I. Elemente de teoria probabilit at ilor [600260]

I. Elemente de teoria probabilit at ilor
0.1 Evenimente
Teoria probabilit at ilor are ca not iuni fundamentale: not iunea de eveniment  si
probabilitatea aparit iei unui eveniment. ^In activitatea  stiint ic a  si ^ n activi-
tatea economico-social a se^ nt^ alnesc fenomene a c aror producere  si desf a surare
poate  prev azut a cu exactitate deoarece ansamblul factorilor care le pro-
voac a se poate studia cu precizie.
Exist a fenomene care depind de factori ^ nt^ ampl atori  si care se numesc
fenomene aleatoare (^ n limba latin a: "alea" = zar).
Un experiment aleator este o activitate ale c arei rezultate nu pot  an-
ticipate cu sigurant  a. Mult imea tuturor rezultatelor posibile ale unui ex-
periment aleator se nume ste domeniu de posibilit at i saumult imea cazurilor
posibile . Evenimentul sau evenimentul aleator este orice situat ie determinat a
de unul sau mai multe rezultate posibile ale experimentului. Evenimentele
sunt submult imi ale domeniului de posibilit at i.
Fiecare repetare a unui experiment se nume ste prob a . O prob a atrage
dup a sine realizarea sau nerealizarea unui eveniment. Un eveniment s-a
realizat dac a rezultatul experimentului este un element ^ n mult imea care-l
dene ste. Fiec arui eveniment ^ i corespunde o mult ime de cazuri favorabile.
Exemple: Consider am activitatea de aruncare a zarului cu fet ele nume-
rotate de la 1 la 6:
– activitatea arunc arii zarului constituie un experiment aleator ;
– aruncarea zarului este o prob a ;
– domeniul de posibilit at i este E=f1;2;3;4;5;6g;
– evenimente aleatoare:
A: aparit ia fet ei cu num arul 5 ;
B: aparit ia unui num ar impar;
C: aparit ia fet ei cu num arul 3 sau 5 ;
D: aparit ia fet ei cu num arul 8;
E: aparit ia uneia dintre fet ele numerotate cu 1 ,2, 3, 4, 5 sau 6.
Exist a trei tipuri de evenimente:
1:evenimentul sigur (cert) – se realizeaz a cu certitudine la orice efectuare
a experimentului (evenimentul E de mai sus) .
2. eveniment imposibil – nu se poate realiza ^ n nicio prob a (evenimentul
D) , acest eveniment nu are niciun caz favorabil .
1

3. Evenimente aleatoare care se pot produce sau nu ^ n urma efectuarii
unui experiment (evenimentul A, B, C) .
OPERAT  II CU EVENIMENTE:
a) Reuniunea Reuniunea evenimentelor A  si B notat a A U B numit  si
eveniment sum a se realizeaz a atunci c^ and se realizeaz a cel put in unul dintre
evenimentele A sau B.
Evenimentul sigur este reuniunea tuturor evenimentelor elementare ale
experimentului
A[;=A:
Not am cu E domeniul de posibilit at i  si atunci avem A[E=E.
b) Intersect ia Evenimentul
A\B
numit  si conjunct ia evenimentelor A  si B este evenimentul a c arui realizare
^ nseamn a realizarea ambelor evenimente A  si B.
A\;=;
A\E=A
c) Negat ia Evenimentul Asau "non A" este evenimentul contrar evenimen-
tului A . Cazurile favorabile evenimentului "non A" sunt toate cazurile ne-
favorabile evenimentului A . Observat ii :
A\B=A B
A=A
A\A=;
d) Implicat ia AB. Evenimentul"A implic a B" este acel eveniment prin
care realizarea evenimentului A atrage realizarea evenimentului B . Eveni-
mentul imposibil implic a orice alt eveniment al experient ie . Orice eveniment
implic a evenimentul sigur.
e) Evenimentele A  si B sunt echivalente dac a se implic a reciproc  si se
noteaz a
A=B
.
2

