I. Aritmetic ă în inele integre… 3 [629804]
1 CUPRINS
I. Aritmetic ă în inele integre…………………………………………………………………………………….. 3
I.1 Divizibilitate………………………………………………………………………………………………. …. 3
I.2 Inele euclidiene ……………………………………………………………………………………………. 1 1
I.3 Inele de întregi p ătratici, euclidiene fa ță de normă……………………………………………. 14
I.4 Inele principale…………………………………………………………………………………………….. 17
I.5 Inele factoriale…………………………………………………………………………………………….. . 20
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame ……………………………………………………………………. 25
Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 30
II. Module ……………………………………………………………………………………………………… ……. 36
II.1 Module, submodule, morfisme ……………………………………………………………………… 36 Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 46
II.2 Module factor și teoreme de izomorfism………………………………………………………… 48
Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 52
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte……………………………………………………………. 53
Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 66
II.4 Module libere……………………………………………………………………………………………… 6 8
Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 76
II.5 Bimodule, module duale ………………………………………………………………………………. 77 Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 81
III. Module finit generate peste inele principale ……………………………………………………….. 83
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit…………………………………………………… 83
Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 89
III.2 Structura modulelor finit gene rate peste un inel principal ……………………………….. 91
Exerciții …………………………………………………………………………………………………………… 96
III.3 Module indecompozabile finit generate ………………………………………………………… 97 Exerciții …………………………………………………………………………………………………………. 103
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional………………….. 104
2
Exerciții …………………………………………………………………………………………………………. 115
Anexe………………………………………………………………………………………………………….. ……. 117
1. Ideale prime și maximale………………………………………………………………………………. 117
2. Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale…………………………………………. 119
3. Inele și module de frac ții ………………………………………………………………………………. 127
4. Categorii, functori………………………………………………………………………………………… 132
5. Polinoame simetrice …………………………………………………………………………………….. 139
Bibliografie……………………………………………………………………………………………………. ….. 148
3 I. Aritmetic ă în inele integre
Analizînd propriet ățile operațiilor de adunare și înmulțire în mul țimea numerelor întregi Z,
se ajunge printr-o generalizare natural ă la noțiunea de inel. Există însă inele ale c ăror
proprietăți sînt foarte „depar te” de cele ale lui Z, mai ales în ceea ce prive ște divizibilitatea. O
clasă largă de inele în care se poate dezvolta o teor ie a divizibilit ății care să o urmeze pe cea
din Z este clasa inelelor integre. O astfel de generalizare, pe lîng ă un interes intrinsec, aduce
de multe ori clarific ări și rezultate noi privind ch iar divizibilitatea în Z.
În acest capitol se studiaz ă proprietățile generale ale rela ției de divizibilit ate într-un inel
integru, dup ă care se introduc clase importante de inele ( euclidiene, principale, factoriale ) ale
căror defini ții se obțin prin abstractizarea unor propriet ăți aritmetice ale lui Z. Noțiunile și
rezultatele din acest capitol sînt fundamentale pentru toat ă algebra, în special în teoria
algebrică a numerelor și în studiul extinderilor de corpuri.
I.1 Divizibilitate
Definiția clasică a divizibilit ății în inelul numerelor întregi Z se poate generaliza u șor
pentru un inel oarecare R: dacă a, b R, spunem c ă a divide b în R (notație: a|b sau b a)1
dacă există c R astfel încît b ac. Faptul c ă a|b în R depinde în mod esen țial de inelul R . De
exemplu, | în Q, dar nu și în Z! În continuare, vom nota a|b (fără a preciza inelul R), dacă
inelul în care se consider ă relația de divizibilitate e clar precizat din context. Not ăm a – b dacă
a nu îl divide pe b.
În cazul în care inelul R nu are anumite propriet ăți „naturale”, teoria divizibilit ății
dezvoltată în R este mult mai s ăracă față de teoria uzual ă a divizibilit ății în Z. De exemplu,
1 Exprimări echivalente: a este divizor (uneori se spune și factor ) al lui b; b este multiplu al lui a; b este
divizibil cu a.
I. Aritmetic ă în inele integre 4
dacă R nu are unitate, nu rezult ă că orice element a R este propriul s ău divizor; de
asemenea, apar alte dificult ăți dacă R nu este comutativ sau dac ă R are divizori ai lui zero.
Din aceste motive, în cele ce urmeaz ă, inelele vor fi presupuse unitare , comutative și fără
divizori ai lui zero , dacă nu se specific ă altfel. Un astfel de inel (notat în continuare cu R) va fi
numit inel integru sau domeniu de integritate.2 Toate corpurile ce intervin vor fi presupuse
comutative , iar subinelele care apar vor con ține elementul unitate al inelului ( subinele
unitare ). Vom nota cu R* mulțimea R \ {0}.
1.1 Exemple. a) Orice corp Q, R, C, … este domeniu de integritate. Teoria divizibilit ății
în corpuri este îns ă trivială, după cum se poate vedea imediat cf. 1.5.
b) Orice subinel al unui inel integru este la rîndul s ău integru. În particular, orice subinel al
unui corp este integru. Astfel, dac ă d Z este un întreg liber de p ătrate ( d 0 și d nu se
divide cu p ătratul nici unui întreg mai mare ca ), subinelul lui C generat de și d, notat
dZ , este integru. dZ este format din numerele complexe de forma dba , cu a, b
Z. Inelul 1Z este numit inelul întregilor lui Gauss .3
c) Dacă R este inel integru și n N*, atunci inelul de polinoame în n nedeterminate cu
coeficienți în R, RX1, …, Xn, este integru.
O proprietate important ă a inelelor integre, des utilizat ă, este că „se pot simplifica factorii
nenuli”:
1.2 Propozi ție. Fie R un inel integru și a, b, c R, cu c 0. Dacă ac bc, atunci a b.
Demonstra ție. Avem ac bc ac bc 0 (a b)c 0. Nu putem avea a b 0,
căci atunci ( a b)c 0 din integritatea lui R. Deci a b 0.
Ne propunem s ă dezvoltăm în continuare o teorie a divizibilit ății (o „aritmetic ă”) în inele
integre care s ă o generalizeze pe cea din Z.
1.3 Propoziție. Fie R un inel integru. Atunci:
a) Pentru orice a R are loc a|a.
b) Pentru orice a, b, c R astfel încît a|b și b|c, rezult ă a|c.
c) Pentru orice a R, are loc a| 0 și |a.
d) Oricare ar fi x, y R și a, b, c R astfel încît a|b și a|c, rezult ă a|(bx cy).
2 Denumirea de inel integru (domeniu de integritate ) provine din similaritatea acestor inele cu inelul Z al
întregilor.
3 Carl Friedrich Gauss (1777 1855), matematician german.
I.1 Divizibilitate 5
Afirmațiile a) și b) nu spun altceva decît c ă relația de divizibilitate este o rela ție reflexivă și
tranzitivă, adică o relație de preordine pe R. Relația de echivalen ță asociată acestei preordini
se numește relația de asociere în divizibilitate. Mai precis:
.4 Definiție. Spunem c ă elementele a și b din R sînt asociate în divizibilitate (pe scurt,
asociate ) dacă a|b și b|a. Notație: a b. Dacă d, a R, spunem c ă d este divizor propriu al
lui a (sau divide propriu pe a ) dacă d|a și d nu este nici inversab il, nici asociat cu a.
Relația "" definită mai sus este o rela ție de echivalen ță pe inelul R (Exercițiu!) și este
deosebit de important ă în studiul aritmeticii lui R: două elemente asociate în divizibilitate au
aceleași propriet ăți din punct de vedere al divizibilit ății.
Notăm cu U(R) grupul multiplicativ al elementelor inversabile din inelul R, numit și grupul
unităților lui R:
U(R) {x R | y R astfel încît xy }.
Propoziția următoare este o consecin ță imediată a definițiilor de mai sus.
1.5 Propozi ție. Fie R un inel integru. Atunci:
a) Pentru orice u R, avem: u U(R) u u|a, a R uR R.
b) Pentru orice a, b R, avem: a b există u R astfel încît a bu.
Această propoziție dă o justificare a denumirii de „unit ăți” dată elementelor inversabile:
unitățile se comport ă exact ca și unitatea inelului fa ță de divizibilitate . Determinarea grupului
U(R) al unităților este din acest motiv o problem ă important ă în studiul divizibilit ății în R.
1.6 Exemple. a) UZ {, }.
b) Dacă K este un corp, U(K[X]) { f K[X] | grad f 0} K* (am identificat elementele
nenule din K cu polinoamele de grad 0).
c) Dacă d Z este liber de p ătrate, atunci:
U(Z[d]) { dba | a, b Z, a 2 db 2 1}
Pentru demonstra ție, fie R inelul integru Z[d]. Este util ă introducerea func ției „normă”
N : R → Z, definită prin N() (), unde am notat cu () conjugatul lui , definit de:
dba dba , pentru orice a, b Z.
Avem deci 2 2N db a dba , a, b Z. Se observ ă ușor că:
N()N() N()N() R.
De aici ob ținem: dac ă R cu în R, atunci N( )|N() în Z.
Fie u dba U(R). Atunci N( u) 2 2db a divide pe în Z, deci N( u) .
Reciproc, dac ă N(u) , atunci 1 dbadba, adică dba este inversul
lui u. Deci U(Z[d]) { dba | a, b Z, a 2 db 2 1} { Z[d] | N() }.
I. Aritmetic ă în inele integre 6
Pe mulțimea claselor de echivalen ță in raport cu rela ția „” de asociere în divizibilitate,
relația de divizibilitate „ | ” define ște în mod natural o relație de ordine (notată ad-hoc cu
„”): notînd cu a~ clasa elementului a R, definim ba~~ dacă și numai dac ă a|b. Se
demonstreaz ă ușor (Exerci țiu!) că definiția nu depinde de alegerea reprezentan ților.
Transpunînd în acest cadru no țiunile generale de margine inferioar ă (respectiv superioar ă) a
unei submul țimi într-o mul țime ordonat ă, se ajunge la conceptele uzuale de cel mai mare
divizor comun (respectiv cel mai mic multiplu comun ). Mai precis:
1.7 Defini ție. Fie R un inel integru, n N* și a1, …, an R. Spunem c ă elementul d din R
este un cel mai mare divizor comun (pe scurt, cmmdc ) al elementelor a1, …, an dacă satisface
condițiile:
i) d|a 1, …, d|a n.
ii) Pentru orice e R astfel încît e|a1, …, e|a n, rezultă e|d.
Dacă 1 este un cmmdc al elementelor a1, …, an, spunem c ă a1, …, an sînt prime între ele
(sau relativ prime ).
Spunem c ă elementul m din R este un cel mai mic multiplu comun (pe scurt, cmmmc ) al
elementelor a1, …, an dacă satisface condi țiile:
i') a1|m, …, a n|m.
ii') Pentru orice e R astfel încît a1|e, …, a n|e, rezultă m|e.
1.8 Observa ții. a) Pentru a1, …, an R, dacă există un cmmdc al lor d R, atunci d este
unic determinat pînă la o asociere în divizibilitate : dacă și e este un cmmdc al a1, …, an,
atunci e d. Aceeași observație se aplic ă cmmmc. În continuare vom nota cu (a1, …, an) sau
cu cmmdc{ a1, …, an} un cmmdc al a1, …, an, în cazul cînd acesta exist ă. Dacă pot exista
confuzii asupra inelului R, notăm (a1, …, an)R. Notația are o doz ă de ambiguitate, în sensul c ă
scrierea d (a1, …, an) semnific ă faptul că d este asociat cu un cmmdc al a1, …, an. De
exemplu, în Z, putem scrie ,2 , fără ca aceasta s ă însemne c ă (ci, desigur, c ă
. Notăm cu [ a1, …, an] sau cu cmmmc{ a1, …, an} un cmmmc al a1, …, an, dacă există.
Observăm că a1, …, a n sînt relativ prime dac ă și numai dac ă orice divizor comun al lor este o
unitate în R.
b) Pentru un inel integru R și x, y R, nu este garantat ă existența unui cmmdc al lor (vezi
Exerciții). Un inel integru R cu proprietatea c ă, pentru orice dou ă elemente x, y R, există un
cmmdc al lor, se nume ște GCD-inel (din englez ă: Greatest Common Divisor înseamnă cel
mai mare divizor comun ).
1.9 Propozi ție. Fie a, b elemente ale unui inel R care au cmmdc, notat d. Dac ă , R
cu a d, b d, atunci și au cmmdc, egal cu 1 (sînt prime între ele).
I.1 Divizibilitate 7
Demonstra ție. Fie c un divizor comun al și . Atunci dc este un divizor comun al a și b,
deci dc divide cmmdc al lor, d. De aici rezult ă că c este inversabil.
Observăm că, dacă R este GCD-inel și K este corpul s ău de fracții, atunci orice element din
K se poate scrie sub forma unei „frac ții ireductibile” a/b, cu a, b R, prime între ele.
(Demonstra ți !)
.10 Propoziție. Fie R un domeniu de integritate și a1, …, a n, r R \{0}.
a) Dacă există d (a1, …, a n), atunci a 1/d, …, a n/d au cmmdc, egal cu .4
b) Dacă există (a1, …, an) : d și există (ra1, …, ran) : e, atunci e rd, adică:
(ra1, …, ran) r(a1, …, an).
c) Dacă există [a1, …, an] m și există [ra1, …, ra n] : , atunci rm, adică:
[ra1, …, ra n] r[a1, …, a n].
Demonstra ție. a) Fie xi R astfel încît ai dxi, pentru n i, . Evident, este un divizor
comun al elementelor x1, …, xn. Dacă e R este un alt divizor comun al lor, atunci de este un
divizor comun al a1, …, a n, deci de|d. De aici rezult ă că e|.
b) Din rd|ra i, pentru n i, , rezultă că rd|e. Fie u R cu e rdu. Va fi suficient s ă
demonstrăm că u|. Fie xi, yi R astfel încît ai dxi și rai eyi, pentru n i, . Avem, pentru
orice n i, , rai rdx i rduy i. De aici rezult ă că u este divizor comun al elementelor xi, care
au cmmdc 1, conform punctului a). Astfel, u|.
c) Deoarece rm este un multiplu comun al rai, pentru n i, , avem |rm, deci rm t, cu
t R. Putem scrie m aibi, raixi, cu xi, bi R, pentru n i, . Avem rm raibi t
raixit, n i, . Simplificînd, bi xit. Totodat ă rezultă că a1x1 … anxn este un multiplu
comun al elementelor a1, …, an. Deci m|a ixi , n i, . Cum raixi, rezultă și mr|
Corolarul urm ător este des utilizat în argumentele legate de divizibilitate.
1.11 Corolar. Fie R un inel integru în care orice dou ă elemente au cmmdc (GCD-inel) și
a, b, c R cu proprietatea c ă a|bc și a este prim cu b. Atunci a|c.
Demonstra ție. Din ( a, b) și din propozi ția precedent ă, punctul b), rezultă că (ac, bc )
c. Cum a|ac și a|bc, din defini ția cmmdc ob ținem a|(ac, bc ) c.
Cu toate c ă definițiile cmmdc și cmmmc sînt „duale” una celeilalte, propozi ția următoare
arată că situația nu e total simetric ă (vezi și observația următoare).
1.12 Propozi ție. Fie R un inel integru. Atunci:
4 Dacă d 0 și d|a, am notat cu a/d unicul element x din R cu proprietatea c ă a dx.
I. Aritmetic ă în inele integre 8
a) Fie x, y R. Dacă există un cmmmc al lor, m [x, y] R, atunci exist ă și un cmmdc al
lor (x, y) și avem xy [x, y](x, y)
b) Dacă orice dou ă elemente din R au un cmmdc, atunci orice dou ă elemente din R au un
cmmmc.
c) Dacă orice dou ă elemente din R au un cmmdc, atunci, pentru orice n N, n , orice n
elemente a 1, …, a n din R au cmmdc și cmmmc.
Demonstra ție. a) Dacă x 0, atunci [0, y] 0, (0, y) y. Presupunem c ă x și y sînt nenule.
Din defini ția cmmmc rezult ă că m|xy. Fie d, a, b R cu xy md și m xa, m yb. Va fi
suficient s ă demonstr ăm că d (x, y). Avem xy xad, deci y ad, adică d|y. La fel, d|x. Fie
acum e R cu e|x, e|y. Există r, s R astfel încît x er și y es. Atunci ers este un multiplu
comun al elementelor x și y, de unde rezult ă că m|ers . Fie t R astfel încît mt ers. Avem dm
xy temrse2. Simplificînd cu m, rezultă că d te, deci e|d.
b) Fie a, b R. Presupunem c ă a și b sînt nenule și fie d (a, b). Există x, y R cu a dx,
b dy. Elementul m dxy este evident un multiplu comun al elementelor a și b. Fie µ un alt
multiplu comun al elementelor a și b. Există z, t R astfel încît µ az dxz și µ bt dyt.
Deci m divide elementele µy dxyz și µx dxyt, adică divide și pe ( µx, µy ) µ(x, y) µ.
Aceasta arat ă că m este un cmmmc al elementelor a și b.
c) Se demonstreaz ă prin induc ție după n. (Exercițiu!).
1.13 Observa ție. În inelul R Z5, elementele x 5 1 și y 2 au un cmmdc, dar
nu au cmmmc. Într-adev ăr, notînd cu d 5ba (a, b Z) un divizor comun al lui x și y,
din propriet ățile normei (vezi 1.6.c.) rezult ă că N(d )|N(x) 6 și N(d )|N(y) 4 în Z. Deci,
N(d )|2 în Z. Cum N( d ) este 2 25b a , o examinare a cazurilor pos ibile conduce la concluzia
că a 1 și b 0, adică d este inversabil. Astfel, orice divizor comun al lui x și y este o
unitate, adic ă x și y au cmmdc . Dacă ar exista un cmmmc µ R al elementelor x și y, atunci
6|N(µ) și 4|N( µ) în Z, deci 2|N(µ) în Z. Pe de alt ă parte, 6 32 5 15 1 și
5 12 sînt multipli comuni pentru x și y, deci și pentru µ. Astfel, N( µ) divide pe N(6)
36 și pe 245 1 2 N N în Z, adică N(µ)|2. Obținem că N(µ) 2, ceea ce este
imposibil (ecua ția 12 52 2b a nu are solu ții întregi).
Este convenabil, pentru scurtarea exprim ării, să introducem urm ătoarea notație: dacă R este
un domeniu de integritate, not ăm
R° {x R | x este nenul și nu este inversabil}.
În cazul inelului Z, un rol important în ceea ce prive ște divizibilitatea îl joac ă numerele
prime. De obicei, defini ția (elementar ă) care se d ă noțiunii de num ăr (întreg) prim este
„numărul p este prim dac ă singurii s ăi divizori naturali sînt și p”. Generalizînd la cazul
I.1 Divizibilitate 9
unui inel integru, se ob ține noțiunea de element ireductibil (a se compara cu no țiunea de
element prim definită mai jos).
1.14 Defini ție. Fie R un inel integru.
Elementul p R° se nume ște ireductibil (în R) dacă nu are divizori proprii. Cu alte
cuvinte, orice divizor al s ău este sau o unitate, sau asociat cu p: d R, d | p d 1 sau
d p.
Elementul p R° se numește prim (în R) dacă, oricare ar fi a, b R astfel încît p|ab ,
rezultă p|a sau p|b.
Subliniem c ă un element prim sau ireductibil este prin defini ție nenul și neinversabil .
Se demonstreaz ă imediat prin induc ție după m N* că, dacă p este prim și p divide un
produs de m factori din R, atunci p divide unul din factori.
1.15 Propozi ție. Fie R un inel integru. Atunci ori ce element prim este ireductibil.
Demonstra ție. Fie p R, prim. Dac ă d R este un divizor al lui p, există x R (nenul)
astfel încît p dx. Deci p|dx, de unde ob ținem p|d (și am terminat!) sau p|x. Dar p|x înseamnă
că p x (căci x|p), deci p ux, cu u o unitate. Astfel, ux dx p și obținem că u d este o
unitate.
Este important de remarcat c ă noțiunile de element prim și element ireductibil (care sînt
echivalente pentru Z, după cum se va vedea) nu coincid în general .
1.16 Exemplu. În inelul Z5, elementul 2 este ireductibil și nu este prim. Într-adev ăr,
65 15 12 , dar 2 nu divide nici unul din factori. Pe de alt ă parte, dac ă d este un
divizor al lui 2 , atunci N( d ) poate fi doar 2 sau 4 . O examinare a cazurilor posibile arat ă că
d poate fi sau 2.
Acest exemplu arat ă și că noțiunea de element prim depinde în mod esen țial de inelul în
care sînt considerate: 2 este prim în Z, dar nu și în Z5. Aceeași observa ție se aplic ă
noțiunii de element ireductibil.
Fenomenul din exemplul anteri or nu apare în GCD-inele:
1.17 Propozi ție. Fie R un GCD-inel. Atunci orice elemen t ireductibil în R este prim în R.
Demonstra ție. Fie p R, ireductibil și x, y R astfel încît p|xy. Dacă p – x, atunci cmmdc
al elementelor p și x (care exist ă!) este . Într-adev ăr, dacă d|x și d|p, atunci este imposibil ca
d p (ar rezulta p|x), deci d . În consecin ță, p|xy și p este prim cu x. Corolarul 1.11 asigur ă
că p|y.
I. Aritmetic ă în inele integre 10
Noțiunea central ă de divizibilitate poate fi exprimat ă în termeni de ideale . Această
abordare deschide calea unei serii de extinderi ale unor teoreme clasi ce de divizibilitate în Z
la inele mult mai generale (de exemplu, rezultate de tipul „descompunere primar ă”).
1.18 Propozi ție. Fie R un inel integru, n N* și a, b, x1, …, x n R. Atunci:
a) a|b dac ă și numai dac ă Ra Rb.
b) a b dacă și numai dac ă Ra Rb.
c) a este inversabil dac ă și numai dac ă Ra R.
d) a este prim în R dac ă și numai dac ă Ra este ideal prim.
e) a este ireductibil în R dac ă și numai dac ă Ra este ideal maximal printre idealele
principale proprii ale lui R (mai precis: x R astfel încît Ra Rx, rezult ă Ra Rx sau
Rx R).
f ) a este divizor comun al x 1, …, x n dacă și numai dac ă Rx 1 … Rxn Ra.
g) Dacă Rx 1 … Rxn Ra, atunci a (x1, …, x n).5
h) a este multiplu comun al x 1, …, x n dacă și numai dac ă Rx 1 … Rxn Ra.
i) a [x1, …, x n] dacă și numai dac ă Rx 1 … Rxn Ra.
Demonstra ție. a) a|b există c R cu b ca b Ra Rb Ra.
b) Evident, din a).
c) Dacă a este inversabil, atunci exist ă c R cu ca . Deci Ra, adică Ra R.
Reciproc, dac ă Ra R, atunci Ra, adică există c R astfel încît ca.
d) Fie x, y R. Avem că xy Ra a|xy. Dacă a este prim, atunci a|x sau a|y, adică x
Ra sau y Ra, ceea ce arat ă că Ra este prim. Dac ă Ra este ideal prim, și a|xy, avem că xy
Ra, deci x Ra sau y Ra, adică a|x sau a|y.
e) Presupunem c ă a este ireductibil. Dac ă Rx este un ideal princi pal propriu al lui R astfel
încît Ra Rx, rezultă că x|a. Cum a nu are divizori proprii, x este asociat cu a sau x este o
unitate. Dar x nu poate fi o unitate c ăci Rx nu coincide cu inelul R. Astfel x a, adică Rx
Ra. Reciproc, dac ă Rx e maximal printre idealele principale proprii, iar d R este un divizor
al lui a, atunci Ra Rd, deci Rd Ra sau Rd R. Aceasta înseamn ă că d a sau d .
f ) Dacă a este divizor comun al x1, …, x n, atunci a divide orice element de forma
nnxr xr…11 , cu r1, …, r n R, deci orice element al idealului Rx1 … Rx n. Reciproca e la
fel de simpl ă.
g) Din proprietatea precedent ă rezultă că a este divizor comun al x1, …, xn. Fie d R un alt
divizor comun al lor. Cum a Rx1 … Rxn, există c1, …, cn R cu a c1x1 … cnxn. Din
d|x1, …, d|xn rezultă că d|a.
h), i) sînt propuse ca exerci țiu.
5 Reciproca este fals ă în general. Pentru un contraexemplu, a se vedea sec țiunea „Inele principale”.
I.2 Inele euclidiene 11
Analizînd propriet ățile aritmetice ale inelului Z, se constat ă că un rol esen țial în deducerea
multora dintre ele îl are teorema împ ărțirii cu rest:
Pentru orice a, b Z, cu b 0, există q, r Z, astfel încît a bq r și |r| |b| sau r 0.
Această teoremă permite demonstrarea altor dou ă proprietăți fundamentale în studiul
aritmeticii lui Z:
Orice ideal al lui Z este principal (adică de forma nZ, cu n Z).
(„Teorema fundamental ă a aritmeticii” sau „Teorema de descompunere unic ă în factori
primi”): Orice num ăr întreg nenul și neinversabil se poate scrie în mod unic ca un produs
finit de numere întregi prime (unicitatea fiind în țeleasă pînă la ordinea factorilor și la o
asociere a lor în divizibilitate).
Aceste trei propriet ăți ale lui Z stau la baza no țiunilor generale de inel euclidian (inel în
care are loc o proprietate analog ă teoremei împ ărțirii cu rest în Z), inel principal (în care orice
ideal e principal) și, respectiv, de inel factorial (în care are loc o teorem ă de descompunere
unică în factori primi). În continuare vom studia aceste clase de inele.
I.2 Inele euclidiene
2.1 Defini ție. Un inel integru R se numește inel euclidian dacă există o funcție : R* → N
care satisface urm ătoarele propriet ăți:
(i) Pentru orice a, b R* cu a|b, rezultă că (a) (b).
(ii) Pentru orice a, b R cu b 0, există q, r R astfel încît:
a bq r și r 0 sau (r) (b).
Vom spune în acest caz c ă R este inel euclidian față de funcția .
Proprietatea (ii) din defini ție este cunoscut ă sub numele de „teorema împ ărțirii cu rest în
R”; q este numit prin tradi ție cît, iar r rest al împărțirii lui a prin b. Evident, defini ția de mai
sus e inspirat ă din teoremele corespunz ătoare din inelul Z (unde rolul func ției este jucat
de valoarea absolut ă pe Z), respectiv din inelele K[X] cu K corp, unde ( f ) grad( f ), pentru
orice polinom f. Aceste inele constituie și cele mai importante exempl e de inele euclidiene.
2.2 Teorem ă (Algoritmul lui Euclid) . Fie R un inel euclidian și a, b R, cu b 0. Atunci
există un cmmdc d al elementelor a și b; d se poate afla prin urm ătorul algoritm:
Algoritm Euclid (a, b, d )
Se dau : a, b R.
Se obține : d (a,b) R.
I. Aritmetic ă în inele integre 12
Începe
Dacă b 0, atunci d a; Stop .
Pas . Găsește q, r R cu a bq r și r 0 sau (r) (b).
Dacă r 0, atunci d b; Stop .
(„Dacă r 0”) Pune a ← b, b ← r. Mergi la Pas .
Sfîrșit
În plus, exist ă (și se pot determina algoritmic) u, v R astfel încît d au bv.
Demonstra ție. Algoritmul6 de mai sus este o scriere condensat ă a următorului șir de
împărțiri cu rest efectuate în R:
(1) a bq1 r1 cu r1 0 sau (r1) (b);
(2) b r1q2 r2 cu r2 0 sau (r2) (r1);
(3) r1 r2q3 r3 cu r3 0 sau (r3) (r2);
… (
n 2) rn 4 rn 3qn 2 rn 2 cu rn 2 0 sau (rn 2) (rn 2);
( n 1) rn 3 rn 2 qn 1 rn 1 cu rn 1 0 sau (rn 1) (rn 2);
( n) rn 2 rn 1 qn rn cu rn 0.
Existența elementelor qi, ri R cu propriet ățile specificate este asigurat ă la fiecare pas de
condiția (ii) din defini ția inelului euclidian. Nu este posibil ca ri 0 pentru orice i N,
întrucît ar rezulta un șir infinit strict descresc ător de numere naturale (b), (r1), (r2), …
(imposibil!). Rezult ă că există n N cu rn 0 (algoritmul se termin ă după un număr finit de
pași). Avem de demonstrat c ă rn 1 (ultimul rest nenul) este cmmdc al lui a și b.
Din relația (n) avem rn 1|rn 2. Relația (n 1) arată că rn 1| rn 3. Folosind în continuare
egalitățile (n 2), …, (3), (2), (1), ob ținem (prin induc ție) că rn 1|b și rn 1|a. Fie acum e R
un divizor comun al elementelor a și b; atunci e va divide și pe r1 a bq1. Din rela ția (2),
obținem că e|r2 b r1q2. Procedînd inductiv, rezult ă că e|ri pentru orice i n, deci e|rn 1.
Pentru a ob ține scrierea lui d rn 1 sub forma au bv, observăm că r a bq; înlocuind
r în (2), ob ținem scrierea lui r sub forma au' bv' ș.a.m.d. Urm ătoarea modificare a
algoritmului lui Euclid realizeaz ă acest lucru (la fiecare pas variabilele u și v sînt astfel încît
ultimul rest g ăsit este au bv) :
Se dau : a, b R.
6 Sperăm că desfășurarea algoritmului este clar ă pentru cititor. Nu am vrut s ă complic ăm lucrurile
introducînd în mod riguros un „pseudo-limbaj de programare”. În alt ă ordine de idei, algoritmul prezentat are o
valoare pur teoretic ă; de exemplu, „g ăsirea” elementelor q, r ca la Pasul este doar o scriere a faptului c ă aceste
elemente exist ă, și nu face referire la vreun procedeu concret de determinare a acestora (astfel de procedee se pot
descrie pentru inele concrete ca Z, Q[X] etc.). În plus, implementarea concret ă a unui astfel de algoritm necesit ă
reprezentări în calculator ale elementelor lui R, algoritmi de decizie a egalit ăților de tip r 0 în inelul R,
algoritmi de calcul în R etc. Nu intr ăm în discu ția acestor chestiuni.
I.2 Inele euclidiene 13
Se obțin : d (a, b) R și u, v R astfel încît d au bv.
Începe
Dacă b 0, atunci pune d ← a; u ← 1, v ← 0; Stop .
(„Dacă b 0”) Pune u1 ← 1; v1 ← 0; u ← 0; v ← 1.
Pas . Găsește q, r R cu a bq r și r 0 sau (r) (b).
Dacă r 0, atunci pune d ← b; Stop.
(„Dacă r 0”) Pune a ← b; b ← r; u1 ← u1 qu; v1 ← v1 qv;
t ← u; u ← u1; u1 ← t; „aici se schimb ă între ele cuplurile (u, v) și
t ← v; v ← v1; v1 ← t; (u1, v1)”
Mergi la Pas .
Sfîrșit
2.3 Exemple. a) Z este inel euclidian fa ță de funcția „valoarea absolut ă”. Includem o
demonstra ție a acestui fapt. Mai întîi, fie b Z, strict pozitiv. Vom demonstra (prin induc ție)
că pentru orice a N, există q, r N care să satisfacă condițiile din defini ția inelului
euclidian. Pentru a b, punem q 0, r a. Dacă a b, presupunem afirma ția adevărată
pentru orice n a și demonstr ăm pentru a. Cum a b a, putem aplica ipoteza de induc ție:
există q, r N astfel încît a b bq r și r 0 sau r b. Astfel, a b(q 1) r și afirmația
e dovedită. Dacă a 0, din cazul precedent ob ținem că există q, r N astfel încît a bq r
și r 0 sau r b; deci a b(q) (r), cu r 0 sau |– r| b. Lăsăm cazul b 0 în seama
cititorului.
Pentru dou ă elemente a, b Z, elementele q și r date de teorema împ ărțirii cu rest nu sînt
unic determinate: de exemplu, 3 2·1 1 2·2 (1). Dacă impunem ca restul împ ărțirii să
fie pozitiv, atunci restul ( și cîtul) este unic determinat. La fel, dac ă impunem ca restul s ă fie
element al mul țimii { m 1, m 2, …, 0, …, m} dacă b este par, | b| 2m, cu m N,
respectiv { m, m 1, …, 0, …, m} dacă b este impar, | b| 2m 1, cu m N.
b) Inelul K[X] (al polinoamelor într-o nedeterminat ă cu coeficien ți în corpul K) este
euclidian fa ță de funcția grad : K[X] \ {0} → N. Demonstra ția este inspirat ă din algoritmul
elementar de împ ărțire a polinoamelor. Fie f a0 … an X n și g b0 … bm X m
polinoame din K[X], cu g 0 (adică bm 0). Facem o induc ție după n grad f. Dacă n m,
punem q 0, r f. Dacă n m, polinomul h gabfn m are gradul strict mai mic decît n
(termenii de grad n se reduc) și, din ipoteza de induc ție, putem scrie h gq r, cu grad r m.
Astfel, f r Xabqgmn
n m 1. Facem observa ția că polinoamele q și r furnizate de teorema
împărțirii cu rest în K[X] sînt unic determinate (demonstra ți!).
2.4 Defini ție. Fie n N fixat. Dou ă numere a, b Z se numesc congruente modulo n dacă
n | a b și notăm aceasta a b (mod n). Se vede imediat c ă a b (mod n) a și b dau
I. Aritmetic ă în inele integre 14
același rest pozitiv la împ ărțirea cu n. Reamintim c ă relația de congruen ță modulo n este o
relație de echivalen ță pe Z și mulțimea claselor de echivalen ță are o structur ă de inel (inelul
factor Z/nZ), numit inelul claselor de resturi modulo n.
I.3 Inele de întregi p ătratici, euclidiene fa ță de norm ă
În teoria numerelor, un rol important îl joac ă inelele de întregi p ătratici. În cele ce urmeaz ă
vom prezenta o serie de fapte elemen tare despre aceste inele. Propriet ățile nedemonstrate de
mai jos sînt propuse ca exerci ții (unele în capitolele urm ătoare). (Pentru o tratare sistematic ă a
teoriei întregilor algebrici, vezi de exemplu A LBU, ION [1984].)
Un subcorp al lui C care, văzut ca spa țiu vectorial peste Q, are dimensiunea 2, se nume ște
corp de numere p ătratice (sau corp pătratic ). Se demonstreaz ă cu mijloace elementare de
extinderi de corpuri c ă orice corp p ătratic este de forma Q[d] {a bd|a, b Q}, unde
d este un num ăr întreg liber de p ătrate .
Un element al lui C care este r ădăcina unui polinom unitar 7 cu coeficien ți în Z se numește
întreg peste Z (sau întreg algebric ). De exemplu 2 este întreg peste Z, dar 1 /2 nu este.
Uneori, pentru a evita confuziile, numerele din Z se numesc întregi ra ționali .8
Un element al unui corp p ătratic care este întreg peste Z se nume ște întreg pătratic . Se
dovedește că: un întreg p ătratic este r ădăcină a unui polinom unitar de grad 2 cu coeficien ți
întregi.
În continuare fix ăm d Z, liber de p ătrate. Se definesc aplica țiile normă N : dQ → Q
și urmă Tr : dQ → Q,
dbaN : a2 db2 , a, b Q.
dba Tr : 2a , a, b Q.
Are loc proprietatea: Un element x dQ este întreg Tr(x) Z și N(x) Z.
Întregii pătratici din dQ , adică mulțimea
{x a bd| a , b Q, x întreg peste Z}
formează un inel, numit inelul întregilor lui dQ . Un inel de acest tip se nume ște inel de
întregi pătratici (imaginar dacă d 0, respectiv real dacă d 0). Are loc (pentru demon-
strație, vezi exerci ții):
7 Un polinom se nume ște unitar (sau monic ) dacă are coeficientul termenului de grad maxim egal cu 1.
8 Motivul fiind c ă orice element întreg peste Z care este și în Q este cu necesitate în Z. Demonstra ți!
I.3 Inele de întregi p ătratici, euclidiene fa ță de normă 15
3.1 Propozi ție. Inelul întregilor lui dQ este Z[ ], unde
Z [ ] {a b | a, b Z}, cu
d dacă d 2 sau 3 (mod 4 )
2 1 d dacă d 1 (mod 4 ).
În continuare, pentru d Z, liber de p ătrate, prin se înțelege num ărul dat de propozi ția
precedent ă. Observăm că Qd Q[ ] {a b | a, b Q}. În cazul în care d 1(mod 4),
Z[ ] {a b 2 1 d | a, b Z} poate fi caracterizat ca fiind mul țimea elementelor de
forma u vd, cu u, v Z de aceea și paritate (exerci țiu). Exemple de astfel de inele: Z[i],
25 1 ,23 1,2 Z Z Z i .
Restricția lui N la Z[ ] are proprietatea c ă N() Z, Z[ ], după cum se verific ă
ușor folosind forma elementelor din Z[ ]. Se obține o aplica ție
|N| : Z[ ] → N, |N|() |N()|, Z[ ].
Un inel de întregi p ătratici euclidian fa ță de aplica ția |N| îl vom numi inel euclidian fa ță de
normă.
Ne intereseaz ă un răspuns la problema:
Pentru ce d Z, liber de p ătrate , inelul de întregi p ătratici Z[ ] este euclidian fa ță de
normă ?
Vom folosi o abordare geometric ă, intuitivă și care simplific ă unele calcule.
Aplicația normă N :dQ→ Q are proprietatea c ă N(xy) N(x)N(y), x, y dQ
(exercițiu); deci și aplicația |N | are aceea și proprietate.
În cazul în care d 0, reprezentînd geometric elementele inelului Z[ ] (văzut ca o submul-
țime a planului complex) se ob ține o rețea (rectangular ă dacă d 2 sau 3 (mod 4) și oblică
dacă d 1(mod 4)); aplica ția |N | are interpretarea geometric ă următoare (în cazul d 0):
pentru orice x, y dQ , |N|(x y) este distan ța euclidian ă dintre punctele de afixe x și y.
Pentru d 0, Z[ ] este o submul țime (dens ă) a lui R și nu avem o interpretare geometric ă.
3.2 Lemă. Fie d Z, liber de p ătrate. Atunci inelul R : Z[ ] este inel euclidian fa ță de
normă dacă și numai dac ă pentru orice x dQ , există R astfel încît | N|(x ) 1.
Demonstra ție. „” Observăm că dQ este corpul de frac ții al lui R, adică: x
dQ , R, 0 astfel încît x /. Cum R este euclidian fa ță de |N|, exist ă , R
astfel încît , cu |N |( ) |N|() sau 0. Deci
x / /,
cu |N |(x ) |N|( /) |N|( )/|N|() 1.
„” Fie R. Pentru x / dQ , există R cu |N |(x ) 1. Fie x
dQ . Avem , cu R și |N|( ) |N|()|N|( ) 1.
I. Aritmetic ă în inele integre 16
Dacă d 0, întrucît dQ este dens9 în C, lema se reformuleaz ă astfel :
Inelul Z[ ] este euclidian fa ță de aplica ția |N| dacă și numai dac ă orice punct din planul
complex este la o distan ță subunitar ă față de un punct din re țea.
3.3 Propozi ție.10 Fie d Z, d 0, liber de p ătrate.
a) Dacă d este congruent cu 2 sau 3 modulo 4, inelul dZ este euclidian fa ță de normă
dacă și numai dac ă d 1 sau d 2.
b) Dacă d ≡ 1 (mod 4), inelul 2 1 dZ este euclidian fa ță de norm ă dacă și numai
dacă d {3, 7, }.
Demonstra ție. a) dZ este euclidian dac ă și numai dac ă toate punctele din interiorul
unui dreptunghi al re țelei sînt la o distan ță mai mică decît 1 fa ță de un vîrf al dreptunghiului.
Cel mai dep ărtat punct de vîrfur i este la intersec ția diagonalelor, la distan ța de 2 1d de
vîrfuri. Avem 2 1d 1 dacă și numai dac ă d 3, adică d 1 sau d 2.
b) Rețeaua este format ă din triunghiuri isoscele de baz ă (orizontal ă) de lungime 1 și de
înălțime 2d . Punctele din interior ul triunghiului se g ăsesc la o distan ță mai mică decît 1
față de orice vîrf dac ă și numai dac ă cercurile de raz ă 1 cu centrele in capetele bazei se
intersecteaz ă într-un punct situat la distan ță mai mic ă de 1 față de al treilea vîrf. Se vede
imediat c ă distanța față de al treilea vîrf este de 23d . Condiția de euclidianitate se
scrie deci 23d 1, adică d 34.
Astfel, sînt euclidiene fa ță de normă următoarele inele:
Z[i], 211 1 ,27 1 ,23 1 ,2 i i i i Z Z Z Z .
9 Adică pentru orice z C și orice R, 0, există un element x dQ astfel încît | z x| .
10 Acest rezultat a fost stabilit în 1923 și aparține lui L. E. Dickson. d 2 sau 3 (mod 4) d 1 (mod 4)
I.4 Inele principale 17
Este interesant de remarcat c ă acestea sînt toate inelele de întregi p ătratice imaginare
euclidiene (nu neap ărat față de normă). Cazul d 0 nu se preteaz ă la considera ții geometrice
și este considerabil mai dificil. Pentru o discu ție mai aprofundat ă a acestei tematici, vezi
ALBU și ION [1984].
I.4 Inele principale
.1 Definiție. Un inel integru R se numește inel principal dacă orice ideal al inelului R este
principal. Cu alte cuvinte, oricare ar fi idealul I al lui R, există a R astfel încît I Ra. În
literatura de limb ă engleză, se folose ște des acronimul PID (Principal Ideal Domain) pentru a
desemna un inel principal .
Orice corp este inel principal. Exemple numer oase de inele principale sînt furnizate de
următoarea propozi ție.
4.2 Teorem ă. Orice inel euclidian este inel principal.
Demonstra ție. Fie R un inel euclidian fa ță de funcția și I un ideal nenul al lui R.
Mulțimea de numere naturale { (x) | x I, x 0} are un element minim, fie acesta (a), cu
a I, a 0 (a poate să nu fie unic determinat). Demonstr ăm că a este un generator al
idealului I. Evident, Ra I. Pentru incluziunea invers ă, presupunem prin reducere la absurd
că există un element b I \ Ra. Aplicînd teorema împ ărțirii cu rest în R, obținem existen ța
elementelor q, r R cu proprietatea c ă b aq r, r 0 (căci b Ra) și (r) (a). Cum a,
b I, rezultă că r I. Inegalitatea (r) (a) este însă în contradicție cu alegerea lui a.
De exemplu, dac ă K este corp, inelul K[X] este principal; dat un ideal I 0 în K[X], un ge-
nerator al lui I este un polinom g I de grad minim printre gradele polinoamelor nenule din I.
Inelele principale sînt GC D-inele; oricare ar fi a, b R, există un cmmdc al lor, anume
orice generator al idealului aR bR. Mai precis:
4.3 Propozi ție. Fie R un inel principal și a, b R. Atunci:
a) Elementul d R este un cmmdc al a și b dacă și numai dac ă dR aR bR. În
particular, exist ă un cmmdc d al lui a și b și există u, v R astfel încît d au bv.
b) Elementul d R este un cmmmc al a și b dacă și numai dac ă dR aR bR.
Demonstra ție. a) R fiind inel principal, exist ă un generator d al idealului aR bR {ax
by | x, y R}. Atunci a, b dR, deci d|a, d|b . Dacă e R astfel încît e|a, e|b , atunci e|ax
by, x, y R. În particular, e|d. Astfel, d este un cmmdc al a și b. Reciproc, dac ă d este un
I. Aritmetic ă în inele integre 18
cmmdc al a și b, rezultă că d|a și d|b, deci dR aR și dR bR, adică dR aR bR. Fie e un
generator al idealului aR bR. Cum e|a, e|b , rezultă că e|d, adică d eR aR bR.
b) Demonstra ția e asemănătoare cu cea de mai sus și o lăsăm cititorului.
Facem observa ția că propoziția de mai sus d ă o justificare nota ției (a, b), folosită atît
pentru cmmdc al elementelor a și b, cît și pentru idealul generat de a și b.
4.4 Exemplu. Fie R un inel integru care nu e corp și r R, nenul, neinversabil. Atunci
idealul ( r, X) al inelului R[X] nu este principal, deci inelul R [X] nu este principal . În
particular, inelele Z[X], K[X, Y] cu K corp nu sînt principale.
Într-adevăr, presupunem c ă există f R[X] cu ( f ) (r, X). Atunci rezult ă că f |r. Trecînd
la grade, ob ținem că grad f 0, adică f R. Din f |X, adică g R[X] cu X fg, avem că f
este inversabil în R. Deci cmmdc al lui r și X este 1. Dar idealul generat de r și X nu conține
pe 1, căci altfel ar exista h, q R[X] astfel încît 1 hr qX. Punînd X 0 în aceast ă egalitate
de polinoame, rezult ă 1 h(0)·r, adică r este inversabil, contradic ție.
Din Propozi ția 1.17 și din faptul c ă inelele principale sînt GCD-inele, rezult ă:
4.5 Propozi ție. Într-un inel principal, un element este ireductibil dac ă și numai dac ă este
prim.
Astfel, inelele care con țin elemente ireductibile care nu sînt prime nu sînt principale. Un
astfel de inel este Z[ 5], după cum am v ăzut în Exemplul 1.16.
4.6 Corolar. Într-un inel principal R, idealele pr ime nenule sînt ideale maximale. Orice
ideal maximal este de forma pR, unde p este ireductibil în R. Un element p R este
ireductibil dac ă și numai dac ă pR este ideal maximal.
Demonstra ție. Este suficient s ă observăm că orice ideal prim nenul este principal, generat
cu necesitate de un element prim p (Propoziția 1.18. d)). Elementul p este ireductibil, deci
(Propoziția 1.18. e)) idealul pR este maximal. Celelalte afirma ții sînt evidente, ținînd cont de
propoziția citată și de faptul c ă R este principal.
Cazul particular R Z al Propozi ției următoare este cunoscut sub numele de „Teorema
fundamental ă a aritmeticii”. Reamintim c ă am notat R° {x R | x este nenul și nu este
inversabil}.
4.7 Teorem ă. Fie R un inel principal. Atunci orice element r R° se poate scrie ca un
produs finit de elemente prime.
Demonstra ție. Presupunem prin reducere la absurd c ă există r R° astfel încît r nu se
poate scrie ca un produs finit de elemente prime (sau, echivalent, ireductibile, c ăci R este
principal). În particular, r nu este ireductibil, deci r r1s1, cu r1, s1 R°, neasociate cu r.
I.4 Inele principale 19
Dacă r1 și s1 sînt produse finite de ireductibile, atunci r este produs de ireductibile, fals. Deci
măcar unul dintre ele (fie acesta r1) nu se scrie ca produs de el emente ireductibile. Înlocuind
în raționamentul de mai sus pe r cu r1, rezultă că există r2 R°, r2|r1, r2 ¿ r1. Procedînd
inductiv, rezult ă existența unui șir (rn)n 0 de elemente din R (cu conven ția r0 r), cu
proprietatea c ă pentru orice n N, rn 1 este un divizor propriu al lui rn. Altfel spus, am
obținut un șir infinit strict cresc ător de ideale r0R r1R … rnR rn1R …. Dar acest
lucru este imposibil într-un inel principal, dup ă cum arată lema urm ătoare.
4.8 Lem ă. Fie R un inel principal și (rn)n 0 un șir de elemente di n R astfel încît
rnR rn 1R, pentru orice n N. Atunci exist ă m N astfel încît r m R rm i R, pentru orice
i N. (Cu alte cuvinte, orice șir ascendent de ideale este sta ționar) .
Demonstra ție. Fie I reuniunea idealelor rn R, n N. Demonstr ăm că I este ideal în R: dacă
x, y I, atunci exist ă i, j N astfel încît x riR, y rj R. Deci x, y rt R, unde t max( i, j),
adică x y rt R I. Dacă r R, rx ri R I. Cum R este principal, exist ă a R astfel încît
I aR. Întrucît a I, există m N astfel încît a rm R, adică aR rm R. Deci rm R aR I
rm i R, i N.
Un inel R cu proprietatea c ă orice șir ascendent de ideale I0 I1 … ale lui R este
staționar (există m N astfel încît Im Im i, i N) se nume ște inel noetherian .11 Deci,
inelele principale sînt noetheriene.
În definiția inelului euclidian, esen țială este condi ția ii), „Teorema împ ărțirii cu rest”. De
altfel, condi ția i) nici nu a fost folosit ă pînă acum în vreo demonstra ție.
4.9 Propozi ție. Fie R un inel integru cu proprietatea c ă există o funcție : R*→ N astfel
încît satisface condi ția ii) din defini ția inelului euclidian. Atunci exist ă o funcție : R*→ N
astfel încît R să fie euclidian fa ță de
Demonstra ție. Fie : R* → N, definită prin (x) min{(y) | y x} . E s t e c l a r c ă x
asociat cu y implică (x) (y). Probăm că satisface condi ția ii). Fie a, b R, b 0 și b0
asociat cu b astfel încît (b0) (b). Aplicăm condiția ii) perechii a, b 0 și obținem q, r R
astfel încît a b0q r și r 0 sau (r) (b0). Cum b0 este de forma bu, cu u inversabil,
rezultă că a b(uq) r și r 0 sau (r) (r) (b0) (b). Pentru a vedea c ă satisface și
condiția i), fie a, b R* cu a|b. Observăm că în demonstra ția propozi ției 4.2 nu s-a folosit
decît condi ția ii) din defini ția inelului euclidian, pe care o satisface. Din demonstra ția citată,
11 În onoarea matematicianei germane Emmy Noether (1882–1935), supranumit ă și „Mama Algebrei
Moderne”.
I. Aritmetic ă în inele integre 20
un generator al idealului aR este un element c (cu necesitate asociat cu a) cu proprietatea c ă
(c) min{(x)| x aR, x 0}. Avem deci (a) (c) (b), căci b aR.
