
kontrollcsoport esetében a tanulók többségénél az eredmények csökkentek az
előfelmérésekhez képest.
A ko ntrolcsoport utófelmérés eredményeit a 7. ábra tartalmazza.

0102030405060708090
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1463,5
52,570,573,5
2369,5
5071,5 7177,5
44,551,5
35,5
1787,5
70,582,587,5
3682,5
6087,5 8885,5
77 77
49
20A kísérleti csoport eredményei
Előfelmérés Utófelmérés

78

7. ábra: Az utófelmérés eredményei – kontrollcsoport

A kontrollcsoport eredményeit feldolgozva megállapított am, hogy egy tanuló ért el
nagyon jó minősítést, a csoport fele elégségesre teljesítette a feladatlapot, egy tanuló, habár
fejlődést mutatnak az eredményei az előfelméréshez képest nem érte el az elégséges minősítést , a
csoport 34% -a teljesítette jól a tesztet.
A kontrollcsoportban alkalmazott elő és utófelmérések eredményeinek
összehasonlítására a következő ábrát (8. ábra) használtam.
Az ábrán kék színnel jelöltem az előfelmérések eredményeit pontszámokkal kifejezve,
a zöld szín az utófelmérések eredményeit jelentik.
Az elő és utófelmérések eredményeit összehasonlítva a kontrollcsoport esetében
elmondhatjuk. hogy az eredmények változatosak, 3 tanulónál fejlődést mutatnak, egy tanul ó
ugyanazt a teljesítményt nyújtotta, 8 tanulónál pedig csökkentek az eredmények.

elégtelen
8%
elégéges
50%jó
34%nagyon jó
8%A kontrollcsoport utófelmérés eredméyei

79

8. ábra: A kontrollcsoport elő – és utófelmérés eredményeinek összehasonlítása

Az utófelmérés során is lehetőségem volt megfigyelni mindkét csoport tagjainak
viselkedését , a feladatmegoldások közbeni megnyilvánulásaikat.
A problémamegoldó gondolkodás t és a kreativitás t fejlesztő , változatos feladatok és az
alkalmazott stratégiák használata által a kísérleti csoport tagjai motiváltabbak, kitartóbbak
lettek. Az utófelmérés alatt jól kihasználták az 50 percet, míg a kontrollcsoport tagjai már
jóval az idő lejárta előtt (15 -20 perc) jelezték, hogy befejezték a munkát, a többi feladatot nem
tudják megoldani , nem szeretnének tovább gondolkodni , a megoldások helyességét sem
ellenőrizt ék.
A kontrollcsoport egyes tagjai nem azért nem tudták megoldani, véleményem szerint,
a feladatokat, mert egyáltalán nem rendelkeztek azokkal az ismeretekkel , amelyek a
megoldáshoz szükségesek, hanem mert hiányzott az önbizalmuk, az ismeretek
felhasználá sának képessége, a motivációjuk, a problémamegoldó gondolkodásuk és a
kreativitásuk fejlesztése háttérbe szorult az ismeretek els ajátításával szemben. Többségük
hozzá sem fogott a feladatok megoldásához, ha nem egy rutinfeladatról volt szó, vagy
szám ukra ismeretlen módon volt tálalva. Megállapítottam, hogy ha egy tanuló minél
változatosabb, sokszínűbb feladatokkal találkozik, minél többet engedjük kísérletezni, annál
több lesz az önbizalma és könnyebben fog hozzá új, ismeretlen feladatokhoz. Ez által is
meggyőződtem mennyire fontos kialakítani a tanulókban az „én képes vagyok” érzést és
megtanítani őket az ismereteik felhasználására .
01020304050607080
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1262,577,5
64
4851,560,562,5
576065
53
842,546,564
283764
49
4064
3041
11Kontrollcsoport eredményei
Előfelmérés Utófelmérés

80
Az utófelmérésen kapott eredmények szerint a dolgozatom elején kitűzött célt elértem .
Az előfelmérés eredményei a kísérleti csoport esetében 61,19% -osak voltak, míg az
utófelmérésen 78% -ot értek el. Ez 16,81% -os javulást jelent. Ez szignifikáns fejlődést mutat,
amely a fejlesztő programnak kös zönhető.
Amint a kontrolcsoportnál láthatjuk az eredmények negatív irányba változtak . Az
előfelmérés eredményei 61,99% -ról az utófelmérés során 47% -ra csökkentek.