0.1.1 EVENIMENTE INCOMPATIBILE S I EVENI-
MENTE COMPATIBILE
Evenimentele A  si B sunt incompatibile dac a nu se pot realiza ^ mpreun a ^ n
nicio prob a. A  si B sunt incompatibile dac a
A\B=;:
Dac a A  si B sunt incompatibile atunci
AB
 si
BA:
Evenimentul sigur  si evenimentul imposibil sunt evenimente incompatibile.
Evenimentele A  si B se numesc compatibile dac a se pot realiza ^ mpreun a ^ n
acea si prob a. A,B sunt compatibile dac a nu sunt incompatibile
A\B6=;
De exemplu evenimentele "A: aparit ia fet ei cu num arul 5"  si "B: aparit ia unui
num ar impar sunt evenimente compatibile"(experient a aleatoare a arunc arii
zarului).
0.2 M asuri de probabilitate
Consider am: "-experient  a aleatoare.

-spat iu de select ie=mult ime nit a
A
un eveniment
def: Probabilitatea evenimentului Anotat aP(A) este acel num ar real de-
nit ca raport dintre num arul rezultatelor posibile pentru care Ase realizez a
 si num arul tuturor rezultatelor posibile:
P(A) =cardA
card
Propriet at iile funct iei de probabilitate
Funct ieP:P(
)!Rare urm atoarele propriet at i:
(i)0P(A)1;(8)A2P(
)
(ii)P(
) = 1
(iii)8An>0
;Ai\Aj=;8i6=jrezul aPS
n>0An) =P
n>oP(An)
Demonstrat ie:
3

Funct ieP:P(
)!Rare urm atoarele propriet at i:
(i)0P(A)1;(8)A2P(
)
(ii)P(
) = 1
(iii)8An>0
;Ai\Aj=;8i6=jrezul aPS
n>0An) =P
n>oP(An)
Inductiv:PSp
i=1Ani) =Pp
i=1P(Ani), dac aAi\Aj=?;(8)i6=j:S
n>0An=Pm
i=1P(Ani) =P
n>0P(An)
P(A[?) =P(A) +P(?) :A\?=?
P(A) =P(A) +P(?);(8)A
P(?) = 0
O funct ie cu aceste propriet at i se nume ste m asur a de probabilitate pe
familiaP(
) = 1
Tripletul(
;P(
);P) se nume ste c^ amp de probabilitate.
Fie (
;P(
);P) un c^ amp nit de probabilitate ( card
=n):
Sunt adev arate urm atoarele armat ii:
P1:P(A) = 1P(A);8A2P(
);
P2:P() = 0;
P3:8A;B2P(
);ABrezult aP(A)6P(B);
P4:P(AB) =P(A)P(B) dac aBA;
P5:P(AB) =P(A)P(A\B);8A;B2P(
);
P6:P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B);8A;B2P(
):
Exemplu: O urn a cont ine 8 bile albe  si 12 bile ro sii iar alta cont ine 6
bile albe  si 9 bile ro sii. Din ecare urn a se extrage c^ ate o bil a la ^ nt^ amplare.
Se consider a evenimentele: A: "bila extras a din prima urn a este alb a"  si B:
"bil a extras a din a doua urn a este ro sie".
Probabilitatea ca "bila extras a din prima urn a s a e alb a sau bila extras a
din a doua urn a s a e ro sie " este
P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B) =2
5+3
56
25=19
25
Probabilitatea ca "bila extras a din urn a a doua s a nu e ro sie este:
P(B) = 1P(B) = 13
5=2
5:
0.3 Probalit at i condit ionate
Probabilitatea condit ionat a de evenimentul A a evenimentului B este proba-
bilitatea lui B dac a evenimentul A se produce.
Denit ie: e
(E;P(E);P)
un c^ amp de probabilitate, A  si B dou a evenimente,
P(B)6= 0:
4