Apare în mod natural problema existen ței unor inele principale care s ă nu fie euclidiene.
Astfel de exemple nu sînt u șor de construit. În 1894, Dedekind a demonstrat c ă inelul
Z
219 1i este principal, dar nu este euclidian. O demonstra ție elementar ă a acestui fapt se
găsește în A LBU și ION [1984].
I.5 Inele factoriale
5.1 Defini ție. Un inel integru R cu proprietatea c ă orice element nenul și neinversabil se
scrie ca un produs finit12 de elemente prime se nume ște inel factorial sau inel cu
descompunere unic ă în factori (primi) . În literatura anglo-saxon ă, astfel de inele sînt numite
Unique Factorization Domains (UFD).
Din teorema 4.7 rezult ă că inelele principale (deci și cele euclidiene) sînt factoriale. Orice
corp este inel factorial, c ăci nu are elemente nenule și neinversabile.
5.2 Propozi ție. Într-un inel factorial R orice element ireductibil este prim.
Demonstra ție. Fie p ireductibil. Cum p R°, p este un produs de elemente prime. Dar
acest produs nu poate avea decît un factor, altfel elementul p ar admite divizori proprii. Cu
alte cuvinte, p este el însu și prim.
Propoziția următoare justific ă și precizeaz ă denumirea de inele cu descompunere unic ă în
factori primi, care se mai d ă inelelor factoriale.
5.3 Propozi ție. Fie R un inel integru și r R°. Dacă r admite o descom punere în factori
primi, atunci aceast ă descompunere este unic determinat ă pînă la o ordine a factorilor și
pînă la o asociere a acestora în divizibilitate. Mai precis, dac ă r p1…pn q1…qm sînt două
scrieri ale lui r ca produse de elemente prime, atunci m n și există o permutare a mulțimii
{1, …, n} astfel încît p i să fie asociat în divizibilitate cu q (i), i {1, …, n}.
12 Un astfel de produs se mai nume ște descompunere în factori a elementului respectiv. Produsele pot avea și
un singur factor.
I.5 Inele factoriale 21
Demonstra ție. Dacă r p1 … pn este o descompunere a lui r în factori primi, numim
numărul natural n lungimea descompunerii date. Demonstr ăm afirma ția propozi ției prin
inducție după n.
Dacă n 1, atunci r p1 q1 … qm, cu p1, q1, …, qm prime. Deci r este prim și divide
produsul q1 … qm; rezultă că r divide unul din factori, fie acesta (dup ă o eventual ă
renumerotare) q1. Întrucît q1 este ireductibil, rezult ă d e f a p t c ă r q1, adică r q1u, cu u
inversabil. Avem de demonstrat c ă m 1. Dacă m 2, simplificînd prin q1 în egalitatea
q1u q1 … qm, obținem că q2 … qm 1, adică q2, …, qm sînt inversabile, contradic ție.
Presupunem c ă afirmația este adev ărată pentru orice element x care admite o
descompunere în factori primi de lungime n. Fie r R cu r p1 … pn q1 … qm, cu p1,
…, pn, q1, …, qm prime. Din faptul c ă pn este prim, rezult ă că există i {1, …, n} astfel încît
pn|qi. Cum qi este ireductibil, rezult ă că pn qi, adică vpn qi, cu v inversabil. Simplificînd
prin pn, obținem p1 … pn1 vq1 … qi1qi1 … qm. Putem acum aplica ipoteza de induc ție
pentru produsul p1 … pn1 și se obține că n m 1 și p1, …, pn 1 sînt asociate cu q1,
…, qi 1, qi 1, …, qm, eventual în alt ă ordine.
5.4 Teorem ă. Fie R un inel integru. Urm ătoarele afirma ții sînt echivalente:
a) R este inel factorial. b) Orice element din R° este un pr odus finit de factori ireductibili și orice element
ireductibil este prim.
c) Orice element din R° are o descompunere în factori ireductibili, unic ă pînă la ordinea
factorilor și pînă la o asociere în divizibilitate a acestora.
d) Orice element din R° are o de scompunere în factori ireductibili și orice dou ă elemente
au un cmmdc.
Demonstra ție. a)b) Evident, din Propozi ția 5.2.
b)c) Rezultă din Propozi ția 5.3.
c)d) Fie a, b R° (dacă a, b sînt nule sau inversabile, este trivial de ar ătat că există un
cmmdc al lor) . Pentru a g ăsi un cmmdc al elementelor a și b, se folose ște în esen ță procedeul
de determinare a cmmdc înv ățat în gimnaziu : „se iau factorii primi comuni la puterea cea mai
mică”. Mai precis, fie P un sistem de reprezentan ți ai claselor de echivalen ță (în raport cu
relația de asociere în divizibilitate ) ale elementelor ireductibile din R. Aceasta înseamn ă că
orice element ireductibil din R este asociat cu exact un element din P. Atunci exist ă și sînt
unic determinate p1, …, pn P, distincte, s1, …, sn, t1, …, tn N, u, v U(R) astfel încît a
up pns
ns1
1 și b vp pnt
nt1
1 . Faptul că aceste elemente sînt unic determinate rezult ă imediat
din unicitatea descompunerilor în R. Fie ri min( si, ti) și definim d nr
nrp p1
1 . Se observ ă că
d|a, d|b. Dacă e|a, e|b , atunci orice factor ireductibil c P care îl divide pe e divide pe a și pe
b. Aceasta implic ă c {p1, …, pn}, căci altfel a (sau b) ar avea dou ă descompuneri în factori
I. Aritmetic ă în inele integre 22
ireductibili, dintre care una îl con ține pe c, iar cealalt ă nu, ceea ce contrazice „unicitatea”
descompunerilor. Deci e este de forma qp pnw
nw1
1 , cu w1, …, wn N, q U(R). Din e|a
rezultă că wi si, iar din e|b rezultă că wi ti, i n,1 . Deci wi ri și e|d.
d)a) Prop. 1.17 asigur ă că orice element ireductibil este prim, c ăci R este GCD-inel.
Implicația e acum evident ă.
Observăm că într-un inel factorial R orice dou ă elemente a și b au un cmmmc, ob ținut
„luînd factorii primi comuni și necomuni la puterea cea mai mare”; cu nota țiile din demon-
strație, se define ște qi max( si, ti), iar elementul m nq
nqp p1
1 este un cmmmc al lui a și b.
5.5 Exemple. a) Inelul Z5 nu este factorial, c ăci 2 este ireductibil și nu este prim (cf.
Exemplul 1.16). Cititorul poate de asemenea proba c ă 6 are dou ă descompuneri în Z5 :
6 2·3 5 15 1 , în care 2 nu este asociat cu 5 1 sau cu 5 1 .
b) Fie S monoidul numerelor ra ționale pozitive în raport cu adunarea. Inelul monoidal Q[S]
este un inel integru. Putem identifica elementele din Q[S] cu expresiile formale de tipul
ns
nsXa Xa 1
1 , unde ai Q, si S, i n,1, i a r X este o „nedeterminat ă”. În acest inel, X
este un element nenul și neinversabil și nu admite o descompunere în factori ireductibili.
5.6 Propoziție. Fie R un inel factorial, n N* și a, b 1, …, b n R. Dacă a este prim cu
orice b i, 1 i n, atunci a este prim cu produsul b 1…b n.
Demonstra ție. Vom arăta că nu există nici un element prim p care să dividă atît pe a cît și
produsul b1…bn. Dacă p este un astfel de element, atunci exist ă j, 1 j n astfel încît p|bj.
Cum p|a, rezultă că p|(a, bj) 1. Deci p este inversabil, contradic ție.
Inelele factoriale adm it mai multe caracteriz ări. Dintre acestea, urm ătoarea, datorat ă lui
Kaplansky, face apel la metode de Algebr ă Comutativ ă.
5.7 Teorem ă. Fie R un inel integru. Atunci R este inel factorial dac ă și numai dac ă orice
ideal prim nenul al lui R con ține un element prim.
Demonstra ție. Fie R inel factorial și P un ideal prim nenul al s ău. Dacă a P este nenul
(și cu necesitate neinversabil, c ăci P R), a are o descompunere în factori primi: a p1 … p n.
Cum P este ideal prim, exist ă i astfel încît pi P.
Reciproc, presupunem c ă orice ideal prim nenul în R conține un element prim. Consider ăm
sistemul multiplicativ S {a R | a U(R) sau a este produs de prime}. Dac ă S R – {0},
atunci R este inel factorial. Presupunem prin reducere la absurd c ă există a R, nenul, cu a
S. Atunci exist ă un ideal prim P în R care conține pe a, cu P ∩ S . Presupunînd demonstrat
acest fapt, ipoteza implic ă existența unui element prim p P. Dar p S, contradic ție cu P ∩
S . Deci neap ărat are loc S R – {0}.
I.5 Inele factoriale 23
Rămîne de probat existen ța lui P. Vom arăta că orice ideal I care e maximal cu proprietatea
că I ∩ S și aR I este prim. S ă demonstr ăm existen ța unui astfel de ideal. Vom aplica
lema lui Zorn mul țimii de ideale (ordonate cu incluziunea)
J {I ideal în R | I ∩ S și aR I }.
Mai întîi, observ ăm că J este nevid ă, căci aR J. Într-adev ăr, dacă ar S pentru un r R,
atunci ar este inversabil sau e produs de prime. Dac ă ar este inversabil, atunci și a este inver-
sabil, contradic ție. Dacă ar este produs de factori primi, ar ătăm că a S, prin induc ție după
numărul de factori. Cazul ar p, cu p prim implic ă p r (deci a inversabil) sau p a (deci
a S). Dacă ar p1 … p n cu p1, …, pn prime, atunci p1| a sau p1| r. Dacă p1| a, atunci a bp1
și prin simplificare avem c ă br p2 … p n; ipoteza de induc ție arată acum că b S, deci și a
S. Dacă p1| r, scriem r c p1, deci ac p2 … p n și se aplică din nou induc ția, obținînd a S.
J este inductiv ordonat ă: orice submul țime total ordonat ă a lui J, (Il)lL (cu L o mulțime de
indici) are un majorant în J, anume lL Il. Verificarea acestui fapt este standard și o lăsăm
cititorului. Lema lui Zorn asigur ă acum existen ța unui element maximal P în J.
Idealul P este prim: fie x, y R, cu x P și y P. Dacă, prin absurd, xy P, consider ăm
idealele P Rx și P Ry, care includ strict P. Din maximalitatea lui P, rezultă existența
elementelor s S ∩(P Rx) și t S ∩(P Ry); atunci st S ∩ P, contradic ție.
În cele ce urmeaz ă, ne vom ocupa de factorialitatea in elelor de polinoa me. Vom demonstra
următorul rezultat important, care furnizeaz ă o clasă largă de inele factoriale.
5.8 Teorem ă. Dacă R este inel factorial, atunci inelul de polinoame R [X] este inel
factorial.
Pentru demonstra ție sînt necesare cîteva no țiuni și rezultate, care au și un interes de sine
stătător.
5.9 Defini ție. Fie R un inel factorial și f a0 a1X … anX n R[X]. Cmmdc al
coeficienților a0, a1, …, an este numit conținutul polinomului f, notat c( f ). Un polinom cu
conținutul asociat cu 1 se nume ște polinom primitiv . Observăm că f este polinom primitiv
dacă și numai dac ă nu există p prim în R astfel încît p să dividă toți coeficien ții lui f. Orice
polinom f R[X] se poate scrie sub forma f c( f )·f ', unde f ' este polinom primitiv.
Reciproc, dac ă f a·f ', cu a R și f ' primitiv, atunci a c( f ).
5.10 Propozi ție. a) Fie R un inel integru. Dac ă p este un element prim în R, atunci p este
prim și în R [X].
I. Aritmetic ă în inele integre 24
b) Fie R un inel factorial și f, g două polinoame primitive cu coeficien ți în R. Atunci și
produsul fg este polinom primitiv.13
c) Fie R un inel factorial și f, g R[X]. Atunci c ( f g) c( f )·c(g).
Demonstra ție. a) Remarcăm mai întîi c ă p divide un polinom în R[X] dacă și numai dac ă p
divide toți coeficien ții polinomului. Fie f a0 a1X … anX n, g b0 b1X … bmX m
R[X] astfel încît p – f și p – g. Să demonstr ăm că p – fg. Din p – f rezultă că există i, 0 i n,
astfel încît p – ai . Alegem i minim cu aceast ă proprietate. La fel, fie j minim astfel încît p – bj.
Atunci coeficientul lui X i j în produsul fg este
jilklkba
În această sumă, aibj nu este divizibil cu p, iar ceilal ți termeni sînt divizibili cu p, fiind
produse de doi factor i dintre care m ăcar unul este divizibil cu p. Deci coeficientul lui X i j nu
este divizibil cu p și nici polinomul fg nu este.
b) Dacă fg nu ar fi polinom primitiv, atunci ar exista p R, prim, astfel încît p| fg. Din
punctul precedent ob ținem că p| f sau p|g, contradic ție.
c) Fie f c( f )·f ', g c(g)·g', unde f ' și g' sînt polinoame primitive. Atunci
fg c( f )c(g)·f '·g',
cu f 'g' polinom primitiv din b). Este clar acum c ă c( fg) c( f )c(g).
5.11 Propoziție. Fie R un inel factorial, K corpul s ău de frac ții și f R[X], grad f 1.
Atunci f este ireductibil în R [X] dacă și numai dac ă f este primitiv și este ireductibil în K [X].
Demonstra ție. Fie f ireductibil în R[X]. Atunci e clar c ă f este primitiv. R ămîne să arătăm
că f este ireductibil în K[X]. Dacă f gh, cu g, h K[X], atunci, înmul țind cu cmmmc al
numitorilor coeficien ților polinoamelor g și h, obținem o rela ție de forma af g1h1, cu g1, h1
R[X], a R. Trecînd la con ținutul polinoamelor, avem a c(g1)c(h1), căci c( f ) 1. Putem
scrie g1 c(g1)·g2, h1 c(h1)·h2, unde g2, h2 R[X] sînt primitive. Deci, af c(g1)·c(h1)·g2·h2;
simplificînd prin a, obținem f g2h2. Ireductibilitatea lui f în R[X] implică grad g2 0 sau
grad h2 0. Cum grad g grad g1 grad g2 și la fel pentru h, rezultă grad g 0 sau grad h
0, ceea ce trebuia demonstrat.
Reciproc, dac ă f este ireductibil în K[X], nu are divizori proprii (de grad 1) în K[X]; cu
atît mai mult nu are divizori proprii în R[X]. Cum f este primitiv, nu are nici factori de grad 0
neinversabili.
Propoziția precedent ă are și o importan ță practică: pentru a demonstra ireductibilitatea unui
polinom în K[X], este suficient s ă demonstr ăm ireductibilitatea lui f în R[X], lucru adesea mai
ușor de realizat.
13 Acest rezultat este cunoscut ca „Lema lui Gauss”.
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame 25
Sîntem acum în m ăsură să dăm demonstra ția teoremei 5.8 . Vom folosi caracterizarea din
Teorema 5.4.b). Fie deci R un inel factorial, K corpul său de fracții și f R[X], ireductibil. S ă
demonstrăm că f este prim. Dac ă f |gh, cu g, h R[X], din faptul c ă f este ireductibil în K[X]
(deci și prim în K[X]) rezultă că f |g sau f |h în K[X]. Pentru a face o alegere, presupunem c ă
f |g în K[X]; există deci a R, q R[X] astfel încît ag fq. Trecînd la con ținutul
polinoamelor în aceast ă egalitate, avem a·c(g) c(q). Scriind că q c(q)·q', g c(g)·g', cu q',
g' primitive în R[X], obținem ac(g)·g' f·c(q)·q'; simplificînd prin c(q), rezultă g' fq', adică
f |g în R[X].
Rămîne de ar ătat că orice polinom nenul și neinversabil din R[X] este un produs de
polinoame ireductibile. Vom de monstra aceasta prin induc ție după gradul polinomului. Dac ă f
R[X], grad f 0 și f este neinversabil, atunci f R° și deci are o descompunere în factori
ireductibili în R, care rămîn ireductibili în R[X]. Dacă grad f 0, putem scrie f c( f )f ', cu f '
primitiv și este suficient s ă probăm existen ța descompunerii pentru f '. Dacă f ' este ireductibil,
am terminat; dac ă nu, f ' are un divizor propriu în R[X], care nu poate fi decît un polinom de
grad strict mai mic decît grad f ( f ' nu are divizori proprii în R, căci este primitiv). În
concluzie, f ' gh, cu g, h R[X], de grade strict mai mici decît grad f. Aplicînd ipoteza de
inducție pentru g și h, conchidem c ă f ' este un produs de factori ireductibili în R[X].
Astfel, inelele Z[X], Z[X1, …, Xn], K[X1, …, Xn] cu K corp sînt inele factoriale. Remarc ăm
că are un rezultat analog pentru inele noetheriene : dacă R este inel comutativ noetherian,
atunci R [X] este noetherian. (Teorema bazei -Basissatz- a lui D. Hilbert).
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame
Reamintim c ă R° desemneaz ă mulțimea elementelor nenule și neinversabile din inelul R.
6.1 Propozi ție. Fie R un inel integru. Atunci
U(R[X]) U(R) și R[X]° R° {f R[X] | grad f 1}.
În particular, pentru K corp, U (K[X]) K* și K[X]° {f K[X] | grad f 1}.
Demonstra ție. Incluziunea U(R) U(R[X]) este evident ă. Dacă f este inversabil în R[X],
există g astfel încît fg 1. R fiind integru, avem atunci grad f grad g 0, deci
grad f 0 grad g, adică f, g R. Din fg 1 deducem c ă f U(R).
A doua egalitate din enun ț rezultă din prima.
I. Aritmetic ă în inele integre 26
Fiind dat un inel R, problema deciderii ireductibilit ății unui polinom în inelul de polinoame
R[X] este de o deosebit ă importan ță și adesea nebanal ă. De aici rezult ă utilitatea cunoa șterii
unui arsenal cît mai bogat de cr iterii de ired uctibilitate.
6.2 Observa ție. Problema ireductibilit ății unui f R[X] (R inel integru, cu corp de frac ții
K) se poate aborda astfel:
– dacă grad f 0, atunci f R. În acest caz, f este ireductibil în R[X] dacă și numai dac ă f
este ireductibil în R. Dacă R K (adică R e corp), f este inversabil, deci nu e ireductibil.
– dacă grad f n 0, atunci f este ireductibil în R[X] dacă și numai dac ă f nu are divizori
neinversabili de grad 0 și nu exist ă o descompunere de forma f gh, cu g, h R[X] și
1 grad g, grad h n.
Faptul că f nu are divizori neinvers abili de grad 0 este ec hivalent cu a spune c ă cmmdc al
coeficienților lui f există și este 1. În practic ă, inelul R este factorial, caz în care aceast ă
condiție înseamn ă că f este primitiv . Reamintim c ă avem atunci și echivalen ța „f este
ireductibil în R[X]” „f primitiv și f ireductibil în K[X]” .
Dacă R este inel care nu e corp, am v ăzut că inelul R[X] nu este principal, deci cu atît mai
mult nu are loc teorema împ ărțirii cu rest în R[X]. Totuși, se observ ă că, dacă f, g R[X], iar g
are coeficientul dominant inversabil în R, argumentul demonstra ției teoremei împ ărțirii cu rest
pentru cazul cînd R este corp este înc ă valabil. Propunem d eci cititorului s ă demonstreze
următorul rezultat:
6.3 Propozi ție. (teorema împ ărțirii întregi) Fie R un inel și f, g R[X]. Dacă coeficientul
dominant al lui g este in versabil în R, atunci exist ă q, r R[X] astfel încît f gq r, cu r 0
sau grad r grad f .
O consecin ță important ă este așa-numita teorem ă a lui Bézout, familiar ă elevilor de liceu
(cel puțin pentru cazul R R sau C).
6.4 Propozi ție. Fie R un inel integru, f R[X] și a R. Următoarele afirma ții sînt
echivalente:
a) a este r ădăcină a lui f.
b) Polinomul X a îl divide pe f în R [X].
Demonstra ție. Există q, r R[X] astfel încît f (X a)q r, unde grad r 0 sau r 0.
Observăm că X a îl divide pe f dacă și numai dac ă r 0. Din egalitatea
f (a) (a a)q(a) r(a) r, deducem c ă f (a) 0 echivaleaz ă cu r 0.
Această propoziție permite urm ătoarea generalizare a no țiunii de rădăcină: dacă R este un
inel și f R[X], spunem c ă a R este rădăcină multiplă de ordin m a lui f dacă (X a) m| f și
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame 27
(X a) m 1- f ; numărul natural m se numește multiplicitatea (sau ordinul de multiplicitate ) al
rădăcinii a. O rădăcină a lui f care este de multiplicitate 1 se nume ște rădăcină simplă.
6.5 Corolar. Fie R un inel și f R[X], grad f 1. Dacă polinomul f are o rădăcină a R,
atunci f este reductibil în R [X] ( fiind divizibil cu X a).
Reciproca afirma ției de mai sus este fals ă: polinomul ( X 2 1)2 nu are rădăcini în Q, dar
este evident reductibil în Q[X]. Cu toate acestea, are loc o reciproc ă „parțială”:
6.6 Propozi ție. Fie K un corp. Atunci un polinom f de grad 2 sau 3 din K[X] este
ireductibil dacă și numai dac ă nu are rădăcini în K. În particular, dac ă R este inel factorial,
un polinom primitiv de grad 2 sau 3 din R[X] este ireductibil în R [X] dacă și numai dac ă nu
are rădăcini în K.
Demonstra ție. În condi țiile date, ireductibilitatea lui f în K[X] implică faptul că f nu are
rădăcini în K. Reciproc, dac ă f este reductibil și are grad 2 sau 3, atunci, din examinarea
gradelor într-o descompunere a lui f, rezultă că are un factor de grad 1, care are o r ădăcină în
K. Restul rezult ă din echivalen ța „ f este ireductibil în R[X] dacă și numai dac ă f este primitiv
și ireductibil în K[X]”.
Criteriul de mai sus tr ebuie aplicat cu precau ție pentru stabilirea ireductibilit ății
polinoamelor cu coeficien ți într-un inel integru (mai ales dac ă nu e factorial):
6.7 Exemple. a) Polinomul f (2X 1)2 este evident reductibil în Z[X], dar nu are r ădăcini
în Z. Însă f are rădăcini în corpul de frac ții al lui Z, Q.
b) Fie R {a 2bi | a, b Z}. Se verific ă imediat c ă R este subinel integru al lui Z[i].
Polinomul X 2 1 este ireductibil în R[X] (demonstra ți!), dar are r ădăcinile i, i în corpul de
fracții al lui R, Q[i]. Aceasta arat ă că existența rădăcinilor unui polinom de grad 2 sau 3 din
R[X] în corpul de frac ții al lui R nu implic ă în general reductibili tatea polinomului în R[X].
Pentru găsirea rădăcinilor unui polinom este util urm ătorul criteriu (vezi și Exerc. 25).
6.8 Propozi ție. Fie R un inel factorial, K corpul s ău de frac ții și f a0 a1X …
anX n R[X]. Dacă p/q K este o r ădăcină a lui f, cu p, q R, ( p, q) 1, atunci p|a 0 și q|a n.
Demonstra ție. Scriind c ă p/q este rădăcină a lui f și înmulțind cu q n, avem
a0q n a1 pq n … an p n,
deci p|a 0q n. Cum ( p, q) 1, avem și ( p, q n) 1 (R este factorial) și deci p|a0. Analog se
demonstreaz ă că q|a n.
6.9 Exemplu. Fie f X 3 X 2 Z[X]. Dacă p/q Q este rădăcină a lui f, (p, q) 1,
atunci p|2 și q|1. Rădăcinile raționale ale lui f (dacă există) se găsesc așadar printre elementele
I. Aritmetic ă în inele integre 28
mulțimii {1, 1, 2, 2}. Prin testare direct ă, obținem că nici unul din aceste elemente nu este
rădăcină. Deci f nu are rădăcini raționale. Cum f este de grad 3, rezult ă că este ireductibil în
Q[X] (și în Z[X], fiind primitiv).
Propoziția următoare colecteaz ă cîteva criterii generale de ireductibilitate.
6.10 Propozi ție. Fie R un inel integru, K corpul s ău de fracții și f a0 a1X … anX n
un polinom nenul cu coeficien ți în R .
a) Fie c, d R, cu c inversabil în R. Atunci f este ireductibil dac ă și numai dac ă f (cX d)
este ireductibil.
b) Presupunem c ă a0 0. Atunci f este ireductibil dac ă și numai dac ă polinomul
r( f ) an an 1X … a0X n,
numit „polinomul reciproc al lui f” este ireductibil.
c) Presupunem c ă f nu are divizori neinversabili de grad 0. Dacă S este un inel comutativ
și : R → S este un morfism de inele astfel încît (an) 0 și polinomul (a0) (a1)X …
(an)X n este ireductibil în S [X], atunci f este ireductibil în R [X].
d) (Criteriul lui Eisenstein) Fie R un inel factorial . Dacă există un element prim p R
astfel încît p|a i, i n, p – an , p2-a0, atunci f este ireductibil în K [X] (deci f ireductibil și în
R[X] dacă este primitiv ).
Demonstra ție. a) Fie : R[X] → R[X] unicul morfism de R-algebre cu proprietatea c ă
(X) cX d. Altfel spus, ( f ) se obține înlocuind nedeterminata X în polinomul f cu cX d.
Elementul c este inversabil dac ă și numai dac ă este izomorfism de R-algebre (morfismul de
R-algebre : R[X] → R[X] care duce X în c X c d este inversul lui ). Avem a șadar
f gh ( f ) (g)(h), g, h R[X]. Observînd c ă păstrează gradele și că |R idR, se
obține imediat c ă f este ireductibil dac ă și numai dac ă ( f ) este ireductibil.
b) Dacă g și h sînt polinoame din R[X], cu termenul liber nenul, atunci r(gh) r(g)r(h).
Într-adevăr, observăm că XfX frn (pentru rigurozitatea argumentului se consider ă
egalitățile în K(X), corpul de frac ții al lui K[X]). Deci, dac ă grad g m, grad h p, avem
hrgrXhXXgXXgh X ghrp m pm.
Concluzia rezult ă observînd c ă r păstrează gradele și că, pentru orice d R, avem d | f
d | r( f ).
c) Fie : R[X] → S[X] unicul morfism de R-algebre (adic ă este morfism de inele și
|R ) astfel încît (X) X. Avem de demonstrat c ă ( f ) ireductibil implic ă f ireductibil.
Presupunem c ă f gh, cu g, h R[X]. Atunci ( f ) (g)(h); condiția (an) 0 asigură că
grad(g) grad(h) grad( f ) n. Cum grad (q) grad q, q R[X], obținem că
grad(g) grad g și grad(h) grad h. Din ireductibilitatea lui ( f ) deducem c ă ( f )
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame 29
(pentru a face o alegere) este invers abil, deci are grad 0. Astfel, 0 grad(g) grad g. Cum f
nu are divizori neinversabili de grad 0, g U(R).
d) Scriind f c( f )·f ', cu f ' primitiv, avem c ă f și f ' sînt asociate în K[X]. Înlocuind
polinomul f cu f ', putem presupune c ă f este primitiv. Este suficient acum s ă demonstr ăm că f
este ireductibil în R[X]. Dacă f ar fi reductibil, atunci:
f a0 a1X … anX n (b0 b1X … bmX m) (c0 c1X … cpX p),
unde m 0, p 0, b0, b1, …, bm, c0, c1, …, cp R, bm 0, cp 0. Avem b0c0 a0, deci p | b0c0
și p2 – b0c0 ; de aici rezult ă că p divide exact unul din elementele b0 și c0. Presupunem c ă p | b0
și p – c0. Întrucît p – an, p nu divide to ți coeficien ții bi; există așadar un i minim, 1 i m,
astfel încît p – bi (și deci p | bj, j i ). Atunci p – bic0 și deci elementul
ai bic0
i
jjijcb
nu se divide cu p, contradic ție cu ipoteza.
6.11 Observa ție. Dacă R este inel integru și f R[X] este un polinom unitar reductibil ,
atunci exist ă o descompunere a lui f de forma f gh, cu g, h R[X] unitare , de grade 1.
Demonstra ția e propus ă ca exerci țiu. Aceast ă observație simplă este util ă în investigarea
reductibilit ății polinoamelor.
Cîteva instan țe de aplicare a criteriilor de mai sus pe cazuri concrete vo r da o idee asupra
strategiilor posibile de abordare a problemei ireductibilit ății unui polinom. Exist ă algoritmi de
decizie a ireductibilit ății pentru polinoame din Z[X] (deci și pentru cele din Q[X]), un
asemenea algoritm (datorat lui Kr onecker) fiind descris în exerci țiul 30. O aplicare repetat ă a
unui astfel de algo ritm conduce la un algoritm de factorizare (de descompunere în factori
ireductibili) a oric ărui polinom din Q[X]. Programele moderne de calcul simbolic ( Maple,
Mathematica, Macaulay, Axiom, etc.) au implementate ru tine puternice de decizie a
ireductibilit ății, inclusiv pentru polinoame de mai multe variabile și pentru polinoame cu
coeficienți în extinderi algebrice ale lui Q sau într-un corp finit. Se poate demonstra c ă, dacă
există un algoritm de factorizare pentru K[X], cu K un corp, atunci exist ă unul și pentru L[X],
oricare ar fi L o extindere finit generat ă a lui K. Pentru mai multe detalii privind algoritmii de
factorizare, vezi de ex. A LBU și ION [1997], SPINDLER [1994].
6.12 Exemple. a) Polinomul 6 X 9 13X 2 26 este ireductibil în Q[X] (și în Z[X], căci este
primitiv), conform criteriului lui Eisenstein aplicat cu p 13.
b) Pentru orice num ăr prim p și orice n N*, X n p este ireductibil în Q[X] și în Z[X] (tot
cu criteriul lui Eisenstein).
c) Fie p un număr prim și f X p1 X p2 … X 1 Z[X]. Criteriul lui Eisenstein nu
este aplicabil direct lui f. Considerînd îns ă polinomul
I. Aritmetic ă în inele integre 30
g
p
iii
pp
XCXXXf
11
111 11,
observăm că lui g i se poate aplica criteriul lui Eisenstein, c ăci p divide to ți coeficien ții
binomiali i
pC cu 1 i p. Deci g este ireductibil și astfel, conform punctului a) al propozi ției
de mai sus, f este ireductibil.
d) Polinomul f Y 9 X 9Y 7 3X 2Y 2X este ireductibil în Z[X, Y]. Pentru demonstra ție,
considerăm f ca polinom în Y cu coeficien ți în inelul factorial Z[X]. Aplicăm acum criteriul lui
Eisenstein cu p X (X este element ireductibil în Z[X]). Remarc ăm că inelul Z putea fi
înlocuit cu orice inel factorial de caracteristic ă diferită de 2.
e) Consider ăm polinomul f X 5 X 2 1 Z2[X]. Polinomul f nu are rădăcini în Z2, deci
divizorii proprii ai lui f nu pot fi de grad 1 (sînt de gr ad 2 sau 3). O de scompunere a lui f poate
fi doar de forma:
X 5 X 2 1 (X 3 aX 2 bX 1)(X 2 cX 1),
cu a, b, c Z2. Identificînd coeficien ții, se obține un sistem de ecua ții în a, b, c , despre care
se vede imediat c ă nu are solu ții în Z2. Așadar, f este ireductibil în Z2[X].
f) O aplicare tipic ă a criteriului 6.10. c) la un polinom f cu coeficien ți întregi const ă în a
„reduce coeficien ții modulo n”. Mai precis, pentru un n N convenabil ales, se consider ă
unicul morfism de inele : Z → Zn și se cerceteaz ă ireductibilitatea polinomului „ f redus
modulo n” (notat cu ( f ) în demonstra ție). Fie, de exemplu, polinomul
f 7X 5 4X 3 X 2 X 9 Z[X]. Redusul modulo 2 al lui f este X 5 X 2 1 Z2[X],
despre care am v ăzut că este ireductibil. Condi țiile de la 6.10. c) sînt îndeplinite, deci f este
ireductibil în Z[X] (deci și în Q[X], fiind primitiv).
g) Polinomul 10 X 7 5X 2 2 este ireductibil în Z[X], căci reciprocul s ău este
2X 7 5X 5 10, căruia i se poate aplica criteriul lui Eisenstein cu p 5.
Exerciții
În exerciții, R este un inel integru și K este corpul s ău de frac ții (dacă nu se specific ă
altfel).
1. Fie R un inel comutativ unitar care nu e integru și a R un divizor al lui 0. Dac ă
b R \ {0} nu este divizor al lui 0, demonstra ți că ecuația ax b 0 nu are solu ții în nici un
inel S care include R ca subinel.
2. Fie R un inel integru finit. Demonstra ți că R este corp.
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame 31
3. Fie R un inel unitar infinit. Demonstra ți că mulțimea R° a elementelor nenule și
neinversabile este infinit ă. (Ind. Dac ă R° este finit ă, atunci U( R) este infinit ă. Fie S(R°)
mulțimea bijec țiilor de la R° la R°. Aplicația : U(R) → S(R°) x x, x(a) xa, a R°,
este injectiv ă, contradic ție.)
4. Fie R un inel integru în care orice dou ă elemente au cmmdc. Atunci orice element din K se
poate scrie sub forma a/b, (b 0), cu a, b R, prime între ele („frac ția a/b este ireductibil ă”).
Ce se poate spune despre unici tatea unei astfel de scrieri?
5. Arătați că un inel comutativ R este integru dac ă și numai dac ă R[X] este integru.
6. Fie p R°. Demonstra ți că idealul generat de p în R[X], pR[X], este prim dac ă și numai
dacă p este element prim în R. (Ind.: Ar ătați că R[X]/(pR[X]) (R/pR)[X]). Deduce ți o nouă
demonstra ție pentru 5.10. a).
7. Elementele 6 și 2 5 nu au cmmdc ( și deci nici cmmmc) în inelul Z[5].
8. Un număr prim p Z este prim și în inelul Z[i] dacă și numai dac ă 4 | p 1.
9. Fie d un num ăr întreg negativ, liber de p ătrate. Să se determine grupul elementelor
inversabile în inelul Z[d].
10. Să se arate c ă inelul Z[2] este euclidian. (Ind. Folosi ți 3.2.)
11. Fie 25 1 . Să se arate c ă norma N : Z[ ] → Z este dat ă de formula
N(a b) a2 ab b2, a, b Z. Demonstra ți că inelul 25 1Z este euclidian. (Ind.
Folosiți 3.2 și faptul că Q[5] Q[ ]).
12. Fie 23 1i . Scrieți o formul ă pentru aplica ția normă N : Z[ ] → Z și determina ți
grupul unit ăților lui Z[ ].
13. Fie d Z, liber de p ătrate.
a) Orice element din dQ are o scriere unică sub forma a bd, a, b Q.
b) Presupunem cunoscut c ă un întreg p ătratic este r ădăcină a unui polinom unitar de grad 2
cu coeficien ți întregi. Ar ătați că un element x a bddQ (a, b Q) este întreg
pătratic Tr(x) 2a Z și N(x) a 2 db 2 Z.
c) Arătați că x a bd(cu a, b Q) este întreg p ătratic 2a Z, 2b Z și
4a 2 4b 2d 0 (mod 4)
d) Arătați că R : { dQ | întreg pătratic} este un subinel al lui dQ și că
R Z[ ], unde este dat de Propozi ția 3.1.
e) Pentru d 0, determina ți explicit grupul unit ăților lui R.
14. Fie R un subinel unitar al unui inel comutativ S. Un element al lui S se nume ște întreg
peste R dacă este rădăcină a unui polinom unitar nenul din R[X]. Demonstra ți că, dacă R este
GCD-inel și x K este întreg peste R, atunci x R. (Un inel integru cu aceast ă proprietate se
numește întreg închis ).
I. Aritmetic ă în inele integre 32
15. Fie R un inel principal și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci inelul de frac ții
S 1R este principal.
16. Fie R un inel euclidian fa ță de funcția și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci
inelul de frac ții S 1R este euclidian. ( Ind. Se poate lua S saturat. Folosi ți exerc. 4.)
17. Fie R un inel factorial și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci inelul de frac ții S 1R
este factorial.
18. Proprietatea unui inel R de a fi euclidian (respectiv principal, factorial) se transmite și la
subinelele unitare ale lui R?
19. Fie R un inel euclidian fa ță de funcția . Atunci exist ă u R nenul și neinversabil cu
proprietatea: x R, q R astfel încît x qu este inversabil sau 0. Cît este u pentru R Z,
K[X] ? (Ind. min {(v) | v R°} (u) pentru un u R°.)
20. Fie d 13, d liber de p ătrate și R inelul întregilor lui dQ (deci R Z[ ], cu dat de
propoziția 3.1). Ar ătați că U(R) { 1, 1}. Arătați că R nu este euclidian. Este acest rezultat
un caz particular al Propozi ției 3.3? ( Ind. Dacă R este euclidian, fie u R dat de ex.
precedent. Atunci x R, are loc u|x sau u|x 1. Luați x 2 pentru a deduce c ă u Z și
u 2 sau 3. Apoi găsiți y R astfel încît s ă nu aibă loc u|y sau u|y 1).
21. Fie d un întreg liber de p ătrate, d 1 (mod 4). Atunci inelul Z[d] nu este GCD-inel.
(Ind. 2 este ireductibil și nu este prim.)
22. Să se arate c ă în Z există o infinitate de elemente prim e neasociate în divizibilitate.
23. Fie R un inel factorial care nu es te corp, astfel încît grupul unit ăților U(R) este finit.
Atunci în R există o infinitate de elemente prime neasociate în divizibilitate. ( Ind. Dacă
p1, …, pn sînt toate elementele prime pîn ă la asociere, atunci exist ă m 1 astfel încît
1 (p1…pn)m R°.)
24. Fie R un inel factorial și p R un element prim. Folosind morfismul canonic
: R → R/pR și prelungirea sa la un morfism : R[X] → (R/pR)[X], dați o nouă demonstra ție
criteriului lui Eisenstein. (Ind. Dac ă f a0 a1 X … an X n satisface ipotezele criteriului și
f gh, atunci ( f ) (an)X n (g)(h). Dacă grad g, grad h 1, atunci termenii liberi ai
lui g și h sînt multipli de p.)
25. Fie R un inel factorial și f a0 a1 X … an X n R[X].
a) Dacă p/q K este o rădăcină a lui f, unde p, q R și ( p, q) 1, atunci p|a 0, q|a n și
(p qr)| f (r), r R. Ce devin rela țiile pentru an 1?
b) Fie g n n
nn
nn
n X Xa Xaaaa
1
1 12
01 . Atunci Xag Xfann
n1. Descrie ți
legătura dintre r ădăcinile lui g și cele ale lui f.
c) Determina ți rădăcinile ra ționale ale polinoamelor 2 X 3 5X 2 9X 15 și
4X 3 7X 2 7X 15.
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame 33
26. Fie K un corp. Demonstra ți că orice polinom nenul f K[X] are cel mult grad f rădăcini în
K (fiecare fiind num ărată cu multiplicitatea sa) .
27. Fie R un inel. Demonstra ți echivalen ța următoarelor afirma ții:
a) Orice polinom nenul f R[X] are cel mult grad f rădăcini în R (fiecare fiind num ărată cu
multiplicitatea sa) .
b) Orice polinom de grad 1 are cel mult o r ădăcină în R.
c) R este inel integru.
(Ind. Considera ți corpul de frac ții al lui R și folosiți problema precedent ă).
28. Fie R un inel. Dac ă f R[X], i se asociaz ă funcția polinomial ă f~: R → R unde, x R,
f~(x) f (x) (valoarea polinomului f în x). Demonstra ți că, dacă R este integru infinit, atunci
funcția : R[X] → RR, ( f ) f~, f R[X], este injectiv ă. Rămîne valabil ă concluzia dac ă se
renunță la ipoteza R infinit?
29. (Polinomul de interpolare Lagrange ) Fie K un corp, n 1, x0, …, xn K, (n 1 elemente
distincte) și y0, …, yn K. Demonstra ți că există un unic polinom L K[X] de grad cel mult n
astfel încît L(xi) yi, 0 i n.
30. Fie p Z[X], primitiv, grad p n și m cel mai mare întreg n/2.
a) Arătați că p reductibil în Z[X] p are un factor de grad cuprins între 1 și m.
b) Fie ( x0, …, xm) Z m 1, cu xi distincte dou ă cîte două. Arătați că următorul algoritm se
termină într-un num ăr finit de pa și și furnizeaz ă un factor neconstant al lui p de grad m sau
demonstreaz ă ireductibilitatea lui p:
1. Dacă i cu p(xi) 0, atunci X xi este un factor al lui p și am terminat. Dac ă nu, treci
la 2.
2. Fie D {d (d0, …, dm) Z m 1 | di| p(xi), i}. D este o mul țime finită.
Pentru orice d D, fie Ld Q[X] polinomul (de interpolar e Lagrange) cu propriet ățile
Ld(xi) di, i, și grad Ld m. Dacă există d D cu Ld Z[X] și Ld | p, atunci Ld este
un factor al lui p și am terminat. Dac ă nu, atunci p este ireductibil .
c) Deduce ți un algoritm de decizie a ireductibilit ății pentru polinoame din Q[X].
d) Presupunem c ă m 2. Ce alegere pentru ( x0, …, xm) propune ți?
e) Presupunem c ă în inelul factorial R există un algoritm de factoriz are (de descompunere a
oricărui element din R° în factori primi). Ce propriet ăți trebuie s ă aibă R pentru a putea
generaliza la R[X] algoritmul de mai sus?
f) Presupunem c ă R este factorial și că în R[X] există un algoritm de f actorizare. Atunci
există un algoritm de factorizare în K[X].
31. Decideți ireductibilitatea polinomului X 4 X 2 2X 1 din Z[X].
32. Să se arate c ă polinomul a0 a1 X … an X n Z2[X] (an 0) nu are r ădăcini în Z2 dacă
și numai dac ă a0(a0 a1 … an) 0.
I. Aritmetic ă în inele integre 34
33. Plecînd de la egalitatea (în Z2[X]): X 5 X 1 (X 3 X 2 1)( X 2 X 1), să se demon-
streze că X 5 X 1 Q[X] este ireductibil.
34. Fie R un inel integru.
a) Fie f R[X], grad f m. Dacă f are cel pu țin m 1 rădăcini în R, atunci f 0.
b) Fie g R[X1,…, Xn], cu R infinit . Dacă g(a1, …, an) 0, (a1, …, an) R n, atunci g
este polinomul nul. ( Ind. Inducție după n.) Deduceți că două polinoame din R[X1,…, Xn] sînt
egale dacă și numai dac ă funcțiile polinomiale asociate sînt egale.
c) Dați exemplu de corp finit K și de polinoame distincte din K[X] care au aceea și funcție
polinomial ă asociată.
d) Mai general, fie R infinit și g R[X1,…, Xn], cu grad( g, Xi) mi. Presupunem c ă sînt
date submul țimi ale lui R astfel încît: S R cu |S| m1; a1 S, S(a1) R cu |S(a1)| m2;
a1 S, a2 S(a1), S(a1, a2) R cu |S(a1, a2)| m3 ș.a.m.d. Dac ă g(a1, …, an) 0,
a1 S, a2 S(a1), a3 S(a1, a2), …, an S(a1, …, an), atunci g este polinomul nul.
35. Fie R un inel comutativ. Un polinom de n nedeterminate p R[X1,…, Xn] : R[ X ] se
numește omogen de grad q dacă toate monoamele lui p sînt de grad total q (vezi și Anexe).
Arătați că:
a) Orice p R[ X ] se scrie unic sub forma:
p p0 p1 … pm, cu pi R[ X ], omogen de grad i.
b) p R[ X ] este omogen de grad q p(TX1,…, TXn) T qp(X1,…, Xn) (egalitate în inelul
R[X1,…, Xn, T] R[X1,…, Xn][ T ]).
c) Fie p R[ X ] omogen. Atunci orice divizor al s ău în R[ X ] este omogen.
d) Dacă R este inel integru infinit și p R[ X ], atunci p este omogen de grad q
p(tx1,…, txn) t qp(x1,…, xn), t, x1,…, xn R.
e) Este adev ărat că orice polinom simetric din R[ X ] are numai divizori polinoame
simetrice din R[ X ]?
36. Fie K un corp de caracteristic ă diferită de 2 (adic ă 1 1 0 în K) și p un polinom omogen
de grad 2 în K[X, Y], adică p aX 2 bXY cY 2, cu a, b, c K. Demonstra ți că p este
reductibil în K[X, Y] b 2 4ac este un p ătrat în K b 2 4ac 0 sau exist ă K, (,
) (0, 0), cu p(, ) 0.
37. Fie K un corp și p a0Y n a1 Y n 1X … an X n K[X, Y] un polinom omogen de grad
n și p(X, 1) a0 a1 X … an X n K[X]. Demonstra ți că, g K[X, Y], g | p în K[X, Y]
dacă și numai dac ă g(X, 1) | p(X, 1) în K[X].
38. Fie K un corp și p K[X, Y] un polinom omogen. Demonstra ți că p este ireductibil în
K[X, Y] p(X, 1) este ireductibil în K[X].
39. Să se descompun ă în factori ireductibili polinomul X13 X23 K[X1, X2]. Discuție după
caracteristica lui K.
I.6 Aritmetic ă în inele de polinoame 35
40. Fie K un corp de caracteristic ă diferită de 3 și f X13 … Xn3 K[X1,…, Xn]. Arătați că
f este ireductibil dac ă și numai dac ă n 3. Generalizare. ( Ind. Pentru n 3, folosiți criteriul
Eisenstein pentru f K[X1, X2][X3]. Se face apoi o induc ție după n.)
41. Fie n 2 nedeterminate Xij, 1 i, j n și matricea A (Xij)1 i, j n Mn(Z[Xij;1 i, j n]).
Atunci polinomul det A {X1(1) … Xn(n) | Sn} este ireductibil în Z[Xij;1 i, j n].
42. Să se arate c ă un inel comutativ R este noetherian dac ă și numai dac ă orice ideal al s ău
este finit generat.
36 II. Module
Teoria modulelor poate fi v ăzută ca o generalizare a algebrei liniare clasice (care studiaz ă
spațiile vectoriale peste un corp oarecare1). Aplicațiile teoriei se reg ăsesc în multe domenii
matematice: teoria algebric ă a numerelor, teoria reprezent ărilor de grupuri, teoremele de
structură ale algebrelor, algebra omologic ă etc. Pe de alt ă parte, teoria modulelor este o bun ă
ilustrare a unor concepte de teoria categoriilor (vom folosi unele no țiuni elementare de
categorii în acest capitol, care se pot g ăsi în anexe). În algebra modern ă este practic
indispensabil limbajul teoriei modulelor.
II.1 Module, submodule, morfisme
Noțiunea de modul peste un inel este o generalizare direct ă a noțiunii de spa țiu vectorial
peste un corp.
1.1 Defini ție. Fie R un inel unitar (nu neap ărat comutativ) și (M, ) un grup abelian.
Spunem c ă M are o structur ă de R-modul stîng (sau modul la stînga peste R ) dacă este definit ă
o „operație externă pe M cu operatori în R”2, adică o funcție
: R M → M (notăm (r, x) : rx, r R, x M),
care satisface axiomele:
i) r(x y) rx ry;
ii) (r s)x rx sx;
iii) (rs)x r(sx);
iv) 1x x,
1 Deși volumul "Algèbre linéaire" (1961) din celebra suit ă de tratate Bourbaki începe chiar cu defini ția …
modulului.
2 Numită și „înmulțire a elementelor din M cu scalari din R”.
II.1 Module, submodule, morfisme
37
oricare ar fi r, s R și x, y M.
Se observ ă că, formal, axiomele de mai sus coincid cu cele din defini ția unui spa țiu
vectorial (cu deosebirea c ă se consider ă un inel în locul unui corp).
Dacă axioma iii) este înlocuit ă cu axioma:
iii') ( rs)x s(rx), r, s R, x M,
spunem c ă M este un R-modul drept. Notația obișnuită pentru opera ția externă în cazul
R-modulelor drepte este „cu scalarii la dreapta”: : M R → M, (x, r) xr, r R,
x M. Scrierea axiomelor R-modulului drept, folosind aceast ă convenție, este a șadar
următoarea:
i') (x y)r xr yr;
ii') x(r s) xr xs;
iii') x(rs) (xr)s;
iv') x1 x,
oricare ar fi r, s R și x, y M.
Notăm faptul c ă M este R-modul stîng cu R M, iar faptul c ă M este R-modul drept cu MR.
Grupul abelian ( M, ) se nume ște grupul abelian subiacent al modulului M.
Observăm că, dacă inelul R este comutativ, atunci no țiunile de R-modul stîng și R-modul
drept coincid. De asemenea, dac ă R este inel oarecare, iar M este R-modul drept, atunci M
devine Rop-modul stîng, unde am notat cu ( Rop, , *) opusul inelului R (Rop are acela și grup
abelian subiacent ca și R, iar înmul țirea este definit ă prin r*s sr, r, s R). Astfel, un
rezultat care are lo c pentru orice inel R și orice R-modul drept, are loc și pentru orice R-modul
stîng; și reciproc. La fel, se pot transporta toate defini țiile pentru module stîngi în cazul
modulelor drepte.
1.2 Exemple. a) Dacă K este un corp, un K-modul nu este altceva decît un K-spațiu
vectorial.
b) Dacă R este un inel unitar, R are o structur ă (numită canonică) de R-modul stîng (notat ă
R R): (R, ) este grup abelian, iar „opera ția externă” R R → R este chiar înmul țirea inelului:
(r, s) rs, r, s R. Analog, R este în mod canonic R-modul drept, notat RR.
c) Orice grup abelian ( A, ) este în mod canonic un Z-modul. Dac ă n Z și a A, atunci
definim na ca „multiplul” lui a în grupul aditiv A. (dacă n N, na a … a (n termeni);
dacă n 0, na (a) … (a) (n termeni)). De altfel, aceasta este singura opera ție externă
în raport cu care A devine un Z-modul. Teoria grupurilor abelie ne este, din acest punct de
vedere, un caz particular al teoriei modulelor.