8.7. A problémamegoldó gondolkodás és a kreativitás vizsgálata

A problémamegoldó gondolkodás pontos mérése nagyon nehézkes hiszen számos
tényező től függ, de néhány feladato t kitűztem a tudásszintmérő tesztekben, amelyek
megoldása jelzi ennek a gondolkodásnak a fejlettségi szintjét . Az előfelmérésben a 3., 6., 7.,
8., 11. feladatok kal, az utófelmérésben pedig, a 3., 6.,8., 9., 11. feladatok kal mértem a tanulók
problémamegoldó gondolkodásának fejlettségi szintjét.
A matematikai órákon alkalmazott szöveges feladatok többsége problémamegoldó
gondolkodást igényel , ezért a tudásszintmérő tesztekben is használtam szöveges feladatokat,
az utófelmérésbe n megjelentek a szakaszos ábrázolással megoldható feladatok is.

9. ábra Előfelmérés, kísérleti csoport

10. ábra Utófelmérés, kísérleti csoport

A 9. ábra tartalmazza a kísérleti csoport eredményeit az előfelmérést követően, a 10.
ábrán pedig szintén a kísérleti csoport eredményei láthatóak, de ez már az utófelmérésen elért
eredményeket szemlélteti . A két ábrán jól kivehető a fejlődés mértéke, látható, hogy az
előfelmérésen az osz tály 27% -a teljesített nagyon jól, az utófelmérésen ez az arány 70% -ra
emelkedett .
Ezt az elemzést a kontrollcsoport tagjainál is elvégeztem, majd az eredményeket
Elégtel
en
20%
Elégség
es
23%Jó
30%nagyon
jó
27%Probl émamegoldó
gondolkodás
elégtele
n
12% elégség
es
7%
jó
11%
nagyon
jó
70%Problémammegoldó
gondolkodás

81
összesítettem, átlagot számoltam, majd összehasonlítottam és egy grafikon segítségével
szemlé ltettem, amelyet a 11. ábra tartalmaz.
Amint a 11. ábrán is jól látható az előfelmérésben a két csoport tagjai hasonlóan
teljesítettek. Az utófelmérés eredményei szerint már jelentős különbség van a kontrolcsoport
és kísérleti csoport teljesítménye között . A kísérleti csoport az előfelméréshez viszonyítva
26,28% -os javulást ért el, a kontrolcsoporthoz viszonyítva pedig 43,66% -kal teljesített jobban.
Az utófelmérésben szembe tűnő különbség volt a két csoport műveletek
eredményeinek becslésére vonatkozó felad at pontszámaiban. A kísérleti csoport 78, 57% -a
tudja helyesen megbecsülni a műveletek eredményeit, míg a kontrollcsoport esetében ez
csupán az osztály 50%-ra jellemző. Arra a következtetésre jutottam, hogy a becslés képessége
szorosan összefügg a problémamegoldó gondolkodás fejlődésével.

11. ábra: A problémamegoldó gondolkodás összehasonlítása

A tanulók kreativitásának vizsgálata

Az elő – és utófelmérés tudás szintmérő tesztjei tartalmaznak olyan feladatokat, amelyek
megoldása a kreativitás főbb, hangsúlyosabb jegyeit hordozzák magukban és amelyekkel
következtetni lehet a tanulók kreativitására. Az előfelmérés során a 9., 10. feladatokat, az
utófelmérésben pedig 7.és 10. feladatokat használtam erre a célra. Ezeknek a feladatoknak a
pontszámainak ös szesítésével mértem föl, hogy a tanulók az új, hasznos, ötletes alkotásában hol
tartanak. A z előfelmérésre szánt feladatok könnyebbek, mint az utótesztben találhatóak, mert
figyelembe vettem, hogy a tanterv szerint a tanulóknak a felmérés időszakában az is meretek
szerint hol kell tartaniuk.
01020304050607080
ELŐFELMÉRÉS UTÓFELMÉRÉS52,3878,66
54,76
35Problémamegoldó gondolkodás
Kísérleti csoport Kontrollcsoport