Probabilitatea evenimentului A condit ionat a de evenimentul B este num arul
PB(A) =P(A\B)
P(B):
Dac a A  si B sunt disjuncte atunci
PA(B) =;:
1: (Formula de ^ nmultire a probabilit at ilor)
(i)P(A)>0;P(B)>0 =)P(A\B) =P(A)PA(B) =P(B)PB(A)
Fie A  si B dou a evenimente pentru care P(A);P(B)>0. AtunciP(A\B) =
P(A)
PB(A):
(ii)P(Tn1
k=1Ak)>0 =)P(A1\A2\:::\An) =P(A1)PA1(A2)
PA1\A2(A3):::PA1\A2\:::\An1(An)
Demonstrat ie: din denit ia probabilit at i condit ionate
PB(A) =P(A\B)
P(B)
reiese (i)  si c a pentru n=2 are loc (ii). Dac a presupunem c a (ii) este adev arat a
pentru n  si c a
P(n1\
k=1Ak)>0
atunci avem
P(n+1\
k=1Ak) =P(n\
k=1Ak)\An+1) =P(A1\A2\:::\An)PA1\A2\:::\An(An+1):
Deoarece
A1\:::\An1A1\:::\An;
rezul a c a :
Pn1\
k=1Ak)>Pn1\
k=1Ak)>0
 si putem aplica (ii) pentru primul factor din produsul de mai sus  si obt inem
formula de ^ nmult ire pentru n+ 1 ,teorema ind demonstrat a.
Teorema 2: (Formula probabilit at ii totale) Dac a
(Hi)i2I
este o desfacere cel mult num arabil a a lui E astfel ^ nc^ at
P(Hi)>0;8i2I;
5

atunciA2P(E) rezul aP(A) =P
i2IP(Hi)PHi(A):
Demonstrat ie : Pentru ca
E=[
i2IHi
putem scrie
A=A\E=A\[
i2IHi) =[
i2I(A\Hi)
Hi\Hj=;;
8i6=j;
atunci avem
P(A) =X
i2IP(A\Hi) =X
i2IP(Hi)PHi(A);
pentru c a X este cel mult num arabil a  si am utilizat faptul c a
P(Hi)>0:
Exemplu:O urn a cont ine 5 bile albe dintre care dou a numerotate cu 1  si trei
numerotate cu 2  si 4 bile negre dintre care dou a numerotate cu 1  si dou a cu 2 :
Din aceast a urn a se extrag succesiv dou a bile (f ar a ^ ntoarcerea bilei extrase).
Se consider a evenimentele A: prima bila extras a este alb a. B: a doua bil a
extras a are num arul 1. Care este probabilitatea ca a doua bil a s a e alb a
dac a prima este alb a? Ca s a aplic am formula din denit ia probabilit at ii
condit ionate trebuie s a cunoa stem
P(B)
 si
P(A\B):
A\Beste evenimentul "ambele bile extrase sunt albe". Dac a extragem
dou a bile succesive din totalul de nou a bile , num arul cazurilor posibile este
A2
9= 72
dintre care favorabilele lui " A  si B" sunt
A2
5= 20;
deci probabilitatea
P(A\B) =20
72=5
18:
PA(B) =P(A\B)
P(A)=5
18
5
9=1
2
6

0.3.1 EVENIMENTE INDEPENTE
Denit ie: evenimentele A  si B se numesc independente dac a realizarea unuia
nu depinde de realizarea celuilalt. Evenimentele A  si B sunt independente
dac a  si numai dac a
P(A\B) =P(A)P(B):
Evenimentele A  si B sunt dependente dac a realizarea sau nerealizarea unuia
depinde de realizarea sau nerealizarea celuilalt.
Exemplu: se arunc a un zar o singur a dat a  si se consider a evenimentele:
A: aparit ia uneia din fet ele 1 ;3;4
B: aparit ia uneia din fet ele 3 ;4;5;6
Evenimentele A  si B sunt independente ,
P(A) =3
6=1
2;
P(B) =4
6=2
3
P(A\B) =2
6=1
3:
Evenimentele A  si B veric a relat ia
P(A\B) =P(A)P(B)
P(A\B) =1
22
3=1
3
cea ce arat a dependent a lor.
0.4VARIABILE ALEATOARE DISCRETE
^In viat a de zi cu zi ^ nt^ alnim experiente care consuc la c^ a stiguri sau pierderi
, ^ nt^ alnim m arimi care i-au valori ce se schimb a sub in
uent a unor factori
^ nt^ ampl atori (aleatori).
De exemplu: num arul de zile dintr-un an ^ n care cad ploi peste o anumi a
zon a , v^ anz arile din comert  sunt legate de ofertele concurent ei , notele de la
examen depind de subiectul propus . Nu orice experient  a poate  studiat a
riguros matematic dar unele dintre jocurile de noroc da .
Ca s a cunoa stem o variabil a aleatoare trebuie s a  stim mai ^ nt^ ai valorile
pe care le poate lua. Fiecare valoare este luat a sub in
uent a unor factori
^ nt^ ampl atori . Variabila aleatoare este mai bine precizat a dac a  stim proba-
bilitatea cu care este luat a ecare valoare .
7