II. Module 38
d) Fie R un inel oarecare și n N*. Mulțimea R n {(x1, …, xn) | xi R, 1 i n} este
grup abelian fa ță de adunarea pe componente și devine un R-modul fa ță de opera ția de
înmulțire cu scalari dat ă de r(x1, …, xn) (rx1, …, rxn), r R, (x1, …, xn) R n.
e) Fie R un inel și m, n N*. Mulțimea M m, n(R) a matricelor de tip mn cu elemente în R
este grup abelian fa ță de adunarea uzual ă a matricelor și devine un R-modul față de opera ția
de „înmul țire a matricelor cu scalari”: dac ă r R, (aij) Mm, n(R), r(aij) : (raij) (se înmul țește
fiecare element al matricei cu r).
f) Fie R : M2(Z) (inelul matricelor de tip 2 2 cu elemente în Z) și M : M2, 1(Z)
(mulțimea matricelor de tip 2 1 cu elemente în Z). M este grup abelian fa ță de adunarea
uzuală a matricelor și are o structur ă naturală de R-modul stîng: A M2(Z) R,
U M2, 1(Z) M, AU M este produsul uzual de matrice. Axiomele modulului decurg din
proprietățile cunoscute ale opera țiilor cu matrice. Pute ți generaliza acest exemplu? Se poate
înzestra M cu o structur ă naturală de R-modul drept ?
g) Fie : R → S un morfism de inele. Dac ă M este un S-modul stîng, atunci M are o
structură de R-modul stîng prin „ restricția scalarilor ”: r R, x M, rx : (r)x. În
particular, S devine un R-modul stîng ( și totodată un R-modul drept). Acest exemplu
generalizeaz ă o situație întîlnit ă adesea la extinderi de corpuri: orice corp S este spa țiu
vectorial peste orice subcorp R al său.
1.3 Observa ții. a) Notația pentru opera ția de adunare în inelul R coincide cu nota ția pentru
adunarea din M. La fel, elementul neutru fa ță de adunare în R este notat cu 0, la fel ca
elementul neutru al adun ării din M. Se poate deduce din c ontext despre ce opera ții sau
elemente este vorba; sper ăm ca aceast ă simplificare (de altfel tradi țională) a notației să nu
provoace confuzii cititorului.
b) Fiind dat un inel R și un grup abelian M, a da o structur ă de R-modul stîng pe M este
echivalent cu a da un morfism unitar de inele : R → End( M), unde (End( M), ,◦) este inelul
endomorfismelor3 de grup abelian ale lui M; „+” este adunarea morfismelor, adic ă u,
v End( M), (u v)(x) : u(x) v(x), x M, iar „◦” este compunerea uzual ă a aplicațiilor:
u, v End( M), (u◦v)(x) u(v(x)), x M. Într-adev ăr, dacă M este R-modul stîng, definim
: R → End( M) prin (r)(x) rx, r R, x M. Invers, dac ă este dat morfismul
: R → End( M), definim opera ția extern ă R M → M, (r, x) rx :(r)(x), r R,
3 Uneori acest inel este numit inelul endomorfismelor stîngi ale lui M, subliniindu-se faptul c ă scrierea
funcțiilor se face la stînga argumentului , adică u(x); aceasta implic ă și definirea compunerii în maniera „uzual ă”
descrisă mai sus. Dac ă însă se scrie ( x)u pentru valoarea în x a lui u, atunci compunerea lui u cu v se define ște –
natural- ca ( x)(uv) ((x)u)v. Cu aceast ă înmulțire, End( M) se nume ște inelul endomorfismelor drepte ale lui M și
este opusul inelului endomorfismelor stîngi ale lui M.
II.1 Module, submodule, morfisme
39
x M. Lăsăm cititorului verificarea în detaliu a acestor afirma ții. Ce corespunde unei
structuri de R-modul drept a lui M?
Vom presupune în continuare pe parcursul acestei sec țiuni că R este un inel unitar , fără a
mai specifica aceast ă notație de fiecare dat ă. Toate modulele pe care le consider ăm sînt
R-module stîngi (dacă nu se men ționează expres altfel).
1.4 Propozi ție. Fie M un R-modul. Atunci, oricare ar fi x M și r R, au loc:
a) 0x r0 0.
b) r(x) (r)x (rx).
Demonstra ție. a) Are loc 0 x (0 0)x 0x 0x. Cum M este grup, rezult ă prin
simplificare c ă 0x 0. La fel se arat ă că r0 0.
b) Avem 0 r0 r(x (x)) rx r(x). Deci (rx), opusul lui rx în grupul ( M, ), este
egal cu r(x). Egalitatea ( r)x (rx) este propus ă că exercițiu.
Ca și la celelalte structuri algebri ce, în teoria modulelor exist ă noțiunea natural ă de
submodul :
1.5 Defini ție. a) Fie M un R-modul stîng. O submul țime nevid ă L a lui M se nume ște
R-submodul stîng al lui M dacă
i) L este subgrup în grupul ( M, ): x, y L, rezultă x y L;
ii) r R, x L, rezultă rx L.
Se spune mai pe scurt submodul al lui M dacă nu sînt posibile confuzii. Not ăm aceasta
prin L R M (sau L M dacă nu sînt posibile confuzii). Facem observa ția că faptul că L este
R-submodul drept al lui M se scrie L MR.
Se observ ă că definiția de mai sus este generalizarea natural ă a noțiunii de subspațiu
vectorial .
1.6 Propozi ție. Fie M un R-modul și L o submul țime nevid ă a lui M. Atunci sînt
echivalente afirma țiile:
a) L este submodul al lui M: r R, x, y L, rezultă că x y L și rx L.
b) Pentru orice r, s R și x, y L, rezultă că rx sy L.
c) Pentru orice n N*, r1,…, r n R, x1,…, x n L, rezultă r1x1 … rnxn L.
Demonstra ție. a) b) Dacă r, s R și x, y L, atunci a) asigură că rx și (s)y L, deci
tot în L este și rx (s)y rx (sy) rx sy.
b)a) Dacă r R și x, y L, atunci rx 0y rx L și 1x ( 1)y x y L.
b)c) Prin induc ție după n (exercițiu).
II. Module 40
Un element de forma r1x1 … rnxn, cu r1, …, rn R și x1, …, xn M, se nume ște
combinație liniară a elementelor x 1, …, xn (iar r1, …, rn se numesc coeficienții combina ției
liniare). Deci, L R M dacă și numai dac ă orice combina ție liniară de elemente din L este tot
în L.
Din faptul c ă orice submodul L al unui modul M este subgrup al grupului aditiv subiacent
(M, ) rezultă că 0 L. De asemenea, dac ă L este submodul al modulului M, atunci L are o
structură de R-modul (numit ă indusă de cea a lui M); adunarea este restric ția la L L a
adunării lui M, iar opera ția externă este restric ția la R L a operației externe a modulului M.
1.7 Exemple. a) Dacă M este R-modul, {0} este R-submodul în M, notat cu 0. De
asemenea, M este R-submodul al lui M. Un submodul al lui M, diferit de M, se nume ște
submodul propriu al lui M. Orice submodul al lui M, fiind subgrup al grupului abelian
subiacent, con ține pe 0.
b) Submodulele stîngi ale R-modulului R R nu sînt altceva decît idealele stîngi ale inelului
R. Notația I R R înseamnă așadar „ I este ideal stîng al lui R”.
c) Dacă M este un grup abelian ( un Z-modul), un Z-submodul al lui M este acela și lucru
cu un subgrup al lui M.
1.8 Propozi ție. Fie (Mi)iI o familie de submodule ale R-modulului M. Atunci intersec ția
acestei familii, iI Mi , este submodul al lui M.
Rezultatul precedent, cu demonstra ție simplă, permite definirea no țiunii de submodul
generat de o submul țime:
1.9 Defini ție. a) Fie M un R-modul și X o submul țime a lui M. Intersec ția familiei
submodulelor lui M care includ pe X este un submodul al lui M, numit submodulul generat de
X, notat cu R X > (sau, mai simplu, < X >). Dacă L R M și < X > L, se mai spune c ă X este
sistem de generatori pentru L (sau că X generează L).
b) Fie M un R-modul și X o submul țime a lui M. Definim mul țimea combinaților liniare de
elemente din X cu coeficien ți în R ca fiind mul țimea
RX : {r1x1 … rnxn| n N, r1, …, r n R, x 1, …, x n X}.
Dacă X , definim R {0}.
1.10 Propozi ție. Fie M un R-modul și X M. Atunci:
a) Submodulul generat de X este cel mai mic (în sensul incluzi unii) submodul al lui M care
include pe X.
b) < X > RX, adică submodulul generat de X coincide cu mul țimea combina țiilor liniare
de elemente din X cu coeficien ți în R.
II.1 Module, submodule, morfisme
41
Demonstra ție. a) Evident, < X > este submodul și include pe X. Dacă L este un submodul
în M care include pe X, atunci < X > L pentru că L face parte din familia de submodule a
căror intersec ție este L.
b) Arătăm că X RX și că RX este cel mai mic su bmodul care include pe X. Cazul X
este trivial. Dac ă X și x X, atunci x se scrie ca și combina ția liniară 1x RX. Deci
X RX. Se vede u șor că diferența a două combinații liniare din RX și produsul unui r R cu
o combina ție liniară sînt tot în RX. Deci RX este submodul. Dac ă L este un submodul care
include pe X, din 1.6. c) rezultă că RX L.
1.11 Definiție. Dacă a este un element al R-modulului M, submodulul generat de { a} este
Ra {ra | r R} și se nume ște submodulul ciclic generat de a. Modulul M se numește finit
generat (sau de tip finit ) dacă are o mul țime finită de generatori: exist ă o submul țime finită F
a lui M astfel încît < F > M.
Am văzut că intersecția oricărei familii de submodule este submodul; în general îns ă,
reuniunea unei familii de submodule nu este submodul.
1.12 Definiție. Fie M un R-modul și E, F submodule în M. Submodulul generat de
reuniunea E F se nume ște suma submodulelor E și F, notat E F. Mai general, pentru o
familie oarecare ( Ei)iI de submodule ale lui M, numim submodulul generat de iI Ei suma
familiei de submodule (Ei)iI, care se noteaz ă iI Ei sau I Ei.
Suma unei familii finite de submodule E1, …, En se noteaz ă E1 … En sau
n
iiE
1.
Ca o consecin ță imediată a definiției, suma familiei de submodule (Ei)iI este cel mai mic
submodul al lui M care include toate submodulele E i.
Pentru formularea comod ă a unor rezultate, introducem urm ătoarea terminologie: fie I o
mulțime (văzută ca mulțime de indici) și R M un R-modul. Familia de elemente4 (ei)iI, cu
ei M, i I, se nume ște familie de suport finit dacă mulțimea { i I | ei 0} este finit ă.
Mulțimea { i I | ei 0} se nume ște suportul familiei (ei)iI și se noteaz ă Supp(( ei)iI). Pentru
orice familie de elemente de suport finit J I este bine definit ă suma sa iI ei : iJ ej.
Dacă (ei)iI este o familie de suport finit, se mai spune c ă (ei)iI sînt aproape to ți nuli .
1.13 Propozi ție. Fie M un R-modul și (Ei)iI o familie de submodule ale lui M. Atunci
4 A da o familie ( ei)i I de elemente ale lui M este echivalent cu a da o func ție f : I → M (notînd f (i) ei,
i I ).
II. Module 42
finit suport de , ,Iii i i
Iii Ii i eIi Eee E
n n n i i i i n i i E e E eIi i ne e ,, , ,,,
1 1 1 1 N .
În particular, dac ă E, F sînt submodule ale lui M, atunci
E F {e f | e E, f F},
iar dacă E1, …, E n sînt submodule al e lui M, atunci
E1 … En {e1 … en | e1 E1, …, e n En}.
Demonstra ție. Fie S
finit suport de , ,Iii i i
Iii eIi Eee .
Arătăm că S este submodul: dac ă r R, iar e
Iiie S, cu ei Ei, i I, (ei)iI de suport
finit, atunci re
Iiire S, căci fiecare Ei este submodul. La fel, dac ă e, f S, atunci
e f S. Pe de alt ă parte, este clar c ă Ei S, i I. Dacă L este un alt submodul al lui M
care include toate submodulele Ei, atunci S L. Deci S este submodulul generat de iI Ei.
1.14 Observa ție. Mulțimea LR(M) a tuturor submodulelor unui R-modul M este ordonat ă
în raport cu incluziunea; mai mult, ( LR(M), ) este o latice complet ă: 5 pentru orice
submulțime F a lui LR(M) (adică orice familie de submodule ale lui M), sup F este
submodulul sum ă a familiei F, iar inf F este intersec ția familiei F.
1.15 Exemplu. Suma a dou ă submodule I, J ale modulului stîng canonic R R coincide cu
suma idealelor stîngi I și J. Dacă inelul R este corp, no țiunea de sum ă de submodule ale unui
R-modul este acela și lucru cu no țiunea de sum ă de R-subspații vectoriale.
Laticea LR(M) a submodulelor unui R-modul M are întotdeauna un cel mai mare element
(M însuși!) și un cel mai mic element (submodulul 0). De aceea, în cazul modulelor, no țiunile
de submodul maximal și submodul minimal au o semnifica ție specială.
1.16 Defini ție. Submodulul L al R-modulului M se numește submodul maximal dacă L este
maximal printre submodulele diferite de M, adică:
E R M cu E M, din L E rezultă L E.
Submodulul L al R-modulului M se numește submodul minimal dacă L este minimal printre
submodulele diferite de 0, adică:
E R M cu E 0, din E L rezultă E L.
Teorema urm ătoare furnizeaz ă o clasă important ă de module care au submodule maximale.
5 O mulțime ordonat ă A se numește latice complet ă dacă, pentru orice submul țime B a lui A, există sup B (cel
mai mic majorant al lui B) și inf B (cel mai mare minorant al lui B) în A.
II.1 Module, submodule, morfisme
43
1.17 Teorem ă. Fie M un R-modul nenul fin it generat. Atunci orice submodul propriu al lui
M este inclus într-un submodul maximal. În particular, M are un submodul maximal.
Demonstra ție. Fie L R M, L M și {x1, …, xn} o mulțime finită de generatori ai lui M.
Notăm cu P mulțimea submodulelor proprii ale lui M, care includ pe L. P este o mul țime
ordonată cu incluziunea; elemen tele ei maximale (dac ă există!) sînt exact submodulele
maximale ale lui M, care includ pe L. Vom folosi lema lui Zorn pentru a demonstra existen ța
elementelor maximale în P. Fie deci un lan ț (Ei)iI, cu Ei P, i I. Acest lan ț de
submodule are un majorant în P, anume iI Ei : E. Într-adev ăr, E este submodul6: dacă x,
y E, atunci exist ă i, j I cu x Ei, y Ej; cum ( Ei)iI este lanț, rezultă că Ei Ej sau
Ej Ei. Deci x y Ej (căci Ej R M) sau x y Ei. În orice caz, x y E. La fel se
demonstreaz ă că r R, x E, rezultă rx E. Deci E este submodul în M, care include
evident pe L.
Trebuie s ă demonstr ăm și că E M. Dacă, prin absurd, E M, atunci { x1, …, xn} E
iI Ei. Așadar, t {1, …, n}, există it I astfel încît xt
tiE. Cum ( Ei)iI este total
ordonată, există j {i1, …, in} cu
tiE Ej, t {1, …, n}. Deci { x1, …, xn} Ej. Însă
aceasta implic ă M x1, …, xn Ej, contradic ție cu Ej P.
Din lema lui Zorn rezult ă că există un element maximal al lui P.
Luînd L 0, se obține existen ța unui submodul maximal în M.
1.18 Corolar (Lema lui Krull 7) Fie R un inel unitar. Atunci ori ce ideal stîng propriu al lui
R este inclus într-un ideal stîng maximal. În particular, R are ideale stîngi maximale.
Demonstra ție. R-modulul stîng canonic R R este finit generat (de {1}).
1.19 Defini ție. Fie M și N două R-module stîngi. O aplica ție : M → N se nume ște
morfism de R-module stîngi (morfism de module , mai pe scurt) sau R-morfism dacă:
(x y) (x) (y), x, y M;
(rx) r(x), x M, r R.
Un morfism de R-module mai este numit aplicație R-liniar ă, transformare liniar ă 8 sau
homomorfism de R-module . Un morfism de R-module : M → M se numește endomorfism al
lui M.
6 Iată un caz (singular) în care reuniunea un ei familii de submodule este submodul.
7 Wolfgang Adolf Ludwig Helmuth Krull (1899-1971), matematician german cu importante contribu ții în
algebră.
8 Denumire provenind din geometrie, folosit ă mai ales în cazul spa țiilor vectoriale.
II. Module 44
Prima condi ție din defini ția morfismului de module : M → N înseamn ă că este
morfism între grupurile abeliene subiacente. Rezult ă că
(0) 0
(am notat cu 0 atît elementul neutru la adunare al lui M, cît și al lui N ) și
( x) x, x M.
1.20 Observa ție. Fie L o submul țime a R-modulului M. Dacă pe L este definit ă o structur ă
de R-modul astfel încît incluziunea canonic ă : L → M este morfism de module, atunci L este
submodul al lui M. Reciproc, dac ă L M, atunci incluziunea canonic ă : L → M este morfism
de module (structura de modul a lui L fiind indus ă de cea a lui M).
1.21 Exemple. a) Pentru orice dou ă R-module M și N, aplicația 0 : M → N, 0(x) 0,
x M, este un morfism de R-module, numit morfismul nul (sau zero). La fel, aplica ția
identică id M : M → M, id M(x) x, x M, este morfism de R-module, numit morfismul
identic al lui M .
b) Dacă M este un R-modul și x M, aplicația rx : R R → M, rx(a) ax, a R, este
morfism de module. Într-adev ăr,
rx(a b) (a b)x ax bx rx(a) rx(b); rx(ba) (ba)x b(ax) brx(a), a, b R.
c) Dacă inelul R este comutativ , M este un R-modul și r R, atunci aplica ția r : M → M,
r(x) rx, x M, este un morfism de R-module9: aditivitatea este imediat ă, iar
r(ax) r(ax) (ra)x (ar)x a(rx) ar(x), x M, a R. Se observ ă că s-a folosit
efectiv comutativitatea inelului R.
1.22 Defini ție. Dacă M, N sînt două R-module, not ăm
Hom R(M, N) : { | : M → N, morfism de R-module};
End R(M) : Hom R(M, M) { | : M → M, morfism de R-module}.
Dacă nu este clar din context dac ă este vorba de module ( și morfisme de module) stîngi sau
drepte, vom nota:
Hom( R M, N), respectiv End( R M), în cazul modulelor stîngi;
Hom( MR, N), respectiv End( MR), în cazul modulelor drepte.
1.23 Observație. Hom R(M, N) este întotdeauna o mul țime nevid ă, căci conține măcar
morfismul nul 0 : M → N, 0(x) 0, x M. Mai mult, Hom R(M, N) este grup abelian fa ță de
operația de adunare a morfismelor:
9 Aplicația lr astfel definit ă se numește omotetia de raport r a lui M.
II.1 Module, submodule, morfisme
45
1.24 Propozi ție. a) Fie E, F dou ă R-module și : E → F, : E → F morfisme de
R-module. Atunci suma lor : E → F, definită prin:
( )(x) : (x) (x), x E,
este tot morfism de R-module. Mai mult, Hom R(E, F) este grup abelian fa ță de opera ția de
adunare a morfismelor; elementul neutru este morfismul 0, iar opusul lui este morfismul
(), dat de rela ția ()(x) (x), x E.
b) Fie E, F, G trei R-module și : E → F, : F → G morfisme de R-module. Atunci
compunerea lor ◦: E → G este tot morfism de R-module. În plus, (End R(E), , ◦) este inel,
elementul unitate fiind morfismul identic idE.
c) Fie E un submodul al R-modulului F și : F → G un morfism de R-module. Atunci
restricția lui la E,|E : E → G, este tot morfism de R-module.
Un morfism este perfect determinat de valorile sale pe o mul țime de generatori :
1.25 Propozi ție. Fie E, F dou ă R-module, S un sistem de generatori al lui E și
: E → F două morfisme de module. Atunci dacă și numai dac ă |S |S.
Demonstra ție. Presupunem c ă |S |S. Dacă x E, există x1, …, xn S și r1, …, rn R
astfel încît x r1x1 … rnxn. Deci (x) (r1x1 … rnxn) r1(x1) … rn(xn)
r1(x1) … rn(xn) (x).
1.26 Defini ție. Un morfism de R-module : E → F se nume ște izomorfism de R-module
dacă există un morfism : F → E astfel încît ◦ idF și ◦ idE. R-modulele E și F se
numesc izomorfe dacă există un izomorfism de R-module : E → F. Scriem în acest caz
E R F (sau E F dacă este clar c ă e vorba de izomorfism de R-module). Un izomorfism
: E → E se numește automorfism al lui E.
1.27 Propozi ție. Un morfism de R-module este izomorfism dac ă și numai dac ă este
bijectiv.
Demonstra ție. Fie : E → F un morfism. Dac ă este izomorfism, atunci în particular
este aplica ție inversabil ă, deci este bijec ție. Presupunem c ă este morfism bijectiv. Atunci
există inversa aplica ției , fie aceasta : F → E. Rămîne să demonstr ăm că este morfism.
Reamintim c ă, y F, (y) x, unde x este unicul element din E cu (x) y. Fie y1, y2 F
și x1, x2 E astfel încît (y1) x1 și (y2) x2. Avem (y1 y2) x1 x2, căci (x1 x2)
(x1) (x2) y1 y2. Deci (y1 y2) x1 x2 (y1) (y2) . L a f e l s e a r a t ă că r R,
y F, (ry) r(y).
1.28 Defini ție. Fie : M → N un morfism de R-module. Submul țimea lui M
Ker : {x M |(x) 0} 1(0)
II. Module 46
se numește nucleul morfismului . Notăm cu Im imaginea lui , adică
Im : {y N| x M astfel încît y (x)} {(x)| x M}.
1.29 Propozi ție. Dacă : M → N este un morfism de R-module, M' M și N' N atunci
1(N') este un submodul al lui M, iar (M) este submodul al lui N. În particular, Ker este
submodul al lui M, iar Im este submodul al lui N.
Demonstra ție. Fie x, y 1(N'). Atunci (x y) (x) (y) N', deci x y 1(N').
Dacă r R, atunci (rx) r(x) N', deci rx 1(N')
Fie z, t (M') și r R. Atunci exist ă x, y M' astfel încît z (x), t (y). Avem
z t (x) (y) (x y) (M'), iar rz r(x) (rx) (M').
1.30 Propozi ție. Fie : M → N un morfism de R-module. Atunci:
a) este injectiv dac ă și numai dac ă Ker 0.
b) este surjectiv dac ă și numai dac ă Im N.
Demonstra ție. Se aplică propozițiile corespunz ătoare pentru grupuri ( este morfism între
grupurile abeliene subiacente). Propunem cititorului s ă dea o demonstra ție directă, folosind
definiția.
Exerciții
1. Demonstra ți că proprietatea de comutativitate a adun ării unui modul este o consecin ță a
celorlalte axiome ale modulului.
2. Fie K un corp comutativ. Preciza ți care din urm ătoarele submul țimi ale K-modulului K[X]
este un submodul:
a) Mulțimea polinoamelor de grad 7.
b) Mulțimea polinoamelor de grad cel mult 7.
c) Mulțimea polinoamelor unitare.
d) Mulțimea polinoamelor care au r ădăcina 1.
e) Mulțimea polinoamelor de grad par.
Care din submul țimile de mai sus este K[X]-submodul?
3. Fie E și F submodule ale unui R-modul M. Arătați că E F este submodul al lui M dacă și
numai dac ă E F sau F E.
4. Fie M un R-modul. Cerceta ți proprietățile operațiilor și pe LR(M ).
II.1 Module, submodule, morfisme
47
5. Fie M un R-modul și A, B, C M. Dacă B A, atunci A(B C) B AC (cu alte
cuvinte, laticea submodulelor lui M este modulară).
6. Determina ți toate submodulele R-modulului R2.
7. Dați exemplu de un modul M și A, B, C M astfel încît A(B C) AB AC (adică
laticea submodulelor lui M să nu fie distributiv ă).
8. Fie ( G, ) un grup abelian și n N* astfel încît na 0, a G. Arătați că atunci G are o
structură canonică de Zn-modul. Reciproca este adev ărată? Generalizare.
9. Identificăm planul cu R2, văzut ca R-spațiu vectorial. Care din urm ătoarele transform ări ale
planului este transformare liniar ă (morfism de R-module) de la R2 la R2?
a) Rotația de unghi în jurul punctului (0, 0).
b) Rotația de unghi în jurul punctului (0, 1).
c) Transla ția de vector v (x, y).
d) Simetria fa ță de o dreapt ă.
e) Proiecția pe o dreapt ă.
10. Fie R un inel, S o mulțime și F { : S → R} R S. Definiți o structur ă de R-modul stîng
și una de R-modul drept pe F. Mai general, fie M un R-modul stîng și S o mulțime. Defini ți o
structură de R-modul stîng pe M S { : S → M}.
11. Fie R un inel. Ar ătați că, pentru orice R M, R M', Hom R(M, M' ) HomZ(M, M' ). Dați
exemplu de R, M, M' pentru care incluziunea s ă fie strictă.
12. Fie u : M → M' un morfism de R-module, A, B R M și A', B' R M'. Studiați validitatea
afirmațiilor:
a) u(A B) u(A) u(B).
b) u(A B) u(A) u(B).
c) u 1(A' B') u 1(A') u 1(B').
d) u 1(A' B') u 1(A') u 1(B').
13. Fie R un inel comutativ. Ar ătați că End R(R) R. Mai general, pentru orice R M,
Hom R(R, M ) M.
14. Arătați că orice modul factor al unui modul finit generat este finit generat.
15. Fie R un inel comutativ. Ar ătați că R[X] nu este finit generat.
16. Fie K un corp, n N* și v1, …, vn K n, unde vi (vi1, …, vin). Găsiți o condiție necesar ă
și suficient ă ca {v1, …, vn} să fie un sistem de generatori al K-modulului K n.
17. Scrieți 4 morfisme distincte de la R-modulul R2 la R. Care este forma general ă a unui
astfel de morfism? Generalizare.
II. Module 48
18. Fie A un R-modul. Demonstra ți că A 0 [Hom R(A, B) 0, RB] [Hom R(B, A) 0,
RB].
19. Z-modulul Q are submodule minimale?
20. Fie V un K-spațiu vectorial de dimensiune finit ă și u End K(V). Atunci u este
monomorfism u este epimorfism u este izomorfism.
21. Dați exemplu de R-modul M și de endomorfism : M → M care :
a) să fie injectiv, dar s ă nu fie surjectiv.
b) să fie surjectiv, dar s ă nu fie injectiv.
II.2 Module factor și teoreme de izomorfism
Tehnica folosit ă în construc ția inelului factor (p lecînd de la un inel și un ideal al s ău) se
poate aplica și în cazul modulelor, cu modific ări minore.
Fie M un R-modul stîng și L un submodul al s ău. Considerînd numai structura subiacent ă
de grup abelian, L este subgrup al grupului abelian M, deci putem construi grupul abelian
factor M/L. Vom înzestra grupul abelian M/L cu o structur ă de R-modul, „mo ștenită” de la
structura de R-modul a lui M.
Facem o parantez ă pentru a schi ța construc ția grupului abelian factor M/L. Elementele
grupului factor M/L sînt clasele de echivalen ță în raport cu rela ția de „congruen ță modulo L”
pe M, definită astfel:
x, y M, x y (mod L) x y L.
Se demonstreaz ă ușor că aceasta este o rela ție de echivalen ță și că clasa de echivalen ță a
unui element x M în raport cu rela ția de congruen ță modulo L este x L, unde
x L : {x l |l L}. Operația de adunare în grupul M/L este definit ă prin
(x L) (y L) : (x y) L, x, y M.
Se demonstreaz ă că adunarea este corect definit ă (nu depinde de reprezentan ți) și că
(M/L, ) este grup abelian; elementul neutru este 0 L (egal cu l L, l L), iar opusul lui
x L este ( x) L.
Revenind la cazul modulelor, definim o opera ție externă R (M/L) → M/L în modul
următor: r R, x L M/L, punem
r(x L) : rx L.
Această definiție este corect ă: dacă r R și x, y M, cu x L y L, atunci x y L,
deci r(x y) L (căci L R M), adică rx ry L. Aceasta arat ă că rx L ry L.
II.2 Module factor și teoreme de izomorfism
49
Este un exerci țiu de rutin ă verificarea faptului c ă grupul abelian M/L, înzestrat cu aceast ă
operație externă, este un R-modul stîng. De exemplu, r, s R, x M:
(r s)(x L) (r s)x L (rx sx) L (rx L) (sx L) r(x L) s(x L).
2.1 Defini ție. R-modulul M/L definit mai sus se nume ște modulul factor al lui M în raport
cu L. Aplicația : M → M/L, definită prin (x) x L, x M, este un morfism surjectiv de
module (verifi care trivial ă), numit morfismul canonic sau surjecția canonic ă.
2.2 Exemplu. Dacă L R M și : M → M/L este morfismul canonic, atunci
Ker {x M | x L 0 L} L și Im M/L.
Aceasta arat ă că orice submodul poate fi conceput ca nucleu al unui anumit morfism .
2.3 Propozi ție. Fie M un R-modul și L un submodul al s ău. Atunci exist ă o bijecție
naturală, crescătoare, între laticea submodul elor lui M care includ L și laticea submodulelor
lui M/L:
: {A R M | L A} → LR(M/L), (A) : {a L | a A}, A R M, L A.
Demonstra ție. Observăm că (A) nu este decît imaginea prin morfismul canonic
: M → M/L a submodulului A. Deci (A) R M/L. Dacă B R M/L, atunci { x M |
x L B} este un submodul al lui M, care include L (verificare standard), a c ărui imagine
prin este chiar B. Deci este surjec ție. Lăsăm celelalte afirma ții în sarcina cititorului.
2.4 Exemplu. Fie n N. Să determin ăm submodulele Z-modulului Z/nZ (notat și cu Zn).
Din propozi ția anterioar ă, L(Z/nZ) este în bijec ție cu submodulele lui Z care includ nZ, adică
cu { mZ | m N, m|n}. Lui mZ nZ îi corespunde mZ/nZ Z/nZ. Deci
L(Z/nZ) {mZ/nZ | m N, m|n}. Menționăm că mZ/nZ < m nZ > este unicul
submodul cu n/m elemente al lui Z/nZ, anume {0 nZ, m nZ, …, ( n/m 1)m nZ}.
Următoarele defini ții sînt particularizarea la categoria R-Mod a unor concepte generale din
teoria categoriilor:
2.5 Defini ție. Fie : M → N un morfism de R-module.
a) Morfismul se nume ște monomorfism dacă, pentru orice R-modul A și orice dou ă
morfisme u, v : A → M cu proprietatea c ă ◦u ◦v, rezultă u v.
b) Morfismul se nume ște epimorfism dacă, pentru orice R-modul A și orice dou ă
morfisme u, v : N → A cu proprietatea c ă u◦ v◦, rezultă u v.
2.6 Propozi ție. Fie : M → N un morfism de R-module. Atunci:
a) este monomorfism dac ă și numai dac ă este func ție injectiv ă.
II. Module 50
b) este epimorfism dac ă și numai dac ă este func ție surjectiv ă.
Demonstra ție. a) Presupunem injectiv; fie R A și u, v Hom R(A, M ) astfel încît
◦u ◦v. Deci, a A, avem (u(a)) (v(a)). Cum este injectiv, rezult ă u(a) v(a).
Reciproc, dac ă este monomorfism, fie A Ker. Consider ăm : Ker → M morfismul
incluziune și 0 : Ker → M morfismul nul. Avem, a Ker, ◦(a) (a) 0 ◦0(a);
deci 0. Astfel, Ker 0.
b) Fie epimorfism. Consider ăm modulul factor N/Im și morfismele : N → N/Im
(surjecția canonic ă) și 0 : N → N/Im . Avem ◦ (x) (x) Im 0 Im 0 ◦ (x),
x M. Deci ◦ 0◦, adică 0. Aceasta este echivalent cu N/Im 0, adică N Im.
Reciproca o l ăsăm cititorului.
2.7 Teorem ă. (Teorema fundamental ă de izomorfism) Fie : M → N un morfism de
R-module. Atunci KerM Im.
Mai precis, exist ă un unic izomorfism : M/Ker → Im astfel încît diagrama
Im Ker
MN M
să fie comutativ ă, adică ◦ ◦, unde este morfismul incluziune, iar este surjec ția
canonică. Morfismul este dat de (x Ker) (x), x M.
Demonstra ție. Aplicația : M/Ker → Im este corect definit ă: dacă x, y M, cu
x Ker y Ker, atunci x y Ker, adică (x y) 0; aceasta echivaleaz ă cu
(x) (y). Așadar, (x Ker) nu depinde de reprezentantul x, ci doar de clasa x Ker.
Verificarea faptului c ă este morfism este standard.
Morfismul este surjectiv: Im {(x Ker)| x M} {(x)| x M} Im. Pentru
injectivitate, ar ătăm că Ker {0 Ker} : dacă x M cu (x Ker) 0, atunci (x) 0,
deci x Ker, adică x Ker 0 Ker.
Avem și ◦ ◦ (x) (x Ker) (x), x M.
Dacă : M/Ker → Im face comutativ ă diagrama, atunci, x M, (x Ker)
(x) (x), deci .
2.8 Observa ție. Teorema de izomorfism se folose ște de obicei în modul urm ător:
presupunem c ă B R A și se cere demonstrarea faptului c ă A/B este izomorf cu un modul C.
Se caută definirea unui morfism surjectiv : A → C, cu Ker B. Atunci teorema de
izomorfism asigur ă existența izomorfismului cerut. Corolarele urm ătoare ilustreaz ă această
tehnică (aplicabil ă și în cazul grupurilor, inelelor, algebrelor…).
II.2 Module factor și teoreme de izomorfism
51
2.9 Corolar (Teorema I de izomorfism). Fie M un R-modul și E, F submodule ale lui M
astfel încît E F. Atunci F /E este submodul al lui M /E și:
FM
EFEM (izomorfism de R-module ).
Demonstra ție. Întrucît F/E {x E | x F}, avem F/E M/E {x E | x M}. Fie
: M/E → M/F, (x E) x F, x M. Aplicația este corect definit ă: dacă x, y M, cu
x E y E, atunci x y E. Deci x y F, adică x F y F. Este imediat faptul c ă
este morfism surjectiv de module. Ker {x E | x M, x F 0 F} {x E | x M,
x F} F/E. Se aplică acum teorema fundamental ă de izomorfism.
2.10 Corolar. (Teorema II de izomorfism). Fie M un R-modul și E, F R M. Atunci
FEF
EFE
.
Demonstra ție. Fie : F → (E F)/E, (x) x E, x F. Aplicația este morfism de
module, c ăci este restric ția morfismului canonic E F → (E F)/E la submodulul F al lui
E F. Mai mult, este surjec ție: (e f ) E (E F)/E, cu e E, f F, avem
(e f ) E f E ( f ).
Avem Ker {x F | x E 0 E} {x F | x E} E F. Aplicînd teorema
fundamental ă de izomorfism, rezult ă F/(E F) (E F)/E.
De multe ori este util urm ătorul rezultat:
2.11 Propoziție. Fie : E → F și : E → G morfisme de R-module, cu surjectiv. Dac ă
Ker Ker, atunci:
a) „Morfismul factorizeaz ă prin ”, adică există un unic morfism : F → G astfel încît
◦.
b) este injectiv dac ă și numai dac ă Ker Ker
Demonstra ție. a) Fie y F. Cum este surjectiv, rezult ă că există x E astfel încît
(x) y. Definim (y) : (x). Definiția nu depinde de alegerea lui x E cu proprietatea c ă
(x) y. Într-adev ăr, dacă x, x' E astfel încît (x) (x') y, atunci x x' Ker Ker,
deci (x) (x'). Aplica ția este morfism (verificare u șoară) și, x E, avem
((x)) (x). Dacă ´ Hom R(F, G) are proprietatea c ă '◦ , atunci ((x)) '((x)),
x E. Cum este surjectiv, rezult ă '. F E
G
II. Module 52
b) Presupunem c ă este injectiv. Fie x E, cu (x) 0. Atunci ((x)) 0, deci (x) 0,
adică x Ker. Așadar Ker Ker. Invers, dac ă Ker Ker și y F cu (y) 0, atunci
x E cu (x) y; deci ((x)) (x) 0, adică x Ker. Cum Ker Ker , avem
x Ker , deci (x) y 0.
Exerciții
1. Demonstra ți că orice morfism de R-module u : M → N se poate scrie sub forma u v◦w,
unde v este injectiv și w este surjectiv.
2. Fie M un R-modul finit generat. Ar ătați că există n N și un morfism surjectiv
: R n → M. Deduceți că, dacă M este ciclic (generat de 1 el ement), atunci este izomorf cu un
R-modul de forma R/I, unde I este un ideal stîng al lui R.
3. Fie m, n N*. Demonstra ți că:
a) HomZ(Zn, Z) 0 și HomZ(Z, Zn) Zn.
b) HomZ(Zm, Zn) Zd, unde d cmmdc( m, n).
4. Fie m, n N. În ce condi ții grupul abelian ( Zm, ) are o structur ă de Zn-modul? Exist ă o
structură de Zn-modul pe ( Z, )?
5. Determina ți toate submodulele modulelor: Z6, Z8, Z24. Generalizare.
6. Demonstra ți următoarea generalizare a teoremei fundamentale de izomorfism: Fie
: M → N un morfism de R-module și L R M astfel încît Ker L. Atunci exist ă un
izomorfism canonic
LM
LM
.
7. Un R-modul se nume ște simplu dacă nu are submodule proprii. Ar ătați că M este simplu
dacă și numai dac ă este izomorf cu un modul de forma R/I, unde I este un ideal stîng maximal
al lui R. Scrieți toate tipurile de izomorfism de Z-module simple și de K[X]-module simple,
unde K este un corp.
8. Este adev ărat că orice intersec ție de submodule finit genera te este un submodul finit
generat? ( Ind. Fie K un corp comutativ, S K[Xn; n N] și T S/I, unde I este idealul lui S
generat de {( X1 X2)Xi | i 3}. Fie 1, 2 imaginile lui X1, X2 în T. Atunci T1T2 nu este
T-modul finit generat.)
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
53
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
În toată algebra, proced eele de construc ție a unor noi obiecte (p lecînd de la o mul țime dată
de obiecte) sînt de prim ă importan ță. În cazul modulelor – și nu numai – printre cele mai
uzuale construc ții se numără produsul direct și suma direct ă.
Începem cu cazul a dou ă R-module M1 și M2. Pe produsul cartezian M1 M2 {(x1, x2) |
x1 M1, x2 M2} se define ște operația de adunare prin rela ția:
(x1, x2) (y1, y2) :(x1 y1, x2 y2), (x1, x2), (y1, y2) M1 M2.
În raport cu aceast ă operație, M1 M2 devine grup abelian (e ste produsul direct al
grupurilor ( M1, ) și (M2, )). Grupul abelian M1 M2 devine R-modul stîng dac ă definim
operația externă prin:
r(x1, x2) :(rx1, rx2), r R, (x1, x2) M1 M2.
Verificarea axiomelor de R-modul este trivial ă.
Se pot defini morfismele 1 : M1 M2 → M1 și 2 : M1 M2 → M2, prin:
1(x1, x2) :x1 și 2(x1, x2) :x2, (x1, x2) M1 M2.
R-modulul M1 M2, împreun ă cu morfismele 1 și 2, este numit produsul direct al
modulelor M1 și M2. Morfismele 1 și 2 se numesc proiecțiile canonice ale produsului direct
M1 M2. Produsul direct satisface urm ătoarea proprietate de universalitate :
3.1 Teorem ă. (Proprietatea de universalita te a produsului direct a dou ă module) Fie M 1 și
M2 două R-module. Atunci, oricare ar fi un R-modul E și morfismele v 1 : E → M1,
v2 : E → M2, există și este unic un morfism v : E → M1 M2 astfel încît v 1 1◦v și v2 2◦v,
adică diagrama urm ătoare este comutativ ă, pentru i {1,2}: 10
Demonstra ție. Cercetăm unicitatea. Fie un morfism v : E → M1 M2 cu proprietatea
cerută. Fie e E și notăm v(e) (x1, x2) M1 M2. Avem x1 1(v(e)) (1◦v)(e) v1(e) și,
la fel, x2 v2(e). Deci, dac ă există un morfism v ca în enun ț, atunci v(e) (v1(e), v2(e)),
e E. Pe de alt ă parte, aplica ția v definită în acest mod este morfism de module
(verificați!).
10 Deci v1 factorizeaz ă prin 1 și v2 factorizeaz ă prin 2. viiiM M M
2 1
Ev
II. Module 54
Construcția produsului direct poate fi generalizat ă pentru cazul unei fam ilii oarecare (chiar
infinită) de module. Fie I o mulțime (văzută ca mulțime de indici) și (Mi)iI o familie de
R-module indexat ă după I. Reamintim c ă produsul cartezian al acestei familii este iI Mi
{ f : I → iI Mi | f (i) Mi, i I}. Un element f al produsului cartezian iI Mi va fi scris
și sub forma ( xi)iI sau ( xi)I (am notat f (i) xi Mi, i I). Definim opera ția de adunare prin
f, g iI Mi, ( f g)(i) : f(i) g(i), i I;
Cu cealalt ă notație: (xi)I, (yi)I iI Mi, (xi)I (yi)I : (xi yi)I.
iI Mi devine un grup abelian în raport cu aceast ă operație.
Definim opera ția externă: r R, f iI Mi, (rf )(i) : rf (i), i I;
Cu cealalt ă notație: r R, (xi)I iI Mi, r(xi)I : (rxi)I.
Probarea faptului c ă aceste date satisfac axiomele de R-modul este o opera ție de rutin ă: de
exemplu, r R, f, g iI Mi, i I , avem
(r( f g))(i) r·( f g)(i) r( f (i) g(i)) rf (i) rg(i) (rf rg)(i),
ceea ce arat ă că r( f g) rf rg.
Pentru orice j I, definim morfismele j : iI Mi→ Mj astfel:
j( f ) :f ( j), f iI Mi; cu cealalt ă notație: j((xi)I) :xj, (xi)I iI Mi.
Perechea format ă din R-modulul iI Mi, împreun ă cu familia de morfisme ( i)iI, se
numește produsul direct al modulelor ( Mi)iI. Morfismele i, i I, se numesc proiecțiile
canonice ale produsului direct. Ca și în cazul a dou ă module, produsul direct satisface
următoarea proprietate de universalitate :
3.2 Teorem ă. (Proprietatea de universal itate a produsului direct) Fie (Mi)iI o familie de
R-module. Atunci, oricare ar fi un R-modul E și oricare ar fi familia de morfisme v i : E → Mi,
i I, există și este unic un morfism v : E → iI Mi, astfel încît v i i◦v, i I.
Demonstra ție. Este aceea și ca și în cazul a dou ă module. Presupunem c ă există un
morfism v : E → iI Mi cu proprietatea cerut ă. Fie e E; notăm v(e) f iI Mi. Avem,
i I, f (i) i( f ) i(v(e)) (i◦v)(e) vi(e). Deci, dac ă există un morfism v ca în enun ț,
atunci v(e)(i) vi(e), e E. Pe de alt ă parte, aplica ția v definită în acest mod este morfism
de module (verifica ți!).
Uneori, produsul direct al familiei ( Mi)iI se mai noteaz ă iI Mi. Pentru cazul unei familii
finite M1, …, Mn, notația folosită este M1 … Mn sau
n
iiM
1. Dacă toate modulele familiei ii
Ii i M M
vi
Ev
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
55
(Mi)iI sînt egale cu un acela și modul M, produsul direct al familiei se noteaz ă cu M I (sau M n
dacă I este finită, cu n elemente).
Este remarcabil c ă proprietatea de uni versalitate a produsului direct „determin ă produsul
direct pîn ă la izomorfism”. Mai precis, are loc:
3.3 Teorem ă. Fie (Mi)iI o familie de R-module. Presupunem c ă un R-modul P, împreun ă
cu familia de morfisme p i : P → Mi, i I, satisface proprietatea:
„Oricare ar fi un R-modul E și oricare ar fi familia de morfisme v i : E → Mi, i I, există
și este unic un morfism v : E → P astfel încît v i pi◦v, i I.” 11 (U)
Dacă R-modulul Q, împreun ă cu familia de morfisme q i : Q → Mi, i I, satisface și el
proprietatea (U) de mai sus, atunci exist ă și este unic un izomorfism : P → Q astfel încît
pi qi ◦, i I.
Demonstra ție. Punem în (U): E Q și vi qi, i I. Rezultă existența unui (unic)
morfism : Q → P, astfel încît qi pi◦. Cum Q satisface proprieta tea (U), aplicat ă lui P cu
morfismele pi, rezultă analog c ă există un unic morfism : P → Q, astfel încît pi qi◦.
Demonstr ăm că și sînt izomorfisme inverse unul celuilalt. Într-adev ăr, ◦ : Q → Q
satisface qi◦( ◦) (qi◦)◦ pi◦ qi, i I; dar morfismul id Q : Q → Q are aceea și
proprietate: qi◦idQ qi, i I. Din unicitate, garantat ă d e ( U ) , r e z u l t ă ◦ idQ. La fel se
demonstreaz ă că ◦ idP.
Se observ ă că proprietatea de universalitate a produsului direct este formulat ă doar în
termeni de obiecte (în cazul nostru, module) și morfisme, f ără a face apel la elementele
mulțimilor subiacente ale modulelor implicate. Di n acest motiv, proprietate a de universalitate
de mai sus se poate lua ca defini ție a produsului direct în tr-o categorie oarecare C (înlocuind
„modul” cu „obiect în C” și „morfism de module” cu „morfism în C”). Produsul direct al unei
familii de obiecte din C (dacă există) este unic determinat pîn ă la un izomorfism, demonstra ția
propoziției de mai sus r ămînînd valabil ă. Teorema 3.2 arat ă că în R-Mod există produsul
direct al unei familii oarecare de obiecte ( Mi)iI : iI Mi, împreun ă cu proiec țiile canonice i,
este un exemplu de obiect care satisface aceast ă proprietate.
Dualizînd („inversînd s ăgețile”) în proprietatea de universalitate a produsului direct se
obține proprietatea de universalitate a sumei directe (care poate fi luat ă drept defini ție a
acestei no țiuni):
3.4 Defini ție. Fie ( Mi)iI o familie de R-module. Perechea format ă de un modul S,
împreună cu o familie de morfisme ( i)iI, i : Mi → S, se nume ște sumă directă a familiei
11 Este exact proprietatea de universalitate pe care o satisface produsul direct.
II. Module 56
(Mi)iI dacă, oricare ar fi un modul E și oricare ar fi familia de morfisme ( vi)iI, vi : Mi → E,
există și este unic un morfism v : S → E astfel încît v◦i vi, i I (adică diagrama
următoare este comutativ ă, i I):
Morfismele ( i)iI se numesc injecțiile canonice ale sumei directe S. Denumirea este
justificată: pentru j I fixat, în defini ția de mai sus punem E Mj și vi : Mi → Mj, vi 0 dacă
i j și vj idMj. Morfismul v : S → Mj, a cărui existen ță este garantat ă de defini ție, satisface
v ◦j id, deci j este injectiv.
Suma direct ă se mai nume ște coprodus (denumire provenind din teoria categoriilor).
În continuare vom construi un obiect care s ă satisfacă definiția de mai sus.
Dacă f iI Mi, numim suport al lui f mulțimea Supp f : {i I | f (i) 0}. Consider ăm
submulțimea urm ătoare a lui iI Mi:
iI Mi : {f iI Mi | Supp f este finit }.
Dacă f, g iI Mi, atunci Supp( f g) Supp f Supp g, deci f g are suport finit.
Dacă r R, atunci Supp( rf ) Supp f ; așadar iI Mi este submodul al lui iI Mi.
Identificăm elementul f iI Mi cu „familia de elemente” ( xi)iI, unde xi f (i) Mi, i I;
familia de elemente ( xi)iI este de suport finit, adic ă xi 0 pentru o mul țime finită de i I (se
mai spune „ xi sînt aproape to ți nuli”).
Definim, j I, j : Mj → iI Mi prin: x Mj, (j(x))(i) :
ji xji
ădac , ădac ,0. Cu alte
cuvinte, dac ă notăm j(x) cu ( xi)iI, atunci xj x, iar xi 0, i I, i j. Este banal de verificat
că j este morfism, j I. Se observ ă că (xi)I iI Mi, avem
( xi)I iI i(xi)
(suma este finit ă, extinzîndu-se doar asupra indicilor i Supp( xi)I).
3.5 Teorem ă. Fie (Mi)iI o familie de R-modu le. Atunci modulul iI Mi împreună cu
injecțiile canonice (i)iI este o sum ă directă a familiei (Mi)iI, .
Demonstra ție. Fie E un R-modul și morfismele vi : Mi → E, i I. Dacă v : iI Mi → E
este un morfism care satisface v◦i vi, i I, atunci, (xi)I iI Mi, avem
v((xi)I) v(iI i(xi)) iI (v◦i)(xi) iI vi(xi). Această egalitate arat ă că morfismul v este
unic determinat de condi ția v◦i vi, i I. Pe de alt ă parte, v definit în acest mod este
într-adevăr un morfism: (xi)I, (yi)I iI Mi, r R,
v((xi)I (yi)I) v((xi yi)I) iI vi(xi yi) iI vi(xi) vi( yi) v((xi)I) v((yi)I), viS Mi
i
Ev
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
57
v(r(xi)I) v((rxi)I) iI vi(rxi) iI rvi(xi) riI vi(xi) rv((xi)I).