82
A tanulókat mindkét tesztben arra kértem, hogy szerkesszenek szöveges feladatot egy
adott műveletsorra. Meglévő ismereteik felhasználásával újat, helyeset, hasznos feladatot
kellett alkotniuk. Ez még nehéznek bizonyult, de egy – két tanulónak már sikerült tökéletesen
teljesítenie a feladatot az előfelmérés során , a többi tanuló többsége a kísérleti csoport
tagjainál az adatokat felhasználva, kérdéssel ellátott szöveges feladatot alkotott, csupán a
logikai menetben volt hi ba. Megfigyelhető a feladat megoldások pontszámai alapján (lásd
Melléklet , 7. feladat), hogy az utófelmérésben a kísérleti csoport tagjait illetően, már több
tanulónak sikerült helyes feladatot alkotnia.
Ötletességüket, leleményességüket bizonyít hatták az e lőfelmérés során azzal, hogy
hány műveletet, műveletsort tudtak alkotni négy azonos szám és a négy műveletjel
segítségé vel. Itt a két csoport teljesítménye közt nem volt jelentős különbség.
Az utófelmérés során új utakat kellett keresniük egy fe ladat megol dására, ahol kétféle képpen
kellett egy szöveges feladatot megoldaniuk, ezzel is bizonyítva kreativitásukat , divergens
gondolkodásuk fejlettségi szintjét.
A kísérleti csoport tagjainak többsége helyesen megoldotta a feladatot. A megoldást
követően a többség ük másodszor a szorzást ismételt összeadásra cserélve oldotta meg.
Örömömre szolgált, hogy akadt három olyan tanuló, akik új logikai úton oldott ák meg a
feladatot.
A kísérleti csoport elő – és utófelmérés során elért eredményeit a kreativitás terén a 12.
és 13. ábrákkal szemléltetem .
.

12. ábra Előfelmérés, kísérleti csoport
13. ábra Utófelmérés, kísérleti csoport
Az elő és utófelmérés adatait összesítve megállapítottam, hogy a kreativitásuk is
fejlődött, ami örvendetes tény hiszen ez is szüksége s, hogy az életben jó problémamegoldók
legyenek.
A kreativitás vizsgálatát elvégeztem a kontrollcsoport tagjainál is. Az e redmények
feldolgozása után, megállapíthattam, hogy a kontrollcsoport eredményei ebben az esetben is
Elégtele
n
25%
Elégség
es
7%
Jó
50%nagyon
jó
18%Kreativitás
elégtele
n
7% elégség
es
14%
jó
54%nagyon
jó
25%Kreativitás

83
csökkentek az előfelméréshez viszonyítva. Az utófelmérés során az új feladat alkotásával
próbálkoztak, de a feladat kétféleképpen való megoldás ában nem jár tak szerencsével,
többségük nem tudta megoldani a feladatot.
A kísérleti és kontrollcsoport eredményeit összesítettem, amelyet a 14. ábra tartalmaz.

14. ábra: A kreativitás összehasonlítása

A matematika tantárgy iránti attitűd vizsgálata

A tanulók matematika iránti érdeklődésüket, attitűdjüket , a matematika tantárgyhelyét
a többi elméleti tantárgy ak keretében vizsgáltam egy táblázat kitöltetésével. A tanulókat arra
kértem, hogy töltsenek ki egy táblázatot mosolygós , illetve szomorú arcok ábrázolásával , a
tantárgyak iránti attitűdjük szerint.
A kísérleti csoport tagjai közül 5 tanuló rajzolta a legtöbb mosolygós arcot a
matematika tantárgyhoz, vagyis öt tanuló érezte úgy, hogy kedvenc tantárgya a matematika.
Ez a tény az utófelmérés során v áltozott, ugyanis 9 tanuló sorolta a matematikát a kedvenc
tantárgyai közé.
A tantárgyak nevei mellé rajzolt arcocskákat pontszámokká alakítottam, majd összesítettem.
Az adatok grafikus ábrázolását a 1 4. ábra és 1 5. ábra tartalmazza.
A matematika iránti at titűdjüket nem csak az adott pontszámaik alapján állapíthatjuk
meg, hanem ez megfigyelhető a tanórán való magatartás ukon , viszonyulás ukon,
aktivitás ukon .
A matematika tantárgy iránti lelkesedésüknek tulajdonítottam azt a t ényt is, hogy
010203040506070
ELŐFELMÉRÉS UTÓFELMÉRÉS48,0766,46
53,15
34,92Kreativitás
Kísérleti csoport Kontrollcsoport

84
szívesen vettek rész t matematikai versenyeken tanórán kívül. 5 tanuló nevezett be a „Számok
szárnyán” levelezős versenyre, 9 tanulóval pedig részt vettünk a Kenguru , illetve a Zrínyi
Ilona Matematikaversenyen.