Denit ie : Fie
(E;P(E);P)
un c^ amp de probabilitate asociat unui experiment. O funct ie
X:E!x1;x2;:::;x n
care face s a corespun a ec arui element din domeniul de posibilit at i un num ar
real dintr-o mult ime nit a de valori  si pentru care cunoa stem probabilit at ile
ec arei valori posibile , P(X=xi) =pi,i=1;nastfel ^ nc^ at pi>0  si
p1+p2+:::+pn= 1 se nume ste variabil a aleatoare .
O variabil a aleatoare X se poate nota schematic printr-un tablou de
distribut ie sau repartit ie al variabilei aleatoare
Xx1x2:::xn
p1p2:::pn
Mult imea de numere pipi=P(X=xi);i=1;nse nume ste repartit ia de pro-
babilitate a variabilei X .
Exemplu: se consider a un joc cu zaruri. Se acord a celui care arunc a zarul:
un punct dac a apar fet ele 1 sau 6 , dou a puncte dac a apare una din fet ele 2
sau 4  si trei puncte dac a apare una din fet ele 3 sau 5 . Num arul de puncte
obt inute de un juc ator la o aruncare a zarului este variabila aleatoare
X:1 2 3
1
31
31
3
Variabilele aleatoare se clasic a dup a propriet at ile mult imii valorilor astfel:
– variabil a aleatoare simpl a , dac a are un num ar nit de valori ;
– variabil a aleatoare de tip continu dac a mult imea valorilor este un interval
de numere reale ;
– variabil a aleatoare de tip discret dac a mult imea valorilor este o mult ime
discret a de numere .
Operat ii cu variabile aleatoare:
Variabilele X  si Y sunt independente dac a evenimentele X=xi,Y=yj
sunt evenimente independente oricare ar  i=1;n sij=1;n. Fie X,Y
variabile aleatoare av^ and tabloul de distribut ie:
Xx1x2::: x m
p1p2::: p m
;
Yy1y2::: y n
q1q2::: q n
8

X+Yx1+y1x1+y2::: x i+yj::: x m+xn
p1q1p1q2::: p iqj::: p mqn
Exemplu:X1 3
1
52
5
;Y2 4
4
53
5
, dou a variabile independente .
Valorile sumei vor : f3;5;7g
X+Y3 5 7
4
2511
256
25
:
Adunarea  si ^ nmult irea cu num ar real:
a+Xa+x1a+x2::: a +xm
p1p2::: p m
;aXax1ax2::: ax m
p1p2::: p m
;a2R
Exemplu:
2 +X3 5
1
52
5
: 2X2 6
1
52
5
^Inmult irea variabilelor aleatoare:
XYx1y1x1y2::: x iyj::: x myn
p1q1p1q2::: p iqj::: p mqn
Exemplu:
XY2 4 6 12
4
253
258
256
25
Ridicarea la putere:
Xkxk
1xk
2::: xk
m
p1p2::: p m
Exemplu:
Y38 64
4
53
5
Valori numerice asociate variabilei aleatoare:
1. Momentul de ordinul k(k2N) a lui X :
Mk(X) =nX
i=1xk
ipi
dac ak= 1;M 1(X) este media variabilei aleatoare (valoarea medie sau sperant a
matematic a)  si se noteaz a M(X).
2. Modulul sau dominanta variabilei aleatoare X este valoarea ce cores-
punde probabilit atii celei mai mari  si se noteaz a M0(X) .
9