Modulul iI Mi se mai noteaz ă cu iI Mi. Pentru cazul unei familii finite M1, …, Mn,
notația folosită este M1 … Mn sau in
iM
1. Dacă toate modulele din familia ( Mi)iI sînt egale
cu un acela și modul M, modulul sum ă directă se noteaz ă cu M ( I ). Pentru a elimina confuzia
cu noțiunea de sum ă directă internă de submodule (vezi 3.9), iI Mi mai este numit și sumă
directă externă.
Ca și la produsul direct, proprieta tea de universalitate determin ă suma direct ă a unei familii
de module pîn ă la un izomorfism. Invit ăm cititorul s ă dea un enun ț precis acestei afirma ții și
să o demonstreze, prin an alogie cu produsul direct.
3.6 Observa ție. În cazul în care mul țimea de indici I este finită, modulul sum ă directă
iI Mi iI Mi construit mai sus coincide cu modulul produs direct iI Mi construit la
3.2. Totu și, suma direct ă (iI Mi, (i)iI) și produsul direct ( iI Mi, (i)iI) sînt obiecte
distincte și în acest caz.
3.7 Exemplu. Fie R un inel comutativ și R[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X, cu
coeficienți în R. Ca R-modul, R[X] este izomorf cu suma direct ă R(N) a unei familii num ărabile
de copii ale lui R R.
Am definit no țiunea de sumă a unei familii ( Li)iI de submodule ale unui modul M. Se
poate construi și suma direct ă a familiei ( Li)iI, văzute ca module de sine st ătătoare. Propozi ția
următoare precizeaz ă în ce condi ții aceste dou ă construcții coincid.
3.8 Propozi ție. Fie M un R-modul și (Li)iI o familie de submodule ale lui M. Not ăm cu L
suma lor: L : iI Li și cu i : Li → L morfismele incluziune. Atunci urm ătoarele afirma ții
sînt echivalente:
a) L este o sum ă directă a modulelor (Li)iI, de injecții canonice (i)iI.
b) Pentru orice element x L, există și este unic ă o familie de suport finit (xi)iI, cu x i Li,
i I, astfel încît x iI xi.
c) Pentru orice j I, L j
jIiiL
\ 0.
d) Pentru orice familie de suport finit (xi)iI, cu x i Li, i I, astfel încît iI xi 0,
rezultă xi 0, i I.
Demonstra ție. a)b) Fie iI Li suma direct ă construit ă ca la 3.5, de injec ții canonice
(i)iI ; fie : iI Li → L unicul izomorfism cu proprietatea c ă ◦i i, i I. Pentru
II. Module 58
orice x L, există un element ( xi)iI iI Li astfel încît ((xi)iI) x. Deci
x ((xi)iI) (iI i(xi)) iI ( ◦i)(xi) iI i(xi) iI xi, adică x este suma familiei
de suport finit ( xi)iI, xi Li, i I. Dacă (yi)iI este o alt ă familie de suport finit, cu yi Li,
i I, astfel încît iI xi iI yi, atunci ((xi)iI) ((yi)iI). Cum este izomorfism,
rezultă că (xi)iI (yi)iI.
b)c) Fie xj Lj
jIiiL
\. Atunci exist ă o familie de suport finit ( xi)iI \ {j}, xi Li, i
I \ {j}, astfel încît xj iI \ {j} xi. Trecînd pe xj în membrul drept, se ob ține că 0 este suma
familiei de suport finit ( yi)iI, cu yi xi, i j și yj xj. Din unicitatea scrierii lui 0 (care se
mai scrie, evident, ca suma familiei (0) iI) rezultă că xi 0, i I. Deci xj 0.
c)d) Fie ( xi)iI o familie de suport finit cu xi Li, i I, astfel încît iI xi 0. Fie j I.
Atunci xj Lj; cum xj iI \ {j}(xi), rezultă că xj
jIiiL
\. Deci xj 0.
d)a) Arătăm că (L, (i)iI) satisface defini ția 3.4. Fie RE și familia de morfisme ( vi)iI,
vi : Mi → E. Dacă x L, există o familie de suport finit ( xi)iI (cu xi Li, i I), astfel încît
x iI xi. Din d) rezultă că această familie este unic determinat ă: dacă iI xi iI yi, cu
yi Li, i I, atunci iI (xi yi) 0, deci xi yi, i I.
Definim morfismul : L → E prin: x L, punem (x) : iI vi(xi), unde ( xi)iI este
unica familie de suport finit cu xi Li, i I și astfel încît x iI xi. Aplicația definită
astfel e morfism de R-module: dac ă x, y L, iar ( xi)iI, (yi)iI sînt unicele familii de suport
finit cu xi, yi Li, i I și astfel încît x iI xi, y iI yi, atunci
x y iI xi iI yi iI(xi yi), unde ( xi yi)iI este de suport finit și xi yi Li, i I.
Deci (x y) iI vi(xi yi) iI vi(xi) iI vi(yi) (x) (y). La fel se arat ă că
(rx) r(x), r R, x L. Dacă j I și xj Lj, atunci ( ◦j)(xj) (xj) vj(xj), ceea ce
arată că ◦j vj, j I. Arătăm că este unicul morfism cu aceast ă proprietate. Fie
: L → E morfism cu ◦i vi, i I, și fie x L. Atunci x iI xi, cu xi Li, i I și
avem:
(x) (iI xi) iI( xi) iI(i( xi)) iI vi(xi) (x).
3.9 Defini ție. Fie ( Li)iI o familie de submodule ale unui R-modul M. Spunem c ă suma
familiei ( Li)iI este sumă directă (internă) dacă și numai dac ă îndepline ște una din afirma țiile
echivalente ale propozi ției precedente. Se mai spune în aceast ă situație că familia de
submodule ( Li)iI este independent ă. Un submodul A al lui M se numește sumand direct al lui
M dacă există B R M astfel încît M A B (un submodul B cu aceast ă proprietate se mai
numește complement al lui A).
3.10 Corolar. Fie M un R -modul și A, B R M. Următoarele afirma ții sînt echivalente:
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
59
a) M A B.
b) M A B și A B 0.
c) x M, există o unică pereche (a, b) A B astfel încît x a b.
3.11 Exemple. a) Dacă V este un K-spațiu vectorial, atunci orice subspa țiu vectorial U al
lui V este sumand direct în V.
b) Dacă R este inel comutativ integru, atunci R R nu are nici un subm odul propriu care s ă
fie sumand direct. Într-adev ăr, oricare ar fi submodulele nenule A și B ale lui R R, avem
A B 0: există 0 a A și 0 b B și deci 0 ab A B.
3.12 Observa ție. a) Noțiunile de sum ă directă (internă) de submodule și sumă directă
externă sînt foarte apropiate: dac ă S este sumă directă a modulelor ( Mi)iI, de injecții canonice
(i)iI, atunci S este suma direct ă a submodulelor sale (Im i)iI, iar Mi Imi, i I. Adesea
se identific ă Mi cu Imi și se spune c ă S e s t e s u m a d i r e c t ă (fără a mai preciza tipul) a
modulelor Mi, i I.
b) Dacă M iI Mi este suma direct ă a modulelor ( Mi)iI, de injec ții canonice ( i)iI,
atunci, j I, aplicația pj : M → Mj, x xj, (unde x iI i(xi) , cu xi Mi, i I) este un
morfism de module, numit proiecție canonic ă (pe Mj). Considerînd M ca submodul al
produsului direct iI Mi, pj este chiar restric ția la M a proiecției canonice j a produsului
direct. Compunerea pj◦j este aplica ția identică a lui Mj : jp
i j M M Mj j .
Există o legătură strînsă între sumanzii direc ți ai unui R-modul M și proiectori , adică
elementele idempotente ale inelului End R(M). (Un element e al unui inel S se nume ște
idempotent dacă e 2 e). Denumirea de proiector este justificat ă de propozi ția următoare.
3.13 Propozi ție. Fie M un R-modul. Dac ă M A B, atunci p : iA◦pA (unde p A : M → A
este proiec ția canonic ă și iA : A → M injecția canonic ă) este un idempotent al inelului
End R(M) și Im p A, Ker p B.
Reciproc, fie p End R(M) un proiector. Atunci M Im p Ker p.
Demonstra ție. Pentru orice x M, ! a A, b B, astfel încît x a b. Atunci p(x) a.
Avem p(p(x)) p(a) a p(x). Deci p◦p p2 p. Are loc p(x) 0 dacă și numai dac ă
x 0 b, cu b B, adică Ker p B. Evident, Im p A.
Reciproc, dac ă p End R(M) și p2 p, atunci, x M, avem x p(x) (x p(x)). În
această scriere, p(x) Im p și p(x p(x)) p(x) p2(x) 0, deci x p(x) Ker p. Am arătat
că M Im p Ker p. Dacă x Im p Ker p, atunci p(x) 0 și x p(y), cu y M. Așadar,
x p(y) p2(y) p(x) 0 și Im p Ker p 0, adică suma e direct ă.
II. Module 60
3.14 Propozi ție. Fie R-modulele M și N și morfismele u : M → N și v : N → M astfel încît
v◦u idM. Atunci N Im u Ker v. În particular, M este izomorf cu un sumand direct al lui
N.
Demonstra ție. Fie p u◦v : N → N. Avem p2 u◦v◦u◦v u◦id◦v u◦v p. Din 3.13,
N Im p Ker p. Cum v este surjectiv, Im u◦v Im u. Avem și Ker u◦v
{x N | u(v(x)) 0} {x N | v(x) 0} Ker v, căci u este injectiv.
3.15 Definiție. Fie vi : Mi → Ni (i I) o familie de morfisme de R-module. Vom defini
produsul direct și suma direct ă ale familiei de morfisme (vi)iI.
Fie ( Mi, (i)iI) (respectiv ( Ni, (i)iI)) produsul direct al familiei de R-module ( Mi)iI
(respectiv ( Ni)iI). Pentru orice j I, avem morfismul vj◦j : Mi → Nj. Din proprietatea de
universalitate a produsului direct (3.2), exist ă un unic morfism v : Mi → Ni astfel încît
j◦v vj◦j, j I.
Morfismul v se nume ște produsul direct al familiei de morfisme (vi)iI și se noteaz ă cu
iI vi sau cu iI vi. Dacă I {1, …, n}, v se noteaz ă n
i iv1 sau v1 … vn.
Dacă x (xi)iI Mi, atunci (iI vi)(x) (vi(xi))iI Ni.
În mod asem ănător se define ște suma direct ă a familiei de morfisme ( vi)iI. Fie ( Mi,
(i)iI) (respectiv ( Ni, (i)iI)) suma direct ă a familiei de R-module ( Mi)iI (respectiv ( Ni)iI).
Pentru orice j I, avem morfismul j◦vj : Mj → Ni. Din proprietatea de universalitate a
sumei directe (3.4), exist ă un unic morfism w : Mi → Ni astfel încît w◦j j◦vj, j I.
Morfismul w se numește suma direct ă a familiei de morfisme (vi)iI și se noteaz ă cu iI vi
sau cu iI vi. Dacă I {1, …, n}, w se noteaz ă in
iv1 sau v1…vn.
Dacă x iI xi Mi, unde xi Mi și familia ( xi)iI este de suport finit12, atunci
(iI vi)(x) iI vi(xi) Ni.
12 Am identificat pe xi cu imaginea sa prin injec ția canonic ă i(xi). jj
i M M
jj
i N Nvj v
ij
j M M
ij
j N N w vj
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
61
3.16 Propozi ție. Fie v i : Mi → Ni (i I) o familie de morfisme de module. Atunci:
a) Dacă vi este injectiv (surjectiv), atunci iI vi și iI vi sînt injective (respectiv
surjective).
b) Dacă ui : Ni → Pi (i I) sînt morfisme de module, atunci
(iI ui)◦(iI vi) iI ui◦vi și (iI ui)◦(iI vi) iI ui◦vi.
Notăm cu R-Mod categoria R-modulelor stîngi și cu Ab categoria grupurilor abeliene.
3.17 Defini ție. (Functorii Hom) Pentru orice A R-Mod , definim functorul (covariant)
hA : R-Mod → Ab:
B R-Mod , hA(B) : Hom R(A, B),
(Hom R(A, B) este grup abelian cu adunarea morfismelor);
u : B → B' morfism în R-Mod , hA(u) : Hom R(A, B) → Hom R(A, B' ) este definit de
hA(u)(g) : u◦g, g Hom R(A, B).
Se verific ă imediat c ă hA(u) este morfism în Ab, că hA(1B) 1hA(B) și că
hA(v◦u) hA(v)◦hA(u), pentru orice R-modul B și orice morfisme de R-module u : B → B' și
v : B' → B". Deci hA este un functor, notat și cu Hom R(A, -).
În mod asem ănător se define ște functorul contravariant h A : R-Mod → Ab. Pentru orice
B R-Mod , hA(B) : Hom R(B, A); pentru orice morfism u : B → B' în R-Mod ,
hA(u) : Hom R(B', A ) → Hom R(B, A) este dat de hA(u)(g) : g◦u, g Hom R(B', A). Functorul
hA este notat și Hom R(-, A).
Vom studia comportarea functorilor Hom R(A, -) și Hom R(-, A) față de produsele directe și
sumele directe.
3.18 Propozi ție. Fie A un R-modul și (Mi)iI o familie de R-module. Atunci exist ă
izomorfismele canonice de grupuri abeliene:
Hom R(A, iI Mi) iI Hom R(A, M i),
Hom R(iI Mi, A) iI Hom R(Mi, A).
Demonstra ție. Demonstr ăm a doua rela ție (prima este propus ă ca exerci țiu).
Fie S iI Mi și i : Mi → S injecțiile canonice.
Vom da dou ă demonstra ții. O demonstra ție „direct ă”: folosind forma elementelor din
construcțiile sumei directe și ale produsului direct , definim în mod natural un morfism de la
Hom R(S, A) la iI Hom R(Mi, A), despre care ar ătăm că este izomorfism. În demonstra ția
„categorial ă”, arătăm că Hom R(S, A) este un produs direct în Ab al familiei de grupuri
abeliene (Hom R(Mi, A))iI (adică satisface proprietatea de unive rsalitate a produsului direct) și
se aplică apoi 3.3.
Demonstra ția directă. Fie : Hom R(S, A) → iI Hom R(Mi, A), definit astfel: pentru orice
morfism g : iI Mi → A, (g) : (g◦i)iI iI Hom R(Mi, A). Este banal de verificat c ă
II. Module 62
este morfism. Dac ă (g) (g◦i)iI (0) iI, atunci g(iI i(xi)) iI g(i(xi)) 0, pentru
orice familie de suport finit ( xi)iI, cu xi Mi, deci g 0. Așadar, este injectiv. Dac ă
(gi)iI iI Hom R(Mi, A), din proprietatea de uni versalitate a sumei directe S iI Mi
(definiția 3.4) exist ă un unic morfism g : S → A astfel încît g◦i gi, i I. Deci este
surjectiv.
Demonstra ția categorial ă: Pentru orice i I, hA(i) : hA(S) → hA(Mi) este morfism în Ab.
Vom arăta că hA(S) este produs direct al grupurilor abeliene { hA(Mi)}iI, de proiec ții canonice
hA(i) . A v e m d e a r ătat că, oricare ar fi un grup abelian X și oricare ar fi morfismele
i : X → hA(Mi), i I, există un unic morfism : X → hA(S) în Ab astfel încît i hA(i)◦.
Deci, x X, i(x) : Mi → A este un morfism în R-Mod . Din proprietatea de universalitate a
sumei directe, ! (x) : S → A morfism astfel încît i(x) (x)◦i. Se obține o aplica ție
: X → Hom R(S, A) hA(S), x (x), care este morfism în Ab. Într-adev ăr, x, y X,
(x) (y) : S → A este un R-morfism cu
((x) (y))◦i (x)◦i (y)◦i i(x) i(y) i(x y).
Cum (x y) este unicul morfism cu aceast ă proprietate, rezult ă că (x y) (x) (y). Dacă
morfismul : X → hA(S) are și el proprietatea c ă i hA(i)◦, atunci, x X, (x) : S → A
este morfism cu i(x) hA(i((x)) (x)◦i. Cum (x) este unic cu aceast ă proprietate,
rezultă (x) (x), x X, adică .
Multe din rezultatele teoriei modulelor ( și nu numai) se exprim ă mai comod în limbajul
șirurilor exacte (folosit intens în Algebra Omologic ă, de exemplu).
3.19 Defini ție. Un șir (finit sau infinit) de R-module și morfisme de module13, de forma
(S): … G F Ev u …,
unde v◦u 0, se nume ște șir semiexact în F. Evident, șirul este semiexact în F dacă și numai
dacă Im u Ker v. Șirul se nume ște exact în F dacă Im u Ker v. Spunem c ă șirul S este
semiexact (respectiv exact ) dacă este semiexact (respectiv exact) în orice termen al s ău. Un șir
semiexact de module se mai nume ște complex de module .
3.20 Observa ții. a) De multe ori, morfismele care sînt unic determinate (sau subîn țelese)
nu vor fi puse în eviden ță. De exemplu, vom scrie 0 → L în loc de L00 , întrucît singurul
morfism definit pe modulul 0 este morfismul 0.
b) Un șir de forma F Eu0 este exact dac ă și numai dac ă u este monomorfism.
Într-adevăr, Ker u 0 Ker u Im 0.
c) Un șir de forma 0 F Eueste exact dac ă și numai dac ă u este epimorfism.
d) Șirul 0 0 F Eu este exact u este izomorfism.
13 Vom spune, pe scurt, șir de module .
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
63
3.21 Exemple. a) Dacă : E → F este un morfism, atunci șirul următor este exact:
0 Im Ker 0 F F E
Am notat cu morfismul incluziune și cu surjecția canonic ă. Modulul F/Im se mai
numește conucleul morfismului și se noteaz ă Coker Avem deci șirul exact:
0 Coker Ker 0 F E .
b) Dacă A R B, atunci șirul
00 AB B A
este exact; am notat cu morfismul incluziune și cu surjecția canonic ă.
3.22 Defini ție. Un șir exact de forma
0 0 C B Av u
se numește șir exact scurt . Pentru un astfel de șir, A este izomorf cu submodulul Im u Ker v
al lui B, iar B/Im u B/Ker v este izomorf cu C; din aceste motive, B se mai nume ște extensie
(sau extindere ) a lui A prin C (se observ ă analogia cu exemplul b) de mai sus).
3.23 Exemplu. Dacă A și C sînt două R-module, atunci șirul
0 0 C CA AC A
este exact scurt; am notat cu A : A → A C injecția canonic ă și cu C : A C → C proiecția
canonică (reamintim c ă A C A C). Deci A C este o extensie a lui A prin C. Problema
determinării tuturor extensiilor lui A prin C este nebanal ă. În acest sens este natural ă
următoarea defini ție:
3.24 Defini ție. Fie A și C două module și extensiile urm ătoare ale lui A prin C:
0 0 C B Av u,
0 0 C B Av u.
Spunem c ă extensiile sînt echivalente dacă există un morfism g : B → B' astfel încît g◦u u' și
v'◦g v. Deci, diagrama urm ătoare comut ă:
0 00 0
C B AC B A
v ugv u
(morfismele verticale f ără notație sînt morfismele identice). Un morfism ca mai sus se
numește morfism de extensii .
3.25 Propozi ție. Cu notațiile din defini ția 3.24, g este izomorfism. În particular, rela ția
definită la 3.24 este o rela ție de echivalen ță pe clasa extensiilor lui A prin C.
II. Module 64
Demonstra ție.14 Arătăm că Ker g 0. Fie b B cu g(b) 0. Atunci v'g(b) 0 v(b), deci
b Ker v Im u. Există a A cu u(a) b; rezultă 0 g(b) gu(a) u'(a); cum u' este
injectiv, avem a 0, deci b u(a) 0.
Dacă b' B', atunci v'(b') C; cum v este surjectiv, exist ă b B cu v(b) v'(b'). Avem
v'g(b) v(b) din comutativitatea diagramei și deci v'(g(b)) v'(b'), adic ă
g(b) b' Ker v' Im u'; deci exist ă a A cu u'(a) g(b) b'; cum u' gu, g(b) b'
u'(a) gu(a). Astfel b' g(b u(a)) Im g.
Lăsăm demonstrarea celei de-a doua afirma ții cititorului.
3.26 Defini ție. Fiind date dou ă complexe
E:
1 11
iu
iu
i E E Ei i
F:
1 11
iv
iv
i F F Fi i,
numim morfism de complexe de la E la F un șir de morfisme de module g : (gi)iZ,
gi : Ei → Fi, astfel încît gi 1◦ui vi◦gi, i Z, adică diagrama urm ătoare comut ă:
1 11 1
11 11
iv
iv
ig g giu
iu
i
F F FE E E
i ii i ii i
Complexele E și F se numesc izomorfe dacă gi sînt izomorfisme, i Z (caz în care se
verifică fără dificultate c ă (gi1)iZ este tot morfism de complexe).
3.27 Exemple. a) Șirul exact 0 0 C B Av u este izomorf (în sensul defini ției
de mai sus) cu șirul 0 Im Im 0 u B B u , unde este incluziunea și surjecția
canonică. Morfismele care realizeaz ă acest izomorfism sînt u0 : A → Im u, u0(a) u(a),
a A; id B : B → B; pentru a defini w : C → B/Im u, observăm că morfismul surjectiv v
induce un izomorfism canonic v0 : B/Ker v → C, dat de v0(b Ker v) v(b), b B (vezi
teorema fundamental ă de izomorfism). Punem w v01. Lăsăm cititorului verificarea
comutativit ății diagramei care apare.
b) Orice extensie a lui Z2 prin Z2 este izomorf ă fie cu Z2Z2, fie cu Z4.
Extensia „sum ă directă” a lui A prin C, 0 0 C CA AC A , are proprietatea
remarcabil ă că prin „întoarcerea s ăgeților” se ob ține tot un șir exact, mai precis
0 0 C CA AC A . Extensiile lui A prin C care sînt izomorfe cu extensia
sumă directă A C au următoarea caracterizare:
3.28. Propozi ție. Fie (S): 0 0 C B Av u un șir exact scurt de module (adic ă
B este o extensie a lui A prin C). Urm ătoarele afirma ții sînt echivalente:
14 Tehnica folosit ă în demonstra țiile de acest tip se nume ște „diagram chasing” („urm ărire pe diagram ă”).
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
65
a) B este echivalent (ca extensie a lui A prin C) cu extensia sum ă directă,
0 0 C CA AC A . Am notat cu A, C injecțiile canonice ale sumei directe
A C și cu A, C proiecțiile canonice.
b) Im u Ker v este sumand direct în B.
c) Există un morfism u' : B → A astfel încît u' ◦u idA.
d) Există un morfism v' : C → B astfel încît v ◦v' idC.
Demonstra ție. c)b) și d)b) rezultă din 3.14.
a)c), d) Fie : B → A C un izomorfism astfel încît diagrama
0 00 0
C CA AC B A
C Av u
să fie comutativ ă. Definim u' : B → A, u' A. Avem u'u A u AA idA (vezi obs.
3.12). Aceasta demonstreaz ă c). Definind v' : C → B, v' 1C, are loc vv'
v 1C CC idC, adică d) este valabil ă.
b)a) Fie B Im u D; deci b B, ! a A și d D astfel încît b u(a) d. Definim
atunci (b) a A. Obținem o aplica ție : B → A, care este morfism de module: dac ă
b u(a) d, b' u(a') d' B, cu a, a' A, d, d' D, atunci
b b' u(a) d u(a') d' u(a a') d d'; deci (b b') a a' (b) (b'). La fel
se arată că păstrează înmulțirea cu scalari. Observ ăm că ◦u : A → A este id A.
Considerăm morfismul : B → AC, A Cv. Avem u (A Cv)◦u
Au Cvu A și C C (A Cv) CA CCv v. Deci este (izo)morfism de
extensii.
Se folosește următoarea terminologie:
Un șir exact scurt 0 0 C B Av use numește scindat dacă satisface condi țiile
echivalente ale propozi ției precedente.
Un monomorfism B Au0 se nume ște scindat dacă șirul exact scurt
0 Im 0 u B B Aueste scindat ( Im u este sumand direct în B).
Un epimorfism 0 C Bvse nume ște scindat dacă șirul exact scurt
0 Ker 0 C B vveste scindat ( Ker v este sumand direct în B).
Comportarea fa ță de șirurile exacte scurte este de prim ă importan ță în studiul functorilor
definiți pe categorii de modul e. Proprietatea urm ătoare exprim ă faptul, des folosit, c ă
„functorul Hom este exact la stînga”:
3.29 Propozi ție. Fie R M un modul și
0 0 C B Av u
un șir exact scurt. Atunci șirul de grupuri abeliene
II. Module 66
Ch Bh AhM vh M uh MM M 0
este exact. În particular, dac ă u : A → B este monomorfism de R-module, atunci hM(u) este
monomorfism de grupuri abeliene.
Demonstra ție. Avem de ar ătat că hM(u) este monomorfism și că Im hM(u) Ker hM(v). Fie
hM(A) (adică un morfism : M → A) astfel încît hM(u)() u◦ 0. Cum u este
monomorfism, rezult ă că 0. Deci Ker hM(u) 0.
Avem hM(v)◦hM(u) hM(v◦u) hM(0) 0, deci Im hM(u) Ker hM(v). Arătăm incluziunea
inversă: dacă hM(B) (adică : M → B) este în Ker hM(v), atunci v◦ 0, adică
Im Ker v Im u. Cum u este injectiv, u0 : A → Im u (u0(a) u(a), a A) este
izomorfism; fie u' : Im u → A inversul lui u0. Atunci u'◦ : M → B este bine definit și este
morfism și se vede c ă hM(u)(u'◦) u◦u'◦ .
Ultima afirma ție se obține considerînd șirul exact
0 Im 0 u B B Au
Pentru functorul contravariant hM are loc o proprietate asem ănătoare, a c ărei demonstra ție
este propus ă cititorului:
3.30 Propozi ție. Fie RM un modul și
0 0 C B Av u
un șir exact scurt. Atunci șirul de grupuri abeliene
Ah Bh ChMuh
Mvh
MM M 0
este exact. În particular, dac ă v : B → C este epimorfism de R-module, atunci h M(v) este
monomorfism de grupuri abeliene.
Exerciții
1. Demonstra ți că R-modulul S este sum ă directă a familiei de R-module ( Mi)iI, de injec ții
canonice ( i)iI, dacă și numai dac ă oricare ar fi x S, există o unică familie de elemente de
suport finit ( xi)iI, cu xi Mi, i I, astfel încît x iI i(xi).
2. Fie A și B două R-module. Demonstra ți că există un izomorfism (canonic) AB BA.
Generalizare.
3. Demonstra ți că R-modulul P este produs direct al familiei de R-module ( Mi)iI, de proiec ții
canonice ( i)iI, dacă și numai dac ă oricare ar fi familia de elemente ( xi)iI, cu xi Mi, i I,
există un unic element x P astfel încît i(x) xi, i I.
4. Fie R un inel și I un ideal stîng al lui R. Pentru orice modul R A, definim submodulul lui A:
II.3 Sume și produse directe. Șiruri exacte
67
IA : ia | i I, a A.
a) Demonstra ți că IA {i1a1 … inan | n N, i1, …, in I, a1, …, an A}.
b) Dacă A sS As (sumă directă internă), atunci IA sS IAs.
c) Dacă A sS As, atunci IA sS IAs (am identificat As cu imaginea sa în sS As și la
fel pentru IAs). Dacă I este finit generat, atunci incluziunea este egalitate. Da ți un exemplu în
care incluziunea este strict ă.
5. Luînd drept defini ție a produsului direct proprietate a de universalitate, demonstra ți că
proiecțiile canonice sînt surjective.
6. Dați exemplu de morfisme u, v, w astfel încît șirul urm ător să fie exact:
0 → Z3 3 9 9 Z Z Z w v u→ 0.
7. Fie R un inel principal. Demonstra ți că R-modulul M este ciclic (gen erat de un singur
element) există un șir exact de forma 0 → R → R → M → 0.
8. Fie R un inel și M un R-modul. Atunci orice R-epimorfism : M → R este scindat. Este
adevărat că pentru orice inel R și orice modul M, orice R-monomorfism : R → M este
scindat?
9. Fie diagrama comutativ ă de R-module, cu liniile exacte:
C B AC B A
v uv u
Demonstra ți (folosind „urm ărirea în diagram ă”) că:
a) Dacă , și u' sînt monomorfisme, atunci este monomorfism.
b) Dacă , și v sînt epimorfisme, atunci este epimorfism.
c) Dacă este monomorfism și , v sînt epimorfisme, atunci este epimorfism.
d) Dacă este epimorfism și u', sînt monomorfisme, atunci este monomorfism.
10. Dați exemplu de un R-modul M și de un sumand direct S al lui M care să aibă o infinitate
de complemen ți.
11. Să se arate c ă orice compunere de monomorfisme (e pimorfisme) scindate este mono-
morfism (epimorfism) scindat. Da ți un exemplu de monomorfisme u, v astfel încît uv să fie
scindat, dar v să nu fie scindat.
II. Module 68
II.4 Module libere
Multe din propriet ățile spațiilor vectoriale sînt consecin țe ale faptului c ă orice spa țiu
vectorial posed ă o bază. Lucrul acesta nu este adev ărat în general pentru module, ceea ce și
face mai dificil studiul modulelor în compara ție cu cel al spa țiilor vectoriale. Este natural ă
definirea și studierea clasei modul elor care „au o baz ă”. În aceast ă secțiune R este un inel
unitar, iar modulele sînt R-module stîngi.
4.1. Defini ție. Fie M un R-modul, n N* și x1, …, xn o familie de n elemente din M.
Spunem c ă familia { x1, …, xn} este liniar independent ă (peste R)15 dacă, pentru orice familie
r1, …, rn R, cu r1x1 … rnxn 0, rezultă r1 … rn 0. Cu alte cuvinte, o combina ție
liniară de elementele x1, …, xn este 0 dac ă și numai dac ă toți coeficien ții combina ției liniare
sînt 0.
O familie de elemente din M care nu este liniar independent ă se nume ște liniar
dependent ă. O relație de forma r1x1 … rnxn 0, cu r1, …, rn R, nu toți nuli, se nume ște
relație de dependen ță liniară a familiei { x1, …, xn}.
4.2. Observa ții. a) Dacă există i j cu xi xj, atunci familia { x1, …, xn} este liniar
dependent ă: combina ția liniară xi xj este 0. Deci, în st udiul liniar independen ței putem
presupune c ă elementele x1, …, xn sînt distincte. Pe de alt ă parte, este clar c ă noțiunea de liniar
independen ță nu depinde de indexarea elementelor x1, …, xn. Din aceste motive, putem vorbi
despre no țiunea de mulțime finită liniar independent ă de elemente din M.
b) Faptul c ă mulțimea { x} (cu un singur element x M ) este liniar independent ă înseamnă
că r R, din rx 0 rezultă r 0. Mai general, pentru x M se define ște anulatorul lui x în
R, Ann R(x) : {r R | rx 0} (notat și cu lR(x)). Întrucît Ann R(x) este chiar nucleul
morfismului de R-module x : R → M, x(r) rx, r R, avem Ann R(x) R R și din teorema
de izomorfism rezult ă că submodulul Rx Imx este izomorf ca R-modul stîng cu R/Ann R(x).
Așadar, { x} este liniar independent ă dacă și numai dac ă Ann R(x) 0, adică x este un
izomorfism între R și Rx.
4.3. Defini ție. Fie X o submul țime oarecare a R-modulului M. Spunem c ă X este liniar
independent ă peste R (sau liberă peste R ) dacă orice submul țime finită a lui X este liniar
independent ă peste R în sensul observa ției de mai sus. Dac ă X nu este liniar independent ă, se
spune că X este liniar dependent ă peste R (sau legată peste R ). Așadar, X este liniar
dependent ă dacă și numai dac ă există o submul țime finită liniar dependent ă a lui X.
15 Referirea la inelul R va fi adesea omis ă, dacă nu sînt posibile confuzii.
II.4 Module libere
69
4.4. Observa ții. a) Submul țimea vidă a lui M este liniar independent ă.
b) Fie { xi}iI o familie oarecare de elemente din R-modulul M. Familia { xi}iI este liniar
independent ă dacă și numai dac ă pentru orice familie de suport finit { ri}iI de elemente din R,
din iI rixi 0 rezultă ri 0, i I. Rezultă că suma familiei de submodule { Rxi}iI este
directă (vezi 3.9). Reciproc, dac ă suma familiei { Rxi}iI este direct ă și Ann R(xi) 0,i I,
atunci { xi}iI este liniar independent ă (demonstra ți!).
c) Orice submul țime a unei mul țimi liniar independente este liniar independent ă.
4.5. Exemple. a) Mulțimea {1} format ă din elementul unitate al inelului R (văzut ca
R-modul stîng) este liniar independent ă. Mai general, r R, {r} este liniar dependent ă
r este divizor al lui zero la dreapta ( s R, s 0 astfel încît sr 0).
b) În Z-modulul Z3 (clasele de resturi modulo 3) nu exist ă submulțimi liniar independente
peste Z: pentru orice x Z3, avem 3 x 0ˆ. Puteți generaliza? În schimb, mul țimea {1 ˆ} este
liniar independent ă peste Z3, după cum am v ăzut la a).
c) Dacă R este inel comutativ, în R-modulul R[X] mulțimea { X n| n N} este liniar inde-
pendentă. Această afirmație este echivalent ă cu faptul c ă un polinom de forma a0 a1X
… an X n (a0, a1, …, an R) este 0 dac ă și numai dac ă a0 … an 0. Mai general, dac ă
{fn | n N} este o familie de polinoame astfel încît grad fn grad fm dacă m n și coeficien ții
dominanți ai polinoamelor fn sînt nondivizori ai lui zero, atunci familia { fn | n N} este liniar
independent ă.
4.6. Defini ție. O submul țime B a unui R-modul M se nume ște bază a lui M dacă este
simultan liniar independent ă și sistem de generatori pentru M. Modulul M se numește modul
liber dacă are o baz ă.
4.7 Propozi ție. Fie M un R-modul și B o submulțime a lui M. Atunci B este bază a lui M
dacă și numai dac ă orice element x M se scrie în mod unic ca o combina ție liniară de
elementele lui B.
Demonstra ție. Fie B {ei}iI o bază a lui R M și x M. Cum B genereaz ă pe M, există o
familie de suport finit { ri}iI de elemente din R, astfel încît x iI riei. Dacă {si}iI este o alt ă
familie de elemente din R, cu x iI siei, atunci iI (si ri)ei 0. Din liniara independen ță a
lui B rezultă că si ri, i I.
Reciproc, dac ă orice element din M se scrie în mod unic ca o combina ție liniară de
elementele lui B, atunci B este sistem de generatori ai lui M. Scriind faptul c ă 0 are o scriere
unică sub forma unei combina ții liniare de elementele lui B, rezultă că B este liniar
independent ă.
II. Module 70
Cu notațiile de mai sus, pentru x M, elementele { ri}iI din R cu proprietatea c ă
x iI riei se numesc coordonatele lui x în baza B {ei}iI.
4.8. Exemple. a) Submul țimea este bază a modulului {0}.
b) {1} este baz ă a lui R R. Mai general, { r} este baz ă a lui R R dacă și numai dac ă r este
inversabil la dreapta în R (demonstra ți!).
c) Dacă I este o mul țime oarecare, R-modulul R( I ) (suma direct ă a | I | copii ale lui R, de
injecții canonice i : R → R( I )) este liber, de baz ă {ei}iI, unde ei i(1). Aceast ă bază este
numită baza canonic ă a lui R( I ); R( I ) este numit și R-modulul liber peste mul țimea I (sau de
bază I). Dacă I {1, …, n}, elementele bazei canonice a R-modulului liber R n sînt așadar
e1 (1, 0,…, 0), e2 (0, 1,…, 0), …, en (0, 0,…, 1).
Am văzut că un morfism de module este determ inat de valorile sale pe o mul țime de
generatori. Dar, pentru un sistem de generatori oarecare, poate s ă nu existe nici un morfism
care să ia valori prescrise pe elementele sistemului de generatori. În cazul privilegiat al
modulelor libere, pent ru o alegere arbitrar ă a valorilor pe elementele unei baze, exist ă un unic
morfism care s ă ia valorile respective pe elementele bazei:
4.9 Propozi ție. (Proprietatea de universalitat e a modulului liber de baz ă B) Fie L un
R-modul liber de baz ă B și i : B → L aplicația incluziune. Cuplul (L, i) are urm ătoarea
proprietate de universalitate :
Pentru orice cuplu (M, u), unde M este un R-modul și u : B → M este o aplica ție, există un
unic morfism v : L → M care „prelunge ște pe u la L”, adic ă v◦i u.
În plus, au loc echivalen țele:
a) v este injectiv u(B) este liniar independent ă.
b) v este surjectiv u(B) este sistem de generatori pentru M.
c) v este izomorfism u(B) este bază.
Demonstra ție. Dacă B (ei)iI, afirmația din enun ț se poate reformula astfel:
„Oricare ar fi o familie (yi)iI de elemente din M, exist ă un unic morfism v : L → M astfel
încît v (ei) yi, i I.”
Demonstr ăm unicitatea: presupunem c ă v, w Hom R(L, M ) satisfac condi ția
v(ei) yi w(ei), i I. Fie x L; cum ( ei)iI este o baz ă, există o unică familie ( ri)iI de
elemente din R astfel încît x iI riei. Avem v(iI riei) iI riv(ei) iI riyi. Același
lucru se ob ține pentru w. Pentru existen ță, rămîne să demonstr ăm că relația
v(x) : iI riyi, dacă x iI riei, cu ( ri)iI familie de suport finit de elemente din R,
definește un morfism de module. Întrucît pentru orice x L există o unică familie ( ri)iI de
elemente din R astfel încît x iI riei, v este bine definit ă. Fie x iI riei și y iI siei
două elemente din L, cu ( ri)iI, (si)iI familii de elemente din R. Dacă a, b R, avem:
II.4 Module libere
71
v(ax by) v(iI ariei iI bsiei) v(iI (ari bsi)ei) iI (ari bsi)yi
iI ariyi iI bsiyi av(x) bv(y).
Demonstr ăm a): Avem Ker v {iI riei | (ri)iI R( I ), iI riyi 0}. Se vede acum clar c ă
Ker v 0 (yi)iI este liniar independent ă.
Lăsăm restul demonstra ției în sarcina cititorului.
R-modulele de forma R( I ) sînt „toate” R-modulele libere:
4.10 Propozi ție. Fie L un R-modul liber și (xi)iI o bază a sa. Atunci R L R R( I ).
Demonstra ție. Fie ( ei)iI baza canonic ă în R( I ). Conform propozi ției de mai sus, exist ă un
unic morfism u : L → R( I ), cu u(xi) : ei, i I. Întrucît submodulul Im u include { ei}iI, care
este un sistem de generatori pentru R( I ), rezultă că u este surjectiv. Dac ă x iI rixi Ker u
(cu ( ri)iI familie de elemente din R), atunci 0 u(x) iI riei. Cum { ei}iI este bază, rezultă
ri 0, i I, deci x 0.
O sumă directă de module libere este tot modul liber:
4.11 Propozi ție. Fie (Mi)iI o familie de R-module libere. Atunci suma lor direct ă externă
iI Mi este modul liber.
Demonstra ție. Fie M : iI Mi. Pentru j I, notăm cu j : Mj → M injecția canonic ă și cu
Bj o bază a lui Mj. Vom arăta că iI i(Bi) este o baz ă a lui M. Din 3.8 știm că M este suma
directă (internă) a familiei de submodule (Im i)iI. Cum i(Bi) genereaz ă pe Im i, i I,
rezultă că iI i(Bi) genereaz ă pe M. Liniara independen ță rezultă ușor (complicate sînt doar
notațiile): fie Bi (eit)tTi baza din Mi și fie yit i(eit). Dacă {rit | i I, t Ti} este o familie
de suport finit de elemente din R, cu iItTi rityit 0, atunci, k I, avem c ă
tTk rktykt iI \{k}tTi rityit. Însă Mk (iI \{k} Mi) 0, deci tTk rktykt 0. Dar ( ykt)tTk
este bază în Mk, deci rkt 0, k I, t Tk.
Observăm că acest rezultat furnizeaz ă o altă demonstra ție a faptului c ă R( I ) este R-modul
liber: se ia Mi R R, i I, în propozi ția de mai sus.
4.12 Propozi ție. Orice modul este (izomorf cu) un m odul factor al unui modul liber. Mai
precis, dac ă M este un R-modul, iar S este un sistem de generatori al lui M, atunci exist ă un
epimorfism : R(S) → M, adică M R(S)/Ker.
Demonstra ție. Fie ( es)sS baza în R(S). Definim : R(S) → M prin (es) s, s S (vezi
4.9). Întrucît submodulul Im include S, care genereaz ă M, rezultă că Im M.
Acest rezultat simplu este important: dac ă se cunoa ște structura submodulelor și a
modulelor factor ale m odulelor libere, se ob țin informa ții asupra structurii unui modul
II. Module 72
oarecare. Aceast ă metodă va fi folosit ă în cazul modulelor fin it generate peste un inel
principal. Un alt exemplu de aplica ție este urm ătorul:
4.13 Exemplu. Dacă M este un R-modul oarecare, atunci exist ă un șir exact infinit de
forma:
… → Ln1 → Ln → … → L1 → L0 → M → 0,
unde Ln este modul liber, n N (un astfel de șir se nume ște rezoluție liberă a lui M ). Pentru
demonstra ție, fie L0 un modul liber și u0 : L0 → M un epimorfism. Atunci avem șirul exact
0 Ker 00
0 0 M L uu i. Pentru Ker u0 există un modul liber L1 și un epimorfism
u1 : L1 → Ker u0. Avem deci șirul exact 0 Ker 00 1
0 1 1 M L L uu ui, căci
Ker u0 Im i◦u1. Se continu ă prin induc ție după n cu proprietatea c ă există un șir exact de
forma 0 → K
n → Ln → … → L1 → L0 → M → 0,
cu Li module libere, 1 i n.
Într-un spa țiu vectorial are loc proprietatea important ă că orice dou ă baze au acela și
cardinal. În cazul unui modul liber peste un inel oarecare, acest fapt nu este garantat.
Modulele libere peste un inel comutativ au însă această proprietate; de altfel demonstra ția
propoziției următoare reduce problema la cazul spa țiilor vectoriale.
4.14 Propozi ție. Fie R un inel comutativ și M un R-modul liber care are o baz ă finită.
Atunci orice dou ă baze ale lui M sînt finite și au acela și cardinal.
Demonstra ție. Fie I un ideal maximal al inelului R (vezi 1.18). Inelul R/I este corp (vezi
Anexe. Ideale prime și maximale ). Fie IM : {a1x1 … anxn | n N, ai I, x i M,
i 1, …, n}. Se verific ă imediat c ă IM este R-submodul al lui M și că modulul factor M/IM
devine un R/I-modul în raport cu opera ția definită de:
(r I)(x IM) : rx IM, r R, x M.
Fie : M → M/IM surjecția canonic ă, (x) x IM, x M. Vom demonstra urm ătoarele
fapte, din care decu rge concluzia propozi ției:
I. Dacă {e1, …, en} este o baz ă în R M, atunci {(e1), …, (en)} este liniar independent ă în
R/I-spațiul vectorial M/IM.
II. Dacă {e1, …, en} este sistem de generatori în R M, atunci {(e1), …, (en)} este sistem de
generatori în R/I-spațiul vectorial M/IM.
Într-adevăr, dacă presupunem I și II demonstrate, luînd o baz ă finită {e1, …, en} a lui R M,
rezultă că {(e1), …, (en)} este baz ă în R/I-spațiul vectorial M/IM (care este deci de
dimensiune n). Dacă {sj | j J} este o alt ă bază a lui R M, atunci ea este cu necesitate finit ă.
Într-adevăr, pentru orice i I, ei este combina ție liniară finită de { sj | j J}, deci exist ă o
mulțime finită Ji J și rij R (j Ji) cu proprietatea c ă ei
iij j jJrs . Atunci J' i I Ji
este finită și {sj | j J'} este sistem de generatori (deci J' J). Luînd acum o alt ă bază finită
II.4 Module libere
73
{s1, …, sm} a lui R M, obținem că {(s1), …, (sm)} este baz ă în spațiul vectorial M/IM (de
dimensiune n), deci m n.
Să demonstr ăm I. Fie r1 I, …, rn I R/I (cu r1, …, rn R) astfel încît
(r1 I)(e1 IM) … (rn I)(en IM) 0 IM, adică r1e1 … rnen IM.
Dacă x a1x1 … amxm IM, cu ai I, x i M, i 1, …, m, atunci, scriind fiecare xi
ca o combina ție liniară de { e1, …, en}, rezultă că x este de forma b1e1 … bnen, unde bi I
(căci ai I și I este ideal). Deci r1e1 … rnen IM implică existența elementelor b1,
…, bn I, astfel încît r1e1 … rnen b1e1 … bnen. Dar { e1, …, en} este baz ă, deci
ri bi I, i {1, …, n}. Astfel, r1 I … rn I 0 I.
Afirmația II este propus ă ca exerci țiu cititorului.
4.15 Defini ție. Fie R un inel comutativ și L un R-modul liber finit generat. Cardinalul (cu
necesitate finit) al unei baze a lui R L se numește rangul lui L și se noteaz ă rang R L (sau rang L
dacă inelul R este subîn țeles). Propozi ția precedent ă asigură că definiția este corect ă (nu
depinde de aleger ea unei baze a lui R L). Dacă R este corp, rangul unui spațiu vectorial finit
generat coincide cu dimensiunea lui.
În continuare ne vom ocupa de studiul morfismelor între module libere de rang finit . Ideea
este aceea și ca la spa ții vectoriale: odat ă fixate dou ă baze în cele dou ă module, oric ărui
morfism i se asociaz ă o matrice ; prin aceast ă asociere (bijectiv ă), operațiile cu morfisme de
module devin opera ții cu matricele asociate. Pentru simplitate presupunem c ă inelul R este
comutativ , deși unele din rezultate au loc pentru orice inel unitar.
4.16 Defini ție. Fie E și F două R-module libere, : E → F un morfism și e {e1, …, em} o
bază în E, iar f {f1, …, fn} o bază16 în F. Pentru orice i {1, …, m}, există și sînt unic
determinate elementele aij R, ( j {1, …, n}) astfel încît
(ei) ai1 f1 … ain fn.
Matricea ( aij)1im, 1jn Mm, n(R) este notat ă cu M e, f() și se nume ște matricea asociat ă
morfismului în perechea de baze (e, f). Cu alte cuvinte, pe linia i a matricei M e, f() se
găsesc „coordonatele” ai1, …, ain ale lui (ei) în baza f. Dacă E F, se ia de obicei e f și
Me, f() se noteaz ă mai simplu M e().
4.17 Observa ție. Aceasta este conven ția „algebric ă” de scriere „pe linii” a matricei
Me, f(). Evident, se po ate adopta conven ția („geometric ă”) de scriere a coordonatelor lui
(ei) în baza f pe coloana i a matricei asociate lui (ceea ce revine la considerarea matricii
16 Vom considera c ă bazele sînt total ordonate (contează „locul” elementelor în baz ă).
II. Module 74
transpuse tMe,f()). Alegerea scrierii pe coloane c onduce la regula „matricea compunerii a
două morfisme este produsul matricelor morfismelor, în aceea și ordine”, adic ă proprietatea b)
din propozi ția următoare devine tMe, f( ◦ ) tMf, g( )·tMe, f( ).
4.18 Propozi ție. a) Cu notațiile de mai sus, aplica ția
Me, f : Hom R(E, F) → Mm, n(R),
care asociaz ă oricărui morfism Hom R(E, F) matricea sa Me, f() în perechea de baze
(e, f), este un izomorfism de R-module.
b) Dacă G este un R-modul liber, de baz ă g {g1,…, gp}, iar : F → G este un morfism
de R-module, atunci Me, g( ◦) Me, f()·Mf, g().
c) Aplica ția Me : End R(E) → Mm(R) este un antiizomorfis m de R-algebre (adic ă
Me : End R(E)op → Mm(R) este izomorfism de R-algebre).
Demonstra ție. a) Fie : E → F un alt morfism și (bij)1im, 1jn Me, f(). Atunci
( )(ei) (ei) (ei) j aij fj j bij fj j (aij bij) fj
Deci M e, f( ) (aij bij)1jn, 1im Me, f() Me, f(), adică M e, f´ este morfism de
grupuri abeliene. Dac ă M e, f() 0 (matricea 0 Mm, n(R)), atunci (ei) 0, 1 i m. Cum
(ei)1im este bază în E, rezultă 0; aceasta arat ă că Me, f este injectiv. Pentru surjectivitate,
fie A (aij) Mm, n(R). Din proprietatea de universal itate a modulelor libere, exist ă un unic
morfism Hom R(E, F) astfel încît (ei) ai1 f1 … ain fn, adică Me, f() A. Dacă r R
și Hom R(E, F), un calcul simplu arat ă că Me, f(r) rMe, f().
b) Fie M f, g() (bjk)1jn, 1kp. Avem
( ◦)(ei) ( j aij fj ) j aij( fj ) j aijk bjk gk k ( j aijbjk) gk.
Deci M e, g( ◦) Me, f()·Mf, g().
c) Afirmația este o consecin ță a celor demonstrate: din a) rezultă că Me este morfism de
R-module și din b) rezultă că Me : End R(E)op → Mm(R) este morfism de inele.
În aceleași ipoteze de mai sus, dac ă e {e1,…, en} și f {f1,…, fn} sînt dou ă baze ale
modulului liber E, fiecare element al bazei f se scrie în mod unic ca o combina ție liniară de
elementele bazei e:
n
jjij i es f
1
Se obține o matrice Te, f (sij) Mn(R), numită matricea de trecere de la baza e la baza f.