15. ábra:Matematika iránti attitűd – előfelmérés
Az attitűd vizsgálat a tudásszintmérő tesztek után készült közvetlenül, és
feltételezésem szerint tartalmazzák a tanulók pillanatnyi lelkiállapot át, vagyis, hogy mennyire
lelték örömüket a feladat ok megoldásában .

16.ábra : Matematika iránti attitűd – utófelmérés

10.2. Következtetések a hipotézisek mentén

A kisiskolás természetes kíváncsiságát, játékra való hajlandóságát, nyitottságát,
alkotási vágyát kell é beren tartanunk a tanóráinkon. Meg kell tanítanunk őket arra , hogyan
010203040506070
Magyar
anyanyelvRomán nyelv Matematika Tudományok Angol nyelv
Sorozatok1 70 21 52 56 58Kísérleti csoport, előfelmérés
0102030405060
Magyar
anyanyelvRomán nyelv Matematika Tudományok Angol nyelv
Sorozatok1 59 32 60 43 55Kísérleti csoport, utófelmérés

85
bízzanak képességeikben, hogy ne féljenek a k udarctól, merjenek próbálkozni. Az ismeretek
elsajátítása mellett, meg kell tanítanunk a gyerekeket gondolkodni, a munkájuk ellenőrzésére,
ösztönöznünk kell őket a kérdezésre, a kutatásra, fejlesztenünk kell kreativitásukat, hogy az
életben jó problémamego ldók legyenek.
Az eredmények kiértékelése a hipotézisek mentén
1. feltételezésem, hogy az alkalmazott módszerek, eljárások, feladatok hatékonyan
fejlesztik a tanulók problémamegoldó gondolkodását . Ez a feltételezésem a felmérés során
beigazolódott, hiszen a tanulók az előfelmérés eredményeihez és a kontrollcsoport tagjaihoz
képest is lényegesen jobban, szignifikánsan teljesítettek. Sokkal jobban látják az
összefüggéseket, elvonatkoztatnak, logikus gondolkodásuk fejlettebb, a gondolkodási
műveletek terén is ha talmasat fejlődtek, megjelent es tükben a megoldások helyességé nek,
ellenőrzésének az igé nye.
2. feltételezésem, hogy a problémamegoldó gondolkodás fejlesztésének
eredményeként a tanulók magabiztosabbá válnak, kreatívabbak lesznek szintén beigazolódott.
A kís érleti csoport tagjai eredményességét az is befolyásolta, hogy a csoport tagjai
rendelkeztek önbizalommal, azaz bíztak saját képességeikben, így hozzáfogtak a számukra
ismeretlen feladatok megoldásához is, nem csüggedtek el, ha egyből nem találták meg a
helyes megoldást. Újra próbálkoztak. A kreativitás terén is nagy fejlődés mutatkozott. habár a
kisgyerekekre jellemző az általános kreativitás, a matematikai feladatok megoldásában ez
mégis nehézségeket szokott jelenteni. A számukra érdekes, hétköznapi életü khöz közelálló,
gyakorlatias feladatok révén sikerült a matematika területén is kiváltani kreativitásukat. A
több helyes megoldás megtalálása divergens gondolkodást jelzi. A kreativitás pedig divergens
gondolkodásban nyilvánul meg.
3. feltételezésem, hogy a matematikai teljesítmény jelentősen javul bebizonyosodott az
által, hogy összes ségében a számolási képességeket is figyelembe véve az eredmények itt is
jelentősen javultak. A problémamegoldás, a logikus gondolkodás, kreativitás ,
problémaalkotás mind hozzáj árul a matematikai teljesítmény növeléséhez. A matematikai
teljesítményt növeli a tanulók motiváltsága, matematika tantárgy iránti pozitív attitűd, a
tantárgy szépségének és hasznosságának tudatossága, amelyet szintén igazoltam a
dolgozatomban .
4. feltételezé sem, hogy a z alkalmazott módszerek, eljárások, feladatok használatának
eredményeként a tanulók matematika tantárgy iránti attitűdjük pozitív irányba változik egy
kérdőív segítségével mértem fel. A mérésből egyértelműen kiderült, hogy a tanulók kedvüket
lelik a feladatmegoldásokban, a sikerélmény motiválja őket az újabb matematikai feladtok