3. Dispersia variabilei aleatoare X se determin a cu ajutorul formulei
D2(X) = (x1m)2p1+ (x2m)2p2+:::+ (xnm)2pn;
undem=M(X)
4. Aplitudinea variabilei aleatoare este diferent a dintre cea mai mare si
 si cea mai mic a valoare a variabilei.
A(X) = max
i=1;n(xi)min
i=1;n(xi):
5. Abaterea medie p atratic a notat a D(X) se calculeaz a cu ajutorul for-
mulei
D(X) =p
D2(X):
Abaterea medie p atratic a arat a gradul de ^ mpr a stiere sau de omogenitate a
valorilor variabilei X ^ n jurul valorii medii .
Exemplu: Arunc am cu zarul. Dac a iese un num ar impar , c^ a stig am at^ atea
se c^ at este num arul ; dac a iese un num ar par pierdem at^ atea se c^ at arat a
num arul. Not am cu X variabila aleatoare care va avea urm atorul tablou de
distribut ie:
X642 1 3 5
1
61
61
61
61
61
6
M(X) = 11
621
6+ 31
641
6+ 51
661
6=1
2
M0(X)2f 6;4;2;1;3;5g
D2(X) =nX
i=1×2
ipim2= (6)2+(4)2+(2)21
6+121
6+321
6+521
6(1
2)2=179
12
D(X) =r
179
12=p
537
6= 3;84
A(X) = 5(6) = 11
0.5FORMULA LUI BAYES
Unele probleme se pot rezolva aplic^ and formule  si scheme probabiliste. Rolul
acestora este de a rezolva probleme de un anumit tip f ar a a  nevoie s a
facem apel de ecare dat a la un rat ionament sau la un calcul complicat .
Odat a cunoscut a aceast a schem a dac a ^ nt^ alnim ^ ntr-o problem a o anumit a
10

experient  a care se repet a ^ n condit ii identice , apel am la rezultatul cunoscut.
Regula de ^ nmult ire a probabilit at ilor:
P(A1\A2\:::\An) =P(A1)P(A2jA1)P(A3jA1\A2):::
P(AnjA1\A2\:::\An1)
Demonstrat ie. Folosind denit ia probabilit at ii condit ionat a avem:
P(A1) =P(A1);
P(A2jA1) =P(A1\A2)
P(A1)
P(A3=A1\A2) =P(A1\A2\A3)
P(A1\A2)
:::::::::::::::::::::::::::::::::
P(An=A1\A2\:::\An1) =P(A1\A2\:::\An1\An)
P(A1\A2\An1)
 si^ nmult iind membru cu membru aceste egalit at ii obt inem regula de^ nmult ire
a probabilit at ilor.
Formula probabilit at ii totale:
FiefAigi2Iun sistem complet de evenimente. Atunci:
P(B) =P
i2IP(Ai)P(BjAi);(8)B2P
Demonstrat ie : Fie B2P)B\
=B\S
i2IAi=S
i2I(B\Ai)
(B\Ai)\(B\Aj) =B\(Ai\Aj) =B\;=;;8i;j2I;i6=j)
P(B) =P(S
i2I(B\Ai)) =P
i2IP(B\Ai)
P(BjAi) =P(B\Ai)
P(Ai))P(B\Ai) =P(Ai)
P(BjAi)
P(B) =P
i2IP(Ai)P(BjAi)
Formula lui Bayes:
FiefAigi2Iun sistem complet de evenimente. Atunci:
P(AjjB) =P(Aj)P(BjAj)P
i2IP(Ai)P(BjAi);8B2P:P(B > 0);8j2I:
Demonstrat ie:
FieB2P:P(B > 0)  sij2I:
Atunci:P(AjjB) =P(Aj\B)
P(B)=P(Aj)P(BjAj)P
i2IP(Ai)P(BjAi)
Exemplu:
Se dau dou a urne identice ^ n exterior. Una cont ine 3 bile albe  si 4 bile
negre iar cealalt a 4 bile albe  si 5 bile negre. Din una dintre aceste urne aleas a
la ^ nt^ amplare se ia o bil a de asemenea la ^ nt^ amplare. Dac a bila extras a este
alb a , care este probabilitatea ca ia s a provin a din prima urn a?
Rezolvare:
Consider am evenimentele:
11

A:bila extras a este alb a ,
A1:extragerea se face din prima urn a ,
A2: extragerea se face din a doua urn a .
Evenimentele A1 siA2sunt echiprobabile.
P(A1) =P(A2) =1
2
Aplic^ and formula lui Bayer obt inem:
P(A1=A) =P(A=A 1)
P(A=A 1)+P(A=A 2)=3
7
3
7+4
9=27
55
12