Dacă g este o alt ă bază în E, atunci are loc rela ția
Te, g Tf, g·Te, f
În particular, In Te, e Te, f ·Tf, e, adică matricea de trecere dintr-o baz ă în alta este
inversabil ă în M n(R). Cînd o matrice din M n(R) este inversabil ă?
Folosim propriet ățile determinan ților studiate în liceu: dac ă A Mn(R), iar A* este adjuncta
matricei A (elementul de pe locul ( i, j) al lui A* este (1)ijdet(Aji), unde Aji este matricea din
II.4 Module libere
75
Mn1(R) obținută prin suprimarea liniei j și coloanei i ale matricei A), atunci
A·A* A*·A det(A)·In. Aceasta arat ă că, dacă det(A) este un element inversabil în R, atunci A
este inversabil ă în M n(R) și A1 (det A)1A*. Reciproc, dac ă A este inversabil ă, din rela ția
A·A1 In, trecînd la determinan ți, rezultă că det( A·A1) det( A)det( A1) 1, adică
det(A) U(R). Sumariz ăm discuția de mai sus în:
4.19 Propozi ție. Fie R un inel comutativ și n N*.
a) O matrice S Mn(R) este inversabil ă în Mn(R) dacă și numai dac ă det(S) este un
element inversabil al lui R .
b) Fie E un R-modul liber de rang n, e {e1,…, e n} și f, g trei baze în E. Atunci:
Te, g Tf, g·Te, f
În particular, matricea de trecere T e, f este inversabil ă. Reciproc, dac ă S (sij) este matrice
inversabil ă în Mn(R) și
n
jjij i es f
1, 1 i n, atunci {f1,…, f n} este bază în E.
Afirmațiile nedemonstrate din propozi ția de mai sus se demonstreaz ă exact ca la spa ții
vectoriale și sînt lăsate cititorului.
Grupul multiplicativ al matri celor inversabile de tip nn cu elemente din R,
U(M n(R)) {S Mn(R) | T Mn(R) astfel încît ST TS I}
se mai noteaz ă GL(n, R) sau GL n(R) și se nume ște grupul liniar general de grad n peste R.
Este utilă introducerea urm ătorului formalism, care generalizeaz ă operațiile cunoscute cu
vectori și matrice. Fie R un inel comutativ și E un R-modul stîng. Dac ă m, n, p sînt numere
naturale nenule, not ăm M n, p(E) mulțimea matricelor de tip np cu elemente din E. Este
evident că Mn, p(E) formeaz ă un grup abelian fa ță de operația de adunare a matricelor. Pentru
orice A (aij) Mm, n(R) și X (xjk) Mn, p(E), definim produsul AX (yik) Mm, p(E), unde
yik
n
jjkijxa
1, i {1, …, m}, k {1, …, p},
unde aijxjk este produsul dat de structura de R-modul a lui E.
Se obține o „opera ție extern ă” · : M m, n(R)Mn, p(E) → Mm, p(E), care are urm ătoarele
proprietăți (cu demonstra ție analoag ă celei din cazul clasic al matricelor):
(A B)X AX BX, A (X Y) AX AY, A, B Mm, n(R), X, Y Mn, p(E).
În plus, dac ă q N*, pentru orice A Mq, m(R), B Mm, n(R), X Mn, p(E) are loc:
(AB)X A(BX).
Dacă I este matricea unitate din M n(R), atunci IX X, X Mn, p(E). Se obține astfel c ă
Mn, p(E) este un modul stîng peste inelul Mn(R).
Ca o aplica ție, să vedem cum se schimb ă matricea unui morfism de module libere cînd se
schimbă bazele în cele dou ă module.
II. Module 76
4.20 Propozi ție. Fie E și F două R-module libere de rang n, respectiv m și e (e1, …, e n),
e' (e'1, …, e' n) baze în E, f ( f1, …, f m), f' mf f,1 baze în F. Not ăm cu
S (sij) Mn(R) matricea de trecere de la baza e la baza e' și cu T (tij) Mm(R) matricea
de trecere de la baza f la baza f'. Dacă : E → F este un morfism de R-module, atunci are
loc relația
Me', f'() S·Me, f()·T 1.
Demonstra ție. Notăm M e, f() cu A (aij) Mn, m(R). Astfel:
(ei) j aij fj, i {1, …, n}.
Interpretăm e t(e1, …, en) ca fiind o matrice coloan ă (de tip n1): e Mn, 1(E) și, la fel,
f Mm, 1(F). Putem scrie rela țiile de mai sus sub forma (e) A·f, unde (e) t((e1), …,
(en)). La fel dac ă B Me', f'(), atunci (e') B·f'. Pe de alt ă parte, putem scrie e' S·e și
f' T·f, adică f T 1·f'. Întrucît este morfism de R-module, un calcul u șor arată că
(S·e) S·(e). Astfel:
(e') (S·e) S·(e) S·(A·f) (SA)·f (SA)·(T 1·f') (SAT 1)·f',
adică matricea lui in bazele e' și f' este SAT 1.
Exerciții
1. Fie R un inel și L un R-modul liber. Atunci orice R-epimorfism : M → L este scindat. În
particular, dac ă K este un corp, orice șir exact scurt de K-spații liniare, de forma
0 → U → V → W → 0, este scindat.
2. a) Fie R un inel integru și g1, …, gn R[X], de grade distincte dou ă cîte două. Atunci g1,
…, gn sînt liniar independente în R-modulul R[X].
b) Fie K un corp de caracteristic ă 0 (n·1 0, n N*) și a K. Atunci {1, X a, (X a) 2,
…, ( X a) n, …} este o baz ă în K-spațiul vectorial K[X]. Dacă p K[X], care sînt
coordonatele lui p în această bază?
3. Demonstra ți că în Z-modulul Q orice submul țime cu cel pu țin două elemente este liniar
dependent ă și că Z À ZQ. Deduceți că ZQ nu este liber.
4. Fie G un grup abelian finit. Este posibil ca G să fie un Z-modul liber?
5. În ce condi ții un ideal I al inelului R este un R-modul stîng liber?
6. Dați exemplu de grup abelian infinit care nu este liber.
7. Dacă M este R-modul liber, cu o baz ă B, exprima ți |M| în funcție de |R| și |B|.
II.5 Bimodule, module duale
77
8. Fie M un R-modul cu proprietatea c ă există o submul țime B a lui M astfel încît, pentru orice
R N și orice aplica ție : B → N, există un unic R-morfism : M → N care prelunge ște pe .
Atunci M este liber și B este o baz ă a lui M (reciproca Propozi ției 4.9).
9. Fie R un inel comutativ și I, J ideale în R. Se consider ă afirmațiile:
(i) I J (ca R-module).
(ii) R/I R/J (ca R-module).
(iii) R/I R/J (ca inele).
Cercetați care sînt implica țiile valabile dintre aceste afirma ții.
10. Fie W un K-spațiu vectorial de dimensiune finit ă și U, V KW.
a) Arătați că dim( W/U) dim W dim U.
a) Folosind teoremele de izomorfism, demonstra ți că
dim( U V) dim U dim V dim( U V).
II.5 Bimodule, module duale
Bimodulele apar în studiul inelel or de endomorfisme ale unui modul și sînt utile în
dezvoltarea teoriei pr oduselor tensoriale.
5.1 Definiție. Fie R și S două inele unitare și A un grup abelian. Spunem c ă A are o
structură de bimodul R-stîng și S-drept dacă A este R-modul stîng și S-modul drept și, r R,
a A, s S, are loc:
r(as) (ra)s.17
Notăm R AS faptul că A este bimodul R-stîng și S-drept.
Spunem c ă A este bimodul R-stîng și S-stîng (notat R-S A) dacă A este R-modul stîng și
S-modul stîng și r R, a A, s S, r(sa) s(ra).
Dacă (as)r (ar)s, A se numește bimodul R-drept și S-drept (notat AR-S).
5.2 Exemple. a) Dacă R este inel unitar, am v ăzut că R este în mod canonic R-modul stîng
și R-modul drept. Mai mult, R este bimodul R-stîng și R-drept; asociativitatea înmul țirii
asigură îndeplinirea condi ției de bimodul. În ce caz R este bimodul R-stîng și R-stîng?
17 Această relație exprim ă o compatibilitate natural ă între cele dou ă structuri de modul pe M.
II. Module 78
b) Dacă m, n N*, atunci M m,n(R) este bimodul M m(R)-stîng și M n(R)-drept.
c) Dacă R este inel comutativ , orice R-modul este și R-R- bimodul (de orice tip).
d) Fie : R → S un morfism de inele. Atunci S este în mod canonic un bimodul R-stîng și
S-drept (defini ți operațiile externe respec tive). De asemenea, S este bimodul S-stîng și
R-drept.
e) Orice R-modul stîng R A este un bimodul R AZ.
Întrucît un bimodul de forma R-S A este acela și lucru cu bimodulul R ASop, unde Sop este
opusul inelului S, vom considera bimodulele de tipul R AS (R-stîng și S-drept), numite în
continuare bimodule (inelele R și S fiind fixate în continuare).
Majoritatea conceptelor și rezultatelor de la module stîngi se transport ă, mutatis mutandis,
la bimodule. De exemplu, dac ă se dau bimodulele R AS și R BS, o funcție u : A → B se numește
morfism de bimodule (sau R-S-morfism ) dacă u este simultan morfism de R-module stîngi și
de S-module drepte. O submul țime C a bimodulului R AS se numește R-S-submodul dacă este
simultan R-submodul și S-submodul al lui A.
Fie modulul R A și bimodulul R BS. Am văzut că Hom R(A, B) este un grup abelian. Structura
de R-S-modul a lui B permite definirea pe Hom R(A, B) unei structuri naturale de S-modul
drept :
g Hom R(A, B), s S, definim gs : A → B, (gs)(a) : g(a)s, a A.
Faptul că B este bimodul asigur ă că gs Hom R(A, B): aditivitatea este imediat ă, iar dacă
r R, a A, avem ( gs)(ra) g(ra)s (rg(a))s r(g(a)s) r(gs)(a). Am folosit faptul c ă g
este R-morfism și că B este R-S-bimodul.
Astfel, avem o opera ție externă Hom R(A, B) S → Hom R(A, B), (g, s) gs. O verificare
de rutină arată că Hom R(A, B) este într-adev ăr S-modul drept.
La II.3.17 am definit functorul contravariant hB : R-Mod → Z-Mod:
hB(A) Hom R(A, B), A R-Mod ;
dacă u : A → A' în R-Mod , hB(u) : Hom R(A', B ) → Hom R(A, B) este dat de
hB(u)(g) : g◦u, g Hom R(A', B).
În cazul de fa ță, Hom R(A, B) este în mod canonic S-modul drept. Sumarizînd discu ția
precedent ă, obținem:
5.3 Propozi ție. Fiind dat modulul R A și bimodulul R BS, Hom R(A, B) hB(A) este un
S-modul drept. Mai mult, h B : R-Mod → Mod-S definit mai sus este un functor contravariant.
Demonstra ție. Cu nota țiile de mai sus, r ămîne să arătăm că hB(u) este morfism de
S-module drepte. Not ăm u hB(u). Fie s S și g Hom R(A', B). Avem de ar ătat că
u(gs) u(g)s, adică (gs)◦u (g◦u)s. Într-adev ăr, pentru orice a A', avem
( gs◦u)(a) (gs)(u(a)) g(u(a))s ((g◦u)(a))s ((g◦u)s)(a).
II.5 Bimodule, module duale
79
5.4 Observație. Mai pot ap ărea cazurile:
i) R AS și R B. Atunci Hom R(A, B) este un S-modul stîng cu operația externă:
g Hom R(A, B), s S, definim sg : A → B, (sg)(a) : g(as), a A.
Într-adevăr, s, t S, a A, ((st)g)(a) g(a(st)) g((as)t)); cum ( s(tg))(a) (tg)(as)
g((as)t), rezultă că (st)g s(tg).
Fixînd un bimodul R AS, se obține un functor covariant hA : R-Mod → S-Mod definit (ca la
II.3.17):
B R-Mod , hA(B) : Hom R(A, B),
u : B → B' morfism în R-Mod , hA(u) : Hom R(A, B) → Hom R(A, B' ) este definit de
hA(u)(g) : u◦g, g Hom R(A, B).
Demonstra ția faptului c ă hA(u) este S-morfism este asem ănătoare cu cea de la 5.3.
ii) AS și R BS. Atunci mul țimea morfismelor de S-module drepte Hom S(A, B) este în mod
canonic un R-modul stîng și se obține un functor contravariant hB : Mod-S → R-Mod.
iii) R AS și BS. Atunci Hom S(A, B) este în mod canonic un R-modul drept și se obține un
functor covariant hA : Mod-S → R-Mod.
Noțiunea de dual al unui spa țiu vectorial este larg utilizat ă și în Analiz ă și Geometrie.
5.5 Defini ție. Fie A un R-modul stîng. Modulul A*, unde
A* : Hom R(A, R) hR(A)
se numește dualul modulului A. Din Propozi ția 5.3 aplicat ă modulului R A și bimodulului R RR,
rezultă că A* este R-modul drept și că hR : R-Mod → Mod-R este un functor contravariant . Un
element A* se mai nume ște formă liniară pe A. Înmulțirea dintre o form ă liniară și un
element r R este dată de
(r)(a) (a)r, a A.
Dacă u : A → B este un morfism de R-module stîngi, atunci not ăm hR(u) cu u*; avem
u* : B* → A*, u*() ◦u, B*. Morfismul de R-module drepte u* se nume ște
transpusul morfismului u și se noteaz ă prin tradi ție cu tu.
Faptul că functorul hR * : R-Mod → Mod-R este exact la stînga (3.30) se traduce prin:
5.6 Propozi ție. Fie
0 0 C B Av u
un șir exact scurt de R- module stîngi. Atunci
* * * 0 A B Cu vt t
este un șir exact de R-module drep te. În particular, dac ă v : B → C este epimorfism de
R-module stîngi, atunci tv : C* → B* este monomorfism de R-module drepte.
II. Module 80
Așadar, oric ărui modul stîng R A i-am asociat dualul s ău, modulul drept A*R. Considerînd
modulul A*R și bimodulul R RR, obținem (cazul 5.4ii)) modulul stîng Hom R(A*, R ) (format din
morfismele de R-module drepte A* → R). Cu alte cuvinte, Hom R(A*, R ) este dualul modulului
drept A* R, notat A** și numit bidualul modululului A. Bidualul lui R A este un R-modul stîng.
De fapt, s-a folosit compunerea functorilor „de dualizare” * : R-Mod → Mod-R și
* : Mod-R → R-Mod (contravarian ți) obținîndu-se un functor „de bidualizare”
** : R-Mod → R-Mod , A A** (covariant). Dac ă u : A → B este un morfism de R-module
stîngi, atunci imaginea lui u prin acest functor este u** : A** → B**, care se mai noteaz ă cu
ttu t(tu).
Se pune în mod natural problema leg ăturii dintre R-modulele stîngi R A și R A**.
5.7 Propoziție. Fie R A un modul stîng. Atunci exist ă un morfism canonic
A : A → A** Hom R(A*, R )
A(a)() (a), a A, A*
Oricare ar fi u : A → B un morfism de R-module stîngi, are loc B◦u u**◦A, adică
diagrama urm ătoare este comutativ ă:
Demonstra ție. Verificarea faptului c ă A(a) este bine definit ă și este morfism este
standard. S ă probăm comutativitatea diagramei.
Fie a A. Avem ( u**◦A)(a) u**(A(a)) A(a)◦u*. Pentru orice B*,
(A(a)(u*()) (A(a))(◦u) (◦u)(a).
Pe de alt ă parte, (B◦u)(a)() (B(u(a)))() (u(a)), deci egal cu ( u**◦A)(a)(),
B*. Deci (B◦u)(a) (u**◦A)(a), a A.
Să considerăm cazul în care avem un modul stîng liber R L de bază (ei)iI. Pentru fiecare
i I, consider ăm ei* L* astfel încît ei*(ej) ij, i, j I. Există formele liniare ei* cu
aceste propriet ăți datorită proprietății de universalitate a modulului liber, 4.9.
5.8 Propozi ție. Dacă L este un R-modul stîng liber de baz ă (ei)iI, atunci (ei*)iI este o
familie liniar independent ă în L *R. Dacă (ei)iI este finit ă, atunci (ei*)iI este o baz ă în L *R
(numită duala bazei (ei)iI).
Demonstra ție. Fie ( ri)iI o familie de suport finit de elemente din R. Dacă iI ei*ri 0,
atunci, j J, avem 0 (iI ei*ri)(ej) iI ei*(ej)ri iI ijri rj. Deci rj 0, j I.
Astfel, ( ei*)iI este liniar independent ă. BuA
****** BuAB A
II.5 Bimodule, module duale
81
Fie acum I mulțime finită. Să arătăm că (ei*)iI este sistem de generatori. Fie L*.
Atunci iI ei*(ei). Într-adev ăr, (iI ei*(ei))(ej) (ej) și afirmația rezultă deoarece
iI ei*(ei) acționează la fel ca pe baza ( ei)iI.
5.9 Propozi ție. Dacă L este un R-modul stîng li ber, atunci morfismul canonic
L : L → L** este monomorfism. Dac ă baza lui R L este finit ă, atunci morfismul canonic
L : L → L** este izomorfism.
Demonstra ție. Fie ( ei)iI o bază a lui L. Fie x L cu L(x) 0, adică, L*,
L(x)() (x) 0. Avem scrierea x iI riei L, cu ( ri)iI o familie de suport finit de
elemente din R. Pentru ej* L*, avem ej*(x) rj 0, j I, deci x 0.
Dacă presupunem I finită, din 5.8 rezult ă că L*R este liber de baz ă (ei*)iI. Aplicînd
modulului drept liber L* același argument, ob ținem că L** este liber de baz ă (ei**) iI. Arătăm
că L(ei) ei**, i I. Avem, j J, L(ei)(ej*) ej*(ei) ij ei**(ej*).
Deci L este izomorfism, întrucît duce o baz ă a lui L într-o baz ă a lui L**.
5.10 Observa ție. Dacă R este comutativ și A, B sînt R-module libere de rang m, respectiv
n, atunci alegerea a dou ă baze în A, respectiv B, asociază oricărui morfism u : A → B o
matrice M(u) Mm, n(R). Matricea lui u* : B* → A* în bazele duale bazelor ini țiale este
tM(u) Mn, m(R), transpusa matricei M(u). De aici și denumirea de transpus ce i se dă lui u*.
Exerciții
1. În prop 5.8, de ce este necesar s ă se presupun ă că baza ( ei)iI a lui R L este finit ă pentru a
demonstra c ă (ei*)iI este bază în L*R? Demonstra ți că dualul lui Z(N) este izomorf cu ZN și că
ZN nu este izomorf cu Z(N). (Ind. Folosi ți un argument de cardinalitate. Se poate ar ăta că, dacă
R este un inel principal care nu e corp, RN nu este liber [B OURBAKI , fasc.XIV, ch. 6 et 7,
exerc. 3.9, p. 137]).
2. Fie R un inel. Ar ătați că R-R- submodulele lui R RR coincid cu idealele bilaterale ale lui R.
3. Fie R, S, inele și fie : R AS → R BS un morfism de bimodule. Atunci, pe ntru orice
R-S-submodul C al lui A, (C) este un R-S-submodul al lui B și pentru orice R-S-submodul D
al lui B, 1(D) este un R-S-submodul al lui A.
4. Fie R, S, inele și fie : R → S un morfism unitar de inele. Atunci S devine un bimodul R SR
față de înmul țirile cu scalari ( r, s) (r)s, respectiv ( s, r) s(r), r R, s S. Arătați
II. Module 82
că, dacă este surjectiv, atunci R-R- submodulele lui S coincid cu idealele bilaterale ale
inelului S. Dați un exemplu care s ă arate că ipoteza surjectiv nu poate fi omis ă (mai precis
există ideale bilaterale în R astfel încît (R) să nu fie ideal bilateral în S).
5. Fie : Z → M2(Z), (x) diag( x, x) xI M2(Z) (I este matricea unitate din M 2(Z)),
x Z. Demonstra ți că este morfism de inele și deci M 2(Z) devine Z-Z-bimodul, ca la
exercițiul precedent. Ar ătați că aplicația Z → M2(Z), x diag( x, x), este un morfism de
Z-Z-bimodule, dar nu este morfism de inele unitare.
6. Fie L R M. Demonstra ți că : L → M/L induce un monomorfism * : (M/L)* → L*.
Determina ți Im *.
83 III. Module finit generate peste inele principale
În cazul modulelor finit generate peste inele principale se pot da teoreme de structur ă
foarte precise. Aplicînd aceste teoreme la cazul inelului principal Z, se obține descrierea
completă a grupurilor abeliene finit generate. O alt ă aplicație important ă este studierea
subspațiilor invariante ale unui endomorfism al unui spa țiu vectorial finit dimensional peste
un corp oarecare K; se obține existen ța unei baze în care endom orfismul dat are cea mai
„simplă” matrice (a șa-numita form ă canonică Jordan).
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit
Întrucît orice modul este un modul factor al unui modul liber (deci de forma E/F, cu F
submodul al modulului liber E) este natural s ă începem studiul cu submodulele unui modul
liber. Reamintim c ă, dacă inelul R este comutativ, atunci orice R-modul liber finit generat E
are proprietatea c ă orice dou ă baze au acela și cardinal (numit rangul lui E). În acest paragraf,
dacă nu se specific ă altfel, R desemneaz ă un inel principal .
1.1 Teorem ă. Fie E un R-modul liber de rang n și F un submodul al s ău. Atunci F este
liber, de rang n.
Demonstra ție. Evident, putem presupune c ă F 0.
Facem o induc ție după n. Dacă n 1, iar { e} este o baz ă a lui E, atunci E Re R. În acest
caz, afirma ția teoremei devine: orice submodul ( ideal) al lui R este liber, de rang 1. Cum
R este inel principal, acest lucru este adev ărat: orice ideal nenul al lui R este de forma Ra, cu
a R; deci { a} este o baz ă a lui Ra.
Presupunem c ă, pentru orice R-modul liber de rang n 1, orice submodul al s ău este liber
de rang n 1. Fie R E, liber de rang n, {e1,…, en} o bază în E și F R E. Fie
L : Re2 … Ren și G : F L. Atunci L este liber, de baz ă {e2,…, en}, deci de rang n 1,
iar G F L L. Ipoteza de induc ție asigură că G este liber de rang m n 1. Dacă G F,
III. Module finit generate peste inele principale 84
am încheiat. Dac ă nu, observ ăm că F L R E, deci LE
LLF
FLF
GF. Așadar,
0 F/G este izomorf cu un submodul al lui E/L. Însă E/L este liber de baz ă {e1 L}
(verificare u șoară) și deci F/G este liber de rang 1 (am aplicat cazul n 1, demonstrat). Fie
{f1,…, fm} o bază în G și {f0 G} o bază în F/G. Afirmăm că B {f0, f1,…, fm} este baz ă în F
(ceea ce termin ă demonstra ția).
Într-adevăr, dacă a0, a1,…, am R, cu a0 f0 a1 f1 … am fm 0, atunci a0 f0 G 0 G
(căci a1 f1 … am fm G); cum { f0 G} este o baz ă în F/G, rezultă că a0 0. Obținem
astfel a1 f1 … am fm 0, adică f1 … fm 0 (deoarece { f1,…, fm} este baz ă în G). Așadar,
B este liniar independent ă.
Să arătăm că este sistem de generatori. Fie x F. Atunci x G F/G, deci exist ă a0 R
astfel încît x G a0 f0 G. Aceasta înseamn ă că x a0 f0 G, adică e s t e d e f o r m a
a1 f1 … am fm, cu ai R. Avem deci x a0 f0 a1 f1 … am fm.
Fie R E și F R E, ca în enun țul precedent. Dac ă {e1,…, en} este o baz ă a lui E, iar { f1,…,
fm} o bază a lui F, orice fi se scrie în mod unic ca o combina ție liniară de { e1,…, en}:
fi j aijej, cu aij R. Se obține astfel o matrice A (aij) Mm, n(R). Se pune întrebarea:
Există o alegere a bazelor astfel încît matricea A s ă aibă o formă cît mai simpl ă? (ce răspuns
puteți da în cazul spa țiilor vectoriale?). Teorema urm ătoare dă un răspuns afirmativ.
1.2 Teorem ă. Fie R un inel principal, E un R-modul liber de rang n și F un submodul al
său. Atunci F este liber, de rang m n. Mai mult, exist ă o bază e (e1,…, e n) în E și o bază
f ( f1,…, f m) în F, astfel încît f i diei, i {1,…, m }, cu d 1,…, d m R astfel încît d 1|d2|…|d m.
Demonstra ție. Am văzut că, alegînd dou ă baze oarecare, e' (e'1,…, e'n) în E și
f' mf f,1 în F, există o unică matrice A (aij) Mm, n(R) astfel încît f 'i j aije'j,
i {1, …, m}. Dacă interpretăm e' ca matrice coloan ă din M n, 1(E) (vezi discu ția ce precede
4.20) și f' ca matrice din M m, 1(R), putem scrie f' Ae'.
Dacă presupunem c ă am găsit e (e1,…, en) și f ( f1,…, fm) două baze ca în enun ț,
matricea D (dij) Mm, n(R) astfel încît f De are propriet ățile: dij 0 dacă i j și
d11|d22|…|dmm. Fie V Mn(R) matricea de trecere de la baza e la baza e' și
U Mm(R) matricea de trecere de la baza f la baza f'. Avem a șadar e' Ve și f' Uf.
Egalitatea f' Ae' devine Uf A(Ve) (AV)e; înmulțind cu U 1 rezultă f U 1(AV)e.
Comparînd cu egalitatea f De, rezultă că D U 1AV. Existența bazelor e și f cu proprietatea
cerută este așadar echivalent ă cu existen ța matricelor inversabile U și V astfel încît U 1AV
(dij) Mm, n(R) să fie o matrice diagonal ă (i j implică dij 0), cu d11|d22|…|dmm.
Problema g ăsirii a dou ă baze e și f ca în enun ț se reduce astfel la o problem ă referitoare la
matrice cu elemente în R . Este util ă introducerea urm ătoarelor defini ții:
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit
85
1.3 Defini ții. Fie m, n N*.
a) O matrice D (dij) Mm, n(R) se numește matrice diagonal ă dacă elementele care nu
sînt pe diagonala principal ă sînt nule: i j implică dij 0. Dacă r min( m,n) și d1,… , dr R,
vom nota cu diag( d1,… , dr) matricea diagonal ă (dij) Mm, n(R), cu dii di, i {1, …, r}.
b) Spunem c ă o matrice D (dij) Mm, n(R) este diagonal canonic ă dacă D este matrice
diagonală și, notînd D diag( d1,… , dr), cu r min( m,n), are loc d1|d2|…|dr.
c) Două matrice A, B Mm, n(R) se numesc aritmetic echivalente (notăm aceasta prin
A B) dacă există două matrice inversabile U Mm(R) și V Mn(R) astfel încît B UAV .
Este clar c ă aceasta e o rela ție de echivalen ță pe M m, n(R).
Afirmația teoremei precedente va rezulta din teorema urm ătoare, care are și un interes
intrinsec (demonstra ția furnizeaz ă un algoritm efectiv de „aducere a unei matrice la forma
diagonal canonic ă”):
1.4 Teorem ă. Fie R inel principal și m, n N*. Orice matrice A Mm, n(R) este aritmetic
echivalent ă cu o matrice diagonal canonic ă. Mai mult, dac ă D diag( d1,…, d r) și
D' diag( d'1,…, d' r) sînt diagonal canonice și aritmetic echivalente cu A, atunci d 1 d'1,…,
dr d'r („”semnifică asocierea în divizibilitate).
Matricea diagonal canonic ă aritmetic echivalent ă cu A (unic determinat ă pînă la o asociere
în divizibilitate a elem entelor de pe diagonal ă) se nume ște forma diagonal canonic ă sau
forma normal ă Smith a lui A. Înainte de a trece la demonstra ția propriu-zis ă, este necesar s ă
vedem ce transform ări se pot opera asupra matricei A, astfel încît matricea nou ob ținută să
fie aritmetic echivalent ă cu A . Se va dovedi c ă, în esență, se pot efectua transform ările care
intervin în cursul calculului de determinan ți: permutări de linii (coloane), adunarea la o linie
(coloană) a unei alte linii (coloane) înmul țită cu un element.
1.5 Defini ții. Fie m N* și I matricea unitate a inelului M m(R). Se numesc matrice
elementare matricele p ătratice din M m(R) care sînt de unu l din tipurile urm ătoarele:
– Tip I : Tij(a), unde a R, i, j {1, …, m}, i j. Tij(a) se obține din I prin adunarea la
linia i a liniei j înmulțită cu a.
III. Module finit generate peste inele principale 86
j
1 0 … 0
0 1 … 0
Tij(a)
i a
0 0 … 1
– Tip II : Pij, unde i, j {1, …, m}, i j. Pij este matricea ob ținută din I prin permutarea
liniei i cu linia j.
– Tip III : Di(u), unde i {1, …, m} și u U(R). Di(u) este matricea care se ob ține din I
prin înmul țirea liniei i cu u.
i j
1 0 i
1 0 0
i 0 1 0 1 0
Pij Di(u)
j 1 0 i u
0 1 0 0 0 1
Dacă A Mm, n(R), iar Tij(a), Pij, Di(u) sînt matrice elementare din Mm(R), atunci un calcul
direct arat ă că:
– Tij(a)A se obține din A prin adunarea la linia i a liniei j înmul țite cu a .
– Pij A se obține din A prin permutarea liniei i cu linia j .
– Di(u)A se obține din A prin înmulțirea liniei i cu u.
Transform ările efectuate asupra matricei A, descrise mai sus, poart ă numele de
transform ări elementare asupra liniilor lui A de tip I, II, respectiv III. Considerînd matrici
elementare din Mn(R) și efectuînd înmul țiri la dreapta cu aceste matrici, se ob țin așa-numitele
transform ări elementare asupra coloanelor lui A de tip I, II, respectiv III , anume:
– ATij(a) se obține din A prin adunarea la coloana i a coloanei j înmul țite cu a .
– APij se obține din A prin permutarea coloanei i cu coloana j .
– AD i(u) se obține din A prin înmulțirea coloanei i cu u.
Este important de observat c ă toate matricile elementare sînt inversabile . Acest lucru
rezultă din următoarele rela ții, ușor de demonstrat:
Tij(a)Tij(b) Tij(a b), a, b R; deci Tij(a)Tij(a) Tij(0) I.
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit
87
PijPij I;
Dij(u)Dij(v) Dij(uv), u, v U(R); deci Dij(u)Dij(u 1) Dij(1) I.
Cu alte cuvinte, am demonstrat c ă inversa unei matrici elementare este tot o matrice
elementar ă (de acela și tip).
Ținînd cont de defini ția relației de echivalen ță aritmetic ă între matrice, rezult ă:
1.6 Propozi ție. Dacă A Mm, n(R), atunci orice matrice ob ținută din A prin transform ări
elementare de linii și/sau coloane este aritmetic echivalent ă cu A.
Mai avem nevoie de:
1.7 Defini ție. a) Fie R un inel factorial și a R, a 0. Definim num ărul natural l(a), numit
lungimea lui a, în modul urm ător: dacă a este inversabil, punem l(a) 0; dacă a este nenul și
neinversabil, l(a) este num ărul factorilor primi (nu neap ărat distinc ți) care apar în
descompunerea în factori primi a lui a. De exemplu, în Z, l(1) 0; l(8) 3; l(24) 4.
Convenim ca l(0)
b) Dacă A (aij) Mm, n(R), definim lungimea matricei A ca fiind
l(A) : min{ l(aij) | i {1, …, m}, j {1, …, n}}.
Cu aceste preg ătiri, putem trece la demonstra ția teoremei 1.4:
Vom face demonstra ția prin induc ție după m. Mai precis, vom ar ăta că are loc proprietatea
(notată cu P):
P: „Pentru orice m 1 și orice matrice A Mm, n(R), există d1 R și o matrice
A' Mm1, n1(R) astfel încît d1 divide toate elementele matricei A' și A este aritmetic
echivalent ă cu matricea (scris ă pe blocuri)
Ad
001.”
Demonstra ția lui P o facem prin induc ție după l(A).
Dacă A 0 (adică l(A) ), A este diagonal canonic ă.
Caz 1. l(A) 0 ( există un element al matricei A care este inversabil ).
Fie aij inversabil. Matricea ob ținută din A prin permutarea liniei i cu linia 1, apoi a coloanei
j cu coloana 1 este aritmetic echivalent ă cu A și are pe locul (1,1) pe aij. Putem deci presupune
că a11 este inversabil. Pentru fiecare i, adunăm la linia i linia 1 înmul țită cu (aai1); noua
matrice are acum 0 pe prima coloan ă (cu excep ția lui a11) și este aritmetic echivalent ă cu A.
Procedînd analog pe coloane, ob ținem o matrice care este de forma (scris ă pe blocuri):
B
' 0011
Aa
și B A. În plus, a11 divide toate elementele matricei A' (este inversabil!).
Caz 2. l(A) 1.
III. Module finit generate peste inele principale 88
Fie aij elementul matricei A pentru care l(aij) l(A). Ca și la cazul 1, putem presupune
(după eventuale permut ări de linii și coloane) c ă l(a11) l(A).
Subcaz 2.1. a11 divide toate elementele matricei A.
Întrucît a11|ai1, bi R astfel încît ai1 a11bi și putem proceda ca la cazul 1: pentru
2 i m, adunăm la linia i linia 1 înmul țită cu (bi); se obține astfel o matrice cu 0 pe prima
coloană, cu excep ția lui a11. Este clar c ă a11 divide toate elementele noii matrice (sînt
combinații liniare de elementele matricei A). Procedînd la fel, „anul ăm” elementele primei
linii și se obține că A este aritmetic echivalent ă cu o matrice de forma B, ca la cazul 1.
Subcaz 2.2. a11 nu divide toate elementele matricei A.
Vom arăta în acest caz c ă există o matrice C Mm, n(R), cu A C și l(C) l(A), ceea ce
încheie demonstra ția prin induc ție după lungimea matricei.
Putem presupune c ă a11 nu divide un element de pe prima linie sau prima coloan ă.
Într-adevăr, dacă n u e s t e a șa, a11 divide toate elementele de pe prima linie și de pe prima
coloană și, procedînd ca la subcazul 2.1, ob ținem o matrice care are pe a11 singurul element
nenul de pe prima linie și prima coloan ă; cum a11 nu divide toate elementele noii matrice,
există un element al matr icei, fie acesta aij (cu i și j 1), nedivizibil prin a11. Adunînd la
coloana 1 coloana j, obținem un element de pe coloana 1 care nu este divizibil prin a11.
Pentru a fixa ideile, presupunem c ă a11 nu divide un element de pe prima coloan ă
(demonstra ția în cazul cel ălalt se face la fel, înmul țind însă la dreapta cu matrici inversabile –
vezi mai jos). Recurgînd eventual la o permutare de linii, presupunem c ă a11-a21. Fie
d cmmdc( a11, a21). Nu putem avea d a11, căci ar rezulta a11|a21, fals. Cum d |a11, rezultă că
l(d) l(a11) l(A). Vom construi o matrice C, aritmetic echivalent ă cu A, care are pe locul
(1, 1) pe d (deci l(C) l(d) l(A)). Fie a11 da, a21 db. Cum ( a, b) 1 și R este principal,
există u, v R astfel încît au bv 1, deci dau dbv a11u a21v d. Fie matricea (scris ă
pe blocuri):
uv 0
-b a 0 U
00 I
unde I este matricea unitate de tip ( m 2)(m 2) (dacă m 2, atunci I nu mai apare, adic ă U
este de tip 2 2). Matricea U este inversabil ă (determinantul s ău este ua vb 1), deci
C : UA A. Însă C are pe locul (1, 1) pe ua11 va21 d.
Cu aceasta, demonstra ția părții de existen ță este încheiat ă.
Demonstr ăm afirmația de unicitate din teorema 1.4. Dac ă A Mm,n(R) și 1 k min( m,
n), notăm cu k(A) cmmdc al minorilor de ordin k ai matricei A (reamintim c ă un minor de
ordin k al lui A este determinantul unei matrice ob ținute astfel: se aleg k linii și k coloane ale
lui A și se consider ă elementele aflate la intersec ția acestor linii și coloane).
III.1 Submodulele unui modul liber de rang finit
89
Se observ ă că, dacă U Mm(R), atunci k(A)|k(UA). Într-adev ăr, liniile lui UA sînt
combinații liniare (cu coeficien ți în R) de liniile lui A și deci liniile oric ărui minor de ordin k
al lui UA sînt combina ții liniare de k linii lui A. Aplicînd propriet ățile determinan ților (mai
precis faptul c ă determinantul unei matrice este o func ție multiliniar ă de liniile matricei1) se
obține că un minor de ordin k al lui UA este o combina ție liniară de minori de ordin k ai lui A.
De aici rezult ă afirmația.
Analog, dac ă V Mn(R), atunci k(A)|k(AV). Deci, dac ă A B, atunci k(A)|k(B) și, prin
simetrie, k(B)|k(A), adică k(A) k(B). Dacă A D, cu D diag( d1, …, dr), se observ ă că
k(D) d1…dk. De aici rezult ă că d1, …, dr sînt unic determina ți (pînă la o asociere) de 1(A),
…, r(A) și avem d1 1(D) 1(A), dk k(A)/k1(A) R pentru k 2. Observ ăm că aceste
relații furnizeaz ă și un mijloc de calcul efectiv (dar laborios dac ă m, n sînt mari) al d1, …, dr.
1.8 Observa ție. Din demonstra ția de mai sus (partea de existen ță) se deduce cu u șurință și
un algoritm pentru determinarea matric ei diagonal canonice aritmetic echivalente cu o matrice
dată. În practic ă, inelul R este inel euclidian . În acest caz, se poate înlocui func ția lungime
definită la 1.7 (al c ărei calcul este costisitor, implicînd g ăsirea descompunerilor în factori
primi ale elementelor matricei) cu func ția care apare în defini ția inelului euclidian. Mai
precis, se reia demonstra ția de mai sus cuvînt cu cuvînt (înlocuind func ția l cu ); la subcazul
2.2, se înlocuie ște matricea U cu matricea T21(q), unde a21 a11q r, cu
(r) (a11) min{(aij)} (adică se scade din linia 2 a matricei A linia 1 înmul țită cu q, cîtul
împărțirii cu rest r a lui a21 la a11). Prin aceasta, pe locul (2, 1) al matricei ob ținute se afl ă r și
se poate aplica o induc ție după (A) min{(aij)}. Invităm cititorul s ă verifice detaliile și să
aplice algoritmul ce rezult ă din demonstra ție pe cazuri concrete (vezi și exercițiile).
Exerciții
1. Să se găsească matricea diagonal canonic ă aritmetic echivalent ă cu matricea
126012105962
M3(Z).
1 Adică, notînd cu ( l1, …, lk) matricea de linii l1, …, lk, are loc det( al1 bl'1, …, lk) adet(l1, …, lk) bdet(l'1,
…, lk), a, b R (și analog pentru orice linie li).
III. Module finit generate peste inele principale 90
Dacă L este submodulul lui Z3 generat de v1 (2, 6, 9), v2 (5, 10, 12), v3 (0, 6, 12),
determina ți o bază a lui L, rangul lui L și modulul factor Z3/L.
2. Fie a, b R (inel principal). S ă se arate c ă forma diagonal canonic ă a matricei
ba
00 este
md
00, unde d cmmdc( a, b), m cmmmc( a, b). (Ind. Folosiți invarian ții k.) Găsiți forma
diagonal canonic ă a unei matrici diagonale diag ( a1, …, an) Mn(R).
3. Să se determine toate subgrupurile grupului ( ZZ, ).
4. Fie R un inel principal, n N*, x1, …, xn R și d cmmdc( x1, …, xn). Arătați că există
V GL(n, R) astfel încît ( x1, …, xn)V (d, 0, …, 0). ( Ind. Considera ți forma diagonal
canonică a matricei ( x1, …, xn) și folosiți invarian ții k).
5. Fie R inel principal, n N* și a1, …, an R. Arătați că există V GL(n, R) astfel încît
prima linie a lui V să fie ( a1, …, an) dacă și numai dac ă cmmdc( a1, …, an) 1.
6. Fie K un corp și A Mm, n(K). Atunci forma diagonal canonic ă a lui A este
diag(1,…,1, 0,…, 0), unde 1 apare de r ori ( r este rangul matricei A). (Ind.: folosiți invarian ții
k.)
7. Fie R un inel principal, m, n N* și : R n → R m un morfism a c ărui matrice este
A Mm, n(R) (în bazele canonice). Fie U GL(m, R ) și V GL(n, R) astfel încît UAV este
matricea diagonal canonic ă diag( d1,…, dr, 0,…, 0) cu r min( m, n) și d1,…, dr nenule. S ă se
arate că o bază în Ker este ( vr1, …, vn), unde vi este coloana i a matricei V (vi este interpretat
ca element în R n).
8. Fie R un inel principal, L un R-modul liber de rang n, (e1, …, en) o bază în L și
{f1, …, fm} L. Arătați că o bază în submodulul F < f1, …, fm > se poate ob ține astfel:
Fie A (aij) Mm, n(R) astfel încît fi j aijej (1 i n) și fie U GL m(R), V GL n(R), cu
UAV matrice diagonal canonic ă. Notăm gi : j uij fj F. Atunci o baz ă în F este
{gi | 1 i m, gi 0}.
9. Fie R un inel principal, m, n N*, A Mm, n(R) și b Mm, 1(R). Consider ăm ecuația
Ax b, x Rn
(„un sistem liniar de m ecuații cu n necunoscute”). Fie „matricea extins ă”
A (A, b) Mm, n 1(R) (primele n coloane ale lui A sînt coloanele lui A, ultima coloan ă este
b). Arătați că Ax b are soluții x în R n dacă și numai dac ă forma diagonal canonic ă a lui A
este ( D, 0), unde D este forma diagonal canonic ă a lui A și 0 este coloana zero din M m, 1(R).
Observați că pentru R corp se ob ține teorema Kronecker-Capelli . (vezi și exercițiul 6.)
III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal
91
III.2 Structura modulelor finit gen erate peste un inel principal
2.1 Definiție. Dacă M este modul peste inelul principal R și x M, Ann R(x) ( {r R |
rx 0}) este un ideal al lui R. Un generator al idealului Ann R(x) se mai nume ște ordin al lui x
și îl notăm cu o(x). Așadar, ordinul unui element din M este bine definit pîn ă la o asociere în
divizibilitate și Ann R(x) Ro(x); Rx R/Ro(x). Se observ ă că această noțiune generalizeaz ă
conceptul uzual de ordin al unui element dintr-un grup abelian.
2.2 Lemă. Fie R un inel și M un R-modul stîng astfel încît M este suma direct ă a unei
familii de submodule (Mi)iI. Dacă Ni R Mi, i I, atunci suma submodulelor (Ni)iI este
directă și există un izomorfism canonic:
ii
IiiIiiIi
NM
NM
.
Demonstra ție. Fie j : I Mi → Mj proiecțiile canonice. Definim : M →
ii
IiNM
,
(x) (i(x) Ni)iI, x M. Se verific ă ușor că este corect definit ă și este morfism
surjectiv ( este suma direct ă a familiei de morfisme i◦i : M → Mi/Ni, unde i : Mi → Mi/Ni
este surjec ția canonic ă). Avem Ker {x M | i(x) Ni, i I}. Cum x iI i(x),
rezultă că Ker iI Ni.
Teorema 1.2 are drept consecin ță următoarea teorem ă important ă, care determin ă practic
structura modulelor fin it generate peste inele principale. Reamintim c ă R° este mul țimea
elementelor nenule și neinversabile ale inelului R.
2.3 Teorem ă. (teorema factorilor invarian ți) Fie R un inel principal și M un R-modul finit
generat. Atunci exist ă n, m N, cu m n, și x1, …, x n M astfel încît:
M Rx1 … Rxm Rxm1… Rxn, (D)
iar o (xi) : di R satisfac condi țiile:
di R°, i {1, …, m } și d1|d2|…|d m ; dm1 … dn 0.
Mai mult, numerele naturale n, m N și "ordinele" o (xi) R, i 1’ n cu propriet ățile de
mai sus sînt unic determ inate, în sensul urm ător: dacă n', m' N, cu m' n', și y1, …, y n' M
astfel încît: M Ry
1 … Rym' Rym' 1… Ryn', (D')
iar o (yi) : ei satisfac condi țiile: e i R°, i {1, …, m' } și e1|e2|…|e m' ; em'1 … en' 0,
atunci
III. Module finit generate peste inele principale 92
m m', n n' și di ei, i {1, …, n }.2
Demonstra ție. Partea de existen ță rezultă din 1.2: dac ă S este un sistem finit de generatori
al lui M, atunci exist ă un izomorfism : R(S)/F → M, unde F este nucleul morfismului , care
pe baza canonic ă (es)sS a lui R(S) este dat de (es) s, s S. Notînd n |S|, E R(S),
teorema 1.2 furnizeaz ă o bază e (e1,…, en) în E și o bază f f1,…, fm) în F (cu m n) astfel
încît fi diei, cu di R, di 0 și d1|d2|…|dm. Există k N (0 k m) astfel încît d1,…,
dk U(R), iar dk1,…, dm U(R). Atunci Rfi Rdiei Rei, 1 i k, și putem scrie (aplicînd
lema precedent ă):
M E/F n m
mm
kk
kkeR eRRfeR
RfeR
eReR
eReR
1
11
11
m kn m m k
n m
mm
kk
Rf RfeR eR eR eReR eRRfeR
RfeR
11 1
1
11
Așadar, în structura lui M intervin doar dk1,…, dm, ek1,…, en, fk1,…, fm. După o eventual ă
schimbare de nota ție, putem presupune deci de la început c ă d1,…, dm sînt neinversabile. Fie
(ei F) xi M, 1 i n.
Avem M Rx1…Rxn : {ei F |1 i n} genereaz ă pe E/F, deci {xi |1 i n}
generează pe M. În plus, E/F R(e1 F)…R(en F) deoarece 1 i n ri(ei F) 0 F
si R astfel încît 1 i n riei 1 i m sidiei ri sidi, 1 i m și ri 0, m 1 i n
ri(ei F) 0 F, 1 i n. Avem și o(xi) o(ei F) di, dacă 1 i m și o(xi) 0 dacă
m 1 i n. Într-adev ăr, pentru orice r R, rxi 0 rei F si R astfel încît
rei 1 i m sidiei, deci r 0 dacă m 1 i n și r sidi dacă 1 i m.
Cu aceasta, am încheiat demonstra ția existenței unei descompuneri (D) a lui M.
Pentru demonstrarea unicit ății, avem nevoie de definirea unor „invarian ți”.
2.4 Defini ții. Fie M un R-modul.
a) Definim t(M) : {x M | r R \{0} cu rx 0} (numit submodulul de torsiune al lui
M). Elementele lui t(M) se numesc elemente de torsiune (sau torsionate ). Dacă M t(M),
spunem c ă M este modul de torsiune ; dacă t(M) 0, spunem c ă M este modul fără torsiune .
b) Fie p R un element prim. Definim tp(M) : {x M | n N cu pnx 0} (numit
submodulul de p-torsiune al lui M sau p-submodulul lui M). Dacă d R și k N, notația pk||d
semnifică pk|d și pk 1-d (în cazul unui inel factorial, pk||d k este exponentul lui p în
descompunerea în factori primi a lui d).
c) Dacă a R, notăm cu za(M) : {x M | ax 0} ( anulatorul lui a în M, notat și cu
Ann M(a) sau rM(a)).
d) Ann R(M) : {r R | rx 0, x M} se nume ște anulatorul modulului M.
2 Elementele o(xi) cu propriet ățile din enun ț se numesc factorii invarian ți ai modulului M.
III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal
93
Următoarele trei propozi ții colecteaz ă proprietățile de baz ă ale acestor invarian ți.
2.5 Propozi ție. Fie R inel comutativ integru și M un R-modul.
a) t(M) este submodul al lui M și t(M/t(M)) 0; dacă M R N, atunci t (M) t(N).
b) Dacă M iI Mi, atunci t (iI Mi) iI t(Mi).
c) Fie R inel principal. Dac ă M este finit generat, atunci t (M) este sumand direct în M și
există L R M, liber, astfel încît M t(M)L. În particular, un modul finit generat și fără
torsiune este liber.
Demonstra ție. a) Fie x, y t(M) și r, s R. Atunci exist ă a, b R, nenule, astfel încît
ax by 0. Avem ab 0 și ab(rx sy) 0, deci rx sy t(M).
Fie acum x t(M) t(M/t(M)): există 0 a R cu ax t(M). Atunci exist ă 0 b R cu
bax 0, adică x t(M) (căci ba 0). În concluzie, x t(M) 0 t(M).
b) Fie ( xi)iI de suport finit, cu xi Mi, i I, astfel încît iI xi : x t(M). Atunci exist ă
0 a R astfel încît ax iI axi 0. Din M iI Mi rezultă că axi 0, adică xi t(Mi),
i I. Deci t(M) iI t(Mi).
Dacă xi t(Mi) astfel încît J : supp(( xi)iI) este finit ă, există (rj)jJ, cu 0 rj R și rjxj 0,
j J. Fie r : jJ rj (produsul are sens, c ăci J este finit ă). Avem evident r 0 și
riI xi 0. Astfel, am ar ătat că iI t(Mi) t(M).
c) Fie o descompunere (D) a lui M. Arătăm că t(M) Rx1…Rxm. Evident, x1,…
xm t(M) căci dixi 0 și di 0, așadar Rx1…Rxm t(M). Dacă x t(M), atunci exist ă
0 a R și r1,…, rn R astfel încît x r1x1 … rmxm … rnxn și ax ar1x1 …
armxm … arnxn 0. Din faptul c ă suma submodulelor Rxi este direct ă rezultă că arixi 0,
i 1’ n . Dacă i m, atunci ari Ann R(xi) 0, adică ri 0. Deducem c ă x Rx1…Rxm.