86
megoldására, értékesnek, hasznosnak érzik magukat. Nem elhanyagolandó az a tény sem,
hogy sokkal kitartóbbak lettek, észre sem veszik közben, hogy röpül az idő.

ÖSSZEGZÉS

„A gyermekkor évei azok az esztendők, amikor a szív a legérzékenyebb,
leghajlékonyabb. Amit oda elültetnek, azt aligha lehet valaha is onnan kipusztítani.” (J. F.
Oberlin)
A dolgozatomban bemutattam számos olyan módszert, eljárást, stratégiát, amellyel a
tanítási órákon a tanulók problémamegoldó képessége fejleszthető. A pedagógus feladata,
hogy ezek közül kipróbáljon a tanulókkal minél többet, és gyakoroltassa is velük, mindaddig
amíg meg győződik, hogy a tanulók önállóan is alkalmazni is tudják őket. Ezen stratégiák,
módszerek alkalmazásával nemcsak a gondolkodásukat, a problémamegoldó képességüket
fejlesztjük, hanem a valós életben is jobban tudnak majd boldogulni, személyiségük fejlődik,
magabiztosabbakká , kitartóbbakká válnak.
Külön figyelmet fordítottam a szöveges feladatok tanítására, ahol a problémamegoldás
lépéseit követve hasznos stratégiákat taníthattam.
A problémamegoldás lépéseinek tudatos követését, a munka felügyeletét és a dö ntések
meghozatalát kérdésekkel segítettem, amelyek azonban nem nyújtottak információt és nem
értékelték a munkát. Az indoklások megkövetelésével a kritikus gondolkodást, a változatos,
feladatok, rejtvények, feladatalkotások segítségével a kreatív gondolko dást igyekeztem
fejleszteni. Tárgyi és képi reprezentációk alapozzák meg a szimbolikus reprezentációkat. A
felfedeztető tanítás és a csoportmunka, a kérdésfeltevések, problémaalkotások ösztönzése a
tanulók pozitív hozzáállását erősítették. Az egyéni munkát , a problémákon való önálló
gondolkodást házi feladatokon gyakorolhatták.
Azt tapasztaltam eddigi munkám során, hogy a tanulóknak nagy nehézséget okoz a
matematikai feladatok megoldása, ellenérzéseket táplálnak a matematika, mint tudomány
iránt, nincs elé g sikerélményük a problémamegoldásokban, nem lelik örömüket a
kutakodásban, fejtörésben, szívesebben végeznek algoritmusokon alapuló műveleteket, mert
azok kevés energiakifejtéssel megoldhatók . Fontos, hogy a tanulóknak megteremtsük azokat a
feltételeket, hogy örömüket leljék a feladatmegoldásokban, és megtanítsuk őket, hogy an