Este clar acum c ă, notînd L i m Rxi, avem M t(M)L.
2.6 Propozi ție. Fie R un inel principal, M un R-modul și p R un element prim.
a) t p(M) este submodul în M și tp(M/tp(M)) 0; dacă M R N, atunci t p(M) tp(N).
b) Dacă M iI Mi, atunci t p(iI Mi) iI tp(Mi).
c) Fie d R și k N astfel încît pk||d. Atunci t p(R/Rd) R/Rpk. În particular, dac ă x M
și o(x) d, atunci t p(Rx) R/Rpk; dacă p-d, atunci t p(Rx) 0.
Demonstra ție. a) și b) se demonstreaz ă la fel ca la 2.5 și sînt propuse ca exerci țiu.
c) Fie b R astfel încît d pkb. Afirmăm că tp(R/Rd) Rb/Rd. Într-adev ăr, fie r Rd
tp(R/Rd). Există s N astfel încît psr Rd, adică psr dc pkbc, cu c R. Deci b| psr și
(b, p) 1, de unde deducem c ă b|r. Astfel, r Rb și tp(R/Rd) Rb/Rd. Incluziunea contrar ă
este evident ă.
Avem R/Rpk Rb/Rd din teorema de izomorfism aplicat ă lui : R → Rb/Rd,
(r) rb Rd, r R.
III. Module finit generate peste inele principale 94
2.7 Propozi ție. Fie M un R-modul și r R.
a) z r(M) este submodul în M; dac ă M R N, atunci z r(M) R zr(N).
b) Dacă M iI Mi , atunci z r(M) iI zr(Mi).
c) Dacă R este principal, p R este element prim și d R, atunci z p(R/Rd) 0 dacă p-d și
zp(R/Rd) R/Rp dacă p|d. În particular, dac ă x M, atunci z p(Rx) 0 dacă p-o(x) și
zp(Rx) R/Rp dacă p|o(x).
Demonstra ție. a) Exercițiu.
b) Fie x iI xi, cu xi Mi, i I. Avem rx 0 iI rxi 0 rxi 0, i I (căci
rxi Mi, iar suma acestora e direct ă) xi zr(Mi), i I.
c) Fie p – d și r R. Avem p(r Rd) 0 Rd pr Rd d | pr . Cum ( d, p) 1, aceasta
e echivalent cu d | r, adică r Rd 0.
Fie acum p|d și a R cu d pa. Pentru orice r R, pr Rd Rpa r Ra. Deci
zp(R/Rd) Ra/Rd. Fie morfismul surjectiv : R → Ra/Rd, (r) ra Rd, r R. Are loc
Ker Rp, deci Ra/Rd R/Rp.
Putem trece acum la demonstrarea unicit ății în teorema 2.3. Ideea este de a aplica
invarianții t, zp, tp celor dou ă descompuneri (D) și (D') cu propriet ățile din enun ț. Din
t(M) Rx1…Rxm Ry1…Rym' (vezi 2.5. c)) rezultă M/t(M) Rxm1…Rxn
Rym'1…Ryn'. Cum { xm1, …, xn} și {ym'1, …, yn'} sînt baze în modulul liber M/t(M),
rezultă că au același cardinal, adic ă n m n' m'. Rămîne astfel de demonstrat c ă m m' și
că di ei, 1 i m. În acest scop, putem presupune în continuare c ă
M t(M) Rx1…Rxm Ry1…Rym'. Deoarece Rxi R/Rdi, Ryi R/Rei, avem de
demonstrat c ă, dacă
M R/Rd1…R/Rdm, cu d1|d2|…|dm, di R°, 1 i m, (*)
M R/Re1…R/Rem', cu e1|e2|…|em', ei R°, 1 i m', (**)
atunci m m' și di ei, 1 i m.
Mai întîi observ ăm că dm em'. Într-adev ăr, Ann R(M) {r R| rx 0, x M} este un
ideal în R; din (*), Ann R(M) Rdm (verificare u șoară). Din (**), avem și Ann R(M) Rem', de
unde rezult ă că dm em'.
Fie p un divizor prim al lui d1. Atunci p|d i, 1 i m. Consider ăm zp(M). Din 2.7 și (*)
rezultă izomorfismele de R-module:
zp(M) zp(Rx1…Rxm) zp(Rx1)…zp(Rxm) R/Rp…R/Rp (m termeni).
(am folosit c ă p|d i, 1 i m). Folosim acum (**); not ăm cu k numărul acelor indici i, cu
1 i m', pentru care p divide ei. Avem:
zp(M) zp(Ry1)…zp(Rym') R/Rp…R/Rp (k termeni).
Așadar, ( R/Rp)m (R/Rp)k (izomorfism de R-module). Se vede imediat c ă acesta este și
izomorfism de R/Rp-module. Dar R/Rp este corp ( p este prim și R este principal), deci m k,
III.2 Structura modulelor finit generate peste un inel principal
95
căci două R/Rp-spații liniare izomorfe au aceea și dimensiune. Evident, k m', deci m m'.
Prin simetrie, m' m; astfel am demonstrat c ă m m'.
Mai avem de ar ătat că di ei, 1 i m. Fie p un divizor prim oarecare al lui dm și i
(respectiv i) exponentul lui p în descompunerea lui di (respectiv ei), 1 i m. Din faptul c ă
d1|d2|…|dm rezultă 1 2 … m (la fel, 1 2 … m). Este suficient s ă arătăm că
i i, 1 i m. Presupunem prin reducere la absurd c ă nu este a șa; există deci un j minim,
1 j m, cu proprietatea c ă j j (și deci i i dacă i j). Pentru a face o alegere, fie
j j. Aplicăm tp. Din (*) și 2.6, avem:
tp(M) tp(Rx1)…tp(Rxm) mRpR RpR 1
Din (**), avem tp(M) tp(Ry1)…tp(Rym) mRpR RpR 1 . „Înmulțim” tp(M)
cu jp(adică considerăm submodulul Mtppj). Obținem din (*):
j m j j m j j jRpR RpR RpRp RpRp Mtpp 1 1
Am folosit propriet ățile (a căror demonstra ție e un exerci țiu de rutin ă): dacă M iI Mi și
r R, atunci rM iI rMi ; p(R/Rp) 0 dacă ; p(R/Rp) R/Rp dacă .
Din (**) rezultă analog:
j m j j m j j jRpR RpR RpRp RpRp Mtpp 1
Așadar, j m j j j m j jRpR RpR RpR RpR 1. Acestea sînt
descompuneri de tip (*), dup ă cum se verific ă ușor. Fie k numărul de indici i pentru care
i j (evident, 0 k m j). În membrul stîng al descompunerii de mai sus avem k termeni
nenuli, iar în membrul drept sînt m j 1 termeni nenuli. Din prima parte a demonstra ției
rezultă k m j 1, contradic ție cu k m j. Rămîne că i i, 1 i m.
2.8 Observa ție. Un R-modul M poate admite mai multe descompuneri de tip (D). Însă
șirul de ideale Ann R(x1) Ann R(x2) … Ann R(xn) este unic determinat. Generatorii (unic
determina ți pînă la o asociere în divizibilitate) d1, d2, …, dn R ai acestor ideale se numesc
factorii invarian ți ai R-modulului M. Uneori aceast ă denumire este dat ă chiar șirului de ideale
de mai sus. În cazul în care în inelul principal R există o modalitate natural ă de alegere a
generatorului unui idea l, factorii invarian ți sînt generatorii „naturali” ai idealelor anulator de
mai sus. De exemplu, în Z se alege generatorul pozitiv , în K[X] (cu K corp) se alege
polinomul unitar care genereaz ă idealul respectiv.
2.9 Exemplu. Fie Z2 {1ˆ,0ˆ}, Z6 { 5 , ,1 ,0 } și Z-modulul Z2Z6. Avem descompu-
nerile Z2Z6 Zx1Zx2 Zy1Zy2, unde x1 (0,1ˆ), x2 (1,0ˆ), y1 (3,1ˆ), y2 (5,0ˆ)
(lăsăm verificarea în seama cititorului). Evid ent, descompunerile sînt distincte, dar
Ann R(x1) Ann R(y1) 2Z și Ann R(x2) Ann R(y2) 6Z. Factorii invarian ți ai Z-modulului
Z2Z6 sînt deci 2 și 6.
III. Module finit generate peste inele principale 96
Exerciții
1. Dați exemplu de Z-modul finit generat M cu proprietatea c ă submodulul s ău de torsiune
t(M) admite cel pu țin doi complemen ți direcți. (În legătură cu Propozi ția 2.5.)
2. Fie R un inel integru și u : M → N un morfism de R-module. Atunci u(t(M)) t(N).
Enunțați și demonstra ți o proprietate analoag ă pentru tp(M) (R inel principal și p un element
prim din R) și zr(M) (cu r R).
3. Fie R un inel integru, M un R-modul și L R M. Demonstra ți că dacă t(M) L, atunci M/L
este fără torsiune.
4. Acest exerci țiu dă un exemplu de Z-modul M cu proprietatea c ă t(M) nu este sumand direct
în M. (Din 2.5. c), M nu poate fi finit generat). Fie P {pn |n 1} mulțimea numerelor
naturale prime și M : pP Zp. Arătați că:
a) t(M) pP Zp (adică {(ap)pP | p P, ap Zp și supp(( ap)P) finit}).
b) n Z, n 0, n(M/t(M)) M/t(M).
c) x M, p P astfel încît x pM.
d) Dacă M t(M)S, cu S R M, atunci S M/t(M).
e) t(M) nu este sumand direct în M.
5. Fie p un număr prim pozitiv și G ZpZp. Demonstra ți că subgrupurile lui G coincid cu
Zp-subspațiile vectoriale ale lui G. Cîte subspa ții vectoriale de dimensiune 1 are G? În cîte
moduri se poate scrie ZG ca sumă directă de două submodule proprii? (Ind.: suma oric ăror
două subspații proprii distincte este direct ă, egală cu G).
6. Enunțați o teorem ă de structur ă a grupurilor abeliene finit generate.
7. Dați exemplu de grup abelian G care nu este ciclic și nici sum ă directă de grupuri ciclice.
(Ind.: din teorema factorilor invarian ți, G nu poate fi finit generat. Un exemplu este Q).
8. Determina ți toate grupurile abel iene cu 100 elemente.
9. Fie G un grup abelian finit al c ărui ordin este liber de p ătrate (nu se divide cu p ătratul nici
unui num ăr prim). Atunci G este ciclic.
10. Dacă G este un grup comutativ finit, iar n este exponentul lui G (cmmmc al ordinelor
elementelor lui G), atunci exist ă în G un element de ordin n. (Ind.: folosi ți teorema factorilor
invarianți). Dați exemplu de grup G pentru care n este un divizor prop riu al ordinului lui G.
11. Fie G un grup abelian finit. Ar ătați că, pentru orice divizor d al ordinului lui G, există un
subgrup de ordin d al lui G.
12. Pentru n N*, notăm gn numărul tipurilor de izomorfism de grupuri abeliene cu n
elemente. Pentru ce n N* avem gn 1? Determina ți {n N | n 100, gn 4}.
III.3 Module indecompozabile finit generate
97
13. Folosind teorema de structur ă a grupurilor abe liene finite, ar ătați că orice subgrup finit G
al grupului multiplicativ K* (K un corp comutativ) este ciclic. (Ind. Dac ă G are cel pu țin doi
factori invarian ți, iar d este ultimul factor invariant, atunci orice element al lui G este rădăcină
a polinomului X d 1, iar d |G|).
14. Determina ți grupurile abeliene finit generate cu proprietatea c ă laticea subgr upurilor lor
este lanț (total ordonat ă în raport cu incluziunea).
III.3 Module indecompozabile finit generate
Teorema factorilor invarian ți furnizeaz ă o descompunere a unui R-modul finit generat dat
în sumă directă de submodule ciclice . Se pune întrebarea dac ă o astfel de descompunere poate
fi rafinată, adică (în cazul nostru) dac ă un modul ciclic poate fi scris, la rîndul s ău, ca o sum ă
directă de submodule proprii.
3.1 Defini ție. Fie R un inel (nu neap ărat comutativ). Un R-modul M, nenul, se nume ște
indecompozabil dacă nu are sumanzi direc ți proprii (nu exist ă L R M, cu L M, L 0, astfel
încît M LN pentru un anumit N R M) și decompozabil în caz contrar.
3.2 Exemple. a) Z-modulul Z6 este decompozabil: Z6 2Z63Z6.
b) Dacă R M este izomorf cu un produs direct de module de forma AB, cu A, B nenule,
atunci M este decompozabil.
b) Dacă K este un corp, un K-spațiu vectorial V este indecompozabil dac ă și numai dac ă
dim V 1. (Mai mult chiar, orice subspa țiu propriu al unui spa țiu vectorial este sumand
direct).
c) Z-modulul Z2 este indecompozabil (mai mu lt, nu are submodule proprii).
Rezultatul urm ător furnizeaz ă o clasă largă de module indecompozabile.
3.3 Propozi ție. Dacă laticea submodulelor R-modulului M este lan ț (total ordonat ă) față
de incluziune, atunci M este indecompozabil.
Demonstra ție. Presupunem c ă M AB, cu A, B R M. Cum laticea submodulelor este
lanț, avem A B sau B A. Însă A B 0, deci A 0 sau B 0.
3.4 Corolar. Fie R inel principal, p R un element prim și k N. Atunci modulul ciclic
R/Rpk este indecompozabil.
III. Module finit generate peste inele principale 98
Demonstra ție. Presupunem k 1. Este suficient s ă vedem c ă laticea idealelor lui R care
includ Rpk este lanț (vezi II.2.3). Dar idealul I include Rpk dacă și numai dac ă I Ra (R este
inel principal), cu a R, a|pk. Deci a este asociat cu pt, cu t k. Cu alte cuvinte, idealele lui R
care includ Rpk sînt Rpk Rpk1 … Rp2 Rp R.
În cazul k 0, avem de demonstrat c ă R R este modul indecompozabil. Aceasta rezult ă din
faptul că intersecția oricăror două submodule ( ideale) nenule ale lui R este nenul ă: idealele
sînt de forma Ra, Rb , cu a, b nenule și Ra Rb Rab 0.
Dacă R este inel principal, modulele ciclice de tip R/Rpk, cu p prim și k 0, sînt toate
R-modulele finit generate indecompozabile. Aceast ă afirmație este o consecin ță a rezultatului
următor, valabil pentru orice inel comutativ.
3.5 Teorem ă. (lema chinez ă a resturilor) Fie R inel comutativ, n 2 și I1,…, I n ideale ale
lui R.
a) Dacă Ii Ij R pentru i j,3 atunci produsul 4 I1·…·I n este egal cu intersec ția I 1 … In
și există un izomorfism natural de inele ( și de R-module):
n n n IR
IR
I IR
I IR 1 1 1 , r I1 … In (r I1, …, r In), r R.
b) Reciproc, dac ă morfismul : R →
nIR
IR
1, (r) (r I1, …, r In), r R este
surjectiv (inducînd un izomorfism
n n IR
IR
I IR1 1, ca mai sus), atunci idealele I i și
Ij sînt comaximale pentru i j.
Demonstra ție. a) Aplicăm o induc ție după n pentru a demonstra c ă I1·…·I n I1 … In și
că are loc izomorfismul cerut. Pentru n 2, din I1 I2 R deducem c ă există x I1, y I2
astfel încît x y 1. Fie z I1 I2. Atunci z z·1 zx zy, cu zx, zy I1·I2, adică
I1 I2 I1I2. Astfel, I1 I2 I1I2.
Fie : R →
2 1IR
IR, (r) (r I1, r I2), r R. E ușor de văzut că este morfism de
inele și de R-module (este produsul direct al surjec țiilor canonice R → R/Ij). Avem
Ker {r R| (r I1, r I2) (0 I1, 0 I2)} I1 I2; teorema de izomorfism asigur ă că
R/I1 I2 Im. E suficient a șadar să demonstr ăm surjectivitatea lui . Fie ( r1 I1,
3 Idealele Ii și Ij se numesc în acest caz comaximale . De exemplu, idealele Za și Zb ale lui Z sînt comaximale
dacă și numai dac ă a și b sînt prime între ele.
4 Reamintim c ă produsul IJ a două ideale I și J este idealul generat de mulțimea produselor ij, cu i I, j J.
Se arată ușor că produsul de ideale este asociativ și că întotdeauna IJ I J.
III.3 Module indecompozabile finit generate
99
r2 I2)
2 1IR
IR. Trebuie s ă găsim r R cu r r1 I1, r r2 I2. Un astfel de element este
r r1 y r2 x. Într-adev ăr,
r r1 r1y r2x r1x r1y (r2 r1)x I1.
Analog se arat ă că r r2 I2.
Presupunem c ă pentru orice k n și orice ideale I1,…, Ik, comaximale dou ă cîte două, are
loc I1·…·I k I1 … Ik și are loc izomorfismul cerut. Fie n ideale I1,…, In ca în enun ț. Din
Ij In R, 1 j n 1, rezultă că există aj Ij, bj In astfel încît aj bj 1. Înmulțind aceste
n 1 egalități membru cu membru ob ținem
1
1n
jj jba a1·…·a n1 b 1, unde b In, a1·…·a n1 I1·…·I n1.
Deci I1·…·I n1 In R. Aplicînd cazul n 2 idealelor comaximale I1·…·I n1 și In, rezultă că
I1·…·I n1·In (I1·…·I n1) In (I1 … In1) In (am folosit și ipoteza de induc ție I1·…·I n1
I1… In1). Mai rezult ă că:
n n n n IR
I IR
I I IR 1 1 1 1 prin r I1·…·In (r I1…In1, r In), r R.
Folosind ipoteza de induc ție, avem izomorfismul:
1 1 1 1 n n IR
IR
I IRprin r I1·…·In1 (r I1, …r In1), r R.
Combinînd aceste izomorfisme, ob ținem rezultatul din enun ț.
b) Vom demonstra c ă I1 și I2 sînt comaximale. Fie (1 I1, 0 I2, …, 0 In)
nIR
IR
1.
Există y R astfel încît ( y I1, y I2, …, y In) (1 I1, 0 I2, …, 0 In), adică y I2 și
y 1 : x I1. Deci 1 x y I1 I2, adică I1 I2 R.
3.6 Corolar. a)Fie R un inel principal și a1, …, a n R. Dacă (ai, aj) 1, i j, atunci
există izomorfismul
n n RaR
RaR
a RaR1 1 , r Ra1…an (r Ra1, …, r Ran), r R.
b) Dacă M este un R-modul ciclic de forma Rx (x M), cu o (x) d a1·…·a n R° și
(ai, aj) 1, i j, atunci exist ă xi M, 1 i m, astfel încît o (xi) ai și
M Rx Rx1…Rxm
c) Orice R-modul ciclic M se poate scrie ca o sum ă directă de submodule indecom-
pozabile.
Demonstra ție. a) Dacă a, b R, atunci ( a, b) 1 dacă și numai dac ă Ra și Rb sînt ideale
comaximale. Într-adev ăr, R(a, b) Ra Rb. Deci ( a, b) 1 Ra Rb R. Se aplic ă acum
lema chinez ă a resturilor pentru idealele Ra1, …, Ran.
III. Module finit generate peste inele principale 100
b) Are loc M R/Rd. Din a) rezultă și R/Ra1 … R/Ran R/Rd. Deci exist ă un
izomorfism între R/Ra1 … R/Ran și M. Fie yi :(0 Ra1,…, 1 Rai, …, 0 Ran) și
xi : (yi). Evident, R/Ra1 … R/Ran Ry1…Ryn, deci (prin izomorfismul )
M Rx1…Rxn. Avem și o(xi) o(yi) ai, 1 i n.
c) Rezultatul e o consecin ță a punctului b): fie M Rx, cu x M și fie d o(x). Dacă d 0,
atunci M R este indecompozabil. Dac ă d 0, fie tk
tkp pd1
1 descompunerea în factori
primi a lui d (unde p1, …, pt sînt elemente prime distincte în R). Clar, ik
ip și jk
jp sînt prime
între ele dac ă i j; aplicînd punctul precedent, exist ă xi M astfel încît M Rx1…Rxt, cu
o(xi) ik
ip. Deci Rxi este indecompozabil, fiind izomorf cu ik
iRpR .
3.7 Corolar. Fie R un inel principal și M un R-modul finit generat. Atunci M este
indecompozabil dac ă și numai dac ă M este modul ciclic, izomorf cu R (dac ă M este f ără
torsiune) sau cu un modul de forma R /Rp k, unde p R este un element prim și k N* (dacă
M este de torsiune).
Demonstra ție. Am văzut că modulele de forma R/Rp k sînt indecompozabile.
Fie M indecompozabil. Exist ă o descompunere (D) a lui M, ca în teorema 2.3. P ăstrînd
notațiile de acolo, se vede c ă indecompozabilitatea lui M implică m n 1 sau m 0, n 1.
Dacă m 0, n 1, M este liber de rang 1, deci izomorf cu R.
Dacă m n 1, atunci M Rx, cu o(x) d. Deci M R/Rd. Fie tk
tkp pd1
1 des-
compunerea în factori primi a lui d (p1, …, pt sînt elemente prime distincte în R). E suficient
să demonstr ăm că t 1. Dacă t 1, ik
ip și jk
jp sînt prime între ele dac ă i j, deci
R/Rd tk
tkRpR RpR 1
1 , care este evident decompozabil.
3.8 Propozi ție. Dacă M este de torsiune, finit gene rat, atunci M este suma direct ă a
submodulelor sale de p- torsiune. Mai precis, dac ă P este un sistem de reprezentan ți ai
claselor de echivalen ță (în raport cu rela ția de asociere în divizibilitate) ale elementelor
prime din R, atunci {p P|tp(M) 0} este finit ă și M pP tp(M) (în aceast ă sumă directă,
mulțimea submodulelor nenule este finit ă).
Demonstra ție. Știm că M este o sum ă directă de submodule ciclice: M Rx1…Rxm,
o(xi) di R°. Din 2.6 rezult ă că, dacă p P, p-di, 1 i m, atunci tp(M) 0. Deci
{p P | tp(M) 0} {p P | i, p|d i}, care este finit ă.
Dacă p P, atunci tp(M) ( {tq(M) |q P, q p}) 0. Într-adev ăr, dacă x aparține
acestei intersec ții, atunci pkx 0 pentru un k N; totodată, x qp yq, cu yq tq(M),
q P, q p (yq sînt aproape to ți nuli). Deci, q p pentru care yq 0, kq N astfel încît
qkyqq 0. Fie 0qq
ykq a (produs finit!). Evident, ax aqp yq 0. Avem și (pk, a) 1,
III.3 Module indecompozabile finit generate
101
căci p nu este asociat cu nici unul din elementele prime q care apar în descompunerea lui a.
Deci exist ă u, v R astfel încît upk va 1. Atunci x upk vax upkx vax 0.
Fie x M. Faptul c ă x pP tp(M) rezult ă astfel: fie d o(x) R și
tk
tkp pd1
1 descompunerea sa în factori primi. Din 3.6. b), Rx Rx1…Rxt, cu o(xi) ik
ip,
adică xi Mt
ip .
Teorema factorilor invarian ți, cuplată cu rezultatele de mai sus privind modulele
indecompozabile, furnizeaz ă următoarea teorem ă de structur ă:
3.9 Teorem ă. Fie R un inel principal și M un R-modul finit generat. Atunci M se scrie ca o
sumă directă de submodule indecompoz abile. Mai mult, aceast ă descompunere are
următoarea proprietate de unicitate: dac ă
M A1…Am B1…Bn
sînt două descompuneri ale lui M ca sum ă directă de submodule indecompozabile, atunci
m n și există o permutare Sn astfel încît A i B(i), 1 i m.
Demonstra ție. Existen ța unei scrieri a lui M ca sum ă directă de submodule
indecompozabile rezult ă imediat: aplicînd teorema 2.3, M se scrie ca o sum ă directă de
submodule ciclice, iar 3.6 afirm ă că fiecare astfel de submodul se scrie ca o sum ă directă de
submodule indecompozabile.
Ca și la demonstrarea unicit ății în teorema factorilor invarian ți, se observ ă că rangul
modulului liber M/t(M) este cardinalul mul țimii { i | 1 i m, Ai fără torsiune} ( și la fel, egal
cu {j | 1 j n, Bj fără torsiune}). Putem a șadar presupune c ă
M t(M) Rx1…Rxm Ry1…Ryn,
cu xi, yj M și Rxi, Ryj indecompozabile (deci, din 3.7, o(xi), o(yj) sînt puteri de elemente
prime din R). Fie p un element prim în R. Avem tp(Rxi) 0 dacă
p-o(xi) și tp(Rxi) Rxi dacă o(xi) este o putere a lui p (vezi 2.6). Deci
tp(M) {Rxi | 1 i m, p|o(xi)} {Ryj | 1 j n, p|o(yj)}.
După o eventual ă renumerotare, fie { i | 1 i m, p|o(xi)} : {1, …, r} și {j | 1 j n,
p|o(yj)} : {1, …, s}, astfel încît o(xi) ikpși o(yj) jlp, cu k1 … kr și l1 … ls. Atunci
tp(M) Rx1…Rxr Ry1…Rys, iar o(x1)|… | o(xr) și o(y1)|… | o(ys). Afirma ția de
unicitate din teorema factorilor invarian ți asigură acum că r s și o(xi) o(yi) (deci Rxi Ryi),
1 i r. Cum M pP tp(M) (vezi 3.8), se ob ține rezultatul enun țat.
3.10 Observa ție. Dacă M este de torsiune și Rx1…Rxm este o descompunere a lui M ca
sumă directă de submodule indecompozabile, atunci familia de ideale (Ann R(xi))1 i m nu
depinde de descompunerea aleas ă, ci numai de M. Familia de elemente ( o(xi))1 i m este deci
unic determinat ă (pînă la o asociere în divizibilitate și o permutare) de modulul M și se
III. Module finit generate peste inele principale 102
numește familia5 divizorilor elementari ai lui M. Divizorii elementari sînt puteri de elemente
prime din R, conform 3.7.
3.11 Exemple. a) Divizorii elementari ai Z-modulului Z6Z24 Z2Z3Z8Z3 sînt (2,
23, 3, 3). Factorii s ăi invarian ți sînt 6 și 24.
b) Dacă G este un grup abelian cu n elemente, iar d1|…|dm este șirul factorilor s ăi
invarianți, atunci G
md d Z Z
1, deci n d1·…·dm . Rezultă că orice grup abelian cu n
elemente este perfect determinat (pîn ă la izomorfism) de un m-uplu ( d1, …, dm) de numere
naturale ( m 1), cu propriet ățile: d1 2, d1·…·dm n și d1|…|dm. De exemplu, pentru n 60,
alegerile posibile pentru ( d1, …, dm) sînt (60), (2, 30). Deci exist ă două tipuri de izomorfism6
de grupuri abeliene cu 60 de elemente: Z60 Z4Z3Z5 (divizorii elementari sînt (22, 3, 5))
și Z2Z30 Z2Z2Z3Z5 (divizorii elementari sînt (2, 2, 3, 5)).
c) Se poate trece de la familia factorilor invarian ți (d1, …, dm) la familia divizorilor ele-
mentari descompunînd în puteri de elemente prime fiecare di și scriind toate puterile ob ținute,
de cîte ori apar.
Reciproc, dac ă avem dat ă familia divizorilor elementari, factorii invarian ți se obțin astfel:
se scrie un produs în ca re apar (cîte o singur ă dată) toți factorii primi din familia divizorilor
elementari, la puterea cea mai mare. Produsul ob ținut este dm (cel mai „mare” – din punct de
vedere al divizibilit ății – factor invariant). Se șterg din familia divizorilor elementari puterile
scrise în produs și se repet ă procedeul cu familia r ămasă. Se obține dm1. Se continu ă astfel
pînă se epuizeaz ă divizorii elementari.
De exemplu, dac ă familia divizorilor elementari ai unui Z-modul este (2, 2, 22, 3, 33, 5),
procedeul de mai sus furnizeaz ă succesiv produsele urm ătoare: 22·33·5, 2·3, 2, care sînt
factorii invarian ți ai Z-modulului dat.
5 Am evitat termenul de „mul țime” deoarece într-o mul țime elementele sînt distin cte, în timp ce divizorii
elementari se pot repeta.
6 Clasa tuturor grupurilor izomorfe cu un grup dat G se numește tipul de izomorfism al grupului G. (Această
definiție se poate generaliza evident la orice alte structuri algebrice: inele, module, corpuri, mul țimi ordonate…).
Pentru un tip de structur ă algebrică dată, determinarea tuturor tipurilor de izomorfism ale structurii respective
este un obiectiv de prim ă importan ță (și greu de atins în general), numit clasificare . De exemplu, teorema
factorilor invarian ți furnizeaz ă o clasificare a grupurilor abeliene fin it generate. Clasificarea grupurilor finite
simple (fără subgrupuri normale proprii) este unul din marile succese ale teoriei gr upurilor, realizat relativ recent.
III.3 Module indecompozabile finit generate
103
Exerciții
1. Dați exemplu de inel R și de R-modul indecompozabil care are are module factor
decompozabile.
2. Demonstra ți că modulul R M este indecompozabil inelul End R(M) nu are idempoten ți
diferiți de 0 și 1M.
3. Dați exemplu de inel R și de R-modul indecompozabil care ar e submodule decompozabile.
Poate fi inelul R principal? (Ind. Fie K un corp, R K[X, Y], I idealul ( XY) XYK[X, Y] al lui
R și M R/I. Idempoten ții lui End R(M) sînt 0 și 1M. (XK[X, Y] YK[X, Y])/I M și este
decompozabil).
4. Fie R un inel principal, M un R-modul și x1, …, xn M, cu ( o(xi), o(xj)) 1, i j. Atunci
o(x1 … xn) o(x1)·…·o(xn). (Ceea ce generalizeaz ă rezultatul cunoscut: dac ă a, b G,
grup abelian, și (ord x, ord y) 1, atunci ord( x y) ord( x)·ord(y)).
5. Fie R un inel principal, M un R-modul cu Ann R(M) Rr, r 0. Atunci o(x)| r, x M.
6. Fie R un inel principal și M un R-modul (nu neap ărat finit generat) cu Ann R(M) (0).
Scopul exerci țiului este de a demonstra c ă M este sum ă directă de submodule ciclice.
Demonstra ți următoarele afirma ții:
a) Pentru orice N R M, Ann R(M/N) (0).
b) Există y M astfel încît Ann R(y) Ann R(M). (Ind. Fie Ann R(M) Rr, cu r na
nap p1
1 ,
cu pi prime în R și ai N*. Fie bi max { b N | x M cu pib|o(x)} (bi ai). Pentru orice i,
există xi M cu o(xi) ib
ip. Punem y xi. o( xi) o(xi) din ex. 4. Rezult ă și r ib
ip,
deci bi ai)
c) Fie C {C M | C este o sum ă directă de ciclice și satisface condi ția (*)}, unde:
s R, x M, dacă sx C, atunci x0 C cu sx sx0. (*)
C este nevid ă, inductiv ordonat ă, deci are un element maximal F.
d) C C, dacă C M, atunci exist ă D C astfel încît C ( D. (Ind. Aplicați pct. b) lui
M/C și obțineți y M astfel încît Ann R(M/C) Ann R(y) : . Deci y C și fie y0 C cu
y y0, dat de (*). Atunci D : C R(y y0) este submodulul c ăutat.)
e) F M.
III. Module finit generate peste inele principale 104
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional
Fie K un corp comutativ, K[X] inelul polinoamelor în nedeterminata X cu coeficien ți în K,
V un K-spațiu vectorial de dimensiune finit ă și u : V → V un K-endomorfism (transformare
liniară). Păstrăm aceste nota ții pe tot parcursul acestei sec țiuni. Vom defini cu ajutorul lui u o
structură de K[X]-modul pe V. Întrucît K[X] este inel principal, putem aplica teorema
factorilor invarian ți pentru a ob ține informa ții despre acest K[X]-modul, a șadar despre
endomorfismul u. Aceasta este ideea care st ă la baza teoriei pe care o dezvolt ăm în
continuare. În plus, ținînd cont de leg ătura dintre endomorfisme și matrice, rezultatele
obținute se traduc în termeni matriceali.
4.1 Defini ție. Fie u End K(V). Înzestr ăm grupul abelian ( V, ) cu o structur ă de
K[X]-modul (depinzînd de u): f a0 a1X … anX n K[X], v V, definim:
f·v : a0v a1u(v) … anu n(v) V,
unde u n u◦…◦u (de n ori).
Cu alte cuvinte, f·v este imaginea vectorului v prin endomorfismul a0id a1u … an u n,
unde id este automorfismul identic al lui V. Verificarea axiomelor de modul este l ăsată
cititorului. Opera ția tocmai definit ă extinde la K[X] V operația externă (definită pe K V) de
K-spațiu vectorial a lui V.
Notăm cu Vu grupul abelian V dotat cu structura de K[X]-modul definit ă de endomorfismul
u, ca mai sus.
4.2 Observa ție. Fie u End K(V). Proprietatea de universalit ate a inelului de polinoame
K[X] asigură existența unui unic morfism de K-algebre : K[X] → End K(V) astfel încît
(X) u. Dacă f a0 a1X … anX n K[X], notăm ( f ) cu f (u); avem
f (u) (a0 a1X … anX n) a0idV a1u … anu n.
Morfismul definește o structur ă de K[X]-modul pe V (vezi observa ția II.1.3) care
coincide cu cea de mai sus.
Se pune întrebarea dac ă endomorfisme distincte ale lui V pot defini structuri de
K[X]-modul izomorfe pe V. Propoziția următoare clarific ă această chestiune.
4.3 Propozi ție. Fie u, w End K(V). K[X]-modulele V u și Vw sînt izomorfe dac ă și numai
dacă există un K-automorfism al lui V astfel încît ◦u◦ 1 w.
Demonstra ție. Fie : Vu → Vw un K[X]-izomorfism. Not ăm temporar · u operația externă a
K[X]-modulului Vu. Pentru orice v Vu, avem X ·u v u(v) și, v Vw, X ·w v w(v). Avem
(X ·u v) X ·w (v), deci (u(v)) w((v)), adică ◦u w◦. Este clar c ă este și
K-automorfism.
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional
105
Reciproc, dac ă : V → V este K-izomorfism cu ◦u w◦, atunci este K[X]-izomorfism
de la Vu la Vw. Într-adev ăr, condiția ◦u w◦ se rescrie (X ·u v) X ·w (v). De aici rezult ă
că (X n·u v) X n ·w (v), n N; cum este K-liniară, rezultă că
((a0 a1X … anX n)·u v) a0·w(v) a1X·w(v) … anX n·w(v),
pentru orice a0 a1X … anX K[X].
4.4 Defini ție. a) Endomorfismele u, w End K(V) se numesc asemenea dacă există
Aut K(V) astfel încît ◦u◦ 1 w. Notație: u w.
b) Fie n N și A, B Mn(K). Spunem c ă matricele A și B sînt asemenea (și notăm aceasta
prin A B) dacă există o matrice inversabil ă U astfel încît B UAU 1.
4.5 Observa ție. Fie V finit dimensional și v (v1, …, vn) o bază a lui V. Endomorfismele
u, w End K(V) sînt asemenea dac ă și numai dac ă matricele M v(u) și M v(w) sînt asemenea.
Pentru demonstra ție, este suficient s ă ținem cont de (anti-) izomorfismul dintre inelele
End K(V) și M n(K) dat de u Mv(u). Un exemplu tipic de matrice asemenea este dat de
matricele unui endomorfism în diverse baze ale lui V.
Se vede imediat c ă relația de asem ănare pe End K(V) și relația de asem ănare pe M n(K) sînt
relații de echivalen ță.
4.6 Defini ție. Fie u End K(V) și W KV. Subspațiul W al lui V se numește invariant fa ță
de u (sau u-invariant ) dacă u(W) W. Spunem c ă V este indecompozabil relativ la u dacă V
nu se poate scrie ca o sum ă directă de subspa ții u-invariante proprii.
4.7 Propozi ție. Fie W o submul țime nevid ă a lui V. W este un subspa țiu invariant fa ță de u
w W, X·w W W este un K [X]-submodul al lui V u.
Demonstra ție. Faptul că u(W) W revine la a spune c ă w W, avem u(w) W, adică
X·w W. Prin induc ție se demonstreaz ă că X n·w W, n N; cum W este subspa țiu în V,
aceasta implic ă (a0 a1X … anX n)·w W, ai K. Reciproca e propus ă ca exerci țiu.
La fel ca propozi ția precedent ă, următoarele afirma ții (propuse spre demonstra ție) sînt
exemple de trecere de la limbajul spa țiilor vectoriale la cel al K[X]-modulelor.
„V este suma direct ă a subspa țiilor u-invariante V 1, …, Vm” „K[X]Vu este suma direct ă a
K[X]-submodulelor V 1, …, Vm”.
„Există v V astfel încît V este generat de {ui(v) | i N}” „Vu este K [X]-modul ciclic
(generat de v ).” (În acest caz, se mai zice c ă u este endomorfism ciclic ).
„V este indecompozabil relativ la u” „Vu este K [X]-modul indecompozabil”.
4.8 Propozi ție. Dacă spațiul vectorial V este de dimensiune finit ă, atunci:
III. Module finit generate peste inele principale 106
a) K[X]-modulul V u este modul finit generat, de torsiune.
b) V este indecompozabil relativ la u dac ă și numai dac ă există v Vu astfel încît
Vu K[X]v, cu o (v) pk, unde p este un polinom ireductibil din K [X] și k N*.
Demonstra ție. a) Dacă presupunem dim KV n N*, atunci, v V, vectorii v, u(v), …,
un(v) nu pot fi liniar independen ți. Există așadar a0, a1, …, an K, nu toți nuli, astfel încît
a0v a1u(v) … anu n(v) 0, adică (a0 a1X … anX n)·v 0. Pe de alt ă parte, este
evident că orice sistem de generatori pentru K V genereaz ă și K[X]-modulul Vu, deci Vu este
finit generat.
b) V este indecompozabil relativ la u dacă și numai dac ă Vu este K[X]-modul
indecompozabil. Cum Vu este K[X]-modul de torsiune, finit generat, concluzia rezult ă aplicînd
Propoziția III.3.7.
Aplicînd K[X]-modulului Vu teoremele de structur ă de la III.2 și III.3, se ob ține:
4.9 Propozi ție. Dacă dim K V n N*, atunci exist ă m N* și v1, …, v m Vu, astfel încît
Vu se scrie ca o sum ă directă de subspa ții u-invariante
Vu K[X]v1…K[X]vm, cu o (v1)|…|o (vm).
Numărul natural m și polinoamele unitare o (v1),…, o (vm) K[X] cu propriet ățile de mai sus
sînt unic determinate (sînt factorii invarian ți ai K [X]-modulului V u).
Vu se scrie și ca o sum ă directă de submodule indecompozabile:
Vu K[X]w1…K[X]wt,
cu w i Vu și o(wi) puteri de polinoame ireductibile din K [X], 1 i t. Numărul natural t și
polinoamele unitare o (w1),…, o (wt) K[X] cu propriet ățile de mai sus sînt unic determinate
(sînt divizorii elementari ai K [X]-modulului V u).
4.10 Defini ție. Dacă dim KV n și u End K(V), polinomul unitar care genereaz ă
Ann K[X](Vu) se nume ște polinomul minimal al endomorfismului u (notat u). Polinoamele
unitare care sînt factorii invarian ți (respectiv divizorii elementari) ai K[X]-modulului Vu se
numesc factorii invarian ți (respectiv divizorii elementari ) ai endomorfismului u. Aceeași
terminologie se folose ște pentru matrice: alegînd o baz ă v în V, factorii invarian ți ai unei
matrice A Mn(K) sînt factorii invarian ți ai unicului endomorfism u cu proprietatea c ă
Mv(u) A (analog pentru polinomul minimal , divizorii elementari ).
4.11 Propozi ție. Două endomorfisme (matrice) sînt asemenea dac ă și numai dac ă au
aceiași factori invarian ți (echivalent, aceia și divizori elementari).
Demonstra ție. Fie u, w End K(V). Avem echivalen țele: M v(u) Mv(w) u w
Vu K[X]Vw (din 4.3) Vu și Vw au aceiași factori invarian ți Vu și Vw au aceiași divizori
elementari.
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional
107
4.12 Observa ție. Cu notațiile de la 4.9, u este o(vm), „ultimul” factor invariant al lui u.
Dacă f K[X] este un polinom unitar, urm ătoarele propriet ăți sînt echivalente:
a) f u.
b) f (u) 0 și g K[X] cu g(u) 0, avem f |g.
c) f (u) 0 și g K[X], g 0, cu g(u) 0, avem grad f grad g.
Demonstra țiile acestor echivalen țe sînt ușoare, pe baza defini țiilor. Observ ăm că, spre
deosebire de polinomul minimal al unui elemen t algebric dintr-o extindere de corpuri,
polinomul minimal al unui endomorfism nu este neap ărat ireductibil.
4.13 Propozi ție. a) Fie K V de dimensiune finit ă și V V1…Vm, cu V 1, …, V m subspații
invariante fa ță de u. Dac ă vi este bază în V i, 1 i m, atunci v1…vm : v este o baz ă7 în
V, iar matricea lui u în baza v este (scris ă pe blocuri):
Mv(u)
mAA
001
,
unde A i este matricea în baza vi a restricției lui u la V i, 1 i m.
b) Reciproc, dac ă matricea lui u într-o baz ă v este de forma de mai sus, atunci liniile
blocului A i corespund unor vectori din baza v care genereaz ă un subspa țiu u-invariant V i
(1 i m) și V V1…Vm.
Demonstra ție. a) Este clar c ă v este bază în V. Pentru a nu complica nota țiile, presupunem
că m 2 și v1 (e1, …, ep), v2 ( f1, …, fq), p q n dimV. Atunci v (e1, …, ep, f1, …, fq).
Cum V1, V2 sînt u-invariante, u(ei) este combina ție liniară de e1, …, ep, iar u( fj) este
combinație liniară de f1, …, fq. Scriind matricea lui u în baza v, rezultă imediat c ă
M v(u)
21
00
AA
.
b) Lăsăm cititorului sarcina preciz ării enunțului și a demonstra ției.
Dorim să găsim o baz ă în care u să aibă o matrice cît mai „simpl ă”. Știind că Vu se scrie ca
o sumă directă de submodule indecompozabile (teorema III.3.9) și ținînd cont de rezultatul
anterior, este suficient s ă studiem restric ția lui u la fiecare din subspa țiile invariante în care se
descompune V. Cercetăm mai întîi cazul în care Vu este indecompozabil, adic ă Vu este de
forma K[X]v, cu o(v) pk, p ireductibil în K[X], k N*.
7 Ordonarea vectorilor în baza v o facem, natural, punînd „unele dup ă altele” elementele bazelor v1, …, vm, în
această ordine.
III. Module finit generate peste inele principale 108
4.14 Defini ție. Pentru p K[X], p X r ar 1 X r 1 … a1 X a0, fie matricele:
Cp
1 2 1 01 0 0 00 1 0 00 0 1 0
ra a a a Mr(K), N
0 0010 0000 0000 000
Mr(K).
Matricea Cp se numește companionul matriceal al polinomului p . Fie matricea (scris ă pe
blocuri de tip rr):
Cp N 0 … 0 0
0 Cp N …0 0
J( pk) Mrk(K
)
0 0 0 … Cp N
0 0 0 … 0 Cp
J( p k) se nume ște celula Jordan 8 asociată polinomului p k. O matrice (scris ă pe blocuri)
care are pe diagonal ă celule Jordan ( și în rest 0), adic ă este de forma
tk
tkk
pJpJpJ
00
21
21
,
unde p1, …, pt sînt polinoame unitare ireductibile în K[X], se nume ște matrice canonic ă
Jordan 9 peste K.
4.15 Propozi ție. Fie u End K(V), cu dim KV n N*.
a) Presupunem c ă Vu este K [X]-modul indecompozabil, iar v Vu este astfel încît
Vu K[X]v, cu o (v) u pk, unde p X r ar1X r1 … a1X a0 K[X] este ireductibil de
grad r și k N*. Atunci dim KV rk și există o bază a lui KV în care matricea lui u este celula
Jordan J (pk) asociată polinomului pk.
b) În cazul general, fie tk
tkp p ,,1
1 divizorii elementari ai lui u, cu p 1, …, p t polinoame
ireductibile unitare în K [X]. Atunci exist ă o bază a lui V în care matricea lui u este matricea
canonică Jordan
8 Numită astfel în onoarea lui Camille Jordan (1838-1922), matematician francez.
9 Uneori matricea astfel definit ă se nume ște matrice canonic ă rațională, denumirea de matrice canonic ă
Jordan fiind dat ă doar în cazul în care pi sînt polinoame de gradul 1.
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional
109
J
tk
tkk
pJpJpJ
00
21
21
.
Demonstra ție. a) Baza în care u are matricea J( pk) este urm ătoarea:
e0 v; e1 X·v u(e0); … ; er1 X r1·v u(er2); (0)
er p·v; er1 Xp·v u(er); … ; e2r1 X r1p·v u(e2r2); (1)
…
e(k 1)r pk 1·v; e(k 1)r1 Xpk 1·v u(e(k 1)r); … ; ekr1 X r1pk 1·v u(ekr2). ( k1)
Faptul că e (e0, …, ekr1) este baz ă rezultă din lema urm ătoare:
Lemă. Dacă u End K(V) este un endomorfism astfel încît V u K[X]v pentru un anumit
v V, iar f o(v), cu grad f n, atunci, oricare ar fi g 0, …, gn1 K[X], cu grad gi i,
1 i n, elementele g 0·v, …, gn1·v formează o bază a lui V.
Demonstra ția lemei. Vu K[X]/(f ) (izomorfism de K[X]-module, deci și de K-spații
vectoriale), deci dim KV dim K K[X]/(f ) grad f n. Elementele g0·v, …, gn1·v sînt liniar
independente: dac ă a0g0·v … an1gn1·v 0, cu ai K, atunci h·v 0, unde h a0g0
… an1gn1. Cum o(v) f, iar grad h n, rezultă că f |h, deci h 0. Însă polinoamele g0,
…, gn1 sînt liniar independente în K-spațiul vectorial K[X], fiind de grade distincte. Mul țimea
de n elemente g0·v, …, gn1·v este liniar independent ă în V, spațiu de dimensiune n, adică este
o bază.
Revenim la demonstra ția faptului c ă Me(u) J( pk). Dacă 1 i k, avem:
u(eir1) X(X r1p i1·v) X rp i1·v (p a0 a1X … ar1X r1)pi1·v pi·v a0pi1·v
a1Xp i1·v … ar1X r1p i1·v eir a0e(i 1)r a1e(i 1)r1 … ar1e(i 1)rr1
Dacă i k, u(ekr1) a0e(k 1)r a1e(k 1)r1 … ar1e(k1)rr1, căci pk·v 0.
Aceste egalit ăți, împreun ă cu relațiile (0), …, ( k 1), demonstreaz ă afirmația.
b) Consider ăm descompunerea lui Vu în subspa ții indecompozabile relativ la u (vezi 4.9).
Din a), fiecare din aceste subspa ții posedă o bază în care restric ția lui u are matricea de forma
J( pk), cu pk divizor elementar al lui u. Aplicăm apoi Propozi ția 4.13.
4.16 Corolar. Orice matrice A Mn(K) este asemenea cu o matrice canonic ă Jordan.
Dacă divizorii elementari ai lui A sînt tk
tkp p ,,1
1 , atunci A J, unde J este matricea de la
4.15. b).
Pentru a g ăsi efectiv f actorii invarian ți ai unui endomorfism u, teorema urm ătoare arat ă că
se poate folosi matricea XI A, unde A este matricea lui u într-o baz ă oarecare.
III. Module finit generate peste inele principale 110
4.17 Teorem ă. Fie KV de dimensiune n, u End K(V), v (v1, …, v n) o bază în V astfel
încît Mv(u) : A (aij) Mn(K). Atunci factorii invarian ți ai lui u (ai matricei A) sînt polinoa-
mele neinversabile de pe diagonala principal ă a matricei diagonal canonice D Mn(K[X]),
aritmetic echivalent ă cu matricea
XI A
nn n nnn
aX a aa aX aa a aX
2 12 22 211 12 11
Mn(K[X]).
Demonstra ție. Folosim metoda din demonstra ția teoremei factorilor invarian ți (2.3):
întrucît ( v1, …, vn) este un sistem de generatori pentru K[X]Vu, se ia un K[X]-modul E, liber de
bază e (e1, …, en) și K[X]-morfismul : E → Vu, (ei) vi, 1 i n. Morfismul este
surjectiv, Ker : F este submodul liber în E și E/F Vu. Cum Vu este de torsiune, rezult ă că
rang F n și există două baze (1, …, n) în E și (1, …, n) în F, astfel încît i dii,
di K[X], d1|d2|…|d n. Factorii invarian ți ai lui V u sînt deci (vezi demonstra ția teoremei 2.3)
polinoamele neinversabile din familia d 1, d2,…, d n. Dacă găsim o baz ă f în F și o matrice
B Mn(K[X]) astfel încît f Be (f și e sînt interpreta ți ca vectori coloan ă), atunci matricea
diagonal canonic ă D Mn(K[X]), aritmetic echivalent ă cu B, va fi chiar D diag ( d1, d2,…,
dn). Fie
fi : Xei (ai1e1 ai2e2 … ainen) E, 1 i n.
Lemă. f : ( f1, f2,…, f n) este o baz ă în F.
Demonstra ția lemei . Avem, pentru 1 i n, u(vi) ai1v1 ai2v2 … ainvn, deci:
(fi) Xvi (ai1v1 ai2v2 … ainvn) u(vi) (ai1v1 ai2v2 … ainvn) 0.
Aceasta arat ă că fi Ker F. Să arătăm că f este sistem de generatori pentru F.
Observăm că
Xei fi ai1e1 ai2e2 … ainen, 1 i n. (*)
Deci X 2ei Xfi ai1 Xe1 ai2 Xe2 … ain Xen. Folosind (*), ob ținem o scriere de forma:
X 2ei j qj fj i rjej, cu qj K[X], rj K, 1 j n. Prin induc ție se arată ușor că, m N*,
X mei se scrie sub forma
X mei j qj fj i rjej, cu qj K[X], rj K, 1 j n. (**)
Din (**) rezult ă că, g K[X], gei are o scriere de aceea și formă. Deci, dac ă
y i giei F, cu gi K[X], 1 i n, atunci
y i giei i qi fi r,
unde qj K[X], iar r E este de forma i ciei, cu ci K. Dar r y i qi fi F, deci
(r) (i ciei) i civi 0. Cum v este baz ă în V, rezultă ci 0, 1 i n, adică r 0.
Rămîne că y i qi fi.
Presupunem acum c ă i gi fi 0, cu gi K[X], 1 i n. Din (*) rezult ă
i gi Xei i gi ( j aij ej). Cum ( e1, …, en) este baz ă, obținem că
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional
111
gi X j aji gj, 1 i n.
Dacă, prin absurd, exist ă un polinom gi 0, atunci exist ă unul de grad maxim, fie acesta
g1. Deci grad gi grad g1, 1 i n. Însă, în egalitatea g1 X j aj1 gj, avem
grad(j aj1 gj) max j (grad( aj1 gj)) max j (grad gj) 1 grad g1 grad g1 X,
contradicție. Aceasta arat ă că ( f1, f2,…, f n) este sistem liniar independent.
Revenim la demonstra ția teoremei. Rela țiile fi Xei (ai1e1 ai2e2 … ainen) arată că
f (XI A)e. Dacă XI A D diag( d1, d2,…, d n), cu d1|d2|…|d n, atunci factorii invarian ți ai
lui Vu (ai endomorfismului u) sînt dk, dk 1, …, dn, unde k min{ i|di neinversabil}.
4.18 Defini ție. Fie A Mn(K). Polinomul fA : det(XI A) K[X] se nume ște polinomul
caracteristic al matricei A. Dacă u este un endomorfism al K-spațiului vectorial V și A este
matricea lui u (într-o baz ă oarecare), atunci polinomul caracteristic f u al lui u este prin
definiție fA. Două matrice asemenea A și B au acela și polinom caracteristic: avem B SAS 1,
cu S GL n(K), deci
fB det(XI SAS 1) det(S·(XI A)S 1) det(S)·det( XI A)·det( S 1) fA,
unde s-a folosit c ă matricea XI comută cu orice matrice din M n(K[X]). Cum matricele unui
endomorfism în dou ă baze sînt asemenea, polinomul carac teristic al unui endomorfism nu
depinde de baza aleas ă (definiția e corect ă).
4.19 Observa ție. Fie A (aij) Mn(K) și
fA det(XI A) X n c1 X n 1 c2 X n 2 … ( 1) ncn, cu c1, …, cn K.
Examinînd, în scrierea det( XI A), coeficien ții c1, …, cn, se observ ă că:
c1 a11 a22 … ann : Tr(A) (numit urma matricei A),
cn det(A).
Mai general, ck (1 k n) este suma minorilor de ordin k ai lui A de pe diagonala
principală (adică obținuți prin selectarea a k linii { i1, …, ik} și a coloanelor cu aceia și indici
{i1, …, ik} ale matricei A). Sînt k
nC astfel de minori, cîte unul pentru fiecare alegere a unei
submulțimi de k indici din {1, 2, …, n}.
Pentru un endomorfism u al unui spa țiu vectorial de dimensiune n, de matrice A (într-o
bază oarecare) și polinom caracteristic fu fA, sînt bine defini ți coeficien ții c1, …, cn, ca mai
sus. Dintre ace știa, c1 : Tr(u) Tr(A) se nume ște urma lui u și cn : det( u) det(A) se
numește determinantul lui u.
4.20 Propozi ție. Fie A, B Mn(K). Atunci A și B sînt asemenea dac ă și numai dac ă XI A
și XI B sînt matrice aritmetic echivalente în K [X].
Demonstra ție. Dacă A B, atunci exist ă S GL(n, K ) astfel încît B S AS. Atunci
XI B S (XI A)S, deci XI A ~ XI B, căci evident S GL(n, K[X]).
III. Module finit generate peste inele principale 112
Fie acum XI A ~ XI B și D Mn(K[X]) matricea diagonal canonic ă cu
D ~ XI A ~ XI B. Deci A și B au aceiași factorii invarian ți: polinoamele de grad > 0 de pe
diagonala lui D, conform lui 4.17. Astfel, A și B au aceiași divizori elem entari. Din 4.15, A și
B sînt asemenea cu o (aceea și) matrice canonic ă Jordan.
Fie n N*. Următoarele rezultate se refer ă la matrice din M n(K), dar sînt evident valabile
și pentru endomorfismele unui K-spațiu liniar de dimensiune n.
4.21 Propozi ție. Polinomul caracteristic al unei matri ce A este egal cu produsul factorilor
invarianți ai lui A ( și egal cu produsul divizorilor elementari ai lui A).
Demonstra ție. Matricea XI A este aritmetic echivalent ă cu matricea diagonal canonic ă
D diag(1, …, 1, d1, …, dm) Mn(K[X]), unde d1, …, dm sînt factorii invarian ți ai lui A.
Există S, T U(M n(K[X])) (adică det S, det T K*) astfel încît XI A SDT. Avem
d1·…·dm detD det(S(XI A)T) detS·fA·detT, adică polinoamele unitare d1·…·dm și fA
diferă prin factorul det S·detT K*, ceea ce arat ă că sînt egale. Pe de alt ă parte, este clar c ă
produsul divizorilor elementari este eg al cu produsul factorilor invarian ți.
4.22 Corolar. a) (Teorema lui Cayley-Hamilton)10 Orice matrice A Mn(K) este rădăcină
a polinomului s ău caracteristic: f A(A) 0.
b) (Teorema lui Frobenius)11 Polinomul caracteristic și polinomul minimal al unei matrice
A Mn(K) au aceiași factori ireductibili în K [X].
Demonstra ție. Fie d1, …, dm K[X] factorii invarian ți ai lui A.
a) Am văzut că polinomul minimal al lui A este dm (ultimul factor invariant al lui A). Deci
dm(A) 0 și dm| fA, de unde concluzia.
b) Rezultă din faptul c ă d1·…·dm fA și d1|…|dm.
Se pune problema unicit ății matricei canonice Jordan care este asemenea cu o matrice dat ă.
Evident, pentru ordon ări diferite ale divizo rilor elementari, se ob țin diverse matrice canonice
Jordan. Propozi ția următoare arat ă că toate matricele canonice Jordan asemenea cu matricea
dată se obțin în acest mod.
4.23 Propozi ție. a) Celula Jordan J ( p k) (p K[X], unitar și ireductibil, k N*) are un
singur divizor elementar, anume p k.
b) Fie A o matrice canonic ă Jordan care are pe diagonal ă celulele Jordan ik
ipJ , cu
pi K[X], unitare și ireductibile, 1 i t. Atunci divizorii elementari ai lui A sînt ik
ip,
1 i t.
10 Arthur Cayley (1821-1895) și Sir William Rowan Hamilton (1805-1865), matematicieni britanici.
11 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917), matematician german.
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional
113
c) Fie A, B Mn(K) matrice canonice Jordan astfel încît A B. Atunci A și B sînt formate
din acelea și celule Jordan, eventual în alt ă ordine.
Demonstra ție. a) Fie V : K[X]/( pk). V este K[X]-modul (ca modul factor al lui K[X]) și
K-spațiu vectorial de dimensiune k·grad p n. Fie u End K(V), dat de: u(y) X·y, y V
(este vorba de opera ția externă de K[X]-modul a lui V). Endomorfismul u definește pe V o
structură de K[X]-modul Vu ca în defini ția 4.1. Se vede u șor că cele dou ă structuri de
K[X]-modul coincid și că V K[X]v, unde v : 1 ( pk) V. Deci V Vu este un K[X]-modul
indecompozabil, iar unicul s ău divizor elementar este o(v) pk (verificare imediat ă). Există o
bază (cea din 4.15) în care u are matricea J( pk). Deci J( pk) are aceia și divizori elementari ca
și Vu, adică doar pe pk.
b) Există KV și u End K(V), de matrice A (într-o anumit ă bază). Atunci V se scrie ca o
sumă directă de subspa ții u-invariante: Vu V1…Vt, Vi fiind subspa țiul invariant
corespunz ător celulei Jordan ik
ipJ . Fie ui restricția lui u la Vi, 1 i t. Matricea lui ui este
chiar ik
ipJ și din prima parte a demonstra ției rezultă că ik
ipeste singurul divizor elementar
al lui ui. Divizorii elementari ai lui u se obțin scriind to ți divizorii elementari ai restric țiilor ui,
1 i t, deci sînt ik
ip, 1 i t.
c) Dacă A B, atunci A și B au aceiași divizori elementari (4.11). Din b) rezultă că A și B
au aceleași celule Jordan.
4.24 Defini ție. Dacă A Mn(K) și J este o matrice canonic ă Jordan, asemenea cu A, atunci
J se numește forma canonic ă Jordan a lui A. Deci forma canonic ă Jordan a lui A este unic
determinat ă pînă la o ordine a celulelor Jordan de pe diagonal ă.
Noțiunile clasice de vector propriu și valoare proprie ale unui endomorfism sînt în leg ătură
strînsă cu subspa țiile sale invariante de dimensiune 1.
4.25 Defini ție. Dacă u End K(V), un element K se nume ște valoare proprie a
endomorfismului u dacă există un vector nenul v V astfel încît
u(v) v.
Orice vector nenul v, cu proprietatea c ă există K astfel încît u(v) v, se nume ște
vector propriu al lui u (corespunz ător valorii proprii K).
4.26 Propoziție. Fie v V, u End K(V) și K. Următoarele afirma ții sînt echivalente:
a) v este vector propriu al lui u, corespunz ător valorii proprii .
b) Considerînd v K[X]Vu, o(v) X K[X].
c) dim K (K[X]v) 1 (submodulul lui V u generat de v are K-dimensiunea 1).
III. Module finit generate peste inele principale 114
Demonstra ție. a)b) Avem u(v) v. În limbajul K[X]-modulului Vu, aceasta înseamn ă
X·v v, adică (X )·v 0. Deci o(v)| X , care este ireductibil, de unde rezult ă că
o(v) X . (o(v) 1 ar implica v 0).
b)a) o(v) X implică u(v) v.
b)c) Rezultă din egalitatea dim K K[X]v grad o(v).
4.27 Propozi ție. Fie u End K(V), dim V n N*. Atunci K este valoare proprie a lui
u dacă și numai dac ă este rădăcină a polinomului caracteristic al lui u, f u.
Demonstra ție. Presupunem c ă este valoare proprie corespunz ătoare vectorului propriu
v V. Atunci o(v) X ; cum polinomul minimal u al lui u se găsește în
Ann K[X](v) (X ), avem X |u. Avem și u | fu, deci X | fu, adică este rădăcină a lui
fu. Reciproc, dac ă fu() 0, avem X | fu. Cum fu și u au aceiași factori ireductibili, rezult ă
X |u, deci exist ă g K[X] ai u (X )g. Din 4.9, exist ă v V astfel încît o(v) u.
Atunci o(g·v) X , adică g·v V este vector propriu corespunz ător valorii proprii .
Propunem cititorului s ă dea o demonstra ție rezultatului de mai su s folosind considerente de
teoria sistemelor de ecua ții liniare.
Se observ ă că dacă fu nu are rădăcini în K, atunci u nu are valori și vectori proprii.
În continuare vom descrie celulel e Jordan în cazurile importante K C și K R.
Dacă K este corp algebric închis (în particular, K C), atunci polinoamele ireductibile
unitare din K[X] sînt de forma X a, a K . Deci celula Jordan J((X a)k) este:
a 1 0 … 0 0
0 a 1 …0 0
J((X a)k)
Mk(K)
.
0 0 0 … a 1
0 0 0 … 0 a
În cazul K R, polinoamele ireductibile unitare din R[X] sînt de forma X a, a R (și
celula Jordan J((X a)k) este ca mai sus), sau de forma X 2 bX c, cu b, c R și
b2 4c 0, caz în care celula Jordan J((X 2 bX c)k) este:
III.4 Aplica ție: endomorfismele unui spa țiu vectorial finit dimensional
115
J((X 2 bX c)k)
bcbcbcbc
10 00100100100100 010010
M2k(R).
Exerciții
În exerciții, K este un corp comutativ, V este un K-spațiu vectorial finit dimensional și u un
endomorfism al lui KV.
1. Fie u End K(V). Demonstra ți că vectorii proprii corespunz ători unor valori proprii
distincte ale lui u formează un sistem liniar independent.
2. Dați exemplu de trei matrice din M 3(Q) care să aibă unica valoare proprie 2 și să nu fie
asemenea dou ă cîte două. Există patru astfel de matrice? Generalizare.
3. Determina ți endomorfismele u End K(V) care au polinomul minimal de grad 1.
4. Dați exemplu de matrice care au acela și polinom minimal și același polinom caracteristic,
dar nu sînt asemenea.
5. Fie A Mn(K) astfel încît polinomul caracteristic al lui A se descompune în factori de grad
1 în K[X] (se mai spune c ă A are toate valorile proprii în K ). Atunci A este asemenea cu o
matrice T (tij) Mn(K), triunghiular ă superior (adic ă tij 0 dacă i j). În acest caz, A se
numește trigonalizabil ă. Reciproca este adev ărată?
6. Fie A Mn(K) și p K[X]. Dacă A are toate valorile proprii 1, …, n în K, atunci p(A) are
valorile proprii p(1), …, p(n). (Ind. Fie A T, cu T triunghiular ă superior. Pe diagonala lui T
sînt 1, …, n. Calculați p(T).)
7. Calculați polinomul caracteristic și polinomul minimal pentru matricele urm ătoare:
III. Module finit generate peste inele principale 116
1000011010100101
,
4267921337
,
2000001 100102 101
8. Fie A Mn(K). Atunci tA este asemenea cu A. Mai mult, exist ă U GL( n, K), simetric ă,
astfel încît tA U 1AU.
9. Fie R un inel comutativ unitar și n N*. Generaliza ți noțiunile relevante și demonstra ți
teorema Cayley-Hamilton : dacă E este un R-modul liber de rang n și u End R(E), atunci u
este rădăcină a polinomului s ău caracteristic: fu(u) 0. (Ind.: fie A matricea lui u într-o baz ă
(e1, …, en) și XI A B (bij) Mn(R[X]); fu det B. În R[X]-modulul Eu au loc egalit ățile
j bijej 0, i. Fie Bik R[X] complementul algebric al lui bik în matricea B. Pentru k fixat,
înmulțind egalitatea i cu Bik și sumînd dup ă i, se obține fu(X)·ek 0 fu(u)(ek).)
10. Fie R un inel comutativ unitar și A U(Mn(R)) o matrice inversabil ă. Atunci A este o
combinație liniară cu elemente din R de I, A, …, A n 1. (Ind. Folosiți teorema Cayley-
Hamilton.)
11. Fie u End K(V). Atunci V nu are subspa ții u-invariante proprii K[X]-modulul Vu este
simplu polinomul caracteristic al lui u este ireductibil în K[X].
12. Fie u End K(V) un endomorfism care are valoarea proprie 0. Atunci V U W, cu U, W
subspații invariante fa ță de u și dim U 1.
13. Fie u End K(V) un endomorfism nilpotent (r 1 astfel încît u r 0). Atunci Tr u k 0,
k 1. Reciproc, dac ă caracteristica lui K este 0 și Tr u k 0, k 1, atunci u este nilpotent.
(Ind. Fie f polinomul caracteristic al lui u; în relația f(u) 0 se aplic ă Tr și deduceți că 0 este
valoare proprie pentru u. Deci u are un subspa țiu invariant de dimensiune dim V 1.)
14. Fie V U W (sumă directă de subspa ții). Atunci orice v V se scrie unic sub forma
v u w, cu u U, w W. Definim aplica țiile , : V → V prin: u U, w W,
(u w) u ( se numește proiecția pe U paralelă cu W) și (u w) u w, ( se numește
simetria față de U paralelă cu W).
Arătați că și sînt K-endomorfisme ale lui V și găsiți polinoamele lor minimale.
117 Anexe
Anexele ce urmeaz ă prezintă o parte a bagajului de concepte și rezultate necesar par-
curgerii c ărții. Au fost incluse fie teme care sînt mai pu țin susceptibile de a fi fi incluse într-un
curs de anul I, fie teme necesare, dar a c ăror includere în text ar fi perturbat șirul ideilor.
Ideea este ca anexele s ă fie consultate în momentul în care se simte nevoia unei clarific ări
(sau a unei defini ții, a unui rezultat ajut ător …) în cursul parcurge rii textului principal.
1. Ideale prime și maximale
În cele ce urmeaz ă, inelele vor fi presupuse unitare. Dac ă I este ideal în inelul R, notăm
aceasta prin I R. Un ideal I se numește ideal propriu dacă I R. Dacă I și J sînt ideale în R
cu I J, mai scriem uneori I J. Mulțimea idealelor unui inel este o latice în raport cu
incluziunea: pentru orice dou ă ideale I și J ale lui R, inf( I, J) I J, sup( I, J) I J, unde
am notat cu I J idealul sum ă a idealelor I și J, adică {i j | i I, j J}.
1.1 Defini ție. Fie R un inel comutativ. Un ideal P al lui R se nume ște ideal prim dacă
P R și oricare ar fi x, y P, din xy P rezultă x P sau y P. Un ideal M al lui R se
numește ideal maximal dacă M R și nu există ideale proprii ale lui R care includ strict pe M:
pentru orice J R, din M J rezultă M J sau J R.
1.2 Exemple. a) Dacă p este un num ăr întreg prim, atunci idealul generat de p în Z, notat
pZ, este ideal prim în Z. Reciproc, dac ă pZ este ideal prim, atunci p este num ăr prim.
b) Un ideal I este maximal în inelul R dacă este element maximal al mul țimii ordonate (cu
incluziunea) a idealelor proprii ale lui R. În inelul Z, orice ideal este de forma nZ, cu n Z.
De aici rezult ă că idealul nZ este maximal dac ă și numai dac ă n este num ăr prim. Într-adev ăr,
fie nZ ideal maximal. Atunci, m Z, din nZ mZ rezultă nZ mZ sau mZ Z; cu alte
Anexe
118
cuvinte, din m|n rezultă m ~ n sau m 1. Știind în plus c ă nZ Z, aceasta înseamn ă că n este
ireductibil, deci prim. Reciproca se ob ține în acela și mod.
c) Inelul R este integru dac ă și numai dac ă (0) este ideal prim.
d) Dacă K este corp, (0) este singurul s ău ideal propriu; (0) este și ideal maximal și ideal
prim.
O caracterizare util ă a idealelor maximale (respectiv prime), des folosit ă în aplica ții, este
dată cu ajutorul inelului factor.
1.3 Teorem ă. Fie R un inel comutativ și I un ideal propriu în R.
a) I este ideal prim dac ă și numai dac ă inelul factor R /I este integru.
b) I este ideal maximal dac ă și numai dac ă inelul factor R /I este corp.
Demonstra ție. a) Fie I un ideal prim. Fie a I, b I (cu a, b R) elemente din
R/I. Dacă 0, atunci ( a I)(b I) 0 I, adică ab I. Cum I este prim, ob ținem a I
sau b I, adică a I 0 I sau b I 0 I. Așadar, R/I este integru. Reciproc,
presupunem c ă R/I este integru și fie a, b R cu ab I. Aceasta înseamn ă că
(a I)(b I) 0 I, deci a I 0 I sau b I 0 I. Astfel, a I sau b I.
b) Presupunem c ă I este ideal maximal în R. Vrem să arătăm că orice element nenul al
inelului R/I este inversabil. Fie deci a I, cu 0 I, deci a I. Atunci idealul generat
de I și a, adică I Ra, include strict pe I; din maximalitatea lui I obținem I Ra R. În
particular, 1 R se scrie sub forma i ra, cu i I și r R. Avem deci
1 I (ra i) I ra I (r I)(a I), ceea ce arat ă că a I este inversabil. Fie acum R/I
corp și J un ideal care include strict pe I. Există așadar x J, x I. Aceasta înseamn ă că
x I 0 I, deci x I este inversabil. Putem scrie atunci 1 I (r I)(x I), cu r R, adică
există i I astfel încît 1 rx i. De aici rezult ă că 1 J, adică J R.
1.4 Corolar. Orice ideal maximal în inelul R este prim.
Reciproca acestui rezultat este fals ă: idealul ( X) al inelului Z[X] este prim și nu este
maximal, dup ă cum se vede considerînd inelul factor: X XZ Z, care e integru dar nu e
corp. Propunem cititorului s ă demonstreze aceste fapte cu ajutorul defini ției idealului prim,
respectiv maximal.
Dacă R este inel principal care nu e corp, id ealele prime nenule coincid cu idealele
maximale și sînt idealele generate de elemente ireductibile.
Lema lui Krull (II.1.18) afirm ă că orice ideal propriu este in clus într-un ideal maximal.
2. Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
119
2. Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
Fie (R, +, ·) un inel comutativ unitar, fixat pe tot cuprinsul acestui paragraf.
2.1 Defini ție. Se nume ște R-algebră un inel ( A, , ·) (nu neap ărat asociativ sau unitar),
înzestrat cu o structur ă de R-modul, astfel încît s ă aibă loc condi țiile:
r(ab) (ra)b a(rb), r R, a, b A.
R-algebra A se nume ște asociativă (respectiv unitară, comutativ ă) dacă inelul A are
proprietatea corespunz ătoare.
Vom fi interesa ți de R-algebrele asociative și unitare . Pentru acest tip de algebre exist ă
următoarea caracterizare (care poate fi luat ă drept defini ție):
2.2 Propozi ție. a) Fie A o R-algebr ă asociativ ă și unitară și e elementul s ău unitate.
Atunci aplica ția : R → A definită de
(r) : re, r R
este un morfism unitar de inele cu proprietatea c ă (r)a a(r), r R, a A (adică
(R) Cen( A) {a A |ab ba, b A}).
b) Reciproc, dac ă A este un inel asociativ și unitar, iar : R → A este un morfism unitar
de inele cu (R) Cen( A), atunci A devine o R-algebr ă definind opera ția de R-modul prin
ra : (r)a, r R, a A.
Demonstra ție. a) Dacă r, s R, atunci, folosind defini ția R-algebrei, avem:
(r s) (r s)e re se (r) (s)
(r)(s) (re)(se) r(e(se)) r(se) (rs)e (rs).
Avem (1) 1e e (căci A este R-modul). Astfel, este morfism unitar de inele. Dac ă
r R, a A, (r)a (re)a r(ea) ra r(ae) a(re) a(r).
b) Propunem demonstra ția ca exerci țiu.
2.3 Observa ție. Morfismul : R → A dat de teorema de mai sus se nume ște morfismul
structural al R-algebrei asociative și unitare A. Evident, un inel A poate avea mai multe
structuri de R-algebră.
2.4 Exemple. a) Inelul de matrici p ătratice Mn(R) este o R-algebră asociativ ă și unitară
(necomutativ ă dacă n 2). Morfismul structural asociaz ă lui r R matricea cu r pe diagonala
principală și 0 în rest.
b) Inelul de polinoame R[X] este o R-algebră comutativ ă. Dacă K L este o extindere de
corpuri, L este o K-algebră. Care sînt morfismele structurale ( echivalent, care este structura de
modul) pentru aceste exemple?
Anexe
120
2.5 Defini ție. Fie A și B două R-algebre. Un morfism de inele : A → B care este și
morfism de R-module se nume ște morfism de R-algebre . Se observ ă că, dacă A și B sînt
asociative și unitare, de morfisme structurale , respectiv , un morfism unitar de inele
: A → B este morfism de R-algebre dac ă și numai dac ă ◦ .
În continuare ne vom referi exclusiv la algebre unitare și asociative .
O submul țime C a R-algebrei A se numește R-subalgebr ă a lui A dacă C este subinel în A și
r R, a C, rezultă ra C. Se verific ă imediat c ă intersecția unei familii de subalgebre
ale lui A este tot o subalgebr ă a lui A (vezi proprietatea corespunz ătoare de la inele sau de la
module). Astfel, pentru o submul țime oarecare S a lui A, se poate defini subalgebra generat ă
de S ca fiind intersec ția tuturor subalgebrelor lui A care includ S. Pentru R-algebre comutative
unitare, subalgebra generat ă de S se noteaz ă R[S] și este mul țimea expresiilor polinomiale în
elementele lui S, cu coeficien ți în R (cf. prop. IV.1.10).
Dacă : A → B este morfism de R-algebre, atunci (A) este o subalgebr ă a lui B. Un ideal
I al inelului A se mai nume ște ideal al R-algebrei A. Se vede imediat c ă, dacă I este ideal al
R-algebrei A, atunci inelul factor A/I este o R-algebră, de morfism structural ◦, unde
: A → A/I este proiec ția canonic ă. Această algebră se numește algebra factor a lui A relativ
la idealul I.
Acest paragraf descrie construcția algebrei monoidale peste inelul R. Se obțin drept
cazuri particulare inelele de polinoame de o mul țime oarecare de nedete rminate. Ideea ce st ă
la baza construc ției este urm ătoarea: fiind date un inel comutativ R și un monoid (G, ·), pe
R (G) (R-modulul liber peste mul țimea G) se define ște o opera ție de înmul țire asociativ ă, care
pentru elementele lui G s ă coincidă cu înmul țirea din G. Orice element din R (G) se scrie ca o
sumă finită
Gggga
, (cu ag R, g G).
Produsul dintre g, h G (văzute ca elemente în baza lui R (G)) este gh (văzut ca element în
baza lui R (G)); acest produs se extinde prin linearitate la orice element al lui R (G), de forma de
mai sus. Construc ția riguroas ă este descris ă în continuare.
Fie deci ( G, ·) un monoid ( G este o mul țime nevid ă înzestrată cu o opera ție „ ·”, asociativ ă
și cu element neutru e). Definim suportul unei aplica ții : G → R ca fiind mul țimea
supp() : {g G | (g) 0}. Fie R[G] { : G → R | supp() este finit}. O func ție din R[G]
se numește funcție de suport finit . Pe mulțimea R[G] definim urm ătoarele legi de compozi ție
internă: R[G], g G, punem
( )(g) : (g) (g)
2. Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
121
( ·)(g) :
guvGGvuv u
, .
Din prima defini ție este clar c ă este func ție de la G la R; trebuie ar ătat că și este
corect definit ă, adică suma din defini ția lui · are un num ăr finit de termeni nenuli. Într-
adevăr, mulțimea perechilor ( u,v) GG cu proprietatea c ă (u)(v) 0 este inclus ă în
supp()supp(), care este finit ă.
Trebuie s ă arătăm că sînt func ții de suport finit. Se observ ă că supp( )
supp() supp(), care e finit ă. Pentru , dacă g G \ {uv |u supp() și v supp()},
atunci ()(g) este 0, c ăci toți termenii din suma din defini ție sînt nuli. Deci supp( ) este
inclus în { uv | u supp() și v supp()}, care este finit ă.
Așadar, „” și „ · ” sînt corect definite și sînt legi de compozi ție internă pe R[G]. Se poate
defini și o operație externă „·” : R R[G] → R[G], prin
(r)(g) : r(g), r R, R[G], g G.
În raport cu aceast ă operație, R[G] devine un R-modul, care nu este altceva decît
R-modulul liber de baz ă G (dacă se face abstrac ție de opera ția de înmul țire în R[G]).
2.6 Propozi ție. (R[G], , ·) este inel asociativ unitar.
Demonstra ție. Probăm asociativitatea înmul țirii. Fie , , R[G] și g G.
guvGvuvu g
2,
gstvGvts
guvGvu
ustGtsvts v ts
3 22,, ,, .
Calculînd ( ())(g), se obține același lucru, deci ( ) ().
Existența elementelor neutre pentru adunare și înmulțire este demonstrat ă mai jos.
Verificarea celorlalte axiome este propus ă ca exerci țiu.
Este necesar s ă facem leg ătura cu inelele de polinoame clasice și să arătăm că această
construcție satisface cerin țele de la începutul paragraf ului. Pentru aceasta, introducem
următoarele elemente din R[G]:
g G, definim g : G → R prin
ghghhgă dac ,1 ădac ,0 , h G;
r R, definim r : G → R prin
eh rehhr ădac , ădac ,0 , h G.
Este evident c ă g, r R[G], g G,r R. Au loc urm ătoarele propriet ăți:
2.7 Propozi ție. a) Aplica ția i : R → R[G], dată prin i (r) r, r R, este un morfism
injectiv de inele. În plus, Im i este inclus ă în centrul lui R [G] (adică R[G] este o R-algebr ă de
Anexe
122
morfism structural i). De aceea, vom scrie r în loc de r (identificînd pe r R cu imaginea sa
r R[G]).
b) Aplicația j : G → (R[G], ·), j(g) g, g G, este un morfism injectiv de monoizi. Vom
scrie g în loc de g (identificînd pe g G cu imaginea sa g R[G]).
c) Pentru orice g, h G și r R, avem (r·g)(h)
gh rgh
ădac , ădac ,0.
d) Orice element din R [G] se scrie sub forma unei sume finite:
supp supp gg
ggg ga,
unde, în a doua sum ă, am notat (g) cu a g, am identificat pe g cu g și am identificat (g) cu
ag (g),g G. Aplica ția definită pe G cu valori în R , g ag, este de suport finit.
Scrierea lui este unic ă: dacă
Ggg
Ggg gb ga
, pentru dou ă aplicații de suport finit
g ag și g bg de la G la R, atunci a g bg, g G.
e) Elementul neutru pentru adunare este 0 (scris ca sum ă de tipul
Gggga
sub forma
sumei cu un termen 0e). Elementul neutru la înmul țire este e 1e.
Demonstra ție. a) Este evident c ă r s r s, r, s R. Calculînd r·s, obținem
r·s(g)
guvs r v u . Dacă g e, atunci, pentru orice cuplu ( u, v) cu proprietatea c ă uv
g, avem că u e sau v e, deci v us r 0. Așadar, dacă g e, atunci r·s(g) 0. La fel
se observ ă că (r·s)(e) r(e)·s(e) rs. În concluzie, avem r·s rs. Injectivitatea este
clară.
b) Injectivitatea este u șor de demonstrat. Prob ăm că gh gh, g, h G. Pentru x G,
x gh, avem c ă (gh)(x)
xuvh g v u 0, căci din uv x gh rezultă că u g sau
v h. Pe de alt ă parte, (gh)(gh) 1 (verificare u șoară).
c) Exercițiu.
d) Avem, h G,
hh hhh hga
ggg
gg
supp ădac , supp ădac ,0
supp supp .
Am folosit în ultima egalitate faptul c ă
gh gghhgg ădac , ădac ,0
, după cum s-a
văzut la punctul c).
Unicitatea rezult ă din faptul c ă h
Ggg a hga
, h G.
2. Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
123
e) Demonstr ăm că e este unitatea inelului R[G]. Pentru orice g G, avem
ge ge g eg (am aplicat punctul c). Cazul general rezult ă folosind scrierea de la d)
și distributivitatea.
2.8 Observa ții. a) Din construc ție, rezultă că R[G] este izomorf cu R-modulul liber de
bază G. Putem interpreta elementele lui R[G] ca fiind sume „formale” finite de forma
gG agg, unde ( ag)gG este o familie de suport finit de elemente din R, indexată după
elementele lui G. Observăm că putem identifica a R cu „suma” cu un termen a·e; la fel,
putem identifica g G cu 1· g. Adunarea se face dup ă regula
gG agg gG bgg gG (ag bg)g, iar înmul țirea satisface distributivitatea la stînga și la
dreapta fa ță de adunare și regula (1· g)·(1·h) 1·(gh). Avem :
Ggg uvvu
Ggg
Ggg gba gb ga
.
Astfel, R[G] satisface condi țiile de la începutul acestui paragraf. Orice element al lui R[G]
se scrie în mod unic sub forma gG agg, subînțelegîndu-se c ă este vorba de sume finite. În
particular, gG agg 0 ag 0, g G.
b) Dacă G este monoid comutativ, atunci și R[G] este inel comutativ. Dac ă G nu este
comutativ, atunci R[G] nu este comutativ, dup ă cum arat ă punctul b) al propozi ției
precedente.
Pentru ( G, ·) (N, se obține construc ția uzuală a inelului de polinoame într-o
nedeterminat ă cu coeficien ți în R . Într-adev ăr, R[N] este format din func țiile : N → R de
suport finit (adic ă șiruri finite de elemente din R). Notînd (i) : ai, i N, forma general ă a
unui element f din R[N] este f
N iiia. Ținînd cont c ă ij i j, pentru orice i, j N, avem
că i (1)i, i N. Notînd 1 cu X, se obține scrierea uzual ă f iN ai X i (sumă finită).
La fel, considerînd monoidul comutativ ( N n, (pentru n N* fixat), unde adunarea este
definită pe componente, se ob ține construc ția inelului R[N n], numit inelul de polinoame în n
nedeterminate 42. Un element din R[N n] se nume ște polinom (în n nedeterminate). Pentru a
face legătura cu scrierea clasic ă a polinoamelor, fie ei : (0,…,1,…,0) N n (1 pe locul i, 0 în
rest), pentru fiecare i {1, …, n}. Se vede u șor că orice element din N n se scrie în mod unic –
pînă la o ordine a termenilor- ca o sum ă de ei (cu alte cuvinte, ei genereaz ă monoidul N n).
Notăm elementul
ie cu Xi și îl numim nedeterminat ă. Un produs de nedeterminate (de forma
42 Se mai spune „polinom de n nedeterminate”. Se mai folose ște terminologia „necunoscut ă” sau „variabil ă”
în loc de „nedeterminat ă”.
Anexe
124
ni
niX X1
1 ) se nume ște term. Orice polinom g din R[N n] se scrie în mod unic sub forma unei
sume finite:
g
n
nn
n
i ii
ni
ii X X a
N,,1
11
1
,
unde n
nn i iiiaN,,11 este o familie de suport finit de elemente din R. Deci g este o
combinație liniară cu coeficien ți în R de termi. Orice termen al sumei din membrul drept (de
forman
ni
ni
ii X X a1
1 1 , cu
niia1 R, nenul) se nume ște monom al lui g.
Invităm cititorul s ă verifice detaliile. R[N n] se noteaz ă de obicei cu R[X1,…, Xn].
Construim acum inelul de polinoame de S nedeterminate , unde S este o mul țime nevid ă
oarecare. Se consider ă mulțimea N(S) a funcțiilor de suport finit definite pe S cu valori în N.
Interpretăm elementele lui N(S) ca „multiindici” și le notăm cu i, j,… . Înzestr ăm N(S) cu o
operație notată aditiv: dac ă i, j N(S), punem (i j)(s) i(s) j(s), s S. Se vede imediat
că se obține o structur ă de monoid comutativ. Inelul R[N(S)] se nume ște inelul de polinoame
de S nedeterminate cu coeficien ți în R . Pentru orice s S, consider ăm funcția es N(S), dată
prin
tststsdacă dacă
,1,0e , t S și notăm cu Xs elementul
se R[N(S)]. Orice element i din
N(S) se scrie în mod unic sub forma i
Ssssme, unde ( ms)sS este o familie de suport finit de
numere naturale43 indexată după S. Așadar,
ii
suppsm
ssX . În consecin ță, un polinom
oarecare f din R[N(S)] se scrie sub forma f
Fa
iii, cu F o submul țime finită a lui N(S); dacă
notăm iF supp( i) cu { s1, …, sn} (este o submul țime finită a lui S), atunci avem o scriere
f
n
nn
n n
m mm
sm
s m m X X a
N ,,11
1 1
,
unde suma este finit ă, adică familia n
nn m mm maN,,11 este de suport finit.
Se observ ă că orice polinom de S nedeterm inate este polinom de un num ăr finit de
nedeterminate din S . Inelul R[N(S)] se noteaz ă cu R[(Xs)sS] sau R[Xs]sS sau R[X; S].
2.9 Teorem ă. (Proprietatea de universali tate a algebrei monoidale) Fie R un inel
comutativ, (G, ·) un monoid și i : R → R[G], j : G → R[G] aplicațiile canonice definite la 2.7.
Tripletul format din algebra monoidal ă R[G] împreună cu aplica țiile i și j are urm ătoarea
proprietate de universalitate : pentru orice R-algebr ă T de morfism structural : R → T și
43 Evident, înmul țirea dintre m N și i R[N(S)] este dată de (mi)(s) : m·i(s), s S.
2. Algebre. Algebre monoidale și algebre polinomiale
125
orice morfism de monoizi : G → (T, ·), există un unic morfism de R-algebre : R[G] → T
astfel încît ◦i și ◦j .
Demonstra ție. Presupunem c ă este un morfism cu propriet ățile din enun ț. Așadar,
(r) (r), r R și (g) (g), g G. Dacă gG agg este un element oarecare din R[G],
atunci
Ggg
Ggg g a ga
Ggg g a
, ceea ce arat ă că este unic determinat de
și . Un calcul direct arat ă că dat de egalitatea de mai sus este morfism de inele și
satisface condi țiile cerute.
Proprietatea de universalit ate a algebrei monoidale determină această algebră pînă la un
(unic) izomorfism : dacă tripletul ( , , ) (cu A o R-algebră de morfism structural : R → A și
cu : G → (A, ·) un morfism de m onoizi) satisface aceea și proprietate de universalitate ca
tripletul ( R[G], i, j), atunci exist ă un unic izomorfism de R-algebre : R[G] → A astfel încît
i și j (vezi și 4.7)
Particularizînd aceast ă teoremă la cazurile clasice de inele de polinoame se ob ține
următoarea teorem ă important ă :
2.10 Teorem ă. Fie R un inel comutativ și A o R-algebr ă.
a) (Proprietatea de universalita te a algebrei de polinoame R[X]) Pentru orice a A există
un unic morfism de R-algebre v a : R[X] → A cu proprietatea c ă va(X) a.
b) (Proprietatea de universalitate a algebrei de polinoame R[X1,…, X n]) Fie n N* fixat.
Pentru orice n-uplu a (a1,…,a n) A n există un unic morfism de R-algebre
va : R[X1,…, X n] → A astfel încît v a(Xi) ai, i {1,…, n}.
c) (Proprietatea de universalitate a inelului de polinoame R[X; S]) Fie S o mul țime nevid ă.
Pentru orice aplica ție : S → A există un unic morfism de R-algebre v : R[X; S] → A astfel
încît v(Xs) (s), s S.
Demonstra ție. Punctul a) este un caz particular al lui b), care se ob ține la rîndul s ău din c)
punînd S {1, …, n}. Pentru a demonstra c), observăm că induce un morfism de monoizi
: N(S) → (A, ·), (i)
s
ssi
i
supp , i N(S)
Aplicînd proprietatea de universalitate a algebrei monoidale R[N(S)] R[X; S], rezultă
existența unui morfism de R-algebre v : R[X; S] → A astfel încît v ◦j , unde GRjG
T
Anexe
126
j : N(S)→ R[X; S] este aplica ția canonic ă; în cazul nostru j(es) Xs, s S. Deci
v (Xs) (es) (s).
Unicitatea lui v rezultă astfel: dac ă v : R[N(S)] → A este un morfism de R-algebre cu
v(Xs) (s), atunci v◦j , unde este morfismul definit mai sus. Din partea de unicitate a
proprietății de universalitate a algebrei monoidale rezult ă că v v.
Morfismul va (respectiv va) care apare la punctele a) și b) se nume ște morfismul de
evaluare ; dacă a (a1, …, an) A n și f R[X1, …, Xn], atunci va( f ) se noteaz ă prin tradi ție
f (a1, …, an) și se nume ște valoarea polinomului f în (a1, …, an). Așadar:
f
n
ii
iXb
0 R[X], a A, avem va( f ) f (a)
n
ii
iab
0;
f
n
nn
n
i ii
ni
ii X X b
N,,1
11
1
R[X1,…, Xn], a (a1, …, an) A n, avem
va( f )
n
nn
n
i ii
ni
ii n a a b a af
N ,,1 1
11
1,,
.
Teorema de mai sus formalizeaz ă și dă un sens precis expresiei „ se dau valorile a 1, …, an
nedeterminatelor X 1, …, Xn”.
O proprietate util ă a R-algebrelor R[X1,…, Xn] (uneori folosit ă pentru a le defini prin
inducție după n) este:
2.11 Teoremă. Fie n 1. Atunci exist ă un izomorfism canonic de R-algebre:
R[X1,…, Xn] R[X1,…, Xn1][Xn] .
Demonstra ție. Folosim 2.10. b): ! : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn1][Xn], morfism de
R-algebre, cu (Xi) Xi, 1 i n. Fie A : R[X1,…, Xn1].
Invers, din 2.10. b) aplicat lui R[X1,…, Xn1], ! : R[X1,…, Xn1] → R[X1,…, Xn], mor-
fism de R-algebre, cu (Xi) Xi, 1 i n 1. Astfel, R[X1,…, Xn] devine o A-algebră de
morfism structural . Proprietatea de universalitate a A-algebrei de polinoame A[Xn] arată că
există un unic : A[Xn] → R[X1,…, Xn], morfism de A-algebre și (Xn) Xn. Evident, este
și morfism de R-algebre.
Arătăm că id. : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] este morfism de R-algebre cu
(Xi) Xi, 1 i n, iar id : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] are acelea și propriet ăți. Partea de
unicitate de la 2.10. b) arată că id. La fel, id, deci este izomorfism.
În continuare, facem cîteva considera ții asupra no țiunii de grad al unui polinom.
Dacă aX n este un monom în R[X] (cu a 0), n se nume ște gradul lui aX n. Punem
grad 0 .
3. Inele și module de frac ții
127
Dacă g R[X], g a0 a1X … anX n, cu an 0, numărul natural n se nume ște gradul
lui g, notat grad g (sau deg g) 44. Deci gradul lui g este cel mai mare grad al monoamelor lui g.
Elementele a0, …, an R se numesc coeficienții polinomului g, iar an se numește coeficientul
dominant al lui g.
Dacă ni
niX aX1
1 este un monom în R[X1,…, Xn] (cu a 0), și 1 k n, definim gradul în
Xk: ki
niX X aXn, grad1
1 : ik (exponentul lui Xk în monom). Pentru un polinom
g R[X1,…, Xn], grad ( g, X k) este cel mai mare grad în Xk al monoamelor lui g. Dacă R este
inel integru, atunci gradul este aditiv : g, h R[X1,…, Xn],
grad ( gh, X k) grad ( g, X k) grad ( h, X k).
Avem și:
grad ( g h, X k) max(grad ( g, X k), grad ( h, X k)).
Este utilă și noțiunea de grad total : gradul total al monomului ni
niX aX1
1 este i1 … in;
gradul total al unui polinom g este cel mai mare grad total al monoamelor sale. În general,
cînd se vorbe ște fără alte preciz ări de „gradul” unui polinom în mai multe nedeterminate, este
vorba de gradul s ău total. Un polinom care are toate monoamele de acela și grad se nume ște
polinom omogen sau formă. Și gradul total este aditiv, dac ă R este integru.
3. Inele și module de frac ții
Procedeul de construc ție a corpului Q plecînd de la inelul integru Z are o generalizare
naturală la orice inel unitar și comutativ R (deși în general nu se va obține un corp). În Q,
toate elementele nenule din Z devin inversabile. În unele cazuri, nu avem nevoie ca toate
elementele nenule dintr-un inel R să devină inversabile într-o „ext indere” a sa, ci numai o
parte din ele. În acest sens, este natural ă definirea unui concept care s ă corespund ă noțiunii de
„mulțime de numitori”. În continuare, toate inelele sînt unitare și comutative; R desemneaz ă
un astfel de inel.
3.1 Defini ție. O submul țime S a lui R se numește sistem multiplicativ închis dacă:
a) 1 S.
b) 0 S.
b) s, t S, rezultă st S.
44 De la englezescul degree (sau francezul degré).
Anexe
128
Exemple de sisteme multiplicative închise în Z: Z \ {0}, Z \ 2Z, {2 n | n N}.
Fiind date inelul R și sistemul multiplicativ închis S R, vom construi un inel T și un
morfism de inele : R → T, astfel încît imaginile prin ale elementelor din S să fie
inversabile în T (deci T va fi o R-algebră de morfism structural ).
3.2 Definiție. Pe R S {(a, s) | a R, s S} definim rela ția: (a, s), (b, t) R S,
(a, s) (b, t) u S astfel încît u(ta sb) 0.
3.3 Observa ție. În cazul clasic al construc ției lui Q s-a luat R Z, S Z* și s-a folosit
relația definită astfel: (a, s), (b, t) R S, (a, s) (b,t) ta sb 0. Se observ ă că această
definiție coincide în acest caz cu defini ția 3.2 (sau, mai gene ral, în cazul cînd S nu conține
divizori ai lui 0). Defini ția 3.2 este adaptat ă și cazului cînd sistemul multiplicativ S conține
divizori ai lui zero.
3.4 Propozi ție. Relația " " este o rela ție de echivalen ță pe R S.
Demonstra ție. Probăm tranzitivitatea. Fie ( a, s), (b, t), (c, u) R S astfel încît
(a, s) (b,t) și (b, t) (c,u). Atunci v, w S astfel încît v(ta sb) 0 și w(ub tc) 0.
Înmulțim prima rela ție cu uw și a doua cu sv și le adunăm. Se obține
uwvta uwvsb svwub svwtc 0 vwt(ua sc) 0.
Cum S este sistem multiplicativ, vwt S, deci ( a, s) (c,u).
3.5 Definiție. Fie ( a, s) R S. Clasa de echivalen ță a lui ( a, s) în raport cu rela ția se
notează cu sa sau a/s și se nume ște fracție (de numitor s și numărător a). Mulțimea
R S/(mulțimea claselor de echivalen ță în raport cu rela ția ) se noteaz ă cu S 1R. Deci
S 1R : { a/s | a R, s S}.
Din defini ție, tsta
sa , s,t S, a R.
Definim pe S 1R două operații, ghidîndu-ne dup ă regulile uzuale de adunare și înmulțire a
două fracții. Oricare ar fi ( a, s), (b, t) R S, definim:
stsbta
tb
sa :
stab
tb
sa:
3.6 Propozi ție. Operațiile și · pe S 1R sînt bine definite și înzestreaz ă pe S 1R cu o
structură de inel comutativ și unitar, elementele 0 și 1 în S 1R fiind:
s0
100 , s S;
3. Inele și module de frac ții
129
ss111, s S.
Aplicația : R → S 1R, (a) a/1, a R, este un morfism unitar de inele, numit
morfismul canonic (deci S 1R este o R -algebră).
Demonstra ție. Verificăm doar faptul c ă adunarea este corect definit ă. Fie ( a, s), (b, t),
(a', s'), (b', t') R S, astfel încît ( a, s) (a', s') și (b, t) (b', t'). Avem de ar ătat că
(ta sb, st ) (t'a' s'b', s't' ). Fie u, v S astfel încît u(s'a sa') 0 și v(t'b tb') 0.
Înmulțim prima egalitate cu tt'v și a doua cu ss'u și le adunăm. Obținem
vu ((ta sb)s't' (t'a' s'b')st) 0.
Observăm că orice s S are imaginea prin inversabil ă în S 1R: (s) s/1 are inversul
1/s. Morfismul este injectiv S nu conține divizori ai lui 0. Mai observ ăm că, dacă 0 S,
atunci S 1R este inelul nul (cu un singur element, 0 /1 a/s, a R, s S), motiv pentru
care condi ția 0 S este impus ă în definiția sistemului multiplicativ închis.
3.7 Teorem ă. (Proprietatea de universali tate a inelului de frac ții) Fie R un inel unitar,
comutativ și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci S 1R este un inel comutativ unitar și
: R → S 1R este un morfism unitar astfel încît (s) este inversabil în S, s S. Mai mult:
Pentru orice inel comutativ unitar T și orice morfism unitar : R → T astfel încît (s) este
inversabil în T, s S, există un unic morfism de inele g : S 1R → T astfel încît g.
Demonstra ție. Definim g(a/s) (a)((s)) 1, a R, s S. Lăsăm cititorului
verificarea faptului c ă definiția lui g este corect ă, că g este morfism și că este unicul astfel
încît g.
După cum este de a șteptat, proprietatea de unive rsalitate a inelului de frac ții determin ă
inelul de frac ții pînă la un (unic) izomorfism, adic ă:
3.8 Teorem ă. Fie R un inel unitar, comutativ și S un sistem multiplicativ închis în R.
Presupunem c ă B este un inel comutativ unitar și : R → B este un morfism astfel încît:
Pentru orice inel comutativ unitar T și orice morfism unitar : R → T astfel încît (s) este
inversabil în T, s S, există un unic morfism de inele g : B → T astfel încît g.
Atunci exist ă un unic izomorfism unitar de inele h : S 1R → B astfel încît h .
Construcția descris ă se poate aplica unui R-modul M, cu modific ări minore. Astfel, fiind
date sistemul multiplicativ închis S R și R-modulul M, definim pe M S relația de
echivalen ță: (a, s), (b, t) M S, (a, s) (b, t) u S astfel încît u(ta sb) 0 (exact
ca la 3.2). Urm ătoarea propozi ție se demonstreaz ă la fel ca în cazul lui S 1R:
Anexe
130
3.9 Propozi ție. Fie M un R-modul și S un sistem multiplicativ închis în R. Atunci rela ția
" " definită mai înainte este o rela ție de echivalen ță pe M S. Notînd cu sx clasa lui
(x, s) M S și S 1M :
SsMxsx, , S 1M devine un grup abelian cu adunarea
definită de: x, y M, s, t S,
stsytx
ty
sx :.