87
tudják tudatosan felhasználni az előző ismereteiket, és tanuljanak meg gondolkodni.
A tanulók többsége nem szívesen old meg gondolkodást igénylő, akár szöveges
feladatokat és nem tudja használni az elsajátított ismereteket, fogalmakat. Sajnos ez nemcsak
az iskolai évek alatt tűnik ki, hanem a későbbiekben is, amikor felnőttként sem tudnak
megfelelni bizonyos elvárásoknak. E zért látom fontosnak, hogy pedagógusként minél többet
foglalkozzak ezzel a témával, és szeretném, ha munkám eredményes lenne.
A problémamegoldó gondolkodás fejlesztésére hasznos, fontos feladatunk , hiszen az
egész életük során, az iskolai évek alatt is fol yton találkoznak tanulóink feladatokkal,
problémahelyzetekkel, amelyeket , ha tapasztalattal, jártassággal rendelkeznek,
magabiztosabban tudnak majd kezelni, könnyedén veszik majd az akadályokat.
Szeretném, ha dolgozatom megírásával más pedagógusnak is segí tséget tudnék
nyújtani ezen stratégiák felhasználásában, és az elkövetkezőkben minél több matematika
kedvelő, problémamegoldásban jártas, kreatív tanítványt tudnék nevelni.
Ahhoz, hogy megkedveltessük a matematikát, először mi pedagógusok kell
felfedezzük ennek a tantárgynak a szépségét.
Tanítsuk meg a tanulókat kérdezni, adjunk a tanulóknak minél több olyan feladatot,
ahol ők maguk kérdezhetnek. Ha van rá lehetőség vegyünk rész t a tanulókkal minél több
matematikai versenyen, hiszen ezeken a versenyeken érd ekes, játékos feladatokkal
találkozhatnak és lehetőségük ny ílik a tapasztalatszerzésre.
Fontosnak tartom, hogy engedjük a tanulókat kísérletezni, ha van egy megoldási
javaslatuk, ötletük, induljunk el azon a gondolkodásmeneten, járjuk végig azt az utat.
Engedjük meg, hogy ők maguk jöjjenek rá, hogy jó volt -e az ötletük, segítve ezzel kritikai
gondolkodásukat, még akkor is, ha ezzel időt vesz ítünk.
A matematikai teljesítmény növeléséne k egyik fontos feltétele, hogy közben n e
feledkezzünk meg az alapműveletek végzésének begyakorlásának fontosságáról.
Arra kell törekednünk, hogy minden tanulót, akár többre, akár kevesebbre jut a
matematikában, meggy őzzünk arról, hogy a matematika hasznos, érdekes és szép és
képességeikhez mérten tegyük számukra hoz záférhetővé ezt a tantárgyat .
A tanítás – tanulás hatékonysága érdekében lehetővé kell tennünk, hogy a matematika egyes
fejezetei és problémái között, a matematika és más tudományok, a matematika és a
mindennapos tapasztalatok között is minél több összefüg gést ismerjenek fel , saját konkrét
tapasztalataikból kiindulva veze ssük őket az absztrakt matematikai tények felfedezésére és
alkalmazására. Teremtsünk lehetőséget arra, hogy a műveleti eljárásokhoz elsősorban saját
tevékenységük alapján jussanak el.

88
A logikus gondolkodás uk fejlesztése érdekében a tanulóknak tisztában kell lenniük a
műveletek minden lépésének értelmével és nagy hangsúlyt kell fektetni a műveleti
eredmények becslésére. A gyerekeket engedjük kísérletezni, gyűjtsenek össze feladatokat ők
maguk, készítsenek feladatlapokat, amelyeket majd társaikkal megoldhatnak.
Dolgozatom megírásával szeretném felhívni mindazok figyelmét, akik gyerekek
nevelésével, oktatásával foglalkoznak, hogy habár a problémamegoldó gondolkodás
időigényes folyamat és kezd etben sok nehézség gel jár, érdemes ezen az úton elindulni, ne
sajnálják a fáradságot és időt ismertessék meg a tanítványaikkal ezeket a stratégiákat, mert
munkájuknak meglesz a gyümölcse és a későbbiekben sok vidám, eredményes órát tölthetnek
együtt tanítv ányaikkal.