Mai mult, S 1M este un S 1R modul cu înmul țirea definit ă de: a R,x M, s, t S,
stax
tx
sa:.
S 1R-modulul S 1M se nume ște modulul de frac ții al lui M în raport cu sistemul
multiplicativ S. Morfismul M : M → S 1M, M(x) x/1, x M, se nume ște morfismul
canonic .
Legătura dintre idealele lui R și cele ale inelului de frac ții este strîns ă. O proprietate
imediată este dată de:
3.10 Propozi ție. Fie I un ideal în inelul R. Atunci S 1I : {a/s | a I, s S} este ideal în
S 1R. Mai mult, orice ideal din S 1R este de forma S 1I, cu I ideal în R.
Demonstra ție. Se verific ă imediat c ă S 1I S 1R dacă I R. Dacă acum J S 1R, fie
I 1(J) (ideal în R). Avem chiar a/1 J s S astfel încît a/s J. Deci
1(J) {a R | s S astfel încît a/s J}. Atunci S 1I {a/s | a I, s S} J.
O legătură asemănătoare exist ă între submodulele lui M și cele ale lui S 1M (o puteți
enunța?).
3.11 Definiție. Un sistem multiplicativ închis S R se numește saturat dacă toți divizorii
elementelor din S aparțin lui S: s S, d, r R cu dr s, rezultă d S și r S. Dacă S este
un sistem multiplicativ închis oarecare, not ăm
S' : {d R | r R, s S astfel încît dr s}.
S' se numește saturatul sistemului multiplicativ închis S. Evident, S este saturat S S'.
Este utilă următoarea proprietate, care exprim ă faptul că în construirea inelelor de frac ții ne
putem limita la sisteme multiplicative închise saturate .
3.12 Propozi ție. Fie S un sistem multiplicativ închis în inelul R. Atunci:
a) S' este sistem multiplica tiv închis saturat în R.
b) Are loc un izomorfism canonic S 1R S' 1R.
Demonstra ție. a) Se verific ă definițiile.
3. Inele și module de frac ții
131
b) Notăm relația de echivalen ță pe S' R (definită ca la 3.2) cu , iar clasa de echivalen ță a
perechii ( a, s) din R S' cu a//s S' 1R (pentru a o distinge de frac ția a/s din S 1R). Definim
: S 1R → S' 1R, (a/s) a//s, a/s S 1R. Defini ția nu depinde de alegerea
reprezentan ților a și s: dacă (a, s) (b, t), atunci ( a, s) (b, t). Se vede imediat c ă este
morfism de inele. Avem Ker {a/s S 1R | a//s 0//1}. Dar a//s 0//1 u S' astfel
încît ua 0. Deci r R astfel încît ur S și avem ura 0, adică a/s 0/1. Astfel,
Ker {0/1}. Avem și surjectiv: dac ă a//d S' 1R, cu a R, d S', atunci exist ă r R
astfel încît dr S. E clar atunci c ă r S', deci a//d ar//dr (ar/dr).
Un exemplu important de sistem multiplicativ închis și de inel de frac ții corespunz ător este
următorul:
3.13 Propozi ție. Fie P un ideal prim în inelul R. Atunci S : R \ P este un sistem
multiplicativ închis în R și inelul de frac ții S 1R are un unic ideal maximal (este inel local) .
Demonstra ție. Condiția de ideal prim este: dac ă a, b P, atunci ab P, ceea ce arat ă că S
este sistem multiplicativ închis. Dac ă I R, I S , atunci S 1I S 1R. Într-adev ăr, dacă
s I S, atunci s/1 S 1I și este inversabil, deci S 1I R. Așadar, idealele proprii în S 1R
sînt de forma J S 1I, cu I S ( I P), adică J S 1P. Dar S 1P este ideal propriu:
dacă 1/1 p/s, cu p P, s S, atunci u S astfel încît u(s p) 0 us P u P sau
s P, contradic ție cu S R \ P. Astfel, S 1P este unicul ideal maximal în S 1R.
Tehnica trecerii la inelele de frac ții se mai nume ște și localizare , denumire care provine
din Geometria Algebric ă. Dacă S R \ P, cu P ideal prim, inelul de frac ții S 1R se noteaz ă de
obicei prin RP și se nume ște localizatul în P al lui R; dacă M este un R-modul, modulul S 1R
se noteaz ă cu MP (numit, de asemenea localizatul lui M în P). De exemplu, dac ă R este
integru, atunci (0) este ideal prim și R(0) este corpul de frac ții al lui R.
Dacă u : M → N este un morfism de R-module, atunci definim aplica ția
S 1u : S 1M → S 1N, (S 1u)(x/s) : u(x)/s, x M, s S.
Se vede u șor că S 1u este morfism de S 1R-module și că este unicul morfism de
S 1R-module care are proprietatea c ă (S 1u)◦M N◦u.
Astfel, pentru un sistem multiplicativ închis S fixat, am definit un functor:
S 1 : R-Mod → S 1R-Mod.
Verificarea axiomelor functorului este l ăsată cititorului. Mai mult, S 1 este un functor
aditiv , adică, u1, u2 : M → N morfisme de R-module, avem:
S 1(u1 u2) S 1u1 S 1u2.
3.14 Propozi ție. Functorul S 1 : R-Mod → S 1R- Mod este exact, adic ă dacă șirul:
Anexe
132
C B Av u
este exact în R-Mod, atunci șirul
CS B ASvS uS 1 11 1
este exact în S 1R- Mod.
Afirmațiile nedemonstrate de mai sus sînt propuse cititorului. Unele detalii și dezvoltări
privind localizarea se pot g ăsi în A LBU, RAIANU [1984]. Menționăm că această tehnică are
generalizări și în cazul necomutativ. O tratare a inelelor de frac ții în cazul necomutativ este
dată în NĂSTĂSESCU [1976].
4. Categorii, functori
Limbajul teoriei categoriilor a devenit ast ăzi omniprezent în matematic ă. Introduse în 1942
de Saunders MacLane, categoriile sînt o nou ă treaptă în procesul de abstractizare propriu
matematicii. De exemplu, de la no țiunea abstract ă de număr întreg s-a trecut la no țiunea de
mulțime a numerelor întregi Z (ca nou obiect de studiu). Pr in abstractizarea unor propriet ăți
ale lui Z se obține conceptul mai general de inel. Așa a apărut ideea studiului structurilor date
prin axiome (grup, inel, corp, spa țiu topologic etc). În cazul categoriilor, id eea este de a studia
clasa tuturor structurilor de un anumit tip (de exemplu clasa tuturor inelelor), împreun ă cu
morfismele dintre aceste structuri, f ăcînd abstrac ție de natura intern ă a elementelor lor.
Avantajul acestei abord ări este, ca și la studiul axiomatic al matematicii, dat de generalitate:
un rezultat valabil în oric e categorie va fi valabil și în categoria grupurilor, și în cea a spa țiilor
topologice etc.
Pe lîngă multe rezultate și clarificări aduse în cele mai diverse ramuri ale matematicii,
teoria categoriilor aduce și o simplificare și o standardizare, deloc neglijabile, ale limbajului
matematic. În aceast ă carte, motiva țiile și aplicațiile acestei teorii sînt mai ales în teoria
modulelor. Vom prezenta doar cîteva concepte de baz ă, utile unei mai bune în țelegeri ale unor
teme din aceast ă carte.
Pentru o tratare mai detaliat ă a teoriei categoriilor, se pot consulta în române ște lucrările
RADU GH. [1988], P URDEA [1982], N ĂSTĂSESCU [1976].
4.1 Defini ție. O categorie C constă din următoarele date:
4. Categorii, functori
133
– o clasă45 Ob C. Elementele46 lui Ob C se numesc obiectele categoriei C.
– pentru orice cuplu ( A, B), cu A, B Ob C, este dată o mulțime HomC(A, B) (posibil vid ă).
Elementele lui HomC(A, B) se numesc morfisme (sau săgeți) de la A la B sau încă morfisme de
sursă (domeniu) A și cosursă (codomeniu) B. Faptul c ă u HomC(A, B) se mai scrie
u : A → B sau B Au . Clasa {HomC(A, B)| (A, B) Ob COb C} se noteaz ă Hom C și se
numește clasa morfismelor categoriei C.
– pentru orice triplet ( A, B, C) de obiecte ale lui C este dat ă o funcție definit ă pe
HomC(B, C)HomC(A, B) cu valori în HomC(A, C). Imaginea cuplului ( u,v) este notat ă v◦u
(sau, prin simpl ă juxtapunere, vu) și se nume ște compunerea morfismelor v și u.
În orice categorie C sînt satisf ăcute următoarele axiome:
1) A, B, C, D Ob C, din ( A, B) (C, D) rezultă HomC(A, B)HomC(C, D ) . (orice
morfism are un unic domeniu și un unic codomeniu).
2) Compunerea morfismelor este asociativă: A, B, C, D Ob C și u : A → B,
v : B → C, w : C → D, are loc w(uv) (wu)v. (notat în continuare wuv)
3) A Ob C, există un morfism 1A : A → A (numit morfism identic sau unitate al lui A)
astfel încît, B Ob C și u : A → B, v : B → A, are loc u◦1A u și 1A◦v v.
4.2 Observa ție. a) Morfismul iden tic al unui obiect A este unic: dacă j: A → A este
morfism identic al lui A, atunci j j◦1A 1A.
b) În defini ția categoriei, esen țiale sînt morfismele . Aplicația Ob C → Hom C, A → 1A,
A Ob C, este injectiv ă și se pot identifica obiectele categori ei cu morfismele lor identice.
Se poate defini no țiunea de categorie folosind doar morfismele.
4.3 Exemple. a) Categoria Ens a mulțimilor47. Ob Ens este clasa mul țimilor. Dac ă A și B
sînt mulțimi, Hom Ens(A, B) este mul țimea tuturor func țiilor de la A la B. Compunerea
morfismelor în Ens este compunerea uzual ă a aplicațiilor. Morfismul identic al lui A este
funcția identică a lui A.
b) Categoria Gr a grupurilor. Ob Gr este clasa grupurilor și Hom Gr(G, H ) este mul țimea
morfismelor de grup de la G la H, G, H Ob Gr. Ca la Ens, compunerea este compunerea
funcțiilor.
45 Noțiunea de clasă este introdus ă în teoria axiomatic ă a mulțimilor (pentru a evita paradoxurile generate de
considerarea de mul țimi „foarte mari”). Orice mul țime este o clas ă, dar exist ă clase care nu sînt mul țimi (de ex.
clasa tuturor mul țimilor). Mul țimile sînt exact acele clase care sînt elemen te ale unei clase. Sînt definite opera ții
cu clase (reuniune, intersec ție etc.). Pentru detalii, se pot consulta de exemplu R EGHIȘ [1981] (axiomatica Gödel-
Bernays), S CORPAN [1995] (axiomatica Zermelo-Fraenkel).
46 În teoria axiomatic ă a mulțimilor, elementele oric ărei mulțimi (sau clase) sînt tot mul țimi.
47 În francez ă, ensemble mulțime. În literatura anglo-saxon ă, această categorie se nume ște Set.
Anexe
134
c) Fie R un inel unitar. Categoria R-Mod are ca obiecte R-modulele stîngi , iar morfismele
sînt morfismele de R-module cu compunerea uzual ă. La fel se define ște categoria Mod-R a
R-modulelor drepte .
d) Se definesc în mod asem ănător categoriile
– Ann: inelele cu morfismele de inele.
– Ann u: inelele unitare cu morfismele unitare de inele.
– Ab: grupurile abeliene cu morfismele de grupuri
– Ord: mulțimile ordonate cu morfismele aplica țiile crescătoare.
d) Fie ( A, ) o mulțime înzestrat ă cu o relație de preordine (tranzitiv ă și reflexivă). Definim
o categorie A, cu Ob A : A. Pentru orice a, b Ob A, Hom A(a, b) {(a, b)} dacă a b și
Hom A(a, b) în caz contrar. Propunem cititorulu i definirea compunerii morfismelor și
verificarea axiomelor 1) 3).
e) Fie ( G, ·) un monoid (opera ția · este asociativ ă și are element neutru). Definim o
categorie G în modul urm ător: Ob G este o mul țime cu un singur element (de exemplu
Ob G {G}), iar Hom G(G, G ) G (morfismele sînt elementele lui G); compunerea
morfismelor a, b G este a·b (· este opera ția de monoid a lui G). Morfismul identic este
elementul neutru.
Cititorul va putea da alte exemple de categorii, bazate pe experien ța sa matematic ă
(categoria semigrupurilor, categoria mul țimilor finite, categoria corpurilor, categoria spa țiilor
topologice cu morfismele aplica țiile continue etc.). De fiecare dat ă este necesar s ă se
precizeze exact clasa obiect elor categoriei, mul țimea morfismelor între dou ă obiecte oarecare
și să se verifice axiomele 1)-3).
Uneori vom scrie A C în loc de A Ob C, dacă nu sînt posibile confuzii.
4.4 Defini ție. Spunem c ă o categorie C este subcategorie a unei categorii D dacă
Ob C Ob D și, A, B Ob C, HomC(A, B) HomD(A, B), iar compunerea oric ăror două
morfisme în C este compunerea lor în D. Spunem c ă C este subcategorie plin ă a lui D dacă
A, B Ob C, HomC(A, B) HomD(A, B).
De exemplu, Ab este subcategorie plin ă a lui Gr. Categoria Ann u este o subcategorie a lui
Ann care nu este plin ă.
4.5 Defini ție. Definim unele obiecte și morfisme remarcabile într-o categorie C.
Particularizînd la diverse exemple de categorii, se ob țin noțiuni familiare.
a) Un obiect I C se numește obiect ini țial dacă A C, |HomC(I, A)| 1 (există un unic
morfism I → A). Un obiect F se nume ște obiect final dacă A C, |HomC(A, I)| 1. Un
obiect care este simultan ini țial și final se nume ște obiect nul .
4. Categorii, functori
135
b) Un morfism u : A → B se numește
– monomorfism dacă C C, v, w HomC(B, A), din uv uw rezultă v w.
– epimorfism dacă C C, v, w HomC(B, C), din vu wv rezultă v w.
– bimorfism dacă este simultan monomorfism și epimorfism.
– izomorfism dacă există v : B → A astfel încît uv 1B și vu 1A (în acest caz v se
numește inversul lui u).
Două obiecte A și B ale lui C se numesc izomorfe (notat A B) dacă există un izomorfism
A → B. Relația de izomorfism pe clasa Ob C este o rela ție de echivalen ță (demonstra ți!).
4.6 Exemple. a) În Gr există obiecte ini țiale: grupurile cu un singur element (care este în
mod necesar elementul neutru al gr upului respectiv). Acestea sînt și obiecte finale (deci sînt
obiecte nule) în Gr. Același lucru este valabil și în Ab, R-Mod .
b) În Ens mulțimea vidă este unicul obiect ini țial48; orice mul țime cu 1 element este
obiect final. Ens nu are obiecte nule.
c) Monomorfismele în Ens (ca și în Gr, Ab, R-Mod ) sînt morfismele care sînt aplica ții
injective. Cine sînt epimorfism ele? În aceste categorii izomorfi smele coincid cu bimorfismele.
d) În categoria Ann a inelelor unitare, incluziunea Z → Q este monomorfism și
epimorfism, f ără a fi funcție surjectiv ă și izomorfism.
4.7 Propozi ție. Fie C o categorie și A, B obiecte ini țiale în C. Atunci exist ă un unic
izomorfism A ~→ B.
Demonstra ție. Cum A este obiect ini țial, există un unic morfism : A → B. Și B este
obiect ini țial, deci exist ă un unic morfism : B → A. Morfismul : A → A este egal cu 1A
(căci există un unic morfism A → A). La fel, 1B. Deci și sînt izomorfisme inverse
unul celuilalt.
Este important de subliniat c ă diversele propriet ăți de universalitate pe care le satisfac
unele obiecte sînt de fapt reflectarea faptului c ă acele obiecte sînt obiecte ini țiale (sau finale)
în anumite categorii. Odat ă stabilit acest fapt, propozi țiile de tipul „proprietatea de
universalitate a … determin ă … pînă la un izomorfism”49 nu sînt decît traducerea propozi ției
„orice dou ă obiecte ini țiale (respectiv finale) într-o categorie sînt izomorfe”.
4.8 Exemple. a) Suma direct ă. Fie o familie ( Mi)iI de obiecte în R-Mod. Fie categoria S,
ale cărei obiecte sînt c upluri de forma ( S, (i)iI), unde S R-Mod și i : Mi → S sînt
48 Pentru orice mul țime A, există o unică funcție → A, anume func ția .
49 Se înlocuiesc „ …” cu „sum ă directă”, „produs direct”, „algebr ă monoidal ă” etc.
Anexe
136
morfisme în R-Mod , i I. Dacă (S, (i)iI), (T, (i)iI) S, definim morfismele în S între
aceste obiecte ca fiind morfismele de R-module : S → T cu proprietatea c ă i i, i I.
Propunem verificarea axiomelor de categorie.
Faptul că (S, (i)iI) este o sumă directă a familiei ( Mi)iI, de injecții canonice ( i)iI, este
echivalent cu a spune c ă (S, (i)iI) este obiect inițial în S.
b) Produsul direct. Fie o familie ( Mi)iI de obiecte în R-Mod . Faptul c ă (P, (i)iI) este un
produs direct al familiei ( Mi)iI este echivalent cu faptul c ă (P, (i)iI) este obiect final într-o
anumită categorie (care?).
Un principiu important, des folosit, este principiul dualit ății.
4.9 Defini ție. Dacă C este o categorie, categoria sa dual ă C° se define ște astfel:
Ob C° : Ob C; dacă A Ob C, notăm cu A° obiectul A văzut în C°. Pentru orice A, B Ob C,
punem HomC°(B°, A°) : HomC(A, B). Un morfism u : A → B în C îl vom nota cu u° : B° → A°
în C°. Compunerea în C° a două morfisme u° : B° → A° și v° : C° → B° este definit ă prin
u°v° : (vu)°, unde vu este compunerea morfismelor u : A → B și v : B → C în C. Evident,
există 1A° (1A)°.
În termeni intuitivi, duala categoriei C se obține prin inversarea s ăgeților în C (și inversarea
ordinii în compunerea s ăgeților).
Fie P un enunț formulat în termeni de obiecte și morfisme. Pentru fiecare categorie C, se
obține o propozi ție, notată P(C). Notăm cu P° enunțul dual (obținut din P prin inversarea
săgeților și a ordinii compunerii s ăgeților)50. Principiul dualit ății este următorul: Dacă P este
valabil în orice categorie , atunci și P° este valabil în orice categorie.
În mod asem ănător, orice no țiune (defini ție) într-o categorie are o noțiune duală, obținută
prin inversarea s ăgeților și a ordinii compunerii acestora. O no țiune care coincide cu duala sa
se numește autoduală.
4.10 Exemplu. a) Duala no țiunii de obiect ini țial este cea de obiect final.
b) Duala no țiunii de monomorfism este no țiunea de epimorfism.
c) Noțiunea de izomorfism este autodual ă.
d) Am văzut că: pentru orice categorie C, orice dou ă obiecte ini țiale în C (dacă există) sînt
izomorfe (exist ă chiar un unic izomorfism între ele). Prin dualizare, se ob ține (fără a mai fi
nevoie de demonstra ție): pentru orice categorie C, orice dou ă obiecte finale în C sînt
izomorfe .
50 Cu alte cuvinte, P°(C) este acela și lucru cu P(C°) interpretat în C.
4. Categorii, functori
137
Conceptului intuitiv de „morfism de categorii” îi corespunde no țiunea de functor .
4.11 Defini ție. Fie C și D două categorii. Un functor covariant F de la C la D, notat
F : C → D, este un cuplu F (F', F"), unde F' : Ob C → ObD, F": Hom C → Hom D, astfel
încît:
(F1) A, B Ob C, F"(HomC(A, B)) HomD(F'(A), F'(B)); adică, dacă u : A → B, atunci
F"(u) : F'(A) → F'(B).
(F2) F păstrează compunerea morfismelor : A, B, C Ob C și u : A → B, v : B → C,
atunci F"(v◦u) F"(v)◦F"(u).
(F3) F păstrează morfismele identice: A C, F"(1A) 1F"(A).
Un functor contravariant F : C → D satisface F3 și dualele axiomelor F1 și F2, adică
(F1*) F"(HomC(A, B)) HomD(F'(B), F'(A)), A, B Ob C.
(F2*) A, B, C Ob C și u : A → B, v : B → C, atunci F"(v◦u) F"(u)◦F"(v).
Astfel, un functor contravariant „întoarce s ăgețile”. A da un functor contravariant de la C la
D revine la a da un f unctor covariant de la C la D° (sau de la C° la D). De aceea, rezultatele
privitoare la functori covarian ți se transfer ă la functori contravarian ți. În continuare, prin
functor se în țelege functor covariant.
În general, se renun ță la distinc ția între componentele F' și F" ale functorului F, notîndu-se
F(A) în loc de F'(A) și F(u) în loc de F"(u) (de altfel, F este perfect determinat de F", adică de
acțiunea sa pe morfisme, vezi Obs.4.2).
Un functor F : C → D se numește:
– fidel dacă A, B C, funcția FA,B : HomC(A, B) → HomD(FA, FB ) este injectiv ă.
– plin dacă A, B C, funcția FA,B : HomC(A, B) → HomD(FA, FB ) este surjectiv ă.
– deplin fidel dacă este plin și fidel.
Ne intereseaz ă categoriile în care morfismele sînt func ții între mul țimi:
4.12 Defini ție. Categoria C se nume ște concretă dacă există un functor covariant fidel
F : C → Ens.
Categoria Gr este concret ă: aplicația U : Gr → Ens, care asociaz ă oricărui grup G
mulțimea sa subiacent ă51 și oricărui morfism de grupuri u tot pe u văzut ca aplica ție între
mulțimile subiacente, este un functor fidel (care nu e plin). U se mai nume ște „functor uituc ”
51 Un grup G este, în mod formal, un cuplu (G, ·), unde G este mul țimea subiacent ă și · : GG → G este
operația grupală. Deci o func ție de la un grup ( G, ·) la un grup ( H, ·) nu este acela și lucru cu o func ție între
mulțimile lor subiacente G și H. Din acest motiv, Gr nu este o subcategorie a lui Ens.
Anexe
138
(sau de subiacen ță) deoarece „uit ă” de structura de grup. La fel, Ab, Ann, R-mod sînt categorii
concrete (defini ți functorii ui tuci corespunz ători!).
În categorii concrete se pot de fini obiecte libe re peste o mul țime X (compara ți definiția
următoare cu proprietatea de universalitate a R-modulului liber peste o mul țime).
4.13 Defini ție. Fie C o categorie concret ă și F : C → Ens un functor covariant fidel.
Spunem c ă obiectul L al lui C este liber52 peste mul țimea X F(L) dacă, pentru or ice obiect
A C și orice aplica ție : X → F(A), există un unic morfism în C g : L → A astfel încît
F(g)|X .
Dacă C este una din categoriile Gr, Ab, R-mod , …, F este functorul subiacen ță și definiția
devine: L C este liber peste mul țimea X L dacă, pentru orice obiect A C și orice
aplicație : X → A, există un unic morfism în C g : L → A astfel încît g|X .
Noțiunea urm ătoare permite compararea a doi functori și este analogul conceptului de
morfism de structuri algebrice.
4.14 Defini ție. Fie functorii covarian ți F, G : C → D. Spunem c ă s-a dat un morfism
functorial : F → G dacă, pentru orice obiect A C, este dat A : F(A) → G(A) (morfism în
D) astfel încît, u : A → B morfism în C, rezultă B◦F(u) G(u)◦A, adică diagrama
următoare (de morfisme în D) este comutativ ă:
Dacă A : F(A) → G(A) este izomorfism, A C, atunci : F → G se numește izomorfism
functorial , caz în care functorii F și G se numesc izomorfi .
Multe din izomorfismele „canonice” întîlnite în teoria modulelor sînt de fapt exprimarea
faptului c ă există izomorfisme functoriale între anumi ți functori. De exemplu, dac ă R este un
inel, atunci functorul RR : R-Mod → R-Mod este izomorf cu functorul identitate
id : R-Mod → R-Mod .
52 O terminologie mai precis ă este „liber relativ la F”. BFuFAF
B A
BGuGAG
5. Polinoame simetrice
139
5. Polinoame simetrice
Fie R un inel comutativ unitar, fixat. Fie n N* și Sn (grupul permut ărilor de n
obiecte). Exist ă un unic morfism de R-algebre : R[X1,…, Xn] → R[X1,…, Xn] astfel încît
(Xi) X(i), i 1,…, n (am folosit 2.10 proprietatea de universalitate a R-algebrei de
polinoame R[X1,…, Xn]). Dacă g R[X1,…, Xn], atunci
(g) g(X(1),…, X(n)).
Dacă R este integru, de corp de frac ții K, consider ăm K(X1,…, Xn) (corpul de frac ții al
inelului integru R[X1,…, Xn], numit corpul frac țiilor raționale în nedeterminatele X1,…, Xn cu
coeficienți în K). Atunci se prelunge ște la un unic morfism de corpuri (notat tot cu )
: K(X1,…, Xn) → K(X1,…, Xn); are loc, g, h R[X1,…, Xn], h 0: (g/h) (g)/(h).
5.1 Defini ție. Fie R un inel comutativ unitar și g R[X1,…, Xn]. Spunem c ă g este polinom
simetric în R[X1,…, Xn] dacă, Sn, are loc (g) g.
Dacă R este integru, de corp de frac ții K, o fracție rațională g/h din corpul K(X1,…, Xn) se
numește simetrică dacă, Sn, are loc (g/h) g/h.
5.2 Exemple. În R[X1, X2, X3], polinoamele urm ătoare sînt simetrice: X1 X2 X3,
X1 X2 X3, 22
3 12
3 32
2 12
2 32
1 22
1 XX XX XX XX XX XX . Polinomul X1 X2 nu este
simetric în R[X1, X2, X3] (dar este simetric în R[X1, X2]).
5.3 Observa ții. a) Fie S {g R[X1,…, Xn]|(g) g, Sn} mulțimea polinoamelor
simetrice. S este o subalgebr ă a lui R[X1,…, Xn]: dacă g, h S, atunci
(g h) (g) (h) g h, Sn. Analog se verific ă celelalte condi ții.
La fel, frac țiile raționale simetrice din K(X1,…, Xn) formeaz ă un subcorp.
b) Dacă ni
niX aX1
1 este monom al polinomului simetric g, atunci ni
niX aX 1
1 este
monom al lui g.
5.4 Defini ție. Fie n N* și 0 k n. Se nume ște polinom simetric fundamental (sau
elementar ) de grad k în R[X1,…, Xn] polinomul
sk : {iI Xi | I {1, …, n}, |I| k}.
Cu alte cuvinte, sk este suma tuturor produselor de k nedeterminate distincte alese din
{X1,…, Xn}; deci sk are k
nC monoame. Prin conven ție, s0 1 și sk 0 pentru k n. Polinomul
sk este omogen de grad k (toate monoamele sale au gradul k). Întrucît sk depinde și de numărul
nedeterminatelor, uneori vom nota sk(X1,…, Xn) pentru a evita confuziil e. De exemplu, pentru
n 4:
s0 1
Anexe
140
s1 X1 X2 X3 X4
s2 X1 X2 X1 X3 X1 X4 X2 X3 X2 X4 X3 X4
s3 X1 X2 X3 X1 X2 X4 X1 X3 X4 X2 X3 X4
s4 X1 X2 X3 X4
Polinoamele simetrice fundamentale apar în rela țiile dintre coeficien ții și rădăcinile unui
polinom.
5.5 Teorem ă. a) Fie n N* și sk skX1, …, Xn). În R [X1,…, Xn][X] are loc rela ția:
(X X1)…(X Xn) X n s1 X n1 s2 X n2 … (1)nsn.
b) Dacă R este subinel al inelului integru S și g a0 a1X … anX n R[X] are
rădăcinile x 1, …, xn S, atunci a nskx1, …, xn) (–1) kan k.
Demonstra ție. a) Inducție după n (exercițiu).
b) Există un unic morfism de R-algebre : R[X1,…, Xn][X] → S[X] astfel încît (Xi) xi și
(X) X. Avem, din a):
(an(X X1)…(X Xn)) an(X x1)…(X xn) an(X n s1 X n1 s2 X n2 … (1)nsn).
Pe de altă parte, an(X x1)…(X xn) g (în corpul de frac ții K al lui S, au acelea și rădăcini
și același coeficient dominant). Se identific ă acum coeficien ții.
5.6 Teorem ă. (teorema fundamental ă a polinoamelor simetrice) Fie R un inel comutativ
unitar și g un polinom simetric din R [X1,…, Xn]. Atunci exist ă un unic polinom
h R[X1,…, Xn] astfel încît g h(s1, …, s n).
Cu alte cuvinte, notînd cu S subalgebra polinoamelor simetrice din R [X1,…, Xn], unicul
morfism de R-algebre : R[X1,…, Xn] → S cu proprietatea c ă (Xi) si (pentru 1 i n)
este un izomorfism.
Demonstra ție. Notăm cu T : n
ni
nii iX Xn N,,1 11 mulțimea termilor din
R[X1,…, Xn]. Definim o rela ție de ordine pe T (ordinea lexicografic ă): ordonăm total
{X1,…, Xn} (de exemplu X1 X2 … Xn) și definim n n k
nk i
niX X X X 1 1
1 1 r, 1 r n,
astfel încît it kt, t r și ir kr. De exemplu, avem 2
2 1 12
327
3 1 XX X XX X . Această
relație de ordine este total ă53 și compatibil ă cu înmul țirea, adic ă, , , T, din
rezultă (este chiar singura ordine pe T, compatibil ă cu înmul țirea, care satisface
X1 X2 … Xn).
53 Mai mult, T este o mul țime bine ordonat ă de ordinea lexicografic ă (orice submul țime nevid ă a lui T are un
prim element). Se pot face deci demonstra ții prin induc ție după această ordine (cum este demonstra ția de față).
5. Polinoame simetrice
141
Ordinea lexicografic ă induce o rela ție de preordine54, notată tot „ ”, pe mul țimea
{a | T, a R, a 0} a monoamelor din R[X1,…, Xn], prin a b .
Demonstrarea afirma țiilor precedente este un exerci țiu de rutin ă. Dacă p R[X1,…, Xn],
există un unic monom care este cel mai mare monom al lui p (față de preordinea
lexicografic ă), numit monom dominant al lui p. Îl notăm cu hm(p). Are loc urm ătoarea
proprietate:
Dacă p, q R[X1,…, Xn], astfel încît hm (p) a, hm(q) b, unde T, a, b R și
ab 0, atunci hm (pq) hm(p)hm(q) ab.
Într-adevăr, orice monom al lui pq este o sum ă de monoame de forma r·s, unde r este
monom al lui p, s este monom al lui q. Dar și , deci . Astfel,
ab hm(pq).
Fie deci g un polinom simetric și fie hm(g) ni
niX aX1
1 . Atunci i1 i2 … in (dacă k
astfel încît ik ik1, atunci n k k i
ni
ki
kiX X X aX 1 11 1
este monom în g, strict mai mare decît
hm(g)). Căutăm un polinom p de forma nj
njs as1
1 astfel încît hm(p) să fie hm(g). Din
proprietatea de mai sus, n n j
nj j j
njX X XX aX s ashm 1 21 1 12 1 1 . Acest monom este
egal cu hm(g) dacă și numai dac ă j1 … jn i1, j2 … jn i2, …, jn in. Rezultă jn in,
jk ik ik 1 pentru 1 k n. Polinomul
g1 : g nj
njs as1
1
este simetric și are hm(g1) hm(g). Dacă hm(g1) 0, avem g1 0 și am terminat. Dac ă
hm(g1) 0, aplicăm același procedeu pentru g1. Algoritmul se termin ă după un număr finit de
pași deoarece nu poate exista un șir infinit strict descresc ător de termi, conform lemei
următoare. Aceasta încheie demonstra ția părții de existen ță.
Arătăm unicitatea (cu alte cuvinte, Ker 0). Presupunem c ă există un polinom nenul
p R[X1,…, Xn] astfel încît (p) p(s1, …, s n) 0. Afirmăm că există un unic monom nenul
al lui p astfel încît hm((p)) hm((s1, …, s n)). Dacă ni
niX X1
1 , nj
njX X1
1 T, cu
, atunci:
hm((s1, …, s n)) n n n n j
nj j i
ni iX X X X 1 1
1 1 hm((s1, …, s n)).
Deci ! 0 monom al lui p astfel încît hm((s1, …, s n)) max { hm((s1, …, s n))| monom
al lui p}. Cum p(s1, …, s n) {(s1, …, s n)| monom al lui p}, rezult ă că
hm(p(s1, …, s n)) hm((s1, …, s n)) 0, contradic ție cu p(s1, …, s n) 0.
54 Adică o relație reflexiv ă și tranzitiv ă, dar nu neap ărat antisimetric ă.
Anexe
142
5.7 Lemă. a) Fie (A, ) și (B, ) două mulțimi bine ordonate. Atunci A B este o mul țime
bine ordonat ă de ordinea lexicografic ă dată de (a, b) (a', b' ) dacă și numai dac ă a a' sau
(a a' și b b').
b) Într-o mul țime bine ordonat ă (A, ) nu există șiruri infinite strict descresc ătoare.
c) n N, mulțimea T n a termilor din R[X1,…, Xn] este bine ordonat ă de ordinea
lexicografic ă (deci nu exist ă un șir infinit strict descresc ător de termi).
Demonstra ție. a) Reamintim c ă mulțimea ordonat ă (A, ) se nume ște bine ordonat ă dacă
S A, S astfel încît a, a S ( este unic cu aceast ă proprietate și se
numește primul element al lui S. Deci A este bine ordonat ă dacă orice submul țime nevid ă are
un prim element). Fie S AB, nevidă. Cum S1 : {a A| b B cu ( a, b) S} , iar A
este bine ordonat ă, există primul s ău element S1 (deci (a, b) S, a). Fie
S2 : {b B| (, b) S}. Există primul element al lui S2. Atunci (, ) este primul element
al lui S: (a, b) S, avem a (deci (, ) (a, b)) sau a, caz în care b S2, deci b.
b) Fie ( an)n 1 un șir descresc ător de elemente din A. Atunci mul țimea { an | n 1} are un
prim element, fie acesta ak. Pentru n k, avem deci ak an; cum an ak (șirul este descres-
cător), rezult ă an ak și șirul nu este strict descresc ător.
c) Inducție după n. Dacă n 1, T1 {X n | n N} este izomorf ă ca mulțime ordonat ă cu
(N, ), care este bine ordonat ă. Dacă n 1, Tn cu ordinea lexicografic ă este izomorf ă cu
Tn1 T1 cu ordinea definit ă ca la punctul a). Din ipoteza de induc ție, Tn1 este bine ordonat ă
și din a) rezultă Tn1 T1 bine ordonat ă.
Teorema 5.6 se extinde u șor și la fracții raționale simetrice.
5.8 Corolar. (Teorema fundamental ă a fracțiilor raționale simetrice) Fie R un inel integru
și K corpul s ău de frac ții. Dacă p, q R[X1,…, Xn], q 0, astfel încît p /q este o frac ție
rațională simetric ă, atunci exist ă polinoamele f, g R[X1,…, Xn] astfel încît
nn
s sgs sf
qp
,,,,
11
. Cu alte cuvinte, subcorpul frac țiilor raționale simetrice din corpul
K(X1,…, Xn) este K (s1,…, sn).
Demonstra ție. Dacă q este polinom simetric, atunci p este simetric (ca produs în subcorpul
fracțiilor raționale simetrice dintre q și p/q). Din 5.6 rezult ă că p, q R[s1,…, sn]. Dacă q nu
este simetric, fie s Sn(q). Atunci s este simetric și
sq p
qpid,
și am revenit la primul caz.
5. Polinoame simetrice
143
Să exprimăm polinomul simetric tm : X m
1 … X m
n R[X1,…, Xn] (m N) în funcție de
polinoamele simetrice s1, …, sn. Identitățile următoare permit un calcul recursiv al tm ca
polinom de s1, …, sn.
5.9 Propozi ție. (Identitățile lui Newton) În R [X1,…, Xn] are loc rela ția:
tm s1 tm 1 s2 tm 2 … (1)m 2sm 1 t1 (1)m 1msm.
Demonstra ție. Dacă m n, atunci conven ția sk 0 pentru k n trunchiază formula de mai
sus (sînt numai n termeni).
Fie r n și (a1, …, ar) un r-uplu de numere naturale cu a1 a2 … ar. Notăm cu
s(a1, …, ar) unicul polinom simetric g din R[X1,…, Xn] cu monomul dominant
hm(g) ra
ra aX XX2 1
2 1 (față de ordinea lexicografic ă a termilor).
De exemplu, s(m) X m
1 … X m
n tm, s(1, 1) X1 X2 X1 X3 … s2. Pentru a simplifica
notația, punem 1 i : (1, …, 1) (1 apare de i ori) și (a, 1i) : (a, 1, …, 1) (1 apare de i ori);
avem deci s(1i) si. Relațiile următoare se demonstreaz ă ușor:
s1 tm 1tm s(m 1, 1)
s2 tm 2s(m 1, 1) s(m 2, 1, 1)
s3 tm 3s(m 2, 1, 1) s(m 3, 1, 1, 1)
În general, dac ă i min{ m 1, n},
si tm is(m i 1,1 i) s(m i,1i).
Dacă m n și i m 1, atunci
sm 1t1s(2,1 m 2) msm.
Dacă m n i, atunci
sn tm ns(m n 1,1 n 1).
Identitățile rezultă folosind rela țiile de mai sus în suma 1 i m (1)i1si tmi.
144
Index
algebra
factor, 120
algebră, 119
algoritm de factorizare, 29 Algoritmul lui Euclid, 11 anulator, 68, 92 anulatorul
unui modul, 92
asemenea (endomorfisme), 105 asemenea (matrice), 105 asociere în divizibilitate, 5 autoduală, 136
bază, 69
bidualul unui modul, 80 bimodul, 77 bimorfism, 135 bine ordonat ă (mulțime), 142
categorie, 132
concretă, 137
duală, 136
cel mai mare divizor comun, 6 cel mai mic multiplu comun, 6 celulă Jordan, 108 cît, 11
clasă, 133
cmmdc, 6 cmmmc, 6 codomeniu, 133 coeficient al unui polinom, 127 coeficientul dominant, 127 comaximale (ideale), 98 combinație liniară, 40
companion matriceal, 108 complement, 58 complex de module, 62 congruență modulo n, 13
conucleu, 63 coprodus, 56 corpul frac țiilor raționale, 139
cosursă, 133
decompozabil, 97 divizibilitate, 3 divizori elementari, 102 domeniu, 133 domeniu de integritate, 4 dual al unui modul, 79 dualitate, 136
145
element
întreg, 31
endomorfism, 43
ciclic, 105
epimorfism, 49, 135
scindat, 65
extensie a unui modul, 63 extindere a unui modul, 63
factori invarian ți, 95
formă, 127
forma canonic ă Jordan, 113
forma diagonal canonic ă, 85
formă liniară, 79
forma normal ă Smith, 85
fracție, 128
fracție rațională
simetrică, 139
funcția polinomial ă, 33
functor
contravariant, 137 covariant, 137 de subiacen ță, 138
deplin fidel, 137 exact la stînga, 65 fidel, 137 plin, 137 uituc, 137
GCD-inel, 6 grad, 126
total, 127
grupul
liniar general, 75
homomorfism
de module, 43
ideal
maximal, 117 prim, 117 propriu, 117
idempotent, 59 Identitățile lui Newton, 142, 143
imagine, 46 indecompozabil, 97 independent ă (familie de submodule), 58
inel
al claselor de resturi modulo n, 14 al întregilor lui Gauss, 4 de întregi p ătratici, 14
euclidian, 11 euclidian fa ță de normă, 15
factorial, 20 integru, 4 întreg închis, 31 noetherian, 19 principal, 17
injecțiile canonice, 56
întreg
pătratic, 14
întreg algebric, 14 întreg rațional, 14
invers (al unui morfism), 135 ireductibil, 9 izomorfism, 135 izomorfism functorial, 138
lema chinez ă a resturilor, 98
lexicografic
ă (ordine), 140
146
liber de p ătrate, 4, 14
liniar dependent ă, 68
liniar independent ă, 68
localizare, 131 localizatul, 131
matrice
aritmetic echivalente, 85 diagonal canonic ă, 85
elementare, 85
matrice asociat ă
unui morfism, 73
matrice canonic ă Jordan, 108
matricea caracteristic ă, 111
modul, 36
de fracții, 130
de tip finit, 41 de torsiune, 92 factor, 49 fără torsiune, 92
finit generat, 41 liber, 69 simplu, 52
monom, 124
dominant, 141
monomorfism, 49, 135
scindat, 65
morfism
de algebre, 120 de bimodule, 78 de extensii, 63 de module, 43
morfism functorial, 138 morfism structural (a l unei algebre), 119
normă, 14
nucleu, 46 numărător, 128
numitor, 128
obiect
final, 134 inițial, 134
liber, 138 nul, 134
obiect (într-o categorie), 133 omotetie, 44 ordin, 91
PID, 17 polinom
monic, 14 omogen, 127 reciproc, 28 simetric elementar, 139 simetric fundamental, 139 unitar, 14
polinom caracteristic, 111 polinom minimal (al unui endomorfism), 106 polinom simetric, 139 polinomul
de interpolare Lagrange, 33
prim, 9 prim element, 142 prime între ele (elemente), 6 produs direct
de module, 53, 54 de morfisme, 60
proiecția canonic ă, 59
147
proiecții canonice, 53, 54
proiector, 59 proprietatea de universalitate
a algebrei monoidale, 124 a inelului de frac ții, 129
a inelului de polinoame, 125 a modulului liber, 70 a produsului direct, 53, 54 a sumei directe, 55
p-submodul, 92
relativ prime (elemente), 6 rest, 11 restricția scalarilor, 38
săgeată, 133
saturatul unui sistem multiplicativ închis, 130 șir
exact, 62 exact scurt, 63 semiexact, 62
șir exact scurt
scindat, 65
sistem de generatori, 40 sistem multiplicativ închis, 127
saturat, 130
subalgebr ă, 120
subalgebra generat ă, 120
subcategorie, 134
plină, 134
submodul, 39
ciclic, 41 generat, 40 maximal, 42
minimal, 42 propriu, 40
subspațiu invariant, 105
sumă (de ideale), 117
sumă directă
de module, 55 de morfisme, 60 de submodule, 58
sumand direct, 58 suport, 41, 56, 120 surjecția canonic ă, 49
sursă, 133
teorema
factorilor invarian ți, 91
fundamental ă de izomorfism, 50
teorema împ ărțirii cu rest, 11
term, 124 torsiune, 92 transformare liniar ă, 43
transform ări elementare, 86
transpusul
unui morfism, 79
UFD, 20 urma
unei matrice, 111 unui endomorfism, 111
urmă, 14
valoare proprie, 113 vector propriu, 113
148
Bibliografie
1. ALBU, T., ION, I.D. [1984] Capitole de teoria algebric ă a numerelor, Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
2. ALBU, T., ION, I.D. [1997] Itinerar elementar în algebra superioar ă, Ed. All, Bucure ști.
3. ALBU, T., MANOLACHE , N. [1987] 19 Lecții de teoria grupurilor, Ed. Universit ății București, Bucure ști.
4. ALBU, T., RAIANU , Ș. [1984] Lecții de algebr ă comutativ ă, Ed. Universit ății București, Bucure ști.
5. ANDERSON , F.W., FULLER , K.R. [1974] Rings and categories of modules, Springer-Verlag, New York.
6. AYAD, M. [1997] Théorie de Galois. 122 exercices corrigés , Ellipses, Paris.
7. BOREVICI , Z.I, ȘAFAREVICI , I.R. [1985], Teoria numerelor, Ed. Științifică și Enciclopedic ă, București.
8. BOURBAKI , N. [1958] Eléments de mathématique , Fasc. VII, Livre II: Algèbre , Chapitre 3, Algèbre
multilinéaire , Hermann, Paris.
9. BOURBAKI , N. [1967] Eléments de mathématique , Fasc. VI, Livre II: Algèbre , Chapitre 2, Algèbre
linéaire , Hermann, Paris.
10. BOURBAKI , N. [1981] Algèbre , Chapitres 4 à 7, Masson, Paris.
11. BOURBAKI , N. [1985] Eléments de mathématique : Algèbre commutative , Chapitres 1 à 4, Masson, Paris.
12. ESCOFIER , J.P. [1997] Théorie de Galois , Masson, Paris.
13. FRIED, M., JARDEN , M. [1986] Field Arithmetic , Springer Verlag, Berlin.
14. GALBURĂ, GH. [1961] Corpuri de func ții algebrice și varietăți algebrice , Ed. Academiei R.P.R.,
București.
15. GALBURĂ, GH. [1972] Algebră, Ed. Didactic ă și pedagogic ă, București.
16. GOZARD , I. [1997] Théorie de Galois , Ellipses, Paris.
17. GUȚAN, M., ȘTEFĂNESCU , M., [1985] Culegere de probleme de Algebr ă. Inele și Module, Ed. Universit ății
„Al. I. Cuza”, Ia și.
18. HALL, M. [1959] The Theory of Groups , Macmillan, New York.
19. HUNGERORD , T.W. [1974], Algebra, Springer-Verlag, New York.
20. ION, I.D., NĂSTĂSESCU , C., NIȚĂ, C. [1984] Complemente de algebr ă, Ed. Științifică și enciclopedic ă,
București.
21. ION, I.D., RADU, N. [1981a] Algebra , Ed. Didactic ă și pedagogic ă, București.
149
22. ION, I.D., RADU, N., NIȚĂ, C., POPESCU , D. [1981b] Probleme de algebr ă, Ed. Didactic ă și pedagogic ă,
București.
23. JACOBSON , N. [1964], Lectures in Abstract Algebra III. Theory of Fields and Galois Theory ,
Springer-Verlag, New York.
24. JACOBSON , N. [1974], Basic Algebra I , W.H. Freeman and Co., San Francisco.
25. KAPLANSKY , I. [1973], Fields and Rings , The University of Chicago Press, Chicago.
26. LAFON , J.P. [1977] Algèbre commutative. Langages géometrique et algébrique , Hermann, Paris.
27. MACCARTHY , P.J. [1966], Algebraic Extensions of Fields , Blaisdell Publishing, Waltham, Massachusets.
28. MORANDI , P. [1996] Field and Galois Theory , Springer-Verlag, New York.
29. NĂSTĂSESCU , C. [1974] Introducere în teoria mul țimilor , Ed. Didactic ă și pedagogic ă, București.
30. NĂSTĂSESCU , C. [1976] Inele. Module. Categorii , Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
31. NĂSTĂSESCU , C., NIȚĂ, C. [1979] Teoria calitativ ă a ecuațiilor algebrice , Ed. Tehnic ă, București.
32. NĂSTĂSESCU , C., NIȚĂ, C., VRACIU , C. [1986] Bazele Algebrei, vol. I , Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
33. NEUKIRCH , J. [1986] Class Field Theory , Springer-Verlag, Berlin.
34. NIȚĂ, C., SPIRCU , T. [1974] Probleme de structuri algebrice , Ed. Tehnic ă, București.
35. PARENT , D.P. [1978] Exercices en théorie des nombres, Gauthier-Villars, Paris.
36. POPESCU , N. [1971] Categorii abeliene , Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
37. PURDEA , I. [1982] Tratat de algebr ă modernă, vol II, Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
38. RADU, GH. [1988] Algebra categoriilor și functorilor , Ed. Junimea, Ia și.
39. RADU, GH., TOFAN , I., GONTINEAC , V. M. [2000] Introducere în algebra omologic ă, Ed Universit ății
„Al. I. Cuza”, Ia și.
40. RADU, N. [1968] Inele locale, vol. I, Ed. Academiei R.S.R., Bucure ști.
41. REGHIȘ, M. [1981] Elemente de teoria mul țimilor și logică matematic ă, Ed. Facla, Timi șoara.
42. SAMUEL , P. [1963] Anneaux factoriels , Sociedade de Matemática de São Paulo.
43. SAMUEL , P. [1968] Théorie algébrique des nombres , Hermann, Paris.
44. SCORPAN , A. [1996] Introducere în teoria axiomatic ă a mulțimilor , Ed. Universit ății București, Bucure ști.
45. SPINDLER , K. [1994] Abstract Algebra with Applications , vol. II, M. Dekker, New York.
46. ȘTEFĂNESCU , M., [1993] Introducere în teoria grupurilor, Ed. Universit ății „Al. I. Cuza”, Ia și.
47. TIGNOL , J.-P. [1987] Galois' Theory of Algebraic Equations, Longman Scientifical and Technical.
48. TOFAN , I. [2000] Capitole speciale de structuri algebrice , Ed Universit ății „Al. I. Cuza”, Ia și.
49. VAN DER WAERDEN , B.L. [1967], Algebra II (Fünfte auflage der Modernen Algebra) Springer-Verlag,
Berlin.
50. VAN DER WAERDEN , B.L. [1971], Algebra I (Achte auflage der Modernen Algebra) Springer-Verlag,
Berlin.
51. VAN DER WAERDEN , B.L. [1985], A History of Algebra, Springer-Verlag, Berlin.
52. WALKER , R.J. [1950] Algebraic Curves , Dover Publications, New York.
150
53. ZARISKI , O., SAMUEL , P. [1958] Commutative Algebra , vol. I, Princeton.
54. ZARISKI , O., SAMUEL , P. [1960] Commutative Algebra , vol. II, Princeton.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: I. Aritmetic ă în inele integre… 3 [629804] (ID: 629804)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.