89
FELHASZNÁLT I RODALOM

1. Arthur J. Croply (1983), Tanítás sablonok nélkül , Tankönyvkiadó, Budapest
2. Bertrand Russel (1976), Miszticizmus és logika , Magyar Helikon, Budapest
3. Dienes Zoltán (1999) , Építsük fel a matematikát , SHL Hungary Kft, Budapest
4. Dósa Zoltán, Péter Lilla (2010), A pedagógiai kutatás alapjai , Kolozsvári Egyetemi
Kiadó, Kolozsvár
5. Dr. Ceglédi István (2011), A matematika tanításának pedagógiai – pszichológiai
vonatkozásai ,https://docplayer.hu/3246617 -A-matematika -tanitasanak -pedagogiai –
pszichologiai -vonatkozasai -dr-cegledi -istvan.html , (2018. 01.23)
6. Dr. Fodor László, A kreatív személyiség ,
(http://www.oracler.ro/fodlink/a%20kreativ%20szemely.html ), (2017.11.22)
7. Dr. Geréb György (1971), Pszichológia, Tankönyvkiadó, Budapest
8. Dr. Spencer Kagan (2004), Kooperatív tanulás , Önkonet, Budapest,
9. Eric Louis Mann (2005), Mathematical creativity and school mathematics: Indicators
of mathematical creativity in middleschool students (2017.11.22)
10. Fáboshné Zách Enikő (1999), Te is szeretsz tan ítani? , Műszaki Könyvkiadó, Budapest
11. Falus Iván (2006), Didaktika , Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest
12. Foris -Ferenczi Rita, Birta – Székely Noémi (2007), Pedagógiai kézikö nyv, Ábel Kiadó,
Budapest
13. Frank K. LesterJr (2013), Thoughts About Research On Mathematica l Problem –
Solving Instruction ,
https://scholarworks.umt.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1267&context=tme
(2018.01.23)
14. Horváth Attila (1994), Kooperatív technikák, Hatékonyság a nevelésben , OKI
Iskolafejlesztési Központ, Készült a Nagy -Gáspár Kft. Nyomdájában
15. Juhászné Klér Andrea (2011), Problémamegoldó folyamatok , Szent István
Egyetem https://www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop412A/2010 –
0019_Problemamegoldo_folyamatok/index.html ,( 2017.07.11)
16. Kontra József (2000), A kreativitás és a matematikai teljesítmény minősítő értékelése ,
Magyar Pedagógia, 100. Øvf. 3. szÆm 249273.
17. Kürthy Katalin (2 015), Barangoljunk a matematika világában !, Ábel Kiadó,
Kolozsvár
18. Kürti Jarmila (1982), Kreativitásfejlesztés kisiskoláskorban , Tankönyvkiadó, Budapest

90
19. Lénárd Ferenc (1982), A gondolkodás hétköznapjai , Akadémiai Kiadó, Budapest
20. Lénárd Ferenc (1984), A problémamegoldó gondolkodás , Akadémiai Kiadó, Budapes t
21. Mihail Roșu, (2006) , A matematika tanítása az elemi osztályokban , Oktatási és
Kutatási
22. Molnár Gyöngyvér (2004), Problémamegoldás és probléma alapú tanítás ,
Iskolakultúra , 2. sz. 12 -19
http://epa.niif.hu/00000/00011/00079/pdf/iskolakultura_EPA00011_2004_02_012 –
019.pdf
23. Nicky Hayes (1996) , Pszichológia , Akadémiai Kiadó, Budapest
24. Olosz Etelka –Olosz Ferenc (2000), Matematika és mód szertan , Ábel Kiadó,
Kolozsvár
25. Pintér Klára (2012) , A matematikai problémamegoldás és problémaalkotás
tanításáról , Szeged ( 2017.11.26 )
26. Pólya György (1977) , A gondolkodás iskolája , Gondolat Kiadó, Budapest
27. Pólya György (1985), A problémamegoldás iskolája II., Tankönyvkiadó, Budapest,
28. Rényi Alfréd (1966) , Dialógusok a matematikáról , Akadémiai Kiadó, Budapest
29. Robert Fisher (1999), Hogyan tanítsuk gyermekeinket gondolkodni ?, Műszaki
Könyvkiadó, Budapest
30. Mark A. Runco (1994) , Problem Finding, Problem Solving, and Creativity , Ablex
Publishing Corporation , New Jersey (2018.03.27)
31. Salamon Jenő (1983) , Az értelmi fejlődés pszichológiája , Gondolat, Budapest
32. Séra László (2001) , Általános pszichológia , Coménius Bt., Pécs
33. Szendrei Julianna (2005) , Gondolod, hogy egyre megy? Typotex Kiadó, Budapest
34. Tuzson Zoltán (1996), Hogyan oldjunk meg aritmetikai feladatokat ? Magyar Virág
Kiadó
35. Kooperatív tanulási módszerek,
http://www.didactic.eoldal.hu/cikkek/kooper ativ/kooperativ -tanulasi -modszerek.html
36. Gondolkodás, https://hu.wikipedia.org/wiki/Gondolkod%C3%A1s

91

MELLÉKLETEK